Механика стержневых систем и теория графов

МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ

УДК 624.041

В.П. ВОЛОБОЕВ, В.П. КЛИМЕНКО

МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Анотація. Запропоновано метод коректного формулювання математичної моделі стрижневої системи. Метод передбачає застосування графа для представлення розрахункової схеми стрижневої системи. Запропоновано еквівалентні схеми заміщення об'єктів, що задовольняють вимогам зображення топології об'єктів у вигляді графів. Для запису основної системи рівнянь будівельної механіки в матричному вигляді запропоновано використати матриці контурів і перерізів. Сформульовано методику цілеспрямованого вибору перемінних при коректному формулюванні математичної моделі. Наведено приклад розрахунку стрижневої системи.

Ключові слова: стрижнева система, елемент стрижневої системи, еквівалентна схема заміщення, некоректне завдання, граф розрахункової схеми стрижневої системи, матриця контурів, матриця перерізів, математична модель, погана обумовленість, коректне формулювання математичної моделі.

Аннотация. Предложен метод корректной формулировки математической модели стержневой системы. Метод предполагает применение графа для представления расчетной схемы стержневой системы. Предложены эквивалентные схемы замещения объектов, удовлетворяющие требованиям представления топологии объектов в виде графов. Для записи основной системы уравнений строительной механики в матричном виде предложено использовать матрицы контуров и сечений. Сформулирована методика целенаправленного выбора переменных при корректной формулировке математической модели. Приведен пример расчета стержневой системы.

Ключевые слова: стержневая система, элемент стержневой системы, эквивалентная схема замещения, некорректная задача, граф расчетной схемы стержневой системы, матрица контуров, матрица сечений, математическая модель, плохая обусловленность, корректная формулировка математической модели.

Abstract. The method of the correct formulation of mathematical model of the framework is offered. The method assumes application of the graph for representation of the design diagram offramework. Equivalent circuits of objects which meet requirements of representation of topology objects in the form of graph are offered. It is offered to use matrixes of circuits and cutsets for record of the basic equations system of structural mechanics in a matrix kind. The technique of a purposeful choice of variables at the correct formulation of mathematical model is formulated. Example offramework calculation is given.

Keywords: framework, an element of the framework, an equivalent circuit, an incorrect problem, the graph of the design model of framework, circuit matrix, cutset matrix, mathematical model, ill-conditioning, the correct formulation of a mathematical model.

1. Введение

В настоящее время моделирование стержневых систем является составной частью таких систем проектирования, как ANSYS [1], NASTRAN [2] и др. Под стержневой системой подразумевается сооружение, составленное из стержней, т. е. из таких элементов, у которых один размер (длина) превышает два других. Анализ современного состояния расчета стержневых систем [3-5] показал, что проблема получения достоверных результатов при решении некорректной задачи, возникающей при моделировании стержневой системы, является актуальной. Некорректная задача относится к классу плохо обусловленных систем уравнений, которые, как принято считать, имеют неустойчивое решение. Обычно в

этом случае применяются методы решения некорректных задач, требующие участия пользователя.

В работах [6-8] показано, что плохая обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), описывающей технический объект, есть необходимое, но не достаточное условие того, что СЛАУ имеет неустойчивое решение. Там же предложен способ корректной формулировки математической модели технической задачи, не требующий участия пользователя и обеспечивающий устойчивое решение СЛАУ. Способ корректной формулировки математической модели рассмотрен применительно к моделированию электрических цепей. Как следует из литературы [9], есть много общего между составлением математической модели электрической цепи и стержневой системы.

В связи с этим представляет интерес разработка способа корректной формулировки математической модели стержневой системы. Из основных задач анализа кинематики и статики стержневых систем будет рассмотрена задача статического анализа системы для определения положения равновесия самой системы и внутренних сил в ее элементах.

2. Сравнительный анализ методов расчета стержневых систем и электрических цепей

Задачи, которые необходимо решить при разработке способа корректной формулировки математической модели стержневой системы, будут определены из сравнительного анализа методов составления математической модели стержневой системы и электрической цепи. При этом ограничимся рассмотрением линейных электрических цепей и стержневых систем. При анализе методов использовались материалы, приведенные в работах [3, 4] и [6, 8]. В табл. 1 приведены результаты сравнения основных этапов методов составления математических моделей, а именно:

1. Форма представления уравнений, описывающих элементы стержневой системы и электрической цепи.

2. Графическое представление стержневой системы и электрической цепи.

3. Применяемые законы при составлении математической модели стержневой системы и электрической цепи.

4. Формализованное представление описания математической модели стержневой системы и электрической цепи.

На основании анализа методов составления математической модели, приведенных в табл. 1, можно сделать следующие выводы.

Для элементов электрической цепи разработаны эквивалентные схемы замещения, содержащие только двухполюсные компоненты. Функциональные зависимости этих компонент описывают связь между током, протекающим через компоненту, и напряжением, падающим на компоненте. Кроме того, определен тип компонент электрической цепи в зависимости от аргументов компонентного уравнения.

В случае расчета стержневой системы уравнения, описывающие элемент, устанавливают связь между узловыми перемещениями элемента и внутренними усилиями на концах элемента. Элементы стержневой системы могут быть как двухполюсными, так и многополюсными. Построение эквивалентной схемы замещения элемента и определение типа компонент не применяются.

На втором этапе строятся граф электрической цепи и расчетная схема стержневой системы. Ветви графа соответствуют двухполюсным компонентам эквивалентной схемы, а узлы - соединению двухполюсных компонент, т.е. граф электрической схемы отображает как топологию, так и типы компонент эквивалентной электрической схемы. Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе законов Кирхгофа применяются топологические матрицы инциденций A , контуров B и сечений Q.

Таблица 1. Методы составления математической модели стержневой системы и электрической цепи

№ Этап Механика стержневых систем Электр отехника

l Описание элемента 1. Общий подход Геометрическое уравнение 1 = -ATu, где и - узловые перемещения, 1 - деформация компоненты. Физическое уравнение fin = CX , где fin - внутренняя сила компоненты, C - матрица жесткости (зависимость внутренних сил от деформации). 2. Метод конечных элементов fin = ku, где k - матрица жесткости (зависимость внутренних сил компоненты от узловых перемещений) Уравнение элемента /(а(и,1) = 0 - общий вид уравнения элемента, где а - параметры, 1 - токи и и -напряжения, входящие в уравнения. Эквивалентная схема замещения элемента состоит из двухполюсных компонент. Функциональная зависимость компоненты I = /и (а,и) описывает связь между напряжением и , падающим на компоненте, и током 1 , протекающим через компоненту. I = О и - функциональная зависимость линейной компоненты

2 Графическое представле- ние Расчетная схема стержневой системы Содержит многополюсные элементы. Узлы, соединяющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Описание расчетной схемы: матрица инциденций A Граф электрической цепи Содержит двухполюсные компоненты. Описание графа электрической цепи: 1. Матрица инциденций А . 2. Матрица контуров В, В = |1 ЕТ\. 3. Матрица сечений Q, Q = |1 - ^

3 Законы Уравнение равновесия Сумма внутренних fin и внешних сил fo в узле равна нулю - Z f = °. Уравнения равновесия расчетной схемы Afm = Afo l. l. l.: 2. лю B За Сум 1. AI 2. б Су з U Д U x коны Кирхгофа в матричном виде ма токов в узле равна нулю = 0 . I - вектор токов компонент. 1 д 1 д - токи ком - нт дерева. 1Х ’ 1Х - токи ком - нт хорд. ма напряжений в контуре равна ну- и д - напряжения ком - нт дерева, = 0, Д их - напряжения ком - нт хорд

4 Описание объекта Метод узловых перемещений 1. Общий подход ACATu = Afo. 2. Метод конечных элементов Aku = Afo 1. Метод узловых напряжений AGATUn — -AJ, где J - вектор источников тока в электрической цепи, Un - вектор узловых напряжений электрической цепи. 2. Метод напряжений компонент дерева 1Д -FIx — 0 GДUД + fT(Gx fuд — JД + fTjx

Расчетная схема стержневой системы отображает соединение между собой как двухполюсных, так и многополюсных элементов схемы. Узлы, соединяющие стержни, разделяются на шарнирные и жесткие. Перемещения узлов, отсчитываемые от базового узла расчетной схемы, есть в то же время узловые перемещения элементов. Для описания топологии расчетной схемы применяется только матрица инциденций А .

Способ корректной формулировки математической модели электрической цепи базируется на основной системе уравнений электрической цепи, куда входят уравнения, составленные на основе законов Кирхгофа, и компонентные уравнения двухполюсников. Для описания графа электрической цепи и, соответственно, уравнений на основе законов Кирхгофа применяются топологические матрицы контуров и сечений. Следует отметить, что матрица контуров графа составляется следующим образом. Сначала выбирается дерево графа эквивалентной схемы. Контуры образуются присоединением хорд к дереву графа. Только в этом случае матрицы контуров и сечений могут быть представлены в виде, приведенном в табл. 1. Переменные составляемой системы уравнений выбираются из напряжений и/или токов компонент в результате анализа основной системы уравнений. При этом учитываются параметры компонентных уравнений и особенности топологических матриц, присущие конкретной цепи или классу цепей. В конечном счете, из основной системы уравнений выделяются система уравнений, соответствующая выбранным переменным, и система уравнений связи, с помощью которых вычисляются все напряжения и токи компонент. Преобразованная таким образом основная система уравнений рассматривается как математическая модель электрической цепи.

