Небесномеханическая модель образования незамкнутых колец вблизи планет-гигантов

УДК 521.3

Н.И. Перов, А.В. Кондратьева

Небесномеханическая модель образования незамкнутых колец вблизи планет-гигантов

Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № П539).

Рассматривается ограниченная задача 4-х тел. Массы основных 3-х тел, расположенных в вершинах правильного треугольника, являются произвольными, но массы двух тел равны. Динамическая система основных тел равномерно вращается с постоянной угловой скоростью. Четвертое - малое тело - в начальный момент времени находится в неустойчивой (по определению Ляпунова) точке либрации. Определяются условия, при которых движение тела с нулевой массой во вращающейся системе координат происходит по одной и той же гладкой замкнутой кривой, имеющей вид двойной арки (двух дуг), в ограниченной области пространства. Рассмотренную модель движения пробной частицы предлагается использовать для описания особенностей строения кольцевых структур планет-гигантов.

Ключевые слова: небесная механика, задача N тел, центральные конфигурации, точки либрации, устойчивость движения, кольца планет, коорбитальные спутники.

N.I. Perov, A.V. Kondratieva

A Celestial Mechanical Model of Unclosed Rings' Formation near Giant-Planets

The restricted 4-body problem is under consideration. Mass of the major 3 bodies, placed in the vertexes of regular triangular, is arbitrary, but mass of the two bodies are equal. The dynamical system of the major bodies uniformly rotates with a constant angular velocity. The 4-th small body in the initial moment of time is placed in the non-stable (in the sense of Lyapunov) point of libration. The conditions, for which the body with negligible mass moves along one and the same smooth curve (like double arc) in the restricted region of space, are determined. The considered model is used for the description of peculiarities of the giant-planets' rings.

Key words: celestial mechanics, N-body problem, central configurations, libration points, stability of the motion, planetary rings, co-orbital satellites.

Введение

В XX столетии кольца, состоящие из каменисто-ледяных малых тел диаметром меньше 10 м и пыли, были обнаружены около всех планет-гигантов. Также из наблюдений установлено существование незамкнутых колец (дуг, арок) вблизи этих планет [8]. Простые аналитические модели движения подобных небесномеханических систем не найдены [1, 2]. Авторы работ [4] и [7] предлагают использовать различные модели центральных конфигураций для удовлетворительного описания данных динамических систем.

Ниже рассматривается движение тела с незначительной (нулевой) массой m0, помещенной в начальный момент времени около точки либрации L. Точка L расположена на прямой «центр масс системы - вершина правильного треугольника» (в работе [5] нами было рассмотрено движение вблизи «противоположной» точки либрации, лежащей на прямой «центр масс системы - середина стороны треугольника»). Цель настоящей работы - поиск во вращающейся системе координат гладких замкнутых кривых простого вида, которые представляют собой периодические упорядоченные (не хаотические) траектории движения тела с нулевой массой m0.

Основные уравнения

Рассмотрим центральную конфигурацию четырех тел: планета с массой m1, два ее коорбитальных спутника массами m2 и m3 (m2=m3) (тела расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а) и частица с нулевой массой m0, в начальный момент времени находящаяся в точке либрации L на прямой, соединяющей центр масс системы и тело m1. Тела с массами m1, m2, m3 равномерно вращаются относительно центра масс системы (С) с угловой скоростью ю (рис. 1).

© Перов Н.И., Кондратьева А.В., 2011

Рис. 1. Система четырех тел: планета т1, два коорбитальных спутника т2 и т3, частица ш0 (в начальный момент времени точка ш0 совпадает с точкой либрации Ь). С - центр масс системы

На рисунке 1 М2, М3 - радиус-векторы рассматриваемых тел в системе центра масс; Ьх и Ьу - оси вращающейся с угловой скоростью ю системы координат, выбранные для исследования движения тела т0.

Будем учитывать только гравитационные силы, тогда, в соответствии с работой [5], имеем:

2 G

а =-•

R =

a

a-J3m

3

2

m1 + 2m2

R2 =

a^lm1 + m1m2 + m2 m1 + 2m2

Уравнение движения тела т0, помещенного в точку либрации Ь, в инерциальной системе координат с началом в точке (С) имеет следующий вид: Gm1 _ 2Gm2

d2 R/dt2=--— R 2 2

(R - R1) R (R2 + R22 + 2R2R cos у) R

Для центральной конфигурации [7]:

d2R/dt2=-2R

Кроме того,

cosf =

m1 R1

2m2 R2

cosa =

R — R + aV3/2

cosaR;

2 + R22 + 2RR2cosY)1/2

Здесь ш - угловая скорость тел т1, т2, т3; М1, М2, М3 - расстояния до планеты и двух спутников от центра масс системы; G - гравитационная константа; М - вектор, определяющий положение тела массы т0 относительно точки С без учета возмущений (тело т0 находится в точке либрации Ь).

Решая систему уравнений (1)-(7), можно найти М для известных значений т1, т2=т3 и а в случае невозмущенного движения.

