Оптимизация плана приёма студентов на первый курс

иркутским государственный университет путей сообщения

вой водоросли Aulacosiera baicalensis. Результаты эксперимента приведены на рис. 11.

Рис. 11. Распределение длин клеток в зависимости от продолжительности светового времени суток

В результате эксперимента нами было установлено, что уменьшение длины дня ведет к удлинению клеток. Это совпадает с полевыми экспериментами, проведенными в течение марта - мая 1997 года, во время которых было обнаружено, что в течение исследуемого временного интервала также происходит удлинение клеток [3]. Явление объясняется тем, что из-за развития весенней температурной конвекции в это время увеличивается мощность перемешанного слоя, а следовательно, уменьшается время пребывания клеток в фотиче-ской зоне, что ведет к сокращению фактической длительности времени освещения клеток в течение суток.

Таким образом, разработанный программно-аппаратурный комплекс позволяет выращивать

диатомовые водоросли в лабораторных условиях, моделирующих всесезонные изменения реальных климатических условий вод Байкала. Инкубатор обеспечивает возможность оперативного визуального наблюдения за ростом клеток на протяжении всего эксперимента, с постоянным контролем температурного режима. Разработанная методика автоматического подсчета клеток по фотографиям значительно сокращает время пребывания планшета вне инкубатора и позволяет обрабатывать полученные фотографии уже после эксперимента.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Richardson, T.L. Temperature, growth, and seasonal succession of phytoplankton in Lake Baikal, Siberia [Text] / T.L. Richardson, C.E. Gibson, S.I. Heaney // Freshwater Biology. - 2000. - Vol. 44. - P.431-440.

2. Bidoshvili, Ye.D. The change in the length of colonies of the planktonic diatom Aulacoseira baicalensis in various stages of the annual cycle in Lake Baikal [Text] / Ye.D. Bidoshvili, N.A.Bondarenko, M.V. Sakirko, I.V. Khanayev, Ye.V. Likhoshway // Hydrobiology. - 2007. - V. 43. - P. 79-86.

3. Aslamov, Ilya A. Investigation of morphological change of Aulacoseira baicalensis using a small desktop incubator controlling light and temperature [Text] /Ilya A. Aslamov, Jewson, David H. // European Journal of Phycology. - 2009. - V. 3(44). - P. 377- 380.

УДК 681.05.11

А.Л. Истомин,

к.т.н., доцент, проректор по учебной работе АГТА (г. Ангарск), тел. 8(3955) 678845, e-mail: istomin@agta.irmail.ru

Н.Н. Сумарокова,

преподаватель Ангарского промышленно-экономическиого техникума (г. Ангарск),

тел. 8(3955) 614462, e-mail: sumarokova.nn@gmail.com

ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНА ПРИЁМА СТУДЕНТОВ _НА ПЕРВЫЙ КУРС_

A.L. Istomin, N.N. Sumarokova

STUDENTS ACCEPTING TO THE FIRST YEAR OF EDUCATION PLAN OPTIMIZATION

Аннотация. Приведена постановка задачи об оптимизации плана приёма студентов на первый курс. Выявлен критерий оптимальности плана приема студентов в вуз и разработана детер-

минированная математическая модель, на основе которой сформулирована и решена в виде задачи линейного программирования задача нахождения оптимального плана приема студентов в вуз. Раз-

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

работана и решена вероятностная модель задачи оптимизации плана приема студентов в вуз с учетом неопределенности в виде задачи нелинейного стохастического программирования. Приведены найденные решения поставленных задач.

Ключевые слова: оптимизация, линейная модель, вероятностная модель.

Abstract: In this article the optimization plan of accepting the students in the first course of education is presented. Criterion of plan optimization in accepting students in to the high school has been found. Deterministic mathematical model, which was based on a task model of linear programming was developed and the task in finding optimal plan in accepting students in to the high school was solved. A probabilistic model which was solved in a form of a non-linear task of a stochastic programming of optimization plan in accepting students in to the high school taking in to account uncertainty has been developed. Decisions of problems are found and presented.

Keywords: Optimisation, linear model, likelihood model.

В условиях конкуренции на рынке образовательных услуг становится все более актуальной разработка новых механизмов управления, планирования и рационального распределения ресурсов с целью повышения эффективности функционирования вуза. Вузы, согласно законодательству, являются по существу автономной системой и наделены свободой самостоятельно организовывать свою деятельность в рамках лицензионных нормативов и федеральных государственных образовательных стандартов, в том числе планировать прием студентов на первый курс и устанавливать стоимость обучения по той или иной образовательной программе. Однако часто при формировании плана приема студентов на первый курс вузы используют наиболее простой принцип управления «от достигнутого», когда план приема устанавливается на основе плана предшествующего периода с некоторой корректировкой по всем или отдельным направлениям и специальностям.