В качестве основных уравнений строительной механики применяются уравнения равновесия, связывающие внутренние усилия на концах узлов, и внешние силы, приложенные к узлам. Суть уравнений равновесия заключается в том, что сумма внутренних усилий и внешних сил в узле равна нулю, т.е. уравнения равновесия идентичны первому закону Кирхгофа электротехники. В качестве переменных составленных уравнений выступают узловые перемещения, отсчитываемые от базового узла. Для описания топологии расчетной схемы применяется матрица инциденций. Простой алгоритм формализованного составления уравнений схемы и слабозаполненная матрица СЛАУ, описывающая схему, являются отличительной особенностью данного метода. В качестве недостатка метода следует отметить неустойчивое решение плохо обусловленной системы уравнений.

Таким образом, из вышерассмотренного следует, что в случае применения метода корректной формулировки математической модели расчетная схема стержневой системы должна быть представлена в виде графа. Для этого необходимо разработать эквивалентные схемы замещения элементов стержневой системы, состоящие из двухполюсных компонент. При этом математическое описание двухполюсных компонент должно устанавливать связь между внутренним усилием, приложенным к компоненте, и перемещением компоненты. Кроме того, должен быть определен тип компоненты. Только после этого можно разработать методику корректной формулировки математической стержневой системы.

3. Эквивалентные схемы замещения элементов стержневой системы

Как следует из литературы [3, 4, 10], расчетная схема состоит из следующих условных элементов: опор, стержней, связей, а также условно представленных нагрузок и других воздействий. Обычно при описании элементов используется локальная система координат, в то время как при составлении математической модели расчетной схемы применяется глобальная. В дальнейшем будут рассматриваться только двумерные элементы, математические модели которых разработаны с применением метода конечных элементов.

В случае представления расчетной схемы стержневой системы в виде графа, прежде всего, необходимо иметь математическую модель элемента в том виде, для которого можно предложить эквивалентную схему замещения. Это достигается преобразованием математической модели. Суть преобразования заключается в том, чтобы перейти от переменных, которые характеризуют поведение элемента на полюсах, к переменным, характеризи-рующим поведение элемента между полюсами. На заключительном этапе уравнениям, описывающим поведение элемента, ставится в соответствие граф, состоящий из двухполюсных компонент, функциональные зависимости которых отображают связь между переменными, приложенными к компонентам, и функциями, описывающими поведение компонент.

Введем определения и понятия, характеризирующие компонентные уравнения двухполюсников, которые будут использоваться при построении эквивалентных схем элементов и метода корректной формулировки математической модели стержневой системы.

В общем случае линейное компонентное уравнение двухполюсника можно представить как

n m

Gfifi + Gutut + Z Kujuj + Z КгЛ + const = ^

j=1,j &i k=1,k &i

где fi - внутреннее усилие, приложенное к i -ой компоненте, Ui - перемещение i -ой компоненты, Uj - перемещение j -ой компоненты, fk - внутреннее усилие, приложенное к к -ой компоненте, G^ , Gu , Ku , К^ , const - параметры компонентного уравнения. Если уравнение (1) разрешимо относительно внутреннего усилия fi, т.е.

n m

fi = const + Giui + Z KjUj + Z Kkfk ,

j=1j&i k=1,k &i

то такая компонента считается перемещениеуправляемой, а G - собственной жесткостью. В случае, если Kk = 0, то компонента считается зависимой от перемещения других компонент, иначе, если и K} = 0, независимой. Если в уравнении (2а) Gu = 0, т.е. уравнение имеет вид

nm

fi = const + Z Kjuj + Z Kkfk ,

j=1,j &i k=1,k&i

то такая компонента считается (в случае, если K j = 0 и Kk = 0 , то независимым иначе зависимым) источником внутреннего усилия. Как следует из уравнения (2б), перемещение, приложенное к компоненте, определяется внешними условиями. Когда уравнение (1) разрешимо относительно перемещения u., приложенного к компоненте, и Gf = 0 , т.е.

nm

ui = const + Z Kjuj + Z Kkfk ,

j=1,j &i k=1,k&i

то такую компоненту будем считать (если Kj = 0 и Kk = 0 , то независимым иначе зависимым) источником перемещения (смещения). Для источника перемещений внутреннее усилие, приложенное к компоненте, определяется внешними условиями.

