Моделирование локализованной неупругой деформации на мезоуровне с учетом локальной кривизны кристаллической решетки в рамках несимметричной теории Коссера

УДК 539.3

Моделирование локализованной неупругой деформации на мезоуровне с учетом локальной кривизны кристаллической решетки в рамках

несимметричной теории Коссера

П.В. Макаров1'2, Р.А. Бакеев12, И.Ю. Смолин1,2

1 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия 2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

В рамках несимметричной теории упругопластического континуума Коссера в двухмерной постановке для плоской деформации выполнено моделирование неупругой локализованной деформации для однородных образцов и мезообъемов поликристаллического материала. Предполагается, что развитие ротационных мод деформации в нагружаемых материалах связано с развитием локализованной пластической деформации и формированием в материале на микро- и наноуровнях изгибов-кручений кристаллической решетки. По этой причине параметры моментной модели рассматриваются как функции неупругой деформации для каждого локального мезообъема среды. Показано, что наблюдаемое упрочнение на параболической стадии в значительной степени может быть связано с развитием в деформируемом материале ротационных мод деформации, изгибов-кручений и моментных напряжений. Результаты моделирования показали, что если в нагружаемом материале блокируются поворотные моды деформации, то снижается аккомодационная способность материала, резко возрастает локальная и макроскопическая степень неупругой деформации и существенно быстрее формируются структуры разрушения. И наоборот, формирование в материале мезо- и наноразмерных субструктур с высокой кривизной кристаллической решетки способствует активизации ротационных мод деформации, снижению степени локализованной деформации и релаксации опасных концентраторов напряжений.

Ключевые слова: среда Коссера, кривизна кристаллической решетки, локализация пластической деформации, численное моделирование, мезоуровень

DOI 10.24411/1683-805X-2019-14003

Modeling of localized inelastic deformation at the mesoscale with account for the local lattice curvature in the framework of the asymmetric Cosserat theory

P.V. Makarov12, R.A. Bakeev12, and I.Yu. Smolin12

1 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia 2 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

In the paper, inelastic strain localization in homogeneous specimens and mesovolumes of a polycrystalline material is modeled based on the asymmetric theory of an elastoplastic Cosserat continuum in a two-dimensional formulation for plane strain. It is assumed that rotational deformation in loaded materials occurs due to the development of localized plastic deformation as well as bending and torsion of the material lattice at the micro- and nanoscale levels. For this reason, the parameters of the moment model are considered as functions of inelastic strain for each local mesovolume of the continuum. It is shown that the observed parabolic hardening can be attributed to a large extent to the development of rotational deformation modes, bending and torsion, and appearance of couple stresses in the loaded material. The modeling results indicate that if rotational deformation is stopped in the loaded material, its accommodation capacity decreases, the local and macroscopic inelastic strains sharply increase, leading to a much more rapid formation of fracture structures. Conversely, the formation of meso- and nanoscale substructures with high lattice curvature in materials promotes the activation of rotational deformation modes, reduction of localized strains, and relaxation of stress concentrators.

Keywords: Cosserat continuum, lattice curvature, plastic strain localization, numerical modeling, mesoscale

1. Введение

Потребности техники в материалах, обладающих повышенными механическими характеристиками, сти-

© Макаров П.В., Бакеев P.A., Смолин И.Ю., 2019

мулируют разработку новых методов создания в материалах иерархических многомасштабных мезосуб-структур, существенно повышающих их прочность,

износостойкость, усталостную долговечность. Остро стоит проблема сохранения высоких прочностных характеристик конструкционных материалов, прежде всего сталей, при низких температурах для изготовления изделий, работающих в условиях Крайнего Севера. Для этих целей широко используются различные методы предварительной интенсивной пластической деформации: прокатка, равноканальное угловое прессование, механическая активация в планетарных мельницах и др. [1-6]. В последние годы интенсивно развивается технология поперечно-винтовой прокатки для создания в материалах иерархических мезосубструктур, что существенно повышает их эксплуатационные характеристики [3].

