Исследование рабочих статистик модельно-параметрического метода собственных векторов в задачах обнаружения радиолокационных сигналов

Радиолокация и радионавигация

УДК 621.396.62

А. П. Аникин, В. М. Кутузов

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ"

Исследование рабочих статистик модельно-параметрического метода собственных векторов в задачах обнаружения радиолокационных сигналов

Рассмотрены основные принципы модельно-параметрической обработки простых узкополосных сигналов с использованием метода собственных векторов. Проанализирована эффективность применения некоторых наиболее перспективных статистик указанного метода и проведено сравнение характеристик этих статистик.

Метод собственных векторов, порядок модели, собственные числа, синусоидальные сигналы, обнаружение, разрешение

В радиолокации метрового и декаметрового диапазонов волн из-за дефицита спектра является актуальным повышение разрешения по дальности. Один из путей решения этой проблемы - повышение разрешения по дальности без увеличения ширины спектра зондирующего сигнала за счет применения модельно-параметрических методов обработки. Описание физической сущности и математического аппарата этих методов можно найти в работе [1], а обоснование их применимости для обработки в радиолокационных приложениях дано в работах [2], [3].

Модельно-параметрические методы обработки основаны на использовании определенных моделей для описания реально наблюдаемых ограниченных выборок зашумлен-ных сигналов. Если выбранная модель адекватна возможному континууму сигнальных ситуаций, то, оптимально подбирая ее параметры, можно с определенной точностью восстановить наблюдаемый сигнал или его корреляционную последовательность на любом, в том числе и на неограниченном интервале. Поскольку точность аппроксимации сигнала моделью зависит как от размера доступной для измерений выборки, так и от отношения сигнал/шум, реальное разрешение по информационному параметру также оказывается зависящим от этих двух величин [2].

На выбор конкретной модели влияет множество факторов, главными из которых являются адекватность модели, обеспечение требуемых показателей качества и ее техническая реализуемость. Следует учитывать, что модель несет в себе априорную информацию о типах сигналов, на которые она рассчитана, причем тем большую, чем уже круг возможных типов

© А. П. Аникин, В. М. Кутузов, 2006

59

сигналов. Это сказывается на потенциальных характеристиках разрешения, которые обеспечивает та или иная модель при прочих равных условиях. Если разрешаемые сигналы имеют дискретные параметры, то из всех известных модельно-параметрических методов наилучшим разрешением по Рэлею обладают методы, основанные на анализе собственных значений оценки корреляционной матрицы данных [1], [4]. До недавнего времени их применение в радиолокации сдерживалось высокой сложностью технической реализации, однако прогресс в области цифровой обработки сигналов практически снял это ограничение.

Методы, основанные на анализе собственных значений оценки корреляционной матрицы данных, развивались как методы спектральной обработки сигналов [1], [4]. Ключевой операцией в этих методах является разделение информации, содержащейся в матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума. В указанных подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения спектральных оценок. Однако эти оценки не являются истинными оценками спектра сигнала, поскольку они не передают информацию о мощности анализируемого процесса [1].

Пусть анализируемый процесс представляет собой аддитивную смесь, состоящую из К гармонических сигналов с частотами и мощностями р и нормального центрирован-

2

ного "белого" шума с дисперсией а . Автокорреляционная матрица такого процесса при его дискретном представлении во временной области может быть описана выражением [1]:

я = £

к=1

где = {exp(j2л4Мд), exp(j2ъ/к2АГд), ..., exp(j2ъ/кпМд), ..., exp(j2%/кЫМд)} -вектор k-го гармонического сигнала размером N с шагом дискретизации по времени Д^; I - единичная матрица с размерами N х N; символ н означает эрмитово сопряжение, а

" т"

символ - транспонирование вектора.

Матрица (1) может быть разложена по собственным числам и векторам:

К / ч N

R = £

к=1 к=К+1

где %к - к-е собственное число, а \к - к-й собственный вектор матрицы R. Разложение (2) матрицы данных на собственные значения можно использовать для получения спектральных оценок сигналов. Сохранение только информации, соответствующей собственным векторам подпространства сигнала, эквивалентно формированию для матрицы R аппроксимации пониженного ранга:

Кн

R = Z

к=1

что эффективно увеличивает отношение сигнал/шум, поскольку устраняет вклад мощности компонентов подпространства шума.

