Об определяющих уравнениях нелинейной теории вязкоупругости

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 4

В. М. Мальков

ОБ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ •>

Деформация упругих материалов в любой момент времени полностью определяется действующими напряжениями или внешними силами. Однако многие материалы демонстрируют не только упругие, но и другие механические свойства, например ползучесть и релаксацию, способность как накапливать энергию, так и ее рассеивать. Для описания деформации таких материалов теория упругости не применима, нужна более общая теория, которая учитывала бы упругие и вязкоупругие свойства материала. Наиболее известной из таких теорий является теория вязкоупругости или наследственная теория упругости. В ее основе лежит гипотеза о том, что поведение материала определяется не только текущими напряжениями, но и всеми прошлыми напряженными состояниями. Хотя теория вязкоупругости не универсальна, она дает хорошие результаты при описании поведения многих материалов, в частности полимерных и резиноподобных. Цель данной работы - построение определяющих уравнений нелинейной теории вязкоупругости эластомерных материалов.

1. В создании линейной теории вязкоупругости принимали участие многие известные ученые - Максвелл, Кельвин, Фохт, особо следует отметить заслуги Больцмана и Вольтерра, и сейчас она хорошо разработана [1,2]. Про нелинейную область деформации этого сказать нельзя, несмотря на большое число работ; здесь выполненных исследований явно недостаточно, особенно мало результатов прикладного характера.

Чтобы объяснить существующие проблемы в рассматриваемой области, остановимся на положении в нелинейной теории упругости, уравнения которой должны вытекать из более общих уравнений нелинейной теории вязкоупругости как частный случай. Для упругого материала, удовлетворяющего аксиомам независимости от системы отсчета и изотропности, определяющие уравнения можно представить в следующих двух формах [3-5]:

Е = а01 + счЕ + а2Е2,

£ = Ке1 + 2С

где Е - тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; Е - тензор деформаций Грина-Лагранжа; е = 1гЕ; Оо,а1,а2 - скалярные функции главных инвариантов тензора Е; К, С - обобщенные модули упругости В. В. Новожилова; и - фаза подобия девиаторов; (I, Оя,Ня) - ортогональный базис тензора Е (единичный тензор, девиатор и тензор сдвига соответственно). И это почти все, что может дать общая теория. Инвариантные коэффициенты в (1.1) и (1.2), зависящие от трех инвариантов тензора Грина, должны определяться из эксперимента. На практике эти коэффициенты или удельная потенциальная энергия (упругий потенциал) аппроксимируются аналитическими выражениями с точностью до констант, и уже константы находятся из эксперимента. Аналогичную ситуацию следует ожидать и для определяющих уравнений нелинейной теории вязкоупругости.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №03-01-00214). © В. М. Мальков, 2004

Теория деформаций и теория напряжений строятся для всех сред одинаково и независимо от механических свойств среды, поэтому дальше будем говорить только об определяющих уравнениях. Гипотезу памяти - текущее значение тензора напряжений зависит от всей истории тензора деформаций - формально запишем в виде

Е

Отображение Ф определено на множестве историй деформаций Е (т), являющихся непрерывными функциями от т, и параметрически зависит от текущего тензора деформаций Е (¿). Соотношение (1.3) можно рассматривать как определение вязкоупругого материала, который удовлетворяет аксиоме независимости от системы отсчета [5].

В случае малых деформаций, т.е. для линейной теории вязкоупругости, Ф будет линейным отображением, определенным на множестве непрерывных функций, и потому на основании теоремы Рисса может быть представлено как интеграл Стилтьеса

ь

Е

—оо

в котором Г - тензор четвертого ранга, являющийся тензорнозначной функцией ограниченной вариации на любом отрезке из (—оо,+оо). Если отображение Ф известно, то тензор Г однозначно определен почти всюду (с точностью до счетного множества точек). И, наоборот, задавая тензор Г, получим некоторое отображение Ф. Выражение (1.4), приняв некоторые несущественные ограничения на свертку, можно преобразовать к виду

ь

Е

—оо

Для изотропного материала из (1.5) имеем [1,2]

г г

£

—оо —оо

А, ¡1 - функции релаксации, которые находятся экспериментально. Будем использовать другую форму записи определяющих уравнений

£ = Ае1 + 2ДЕ,

здесь А, Д - интегральные операторы Вольтерра

г

А и

—оо

Ди

—оо

Ао, /^о - мгновенные модули упругости, функции А и Д называются ядрами релаксации.