Эти методы позволяют создать в материалах структурные состояния с высокой кривизной кристаллической решетки. Многочисленные исследования структурных состояний в полосах локализованной деформации также показали, что формирующиеся субмикрокристаллические и нанокристаллические структуры обладают высокими значениями локальной кривизны кристаллической решетки [4-6]. Авторы [4] выделяют два типа структурных состояний: 1) субструктура с упругоплас-тической кривизной кристаллической решетки в десятки градусов на микрометр; 2) состояние с упругой кривизной решетки до нескольких сотен градусов на микрометр. Первая субструктура формируется в процессе накопления высокой плотности избыточных дислокаций одного знака. Вторая субструктура формируется в нанообъемах, размеры которых не превышают несколько нанометров. В таких структурных состояниях наблюдается активизация новых, в том числе сугубо недислокационных мод неупругой деформации типа квазивязкого массопереноса [4]. Эти результаты свидетельствуют о развитии в нагружаемых материалах в области локализованной деформации поворотов мезо-и наномасштабов. Подобная локальная неоднородность деформированного состояния материалов на мезо- и наноуровнях приводит к неверным оценкам макроскопической деформации при ее описании в рамках классических теорий пластичности, которые не принимают во внимание особые структурные состояния мезо- и наноуровней, обусловленные высокой кривизной кристаллической решетки и развитием в материалах ротационных мод деформаций.

В геосредах структурная неоднородность также может в ряде случаев приводить к поворотам фрагментов-блоков различных масштабов [7, 8]. Реальные геосреды представляют собой многомасштабные иерархически организованные блочные системы. Анализ многочисленных данных наблюдений по распределению размеров блоков показал, что в среднем каждый последующий масштаб есть сумма двух предыдущих масштабов: = Ln + [9, 10]. Эта закономерность яв-

ляется универсальной и с высокой точностью выполняется для всех материалов при их разрушении. По этому закону, например, распределены как пылевые частицы, так и более крупные элементы разрушаемой среды [9]. По этому же закону распределены не только размеры дефектов в металлических материалах при их пластическом деформировании, но и энергии их образования. Размеры каждого блока в трех измерениях неодинаковы и также отвечают этому универсальному принципу [9]. По этой причине при развитой неупругой деформации нагружаемых сред возможны повороты подобных образований как целых, которые необходимо учитывать в математических моделях. В работе [7] рассматривают вариант блочной геосреды, состоящей из прочных упругих блоков, разделенных менее прочными пластичными прослойками. При нагружении такой структуры отдельные блоки за счет неупругой деформации прослоек могут поворачиваться как целые. Авторы [7] численно изучают макроскопическую деформацию такой среды на основе варианта теории ортотропного континуума Коссера. В случае классического упругого континуума Коссера [11, 12] в рассмотрение вводятся шесть степеней свободы — три смещения и три поворота. Этот подход позволяет в рамках упругой модели усредненно учесть малые фактически неупругие эффекты. Различным вариантам этой модели посвящена обширная литература [13-20]. Выполнены экперимен-ты по определению упругих модулей, связанных с ротацией [21-23]. Современные данные по изучению ротационных механизмов развития локализованной деформации, обусловленных локальной кривизной кристаллической решетки, вызвали интерес к моделям упру-гопластического деформирования, явно учитывающим ротационные моды деформации [1-6, 24, 25]. Варианты моделей, учитывающие вращательные степени свободы, применяются для гранулированных сред [26].

2. Математическая модель упругопластической среды с независимыми поворотами

Рассматривается среда в общем случае с шестью степенями свободы для каждой конечной частицы среды. В рассмотрение вводятся три перемещения и = [щ} и три независимых поворота ю= [<ю.}. Характерной особенностью такой среды является то, что на соответствующем иерархическом уровне необходимо вводить в рассмотрение свой характерный масштаб l объема среды, испытывающий поворот ю [27-31]. В классической среде с трансляциями и для бесконечно малых частиц возможны только центральные взаимодействия, исключающие независимые повороты. Мы также говорим о независимом повороте ю, имея в виду его кардинальное отличие от поворотов Q = 1/2 rot и. Повороты Q обусловлены тем, что любое движение может быть представлено как перемещение и пово-

рот. В случае деформируемой среды тензор дисторсии в/ = дщ/Эх7' = иI / может быть разложен на два слагаемых — симметричную деформацию в/ и антисимметричный тензор поворотов Ц:

Р/ = и,' = \frij + ии) + \

По этой причине повороты Ц всегда присутствуют в деформируемой среде. Развитие в среде независимых поворотов ш обусловлено либо наличием определенных внешних воздействий (массовых моментов, поверхностных моментов), либо наличием внутреннего движения — внутренних некомпенсированных моментов, генерирующих независимые повороты отдельных структурных элементов размерами I. Именно такие независимые повороты ш приводят к наблюдаемым в экспериментах изгибам-кручениям кристаллической решетки. В частности, недостаток активных систем скольжения приводит к локальным поворотам отдельных мезообъемов деформируемого материала (рис. 1).

