Физический смысл реальной деформации

УДК 621.787.4

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕАЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

С.Ю. Радченко, Д.О. Дорохов

В данной работе приведен физический смысл предлагаемой новой меры деформаций, получившей название «реальные деформации». На основе анализа физического смысла предлагаемой меры дан эффективный метод расчета деформаций для тел любой начальной и конечной геометрии. Показана эквивалентность мер деформации при логарифмическом и реальном представлениях.

Ключевые слова: деформации, мера деформаций, смещенный объем, истинные деформации, метод расчета деформаций.

Введение. При проектировании мелкосерийного и штучного производства изделий методами обработки металлов давлением (ОМД) актуальна проблема быстрой усредненной оценки степени деформации заготовки после какого-либо производственного перехода и выбора необходимого оборудования для совершения операции. Современный уровень расчетного программного обеспечения в области ОМД в принципе позволяет относительно быстро решить данную задачу, однако это требует наличия навыков работы с конкретным пакетом прикладных программ, а так же заранее наработанных решений для парка оборудования. С другой стороны, подобные задачи можно решать с использованием различных эмпирических формул с табличными значениями коэффициентов, но для различных технологических операций требуются различные подходы и зависимости. Так, при расчетах прокатки используются относительные деформации, а при волочении - логарифмические. В иных случаях (например, объемная штамповка) вообще невозможно говорить о каких-либо линейных деформациях, так как в общем случае геометрия изделия и заготовки существенно различаются. Таким образом, инженеру необходим простой математический аппарат, имеющий общую теоретическую и математическую базу и позволяющий быстро количественно и качественно оценить деформации в различных технологических процессах.

Основная часть. Очевидно, что любая деформация носит объемный характер, и ее можно представить как относительное перемещение некоторых объемов, называемых смещенными. Именно на смещение этих объемов затрачивается работа деформации, поэтому представляется логичным и величину деформации оценивать как отношение смещенного объема к общему объему деформируемой заготовки или ее деформируемой части. Данное предложение проиллюстрируем примерами.

Пример 1. Рассмотрим осадку образца высотой 10 на различные конечные размеры по высоте 11 в условиях плоской деформации (рис. 1). За-

готовку условно разобьем на равные части, количество которых определяется кратностью изменения исходной высоты.

1 1/2 1/2 т

Ь0

1 1/3 1/3 1/3

Ьо ш

1 1/2 1

1/3

Ь,

) 1/5

1/5

1/5

1/5

\,/5 Ж

-

в

1/5

4

Рис. 1. Осадка образца: А - до половины высоты;

Б - до трети высоты; В - до 1/5 высоты.

Слева заготовка до деформации, справа - после.

Смещенный объем не заштрихован.

В случае А высота заготовки 10 вследствие деформирования уменьшилась в 2 раза до размера 11, соответственно в 2 раза до размера Ь1 увеличилась ее ширина. Ъ0, толщина а0 осталась неизменной. Мысленно наложив изображения заготовки до и после деформации друг на друга, заметим, что смещенный объем (на рисунке не заштрихован) составляет половину в общем объеме заготовки. Оставшаяся часть объема (заштрихованная) является не смещенной.

Аналогично:

- в случае Б высота заготовки 10 вследствие деформирования уменьшилась в 3 раза, соответственно в 3 раза увеличилась и длина Ъ0; доля смещенного объема в общем объеме заготовки составляет 2/3;

- в случае В высота заготовки 10 вследствие деформирования

уменьшилась в 5 раз, соответственно в 5 раз увеличилась и длина Ъ0; доля смещенного объема в общем объеме заготовки составляет 4/5.

Смещенный объем - величина абсолютная, имеющая размерность, что приводит к необходимости введения относительной величины - относительного смещенного объема:

Уе _ 10 • Ь0 • а0 -11 • Ь0 • а0 _ 10 -11 __ 11 -10 _е

V 10 • Ь0 • а0 10 10

где Ус - смещенный объем, V - полный объем заготовки.

Таким образом, выражение для относительного смещенного объема преобразуется к хорошо известному выражению для относительной деформации, величина которой для случая А составит 0,5; для случая Б -

0,75; для случая В - 0,8.

Рассматривая обратную деформацию и оценивая ее величину показателем £, мы получим совсем другие результаты: для случая А - 1,0; Б -

3,0; В - 5,0. Подробнее об этом несоответствии см. [1].

Очевидно, что формула (1) будет справедлива и для обратной деформации, однако с одним существенным отличием: если для прямой деформации (осадке) величина 10 в знаменателе обозначает высоту заготовки до деформации, то для обратно деформации это - высота заготовки после деформации. В обоих случаях это большее значение высоты из двух возможных - 10 и /1.

Таким образом, можно получить общее выражение для меры линейной деформации:

Уе _ 11 _ 10

Полученное выражение полностью соответствует предложенной ранее [1-4] мере линейной деформации, названной реальной деформацией (в отличие от относительной и истинной) и обозначаемой RD (от английского REAL DEFORM):

RD = xl - X0 .

xmax

В [1] приводится доказательство того, что при применении меры RD более точно, чем при расчетах в относительных деформациях, выполняется условие постоянства объема.

Теперь рассмотрим более общий случай - объемную деформацию.

Пример 2. Осадим образец высотой l0, шириной b0 и толщиной а0 до конечных размеров li, bi и аДрис. 2).

Из рис. 2 очевидно, что формула (1) справедлива и для объемной деформации.

Рис. 2. Осадка образца в условиях объемной деформации.

Слева заготовка до деформации, справа - после.

Смещенный объем не заштрихован

Рассмотренные примеры описывают достаточно простые случаи формоизменения - преобразование призмы в призму другой высоты, однако для практики больший интерес представляют случаи, когда форма изделия отличается от формы исходной заготовки.

Пример 3. Рассмотрим деформацию сферы в цилиндр (рис. 3). Боч-кообразностью боковой поверхности цилиндра пренебрегаем.

Рис. 3. Осадка сферы в цилиндр. Смещенный объем не заштрихован

36

В качестве исходной заготовки имеем сферу радиуса R = 10мм, а изделие имеет размеры: диаметр D и высота И = 4мм. Определим полный объем заготовки V, несмещенный Ун и смещенный Ус объемы и подставим в (1). Получим:

ч2

Т/ 3 3 к- ВА

V = —-к- Я = И-------------

4 4

н

( И ^ 2 (п И> И2 о И3

к Я — = к Я-к ,

V 2 У V 6 У 2 12

Vc_V - Vн

3-к-Я 3 4

к-

И2

2

Я + к

И3

12

2 - И

И

2 - И

V

V

3 -к-Я3

4

3 - Я2 9 - Я:

3-Я

Подставив численные значения: R и ^ получим:

ЯП

2 - И

2

1

2-4

2

0,893.

3 - Я* 3-10Л

Такой показатель деформации ЯЭ соответствует осадке до высоты 4мм цилиндрической заготовки с исходной высотой 37,4мм.

Таким образом, понятно, что пользоваться показателем ЯЭ в форме (3) для оценки деформации можно в случаях такого формоизменения заготовки, когда пропорционально изменяются только ее размеры, но сохраняется исходная форма (например, призма преобразуется в призму, цилиндр в цилиндр и т.д.); при деформации с изменением формы (например, сферы в цилиндр) следует использовать более общую формулировку ЯД вытекающую из (1):

ЯЭ = .

V

На указанном примере может быть построена общая методика оценки деформации, которая легко автоматизируется средствами 3Б моделирования: так как смещенный объем есть разница между полным объемом заготовки и несмещенным объемом, последний может быть определен графическим совмещением заготовки и изделия друг на друга при условии сохранения исходной системы координат. В примерах 1 и 2 не принципиально, какую именно из мысленно выделенных частей следует считать несмещенным объемом, так как все они одинаковы. В случаях же более сложного формоизменения (пример 3) несмещенный объем следует определять как максимальное пересечение объемов, данное требование следует из условия минимальности затрачиваемой энергии на процесс деформации.

Алгоритм выглядит следующим образом: построение 3Б моделей заготовки и требуемого изделия; совмещение моделей с максимальным пе-

1

ресечением объемов; определение значений объемов (смещенного и исходного) и расчет ЯБ по зависимости (4).

На примерах 1-3 показан физический смысл меры деформации ЯБ как меры относительного смещенного объема, а в работах [1-4] раскрыт ее математический смысл. Деформации ЯБ можно также интерпретировать как модификацию истинных (логарифмических) деформаций. Рассмотрим эту модификацию.

Истинные деформаций наиболее удобно записывать в функции от

параметра вытяжки 1 = — как его натуральный логарифм: е = 1п 1

х0

Используя одно из разложений натурального логарифма в ряд, приходят к относительным деформациям как к первому приближению функции 1п(1):

шиї. 1)_(1-1)2+(Ы3 -(М4+

2 3 4

В итоге, принимая во внимание только первый член разложения, получают:

1п

Но, кроме (5), существуют и другие разложения 1п(1), например:

1 2-12 3-13

1

1п

Таким образом, использование на практике расчетов деформации только по (6) как самому простому приближению к истинным деформациям может быть не всегда оправданно. Для наглядности отобразим функции 1п(1), (6) и (8) в одной системе координат (см. рис. 4).

Рис. 4. Графики функций 1п(1), (6) и (8) в одной системе координат

Из рис.4 видно (и это можно подтвердить математически), что при 1 < 1 величина (6) ближе к 1п(1), чем (8), и наоборот, при 1 > 1 величина (8) ближе к 1п(1), чем (6). Отсюда, следует, что деформации при осадке точнее вычислять по (6), а при растяжении по (8). Выражения (6) и (8) могут быть объединены в одну формулу, которая в точности повторяет формулу для деформаций ЯВ:

1п(1) » Ъ—?0 = яв .

Хтах

Заключение. Показано, что мера объемной деформации (2) с явным физическим смыслом в линейном случае представляет собой меру RD. В свою очередь, деформации RD имеют математическое обоснование через модификацию (преобразование) истинных деформаций.

Обоснован метод расчета деформации, который может быть применен для тел любой начальной и конечной геометрии (в том числе средствами 3D моделирования), а следовательно, и работы деформации, который позволит быстро дать усредненное значение указанных величин. Благодаря своей простоте и общности, указанный подход может найти применение в инженерной практике для ориентировочной количественной оценки предлагаемого технологического процесса, оценке остаточного ресурса пластичности заготовки и т.д.

Работа создана при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-0897547) и Правительства Орловской области.

Список литературы

1. Радченко С.Ю., Дорохов Д.О. Новая форма представления меры линейной деформации [Текст] // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 446-457.

2. Радченко С.Ю., Дорохов Д.О. Новая форма меры деформации в тензорном виде [Текст] // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 5. Часть 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 202-208.

3. Радченко С.Ю., Дорохов Д.О. Анализ мер деформации [Текст] // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. Орел: Изд-во Госуниверситет - УНПК, 2012. № 5(295). С. 67 - 75.

4. Дорохов Д.О., Радченко С.Ю., Грядунов И.М. Расчет интенсивности и работы деформаций при новом представлении меры линейной деформации [Текст] // Материали за 8-я МНПК «Образованието и науката на XXI век»,-2012. Том 46. Технологии. София. «Бял ГРАД-БГ» ООД -112стр.С. 21-25.

Радченко С.Ю., д-р техн. наук, проф., myf-tula@mail.ru. Россия, Орел, Орловский государственный университет,

Дорохов Д. О., канд. техн. наук, доц., mpf-tula@mail.ru. Россия, Орел, Орловский государственный университет

PHYSICAL MEANING OF REAL DEFORM Radchenko S.Y., Dorokhov D.O.

In this work the physical meaning of the proposed new measure strain, called "real strain." Based on analysis of the physical meaning of the proposed measure is given an effective method for calculating strain for bodies of any initial and final geometry. The equivalence of the logarithmic strain measures and real performances.

Key words: deformation, strain measure, the real strain, true strain, method of calculation of deformations.

Radchenko S.Y., doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@mail.ru, Russia, Orel, Orel State University,

Dorokhov D.O., candidate of technical sciences, docent, mpf-tula@mail.ru, Russia, Orel, Orel State University

УДК 621.983; 539.374

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ДЕТАЛЕЙ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

В.Ю. Травин

Приведена математическая модель вытяжки с утонением стенки толстостенных осесимметричных деталей из анизотропного материала, а также основные соотношения для анализа напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей формообразования.

Ключевые слова: анизотропия механических свойств, деформация, заготовка, напряжение, разрушение, вытяжка с утонением стенки.

Рассмотрим вытяжку с утонением стенки осесимметричной толстостенной цилиндрической заготовки. Материал заготовки жесткопластический, обладает цилиндрической анизотропией механических свойств [1-3]. Течение материала принимается осесимметричным. Анализ процесса вытяжки с утонением стенки реализуется в цилиндрической системе координат. Схема к анализу вытяжки с утонением стенки приведена на рис. 1. Принимаем, что условия трения на контактной поверхности инструмента с заготовкой подчиняется закону Кулона. Течение материала принимается