Поверхность Дж. Торпа в четырехмерном пространстве

УДК 514

DOI 10.21685/2072-3040-2017-1-2

А. И. Долгарев, В. Ю. Курсеева

ПОВЕРХНОСТЬ ДЖ. ТОРПА В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация.

Актуальность и цели. В настоящее время выработаны основные положения теории поверхностей многомерных евклидовых пространств. Но имеется немного примеров конкретных поверхностей. Каждая из многомерных поверхностей имеет большой интерес. Интересна и поверхность, определенная Дж. Торпом, названная им тором четырехмерного пространства. В настоящей работе исследуется указанная поверхность Дж. Торпа.

Материалы и методы. В исследовании поверхности используется метод сечений и проекций поверхности в подпространства меньшей размерности. Методы приводят к необычным результатам.

Результаты. По общим геометрическим соображениям получается, что уравнения, приведенные Дж. Торпом, определяют сферу в четырехмерном пространстве. Но оказалось, что уравнения поверхности Дж. Торпа определяют поверхность, свойства которой отличаются от свойств сферы. Это утверждение обосновано в настоящей работе.

Выводы. В результате проведенных исследований получены выводы о том, что поверхность, определенная Дж. Торпом, не является ни тором, ни сферой. Это поверхность с другими свойствами, она может называться поверхностью Дж. Торпа.

Ключевые слова: сечения поверхности плоскостями; сферы, как объединение сечений плоскостями, параллельными координатной плоскости; сечения поверхности координатными плоскостями.

A. I. Dolgarev, V. Yu. Kurseeva

THE G. THORPE'S SURFACE IN A FOUR-DIMENSIONAL SPACE

Abstract.

Background. At the present time, the basic provisions of the theory of surfaces in multidimensional Euclidean spaces are developed. But there are not many examples of specific surfaces of these spaces. Each of multidimensional surfaces is of great interest. The surface defined by John Thorpe, named four-dimensional space torus, is not an exception. In this paper we investigate the J. Thorpe's surface.

Materials and methods. The authors used the method of section and surface projections to smaller dimension subspaces. These methods led us to unusual results.

Results. For general geometrical reasons, it turns out that the equations by J. Thorpe define the sphere in a four-dimensional space. But it appears that the equations of the J. Thorpe's surface determine a surface, the properties of which differ from the properties of a sphere. This statement is justified in the present work.

Conclusions. As a result of the research, the following deductions have been received: the surface defined by J. Thorpe is neither a torus nor a sphere. It is a surface with other characteristics, and it can be called "J. Thorpe's surface"

Key words: surface sections by planes, spheres as a union of sections by planes parallel to a coordinate plane; surface sections by coordinate planes.

1. Поверхность Торпа в E4

В работе [1, c. 186] поверхность четырехмерного евклидового пространства описывается следующими функциями:

f1 ( ^ ^ х4 ) = x12 + х2, Í2 (,х2,х3,х4 ) = x2 + x2.

Тогда определена поверхность T = f1_1 (б2 )n f2_1 (с2) в E4 согласно

Дж. Торпу. Функции fi определяют окружности в плоскостях (х1, Х2) и соответственно в (х3, Х4). Заданные окружности можно рассматривать как

их декартово произведение. Этого свойства поверхности, заданной функциями (1), недостаточно для того, чтобы поверхность T назвать тором. Параметризованная поверхность T сравнивается с примером 9, рассмотренным в [1, с. 167-168], где описывается отображение

ф

о котором можно судить как о квадрате с отождествленными противоположными сторонами. Такая поверхность тоже является декартовым произведением двух окружностей различных плоскостей и это отображение в [1] названо тором. Действительно, положив cos 9 = Х1, sin 9 = Х2, cos ф = Х3, sin ф = Х4 по (2), приходим к уравнениям вида (1):

х2 + Х2 = cos2 9 + sin2 9 = 1,

2 2 2 2 Х3 + Х4 = cos ф + sin ф = 1.

Согласно комментарию в [1] к заданию поверхности T, функции f описывают окружности в соответствующих плоскостях. В связи с этим в (1) введем обозначения:

f1

f2 (Х1,Х2,Х3,Х4 ) = Х2 + Х4 = с2.

