Описание слабо аддитивных функционалов на плоскости, сохраняющих порядок

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 1, С. 31-37

УДК 517.98

ОПИСАНИЕ СЛАБО АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА ПЛОСКОСТИ, СОХРАНЯЮЩИХ ПОРЯДОК

К. К. Кудайбергенов, К. У. Бегжанова

Посвящается девяностолетию со дня рождения Глеба Павловича Акилова

В работе получено описание пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов

на плоскости.

Ключевые слова: слабо аддитивный, сохраняющий порядок функционал, аффинный гомеоморфизм, крайняя точка.

В последнее время интенсивно изучаются пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов на банаховой решетке непрерывных функций. В работе [1] были рассмотрены пространства всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных, полуаддитивных, полумультипликативных, положительно однородных функционалов на банаховой решетке С (X) — всех действительных непрерывных функций на компакте X. Было установлено, что пространство функционалов с этими шестью условиями, снабженное топологией поточечной сходимости, гомеоморфно пространству ехр(Х) — всех непустых замкнутых подмножеств компакта X, снабженному топологией Вьеториса. Дальнейшему исследованию в этой области посвящены работы С. Альбеве-рио, Ш. А. Аюпова, Р. Б. Бешимова, Д. Е. Давлетова, Г. Ф. Джаббарова, Р. Е. Жи-емуратова, А. А. Заитова, Т. Радуля и др. (см., например, [3-10]). В этих работах в основном изучены категорные и топологические свойства пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов на пространстве непрерывных функций. В то же время изучение геометрических свойств пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов остается вне поля зрения исследователей. В частности, до сих пор не получено описание пространства слабо аддитивных сохраняющих порядок функционалов на конечномерных пространствах. Отметим работу [5], где получено описание пространства слабо аддитивных положительно однородных функционалов на плоскости.

Настоящая работа посвящена описанию пространства слабо аддитивных функционалов на плоскости.

Пусть X — компакт. Через С (X) обозначим пространство всех непрерывных функций / : X ^ Ж с поточечными алгебрическими операциями и вир-нормой, т. е. с нормой ||/У = шах{|/(х)| : х £ X}. Для каждого с £ Ж через сх обозначим постоянную функцию, определяемую по формуле сх(х) = с, х £ X. Пусть р, ф £ С(X). Неравенство р ^ ф означает, что р(х) ^ ф(х) для всех х £ X.

© 2011 Кудайбергенов К. К., Бегжанова К. У.

Определение 1 [2]. Функционал V : С(X) ^ Ж называется:

1) слабо аддитивным, если для всех ^ £ С (X) и с £ Ж выполняется равенство

V (^ + сх) = V + с  V (1х);

2) сохраняющим порядок, если для всех ф £ С(X) из ^ ^ ф вытекает V(^>) ^ V(ф);

3) нормированным, если V (1х) = 1;

4) нерасширяющим, если — V(ф)| ^ ||^> — ф|| при всех ф £ С(X).

Для компакта X через О^) обозначается множество всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Элементы множества О^), для краткости, назовем слабо аддитивными функционалами.

Через Е^) обозначим множество всех сохраняющих порядок, нерасширяющих функционалов ^ на С(X) с ) = 0.

Рассмотрим О^) и Е(X) как подпространства пространства СР(С(X)) всех непрерывных функций на С(X), снабженного топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей функционала V £ О^) (V £ Е (X)) образуют множества вида

(V; .. ,е) = {V' £ О^) : IV '(^) — V(^)| < е, г = 1, 2,... , к},

где е > 0, ^ £ С(X), г = 1,2,..., к.

Для любого компакта X пространства О^) и E(X) являются выпуклыми компактами.

Заметим, что всякий функционал ^ £ О^) является нерасширяющим. Действительно, для /, д £ С (X) из неравенства

имеем, что

т. е.

Далее

) = ^(0х + 1х) = М0х) + ),

т. е. ^(0х) = 0.

Таким образом, О^) С Е(X).

