Напряженное состояние обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения при распространении в массиве длинных сейсмических волн

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 292-302 = Науки о земле

УДК 624.19

Напряженное состояние обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения при распространении в массиве длинных сейсмических волн *

П. В. Деев

Аннотация. Предложен метод определения напряжений, возникающих в обделках параллельных транспортных тоннелей произвольного поперечного сечения при землетрясении. Метод основан на строгих аналитических решениях двух квазистатических плоских задач теории упругости о напряженном состоянии колец, подкрепляющих отверстия произвольной формы в линейно-деформируемой полуплоскости, при наличии на бесконечности неравнокомпонентного сжатия или чистого сдвига. Разработано программное обеспечение, реализующее предлагаемый метод. Приводятся примеры расчета.

Ключевые слова: обделка, тоннель, напряженное состояние, сейсмические воздействия, квазистатические задачи, теория упругости.

Подземные сооружения переносят сейсмические воздействия землетрясений значительно лучше, чем здания и сооружения на поверхности, однако при каждом сильном землетрясении тоннели, расположенные вблизи эпицентра, получают различные повреждения. Так, например, при землетрясении 2008 г., произошедшем в уезде Вэньчуань (юго-западная часть Китая) повреждения получили 18 тоннелей, расположенных на расстоянии 25-55 км от эпицентра [1]. При этом в обделках девяти тоннелей образовались продольные трещины, свидетельствующие о возникновении значительных растягивающих напряжений при распространении сейсмических волн в плоскости поперечного сечения подземного сооружения.

Нормативные документы, действующие на территории Российской Федерации, предусматривают обязательный расчет подземных сооружений на сейсмические воздействия землетрясений при сейсмичности площадки строительства более 6-и баллов по шкале МЯК [2]. В отличие от зарубежных

* Работа поддержана грантом Президента РФ МД-1546.2014.5.

специалистов, использующих для расчета конструкций на сейсмические воздействия инженерные методы или численные решения динамических задач [3], в нашей стране широкое распространение получил подход, основанный на рассмотрении плоских квазистатических задач теории упругости [4].

Существующие в настоящее время методы расчета обделок параллельных тоннелей на сейсмические воздействия [6, 7, 8] не позволяют учитывать взаимное влияние тоннелей, в случае, когда они расположены на небольшой глубине, что препятствует достоверной оценке напряженного состояния подземных конструкций при землетрясении.

В настоящей работе предлагается новый аналитический метод расчета параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения на действие длинных сейсмических волн, вызывающих в массиве деформации растяжения-сжатия (продольные волны) и сдвига (поперечные волны). В основу метода положены строгие аналитические решения двух плоских квазистатических задач теории упругости (рис. 1).

Рис. 1. Расчетные схемы обделок параллельных тоннелей мелкого заложения: а - действие продольной волны; б - действие поперечной волны

Здесь однородная линейно-деформируемая полубесконечная среда $о моделирует массив пород, упругие кольца Бт (т = 1,...,Ж), подкрепляющие отверстия в среде, моделируют обделки параллельных тоннелей. Деформационные свойства среды $о характеризуются модулем деформации Ео и коэффициентом Пуассона ^о, деформационные свойства материала колец Бт — модулями деформации Ет и коэффициентами Пуассона ит. Центры отверстий Ьо,т, совпадающие с центрами окружностей, описанных вокруг наружных контуров колец, имеют

координаты хт = хт + гут. Полагается, что окружности не пересекаются и не касаются границы полуплоскости Ь0.

Среда и кольца деформируются совместно, т.е. на линиях контакта Ьот выполняются условия непрерывности векторов полных напряжений и смещений. Внутренние контуры колец и прямолинейная граница полуплоскости свободны от действия внешних сил.

В первой задаче, схема которой показана на рис. 1, а, среда подвержена на бесконечности двухосному сжатию напряжениями Р и £Р, моделирующими действие длинной произвольно направленной продольной волны в фазе сжатия. Ось X, совпадающая с направлением главных напряжений Р, образует с горизонталью угол а. Действие продольной волны в фазе растяжения исключается из рассмотрения, поскольку считается, что растягивающая нормальная нагрузка на обделку не передается [5].

Напряжения на бесконечности определяются по следующим формулам

[4]:

Р =2Пкс7С1То; £ =Г^-,

2п 1 — Щ

где кс — коэффициент сейсмичности, равный 0,025, 0,05, 0,1 при расчетной сейсмичности 7, 8, 9 баллов соответственно; 7 — расчетное значение

объемного веса грунта (породы); в\ — скорость распространения продольных волн; Т0 — преобладающий период колебаний частиц породы, с.

