Конечное неизотермическое деформирование резинового шара

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 84-90 Механика

УДК 539.3

Конечное неизотермическое деформирование резинового шара *

Д. В. Христич, Ю. В. Астапов

Аннотация. На основе постановки связанной термомеханической задачи исследовано напряженно-деформированное состояние резинового шара в процессе его движения по осесимметричному каналу переменного диаметра под действием внешнего давления в неоднородном поле температур.

Ключевые слова: термомеханика, конечные деформации, связанные краевые задачи, осесимметричные задачи.

В последнее время в огнестрельном оружии стали применяться резиновые пули. Они используются в травматическом оружии, предназначенном для охраны общественного правопорядка и личной самообороны, а также в боевом оружии, находящемся на вооружении силовых структур. В последнем случае специальные устройства [1] позволяют использовать боевое оружие в качестве оружия травматического действия. В статье [2] представлены результаты математического моделирования процесса функционирования штатного оружия в дополнительном режиме нелетального действия с использованием специальных устройств, обеспечивающих надежность работы автоматики оружия и выполнение требований по травмобезопасности. В этой работе предпринята попытка совместного решения задачи о движении пули по каналу ствола под действием пороховых газов и задачи по определению напряженно-деформированного состояния сферической резиновой пули. Модель деформирования пули при ее движении по каналу ствола построена в рамках линейной теории упругости в предположении о несжимаемости материала пули. Однако из данных о диаметрах пули (9,3 ± 0,05мм) и внутреннего канала ствола (6мм) [3] следует, что деформации пули могут составлять до 35 %.

Из приведенной в [4] таблицы, в которой содержатся данные о внутреннем диаметре гильзы и диаметре сферической резиновой пули, следует, что деформации пули, вызванные ее начальным обжатием в снаряженном

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а, 15-01-01875-а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).

патроне, составляют около 16 %. В связи с этим целесообразно определять напряженно-деформированное состояние пули с использованием нелинейных определяющих соотношений, учитывающих конечные величины деформаций.

В рамках постановки связанной краевой задачи конечного деформирования, выполненной в статьях [5-7], численно решена задача о неизотермическом продавливании предварительно обжатого резинового шара через отверстие меньшего диаметра.

В основе численного решения лежит система уравнений связанной задачи нелинейной термоупругости в начальной конфигурации для изотропного тела, полученная в статье [8]. Эта система уравнений включает:

условие равновесного протекания процесса деформирования в вариационной форме

I ( (и-1)' • X я • я + и-1 • X я • & + и-1 • X я • &) "¿(я ^ (1Уо = = I Ро • 5уйХо + I Ро • 5уйУ0,

£0 Уо

где Xя = \J~gR • § • & 1, § — тензор истинных напряжений Коши; С и

'а п § & 1

д — метрические тензоры соответственно в текущий и начальный моменты

времени; и — левая мера искажений, К — ортогональный тензор в полярном разложении аффинора деформаций Ф = К • К; V — вектор скорости; Р0 и Р0 —

о

внешние поля поверхностных и массовых сил соответственно; V = ё^дх — набла-оператор в отсчетной системе координат;

уравнение нестационарной теплопроводности в вариационной форме

J (ШаОТ + е£роТ) 5Т йУо = - J По • (о^Т ёХо - J А УТ • ^УТ^ йУо,

Уо £о Уо

где с£ — удельная теплоемкость материала при постоянной деформации, р0 — начальная плотность, А — коэффициент теплопроводности, а — коэффициент линейного теплового расширения, К — объемный модуль упругости среды, (о — вектор теплового потока на границе тела, П0 — единичная внешняя нормаль к поверхности Хо, 0 — скорость относительного изменения объема, Т — температура;

определяющие соотношения

Xя = [К - 2О)0Е + 2СМ - 3Ка

где М — неголономная мера деформаций, определяемая из дифференциального уравнения [9] М = \ (й/  У + Ц  й^, С — модуль сдвига материала;

2

кинематические соотношения ¿и

V = ~Г ,

¿г'

о

Ф = ^У,

У  и + и  и= [Чу

Т= ¿1

1 ¿г'

начальные условия

Фт + Ф

й\1=1о = йь(х), ц/.. = ^ (X), 5

¿=¿00

д

¿=¿0

= 5_ (х), Т\4=4о = То(х). (5

до

Граничные условия статического типа предусматривают задание в каждой точке поверхности 5р закона изменения внешних сил как функции времени:

р = Ро(х,г) х е 5р уг>го.

При задании граничных условий кинематического типа в каждой точке поверхности 5и определяется закон изменения перемещений материальных точек

й = й0 (х, г) х е 5и ш > г0.

Предполагается, что функции Р0 и и0 дифференцируемы по времени. Для поля температур рассматриваются условия свободного теплообмена в виде закона Ньютона, заданные на поверхности 5т:

дТ

- + а(Т - Те) = 0 х е 5т Уг>г0, дп0

(8

где а — коэффициент теплообмена, Те — температура окружающей среды.

Начально-краевая задача (1)—(8) решается численными методами конечных элементов и пошагового нагружения.

