Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной цилиндрической области с вращающимися основаниями

УДК 532.5.011.12

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ С ВРАЩАЮЩИМИСЯ ОСНОВАНИЯМИ

Ю.В. МЕДВЕДЕВ, В.Я. ШКАДОВ

В статье представлена схема численного решения задачи о движении несжимаемой жидкости в ограниченной цилиндрической области постоянного радиуса с вращающимися основаниями. Получены различные режимы течения, в том числе с зонами возвратного течения, для различных значений определяющих параметров.

Ключевые слова: численное моделирование, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрическая область.

Введение

Математическая задача о течении жидкости в ограниченной цилиндрической области постоянного радиуса представляет довольно подробную модель многих процессов, встречающихся в технических устройствах. Закрутка жидкости за счет вращения оснований цилиндра влияет на образование зон возвратного течения и на формирование специфической структуры течения. Помимо этого, сами вихревые структуры не достаточно устойчивы, и это проявляется в свойствах бифуркаций решения, отчего даже на небольших диапазонах определяющих параметров можно наблюдать различные по характеру линии тока [1].

Практическая сторона данной задачи может заключаться в исследовании процессов, возникающих, например, в подшипниках, биореакторах и иных технических устройствах. Отдельным примером использования течений такого рода является выращивание кристаллов методом Чох-ральского.

Интересной особенностью закрученных течений является образование вихревых структур, называемых рециркуляционными зонами. Они появляются на фоне основного течения и, в некотором смысле, связаны с переходом от ламинарного режима через периодический к турбулентному.

Поскольку диапазоны значений параметров задачи (число Рейнольдса Яе, отношение угловых скоростей оснований цилиндра у, безразмерная высота цилиндра И) велики, то рассмотрение данной задачи представляет собой обширное поле для исследований. В данной статье внимание уделено основным ламинарным режимам течения и влиянию азимутальной скорости на образование вихревых структур, в том числе рециркуляционных зон. При численном моделировании использованы следующие диапазоны параметров: 150 < Яе < 650; 1 < И < 1,5; 0 < у < 0,5.

1. Обзор

В настоящее время серии работ посвящены изучению течений жидкости с закруткой, как в открытом канале [2], так и в ограниченной цилиндрической области [3]. Несмотря на то, что постановки задач имеют отличия, структуры течения и в особенности рециркуляционных зон проявляют сходство. Зоны возвратного течения исследуются на различных стадиях перехода от ламинарного режима [4] до периодического [5] и турбулентного [6].

В данной работе рассматривается течение в области, изображенной на рис. 1.

Рис. 1. Схема течения

2. Постановка задачи

Рассматриваемое осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости в отсутствии массовых сил описывается системой уравнений Навье-Стокса и уравнением неразрывности, записанными для удобства в цилиндрической системе координат [7]:

dvr + dvr + dvr

—- + vr —- + v —-dt r dr z dz

r

p dr

d 2v +1 ,d 2vr

r dr dz2

dr2

Л

dvf + dt ^

df +

—- + vz

dr z

dv.

f+ vf = v

Ґ ^2

dt

+v

dr

+v

dz

dz

1 dp

:------------t- + V

p dz

d vf 1 df d f

dr2

f d 2v

f I f і f

r dr dz2

1 dvz d2vz ^

_________________________z.

v dr2 r dr dz2 j

1 d( rvr) + dv^ r dr dz

: 0.

Здесь (г, ф, 2) - координаты введенной цилиндрической системы координат; (уг, уф, у2) - радиальная, азимутальная и осевая компоненты скорости, соответственно, X - переменная времени; р - плотность среды; V - кинематический коэффициент вязкости.

цо

В качестве безразмерных параметров задачи выбраны: у = —- отношение угловой

W

bottom

скорости верхнего цилиндра к угловой скорости нижнего цилиндра; число Рейнольдса Яе и

безразмерная высота цилиндра И = —.

К

В безразмерных величинах система уравнений (1 - 4) для новых переменных функции тока у, циркуляции Г и завихренности О перепишется в следующем виде [8]:

dW + d (vrW) + d(vzW) = ^ £ ЭГ +1_f_d f 1 d(rW)^ + d2W

dt

dr

+

dz

= 2_T^;—+------

r dz Re

dr I r dr

+

dr d(r) d(r) 1

— + v y ’ + v y ’ = — dt r dr z dz Re

dz2

r —

+

dr I r dr j dz

1 щf1y=_W,

r dz dr ^ r dr j 1 dy r dz ’

= 1 dy z r dr ’

Г

f=r •

W = 3vt_Э^.

dz dr

Начальные и граничные условия для задачи имеют вид, указанный на рис. 2.

Отдельно следует отметить, что в качестве граничных условий для завихренности О используется условие Тома. Поскольку решение задачи осуществляется методом установления, то начальные условия О0(2,г), Г0(2,г) выбираются из удобства для наиболее скорого получения установившегося течения.

r

Г

Ц2Д) = 0; У2Д) = 0; уг(2Д) = у^Д) = 0.

К

Г(0,г) г'^Ьойот;

у(0,г) = 0;

Уг(0,г) = у2(0,г) = 0.

X = 0:

^(2,г) = ^0(2,г); Г(2,г) = Г 0^,г).

Г(н,г) = г-^хор; у(Н,г) = 0;

Уг(Н,г) = у2(Н,г) = 0.

О

Н ъ

Ц2,0) = 0; у(2,0) = 0; уг(2,0) = у2^,0) = 0.

