О визуализации элементов подкрепленных тонкостенных оболочек

УДК 004.9

Асеев Алексей Владимирович, Макаров Антон Александрович

О ВИЗУАЛИЗАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК1

Тонкие оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты, позволяют снизить опасную концентрацию напряжений. Для анализа напряженно-деформированного состояния подкрепленной конструкции необходимо знать не только наибольший прогиб и наибольшее нормальное напряжение, но и картину прогибов и интенсивности напряжений по всей оболочке. Более того, построение поля прогибов оболочки от поверхности конструкции (а не от плоскости) может более наглядно отразить процесс деформирования. Это все можно учесть, разрабатывая специальное программное обеспечение для дальнейшего практического применения, обладающее удобным графическим интерфейсом и предоставляющее результаты расчетов в удобном пользователю виде.

Целью данной работы является описание визуализации математической модели напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочечных конструкций, подкрепленных ребрами переменной высоты и имеющих в качестве составных частей элементы следующих оболочек: пологой, цилиндрической, конической, сферической, тороидальной, катеноидной.

Описываемые в данной работе результаты получены при помощи разработанного программного модуля, который может быть использован в практике расчета оболочеч-ных конструкций при их проектировании, а также в научных исследованиях, связанных с нелинейными проблемами деформирования тонкостенных конструкций. В разработанном программном модуле геометрическая форма оболочки задается при помощи параметров Ламе, а сама оболочка и подкрепляющие ее ребра рассматриваются как оболочка ступенчато-переменной толщины. Это существенно упрощает подготовку задачи к решению. Контакт ребра и обшивки происходит по полосе, что более точно отражает реальную работу конструкции.

Ключевые слова: тонкие оболочки, подкрепленные оболочки, ребра жесткости переменной высоты, устойчивость, прочность, напряженно-деформированное состояние, визуализация оболочечных конструкций.

Современная конструктивная геометрия предоставляет достаточно много инструментов для эффективного проектирования, анализа и изготовления сложных форм. Усложнение геометрических форм приводит к разработке новых методов моделирования поверхностей, используемых при проектировании пространственных конструкций. Архитектурные приложения создают новые задачи в самой геометрии, в вычислительной геометрии, в вычислительной механике и, в частности, в теории тонких оболочек. Изучению напряженно-деформированного состояния различных оболочек посвящено много работ (см., например, [1-8] и библиографию в них). Тонкостенные оболочки позволяют использовать большое разнообразие форм при проектировании конструкций различного вида. Как элементы конструкций они применяются во многих областях техники: строительстве, судостроении, авиастроении, ракетостроении, машиностроении и др. Использование технологических подкреплений (ребер жесткости, накладок) и/или отверстий (вырезов) в качестве элементов конст-

Аннотация

© Асеев А.В., Макаров А.А., 2014

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке КНВШ Правительства Санкт-Петербурга.

рукций делает тонкие оболочки перспективным строительным элементом. Различные модели оболочечных конструкций также используются для решения ряда медицинских проблем, например, в задачах офтальмологии [9].

