О точности восстановления периодических дискретных сигналов конечной длительности с помощью ряда Котельникова

О ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ С ПОМОЩЬЮ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА

С появлением систем цифровой передачи информации стала актуальна задача восстановления дискретных сигналов (ДС), которую по своей постановке можно соотнести с рассматриваемой в вычислительной математике задачей интерполяции функций. Методы решения задачи восстановления ДС рассматриваются в работах таких известных авторов, как Котельников, Шеннон, Ландау и др. Отметим, что разработка методов восстановления ДС продолжается и в настоящее время [1,2 и др.], в том числе в более сложных постановках задачи: восстановление ДС, заданного в узлах неравномерной временной сетки (ВС) [3 и др.], восстановление ДС, заданного в узлах ВС с неизвестными точно значениями координат ее узлов [4] и др. При практическом использовании методов восстановления одним из наиболее важных вопросов оказывается вопрос о точности восстановленного сигнала, которая оказывается зависящей как от вида функции, описывающей исходный аналоговый сигнал (АС), так и числа отсчётов восстанавливаемого ДС. Однако оказывается, что исследования данного вопроса даже для методов, известных уже на протяжении более полвека, проведены далеко не всегда. Например, как показывают результаты анализа многочисленных научных публикаций [5, 6 и др.] и учебников по теории сигналов [7 и др.] в них отсутствуют оценки погрешности восстановления ДС конечной длительности с помощью ряда Котельникова. В данной работе приведены результаты исследования точности восстановления периодических ДС конечной длительности с помощью интерполяционного базиса Котельникова. Для оценки точности восстановления исследуемого сигнала было использовано отношение мощности сигнала к мощности ошибки восстановления. Рассмотрены два способа увеличения числа отсчётов ДС и обнаружено, что формальное увеличение числа отсчётов ДС отнюдь не всегда обеспечивает уменьшение погрешности интерполяции. Найдены условия, при которых зависимость погрешности восстановления от безразмерной частоты дискретизации представляет собой сумму монотонной зависимости и некоторой периодической составляющей, обуславливающей появление локальных максимумов. Найдено соотношение между частотой периодического сигнала, частотой дискретизации и числом отсчётов ДС, обеспечивающие наименьшие значения погрешности восстановления данного сигнала.

Поршнев Сергей Владимирович,

д.т.н., профессор, заведующий кафедрой радиоэлектроники информационных систем Уральского федерального университета, профессор кафедры общепрофессиональных дисциплин технических специальностей УрТИСИ СибГУТИ, Екатеринбург, Россия, sergey_porshnev@mail.ru

Кусайкин Дмитрий Вячеславович,

к.т.н., заведующий отраслевой научно-исследовательской лабораторией "Системы, сети и устройства телекоммуникаций" УрТИСИ СибГУТИ, доцент кафедры РЭИС ИРИТ-РТФ УрФУ, Екатеринбург, Россия, kusaykin@mail.ru

Ключевые слова: дискретный сигнал, интерполяция, ряд Котельникова, восстановление дискретного сигнала, погрешность интерполяции, теорема отсчётов.

Для цитирования:

Поршнев С.В., Кусайкин Д.В. О точности восстановления периодических дискретных сигналов конечной длительности с помощью ряда Котельникова // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Том 10. №11. С. 4-8. For citation:

Porshnev S.V., Kusaykin D.V. On accuracy of periodic discrete finite-length signal reconstruction by means of a whittaker-Kotelnikov-shan-non interpolation formula. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.11, рр. 4-8.

1. Введение

Задача восстановления ДС х, заданного в узлах временной сетки (ВС) =(& —1)7*, к = \,К, состоит в вычислении в заданные моменты времени —1)7^, ] = , Т ^ Г, значений ДС ПР[1 условии, что явный вид функции х(^) априори неизвестен. (Она возникает, например, при изменении в N раз частоты дискретизации ДС.) В вычислительной математике аналогичная по своей постановке задача нахождения значений функции, заданной таблично на отрезке к произвольных точках данного

отрезка называется задачей интерполяции. На сегодняшний лень известно большое количество методов решения данной задачи, начало разработки которых было положено в работах Ньютона, Лагранжа, Чсбышева и др,

В связи с началом практического использования ДС в системах передачи информации начиная с 20-30-х гг, XX в, начинается новый этап разработки методов восстановления ДС, начало которому положено в работах Котельникова, Шеннона, Найквиста, Ландау и др. [1-21.

При практическом использовании методов восстановления ДС одним из наиболее важных вопросов оказывается вопрос о точности значений восстановленного сигнала, которая априори зависит как от вида функции, описывающей исходный аналоговый сигнал (АС), так и от числа отсчётов восстанавливаемого ДС. Однако оказывается, что исследования данного вопроса даже для методов, известных уже на протяжении более полвека, проведены далеко не всегда. Па-пример, как показывают результаты анализа многочисленных научных публикаций [5,6 и др.] и учебников по теории Сигналов [7 и др.], в них отсутствуют оценки погрешности восстановления ДС конечной длительности с помощью ряда Котельникова.

В статье обсуждаются результаты исследования влияния количества отсчётов ДС на точность восстановления периодического ДС с помощью ряда Котельникова.

2, Постановка задачи исследования

Напомним, что в соответствии с теоремой Котельникова любая непрерывная функция спекгр которой ограни-

чен частотой , полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг

I 77

от друга на интервал -у — — (соответственно,

7Г

(V) —_), называемый периодом дискретизации, в том

ШНХ у-

смысле, что ее значения могут быть абсолютно точно восстановлены с помощью базиса Котельникова [8]:

*

Sin

И™х(< [t-Щ

(о

где т

Однако на пракгике любой реальный ДС имеет конечную длительность, поэтому при его восстановлении вместо (1) приходится использовать усеченный ряд:

10 £ 11 ' ' «>,......((Ч*-ОД) '

При этом понятно, что х (!) Ф х ({), а потому восстановленные значения сигнала будут иметь систематическую погрешность. Так как восстановленные значения сигнала представляют собой аддитивную смесь точного значения сигнала и систематической погрешности, которую можно рассматривать, как некоторый «шум», в качестве количественной меры данной погрешности естественно использовать величину

' ш

SNR = 101g

i=1

ЖоНб))

\j

со.

аналогичную по своему физическому смыслу отношению сигнал/шум, используемому в теории сигналов. Отметим, что использование данного критерия для оценки точности восстановления ДС является довольно распространенной практикой. В различных публикациях [9,10] встречаются также следующие названия этого критерия: SEK - Signal-to-Error Ratio, SNDR - Signal-to-Noise-and-Distortion Ratio и др.

В связи с тем, что получить аналитическое выражение для в соответствии с (3) даже для относительно простых функций не удается, были проведены численные

расчеты зависимостей SNR от числа отсчётов ДС для модельного сигнала вида:

= И sin

где f = f -Т ~ безразмерная частота дискретизации сигнала; f - частота сигнала: Т - период дискретизации; А - амплитуда сигнала; ф

11ри этом для заданного значения числа узлов ВС К в каждом из узлов ВС tk ~{k-\)T, к — \,К, вычислялись значения ДС Хк. Далее в узлах ВС ;, - ( / - 1)Г2, J = \J, 7", <Т вычислялись точные значения сигнала х(f j и значения сигнала x{tjвосстановленные в соответствии с (2),

и далее значение SNR в соответствии с (3).

Существует два способа увеличения числа отсчётов ДС и, соответственно, числа используемых функций базиса Котельникова:

1. Увеличивать при фиксированной длительности сигнала Ds = tK —t{ = const частоту дискретизации fd так, что

У

Т-Сотт Том 10. #11-2016

Из рис. 2 видно, что при рациональном значении f зависимость SNR = j [ К /] представляет собой сумму некоторой монотонно возрастающей зависимости и периодической составляющей, диапазон изменения которой составляет примерно 15 дБ. Данный вид зависимости SNR - f^K/ J

объясняется тем, что зависимость погрешности интерполяции Дд-2 j к J\ оказывается периодической. Локальные минимумы функция достигает в точках

К-/ = 0.5,1.0,1.5 ... > т.е. период данной зависимости оказывается равным 0.5. Таким образом, погрешность восстановления изученного ДС оказывается минимальной при выполнении следующего соотношения между частотой периодического сигнала fs. частотой дискретизации f, и числом

отсчётов ДС К :

arg min Д-V2 ( Kf \ I = arg min Г Д.Г ( Kfs//,)] = 0.5 • m,

Kf L V ,Л KfJfj BJ

m= 1,2,3,...

Из рис. 3 видно, что при нецелых значениях величины f~x =3.8 функция Дх | К f j » соответственно, и функция

SNR — f^Kf^ оказывается существенно более сложной,

чем в случае, когда значение f~1 является целым числом.

Данное обстоятельство существенно затрудняет оценивание погрешности восстановления реаньных периодических ДС. Очевидно, что на практике для ДС с априори точно неизвестным значением безразмерной частоты дискретизации обеспечить выполнение условия (5) маловероятно.

Заключение

Анализ погрешностей восстановления гармонических ДС с помощью базиса Котельникова показал, что погрешность восстановления гармонического ДС, оказывается зависящей от параметра К fj fd, где К - число отсчетов ДС,

fs - частота гармонического сигнала, fd - частота дискретизации. Ее наименьшее значение достигается при выполнении условия Kfjfd = 0.5,1.0,1.5... •

Данный результат означает, что при вычислении интегральной оценки погрешности восстановления ДС, представляющего собой отсчеты функции к'

м

необходимо отдельно оценивать погрешности восстановления каждой составляющей данного сигнала А: 5т(2л // + ф, )> которые будут определяться значениями параметров

Литература

1. Unser М. Sampling - 50 years after Shannon // Proceedings of the IEEE. 2000. V, 88. № 4. P. 569-587.

2. Unser M. Sampling: 60 Years After Shannon //Plenary talk. Sixteenth International Conference on Digital Signal Processing (DSP2009). Santorini, Greece. July 2009. P.42.

3. Senay S. Signal reconstruction from nonuniform samples using prolate spheroidal wave functions: theory and application. Doctoral Dissertation, Pittsburgh. 2011. P. 117.

4. Поршнее С.В.. Куссшкин Д.В. Исследование алгоритмов восстановления дискретных сигналов, заданных на неравномерной временной сетке с неизвестными значениями координат узлов: монография / Ульяновск: Зебра. - 211 с. 2016.

5. Ханян Г.С, Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности с необязательно нулевым индексом частотном полосы // Изв. ЮФУ. Технические пауки. 2013. № 2 (!39). С. 20-25.

6. Михайлов Б.А. Теорема отсчётов для сигналов с нефинитным спектром //T-Cornm: Телекоммуникации и Транспорт. 2012. № 9. С. 98-101.

7. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1998.

8. Котельников В.Л. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Всесоюзный энергетический комитет. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. По радиосекции. М.: Управление связи РККА. 1933. С. 1-19.

9. Sim. Yi-Ran Nonuniform Bandpass Sampling in Radio Receivers. PhD Thesis, Royal Institute of Technology Department of Microelectronics and Information Technology Laboratory of Electronics and Computer Systems. Stockholm, Sweden, 2004.

10. Martinez-Nuevo P.. Pad! S., Tsividis Y. Derivative Level-Crossing Sampling //IEEE Trans, on Circuits and Systems. 2015. V.62. № I, P,l 1-15.

11. IEEE standard for terminology and test methods for analog-to-digital converters. IEEE Std 1241-2000, 2001. P. 92,

T-Comm Vol. 10. #11-2016

3

ON ACCURACY OF PERIODIC DISCRETE FINITE-LENGTH SIGNAL RECONSTRUCTION BY MEANS OF A WHITTAKER-KOTELNIKOV-SHANNON INTERPOLATION FORMULA

Sergey V. Porshnev, Doctor of science in engineering (2000), professor (2004), the head of radio electronics information systems, Ural Federal University named after the first President of Russia B.N.Yeltsin, Ekaterinburg, Russia, sergey_porshnev@mail.ru Dmitriy V. Kusaykin, PhD, the head of research laboratory "Systems, networks and telecommunications devices", Ural Technical Institute of Communication and Computer Science, Ekaterinburg, Russia, kusaykin@mail.ru

Abstract

With the advent of digital transmission systems the task of reconstruction of the discrete-time signals became a very important. Notice that the task of reconstruction of the discrete-time signals is similar to the task of interpolation of functions in numerical mathematics. Signal reconstruction methods are considered in research paper of such famous authors as Kotelnikov, Shannon, Landau, etc. Notice that development of signal reconstruction methods continues at present [1,2, etc.], including in more difficult problem definition: reconstruction of band-limited signals from nonuniform samples [3, etc.] reconstruction of irregularly sampled discrete-time ban-dlimited signals with unknown sampling locations [4], etc. In case of practical use of reconstruction methods the problem of the minimize the reconstruction error is one of the most important. The reconstruction error depends both type of the original analog signal and length of a discrete-time signal. However the researches of reconstruction accuracy even for the methods known are carried out not always. For example, as show analysis results of a great number scientific publications [5, 6, etc.] and textbooks for the theory of signals [7, etc.] there are no estimates of an reconstruction error of finite-length signals by means of Whittaker-Shannon interpolation formula.

This paper presents the results of the research on the accuracy of the periodic discrete finite-length signal reconstruction by means of a Whittaker-Kotelnikov-Shannon interpolation formula. To estimate of accuracy of reconstruction a ratio of the signal power to the error reconstruction power has been employed. Two methods to increase in number of samples are considered. It is demonstrated that the formal increase in number of samples not always to suggest of reduction an reconstruction error. Are defined the conditions under which functional dependence of an reconstruction error on the dimensionless sampling rate represents the amount of the monotonic dependence with local extremums. Are defined the ratios between the frequency of a signal, sampling rate and number of discrete samples, which providing the smallest reconstruction error.

Keywords: discrete signal, interpolation, Whittaker-Kotelnikov-Shannon interpolation formula, discrete signal reconstruction, reconstruction error, the sampling theorem.

References

1. Unser M. (2000), "Sampling - 50 years after Shannon", Proceedings of the IEEE, vol. 88. issue 4, pp. 569-587.

2. Unser M. (2009), "Sampling: 60 Years After Shannon", Plenary talk, Sixteenth International Conference on Digital Signal Processing (DSP2009), Santorini, Greece.

3. Senay S. (2011), "Signal reconstruction from nonuniform samples using prolate spheroidal wave functions: theory and application", Doctoral Dissertation, Pittsburgh.

4. Porshnev S.V., Kusaykin D.V.

5. Khanyan G.S.

6. Mikhaylov B.A.

7. Baskakov S.I.

8. Kotelnikov V.A. (2000), "On the transmission capacity of "ether" and wire in electrocommunications". (English translation), Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA (1933), Reprint in Modern Sampling Theory: Mathematics and Applications, Editors: J. J. Benedetto und PJSG Ferreira, Birkhauser (Boston).

9. Sun, Yi-Ran "Nonuniform Bandpass Sampling in Radio Receivers". PhD Thesis, Royal Institute of Technology Department of Microelectronics and Information Technology Laboratory of Electronics and Computer Systems. Stockholm, Sweden, 2004.

10. Martinez-Nuevo P., Patil S. and Tsividis Y. (2015), "Derivative Level-Crossing Sampling", IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. 62. issue 1, pp.11-15.

11. IEEE standard for terminology and test methods for analog-to-digital converters. IEEE Std 1241-2000. 2001. P. 92.

T-Comm Tом 10. #11-2016

7TT