Разработка конечного элемента для конструкций из гетерогенной среды с металлической составляющей

УДК 001.891.573; 519.6

А. С. Васильев, Н. А. Тарануха

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

ДЛЯ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ

С МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

В данной работе предложен новый конечный элемент для расчёта конструкций из гетерогенной среды c металлической составляющей. Конечный элемент позволяет учитывать в своей матрице жёсткости достаточно большое количество материалов. Также данный конечный элемент несёт в себе информацию о физической нелинейности входящих в его состав материалов. Нелинейность учитывается на основе диаграмм деформирования материалов. Предложена аппроксимационная зависимость для диаграмм деформирования некоторых материалов. В работе приводится сопоставление диаграмм, полученных в результате применения данной зависимости, с аппроксимационными и экспериментальными диаграммами других авторов. Сопоставление выполнено для бетонов с различными механическими характеристиками, а так же для эпокси-полиамидных плёнок.

В основе новой матрицы жёсткости для гетерогенного нелинейного конечного элемента — идея комбинирования объёмов материалов по объёму всего конечного элемента. Суть этой идеи состоит в том, что характеристики материалов, такие как модуль упругости и коэффициент Пуассона, заменяются особыми, гетерогенными характеристиками.

Используя данный конечный элемент, можно выполнять расчёты конструкций, сочетающих в себе совместную работу различных материалов, в том числе композитных. Расчёты могут быть выполнены в нелинейной постановке, при изменении нагрузки на конструкцию, до возникновения предельного состояния в конструкции и её разрушения. Критерием возникновения предельного состояния в конечном элементе является превышение нормальных напряжений, возникающих в конечном элементе, над допустимыми напряжениями.

Для расчёта конструкций из гетерогенных сред разработаны и зарегистрированы программы для ЭВМ. Выполнен численный расчёт конструкции из гетерогенного материала с металлической составляющей. Получены оригинальные результаты. Сделаны выводы о возможностях применения предложенной матрицы жёсткости.

Ключевые слова: гетерогенная среда; металлическая составляющая; конечный элемент; матрица жёсткости; математическая модель; метод конечных элементов; критерий прочности материала.

Введение

Как известно, гетерогенная среда является основой для композитных материалов, активно применяемых в настоящее время в различных

Васильев Алексей Сергеевич — кандидат технических наук, старший преподаватель (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: vasil-grunt@mail.ru.

Тарануха Николай Алексеевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой кораблестроения (Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: taranukha@knastu.ru.

© Васильев А. С., Тарануха Н. А., 2016

19

современных отраслях промышленности: строительстве, автомобилестроении и кораблестроении. Расчёт конструкций из таких материалов целесообразно выполнять согласно критериям предельных состояний, как по методикам из нормативных документов, так и при помощи численных методов строительной механики, в частности метода конечных элементов с применением шагово-итерационных процедур и основных принципов механики деформируемого твёрдого тела.

В настоящее время активно используются композиты из нестандар-тизированного материала [3, 8, 9]. Согласно Я. Абоуди [10], существует два подхода к моделированию композитов: макромеханический и микромеханический. Макромеханический подход предполагает рассмотрение гетерогенных материалов как анизотропных, имеющие различные механические характеристики по различным направлениям. Построение модели осуществляется в глобальных осях координат, расположение отдельных материалов внутри гетерогенной среды игнорируется. При этом допустимые напряжения определяются для композитного материала на основе обширных испытаний. Это упрощает вычисления, однако, обычно при использовании макромеханического подхода, напряжения в материале не превышают запаса прочности, и данные для расчётов получаются из экспериментов. Однако, как указано в книге [10], при нелинейных расчётах и попытках предсказать повреждения и разрушения, использование макромеханического подхода связано с определенными трудностями. Это обусловлено прежде всего тем, что разрушение анизотропного материала в различных направлениях вызывает необходимость обширного тестирования и проведения большого числа экспериментов для получения соответствующих механических характеристик в различных направлениях анизотропии. Большое распространение также имеют структурно-фенологические подходы [1, 2, 11].

Микромеханический подход, напротив, учитывает геометрию и расположение материалов в составе композита. Его суть в предсказании поведения гетерогенного материала на основании поведения его отдельных составляющих и их расположения при нагружении конструкций. Такой подход позволяет не только исследовать уже существующие, но и проектировать новые композитные материалы. При нелинейности и разрушении микромеханика композитов рассматривает отдельные материалы в их локальной области, где происходят непосредственно их разрушения [10].

Учет нелинейности материалов в составе гетерогенной среды

Как известно, физическая нелинейность обусловлена непропорциональной связью между деформациями и напряжениями [1]:

ш}=[пш, ШУ+1мг+1

20

где [Dje]]' — матрица механических характеристик материала на i-ом шаге нагружения. Зависимость между деформациями и напряжениями можно учесть при помощи диаграмм деформирования материалов при кратковременном нагружении [1]. В данной работе рассматриваются зависимости, которые связывают относительные деформации с напряжениями (еь - оь) при одноосном сжатии и растяжении. Следует отметить, что иллюстрирующими материалами, характеризующими работу гетерогенных сред, могут быть железобетон и стеклопластик. Прочность и деформативность арматурных сталей характеризуется диаграммой os - es на рисунке 1б. В работе [8] предлагается использовать кусочно-линейные функции. При этом [8]:

R -sy — R

= R^, Es 2 =—-L.

E s t — s

s s,mt s, y

Здесь os,y — временное сопротивление арматуры, Rs — её расчётное сопротивление, Es — модуль упругости арматуры.

а)

(Ts, у

£s.el Cs.y

£5 пак Es

Рис. 1. Диаграммы деформирования материалов в составе гетерогенной среды с металлической составляющей на примере железобетона:

а) связующего

На рисунке 1-а изображена диаграмма деформирования при одноосном сжатии для связующего материала в гетерогенной среде. Подобную кривую описывает большое количество различных материалов. Упругая часть диаграммы деформирования при 0 < £Ь < £ы характеризуется прямой с координатами (0; 0), (0,55ЯЬ/Бо; 0,55^Ь). Часть функции £ы < £Ь < £ю, где материал проявляет свойства ползучести и нелинейности, можно интерполировать с помощью полинома.

21

аъ

Для определения коэффициентов полинома необходимо решить систему из следующих уравнений:

0.55Яъ = а

: 0.55Яъ

Er,

(

+ъ1

0.55Яъ

у

E

V Eo У

(

+ С

0.55Яъ

у

E

V Eo У

+d

0.55Яъ

У

л

E

V Eo У

^ъ _max + Яъ 2g „„„

А

= а + 2ъ1

0.55Яъ

Л А

E

V E0 У

+ Зс

0.55Яъ

Л2

E

V E0 У

+ 4d

^0.55Я^3

E

V E0 У

>

Яъ = аlgЪ _max + Vi^max + C1g3_max + d1g 0 = a1 + 2^ъ max + 3c1g max + 4d1g m

У

где й1, Ьг, С1, ¿1 — коэффициенты полинома, ЯЪ — прочность материала при одноосном сжатии, Е0 — начальный модуль упругости, £Ъ_тах — максимальные деформации на диаграмме деформирования материала,

£ъ_тах _ последует отметить, что нисходящая часть диаграммы во внимание не берётся. На рисунке 1-а показана диаграмма деформирования, характеризующая процесс деформирования большого числа различных материалов. Диаграммы растяжения строятся аналогично диаграммам сжатия. При этом расчётные значения сопротивления связующего (бетона) сжатию ЯЪ заменяют на расчётные значения сопротивления связующего (бетона) растяжению ЯЫ.

В таблице 1 приведены материалы с различными механическими характеристиками, соответствующими различным классам бетона.

