Мультифрактальная модель с масштабом неоднородности эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов

ГОРНОЕ ДЕЛО И ГЕОЛОГИЯ

УДК 004.942;001.57;51-72;552.08;549.08;539.3

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ С МАСШТАБОМ НЕОДНОРОДНОСТИ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ ГАЗОСОДЕРЖАЩИХ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ

© 2012 г. Р.К. Халкечев

Московский государственный горный университет

Moscow State Mining University

Разработана мультифрактальная модель, определяющая эффективные упругие свойства газосо-держащих породных массивов. Данная модель описывает породный массив в целом как иерархически-стохастическую систему, состоящую из шести уровней: минеральный, газово-минеральный, горнопородный, газовый горно-породный, породно-массивный и газовый породно-массивный. Причем эффективные упругие свойства каждого уровня определяются коллективным свойством взаимодействия структурных составляющих предыдущего.

Ключевые слова: газосодержащий породный массив; мультифрактальная модель; эффективные упругие свойства; неоднородность; газовая пора; иерархически-стохастическая система.

In the presented work, the multifractal model defining effective elastic properties of gassy rock massifs is developed. The given model describes a rock mass as a whole as the hierarchically-stochastic system consisting of six levels: mineral, gassy mineral, mountain geological material, gassy mountain geological material, massive rock and gassy massive rock. And effective elastic properties of each level, are defined by collective property of interaction of structural components of the previous one.

Keywords: gassy rock mass; multifractal model; effective elastic properties; heterogeneity; gas pore; hierarchically-stochastic system.

Согласно общей схеме математического моделирования [1], для начала построим содержательную модель газосодержащего породного массива. Породный массив, согласно данной модели, представляет собой макроскопическую систему, обладающую большим количеством степеней свободы. В свою очередь все системы со многими степенями свободы являются, де факто, иерархическими. В том смысле, что допускают дополнительное описание, по крайней мере, на двух различных уровнях.

Именно поэтому породный массив будем рассматривать как систему, состоящую из трех уровней: минеральный (совокупность зерен); горно-породный (совокупность минералов); породно-массивный (совокупность горных пород). Причем механические свойства каждого уровня определяются коллективным свойством взаимодействия структурных составляющих предыдущего. А именно, механические свойства минерального уровня образуются вследствие взаимодействия структурных элементов (зерен), свойства которых, в свою очередь, определяются из экспериментальных данных. Для горно-породного уровня такой структурной составляющей выступает минерал, свойства которого определяются на предыдущем уровне. И наконец, для породно-массивного уровня таким элементом является горная порода. При нали-

чии газа в породном массиве возникают дополнительные уровни: газово-минеральный (совокупность зерен с включениями в виде газовых пор), газовый горнопородный (совокупность минералов с газовыми включениями) и газовый породно-массивный (совокупность горных пород с газовыми включениями).

Исходя из этого построение математической модели газосодержащего породного массива следует производить на основе теории мультифракталов, описывая каждый уровень по отдельности, с учетом нижележащих.

Разработаем математическую модель минерального уровня с целью определения управляющих параметров, характеризующих механические свойства минерала.

Представим минерал как трехмерную неограниченную анизотропную упругую среду, которую назовем основной, с неоднородностями в эллипсоидальных областях V(х), где x(x1 , X2 , Xз ) - точки среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам минералов. Через C0 обозначим постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна < C > , через C0 + ^ - тензор упругих модулей для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей

среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции C(x) = О, + С-^(x), где V (х) - характеристическая функция области V, занятой неоднородностями. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда V(х) = 1. Необходимо иметь в виду,

что С1 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно, С1 - случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через е0( х) непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С1 = 0 в основной однородной среде при заданных внешних силах, и через е( х) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.

При решении поставленной задачи воспользуемся методом самосогласованного поля [2]. Предположения данного метода применительно к решаемой задаче можно сформулировать следующим образом: 1) поле деформаций е', в котором находится каждая из неоднородностей, складывается из внешнего поля е0 и поля, обусловленного окружающими неоднородностями; 2) это поле одинаково для всех неоднород-ностей и постоянно; 3) каждая из неоднородностей представляется изолированным эллипсоидальным включением в основной среде.

Из условия постоянства е' и согласно результатам, полученным в [3], для поля деформаций е внутри любой неоднородности имеем:

е = (I + ЛС1)~1е',

где I - единичный четырехвалентный тензор; Г

A = -

nn Sn-1

J A0(r()dSл.

<ст>=< C (I + AC^e' > , <ст>= < C (I + AC1)-1 > e'.

Среднюю деформацию < е > среды с неоднородностями получим, усредняя (1) по ансамблю реализации случайного поля неоднородностей,

< е >= < (I + ЛС1)- е' > .

При условии постоянства е' получим

<е >= <

Предположив, что деформирование каждой из неоднородностей описывается законом Гука, и умножив левую и правую части выражения (1) на С, получим выражение для напряжений внутри любой неоднородности:

Се = СЦ + ЛС1)~1е', или ст= СЦ + ЛС1)~1е'.

Среднее напряжение < ст > среды с неоднородно-стями получим, осредняя (3) по ансамблю реализации:

Подставим значение < е > из (2) и < ст > из (4) в обобщенный закон Гука для минералов, зерна которых ориентированы в пространстве случайным образом, записываемый в виде:

< ст >= Сэ < е > и < е >= 5э < ст > ,

имеем < (I + ЛС1)-1 >е' = £эфм < С(I + ЛС^-1 >е'

и получим выражение для тензора эффективных упругих податливостей

^эфм =<

Подставим значение < ст > и < е > в выражение

< СЦ + ЛС1)-1 > е' = Сэфм < С(I + ЛС1)-1 > е'

и получим выражение для тензора эффективных упругих модулей

Сэфм =<

°ТКуда Сэфм = £;фм •

Таким образом, получены в символическом виде общие выражения (6) и (7) для подсчета тензора эффективных упругих модулей и податливостей.

