Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей

№1(13)2009

Г. И. Пеникас, В. Б. Симакова

Управление процентным риском на основе копулы-бДРСИ моделей

1

В работе проводится анализ оценки основных характеристик рыночного риска (при разных сроках заимствования), осуществляемой с помощью многомерных копу-ла-моделей распределения соответствующих доходностей и с помощью традиционных методов моделирования, пренебрегающих асимметричностью этого распределения и «тяжестью» его хвостов. Одновременно демонстрируются возможности пакета И в практической реализации копула-моделирования.

В ходе копула-моделирования совместного распределения доходностей, отвечающих разным срокам заимствования, выявлено, что совместное движение процентных ставок носит асимметричный характер (ставки более склонны к одновременному росту, нежели к одновременному снижению). Показано, что использование копула-моделирования позволяет снизить завышенную традиционную оценку количества «пробоев» границы потерь процентного риска на 7-13% (величина коррекции зависит от заданного «уровня доверия»).

Кризис «плохих» долгов, первоначально проявившийся в США, а затем распространившийся на экономики всего мира, поставил под угрозу достаточность капитала большинства коммерческих банков. Многочисленные списания невозвращенных ссуд фиксировались как убытки текущего периода и снижали величину капитала кредитных организаций. Именно для поддержания достаточного размера капитала правительства и центральные банки США, Евросоюза, России пошли на такую меру, как предоставление субординированных кредитов, которые законодательство разрешает учитывать в объеме собственных средств банка2.

Целью данного исследования является разработка оптимальной модели оценки процентного риска, позволяющей прогнозировать изменение величины капитала банка (его ожидаемой приведенной стоимости).

Статья построена следующим образом. В разделе 2 описываются подходы к измерению процентного риска с акцентом на подходы к прогнозированию кривой доходности, изменение которой является источником процентного риска. Раздел 3 посвящен описанию методологии исследования. В разделе 4 описаны данные, на основе которых проводится эконометрическое моделирование. В разделе 5 приведены его результаты. Итоговые выводы даны в разделе 6.

1 Авторы выражают огромную благодарность С. А. Айвазяну за научное руководство при подготовке данного исследования.

2 См. п. 3.5.2 Положения ЦБ РФ № 215-П и п. 49(Х11) в [ВСВ5 (2006)] (последний источник отражает рекомендации известного соглашения по регулированию достаточности капитала кредитных организаций «Базель II»).

1. Введение. Цель исследования

3

№1(13)2009 ^^

2. Подходы к измерению процентного риска

Процентный риск является видом рыночного риска и определяется как ожидаемые потери от изменения процентных ставок вследствие наличия разрывов (гэпов) между активами и пассивами банка. Данный риск, как и прочие виды банковских рисков, несет в себе источник прибыли. Иначе при отсутствии разрывов (т. е. в случае полностью сбалансированной срочной структуры баланса банка) банк получал бы небольшую маржу между активными и пассивными операциями, которой не хватало бы даже для покрытия операционных расходов.

В целях управления процентным риском рассматривают два вида разрывов активов-пассивов: ликвидности и переоценки. Первый позволяет оценить процентный риск, относящийся к чистым активам банка, второй — к процентным доходам. Также разрывы разделяют по характеру срока активов и пассивов на контрактный (срок закреплен в договоре) и поведенческий, или ожидаемый контрактный (когда определяется вероятная срочность актива или обязательства).

На текущий момент существуют два основных подхода к измерению процентного риска в соответствии с международным соглашением по оценке достаточности капитала «Базель II»: стандартизованный и продвинутый (или «подход внутрибанковских моделей»). Отметим, что законодательные документы3 требуют измерения процентного риска лишь по торговому портфелю ценных бумаг с фиксированной доходностью (облигаций), тогда как изменение процентных ставок влияет на приведенную стоимость всех активов и пассивов. Поэтому данное исследование концентрируется на анализе разрыва всех активов и пассивов, а не отдельно взятого торгового портфеля.

2.1. Стандартизованный подход

Самым простым из применяемых банками подходом для измерения процентного риска является стандартизованный. Он предполагает разнесение активов и пассивов (как упоминалось вы-

'3

«I §

»о о

е ше, для торгового портфеля это означает выделение длинных и коротких позиций в ценных бу-

сс §

магах) либо по контрактным срокам, либо по дюрации. Дюрация отражает чувствительность изменения цены облигации к изменению процентной ставки,т.е. верно в непрерывном времени

дР

* О =

дг

или в дискретном

АР

О = -1^,

а Аг

г з

х £

£ г о а

с _

ш з

* 3 При этом если Банк России требует расчета рыночного (и соответственно процентного) риска, только если | «суммарная величина текущих (справедливых) стоимостей финансовых инструментов равна или превышает 5% ^ величины балансовых активов кредитной организации» [Положение № 313-П, п. 1.3.1], то Федеральная резервная система (ФРС) США обязывает рассчитывать рыночный риск, когда его величина (в целях документа равная сумме всех торговых активов и пассивов) превышает 10% совокупных активов или 1 млрд долл. [иБвАО (1998), р. 121].

где О — дюрация;

Р — цена облигации;

г — общая процентная ставка в экономике.

4

^-

- №1(13)2009

Несмотря на то что дюрация есть мера эластичности цены облигации по ставке, ее часто используют как меру срочности ценной бумаги.

Экзогенно каждому временному интервалу в зависимости от уровня купона по облигации приписывается коэффициент риска, который отражает потери вследствие ожидаемых колебаний процентных ставок соответствующего срока.

Как видно из приводимой ниже табл. 1 «Базель II» [см. ВСВБ (2006), п. 718 (¡V)], коэффициент риска возрастает с ростом срочности актива, что является следствием следующей функциональной связи, заложенной в определении дюрации как меры срочности ценной бумаги:

ДР = -0 -Дг.

Соответственно чем выше срочность актива (пассива), тем к большему изменению его стоимости приведет одно и тоже изменение процентной ставки.

Таблица 1

Коэффициенты риска в зависимости от срока до погашения

а

<8

г

а

г 5

Купон 3% и выше Купон менее 3% Коэффициент риска, % Предполагаемое изменение доходности

1 месяц и менее 1 месяц и менее 0,00 1,00

От 1 до 3 месяцев От 1 до 3 месяцев 0,20 1,00

От 3 до 6 месяцев От 3 до 6 месяцев 0,40 1,00

От 6 до 12 месяцев От 6 до 12 месяцев 0,70 1,00

От 1 до 2 лет От 1 до 1,9 года 1,25 0,90

От 2 до 3 лет От 1,9 до 2,8 года 1,75 0,80

От 3 до 4 лет От 2,8 до 3,6 года 2,25 0,75

От 4 до 5 лет От 3,6 до 4,3 года 2,75 0,75

От 5 до 7 лет От 4,3 до 5,7 года 3,25 0,70

От 7 до 10 лет От 5,7 до 7,3 года 3,75 0,65

От 10 до15 лет От 7,3 до 9,3 года 4,50 0,60

От 15 до 20 лет От 9,3 до 10,6 года 5,25 0,60

Свыше 20 лет От 10,6 до 12 лет 6,00 0,60

От 12 до 20 лет 8,00 0,60

Свыше 20 лет 12,50 0,60

Положение ЦБ РФ № 313-П вводит аналогичные соглашению «Базель II» жесткие коэффициенты риска для расчета процентного риска, как в случае «купон 3% и выше» из табл. 1. Тем не менее при таком подходе сохраняется проблема, что будет не учитываться характер со-

№1(13)2009 ^^

вместного изменения факторов риска (в данном случае процентных ставок) как для разных сроков, так и для разных стран.

2.2. Внутрибанковские модели

Для построения более гибкой системы управления рисками и ухода от описанных выше проблем — при наличии разрешения надзорного органа страны — «Базель II» разрешает кредитным организациям использовать внутренние модели.

Как отмечено в работе [Prefontaine, Desrochers (2006)], основной внутрибанковской моделью измерения процентного риска является граница потерь ожидаемой стоимости капитала (Expected Value of Equity-at-Risk— EVEaR)4 на заданном временном горизонте при принятом уровне вероятности. Принцип ее расчета состоит в оценке приведенной стоимости чистых активов при текущих и ожидаемых процентных ставках. Соответственно граница потерь определяется как квантиль заданного уровня а распределения разницы данных приведенных стоимостей.

Таким образом, подчеркнем, что управление процентным риском основано на получении прогнозов кривой доходности. Поэтому подробнее остановимся на подходах к ее прогнозированию.

Важным этапом в прогнозировании кривой доходности стала работа Нельсона—Сигеля [Nelson, Siegel (1987)], в которой предлагается параметризация кривой доходности в форме выделения трех компонент (кратко-, средне- и долгосрочной) при ее прогнозировании.

На российских данныхтакой подход с применением фильтрации по Калману был реализован коллективом авторов под руководством Г. Гамбарова для получения кривой доходности ОФЗ [Гамбаров и др. (2004)], [Гамбаров и др. (2006)].

Отметим также статью [Чеготов, Лобанов (2006)], в которой предложен интересный подход к прогнозированию кривой доходности, когда данные о котировках купонных ОФЗ используются в однофакторной модели Нельсона—Сигеля (В2 = 0), предполагающей в качестве входных данных котировки бескупонных облигаций. Для анализа взяты котировки шести

'3 и

5

га

0

1 выпусков ОФЗ с 3 декабря 2003 г. по 31 августа 2006 г. и ставки MIACR на 1 день.