Без указанных обозначений заданные функции f окружностей не определяют, в отличие от функции (2).

1. Лемма. Если точка P = (,Х2,Х3,Х4) лежит на поверхности (3), то для ее координат выполняется равенство

Х2 + х| + Х2 + Х2 = a2,

где

a2 = b2 + с2. #

Равенство (4) определяет в E4 сферу S3(a) радиуса a с центром

в точке

(0,0,0,0).

Из леммы 1 получаются в качестве следствий свойства поверхности (3).

2. Следствие. Поверхность (3) является частью сферы (4).#

3. Следствие. Всякая точка Р поверхности (3) находится на расстоянии а от центра.#

Каждое из уравнений в (3) в отдельности задает в пространстве круглый цилиндр, оси цилиндрических поверхностей взаимно перпендикулярны и пересекаются в начале координат. В трехмерном пространстве такие пересекающиеся цилиндры одинаковых радиусов определяют поверхность, содержащую линии пересечения, которые состоят из особых точек. И в четырехмерном пространстве пересечения двух круглых цилиндрических поверхностей одинакового радиуса, оси которых пересекаются, задают не тор. Если во взаимно перпендикулярных плоскостях четырехмерного пространства заданы две окружности одного радиуса с общим центром, являющимся началом координат, то декартово произведение таких окружностей не является тором. Для получения тора одна из окружностей должна иметь центр, не совпадающий с центром другой окружности, что противоречит системе уравнений (3). Приведенные соображения свидетельствуют о том, что уравнения (3) не описывают тор.

Точка О является центром симметрии поверхности (3).

2. Сфера трехмерного пространства

Для изучения поверхности (3) рассмотрим сферу S2 (а) радиуса а

3 3 3

в Е как отображение Я ^ Е , описываемую функцией

х2 + у2 + г2 = а2 .

2

Число а рассматриваем в виде (5) как сумму двух слагаемых.

В Е3 определим поверхности / : Я3 ^ Е3 ( = 1,2):

/1 (х, у, г ) = х2 + у2 = Ь 2,

/2

Поверхность /1 из (7) описывает в Е цилиндрическую поверхность, ее направляющая линия есть окружность в (х, у)-плоскости и образующая

параллельна оси Ог. Поверхность /2 из (7) является парой плоскостей

31 г = ±с при с Ф 0 . Система (7) задает в Е две окружности 5" радиуса Ь , лежащие в плоскостях г = ±с :

Ть = /т1 (ь2) П /г1 (с2), где с2 = а2 - Ь2 .

В частности, если Ь = 0, то имеем две точки в плоскостях г = ±а - полюса сферы, а если Ь = а, то имеем одну окружность радиуса а в (х, у)-плоскости - экваториальную окружность сферы (6). Заметим также,

что поверхность Ть является проекцией сферы (6) в Е3 .

Непрерывно изменяя слагаемые в разбиении

а2 = b2 + с2,

получаем различные пары окружностей Ть в плоскостях, параллельных (х, y)-плоскости. Значит сфера (6) является объединением всевозможных

окружностей радиусов bt ( е [0, а] и i е R ):

Тщ = /1"1 (bi2 )п /2"1 ().

Вместе с тем это объединение линий уровня сферы (6). Каждая линия уровня есть /1 1 (b2), и теперь сфера (6) является объединением линий уров-

—1 / 2 \ 2 2 2 ня /1 (by ), полученных как пересечение цилиндров х + y = by и плоско-

2 2 2

стей z = ±сг-, где by + cy = а . Каждое из указанных пересечений является линией

S = /1—1

и выполняется следующее утверждение

2 3

4. Лемма. Сфера (6) как двухпараметрическая поверхность S в E является объединением пересечений (9):

S2 = иS = и(/1—1 ( )/2—1 (с2)) .#

i i 2

Это значит, что сфера S является объединением пересечений цилиндров радиуса by с плоскостями z = ±cy.

Установленная лемма 4 верна для сферы Sm 1 в евклидовом пространстве E произвольной размерности:

5. Лемма. Сфера Sn (а) радиуса а пространства En+1, описывающаяся уравнениями

Л ( х1, х2, • • •, xn+1) = х12 + х2 + - • + xn = b;2, /2 (х1,х2,•,xn+1 ) = xn+1 = сг2,

где b2 + с2 = а2, является объединением пересечений цилиндров

2 2 2 2 Х1 + Х2 + • + xn = b^ и гиперплоскостей xn+1 =± су :

Sn

i

при условии, что числа bi непрерывно изменяются в пределах 0 < by < а .#

Physical and mathematical sciences. Mathematics 17

Последнее утверждение для сферы 53 (а) пространства Е4 формулируется следующим образом.

6. Теорема. Пусть сфера 53 (а) в Е4 описана функцией

2 2 2 2 2 х + х2 + х3 + х4 = а ,

имеем

53

г

где

/1 (х1,х2,х3,х4 ) = х12 + х2 + х3 = Ьг2,

/2

при условии, что числа Ьу непрерывно изменяются в пределах 0 < Ь < а .

# Поверхность /1 является цилиндрической в Е4, ее направляющая есть сфера 52 (Ьг) в (, х2, х3)-пространстве и образующая параллельна оси Ох4 . Поверхность /2 является парой гиперплоскостей х4 = ±сг-. Поверхность /2 пересекает цилиндрическую поверхность /1 по двум сферам

2 2 2 2

х + х2 + х3 = Ьг , лежащим в гиперплоскостях х4 =± с,. Отметим, что при Ьг = 0 получаются полюсы сферы 53 (а), а при Ьу = а получаем одну экваториальную сферу 52(а).#

7. Теорема. Поверхность, заданная функциями (1), не является сферой, а только ее частью.

# По лемме 1, поверхность Торпа (3) обладает свойствами сферы. Если она является сферой радиуса а , то по теореме 6 число а допускает разбиение

2 2 2

Ьг + су = а с непрерывно изменяющимися слагаемыми Ьу, су и выполняется

2

соотношение (10). Однако в задании (1) поверхности Торпа разбиение числа а

другое, а именно (5), т.е. на два постоянных слагаемых и координаты точек поверхности Т распределены в соотношениях (3) и (11) по-разному, т.е. задание

(3) поверхности противоречит заданию (11) сферы 53 (а). Следовательно поверхность (3) Торпа сферой не является, но лежит на сфере, по лемме 1. #

На основании задания (3) поверхности Торпа рассмотрим сечения поверхности трехмерными плоскостями ху = 0 .

8. Лемма. Пересечением Ть = /1-1 (ь2 )п/2-1 (с2), т.е. поверхностью

Торпа, может быть или конечное множество точек, или пересечение пусто.

# В сечениях х^ = 0 поверхности (1) имеются фигуры, лежащие в трехмерных подпространствах пространства Е4 . Если х1 = 0, то функции (3) принимают вид

/1

Функция /2 из (12) определят в подпространстве Е3 = {О,х2,хз,х^

2 2 2

круглый цилиндр хз + х4 = с , функция /1 из (12) определят две плоскости х2 = ±Ь . Система функций (12) определят пересечение круглого цилиндра и плоскостей х2 =±Ь , перпендикулярных оси цилиндра - это две окружности, лежащие в плоскостях а±, перпендикулярных оси Ох2 и описываемых уравнениями х2 =±Ь . Если х2 = 0, то

/1 (, х2, хз, х4 ) = х2 = Ь2, /2 (х1, х2, хз, х4 ) = х2 + х2 = с2,

определяют две окружности, лежащие в плоскостях Р± в пересечении ци-

2 2 2

линдра хз + х4 = с и плоскостей х1 = ±Ь .

Имеются пересечения а+ пР+ и а_ п Р_, симметричные относительно центра симметрии О (0,0,0,0). Если пересечения окружностей в плоскостях , Р+ непустые, то они состоят не более чем из двух точек. Плоскости а+ и Р+ взаимно перпендикулярны, так как они перпендикулярны взаимно перпендикулярным осям Ох1 и Ох2 .

Точно так же при хз = 0 и при х4 = 0 имеется не более двух точек в пересечениях

/1 (, х2, хз, х4 ) = х2 + х| = Ь2,

/2 (, х2, хз, х4 ) = х2 + х2 = с2.

