Теория трансформаторов. Часть 3

DOI: 10.18721/ JEST.230111 УДК 621.313

М.А. Шакиров

ТЕОРИЯ ТРАНСФОРМАТОРОВ. Часть 3

Как и первые две части, работа посвящена развитию теории трансформаторов и выявлению их новых свойств путем использования понятия о векторном магнитном потенциале. Доказано существование характеристической поверхности внутри первичной обмотки идеализированного броневого трансформатора, на которой векторный потенциал не зависит от нагрузки. Вопреки официальной теории оказалось, что в трансформаторе при изменении нагрузки поддерживается постоянным не «общий поток намагничивания в магнитопроводе», а магнитный поток, охватываемый характеристической поверхностью первичной обмотки. Условием передачи активной мощности является наличие разности фаз между потоками, которые охвачены характеристическими поверхностями первичной и вторичной обмоток. Получен новый вид 4Т-образной схемы замещения, где отображены магнитные потоки и топология трансформатора. Доказано, что линии разделения потоков в окне в случае КЗ проходят только внутри ко-роткозамкнутой обмотки, при этом отдельные части магнитопровода находятся в перевозбужденном состоянии по отношении к их состоянию при ХХ. Эти результаты не совместимы с догмами официальной теории и ставят вопрос о внедрении взамен нее новой теории трансформатора и обновлении стандартов по стойкости трансформаторов при КЗ, необходимых для оптимизации конструкции трансформаторов на стадии проектирования, что, в конечном счете, должно остановить наблюдаемый в настоящее время рост их аварийности. Представлено физическое обоснование необходимости увеличения нормированного ударного коэффициента тока КЗ с 1,8 до 1,9.

ТРАНСФОРМАТОР; ПЕРВИЧНАЯ И ВТОРИЧНАЯ ОБМОТКИ; МАГНИТНЫЙ ПОТОК; ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА; СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ; ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ; УДАРНЫЙ ТОК.

Ссылка при цитировании:

М.А. Шакиров. Теория трансформаторов. Часть 3 // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2017. Т. 23. № 1. С. 107-123. DOI: 10.18721/ JEST.230111

M.A. Shakirov

THEORY OF TRANSFORMERS. Part 3

As with the first two parts, the work is dedicated to the development of the theory of transformers and identifying its new features using the concept of magnetic vector potential. It is proved for the idealized shell type transformer that a characteristic surface exists inside the primary winding in which the vector potential does not depend on the load. In opposition to the official theory, it turned out that not the «overall flow of the magnetization in the magnetic», but the magnetic flux covered by the characteristic surface of primary winding is supported constant in the transformer. The condition of active power transmission is the presence of a phase difference between the fluxes covered by the characteristic surfaces of the primary and secondary windings. A new type of the 4T-shaped equivalent circuit is obtained, with magnetic fluxes and transformer topology displayed on it. In case of short-circuit, the flux separation line in windows passes only within shorted winding. At the same time the individual parts of the magnetic circuit are overexcited in relation to their state when idling. These results are not compatible with the dogmas of the official theory and raise the issue of creating a new transformer theory with the development of more grounded standards on their durability to short-circuit needed to improve the construction of transformers at the design stage and, ultimately, to stop the observed increase in their failures. A physical justification of the necessity to increase the normalized impact short-circuit current ratio from 1.8 to 1.9 has been presented.

TRANSFORMER; PRIMARY AND SECONDARY WINDINGS; MAGNETIC FLUX; VECTOR DIAGRAM; EQUIVALENT NETWORK; VECTOR POTENTIAL; CURRENT IMPACT.

Citation:

M.A. Shakirov, Theory oftransformers. Part 3, St. Petersburg polytechnic university journal of engineering sciences and technology, 23 (1) (2017) 107-123, DOI: 10.18721/ JEST.230111

Итогом двух частей новой теории двухобмо-точного трансформатора, изложенных в [1, 2], явилось создание его универсальной физико-математической модели, получившей в [3, 4] название 4Т-образной схемы замещения. Физич-ность проявляется в отображении на ней, наряду с электрическими величинами, также реальных магнитных потоков в отдельных участках стали магнитопровода, в толще обмоток и в промежутке между ними. Реальность означает, что все эти потоки (в отличие от виртуальных, так называемых потоков рассеяния в официальной теории [5—12]) являются физически существующими, т. е. могущими быть измеренными, например с помощью измерительных катушек [13, 14]. Термин универсальная модель употреблен в смысле пригодности ее для оценки перевоз -буждения магнитной системы трансформатора в любых аномальных установившихся и динамических режимах его работы, в том числе при возникновении насыщения и возможного перенасыщения отдельных частей магнитопровода, благодаря однозначному соответствию каждого элемента модели определенному участку магнитной системы трансформатора. Универсальность указывает также на то, что созданная 4Т-образная схема замещения может служить основой для построения схемных моделей более сложных многообмоточных трансформаторов и автотрансформаторов, в том числе с учетом насыщения, что получило подтверждение в[3, 4].

Цель настоящей работы — дальнейшее развитие новой теории трансформатора с использованием понятия о векторном магнитном потенциале как универсальном средстве досконального разбора процессов внутри трансформатора и оценки их влияния на его внешние характеристики, включая поведение трансформатора при перегрузках и в режимах КЗ [15, 16]. Последнее чрезвычайно актуально как в связи с наблюдающимся ростом их аварийности при КЗ, «вплоть до 1,8 % при понижении среднего возраста повреждающихся трансформаторов», так и многолетней недооценкой проектировщика-

ми, изготовителями (заводы), эксплуатантами (потребители) трансформаторной продукции «проблемы стойкости трансформаторов при КЗ (the short-circuit withstand)» [13, 17—19], тем более, что для ликвидации этой болезненной ситуации в энергетике требуются многие годы и большие средства. Анализ материалов сессий СИГРЭ и МЭК (вплоть до 2016 года) показывает, что в настоящее время решение задачи повышения «the short-circuit withstand» видят только в производственных мероприятиях по усилению конструкций обмоток (прессовка при сушке, тренировка, применение упрочненных медных и алюминиевых сплавов, новых изоляционных материалов и т. д.) или применении различных типов аморфных сталей на основе статистических данных и «сравнения прототипов». Развитие теории трансформаторов с использованием векторного потенциала, не отклоняя эмпирические стратегии, создает благоприятные возможности решать проблемы их стойкости при КЗ и перегрузках с учетом реальных физических процессов внутри трансформатора и выходом на обновление существующих стандартов при их проектирования. Будучи первым этапом в этом направлении, данная работа ограничена исследованиями идеализированного двухобмоточно-го броневого трансформатора, допускающего точное математическое описание всех взаимосвязей между электромагнитными величинами, благодаря чему достигается полная достоверность полученных результатов, рассматриваемых как фундаментальные. Потери и насыщение в реальном трансформаторе могут быть учтены внесением соответствующих ветвей с нелинейными индуктивностями и дополнительными активными сопротивлениями аналогично тому, как это выполнено в [1—4].