Как известно [11-13, 16], в среде с независимыми поворотами локальных объемов развиваются как несимметричные силовые напряжения а / Ф а/7, так и моментные напряжения Ц/ ФцТеория деформаций такой среды учитывает как несимметричные деформации у / Ф у у, так и изгибы кручения к, определяемые градиентами независимых поворотов ш.

Запишем уравнения несимметричной теории упругости с вектором независимых поворотов ш = {шк}, к = = 1, 2, 3 в обозначениях [12]. Компоненты несимметричного тензора деформаций записываются в виде

Уп = К/ -8Щшк'

где 8' — компоненты тензора Леви-Чивиты.

С учетом (1) обобщенную несимметричную деформацию у •• можно представить в виде

у л = и,/-8 = + и/ ,••)+2(ии - и/ ^ -

- 8кщшк = вл -

где компоненты вектора зависимых поворотов Цк определяются выражением Ц к = -1/2 иа,р8арк.

Также несимметричные компоненты тензора изгибов-кручений записываются в виде

кл = •

Таким образом, обобщенная несимметричная деформация у л согласно (3) состоит из двух слагаемых — обычной симметричной деформации в/ и антисимметричной части. Эта несимметричная составляющая деформации определяется разностью поворотов Ц = = 1/2 го! и и независимого поворота ш. Независимые повороты ш порождают несимметричную часть силовых напряжений, а их градиенты приводят к изгибам-кручениям локальных областей среды (4) и к развитию в материале моментных напряжений.

Рис. 1. Схема деформирования при одной активной системе скольжения приводит к повороту этой части деформируемого материала

Следуя [12, 30], уравнения движения элементов среды при наличии в ней изгибов-кручений, несимметричных силовых и внутренних моментных напряжений запишем в виде

а л, / =Ри i,

^ ß,j + 8 ijk о jk = Jij ö j •

Здесь 3/ — компоненты тензора момента инерции микрочастиц, вовлеченных в повороты [12-14].

Определяющие уравнения для силовых и момент-ных напряжений для изотропной среды, обладающей центральной симметрией, записываются в виде

Ол = Хукк8/ +

Ц/ = РК кк8/ +

где X и ц — коэффициенты Ламе; а, в, у, 8 — новые «упругие модули», их смысл будет уточнен в дальнейшем изложении.

Для случая плоской двумерной деформации записанные уравнения (2)-(8) существенно упрощаются. В этом случае остаются только два перемещения и1, и 2 (и3 = 0) и один независимый поворот ш3 Ф 0, получается следующая система уравнений.

1. Уравнения для плоского деформированного состояния

= ди1 = = ди 2 =

Ун = и1Д' У22 "ТГ = К2,2, дх дх

ди2

Y12 =^ТТ-ö3 = u2,1 -ö3> dx

du

Y 21 =—Г + ö3 = ui,2 + ö3> dx

= dö3 = = 9ö3 =

K13 = = ö3,1, K23 = ^TT = ö3,2 •

Эх1

Эх 2

2. Силовые и моментные напряжения можно представить в следующем виде:

°11 ст12 0 0 0 Mi3

о = СТ21 СТ22 0 > Ц = 0 0 Ц23

0 0 ст33 Мз1 ^32 0

3. Несимметричные силовые и моментные напряжения связаны с деформациями, поворотами и изгибами-кручениями следующим образом:

СТ11 = ^кк + 2ТО 1. СТ22 = ^кк + 22 > СТ33 = ^кк,

ст12 =

СТ21 = (ц + а)у 21 + (Ц-«)У12 = = (ц+а)(и2 +ю3) + (ц — а)(и21 — ю3),

Ц31 =

Силовые напряжения ст33 в (12) и моментные напряжения ц31 и ц32 (14) необходимы, чтобы течение оставалось двумерным плоским. Таким образом, наличие нового параметра («упругого модуля») а в (12) приводит к нарушению симметрии силовых напряжений: ст12 ф фст21, а новые «упругие модули» у и е в (13) и (14) определяют развитие в среде моментных напряжений. Моментные напряжения возникают в деформируемой среде при развитии в ней заметных изгибов-кручений кристаллической решетки. Так как заметная кривизна кристаллической решетки наблюдается только при интенсивных пластических деформациях в полосах локализованного сдвига, то параметры а, у, е, строго говоря, не являются упругими модулями, а являются некоторыми функциями степени локализованной неупругой деформации. Все попытки определения этих параметров на основе регистрации гипотетических упругих волн изгибов-кручений, распространяющихся на макроскопических масштабах, с использованием «упругих модулей» а, у, е для определения скоростей распространения волн не привели к успеху. Эти параметры можно рассматривать как «упругие модули» только с формальной точки зрения в рамках соответствующих модельных представлений. Они определяют поворотные моды деформации и фактически отражают в рамках несимметричной теории степень локальной кривизны кристаллической решетки, а значит, могут быть оценены по ее измерениям [4].

Уравнения движения, выражающие законы сохранения количества движения (5), моментов количества движения (6), закон сохранения массы и уравнение баланса энергии для баротропной среды при отсутствии тепловых потоков для плоского двумерного течения в

представлении Лагранжа примут вид

Р^ = Р<Л,

ст11,1 + СТ21,2 = Р"1> ст12,1 + ст22,2 = Ри2>

ст12 — СТ21 +

Е = стцец + ^12е12 + ст21е 21 + СТ22е 22 +

+ М-13К13 +Ц23К 23-

В уравнении (17) J = р12 — плотность момента инерции частиц, вовлеченных в повороты.

Так как среда баротропна, система уравнений замкнута без привлечения уравнения баланса энергии (18). В данном случае уравнение (18) позволяет рассчитать работу силовых и моментных напряжений, совершаемую на деформациях и изгибах-кручениях. Сравнение работы напряжений на деформациях для классической симметричной теории с работой при развитии в материале несимметричных напряжений и изгибов-кручений позволяет учесть вклады моментных напряжений в экспериментально наблюдаемые ст-е-диаграммы.

Для распространения упругой модели с ротациями и моментными напряжениями на случай упругопласти-ческого деформирования представим полные деформации и изгибы кручения как суммы их упругих и пластических составляющих:

^ =Уе-г +ур-, 4 = 4 + 4.

Определяющие уравнения (12)-(14) запишем в релаксационной форме для скоростей напряжений, деформаций и изгибов-кручений:

ст 11 =МУ кк —У Рк) + 2М-(Уп —У1Р1),

ст 22 = ^ кк — УРк) + 2ц(У 22 — У22)>

ст 12 = (Ц + а)(у^2 —ур2) + (Ц — а)(у 21 — у р1),

ст 21 = (Ц + а)(у 21 — у 21) + (Ц — а)(^2 — ур2),

Ц13 = (У+е)(к 13 — кр3), (Ц23 = (у + е)(к— Ку,

Ц31 = (У — е)(к 13 — кр3), Ц32 = (у — е)(к^ — ку.

Релаксационные определяющие уравнения (20) означают, что приращения как силовых, так и момент-ных напряжений пропорциональны приращениям полных деформаций dyЛ и изгибов-кручений dкЛ. Релак-сируют силовые и моментные напряжения по мере развития в среде неупругих деформаций dYp¿ и изгибов-кручений dкp¿ [30, 31].

В общем случае необходимо задавать кинетические уравнения для генерации пластических скоростей деформации Yрг- и изгибов-кручений крг-. В настоящей работе при численных расчетах на каждом временном шаге релаксация считается мгновенной и все напряжения (силовые и моментные) сносятся на соответствующие поверхности текучести. Таким образом, приращения неупругих деформаций легко определяются как разность их полных приращений, определенных из уравнений движений (16), (17), и упругих приращений, полученных после приведения напряженного состояния к поверхностям текучести.

В представленном случае плоской деформации необходимо оценить только два новых параметра — «мо-

дули» а и у + 8. Параметр а, по сути, является некой поправкой к модулю сдвига ¡¡. Он определяет отклонения тензоров силовых напряжений от условия их симметрии (а12 ^а21). Параметр у + 8 оценим следующим образом. Его размерность равна [у + 8] = МПа • м2 и этот параметр определяет вращательную жесткость среды, связанную с изгибами-кручениями кристаллической решетки. Так как в этих областях деформация носит сдвиговой характер, исходя из размерности, можно считать, что у + 8 - ¡12. Это также означает, что момент-ные напряжения ограничиваются сдвиговой прочностью локальных мезообъемов материала.

Ограничения как силовых, так и моментных напряжений при переходе к пластическим деформациям были осуществлены распространением теории течения на случай среды Коссера. Протестированы два варианта снесения силовых и моментных напряжений на поверхность/поверхности текучести. В первом варианте используется одно условие текучести, аналогичное рассмотренному в работе [24, 32], в которое входят как силовые, так и моментные напряжения. Во втором варианте использовались два отдельных условия для силовых и моментных напряжений.

В первом случае формулы для функции текучести f и обобщенной интенсивности напряжений 32 (обобщение для выражения второго инварианта тензора силовых напряжений на случай несимметричного тензора и наличия моментных напряжений) приобретают вид / (ау, 1 у, УР) =а f А(ау ) +

+ J2(Gj, цj)- Y(уp),

32(ау , ¡у ) = (a1sуsу + а2 +

+Щ¡у + ь21у 1 л )1/2> (ау) = V3 а-*-> (22) где а f — коэффициент внутреннего трения; sij = а у --31(а*у) — компоненты девиатора тензора силовых напряжений; а1, а2, Ь1, Ь2 — новые дополнительные параметры; У — предел текучести при одноосном растяжении, который в общем случае является функцией некоторой меры накопленной пластической деформа-

ции — параметра упрочнения YР- Классическое условие Друкера-Прагера получается при отсутствии моментных напряжений (¡¡у = 0 или Ь1 = Ь2 = 0), симметричном тензоре напряжений sij = Sji и таких значениях параметров а1 и а2, что а1 + а2 = 1.5.

Если применяется подход с раздельными условиями пластичности, то соответствующие формулы для функций текучести и интенсивностей напряжений запишутся в следующем виде:

/а

/

32

32

В данном случае отдельно для силовых напряжений и для моментных напряжений вводятся свои значения пределов текучести Уа и У^ соответственно.

Условие упругой разгрузки вытекает автоматически из используемого алгоритма расчетов. Если после неупругой деформации мы попадаем по любому критерию во внутреннюю область поверхности текучести, расчет ведется по упругой модели.

На рис. 2 приведен тест, выполненный по упрощенной модели. Независимый поворот Ш для внутреннего слоя микрополярной среды рассчитывался пропорционально градиенту накопленной неупругой деформации:

Шз = Аз^ еРе

где е^ = 213 ¡^^^Ч^^+^^+^аь.

Н

Для верхнего и нижнего слоев неупругая деформация рассчитывалась по классической теории (ш3 = 0).

При растяжении образца в микрополярном слое развиваются повороты (в данном случае по часовой стрелке — положительные повороты). Ротации максимальны в области наибольшей локализации неупругой деформации (рис. 2, в). Верхний слой сдвигается вправо.

w3 ф 0

JLL&U...

Рис. 2. Растяжение образца с внутренним слоем микрополярного материала: структура образца

—I-1-1-1-1-1-1-1-1-

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 8р

Рис. 3. Безразмерная функция, используемая для задания изменения моментных модулей с ростом накопленной пластической деформации

Это иллюстрирует работоспособность рассматриваемой модели и расчетного алгоритма.

3. Результаты численного эксперимента

В тестовых расчетах упругопластического деформирования представлены два варианта расчетов. В первом варианте ротации учитываются уже на упругой стадии деформирования. Во втором варианте на упругой стадии силовые напряжения симметричны, моментные напряжения отсутствуют, при переходе к пластическому течению расчет ведется по моментной теории, ротации и моментные напряжения нарастают пропорционально накапливаемым в некоторой точке среды пластическим деформациям.

Расчеты по изучению влияния поворотов фрагментов мезоструктуры, изгибов-кручений и моментных напряжений на развитие пластической деформации выполнены для однородных образцов и для мезообъемов материала с параметрами, близкими к поликристаллическому алюминиевому сплаву А16061-Т6: р = 2.7 г/см3,

= 27.7 ГПа, K = 72.8 ГПа, Y0 = 300 МПа. Для новых модулей и предела текучести для моментных напряжений были приняты следующие выражения: а = = 2.77 f (еp) ГПа, у + 8 = 0.01 f (ep) ГПа-м2, lp = Y^jYc = = Y^j Yc = 0.001 f (ep) см, т.е. они плавно менялись с ростом накопленной пластической деформации согласно функции

f

где ep — критическое значение интенсивности накопленной пластической деформации, при котором функция выходит на насыщение. Вид этой функции показан на рис. 3.

Для выяснения роли ротационных мод деформации в процессе выполнения расчетов по моментной модели кроме действующих силовых и моментных напряжений вычислялись также средние по всему объему эффективные силовые напряжения. В этом случае работа как силовых, так и моментных напряжений на деформациях и изгибах кручениях (18) относится на счет только силовых эффективных напряжений, как если бы в образце развивались только силовые напряжения: AE = = aef Aemid. Средняя деформация Деmid, как и в эксперименте, рассчитывается по текущему изменению размера образца. Именно эти эффективные силовые напряжения и определяются в экспериментах при получении G-e-диаграмм, т.к. основными измеряемыми величинами в таких экспериментах являются изменения размеров образца и сила сопротивления, пересчитываемая на среднее, т.е. эффективное напряжение. Одновременно в расчетах строилась a-e-диаграмма на основе учета только силовых напряжений, развившихся в деформируемом образце. Различие между этими двумя диаграммами и определит вклад моментных напряжений в деформационный процесс.

На рис. 4 приведены расчеты кривых течения для однородных образцов, когда моментные напряжения

Рис. 4. Кривые течения для классической модели

Рис. 5. Полосы локализованного сдвига в однородных образцах при осевом растяжении: идеальная пластичность, безмоментная теория

начинают развиваться уже на упругой стадии (рис. 4, а) и для случая, когда изгибы-кручения и моментные напряжения развиваются по мере накопления неупругих деформаций в соответствии с зависимостью f (в? ) (28). В первом случае параметр а = 0.1 ГПа и остается постоянным на всех этапах расчетов. В обоих случаях учитывалось деформационное упрочнение.

Тестовые расчеты показали, что учет моментных напряжений и изгибов-кручений аналогичен введению в модель деформационного упрочнения.

Развитие в нагружаемых образцах моментных напряжений и поворотов, как и деформационное упрочнение, приводит к уменьшению величины деформации в полосах локализованного сдвига и к уширению самих полос. На рис. 5 приведены расчеты локализованной деформации в прямоугольном образце для трех моделей: 1) идеальная пластичность, безмоментная теория (рис. 5, а); 2) безмоментная теория, упрочнение (рис. 5, б); 3) моментная теория, без упрочнения (рис. 5, в).

Сравнение ширины и степени деформации в полосах локализованного сдвига для трех моделей показано на рис. 6.

Ширина сечения

Рис. 6. Сравнение ширины полос локализованного сдвига и степени деформации в них для различных моделей: идеальная пластичность, безмоментная теория

Моделирование локализованной пластической деформации в мезообъемах поликристаллического сплава алюминия А16061-Т6 также демонстрирует подобные результаты. Два мезообъема поликристаллического материала, содержащие несколько зерен разной ориентации, показаны на рис. 7.

Различным зернам в мезообъемах присваивались разные механические свойства (пределы упругости и упругие модули) в зависимости от их ориентации. Разница этих параметров для различных зерен варьировалась случайным образом от 20 до 100 %. Мезообъемы подвергались растяжению в вертикальном направлении. Для мезообъема (рис. 7, а) боковые грани оставались свободными. Для мезообъема (рис. 7, б) реализованы условия стесненного деформирования — горизонтальные смещения боковых граней запрещены. В этом случае макроскопические концентраторы отсутствуют. Концентраторами напряжения являются стыки зерен и их границы. Как и следовало ожидать, максимальные градиенты поворотов сосредоточены в полосах локализованной пластической деформации (рис. 8). Эти полосы в ряде случаев разделяют образовавшиеся деформационные структуры, в которых наблюдаются повороты одного знака (положительный поворот — по часовой стрелке, отрицательный — против). В этом случае при переходе через полосу наблюдаются вы-

1.1 мм 1.0 мм

Рис. 7. Структуры мезообъемов поликристаллического материала

Рис. 8. Изолинии положительных

сокие градиенты поворотов. Сама полоса является областью сдвига одного структурного элемента относительно другого. Границы поворотов разных знаков отвечают состоянию предразрушения и формируют очаги будущих локальных разрушений. На рис. 8 приведены картины изолиний положительных и отрицательных поворотов для структуры мезообъема, показанного на рис. 7, а. В образце сформировались макроскопические полосы локализованного сдвига, спровоцированные захватами в углах образца (боковые грани свободны). Отметим также, что макроскопический поворот отсутствует. Повороты разных знаков компенсируют друг друга (темные и светлые поля на рис. 8).

В случае стесненной деформации мезообъема поликристалла (рис. 7, б) в мезообъеме формируются только концентраторы мезоуровня на стыках и границах зерен. Распределение локализованной пластической деформации кардинально отличается от предыдущего случая, приведенного на рис. 8. Теперь области локализации отвечают границам зерен (рис. 9), они менее мощные.

Как и в случаях, обсужденных выше (рис. 5, 6), наличие дополнительных степеней свободы (поворотов) позволяет материалу эффективнее перераспределять подводимую к нагружаемому материалу энергию. Ротационные моды деформации являются эффективными механизмами аккомодации, существенно уменьшают степень локализованной деформации.

На рис. 10 приведены изолинии распределения положительных и отрицательных поворотов, отвечающих стесненной деформации структуры, приведенной на рис. 7, б, и распределению пластической деформации, показанному на рис. 9, б.

