Построение уравнений локусов в 3D с помощью R-функций

27. Бойко В.В. Теорія квантової електромагнітно-біологічної взаємодії // Ан. програма. Всеукр. мол. науково-практичної конференції “Людина і космос”. Дніпропетровськ. 1999. С.18. 28. Бойко В.В., Бойко Л.А., Коробов А.М. Пути оптимизации фотодинамической терапии в лечении больных злокачественными новообразованиями // Материалы XIII Международной научно-практической конференции. “Применение лазеров в медицине и биологии”. Харьков. 1999. С. 25. 29. Бойко В.В. К механизму центрального некроза злокачественной опухоли // Материалы XIII Международной научно-практической конференции. “Применение лазеров в медицине и биологии”. Харьков. 1999. С. 25-26. 30. Бойко В.В., Коробов А.М., Пархоменко К.Ю., Гордиенко А.В. Оптимизация метода фотохромной антисептики в хирургии с применением лазера на парах золота // Материалы Xffi Международной научно-практической конференции. “Применение лазеров в медицине и биологии”. Харьков.

1999. С. 27-27. 31. Зайцев В.Т., Циганенко АЯ., Бойко В.В., Мінухін В.В., Пархоменко К.Ю. Спосіб лікування хворих з інфікованим вогнищем // № 99010177. 1999. 32. Бойко В.В. Спосіб дозування енергетичного впливу на біологічний об’єкт // № 99020706. 1999. 33. Бойко В.В. Спосіб визначення частоти електромагнітного впливу на біологічний об’єкт // № 99020710. 1999. 34. Бойко В.В. Спосіб прижиттєвого визначення енергії біологічного об’єкта / / № 99020711. 1999. 35. Бойко В.В. Спосіб регуляції репарації біологічних тканин // № 99020724. 1999.

Поступила в редколлегию 02.04.2001

Рецензент: д-р мед. наук, проф. Тищенко А.М.

Бойко Валерий Владимирович, д-р мед. наук, профессор, директор Харьковского НИИ неотложной хирургии М3 Украины. Адрес: Украина, 61018, Харьков, въезд Балакирева, 1, тел.(0572)30-84-25, 32-03-39. E-mail: Prof vvb@mail.ru

УДК 517.95 + 517.518

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛОКУСОВ В 3D С ПОМОЩЬЮ R-ФУНКЦИЙ

РВАЧЕВ В.Л., УВАРОВ Р.А., ШЕЙКО Т.И.

2. Построение локусов в 3D по информации из 2D

Один из полезных подходов к построению локусов в 3D из 2D, данных в [1], заключается в том, что

если в плоскости xOy граница 80 0 локуса О 0 описывается уравнением

дПо =

Рассматриваются методы построения уравнений локусов в 3D по информации из 2D с помощью теории R-функций и интерлокационных формул. Описываются случаи, когда локусы геометрически подобны и присутствует закон закручивания. Получено нормализованное уравнение закрученной боковой поверхности. В качестве примеров приложений построены уравнения профилей лопаток, в том числе с теплоотводящими каналами.

1. Введение

В работе [1] изложены некоторые подходы к построению уравнений локусов в 3D, в частности, поверхностей тел вращения, призматических и конических тел, спиралей и др. До настоящего времени RFM применялся, в основном, для расчетов физико-механических полей в 2D, а в 3D — лишь для тел вращения (задача сводилась к решению в 2D) и цилиндрических тел конечной длины с направляющей сложной геометрии (применялись интегральные преобразования). Это обусловлено несовершенством используемой большинством авторов системы ПОЛЕ, ориентированной на решение плоских задач, а иногда и отсутствием математических моделей в 3D. Работы [2-5], посвященные решениям задач механики деформируемого твердо -го тела в 3D, носили частный характер, так как их программная реализация не предусматривала работу с буквенными параметрами и не была автоматизирована для оперативной смены геометрической и физической информации. Таким образом, практический опыт построения уравнений локусов в 3D, а особенно тел, имеющих такую сложную геометрию, как, например, лопатки турбин со всем их многообразием, мал. Ниже предлагаются некоторые новые подходы к построению уравнений локусов в 3D, а известные [ 1], но еще не применявшиеся на практике, — для наглядности иллюстрируются примерами.

где c; — геометрические параметры, определяющие форму и размеры локуса О о и его элементов, то, вводя функции Cj(z) (i = l,...,m), при условии с; (о) = C;, получаем уравнение поверхности вида

до. =

которому в сечениях z = h = const будут соответствовать локусы из семейства (1).

Пример 1. Если известно, что при z = 0 граница 80о локуса О о имеет вид прямоугольника со сторонами x = +a; y = +b и описывается уравнением

Ш о =

а при z = H граница 80 н локуса О н — также прямоугольник со сторонами x = +c; y = +d

Ш H = ((c2 - x2) А о (d2 - y2) = 0),

то, следуя изложенному выше, можно записать уравнение боковой поверхности c линейной зависимостью по z , соединяющей 80о и 80h в виде:

80 =

Ґ/ Г , ч п 2 ^

(л z ^ z 2

al 1 1 + c— - x2

LI н) HJ

)

л о

л о

(г , 2 > \

bf! - -z- )+d^ j - y2 = 0

H _

V J )

Заметим, что коэффициенты, заключенные в квадратные скобки, построены с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.

Если в более общем случае известно, что в плоскости xOy граница 80 о локуса О о описывается уравнением

дО о =

158

РИ, 2001, № 2

а при z = H граница 80 н локуса О н описывается уравнением дО н = (юн(х,у) = о), то применяя интерлокационную формулу Лагранжа [1,6-8], получаем:

дО =

юо(х,уХн ~ z)+ ю h(x,^z +

H

+ ^HH Z

где (x,y,z) — неопределенная компонента, корректирующая боковую поверхность; например, для линейной зависимости по z , (x,y,z) может определяться из соображений минимизации кривизны этой боковой поверхности.

Пример 2. Применяя к условию примера 1 формулу (5), приходим к

дО =

(

((a

2

V

х2) А 0 (b2 - У2))(н - z) + H

+ ((С2 -х2)лo(d2 H

y2))z + z(H - z) H

ф(х, у, z) = 0

Здесь следует отметить, что формула (5), является более общей по сравнению с (2), так как позволяет соединять разноплановые с точки зрения числа параметров области, например, окружность и прямоугольник.

Пример 3. Пусть при z = 0 граница 6Qo локуса Qo описывается уравнением (3), а при z = н границей дО н локуса Он является окружность, уравнение которой SQh = (R2 - х2 - у2 = 0). Применяя формулу (5), можно записать уравнение боковой поверхности, соединяющей дО о и дО н , в виде:

((a2 - х2) л о (b2 - y2))(H - z) +

Н

+ (R2 - х2 -y2)z + ф(х,у_^ = о |.

H

H

Замечание 1. Следует отметить, что применить формулу (2) в примере 3 затруднительно, так как интерлоцируемые локусы — прямоугольник и окружность, содержат разное количество геометрических параметров q и принадлежат к разным семействам.

Использовать формулу (5) в случае, когда интер-лоцируется более двух локусов, можно, лишь беря

внутренние сечения |нi - z| или (н; - z)2k . При

этом, когда интерлоцируются более двух локусов и нет никакой дополнительной информации о порядке гладкости боковой поверхности, можно также воспользоваться интерлокацией вида:

ю(х, У, z) =2 Юі(х, y)h;(z, zj_j, zb і—1

zi+0 +n(z - ziMx,y,z),

i=1

где hi(z,zi-1,zi,zi+0 _

— финитный линейный сплайн (рис. 1).

(Y 1 Г T

z - zi-1 л1 z _ zi+1

IL zi_ zi-1 J L zi_ zi+1 U

Vi 0

Необходимо ещё обратить внимание на тот случай, когда в нижнем, верхнем и всех промежуточных сечениях расположены локусы, обладающие свойством геометрического подобия. Если известно построенное с помощью R-функций уравнение

границы локуса в плоскости хОу - ю(х,у) = 0, то уравнение подобной фигуры имеет вид:

— ю(кх, ky) = 0, где к — коэффициент подобия. Тог-к

да, задавая k = k(z), при условии к(о) = 1, получаем уравнение поверхности вида

an = f-L

I k

которому в сечениях z = h = const будут соответствовать подобные локусы.

Теперь рассмотрим вопрос о построении уравнения локуса, закрученного вдоль оси z по некоторому закону. Если в плоскости xOy граница дО о локуса О о описывается уравнением (4), то уравнение

ra(xcos <p(z) + y sin <p(z) + cx(z),

y cos <p(z) - х sin <p(z) + cy (z)) = 0

определяет в 3D такой локус q , что его сечения плоскостями z = h = const получаются из локуса О о путем его вращения вокруг оси Oz и смещения всех его точек в плоскости z = h на вектор C(cx(z),cy (z)). Если <p(z) есть линейная функция вида <p(z) = kz, а cx = cy = 0, то локус q будет получаться из локуса О о путем движения О о вдоль винтовой линии с осью Oz , а именно путем вращения вокруг оси Oz и равномерного поступательного движения вдоль неё.

(k(z)x,k(z)y) = 0 I,

РИ, 2001, № 2

159

Пример 4. Пусть при z = 0 граница 3Q0 локуса Q0 описывается выражением (3). Построить уравнение локуса, который получается из Qо путем закручивания Q о по закону, указанному на рис.2.

Если функцию <p(z) представить в виде:

ф(z) = (F1 Л1 Л1 F3 =

(

n^z

V

-----Лі nn

ll 1

f

1

V

z -12

l -1

2 JJ

Л1 П7Т

то искомое уравнение запишется как

)(x, y, z) = (a2 _ (x cos <k(z)+y sin ip(z))2] Ao л о (b2 - (y cos <p(z) - xsin <p(z))2] = 0 ,

Рассмотрим вывод формулы (6).

Пусть уравнение образующей в плоскости xOy имеет вид: ra(x,y) = 0 и, кроме того, известно, что функция ro(x,y) нормализована до первого порядка, т.е.

9ro(x, y) Sn

5Qo

(v( x,y))2

5Qo

Mx,y)'ї2 ']

5x ) { dy )

= 1

5Qo

J x ^ xcoskz + y sinkz + C1

їосле подегановки jy ^ycoskz - xsinkz + C2 в ro(x,y) получаем ю(x ,y) = ra(x,y,z). Вычислим

5ro(x, y, z) Sn

дП

(v( W))2

дП

9ro

dx

2

+

d(x ,y) "I +

5y )

Эю

Sz

2

5Q

12 cos 2 kz + И ^] \in2kz -

I as )

- 2 MhO ^ ji-y) Sinzkcoskz 12sin2kz +

dx Sy ^ Sx J

а локус будет представлять собой сложную винтовую поверхность, образующей которой является прямоугольник SQо , а направляющими — спирали, закрученные по часовой стрелке на угол пя на интервале (о, І1), против часовой стрелки до исходной ориентации прямоугольника SQ о на интервале м , а на интервале (І1,12 ) направляющими будут параллельные прямые, ортогональные плоскости xOy , и центральная часть поверхности локуса будет поверхностью прямоугольного параллелепипеда.

Замечание 2. Нормализацию полученных уравнений можно проводить как согласно общей методике, описанной в [1,6], по формуле

I \ ю

ran(x,y,zl = , 4 /

так и в случае, если e(c 1, c 2), где c 1, c2 — константы, а <p(z) = kz , то

ю n(x,y,z) =

Sy

cos2kz + 2 ^x y ^x y si

Sx

5y

sin zk cos kz +

Sro

dx

[kx sin kz - ky cos kz]2

Sro(x, y) dy

+ 2

[ky sin kz + kx cos kz]2 Sro

dx dy

<[kx sinkz -kycoskz] [ky sinkz + kxcoskz] =

(5m(x,y)Y, Г 5m(x,y)f+fky Mx- y)", +

dx J 1 Sy J ^ dx

2

dy

+ | kx 12 -2k2xy ^x,y) ^^

dx

dy

2

2

ю(x cos kz + y sin kz, y cos kz - x sin kz) д/(Ую(x cos kz + y sin kz, y cos kz - x sin kz))2

Ю'

y/(Vro( x ,y))2

a

1 + k2 Jy ^ _ x 5Ю(^

dx dy

.

= 1 + k2 Jy ^^ - x ^x^)

' 5x cy

Окончательно получаем нормализованную функцию закрученной боковой поверхности в предположении, что <p(z) = kz, а c(c1,c^, где cbc2 — константы:

2

2

160

РИ, 2001, № 2

Ю n

л/М x,y))2

3

1 + k2 .Jy M *-y) _ x da

Sx dy

2

3. Построение в 3D уравнений лопаток турбин с помощью R-функций

Проектирование лопаточных аппаратов и особенно последних ступеней паровых турбин большой мощности представляет собой актуальную, сложную научно-исследовательскую и проектно-конструкторскую проблему, требующую комплексного изучения и решения задач газовой динамики, технологии, конструирования, прочности и вибрации.

Несмотря на особую важность, задача создания методики проектирования сопловых и рабочих лопаток турбомашин ещё далека от завершения. Основная причина такого положения заключается в отсутствии строгих методов при построении решетки профилей, хотя этому вопросу в литературе посвящено большое количество работ.

Представляется, что полная комплексная методика проектирования решеток профилей турбомашин должна включать в себя следующие задачи: построение решеток профилей (обратная задача); расчет их характеристик (прямая задача); оптимизация решетки профилей. Так как профиль является элементом лопатки, методика проектирования решеток профилей должна учитывать также возможность достижения оптимальных характеристик лопатки в целом [9].

Все существующие в настоящее время методы построения решеток профилей можно разделить условно на два направления: геометрические, связанные с вычерчиванием профиля, и численные (так называемые методы обратной задачи).

В работе [9] представлено развитие третьего направления: аналитические методы построения. В этих методах профиль описывается системой аналитических выражений определенного семейства, зависящих от исходных данных Д и одного или нескольких параметров п : y = f(x, Д ,П).

Поперечные сечения лопаток современных турбо -машин имеют достаточно сложную форму. Обычно на рабочих чертежах форма поперечных сечений лопаток задается координатами точек, которые лежат на контуре сечения. Контуры сечений лопаток паровых турбин задаются в виде дуг окружностей и отрезков прямых [10].

В работах [11-13] проводились исследования RFM температурных, деформационных, термонапряженных и других физико-механических полей для лопаток турбин (рис.3), в том числе и с каналами для теплоотводящих сред. Однако расчеты проводились для лопаток в некоторых сечениях, т.е. в 2D, где профиль лопатки, составленный из дуг окружностей, эллипсов, парабол, участков прямых, строился с помощью R-функций.

Например [11], пусть

b0 + b^x + е0) - y + b2(x + с0)2

f =

-J(2b2(x + С0) + bl)2 + 1

(x -c + co)2 + (y -d)2 -r,2 2ri

f 2 =

f3 =

& -

2r

ml

_

f4 =-

f 5 =

(x-27 + cp)2 + (y-36)2 -r32 2rQ

где c = 15,5142; b = 27,015 ; d = -40,1889 ;

r, = 67,3514 ; rm1 = 1,62 ; r3 = 7 ; r4 = 3 ;

b0 = 29,638418; b1 = 1,2480253; b2 = -0.0228603 ;

x3 = -1,29; x4 = 0,3644 ;

y3 = 27,994949 ; y4 = 25,436515 .

Тогда уравнение границы лопатки турбины в нижнем ее сечении (рис.4) будет:

РИ, 2001, № 2

Рис. 4

161

Если теперь, согласно изложенному выше, построить в 3D, исходя из этой образующей, закрученную по некоторому закону лопатку, сечения z = const которой будут подобны нижнему основанию, то для этого надо в уравнение (7) подставить

fx ^ x cos9^z) + y sin9

[y ^ y cos<p

В результате получим закрученную по заданному закону <p(z) лопатку, т.е. винтовую поверхность с образующей, показанной на рис.2. Если при этом выполнить преобразование подобия, т.е. сделать подстановку

x ^ kk*xcos фт + kk*ysin9

— ro(kk * x cos 9(z) + kk * y sin 9(z), kk

kk * y cos 9(z) - kk * x sin 9(z)) = 0,

где kk = z/3 +1, то получим закрученную лопатку, где в каждом сечении — подобные локусы, а ее верхнее сечение изображено на рис.5,а. Если же от

каждой опорной функции f;, участвующей в построении нижнего основания лопатки, отнять величину kk = 3z и применить преобразование (8), то получим закрученную лопатку с верхним сечением, изображенным на рис. 5, б.

2Б877Е-02

а

5Є533Е-03

б

Рис.5

Описанный подход, базирующийся на построении основания (направляющей лопатки) из примитивов, в некоторых случаях может дать неоправданные физические явления из-за разрывных значений кривизн вдоль контура, а иногда и кромок, вследствие недостаточно точных конструктивных сопряжений.

162

В настоящее время для конструирования решеток профилей теорией [14] и практикой [15] выработан ряд рекомендаций:

— канал решетки профилей должен быть конфу-зорным;

— обводы профиля должны иметь плавно изменяющуюся кривизну от входа к выходу;

— кривизна обвода профилей должна быть без разрывов;

— угол между касательными к наружной и внутренней поверхностям на выходной кромке должен быть 2-4о;

— угол между касательными к наружной поверхности в горле и на выходной кромке должен быть 6-8о.

Ниже предлагается еще один подход к построению достаточно гладкого профиля (образующей или сечения) лопатки.

Рассмотрим каркас в виде дуги окружности, построенной с помощью формулы “отсечки” [1], позволяющей получать уравнение участка кривой, нормализованное в обобщенном смысле:

Ю; =

"1

і

4 2

Ю +СТ j -Ст j

2

+ ю 2 — 0

2

где ю = 0 — нормализованное уравнение локуса dQ; Еj = (ст; > о) — некоторая область, выделяющая искомый i -й участок границы, причем такая, что стi = 0 — нормализованное уравнение ЭЕi, а (Vra, Vctі) = 0 в точках dQП ЭЕi. Таким образом, выделить дугу окружности можно либо окружностью, ортогональной к данной в точках концов дуги, либо двумя прямыми, проходящими через центр окружности и, соответственно, через один из концов дуги.

Пусть для определенности дуга проходит через точки: (- a,-b)t (0,0) и (a,-b). Тогда, если записать а = а 1 - (a 2 - x 2) / par, где par - параметр, регулирующий толщину лопатки, то получим натянутый на каркас в виде дуги профиль лопатки c острыми кромками, изображенный на рис. 6,а. Если в качестве каркаса рассматривается не дуга, а отрезок, то получим профиль, изображенный на рис. 6, б.

Если же записать

ю = 1 -

где part и par2 определяют степень скругления кромок, а par, как и ранее, — толщину лопатки, то получим натянутый на каркас в виде дуги несимметричный профиль лопатки c затупленными кромками, изображенный на рис. 7,а. Если в качестве каркаса рассматривается отрезок, то получим профиль, изображенный на рис. 7,б.

РИ, 2001, № 2

б

Жуковского, хотя принципы их построения радикально отличаются.

Произведя в полученном уравнении (10) подстановку (9), получим закрученную по заданному закону лопатку, у которой в каждом сечении будут профили, подобные исходному.

Такой аналитический метод построения решетки профилей имеет ряд преимуществ:

— полностью исключается влияние человека—конструктора, так как качество решетки профилей определяется только качеством математической модели;

— при заданных исходных данных и принятых параметрах существует строго однозначное решение;

— ускоряется процесс проектирования;

— появляется возможность полностью автоматизировать процесс проектирования решетки, производить аналитические операции (дифференцирование, интегрирование и т.д.), что открывает широкие перспективы создания методов расчета характеристик и методов оптимизации решетки профилей.

Рис.6

а

а

С

. 14385Е+01

. 12587Е+01

. 1078ЭЕ+01

.89908Е+00

. 71927Е+00

о . 5394ЄЕ+00

.359G5E+00

. 17984Е+00

.33414Е-04

б

б

Рис.8

Рис.7

На рис.8,а,б изображены два сечения z = h; закрученной лопатки с затупленными кромками и теплоотводящими каналами.

Замечание 3. Обратим внимание, что изображенные на рис.6,7 профили напоминают профиль и руль

Литература: 1. Рвачев Б.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. Киев: Наук. думка. 1982. 552 с. 2. Рвачев В.Л., Синекоп Н.С., Кравченко Л.К. Расчет неоднородного цилиндра с жестким включением // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1987. Вып.26. С. 72-78. 3. Рвачев В.Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наук. думка. 1977. 235с. 4. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П, Архипова Е. С. Расчет температурного поля в двухсвязном

РИ, 2001, № 2

163

составном цилиндре сложного сечения // Мат. физика. 1980. Вып.28.С. 87-92. 5. Рвачев В.Л., Проценко В. С., Архипова Е. С. Структурный метод и его приложения к решению пространственных контактных задач теории упругости // Тр. науч. конф. “Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе”, Киев, 26-28 сент. 1974 г. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР. 1974. С. 582-590. 6. Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. Киев: Наук. думка. 1974. 259с. 7. Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. Киев: Техника. 1967. 212с. 8. Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа-Эрмита на произвольных локусах (Интерлокационные операторы R-функций) // Проблемы машиностроения. 1998. Т.1, №3-4. С. 150-165. 9. Шубенко-ШубинЛ.А., Познахи-рев В. Ф, Тарелин А.А., Антипцев Ю.П. Аналитический метод проектирования длинных рабочих лопаток турбомашин // Энергомашиностроение. 1973. №5. С.1-5. 10. Воробьев Ю.С. Колебания лопаточного аппарата турбомашин. Киев: Наук. думка. 1988. 224 с. 11. Рвачев В.Л, Шевченко А.Н., Сизова Н.Д. Исследование термонапряженного состояния лопатки авиационных двигателей // Прикладная механика. 1996.Т.32, №2. С.117-121. 12. РвачевВ.Л., Слесаренко А.П., Сизова Н.Д. Расчет пространственного стационарного температурного поля внутри прямой призмы при определенной температуре на её гранях // Докл. АН УССР. Сер.А. 1975. №10. С.945-948. 13. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П, Сизова Н.Д. Температурное поле в цилиндровом блоке акси-

ально-поршневого насоса // Инж.-физ.журн. 1980. Т.34, №3. С.527-531. 14. Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профиля турбомашин. Москва-Ленинград: Машгиз, 1960. 15. Шубенко-Шубин Л.А., Соболев С.П., Познахирев В.Ф. Конструирование профильной части рабочих лопаток последних ступеней мощных паровых турбин // Энергомашиностроение. 1964. №9. С. 1-5.

Поступила в редколлегию 19.10.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шубенко А.Л.

Рвачев Владимир Логвинович, д-р физ.-мат. наук, академик НАН Украины, зав. отделом прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическая физика, вариационные методы. Адрес: Украина, 61003, Харьков-3, Армянский пер. 1/ 3, кв.80, тел. 23-30-85, 95-96-41.

Уваров Роман Александрович, аспирант отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, к. 1304, тел. 95-95-77.

Шейко Татьяна Ивановна, д-р техн. наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: математическая физика, вариационные методы, механика сплошных сред. Адрес: Украина, 61125, Харьков, а/я 606, тел. 23-57-57, 95-96-41.

164

РИ, 2001, № 2