К определению собственных форм вантового моста смешанным методом

Библиографический список

1.А. С. № 1270377. Предварительно напряжённая комбинированная балка пролётного строения моста / Ефимов П. П., Романовский В.М. 1986.

SPANS WITH METAL REINFORCED CONCRETE ROADWAY SLABS AND CONTROLLED STRESS CONDITION OF THE JOINT SYSTEM

P. P. Efimov

The paper shows how by modifying the conventional form of composite structural spans you can create a structure in which maintaining a state of stress at a given level is possible.

Ефимов Павел Петрович - доктор технических наук, профессор СибАДИ. Основные направления научной деятельности - исследование фактической работы эксплуатируемых пролётных строения мостов; управление динамическим процессом динамического воздействия движущегося транспорта на мосты. Общее количество опубликованных работ: - 100.

УДК 624.04

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ ВАНТОВОГО МОСТА СМЕШАННЫМ МЕТОДОМ

Кадисов Г. М.

Аннотация. Рассматриваются особенности вычисления собственных частот и собственных форм вантового моста, пространственная модель которого состоит из тонкостенной призматической складки, пилона постоянного поперечного сечения и веера вант. Приведены численные примеры.

Ключевые слова: смешанный метод,

перемещения.

Введение

В статье [1] рассмотрено решение одной модельной задачи о колебаниях вантового моста после обрыва одной наиболее напряженной ванты. Для сравнения результатов расчета методом конечных элементов предложено использовать смешанный метод и складку, моделирующую балку жесткости. Ниже рассматриваются особенности вычисления собственных частот (собственных чисел) и собственных форм вантового моста с применением смешанного метода.

Напомним, что модель складки для расчета плитно-балочных пролетных строений мостов и тонкостенных призматических систем была предложена Александровым А.В. [2]. [3], при этом для определения напряженно-деформированного состояния в плоских тонкостенных элементах применены точные решения теории упругости с использованием ординарных тригонометрических рядов. Эффективность модели была показана на расчетах однопролетных строений мостов, а также приведен смешанный метод для случая наличия

уравнение частот, собственные формы,

промежуточных опор. Автором в работе [4] модель складки была применена для решения динамических задач о колебаниях пролетных строений мостов совместно с регулярной колонной автомобилей, движущихся с постоянной скоростью.

Задача на собственные значения вантового моста

Смешанный метод в задаче о динамике вантового моста представлен системой уравнений (1) работы [1]. Эту систему, рассматривая свободные гармонические колебания моста, можно упростить, исключив из нее постоянную нагрузку и представив ускорения, пропорциональными смещениям:

Яг 2 г - Шг 2г + ЯгхХ = 0 ;

Я, 2П-ЖП2П+ ЯтХ = 0 ;

2 А * 2I +2 А Л+ А X х = 0

Здесь Я,, Я,х , - реакции дополнительных связей, распределенных вдоль узловых линий складки, от деформирования складки по I -й гармонике и от усилий в вантах, Я, - приве-

денная матрица инерционности для I -й гармоники складки, Мп - пилона; Яп, Ялх, - аналогичные матрицы в дополнительных связях пилона; хг А , Ахп , Ах - перемещения по направлению усилий в вантах. Первые два матричных уравнения представляют уравнения динамического равновесия при гармонических колебаниях, третье - уравнение совместности.

Пусть собственными формами балки жесткости и пилона соответственно будут фгк, Фпк , им соответствуют квадраты собственных частот Лк, Лпк. Собственные формы удовлетворяют соотношениям:

Яг ф гк = ЛкМг фгк '; ЯпФп = Л^пФп .

Заметим, что каждой I -й гармонике свободно опертой однопролетной складки принадлежит спектр собственных частот Лк и

собственных форм фк (к = 1,К), К - порядок квадратной матрицы я, , равный учетверенному числу узловых линий. Перемещения, соответствующие собственной форме фк , изменяются вдоль пролета по I -й гармонике. Решение задачи на собственные значения раздельных складки и пилона не представляет затруднений, т. к. матрицы Яг и Мг симметричны. Интересно отметить, что среди собственных форм каждого I -го спектра складки можно заметить группу с низшими частотами, в которой контур поперечного сечения перемещается как жесткое целое, и группу на высших частотах с существенно деформированными поперечными сечениями. Здесь можно усмотреть аналогию с дебаевским и борновским спектрами атомной решетки [4].

На рис. 1 и 2 показаны, в дополнение к примеру работы [1], поперечные сечения первых 8 собственных форм, соответствующих деформированию однопролетной складки по первой гармонике (I = 1). Так первой форме (рис.1а) соответствует поперечный изгиб вертикальный, второй (рис.1 б) - кручение, третьей (рис.1 в) - поперечный изгиб горизонтальный, по пятой (рис.1 г) - продольная горизонтальная осевая деформация, при этом в названных формах контур поперечного сечения практически не деформируется. Формы 4, 6, 7 и 8 (рис.2) характерны искривлением контура поперечных сечений. В следующих по порядку собственных формах наблюдается бо-

лее сложный характер деформирования контура как в плоскости, так и из плоскости поперечного сечения. Эти формы из-за ограниченности статьи не приведены. Следует заметить, что характер деформирования контура поперечного сечения каждой собственной формы одного спектра і -й гармоники таков, что работа инерционных сил одной собственной формы на перемещениях другой собственной формы этого же спектра равна нулю.

Задача на собственные значения для пилона, принятого в рассматриваемой модели со сплошным поперечным сечением, определяется по известным формулам как для консольного стержня.

Определим собственные формы и квадраты собственных частот моста в целом. Выразим векторы амплитуд перемещений складки и пилона рядами по собственным формам:

2і = Ефікаік; = ЕФпкРпк.

Подставим ряды (3) в первые два уравнения системы (1) и с учетом соотношений (2) и ортогональности собственных форм складки выразим скалярные коэффициенты этих рядов через усилия в вантах:

„ _ -1 Ф2&х .

(Л1к - Л) Ф їмг Ф г1

Рис.1. 1, 2. 3. 5 собственные формы складки.

а

5

г

Ргк =

-1

Ф1КХ

(Л - Л) Ф*МпФ*

Последнее уравнение однородной системы (1) после подстановки рядов (3) с учетом (4) и теоремы взаимности реакций и перемещений прини- . ,, мает

вид:

Рис.2. 4, 6, 7, 8 собственные формы склад-

ЕЕ'

Фік Фк^х

-+ЕЕ'

Влф пк ФІкВ

(Лік - Л ФкМіфік (Лпк - Л Ф кМпФпк

X = 0

.

найдем из однородного матричного уравнения (5), в котором теперь определитель матрицы, заключенной в квадратные скобки, при Л = Лу

равен нулю. Поэтому можно один, например, последний компонент вектора X принять равным 1, остальные найти из решения системы (5), из которой удалить последнее уравнение. Подставляя Ху в правые части формул (4), получим скалярные коэффициенты ап

1 іку и Рпку

узловых перемещений ziї , zпу, соответствующие собственному числу Лу и таким образом определяющие собственную форму.

Запишем теперь систему (1) относительно у -й собственной формы (ziу , zлу, Ху):

и затем векторы амплитуд

Rмzпу -ЛгМ пzму + RлxXy = 0 ; ^гу - ЛyMгZгy + ЯхХу = 0 ;

Е А zy+Е А z п + А X = 0 .

хі гУ х п пУ х У

Умножим первое уравнение слева на zix,

гл

Выражение в квадратной скобке этого уравнения - квадратная матрица. Приравнивая ее определитель нулю получаем характеристическое уравнение:

т т т т (

^е^ 22 ^*^фк + 22 фпк Ф.фкж. + д = о .

_ (Ак-Л) фJkMiфik (Лпк-Л) ф1кмпфпк _

Нетрудно видеть, что левая часть этого уравнения как функция параметра Л имеет полюсы на спектре собственных значений раздельных конструкций (складки и пилона), а нули на спектре вантового моста в целом. Поэтому определение корней уравнения (6) можно выполнить следующим образом. Сначала объединить два спектра Лк, Лпк в один

и его ранжировать по возрастанию, а затем между каждой парой соседних полюсов методом деления отрезка пополам, или методом золотого сечения, или, наконец, малыми равномерными шагами найти очередной корень уравнения (6). Обозначим корни этого уравнения через Лу. Соответствующие им собственные векторы усилий в вантах - Хг

второе на , полученные выражения просуммируем по I и п и затем обе суммы сложим, результат преобразуем к такому виду:

2 «Ж+2 ^+2 #ЯХ,+2 =.

= Л 12 2 ХМ !2 п + 2 2 ТХМ п 2 пу ]

Две последних суммы в левой части равенства (8) можно преобразовать с учетом теоремы взаимности реакций и перемещений

(Я1 = -Ахг ; Я1 = -Ахп) и уравнения совместности в (7):

2 2?ЛХ Г +2 Х Г= Х > хХ Г .

