Обозрение взаимосвязи понятий симметрии и инвариантности в научном знании

> ^

ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ

3

Вестник Челябинского государственного университета. 2016. № 5 (387). Философские науки. Вып. 40. С. 88—95.

УДК 111.1 ББК 87.1

ОБОЗРЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ПОНЯТИЙ СИММЕТРИИ И ИНВАРИАНТНОСТИ В НАУЧНОМ ЗНАНИИ

Х. Н, Ягафарова

Уфимский государственный нефтяной технический университет, филиал в г. Октябрьском, Октябрьский, Россия

Представлен анализ взаимосвязи понятий симметрии и инвариантности с точки зрения как логического, так и математического подходов в физической и научной теории. На основе философских и современных научных представлений дано целостное понимание этих понятий, обозначена их соотнесённость. Симметрия раскрыта как принцип, по существу совпадающий с принципом инвариантности.

Ключевые слова: симметрия, инвариантность, сохранение, тождество, преобразование, структура, теория группы.

К глубинному и многообразному функционированию симметрии в различных областях знания можно подойти через предварительное описание содержания данного понятия. В первоначальном смысле симметрия представляется как внешняя гармония в очертаниях предметов, как некая повторяющаяся правильность, указываются обычно пропорциональность взаимных отношений частей объекта, их уравновешенность и согласованность. Подобное представление о симметрии основывается лишь на первоначальной, внешней фиксации некоторых особенностей наблюдаемых предметов, включает лишь элементарные проявления симметрии. При таком представлении о симметрии вполне логично утверждение — эта правильность однообразна и скучна, и её трудно ассоциировать с гармонией и красотой вещей, а тем более с принципом организации знания. Чисто внешнее описание симметрии может послужить основанием для другого утверждения — в восприятии красоты вещей и в познании мира существенна не симметрия, а отступление от неё. «С такой мыслью можно согласиться, даже если бы содержание симметрии заключалось только во внешней упорядоченности пред-

метов. Значит, отступать от подобной симметрии всё-таки необходимо. Но куда? Очевидно, в область неизведанного: отступая от внешней симметрии, мы открываем её новые, неизвестные нам формы, а не отказываемся от симметрии вообще» [16. С. 7].

Особенностью использования понятия симметрии в современной науке является его весьма абстрактный характер, зачастую очень далёкий от наглядности. Переход на абстрактно-теоретический уровень в понятии симметрии связан с построением системы знаний, в которой абстрактные объекты сохраняют себя в движении, специфичном для данной теории. При описании симметрии пространственных форм Н. Ф. Овчинников употребляет такие термины, как «сохранение», «инвариантность» и «тождество» [Там же. С. 20]. При определённом движении пространственной формы она возвращается к самой себе, сохраняет себя, остаётся инвариантом движения, или оказывается тождественной себе. Все эти описания одного и того же содержания, выраженные различными словами, различным языком. И тем не менее такое различие в языке при всей всеобщности содержания может

указывать на различие тех теоретических систем, где формируется и работает понятие симметрии в качестве принципа организации знания.

Термин «сохранение» характерен для языка физики. Известны законы сохранения энергии, массы, импульса, момента, электрического заряда, чётности, и они эмпирически проверяемы. При сохранении абстрактных математических объектов предпочитают говорить об инвариантности. Математическое понятие «инвариантности» предполагает понятие преобразования и только в связи с соответствующим преобразованием приобретает определённое содержание. Логики в аналогической ситуации предпочитают говорить о тождественности величин или объектов логического исследования. Конечно, не всегда можно заметить именно такое предпочтение. Не исключено, что в том или ином труде по современной физике о принципах инвариантности речь идёт гораздо чаще, чем о принципах сохранения. Но это всего лишь показатель органического проникновения математических методов в физическую теорию. Наряду с инвариантностью и сохранением используется и термин «тождественность», и это свидетельствует о том, что любая научная теория в целом и её отдельные понятия могут быть подвергнуты логическому анализу, поскольку и теория, и какое-либо понятие обладают логической структурой, определёнными логическими свойствами. Применение как логического, так и математического подходов в физической и научной теории вообще демонстрирует эвристические возможности логики и математики, которые тем самым позволяют открывать и исследовать новые, часто неожиданные пласты реального физического мира.

Сохранение, инвариантность, тождество находят своё единство в понятии симметрии, которое, принимая различные формы, может стать и становится средством структурной организации теоретического знания в математике, физике, химии, биологии и других науках. Более того, понятие симметрии выходит в своём применении за пределы фундаментальных естественных наук и находит свою методологическую роль в технике, кристаллографии, социальных науках, в частности в психологии [8; 17].

Имея в виду отмеченную связь между понятиями сохранения, инвариантности, тождества и, конечно, их различие на уровне специфического научного языка, обратимся к истокам и остановимся на рассмотрении математических спо-

собов построения моделей, основанных на принципе симметрии (инвариантности), и в этом плане перейдём к общему описанию структурной организации теоретического знания. Основным условием эволюции научной интерпретации действительности стала в историческом прогрессе естествознания точка зрения объективности, выдвинутая Демокритом и конструктивно развитая затем в науке Нового времени в системе Коперника, революционным образом преобразовавшей теоретическое видение космического порядка небесных светил. В математической репрезентации действительности Коперник увидел действенный механизм проникновения в её инвариантные структуры, стоящие за эмпирическими феноменами универсалии. В этом, несомненно, и состоит величайшее из достижений Коперника, поскольку, повернув науку к проблемам реальности, он сделал возможным само становление современного научного знания [13].

Именно Коперник объективировал знание о природе не только в смысле его концептуальной организации, но и в плане объективной значимости его математической интерпретации. Он выдвинул ставший всеобщим лозунг для естественных наук, гласящий, что человеческий разум способен развиваться согласованно. Создающие основу для понимания реальности теории об окружающем мире, используя математические построения и опираясь на опытные наблюдения, выступают по своей сути средствами установления объективной истины. Истина, у Коперника, приобретает вид модели, структура которой и выступает предметом теоретического анализа действительности, а предметная истинность её элементов устанавливается в эксперименте и наблюдении. Подчёркивая принципиальную соизмеримость формального и содержательного в модели движения космических объектов, Коперник утверждает, что мы обнаруживаем при этом порядке «удивительную симметрию мироздания и такое гармоническое соотношение между движением и величинами орбит, какого другим образом отыскать не в состоянии» [14. С. 60].

Математический замысел Коперника, полагавшего, что Вселенную следует представлять как систему математических соотношений, фундаментальным образом отличается от философии чисел пифагорейцев и от инструктивной функции математики в гносеологии Платона. В культурных предпосылках Нового времени математика

становится и инструментом познания Природы, и аппаратом конструирования теории, которая и есть природа нашего ума, но взятая со стороны его целостности (концептуальности) и рациональности (объективности). Именно поэтому математика в эту эпоху превращается в символ, безусловно, рационального и объективно-истинного мышления, а само математическое знание приобретает необходимый и предметный характер.

В целом же математическая архитектоника пифагорейцев с точки зрения Коперника не удовлетворяет двум важным критериям построения математической модели. Во-первых, в своём формировании она должна основываться на принципе отображения реальности: «модель должна быть адекватной, то есть соответствовать действительности» [18. С. 63]. Во-вторых, необходимо, чтобы модель соотносилась с некоторой научной проблемой или задачей, которую она призвана решить. В отличие от пифагорейцев, которые полагали геометрию «прообразом красоты мира», Коперник искал причины симметричного космоса и его гармонической целостности не в числовых соотношениях, а в скрытых геометрических пропорциях.

Анализ понятия симметрии в физике и математике (за редким исключением) имеет тенденцию к абсолютизации симметрии. Основной идеей Коперника выступает убеждённость в том, что организация Вселенной подчинена строгой закономерности, раскрытие которой представляет собой акт математического творчества, и тайна мироздания, соответственно, заключена в порядке и правильности, соразмерности и симметрии частей космического устройства, в единстве и тождественности составляющих его элементов. Поэтому в процессе познания мира следует отводить математике одну из главных ролей, так как в исследовании природы математика вносит тот вклад, который позволяет выявить стройную систему идей, в соответствии с которой устроена наша Вселенная.

Выявление различных проявлений симметрии в природе, а иногда и их постулирование стало одним из методов теоретического (математического) исследования свойств микромира, макромира и мегамира. Если даже в той или иной области математического знания историк математики или методолог не находит терминов «группа», «инвариантность» и «симметрия», он, однако, может обнаружить такие математические образы в различных разделах этой науки, содержание

и смысл которых вполне соответствует этим понятиям [16. С. 30].

Заметим, что в XX в., исследуя закономерности симметрии, математика предпочитает говорить об инвариантности. Симметрия и инвариантность относятся к тем понятиям, которые дают надежду найти единство в необычайно разветвлённом математическом знании. Учёные связывают поиски такого единства с тем, что применение аксиоматических методов в различных и даже полностью изолированных математических дисциплинах непреднамеренно приводит к выработке общих структур.

Инвариантность — свойство неизменности, или, иначе говоря, сохраняемости некоторых величин или абстрактных структур по отношению к определённым изменениям или преобразованиям. В естествознании теория инвариантов возникла в качестве математической теории в XIX в. Было обнаружено, что математические функции, описывающие геометрические конфигурации, оказываются неизменными по отношению к однородным линейным преобразованиям, то есть к взаимно-однозначному переходу от одного многообразия к другому. К концу же XIX в. дифференциация математических теорий достигла такой степени, что возникла настоятельная потребность в синтезе разветвлённых математических знаний на основе единого принципа, и Ф. Клейн выдвигает идею объединения различных геометрий на основе принципа инвариантности [6. С. 95]. В результате исследований он выявил связь принципа инвариантности с теорией групп, с весьма сложным и абстрактным математическим аппаратом, который наиболее адекватно и точно описывает проявления симметрии в природе. Более того, посредством теоретико-групповых идей симметрия приобретает характер теоретического понятия, общность которого предполагается уже самой природой математического знания.

Понятие группы оказывается глубоко связанным с понятием инвариантности через так называемые представления групп. В современном понимании важнейшей структурой в математике является структура группы или просто группа [2. С. 250]. Определённость законов композиции, обусловливающих симметричные свойства физических объектов и процессов, имеет своё точное математическое выражение в терминах теории групп, теоретические основания которой находятся на стыке различных разделов математики.

Современный историк математики Г. Вуссинг, излагая развитие понятия группы, отмечает три источника этого понятия: «теорию решения алгебраических уравнений, геометрию и теорию чисел XIX века» [10].

В математической физике большое значение имеют группы преобразований, где в качестве элементов группы выступают определённые преобразования координат, хотя, как замечает Н. Ф. Овчинников, «следует иметь в виду, что понятие "преобразование" имеет весьма широкий смысл и в логическом отношении совпадает с по -нятием функции» [15. С. 177]. В геометрических преобразованиях обычно математики имеют дело с пространством, а само преобразование в этом случае состоит в определённом способе перехода от каждой точки пространства Р в определённую точку Р' того же пространства. Линии, поверхности и объёмы при этом рассматриваются как некоторого рода многообразия, где каждому элементу данного многообразия ставится в соответствие другой элемент того же многообразия. Рассмотрение группы преобразований открывает возможность поиска фундаментальных свойств, которые остаются неизменными при преобразованиях, так как именно эти инвариантные свойства становятся характеристическими свойствами геометрических объектов. Так, например, различаются метрические, аффинные и проективные свойства. Но особый методологический интерес представляет анализ топологических характеристик физических процессов, математическое представление которых связано с топологическими особенностями многообразий и их инвариантами.

