Влияние тонкой накладки на коэффициент интенсивности напряжений в задачах о поперечной трещине в полуплоскости и полосе

УДК 539.3 й01: 10.12737/1277

Влияние тонкой накладки на коэффициент интенсивности напряжений в задачах о поперечной трещине в полуплоскости и полосе

Б. В. Соболь, А. А. Краснощёков

Рассматривается решение задач о равновесии полуплоскости и полосы, ослабленных прямолинейными поперечными трещинами и усиленных тонкими гибкими накладками. В качестве математической модели тонкой накладки использованы граничные условия специального вида. Для установления границ применимости модели проведено численное исследование данных условий. На основе уравнений равновесия задача сведена к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши относительно производной функции раскрытия трещины. При этом использован метод обобщённых интегральных преобразований. В различных диапазонах изменения геометрических и физических параметров задачи построены решения вышеуказанного интегрального уравнения методами малого параметра и коллокации. Получены значения коэффициента интенсивности напряжений в окрестности краёв трещины. Проведён многофакторный анализ влияния накладки на критическое состояние трещин в подложке.

Ключевые слова: трещина, полуплоскость, полоса, накладка, коэффициент интенсивности напряжений, фактор влияния.

Введение. Выполняя защитную или иные функции, тонкие покрытия изменяют механические характеристики изделий. Кроме того, покрытия могут подвергаться постоянно растущей нагрузке. Таким образом, представляется интересной разработка методов оценки напряжённого состояния в упругих телах, ослабленных технологическими и эксплуатационными дефектами и усиленных тонкими покрытиями и накладками. Решение этой актуальной задачи отвечает потребностям современного производства.

Первые исследования по изучению тонких накладок, изгибной жёсткостью которых можно пренебречь, приведены в работах Э. Мелана [1], Э. Рейсснера [2], В.-Т. Койтера [3], а также отечественных учёных [4]. В работе В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [5] собраны результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [6] решена контактная задача о передаче нагрузки от периодической системы стрингеров к полосе, ослабленной трещиной.

Математическая постановка задачи. Рассмотрим статическую задачу теории упругости для

, ослабленной внутренней прямолинейной трещиной длиной 2а, перпендикулярной её границе. Центр трещины расположен на расстоянии h от поверхности. К берегам трещины приложены нормальные усилия интенсивности р(у), поддерживающие её в

раскрытом состоянии.

При у = 0 действует граничное условие, моделирующее влияние накладки [5]:

\46Аи: = {1 - V!) Ту - 2уДа;,

К =

Здесь и далее в,, V,- — модуль сдвига и коэффициент Пуассона соответственно накладки (/ = 1) и полуплоскости (/ =2); \ — толщина накладки; тху ,ау — компоненты тензора напряжений в полуплоскости; производные берутся по переменной х.

* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

Задача о равновесии полосы -да < х < да, 0 < у < -/2, усиленной покрытием на границе у = 0, формулируется аналогично задаче для полуплоскости. При этом одновременно с (1) на нижней грани (у = -h2) действует одно из следующих условий: задача А — гладкий контакт тху = 0, V = 0; задача В— жёсткая заделка и = 0, V = 0; задача С— свободная поверхность ау = 0, тху = 0.

Как уже отмечалось, граничное условие (1) сформулировано на основе вывода базовых уравнений для тонких упругих покрытий (прослоек) в плоском случае путём асимптотического анализа точного решения задачи теории упругости для полосы [5]. В указанной работе получены определяющие соотношения тонких упругих покрытий, однако их эффективности не исследовалась.

В [7] описан цикл вычислительных экспериментов в конечноэлементном пакете FlexPDE. Исследование показало, что при замене накладки граничным условием погрешность моделирования растёт с увеличением жёсткости и толщины накладки. При относительной толщине накладки ///2 <0,02 и в широком диапазоне изменения физических параметров модели погрешность определения полей напряжений не превышает 5 %.

