Дифференцируемое отображение ранга r аффинного q m и проективного p n пространств

8. Kamenomostskaya S.L. Ob uravneniyakh ellipticheskogo i parabo-licheskogo tipa s malym parametrom pri starshikh proizvodnykh [On equations of elliptic and parabolic type with a small parameter in the highest derivatives]. Mat. sb., 1952, no. 31 (73): 3, pp. 703-708.

9. Vishik M.I., Lyusternik L.A. Regulyarnoe vyrozhdenie i pogra-nichny sloy dlya lineynykh differentsialnykh uravneniy s malym parametrom [Regular degeneration and boundary layer for linear differential equations with a small parameter]. UMN (Successes of Mathematical Sciences), 1957, no. 12:5 (77), pp. 3-122.

10. Ilin A.M. Soglasovanie asimptoticheskikh razlozheniy kraevykh zadach [Matching of asymptotic expansions of boundary value problems]. Moscow, Nauka, 1989. 334 p.

11. Alymkulov K. Analog of Method of Boundary Layer Function for the Solution of the Lighthill’s Model Equation with the regular Singular Point. American J. Math. & Statistics, 2013, vol. 3, no. 1, pp. 53-61.

12. Alymkulov K., Asylbekov T.D., Dolbeeva S.F. Obobshchenie metoda pogranfunktsiy dlya resheniya kraevoy zadachi dlya bisingulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka [Generalization of the boundary functions for solving boundary value problem for Bisingular perturbed second order differential equation]. Matem. Zametki (Mat. Notes), 2013, vol. 94, no. 3, pp. 483-487.

13. Tursunov D.A. Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya singulyarno vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s dvumya tochkami povorota [Asymptotic expansion of the solution of a singularly perturbed second order differential equation with two turning points]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika (Bulletin of the Tomsk State University. Mathematics and mechanics), 2013, no. 1 (21), pp. 34-40.

14. Gilbarg D., Trudinger N. Ellipticheskie differentsialnye uravneni-ya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic partial differential equations of second order]. Moscow, Nauka, 1989. 464 p.

УДК 514.757.2

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ РАНГА г АФФИННОГО Qm И ПРОЕКТИВНОГО P, ПРОСТРАНСТВ

Аль-Хассани Мудхар Аббас,

преподаватель кафедры математики Университета Басры, Ирак; аспирант кафедры высшей математики Физико-техническсго института ТПУ Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. E-mail: mudhar73@mail.ru

Лучинин Анатолий Алексеевич,

канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Физико-технического института ТПУ, Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. E-mail: luchinin@tpu.ru

Актуальность работы вызвана необходимостью дополнительного изучения специального отображения Vrm, n ранга r<min (m, n) аффинного Qm и проективного Pn пространств.

Цель работы. В предыдущих работах были рассмотрены отображения Vm n, когда r<min (m, n) в случаях m=n, m<n, m>n. В данной работе рассматривается дифференцируемое отображение V'm, n ранга r<min (m, n) аффинного пространства Qm и проективного пространства P.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод внешних форм Картана в локальной дифференциальной геометрии и теоретико-групповой метод Г.Ф. Лаптева. Эти методы предполагают локальное изучение рассматриваемого объекта и использование функций класса С.

Результаты. Рассмотрено регулярное отображение ранга r аффинного и проективного пространств. Дана геометрическая характеристика этого отображения. С отображением V'm, n инвариантно ассоциируется отображение m-мерного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар. Доказано (геометрически и методом Кэлера) существование данного отображения. Изучена аналитически и геометрически структура внутреннего фундаментального геометрического объекта.

Ключевые слова:

Дифференцируемые отображения, многомерные пространства и поверхности, геометрические объекты.

1. Аналитический аппарат

1.1. Как и в [1-3] рассматривается т-мерное аффинное пространство Qm и п-мерное эквипроек-тивное пространство Pn, отнесенные к подвижному аффинному реперу О и подвижному эквипроектив-ному реперу P с соответствующими деривационными формулами и структурными уравнениями:

: ° = {В, %}, йВ = ©%, ёёа = ©1%,

Д0а = 0ЬЛ©0, О0Ьа = ©аЛ0,

Рп: Р = {А1}, ёА1 = ю/А,, До)/ = ю/ ле>/,

юкк = 0,

Предполагается, что между пространствами существует дифференцируемое отображение

V : О ^ Р .

т ,п ^~-т п V >

Дифференциальные уравнения этого отображения с учетом (1) и (2) запишутся в виде

ю0 = А0а,

Двукратное продолжение [4] этой системы дифференциальных уравнений с учетом (1) и (2) приводят к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяют компоненты внутреннего фундаментального геометрического объекта Г={Л”, Л[ь] в смысле [5, 6]:

ёА0 + . - Аь©а = 4ь©Ь,Ц =ю -4 ю0,Ааь ]0,

ёАОь+4ьЦ - Ась ©а - Асс ©С - (44 + А А )ю0 =

= 4аЬс©С , 4аЬс ] = 0,

Заметим в соответствии с [2, (8)], что отображение (3) направление и=(-,-а) и“еОт переводит в направление х=Утпи=(Л0, А) х‘, где

X = 4аиа.

1.2. В соответствии с [5, 6] система величин Л” удовлетворяет дифференциальным уравнениям (4) и (5) и образует фундаментальный геометрический объект А первого порядка отображения (3). Эта система величин образует матрицу [Л”] (1=1, п; а=1,т) размера пхт. Ранг г этой матрицы в общем случае равен г=шт(п,т).

Определение 1.1. Отображение Угщп: От^Рп называется регулярным отображением, если ранг г матрицы [Л”] равен г<шт (п, т). Если г<шт(п,т), то отображение называется отображением ранга г и обозначается УгтХ

Заметим, что в статьях [1-3] изучались регулярные отображения Утп.

В данной статье изучаются отображения Угтп.

Поскольку ранг г матрицы [Л”] меньше шт(п,т), то она имеет хотя бы один ненулевой (базисный) минор порядка г. Для определенности таким минором будем считать

^[Аа] * 0,

Тогда на основании теоремы о базисном миноре получаем, что в каждой точке Ве£т имеют место соотношения:

4 = К14а, 4 = т141; 4 = т . 4', А = т.14.1,

а1 а1 а1 7 £71 £С1 а1 а1 1 “1 а1 ^ а1

(а1, Ь1, с1 = 1, г; а 1, Ь1, с 1 = г +1, т;

.1, К = 1 г; 71,У1, к 1 = г +1, п).

1.3. В каждой точке Ве£т проводится такая канонизация аффинного О и проективного Р реперов, при которой

. (5),(6),(7) . ,. .

4' = 0,4 = 0 ^ 4 = 0, та 1 = 0, Нк = 0, А1. = 0.

а1 а 1 -* £71 а 1 Ьа 1

Из дифференциальных уравнений (5) с учетом (4), (8) и (9) получаются в каждой точке Ве£т следующие дифференциальные уравнения:

ю* = А^ 0a';ю^ = 0; - Ас1 0a7' = А. ©Ь ;

0 £ 7 0 7 £ <£ 1 £71Ь

4;< = 4, ©4;

<£< + 4;о5, - 4;©4; = ©4;

А» ] = ° 4, ] = °.

С учетом (7) в каждой точке Ве£т можно ввести в рассмотрение величины В”1 по формулам

4^=4;, Ак;в;: =4*;,

которые в силу (10) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

ёв,! + в4© - ВЯ1 = В/© Ь; Щ = - А\ ВО: В:.

Из (10)-(12) в точке Ве£т имеют место следующие дифференциальные уравнения:

где

©а; = Ва;©і;, ©”; = В; ©4,

^ £3; а;4

<=5 ©41=4,0;. 4 4;=°

а,",. ] = °, Ва;4 = - 4 4Ва;,

Л 7;/;] <я;4 а;4 ,;

4» _ ап ва; Аі; _ 4і; ва; В4;

Л5;Ь; 4а;4; В]; > ^ 4, £ ; В] ;В ; "

Из (1) и (2) с учетом (9) и (13) замечаем, что величины (14) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УВа; = йВа; + ВС; ©а; - Ва; ©4; - В; ©; _

а ;4 а;4 £3]4 с; 44а; ас 4

_ В? ©с,

а;4с

^ + 5« - 4^,4;«Л - а;:;,©;; _ 44с ©.

+41,«- - 4;< _ ;Ю-

4[ік ] _ °-

В соответствии с [7-10] дифференциальные уравнения (13) и (15) свидетельствуют о существовании в общем случае в точке BєQm канонизации реперов Q и Р типа (9).

В следующем разделе данной статьи будет дана геометрическая интерпретация дифференцируемого отображения Угт/. Qm^Pn в терминах канонизации реперов Q и Р типа (9) в каждом из случаев т=п, т<п и т>п.

2. Геометрическая характеристика отображения Утп

2.1. В соответствии с (6) совокупность всех направлений ц=(ВД) uaєQm при отображении (3), приходящих в точкуА0 удовлетворяет уравнениям

4аііа _ 0.

С учетом (7) и (9) заключаем, что система (16) в случае отображения Угщп: Qm^Pn имеет единственное решение иа=0. Геометрически это означает, что совокупность всех указанных направлений в точке BєQm образует (т-г)-плоскость

Гт-г _

Поэтому в пространстве Qm определено распределение

Интегральные кривые, описываемые точкой Ве£т, распределения

определяются с учетом (10), (13) и (14) следующей вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений Пфаффа:

так как

(9) Л 0? = 0 = 0,

Б?1. = 0.

[ аіЬі]

Иными словами, распределение (18) является голономным.

2.2. Заметим с учетом (2) и (10), что точка Д в соответствующем при отображении У^, проективном пространстве Рп описывает г-поверхность Б.^Р, с касательной г-плоскостью

В (Ао,А1,...,А).

При этом в силу (2), (13) и (19) г-плоскость Ьг<^Рп постоянна вдоль интегральных кривых распределения (18). Следовательно, в случае т<п поверхность Бт (т^г) в Рп

с касательной т-плоскостью ЬтзЬг, о которой идет речь в [2], в соответствии с [10-12] представляет собой (т-г)-мерное семейство г-плоскостей Ьг, т. е. является тангенциально вырожденной поверхностью в смысле М.А. Акивиса.

Таким образом, с учетом (3), (13), (17) и (21) доказана

Теорема 2.1. Дифференцируемое отображение ранга г: У;п: Ят^Рп характеризуется тем, что оно каждую (т-г+1)-плоскость гт-г+г(Гт-г,ёа)иа1<^Ят переводит в соответствующее направление Х=(“10^1) А Ца1ЄІгСРп.

Здесь (т-г)-плоскость Гт-гс2т; Гт-гэБ является ядром указанного отображения, а г-плоскость Ьг касается г-поверхности Бг<^Рп в точке А0єРп.

2.3. Из результатов предыдущего пункта следует, что во всех случаях т=п, т<п и т>п при отображении Угт/. Ят^Рп определена г-поверхность Бг<^Рп с касательной г-плоскостью Ьг в точке А0єБт. Поэтому во всех указанных случаях при отображении Угщп можем воспользоваться результатами статьи [2] (в случае т-поверхности Бт<^Рп для доказательства того, что и с отображением Угп инвариантным образом ассоциируются отображения /т2п: Ят^Ы2п и /т2п-1: 0т^М2п-1 аффинного пространства Ят в многообразие невырожденных нуль-пар, соответственно.

3. Существование отображения УгтіЯ

В этом разделе будет обосновано существование отображения У;,/- Ят^Рп.

3.1. Из результатов пункта 2.1 с учетом (15) и (18)-(20) следует, что голономное распределение Лт-гт определяется дифференциальными уравне-

т-г,т

ниями

0? = Б1 0ь,УБ1 = Б1 0е,

йі а 1Ь а 1 аЪс

Геометрически с учетом (19) это распределение характеризуется тем, что вдоль его интегральных

кривых, описываемых точкой BеQm, соответствующая точка А0еРп неподвижна. Вдоль этих интегральных кривых в силу (14), (15) в точке В е Qm выполняются дифференциальные уравнения

0?1 = О,ю'0 = 0,ю‘0 = 0, ЮІ1 = 0,

(ах = 1, г; іх = 1, г; Л = 1, г).

Заметим, что вдоль интегральных кривых распределения Ат_г,т: В^Гт_г точка BеQm описывает голономную (т-г)-поверхность §т_г^т с касательной (т-г)-плоскостью (17). Из (22) с учетом (15) и (23) следует, что на (т-г)-поверхности Бт_г выполняются дифференциальные уравнения

0а1 = 0, @*1 = в1.0Ь1, ув1. = В1.. 0е'1,

а 1 афх а ф 1 а ]Ь 1С 1

ва1' = 0, ва'1'' = 0,

[ а1 Ь1] [аа 1 Ьа 1 са 1 ]

Заметим также, что 1-формы @~ и УВ“^1(,получены путем внешнего дифференцирования системы @“1=0 с последующим применением леммы Картана [4].

В соответствии с [13, 14] заключаем, что геометрический объект

Г = {Б

является фундаментальныма геометрическим объектом (т-г)-поверхности Бт_г^т. Структура этого объекта такова, что он является объектом общего вида на Бт_г. Это означает, что (т-г)-поверх-ность Бт_г является (т-г)-поверхностью общего вида в пространстве Qm и определяется с произволом г функций (т-г) аргументов (вдоль интегральных кривых голономного распределения Ат_г,т).

Таким образом, система дифференциальных уравнений (24) в инволюции в смысле [4].

3.2. Заметим, что инволютивность системы (24) можно показать, если воспользоваться методом Кэлера [4].

Из (24) следует, что общее число N независимых величин В^, определяющих общий интегральный элемент, равно

6

Строим цепь по формам базиса @“1=0,[@г+1...@т]. Линейный элемент £г+1(@“1=0, @г+2=...=@т=0) определяется дифференциальными уравнениями

*г+1, @а1 = 0, @г+2 = ... = @т = 0.

УБ?. = Б1. 0г

П111 а 1І1Г +1

Произвол линейного элемента Ег+1 равен г •

В+1 =

2

Давая всем Дг+1 величинам В^,^ произвольные,

0 а1

но определенные значения Ва^+1, получаем элемент £0г+1. Второй элемент £г+2(@“1=0,@г+3=.=@т=0), проходящий через элемент £0г+1, определяется дифференциальными уравнениями

УБ?г = Б»Ьі,г+і 0г+і + В

а\ Ьі

<аі Ьі ,г +2

0г

(0аі = 0,0г+3 = ... = 0т = 0).

Коэффициенты при 0г+1 уже известны. Поэтому из (27) в силу Вр^рО замечаем, что произвол линейного элемента Ег+2, проходящего через элемент £0+1, равен

г •

К+2 =

2

Продолжая процесс, мы получаем, что интегральный элемент Ет, проходящий через элемент £0.4, определяется дифференциальными уравнениями

0 а1

ува? = ва1 ы 0к + ваV ©т,

«зі Ьі

а іЬ т

Коэффициенты при 0Л уже известны. Поэтому из (29) следует, что произвол элемента Ет, проходящего через элемент Ет-1, равен

({(т - г) - (т - г -1)} х^

„ 1х((т - г) - (т - г - 2)}у

К = г-----------------------------------= г.

т 2

Из (26), (28) и (30) в силу (25) и в соответствии с [4] заключаем, что число Картана О равно

О = К , + К 2 +... + К = N,

г+1 г+2 т 5

т. е. система (24) в инволюции и определяет решение с произволом г функций т-г аргументов. Поэ-

тому доказано, что отображение Утп: <2т^Ря существует.

Замечание 3.1. Учитывая результаты раздела 2, можно дать следующее геометрическое представление отображения Угтп: 0т^Р„.