Для оценки спектра в подпространстве сигнала можно использовать любую функцию оценивания частот гармонических сигналов (коррелограммную, периодограммную, авторегрессионную и т. д.), в которую вместо исходной матрицы данных R следует подставить ее разложение по собственным векторам (3). Матрица R очищена от влияния шума благодаря устранению из нее векторов подпространства шума, что гарантирует более качественные оценки сигнала.

Можно показать, что собственные векторы шумового подпространства матрицы данных ортогональны векторам синусоидальных сигналов. Это дает возможность проводить оценку спектра сигнальных компонентов в подпространстве шума. Существует два вида функций оценок спектра [1]. Первая из них получается с помощью алгоритма "классификации множественных сигналов" (multiple signal classification - MUSIC) [1]:

-1

P

MUSIC

С f) =

N

I (

k=K+1

V k Vk,

i f)

(e (f) - вектор синусоидального сигнала частоты f), основанном на строгом использовании собственных векторов подпространства шума с равномерной весовой обработкой. Вторая основана на алгоритме "собственный вектор" (eigenvector - EV) [1]:

PeV

N

Z

k=K+1

V k vH

X

k

e

-1

в котором вес каждого собственного вектора подпространства шума берется равным величине, обратной собственному значению, соответствующему этому вектору. При заданном значении порядка K метод EV, благодаря использованию в нем указанных весов, порождает меньше, чем метод MUSIC, ложных оценок [1].

На практике корреляционная матрица сигнала вида (1) обычно неизвестна, поэтому ее заменяют оценкой, построенной на основании выборки наблюдаемого суммарного сигнала длиной М, которая имеет те же свойства, что и исходная матрица [1]. Собственные числа и векторы оценки корреляционной матрицы также можно использовать для спектрального оценивания гармонических сигналов.

Чтобы получить оценки информационных параметров сигнала (частоты и амплитуды) с использованием метода собственных векторов по описанной методике, необходимо предварительно оценить порядок модели K, который должен быть не менее числа сигнальных составляющих, что позволит наблюдать их по отдельности. Число сигнальных составляющих обычно априори неизвестно, поэтому требуется разработать критерии, позволяющие определять порядок модели непосредственно на основе измеренных данных.

Метод собственных векторов допускает использование различных рабочих статистик [5], [6], которые могут быть использованы при обнаружении, обнаружении-разрешении и оценке информационных параметров сигналов, в том числе при неизвестном числе сигнальных компонентов. Например, в задаче обнаружения-разрешения общеупотребительной является статистика, основанная на сравнении с некоторым порогом у локальных максимумов функций вида (4) или (5) при максимальном порядке модели K = N -1:

e

Р

Число сигнальных компонентов принимается равным числу максимумов, превысивших порог. Однако практические исследования показали, что функция Р (/) при завышенном значении порядка К дает много ложных спектральных максимумов (рис. 1, а), вследствие чего возрастает вероятность ложной тревоги, и чтобы сохранить ее на должном уровне, приходится поднимать порог обнаружения, что ведет к энергетическим проигрышам в характеристиках обнаружения. Если же порядок модели К занижен по сравнению с истинным числом сигнальных составляющих, то происходит потеря разрешающей способности (рис. 1, б). Наилучшим является значение К, равное числу сигнальных составляющих (рис. 1, в).

Более предпочтительной рабочей статистикой обнаружения-разрешения является анализ собственных чисел, соответствующих подпространству сигнала [1]. Собственные числа, как и собственные векторы, могут быть разделены на две группы: относящиеся к подпространству сигнала и относящиеся к подпространству шума. Рассмотрим поведение

собственных чисел при различных отношениях сигнал/шум. Рис. 2, а показывает поведение первого (сигнального) собственного числа матрицы данных, если в анализируемой выборке присутствует один сигнал: это число изменяется пропорционально амплитуде сигнала. Если в анализируемой выборке присутствуют два сигнала с одинаковыми амплитудами, отличающиеся

Р 0.8 0.6 0.4 0.2

0

Р 0.8 0.6 0.4 0.2

0

М = 24; N = 10; К = 8

Ложные максимумы

Сигнальные максимумы

200

М = 24; N = 10; К = 1

и

/

400

600

800

/, Гц

J_I

X

1400

700 -

200

400

600

800

/, Гц

Р 0.8 0.6 0.4 0.2

0

М = 24; N = 10; К=2

200

\1_

400

600

Рис. 1

800

/, Гц

1500 -

1000

500 -

б

Рис. 2

б

а

частотными параметрами, сигнальные собственные числа также растут пропорционально росту амплитуд сигналов (рис. 2, б).