Таблица 1

ъ

№ Модуль упругости E Прочность на сжатие Rb Прочность на растяжение Rbt

Образец 1 3*10ю 20*106 1,75*106

Образец 2 3,7*1010 32*106 2,25*106

Образец 3 3,95*101° 43*106 2,75*106

На рисунке 2 представлены диаграммы деформирования, построенные на основе данных аппроксимационных зависимостей, в сравнении с диаграммами Н. И. Карпенко [3], а так же с упрощёнными диаграммами из нормативных документов для расчётов бетонных и железобетонных конструкций.

22

Взяв за эталон диаграммы Н. И. Карпенко, можно заметить, что наблюдается удовлетворительное совпадение диаграмм при сжатии для бетонов с различными механическими характеристиками.

Рис. 2. Сравнение диаграмм деформирования при сжатии для каждого из образцов по модели СП63.13330.2012, модели Н.И. Карпенко и модели автора

Матрица жёсткости специального нелинейного конечного элемента для гетерогенной среды

Взаимодействие нескольких материалов осуществляется за счёт перехода к композитному конечному элементу в виде параллелепипеда и расчёту его матрицы жёсткости. В этом случае модуль упругости и коэффициент Пуассона рассматривается как некоторые приведенные характеристики, зависящие одновременно от соответствующих характеристик обоих (всех) материалов, входящих в состав композитной конструкции. Для определения этих приведенных характеристик используется идея комбинирования объёмов:

E =

E hat

E(sx )1V1 + E (sx )2V2 +... + E(sx) nVn V + V +... + V

jßi) V + (M2) xV +... + (m„ ) xvn (5) V + V +... + V,

где Е1, Е2, ... Еп — соответственно нелинейные секущие модули упругости материалов в составе композитного КЭ; VI, У2, ...Уп — соответственно

23

объёмы каждого из материалов в составе композитного КЭ (где п может быть достаточно большим), (цг)х, (ц2)х и (цП)х — соответственно коэффициенты Пуассона для каждого материала в композитном КЭ. Подставляя (4) и (5) в стандартную матрицу упругости, получим матрицу упругости для композитного нелинейного объёмного конечного элемента [0]ье1, сочетающего совместную работу различных сред.

Ehet

1

Mhet

Mhet

1 -Mhet 1 -Mhet

1

Mhet

1 -Mhet

Mhet Mhet

1 -Mhet 1 -Mhet

Mhet

1 -Mhet 1

0

0

0

0 0 0

1 - 2Mhet 2(1 -Mhet) 0

0

0 0 0 0

1 - 2Mhet 2(1 -Mhet) 0

0 0 0 0 0

1 - 2Mhet

2(1 -Mhet).

Именно с матрицей [О^, связаны особенности данной работы.

Рис. 3. КЭ прямоугольного параллелепипеда в нормализованных координатах [1]

Конечный элемент в форме прямоугольного параллелепипеда содержит восемь узловых точек (рис. 3). Матрица деформаций [В] содержит восемь блоков. Стандартный блок её равен [1]:

24

B(k ) = [Ф]Ск (П) =1 8

4 (1+ПкПХ10

а

Пк

0 0

G

п(1+Щ1&(1+ПкП)(10

0 ^(1+Щ1+пп) п^^

дк

b

При этом каждый из блоков матрицы жёсткости вычислен по формуле:

[K ]j) = ^ Ш ([j [D]het [в](к) dn

— I —I —I

Здесь [К]; — матрица жёсткости 1-го КЭ; к и ] — номера узлов КЭ. При этом каждый элемент матрицы жёсткости [К]к, состоит из подматрицы третьего порядка [1]:

[K Ц =

Kl,l Kl,2 Kl,3 K 2,1 K 2,2 K2,3 K3,1 K 3,2 K3,3

Вводя переменные к = 1:8 и ] = 1:8, после взятия определенного интеграла (8), имея ввиду постоянство [0]ш по объёму элемента, получим:

К,л

1 —^hyb

1

1

... +

—(1+ъп1п1 )(1+ ~StS})+.

1 — 2^hyb

2

i ПП

b 3 3 c 3 3

Л

a

У

K

ab ( 3

1+n,2+m ~ ,

2

Zni +Hhyb

a

7

0

я

X

1

X

25

Остальные элементы матрицы жёсткости определяются аналогичным образом. Здесь п = 1 + 3(/ - 1); т = 1 + 3(к - 1). В результате получаем матрицу жёсткости КЭ размером 24 х 24.

у ^(^х^бет , у Е)аРм бет ^ арм ^

0,бет 0,арм

и, ист о,арм j-i /п\

^х,арм = ]<

т V x / арм

арм

E.

0, арм

В общем виде, для любого числа различных сред в конечном элементе, напряжения в конкретном материале будут определяться выражением:

Е (ех)п

n

2Х

1 E 0,n

у E(ex)k

Sx,hetEhet

k E

E 0,k

В качестве метода решения нелинейных задач был использован метод последовательных приближений [1]:

[к

где n — номер этапа приближения.

Алгоритмы, реализующие данную математическую модель на основе МКЭ, использованы в разработанных авторами программах: «Compo-sit» [4], «Strength» [5]. Данные алгоритмы предназначены для расчёта конструкций из гетерогенных материалов при простом напряжённом состоянии, т. к. использует диаграммы деформирования материала при одноосном растяжении и сжатии, применяемые также в работах [6, 7]. При последовательном увеличении нагрузки на конструкцию происходит постепенное её разрушение вследствие изменения механических характеристик материалов. Характеристики при этом меняются согласно диаграммам £ - а.

Численное исследование статически-определимой конструкции из гетерогенного материала с металлической составляющей

Рассмотрим железобетонную балку прямоугольного сечения, исследованную в работе [1]. Расчётная схема и дискретная модель балки изображены на рисунке 4-а и 4-б.

^x,k =

26

Рис. 4. Модель балки: а — расчётная схема и конструкция железобетонной балки, б — схема разбивки на конечные элементы

Начиная с первой ступени, нагружение осуществлялось вертикальными силами по АР = 10 кН. Исходные характеристики материалов: связующее (бетон) Rb = 20 МПа, Rbt = 1.75 МПа, Eb = 30000 МПа, ц = 0,2, £b_max = 0,002, £bi_max = 0,0001; армирующий элемент (арматура) Rs = 400 МПа, Es = 200000 МПа.

Критерием прочности железобетонной балки является появление текучести в армирующих элементах в растянутой зоне балки.

На рисунке 6-а показано изменение максимальных перемещений в балке на различных этапах нагружения, в сравнении с расчётом C. Ф. Клованича по МКЭ [1]. При потере несущей способности нормальные напряжения в верхних слоях балки составили — 20 МПа.

Рисунок 6-б иллюстрирует сравнение отдельных эпюр между расчётом автора и ПК Concord.

В таблицах 2 и 3 приводятся сопоставление результатов расчётов: прогибов под нагрузкой в момент разрушения и предельной нагрузки на конструкцию.

Как можно заметить, наблюдается удовлетворительное совпадение полученных результатов.

Заключение

Разработана математическая модель, основанная на аппроксимации диаграмм деформирования материалов и матрице жёсткости нелинейного композитного конечного элемента.

Данная матрица жёсткости учитывает изменение механических характеристик входящих в неё материалов, в зависимости от напряжённо-деформированного состояния на предыдущих этапах нагружения конструкции.

27

Рис. 6. Сравнение результатов расчёта: а) сравнение изменений прогибов под нагрузкой;

б) сравнение некоторых эпюр нормальных напряжений в поперечном сечении середины пролета балки

Таблица 2

№ Максимальный прогиб Погрешность результатов от расчёта Concord[4]

Расчёт Concord Расчёт автора СНиП Расчёт автора СНиП

А, мм А, мм А, мм % %

1 9,62 8,34 9,3 13,31 3,32

Таблица 3

№ Разрушающая нагрузка Погрешность результатов от расчёта Concord[4]

Расчёт Concord Расчёт автора СНиП Расчёт автора СНиП

P, кН P, кН P, кН % %

1 240 190 200 20,83 16,67

Разработана методика определения напряжённо-деформированного состояния конструкций из композитных материалов на различных этапах нагружения, включая предельные.

Данная методика позволяет вычислять разрушающую нагрузку и максимальные перемещения конструкций из композитных материалов. При этом можно учитывать любое количество составляющих внутри композита в пределах конечного элемента.

Список литературы

1. Клованич С. Ф., Безушко Д. И. Метод конечных элементов в расчетах пространственных железобетонных конструкций. Одесса: Изд-во ОНМУ, 2009. 89 с.

2. Клованич С. Ф., Мироненко И. Н. Метод конечных элементов в механике железобетона. Одесса, 2007. 111 с.

28

3. Математическая модель шарнирной стержневой системы с большими перемещениями узлов / Н. А. Тарануха, К. В. Жеребко, А. Н. Петрова, М. Р. Петров // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2003. № 3. С. 12 — 18.

4. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2015610761. Composit: программное обеспечение для расчета перемещений в конструкциях из композитных материалов методом конечных элементов / Васильев А. С., Тарануха Н. А.; правообладатель ФГБОУ ВПО «КнАГТУ». № 2014661694; заявл. 19.11.2014; опубл. 20.02.2015, Бюл. № 2.

5. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2015610762. Strength: программное обеспечение для исследования напряженно-деформированного состояния объектов на различных стадиях нагружения / Васильев А. С., Тара-нуха Н. А.; правообладатель ФГБОУ ВПО «КнАГТУ». № 2014661692; заявл. 19.11.2014; опубл. 20.02.2015, Бюл. № 2.

6. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Алгоритмы и модели при численном проектировании композитных сред на заданные характеристики для морских сооружений / / Ученые записки КнАГТУ: Науки о природе и технике. 2015. № I-1(21). С. 81—86

7. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Численное исследование предельной несущей способности конструкций из композитных материалов // Морские интеллектуальные технологии: Кораблестроение, информатика, вычислительная техника и управление. 2015. № 3 (29). Т. 2. C. 27 — 32.

8. Тарануха Н. А., Петрова А. Н., Любушкина Н. Н. Колебания динамических систем с большими деформациями из нестандартизированного материала // Ученые записки КнАГТУ. 2010. № III-1(3). С. 4— 11.

9. Тарануха Н. А., Петрова А. Н., Любушкина Н. Н. Механика морских динамических систем с большими деформациями из нестандартизированного материала / / Морские интеллектуальные технологии. 2010. № 3 (9). С. 56 — 59.

10. Aboudi J., Arnold S. M., Bednarcyk B. A. Micromechanics of Composite Materials. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2012. 984 p.

11. Balan T. A., Spacone E., Kwon M. 3D hypoplastic model for cyclic analysis of concrete structures / / Engineering Structures. 2001. № 23. P. 333—342.

* * *

Vasiliev Alexei S., Taranukha Nikolay A

DEVELOPING OF FINITE ELEMENTS FOR CONSTRUCTIONS MADE OF HETEROGENEOUS MEDIA WITH A METALLIC CONSTITUENTS

In this paper, we propose a new finite element for structural analysis of a heterogeneous environment with a metal component. The finite element allows to consider within their stiffness matrix quite a lot of materials. Also, the finite element contains information about the physical nonlinearity of its constituent materials. Non-linearity is taken into account based on material deformation diagrams. Approximation dependence is proposed for deformation diagrams of some materials. The paper presents a comparison the diagrams obtained as a result of this dependence, to approximating and experimental diagrams of other authors. Comparison performed for concretes with different mechanical characteristics, as well as for the epoxy-polyamide membrane.

The basis of the new stiffness matrix for heterogeneous non-linear finite element - the idea of combining the volumes of materials by volume the whole finite element. The point of this idea is that the material properties such as elastic modulus and Poisson's ratio, are replaced by special, heterogeneous characteristics.

29

Using this finite element, you can perform calculations of constructions that combine the joint work of various materials, including composites. Calculations can be performed in a non-linear formulation, when the load on the structure, before the limit state in the construction and its destruction. Exceeding the normal stresses above allowable stress in the finite element is the criterion appearance of the limit state.

To calculate the of constructions of heterogeneous media developed and registered computer programs. Numerical calculations are performed for the construction of heterogeneous material with a metal component. Original results obtained. The conclusions about the possibilities proposed the use of the stiffness matrix.

Keywords: heterogeneous medium; metal component; finite element; stiffness matrix; mathematical model; finite element method; the criterion of strength of the material.

References

1. Klovanich S. F., Bezushko D. I. Metod konechnykh elementov v raschetakh prostranstvennykh zhelezobetonnykh konstruktsiy (Finite Element Method nonlinear analysis of spatial reinforced concrete structures), Odessa, ONMU Publ., 2009. 89 p.

2. Klovanich S. F., Mironenko I. N. Metod konechnykh elementov v mekhanike zhelezobetona (Finite Element Method in the mechanics of reinforced concrete), Odessa, 2007. 111 p.

3. Taranukha N. A., Zherebko K. V., Petrova A. N., Petrov M. R. Mathematical model of the hinged rod system with large displacements of nodes [Matematicheskaya model' sharnirnoy sterzhnevoy sistemy s bol'shimi peremeshcheniyami uzlov], Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitel'stvo, 2003, no. 3, pp. 12—18.

4. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Svidetel'stvo o registratsii programmy dlya EVM

2015610761. Composit: programmnoe obespechenie dlya rascheta peremeshcheniy v konstruktsiyakh iz kompozitnykh materialov metodom konechnykh elementov (The certificate of registration of a computer program no. 2015610761. Composit: Software for the calculation displacements in structures made of composite materials using finite element method), published on 20.02.2015, Bulletin no. 2.

5. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Svidetel'stvo o registratsii programmy dlya EVM

2015610762. Strength: programmnoe obespechenie dlya issledovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya ob"ektov na razlichnykh stadiyakh nagruzheniya (The certificate of registration of a computer program no. 2015610762. Strength: Software for the study stress-strain state of objects at various stages of loading), published on 20.02.2015, Bulletin no. 2.

6. Taranukha N. A., Vasil'ev A. S. Algorithms and models for numerical designing composite media to the specified characteristics for marine structures [Algoritmy i modeli pri chislennom proektirovanii kompozitnykh sred na zadannye kharakteristiki dlya morskikh sooruzheniy], Uchenye zapiski KnAGTU: Nauki o prirode i tekhnike, 2015 no. I-1(21), pp. 81—86.

7. Taranukha N. A., Vasil'ev A. S. Numerical research of the limit bearing capacity of constructions from composite materials [Chislennoe issledovanie predel'noy nesushchey sposobnosti konstruktsiy iz kompozitnykh materialov], Morskie intellektual'nye tekhnologii: Korablestroenie, informatika, vychislitel'naya tekhnika i upravlenie, 2015, no. 3 (29), vol. 2, pp. 27—32.

8. Taranukha N. A., Petrova A. N., Lyubushkina N. N. The Determining characteristics of the liquid non-standard material of the dynamic system of the elastic system [Kolebaniya dinamicheskikh sistem s bol'shimi deformatsiyami iz nestandartiziro-vannogo materiala], Uchenye zapiski KnAGTU, 2010, no. III-1 (3), pp. 4 — 11.

30

9. Taranukha N. A., Petrova A. N., Lyubushkina N. N. The mechanics of marine dynamical systems with large deformations of non-standard material [Mekhanika morskikh dinamicheskikh sistem s bol'shimi deformatsiyami iz nestandartiziro-vannogo materiala], Morskie intellektual'nye tekhnologii, 2010, no. 3 (9), pp. 56 — 59.

10. Aboudi J., Arnold S. M., Bednarcyk B. A. Micromechanics of Composite Materials. Oxford, Butterworth-Heinemann, 2012. 984 p.

11. Balan T. A., Spacone E., Kwon M. 3D hypoplastic model for cyclic analysis of concrete structures, Engineering Structures, 2001, no. 23, pp. 333—342.

* * *

31