Для исследования деформации, прочности и устойчивости тонких оболочек необходимо проводить расчеты на основе наиболее точных математических моделей, в том числе учитывающих особенности сложной структуры и различные свойства конструкционного материала, позволяющих проектировать легкие конструкции, обладающие высокой прочностью. В связи с этим в данной работе используется модель Тимошенко-Рейсснера, учитывающая сдвиг в отличие от классической модели Кирхгофа-Лява, которая может приводить к погрешностям порядка h/R, где h - толщина оболочки, а R - характерный размер. Можно полагать, что такие исследования целесообразно проводить на основе специально разработанных пакетов прикладных программ с использованием оптимальных алгоритмов расчета, допускающих распараллеливание вычислений. Следует иметь в виду также развитие аналитических методов, и, в частности, асимптотических [10]. Исследование поведения тонкостенных оболочечных конструкций с помощью математических пакетов прикладных программ общего назначения позволяет проводить достаточно сложные расчеты, однако для практического применения инженерами это не всегда является удобным. Например, для проведения вычислений в пакете ANSYS требуется 3D-модель рассчитываемой конструкции, при этом геометрическую модель конструкции целесообразно строить в специализированных системах автоматизированного проектирования (CAD/CAM-системах), имеющих свои особенности и неточности при построении поверхностей [11, 12]. В частности, возникают некоторые сложности с заданием геометрической формы оболочек и подкрепляющих ее ребер. Например, устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной высоты, достаточно хорошо изучена. При этом мало исследованы оболочки, подкрепленные ребрами переменной высоты, позволяющие снизить опасную концентрацию напряжений. Для анализа напряженно-деформированного состояния подкрепленной конструкции необходимо знать не только наибольший прогиб и наибольшее нормальное напряжение, но и картину прогибов и интенсивности напряжений по всей оболочке. Более того, построение поля прогибов оболочки от поверхности конструкции (а не от плоскости) может более наглядно отразить процесс деформирования. Это все можно учесть, разрабатывая специальное программное обеспечение для дальнейшего практического применения, обладающее удобным графическим интерфейсом и предоставляющее результаты расчетов в удобном пользователю виде.

Целью данной работы является описание визуализации математической модели напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочечных конструкций, подкрепленных ребрами переменной высоты и имеющих в качестве составных частей элементы следующих оболочек: пологой, цилиндрической, конической, сферической, тороидальной, кате-ноидной.

Описываемые в данной работе результаты получены при помощи разработанного программного модуля, который может быть использован в практике расчета оболочечных конструкций при их проектировании, а также в научных исследованиях, связанных с нелинейными проблемами деформирования тонкостенных конструкций. В разработанном программном модуле геометрическая форма оболочки задается при помощи параметров Ламе, а сама оболочка и подкрепляющие ее ребра рассматриваются как оболочка ступенчато-переменной толщины. Это существенно упрощает подготовку задачи к решению. Контакт ребра и обшивки происходит по полосе, что более точно отражает реальную работу конструкции. Кроме того, по завершении расчета имеется возможность получения полной информации о работе конструкции (перемещения, напряжения, усилия, моменты, интенсивность напряжений и характеристики критериев прочности для хрупких материалов) без дополнительных вычислительных затрат.

Работа содержит пять разделов. В разделе 1 предлагаемой работы приводятся необходимые сведения об используемой системе визуализациии, а также вводятся необходимые предварительные обозначения. В разделе 2 рассматривается математическая модель конструкции оболочечного типа. В разделе 3 рассматривается модель подкрепления оболочки ребрами. В разделе 4 приводятся результаты визуализации конструкций оболочечного типа. Наконец, в разделе 5 приводятся результаты визуализации напряженно-деформированного состояния некоторых тонких оболочек.

1. О СИСТЕМЕ ВИЗУАЛИЗАЦИИ

Трехмерный объект визуализируется путем построения его SD-модели и последующей подачи этой модели на вход графического конвейера. Описываемые в работе результаты получены при помощи разработанного в среде Microsoft .NET Framework (язык C # 4.0) программного модуля. В качестве графического конвейера используется DirectX [13], а в качестве программной оболочки DirectX для платформы .NET используется SlimDX [14].

Для визуализации оболочечных конструкций в программном модуле используются две системы координат:

- мировая система координат (x, y, z) - трехмерная декартова система координат, используемая в DirectX, описывающая положение объектов на сцене. В этой системе строится модель оболочки;

- локальная система координат оболочки (xp x2, x3) (см. рис. 1) - криволинейная система координат, отложенная на оболочке. В ней задаются прогибы и информация о положении ребер жесткости.

На рис. 1 схематично изображена панель тонкой пологой оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Оси криволинейных координат x1, x2 направлены по линиям главных кривизн оболочки k 1,k 2, соответственно; R1 = 1jk х , R2 = 1jk 2 - главные радиусы кривизны оболочки вдоль соответствующих осей. Ось x3 направлена по нормали к поверхности. Здесь и далее l0 - смещение оболочки относительно начала координат вдоль оси x1, /1 - l0, l2 - линейные размеры протяженности конструкции в направлениях x1, x2 соответственно.

Для описания SD-модели используется полигональная модель (в такой модели единицей информации является вершина). В зависимости от желаемых эффектов визуализации у вершины может быть много различных атрибутов, в данном случае будем использовать следующие:

- координаты вершины в трехмерном пространстве (x, y, z);

- трехмерный вектор нормали единичной длины n .

Будем считать, что модель одноцветна, то есть вершины не содержат информацию о цвете. Все необходимые атрибуты передаются графическому процессору один раз перед рендерингом модели. Будем считать, что свет, падающий в точку, одинаково рассеивается по всем направлениям. Таким образом, освещенность I определяется только плотностью света в точке поверхности, которая линейно зави-

Рис. 1. Локальная и глобальная системы координат на оболочке ступенчато-переменной толщины

сит от косинуса угла падения в соответствии с уравнением диффузного освещения

I = max{0,(n,l)} ,

где через max обозначен максимум перечисленных в фигурных скобках чисел, n - вектор нормали к поверхности (в рассматриваемой точке), l - вектор направления на источник света, а через (n, l) обозначено их скалярное произведение.

2. МОДЕЛЬ КОНСТРУКЦИИ ОБОЛОЧЕЧНОГО ТИПА

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, наибольшее расстояние между которыми много меньше любого другого размера (рис. 1). Оболочка считается тонкой, если отношение ее толщины к наименьшему линейному размеру удовлетворяет соотношению

h 1

-<— .

min{lj -10, l2, R} 20

Таким образом, тонкие оболочки характеризуются следующими свойствами: при моделировании пренебрегают величинами большего порядка малости, чем h/R, и напряжения, возникающие в оболочке в поперечном сечении, считаются пренебрежимо малыми по сравнению с другими напряжениями.

Используя указанные выше свойства, можно свести трехмерную задачу к двумерной относительно какой-либо координатной поверхности (подробнее см. [15]). Обычно в качестве такой поверхности используется срединная поверхность - геометрическое место точек, равноудаленных от лицевых (верхней и нижней) поверхностей. Для этого используется гипотеза Тимошенко-Рейсснера (модель второго приближения), согласно которой прямолинейный элемент оболочки, первоначально нормальный к серединной поверхности, остается прямолинейным (не обязательно нормальным) в процессе деформирования (см. рис. 2).

Математическая модель деформирования тонких оболочек, подкрепленных ребрами переменной толщины, в нелинейной постановке (геометрическая и физическая нелинейность) с учетом поперечных сдвигов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер состоит из геометрических соотношений (связь деформаций и перемещений), физических соотношений (связь напряжений и деформаций) и функционала полной энергии деформации. Функционал полной энергии деформации оболочки представляет собой сумму работ внутренних и внешних сил, его составляющими являются деформации, усилия и моменты. К упомянутому функционалу применяется метод Ритца, приводящий к последующему решению нелинейных систем алгебраических уравнений методом итераций.

Как правило, выделяют шесть основных видов тонких оболочек (подробнее см. [8]): пологая, цилиндрическая, коническая, сферическая, тороидальная, катеноидная. С точки

зрения визуализации модель каждой оболочки состоит из следующих составляющих:

- модель срединной поверхности,

- модель лицевой поверхности (верхней и нижней),

- модели боковых поверхностей (граничных контуров).

Срединная поверхность является основной поверхностью, описывающей геометрию оболочки. Схема ее построения представляет особый интерес.

При визуализации результатов расчета основная задача заключается в том, чтобы задать формулы преоб-

Рис. 2. Деформация элемента оболочки при учете поперечных сдвигов

разования криволинейных координат оболочки в мировые (для разных типов оболочек эти формулы различны). Мировые координаты в DirectX образуют левостороннюю систему координат и устроены следующим образом (см. рис. 1): ось x направлена вдоль экрана слева направо, ось y направлена вдоль экрана снизу вверх, а ось z перпендикулярна экрану и направлена вглубь от него. Криволинейные координаты индивидуальны для каждого вида оболочки, за исключением оси x3, которая всегда направлена по нормали к поверхности.