Основные недостатки принципа планирования от достигнутого уровня достаточно очевидны: новый план, с одной стороны, повторяет возможно несовершенную структуру прошлого плана, а с другой, может оказаться неосуществимым как в силу внутренних обстоятельств, например, из-за недостатка ресурсов, так и в силу внешних, например отсутствия спроса на ту или иную образовательную программу вследствие завышенной цены за обучение.

Поэтому наибольший интерес вызывает подход к планированию, известный под названием «оптимальное планирование». В сущности, под этим понимается целая группа подходов и методов, характеризующихся стремлением выбрать план, наилучшим образом согласованный с внутренними возможностями и с внешними условиями, причем планирование осуществляется с помощью математических моделей.

Детерминированная модель нахождения плана приема

План приема студентов в вуз включает весьма большое количество показателей, но всегда является производным от государственного задания на подготовку кадров (количество бюджетных мест). Количество «коммерческих мест», а также стоимость обучения для обучающихся на платной основе формируются вузом самостоятельно на всех платных образовательных программах по всем формам подготовки.

Пусть х.. - количество бюджетных мест,

планируемых вузом на 7-ю образовательную программу, г = 1, п, где п - количество образовательных программ (специальность или направление) на у -й форме обучения, у = 1т, где т - число форм обучения (очная, очно-заочная, заочная, очная сокращенная и т.д.); у - количество мест на

платной основе на 7 -й образовательной программе на у -й форме обучения, я - средства, выделяемые

государством на одного бюджетного студента 7 -й образовательной программы на у -й форме обучения, £ - цена 7-й образовательной программы на

у-й форме обучения, устанавливаемой вузом для обучающихся на платной основе.

Тогда формально можно утверждать, что задача планирования приема студентов в вуз будет

решена, если будут установлены значения ^ , у и •

Задачу планирования приема студентов в вуз с достаточной полнотой можно представить с помощью линейной экономической модели Л.В. Канторовича, учитывающей имеющиеся ресурсы и различные ограничения.

Применение модели опирается на возможность рассмотрения плана приема в расчлененной форме с учетом затрат (интенсивностей) всех видов ресурсов на подготовку одного или группы студентов в зависимости от постановки задачи. Каждый план характеризуется набором этих затрат (интенсивностей), которые должны быть вы-

иркутским государственный университет путей сообщения

г=1 У=1

г=1 У=1

при условиях

IIУУ + УуЖ =, >} К, Г = 1, .,

г =1 у=1

х > 0, у > 0, г = 1, п, У = 1, т,

браны так, чтобы были выполнены необходимые ограничения - план был допустимым, и чтобы целевая функция достигала максимума или минимума - план был оптимальным.

Наиболее тонким моментом в задаче нахождения оптимального плана приема студентов в вуз является определение критерия оптимальности плана приема. В управлении экономическими системами, как правило, отдается предпочтение показателю прибыли, кажущемуся наиболее естественным и четким измерителем эффективности экономической системы. В своей деятельности вузы также руководствуются критерием прибыли. Это означает, что складывающаяся на рынке оплата за обучение должна не только покрывать все текущие издержки вуза по обеспечению образовательного процесса, но и образовать прибыль, которая направляется на реинвестирование вуза.

Пусть вуз со структурой набора {£ },

г = 1, п, у = 1, т располагает ресурсами (учебные и лабораторные площади; пропускная способность аудиторий, лабораторий, компьютерных классов, читальных и спортивных залов; кадры ППС; фонд заработной платы преподавателей и сотрудников и др.) с известными значения их объемов Ъг, где Г -индекс Г -го вида ресурсов. По каждому виду ресурсов должны соблюдаться балансы по их запасу и расходованию.

Тогда задача оптимизации плана приема студентов в вуз представляется в виде линейной модели и сводится к определению количества бюджетных х и коммерческих у . мест на каждую образовательную программу (г = 1, п) по каждой форме обучения (у = 1, т), которые обеспечивают максимальный суммарный доход, т.е. максимум целевой функции

п т п т

р = ИУ +ИУу ^ тах

ве; а^. - норма расхода Г -го ресурса на подготовку одного студента по г -й образовательной программе на У -й форме обучения.

