Вращение упругого шара вокруг центра масс в гравитационном поле двух притягивающих центров

Механика

УДК 531.391

ВРАЩЕНИЕ УПРУГОГО ШАРА ВОКРУГ ЦЕНТРА МАСС В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ДВУХ ПРИТЯГИВАЮЩИХ ЦЕНТРОВ

Е. Ю. Баранова1, В. Г. Вильке2

Рассматривается модель планеты, представленная однородным упругим шаром, в гравитационном поле двух точечных масс, при взаимном движении которых возникают приливные деформации. Изучается вращение шара вокруг центра масс с учетом его деформаций, порождаемых полем центробежных сил и полями градиентов гравитационных сил. Найден тензор инерции шара, компоненты которого зависят от времени, и определены проекции угловой скорости шара на оси, связанные с ним интегральным образом. Полученные результаты проиллюстрированы на примере Земли, для которой найдены эквивалентные значения модуля упругости и коэффициента Пуассона, а также возмущения угловой скорости.

Ключевые слова: упругий шар, приливные деформации, угловая скорость вращения шара вокруг центра масс.

A planet model as a uniform elastic sphere in the gravitational field of two mass points with the appearance of tidal deformations is considered. The sphere rotation about its mass center is studied with consideration of its deformations caused by the centrifugal force field and the gradient fields of gravitational forces. The sphere inertia tensor whose components depend on time is found. The sphere angular velocity projections onto the axes related integrally to the sphere are determined. The results obtained are illustrated for the case of the Earth. In this case, the equivalent values of the elasticity modulus and Poisson's ratio and the angular velocity perturbations are found.

Key words: elastic sphere, tidal deformations, angular velocity of the sphere rotation about the mass center.

Задача о вращении небесных тел относительно их центров масс была предметом исследований многих механиков и математиков на протяжении нескольких столетий [1, 2]. Небесные тела представлялись твердыми или деформируемыми телами. В последнем случае на базе этих моделей строилась теория приливов [3]. В большинстве работ использовались феноменологические модели моментов, возникающих из-за деформаций планет. Задачи по этой тематике можно разделить на два типа. В первом случае изучаются эволюционные процессы на временах порядка миллионов лет, которые обусловлены внутренней диссипацией энергии при движениях планет [4-6]. Во втором случае моделируются процессы на временах, соизмеримых с периодами вращений планет относительно их центров масс, и, как правило, влияние диссипации не учитывается. Настоящая работа относится ко второму случаю.

1. Постановка задачи и уравнения движения. Рассмотрим модельную задачу, в которой Земля представляется упругим однородным шаром, движущимся в гравитационном поле притяжения двух материальных точек — Луны и Солнца. Если деформации шара отсутствуют, то задача о движении трех материальных точек неинтегрируема. Опишем приближенным образом движение трех тел. Поскольку расстояние между Землей и Луной много меньше расстояния между центром масс системы Земля-Луна и Солнцем, масса Солнца много больше суммарной массы системы Земля-Луна, а масса Земли много больше массы Луны, то приближенно будем считать выполненными следующие условия: Солнце неподвижно, а центр Земли движется вокруг него по круговой орбите; Луна движется вокруг центра Земли также по круговой орбите. Вращение Земли, представленной твердым однородным шаром, происходит с постоянной угловой скоростью ^о вокруг оси, имеющей постоянное направление в инерциальной системе координат. Это движение вокруг центра масс Земли с периодом одни сутки примем в качестве невозмущенного.

1 Бара,нова Елена Юрьевна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: decstrelaQmail .ru.

2 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: polenova_t.mQmail.ru.

Как уже говорилось, будем рассматривать Землю как упругий шар, деформации которого определяются центробежными силами инерции и гравитационными силами притяжения двух материальных точек Луны и Солнца. Принятая модель Земли существенно отличается от других моделей, в которых Земля представлена набором сферических слоев с различными механическими свойствами (вязкоупругая кора, жидкий сферический слой, твердое ядро). В земной коре наблюдаются продольные и поперечные волны, что характерно для упругих сред. Кроме того, в рамках модели упругой Земли представляется возможным описание ее формы и приливных деформаций. Задача настоящего исследования определить закон вращения деформируемого шара (Земли) вокруг его центра масс. Свяжем с центром масс шара систему координат Кёнига СС1С2С3, оси которой направлены па неподвижные звезды. Пусть круговые орбиты двух материальных точек Луны и Солнца лежат в плоскости СС1С2, а их радиусы-векторы представляются в виде

Rk = Rk(£1 cos'k + £2 sinфk), 'k = Qkt, k = 1,2.

Здесь £k — 0PT оси C£kj Rb R2 — радиусы круговых орбит Лупы и Солнца, a Qi, Q2 — их угловые скорости орбитального движения соответственно. Предполагается, что в начальный момент времени Луна и Солнце находились па оси C£i. Шар вращается вокруг неподвижной оси Схз, лежащей в плоскости С£ 1^3 и составляющей с осью С^з постоянный vгол в. Угол в есть угол между осью вращения Земли и нормалью к плоскости эклиптики и равен 23°27'.

Свяжем с твердым шаром систему координат СХ1Х2Х3, оси которой получаются в результате двух последовательных поворотов системы координат СС1С2С3 вокруг оси С^2 на постоянный угол в, а затем на угол p = wot вокруг оси Сх3 (рис. 1).

Рис. 1. Системы координат: а связанная с Землей, б указывающая направление на Луну и Солнце

Единичные векторы, которые направлены от Луны и Солнца в системе координат CX1X2X3, определяются формулами

nк = Yifc е1 + Y2ke2 + Y3fcез, Yik = cos в cos фк cos ( + sin ( sin фк, Y2fc = sin фк cos ( — cos в sin ( cos фк, Y3k = sin в cos фк, k = 1,2,

где ек — орт о си Схк- Заметим, что начальный момент времени соответствует моменту зимнего солнцестояния, а Луна находится на отрезке, соединяющем Солнце с Землей.

В рассматриваемой механической системе имеется малый параметр, обратно пропорциональный модулю упругости материала шара. Деформации шара вследствие действия центробежных сил инерции и поля градиента гравитационных сил оказываются малыми. Пусть поле перемещений точек шара u(r, t) относительно системы координат CX1X2X3 подчиняется условиям

У u(r, t) dX = 0, У rot u(r, t) dX = 0, r e V = {r : |r| ^ r0},

из которых однозначно находится система координат, интегральным образом связанная с деформируемым шаром [4, 6]. Здесь го — радиус шара в недеформированном состоянии. Деформированное состояние

шара определяется, согласно методу разделения движении, как решение задачи квазистатики в теории упругости [4, 5]

Е ( 1 . \ Лп2

где Е V Р — модуль упругости, коэффициент Пуассона и плотность материала шара; ап — напряжение на поверхности шара дУ. Угловые скор ости П1, П2 соответствуют угловым скоростям при движении по круговым орбитам Луны относительно Земли и Земли относительно Солнца. Угловая скорость П3 = П4 = = 7,29  10-5 с-1 соответствует невозмущенному значению угловой скорости вращения Земли вокруг оси Сж3. Положим Пк = екк = 1, 2, где е1 = 3,66  10-2, е2 = 2,74  10-3. Операторы Вк, к = 1, 2, 3, в системе координат СЖ1Ж2Ж3 определяются равенствами

Вкг = 3(пк,г)пк - г, к = 1,2; Б3г = [З(е3, г)е3 - г].

2

Оператор В4 = — diag {1,1,1}. Поле деформаций шара представляется в виде 3

и

к=1

где ик является решением задачи, соответствующим оператору В к в правой части линейного уравнения (1). Здесь е выступает в роли малого параметра. Примем е = Е-1 при надлежащем выборе размерных единиц. Последнее означает, что поле перемещений точек упругого шара, на которые действуют центробежные силы инерции и поля градиента гравитационных сил, мало по сравнению с модулем радиуса-вектора точки шара г. Слагаемые в формуле (2) имеют следующий смысл. Поля перемещений щ(г,£) и и2(г, , порождаемые гравитационными полями Луны и Солнца соответственно, называются приливными деформациями. Поле перемещений из (г) стационарно, возникает в результате действия поля центробежных сил инерции при вращении шара вокруг оси и определяет сжатие шара по оси СЖ3, а стационарному полю щ соответствует сферически симметричная деформация шара. Функции ик представляются в форме [4, 5]

2

ик

1 + V

Й1 - 5^Т7' °2 ---5г/ + 7 ' 03 --5^ГТ-'

_

* - 15

Тензор инерции деформированного шара относительно осей СЖ1Ж2Ж3 удовлетворяет равенству

V V

е2

деформируемого шара относительно его центра масс С представим в виде

(^11 — 712 —71з\

-712 722 —723 ,

— 713 — 723 733 )

([и]а, Ь) = J{[а х г][Ь х и] + [а х и][Ь х г] V а, Ь.

V

Здесь Jo = —vrr0p — момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. 15

Компоненты тензора инерции Jj являются функциями времени, поскольку таковой является функция u(r, t).

2. Возмущенное движение деформируемого шара без учета влияния Луны и Солнца. Пусть деформируемый шар движется по инерции, т.е. малые параметры £1 = £2 = 0, что означает отсутствие влияния гравитационных полей Луны и Солнца на движение шара.

Пусть в возмущенном движении угловая скорость вращения системы координат, связанной с деформируемым шаром, равна и = w0e3 + Ай (А^1 = p1e1 + q1e2 + г^з), где |А^1| ^ w0. Уравнение, описывающее изменение момента количеств движения деформированного шара относительно центра масс, представляется в виде

{J0 + J^u]}й + и х J1 [u]u = 0, и = w0e3 + Аи1.

Здесь u(r) = £из(г)+£щ(г). Добавочный член в тензоре инерции J1 [u] имеет в системе координат СЖ1Ж2Ж3 диагональный вид: J1 [u] = diag {A1, A1, C1}. Форма шара изменяется за счет поля центробежных сил. В результате возникают деформации шара щ(г) и щ(г). Тензор инерции деформированного шара симметричен относительно оси Сжз и не зависит от времени в системе координат СЖ1Ж2Ж3. Разность его главных моментов инерции вычисляется по формуле

А J = C1 - A1 = 2е J {[e3 х r][e3 х u3

Уравнения (6) представим в скалярной форме

He нарушая общности, примем п = 0 в качестве решения последнего уравнения системы (8). Уравнения (8) описывают регулярную прецессию в случае Эйлера движения симметричного твердого тела по инерции. Мгновенная угловая скорость при своем движении заметает в системе координат СЖ1Ж2Ж3 конус, ось которого совпадает с осью СЖ3. В случае Земли это движение происходит с постоянной угловой скоростью и имеет период Чандлера Tch = 428 суток [1]. Решение первых двух уравнений системы (8) запишем в виде

p1 = b cos q1 = b sin = Ш + a, Q = АJw0/J0,

где b, a — произвольные постоянные. Из уравнений (9) следует, что точка пересечения с шаром прямой, по которой направлен вектор угловой скорости шара, описывает на поверхности шара окружность малого радиуса rob, поскольку возмущения угловой скорости b ^ w0. Период Чандлера равен Tch = 2n/Q, и Q = 1,7  10-7 с-1. По формуле (7) получим в явном виде выражение АJ:

AJ = 87гр2Шуо

откуда

= AJujq = ршУ0

Jo 7Е(7 + Би) ' 1 '

При вычислении АJ использовались равенства

r 0 п 2п

{х\) = J xi dx = jjjr4 cos2 в sin 0drd9d<p = ^, (xl) = ^, (x\xl) = ^i.

V 0 0 0

Из формул (10), (11) следует, что величины А J Q имеют порядок м алости е. Если £ устремить к пулю, то в пределе, согласно уравнениям (8), получим p 1 = = 0, и поскольку в невозмущенном движении Р1 = q1 = 0, то в решении (9) коэффициент b(e) должен иметь по крайней мере первый порядок малости по е. В дальнейшем будем считать b = ebo.

Найдем относительное сжатие шара из-за действия центробежных сил, возникающих при его вращении вокруг оси Cx3. Согласно формулам (3), разность между экваториальным и полярным радиусами шара равна

AR = Е-1 [из^еОех - и3

E

В случае Земли угловая скорость свободного движения полюсов равна О = 1,7  10-7 с-1, а разность ДЕ = 22  103 м. Примем следующие значения параметров: го = 6,37  106 м, шо = 7,29  10-5 с-1, р = 5,57  103 кг/м3. В результате из формул (10)-(12) найдем константы, характеризующие упругие свойства материала Земли: Е = 2,4  1010 кг/м -с2, V = — 0,83.

Согласно измерениям (см. рис. 1.7 в [1]), угловое отклонение оси вращения Земли от оси Схз равно 0,25'' = 1,2  10-6. Отсюда следует, что коэффициент Ь в формуле (9) равен 1,2  10 6^о = 8,8  10 11 с 1.

3. Влияние возмущений от Луны и Солнца. В этом случае уравнение, описывающее изменение момента количеств движения деформируемого шара относительно центра масс, представляется в виде

{3о + 31 [и]}ш + ш х 3^и]ш + 31 [и]ш = М,

ш = Ш1 +Дш2, Ш1 = (р1,51 ,^о), 31 [и] = 31 [из] + е31 [щ] + еЗ^щ ]+ е31 [и2].

Здесь М — момент внешних сил, действующих на точки деформированного шара. Переменные Дш2 и и имеют первый порядок малости по е. Вычитая из уравнения (13) уравнение (6) и сохраняя члены порядка малости е, получим

ЗоДш2 + е[Ш1 х 31 [и1 + и2]ш^ + е^о31 [и + и2]ш1 = М.