GC

О

55

0 а х

1

з а г з

х

£ £

г о а с и 3 X

«I

Полученная кривая доходности в среднем соответствует наблюдавшимся значениям, хотя авторами отмечена проблема выбросов вследствие пиковых значений ставок MIACR, которые на самом деле включают надбавку за корпоративный риск в дополнение к суверенному уровню (см. табл. 7). Применяется также фильтрация по Калману, позволяющая разрешить данную проблему.

Несмотря на прозрачность и простоту подхода параметрических моделей, в настоящее время наиболее активно используемыми моделями прогнозирования кривой доходности являются аффинные модели с вложенным в них фильтром Калмана.

Развитие первой группы моделей началось в 1977 г. с работы Васичека [Vasicek (1977)]. Позднее она была подробнее описана Даффи и Каном [Duffie, Kan (1996)], а также Даем и Синглетоном [Dai, Singleton (1998)].

4 Необходимо отметить, что БУБаК есть именно мера границы потерь заданного уровня а, а не средние ожи-| даемые потери уровня а согласно терминологии, предложенной в статье [Фантаццини (2008)]. В данном случае ^ понятие ожидаемой стоимости эквивалентно понятию приведенной, или дисконтированной, поскольку при расчете будет определяться стоимость будущих денежных потоков по состоянию на текущий момент с учетом дисконт-факторов (ими будут выступать процентные ставки на соответствующие сроки).

6

^-

- №1(13)2009

Так, в работе [Duffie, Kan (1996)] вводится форма аффинной модели, в которой доходность Yit в момент t на срок т i определяется значением вектора факторов Xt последующей формуле:

Yt =_í

Ti

где A(t¡), B(t¡) — коэффициенты, зависящие от срока т¡ и удовлетворяющие граничным условиям A(0) = 0 и B(0) = 0. Данное условие выводится из факта, что если аффинная зависимость вида а ± р-х = 0 имеет место для всех х в некотором непустом открытом евклидовом пространстве, то из этого следует, что а = 0 и р = 0 [см. Duffie, Kan (1996), с. 383].

а

<8 g

а

S

3

При этом вводится условие отсутствия арбитража, когда

А(т, ) = Bj (т, ), V i * j.

Авторы отмечают, что, существует два подхода к выбору факторов X: непосредственное взятие значений из кривой доходности или их получение путем косвенных преобразований. Учитывая сложность калибровки ковариационной матрицы по отношению к эмпирическим наблюдениям в последнем случае, авторы отдают предпочтение первому подходу.

В работе также указано, что, несмотря на традиционность выбора краткосрочной ставки («овернайт») как фактора, это не является обязательным условием, так как настоящую мгновенную ставку наблюдать невозможно.

Для всех перечисленных работ характерно предположение о симметричном характере движения процентных ставок, т. е. принимается гипотеза о наличии многомерного нормального совместного распределения для приростов процентных ставок. Тем не менее другие авторы [Junker, Szimayer, Wagner (2003)] отказались отданной предпосылки и постарались спрогнозировать кривую доходности через применение копулы к моделированию инноваций, т. е. компоненты шума в модели временного ряда.

В основе их исследования лежат ежемесячные котировки доходностей американских казначейских облигаций с 1982 по 2001 г.

Авторы анализируют аффинную модель срочной структуры процентных ставок, в которой рассматриваются два фактора — доходности для облигаций на срок 1 и 2 года. Копула используется для генерирования соответствующих остатков модели при помощи метода Монте-Карло. Для построения кривой доходности в рамках аффинной модели также применяется фильтр Калмана, хотя одновременно комментируются его недостатки, поскольку нарушается его базовая предпосылка о нормальном характере распределения исходных инноваций.

Для проверки годности полученных моделей используются 7 индикаторов: тесты Андерсона—Дарлинга, Колмогорова—Смирнова, AIC, BIC, относительное отклонение плотности вероятности нижнего и верхнего хвостов распределений и общий критерий согласия х2.

В итоге исследования авторы делают вывод: обратная копула Франка дает лучшую подгонку модели к эмпирическим данным. Авторы подчеркивают, что полученные результаты возможно использовать для оценки VaR как квантиля распределения доходностей портфеля облигаций.

Отметим, что копулы начали активно применяться на Западе для управления рисками, поскольку позволяют не только определять совместное распределение с помощью частных

№1(13)2009 ^^

(маргинальных) и вида взаимосвязи при оценке (подробнее см. раздел «Понятие, свойства и виды копул»), но и моделировать неэллипсообразные многомерные распределения. Ниже кратко опишем преимущества копул и одновременно недостатки традиционных подходов (например, показателя линейной корреляции как меры зависимости). Далее обобщим исследования, в которых применялись копулы, и сделаем выводы о предпочтении одних или других в зависимости от целей работы и использованных данных.

Авторы Анэ и Каруби [Ane, Kharoubi (2003)] указывают на недостатки предположения о нормальности совместного распределения доходностей финансовых временных рядов и линейной корреляции как меры взаимосвязи случайных величин.

Вначале рассматриваются 4 семейства копул: гауссовская, Франка, Гумбеля, Кука— Джонстона. На эмпирических данных эти копулы оцениваются методом максимального правдоподобия с использованием ядерной оценки Силвермана для частных распределений. Результат оценки сравнивается с эмпирической копулой Дехивела. Наилучшая отбирается по трем критериям: простой и интегральный тесты Андерсона—Дарлинга и мера энтропии.

Показано, что копула Кука—Джонстона лучше приближает реальные данные, так как улавливает ненулевую зависимость отрицательных значений ([Longin, Solnik (1998)] показали, что корреляция между доходностями сильнее на «медвежьем» (падающем), нежели на «бычьем» (растущем) рынке).

Авторы проводят исследования на ежедневных котировках 6 индексов (FTSE100, DAX30, Nikkey 225, Hang Seng, S&P500 и NASDAQ) за период со 2 января 1987 г. по 31 декабря 2000 г.

Оценка копул применяется авторами для расчета рыночного риска через величину границы потерь уровня а — ГП(а). В работе показано, что предположение о гауссовском характере совместного распределения доходности дает оптимистичную оценку риска, недооценивая его.Также приводятся расчеты функции потерь, которые иллюстрируют, что выбор вида предельного распределения определяет точность расчета на 80%, а выбор структуры

'3

«I

S

га

0 S

1 зависимости (копулы) — на 20%.

GC

S

I

§

В работе [Clemen, Reilly (1999)] особое внимание уделяется роли корреляции в построении совместного распределения. Если в первой части анализируются подходы к оценке зависимости случайных величин, то во второй — проводится калибровка полученных оценок в зависимости от разных значений исходной корреляционной матрицы.

В первой части работы авторы рассматривают случайные величины X и Y частные функции распределений которых — соответственно FX(x) и GY(y). Анализируется согласован-

1) линейная корреляция;

2) вероятность согласованности Р(X > х1; Y > у 1 );

3) оценка условных фрактилей:

Е

где г(X, Y) — коэффициент корреляции двух случайных величин.

Респондентам предлагались три пары биржевых индексов из американской базы Сотрц^а! по сравнению с их расчетными значениями. Респондентам были представлены

8

/-

- №1(13)2009

гистограммы и иные описательные статистики маргинальных, но не совместных распределе- § ний. Несмотря на то что опрошенные были склонны занижать оценки первых двух видов за- | висимостей, авторы не отдают явного предпочтения какой-либо из трех для ее использова- 5 ния в качестве параметра копулы. ^

Во второй части работы была рассмотрена гипотетическая четырехфакторная модель g стоимости актива, которую смоделировали, опираясь на многомерную нормальную копулу. | Первым способом калибровки было изменение всей корреляционной матрицы от случая с: полной независимости (нулевые значения коэффициентов корреляции) до случая полной положительной зависимости (единичные коэффициенты). Вторым — изменение лишь ненулевых значений корреляции на ±0,25% (величина, равная среднему отклонению корреляции от расчетного значения по ответам респондентов). Существенной разницы в результатах калибровки выявлено не было. Общая же чувствительность варьировала от -50% до +100% стоимости, т. е. при калибровке были получены минимальное и максимальное значения, равные 6552 и 22 049 долл. при средней расчетной величине 12 417 долл. (до калибровки).

В статье [Embrechts, McNeil, Straumann (1999)] описаны проблемы, возникающие при использовании величины линейной корреляции как единственной меры зависимости случайных величин в условиях неэллипсообразных распределений.

Для улавливания взаимосвязей, соответствующих реально наблюдаемым исходам, в дополнение к корреляции требуется моделирование структуры зависимости, чему успешно отвечают копулы. В частности, авторы приводят пример генерации двух совместных распределений с пределами в форме гамма (3,1) и с одинаковой линейной корреляцией (0,7), но с разными формами взаимосвязи: гауссовской (слева) и Гумбеля (справа) (рис. 1).

п

12"

10" 8 ~ 6 -4 " 2 " о -

Рис. 1. Генерация совместных распределений

Гауссовская взаимосвязь

Взаимосвязь Гумбеля

8 1П

По осям абсцисс отложены значения X1 и X2, а по осям ординат — значения У1 и У2.

Следует обратить внимание на то, что при копуле Гумбеля распределение характеризуется большими экстремумами, чем при гауссовской.

В работе подробно обсуждаются виды корреляций (линейная, ранговая, зависимость хвостов) в статическом мире, т.е. не рассматривается серийная корреляция временных рядов. Предпочтение должно отдаваться ранговой корреляции, которая связывает квантили распределения случайных величин, а не их исходы. В статье обобщены требования к мерам зави-

ф Банки

\

9

rn1(13)2009

симости (ранговая корреляция, линейная корреляция и т.д.). Обсуждаются проблемы моделирования и имитирования распределений в предположении разных копул.

