ОБ ОДНОЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ СОГЛАСОВАННОЙ МОДЕЛИ РАЗБУХАНИЯ ГЛИНИСТОГО СЛАНЦА

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

УДК 539.214

ОБ ОДНОЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ

СОГЛАСОВАННОЙ МОДЕЛИ РАЗБУХАНИЯ ГЛИНИСТОГО СЛАНЦА

Б. Х. Имомназаров, И. К. Хайдаров, Х. Х. Имомназаров

Аннотация. Модифицированный вариант линейной теории пороупругости, описываемый тремя упругими параметрами, применяется к математическому моделированию сланцевого разбухания с водным электролитом. Предполагается, что сланец ведет себя как изотропная идеальная ионная мембрана, и в этом случае разбухание зависит только от полного напряжения и от химического потенциала воды в порах горной породы. Получена формула для коэффициента Пуассона, выражающаяся тремя упругими параметрами, физическими плотностями насыщенной жидкостью пористой среды, а также коэффициентом пористости. Показано, что коэффициент диффузии является функцией коэффициента межфазного трения (проницаемости) и обратно пропорционален коэффициенту пористости. Получены формулы для анализа плоской деформации вокруг ствола скважины.

Б01: 10.255877SVFU.2020.43.24.006

Ключевые слова: пористая среда, насыщенная жидкость, упругие параметры, тензор напряжений, парциальная плотность, закон Дарси, химический потенциал.

Введение

Присутствие поровых флюидов может повлиять на процесс деформации и облегчить или задержать разрушение материала [1]. Расширение породы при недренированной деформации вызывает уменьшение порового давления и рост предельного значения напряжения [2]. С другой стороны, ответная реакция вызывает увеличение порового давления и снижение напряжения разрушения [3].

Важный механизм устойчивости скважин, пробуренных в химически активных сланцевых пластах с буровыми растворами на водной основе, основан на физико-химических взаимодействиях между горной породой и буровым раствором. А именно, поровое давление в призабойной зоне может быть уменьшено за счет осмотического оттока поровой жидкости из реакционноспособного сланца, что вызвано повышенной минерализацией бурового раствора [4—11]. Однако сланцы демонстрируют неидеальную полупроницаемую или «негерметичную»

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-31-00120).

© 2020 Имомназаров Б. Х., Хайдаров И. К., Имомназаров Х. Х.

мембранную характеристику для растворов на водной основе из-за разных размеров пор, включая широкие поры, которые приводят к некоторой проницаемости для ионов солей. Следовательно, со временем равновесие химических потенциалов всех видов в буровой жидкости и в сланцевом пласте приводит к возможному выравниванию как давления, так и химического состава между буровым раствором и поровым флюидом около скважинного пространства [12].

Теория, разработанная в [13,14] для описания связанных механических, гидравлических и химических взаимодействий для заполненных жидкостью пористых тел, основана на модификации теории пороупругости Био [15-17]. В данной работе предложена термодинамически согласованная математическая модель линейной теории пороупругости, описываемая тремя упругими параметрами, которая применяется к моделированию сланцевого разбухания с водным электролитом.

1. Уравнение состояния

Математическую модель, описывающую взаимовлияние течения флюида и изменение напряженно-деформированного состояния поровой среды, впервые предложил Терцаги [18,19] для вычисления коэффициента проницаемости глины. В этих работах он ввел эффективный тензор напряжений , зависящий от деформации матрицы и давления флюида

= <ге/ - аер5г^,

где — компоненты единичной матрицы, а коэффициент ае показывает, во сколько раз поровое давление снижает действие суммарного напряжения на упругую матрицу.

Био в [17,20] обобщил соотношение (1) на пороупругие среды

= - аеР8^ .

Здесь — тензор эффективных (по Нуру) напряжений, который зависит от тензора деформаций. Иногда соотношение (2) называют соотношением Терцаги — Био. Оно фактически является определением трещиновато-пористой среды. В ней есть скелет и насыщающая его жидкость. Отличие от тожде-

е/

ственного нуля тензора означает существование связного скелета.