При этом в систему (2) могут включаться как уравнения со знаками равенства, предусматривающие полное (100 %) использование какого-то ресурса, например использование всех пар занятий в расписании учебной недели, так и неравенства с разными знаками.

В неравенствах типа

п т

ИУу + Уу) * \

г=1 у=1

для приведения к канонической форме вводится уравновешивающая переменная г, характеризующая величину неиспользованной части ресурса Г , и условие (4) примет вид

п т _

IIау

г=1 у=1

В неравенствах типа

IIагу(ХУ + У у) > Ъ

г - г ' гг - ч

г=1 у=1

вводится уравновешивающая переменная ^ , характеризующая дополнительную величину ресурса Г2 сверх имеющегося фонда, необходимая для обеспечения оптимального варианта плана. Тогда условие (6) примет вид

Цагу

г=1 у=1

В тех случаях, когда изыскание дополнительных ресурсов Г связано с необходимостью, например, расширения учебных площадей, приобретением дополнительного учебно-лабораторного оборудования, наймом преподавателей, в том числе по совместительству или на условиях почасовой оплаты, и т.п., в модель задачи вводится дополнительное условие по наличию и использованию денежных средств на эти цели

2

I ^ ^ ^ О ,

где £ - денежные средства, выделяемые государу

ством на подготовку одного бюджетного студента по г -й образовательной программе на у -й форме

обучения; £ - стоимость г -й образовательной

у

программы на у -й форме обучения, устанавливаемой вузом для обучающихся на платной осно-

где О - денежные средства вуза, предназначенные на дополнительные мероприятия; й - денежные вложения на единицу приращения ресурса Г • Условие (8) может быть представлено в несколько ином виде, если собственных средств О0

недостаточно:

у 2

I йГ2 ^Г2 - 2 = О0

Г =1

г, =1

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

Здесь искомая переменная Z будет характеризовать потребность в заемных денежных средствах.

В ряде случаях в исходных условиях может быть задано фиксированное значение количества мест на ту или иную образовательную программу или форму обучения, когда в интересах вуза дополнительный прием нецелесообразен. Так, например, если в вузе установлен фиксированный прием на к -ю форму обучения, в модель задачи вводится следующее ограничение:

п

£Х + Ук) = Р, к = 17К.

г=1

где к - вид формы обучения, К - число форм обучения, для которых установлен фиксированный прием.

В других случаях могут быть заданы нижние пороговые значения приема, например по образовательным программам типа I, или верхние пределы, например по образовательной программам типа к. Соответственно, в систему ограничений вводятся:

Х + уь > р , I=ц, у=,

Наконец, в задаче набора студентов может содержаться условие, учитывающее соотношение между набором на те или иные программы. Например, предположим, что количество принятых на платное обучение должно быть в соотношении к количеству обучающихся на бюджетной основе не более чем а: /.

Математически это может быть записано в виде выражения

п п _

£хг] /£Уу >а/3, у = 1, т

г=1 г=1

или, что то же, в разрешимом виде

п п -

/£ Ху ~а£ уу> 0, у = 1, т,

г=1 7=1

Из этого следует, что задача нахождения наилучшего плана приема студентов в вуз может быть сформулирована как задача математического программирования. Особенностью задачи (1)-(14) является то, что целевая функция (1) и ограничения (2)-(14) являются линейными, поэтому описанная задача относится к задачам линейного программирования.

Приведем пример формулировки задач описанного типа.

Пример 1. Вуз осуществляет прием студентов на платной основе на первый курс по трем образовательным программам. Оплата за обуче-

ние, нормативы учебной площади и ставок профессорско-преподавательского состава, приходящихся на одного студента различных образовательных программ, а также общая учебная площадь и количество ставок ППС представлены в табл. 1.

Необходимо определить, какое количество студентов принять на каждую программу, чтобы доход от приема был максимальным, если известно, что вуз не вправе принять более 300 студентов, а также то, что количество принятых на программы II и III должно быть в соотношении 2:1.

Таблица 1

Исходные данные примера 1

Образовательная Запасы

Ресурсы программа ресур-

I II III сов

Количество ста-

вок ППС на од- 0,1 0,08 0,12 35

ного студента

Учебная площадь

на одного студента, м2 10 14 12 3500

Оплата за обуче-

ние, тыс. руб. 26 32 30

Обозначим через Х , Х , Х количество студентов, принимаемых на первую, вторую и третью образовательные программы соответственно. Тогда общее количество ставок профессорско-преподавательского состава, занятых в учебном процессе, составит 0,1хх + 0,08х2 + 0,12х3 , а общая учебная площадь - 10Х +14Х2 +12Х3. Поскольку Х2 / Х3 = 2, то ограничение на требуемое соотношение будет выглядеть в виде Х2 — 2х3 = 0 .

Учитывая объем ресурсов, введем систему ограничений:

'0,1х + 0,08Х2 + 0,12Х3 < 35,

10х +14Х +12Х < 3500,

1 123

х2 — 2х3 = 0,

Х + х2 + х3 < 300.

Необходимо найти такие Х1, Х2, Х3, при которых

26000х + 32000х2 + 30000х3 ^ тах (16) и выполняются ограничения (15).

иркутским государственный университет путей сообщения

Максимальный доход 8600000 руб. можно получить, если принять на первую программу 150 чел., на вторую - 100 чел., на третью - 50 чел.

Планирование приема в вуз в условиях неопределенности

Постановка задачи линейного программирования (1)-(14), вполне осмысленная при детерминированных значениях параметров и переменных задачи, теряет определенность при случайных значениях исходных данных. Между тем, в задаче формирования приема студентов его планирование происходит в условиях неполной информации. Рыночная конъюнктура, спрос на образовательные программы, платежеспособность потребителей образовательных услуг не могут быть точно предсказаны. Замена случайных величин их средними значениями и вычисление оптимального плана полученной таким образом детерминированной модели не всегда оправданно. При сглаживании параметров и переменных задачи может быть нарушена адекватность модели. Усреднение исходных данных может привести к потере полезной информации и привнести в модель ложную информацию. Наконец, решение детерминированной задачи с усредненными значениями может не удовлетворять ограничениям исходной задачи при допустимых реализациях параметров и переменных.

В этой связи разработана вероятностная модель и поставлена и решена задача оптимизации плана приема студентов в вуз с учетом неопределенности. В тех случаях, когда априори план и соответствующая ему эффективность неопределенны, требуется вероятностная оценка эффективности, и уже к моменту действия, апостериори, план и реализуемая эффективность вполне детерминированны. Более того, планирование приема связано с принятием конкретных обязательств, поэтому план приема не может быть случайным. В этой связи практический интерес представляет постановка задачи нахождения не случайного, а вполне определенного плана приема, основанного только на располагаемой априорной информации.

Прием, обычно используемый в этом случае, состоит в максимизации или минимизации математического ожидания целевой функции на определенном интервале времени. В ситуациях, в которых одни и те же условия будут повторяться снова и снова, ожидаемое значение целевой функции может быть интерпретировано как среднее значение за долгий срок. Однако этот же самый критерий используется и тогда, когда некоторые

обстоятельства имеют место только однажды и никогда не повторяются в дальнейшем, так что нет возможности интерпретировать математическое ожидание как долгосрочное среднее.

Обозначим через спрос на г -ю образовательную программу, который подчинен закону нормального распределения с математическим ожиданием д и стандартным отклонением <?..

При решении задачи будем считать, что все переменные непрерывны.

Пусть Х - количество мест, запланированных на / -ю образовательную программу (не будем делать различия между бюджетными и коммерческими местами). Если спрос на нее равен ,

то вуз получит доход

Бщ,, если ж < х.

Бх , если wi > xi. где Б - плата за обучение одного студента на г -й

программе в год, рублей.

При формировании мест на г -ю программу возможны потери

Рг (Х — Щ X если Ж < X,

Б (wi — Х ), если Ж > X,

где р - потери, которые несет вуз за каждое лишнее место, которые складываются из лишних затрат на организацию учебного процесса по г -й образовательной программе, рублей.

Ожидаемая прибыль от приема студентов на г -ю программу равна ожидаемому доходу минус затраты на организацию учебного процесса, минус ожидаемая потеря.

Обозначим через /(wi) плотность нормального распределения с математическим ожиданием д и стандартным отклонением < .

Будем предполагать, что нет зависимости между спросом на разные образовательные программы, т.е. абитуриент не станет поступать на другую программу, если мест на интересующей его программе нет. Также будем считать, что если абитуриент не прошел по конкурсу на бюджетное место выбранной программы, он оплатит свою учебу, т.е. поступит на коммерческой основе. В связи с принятыми допущениями переменные Щ являются независимыми случайными величинами. Тогда ожидаемая прибыль р от приема студентов

на г -ю образовательную программу определяется как

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

р = | /(М>1 + Si ¡щ/(щ,М )dwi

—Pi|(X, —^)/(М>1 )dwi

0

ад

где Q - предельное значение приема в вуз, чел., аг, - норма расхода Г -го ресурса на подготовку одного студента по г -й образовательной програм-

ме.

