Поиск локального минимума в задаче размещения прямоугольников на линиях

РАЗДЕЛ IV ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.85

ПОИСК ЛОКАЛЬНОГО МИНИМУМА

В ЗАДАЧЕ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ НА ЛИНИЯХ

Н.С. Веремчук

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Россия, г. Омск

Аннотация. Рассматривается задача оптимального размещения взаимосвязанных прямоугольных объектов на параллельных линиях с запрещенными зонами. Размещение внутри запрещенных зон не допускается. Объекты связаны между собой и с зонами. Метрика прямоугольная, критерий - минимизация суммарной стоимости связей объектов между собой и с зонами. Такие задачи необходимо решать, например, при проектировании расположения элементов сложных систем. Построена модель частично-целочисленного линейного программирования поиска локального оптимума задачи. Проведен вычислительный эксперимент с использованием предложенной модели и пакета IBM ILOG CPLEX.

Ключевые слова: математическая модель, задача Вебера, запрещенные зоны, параллельные линии, прямоугольная метрика.

ВВЕДЕНИЕ

Анализ и решение задач оптимального размещения - это интенсивно развивающееся направление исследования операций [1, 2]. Задачи такого класса имеют важное прикладное значение, их необходимо решать при создании генеральных планов предприятий, в частности нефтехимических, размещении технологического оборудования в цехах, например, швейного производства, проектировании электронных устройств. По наличию связей между объектами в задачах оптимального размещения выделяют два класса: размещения-распределения и размещение взаимосвязанных объектов. В задачах первого класса объекты сначала размещаются, а затем устанавливаются связи между ними, а второго - объекты размещаются с заранее заданными связями между ними.

Одним из подклассов задач размещения взаимосвязанных объектов является задача Вебера [3, 4]. Задача заключается в расположении объектов на плоскости среди фиксированных объектов так, чтобы суммарная стоимость связей между всеми объектами была минимальной. Впервые такую задачу сфор-

мулировал Ферма в 17 веке: "Для трех фиксированных точек на плоскости найти такое расположение четвертой точки, чтобы сумма расстояний от нее до фиксированных была минимальной". В 1909 году Вебер использовал эту модель для определения оптимального расположения фабрики и складов с сырьем.

Многообразие постановок задач Вебера определяется учетом размеров объектов, структурой области размещения и различными ограничениями. Одно из её обобщений связано с учетом запрещенных зон, в которые нельзя размещать объекты. Такими зонами могут быть, например, имеющиеся строения и оборудование, которое остается на месте при модернизации предприятия. При этом, для создания прямых проездов и удобства обслуживания оборудования, часто требуется регулярность размещения вдоль, так называемых, «красных линий» [5].

В данной работе рассматривается задача Вебера для прямоугольных объектов на параллельных линиях с запрещенными зонами. Расположение линий зафиксировано. Размещаемые объекты и зоны - прямоугольники, центры которых связаны между собой.

©

©

в с к к С 0 С з к в с а

......................... |>< .................................

Ш

Во

Ш

о

Ш

о

<=а

— ---

©

В литературе рассматриваются различные подходы длярешения задач оптимального размещения прямоугольных объектов. Достаточно исследован сматематической точки зрения частный случай рассматриваемойзадачи, когда нет связеймежду объектами - этозада-чи раскроя и упаковки. Для решения таких задач используютсяметеды линейногопрограм-мирования, динами^<^ского перебора и другие [6, 7]. В [8] рассматривалась задача упаковаи несвязанных между собой примо^ольн^к(ав в полубесконечную полосу минимальной длины с зап^щенныме зонеми. Пррдложен веро-поискгз с запретаьи ^к^я нахоадения приближенного решения. Для построения мн ожества Парето-оптимальных решений в з адаче размещения прямоугольников на линиях без запрещенных зон применялся аппарат целочисленной оптиммзации и ди-намическок^о программирования [5]. В работе [4] рассматривалась задача размещения взаимосвязанных прямоугольников на линиис запрещеннымизонами. Разработан алгоритм поиска приближенного решенияиисходная непрерывная задача сведена к серии дискретных. Алгоритм поиска локального оптимума такой задачи и вариа нты нижних оце но к зн а-чений целевойфункции описаны в [3].

