Сравнительный анализ расчетных методов определения остаточных напряжений

Е ТАЛ Л О ОБ РАБО Т Kj

УДК 621.7.833.15

Сравнительный анализ расчетных методов определения остаточных напряжений

С. И. Каратушин, Д. В. Спиридонов, Ю. А. Плешанова

Дается анализ двух основополагающих методов определения остаточных напряжений (ОН): аналитического и компьютерных технологий моделирования. Эти два взаимосвязанных направления обеспечивают полную картину напряженно-деформированного состояния. Чисто аналитические методы в настоящее время утрачивают значение из-за большой трудоемкости и заменяются компьютерными, основанными на таких программах, как ANSYS и PATRAN/NASTRAN. Анализ производится на примере расчета ОН в цементованном цилиндре. Исходными данными являются механические свойства и зависимость распределения концентрации углерода по толщине цементованного слоя. В основу аналитического расчета положены уравнения теории упругости, метод реализуется с использованием Mathcad. В компьютерном методе на основе программного комплекса ANSYS применяется образец-свидетель, результаты цементации которого моделируются в виртуальном образце. Образец-свидетель изготовляется из того же материала, что и деталь и вместе с ней цементируется. Деформации виртуального образца переносятся на деталь. Применение образца-свидетеля реально только в компьютерном варианте. Сравнение методов некорректно, так как предлагаемый компьютерный метод основан на сравнительно простом эксперименте, сближающем условия образования ОН в образце-свидетеле и реальной детали.

Ключевые слова: остаточные напряжения, цементация, образец-свидетель, аналитический расчет, ANSYS.

Остаточные напряжения (ОН) образуются как в процессе различных технологических операций, так и при эксплуатации готовых изделий. ОН складываются с напряжениями от внешних нагрузок, создавая непредусмотренное напряженно-деформированное состояние (НДС). Знание и учет ОН необходимы при разработке и изготовлении большинства конструкций [1, 2]. К настоящему времени разработаны приборы для определения ОН в готовых изделиях, но область применения их остается ограниченной. Надежных экспериментальных методов до сих пор нет. Большинство из них либо трудоемки, либо обладают низкой точностью. Совершенствуются методы моделирования и расчетные благодаря разработке новых компьютерных программ и вычислительной техники. Эти методы менее трудоемки и находят все большее применение. В связи с изложенным представляет интерес проанализировать

в сравнении аналитический метод и компьютерные технологии.

Анализ проводится на конкретном примере: расчет ОН в сплошном цилиндре с цементованной поверхностью. Цилиндр для расчетов — это простая геометрическая фигура, и расчеты не будут осложняться сопутствующими специфическими факторами [3, 4]. Цементация для ОН удобна тем, что среди всех способов упрочнения поверхности, связанных с образованием ОН, имеет наиболее четкую физическую концепцию и соответственно лучше всего поддается моделированию. ОН в цементованном цилиндре рассчитываются аналитическим методом на основе уравнений теории упругости и с использованием программного комплекса ANSYS.

В каждом из вариантов задаются:

1) параметры цементованного слоя, т. е. глубина и закон распределения концентрации углерода по глубине слоя;

№ 4(94)/2016

2) ОН образуются вследствие увеличения объема цементованного слоя при термической обработке.

Наибольшее увеличение объема достигается при 0,8 % С, когда весь углерод находится в мартенсите и составляет около 5 %. Зависимость объемного увеличения от концентрации углерода принимается линейной. Деформация в поверхностном слое 0,005-0,007.

Анализ НДС с учетом ОН описывается системой уравнений [5] из трех групп соотношений:

1) уравнения равновесия;

2) выражения деформаций через перемещения;

3) соотношения между напряжениями и деформациями.

В классической теории упругости это:

VI + f = 0; е = Уи5; т = дП/ де = Се,

где т, е — тензоры напряжений и деформаций (2-го ранга); u — вектор перемещения; C — тензор жесткостей материала (4-го ранга); V — оператор Гамильтона; П — энергия деформации на единицу объема; f — сила на единицу объема.

Граничные условия обычно следующие:

и1 о = и1 0, пт1 о2 = p,

где п — расстояние по нормали; р — сила на единицу поверхности; О1 — часть поверхности с заданными перемещениями; О2 — остальная часть, где заданы силы.

Задача приобретает вариационную формулировку:

Э

V О2

где Э(и) — функционал-потенциальная энергия системы.

В основе метода конечных элементов, реализованного в пакете программ АК8У8, лежит минимизация функционала (3). Преобразования сводятся к формированию и решению системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений.

В АКБУБ заданное поле начальных деформаций задается как поле температурных деформаций. Внешнее воздействие принимается в виде добавочного вектора температурных нагрузок:

[к]{и} = {Г} + {Г},

Здесь Г — силовые нагрузки; Г* — температурные нагрузки; для конечного элемента

{Г*}е = ЦБ]т[Б]{г*)^,

где {Г*} — вектор температурных нагрузок; [Б]т — матрица производных от функций формы; [Б] — матрица упругих свойств материала; {г*} — вектор температурных деформаций

Цель работы — сравнение аналитического и компьютерного вариантов расчета остаточных напряжений, оценка достоверности и обоснование использования образцов-свидетелей.

Аналитическое решение задачи

В основу решения положен пример, рассматриваемый в работе [6] для цементованного цилиндра с заданным распределением углерода [7].

Осесимметричное распределение первоначальных остаточных деформаций вызывает осесимметричное распределение остаточных напряжений и деформаций в цилиндре (рис. 1).

Длина цилиндра предполагается настолько большой, что условия на его торцах не влияют на напряженное состояние в средней части.

В соответствии с обобщенным законом Гука решается система уравнений упругости:

£г = Е [°г - т(°0 + аг )] + е0г ;

ее = ^|[ае-т

ег = Е [аг + °е )] + е0г ,

где аг, ае и аг — радиальные, окружные и осевые остаточные напряжения; £0Г, £0е,

Ё2

№ 4(94)/2016

ШШШМБОТКА

и е0г — радиальные, окружные и осевые первоначальные деформации; ег, ее, и ег — радиальные, окружные и осевые остаточные деформации; Е — модуль упругости; ц — коэффициент Пуассона.

Если и(г) — радиальное перемещение точки цилиндра, то деформации

а)

ег(г) = ее(г) =

йи ; йг '

и

=_,_/ йи и +

°г = (1 + т)(1 - 2т)\йг Г е

(1 -т) Е

е0 г

тЕ

1 + т йг

(е0е + е0г );

Оп =

ЦЕ Ши + и

__^ ( Е ц

0 " (1 + ц)(1 - 2ц) ^г + г + V + 1 + ц г

(1 -т) Е

е0 е

тЕ

(е0г + е0г );

тЕ ¡йи , и , , Е

а г (1 + т )(1 - 2 т)\йг + г + е + 1 + те

(1 - ц) е

£02 -

цЕ

х

2а^г — = 0, и 2

б)

Так как величины е0г, е0е и е0г постоянны по длине цилиндра, то для всех точек цилиндра

ег

Из решения уравнений упругости следует: цЕ ¡йи . и . Л . Е йи

Рис. 1. Остаточные напряжения в сплошном цилиндре

получим

й(гаг) йг

- ае = 0.

Дальнейшее решение приводится в Mathcad для сплошного цилиндра с цементованной поверхностью с заданным распределением углерода. Начальная концентрация углерода принимается равной 0,2 %.

х

Внеся значения аг и ае в уравнение равновесия

ТРГ = -ог^0 + (ог + dar) (г + dr) dQ -

0

0,5 1,0 XXI

Рис. 2. Аппроксимирующая функция

У

0

0,5 1,0 х

Рис. 3. Исходные экспериментальные данные

г

№ 4(94)/2016

Аппроксимация содержания углерода в виде полинома от координаты

И1 := 0,6 мм — наружная часть — линейная зависимость;

И2 := 0,7 мм — внутренняя часть — кубическая зависимость;

И := И1 + И2 = 1,3 мм — толщина всего слоя.

