Влияние формы сопла на его акустическую проводимость

В.В. Пальчиковский, Д.А. Отинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ СОПЛА НА ЕГО АКУСТИЧЕСКУЮ ПРОВОДИМОСТЬ

Продольная акустическая неустойчивость является наиболее опасным видом неустойчивости внутрикамерных процессов в РДТТ и приводит к увеличению сроков и стоимости отработки твердотопливной конструкции. Поэтому еще на стадии проектирования стремятся учесть влияние как можно большего числа конструктивных факторов (форма корпуса, форма канала заряда, форма дозвуковой части сопла), способных подавлять возникшие низкочастотные колебания. Приведены результаты исследования теоретического определения демпфирующих свойств сопла для различных форм профиля дозвуковой части. Сделано предположение, что изменение геометрии профиля улучшит демпфирующие свойства сопла.

Ключевые слова: акустическая неустойчивость РДТТ, акустические характеристики сопла, акустическая проводимость сопла, профиль дозвуковой части сопла, демпфирующие свойства сопла.

Различные неустойчивые режимы работы РДТТ реализуются при наличии возмущений, образующих волны давления. Частота и форма наблюдающихся при этом волн зависят от механизма их взаимодействия с поверхностью горения и внутренней геометрией камеры сгорания. Сопло РДТТ также является частью колебательной системы, поэтому изучение влияния его конструктивных особенностей и параметров на устойчивость рабочего процесса в целом является существенной частью разработки надежных РДТТ.

Взаимодействие между волновыми явлениями камеры сгорания и сопла может быть описано на основе определения проводимости сопла. Если проводимость сопла известна, она может быть использована для определения граничных условий при теоретическом изучении неустойчивых процессов в камере сгорания ракетного двигателя.

Акустическая проводимость сопла - это комплексная величина ( У — у + г'У2), которая характеризует вынос акустической энергии через

сопло. Чем выше действительная часть акустической проводимости у,

тем выше демпфирующие свойства сопла.

Акустическая проводимость сопла определяется как безразмерная передаточная функция, вычисленная на входе в сопло [1]:

и,

У = РоС) — Р1

где и1, р1 - малые отклонения скорости и давления газа; р0, с0 -

плотность и скорость звука в установившемся газовом потоке.

Для определения акустической проводимости сопла были приняты следующие допущения:

- продукты сгорания подчиняются законам идеального газа;

- газовый поток считается одномерным;

- отсутствуют силы вязкости, не учитывается теплообмен со стенками и химические реакции;

- в возмущенном течении отсутствуют вихревые и энтропийные моды.

Параметры установившегося течения газа в дозвуковой части сопла находятся из решения системы уравнений сохранения для изоэн-тропийного потока:

Р1и1 А1 — Р2и2 4

2 2 • и, . и2

і +---------— 12 +—

1 2 2 2

Р_ — Р_

~ к Л к

Р1 Р 2

где А - площадь поперечного сечения канала; і - энтальпия газа. Для удобства решения уравнения (2) приводим к безразмерному виду и после ряда преобразований получаем систему

Р-и- г2 — 1

к +1 к -1____2

—2

С —--------

2

—2 к-1

С — Р

2

и

- Р; - иj

где р — - плотность газа, и — ——

Ркр икр

- С І

скорость газа, с —- ско-

- г і

рость звука в газовом потоке; г ——— радиус сопла; к - коэффициент

г

кр

адиабаты; индексы у и «кр» относятся к любому у-сечению дозвуковой части сопла и критическому сечению сопла соответственно.

В случае возмущенного течения параметры потока можно представить в виде

Р = Ро +Рп и = и0 +01, р = Ро + Р1,

где р - плотность газа; и - скорость газа; р - давление газа; индексы

0 и 1 относятся к установившемуся и возмущенному состоянию соответственно. Подставив данные соотношения в нестационарные уравнения сохранения массы и импульса

др др ди ри дЛ Л

—+ и —+ р— + ----------------= 0

дг дх дх Л дх

ди ди 1 др п

— + и — + —— = 0 дг дх р дх

выполнив линеаризацию и преобразования, получим:

д_

дг

д_

дг

с Л р1

+ и„

0

с \

дх

и,

Чи0 У

р1 + и1

^р0 и0 у

С \

= 0

+и

дх

и

Чи0 У

+ 2 и

0

и

0У

__р^_ д_ Ах р0 Ах р0и0 дх

( \ А V р0

Положив, что между параметрами возмущенного газового потока отсутствует начальный фазовый сдвиг, запишем [2]:

— = р

р0

р0

Подставив выражения (5) в уравнения (4) и выполнив преобразования, получим:

