Сложение двух пар взаимноперпендикулярных колебаний одинаковых частот

УДК 533.951

СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПАР ВЗАИМНОПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТОТ

© Н.Я. Молотков, Н.В. Хвостова

Molotkov N.Y., Khvostova N.V. Composition Of Two Pairs Of Reciprocally-Perpendicular Vibrations Of The Same Frequency. A theory of composition of four vibrations with optional amplitude and initial phase is presented and a track of resultative moment, representing an ellipse, is found. In case A-amplitudes of four vibrations coincide, and the difference between the phases of complimentary elements of each pair

results in — , the resultative track represents a circumference with a radius, ranging from 2A to 0 depending

on the phase difference of the pairs of reciprocally-perpendicular vibrations. However, if the phase

71

difference between the composing elements of the first pair results in - — , and those of the second pair

71

results in + - j , the track of the resultative movement reduces itself to a straight line with its orientation

depending on the phase difference between the pairs of reciprocally-perpendicular vibrations. The analogy is set with the interference of two waves with circular polarisation and distribution of linearly polarised waves in guirotropal environment. The achieved results agree with the experiments on composition of four electric reciprocally-perpendicular vibrations of a low frequency.

В фундаментальных трудах по теории колебаний [1-3] сложение четырех взаимноперпендикулярных колебаний не рассматривается, хотя данный вопрос имеет не только теоретический, но и практический интерес, т. к. выходит на некоторые аналогии в волновой оптике [4 - 6]. Рассмотрим сложение четырех колебаний одинаковых частот, два из которых (хь х2) направлены по оси х, а два других (уи у2) по оси у. Сложение указанных колебаний удобно рассматривать как сложение двух пар (хь ух) и (х2, у2) взаимноперпендикулярных колебаний. Пусть первая пара колебаний задана уравне-

xi = xmicoscof;

У\ = y„„cos(at +фі),

где ф| - разность фаз между составляющими первой пары колебаний. Исключая время I из этих уравнений, получим результирующее движение по эллипсу

-2-

Х1У1

. _ -cosФ1 + * = Sin Ф1 .

х2 хщ -Уmi у2

т\ J т\

Пусть вторая пара колебаний задана уравнениями

х2 = xm2cos(co? + 8) ;

У2 = Ут2 COS(ffl? + ф2 +5),

где ф2 - разность фаз между составляющими второй пары колебаний, 5 - разность фаз между рассматриваемыми двумя парами взаимноперпендикулярных колебаний. Исключая из уравнений (4-5) время ?, получим также движение по эллипсу

т 2

- - 2-

Х2У2

хт2 'Ут2

cos(p2 +

yi

• sin (р2 •

у

Чтобы найти уравнение результирующего движения, когда одновременно совершаются четыре колебания, необходимо найти амплитуды хт и ут результирующих колебаний по осям х и у, а также разность фаз у между ними. Для этой цели построим векторную диаграмму (рис. 1) исходных четырех колебаний (1-2, 4-5), где ОР - опорная линия. Из диаграммы следует, что результирующие амплитуды колебаний по осям х и у определяются векторами: хт = хт\ + *т2 ^ Ут~Ут\ ^ Ут2 > ^ разность фаз

между ними равна у = у2 - уь где Уі и у2 -начальные фазы результирующих колебаний по осям х и у. Численные значения результирующих амплитуд согласно векторной диаграмме равны

7

х +х + 2хтл cosb ; т\ m2 т1 т2 ’

УІ = У2т + У2т1 + 2 У ті Ут2 cos< Ф2 + 8 - Ф1;

Начальные фазы результирующих колебаний по осям х и у также находятся из векторной диаграммы

а разность фаз между составляющими каждой пары взаимноперпендикулярных колебаний равна:

tgil

хт\ хт~2 6

У mi sin^\ +Ут2 sin( 8 + Ф2; ущ «Иф! +ут2 COS(b + q2) '

Разность фаз между результирующими колебаниями по двум взаимноперпендикулярным направлениям равна

У — У2 - Ті

Следовательно, уравнения результирующих движений по осям х и у могут быть записаны в виде

х = хт cos at; у = ут cos (at + у),

Ф1 =Ф2 = 2

Согласно формулам (3, 6) каждая пара колебаний в отдельности дает результирующее движение по окружности одинакового радиуса А и одинакового направления вращения:

х2+у2=Л2; х2+у2=А2.

