Стабилизация ходьбы двуногого шагающего робота с поступательными кинематическими парами в суставах ног путем выполнения закона сохранения количества движения и момента количества движения

УДК 62-233.3/9

Синтез приближенного внутреннего зацепления типа эвольвента — перициклоида

И.А. Казаков

Рассмотрена геометрия неэвольвентного профиля зуба-перемычки, образованного нестандартным долбяком с внутренними зубьями. Приведены уравнения синтеза приближенного внутреннего зацепления типа эвольвента — перициклоида.

Ключевые слова: планетарная передача, приближенное зацепление, укороченная перициклоида, нестандартный долбяк, синтез зацепления.

Synthesis of approximate internal cogging of involute type — pericycloid

I.A. Kazakov

The geometry of a non-involute cog-crosspiece profile formed by a non-standard pinion cutter with internal tooth is considered. The equations of synthesis for the approximate internal gearing of an involute type — pericycloid are presented.

Keywords: planet gear, approximate cogging, truncated pericycloid, non-standard pinion cutter, cogging synthesis.

I I ланетарные передачи типа 3К (передачи, основными звеньями которых являются три центральных колеса) обладают большим передаточным отношением в одной ступени. Однако наличие сложного в изготовлении водила и большого числа подшипников сателлитов сдерживает широкое их применение в технике. Безводильные конструкции указанных передач лишены этих недостатков [1]. На рисунке 1 представлена одна из таких передач, в которой неподвижное колесо выполнено двухвенцовым, тихоходное — в виде барабана с зубьями-перемычками, сателлиты расположены в два ряда, а числа зубьев центральных колес подобраны так, что фазы их зацеплений с сателлитами в одном ряду отличаются на 0,5 шага от фазы зацеплений в другом ряду. Это позволяет обеспечить непрерывность передачи движения от быстроходного вала к тихоходному при коэффициенте перекрытия в зацеплении сателлита g с неподвижным колесом b еgb > 0,5, с тихоходным e — еge = 1. При этом нагрузку несут поочередно то один, то другой ряд сателлитов.

Безводильные планетарные передачи типа 3К обладают хорошими массо-габаритными показателями, КПД передач составляет около 0,8; преимущественная область применения — тихоходные приводы (например лебедка).

В зависимости от применяемого режущего инструмента и способа формообразования профили зубьев-перемычек такой передачи могут

КАЗАКОВ Игорь Андреевич

аспирант кафедры «Технология машиностроения»

ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй

Рис. 1. Коаксиальная безводильная планетарная передача типа 3К с двухрядным расположением сателлитов

быть очерчены по удлиненной эвольвенте (используется нестандартная червячная фреза или рейка с близким к нулю углом профиля исходного контура), эпитрохоиде (нестандартный долбяк) или прямой (набор из дисковых фрез) [2]. Однако зубья-перемычки с такими очертаниями профилей не всегда удовлетворяют требованиям кинематической точности и изгиб-ной прочности из-за большого отклонения их от обычной эвольвенты и большой глубины врезания нестандартного инструмента в заготовку колеса.

Решить данную проблему можно, используя другой способ профилирования зубьев-перемычек — зубодолбление нестандартным долбя-ком с внутренними зубьями (рис. 2). В этом случае кривой, очерчивающей профиль зу-

ба-перемычки, является укороченная пери-циклоида или эквидистанта к ней. Данную линию описывает точка, взятая внутри производящей окружности радиуса ~0, перекатываемой без скольжения по неподвижной направляющей окружности радиуса ~ при внутреннем касании, причем ~0 > ~.

Уравнение укороченной перициклоиды представим в параметрическом виде, приняв в качестве параметра длину перпендикуляра ¡,, опущенного из центра концентрической окружности нестандартного колеса е на профильную нормаль.

Тогда текущие значения модуля радиус-вектора гуе и полярного угла уе точки кривой профиля зуба-перемычки могут быть найдены из следующих уравнений (рис. 3):

Гуе (¡у ) = {12 + [(Р0 + Ц, - 1)д/~2 - II -

\U,

J(r - h0/U0 У

1/2

( -y ) =

arccos-

.

-(U0 — l)arccos —+ U0arccos-

h0/U o

'0/^0

где ~ — радиус начальной окружности нестандартного колеса в станочном зацеплении; р0 — радиус кривизны линии притупления продольной кромки зуба долбяка; к0 — расстояние от центра кривизны линии притупления продоль-

Рис. 2. Формирование зубьев-перемычек колеса

2

ной кромки зуба долбяка до его начальной окружности в станочном зацеплении; и0 — передаточное число станочного зацепления, и 0 = ~0 / ~ = г 0 / ге >1; ~0 — радиус начальной окружности долбяка в станочном зацеплении; г0, ге — числа зубьев долбяка и нестандартного колеса; 1у — длина перпендикуляра, опущенного из центра концентрической окружности нестандартного колеса е на профильную нормаль в произвольной точке профиля зуба-перемычки; гуе — текущее значение модуля радиус-вектора точки кривой профиля зуба-перемычки; уе — текущее значение полярного угла точки кривой профиля зуба-перемычки.

Как следует из выражений (1), (2), вид пери-циклоиды определяется параметрами Н0, р0 и

и0, варьирование которых позволяет приближать профиль зубьев-перемычек к эвольвентному.

При отсутствии притупления кромки зуба долбяка (р0 = 0) уравнения (1), (2) определяют укороченную перициклоиду, в противном случае — наружную эквидистанту к ней. Величину р0 рекомендуется принимать равной примерно 0,25т (т — модуль эвольвентных зубьев), так как при увеличении его возрастает глубина врезания инструмента в заготовку колеса, что ведет к снижению изгибной прочности зуба-перемычки, а при уменьшении снижается стойкость инструмента [3]. Притупление кромки зуба долбяка можно осуществить непосредственно при изготовлении самого инструмента на долбежном станке специальным фасонным резцом, который будет формировать впадину между зубьями и линию притупления.

Граничная точка I профиля зуба-перемычки является точкой пересечения укороченной пе-рициклоиды и огибающей прямой бокового профиля зуба долбяка. Примем боковой профиль зуба долбяка в виде отрезка прямой, проведенной из центра концентрической окружности этого инструмента касательно к окружности притупления продольной кромки зуба (см. рис. 2, б).

Положение граничной точки I зависит от передаточного числа и0. При и0 > 2 модуль радиус-вектора и полярный угол данной точки определяют из следующих уравнений (см. рис. 3, а):

г1е

, ч , ч г-еоБ^ * - 80) ~ 0 ,е

.

где 80 — угол между прямой бокового профиля

зуба долбяка и прямой, проведенной из центра концентрической окружности этого инструмента в центр кривизны линии притупления продольной кромки зуба,

8 = агс8т-

р0

ги0 -^

Используя уравнения (1), (2) и выражая угол у* через параметры, входящие в уравнение (3),

можно, при равенстве г1е (у*) = гуе (1у ), перейти к одному уравнению 01е (у*) = 0уе(1у ), из

которого находим значение 11е, соответствующее граничной точке профиля зуба-перемычки.

При и0 > 2 граничная точка I находится выше начальной окружности ~ колеса. При и0 = 2 точка лежит на самой окружности 8г :

г1е = 0,е = 280; I е =^

При и0 < 2 происходит срезание верхней части профиля укороченной перициклоиды той же кромкой зуба долбяка, которая при дальнейшем углублении в заготовку колеса формирует рабочий профиль, и точка лежит ниже окружности г.

Синтез приближенного зацепления передачи целесообразно осуществлять из условия совпадения граничных точек однопарного зацепления с граничными точками профилей зубьев сателлита и колеса, что позволяет получить минимальную высоту (максимальную изгибную прочность) зуба-перемычки колеса и достичь того, чтобы верхний наиболее близкий по очертаниям к эвольвенте участок профиля являлся активным [3].

Рассмотрим приближенное зацепление (рис. 3, б) сателлита g с нестандартным колесом е, задавшись углом зацепления а ж в точке контакта, соответствующей среднему значению передаточного отношения.

ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй

Рис. 3. Очертания профиля зуба-перемычки

Условие некромочного контакта эвольвент-ного профиля зуба сателлита с профилем зуба-перемычки имеет вид

fre fry,g

+ a„, sma

w wy

I = rA + a cosa ,

У 'bg w wy '

где aw — межосевое расстояние зубчатой пары; rbg — радиус основной окружности сателлита.