Теперь равенство (8) можно упростить:

24Я^ +22ХЯп + ХАХт =л2маг +22X4

Если равенстве (9) поменять индексы У^Х их^-У, то в полученном равенстве левая часть, в виду симметричности матриц, будет равна левой части уравнения (9), тогда приравнивая их правые части, получим после перестановок уравнение:

а

б

в

г

(Л - Л )-|2 2\М » + 2  .,]= 0  (11>

из которого следует свойство ортогональности собственных форм:

2 М .2. + 2 г т М г = 0 ,

/_! “ гх г гу п% ±у* п “ пу ^ ’

если у ф х .

Введем приведенную массу для у -й формы:

М = 2 ТМ . +2 ТМ г .

у / у гу г гг / , пу п пу ' 1

Заметим, что собственная форма с индексом у представлена набором векторов 21у и

В качестве примера рассмотрим модель вантового моста, приведенной в работе [1]. Балку жесткости представим как складку с 7-ю узловыми линиями (см. рис.3). Ванты прикреплены к 5 и 6 узловым линиям. Пусть ванта, соединяющая пилон с 5 узловой линией в точке с продольной координатой х = 10 м., оборвана. Для первых 6 собственных форм поврежденного вантового моста на рис. 4 показаны эпюры вертикальных перемещений узловых линий. На рисунках эпюры пронумерованы согласно узловым линиям.

На рисунке 5 приведены кривые изменения во времени перемещений точек узловых линий 5, 6 и 7 в сечении х = 10 м. при свободных колебаниях моста с момента обрыва ванты. Начальное положение указанных точек соответствуют статическому состоянию неповрежденного моста, а колебания происходят относительно статического состояния поврежденного моста.

3

4

Рис. 3. Поперечное сечение балки жесткости

а.

О 20 40

1 О О 60

2 О О 60

20 40

4 О О 60

Д-

5 О О 60

Рис. 4. Вертикальные перемещения первых шести собственных форм балки жесткости

г.

7

О О О 32

Рис. 5. Графики колебаний 5, 6, 7 узловых линий в сечении х = 10 м

Заключение

Разработанная методика расчета колебаний вантовых конструкций, балка жесткости которых может быть смоделирована призматической складчатой системой, позволяет в дополнение к известным программным продуктам, основанным на МКЭ, получать для сравнения качественные и количественные результаты.

Библиографический список

1. Кадисовм Г.М., Чернышов В. В. Динамика вантового моста после обрыва ванты

2. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. Смирнов А.

Ф.,Александров А. В., Шапошников Н .Н, Б. Я Лащеников. М: Стройиздат 1964. - 380 с.

3. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы./ Александров А. В., Лащеников Б Я., Шапошников Н. Н. - М: Стройиздат, 1983. - 488 с.

4. Кадисов Г. М. Устойчивость и колебания упругой системы под воздействием колонны подвижных механических объектов.// Изв. вузов. Строительство.-1996.-№ 8. -С.36-42.

5. Мандельштам Л .И. Лекции по теории колебаний.-М: Наука, 1972. - 472 с.

DEFINITION OF OWN FORMS OF A CABLE-STAYED BRIDGE BY A MIXED METHOD

G. M. Kadisov

The features of calculating the own frequencies and own forms of cable-stayed bridge, the spatial model which consists of a thin-walled prismatic fold, a constant cross section pylon and fan shrouds. Numerical examples are given.

Кадисов Гоигорий Михайлович - д-р техн наук, профессор,зав. кафедрой Строительная механика. Общее количество опубликованных работ: 60. E-mail: kadisov@rambler.ru.

УДК 691:666

ПРОЦЕССЫ КОРРОЗИИ ЦЕМЕНТНОГО КАМНЯ В ЕГО СТРУКТУРЕ

И. Н. Кузнецова, М. А. Ращупкина

Аннотация. В статье, на основе экспериментальных исследований структуры цементного камня на тампонном цементе, приведены его физико-химические свойства. Представлены основные коррозионные процессы цементного камня и бетона.

Ключевые слова: цементный камень, бетон, коррозия.

Введение

Бетон является одним из самых распространенных материалов в строительстве различных объектов в самых различных условиях эксплуатации. В работе рассмотрены коррозионные процессы цементного камня формирующего структуру бетона выполненного на тампонном цементе, применяемого для работ в агрессивных средах, изложены результаты экспериментальных исследований структуры

цементного камня на тампонном цементе, приведены его физико-химические свойства.

Основная часть

Характеризуя коррозионные процессы цементного камня и бетона в целом на разных стадиях, необходимо, в первую очередь сделать анализ структурообразования и состава цементного камня. Исследования цементного камня, бетона, проведены в работах таких ученых, как И.Н. Ахвердов, Ю.М. Баженов, М.М. Сычев, П.А. Ребиндер и др. В них обос-