Алгоритм определения частоты гармонического сигнала с использованием стохастической дискретизации

СИСТЕМЫ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И СЕТЕВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

DOI: 10.24143/2072-9502-2017-4-54-59 УДК 621.371

И. Н. Зайцева, В. Н. Угольков

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Предложен алгоритм определения частоты гармонических сигналов вероятностно-статистическим методом. Основной особенностью алгоритма является короткое время обращения к исследуемому сигналу, значительно меньшее его периода, по трем интегральным выборкам с цифровой обработкой. Мгновенные значения в каждой выборке из исследуемого сигнала основываются на стохастической дискретизации во времени по равномерному закону распределения. Главными достоинствами алгоритма является кратковременное обращение к исследуемому сигналу и высокая точность определения частоты, что принципиально важно для инфранизкочастотных сигналов с периодом, измеряемым минутами, часами, сутками и более. Для оценки погрешности определения частоты таких сигналов в зависимости от точности их дискретизации реальными аналогоцифровыми преобразователями проведен численный эксперимент. Показано, что погрешность определения частоты разработанным алгоритмом составляет сотые доли процента и мало зависит от точности дискретизации сигнала по определённому уровню. Полученная погрешность соответствует точности дискретизации при переводе в принятые значения аналогоцифровых преобразователей от 6- до 16-разрядных аналогоцифровых преобразователей. Алгоритм может найти применение при обработке инфранизкочастотных радиосигналов в акустике, гидроакустике, сейсмоакустике, подводной и подземной связи.

Ключевые слова: сигналы, цифровая обработка, параметры, частота, меньшее периода время обращения, стохастическая дискретизация.

Введение

Задачи изучения динамических свойств физических объектов, идентификации объектов и инфранизкочастотных сигналов в акустике, гидроакустике, сейсмоакустике и т. п. требуют уменьшения времени обращения к анализируемым сигналам и обработки сигналов во времени близком к реальному [1-9]. Время обращения к исследуемому сигналу должно быть меньше периода самого высокочастотного гармонического сигнала, входящего в состав спектра исследуемого сигнала, или менее периода одночастотного сигнала [2-4, 8].

В ряде работ рассмотрены цифровые алгоритмы определения параметров гармонических сигналов за время меньшее их периода, с использованием «классических» методов равномерной дискретизации сигналов по времени [2-4, 8]. Однако, с точки зрения помехоустойчивости каналов передачи информации, представляется интересным анализ цифровых алгоритмов определения параметров гармонических сигналов при их рассмотрении в течение времени значительно меньшего их периода, с использованием стохастической дискретизации этих сигналов по времени.

Фундаментальный интерес к такой обработке сигналов появляется при анализе линий передачи, в которых сигналы, модулированные по фазе, частоте или амплитуде, кодируются путём преобразования в солитоны. Солитон - это структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде. Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются,

а продолжают движение, сохраняя свою структуру. Такая линия передачи обычно состоит из большого числа нелинейных ZC-цепочек и может быть описана системой уравнений в частных производных, которые преобразуются в уравнение Кортевега - де Фриза [1].

Постановка задачи

Рассмотрим алгоритм определения частоты гармонических сигналов при времени обращения к анализируемому сигналу меньшем их периода вероятностно-статистическим методом с использованием стохастической дискретизации.

Имеем входной гармонический сигнал:

x

где a0 - начальный угол; ш - круговая частота сигнала; А - амплитуда сигнала.

Суть рассматриваемой стохастической обработки сигнала выражения (1) для определения частоты заключается в том, что выборки мгновенных значений из сигнала осуществляются по случайному закону. Например, интервал дискретизации сигнала (1) выбирается из таблицы равномерно распределенных, линейно преобразованных случайных чисел, расположенных в виде вариационного ряда.

Рассмотрим случай, когда время t¡ выборки из сигнала (1) распределено по равномерному закону.

В этом случае имеем плотность распределения интервалов времени для дискретных отсчётов

p(tt) = 1/ Tm при t¡< t, < tn, и p(tj) = 0 при других t, ,

где Tm = tn - t¡ - время измерения (время обращения к сигналу).

Далее найдем плотность распределения для x(t¡) при t¡, распределенном равномерно в интервале от t¡ до tn, как функции от х [10, 11]:

, ч 1

Р

Ш • Tm

Для определения частоты ш сигнала (1) по алгоритму, предложенному в [8], воспользуемся выражением для математического ожидания значений рассматриваемого сигнала со стохастической дискретизацией как случайного процесса.

Используя выражения (1) и (2), имеем

Г / Ч , 2 • А • Sin (Ш • lm /2) . „

mi

X! ш ^ Tm

где xx = A • sin (a0),

xn = A • sin (a0 + ш • Tm ).

Из выражения (3) найти частоту сигнала не удается [2, 8], поэтому поступим следующим образом.

Определим математическое ожидание для второй выборки из сигнала (1) [10]:

m2

ш2 • Tn

xn m

где xn+! = A • sin (a0 + 2 • ш • Tm).

x

n

Математическое ожидание для третьей выборки из сигнала

, ч Т 4 7 2• A• sin

x!+1 Ш ' Tm

где xn+2 = A • sin (a0 + 3 • ш • Tm).

Далее, используя соотношения (3)-(5) и с учетом работы [8], получим алгоритм для определения частоты ш независимо от амплитуды сигнала и начального угла a0:

1

ш = — arccos T

Г m1

Численное моделирование предложенного алгоритма

Для вычислений используем гармонический сигнал в виде синусоиды с частотой f = 20 Гц и амплитудой А = 10 В. Его можно представить функцией

х (tf) = 10 • sin (ю • tt),

где tf - интервалы времени дискретной выборки и сигнала, распределённые по равномерному закону; ю - круговая частота сигнала;

ю = 2 • п • f = 2 • 3,14 • 20 = 125,6637 рад/с.

Общее количество дискретных выборок за период условно выберем равным 2000. Количество же дискретных выборок за время обращения к сигналу меньшее его периода выберем условно равным 300. Тогда время измерения будет равно

= _К3<Ю_ = _Ъ300_ = 0>0075 с. m f•2000 20•2000

Для численного моделирования применяем табличный процессор Excel 2013. Используя встроенную статистическую функцию «СЛЧИСЛ()», сгенерируем 2000 чисел с равномерным законом распределения. Далее, расположив полученные значения в виде вариационного ряда по возрастанию, вычислим значения дискретных выборок из синусоидального сигнала с точностью представления от 1 до 4 знаков после запятой.

Результаты вычислений проиллюстрированы на рис. 1, 2.

На рис. 1 представлен период полного восстановленного (оцифрованного) исследуемого сигнала в виде синусоиды.

Рис. 1. Восстановленный период исследуемого сигнала

На рис. 2 представлена часть оцифрованного сигнала со стохастической дискретизацией во времени, наглядно показывающая принцип работы алгоритма.

Представление характера стохастической дискретизации интервала квантования с равномерным законом распределения

0,0000 10,0000 20,0000 )0,0000 40,0000 «1,0000 60,0000 70,0000 80,0000 90,0000 100,0000

Шаг дискретизации сигнала по времени

Рис. 2. Пример стохастической обработки исследуемого сигнала

Результаты определения частоты исследуемого сигнала за время меньшее одного периода со стохастической дискретизацией по времени представлены в таблице.

Результаты определения частоты сигнала

Выборки математического ожидания Эталонная частота Частота, определённая по алгоритму Погрешность Точность оцифрованных значений

тг(?) тэ(0

4,4720 9,5647 6,7770 125,6637 125,6201 0,04 % 1

4,4735 9,5613 6,7800 125,6637 125,5475 0,09 % 2

4,4730 9,5613 6,7797 125,6637 125,5531 0,09 % 3

4,4730 9,5613 6,7798 125,6637 125,5529 0,09 % 4

Согласно данным таблицы, погрешность определения частоты разработанным алгоритмом составляет сотые доли процента и мало зависит от точности дискретизации сигнала по определённому уровню. Полученная погрешность соответствует точности дискретизации при переводе в принятые значения аналогоцифровых преобразователей (АЦП) от 6- до 16-разрядных АЦП.

Заключение

Предложенный алгоритм обладает определенными достоинствами, главными их которых являются кратковременное обращение к исследуемому сигналу и высокая точность определения частоты, что принципиально важно для инфранизкочастотных сигналов с периодом, измеряемым минутами, часами, сутками и более.

Алгоритм позволяет восстановить принимаемый сигнал в виде солитона и может найти применение при обработке сигналов, управлении системами и при их идентификации в подводной акустике [2].

Предлагаемая работа является, в широком смысле, одним из направлений дальнейшего развития этих и других алгоритмов подобных сигналов [3, 4].

Отметим, что стохастическая обработка, включая и цифровую, в настоящее время находится в стадии развития теории, и диапазон областей ее использования в практических целях становится все шире [9, 12, 13]. В частности, большой интерес представляет применение подобных алгоритмов для анализа медленно меняющихся процессов в физиологических системах [9].

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Угольков В. Н., Беспалов В. М., Цициашвили Г. Ш. Оценка параметров сигнала на фоне случайного шума по наблюдениям в дискретные моменты времени. Прикладной численный анализ и математическое моделирование. Владивосток: ДВО АН СССР, 1989. 181 с.

2. Угольков В. Н. Цифровые методы определения параметров акустических сигналов во времени, близком к реальному. Владивосток, 1989. 29 с. (Препринт/ТОИ ДВО АН СССР).

3. Ugolkov V. N. Some Problems of the Digital Analysis of Signal Spectra // Measurement Techniques. USA. 2004. Vol. 47, iss. 6. P. 601-606.

4. Ugol'kov V. N. Methods of Measuring the Phase Shift and Amplitude of Harmonic Signals Using Integral Samples // Measurement Techniques. USA. 2003. Vol. 46, iss. 5. P. 495-501.

5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с.

6. Мучиаури А. А., Гогелиане М. Х. О структурной схеме инфранизкочастотного фазометра // Тр. метролог. ин-в СССР. 1971. Т. 1, вып. 125 (185). С. 228-232.

7. Угольков В. Н., Кирсанов В. Г., Коршунова Н. Д., Кузнецкий С. С. и др. Микропроцессорная система измерения параметров гармонических сигналов в реальном времени // Приборы и техника эксперимента. 1985. Т. 28, № 3. С. 213-221.

8. Мешков В. П., Угольков В. Н. Определение параметров гармонических сигналов по минимуму мгновенных отсчетов. Красноярск, 1984. 7 с. (Препринт/Ин-т физики им. Л. В. Киренского СО АН СССР: ИФСО-262Ф).

9. Мармарелис П., Мармарелис В. Анализ физиологических систем. Метод белого шума. М.: Мир, 1981. 480 с.

10. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.

11. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

12. Билинский И. Я., Микельсон А. К. Стохастическая цифровая обработка непрерывных сигналов. Рига: Зинатне, 1983. 292 с.

13. Левин Б. Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985. 312 с.

Статья поступила в редакцию 30.08.2017

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Зайцева Ирина Николаевна — Россия, 399774, Елец; Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина; канд. пед. наук; доцент кафедры радиоэлектроники и компьютерной техники; irina-zai@yandex.ru.

Угольков Виталий Николаевич — Россия, 660130, Красноярск; ООО «Инженерная компания»; канд. техн. наук; начальник отдела автоматизированных технологических систем управления в энергетике и автоматизированных систем контроля и учета энергопотребления; billugo@yandex.ru.

I. N. Zaitseva, V. N. Ugol'kov

ALGORITHM FOR DETERMINING FREQUENCY OF A HARMONIC SIGNAL USING STOCHASTIC SAMPLING

Abstract. The paper deals with the development of an algorithm for determining frequency of harmonic signals using a probabilistic-statistical method. The main feature of this algorithm is a short time of addressing to the investigated signal, which much shorter than signal period, according to three integrated sample collections with digital processing. Instantaneous values of the investigated signal in each sampling are based on stochastic discretization over time, according to the uniform distribution law. The main advantages of the algorithm are the short time of access to the signal under study and high accuracy of frequency measurement, which is essential for the infralow frequency signals with a duration period measured in minutes, hours, days, etc. There has been performed a numerical experiment in order to evaluate an error in determining frequency of such signals, depending on the accuracy of their sampling by real analog-to-digital converters. The paper shows that the error of frequency determined by the developed algorithm makes a few hundredths of a percent and scarcely depends on accuracy of a signal discretization by a certain level. The error obtained corresponds to discretization accuracy under conversion into accepted values of analogue-

CucreMH TeneKOMMyHUKaöuü u cereBbie rexHonoruu

to-digital converters from 6- to 16-bit analogue-to-digital converters. The present algorithm may find practical use in radio technical processing of infralow frequency signals in acoustics, hydro-acoustics, seismic acoustics, underwater and underground communication.

Key words: signals, digital processing, parameters, frequency, shorter than the period access time, stochastic sampling.

REFERENCES

1. Ugol'kov V. N., Bespalov V. M., Tsitsiashvili G. Sh. Otsenka parametrov signala na fone sluchainogo shuma po nabliudeniiam v diskretnye momenty vremeni. Prikladnoi chislennyi analiz i matematicheskoe modelirovanie [Evaluation of a signal parameters against random interference observed in a discrete moment of time. Applied numerical analysis and mathematical modelling].Vladivostok, DVO AN SSSR, 1989.181 p.

2. Ugol'kov V. N. Tsifrovye metody opredeleniia parametrov akusticheskikh signalov vo vremeni, blizkom kreal'nomu [Digital methods of determining parameters of acoustic signals in near-real time]. Vladivostok, 1989.29 p. (Preprint/TOI DVO AN SSSR).

3. Ugol'kov V. N. Some Problems of the Digital Analysis of Signal Spectra. Measurement Techniques. USA. 2004, vol. 47, iss. 6, pp. 601-606.

4. Ugol'kov V. N. Methods of Measuring the Phase Shift and Amplitude of Harmonic Signals Using Integral Samples. Measurement Techniques. USA. 2003, vol. 46, iss. 5, pp. 495-501.

5. Bendat J. S., Piersol A. G. Random data: Analysis and Measurement Procedure (Russ. ed.: Bendat Dzh., Pirsol A. Prikladnoi analiz sluchainykh dannykh. Moscow, Mir Publ., 1989. 540 p.).

6. Muchiauri A. A., Gogeliane M. Kh. O strukturnoi skheme infTanizkochastotnogo fazometra [On structural chart of the infralow frequency phasometer]. Trudy metrologicheskikh institutov SSSR, 1971, vol. 1, iss. 125 (185), pp. 228-232.

7. Ugol'kov V. N., Kirsanov V. G., Korshunova N. D., Kuznetskii S. S. i dr. Mikroprotsessornaia sistema izmereniia parametrov garmonicheskikh signalov v real'nom vremeni [Microprocessor system of parameter measuring of harmonic signals in real time]. Pribory i tekhnika eksperimenta, 1985, vol. 28, no. 3, pp. 213-221.

8. Meshkov V. P., Ugol'kov V. N. Opredelenie parametrov garmonicheskikh signalov po minimum mgnovennykh otschetov [Determining parameters of harmonic signals using minimum instant samples]. Krasnoyarsk, 1984.7 p. (Preprint/In-t fiziki im. L. V. Kirenskogo SO AN SSSR: IFSO-262F).

9. Marmarelis P. Z., Marmarelis V. Z. Analysis of Physiological Sistems: The With-Noise Approach. New York: Plenum, 1978. 487 p. (Russ. ed.: Analiz fiziologicheskikh sistem. Metod belogo shuma. Moscow, Mir Publ., 1981. 480 p.).

10. Venttsel' E. S. Teoriia veroiatnostei [Probability theory]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 576 p.

11. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhniki [Theoretical foundation of statistical radio engineering]. Moscow, Radio i sviaz' Publ., 1989. 656 p.

12. Bilinskii I. Ia., Mikel'son A. K. Stokhasticheskaia tsifrovaia obrabotka nepreryvnykh signalov [Stochastic digital processing of continuous signals]. Riga, Zinatne Publ., 1983. 292 p.

13. Levin B. R., Shvarts V. Veroiatnostnye modeli i metody v sistemakh sviazi i upravleniia [Probabilistic models and methods in communication and control systems]. Moscow, Radio i sviaz' Publ., 1985. 312 p.

The article submitted to the editors 30.08.2017

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Zaitseva Irina Nikolaevna — Russia, 399774, Elets; Yelets State Ivan Bunin University; Candidate of Pedagogic Sciences; Assistant Professor of the Department of Radio Electronics and Computer Equipment; irina-zai@yandex.ru.

Ugolkov Vitaly Nikolaevich — Russia, 660130, Krasnoyarsk; LLC «Inzhenernaya kompani-ya»; Candidate of Technical Sciences; Head of Department of Automated Technological Control Systems in Power Engineering and Automated Control Systems of Power Consumption; billugo@yandex.ru.