Повышение качества математического образования студентов интеграцией разделов алгебры и аналитической геометрии на примере изучения систем линейных неравенств

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ

УДК 372.851

О. В. Янущик, А. И. Шерстнёва, Е. С. Пескова

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТУДЕНТОВ ИНТЕГРАЦИЕЙ РАЗДЕЛОВ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРИМЕРЕ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Изучена целесообразность использования интеграции разделов линейной алгебры и аналитической геометрии на примере систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными для повышения качества математического образования студентов.

Ключевые слова: интеграция, системы линейных гуры.

Каждый год в нашей стране и за рубежом появляются новые технологии, научные разработки, инновационные проекты. Это приводит к тому, что требования к качеству образования выпускников вуза неуклонно растет. Выпускник вуза должен не просто обладать определенным количеством знаний, но и уметь анализировать, обобщать полученные знания, интегрировать знания из различных отраслей науки. Поэтому одной из основных задач высшей школы является задача научить студента быть думающим, хорошо ориентированным в современных тенденциях науки и производства специалистом.

Базовой частью образования остается, конечно, усвоение основ фундаментальных наук, таких как математика, физика, химия. На качество усвоения знаний влияет тот факт, что материалы различных дисциплин изучаются отдельно, разобщенно, не связанно между собой. Очень часто у студентов возникает вопрос: где связь между различными разделами математики? Они сначала изучают линейную алгебру, затем аналитическую геометрию и не могут понять, что между ними общего? Для студентов это две не связанные между собой науки. Разделение алгебры и геометрии ведет к тому, что учебная дисциплина «Математика» для многих студентов представляется не как целостная система, а как конгломерат отдельных, не связанных друг с другом элементов. Овладеть же основами какой-либо науки, как указывает М. Н. Скаткин, «значит, прежде всего, овладеть системой взаимосвязанных понятий этой науки».

Конечно, количество часов не позволяет показать обширно, как связаны между собой эти дисциплины, однако студенты должны понимать, что все взаимосвязано, что математика едина.

неравенств, плоскости, полуплоскости, выпуклые фи-

Поэтому задача преподавателя заключается в стремлении объединить разобщенные науки в общую систему научного знания, т. е. в их интеграции.

Последние десятилетия в развитии современной науки как главная тенденция просматривается единство процессов дифференциации и интеграции. С одной стороны, наблюдается все более узкая специализация, рождение новых научных дисциплин, отпочкование отделов науки в качестве самостоятельных наук. С другой стороны, возникновение ценных отраслей знаний на стыке двух и более наук, возрастание числа общенаучных понятий, взаимопроникновение научных методов требует комплексного подхода в научных исследованиях.

С началом текущего века, как заметил Б. М. Кедров, «в развитии естествознания выступили две прямо противоположные и казалось бы взаимоисключающие тенденции: одна состояла в раздроблении и разветвлении наук, их дифференциации, другая, напротив, - в стремлении объединить разобщенные науки в общую систему научного знания, т е. в их интеграции» [1].

Сходная тенденция наметилась и в сфере образования, так как «наука - основа формирования содержания образования», - отмечает И. Д. Зверев [2]. В совершенствовании содержания образования в эпоху развития научных знаний, их философского и методологического обобщения особую роль играют те компоненты, которые способствуют развитию творческого потенциала личности современного студента, умению самостоятельно пополнять свои знания и ориентироваться в стремительном потоке политической, научной и технической информации. Первостепенное значение поэтому здесь приобретают такие компоненты содержания

образования, которые отражают тенденции интеграции научного знания. Их значимость обусловлена определяющей ролью интеграционных процессов науки в формировании современного стиля научного мышления и мировоззрения человека. В создании теории содержания высшего образования важным этапом является выявление дидактических эквивалентов, соответствующих процессу интеграции современной науки.

Решение поставленной проблемы включает в себя исследование вопроса о возможности и целесообразности введения единого курса математики, в раскрытии путей интеграции алгебраического и геометрического материала в этом курсе.

Характерной чертой современной математики является широкое проникновение алгебраических методов, алгебраического стиля рассуждений во все ее разделы. В изложении геометрического материала могут эффективно использоваться алгебраические методы. Широкое применение геометрического языка при изложении материала является одним из условий успешной интеграции курса математики. При этом образный наглядный геометрический язык становится средством для установления аналогий между алгеброй и геометрией.

Объективная причина появления интеграции в содержании образования - стирание границ между областями научного знания, между науками, в том числе - фундаментальными.

Покажем, как можно провести интеграцию разделов алгебры и аналитической геометрии, используя системы линейных неравенств. Приведем несколько аргументов в пользу включения в раздел аналитической геометрии темы «Системы линейных неравенств».

В математике неравенства встречаются повсюду: в ее классических разделах (например в геометрии, дифференциальных уравнениях, теории чисел) и в сравнительно новых (таких как теория автоматов, синтез схем, теория кодирования и др.). И ничего удивительного в этом нет, так как «основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами».

Всякое функциональное соотношение между переменными у и х вида у >Дх) при определенных ограничениях, накладываемых на функцию, может быть рассмотрено как линейно, в определенном интервале изменения значений х с помощью разложения в ряд Тейлора или Маклорена, и, таким образом, в этом интервале значений х окажутся приложимыми все результаты теории систем линейных неравенств.

Теория систем линейных неравенств - небольшой, но увлекательный раздел математики. Интерес к нему обусловлен в значительной мере красотой геометрического содержания, так как в перево-

де на геометрический язык задание систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными означает задание выпуклой многоугольной области на плоскости или, соответственно, выпуклого многогранного тела в пространстве. Тем самым, учение о выпуклых многогранниках - древняя, как мир, часть геометрии - превращается в одну из глав теории систем линейных неравенств.

Эта тема имеет немаловажное идейное значение. Она предоставляет большие возможности для математического развития обучающихся, ведь в этой теме продолжается линия неравенств, излагавшаяся в течение предшествующих лет обучения.

Интересна также алгебраическая часть данной теории. Например, к ней относится замечательная аналогия между свойствами систем линейных неравенств и систем линейных уравнений.

В середине XX в. возникла новая отрасль математики - линейное программирование: первые идеи методов линейного программирования следует отнести к 1939 г., когда Л. В. Канторович в работе «Математические методы в организации и планировании производства» поставил и решил ряд задач, относящихся к вопросам рационального раскроя материала и к другим экономическим проблемам. Любая задача линейного программирования сводится к решению некоторой системы линейных неравенств.

В беседах с учителями школ и преподавателями вузов было замечено, что как школьники, так и студенты на предложенную задачу: изобразите графически решение неравенства с двумя и тремя переменными, затрудняются сделать чертеж. Трудности заключаются в том, что после того как изображена кривая линия, соответствующая данному неравенству, необходимо определить, какая часть плоскости является решением этого неравенства. Такие задачи, например, встречаются при определении области допустимых значений функции двух, трех переменных. Еще более сложными для понимания являются системы неравенств, где нужно найти пересечение решений каждого из неравенств, входящих в систему.

Интерес к изучению геометрической интерпретации систем линейных неравенств вызван еще тем фактом, что геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек плоскости или пространства, из которых она состоит. Задать фигуру - значит записать такое отношение между координатами этих точек, по которому можно определить, принадлежит та или иная точка этой фигуре или нет. Геометрическое решение систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными играет важную роль в общеобразовательном аспекте изучения свойств пространства, геометрического представления фигур, развития аналитического и образного мышления, а также занимает немало-

важное место в прикладной, современной направленности обучения геометрии (является основой построения выпуклых множеств, решения систем линейных неравенств в линейном программировании).

При изучении раздела аналитической геометрии только уравнения плоскостей, кривых и поверхностей второго порядка задаются аналитическим образом. Задание других тел или фигур на плоскости или в пространстве в виде аналитической записи не рассматривается. И, как правило, многогранные фигуры вообще не изучаются в своей аналитической форме. После изучения решения систем линейных уравнений эта тема не рассматривается в разделе аналитической геометрии. Поэтому у студентов не возникает связи между разделами алгебры и геометрии и не появляется ощущение единства математики.

Таким образом, можно сделать вывод, что ознакомление с идеями и методами аналитического представления разнообразных геометрических фигур дает преподавателю большие возможности для оживления и обогащения курса математики.

В геометрической интерпретации систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными выделяется четыре основных пункта: аналитическая запись отрезка и понятие сложения множеств; выпуклые множества и их свойства, в частности выпуклые многоугольники и многогранники; графическое решение линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными; графическое решение систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными.

Параллельно с изучением аналитической записи прямых и плоскостей целесообразно показать геометрическую интерпретацию систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными. В разделе аналитической геометрии рассматриваются понятия плоскости, пространства, полупространства, координатного метода. Последнее понятие позволяет рассмотреть геометрические понятия с аналитической точки зрения. Поэтому целесообразно рассмотреть параллельно с аналитической записью прямой и плоскости также аналитические записи полуплоскости, полупространства, отрезка, понятие суммы множеств. Здесь же можно включить теорему о связи систем линейных неравенств с тремя неизвестными с многогранниками.

Приведем задачи, показывающие связь разделов алгебры и геометрии.

1. Приведите примеры неравенств, которые задают:

а) полуплоскость,

б) полосу,

в) параллелепипед,

г) квадрат,

д) угол.

2. Какое множество точек получится при пересечении:

а) двух полуплоскостей,

б) трех полуплоскостей?

3. Может ли получится четырехугольник пересечением:

а) трех полуплоскостей,

б) четырех полуплоскостей,

в) пяти полуплоскостей?

4. Приведите все возможные варианты фигур, получающихся пересечением четырех полуплоскостей.

5. Назовите наименьшее количество полупространств, при пересечении которых получается: а) треугольник; б) куб; в) прямоугольник; г) круговой конус; д) четырехугольная пирамида; е) шестиугольная призма; ж) цилиндр.

6. Задайте аналитический вид параллелограмма ЛБСБ, если Л(0,0), Б(1,1) и

а) С(2,0),

б) прямая ЛС наклонена к оси абсциссы под углом а = 30°, ЛС = 4.

7. Задайте треугольник с вершинами Л(1,4), Б(3,2), С(0,0).

8. Запишите с помощью неравенств множества, представляющие собой в плоскости ХОУ многоугольники со следующими вершинами:

а) Л(1,8), Б(5,2), С(6,6);

б) Л(2,6), Б(6,9), С(9,3), Д5,-3);

в) Л(1,4), Б(4,1), С(8,2), Д6,9), £(1,8).

9. Докажите, что прямая разбивает выпуклое множество на две части, которые являются выпуклыми множествами.

10. Дана система линейных неравенств

х - у+1<0,

< -9х+8у-11<0,

3х - 2 у-1<0.

Какую геометрическую фигуру она описывает?

11. Найдите пары целых чисел, удовлетворяющих неравенствам

[ х - у| +1>0,

12. Изобразите на координатной плоскости ХОУ множество решений системы неравенств

|у > х + 3,

I у <-х + 3.

13. Изобразите на координатной плоскости фигуру, координаты точек (х,у) которой определяются неравенством | х - а | + | у - Ь | < Я, где Я > 0. Найдите площадь этой фигуры.

14. Постройте области решения следующих систем линейных неравенств, используя геометрическую интерпретацию:

-х + у < 2,

1. \ 5х + 2у > 10,

5х - 2у < 10.

2.

х-y >-3,

6x + 7y < 42, 2x - 3y < 6, x > 0.

- х + 2 у - г < 1,

3. < 4х-3у + г < 12,

7х + 4у - 2г < 28.

15. Всегда ли является многогранником

а) пересечение двух многогранников,

б) объединение двух многогранников?

16. Приведите примеры, подтверждающие ответ на предыдущий вопрос, и примеры, когда пересечение многогранников не будет многогранником.

17. Запишите систему линейных неравенств, выражающую тетраэдр, вершина которого лежит в начале системы координат ХУ2, а все ее боковые ребра лежат на осях ОХ, ОУ, 02 и равны 3 см.

18. Запишите аналитическую модель правильной пирамиды, основание которой лежит в плоскости ХОУ, и центр описанной окружности, радиуса г, треугольника, являющегося основанием, лежит в начале системы координат, а все ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°.

19. Каким количеством полуплоскостей надо воспользоваться, чтобы при их пересечении получилась фигура, изображенная на рисунке:

а)

г)

б)

в)

д)

е)

Список литературы

1. Кедров Б. М. Предмет и взаимосвязь естественных наук. М., 1967. 302 с.

2. Зверев И. Д., Максимова В. Н. Межпредметные связи в современной школе. М.: Педагогика, 1981. 160 с.

Янущик О. В., кандидат педагогических наук, доцент кафедры.

Томский политехнический университет.

Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.

E-mail: sherstneva@tpu.ru

Шерстнёва А. И., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры.

Томский политехнический университет.

Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.

E-mail: sherstneva@tpu.ru

Пескова Е. С., аспирант.

Томский политехнический университет.

Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.

E-mail: sherstneva@tpu.ru

Материал поступил в редакцию 22.06.2010.

O. V Yanushchik, ^ I. Sherstnyova, E. S. Peskova

INCREASING QUALITY OF STUDENTS’ MATHEMATICAL EDUCATION BY MEANS OF ALGEBRA AND ANALYTICAL GEOMETRY SECTIONS INTEGRATION ON EXAMPLE OF STUDY OF LINEAR INEQUALITIES SYSTEMS

The expedience of use of linear algebra and analytical geometry sections integration on the example of linear inequalities systems with two and three unknowns for increasing students’ mathematical education quality is shown in the article.

Key words: fusion, system of linear inequalities, planes, half-planes, prominent figures.

O. V. Yanushchik

Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru

A. I. Sherstnyova

Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru

Peskova E. S.

Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru