ЯЧЕЙКА ОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
CELL OF HOMOGENEOUS STRUCTURE TO SOLVE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH ALTERNATING COEFFICIENTS

Изобретение относится к области цифровой вычислительной техники и предназначено для разработки и конструирования специализированных устройств для решения дифференциальных уравнений, содержащих частные производные по пространственным и временной координатам, а также для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Известен процессор матричной вычислительной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных, содержащий решающие блоки, регистры, блок памяти команд, блок памяти данных, блок микропрограммного управления и блоки оповещения (авторское свидетельство СССР №1280385, МПК3 G06F 15/32, опубл. 30.12.1986, бюл. №48). Это устройство отличается универсальностью при реализации различных типов итерационных процедур вычислений, но его недостатком является избыточность и сложность реализации небольших задач.
Известна ячейка однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных, содержащая первый интегратор, блок масштабных интеграторов, выходы которого соединены со входами сумматора приращений, второй интегратор, выход которого соединен со входом первого интегратора и с одним из входов блока масштабных интеграторов, а вход второго интегратора подключен к выходу сумматора приращений (авторское свидетельство СССР № 783811, МПК3 G06G 7/56, опубл. 30.11.1980). Недостатком этого устройства является невозможность прямого решения дифференциальных уравнений, содержащих частные производные не только по пространственным координатам, но и по времени.
Известна ячейка однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных, выбранная в качестве прототипа, содержащая интегратор, блок масштабных интеграторов, выходы которого соединены со входами сумматора приращений, следящий интегратор, выход которого соединен со входом интегратора и с одним из входов блока масштабных интеграторов, а вход которого подключен к выходу сумматора приращений, ключевой элемент и блок формирования приращений от искомой переменной с предыдущих шагов по времени, выход которого соединен с одним из входов сумматора приращений, а вход с выходом ключевого элемента, первый вход которого соединен с выходом интегратора, а второй служит входом для сигнала управления, и выходом ячейки для соединения с входами других ячеек однородной структуры является выход следящего интегратора, а входами ячейки для соединения с выходами других ячеек - входы блока масштабных интеграторов (патент на изобретение РФ №2359322, МПК G06F 7/13, G06F 7/64, опубл. 20.06.2009).
Недостатком этой ячейки являются постоянные коэффициенты, которые вводятся в блок масштабных интеграторов перед началом цикла решения и остаются неизменными до конца цикла. Это свойство прототипа исключает ряд задач с коэффициентами, величина которых должна изменяться по ходу решения. Например, при решении уравнения теплопроводности искомой переменной является температура, а коэффициенты этого уравнения - теплоёмкость и теплопроводность являются температурно-зависимыми (см., например, Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей / Н.Б.Варгафтик, М., Наука, 1972, 721 с.).
Задачей изобретения является расширение арсенала технических средств аналогичного назначения.
Поставленная задача достигается тем, что ячейка однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами содержит так же, как в прототипе, интегратор, блок масштабных интеграторов, выходы которого соединены со входами сумматора приращений, следящий интегратор, выход которого соединен со входом интегратора и с одним из входов блока масштабных интеграторов, при этом вход следящего интегратора подключен к выходу сумматора приращений, ключевой элемент и блок формирования приращений от искомой переменной с предыдущих шагов по времени, выход которого соединен с одним из входов сумматора приращений, а вход с выходом ключевого элемента, первый вход которого соединен с выходом интегратора, а второй служит входом для сигнала управления, причем выходом ячейки для соединения со входами других ячеек однородной структуры является выход следящего интегратора, а входами ячейки для соединения с выходами других ячеек - входы блока масштабных интеграторов.
Согласно изобретению введен второй ключевой элемент, первый вход которого служит входом ячейки для ввода зависимых от искомой величины с предыдущих шагов по времени переменных коэффициентов от внешнего устройства, второй вход связан со вторым входом первого ключевого элемента и служит входом для сигнала управления. Выход второго ключевого элемента соединен со входом блока масштабных интеграторов для ввода коэффициентов, а выход ячейки подключен к входу внешнего устройства для пересчета коэффициентов.
Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение с первой частной производной по времени и коэффициентами, зависимыми от искомой переменной:
с начальными и граничными условиями:
где U - искомая переменная,
t - время,
x - пространственная координата (в общем случае это может быть вектор),
0
U(x) - начальные значения искомой переменной,
G - граница области решения,
α(U,x) - коэффициент, зависящий от искомой переменной и характеризующий свойства среды, для которой решается уравнение,
F(x,t) - функция источника внутри области решения,
G
F(t) - функция источника на границе области решения.
В соответствии с конечно-разностной аппроксимацией по неявной схеме исходного дифференциального уравнения получаем расчетную формулу для внутренних узлов сетки, наложенной на область решения:
где Δt - шаг по времени,
h - шаг по пространственной координате,
n - номер шага по времени,
i - номер шага по пространственной координате.
Для обеспечения устойчивости решения при любом шаге по времени применяется метод установления (итераций) по фиктивному времени. Для этого все слагаемые конечно-разностного уравнения (4) переносятся в правую часть, а в левой части ноль заменяется производной от искомой переменной по фиктивному времени θ.
где .
Далее применяется конечно-разностная аппроксимация по явной схеме для аргумента θ:
θ
где […] - правая часть уравнения (5).
На первом шаге (n=0) по реальному времени расчетное уравнение (6) имеет вид:
где .
