Математическая модель свободной конвекции при кристаллизации стальных слитков

FUNCTIONING MODELING OF SERVICE FACILITY WITH NON-DEVALUATIVE FAILURES USING ROUTE METHOD

M.V. Zamoryonov, V.Ya. Kopp, D.V. Zamoryonova, A.A. Skidan

A trajectory method allowing to model the functioning process of the semi-Markov systems is presented. The functioning modeling of the service facility with allowance for non-devaluative failures is performed. The comparison of the proposed modeling method and a well-known one, based on Markov renewal equations, is demonstrated.

Key words: semi-Markov system, trajectory method, repeated enterings, non-devaluative failures, service facility.

Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical sciences, docent, zamoryo-noff@gmail.com, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v kopp@ mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,

Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mik@,ukr.net, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University,

Skidan Aleksandr Antonovich, candidate of technical sciences, docent, skidan 7@mail.ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol National University

УДК 669.18

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ ПРИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ СТАЛЬНЫХ СЛИТКОВ

А.И. Вальтер, А.Н. Творогов

Разработана математическая модель расчета конвективных скоростей вторичной зоны охлаждения слитка стали, полученного методом непрерывной разливки. Численная реализация модели проводилась с использованием пакета ЛШУБ.

Ключевые слова: слиток, кристаллизация, конвективные скорости, теплопе-ренос, математическая модель.

Методы физического и математического моделирования широко применяются при исследовании процессов разливки и затвердевания слитков в изложницах [1].

Ключевыми вопросами в оптимизации технологии изготовления слитка обозначим исследование циркуляции жидкого металла при заливке и его последующее охлаждение, анализ температурных полей и условий теплообмена при кристаллизации слитка с учетом естественной конвекции расплава, расчет осевой усадочной пористости, прогнозирование структуры литого металла.

В данной работе предлагается решение на основе разработки физической модели процесса затвердевания стального слитка и сопутствующих ему явлений конвекции. Для теоретического решения предложено использовать тс-теорему.

На основе проведенных исследований установлено, что толщина приграничного слоя слитка со стенкой изложницы Ъ слитков стандартного сечения функционально зависит от следующих параметров:

b = f

где К - общий коэффициент теплопередачи от поверхности слитка к охлаждающей среде, Дж/(м2 с°С); At - перепад температур расплавленного металла и охлаждающей среды, °С; 5 - определяющий размер, м; р - плотность, кг/м ; qkp - удельная теплота кристаллизации, Дж/кг; Лт - продолжительность кристаллизации, с.

Для слитка круглого сечения действительность уравнения (1) подтверждается исследованиями, приведенными в работе [1]:

Аг8 + А282 +А383 + А4 ln

s.PMkp V y

где Ly = SBi - критерий Лыкова; 8 = b/s - относительная толщина закристаллизовавшегося приграничного слоя; Л1...Л4 - коэффициенты, функционально зависящие от критериев превращения N и Bi.

Вычислим число определяющих критериев подобия в соответствии с 7Г-теоремой. Общее число размерных величин, участвующих в процессе, U = 7, число членов с неодинаковыми размерностями и=6, число самостоятельных размерностей к=5 (Дж, м, с, °С, кг). Тогда число определяющих критериев г = и — к = 1и число симплексов s = U — и = 1.

Перечисленные выше размерности в соответствии с числом определяющих критериев и симплексов комбинируются в следующие комплексы:

KAtAT \

д=~.

s /

Умножаем числитель и знаменатель выражения (3) на коэффициент температуропроводности а и определяющий размер s, получим

KAtAr _ Ks аАт At _ Ks сАт aAt Spqkp s2 a pqkp Я qkp s

тогда

BiNF0 = idem.

Самостоятельное существование критерия затвердевания N, естественно, невозможно. Критерий F0 является критерием гомохронности и в противовес критерию N должен быть выделен для пересчета продолжи-

тельности затвердевания при моделировании в реальные условия. Таким образом, при физическом моделировании затвердевания необходимо соблюдение следующих условий:

F0 = idem, ...

BiN = idem.

Первое условие позволяет определить временной масштаб моделирования:

Здесь и в дальнейшем индекс «Д» соответствует величине или параметру в реальных условиях, а индекс «М» - в условиях моделирования.

Второе условие дает возможность определить масштабы интенсивности теплопередачи

Кд

км

и плотности тепловых потоков

Чм

Известны результаты физического моделирования конвекции стального слитка в изложницах и кристаллизаторах с применением парафина [2], где с помощью метода координатных сеток определялись траектории движения материальных частиц. Такой метод дает приближенные результаты.

Более совершенная методика исследования сводных потоков в изложницах и в кристаллизаторах заключается в том, что модель незатвер-девшей полости слитка, заполненная горячей водой при температуре 60...70 °С, располагается во внешней водяной среде с температурой 20...25 °С.

В общем случае структура зависимости Nu = f{Gr, Pr) для расплава стали и воды, естественно, различна. Однако проведенными исследованиями [3] установлено, что при условии свободной конвекции указанное выражение хорошо аппроксимируется единой формулой при широком диапазоне чисел Прандтля:

Nu = С Grn Prm,

при Gr > 109 С = 0,108 м п = -, а коэффициент m определяется как

m = 0,3 + °'022/з^:-

Для расплава стали Ргд = 0Д26 и т « 0,33. Для нагретой воды ~ 50 °С Ргм = 3,56 и т = 0,31. Следовательно, для моделирования процесса может быть использовано уравнение

А1и = 0,105

где Ra = Gr Pr - критерий Релея.

Учитывая условие Ra = idem, получим

гД = ^Ргм.

VM VM

Откуда

где (Зд и ¡Зм — соответственно коэффициенты объемного расширения, 1/ °С; Д£д и AtM - соответственно температурные перепады между расплавленной средой и стенкой изложницы, °С; MAt - масштаб температурных

перепадов MAt = ^ уд и vm ~ соответствующие коэффициенты кинематической вязкости, м/с; Ргд и Ргм - соответствующие значения чисел Прандтля.

Подставляя конкретные значения теплофизических постоянных расплавленной стали и воды, получим

Mf-MAt = 262.

При Мг = 5, Мм «2,2. В условиях моделирования AtM=30 °С, тогда Д£д = 66 °С, что примерно соответствует действительным значениям.

Пересчет замеренных на модели значений скоростей шм производится при помощи скоростного масштаба Мш = —, который подсчитываем

ется, исходя из условия идентичности критерия Пекле. Выбор критерия Ре для этой цели обуславливается тем, что он характеризует отношение количеств тепла, переносимого конвекцией и теплопроводностью. Принимая Pe=idem, получим необходимый масштаб скоростей

Мш =

при tB = 50 °С и Mt = 5, Мш = 5.

Для проверки адекватности предложенной математической модели реальному теплофизическому процессу исследовались свободные конвективные токи в охлаждаемом слитке. Замеры производились на трех горизонтальных сечениях /-//-/// (рис.1). В каждом из трех сечений во внутренней полости измерялись скорости конвективных потоков в точках 14.

Исследования показали, что по периметру слитка образуется нисходящий поток, а в центральной части - поток восходящий, что подтверждается экспериментальными данными о движении жидких сред в условиях свободной конвекции [4]. Протяженность зоны нисходящего потока больше на участке, прилегающем к узкой грани (25...30 мм), и меньше вдоль широкой грани (18...24 мм). На рис. 2 приведены эпюры конвективных скоростей в сечениях /-//-///.

Полученные значения скоростей дали возможность определить сумму количества движения в отдельных сечениях. Расчеты показали, что при вынужденной конвекции в плоскости одного сечения равенство количеств движения не сохраняется.

а б в

Рис.2. Схема распределения скоростей течения жидкого металла в изложнице: а - 240 с; б - 450 с; в - 720 с

При свободной конвекции равенство количеств движения в восходящих и нисходящих потоках в одной плоскости примерно одинаково, что может быть использовано при создании более строгой математической модели.

Список литературы

1. Флемингс М. Процессы затвердевания. М.: Мир, 1977. 424 с.

2. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988. 608 с.

3. Мартин Дж, Доэрти Р. Стабильность микроструктуры металлических систем / пер. с англ; под ред. В. Н. Быкова. М.: Атомиздат, 1986. 280 с.

4. Евдокимов Е.Г., Баранов А. А., Вальтер А.И. Генезис электронной конфигурации в железоуглеродистых сплавах. Тула: ТулГУ, 2004. 192 с.

Вальтер Александр Игоревич, д-р техн. наук, проф., valter.alekaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Творогов Алексей Николаевич, студент, valter. alek aramhler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

A MATHEMATICAL MODEL OF FREE CONVECTION DURING SOLIDIFICATION

OF STEEL INGOTS

A.I. Walter, A.N Tworogov

Mathematical model for calculating the convective velocities of the secondary cooling zone of steel ingot obtained by continuous casting is developed. Numerical implementation of the model was performed using "ANSYS'package.

Key words: ingot, crystallization, convective velocity, heat transfer, mathematical

model.

Walter Alexander Igorevich, doctor of technical sciences, professor, valter. alek@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Tworogov Aleksei Nikolaevich, student, valter.alek@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University