О решении слабо нелинейной вариационной задачи, связанной со стационарной однородной задачей Навье - Стокса

2015

научный вестник мгту га

№ 220

УДК 517.988.8:519.632

О РЕШЕНИИ СЛАБО НЕЛИНЕЙНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННОЙ СО СТАЦИОНАРНОЙ ОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧЕЙ

НАВЬЕ-СТОКСА

a.a. фонарёв

Исследуется проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе метод Бубнова - Галёркина и итерационный процесс, для отыскания решения слабо нелинейной вариационной задачи, связанной со стационарной однородной задачей Навье - Стокса. На каждом шаге проекционного итерационного процесса решается линейная вариационная задача. Приводится оценка скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса.

Ключевые слова: проекционный итерационный процесс, задача Навье - Стокса, решение.

Теория вязких течений несжимаемой жидкости представляет собой один из важнейших для практики и наиболее интересный для математических исследований раздел гидродинамики. В задачах динамики вязких течений Лерэ и Шаудером были сделаны первые шаги по применению методов функционального анализа. В монографии [1] при исследовании динамики вязкой несжимаемой жидкости доказывается с использованием метода Лерэ - Шаудера существование решения стационарной задачи Навье - Стокса.

В монографии [2], являющейся хорошим дополнением к монографии [1], рассматриваются вопросы существования, единственности и регулярности решений краевых задач для уравнений Навье - Стокса. И разобрано большое количество алгоритмов (метод Бубнова - Галёркина, метод конечных элементов, экономичные разностные схемы) для отыскания решений краевых задач для уравнений Навье - Стокса.

В статье исследуется проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе метод Бубнова - Галёркина и итерационный процесс, для отыскания решения слабо нелинейной вариационной задачи, связанной со стационарной однородной задачей Навье - Стокса. Использование проекционного итерационного процесса при практических вычислениях может дать уменьшение времени счёта и объёма вычислений.

Приводится оценка скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса к решению исследуемой слабо нелинейной вариационной задачи.

вариационная задача, связанная со стационарной однородной задачей навье - стокса

Пусть №" - п -мерное евклидово пространство со скалярным произведением х• у = ^" х^ для х = (,...,хп), у = (,...,уп)е №п (п = 2или 3), ОсМп - ограниченная

липшицева [2] область с границей дО, О = О и дО, V = (д/дх1,..., д/дхп);

1'} (О) - пространство Лебега со скалярным произведением (•,•) и нормой ||,

введение

(]] (О)) - гильбертово пространство вектор-функций со скалярным произведением (•,•) и нормой \\]\0,

(иу )0 = Е Г=1 (м, V), М о= (ии )2 (и = (1> • • ,М),у =(^ • • •,V) е ( (О)));

Н1 (О) - гильбертово пространство Соболева функций из ]] (О) с частными производными первого порядка, принадлежащими ]] (О), со скалярным произведением (•, -)Ни нормой ||н1(О),

(иу ^(о)^ у )+(Vu, Уу )о, Иио)^и )Н2(о) (u, у е н 1 (О));

H0 (О) - подпространство пространства H1 (О), являющееся замыканием в H1 (О) пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в О , со скалярным произведением (•,-) , (о) и нормой ||-||, (о), эквивалентной в H0 (О) норме ||-||,(О),

ho

(Hv)(o)=(VHVv) IHIhJ(o)=(Hu)h2(О) (u,ve H1 (О));

((О (О)) - гильбертово пространство вектор-функций со скалярным произведением (-, •) и нормой ^ ,

(н,v)i = Z"=i(h,v)(о) , llulli =(н,uT (u = К  -,h),v=(vl,-,v«) e (О(О))");

V = {ue (( (О)), V-u = О б о} .

Рассмотрим стационарную однородную задачу Навье - Стокса [1], [2]:

-vAu +

V-u = О в О ;

u = О на дО,

где v > О - кинематический коэффициент вязкости, f e (( (О)) - заданная вектор-функция, u = (u1,..., un) - вектор скорости жидкости, q - давление.

В [1], [2] задача о существовании решения стационарной однородной задачи Навье - Стокса (1) - (3) сводится к задаче о существовании решения u e V слабо нелинейной вариационной задачи

где

v

b(u,w,h)= [ (u-V)w-hdx (u,w,heV).

J О

При этом вектор-функция u0 е V называется решением вариационной задачи (4), если равенство в (4) выполняется при u = u0 и Vw е V. В [1], [2] установлено, что

для Vu, w, h е V с зависящей от n постоянной c > 0 (используемой далее) и что при

где |\/\v, = sup{(/,h)0/|Щ[] (hе V, h Ф 0е V), существует единственное решение вариационной задачи (4).

Отметим, что ||/||V, < /\|0, где / > 0 - постоянная из неравенства Пуанкаре

u2 <I| u\h

Н

для функций и е (О).

Пусть {V} - последовательность конечномерных подпространств пространства V . Введём операторы ¥1 из V в Vi ( > О, V0 = V),

у

для Уw е V. Т.е. Vi (и е V) является решением линейной вариационной задачи

у

состоящей в отыскании такого элемента И = И0 е V , что равенство в (6) выполняется при И = И0 для 'w е V.

Операторы ¥{ ( > 0) корректно определены и при i > 1 решение линейной вариационной задачи (6) является решением метода Бубнова - Галёркина [2], [3]. С использованием неравенства (5) имеем при i > 0 неравенства:

И V1

Проекционный итерационный процесс для отыскания приближений к решению нелинейной вариационной задачи (4), являющийся комбинацией метода Бубнова - Галёркина и итерационного процесса, строится с использованием операторов

Рг ( > 0).

проекционный итерационный процесс

Предположим, что выполняются следующие условия: 1) у2 > 4с I

2) последовательность {V} такая, что при ( = 1,2,... для приближений Бубнова - Га-лёркина (г > 1) к решению и0 вариационной задачи (4) имеем

Из условия 1) вытекает, что вариационная задача (4) имеет единственное решение и0 е V .

Говоря о приближении Бубнова - Галёркина к решению вариационной задачи (4) в условии 2) имеем в виду при (> 1 такую вектор-функция еV(, что выполняется равенство

У

для Уw е V, т.е. = ^ .

В силу условия 1) при каждом ( > 1 приближение Бубнова - Галёркина к решению вариационной задачи (4) существует и единственно [2].

Из неравенств (7) и условия 1) вытекает, что оператор ¥( (( > 0) отображает шар

Бг ={м е V,|\и\^ < г}

в Я П V , где

V-й V-й

г е

2с 2с

Следовательно, в силу неравенств (8) оператор ¥( : Вг ^ Бг П V ( > 0) является сжимающим с коэффициентом сжатия [4]

у= 2/~хст е (0,1),

где

V-й V ^

г е

2с 2с

При доказательстве основного результата статьи используются две леммы. Лемма 1. Пусть

Л+1

с постоянной бе (0,1), где {^}°=1 - последовательность неотрицательных чисел, а (т}=1 - ограниченная последовательность неотрицательных чисел.

Тогда последовательность {Л( }°!j ограниченная и

limsup^ 4 < (1 -в) 1 limsup^ Ti

(limsup - верхний предел).

Доказательство. Для всех i, к > 1 имеем

4+к <04 + у1+к+к-1-]т

г+к г j=i

Из (12) следует, что

4+1 0 + Zj0Т (i > 1).

Из (13) вытекает, что последовательность {4i }°=1 ограниченная. Значит, существует limsupi4 е М1 ( М1 - одномерное евклидово пространство) Из (10) имеем

lim sup^ 4+1 < в lim supi4i + в lim sup^ т,

что влечёт (11). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть выполняется условие леммы 1 и

Лемма 2 доказана.

Справедлива следующая теорема, являющаяся основным результатом статьи. Теорема. Если число г принадлежит полуинтервалу из (9), то для последовательности итерационного процесса

т < сво

с постоянными в0 е (0, в), C > 0 . Тогда

4+1 < Св

для всех г > 1 с постоянной С0 =4+ Св0/ (в- в0).

Доказательство. Для каждого г > 1 с использованием (13) имеем

U+1 = Fi+1ui

с произвольным начальным элементом u1 е Dr имеем

U е Dr П V

для V, > 2 и

( и0 - решение вариационной задачи (4)). И если, дополнительно,

1И+Л> -< Сй0

с постоянными у0 е(0, у), С > 0, то для последовательности итерационного процесса (14) с и1 е П V1 имеем следующую оценку скорости сходимости к решению и0 вариационной задачи (4):

1К+1 - < С0^

для V, > 1 с постоянной С0 = ||и1 - и0||1 + Су0/(у-у0) ).

Доказательство. С использованием приближений Бубнова - Галёркина

Ъ еГг ( = 1,2,...) к решению и0 вариационной задачи (4) имеем

\\и, +1 - < ф, - ъг +1 < Г\иг - ^ + ГЬг - Ъ+1 Ц .

Следовательно, в силу леммы 1 ||иг - ^ 0 при , ^^, что влечет (15). Для каждого , > 1 имеем

1К+1- и01 < Ли,- и01к+| И+1- и0Ц.

Следовательно, с использованием леммы 2 имеем оценку (16). Теорема доказана. Итерационный процесс (14) является проекционным итерационным процессом, совмещая в себе метод Бубнова - Галёркина и итерационный процесс. Вводя при , > 2 базис

$,<Р\

в пространстве V, и представив и+ в итерационном процессе (14) в виде и,+1 = V +1 аг*1фг+ ,

^^] —1 ] ]

сводим задачу об отыскании иг+1 к задаче об отыскании решения системы линейных уравнений метода Бубнова - Галёркина

у

с неизвестными а1г+1, ..., а+ , чт0 эквивалентно задаче об отыскании решения линейной вариационной задачи (6).

Предположим, что число г принадлежит полуинтервалу из (9) и у0 е (0, у).

Предположим, что для скорости сходимости приближений Бубнова - Галёркина (г > 1) к решению м0 вариационной задачи (4) имеем оценку

1К - «о1 < С\Уо

с постоянной с1 > 0, не зависящей от г.

Следовательно,

1К -"о1 <

с постоянной С = с1 (у+1), что обеспечивает сходимость последовательности проекционного итерационного процесса к решению вариационной задачи (4) со скоростью сходимости (16).

Оценку (17) можно получить с использованием аппроксимаций пространства V его подпространствами V (г = 1,2,...) [2], [3].

Проекционный итерационный процесс (14) совмещает в себе метод Бубнова - Галёркина и итерационный процесс модифицированного метода Ньютона.

Исследование проекционного итерационного процесса (14) анонсировано в [5].

Далее рассмотрим внутреннюю аппроксимацию пространства V при п = 2 с использованием метода конечных элементов.

Предположим, что О - открытая ограниченная односвязная область в №2 с липшицевой границей.

В двумерном случае условие Ум = 0 (и = (м1,и2 )е ((0 (О)) ) означает, что существует

такая функция у (функция тока), что м1 = ду/дх2, и2 = -ду/дх1 .

Пусть, как обычно, а = (а,а2) - мультииндекс с целыми неотрицательными компонентами, В" = Эа/Эах1Э"2х2, а = а + а2.

В рассматриваемом случае каждой функции из V сопоставляется соответствующая функция тока у. Условие и = 0 на дО означает, что касательная и нормальная производные от у на дО равны нулю. Следовательно, у постоянна на дО, а поскольку у определяется лишь с точностью до аддитивной постоянной, то можно предположить, что и = 0 на дО. Значит, уе И^ (О), где Н02 (О) - подпространство пространства И1 (О), являющееся замыканием в И1 (О) пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в О, а И2 (О) - гильбертово пространство Соболева функций из 1? (О) с частными производными первого и второго порядков, принадлежащими 1 (О), со скалярным произведением (•,-)И 2

И2

и нормой \[\\И2(О) :

(м,^)и2(О) = Ен<2((м,°ам), Ни2(о) = (м,м)и22(о) .

Поэтому отображение

u =

есть изоморфизм из H02 (Q) на V .

В [2] строится аппроксимация пространства H0 (Q) с помощью кусочно-

полиномиальных функций степени 5, а затем получается с помощью изоморфизма (18) внутренняя аппроксимация пространства V.

Далее рассматривается последовательность триангуляций области Q и приводится ссылка о построении подпространств V (( > 1) пространства V в [2].

Пусть {Т.} - последовательность допустимых триангуляций области

Q и Q. = У Л.

ЛеТ.

Триангуляция Т. (i > 1) является допустимой [2], если Т. - семейство таких треугольников, что Q. cQ . И если треугольники Л, Л'е Т., то ЛПЛ' = 0 (где Л - внутренность Л) и Л П Л' либо пусто, либо вершина или сторона одновременно для Л и Л'. С триангуляцией Т. (. > 1) свяжем следующие три числа:

Р = SUPЛеТ. Рл , р = infЛеТ. Рл , = ^РлеТ. (Pл/PЛ),

где рЛ - диаметр наименьшего круга, содержащего треугольник Ле Т., а р'Л - диаметр

наибольшего круга, содержащегося в Л. Предположим, что lim.pi = 0 ,

а1 <а

с постоянной о 0 и что Q. сходится к Q в следующем смысле: для каждого компактного множества K cQ существует такое S(K )> 0, что K c Q. при р. <S(K). Для треугольника Ле Т. (. > 1) имеем

1/ (2 tg (ßl 2 ))<РЛ/РЛ< 2/sin ß,

где в - наименьший угол в Л. Поэтому условие (19) означает, что наименьший угол для всех треугольников Ле Т, ( = 1,2,...) ограничен снизу: в> в0 > 0 .

Пусть Ле Т, - некоторый треугольник с вершинами А1, А2, А3 и А^, А13, А12 -средние точки сторон АА3, А1А3, А1А. И пусть Ук]. - единичный вектор, нормальный к стороне АкА} (1 <к,] <3).

Справедлива следующая лемма [2, с. 90].

Лемма 3. В №2 определяется единственным образом полином р степени 5 своими значениями и значениями своих производных:

В>(Л), 1 < к < 3, а< 2; -V- К-), 1 < к, ] < 3, к Ф ].

Здесь, как и выше, Ак - вершины треугольника Л, а Ак]. - средние точки его сторон.

В [2, с. 91-92] с использованием леммы 3 для каждого г > 1 строится такое конечномерное подпространство Хг пространства И02 (О), что существует единственное приближение

Бубнова - Галеркина zi еVi к решению м0 вариационной задачи (4), где V - образ Хг при изоморфизме (18), и выполняется условие 2) [2, с. 172-173]. При этом внутренняя аппроксимация пространства V его конечномерными подпространствами V (г > 1) называется в [2] аппроксимацией АПР4.

Если граница области О - многоугольник, то можно выбрать триангуляцию Тг с Ог = О для V/ > 1. И если, дополнительно, решение вариационной задачи (4) м0 е С5 (О) (т.е. м0 имеет в О непрерывные производные до 5-го порядка включительно), то

\zi - Wo||i ^ c2pp

с постоянной c2 > 0, где zi - приближение Бубнова - Галеркина к u0 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Автором предложен проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе метод Бубнова - Галеркина и итерационный процесс, для отыскания приближений к решению слабо нелинейной вариационной задачи, связанной со стационарной однородной задачей Навье - Стокса. На каждом шаге проекционного итерационного процесса предлагается решать линейную вариационную задачу. Приводится оценка скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса к решению слабо нелинейной вариационной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1970.

2. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981.

3. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. - М.: Наука, 1989.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.

5. Фонарёв А.А. О решении квазилинейной вариационной задачи, связанной со стационарными однородными уравнениями Навье - Стокса // Труды 57-й научной конференции МФТИ / Управление и прикладная математика. МФТИ, 2014. Т. 1. С. 35-36.

ON THE SOLUTION OF WEAK NONLINEAR VARIATIONAL PROBLEM CONNECTED WITH NAVIER - STOKES STATIONARY HOMOGENEOUS PROBLEM

Fonarev A.A.

Projection iterative process that combines the Bubnov - Galerkin method and iterative process for finding approximations to the solution of weakly nonlinear variational problem associated with a stationary homogeneous Navier - Stokes

problem is proposed. At each step of the projection iterative process is proposed to solve linear variational problem. The estimate of the rate of convergence of the projection iterative process is given.

Keywords: projection iterative process, Navier - Stokes problem, solution.

REFERENCES

1. Ladyzhenskaja O.A. Matematicheskie voprosy dinamiki vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. M.: Nauka. 1970. 288 p. (In Russian).

2. Temam R. Uravnenija Nav'e - Stoksa. Teorija i chislennyj analiz. M.: Mir. 1981. 408 p. (In Russian).

3. Shajdurov V.V. Mnogosetochnye metody konechnyh jelementov. M.: Nauka. 1989. 288 p. (In Russian).

4. Trenogin V.A. Funkcional'nyj analiz. M.: Nauka. 1980. 496 p. (In Russian).

5. Fonarjov A.A. O reshenii kvazilinejnoj variacionnoj zadachi, svjazannoj so stacionarnymi odno-rodnymi uravnenijami Nav'e - Stoksa. Trudy 57-j nauchnoj konferencii MFTI. Upravlenie i prikladnaja matematika. Tom 1. M.: MFTI. 2014. Pp. 35-36. (In Russian).

Сведения об авторе

Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МАИ (1968), МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского физико-технического института, автор 129 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа, решение нелинейных эллиптических краевых задач.