Преобразование разностных решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хайрер, Э., Нерсетт, С., Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: Мир. - 1990. - 512 с.

2. Ромм, Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. -2013. - № 3. - С. 95 - 112.

УДК 519.6: 681.3

И.Ю. Журавлев

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ

Аннотация. Рассматриваются преобразования разностных методов решения задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений. В результате преобразований разностные методы оказываются формальными аналогами метода простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. В таком случае к ним применимы аналоги параллельных реализаций метода простой итерации. Наиболее существенно, что в преобразованной форме данные методы допускают возможность компьютерного анализа устойчивости по Ляпунову линейных систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей.

Ключевые слова: линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, преобразование разностного метода к виду простой итерации, параллельное решение линейных систем, устойчивость по Ляпунову, компьютерный анализ устойчивости.

THE TRANSFORMATION OF THE LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT MATRIX SYSTEM'S DIFFERENCE SOLUTIONS

Abstract. The work considers the transformations of different solution methods of the Cauchy problem for the linear differential equations. As a result of the transformation it turns out that the different solution methods are the formal analogue of the fixed point iteration method's system solution of linear algebraic equations. In that case the analogues of the parallel simple integration's method implementation are applicable to them. It is fundamentally that the transformed form of these methods admits the possibility of the linear differential equations with constant matrix system's computer stability analysis by Lyapunov.

Key words: the linear differential equations with constant coefficients, the transformation of different solution methods with simple integration, the parallel solution of linear systems, the stability by Lyapunov, the computer stability analysis.

Пусть рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = BY + d

dt

с постоянной матрицей В, n X n и с постоянным вектором d размерности n, для которой на отрезке [ t0, х ] требуется приближенно найти решение задачи Коши с начальными условиями

Y (to ) = Yo .

Системы с постоянной матрицей играют существенную роль в способах оценки устойчивости решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида [1 - 6]. В данном случае речь пойдет о приближенном решении (1), (2) на основе пошаговых методов Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и др. Затем эти методы, модифицированные по аналогии с итерационными методами решения СЛАУ, окажется возможным применить для непосредственной оценки устойчивости в смысле Ляпунова решения системы (1), (2) по одному только виду матрицы B из (1). Для приближенного решения системы (1) с начальными данными (2) метод Эйлера с шагом h первоначально записывается в исходной форме

Y+1 = Y + h(BY, + d), i = 0,1, ...,

где Yo из

или

где

=( Е + НВ + hd

= АУ, + Ь,

А = Е + ИВ, Ь = hd. Метод (4) формально представляет собой аналог итерационного процесса следующего вида. Пусть рассматривается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в приведенной форме

х = Ах + Ь,

где А = (а,у ) - квадратичная матрица П х п общего вида, Ь = (Ь,) - п-мерный вектор. Единичная матрица будет обозначаться Е, СЛАУ предполагается невырожденной - det (Е — А) Ф 0, det -

обозначение определителя. Пусть

< 1, где рассматривается каноническая нормы матрицы.

Тогда аналог рассматриваемого метода есть метод простой итерации:

х(к} = Ах(к-1) + к = 1,2,.... при произвольном выборе начального вектора х(0).

Поэтому метод (4) можно подвергнуть всем тем же преобразованиям, каким подвергался метод простой итерации с теми же формальными оценками ускорения при распараллеливании [7]. В ча-

стности,

где

^ = АрТг - р + Ьр.

Ар = Ар+\

(

ЬР =

Л

, = р, р +1,....

IА Ь,

V ¿=0 У

Если Ар и Ьр наперед вычислены для А и Ь из (5), то дальнейший процесс (6) при том же h, следовательно, с той же точностью приближения, будет протекать в р + 1 раз быстрее, чем (4) или эквивалентный исходный процесс (3). Эта оценка подтверждается простейшим численным экспериментом. [7].

Возможно также параллельное преобразование метода по аналогии с методом простых итераций с логарифмической оценкой временной сложности [7]:

<2 х(1)= Ах (0) + ь Ь(1) = АЬ + Ь,

А1 = А\ А2 = А1 ,

х- = Ах[ 0 + Ь, х (2) = Ах(1) + Ь(1),

Ь(2) = АЬ(1) + Ь(1),

А, = А] 1, х(£) = Ае 1х(£—1) + Ь(£—1), Ь(£) = А, /£—1) + Ь(£—1), £ = 2, 3, ...

Замечание 1. В отличие от алгебраического приложения, (6) не является фактическим эквивалентом (4), поскольку ускорение достигается за счет пропуска р промежуточных шагов (узлов рав-X — t

номерной сетки h =-—, tг+1 = ti + h, , = 0,1,...; вычисления (6) производятся в узлах

п

t0, ^р+1, ^2 р+2,

t

(р+1),...). Если значение решения в пропускаемых точках знать не требуется,

то эквивалент фактически имеет место, но в противном случае шаг h потребуется уменьшить с нарушением эквивалентности. Очевидно, взяв новый шаг Ы(р + 1) взамен h, можно с помощью (6) в тех же узлах, что исходный метод, при равной с ним скорости решения получать более точные значения этого решения. Согласно известным оценкам погрешности метода Эйлера, на шаге это

(

составит

О

к1

Л

(р +1)2

взамен исходной оценки

о ^).

У

Аналогичный описанному переход от (3) к (6) можно построить для метода Рунге-Кутта. Например, для распространенного варианта этого метода

К, = hF X, у), К 2, = hF | X + 2 Н ,у + 2 Кн

Кз, = hF | X + - Н, У + - К2

з I , 2 2 2

К4г = hF X + Н ,У + Кз,),

у+1 = У +1 (Ки + 2К 2, + 2К з, + К4,), 6

где в общем случае F (X, У ) - вектор-функция правой части системы дифференциальных уравнении, X = X^), Н = (/г,/,.../) - векторы размерности и, / - шаг равномерной сетки, - с учетом

п

автономности системы (1) будут иметь место соотношения

К и = / (ву + d),

К 2, = / Г В(У + 2 Ки) + d |, К 3, = / Г В(У + 2 К 2,)+d 1, К4, = / ^ В(У + 2 К з,)+d |,

у+1 = у +1 (Кн + 2К 2, + 2К з, + К4,). 6

Отсюда, с учетом линейности (1),

К1г = /Ву + hd,

К, =1 /В +1 /2 В 2| у + hd +1 /2 Bd,

2

1

—^

2

К„. =1 /В +1 /2В2 +1 /3В3 | у + hd +1 /2Bd +1 hъB1d,

К, =| /В + /2В2 +1 /3В3 +1 /4В4 |у + hd + /2Bd +1 /3ВЧ +1 /4ВV,

у+1 =

Е +1 /В +1 /2В2 +1 /В3 +—/4В4 I 2 6 24

у + hd +1 /2Bd +1 /В V + — /4В ъd . г 2 6 24

Следовательно,

где

у+1 = у + ь

4 1

^(0) = £ + ]Г 2 (/В У,

г=1

ь(0) = / (¿2. (/В)"

Л

d.

у

После предварительного вычисления (8) к процессу (7) применимы все те преобразования, которые применимы к (4), в частности переход вида (6).

Преимущество (7), (8) перед (4), (5) заключается в более высокой точности на шаге - О (/5). С некоторыми видоизменениями подобные переходы от (з) к (6) могут быть получены для линейных разностных схем. В частности, для экстраполяционного метода Адамса [8] применительно к (1), (2) получится

2

4

2

4

2

4

2

Ут+1 = Уя + Ь {Б¥т + d)+ | {Б¥т - Б¥т_1) + Н ^т - 2В¥т-1 + ) +

+ 8 Ь

или

г

У -

т+1

Е + 1 1 +1 + — + 3 | ИВ

I 2 12 8

Л

Ут +

3

- - - - 9 I ИВУт , + (— + 9 I ИВ Ут , +

2 6 8 I т-1 112 8 I т-1

+ 1 — IИВУ 3 + Иd.

I 8 I т-3

Отсюда

(9) где

Ут+1 = АХ + А^2 Ут-1 + А(3 У^ + А(4 У^ + Ь

1(2 У

1(3)У

1(4 У

Ь(1)- М, 1

А(1)- Е + а1ИВ, А(2)-а2ИВ, А(3)-а3ИВ, А(4>-а4ИВ,]

и а1 — а 4 вычисляются из предыдущего выражения для Ут+1. Очевидно, представление искомого вектора на текущем шаге, аналогичное

(У 1 т+1 (А(1) А(2) А(3) А(4) ^ ( У л т (ь(1) 1

Ут Е 0 0 0 У т-1 0

= +

У 1 т-1 0 Е 0 0 Ут-2 0

У V т-2 I I 0 0 Е 0 I У I т-31 10,

где т = 3, 4, ...; У0 - из (2); У1, У2 вычисляются с помощью вспомогательных методов. Наконец, (11) переписывается в искомом виде

7 т — А00 7т-1 + Ь00,

при этом

(У | т +1 (ь(1) > (А(1) А(2) А(3) А(4) '

У , Ь 00 - 0 Е 0 0 0

7 - т т У 1 т-1 0 , А 00 - 0 Е 0 0

У I т-21 101 I 0 0 Е 0 ,

По отношению к (12) возможны все преобразования, выполнявшиеся для метода простой итерации с оговорками, аналогичными сделанным в случае метода Эйлера.

При некоторых ограничениях на матрицу В из (1) представление, аналогичное (2), осуществимо для интерполяционного метода Адамса, - в результате элементарных преобразований окажется, что

Ут+: = Ут + И ( 9 (ВУт+1 + Ь)+19 (ВУт + Ь) -5 (ВУт-, + Ь) + ВУп_2 + Ь),

откуда

Е- АИВ IУт+1 -( Е + ^У + -5ИВУт 1 + ИВУт 2 + ИЬ .

24 I т+: I 24 I т 24 т-1 24 т-2

—hB 24

< 1, то матрица E--hB обратима, например, по од-

24

ной из схем, описанных в [7]. Оба требования заведомо выполнимы при условии, что / достаточно мало.

На изложенной основе может обсуждаться применимость данных приемов [9] для анализа устойчивости по Ляпунову решения системы (1). Здесь же целесообразно отметить, что с помощью специальных методов [2] к системам вида (1) с постоянной матрицей В сводятся все системы дифференциальных уравнений из класса приводимых. Помимо того, важными физическими приложениями непосредственно обладают некоторые системы данного вида, в частности системы

„йФ ... . __

С-= АФ + Ь - SФ,

йг

где С, А, S - матрицы N х N, Ф - разностный вектор из N компонент. К такому виду сводится двумерное уравнение диффузии, которое затем с дополнительными преобразованиями решается на векторных компьютерах [10].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Немыцкий, В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.-Л.: Гос. издат. технико-теоретической литературы. - 1947. - 448 с.

2. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Изд-во Ленинград. ун-та. - 1955. - 656 с.

3. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир. - 1964. - 478 с.

4. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

5. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1969. -190 с.

6. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989. - 472 с.

7. Ромм, Я.Е. Параллельные итерационные схемы линейной алгебры с приложением к анализу устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - № 4. - С. 119 - 142.

8. Березин, И.С., Жидков Н.Г. Методы вычислений, т.1. - М.: Наука, 1970. - 464 с.

9. Ромм, Я.Е. Компьютерно-ориентированный анализ устойчивости на основе рекуррентных преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. - 2015. - Т. 51. - № з. - С. 107 - 124.

10. Родриг, Г., Хендриксон, К., Пратт, М. Неявный численный метод решения двумерного уравнения диффузии и эксперименты по его векторизации // Параллельные вычисления / под ред. Г. Родрига. - М.: Наука, 1986. - С. 102 - 124.

и

УДК 531.3В ББК 22.21

Н. А. Терёхин

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-КИРХГОФА МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ

Аннотация. В этой статье для построения приближенного решения уравнения Кирхгофа используются методы гамильтоновой механики. Сначала указывается алгоритм построения приближенного решения, а затем находится решение, отличающееся от точного членами четвертого порядка относительно начальных значений величин, характеризующих деформацию стержня.

Ключевые слова: импульс, нормализация, стержень, центральная ось, система координат, унивалентный.

N. A. Terekhin

THE CONSTRUCTION OF THE SOLUTION OF THE EULER-KIRCHHOFF METHOD OF NORMAL FORMS

Annotation. In this article, for the construction of an approximate solution of the Kirchhoff methods are used Hamiltonian mechanics. First, an algorithm for constructing an approximate solution, then

395