Решение. Введём следующие обозначения для разрывов функций перемещений при х = 0:

{ М+0 „{ \ ^ (х, У) и(х, У)-0 = Х (У), ' ;

1-0 4 7 дх

= Ф

-0

Касательные усилия на берегах трещины отсутствуют. Учитывая это, можно установить связь между разрывами функций (2), которые подлежат в дальнейшем определению:

Ф

Применим интегральное преобразование Фурье по х к уравнениям равновесия в перемещениях

для случая плоской деформации в виде F [V (х,у)] = | V (x,y)elaxdx .

Приняв во внимание соотношения (2), (3) и то, что при х ^ ±да все компоненты вектора перемещений и их производных убывают, имеем:

да ди

|—^^-elаxdx = X(у)-/аи (у),

да д2и

I —х ' е/аxdx = -/аХ (у) - а2и (у),

да дv(х,у) . .

| —'аxdx = -/а V (у),

д^ (х, у) . . , . .

I —х е 'аxdx = Ф (у) - а^ (у).

В результате получим неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в трансформантах Фурье по х :

(2(1 - V)V" (у) - (1 - 2v)а^ (у) - /аи' (у) = ^Х' (у).

Применим к (4) интегральное преобразование Фурье по у в виде £ [V (у)] = | f (y)elвydy . Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно трансформант и, V:

[((1 - 2v) в2 + 2 (1 - V) а2) и + ав V = -2 (1 - V) lаX, [ави + ((1 - 2v) а2 + 2 (1 - V) в2) V = -2vlвX.

Её решение:

_ /а (а2 (V -1) + в2 (V - 2)) _

и =--^--\-^ X,

_ /в (а2 (V -1) + в^) _

V = ^ , ' > X.

Произведём обратное преобразование Фурье (5), (6) по у в виде £ 1 ] = 2- | Felвydy . После ряда непосредственных преобразований получим общее решение системы (4) в виде:

и = и + и1,

V =Vo +V1.

и0 =(С1 + С2Н у)еу а +(С3 + С4 |а| у)еу1

V, = / sgn (а) ((С1 +(|а у - к)С2) еуа -(С3 +(|а| у + к) С4) е у1а).

и = ^х(П)еНа»п-у1 (3 - 2v - |а||п - у)dn,

-« -Л+а

V1 =-\д х (п) е ап-у здп (п - у)( ^ - |а||п - у|

где к = 3 - /V, С1 -С4 — произвольные постоянные, подлежащие определению из граничных условий.

Рассмотрим первоначально предельный случай Л2 ^ да, соответствующий задаче для полуплоскости. Учитывая затухание решений при у ^ -да в этом случае, в (7) следует положить С3 = С4 = 0. Постоянные С1 и С2 определяются из условий (1), представленных в терминах трансформант:

[4в1Л1а2и + (1 - V,)в (и' - /а V) = 0, [(1 - V у- /^и = 0;

/ sgn (а) Л+а

с=-

—---/ (а) ---- [ X (п)Г|а (пв (4v - 3)(V, -1)- 4в1Л1 (V -1)^ - 3)) +

4 (V -1)(4в1Л1 (V -1)\а\ + в (V! - 1))^ 171111 1 А 1 ; 1 11 А п

+в (6v - 5) (V, -1) + 4в1Л1а2п (V -1)] еп|а^;

с2 = —---, 1 ' , ,---- [ X(п)[(2пв(v1 -1)-4в1Л1 (V-1)) + 3в(v1 - 1)1еп|а^.

2 4 (V -1)(4в1Л1 (V -1)|а| + в (v1 - 1))-Л-а 1 1

Таким образом, составим интегральное уравнение задачи на основе принципа суперпозиции, удовлетворив условию ах = -р(у) на берегах трещины при х = 0:

и ч дu дv 1 - 2У / ч

(1 - 7 )дх + 7 ду = р(у).

В результате непосредственных, но довольно громоздких преобразований задача сводится к решению гиперсингулярного интегрального уравнения:

-h+a

I X

1 + К'

(п- у)2

к*(п, у) = -

k1k2

-л-а

С к (п+у) с

12(пк2 - 2к)(к2у - 2к)е

2п (1 - V) . .

dn =--о— р(У) ,

к (у+пГ

Л

Е

к к

е

Здесь Ек (^) = |-kdt — интегральная экспонента [8], к1 = 40/ (V -1), к2 = 0(v1 -1). Произве-1 t

дём интегрирование по частям в (10), с учётом очевидного свойства функции X (у): X (-/ - а) = X (-/ + а) = 0 . В результате получим сингулярное интегральное уравнение первого рода с ядром Коши относительно функции X' (у).

