Математическое моделирование процесса деформирования плиты, взаимодействующей с нелинейно-деформируемой неоднородной средой основания

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3: 539.4

Н.Ф. Синева, Ф.С. Селиванов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛИТЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОЙ НЕОДНОРОДНОЙ

СРЕДОЙ ОСНОВАНИЯ

Представлена математическая модель процесса деформирования системы «плита - многослойная физически нелинейная среда основания» при деградации свойств основания вследствие внешних воздействий, приводящих к развитию неоднородности физико-механических свойств среды основания в процессе деформирования.

Многослойное нелинейно-деформируемое основание, деформирование плит на основаниях, наведенная неоднородность физико-механических свойств

N.F. Sineva, Ph.S. Selivanov

MATHEMATICAL MODELING OF A DEFORMATION PLATE INTERACTING

WITH NONLINEAR DEFORMABLE NON-HOMOGENEOUS ENVIRONMENT BASE

The article presents a mathematical model for the deformation process in the system «plate - multilayer physically nonlinear medium base» under degradation of the base properties caused by external influences lead to heterogenity of the physical and mechanical properties of the medium base in the process of deformation.

Multilayer nonlinear-deformable ground, the deformation of plates on the bases, induced heterogenity of physical and mechanical properties

Актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела является разработка математических моделей, более полно учитывающих свойства деформируемых тел. Объектом моделирования в данной работе является взаимодействие нагруженной конструкции с деформируемым основанием. Реальные деформационные свойства оснований описываются сложными нелинейными законами. Приблизить расчетную схему к реально происходящему деформированию - одна из задач этого раздела механики. В данной работе строится модель, учитывающая многослойность реальных оснований под конструкциями, нелинейный характер деформирования, возможность изменения деформационных свойств среды основания в процессе деформирования. Причиной этих изменений могут служить внешние воздействия природного и техногенного характера: увлажнение, воздействие химически активных реагентов в результате техногенных аварий, естественное подтопление оснований и др.

Рассмотрим основание сжимаемой толщиной H , лежащее на водонепроницаемой и несжимаемой твердой поверхности, состоящее из n слоев с разными деформационными свойствами. На слоистое основание опирается изгибаемая плита, в одном направлении (ось х) имеющая длину L, а в другом направлении (ось у) - длинную. Ось z направлена вниз. Плита нагружена нормальной распределенной нагрузкой переменной интенсивности p(x) Напряженно-деформированное состояние такой системы будем с достаточной степенью точности считать плоским.

Для моделирования упругих слоистых оснований В.З.Власовым и Н.Н. Леонтьевым был предложен метод, состоящий в разложении перемещений точек основания по системам функций, аппроксимирующих перемещения по одной из координат (z), по второй координате функции перемещений остаются неизвестными и находятся из условий равновесия.

Этот метод можно распространить на неупругие основания, если задачу линеаризовать, построив модель в приращениях. Такой тактике будем следовать при записи соотношений модели. Представим приращение перемещения точки среды основания А(х, г) в виде следующих конечных разложений:

Ли(х,7 ) = £ ли; (х )-ф; (7) (і = 1..т);

і=1

Лw(x,z ) = £ Л’^£ (х )-у к (г) (к = 1..п),

следующих из разложений перемещений метода Власова-Леонтьева при его записи в приращениях. Сами перемещения точки А(х, £) определяются как накопленная сумма всех приращений в процессе, то есть в виде

1и(х,2) = X Аи(х,2);

^(х^) = X А’№(х,2 )•

Функции А и; (х ) и А Wk (х) являются неизвестными, а фу (2) и у к (2) - линейно независимыми, безразмерными функциями, подлежащими выбору в соответствии с кинематическими условиями задачи.

Условия равновесия в приращениях для рассматриваемого вида напряженно-деформированного состояния среды представляются в виде (т + П) уравнений:

Эх

ЭЛа

0

н

Ун (г№ _ | Лазз  уН (г)іг +1 лд  у (гК = 0

. 0 0 0

Штрихом обозначена производная по 2.

