Влияние напряженно-деформированного состояния «Пограничный слой» на прочность фланцевых и сварных соединений

УДК 539.3

ВЛИЯНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» НА ПРОЧНОСТЬ ФЛАНЦЕВЫХ И СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ

В.В. Фирсанов, Е.В. Серпичева

Рассматривается построение уточненных расчетных формул прочности, трещиностойкости фланцевых и сварных соединений тонкостенных авиационных конструкций. Это уточнение базируется на результатах неклассической теории цилиндрических оболочек, прямоугольных пластинок постоянной и переменной толщины, а также механики разрушения. Применяются соотношения для дополнительного, по отношению к классической теории типа Кирхгофа-Лява, напряженно-деформированного состояния «погранслой».

Ключевые слова: круговая цилиндрическая оболочка; прямоугольная пластинка; жестко защемленный край; напряженно-деформированное состояние; краевая плоская деформация продольные нормальные напряжения; поперечные нормальные и касательные напряжения начальная трещина; коэффициент интенсивности напряжений; хрупкая прочность.

Авиационные конструкции содержат зоны с неоднородными геометрическими параметрами, к числу которых можно отнести различные соединения, в том числе фланцевые и сварные соединения. Известно, что локальные напряжения, возникающие в указанных соединениях, существенно отличается от уровня напряжений, определяемых с использованием расчетных схем для анализа общего напряженно-деформированного состояния (НДС). Причиной такого отличия является резкое изменение параметров, характеризующих геометрию конструкций в ее локальных зонах, а также контакт с сопрягаемых элементов конструкций при передаче усилий.

Разрушение конструкций летательных аппаратов, происшедшие при сравнительно невысоких расчетных напряжениях, выявили необходимость более глубокого подхода к анализу напряженного состояния. Современные экспериментальные данные убедительно свидетельствуют о постепенном развитии разрушения, о большой роли первичных дефектов, микротрещин в формировании картины разрушения. Поэтому для оценки прочности установок и пригодности конструкционных материалов необходимо учитывать влияние трещин.

В настоящее время инженерные расчеты фланцевых и сварных соединений, как правило базируются на результатах классической теории пластинок и оболочек типа Кирхгофа-Лява.

Расчет НДС соединений по классической теории не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС. При создании приближенной теории пластин и оболочек, свободной

279

от гипотез Кирхгофа-Лява, получил распространение метод прямого асимптотического разложения [1, 2, 3]. С помощью метода асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений трехмерной теории упругости задача определения НДС цилиндрической оболочки и прямоугольной пластинки с жестко закрепленными краями, в первом приближении приводится [1, 2, 3] к суммированию двух напряженных состояний, одно из которых соответствует классической теории и другое-быстро затухающему при удалении от края НДС краевой плоской деформации (погранс-лой). Отметим, что уточненные методы расчета НДС указанных пластинок и оболочек построены [1, 2, 3, 4, 5] для случаев постоянной и переменной толщины. К подобным элементам авиационных конструкций относятся, например, обечайки топливных отсеков летательных аппаратов, корпуса авиационных и космических ракет, крылья малого удлинения, переходные зоны фланцевых соединений и др.

Если принять во внимание, что НДС краевой плоской деформации существенно [1, 2, 3], то его учет при оценке прочности и трещиностойко-сти может привести к значительному изменению величин максимальных и эквивалентных напряжений, коэффициентов интенсивности напряжений для начальных трещин.

Напряженно-деформированное состояние оболочки.

Рассматривается оболочка переменной толщины из изотропного материала, нагруженная поперечной распределенной нагрузкой q(0,z), отнесена к цилиндрической системе координат (r,0,z). Обозначим через R характерный радиус кривизны оболочки, а через 2h - ее переменную несимметрично изменяющуюся по длине толщину, определяемую соотношением

h = hm - tga- z.

Наряду с системой координат (r,0,z) будем рассматривать косоугольную систему координат, (р, 0, z1), для которой справедливы равенства

z

р = r - R + sin a- z1; z1 =-, - h <p< h.

cos a

Введем относительные координаты по формулам

Rcosa

\И/

В формулах (3) справедливы равенства

Р = Ы"\ 4 = | .

Геометрические параметры данной оболочки примем такими, чтобы выполнялось условие tga = 0,1.

Для определенности положим, что край оболочки г = 0 - жестко защемленный. Другой край может быть любым, в том числе и свободным,

280

нагруженным сосредоточенными силовыми факторами типа изгибающих моментов и перерезывающих сил, передающихся на оболочку со стороны других отсеков конструкции.

В работе [3] построены первые приближения трех итерационных процессов, эквивалентных безмоментной теории оболочек, простому краевому эффекту и краевой плоской деформации. Будем полагать далее что внутреннее (основное) НДС оболочки, соответствующее классической теории составляется как сумма безмоментного НДС и НДС простых краевых эффектов.

Предположим, что основное НДС оболочки соответствующее классической теории, определено. Следовательно, известно изгибное напряжение огм, получаемое суперпозицией решений для оболочки, нагруженной давлением д и краевыми усилиями.

Далее, проделав известный цикл вычислений [2, 3] по определению напряженного состояния краевой плоской деформации у защемленного края, в частности, найдем соответствующее продольное нормальное напряжение

ол = о^М-ехр(- 4,010<0,012сов2,39^ - 0,03Ьш2,390(- 7у+35у13), (5) где индексом т помечены значения напряжений в верхнем продольном волокне.

Суммируя напряжения о^п и огм можно построить графическую зависимость нормальных напряжений на жестко защемленном краю по толщине оболочки.

1. Прочность непрерывных соединений на основе неклассической теории.

Для оценки прочности авиационных конструкций и пригодности конструкционных материалов необходимо учитывать влияние трещин. В механике разрушения [6] рассматривается асимптотическое распределение НДС в окрестности вершины трещины, где в рамках линейной теории упругости всегда имеет место концентрация напряжений, характеризуемая коэффициентом интенсивности напряжений.

В свою очередь, величина коэффициента интенсивности напряжений зависит, в частности, от того, как точно были определены напряжения в сплошной конструкции без трещины. Если принять во внимание, что НДС плоской деформации вблизи закрепленного края тонкостенных конструкций существенно и может привести к значительному перераспределению усилий на берегах трещины, находящейся, например, в зоне максимальных напряжений, естественно возникает вопрос, как в количественном отношении влияет дополнительное НДС краевой плоской деформации на коэффициент интенсивности напряжений.

Допустим также, что одним из методов неразрушающего контроля материалов на свободной поверхности оболочки обнаружен технологиче-

ский дефект, который можно классифицировать как начальную прямолинейную трещину размером 2Ь. Найдем коэффициент интенсивности напряжений Кь отвечающий трещине нормального разрыва, на нижнем конце разреза.

Сформулированная задача приводится к анализу распределения НДС в окрестности разреза, по фронту которого действуют нагрузки. В первом приближении, на наш взгляд, коэффициент интенсивности напряжений можно найти, комбинируя двумя плоскими задачами теории трещин.

В одной из них рассматривается упругая плоскость с прямолинейным разрезом, свободным от нагрузок, находящимся под действием сосредоточенных сил Р, 0 и момента М, приложенных в точке (хь, 0). В другой задаче упругая плоскость с прямолинейным разрезом, находится под действием симметричных относительно берегов трещины нормальных распределенных нагрузок о^х).

Поскольку отношение Ь/Ь мало, можно представить оболочку в виде полубесконечной плоскости рz, ограниченной бесконечной прямой р = Ь. Далее, учитывая, что влияние свободной границы тела приводит [7] к увеличению коэффициента интенсивности К в 1,12 раза, перейдем от полубесконечной плоскости к бесконечной.

Пусть по длине трещины действуют распределенные нагрузки, которые, в силу ее малости, будем считать постоянными и равными -огтм, -о^п™ , где индексом т помечены значения напряжений в верхнем продольном волокне. На остальном участке толщины оболочки заменим распределенные нагрузки сосредоточенными силами и моментами, полагая, что они приложены в ЦМ соответствующих участков эпюр. Применяя некоторые теоремы теоретической механики, перейдем в бесконечной плоскости к распределению усилий, относящихся к основному НДС, а так же к напряженному состоянию краевой плоской деформации, причем, как следует из (формулы 5),

олт = 0,35О;тМ

Для того, чтобы использовать зависимости [6], преобразуем их к принятой системе координат. Очевидно, что х = Ь-Ь-р. Согласно зависимости (3) перейдем к безразмерной координате у. Тогда, в соответствии с [4], коэффициенты К для указанных задач можно записать в виде

К В = Р 1 2л/РЬ

КП=Жь ь.

где е = Ь/Ь, уь - координата ЦМ эпюры и величина х принимает значение

(1 -С)(1 -у ь) (1 -е-у ь)2-е 2

-

%1=(3-у)/(1+у) для плоского напряженного состояния и значение Х2 = 3-4у для плоской деформации.

Обозначим через К[В коэффициент интенсивности, соответствующий полю упругих напряжений основного НДС, а через К[п коэффициент интенсивности, соответствующий полю упругих напряжений краевой плоской деформации. В результате суммарное значение коэффициента К^ представится как К1^=К1В+ КП.

Далее, применяя принцип суперпозиции, на основании формул (7) и (8), можно записать

М 1

КВ =

Ло

¿ш

4РЬ

IО г (УX 1-2е

(1 -У),

(У-1 + 28° +

р

М

2(1 + %1)л/РЬ

(1 -С1)(1 -У 00) (1 -8-У 00)2-82

К!

П

- Ло

ш ¿П

л/РЪ

IО г (УX

(1 -У)/

1-28

\ У-1 + 28)

1=4

+ х - I— 1=0 2(1 + с2НРЬ

(1 -8-У01 )2 -82

где через у01 обозначены ЦМ соответствующих участков эпюр огМ,о2П .

Входящие во вторые слагаемые равенств (9) и (10) множители вида

(1 с)(1 У01) -(1 -с) стремятся к нулю, так как величина е, по (1 -8-У 01 )2 -8 2 _

предположению, мала по сравнению с единицей. Учитывая этот факт, суммированием (9) и (10) для К[^ получим формулу

М

К

- Л

1

*=1Ь (оМ + оШП ^(1 "V1 + 28°

или, принимая во внимание (6), а также коэффициент 1,12 для свободной поверхности, находим

М 1

КЕ=-1,51 |

(1 -У)/

X У-1 + 28)

л/РБ 1-28

Из сравнения формул (9) и (10) приходим к выводу, что учет дополнительного напряженного состояния краевой плоской деформации приводит к увеличению коэффициента интенсивности К^ на нижнем конце трещины в 1,51 раза. Подстановка уточненного значения К^ в условие К^Кю, в котором Кю -экспериментальная характеристика материала, мо-

283

жет привести к значительному изменению критических нагрузок или критических длин трещин, а также к перераспределению материала в зоне закрепления обечайки. Например, расчет по условию хрупкой прочности с учетом (11) приводит к увеличению требуемой толщины обечайки на 51%, но в узкой краевой зоне, меньшей ее толщины.

2. К расчету фланцевого соединения.

При проектировании фланцевых соединений обязательно проводится их расчет на нагрузку болтов. Методы расчета фланцев основываются на результатах теории кольцевых пластинок и теории тонкостенных цилиндрических оболочек.

Предполагается, что контакт между фланцами происходит по окружности, находящейся между болтами и осью соединения, так что нагрузка болтов (пр вызывает изгиб фланцев. При расчете все действующие силы, в том числе и нагрузку болтов, заменяют приведенными усилиями, равномерно распределенными по наружному краю, и изгибающим моментом.

У цельных фланцев между кольцом и цилиндрической частью втулки существует переходная зона, представляющая собой коническую оболочку. К расчетной схеме конической оболочки приводятся также гал-тельные втулки и втулки приварные внахлестку к трубам.

Расчет конической части втулки, отвечающий классическому решению, сводится к расчету балки переменного сечения, лежащей на упругом основании. Дифференциальное уравнение для прогиба записывается следующим образом:

а2

&2

А ^

¿г 2

+ Ь{ ¿)ш = 0,

Его решение представляется как комбинация функций, производных от функций Бесселя [8]. Упругой линии балки-полоски в пределах конической и цилиндрической частей соответствуют два интеграла, каждый из которых содержит по четыре постоянных интегрирования. Две произвольные постоянные для цилиндрической части втулки, в силу условий затухания, равны нулю. Четыре постоянных получим, приравняв перемещения и усилия слева и справа от переходного сечения В. Оставшиеся две постоянные находим из условий нагружения балки-полоски:

М=М0 ; (=(0 при г=0. После определения прогиба нетрудно найти силы и перемещения в любом сечении балки-полоски. В частности, расчетное напряжение в сечение АВ находится по формуле

Овт=6М0/5я2

При расчете фланца, с учетом построенной теории цилиндрических оболочек с несимметрично изменяющейся толщиной, используются новые

уравнения, описывающие его основное и дополнительное НДС [2,3,4].

В этом случае упругая линия конической части балки-полоски, соответствующая основному НДС, находится не из уравнения (12), а из

1 ё

ЬёЬ

2

2

,3 ё ш Ь

V ёЬ 2 ,

ч4 31 -VI 4

+1 ш = 0, 1 = —-—1 ^ а. Я 2

Его решение записывается в тех же функциях, что и решение уравнения (12). В результате будут получены уточненные значения внутренних силовых факторов и компонент НДС в различных частях соединения.

Добавляя к основному НДС дополнительное НДС, возникающее в зоне стыка кольца и втулки, для определения функции плоской деформации имеем систему уравнений [3], общий интеграл которой содержит 4п произвольных постоянных. Выполняя условия затухания функции плоской деформации при удалении от стыка, сократим число постоянных интегрирования до 2п. Оставшиеся постоянные определим из граничных условий [3], что будет идти в запас прочности, или из модифицированных граничных условий, учитывающих податливость защемления втулки в кольце фланца. Эти условия можно получить, решая контактную задачу втулка-кольцо и применяя методику, изложенную в [3].

Если НДС краевой плоской деформации определено, то для отыскания расчетного напряжения в сечении АВ вместо соотношения (13) имеем формулу

^вш=6М0/З^+О ¿П™.

Очевидно, что расчет фланца по допускаемым напряжениям с помощью формулы (14) приведет к изменению толщины втулки в зоне стыка или допускаемых нагрузок. Отметим, что к прочностному расчету фланцевого соединения следует присовокупить его расчет на хрупкую прочность.

3. К расчету сварного соединения.

Результаты, относящиеся к дополнительному НДС краевой плоской деформации, можно применить к прочностному расчету сварных соединений. Опыт эксплуатации изделий из высокопрочных сталей и сплавов показывает, что имеют место преждевременные разрушения сварных конструкций, в большинстве случаев, по шву или околошовной зоне.

Как известно расчет сварных швов на прочность при статических нагрузках производится по номинальным напряжениям, вычисляемым в предположении равномерного распределения их по сечению шва.

Рассмотрим сварное соединение прямоугольной пластинки с предварительной подготовкой кромок, работающей на изгиб. Без учета дополнительных напряжений требуемое значение толщины пластинки в наиболее опасном сечении определяется по формуле

Л

3пМ°зг/г п

2[а]р

где [о]р - допускаемое напряжение сварного шва и п - коэффициент запаса прочности.

Учитывая краевую плоскую деформацию, в варианте прямоугольной пластинки, можно написать

оап0= 0,35

Суммируя напряжения основного и дополнительного НДС, имеем

Ох°= 1,35(3 Мизг°/2Л2),

откуда, на основании (15), следует

Ь-

1

1,35

Г 3пМ0

2[а1

1,16

3пМ

изг

2[о]т

Сравнивая формулы (15) и (16), заключаем, что краевая плоская деформация приводит к увеличению требуемой толщины пластинки в зоне сварного шва на 16%.

К приведенному расчету сварного шва на статическую прочность необходимо присовокупить также его расчет по теории хрупкого разрушения. Предположим, что на верхней плоскости пластинки в наиболее опасном сечении существует начальная прямолинейная трещина размером 2Ь. Тогда, по аналогии с цилиндрической оболочкой (формула (11)), можно установить, что с учетом дополнительных напряжений о^ получим следующее выражение для коэффициента интенсивности КТ на нижней кромке трещины

%=1,51КТ

ТК

в котором

К

ТК

-1+2е

5

-1

№ +1/ сИ

1 7(28- (С +1)) ^

представляет собой коэффициент интенсивности, соответствующий полю упругих напряжений, определяемому по классической теории.

Так как нагрузка входит в выражение (17) линейно, естественно полагать, что при выполнении условий хрупкой прочности ее предельная величина уменьшается в 1,51 раза. Этот вывод хорошо согласуется с опытными данными, например в [9] отмечено, что часто нагрузка, приводящая к хрупкому разрушению сварной конструкции, значительно ниже расчетной величины.

В формулах (16) и (17) учитывалось только влияние продольных напряжений плоской деформации на НДС сварной конструкции. На самом деле, в зоне шва действуют значительные поперечные нормальные и касательные напряжения [3, 5], которые необходимо также принимать во вни-

0

мание. В частности, заметим, что наличие дополнительных напряжений ел, Оуп, Огп в сочетании с собственными напряжениями растяжения от сварки, величины которых в ряде случаев достигают предела текучести материала, может привести для элементарного объема в зоне шва к трехосному растяжению напряжениями высокой интенсивности. В результате такого нагружения элементарного объема, даже для пластичных металлов, станет невозможной сколько-нибудь значительная пластическая деформация вплоть до возникновения трещины. А поскольку все металлы в обычных условиях статического нагружения ведут себя при развитии трещины как хрупкие, постольку вновь образовавшаяся трещина начнет быстро развиваться, что, в конечном итоге, вызовет хрупкое разрушение сварной конструкции.

Таким образом, на основании изложенных результатов можно утверждать, что напряженное состояние краевой плоской деформации необходимо учитывать при прочностных расчетах мест креплений конструкций с целью более рационального конструктивного оформления соединений и стыков.

Список литературы

1. Фирсанов Вал.В. Динамика и прочность установок авиационного вооружения. М.: Изд-во МАИ, 2007. 400 с.

2. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов. // Механика композиционных материалов и конструкций/ Изд. ИПРИМ РАН, 2002. Т. 8, № 1. С. 28-64.

3. Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность оболочки переменной толщины. // Вестник МАИ, 2010. Т. 17, № 5. С. 212-218.

4. Фирсанов В.В., Ле Чун Хиеу Напряженно-деформированное состояние краевого эффекта в цилиндрической оболочке переменной толщины. // Вестник МАИ, 2012. Т. 19, № 1. С. 157-162.

5. Фирсанов В.В., Доан Ч.Н. Исследование статики и свободных колебаний цилиндрических оболочек на основе классической теории. // Механика композиционных материалов и конструкций. Изд. ИПРИМ РАН, 2014. Т. 8, № 1. С. 104-123.

6. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

640 с.

7. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974.

311 с.

8. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки/ Пер. с англ. под ред. Г.С. Шапиро. М.: Наука, 1966. 635 с.

9. Каплун А.Б., Черепанов Г.П. Оценка критической величины остаточных сварочных напряжений//Физ.-хим. механика материалов. 1974.

Т. 10, № 3. С. 79-84.

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, k906@mai.ru. Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Серпичева Елена Викторовна, доц., elvn@maiLru. Россия, Москва, Московский авиационный институт

THE INFLUENCE OF THE STRESS-STRAIN STATE "BOUNDARY LAYER" ON STRENGTH OF THE FLANGED AND WELDED JOINTS

V. V.Firsanov, E. V. Serpicheva

Construction of the calculation formulas of the strength, crack resistance of the flanged, welded joints of the thin-walled aviation structures are considered. It based on the results non classical theory of the cylindrical shells, rectangular plates with constant and variable thickness, as well as fracture mechanics. The relationships for the supplementary to classical theory of Kirchhof-Love stress-strain state "boundary layer" is applied.

Key words: the circular cylindrical shell; rectangular plate; rigidly restrained edge; stress-strain state; fringe flat deformation; longitudinal normal stress; transverse normal and shearing stresses; originate crack; stresses intensity factor; brittle strength.

Firsanov Valeriy Vasilievich, doctor of technical science, professor, manager of department^ k906@mai.ru,, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Serpicheva Elena Viktorovna, docent, elvn@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute