Математические модели и динамические характеристики электромеханических преобразователей с ограниченным углом поворота

УДК 681.5.11

В. А. Толмачев, Г. Л. Демидова

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ УГЛОМ ПОВОРОТА

Проанализированы динамические характеристики бесконтактных моментных электромеханических преобразователей с ограниченным углом поворота для приводов сканирования. Обоснована целесообразность построения системы управления электропривода оси сканирования по схеме, содержащей внутренний контур регулирования скорости с П-регулятором и внешний контур регулирования угла с ПИД-регулятором.

Основу системы наведения (СН) современного телескопа составляют опорно-поворотное устройство (ОПУ) и силовые следящие электроприводы (ССЭП). Например, система наведения инфракрасного телескопа строится на основе трехосного ОПУ с азимутальной, угломестной и сканирующей осями. На каждой из осей расположен электроагрегат, содержащий электрический двигатель и датчики угла поворота и скорости двигателя с жестко связанными валами.

Известны требования к статическим и динамическим характеристикам ССЭП азимутальных и угломестных осей современных стационарных и мобильных телескопов [1, 2] и др. Их реализация связана с отказом от согласующих редукторов, отказом от малонадежных исполнительных двигателей постоянного тока, а также с переходом к безредукторным следящим электроприводам с использованием вентильных двигателей, построенных на основе синхронных электромеханических преобразователей и управляемых от транзисторных инверторов с использованием сигналов датчика угла поворота ротора двигателя.

Т Специфическими являются тре----бования к электроприводам осей ска------- -------- -----------------1--------- нирования. Во многих случаях они

/ ! ! , ! , / должны обеспечивать движение оси в

1 / ! '2_! '3 \ '4_| '5 / ^

/-1-1-—|—'-|—-^ пределах малых углов в соответствии

/—Ь.—>1*=—нр ;>1<—'р —нр >| / ' с временной диаграммой, представ-----------------------------------у ленной на рис. 1.

Рис 1 Полный цикл сканирования Тск

содержит два участка рабочего хода ('1—'2 и '3—'4) длительностью 'р и два участка нерабочего хода ('2—'3 и '4—'5) длительностью 'нр. На участках рабочего хода угол поворота оси должен изменяться линейно в границах от —Ор до +агр с допустимой погрешностью нелинейности. Закон изменения угла на участках нерабочего хода может быть произвольным. Длительность нерабочего хода измеряется между окончанием одного рабочего хода и началом следующего.

Проектирование системы управления предполагает тесно взаимосвязанные процедуры выбора элементной базы энергетической и информационной подсистем, а также выбора структурных решений систем управления и алгоритмов управления.

Ввиду достаточно малого диапазона изменения угла поворота оси сканирования для реализации электропривода нет необходимости использовать традиционные электродвигатели с неограниченным углом поворота. Перспективно применять для этих целей бесконтакт-

1

Wy/2

2

Гу/2

1

/

ный магнитоэлектрический преобразователь (МЭП) мостового типа с возбуждением от по стоянных магнитов, упрощенная конструкция которого представлена на рис. 2.

По принципу действия и основным параметрам МЭП относится к электрическим преоб разователям с перемещением якоря нормально к линиям индукции магнитного поля индуктора в воздушном зазоре. Принцип действия поляризованного МЭП основан на взаимодействии магнитного потока, создаваемого намагничивающей силой постоянного магнита 1, и потока управления, создаваемого током г обмотки управления 2 с числом витков Wу, обусловленным напряжением на обмотке управления и.

Конструкция такого типа обеспечивает устойчивое нейтральное положение, а также возникновение момента, пропорционального величи не углового отклонения от нейтрального положения, направленного в сторону, противопо ложную этому отклонению. Основы теории функционирования МЭП, их основные характеристики, основы построения электроприводов на базе МЭП изложены в книге [3]. Тем не менее проектирование современных систем требует использования более детализированных ма тематических моделей, адаптированных для решения задач синтеза замкнутых систем.

На основе материалов работы [3] математическую модель МЭП можно представить системой уравнений состояния

Рис. 2

Я. Ке

йг ь

ь

1

-ш +— и,

й ш йг й а йг

К 1

= ш.