Отметим, что для п-точечного компакта п = {1, 2,..., п}, п £ Н, пространство С(п) изоморфно пространству при этом изоморфизм задается по правилу

/ £ С(п) ^ (/(1),/(2),...,/(п)) £

Пусть (Ь1(Ж)) — банахово пространство классов действительных существен-

но ограниченных измеримых (соответственно, классов действительных интегрируемых функций) на Ж. Поскольку пространство изометрически изоморфно сопряженно-

му пространству пространства Ь1(Ж), то

= {/ £ : 0 < / < 1},

где 1 — единица в является *-слабо компактным множеством.

Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1. Пространство 0(2) аффинно гомеоморфно пространству при

этом гомеоморфизм — 0(2) задается по правилу

х—у

/

0

Доказательство теоремы вытекает из предложений 2 и 3.

Предложение 2. Пространство 0(п) аффинно гомеоморфно пространству Е(п — 1) для всех п ^ 2, при этом гомеоморфизм Ф : Е (п — 1) — 0(п) задается по правилу

/

где V £ Е(п — 1), (х1 ,...,х„) £ Жп.

< Для V £ Е (п — 1) функционал / = Ф^) : Жп — Ж определим по правилу

/(х1 , . . . , хп) - V (х1 хп . . . , хп—1 хп) + хп.

Покажем, что / £ 0(п).

1) Для х = (х1,..., хп), сп = (с,..., с) £ Жп имеем

/(х + сп) = л(х1 + с,..., хп + с) = V((х1 + с) — (хп + с),..., (хп-1 + с) — (хп + с)) + х„ + с = V(х1 — хп,..., хп-1 — хп) + х„ + с = л(х) + с,

т. е.

/(х + сп) = /(х) + с.

2) Нормированность:

..., 1) = 1/(1-1,...,!- 1) + 1 = 1/(0, ...,0)+ 1 = 0 + 1 = 1.

п п— 1

3) Покажем, что из х = (х1,..., хп) ^ у = (у1,..., уп) следует, что /(х) ^ /(у). Так как V сохраняет порядок, то

Поэтому

Отсюда

V(х1 — хп, . . . , хп—1 — хп) ^ V(У1 — хп, . . . , Уп—1 — хп).

V(х1 — хп, . . . , хп—1 — хп) — V(у1 — Уп, . . . , Уп—1 — Уп) ^ V(У1 — хп, . . . , Уп—1 — хп) — V(У1 — Уп, . . . , Уп—1 — Уп) ^ тах |(Уг — хп) — (Уг — Уп)| = |Уп — хп| = Уп — хп.

1<г<п— 1

V(х1 — хп, . . . , хп—1 — хп) — V(У1 — Уп, . . . , Уп—1 — Уп) ^ Уп — х^

т. е.

V({хг — хп}) + хп ^ V({Уг — Уп}) + Уп. Это означает, что /(х) ^ /(у). Таким образом, / £ 0(п).

Теперь докажем, что для всякого ^ £ О(п) существует V £ Е(п — 1) такое, что ) = Для ^ £ О(п) положим

V (жь... ,ж„_1) = ^(Ж1 ,...,ж„-1,0), (Ж1,... ,ж„_1) £ ж" 1. Покажем, что V £ Е(п — 1). Имеем

г/(01^0) = = 0.

п_1 п

Для ж, у £ Жп_1, ж ^ у имеем

V (ж) = ^(Ж1, ...,Жп_1, 0) ^ ^(у1,...,уп_1,0) = V (у). Пусть ж, у £ Жп_1. Используя неравенство (1), имеем

IV (ж) — V (у) | = Иж1, ...,жп_1,0) — ^(уь...,уп_1,0)| ^ тах |ж* — у*| ^ ||ж — у||,

т. е. IV(ж) — V(у)| ^ ||ж — у||. Таким образом, V £ Е(п — 1).

Следовательно, отображение Ф : Е(п — 1) ^ О(п), определяемое по правилу (3), является взаимно однозначным. Непосредственно из (3) следует, что отображение Ф — непрерывно. Поскольку Е(п — 1) и О(п) — компактные пространства, то Ф — аффинный гомеоморфизм между О(п) и Е (п — 1). >

Предложение 3. Пространство Е(1) аффинно гомеоморфно пространству при этом гомеоморфизм Ф : ^ Е(1) задается по правилу

í

М*) = / ¿5, < £ +.

0

< Пусть < £ Покажем, что функционал определяемый по правилу (4),

принадлежит Е(1). Имеем

о

^(0) ^ У <(5)^5 = 0.

0

Монотонность ^ следует из положительности подынтегральной функций. Пусть 51,52 £ Ж и 51 ^ 52. Поскольку ^ — неубывающая функция, то

0 ^ ^(52) — ^(51).

Поскольку 0 ^ < ^ 1, то

52 51 52 52

^(52) — ^(51) ^ У <(4) ^ ^ У <(4) ^ ^ У <(4) ^ < У 1(4) ^ = 52 — 51,

0 0 51 51

т. е. ^(52) — ^(51) ^ 52 — 51. Таким образом,

1^(52) — ^(51 )| ^ 152 — 511. Теперь покажем, что всякий функционал из Е(1) имеет вид (4).

Пусть ß € E(1). Поскольку ß — неубывающая функция, то она имеет почти всюду определенную неотрицательную производную. Из неравенства |ß(si) — ß(s2)| ^ |si — s2| непосредственно следует, что 0 ^ ß ^ 1 и ß — абсолютна непрерывная функция. По теореме Лебега о восстановлении абсолютно непрерывной функции по ее производной получим, что

t

ß(t) = J ß'(s) ds. 0

Таким образом,

t

ß(t) = J ß'(s) ds. 0

Это означает, что всякий элемент из E(1) имеет вид (4).

Теперь покажем непрерывность. Пусть , € и *-слабо сходится к

т. е.

+те +те

J <pQ

—те —те

при всех / € L1 (R).

t t Обозначим ßa (t) = / (s) ds и ß(t) = J ^>(s) ds.

00 Пусть s € R. Положим в

/ f Х(о,ф s ^ 0, \x[s,0], s< 0.

Тогда

t t J ^a(s) ds — J ^(s) ds, 00

т. е. ßa (t) — ß(t) при всех t € R.

,Tf . L те (R1

ляется взаимно однозначным и непрерывным. Поскольку ¿те^)+ и E(1) — компактные пространства, то Ф — аффинный гомеоморфизм между ¿те^)+ и E(1). >

Хорошо известно, что экстремальными точками выпуклого компакта явля-

ются классы, содержащие характеристические функции измеримых подмножеств R, т. е.

ext = {xe : E — измеримое подмножество в R}.

Следовательно, в силу (2) экстремальными точками выпуклого компакта 0(2) являются функционалы вида

Следовательно, отображение Ф . ¿те^)+ — E(1), определяемое по правилу (4), яв-

X — у

ße(x,y) = J XE(s) ds + y,

где E — измеримое подмножество в R, т. е.

Im

m (E n [x — y, 0]) + y, x < y.

Здесь m(E) обозначает меру Лебега на прямой множества E.

Предложение 4. Экстремальными точками выпуклого компакта 0(2) являются функционалы вида ßß и только они, где ßß — функционал, определяемый по правилУ (6).

Пусть A — замкнутое подпространство компакта X. Скажем, что функционал ß £ 0(X) сосредоточен на A, если ß(f) = ß(g) для всех f, g £ C(X) с f |a = g|a- Наименьшее по включению замкнутое множество A С X, на котором функционал ß сосредоточен, называется носителем функционала ß £ 0(X) и обозначается suppß, т. е.

suppß = P|{A : ß — сосредоточен на A}.

Через 02(X) обозначим множество всех функционалов ß £ 0(X), носители которых состоят не более чем из двух точек.

Следующее утверждение дает описание множества 02(X).

