Об одном методе построения точных решений космологических уравнений Эйнштейна

А.В. Асташенок

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА

Развит метод построения точных космологических решений уравнений Эйнштейна, основанный на их представлении в форме линейного дифференциального уравнения второго порядка и пригодный для анализа моделей Фридмана с k = 0,+1,-1.

A new method of construction of exact solutions of Einstein's equations is developed. It is based on the presentation of the Einstein's Equations in the form of second order linear differential equation. This method is also applicable to Friedmann model with k=0,+1,-1.

В работах [1; 2] развит метод построения и анализа точных космологических решений уравнений Эйнштейна, основанный на представлении их в форме линейного уравнения второго порядка. Действительно, легко убедиться, что в случае плоской метрики Фридмана куб масштабного фактора ц> = а3 будет удовлетворять уравнению

где р — плотность, а р — давление вещества, наполняющего Вселенную.

К сожалению, эффективность данного подхода значительно снижается при рассмотрении фридмановских моделей с ненулевой пространственной кривизной. В этом случае куб масштабного фактора удовлетворяет не (1), а уравнению с дополнительным нелинейным слагаемым. Существует другой путь.

Дело в том, что одно из двух космологических уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана является линейным уравнением второго

Введение

Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. З. Физико-математические науки. С. 22—26.

порядка с потенциалом, пропорциональным со знаком минус величине р + 3р/ с2. Учитывая упомянутую плодотворность рассмотрения линейной задачи в плоской метрике, весьма интересно провести аналогичное исследование в общем случае. Заметим, что роль волновой функции теперь будет играть сам масштабный фактор, а не куб от него. Одним из замечательных свойств построенных в данной работе новых классов точных решений является отсутствие горизонтов на фазе сжатия. Это свойство, на наш взгляд, является чрезвычайно существенным при построении модели Вселенной, согласованной на всем времени своего существования.

1. Условие самосогласованности и пространство-время без горизонтов

Требование внутренней согласованности является одной из наиболее важных идей, используемых в космологии. Предтечей использования этого предположения в качестве руководящего принципа в космологии стала, по-видимому, мысль Ландау [3] о том, что последовательная теория будущего должна определять не только уравнения и движения, но и начальные условия для них.

Обычно обнаружение нестыковки известных физических закономерностей с данными космологических наблюдений трактуется как свидетельство существования еще не открытых фундаментальных принципов. Есть, однако, и иной, значительно менее распространенный подход: считать основные физические принципы уже установленными и использовать упомянутые нестыковки для отбора космологических моделей, свободных от последних. Именно при таком взгляде на вещи становится принципиально важным изучение глобальной эволюции Вселенной.

О каких нестыковках идет речь? Согласно данным астрономических наблюдений (см. [4; 5]), проведенных над удаленными сверхновыми типа

1а, которые принято считать «стандартными свечами», Вселенная находится в стадии ускоренного расширения. Если это верно, то мы являемся свидетелями процесса перехода динамики Вселенной от фридмановской (степенной) к деситтеровской (экспоненциальной) фазе. В случае мира де Ситтера вся будущая динамика наблюдаемой Вселенной ограничена горизонтом событий = с/Н, где Н — постоянная Хаббла. В этом случае возникает активно обсуждаемая проблема о том, каким образом можно сформулировать фундаментальную теорию (например, теорию струн или гипотетическую М-теорию) в конечном объеме [6]. Не исключено, что непротиворечивое описание возможно лишь при = *>.

К тому же неограниченное расширение Вселенной приводит к парадоксальному выводу, недавно сформулированному в работе [7]. Оказывается, если возраст деситтеровской Вселенной с современным темпом расширения превысит 1060 лет, то в такой Вселенной на протяжении всей ее эволюции будут доминировать квантовые флуктуации, что вряд ли может быть согласовано с нашими повседневными наблюдениями. Этот результат является веским аргументом против моделей Вселенной, переживающей вечное расширение. Отсюда следует, что более предпочтительны сценарии, в которых современная фаза расширения должна смениться фазой сжатия с последующим коллапсом, причем время жизни Вселенной не должно превышать предельных значений, полученных в [7].

А.В. Асташенок

24

2. Основные уравнения и метод решения

Рассмотрим уравнения Эйнштейна в метрике Фридмана:

а2 8 лО кс2

— = -Т" Р------Г >

а 3 а

а 4лО , 3 л

-Г = --^

а 3 с

Уравнение (3) можно записать в виде

а = и

т. е. в виде уравнения Шредингера с «потенциалом» и(Ь) =

= -4лС(р + 3р/с2)/3. Если а(Ь) — некоторое известное решение (3), то можно определить второе, линейно-независимое решение с тем же потенциалом: я(Ь) = v(t) а(Ь), где

Ж'

а2

Поэтому общее решение (3) с заданным потенциалом, которое мы обозначим А(^, имеет вид

А

где С1,2 — две произвольные константы. Построенные подобным образом решения обладают рядом интересных свойств. В частности, они могут рассматриваться как двухпараметрические обобщения исходных решений, поскольку, выбирая один из параметров С2 = 0, мы, очевидно, получаем начальное затравочное решение. На следующем шаге подставляем (5) в (2) и находим новую плотность энергии в такой модели Вселенной. Далее, используя тот факт, что величина р + 3р/с2 (рассматриваемая как функция времени), не меняется, можно вычислить давление р = р(Ь) и, таким образом, проанализировать уравнение состояния.

Определим момент времени Ь/ как нуль функции (5), причем будем предполагать, что Ь/ не является нулем а(Ь): а(Ь/) = а/ Ф 0. Тогда

Легко проверить, что окрест точки ff, т. е. при Ь = ff—£, при £ ~ О (1) выполняется соотношение (А/ = А(Ь/), А(Ь/) = А/ при Ь = £/):

с

А

а/

Поскольку линейный элемент имеет вид

ds2 = с2 Ж2 — А2

то для направленных в будущее нулевых радиальных геодезических получаем

2

‘r cdt ca,\clt (a.'

Ar = f------= —— f-------= -ж x sgn .

I, A(t) C2 ti_'t - tf *{C2) W

Таким образом, если sgn(o// C2), то Ar = +». Это означает, что нулевые геодезические совершают бесконечно много «оборотов» (в замкнутой Вселенной), прежде чем попадают в финальную сингулярность при t = tf. Если учесть, что Вселенная с элементом (7) является однородной и изотропной, то можно доказать, что единственной сингулярностью будущего будет с-граница в виде точки, достигаемой при t = tf. Другими словами, такое пространство-время не содержит горизонтов в будущем. Более того, несложно убедиться, что параметр уравнения состояния w = р/рс2 при t ^ tf.

3. Обобщение модели Вселенной, заполненной излучением

Для излучения w=1 /3, и уравнения (2), (3) принимают следующий вид: a2 _ 8лОС kc2 ..

2 о 4 2 ?

a 3a a

£ . - Щ С + i£)

a 3 ^ a с )

Здесь C — положительная константа. Рассмотрим для иллюстрации метода случай к = -1, который наиболее интересен. Дело в том, что из него

можно получить по крайней мере три класса решений, в том числе и ста-

ционарное. Все эти решения, как показано ниже, не содержат горизонтов событий. Стартовое решение уравнений (9) и (10) для к = -1 имеет вид

ct

a = xsinhO, cosh—-1 = —.

2

Линейно-независимое решение a находится по (11) следующим образом:

a ~ sinh— f d— = sinh—ln(tanh —).

J sinh— 2

Общее решение можно записать в виде

соШг(—) .

А = --------, собИП- 1 = —,

« Ж

где а — константа. Без ограничения общности можно полагать, что £ = 0 для исходного решения и £ = 1 во всех остальных случаях, которые мы и рассмотрим ниже.

Сингулярные модели в открытом пространстве.

Им соответствуют значения а, большие 1. В момент времени

, = 2Ж 1

25

c а2 -1

масштабный фактор обращается в нуль. Легко убедиться, что при приближении к финальной сингулярности т ^ -1/3.

А.В. Асташенок

Модели с вечным расширением.

При а < 1 Вселенная вечно расширяется. При больших t масштабный фактор растет линейно со временем: А ~ -(1па)с^ Линейное расширение свидетельствует о том, что т в такой Вселенной асимптотически стремится к -1/3. Горизонт событий отсутствует, так как путь света вдоль радиальной геодезической

стремится к бесконечности, поскольку при больших в подынтегральное выражение стремится к постоянной величине.

Стационарная модель.

Положив в (12) а = 1, получим, что при £ ^ » А ^ х, т. е. имеем стационарное решение. Любопытно, что, как и в случае открытых решений, на больших временах ш ^ -1/3. В самом деле, при £ ^ » Р = -сх-4, а р = с2Сх-4/3. Горизонт событий также отсутствует (расчет аналогичен случаю открытого решения).

В работе предложен метод генерации точных решений с фиксированной величиной р + 3р/с2. В рамках этого подхода оказывается возможным построение и анализ общих двухпараметрических семейств решений в пространствах не только с нулевой кривизной к = 0, но для к = +1,-1.

Показано, что такие решения, вообще говоря, не содержат будущих горизонтов, что позволяет говорить о «согласованности» данных моделей.

Показано, что при приближении к финальной сингулярности параметр уравнения состояния ш ^ -1/3.

Еще раз подчеркнем, что целью данной работы было исследование моделей, описывающих пространство-время без будущих горизонтов. Соответственно, вопросы, связанные с теорией ранней Вселенной, не входили в круг обсуждаемых. Тем не менее нет сомнений, что описанный метод вполне можно использовать для изучения режимов инфляции и выхода из нее, в том числе в неплоских моделях Вселенной.

1. Журавлев В.М., Червон С.В., Щиголев В.К. // ЖЭТФ. 114, 406 (1998).

2. Верещагин С.Д., Юров А.В. // ТМФ. 139, 405 (2004).

3. Халатников И.М., Каменщик А.Ю. // УФН. 168, 593 (1998).

4. Riess A.G. et al. // Astron. J. 116, 1009 (1998).

5. Perlmutter S. et al. // Astron. J. 517, 565 (1999).

6. Banks T. Cosmological Breaking of Supersymmetry, hep-th/0007146; Witten E. Quantum Gravity in De Sitter Space, hep-th/0106109.

7. Don N. Page, The Lifetime of the Universe, hep-th/0510003.

а

Заключение

Список литературы

Об авторе

А.В. Асташенок — асп., РГУ им. И. Канта, artyom.art@gmail.com.