В аффинном пространстве 2т с произволом г функций т-г аргументов задается (т-г)-поверх-ность §т_г^т с касательной (т-г)-плоскостью Гт-г в точке В є Ёт_г. Каждой точке В є ~т_г сопоставляется центропроективное пространство Рп с центром в точке А0 так, что в этом пространстве задается соответствующая г-плоскость Ь-А0.

В итоге вдоль Бт_г^т точка А0єРп является текущей точкой г-поверхности Бг<^Ра с касательной г-плоскостью Ьг.

Выводы

В работе рассмотрено регулярное отображение ранга г аффинного и проективного пространств. Дана геометрическая характеристика этого отображения. Показано, что с данным отображением инвариантно ассоциируется отображение т-мер-ного аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар. Доказывается (геометрически и методом Кэлера), что рассматриваемое многообразие существует. Полученные результаты могут быть использованы для детального изучения невырожденных нуль-пар и доказательства существования дифференцируемого отображения аффинных и проективных пространств в общих случаях.

а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аль-Хассани М.А., Молдаванова Е.А. Дифференцируемое отображение аффинного Qm и проективного Рп пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2013. -Т. 323. - №2. - С. 28-32.

2. Ивлев Е.Т., Аль-Хассани М.А., Лучинин А.А. Дифференцируемое отображение аффинного Qm и проективного Рп пространств (тп) // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т. 323. - № 2. - С. 16-20.

3. Ивлев Е.Т., Аль-Хассани М.А., Лучинин А.А. Дифференцируемое отображение аффинного Qm и проективного Рп пространств (т>п) // Известия Томского политехнического университета. - 2014. - Т. 324. - № 2. - С. 47-51.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

5. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М.: ГИТТЛ, 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

6. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометрического семинара. Т. 6. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974. - С. 37-42.

7. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик, Ю.Г. Лумисте, Н.М. Остиану, А.П. Широков // Итоги науки и техники. Сер. Проблемы геометрии. -1979. - Т. 9. - С. 3-246.

8. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. Отображения аффинных и евклидовых пространств // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 317. - № 2. - С. 8-14.

9. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev.math. ригеБ е! арр1. (RNR). - 1962. -№2. - Р. 231-240.

10. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г // Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

11. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных поверхностей // Доклады АН СССР. - 1962. - Т. 146. - № 3. -С. 515-518.

12. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей // Институт научной информации. Итоги науки. Геометрия. - М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1965. - С. 5-64.

13. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проективного пространства // Труды геометрического семинара. -М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1966. - Т. 1. - С. 239-263.

14. Швейкин П.И. Нормальные геометрические объекты поверхности в аффинном пространстве // Труды геометрического семинара. - М.: Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 331-423.

Поступила 10.02.2013 г.

UDC 514.757.2

DIFFERENTIABLE MAPPING OF R RANK IN AFFINE Qm AND PROJECTIVE Pn SPACES

Mudkhar Abbas Al-Khassani,

University of Basrah, Iraq; Tomsk Polytechnic University, Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. E-mail: mughar73@yahoo.com

Anatoly A. Luchinin,

Cand. Sc., Tomsk Polytechnic University, Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. E-mail: luchinin@tpu.ru.

The urgency of the work is caused by necessity of additional studying of special mapping Vrm,n of r<min (m, n) rank in affine Qmand projective Pn spaces.

The main aim of the study. The previous works considered the mappings Vmn, when r<min (m, n) in cases m=n, m<n, m>n. In the given work the authors consider the differentiable mapping V'mn of r<min (m,n) rank in affine space Qm and projective space Pn. Methods of research. The basic methods of research are Cartan method of external forms in local differential geometry and G.F. Lapteva's theoretical-group method. These methods assume local studying of the considered object and the use of functions of a class C°. Results. The paper considers the regular mapping of rank of affine and projective spaces. The geometrical characteristic of this mapping is given. The mapping of m-dimensional affine space in manifold nonsingular null-pair is associated with V'm„ invariant mapping. The existence of the given mapping is proved (geometrically and by Kahler's method). The authors studied analytically and geometrically the structure of internal fundamental geometrical object of mapping Vrm, .