На рис. 3 показаны гистограммы распределений значений шумовых собственных чисел Ж(X) при одном (рис. 3, а) и двух (рис. 3, б) полезных сигналах. Каждое собственное число флуктуирует случайным образом вокруг некоторого среднего значения.

Рассмотрим поведение собственных чисел в двух случаях: когда полезный сигнал отсутствует, и когда он существенно превышает шум. Гистограммы распределения всех пяти шумовых собственных чисел показаны на рис. 4, а. На рис. 4, б приведены гистограммы распределения четырех шумовых собственных чисел в присутствии одного полезного сигнала при отношении сигнал/шум 40 дБ. Анализируя данную иллюстрацию, можно заметить, что формы функций распределения шумовых собственных чисел Ж (X) в обоих случаях практически одинаковы. Также видно, что при наличии мощного сигнала среднее значение каждого шумового собственного числа несколько сдвигается в область меньших значений.

Таким образом, авторы статьи установили, что для обнаружения и разрешения полезных сигналов можно использовать статистику, основанную на сравнении с порогом полного набора собственных чисел, расставленных в порядке убывания:

X,- >ух; / е [1; N].

Порог у ^ устанавливается таким образом, чтобы обеспечить его превышение шумовыми собственными числами (при отсутствии полезного сигнала) с заданной вероятностью ложной тревоги. Как установлено ранее, амплитуды сигнальных собственных чисел растут пропорционально отношению сигнал/шум. Собственные числа, превысившие по-

Рис. 3 Рис. 4

рог у х, будут автоматически считаться сигнальными, а их количество будет соответствовать числу сигнальных составляющих в анализируемой выборке данных. Приведенные ранее иллюстрации (см. рис. 3 и 4) показывают, что данная статистика обеспечивает практически постоянный уровень ложных тревог независимо от числа присутствующих сигнальных компонентов и их мощностей. Есть гарантия, что вероятность ложной тревоги по крайней мере не превысит установленного уровня.

Экспериментально установлено, что вероятность превышения порога обнаружения Yх каждым следующим шумовым собственным числом оказывается не менее чем в два

раза меньше по сравнению с предыдущим. Следовательно, для каждого следующего в порядке убывания собственного числа можно устанавливать индивидуальный порог обнаружения Yi, несколько меньший по значению, чем для предыдущего, исходя из требуемой вероятности ложных тревог. При этом статистика (7) модифицируется к виду

^ >Yi; i е [1; N].

Целесообразность использования статистики (8) зависит от размера используемой оценки корреляционной матрицы: при больших значениях N трудоемкость вычисления индивидуальных порогов растет, а результирующие преимущества в характеристиках обнаружения перед исходной статистикой (7) оказываются незначительными.

Статистики (7) и (8) обладают очевидным недостатком - величины порогов обнару-

2 2 жения зависят от мощности шума а (рис. 5). Если мощность шума а неизвестна и изменяется, то для поддержания вероятности ложной тревоги на требуемом уровне порог необходимо корректировать.

От этого недостатка свободна нормированная рабочая статистика вида [4], [6]:

IN \

h £ Ч ^Ys; i е [1; N],

ч / k=1 )

однако, как показали исследования, она существенно проигрывает в характеристиках обнаружения-разрешения при обнаружении двух и более сигналов. Это происходит вследствие нормирования сигнальных собственных чисел к резко возрастающей сумме в знаменателе (9) при двух и более полезных сигналах.

Можно предложить модифицированную нормированную статистику, свободную от недостатков (9), но при этом обладающую свойством стабилизации ложных тревог:

f I N \

h £ ^mk ^Ys; i e [1; N],

, / k=K+1 J

где ^k - шумовые собственные числа, вычисленные в подпространстве шума для k > K . При

N

изменении мощности шума знаменатель ^ k сохраняет уровень ложных тревог практи-

k=к+1

чески неизменным. На рис. 6 приведены зависимости порогов обнаружения для рабочих статистик (9) (кривые 1)) и (10) (кривые 2), иллюстрирующие эффект стабилизации ложных тревог, причем для длин выборок M = 128 поведение обеих статистик практически идентично.

