О почти периодических функциях со значениями в банаховом пространстве

УДК 517.4

М. В. Кретов

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ функциях СО ЗНАЧЕНИЯМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассматриваются некоторые свойства почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве.

Some properties of almost periodic functions with values in banach space are considered.

Ключевые слова: почти периодическая функция, банахово пространство, компактность, конечная е-сеть, последовательность, равномерная непрерывность, подпоследовательность, счетное всюду плотное множество.

Key words: almost periodic function, Banach space, compactness, finite e-net, sequence, uniform continuity, subsequence, countable dense set.

По аналогии со скалярной теорией почти периодических функций, изложенной в монографии Б. М. Левитана [1], введем понятие почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве и рассмотрим некоторые их свойства.

Определение 1. Непрерывная на всей действительной оси функция / со значениями в банаховом пространстве Е [2] называется почти периодической, если для любого е > 0 можно указать такое / = /(е) > 0, что в любом интервале длины I найдется хотя бы одно число т, для которого выполняется неравенство ||/(х + т) - /(а)|| < 8> г&е - любая точка действительной оси.

Теорема 1. Множество значений почти периодической функции f со значениями в банаховом пространстве E компактно.

Доказательство. Достаточно построить для множества значений почти периодической функции / конечную s-сеть для любого s > 0. Сначала докажем, что множество значений непрерывной функции f со значениями в банаховом пространстве на отрезке [0, Z] компактно. Так как множество точек отрезка действительной оси компактно, то из любой бесконечной последовательности точек отрезка xi, xi, ..., xn, ... можно выделить последовательность ti, ti, ..., tn, ..., сходящуюся к некоторой точке отрезка t0. В силу непрерывности функции f из любой бесконечной последовательности значений f (xi), f (xi), ..., f(xn), ... можно выделить

последовательность f (ti), f (ti), ..., f (tn), ..., сходящуюся к некоторому элементу f (to) пространства E. Это означает, что множество значений функции f со значениями в банаховом пространстве на конечном отрезке [0, /] компактно, поэтому для множества значений функции/можно для любого s>0 построить конечную s/2-сеть, то есть существует такое конечное множество а\, ai, ..., яд элементов из пространства Е таких, что для любого числа х из отрезка [0, /] найдется такой элемент aio, что выполняется неравенство ||/(.г)-я,о|<е/2.

Теперь докажем, что множество а\, ai, ..., яд — s-сеть для множества значений почти периодической функции /со значениями в пространстве Е, коща переменная х меняется на всей действительной оси. Для этого согласно определению 1 выберем ЧИСЛО I из (-.to, -.То + Г), для которого будет выполняться неравенство: ||/(х0+т)-/(х0)|| < s/2, где Jo — любая точка

действительной оси. Число а0 + т принадлежит [0, /], значит, имеет место

||/(*о) - ai0 II ^ ||/(л'о) - /(*о + т)|| + ||/(л'о + т) - % I < где aio — некоторый элемент из s-сети, который

удовлетворяет неравенству |/(х0

s / 2. Теорема доказана.

Следствие. Почти периодическая функция f со значениями в банаховом пространстве E ограничена.

Теорема 2. Почти периодическая функция f со значениями в банаховом пространстве равномерно непрерывна на всей действительной оси.

Доказательство. В отрезке [-1,1 + /] функция / равномерно непрерывна, то есть для любого действительного S > 0 существует такое ЧИСЛО 0 < 8 < 1, ЧТО ДЛЯ любых у\ И 1/2 из [-1,1 + /], удовлетворяющих неравенству |г/2 — г/i | с 5, выполняется неравенство ||/(г/2) - f(y, )|| с к / °>.

Пусть теперь jti и xi — любая пара действительных чисел, для которой выполняется неравенство |х2 -х,| < 5. Обозначим через т-е/3 почти период функции / который лежит в (-

Xi, -л' + Г). Так как выполняются |х2 - х, | < 8 и 0 < л', + т < /, то чт и) т принадлежат интервалу (- 1, 1 + l), поэтому

\\/(х2)-/(х1)Щ/(х2)-/(х2+т)\\ + \\/(х2+т)-/(х1+т)\\ + \\/(х1+т)-/(х1)\\<г.

Теорема доказана.

Определение 2. Непрерывная функция f со значениями в банаховом пространстве E называется почти периодической, если из любой бесконечной последовательности f (x + hi), f (x + h2), ..., f (x + hn), ... можно выбрать равномерно сходящуюся на всей действительной оси подпоследовательность.

Теорема 3. Определение 1 эквивалентно определению 2.

Доказательство. Пусть функция f со значениями в пространстве E является почти периодической функцией согласно определению 1. Докажем, что она почти периодична по определению 2. Из теоремы 1 следует, что множество значений функции f компактно, значит, из любой бесконечной последовательности f(x + hi), f(x + Ih), ..., f(x + h„), ... можно выделить сходящуюся подпоследовательность /(.V + /г |), f(x + h2), ..., f(x + h'„), ... при каждом

действительном x.

Покажем, что из последовательности f(x + h1), f(x + h2), ..., f(x + hn), ... можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Применим диагональный процесс. Обозначим через xi, x2, ..., xn, ... счетное всюду плотное множество действительных чисел. По теореме 1, из последовательности f (xi + hi), f (xi + h2), ..., f (xi + hn), ... можно выбрать сходящуюся

подпоследовательность f (xi + hii), f (xi + hi2), ..., f (xi + hin), ... . Аналогично из последовательности f (x2 + hii), f (x2 + hi2), ..., f (x2 + hin), ... можно выбрать сходящуюся подпоследовательность f (x2 + h2i), f (x2 + h22), ., f (x2 + h2n), . и так далее. Рассмотрим теперь диагональную последовательность

f

Покажем, что последовательность (1) сходится во всех точках счетного всюду плотного множества. Если xk — произвольная точка из такого множества, то, согласно нашей конструкции, последовательность

f

сходится, причем при n > k и x = xk все члены последовательности (1) входят также в последовательность (2), поэтому последовательность (1) сходится в любой точке xk.

Покажем теперь, что последовательность (1) сходится равномерно на всей действительной оси. Пусть Jo - произвольное действительное число же— произвольное (сколь угодно малое) положительное число. Выберем число 1 = 1(е/5) согласно определению 1 и число 5 = 5(s/5) согласно теореме 2. Интервал [0, /] покроем р интервалами длины 5 и в каждом из них выберем точку из счетного всюду плотного множества. Обозначим выбранные точки через \j\, yi, ..., yv. При фиксированном е, р — также фиксировано, поэтому из сходимости последовательности (1) в точках yi ., Ур следует, что можно указать большое целое число N, что для любых чисел r, s > N

будут выполняться неравенства:

WfiVi +К )-f

Пусть т - s /5 — почти период функции f заключенный в интервале (-Jo, - Jo + Г). Тогда число у0 = Jq + т лежит в интервале (О, Г), при некотором i имеет место неравенство \у, - у{]\ < о, и по теореме 2

\\f

Из неравенств (3) и (4) получаем: ||/(а0 + Kr)~ f(xo + ^ss)|| < s-

Так как число N не зависит от Jo, а s и Jo были выбраны произвольно, то последовательность (1) сходится равномерно для всех действительных чисел.

Обратно. Пусть теперь функция f является почти периодической функцией согласно определению 2. Докажем, что эта функция будет почти периодической функцией по определению 1. Предположим противное, то есть что для некоторого s = е0 нельзя указать соответствующую длину 1 (е0). Это означает, что существует последовательность интервалов L\, L2, ..., L„, ..., длины которых г |, г2, ..., гп,    неограниченно растут, так что ни в одном из интервалов L„ нет е0 — почти периодов функции /. Пусть Zii — произвольное действительное число И ЧИСЛО hl

такое, что разность I12 - hi лежит в интервале LVj = L1. Выбираем L,2 так, что г,2 > |/г2 - /г, | и число Нз так, чтобы разности fe - /ii и fe - 1ь лежали в . Далее выбираем интервал L из условия

rj} > max (|h2 -l\ |, |A, -h21, |A, -Aj) и число /?4 таким, чтобы числа 1и -Hi, Ы - hi, Ы - fe лежали в LVi. Вообще интервал Lv выбираем так, что г > птах «г.. - /гу| и /г„ +1 так, чтобы разности /г„ +1 -

" n<v,n,ve[l,H] 1 Ц

1гт (m = 1, 2, ..., и) лежали в Lv . Покажем, что из последовательности /(.t + hi), f(x + hi), г + h„),... нельзя выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Действительно,

sup ||/(дг + hni) - f{x + h„2 )|| = sup ||/(.t + h,h- h„2) - fix)\\ > 80,

-oo<x<+co -co<X<+oo

так как по построению все разности h,h - /г,ь (щ < ni) принадлежат Lv и ни одно из чисел этого

интервала не является е0 — почти периодом функции /. Получили противоречие. Теорема доказана.

Почти периодические функции со значениями в банаховом пространстве обладают следующими простыми свойствами:

1. Если функция fix) — почти периодическая функция, то функции схfix) и f(x + с), где с — действительное число, а — комплексное число, также почти периодические функции.

2. Сумма почти периодических функций есть также почти периодическая функция.

3. Предел f (x) равномерно сходящейся последовательности почти периодических функций fi(x),fi(x), ..., fn(x), ... является почти периодической функцией.

Список литературы

i. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М., 1953.

1. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 1968.

Об авторе

М. В. Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: kretov10061006@yandex.ru

Author

Dr M. V. Kretov — assistant professor, IKSUR, e-mail: kretov20062006 @yandex.ru