В случае возмущенного движения тела с нулевой массой т0 в произвольной окрестности точки либрации Ь запишем соответствующие уравнения движения в неинерциальной, равномерно вращающейся системе координат хЬу в виде:

х = —

Gm1

Gm2

2\3/2

Gm3

2 3/2

+ 2а y + ^2(R + х) ,

У =

Gm, y__Gm2

(( R - R + x)2 + y2 + z 2)3/2 ((R + R2 cos у + x)2 + (-R2sin^ + y)2 + z 2)3/2

- 2x + ш2y,

Gm3(R3 sin y + y) +

((R + R3 cosy + x)2 + (R3siny + y)2 + z2)3/2

Gm, z Gm2 z

z = -

((R - R + x)2 + y2 + z2)3/2 ((R+R cosy+x)2 + (-R sinY+y)2 + z2)3/2 Gm3 z

3

2 , 2\3/2

Примеры

Полагаем, что система координат хЬу равномерно вращается с угловой скоростью щ т2=т3=1; G=1; а=1; х(0)=у(0)=0; @хШ)0=^уШ)0=10~9 единиц скорости; у2=-у3=0,5; интервал времени равен 20 единицам времени; х2, у2, х3, у3 - координаты тел с массами т2, т3 в системе хЬу; п - число оборотов основных тел за указанный интервал времени.

Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений (8) (при z=0) с помощью метода Рунге - Кутта 4-го порядка дает следующие результаты.

При отношении масс т1/т2=1100 прослеживается хаотическое движение тела т0 (рис. 2а);

Рис. 2 а.

от1/от2=1100, w2=1102, R/a = 1,0005993527, R1 = 0,0015717339, R2 = R3 = 0,9986391476, x2=x3=-1,8650530225, n = 105,667376

Рис. 2б.

m1/m2 =1500, ю2=1502, R/a = 1,0004397547, R1 = 0,0011531629, R2 = R3 = 0,9990014979, x2=x3=-1,8653119955, n = 123,36304869400

При т1/т2=1500 (рис. 2б) наблюдается «регулярное» - периодическое - движение тела с массой т0 в заметно меньшей (по площади) области пространства, представляющей дугу кольца.

В работе Н.И. Перова и Ю.Д. Медведева [6] подчеркнуто, что система, подобная рассмотренной выше центральной конфигурации 4-х тел (рис. 1), является устойчивой, по Ляпунову, при отношении масс компонентов т1/т2= т1/т3 > 367,0540108. Эта величина на порядок больше по сравнению с отношением масс т\/т2 ~ 27, необходимым для устойчивости системы трех основных тел.

Замечание. В работе [4] рассматривается аналогичная конфигурация, но с бесконечно малыми массами - т2, т3, т0 - по сравнению с массой ть Установлено существование 7 центральных конфигураций (симметричных и несимметричных), при этом не исследуется устойчивость системы 4-х тел. В статье [3] рассмотрен пример появления устойчивых точек либрации в неустойчивой центральной конфигурации.

Заключение

Из анализа результатов работы следует: поиск незамкнутых колец (дуг, арок) с устойчивыми орбитами, расположенных вблизи планет, должен производиться при заметном различии масс планеты и ее коорбитальных спутников или «спутников-пастухов» (т1/т2 > 1150).

Библиографический список

1. Горькавый, Н.Н., Тайдакова, Т.А. Многокомпонентный эпитон и Галатея [Текст] / Н.Н. Горькавый, Т.А. Тайдакова // Письма в астрономический журнал.- 1993. - Т. 19, № 4.- С. 375-384.

2. Горькавый, Н.Н., Фридман, А.М. Физика планетных колец : Небесная механика сплошной среды [Текст] / Н.Н. Горькавый, А.М. Фридман. - М. : Наука, 1994. - 348 с.

3. Медведев, Ю.Д., Перов, Н.И. Ограниченная задача четырех тел. Случай центральной конфигурации : точки либрации, устойчивость [Текст] / Ю.Д. Медведев, Н.И. Перов // Письма в астрономический журнал РАН. -2008. - Т. 34, № 5. - С. 392-400.

4. Corbera M., Cors J. M., Llibre J. On the central configurations of the planar 1 + 3 body problem / Celestial_Me-chanics and Dynamical Astronomy. 2011. V. 109. N. 1. P. 27-43.

5. Perov N. I., Kondratieva A. V. Localization of boundaries of life of the Earth's type in the star clusters / Abstr. of the 41-st Lunar- Planetary Science Conference (The Woodlands, Texas, USA, March 1-5, 2010). Abstract #1028.

6. Perov N.I., Medvedev Yu.D. Central configurations of N bodies as models of secondary coorbital planets and planetary rings Abstr. of the 39-th Lunar- Planetary Science Conference (Houston, USA, March, 2008). Houston: LPI, 2008. Abstr. N 1029.

7. Winter A. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics. Prinston. New York, 1941.

8. Planetary Fact Sheets [Электронный ресурс]. URL : http://nssdc.gsfc.ov/ planetary/ factsheet (дата обращения 22.04.2011).