3.1. Эквивалентные схемы опор и внешних воздействий

Опорами называют связи, соединяющие конструкцию с основанием. Основание является базовым узлом, от которого ведется отсчет узловых перемещений. Базовый узел есть общий для глобальной системы координат. На рис. 1 приведены основные виды опор и внешних воздействий, описание которых задано в глобальной системе координат. Опора может быть как неподвижной (рис. 1а, 1б), так и подвижной по одной из координатных осей (рис. 1в). К неподвижной опоре может быть приложено внешнее воздействие в виде

смещения (рис. 1 б) по одной из координатных осей, а подвижной - внешнее усилие (рис. 1в). В эквивалентной схеме смещение представлено независимым источником смещения и, а внешнее усилие - независимым

источником внешней силы Б. На рис. 2 приведена опора, на которую действуют в локальной системе координат смещение иу

по неподвижному направлению (ось у ) и внешняя сила

/х' по подвижному

(ось х), а также соответствующие ей эквивалентные схемы з ам ещения в глобальной системе координат. На рис. 2а параметр р - угловое смещение

между глобальной и локальной системами координат. Узловое смещение и внешняя сила, приложенные к опоре в глобальной системе координат, определяются из уравнений связи [10]

и , = —ти + 1и , у х у

/, = Iу + тГ,

х •/ х •/ у“

где их - узловое перемещение по оси х , иу - узловое перемещение по оси у , ух - внешняя сила, приложенная к опоре по оси х, а /у - внешняя сила по оси у , параметры I и т вычисляются по формулам

I = соб

и

и

а б в

Рис. 2. Внешние воздействия: а) приложенные к опоре в локальной системе координат; б) эквивалентные схемы замещения воздействий в глобальной системе координат

X

Х-координата Базовый узел

1

и = и\

*

и — смещение і

Ч.т

а б в

Рис. 1. Основные виды опор в глобальной системе координат и их эквивалентные схемы: а) неподвижная опора; б) неподвижная опора со смещением; в) подвижная опора по направлению координатной оси х или у

с приложенной внешней силой Ех или ¥у

Как следует из уравнения (3), можно предложить два варианта построения эквивалентной схемы замещения опоры. В первом случае в качестве независимых переменных выбираются перемещение их и внешняя сила /у, т.е.

т

ил, —— их +— и у ,

у І Iу

I, І

г — т - 1 -

їх— Y * у+і *х'.

Уравнения (5 а) и (5 б) следует рассматривать как уравнения, описывающие поведение двухполюсных компонент. Как следует из определения типов компонент, уравнение (5а) есть компонентное уравнение источника смещения Иу (рис. 2б) (ось у ), зависимого

от перемещения их, приложенного к источнику внутреннего усилия, а уравнение (5б) есть компонентное уравнение источника внешней силы Бх (рис. 2б) (ось х), зависимого от внутреннего усилия /у источника смещения.

Во втором случае в качестве независимых переменных выбираются перемещение иу и внешняя сила /х . В этом случае компонентные уравнения имеют следующий вид:

І

1

их — — иу-иу =

тт

/у — — 1, .

тт

Компонентное уравнение (6а) описывает источник смещения И х (рис. 2в) (ось х ), зависимый от перемещения иу компоненты Б у (ось у), а компонентное уравнение (6б) есть описание источника внешней силы (рис. 2в) (ось у ), зависимого от внутреннего усилия /х компоненты и .

3.2. Эквивалентная схема замещения стержня

С точки зрения характера взаимного соединения элементов различают сооружения: 1) с шарнирными соединениями; 2) с жесткими соединениями; 3) комбинированные. В расчетных схемах плоских стержневих систем шарнир рассматривается как устройство, допускающее только взаимный поворот двух стержней около оси, перпендикулярной плоскости системы и проходящей через центр шарнира. Силы трения в шарнире обычно считаются равными нулю. В связи с тем, что параметры математического описания стержня, применяемого в расчетах стержневых систем методом конечных элементов, известны в локальной системе координат [4, 10], поэтому ниже будут приведены уравнения связи математического описания в локальной и глобальной системах координат [10].

сткими соединениями с указанием параметров стержня и воздействий, действующих на стержень, в разных системах координат

3.2.1. Связь математического описания стержня в локальной и глобальной системах координат

На рис. 3 приведена расчетная схема стержня с жесткими соединениями с указанием параметров стержня и воздействий, действующих на стержень в локальной и глобальной системах координат, где і, ] - узлы, Ь - длина, А - поперечное сечение, I - момент инерции площади поперечного сечения, Е - модуль упругости стержня, и , и - узловые перемещения концов стержня, / , / - внутренние усилия, действующие на концах стержня, в локальной и глобальной системах координат, ді, - углы изгиба узлов стержня, Мг., М

- крутящие моменты узлов стержня. Расчетные схемы стержня с комбинированными и шарнирными соединениями отличаются от приведенной только тем, что на одном или обоих концах отсутствуют изгиб узла стержня и крутящий момент.

Связь внутренних усилий, действующих на концах стержня, с узловыми перемещениями концов стержня в локальной системе координат описывается формулой

/ — ки ,

где

и

и

д и„

д

,/ — I, Л Мг I I М,

есть векторы входных и выходных воздействий, действующих на стержень в локальной системе координат, t - обозначает операцию транспонирования, к - матрица жесткости элемента стержня.

В свою очередь соотношения, связывающие перемещения узлов и внутренние усилия на узлах в локальной и глобальной системах координат, в матричной форме будут выглядеть следующим образом:

и

Ти,

/ — Т/,

где Т - матрица направляющих косинусов для і, ] узлов, а

и„

ди

д

векторы входных и выходных воздействий, действующих на стержень в глобальной системе координат.

Учитывая тот факт, что обратная матрица направляющих косинусов Т-1 совпадает с транспонированной матрицей, т.е.

Т -1 т^

формула (7) в глобальной системе координат приобретает следующий вид:

/ — ҐкТи.

Выражение

к — ТкТ

связывает матрицу жесткости стержня к в глобальной системе координат с матрицей жесткости к в локальной системе координат.

и

и

X

и

и

и

3.2.2. Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями

Рассмотрим построение эквивалентной схемы замещения стержня с жесткими соединениями (рис. 3). Как следует из литературы [9, 10], матрица жесткости в локальной системе координат имеет вид

к

ЕА ЕА

0 0 0 0

Ь Ь

0 12Е1 6Е1 0 12Е1 6Е1

Ь Ь Ь

Ь

0 6Е1 4 Е1 0 6Е1 2Е1

Ь

Ь Ь Ь

ЕА ЕА

0 0 0 0

Ь Ь

0 12 Е1 6 Е1 0 12 Е1 6Е1

Ь

Ь Ь Ь

0 6Е1 2 Е1 0 6Е1 4Е1

Ь

Ь Ь Ь

Т =

в о с у Т для г, ] узлов

/ т 0 0 0 0

-т / 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 т 0

0 0 0 т 1 0

0 0 0 0 0 1

Учитывая уравнения (7-16), матрицу жесткости стержня к в глобальной системе координат можно представить следующим образом:

к =

ЕА ,2 12Е1 2

---1 +—г— т

Ь Ь

ЕА, 12Е1 ,

1т-----—1т

Ь

Ь

ЕА , 12Е/ ,

---1т------г— 1т

Ь Ь

ЕА 2 12Е/ ,2

---т +—— I

6Е1

ЕА ,2 12Е1 2

------1----------------— т

Ь ЬЬ

ЕА , 12 Е1 ,

- 1т +-------— 1т

6Е1

ЕА, 12Е1 ,

-------1т +-------г— 1т

Ь

ЕА

Ь

2 12 Е1,2

т----------—I

6Е1

6Е1

6Е1

-~Ь~

6 Е1 .

~ЬГ

4Е1

Ь

6Е1

—т-т Ь2

6Е1

2Е1

Ь

т

ЕА ,2 12 Е1 2

------1-----------—т

Ь Ь

ЕА, 12 Е1 ,

------1т +------— 1т

ЕА , 12Е1 ,

-------1т +-----— 1т

6Е1

Ь

ЕА

т

Ь Ь

6Е1 -т

2 12 Е1,2

т--------—I

6 Е1

Ь

ЕА

12 Е1

—I2 +

Ь Ь

ЕА, 12 Е1 ,

---1т-----—1т

Ь ЬЬ

6Е1

ЕА , 12 Е1 ,

— 1т-----------г— 1т

ь ьЬ

ЕА 2 12 Е1 ,2

-т +—— I

Ь

6Е1

6Е1

2Е1

Ь

6Е1

—^ т Ь2

6Е1

Ь

4Е1

Ь

.

Из анализа системы уравнений (13) и матрицы жесткости (17) следует, что внутренние усилия, действующие на узлах стержня, с учетом указанных направлений, совпадают, но имеют разные направления. В качестве внутренних усилий /х , /у , приложенных к

стержню, выбираются усилия /х , , приложенные к ] узлу стержня, а перемещения,

приложенные к узлу ], определяются через внутренние перемещения их

компоненты

и перемещения узла г, угловой сдвиг, приложенный к узлу ], - через угловой сдвиг в1 уз-

2

2

Ь

Ь

Ь

Ь

т

2

2

2

Ь

Ь

Ь

Ь

т

т

2

2

2

2

Ь

Ь

Ь

Ь

ла , и угловой сдвиг в- компоненты. Это означает, что перемещения и угловой сдвиг узла ] можно представить как

и = и + и ,

X х, хг >

и = и + и ,

У] У, У], ’

в = в + в .

П 1 П

Тогда, с учетом (11), (17) и (18), система уравнений (13) преобразуется к виду

Мг

•4

4

м.

