Доказательство нижних оценок сложности самокорректирующихся схем методом замены базиса

Наконец, в [2] получены теоремы о локальной структуре для экстремальных сетей в нормированных пространствах. Было бы интересно установить аналог формулы Максвелла для этого случая в терминах так называемого р-импульса и затем обобщить на этот случай и результаты настоящей работы.

Авторы пользуются случаем выразить свою признательность академику А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 07-01-00648, 05-01-22002 НЦНИ), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-660.2008.1), программы Эйлера ДААД, а также проекта РНП 2.1.1.3704.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gilbert E.N., Pollak H.O. Steiner minimal trees // SIAM J. Appl. Math. 1968. 16, N 1. 1-29.

2. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.

3. Du D.Z., Hwang F.K. A proof of Gilbert-Pollak conjecture on the Steiner ratio // Algorithmica. 1992. 7. 121-135.

4. Du D.Z., Smith W.D. Disproofs of generalized Gilbert-Pollak conjecture on the Steiner ratio in three or more dimensions //J. Combin. Theory. 1996. 74. 115-130.

5. Ivanov A.O, Tuzhilin A.A. Branching solutions to one-dimensional variational problems. Singapore; New Jersey; London; Hong Kong: World Publisher Press, 2001.

6. Handbook of Combinatorial Optimization / Ed. by D.Z. Du, P.M. Pardalos. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.

Поступила в редакцию 02.02.2009

УДК 519.95

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИЖНИХ ОЦЕНОК СЛОЖНОСТИ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ БАЗИСА

Н. П. Редькин1

В статье представлен метод получения новых нижних оценок сложности реализации индивидуальных булевых функций, основанный на переходе от рассматриваемого базиса к другому базису, для которого уже известны хорошие нижние оценки сложности данных функций. Эффективное использование этого метода демонстрируется на примере получения асимптотики для сложности реализации пороговых функций самокорректирующимися схемами из многовходовых элементов.

Ключевые слова: булевы функции, самокорректирующиеся схемы, сложность реализации функций.

A method for obtaining new lower estimates for the implementation complexity of individual Boolean functions is presented in the paper. The method is based on the transition from some considered basis to another one possessing already known good lower estimates for the complexity of those functions. The effective use of this method is illustrated on the example of obtaining the asymptotic value for the implementation complexity of threshold functions by self-correcting circuits composed of multiple-input elements.

Key words: Boolean functions, self-correcting circuits, implementation complexity of functions.

1. Введение. При нахождении минимальных схем из функциональных элементов [1] для конкретных булевых функций наибольшие затруднения чаще всего приходится преодолевать на этапе доказательства минимальности схем, т.е. при доказательстве нижних оценок сложности схем. Эти затруднения только возрастают при переходе к самокорректирующимся схемам [2, 3]. Кроме того, некоторые важные свойства

1 Редькин Николай Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: npredkin@yandex. ru.

схем, используемые при получении нижних оценок, эффективны только для схем в достаточно простых базисах типа {ж&у, х\/ у, х}] при переходе к более сложным базисам, например содержащим элементы с тремя и более входами, эти свойства "не срабатывают". Предлагаемый здесь метод получения нижних оценок основан на замене заданного, быть может, достаточно сложного базиса на другой, существенно (в том или ином смысле) более простой базис2. Обязательным условием успешного применения этого метода является наличие (или возможность получения) достаточно хороших нижних оценок сложности схем в простых базисах.

Заметим, что некоторые идеи, касающиеся подходящей "модификации" изначально заданного базиса, использовались еще в работах [4, 5] при доказательстве минимальности обычных (несамокорректи-рующихся) схем для индивидуальных булевых функций (в [4] исходный базис фактически дополнялся элементами с нулевыми весами, реализующими булевы константы, а в [5] базис дополнялся инвертором с относительно небольшим весом). Ниже суть предлагаемого метода излагается в рафинированном, достаточно общем виде, но вместе с тем и без излишних, на наш взгляд, усложнений и обобщений, которые можно сделать, и притом достаточно просто, по различным направлениям.

Будем рассматривать схемы в базисе В, содержащем надежные и ненадежные функциональные элементы. Всякий надежный элемент имеет неотрицательный вес и реализует некоторую приписанную ему функцию из В. Всякий ненадежный элемент также имеет неотрицательный вес и в исправном состоянии реализует некоторую приписанную ему функцию из В, а в неисправном состоянии — некоторую фиксированную для всех ненадежных элементов схемы булеву константу 5 (5 € {0, 1}).

Схема в базисе В называется к-самокорректирующейся относительно неисправностей типа 5 (на выходах элементов), если при переходе в неисправное состояние не более чем к любых ненадежных элементов она реализует ту же функцию, что и при исправном состоянии всех ее элементов (все неисправные элементы в схеме реализуют константу 5). Сумма весов всех элементов схемы считается сложностью этой схемы. Сложность реализации булевой функции — это наименьшая из сложностей схем (в заданном базисе и в заданном классе схем), реализующих эту функцию при исправном состоянии всех ее элементов. Сложность схемы Б обозначим через Ьв (Б), а сложность реализации функции / схемами в базисе В, к-самокорректирующимися относительно неисправностей типа 5, — через ). Если сложность

к-самокорректирующейся относительно неисправностей типа 5 схемы в базисе В, реализующей функцию / (х1,..., хп), равна (или асимптотически по п равна) / (х\,...,хп)), то такая схема является минимальной (соответственно асимптотически минимальной).

2. Основная теорема. Представим теперь, что имеются два произвольных конечных базиса А = {ф1,...,фа} и В = {ф\,...,фь}. Первому базису отвечают надежные элементы Р\, ..., Ра с весами Р(В), ..., Р(Ра), реализующие соответственно функции ..., и ненадежные элементы Е\, ..., Еа с весами Р(Е\), ..., Р(Еа), реализующие (в исправном состоянии) те же самые функции ..., а; веса элементов удовлетворяют неравенствам Р(Рг) ^ Р(Ег) ^ 0, г = 1,...,а. Аналогичным образом второму базису отвечают надежные элементы Р\, ..., Рь с весами Р(Р\), ..., Р(Рь), ненадежные элементы С\, ..., Оь с весами Р(О\), ..., Р(Оь); как надежные, так и ненадежные элементы реализуют функции ф\, ..., фь, и веса элементов удовлетворяют неравенствам Р(Р\) ^ Р(Ог) ^ 0, г = 1,...,Ь.

Базис А согласован с базисом В, если для каждого надежного элемента Рг базиса В существует подсхема (блок) Р* из надежных элементов базиса А и для каждого ненадежного элемента Ог существует подсхема О* из элементов базиса А, такие, что выполняются следующие условия согласованности:

1) подсхема Р* реализует функцию фг и ЬА(Р*) ^ Р(Рг);

2) подсхема О* реализует (при исправном состоянии всех ее ненадежных элементов) функцию фг и ЬА(О*) < Р(Ог);

3) при наличии в подсхеме О* не более чем к неисправных элементов значение на выходе этой подсхемы на любом входном наборе (значений переменных) П = (п\,...,пг.) равно либо фг(п), либо 5 (г = 1,...,Ь).

Заметим, что отношение согласованности базиса А с базисом В может и не быть симметричным.

Теорема 1. Пусть базис В согласован с базисом В*, а / — произвольная булева функция. Тогда

Ь%(/) > ЬВЛ/).

Доказательство. Пусть / — произвольная булева функция, а Б* — минимальная к-самокорректи-рующаяся схема из функциональных элементов в базисе В*, реализующая функцию /; для Б* по определению минимальной схемы выполняется соотношение

2Можно усмотреть, на наш взгляд, отдаленную аналогию этого метода с заменой переменной при интегрировании.

Зафиксируем какие-нибудь блоки Е*, • • • , Е* и С-, • • • , Съ, удовлетворяющие условиям согласованности базиса В с базисом В * • Каждый надежный элемент Е в схеме заменим соответствующим ему блоком Е* • Входы очередного блока Е* соединяем с теми вершинами схемы 5*, с которыми были соединены соответствующие входы заменяемого элемента Ег; выход блока Е* соединяем с теми вершинами схемы, с которыми был соединен выход элемента Ег • Аналогичным образом и все ненадежные элементы С г в схеме 5 * заменим на соответствующие им блоки С* (г = 1,...,Ь) • В итоге получим некоторую схему 5 в базисе В, которая в исправном состоянии, очевидно, реализует заданную функцию / •

Пусть в схеме 5 оказываются неисправными какие-то к', к' ^ к, элементов, на входы этой схемы подается какой-то набор (значений переменных) а, а выдает схема некоторое значение е• Блоки, из которых построена схема 5, взаимно не пересекаются, и потому в рассматриваемом случае неисправные элементы могут оказаться не более чем в к' блоках, а неправильные значения могут оказаться на выходах каких-то Н блоков С*г, • • • , С*н, где Н ^ к' (значение на выходе блока считаем неправильным, если оно отличается от того значения, которое было бы на выходе блока при исправном состоянии всех его элементов) Пусть С* — какой-то блок с неправильным значением на выходе; из третьего условия согласованности базисов следует, что это неправильное значение на выходе блока С* равно 5• Но в таком случае значение на выходе схемы 5, очевидно, должно совпадать со значением на выходе схемы 5*, в которой неисправны элементы Сг 1, • • • , С г к (прообразы блоков С*г, • • • , С*н )• Схема 5* — к-самокорректирующаяся, Н ^ к' ^ к, и потому на выходе этой схемы будет /(а) • Но если е = /(а), то это означает, что и схема 5 — к-самокорректирующаяся и для нее выполняется неравенство