Предложение 5. Пусть X — компакт. Тогда всякий функционал ß £ O2 (X) имеет вид

f

ß

0

где suppß = {xi,x2}, ^ £ L^(R)+-

< Пусть ß £ 02(X) и f £ C (X). Тогда по определению носителя существуют точки ж1,ж2 £ X такие, что supp ß = {ж1,ж2}- Так как ß £ 0(supp ß) = 0(2), то ß можно представить в виде (7) в силу равенства (2). >

В заключение отметим, что в работах [3-10], в основном, установлены категорные и топологические свойства пространства 0(X), ранее известные для случая P (X) — пространства вероятностных мер на компакте X.

Хорошо известно, что пространство P(n), n £ N, аффинно гомеоморфно (n — 1)-мер-ному симплексу Sn-1, где

Sn-1 = j(ii,...,in) : ti £ R, ti ^ 0, i = 1, 2,..., n, ^ ti = Л -^ i=1 >

Этот факт существенно используется при изучении геометрических свойств пространства P(X) (см., например, [11, 12]). Теорема 1 показывает, что в отличие от пространства P(n), пространство 0(n) — бесконечномерно. Это означает, что те методы, которые использованы при изучении геометрических свойств пространства P (X), нельзя прямо применить для случая пространства 0(X).

Литература

1. Шапиро Л. Б. Об операторах продолжения функций и нормальных функторах // Вест. МГУ. Сер. мат.-мех.—1992.—№ 1.—C. 35-42.

2. Radul T. On the functor of order-preserving functionals // Comment. Math. Univ. Carol.—1998.— Vol. 39, № 3.—P. 609-615.

3. Albeverio S., Ayupov Sh. A., Zaitov A. A. On certain properties of the spaces of order-preserving functionals // Topology and its Applications.—2008.—Vol. 155, № 16.—P. 1792-1799.

4. Давлетов Д. Е. Описание пространства полуаддитивных функционалов // Узб. мат. журн.— 2009.—№ 2.—C. 49-54.

5. Джаббаров Г. Ф. Описание экстремальных точек пространства слабо аддитивных положительно-однородных функционалов двухточечного множество // Узб. мат. журн.—2005.—№ 3.—C. 17-24.

6. Джаббаров Г. Ф. Категорные свойства функтора слабо аддитивных положительно-однородных функционалов // Узб. мат. журн.—2006.—№ 1.—C. 20-28.

7. Жиемуратов Р. Е., Заитов А. А. О вещественной полноте пространства слабо аддитивных ст-глад-ких функционалов // Владикавк. мат. журн.—2009.—Т. 11, № 1.—C. 22-28.

8. Жиемуратов Р. Е. О монадичности функтора OCT слабо аддитивных ст-гладких функционалов // Узб. мат. журн.—2009.—№ 2.—C. 62-69.

9. Zaitov A. A. On categorical properties of order-preserving functionals // Methods of Functional Analysis and Topology.—2003.—Vol. 9, № 4.—P. 357-364.

10. Заитов А. А. Некоторые категорные свойства функторов OT и Or слабо аддитивных функционалов // Мат. заметки.—2006.—Т. 79, № 5.—C. 681-693.

11. Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии // Успехи мат. наук.—1991.—Т. 46, № 1.—С. 4180.

12. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции.—М.: МГУ, 1988.— 288 с.

Статья поступила 5 мая 2009 г.

КуДАйБЕРГЕНОВ КАРИМБЕРГЕН КАДИРБЕРГЕНОВИЧ Каракалпакский государственный университет, зав. кафедрой функционального анализа УЗБЕКИСТАН, 100142, г. Нукус, ул. Ч. Абдирова, 1 E-mail: karim2006@mail.ru

Бегжанова Камила Уснатдиновна Каракалпакский государственный университет, ассистент кафедры функционального анализа УЗБЕКИСТАН, 100142, г. Нукус, ул. Ч. Абдирова, 1 E-mail: kamok76@mail.ru

DESCRIPTION OF WEAKLY ADDITIVE ORDER-PRESERVING FUNCTIONALS ON THE PLANE

Kudaybergenov K. K., Begjanova K. U.

Description of weakly additive order-preserving functional on the plane is given.

Key words: weakly additive, order-preserving functionals, affine homeomorphism, extremal point.