Особенности расчета параметров информационных сетей на основе подразделенной тензорной ортогональной модели1

ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАЦИОННЫХ СЕТЕЙ НА ОСНОВЕ ПОДРАЗДЕЛЕННОЙ ТЕНЗОРНОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ МОДЕЛИ1

И.И. Пасечников, Д.В. Пахомов

Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Россия

Под информационными сетями (ИС) понимаются телекоммуникационные системы и сети, обеспечивающие обработку, хранение и передачу информации. Модель ИС предполагает нагруженное ее состояние, позволяющее на интервале рассмотрения использовать усредненные значения сетевых параметров и величин. В основу подхода к анализу ИС положена тензорная методология Г. Крона [1-5], в соответствии с которой осуществляется совмещение потоковых ситуаций с существующими сетевыми топологиями. Тензорная методология использует, в зависимости от исходных данных, узловой, контурный или ортогональный методы расчета сетей. Ортогональная модель позволяет учитывать одновременные воздействия двойственных величин. В нашей работе предложена модель ортогональной подразделенной сети [2].

Рассмотрим особенности ортогональной подразделенной сети. В качестве сопротивления в терминах времени и проводимости, которые свойственны элементам информационных систем, будем рассматривать соответствующие информационные параметры: Т - временная задержка пакета через одиночный канал и Я - скорость обработки одного пакета. Информационные потоки определяются параметрами интенсивности Л и накоплений V. Под информационной проводимостью понимается свойство элементов информационных систем передавать (обрабатывать и транслировать) количество информации с заданной скоростью и в указанном направлении. В работе не рассматривается семантический аспект информации.

В подразделенной ортогональной модели имеет место разделение информационных устройств на те, в которых осуществляется реальная передача пакетов - каналы связи (КС), и те, которые служат хранилищем ин-

1 Тема заявлена на отборочном мероприятии

«Региональная школа-семинар "Наука и инновации

(У.М.Н.И.К.-2010)"»

формационных пакетов - устройства накоплений (УН). Так как процессы передачи осуществляются в режиме промежуточного хранения, трансляция пакета в КС и его хранение в УН являются необходимыми процессами при продвижении по пути от отправителя до адресата. При этом каждый участок сети (цифровой канал с памятью) «ощущает давление» как внешних входных потоков, так и накопившейся информации в УН. Они, по сути, являются источниками токов и напряжений в терминах электричества. Из-за этой особенности в модели ИС каналам связи и УН ставятся в соответствие эквивалентные ветви с ортогональными переменными, которые одновременно характеризуют цепи разомкнутого и замкнутого типа. Последнее поясним следующим.

Особенности КС. В каналах связи непрерывно передается информация в виде пакетов определенной длины (1//7, бит). При заданной пропускной способности КС (С, бит/с) информационная проводимость пакетов каналами определяется как Я00 = ]2С (пакет/с). Двойственным параметром является временная задержка Тсс, которая имеет место при передаче одного пакета по КС. Интенсивность стационарного потока Лс в КС определяется двумя составляющими: интенсивностью Xе, характеризующей скорость, с одной стороны, уменьшения числа пакетов в УН отправителя, с другой - увеличения числа пакетов в УН получателя; интенсивно-

С ^ ^

стью внешнего потока у , который возденет-вует на КС в виде использования части его ресурса (например, помеховый сигнал). Таким образом, в КС присутствуют потоки информации, которые можно охарактеризовать параметрами одновременно замкнутой (пс, Xе) и разомкнутой (А^, у6) систем.

Особенности УН. УН с ожидающими пакетами обладает также сопротивлением в терминах времени. Прохождение транзитного потока через узлы коммутации (УК) ИС с параметрами /Л пь (где пь - число пакетов

в УН при известном времени нахождения в очереди Тъь, обусловливающее значения '/!’) характеризуется параметрами замкнутого контура, так как источником такого кибернетического напряжения являются накопления пакетов П транзитного трафика (понятия кибернетических величин применительно к ИС рассмотрены в предыдущей нашей работе [2]). Одновременно с этим входные по-

токи у из-за наличия Тъь вызывают дополнительные накопления Последние будем считать параметрами разомкнутых цепей.

Таким образом, модель примитивной сети можно рассматривать в виде цепи, подразделенной на две части одноканальных ветвей - УН (рис. 1а) и КС (рис. 1б). Как отмечено выше, каждая ветвь описывается ортогональными переменными.

\ВАА

Ъпа

1^А

+ г

Пп №

+ ХЬ

а)

Рис. 1. Модель идеальной подразделенной ортогональной сети

Систему координат, определяющую подразделенную идеальную (примитивную) цепь, обозначим а. Особенность преобразования подразделенной примитивной цепи, в отличие от обычной, состоит в том, что в соединенной структуре должно существовать также подразделение на два типа ветвей. Согласно комбинаторной топологии каждой

ветви топологического орграфа, характеризующего структуру ИС, приписываются значения одной из компонент тензора Т (или Я).

Фрагмент соединенной сети (рис. 2а) может быть представлен подразделенной ортогональной моделью, приведенной на рисунке 2б. Общий принцип ее построения приведен в нашей работе [2].

а)

б)

Стрелки внутри кружков обозначают «направление обслуживания пакетов» в процессе передачи (в нашем случае КС), а прямоугольники - наличие сопротивлений в терминах времени (задержка в обслуживании). Как видно, такая модель изображается двумя составляющими: первая часть - горизонтальная подсеть, характеризуется ветвями связи (т. е. КС) и отображает топологию сети; вторая часть - вертикальная подсеть, состоит из узловых пар - УК и соответствующие им УН. Система координат такой сети характеризуется потоками разомкнутых цепей (/'), проходящих через узловые пары, и замкнутых контуров (т), каждый из которых включает КС и два УН, подсоединенных к его входу и выходу. Новую систему координат обозначим Р.

Уравнения для идеальной (примитивной) сети в тензорной форме имеют вид:

а) Уа = ТааАа ; при этом

К =

б)Аа=ЯааУа,

Ус

Л“ =

ль

лс

где индексы «ь» и «с» при тензорах в выражении (2) являются компаунд-индексами, заменяющими фиксированные индексы соответственно для узловых пар и ветвей.

Предположение об ортогональных переменных означает для УН: Уь=Щ+пь,

Аь =уъ +/1Ь. Подобные выражения существуют и для КС. С учетом этого, ортогональные уравнения для СК а можно записать в виде:

а) ЫЬ+ПЬ=ТЬЬ(ГЬ+ЯЬ) + ТЬС(ГС+ЛС);

б) Мс+пс=ТсЬ

а) УЬ+ЛЬ=11ЬЬ{МЬ+ПЬ)+11ЬС{МС+ПС)-

б) ус+Яс =КсЬ

Составляющие матрицы Е.аа (то же относится и к двойственным величинам Таа), ИЬс и

Г)СЬ

Я характеризуют взаимные проводимости (информационные влияния) между УН и КС. Так как какая-либо физическая связь УН и КС в примитивной подразделенной цепи отсутствует, взаимные проводимости в указанном смысле равны 0. Это означает, что условно передаваемые потоки в КС не вызывают одновременного возникновения накоп-

лений пакетов (кибернетических напряжений) в УК, в частности в УН.

Для соединенной сети, т. е. модели ИС в системе координат Р, ортогональные уравнения будут иметь вид:

а) Ыр

б) уР +ХР =Яр13 (Ыр+пр) .

Используя понятия разомкнутых и замкнутых контуров в соединенной сети, с учетом ортогональных переменных для рассматриваемой модели, уравнения сети имеют вид:

}

т

і Щ + п і Т 1 і Т ± іт І + "И

т Щт + Пт т Т 1 ті Т 1 тт т ут + хт

т

І і + ~Я і і Щ + Пі

т ут + хт т Кщ ^тт т Щт + Пт

В отличие от системы координат а, где компоненты тензоров Т (или К), значения входных потоков у и источников кибернетических напряжений п всех ветвей являются известными (они задаются в виде исходных данных), их значения в системе координат Р определяются с помощью матриц преобразования Ара или Ср = (А/;)-1, при этом формулы преобразования имеют вид:

а) Ар =Ара Аа; б)Ур=С°Уа.

В матрице Ара строчный скользящий

индекс Р характеризует оси координат рассматриваемой соединенной сети. Строки показывают, какие потоки складываются в полный поток для каждой ветви (знак «-» означает направление выхода потока), а вертикальные столбцы показывают, какие п или N входят в рассматриваемую цепь. Для модели ИС (рис. 26) с идеальными каналами матрица Ара является треугольной:

а

Р А I А

І в

С

—> в

ь

с п

ь

с

й

АРа= £>

а

ь

т с

й

е

1 -1 -1

1 1 -1 -1

1 1 -1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

Мъ Мс

О Ат

а

с

е

Накопления пакетов транзитного трафика в ветвях соединенной структуры определяются на основе использования исходных данных в СК а и матрицы С

Р

пР=С1па-

Из выражения (10), с учетом разложения на составляющие треугольной матрицы ( ,

получим:

Ь

п і С'ъ °і Ь пь

п ,1т т С'ъ т і С Пс

т. е.

