Расчет по методу сосредоточенных деформаций железобетонных стержневых систем с учетом физической нелинейности

Фундаментальные и прикладные исследования по приоритетным направлениям развития науки и

техники

УДК 624.012.35-624.012.45

А.М. Зулпуев, А.М. Ганыев

РАСЧЕТ ПО МЕТОДУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Баткенский государственный университет

Аннотация: В данной работе рассмотрено расчет стержневых систем в упругопластической стадии для железобетонных конструкций по методу сосредоточенных деформаций. При расчете железобетонных конструкций по деформированной схеме учитывалось положение не только геометрической изогнутой оси, но также и физической оси, в этом случае расположение осей может быть различным.

Ключевые слова: Дискретная расчетная модель; расчет стержневых систем; геометрической изогнутой оси; положения физической оси; деформация бетона.

UDC 624.012.35-624.012.45

A.M. Zulpuyev, A.M. Ganyev

CALCULATION OF THE FERRO-CONCRETE ROD SYSTEMS BY THE METHOD OF CONCENTRATED DEFORMATIONS TAKING INTO CONSIDERATION THE PHYSICAL NON-LINEARITY

Batken State University

Abstract: This work deals the calculation of the rod systems in the elastic stage for ferro-concrete constructions by the method of concentrated deformations taking into consideration the state of both geometric bending and physical axis.

Key words: descrete calculation model; calculation of the rod systems; geometric bending axis; state of the physical axis; concrete deformation.

В настоящее время развиваются нелинейные расчеты дискретной модели железобетонных конструкций несущих систем в многоэтажных зданий и сооружений [1-10]. В связи с этим, дискретная расчетная модель оказалась достаточно жизнеспособной, плодотворной и перспективной; ее потенциальные возможности, видимо, будут развиваться и в будущем. При расчете железобетонных элементов по деформированной схеме необходимо учитывать положение не только геометрической изогнутой оси, но также и физической оси [11-15]. Взаиморасположение этих осей может быть различным. Поэтому сравнительно небольшом эксцентриситете вг продольной оси N относительно центральной (в упругой стадии работы сечения) оси zrдеформации бетона на менее напряженной грани ее,2 могут быть относительно небольшим и соответственно, секущий модуль деформаций близок к начальному, т.е. Е'в= Ее.

Следовательно, в этом случае физическая ось, проходящая через центр же-сткостей сечения с учетом уровня напряженно-деформированного состояния, «отдалится» от линии действия внешней силы N увеличивая начальный эксцентриситет (рис. 1а). В связи с этим сравнительно большом эксцентриситете на растянутой грани сечения деформации бетона е^ могут превзойти £ех,сгс, и модуль деформаций резко снизится, так как уеп^0.Вследствие этого физическая ось, отвечающая достигнутому уровню напряженно-деформированного состояния, «приблизится» к линии действия продольной оси N снизив тем самым начальный эксцентриситет (рис. 1б).

Изложенное физическое явление учитывается в неявной форме в действующих нормах при вычислении условной критической силы Ккр., однако при этом не удается найти и ввести в расчет действительную поправку на величину начального эксцентриситета продольной силы. В излагаемой рас-

четной методике положение физической оси на каждом уровне загружения и в каждом элементе метода сосредоточенных деформаций учитывается автоматически тем, что в матрице жесткости сечения [С] содержатся элементы С1,2 и С1,3, в общем случае не равные нулю (они могут быть положительными и отрицательными), и величина которых определяется уровнем напряженно-деформированного состояния в сечении.

В упругой стадии работы, если координатная ось совмещена с центральной, С1,2= С1,3= 0, т.е. физическая ось совпадает с центральной и центральные оси являются кроме того главными.

Подобным образом, записывая уравнение равновесия сил в сечениях относительно первоначально принятых координатных осей, не меняющих своего положения, т.е. сохраняя элементы матрицы [С], С1,2 и С1,3, удается избавиться от процедуры отыскания положения физической оси и, соответственно, главных координатных осей.

Следует отметить, что в ряде работ на указанные обстоятельства не обращается внимания, из-за чего получаемые решения будут содержать погрешность, степень которой будет определяться конкретной расчетной ситуацией. С учетом сказанного расчет по деформированной схеме железобетонных элементов остается тем же, что и для упругих стержней с тем отличием, что на каждой итерации при формировании вектора дополнительных узловых моментов {ДМ} одновременно пересчитываются элементы матрицы жесткости [С] и матрицы внешней жесткости

Уравнения для вычисления дополнительных узловых изгибающих моментов {ДМ} для «к» -го элемента метода сосредоточенных деформаций имеет следующий вид:

{ДМ} = -

где: фк— угол поворота оси (физической или геометрической) в плоскости действия моментов Мх или Му.

Если в пределах к -го элемента нет внешних продольных сил, то N^1 = N^+1, и уравнения (1) упрощается, учитывая /к,к-1 + /к,к+1 = /к:

(АМ) = - ^-/к-фк.

ложенных выполняется по программе вычислительной технике. Для отработки вышеизложенной методики расчетов железобетонных сечений и стержней были выполнены численные расчеты на вычислительной технике и сопоставлены с экспериментальными данными.

Расчет железобетонных стержневых несущих систем на основании вышеиз-

Рисунок 1 - О положении физической оси железобетонного стержня: а - при «малых» эксцентриситетах, б - при «больших» эксцентриситетах; 1 - координатная ось, 2 - физическая ось, 3 - нейтральная ось.

При этих сопоставлениях ставились следующие задачи:

- определение оптимальных параметров итерационных процессов (точности ш и минимального числа итераций);

- установление целесообразных способов разбивки нормальных сечений на элементарные площадки;

- обследование требуемых схем разбивки железобетонных стержней на элементы метода сосредоточенных деформаций;

- проверка точности вычисления деформаций и перемещений для сечений и стержневых элементов в упругой стадии, в том числе с учетом деформирования расчетной схемы при различных условиях закрепление и загружения.

Представленные задачи решались при разнообразных экспериментальных данных, охватывающих наиболее характерные расчетные ситуации.

1. Прямоугольное сечение с одиночной арматурой в условиях прямого изгиба имеет следующие характеристики: ширину В = 0,153 м, высоту Н = 0,30 м, а = 0,02 м; бетон: Rg = 29,5 МПа, Rвí = 2,18 МПа, Ев = 32300 МПа,б'е= 2,5%; арматура 2016 класса А-11 с Оу= 359 МПа, о8и= 498 МПа, Е8 = 210000 МПа (опыты НИИЖБ).

Следует определить расчетом прочность по нормальному сечению и сравнить с экспериментом. Задача сводится к поиску вектора по алгоритму. В

этом случае искомый вектор представлен в общей форме = (0,0,М х)т, т.е.

нормальная сила N2 = 0 и изгибающий момент Му = 0. Эти нулевые компоненты вектора в системе уравнений сохранены для общности решения; можно было бы ограничиться решением двухстрочной системы уравнений и вектором (Б) = (0,М х)т. Однако нельзя обойтись только одним уравнением равновесия, хотя продольная сила и равна нулю, т.к.

плоскость распределения деформаций содержит две неизвестныее2 и кх.

Это обстоятельство полностью аналогично тому, которое встречается при расчете сечений по СНиП [16] - здесь также используются два уравнения равновесия. Разбивка нормального сечения на элементарные площадки ЛеииЛ8к приведена на рис. 2, общее число элементарных площадок соста-вило153.

Для разбивки сечения с помощью вычислительные техники применяются произвольные координатные оси Х1 -

У1; после отыскания осевой жесткости в дискретной форме С11 = (ЕпЕеп-Леп+ Е^Е^-Л^), для упругого состояния при vеn= 1 и изгибно-осевой жесткости

С13 = - (ЕпЕеп Лег,')?1 еп+ ЕкЕлк'Ллк'У sk) определяются положение центра тяжести приведенного сечения и положения центральных осей Х и У.