Ниже систематизирован обзор основных прикладных исследований, в которых показано, что (1) применение копул позволяет лучше уловить характер многомерного распределения, когда маргинальные распределения не гауссовские;(2) в преобладающем большинстве работ выявлен асимметричный (неэллипсообразный) характер совместного многомерного распределения.

Таблица 2

Обзор литературы по использованию копул при моделировании совместных распределений

Работа Тип данных Период наблюдений (частота) Рассмотренные копулы Лучшая копула

Ane, Kharoubi, 2003 Индексы акций 1987-2000 гг. (дневные) Гауссовская, Франка, Гумбеля, Клэйтона Клэйтона

Chollete, Heinen, 2006 Индексы акций 1990-2002 гг. (недельные) Гауссовская Смесь гауссовских

Junker, Szimayer, Wagner, 2003 Котировки КО5 США 1982-2001 гг.

Fantazzini, 2009 Индексы акций 1994-2000 гг. (дневные) Нормальная, Стьюдента Нормальная

Hsu, Tseng, Wang, 2007 Индексы акций 1995-2005 гг. Гауссовская, Клэйтона, Гумбеля Гумбеля

Kole, Koedijk, Verbeek, 2006 Индексы акций, облигаций, недвижимости 1999-2004 гг. (дневные) Гауссовская, Стьюдента, Гумбеля Стьюдента

'3 и

5

га о

г г и

ОС §

I

§

о

55

0 а х

1

з а г з

х

S £

г о а с и 3 X

«I

<8 а а

¿5

5 КО — казначейские векселя (US Treasury bills).

6 Перекрестный хедж — открытие встречной позиции в таком активе, цена которого движется сонаправленно цене хеджируемого актива. В прямом хедже оба актива (хеджирующий и хеджируемый) совпадают. Например, для прямого хеджирования срочной сделки на поставку нефти используется обратный контракт (как правило, беспоставочный) на нефть, тогда как при перекрестном хедже данная поставка покрывается сделкой на газ, динамика цены которого сильно связана с ценой нефти.

_ m1(13)2009

____Окончание табл. 2 §

Работа Тип данных Период наблюдений (частота) Рассмотренные копулы Лучшая копула

Morone, Cornaglia, Mignola, 2007 Банковские риски 2002-2005 гг. (месячные) Нормальная, Стьюдента Стьюдента

Patton, 2006 Обменные курсы 1991-2001 гг. (дневные) Гауссовская, Клэйтона Клэйтона

Rosenberg, Schuermann, 2004 Банковские риски 1994-2002 гг. (квартальные) Нормальная, Стьюдента Стьюдента

Tang, Valdez, 2006 Страховые риски 1992-2002 гг. (полугодовые) Нормальная, Стьюдента, Коши Коши

Фантаццини, 2008 Акции 2004-2008 гг. Нормальная, Стьюдента Стьюдента

Алексеев, Шоколов, Соложенцев, 2006 Акции 2002-2004 гг. (дневные) Али-Микаэля-Хака, Клэйтона Али-Микаэля-Хака

Хотим также заметить, что на русском языке на момент данной публикации имелись лишь две работы, посвященные использованию копул в управлении рисками: [Фантаццини (2008)] и [Алексеев, Шоколов и Соложенцев (2006)].

3. Методология оценки процентного риска

3.1. Понятие, свойства и виды копулы

Формально копула (от лат. couple — связка) — это строго возрастающая функция нескольких переменных с областью определения [0; 1]" и областью значений [0; 1].

C:[0;1]" ^[0;1] т.е. С — это преобразование, переводящее точку "-мерного гиперкуба в точку на отрезке [0;1] числовой прямой.

Копулы используются для построения общего многомерного распределения FX (х) на основе знания маргинальных распределений FXi (х,). Данный результат основан на следующей теореме Шкляра [Sklar (1959)].

Пусть H — совместная функция распределения двух случайных величин (х, y), которые имеют частные функции распределенияFиGсоответственно. Тогда существует такая копула C, что для любого х, у(-то; + то), т. е.

3C : H

Причем если функции FuG непрерывны, то копула C единственна; в противном случае копула C может быть всегда определена на области значений FuG.

№1(13)2009

Наоборот, если С — копула, а Г и в — частные (маргинальные) функции распределения, то функция Н, определенная выше, является функцией совместного распределения с аргументами Г и в.

Таким образом, любому совместному п-мерному распределению по определению соответствует функция распределения в форме копулы С, определяемой следующим соотношением:

Г

Соответственно функция плотности распределения копулы принимает следующий вид:

д пС

Фи..^ хп ) = " -

дхт •...•дхп

К основным свойствам копул относятся следующие (на примере двумерного случая):

1) копула ограничена (copula is grounded);

C(u,0) = C(0, v) = 0;

c(u,l) = u; C(1, v) = v;

2) любая копула лежит в границах Фреше—Хефдинга (Frechet—Hoeffding);  Max(Q, u + v-1)< С (u, v)< Min(u, v);

'3

«I

5

ra о 5 X и

ОС §

i

§

о

55

0 а х

1

з а г з

х

S £

г о а с и 3 X

«I

<8 а а

¿5

3) если анализируемые случайные величины статистически независимы, то верно С(и, у) = иу;

4) если (и, V) связаны линейным соотношением, то С(и, у) = М1п(и, у).

Ниже приводится обобщающая табл.3 функций распределения копул, используемых в данном исследовании.

Таблица 3

Виды копул

Наименование копулы (генератор для архимедовых7 копул) Формула копулы C(х,,...,х„) Номер формулы

Гауссовская Xn X 1 / 1 N Г... Г ,-—expl—zf Е-1 zl<9z1,..„dZn, -i -W

7 Нельсон [Nelson (2QQ6), p. 115,122] описывает происхождение наименования архимедовой копулы, впервые введенное Лингом в 1965 г. [Ling (1965)].

8 Необходимо отметить, что копулы эллипсообразных распределений не требуют симметричности частных распределений.

№1(13)2009

Окончание табл. 3 а

Наименование копулы

Формула копулы C

Номер формулы

Стьюдента9

v + nJ

2 J

г (2 Jo^VEi-

-то —то

/ .../11 + V E—1 zl 2 dzy.....dzn

гдеZ, — функция распределения;

v — число степеней свободы копулы

Франка1

— -log[1 + e at(e—a — 1)]

—log

a

1+

П

(e—a — 1)n

Клэйтона1

(t + 1)"

E x — a — n+1

Гумбеля1

exp

expl

E(—log x,

3.2. Методика расчета процентного риска

Данное исследование состоит из трех принципиальных этапов. Первым этапом была оценка моделей условной гетероскедастичности для прогнозирования кривой доходности. Вторым — поиск оптимальной копулы для описания распределения остатков оцененной модели. Третьим — расчет ретроспективного прогноза величины процентного риска (БУБаВ по полученным прогнозам кривой доходности.

Несмотря на высокую популярность подхода аффинных моделей с включенным в них фильтром Калмана (подход фильтрации, впервые предложенный в [Ка1тап (1960)]), авторы считают более важным учет волн волатильности. К выводу о большей точности прогнозов по моделям СДВСН по сравнению с фильтром Калмана также приходят Чудри и Ву [СЬоис1Ьгу, Wu (2007)].

9 Копула Стьюдента с одной степенью свободы по аналогии с распределением именуется копулой Коши и относится к категории копул экстремальных значений, поскольку характеризуется высоким параметром зависимости хвостов.

10 Данный вид связки многомерного распределения был впервые предложен в работе [Frank (1979)]. Копулы Франка могут быть оценены как в обычном логарифме [Tang, Valdez (2006), p. 5-6], так и в натуральном [Nelson (2006), p. 116].

11 Первоначально идея данной формы копулы была предложена в статье [Clayton (1979)], а затем подробнее описана в работе [Cook, Johnson (1981)]. Поэтому данную копулу называют копулой как Клэйтона, так и Кука— Джонсона [Tang, Valdez (2006), p. 6].

12 Идея формы взаимосвязи, позднее названной копулой Гумбеля, появилась в работе [Gumbel (1960)].

13

№1(13)2009 ^^

В работе [Пеникас (2QQ8)] было показано, что использование комбинированных прогнозов позволяет повысить среднюю точность прогнозов модели GARCH. Тем не менее данный подход все-таки не позволяет уловить асимметричный характер совместного распределения остатков модели. Поэтому для полного временного ряда были оценены методом максимального правдоподобия 7 копул (гауссовская, Клэйтона, Гумбеля, Франка и Стьюдента с 1, 3 и 1Q степенями свободы). Для каждой из них был рассчитан параметр копулы, а также значения индекса зависимости верхних (X и) и нижних (XL) хвостов, которые определяются по следующей формуле в двумерном случае [Nelson (2QQ6), p. 214]:

Xи = lim P[Y >G

MQQ-

XL = lim P[Y<G

t^ Q+

где F и G — функции распределения непрерывных случайных величин X и Yсоответственно. Степень (-1) означает функцию, обратную к функции распределения.

Таким образом, индекс зависимости верхних (нижних) хвостов является пределом условной вероятности того, что случайная величина Y находится выше t-го квантиля распределения функции G при условии, что Xвыше t-го квантиля распределения функции F, когда t приближается к 1QQ (Q).