Key words:

Differentiated mapping, multidimensional spaces and surfaces, geometrical objects.

REFERENCES

1. Al-Khassani M.A., Moldovanova E.A. Differentsiruemoe oto-brazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv [Differentiable mapping of affine Qm and projective Pn spaces]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 323, no. 2, pp. 28-32.

2. Ivlev E.T., Al-Khassani M.A., Luchinin A.A. Differentsiruemoe

otobrazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv

[Differentiable mapping of affine Qm and projective Pn spaces (m<n)]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 323, no. 2, pp. 16-20.

3. Ivlev E.T., Al-Khassani M.A., Luchinin A.A. Differentsiruemoe

otobrazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv

[Differentiable mapping affine Qm and projective Pn spaces (m>n)]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2014, vol. 324, no. 2, pp. 47-51.

4. Finikov C.P. Metod vneshnikh form Kartana v differentsialnoy geometrii [Method of Cartan's exterial forms in differential geometry]. Moscow, GITTL, 1948. 432 p.

5. Laptev G.F. Differentsialnaya geometriay pogruzhennykh mno-goobraziy [Differential geometry of the immersed manifolds]. Trudy matematicheskogo obshchestva [Proc. of Moscow mathematical society]. Moscow, GITTL, 1953, no. 2, pp. 275-382.

6. Laptev G.F. K invariantnoy teorii differentsialnykh otobrazheniy [To the invariant theory of differentiable mappings]. Trudy geo-metricheskogo seminara [Proc. of a geometrical seminar]. Moscow, Institute of the Scientific Information an Academy of Sciences of the USSR, 1974. Vol. 6, pp. 37-42.

7. Evtushik L.E., Lumiste Yu.G., Ostianu N.M., Shirokov A.P. Dif-ferentsialno-geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh [Differential-geometrical structure on manifolds]. Results of a science and engineering. Series: Problems of geometry, 1979, vol. 9, pp. 3-246.

8. Ivlev E.T., Luchinin A.A. Otobrazhenie affinnykh i evklidovykh prostranstv [Mapping affine and Euclidean spaces]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2010, vol. 317, no. 2, pp. 8-14.

9. Ostianu N.M. O kanonizatsii podvizhnogo repera pogruzhennogo mnogoobraziya [On canonization of a mobile reference point of the immersed manifold]. Rev. math. pures et appl. (RNR), 1962, no. 2, pp. 231-240.

10. Akivis M.A. Fokalnye obrazy poverkhnosti ranga r [Focal images of surface of a rank r]. Bulletin of high schools. Mathematics, 1957, no. 1, pp. 9-19.

11. Akivis M.A. Ob odnom klasse tangentsialno vyrazhdennykh po-verkhnostey [On one class of tangential singular surfaces]. Reports of Academy of Sciences the USSR, 1962, vol. 146, no. 3, pp. 515-518.

12. Laptev G.F. Differentsialnaya geometriya mnogomernykh po-verkhnostey [Differential geometry of multidimentional surfaces]. Institut nauchnoy informatsii. Itogi nauki. Geometriya [Institute of the scientific information. Result of a science. Geometry]. Moscow, Institute of the Scientific Information an Academy of Sciences of the USSR, 1965, pp. 239-263.

13. Ostianu N.M. O geometrii mnogomernoy poverkhnosti proektiv-nogo prostranstva [On geometry of a multidimmentional surface of projective space]. Trudy geometricheskogo seminara [Proc. of a geometrical seminar]. Moscow, Institute of the Scientific Information an Academy of Sciences of the USSR, 1966. Vol. 1, pp. 239-263.

14. Shveykin P.I. Normalnye geometricheskie obekty poverkhnosti v affinnom prostranstve [Normal geometrical objects of a surface in affine space]. Trudy geometricheskogo seminara [Works of a geometrical seminar]. Moscow, Institute of the Scientific Information an Academy of Sciences of the USSR, 1966. Vol. 1, pp. 331-423.