Оптимизация параметров разветвленных сетевых систем с одним источником

УДК 519.711.7

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ РАЗВЕТВЛЕННЫХ СЕТЕВЫХ СИСТЕМ С ОДНИМ ИСТОЧНИКОМ

© 2006 г. В. Ч. Кудаев

The method of optimization of multibranch network systems is presented in the article, which is taking into account a capability of flows division not only in nodes, but also on branches of the network.

Функционирование сетевых систем описывается с помощью двух видов сетевых переменных, подчиненных уравнениям, аналогичным уравнениям Кирхгофа для электрической цепи. Вследствие этого анализ и синтез такого рода сетей проводят на единой математической основе, учитывая специфику каждого типа сети при конкретном проектировании [1, 2].

Сетевая система состоит из источников, ветвей и узлов. Вещество и энергия от источников под действием их энергии транспортируется по ветвям к узлам сети, от которых питаются абонентские пункты (пункты потребления). В частности, сетевыми системами являются трубопроводные гидравлические и газовые сети. Их будем использовать в дальнейшем в качестве иллюстрирующих.

В основе синтеза сетевых систем лежит задача оптимизации параметров ветвей стационарной разветвленной сети с одним источником. На содержательном уровне задача состоит в следующем. Задано однокорневое ориентированное дерево, моделирующее соединение потокопроводами (трубопроводами) узлов сети друг с другом и с источником (насосной или компрессорной станциями), нормативные потребности потребительских цепей в потоке (воды, газа) и потенциале (напоре воды, давлении газа). Следует так определить параметры ветвей сети (материалы и диаметры труб) и потенциал источника (напор воды, давление газа), чтобы при этом обеспечивались нормативные требования абонентских пунктов, а затраты на создание и эксплуатацию сети были наименьшими. Задача оптимизации параметров ветвей сети обычно ставится следующим образом: 2 = «z ct (gi, ut )lt + ßP(Qi, Ui) + Q1U1 ^ min,

teD

U = Uk + У utlt Vk e B,

J1 = Uk + E uili

ieTk

tH

и, > и" , V' Ф 1 е В, и, < иН,

ии{ < и+, V/ е Б,

где Т(В,Б) - заданный граф, являющийся ориентированным корневым деревом, моделирующий структуру сети; В и Б - множе-

ство его вершин и дуг, ассоциированных с узлами и ветвями сети (/ - дуга, входящая в / -ю вершину); gi, и', ¡', С' - заданный поток (поток воды, газа), искомая переменная (удельная потеря напора воды, давления газа), заданная длина и удельная стоимость / -й ветви сети соответственно; 01, и1, Р^Щ) - заданный поток в сеть, искомый потенциал источника (напор воды на насосной станции, давление газа на компрессорной станции) и стоимость источника; а,в,у - заданные постоянные коэффициенты; и/, и/ , / ф 1 - потенциал (напор воды, давление газа) концевой точки / -й ветви и нормативный потенциал / - го узла сети;

и1

H

Jl - заданный наибольший потенциал источника, Тк - последовательность дуг (траектория), ведущая по Т(В,Б) из источника 1 в к -ю вершину сети. Величины потоков по ветвям рассчитываются заранее в соответствии с первым законом Кирхгофа:

8/ = Е 8ку , где Т' - дерево, растущее из ду-

кеТ'

ги '; §ку - заданный нормативный поток в

абонентский пункт питающийся от к - го узла (вершины) сети.

Соблюдение ограничений (2) обеспечивает доставку из источника в любой узел сети, по крайней мере, нормативного потенциала.

Диапазон [и-,и+], где и~> 0, отражает физическую либо техническую невозможность обеспечения иных значений величин ui.

Функция С'(^',и') выпукла и убывает по и', вогнута и возрастает по gi, причем С' (0, и') = 0. Таким образом, (1) - (3) - задача минимизации выпуклой функции при линейных ограничениях, методы решения которой хорошо известны.

Параметры каждой ветви восстанавливаются однозначно из найденного оптимального значения и* и заданного Ц' по «закону Ома» для проектируемого типа сети и1 = и'^ ,di ), где с11 - вектор параметров ' -

й ветви. Например, для трубопроводной гидравлической сети, составленной из стальных труб диаметра ё, имеет место

формула и(д,ё) = 0,00179g1'9/ё5Д.

Существующая технология проектирования сетей и связанная с ней математическая постановка задачи (1) - (3) рассматривают каждую ветвь сети как единый канал для транспорта потока из начальной точки ветви в концевую (рис. 1). В соответствии с этим разделение потоков производится только в узлах сети.

Рис. 1. Существующее проектное решение

Поскольку потенциал концевой точки /-й ветви и/ рассчитывается из условия обеспечения нормативными потенциалами всех узлов сети, питающихся от этой ветви, то он, как правило, значительно превышает нормативный потенциал Пн концевого узла ветви. Поэтому почти в каждый узел сети приходит избыточная энергия (П/ - П/ )giy (giy-

нормативный поток в / -й узел сети), что увеличивает энергетические затраты. Возможна и противоположная ситуация, когда нормативный потенциал / - го узла превышает нормативные потенциалы иных узлов сети, питающихся от / -й ветви. В этом случае при существующей технологии конструирования ветвей сети приходится выбирать сечение / - й ветви (диаметр / - го трубопровода) значительно больше того сечения, которое необходимо для транзитного потока, что значительно увеличивает стоимость ветви.

Предлагаемый метод оптимизации сетей состоит в том, что разделение потоков производится не в заранее фиксированных точках - узлах сети, а в тех точках, где разделение потоков обеспечивает наименьшие суммарные затраты на создание и эксплуатацию сети. Конкретно, на каждой дуге / заданного графа Т(В,Б) выделяется точка х/, в которой следует отделить узловой поток gi от транзитного giт = gi -giт , снабжающего все остальные узлы сети, питающиеся от ветви (рис. 2). В частности, точ-

кой разделения потока может быть и узел сети. Изложенный подход позволяет снизить дополнительно (в сравнении с оптимальным решением задачи (1) - (3)) затраты на сеть, обеспечив одновременно в ее узлах, как правило, в точности нормативные потенциалы.

Задача оптимизации параметров сети при этом ставится следующим образом:

2 = Z [Ci (gl, Щ)x + (ciT (giT, uiT ) + ciy (giy, uiy ))(l - x)] + ieD

+ßP(Qi,Ui) + QU ^ min,

Ui ^ Uk + Z (uixi + uiT(li-xi))+ukxk + uky(lk -xkX

Ук е В,

и/,ит, и/у е [и-,и + ], 0 < х/ < ¡/, V/ е Б, где и/,и/т,и/у - искомые значения удельных потерь потенциала по части /-й ветви длиной х/ и частям длиной ¡/ -х/ (их две), по которым движутся соответственно потоки gi,giт,giy ; Тк_ - последовательность ветвей

сети , ведущая из источника в узел, предшествующий узлу к.

Сведем задачу выпуклого программирования (4) к эквивалентной задаче линейного программирования. Пусть на проектирование ветвей сети задан набор стандартных элементов, выпускаемых серийно промышленностью (для трубопроводной сети - это диаметры труб определенных материалов) и

их цены с1,...,сп. В самом общем случае различные части каждого из участков любой ветви, по которым соответственно движутся потоки: общий gi, узловой giy и транзитный

giт = gi -giy, могут конструироваться (составляться) из различных стандартных элементов. В соответствии с этим решение по участкам каждой ветви представим в виде линейной комбинации от параметров заданного набора стандартных элементов ёёп . Для этого рассчитаем предварительно удельные потери потенциалов и/, и/т , иу

на каждом из элементов ё 1 при движении по нему потоков gi, giт, giy соответственно.

Обозначив через ¡/, ¡тт , ¡у длины искомых частей участков /-й ветви, формируемых из элементов ё1, получим:

п п . .

х/ = X¡/, их = 2и/1/, 1=1 1=1

с/х/ =2с1 ¡1, ¡1 > 0, 1 = 1,...,п,

n n

lt - xt = У liT , utT (lt - xt) = У uiTliT , ct (lt - xt) = j=1 j=1

= У cjlTr, ljT > 0, j = 1,...,n , j=1

lt- x = Уl!y, uty (lt - x) = У ulli, cty (lt - x) =

j=1

j=1

= У c]ljy, lj > 0, j = 1,..., n.

j=1

Задача оптимизации сети ставится следующим образом:

2 = аУУ c (lj + j + j) + ßP(Q1,U1) + rQU\ ^ mm, teD j=1

U1 > + у У (u/V + u^T) + ieTk - j=1

+ |j ^B, (5,

У (lj + lT) = li , У (lj + l{y) = li , Vi e D, j =1 j =1

lj, j, ljy > 0, Vt e D, j = 1,..., n .

При любом фиксированном потенциале источника U1 есть задача линейного программирования, в которой следует определить значения l- , ljT , ly, Vi e D и j = 1,n . Она решается с шагом по потенциалу источника в диапазоне [U10,U1ir], где U° - минимально необходимый потенциал источника, обеспечивающий во всех узлах сети нормативные потенциалы. Он определяется приписыванием всем ветвям сети минимально возможной удельной потери потенциала u -.

Из свойств задачи линейного программирования о количестве не нулевых переменных в оптимальном решении следует, что в задаче (5) каждый из участков ветвей формируется не более чем из двух элементов, а вся ветвь - не более чем из четырех. Для трубопроводных сетей это означает, что каждая ветвь составляется из труб не более чем четырех диаметров (рис. 2). Отсюда следует технологичность предлагаемого подхода и возможность его широкого применения на практике.

Рис. 2. Предложенное проектное решение

Предложенный метод может быть распространен на случай, когда от узлов сети по различным потокопроводам (трубопроводам), исходящим из них, следует обеспечить существенно различные потенциалы (напоры воды, давления газа). В этом случае на каждой ветви сети следует оптимально выделить точку разделения потока на высоко-и низкопотенциальную части.

Изложенный метод рекомендован для оптимального проектирования больших трубопроводных оросительных сетей. Техническая часть сети состоит из сети трубопроводов, служащих для транспорта воды от места водозабора к гидрантам системы, дождевальных установок, подключаемых к гидрантам и предназначенных для полива территории орошения, насосной станции, осуществляющей забор и нагнетание требуемого расхода воды с необходимыми напорами через трубопроводную сеть в оросители. Такая сеть является стационарной разветвленной сетевой системой с одним источником. При этом узлами сети являются гидранты, а абонентскими пунктами - дождевальные устройства. Ниже приведено сравнение оптимальных проектных решений по существующей и предлагаемой технологиям на одной из трубопроводных оросительных сетей Ставропольского края.

По существующему проектному решению стоимость выбранной для сравнения ветви составляет 30,3 тыс. р. (в ценах 1987 г.). Напор в начале ветви составляет 87,27 м, в конце ветви - 85,5 м, нормативный напор в концевом узле ветви - 64,3 м. Поток по ветви- 336 л/с.

Предложенное решение при прежнем напоре 87,27 м в начале ветви обеспечивает прежний транзитный потенциал в конце ветви 85,5 м и нормативный узловой потенциал 64,3 м при стоимости ветви 26,8 тыс. р. (в ценах 1987 г.). При этом обеспечиваются требуемый транзитный поток gт =275 л/с и нормативный узловой поток gy = 61

л/с. Снижение стоимости ветви составляет 11,6 %.

Предложенный метод также может быть применен для проектирования оптимальных магистральных водо- и газопроводов.

Литература

1. Евдокимов А. Г., Тевяшев А .Д., Дубровский В. В. Моделирование и оптимизация по-токораспределения в инженерных сетях. М., 1990.

2. Меренков А.П. и др. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-,

водо-, нефте- и газоснабжения. Новоси- бирск, 1992.

Институт информатики и проблем регионального управления КБНЦ РАН, г. Нальчик_18 ноября 2005 г.