Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах

УДК 548.0:534

Р. А. Браже, А. И. Кочаев

ОБЩИЙ МЕТОД ПОИСКА ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ1

Аннотация. Предложен универсальный метод поиска направлений распространения и поляризации чистых мод упругих волн в кристаллах, в общем случае обладающих пьезоэффектом. С этой целью построена математическая модель чистых мод упругих волн, основанная на адиабатических уравнениях состояния произвольной анизотропной пьезоэлектрической среды и уравнении ее движения под воздействием упругих деформаций в произвольной ортогональной системе координат. Для упрощения расчетов разработана компьютерная программа.

Ключевые слова: упругие волны, продольные нормали, поперечные нормали, пьезоэффект.

Abstract. The universal search method for pure modes propagation and polarization in crystals, in general piezoelectrics, is suggested. For the problem’s solution the mathematical model of pure modes for elastic waves based on adiabatic state equations for an arbitrary anisotropic medium and its motion equation under the elastic deformations in rotating Cartesian coordinates is constructed. The computer program is prepared to simplify the calculations.

Keywords: elastic waves, longitudinal normals, transverse normals, piezoeffect.

Введение

В произвольном направлении в анизотропной среде могут распространяться (в общем случае) три упругие волны: одна квазипродольная и две ква-зипоперечные [1]. Практический интерес представляют чистые моды упругих волн, поскольку в них направления волнового и лучевого векторов совпадают. Совокупность одной продольной и двух поперечных чистых мод, распространяющихся вдоль одной прямой, принято называть продольной нормалью. Поперечной нормалью является такое направление, вдоль которого распространяется одна поперечная волна, а две другие являются квазипродольной и квазипоперечной. Метод отыскания продольных нормалей был разработан Ф. Е. Боргнисом [2] в 1955 г., а впоследствии (1965) усовершенствован К. Браггером [3]. Позднее, в 1968 г., З. Р. Чанг [4] представил метод отыскания поперечных нормалей в кристаллах некоторых классов симметрии. Данные методы позволяют правильно отыскивать направления продольных и поперечных нормалей лишь для непьезоэлектрических кристаллов. Поправки для случая пьезоэлектрических кристаллов были сделаны В. Н. Любимовым в 1969 г. [5].

Наконец, Р. А. Браже и др. [6] в 1975 г. предложил общий метод отыскания продольных и поперечных нормалей в кристаллах произвольной симметрии, в том числе пьезоэлектрических, основанный на диагонализации коэффициентов волнового уравнения. Получаемые при этом системы нелинейных уравнений оказались настолько сложны, что средства вычислительной техники того периода не позволили авторам реализовать свой метод в полной мере. В данной работе мы заполняем этот пробел.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-02_97002-р_поволжье_а).

Постановка задачи

Будем рассматривать плоские упругие волны в неограниченной анизотропной непроводящей, в общем случае пьезоэлектрической среде, используя адиабатическое приближение. Предполагаем, что магнитные эффекты отсутствуют, а электромеханические поля являются квазистатическими. Кристалл считается электрически разомкнутым.

В принятых допущениях уравнения состояния пьезоэлектрической среды в произвольной подвижной ортогональной системе координат (x\, х2 , Х3) можно записать в виде

аар = суЫаа^Р]аукаЬ^уЬ~ emijaaia^jaгmEг ;

~^'mnacnaemEe епЫаспаукаЬ$уЬ •

Здесь аар и £'§ обозначают тензоры упругих натяжений и деформаций; етп, епк1 и сщ представляют собой тензоры диэлектрических проницаемостей, пьезоконстант и модулей упругости; Е'г и являются векторами напряженности и индукции электрического поля соответственно. Символы «а» с двумя нижними индексами представляют собой направляющие косинусы подвижной системы координат относительно кристаллофизической системы координат (х^, Х2, Х3), причем греческие индексы соответствуют подвижным осям, а латинские - кристаллофизическим.

