Оперирование с многозначными числами

Том 118

1963

ОПЕРИРОВАНИЕ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ

Б. И. БОЛЬШАНИН, И. А. РЕЙМАН

При решении ряда задач астрономии и геодезии, при инженерно-технических расчетах и в особенности при составлении таблиц приходится нередко оперировать с многозначными числами. При использовании арифмометров и счетно-электрических машин общеизвестные приемы работы дают возможность производить вычисления только с 6—7-значными числами. При умножении 8—10-значных чисел на такие же числа применяется способ разделения одного из сомножителей на две части, затем делаются перемножения другого сомножителя на каждую из этих частей. Так же поступают и при возведении в степень. Деление многозначных чисел на многозначные и тем более извлечение корней из них встречаются очень редко, их просто избегают.

В настоящей работе применительно к указанным выше видам счетных машин рассматриваются методы вычисления с большим числом значащих цифр таких простейших действий, как умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. При этом в статье дается обоснование соответствующих способов, порядок работ, схемы записи и подробно разобранные примеры.

В основу всех вычислительных операций положено разделение многозначных чисел на равные группы по 6—7 цифр в каждой, так что эти числа будут иметь вид многочленов

а = д; + д; + д; + ... + а;,

в которых порядок смежных А отличается на число цифр в группе. Перед разделением на группы удобно запятую перенести, поставив ее перед первой значащей цифрой или после нее, введя соответствующий множитель (10"). Если последняя группа числа неполная, то, чтобы не нарушать порядка вычисления на счетной машине, группу дополняют нулями или просто подразумевают их. В полученном результате это, конечно, должно быть учтено.

2*. 19

ю о

= + д;д; + д;д;;+. . . +д;д; + д;д;+1 + . . .+д;д;

+ д2д; + д2д; + . . . +д2д;_1 + д2д;+ . . . + д;д;

-м^М--  +^д;„2 + д;д;„1+- - . +д;д;_2+д3дт„1 + д8дт +..............................

1 д:д: + д;д; . . . . + д;д" . , + д;д" , ьо+д'.д" ,., + .

I 1 1 I 2 • 1 I т — 1\-1 1 I т —/+2 I т — 1-гЪ 1

4-д.^.д: + . . . + д' д" , + д'д'' .,, + д;.,д" ,

1 1+1 I 1 1 н-1 т~1 1 * + 1 т-1 +1 1 /-И т-М-2 • +.....................

-1-д'д: + д'д; + д'д:-,- . . .+д'д\

1 т 1 1 т 2 1 т Л ' 1 т т

V)

Произведение двух многозначных чисел а и Ь в общем виде

Умножение

Имея в виду, что каждый из сомножителей представляет собою многочлен вида (1), напишем произведение ab двух многозначных чисел а и & в общем виде (2).

Все частные произведения вида А-Д^, входящие в ab и имеющие одинаковые суммы индексов (¿ + к), записаны один под другим, — они одного порядка малости. Чтобы в произведении ab порядок последней значащей цифры был тот же, что и в каждом из сомножителей, в выражении (2) следует сохранить только те слагаемые AjA¿, для которых i + к^Ст-|-1. В этом случае мы избежим излишних действий и можем быть уверены, что произведение ab будет получено с такой же относительной погрешностью, как и его сомножители.

Приняв для определенности т = 5, и отбрасывая произведения с суммой индексов более 6, получим

я • ь = д;д; + д;д; + д;д;+д;д; + д;д;

+д;д; + д;д;+д;д; + д;д;

+ д;д;+д;д; + д;д;

д;д; + д;д;

+ д^д1-

Если А' и А" суть г — значные числа, то их произведения будут 2 г — значными. Разделим цифры этих произведений на такие же группы, по г цифр, как и в сомножителях. Тогда из каждого произведения Д'А" образуется по две группы:

д;д; = (д;д;). + (д;д;ь- w

Порядок первого слагаемого в (4) на г единиц больше порядка второго слагаемого. Учтя (4), выражение (3) перепишем так:

а-ь = (д; д;), + (д; д;)2 + (д; д;>2 + (д; д;)2 + (д; д;)2

+ (д; л;)! + (д; д;^ + (д; + (д; д;), + (д; д;), + (д; д;)2 + (д; д;)2 + (д; д;)2

+

+ (д;д;)^ + (д;д;)2 + (д;д;)2 + (д;д;)] + (д; Д"з),

+ (д; д;)> + (д; д;ь +(д;д;).

+ (д;д;),.

Порядок величин находящихся в одной колонке, как и сум-

ма всех индексов в них, одинаковы. Схема записи (5) является окончательной для получения произведения.

Пример. Вычислить sin 6° как произведение 2sin3° на cos3°.

Имеем:

sin 3° = 0,052 335 956 242 943 832 722 118 629 609 2 sin 3o = 0,104 671 912 485 887 665 444 237 259 218 cos 3o = 0,998 629 534 754 573 873 784 492 058 439

При вычислении на арифмометре типа „Феликс", имеющем 8 окон-в счетчике оборотов, 13 окон в результирующем счетчике и 9 рычагов для установки чисел на арифмометре, целесообразно сомножители разделить на группы по шесть цифр (г = 6). Следовательно, значения -V и Л" будут:

104 671 •Ю-о А; = 998 629- ИГ6

д!. — 912 485  ю-12 А; = 534 754- Ю-12

= 887 665' ю-18 А'1 = 573 873- Ю-18

А' 4 = 444 237 • ю-2"1 ^ - 784 492 .10-24

1 — 259 218- Ю-30 д"( - 058 439- ИГ"30

Их произведения:

А|Д104 527 496 059, .10 12 886 448, 011 285. .10 -2 Î

А ¡Д0055 973 235 934. .10"1* д3д2= 474 682 409 410. 10 -30

060 067 860 783. .10"24 а'Д" — 509 406 976 545. 10 -ЗГ>

Д^=082 113 562 132. Ю-30 443 627 951 073. ло -30

237 557 512 698. .10 -36

Д|Д1= 006 116 868 568.  ю-36 258 862 612 122. 10- - 3G

До А 911 233 983 065. 10- 18

А^Х^ 487 955 003 690. 10 24

А0А3- 523 650 504 405.10"30

AÔA^- 715 837 182 620. 10 36

Или, соответственно обозначениям (4),

(VÏ)i -- Ю4 527.10-'5 ( A J A J )L, == 490 059.10 12

(Д^ - 055 973.10м2 (AjА;,),.:: 235 934.10"1*

(Д^з), =060 067. Ю-18 (А^Ь -860 783.10 -м

(aJA.;)1 -= 082 113.10 21 (AJA562 132. КГ30

(д;л:>л =С0б 116.10 30 (AjAl), л, 868 569.10":*

- 911 233.10"12 (AgAjb -, 983 065.10~1S

(Л2Л2>1 ^ 487 955.10"1* (AgA^g -- 003 690. К) 21

(А^)1 ,-.523 650. Ю"24 (А^ : 504 405.10 30

= 837.10-30 (А;Л;>2 = 182 620.10 3(i

и так далее. При этом из двух слагаемых в д;д^, Д2Д^ д;д.^ и Д^ следует брать только одно первое, так как второе слагаемое меньше ЬЮ-30.

22

Подставив полученные значения (ДА)* и (Д)Д^)2 в (5), получим численную схему для вычисления произведений многозначных чисел (схема 1).

527 496 059 235 934 860 783 562 132

055 973 060 067 082 113 006 117

911 233 983 065 003 690 504 405

487 955 523 650 715 837

866 448 ОН 285 409 410

474 682 509 407

443 627 951 073

273 558

258 863

1* 2*

БШ 6° = 0.104 528 463 267 653 471 399 834 154 802

Суммирование по колонкам следует начинать с последней. В результате суммирования образуются цифры, относящиеся к следующей (старшей) колонке; их можно сразу класть на счеты или записывать под соответствующими цифрами старшей колонки. На схеме эти цифры помечены звездочкой.

Возведение в степень

Возведение многозначных чисел в степень можно производить по схеме, составленной для умножения (схема 1). Однако при возведении чисел в квадрат лучше пользоваться другой, более компактной, схемой.

Приняв прежние обозначения, способ разделения на группы, число групп и число цифр в группах, составим схему для квадрата многозначного числа а.

а = \ + Ь2 + Д3 + Д4 + Д5 о? = д? + д22 + Д! + д| + Д§ + 2 ДА + 2 ДА + 2 ДА + 2 ДА + 2 ДА + 2 ДА + 2 ДА + 2 Д3Д4 + 2 Д3Д5 + 2 ДА-

Удерживая члены с суммой индексов до шести и группируя их в колонки по принципу одинаковой суммы индексов, получим

. а2 ^ Д? + 2Д А + 2ДА + 2ДА + 2ДА

+ Д* +2ДА + 2ДА

Полученные квадраты и произведения разделим опять на группы по такому же принципу, как и ранее (4):

= (Д*), + (Д2)2

2Д,.Д, = 2(ДЛ). + 2(ДЛ)2,

и, подставляя их в выражение (6), получим окончательно

а2-(Д?),+(АП2 +(¿1)! +(ДЗ)2 +

2 (ДД,), + 2 (Д,Д2)2 + 2 (Д,Д3)2 + 2 (Д,Д,),,

+ 2

+ 2(Д2Д3)1 + 2(Д2Д3)2

+ 2(ДЛ)1-

Произведения можно записывать в схему, не удваивая, но при суммировании их нужно складывать в первую очередь, и, удвоив полученное, прибавить А?, которые для удобства вычислений отнесены к первой строке схемы.

Пример. Вычислить квадрат 6°:

Д! = 104 528.10-

Д2- 463 267.10- -12

Д3 = 653 471.10 -1«

Д. = 399 834.10~ -21

Д3 = 154 802.10- -30

Д? =010 926 102 784.10"1- Д; = 214 616 313 289. ш-24

ЛЛ = 048 424 372 976.10~18 Д,Д:, = 302 731 549 757 . ю-30

Д;Д: - 068 306 016 688.Ю-24 (ДА)! = 185 230 .ю-*1

Д,Д4 = 041 793 848 352.10~30 (А§), = = 427 024. 10 "

(ДЛ)1 =016 181 .10" -30

(!хема

б» =-0,010 926 102 784 214 616 313 289 427 024

048 424 372 976 016 688 848 352

068 306 041 793 016 181

302 731 549 757 185 230

1 1 3

6« = 0,010.926 199 633 097 181 035 716 626 064

Для получения любой степени многозначного числа можно воспользоваться биноминальным рядом

(а0 -1- А а)г " 1 ' ' 1а

ап

л - [ 1

а,

ап ио

п А а , п(п—\) [ Аа\2 , п(п.....1) </г — 2) / А а

1! 2! V а0 / 3! \ ао

где за а0 можно принять первую группу числа а. С другой стороны.

') Цифры этих строк при суммировании удваивать; их складывать в первую оче-

редь.

24

любую степень можно получить, применяя правила умножения и возведения в квадрат.

Процесс возведения в квадрат 30—36-значного числа на арифмометре занимает 8 —10 минут, а умножение таких же чисел — раза в полтора больше.

Деление

Деление многозначных чисел на многозначные — процесс более сложный, чем умножение и возведение в квадрат. Деление многозначных чисел на 6—7-значные числа на арифмометре выполняется сравнительно просто. Оно производится путем набора делимого на результативную каретку в несколько приемов. Так, поставив на рычагах делитель, на результирующий счетчик набирают делимое. На счетчике оборотов получится частное от деления. За один прием можно получить 7—8 цифр. После этого следует на рычагах поставить неполные цифры делимого и, сняв все цифры с результирующего счетчика, поставить его в левой части счетчика. Установив снова делимое и сняв цифры со счетчика оборотов, продолжать набор делителя. Так, 36-знач-ное число можно поделить на шестизначное за 5 — 6 приемов.

Деление многозначных чисел на многозначные непосредственно на обычном арифмометре невозможно, но его можно заменить сравнительно простыми действиями: делением многозначного числа на 5-7-значное, умножением и возведением в степень многозначных чисел. Рассмотрим порядок работы.

Пусть требуется найти частное от деления многозначного числа а на многозначное число Ь.

а а а / , Д6

b bQ-\-kb bn

дг? / a¿> \2 / ьь

i — ——

&a \ & o V ¿o

a

N,

bo

где b{] — приближенное значение числа b — первые шесть или семь значащих цифр.

Если за Ь0 взята первая группа числа b, то при разложении в ряд следует ограничиться степенью т—1 (т — число групп делителя). Пример. Найти tg6°, как частное от деления sin 6° на cos 6°. а = sin 6° = 0,104 528 463 267 653 471 399 834 154 802 b = cos 6o -= 0,994 521 895 368 273 336 922 691 944 981 b0 = 0,994 521

Д/> = 0,000 000

ьь

bfl -П

ь

А Ь\2

= 0,000 000

895 368 273 336 922 691 944 981

900 301 022 639 967 071 529 893

000 000 810 541 890 601 000 513

20 381 914 339

870 655

А ¿Л2

— - 0,000 000 000 000 810 541 931 366 570 501

bo)

0,000 000 000 000 000 000 729 730 872 841

о /

838 510 18 351

/ Д6\3

(у) -0,000 ООО ООО ООО ГОО ООО 729 731 729 702

/ДМ 4

1=0, ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО 656 978

N = 0,999 999 099 699 787 901 234 563 967 884

— = 0,105 104 329 891 126 955 991 712 784 953 h

а

— N = 0,1 Ьо

103 894 896 763 696 546 704 509 552

010 478 082 811 024 653 101 729

329 890 670 109 802 809 448 791

032 889 259 921 077 381

126 954 873 045 286 545

012 657 100 028

991 711 008 288

098 873

748 953

1 1 3 2

lg 6° — 0,105 104 235 265 676 462 511 502 380 140

/Д Ь\2 /ДМЗ /ДМ4 II р и м е ч а и и е. При массовых вычислениях нули в — , — и — писать

\ ¿о / \ h 1 \h! а

не следует, как это делалось при умножении -— на N.

Извлечение корня

Рассмотренные выше правила и приемы действий с многозначными числами позволяют нам сравнительно просто решить задачу и извлечения корней любой степени с большой степенью точности при помощи арифмометра. Для решения этой задачи воспользуемся опять биноминальным рядом:

Л/. 1 1-Я

/ 1+jc -1+---—-¿Ц--л'3 +

+

п-2п-3п-4п

Возьмем для примера п = 2

Да. \ У

где

__ -______/ \

| а = у а0 --[ Да = У а„ [ I — )

V Яо I

Да \Л __ 1 Да 1 / Vi 1 / Аа 2 " 2 а„ 8 \ а(1 / 16

Да \4 , 7 /Да \5 21 / Да

I"

128 \ а0 ! 256 \ а„ I 1024 \ аи

)

I 1024 \ а..

33 I V _ 429 _ + 75 I Ла

2048 \ а0 I 32768 \ а, I 65536 2431 /' Да \К1 , 4199 / Да \" 29393 / Да

262144 \ ап 1 524288 \ ап I 4194304 \ а

О ! . \ ""О 1 ^1 \

676039 / Да \13 16900975 / Да V1

О/ОШУ / ^а шушу/О

109051904V а0 / 3053453312

а0

Для того, чтобы объем. вычислительных работ при решении этой задачи был по возможности меньше, следует обратить внимание на выбор числа а0:

1) корень из него должен извлекаться без остатка;

2) число а0 должно быть по возможности больше, чтобы отношение было меньше, а сходимость ряда быстрее;

«о

3) если в числе а0 будет много цифр (больше 6—7), то деление

Да

на него осложнится и вычислении при нахождении - приоа-

а0

вится, но в отдельных случаях это может быть в целом и выгодно.

Пример. Найти значение У 0,75 с 60 значащими цифрами.

Примем а0 - 0,749 956. Тогда = 0,866 и Да - 0,000044. Не-посредственное вычисление показывает, что для определения ]/*0,75 с 60 знаками нужно взять 14 членов ряда (10). В результате подсчета мы получили 62 верных цифры (см. стр. 27—29).

Вычисление корней по такой схеме занимает сравнительно с возведением в квадрат и умножением много времени. На вычисление корня с точностью до 10~60 — Ю-70 при некотором навыке и знакомстве с порядком вычислений потребуется 10—12 часов. Очевидно, что вычисление корней с меньшей точностью, когда учету будет подлежать меньшее число членов ряда и вычисляться они должны с меньшей точностью, затрата времени значительно сократится.

Вычисление квадратных корней может выполняться и по другой схеме. Зная, что извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень, для решения этой задачи молено воспользоваться схемой возведения в квадрат (схема II). Перепишем выражение (7) в таком виде:

а2 = (Д2), + (Л?), + (Д2), + (Д|)2 I- (Д2), + ...

+ 2(Д1Д2)1 ^2(^)3 + 2(^3)2 +2(^4),+...

• -ЧД.А:,), ; 2 (ДА), • 2(А,Д:/), : ...

+ 2(Д2Д3), + 2(Д2Л,)2 ' ... ____+2(Д2Д4)1 + ..._

> I > I -4 I ^ I ^ I

а- = 01 °2 + °3 Т°5 1" ~Г

При извлечении корня в этой схеме нам будут известны ^ о2, о3... Задача будет состоять в нахождении Дь Д2. Д3... Искомое Д! может

27

LO

co

cr>

LO

OO

co o

lO O)

CO

r- oc

CS

CO CC

co ,__

_ CC CS

LO co cO

LO t--

CO r- r- DO

LO

CO 10 co

es CH CD «0

o CO CD co

o LO O CS

co t -

co 00 0 CS

0 CS LO CS es co CS O es

co ro 0 co co CN CN es cO CO 00 es CN

íC 0 CS r-. 00 05 LO co cO iO 10 00 es

Ci CO LO co LO ^ es 0 10 Ci

ÍO co Tf r-LO CC rs 0 co 00 0 es 0

CO OO CO £ LO 0 LO O

O co CM co ta O <0 00 LO LO

CO 00 LO rf rico 0 CS 00 O <£> O

O" tt 0 11 O*" ¡I 0 11 0" Ü

11 O 1: CC 0 ¡1 Cl O II 0 H 1 0 <M 0

»O CS r—'

OO CC en

JO co

co CS

cO

00 es

Oi _« i,

O

co 10

co cs CO

00 LO CO

0 CO o>

LO 00 00

CO CS cO

h- Oi O

O co

CS

O 0 O

O" (i 0 II O

11 H X i) C1

C-t c>i co

0 O 0

T—'

cs

0

1.0 (T>

co

cc —.

LO

O

CS 00

CS xO cO

CO LO 0

0 00 0 es

-T* co

• ^t 00 CO

co CO t-

0 0 iO

C0 CS 00 00

rf co 00 h-

CO 0 1 CS

0 CO CC 0

co co co

co .—M CS

CO es f

co CS LO co

co co co co

CS OO 00 CO

00 Tf CS <

0 0 0 0

0 0 0 0

0" t¡ (t 0" 0

11 «0 11 0 1) lí

ó 0 0

•*—

Д<2

l-tf. — = 1,000 029 $35 054 323 1 86 960 30* 671031 367173 540847 729 733 477 697 358 215 ОГО

k,(-ÛY=- ¡2 622 (73 206 4ll 6I5 701 3S2 742 851 568 373 754 990 316 929 526 9

к. J' = 19 008 267 581 672 929 554 316 402 £96 402 991 378 713 1

Kri—V= 38 556 911 156 233 888 377 884 372 932 356 7

'Л я\9

к<} [ — j = 89 862 426 880 291 015 316 345 3

/

' Дл\ il

/си(— = 227 071 053 034 9517

*o

" 3 Uo I

605 003 8

Sj = 1,000 029 335 054 335 809 033 527 090 911 638 786 121 409 710 8?5 314 722 108 441 914 5 V = 0,000 000 OuO 430 272 706 072 164 984 770 281 649 903 673 241-263 523 551 054 556 454 9

J

* П6 -

/

¿8

/с, [—У = 462 836 503 976 659 206 390 808 832 008 <84 898 130 335 267 1

836 412 843 147 073 528 703 605 659 124 006 695 7

1 837 987 260 366 423 509 525 047 245 9

\а0

K10(~')1J= 4 481 402 596 049 480 200 0

1 i 656 997 933 О 317 О

'.До \ао /

РГ

/

0,000 они ООО 430 272 703 535 001 489 583 353 701 234 541 863 823 9^0 225 540 421 023 3 1,000 029 334 624 063 102 498 525 601 331 335 084 839 956 844 001 374 496 568 017 886 7 ,______ ,__/ Л а\ 1

/0775 «/л,(1 + — 2 = 0,866 (Si—I,)-

\ /

/Tfjo  0,866 025 403 784 438 640 763 72i 170 752 936 183 471402 626 905 190 314 027 9 3; 489

(lay

Примечание, 4epei к^ обозначены коэффициенты при — (формула 10).

\«о 1

быть получено любым из известных нам способов: на арифмометре, из таблиц или, наконец, вычислением на бумаге. Зная А1( мы можем получить Д?, которое в схеме записано как

+ (д?)з-

Тогда из второй колонки схемы получим Д2.

(Д2)2-Ь2(Д1Д2)1=3,;

Д1

Возведя Д2 в квадрат и подставив его в схему, из третьей колонки сможем получить Д3.

3, —(Д|), —2( Д,Д2)2

=~" д;

Затем найдем

84-(А?)2-2(Д,Аа)2-2(Д.Л)1

2 Д,

А,

и так далее.

Такой способ вычисления несравненно проще вышеприведенного, но в нем имеется существенный недостаток,—значения Дь Д2, Д:>... из написанных выше выражений могут быть найдены с ошибками порядка одной-двух единиц последнего знака группы. Однако при соответствующем навыке вычислений этот недостаток не будет иметь серьезного препятствия.

Вычисление корней с любым показателем подобно вычислению квадратного корня. Ниже приводятся ряды для получения корней 3, 4 и 5 степени.

ал-гТ- 1  1 1,5, Ю

у \ X — 1 -X-------Л*-----Л"'--X' —

3 9 81 243

, 22 - 154 , , х-'

4

729 6561

г---1 , 1 * 3 , 7 , 77 5

1 -ь X = 1 Н--X--Л'--;--------Л"'----X'

4 32 128 2048

, 231 - 1461 , ,

х°-------X1' + ...

8192 65536

1 . 1 2 , , 6 21 ,

у 1 — х = 1 -— - • х--х- Н-----Х-'----X'1 -4-

5 25 125 625

. 399 - 1596 г ,

х"--------х'1 4- ...

15625 78125

В целом все действия с многозначными числами сводятся к умножению и возведению в квадрат этих чисел и к делению их на 6 — 7-значные числа.

Таблицы тригонометрических функций

Авторами настоящей работы предлагаемые методы оперирования с многозначными числами были применены для ряда вычислений при составлении геодезических таблиц. Одним из наиболее крупных ра-

29

счетов такого рода было вычисление авторами таблицы синусов и косинусов с 27 знаками после запятой, которые и приводятся в приложениях 1 и 2.

Значения тригонометрических функций вычислены по формулам суммы и разности аргументов и по формулам двойных и тройных углов.

sin (х ± A) — sin х-cos//. ± cos х• sin А, cos (х + h) cos х-cos А + sin х-sin А, sin 2х = 2 sin х cos x, cos 2x = cos2x — sin2 x, sin3x = sinx (4cos2 x — 1),

cos3x = cosx(l — 4sin2x).

При использовании в вычислениях косинуса малых углов брались его дополнения до единицы.

cos А — 1 —zh\ cos x — 1 — £v. sin (x + h) ~ sin x + sin A — зЛ sin x — зЛ. sin A. cos2 A = (1 - eh)* = (l+al)-2eh.

Объем вычислений в этом случае сокращается в 1,5 — 2 раза.

Непосредственным вычислением из рядов получены значения синусов и косинусов Io, Г, 1", 10°, 10', 10", 6', 15', 40', 50' и 17° с точностью не менее, чем до 1.10~33. Кроме того, вычислены Y2 с точностью до 1.10-42 и Y 0,75 с точностью до 1.10-66, дающие синус и косинус 45°, косинус 30° и синус 60°.

Вычисления начаты с получения значений — и -^—.Значение — ,

Р я! Р°

равное __ , получено путем набора числа тг на результирую-

180

щей каретке арифмометра. Результаты вычислений основных данных приведены в приложениях 3—8.

Таким образом, пользуясь описанными выше приемами работы, можно на арифмометре производить вычисления с любым числом значащих цифр.

ТАБЛИЦЫ

27-ЗНАЧНЫХ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ И ИХ КВАДРАТОВ

ЧЕРЕЗ Г

SinA-

0,017 452 0,034 899 0,052 335 0,069 756 0,087 155

406 437 496 702 956 242 473 744 742 747

283 512 500 971 943 832 125 300 658 173

819 418 645 995 722 118

775 958 558 064

979 182 630 835 271

89е 88 87 86 85

6 0,104 528 463 267 653 471 399 834 155 84

7 0,121 869 343 405 147 481 112 893 919 83

8 0,139 173 100 960 065 444 112 496 663 82

9 0,156 434 465 040 230 869 010 105 319 81

10 0,173 468 177 666 930 348 851 716 627 80

11 0,190

12 0,207

13 0,224

14 0,241

15 0,258

808 995 376

911 690 817

951 054 343

921 895 599

819 045 102

544 812 405 140

759 337 101 742

864 998 051 107

667 722 560 442

520 762 348 898

488 79

284 78

208 77

374 76

838 75

16 0,275 637 355 816 999 185 649 971 575 74

17 0,292 371 704 722 736 728 097 468 695 73

18 0,309 016 994 374 947 424 102 293 417 72

19 0,325 568 154 457 156 668 714 008 936 71

20 0,342 020 143 325 668 733 044 099 615 70

21 0,358

22 0,374

23 0,390

24 0,406

25 0,422

367 949 545

606 592 415

731 128 489

736 643 075

618 261 740

300 273 484 137

912 035 414 963

273 755 062 084

800 207 753 985

699 436 186 978

789 69

775 68

589 67

990 66

490 65

26 0,438

27 0,453

28 0,469

29 0,484

30 0,500

371 146 789

990 499 739

471 562 785

809 620 246

ООО ООО ООО

077 417 452 734

546 791 560 408

890 775 959 462

337 029 075 379

ООО ООО ООО ООО

541 64

366 63

288 62

622 61

ООО 60

31 0,515

32 0,529

33 0,544

34 0,559

35 0,573

038 074 910

919 264 233

639 035 015

192 903 470

576 436 351

054 210 081 631

204 954 046 781

027 082 224 083

746 830 160 428

046 0У6 108 031

936 59

152 58

692 57

140 56

913 55-

36 0,587 785 252 292 473 129 168 705 955 54

37 0,601 815 023 152 048 279 917 977 ООО 53

38 0,615 661 475 325 658 279 668 811 093 52

39 0,629 320 391 049 837 452 705 902 458 51

40 0,642 787 609 686 539 326 322 643 410 50

41 0,656 059 028 990 507 284 782 495 964 49

42 0,669 130 606 358 858 213 826 273 331 48

43 0,681 998 360 062 498 500 442 225 785 47

44 0,694 658 370 458 997 286 656 406 299 46

45е 0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 45°

46° 0,719 339 800 338 651 139 356 054 674 44'

47 0,731 353 701 619 170 483 287 543 608 43

48 0,743 144 825 477 394 235 014 697 049 42

49 0,754 709 580 222 771 997 942 984 220 41

50 0,766 044 443 118 978 035 202 392 651 40

51 0,777 145 961 456 970 879 979 937 744 39

52 0,788 010 753 606 721 956 693 977 788 38

53 0,798 635 510 047 292 846 284 000 804 37

54 0,809 016 994 374 947 424 102 293 417 36

55 0,819 152 044 288 991 789 684 488 386 35

56 0,829 037 572 555 041 692 006 336 842 34

57 0,838 670 567 945 424 029 637 590 942 33

58 0,848 048 096 156 425 970 386 176 179 32

59 0,857 167 300 702 112 287 465 217 980 31

60 0,866 025 403 784 438 646 763 723 171 30

61 0,874 619 707 139 395 800 284 636 959 29

62 0,882 947 592 858 926 942 032 171 360 28

63 0,891 006 524 188 367 862 359 709 571 27

64 0,898 794 046 299 166 992 782 295 677 26

65 0,906 307 787 036 649 963 242 552 657 25

66 0,913 545 457 642 600 895 502 127 572 24

67 0,920 504 853 452 440 327 396 894 723 23

68 0,927 183 854 566 787 400 806 474 451 22

69 0,933 580 426 497 201 748 990 043 063 21

70 0,939 692 620 785 908 384 054 109 277 20

71 0,945 518 575 599 316 810 348 124 708 19

72 0,951 056 516 295 153 572 116 439 333 18

73 0,956 304 755 963 035 481 338 650 817 17

74 0,961 261 695 938 318 861 916 497 049 16

75 0,965 925 826 289 068 286 749 743 200 15

76 0,970 295 726 275 996 472 306 377 874 14

77 0,974 370 064 785 235 228 539 694 480 13

78 0,978 147 600 733 805 637 928 566 748 12

79 0,981 627 183 447 663 953 496 504 900 11

80 0,984 807 753 012 208 059 336 743 025 10

81 0,987 688 340 595 137 726 190 040 248 9

82 0,990 268 068 741 570 315 083 774 867 8

83 0,992 546 151 641 322 034 980 061 589 7

84 0,994 521 895 368 273 336 922 691 945 6

85 0,996 194 698 091 745 532 295 010 402 5

86 0,997 564 050 259 824 247 613 162 681 4

87 0,998 629 534 754 573 873 784 492 058 3

88 0,999 390 827 019 095 730 006 243 440 2

89 0,999 847 695 156 391 239 157 011 559 1

90° 0,000 ООО 000 000 000 000 000 000 000 0'

СобЛ-

3. Известия ТПИ, том 118.

33

Бт2^

Таблица 2

1° 0,000 304 586 490 452 134 996 878 280 89°

2 0,001 217 974 870 087 876 193 418 660 88

3 0,002 739 052 315 863 331 538 654 028 87

4 0,004 865 965 629 214 842 458 112 566 86

5 0,007 596 123 493 895 970 316 628 488 85

6 0,010 926 199 633 097 181 035 716 626 84

7 0,014 852 136 862 001 763 846 811 063 83

8 0,019 369 152 030 840 569 041 751 476 82

9 0,024 471 741 852 423 213 941 780 333 81

10 0,030 153 689 607 045 807 972 945 361 80

11 0,036 408 072 716 606 299 596 762 774 79

12 0,043 227 271 178 699 552 248 936 214 78

13 0,050 602 976 850 416 503 608 852 162 77

14 0,058 526 203 570 536 528 983 914 320 76

15 0,066 987 298 107 780 676 618 138 415 75

16 0,075 975 951 921 787 014 806 911 911 74

17 0,085 481 213 722 479 153 996 831 579 73

18 0,095 491 502 812 526 287 948 853 291 72

19 0,105 994 623 196 639 021 653 011 106 71

20 0,116 977 778 440 510 982 398 803 675 70

21 0,128 427 587 261 302 882 492 651 476 69

22 0,140 330 099 830 674 430 321 972 663 68

23 0,152 670 814 770 501 356 671 796 850 67

24 0,165 434 696 820 570 893 086 863 335 66

25 0,178 606 195 156 730 336 838 678 295 65

26 0,192 169 262 337 170 860 165 594 454 64

27 0,206 107 373 853 763 435 415 647 023 63

28 0,220 403 548 264 626 584 919 785 930 62

29 0,235 040 367 883 397 522 976 609 424 61

30 0,250 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО 60

31 0,265 264 218 607 054 612 020 268 856 59

32 0,280 814 426 605 461 291 273 632 730 58

33 0,296 631 678 462 099 896 123 007 005 57

34 0,312 696 703 292 043 982 292 518 113 56

35 0,328 989 928 337 165 633 477 950 193 55

36 0,345 491 502 812 526 287 948 853 291 54

37 0,362 181 322 091 500 407 175 014 213 53

38 0,379 039 052 200 166 138 719 778 813 52

39 0,396 044 154 591 120 331 449 128 858 51

40 0,413 175 911 166 534 825 574 141 687 50

41 0,430 413 449 519 967 277 943 751 668 49

42 0,447 735 768 366 173 264 300 082 923 48

43 0,465 121 763 127 937 349 612 020 582 47

44 0,482 550 251 648 749 514 177 002 409 46

45° 0,500 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО 45°

Соэ2*

Б\п*Х

46° 0,517 449 748 351 250 485 822 997 591 44(

47 0,534 878 236 872 062 650 387 979 418 43

48 0,552 264 231 633 826 735 699 917 077 42

49 0,569 586 550 480 032 722 056 248 332 41

50 0,586 824 088 833 465 174 425 858 313 40

51 0,603 955 845 408 879 669 550 871 142 39

52 0,620 960 947 799 833 861 280 221 187 38

53 0,637 817 677 908 499 592 824 985 787 37

54 0,654 508 497 187 473 712 051 146 709 36

55 0,671 010 071 662 834 366 522 049 807 35

56 0,687 303 296 707 956 017 707 481 887 34

57 0,703 368 321 537 900 103 876 992 995 33

58 0,719 185 573 394 538 708 726 367 270 32

59 0,734 735 781 392 945 387 979 731 144 31

60 0,750 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО 30

61 0,764 959 632 116 602 477 023 390 576 29

62 0,779 596 451 735 373 415 080 214 070 28

63 0,793 892 626 146 236 564 584 352 977 27

64 0,807 830 737 662 829 139 834 405 546 26

65 0,821 393 804 843 269 663 161 321 705 25

66 0,834 565 303 179 429 106 913 136 665 24

67 0,847 329 185 229 498 643 328 203 150 23

68 0,859 669 900 169 325 569 678 027 337 22

69 0,871 572 412 738 697 117 507 348 524 21

70 0,883 022 221 559 489 017 601 196 325 20

71 0,894 005 376 803 360 978 346 988 804 19

72 0,901 508 497 187 473 712 051 146 709 18

73 0,914 518 786 277 520 846 003 168 421 17

74 0,924 024 048 078 212 985 193 088 089 16

75 0,933 012 701 892 219 323 381 861 585 15

76 0,941 473 796 429 463 471 016 085 680 14

77 0,949 397 023 149 583 496 391 147 838 13

78 0,956 772 728 821 300 447 751 063 786 12

79 0,963 591 927 283 393 700 403 237 226 11

80 0,969 846 310 392 954 192 027 054 639 10

81 0,975 528 258 147 576 786 058 219 667 9

82 0,980 630 847 969 159 430 958 248 524 8

83 0,985 147 863 137 998 236 153 188 937 7

84 0,989 073 800 366 902 818 964 283 374 6

35 0,992 403 876 506 104 029 683 371 512 5

86 0,995 134 034 370 785 157 541 887 434 4

87 0,997 260 947 684 136 668 461 345 972 3

88 0,998 782 025 129 912 123 806 581 340 2

89 0,999 695 413 509 547 865 003 121 720 1

90° 1,000 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО 0°

Соэ2^

ТАБЛИЦЫ

27-ЗНАЧНЫХ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ ЧЕРЕЗ V В ПРЕДЕЛАХ ОДНОГО ГРАДУСА И ЧЕРЕЗ 1" В ПРЕДЕЛАХ ОДНОЙ МИНУТЫ

SinA' Таблица 3

г 0,000 290 888 204 563 424 596 374 297

2 0,000 581 776 384 513 067 610 614 395

3 0,000 872 664 515 235 149 543 304 589

4 9,001 163 552 572 115 895 060 465 990

5 0,001 454 440 530 541 535 076 274 491

ö 0,001 745 328 365 898 308 835 778 203

7 0,002 036 216 053 572 465 997 614 191

8 0,002 327 013 568 950 268 716 724 326

9 0,002 617 990 887 417 993 727 070 078

10 0,002 908 877 984 361 934 424 346 077

11 0,003 199 764 835 168 402 948 692 265

12 0,003 490 651 415 223 732 267 404 463

13 0,003 781 537 699 914 278 257 643 169

14 0,004 072 423 664 626 421 789 140 428

15 6,004 363 309 284 746 570 806 904 576

16 0,004 654 194 535 661 162 413 922 704

17 0,004 945 079 392 756 664 953 860 643

18 0,005 235 963 831 419 580 093 760 318

19 0,005 526 847 827 036 444 906 734 273

20 0,005 817 731 354 993 833 954 657 202

21 0,006 108 614 390 678 361 370 854 312

22 0,006 399 496 909 476 682 942 786 334

23 0,006 690 378 886 775 498 194 731 007

24 0,006 981 260 297 961 552 470 460 868

25 0,007 272 141 118 421 639 015 917 161

26 0,007 563 021 323 542 601 061 879 689

27 0,007 853 900 888 711 333 906 632 445

28 0,008 144 779 789 314 786 998 624 831

29 0,008 435 658 ООО 739 966 019 128 295

30 0,008 726 535 498 373 934 964 888 214

31 0,009 017 412 257 603 818 230 770 838

32 0,009 308 288 253 816 802 692 405 128

33 0,009 599 162 950 400 139 788 819 301

34 0,009 890 037 858 741 3 47 605 071 917

35 0,010 180 911 418 227 212 954 877 329

36 0,010 471 784 116 245 793 463 225 307

37 0,010 762 655 928 184 419 648 994 680

38 0,011 053 526 829 430 697 007 560 808

39 0,011 344 396 795 372 308 093 396 707

40 0,011 635 265 801 397 014 602 667 655

41 0,011 926 133 822 892 659 455 819 103

42 0,012 217 ООО 835 247 168 880 157 711

43 0,012 507 866 813 848 554 492 425 335

44 0,012 798 738 734 084 915 381 365 790

45 0,013 089 595 571 344 440 190 284 210

46 0,013 380 458 301 015 409 199 598 832

47 0,013 671 319 386 486 196 409 385 025

48 0,013 962 180 339 145 271 621 911 388

49 0,014 253 039 598 381 202 524 167 743

50 0,014 543 897 651 582 656 770 384 846

51 0,014 834 754 474 138 404 064 545 635

52 0,015 125 610 041 437 318 242 887 850

53 0,015 416 464 328 868 379 356 397 834

54 0,015 707 317 311 820 675 753 295 353

55 0,015 998 168 965 683 406 161 509 250

56 0,016 289 019 265 845 881 771 143 754

57 0,016 579 868 187 697 528 316 935 284

58 0,016 870 715 706 627 888 160 699 552

59 0,017 161 561 798 026 622 373 768 796

60' 0,017 452 406 437 283 512 819 418 979

СоэА-

1' 0,999 999

2 999

3 999

4 999

5 998

6 998

7 997

8 997

9 996

10 995

11 994

12 993

13 992

14 991

15 990

16 989

17 987

18 986

19 984

20 983

21 981

22 979

23 977

24 975

25 973

26 971

27 969

28 966

29 964

30 961

31 959

32 956

33 953

34 951

35 948

36 945

37 942

38 938

39 935

40 932

41 928

42 925

43 921

44 918

45 914

46 910

47 906

48 902

49 898

50 894

51 889

52 885

53 881

54 876

55 872

56 867

57 862

58 857

59 852

60' 0,999 847

957 692 025 327 830 768 104 891 619 228 249 431 323 072 476 845 942 300 812 195

476 913 287 698

926 909 942 735

292 290 823 844

573 055 984 725

769 205 486 236

880 739 396 395 907 657 790 381 849 960 750 532 707 648 366 347 840 720 734 483

169 177 958 757

773 020 150 148

292 247 426 792

726 859 913 987

076 857 744 188

342 241 057 014

523 009 999 239 619 164 724 800 630 705 394 793 557 632 177 472

399 945 248 254

157 644 789 127

830 730 991 581

419 204 050 755 923 064 171 288

342 311 564 393

676 946 448 443

926 969 048 970

092 379 598 666

173 178 337 383

169 369 512 131

080 941 377 082

907 906 193 565

650 260 230 069

308 003 762 243

881 137 072 895 369 660 451 994 773 574 196 666 092 378 611 196 327 574 007 032

477 660 702 777

543 139 024 195

524 009 304 211

420 271 882 906 231 927 107 522

958 975 332 460 601 416 919 279 159 252 236 699 362 481 660 598 021 105 574 012

325 124 367 138

544 538 437 331 679 348 189 103 729 554 034 129 695 156 391 239

951 262 487

734 491 650

137 709 674

806 610 470

243 045 082

802 901 248

693 377 134

969 649 224

530 934 370

115 946 012

297 744 560

477 981 931

880 540 264

544 564 790

316 890 870

843 865 202

562 561 189

691 388 480

220 096 677

899 173 210

228 635 385

446 216 600

514 946 735

110 126 714

605 697 241

060 001 713

200 943 309

410 536 252

708 851 260

737 355 165

741 644 727

553 574 620

572 779 610

747 590 915

555 346 758

982 097 101

501 702 584

054 327 639

024 327 820

217 531 309

837 914 637

463 672 597

022 682 362

767 361 809

248 922 047

291 014 159

962 770 149

551 238 108

533 211 593

546 453 227

360 312 518

845 737 897

944 682 994

638 907 128

918 170 038

747 820 844

035 781 244

598 922 954

128 839 382

157 011 559

СобЛ-

1" 0,999 999 999 988 247 784 730 474 076

2 999 952 991 138 922 172 534

3 999 894 230 062 575 924 061

4 999 811 964 555 693 109 802

5 999 706 194 618 275 663 362

6 999 576 920 250 326 070 802

7 999 424 141 451 847 370 644

8 999 247 858 222 843 153 865

9 999 048 070 563 317 563 902

10 998 824 778 473 275 296 652

11 998 577 981 952 721 600 467

12 998 307 681 001 662 276 158

13 998 013 875 620 ЮЗ 676 996

14 997 696 565 808 052 708 710

15 997 355 751 565 516 829 484

16 996 991 432 892 504 049 965

17 996 603 609 789 022 933 255

18 996 192 282 255 082 594 915

19 995 757 450 290 692 702 964

20 995 299 113 895 863 477 882

21 994 817 273 070 605 692 602

22 994 311 927 814 930 672 520

23 993 783 078 128 850 295 488

24 993 230 724 012 376 991 817

25 992 654 865 465 523 744 275

26 992 055 502 488 304 088 090

27 919 432 635 080 732 110 948

28 990 786 263 242 822 452 992

29 990 116 386 974 590 306 824

30 989 423 006 276 051 417 504

31 988 706 121 147 222 082 550

32 987 965 731 588 119 151 941

33 987 201 837 598 760 028 109

34 986 414 439 179 162 665 950

35 985 603 536 329 345 572 813

36 984 769 129 049 327 808 509

37 983 911 217 339 128 985 306

38 983 029 801 198 769 267 930

39 982 124 880 628 269 373 565

40 981 196 455 627 650 571 854

41 980 244 526 196 934 684 899

42 979 269 092 336 144 087 257

43 978 270 154 045 301 705 947

44 977 247 711 324 431 020 445

45 976 201 764 173 556 062 684

46 975 132 312 592 701 417 056

47 974 039 356 581 892 220 411

48 972 922 896 141 154 162 060

49 971 782 931 270 513 483 767

50 970 619 461 969 996 979 759

51 969 432 488 239 631 996 719

52 968 222 010 079 446 433 788

53 966 988 027 489 468 742 566

54 965 730 540 469 727 927 112

55 964 449 549 020 253 543 941

56 963 145 053 141 075 702 028

57 961 817 052 832 225 062 806

58 960 465 548 093 732 840 166

59 959 090 538 925 630 800 457

60' 0,999 999 957 692 025 327 951 262 487

СобА

1" 0,999 999 999 988 247 784 730 474 076

2 999 952 991 138 922 172 534

3 999 894 230 062 575 924 061

4 999 811 964 555 693 109 802

5 999 706 194 618 275 663 362

6 999 576 920 250 326 070 802

7 999 424 141 451 847 370 644

8 999 247 858 222 843 153 865

9 999 048 070 563 317 563 902

10 998 824 778 473 275 296 652

11 998 577 981 952 721 600 467

12 998 307 681 001 662 276 158

13 998 013 875 620 ЮЗ 676 996

14 997 696 565 808 052 708 710

15 997 355 751 565 516 829 484

16 996 991 432 892 504 049 965

17 996 603 609 789 022 933 255

18 996 192 282 255 082 594 915

19 995 757 450 290 692 702 964

20 995 299 113 895 863 477 882

21 994 817 273 070 605 692 602

22 994 311 927 814 930 672 520

23 993 783 078 128 850 295 488

24 993 230 724 012 376 991 817

25 992 654 865 465 523 744 275

26 992 055 502 488 304 088 090

27 919 432 635 080 732 110 948

28 990 786 263 242 822 452 992

29 990 116 386 974 590 306 824

30 989 423 006 276 051 417 504

31 988 706 121 147 222 082 550

32 987 965 731 588 119 151 941

33 987 201 837 598 760 028 109

34 986 414 439 179 162 665 950

35 985 603 536 329 345 572 813

36 984 769 129 049 327 808 509

37 983 911 217 339 128 985 306

38 983 029 801 198 769 267 930

39 982 124 880 628 269 373 565

40 981 196 455 627 650 571 854

41 980 244 526 196 934 684 899

42 979 269 092 336 144 087 257

43 978 270 154 045 301 705 947

44 977 247 711 324 431 020 445

45 976 201 764 173 556 062 684

46 975 132 312 592 701 417 056

47 974 039 356 581 892 220 411

48 972 922 896 141 154 162 060

49 971 782 931 270 513 483 767

50 970 619 461 969 996 979 759

51 969 432 488 239 631 996 719

52 968 222 010 079 446 433 788

53 966 988 027 489 468 742 566

54 965 730 540 469 727 927 112

55 964 449 549 020 253 543 941

56 963 145 053 141 075 702 028

57 961 817 052 832 225 062 806

58 960 465 548 093 732 840 166

59 959 090 538 925 630 800 457

60' 0,999 999 957 692 025 327 951 262 487

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

7t = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279

399 375 105 820 974 944 592 307 816 406

/2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209

875 376 948 073 176 679 738

/з- 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505

253 810 380 628 055 806 979 452

1 Р° "" 0,017 453 292 519 943 295 769 236 907 684

г 718 885 417 254 560 971 914 402

1 р' 0,000 290 888 208 665 721 596 153 948 461

г 811 981 423 620 909 349 531 906 694

1 р" ™ 0,000 004 848 136 811 095 359 935 899 141

563 533 023 727 015 155 825 531 778

sin 1° 0,017 452 720 307 406 437 139 642 283 512 68 819 418 978 516

cosí - 0,999 847 310 583 695 156 185 939 391 239 66 157 011 558 813

si n 1' = 0,000 290 946 872 888 204 185 563 424 596 374 297 415

cosí' - 0,999 999 468 518 957 692 206 025 327 951 262 487 173

s i n I " = .0,000 004 913 530 848 136 127 811 076 367 820 079 090

cosí" - -0,999 999 314 920 999 988 592 247 784 730 474 076 217

1 p* ~ : 0,015 707 963 267 948 966 192 313 216 916

846 996 875 529 104 874 722 961

1 nC = 0,000 157 079 632 679 489 661 923 132 169

1 0,000 001 570 796 326 794 896 619 231 321 691 640

с с

<>\л

1 0,017 453 292 519 943 295 769 236 907 684 886

2 0,304 617 419 786 708 599 346 743 549 378 89-10 3

3 5,316 576 934 207 788 095 932 152 789 28-10~б

4 0,092 791 772 437 511 847 695 130 632 42-10 6

5 1,619 521 947 795 906 012 711 589 686-10~9

6 0,028 265 990 297 350 283 152 028 501-10~9

7 0,498 334 597 025 533 471 520 612 788-Ю"'12

8 8,610 313 032 094 983 428 667 191 18-Ю"15

9 0,150 278 312 037 433 653 027 966 67-10~15

10 2,622 851 339 392 645 320 304 827 34-10~18

11 0,045 777 391 662 744 911 144 283 04-10~18

12 0,798 966 207 489 900 348 562 003 1 -10"21

13 0,013 944 590 932 870 940 964 901 2 -10~21

14 0,243 379 024 622 345 498 765 92-Ю"24

15 4,247 765 309 952 111 898 092-10~27

16 0,074 137 490 510 664 707 131 -10"27

17 1,293 943 308 577 151 404-Ю"30

18 0,022 583 571 068 820 276- Ю~30

19 0,394 157 672 009 048 78-Ю™33

20 6,879 349 148 553 794 • 10~36

21 0,120 067 293 036 532-10 36

22 2,095 569 587 444 35- 10~Я9

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

п (1:рТ

1 0,290 888 208 665 721 596 153 948 461 414 769.10

2 0,084 615 949 940 752 388 707 428 763 716 36 .10

3 0,024 613 782 102 813 833 777 463 670 321 Л0~9

4 7,159 858 984 375 914 174 006 993 242 10" 15

5 2,082 718 554 264 282 423 754 616 366. 10" 8

6 0,605 838 269 404 798 592 936 139 004 .10" 2!

7 0,176 231 208 928 302 709 019 423 292 10- 24

8 0,051 263 580 676 148 497 208 095 1.10 -27

9 0,014 911 971 152 675 537 447 048- Ю-30

10 4,337 716 576 276 702 730 969 505.10-36

п (1

1 4,848 136 811 095 359 935 899 141 023 579 48

2 2,350 443 053 909 788 575 206 354 547 677.10 11

3 1,139 526 949 204 344 156 364 058 811 15.10 16

4 0,552 458 254 967 277 328 241 280 343.Ю-21

5 2,678 393 202 500 363 199 272 911 99.10~27

6 1,298 521 667 962 959 947 136 786 ЛО" -32

7 6,295 410 698 456 172 447 253 1Л0-38

8 3,052 101 234 814 892 047 235 5.10~4:

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

1 1

2 1>

3 о

4 24

5 120

6 720

7 " 5 040

40 320

9 362 800

10 3 628 800

п 39 916 800

12 479 001 600

13 6 227 020 800

14 87 178 291 200

15 1 307 674 368 ООО

16 20 922 789 888 ООО

17 355 687 428 096 ООО

18 6 402 373 705 728 ООО

19 121 645 100 408 832 ООО

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

3

39

479

6 227

87 178

1 307 674

20 922 789

355 687 428

6 402 373 705

121 645 100 408

2 432 902 008 176

51 090 942 171 709

1 124 ООО 727 777 607

25 852 016 738 884 976

620 448 401 733 239 439

15 511 210 043 330 985 984

403 291 461 126 605 635 584

10 888 869 450 418 352 160 768

304 888 344 611 713 860 501 504

8 841 761 993 739 701 954 543 616

265 252 859 812 191 058 636 308 480

20 2 432 902 008 176 640 ООО

440 ООО 680 ООО

640 ООО 360 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО

п \ \\п\

1 1.0

2 0,5

3 0,166 666

4 0,041 666

5 0,008 333

6 0,001 388 888

7 0,000 1(98 412 6) .

8 0,000 024 8(01 587 3) . . .

9 0,000 002 7(55 731 922 398 589 065 2) . . . • .

10 0,000 ООО 27(557 3 192 239 858 906 52) . . . . .

11 0,000 ООО 02(505 2 108 385 441 718 77) . . . . . . .

12 2,087 675 698 786 809 897 921 009 032 120 143 231 254 342 10- -9

13 0,160 590 438 368 216 145 993 923 771 701 549 479 327 257 10- -9

14 1,470 745 597 729 724 713 851 697 978 682 105 666 232 648 10- -12

15 0,764 716 373 181 981 647 590 113 198 578 807 044 415 510 10 — 12

16 0,047 794 773 323 873 852 974 382 074 911 175 440 275 969 ю- -12

17 2,811 457 254 345 520 763 198 945 583 010 320 016 233 493 10- .15

18 0,156 192 069 685 862 264 622 163 643 500 573 334 235 194 10-

19 8,220 635 246 624 329 716 955 981 236 872 280 749 220 739 10- -18

20 0,411 031 762 331 216 485 847 799 061 843 614 037 461 037 10- -18

21 0,019 572 941 063 391 261 230 847 574 373 505 430 355 287 ю- -18

22 0,889 679 139 245 057 328 674 889 744 250 246 834 331 249 10- -21

23 0,038 681 701 706 306 840 377 169 119 315 228 123 231 798 10- -21

24 1,611 737 571 096 118 349 048 713 304 801 171 801 324 726 ю-

25 0,064 469 502 843 844 733 961 948 532 192 046 872 052 989 10

26 2,479 596 -1 263 224 797 460 074 943 545 847 956 616 828 656 ю- -27

27 0,091 836 898 637 955 461 484 257 168 364 739 133 978 617 ю- -27

28 3,279 889 237 069 837 910 152 041 727 312 111 927 807 745 ю- -30

29 0,113 099 628 864 477 169 315 587 645 769 383 169 924 405 10- -оС

30 3,769 987 628 815 905 643 852 921 525 646 105 664 146 834 • ю- -33