После построения модели срединной поверхности, вершина модели верхней поверхности получается из вершины срединной поверхности движением по нормали на половину толщины. Нижняя поверхность симметрична верхней относительно срединной поверхности. Боковые грани получаются как заполнение верхней и нижней поверхностей по краям. Нормали верхней и нижней поверхностей равны нормалям срединной поверхности (с точностью до знака), а нормали боковых граней высчитываются на основе векторного произведения. Чтобы построить нормаль к вершине, необходимо вычислить произведение пар векторов, каждый из которых получается как разность одной из соседних вершин и текущей. Так как у каждой вершины двумерной поверхности с декартовой сеткой имеется 8 соседних вершин, векторное произведение рассчитывается для каждого варианта, а в качестве результата берется среднее значение. Нормаль для крайних вершин устанавливается равной соседней не крайней вершине.

Для построения модели оболочки строится сетка на срединной поверхности, в которой количество узловых точек сетки вдоль криволинейных осей оболочки линейно зависит от размеров оболочки. При этом есть возможность задать функцию прогиба, которая возвращает его значение для конкретной точки в локальной системе координат. Помимо координат, такая сетка должна содержать значения прогибов, следовательно, элементом сетки является точка в трехмерном пространстве (x1, x2, x3), где (x1, x2) - координаты точки на оболочке, а x3 - величина прогиба. Такой подход выбран из следующих соображений: в результате решения задачи о прогибах оболочки ответ получается в форме непрерывной функции (ее вид зависит от выбранной аппроксимации). В таком случае становится возможным выбрать детальность сетки возле точки с учетом локальной кривизны. При построении оболочки с прогибами сначала строится срединная поверхность без учета прогибов, затем формируются верхняя и нижняя поверхности путем движения по нормали от срединной поверхности на суммарную величину прогиба и половины толщины.

3. МОДЕЛЬ ПОДКРЕПЛЕНИЯ ОБОЛОЧКИ РЕБРАМИ

Для повышения жесткости конструкции тонкостенные оболочки подкрепляются ребрами. Подкрепляющие ребра могут быть различной формы, однако, как правило, используются узкие ребра, так как жесткость конструкции в большей мере зависит от высоты подкрепляющих ребер. Существуют различные способы дискретного введения ребер. Например, всю конструкцию (обшивку и ребра) можно рассматривать как одно целое [1] или как контактную схему [2].

Первый подход приводит к оболочкам ступенчато-переменной толщины (подробнее см. [16-19]). Рассмотрим геометрию подкрепленной конструкции. Заметим, что для оболочек ступенчато-переменной толщины в усилиях и моментах присутствуют дополнительные члены, учитывающие взаимное влияние изгибных и тангенциальных деформаций. В этом случае учитывается дискретное введение ребер, их высота и ширина, сдвиговая и крутильная жесткость, их жесткое соединение в местах пересечения [11, 15]. Деформирование всей конструкции описывается едиными соотношениями, справедливыми для всей области, занимаемой конструкцией. Со стороны вогнутости оболочка подкреплена ортогональной сеткой ребер, параллельных координатным линиям (см. рис. 1), высота и расположение которых задаются при помощи разности единичных функций. Контакт ребра и обшивки проис-

ходит по полосе. Ребра переменной жесткости могут вводиться неравномерно, а также под углом к координатным линиям.

Пусть в направлении оси х', ' = 1, 2, расположено ребер высотой И'к(х1) = И'к(х1,х1), к = 1, ..., «, ] = 1, 2, причем числа ', ] будем считать связанными равенством ' + ] = 3. Тогда функция, характеризующая расположение и высоту ребер или глубину вырезов, будет иметь вид

2 п' «1,"2 2 Н(х1,х2) = ££Ик(х1 )5к(х',х1)- XЬк1к2(х\х2)П5кг (х,х1),

к1,к2 =1

i=1 k=1 „2 ч

i=1

где Ик1,к2 (х1,х2) = тт^ (х2),к12 (х1)} - высота общей части пересекающихся ребер. Пусть х'к - координаты, указывающие точки пересечения середины каждого ребра с осью х7, тогда функция 5 к (х', х1) имеет следующий вид

5 k (хг, x1) =

|1, ak (х1) - xk < хг < bk (х1) - xk 10, иначе,

где

ak

2 А (х' )' ^ ' * 2 Д (х) гк (х1) = г1к (х7, х1) - ширина к-го ребра жесткости в направлении х', а А( х') - параметр Ламе вдоль оси х'. Толщина всей конструкции равна И + Н, причем если Н > 0, то оболочка подкреплена ребрами или накладками, а если Н < 0, то она ослаблена вырезами. В разработанном программном модуле визуализации принято следующее предположение: ребра жесткости, подкрепляющие оболочку определенного типа, сами являются оболочками этого типа. При использовании такого подхода достаточно разработать только модель оболочки.

4. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ ОБОЛОЧЕЧНОГО ТИПА

В данном разделе рассмотрим схемы построения моделей оболочек различных видов: сферической, тороидальной, пологой, цилиндрической, катеноидной, конической. Для построения оболочек базовыми моделями являются сфера, цилиндр и конус. При этом тороидальная оболочка строится как расширение сферической оболочки, пологая оболочка строится на основе тора, катеноидная оболочка получается расширением цилиндрической оболочки.

4.1. СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Входные параметры: /0, L, Rv h. /г. rk, h'k , к е N, i = 1, 2. Модель срединной поверхности оболочки совпадает с моделью сферы. Криволинейные координаты х1, х2 совпадают с широтой и долготой соответственно.

х = R1 sin х1 sin х2,

У = R1COSх1, х1 е[10,/1], х2 е [-¡J2,l2/2].

z = - R1 sin x1 cos x2,

Изображение сферической оболочки, построенное при помощи разработанного программного модуля, приведено на рис. 3.

Рис. 3. Сферическая оболочка

4.2. ТОРОИДАЛЬНАЯ ОБОЛОЧКА

Входные параметры: /0, / Rv h, /г. r¡., tfk , k e N, i = 1, 2, d e R+. Модель срединной поверхности совпадает с моделью сферической оболочки, при этом вводится дополнительное смещение J от вертикальной оси вращения сферы.

х = Rj sin х1 sin х2 + d sin x2, y = Rj cos x1,

z = -Rj sin x1 cos x2 - d cos x2, x1 e[/o,/j], x2 e [-IJ2,IJ2],

Изображение тороидальной оболочки показано на рис. 4.

Рис. 4. Тороидальная оболочка

4.3. ПОЛОГАЯ ОБОЛОЧКА

Входные параметры: / R h, и., , И[. , к е N. i = 1, 2. Для пологой оболочки модель срединной поверхности строится на основе тора и задается в параметрическом виде следующим образом:

x(9 ,у) = (R + r cos ф )cos у, у(ф,у) = (R + r cos ф) sin у, z^ ,у) = r sin ф,

Фе

min{/} min{/}

2r

2r

, У e

max{/} max{/}

2

Рис. 5. Пологая оболочка

где г = тт{^.} - малый радиус тора, R = тах^Д - г - большой радиус тора, Ф - угол поворота малого радиуса, у - угол поворота большого радиуса.

Изображение пологой оболочки приведено на рис. 5.

4.4. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Входные параметры: /0, / И, /г. гд!, Ик , к е РС / = 1, 2. Модель срединной поверхности оболочки совпадает с моделью цилиндра. Криволинейная координата х1 проходит по образующей, а криволинейная координата хА проходит по окружности, которая получается сечением цилиндра плоскостью, параллельной его основанию:

1 А - 10

х = х - --0

2

y = R2cos x2 -R2, x1 e[/0,/j], x2 e[-/2/2,/2/2]. z = - R2 sin x2,

Рис. 6. Цилиндрическая оболочка

Все соотношения для срединной поверхности цилиндрической оболочки приведены с

учетом равенства радиуса кривизны R1 = да . Вычитание слагаемых

I —1

¿1 ¿0

и Я2 необхо-

2 " 2

димо для того, чтобы центр тяжести оболочки (или точка, близкая к центру тяжести) совпадал с началом мировой системы координат. В таком случае становится проще осуществлять вращение модели оболочки. Изображение цилиндрической оболочки приведено на рис. 6.

4.5. КАТЕНОИДНАЯ ОБОЛОЧКА

Входные параметры: /0, / И. /г. /)', /?,' . к е N. ¡ = 1.2. се К. Катеноид имеет топологию цилиндра, являясь единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения. Модель срединной поверхности оболочки строится на основе цилиндра:

1 ¡1 — ¡0 X = х — 1 0

2 '

„1 ¡1 — ¡0 I_____2

у = с х — 2 | cos х — с, г = -с сЫ х1 — -—— I sin х2

х1 е[-0,-1], х2 е [—¡2/2,¡2/2].

Аналогично предыдущему вычитание сла-

гаемых

- — -

П_10

и с необходимо для того, чтобы

центр тяжести пришелся на начало мировой системы координат. Изображение катеноидной оболочки приведено на рис. 7.

Рис. 7. Катеноидная оболочка

4.6. КОНИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Входные параметры: ¡0, ¡г, Н, пг, Гк, Ик , к е N, 7 = 1, 2, 0 е (0,п/2). Модель срединной поверхности описывается следующим образом. Криволинейная координата х1 проходит по образующей, а криволинейная координата х2 проходит по окружности, которая получается сечением конуса плоскостью, параллельной его основанию:

х = х1 cos0 — ¡0 + -1

2

у = х1 sin0 cos х2, г = - х1 sin 0 sin х2,

х1 е [¡0,¡1], х2 е [— ¡2/2,¡2/2],

где 0 - угол конусности. Аналогично пре-

¡0 + ¡1

дыдущему вычитание слагаемого —2—

необходимо для того, чтобы центр тяжести пришелся на начало мировой системы координат. Изображение конической оболочки приведено на рис. 8.

Рис. 8. Коническая оболочка

2

5. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

В качестве примера использования разработанного программного модуля визуализации приведем результаты исследования двух тонких оболочек [20]. Пологая оболочка задается следующими величинами (в метрах): линейные размеры ¡1 = ¡2 = 54, главные радиусы кривизны R1= R2 = 33.975, толщина h = 0.09, количество ребер вдоль каждой координатной оси - 3, контур закреплен шарнирно-неподвижно. Цилиндрическая оболочка задается следующими величинами (в метрах): линейные размеры ¡1 = 20, ¡2 = 17, радиус кривизны R2 = 5.4, толщина h = 0.01, контур закреплен жестко. Рассматриваемые конструкции находились под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки. Оболочки выполнены из стали с модулем упругости Е = 2.1 • 105 МПа и коэффициентом Пуассона ц = 0.3. Расчеты проводились при удержании 16 членов разложения функций по методу Ритца.

Часто при отображении оболочки с наложенным полем прогибов, особенно до потери конструкцией устойчивости, значения прогибов настолько малы, что их достаточно трудно заметить. Тем не менее, даже малозаметные изменения в конструкции могут нести в себе важную информацию о ее состоянии. В связи с этим в программном модуле вводится коэффициент масштабирования прогиба, который обозначается через к. Если значения прогиба больше либо равны толщине оболочки, то коэффициент принимается равным единице. Если же прогиб небольшой, то пользователь может самостоятельно плавно изменять значение коэффициента непосредственно в интерфейсе программы.

Представленные на рис. 9 и рис. 10 результаты показывают, что изображения, полученные с использованием разработанного программного модуля, наглядно отражают форму и

Рис. 9. а) поле прогибов для пологой оболочки в момент достижения первой критической нагрузки

Рис. 10. а) поле прогибов для цилиндрической оболочки в момент потери прочности

напряженно-деформированное состояние оболочек, а коэффициент масштабирования прогиба позволяет отследить влияние нагрузки на состояние конструкции. Разработанный программный модуль может быть использован при проектировании и расчете тонкостенных оболочечных конструкций, подкрепленных ребрами переменной высоты, а также в научных исследованиях, связанных с нелинейными проблемами деформирования тонкостенных конструкций.

Литература

1. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Л., 1948.

2. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М., 1949.

3. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М., 1963.

4. ГольденвейзерА.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.

5. ДоннеллЛ.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982.

6. Филиппов С.Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ 1999.

7. ЧерныхК.Ф., Кабриц С.А., МихайловскийЕ.И., ТовстикП.Е., ШаминаВ.А. Нелинейная теория оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ 2002.

8. НовожиловВ.В. Теория тонких оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2010.

9. Бауэр С.М., Карамшина Л.А., Качанов А.Б. Механические модели измерения внутриглазного давления тонометрами Маклакова и Гольдмана после операций по коррекции зрения // Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16. № 3. С. 25-31.

10. Товстик П.Е. Неклассические модели балок, пластин и оболочек // Изв. Сарат. ун-та (Математика. Механика. Информатика), 2008. Т. 8. № 3. С. 74-85.

11. Макаров А.А. Расчет прочности и устойчивости подкрепленных оболочек и распараллеливание // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых. Вып. 1. Труды молодых ученых / Под. ред. В.О. Никифорова. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011.

12. Макаров А.А. Матрицы добавления и удаления узлов для неполиномиальных сплайнов // Вычислительные методы и программирование, 2012. Т. 13. С. 74-86.

13. DirectX / http://www.microsoft.com/m-m/download/details.aspx?id=35 (дата обращения: 15.04.2014).

14. SlimDX / http://slimdx.org/ (дата обращения: 15.04.2014).

15. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: В 2 ч. М.: Физ-матлит, 2010. Ч. 1: Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения.

16. Енджиевский Л.В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1982.

17. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М.: Машиностроение, 1981.

18. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. Л.: Стройиздат. Ленингр. отд-ние, 1986.

19. Жгутов В.М. Метод конструктивной анизотропии для ортотропных и изотропных ребристых оболочек // Инженерно-строительный журнал, 2009. № 8. С. 40-46.

20. Асеев А.В., Макаров А.А., Семенов А.А. Визуализация напряженно-деформированного состояния тонкостенных ребристых оболочек // Вестник гражданских инженеров, 2013. № 3 (38). С. 226232.

ON VISUALISATION OF REINFORCED THIN SHELL ELEMENTS

Abstract

Thin shells that are reinforced by ribs of variable height can reduce harmful stress concentrations. For analisys of the stress-strain state of a stiffened structure it is necessary to know not only the greatest deflection and the maximum normal stress but also a picture of the

deflection and the stress intensity across the shell. Moreover the construction of the field deflection of the shell from the surface structure (and not from a plane) can be more clearly reflect the deformation process. It can be taken into account by developing special software for further practical use, that has a convenient graphical interface and provides the results of calculations in a user friendly form.

The purpose of this paper is to describe an imaging of a mathematical model of stressstrain state of thin-walled shell structures that are reinforced by ribs of variable height. The results that are described in this paper have been obtained using the developed software module, which can be used in the practice of calculating shell structures in their design, as well as in scientific research related to the problems of nonlinear deformation of thin-walled structures. The geometric shape of the shell is defined using Lame parameters, and the shell itself and its supporting ribs are seen as step-variable thickness shell. The contact of rib and shell occurs on the band that more accurately reflects the actual work of construction.

Keywords: thin shells, stability and strength of the shells, visualization of thin shells, reinforced shells, ribs of variable height.

Асеев Алексей Владимирович, ведущий разработчик ОАО «Равенство»,

Alexey.Aseev@yandex. ru,

Макаров Антон Александрович, доктор физико-математических наук, доцент кафедры параллельных алгоритмов СПбГУ, Antony.Makarov@gmail. com

(q) Наши авторы, 2014. Our authors, 2014.