6 ЕІ Ь

12 ЕІ

6 ЕІ

т

т

2 т —-І2 + - 3

Ь2 Ь Ь

12ЕІ, ЕА, 12ЕІ,

——І -------1т-----—1т

Ь2 Ь Ь3

6ЕІ

Ь

ЕА, 12ЕІ

----1т-------—

Ь Ь3

ЕА 2 12 ЕІ

----т +—-

Ь Ь3

2 ЕІ

6ЕІ

Ь

6ЕІ

т

6ЕІ

Ь

I

Ь в

Іт 6ЕІ

, т Ь2 их1

-І2 6 ЕІ і иУ1

Ь2 в

4 ЕІ 1

Ь

Нетрудно убедиться, что системе уравнений (19) будет соответствовать эквивалентная схема замещения, приведенная на рис. 4.

Функцинальные зависимости компонент, приведенных на рис. 4, имеют следующий

вид:

/Хт = Охи + Кип + + К „ в ,

где

ЕА 2 12ЕІ 2 ^ ,

О =— і +—— т , К... =— іт

Ь

ЕА

Ь

где

г ЕА 2 ,

О =-------т + ,

у Ь Ь

Ь ’ ух Ь Ь

4 = Оуиу, + Кху% + КеЛ +

ЕА і 12ЕІ Ь

12ЕІ, Т- 12ЕІ7 6ЕІ

1т, Кв„ = —— І, Кв,, = —— І.

Ь2

Ь2

12ЕІ

2  і2, К =— 1т

Іт, Кв, = -Щ^і, Кв, = -Щ^і.

в у

Ь2

^влУ

Ь2

где

М1 = О в + Кхвих + Кувиу + КвввЙ ,

1 в 1 хв1 хз Ув1 У, I1 ’

6 ЕА 6ЕА 6 ЕІ 2ЕІ

Ов =-, К..,, =—— т, К,.а =-----------------------------------—І, К а =

Ь

хві

^Уві

Ь

где

Ов

М

4ЕІ Ь '

Овв}1 + Кхвпи]1 + Кувпи]1 + Квв А

К

хв,.

6ЕІ г

-Ь-2-т, Кув1

6ЕІ

Ь2

І, К в

6ЕІ

Ь

Как следует из уравнений (20-23), компоненты (20), (21) относятся к типу переме-щениеуправляемых, а (22), (23) - углоуправляемых. Все компоненты зависимы от перемещений и угловых сдвигов других компонент.

4. Метод корректной формулировки математической модели стержневой системы

Прежде всего, следует отметить, что в случае представления расчетной схемы стержневой системы в виде графа для записи уравнений равновесия в матричном виде можно применять не только матрицу инциденций, но и сечений. Кроме того, основная система уравнений стержневой системы (уравнения равновесия) дополняется системой уравнений, составленной на основе применения закона, аналогичного второму закону Кирхгофа в тео-

Gl

iyfy

G , u

У’ у і

Рис. 4. Эквивалентная схема замещения стержня с жесткими соединениями

рии электрических цепей. Суть второго закона Кирхгофа применительно к строительной механике заключается в том, что сумма всех перемещений (угловых сдвигов) компонент в контуре равняется нулю. Для представления коэффициентов уравнений перемещений (угловых сдвигов), записанных по этому закону, Ог, и„ применяется топологическая матрица конту-

ров.

Механизм разработки корректной формулировки математической модели стержневой системы тот же, что и в случае электрической цепи [6, 8], поэтому ниже будут приведены только этапы составления модели.

Вначале составляется эквивалентная схема замещения элементов стержневой системы, определяются компонентные уравнения двухполюсников, и затем строится граф эквивалентной схемы замещения стержневой системы. Предполагается, что эквивалентная схема системы содержит двухполюсные компоненты следующего типа: независимые или зависимые от перемещений других компонент источники перемещения, независимые или зависимые от усилий, приложенных к источникам перемещений, источники усилий и перемещениеуправляемые, углоуправляемые компоненты, зависимые от перемещений и угловых сдвигов других компонент. Составление топологической матрицы контуров включает выбор дерева графа эквивалентной схемы системы и составление контуров для выбранного дерева. Дерево графа эквивалентной схемы системы выбирается таким образом, чтобы все независимые и зависимые источники смещения включались в дерево, а все независимые и зависимые источники усилий - в хорды. Как следует из [6, 8], в случае выбора в качестве переменных перемещений компонент, входящих в дерево, корректная формулировка учитывается следующим образом: в дерево включаются компоненты, имеющие максимальную собственную жесткость, т.е. в контуре, образованном присоединением хорды к дереву, компоненты дерева имеют собственные жесткости по величине больше, чем жесткость присоединяемой компоненты хорды. Эта задача имеет решение только для предложенного варианта составления топологической матрицы контуров.