Значительный вклад в развитие теории групп внёс французский математик Эварист Галуа. Исследуя проблему разрешимости уравнений, Галуа ещё в 1832 г. пришёл к понятию группы и предложил классифицировать алгебраические уравнения по их группам симметрии. Позднее Ф. Клейн выдвинул идею симметрии как единого принципа при построении различных геометрий: «Как обобщение геометрии получается, таким образом, следующая многообъемлющая задача: дано многообразие, и в нём группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы» [12. С. 402]. Основная идея этой работы Клейна, получившая название Эрлангенской программы, заключается в том, что любую геометрическую систему можно представить как теорию инвариантов некоторой не-

прерывной группы преобразований. Симметрия здесь выступает как некоторая подгруппа данной группы. С современной точки зрения, группа — это множество элементов, для которых определена обобщённая операция умножения, или, иначе, композиция, удовлетворяющая требованиям:

— композиция двух элементов даёт элемент, принадлежащий данному множеству;

— выполняется ассоциативность композиции: a (ЬО) = ^Ь) с,

— существует единичный элемент е, такой, что a e = a;

— для любого элемента существует обратный ему элемент 1/a такой, что a (Ш) = е.

Если в качестве элементов будут взяты геометрические движения (преобразования), то инвариантами движений окажутся пространственные интервалы. На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что теория групп становится математической теорией симметрии и принцип симметрии формализуется в математике в понятии группы. С развитием этой идеи становится очевидным, что принцип симметрии служит той единой основой, которая поможет объединить все разрозненные части огромного здания современной математики.

Направленному к истине движению мысли необходимо иметь в качестве истока некое тождественное начало, опираться на фиксированные принципы, заключающие в себе инвариантные структуры. Поэтому принцип инвариантности и выступает как критерий объективности самого знания, как определённая и существенная черта самого мышления. Поэтому структуры объективности истины могут подвергаться аналитическому рассмотрению в симметрийном аспекте и выражаться на языке теории групп, поскольку «систематической теорией симметрии является математическая теория групп» [19. С. 149]. Соответственно, и само понятие симметрии, которое первоначально исторически связывалось с числовыми соотношениями, а затем со свойствами геометрических фигур, расширяет свои границы. Но числовых и геометрических представлений оказалось явно недостаточно, и «в подобных случаях, — как отмечает И. С. Желудев, — целесообразно говорить о симметрии в более широком смысле этого слова, как об инвариантности тех или иных уравнений по отношению к определённым преобразованиям» [9. С. 237].

Абстрактно-теоретическому вопросу, сформулированному на языке математики, соответствует конкретно-экспериментальный ответ, данный на языке физических измерений, поэтому уравнения математической физики, выражающие законы сохранения и движения, в форме дифференциальных и интегральных уравнений отображают реальное содержание материальных процессов. В конечном счёте, законы природы выражаются с помощью уравнений. Всё многообразие решений данных уравнений соответствует в этом случае бесконечному многообразию единичных явлений, возможных в данной области природы. Следовательно, законы в физике являются приближением, формализованным описанием особенностей процесса, то есть по существу модельным описанием. Независимое развитие физики привело, как известно, к созданию теории относительности и квантовой механики. Подобно тому, как в геометрии и теории чисел абстрактное понятие группы содержится неявным образом (это показал Г. Вуссинг), историко-методоло-гические исследования, проведённые историком науки В. П. Визгиным, выявили, что генезис и содержание теории относительности и квантовой механики глубоко связаны с понятиями инвариантности, сохранения и симметрии [5]. Теория относительности, придавшая Эрлангенской программе новое физическое звучание, положила начало теоретико-групповому, или Эрлангенскому подходу в физике, и теория относительности воспринимается сегодня под этим углом зрения. По свидетельству Г. Вейля, ученика Клейна, вся теория относительности, как теория инвариантов четырёхмерного пространства-времени, представляет собой не более чем иной аспект теории симметрии [3. С. 49]. Таким образом, программа Клейна как задача поиска различных форм симметрии выходит не только за рамки геометрии, но и математики в целом и превращается в проблему поиска единого принципа для всего естествознания [15. С. 182].