Начальная объемная деформация в зависимости от глубины слоя (рис. 4 и 5).

4•10-3 3 • 10-3 2•10-3 1 • 10-3 о

Рис. 4. Распределение деформаций

о

1

X «

в

в

ф

а в

а

в и в

-ея о К

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

_____ —-1

Ап 1

\ 1 \

т 1

1 1 \ \

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 I 1 1 I

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Толщина слоя, мм

1,2

Рис. 5. Распределение углерода и коэффициента линейного расширения по толщине цементованного слоя

Свойства упругости материала

Е : = 2,1 • 105 Н/мм2 — модуль упругости; ц : = 0,3 — коэффициент Пуассона.

Размеры детали упрочненного поверхностного слоя

И : = 50 мм — наружный радиус детали; И: = И1 + И2 = 1,3 мм — толщина упрочненного поверхностного слоя.

Остаточные напряжения в поверхностном слое

500

0

-500 -1 • 103

1,5 • 103

ст9;

49

49,5

50 гг,

Рис. 6. Все компоненты напряжений упрочненного слоя

50

с>0,

-100

48,7 48,75 48,8 гг,

Рис. 7. Напряжения на границе упрочненного слоя с неупрочненным материалом: сг1 = 19,749 МПа; с0, = 19,749 МПа; сг, = 39,498 МПа

Напряжения на наружной поверхности детали

сг 101 = 0 — радиальные напряжения; а0ю1 = -1,087 • 103 тангенциальные напряжения;

огш = -1,087 • 103 осевые напряжения.

И54

№ 4 (94)/2016

ее

20

15

10

49

49,5

50

Рис. 8. Радиальные напряжения в зависимости от радиуса упрочненного слоя

Компьютерное решение

Остаточные напряжения в сплошном цилиндре с цементованной поверхностью рассчитаны так же, как осесимметричная задача с использованием программного комплекса А^УБ Workbanch. Результаты представлены на рис. 9.

Здесь сложность конфигурации не имеет значения и, следовательно, дополнительно учитываются концевые эффекты. В компьютерном варианте кроме стандартных характеристик Е и р задаются значения напряжений в цементованном слое, определенные на образце-свидетеле. Образец должен быть из той же марки стали и плавки, что и изучаемая деталь. Значения ОН зависят не только от состава, но и от особенностей плавки. Режимы цементации и последующей термообработки детали и образца должны быть идентичными. Таким образом, исключается влияние особенностей плавки и химико-термической обработки на результаты определения ОН. Необходимо также соблюдать равенство соотношений толщины детали и цементованного слоя с образцом. В работе плоские образцы 6 х 16 х 150 мм цементировались со стороны 16 х 150 мм (остальная поверхность покрывалась медью) на глубину 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 мм. После цементации медное покрытие удаляли и химическим анализом с шагом 0,1 мм определяли распределение углерода по глубине. Цементованные образцы проходили цикл термической обработки, измеряли прогиб, вызванный мартенситным прев-

ращением цементованного слоя. На рис. 10 представлена зависимость прогиба от толщины цементованного слоя для разных марок сталей.

Из полученных результатов видно, что деформация, обусловленная цементацией, зависит не только от соотношения толщины цементованного слоя и общей толщины, но и от состава стали (при полной прокаливае-мости образца).