Возмущение угловой скорости, проистекающее из воздействия гравитационных полей Луны и Солнца, определяется в виде

г

Дш2 = 3о 1 J{М — е[ш1 х 31 [и1 + и2]ш1] — е^оЗ1 [и1 + и2]ш1}

о

Момент внешних сил порождается полем гравитационных сил притяжения двух материальных точек — Луны и Солнца. Потенциальная энергия сил гравитации представляется интегралом по шару от удельного потенциала гравитационных сил. Форма шара изменяется под воздействием поля центробежных сил, представленного полями перемещений из (г) и щ(г). В результате появляются деформации шара, тензор инерции деформированного шара становится осесимметричным относительно оси Схз и не зависящим от времени в системе координат СЖ1Ж2Ж3. Момент сил, возникающий как результат притяжения точек деформированного шара двумя центрами — Луной и Солнцем, вычисляется по формуле [2]

2 " д^Г" 2 3 2

М = ^п*х— =3р^2п2к[пк х Ми]пк], П =-р^01

к=1 ^ к=1 к=1

Здесь П(п1, П2) — первый добавочный член в разложении потенциала гравитационных полей притяжения Луны и Солнца по сферическим функциям, зависящий от векторов щ и П2 (спутниковое приближение гравитационного потенциала). Оператор 31[и] = е31 [и1 + и2] +е31 [и3] +е31[и4]. Деформации и4 и тензор 31 [и4] сферически симметричны. Соответственно их вклад в момент сил равен нулю. Деформации шара е(и1 + и2), порождаемые градиентами гравитационных полей Луны и Солнца, определяют часть силовой функции, которая не зависит от поворотов системы координат, связанной с шаром ввиду его сферической симметрии. Это означает, что соответствующие члены в выражении момента (15) равны нулю, т.е.

2

2

3ре£ Ок [пк х 31 [и1 + и2]пк] = 0.

к=1

Таким образом, момент гравитационных сил оказывается равным

2

М = М1в1 + М2в2 = 3Д3^ Ок(пк, е3) [(пк, в2)в1 — (пк, в1)в^ ,

2

к=1

Д3

ций шара из-за его вращения вокруг оси СЖ3 с угловой скоростью ^о- Далее получим

(пк, в3) [(пк, в2)в1 — (пк, в1)в^ = 73к72ке1 — 73к71ке2

и найдем

2

k=1 k=1

Д^12 = MJ0 1 = ЗДЧцЧ 1 ^ 473fc(72fcei - Yifcв2) = 3Qwq ^ 473k(72kei - 71 fce2).

Второе слагаемое под знаком интеграла в формуле (14) представим с точностью до малых порядка е в виде

Д^22 = -е^о-1 [^1 х + = —1 [вэ х 71 [щ + и2]вз] = -е^Т-1 в! - 7^2).

Компоненты тензора инерции вычисляются для поля перемещений щ + и2. Согласно (5) найдем

= (71 [и1 + и2]вг, вг) = X г] [в* X (и1 + и2)]р^Ж, к = 1, 2, 3,

V

Л? = -(71 [и1 + и2]вг, в?) = у {[вг X г][в? X (и1 + и2)] + [в? X г][вг X (и1 + и2)] }р^Ж, % =

V

и далее, вычисляя интегралы по шару и учитывая (11), получим

22 е^Т-1^ = Шо ^ е|

С помощью определения (11) и формулы (16) представим Д^22 в форме

2

Д^22 = -ЗШо ^ е|7зй(72Йв1 - 71йв2).

k=1

Далее найдем Д^12 + Д^22 = 0.

Интеграл от последнего слагаемого в формуле (14) представляется в виде

Д^23 = -Ч-1 У 4[u1 + U2]^1 dt = -ewo J0-1J1[u1 + и2]ез = ewo J0-1 (J^e1 + J23e2 - ./33ез)-

Здесь J33 — периодическая часть момент а инерции J33 с нулевым средним. Таким образом, вариация угловой скорости Д^2) определяемая формулой (14), примет вид

Ди;2 = П ¿ е\ ^73fc7ifcei + ЪкЪк^2 + ^ sin2 0 cos 2^ke3^ .

