Уравнения движения трехслойной вязкоупругой сферической оболочки

70 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №6(40).

УДК 534.121

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ1

© 2005 С.А.Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов2

В работе получены дифференциальные уравнения движения и краевые условия для трехслойной вязкоупругой сферической оболочки с несимметричной структурой пакета слоев в предположении, что толщина среднего слоя значительно превышает толщины внешних слоев. Материал среднего слоя — вязкоупругий, его деформирование рассматривается в постановке теории Миндлина-Тимошенко, внешние слои — упругие и испытывают мембранное напряженно-деформированное состояние. Краевые условия соответствуют наиболее общим (упругим) способам опирания оболочки.

1. Свободные колебания сферических оболочек впервые были исследованы лордом Релеем (Rayleigh) в 1881 г [1]. Релей, используя энергетический метод и полагая, что срединная поверхность нерастяжима, рассмотрел чисто изгибные колебания без учета граничных условий.

В работах Г. Лэмба

Первая попытка разработки общей теории моментных колебаний тонких оболочек была предпринята А. Лявом (A.E.H. Love) и имела целью исследование колебаний колоколов [3]. Распространяя теорию пластин Г. Кирхгофа на оболочки, А. Ляв допускал одновременно изгиб и растяжение срединной поверхности, причем, пользуясь принципом возможных перемещений, он получил в 1888 г. как уравнения движения, так и граничные условия.

Дальнейшее развитие теория малых осесимметричных деформаций оболочек получила в работах Х. Рейснера (H. Reissner) и Э. Мейснера (E. Meissner). Х. Рейснеру удалось получить два симметричных дифференциальных уравнения второго порядка для замкнутой сферической оболочки, имеющей постоянную толщину и загруженную симметричной нагрузкой [4]. Эту систему Х. Рейснер решил при помощи предложенного Отто фон Блюменталем (O. Blumenthal) способа асимптотического интегрирования.

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором Ю.Н. Радаевым.

2Лычев Сергей Александрович (lychev@ssu.samara.ru), Сайфутдинов Юсуп Назипо-вич (jusufsay@mail.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

В 1937 г. К. Федергофер в рамках технической теории (теории Кирх-гофа-Лява) впервые получил систему дифференциальных уравнений колебаний непологой сферической оболочки в перемещениях [5]. Не приводя замкнутого решения, он указал, что решение этой системы может быть найдено в присоединенных функциях Лежандра комплексной степени.

Дифференциальные уравнения теории пологих сферических оболочек, учитывающие деформации сдвига и инерцию вращения, были сформулированы П. Нагди [6] и А. Калнисом [7]

[8]. Точное решение осесимметричной задачи о собственных и вынужденных колебаниях жестко защемленной пологой сферической оболочки в уточненной постановке без учета тангенциальных сил инерции приведено П. Цулковским (P.M. Culkowski) и Г. Райзманом (H. Reismann) [9].

Б.Копликом (B.Koplik) и ЮВи Юанем (YuYi-Yuan) (1967 г.) были изучены несимметричные колебания трехслойной сферической оболочки симметричного строения на основе полной системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях [10]. Учитывались сдвиги и инерция вращения сечений, изменением длины нормали и изгибной жесткостью наружных слоев пренебрегали.

Уравнения осесимметричного движения в перемещениях для непологой трехслойной сферической оболочки симметричной структуры были получены П. Цулковским

С. Мирза (S. Mirza) и А. Сингх (A. Singh) исследовали свободные колебания непологих сферических оболочек с легким заполнителем и мембранными симметричными внешними слоями [11]. Точные решения уравнений движения были получены в функциях Лежандра произвольной комплексной степени.

Колебания трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой пакета слоев исследованы в меньшей степени. Вместе с тем непологие сферические оболочки с несимметричной структурой являются конструкциями наибольшей жесткости3 и представляют интерес в технических приложениях.

2. В работе рассматриваются сферические оболочки, образованные двумя тонкими наружными слоями с различными толщинами h2, h и внутренним слоем толщиной hi » h2, h3. Предполагается, что способы соединения слоев в единый пакет гарантируют отсутствие их смещения относительно друг друга (проскальзывания). Кроме того, будем полагать, следующее:

1. Перемещения оболочки малы по сравнению с толщиной конструкции.

3При фиксированной удельной массе пакета слоев от соотношения тощин слоев зависит изгибная жесткость оболочки; при определенных соотношениях этих параметров жесткость оказывается наибольшей, конструкция при заданной нагрузке испытывает наименьший прогиб и в этом смысле является оптимальной [12].

2. Нормальными напряжениями на площадках, касательных срединной поверхности, можно пренебречь.

3. Слои оболочки изотропные. Внешние слои испытывают мембранное напряженно-деформированное состояние.

4. Нормальный элемент среднего слоя после деформирования не остается перпендикулярным к срединной поверхности, а поворачивается на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины (кинематические гипотезы Миндлина).

Воспользуемся географической системой координат {0, ф,г), связанной с прямоугольными координатами {X, У, Z) соотношениями:

X = (Я + г) вій 0 віп ф, У = (Я + г) вій 0 сов ф, Z = (Я + г) сов 0.

Здесь Я — радиус кривизны срединной поверхности П, которая представляет собой участок сферической поверхности, ограниченной контуром оболочки и эксидистантный ее лицевым поверхностям ш+, ш_, но не равноудаленной от них.