Исключая Е£ из системы уравнений (1), (2) и подставляя аар в уравнение упруго деформированной среды

ЭЧ д2аар

Р—2^ =------7)’

Э(2 Эх12

инвариантное относительно преобразований координат, при условиях V- Д = 0, Ух Е = 0 для плоских упругих волн, распространяющихся в произвольном направлении х1, получаем следующее волновое уравнение:

2 / ( ’ ’ 2 ’

и„ . елулелал Э иу

Э иа

р—2а Эг2

е1у1е1а1 " “у

Эх'2 ’

е11

где компоненты вектора смещения частиц:

иа = aаiui, иу = аукик;

компоненты тензора модулей упругости:

са1у1 = ааа ]аука11сук1;

компоненты ранее введенных тензоров диэлектрических проницаемостей и пьезоконстант:

^11 а1та1п^тп;

е1у1 = а1паука11епк1, е1а1 = а1таа^11ету .

Стоящие в круглых скобках коэффициенты уравнения (4) образуют действительную симметричную матрицу эффективных модулей упругости, в общем случае «ужесточенных» за счет пьезоэффекта. Эта матрица может быть приведена к диагональному или неполному диагональному виду с помощью преобразования подобия с действительной ортогональной преобразующей матрицей, элементами которой являются направляющие косинусы преобразования координат. Обозначив эффективные модули упругости как

с = / , е1у1е1а1

са1у1 = са1у1 + , ,

е11

представим соответствующую матрицу в виде

[са1у1 ] :

^111 ^1121 ^1131 ^

с2111 с2121 с2131

С3111 С3121 С3131

Элементы матрицы (10) выражаются по формуле, аналогичной (6), через ужесточенные модули упругости Суп и девять направляющих косинусов:

ац, а12, а1з, а21, а22, а2з, аз1, аз2, азз, которые связаны между собой соотношениями ортогональности:

aаiaрi = 8ар,

где 8ар является символом Кронекера.

Так как матрица (10) симметричная, то независимых элементов в ней только шесть. Ввиду их громоздкости они представлены в приложении 1.

Продольные нормали

В случае продольных нормалей ось х1 совмещается с направлением распространения и поляризации чисто продольной волны, а оси х2 и хз совпадают с направлениями поляризации двух чисто поперечных волн, распространяющихся в том же направлении, что и продольная волна. При этом все недиагональные элементы матрицы (10) обращаются в нуль:

С1121 = С2111 = 0

С11з1 = Сз111 = 0

С21з1 = Сз121 = °-

Направление распространения всех трех волн определяется направляющими косинусами ац, а^, а1з. Направления поляризации двух чисто поперечных волн определяются направляющими косинусами а21, а22, а2з и

аз1, аз2, азз. Для отыскания ац, а^, а1з используем первое уравнение системы (12), взяв его подробную запись из приложения 2, и соотношение ортогональности (11) для а = 1, в = 2:

I Аа21 + Ва22 + Са23 - 0 1а11а21 + а12а22 + а13а23 - 0

Здесь через А, В и С, зависящие только от ац, а^, а1з, обозначены выражения, стоящие в квадратных скобках, в записи С1121 из приложения 2. Приравнивая нулю определители из коэффициентов при неизвестных а21 , а22, а2з системы

- 0,

А В - 0, В С - 0, А С

а11 а12 а12 а13 а11 а13

легко получить три уравнения, решение которых дает искомые ац, а^, а1з:

_а11а12

аП

+а11а13

аП

+а12а13

аП

_а122

а11а12 а11 а13

аПс15 + а122

аПс16 + а12

_а12а13

а121

+а121

а11а12

а11

+а11а13

а12а13

аП (с14 + 2с56 ) + а\2 (3с24 - 2с14 - 4с56 ) + а23с34

аП (3с15 - 4с46 - 2с25 ) + а122 (с25 + 2с46 ) + аВс35

+аП

Заметим, что использование второго уравнения системы (12) в подробной записи из приложения 1 и соотношения ортогональности (11) для а = 1, в = 3 приводит к такому же результату, так как при этом получаются такие же коэффициенты, что и в (13), но при неизвестных а31, а32, а33 .

