Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами

ВЕСТНИК 4/2010

КОРРЕКТНЫЙ МЕТОД ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА

КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

CORRECT ANALYTICAL SOLUTION OF MULTIPOINT BOUNDARY PROBLEMS OF STRUCTURAL ANALYSIS

FOR SET OF SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PIECEWISE-CONSTANT COEFFICIENTS

П.А. Акимов Pavel A. Akimov

МГСУ

Рассматривается корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

Correct analytical solution of multipoint boundary problems of structural analysis for set of second-order differential equations with piecewise-constant coefficients are under consideration in the distinctive paper.

Рассматриваемая проблема решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами возникает, в частности, при расчете конструкций, зданий и сооружений на основе дискретно-континуальных методов.

1. Постановка многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами.

Пусть имеем систему n обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами и nk линейных граничных

условий, заданных в граничных точках x^, k = 1,...,nk (ниже, очевидно, полагается, что в число граничных точек входят также точки, в которых имеют место разрывы первого рода коэффициентов системы), т.е.:

y

B-lY

B;Y

где y = y(x) = [yj(x) y2(x) ... yn(x)]T - искомая n-мерная вектор-функция; Ak, k = 1,2,..., nk -1 - заданные матрицы постоянных коэффициентов, квадратные n-го порядка; f = f (x) = [ f^x) fK1(x) ... f n(x)]T , k = 1,2,...,n -1 - заданные ^мерные

4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ

вектор-функции правых частей; Бк, Б+к, , £к, к = 2,..., пк-1, а также , и В1+, В" - заданные матрицы и векторы правых частей 2п-го порядка граничных условий в точке х\; у(1) = у (1)(х) = йу / йх ; у<2) = у <2)(х) = й1 у / йх2;

Г = У

2. О корректном аналитическом построении фундаментальной матрицы-функции системы дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим произвольное уравнение из (1). Имеем:

- Лку = I, х е

Фундаментальная матрица-функция системы (5) по определению удовлетворяет условиям

См-адм-адт или {^к^ ''0

где / - единичная матрица п-го порядка

Как известно [2,3,6], построение фундаментальной матрицы-функции типа £к (х) предполагает вычисление функции от матрицы коэффициентов, которое может производиться с использованием жордановой формы последней. Однако подобный стандартный алгоритм не может быть рекомендован для численной реализации, так как в действительности не существует численно устойчивого способа построения жордановых форм [5], причем проблемы возникают для матриц, в жордановой форме которых имеются клетки неединичного порядка. Кроме того, в задачах расчета конструкций имеются специфические особенности: число собственных значений, которым соответствуют жордановы клетки неединичного порядка, небольшое, и они, как правило, нулевые. В этой связи, для построения фундаментальной матрицы-функции целесообразно использовать корректную авторскую методику, описанную в [2,3]. Тогда имеем:

тк г.. 1

^

м (2] -1)!

где Тк 1 - матрица размером п х 1к, столбцы которой являются собственными векторами матрицы Лк, соответствующими ненулевым собственным значениям; Тк 1 - матрица размером ¡к х п , столбцы которой являются собственными векторами матрицы ЛТ (согласованная с Тк1); 1к - число ненулевых собственных значений (с учетом кратности); Рк2 - матрица проектирования на подпространство, натянутое на собственные и корневые векторы, соответствующие нулевым собственным значениям; шк тах - максимальный порядок жордановой клетки соответствующей нулевому собственному значению матрицы Лк;

^к,0,1

[ 2\ ^к ,1 Ак ,4 ]

Хкр, р = 1,2,..., 1к - ненулевые собственные значения матрицы Лк; Лк2 - часть матрицы Лк, отвечающая нулевым (кратным и простым) собственным значениям;

Лк,2 = Рк,2Л ;

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

Х, Х > О Л/ \ /1/ Ч I 1, Х > 0 /1Мч

4 = <|п ^ п или Х+ = Х'в

0, х < 0 [ 0, х < 0;

в(х) - функция Хэвисайда.

3. О корректном аналитическом построении фундаментальной матрицы-функции системы дифференциальных уравнений второго порядка.

Будем обозначать вектор-функцию У(х) , определяемую формулой (4), на произвольном интервале (х\, х^+1) через Ук (х) , т.е.

Ук (х) - У (х), х е (х\ , х^).

Имеем [2,3]:

у

Ч

где Ек ( х) =

- матрица-функция типа Ганкеля;

?к (х) =

^к

Ск - вектор искомых постоянных коэффициентов 2п -го порядка; * - символ обозна-

чающий операцию свертки;

а(х) = дхжх,хЬ,хь+1); 0(Х,Х1 ,Х*м) = \ 0

0, х £ (4, хм).