При этом в выражения (25) могут включаться как уравнения со знаками равенства, предусматривающие полное использование какого-то

где CI - затраты на подготовку студента по г -й ресурса так и неравенства с разными знаками.

' Задача (23)-(26) может быть дополнена ус-

программе в год, рублей.

ловиями (10)-(14), которые устанавливают фиксированный набор, нижние и верхние пороговые значения на количество мест на ту или иную обра-

нижним пределом интегрирования можно взять — да вместо 0.

Учитывая, что

х,

| Щ / (Щ г =

-да

да

= М

Поскольку площадь под кривой нормального распределения на интервале от — да до 0 пре-

зовательную программу, соотношения между ко-

небрежимо мала, в приведенном выше выражении

личеством принимаемых на обучение на разные образовательные программы.

Особенностью задачи (23)-(26) является то, что она содержит нелинейную целевую функцию

(23).

К сожалению, задачи нелинейного программирования всегда решаются значительно труднее, чем задачи линейного программирования. Но поскольку целевая функция (23) является сепара-бельной, т.е. может быть представлена как сумма п функций, каждая из которых является функцией только одной переменной, т.е. Р(Х1, Х2,..., хп) = ^(Х1) + F2(Х2) +... + р(хп), то исходную задачу нелинейного программирования свести с приближенной задаче линейного про-х граммирования путем кусочно-линейной аппрок-

преобразуем выражение для р следующим обра- симации исходной задачи. Идея метода основана

на том, что любую непрерывную функцию Р(х) можно приблизить ломаной с помощью выражений:

и

хг

I (Х — Щ )/(щг, М =

—да

да

= Х, — М + I (Щ — Х )/(Щ, М, г,

зом:

р =м (£ + р, ) — (с + рг) х, —

да

(2£ + р,) I (щ — х)/(щ, .

Ожидаемая прибыль от приема студентов получается суммированием р, р, ..., р :

Р = IМ (£ + рг) — I (С, + рг ) Хг —

г=1 г=1

п да

"I (2£г + Рг )| (Щг — Хг )/(щг, М, )йЧ.

Х ^^кХ,

к=0 Г

р (х) ^лр (Хк),

к=0

Г _

^ = 1, Л > 0, к = 0, Г,

где г +1 - количество точек разбиения допустимого интервала переменной х; р(х) - кусочно-

Необходимо найти такие неотрицательные линейная функция, которая аппроксимирует р

значения переменных х, , = 1, п, которые макси- на интервале изменения переменной х; Хк - весо-

мизируют р при ограничениях

п

^ < Q,

IаГ1х,{<, =, >} К ,

,=1

х, > 0, , = 1, п,

Г = 1, 5 .

вые множители.

Заменим задачу (23) - (26) следующей задачей:

£ = ! £ (X) ^ max,•

0

х

х

х

к=0

г=1

п

1=1

иркутский государственный университет путей сообщения

Ex <Q,

i=1

n _

Eanx,{< =, >Я, j = 1, m,

i =1

x > 0, i = 1, n.

Допустим, что определено а - максимальное значение, которое может принимать переменная xi. Разобьем интервал 0 < xi < а, на гг подынтервалов с помощью Г +1 точек Хь, так что Х0г = 0, Хп =аi. Тогда функции Рг (Х{) и ^ (х.) в ограничениях (31) можно записать в виде

Р

k=0 r

g

где

,

x=E ^ki^ki-, k=0

Г-

EE^ = i, 4 * о при всех

k

и i .

Подставляя теперь в (30) выражения функций Fi (X.) (32), а в (31) функции g (x.) в соответствии с (33) переходим к следующей форме приближенной задачи с переменными Xki вместо

X:

F = EIFA ^ max,

n ч _

EEgjk{<, =, , j = 1, m,

i=1 k=0 ri _

E^h =1i =1,П

k=0

> 0, k = 07Г, i = Ш.

Рассмотрим пример решения поставленной задачи.