В работе принято допущение, что удельный объем фаз цементованного слоя прямо пропорционален содержанию углерода. В ко-

а о К

Рис. 9. Остаточные напряжения в сечении цилиндра

20ХНЗА 20Х

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Толщина центованного слоя, мм

Рис. 10. Зависимость прогиба от толщины цементованного слоя

5

0

гг

№ 4 (94)/2016

55

нечном итоге в АК8У8 используется не объемная характеристика расширения мартенсита, а линейная, имеющая ту же закономерность изменения, что и концентрация углерода [7]. Каждой концентрации углерода назначается свой коэффициент линейного расширения (см. рис. 5). В дальнейшем для моделирования объемных изменений в виртуальной пластине последней задается эквивалентная температура, которая вызывает деформацию, равную деформации (прогибу) экспериментального образца. Моделирование объемных изменений, создаваемых мартенситным превращением, может осуществляться и созданием градиента температур слоя при постоянном коэффициенте линейного расширения. Выбор метода зависит от конфигурации анализируемой задачи и поставленной задачи. Напряжения в поверхности экспериментального образца вычисляются по прогибу и будут соответствовать напряжениям в виртуальном образце (модели). Эквивалентная температура плоского виртуального образца (модели) переносится на моделируемую деталь. Эта температура и будет создавать в моделируемой детали ОН, соответствующие ее конфигурации, материалу и технологии изготовления.

Заключение

В основе двух методов лежат только уравнения теории упругости. В АКБУБ встроен метод конечных элементов, а потому там не сказывается влияние краевых эффектов. В целом характер зависимости напряжений по сечению цилиндра получается одинаковым. В АКБУБ сравнительно просто применять образцы-свидетели, что повышает достоверность результатов. Аналитические методы расчета неприемлемы для изделий сложной конфигурации, как, например, для зубчатых колес. Сравнивать эти методы некорректно. В обоих случаях необходимо задаваться исходными параметрами, но это разные параметры, хотя и взаимосвязанные. Использование образца-свидетеля приближает виртуальную модель образца к реальной. Объемные изменения при термической обра-

ботке цементованного изделия значительно превосходят значение упругой деформации. Цементованный слой имеет когерентную связь с матрицей. Значительные объемные изменения в цементованном слое вызывают не только упругую деформацию, но и пластическую. Соотношение значений упругой и пластической деформаций зависит от состава стали, который влияет на кинетику превращений аустенита цементованного слоя и матрицы. Расчетное значение упругой деформации цементованного слоя не будет соответствовать реальной на образце. Применение ANSYS позволяет просто использовать любые результаты экспериментов, чего нельзя сказать об аналитических методах. Точность расчета компьютерного метода обеспечивается адаптивным уточнением сетки конечных элементов. Этим обеспечивается допустимая относительная погрешность по значению энергии деформации, которая не должна превышать 10 %. Экспериментальная проверка аналитических методов расчета ОН без разрушения возможна для изделий простой конфигурации при реализации точных методов измерений.

Литература

1. Стружанов В. В. Об остаточных напряжениях после проката и расслоения двухслойных полос / / Вестн. Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. N° 5 (21). С. 5563.

2. Batista A. C. Contakt fatigue of automotive gears: evolution and effects of residual stresses introduced by surface treatments // Fatigue Fract. Eng. Mat. Struct. 2000. Vol. 23. P. 217-228.

3. Sen S., Aksakal B., Ozel A. Transient and residual thermal stresses in quenched cylindrical bodies // Int. Journ. of Mechanical Sciences. 2000. Vol. 42, Is. 10. P. 2013-2029.

4. Саушкин М. Н., Радченко В. П., Павлов В. Ф. Метод расчета полей остаточных напряжений в цилиндрических образцах с учетом анизотропии поверхностного упрочнения // Прикладная механика и техническая физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 173-182.

5. Елисеев В. В. Механика деформируемого твердого тела. СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2006. 231 с.

6. Биргер И. А. Остаточные напряжения. М.: Машгиз, 1963. 232 с.

7. Каратушин С. И., Спиридонов Д. В., Плешано-ва Ю. А. Моделирование остаточных напряжений при цементации // Изв. вузов. Машиностроение. 2012. № 3. С. 49-52.

№ 4(94)/2016