Во второй задаче (см. рис. 1, б) среда £0 испытывает на бесконечности чистый сдвиг, что соответствует действию длинной поперечной сейсмической волны, распространяющейся в плоскости поперечного сечения тоннелей под углом а к горизонтали. Напряжения на бесконечности определяются по формуле [4]

^ = т1 кс^о2То,

2п

где С2 — скорость распространения поперечных волн.

Скорости распространения продольных и поперечных волн определяются по формулам [4]

/ Яо#(1 — ^о) / Еод

С1 = \ ,—гг;—г—т; с2

7(1 + ^о)(1 — 2^о) ’ у 27(1 + ^о) ’

где д — ускорение свободного падения.

Применимость решений квазистатических задач для моделирования сейсмических воздействий землетрясений обсуждается в работе [9]. В этой работе показана возможность использования решений квазистатических задач в случае, если длина волны превышает размеры подземного сооружения более чем в три раза. При модуле деформации грунта Ео = 100 МПа и коэффициенте Пуассона ^о = 0,35 расчетные значения скоростей продольной и поперечной волн составят соответственно 280 и 135 м/с, что

значительно больше расстояния, на котором проявляется взаимное влияние тоннелей.

Граничные условия рассматриваемых задач имеют следующий вид:

напряжения в областях Бт (т = ) в криволинейных координатах,

связанных с конформными отображениями внешности единичной

Для решения поставленных задач будем использовать комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили [10], связанные с напряжениями и деформациями в соответствующих средах с помощью известных формул.

Запишем граничные условия (3)—(5) с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили - на границе полуплоскости ¿о

фт

где і = х + іу — комплексные координаты точек контуров Ьо,т, Ь\т или

на линиях контакта ¿о,т

на контурах Ь\т

т < 1 лП

окружности на внешности контуров ь1>т (т = 1,...,Л); их , Щ , их ,

иу — горизонтальные и вертикальные смещения точек соответствующих областей.

^о

т^т

на контурах Ь\т

^т(і - 2т) + (і - 2т)^т(і - 2т) + Фт(і - 2т) = °

границы полуплоскости ¿о-

Рассмотрим действие продольной волны в фазе сжатия. В этом случае комплексные потенциалы, характеризующие напряженно-деформированное состояние среды $о, можно представить в виде [5]

Следуя работе [5], комплексные потенциалы ^о (2), ^0(2), регулярные в нижней полуплоскости вне отверстий, будем представлять в виде сумм функций (ро,і (2 - 23) и гро>3 (2 - 23), регулярных вне контуров ¿о,т (т = 1, . . .

Представление комплексного потенциала ^0(2) учитывает то, что функции (2 — 2]) неинвариантны относительно переноса начала

координат [5].

После аналитического продолжения комплексных потенциалов, регулярных в нижней плоскости вне отверстий, в верхнюю полуплоскость через прямолинейную границу ¿о, придем к следующим выражениям [7]:

Здесь функции ^о,] (2 — 2]), (2 — 2]), регулярные в полной плоскости

вне отверстий ¿о,], отыскиваются в виде рядов по отрицательным степеням комплексного переменного [5]

^о

Подставляя представления (10) в граничное условие (6), получим

^о(і) + ^о(і) + ^о(і) = 2 ^ Рі —2^ Ріе2іа.

---, N):

N

N

3=1

3=1

<Ро,з(2 - 23) = <£о,з(2 - 2з) - (2 - 2з)^о,з(2 - 23 - 2ІН3) - ^о,з(2 - 23 - 2іНз);

^Ао,3 (2 — 23) — ^о,з (2 — 23) — ^о,з (2 — 23 — 2ІН3) + (2 — 23 — 2ІН3 )х

х ^о,3(2 - 23 - 2ІН3) + (2 - 23)^о,3(2 - 23 - 2ІН3) + ^о,3(2 - 23 - 2ІН3) .

где

ОТ _ / лЛп (к + п - 1)! Щ Щг

(к - 1)!п! (¿г - 23)п+к

Т(з,т) _ ( -,)„ (к + п - 1)! ^

Тп.к _ ( 1) ‘

(к - 1)!п! (¿г - ¿з - 2гЯ,-)п+к ’

комплексные потенциалы (11), (12) в окрестности т-го отверстия можно представить в виде рядов по степеням переменного (г - гт)/Ет.

Далее, используя конформные отображения внешности единичной окружности в области £т на внешности контуров ¿1,т с помощью функций вида

п+1

1 —к

г (Ст) _ Е Ьк ,т с

г гт — — / '•/к,Гт

к=0

можно комплексные потенциалы ^>о (г), ^о(г) (10), характеризующие

напряженно-деформированное состояние среды £0, представить на контурах ¿о,т (т _ 1,..., N) в виде рядов Лорана по степеням переменного а _ ег0 отображаемой области:

°° (Л\( \ / П+1 \

^0(г) _ ^0МСт)] _ Е ак )(Г)Стк - ^+ Е ЧтСГ"'Ч +

к=1 4 к=0 7

+ V Г ° ~(1)(з,т) ^—к + ° ;г(3)(.?>т)лк 1 .

+ 2^, ак >т + ¿_^ ак >т .

3=1 *-к=1 к=1 -1

о° /0ч/ ч / п+1 \

^0(г) _ ^0[^т(Ст)] _ Е 4 )( С—к + М^т + Е Ьк.тСГ"Ме—2^ +

к=1 к=0

I ^ Г ° ~(2)(.?,т)л—к . ° ~(4)(.7,т) >к

+ Е Е“к Стк + Е °к ст,

3=1 к=1 к=1

где коэффициенты ак1)(т), ак2)(т), ак1)(3’т), ак2)(3,т) выражаются через коэффициенты разложения в ряды функций (13). В выражениях (14), (15) наличие последнего слагаемого в правой части обусловлено влиянием соседних отверстий и прямолинейной границы полуплоскости.

Комплексные потенциалы ^т(г - гт), ^т(г - гт), характеризующие напряженно-деформированное состояние колец £т, также могут быть представлены в виде рядов Лорана с неизвестными коэффициентами:

°°

,п (^ ) _ ^ п(1,1)(т)л—к + \~л п(3>1)(т)л к

^1,т(Ст) _ 2_^ ак Ст + / ^ ак Ст

к=1 к=1

°°

^1,тКт)_ £ °к2,1)(т)<тк + £ 41Д)(т)с

(2,1)(т)>—к + „(4.1)(т^к

к ^т +

к=1 к=1

Далее, подставляя представления (13)—(15) в граничные условия (7)-(9), после определенных математических преобразований получим N систем бесконечных линейных алгебраических уравнений относительно действительных и мнимых частей коэффициентов a¿ , ak

(m = 1,..., N ; k = 1,..., то). Правые части полученных уравнений будут содержать неизвестные слагаемые, обусловленные влиянием соседних отверстий и границы полуплоскости.

После ограничения числа удерживаемых членов в рядах разложения комплексных потенциалов решение рассматриваемой задачи сводится к итерационному процессу, в первом приближении которого определение искомых коэффициентов осуществляется без учета влияния остальных отверстий и границы полуплоскости, а в следующих итерациях уточняется на основе предыдущих приближений. Коэффициенты разложения в ряды комплексных потенциалов, характеризующих напряженно-деформированное состояние колец, определяются по рекуррентным формулам, полученным из условий (7)-(8).

Определение напряжений в кольцах, моделирующих обделки параллельных тоннелей, и среде, моделирующей массив, осуществляется с использованием известных формул Колосова-Мусхелишвили [10].

Задача о действии на бесконечности чистого сдвига является частным случаем задачи, рассмотренной выше [5]. Если положить P = S, £ = -1, а = в + п/4, мы придем к случаю, когда на бесконечности действует чистый сдвиг, при этом главные касательные напряжения будут образовывать с вертикалью и горизонталью углы в и в + п/2.

Полученное решение реализовано в виде программы на языке Fortran. Ниже приводится пример расчета обделок двух параллельных гидротехнических тоннелей на действие длинных продольных и поперечных сейсмических волн, горизонтально распространяющихся в плоскости поперечного сечения тоннелей.

Форма поперечного сечения обделок тоннелей (рис. 2) и исходные данные для расчета приняты по материалам статьи [11].

Исходные данные для расчета принимались следующими: деформационные свойства грунта Е0 = 750 МПа, v0 = 0, 3; объемный вес грунта y = 23, 5 кН/м3; деформационные характеристики бетона обделки Е1 = 24000 МПа,

Vi = 0, 2. Обделка спроектирована с допущением образования трещин.

Распределение нормальных тангенциальных напряжений на внутреннем и наружном контурах обделки левого тоннеля при распространении в массиве длинных сейсмических волн сжатия и сдвига представлены соответственно на рис. 3 и рис. 4. Пунктирной линией показаны напряжения в обделке одиночного тоннеля, соответствующие значения даны в скобках.

Из эпюр напряжений, представленных на рис. 3, 4, видно, что взаимное влияние тоннелей приводит к локальному перераспределению нормальных тангенциальных напряжений в тоннельных обделках. В рассматриваемом

Рис. 2. Поперечное сечение рассматриваемых тоннелей

Рис. 3. Нормальные тангенциальные напряжения на внутреннем (а) и наружном (б) контурах поперечного сечения обделки левого тоннеля, вызванные действием продольных сейсмических волн в фазе сжатия

Рис. 4. Нормальные тангенциальные напряжения на внутреннем (а) и наружном (б) контурах поперечного сечения обделки левого тоннеля, вызванные действием сейсмических волн сдвига

случае можно отметить заметное увеличение максимальных растягивающих напряжений на внутреннем контуре поперечного сечения обделки при действии волны сдвига (см. рис. 4 б).

Для оценки прочности обделки тоннеля полученные напряжения следует умножить на значения величин P и S, определяемых по формулам (1), (2) и сложить с напряжениями, обусловленными действием собственного веса пород, которые могут быть определены, например, с использованием метода, предложенного в работе [12]. При этом необходимо учесть возможность одновременного действия волн растяжения-сжатия и сдвига.

В заключение отметим, что определить направление прихода сейсмических волн до того, как произошло землетрясение, практически невозможно. Для расчета подземных сооружений, располагаемых в сейсмически активных районах, целесообразно использовать методику, предложенную проф. Н.Н. Фотиевой [7], предусматривающую исследование напряжений в точках внутренних контуров поперечных сечений обделок на экстремум по углу падения волн.

Список литературы

1. Investigation and assessment on mountain tunnels and geotechnical damage after the Wenchuan earthquake / Wang ZhengZheng [et al.] // Science in China: Technological Sciences. 2009. V. 52. № 2. P. 546-558.

2. СП 14.13330.2011. Строительство в сейсмических районах. Актуализированная версия СНиП II-7-81*. М.: ОАО «ЦПП», 2011. 91 с.

3. Seismic design and analysis of underground structures / Youssef M.A. Hashash [et al.] // Tunneling and underground space technology. 2001. № 16. P. 247-293.

4. ВСН 193-81. Инструкция по учету сейсмических воздействий при проектировании горных транспортных тоннелей. М.: Минтрансстрой, 1981. 69 с.

5. Фотиева Н.Н., Козлов А.Н. Расчет крепи параллельных выработок в сейсмических районах. М.: Недра, 1992. 231 с.

6. Designing shallow tunnel linings under seismic effects / N.N. Fotieva [et al.] // Proc. of the int. conf. on Computer Methods and Advances in Geomechanics. January 7-12 2001. Tucson, Arizona, USA. - Rotterdam: Balkema, 2001. P. 1087-1091.

7. Design of shallow tunnel linings under seismic effects of earthquakes / N.N. Fotieva [et al.] // Proc. of the 16th Int. conf. on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering «Geotechnology in Harmony with Global Environment». September 12-16 2005. Osaka, Japan. 2005. V. 3. P. 1607-1610.

8. Fotieva N.N., Bulychev N.S., Deev P.V. Multiple non-circular tunnel linings design under seismic effects of earthquakes / Proc. of Int. conf. Performance-based design in Earthquake geotechnical engineering. From case history to practice. June 15-18 2009. Tsukuba, Japan. - Tokyo: Taylor & Francis, CRC Press, 2009. P. 1113-1121.

9. Хесин Г.Л., Костин И.Х., Затеев В.Б. Исследование концентрации напряжений около отверстий в тонких пластинках при воздействии волны давления. Сб. № 73. Моделирование задач динамики, термоупругости и статики поляризационно-оптическим методом. М.: Изд-во МИСИ, 1970. С. 33-40.

10. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

11. Damage to mountain tunnels by earthquake and its mechanism / T. Asakura [et al.] // The second half century of rock mechanics. Proc. of the 11th Int. conf. of rock mechanics. July 9-13, 2007. Lisbon, Portugal. London: Taylor & Francis, 2007. 8 p.

12. Деев П.В. Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения с массивом грунта // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 291-300.

Деев Петр Вячеславович (deev@mm.tsu.tula.ru), д.т.н., доцент, кафедра механики материалов, Тульский государственный университет.

Stress state of arbitrary shape linings of parallel tunnels under action of long seismic waves spreading in the rock mass

P. V. Deev

Abstract. A method of stress state determination for arbitrary shape linings of parallel tunnels under effects of the long seismic waves of given direction is proposed. Rigorous analytical solutions of two plane quasi-static problems of the elasticity theory about stress state of rings supporting openings of arbitrary shapes in linearly deformable semi-plane with non-equal compression or pure

shear at the infinity are the basis of the method. Corresponding software is developed. Examples of the design are given.

Keywords: lining, tunnel, stress state, seismic effects, quasi-static problems, elasticity theory.

Deev Petr (deev@mm.tsu.tula.ru), doctor of technical sciences, assistant professor, material mechanics department, Tula State University.

Поступила 10.05.2014