В работах [21-24] получена формула, связывающая тензор напряжений с тензором деформации и поровым давлением

Р =

£г_=1

%3 2 \ydxj дxi) ' %3 2 \ydxj дxi) '

где и = (п1,п2,п33) и и = (и1,и2,и33) — векторы перемещений упругой матрицы и насыщающей жидкости с соответствующими парциальными плотностями р3 = р/ (1 - ¿0) и р1 = р/¿0, р = Р1 + Ре, ¿0 — пористость, р/ и р/ —

физические плотности упругого пористого тела и жидкости соответственно, А = А - (ар2)-1 К2, К = А + |С, /3=1- ^, А, С, ар2 — упругие параметры пористой среды [25]. Упругие параметры К, О, а выражаются через скорость распространения поперечной волны са и две скорости продольных волн с21, с22 [26,27]:

2

С

А

Рас2,

р2а

К=РЕ±

2 Р1

Р ( Р

2 , 2 Ср + СП1

" з р ~ \/ [СР1 ~

сР2)2 -

64 р1рв 9 р2

2

8

2 Р1 - Ра

Р1

3^

Р1

( Ср1 - с2Р2)2 -

64 р1рв 9 р2

Отметим, что коэффициент в в отличие от ранее известных формул (1) и (2) является функцией пористости.

Из (3) выразим тензор деформации е^ через тензор напряжений <Гу и по-ровое давление р. Имеем

2Оег

А

-Скк5ц + '

2О

:вр% •

' ЗА + 2О ' ЗА + 2О

Сравнивая поровое давление (4) с поровым давлением из [21-24], получим выражение для определения одного из четырех параметров Био К = -аррг. Повторяя рассуждения из [28] и учитывая термодинамическое тождество для пористых сред, с учетом (5) из (2) в [28] получим

1

V - «о

3А + 2О

в&кк -

1

арр1

-р.

Согласно [28] масса т = р« порового флюида в единице объема материала может быть выражена согласно формуле (2) из [28] в линейном приближении

т-т0 = (р- р0)у + р0(у - у0) = Ро^~Р + Ро

К/

1

3А + 2О

в^кк -

1

р

аррг

где индексом нуль обозначено равновесное значение соответствующих переменных. При этом зависимость плотности от давления примем в виде [29]

Р/Ро = 1 +

р - ро

К

/

где Kf — коэффициент сжимаемости флюида.

Далее под «сухой деформацией» понимаем Дт = 0. В этом случае из соотношения (7) получим аналог формулы Скемптона [30] для первоначального индуцированного порового давления и общего гидростатического напряжения

Др = -В

Да,

кк

3

В

1-А

ар2

(А +

Выражение для «сухого коэффициента Пуассона vu» может быть получено с учетом (8), (5) и сравнения коэффициентов, полученных для упругого тензора

напряжении

' 1 + Vu

А(Гкк ,

что приводит к следующему выражению:

7/ == _:_

" 1-#(1-^г)(1+2 "У

При выводе этоИ формулы воспользовались следующими формулами, связывающими коэффициент Пуассона и упругие параметры пористои среды:

А

А

2С

1- 2у

2 (А + С)' 3А + 2С 1+ V 3А + 2С 1+ и'

Иногда можно использовать В и г/„ вместо а, К, и так как они удобны для физических интерпретации. В самом деле, мы можем либо рассчитать В и ии по другим параметрам, либо просто брать их непосредственно из эксперимента, в котором измеряются коэффициент Пуассона и поровое давление. В терминах этих коэффициентов формулы (5) и (7) можно представить в виде

! I I

1 + V

&кк +

3 ^и - V)

В

р5К

т — то =

3ро ^и — V)

3

<Укк +

В

2СВ

Отметим, что эти формулы похожи по форме на полученные в [28], но есть существенное отличие, а именно, коэффициент Пуассона для пористои среды выражается через три упругих параметра среды. Это, в свою очередь, приводит к зависимости коэффициента Скемптона В от трех параметров пористой среды.