Для построения уравнений состояния материала основания будем следовать теории наведенной неоднородности [1, 2], которая позволяет моделировать уравнениями состояния среды, материал которых обладает физической нелинейностью, в том числе пластическими свойствами. В числе системы гипотез теории наведенной неоднородности содержатся гипотезы деформационной теории пластичности в приращениях для каждого шага процесса деформирования. В выкладках при получении уравнений для материала будем использовать соотношения деформационной теории пластичности.

Уравнений состояния, согласно теории наведенной неоднородности, записываются в приращениях:

Аоу = Ещк Аек1 + Гцк1ек1> 0, .) = 1,2,3)

Здесь Аоij - приращения тензора напряжений, Ае^ - приращения тензора деформаций, ЕуИ Г^к1 - матрица «жесткостей» материала с наведенной неоднородностью, зависящих от уровня деформированного состояния и переменных параметров диаграммы деформирования с учетом деградации. Для случая плоской задачи уравнений состояния определяются (запись в матричной форме):

Ла11

> С\ =

СО Ь Л

Би Е

Е01 Е,

12

Е

Е

13

ЕЕЕ

Е31 Е32 Е33

Ле11 Г11 Г12 Г13

Ле33 + Г21 2 Г23

со Ле Г31 г А 32 г33

е11

со со си

е13

где компоненты матриц {Еі.} , и Ын, имеют следующие выражения:

Е,

9 1 + у,

- + Р-

2 1

3 е11 3 633

+

Е

Е

12

2

“ е11 _“ е33

1

3

1

3

-------е11 + “ е33

2

3

в +

9-(1 _ 2-у)’ Е

Е

9 (! _ 2 у) 9 (! + V с)’

к=1

н

н

0

н

2

13

3 " £11 3 " £33 1" е13 "в;

Е =-----------

Е 31

1 Ес _ ( 3

с +р

9 1 + у,

“• е11 — “• е33

3

“• е11 + —• е33

Е = —

Е33

8 Ес

/

+

1

3

у V

3

— • е,, +— е33 9 1 + ус V 3 11 3 33.

в +

+

Е

9

9 (1 -3 V)’

Е

33

1

3

Л

--------еп +— е33

3 11 3 33

с

Е =

Е33

1

— • е11 +— е33 V 3 11 3 33

е13 • Р; -31

е13 • Р ; Е33

31 — еп----------------------е33

3 11 3 33

• е13 • Р ;

3

Е

V1+ V с

Г

11

3

X

3 • V — 1 Ес 1 — с

3 •(! + V с) Е

-* — -*

ЕК Ес •3 •

Ек — Ес

'0

1 + V

с V

1 — 3 (1 + Vс ) (3 V — 1)х

( — * — — *

(1 + V с )• (3 •V — !)• -К-------------с + 3 + 3 •V

—А

Г.3 =— 3

. 3 V— 1 -с

1 — с

3(1 + Vс) -

Е

-* — -* Л 1

уу

0

1 + У

с

1 — 3 •(! + V с М3 •V — 1)х

3

— * — —*

х с • 3 •

Е

^ ( —* — —*

(1 + Vс)• (3•у — 1)^ -К -с + 3 + 3•у

—1 л

0

Е

уУ

Г31 = -

. 3 V — 1 -с

1 — с

V

3•(! + Vс) -

Е* - Е* ЕК - Ес

х

Е* - Е*

— К —с • 3 •

Е

0

0 у

С

1 + V

с

1

1 — 3 •(! + V с М3 •V — 1)х

( Е* - Е*

(1 + Vс)• (3•V — 1)^ -К -с + 3 + 3•V

1

Е

уу

Г = 3,

33 3

3 V— 1 Е,

3 •(! + V с) Е

-К — -с

0

1 + V

с

1

1 — 3 (1 + Vс ) (3 V — 1)х

х

Е* - Е*

— К —с • 3 •

Е

( Е* Е*

(1 + V с )• (3 •V — !)• -К -с + 3 + 3 •V

1

0

Е

у

. 3 V —1 -с

1— с

V

3-(1+Vс) Е

Е* Е* ( 1

0у

1 + V

с

1 — 3 •(! + V с М3 •V — 1)х

х

Е* Е*

— К —с • 3 •

Е

0

( Е* Е*

(1 + Vс)• (3•V — 1)^ -К -с + 3 + 3•V

1

V

Е

у

Г = Г = Г = Г = 0

13 33 31 33 0.

{—.. } характеризуют изменение свойств материала слоистой среды с наведенной неоднород-У *%.=1,3

ностью, а {г. . 13 - свойства материала слоистой среды с наведенной неоднородностью на данном шаге

инкрементальной теории.

Ек, Ес - переменные касательный и секущий модули деформаций в возмущенном состоянии,

Vс = 0,5 — —с/—0 • (0,5 — V). V0 ^/(1 — v),Eo = Е/(1 — V3).

Выражения приращения деформаций через приращения перемещений имеют следующий вид:

. ЭАи Э (“ Атт / ч /Л “ ЭАи.

Ае11 = ^—= 3-I XАи.(х)-ф.(г)1 = ---ф.;

Эх Эх V .=1 У .=1 Эх

Ае33 = ^ = А('XXАWk (х)ук (2}') = XАWk -ук;

Эг Эг V к=1 у к=1

Ат.3 = |"VXАи.(х.(г)') + А(£АWk(х)-ук(2)') = XАи. •ф; + X“Аг^

Эг V .=1 У Эх V к=1 У .=1 к=1 Эх

•у к.

С учетом зависимостей для приращений напряжений (3) выраженные через приращения деформаций условия равновесия (3) можно представить в виде

X

.=1

Аи;+X

к=1

•АW^' +

+ X

.=1

н Э— Н н Э— Н

IV1 ф. ф + I—13ф; ф — I ф. ф;ё2 — I—31ф; ф;ё2

+ X

к=1

Эх . •’ 13Т.Т. -1 Эу

0 эх 0 0 Э2 0

н Э— н Н Э— Н

IV1 У кф + I“^У кф — I —33 у к ф^г — I “^Ук ф^г

0 Эх 0 0 Эг 0

т гн э— н э— н

+ X Iф;ф.ёг — I—33ф;ф^г — IЕ33ф'ф^ -Аи. +

.=1 0 Эх 0 Эг 0

•Аи; +

•Аwk; +

+ X

к=1

н

н э— н э— н

I --^ У к ф.ёг — I —^ у'к ф^г — I ^Укф^г

0 Эх 0 Эг 0

•АWk =

=— I ар ф .(г )ёг—X

т

—X

.=1

I Гпф. ф .ёг

иг—X

к=1

IГ13У к ф .ёг

• w;

н ЭГ н н ЭГ н

I ^Г^ ф. ф .ёг + I Г13ф; ф .ёг — I -Г1 ф. ф;ёг — I Г31ф; ф;ёг

— X

к=1

Эх . •> 13Т.Т. ; эу

0 Эх 0 0 Эг 0

н -Г н н ЭГ н

^“эх3 у к ф .ёг+1Г13 у к ф .ёг—1^ у к ф;ёг—I г33 Ук ф;ёг

• и —

—X

к =1

0 0 Эг 0

т Гн -Г н -Г н "

X I-Г13ф;ф.ёг — Iф. — /Г^ф. •и.