Введя обозначения

Ек(х) = Ек(Х - 4) - Ек(Х - Хм); (х) = ?к * А,

Можем переписать (12) в виде

Ук

Подставляя (17) в граничные условия (2)-(3), с учетом соотношений

У (Хк - 0) = Ук_!(Хк - 0), к = 2,..., пк; У (хк + 0) = Ук (хк + 0), к = 1,..., пк -1. (18) получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов Ск, к = 1,..., пк -1:

Б; Екл (хЬ - 0)СМ + ВкЕДХЬ + 0)Ск =

= §1 - Вкя,-!(4 - Вкя, (4+0) к = пк -1; в; Е^ + 0)С + вщ Еч_,(< - 0)Ск=

= + К - В:+ (ХЬ + 0) - В^ (хьПк - 0).

На основании свойств фундаментальной матрицы-функции записываем: Ем (4 - 0) = Ем (К, - 0) - Ем (-0) = Ек(И1) - Ем (-0), к = 2,..., пк; Ек (4 + 0) = Ек (+0) - Ек (0 - К) = Ек (+0) - Ек (~кьк), к = 1,..., пк -1, где кьк = хьы - хьк, к = 1,..., пк -1.

Слагаемые Ек (-0) и Ек (+0) будем называть главными частями.

Систему (19) можно переписать в матричном виде

КС = О ;

4/2010

ВЕСТНИК

МГСУ

где

К =

К1,1 0 0 . 0

К2,1 К2,2 0 . 0

0 К 3,2 К 3,3 • 0

0 0 0 . .. К

К

1, Пк -1

о

К

пк ~1,пк -1 _

КкМ = вк Е-1 (хЬ - 0); Кк,к = вкЕ~к (х, + 0) ; К,1 = в; Е,(х4 + 0); К,%_1 = в- Е%-1 (х^ -0);

пк пк -~Т

О = [ О2Т ... 0ТП,]Т; С = [ С1Т С2Т ... СТ ]Т;

О = + Гъ - в;^(х, + 0) - в^_1(х4к - 0);

ок = +§1 - вк$к~1(хк -0) -вяк(хк+к=2,..., пк -1.

В матрице коэффициентов (24) полезно выделить главную К0 и дополнительную К1 части:

К = К0 + К \

где

"К" 0 0 .. 0 Кч -1

К 2,1 К °2 0 . .0 0

К0 = 0 К 3,2 К3°3 . .0 0 ;

0 0 0 ... К0 щ -1,ик -2 К0 . . пк -1,пк -1

X 0 0 .. 0 Кч -1

К 2,1 К 2,2 0 . . 0 0

К1 = 0 К 3,2 К31,3 . .. 0 0 ;

0 0 0 ... К 1  -1,ч -2 К1 Ч-1,4 -1

К°м = -в-к Ек _1

К01 = в;Е1

К1к-1 = в; Е~к-1

К1,1 = - в; ) ; К1,пк _1 = вщЕщ Жк -1).

Система (23) насчитывает 2п х (пк -1) уравнений. По своей структуре такая СЛАУ называется системой с окаймлением и для ее решения могут применяться специальные методы [1]. После решения СЛАУ (23) и нахождения искомых коэффициентов Ск, к = 1,...,пк -1 по формуле (12) определяется общее решения задачи.

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант МД-4641.2009.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых-докторов наук «Разработка и развитие корректных дискретно-континуальных методов статического и динамического расчета строительных конструкций, зданий и сооружений на основе построения точных аналитических решений многоточечных краевых задач строительной механики» на 2009-2010 гг.;

0

ВЕСТНИК 4/2010

2. Грант №09-08-13697 Российского фонда фундаментальных исследований «Разработка, исследование и развитие корректных численно-аналитических методов расчета строительных конструкций, зданий и сооружений регулярной структуры» на 20092010 гг.;

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (регистрационный номер: 2.1.2/6414);

4. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

Литература

1. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: Мир, 2001. -430 с.

2. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.

4. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.- М.: Наука, 1970.-564 с.

5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989. - 655 с.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965. - 327 с. References

1. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. University of California, Berkeley, California, SIAM, Philadelphia, 1997, 421 pages.

2. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).

3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).

4. Wilkinson J.H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Calderon Press, Oxford, 1984, 662 pages.

5. Horn A.R., Johnson C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, 575 pages.

6. Shilov G.E. Mathematical Analysis. Second Special Course. Moscow, "Nauka", 1965, 327 pages (in Russian).

Ключевые слова: многоточечная краевая задача, точное аналитическое решение, дискретно-континуальные методы, расчеты строительных конструкций.

Keywords: multipoint boundary problem, correct analytical solution, structural analysis, discrete-continual methods

Автор: Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail:pavel.akimov@gmail.com.

Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ).