Решение задачи об управлении нестационарной транспортировкой вязкой жидкости по системе трубопроводов

ботки моделей и систем поддержки принятия решений [Текст] / Ю.И. Лыпарь, И.А. Кацко, Г.Ф. Бершицкая. -Краснодар: Изд-во КГАУ -2010. -44 с.

3. Загоруйко, Н.Г. Проблема выбора в задачах анализа данных и управления [Текст] / Н.Г. Загоруйко, Г.С. Лбов // Сиб. журн. индустр. матем. -2000. -Т. 3. -№1. -С. 101-109.

4. Манчестер, Р. Пульсары [Текст] / Р. Манчестер, Дж.Тейлор. -М.: Мир, 1980. -315 с.

5. Есепкина, Н.А. Акустооптический компенсатор дисперсии для наблюдения радиоизлучения пульсаров [Текст] / Н.А. Есепкина, А.П. Лавров, С.А. Молодяков // Антенны. -2006. -№ 7. -С. 69-76.

6. Hanado, Y. Millisecond Pulsar Observation System Using Acousto-Optic Spectrometer [Text] / Y. Hanado, M. Imae, M. Sekido // IEEE Trans. On Instrum. and Measurement. -1995. -Vol. 44. -№ 2. -P. 107-109.

7. Horn, J. A 4 x 1 GHz Array Acousto-Optical Spectrometer [Text] / J. Horn, O. Siebertz, F. Schmfulling [et al.] // Experimental Astronomy. -1999. -Vol. 9. -№ 1. -P. 17-38.

8. Молодяков, С.А. Оптоэлектронные процессоры с ПЗС-фотоприемниками. Конвейерная обработка сигналов [Текст] / С.А. Молодяков // Информационно-управляющие системы. -2008. -№ 6. -С. 2-8.

9. Есепкина, Н.А. Рассмотрение ПЗС-фотоприем-

ника в качестве аналогового процессора [Текст] / Н.А. Есепкина, С.А. Молодяков // Сб. науч. тр. Вычислительные, измерительные и управляющие системы. -СПб.: Изд-во СПбГПУ -1998. -С. 50-54.

10. Holst, G.C. CMOS/CCD Sensors and Camera Systems [Text] / G.C. Holst, T.S. Lomheim. -SPIE Press, 2007. -376 p.

11. Esepkina, N.A. Acoustooptical pulsar processor: application of frequency scale calibration [Text] / N.A. Esepkina, A.P. Lavrov, S.A. Molodyakov [et al.] // Proc. SPIE. -2007. -Vol. 6594. -9 p.

12. Угрюмов, Е.П. Цифровая схемотехника [Текст] / Е.П. Угрюмов. -СПб.: БХВ, 2010. -798 с.

13. Есепкина, Н.А. Организация синхронного накопления на матричном ПЗС-фотоприемнике в модуляционном спектрометре [Текст] / Н.А. Есепкина, С.А. Молодяков, И.И. Саенко // Письма в ЖТФ. -1986. -Т. 12. -№ 2. -С. 118-123.

14. Esepkina, N.A. Acoustooptical pulsar processor for radioastronomy [Text] / N.A. Esepkina, F.P. Lavrov, S.A. Molodyakov // Proc. SPIE. -2004. -Vol. 5381. -P. 258-265.

15. Ivanov, S.I. Acousto-optical spectrometers' frequency performance stability [Text] / S.I. Ivanov, A.P. Lavrov, S.A. Molodyakov, I.I. Saenko // Proc. SPIE. - 2004. -Vol. 5381. -P. 253-257.

УДК 517.958:532.5

Д.Х. Нгуен, В.Н. Козлов, А.Н. Фирсов

решение задачи об управлении нестационарной транспортировкой вязкой жидкости по системе трубопроводов

В статье дается аналитическое решение задачи о нестационарной транспортировке вязкой жидкости по системе трубопроводов при умеренных скоростях движения и при наличии регулирующих устройств (регуляторы расхода и давления, насосных и компрессорных стаций) с нестационарным режимом работы в начале трубопроводной системы и в узлах ветвления труб. За основу моделирования процесса берется уравнение движения капельной жидкости в длинных трубопроводах, иными словами, - аппроксимируемое уравнение Навье-Стокса для одномерного движения жидкости при условиях, предполагающих ламинарный режим движения жидкости, с нестационарными граничными условиями на

концах элементов трубопровода.