2. Теория пороупругости

Так же, как в [13], рассмотрим квазистационарный случай, для которого выполнено уравнение равновесия

6

В(1 — v)(1 + Vu) \

где А — оператор Лапласа, а по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.

Из закона сохранения массы жидкости с учетом закона Дарси [24, 25]

q

1

получим уравнение диффузии

д_ дЬ

о-кк + р В

ХР Р1

Б А

-Ур

о-кк + Р В

V

Б

х 2

ХР(Р1,о) ^

2р{1 -г/) 1 - IV

В2

где Х — коэффициент трения.

Если пористый материал действует как идеальная мембрана, то только химический потенциал рш воды играет определенную роль [13]. Запишем

= рУш + КТ 1п аш + р°ш + Мшдг,

где Уш — парциальный молярный объем воды, К — газовая постоянная, Т — температура, аш — активность воды, рШ — химический потенциал в равновесном состоянии. Только различия в химическом потенциале будут представлять интерес для нас, и, следовательно, положим рШ = 0; Мш = ршУш — масса 1 моля воды, и Мшдг — гравитационный потенциал. Очевидно, рш/Уш играет роль модифицированного давления. Будем считать, что Уш слабо меняется с давлением.

Коэффициенты в уравнениях состояния будут определяться из экспериментальных данных. Таким образом, уравнения (9) и (10) принимают следующий вид:

^ 3К - V) рш

2Оег

1 + V

акк +

В (1+ v)(1 + vu) Уп

-6г

т - то =

3ро

2ОВ(1 + V) (1 + Vu) Уравнение диффузии с учетом рш принимает вид

д_

81

акк +

3 / г

3 ¡-¿и,

БД

3 ¡-¿и,

Из (13) следует, что параметр В является коэффициентом пропорциональности между рш/Уш и акк  Теперь уравнение равновесия (11) принимает вид

Д

акк +

6(^ - v)рw

ВУш

= 0.

3. Постановка задачи для скважины в бесконечном сланце

Мы принимаем цилиндрические координаты и предполагаем, что вокруг сланца вдоль оси г в момент времени Ь = 0 пробурена скважина радиуса Ь. Предполагается, что напряжение в сланце до бурения распределено однородно с компонентами ахх = а^ и агг = адд = а££, и исходный химический потенциал воды в сланце повсюду рш = р^. После бурения граничные условия в стволе скважины будут

агг рти4^ рш рт > г Ь>

где рти« — давление бурового раствора и

рТ4 = Уш Рти< + КТ 1п аТ« + Мшдг

1

является химическим потенциалом воды в буровом растворе. Граничные условия на бесконечности имеют вид

azz ^ aZ°z, ^ Мш при r ^ ю.

Все напряжения будем относить к напряжению на бесконечности, а химический потенциал pw будет измерен относительно мШ • Напряжения и химический потенциал на стенке ствола скважины при r _ b принимают вид

aw _ _p _ _<х> _ mud _ ш

arr Pmud arr, Pwb Iмw Iмw •

Изменение pwb как функции z считается пренебрежимо малым, а деформация породы вокруг ствола скважины считается плоской деформацией и ezz _ 0. Непосредственное (недренированное) изменение напряжения, вызванное созданием ствола скважины, ведет себя как

Ъ1

r2 Urv

w

00 = гг-

Последующая деформация контролируется только диффузией воды в сланцы. Полагая

Ф = (Т„. + (700 + (Тгг + —(16) BVw

и применяя преобразование Фурье

"_! e"vdt

R

к обеим частям равенства (14), получим

DA$ _

Здесь для простоты мы приняли начальное условие, равное нулю. Ограниченное решение уравнение (17) имеет вид

Ф _ B

где q = y/ij;, г2 = — 1 и Hq1^ (г) — функция Ханкеля.