Рис. 2. Начальные и граничные условия задачи течения в ограниченном цилиндре

3. Численное решение

Численное решение поставленной задачи осуществляется по следующей схеме. Расчетная прямоугольная область покрывается равномерной сеткой, в узлах которой вычисляются искомые функции. Система уравнений (5 - 11) решается методом установления по времени [9]. Таким образом, находится стационарный режим для набора исходных параметров при условии его существования. Условие существования определяется программно отдельно: на временных итерациях отслеживается повторяемость структуры течения и изменение ее со временем.

Для каждого шага по времени эллиптическое уравнение типа Пуассона (7) решается прямым численным методом [9], основанным на разделении переменных и быстром преобразовании Фурье. Система линейных уравнений для коэффициентов разложения Фурье решается методом вращений, после чего по обратному преобразованию Фурье строится функция тока. После того, как найдена функция тока у, по формулам (8), (9) вычисляются осевая и радиальная компоненты скорости и решаются уравнения (5), (6) и (7) для нахождения полей завихренности и циркуляции на новом временном слое. Вязкие члены аппроксимируются симметричными центральными разностями, а конвективные члены - разностями против потока [9].

Данная схема решения позволяет получить информацию о наличии стационарного режима для исходных данных, а также данные о полях всех компонент скоростей.

Поскольку числа Рейнольдса достаточно малы (150 < Яе < 650), то ожидаемое стационарное решение для указанных значений существует и течение имеет ламинарную структуру. При возрастании числа Рейнольдса у оси цилиндра наблюдается возникновение зоны рециркуляционного течения и смещение основных кольцевых вихрей к внешней стенке цилиндра.

Результаты численного счета (рис. 3) качественно соответствуют результатам, представленным в [4]. Движение жидкости по кольцам обуславливается вращением оснований цилиндра и влиянием вязкости, в то время как образование новых вихревых зон - следствие роста числа Рейнольдса и у

4. Результаты численного эксперимента

Яе= 150; у=0;Ь= 1;

^ ч\\ч \т I И 1 ! \

I \\\\ \ I 1 м' ' N м 1 '

рп \ \ \ ~ /

\\W\V

///11

1 \

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 г 1

Яе = 400; у=0;11 = 1;

§У/:-

да

лл\\\\ \ '

////.

|\\\\ ИЛ4-1 \ \

( (

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 г 1

Яе = 650; у = 0; Ь = 1;

/ / / , III 1

1 \

)

/ 11 / I

I

I'

I \ \ ^

1 \ Ч -

\ V

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2

Яе = 150; у = 0,5; Ъ = 1,5;

0.2 0.4 0.6 0.8

1.2 1.4 2

Яе = 400; у = 0,5; Ъ = 1,5; Яе = 150; у = 0,5; Ъ = 1,5;

Рис. 3. Линии тока

5. Заключение

Построен алгоритм расчета поля скоростей и линий тока для движения несжимаемой жидкости в ограниченной цилиндрической области. Для различных значений безразмерных параметров получены поля течений, в том числе с образованием рециркуляционных зон.

Дальнейшее изучение данной задачи связано с рассмотрением более сложных вихревых структур и исследованием периодических режимов течения жидкости в цилиндрической области.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brons M., Bisgaard A.V. Bifurcation of vortex breakdown patterns in a circular cylinder with two rotating covers. J. Fluid Mech. (2006), vol. 568, pp.329-349.

2. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное моделирование вязких вихревых течений для технических приложений. - М.: МГСУ, издательство Ассоциации строительных вузов, 2009.

3. Shen W.Zh., Sorensen J.N., Michelsen J.A. Numerical study of swirling flow in a cylinder with rotating top and bottom. Physics of Fluids, 18, 064102 (2006).

4. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. - Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 2003.

5. Lopez J.M., Cui Y.D., Lim T.T. Experimental and numerical investigation of the competition between axisymmetric time-periodic modes in an enclosed swirling flow. Physics of Fluids, 18, 104106 (2006).

6. Herrada M.A., Fernandez-Feria R. On the development of the three-dimensional vortex breakdown in cylindrical regions. Physics of Fluids, 18, 084105 (2006).

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1983. Т. 1.

8. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное исследование рециркуляционных зон в вихревой камере // Аэромеханика и газовая динамика. - 2003. - № 3. - С. 48 - 54.

9. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.

NUMERICAL MODELING OF THE SWIRLED FLOWS OF THE VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID IN A CYLINDER WITH ROTATING TOP AND BOTTOM

Medvedev Yu.V., Shkhadov V.Ya.

The calculation procedure for numerical solving of the problem of the swirled flow of the incompressible viscous fluid in the cylinder with rotating top and bottom is presented. Different flow regimes including those with the formation of the recirculating zones for a number of parameter values are obtained.

Key words: numerical simulation, viscous incompressible fluid, cylindrical domain.

Сведения об авторах

Медведев Юрий Владимирович, 1985 г.р., окончил МГУ им. М. В. Ломоносова (2007), аспирант кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, область научных интересов - динамика вязких течений жидкостей и газов.

Шкадов Виктор Яковлевич, 1935 г.р., окончил МГУ им. М.В.Ломоносова (1958), доктор физикоматематических наук, профессор кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, автор более 140 научных работ, область научных интересов -динамика вязких жидкостей и газов, гидродинамическая неустойчивость и волны, течения жидкости с поверхностями раздела, численные методы гидроаэродинамики.