.=1 0 Эх 0 “г 0 _

н ЭГ н ЭГ н

1 Ук ф .ёг — 1 “Г3 Ук ф^г — 1Г33 У к ф^г

0 Эх 0 Эг 0

• wk —

• Wk;

и

X

.=1

I—31ф. У ьёг

П

Аи;:+X

к=1

I —33у к У Ьёг

+

+X

.=1

н э— н н э— н

I “Г31 ф. У ьёг +1 Е33ф; У ьёг — I -Г31 ф. У ^г — I Е31ф; У^г

0 Эх 0 0 Эг 0

т

0

0

т

П

П

0

0

П

0

0

0

т

+ X

к=1

н э— н н э— н

У к У к^ + IЕ33 Ук У к^ — У к У '^2 — I-33У к Укаг

0 Эх 0 0 Эг 0

Аwk; +

+X

.=1

П

+ X

к=1

н

Н Э— н Э— н

Iф'Укёг — Iф'Укёг — IЕ33ф'укёг -Аи. +

0 Эх 0 Эг 0 _

н ЭЕ н ЭЕ н

1 -т33 У к У кёг — I -т33 У к У кёг — I “33У к У кёг

0 Эх 0 Эг 0

•АWk =

=— I М-у ьёг—X

—X

.=1

.=1

н

I Г31ф. У ^г

П

иг—X

к=1

I Г33у к У Ьёг

• w;—

нэг н н-г н

I “Г1 ф. У кёг + I Г33ф' У кёг — I ^Г31 ф. Укёг — I Г31ф' Укёг

0 Эх 0 0 Эг 0

• и —

— X

к=1

н ЭГ н н ЭГ н

I У к У ^г + IГ33 У к У ^г — I—^ У к У каг — IГ^у к у'^г

0 Эх 0 0 Эг 0

—X

.=1

П

—X

к=1

• и. —

• Wk,

"н ЭГ н -г н -

I -Г3 ф' У кёг — I -“-33 ф' У кёг — IГ33 ф 'У к ёг

_0 Эх 0 Эг 0 _

"н эг н -г н

I 3 Ук У кёг — I --3 Ук У кёг — IГ33 У к Укёг

_0 Эх 0 Эг 0 _

где . = 1,...,т, к = 1,...,п.

Полученные разрешающие уравнения для деформаций слоистой среды учитывают как вертикальную, так и горизонтальную составляющие вектора перемещений точек среды основания. Нет необходимости обозначать в соотношениях номер слоя, так как материальные параметры меняются в каждой точке среды. Для каждого слоя к выбираются базисные функции в методе Власова-Леонтьева ¥к, фк. Отметим, что выбор функций для аппроксимаций горизонтальных перемещений представляет собой сложную задачу, так как в каждой задаче кинематические условия на горизонтальную составляющую подлежат исследованию.

Так как нагрузки на основание в большинстве своем передаются через конструктивный элемент, эти нагрузки чаще всего являются вертикальными, тогда горизонтальной составляющей вектора перемещений при расчете конструктивного элемента, лежащего на неоднородном нелинейно-деформируемом основании, часто можно пренебречь, что мы и сделаем здесь для упрощения соотношений. Для базисных функций вертикальной составляющей вектора перемещений обычно используются соотношения:

Ук (г ) =

к —1

г—X к

—+1 Xк) ^г ^ Xк);

к }=1 }=1

к

—X к1

1=1

к

-+1, X к1 ^г ^ X к1.

1=1 1=1

Уравнение изгиба упругой плиты в приращениях имеет вид

IV

Е1 • АW = Ар

где АW(x) - приращение прогиба конструктивного элемента; Ар(х) - приращение внешней заданной нагрузки; Аq(x) - приращение реакции основания, Е1 = Е • к3 • Ь/(13 • (1 — V3)) - изгибная жесткость плиты, к, Ь - размеры плиты.