Ye 0.8 0.6 0.4 0.2

N = 5

У

M = 16

2 1 2 ^_,Z_

128

50 Рис. 5

0

25

50 Рис. 6

75

ст

Для дальнейшего исследования отобраны четыре статистики, главной отличительной особенностью которых являлась относительная простота реализации: (6), (7), (9) и (10). Чтобы сравнить эффективность данных статистик в задачах обнаружения и обнаружения-разрешения, использовался сигнал, адекватный принятой в методе собственных векторов модели. На вход алгоритма обработки подавалась аддитивная смесь "белого" шума и комплексных гармоник с различными частотами, амплитудами и фазами. Шаг дискретизации входного процесса Atд поддерживался неизменным, поэтому изменение числа входных

данных M было эквивалентно изменению времени анализа сигнала tc = MAtg. Ширина спектра анализируемой выборки гармонического сигнала Afc = 1/tc = \j(MAtfl ) также зависела от числа входных данных M. Эти соотношения были учтены при построении статистических характеристик обнаружения, обнаружения-разрешения и помехоустойчивости. В качестве оценки корреляционной матрицы данных использовалась матрица с N = 5 .

Рис. 7 иллюстрирует потери анализируемых рабочих статистик относительно оптимальной обработки при обнаружения одиночного сигнала со случайными частотой и начальной фазой, c постоянной амплитудой (рис. 7, а) и со случайной амплитудой, подчиняющейся распределению Рэлея (рис. 7, б) на фоне нормального "белого" шума. Проигрыш исследуемых статистик по сравнению с оптимальной обработкой Aq оценивался по различию в отношении сигнал/шум при вероятностях правильного обнаружения D = 0.9 и

ложной тревоги F = 10 . В качестве оптимального алгоритма обнаружения одиночного сигнала использовалось классическое преобразование Фурье.

С оптимальной обработкой сравнивались статистика (6) (рис. 7, 1), использующая в своей основе метод MUSIC (4), статистика анализа собственных чисел (7) (рис. 7, 2), нор-

Aq, дБ

N = 5; K=1

16

32

б

64

Рис. 7

M

1

7

4

8

N = 5; К = 2; М = 8

0 0.2 0.4 0.6 А///с

а

?0.9> ДБ

34

27

20

13 6

?0.9> ДБ

25

17

9 1

N = 5; К = 2;

\ 1 М = 16

- ^У

ж 3

/Х^—

- 2 1

0 °.4 0.8 1.2 А// /с

б

N = 5; К = 2; М = 32

?0.9, дБ 60 40 20

N = 5; К = 2; М = 8

0 0.2 0.4 а 0.6 А///с

дБ N = 5; К = 2;

60 _\ 1 М = 16

40 ЧЛ 3

20 ____/

0 2 1 ^ --

0.1 0.6 б 1.1 А///с

ад^ дБ 1 N = 5; К = 2;

24 16 М = 32

/

8 ~ 2 _____ —--- - . _

0 1 —-

А// /с

0.2

1.2

2.2

А///с

<70.9, ДБ

10 0

N = 5; К = 2; М = 64

//с

< 0.9, дБ

20

10 0

1 N = 5; К = 2; М = 64

\ ^ 3

2 | ^-г___

0.5

2.5

4.5

//с

< 0.9, дБ

N = 5; К = 2; М = 128

5 9

д

Рис. 8

ад^ ДБ

N = 5; К = 2; М = 128

5 9

д

Рис. 9

//с

3

2

в

в

г

г

1

мированная статистика собственных чисел (9) (рис. 7, 3) и модифицированная нормированная статистика собственных чисел (10) (рис. 7, 4). Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что статистика (7) в данных условиях является субоптимальной, т. е. проигрывающей оптимальной обработке менее 3 дБ. Обе нормированные статистики (9) и (10) практически идентичны и имеют большие проигрыши, что является естественной платой за стабилизацию вероятности ложных тревог. Статистику (6) на основе метода MUSIC нельзя признать удовлетворительной.

На рис. 8 приведены результаты анализа статистических характеристик совместного обнаружения двух одинаковых сигналов, отличающихся друг от друга по частоте на величину А/. Графики приведены для M = 8 (рис. 8, а), 16 (рис. 8, б), 32 (рис. 8, в), 64 (рис. 8, г) и 128 (рис. 8, д). При построении зависимостей оценивалось отношение сигнал/шум, при котором вероятность совместного обнаружения двух сигналов достигала уровня D = 0.9 при

вероятности ложной тревоги F = 10 . Для того чтобы характеристики сделать более универсальными и сопоставимыми, значение А/ нормировалось к ширине полосы частот сигнала Д/с. Из рис. 8 видно, что разрешение сигналов при помощи статистик (6), (7) и (10) успешно производилось даже при значениях А/ , значительно меньших ширины основной полосы сигнала / (так называемого рэлеевского разрешения), при которых статистика на основе преобразования Фурье принципиально утрачивала свою работоспособность, причем при малых значениях А/ статистика (7) (рис. 8, кривые 2) оказалась предпочтительнее статистики (6) (рис. 8, кривые 1). Нормированная статистика (9) (рис. 8, кривые 3) в рассмотренной ситуации утрачивала свою работоспособность при значениях M < 128.