В общем виде уравнение (7) для n+1-го шага по времени:
Для реализации уравнения (8) в виде ячейки однородной структуры оно записывается в форме приращений искомой переменной:
Результат вычислений на каждом шаге по времени (8) накапливается в интеграторе и через первый ключевой элемент после подачи разрешающего управляющего сигнала передается в блок формирования приращений от искомой переменной с предыдущих шагов по времени. В следующем цикле по θ этот блок дает последнее слагаемое в уравнении (9)  для вычисления выходного результата ячейки. Результат в форме приращений по уравнению (9)  передается по ходу итераций по θ не только на внутренние блоки ячейки, но и на ее выход и может быть сразу использован внешним устройством для синхронного параллельного перерасчета зависящих от текущего решения коэффициентов .
В промежутках между циклами интегрирования по θ (один шаг по времени t) по сигналу управления через второй ключевой элемент в блок масштабных интеграторов подается новое значение коэффициента , рассчитанное внешним устройством по полученным на предыдущем цикле итераций по θ приращениям искомой переменной . Коэффициент  позволяет учитывать зависимость коэффициента исходного дифференциального уравнения α(U,x), характеризующего свойства среды, от  и быть более точным, чем использовавшийся на предыдущем шаге по времени коэффициент , поэтому и решение как на следующем шаге, так и в целом должно получаться более точным.
Таким образом, подключение выхода ячейки к входу внешнего устройства для синхронного параллельного пересчета коэффициентов, введение второго ключевого элемента и входа для ввода рассчитываемых внешним устройством значений коэффициентов на каждом шаге по времени дает в качестве технического результата расширение функциональных возможностей ячейки для решения дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, зависящими от искомого решения.
Предлагаемая ячейка однородной структуры для решения дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами представлена на чертеже.
Она содержит блок масштабных интеграторов 1 (БМИ), сумматор приращений 2 (СП), следящий интегратор 3 (СИ), интегратор 4 (И), блок формирования приращений переменной с предыдущих шагов по времени 5 (БФПВ), первый ключевой элемент 6 (КЭ1), второй ключевой элемент 7 (КЭ2), и выходом ячейки для соединения со входами других ячеек однородной структуры является выход следящего интегратора 3(СИ). Входы блока масштабных интеграторов 1 (БМИ) являются входами выходных сигналов других ячеек однородной структуры, а один из них соединен с собственным выходом ячейки. Еще один вход блока масштабных интеграторов 1 (БМИ) связан с внешним устройством управления для подачи значения приращения функции источника  Все выходы блока масштабных интеграторов 1 (БМИ) и выход блока формирования приращений переменной с предыдущих шагов по времени 5 (БФПВ) соединены со входами сумматора приращений 2 (СП), выход которого подключен ко входу следящего интегратора 3 (СИ). Выход следящего интегратора 3 (СИ) соединен со входом интегратора 4 (И), выход которого подключен к первому входу первого ключевого элемента 6 (КЭ1), выход которого соединен со входом блока формирования приращений переменной с предыдущих шагов по времени 5 (БФПВ). Второй вход первого ключевого элемента 6 (КЭ1) и второй вход второго ключевого элемента 7 (КЭ2) связаны с внешним устройством управления для подачи разрешающего сигнала У. Первый вход второго ключевого элемента 7 (КЭ2) связан с внешним устройством управления для подачи коэффициентов К, а выход соединён со входом блока масштабных интеграторов 1 (БМИ).
Перечисленные элементы могут быть реализованы на базе цифровых интегральных микросхем, например, серии К500-К531 (Нефедов А.В. Интегральные микросхемы и их зарубежные аналоги. Справочник. Т4, 2001) или заказных ПЛИС, выпускаемых, например, фирмой «Ангстрем» (www.angstrem.ru). Блок формирования приращений переменной с предыдущих шагов по времени 5 (БФПВ) может быть реализован на базе масштабных интеграторов и логических элементов.
Ячейка однородной структуры работает следующим образом. В ячейку предварительно заносят: начальное значение коэффициента  в блок масштабных интеграторов 1 (БМИ), начальное значение искомой переменной  в блок формирования приращений переменной с предыдущих шагов по времени 5 (БФПВ) в соответствии с начальным условием исходной задачи (2). Если ячейку используют в качестве граничной, то в блок 5 (БФПВ) заносят граничные условия в соответствии с выражением (3).
В течение цикла расчета по θ формируемые в следящем интеграторе 3 (СИ) приращения передаются в блок масштабных интеграторов 1 (БМИ), в интегратор 4 (И) и на выход ячейки для использования в соседних ячейках и внешнем устройстве для пересчета коэффициентов.
После окончания цикла расчета по θ на первом шаге по времени по уравнению (7) на вторые входы первого ключевого элемента 6 (КЭ1) и второго ключевого элемента 7 (КЭ2) подают открывающий сигнал У от внешнего устройства управления, и полученное значение искомой переменной из интегратора 4 (И) через первый ключевой элемент 6 (КЭ1) передается в блок формирования приращений переменной с предыдущих шагов по времени 5 (БФПВ), а пересчитанные внешним устройством управления значение коэффициента  через вход ячейки К и второй ключевой элемент 7 (КЭ2) передается в блок масштабных интеграторов 1 (БМИ). Переданные значения используются в следующем цикле интегрирования по θ в качестве предыдущих значений на втором шаге по реальному времени. Длительность одного цикла интегрирования по фиктивному времени θ задают такой, чтобы значения искомой переменной в каждой ячейке устанавливались постоянными с точностью до заданной погрешности.
Эту итерационную процедуру повторяют далее до тех пор, пока не закончится заданное время интегрирования (по индексу n). Итоговый результат вычислений накапливается в интеграторе 4 (И) в соответствии с расчетной формулой, следующей из уравнения (8).