П

0

0

0

П

Рассматривая совместную работу конструктивного элемента (7) и основания, описываемого уравнениями (6), можно исключить функцию Ад(х) . Получаем систему дифференциальных уравнений, выражающую зависимость между нагрузкой на конструктивный элемент и его прогибом (совпадающим с прогибом первого слоя основания), в приращениях для п слоев:

Е1 • А'^ - X

к=1

- X

к =1

н дЕ н н эе н

I ^ У к У^г +1Е32 У к У^г - I ^ У к У^г -IЕ 23У к У1^2

о Эх о о Эг о

•АWk

X

к=1

Н ЭЕ н эе н

I Ук У1^2 -1 ~^22 Ук У^г -IЕ 22 УкУ^г

о Эх о —г о

"Н

| Г33У к У^г

•АWk =

Ар + X

к=1

+

+ X

к=1

Н —Г Н Н —г Н

I ^ У к У^г +1Г32У к У^г - У к у^г; - { Г23Ук у^г;

о Эх о о —г о

и

+ X

к =1

н —Г Н —Г Н

1 -Г2 У к У^г -1 -Г2 У к У^г -1Г22 УкУ^г о Эх о Эг о

• Wk,

X

IЕ33У к У Ь^г

+

+X

к=1

к=1

Н —Е Н Н —Е Н

I У к У 1^г +1 Е32Ук У ь^г -1 —23 У к У к^г -1Е23У к У^г

о Эх о о Эг о

А1^

+ X

к=1

н —е н —е н

1 У к У ь^г -1 —22 у к У ,hdг -1Е22 у кУЬ^г

о —х о —г о

"и

I Г33у к У ь^г

= -X

к=1

X

к=1

н—Г и и—Г и

У к У !^г + I Г32Ук У !^г - I ^ У к У ^г - I Г23Ук У^г о Эх о о —г о

• wk

X

к=1

^к,

’и —Г и —Г и "

I “г32 Ук У Ь^г - I Ук Уь^г - IГ22 УкУь^г

_ о Эх о Эг о _

где Ь = 2,..., п. {Еу} =13 и определяются выражениями (4).

Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления краев конструктивного элемента в приращениях.

1. Жесткое закрепление. В жестком закреплении отсутствует прогиб и невозможен поворот поперечного сечения на краях относительно оси Ох.

ЛЛЛ, п ЭАW .

Ате = о;-------------= о на крае.

Эх

2. Шарнирное закрепление. В шарнирном закреплении отсутствуют прогиб и изгибающий момент относительно оси Ох.

ЛЛЛ, п Э2А^

АW = о;------------= о на крае.

Эх2

п

о

п

п

о

п

п

о

3. Свободный край. В этом случае при формулировании граничных условий должна быть

учтена совместная работа конструктивного элемента и основания.

н

0 Т1 I -ь ч р(х) [ТҐттТ

IV,I г 4 ИУ і 'IVп I 1

Рис. 1

Должно выполняться равенство нулю изгибающего момента, что в приращениях записывается

д2 ЛW

....................

Эх

= 0 на свободном крае.

Два других условия, учитывающие неразрывность функции ДW(x):

Д^т = ДЖ, на свободном крае;

Д основания 1 балки г

ДОтт = ДОт ^ на свободном крае,

^<-11 основания ^<-1 балки 1

где ДО основания, ДОі балки - приращения обобщенных поперечных сил, определяемые формулами:

н

ДWГбaлки - | Езз¥^ •ДW;балки

ДОі

балки

= -Е1

ДО

11 основания

н —Е н —Е н

| ¥l¥ldz -1 (у1 )2ёг -1Е22 (у1 )2 ёг

о —х о —г о

• ДW/

11 основания

где ДW

11 основания

является решением следующей системы дифференциальных уравнений, описываю-

щих деформацию основания в зоне (11):