Пример 2. Вуз осуществляет прием на платной основе на три образовательные программы. Вуз вправе принять на первый курс не более 100 человек. Плата за обучение на первой образовательной программе составляет 28000 рублей в год, второй - 35000 рублей в год и третьей -40000 рублей в год. Годовые затраты на подготовку одного студента составляют 16500, 19000, 23000 рублей соответственно для каждой программы. Если в вузе не окажется достаточного количества мест на желаемую абитуриентом программу, вуз недополучит доход в размере оплаты за обучение за каждое недостающее место. Если же количество запланированных мест превысит спрос, вуз несет потери за каждое лишнее место в размере 4000 рублей по первой образовательной программе, 5500 рублей по второй и 8000 рублей по третьей.

Спрос у абитуриентов на каждую образовательную программу подчинен закону нормального распределения с математическим ожиданием 30, 60, 40 мест и стандартным отклонением 8, 15, 12 мест для первой, второй и третьей образовательной программы соответственно.

Определить количество выделяемых мест на каждую специальность, обеспечивающее максимальную ожидаемую прибыль.

Ожидаемая прибыль от приема студентов на три специальности получается суммирование р,

F2 и F3:

F = 960000 - 20500x -

-60000J (b - X) f (b ,30,8)dbj

+2430000 - 24500x -

-75000 J (b - x) f (b,60,15)db2

+

+

В результате приближенная задача в форме (36), (37) становится задачей линейного программирования, которая может быть решена симплексным методом. Найденные в результате решения задачи (36), (37) значения используются

для определения приближенных значений Х в соответствии с соотношениями (34).

+1920000 — 31000х —

да

—880001 (Ь — Х) / (Ь ,40,12)^Ь.

Необходимо найти такие неотрицательные значения переменных Х , Х и Х , при которых целевая функция принимает максимальное значение и выполняется ограничение

Х + Х2 + Х3 < 100 .

Положим, что прием на каждую специальность должен быть не менее 20 человек. Тогда

k=0

k=0

x

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

очевидно, что х , х и х не могут быть больше 60. Далее для уменьшения количества вычислений выберем х равноотстоящими с интервалом 5. Отсюда для каждого , = 1,3 будет 9 Хы . Значения функции / (х), вычисленные в точках

хы , i = 1,3 , представлены в табл. 2.

Значения /

Таблица 2

xM f1

20 -74281,7 20 -1081338 20 -480936,8

25 69778,39 25 -828759,2 25 -228419,7

30 153507,71 30 -579615,7 30 -9649,96

35 164778,39 35 -337453,5 35 157667,27

40 115718,3 40 -108012,4 40 258716,95

45 31839,31 45 100645,22 45 287667,27

50 -65961,99 50 278856,9 50 250350,03

55 -167617,15 55 417077,6 55 161580,26

60 -270010,09 60 508197,86 60 39063,16

В сокращенной форме задача принимает следующий вид:

F = !Ё/й4 ^ max ,

i=1 к=0

3 8

ZZ ХкгЛкг + X4 = 100,

i=1 к=0

8 8 8 Z^kl = 1, ZÄk 2 = 1, ZÄk 3 = 1,

к=0

к=0

к=0

Лк1 > 0, Лк2 > 0, Дкз > 0,

X4 > 0.

Для всех к значения /к берутся из табл. 2, Х - вспомогательная переменная (ее нет необхо-

димости выражать через Л). Решаем задачу симплексным методом.

Оптимальное решение будет х = 19, x2 = 48 и x3 = 33 . Оно получено округлением до

ближайших целых значений. Следует отметить, что полученное решение может не обязательно являться оптимальным с условием целочисленно-сти x . Однако в этом случае это оказывается так.

Очевидно, что при аппроксимации размерность задачи возрастает, но поскольку в качестве метода решения используется симплексный метод, данный алгоритм имеет значительную практическую ценность. Следует отметить, что может оказаться выгодным решать задачу вначале при довольно грубом разбиении, а затем уточнять результат, используя мелкое разбиение в окрестности полученного ранее решения. Это реализовать достаточно просто.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Истомин А.Л. Исследование операций в управлении вузом. [Текст]/ М.: СИНТЕГ, 2008. - 272 с.

2. Истомин А.Л. Оптимизация приема студентов в вуз в условиях неопределенности [Текст]/ Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 3.1 (37). - С. 147-150.

3. Истомин А.Л., Сумарокова Н.Н. Математическое обеспечение системы принятия решений при приеме студентов в вуз [Текст]/ Открытое образование. - 2007. - № 1. - С. 16-20.

4. Истомин А.Л., Сумарокова Н.Н. Постановка задачи оптимизации плана приема студентов в вуз [Текст]/ Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС, 2004, № 4. - С. 92-95.