Векторный потенциал в физике и электротехнике

Несмотря на важность, которую векторный потенциал играет в теории электромагнитного поля, до сих пор его роль в описании целост-

ного поведения трансформатора не рассматривалась. Более того, специально оговаривается якобы бессмысленность такого рассмотрения, как это представлено, в частности, в [10, с. 508] в связи с обсуждением конфигурации магнитного поля в окне, полученной Ротом [5] с помощью векторного потенциала: «Anyway, we should not be concerned about the absolute values of the magnetic vector potential». Решение [5] рассматривается в официальной теории только с позиции оценки коэффициента Роговского и никак не в отношении описания поведения трансформатора в целом [7]. Все представлено так, как будто бы векторный потенциал попросту не востребован в теории трансформаторов.

В действительности векторный потенциал (как величина, предопределяющая потоки и энергию магнитного поля) является не невостребованным, а несовместимым с догмами официальной теории трансформатора, изначально наполненной понятиями о несуществующих потоках рассеяния и об общем магнитном потоке, будто бы создаваемым МДС намагничивания w1I0 = wlIl - w2I2 . Парадокс состоит в следующем: при wi 10 = 0 , что имеет место в трансформаторе с наилучшими данными, т. е. с наилучшей сталью (цсталь = да) и, следовательно, идеальной магнитной связью между обмотками, он согласно официальной теории работать не сможет, что явно или косвенно подтверждают все учебники [6, 8-10].

Неприятием случая цсталь = да (то есть при допущении, что цсталь может быть только строго конечным) официальная теория заводит сама себя в тупик. В отличие от нее, новая теория [1, 2] изначально построена на исследовании свойств трансформатора с предельно лучшими параметрами, для которого условия цсталь = да и wi 10 = 0 являются нормой для исследования любых режимов. Образно говоря, новая теория начинается там, где заканчивается, терпит крах официальная теория. Поэтому новая теория открыта для мониторинга официальной теории векторным потенциалом, поскольку рассматривает не виртуальные, надуманные, а реальные магнитные потоки [15].

Необходимо объяснить, что нового дает векторный потенциал А в анализе работы силовых трансформаторов. Причем ответ должен быть

дан в терминах классической электромеханики. Акцент на классическое воззрение сделан не случайно, поскольку анализ аналогичной задачи физиками выполнен с привлечением идей квантовой механики [16], что выглядит отпугивающим и для решения технических проблем абсолютно неприемлемым.

Вместо трансформатора Р.Фейнман в [16, с. 15—27] разбирает парадокс с «длинным соленоидом, по которому течет постоянный ток: ... снаружи него поля В нет, тогда как ... есть А». Утверждается, что эта ситуация разрешается на основе «уравнения Шредингера» (1926) и выполненного «через тридцать лет ... кристально ясного опыта Бома и Аронова (1956), ... которым многие были просто потрясены». На волне этих восторгов Р. Фейнман почти сознательно отстраняет инженеров-электриков от всякой попытки решить поставленную проблему практически, «поскольку в классической механике А, по-видимому, не имеет важного значения из-за того, что его можно менять добавлением градиента» и «люди повторяли, что векторный потенциал не обладает прямым физическим смыслом» [16, с. 24]. А между тем центральный вопрос Р. Фейнмана — «что реальнее, В или А?» — имеет прямое отношение к теории трансформатора, так как парадокс, описанный им для соленоида, еще в большей степени проявляется при рассмотрении идеализированного броневого трансформатора: для поля в стали Н = 0, а векторный потенциал существует и в стали и снаружи в окне трансформатора в любом режиме. В режиме ХХ и вовсе имеет место полная аналогия с соленоидом: в окне трансформатора поля В нет, тогда как А есть. Как видно, то, что физиками рассматривается как экзотика, необычность, для инженеров-электриков представляется типовой задачей.

В сложившейся ситуации, помимо преодоления предрассудков официальной теории трансформатора, несовместимой с теорией векторного потенциала, необходимо в обход кван-тово-механических толкований Р. Фейнмана найти альтернативные физические представления для векторного потенциала на естественном для инженеров-электриков языке. Таким образом, материал статьи приобретает, помимо практического, также дидактическое (поучительное) и мировоззренческое значение.

Главенство векторного потенциала в трансформаторе

При ознакомлении с функцией распределения векторного потенциала в трансформаторе весьма важно располагать ее аналитическим выражением, что возможно, если трансформатор имеет каноническую броневую структуру, показанную на рис.1. Диаметры стержня и цилиндрических поверхностей кругового бокового ярма обозначены как Ьст, Ьбок1 и Ьбок2 . Сечения стержня и бокового ярма одинаковы, поэтому

-Р1 - ь2

Ф ст, Фбок в стали и потоков Ф а, Ф 5, Ф Ь в окне параллельны оси г, а линии электрического поля Е(г) циркулируют вокруг оси г. При этом векторный потенциал А = Аа (г)еа можно принять главенствующим, поскольку он оказывается первообразной функцией в том смысле, что производные от А(г) = Аа (г) определяют оба поля в трансформаторе — магнитное В(г) и электрическое Е(г):

В - в (г) =1 д(гА)-

дА

Е = Еа

Ь

бок2

2

бок1

где Ьбок1 = ЬЬ + Ь + 282. Ось г совпадает с осью стержня. Магнитное и электрическое поля осе-симметричны, и естественно их рассматривать в цилиндрических координатах г, г, а (с ортами к, ег, еа) при следующих допущениях, характерных для идеализированного трансформатора:

высоты обмоток равны Ноб = Нокн = Н , где Нокн — высота окна;

активные сопротивления обмоток равны нулю;

потери в стали отсутствуют;

магнитная проницаемость стали бесконечна

( Усталь = );

магнитная индукция в стали распределяется равномерно по ее сечению.

Из этих условий вытекает, что магнитные потоки в промежутках шириной 81 и 82 равны нулю. Линии индукции В(г) магнитных потоков

г дг

Кроме того, векторный потенциал напрямую определяет функцию потока Ф(г), пересекающего площадь круга радиуса г в плоскости z = сош!:

2 п 2п

Ф

0 0

Поскольку на оси стержня функция потока ф(г)|г=0 = Ф(0) = 0 , то и циркулирующий вокруг оси г векторный потенциал следует на оси г принять равным нулю, то есть

А

С учетом этого условия, зная распределение А(г) = Аа (г), можно легко с помощью (3, а) определить любой из потоков Фст, Фа, Ф8, ФЬ, Фбок, связанных между собой следующими соотношениями (см. рис.1):

фа8 = ф - Ф •

Рис.1. Магнитные потоки в броневом идеализированном (Н< сталь = ) трансформаторе

ф8Ь = Ф о8-сЪ 8=Ф -сЪ -(±) 8

я я 8 ст а 8'

Фбок = ФЯЬ - ФЬ = Фст - Фа - ФФ8 - ФЬ .