Чтобы определить характер результирующего движения, которое в общем виде дается уравнением (14), найдем по формулам (7-11) амплитуды хт и ут результирующих колебаний по взаимноперпендикулярным направлениям

Xm = 2А2(1 + cos&) ;

Ут = 2A2

где величины хт, ут и у определяются формулами (7 - 11). Исключая из выражений (12 - 13) время ?, получим уравнение траектории результирующего движения, которое в краткой форме записи имеет вид

и их начальные фазы sin 8

tgy\

1 + cos 8 ’

С“ хтУт

*У У  2

COS у + -Г- - sin у .

Ут

tgl 2 =

1 + sin( 8 + -j) cos( 8 +

Таким образом, в общем случае сложения четырех взаимноперпендикулярных колебаний одинаковых частот траектория результирующего движения представляет собой эллипс.

Рассмотрим два наиболее интересных специальных случая.

1. Пусть составляющие двух пар взаимноперпендикулярных колебаний имеют одинаковые амплитуды по осям х и у:

Рассмотрим три частных случая.

а). Пусть разность фаз между двумя парами взаимноперпендикулярных колебаний равна четному числу л, т.е. 8 = 2т, где п = 0, 1,2, ... Из формул (18 - 19) найдем амплитуды результирующих колебаний по осям х и у; хт = 2А, ут = 2А. Из формул (20 - 21) при 5 = 2т по-

А 71

лучим: у[= 0; У2=у> и следовательно,

7Г

у=у2-у]= —. На основании формулы (14) имеем

х2 + у2 - 4А2 .

Рис. 1. Векторная диаграмма для сложения четырех колебаний.

Следовательно, результирующая траектория имеет вид окружности радиуса 2А.

б). Пусть разность фаз 5 между двумя парами

я , я

равна нечетному числу у , т.е. 8 = (2п - \)-^, где

п = 1, 2, 3, ... Из формул (18 - 21) найдем хт=42А\ ут = 42А; У1=^; У2=^к и

У =Y2-Yi = 2" Согласно формуле (14) найдем уравнение траектории результирующего движе-

у= 0.

л-2 +у2 = 2А2 .

Следовательно, траектория имеет вид окружности радиуса -¡2 А.

в). Пусть разность фаз между парами взаимноперпендикулярных колебаний равна нечетному числу я, т.е. 5 = (2п - \)п , где п = 1,2, 3, ... Из формул (18 - 19) следует, что амплитуды результирующих колебаний по взаимноперпендикулярным направлениям равны нулю, то есть хт = Ут = 0- Это означает, что результирующее движение отсутствует. Таким образом, если каждая пара взаимноперпендикулярных колебаний дает движение по окружности радиусом А одинакового направления вращения, а разность фаз между ними 5 изменяется от 0 до я, то радиус результирующего движения изменяется от 2А до 0. Полученный вывод подтверждается экспериментом по сложению четырех электрических колебаний низких частот [7]. Рассмотренный случай имеет аналогию при интерференции двух когерентных электромагнитных волн (к = 3,2 см) с круговыми поляризациями, когда направления вращения электрических векторов Е в волнах одинаковы [8].

2. Пусть составляющие четырех колебаний имеют одинаковые амплитуды:

^т\

ущ = ут2 = А . Пусть разность фаз между

со-

ставляющими каждой пары взаимноперпендикулярных колебаний, соответственно, равна

Ф! =+у и Ф2 Согласно формулам

каждая пара колебаний при указанных условиях дает результирующее движение по окружности одинакового радиуса А, но противоположного направления вращения. Согласно формулам (7 - 11) имеем

: 2А (I + cos&) ; Ум = 2А (I - cos&) ;

tgYl

sinb 1 + cos б

&У2 =

1 + sin

Рассмотрим три частных случая.

а). Пусть разность фаз между двумя парами колебаний п = 0, 1, 2, ... равна четному числу п, то есть 5 = 2пп, где п = 0,1, 2, ... Тогда из формул (26 -27) получим хт = 2А; ут = 0; Yi= 0; у2 = 0; у = у2 - Yi = 0. Подставляя эти выражения в формулу (14), получим уравнение траектории результирующего движения:

Следовательно, траектория результирующего движения имеет вид прямой линии, направленной по оси х.

б). Пусть разность фаз между двумя парами колебаний равна нечетному числу , то есть

71

Ъ = (2п-\)^, где п = 1, 2, 3, ... Тогда из формул

(26 - 27) найдем: хт = ут = -¡2А ; п=У2=-^;

у = у2 - У! =0. Согласно формуле (14) уравнение траектории результирующего движения имеет вид

Следовательно, траектория результирующего движения представляет собой прямую линию, которая составляет с осями координат угол 45°.

в). Пусть Ъ = (2п-\)% , где п = 1, 2, 3, ... Из формул (26 - 27) найдем: хт = 0; ут = 2А;

у]=у2=у;у = 0. На основании уравнения

получим:

х = 0.

Следовательно, результирующее движение осуществляется по оси у с амплитудой 2А. Из рассмотренных частных случаев следует вывод: при сложении двух пар взаимноперпендикулярных колебаний, каждая из которых дает движение по окружности в противоположных направлениях вращения, получается результирующее гармоническое колебание, но направление этих колебаний зависит от разности фаз § складываемых пар колебаний. Этот вывод подтверждается экспериментом по сложению четырех электрических колебаний низких частот и имеет аналогию в волновой оптике при рассмотрении интерференции волн с круговыми поляризациями при противоположном направлении вращения их электрических векторов, а также при распространении линейно поляризованной волны в гиротропной среде [7 - 8].

ВЫВОДЫ

1. Дан теоретический подход к решению вопроса о сложении двух пар взаимноперпендикулярных колебаний одинаковых частот и найдено уравнение траектории результирующего движения, которое в общем случае дается эллипсом.

2. Рассмотрены два специальных случая. Если каждая пара взаимноперпендикулярных колебаний дает движение по окружности одинакового радиуса А и одинакового направления вращения, то траектория результирующего движения представляет собой окружность, радиус

которой изменяется от 2А до 0 в зависимости от разности фаз между парами складываемых колебаний. Если каждая пара колебаний дает движение по окружности одинакового радиуса, но противоположного направления вращения, то траектория результирующего движения представляет собой прямую линию, ориентация которой зависит от разности фаз между парами взаимноперпендикулярных колебаний.

3. Полученные выводы подтверждаются экспериментом по сложению двух пар взаимноперпендикулярных электрических колебаний низкой частоты. Указывается на имеющиеся аналогии в волновой оптике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов Л.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 563 с.

2. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 437 с.

3. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: ГИФМЛ, 1959. 572 с.

4. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 926 с.

5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1976. 855 с.

6. Сивухин Д.В. Оптика. М.: Наука, 1980. 753 с.

7. Молотков Н.Я. Сложение двух пар взаимноперпендикулярных колебаний одинаковых частот. Деп. в ВИНИТИ 23.03.1994. Per. № 699-В94.

8. Молотков Н.Я. Интерференция волн с эллиптическими, круговыми и линейными поляризациями. Деп. в ВИНИТИ 19.03.1991. Per. № 1201-В91.

Поступила в редакцию 4 мая 1997 г.