В данной статье приводится обзор областей практического применения сформулириван-ной выше задачи. Для нахождения локального оптрмума построена математическая модела частично-целочисленного линейного программирования (ЧЦЛП) с булевы ми переменными и проведен вычислительный эксперимент с использованием предложенной модели и пакета СФ1.ЕХ.

6000 6000 6000 6000 6000 6000 6000

42000

Ф © Ю <А>

Рис. 1. План участка швейного цеха

ОБЛАСТИ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ

Задачи оптимального размещения пря-моуголь ных объектов имеют достаточно широкий спектр практических применений. При разработке схем генеральных планов нефтехимического предприятия одной из наиболее трудоемких задач проектирования является рациональное размещение технологического оборудования на строительной площадке. Обо|аудование, аппроксимированное прямоугольниками, связано ме>ццу собой различными коммуникациями,например,трубопроводами. Для нефтехимическихпредприятий стоимость трубопроводных евьзей может составлятн до 25 процентов от общих капитальных затрат. Поэтому необходимо располагать технологические установки так, чтобе стоимость трубопроводных связей была минимальной. Это сокращаетзатратына коммуникацию. Затраты выражаются какстоимостью трубопроводов, так и энергетическими и тепловыми потерями на трарспортироеку газов и жидкостей, затратами на теплоизоляцию. Для удобства обслу-я^ванияоборудования создаются прямые проезды, и поэтому оборудование размещается вдоль, так называемых, «красах линий» [3,5].

Рассматриваемая задача может применяться, в частн ости, и при разработкепланов швейныхучастков и цехов[9].Проектирование технологическихпроцессов по изготовлению одеады с; одной стороны схоже с проектированием различных производственных систем, а с д ругой стороныим еет свою специфику, определяемую высокой сменяемостью моделей, применением разнообразного оборудования,

большая часть которого не может взаимоза-менять друг друга. Швейное оборудование обычно группируется в специализированные модули с учетом само го оборудования, зон обслуживания, рабочих мест. Модули аппроко симируют прямоугольниками и размещают их на плане производственного участка или цеха. Размещение осуществляется вдоль направляющих осей, характеризующих способ размещения потока [з [цехе. Положение; осе й определяется с учетом основных: проходов между технологически ми модулями, зон запуска и сбора готовой продукции, а также нормативами по размещению оборудования внутри швейного цеха. Связями могут быть, например, коле-чество изделийв час, предаваммых от одного модуля к другому. При п ег>еналадке гроизгод-ства частьоборудовани я может оставаться на месте, далее его можно рассматрувать в качестве запрещееных зон. Задача размещения формулируется слудующим образом: необходимо расположить еовое оборудование (модули) среди имеющегося (запрещенные зоны) на направляющих ооях так, чтобы суммарные затраты на передачу изделий от одного станка к другому были минимальными. На рисунке 1 изображен план участка швейного цеха, где обозначены единицы технологического обору-д о вания: В - шдн.игольная машина, С - транспортер, I - вышивальныо автомат, К - утюжильный стол, и - пресс, 1_ - ахтоматический пххоманекен, А - ручное рабочее место. Все расстояния указаны в миллиметрах.

Наряду с вышесказанным, одним из приложений указанной задачиможхо рассматривать задачу синтеза топологии больших интегральных схем (БИС). Проектироещики чипа определяют, какие единицыбудут использоваоьея, и какие из них должны быть сгяоёны (логическая стадияпроектирования). Обычео логические единицы - прямоугольники (клетки). Кроме размеров, каждая -летка характеризуется ее контактными центрами (терминалами). Тер-миналыдолжны быть связаны между собой. Таким образом, задача состоит в том, отобы определить местонахождение клеток в определенной прямоугольной области (чип) и соединить их в сеть. При ее решении стреннятся с одной стороны обеспечить трассировку соединений, а с другой - минимизировать искажения сигналов о межэл ементнпх свясях [1—.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Имеются параллельные оси ОХ отрезки длины ш^ с фиксированными прямоугольниками (запрещенными зонами) и прямоуголь-

ные объекты, центры которых связаны между собой ис зонами. Н еобходимо расположить объекты на отрезках вне зон тан, чтобы оно не пересекались между собой и с зонами, и сумма.ная стоимость связей объектов ме>еду собой и о зонами была минимальной.

Обозначим через Х11 - размещаемые объекты с неизвестнымикоординатами центров (х,,>-,) и длинами / е/= {1,...,и}, ..,*„), у = (у1,...,у„)\ -зоныско-орцинатами цензров идлинами р^

{1,...,аа}; уу.. П 0 ,и.к П 0 - удельные стоимости связей между X. и Г, , X, и Хк ,

I ] I К

/, к - /, у е J , / </т. Пусть лева я граница кеждого отреека I - это точка с соордината-

ми (0, Шуг), где о £Q = {l,..., и}. При фи кзиро-в анном раеположении оОъе.тов множество 3 можео быть представленов .иде объединения

^ ^ НШШ'' где чеРез Ш, о.означено множество номеров оМъектов, расположенныхнали-

нии /е ¡2 . Еслизона ^.размещена на линии /, то Ь2у —Юуг Необходимо разместить объекты X1,..., Хп на отрезках вне зон а1,..., Рт так, чтобы они не пересекались, и суммарная стоимость связей объектов между собой и с зонами, измеряемая с помощью прямоугольной метрики, была минимальной. Допустимая

область В несвязная и состоит из набора а непересекающихся отрезков (блоков) Въ с длинами Шк, в которые размещаются объекты

X,/к/, В = ньх.

С учетом введенных обозначений целевая функцияимеетвид:

n m

хy) = SSWj -bu i=1 j=1

+

|y,-b2 ji)-

+

n 1 n

S Sut (k -xk1 +1 yi -Укmin-

г=1 к дс1

Задача для одной линии ЯР-трудная, поиск её допустимого решения - это построение одномерной упаковки в контейнеры [11]. В данном случае упаковываются объекты с

длинами ¡1, г е I, в контейнеры размерами

Ьк, к = 1,...,г. Исходная непрерывная задача сводится к дискретной и к серии задач меньшей раз мерности одинаковой структуры [¡3, 4].

Пусть (х, у) - некоторое допустимое решение задачи, которое однозначно определяет разбиение Х^...,^ по блокам. Обозначим через /й(х, у) - множество номерев объектов в блоее Вь, б = 1 ,...,г . Дс^п^тст^имое

решение (х,у) сформулированной задачи будем называть локалпным ^/1ииимм^1^101\/1,

е ели С(х,у)<С(х',у') для любого (х',У):

1к (X, у)е 1кСх\у') , ¿ = 1,г.

басположсние линий, на которых происходит размещение объектов, фиксировано, поэтому для каждого разбиения объектов по блокамможно заранее указать значения

Уе, V/е / . Они будут совпада/ь с у-ко-ординатой соответствующей линии, на которой объекты будут размещать ся, то есть

Уг = LУt . Таким образом, при фикеирован-ном раабиении объектов по бло кам, выражения (I У г - Ъ2] I!)  игк (I уа ар У к 1) 1 V/ е У,

V/, = е I, г < к, являются константа ми. и -елевая функция (1) принимав- вид

¿=1 Р=1

n-1 n

+ — — % = X - xk [)е+ Const — min. ,2.

г=1 X+1 ^ '

Спомощью введения дополнительных пе^

ременных s= > 0, i д I, j д J,

1-ik >0, i,k Д IJ< к , в ыраже ни е (2) можно преобра зовать к следующемувиду

n—1 n

G(X) = ZZ j + Z /kt^ ik + ;=1 j=1 ;=1 ==¿+1

+ Const —» mi+,

1Х/-"Л >—j

X Xk C Ък '

i eI, j д J,

=4)

г, к Д /,/ < k. [X- x- >-Р,

Так кок разбиени- объектов по блока м фи=-сировано, то для учета условий непересече-н-ж объекеож между себ-й и с зонамидоста-точно ч+есть условия непересечнния только объект=в вн-ери одного блоко и пеловия непересечения объектов из бсока с соседним. с ним зона-и. Это можно сделать с помощь— вве=еноя булевых переменных, определяющих взеимн-е расположение объектов между

со=ой и с зрнсеи. Обозначим LBh у RBh - координаты левой и нравой границ блока Bh ; JNh - номера соседних зон с^г^еэЕ^а и справа от Bh. Длязаписи условий непересечения объ>, екоо- из блооа с; соседним, с сим зонами введем булевы перемен ные z1. = 1, если расоолож-н левее FH , i д /й(д), j д JNh, иначе р. = 0. Аналодчно , длязапуси условий непересечен ия объектов=нутри Bh между собой, введегу! булевы г^e^|эe^/leнныe zfk = 1, если Xi расположен ловее Хк, i, k е/й (x),

i < k , иначе = 0. Тогда условия непересечения объектов в бзоке с соседнзми с блоком зонами и между ообой зсписываются след^^нэ-щимобразом

X-b1

К ^ у

chC:

v 2 J

е С • 0 - 4) > 0, i д Ih(x), j ^ .JNh, h = г,

4 д(о,1^,

7, + L

X -xk-

+ С • z 2 > 0,

xk - X -

l + l

l

+С • (1

LBh + хг < RBh

4 G I0, i},

где C - достаточно большая константа, необходимая для выполнения альтернативных условий, в качестве которой можно взять,на-пример, значение C = 2 - LS .

Таким образом, получаем математическую модель частично-целочисленного линейного программирования (3)-(7). Заметим, что целевая функция и большинство ограничений в построенной модели линейные. С применением предложенной модели и пакетов прикладных программ, например IBM ILOG CPLEX, можно находить локальный минимум исходной задачи.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Проведен вычислительный эксперимент по нахождению локальных минимумов с помощью предложенной модели ЧЦЛП и пакета IBM ILOG CPLEX 12.2. Эксперимент проводился на компьютере с техническими характеристиками: Intel Core™ ¡5-2420 M 2.50 GHz 6,00 ГБ. Построена серия тестовых задач на двух линиях. Количество размещаемых объектов, запрещенных зон, их длины, удельные стоимости связей генерировались случайным образом в диапазоне от 1 до 100. Среднее время работы пакета, полученное по результатам трех запусков одной и той же задачи, представлено в таблице.

Результаты расчёта

4) > ° i,k е Jh(x), i < k, h = 1,...r,

- i 2 ,

№ п/п Число размеща-емыхобъ-ектов, n Число запрещенных 30h,m Среднее время работы пакета CPLEX,ceK.

1 2 4 0,219

2 3 5 0,192

3 4 6 0,219

4 5 5 0,215

5 6 6 0,250

6 7 5 0,509

7 8 6 0,125

8 9 6 0,219

9 10 4 0,220

10 10 5 0,215

Полученные результаты в дальнейшем могут использоваться для сравнительного анализа работы пакета с приближенными или точными алгоритмами нахождения локального оптимумазадачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование задачи оптимального размещения взаимосвязанных прямоугольных объектов на параллельных линиях с запрещенными зонами. Размещение внутри запрещенных зон не допускается. Критерием является минимизация суммарной стоимости связей объектов между собой и с зонами. Задача имеет много практических приложений, например, в автоматизированном проектировании при реконструкции предприятий.

Для нахождения локального оптимума задачи построена математическая модель частично-целочисленного линейного программирования с булевыми переменными. Проведен вычислительный эксперимент с использованием предложенной модели и пакета IBM ILOG CPLEX. Указанная модель может использоваться в эскизном проектировании при размещении оборудования в цехах предприятий. Целью дальнейших исследований может быть разработка приближенных или точных алгоритмов нахождения глобального оптимума задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Farahani R.Z., Hekmatfar M. Facility location: Concepts, models, algorithms and case studies. Heidelberg: Physica-Verlag, 2009. 549 p.