Соотношения (1.7) отличаются от линейного закона Гука тем, что в них модули упругости заменены интегральными операторами по времени. Эту аналогию применим дальше при построении определяющих уравнений нелинейной теории вязкоу пру гости. До сих пор, кроме гипотезы о памяти, мы не использовали другие предположения о свойствах материала. Предположим, что интегральные операторы Вольтерра А и Д являются ограниченными и разностными, т.е. ядра релаксации А (t, т), ß (t, т) удовлетворяют условиям затухающей памяти и замкнутого цикла:

(А, Д) 0 при t -»• оо (г фиксировано),

Ä(£,r) = Ä(i-r), ß(t,r)=ß(t-r).

Ограниченность ядер означает, что материал забывает о давних деформациях, разностные ядра описывают поведение материала, механические свойства которого не меняются со временем (не изменяется вид отображения Ф).

2. Различные математические модели нелинейной теории вязкоу пру гости рассматривались в работах А.Е. Грина, P.C. Ривлина, Б.Д. Колемана, В. Нолла, P.M. Крис-тенсена, Ю. Н. Работнова и многих других авторов (см. [1,2]). Однако недостаточно исследован вопрос о построении приемлемых с практической точки зрения вариантов определяющих уравнений данной теории. Это вполне естественно, так как и в нелинейной теории упругости при решении прикладных задач приходится использовать различные приближенные формы законов упругости или упругих потенциалов, выбор которых зависит от типа краевых задач. По-видимому, и в нелинейной теории вязко-упругости резиноподобных материалов следует применять аналогичный подход.

Нелинейная теория вязкоупругости имеет много общего с линейной теорией. Главное, что их объединяет, - это гипотеза о памяти. Для определяющих уравнений она означает, что текущее значение тензора напряжений обусловливается не только текущим тензором деформаций, но и всей историей деформации.

В настоящей работе не ставилась задача получить общие уравнения, позволяющие достоверно описать такие длительные во времени процессы, как ползучесть и релаксация различных материалов; основной целью исследования было построение приближенных вариантов определяющих уравнений для учета диссипации энергии при больших циклических деформациях тел из резиноподобных материалов. Для многих прикладных задач вопрос учета диссипации энергии является весьма актуальным, в частности он важен для создания математических моделей многослойных эластомерных шарниров, применяемых для сейсмо- и виброизоляции объектов [6-8].

При изотермических условиях из законов сохранения энергии и законов термодинамики для отсчетной конфигурации выводится неравенство [1]

-pi + E: Ё>0,

где А - удельная свободная энергия, точкой сверху обозначено дифференцирование по времени; Е - тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; Е - тензор деформаций Грина. Имеет место равенство Е = GT • V • G, в котором V - тензор скоростей деформации Эйлера, G - градиент деформации. Неравенство (2.1) означает неубывание энтропии или неотрицательность скорости диссипации энергии.

Для модели простого материала с затухающей памятью полагают

A

ЕЮ = Ф£о

Нелинейные функционалы Ф и Ф в соотношениях (2.2), (2.3) зависят от истории деформаций Е(£ — в) и текущих (мгновенных) значений деформаций Е (¿). Предположим, что они непрерывны от обоих аргументов, а тензор Е (¿) непрерывен вместе с производной по Требуется найти производную от энергии А по времени и затем подставить ее в неравенство (2.1). Поскольку в равенствах (2.2), (2.3) представлены не обычные функционалы, а формальная символическая запись, будем искать обобщенную производную по времени.

На функциональном пространстве историй деформаций введем норму [1]

Р (011 =

оо

ю

1/2

где К (й) 4 0 ~ монотонно убывающая функция при в —> оо, называемая функцией влияния. Можно доказать, что пространство историй деформаций с конечной нормой (2.4) является гильбертовым.

Предположим, что функционал ( ) дифференцируем по Фреше в этом пространстве при соответствующем выборе функции влияния И (в):

Ф~ о (Е (* - 8) + 6Е (* - 8), Е (*)) = о (Е (* - 8), Е (*)) +

+ 6Ф£0 [Е (4 - в), Е (¿) |*Е (* -з)] +о (<5Е (г - в)),

здесь 5Ф~0 [ ] - дифференциал Фреше первого порядка, линейный относительно ¿Е (£ — з) и непрерывный по всем аргументам. Для его существования достаточно наличия функции влияния К (в) с нужными свойствами. Материалы, для которых она имеется, подчиняются принципу затухающей памяти. Введение дифференциала Фреше от свободной энергии А позволяет найти ее производную по времени

+йг, Ь (Е е+А£ - *)»Е (*)) - ф-о (е («-«), Е т.

Первое слагаемое этой формулы является обычной производной, так как функционал Ф зависит от аргумента Е (£) обычным образом. Второе слагаемое можно переписать в виде дифференциала Фреше, тогда

л = (Е ~Е (£)): Е + 8 (Е ~Е |Е (г"

Подставим производную

Е : Е - р АФ-0 (Е (4 - 5), Е (£)) : Ё (¿) + р Л-о () > 0,

о () = 5Ф~0 т ~ «), Е (£) |Б (* -«)). Затем преобразуем неравенство (2.6) к виду

Известно [1,2], что мгновенные значения скорости деформации V можно назначать произвольно, не меняя функционалы в (2.6). Тогда для выполнения условия (2.7) необходимо, чтобы коэффициент при производной Е (¿) обращался в нуль:

ий = р^

Неравенство (2.7) приводится к виду Л£10 () > 0. Оно означает, что скорость диссипации энергии не отрицательна. Физический смысл соотношения (2.8) для напряжений и деформаций состоит в том, что материал обладает мгновенной упругостью.

Определяющее уравнение (2.8) можно записать так:

^ дА дА

£ = р — или I) = р —(2.9) идЕ идЕ

вторая формула получена с использованием равенства (2.5). Две формы определяющих уравнений (2.9) совершенно эквивалентны, и использование любой из них мотивируется только соображениями удобства.

Для несжимаемых материалов кратность изменения объема 3 = с^ в = 1 и определяющие уравнения имеют вид

С"1 или Е = +

где <7 - множитель Лагранжа, зависящий от истории деформаций; С - тензор деформаций Коши.

В случае изотропных материалов свободная энергия А является функцией главных инвариантов тензоров Е(£ — в) и Е(£). Для конкретизации функционала свободной энергии обычно поступают следующим образом. Так как свободная энергия (2.2) является нелинейным непрерывным функционалом от истории деформаций Е (Ь — в), то на основании теоремы Стоуна-Вейерштрасса его можно равномерно приблизить полиномами на множестве линейных функционалов от Е (£ — в), затем линейные функционалы представить в виде интегралов Стилтьеса. В результате функционал свободной энергии А будет записан в виде ряда из интегралов возрастающей кратности. Впервые Воль-терра [9] использовал этот метод для получения определяющего уравнения одноосной деформации. Дальнейшее развитие теории на трехмерную нелинейную деформацию было дано в работах Грина и Ривлина [10]. Для изотропного материала получается представление [1,2]

—оо — оо

+ +

— ОО —оо

Е = 1 /А («_г)Ш<(г + 2 I <гг + ..„

— ОО

где Л, /х - функции релаксации, выбираемые таким образом, чтобы смоделировать поведение материала с затухающей памятью. Хотя изложенный метод является общим, он неудобный и малоперспективный для решения нелинейных задач вязкоу пру гости, что, в частности, отмечено в работе [2]. Продолжая аналогию с нелинейной теорией упругости, можно сказать, что соотношения (2.11) эквивалентны разложению упругого потенциала (и тензора напряжений) по степеням инвариантов тензора деформаций, практическая польза от них невелика. Построение подобных разложений в нелинейной теории упругости, а значит и в вязкоупругости, заведомо основано на гипотезе, что тензор деформаций Грина Е мал (по норме) по сравнению с единицей [5]. Поэтому дальше предложим другой способ построения функционала свободной энергии и определяющих уравнений для материалов частного вида.

Следует отметить некоторые важные обстоятельства. Функционал энергии не находится однозначно по определяющим уравнениям для тензоров напряжений и деформаций. Если функционалы отличаются слагаемыми, зависящими только от истории деформаций, им будет соответствовать один и тот же закон вязкоупругости. Однако диссипативные свойства системы для разных функционалов будут отличаться. Поэтому диссипативные характеристики материала должны быть заданы дополнительно и независимо от определяющих уравнений. При деформации общего вида отделить обратимую часть энергии от рассеянной для рассматриваемого варианта теории вязкоупругости невозможно (это относится и к линейной теории вязкоупругости).

3. Рассмотрим некоторые модели резиноподобных материалов, часто используемые при решении прикладных задач нелинейной теории упругости (некоторые из них имеются в работе [11]). Для этих материалов построим определяющие уравнения нелинейной теории вязкоупругости, исходя из заданного вида упругого потенциала.

Упругий потенциал и определяющее уравнение неогуковского материала представим следующим образом:

Ф = А¿е, Е = +

где д - неизвестная функция (множитель Лагранжа). Закон упругости (3.1) можно использовать и для сжимаемого материала, в этом случае q - заданная функция кратности изменения объема.

Функционал свободной энергии и определяющее уравнение нелинейной вязкоупругости для данного материала возьмем в виде

А = р,е, Е = Д1 + д7С-1.

Выражение д = Дд содержит оператор по времени /2, который определяется равенством

(1.9), смысл функции q тот же, что и в формуле (3.1). Для вывода определяющего уравнения (3.2) по функционалу свободной энергии использовано первое соотношение

(2.10).

Потенциал Бартенева-Хазановича и определяющее уравнение для тензоров Био и кратностей удлинений таковы:

Ф = 2^(1;гЛ-3), В = 2/Л Ч-^Л-1.

Для нелинейной теории вязкоупругости получим

А = 2Д0;гЛ-3), В = 2Д1 + д7А_1.

Можно взять более общую модель материала:

А = Ci (tr Л - 3) + С2 (tr Cof Л - 3),

В = (Ci + С2 tr Л) I - С2 Л + qJ Л-1,

в которой С\,С2- интегральные операторы типа (1.8), (1.9), величина q имеет прежний смысл, Cof Л = JA-1 - присоединенный тензор для Л.

Материал Муни-Ривлина задается потенциалом или определяющим уравнением

Ф = Ci (Ji - 3) + С2 (J2 - 3), E = aI + b(eI-E) + qJC~\

где Ji и J2 - первый и второй инварианты тензора деформаций Коши; С\ и С2 -константы, имеющие размерность и порядок модуля сдвига; а — 2(С\ + 2С2), Ь = 4С2.

Функционал свободной энергии и определяющее уравнение для аналога этого материала нелинейной вязкоупругости

А = ое + 0,5Ь(е2 -Е : Е), S = о1 + b(el - Е) + qJC~l.

Операторы а, Ъ определяются формулами вида (1.8), (1.9).

Материал Сен-Венана-Кирхгофа имеет упругий потенциал и определяющее уравнение соответственно

Ф = 0,5Ае2 : Е), S = Ае1 + 2/гЕ.

Функционал свободной энергии и определяющее уравнение аналога этого материала в нелинейной вязкоупругости построим следующим образом:

А = 0,5Ае2 + /2(Е : Е), X) = Ае1 + 2ДЕ.

Упругий потенциал и определяющее уравнение для тензоров Био и кратностей удлинений стандартного материала n-го порядка имеют вид

Ф = Дг [0,5А (tr An - З)2 + ¡1 (An - I) : (An - I)],

В = - [А (tr An - 3) I + 2ß (Ап - 1)1 • An_1.

n

Аналогичный материал для нелинейной вязкоупругости определим соотношениями А = ^ [0,5Ä (tr An - З)2 + Д (An - I) : (An - I)],

В = i [Ä (tr An - 3) I + 2ß (An - I)] • An_1.

Во всех соотношениях функции релаксации материала назначаются исходя из результатов экспериментальных исследований поведения материалов.

Замечание. При дифференцировании функционала свободной энергии А по тензору Е (£) (или по другому тензору текущих деформаций) операторы Вольтерра А, ß и другие рассматриваются как константы. Это вытекает из определения таких операторов равенствами (1.8), (1.9), а также из представления функционала А и тензора

напряжений £ соотношениями (2.11). Если функция u(t) непрерывна и для любого момента времени выполняется равенство Д u(t) = 0, то очевидно и (t) = 0.

4. В качестве приложения рассмотрим задачу о кручении цилиндрического шарнира из вязкоупругого материала неогуковского типа [12]. Задача является плоской и осесимметричной, в цилиндрических координатах отсчетной конфигурации положение точки шарнира до и после деформации будет (г, ip, z) и (r*,tp*,z*) соответственно. Деформация зависит только от радиальной координаты г € [ri, Г2] • Поверхности шарнира г = п, i = 1,2, считаются жесткими, граничные условия имеют вид

г = п:г*=ги ч>* = Wi

где Wi - углы поворота поверхностей относительно оси z. Предполагается, что углы поворота oJi параметрически зависят от времени, деформация шарнира считается квазистатической .

Градиент деформации и обратный ему тензор определяются формулами

gT = + г* + те«е«+ ez<>

_ х г* .dip* * dr* „ г* dr* t

JG = ~ere*r ~ + + 7

здесь (ег, e^, ez), (e*, e*,e*) - векторные базисы цилиндрических координат отсчетной и текущей конфигураций; в (4.2) и (4.3) учтено, что z* = z. Кратность изменения объема есть

, _ г* dr*

J = detG =--—.

г dr

Из условия несжимаемости J = 1 и граничных условий (4.1) получим, что для любой модели несжимаемого материала г* = г. Таким образом, точки шарнира, расположенные на окружности радиуса г = const до деформации, остаются на этой окружности и после деформации.

Из соотношений (3.2) выводим определяющее уравнение для тензора условных (номинальных) напряжений

^ S.= Д GT + qJG~x.

Для модели несжимаемого материала q - неизвестная функция (оператор). Вычислим вектор условных напряжений на площадке с нормалью ег

0 /.dr* _г*\ „ _ ¡dip* „

Отсюда крутящий момент на окружности шарнира г = const будет равен

/

J о

При отсутствии массовых сил уравнение равновесия имеет вид

div S = Д div GT + Vg • JG-1 = 0.

r2n

M

Подставим в уравнение (4.6) выражения (4.2)-(4.4) и запишем результат в проекциях на оси текущих координат:

M

fil. г* +

dr2 \ dr ) г dr

(ftp* t гЛ dip

\ dr r J

»

= 0.

dr2 \ dr r J dr Уравнение (4.8) имеет интеграл

д ±

dr \ dr J dr

Смысл его заключается в постоянстве крутящего момента (4.5).

Так как для несжимаемого материала г* = г, то неизвестными функциями будут q и ip*, которые находятся из уравнений (4.7)—(4.9):

_ /dip*\2 1 dq Л „ f(fip* 3 d<p*\ Л

Из первого уравнения (4.10) (с учетом второго) следует

q = M = /2 [а + г^

Постоянная а не определяется из граничных условий задачи. Чтобы ее найти, нужно привлекать другие условия. При отсутствии деформаций из выражений (4.4) и (4.11) получим S = /2(1 + а) I, т.е. тензор условных напряжений отличен от нуля. Если начальные напряжения в шарнире отсутствуют, тогда а = — 1.

Из второго уравнения (4.10) и граничных условий (4.1) находим

Крутящий момент (4.5) дается формулой

2 2

M

r2 ~ Г1

Можно показать, что для любой модели несжимаемого материала функция (р* определяется независимо от функции q, и, следовательно, крутящий момент (4.5) также не зависит от q.

Пусть на поверхности г = г2 шарнира распределена масса, уравнение движения которой будет

1иЧ + M = 0,

где M - крутящий момент, сообщаемый массе шарниром; I = т/г\ - момент инерции массы; угол ш = cj2- Подставим в это уравнение выражение (4.12):

lu! + kfi [u2

Если функция a>i (£) задана, тогда функция находится из уравнения (4.13). Для гармонических колебаний iJi(t) = aisinpt + a2 cos pi решение уравнения (4.13) имеет вид U2(t) = bi sin pt + 62 cos pi с амплитудами колебаний

Ip2

h = ai + — [(-Ip2 + fyto(l - Mc))a 1 + k^8a2], Ip2

b2 = a2 + — [-fe/ioMsai + (~/p2 + fcju0(l - jLic))a2], D = [-/p2 + Лро(1 - /¿с)]2 + к2М,

ГОО

(/JLc,Hs)= /2(т) (cos pi, sin pi) dr. JO

Величины Цс и ц8 являются косинус и синус преобразованиями Фурье ядра сдвиговой релаксации Д, параметр ¡is определяет величину диссипации энергии, /10 ~ мгновенный модуль сдвига.

Summary

Mal'kov V.M. On constitutive relations of nonlinear viscoelasticity.

A new method construction of constitutive relations for non-linear viscoelasticity of elastomeric materials is proposed. The viscoelastic analogue of талу well known elastomeric materials axe obtain with the help of this method. The application of the method is shown on a solution nonlinear twisting problem of elastomeric bearing.

Литература

1. Кристенсеп P. Введение в теорию вязкоупругости/ Пер. с англ. М. И. Рейтмана; Под ред. Г. С. Шапиро. М., 1974. 338 с.

2. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 383 с.

3. Новожилов В. В. Теория упругости. Д., 1958. 370 с.

4. Мальков В. М. О формах связи тензоров напряжений и деформаций в нелинейно упругом материале// Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62, вып. 6. С. 643-649.

5. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб., 2002. 216 с.

6. Мальков В. М. Уравнения вязкоупругости эластомерного слоя// Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59, вып. 2. С. 224-231.

7. Мальков В. М., Слепнева Л. В. Динамические задачи вязкоупругости для многослойных эластомерных элементов// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1997. Вып. 1 (JV 1). С. 76-81.

8. Мальков В. М. Механика многослойных эластомерных конструкций. СПб., 1998. 320 с.

9. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integro-differential equations. New York, 1959.

10. Green A.E., Rivlin R. S. The mechanics of non-linear materials with memory. Pt 1// Arch. Rat. Mech. Anal. 1957. Vol. 1, N1. P. 381-390.

11. Мальков В. M. Некоторые модели определяющих уравнений нелинейной теории вязкоупругости// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 2 (№9). С. 92-100.

12. Мальков В. М. Динамическое кручение цилиндрического шарнира из неогуковского материала// Проблемы механики деформируемого твердого тела (к 70-летию академика РАН Н. Ф. Морозова). СПб., 2002. С. 208-213.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.