Динамическая потеря устойчивости балки при действии периодической поперечной нагрузки

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 624.072:539.3

В.А. Крысько, В.В. Бочкарев

ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ БАЛКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

Приведены результаты численного исследования гибкой физически нелинейной балки Эйлера - Бернулли, находящейся под воздействием периодической поперечной нагрузки. Рассмотрены условия глухой заделки, неподвижно-шарнирного опирания по концам, а также случай, когда один конец балки защемлен, другой - шарнирно оперт. Для решения задачи используется метод сеток по пространственной и временной координатам. Показано, что для всех рассмотренных граничных условий, начиная с некоторого значения поперечной нагрузки, наблюдается потеря устойчивости системы и, как следствие этого, - хаотические колебания. При этом прогиб является несимметричным относительно центра балки при симметричных граничных условиях. Исследования выполнены на основе качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.

V.A. Krycko, V.V. Bochkarev DYNAMIC COLLAPSE OF THE BEAM STABILITY UNDER THE INFLUENCE

OF PERIODIC SHEARING LOAD

This article presents numerical results of research flexible physically nonlinear Euler - Bernoulli beam under the influence of periodic shearing load. The paper describes different boundary conditions, for example, fixing or pinning of the beam ends and mixed conditions. The finite difference method used for solution of this problem on spatial and time coordinates. It demonstrates that for all regarded boundary conditions starting from certain value of shearing load the system stability collapsed and as a result, chaotic vibrations. The deflection upon beams is non-symmetric in the centre of the beam on symmetric boundary conditions. The studies are based on qualitative theory of differential equations and non-linear dynamics.

Введение

Изучению сложных колебаний балок с различными краевыми условиями посвящен ряд работ [1-6]. Во всех этих работах экспериментально или теоретически исследовались поперечные или продольные колебания упругих балок, подверженных периодическому поперечному или продольному воздействию. Нелинейность балки в работах [1-4, 6] обеспечивалась продольным сжатием и переводом ее после статической потери

устойчивости в закритическое состояние. В работе [5] исследовались геометрически нелинейные поперечные колебания защемленной балки. Основное внимание в названных работах было уделено вопросу возникновения хаотических колебаний. Настоящая работа является развитием [7] и посвящена изучению поперечных колебаний гибких нелинейноупругих балок с точки зрения формы прогиба и условий возникновения хаоса, а также описывает новое явление для балок с учетом физической нелинейности - динамическую потерю устойчивости при поперечной знакопеременной нагрузке.

Постановка задачи

Рассматривается прямоугольная балка постоянной толщины, на которую действует периодическая поперечная нагрузка. Считается справедливой кинематическая гипотеза Эйлера - Бернулли. Материал балки предполагается нелинейно-упругим, диаграмма деформирования которого может быть произвольной. Используем следующие обозначения:

Балка

занимает

Б= |(х, у, г) 0 < х < а, 0 < у

пространстве

Я5

область

в трехмерном < у < Ь, - 2 < г < 21; і<<х>; И - толщина балки; И0 - толщина балки в

центре; м(х,і) - прогиб балки; и(х,і) - перемещения в срединной поверхности; Е - модуль упругости материала; Ь - ширина балки; і - время; е - коэффициент демпфирования; а -длина балки; с - удельная плотность материала; О0 - модуль сдвига; еі и оі -интенсивность деформаций и напряжений соответственно; е5 и о^ - интенсивность деформаций и напряжений текучести соответственно; К - объемный модуль упругости. Здесь Е не константа, а функция, нелинейным образом связанная с напряженным состоянием балки, т.е. Е=Е(х,г,еі,і).

Координата х отсчитывается от левого конца вдоль оси балки, а 2 - от срединной линии вниз.

Введем безразмерные параметры:

х = ха, г = гИп, И = ИИ, м = її~Ип, Е = ЕО, Ь = ЬЬ

-И - И2

р = -И0, и = и — .

а

8=8-

И2

0

О А

С учетом гипотезы Эйлера - Бернулли, нелинейной зависимости между деформациями и перемещениями и теории малых упругопластических деформаций уравнения движения балки в безразмерных параметрах записываются в виде (черточка над безразмерными параметрами для простоты отбрасывается):

ЬИ д2 и д

д ґ дх

Е01 и' + — (м')2 I- Е—м”

д2 м д м д2

ЬИ------------+ 8------------= д +----------------

'2 д і д х2

д і2

Еі [ и' + — (м')2 ) - Е2 м"

д { -+ —

дх

Е0 (и'+\(м>')2)- ЕГ

где

к/2

Е = Ь | Е х1 оХ,

- к /2

Граничные условия закрепления балки могут быть произвольными, но в данном случае рассмотрены три варианта:

шарнирно-неподвижное опирание на концах

2

Р

Р

+

«ММ = „(0,,) =^М. = „(1,0 = 0, и(0) = и(1) = 0;

д х2

д х2

на левом конце шарнирно-неподвижное опирание, на правом - жесткая заделка «ММ = „(0,t) = 0; = „(1,1) = 0, и(0) = и(1) = 0;

жесткая заделка на концах

ММ = „(0,,) = д^д(11£>

д х д х

Начальные условия имеют вид: д „

= „(1,1) = 0; и(0) = и(1) = 0.

= Е (х), „ (х,0) = / (х), и( х,0) = 0.

где Е и /- функции распределения скоростей и прогибов балки в начальный момент времени.

Для учета физической нелинейности материала балок применялись деформационная теория пластичности и метод переменных параметров упругости [8]. Согласно этому методу, модуль упругости и коэффициент Пуассона связаны с модулями сдвига и деформации следующими соотношениями

Е =

9 ко

3К + о

V =

1 3К - 20

2 3К + О

Здесь модуль К считается постоянным и равным 1,94 00. В деформационной теории модуль сдвига определяется по формуле

О = 1 ^.

3 е,

Рассмотренный алгоритм позволяет использовать диаграмму деформирования материала балки произвольного вида [9]. Однако для определенности учитывался идеально упругопластический материал

= 300е, при е < е,,

= О при е ^ е,.

Для балки интенсивность деформаций вычисляется по формуле

ди 1 .д2 д2„

---+— (-) — х—~

д х 2 д х д х

Закон изменения нагрузки во времени и вдоль оси балки может быть произвольным.

Для интегрирования уравнений (1), (2) применялся метод сеток. Для этого область Б= {(х, {,t)| 0 < х < 1, —1/2< х < 1/2, 0 < t < Т} покрывалась прямоугольной сеткой

ti = , хк = —1/2 + ккг (, = 0,1,2..и; у = 0,1,2,..; к = 0,1,2..пг),

х{ = х,+1 — х{ = кх = 1/ пх (пх целое) и к = tj+1 — tj, к2 = 1.0/ п2. На

где

сетке х,,^

дифференциальное уравнение (1) приближенно заменяется соответствующими конечноразностными соотношениями с погрешностью о(к2). С целью повышения точности использовались симметричные формулы для производных. После несложных преобразований получаем

/ \

1

,, У+1

2„,,у +

2к

—1

К +—— — 1 Ьк

е

хх

- К2

и']+1 ъи

дЕ° (и' + — (^')2'1 + Е°(и" + -дЕ^ ^"- Е^"

дх I 2К I дх 1

+ 2иу. - и1]_1

Ч

д х2

Е,\ и' +1(м,)2 |-E2w"

_д_

д х

w,E° \ и’ + 2^')2 |- E1w"

I]

Применяя метод сеток, запишем граничные условия на временном слое с номером

]

шарнирное опирание -

^—,]- 2^,] + - °, ^,,- °; ^-и- 2^,, + ^+и- ° w»,]- °; и°,- ип,- °;

смешанные условия закрепления -

^—,]- - ° w°,]- °, wn-l,]- 2wn,] + wn+l,]- ° wn,] - °; и°,- ип,- °;

жесткая заделка -

^,]-wl,]- °,w°,]- °;w-n-l,]-wn+l,]- °,wn,]- °; и°,-ип,-°.

Начальные условия:

^,,+1 - ^,, - р К i

wi - £, и - и , где I - 1,2,...п.

В этом случае уравнения движения описываются трехслойной схемой. В начале вычислений w(x,t) и и(х^) на слое (]+1) используются значения w(x,t) и и(х^) соответственно в двух предыдущих слоях: ]-м и (]-1). Для начала вычислений определялись значения w(x,t) и u(x,t) на фиктивном слое с номером]= -1 ] - -1.

Чтобы применить метод переменных параметров упругости, балка разбивалась по толщине на п слоев. Далее, на каждом шаге по времени для узла х, послойно находится интенсивность деформаций (11), по формулам (8), (9) и (1°) определяется модуль упругости и вычисляются интегралы (3). Последние находятся по методу Симпсона.

Поперечная нагрузка задается выражением

д - д соб

Описанный алгоритм решения уравнения колебаний балки исследовался с точки зрения сходимости по пространственной и временной сетке.

Для этого методом установления [1°] находился прогиб в центральной точке шарнирно опертой балки при внезапно приложенной равномерно распределенной по ее длине нагрузке (нагрузка не зависит от времени и 8=8^ - критическое значение, при котором резко происходит затухание колебаний). Из анализа результатов следует, что прогиб не зависит от величины шага по временной переменной, по крайней мере для 2-1°-5<^<1°-3. Изменение же числа разбиений по пространственной координате от пх=28 до пх=1° приводит к погрешности лишь в 1%.