Перемещения и , угловые сдвиги в, усилия /, крутящие моменты М узлов компонент и компонентные уравнения эквивалентной схемы системы группируются в элементы, содержащие компоненты, которые входят в дерево, т. е. ветви, и содержащие компоненты, не входящие в дерево, - хорды. Таким образом,

V = ПД , Ф = Фд , ф = фд

ПХ Фх

где V - вектор перемещений и угловых сдвигов компонент, ф - вектор усилий и крутящих моментов узлов, приложенных к компонентам, р - вектор компонентных уравнений.

Так как контуры образуются присоединением хорд к дереву графа системы, то то-

, где 1 - единичная подматрица хорд, а

пологическая матрица контуров имеет вид В

топологическая матрица сечений - вид Q = |і —Р|, где 1 - единичная подматрица ветвей. Основную систему уравнений в матричном виде можно записать следующим образом:

nx = —Р'ПД, Фд = Ffx .

Элементы ветвей и хорд векторов перемещений и усилий, приложенных к компонентам, и компонентных уравнений (24) группируются в соответствии с типом компонент эквивалентной схемы стержневой системы. В компонентных уравнениях в качестве аргументов указываются только управляемость и зависимость компонент, так как только они необходимы при анализе основной системы уравнений. С учетом предложенных преобразований, система уравнений (25) принимает следующий вид:

uXG Ft 1 Xgu Ft 1 Xeuu Ft XG Дв о

еX ле о о о Ft 1 X еДе

uFu =— Ft fu 1 u Ft fu uu Ft Fu Дв о

uF Ft Fuu Ft fu u Ft 1 FДG о

еX XM о о о Ft еxДе

u

*Дв

в

Де

а(26) -

fu F 1 u Xg о F uFf F uF о

fuu F 1 uuXe о F uuFf F uuF о

fe F 1 Дв^в о F 1 ДGFf F 1 ДGF о

M Де о F 1 Де Xе о о F 1 Де Xm

fXG

MX0

fFf

fF

M

Компонентные уравнения будут записаны в следующем виде:

uu = const,

uuf ju(u),

fДв = фдв(и’6) , MДв = фдв(u’0X

/xg = jxG (u, qX M x„ = jx e (u в X

fFf = jFf (fUu X

fF = const, Mx = const,

где индекс и указывает, что данный элемент вектора относится к независимым источникам перемещения, и^ — к зависимым источникам перемещения от перемещения источников усилия, Да - к перемещениеуправляемым компонентам, входящим в дерево, Дв - к углоуправляемым компонентам, входящим в дерево, Ха - к перемещениеуправляемым компонентам, входящим в хорды, Хв - к углоуправляемым, входящим в хорды, - к за-

висимым источникам усилия от усилий источников перемещения, ¥ - к независимым источникам усилия, Хм - к независимым источникам крутящих моментов.

В результате анализа основной системы уравнений (27-29) переменные составляемой системы уравнений выбираются из перемещений компонент, входящих в дерево графа. При этом предполагается, что зависимые источники перемещения (29б) и зависимые источники усилий (29д) не образуют циклов.

u

u

В конечном счете из основной системы уравнений выделяются система уравнений, соответствующая выбранным переменным

/До

мДе

¥

Д вхв 0

¥

¥

Де X е

¥

Дв¥

¥

Де Хм

м

/х„

/¥/

/¥

мх„

= 0.

и системы уравнений связи (27-28), с помощью которых вычисляются все перемещения и усилия компонент. Преобразованная таким образом основная система уравнений рассматривается как математическая модель стержневой системы. Порядок СЛАУ п определяется следующим образом:

п = пД-пи-пии,

где пд - количество ветвей, входящих в дерево графа, пи - количество независимых и пи

- зависимых источников перемещения.

5. Демонстрационный пример

Приведем простой пример расчета стержневой системы (рис. 5а) [5]. Математическая модель описывается плохо обусловленной СЛАУ. Там же рассмотрен метод решения этой задачи.

№

Р Р2

Ч © 2

¥ = Рі

¥ = Р

1 2 1 2

/2 °2

1

2

и.

о.

3 I /з '^1

а б

Рис. 5. Пример стержневой конструкции (плохая обусловленность СЛАУ): а) расчетная схема; б) эквивалентная схема замещения системы

На рис. 5б приведена эквивалентная схема замещения расчетной схемы стержневой системы (рис. 5а), в которой учтено, что р = 0 и соответственно I = 1, т = 0 для всех элементов стержневой системы. Там же приведены нумерация узлов, обозначения двухполюсников и соотношение параметров собственных жесткостей компонент эквивалентной схемы. В соответствии с предложенными рекомендациями выбраны следующие ветви в дереве: и1,и2. Для выбранного дерева топологическая матрица контуров В имеет следующий вид:

В

и3 и¥1 и¥2 и и2

1 0 0 1 -1

0 1 0 1 0

0 0 1 1 1

0

0

0

Как следует из (31), порядок СЛАУ равен п = пд —пи = 2-0 = 2. Систему уравнений, соответствующую выбранным переменным, можно записать как

-1 1 1

1 0 1

= 0.