На втором этапе был реализован следующий алгоритм:

• были оценены модели AR(1)-GARCH(1,1) по всей выборке (464 наблюдения) для каждого

ряда логарифмированных доходностей13 процентных ставок 100- 1п

'3

41 ^

£ • получены стандартизованные остатки ^ = —, t =1,..., 464;

о

г

rt-1

t=1,..., 464;

Ot

е • оценены функции распределения этих остатков;

| • по ним оценены 7 разновидностей копул: гауссовская, Стьюдента с 1, 3 и 10 степенями

о

55

0 а х

1

з а г з

х

свободы, Клэйтона, Франка и Гумбеля;

среди них наилучшая копула была выбрана на основе критериев А1С и В1С.

На третьем этапе была проведена оценка БУБаВ и был рассмотрен ретроспективный прогноз на участке с 1 сентября 2008 г. по 17 ноября 2008 г. (55 точек). Алгоритм расчета процентного риска для получения величины БУБаВ приводится ниже.

1. Аналогично второму этапу были получены оценки моделей ДВ(1)-САВСИ(1,1) по каждому

' Гг

I ряду логарифмированных доходностей процентных ставок 1QQ- In

2. Получены стандартизованные остатки модели

S

г о а с

41 р

§ zt =—, t=1,..., 4Q9.

<8 а а

¿5

rt-1

t = 1,..., 4Q9.

о t

13 Как отмечено в [Фантаццини (2008), с. 130], если не умножать на 100, то результирующие кумулятивные функции распределения оцениваются неточно в К и эллипсообразные копулы не могут быть оценены.

14

^-

- т1(13)2009

3. Оценена предельная функция распределения этих остатков через параметризацию функции Стьюдента.

4. Оценен(ы) параметр(ы) копулы выбранного на втором этапе вида.

5. Симулированы 1000 остатков для каждой процентной ставки по оцененной копуле;.

6. Получены прогнозы по оцененным моделям AR(1)-GARCH(1,1) на 1 день вперед.

7. Остатки, полученные по копуле, добавлены к прогнозу ставки, полученному по AR(1)-GARCH(1,1). Это даст ряд логарифмов прироста процентных ставок.

8. Переход от логарифмов прироста к процентным ставкам rt, t=1,..., 409.

9. Рассчитано ожидаемое изменение приведенной стоимости капитала (AEVEt+1) по формуле:

AEVEt+1 = EVEt+1 - EVEt;

EVEt = £-

П t

1 + — • 100 366

О

<s §

О

5

v3

где ЕУЕ( — приведенная стоимость капитала банка на момент Г;

вор!,I — разрыв (гэп) ликвидности (переоценки), или разница между величиной активов и пассивов в момент времени Г для интервала ! (в рамках данного исследования было выбрано пять интервалов, для которых были взяты соответствующий процентные ставки г,( для дисконтирования).

Структура разрывов срочной структуры баланса приводится в табл.4.

Таблица 4

Срочный профиль баланса Сбербанка на 31 декабря 2007 г.

Менее 1 месяца 1-6 месяцев 6-12 месяцев 1-3 года Более 3 лет С неопределенным сроком Итого

Активы 959 030 688 068 1 114041 1 020 340 980 880 166449 4 928 808

Пассивы 484 959 707 538 417081 1 030 071 1 647 886 4076 4291 611

Разрыв ликвидности 474 071 -19 470 696 960 -9731 -667 006 162 373 637 197

10. Взятие 1%-го и 5%-го квантилей распределения изменений EVE (AEVEt+1), которое дает величину EVEaR на соответствующих уровнях доверия.

11. Повторение цикла для следующий даты t + i, i = 1,..., 55, когда пересчет модели включает дополнительную реализацию прошлого периода.

№1(13)2009 -

Качество модели при построении ретроспективного прогноза (бэктестинге) определялось по двум параметрам. Во-первых, было рассчитано число «пробоев»14 границы потерь. Недостатком данного показателя является его нечувствительность к точности прогноза. Поэтому аналогично работам [Pooter, Ravazzolo, Van Dijk (2007)], [Пеникас (2008)] был рассчитан корень из средней ошибки прогноза (RMSPE) по следующей формуле:

11 v 2"

RMSPEm = Ут + h,m\T — г,m - Ут + h —г ) ,

V V г=1

где RMSPEm — среднеквадратическая ошибка прогноза по модели m;

Ут+h m\T-rm — прогнозное значение AEVEt+1 по модели m, построенное на h шагов вперед (рассматривался шаг в 1 день вперед) при прогнозировании в момент T — г;

yT+h—r — фактически реализовавшееся значение AEVEt+1 в момент T + h — г;

V — количество рассматриваемых периодов.

Все расчеты были проведены в программной среде статистического пакета программ R версии 2.8.0, в которой стал доступен пакет анализа многомерных копул (copula), тогда как раньше была возможность оценки только двумерных копул через пакет fcopulae. По ходу исследования везде будут приводиться существенные комментарии по возможностям R для расчета копул. Полный алгоритм, позволяющий воспроизвести ход исследования и лучше освоить подход применения копул в управлении рисками, дан в приложениях 1 и 2.

4. Используемые данные

'3

§ Для расчета процентного риска в качестве примера был взят разрыв ликвидности15 в coll ответствии с ожидаемыми контрактными сроками по аудированной отчетности Сбербанка16 л по состоянию на 31 декабря 2007 г. Предположим, что срочная структура баланса не измените лась с течением времени. С одной стороны, это правдоподобная предпосылка, если в казна-з чействе банка придерживаются правила поддержания единого профиля срочной структуры баланса. С другой стороны, в данном исследовании цель состоит в демонстрации техники * расчета процентного риска. Поэтому каждый банк сможет применить описанный здесь под-§ ход, используя регулярно обновляемый разрыв переоценки. ° Таким образом, приведенный в табл. 4 профиль разрывов стал отправным. | Сумма разрыва (гэпа) ликвидности по активам-пассивам с неопределенным сроком была § консервативно поставлена в интервал «до востребования». В табл.5 приведен профиль ба-^ ланса, использованный для дальнейшего расчета процентного риска. з

х S

5 -

у

^ 14 «Пробой» границы потерь (от англ. breach) — это случай, когда реализация риска (исход случайной величи-

5 ны) превысила границу потерь.

х 15 Расчет процентного риска корректнее проводить по разрыву переоценки, но, к сожалению, данная инфор-

§ мация отсутствовала в отчетности. Поэтому авторами была взята предпосылка, что доля активов и пассивов с пла-

а вающей ставкой составляет незначительную часть валюты баланса банка.

16 Источник: сайт Сбербанка www.sbrf.ru. Режим доступа: http://www.sbrf.ru/common/img/uploaded/files/ info/FS_ue2007_rus_28_04_08_cons.pdf. С. 76.

Итоговый срочный профиль баланса Сбербанка на 31 декабря 2007 г.

№1(13)2009

Таблица 5 § *

а

г 5

Разрыв ликвидности Овернайт

Gap (/) 636,444 -19,470 696,960 -9,731 -667,006

ю аз О"

3 £

с

X

с

Соответственно срочности разрывов были выбраны процентные ставки: до 1 года — МоБРпте17, начиная с года — доходности бескупонной кривой доходности ОФЗ18. Общий период наблюдений включал 464 точки (с 17 января 2007 г. по 17 ноября 2008 г.). Приведенные в табл. 6 описательные статистики процентных ставок отражают стилизованные факты о кривой доходности, как, например, рост автокорреляции с увеличением срока, снижение волатильности ставок с ростом срока заимствования.

Таблица 6

Описательные статистики временных рядов процентных ставок

МоБРпте МоБРпте МоБРпте ОФЗ ОФЗ

Срок Овернайт 1 месяц 6 месяцев 1 год 3 года

геБ 1 геБ 2 геБ3 геБ4 геБ 5

Среднее 4,97 6,29 7,10 5,99 6,47

Стандартное 2,19 2,55 2,49 0,80 0,81

отклонение

Минимум 2,17 3,97 5,11 4,93 5,76

Максимум 22,67 20,83 21,92 10,08 9,85

Разброс 20,50 16,86 16,81 5,15 4,09

Эксцесс 14,75 10,00 12,86 7,24 4,70

Асимметрия 2,65 2,96 3,42 2,57 2,36

Количество наблюдений 458 463 462 460 460

Количество пропусков19 6 1 2 4 4

17 6-месячная ставка МоБРпте с 27 июня 2008 г. по 24 июля 2008 г. (20 наблюдений) находилась на уровне 6,5%. Малая вариабельность данных отразилась на том, что оценка ковариационной матрицы ошибок при построении А^АКСН модели не могла быть рассчитана. Поэтому к ставкам на этом промежутке были добавлены случайные числа из промежутка [0,001; 0,004], чтобы при округлении до второго знака эти значения все равно давали 6,5% (Источник: сайт Банка России. Режим доступа: http://www.cbr.ru/hd_base/MosPrime.asp.

18 О данных о доходности ОФЗ, см. сайт Банка России. Режим доступа: http://www.cbr.ru/GCurve/

19 Пропущенные наблюдения были линейно интерполированы по двум ближайшим доступным значениям.

17

№1(13)2009 ^^

Окончание табл. 6

МоБРпте МоБРпте МоБРпте ОФЗ ОФЗ

Срок Овернайт 1 месяц 6 месяцев 1 год 3 года

геБ 1 геБ 2 геБ3 геБ4 геБ 5

Статистика Jarque-Bera 4646,1 2558,3 4021,6 1495,4 844,7

АСР (1) 0,7684 0,9512 0,9516 0,9319 0,9626

АСР (6) 0,5608 0,8104 0,7895 0,7783 0,8554

АСР (24) 0,3848 0,3292 0,3118 0,3988 0,5994

Отметим, что выбор ставок MosPrime из ряда процентных ставок межбанковского рынка был обоснован тем, что именно данная ставка отражает стоимость заимствования средств для банков суверенного рейтинга, к которым относится Сбербанк. Краткое обобщение существующих процентных ставок приводится в табл. 7.

Таблица 7

Сопоставление ключевых ставок межбанковского рынка России20

Ставка МоБРпте МОБ!БОР М!БЮ М1БОР М!ДСК

Тип ставки Индикатив Индикатив по Индикатив по Факт по

кредитования по привлечению (размещению) привлечению размещению предоставленным кредитам

Для кого Для Для всех банков

первоклассных финансовых

институтов

Количество банков 10 16 31

в опросе

Общие банки 1) АБН АМРО, 2) «ВестЛБ Восток», 3) ВТБ, 4) Газпромбанк, 5) ММБ («Юникредит»), 6) Банк Москвы, 7) Райффайзенбанк, 8) Сбербанк, 9) Ситибанк

1) Альфа-банк, 2) Росбанк, 3) Еврофинанс-Моснарбанк, 4) «Траст»; 5) МДМ, 6) «Петрокоммерц»

Несовпадающие 1) Н5ВС 1) ВЭБ 1) БИН-банк, 2) БКФ; 3) ВТБ 24,4) ДойчеБанк;

банки 5) «Евротраст»; 6) «Зенит», 7) «Инг», 8) Коммерцбанк (Евразия), 9) Межпромбанк, 10) МБРР, 11) «Океан», 12) НРБанк, 13) «Номос», 14) «Развитие-Столица», 15) Пробизнесбанк, 16) ТрансКредитБанк

1 Источник: www.cbr.ru,www.nva.ru

№1(13)2009

Окончание табл. 7

Ставка МоБРпте Мо$1ВОК М!В!Р М1ВОР М!ЛСР

Количество отсекаемых цен 2 (по 1 снизу и сверху) 8 (по 4 снизу и сверху) 0

Принцип расчета Среднее Средневзвешенное

Отсчет срока кредитования от даты... Завтра Сегодня Вчера21

Публикуемые сроки22 ON.1W.2W, 1М,2М,3М, 6М 1М, 2М, 3М О^ Щ1М, 3М, 6М, 1У

Публикации в системе «Рейтерс» 12:31 12:30 — — —

а

<8

г

а

г 5 10 аз О"

3 £

с

X

5. Результат эконометрического исследования

В ходе исследования было принято решение остановиться на модели ДВ(1) + СДВСН(1,1) в логарифмах темпов роста, так как, даже несмотря на недостаточно значимые коэффициенты и нестационарность модели ((а1 +р1) >1), она достаточно хорошо приближает распределение остатков, что иллюстрируют графики, приведенные ниже (см. рис. 2) и тест х2, который не позволяет отвергнуть гипотезу о том, что остатки имеют ¿"-распределение.

Как видно из графиков «квантиль-квантиль» (рис. 3), стандартная модель ДВ-СДВСН недостаточно хорошо описывает хвосты распределения, что увеличивает количество «пробоев» ЕУЕаК как будет показано ниже. Хуже всего "-распределение описывает хвосты самой во-латильной ставки овернайт.

По полученному вектору остатков были оценены23 пятимерные копулы (в соответствие с пятью рассматриваемыми сроками заимствования), результат оценки которых приводится в табл. 8. Необходимо отметить, что параметры всех копул значимы.

Как видно из табл. 8, рост числа степеней свободы в копуле Стьюдента ведет к снижению степени зависимости хвостов. Если копула Клэйтона характеризуется наличием зависимости нижних хвостов, то копула Гумбеля — верхних. Гауссовская копула не позволяет уловить за-

21 Срок кредитования от даты «вчера» обозначаетто, что данные публикуются на следующий день после их оглашения банками.

22 Обозначения сроков заимствований: ОМ — овернайт (1 день); № — неделя, М — месяц, У — год.

23 Все копулы оценивались методом максимального правдоподобия :^Сори1а(..., method="ml")), так как метод «тр1» (он стоит по умолчанию, так как он самый малозатратный по времени) дает такие же оценки значений параметров, но их стандартное отклонение (Б.е.) примерно в 1000 раз больше для «тр1». Оценки методами «^аи» и <<1гЬо» отличаются друг от друга в 3-м знаке после запятой. Они примерно в 10 раз больше оценок «т1». В двух последних методах функция правдоподобия не рассчитывается.

Для нормальной копулы начальное значение аргумента «рагат» задано равным нулю (оценки, полученные с помощью функции доГСори1а и :^Сори1а, совпадают, поэтому была выбрана вторая).

№1(13)2009

Функция распределения МоэРгл-те овернайт

cdfl

cdf 3

-50 0

Функция распределения Моэ Рг л_те 6 месяцев

ге$1

Функция распределения Mos Prime 1 месяц

cdf 4

ге$2

Функция распределения ОФ31 год

res3

res 4

cdf 5

с а

Функция распределения ОФЗ 3 года

ге$5

Рис. 2. Эмпирическая и оцененная кумулятивные функции распределения остатков, зависящие от времени ^—значения кумулятивной функции распределения)

20

№1(13)2009

висимость хвостов, что делает ее применение нецелесообразным для моделирования экстремальных колебаний, характерных для кризисных периодов.

Таблица 8

Сопоставление параметров оценки разных копул

Копула Параметр копулы Зависимость нижних хвостов Зависимость верхних хвостов

Ñnorm 0,1205 0 0

s. e. (0,0067) — —

z-value (18,0449) — —

Cf (df = 1) 0,0261 0,3022 0,3022

s. e. (0,0137) — —

z-value (1,9020) — —

Cf (df = 3) 0,0772 0,1378 0,1378

s. e. (0,0126) — —

z-value (6,1374) — —

Cf (df = 10) 0,1184 0,0300 0,0300

s. e. (0,0104) — —

z-value (11,3960) — —

Caoyfon (0€ (0; +C»)) 0,0894 0,0004 0

s. e. (0,0063) (0,0002) —

z-value (14,2597) (1,8011) —

Cfrank (- €(0; +c»)) 0,7958 0 0

s. e. (0,0698) — —

z-value (11,4025) — —

Ccumbel (8 € [1; +C»)) 1,0333 0 0,0441

s. e.

z-value

а

<8 g

а

г 3 10 ai

«Param» в функции fitCopula — это параметр копулы (в частности, коэффициент корреляции для эллиптических копул; 0 для копулы Клэйтона; -вдля копулы Франка; 8 для копулы Гумбеля).

Начальное значение «param» для f-копулы, копул Клэйтона и Гумбеля задано на нулевом уровне. С этим значением с помощью функции fitCopula получена оценка параметра, которая подставлена вместо начального значения. Далее функция fitCopula запущена повторно, и для полученных оценок рассчитан параметр хвостовой зависимости.

Для f-копулы число степеней свободы задано равным фиксированным значениям (df.fixed = TRUE). Иначе при оценке f-копулы методом «ml» выдается ошибка, и расчет не проводится.

Отметим следующую особенность оценки копулы Франка в версии 2.8.0 пакета Copula. Данная копула может быть оценена лишь в размерности, не превышающей 6 случайных величин.

Все настройки кроме method в функции fitCopula(...) были оставлены «по умолчанию».

№1(13)2009

ге$1

Диаграмма квантиль-квантиль для МоэРгл-те овернайт

ге$2

Диаграмма квантиль-квантиль для Мо б Рг :1те 1 месяц

-5 0 5 10 15 Квантили распределения Стьюдента 1

-10 -5 0 5 Квантили распределения Стьюдента 2

Диаграмма квантиль-квантиль для МовРгл-те 6 месяцев

'3 §

»о о

г г и

ОС §

I г

о

55

0 а х

1

з а г з

х

£ £

г о а с ш 3 X

«I

<8 а а

¿5

ге$4

Диаграмма квантиль-квантиль ОФ31 год

-15 -10 -5 0 5 10

Квантили распределения Стьюдента 3

Диаграмма квантиль-квантиль ОФЗ 3 года

Квантили распределения Стьюдента 4

-6 -4 -2 0 2 4 Квантили распределения Стьюдента 5

Рис. 3. Графики «квантиль-квантиль» по пяти процентным ставкам

22

^-

- т1(13)2009

Исходя из значений коэффициентов А1С и В1С, можно прийти к выводу, что наилучшей ко-пулой для оценки совместного распределения остатков модели зависимости процентных ставок является копула Гумбеля (табл. 9). Данный результат соответствует изначальным интуитивным предположениям. Ведь высокая зависимость верхних хвостов для копулы Гумбеля свидетельствует о том, что процентные ставки более склонны одновременно расти, нежели одновременно снижаться (что мы регулярно наблюдали осенью 2008 г. в период пика кризиса ликвидности на российском рынке межбанковских кредитов).

Таблица 9

Результат оценки итоговой модели ДР-СДРСИ

а

<8 §

а

г 5

Срок Овернайт 1 месяц 6 месяцев 1 год 3 года

аг

ш

а 1

Р1

Количество степеней свободы Г-распределения 2,3019*

А1С 8,0033 3,9587 2,3026 4,7465 3,9049

В1С 8,0569 4,0124 2,3562 4,8001 3,9586

_од_1ке!1ИооС -1846,771 -910,4487 -527,0438 -1092,811 -897,992

Тест х2 для остатков

* Коэффициенты, значимые на 1%-м уровне.

** Коэффициенты, значимые на 5%-м уровне. *** Коэффициенты, значимые на 10%-м уровне.

Ячейки, заштрихованные серым цветом, содержат незначимые коэффициенты.

Следующим этапом исследования стал ретроспективный прогноз процентного риска. Результат сравнения фактического значения величины ДЕУЕГ+1 и ЕУЕаР, рассчитанного на основе модели АР-САРСИ в предположении симметричности и асимметричности распределения остатков модели, приводятся на рис.4 и в табл. 10.

На рис. 4 наблюдается существенный «пробой» на 38-м наблюдении. Чтобы выявить его причину, проанализируем динамику процентных ставок на рассматриваемом периоде (см. рис. 5). Как видно из графика, резкий скачок краткосрочных процентных ставок 20 октяб-

№1(13)2009 ^^

ря 2008 г. с 7 до 22% спровоцировал резкое снижение приведенной стоимости капитала. Именно данный момент считается кульминацией кризиса ликвидности вроссийском банковском сообществе, когда потребность в денежных средствах была вызвана необходимостью проведения квартальных выплат по налогу на добавленную стоимость (НДС) и выполнения обязательств по внешним заимствованиям.

Таблица 10

Выбор наилучшей модели копулы

Параметр модели ^norm C, CClayton Cprank CGumbel

df = 1 df = 3 df = 10

Значение функции максимального правдоподобия 212,7361 -4191,89 9,4770 0,0133 189,6838 106,3348 230,5258

AIC -423,4722 8385,7800 -16,9540 1,9734 -377,3676 -210,6696 -459,0516

BIC -419,3345 8389,9177 -12,8163 6,1111 -373,2299 -206,5319 -454,9139

I

| Рис. 4. Реальные и спрогнозированные изменения EVE

о С точки зрения прогнозирования границы потерь ожидаемой стоимости капитала важно 5 отметить неравнозначность прогнозов по моделям, о чем свидетельствуют значения средне-квадратической ошибки (ВМБРБ) из табл. 11. Так, модели условной гетероскедастичности характеризовались длинной памятью и медленным приспособлением к изменениям процент-£ ных ставок, тогда как модели копулы дали более адекватный результат. Если среднеквадрати-ческая ошибка ВМБРБ по моделям СДВСН составила 22,3 и 30,4% капитала Сбербанка

№1(13)2009

(равного 637 млрд руб. на 31 декабря 2007 г.) для уровня доверия 95 и 99% соответственно, то по моделям копулы аналогичные значения равны 10,8 и 12,9%.

Процентная ставка,%

24,00

20,00

16,00

......MosPrime 1 день

---MosPrime 1 месяц

-MosPrime 6 месяцев

----ОФ31 год

-ОФЗ 3 года

12,00

Номер наблюдения

6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56

Рис. 5. Динамика процентных ставок в период с 1 сентября 2008 г. по 17 ноября 2008 г.

а

<8 g

а

г 3

В целом заметим, что результат оценки через копулу Гумбеля дал более консервативные результаты, которые позволили уменьшить количество «пробоев» (табл. 11).

Таблица 11

Количество «пробоев» для модели EVEaR24

Уровень доверия для EVEaR

95% 99%

Количество пробоев Число правильных прогнозов, % RMSPE

Модель AR(1) + GARCH(1,1) 28 49 142,11 27 51 193,30

Копула Гауссовская 21 62 68,91 14 75 83,17

Стьюдента с 1 ст. св. 21 62 68,81 13 76 85,72

Стьюдента с 3 ст. св. 20 64 68,55 15 73 84,18

24 В силу того что остатки по копуле получены путем случайной генерации, число «пробоев» может незначительно колебаться (±1 «пробой»).

№1(13)2009 ^^

Окончание табл. 11

Уровень доверия для БУБаК

95% 99%

Количество пробоев Число правильных прогнозов, % РМБРБ

Стьюдента с 10 ст. св. 21 62 68,14 16 71 82,27

Клэйтона 20 64 68,37 15 73 82,64

Франка 21 62 68,50 17 69 82,62

Гумбеля 20 64% 68,67 15 73 82,24

Примечание. Жирным шрифтом выделены наилучшие характеристики копул.

Анализ количества «пробоев» и величины среднеквадратической ошибки позволяет сделать два важных вывода.

1. Использование копул повышает качество оценки границы потерь для изменения ожидаемой стоимости капитала на 7-13% (в зависимости от выбранного уровня доверия).

2. Количество правильных прогнозов существенно ниже, чем выбранный уровень дове-| рия. Даже для лучшей копулы на уровне 99% количество «пробоев» равно 36%. Это может

объясняться следующими причинами. Во-первых, как отмечено в работах Фантаццини | [Бап!а771п1 (2009), р. 16], [Фантаццини (2008), с. 131], наилучшее приближение квантиля рас-ос пределения достигается при генерации 100 000 наблюдений, тогда как из-за низкой скорости Я в данном исследовании число симуляций было ограничено 1000 точек. Во-вторых, ^ чрезвычайно волатильная ситуация на рынке межбанковского кредитования осенью 2008 г. не позволяла получить высокую точность прогнозов.

<8 О

55

° Основные выводы

X

1. Совместное распределение процентных ставок носит асимметричный характер, при-

и

^ чем подтверждено, что ставки более склонны одновременно расти, нежели снижаться, что | и наблюдается в периоды кризисов.

| 2. Поэтому моделирование в предположении эллипсообразных распределений необос-| нованно. Наилучший результат аппроксимации совместного распределения достигается = при использовании архимедовой копулы Гумбеля.

| 3. Далее была рассмотрена методика расчета процентного риска на основе границы по-§ терь ожидаемой стоимости капитала банка (БУБаВ).

О

§ 4. Показано, что использование копулы при оценке процентного риска повышает качество модели (в терминах снижения количества «пробоев») на 7-13%.

^-

- №1(13)2009

Приложение 1. Оценка копулы для расчета EVEaR на всей выборке §

*

в

#-----------------загрузим пакеты----------------------------------------Vj

library

od

library(fGarch) ^

library(copula) ьс

I

#------удалим все созданные до этого объекты---------

S

rm

#-------считать данные из текстового файла------------

Data = read.table

#-----рассчитаем описательные статистики

summary

sd

jarqueberaTest

jarqueberaTest

jarqueberaTest

jarqueberaTest

jarqueberaTest

ACF1_1: =as .vector(acf(Data[,1 ] , lag. max = 1, plot = F)| [1

ACF1_2 : =as .vector(acf(Data[,2 ] , lag. max = 1, plot = F)| [1

ACF1_3 : =as .vector(acf(Data[,3 ] , lag. max = 1, plot = FH [1

ACF1_4: =as .vector(acf(Data[,4 ] , lag. max = 1, plot = FH [1

ACF1_5: =as .vector(acf(Data[,5 ] , lag. max = 1, plot = FH [1

c

ACF6_ 1 =as vector(acf(Data[,1] , lag max = 6 , plot = F) [1]] )[7

ACF6_ 2 =as vector(acf(Data[,2] , lag max = 6 , plot = F) [1]] )[7

ACF6_ 3 =as vector(acf(Data[,3] , lag max = 6 , plot = F) [1]] )[7

ACF6_ 4 =as vector(acf(Data[,4] , lag max = 6 , plot = F) [1]] )[7

ACF6_ 5 =as vector(acf(Data[,5] , lag max = 6 , plot = F) [1]] )[7

c

ACF24_ 1= = as vector(acf(Data[,1] , lag max= 24 plot = T) [[1] ])[2 5

ACF24_ 2= = as vector(acf(Data[,2] , lag max= 24 plot = F) [[1] ])[2 5

ACF24_ 3= = as vector(acf(Data[,3] , lag max= 24 plot = F) [[1] ])[2 5

ACF24_ 4= = as vector(acf(Data[,4] , lag max= 24 plot = F) [[1] ])[2 5

ACF24_ 5= = as vector(acf(Data[,5] , lag max= 24 plot = F) [[1] ])[2 5

c

#--------создадим 5 временных рядов

on=matrix

27

№1(13)2009 ^^

#---оценим AR(1)+GARCH(1,1) модель для каждого ряда----

fit1=garchFit(~arma(1,0)+garch(171), data=on, cond.dist = "std"

trace = F) summary

fit2=garchFit(~arma(1,0)+garch(1,1)/ data=m1, cond.dist="std",

trace = F) summary

fit3=garchFit(~arma(1,0)+garch(1,1)/ data=m6, cond.dist="std",

trace = F) summary

fit4=garchFit(~arma(1,0)+garch(1,1)/ data=y1, cond.dist="std",

trace = F) summary

fit5=garchFit(~arma(1,0)+garch(1,1)/ data=y3, cond.dist="std",

trace = F) summary

#---------получим оценки стандартизированных остатков

res1 =fi t1@fi t$seri es$z

res2 =fi t2@fi t$seri es$z

res3 =fi t3@fi t$seri es$z

res4 =fi t4@fi t$seri es$z

res5 =fit5@fit$series$z

>3

5

О

§ #----------рассчитаем описательные статистики остатков-------

^

Vj summary(cbind(res1, res2, res3, res4, res5)) cc

sd

3

4

c(skewness(res1)[[1]],skewness(res2)[[1]],skewness(res3)[[1]]/ skewness(res4)[[1]],

be skewness(res5)[[1]]) <u

g c(kurtosis(res1)[[1]],kurtosis(res2)[[1]],kurtosis(res3)[[1]]/ kurtosis(res4)[[1]],

v5 kurtosis(res5)[[1]]) О

О c

з

a

§

¡о #---------построим графики квантиль-квантиль-----------------

| StudentQuantiles1=rt

Of

f qqplot(StudentQuantiles1,res1,xlab=deparse(substitute(StudentQuantiles1))/ylab =

s^ deparse

3 qqline

JS StudentQuantiles2=rt(463, 2) (0

^ qqplot(StudentQuantiles2,res2,xlab=deparse(substitute(StudentQuantiles2))/ylab = с