В современной физике понятие инвариантности неотъемлемо от понятия симметрии. Обычно свойство инвариантности

[7. С. 6]. В физической литературе симметрия и инвариантность обозначают «свойство оставаться неизменными относительно одной или нескольких различных операций», это значит, что инвариантность (симметрия) объектов имеет место всегда по отношению к определённым, чётко фиксированным операциям [13]. Поэтому можно сказать, что симметрия в физике всегда конкретна: это симметрия по отношению либо к зеркальному отражению, либо к операции замены частиц на античастицы и т. п. Операции, по отношению к которым объект оказывается симметричным (инвариантным), называют операциями (преобразованиями) симметрии. Совокупность однотипных операций симметрии (сдвигов в пространстве, поворотов, отражений) образует группу определённой симметрии данного объекта, который выступает как инвариант этой группы.

Теоретико-групповой метод в физике своё дальнейшее развитие получает в весьма изящном и тонком выводе законов сохранения на основе идей симметрии [4. С. 220], где в понятии симметрии содержится представление о связи сохранения и изменения, причём сохраняющийся аспект приписывается объекту, остающемуся одним и тем же при преобразованиях, олицетворяющих собой момент изменчивости. Эта связь отмечается в методологических исследованиях понятия симметрии: «Если мы имеем дело с объектами природы... их симметрия заключается в единстве сохранения и изменения, которое в каждом объекте существует специфическим образом. В теоретической системе симметрия предстаёт как преобразования с соответствующими этим преобразованиям инвариантами» [15. С. 215].

В научной литературе последних лет широко обсуждаются концепции, согласно которым инвариантность трактуется в более широком смысле, чем чисто математическое или физическое понятие, выступая в качестве если не эквивалента, то, по крайней мере, необходимого условия реальности. Одной из них является концепция Макса Борна, который убеждён в том, что «идея инвариантов является ключом к рациональному понятию реальности. не только в физике, но и в каждом аспекте мира» [1. С. 276]. Видимо, принципы симметрии (инвариантности) устанавливают эквивалентность различных по своим характеристикам процессов в отношении их экспериментального проявления. Но иногда они выступают и «как ограничения, налагаемые на возможное разнообразие экспериментальных результатов»

[11. С. 87], как утверждения о том, что опытное знание всегда закрыто для нас.

Хрестоматийным примером этого является принцип относительности, утверждающий невозможность экспериментального различения состояний покоя и равномерного прямолинейного движения, которые, несмотря на их «онтологическое» различие, оказываются физически (экспериментально) эквивалентными. Благодаря этой роли принципы симметрии служат мощным средством построения конкретных фрагментов современной физической картины реальности, обеспечивая конкретную определённость связи между теорией и экспериментом, то есть конкретизируя структуру связи, в общем виде сформулированной М. Борном, между «сущностным» и «явленческим» уровнями реальности. По своей значимости для обоснования физической теории требование симметрии с полным правом можно

сравнить с требованием соответствия теории эксперименту.

Ныне требования, предъявляемые симметрией и инвариантностью к условиям их реализации, столь общи, что им отвечают все формы движения и отношения материи, вся реальность — материальная и духовная [20. С. 16]. Принципы симметрии, требующие инвариантности физических величин относительно различного рода преобразований, как мы видели выше, так или иначе связаны представлениями о реальности. По мнению Е. Вигнера: «Законы природы не могли бы существовать без принципов инвариантности...» [4. С. 36]. Выделяя устойчивые моменты в огромном разнообразии опытных данных (явлений), обусловливая и взаимно дополняя друг друга, по -нятия симметрии и инвариантности выступают как их сущность, образуя своеобразный каркас физической картины реальности.

Список литературы

1. Борн, М. Физика в жизни моего поколения / М. Борн. - М., 1963.

2. Бурбаки, Н. История математики / Н. Бурбаки. - М., 1963.

3. Вейль, Г. Симметрия / Г. Вейль. - М. : Наука, 1968. - 192 с.

4. Вигнер, Е. Этюды о симметрии / Е. Вигнер. - М., 1971.

5. Визгин, В. П. Из истории конформной симметрии в физике / В. П. Визгин // Историко-математиче-ские исследования : сб. науч. ст. - Вып. XIX. - М., 1974.

6. Визгин, В. П. Эрлангенская программа и физика / В. П. Визгин. - М., 1975.

7. Визгин, В. П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике / В. П. Визгин. - М., 1972.

8. Галимов, Б. С. Картина мира и научная теория / Б. С. Галимов // Формирование и функционирование научной картины мира. - Уфа, 1985.

9. Желудев, И. С. Симметрия и её приложения / И. С. Желудев. - М. : Атомиздат, 1976.

10. Историко-математические исследования. - Вып. XVII. - М., 1966.

11. Кемпфер, Ф. Путь в современную физику / Ф. Кемпфер. - М., 1972.

12. Клейн, Ф. Сравнительное обозрение новейших математических исследований / Ф. Клейн // Об основаниях геометрии : сб. клас. работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. - М. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956. - 527 с.

13. Коломейцев, А. В. Гносеологические функции принципов симметрии в развитии научного знания : автореф. дис. ... канд. филос. наук / А. В. Коломейцев. - М., 1988. - 21 с.

14. Коперник, Н. Об обращениях небесных сфер / Н. Коперник // Польские мыслители эпохи Возрождения. - М. : Изд-во АН СССР, 1960. - 320 с.

15. Овчинников, Н. Ф. Принципы сохранения / Н. Ф. Овчинников. - М., 1966.

16. Овчинников, Н. Ф. Симметрия — закономерность природы и принцип познания / Н. Ф. Овчинников // Принцип симметрии. Историко-методологические проблемы. - М. : Наука, 1978. - С. 7-30.

17. Пиаже, Ж. Избранные психологические труды / Ж. Пиаже. - М., 1969.

18. Рузавин, Г. И. Математизация научного знания / Г. И. Рузавин. - М., 1984.

19. Хунд, Ф. История квантовой теории / Ф. Хунд. - Киев, 1980.

20. Ягафарова, Х. Н. Симметрия и самоорганизация: от античной натурфилософии до современной науки : автореф. дис. ... канд. филос. наук / Х. Н. Ягафарова. - Уфа, 2008. - 21 с.

Сведения об авторе

Ягафарова Хафиза Нургалиевна — кандидат философских наук, доцент кафедры механики и технологии машиностроения, Уфимский государственный нефтяной технический университет, филиал в г. Октябрьском. Октябрьский, Россия. yagafarova-kh@mail.ru

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2016. No. 5 (387). Philosophy Sciences. Issue 40. Pp. 88-95.

REVIEW OF THE RELATIONSHIP BETWEEN THE CONCEPTS OF SYMMETRY AND INVARIANCE IN SCIENTIFIC KNOWLEDGE

Kh. N. Yagafarova

Ufa state Petroleum Technological University, branch. Oktyabrsky, Russia. yagafarova-kh@mail.ru

This article discusses the peculiarities of forming the concepts of symmetry and invariance from the point of view of both logical and mathematical approaches according to the physical and scientific theories. The author notes that for description of the symmetry of spatial forms in modern science the following terms are used: preservation, invariance and identity. At certain movements of spatial forms it comes back, preserves itself, remains as an invariant of motion, or turns to be identical. All these are descriptions of one and the same content expressed in different words, different languages. And yet, such difference in languages, considering the universal character of content, may indicate the difference of those theoretical systems where the concept of symmetry as a principle of knowledge organization is employed. As a result of the analysis of interrelation between the concepts of symmetry and invariance, the author gives a holistic understanding of these concepts and indicates their relatedness, reveals the symmetry principle, essentially coinciding with the invariance principle.

Keywords: symmetry, invariance, conservation, identity, transformation, structure, group theory.

References

1. Born M. Fizika v zhizni moyegopokoleniya [Physics in my Generation]. Moscow, 1963.

2. Bourbaki N. Istoriya matematiki [The History of Mathematics]. Moscow, 1963.

3. Weyl G. Simmetriya [Symmetry]. Moscow, Nauka Publ., 1968.

4. Wigner E. Etyudy o simmetrii [The Studies of Symmetry]. Moscow, 1971.

5. Vizgin V.P. Iz istorii konformnoy simmetrii v fizike [From the History of the Conformal Symmetry in Physics]. Istoriko-matematicheskiye issledovaniya [Historical and Mathematical Researches]. Moscow, 1974.

6. Vizgin V.P. Erlangenskayaprogramma ifizika [Erlangen Program and Physics]. Moscow, 1975.

7. Vizgin V.P. Razvitiye vzaimosvyazi printsipov invariantnosti s zakonami sokhraneniya v klassicheskoy fizike [The Development of the Interconnection between the Invariance Principles and the Conservation Laws in Classical Physics]. Moscow, 1972.

8. Galimov B. S. Kartina mira i nauchnaya teoriya [Picture of the World and a Scientific Theory]. Formirova-niye i funktsionirovaniye nauchnoy kartiny mira [The Formation and Functioning of the Scientific Picture of the World]. Ufa, 1985.

9. Zheludev I.S. Simmetriya i yeye prilozheniya [Symmetry and its Applications]. Moscow, Atomizdat Publ., 1976.

10. Istoriko-matematicheskiye issledovaniya [Historical-mathematical Investigations]. Vol. XVII. Moscow, 1966.

11. Kampfer F. Put' v sovremennuyufiziku [Way into Modern Physics]. Moscow, 1972.

12. Klein F. Sravnitel'noye obozreniye noveyshikh matematicheskikh issledovaniy [A Comparative Review of the Latest Mathematical Studies]. Ob osnovaniyakh geometrii [About the Foundations of Geometry]. Moscow, 1956.

13. Kolomeytsev V.A. Gnoseologicheskiye funktsii printsipov simmetrii v razvitii nauchnogo znaniya [The Epistemological Function of the Symmetry Principles in the Development of scientific Knowledge. Abstract of thesis]. Moscow, 1988. 21 p.

14. Copernicus N. Ob obrashcheniyakh nebesnykh sfer [On the Revolutions of the Heavenly Spheres]. Pol'skie mysliteli epokhi Vozrozhdeniya [Polish Thinkers of the Renaissance]. Moscow, 1960.

15. Ovchinnikov N.F. Printsipy sokhraneniya [The Principles of Conservation]. Moscow, 1966.

16. Ovchinnikov N.F. Simmetriya — zakonomernost' prirody i printsip poznaniya [Symmetry is the Law of Nature and the Principle of Knowledge]. Printsip simmetrii. Istoriko-metodologicheskiye problemy [The Principle of Symmetry. Historical and Methodological Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1978.

17. Piaget J. Izbrannyepsikhologicheskiye trudy [Selected Psychological Works]. Moscow, 1969.

18. Ruzavin G.I. Matematizatsiya nauchnogo znaniya [Mathematization of Scientific Knowledge]. Moscow, 1984.

19. Hund F. Istoriya kvantovoy teorii [The History of Quantum Theory]. Kiev, 1980.

20. Yagafarova H.N. Simmetriya i samoorganizatsiya: ot antichnoy naturfilosofii do sovremennoy nauki [Symmetry and Self-organization: from Ancient Natural Philosophy to Modern Science. Abstract of thesis]. Ufa, 2008. 21 p.