В соответствии с кинематическими гипотезами (4), вектор перемещений ик = ик (0, ф, г) (к = 1,2,3) произвольной точки к-го слоя может быть выра-

жен через перемещения срединной поверхности и = (и(0, ф), у(0, ф), w(0, ф)) и вектор углов поворота нормалей к ней у = (у(0, ф), у(0, ф), 0), т.е.:

и1 = и + гу, и2 = и _ Н_у, и3 = и + Н+у, Н++ Н_ = Н1.

Индекс ”1” относится к среднему слою, индексы ”2” и ”3” —соответственно к внутреннему и наружному внешним слоям оболочки; Н+, Н_ —расстояния от П до внешней и внутренней лицевых поверхностей Ш+, ш_.

Согласно гипотезе (1), деформации в слоях оболочки определяются тензором малых деформаций; его физические компоненты в координатах {0,ф,г) имеют вид:

1 (дык

+ w

00 Я + 4 д0

к 1 / дwk дик

с">=2(кТйЬё'+<к+г)аГ_“

екФ=

1

1

вк =

1

0ср 2(Я+г)\<90

1 / 1 дук

-V ^0 + —

1 дик

вк =

'-'фф

гк = —

гг ді

Я + г \ віп 0 дф

дwk

віп 0 дф + wk+^ 0ик

к

В результате подстановки аппроксимирующих формул (1) в выражения (2) получим геометрические соотношения, определяющие деформации в слоях

оболочки

4 - -j^~z (gee+ZX00), Єдф - 2(R+z) (еЄф+2ХЄф),

ez0= 2 {R + Z)ez<d’ ефф = ^7^(ефф + гхфф)’

ВІ = 0,

в1 --І—Є zqp 2(R+z) zqp’

2 З І 2 З І / \

Єе’е = ~R + l(Єт Т Н'Хт) ’ ^ = W+z) ^0ф Т Й"Х0ф' ’

ez0 — 0> Ezz~ Єгср — Єфф — Г,

через следующие поверхностные меры деформаций:

dw 1 dv du

ezQ = + RV ~ и, ефф = ^—— + ctg0M + w, e00 = — +w,

d0 sin 0 дф d0

1 dw dv 1 du

ezv = ~ а я *" R4 ~ v’ ееФ = ^ -ctg0v + —7,

sin 0 дф d0 sin 0 дф

dy 1 dy 1 dy dy

^еФ = ж -ctg0y + Хфф = T-7J- +ctg0\|/, Xee = —.

^ d0 sin 0 d^ sin 0 dф d0

3. Вывод дифференциальных уравнений движения и краевых условий осуществляется на основании вариационного принципа Онзагера (принцип наименьшего рассеяния энергии) который, как отмечается в [13], эквивалентен принципу максимальной скорости производства энтропии и может быть сформулирован в виде:

б/ [т

где T — полное внутреннее производство энтропии, D — полная диссипация, X — термодинамические силы, J — сопряженные им потоки.4 Воспользуемся следующим выражением для T:

t = Pext-к-W.

4Формулировка принципа максимальной скорости производства энтропии Т состоит в утверждении, что функционал

{Т у, х) - ха а , х)}х

имеет экстремум при варьировании по потокам I при фиксированных термодинамических силах X, т.е.:

б., {т у, х) - ха а, х)}х = о

и дополнительном условии

а = юа,у -та х) = о.

Здесь X — неопределенный множитель Лагранжа. Исключая его, приходим к вариационному уравнению (5), где варьируемое выражение представляет собой половину мощности рассеяния энергии.

Здесь точка означает производную по времени, Рех1 — мощность внешних сил, К — кинетическая энергия, ^ — свободная энергия:

3 3

‘к=\2/ Ркйк-йк^, 'W = ^ГJ Wkdv,

к=1 V к=1 V

*Ук — пересечение объема к-го слоя оболочки и контрольного объема, рк — плотность материала к-го слоя, wk — плотность свободной энергии в слое к.

Будем полагать, что неупругие деформации развиваются в среднем слое, в то время как внешние слои деформируются упруго. Тогда плотность свободной энергии среднего слоя w1 зависит от тензора деформации

ё1 и тензора скрытых переменных состояния П, а свободная энергия внеш-

~1 2

них слоев определяется соответствующими тензорами £ ’ , т.е.

w1 = w1(£1, П), w2’3 = w2’3(£2’3).

Поскольку средний слой рассматривается в рамках теории оболочек с конечной сдвиговой жесткостью, то выражение для w1 может быть сформу-лированно в следующем специальном виде, позволяющим учесть поправку к распределению касательных (’’поперечных”) напряжений по толщине оболочки посредством коэффициента поперечного сдвига к [14]:

»’ = [еш: 8Р + (х - 1) : 7: 8Р] + (Ё: 81)2 +

+ ц0 [

К0

Здесь = £к - : ёк — девиаторная часть тензора деформаций к-го

слоя, Г]С — девиаторная часть, а \Ёх\ — шаровая часть тензора скрытых

переменных состояния; тензоры Е и I имеют следующую структуру: 5

- 1 1 л(2143) $

Е = ее<8> ее + еф<8> еф= -0+-0 , -0 = ее ег<8> ее ег+еф<8> ег<8> еф<8> ег;

СО т^СО

^ , Кх — длительные упругие модули сдвига и всестороннего расширения, а ^0, К0 — модули сдвиговой и дилатационной вязкости материала среднего слоя, к — коэффициент поперечного сдвига, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине среднего слоя и вычисляемый из соотношения (V! — коэффициент Пуассона материала среднего слоя):

3 3 3V1

ус — — —------------—----------.