Матричное уравнение для изгиба симметричного сечения в плоскости оси У имеет следующий вид

0 1 Г С11 С12 С13 п

0 Г = С21 С22 С23 ^ 1 к

Мх J С31 С32 С33 Кх

Расчеты выполнялось по программе

«МББ» на вычислительной технике. _ *

Поиск организован в автоматическом режиме с заданной точностью О = 0,01 по условию сходимости итерационного процесса.

Поиск вектора, отвечающего несущей способности сечения, организован путем поэтапного увеличения вектора (этапы приняты 0,1^} опыт) до та-когоуровня, при котором наступали разрушения, т.е. достигался вектор

{£}тах. Далее поиск вектора уточ-

нялся между значением - 0,1-{Б} опыт и значением {F} с точностью О = 0,01.Этапы загружения при неизвестном значении вектора{F} назначаются исходя из приближенного (оценочного) расчета, который следует выполнять, по возможности, точнее, хотя при принятой точности итерационного расчета О = 0,01 погрешность в оценочном расчете мало изменит искомый результат.

Рисунок 2 - Изгибаемый элемент

Из расчета следует, что при относительно невысоких уровнях загружения итерационные процессы с точностью ш = 0,01 сходятся быстро; на первых этапах за 6-8 итераций, для достижения той же точности на последних этапах требуется несколько десятков итераций; при векторе {F} = {F} оп для сходимости процесса потребовалось 57 итераций и дальнейшее загружение было прекращено.

Причиной разрушения (значениям напряжений в растянутой арматуре и сжатом бетоне), следует принимать разрушение бетона; в растянутой арматуре напряжения превзошли предел текучести, но не достигли временного сопротивления (а8,расч = 382,226 Мпа) при этом деформации в ней составили 2,2% (на предыдущем этапе а8,расч = 349,173 МПа и 8s = 0,175%).

Отсюда, можно утверждать, что полученное расчетным путем напряженно-деформированное состояние полностью отвечает стадии разрушения, расчетное значение разрушающего момен-

*

та равно экспериментальное: M х,расч. = 0,00418 МН м; M х,опыт. = 0,00418 МНм.

Расчет по СНиП при os = Gy=

_ *

359МПа дает М х,расч. = 0,00418 МН м, что менее чем экспериментальных на 8,8%. На рис. 2 представлены эпюры напряжений в бетоне при изгибающих

моментах: М1 = 0,1-М х; М2 = 0,1-М х;

*

М3 = М х, из чего можно судить о динамике развития напряженно-деформированного состояния в сечении.

2. Произвести расчет прочности и перемещений железобетонной балки прямоугольного сечения: сечением ВН =15,330,5 см, длиной 3 м и загруженной сосредоточенными силами в третях пролета (опыты НИИЖБ ).

Характеристики материалов, бетон: Re = 29,5 МПа, Ret = 1,6 МПа, Ев =

39500 МПа; ё'в = 2,5 %; арматура 2016

класса А-II с Rу = 359 МПа, = 498 МПа, Es = 2-105 МПа.

Расчет осуществлялся по программе «МББ» на вычислительной технике. Железобетонная балка в пролете разбита на 11 элемента метода сосредоточенных деформаций с тремя степенями свободы (система уравнений метода перемещений содержала 33 неизвестных) длиной 0,35 и 0,3 м; нормальные сечения по плоскостям сосредоточенных деформаций представлены 105 элементарными площадками бетона Авп и арматуры А8к.

По результатам расчета разрушающая

нагрузка составила Р*

расч.

= 33 кН, а опыт-

ное значение Р опыт = 33,3 кН.

В упругой стадии работы, прогибы балки в середине пролета, отличаются от аналитически вычисленных на +0,547%, углы поворота в опорных элементах соответственно на +0,8%, кривизны в середине пролета - на 0,01%.

