Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженнойконфигураций геометрически нелинейных упруговязкопластическихопределяющих соотношений для кристаллитов

УДК 539.52

Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженной конфигураций геометрически нелинейных упруговязкопластических определяющих соотношений для кристаллитов

А.И. Швейкин, П.В. Трусов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Для корректного описания процессов интенсивной пластической деформации требуется использование нелинейных кинематических и определяющих соотношений. Для последних должен выполняться ряд требований: независимость от выбора системы отсчета, замкнутость циклов по напряжениям и отсутствие диссипации энергии при упругом циклическом нагружении. Одним из наиболее сложных вопросов, возникающих при формулировке указанных соотношений, является разложение движения на квазитвердое и деформационное, введение которого для континуума представляется чрезвычайно сложной проблемой, не имеющей однозначного решения. В то же время для большинства конструкционных металлов и сплавов на уровне кристаллитов такое разложение может быть реализовано физически обоснованным способом. Ранее авторами в рамках многоуровневого подхода для кристаллитов предложено введение подвижной системы координат, отвечающей за квазитвердое движение, с использованием которого сформулированы независимые от выбора системы отсчета определяющие соотношения мезоуровня в актуальной конфигурации, и проведены тестовые расчеты, результаты которых показали, что приведенные выше требования выполняются с малой погрешностью. Был предложен новый способ разложения движения — мультипликативное представление градиента деформации с явным выделением движения подвижной системы координат, сформулированы конститутивные упруговязкопласти-ческие соотношения в терминах «решеточной» разгруженной конфигурации, удовлетворяющие вышеуказанным требованиям. При этом постановку нелинейных краевых задач предпочтительнее осуществлять в терминах актуальной конфигурации в скоростях. Целью предлагаемой статьи является установление соответствия ранее построенных определяющих соотношений, сформулированных в терминах актуальной конфигурации и в терминах «решеточной» разгруженной конфигурации. Рассмотрены примеры, решения которых демонстрируют близость результатов, полученных с применением указанных определяющих соотношений.

Ключевые слова: большие упругопластические деформации, определяющие соотношения в скоростной форме, разложение движения на квазитвердое и деформационное, двухуровневые модели, сопряженные меры напряженно-деформированного состояния

Correlation between geometrically nonlinear elasto-visco-plastic constitutive relations formulated in terms of the actual and unloaded configurations for crystallites

A.I. Shveikin and P.V. Trusov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

A correct description of severe plastic deformation processes requires the use of nonlinear kinematic and constitutive relations. The relations should meet certain criteria, such as the frame-independence, closed cycles for stresses, and the absence of energy dissipation under elastic cyclic loading. A most complicated issue in formulating these relations is the decomposition of motion into quasi-rigid and strain-induced motions, which is an extremely difficult problem with no unambiguous solution. For the majority of structural metals and alloys this decomposition can be done in a physically justified way on the scale of crystallites. Earlier, using a multilevel approach we introduced a corotational coordinate system for crystallites responsible for quasi-rigid motion. This allowed us to formulate frame-independent mesoscale constitutive relations in the actual configuration and to perform test calculations to show that the above mentioned criteria are satisfied with high accuracy. A new way of motion decomposition was proposed, which is a multiplicative representation of the strain gradient with an explicit separation of the motion of the corotational coordinate system. Elasto-visco-plastic constitutive relations meeting the above given criteria were formulated in terms of an unloaded "lattice" configuration. However, it is more preferable to formulate nonlinear boundary-value problems in terms of the actual configuration in rates. This paper is aimed to study correlation between the earlier derived constitutive relations formulated in terms of the actual configuration and in terms of the unloaded "lattice" configuration. Example problems are solved to demonstrate the closeness of results obtained using these constitutive relations.

Keywords: high elastic-plastic strains, constitutive relations in the rate form, decomposition into quasi-rigid and strain-induced motion, two-scale models, conjugate measures of the stress-strain state

© Швейкин А.И., Трусов П.В., 2016

1. Введение

При описании процессов термомеханической обработки металлов и сплавов в большинстве случаев градиенты перемещений материальных частиц нельзя считать малыми [1, 2], в связи с чем возникает необходимость использования геометрически нелинейных кинематических и неупругих определяющих соотношений [3-7].

Несмотря на наличие значительного числа работ, посвященных этой проблеме механики деформируемого твердого тела (обзоры можно найти в [5-8]), по мнению авторов, на настоящий момент отсутствует однозначное ее решение [9, 10]. Известные к настоящему времени определяющие соотношения формулируются в терминах либо отсчетной, либо актуальной конфигурации, в скоростной или конечной форме [5-7, 11, 12].

Следует отметить, что при постановке нелинейной краевой задачи в терминах отсчетной конфигурации меры напряжений и скорости деформаций (и ее составляющих) не имеют ясного физического смысла, поэтому затрудняются анализ и идентификация определяющих соотношений, уравнения движения становятся нелинейными. Кроме того, для описания процессов термомеханической обработки металлов и сплавов требуется постановка контактных краевых задач (когда область контакта изменяется и должна определяться в ходе решения задачи), которую предпочтительней формулировать в терминах актуальной конфигурации в скоростях, что удобно для применения численных методов, например метода конечных элементов [13-15]. При этом решение задачи осуществляется обычно пошагово, в приращениях [7]. В связи с этим ограничимся рассмотрением формулировки геометрически нелинейных определяющих соотношений в скоростях в текущей конфигурации.

Ключевым вопросом при построении геометрически нелинейных определяющих соотношений является разложение движения [9], для чего вводится подвижная система координат, движение которой принимается квазитвердым. Движение относительно подвижной системы координат полагается собственно деформационным [7]. Разложение можно осуществить бесконечным числом способов, основным требованием к выбору подвижной системы координат является «поглощение» ее движением любого наложенного движения тела как жесткого целого. С начала XX века было предложено множество коротационных (подвижная система координат жесткая, наиболее часто используются производные Зарембы-Яуманна [16, 17] и Грина-Нагхди [18]) и конвективных производных (подвижная система координат может деформироваться, производные Олдройда [19], Коттера-Ривлина [20]). Использование последних сопряжено со сложностью отделения изменений компонент тензорных характеристик, обусловленных теми или иными воздействиями (например приложенными

нагрузками), от их изменений за счет деформирования базиса. В качестве базисного определяющего соотношения обычно используется упругий закон в скоростной релаксационной форме [9, 21-23], сформулированный в терминах тензорных величин, определенных с позиций подвижного наблюдателя, что позволяет обеспечить выполнение требования независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [3].

В работах [24-27] в качестве дополнительных критериев корректности определяющего соотношения сформулированы требования отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии при чисто упругом деформировании по любым замкнутым траекториям деформации. Данные условия, конечно, будут выполняться при условии существования эквивалентного определяющего соотношения в конечной форме [28]. Если при построении определяющего соотношения в скоростной форме выбрать в качестве меры скорости деформации тензор скорости деформации D, то единственной мерой деформации из класса мер Сетха, согласующейся с мерой D (коротационная производная меры деформации равна D), является тензор (логарифмических) деформаций Генки, определенный в актуальной конфигурации [24, 26]. Спин, используемый при этом в коротационной производной, был назван «логарифмическим». Отметим, что в большинстве своих работ обоснование выбора спина авторы цитируемых статей приводили для континуума с изотропными упругими свойствами. В [29, 30] ими была предложена модификация теории для построения геометрически нелинейных определяющих соотношений тел с анизотропными упругими свойствами. При этом для определяющих соотношений, сформулированных в терминах актуальной конфигурации, полагалось, что группа равноправности [3] (группа симметрии) в актуальной конфигурации определяется преобразованием ротации с использованием тензора R (входящего в полярное разложение градиента места) группы равноправности отсчетной конфигурации. Однако если для чисто упругого деформирования данное преобразование группы равноправности может быть принято, то при интенсивных неупругих деформациях для этого отсутствует физическое обоснование. Хорошо известно, что при развитых пластических деформациях представительный макрообъем поликристаллического материала изменяет свои симметрийные свойства, в том числе упругие [31, 32]. При этом тип симметрии континуума априори неизвестен, он зависит как от физического строения материала, так и от истории термомеханических воздействий.

В [28] показана эквивалентность закона Гука в скоростной и конечной формах при условиях существования жесткой подвижной системы координат, в которой упругие характеристики материала могут считаться неизменными, и использования однотипных коротацион-

ных производных от мер деформаций и напряжений. Поэтому для анизотропного материала логичным представляется требование связи подвижной системы координат с элементами симметрии материала. Вероятно, одним из первых мысль о необходимости введения для описания анизотропии упругих свойств триады материальных векторов выразил Ж. Мандель [33]. Им же была высказана важная мысль о том, что вращение и искажение атомарной решетки не связано напрямую с деформациями материального континуального элемента. Основываясь на этих положениях, в работах М.Б. Рубина [34-37] предложена теория упругопластичности, в которой упругая часть конститутивной модели оперирует именно с искажениями решетки. Однако предлагаемая модель является континуальной, в связи с чем не понятны определения триады направлений, упругой и пластической составляющей, соотношения для определения тензора «пластического спина» (определяющего мгновенную скорость ротации материального триэдра) для представительного объема (на макроуровне, которым только и оперируют феноменологические модели). Например, для определения материального триэдра в актуальной конфигурации автор предлагает использовать «осредненную решетку атомов», положение векторов триэдра считается «в принципе измеримым» в каждый момент деформирования. Для определения пластического спина предлагается феноменологическое соотношение, выражающее спин через макропараметры (напряжения и «обратные напряжения») и векторы триэдра. При этом автор, не приводя физических обоснований, исходит из предположения, что при простом нагру-жении, сохраняющем неизменными положение главных осей тензора деформации скорости, оси материального триэдра должны стремиться к триэдру этих главных осей [37].

Следует отметить, что в работе [35] автор предлагает отказаться от использования полных деформаций и их пластической составляющей как параметров состояния, входящих в определяющее соотношение, и формулировать модель в терминах скоростей полных деформаций и упругой составляющей деформации. Аргументами является отсутствие знаний о деформациях (как полных, так и пластических) в отсчетной конфигурации, в произвольности выбора этой конфигурации. Вместо этого автор предлагает оперировать измеримыми («в принципе») внутренними переменными, характеризующими микроструктуру. Утверждение о неизвестности деформаций в отсчетной конфигурации, конечно, правильно [3], однако в феноменологических теориях это «незнание» компенсируется за счет начальных данных о физико-механических характеристиках материала (сим-метрийные свойства, упругие характеристики, предел текучести и т.д.) и соответствующей подготовкой образцов для придания им примерно одинаковой микрострук-

туры. Отказ от использования понятия пластических и полных деформаций в феноменологических конститутивных соотношениях представляется не совсем правильным, поскольку при этом исчезает возможность описания одного из важнейших свойств деформируемых твердых тел — свойства памяти.

Конечно, вариант построения теории на основе введения внутренних переменных [23, 38-40] является более универсальным и эффективным, однако он не снимает вопроса о необходимости определения начальных значений внутренних переменных, характеризующих микроструктуру. В то же время такие модели относятся к другому классу, большей частью предназначены для «тонких» исследований свойств деформируемых материалов, их применение для решения реальных краевых задач требует весьма значительных вычислительных ресурсов, в силу чего они в настоящее время не могут полностью заменить классические модели для разработки технологических процессов.

Как представляется, физически обоснованное и прозрачное введение триэдра материальных осей, позволяющих описать симметрийные свойства материала, возможно только на уровне кристаллитов (зерен, субзерен, фрагментов — в зависимости от требуемой точности модели, приемлемости пренебрежения локальными нарушениями идеального расположения атомов в решетке из-за присутствия различных дефектов). В своих построениях авторы настоящей работы исходили именно из рассмотрения деформирования кристаллитов как элементов мезоуровня в многоуровневых моделях упру-говязкопластичности [9, 10, 38]. В связи с этим отсутствуют трудности определения упомянутых выше параметров; пластическая составляющая деформации определялась суммарными сдвигами по системам скольжения, оставляющими решетку каждого кристаллита инвариантной. Для скоростей сдвигов используется кинетическое уравнение, не связанное с упругой составляющей, вытекающее из физически обоснованных соотношений (уравнения Орована). Ротации решеток кристаллитов также определяются из физики взаимодействия дислокаций соседствующих кристаллитов.

В [9] предложено введение связанной с кристаллографическими осями и плоскостями подвижной системы координат, определяющей квазитвердое движение; сформулированы упруговязкопластические определяющие соотношения мезоуровня в актуальной конфигурации. Тестовые расчеты показывают, что условия отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии на замкнутых упругих циклах деформирования кристаллитов металлов выполняются с малой (вполне допустимой) погрешностью.

В работе [10] предложен новый способ разложения движения — мультипликативное представление градиента деформации f = V гт с явным выделением дви-

жения подвижной системы координат: f = fе • f р = = Ге • г • Гр. Неупругая составляющая Гр определяется сдвиговыми модами в отсчетной конфигурации, г = = к г (к11!=о) = к ¿к 0 — собственно ортогональный тензор, преобразующий отсчетный базис подвижной системы координат в текущий (тензор ротации подвижной системы координат из отсчетной в актуальную конфигурацию (вместе с материалом)), Ге — градиент места, преобразующий пластически деформированную конфигурацию, испытавшую поворот, в актуальную конфигурацию (одновременно характеризующий однородное искажение решетки кристаллита).

С использованием введенного мультипликативного разложения в [10] сформулированы определяющие упруговязкопластические соотношения в терминах разгруженной конфигурации (разгрузка осуществляется с fе -1). В силу энергетической сопряженности используемых мер напряженного и деформированного состояния требования отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии на произвольных замкнутых циклах упругих деформаций выполняются автоматически. В то же время, как отмечено выше, для решения технологических задач предпочтительной является формулировка соотношений в терминах актуальной конфигурации.

В данной статье рассматриваются упруговязкопластические определяющие соотношения, сформулированные в терминах актуальной конфигурации (предложены в [9]), и определяющие соотношения, сформулированные в терминах разгруженной конфигурации (предложены в [10]): проведено сопоставление указанных определяющих соотношений, показывающее близость этих формулировок в предположении малости упругих искажений решетки, что характерно для металлов и сплавов, приведены результаты решения нескольких примеров.

2. Сопоставление определяющих соотношений

2.1. Определяющие соотношения в терминах актуальной конфигурации

Упругий закон в скоростной релаксационной форме в терминах актуальной конфигурации имеет вид:

-сг — /„е\сг — „Шч

к = п:

где к = р/ р о — взвешенный тензор напряжений Кирх-гоффа; о — тензор напряжений Коши; р,р — плотность материала кристаллита в отсчетной (разгруженной) и актуальной конфигурациях; ксг = dк/ dt + к • й -- й • к — коротационная производная тензора Кирхгоф-фа; й — спин подвижной системы координат (соотношения для его определения приведены ниже); п — тензор упругих свойств (компоненты которого постоян-

ны в базисе подвижной системы координат); (ее)сг — скорость упругих деформаций, фиксируемая наблюдателем в подвижной системе координат; = & • f-1 — градиент скорости перемещений; г = Vут - й — тензор скорости полных деформаций, определяемый наблюдателем в подвижной системе координат; гт =

= £ У(к)п(к) — скорость неупругих деформаций;

к=1

у(к), ь( к), п( к) — скорость сдвига, направление сдвига и нормаль к плоскости сдвига в актуальной конфигурации для к-й системы внутризеренного скольжения (краевых дислокаций; для удобства используется удвоенное число систем скольжения [38]). Отметим, что в [9] сформулированы аналогичные определяющие соотношения, однако в качестве меры напряжений использовался тензор напряжений Коши. С учетом того что для металлов р/р = 1, различия между определяющими соотношениями в [9] и (1) можно считать малыми. Для определения скоростей сдвигов используется вязкопластическое соотношение вида [38]

У(к) = У о

( т(*) г

т

Н(т(к> -тС'>),

где "Г , тС — сдвиговое и критическое сдвиговое напряжение в к-й системе скольжения, т( к) = к: Ь( к 'п( к), "Ск) в общем случае является функцией накопленных к текущему моменту сдвигов по системе скольжения и истории их изменения; у 0 — скорость сдвига по системе скольжения при достижении касательным напряжением критического напряжения сдвига; т — показатель скоростной чувствительности материала; Н(-) — функция Хэвисайда.

2.2. Определяющие соотношения в терминах «решеточной» разгруженной конфигурации

В [10] были предложены соотношения в терминах «решеточной» разгруженной конфигурации (разгрузка

из актуальной конфигурации с f щий вид:

7е -1

), имеющие следую-

с сг — —есг

к = п: с ,

где С = р/р Ге-1 • о • Ге-т = Ге-1 • к • Ге-т — второй тензор напряжений Пиола-Кирхгоффа, определенный в терминах разгруженной конфигурации; к сг = dk /dt + +к • й -й •к, се = 1/2(ГеТ • Ге -1) — упругая составляющая тензора деформации Коши-Грина; Сесг = = dСе/dt + Се • й - й • Се. Составляющая градиента места Ге, преобразующая пластически деформированную конфигурацию, испытавшую поворот, в актуальную, т.е. характеризующая упругие искажения кристаллической решетки, определяется как

Ге = Г •

Пластическая составляющая градиента места определяется следующим соотношением:

. K . o

fp . fp-1 = £ t

o(k) o(k) k=1

где b , n — единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскости скольжения (в отсчетной конфигурации). Скорости сдвигов определяются согласно вязкопластическому закону (2), при этом сдвиговое , - (k) напряжение в k-й системе скольжения v ' определяется

по второму тензору напряжений Пиола-Кирхгоффа, преобразованному («повернутому») в отсчетную конфигурацию:

X ) = Ь И

: i, k

i  r.

2.3. Сопоставление соотношений при малых упругих искажениях

Если упругие искажения малы (что характерно, например, для металлов), соответствующая составлявшая градиента места близка к единичному тензору fе = I + у, у — малый тензор, ||у|| << ||1||. В этом случае для тензора деформации Коши-Грина справедливо приближение

Сe = 2(feT  fe -1) = I((I + y)T  (I + y) -1) =

1 _ _t _T _ 1 _ T

= -(y + yT + yT  y) = -(y + yT),

для второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа (с учетом p/p = 1 и fe-1 = I - y):

k = p fe-1 a fe-T P

(I - y)  к  (I - yT) = K.

С учетом оценок (7) и (8) приближенно соотношение (3) можно записать (с учетом симметричности п по второй паре индексов) в виде

кcr = п :-2(y + y T)cr = п: ycr.

Сравнивая (9) с определяющим соотношением (1), можно заключить, что близость физических уравнений будет иметь место в случае

усг Ут-ш- £ у(кVк)п(' ^ к=1

при одинаковом определении у(к). Покажем, что это действительно так.

В [10] определена производная Iесг: = - Iе . г.&р . гт) • (?р )-1,

(I + y)cr = ycr = (fcr - fe  r  fp  rT)  (fp )-1,

r  f

p-1

rT, fcr = (f - Ш  f )>

где ?р = г • Iр • гт, (?р)-1 =

т

X г т

Соотношение (10) представимо в виде:

усг =

С учетом Iе = I • Iр-1 • г т, I-1 • Iе = Iр-1 • г т соотношение (11) принимает вид

усг = I • I-1 • Iе - Ш • Р - 7е • г • Iр • fр-1 • г т.

Полагая упругие искажения малыми, Iе = I, (12) можно приближенно записать как

усг = I • I-1 - Ш - г • &р • 7р-1 • гт

С учетом уравнения (5) окончательно получаем:

1 К (к)о(к)о(к) т

усг = I • I-1 - ш - г • £ у(к) Ь П • гт =

к=1

K

= f  f-1 - ш - Е t(k)b(k)n(k). k=1

В соотношении (14) учтено, что единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскости скольжения из отсчетной в текущую конфигурацию преобразуются с помощью собственно ортогонального тензора г.

При определении скоростей сдвигов у(к) (при работе с определяющими соотношениями в разгруженной конфигурации) используются касательные напряжения (6), определяемые по второму тензору напряжений Пио-ла-Кирхгоффа, преобразованному («повернутому») в отсчетную конфигурацию. Легко показать, что таким образом определенные касательные напряжения при малых упругих искажениях решетки близки к касательным напряжениям, определяемым в текущей конфигурации по взвешенному тензору напряжений Кирхгоффа:

о

X( k) =

= b И :i = b И :( rT i  r) =

o

= (г • Ь п • г1): £ = Ь(к)п(к): £ = Ь^'П" : к. (15) Из близости касательных напряжений следует близость скоростей сдвигов у(к-1, поэтому можно заключить, что (3) близко к (1).