Как показано в [13], из уравнения равновесия (15) следует, что

д

дг

6(г/„ - u)fiv

arr + сг 00 + azz +

BVw(1 - v)(1+ Vu)J Используя уравнения (17) и (19), получим

3

0.

BVw(1 - v)(1+ Vu) Граничное условие pw _ pwb при r _ b влечет

3(1 - Vu )(1 + v)flwb

_ B

B

BVw(1 - v)(1+ Vu)H01)(qb)'

arr ^ arr, вв ^ arr

Уравнения (12), (16), (19) и соотношения

= и(г, 4),

ди дг'

и г

приводят к

^ _ 1]/1,и,ьгН[1\дг) С2(ш) иГ~ СУ^Н^(дЪ) Жг '

где т] = и является константой интегрирования. Радиальное

напряжение определяется выражением

2Ge.Tr +

1 + V

акк -

3(Vu - V)рш

ВУш

2 агг

г

УшЧ

ЬН^

г2 НО ' (дЬ) гНО ' (дЬ) где из граничного условия для напряжений в стволе скважины получим

2др.пьЬН^ (дЬ) 2 С2{си) =--, ---Ь агг.

УшЧЩ

Тангенциальное напряжение адд определяется формулой

адд = 2Gадд +

1 + V

акк

3^ - v)рw

ВУш

=--(7 +

2 гг 1

К,

Н^^дг) _ ЬН[1\дЬ) гдН{01]

Н^

поэтому

а.г - адд

2 У^ь

2 ^ГГ + тг I Уш

2ЬН

г2 дН01)

Г(1)/

гдН01)

+

(1)/

Осевое напряжение определяется как

Зvuрw

-ф -

1+ V ВУш (1+ Vu)'

Н^

и

Г

V

V

Заключение

Предложен модифицированный вариант линейной теории пороупругости, описываемый тремя упругими параметрами, для моделирования сланцевого разбухания с водным электролитом. Получены формулы для анализа плоской деформации околоскважинного пространства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mroz Z., Boukpeti N., Drescher A. Constitutive model for static liquefaction // Int. J. Geomech. ASCE. 2003. V. 3. P. 133-144.

2. Rice J. R. On the stability of dilatant hardening for saturated rock masses //J. Geophys. Res. 1975. V. 80, N 11. P. 1531-1536.

3. Boukpeti N., Mroz Z., Drescher A. A model for static liquefaction in triaxial compression and extension // Can. Geotech. J. 2002. V. 39. P. 1243-1253.

4. Mody F. K., Hale A. H. A borehole stability model to couple the mechanics and chemistry of drilling fluid shale interaction // J. Petrol. Tech. 1993. V. 45, N 11. P. 1093-1101.

5. Van Oort E., Hale A. H., Mody F. K., Roy S. Transport in shales and the design of improved water-based shale drilling fluids // SPE Drilling & Completion. 1996. P. 137-146.

6. Tan C. P., Richards B. G., Rahman S. S. Managing physico-chemical wellbore instability in shales with the chemical potential mechanism // Asia Pacific Oil and Gas Conf. (Oct. 28-31, 1996, Adelaide, Australia). SPE 36971. P. 107-116.

7. Ghassemi A., Diek A., Dos Santos H. Effects of ion diffusion and thermal osmosis on shale deterioration and borehole instability // AADE Nat. Drilling Conf. (Houston, TX, March 27-29, 2001). AADE-01-NC-H0-7440.

8. Fjaer E., Holt R. M., Nes O. M., Sonstebo E. F. Mud chemistry effects on time-delayed borehole stability problems in shales // Proc. SPE/ISRM Rock Mech. Conf., (Irving, TX, 2002), SPE/ISRM78163, SPE, 2002.

9. Nguyen V., Abousleiman Y., Hoang S. Analysis of wellbore instability in drilling through chemically active fractured rock formations // SPE J. 2009. V. 14, N 2. P. 283-301.

10. Ghassemi A., Tao Q., Diek A. Influence of coupled chemo-poro-thermoelastic processes on pore pressure and stress distributions around a wellbore in swelling shale // J. Petrol. Sci. Eng. 2009. V. 67, N 1-2. P. 57-64.

11. Zhou X., Ghassemi A. Finite element analysis of coupled chemo-poro-thermo-mechanical effects around a wellbore in swelling shale // Int. J. Rock Mech. Mining Sci. 2009. V. 46, N 4. P. 769-778.

12. Hale A. H., Mody F. K., Salisbury D. P. The influence of chemical potential onwellbore stability // SPE Drilling & Completion. 1993. V. 8, N 3. P. 207-216.

13. Sherwood J. D. Biot poroelasticity of a chemically active shale // Proc. Roy. Soc. London. 1993. V. 440. P. 365-377.

14. Sherwood J. D. A model of hindered solute transport in a poroelastic shale // Proc. Roy. Soc. London. 1994. V. 445. P. 679-692.

15. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation //J. Appl. Phys. 1941. V. 12. P. 155-164.

16. Detournay E., Cheng A. H-D. Comprehensive rock engineering. V. 2. Ch. 5: Fundamentals of poroelasticity. P. 113-171. New York: Pergamon, 1993.

17. Coussy O. Poromechanics. New York: Wiley, 2004.

18. Terzaghi K. Die Berechnung der Durchassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlaufder hydrodynamischen Spannungsercheinungen // Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Math. Naturwiss. Kl., Abt. 2A. 1923. V. 132. P. 105-124.

19. Terzaghi K. The shearing resistance of saturated soils // Proc. Int. Conf. Soil Mech. Found. Eng. 1936. P. 54-55.

20. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid //J. Appl. Phys. 1955. V. 26. P. 182-185.

21. Imomnazarov Kh. Kh. Concentrated force in a porous half-space // Bull. Novosibirsk Comput. Center, Ser. Math. Mod. Geophys. Novosibirsk, 1998. N 4. P. 75-77.

22. Грачев Е. В., Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х. Сосредоточенная сила в упруго-пористом полупространстве // Докл. АН. 2003. Т. 391, № 3. С. 331-333.

23. Grachev E., Imomnazarov Kh., Zhabborov N. One nonclassical problem for the statics equations of elastic-deformed porous media in a half-plane // Appl. Math. Lett. 2004. V. 17, N 1. P. 31-34.

24. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. Ташкент: Изд-во НУУз им. Мирзо Улугбека, 2012.

25. Blokhin A. M., Dorovsky V. N. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum. New York: Nova Sci., 1995.

26. Имомназаров Х. Х. Несколько замечаний о системе уравнений Био // Докл. АН. 2000. Т. 373, № 4. С. 536-537.

27. Imomnazarov Kh. Kh. Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium // Appl. Math. Lett. 2000. V. 13, N 3. P. 33-35.

28. Rice J. R., Clearly M. P. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents // Rev. Geophys. Space Phys. 1976. V. 14. P. 227-241.

29. Агеев П. Г., Колдоба А. В., Гасилова И. В., Повещенко Н. Ю., Якобовский М. В., Ткачен-ко С. И. Комплексная модель отклика пласта на плазменно-импульсное воздействие // Math. Montisnigri. 2013. V. 28. P. 75-98.

30. Skempton A. W. The pore-pressure coefficients A and B // Geotechnique. 1954. V. 4. P. 143147.

Поступила в редакцию 3 ноября 2019 г. После доработки 31 января 2020 г. Принята к публикации 30 апреля 2020 г.

Имомназаров Бунёд Холматжонович Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 buned11998.07Smail.ru

Хайдаров Илхом Кудратович

Ташкентский областной Чирчикский государственный педагогический институт,

ул. Амира Темура, 104, Чирчик 111700, Узбекистан

khaydarov_iq@rambler. ru

Имомназаров Холматжон Худайназарович

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, проспект ак. Лаврентьева, 6, Новосибирск 630090 imom@omzg.sscc.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

UDC 539.214

ON ONE THERMODYNAMICALLY CONSISTENT MODEL OF CLAY SHALE SWELLING

B. Kh. Imomnazarov, I. Q. Khaydarov, and Kh. Kh. Imomnazarov

Abstract: A modified version of the linear poroelasticity theory described by three elastic parameters is applied to the mathematical modeling of shale swelling with an aqueous electrolyte. It is assumed that the shale behaves as an isotropic ideal ionic membrane, and in this case, swelling depends only on the total stress and on the chemical water potential in pores of the rock. A formula is obtained for the Poisson coefficient in terms of three elastic parameters, the physical densities of the saturated fluid of the porous medium, and the porosity coefficient. It is shown that the diffusion coefficient is a function of the coefficient of interfacial friction (permeability) and is inversely proportional to the coefficient of porosity. The formulas for the flat strain analysis around the wellbore were obtained.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.43.24.006 Keywords: porous medium, saturated fluid, elastic parameters, stress tensor, partial density, Darcy law, chemical potential.

REFERENCES

1. Mroz Z., Boukpeti N., and Drescher A., "Constitutive model for static liquefaction," Int. J. Geomech. ASCE, 3, 133-144 (2003).

2. Rice J. R., "On the stability of dilatant hardening for saturated rock masses," J. Geophys. Res., 80, No. 11, 1531-1536 (1975).

3. Boukpeti N., Mroz Z., and Drescher A., "A model for static liquefaction in triaxial compression and extension," Can. Geotech. J., 39, 1243-1253 (2002).

4. Mody F. K. and Hale A. H., "A borehole stability model to couple the mechanics and chemistry of drilling fluid shale interaction," J. Petr. Tech., 45, No. 11, 1093-1101 (1993).

5. Van Oort E., Hale A. H., Mody F. K., and Roy S., "Transport in shales and the design of improved water-based shale drilling fluids," SPE Drilling & Completion, 8, No. 3, 137-146 (1996).

6. Tan C. P., Richards B. G., and Rahman S. S., "Managing physico-chemical wellbore instability in shales with the chemical potential mechanism," in: SPE Asia Pacific Oil and Gas Conf. (Adelaide, Australia, Oct. 28-31, 1996), pp. 107-116, 36971, SPE (1996).

7. Ghassemi A., Diek A., and Dos Santos H., "Effects of ion diffusion and thermal osmosis on shale deterioration and borehole instability," in: AADE Nat. Drilling Conf. (Houston, TX, March 27-29, 2001), AADE-01-NC-HO-7440.

8. Fjaer E., Holt R. M., Nes O. M., and Sonstebo E. F., "Mud chemistry effects on time-delayed borehole stability problems in shales," in: Proc. SPE/ISRM Rock Mech. Conf. (Irving, TX), SPE/ISRM78163, SPE (2002).

9. Nguyen V., Abousleiman Y., and Hoang S., "Analysis of wellbore instability in drilling through chemically active fractured rock formations," SPE J., 14, No. 2, 283-301 (2009).

© 2020 B. Kh. Imomnazarov, I. Q. Khaydarov, Kh. Kh. Imomnazarov

10. Ghassemi A., Tao Q., and Diek A., "Influence of coupled chemo-poro-thermoelastic processes on pore pressure and stress distributions around a wellbore in swelling shale," J. Petrol. Sci. Eng., 67, No. 1-2, 57-64 (2009).

11. Zhou X. and Ghassemi A., "Finite element analysis of coupled chemo-poro-thermo-mechanical effects around a wellbore in swelling shale," Int. J. Rock Mech. Mining Sci., 46, No. 4, 769-778 (2009).

12. Hale A. H., Mody F. K., and Salisbury D. P., "The influence of chemical potential on wellbore stability," SPE Drilling & Completion, 8, No. 3, 207-216 (1993).

13. Sherwood J. D., "Biot poroelasticity of a chemically active shale," Proc. Roy. Soc. London, 440, 365-377 (1993).

14. Sherwood J. D., "A model of hindered solute transport in a poroelastic shale," Proc. Roy. Soc. London, 445, 679-692 (1994).

15. Biot M. A., "General theory of three-dimensional consolidation," J. Appl. Phys., 12, 155-164 (1941).

16. Detournay E. and Cheng A. H-D., Fundamentals of Poroelasticity, ch. 5 in: Comprehensive Rock Engineering, vol. 2, pp. 113-171, Pergamon Press, New York (1993).

17. Coussy O., Poromechanics, Wiley, New York (2004).

18. Terzaghi K., "Die Berechnung der Durchassigkeitsziffer des Tones aus dem Verlaufder hydrodynamischen Spannungsercheinungen," Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Math. Naturwiss. Kl., Abt. 2A, 132, 105-124 (1923).

19. Terzaghi K., "The shearing resistance of saturated soils," in: Proc. Int. Conf. Soil Mech. Found. Eng., pp. 54-55 (1936).

20. Biot M. A., "Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid," J. Appl. Phys., 26, 182-185 (1955).

21. Imomnazarov Kh. Kh., "Concentrated force in a porous half-space," Bull. Novosibirsk Comput. Center, Ser. Math. Model. Geophys. No. 4, 75-77, Novosibirsk (1998).

22. Grachev E. V., Zhabborov N. M., and Imomnazarov Kh. Kh., "A concentrated force in an elastic porous half-space," Dokl. Phys., 48, No. 7, 376-378 (2003).

23. Grachev E., Imomnazarov Kh., and Zhabborov N., "One nonclassical problem for the statics equations of elastic-deformed porous media in a half-plane," Appl. Math. Lett., 17, No. 1, 31-34 (2004).

24. Zhabborov N. M. and Imomnazarov Kh. Kh., Some Initial Boundary Value Problems of Mechanics of Two-Velocity Media [in Russian], Publishing house NUUz after named Mirzo Ulugbek, Tashkent (2012).

25. Blokhin A. M. and Dorovsky V. N., Mathematical Modelling in the Theory of Multivelocity Continuum, Nova Sci., New York (1995).

26. Imomnazarov Kh. Kh., "Some remarks on the Biot system [in Russian]," Dokl. RAN, 373, No. 4, 536-537 (2000).

27. Imomnazarov Kh. Kh., "Some remarks on the Biot system of equations describing wave propagation in a porous medium," Appl. Math. Lett., 13, No. 3, 33-35 (2000).

28. Rice J. R. and Clearly M. P., "Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents," Rev. Geophys. Space Phys., 14, 227-241 (1976).

29. Ageev P. G., Koldoba A. V., Gasilova I. V., Poveshchenko N. Yu., Yakobovsky M. V., and Tkachenko S. I., "Complex model of reservoir response to a plasma-pulse effect [in Russian]," Math. Montisnigri, 28, 75-98 (2013).

30. Skempton A. W., "The pore-pressure coefficients A and B," Geotechnique, 4, 143—147 (1954).

Submitted Novenber 3, 2019 Revised January 31, 2020 Accepted April 30, 2020

Bunyod Kh. Imomnazarov

Novosibirsk State University,

1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia

buned11998.07Smail.ru

Ilkhom Q. Khaydarov

Chirchiq State Pedagogical Institute of Tashkent Region, 104 Amir Temur Street, Chirchiq 111700, Uzbekistan khaydarov_iq@rambler. ru

Kholmatzhon Kh. Imomnazarov Novosibirsk State University, 1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia imom@omzg.sscc.ru