Условия синтеза приближенного зацепления:

1) контакт в нижней граничной точке d зацепления, совпадающей с граничной точкой профиля зуба сателлита:

fr2 - r,g =Ро +(u0-1)V~2 - Id --u,

(~-"0/UO )2

Id - aw sina wd

Id = rbg + aw COSa wd .

Здесь т^ — радиус окружности граничных точек профиля зуба сателлита,

cosa

lg ,cosa

а^ — угол профиля в граничной точке, определяемый при нарезании сателлита инструментом реечного типа,

a lg = arctg

tga

4(h* - Xg ^ sin2a

где На — коэффициент высоты головки зуба; хе — коэффициент смещения исходного контура сателлита;

2) контакт в верхней граничной точке и зацепления, совпадающей с граничной точкой профиля зуба-перемычки:

arccos—ч -(U0 -l)arccos +

,

+U0arccos

I

-arccos -

r -ho / Uо

rcos

= V * (Uо-1)-

,

+ arcsin -

о "о

V, = arccos

1

Uо

,

-(Uо-1)2

+

+arcsin -

о "о

Гие (I и )Ч I2 +(Ро +(Uo -1)V ~2 - IU

I,. = n„ + a,„ cosa......

w wu

о

о

Данные уравнения справедливы при и0 > 2. Для случая и0 < 2 система уравнений (7) имеет следующий вид:

Iu =<¡(rU0 - Л0 )2

I,. = ^ + о,. ,cosa„„

Ро2 /U

0

3) равенство коэффициента перекрытия единице: повороту сателлита на величину углового шага его зубьев соответствует поворот колеса на величину углового шага зубьев последнего, т. е.

2п

z„

+

+ [

bg

-Un

- Ло/Uо)2 - II -

-/(г - Ло/U о )2 - I

+

2п

= a

wd

a

+ (U о-l)x

X

arceos —— arceos 1 +

г ; i

+U

arccos

; - Ло /Uо

arceos-

; - Ло/U

о /

Таким образом, получены четыре уравнения (6), (7), (9), (10) с неизвестными 8, аки, а^. Радиус 8г можно выразить через нестандартный модуль: г = 0,5тге.

На рисунках 4, 5 представлены графики зависимостей к0 / к0 и т / т от числа зубьев колеса ге и угла теоретически точного зацепления а№е, построенные для планетарной передачи 3К при числе зубьев солнечной шестерни га = =9. Коэффициент смещения исходного контура сателлита при <17 принимался из условия отсутствия подрезания, а при >17 равным нулю. Число зубьев сателлита гв = 0,5(ге - га) - А, где

А = 0,5 при нечетной разности ге—га, А = 1 —

Рис. 4. Зависимость параметра й0 от числа зубьев-перемычек колеса и угла теоретически точного зацепления

т/т

1,03

1,02 1,03 1,00 0,99 0,98 0,97

\

ч

ч - S"

\ \ —1—1— 15" —1-1— __

X 12'

1 1

30

36 42

48

54

60 66

72

78

Рис. 5. Зависимость нестандартного модуля т от числа зубьев-перемычек колеса и угла теоретически точного зацепления

при четной [2]. Передаточное число станочного зацепления и0 = 2. Радиус кривизны линии притупления продольной кромки зуба долбяка р0 = 0,25т.

Приведенные графики позволяют определить рациональные значения параметров приближенного внутреннего зацепления и нестандартного долбяка.

Литература

1. Плеханов Ф.И. Исследование влияния параметров приближенного зацепления на распределение нагрузки по длине зубьев колес // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. № 1. С. 11—13.

2. Плеханов Ф.И. Зубчатые планетарные передачи. Типы, основы кинематики, геометрии и расчета на прочность. Ижевск: Удмуртия, 2003. 200 с.

3. Плеханов Ф.И. Теоретические основы проектирования и принципы конструирования нетрадиционных планетарных передач типа 3К: Автореф. дис. ... д-ра. техн. наук / ИжГТУ. Ижевск, 1996. 34 с.

Статья поступила в редакцию 02.04.2012

e