На рис. 9 приведены результаты статистического анализа характеристик помехоустойчивости исследуемых статистик к сигналоподобным помехам. Отношение помеха/шум было выбрано равным 40 дБ. Исследования проводились при тех же значениях M, что и в предыдущем случае. Анализируя графики, приведенные на рис. 9, можно заметить, что статистика (7) (кривые 2) обладает более высокой помехоустойчивостью, чем статистики (6) (кривые 1) и (10) (кривые 3). Статистика (9) в данной ситуации оказалась неработоспособна так же, как и при совместном обнаружении двух одинаковых сигналов.

На основании проведенных исследований можно сделать вывод, что самой перспективной статистикой, с точки зрения простоты реализации и минимизации энергетического проигрыша, при обнаружении и разрешении сигналов является статистика (7). Ее недостаток заключается в зависимости порога обнаружения от мощности шума и в невозможности производить оценивание частот сигнальных составляющих. Первый недостаток может быть устранен модификацией (10) этой статистики. Оценивание частот гармонических сигнальных компонентов может быть проведено при помощи статистики (6); в нее предварительно вводится параметр K, оценка которого является главной задачей статистик (7) и (10). Следовательно, статистики (6) и (7) являются взаимодополняющими, и несмотря на то, что в настоящей статье они исследовались раздельно, на практике они должны использоваться совместно как единый алгоритм обработки сигналов.

Библиографический список

1. Марпл С. Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с.

2. Кутузов В. М. Проблемы и перспективы применения параметрических методов обработки радиолокационной информации // Радиоэлектроника в СПбГЭТУ. Сб. науч. тр. 1996. Вып. 2. СПб.: Изд-во СПб ГЭТУ. С. 86-98.

3. Безуглов А. В., Кутузов В. М. Применение авторегрессионных методов для определения задержки сигнала в навигационных системах // Изв. ЭТУ. 1993. Вып.460. С. 64-70.

4. Hu B., Gosine R.G. A new eigenstructure method for sinusoidal signal retrieval in white noise: estimation and pattern recognition // IEEE Trans. on signal proc. 1997. Vol. SP-45, № 12. P. 3073-3083.

5. Сотников А. А., Аникин А. П. Многосегментная модельно-параметрическая обработка неэквидистантных данных // Тез. докл. Всерос. науч.-техн. конф., Томск, 18-20 мая 2004 / ТУСУР. Томск, 2004. С. 17-20.

6. Сотников А. А. Применение метода собственных векторов в задачах обнаружения сигналов // Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Сер. Радиоэлектроника и телекоммуникации. 2003. Вып. 2. С. 37-39.

A. P. Anikin, V. M. Kutuzov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Work statistics of eigenstructures model-parametrical method for applications of radiolocation signals processing

General principles for model-parametrical processing of simple sinusoidal signals with ei-genstructures method are described, e//iciency o/ using some o/ the most perspective statistics in this method is analyzed and their statistical characteristics are compared.

Eigenstructures method, model order, eigenvalues, sinusoidal signals, detection, division

Статья поступила в редакцию 12 ноября 2005 г.

УДК 621.396.96

Н. П. Богомолов

Сибирский государственный аэрокосмический университет

им. акад. М. Ф. Решетнева

Оценка угловых координат целей двухпозиционными радиолокационными системами при воздействии коррелированных шумовых помех

Предложен метод повышения точности оценивания вектора состояния в двухпози-ционной радиолокационной системе при воздействии на нее источника шумовых помех. Получен дискретный алгоритм децентрализованной вторичной обработки в пункте обработки информации, основанный на методе последовательной декорреляции результатов фильтрации оценок координат и параметров траектории цели, рассчитанных в вынесенных приемных пунктах. Проведен сравнительный анализ показателей качества измерений разработанного и известного алгоритмов.

Многопозиционная радиолокационная система, шумовая помеха, адаптация, фильтр Калмана, последовательная декорреляция

Решение многих актуальных задач современной радиолокации может быть осуществлено многопозиционными (МП) радиолокационными системами (РЛС) с фазированными антенными решетками (ФАР) в пунктах приема с применением как оптимальных, так и

68

© Н. П. Богомолов, 2006