Приведем исходные данные и результаты решения задачи. Радиус шара в недеформированном состоянии Г0 = 10 мм. Материал шара изотропный и имеет следующие характеристики: модуль Юнга Е = 8  106Па, коэффициент

Пуассона V = 0, 4, коэффициент линейного расширения а = 2, 3  10"4К_1,

кг

м3 :

начальную плотность р0 = 1, 2  103 м-, удельную теплоемкость е£ = 1, 42

103 кгТК, коэффициент теплопроводности Л0 = 0,16 Кт

м

Процесс деформирования шара состоит из двух стадий. На первой стадии происходит осесимметричное обжатие, в результате которого шар помещается внутрь цилиндра радиусом Гх = 9 мм. На второй стадии к шару прикладывается давление р, линейно возрастающее с течением времени.

Схема нагружения шара на второй стадии приведена на рис. 1: г\ = Эмм, Г2 = 8,16 мм, /3 = 60°. Начальная температура во всех точках То = 293 К. Расчет производился до достижения величины давления, действующего на поверхность £1 образца, р = 3,36 • 106Па = 1,17667 (С — модуль сдвига материала шара) при скорости ее изменения р = 2,4 • 107ЙД.

Граничные условия (6)-(8) при рассматриваемой схеме нагружения принимают вид:

х е Ха : Р= -р*Йо, Те = 2000К; х е £2 : уп = 0, РТ = 0, Те = 293К; х е £3 : = = Ро2) = Те = 293К-

Рис. 1. Схема нагружения резинового шара

Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния резинового шара представлены на рис. 2-5. На этих рисунках показаны распределения напряжений, отнесенных к модулю сдвига С.

До приложения давления (при р = 0) в шаре действуют сжимающие напряжения, вызванные его деформациями при помещении шара в цилиндр меньшего радиуса. Наибольшие по модулю напряжения на этой стадии процесса деформирования возникают в экваториальном сечении шара, контактирующем с внутренней поверхностью цилиндра.

При возрастании давления абсолютные значения напряжений в теле увеличиваются, а характер их распределения по сечению шара изменяется.

а б в

Рис. 2. Распределения напряжений в шаре при р = 0: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения

а б в

Рис. 3. Распределения напряжений в шаре при р = 0,496С: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения

а б в

Рис. 4. Распределения напряжений в шаре при р = 0, 832С: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения

1-3.5

а б в

Рис. 5. Распределения напряжений в шаре при р = 1,176С: а - радиальные напряжения; б - тангенциальные напряжения; в - осевые напряжения

Происходит перераспределение напряжений в области контакта тела с конической поверхностью, соединяющей цилиндры с радиусами Г1 и Г2.

Форма поверхности рассматриваемого деформируемого тела значительно изменяется в процессе его движения внутри цилиндров и усеченного конуса. Величина возникающих напряжений и деформаций существенно зависит от начального радиуса шара и геометрических параметров поверхности 52.

Приведенное решение задачи позволяет проследить за развитием напряженно-деформированного состояния в упругой сферической пуле на начальном этапе выстрела из травматического оружия.

Список литературы

1. Патрикова Е.Н. Математическое моделирование процесса функционирования табельного оружия в режиме нелетального действия // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2012. Вып. 11. Ч. 1. С. 33-39.

2. Патрикова Е.Н. Математическая модель процесса функционирования штатного оружия в режиме нелетального действия // Концепт. 2013. Современные научные исследования. Выпуск 1. ART 53224. URL: http://e-koncept.ru/2013/53224.htm. Гос. рег. Эл № ФС 77-49965.

3. Патрикова Е.Н. Сравнительный анализ результатов экспериментальных исследований процесса функционирования табельного оружия в режиме нелетального действия // Концепт. 2014. Современные научные исследования. Выпуск 2. ART 54639. URL: http://e-koncept.ru/2014/54639.htm. Гос. рег. Эл № ФС 77-49965.

4. Травматический патрон: пат. 2348892 С 1 Российская Федерация; МПК8 F 5/02 / Гринберг М.В. (RU), Кузьменко О.Л. (RU), Соколов В.М. (RU); патентообладатели Гринберг М.В. (RU), Кузьменко О.Л. (RU), Кузьменко Т.Н. (RU), Соколова А.З. (RU), Черновская Н.И. (RU) - № 2007119484/02; заявл. 28.05.2009; опубл. 10.03.2009, Бюл. № 7. 9 с.

5. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Описание конечных деформаций твердых тел в отсчетной конфигурации // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 2. С. 156-166.

6. Христич Д.В., Астапов Ю.В., Глаголев Л.В. Постановка задачи конечного деформирования анизотропных тел в терминах начальной конфигурации // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 148-157.

7. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Решение краевых задач нелинейной термоупругости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 123-136.

8. Христич Д.В., Астапов Ю.В. Учет взаимного влияния полей напряжений, деформаций и температур при решении задачи Ламе // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 67-73.

9. Маркин А.А., Соколова М.Ю, Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.

Христич Дмитрий Викторович (dmitrykhristich@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Астапов Юрий Владимирович (ast3x3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Finite non-isothermal deforming of a rubber sphere

D. V. Khristich, Yu. V. Astapov

Abstract. On the basis of coupled thermomechanical problem positing a stress-strain state of a rubber sphere during its movement along an axisymmetric channel of variable diameter under action of outer pressure in inhomogeneous temperature field is investigated.

Keywords: thermomechanics, finite deformations, coupled boundary problems, axisymmetric problems.

Khristich Dmitry (dmitrykhristich@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, department of mathematical modelling, Tula State University.

Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 10.02.2015