К асимптотической теории разрушения вихря

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXVI

200 5

№3 — 4

УДК 532.527

К АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАЗРУШЕНИЯ ВИХРЯ

Вик. В. СЫЧЕВ

На основе асимптотического анализа системы уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса исследовано явление разрушения вихря в несжимаемой жидкости. Определена во втором приближении форма разделительной поверхности тока, охватывающей область медленного возвратного движения, а также детально изучена структура течения в окрестности точки разрушения.

Разрушение вихря, впервые обнаруженное экспериментально в работе [1], происходит в закрученных потоках и сопровождается появлением на оси тонкой «вязкой» вихревой нити точки торможения, за которой лежит замкнутая область с медленными возвратными токами. Известны различные теоретические подходы к решению этой задачи, в связи с чем имеется большое число публикаций (см. обзоры [2] — [6]). Один из этих подходов основан на аналогии явления разрушения вихря с отрывом пограничного слоя [7], [8] , согласно которой вверх по потоку от точки разрушения течение при больших числах Рейнольдса (Яс —» со) описывается решением

краевой задачи для системы уравнений квазицилиндрического приближения — аналог уравнения пограничного слоя Прандтля. Этот подход был положен в основу асимптотической теории, развитой

в [9]. Данная работа является ее продолжением.

1. Пусть тонкая прямолинейная вихревая нить находится в однородном закрученном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Будем полагать, что течение обладает осевой симметрией и вне вихревой нити циркуляция постоянна. Обозначим через I некоторый характерный размер, например радиус трубы, в которой течет жидкость, хотя влиянием стенок этой трубы на течение около вихревой нити и внутри нее будем пренебрегать. Это наиболее простой тип течения, который используется как при экспериментальном, так и теоретическом изучении разрушения вихря (см. [3], [5], [10]). Введем следующие обозначения: их, рх — скорость и давление в невозмущенном потоке; 1и^ 2лГ — циркуляция; Ке = иа01/у — число Рейнольдса; V — коэффициент кинематической вязкости; /х, /г, 9 — цилиндрические координаты с осью, совпадающей с осью симметрии г = 0; ихи, и^р, их— соответствующие проекции вектора 2 2

скорости; рх + рихр, I игу- \\1 — давление и функция тока; р — плотность жидкости. Введем также закрутку потока с = гм>.

Таким образом, в области внешнего слабо возмущенного потенциального потока, где х = 0( 1), г = 0( 1), (область 1 на рис. 1): ио-1= (1), м? = Г/г. При Яе—>со действие сил

внутреннего трения существенно в ядре вихревой нити (область 2), а ее разрушение может происходить, если продольная и азимутальная составляющие вектора скорости здесь являются

величинами одного порядка — порядка единицы [7], [8]. Поэтому в этой области г = О ,

х = О (1) ив главных членах асимптотического разложения справедливы уравнения квазицилинд-

_^У2

рического приближения [7]. При этом Г = Яе ' С00, С00—положительная постоянная.

Согласно [9] разрушение вихря происходит в два этапа. Сначала в области 2 торможение жидкости за счет закрутки внешнего потока приводит к обращению в ноль полного (безразмерного) давления на оси симметрии вихря в некоторой точке х = х^:

/?(х,) = 0, Л(х) = ^о(х,0) + /?0(х,0), и0(х,, 0)>0.

Здесь 2*0 (х, 7), р{) (х. У) — решение задачи в области 2, а г = Яс 1 2 7 Затем в

малой

области, охватывающей точку х^ и имеющей продольный размер порядка диаметра вихревой нити (область 3), в результате дальнейшего торможения скорость на оси симметрии обращается в ноль, т. е. происходит разрушение вихря. На такое чрезвычайно резкое уменьшение скорости указывают и имеющиеся экспериментальные данные (см. [5], с. 14). Асимптотическое представление решения в области 3 при Яе —» со имеет вид [9]

х - х, = Яе ^2 X, г = Яе

-1/2-

(ы, V, м>, р) = (и0, У0, Щ,Р0) + о(1)..

Искомые функции удовлетворяют системе полных уравнений Эйлера для закрученного осесимметричного течения, которая, как известно [11], может быть приведена к одному уравнению:

а2^ а2^ і ач>

дХ2 + дУ2 7 <37

<Г¥ с№'

и -1^ V —с -ш -С№)

7 дУ

7 8Х

ЇЇ

-ш1+г2+ш2)+р0=н(ч).

Из сращивания с решением в области 2 (рис. 1, 2) следует, что при 7 = 0(1), X —» -со:

и0^и*00(Г), У0^0, С0^С0* о (7),

Рп

Рис. 2. Структура течения в окрестности точки разрушения вихря

Обозначим через Xs координату точки разрушения, в которой U0 (Xs, о) = 0. (В [9] без

каких-либо на то оснований значение Xs полагалось равным нулю.) Перед этой точкой на оси симметрии (г = 0, X < Xs) значение ¥ = 0. В [9] было установлено, что при X > Xs на неизвестной заранее поверхности вращения ¥ = 0 значение р (X, Y) обращается в ноль: р = 0 при Y = Фs (X), Фs (Xs ) = 0. Функция Фs (X) определяет форму этой поверхности, причем

Фs X12 при X ^ да. В приходящем потоке (x ^ xs - 0,область 2) полное давление

равно нулю (см. (1.1)). Поэтому (см. [9]) H (¥) = a^ + O(¥2) при ¥ ^ 0, где а1 —

положительная постоянная, и следовательно поверхность ¥ = 0, X > Xs является поверхностью торможения. Не останавливаясь на дальнейших подробностях, содержащихся в [9], приведем внешние краевые условия, обеспечивающие сращивание с решениями в области внешнего потенциального потока и слое смешения (области 4 и 5 на рис. 2):

R2 = X2 + Y2, $ = arctg—; R ^да, 0 <$<п:

X

C00 C00 COS $

U0 = 1 -^° - C00C0S$ + O (R-3),

0 2R 4 R2 V /’

V = C00 sin$ - C^sin$ + O

0 2 (1 - cos $)R 4 R2 V /’

C0 ^ C00, P0 = '

1 о| on C 2 ^ 00 1 -cos $ + cos2 $^ /~*2 + C00 1

2R 4 1 - cos $ V / 2sin2 $ R2

~^ + O

(R");

Y -Ф, = Ф-1N0; X ^ да, N0 =O (1):

U0 ^ U0 (N0 ), U0 =J2H (¥), C0 ^ C0 (N0 ),

C0 = C (¥), V) = O [X~12 ), р = O [x~2 );

X ^да: Фх = V2C00X12 +o(x12).

Асимптотика (1.5) дает выход на решение вблизи передней части тонкого эллипсоида вращения [12], [13], находящегося в потоке с постоянной закруткой. Заметим также, что асимптотическая теория малых возмущений [12] — [14] для области 4 теряет свою пригодность как раз

в области 3.

Положение точки разрушения вихря, т. е. значение Xs, заранее неизвестно и должно находиться в процессе численного решения задачи (1.3) — (1.6) с приведенными выше условиями при ¥ = 0. Сдвиг начала системы координат (X ^ X + const) указывает, что второй

член в разложении для Фs (X) при X ^да (см. (1.6)) порядка X_12. Это означает, что для

~ -12

нахождения Xs необходимо знать коэффициент при X ' . Для его определения запишем

условие равенства нулю расхода, а также приведем уравнение количества движения в интегральной форме в проекции на ось Ox для области 3, взяв в качестве контрольной

поверхность сферы достаточно большого радиуса, которая полностью охватывает рассматриваемую область. В результате, используя (1.4) — (1.6), получаем:

X — то: Ф, =Л/2С00X1/2 + К0X“1/2 +о (X“1/2 ),

к ^1С- (г;-52),

\^00

то то

§1=1(1 - и*00 )тё¥, 52 =1(1 - и0 )dN0;

511 <-» 11 .