I г / ш I--ш -

1

ь

Ка а +1 Мс

1

1

В приведенных уравнениях: а и ю — соответственно угол поворота оси и ее угловая скорость; Я и Ь — соответственно активное сопротивление и индуктивность обмотки управления МЭП, Ке — крутизна противоэдс МЭП, 1 — суммарный момент инерции по оси сканирования, / — коэффициент момента сил вязкого трения (внутреннего демпфирования), Мс — суммарный момент внешних воздействий, Ка = йМ/йа — жесткость механической характеристики, или жесткость „магнитной пружины", К = йМ/йг — жесткость моментной (тяговой) характеристики, или чувствительность по току. Далее при расчетах и моделировании будем ориентироваться на следующие параметры МЭП с нагрузкой: Ка = 4500 Н-м/рад, К1 = = 120 Н-м/А; Ке = 1,5 В-с/рад; Ь = 0,03 Гн; Я = 10,5 Ом; 1 = 250 кГм2; / = 0.

Рис. 3

На рис. 3 в рамку помещена структурная схема собственно МЭП, где Тэ = Ь/Я — электрическая постоянная времени, р — оператор Лапласа. Как видно из рис. 3, при отсутствии

внутреннего демпфирования (/ = 0) в состав структурной схемы входит консервативное колебательное звено с резонансной частотой

^ <2)

в нашем случае равной 4,24 с .

Ввиду отсутствия демпфирующего влияния момента вязкого трения демпфирование колебаний в МЭП может осуществляться только за счет внутренней электромеханической обратной связи через противоэдс МЭП.

Для оценки указанного демпфирующего действия пренебрежем электрической постоянной времени двигателя Тэ = 0 (или Ь = 0), тогда система уравнений состояния МЭП примет вид

d ш (KJKe f Л Ka Kj 1 .. dt V JR J) J JR J c d а

—=ш. dt

Из первого уравнения полученной системы (3) видно, что демпфирование колебаний зависит не только от коэффициента момента сил вязкого трения / но и от коэффициента

Кю= КК,

ш ж

пропорционального крутизне противоэдс Ке. Характеристическое уравнение системы (3) имеет вид

р1 + КшР+^2 =0,

а его корни определяются формулой

Р1,2=-к-!^.

При заданных параметрах МЭП и нагрузки Кю=0,068, 00= 4,243, поэтому корни уравнения (6) являются комплексно-сопряженными, т.е.

Р1,2 =-Чг±Н\.

Таким образом, всякое движение в системе является колебательным с частотой свободных колебаний

шсв =

^2-iKfl

и временем их затухания

<9)

ш

В рассматриваемом случае юсв = 4,24 с-1 и tn = 88,24 с, т.е. частота свободных колебаний практически не отличается от резонансной частоты двигателя, а время их затухания является недопустимо большим. Таким образом, собственное электромеханическое демпфирование двигателя является весьма слабым.

На рис. 4 приведены результаты моделирования реакции тока i (кривая 1 в масштабе 1:1), угла поворота а (кривая 2 в масштабе 10:1) и скорости ю (кривая 3 в масштабе 5:1), МЭП на скачок напряжения управления u = 10 В. Моделирование проводилось на основе системы уравнений (1) с учетом индуктивности обмотки управления, так что Тэ = 0,003 с. Как видно, параметры переходного процесса и установившегося режима практически полностью соот-

ветствуют расчетным, полученным выше, без учета постоянной времени Тэ. Так, период свободных колебаний Тсв = 1,55 с, что соответствует угловой частоте свободных колебаний юсв = 4,05 с-1. Время затухания колебаний близко к 90 с. Установившееся значение угла поворота — 0,026 197 рад — соответствует статическому коэффициенту передачи 0,0026 рад/В. Установившееся значение тока в обмотке управления — 0,95 А соответствует значению густ= и/К=10/10,5 = 0,952 А. г, А

а, рад ю, рад/с

0,5

-0,5

-1

40

Рис. 4

Эффективным средством демпфирования колебаний является введение внешней отрицательной обратной связи по скорости МЭП с использованием тахогенератора сигнала, установленного на валу.

Дополним структурную схему, представленную на рис. 3, контуром регулирования скорости, содержащим тахогенератор с коэффициентом передачи Kтг, П-регулятор с коэффициентом передачи Кп и элемент сравнения, где сигнал тахогенератора сравнивается с напряжением задания из, так что

u = Кп(из - Ктгю). При этом система уравнений состояния привода принимает вид

& К . Ке + Кю Кп Кп

г Ке + Кю Кп п и - =--г--ю+--щ

йг Ь

ь

й ю Кт /

—=—-г-—ю--

йг 3 3 3

й а

Ь

Ка а+-Мс

3

йг

-=ю.

Полагая, как и ранее, Тэ = 0, и введя обозначения

Ке = Ктг + Ке IКп ,

К * К1Кп Ке Кю =-

Ж

получим характеристическое уравнение системы (10) в виде

р2 + Кю р+о0 =0.