Из этого распределения поворотов видно, что ротациям подвержены отдельные зерна и их конгломераты, а также фрагменты зерен (рис. 10). Причем, в ряде случаев фрагменты одного и того же зерна испытывают повороты разных знаков. Максимальные повороты развиты в областях тройных стыков зерен.

На рис. 11 приведены а-в-диаграммы для однородного образца и для мезообъема поликристалла (струк-

vö^wS/_—ч -- SNEzl i а

^s^i ж А\) / ё!ч /1 *

^ИШУЗкЖ / / {чЬ) /

иЖ

г/Г Л\(

Рис. 9. Распределение изолиний пластической деформации в поликристалле для классической модели

Рис. 10. Изолинии положительных

тура мезообъема показана на рис. 7, а), рассчитанные по моментной теории (2) в сравнении с результатами расчетов, выполненных по классической модели с пределом текучести по Мизесу (1). Развитие ротаций в образцах приводит к дополнительному упрочнению. Из этих расчетов следует, что значительная часть упрочнения материала на параболической стадии при развитых пластических деформациях и изгибах-кручениях кристаллической решетки может быть обусловлена развитием в материале заметных локальных поворотов и моментных напряжений.

4. Заключение

Представленные расчеты развития локализованной деформации в однородных образцах и в мезообъемах поликристаллического материала, выполненные с использованием моментной теории с ротациями и изгибами-кручениями, сравниваются с расчетами, выполненными по классической модели. Эти расчеты убедительно показали, что наблюдаемое упрочнение на параболической стадии в значительной степени связано

с развитием в деформируемом материале ротационных мод деформации. Развитие в нагружаемых материалах изгибов-кручений и моментных напряжений обусловлено дополнительными степенями свободы и развитием ротационных мод деформации. Этот процесс существенно снижает степень локализации в полосах сдвига и является аккомодационным, способствуя более эффективной релаксации опасных концентраторов напряжений и более равномерному распределению неупругой деформации.

Если в нагружаемом материале блокируются поворотные моды деформации, то резко возрастает локальная и макроскопическая степень неупругой деформации и существенно быстрее формируются структуры разрушения. Именно по этой причине технологии предварительной поперечно-винтовой прокатки существенно улучшают механические характеристики конструкционных материалов. Они создают в материалах мезо- и наноразмерные субструктуры с высокой кривизной кристаллической решетки. В процессе эксплуатации эти субструктуры активизируют ротационные моды деформации, что способствует снижению степени лока-

Рис. 11. Усредненные а-е-диаграммы растяжения образца, описываемого классической моделью с упрочнением

лизованной деформации и релаксации опасных концентраторов напряжений.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 19-17-00122).

Литература

1. ПанинВ.Е., СуриковаН.С., Смирнова А.С., ПочиваловЮ.И. Мезо-

скопические структурные состояния в пластической деформации наноструктурных металлических материалов // Физ. мезомех. -2018. - Т. 21. - № 3. - С. 12-17. - doi 10.24411/1683-805X-2018-13002.

2. Панин В.Е., Деревягина Л.С., Лебедев М.П., Сыромятникова А.С.,

Сурикова Н.С., Почивалов Ю.И., Овечкин Б.Б. Научные основы хладноломкости конструкционных сталей с ОЦК кристаллической решеткой и деградации их структуры при эксплуатации в условиях отрицательных температур // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 2. -С. 5-14. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00048.

3. Сурикова Н.С., Панин В.Е., Наркевич Н.А., Мишин И.П., Гордиен-ко А.И. Создание поперечно-винтовой прокаткой многоуровневой иерархической мезосубструктуры и ее влияние на механическое поведение аустенитной стали // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. -№ 3. - С. 36-47. - doi 10.24411/1683-805X-2018-13005.

4. Тюменцев А.Н., Дитенберг И.А., Коротаев А.Д., Денисов К.И. Эволюция кривизны кристаллической решетки в металлических материалах на мезо- и наноструктурном уровнях пластической деформации // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 63-79. -doi 10.24411/1683-805X-2013-00015.

5. Винс С.А., ДитенбергИ.А., Тюменцев А.Н., Корзников А.В. Эволю-

ция микроструктуры и механических свойств сплава системы Мо-47 % Re в зависимости от степени деформации при кручении под давлением // Изв. вузов. Физика.- 2009. - Т. 52. - № 12-2. -С. 31-36.