2 10

Плотность распределения свободной энергии во внешних упругих мембранных слоях определяется выражением:

и/2’3) = т,3г

5Тензор Е играет роль единичного тензора на нейтральной поверхности П, а тензор

1 выделяет ’’поперечные” компоненты тензораов £, г).

где Ц2.3, К23 — соответственно модуль сдвига и всестороннего расширения материалов внешних слоев.

В географической системе координат выражения (7), (8) принимают вид

2 2 1 2 2

(е00 ~ ефф — Лі) +4 (е0ф " Лг) + 2 К1 [Є00 + ефф " 1)3 ] +

\2

+

+2Ц?к («4 - ^)2 + (в^р - Лб)2] >

( (2,3) _ (2,3)\2 (2,3)\21 I ^ Г (2,3) (2,3)12

\єее Єфф ) \ 0ф / 9 2>3 I 00 ФФ ] •

ер 2

Здесь П1 = П1(Є> ф)>---> П5 = П5(е, ф) — скрытые переменные состояния, определенные на нейтральной поверхности П и связанные с компонентами тензора П следующим образом:

Пее =

Пг0 =

1

Лгф — ;

2(Д+г) 1

2(Д+г) 1

(Пз+лО >

Л4>

Л0ф — '

1

:П2.

:П5.

2

Лгг = 0-

2

Диссипация Ю в линейном приближении может быть представлена квадратичной формой:

Ю = ^ й dv;

й = 2^1 тх"»!°: п° + К0т2 (Е: г|) + 2^0 (т3к - тх) г)°: /: П° =

= 2^0тх

где тх — время релаксации при сдвиге в касательной плоскости, Т2 — время релаксации при всестороннем растяжении, т3 — время релаксации при поперечном сдвиге.

Выражения для свободной энергии (9) с учетом соотношений (3) могут быть представлены в форме разложений по степеням г и Н-, й+:

^1 =

^2 =

ШФо

^1

Е2

еі+Уів2+2г\ез+Уів4\+г2 [е^+пще^] + -(1-Уі)ке7І+

+ (в8 + ге^ + ке 12)+(ею+гец^іп 0 dzd0dф,

2(1- у2>

///(Є1 +У2Є2 -2Н 1 [ез + У2Є4] + (Н 1)2 [Є5 + У2Єб]^ІП 0 dzd0dф,

^2

V УУ V)

2

где использованы упругие постоянные

Ек = -^Щг, Ук = ^—^ (£=1>2>3).

Ик + Кк Кк + Цк

(использование модулей Ек, Vk позволяет опоставить частный вариант получаемых уравнений для упругих оболочек с симметричной структурой слоев с уравнениями, полученными в работах [9, 10, 11]), а также обобщенные переменные в\ = £1(0, ф), ..., £12 = £12(0, ф):

2.2 . 1 2 о 1 2

£1 - £00 + £фф + -£0ф, £2 - 2£ее£фф - -£0ф,

11

— ^99X99 + ^ффХфф "* — е99Хфф "* еффХ99 — 2^Ф^Ф’

.2 , ..2 , 1 .2 „ о.. .. 1 .2

е5 = Хее + Хфф + 2^9ф’ еб = 2Хб9Хфф “ 2^9ф’

е1 = е% + е%’ е% = 2 (^1 + ^2) “ (е99 - йфф) Til - е9фЛ2,

е9 = — (Х99 — Хфф) Л1 “ Х9фЛ2> е10 = “ (е99 + ефф) Лз>

е11 = ~ (х99 + Хфф) ЛЗ> е12 = j (л4 Л5) — е7.вЩ ~ егфЛ5-

Величины £1,...,£12 не зависят от переменной z, что позволяет привести объемные интегралы к интегралам на срединной поверхности П. Интегрируем ^^1, ^2, в пределах {—й—, й+}, {—й—— Й2, —й—), {й+, й+ + йз) соответ-

ственно:

^ + й3

<М/1= I I 1 2 |Й1 [£1+У1£2]+(/г+-/г2) [£з+У1£4] + —^ “

ГГ El / / 99 \ h+ + h_

----^7 |Й1 [£l+Vi£2]+(ft+-/z_J [£3+Vi£4] +------- [£5+Vi£6] +

n v

1- vi \ 0/ h+ - h2_ \ J h+ - h2_ .

+Й1—-—K£7| + [i1 J/z 1 £8 H----2—e9 + >ihiei2v-KlmieiQ-\---- —£11J sin0 dQdqi,

W2 = . Ег v ГГ(h2 [£1 + v2£2] - 2/z_ [£3 + v2£4] + h2_ [£5 + nu2e6]) sin 0 dQd(f,

2(1 - v2) iJ '

<W3 = Ез ГГ(йз И + v3£2] + 2/z+ [£3 + v3£4] + h\ [£5 + nu3e6]) sin 0 dQdy.