Таким образом, показано, что при малых упругих искажениях определяющие соотношения (3)-(5), сформулированные в терминах разгруженной конфигурации [10], близки к определяющим соотношениям, построенным в актуальной конфигурации (1), (2) [9].

Отметим, что для соотношений в разгруженной конфигурации (3)-(5) условия отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии на замкнутых упругих циклах выполняются точно при использовании подвижной системы координат (вращающейся со спином Ш ), связанной с элементами симметрии материала [10]: подвижная система координат «привязана» к кристаллографической оси и плоскости кристаллита. Компоненты тензора упругих характеристик в базисе этой системы координат для металлов и сплавов можно считать постоянными. Вывод о близости определяющих соотношений подтверждается тем, что при малых упругих деформациях и использовании соотношений (1), (2) в актуальной конфигурации наблюдается незначительное отклонение от выполнения указанных условий [9].

Таким образом, при моделировании деформирования поликристаллических металлов и сплавов можно применять определяющие соотношения (1), (2), сфор-

Л k U k) .

мулированные в терминах актуальной конфигурации. В этом случае соотношения макроуровня (для представительного объема поликристаллического материала) определяются из условий согласования определяющих соотношений мезоуровня [38].

3. Некоторые иллюстрирующие примеры

Рассмотрим результаты применения приведенных выше определяющих соотношений для моделирования некоторых кинематических (жестких) нагружений анизотропных металлических кристаллитов.

При моделировании ГЦК-кристалла использовались упругие свойства (постоянные для наблюдателя в подвижной «решеточной» системе координат), соответствующие меди, независимые компоненты тензора свойств в подвижной системе координат: пШ1 = = 168.4 ГПа, п1122 = 121.4 ГПа, п1212 = 75.4 ГПа [41], для ОЦК-кристалла — упругие свойства, соответствующие a-Fe, независимые компоненты тензора свойств в подвижной системе координат: п1111 = 200 ГПа, п1122 = = 137 ГПа, п1212 = 116 ГПа [42]. Начальные ориентации кристаллографической и подвижной систем координат совпадают и определяются путем последовательного поворота начально совмещенной с лабораторной системой координат системы координат для ГЦК-кристалла вокруг оси Ох1 на угол ф1 = 3.720, вокруг оси Ох2 — на угол ф2 = 2.731, вокруг оси Ох3 — на угол ф3 = = 3.226, для ОЦК-кристалла: вокруг оси Ох1 на угол ф1 = 4.936, вокруг оси Ох2 — на угол ф2 = 2.736, вокруг оси Ох3 — на угол ф3 = 2.017 (углы поворота выбраны случайным образом).

Пример 1. Упругое циклическое деформирование ГЦК-кристаллита

Рассматривается однородное аффинное деформирование по замкнутому циклу кинематического нагру-жения прямоугольного в отсчетной конфигурации параллелепипеда с квадратом в поперечном сечении (с длиной стороны L), расположенным в плоскости OX1X2 фиксированной лабораторной системы координат; упругие модули и ориентация кристаллита описаны выше. Движение определено градиентом деформации:

f (t) = I + — (1 - cos ф) sin ф(2 sin ф + 4)p1p 2 + h

r 2

+ 3 — (1 - cos ф^т ф p2p2, h

где ф = h = 0.00005 — постоянный параметр;

— базис неподвижной лабораторной системы координат, деформирование рассматривается в интервале времени t е [0 с, 1 с]. В силу однородности деформирования радиус-вектор материальной точки тела в произвольный момент времени t определяется согласно г(^ = Г (г)• <ц , где ql — лагранжевы координаты рас-

0001 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 ХхИ

Рис. 1. Траектория движения (1-2-3-4) точки с лагранжевыми координатами (0, L, 0) м, в начальный и конечный момент деформирования положение точки определяется координатами Хх^ = 0, Х2^ = 1, Х3 = 0

сматриваемой точки. Для иллюстрации на рис. 1 приведена траектория движения точки тела с лагранжевыми координатами (0, Ь, 0) м.

Подвижная система координат для каждого расчетного варианта в конечный момент времени приходит точно в свое начальное положение.

На рис. 2 приведены зависимости от времени компонент в лабораторной системе координат тензора напряжений Коши для рассматриваемого ГЦК-кристаллита при использовании определяющих соотношений в разгруженной и в актуальной конфигурациях.

Следует отметить близость результатов (визуально они неотличимы), при использовании определяющих соотношений (3)-(5) напряжения Коши получаются нулевыми в конце цикла (в пределах вычислительной погрешности), при использовании определяющих соот-

Gy, МПа 30

10-

-10

-o-a22

/ \ -""a12 Í

/ /*\W13 / \ -п-азз

0.0 0.2 0.4 0.6

U с

, МПа 30

10

-10

-o-a22

/ \ -""a12 / Ч -7-С72З

/ Ql3 / \ -0CJ33

0.0 0.2 0.4 0.6

о.;

и С

Рис. 2. Зависимость компонент тензора напряжений Коши в лабораторной системе координат от времени для ГЦК-кристаллита: при использовании определяющих соотношений

Рис. 3. Изменение со временем плотности внутренней энергии ГЦК-кристаллита

ношений в актуальной конфигурации (1), (2) напряжения близки к нулевым (максимальная по модулю компонента тензора напряжений Коши равна 7.56 • 10-4 МПа).

