МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЮЩИХ УРАВНЕНИЯМИ НАВЬЕ СТОКСА

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЮЩИХ УРАВНЕНИЯМИ

НАВЬЕ-СТОКСА Сеттиев Шамсуддин Ражабович

ФГБОУ ВО НИУ «МЭИ» Ташкентский филиал https://doi.org/10.5281/zenodo.10724464

Аннотация. В данной работе предложена математическая модель течений вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести над песчаным дном. Произведен анализ линейной неустойчивости течения, при этом задача сведена к отысканию собственных значений. Исследованы вопросы волнообразования на свободной и донной поверхностях жидкости. Определены области неустойчивости течений при любых числах Фруда. Полученные результаты сравнивались с экспериментальными данными и с результатами других авторов по данной теме.

Ключевые слова: песчаное дно, гидродинамическая неустойчивость, число Фруда, угол наклона, нейтральные кривые, наносы, уравнение Навье-Стокса, коэффициент сопротивления.

В настоящее время значительное внимание уделяется изучению гидродинамики природных процессов, где главную роль играет применение методов математического моделирования. Важными и в теоретическом и прикладном аспектах являются вопросы проектирования и стабильной безопасной эксплуатации гидротехнических сооружений. В связи с этим особый теоретический и практический интерес представляет численное моделирование течений в реках и каналах, а также в бороздах с размываемым песчаным дном. При таких течениях главную роль играет число Фруда Гг . При достаточно больших скоростях происходит размыв песчаного дна и течение становится хаотическим (турбулентным). При спокойном течении также наблюдается переформирование песчаного дна. Образующиеся в таких течениях волновые структуры по механизму формирования и своим характеристикам подразделяется на две группы. К первой относятся волновые движения, связанные с наличием свободной поверхности потока. Они существуют и при течении жидкости над недеформируемым дном. Эти волны формируются при достаточно больших числах Гг .

При небольших скоростях жидкости, при которых число Фруда существенно меньше критического значения Ггс, но достаточно для начала движения донных частиц в

узком придонном слое или во взвешенном состоянии, возможно возникновение волновых структур второго типа. Следует отметить, что механизм неустойчивости, ведущий к образованию поверхностных или донных волн, также вызывает деформирование другой границы потока. Здесь и далее неустойчивость означает гидродинамическую неустойчивость, т.е. неустойчивость по отношению к малым возмущениям.

Экспериментальные данные Дж.Кеннеди, Дж.Саймонса, Н.Комарова, Б.Фортерра, О.Пуликуэна и других авторов показывают, что при малых числах Фруда ¥т < ¥тс (Ггс -критическое значение Фруда) наблюдается неустойчивость течения над песчаным дном. В таком случае существенно то, что адекватная математическая модель, если она будет построена, даст возможность обнаруживать неустойчивость течения над песчаным дном при различных числах Фруда в рамках вычислительного эксперимента.

Как известно, при рассмотрении течений вязкой несжимаемой жидкости обычно используется система уравнений Навье-Стокса вместе с уравнениями неразрывности. В данном случае объектом исследования является течение вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести над песчаным дном. Такое течение исследовано на основе уравнений Рейнольдса, Экснера, Сен-Венана и т.д. Основной задачей в исследованиях таких течений является изучение волнообразования на донной поверхности жидкости. Мы рассмотрим задачу исследования поведения таких течений на основе уравнений Навье-Стокса с учетом гидравлического сопротивления и взвешенных частиц в потоке жидкости.

Применяемые математические модели отличаются по способам описания движения жидкости и донных наносов. Формирование волн на нижней поверхности потока было получено с использованием модели потенциального течения идеальной жидкости в рамках систем гидравлических уравнений или применением полуэмпирических моделей турбулентности. В потенциальной и гидравлической моделях неустойчивость донной поверхности определялась введением искусственного сдвига между расходом донных частиц и локальными характеристиками потока жидкости. В данной работе предлагается математическая модель течения несжимаемой вязкой жидкости со свободной поверхностью и песчаным дном, которая включает оба механизма неустойчивости и не содержит искусственного сдвига фаз.

Рассмотрим течения несжимаемой вязкой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Выберем декартовую систему координат Х,У,2 с осью Х, направленной по течению. Ось Z ориентирована по направлению нормали к донной поверхности. Обозначим поверхность дна через Ъь (х, у, ^). Угол наклона плоскости (X, У) к горизонту обозначим через в. Свободную поверхность зададим в виде 2 = Ъ(х, у, ^).

Движение вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести опишем уравнением Навье-Стокса

du du du du 1 dp

--h u--hü--h w-=----h V

dt dx dy dz p dx

(d 2u

d 2u

d 2u^

dx2 cy2 dz2

g sin в

du du

--h u--

dt dx

du du

dy

w

dz

1 dp P сУ

id 2u

=---— + V

d 2u

d u

dx2 dy2 dz2

dw dw dw dw 1 dp

--h u--hU--h W-=----hV

dt dx dy dz p dz

( d 2w

d2 w

d W

- g cost

сх2 су2 dz2 У

Где и ,и, - компоненты вектора скорости, р - давление, р - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, V - кинематическая вязкость жидкости, в - угол наклона плоскости (х, У) к горизонту.

Будем изучать длинные волны. В работе [2] показано, что для таких волн с очень большой точностью оказывается справедливым выражение для фазовой скорости с = , где g -ускорение силы тяжести, Ъ -глубина потока. Как видно, фазовая скорость не зависит

с с с

от длины волны. Рассмотрим длинные волны, т.е. — >> —, —.

с2 сх су

В этом случае имеем x~L , y ~L , z~sL

£« 1 ,

u~U , u ~U , w~sU , p = pU2 .

Учитывая это, перепишем систему (1) в виде

du du du du l dp d2u

--v u--vu--v w — =---—vv —- v g sin в

dt dx dy dz p dx dx 2

du du du du l dp d2u

--v u--vu--v w— =----vv—-

dt dx dy dz p dy dx 2

-1 ^ - g соив = о р &

Обозначим через к свободную поверхность жидкости, къ донную поверхность, тогда глубина потока есть к = к - к  Из последнего уравнения найдем давление и используем граничные условия для давления:

р = А -р со$в- г, ра = А -р совв- к ^ р = ра +рg соив- (к - г) Подставляя последнее выражение в систему уравнений (2), получим

ды ды ды ды Л дк д u . п

--h u--ъо--h w— = - g cosO--h v—- + g sin O

3t дх ду üz дх üz

до до до до п дк д2о

--h u--ъо--h w— = - g cosO--h v—-

дt дх ду üz ду üz

Если учесть, что h = к - к , то полученная система уравнений примет вид

d(K v K) d u

du du du du

--v u--vu--v w— = -g cos^^^-- vv- ,

dt dx dy dz dx dz

du du du du d(K v K) d u

--v u--vu--v w— = - g cosв—b--vv—-

dt dx dy dz dy dz

v g sin в

Вместо вязкого сопротивления v

dy

d u d u v-

dz

dz

введем гидравлическое сопротивление

d\ö\ö

-A

2

. При этом уравнение Навье - Стокса называется уравнением гидравлики:

du du du du _ O(K vK) . u^u^-vW . n

--v u--vu--v w— = - g cos^^-2-- - A--v g sin в

dt dx dy dz dx 2K

du du du du .d(K vK) . uVu2 vu2

— v u — vu — v w— = - g cos^—^—-- - A-

dt dx dy dz dy 2K

Вместе с уравнением Навье-Стокса обычно рассматривают уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:

du du du

— v — v— = 0.

dx dy dz

Интегрируем уравнение неразрывности по глубине потока. Учитывая следующие граничные условия на верхней и нижней поверхности жидкости

dh dh dh —- + u—- + u—- = w dt dx dy

dh dh dh —- + u—- + u—- = w St Sx Sy

получим

dh d

где где

= К

= h-

- + -

= 0

dt dx dy

Таким образом, получили систему уравнений (5), (8), описывающую движение несжимаемой вязкой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести. Эта система называется системой уравнений гидравлики:

du du du „ d(h + Л) „ ил[и

su su su „d(h + h) .u^u2 + u2

— + u — + u— = - g cos$ ——-- -Я-

dt dx dy dx 2h

+ g sin в

du du du .S(K + h) .uju2 +u2

— + u — + u— = - g cos$ ——-- - Я-

dt dx dy dy 2h

dh d

dt dx dy

,u,h,h . Введем безразмерные

T = ^ ~, U

Имеем три уравнения с четырьмя неизвестными переменные

х = Исх , у = Ису , г = Ис~

и

К

где Не -характерная длина, По -характерная скорость течения, Нь - уровень донной поверхности, - уровень свободной поверхности, Т- безразмерное время.