Обозначив координаты возмущенного значения угловой скорости шара Д^1 + Д^2 через p, q, r, получим

2

p = b cos e0 p + Qsin 9^4 cos ek p (sin p sin ek p + cos 0 cos p cos ek p), k=1 2

q = bsine0p + Q sin 9 cos ekp

k=1

Q 2 -

r = — sin2 0^e|cos2ekp, eo = ^/wo = 2,3 • 10 3. k=1

Величины p, q, r имеют порядок малости e и представляются сумой трех слагаемых. Первые слагае-

b

ния шара вокруг оси СЖ3, которая является осью вращения абсолютно твердого шара в невозмущенном движении. Вторая и третья группы слагаемых соответствуют значениям k = 1 и k = 2в суммах, стоящих

в правых частях соотношений (17), и определяют возмущения угловой скорости шара от воздействия гравитационных полей соответственно Луны и Солнца. Возмущения от Луны больше возмущений от Солнца в ef/e2 = 178 раз. Напомним, что угол р в формулах (17) является углом поворота Земли в ее суточном вращении и связан со временем соотношением р = wot = 7,29  10-5t.

Подставив численные значения коэффициентов в формулы (17), получим

p  1010 = 0,88 cos 0,0023^ + 0,46 sin 0,073^ sin p + 0,42 cos <p(1 + cos 0,073^) +

+ 0,00087 sin 0,0055^ sin p + 0,0008 cos <p

+ 0,00087 sin 0,0055^ cos p - 0,0008 sin <p(1 + cos 0,0055^), r  1010 = 0,18 cos 0,073^ + 0,001 cos 0,0055^.

Графики функций, стоящих в правых частях формул (18), представлены на рис. 2, 3.

Рис. 2. Графики функции р  1010: а — для 0 < р < 4584 рад

Рис. 3. Графики функции ц  1010: а — для 0 < р < 4584 рад

На рис. 4, а показана траектория точки на плоскости (101ор, 101С1ц) для 0 ^ р ^ 50 рад (8 дней), а на рис. 4,6— для 716 ^ р ^ 766 рад (что соответствует интервалу от 114-го до 122-го дня). Из вида графиков следует, что мгновенная угловая скорость шара описывает кривую на плоскости (р, ц) типа эллипса с изменяющейся формой и возмущенными участками, когда эллипс стягивается почти в точку, а затем увеличивается до исходных размеров. Направление движения точки отрицательное по часовой стрелке, а центры эволюционирующих эллипсов движутся в положительном направлении против часовой стрелки, что соответствует чандлеровской прецессии. Изменение переменных р и ц представляется суперпозицией колебаний с периодом Чандлера 428 дней и колебаний с периодом одни сутки, амплитуды которых меняются с периодом 13,6 суток (полмесяца) и 182,5 суток (полгода). Возмущения угловой скорости в проекции на ось СЖ3 складываются из постоянной величины и периодических добавок с периодами

полмесяца и полгода. В работе [1] приведены графики вариаций угловой скорости вращения Земли, в которых также наблюдается эффект биений.

J_I__I_L

-0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 1010г/

Рис. 4. Траектория точки (1010р, 1010д) та плоскости: а — для 0 < ^ < 50 рад, б — для 716 < ^ < 766 рад

В представленной модели не учтены возмущения, связанные с сезонными климатическими факторами и динамикой атмосферы [1|.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12 01 00536а, 12 08 00637а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сидореиков И. С. Физика нестабилыгостей вращения Земли. М.: Физматлит, 2002.

2. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975.

3. Дарвин Дж. Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. М.: Наука, 1969.

4. В ильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикл. матем. и мехаи. 1980. 44, вып. 3. 395 402.

5. Вильке В.Г., Шатина А.В. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника /'/' Космич. исследования. 2004. 42, № 1. 95 106.

6. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч. 1, 2. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 1997.

Поступила в редакцию 06.03.2013

УДК 531.775

ИМИТАЦИЯ ПОКАЗАНИЙ ИДЕАЛЬНЫХ ДАТЧИКОВ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ БИНС НА ОСНОВЕ ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА

О.Н. Богданов1, A.B. Фомичев2

Предложен алгоритм формирования гладких траекторий, соответствующих телеметрическим данным о координатах и углах ориентации объекта-носителя бескарданной инер-циальной навигационной системы (БИНС). Разработан алгоритм формирования показаний идеальных датчиков угловой скорости (гироскопов) БИНС, соответствующих этой гладкой траектории. Построенные алгоритмы позволяют проводить анализ точности раз-

1 Богданов Олег Николаевич пауч. сотр. лаб. управления и навигации мох.-мат. ф-та МГУ. о-шаП: Ьс^апоу-onOyandox.ru.

" Фомичев Александр Владимирович канд. физ.-мат. паук. пауч. сотр. Моск. ип-та электромеханики и автоматики, доцепт Моск. физ.-техп. ип-та, е-шаП: av_lbmiclievOmail.ru.