Правые части этих выражений показывают, что все потоки в стали можно имитировать частными значениями функции потока Ф(г) в окне:

Фст Ф

Ф Я8=Ф

Фбок = Ф

где радиусы определяются соотношениями Гст = ^ст/2; Г1а = Гст + 81  г2а = Г1а + а

гь = Г2а + 8  гЬ = г1 + Ь  Гбок1 = г2Ь +82.

Из (3, а) получаем обратное соотношение, используемое далее для определения распределения векторного потенциала внутри трансформатора

Ф

А = Аа (г) =

2пг

или в комплексной форме

Ф

А(г) =

2пг

(3,

А(ГСТ) = А(га)= А(г1) =

Ф (гст)_ Ф ст

2пГст 2пГст

Ф(Г2а ) _ Ф а8 _ я

2пг2а 2пг2а

Ф (Г1Ь)_ Ф 8Ь _ я

2пг1Ь 2пгЬ

А

2пГбок1 2пГбок1

Из (2) следует, что, в конечном итоге, и вектор Пойнтинга

П(г) = Е х Н = П(г )ег,

где П(г) = Еа (г)Н2 (г), также управляется векторным потенциалом.

Токи в обмотках идеализированного трансформатора

Сопротивление КЗ идеализированно трансформатора есть чисто индуктивная величина

гкз ©¿кз,

где ¿кз — известная из учебников индуктивность КЗ со стороны первичной обмотки. Если первичной является а-обмотка (см. рис. 1), то Ькз можно представить в виде суммы следующих трех слагаемых [2, с. 24]:

1кз = 4 + ¿8+ Ц ,

причем

Ч = Й0П

3А

3А

Поскольку положительное направление функции потока на эскизе (рис.1) принимается совпадающим с направлением оси I, то вектор А(г) = Аа (г), циркулируя вокруг этой оси, в правой части эскиза должен быть направлен от нас перпендикулярно плоскости рисунка.

На основе (8)—(12) можно записать следующие частные значения векторного потенциала на граничных поверхностях стержня, обмоток и бокового ярма внутри трансформатора:

¿8 = й0ПД88 ^ =М8^

-^8 , а 1 па '

= Й0 п(ПЬ - Ь /2)Ь ^2 ^ 2

-*-'Ь ____а ~__ "а

ЗА

ЗА

где 8а, , 8Ь — площади поперечных сечений соответствующих зон в окне,

5а = па

При подключении вторичной ¿-обмотки к нагрузке ^нагр в первичной а-обмотке возникнет ток

¡а = "а* ,

у ©¿кз + ^нагр

и.

у'юХкз +

V КЬ

.

нагр

В (19), (22) и (24) штрихами, как принято, помечены величины, приведенные к первичной

обмотке. В приведенном идеализированном трансформаторе Í'b= Ía.

Универсальная схемная модель двухобмоточного трансформатора

Эта схема под названием 4Т-образная схема замещения применялась в [3, 4] для вывода физико-математических схем замещения автотрансформаторов и многобмоточных трансформаторов. В отличие от [3, 4], на схеме рис. 2, а выделены узлы, отмеченными крестиками, для демонстрации ее нового качества — быть еще и условной топологической моделью идеализированного трансформатора, поскольку этими узлами явно отображаются основные геометрические параметры трансформатора — радиусы гст, г!1, r2a, , r2b, гбок1 цилиндрических поверхностей, соответствующих стержню, границам обмоток и бокового ярма (см. рис. 1). С их помощью по схеме (рис. 2, а) читаем: поток в окне между цилиндрическим поверхностями радиусов r!1 и r2a , т. е. в толще а-обмотки, равен Фa. Аналогично по схеме идентифицируются поток Фs между цилиндрическими поверхностями радиусов r2a и r/ и поток Фb между поверхно-

стями радиусов и r2b. Из схемы также следует, что в окне между поверхностями радиусов гст

и rf , т. е. в зазоре Sl5 а также между поверхно-

ь ?

стями радиусов r2 и гбок1, т. е. в зазоре о2, потоков нет, поскольку схема (рис. 2, а) соответствует идеализированному трансформатору. Наконец, схема показывает, что между поверхностями гст и гбок1 протекает суммарный поток

окна Ф окно.

В стали по отмеченным на схеме (рис. 2, а) радиусам идентифицируются не потоки, а значения функции потока Ф(r) относительно оси симметрии трансформатора. Это поясняется на рис. 2, б, в котором добавлен общий узел, отображающий радиус r = 0 и все потоки (рис. 2, а) заменены частными значениями функции потока в соответствии с (8)—(11). Непосредственно по схеме (рис. 2,б) читаем: на цилиндрической поверхности радиуса гст функция потока Ф(r) = Фr ; на поверхности радиуса r2a функция

Аст А

потока Ф(r) = Ф а (т. е. поток, ограниченный

r2

поверхностью радиуса r2a, равен Ф в) и т. д.

r2

В конце концов констатируем: на поверхности радиусом г6ок1 функция потока Ф(r) = Ф

Рис. 2. Условно-топологическая 4Т-образная схема замещения идеализированного трансформатора

с отображением на ней:

а — основных потоков (рис.1); б — функции потока на границах магнитопровода и обмоток; в — дополнительных значений функции потока на особых поверхностях внутри обмоток

(т. е. поток, ограниченный поверхностью радиУса 'бок^ Равен Ф г6ок1).

Из сказанного следует, что на схеме (рис. 2, б) можно отобразить радиус любой цилиндрической поверхности внутри а-обмотки соответствующим расщеплением индуктивности ЪЬа / 2. Расщеплением индуктивности Ь& можно отобразить соответствующий радиус цилиндрической поверхности между обмотками. Аналогично для отображения радиуса цилиндрической поверхности внутри ¿-обмотки необходимо расщепить индуктивность ЪИъ / 2. Таким образом, на схеме замещения можно отобразить сколь угодно радиусов соответствующих цилиндрических поверхностей и получить распределенную схемную модель трансформатора.

^-инвариантные цилиндрические поверхности внутри обмоток трансформатора

На рис. 2, в изображена схема, отличающаяся от схемы рис. 2, б расщеплением каждой из величин 3£а /2 и 3£ъ /2 на два слагаемых:

3L La

- = — + L„

3LK = т + h .

к0 Ф a = U„; fcn ф b = U

a

b

ф a = ^ ,

0)

U,

Aa = ro 2nr0a 2nk0r0a

0)

А ь =

Uh

2nrb 2nk0r0b

Для осмысления этих весьма загадочных свойств трансформатора рассмотрим три поясняющих примера.

Пример 1. Пусть первичной является а-обмотка, находящаяся под напряжением иа. Тогда из (28) непосредственно вытекает, что независимо от нагрузки ¿-обмотки на цилиндрической поверхности радиуса г0а векторный потенциал детерминирован и равен его значению при ХХ. Иначе говоря, при заданном иа векторный потенциал на цилиндрической поверхности радиуса г0а инвариантен относительно нагрузки вторичной ¿-обмотки и равен

А a = А..a = "

и,

2 2 2 b 2

Узлы между этими частями соответствуют особым (характеристическим) цилиндрическим поверхностям внутри обмоток с радиусами, обозначенными как r0a и r0b . Эти поверхности играют важную роль в понимании работы трансформатора. Действительно, непосредственно из схемы рис. 2, в заключаем, что напряжения от rf-узла и r0b-узла в направлении общего узла (r = 0) оказываются всегда равными напряжениям на зажимах трансформатора:

2п^0Г>

Отсюда вытекает: если напряжения на входах заданы, то заданными окажутся и потоки

или, кратко, при заданном напряжении Ua на а-обмотке гЦ-поверхность внутри нее проявляет себя как А-инвариантная поверхность относительно нагрузки b-обмотки.

Пример 2. Пусть, как и в первом примере, первичной является а-обмотка, но напряжение для удобства потребителей поддерживается постоянным на выходе трансформатора, т. е. заданным является действующее значение напряжения Ub = const Ф 0. Тогда, как следует из (29), независимо от нагрузки, подключенной к b-обмотке, векторный потенциал на поверхности радиуса r0b внутри b-обмотки окажется постоянным по модулю:

А b =

U

2п^0Г>

^ = f

r0 kn

окруженные характеристическими поверхностями соответственно радиуса г0а или г0ъ. Согласно (12) заданными окажутся также и значения векторного потенциала внутри обмоток:

или, кратко, при поддержании постоянным напряжения иъ на вторичной Ь-обмотке г0ъ-поверхность внутри нее проявляет себя как А-инвариантная поверхность относительно нагрузки.

Замечание 1. Используя известное соотношение для передачи активной мощности в сетях,

a

b

0

0

0

для трансформатора с учетом (28)—(31) можем написать

U U'

psin е,„ =^,„ф а ф b sin еш =

xkz

-v v ra rb

= 4л\(r0or0b )Ar„Arb sin ev ,

где 1¥ = ю»а2/ LK3. Величина ev есть угол между Ua и Ub, совпадающий с углом между потоками ф а и Ф a, которые ограничены характеристи-

r r

ческими поверхностями. Из схем замещения (рис. 2) следует: поскольку угол е между потоками Фст и Фбок превышает угол ev, то условием передачи активной мощности в трансформаторе является наличие угла е между потоками в стержне и боковом ярме магнитопровода.

Из схем (рис. 2) следует, что в режиме КЗ ev /2, а е^л, что согласуется с утверждением в [1, 2] о возникновении антипотока в боковом ярме при КЗ.

Пример 3. Рассмотрим предыдущий пример при Ub = 0 , что также соответствует первому примеру при нулевой нагрузке, или, попросту, режиму КЗ b-обмотки при заданном напряжении Ua на первичной а-обмотке. Согласно (30) ^-поверхность сохранит свое ^-инвариантное свойство, тогда как согласно (31) r0b-поверхность станет нуль-поверхностью в режиме КЗ b-обмотки, т. е. приобретет значение векторного потенциала, равное нулю в этом режиме. Суммарный поток внутри нуль-поверхности равен нулю. Существование такой поверхности является признаком возникновения антипотока в боковом ярме, т. е. потока, направленного навстречу потоку в стержне и замыкающемуся через часть b-обмотки, которая ограничена радиусами r0b и r2b. Поскольку r0b-нуль-поверхность режима КЗ отделяет потоки, замыкающиеся через стержень, от потоков, замыкающихся через боковое ярмо трансформатора, ее можно также назвать поверх-ностьюраздела потоков в режиме КЗ b-обмотки. Ее след на эскизах полей именуется линией разделения потоков. Данный пример опровергает официальное утверждение, будто бы линия разделения в режиме КЗ «проходит посреди области» между обмотками [8, 9], что в действительности возможно в опыте противовключения. В отличие от него, линия раздела в режиме КЗ может про-

ходить только внутри короткозамкнутой обмотки, в данном примере — внутри ¿-обмотки.

Приведенные три примера иллюстрируют свойства трансформатора с первичной а-обмоткой, предсказываемые схемой рис. 2, в. Аналогичные предсказания можно получить по этой же схеме, приняв в качестве первичной ¿-обмотку. В этом случае в режиме КЗ роль нуль-поверхности примет г0а-поверхность внутри короткозамкнутой а-обмотки, тогда как г0ъ-поверхность станет А-инвариантной поверхностью внутри ¿-обмотки.

Дрейф линии разделения потоков в окне идеализированного трансформатора

Из анализа схем (рис. 2) можно сделать следующие выводы:

при чисто-индуктивной нагрузке на стороне ¿-обмотки, равной ХНагр = &Ь'Ь /2 = Х'Ъ /2, поток в боковом ярме Фбок = 0, и роль линии разделения потоков принимает г2ъ-поверхность, т. е. внешняя поверхность вторичной обмотки;

с учетом примера 3 находим, что при вариации чисто индуктивной нагрузки в пределах

0 < ХНагр < хъ/2

радиус линии разделения потоков будет дрейфовать внутри ¿-обмотки от г2ъ до г0ъ;

последующее смещение линии разделения в пределах ¿-обмотки возможно за счет подключения к ней чисто емкостной нагрузки при ее изменении в пределах

поскольку, как следует из схем рис. 2, б, в, при ХНагр = -Хъ значение функции потока Ф^ = 0,

и, следовательно, весь поток, ограниченный внутренней поверхностью ¿-обмотки, обращается в ноль;

только при чисто емкостных нагрузках линия разделения потоков может оказаться в 5 -области между обмотками, если эта нагрузка не выходит за пределы

-(Х5+ хъ) < хн агр <- хъ , (34) причем нижней границе нагрузки Х'агр = = -(Х5+ Х'ь), как следует из анализа схем рис. 2, б, в, соответствует режим, когда функция потока Ф а = 0 и линия разделения имеет

- X'b< аф < 0

радиус, равный г2, т. е. совпадает с внешним радиусом внутренней а-обмотки.

Линия разделения потоков может оказаться и внутри первичной а-обмотки, если продолжить увеличение емкостной нагрузки на стороне ¿-обмотки. На этот неожиданный факт указывает то, что, как следует из анализа любой из схем (рис. 2), при Х'агр = —(Хкз + Ха /2) поток

в стержне обращается в ноль (Фст = 0). Таким образом, при вариации нагрузки в пределах

' Хкз + Х2а 1< X'

нагр

<-( Х8+ Х'„),

x' ф — Х

нагр кз

линия разделения потоков находится в пределах первичной а-обмотки. Дополнительное условие ХНагр Ф —Хкз объясняется тем, что в противном случае в идеализированном трансформаторе ток 1а =да.

В итоге получаем, что в идеализированном трансформаторе с первичной а-обмоткой при вариации чисто реактивной нагрузки в пределах

Х + Ха I < Х' лкзт 2 I _ нагр

<ХЬ- Х' < 2 , Х н

нагр

Ф—Хкз

деление индукции или напряженности поля в трансформаторе. Для определенности рассматривается случай, когда первичной является а-обмотка и ток 1а определяется из выражения (24). Очевидно, что напряженность магнитного поля в стали трансформатора при цсталь = да равна нулю. В условиях принятых допущений в окне трансформатора напряженность поля зависит только от радиуса: Н (г) = Нг (г), причем функция Н(г) непрерывна и состоит из отрезков прямых (табл. 1). Область между обмотками (б-зона) названа коридором между обмотками из-за ее роли в передаче энергии из первичной обмотки во вторичную [3, 4].

Представлены также формулы для расчета магнитных потоков в соответствующих областях трансформатора, причем для потоков в толще обмоток (Ф а, Ф ь) приведены точные и упрощенные соотношения по данным [1, 2]. Величины Н (г) - Н,,^ (г) и А (г) = Аа (г) связаны соотношением

Н - Н7 (г) = -

1 д

ц гдг

линия разделения потоков дрейфует по всей области окна трансформатора, т. е. может оказаться внутри любой из обмоток и в промежутке между ними. Внутри нуль-поверхности суммарный поток равен нулю; точно также равен нулю и суммарный поток вне нуль-поверхности. При реактивных нагрузках за пределами, указанными в (36), и любой нагрузке, включающей активное сопротивление, линии разделения потоков не существует.

Для определения радиусов г0а и г0ь, а также вычисления радиусов нуль-поверхностей в зависимости от значений реактивных нагрузок (36) необходимо получить развернутые соотношения для А(г) во всех частях стали и окна идеализированного трансформатора.

Векторный потенциал в идеализированном трансформаторе

Вывод выражений для векторного потенциала по формуле (12) требует предварительного построения соотношений для функции потока Ф (г), которые можно определить, зная распре-

Выражения для векторного потенциала приведены в правой колонке табл. 1, причем для Аа (г) и Аь (г), помимо точных, представлены также приближенные формулы, полученные в результате аппроксимации кубических многочленов квадратичными при условии их совпадения на границах и в средней части соответствующих обмоток. Функция А(г) не только непрерывная, но и гладкая в окне трансформатора, т. е. имеет непрерывную производную во всем промежутке окна гст < г < гбок1. В этом легко убедиться как прямой проверкой совпадения производных ёА(г) / ёг на границах зон окна, так и из физических соображений с учетом того, что напряженность магнитного поля в окне может быть представлена в виде (37). На границах зон в окне Н(г) = Н1 (г) тангенциальна и, следовательно, непрерывна. Вместе с ней непрерывна и производная ёА(г) / ёг , что указывает на гладкость функции А((г).

Радиус гЦ ^-инвариантной поверхности внутри первичной а-обмотки

Из определения ^-инвариантности г0а -поверхности, данной в примере 1, следует, что для

Распределение напряженности и векторного потенциала в

(деталь =

Таблица 1 идеализированном броневом трансформаторе

Область

Пределы изменения г в зоне

Напряженность Н

и поток области Ф ,

Векторный потенциал А = А(г )еа;

А

Стержень

0 < г < гст

Ф =

Н (г) = 0; и Ф

^ а + ^ а

3

1 • г2

ААст(г) = 7;—'ф ст —

2пг гс2.

Канал

51

51-зона гст < г <

Н (г) = 0;

Ф 51 = 0

А51(г) = ТТ"Фст 2пг

Внутренняя обмотка

Нг

Н I г - г"

= ууа-*-а 1 '1 .

А а

А (г) = — Гер -^/х

А (г) 2пг [^ст к- ™а±а

í г! - (л!)!у

3 4 +

V

Л

или приближенно

а4- (г) -

ф -

к^"1 " г2"(г - г ")2 ка

Коридор между обмотками 5

б-зона

г2 < г < г

н I

Н = а а

А5

или

А5(г) = бок + Фъ +

2пг

ЯЦ0

»"А

Внешняя обмотка

¿-зона г\ъ < г < гъ

Н I гъ - г

тт _ ^ а-'а [2_'

к ъ

Аъ (г) = ^[Фбок 2пг

2п^0На1а .

къ

Ф ъ = ^0пъ А - ъ 1 Н а1" ;

ъ 2 ^ ъ 3 Л к '

Ф ъ - 3 Щ"

2 На

(г3 ГъГ 2

__

3 2

или приближенно

а4ъ (г) ~ 2пг

Ф,

бок

П^0На1а гъ

Канал

52

б2-зона

г2 < г < г2ъ +52

Н (г) = 0;

Ф 52 = 0

а452(Г ) = _бок

2пг

Боковое ярмо

Н (г) = 0;

Ф бок

иЪ _Фъ

}>Нъ 3

Фбок

получения формулы радиуса г0а достаточно приравнять величину А а в (30) выражению А (г) из

г0

табл. 1, положив в нем г = г0а. Воспользовавшись приближенной формулой для Ла (г), получаем следующее уравнение относительно г0а:

и„

UBH = 66,4 кВ; иКЗ = 10,5 % [3], пренебрегая потерями ХХ и КЗ. Полагаем цстали = да. По этим данным находим:

11nom = S1nom / U1nom = 525 А; Z1nom = U1nom / hnom = 12,095 Ом;

1КЗ = I1nom/0,105 = 5000 А;

2nr0

0

ф -

ст

n^0waía ..a( a rax2 - r2 (r0 - r1 ) ha

где Фст с учетом (20) и (23) можно представить в виде

ф = -U+1 ф = -a. + b¿L =

ст a

J&Wa 3 k0 2wa

Va. + ^0 wah ^(r^ + a ) .

ka 6h

Тогда вместо (38) получаем соотношение

U„

1

2nk0r0a 2nr0a

ua пц0 r

0

h

' a(r0 + r«) - r2a (r0a - 1a )2 ^ 6a

Выполнив в нем элементарные алгебраические сокращения, приходим к уравнению

a(r« +1) r2a (ra - ra )2

= 0

решив которое относительно r0 , находим

r0a = 1 1 + - .

0 1 V^V $

Принимая r« / r2a a 1, получаем

Va ~ ra + r0 ~ r1 +

a

Тз

, или

'0 ~'1

*кз = ZK3 = 0,105 Z1nom = 1,27 Ом-

Габариты трансформатора: DCI = 436,8 мм; h = 873,6 мм; D= D12 = 630,7 мм; wa = 128 ; wb = 1341. Геометрические данные обмоток: 51 = a01 = 30 мм; a = «1 = 41,9 мм; 5 = «12 =50 мм; b = a2 = 62,9 мм; 52 = a22 = 50 мм; Da = 538,8 мм; Db = 743,6 мм.

Радиусы граничных поверхностей в окне:

гст = 218,4 мм; r« = 248,4 мм; r2a = 290,3 мм;

r1b = 340,3 мм; r2b = 403,2 мм; гбок1 = 453,2 мм.

Согласно (19)—(23) имеем:

La = 0,557 мГн; La = 0,175 Ом;

L5 = 2,33 мГн; L5 = 0,732 Ом; Lb= 1,154 мГн; &L'b= 0,362 Ом; LK3 = 4,04 мГн; LK3 = 1,27 Ом. По формуле (40) находим r0a a r1a +a = 0,2484 + 00419 = 0,2726 м,

V3 '

л/3

причем согласно (30), принимая для удобства Ua = j—НН = J6350 В, получаем

Á = .i5- = - Ua = 1 Ua

Si a — ¿I a —

2nk0r0a 2njwa r0

a0

1

J6350

2nj-128 -0,2726

= 0,0922 B - c.

Пример 4. Вычислим значение г0а для повышающего трансформатора (рис.1) с каталожными данными Бптт = 3,333 МВА; инн = 6,35 кВ;

Найденные значения r0a, Á a подтверждают-

г0

ся семейством кривых изменения векторного

6

a

A(r), Вс

^  U

нагр J L нагр J v

r, м

Рис. 3. Векторный потенциал в идеализированном трансформаторе при ХХ, КЗ и чисто реактивных нагрузках с нуль-поверхностями внутри вторичной ¿-обмотки

потенциала вдоль радиуса г для режимов ХХ, КЗ и нескольких чисто реактивных нагрузок

практически совпадает с вычисленной выше по формулам (40) и (30). Кривые для режима КЗ демонстрируют возникновение как сверхпотока, превышающего поток ХХ в 1,07, так и антипотока в боковом ярме, составляющего долю (—0,135) от потока ХХ (знак минус указывает, что он направлен навстречу потоку ХХ).

Замечание 2. Принимая, как в приведенном примере, первичное напряжение в виде

Ua = jUНИ

мы получаем при реактивной нагрузке комплексы тока и векторного потенциала в виде чисто вещественных величин, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это дало возможность наблюдать обращения знака векторного потенциала (рис. 3), что невозможно при активных и активно-реактивных нагрузках, т. к. в этих случаях векторный потенциал будет комплексной величиной.

Радиус r0 нуль-поверхности внутри короткозамкнутой вторичной Л-обмотки

Согласно примеру 3 в режиме КЗ ¿-обмотки, т. е. при Ub = 0, внутри нее образуется поверхность с нулевым значением векторного потенциала (Ab = 0), получившая название нуль-поверхности в режиме КЗ. Ее радиус обозначен как r0b. Для его определения подставим r = r0b в приближенную формулу для Ab (r) (см. табл. 1) и приравняем полученное выражение нулю:

fкзвнеш _ fкзвнеш/„Ь\_ Л.Ь = Ab (r0 ) =

2пГа

(D

бок

0wal

кзвнеш

a ,.b/J>

hb

rb (rb - rb )2

= 0.

Непосредственно из схемы рис. 2, б замечаем, что в режиме КЗ внешней ¿-обмотки

1 rf» кзвнеш k0 ф бок

- j

= -j Ю

и0nb(rb + rb) 2 il

w„

3h a 2 и, следовательно, с учетом k0 = jwwa

Ф

бок

и 0 nb

w

3h a 2 что позволяет уравнение (42) переписать в виде

л f к

1 nV-0waIa

f кзвнеш 1 a

2пп

0

h

b(rb+rb) + rb (rb - rb )2 N

= 0.

Решая это уравнение относительно r0, получаем

rb = rb -± 1 + r±

r0 =r2 V6V1+2.

Принимая r2b / r1 «1, получаем

iA -

V3

или

r2b - 0,577b.

Это значит, что антипоток бокового ярма, замыкаясь через короткозамкнутую внешнюю ¿-обмотку, занимает 57,7 % ее ширины от внешнего края. Остальные почти 42,3 % захватывает

с

1

сверхпоток первичной я-обмотки. Радиус г0 — это граница раздела сверх- и антипотоков при КЗ ¿-обмотки. Напомним, что г = г0Ь является одновременно радиусом ^-инвариантной поверхности внутри ¿-обмотки, когда та выполняет роль первичной обмотки, а а-обмотка — вторичной.

Пример 5. Найдем радиус нуль-поверхности КЗ ¿-обмотки для трансформатора с данными, приведенными в предыдущем примере. По формуле (44) получаем

г2 —^ = 0,4032-

0,0929 ' л/3 :

0,3668 м.

Этот радиус можно также найти по точке пересечения с осью абсцисс кривой Акзвнеш(г), т. е. кривой А (г) при нулевой нагрузке на ¿-обмотке. На рис. 3 эта кривая представлена графиком А (г) при нагрузке Ьнагр = 0. В точке пересечения этого графика с осью абсцисс имеем

А(г), Вс

..0Л5

Рис. 4. Векторный потенциал в идеализированном трансформаторе при ХХ, КЗ и режиме противовключения

г0Ь = 0,3684 м,

что практически совпадает с расчетом по формуле (44).

Замечание 3. Автор [6, стр.288] утверждает, что схемная модель трансформатора якобы строится исключительно на основе опыта противовключения. Кривая этого режима на рис. 4 наглядно демонстрирует, что радиус нуль-поверхности г05 = 0,3223 м в этом режиме отличается от значения радиуса г0Ь = 0,3684 м нуль-поверхности вре-жиме КЗ. Принципиальное различие состоит в том, что г0Ь находится внутри ¿-обмотки, тогда как г05 — в промежутке между обмотками:

гсЧ К )2 + г68 - 2^а

Ь

'5

„ач2 , , Щ — аРа

=Л (га )2+г88+-

Условие разделения потоков внутри А-обмотки

Линия раздела в меридиональной плоскости трансформатора есть след нуль-поверхности, на которой векторный потенциал принимает нулевое значение, что возможно только при соответствующей реактивной нагрузке (^'агр = уХНагр). Чтобы определить зависимость радиуса г0 этой линии внутри ¿-обмотки от нагрузки на ней, целесообразно все слагаемые в формуле

1

2пг

Ф,

бок

А (г);

+ г* (г2ь — г)2

Л

нь

2пг

у

ь „Л2 ^

V

ф + 3_XL ¡^А—!

^бок ^ ~ Аа ,2

2 Ь

у

Полученный по этой формуле радиус г05 = 0,3227 м практически совпадает с его значением согласно кривой (рис. 4). Различие между г0Ь и г05 можно принять в качестве объяснения того, почему идея противовключения никогда не подтверждалась на опыте, игнорируется в других учебниках, а в рассматриваемой теории и вовсе бесполезна.

выразить через ток, что нетрудно выполнить, если учесть, что согласно схемам (рис. 2) при

^Нагр = Хн агр поток

нагр фб = -

бок к к0

—Х а^

1а =

' Х' —Хь-+хн

2н

нагр

V

где Х* =юЬ* . В результате Аь (г) можно представить в виде

АЬ

или

1

2пг

Х' — ХЬ

Х нагр 2

1 — 3

2

1„

Х' — ХЬ

Х нагр 2

1 — 3

(гЬ — г0)2 ^

= 0.

откуда находим

..ь Ь

2 Х'

^ г2Ь —^ 11--нагр

0 2 лМ Х'

— Ь 1< г0 < г2 ,

должно выполняться дополнительное условие: (г2ь — Ь) <

< гЬ —^ 11 —

2Х'

нагр

Х'

< г

2 '

2 Х'

—2 < нагр

— " Х'

< 1.

Для определения радиуса г0 линии раздела приравниваем это выражение нулю, что приводит к уравнению

При этом, поскольку рассматривается зона ¿-обмотки и, следовательно,

Полученный результат представлен в общей табл. 2, где интервал в формуле (48) для ¿-обмотки разбит на два подинтервала, чтобы подчеркнуть, что линия раздела с радиусом в диапазоне г0Ь < г0 < г2Ь имеет место при индуктивной нагрузке 0 < Хн агр < Х'ъ /2, ас радиусом

в диапазоне гь < г0 < г0ъ — при емкостной нагрузке —ХЬ < Хнагр < 0 (рис. 3).

Условие разделения потоков в промежутке между обмотками и внутри й-обмотки

Чтобы получить формулу для радиуса г0 линий разделения потоков в промежутке 5 между обмотками, необходимо вместо (45) взять из табл. 1 соотношение для А5 (г) и также привести его к форме, где все слагаемые зависят от тока 1а. Приравняв это выражение нулю и решив полученное уравнение, найдем формулу г0 (Х^агр), приведенную в табл. 2 для коридора между обмотками. Для удобства обозрения на рис. 5 представлено семейство кривых модуля \ А(г) как для

Таблица 2

Линия раздела потоков в окне трансформатора с первичной я-обмоткой и вторичной А-обмоткой, нагруженного на реактивное сопротивление в пределах: — Хкз < ХНагр < Х'ь /2

Область окна идеализированного трансформатора Нагрузка на зажимах ¿-обмотки Радиус нуль-поверхности Формула зависимости г0

¿-обмотка 0 < ХнаГр < ХЬ /2; Х' = 0; Л нагр ' —ХЬ < Хнагр < 0 гЬ < г0 < гЬ; ь Ь г0 я г2— & гЬ< г0 < гЬ г0 «гЬ Ь-} 2Хнагр 0 2 Х'

Коридор между обмотками —(Х5+ ХЬ ) < Хн агр <—ХЬ га < гз < гЬ 0 ^ Х5+ ^ Хнагр + (г2)2

а-обмотка —Хкз < Хн агр < —

\А (г )|,В

0.14

0.12

0.08

0.06

0.04

0.02

\а (г )|,В • с

0.14

г, м

Рис. 5. Кривые для модуля векторного потенциала при некоторых значениях чисто реактивной нагрузки (ZНагр = ± /ХНагр): 1 - ^^ = ]Х'Ъ/2; 2 - ^^ = ]Х'ъ /4; 3 - ^^ = 0 (КЗ); 4- ^'агр =-Х'ь /4; 5- Z;аГр =-]Х'ь /2; б - z;аГр =-]Х'ь; 7- ^'агр = - (Хъ + Х5/4); 8- ^'агр = -/( X' + Х5/2); ^'агр =-У*Ном; Ю- ^'агр =« (XX); 11 - агр = +У*ном

Рис. 6. Кривые для модуля

векторного потенциала при некоторых значениях чисто активной нагрузки (Z' агр = Л' агр):

1- Л'а? = 0 (КЗ); 2- Л'агр =Хъ/4;

3- Л'агр = Хъ/2; 4- Л'агр = Хъ; 5- Л'агр = Хъ + Х5 /4; 6- Л'агр = Л'ом

случаев, рассмотренных на рис. 3 (графики 1—6), так и для емкостных нагрузок, при которых линии разделения потоков проходят в промежутке между обмотками (графики 7—11). Аналогичным образом найдены формулы, приведенные в табл. 2, для определения радиусов линий разделения потоков внутри первичной а-обмотки в зависимости от реактивной нагрузки.

Признаком существования линии разделения потоков в окне трансформатора является точка соприкосновения кривой с осью абсцисс (см. рис. 5). При активной и активно-реактивной нагрузках кривые модуля векторного потенциала | А (г )| имеют другой вид: они не могут соприкасаться с осью абсцисс, так как векторный потенциал в общем случае содержит вещественную и мнимую составляющие. Для иллюстрации на рис.6 приведены кривые модуля векторного потенциала при некоторых чисто активных нагрузках.

Приведенные кривые распределения векторного потенциала (рис. 3—6) подтверждают предсказания схемной модели (рис. 2,в), что нуль-поверхности и сопутствующие им сверх-и антипотоки в стали могут появляться не только

при коротких замыканиях, но и при некоторых чисто реактивных нагрузках трансформатора. Сверх- и антипотоки «ходят парой». Признаком сверхпотока в стали является повышенное по сравнению с режимом ХХ значение максимума в кривой векторного потенциала, а признаком антипотока - наличие отрицательных значений в кривой векторного потенциала. Последнее возможно наблюдать лишь при чисто реактивных нагрузках. При других типах нагрузок нуль-поверхности невозможны, хотя понятие сверхпотока как превышающее значение потока ХХ остается в силе.

Заключение

Показано, сколь мощным и эффективным средством является понятие о векторном потенциале и его применение в становлении корректной теории трансформаторов взамен существующего официального учения, несовместимого с этим понятием. Впервые удалось отобразить на схеме замещения топологию броневого трансформатора в виде узлов, ассоциированных с радиусами стержня, ярма, обмоток и характеристических поверхностей. Вопреки официальной

теории оказалось, что в броневом трансформаторе постоянным поддерживается не «общий поток намагничивания в магнитопроводе», а магнитный поток, охватываемый характеристической поверхностью, проходящей внутри первичной обмотки, на которой векторный потенциал не зависит от нагрузки.

Выяснено, что передача активной мощности из первичной обмотки во вторичную возможна только при наличии рассогласования фаз потоков в стержне и боковом ярме магни-топровода.

Поставлена также точка в более чем столетней дискуссии вокруг проблемы о «линии разделения» потоков в окне трансформатора. В случае КЗ линия разделения проходит только внутри короткозамкнутой обмотки.

Полученные результаты могут служить базой для теоретической проработки обоснованности новых стандартов МЭК с целью снижения наблюдаемого

роста аварийности трансформаторов. Россия проголосовала против этих стандартов из-за их «менее строго нормирования требований стойкости трансформаторов при КЗ».

Приведенные в работе кривые распределения векторного потенциала наглядно показывают, что вопреки установкам официальной теории отдельные части магнитопровода при КЗ оказываются перевозбужденными и, следовательно, могут стать весьма насыщенными в реальном трансформаторе. Это напрямую сказывается на увеличении до 20—25 % ударного тока КЗ по сравнению с его значением при пренебрежении насыщением (как принято в официальной теории). Данное обстоятельство следует рассматривать в качестве физического объяснения рекомендации по увеличению «нормированного коэффициента ударного тока КЗ с 1,8 до 1,9», предложенной МЭК, на что, как показано, придется пойти отечественным проектировщикам, несмотря на существенное удорожание стоимости трансформаторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шакиров М.А. Теория трансформаторов. Часть

1. Идеализированный трансформатор с тонкими обмотками // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2012. № 3-2 (154). С. 85-110.

2. Шакиров М.А. Теория трансформаторов. Часть

2. Идеализированный трансформатор с обмотками конечной толщины // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2012. № 4 (159). С. 21-52.

3. Шакиров М.А. Универсальная теория автотрансформатора // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2015. № 2 (219). С. 91-109.

4. Шакиров М.А. Замещение многообмоточного трансформатора 2пТ-образной схемой // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2015. № 4 (231). С. 91105. DOI: 10.5862/JEST. 231.10.

5. Roth E. Etude analytique du champ de fuites des transformateurset et des efforts mecaniques exerces sur les enroulements // Rev. Gen. de I'El. 1928. Т. XXIII. Р. 773-787.

6. Вольдек А.И. Электрические машины. Л.: Энергия. 1974. 840 с.

7. Туровский Я. Техническая электродинамика. М.: Энергия, 1974. 498 с.

8. Иванов-Смоленский А.И. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. 928 с.

9. Сергеенков Б.Н., Киселев В.М., Акимова Н.А. Электрические машины. Трансформаторы / Под ред. И.П. Копылова. М.: Высшая школа, 1989. 352 с.

10. Kulkarni S.V., Khaparde S.A. Transformer Engineering: Design and Practice. Marcel Dekker, Inc. N.Y. 2004. 721 p.

11. Ashutosh Pramanic. Electromagnetism. Vol. 1. Delhi, 2014. 696 р.

12. Малыгин В.М. Локализация потока энергии в трансформаторе // Электричество. 2015. № 4. С. 60-65.

13. Александров Г.Н., Шакиров М.А. Трансформаторы и реакторы. Новые идеи и принципы. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. 204 с.

14. Шакиров М.А., Андрущук В.В., Дуань Лиюн.

Аномальные магнитные потоки в двухобмоточном трансформаторе при коротком замыкании // Электричество. 2010. № 3. С. 55-63.

15. Шакиров М.А., Варламов Ю.В. Картины магнитных сверх- и антипотоков в короткозаикнутом двухобмоточном трансформаторе. Часть2. Двустерж-невой трансформатор // Электричество. 2015. № 9. С. 27-38.

16. Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнманов-ские лекции по физике. Том 6. Электрдинамика. М.: Мир, 1977. 347 с.

17. Силовые трансформаторы. Справочная книга / Под. ред. С.Д.Лизунова и А.К.Лоханина. М.: Энер-гоиздат, 2004. 616 с.

18. Труды ВЭИ. Электродинамическая стойкость трансформаторов и реакторов при коротких замыканиях / Под ред. А.И. Лурье. М.: Знак, 2005. 520 с.

19. Ларин В.С. Вопросы трансформаторостроения на 44-й сессии СИГРЭ // Электричество. 2013. № 5. С. 51-63.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

ШАКИРОВ Мансур Акмелович — доктор технических наук профессор Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. 195251, Россия, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. E-mail: manshak@mail.ru

REFERENCES

1. Shakirov M.A. Teoriya transformatorov. Chast 1. Idealizirovannyy transformator s tonkimi obmotkami. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbGPU. 2012. № 3-2

2. Shakirov M.A. Teoriya transformatorov. Chast 2. Idealizirovannyy transformator s obmotkami konechnoy tolshchiny. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbGPU. 2012. № 4

3. Shakirov M.A. Universalnaya teoriya avtotransfor-matora. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbGPU. 2015. № 2

4. Shakirov M.A. Zameshcheniye mnogoobmotoch-nogo transformatora 2nT-obraznoy skhemoy. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbGPU. 2015. № 4

5. Roth E. Etude analytique du champ de fuites des transformateurset et des efforts mecaniques exerces sur les enroulements. Rev. Gen. de I'El. 1928. T. XXIII. P. 773-787.

6. Voldek A.I. Elektricheskiye mashiny. L.: Energiya, 1974. 840 s.

7. Turovskiy Ya. Tekhnicheskaya elektrodinamika. M.: Energiya, 1974. 498 s.

8. Ivanov-Smolenskiy A.I. Elektricheskiye mashiny. M.:Energiya, 1980. 928 s.

9. Sergeyenkov B.N., Kiselev V.M., Akimova N.A. Elektricheskiye mashiny. Transformatory / Pod red. I.P. Kopylova. M.: Vysshaya shkola, 1989. 352 s.

10. Kulkarni S.V., Khaparde S.A. Transformer Engineering: Design and Practice. Marcel Dekker, Inc. N.Y. 2004. 721 p.

11. Ashutosh Pramanic. Electromagnetism. Vol. 1. Delhi, 2014. 696 p.

12. Malygin V.M. Lokalizatsiya potoka energii v trans-formatore. Elektrichestvo. 2015. № 4. S.60—65 s.

13. Aleksandrov G.N., Shakirov M.A. Transformatory i reaktory. Novyye idei i printsipy. SPb.: Izd-vo Politekh-nicheskogo universiteta, 2006. 204 s.

14. Shakirov M.A., Andrushchuk V.V., Duan Liyun. Anomalnyye magnitnyye potoki v dvukhobmotochnom transformatore pri korotkom zamykanii. Elektrichestvo. 2010. № 3. S. 55-63.

15. Shakirov M.A., Varlamov Yu.V. Kartiny magnit-nykh sverkh- i antipotokov v korotkozaiknutom dvukhobmotochnom transformatore. Chast 2. Dvusterzhnevoy transformator. Elektrichestvo. 2015. № 9. S. 27-38.

16. Feynman R., Leyton R., Sends M. Feynmanovs-kiye lektsii po fizike. Tom 6. Elektrdinamika. M.: Mir, 1977. 347 s. (rus.).

17. Silovyye transformatory. Spravochnaya kniga / Pod. red. S.D.Lizunova, A.K. Lokhanina. M.: Energoiz-dat, 2004. 616 s. (rus.).

18. Trudy VEI. Elektrodinamicheskaya stoykost trans-formatorov i reaktorov pri korotkikh zamykaniyakh / Pod red. A.I.Lurye. M.: Znak, 2005. 520 s. (rus.).

19. Larin V.S. Voprosy transformatorostroyeniya na 44-y sessii SIGRE. Elektrichestvo. 2013. №5. S. 51-63.

AUTHORS

SHAKIROV Mansur A. — Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University. 29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia. E-mail: manshak@mail.ru

Дата поступления статьи в редакцию: 12.12.2016.

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2017