На рис. 3 приведена зависимость плотности внутренней энергии от времени (как и для рис. 2, все нижеприведенные графики, построенные при использовании тех и других рассматриваемых соотношений, совпадают (визуально неотличимы), поэтому на следующих рисунках приводится по одному графику).

Результаты свидетельствуют об отсутствии диссипации энергии при использовании уравнений (3)-(5), при использовании определяющих соотношений (1), (2) диссипация энергии близка к нулю (9.53-10-6 Дж).

Пример 2. Упругое циклическое деформирование ОЦК-кристаллита

Рассматривалось нагружение вида (16) ОЦК-крис-таллита, упругие модули и начальная ориентация решетки описаны выше.

Подвижная система координат для каждого расчетного варианта в конечный момент времени приходит точно в свое начальное положение.

На рис. 4 приведены зависимости от времени компонент тензора напряжений Коши в лабораторной системе координат для рассматриваемого ОЦК-кристаллита (графики для случаев использования разных определяющих соотношений близки — визуально неотличимы).

При использовании (3)-(5) напряжения Коши получаются нулевыми в конце цикла (в пределах вычислительной погрешности), при использовании (1), (2) напряжения близки к нулевым (максимальная по модулю компонента тензора напряжений Коши равна 4.76 х х 10-4 МПа).

На рис. 5 приведена зависимость плотности внутренней энергии от времени (графики для случаев использования разных определяющих соотношений близки — визуально неотличимы).

Результаты свидетельствуют об отсутствии диссипации энергии при использовании уравнений (3)-(5), при использовании определяющих соотношений (1), (2) диссипация энергии близка к нулю (7.57 - 10-3 Дж).

Было рассмотрено упругое деформирование по различным циклическим траекториям деформации при различных ориентациях кристаллитов. Как и в примерах, приведенных в [9, 10], результаты свидетельствуют о том, что при использовании уравнений (3)-(5) требования отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии выполняются точно, при использовании уравнений (1), (2) — приближенно с малой погрешностью. При рассмотрении нескольких циклов погрешность линейно нарастает [9], поэтому при анализе циклического упругого нагружения металлов и сплавов (например исследовании усталости) можно рекомендовать к использованию геометрически линейные соотношения [9]: реализуемые чисто упругие деформации малы, при этом результаты на отдельном цикле близки к результатам линейной модели.

Пример 3. Неупругое деформирование ГЦК-кристаллита

Рассмотрим неупругое деформирование ГЦК-крис-таллита (начальные ориентации кристаллографической и подвижной систем координат описаны выше) при кинематическом нагружении по двухзвенной траектории деформации — сдвиг в плоскости ОХ1Х2 в направлении X1 до t = 1000 с (градиент деформации на этом участке траектории определен как ^ ({) =1 + у 12 £ р1р 2), затем сдвиг в плоскости ОХ2Х3 в направлении X до t =

агу, МПа 50-1

30

ю-

-10

-о- а 22

/ \ -""а12 /

/ / \-n-G33

0.0 0.2 0.4 0.6

O.i

U с

Рис. 4. Зависимость от времени компонент тензора напряжений Коши в лабораторной системе координат для ОЦК-кристаллита

Рис. 5. Изменение со временем плотности внутренней энергии ОЦК-кристаллита

f (t) =

V v(t ) =

= 2000 с (f2(t) =I + y23 (t -1000) p2p3 ), закон изменения градиента деформации: [fj(t), t e [0,1000 с], lfz(t) • f1 |t=1000 , t e (1000 с, 2000 с] = I+ Y12 t P1P2, te [0,1000 с], = -(I + &23 (t -1000) p 2P 3) • (I + 1000 &12 P1P 2), = t e (1000 с, 2000 с] I+ Y121 PiP2, t e [0,1000 с],

= -1 + Y23 (t -1000) P2P3 +1000 &12 P1P2,

t e (1000 с, 2000 с], градиент скорости перемещений

[&12 P1P2, t e [0,1000 с], |&23 P2P3, te (1000 с,2000с], где &12 =&23 = 0.0005 c-1. При расчетах использована модель мезоуровня, учитывающая внутризеренное скольжение [38], упрочнение не учитывалось.

На рис. 6, а приведены зависимости компонент тензора напряжений от времени (графики для случаев использования разных определяющих соотношений близки — визуально неотличимы).

Можно отметить, что зависимости компонент тензора напряжений от времени весьма близки (максимальное отношение модуля разности между компонентами получаемых в финальный момент времени тензоров напряжений к модулю максимальной компоненты — менее 0.01). При деформировании по первому участку изображающая точка в пространстве напряжений находится вблизи вершины поверхности текучести (компоненты тензора напряжений постоянны для наблюдателя в подвижной системе координат, компоненты в лабораторной системе координат меняются) с интенсивностью напряжений около 45 МПа, после перехода на другой участок траектории с небольшим запаздыванием происходит переход изображающей точки в окрестность другой вершины с интенсивностью около 63.64 МПа. При расчетах был принят значительный показатель степени m = 100 [38] в законе (2), что не позволяет изобра-

жающей точке значительно удаляться от поверхности текучести, определяемой критерием Шмида (равенство касательных напряжений в системах скольжения критическим) [43]; известно, что вершины начальной поверхности текучести ГЦК-кристаллита разделяются на 5 различных классов, для которых аналитически определяются значения интенсивности напряжений (в том числе есть и классы вершин с получаемыми в расчете значениями интенсивности [43]).