Отсюда следует, что вычисления перемещений по изложенной методике при сравнительно небольшом числе элементов метода сосредоточенных деформаций дают высокую точность.

На рис. 3 представлены кривизны сечений в середине пролета на разных уровнях загружения, полученные расчетом по настоящей методике, по формулам [16] и опытные кривизны; можно считать, что совпадение их хорошее.

Отметим, что рассматриваемая балка является статически определимой, и ее расчет по методу сосредоточенных деформаций выполнен для иллюстрации точности метода сосредоточенных деформаций.

На рис. 4 изображены эпюры кривизны и изгибающих моментов для двух уровней загружения при нагрузке, составляющей 70% от разрушающей и 96% от разрушающей (эпюры кривизны и изгибающих моментов изображены в одинаковом масштабе для середин пролетов).

Отсюда видно, что по мере роста нагрузки эпюра кривизны постепенно отходит от эпюры изгибающих моментов. Поэтому вычисления прогибов на основании кривизны в серединах пролетов по формулам [16] в виде и = к/Б-Ь 0 (кх- кривизна в

а

I

* <

* *

1! &

середине пролета, S - коэффициент расчетной схемы, Ь20 - пролет) будут содержать тем большую погрешность, чем относительно выше нагрузка. Так, при нагрузке 70% от разрушающей погрешность формулы [10] составила +1,3% и

при нагрузке в 96% от разрушающей нагрузки +17% по сравнению с расчетами по методу сосредоточенных деформаций, учитывающих переменность жесткости сечения по длине.

Рисунок 3 - Изменение кривизны продольной оси при загружении: 1 - расчет по СниП, 2 - расчет по методу сосредоточенных деформаций, 3 - опыт.

и -1 г 3 л 5 ? В 9 Ю - I

\ггг. -1 1 -1,2 ^ 1

Т

аналитическии метод сосредоточенных

деформаций

Рисунок 4 - Эпюры изгибаемых моментов

3. Необходимо проверить расчетом несущую способность внецентренно сжатого железобетонного элемента круглой поперечной формы (рис. 5) при следующих данных: радиус сечения по бетону R = 0,2 м; а = 0,035 м; бетон

имеет призменную прочность, Rе = 24,5 МПа; прочность при центральном растяжении = 1,4 МПа; начальный модуль упругости Ее = 30 000 МПа; арматура класса Ат-У1 в количестве 10014 мм с о8и= 1050 МПа, Е8 = 190000 МПа.

Внешние силы заданы и равны N2 = 500 кН, Мх = 175 кНм.

Разбивка круглого сечения, с учетом ассиметричного расположения арматуры при значительном количестве стержней, принималась по полосовой схеме. Площадь элементарного участка бетона вычислялась по формуле трапе-

ций (без учета криволинейности боковых сторон):

Авй = 2-Аувй-

где: Аув„- высота элементарной площадки Авп;

увп- расстояние от оси х до середины элементарного участка.

Рисунок 5 - Сечение круглой формы с высокопрочной арматурой: а) схема разбивки, б) напряжения в бетоне, г) напряжения в арматуре, продольные деформации по сечению

Следует отметить, что полярная система координат для круглых (и кольцевых) сечений оказалась менее удобной, чем прямоугольная. Проверка несущей способности сечения осуществлялась по программе «МББ» на вычислительной технике.

Сходимость итерационного процесса с точностью ш = 0,001 достигнута после 10-ти итераций.

Судя по эпюрам ов и оЛ можно полагать, что несущая способность в нормальном сечении при заданных внешних силах N2 и Мх далеко не исчерпана. Отыскание величин, N и Мх, при ко-

торых достигается разрушение по нормальному сечению.

Выводы. В данной работе развиваются нелинейные расчеты дискретной модели стержневых систем многоэтажных зданий. При расчете железобетонных конструкций по деформированной схеме необходимо учитывать положение не только геометрической изогнутой оси, но также и физической оси. Отсюда следует что, метод сосредоточенных деформаций позволяет раскрывать поставленные задачи с учетом нелинейные работы конструкций.

