Каким должен быть радиус шара?

Обозначения на рисунке:

Определим сначала максимальное и минимальное значение радиуса

и

.

Очевидно

равен радиусу вписанного в конус шара. Из рисунка:

Шар с максимальным радиусом будет касаться образующей конуса, притом образующая будет оставаться еще касательной к шару. Из рисунка:

Запишем очевидное из рисунка равенство:

,

где

, а

- высота сектора шара погруженного в конус.

Из этого равенства нас будет интересовать очевидно

.

Используем формулу объема сектора шара:

,

где

- высота сектора шара, а

- его радиус.

Таким образом мы можем записать объем погруженного в конус сектора шара

как функцию его радиуса

, используя предварительно найденную нами высоту сектора

. Итак:

Обозначив для краткости

, получим

Продиффернцировав по

и проведя все преобразования, получим:

Тогда

, когда

или

Из первого равенства получим:

.

и не подходит нам.

Из второго:

, поскольку

Также

, поскольку

Таким образом

искомое значение.