Такие же уравнения, что и (14)-(16), были получены в [з], но для неу-жесточенных за счет пьезоэффекта модулей упругости ещ . Для учета пьезоэффекта нужно расписать все Ищ в (14)-(16) по формуле

а1па1 тету епк1

сукІ сі/кІ

a\ra\s ers

Для отыскания направлений поляризации х2 и Х3 распространяющихся наряду с чисто продольной волной двух чисто поперечных волн нужно использовать третье уравнение системы (12) и соотношения ортогональности

(11) для а, в = 2; а, в = 3; а = 2, в = 1; а = 3, в = 1; а = 2, в = 3:

с2131 = 0, а21 + а22 + а23 = ^

а31 + а32 + а33 = 1,

а21а11 + а22 а12 + а23а13 = 0 а31а11 + а32а12 + а33а13 = 0 а21а31 + а22а32 + а23а33 = 0

где выражение для С21з1 берется из приложения 1. Решение системы (18) из шести уравнений дает направляющие косинусы направлений поляризации поперечных волн: а21, а22, а2з и аз1, аз2, азз .

Скорости всех чистых мод упругих волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, легко получить подстановкой найденных направляющих косинусов в диагональные элементы матрицы (10), расписав их по соответствующим формулам из приложения 1 с использованием (17) и вычисляя по формуле

Р

Здесь а = 1 для чисто продольной волны и а = 2, з для сонаправленных с ней двух чисто поперечных волн.

Упругие волны, сопровождаемые продольными пьезоэлектрическими полями, называются пьезоактивными. Из рассмотренных выше чистых мод упругих волн пьезоактивными будут те, для которых эффективный модуль упругости ужесточается. Величина этого ужесточения определяется коэффициентом электромеханической связи

(

ка

1 -

са1а1

са1а1

V

где еа1а1 есть соответствующий неужесточенный модуль упругости, для получения которого следует в еа1а1 положить все пьезоэлектрические константы равными нулю.

уа =

Поперечные нормали

Для отыскания поперечных нормалей следует заметить, что найденные выше направления поляризации х2 , хз двух чисто поперечных волн, распространяющихся вдоль продольных нормалей, были обозначены нами так условно. С равным успехом мы могли бы поменять эти обозначения местами. Поэтому, взяв за основу одно из них, например хз, мы можем найти перпендикулярную этой оси плоскость, в которой лежат направления распространения всех чисто поперечных волн, имеющих поляризацию хз . И лишь в некоторых направлениях в этой плоскости, совпадающих с продольными нормалями, все три упругие волны будут образовывать чистые моды. Перебирая все найденные в предыдущем разделе направления поляризации чисто поперечных мод, определяемые направляющими косинусами аз1, аз2, азз, мы можем найти их направления распространения, определяемые направляющими косинусами ац, а^, а^ из соотношений ортогональности (11) для а,

в = 1; а = з, в = 1:

\ а121 + а12 + а12з = I

[аз1а11 + аз2а12 + азза1з = °

Отметим, что, определив направление поляризации чисто поперечной волны как х2 , мы получили бы те же самые а11 , а12 , а1з из соотношений ортогональности для а, в = 1; а = 2, в = 1.

Оптимизация вычислений посредством применения компьютерной программы

С вычислительной точки зрения задача отыскания направляющих косинусов продольных и поперечных нормалей в кристалле затруднена решением системы нелинейных уравнений (14)-(16). Поэтому нами разработана компьютерная программа, использующая пакет Мар1е 9.5 в операционной системе Windows ХР, решающая весь круг перечисленных выше вопросов. Для получения исчерпывающих сведений об особенностях распространения упругих волн в конкретном пьезоэлектрическом кристалле пользователю нужно лишь ввести табличные значения плотности среды и компонентов тензоров модулей упругости, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей.

В приложении 2 приведены примеры использования разработанной программы для отыскания чисто продольных мод в непьезоэлектрическом кристалле сапфира (а-Л12Оз), принадлежащего к классу симметрии з т три-гональной сингонии (табл. 2.1), и в пьезоэлектрическом кристалле ниобата лития (Ы№Оз) из класса симметрии зт той же сингонии (табл. 2.2). Все необходимые константы взяты из [7]. Параллельно для той же цели был использован метод Браггера. Как и следовало ожидать, для непьезоэлектрического кристалла сапфира результаты обоих методов совпали. Игнорирование пьезоэффекта в случае пьезоэлектрического кристалла ниобата лития в методе Браггера дало не только другие значения скоростей трех упругих волн, но и совершенно другое количество продольных нормалей (табл. 2.з). Применение ужесточающих поправок к модулям упругости для простых (осевых) направ-

лений продольных нормалей можно произвести, руководствуясь соображениями, изложенными в [5]. Однако разработанная нами программа делает это автоматически для чистых мод упругих волн любого, в том числе и не осевого, направления распространения.

Заключение

Проблема поиска чистых мод упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах, по сравнению с той же задачей в непьезоэлектрических кристаллах, осложняется зависимостью как самих направлений распространения таких волновых мод, так и их количества не только от класса симметрии кристалла, но и от величин упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант. Предложенная нами математическая модель, основанная на методе диагона-лизации элементов матрицы эффективных модулей упругости, приводит хотя и к довольно громоздким нелинейным уравнениям, но все же доступным к решению на персональном компьютере. Разработанная нами программа позволяет дать полное описание акустических свойств любого непроводящего кристалла, в том числе пьезоэлектрического, если известны его симметрия и соответствующие физические константы.

Список литературы

1. Christoffel, E. B. Ueber die Fortpflanzung von Stössen durch elastische feste Körper / E. B. Christoffel // Ann. di matematica pura ed applicata(2). - 1877. - V. 8. -P. 193-243.

2. Borgnis, F. E. Specific direction of longitudinal wave propagation in anisotropic media / F. E. Borgnis // Phys. Rev. - 1955. - V. 98. - P. 1000-1005.

3. Brugger, K. Pure modes for elastic waves in crystals / K. Brugger // J. Appl. Phys. -1965. - V. 36. - № 3. - Part 1. - P. 759-768.

4. Chang, Z. P. Pure transverse modes for elastic waves in crystals / Z. P. Chang // J. Appl. Phys. - 1968. - V. 39. - № 12. - P. 5669-5681.

5. Любимов, В. Н. Учет пьезоэффекта в теории упругих волн для кристаллов различной симметрии / В. Н. Любимов // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 186. -№ 5. - С. 1055-1058.

6. Бр аже, Р. А. Эффективность дифракции света на чистых модах упругих волн / Р. А. Браже, М. А. Григорьев, В. Н. Наянов // ФТТ. - 1975. - Т. 17. - № 3. -С. 886-895.

7. Блистанов, А. А. Акустические кристаллы / А. А. Блистанов, В. С. Бондаренко, Н. В. Переломова, Ф. Н. Стрижевская, В. В. Чкалова, М. П. Шаскольская. -М. : Наука, 1982. - 632 c.

Приложение 1

Ненулевые элементы матрицы [Сх1у1 ]

^1111 = a11 3

anc11 + aL2c23 + a13c35 + 3ana12c16 + 3aHa13c15 + a12a11(c12 + 2c66) +

+a11a12a13 (4c56 + 2c14) + a123a11(c31 + 2c55 ) + a122a13 (c25 + 2c46 ) +

+a123a12 (c36 + 2c45 ) + a12 aHc16 + a12c22 + aÍ3c34 + aHa12 (c12 + 2c66 ) +

+ana13(c14 + 2c56) + 3a122 a11c26) + a11a12a13(4c46 + 2c25) + a23a11(c36 + 2c45) +

+за122а1зе24 + а1за12

+ а1з

аПе15 + а?2е24 + а?зезз +

+аПа12 (е14 + 2е56 ) + а121а1з (е1з + 2е55 ) + а122а11 (е25 + 2е46 ) +

+а11а12а1з(4е45 + 2ез6) + за12за11ез5 + а12 а1з(е2з + 2е44) + за12за12ез4

е1121 - е2111 - а21

аПе11 + а12е2з + а1зез5 + за121а12е16 + заПа1зе15 +

+а122а11(е12 + 2е66) + а11а12а1з(4е56 + 2е14) + а12за11(ез1 + 2е55) +

+а122а1з

+ а22

а?1е16 + а12е22 +

+аВез4 + а121а12(е12 + 2е66) + аПа1з(е14 + 2е56) + за122 а11е26) + +а11а12а1з(4е46 + 2е25) + аВа11(ез6 + 2е45) + за22а1зе24 +

+а1за12

+ а2з

а?1е15 + а\2е24 + а?зезз +

+а11а12(е14 + 2е56) + а11а1з(е1з + 2е55) + а12а11(е25 + 2е46) + +а11а12а1з (4е45 + 2ез6 ) + за12за11ез5 + а122а1з(е2з + 2е44 ) + заВа12ез4

е11з1 - ез111 - аз1

аПе11 + а?2е2з + а?зез5 + заПа12е16 + заПа1зе15 +

+а122а11 (е12 + 2е66 ) + а11а12а1з(4е56 + 2е14 ) + а12за11(ез1 + 2е55 ) +

+а122а1з

+ аз2

аПе16 + а12е22 +

+а1ззез4 + аПа12(е12 + 2е66) + аПа1з(е14 + 2е56) + за122 а11е26) + +а11а12а1з(4е46 + 2е25 ) + а12за11 (ез6 + 2е45 ) + за22а1зе24 +

+а1за12

+ азз

аПе15 + а?2е24 + а?зезз +

+а11а12(е14 + 2е56) + а11а1з(е1з + 2е55) + а12а11(е25 + 2е46) + +а11а12а1з(4е45 + 2ез6 ) + за12за11ез5 + а122 а1з(с2з + 2с44 ) + за12за12сз4

е2121 - а21

аПе11 + а12е66 + а12зе55 + 2а11а12е16 + 2а11а1зе15 + 2а12а1зе56

+а22

+а2з

аПе66 + а12е22 + а1зе44 + 2а11а12е26 + 2а11а1зе46 + 2а12а1зе24

аПе55 + а\2е44 + а12зезз + 2а11а12е45 + 2а11а1зеЭ5 + 2а12 а1зез4

+2а21а22 +а12а1з

а121е16 + а122е26 + а12зе45 + а11а12(е12 + е66) + а11а1з(е14 + е56) +

+ 2а21а2з

аПе15 + а122е46 + а12зез5 + а11а12(е14 + е56) +

+апа1з

+ 2а22а2з

а121е56 + а12е24 + а12зез4 +

+а11а12

ÍZl

60'9 60'9 біті £І ч 7 (0 ‘І ‘0) (о‘о‘т) (І ‘0 ‘0) (т‘о‘о) ЕХ

Ç Р £ Z І

э/w Еоі ‘л ЧХООСІОМЗ ННІГОЯ ЦИХ ПИХО Ch 3HH3TT13IVJ KHH9HBdioodnoBd зинзгассіисн eado

üdojjüdg ізґохоїл и ічілілтзсілосіи ионьгеходізсіг/всі снчтпоілои о зічннзнігошчя ‘кинзігоиьічд (£ОгІУ'0) сіифшз

11 вїіиігд^х

ИОГВКСІОН ХІЧНЧІГОЇҐОСІИ етхэиояэ О И >13 0 h И Н15 X 01\ О СІХ>І 0 L" £ И ОИЛЛСІи/^

1 ЗИНЗЖОІШСІЦ

(^2+ ^o)^D^D + (£Ъ + + (9Ъ +

££ü££ü£ + (£і72+

+ + 9£_2y°

+ (9£2 + ^2)Z^D^D + + 9l72^° +

££üI£ü£ +

(9Ъ+ ^2)£Ъ?-Ъ+

+ (9£2 + + (992 + Z^2)Z^D^D + + 9l2l£D Z^v^vz+

VigíluZlui _|_ + ^o^XjjWoi + ££_2£Jü + + ^o}^d

PZjjÍ4. 9і7д£і»По^ + + ZZjZlo + 99дП»

Z£d+

+ 9]2ZId11dZ + + 992^d +

+ Ç£2£I»II»^ + £Ъ^»И»£ + ££д^о + ^çZlv +

ieD= і£і£2

££»£^о+

(^Ъ + £^2)£to^t» + (£Ъ + 9£_2)£íoí t» + (9Ъ + + ^э^э-v

+ 9£2П0

(£Ъ+ 9£д)£^г^о + (££2 + £Ь)£ї»її» + (9£д + ^Ь)^ї»її»+

+ ££д^о + 9Ъ^» +

í£»£^o +

(^2+ £<2)£í°^° + (^2 + 9£_2)£íoíío+

+ (9і72 + + ^2^° + ^2^° + 9£2^°

££»^» +

+ 91^£+ 9^2^10! _|_ W^SJo + ZZgZ\D _|_ 99_2U»