Рассматривается система трубопродов для транспортировки вязких жидкостей (в частности, нефти), содержащая последовательности и разветвления труб (рис. 1). Жидкость предполагается вязкой и слабо сжимаемой (р « const), а движение жидкости по системе трубопроводов происходит в изотермическом режиме.

Для построения математической модели гидродинамики течения жидкости в системе разделим исходную систему на элементарные линейные участки трубопроводов и запишем систему уравнений динамики жидкости для каждого линейного участка, при этом для простоты пренебрежем потерями в точках соеденений между элементами

системы (между трубами или между трубой и насосом). Можно рассматривать давления и расходы на выходе одного элемента в качестве входных давления и расхода для следующего элемента. В точках соединения трех или более труб, на входах и выходах элементов должен выполняться закон сохранения массы. На практике, при исследовании гидродинамики в системе трубопроводов, как правило, применяется одномерный способ описания процессов перекачки жидкости, при этом предполагается, что труба имеет форму круглого цилиндра и постоянную по длине толщину стенок, стенки трубы будем считать упругими; течение в трубе предполагается осесимметричным, сдвиговая вязкость жидкости считается постоянной; объемную вязкость жидкости можно не учитывать; кроме того, при перекачке жидкости по системе трубопроводов скорость движения жидкости можно считать малой в сравнении со скоростью звука в жидкости. Для осесимметричного движения жидкости уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах х, г, 9 записываются следующим образом [1, с. 78]:

- + v

+V

дих ~dt

4 д 2u

--f" + —

3 дх дг

ди

дх

+ и

диг дг

1 др

д 2и

1 ди 1 д +--- +--

г дг 3 дх

р дх ди

и

дг г

+v

диг

дл 4 д2 и

+ и

диг дг

- + и

диг дх

1 др

+ 4 ди„

4 иг

---т +

д

3 дх 3 г дг 3 г дх I 3 дг

р дг 1 диг

--- + -

ди..

где ых и ыг - проекции скорости соответственно на ось Ох, совпадающую с осью трубы, и ось

Ог, направленную по радиусу сечения трубы; V -

Ц

кинематическая вязкость жидкости, V = — ; ц -

Р

динамическая вязкость жидкости; р - плотность жидкости.

Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид:

др ди иг ди др др п —+ р—- + р— + р—- + иг — + их — = 0. (3) дt дг г дх г дг х дх Уравнения (1)-(2) достаточно громоздкие, для упрощения проведем оценку их членов, выбрав следующие масштабы:

масштаб по длине трубы х = ct, йх = cdt; средняя по сечению потока скорость и . Предположим далее, что течение жидкости происходит только в направлении оси трубы

(точнее, их » иг); отношение между радиусом и

г

длиной трубы -у = к ^ 1; изменением плотности

жидкости в процессе движения пренебрегаем, т. е. р ~ р0 = const, где г0 - радиус трубы; l - длина трубы.

При выбранных масштабах и предположениях можно провести анализ и сравнение членов в уравнениях (1)-(3):

при и ^ c, йх = cdt вторым и третьим членами в левой части уравнения (1) можно пренебречь, т. к. они достаточно малы в сравнении с первом членом;

, 1 - 4 д2их при к ^ 1 и и ^ с , йх = cdt членом--—

3 дх2

в правой части уравнения можно пренебречь в сравнении с другими членами;

при их » иг уравнение (2) можно исключить целиком, принимая при этом одинаковое давление во всех точках поперечного сечения трубы;

при и ^ c , к ^ 1, йх = cdt пятым и шестым членами уравнения (3) можно пренебречь в сравнении с другими членами.

Умножим все члены полученных приближенных уравнений (1), (3) на 2nrdr и проинтегрируем их в пределах от нуля до г0 с учетом следующих соотношений:

массовый

'0

расход р| 2кгuxdг = ркг^у = gSv = q,

S = пг02 - площадь поперечного сечения трубы;

ОЧ> -ооН, Н, "

Рис. 1. Система трубопроводов i - г-я труба; Н. - j-й насос; Vk- к-й клапан; П. - i-й потребитель

'0

12пгрйг = ПГ02р ;

12пг

Г д 2их ~дгг

1 дм +---

г дг

Л

& = 2пг„

дмх

дг

• |*2тсг + — ] йг = 2тсг„и I

0 ^ дг г ] 0 г|г=го.

В итоге получим следующую систему уравнений:

дд = _ 5 _д_

д?

йг

2pv и

Л

3г„

25р^ дих дг

/

5 дР=_р, ^

д?

г=го +

йг

С учетом упругости стенки трубы радиус г0 трубы является функцией от времени г0 = г0(?),

при этом величина иг | нием:

м1

определяется соотноше-

д0_ д?

Если не учитывать инерцию стенки трубы и считать деформацию сечения трубы малой, то изменение радиуса можно принять [1, с. 80]:

дгп

г0 да

г0 др

др

,

г|г=г0 д? Ест д? Ест 8 д? 8Ест д? где о - напряжение в стенке трубы; Ест - модуль упругости материала стенки трубы; 5 - толщина трубы.

Принимая масштаб времени ? = —, значения

2Рииг\г=г0 2рйг0др 2р йг0с

0- и - " р (при нор-

3 г„

38Е Эг 38Е /

мальных условиях), видим, что можно пренебречь вторым членом в скобках в уравнении (4).

Воспользуемся далее законом трения для вязкой жидкости Ньютона, касательное напряжение т0Н на стенке трубы вычисляется по формуле [3, с. 69]:

Т0 Н М

дих дг

С другой стороны (см. [1, с. 83 ]):

4м _ 2м (• ди- ,, ч ,

Т0н =— и + — I (? _т)йт .

г г0 о дт

В [2, с. 257] рекомендовано использовать приближенную формулу для подынтегральной функции X?):

-26,3744»

„-135,0198/

-218,9216»

-322,5544»

для г >0,02

]е +е '+ "" +е

1о,2821Г1/2 -1,25 + 1,0578Р'2 + 0,9375/~ + 0,3967Р'2 -0,351бГ

- - V

для ? < 0,02, где ? = — - безразмерное время.

Уравнение (4) можно переписать следующим образом:

* + 5 д-Р + ^ и + ^Г(? _т)й т = 0 д? д- г2 г2 I дт у '

или

дд

аГ

5 др + +

С\ V С\ V * Ят

^ р0г0 р0г0 0

дт' др

Согласно [4, с. 20], — можно вычислить

а

др др др Р0 др

по формуле — =--=--, где К - модуль

д? др д? Кж д?

объемного сжатия жидкости. Следовательно, уравнение (5) имеет вид:

5Р0. -р =_5 2Р0г0 др + дд

К„ д?

Пусть К =

К,.,

2 I 2г0Кж

5Е

8Е„т д? дх

приведенный модуль

упругости жидкости [3, с. 209]. Тогда, с учетом скорости звука в жидкости, текущей по упругой I к

трубе, равной с = — , получаем из (12):

\Р0

^ + = 0.

дх с д?

Итак, система уравнений (11) и (13) описывает динамику течения жидкости в одной трубе. На практике с достаточной точностью можно принять квазистационарную модель трения жидкости

и

т

^1. Тогда

о стенку трубы, т. е. считать, что

можно пренебречь четвертым членом в уравнении (11). Таким образом, получим линейную модель движения жидкости в трубе. Для каждой г-й трубы в системе имеем уравнения для массового расхода и давления:

°

дз±.+5±-др±=0

дх с2 д?

^ + - Г ^ + \ = 0,

д- 51 д? 1

и

г

0

где р - давление жидкости в 1-й трубе; q - массо

8ц

вый расход в 1-й трубе; величину 2ai = -

на-

Ро г

зовем коэффициентом затухания .-й трубы.

Для корректного решения системы уравнений (14)—(15) каждому линейному участку необходимо задать начальные и граничные условия.

Для задания граничных условий предположим, что в начале работы (при t = t0 = 0) система трубопроводов работает в стационарном режиме, т. е. давления и скорости жидкости в трубопроводах не зависят от времени. Начальные даваления и жидкости в ¡-й трубе обозначим соответственно

через Pi0(x, q¡о(x, 0):

Ч1 о = Ч1 о

2a.

pi о=р1 (x, 0)=р1 (0,0) - qiох.

г

Неустановившийся режим возникает благодаря возмущениям начальных данных (16). Предположим что, при t > 0 давление и скорость неустановившегося движения жидкости можно разбить на две части: первая часть - это давление и скорость установившегося движения, а вторая часть рассматривается как возмущения этих значений, т. е. положим:

q¡ (x, г) = q¡ о + qt¡( ^t^

Р1 (x, г) = Рго + Р*( ^г^ где q¡ (х, г), р. (х,г) - возмущения скорости и давления.