>> deparse

^-

- т1(13)2009

StudentQuantiles3=rt(463, 2) |

qqplot(StudentQuantiles3,res3,xlab=deparse(substitute(StudentQuantiles3)),ylab = §

§

deparse(substitute(res3)), main = "Диаграмма квантиль-квантиль для res3", plot.it = T, datax = F) 3

qqline

u

StudentQuantiles4=rt(463, 3) <5

qqplot(StudentQuantiles4,res4,xlab=deparse(substitute(StudentQuantiles4)),ylab = 5

deparse(substitute(res4)), main = "Диаграмма квантиль-квантиль для res4", plot.it =T, datax = F) С

qqline

u:

StudentQuantiles5=rt

qqplot

#-------хи-квадрат тест качества подгонки

chisq.test

#---оценим функции распределения вероятностей остатков и #сравним их с эмпирическим распределением -

# - - ПРИМЕЧАНИЕ: "fit1@fit$coef[6]" - это оценка числа #степеней свободы в функции распределения Стьюдента --

cdf1=pt

legend

cdf2=pt

legend

cdf3=pt

legend

cdf4=pt

rn1(13)2009

ploMres^cdf^main^^yH^MH распределения ОФЗ 1 год")

par

lines

legend

cdf5=pt

legend

#-------запишем полученные оценки в матрицу размерности 4 6 3x5

MMM=matrix

#-------создадим объект "5-мерная нормальная копула",

#начальное значение коэффициента корреляции

#-------оценим эту копулу методом Inversion of Kendall's Tau -

fitCopNorm=fitCopula

# ------- показать результат оценки

fitCopNorm

#---оценим 5-мерную копулу Стьюдента с 1 степенью свободы, #т.е. копулу Коши -

g CopulaT1 = tCopula

e

* fitCopT1 = fitCopula(MMM, CopulaT1, method="ml") | fitCopT1

a:

u cc

s

s

tailIndex

^ #---оценим 5-мерную копулу Стьюдента с 3 степенями свободы -С

§ CopulaT3 = tCopula

fitCopT3 = fitCopula(MMM, CopulaT3, method="ml") fitCopT3

О

55

О

q tailIndex

Л

#------оценим 5-мерную копулу Стьюдента с 1Q степенями свободы

3

a CopulaT1Q = tCopula(Q.1184458, dim = 5, df = 1Q, df.fixed = TRUE) S

3 fitCopT1Q=fitCopula

5- fitCopT1Q

tailIndex

о а с

« #----------------оценим 5-мерную копулу Клэйтона-

S CopulaCl = claytonCopula

fitCopCl = fitCopula

a

с fitCopCl

tailIndex

№1(13)2009

#----------------оценим 5-мерную копулу Франка --

CopulaFr = frankCopula(0.795794, dim = 5) fitCopFr = fitCopula(MMM, CopulaFr, method="ml") fitCopFr

taillndex

#----------------оценим 5-мерную копулу Гумбеля -

CopulaGu=gumbelCopula(1.03 32 51, dim = 5) fitCopGu=fitCopula(MMM, CopulaGu, method="ml") fitCopGu

taillndex

О

<s §

О

5

v3

#---выберем копулу с наименьшим AIC и BIC, которые рассчитаем

#по функции максимального правдоподобия---------------------

Приложение 2. Бэктестинг модели копулы в период кризиса

#-----------------загрузим пакеты---------

library

library

#------удалим все созданные до этого объекты

rm

#-------считать данные из текстового файла------------

Data = read.table

#--------создадим 5 временных рядов

on_all=10 0*diff

#--------зададим исходные значения векторов, которые будут

#содержать реальные и спрогнозированные изменения EVE------

varCop5 = rep

# разделим всю выборку на 2 части: 18.01.07-2 9.08.08/16.11.08 и #01.09.08/16.11.08-17.11.08

#----------НАЧАЛО ЦИКЛА------------------------------------

for (i in 4 07:462) {

on = on_all[1:i] m1 = m1_all[1 m6 = m6_all[1

№1(13)2009

y1 = yl_all[l:i] y3 = y3_all[1:i]

#---оценим AR(1)+GARCH(1,1) модель для каждого ряда -

fit1=garchFit fit2=garchFit fit3=garchFit fit4=garchFit fit5=garchFit

-arma(1 -arma(1 -arma(1 -arma(1 -arma(1

<-garch

data=on, cond.dist="std", trace = F) data=m1, cond.dist="std", trace = F) data=m6, cond.dist="std", trace = F) data=y1, cond.dist="std", trace = F) data=y3, cond.dist="std", trace = F)

#----рассчитаем прогноз по AR-GARCH-модели на 1 шаг вперед---

for_on=predict

#---------получим оценки стандартизированных остатков

res1 =fi Lt1@f_ Lt$ser_ Les$z

res2 =fi Lt2@f_ Lt$ser_ Les$z

res3 =fi Lt3@f_ Lt$ser_ Les$z

res4 =fi Lt4@f_ Lt$ser_ Les$z

res5 =fit5@fit$series$z

#-------оценим функции распределения Стьюдента

cdf1 =pt(sqrt(f_ Lt1@f_ Lt$coef 6] /( t i Lt$coef 6]-2 ))*res1 fi Lt1@f_ Lt$coef 6]

cdf2 =pt(sqrt(f_ Lt2@f_ Lt$coef 6] /( fit2@f_ Lt$coef 6]-2 ))*res2 fi Lt2@f_ Lt$coef 6]

cdf3 =pt(sqrt(f_ Lt3@f_ Lt$coef 6] /( fit3@f_ Lt$coef 6]-2 ))*res3 fi Lt3@f_ Lt$coef 6]

cdf4 =pt(sqrt(f_ Lt4@f_ Lt$coef 6] /( fit4@f_ Lt$coef 6]-2 ))*res4 fi Lt4@f_ Lt$coef 6]

cdf5 =pt(sqrt(fit5@fit$coef 6] /( fit5@fit$coef 6]-2 ))*res5 fit5@fit$coef 6]

Vj

ос

§ #-------запишем полученные оценки в матрицу размерности 463x5

S MMM=matrix

I

о

* #----------------оценим 5-мерную копулу Гумбеля------------

О CopulaGu=gumbelCopula

s # OR =tCopula

§ # OR =tCopula(0.07723242, dim = 5, df = 3, df.fixed = TRUE) je

g # OR =tCopula

^ # OR =claytonCopula

| # OR = frankCopula

S £

ï fitCopGu=fitCopula

SX с

«I

3

s

«I

^ #----------насимулируем остатки с помощью оцененной копулы---

0

й, g_sim=rcopula

1

л #---------стандартизуем эти остатки--------------------------

sim_g_res1=sqrt((fit1@fit$coef[6]-2)/fit1@fit$coef[6])*g_sim[,1]

sim_g_res2=sqrt((fit2@fit$coef[6]-2)/fit2@fit$coef[6])*g_sim[,2] sim_g_res3=sqrt((fit3@fit$coef[6]-2)/fit3@fit$coef[6])*g_sim[,3] sim_g_res4=sqrt((fit4@fit$coef[6]-2)/fit4@fit$coef[6])*g_sim[,4] sim_g_res5=sqrt((fit5@fit$coef[6]-2)/fit5@fit$coef[6])*g_sim[,5]

№1(13)2009

О

<s §

О

5

5

#---перейдем от логарифмов темпов роста к уровням процентных #ставок---------

б1Ш5_ОП = Data[i,1]*exp((for_on[,1]+1.64485362 7*for_on[,3]* в1ш_д_гев1)/10 0

sim5_m1 = Data[i,2]*exp((for_m1[ sim5_m6 = Data[i,3]*exp((for_m6[ sim5_y1 = Data[i,4]*exp((for_y1[ sim5_y3 = Data[i,5]*exp((for_y3[

1]+1.64485362 7*for_m1[,3]* sim_g_res2)/10 0 1]+1.64485362 7*for_m6[,3]* sim_g_res3)/10 0 1]+1.644853627*for_y1[,3]* sim_g_res4)/10 0 1]+1.644853627*for_y3[,3]* sim_g_res5)/10 0

#----------рассчитаем прогнозируемое по копуле изменение EVE --

for5_EVE=

EVE_t= (636.444/(1+(Data[i,1]/366*100))^(1/366))+(-19.470/(1+ (Data[i,2]/366*100))^(30/366))+(696.96/(1+(Data[i,3]/366*

100))^

dEVE5=for5_EVE-EVE_t

#---перейдем от логарифмов темпов роста к уровням процентных ставок------

б^1_ОП = Data[i,1]*exp((for_on[,1]+2.3 263 4 7874*for_on[,3]* в^_д_геБ1)/10 0 siш1_ш1 = Data[i,2]*exp((for_m1[,1]+2.3 263 4 7874*for_m1[,3]* siш_g_res2)/10 0 siш1_ш6 = Data[i,3]*exp((for_ш6[,1]+2.3 263 4 7874*for_ш6[,3]* sim_g_res3)/10 0 siш1_y1 = Data[i,4]*exp((for_y1[,1]+2.326347874*for_y1[,3]* siш_g_res4)/10 0 sim1_y3 = Data[i,5]*exp((for_y3[,1]+2.326347874*for_y3[,3]* siш_g_res5)/10 0