в п-ъ пі=сі ПЪ’

V = Сш пь+пс-

Для определения информационных потоков ИС в системе координат |3 используется тензор информационных проводимостей, который для соединенной сети имеет вид [3]:

J т

І А{ЬЯЬЬЛ'Ь + А]сЯссАст

крр = А]ЛСС^

т АтсЯссАс] АтсЯссЛст

где учтена треугольная форма матрицы преобразования Ара и нулевые значения

псЬ пЬе

компонент К и К .

В полученном выражении составляющие матрицы К1 зависят: первая (К1) - от числа ожидающих пакетов в очередях УН, вторая (К1) - от характеристик КС. Диагональные элементы сК1 отображают кибернетические проводимости УН, равные сумме проводимостей всех подключенных к ним КС (без учета направления, учитывая канальный ресурс УК как на прием, так и на передачу), а недиагональные элементы расписывают их в зависимости от УК-соседей. Матрицей Кт указывается для УК совокупность входных и выходных КС с заданными информационными проводимостями, а матрицей Кт] - величины для процессов преобразования потоков внешних во внутренние (транзитные) и наоборот, в УК-отправителя и УК-получателя.

В случае отсутствия внешнего потока в КС (ут=0 и Ыт=0) ортогональные тензорные уравнения для потоков в системе координат Р имеют вид:

у1 + Л} =Я}}{Ы] +П}) + 11}тпт ; Лт =Кщ(Ы]+п]) + Кттпт.

Как видно, они определяют все потоки в любой СК, характеризующей связную информационную сеть. Для их решения учитывается следующее: внешний пользовательский поток у1 состоит из известных входных

""у1 и неизвестных ВЫХОДНЫХ У'1 потоков. В связи с этим, ортогональные уравнения соединенной сети (15) и (16) решаются в два этапа: на основе входного трафика определяются реакции УК в виде дополнительных накоплений пакетов, затем по известным накоплениям определяются выходные потоки. Таким образом, разделив (15), (16) на две части относительно входных и выходных потоков, решаются следующие уравнения относительно различных неизвестных:

*/=

[ [ 1 +вх^' - -вх&тпт ;

вы V = ВЬІХпм (ії , +п,) + выхд-"Х

ХЛ-/,

где все матрицы информационных проводимостей имеют прямоугольную форму.

Для их определения сначала находятся полные (квадратные) матрицы К1 , Кт, затем они подразделяются на две части по горизонтали, обратная матрица II" подразделяется по вертикали. Узловые потоки, обусловленные накоплениями транзитных пакетов, определяются: Л1 = А'г/?" = А'ЬХ' \ А'с.л . где

учтено, что КЬс = 0, КсЬ = 0.

В результате решения уравнения (16) ряд значений канальных потоков могут иметь отрицательное значение. Это означает, что потоки должны направляться в противоположную сторону относительно выбранных на рисунке 2б. Кроме этого, относительно ортогональной модели ИС необходимо заметить: каждый узел в ней не может выступать одновременно отправителем и получателем пакетов. Данное ограничение устраняется, если на ортогональную модель наложить потоковые сети. В каждой такой сети рассматрива-

~)СЬ

С

ется один узел в качестве отправителя пакетов, а все остальные - в качестве получателей. При построении тензорной модели особую роль при получении основных характеристик сети играет тензор преобразования. Он полностью определяет пространство -структуру сети, в процессе топологических изменений, отображает переход от одной системы координат к другой. Благодаря ему, в разных системах координат определяются координаты тензоров - основных определяемых информационных величин. В результате, независимо от топологии ИС, имеется возможность определения точки ее стационарного состояния.

Подразделенная тензорная ортогональная модель позволяет определить параметры соединенной сети. Найдя кибернетическую мощность такой ИС и кпд в смысле передачи информации [2], можно оценить ее информационную эффективность с заданной структурой, а осуществив расчет

сети во всех возможных системах координат, можно найти структуру сети с максимальным кпд.

Литература

1. Крон Г. Тензорный анализ сетей: пер. с англ.; под ред. Л.Т. Кузина, П.Г. Кузнецова. М., 1978.

2. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей: монография. М., 2004.

3. Пасечников И.И., Пахомов Д.В. Расчет основных параметров информационных сетей на основе тензорной методологии // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естеств. и техн. науки. 2010. Т. 15. Вып.1. С. 275-278.

4. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. М., 1985.

5. Петров М.Н. Исследование характеристик распределенных систем телекоммуникаций методом тензорного анализа и теории массового обслуживания: дис. ... д-ра техн. наук. Красноярск, 1998.