Учитывая компонентные уравнения двухполюсников, СЛАУ (33) нетрудно преобразовать к следующему виду:

(С1 + С3)и1 - Сзи 2 = Р1 + Р2

- Сзи1 + (С2 + Сз )и2 = Р2 .

Проведем анализ полученной системы уравнений на устойчивость решения, используя подход, предложенный в [5]. Суть данного подхода заключается в следующем. Система уравнений (34) рассматривается в прямоугольной системе координат и1, и2 как уравнение прямой и2 = и^а + g, где а -угол между прямой и положительным напряжением оси и1, g - отрезок, отсекаемый прямой на оси и2. Принято считать, что если а1 =а2, то прямые параллельны, и решение системы не существует, т. е. она является вырожденной. Если а и а2 различаются мало, то система близка к вырожденной и имеет неустойчивое решение, так как незначительные изменения углов а1 и а2 сильно скажутся на координатах точки пересечения прямых. В противном случае система имеет устойчивое решение. Применительно к (34) имеем следующие уравнения прямых:

и,

=

С,

р + р

3 / 12

и - - 1 2

С

С

и2 =

и1 +

р

Решение (35) представляет собой координаты точки пересечения этих прямых. При

этом

С

2,

С

0.

откуда а1 » 63° и а2 » 0°. Это означает, что система (34) имеет устойчивое решение.

Для сравнения приведем решение этой же задачи в базисе узловых перемещений и10, и20. Система уравнений, описывающая расчетную схему, имеет следующий вид [5]:

откуда

(С + с2) 1

ща = у 1 2 »1, а

С

(С1 + С2)и10 С2и20 Р1

- С2ию + (С2 + С3)и21

45°, іща2 =

Р2,

С

1, а» 45°

В данном случае а1 » а2 означает, что СЛАУ (37) есть близкая к вырожденной и имеет неустойчивое решение. Таким образом, на данном примере показано, что соответствующим выбором переменных можно получить устойчивое решение плохо обусловленной СЛАУ.

2

б. Выводы

Разработан метод корректной формулировки математического описания статического положения равновесия стержневой системы и внутренних сил в ее элементах. В разработанном методе топология расчетной схемы стержневой системы представлена в виде графа, в результате чего основные уравнения строительной механики дополнены системой уравнений, суть которой заключается в том, что алгебраическая сумма перемещений компонент по контуру равна нулю. Для описания основных уравнений в матричном виде применяются топологические матрицы контуров и сечений.

При отображении расчетной схемы стержневой системы в виде графа применяются эквивалентные схемы замещения элементов стержневых систем. Предложены эквивалентные схемы элементов стержневой системы, состоящие из двухполюсных компонент, функциональные зависимости которых описывают связь между перемещением и внутренним усилием, приложенным к компоненте.

Предложенный метод отличается от существующих тем, что с целью получения устойчивого решения математической модели расчетной схемы на этапе составления математической модели учитываются особенности параметров объектов и топология конкретной расчетной схемы следующим образом:

• выбором в качестве переменных СЛАУ, описывающих эквивалентную схему стержневой системы, перемещений компонент ветвей дерева графа системы, а не как принято, узловых перемещений;

• учетом параметров функциональных зависимостей компонент эквивалентной схемы стержневой системы при выборе дерева топологической матрицы контуров.

Приведен пример, подтверждающий эффективность разработанного метода составления математической модели стержневой системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 .www.ansys.com.

2. www .nastran. com .ua.

3. Ржаныцин А.Р. Строительная механика / Ржаныцин А.Р. - М.: Высшая школа, 1982. - 400 с.

4. Cook Robert D. Finite Element Modeling for Stress Analysis, University of Visconsin / Cook Robert D. - Madison: John Wiley&Sons, Inc. New York, 1995. - 320 p.

5. Розин Л.А. Метод конечных элементов / Л. А. Розин // Соросовский образовательный журнал. -2000. - Т. б, № 4. - С. 120 - 127.

6. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию сложных систем / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2008. - № 4. - С. ill - 122.

7. Волобоев В.П. Об одном подходе к моделированию нелинейных электрических цепей по частям / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2010. - № 3. - С. 53 - б8.

8. Волобоев В.П. Один способ корректной формулировки математической модели технической (физической) задачи / В.П. Волобоев, В.П. Клименко // Математичні машини і системи. - 2011. -№ 4. - С. 95 - 10б.

9. Onate E. Structural Analysis with the Finite Element Method. Linear Statics / Onate E. - 2009. -Vol. 1: Basis and Solids. - 472 p.

10. http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM Lecture Notes.pdf.

Стаття надійшла до редакції 28.04.2012