Описанным методом при п=2-1°-5 и пх=28 в центре балки получен прогиб, равный °,°2346 против °,°2343, полученного аналитическим методом в задаче статики [11]. Исследовалось влияние рассмотренных параметров на решение задачи динамики. Рассматривалась балка, защемленная по концам, на которую действовала поперечная нагрузка (17). При этом полагалось ш=1,°. Анализ результатов расчета показал, что изменение числа разбиений балки по длине от пх=2° до пх=3° при п=12 (1,°<д<5,°) приводит к увеличению критической нагрузки от 3,1 до 3,2. Погрешность при этом составляет около 3,°%. Под критической понимается амплитуда периодической нагрузки, при которой происходит резкое увеличение максимальной амплитуды колебаний балки, то есть функция wmax=g(g°) имеет при этом разрыв первого рода.

Исходя из полученных данных, число разбиений по пространственной координате х было взято равным пх=3°, а по временной ^2-1°-5. Изменение же числа слоев по толщине от 12 до 2° приводит к погрешности всего лишь в °,2%. Поэтому щ было взято равным 12.

2

д

Вычисления проводились при 0<ґ<50. В качестве материала балки рассматривался чистый алюминий [9] (ег^=0,98-10-3). Интенсивность деформаций текучести е^=0,492, что соответствует отношению длины балки к ее толщине, равному 20. Заметим, что на самом деле решалась не упругопластическая, а нелинейно-упругая задача, когда разгрузка происходит по той же кривой, что и нагружение. Естественно, что это является упрощением реального процесса деформирования материала балок.

Обсуждение результатов

Результаты вычислений приведены на рис. 1-5. Причем на рис. 1-2 и 4-5 слева направо и сверху вниз показаны амплитудная характеристика А(ї), распределение зон пластичности по толщине и длине балки в различные моменты времени, спектр мощности А(ю) и эпюры прогиба в те же моменты, что и зоны пластичности. Все расчеты выполнены на основе качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.

1=25

0.5

X

г

ї= 25.4

\ г=2і

го

ч

с

<

0 0.5

Частота ю, Гц

0.5

X

Рис. 1. Основные характеристики защемленной балки

Рис.2. Основные характеристики защемленной балки

Балка с обоих концов жестко защемлена (6), (15). Результаты вычислений приведены на рис. 1-2. Частота возбуждения при этом ю=1,0. При достаточно малом значении нагрузки (/<3,1) балка находится в упругом состоянии. Колебания ее являются гармоническими, что хорошо видно на рис. 1, а и 1, в. Прогиб симметричен относительно середины (рис. 1, г). Пластические зоны наблюдаются на концах балки и на внешних слоях в центральной части. Однако уже при ^=3,2 в начале временного интервала зоны пластичности проникают в центральной части балки до срединной поверхности, образуется трехшарнирная система. С ростом времени амплитуда колебаний нарастает. Происходит потеря устойчивости балки. В этот момент амплитуда возрастает более чем в три раза от 0,12 до 0,412. Этот момент хорошо виден на рис. 3 (кривая 1). За счет усилий в срединной поверхности происходит своего рода стабилизация амплитуды. Однако при этом распределение зон пластичности становится несимметричным относительно центра балки. Как следствие, также несимметричными становятся эпюры прогиба (рис. 2, г). Колебания становятся хаотичными (рис. 2, а-в). Как следует из рис. 2, б, пластические зоны при этом имеют хаотическое распределение по толщине и длине балки. Аналогичная картина наблюдается и при большем значении амплитуды колебаний поперечной

нагрузки. Доминирующей составляющей спектра колебаний является частота возбуждения. Таким образом, после потери устойчивости колебания являются одночастотными и хаотическими.

.......1

з/ 2^/

1

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

\Л/тах

Рис. 3. Кривые нагрузка - максимальный прогиб

^3,

го

I-

ц : с -

2

<

0.2 0.1 5 0 -0.1 -0.2

Частота ю, Гц

29.15

ї=34 1 ,/ '

0.5

X

Рис. 4. Основные характеристики шарнирно опертой балки

£ о

-1

-2

І

0.2 0.1 5 о -0.1 -0.2.