#----------рассчитаем прогнозируемое по копуле изменение EVE --

for1_EVE=

dEVE1=for1_EVE-EVE_t

#---------рассчитаем 5% (1%) квантиль и сохраним эти прогнозы

varCop5[i-40 6] = quantile

#-------рассчитаем прогноз изменения EVE по AR-GARCH---------

garch5_on = Data[i,1]*exp((for_on[,1]+1.644853627*for_on[,3])/100) garch5_m1 = Data[i,2]*exp((for_m1[,1]+1.644853627*for_m1[,3])/100) garch5_m6 = Data[i,3]*exp((for_m6[,1]+1.644853627*for_m6[,3])/100) garch5_y1 = Data[i,4]*exp((for_y1[,1]+1.644853627*for_y1[,3])/100) garch5_y3 = Data[i,5]*exp((for_y3[,1]+1.644853627*for_y3[,3])/100) for_EVE_garch5=(636.444/(1+(garch5_on/366*100))^(1/366))+ (-19.470/(1+(garch5_m1/3 66*100))^(30/366))+(696.96/(1+

rn1(13)2009

garch1_on = Data[i ,1 *exp

garch1_m1 = Data[i ,2 *exp

garch1_m6 = Data[i ,3 *exp

garch1_y1 = Data[i ,4 *exp

garch1_y3 = Data[i ,5 *exp

for_EVE_garch1=(636.444/(1+(garch1_on/366*100)P(1/3 66)) + (-19.470/(1+(garch1_m1/366*100))^(30/366))+(696.96/(1+

garch5[i-4 06] = for_EVE_garch5-EVE_t garch1[i-4 06] = for_EVE_garch1-EVE_t

#---------рассчитаем реальное изменение EVE----------------

EVE_t_1=(636.444/(1+(Data[i+1,1]/366*100))^(1/366))+

(-19.470/(1+(Data[i+1,2]/366*100))^(30/366))+(696.96/(1+

(Data[i+1,3]/366*100))^(183/366))+(-9.731/

dEVE_true=EVE_t_1-EVE_t

true_deve[i-4 0 6] =dEVE_true }

#--------------КОНЕЦ ЦИКЛА--------------------------------

#---------рассчитаем количество пробоев 5% (1%) VaR, спрогнозированного по копуле------------

NrOfBreaches_true5=1*(true_deve

»> 5

NrOfBreaches true1=1*(true deve

о 5

а:

^ NrOfBreaches_garch5=1*(true_deve=garch5) ^ NrOfBreaches_garch1=1*(true_deve=garch1) 3

sum

sc sum

g sum

5 sum(NrOfBreaches_garch1) о

Q %

§ cbind

§ _

3

а §

3 #---------график реальных и спрогнозированных изменений EVE -£ plot

о

^ lines(garch5,lty=5) С

2j lines

legend

m1(13)2009

Список литературы

а

<8

а

Положение Центрального банка Российской Федерации от 10 февраля 2003 г. № 215-П «О методике определения собственных средств (капитала) кредитной организации».

10 01

Положение Центрального банка Российской Федерации от 14 ноября 2007 г. №313-П «О порядке ^ расчета кредитными организациями величины рыночного риска». g

Алексеев В. В., Шoкoлoв В. В., Coлoжeнцeв Е.Д. Логико-вероятностное моделирование портфеля цен- с ных бумаг с использованием копул II Управление финансовыми рисками. 2006. № 3. С. 272-283. *

ПeнuкacГ. И. Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка II Прикладная эконометрика. 2008. №4 (12).

ФaнmaццuнuД. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском II Прикладная эконометрика. 2008. №2 (10). С. 91-137.

Гaмбapoв Г., ШевчукИ., БaлaбyшкuнA. Кривая бескупонной доходности на рынке ГКО-ОФЗ II Рынок ценных бумаг. 2006. № 3. С. 68-77.

Гaмбapoв Г., ШевчукИ., Бaлaбyшкuн А., HuкumuнA. Оценка срочной структуры процентных ставок II Рынок ценных бумаг. 2004. № 11 (С.43-50); № 13 (С. 44-52).

ЧeгomoвM. В., ЛoбaнoвА. А. Построение кривой доходности на основе аналитического обращения функциональной связи между рыночными данными и параметрами облигации ^Управление финансовыми рисками. 2006. №4 (8). С. 336-342.

AneTh., KharoubiC. Dependence Structure and Risk Measure II Journal of Business. 2003. №3 (76). P. 411-438.

ArnoldT., BertusM., GodbeyJ. A Simplified Approach to Understanding the Kalman Filter Technique II Engineering Economist. 2008. № 2 (53). P. 140-155.

BCBS. International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. 2006.

BCBS. Principles for the Management and Supervision of Interest Rate Risk. 2004.

Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. Copula Methods in Finance. John Wiley & Sons Ltd. 2004.

CholleteL., Meinen A. Frequent Turbulence? A Dynamic Copula Approach. 2006. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:#ssrn.comlabstract=968 923.

Clayton D. A Model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. Biometrica. 1978. № 65. P. 141-151.

Clemen R., ReillyT. Correlations and Copulas for Decision and Risk Analysis II Management Science. 1999. № 2 (45). P. 208-224.

ChoudhryT., Wu M. Time-Varying Beta and Forecasting UK Company Stock Returns: GARCH Models vs Kalman Filter Method. 2007. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:l/ssrn.comlabstract=963 452 .

CookR.D., Johnson M. E. A family of distributions for modeling non-elliptically symmetric multivariate data. J. of the Royal Statistical Society. 1981. №43. P. 210-218.

DaiQ., Singleton K. Specification Analysis of Affine Term Structure Models. 1998. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:#ssrn.comlabstract=139422

Duffie D., Kan R. A Yield-Factor Model of Interest Rates II Mathematical Finance. 1996. №4(6). P. 376-406.

Embrechts P., McNeil A., Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls. 1999. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http:lwww.math.ethz.chl~straumanlpreprintsl pitfalls.pdf

т1(13)2009 -

FantazziniD. Dynamic Copula Modelling for Value at Risk// Frontiers in Finance and Economics, 2009 (Forthcoming). [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ssrn.com/abstract=944 172

Frank M.J. On the simultaneous associativity of F(x,y) and x + y-F(x, y). Aequationes Mathematica. 1979. № 19. P. 194-226.

GumbelE.J. Bivariate exponential distributions. J.of the American Statistical Association. 1960. №55. P. 698-707.

Junker M., SzimayerA., Wagner N. NonlinearTerm Structure Dependence: Copula Functions, Empirics, and Risk Implications. 2003. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ssrn.com/abstract=407 240

HsuCh.-Ch., Tseng Ch.-P., WangY.-H. Dynamic Hedging with Futures: A Copula-based GARCH Model. 2007. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ssrn.com/abstract=1 083 890

Kalman R. A new approach to linear filtering and prediction problems. J. of basic Engineering. 1960. № 82. P. 34-45.

Kole E, KoedijkK., VerbeekM. Selecting Copulas for Risk Management. 2006. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ssrn.com/abstract=920 870

LingC.-H. Representation of associative functions. Publ. Math. Debrecen. 1965. № 12. P. 189-212. Longin F., SolnikB. Correlation Structure of International Equity Markets During Extremely Volatile Periods. Mimeo. Group HEC. 1998.

MoroneM., Cornaglia A., Mignola G. Economic Capital Assessment via Copulas: Aggregation and Allocation of Different Risk Types. 2007. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.riskwhoswho.com/ Resources/MignolaGiulio1.pdf

Nelson C, SiegelA. Parsimonious Modeling of Yield Curves//J. of Business. 1987. №4 (60). P. 473-489. Nelsen R. An Introduction to Copulas. Second Edition. Springer. New York. 2006. I PattonA. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence//International Economic Review. 2006. № 2 I (47). P. 527-556.

t PrefontaineJ., DesrochersJ. How Useful Are Banks' Earnings-At-Risk and Economic Value Of Equity-At-Risk

чЁ Public Disclosures? // International Business & Economics Research Journal. 2006. № 5 (9). P. 87-94.

0

3 Rosenberg J., Schuermann T. A General Approach to Integrated Risk Management with Skewed, FatTailed Risks.

s? FRB of NY. Staff Report No. 185. 2004. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://fic.wharton.upenn.edu/

£ fic/papers/04/0414.pdf

3 SklarA. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges. Publications de l'Institut de Statistique

1 de l'Universite de Paris. 1959. № 8. P. 229-31.

I PooterM., RavazzoloF., Van DijkD. Predicting the Term Structure of Interest Rates. Incorporating parameter

3 uncertainty, model uncertainty and macroeconomic information. 2007. http://ssrn.com/abstract=967 914

I Tang A., ValdezE. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. Sydney. 2006. [Электрон-

I ный ресурс]. Режим доступа: www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf

| VasicekO.A. An Equilibrium Characterization of the Term Structure, Journal of Financial Economics. 1977.

= №5. P. 177-188.

и

3

* United States General Accounting Office (USGAO). Risk-Based Capital Regulatory and Industry

e;

g Approaches to Capital and Risk, Report to the Chairman, Committee on Banking, and Urban Affairs, U. S. Senate ¿s and the Chairman, Committee on Banking and Financial Services, House of Representatives, GAO/GGD-98-153. 1998. [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.gao.gov/cgi-bin/ getrpt?GGD-98-153