С учетом этого предположения, подставляя (17) в (14) и (15), получим формулировку задачи в переменных q*( х, г) и р*( х, г):

дЧг

дР* + 1 дх £

+ £др* = о, г > о,

дх с дг

Л

дq*

— + 2^

дг 11

л

= о, г > о,

q*

Далее, для упрощения обозначений будем использовать в уравнениях (18)-(2о) р. и q¡ вместо р*, q¡ . Таким образом, получим:

А д-^+дР = о,

дх дг

д-х + + СЛ = о,

qi (х,о) = о, р, (х,о) = о. (23) Здесь Аг = £ 5 = Сг = .

Для системы трубопроводов управление регуляторами расходов и давлений или насосных и компрессорных станций моделируется через задание соответствующих граничных условий.

Ограничимся рассмотрением следующих вариантов линейных граничных условий:

р,

q¡

q¡

р1

р,

где I. - длина ¡-й трубы.

Комбинация начальных условий (23) и любого из соотношений (24.1)-(24.4) дает нам начально-краевую задачу для системы (21)-(22). В сочетании с условием [24.5] или [24.6] получим линейную задачу Коши при х = о и х = I.

Условия сопряжения давлений и расходов в узлах имеют вид:

Pi-1

в сечении соединения двух труб,

р,-Д, г) = рнх, р,

давление создается насосом,

Е $ = Е $ -

закон сохранения

масс в точке разветвления, где Свх. - множество индексов . труб, по которым жидкость попадает в .-й узел; С - множество индексов . труб, в которые жидкость попадает из Ы-го узла.

Для решения системы уравнений (21)-(22), при условиях (23)-(27), воспользуемся преобразованием Лапласа по переменной г. Тогда получим:

^ (х,5) + А.=

х

дР. (х, 5) х

+

где Р.(х, 5), Щ (х, 5) - изображения соответственно

р^х0 и qi(x, г).

Р

-Р21

а

Рис. 2. Математическое представление ¡-го участка трубы

2

Рис. 3. Представление системы трубопроводов из четырех труб

Решения системы (21)-(22) имеют вид:

Р

й

г,.

Систему (30)-(31) можно записать в матричной форме:

г Р.

Г Р л

0

]

7.. А Х Х 2 5

где 21 (5) = —— , к =-1-— - величину к

5 А

I

назовем оперативным коэффициентом распространения возмущений.

Постоянные а ., в . определяются из граничных можно рассматривать как переходную матрицу

« и I л .

_shkiх спкх ' "

Формула (37) позволяет определить Р .(х, 5), й,(х, 5) как функцию от входных параметров

сИк1х _2, (5)5Кк. х Л ^^^^^ х х I

Ры, вц. Матрицу Wt (5) =

условий (24.1)-(24.6).

для системы (21)-(22) при граничных условиях

После подстановки граничного условия

в (30) и (31), получим:

Р = Р (0,5) = а1 ;

Й0, = в(0,5) = —^(а, _Р,).

Решая систему (32)-(33), получим:

а =

Р _ 2, ^, в = Рш + 2, (5)в01

2

2

Р (х, 5) =

Р _ 2,. (5)00, , х , Р + 2,. (5)6,

в (х, 5) = _

2,.

Р _ 2,вШеКх _ иа + 210 е_К1

При других граничных условиях получим другие переходные матрицы, позволяющие определить зависимость неизвестных значений Р (х, 5) и в (х, 5) от граничных условий. Следовательно, каждый линейный участок системы трубопроводов можно представить в виде четырехполюсника (рис. 2). На этом рисунке обозначено: Р,.(5) = Р (0,5), в. (5) = в (0,5), Р» = Р (/,., 5), 02, (5) = в, (к, 5).

В таком представлении сложная система трубопроводов может быть изображена графом и четырехполюсниками (рис. 3).

Переход от найденных изображений Р (х, 5) и (36) в(х, 5) к их оригиналам р (х, ?), д.(х, ?) позволяет получить значения расходов и давлений в каждый момент времени в каждой точке каждой трубы.

1

список литературы

1. Попов, Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы [Текст] / Д.Н. Попов. -М.: Машиностроение, 1982.

2. Чарный, И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах [Текст] / И.А. Чарный. -М.: Недра, 1982.

3. Басниев, К.С. Нефтегазовая гидродинамика [Текст] / К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг. -М.: Ижевск, 2005.

4. Гусейнзаде, М.А. Неустановившееся движения нефти и газа в магистральных трубопроводах [Текст] / М.А. Гусейнзаде, В.А. Юфин. -М.: Недра, 1981.