Список литературы

1. Грановский А.В. Учет физической нелинейности материалов конструкций и связей при расчете зданий // Теоретические исследования строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977. - С. 23-27.

2. Додонов М.И., Мухамедиев Т.А., Кунижев В.Х., Адыракаева Г.Д. Расчет

прочности и перемещений стержневых железобетонных элементов по деформированной схеме // Строительная механика и расчет сооружений. - 1987. - № 3.

2. Зулпуев А.М., Бактыгулов К. Расчет на прочность сборных железобетонных плит перекрытий, опертых по контуру // Территория науки. 2016. № 1. С. 63-68.

3. Зулпуев А.М., Насиров М.Т., Абдыкеева Ш.С. Влияние нормальных усилий на работу статически неопределимых систем // Территория науки. 2015. № 3. С. 45-56.

4. Клюев С.В., Клюев А.В. Оптимальное проектирование стержневой пространственной конструкции // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2007. №1 (7). С. 17 - 22.

5. Клюев С.В., Клюев А.В. Оптимальное проектирование строительных конструкций на основе эволюционных и генетических алгоритмов: монография. Germany. 2011. 128 с.

6. Клюев С.В., Клюев А.В. Управление проектными параметрами в задачах оптимального проектирования // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 1. С. 15 - 19.

7. Карпенко Н.И., Мухамедиев Т.А., Петров А.Н. Исходные и трансформированные диаграммы деформирования бетона и арматуры // В кн.: Напряженно-деформированное состояние бетонных и железобетонных конструкций НИИЖБ. - М., 1986. - С. 7-25.

8. Ржаницын А.Р. Расчет сплошных конструкций методом упругих сосредоточенных деформаций // Строительная механика и расчет сооружений. - 1980. - № 5. - С. 15-20.

9. Смирнов С.Б., Зулпуев А.М., Ордобаев Б.С., Абдыкеева Ш.С. Волновое импульсное воздействие на здания и сооружения // Территория науки. 2015. № 3. С. 56 -63.

10. Смирнов С.Б., Зулпуев А.М., Ордобаев Б.С., Абдыкеева Ш.С. Анализ колебательной модели сейсмического разрушения зданий // Территория науки. 2015. № 3. С. 63-71.

11. Асамидинов Ф.М. Исследование способов определения реакции связей в статически определимых балках // Территория науки. 2015. № 1. С. 97-102.

12. Зулпуев А.М., Насиров М.Т. Расчет перемещений плиты, подвергнутой изгибу и кручению, и построение аппроксимирующей зависимости «М-K И «H- ф» // Территория науки. 2015. № 1. С. 102-109.

13. Зулпуев А.М., Бактыгулов К. Расчет на прочность сборных железобетонных плит перекрытий, опертых по контуру // Территория науки. 2016. № 1. С. 63-68.

14. Клюев С.В., Клюев А.В. Оптимальное проектирование стержневых систем при силовых и температурных воздействиях с учетом безопасной устойчивости // Фундаментальные исследования. 2009. № 1. С. 30 - 31.

15. Клюев С.В., Клюев А.В. Оптимальное проектирование стержневых конструкций // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2009. №3 С. 31 - 36.

16. СНиП 2.03.01-84*. Железобетонные конструкции. Нормы проектирования. - М., 1999. - 79 с.

Информация об авторах:

Зулпуев Абдивап Момунович,

доктор технических наук, профессор ректор, Баткенский государственный университет, г. Баткен, Кыргызстан

Ганыев Акылбек Маматубраимович,

соискатель, Баткенский государственный университет, г. Баткен, Кыргызстан

Information about the authors:

Zulpuyev Abdivap Momunovich,

Doctor of Technical Sciences, Professor Rector, Batken State University, Batken, Kyrgyzstan

Ganyev Akylbek Mamatubraimovich,

applicant, Batken State University, Batken, Kyrgyzstan