С учетом наличия газовых включений в зернах мы получим новый уровень - газово-минеральный. Для того чтобы описать механические свойства данной среды, разработаем следующую математическую модель.

Рассмотрим трехмерную анизотропную упругую среду с неоднородностью в эллипсоидальных областях, занимающую область V . Объем среды будем считать достаточно большим, чтобы вкладом от поверхностных эффектов в упругие свойства среды можно было бы пренебречь. Эллипсоидальные области в данном случае не прилегают к друг другу и соответствуют порам с газом в зернах минерала.

Поскольку данный уровень включает в себя коллективные свойства предыдущего - минерального уровня, то постоянным тензором упругих модулей однородной среды будет Сэфм. Обозначим через

Сэфм + р15 тензор упругих модулей эллипсоидной неоднородности, где р1 - давление, играющее роль в данной задаче модуля упругости, и 5 - символ Кро-некера;

означает, что давление ниже Сэфм .

Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностью есть кусочно-постоянная функция Сэфм + р15У(х), где х = (х1, х2, х3) - точка среды;

V (х) - характеристическая функция области V, занятой неоднородностями. Необходимо иметь в виду, что р15 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно, р15 - случайный тензор, постоянный в

пределах каждой неоднородности. Пусть е,(х) - непрерывное внешнее поле деформаций, которое суще-

ствовало бы при p15 = 0 в основной однородной среде при заданных внешних силах, и через егм(x) -

кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.

Для решения поставленной задачи, как и на предыдущем уровне, воспользуемся методом самосогласованного поля [2].

Тогда поле, наведенное другими неоднородностями, егм будет удовлетворять следующему соотношению:

8ГМ = (I ± АА8)-1е 'г:

Среднюю деформацию <егм > среды с неодно-родностями получим, усредняя (8) по ансамблю реализации случайного поля неоднородностей. Это среднее будет складываться из условий, когда два радиуса-вектора попадут в одно и то же включение и когда они попадут в два разных включения. С учетом этого, по предыдущей схеме, получим для тензора эффективных упругих податливостей для газово-минерального уровня:

^фгм = ^фм - ^фм < ТТ(P18)(I ± АР18) 1 >

V

I +

--J K (R)F (R)dV

S.

зфм '

S = S

зфгп зфгм

^эфгм < V С1гп (I ± А^1гп ) >

I+

--J K (R)F (R)dV

S

зфгм5

где С1гп - случайный тензор, определяемый как разница между тензором упругих модулей среды с неод-

нородностями (соответствующих минералам) и тензором эффективных упругих модулей Сэфгм.

А тензор эффективных упругих модулей горнопородного уровня, с учетом (10), находится из выражения Сэфгп = ^эфгп 1 .

При наличии газа на предыдущем уровне образуется новый уровень - газовый горно-породный. Для данного уровня входными данными будет Сэфгп , полученный на газово-породном уровне.

Тензор эффективных упругих податливостей для данного уровня будет определяться следующим образом:

S

зфггп

^эфгп Sзфгп < Т0 С1ггп(I ± А^1ггп) >

V

+ - JK(R)F(R)dV

S

зфгм, '

I+

где С1ггп - случайный тензор, определяемый как разница между тензором упругих модулей среды с неод-нородностями (соответствующих порам газа в минералах) и тензором Сэфгп .

Как и в предыдущих случаях, тензор эффективных упругих модулей газового горно-породного уровня, с учетом (11), находится из следующего соотношения:

где V, - объем неоднородности; V - объем среды, приходящийся на каждую неоднородность; п - концентрация неоднородностей; для построения функции F(Я) под интегралом в данном выражении необходимо задаться конкретной моделью случайного поля неоднородностей в среде; £эфм - определяется по

формуле (6).

Тензор эффективных упругих модулей может быть получен из (9) по следующей формуле: Сэфгм = ^эф™^ .

С точки зрения математического моделирования последующие уровни не будут отличаться, за исключением входящих данных. Для горно-породного уровня входными данными будет тензор упругих модулей Сэфгм, полученный на газово-минеральном уровне.

Тензор эффективных упругих податливостей для данного уровня будет определяться следующим образом:

С

= Si,

эфггп эфггп

Аналогичным образом определяются эффективные константы породно-массивного и газового породно-массивного уровней. Входными данными для первого из них служит Сэфггп, для второго Сэфпм -

являющегося тензором эффективных упругих модулей, определенным на нижележащем уровне.

Таким образом, нами получена мультифракталь-ная модель с масштабом неоднородности эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов, которая описывает породный массив в целом как иерархически-стохастическую систему, состоящую из 6 уровней: минерального, газово-минерального, горно-породного, газового горно-породного, породно-массивного и газового породно-массивного.

Литература

1. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М., 1994. 272 с.

2. Слэтер Дж. Методы самосогласованного поля. М., 1978. 670 с.

3. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Докл. АН СССР. 1971. Т. 199, № 3. С. 127 - 132.

Поступила в редакцию

7 сентября 2011 г.

Халкечев Руслан Кемалович - канд. физ.-мат. наук, докторант кафедры «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет. Тел. 8-928-925-63-36, (8652)36-27-63. E-mail: syrus@list.ru

Khalkechev Ruslan Kemalovna - Candidate of Physico-Mathematical Sciences, doctoral candidate at department «Physics of geological materials and processes», Moscow State Mining University. Ph. 8-928-925-63-36, (8652)36-27-63. E-mail: syrus@list.ru

-1

-1

-1