Спектральные свойства электрона в периодически соединенных волноводах

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКИ СОЕДИНЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ

Е.С. Тесовская

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор И.Ю. Попов

Исследуется поведение баллистического электрона в системе двумерных волноводов, связанных периодической системой малых отверстий. Получена оценка резонансной зоны при условиях Неймана на границах в рамках асимптотического подхода.

Введение

В последнее время широко обсуждаются интересные эффекты, возникающие в магнитных наносистемах. Изучение возможных применений этих эффектов стимулирует теоретические исследования таких систем. Для описания электронного транспорта в нанослоях были предложены различные математические модели. Было показано, что существует ферромагнитное и антиферромагнитное упорядочение соседних магнитных слоев в зависимости от толщины промежуточного немагнитного слоя [1]. Это связано с осцилляциями соответствующего обменного взаимодействия между слоями. Исследование таких взаимодействий часто осуществляют в рамках модели квантовых ям. Эти ямы образуются магнитными слоями, которые ограничивают передвижение электронов проводимости с соответствующим направлением спина в немагнитных слоях. Существование подобных ям было показано экспериментально для слоев меди на поверхности Со(100) и серебра на Бе(200) с помощью фотоэмиссии.

Рассмотрим электрон, находящийся в немагнитном слое, расположенном между двумя магнитными. Пусть в магнитном слое все состояния с определенным направлением спина заняты. Тогда электрон с таким же направлением спина в немагнитном слое находится в потенциальной яме (в поперечном направлении). Если соседние магнитные слои намагничены одинаково, то количество ям в сверхрешетке совпадает с количеством немагнитных слоев. Ширина немагнитного слоя ё есть ширина квантовой ямы. Расстояние ё между слоями есть ширина магнитного слоя. Если магнитные слои имеют антиферромагнитное упорядочение, то размер ямы увеличивается и становится равным 2ё + йх. Но в этом случае яма есть для двух электронов с противоположными спинами.

Оба случая упорядочения могут иметь место в задаче о прохождении волн в волноводах с различными граничными условиями. Точнее, ферромагнитное упорядочение соответствует волноводу с граничными условиями Дирихле. Антиферромагнитное упорядочение ведет к задаче о двух волноводах шириной ё с граничным условием Неймана на разделяющей линии и условием Дирихле на других границах (мы предполагаем, что ё >> , и заменяем магнитный слой разделяющей линией). В данной работе мы исследуем резонансные эффекты, вызванные наличием отверстий (дефектов) в разделяющей линии. С использованием метода согласования асимптотический разложений [2] получены асимптотические оценки резонансной зоны в зависимости от периода расположения отверстий для двух плоских волноводов с граничными условиями Неймана на границах.

Получение асимптотик

Рассматривается система двух плоских волноводов , V с граничными условиями Неймана, соединенных периодической системой малых отверстий (период Ь) малого радиуса а. Введем декартовы координаты х1, х2. Пусть волноводы имеют ширину , (й+> ), отверстия располагаются по линии х2 = 0. Наличие соединяю-

щих отверстий вызывает резонансные эффекты. Задача сводится к решению уравнения Гельмгольца в соответствующей области с условиями Неймана на границе:

А /2 л дм

А и + к и = 0, — дп

= 0.

3Q

Мы предполагаем, что решение удовлетворяет граничным условиям Неймана на всех границах (а не только на разделяющей линии). Это не существенно. Важно, чтобы условие Неймана выполнялось на линии, содержащей соединительные отверстия.

Нижней границей непрерывного спектра для оператора Лапласа с граничными условиями Неймана является ноль, в отличие от лапласиана с условиями Дирихле, где она больше нуля. Будем использовать метод согласования асимптотических разложений, предложенный A.M. Ильиным [2] и развитый P.P. Гадылыпиным [3], вариант которого для возмущения непрерывного спектра был усовершенствован И.Ю. Поповым в [4, 5].

Чтобы свести периодическую задачу к задаче определения квазисобственного значения (резонанса) в каждом слое (при фиксированном значении квазиимпульса в), будем использовать условие Блоха:

\\f

Точнее, мы будем искать первые члены асимптотического разложения квазисобственного значения по а около N-то отверстия при фиксированном в. Асимптотики функции Грина в волноводах Q1 с условиями Неймана на границах имеет вид:

G+

ttd± уи-(8и+1) d± d±

где

d

2

Асимптотики функции Грина в окрестности особенности (0,0), лежащей на границе области, при значениях к , близких к 7Г /й?+ , имеют вид:

(X, о, ^) = (тг2 - кХ уп С08 ^ ехр (-ф12-кХ I X, |) -11п I XI +£+ (X, ка),

< 1 ' *

(х, 0 А ) =--1п I х I +g- (х, ка),

71

где функции g+(x,кa), g (x,ka) не имеют особенностей во всей области волноводов.