Из первых двух условий согласованности базисов следует неравенство ЬБ(5) ^ ЬБ (5*), из которого с учетом (1) и (2) окончательно получаем ) ^ )• Теорема доказана •

Приведем примеры эффективного использования теоремы 1 для получения новых нижних оценок сложности самокорректирующихся схем

3. Оценки сложности к-самокорректирующихся схем для симметрических пороговых функций. В работе [6] получены асимптотически точные оценки сложности к-самокорректирующихся схем в базисах Во = {ж&у, х V у, х} и В\ = {ж&у, х V у} для монотонных симметрических пороговых функций /П(х-,...,хп) = V ХгХ^ в случае однотипных константных неисправностей типа 5,

1«'<п

5 € {0, 1}, на выходах элементов • В этой работе предполагалось, что вес каждого надежного элемента базиса Во (а также и базиса В-) равен р, а вес каждого ненадежного элемента равен 1, и были установлены следующие асимптотики

Для схем в базисе Во при любом натуральном фиксированном к, любом фиксированном 5 € {0, 1} и р ^ к+1 выполняется асимптотическое равенство

п) -

Для схем в базисе В- при неисправностях типа 0 и р > 0 получена асимптотика

^1о

Используя теорему 1 и оценки (3) и (4), получим асимптотически точные оценки сложности реализации функции /П к-самокорректирующимися схемами в базисах, содержащих 1-входовые (I ^ 3) конъюнкторы и дизъюнкторы •

Пусть В* = {х\ & ... &1Х[, Х\ V • • • V XI, х}, вес каждого надежного элемента базиса В* равен р, р ^ к+1, а вес каждого ненадежного элемента равен 1 • В качестве неисправностей возьмем для определенности однотипные константные неисправности типа 0 на выходах элементов

Теорема 2. Для базиса В* и последовательности булевых функций /П, п = 2, 3,..., выполняется равенство

Тв*(т\ (к + 2)п

ьк,о{Ь)--1_1

Доказательство. Верхняя оценка для ¿Во(/П) получается конструктивно, почти так же, как и верхняя оценка в [6] • Единственное существенное отличие, влияющее на асимптотическую оценку, будет заключаться в том, что при построении подсхем (см • [6, с • 67]) будут использоваться цепочки не из

двухвходовых, а из ¿-входовых ненадежных дизъюнкторов, вследствие чего главным членом в итоговой мажоранте для сложности схемы ¿>* окажется не (к+2)п, а и искомая верхняя оценка приобретет

нужный вид.

Для доказательства нижней оценки возьмем еще один базис В = {ж&у, х \/ у, х}. Положим вес каждого надежного элемента базиса В равным а вес каждого ненадежного элемента равным Согласованность базиса В с базисом В* становится очевидной, если в качестве соответствующих блоков в базисе В, отвечающих элементам базиса В *, взять цепочку из 1—1 двухвходовых конъюнкторов (базиса В) для ¿-входового конъюнктора (базиса В*) и цепочку из 1—1 двухвходовых дизъюнкторов для ¿-входового дизъюнктора (заметим, что третье условие согласованности для блока, реализующего дизъюнкцию XI V ••• V XI, выполняется в силу монотонности дизъюнкции и булевых констант).

Для базиса В нижняя оценка

£&>

доказывается точно так же, как и нижняя оценка для Ь^О/п) в [6] (можно получить оценку (5) и опираясь на соотношение (3)). Из теоремы 1 и соотношения (5) получаем искомую нижнюю оценку

т В* ( гп\ > + 2)п

Теорема доказана.

Возьмем теперь монотонный базис В\ = {х\ & ... & XI, х\V• • • VXl} и положим вес каждого надежного элемента равным р, р ^ 1, а вес каждого ненадежного элемента равным 1. В качестве неисправностей здесь будем предполагать только однотипные константные неисправности типа 0 на выходах элементов.

Теорема 3. Для базиса В* и последовательности булевых функций /П, п = 1, 2,..., выполняется соотношение

Тв*и п п шш{2р, к+2} ьк,о(/2 )--—1-•

Доказательство. Верхнюю оценку получим конструктивно. Если к + 2 ^ 2р, то схему для /П построим из надежных ¿-входовых конъюнкторов и дизъюнкторов точно так же, как это делалось в [7] при получении верхней оценки сложности реализации функции /П обычными схемами (см. [7, с. 42]); можно взять и схему из доказательства верхней оценки в предыдущей теореме, полагая в данном случае к = 0 — ведь схему из одних только надежных элементов формально можно считать к-самокорректирующейся. Сложность построенной схемы окажется асимптотически не больше Если 2р > к+2, то можно просто воспользоваться верхней оценкой, полученной при доказательстве теоремы 2; обратим внимание на то, что эта оценка была получена с использованием к-самокорректирующихся схем, содержащих только конъюнкторы и дизъюнкторы.

Нижнюю оценку получим, используя теорему 1. Возьмем базис В1 = {х & у, х V у} и для этого базиса положим веса надежных элементов равными а веса ненадежных элементов равными Базис В1 отличается от базиса В из предыдущего примера лишь отсутствием в нем инверсии; условия согласованности базиса В1 с базисом В1 выполняются. Кроме того, рассматриваемый здесь базис В1 отличается от одноименного базиса В1 из [6] лишь уменьшенными в ¿—1 раз весами всех элементов; из этого факта и теоремы 2 из [6] получаем неравенство

Тв1, г-щ > п тт{2р, к+2} ьк,оУ12) -[-

(которое можно вывести и непосредственно, фактически повторяя рассуждения из доказательства нижней оценки теоремы 2 работы [6]). Остается воспользоваться теоремой 1, позволяющей и для рассматриваемого базиса В* с помощью (6) моментально получить требуемую нижнюю оценку. Теорема доказана.

4. Замечание. Основная теорема и особенно представленные примеры ее применения в чем-то достаточно конкретизированы. Вместе с тем (и об этом уже говорилось ранее) возможны изменения как в исходном утверждении, т.е. в основной теореме, так и в постановках конкретных задач, решаемых с использованием этой теоремы. Например, надежная и ненадежная части одного и того же базиса могут не совпадать (в этом случае множество функций, реализуемых надежными элементами, не совпадает с множеством функций, реализуемых ненадежными элементами); в отличие от приведенных примеров в

каких-то случаях веса у разных элементов одного и того же базиса (как у надежных, так и ненадежных) могут различаться; в схемах могут возникать другие неисправности, скажем, константные неисправности произвольного типа [2] на выходах элементов, неисправности на входах элементов, инверсные неисправности Нетрудно заметить, что и в этих случаях можно воспользоваться основной теоремой или ее подходящей модификацией

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863) и программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470^2008^1)^

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Яблонский С.В. Элементы математической кибернетики. М.: Высшая школа, 2007.

3. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

4. Редькин Н.П. Доказательство минимальности некоторых схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 83-101.

5. Редькин Н.П. О минимальной реализации линейной функции схемой из функциональных элементов // Кибернетика. 1971. №6. 31-38.

6. Редькин Н.П. Асимптотически минимальные самокорректирующиеся схемы для одной последовательности булевых функций // Дискретный анализ и исследования операций. 1996. 3, № 2. 62-79.

7. Гринчук М.И. О монотонной сложности пороговых функций // Методы дискретного анализа в теории графов и сложности. Вып. 52. Новосибирск, 1992. 41-48.

Поступила в редакцию 18.05.2009

УДК 512.572

О МНОГООБРАЗИЯХ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА ПОЧТИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА С ТОЖДЕСТВОМ x(y(zt)) = 0

С. П. Мищенко1, Т. В. Шишкина2

В работе доказано, что в случае поля нулевой характеристики существуют ровно два почти полиномиального роста многообразия алгебр Лейбница, в которых выполнено тождество x(y(zt)) = 0.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, тождество, многообразие, коразмерность, рост.

It is proved that exactly two varieties of Leibniz algebras of almost polynomial growth with the identity x(y(zt)) = 0 exist in the case of a field of characteristic zero.

Key words: Leibniz algebra, identity, variety, condimension, growth.

В настоящей работе доказывается, что в случае поля нулевой характеристики существуют ровно два почти полиномиального роста многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

Характеристика основного поля K на протяжении всей работы предполагается равной нулю. Работа связана с исследованием линейных алгебр и их многообразий. Так как не предполагается, что выпол-неняется тождество ассоциативности, то договоримся опускать скобки в элементах алгебры, если они расставлены левонормированным способом, т.е. abc = ((ab)c). Кроме того, элемент xy...y степени s по переменной y будем обозначать xys. Элементы, содержащие кососимметрический набор из n переменных, будем записывать без знака суммирования, помечая переменные этого набора чертой или волной сверху. Например, стандартный полином в наших обозначениях будет выглядеть следующим образом:

Stn = ха(1)ха(2)   ха(п) =   -хп,

где Sn — симметрическая группа, а (—1)а равно +1 или —1 в зависимости от четности перестановки а.

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульянов. гос. ун-та, e-mail: mishchenkosp@mail.ru.

2Шишкина Татьяна, Владимировна — асп. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульянов. гос. ун-та, e-mail: tanja073@mail.ru.