2(1 - vD iJ

Полная свободная энергия оболочки W определяется суммой:

<W = <Wi + W2 + W3 = 1 Jit aei sin 0 d0dф.

n 1-1

Здесь щ — константы, определяемые геометрическими и физическими характеристиками слоев оболочки; в соответствии с (14), (15) они имеют вид:

а\ =

Е\Н\ £2^2 Е3Й3

1 -

+

1 - ^2

а~і =

Еі Ні

2

к,

Е1Н1V! £2Н2V2 £зНзVз

0-2 = --------~ Н------------- +

1 - VI

1 - v2

1 - V2

а3 =

а4 =

а5 =

аб =

(Н+ - Н-) £1 2Е2Н2Н- 2Е3Н3Н+

1 - V2

1 — V2 У2

1 — V2 У3

(Н+ - Н-) V1E1 2E2Н2v2Н- 2Е3Н^3Н

---------т----- — ---------- + ---------—

1 - V2

1 - v2

1 - V2

(Н+ +Н-) Е1 Е2Н2Н- Е3Н3Н+

1 - V2

1 — V2 У2

1 — V2 У3

1 (Н+ + Н-) Е^1 е2н2 V2h2_ ЕізН^Н2

г---------^

3

1 - v2

1 - v2

1 - V2

а8 =2^1Нь а9 =

При выборе определенных положений нейтральной поверхности П один из коэффициентов аз, «4 обращается в ноль, что ведет к сокращению числа слагаемых в выражении (15) и упрощению структуры получаемых впоследствии дифференциальных уравнений движения. В дальнейшем будем полагать, что аз = 0. Для этого величины й+, й— следует определять из

условии:

а3 =

Е1

1 - v2

(й+ - Ъ2_) - -

2 £2й2 2£3й3

й_ н--------А+ =0, п+ — п- = п\,

- vt

1 - v2

т.е. из условии

ЕФі Е2н2

1 - v2

1 - v2J

Е1Н1 Е2Н2

+

1 - v2

1 - v2

+

ЕъЫ

Н- = Н\ — Н2

Если положение нейтральной поверхности выбрано в соответствии с (17), то коэффициент а4 может быть вычислен по формуле:

2£3й3 2 £2й2

04 = (VI - У3)-----тЙ+ - (VI - \2У.-----Й-.

1 — V2 У3

1 — V2 У2

Заметим, что в случае оболочки симметричного строения й+ = й_ = у, и соотношения (16) принимают вид, совпадающий с известными результатами

[9]:

ЕЛ Е2Н2

^1 — ---------“ + .2

1 - v2

1 - v2,

£^^1 £2 h2V2

$2 — -----“ + 2"

1 - v2

1 - v2

а3 = а4 = 0,

а5 =

1 Е^3 Е2Н2Н\

12 1 -

+

1 - v2

аб =

1 Elh3vl E2h2h21V2

12 1

+

1 - v2

а7 =

Е\Н\

1 + ч2

к.

2

1

3

1

2

2

1

Располагая выражением (15) и соотношениями между компонентами тензора деформации и перемещениями (4), (13), определим свободную энергию деформированнои оболочки как квадратичную функцию перемещении срединной поверхности и углов поворота нормалей к ней (и, V, w, у, у), а также скрытых переменных состояния (П1,...,П5):

'И'=2

'Л

а1

'ди?

«г

Б1П

дvf

— +и 0+2—

0 дv

0 \дф/

8ІИ 0 дф

+ -

+2

+2а2

а1 - а2 ~2~

+а4

+а5

+2аб

а$ - а6 2

+а7

-а8 -ад -а10 -а11 -а12

2

w2 +

ди 1 дv —н---------------------+ сЛг ви\у

д0 8ІИ 0 дф

1 дv ди ди

—+с1ё0^И Бт 0 дф д0 д0

дv

+у 0+-

1

д0/ 8ІИ2 0\ дф

r,дv Сг 0 ди 2 дv ди

—2 с^г 0—V—2-----------V н------------

д0 8ІИ 0 дф 8ІИ 0 д0 дф

1 / Зу ди ду ду 3\|/ 1 <9\|/ Зу 1 ди ду .

віп 0 \3ф 30 + Зф™ + Зф дв 2 Зф дв 2 Зф 30 С*^

ду 1 дv 1 ду \ ду 1 дv ду Йг2 0

+ М— +-------------У +---------V I + IV— —--------------------------------— -уу •

30 2 30Г 2 30 / дв 2 30 30 2

—\|/ + ш» + д0Т ^

1 ди ду

2 8ІП2 0 дф дф

30

1

8ІИ

0 дф

ду Т 2 ^ 2 с1§ 0 ду

—- + 0\|/ + 2—2—

8ІИ 0 д0

1 ду ду ду

їіпвлрзв +с‘8 ¥ав ^1а8’-вА -^(М-2с18А-2^^7+ —^

30 / віп 0 \ Зф / 30 віп 0 Зф віп 0 30 Зф

Зн1

30/ ' 8іп20

2 дw . . 2 2 „„дw

+ ——г— (7?у - у) + и + V — 2К-—и

д0

8ІИ 0 дф

ди 1 д^ ^ \ / дv 1 ди \

ж ~ ——--------------с1ё0м Лі + ^ “ ус1§0 + ——ТІ2

д0 8Ш 0 дф ) \ д0 8Ш 0 дф)

д^ 1 ду\ /ду 1 ду

30 ^ ^ + віп 0 Зф / + \ 30 віп 0 Зф

- 0у П1

ди 1 дv

— + 2Н1 + —- — д0 8Ш 0 дф

+ 0и

П3-

Зу 1

дv

+ 0у

д0 8ІИ 0 дф

д^ \

— + 7?\|I - и I Г)4 + .

д0 І \ 8Ш 0 дф

П3-1 дw

+ Яу - V П5

а8 ( 2 2) а10 2 а12 ( 2 2) I • п

+ у (Лі + Л2) + "уЛз + ~2 + Л5) |8Ш0

) й0 йф.

1

+

а

+

+

+

+

+

+

+

Для вычисления кинетической энергии К также воспользуемся аппроксимирующими соотношениями (1):

_к+

Интегрируя полученное выражение по г, преобразуем объемный интеграл в поверхностный:

Здесь Ъ\, &2, Ъз —инерционные константы, определяемые геометрическими размерами и объемной массой материала слоев оболочки:

Подстановка равенств (1) в выражение (21) и последующее интегрирование по переменной г приводит к поверхностному интегралу:

Мощность внешних сил Рех1 может быть вычислена как сумма мощностей, развиваемых распределенными силами Г+, И на соответствующих лицевых

6В случае, когда условия закрепления оболочки обеспечивают неподвижность конструкции в целом, вектор £ равен вектору ускорения свободного падения. Если, помимо деформирования, оболочка совершает движение как твердое тело, £ равен векторной сумме ускорения свободного падения и ускорения переносного движения конструкции.

Н+

Н+

Мощность объемных сил ^ определяется выражением6:

(сферических, эквидистантных П) поверхностях ш+, ш_ и реактивными силами £к, приложенными к торцевым (линейчатым, ортогональным к П) поверхностям п, а также мощности объемных сил Т':

з

Рех = Г + Р, p=ff {+-и3Лш+ + ^f.й2d

ю+ ю_ к=1 Пк

Подставляя в (23) соотношения (1) и приводя интегралы на поверхностях ш+, ш_ к интегралам на П, получим:

Р = ^^{(й+к+У)• Г+ (Я+к+ +кз)2 + (11 _к_у)• Г_ (Я_к__к2)2}8т0^0^ф+ п

к+ к- Н+-+гз

+ ^{ ^(й + ^ (u-h-y)i2^-^dz+^(й+h+y)^f3^^dz^ <1$.

Г _к_ _к--_12 _к+

Здесь Г — пространственная кривая, образуемая пересечением поверхностей П и П1; ds — элемент Г . Интегрируем по г выражение (25) и преобразуем его к виду:

Р = JJ" |р^-й+М^-у|/?2 вт 0с?0й?ф + 1 ^|Рг-й+Мг-у| (25

Г

где

(К+Н++Н з)2 (/?-/г_-/г2)2

^ ^^^

к+ _к_ к++кз

_к_ _к_-к2 к+

(Я + к+ + кз)2 (Я _ к— _ к2)2

к+ _к_ к++к1

Г , Я + г Г 2 Я + г Г 3 Я + г

МГ= I I Г2—^—/г_ I Г3-^-/г+&.

_к_ _к-_12 к+

В настоящей работе рассматривается случай упругого закрепления слоев оболочки на контуре Г. Возникающие при таком закреплении реактивные силы 1"к (к = 1,2,3) могут быть заданы в наиболее общей форме (в соответствии с кинематической гипотезой деформирования сечения (4)) следующими линейными соотношениями:

Я 2 Я з Я

----©1(г)(и + гу), { =-—— 02(и-й_у), { =-—— 03(и + /г+у),

Я + г Я _ к- Я + к+

п

где ©1,2,3 —диагональные матрицы жесткостных характеристик упругой заделки слоев. Подставим в (26) выражения (27) и вычислим соответствующие интегралы:

Рг = ©и + ©у, Мг = Ну + 23и;

Й+

© =Й

Й+

= |01^№ + 02 + ©3,

© =Р

=z01dz-©2 Й- + 03Й+,

-h-

Й+

= ^20^№-02 Й-2 + 03Й+.

-й_

4. Вычисляя производные У7, К в выражении (6) и преобразуя соответствующие интегралы по формуле Грина, приходим к следующему выражению для производства энтропии:

Т = Т(Х, I) = Ф 1йВи + УВу + + уВЛ ^+

+ ^^ -|г/ £,и + УХУ + » X» + У Ху + У Х + Л 81

в1п 0 d0dф,

где и,..., л5 — скорости независимых кинематических и скрытых переменных, имеющие смысл потоков I, а через X..., В... обозначены дифференциальные выражения, имеющие смысл обобщенных сил Х:

Хи = а1

д2и ди 1

д» а-

+ (а\-аг) и+(а\ +а2) — + — д0 2

а1 -а2 1 д2и 3а1 -а2 ctg 0 ду а1 + а2 1 д2у

Н---- ----------------- - ——------------------------ -;-— —-Ь -

2 вт2 0 дф2

а4

”2

2 вт 0 дф 2 вт 0 дфд0

1 / 1 д2у ctg 0 ду 1 д2у

V--!—+

,^11 1 дг\з ,

~а% с1§0+——— _а1О“77Г_Я12Г|4 + 01

1 д0 Б1п 0 дф) я°

2 \ вт 0 д0дф б1п 0 дф вт2 0 дф2

д2и

50--Я12Л4 + *1 £е-

д1г

+

Ху =

а1 -а2

д2у ду 1

+ -

1

а1 + а2 1 д2и

2 вт 0 50(9ф

+

вт2 0 дф 1 д» а7 вт 0 <9ф 2

д V За\-а2 0 ди

2

2 в1п 0 дф

1 д»

——г — +Яу - V

вт 0 дф

1

а4

Т

дп1

1

д2у ду

Зёг+СЧвЗв^т!е

у-

~а& \~яа+^'г\г С1§9-  п я ‘ д0 вт 0 дф

- а10

1 дг]з

вт0 Зф

-а12Л5 + *1

вт 0 <90<9ф

д2у д1г

- 2У

-Ъ’)‘^-+ЕгР д1г е

Г -°± -Lw — *

д^ ду дu / дw \ 1 д2w 1

“ae+ctg0ia0^+ ¥'Т^^'^Ге \<9Ф “<9Ф

— (al + a2

дu 1 дv

— +2w+—- — + ctg0M д0 sin 0 дф

a4

”2

1

ду ду

^^ ^—i-ctg ©v+ sin 0 дф д0

/дЛ4 . п 1 дпб \ 0 ,

_ai2 ~ao~ + Tl4ctg8+  Q~H~ +2аюЛз + ^і

1 д0 sin 0 дф )

gz-

д w dt2

+R2 F

Ху = a5

д2У „ ду 1

w+ctge«j-^'1'

+ (as — aб) у—

a- R

3w

30

+Rу—u

as — a6 1 д2у 3a5 —a6 ctg 0 ду

a4

”2

sin2 0 дф2

дw 1 и-—г —

2 sin 0 дф 1 d2v ctg 0 dv

1 д u

д0 2 \ sin 0 д0дф sin 0 дф sin2 0 дф2

(дщ 1 <9г|2 \ <9г|з „ ,

~a9 “асГ"1-1!1 ctg0 + ——— \ -an~^r + сіхгКщ + Ьг ’ д0 sin 0 дф / д0

as + a6 1 д2у

+ —;--------—- „ ‘ I

2 sin 0 дфд0

g0 -

(9 И dt2

д2у 2

~Ьз~^2+К Me’

Ly =

1

as —a6 Гд2у ду

— [зв5+с‘8еаё“^т

as + a6 1 д2у a7R\ 1

+ 2 sin 0 <90<9ф + 2 sin 0 <9ф

1 д2у 3as — a6 ctg 0 ду

+ Я5---^-- —^ +---- -------^7-—h

sin

дw

2 0 дф2

sin 0 дф

a4

"T

+Ry—v

1

1 cru

д2v дv ctg 0 ды

------u ct? 0-------1---—--------------------v------------------

<902 30 sin 0 <9ф sin2 0 sin 0 (90(9ф

-2v~-

2 dw sin 0 (90

(дл? 1

_a9I^H' + 2Tl2CtS0—“й я

1 д0 sin 0 дф

дпЛ 1 д^3 D ,

-an ——-—va\2Rr\s+02 sin дф

,?ф_

<92v dt2

д2у 2

~b3~df+R M<t

Ll = —ag^l — a9

1

30 sin 0 <9ф

ду \ /дu 1 дv

- ctg 0\|/ - a8

д0 sin 0 дф

ду 1

Хг = -Я8Л2 - «9 - ctg0y + —

\ д0 sin 0 дф

— u ctg 0

ды

ду \ / дv 1

- a& Яй “ V ctg 0 + ~“77 \ д0 sin 0 дф

„ і д^ 1 дф \

Хз = йю Лз + тт + 2w+ —- + Mctg0 ,

’ д0 sin 0 дф )

і дw \ i 1 дw

-Ы = ап -Л4 - ^77 + Ry + и , Xs = «12 ~Л5 - т-т т--------------------------------Ry + v

' д0 / \ sin 0 дф

Bu =

a1 — a2 1

< дv \ aW 1

. - +------vctg0----------------- .

2 \ sin 0 <9ф 30 / 4 \ sin 0 <9ф (90

ду ду 1

+ — -yctg0 -a8

sin 0

Л2

a2

1 дv \ дu a4 I 1 ду

—- — + MCtg0 +«! — +axw+— —- —  sin 0 дф ) д0 2 \ sin 0 дф

+у ctg 0 —ag^l — alo Л3

sin a—

cos a+

+011 u + 0цу,

Bv =

a1

1 дv \ дм a4 ду 1 1

—- — + MCtg0\ + a2— (ai+a2)w+ — — -aiQ——r\3-a%—— sin 0 дф ) д0 2 д0 sin 0 sin 0

a1 — a2

Л1

sin a-

1 дu дv \ a4

- + — -vctg0 - —

sin 0 дф д0

1 ду ду

+ ^_Yctg0 -«8Л2

4 \ sin 0 дф д0

cos a+

+

2

+

Bw =

a7

1

2 \ sin 0 3ф

dw \ 1

+^y-v -ап—-115

sin0

sin a -

a7 I dw

~2 \ 30 +^~u )_a12Tl4

cos a +@33 w,

=

a5 -aJ 1 3y 3y \ a4

' +1^-Yctg0 -T-

a6

2 \sin 0 3ф 30

1 3y

1 3u 3v \ 1

; + ^7T “ v ct§ 0 Г a9 —7ТЛ2

4 \ sin 0 3ф 30

sin0

BY =

a5

sin 0 3ф

1

. 3y a4 / 1 3v

+\|/ctg0 +a5 —+ — —- —+ctg0M+w -a9Tii-aiiri3

3ф 2 \ sin 0 3ф

sin a-

cos a+

1

3y \ 3y a4

—- — +\|/ctg0\ + a6 — + — I — +w\-an . sin0 3ф 30 2 30 sin0

1

ЛЗ-Я9—ГЛ1 sin0

a3

1 3w 3y \ a4

— -yctg0 - —

sin0 3ф 30

1 3u 3v

- + ----VCtg0 -Й9Л2

2 \ sin 0 3ф 30

+ ^11V + ii11 u>

sin a-

cos a+

+ S22Y + ^^22 V.

