О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №5_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.948

С.А.Исхоков, О.А.Нематуллоев О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

В работе исследована разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для одного класса эллиптических операторов высокого порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе. Исследование проводится с применением аналога неравенства Гординга для рассматриваемого класса дифференциальных операторов. Наряду с существованием единственного решения доказаны соответствующие неравенства для его нормы.

Ключевые слова: задача Дирихле - эллиптический оператор - неоднородные граничные условия -степенное вырождение.

1. Работа является продолжением работы авторов [1], в которой исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для эллиптических операторов высокого порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе. Здесь рассматривается случай неоднородных граничных условий. Так же как в работе [1], исследование основано на применении аналога неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических операторов, что позволило существенно ослабить существующие ранее условия на коэффициенты исследуемого оператора.

Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области без применения аналога неравенства Гординга для соответствующих операторов ранее изучалась многими авторами (см. [2-5] и имеющуюся там библиографию).

2. Пусть О - ограниченная область в п -мерном евклидовом пространстве Яп с (п — 1) -

мерной гладкой границей дО . Точки пространства Яп обозначим через X = (Хх,х2,...,Хп) , а через

X) обозначим бесконечно дифференцируемую в О положительную функцию со следующими свойствами

Cxdist {х, SQ} < х) < C2dist {х, сЮ}, p{k)

Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru

для всех х еО и любого мультииндекса к = ( к, к2кй ) . Здесь С, С, - положительные числа, |к| = |к| + \к2\Ь-----Ь|к| - длина мультииндекса к, и^к^ (х) = 3к'и(х) / Зх^ — Зх^1 (х еО) - обобщенная в смысле Соболева производная функции и (х) (х е О) мультииндекса к .

Пусть г - целое неотрицательное, с, р - вещественные числа, р > 1. Символом Е р (О) обозначим класс измеримых в О функций и (х) , имеющие обобщённые в смысле Соболева производные и(к ^ (х) порядка г с конечной полунормой

и; ¿РсИНе/р' с

I Щ=г О

I 1/Р

дх!

При г = 0 класс Ера (О) совпадает с весовым лебеговым пространством Ь а (О), норма которого определяется равенством

и; Е^ (О^Лу^ х ) |и(х)| Рл} .

Далее при с = 0 вместо Ер а (О) будем писать Е (О) . Символом Ж (О) обозначим пространство функций и (х) , определённых в области О, со следующей нормой

и-ЖРс

0

Символом Жгр „(О) обозначим пополнение класса С$ (О) по норме (1), а символом (ж гр „(О)) обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов, определённых на

о

Ж г „(О), наделённое нормой сопряжённого пространства.

Пространства Жр а (О), Жгр „(О) подробно изучены в монографии [5] (см. также обзорную

работу [2]).

3. Рассмотрим полуторалинейную форму

В [и, у] = у | Ък1 (х) и{к>(х) 1)(хуъ,

\к\ ,| 1 <г О

где Ън (X) - комплекснозначные функции, на которых ниже накладываются некоторые условия, при выполнении которых В [и, V] принимает конечное значение для всех и (X) е Ж^ (О),

о

у(х) еЖ ЦО).

Далее мы исследуем разрешимость следующей вариационной задачи Дирихле, связанной с формой (2).

Задача В. Для заданного функционала Г е (ж Рр „(О)) и заданной функции ф(х) е Ж^ (О) требуется найти решение и(х) е Ж^ (О) уравнения

В [и, у] =

удовлетворяющее условию

о

и

Если Ф(х) £ Ж Рра (О), то условие (4) означает, что решение и(х) и функция ф(х) имеют

одни и те же ненулевые следы на границе дО .

Разрешимость задачи П ранее исследовалась в работах С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, Н.В.Мирошина, Б.Л.Байдельдинова, С.А.Исхокова, А.Ё.Куджмуродова и др. (см. [3-5] и ссылки в

них) в предположении, что коэффициенты Ън (х) удовлетворяют следующему условию эллиптичности

Яв £ Ък1

\щ<р щ=р

для всех х еО и любого набора комплексных чисел {<£к . В отличие от этого, здесь мы предполагаем выполнение более слабого, чем (5), условия (см. условие I теоремы 1). Здесь также ослаблены и некоторые другие условия на коэффициенты Ън (х), имеющиеся в работах вышеуказанных авторов.

Прежде чем сформулировать основную теорему работы вводим следующее обозначение: (Я) = Я, если Я > 0, и (Я) = 0 при Я < 0.

Теорема 1. Пусть а > 0, а + £ {1,2,..., р| и выполнены условия:

I) старшие коэффициенты Ък1 (х), |к| = |/| = р, формы (2) имеют вид

Ък1 (х) = Р2а(х) аа (х),

где ограниченные функции аы (х) удовлетворяют условию эллиптичности

Яв у аы (х> Со ||2г Щ=11=г

для всех х е О, | е Яп (с0 - положительная постоянная независящая от х,|) и для любого достаточно малого V > 0 существует число г > 0 такое, что

\аы ( х)" аы (У

для всех у еО и всех х е| х е Яп : |х - у| < 1 гр( у )|;

II) коэффициенты ЪИ (х) при |к|, |/| < г и |к| + |/| < 2г — 1 принадлежат пространству

Еи,-си (О)> где н >1 и

сы = —1 + + г + |с — г + к +1) +[с- г + 1 + 1

* 1 1 ^0

где г - достаточно малое положительное число;

III) существует положительное число М0 такое, что

|р2с—2г (х) |V (х)|2 дх < М0ЯвВ [V, V]

О

для всех V е С (О).

Тогда для любого заданного функционала Г е (ж гр „(О)) и заданной функции

ф(х) е Ж^ (О) существует единственное решение и(х) е Ж-Та (О) задачи О и при этом выполняется оценка

где число М > 0 не зависит от Г и ф.

Доказательство теоремы 1 основано на следующих вспомогательных леммах.

Лемма 1. Пусть р > 1 и числа Хы определенные для мультииндексов

к, / (| к < г, 1/| < г, | к +1 < 2г — 1) такие, что 1а> 1,1/ ^ < 2/ р. Тогда для всех

и(х), V(х) е Ж^ (О) имеет место неравенство

где

а = —+

Яа

а — р +

Щ Н1 Р )

+

а — р +

И+1

Р)

е1 - достаточно малое положительное число.

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любой заданной функции ф(х)е Ж2а (О) функционал О, определённый равенством

(О, у) = — В [и, у] ,

принадлежит пространству

Ж Р,а

и при этом

О Р,а

< м

ф; ЖРа (О)\\,

где число М > 0 не зависит от Ф (х).

11 11

Если — <а< р--и целое число 5П такое, что р — а--< 5П < р — а Н—, то, согласно ре-

2 2 0 2 0 2

зультатам гл.10 монографии С.М.Никольского [6], для заданных граничных функций

1

(ps (х) е Вр2 (дО) ,5 = 0,1,., 50 — 1, найдётся функция Ф(х) е Ж2а (О) такая, что

д5 Ф

дп5

= 05, 5 = 0,1,., 50 — 1,

ЭО

где д / дп - производная по внутренней нормали. В этом случае задачу П можно сформулировать следующим образом

Задача В'. Для заданного функционала Г е функций

и заданного набора граничных

(х) е В2 2 (дО), 5 = 0,1,.,50 —1,

требуется найти решение и(х) уравнения (3) из пространства Ж2а (О), удовлетворяющее граничным условиям

д 5и

дп5

= ^5, 5 = 0,1,., 50 —1.

дО

V

С помощью теоремы 1 устанавливается следующий результат о разрешимости задачи О. Теорема 2. Пусть 0 <с< г — и пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого заданного функционала Г е (Ж гр „(О)) и заданного набора граничных функций (6) существует единственное решение и (х) задачи О и при этом справедливо неравенство

~u

I

ws; в2

где число М > 0 не зависит от выбора функционала Г и граничных функций (6).

Поступило 19.03.2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Исхоков С.А., Нематуллоев О.А. - ДАН РТ, 2012, т.55, №8, с.617-621.

2. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.,1980, 664 с.

3. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. - Известия вузов. Математика, 1988, №8, с.4-30.

4. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Ё. - Доклады РАН, 2005, т.403, №2, с.165-168.

5. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Ё. - ДАН РТ, 2008, т.51, №12, с.802-809.

6. Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения - 2-е изд. пе-рераб. - М.: Наука, 1977, 455 с.

7. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. - Доклады РАН, 2012, т. 443, №3, с.286-289.

8. Chipot M. Elements of Nonlinear Analysis. - Birkhauser Verlad, 2000.

С.А.Исхоков, О.А.Нематуллоев

ОИДИ ХДЛШАВАНДАГИИ МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БО ШАРТХОИ ГАЙРИЯКЧИНСАИ САР^АДЙ БАРОИ ОПЕРАТОР^ОИ ЭЛЛИПСИИ ТАНАЗЗУЛЁБАНДА ДАР СО^АИ МАВДУД

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола х,алшавандагии масъалаи вариатсионии Дирихле бо шартх,ои гайриякчинсаи сархддй барои як синфи операторх,ои эллипсии дарачаи олии дар сохди махдуд додашуда бо таназзулёбии дарачагй дар сархдд тадкик карда шудаааст. Тадкикот бо истифодаи нобароба-рии Гординг барои операторх,ои омухташаванда гузаронида шудааст. Дар баробари мавчудияти хдлли ягона нобаробарих,ои мувофик барои бах,о додани нормаи он исбот карда шудаанд.

Калима^ои калиди: масъалаи Дирихле - операторной эллипсй - шартуои сархадии гайриякцинса -таназзулёбии дарацагй.

S.A.Iskhokov, O.A.Nematulloev ON SOLVABILITY OF THE VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM WITH NONHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS FOR DEGENERATE ELLI PTIC OPERATORS IN A BOUNDED DOMAIN

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Solvability of the variational Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions for a class of the higher order elliptic operators in a bounded domain with power degeneracy on the boundary is investigated in the article. The investigation is based on an analogue of the Garding inequality for the class of operators under consideration. Along with existence of unique solution an associate inequalities for its norm are proved.

Key words: Dirichlet problem - elliptic operator - nonhomogeneous boundary condition - power degeneracy.