Предполагается, что компоненты скорости и и и - суть средние по глубине слоя значения их истинных величин. Для введенных величин система уравнений Навье-Стокса

du du du cose d(h + h) . Wu2 + u2 sine

— + u — + u— = ————-- -Я-

dt dx

du dy

du

du du

--+ u--+ u —

dt dx dy

Fr2 dx cos в d

2h

+

Fr2

Fr2

dy

-Я

Г 2 , 2 wu + u

2h

dh d(uh) d(uh) _ dt dx

dy

где Fr =

U

4Ж,

- число Фруда, Я - коэффициент сопротивления. Чтобы замкнуть

систему уравнений (9), необходимо добавить уравнение для определения Нъ.

К этой системе уравнений добавим соотношение, которое описывает деформацию нижней поверхности Ьъ (х, у, t) и которое выражает закон сохранения взвешенных и

влекомых наносов [1,3,4,5]. Вывод этих уравнений основывается на двухслойной модели

z

движения наносов [3] Прежде чем дать эти уравнения, дадим краткое понятие о видах донных наносов.

Твердые частицы грунта, переносимые водными потоками, называются наносами и они делятся на влекомые и взвешенные. Влекомые наносы движутся непосредственно по дну, а взвешенные - вместе с потоком жидкости.

Закон сохранения влекомых наносов запишем согласно работе [3], где хорошо излагаются выводы и обоснование уравнений. Если перемещения влекомых наносов будем описывать вектором удельного объемного расхода частиц q, уравнение сохранения будет иметь вид

дt

Величину q определяем по формуле Бегнольда.

q =

ÀpFr2 v{ о и

2psg tanab

(

л f„f ^ 0.37h 1 - 5.75J- lg-

Ъ kd

w.

V

где р6 -пористость материала дна, q -вектор удельного объемного расхода

(влекомых) наносов. В силу того, что влекомые наносы перемещаются в тонком слое у дна и быстро приводятся в движение, их расход достигает предельного значения на расстояниях порядка глубины потока. Кроме того за величину qx мы принимаем компоненты вектора q по направлению X , дополнительно учитывая [5] в нем влияние локального дна на расход

наносов - у

ô_K

ôx

Запишем закон сохранения массы (в приближении к мелкой воде) для взвешенных наносов, если величины о, И, 5 рассматривать как осредненные (по вероятности и времени) значения скорости, глубины и концентрации. Тогда

ô - -— (sh) + div(shv) = qbs + divQ ôt

где Q - диффузионный поток частиц в горизонтальной плоскости. Это уравнение называется (плановым) двумерным уравнением турбулентной диффузии. В работе [3] указываются возможности, что в первом приближении можно пренебречь диффузионным

переносом, полагая Q = 0 .

Массообмен ^, между донными и взвешенными частицами определяется согласно [3] и имеет следующий безразмерный вид:

qbs = 0.65J—Vu2 + v

0.00144

Fr 2( u2 +v2) Iph

Bs

1 - e-

где B = 1.8

w.

яV u2 + v

и

Pp =

p p

Для шарообразной формы гидравлическая крупность частиц, т.е. скорость их

gd2

с

осаждения в покоящейся жидкости определяется по формуле w =

p 18v

P

\

-1

vPs J

где ё -средний диаметр частиц; рв -плотность частицы наносов; р -плотность воды,

V -кинематическая вязкость воды.

Таким образом, имеем систему уравнений вместе с определяющими соотношениями (11) и (13) относительно неизвестных и,и, к, Иь, 5

du ^ du _ cos0 d

dx

cos в d

+ u--+ v— = -

dt dx dy Fr

-À

isju2 + v2 sine

Fr2

2h

+

dv dv dv

--+ u--+ v —

dt dx dy

Fr2

dy

-À

V2 2 u + v

2h

dh d(uh) d(vh) _

dt dx dy

d (sh) + d^ = qbs

dt dx dy

<• - * >dr+%=-q-

t x y

Здесь q^ qv - компоненты вектора потока q соответственно по направлением X и Y:

REFERENCES

1. Арипов М.М., Сеттиев Ш.Р. Моделирование процессов описываемых одной системой типа Навье-Стокса // Журнал «Вестник НУУз», -Ташкент, 2009, -№1. - C. 13-16.

2. Шуляк Б.А. Физика волн на поверхности сыпучей среды и жидкости. -М.: Наука, 1971. - 400c.

3. Беликов В.В. Численное моделирование течений со свободной поверхностью и деформируемым дном: Дис. канд.физ. - мат. наук.- Москва: мех-мат, МГУ, 1986. - 126 с.

4. Гришанин К.В. Динамика русловых потоков.- Л.: Гидрометеоиздат.1979. -312c.

5. Engelund F. Instablity of erodible beds // Journal of Fluid Mechanics.1970. V.42.N2. P.225-244.