Задать системой линейных уравнений подпространство

Это очень просто.

Есть двойственные способы задания подпространства: как решение линейной системы и как линейную оболочку векторов. Нужно уметь "переключаться" между ними.

1. Пусть подпространство задано системой, а мы хотим представить его в виде линейной оболочки. Для этого достаточно найти базис в подпространстве, найдя фундаментальное решение однородной системы. Это стандартная операция.

2. Пусть подпространство задано как линейная оболочка системы векторов, а мы хотим задать его системой. Вот мой любимый рецепт: 1) составляете однородную систему, строками матрицы которой являются координаты данных векторов; 2) находите её фундаментальное решение; 3) матрицей искомой системы является матрица, строками которой являются векторы полученного фундаментального решения.

Обратите внимание, что векторы везде укладываются в строки, что вообще для них нехарактерно.

Простой пример: пусть в

подпространство L является линейной оболочкой вектора (1, 2). Составляем систему: её матрица есть

- уже ступенчатая, сама система имеет вид

а её фундаментальным решением будет (-2, 1). Следовательно, L задаётся системой

Ваша задача решается так: 1) находим базисы в подпространствах (операция 1); 2) сумма натянута на объединение базисов; 3) поскольку сумма задана как линейная оболочка, можно задать её системой (операция 2).

Если что непонятно - спрашивайте ещё.

Добавлено через 17 минут

Обоснование рецепта № 2 хитрое, но интересное.

Пусть L - подпространство пространства V. Рассмотрим множество

Легко проверить, что

- подпространство. Оно называется аннулятором L. В евклидовом пространстве его можно отождествить с ортогональным дополнением. В общем случае применение функционала к вектору можно рассматривать как вид скалярного произведения, но между векторами разных пространств (такое отображение называется спариванием), и аннулятор есть "ортогональное дополнение" в сопряжённом пространстве.

Аналогично, каждому подпространству L' сопряжённого пространства V* можно поставить в соответствие множество

Это тот же аннулятор, если рассматривать V как сопряжённое для V*.

Оказывается,

В евклидовом пространстве это значит, что ортогональное дополнение к ортогональному дополнению есть само пространство, что вполне очевидно. Приведённое соотношение легче проверить вручную, чем искать в книгах по алгебре.

Теперь к нашим баранам. Задать подпространство в виде линейной системы

это всё равно что задать его аннулятор как линейную оболочку функционалов

(что тоже нужно осмыслить). Значит, мы умеем находить базис подпространства, если знаем базис (любую конечную систему векторов, на которые натянут) его аннулятора - это поиск фундаментальной системы решений, читай - метод Гаусса. В рецепте мы применяем так:

дана система векторов, на которые натянуто L =>

задано в виде системы => можно найти базис

=> базис

даёт задание L системой.

tatiana4ka

, я бы посоветовал вам разобраться в моей писанине. Это довольно красивые вещи, а вы станете лучше понимать линейную алгебру.