Ар . ёи _

_гюр + и0 — + к и0 — = 0 дх дх

1

М2

_ 1

и

др

дх

+

ди0

—- + гю

дх у

р + к

ди0

дх

и=0

0

Аппроксимируя производную скорости стационарного потока центральной конечно-разностной схемой

V

йир

йх

К) -

2Дх

а производные р и и - левосторонней конечно-разностной схемой

{ йр ^ = р, -1 - р, (

V йх у ]

р] -1- р Дх

V йх У

)

и у--1 -и Дх

получим систему линейных алгебраических уравнений

а1,р а1,1

и

\Ь0

[Ь

. К )у , (иР )у

где ар р = -гю-------------- , ар 1 = -к----------

Дх ’ Дх

а1,р

1 —

1

(«р),

с

Дх

п ,ч(иР )у-1 -(иР )У+1 (1 - к)------—------- —+ гю

} У

V

а11 = к

У+1

2Дх

2Дх

- гю

У

(иР )у_ к (иР )у_

Ьр =----------------ру-1--------:-о,._1, Ь1 =

Дх

Дх

1-

2

У

(ир), _

Дх

р

}-1

К)

р

(ар)у

- скорость Маха в у-сечении стационарного потока.

Таким образом, решив систему (3), находим распределение газодинамических параметров стационарного потока вдоль сопла. Далее, решив систему (7) от критического сечения ( У = да ) до входа в сопло и используя выражения (5), находим флуктуации давления р1 и скорости щ потока на входе в сопло. После чего по выражению (1) определяем акустическую проводимость сопла.

Расчеты проводились для трех типов сопл (рис. 1). Параметры варьировались в следующих пределах:

ар,р ар,1

2

1

І

Рис. 1. Дозвуковая часть сопла: 1 - профиль Витошинского;

2 - конусное сопло; 3 - радиусное сопло

На рис. 2, 3 приведены характерные графики распределения некоторых газодинамических параметров стационарного потока и акустической проводимости сопл. В табл. 1-3 представлены результаты расчетов действительной части акустической проводимости сопла для различных соотношений геометрических характеристик дозвуковой части рассматриваемых профилей сопл. Знаком X отмечены случаи сильного искажения профиля радиусного сопла (в этих случаях радиусное сопло исследовалось при г2 / гкр = 1, г1 / гвх = 1).

Таблица 1

Влияние длины дозвуковой части сопла на максимальные демпфирующие свойства

Профиль Витошинского Конусное сопло Радиусное сопло

1, м I, Гц 1, м I, Гц 1, м I, Гц

1,0 2,403 337,36 1,0 1,622 355,07 1,0 1,866 359,85

0,8 2,403 471,25 0,8 1,622 442,61 0,8 2,014 453,75

0,6 2,403 627,23 0,6 1,622 590,62 0,6 2,356 619,27

0,4 2,403 942,36 0,4 1,622 886,65 0,4 X X

0,2 2,403 1884,55 0,2 1,622 1773,15 0,2 X X

0,1 2,403 3767,36 0,1 1,622 3546,13 0,1 X X

Д авление, М П а Скор ость, м/с Р адиус,

Длина, м

а

О 0,05 0,1 0,15 0.2 0,25 0,3 0,35 0.4 0.45 0.5 0,55 0,6 0,65 0.7 0,75 0.8

Длина, м

б

Длина, м

в

Рис. 2. Профили сопл и рспределение некоторых

стационарных параметров потока:---------профиль Витошинского;

......- конусное сопло; - радиусное сопло; а - профили сопл;

б - скорость стационарного потока; в - давление стационарного потока

Акустическая проводимость Акустическая проводимость Акустическая проводимость

Частота, Гц

а

Частота, Гц

б

Частота, Гц

в

Рис. 3. Акустическая проводимость сопла: 1 - действительная часть; 2 - мнимая часть; а - профиль Витошинского; б - конусное сопло; в - радиусное сопло

Таблица 2

Максимальные демпфирующие свойства радиусного сопла при I = 0,8 м, гвх = 0,45 м, гкр = 0,265 м

г2 / г = 1 2 кр Г / гкр = 1,5 2 кр Г2/ Гкр = 2

г1/ Гвх I, Гц Г1/ Гвх I, Гц Г1/ Гвх I, Гц

0,01 1,628 442,61 0,01 1,628 442,61 0,01 1,628 442,61

0,10 1,708 444,20 0,10 1,712 444,20 0,10 1,714 444,20

0,20 1,754 445,79 0,20 1,761 445,79 0,20 1,764 445,79

0,30 1,787 447,38 0,30 1,791 447,38 0,30 1,787 447,38

0,40 1,819 448,98 0,40 1,815 450,57 0,40 1,802 450,57

0,50 1,851 450,57 0,50 1,839 452,16 0,50 1,813 452,16

0,60 1,884 452,16 0,60 1,868 453,75 0,60 1,830 455,34

0,70 1,918 452,16 0,70 1,901 455,34 0,70 1,857 456,93

0,80 1,947 452,16 0,80 1,938 456,93 0,80 1,879 458,53

0,90 1,982 453,75 0,90 1,977 456,93 0,90 1,912 460,11

1,00 2,014 453,75 1,00 2,019 458,53 1,00 1,950 461,70

Таблица 3

Влияние радиуса критического сечения на максимальные демпфирующие свойства сопл при гвх = 0,45 м

Общие параметры Профиль Витошинского Конусное сопло

Чх, м/с Гкр , м 1, м V, м3 I, Гц V, м3 I, Гц

50 0,1260 0,4 0,0932 1,510 1461,20 0,1152 3,508 1060,13

100 0,1779 0,4 0,1243 1,740 1198,60 0,1316 2,293 986,92

150 0,2173 0,4 0,1460 2,033 1042,62 0,1456 1,879 939,17

200 0,2499 0,4 0,1630 2,290 969,41 0,1581 1,679 900,98

250 0,2779 0,4 0,1771 2,497 918,48 0,1696 1,580 872,33

300 0,3025 0,4 0,1890 2,654 877,10 0,1802 1,532 845,27

50 0,1260 0,8 0,1865 1,510 730,68 0,2305 3,508 530,14

100 0,1779 0,8 0,2486 1,740 600,17 0,2632 2,293 493,54

150 0,2173 0,8 0,2920 2,033 520,60 0,2911 1,879 469,67

200 0,2499 0,8 0,3260 2,290 483,99 0,3162 1,679 450,57

250 0,2779 0,8 0,3541 2,497 458,53 0,3391 1,580 436,24

300 0,3025 0,8 0,3779 2,654 437,84 0,3603 1,532 423,51

В результате проведенных расчетов отмечены следующие особенности:

1. При малых скоростях стационарного потока на входе в сопло наилучшими демпфирующими свойствами обладает радиусное сопло (затем конусное). Для более высоких входных скоростей наилучшие демпфирующие свойства у сопла Витошинского.

2. Изменение входного радиуса гвх не влияет на акустическую проводимость сопла Витошинского и конусного сопла. Для радиусного сопла демпфирующие свойства сильно зависят от соотношений г1 / гвых

и г2/ гкр, поэтому с ростом гвх они могут как расти, так и падать.

3. Уменьшение длины дозвуковой части смещает максимальные демпфирующие способности сопла в область более высоких частот (в случае сверхкороткого сопла акустическая проводимость не зависит от частоты [3, 4]).

4. Увеличение радиуса критического сечения сопла гкр (что соответствует росту скорости стационарного потока на входе в сопло) вызывает увеличение демпфирующих способностей сопла и смещает их в область более низких частот.

Рис. 4. Акустическая проводимость сопла с эллиптическим профилем: а - профиль сопла; б - график проводимости; 1 - действительная часть; 2 - мнимая часть

Таким образом, максимальные демпфирующие свойства сопла прежде всего зависят от формы дозвуковой части. С изменением внутреннего объема дозвуковой части сопла действительная часть акустической проводимости может как увеличиваться, так и уменьшаться.

На основании полученных данных было сделано предположение

0 построении профиля сопла с улучшенными демпфирующими способностями для подавления низкочастотных колебаний: при прочих равных геометрических характеристиках сопла радиус тх должен оставаться как можно дольше равным гвх. Одним из вариантов такого профиля является эллипс. Расчет подтвердил сделанное предположение: действительная часть акустической проводимости оказалась выше, чем для остальных видов сопловых профилей при тех же значениях гвх, гкр,

1 (ср. рис. 3 и рис. 4).

В дальнейшем авторами будет более подробно исследовано влияние предкритической части сопла на ее акустическую проводимость и рассмотрены сопла с более реальными профилями.

Библиографический список

1. Интегральные прямоточные воздушно-реактивные двигатели на твердых топливах / под ред. Л.С. Яновского. - М.: Академкнига, 2006. - 343 с.

2. Lamarque N., Pointson T. Boundary conditions for acoustic eigenmode computations in gas turbine combustion chamber. Institut de Mecanique des Fluides de Toulouse, France. - URL: http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/ reposi-tory/TR_CFD_07_142 .pdf.

3. Frank E. Marble. Response of a nozzle to an entropy disturbance example of thermodynamically unsteady aerodynamics. California Institute of Technology, USA, 1975. - URL: http://www.authors.library.caltech.edu/ 22073/1/296_Marble_FE_1975.pdf.

4. Артамонов К.И. Термогидроакустическая устойчивость. - М.: Машиностроение, 1982. - 261 с.

Получено 2.09.2011