В силу независимости обобщенных скоростей ил5 вариационный принцип Онзагера теперь может быть сформулирован следующим образом

{Bu6u + BV6v + Bw6w + B¥6\|f + Ву6ф| ^Г+

+ JJ" |-£мбм + £vbv + £wbw + £¥6\[f + £уЪу + ^ j 6f|,| sin QdQdy = О,

n ' 1=1 1 '

который выполняется, если на нейтральной поверхности П имеют место равенства:

Lu = 0, Lv = 0, Lw = 0, L¥ = 0, Ly = 0,

r _ dd _ dd *^-1 ГЛ . > • • • > *w5 ГЧ . >

а на ее границе справедливы соотношения

Ви = 0, Ву = 0, В» = 0, В¥ = 0, Ву = 0.

Уравнения

— краевыми условиями, определяющими закрепление конструкции на опорном контуре; все эти соотношения вместе с соответствующими начальными условиями представляют математическую формулировку начально-краевой задачи о нестационарных колебаниях трехслойной вязкоупругой сферической оболочки несимметричной структуры.

5. Приведем выражения (31) и (32) к безразмерной форме. С этой целью введем безразмерные параметры: Е*, Е*, Й*, Й*, р*, р*, Я*:

£2^2

E\h\

, E * —

-Ез^з

E\h\

Р2^2

РЛ

> Р =

Р3^3

R

R = ,

Р1Й1 h

безразмерные перемещения и, її, V:

безразмерные усилия Ре, Рф, Р7,, Ме, Мф:

,2

Ре ¥7 ~ 1 - V,

= -^р, = -^р, ^ = -^р, Ме = Мер, = МфР, р = ——Ь

Я Я Я г г Е,Й,

и безразмерное время I:

I = г[Я л/йТрТр]-1.

В новых переменных дифференциальные уравнения движения (31), краевые условия (32) и соответствующие начальные данные Х0, х, определяют задачу Коши с операторными коэффициентами:

'

А х + А2х + А3х = у, х

г=0

= хо, х

г=0

= хі,

где х = (и,у,»,у,у,П1,---,П1^ — искомая вектор-функция (перемещения и скрытые переменные), у = (—.Ре, —Рф, —Рг, — Ме, - Му, 0,..., 0^ — заданная вектор-функция.

Операторные коэффициенты в (34 ющей матричной форме:

/А11 А12

могут быть представлены в следу-

Аі =

А21

А =

Аз =

-I

Здесь в — единичный оператор, Лц деформирование оболочки

оператор, определяющий упругое

А11 =

ААіАз + ^А^-К+С

Ц АіАі-Щ+К) К-Н-Ц; А\

ц Д2Д1 (К-Н)Л3 СДіДз+ґ-ЙГ+І Д2

(С+|)(Д2Д1-Д1Д2)+|Д2Д1 порождаемый скалярными операторами

д 1 д д

(В+К)Л1 (В+К)Л2 К(Л3Л1 +л2)-2В (Н-К)Л1 (К-Н)Л2

|(2Д2Ді-ДіД2) К+Н-Ц-Ц Д1Д3 (К-Н)Л2 -(С+|)(Д2Д1-Д1Д2)+ЄД2Д1 І ДіДз+СД2+^Г

Л1 =

де’

Л2 =

8Іп Є дф ’

Д3 = -+с18Є;

Л12, Л21

операторы, действующие на скрытые переменные П1,...,П5

А12 =

!(Л1 +Л3) 1Л2 РЛ1 5 0

-1Л2 !(Л1+Л3) РЛ2 0 5

0 0 —2Р 5 Л3 5 Л2

М(Л1+Л3) МЛ2 2Л1 -5 0

-МЛ2 М

1(Л3-2Л1) 1Л2 0 М(Л3-2Л1) МЛ2 ^

1(Л3-2Л1) -1Л2 0 М(Л3-2Л1) -МЛ2

-РЛ3 -РЛ2 -2Р 0 0

5 0 -5 Л2 -5 Л1 0

0 -5 -5 Л2 0 -5

I — матрицы времен релаксации материала среднего слоя и инерционных характеристик сечений пакета слоев:

'Т1 О О О О І1 О О І2 О

О Т1 О О О О І1 О О І2

О О Т2 О О , I = О О І1 О О

О О О Тз О І2 О О І3 О

1О О О О Т4, 1О І2 О О Із,

Общая область определения операторов A1, А2, Аз задается операторами краевых условий B:

B = sin аВ1 - cos аВ2 + B3,

где а — угол, образуемый касательной к границе и прямой параллельной оси OX, $1, B2, B3 —следующие операторы:

$1 =

A(A3-A1)+(A-C)A1 О

-fA2

HA1

|(2Ді-Дз) О

AA2

-K

KA2

HA1

-|(2Ді-Д3)'