Значит, система функций

с трехмерным тором. Существует сечение трехмерного тора плоскостью, в которой лежит две окружности различных радиусов. Не все точки тора лежат на одинаковом расстоянии от центра симметрии тора. Этим свойством обладает и четырехмерный тор. Значит, поверхность (1) не может быть тором.#

4. Поверхность Торпа как пересечение цилиндров

Поверхность Торпа в задании

х2 + х| = Ь2, Ь = 1; х2 + х2 = с2, с = 1,

описывается двумя неявными функциями, соответственно в (, x2) -плоскости и в (Х3, Х4) -плоскости. Поверхность может быть описана и двумя явными функциями:

x2 =^Jl-x[ и x4 1 -x2 ;

становится очевидным, что поверхность Торпа является 2-параметрической,

такую поверхность принято обозначать F2 [2], она описывается в следующей параметризации:

F2 : r(xi,Х3) = ^xi,x'3^1 - xi2 - x2 j .

Каждая из функций

4

описывают в пространстве E цилиндрические поверхности соответственно: F11 : r1(x1) = ^x1,Ы2,ф - x2,U4j, F21 : r2(x3) = ^u^x3,43,^1 - x2 j .

В описании поверхностей использованы свободные параметры Uj, не

зависящие от параметров x1, x3 рассматриваемых поверхностей, [3]. Размерность каждой из этих цилиндрических поверхностей равна 3 [3]. Таким образом, поверхность Торпа F2 является пересечением двух цилиндрических поверхностей F11 , F21 размерности 3:

F2 = ^П F21

(см. [4]), поверхности F1, F являются круглыми цилиндрами одинаковых радиусов, их оси симметрий взаимно перпендикулярны и пересекаются в начале координат. Очевидно, что указанное пересечение не определяет тор.

Проведенные исследования поверхности, описанной системой функций (1), показали, что эта поверхность не может быть ни сферой, ни тором, но является частью сферы.

Библиографический список

1. Торп, Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии / Дж. Торп. - Волгоград : Платон, 1998. - 360 с.

2. Иванова-Каратопраклиева, И. Изгибание поверхностей. III / И. Иванова-Каратопраклиева, П. Е. Марков, И. Х. Сабитов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12, № 1. - С. 3-56.

3. Долгарев, А. И. Многомерные поверхности. I. Выражение коэффициентов второй квадратичной формы евклидовой поверхности через коэффициенты первой квадратичной формы / А. И. Долгарев // Moderni vymozenosti vedy - 2014 : Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji, dil 34. Matematyka. Fizyka. - Praga : Education and Skience. s.r.o., 2014. - С. 30-40.

4. Долгарев, А. И. Простая тория евклидовых поверхностей произвольной размерности / А. И. Долгарев // Международный научный институт «EDUCATIO». -2014. - № 3. - С. 58-61.

References

1. Torp Dzh. Nachal'nye glavy differentsial'noy geometrii [Elementary Topics in Differential Geometry]. Volgograd: Platon, 1998, 360 p.

2. Ivanova-Karatopraklieva I., Markov P. E., Sabitov I. Kh. Fundamental'naya i priklad-naya matematika [Fundamental and applied mathematics]. 2006, vol. 12, no. 1, pp. 3-56.

3. Dolgarev A. I. Moderni vymozenosti vedy - 2014: Materialy XMiedzynarodowej nau-kowi-praktycznej konferencji, dil 34. Matematyka. Fizyka [Modern progress of science -2014: Proceedings of X International scientific and practical conference. Mathematics. Physics]. Praga: Education and Skience. s.r.o., 2014, pp. 30-40.

4. Dolgarev A. I. Mezhdunarodnyy nauchnyy institut «EDUCATIO» [International scientific institute «EDUCATIO»]. 2014, no. 3, pp. 58-61.

Долгарев Артур Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: deiivar@yandex.ru

Курсеева Валерия Юрьевна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: NoelleDestler@yandex.ru

Dolgarev Artur Ivanovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Kurseeva Valeriya Yur'evna Postgraduate student, Penza State University

УДК 514 Долгарев, А. И.

Поверхность Дж. Торпа в четырехмерном пространстве / А. И. Долгарев, В. Ю. Курсеева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 14-21. Б01 10.21685/2072-з040-2017-1-2