п

I

к=1

н

I Езз¥ к V кёг

дw;+

н

+1

к=1

і_

+1

к=1

н —е н н —е

1^ VкVкёг + IЕ32¥кVкёг - Vк¥кёг - IЕ23Vк¥кёг

о —х о о —г 0

н —Е н —Е н

I^кVкёг - I-—22V;,Vкёг -1Е22VкVкёг • Д^

о —х о —г о

н

I ГззУ-к V кёг

• Д

-1

к=1

• wk; -

• Wk/

п Гн дг Н н дг Н

-1 |-г-31 VкVИ2 +1Г32у'кVИ2 -1-г1 Vк-1Г23у'кVkdz

к=1 |_ 0 -х 0 0 дг 0

п Гн дг н дг н "

- Е | "г31 УкV к^ - | "г21 УкУк^2 - | г22 VкУк^2 • ^

к=1 |_ 0 дх 0 дг 0 _

где к = 1,...,п.

Построенная математическая модель позволяет решать задачи не только с различными видами неоднородности в исходной структуре материала основания, но и с различными видами неоднородности, возникающей в результате внешних воздействий и приводящей к изменению деформационных свойств основания в процессе деформирования при развитии воздействий природного и техногенного характера.

В качестве примера использования предложенной математической модели рассмотрим расчет шарнирно закрепленной упругой плиты, взаимодействующей со слоистой средой из двух слоев, каждый из которых деформируется нелинейно, произведенный на основе разработанного численного алгоритма и программы, реализующей его.

Ширина плиты Ь = 6 м, толщина к = 0,5 м. Модуль упругости материала плиты Е = 27000 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,35. Толщина 1-го слоя основания к = 2 м, 2-го слоя - к2 = 3 м. Начальный модуль деформации 1-го слоя основания Е1 = 9845 кПа, 2-го слоя - Е2 = 35481 кПа, коэффициент

о

о

о

Пуассона оснований V = 0,35. На плиту приложена нагрузка переменной интенсивностью (по треугольнику) р = 300 кПа (с шагом 10 кН/м), которая увеличивается от 0 (х = 0 м) до 100 кН/м (х = 6 м). Диаграмма деформирования слоев (к=1,2) - кубическая парабола с разными параметрами,

(71 = Ек • е - 4 • Ек3 • е3 /(27 • (к) при этом о81 = 40 кПа, а о82 = 60 кПа. Из соотношений модели видим, что конкретный вид диаграммы не участвует в формировании разрешающих уравнений. Поэтому вид диаграммы можно выбрать любым без добавления трудностей.

Результаты по данному примеру представлены на рис. 2, 3. На рис. 2 представлены перемещения центральной точки слоев 1 и 2 под плитой.

а б

Рис. 2. Результаты расчета для шарнирно закрепленной плиты: а - перемещение центральной точки 1-го слоя и 2-го слоя соответственно; б - перемещение 1-го и 2-го слоя соответственно

Рассмотрим расчет жестко закрепленной плиты, взаимодействующей со слоистой средой с теми же исходными данными.

а б

Рис. 3. Результаты расчета жестко защемленной плиты: а - перемещение центральной точки 1-го слоя и 2-го слоя соответственно; б - перемещение 1-го и 2-го слоя соответственно

Математическая модель может быть использована для прогнозирования деформаций сооружений на основаниях, физико-механические свойства которых могут изменяться в процессе эксплуатации под влиянием нагрузок и различных факторов природного и техногенного характера. Математическая модель позволяет учитывать историю деформирования в связанном процессе нагружения и деградации при внешних воздействиях.

Рассмотрены частные случаи задач по определению перемещений линии контакта конструктивного элемента и слоистой среды основания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 1996. 312 с.

2. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к расчету конструкций на неоднородном основании / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 2002. 260 с.

Синева Нина Федоровна -

доктор технических наук, профессор кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Селиванов Филипп Сергеевич -

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве»

Саратовского государственного

технического университета имени Гагарина Ю.А.

Nina F. Sineva -

Dr. Sc., Professor

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Philipp S. Selivanov -

Ph. D., Associate Professor

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 04.10.11, принята к опубликованию 01.12.11