K

-§

О H D(A3-A1)+(D-F)A1 DA2

и Л

тДг

О

О

-(A-C)(A3-A1)+AA1 -(A-C)A2 -2B

$2 =

-§Д2 K

H

н л

Т 2

-^(2Ді-Д3) О

О

- HA2 у

-H

н л

Т 2

- HA2 у

- KA1 -H О

-K О

-(D-F)(A3-A1)-DA1 -(D-F)A2

-£л2

-£(2Ді-Д3)У

0* 011 О О *1 м01 О

О 2 *2 02 О О 2 *2 м02

О О 3 *3 03 О О

м* m11 О О * m11 О

О * m22 О О м * m22^

В операторной записи использованы коэффициенты, зависящие от безразмерных параметров £*, £*, й*, й*, р*, р*, Я* и коэффициентов Пуассона

материалов слоев Vi, V2, V3:

.2

1 - V2 1- V,

A = \+EJu------l- + E*h* 1

1 - V 22

1 - V 23

B -

i+£,l^ + r1"Vl

1 - V2

1 - V3

с = (1-V1) 1

D =

1+ V1 1+ V1

1 + £*---------+E*

F -G -

4R*2

1-vi

4R*2

1+V1

л

1+v2 1+V3

1 / ~\2 1-Vi /

— + (l—hj + E*h*--------r- (2—hj

3 1— v2

-h + E *h*

1 - V21

-----^

!“v3

4R

1+(1-й)2+£,1±^(2-Й)+£*1±^Й

3 ' ' 1+ V2 ' ' 1 + Vo

1-V1

1 Л ~\2

— + (l—й) + £*------------

3 1 - V2

(2 - h)+E

1+V3 1-V1

1- V3

h

H = — R*

1 - V12 1 - V21

(vi -v3) E* -------(vi-v2)£*----------T

1 - V32 1 - V22

1+2E,

1 - V21

1 — V2

- V2

1 h -1 /1 = 1 + —it-—H

(й-i) +i

R*

/г 2Я*

P3 -

4R*

t , t^"1) , P"1) + fl

R* 4 R*2

+ p* (1 -

2-й

2R*

+p ii+2f! •

h-1 +

3

+

4R*2

4R*

- Л + h - 1 / 2-h

~p’\ IF

2

) M)+p‘(1+2f) й

2 1 (^-l) +^“1 (^_l) +(^_l) + To

-II + 3 +--------------+---------- „ -----+

R*

2R*

2R*

2R*

Таким образом, динамическая реакция трехслойной вязкоупругой сферической оболочки при нестационарных воздействиях определяется решениями задачи Коши с операторными коэффициентами (34), которые могут быть представлены в форме спектральных разложений по полной системе собственных и присоединенных функций пучка дифференциальных операторов, порождаемых задачей (34) [15].

2

2

1

2

Литература

[1] Релей. Теория звука Т. 1. М.: Гостехиздат, 1955.

[2] LambH. On the vibration of an elastic sphere // Proceedings of London Mathematical Society. 1882. V. 13. P. 189-212.

[3] ЛявА. Математическая теория упругости. М.,Л.: ОНТИ, 1935. 647 с.

[4] ReissnerH. Graphical statics. Providence. R. I. 1942. 450 p.

[5] FederhoferK. Zur Berechnung der Eigenscwingungen der Kugelshale Sitzungsber // Akad. der Wissenschaften Wien, 1937. B. 146. No. 2A. P. 57-69, 505-514.

[6] NaghdiP.M., KalnisA. Axisymmetric vibration of shallow spherical shell // J. Acoust. Soc. America. 1960. V. 32. No. 3. P. 342-347.

[7] KalnisA. On vibration of shallow spherical shells // J. Acoust. Soc. America. 1961. V. 33. P. 1102-1107.

[8] Prasad C. On vibration of spherical shells // J. Acoust. Soc. America. 1964, V. 36. No. 3. P. 489-494.

[9] Culkovski P.M., ReismannH. The spherical sandwich shell under axisymmetric static and dynamic loading // J. of Sound and Vibration, 1971, V. 14, No. 2. P. 229-240.

[10] KoplikB., YuYi-Yuan. Axisymmetric vibration of homogenious and sandwich spherical caps // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1967. V. E34, No. 3. P. 667-673.

[11] MirzaS., Singh A.V. Free vibrations of deep spherical shells J. Eng. Math., 1974. V. 8. No. 1. P. 71-79.

[12] ЛычевС.А. Сидоров Ю.А. Нестационарные колебания трехслойных сферических оболочек с кратным спектром // Изв. вузов. Строительство. 2001. №4. С. 31-39.

[13] Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. М.: Мир, 1966. 136 с.

[14] Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев. Наукова думка. 1973. 248 с.

[15] Лычев С.А. Сеницкий Ю.Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2002. Специальный выпуск. С. 16-38.

Поступила в редакцию 20/X/2005;

в окончательном варианте 20/X/2005.

MOTION EQUATIONS OF A 3-LAYERED SPHERICAL VISCOELASTIC SHELL7

© 2005 S.A. Lychev, Yu.N. Saifutdinov8

In the present study the differential motion equations of a 3-layered spherical viscoelastic shell with asymmetrical layer structure and corresponding boundary conditions are obtained. The thickness of inner layer is much grater then outer ones. Kinematic relations of inner layer are given in the form of Mindlin shell theory, of outer layers — in the form of membrane theory. The material of outer layers are supposed to be isotropic elastic, whereas that of inner one being isotropic viscoelastic. The boundary conditions are taken in the general form of elastic fixing.

Paper received 20/X/2005. Paper accepted 20/X/2005.

7Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Y.N. Radayev.

8Lychev Sergey Alexandrovitch (lychev@ssu.samara.ru), Saifutdinov Yusuph Nazipovich (jusufsay@ssu.samara.ru), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.