мдтаи

___5=3525

ІиЯПЖ

0.5

х

г

1= 35.25

ї=35

Частота ю, Гц

0.5

X

Рис. 5. Основные характеристики шарнирно опертой балки

Шарнирные условия закрепления (4), (13). Частота возбуждения здесь полагалась ш=2,°. Анализ результатов показывает, что при указанных условиях закрепления балки с ростом нагрузки также происходит потеря устойчивости. При изменении нагрузки до д=1,6 балка находится практически в упругом состоянии. Зоны пластичности являются неглубокими и находятся в центральной части. Колебания являются гармоническими (рис. 4, а-в), а эпюры прогиба - симметричными (рис. 4, г) относительно центра балки. Однако при д=1,8, как и при защемлении, прогиб резко возрастает от °,22 до °,636. То есть происходит динамическая потеря устойчивости (рис. 3, кривая 2). Колебания становятся хаотическими (рис. 5, а-в), а прогиб - несимметричным.

Картина явления полностью аналогична случаю с защемленными концами. В разные моменты времени по длине балки возникают пластические шарниры, что хорошо

видно на рис. 5, г, где эпюры прогиба имеют характерный излом. С течением времени зоны пластичности развиваются и принимают непредсказуемую форму, что очень хорошо прослеживается на рис. 5, б. Качественная картина колебаний сохраняется и при дальнейшем росте нагрузки.

Смешанные условия закрепления (5), (14). Любопытно, что и в данном случае наблюдается явление, сходное с потерей устойчивости. Пока нагрузка не превышает q=0,9, балка находится в упругом состоянии. Как и в ранее рассмотренных случаях, колебания гармонические. Максимум прогиба смещен влево к концу с шарнирным опиранием. При q=1,0 прогиб небольшим скачком от 0,093 до 0,15 (рис. 3, кривая 3) возрастает, спектр колебаний становится хаотическим. Интересно, что максимум прогиба теперь наблюдается по разные стороны от центра в различные моменты времени. Зоны пластичности, как и при других условиях закрепления, имеют хаотическое распределение по толщине и длине балки.

Следует заметить, что при расчетах были получены и другие характеристики, например, фазовый портрет, сечение Пуанкаре. Однако за неимением места они в данной работе не приводятся.

Выводы

Учет усилий, возникающих в срединной поверхности при динамической потере устойчивости, существенно влияет на картину колебаний гибкой физически нелинейной балки. Если растяжение срединной поверхности балки не учитывается [7], то потеря устойчивости наблюдается только для случая защемления по концам. Для гибкой физически нелинейной балки это явление происходит и при других граничных условиях. Кроме того, после потери устойчивости симметрия прогиба нарушается, что не наблюдалось в колебаниях балки только с учетом физической нелинейности. Наконец, в колебаниях гибкой физически нелинейной балки после потери устойчивости наблюдается развитый хаос, в то время как в другом случае - слабые шумовые составляющие.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ковтунов В. В. Хаотические колебания параметрически стабилизируемой балки /

B.В. Ковтунов // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1991. № 59. С. 83-87.

2. Nagai K. Chaotic vibrations of past-buckled beam with a variable cross section under periodic excitation / K. Nagai, T. Yamaguchi // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. Part C. 1995. Vol. 61. № 586. Р. 2202-2209.

3. Nagai K. Chaotic vibrations of past-buckled beam carring a concentated mass. 1-st report. Experiment / K. Nagai, T. Yamaguchi // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Part C. 1994 .Vol. 61. № 579. Р. 3733-3740.

4. Yamaguchi T. Chaotic vibrations of past-buckled beam carring a concentated mass. IInd report. Theoretical analysis / T. Yamaguchi, K. Nagai // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. Part C. 1994. Vol. 61. № 579. Р. 3741-3748.

5. Yagasaki K. Bifurcations and chaos in quasi-periodically forced beam. Theory, simulation and experiment / K. Yagasaki // Journal of Sound and Vibration. 1995. Vol. 183. P. 131.

6. Experiment on xaotic oscillation of post-bucled reinforsed beam constrained by an axial spring / K. Nagai, K. Kosuga, V. Kamoda et al. // Japan Society of Mechanical Engineers International. Series. C. 1998. Vol. 41. № 3. Р. 563-569.

7. Крысько В. А. Динамическая потеря устойчивости нелинейно-упругой балки при действии периодической поперечной нагрузки / В. А. Крысько, В.В. Бочкарев // Нелинейная динамика механических и биологических систем: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004.

C. 186-195.

8. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности / И.А. Биргер // Прикладная математика и механика. 1951. Т. 15. Вып. 6. С. 35-40.

9. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В.А. Крысько. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 214 с.

10. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем / В.И. Феодосьев // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. С. 27-31.

11. Бернштейн С.А. Сопротивление материалов / С.А. Бернштейн. М.: Высшая школа, 1961. 410 с.

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета

Бочкарев Владимир Васильевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 05.02.07, принята к опубликованию 03.07.07