X

Сделаем замену переменных Е, = —. Принимая во внимание условие Блоха (2),

а

будем искать квазисобственную функцию 1|/а(х) в виде

00

где - круг радиуса I с центром в середине отверстия, /(ка) - некоторые функции. Метод согласования сводится к поиску таких «склеивающих» функций Уг (Е,), удовлетворяющих краевым условиям Неймана и являющихся решениями уравнения Лапласа, что члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях (5) будут сов-

падать в соответствующих областях. Учитывая асимптотику функции Грина (4), мы можем построить асимптотику волновых функций \|/^(х), т.е. \|/а(х) в областях

Q ±\Sr:

\¡a

V+a{*) = ñK)

W~a

где =

ln a ln|£| ^ie,qiB-lkL\q\

Tí Tí

y d+

E-

q* 0

Ы,

+ S+

iqlB -ikL\q\

Tí Tí

v

d kd

iqLB—y~L\q\

, S (Q,L) = УУ-

v+d Z-iZ-i

pO Brf /nW + и i nU-

Y =

— •

"

Выберем функцию /(ка) в следующем виде:

Г1 /• ^

VI ? к ^о

Тогда если ка близко к резонансу (у —» 0) и 1шка < 0, то /примет вид:

КК) =

shy L

i e~ikL cos0 L

Y1

j(chyZ-cosGZ) k\- e~ikL cos0 L Запишем асимптотику для этой функции в следующем виде: f(ka) = A($,L)+Tl\nla+T2\n2a+' ,

где

k{\ - cos9 Z)(l - e~ikL cos9 L) ' ~ Щ1 - e-,kL cos9 L) - z(l - cos9 Ly,kL coseL ' Используя метод согласования, найдем коэффициент тх как функцию от 0 и Л. Учитывая (4), (6) и (8), выпишем коэффициенты при а0 в разложении (9):

4"" - + А, L) --ln | % | (0,+ S

d+ tí ^ tí d+

v0£)

T f 1 Tí2 ^

d

Tí

Tí

Процедура согласования дает подходящий выбор функции у0 (Е,) :

УЛ)~[А(в,1)(1п1^1+1п2) + Сд,

где константы Сч обеспечивают согласование соответствующих членов в областях О , . Сравнивая члены порядка а0, получаем выражение для коэффициента 11:

т 1(6,L) = - + -A(6,L) 1 2 ¿f 2

g+ +g-+S+(Q,L) + S-(Q,L) + - 1п2

Tí

Окончательно, учитывая (10), получаем асимптотику квазисобственного значения к при фиксированном значении в: ж2

к2=^-В(в,1) 1п1а+. ,

где B(0, L) =

6(1 - cos0 L)2

t i(0, L).

A2(0, L)(2 + cos0 L)L3

Рис. 1a и 16 показывают зависимость вещественной и мнимой части коэффициента B(0,L) от 0 при фиксированном периоде (L = 1.5d+). Легко видеть (рис. 1а), что мнимая часть коэффициента B(0, L) отрицательна и резонансная зона отделена от непрерывного спектра невозмущенного оператора.

Re

а)

100

Рис. 1. Зависимость коэффициента В(в,Ц в асимптотике квазисобственного значения (14) для слоя оператора от квазиимпульса в: а) вещественная часть, б) мнимая часть

Заключение

В работе получены параметры резонансной зоны для двух плоских волноводов, соединенных периодической системой отверстий при граничных условиях Неймана в рамках асимптотического метода. Работа поддержана грантом РФФИ 05-03-32576.

Литература

1. Uzdin V.M., Yartseva N.S. Quantum wells in trilayers: dependence of the properties on the thickness of magnetic and nonmagnetic layers.// J. Magn. Magn. Mat. 156. 1996. 193— 194.

2. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 289 с.

3. Гадыльшин P.P. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца // Успехи мат. наук. 1997. Т. 1, С. 3-76.

4. Frolov S.V., Popov I.Yu. Resonances for laterally coupled quantum waveguides // J. Math. Phys. (7), 4391-4405, (2000).

5. Popov I.Yu. Asymptotics of bound states for laterally coupled waveguides // Rep. Math. Phys. 43(3), 427-437 (1999).