^£»^»+

( 9Ъ + S^2) £ toZï» + ( 9£2 + 17Í2)£ ^ ^ + ( "2 + ^2) + 5^2^° + 9^2^o+

+ 9^П»

ï£»ZZ» +

(£Ъ + 9£2)£to^to + (££_2 + + (9£2 +

+ ££дЦо + 9 Ьїіо + £ЪЦо -Г - Г -Г

££»í^o +

( 9Ъ + S^2) £ + ( 9£_2 + 17Ь)£

+ (992+ ^2)^°^° + £І72У° + 9Ъ^о+ 91дПо Z£0IZ0 + уЭ$о£\^\&£+

+ Sb£^ + 9Ь£ї»її»£ + + 99дПо _|_ ІЬН»

I£DIZD = Ш£Д = ІЕІГд

ОУІПЕПф 'пМоН дПУІОдНПШОШдШОШ-ОУІПЕПф

OIOZ ‘(ÇT) Г «V

Окончание табл. 2.1

1 2 3 4 5

(1, 0, 0) Ь 11.17

*1 (1, 0, 0) (0, 0.831, -0.558) Т2 5.91

(0, 0.558, 0.831) Т3 6.63

(0, 0.064, 0.998) Ь 11.29

х2+86° (0, 0.064, 0.998) (0, -0.998, 0.064) Т2 6.08

(1, 0, 0) Т3 6.25

(0, 0.922, 0.386) Ь 10.33

х2+23° (0, 0.922, 0.386) (0, 0.386, -0.922) Т2 7.11

(1, 0, 0) Т3 6.70

(0, 0.789, -0.614) Ь 10.88

х2-38° (0, 0.789, -0.614) (0, 0.614, 0.789) Т2 6.98

(1, 0, 0) Т3 5.75

(0.500, 0.866, 0) Ь 11.19

х1+30° (0.500, 0.866, 0) (-0.514, 0.297, -0.805) Т2 5.91

(-0.697, 0.402, 0.593) Т3 6.64

Таблица 2.2

Ниобат лития

Срез Направление распространения Смещение частиц Тип волны Скорость V, 103 м/с Коэффициент электромеханической связи ка

(0, 0, 1) Ь 7.32 0.16

*3 (0, 0 ,1) (1,0 ,0) Тг 3.58 -

(0, 1, 0) Тъ 3.58 -

(1, 0, 0) Ь 6.57 -

*1 (1, 0, 0) (0, 0.755, 0.656) Т2 4.08 0.10

(0, -0.656, 0.755) Т3 4.80 0.68

(0, 0.923, 0.386) Ь 6.70 0.10

х2+22° (0, 0.923, 0.386) (0, -0.386, 0.923) Т2 3.85 0.09

(1, 0, 0) Тъ 4.52 0.57

Таблица 2.з

Ниобат лития

Срез Направление распространения Смещение частиц Тип волны Скорость V, 103 м/с Коэффициент электромеханической связи ка

1 2 3 4 5 6

(0, 0, 1) Ь 7.16 -

*3 (0, 0 ,1) (1,0 ,0) Т2 3.58 -

(0, 1, 0) Т3 3.58 -

(1, 0, 0) Ь 6.56 -

*1 (1, 0, 0) (0, 0.425, -0.905) Т2 3.49 -

(0, 0.905, 0.425) Т3 4.04 -

Окончание табл. 2.3

1 2 3 4 5 6

(0, 0.467, -0.884) L 6.90 -

x2-62° (0, 0.467, -0.884) (0, 0.884, 0.467) T2 3.98 -

(1, 0, 0) T3 3.49 -

(0.500, 0.866, 0) L 6.56 -

x1+30° (0.500, 0.866, 0) (-0.719, 0.415, 0.558) T2 3.64 -

(0.483, -0.279, 0.830) T3 3.90 -

Браже Рудольф Александрович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Ульяновский государственный технический университет

E-mail: brazhe@ulstu.ru

Кочаев Алексей Иванович

аспирант, Ульяновский государственный

технический университет

E-mail: a.kochaev@ulstu.ru

Brazhe RudolfAlexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of physics, Ulyanovsk State Technical University

Kochaev Alexey Ivanovich Postgraduate student,

Ulyanovsk State Technical University

УДК 548.0:534 Браже, Р. А.

Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах /

Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 115-125.