2. Klamroth K. Single-Facility Location Problems with Barriers. Springer Series in Operations Research, 2002.216 p.

3. Zabudsky G., Veremchuk N., About Local Optimum of the Weber Problem on Line with Forbidden Gaps. Proc. DOOR 2016, Vladivostok, Russia, September 19-23, 2016. CEUR-WS. 2016, vol. 1623, pp. 115-124. CEUR-WS.org, online: http://ceur-ws.org/Vol-1623/ paperco17.pdf

2

2

4. Забудский, Г. Г. Алгоритм приближенного решения задачи Вебера на линии с запрещёнными зонами / Г. Г. Забудский, Н. С. Ве-ремчук // Дискрет. анализ и исслед. операций. -2016. - Т. 23, № 1. - С. 82-96, [G.G. Zabudskii, N.S. Veremchuk, An Algorithm for Finding an Approximate Solution to the Weber Problem on a Line with Forbidden Gaps. J. Appl. Ind. Math., 2016, 10(1), pp. 136-144].

5. Забудский, Г. Г. Алгоритмы компактного размещения технологического оборудования на параллельных линиях / Г. Г. Забудский, И. В. Амзин // Сиб. журн. индустр. матем. -2013. -16:3 (55). - С. 86-94.

6. E.A. Mukhacheva, V.A. Zalgaller, Linear programming cutting problems. Intern. J. of Software Engineering and Knowledge Engineering, 1993, vol. 3, no. 4, pp. 463-476.

7. Мухачева, Э. А. Метод динамического

перебора в задаче двумерной упаковки / Э. А. Мухачева, А. Ф. Валеева // Информационные технологии. - 2000. - № 5. - С. 30-37.

8. Руднев, А. С. Вероятностный поиск с запретами для задачи упаковки кругов и прямоугольников в полосу / А. С. Руднев // Дискрет. анализ и исслед. операций. - 2009. - Т. 16, № 4. - С. 61-86.

9. Математическая модель оптимизации гибких модулей технологического оборудования / Г.Г. Забудский, С. А. Лёгких // Прикл. математика и информ. технологии : сб. науч. и метод. трудов. - Омск, 2005. - С. 20-28.

10. Wai-Kai Chen. The VLSI Handbook, CRC Press, 2000. 1975 p.

11. Garey M.R., Johnson D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Freeman, San Francisco, 1979; Mir, Moscow, 1982. 338 p.

SEARCH OF LOCAL MINIMUM IN LOCATION PROBLEM OF RECTANGLES ON LINES

Abstract. The problem of optimum location of the interconnected facilities on parallel lines with the forbidden gaps is considered. Location in the forbidden gaps isn't allowed. The locating facilities are connected among themselves and with gaps. For measurement of distances the rectangular metrics is used. Criterion of optimization is minimization of total cost of communications of facilities among themselves and with gaps. The considered problem is model of many practical applications from various fields of science and design. The mathematical model of integer linear programming of search of a local optimum of the problem is constructed. The computing experiment with use of the offered model and an IBM ILOG CPLEX package is made.

Keywords: mathematical model, Weber problem, forbidden gaps, parallel lines, rectangular metrics.

REFERENCES

1. Farahani R.Z., Hekmatfar M. Facility location: Concepts, models, algorithms and case studies. Heidelberg: Physica-Verlag, 2009. 549 p.

2. Klamroth K. Single-Facility Location Problems with Barriers. Springer Series in Operations Research, 2002. 216 p.

3. Zabudsky G., Veremchuk N. About Local Optimum of the Weber Problem on Line with Forbidden Gaps. Proc. DOOR 2016, Vladivostok, Russia, September 19-23, 2016. CEUR-WS, 2016, vol. 1623, pp. 115-124. CEUR-WS.org, online: http://ceur-ws.org/Vol-1623/paperco17.pdf

4. Zabudskii G.G., Veremchuk N.S. An Algorithm for Finding an Approximate Solution to the Weber Problem on a Line with Forbidden Gaps. J. Appl. Ind. Math., 2016, 10(1), pp. 136-144.

5. Zabudskii G.G., Amzin I.V. Algorithms of compact location for technological equipment on parallel lines, Sib. Zh. Ind. Mat., 2013, 16(3), pp. 86-94.

6. Mukhacheva E.A., Zalgaller V.A. Linear

programming cutting problems. Intern. J. of Software Engineering and Knowledge Engineering, 1993, vol. 3, no. 4, pp. 463-476.

7. Muhacheva E.A., Valeeva A.F. Metod dinamicheskogo perebora v zadache dvumernoj upakovki [Method of dynamic search in a problem of two-dimensional packing]. Informacionnye tehnologii [Information technologies], 2000, no. 5, pp. 30-37.

8. Rudnev A.S. Probabilistic tabu search algorithm for the packing circles and rectangles into the strip. Diskret. Anal. Issled. Oper., 2009, 16(4), pp. 61-86.

9. Zabudskii G.G., Ljogkih S.A. Matematich-eskaja model' optimizacii gibkih modulej tehno-logicheskogo oborudovanija [Mathematical model of optimization of flexible modules of processing equipment]. Prikl. matematika i inform. Tehnologii [Appl. Math. Inf. Technol.]: Sb. nauch. i metod. tru-dov., izd. OmGTU, Omsk, 2005, pp. 20-28.

10. Wai-Kai Chen. The VLSI Handbook, CRC Press, 2000. 1975 p.

11. Garey M.R., Johnson D.S. Comput-

ers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Freeman, San Francisco, 1979; Mir, Moscow, 1982. 338 p.

Веремчук Наталья Сергеевна (Омск, Россия) - аспирант, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (644043, г. Омск, ул.

Певцова, 13, e-mail: n-veremchuk@rambler.ru) Natalia S. Veremchuk (Omsk, Russian Federation) - Post-Graduate Student, Sobolev Institute of Mathematics Siberian Branch of RAS (644043, Russia, Omsk, Pevtsova St., 13, e-mail: n-veremchuk@rambler.ru

и и mi mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi mi mi и mi mi и mi

УДК 004.41

КОНЦЕПТУАЛЬНЫЙ ПОДХОД К РАЗРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ОПЕРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМ ПРОЦЕССОМ В ВУЗЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОБЛАЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Л. И. Остринская, С.Ю. Пестова, ФГБОУ ВПО «СибАДИ», Россия, г. Омск

Аннотация. Рассматривается концептуальный подход к разработке информационной системы оперативного управления образовательным процессом в вузе (ИС ОУОП ВУЗ), в основе которого лежит 01АР-куб, сервис-ориентированная, клиент-серверная архитектура и крос-сплатформенность, позволяющие создать в среде Интернет Личные кабинеты для конечных участников и пользователей образовательного процесса. Для всех групп пользователей определен набор АЕВ-Сервисов, описана их модель, предложено проектное решение на основе описанных бизнес-процессов в нотации ВРММ.

Ключевые слова: информационная система, оперативное управление, образовательный процесс, проектирование, 01АР-куб, клиент-серверная архитектура, Личный кабинет, АЕВ-Сер-вис, бизнес-процесс, вуз.

ВВЕДЕНИЕ

Изменения, происходящие в сфере образования, обладают высокой динамичностью: меняются задачи, организационные структуры и стандарты, все это требуют от информационных систем управления вузом высочайшей производительности и оперативности. Существующие на данный момент ИС управления образовательным процессом в вузах страны в своем большинстве:

1) фрагментарны, внедрены по принципу, так называемой «лоскутной» автоматизации и реализуют отдельные подсистемы и процессы таких структурных подразделений как Учебно-методическое управление, Отдел календарного планирования, Кафедры, Деканаты;

2) не автоматизируют процессы оперативного обращения к группе данных и сведений в ходе учебного процесса сотрудникам деканатов, членам кафедр, преподавателям, студентам, родителям;

3) только частично автоматизируют деятельность профессорско-преподавательского состава (на уровне работы с информационной системой по оценке знаний на основе балль-но-рейтинговой методики);

4) не позволяют активно использовать для реализации ряда задач и функций в качестве технических средств современные мобильные устройства и программные приложения к ним [1].

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ-АНАЛОГОВ

В настоящее время для обеспечения образовательной деятельности вузов используются следующие информационные системы: ТАНДЕМ University, United University, Naumen University и Галактика «Управление Вузом», PLANY и другие.

Исследование рынка программных продуктов, разработанных и реализованных для