Арифметика и геометрия одномерных квазирешеток

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

УДК 519.21

АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ ОДНОМЕРНЫХ КВАЗИРЕШЕТОК 1

А. В. Шутов

Аннотация

В работе при помощи теоретико-числовых методов изучаются арифметические и геометрические свойства одномерных квазирешеток. Получена параметризация квазирешеток. Найдены условия их комбинаторной и геометрической эквивалентности. Изучены решения линейных диофантовых уравнений над квазирешетками.

Arithmetics and geometry of one-dimensional quasilattices.

A. V. Shutov

In the paper we use some methods of number theory to study arithmetic and geometric properties of one-dimensional quasilattices. The parametrizati-on of any quasilattice is obtained. Conditions of combinatorial and geometrical equivalence of quasilattices are found. We also study solutions of linear dio-phantine equations over quasilattices.

1 Понятие квазирешетки

Данная работа представляет собой расширенную версию доклада, прочитанного автором на VII Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященной памяти Анатолия Алексеевича Карацубы и проходившей в мае 2010 года в городе Тула. Автор выражает признательность организаторам конференции за возможность выступить с докладом и опубликовать его текст в трудах конференции.

Целью данной работы является обзор недавних результатов полученных при помощи применения теоретико-числовых методов к изучению одномерных ква-зипериодических структур. Работа носит обзорный характер, поэтому доказательства всех результатов приводятся схематично или же опускаются.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 08-01-00326.

Наиболее известным примером одномерной квазирешетки является так называемая квазирешетка Фибоначчи, Наиболее известный способ ее получения

решетки Z2, расположенных в некоторой специально выбранной полосе вокруг этой прямой (рис, 1),

Существует целый ряд альтернативных способов определения квазирешетки Фибоначчи: геометрические подстановки, рекурентное соотношение, явная формула для точек, система счисления с основанием т, параметризация поворотами окружности, алгебраическое сопряжение в кольце <Ц>(л/5) и т.д. Подробности можно найти в книге [6].

Существует два естественных способа обобщить определение квазирешетки Фибоначчи, Первый из них основан на использовании иррациональных поворотов окружности.

Пусть а € (0; 1) - иррациональное число, (•) - дробная доля, В качестве квазирешетки Ьа рассмотрим множеств о точек {х^^.^, определяемое условиями

Легко проверить, что квазирешетка Фибоначчи удовлетворяет данному определению.

Далее пусть I С [0; 1) - некоторый открытый справа полуинтервал. Рассмотрим множество

состоит в проектировании на прямую у = тх, т = ^ 1 точек целочисленной

********

* о * * * * *

г*****

Хо = 0;

£*а(1) {хп € ^а • (па) € 1}.

Множества Ьа(1) будем называть квазирешетками общего вида,.

Второе естественное обобщение понятия квазирешетки Фибоначчи основано на использовании алгебраического сопряжения в вещественных квадратичных полях. Пусть е - единица (обратимый элемент) некоторого вещественного квадратичного поля, причем 0 ^ е < 1. Пусть I - некоторый открытый справа полуинтервал, содержащий 0, Определим квадратичную квазирешетку Le(I) соотношением

Le

где штрих означает операцию алгебраического сопряжения в поле Q(e). Квазирешетка Фибоначчи удовлетворяет этому определению се = т и I =[-1; т),

Теорема 1. Любая квадратичная квазирешетка является квазирешеткой общего вида.

Доказательство теоремы 1 проводится в два этапа. Вначале рассматривается случай I С I£ = [-1; — 1 + е-1), В этом случае требуемый результат вытекает из того, что множество I£ П Z[e] имеет в ид { —1 + {(n + 1)е)е-1 : n Е Z}, В общем случае необходимо использовать преобразование x ^ ekx для того, чтобы построить квазирешетку Le(I), подобную Le(I), для которой I С 1£. после чего использовать тот факт, что множество точек, подобное квазирешетке общего вида, снова есть квазирешетка общего вида,.

2 Параметризация квазирешеток

Для изучения квазирешеток La(I) необходима информация о поведении дробных долей {иа) на полуннтервале I, Для получения этой информации удобно использовать понятие отображения первого возвращения. Пусть Ra : x ^ x + а mod 1 - иррациональный поворот окружности. Отображение первого воз-

I

djRa = R(x)(x), где nj(x) = min{n Е N : R^(x) Е I}.

Величина nj (x) есть время первого возвращепня точки x в полуинтервал под

Ra

Теорема 2. Отображение djRa является, либо поворотом окружности, либо перекладыванием трех отрезков.

Доказательство теоремы и явное вычисление отображений dj Ra можно найти в [4],[8].

Из теоремы 2 вытекает

Теорема 3. Функция nj (x) принимает два или 'три значения. Более того, если, nj (x) принимает 'три значения, то одно из них является, суммой двух других.

Доказательство можно найти в [7].

Теоремы 2, 3 немедленно приводят к следующей параметризации квазирешеток La(I),

Теорема 4. Пусть La(I) = {уп}£=-те _ квазирешетка общего вида. Тогда если djRa есть поворот окружности, то для некоторой нумерации точек квазирешетки существует поворот Rp и числа, 1'2 такие, что

у = \ уп + l1, Re(yn) < 1 — в (Д\

уп+1 I Уп +12, Re (Уп) ^ 1 — в . u

В противном случае существует перекладывание трех отрезков T : [0; 1) ^ [0; 1) и числа l'2, l3 такие, что

( уп + ll, T(yn) Е I1

Уп+1 = \ уп + l2) T

[ уп + l3) T(уп) Е I3

где h, I2 и I3 - полуинтервалы, перекладываемые отображением T.

Следствие 1. Квазирешетка La(I) содержит интервалы двух или, трех различных длин. Более того, если, La(I) содержит интервалы, трех различных длин, то одна из этих длин является, суммой двух других.

Из полученной параметризации легко вытекает асимптотическая формула для числа точек квазирешетки в интервале.

Теорема 5. Пусть N(La(I),x,X) = : х £ Ьа(1),х ^ х < х + Х}. Тогда,

справедлива, асимптотическая формула

N

l1 + (l2 — l1)a

где |I| - длина, полуинтервала, I.

Остаточный член в формуле (6) во многих случаях может быть значительно улучшен, В частности, в случае когда djRa является поворотом окружности, то рассматриваемый остаток имеет порядок 0(1). Далее, для произвольной квадратичной квазирешетки Le(I) остаток имеет порядок 0(lnX), В общем случае рассмативамый остаток можно оценить через остаточный член задачи о числе попаданий последовательности дробных долей {{na)} в некоторый интервал. Точнее, можно получить оценку

\N(L„(I).x.X) - , , ,]1] , ' х\ = 0(А„(а)),

l1 + (l2 — l1)a

где

Ап(а) = sup |^{n : {na) Е J} — n|J||.

J С[0;1)

Известно, что скорость роста величины Ап(а) определяется поведением непол-

а

А п(а) имеются в работе [5],

3 Эквивалентность квазирешеток

Пусть Ьа(1) = {уп}п=-оо ~ квазирешетка общего вила, имеющая длины интервалов /'1; /2 й 13 (или 1[ и /2 в вырожденном случае). Каждой такой квазирешетке поставим в соответствие кодирующую последовательность {сп}^=_ос по правилу

уп+1 — уп /сп

Введенная последовательность описывает комбинаторный порядок следования интервалов квазирешетки.

Две квазирешетки Ьа(1) и Ьр(7) будем называть комбинаторно эквивалентными, если их кодирующие последовательности совпадают.

Две квазирешетки Ьа(1) и Ьр(7) будем называть геометрически эквивалентными, если существует преобразование подобия к : х ^ кх + Ь такое, что к(Ьа(1)) = Ьв(3).

Ясно, что две геометрически эквивалентные квазирешетки комбинаторно эквивалентны. Также легко проверить, что две комбинаторно эквивалентные решетки геометрически эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие длины их интервалов пропорциональны.

Можно показать, что в случае квадратичной квазирешетки Ь£(1) длины входящих в нее интервалов однозначно определяются параметризующим ее перекладыванием трех отрезков (или поворотом окружности) из теоремы 4. Отсюда вытекает следующий результат.

Теорема 6. Две квадратичные квазирешетки, геометрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они комбинаторно эквивалентны.

Рассмотрим теперь вопрос о комбинаторной эквивалентности квазирешеток. Пусть Ьа(1) и Ьа(3) - две квазирешетки. Через к/ и kJ обозначим преобразования подобия, переводящие I и 7 в [0; 1). Тогда из параметризаций (4), (5) легко следует, что квазирешеки будут комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда множества точек к/({(па)}^=^ПI) и кJ({(па)}^=^П.]) совпадают. Отсюда вытекает следующий критерий комбинаторной эквивалентности.

Предложение 5. Пусть Ьа(1) и Ьа(.]) - две квазирешетки, общего вида, а г и ] - левые концы интервалов I и .] соответственно. Тогда, Ьа(1) и Ьа(.]) комбинаторно эквивалентны тогда, и только тогда, когда, выполняются 2 условия.

к

^ Ка = к о 1/ Ка о к-1;

2) Существуют к,т € Ъ такие, что

(ка) — г (та) — ]

к

добия и

(ка) — г (та) — ] . л л.

(пюс11)'

к

добия.

Из двух условий предложения 5 наиболее трудным для проверки является условие 1), Будем называть его эквивалентностью отображений первого возращения, В работе [4] проблема эквивалентности отображений первого возвращения была решена для случая, когда эти отображения являются поворотами окружности, В общем случае аналогичные аргументы позволяют получить следующие теоремы.

Теорема 7. Пусть отображения первого возвращения 1/Ка и dJКа экви,-

к

dJ Ка = к О 1/ Ка о к-1.

а

Теорема 8. Пусть а € (0; 1) - квадратичная, иррациональность. Тогда, существуют эффективно вычислимые постоянные г0, Б0 такие что отображения, первого возвращения 1/ Ка и dJ Ка эквивалентны тогда, и только тогда, когда, выполняются два, условия

2) щ = Б™ для некоторого целого т.

Явные выражения для го и О0 могут быть записаны в терминах разложения

а

Можно также доказать аналог теоремы 8 различающий собственные и несоб-

к

мощи несобственного преобразования подобия возможна только в случае, когда

а

4 Диофантовы уравнения над квазирешетками

В,Г,Журавлевым было начато систематическое изучение различных классов диофантовых уравнений над квазирешеткой Фибоначчи, Были рассмотрены линейные диофантовы уравнения [1], представление чисел в виде суммы квадратов [2] и уравнение Пелля [3], Общая гипотеза состоит в том, что все диофантовы результаты, доказанные для квазирешетки Фибоначчи, переносятся на случай квадратичной квазирешетки в случае одпокласспости соответствующего поля 0(е), В данной работе мы ограничимся рассмотрением только линейных диофантовых уравнений.

Пусть вещественное квадратичное поле 0>(е) одноклассно. Хорошо известна гипотеза о том, что таких полей бесконечно много. Рассмотрим квадратичную квазирешетку Ь = Ь£(1) для некоторого I, а также двумерную квазирешетку Ь2 = Ь£(1) х Ь£(1), являющуюся декартовым произведением одномерной квазирешетки Ь£(1) па себя. Вопрос о разрешимости линейного диофантова уравнения ах + Ьу = с в точках квазирешетки Ь очевидным образом эквивалентен вопросу о структуре множества точек Ь2 П I, где / - прямая, заданная уравнением ах + Ьу = с.

Теорема 9. Пусть множество Ь2 П/ содержит хотя бы две точки. Тогда оно содержит бесконечно м,ного точек. Более того, существуют открытые справа, полуинтервалы, I1, 12 такие, что

пг

где пг - проекции из Е2 на, оси, координат.

Таким образом, либо линейное диофантово уравнение имеет не более одного решения в точках квазирешетки, либо оно имеет бесконечно много решений и множество всех решений геометрически эквивалентно некоторой квадратичной квазирешетке.

Из данной теоремы и теоремы 5 легко получить асимптитику для числа решений линейного диофантова уравнения над Ь,

Теорема 10. Пусть уравнение ах + Ьу = с имеет хотя бы два решения х,у € Ь. Пусть

N(X) = Ц{(х, у) € Ь2 : ах + Ьу = с, 0 ^ х < X}.

Тогда, справедлива, асимптотическая формула

N

Можно построить полуинтервалы, для которых остаточный член в формуле (8) имеет порядок 0(1).

Отметим также что в случае диофантовых уравнений над общими квазирешетками Ьа(1) аналог теоремы 9 неверен. Более того, можно построить квазирешетку Ьа(1), где а - квадратичная иррациональность и I = [0; 1) над которой некоторые линейные диофантовы уравнения имеют не менее двух и не более конечного множества решений,

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Журавлев В, Г, Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к дофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ, -2007, -Т. 19. -Вып. 3. -С. 177-208.

[2] Журавлев В. Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи // Зап. научи. семин. ПОМИ. -2006. -Т. 337. -С. 165-190.

о

учи. семин. ПОМИ. -2008. -Т. 350. -С. 139-159.

[4] Шутов А. В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. -2004. -Т. 314. - С. 272-284.

[5] Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {na + y} // J.Number Theory. -1997. -V. 65. -P. 48-73.

[6] Pvtheas Fogg N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. -Springer. -2001. -402 p.

[7] Slater N.B. The distribution of the integers N for which {n6} < Ф // Proe, Cambridge Philos. Soc. -1950. -V. 46. -P. 525-534.

[8] Zhuravlev V. G,, Shutov A. V. Derivatives of circle rotations and similarity of orbits // Max-Plank-Institut fur mathematik. Preprint Series. -2004. -V. 62. -P. 1-11.

Владимирский Государственный Гуманитарный Университет Получено 18.05.2010