, -5. -Дп = 0,

511 =| и00 (1 - и00) YdY, 521=| и0 (1 - и0) dN0

Д 0 = Нш

Т ——то

| Po*oYdY

С

00

1п

V С00 )

Таким образом, постоянная К0) определяется толщинами вытеснения приходящего профиля скорости (§1) и начального профиля для слоя смешения (§2 ).

2. Рассмотрим течение в непосредственной окрестности точки разрушения вихря. В работах [15], [16], посвященных построению моделей разрушения вихря в рамках идеальной жидкости и внешние краевые условия для уравнения (1.3) в которых отличаются от (1.4) — (1.7), было установлено, что при подходе к точке разрушения поверхность торможения есть параболоид и решение при х = X - X, — 0, Y — 0 имеет вид

¥ = х^ 2 + О ( х, Y 4 ), 0

¥ — 0: С = у0¥ + О (¥2 ); а1 = Н'(0); х —+0: Ф, =к1х12 +О (х3^2), к1 >0,

где постоянные а1, у0 определяются начальными условиями (1.4), а к1 остается произвольной при локальном анализе и определяется решением задачи (1.3) — (1.7) в целом.

Согласно [9] вдоль поверхности торможения развивается тонкий «вязкий» слой смешения (область 3Ь на рис. 2), сглаживающий разрыв завихренности. Решение для этого слоя в окрестности точки разрушения имеет вид

, = Яе-1/2 5, п = Яе-1/2 N, N = Яе-1/6 N1, Ф, (X ) = Ф 0 (5);

(и,, ип, с) = (Яе-1/6 и,, Яе-1/3 ип, Яе-5/6 С,) +..., р = П00 (Яе) + Яе-12 Р, (5, N1) + Яе-2 3 Р0 (5, N1) + .;

5 — 0: Ф0 = 5 + О (53), и, = 3-1/3 5/'(1) + О (53),

Р=0

ип=-2.3~2/3/(() + 0(82), С,=Т21ъ82ё(г) + 0[8л), (^2), 7^° = -2 З-1/3 Г/-'(^) +1 у-2 (г)] + О(^2), 1 = 31/3 Л^.

Здесь 5, п — ортогональные криволинейные координаты, связанные с поверхностью торможения, и3 и ип — соответствующие проекции вектора скорости. Представление (2.2) при

51 —>0 следует из полученного в [9] решения. (Относительно функций / (/). £(/) и постоянной

части давления п

За точкой X = Х3, 7 = 0 начинается область За, в которой движение является медленным и обусловлено эжектирующим действием слоя смешения ЗЬ. Здесь (см. [9]):

X = 0(1), 7 = 0(1); у = Ке-4/3у*(Х,7) + ..„

р = 7Г00 (Яе) + Яе~2/3 р*(Х, ¥) + ..., с = о(яе-5/6),

а искомая функция у* (X. 7) удовлетворяет уравнению вида (1.3) с правой частью равной нулю и краевым условиям:

у*(Х,0) = 0, у*[Х,Ф,(Х)] = ^3/(-да), ^ = {Ф^;

о

у*=^Х1/372 +__ р*=_^Х2/3+'^ то=/(-со)С-У3.

Используя (2.2) — (2.4), нетрудно видеть, что при х —> +0, 7 —> 0:

у2 дг2

у*^-М0 —, Р*^~, М0 =-2 • 3_2^3/

Из выражений (2.2) следует, что при Л' = О^Яе 1 61 продольный масштаб слоя смешения

становится порядка его толщины. Это означает, что при 5 = О^Яе-2^3п = О^Яе-2 31 возникает

новая характерная область Зс, из которой берет свое начало слой смешения. Исходя из выражений (2.2), (2.1) и используя исходные переменные, представим решение в этой области в виде

х — х5 — Яе 1 2 ,\\ = Яе 2 3 х', г = Яе 2 3 г',

(и, и,С,р- 7100 ) = ^Яе-1/3 и', Яе-1/3 V', Яе-7/6 с', Яе-2/3 р'^ + ....

В результате подстановки (2.6) в систему уравнений Навье — Стокса при Яе —>сс приходим к системе полных уравнений Навье — Стокса с локальным числом Рейнольдса, равным единице для течения без закрутки. Уравнение для последней отделяется от этой системы. Краевыми условиями здесь служат обычные условия на оси симметрии: ди'/дг' = V1 = м>' = 0 при г' = 0 и

условия сращивания с разложениями в соседних областях 3, ЗЬ и За, которые имеют вид (2.1),

(2.2) и (2.5), если все эти разложения переписать во внутренних переменных х', г' с учетом разложений (1.2), (2.3).

Заметим, что в [9] ошибочно считалось будто ФЛ = О(х) при х —» +0.

3. Обратимся теперь к рассмотрению течения в целом. Согласно [9] область медленного возвратного течения (область б на рис. 1) имеет продольный размер 0(А,), относительную

толщину О(т0) и ограничена разделительной поверхностью тока, форму которой обозначим как ^х*, Яс|. В главном приближении эта форма есть эллипсоид вращения [9]:

х-х =Хх*, г = Хг*, А, = Ке-1/4,

* * Г -Г.

( л \

т0 = Яе“1/8-----Яе“3/81п Яе+ О (Яе“5/81п2 Яе),

г* = х0^офо

4> =(ад)1/2; ф0 = -^о1 ^2ь0х* - х*2 )1/2, 0

< х < 2Ь0.

Постоянные с10, Ь0 характеризуют поперечный и продольный размеры этого эллипсоида.

Их связь с С00 определена тем, что сама функция Ф0^х*| находится из условия, чтобы

переменные части давления, обусловленные обтеканием тонкого «жидкого» тела и вращательным движением, компенсировали друг друга. Более того, переменная часть давления на разделительной поверхности тока (у = 0) для внешнего течения (область 4) должна быть того

же порядка, что и в области медленного возвратного движения (область 6), которое вызывается эжектирующим действием слоя смешения (область 5), развивающимся вдоль этой поверхности.

Эта переменная часть давления есть величина О^Яе^2

Порядок второго члена разложения для г* ^х*, Яс | в (3.1) следует из асимптотики функции

ФЛ (X) в (1.7) и (3.1), (1.2), так как X = Яс1 4 х*. Чтобы найти Ф, (х*рассмотрим течение в

слое смешения (область 5). Здесь (см. [9] и (3.1)) решение представляется в виде следующих асимптотических разложений:

х* =0(1), г* = г* (х*, Яе) + Яе“3/8 И*, и=и1(х*,К*} + ..., с = :Яе“1/2с*(х*,ЛГ,:) + ...,

и = т0с!0Ф'0и*0+... + Яе~3^

Подстановка (3.2), (3.1) в систему уравнений Навье — Стокса приводит к системе уравнений пограничного слоя, которая после преобразования Степанова — Манглера

Х° = сії І Фо^*-о

= иІ, V* =ЦФ0)-1 Ф^Фо^Х+^

имеет вид

дії"

дХ°

, о ди° д2и°

д№ то2

д№

„о=_в^.

ах°

№

•ос: \|/0-№->-5°(х0); №=0: \|/°=0;

я о °°

№ ^-оо: ——»0; 5° =б(х*)= Г(і-и°)<і/У0.

алг° у 1 Iу ’

Уравнение для с(* (х*. А'* решение для р* ^х*, И*

а также выражение для постоянной

части давления 7г00

обеспечивают сращивание с асимптотическими разложениями в областях 4 и 6. При этом слой смешения создает вытесняющее действие и тогда в разложении для радиальной составляющей V

при ТУ*

согласно (3.2) — (3.4) возникает член Яс

-3/8

Ф;

. Этот

член,

в соответствии с теорией малых возмущений для осесимметричных течений [12] ----------- [14],

порождает дополнительные члены в разложении для давления при г* =О(т0), имеющие вид:

Яс~' 2 1п Яс (б/0/8)(Ф0Ф|) +5"/8 -ьО^Яе-1 2у Однако, как уже отмечалось, переменная часть

давления здесь О^Ке_1^2|. Следовательно, «^(ФоФ^ + 5" = Р2 =сопз1. (Это дает вклад в выражение для п()() (Яс) из (3.2), если Р2 Ф 0.) Таким образом:

Р2х*2/2 + Р1Х*+Ро-5

Ф1=-

/0Ф0

Производя сращивание асимптотических разложений для областей 3 и 5 при X —>сс и х* —>+0 на основании (1.2), (1.6), (1.7) и (3.1) — (3.5), находим, что Р0=5*, так как 5(+0) = 52. Значения постоянных Р1, Р2 и Ь0 остаются произвольными и проблема их определения является задачей следующих приближений.

Итак, учет второго члена разложения для ФДХ) в (1.7) дает возможность получить в

масштабах длины области возвратного течения решение вплоть до члена О^Яе-^21 (в давлении).

В заключение заметим, что, подобно тому как это имеет место в теории течений с развитыми зонами отрыва (см. [17], гл. 6), соотношение (1.8) и вообще структура течения в области разрушения вихря (область 3) предполагают [9] нестационарность течения в области смыкания (область 7) зоны возвратных токов.

Работа выполнена при Государственной поддержке ведущих научных школ (номер гранта НШ-2001.2003.1) и поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 04-01-00765).

ЛИТЕРАТУРА

1. Wer l e H. Visualisation en tunnel hydrodynamique // Rech. Aeronaut. — 1953. n° 33.

2. Hall M. G. Vortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1972.Vol. 4.

3. Leibovich S. The structure of vortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1978.

Vol. 10.

4. Escudier M. Vortex breakdown: observations and explanations // Prog. Aerospace Sci. — 1988. Vol. 25, N 2.

5. D e l e r y J. M. Aspects of vortex breakdown // Prog. Aerospace Sci. — 1994. Vol. 30,

N 1.

6. R u s a k Z., Wang S. Review of theoretical approaches to the vortex breakdown phenomenon // AIAA Paper. — 1996. N 96—2126.

7. Gartshore I. S. Recent work in swirling incompressible flow // Nat. Res. Coun. Canada, Aeronaut. Rep. — 1962. LR — 343.

8. Hall M. G. A new approach to vortex breakdown // Proc. 1967. Heat Transfer and Fluid Mech. Inst. — Stanford Univ. Press. — 1967.

9. Сычев Вик. В. Асимптотическая теория разрушения вихря // Изв. РАН, МЖГ. —

1993. № 3.

10. T r i g ub V. N., Blokhin A. B., S i m ak i n I. N. The asymptotic study of dissipation and breakdown of a wing-tip vortex // J. Fluid Mech. — 1994. Vol. 274.

11. Bragg S. L., Hawthorne W. R. Some exact solutions of the flow through annular cascade actuator discs // J. Aeronaut. Sci. — 1950. Vol. 17, N 4.

12. Van Dyke M. D. Second-order slender-body theory — axisymmetric flow // NASA Tech. Rep. — 1959. R-47.

13. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир. — 1972.

14. Adams M. C., Sears W. R. Slender-body theory — review and extension //

J. Aeronaut. Sci. — 1953. Vol. 20, N 2.

15. Тригу б В. Н. К вопросу о разрушении вихря в идеальной жидкости // Ученые записки ЦАГИ. — 1985. Т. XVI, № 3.

16. Keller J. J., Egli W., Exley J. Force-and loss-free transitions between flow states // ZAMP. — 1985. Vol. 36, Nr. 6.

17. Асимптотическая теория отрывных течений/ Под. ред. В. В. Сычева. — М.: Наука. — 1987.

Рукопись поступила 5/IV 2004 г.