6. Tyumentsev A.N., Ditenberg I.A., Grinyaev K.V., Chernov V.M., Pota-penko M.M. Multi-directional forge molding as a promising method of enhancement of mechanical properties of V-4Ti-4Cr alloys // J. Nucl. Mater. - 2011. - V. 413. - No. 2. - P. 103-106.

7. СадовскийВ.М., ГузевМ.А., Садовская О.В., Qi Ch. Моделирование пластической деформации на основе теории ортотропного континуума Коссера // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 2. - С. 5966.- doi 10.24411/1683-805X-2019-12005.

8. Sadovskii V.M., Sadovskaya O.V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum // Wave Motion. - 2015. - V. 52. - P. 138-150. - doi 10.1016/j.wavemoti. 2014.09.008.

9. Makarov P. V. Evolutionary nature of structure formation in lithospheric

material: Universal principle for fractality of solids // Russ. Geol. Geophys. - 2007. - V. 48. - P. 558-574.

10. Макаров П.В. Структура резонансов и локализация неупругих деформаций и повреждений в нагружаемых твердых телах и средах // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 111-123. - doi 10.24411/1683-805X-2011-00001.

11. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des Corps Déformables. Chwolson's Traité Physique. - Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. - P. 953-1173.

12. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

13. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. -1960. - Т. 11. - № 7. - С. 1399-1409.

14. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет «внутреннего» вращения // ФТТ. - 1963. -Т. 5. - № 9. - С. 2591-2598.

15. Пальмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // ПММ. - 1964. - Т. 2. - № 6. - С. 1117-1120.

16. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. - 1964. - Т. 28. - № 3. - С. 401-408.

17. Gunther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratchen Kontinuum // Abh. Braunschweigischen Wissentschaftlichen Gesellschaft. -1958.- V. 10. - S. 195-213.

18. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1962. - No. 11. - P. 385-414.

19. Grekova E., Kulesh M., Herman G., Shardakov I. Modeling of the Propagation of Seismic Waves in Non-Classical Media: Reduced Cosserat Continuum // American Geophysical Union Fall Meeting 2006 Abstracts. - EOS Trans. AGU, 2006. - P. B151.

20. Green A.E., Rivlin R.S. Multipolar continuum mechanics // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1964. - V. 17. - P. 113-147.

21. Lakes R. Experimental Methods for Study of Cosserat Elastic Solids and Other Generalized Elastic Continua // Continuum Models for Materials with Microstructure. Ch. 1 / Ed. by H. Muhlhaus. - New York: J. Wiley, 1995. - P. 1-22.

22. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants. Part 1 // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1975. - V. 97. - No. 2. -P. 369-374.

23. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants. Part 2 // Arch. Mech. - 1981. - V. 33. - No. 5. - P. 717-737.

24. De Borst R. Simulation of strain localization: a reappraisal of the Cosserat continuum // Eng. Comput. - 1991. - V. 8. - No. 4. - P. 317332.

25. Bay B., Hansen N., Hughes D., Kuhlman-Wilsdorf D. Evolution of fcc deformation structures in polyslip // Acta Met. Mater. - 1992. -V. 40. - No. 2. - P. 205-219.

26. Павлов И.С. Гранулированная среда с вращением частиц. Двумерная модель // Пробл. прочн. пластич. - 2003. - № 65. - С. 53-64.

27. Forest S., Barbe F., Cailletaud G. Cosserat modelling of size effects in the mechanical behaviour of polycrystals and multi-phase materials // Int. J. Solids Struct. - 2000. - V. 37. - P. 7105-7126.

28. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 4. - С. 42-58.

29. Макаров П.В. Математическая многоуровневая модель упруго-пластического деформирования структурно-неоднородных сред: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск: 1995. - 248 с.

30. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-131.

31. Бакеев Р.А. Моделирование деформации твердых тел на мезоуровне с учетом независимых поворотов: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск, 2010. - 108 с.

32. Ostoja-Starzewski M., Jasiuk I. Stress invariance in planar Cosserat elasticity // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1995. - V. 451. - No. 1942. -P. 453-470.

Поступила в редакцию 04.06.2019 г., после доработки 04.06.2019 г., принята к публикации 21.06.2019 г.

Сведения об авторах

Макаров Павел Васильевич, д.ф.-м.н., проф. ТГУ, гнс ИФПМ СО РАН, pvm@ispms.ru Бакеев Рустам Альфредович, к.ф.-м.н., нс ТГУ, нс ИФПМ СО РАН, bakeev@ispms.ru Смолин Игорь Юрьевич, д.ф.-м.н., проф. ТГУ, гнс ИФПМ СО РАН, smolin@ispms.ru