Отметим, что, как и в примере 1, расчеты проводились при случайных ориентировках кристаллита, рассмотрены выборки из 2000 ГЦК-кристаллитов (с различными случайными ориентациями) — во всех случаях результаты использования (3)-(5) и (1), (2) оказались близки (отличия на графиках напряжений визуально неотличимы, относительная погрешность менее 1 %).

Пример 4. Неупругое деформирование ОЦК-кристаллита

При моделировании ОЦК-кристаллита (начальные ориентации кристаллографической и подвижной систем координат описаны выше) при кинематическом нагру-жении, аналогичном применяемому в примере 3, получены зависимости компонент тензора напряжений от времени, приведенные на рис. 6, б (графики для случаев использования разных определяющих соотношений близки — визуально неотличимы).

Следует отметить, что изменения напряжений в интервалах времени 310-375 с, 1900-1960 с, изображенные на рис. 6, б, связаны с переходом напряжений из окрестности одной вершины поверхности текучести в окрестность другой.

Расчеты, как и в примере 2, были проведены для выборки из 2000 ОЦК-кристаллитов (с различными случайными ориентациями) — во всех случаях результаты использования (3)-(5) и (1)-(2) оказались близки (отличия на графиках напряжений визуально неотличимы, относительная погрешность менее 1 %). Можно отметить, что изменения напряжений (как для ОЦК, так и для ГЦК-кристаллитов) могут быть достаточно слож-

Рис. 6. Зависимость от времени компонент тензора напряжений Коши в лабораторной системе координат для ГЦК-

ными — с несколькими переходами между окрестностями вершин поверхности текучести.

Аналогичные рассмотренным выше расчеты были проведены для моно- и поликристаллов с ГПУ-решеткой; результаты будут представлены в отдельной статье, готовящейся к публикации.

4. Заключение

При моделировании технологических процессов термомеханической обработки в большинстве случаев требуется использование геометрически нелинейных кинематических и определяющих соотношений.

Ключевым вопросом при построении геометрически нелинейных определяющих соотношений является разложение движения [9]. В рамках многоуровневого подхода на уровне кристаллитов для металлов возможно выделение практически не искажаемых симметрийных элементов (плоскостей и осей симметрии), с которыми в [10] предложено связать жесткую подвижную систему координат, отвечающую за квазитвердое движение; сформулированы упруговязкопластические определяющие соотношения мезоуровня в актуальной конфигурации. Результаты тестовых расчетов с использованием предложенных соотношений показывают, что условия отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии на замкнутых упругих циклах деформирования (данные критерии сформулированы в работах [24-27]) металлических кристаллитов выполняются с малой погрешностью.

В работе [10] предложен новый способ разложения движения — мультипликативное представление градиента деформации с явным выделением движения подвижной системы координат. С использованием введенного мультипликативного разложения в [10] сформулированы конститутивные упруговязкопластические соотношения в терминах разгруженной конфигурации. В силу энергетической сопряженности используемых мер напряженного и деформированного состояния требования отсутствия гистерезиса напряжений и диссипации энергии на произвольных замкнутых циклах упругих деформаций выполняются автоматически.

В настоящей статье аналитически и в численных примерах показано, что применение рассматриваемых упруговязкопластических определяющих соотношений, сформулированных в терминах разгруженной конфигурации [10], и определяющих соотношений, построенных в терминах актуальной конфигурации [9], для анализа нагружения по сложным траекториям деформаций демонстрируют близкие результаты. В связи с этим представляется возможным использовать последние при постановке и решении нелинейных краевых задач (с учетом того, что область контакта изменяется и должна определяться в ходе решения задачи) в терминах актуальной конфигурации в скоростях, что предпочти-

тельней для применения численных методов с пошаговым решением в приращениях.

Работа выполнена при финансовой поддержке M^ нистерства образования и науки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, M гос. регистр. 01201460535), РФФИ (гранты MM 14-01-00069-а, 15-08-06866-а).

Литература

1. Ceгaл B.M., Резников B.И., Дробышев^ий A.E., Koпылов B.И. Пластическая обработка металлов простым сдвигом // Изв. АН СССР. Mетaллы. - 1981. - M 1. - С. 115-120.

2. BaлueвР.З., Aлeкcaндpoв И..B. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. - M.: Логос, 2000. - 272 с.

3. Tpycдeлл K. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - M.: M^, 1975. - 592 с.

4. Лурье A.И. Нелинейная теория упругости. - M.: Наука, 1980. -512 с.

5. Koробейников C.H. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во œ РАН, 2000. - 262 с.

6. Лeвumac B.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. - ^ев: Наукова думка, 1987. -232 с.

7. ПоздеевA.A., TpycoвП.B., ^шин Ю.И. Большие упругопластичес-

кие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - M.: Наука, 1986. - 232 с.

8. Maкapoв П.B., Cмoлuн И.Ю., Cmeфaнoв Ю.П., Kyзнецов П.B., Tpyбuцын A.A., TpyбuцынaH.B., Bopoшuлoв C.П., BopoшuлoвЯ.C. Нелинейная механика геоматриалов и геосред / Oтв. ред. Л.Б. Зуев. - Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2007. - 235 с.

9. Tpycoв П.B., Швейкин A.И., Янц AM. O разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезо-мех. - 2016. - Т. 19. - M 2. - С. 47-65.

10. Tpycoв П.B., Швейкин A.И. O разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкоплас-тичности кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - M 3. -C. 25-38.

11. Koлapoв Д., БaлmoвA., Бoнчeвa H. Mехaникa пластических сред. -M.: Mиp, 1979. - 302 с.

12. Koндaypoв B.K, Hurnmm ЛМ. Теоретические основы реологии геоматериалов. - M.: Наука, 1990. - 207 с.

13. Зенкевич O. Mетод конечных элементов в технике. - M.: Mиp, 1975. - 542 с.

14. Зенкевич O., Mopгaн K. ^нечные элементы и аппроксимация. -M.: Mиp, 1986. - 318 с.

15. Oдэн Дж. ^нечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - M.: Mиp, 1976. - 464 с.

16. Zaremba S. Sur une forme perfectionnée de la théorie de la relaxation // Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie. - 1903. - Р. 595-614.

17. Jaumann G. Geschlossenes System physikalischer und chemischer Differential-gesetze // Sitzber. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa. - 1911. -Nb. 120. - S. 385-530.

18. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory of an elasto-plastic continuum // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1965. - V. 18. - Р. 251-281.

19. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1950. - V. 200. - P. 523-541.

20. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress // Q. Appl. Math. - 1955. - V. 13. - P. 177-182.

21. Maкapoв П.B. Mикpодинaмичеcкaя теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. - 1992. - M 4. - С. 42-58.

22. Макаров П.В. Моделирование уиругоиластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 111-124.

23. ТрусовП.В., Ашихмин В.Н., ВолеговП.С., Швейкин А.И. Моделирование эволюции структуры иоликристаллических материалов ири уиругоиластическом деформировании // Ученые заииски Казанского университета. Физико-математические науки. - 2010. -Т. 152, кн. 4. - С. 225-237.

24. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic rate // Acta Mech. - 1997. - V. 124. - P. 89-105.

25. Bruhns O.T., Xiao H., Meyers A. New results for the spin of the Eulerian triad and the logarithmic spin and rate // Acta Mech. - 2002. -V. 155. - P. 95-109.

26. Meyers A., Xiao H., Bruhns O. Elastic stress ratchetting and corota-tional stress rates // Tech. Mech. - 2003. - V 23. - No. 2-4. - P. 92102.

27. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. The choice of objective rates in finite elastoplasticity: general results on the uniqueness of the logarithmic rate // Proc. R. Soc. Lond. A. - 2000. - V. 456. - P. 18651882.

28. Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Швейкин А.И. О геометрически нелинейных оиределяющих соотношениях уиругого материала // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2015. - № 3. - С. 182-200.

29. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. A natural generalization of hypo-elasticity and Eulerian rate type formulation of hyperelasticity // J. Elasticity. - 1999. - V 56. - P. 59-93.

30. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. A consistent finite elastoplasticity theory combining additive and multiplicative decomposition of the stretching and the deformation gradient // Int. J. Plasticity. - 2000. -V. 16. - P. 143-177.

31. Рыбин В.В. Большие иластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

32. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов.- М.: Мир, 1972. - 408 с.

33. Mandel J. Equations constitutives et directeurs dans les milieux plastiques et viscoplastiques // Int. J. Solids Struct. - 1973. - V. 9. -P. 725-740.

34. Rubin M.B. On the treatment of elastic deformation in finite elastic-viscoplastic theory // Int. J. Plasticity. - 1996. - V. 12. -No. 7. - P. 951-965.

35. Rubin M.B. Physical reasons for abandoning plastic deformation measures in plasticity and viscoplasticity theory // Arch. Mech. -2001. - V. 53. - No. 4-5. - P. 519-539.

36. Rubin M.B. Plasticity theory formulated in terms of physically based microstructural variables - Part I. Theory // Int. J. Solids Struct. -1994. - V. 31. - No. 19. - P. 2615-2634.

37. Rubin M.B. Plasticity theory formulated in terms of physically based microstructural variables - Part II. Examples // Int. J. Solids Struct. -1994. - V. 31. - No. 19. - P. 2635-2652.

38. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева E.C., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

39. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

40. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

41. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

42. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Математическая модель для описания деформирования ОЦК-монокристаллов, учитывающая двой-никование // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. -Т. 4. - № 4. - С. 20-33.

43. Швейкин А.И., Шарифуллина Э.Р. Анализ конститутивных соотношений для описания внутризеренного дислокационного скольжения в рамках двухуровневой упруговязкопластической модели ГЦК-поликристаллов // Вестник Тамбовского государственного университета. - 2013. - Т. 18. - № 4. - С. 1665-1666.

Поступила в редакцию 25.05.2016 г.

Сведения об авторах

Швейкин Алексей Игоревич, к.ф.-м.н., доц., снс ПНИПУ, alexsh59@bk.ru

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru