ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ПРОДОЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КРИТИЧЕСКИЕ ПРОДОЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ОДНОСЛОЙНЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК В КЕРРОВСКОЙ СРЕДЕ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ

УДК 539.4

Изучение влияния продольного магнитного поля

на критические продольные нагрузки однослойных углеродных нанотрубок в керровской среде на основе нелинейной теории Эйлера-Бернулли

M.L. Bouchareb1, A. Semmah1,2, F. Bourada1'3, A. Tounsi1,4,5, H. Heireche1, A. Benzair1, M. Hussain6

1 Университет Сиди-Бель-Аббеса, Сиди-Бель-Аббес, BP 89 22000, Алжир

2 Университетский центр им. Ахмеда Забана, Гализан, BP 48000, Алжир

3 Университет Тисемсильта, Бен Хамуда, BP 38004, Алжир 4 Университет Ёнсе, Сеул, 03722, Республика Корея 5 Университет нефти и полезных ископаемых им. короля Фахда, Дахран, 31261, Саудовская Аравия 6 Государственный колледж Университета Фейсалабада, Фейсалабад, 38040, Пакистан

В работе изучено влияние продольного магнитного поля на механический изгиб однослойных углеродных нанотрубок, внедренных в упругую керровскую среду. В предположении однородности структуры проведено моделирование с использованием нелокальной теории балок Эйлера-Бернулли. Данная модель предназначена для исследования образцов малой толщины с учетом влияния малых размеров изучаемого объекта. Упругая матрица описывается моделью Керра, учитывающей нормальное давление и деформацию поперечного сдвига. На основе нелокальной теории упругости с учетом магнитной силы Лоренца, полученной из соотношений Максвелла, выведено уравнение устойчивости для анализа продольного изгиба свободно опертой однослойной углеродной нано-трубки в продольном магнитном поле. С использованием модели виртуальных перемещений и метода Навье получены и решены определяющие уравнения системы. Полученные результаты сравниваются с литературными данными. Показана значительная роль магнитного поля, нелокального параметра, параметров нижнего упругого слоя Kw, верхнего упругого слоя Kc и промежуточного сдвигового слоя KG, а также необходимость их учета при анализе потери устойчивости.

Ключевые слова: керровская среда, теория Эйлера-Бернулли, анализ потери устойчивости, углеродная нано-трубка, магнитное поле, нелокальная теория

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_2_77

A study of longitudinal magnetic field effect on critical buckling loads of SWCNT embedded in Kerr medium using nonlocal Euler-Bernoulli theory

M.L. Bouchareb1, A. Semmah12, F. Bourada34, A. Tounsi3,5,6, H. Heireche1, A. Benzair1, and M. Hussain7

1 Laboratoire de Modélisation et Simulation Multi-échelle, Faculté des Sciences Exactes, Département de Physique, Université de Sidi Bel Abbés, Sidi Bel Abbés, BP 89 22000, Algeria 2 Département de Physique, Universitaire Ahmed Zabana, Relizane, BP 48000, Algeria 3 Material and Hydrology Laboratory, Faculty of Technology, Civil Engineering Department, Université de Sidi Bel Abbés, Sidi Bel Abbés, BP 89 22000, Algeria

4 Département des Sciences et de la Technologie, Université de Tissemsilt, Ben Hamouda, BP 38004, Algeria 5 Yonsei Frontier Laboratory, Yonsei University, Seoul, 03722, Korea

6 Department of Civil and Environmental Engineering, King Fahd University of Petroleum & Minerals,

Dhahran, Eastern Province, 31261, Saudi Arabia

7 Department of Mathematics, Government College University Faisalabad, Faisalabad, 38040, Pakistan

This work investigates the effect of a longitudinal magnetic field on the mechanical buckling of a single-walled carbon nanotube (SWCNT) integrated in an elastic Kerr medium. The structure is assumed to be homogeneous and therefore modeled using a nonlocal Euler-Bernoulli theory (NL-EBT). The present model targets thin structures and takes into account the small-scale effect. The elastic matrix is described by the Kerr model, which takes into account the normal pressure and the transverse shear strain. Using the nonlocal elasticity theory and considering the Lorentz magnetic force obtained from Maxwell relations, the stability equation for buckling analysis of a simply supported SWCNT under a longitudinal magnetic field is derived. The governing equations of the system are determined via the virtual work model and resolved by Navier's method. The obtained results are compared with those found in the literature. It can be observed that the effects of the magnetic field, nonlocal parameter, lower spring parameter Kw, upper spring parameter Kc, and intermediate shear layer parameter KG are significant and must be taken into account for this kind of analysis.

Keywords: Kerr's medium, Euler-Bernoulli theory, buckling analysis, carbon nanotube, magnetic field, nonlocal theory

© Bouchareb M.L., Semmah A., Bourada F., Tounsi A., Heireche H., Benzair A., Hussain MM., 2022

Условные обозначения

u — осевое смещение;

w — поперечное смещение;

х — осевая координата;

z — поперечная координата;

E — модуль Юнга;

G — модуль сдвига;

v — коэффициент Пуассона;

L — длина трубки;

d — диаметр поперечного сечения;

A — площадь поперечного сечения;

I — момент инерции площади;

ох — осевое напряжение;

8х — осевая деформация;

8V — изменение потенциальной энергии;

5w — изменение поперечного смещения;

ц = (e0a)2 — нелокальный параметр;

e0 — постоянная материала;

a — внутренняя характерная длина;

5U — изменение энергии деформации;

Мх — результирующий момент;

q — поперечная нагрузка;

P0 — осевая сжимающая нагрузка;

Pcr — критическая продольная нагрузка;

Kw — параметр нижнего упругого слоя;

KG — параметр промежуточного сдвигового слоя;

Kc — параметр верхнего упругого слоя;

fz — сила Лоренца в направлении z;

П — магнитная проницаемость;

Нх — магнитное поле.

1. Введение

Широкое развитие нанотехнологий в последние пятнадцать лет связано с появлением новых средств и методов исследования, анализа и разработки наноматериалов. Предметом исследования в науках о наноматериалах служат явления и процессы на наномасштабном уровне, а также взаимодействие между нанообъектами. Работы, посвященные изучению наноматериалов, охватывают широкий круг проблем: от разработки и получения отдельных нанообъектов и изучения их свойств до создания и изучения ансамблей взаимодействующих либо отдельных нанообъектов. В настоящее время нанотехнологии, разрабатываемые на основе теоретических и экспериментальных научных данных, широко применяются в микроэлектронике, при создании новых материалов, а в будущем имеют значительные перспективы применения в области биотехнологий, фотоники и информационных технологий.

Углеродные нанотрубки, открытые в 1991 г. [1], представляют собой скрученные листы из одного или нескольких слоев графена, которые имеют макроскопический размер в одном измерении и наноразмеры в двух других. Стремительно растущий объем знаний о нанообъектах в области физики, химии и биологии находит многочисленные применения в нанотехнологиях [2, 3], электронике [4], оптике [5] и различных областях материаловедения [6-8]. Углеродные нанотрубки обладают высоким сопротивлением [9, 10], уникальными электрическими свойствами [11, 12] и являются эффективными теплопроводниками [13]. Благодаря исключительным свойствам они являются идеальным материалом для различных приложений [2]. Экспериментальные исследования показали, что потеря продольной устойчивости сильно влияет на физические свойства, в частности на проводимость углеродных нанотрубок [14]. Таким образом, способность углеродных нано-трубок восстанавливать форму после изгиба делает возможным их применение в наноэлектронных устройствах (нанотранзисторах) [14], в качестве компонентов наножидкости (наноклапаны) [15] и реверсивных элементов наноэлектромеханичес-ких систем.

Существуют два принципиально разных подхода к теоретическому моделированию нано-структурных материалов: атомистический подход и моделирование в рамках механики сплошной среды. Первый включает методы классической молекулярной динамики, молекулярной динамики в приближении сильно связанных электронов, а также теории функционала плотности [16-19]. Однако эти подходы часто требуют значительных вычислительных ресурсов и являются дорогостоящими, особенно при изучении многостенных углеродных нанотрубок больших размеров. Многочисленные исследования различных структур на основе нелокальных моделей показали удовлетворительные результаты по сравнению с атомарными моделями. Следовательно, анализ углеродных нанотрубок на основе механики сплошной среды все чаще рассматривается как альтернативный способ моделирования материалов на наномасштабном уровне.

Различные теории были использованы рядом авторов для изучения механического и вибрационного отклика одно-, двух-, трех- и многостенных углеродных нанотрубок, рассматриваемых в качестве балок. В работе [20] анализируется потеря устойчивости микро- и наноразмерных стерж-

ней и трубок на основе нелокальной теории изгиба балок Тимошенко. Нелокальная модель балки для анализа свободных колебаний хиральных однослойных углеродных нанотрубок представлена в работе [21]. Методом дискретной сингулярной свертки исследованы свободная вибрация и потеря устойчивости многослойных непрямоугольных пластин, армированных углеродных нанотрубок [22]. В рамках теории сдвиговой деформации высшего порядка проведен анализ собственных частот сигмовидных многослойных балок из функционально-градиентных материалов [23]. В работе [24] приведено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях функционально-градиентных нанопластин. Теми же авторами проанализированы нелокальные свободные колебания пористых функционально-градиентных наноба-лок с использованием гиперболической теории сдвиговой деформации балок [25]. Нелинейные колебания нанорезонатора на основе углеродной нанотрубки рассмотрены в рамках нелокальной теории упругости в работе [26]. Также изучено влияние направления ориентации волокон на потерю устойчивости, свободные колебания и статические характеристики слоистого материала с разными углами ориентации волокон [27]. Проанализировано нелинейное динамическое поведение армированных оболочек типа гиперболический параболоид с различным распределением углеродных нанотрубок [28]. Показано влияние малых размеров образцов на колебательное поведение одностенных углеродных нанотрубок с движущейся наночастицей [29]. В большинстве случаев применения нанокомпозитов углеродные на-нотрубки внедряются в упругую среду [27, 3033]. Первый тип упругой среды представлен в виде «однопараметрической» модели, которая учитывает только вертикальную жесткость пружин основания Винклера [34-37]. Во многих исследованиях в модель Винклера вводится второй параметр для учета напряжения сдвига внутри упругой среды. Так, в работе [38] рассматриваются два типа упругих сред в виде оснований Винкле-ра и Пастернака. Отклик нано- и микроструктур, внедренных в среду Винклера-Пастернака и вязкую среду Пастернака, изучен в работах [39-42]. Ряд исследований посвящен изучению влияния оснований первого и второго типа на отклик различных структур [43-48]. Третий тип упругой среды (керровская среда) был получен путем введения третьего параметра в модель Пастернака [49]. Основная роль третьего параметра в модели

Керра заключается в обеспечении более гибкого управления степенью непрерывности поверхности основания между нагруженной и ненагружен-ной зонами упругой системы балки. В модели Керра упругая среда состоит из нижнего и верхнего упругих слоев, между которыми находится несжимаемый сдвиговой слой [50]. Среди недавних работ можно выделить исследование критической нагрузки потери устойчивости однослойных углеродных нанотрубок, внедренных в кер-ровскую среду [51]. В работе [52] на основе нелокальной теории оболочек Доннелла проведен анализ устойчивости двухстенных углеродных нано-трубок, погруженных в упругую керровскую среду, при осевом сжатии. Исследовано влияние параметров упругого основания Керра на изгибное поведение балки [53]. На данный момент в открытом доступе имеется мало работ, посвященных влиянию магнитного поля на потерю устойчивости и колебание внедренных углеродных на-нотрубок. Изучено взаимодействие различных волновых мод в продольном и поперечном магнитном поле [54]. Исследовано влияние продольного магнитного поля на распространение волн в углеродных нанотрубках внутри упругой матрицы [55]. В рамках нелокальной теории упругости и волнового подхода исследовано колебательное поведение однослойных углеродных нанотрубок в продольном магнитном поле [38]. В настоящей работе рассмотрены режимы колебаний в продольном, окружном и радиальном направлениях. Их анализ показывает, что частота колебаний однослойных углеродных нанотрубок резко падает в присутствии магнитного поля для различных окружных волновых чисел. Подобный эффект наблюдается при различных граничных условиях для однослойных углеродных нанотрубок. В работах [31, 32] на основе нелокальной модели упругости с учетом напряжений представлен анализ нелинейных вибрационных характеристик гете-ронанотрубки из углерода и нитрида бора (С-БК), а также анализ потери устойчивости гибридной нанотрубки С-БК при течении в ней жидкости при термомагнитном воздействии. С использованием усовершенствованной теории балки, предложенной в работе [56], проанализированы колебательное поведение и потеря устойчивости нелокальной балки, внедренной в упругое основание Винклера-Пастернака, при воздействии магнитного поля. Показано, что как собственные частоты, так и критические нагрузки, приводящие к потере устойчивости, возрастают с ростом мо-

дуля Винклера, но для критической нагрузки это увеличение более выражено. В настоящей работе влияние продольного магнитного поля на потерю устойчивости однослойных углеродных нанотру-бок, внедренных в упругую керровскую среду, впервые обсуждается на основе континуальной модели.

В данной работе критическая потеря устойчивости углеродной нанотрубки, погруженной в керровскую среду, под действием продольного магнитного поля моделируется на основе нелокальной теории балок Эйлера-Бернулли. Полученные результаты показывают хорошее совпадение с опубликованными данными других авторов. Исследовано влияние нелокального параметра, радиуса и длины углеродной нанотрубки, а также параметров основания на потерю устойчивости нанотрубки в упругой среде под действием магнитного поля.

2. Математическая формулировка

В рамках теории балок Эйлера-Бернулли первого порядка [57-59] поля осевых и поперечных перемещений представим в виде dw

и

ах

где w — поперечное смещение точки (х, 0) на срединной плоскости (т.е. г = 0) балки. Единственная ненулевая деформация теории балок Эйлера-Бернулли имеет вид

д2 w

е„ = -z-

дх

2

2.1. Определяющие соотношения

Отклик наноразмерных материалов отличается от отклика их объемных аналогов. Нелокальная упругость была впервые рассмотрена Эрингеном [60]. Он предположил, что напряжение в контрольной точке является функционалом поля деформации в каждой точке континуума. Эринген предложил дифференциальную форму нелокального определяющего соотношения в виде [60]

х

44

dx2

= Ег х

где Е — модуль упругости нанобалки; ц = (е0а)2 — нелокальный параметр; е0 — константа соответствующего материала; а — внутренняя характерная длина [61].

2.2. Уравнение устойчивости

Используем принцип виртуальной работы для вывода уравнений равновесия. Данный принцип можно сформулировать в аналитической форме как [62-65]

V

где 5и — виртуальное изменение энергии деформации; 5V — виртуальное изменение потенциальной энергии. Изменение энергии деформации балки запишем в виде

5U = -J Mx

о

f d25w ^

dx2

dx,

где 5w — изменение поперечного смещения; Мх — результирующий момент, определяемый как

Мх = | г а хОА.

А

Изменение потенциальной энергии под действием приложенной нагрузки запишем как

5V = -/ qwbwdx -/Р^^Ох,

0 0 ¿х ¿х

где q и Р0 — поперечная и осевая нагрузка соответственно.

Подставляя выражения для 5 и и 5V из уравнений (5), (7) в соотношение (4) и интегрируя по частям, для коэффициентов 5w получим следующие уравнения равновесия предлагаемой теории балок:

5w: -

d2Mx

dx 2

- K (x) + f (x) - Po

d2w 0dx 2

= 0.

Подстановка уравнения (6) в выражение (3) дает равнодействующую нелокального момента:

а2мх

Mx

dx2

= -D

d2 w dx2 :

где

В = | г 2Е ¿А = Е1.

А

Здесь Е, I — соответственно модуль Юнга и момент инерции площади. Путем подстановки выражения (9) в соотношение (8) уравнение нелокального равновесия можно выразить через перемещения w в виде

D

d4w dx4

f d2 ^ 1 - M)2 —

v 4x2 /

Po

d2w 0dx2

K

= 0.

x

Модель балки Эйлера-Бернулли используется для анализа потери устойчивости однослойных углеродных нанотрубок под действием осевой сжимающей нагрузки Р0 в продольном магнитном поле. Упругая среда моделируется как основание керровского типа. К(х) обозначает величину распределенного отклика в модели основания Керра, предложенную в работе [66]:

К (х) = 1

1 + Kw/K c

- K

д2 w DKg д6 w

G

Kc дх6

Основание Керра моделируется с помощью трех-параметрической упругой модели и состоит из сдвигового слоя (с жесткостью KG) и независимых верхнего (с жесткостью K0 и нижнего (с жесткостью Kw) упругих слоев, моделируемых распределенными пружинами.

В данной задаче предполагается наличие продольного магнитного поля в однослойных углеродных нанотрубках. Здесь f(х) обозначает распределенную по длине силу и записывается как [38, 56]

f

где fz — магнитная сила Лоренца, полученная из соотношений Максвелла. При анализе потери устойчивости однослойных углеродных нанотрубок предположим, что w = w(x), тогда сила Лоренца в направлении z записывается в виде [38, 56]

2 д2 w

fz =цАН1 д—

дх 2

Здесь fz — объемная сила; п — магнитная проницаемость; А — площадь поперечного сечения; Нх — аксиальное магнитное поле.

2.3. Аналитические решения

Рассмотрим аналитические решения задачи о потере устойчивости свободно опертых изотропных балок.

Граничные условия свободно опертых балок имеют вид

w = 0, M = 0 at х = 0, L.

На основе процедуры Навье [67-70] следующее выражение для поля перемещений удовлетворяет граничным условиям и определяющим уравнениям:

где — произвольные искомые параметры; а = тп/Ь.

Подставляя уравнение (16) в нелокальные определяющие уравнения для однослойных углеродных нанотрубок (11), получим решения в замкнутой форме из следующего уравнения:

п £>а2 ,тт2

Рсг + ^АНх

+ а2БК0/КС + К* + Кс а2

(1 + ^/Кс) а 2 '

Отметим, что при (Нх, КМ!, Ко) = 0 и Кс >> 0 получаем соответствующие аналитические решения для однослойных углеродных нанотрубок без упругой среды [20].

При Нх = 0 получим соответствующую нагрузку на изгиб с помощью нелокальной балочной модели Эйлера-Бернулли для углеродной нано-трубки, внедренной в керровскую среду [51].

Для простоты введем следующие безразмерные переменные для параметра нижнего упругого слоя Км,, параметра верхнего упругого слоя Кс и параметра промежуточного сдвигового слоя КО [51]:

- Ь4 - Ь2 - Ь4 К™ = ~ВК™, Ко = ~ВК°, Кс = ~ВКс.

3. Результаты и обсуждение

В этой главе представлены численные расчеты механических характеристик потери устойчивости внедренных однослойных углеродных нанотрубок в керровской среде под действием продольного магнитного поля (рис. 1). В расчетах для однослойных углеродных нанотрубок использованы следующие параметры: Е = 1 ТПа, О = Е х [2(1 + V)]-1, V = 0.19, диаметр стержня й = 1 нм, I = пй4/64.

В табл. 1 приведены значения критической продольной нагрузки углеродной нанотрубки в керровской среде, рассчитанные с применением предложенной теории без учета магнитного поля.

w = X Wn Бт(ах),

n=1

Рис. 1. Одностенная углеродная нанотрубка в керровской среде под действием продольного магнитного поля

Таблица 1. Сравнение критической продольной нагрузки углеродных нанотрубок в керровской среде и вне ее

Модель е0а = 0 е0а = 1 е0а = 2

5 = L/d = 10 L/d = 5 L/d = 10 L/d = 5 L/d = 10

Вне среды [20] 19.3789 4.8447 13.8939 4.4095 7.5137 3.4735

Вне среды [51] 19.3789 4.8447 13.8939 4.4095 7.5137 3.4735

Вне среды (Нх = 0) 19.3789 4.8447 13.8939 4.4095 7.5137 3.4735

В среде [51] 45.3062 11.3265 39.8211 10.8913 33.4410 9.95530

В среде (Нх = 0) 45.3062 11.3265 39.8211 10.8913 33.4410 9.95530

Полученные результаты сравниваются с результатами работ [20, 51] и показывают хорошее соответствие.

На рис. 2 показана взаимосвязь между безразмерными критическими нагрузками для внедренной в керровскую среду углеродной нанотрубки под действием продольного магнитного поля, масштабным коэффициентом и отношением длины к диаметру. Отличительной особенностью является незначительное влияние масштабного коэффициента на критическую нагрузку при больших значениях

Влияние масштабного коэффициента для пяти значений Нх = 0, 2, 5, 7, 10 А/м показано на рис. 3. Из рисунка видно, что магнитное поле сильно влияет на критическую потерю устойчивости внедренной однослойной углеродной нанотрубки. При этом с увеличением значений масштабного коэффициента критическая нагрузка уменьшается.

На рис. 4 показано влияние параметра верхнего упругого слоя Кс на критическую нагрузку потери устойчивости однослойных углеродных на-нотрубок для различных значений магнитного поля. Видно, что при увеличении параметра Кс происходит рост критической продольной нагрузки.

Рисунок 5 демонстрирует изменение критической нагрузки однослойных углеродных нанотру-бок в зависимости от отношения L/d для пяти различных значений магнитного поля Нх = 0, 2, 5, 7, 10 А/м. В расчетах использовали постоянное значение нелокального параметра (в0а = 1 нм) и параметров керровской среды (К = 100, К0, Кс = 50). Из рисунка видно, что с ростом значений отношения L/d критическая нагрузка уменьшается. Из полученных кривых также видно, что критическая продольная нагрузка находится в прямой

Рис. 3. Зависимость безразмерной критической нагрузки однослойных углеродных нанотрубок от нелокального параметра для различных значений магнитного поля Нх = 0

Рис. 2. Зависимость безразмерной критической нагрузки однослойной углеродной нанотрубки, погруженной в упругую среду, под действием магнитного поля от отношения L/d при различных значениях нелокального параметра в0а = 0.0

Рис. 4. Зависимость безразмерной критической нагрузки однослойных углеродных нанотрубок от параметра верхнего упругого слоя Кс для различных значений магнитного поля Нх = 0

Рис. 5. Зависимость безразмерной критической нагрузки однослойных углеродных нанотрубок от соотношения длины к диаметру для различных значений магнитного поля Нх = 0

Рис. 6. Зависимость безразмерной критической нагрузки однослойных углеродных нанотрубок от соотношения длины к диаметру для различных значений моды т = 1

корреляционной зависимости от значений магнитного поля Нх.

Влияние номера моды можно проследить на рис. 6, где показано изменение критической продольной нагрузки однослойной углеродной нано-трубки с ростом отношения Ь/Э. Кривые получены для первых трех номеров моды т = 1, 2, 3 при К = 100, Ко, Кс = 50, Нх = 10 А/м и еа = 1 нм. Из рисунка видно, что критическая нагрузка увеличивается с ростом номера моды, но становится пренебрежительно малой в случае тонких нано-трубок.

4. Выводы

В работе рассмотрена потеря устойчивости однослойных углеродных нанотрубок, внедренных в упругую среду, под действием продольного магнитного поля с использованием теории балок Эйлера-Бернулли. Математическая задача сформулирована с учетом размерного эффекта в рамках нелокальной модели Эрингена. Определяющие уравнения системы получены с помощью модели виртуальной работы и решены методом Навье. Изучено влияние масштабного коэффициента, отношения длины и диаметра нанотрубки, номера моды, жесткости окружающей упругой среды и магнитного поля на потерю устойчивости углеродных нанотрубок.

Показано, что критические продольные нагрузки уменьшаются с увеличением нелокальных параметров. Из этого следует, что классическая упругая (т. е. локальная) модель, не учитывающая влияние малых размеров, позволяет получить приближение более высокого порядка для критической нагрузки. При этом нелокальная континуальная теория дает точный и надежный результат. Особенностью рассматриваемой модели является

то, что с увеличением параметров керровской среды значение критической нагрузки, приводящей к потере устойчивости, уменьшается независимо от значений магнитного поля. С ростом номера моды критическая нагрузка увеличивается, однако в случае тонких нанотрубок ее значение понижается. Полученные результаты показывают, что рост напряженности продольного магнитного поля приводит к увеличению критических продольных нагрузок однослойных углеродных нанотрубок для всех рассмотренных величин. Результаты исследования могут быть применены при проектировании нового поколения на-ноустройств на основе углеродных нанотрубок для работы в магнитном поле (например, в электронных устройствах, нанотранзисторах, где используется потеря устойчивости однослойных углеродных нанотрубок под воздействием магнитного поля). Дальнейшие исследования в данном направлении предполагают рассмотрение на-нотрубок большой толщины на основе модели с учетом сдвиговой деформации. Предложенная формулировка может быть расширена для изучения других типов структур и материалов.

Литература

1. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. - 1991. - V. 354. - No. 6348. - P. 56-58. -https://doi.org/10.1038/354056a0

2. Baughman R.H., Zakhidov A.A., De Heer W.A. Carbon nanotubes—The route toward applications // Science. -2002. - V. 297. - No. 5582. - P. 787-792. - http://doi. org/10.1126/science.1060928

3. Lau A.K.T., Hui D. The revolutionary creation of new advanced materials—Carbon nanotube composites // Compos. B. Eng. - 2002. - V. 33. - No. 4. - P. 263277. - https://doi.org/10.1016/S 1359-8368(02)00012-4

4. Tsukagoshi K., Yoneya N., Uryu S., Aoyagi Y., Kanda A., Ootuka Y., Alphenaar B.W. Carbon nanotube devices for

nanoelectronics // Phys. B. Condens. Matter. - 2002. -V. 323. - No. 1-4. - P. 107-114. - https://doi.org/10. 1016/S0921-4526(02)00993-6

5. Kempa K., Rybczynski J., Huang Z., Gregorczyk K., Vi-dan A., Kimball B., Carlson J., Benham G., Wang Y., Herczynski A., Ren Z. Carbon nanotubes as optical antennae // Adv. Mater. - 2007. - V. 19. - No. 3. - P. 421426. - https://doi.org/10.1002/adma.200601187

6. Ma R.Z., Wu J, Wei B.Q., Liang J., Wu D.H. Processing and properties of carbon nanotubes-nano-SiC ceramic // J. Mater. Sci. - 1998. - V. 33. - No. 21. - P. 52435246. - https://doi.org/10.1023/A:1004492106337

7. Carbon Nanotubes: Synthesis, Structure, Properties and Applications / Ed. by M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P. Avouris. - Heidelberg: Springer, 2001.

8. Meyyappan M. Carbon Nanotubes: Science and Applications. - Boca Raton: CRC Press, 2004.

9. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Charlier J.C., Hernández E. Electronic, thermal and mechanical properties of carbon nanotubes // Philos. Trans. Roy. Soc. A. Math. Phys. Eng. Sci. - 2004. - V. 362. - No. 1823. - P. 20652098. - https://doi.org/10.1098/rsta.2004.1430

10. Wang C.Y., Zhang Y.Y., Wang C.M., Tan V.B.C. Buckling of carbon nanotubes: A literature survey // J. Nano-sci. Nanotech. - 2007. -V. 7. - No. 12. - P. 42214247. - https://doi.org/10.1166/jnn.2007.924

11. Hong S., Myung S. Nanotube electronics: A flexible approach to nobility // Nature Nanotech. - 2007. - V. 2. -No. 4. - P. 207-208. - https://doi.org/10.1038/nnaNo. 2007.89

12. Lu X., Chen Z. Curved Pi-conjugation, aromaticity, and the related chemistry of small fullerenes (<C60) and single-walled carbon nanotubes // Chem. Rev. - 2005. -V. 105. - No. 10. - P. 3643-3696. - https://doi.org/10. 1021/cr030093d

13. Berber S., Kwon Y.K., Tománek D. Unusually high thermal conductivity of carbon nanotubes // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - No. 20. - P. 4613-4616. -https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.4613

14. Postma H.W.C., Teepen T., Yao Z., GrifoniM., Dekker C. Carbon nanotube single-electron transistors at room temperature // Science. - 2001. - V. 293. - No. 5527. -P. 76-79. - https://doi.org/10.1126/science.1061797

15. GrujicicM., Cao G., Roy W.N. Computational analysis of the lattice contribution to thermal conductivity of singlewalled carbon nanotubes // J. Mater. Sci. - 2005. -V. 40. - No. 8. - P. 1943-1952. - https://doi.org/10. 1007/s10853-005-1215-5

16. Iijima S., Brabec C., Maiti A., Bernholc J. Structural flexibility of carbon nanotubes // J. Chem. Phys. - 1996. -V. 104. - No. 5. - P. 2089-2092. - https://doi.org/10. 1063/1.470966

17. Yakobson B.I., Campbell M.P., Brabec C.J., Bernholc J. High strain rate fracture and C-chain unraveling in carbon nanotubes // Comput. Mater. Sci. - 1997. - V. 8. -No. 4. - P. 341-348. - https://doi.org/10.1016/S0927-0256(97)00047-5

18. Hernández E., Goze C., Bernier P., Rubio A. Elastic properties of C and BJCyNy composite nanotubes // Phys.

Rev. Lett. - 1998. - V. 80. - No. 20. - P. 4502-4505. -https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.4502

19. Sánchez-Portal D., Artacho E., Soler J.M., Rubio A., Ordejón P. Ab initio structural, elastic, and vibrational properties of carbon nanotubes // Phys. Rev. B. - 1999. -V. 59. - No. 19. - P. 12678-12688. - https://doi.org/10. 1103/PhysRevB.59.12678

20. Wang C.M., Zhang Y.Y., Ramesh S.S., Kitipornchai S. Buckling analysis of micro- and nano-rods/tubes based on nonlocal Timoshenko beam theory // J. Phys. D. Appl. Phys. - 2006. - V. 39. - No. 17. - P. 3904-3909. -https://doi.org/10.1088/0022-3727/39/17/029

21. Bensattalah T., Zidour M., Daouadji T.H. A new nonlocal beam model for free vibration analysis of chiral single-walled carbon nanotubes // Compos. Mater. Eng. -2019. - V. 1. - No. 1. - P. 21-31. - https://doi.org/10. 12989/cme.2019.1.1.021

22. Civalek Ö., Avcar M. Free vibration and buckling analyses of CNT reinforced laminated non-rectangular plates by discrete singular convolution method // Eng. Com-put. - 2020. - https://doi.org/10.1007/s00366-020-01168-8

23. Avcar M., Hadji L., Civalek Ö. Natural frequency analysis of sigmoid functionally graded sandwich beams in the framework of high order shear deformation theory // Compos. Struct. - 2021. - V. 276. - https://doi.org/10. 1016/j.compstruct.2021.114564

24. Hadji L., Avcar M., Civalek Ö. An analytical solution for the free vibration of FG nanoplates // J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. - 2021. - V. 43. - No. 418. - https://doi.org/10. 1007/s40430-021-03134-x

25. Hadji L., Avcar M. Nonlocal free vibration analysis of porous FG nanobeams using hyperbolic shear deformation beam theory // Adv. Nano Res. - 2021. - https://doi. org/10.12989/anr.2021.10.3.281

26. Koochi A., Goharimanesh M. Nonlinear oscillations of CNT nano-resonator based on nonlocal elasticity: The energy balance method // Rep. Mech. Eng. - 2021. -V. 2. - No. 1. - P. 41-50. - https://doi.org/10.31181/ rme200102041g

27. Fallahi N., Viglietti A., Carrera E., Pagani A., Zappi-no E. Effect of fiber orientation path on the buckling, free vibration and static analyses of variable angle tow panels // Facta Univer. Mech. Eng. - 2020. - V. 18. - No. 2. -P. 165-188. - https://doi.org/10.22190/FUME200615026F

28. Yusufoglu E., Avey M. Nonlinear dynamic behavior of hyperbolic paraboloidal shells reinforced by carbon nanotubes with various distributions // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. - V. 7. - No. 2. - P. 913-921. - https:// doi.org/10.22055/jacm.2021.36043.2783

29. Salamat D., Sedighi H.M. The effect of small scale on the vibrational behavior of single-walled carbon nanotubes with a moving nanoparticle // J. Appl. Comput. Mech. -2017. - V. 3. - No. 3. - P. 208-217. - https://doi.org/10. 22055/JACM.2017.12740

30. Rysaeva L.K., Korznikova E.A., Murzaev R.T., Abdullina D.U., Kudreyko A.A., Baimova J.A., Lisovenko D.S., Dmitriev S.V. Elastic damper based on the carbon nanotube bundle // Facta Univer. Mech. Eng. - 2020. -V. 18. - No. 1. - P. 001-012. - https://doi.org/10.22190/ FUME200128011R

31. Sedighi H.M., Ouakad H.M., Dimitri R., Tornabene F. Stress-driven nonlocal elasticity for the instability analysis of fluid-conveying C-BN hybrid-nanotube in a mag-netothermal environment // Phys. Scripta. - 2020. -V. 6. - No. 95(6). - P. 065204. - https://doi.org/10.1088/ 1402-4896/ab793f

32. Sedighi H.M., Malikan M. Stress-driven nonlocal elasticity for nonlinear vibration characteristics of carbon/ boron-nitride hetero-nanotube subject to magneto-thermal environment // Phys. Scripta. - 2020. -V. 5. -No. 95(5). - P. 055218. - https://doi.org/10.1088/1402-4896/ab7a38

33. Randjbaran E., Majid D.L., Zahari R., Sultan M.T.H., Mazlan N. Impacts of volume of carbon nanotubes on bending for carbon-kevlar hybrid fabrics // J. Appl. Com-put. Mech. - 2021. - V. 7. - No. 2. - P. 839-848. -https://doi.org/10.22055/jacm.2020.35554.2682

34. Pradhan S.C., Reddy G.K. Buckling analysis of single walled carbon nanotube on Winkler foundation using nonlocal elasticity theory and DTM // Comput. Mater. Sci. - 2011. - V. 50. - No. 3. - P. 1052-1056. - https:// doi.org/10.1016/j.commatsci.2010.11.001

35. Demir C., Mercan K., Numanoglu H.M., Civalek O. Bending response of nanobeams resting on elastic foundation // J. Appl. Comput. Mech. - 2018. - V. 4. -No. 2. - P. 105-114. - https://doi.org/10.22055/JACM. 2017.22594.1137

36. Akgoz B., Civalek O. Bending analysis of FG micro-beams resting on Winkler elastic foundation via strain gradient elasticity // Compos. Struct. - 2015. - V. 134. -P. 294-301. - https://doi.org/10.1016/j. compstruct.2015. 08.095

37. Lee S.Y., Kuo Y.H., Lin F.Y. Stability of a Timoshenko beam resting on a Winkler elastic foundation // J. Sound Vibr. - 1992. - V. 153. - No. 2. - P. 193-202. - https:// doi.org/10.1016/S0022-460X(05)80001-X

38. Narendar S., Gupta S.S., Gopalakrishnan S. Wave propagation in single-walled carbon nanotube under longitudinal magnetic field using nonlocal Euler-Bernoulli beam theory // Appl. Math. Model. - 2012. - V. 36. - No. 9. -P. 4529-4538. - https://doi.org/10.1016/j.apm.2011.11.073

39. Shahsavari D., Shahsavari M., Li L., Karami B. A novel quasi-3D hyperbolic theory for free vibration of FG plates with porosities resting on Winkler/Pasternak/Kerr foundation // Aerospace Sci. Tech. - 2018. - V. 72. -P. 134-149. - https://doi.org/10. 1016/j.ast.2017.11.004

40. She G.L., Ren Y.R., Xiao W.S., Liu H. Study on thermal buckling and post-buckling behaviors of FGM tubes resting on elastic foundations // Struct. Eng. Mech. -2018. - V. 66. - No. 6. - P. 729-736. - https://doi.org/ 10.12989/sem.2018.66.6.729

41. Avcar M., Mohammed W.K.M. Free vibration of functionally graded beams resting on Winkler-Pasternak foundation // Arabian J. Geosci. - 2018. - No. 10. - https:// doi.org/10.1007/s12517-018-3579-2

42. Avcar M. Effects of material non-homogeneity and two parameter elastic foundation on fundamental frequency parameters of Timoshenko beams // Acta Phys. Polon. A. - 2016. - V. 130. - No. 1. - P. 375-379. - https://doi. org/10.12693/APhysPolA.130.375

43. Shanab R.A., Attia M.A., Mohamed S.A., MohamedN.A. Effect of microstructure and surface energy on the static and dynamic characteristics of FG Timoshenko nano-beam embedded in an elastic medium // J. Nano Res. -2020. - V. 61. - P. 97-117. - https://doi.org/10.4028/ www.scientific.net/JNanoR.61.97

44. Rachedi M.A., Benyoucef S., Bouhadra A., Bachir Bou-iadjra R., Sekkal M., Benachour A. Impact of the homo-genization models on the thermoelastic response of FG plates on variable elastic foundation // Geomech. Eng. -2020. - V. 22. - No. 1. - P. 65-80. - https://doi.org/10. 12989/gae.2020.22.1.065

45. Merzoug M., Bourada M., Sekkal M., Ali Chaibdra A., Belmokhtar C., Benyoucef S., Benachour A. 2D and quasi 3D computational models for thermoelastic bending of FG beams on variable elastic foundation: Effect of the micromechanical models // Geomech. Eng. - 2020. -V. 22. - No. 4. - P. 361-374. - https://doi.org/10.12989/ gae.2020.22.4.361

46. Timesli A. Prediction of the critical buckling load of SWCNT reinforced concrete cylindrical shell embedded in an elastic foundation // Comput. Concrete. - 2020. -V. 26. - No. 1. - P. 53-62. - https://doi.org/10.12989/ cac.2020.26.1.053

47. Kablia A., Benferhat R., Hassaine Daouadji T., Bouzi-dene A. Effect of porosity distribution rate for bending analysis of imperfect FGM plates resting on WinklerPasternak foundations under various boundary conditions // Coupl. Syst. Mech. - 2020. - V. 9. - No. 6. - P. 575597. - https://doi.org/10.12989/csm.2020.9.6.575

48. Benferhat R., Hassaine Daouadji T., Rebahi A. Thermo-mechanical behavior of porous FG plate resting on the Winkler-Pasternak foundation // Coupl. Syst. Mech. -2020. - V. 9. - No. 6. - P. 499-519. - https://doi.org/10. 12989/csm.2020.9.6.499

49. Kerr A.D. A study of a new foundation model // Acta Mech. - 1965. - V. 1. - No. 2. - P. 135-147. - https:// doi.org/10.1007/BF01174308

50. Limkatanyu S., Prachasaree W., Damrongwiriyanu-pap N., Kwon M., Jung W. Exact stiffness for beams on Kerr-type foundation: The virtual force approach // J. Appl. Math. - 2013. - V. 2013. - P. 1-13. - https://doi. org/10.1155/2013/626287

51. Bensattalah T., Bouakkaz K., Zidour M., Daouadji T.H. Critical buckling loads of carbon nanotube embedded in Kerr's medium // Adv. Nano Res. -2018. -V. 6. -No. 4. - P. 339-356. - https://doi.org/10.12989/anr.2018. 6.4.339

52. Timesli A. Buckling analysis of double walled carbon na-notubes embedded in Kerr elastic medium under axial compression using the nonlocal Donnell shell theory // Adv. Nano Res. - 2020. - V. 9. - No. 2. - P. 69-82. -https://doi.org/10.12989/anr.2020.9.2.069

53. Zhang L., Wu G.T., Wu J. A Kerr-type elastic foundation model for the buckling analysis of a beam bonded on an elastic layer // ZAMM-Zeitschrift fur Angewandte Math. Mech. - 2019. - V. 99. - No. 10. - P. 1-19. - https://doi. org/10.1002/zamm.201900162

54. Wei L., Wang Y.N. Electromagnetic wave propagation in single-wall carbon nanotubes // Phys. Lett. A. General

Atomic Solid State Phys. - 2004. - V. 333. - No. 3-4. -P. 303-309. - https://doi.org/10.10167j.physleta.2004.10.048

55. Wang H., Dong K., Men F., Yan Y.J., WangX. Influences of longitudinal magnetic field on wave propagation in carbon nanotubes embedded in elastic matrix // Appl. Math. Model. - 2010. - V. 34. - No. 4. - P. 878-889. - https:// doi.org/10.1016/j.apm.2009.07.005

56. Jena S.K., Chakraverty S., Malikan M. Vibration and buckling characteristics of nonlocal beam placed in a magnetic field embedded in Winkler-Pasternak Elastic foundation using a new refined beam theory: An analytical approach // Eur. Phys. J. Plus. - 2020. - V. 135. -No. 2. - P. 1-18. - https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-020-00176-3

57. Civalek O., Demir C. Bending analysis of microtubules using nonlocal Euler-Bernoulli beam theory // Appl. Math. Model. - 2011. - V. 35. - No. 5. - P. 20532067. - https://doi.org/10.1016/j.apm.2010.11.004

58. Attia M.A. On the mechanics of functionally graded na-nobeams with the account of surface elasticity // Int. J. Eng. Sci. - 2017. - V. 115. - P. 73-101. - https://doi.org/ 10.1016/j.ijengsci.2017.03.011

59. Avcar M. Free vibration of imperfect sigmoid and power law functionally graded beams // Steel Compos. Struct. -2019. - V. 30. - No. 6. - P. 603-615. - https://doi.org/ 10.12989/scs.2019.30.6.603

60. Eringen A.C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves // J. Appl. Phys. - 1983. - V. 54. - P. 4703-4710. -https://doi.org/10.1063/L332803

61. Demir C., Civalek O. Torsional and longitudinal frequency and wave response of microtubules based on the nonlocal continuum and nonlocal discrete models // Appl. Math. Model. - 2013. - V. 37. - No. 22. - P. 93559367. - https://doi.org/10.1016Zj.apm.2013.04.050

62. Ahmed R.A., Fenjan R.M., Faleh N.M. Analyzing post-buckling behavior of continuously graded FG nanobeams with geometrical imperfections // Geomech. Eng. -2019. - V. 17. - No. 2. - P. 175-180. - https://doi.org/ 10.12989/gae.2019.17.2.175

63. Hadji L. Influence of the distribution shape of porosity on the bending of FGM beam using a new higher order shear deformation model // Smart Struct. Syst. - 2020. -V. 26. - No. 2. - P. 253-262. - https://doi.org/10.12989/ sss.2020.26.2.253

64. Zouatnia N., Hadji L. Effect of the micromechanical models on the bending of FGM beam using a new hyperbolic shear deformation theory // Earth. Struct. - 2019. -V. 16. - No. 2. - P. 177-183. - https://doi.org/10.12989/ eas.2019.16.2.177

65. Mehar K., Panda S.K. Multiscale modeling approach for thermal buckling analysis of nanocomposite curved structure // Adv. Nano Res. - 2019. - V. 7. - No. 3. -P. 181-190. - https://doi.org/10.12989/anr.2019.7.3.181

66. Van Cauwelaert F., Stet M., Jasienski A. The general solution for a slab subjected to centre and edge loads and resting on a Kerr foundation // Int. J. Pavement Eng. -2002. - V. 3. - No. 1. - P. 1-18. - https://doi.org/10. 1080/10298430290029894

67. Civalek O., Dastjerdi S., Akba§ S.D., Akgoz B. Vibration analysis of carbon nanotube-reinforced composite micro-beams // Math. Meth. Appl. Sci. - 2020. - https://doi.org/ 10.1002/mma.7069

68. Safa A., Hadji L., BouradaM., Zouatnia N. Thermal vibration analysis of FGM beams using an efficient shear deformation beam theory // Earthquakes Struct. - 2019. -V. 17. - No. 3. - P. 329-336. - https://doi.org/10.12989/ eas.2019.17.3.329

69. JalaeiM., Civalek O. On dynamic instability of magnetically embedded viscoelastic porous FG nanobeam // Int. J. Eng. Sci. - 2019. - V. 143. - P. 14-32. - https://doi. org/10.1016/J.IJENGSCI.2019.06.013

70. Hadji L., Zouatnia N., Bernard F. An analytical solution for bending and free vibration responses of functionally graded beams with porosities: Effect of the micromecha-nical models // Struct. Eng. Mech. - 2019. - V. 69. -No. 2. - P. 231-241. - https://doi.org/10.12989/sem. 2019.69.2.231

Поступила в редакцию 12.08.2021 г., после доработки 09.11.2021 г., принята к публикации 10.11.2021 г.

Сведения об авторах

Mohammed Lamine Bouchareb, Post-Graduate, Université de Sidi Bel Abbés, Algeria, bouchareb@yahoo.com

Abdelwahed Semmah, Assoc. Prof., Université de Sidi Bel Abbés, Universitaire Ahmed Zabana, Algeria, wahidsemmah@yahoo.fr

Fouad Bourada, Assoc. Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria; Université de Tissemsilt, Algeria, bouradafouad@yahoo.fr

Abdelouahed Tounsi, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria; Yonsei University, Korea; King Fahd University of Petroleum

and Minerals, Saudi Arabia, abdelouahed.tounsi@yonsei.ac.kr, tou_abdel@yahoo.com

Houari Heireche, Prof., Université de Sidi Bel Abbés, Algeria, heireche_h@yahoo.fr

Abdelnour Benzair, Prof., Université de Sidi Bel Abbés, Algeria, abenzair@yahoo.fr

Muzamal Hussain, Assoc. Prof., Government College University Faisalabad, Pakistan, muzamal45@gmail.com