Влияние электрического поля на резонансы в системе нанослоев

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА РЕЗОНАНСЫ В

СИСТЕМЕ НАНОСЛОЕВ

Л.В. Гортинская Научный руководитель - д.ф.-м.н, профессор И.Ю. Попов

В статье рассматривается система нанослоев, связанных через систему отверстий. Изучается влияние поперечного электрического поля на сдвиг резонанса. Используется асимптотический метод согласования решений краевых задач.

Введение

В настоящее время одной из задач наноэлектроники стала проблема создания элементов квантового компьютера. Существуют различные пути ее решения [1, 2]. Один из них базируется на использовании квантовых точек, волноводов и нанослоев. В этом случае становится важным описать транспорт баллистического электрона в системе и способы управления им.

Рассматривается система с чередующимися магнитными и немагнитными слоями. Решающую роль играет зависимость транспортных свойств от спина электрона. Это связано с тем, что в ферромагнитном слое уровни для электронов с различной ориентацией спинов относительно магнитных моментов данных слоев не совпадают. В результате, например, электрон в немагнитном слое со спином, параллельным (антипараллельным) намагниченности, может слабо (или, наоборот, сильно) отражаться от соответствующего магнитного слоя. Характер отражения определяется наличием в магнитном слое свободных уровней для данного электрона. С математической точки зрения тип отражения связан с видом условия для волновой функции на границе слоев (сильное отражение отвечает условию Дирихле). В свою очередь, направления намагничен-ностей обусловлены межслоевым взаимодействием и могут быть как ферромагнитными (у всех слоев одинаковыми), так и анти-ферромагнитными (перемежающимися) [2].

Следует отметить, что малые возмущения (разрывы или примеси в магнитных слоях и т.п.) могут оказывать сильное влияние на электронный транспорт из-за наличия резонансных эффектов. Рассматривается баллистический транспорт электрона в нанос-лоях, связанных через малые отверстия, моделирующие возмущения. Получены характеристики резонансного рассеяния на данных малых возмущениях.

Внешнее электрическое поле позволяет контролировать резонансные параметры, т.е. электронный транспорт. Внешнее электрическое поле можно рассматривать как нулевое приближение двухэлектронной задачи (т.е. данное поле есть среднее поле, созданное вторым электроном). Подобная система с двумя электронами может быть моделью двухкубитового квантового вентиля.

Резонанс без электрического поля

Рассмотрим систему двух нанослоев слоев Q± шириной d± с жесткими границами, связанных через n малых отверстий различной формы ф = аФ (преобразование подобия с коэффициентом a из набора aq, q = 1,...,n), область coq радиуса 1, центры отверстий в точках xq, xq e{(x15 x2,0), xt e , расположенных на границе слоев. Форма отверстий определяет гармоническую емкость C / (коэффициент при 1 в асимптотике на

ф r

бесконечности решения уравнения Лапласа, обращающегося в 1 на площадке Ф ) [3].

Для определения квазисобственного значения необходимо решить уравнение Гельмгольца с граничными условиями Неймана в соответствующей области:

Лу + | Л к = 0,

ду

дп

= 0.

дО

Нижняя граница непрерывного спектра оператора Лапласа (-Л) с граничными условиями Неймана равна нулю (для условий Дирихле она больше нуля) [4]. Граница-

2 о- 2 2

_ . п п п Л;Г

ми непрерывного спектра в этом случае будут значения Л п =-—. Мы рассмотрим

2тё

квазисобственные значения к2а = ^- Ла, близкие ко второму порогу п (Л1 = П П 2 ).

к /+2 2т/

Точнее, найдем коэффициенты т1 и т2 в следующем асимптотическом разложении, где

а - малый параметр (то, что вид разложения выбран удачно, выясняется при проведении согласования асимптотических разложений):

1п-1 ^/п2 -Л2б/2 = т1а + т2а2 + ....

Функция Грина для уравнения Гельмгольца с граничным условием Неймана для слоя в трехмерном пространстве известна:

С ± ((^ х, Хз),(у^ у 2, Уз), к ) = 2

п=0 /±

х3пп у3пп -сое——сое- 3

4

Н

0

, 2 2 п п

/±2

к2л](х -У1)2 + (Х2 -У2)2

где 8П 0 - символ Кронекера (£и0 = 1, при п = 0, в остальных случаях дп0 = 0), точка Х задается своими декартовыми координатами Х1, Х2, Х3. Асимптотики функций Грина в окрестности особенности для спектрального параметра, близкого к порогу, учитывая, что /+ > , запишем следующим образом:

1

С + (х, 0, к) =--— 1пЛп2 - к2/+2 + -

+ Е +(х, к ),

1

С

где е + (х, к) и е (х,к) - функции, не имеющие особенностей при х еО+иП и для

к 2 из окрестности

7Г

Выберем вид асимптотического разложения для квазисобственной функции ща (х) следующим образом:

г _( п Л

±Ь01пп2 - к] /+2 аС (х, хг, ка) + 2 аС (х, хд, ка) +..., х еО±\$га,

У а (х) = 1

д=1,д Фг

и\ (х/а) + м2 (х/а)а + ..., х е 5

л/0"'

где 5 - шар радиуса t с центром в центре г-го отверстия, Ь0, ад - некоторые коэффициенты. Сделаем замену переменных х = |а, || = р, и выделим в полученных выражениях члены одинакового порядка. Процедура склеивания асимптотических разложений заключается в выборе функций и^ (х/а), удовлетворяющих уравнению Лапласа с граничными условиями Неймана, таких, чтобы члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях были равны. Для согласования членов старшего порядка (чтобы найти т1) можно взять функцию иг1 (|) в виде

u (f)=!

T +-L

C п 2np

- f~,f< 0 2np

Здесь С^ - емкость /-го отверстия. В результате для случая п соединяющих отверстий т1 дается выражением (случай й+ = й = ё рассмотрен аналогично):

Т = i

1 n

— V Ci, d+> d ,

u+ i=i 2n

—V Ci, d+ = d = d, dtf + -

U 2(f) = \

Для нахождения т2 выбирается обеспечивающая согласование коэффициентов при первой степени а функция и12(х/а) в окрестности каждого из отверстий:

-(п) т2 + (2лр)1 т2 + А',£> 0

~(2хру1т2 + А'0

где А - некоторая константа, определяемая в процессе вычислений. Процедура согласования показывает, что Т2 является собственным числом матрицы Г = {у{ }:

у,/ =~тпСё (е + (0, к) + е- (0, к))|

уич = -ТпС^

к=nd+

В случае одинаковых волноводов данная матрица имеет вид

Yi = -2TnCj g(0,к ) |к=м,

Y- = -т

' ',q 1

7tCd

к=nd+

Сдвиг нижней границы непрерывного спектра под влиянием электрического поля

Рассмотрим систему нанослоев, описанную выше, под действием поперечного электрического (направленного перпендикулярно плоскости слоев) поля напряженности Fz. В этом случае уравнение системы изменится (в сравнении с (1)) и будет выглядеть следующим образом:

+ f (Л + F,)V== 0, ^ h dn

= 0.

3Q

Л'

В уравнении (7) сделаем замену переменных: t = I z +— I p3, где p =

2mF

. В ре-

V ^ / ' * к2

зультате мы получим уравнение Эйри у/" (t) + у( t) = 0, решение которого имеет вид

у ^) = сЛ1 (—) + (—) ,(8) где Л1 (^),Б1 (—) - функции Эйри, с,ё - некоторые константы. Будем искать константы из (8), воспользовавшись условиями Неймана, а именно, у' ( = 0) = у'( = ё) = 0, где ё - ширина нанослоя. Найдем производную функции (8):

wZ

Л

z+F Jp

л

f

= -cAi '

Л

л

vT+F Jp,

f

- dBi '

-Iz+TIp

л

и учтем условия Неймана:

W'z (z = 0) = -cAi' Выразим отсюда константу d : cAi'

( х 1 1

~Fp 3 ,

V 1

- dBi'

( х 3 i

~Fp 3,

V 1

= 0.

d=-

Bi'

( х \ 1 —p

у F J

( х 3 V

Fp 3,

V 1 J

Из второго условия Неймана и уравнения (9) получим:

y/'z(z = d ) = cAi'

( х 3 i (

V 1 J

Bi'

х

3

1d + F J P3

- cBi'

( х 3 i (

V 1 J

Ai'

х

3

1d + F JP3

Пользуясь асимптотиками производных функции Эйри:

3

+14 sin

1 -5

Bi'(-t) = 41 4 cos

in 3 „Л 1 2 - п — t2 + —

in 3 „Л 2 - п

—t2 + —

1

f

Ai'(-t ) = Tt

sin

2 2 п -t2 +

J

1 3

-14 cos

V"

in 3 ^

2 - п -t2 + —

3 4

V J J

х 3

х'

и введя новые переменные t0 = t = — p3, td = t =1 d +— I p

'z=0 f V F J

n 2 2 п

P= 3 ^ + —. получим:

( 15 3 Y 15 3 1

I - 410 4COS«-t04sinail - 4 td 4 sin e + td 4 cos в J-

( 15 3 V 15 3 1 .

-I - 410 4sina + t04COs«li- 4 td 4 cos в-td 4 sin в J = 0

Упростим (11):

( 1 _ 5 _ 5 11 1 1 ( _ 5 3 1 _ 5 1

V 16 t^4td 4 +104td4 Jsin (в - ^ - 41t^4td4 -104^4 J cos (в - ^ = 0.

Разделив (12) на

_3 _3 td " 410-4

cos

получим

tg (в-а) =

41 t^2 - td 2

V2 ti2 +16

В уравнении (13) вернемся к прежним переменным:

( (

2

4 3 0 4

tg

( 3 ,3 Л

2 12 + п- 2 12 - п 1 А ~Г in

= tg

d + — I p3 F 1

х 3 — p

F

(

= tg

= tg

V v

( 3 3 11

d + х1 ' -(х13

F J V F J

3 Л1

/ J

— p 3

к v

(p 1 d х211 +

(

= tg

Tp21 T7

х 12 dF ( 3 3 dF

х V 2 + 8"х

= 0

2 2 п a = —102 +—.

3 0 4

1 1

Введем переменную у = р2ёЛ2, тогда

( Л

( ¿г Л ХёГ +Хё {Г4л) ( ¿Г Л( ¿Г Л

1 -^ётЩ

4Л

откуда 1ё2 у + ,','.* +1 = 0 . Решая получившееся квадратное уравнение, получим:

ёГу 2Л

ёГу \

( 2Л Л2

V ёГУ у

-1 =-

2Л

1 + , 1 -

Л

2Л

Используем разложение в ряд Тейлора:

ЧУ = -

2Л 1 (ёГу

ёГу 2 V 2Л

ёГу

"7Х

= ёГу = ёГ

Отсюда видно, что нижняя граница непрерывного спектра при наличии поперечного электрического поля смещается от 0 (без электрического поля) в отрицательную

область и равна Х0 = .

Для поиска второго порога в уравнении (14) используем формулу приведения:

ёГу

1ё (ж-г) = --

4Л

ёГу 1

отсюда получим ж-у =--, ж =--т=- = р2ал2.

4Л

1 + — 4Л

Следовательно, для поиска второго порога необходимо решить квадратное урав-

нение

ж

М ¿г

л--р 2Х2 +— = 0.

ё 4

Асимптотика резонанса в случае поперечного электрического поля

Запишем функцию Грина для уравнения (7) с граничными условиями Неймана

со 2

Оп±

п=0 ё±

4-1 /Я01) [ ¡4 Х- к Ч( х - У1)2 + (х2 - У2)2 1,

где Х = Пп2ё±2. Запишем асимптотики функций Грина в окрестности особенности для спектрального параметра, близкого ко второму порогу Л, учитывая, что ё+ > ё- :

О + (х, 0, к) = -ж 1ё+ у

( Л 1Л

V 1 У

1п^/ Л-к2 + (2ж | х |)-1 + е + (х, к),

О - (х, 0, к) = (2ж|х |)-1 + е -(х, к),

где е + (х, к) и е- (х, к) - функции, не имеющие особенностей при х еОиО- и для к2 из окрестности Л .

Будем искать асимптотики резонанса в виде 1п-1 Л - к2 = т1а + т2а2 + ... Как и ранее, выберем вид асимптотического разложения для квазисобственной функции уа (х) следующим образом:

_( п Л

±Ь 1пл, - к2 аС± (х, хг, ка) + 2 ачС+- (х, хд, ка) +..., х е О±\5' ,

У а (х) = 1

д=1,д Ф1

и1 (х/а) + и2 (х/а)а +..., х е ^, Проводя процедуру склеивания решений, описанную выше, получим

Т =1

2 су

г =1

°2СУ2

г =1

V (

Л 1 — р3

1

У

1 Л

Л 3 — р3

V 1 У

/+ > /

/, = / = /,

Т2 является собственным числом матрицы Г = д}: ^ =-Т1пСю, (е + (0,к) + Е- (0,к)) |=п+

уич = -т1пСог

к=п/+

Теперь найдем асимптотику функции у2 формулой (8) и асимптотиками функций Эйри:

( л 1 л Тр \

V 7 У

при Р ^ 0, воспользовавшись

Г

У

л 3 —р

V 7 У

Л (

= с„

1 -3 — t 2 БШ

4

Го 3 „Л /

V

2 2 п -г2 +-

V"

СОБ

2 2 п -г2 + —

- СОБ

2 2 п — г2 + —

ЛЛ

УУ

(

-с.

V

1 -2 —t 2 б1п 4

2 2 п

— г2 + —

Л

V

СОБ

2 2 п — г2 + —

- Бт2

2 2 п

— г2 + —

Л

= -с„

Для вычисления с вычислим норму, откуда получим сп =

УУ 1

/

Перейдем к цилиндрическим функциям. Известно, что УП ^ (4у2 -1)(4У2 -9)Л

Л( х) =

соб х --

32 (2 х )2

У

. ( уп п

- БШ | х----

V 2 4,

8 х

Выразим функции Эйри через указанную функцию Бесселя:

в)=37-3-

А (-t )= 3Гг

( Го 3Л

• 1

V 3

^2

V3 У

1

Го 3 ^Л 212

V3 УУ

3

( (о 3 Л (0 3 ЛЛ '

• 1

V 3

2 2 -t2

V3 У

1

2 12

V3 УУ

Напишем асимптотическое представление функций Эйри, используя указанные представления:

Ai (-t ) t Bi (-t ) t

Sin

cos

in 3 ^

V3 4

f 2 3 n

2 т П -t2 +—

Л 5 -f

--1 2 cos

У 48

Л 5 -2 +--1 2 sin

in 3 „Л

2 2 П -t2 + —

' У

48

V

f 2 3 n

2 2 n -t2 + —

3 4

V J V

Известно, что \y1 (-t0) = cn (Bi(-t0) Ai'(-t0)-Ai(-t0)Bi'(-t0)) . Из (17) найдем Ai'(-z ),Bi'(-z ):

f О 3 Л 1 f 2 3 „Лет 11 С 5 f 0 3 _Л

-14 cos -1

1

Ai'(-t ) -1

sin

2 A n — t2 + —

1 -5

Bi'(-t) -t 4 cos 4

f 2 3 Л 1 2 2 П -t2 + — 34

y

5 •7-t 11 4 5

4 У 4 • 48 48

П 5 +— •7 t 11 4 5

4 y 4 48 48

2 2 n —t2 + —

2 3 П

_i 2 -I--

Подставив (17) и (18) в \y1 (-t0) = cn (Bi(-t0)Ai'(-t0)-Ai(-t0)Bi'(-t0)), получим:

/ 4 1 f , 5 • 7-11 3 Л

^ ^tJ1-1 - "5F" 1-s y

1 f 2 • 5 • 7-11 - Л

В результате получим ^f (-t) = — I 1 +--—— tI, подставив в (16), получим

n 1

£ С, — 1=1 * d+

(

1 + -

2 • 5•77

482

f f л

v4 У

3^

n

£ С i -^ * d

f

,=1

1+-

2 • 5•77

482

f F л

v4 У

3

d, > d

d, = d = d,

Из анализа формулы видно, что при Г = 0 получаем формулу (5), т.е. случай без электрического поля.

Заключение

В работе показана возможность управления резонансными эффектами при баллистическом электронном транспорте в слоистой наноструктуре с помощью внешнего поперечного электрического поля. Найден сдвиг нижней границы непрерывного спектра под влиянием однородного электрического поля, вычислены асимптотики резонан-сов, проведено сравнение со случаем отсутствия электрического поля и обоснована принципиальная возможность создания квантового вентиля для выполнения базовых операций при квантовых вычислениях.

Работа поддержана грантом РФФИ 05-03-32576.

Литература

1. Kunze Ch. 1993 Leaky and mutually coupled quantum wires, Phys. Rev. B 48, 1433814346.

2. Meindl J.D. 1995 Low Power Microelectronics: retrospect and prospect, Proc. IEEE 83, (4), 619-635.

3. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. Москва, Наука, 1966

4. Arsen'ev A.A. 2003 Resonance scattering in quantum wavequides. Math. sb. 194, 3-22.