Корни уравнения (12) определяются формулой

КЮ

Р1,2 ="

Г К * >

Кю 2;

0

Поскольку параметр Кю в соответствии с формулами (11) и (12) может изменяться

варьированием коэффициентов Кп и Ктг, то в данной двухконтурной системе можно организовать как апериодический переходный процесс, так и колебательный. При условии

Кю

2

>

или

К >:

2 ЖП0

*

KIKe

переходные процессы в системе будут носить апериодический характер, а реакция угла поворота на скачок задающего воздействия будет описываться выражением

а(г)= иКста

1+-

71 ехр(-г / 71) - 72

T2 -71

72 -71

ехр

Здесь Т1 = шоё(1/^1), Т2 = шоё(1/р2), а

а

^уст

Кста = —-—

из

Кю

<О0

з.уст ¿0

— статический коэффициент передачи контура по углу.

Пусть, например, в структуре на рис. 3 Кп = 10,21 и Ктг = 20 В-с/рад. Тогда при заданных

* *

параметрах электромеханического преобразователя и нагрузки имеем Кю = 9,334, Ке =20,

Оо= 4,243 с-1, р1 = -2,723, р2 = -6,611, 7 =0,367 с, Т2 = 0,151 с.

Результаты математического моделирования установившихся и переходных режимов на скачок напряжения задания из= 1,35 В, соответствующий заданному углу поворота Оз = 0,035 рад (2°) в системе с указанными выше параметрами, представлены на рис. 5, где 1 — эталонная кривая угла поворота в масштабе 30:1, рассчитанная по выражению (15), 2 — кривая угла поворота, полученная путем моделирования системы (10) в том же масштабе, 3 — кривая скорости в масштабе 30:1, 4 — кривая тока обмотки управления в масштабе 1:1, 5 — кривая напряжения на обмотке управления МЭП в масштабе 1:10. Как видно, кривые 1 и 2 практически совпадают, и следовательно, статические и динамические характеристики МЭП с дополнительной обратной связью по скорости, полученные с использованием модели (10), полностью соответствуют расчетным, полученным без учета электромагнитной постоянной времени обмотки управления. а, рад ю, рад I, А

ю, рад/с и, В

1,5

0,5

1 1 1 1 А

-

; ^ у 1 1 £ + 1 /Г У 1 1 1, 2 -------------1.............

0

0,5

2

2,5

г, с

1 1,5

Рис. 5

Статические и динамические характеристики МЭП с дополнительной обратной связью по скорости при условии (14) можно охарактеризовать двумя передаточными функциями

1

Математические модели и динамические характеристики электромеханических преобразователей 23

а

и

а(Р) КстМ

из

Мс

где статический коэффициент передачи по задающему воздействию Кста в выражении (17) определяется формулой (16), а статический коэффициент передачи МЭП по моменту нагрузки КстМ определяется параметром Ка исходного МЭП, т.е.

_ "^уст 11 КстМ = —-=-2 = .

Мс уст 3 ^2 Ка

Обратим внимание на то обстоятельство, что данный контур по возмущению (моменту нагрузки) — статический и его статический коэффициент передачи не зависит от глубины дополнительной обратной связи по скорости. Это значит, что при неизменном сигнале задания на входе контура из всякое изменение момента нагрузки приведет к изменению угла поворота МЭП.

В нашем случае КстМ = 0,000 222 рад/Н-м и, следовательно, изменение момента нагрузки на оси сканирования, например на 4 Нм, может вызвать приращение угла поворота на 3'. Это в условиях нестабильности момента сухого трения на валу и наличии дополнительного ветрового момента существенно исказит линейную зависимость воспроизводимого угла поворота а(г). Обеспечение астатизма по моменту нагрузки требует организации дополнительного контура регулирования угла с введением интеграла в закон регулирования. Наиболее целесообразным представляется использование ПИД-закона регулирования, поскольку при этом возможны компенсация достаточно больших постоянных времени Т1 и Т2 и организация системы регулирования с заданными высокими динамическими показателями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белянский П. В., Сергеев Б. Г. Управление наземными антеннами и радиотелескопами. М.: Сов. радио, 1980. 280 с.

2. Томасов В. С., Денисов К. М., Толмачев В. А. Следящие электроприводы систем наведения оптико-механических комплексов нового поколения. Проблемы и достижения // Тр. V Междунар. (XVI Всеросс.) конф. по автоматизированному электроприводу АЭП-2007. 18—21 сентября 2007. СПб, 2007. С. 175—177.

3. Решетников Е. М., Саблин Ю. А., Григорьев В. Е. Электромеханические преобразователи гидравлических и газовых приводов. М.: Машиностроение, 1982. 144 с.

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

электротехники и прецизионных 23.01.08 г.

электромеханических систем