-Л+а

/+а

I ^

к (п, у) = -

2п (1 - V) . .

dn = —0—р(у) .

к22 (п + у)3

к2

12 (к1 - пк2 )(2к1 - к2у)е к1 Е4

к2

- 8к12 + 4пк1к2 + к22

Сингулярная часть (11) соответствует задаче о прямолинейной трещине в неограниченной упругой плоскости [9]. Регулярная часть (12) отвечает за влияние различных физических и геометрических параметров.

Положим, 0 = к/к2. Выделим слагаемое регулярной компоненты ядра (12), соответствующее задаче о поперечной трещине в полуплоскости без накладки [10]:

К (п,у) = у2 - п2 + 4пу +

4

(п+у) (

0(20 - п)- 3(0 - п)(20 - у)е 0 Е4

ЛЛ

0

/у

(п + у)3 (п + у)3

Нетрудно заметить, что предельный переход в (13) при 0 ^ 0 оставляет в регулярной части ядра отличным от нуля только первое слагаемое, отвечающее за влияние границы полуплоскости. Метод малого параметра. Определим следующие переменные и функции в выражении (11):

0

М = -, а

д (<; ) = X' (а -/),

L

V И =

I д

в

р(аг - /) = const;

А - г

+ а!-

dZ =пТ(г).

1

1

X

X

1

Введём безразмерный параметр Л = а / /, (Л<1), характеризующий относительное расстояние между трещиной и границей тела:

_ А (Л (Ч (<Л + 2) + К12 + г (4£Л - 6)) + 4) +

(Л (5 + г)-2)3

2-Л(^+г) (

3Л-2(Лм-£Л +1)(Лг-2Лм- 1)е Ам Е4

2-(г + £) Л ЛМ

М

(? + г - 2Л 1 )3

Первоначально будем строить решение сингулярного интегрального уравнения (14), предполагая, что относительное расстояние между трещиной и границей тела достаточно велико: Л «1.

С этой целью представим регулярную часть ядра ¿( г) в виде разложения по степеням параметра Л:

L

/=1

I в *) = -^ 12 М = 4(М - 2^),

13 (г) = 4 (Ч2 + 2ф - М2 + г2 - 2^), 14 (г) = 16 (Ч3 + 6^2М - ЩМ2 + 12М3 + 5г3 - 3^2 - 6мг2 - + 12^мг), 15 (г) = 32 (с + 4^3М - 24^2М2 + 72ф3 - 96М4 + 9г4 + 4^3 - 20М^3 - Щ2г2 +

+12фг2 + 24М2г2 - 12^3г + 36^2М^ - 48ф2г + 24М3г). Решение будем строить в виде асимптотического разложения по степеням этого параметра:

д'

=1

Реализуя разложения (15) и (16) в уравнении (14) и сопоставляя выражения при соответствующих степенях Л, получаем цепочку последовательно разрешаемых интегральных уравнений относительно функций д" (г), /= 1,2, ...

1 1

I ^"0 (?)dZ = пГ (г),

1-1

А - г

д" £) + кд0

= 0,

1

А - г

д'п

= 0, п = 1,2,...;

Запишем оператор обращения для первого из этих уравнений [11]:

(г), -1 <г <:

1 1

I ^д"= п' (г), -1 < г <1,

4

+

1

Решая уравнения цепочки (17), найдём д'п, п = 1,2,... и представим решение в виде:

л/1-

1 + ТЛ2 - г) + Т) Л3 ,

4 -

8г

128г

Л4 -

64г

Л5

-0(Л6).

Анализ структуры (18) показывает, что наличие свободной границы усиливает концентрацию напряжений в окрестности края трещины, а покрытие снижает этот эффект. Причём первый из названных факторов имеет порядок Л2, а второй — более высокий — Л3.

Метод коллокации. Построим решение интегрального уравнения (14) методом коллокации в виде линейной комбинации базисных функций, явно учитывающих особенность в окрестности края трещины:

При этом

1 т

д (? )=-7==т ехл (?).

л/1 - г п=о

д( ? Ь-^1^ ±*пП (?) -

п=0 п

коэффициенты базисных

где Тп, ип — полиномы Чебышёва I и II рода соответственно, Хп функциях, т — количество узловых точек.

В качестве узловых точек принимаем корни полиномов Чебышёва:

п(2/ - 1) . г, = соб —--, (/ = 1,2,..., т).

' 2т к

Для определения коэффициентов Хп необходимо составить и решить систему линейных алгебраических уравнений

ЧЭт1 ат2

X

1 1 с коэффициентами а^ = | Т (£) .

-1 V1 -

1

^ - г,

а тт ) ^ Хт )

+ Кг,)

п^

^

Зная д'(г), легко установить значение коэффициента интенсивности нормальных напряжений:

К —Ит Ю2п

При выборе числа узлов коллокации следует учитывать значение параметра Л. С увеличением Л точность решения падает. При значениях Л = 0,95 для получения решения в рамках принятой модели с точностью не менее 99 % необходимо минимум 8 узлов коллокации.

В случае полосы в решениях (7), (8) необходимо удовлетворить условиям на нижней грани для каждой из задач А - С. Повторив рассуждения (2)—(11), найдём С А- и получим сингулярные интегральные уравнения относительно производной функции раскрытия трещины Хя

(П):

ХАс

П - У

I ЯД_С (П, у,о)е '°хбо

2п (1 - V) . .

бп = —^—р(У) .

2

Ь+а

1

+

-Ь-а

Подынтегральная функция в регулярной части ядра интегрального уравнения (19) имеет устранимую особенность при а = 0 :

, „ / \ 4n - 0 + 2h,

am Ra

Nm RB

a-o CV"" ^ /

Для выражений (20), (21), (22) справедливо: к = 3 - -v, w1 = 0|a| -1, w2 = 0|a| +1.

Полные выражения для подынтегральных функций RA-C ввиду их громоздкости здесь не приведены.

В результате асимптотического анализа было установлено, что при a ^ подинте-гральные функции RA-C (n, y, a) убывают как:

f|a| e-la(n+y+2/2), h2 + n + y > 0, [|a| ea(n+y), h2 + n + y < 0.

Анализ результатов. Оценим точность решения задачи о полуплоскости методом малого параметра с пятью членами разложения. Для этого сравним его с решением аналогичной задачи методом коллокации с 8 узловыми точками. Исследуем влияние составных геометрических и физических параметров Л = / и м = (-G1h1 (v - 1))/(aG(v1 -1)) на точность решения. На рис. 1 представлены кривые расхождения методов для различных комбинаций м и Л.

Рис. 1. Значения фактора влияния Щ), полученные методом малого параметра (сплошные линии) и методом коллокации (пунктирные линии) для различных комбинаций ми Л

Экспериментально установлено, что решение задачи для полуплоскости методом малого параметра наиболее эффективно и целесообразно в диапазоне Л <0,7; р < 0,7, т. к. даёт погрешность менее 5 %.

Учитывая разнообразие видов и технологий нанесения покрытий, важно провести многофакторный анализ их влияния на поведение трещин в подложке.

При численном анализе влияния накладки удобно ввести величину N(z) = К1 (г)/К/оо(г).

Здесь К1 (г) — коэффициент интенсивности нормальных напряжений в окрестности вершин трещины г = +1, К1оо (г) — соответствующая величина для случая такой же трещины в бесконечной упругой плоскости. ^г), называемое фактором влияния [12], характеризует изменения напряжений, вносимые в рассматриваемую задачу границами сред и накладкой.

Следующие значения физических и геометрических параметров были приняты по умолчанию (модельная задача): Е^Е2 = 1,8; h /а = 1,5; Г\/а = 0,01; а = 5. Решения уравнений были построены методом коллокации с использованием 10 узловых точек.

Рассмотрим влияние толщины и жёсткости накладки при некоторых фиксированных значениях Л. Накладка существенно уменьшает интенсивность напряжений, особенно для больших и близких к границе трещин (0,9<Л<1) (рис. 2).

Рис. 2. Изменение фактора влияния в вершине трещины в зависимости от относительной толщины накладки

Далее проведём исследование влияния различных материалов покрытия на N (1) в зависимости от Л (рис. 3).

Анализ влияния накладки и различных вариантов граничных условий при y = -h2 для задачи о полосе представлен на рис. 4. На нижней грани действуют условия: A — гладкого контакта, B — жёсткой заделки, C — свободной границы. Случай отсутствия накладки отмечен как F (free).

Рис. 3. Влияние материала накладки на интенсивность напряжений: PTFE — тефлон, А1 — алюминий, 1\Л — никель,

Сг — хром, WC — карбид вольфрама

Рис. 4. Зависимость фактора влияния N(1) от относительной глубины трещины

При // » а численные решения уравнения (19) совпадают с решением уравнения для полуплоскости (11).

Заключение. Решена задача определения критического состояния полубесконечных элементов конструкций, ослабленных внутренними поперечными трещинами и усиленных тонкими, гибкими накладками. Задачи о равновесии поперечной трещины в упругой полуплоскости и слое с накладками описаны интегральными уравнениями.

Во всех рассмотренных задачах сингулярно-дифференциальное уравнение имеет единую структуру, и сингулярная часть соответствует задаче об изолированной трещине в неограниченной упругой среде. Регулярная часть ядра интегрального уравнения в каждом конкретном случае характеризует взаимное влияние между трещиной и граничными поверхностями тела. Полученные интегральные уравнения были решены методами малого параметра и коллокации. Проведён анализ сходимости методов, получены численные результаты. Библиографический список

1. Melan, E. Zur Plastizität des räumlichen kontinuums / E. Melan // Archive of Applied Mechanics. — 1938. — № 9 (2). — P. 116-126.

2. Рейсснер, Э. Некоторые проблемы теории оболочек. Упругие оболочки / Э. Рейсснер. — Москва : Издательство иностранной литературы, 1962. — 263 с.

3. Koiter, W. The nonlinear theory of thin elastic shells / W. Koiter, T. Warner // Koninklijke Ne-derlandse Akademie van Wetenschappen. — 1966. — № 69.1. — P. 1-54.

4. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л. А. Галина. — Москва : Наука, 1976. — 493 с.

5. Александров, В. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, С. М. Мхитарян. — Москва : Наука, 1979. — 486 с.

6. Мхитарян, С. М. Об одной периодической контактной задаче для упругой полосы, ослабленной трещинами и усиленной упругими стрингерами / С. М. Мхитарян, К. Л. Агаян // Известия Академии наук Армянской ССР. Механика. — 1978. — Т. 31, № 3. — С. 3-17.

7. Backstrom, G. Deformation and Vibration by Finite Element Analysis: Problems in 2D and 3D Solved by the Free Edition of FlexPDE / G. Backstrom. — Stockholm : GB Publishing, 2007. — 240 p.

8. Никифоров, А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров. — Долгопрудный : Интеллект, 2007. — 344 c.

9. Paris, P.-C. Stress Analysis of Cracks, Fracture Toughness Testing and Its Applications / P.-C. Paris, G.-C. Sih // Special Technical Publications. — 1965. — № 381. — P. 30-81.

10. Панасюк, В. В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, А. П. Дацышин. — Киев : Наукова думка, 1976. — 443 c.

11. Александров, В. М. Эффективные методы решения сложных смешанных задач теории упругости, связанных с вопросами концентрации напряжений / В. М. Александров, Б. И. Сметанин, А. С. Соловьёв // Концентрация напряжений. — 1971. — № 3. — С. 5-10.

12. Соболь, Б. В. Об асимптотических решениях трёхмерных статических задач теории упругости со смешанными граничными условиями / Б. В. Соболь // Вестник Нижегородского ун-та им. Н. И. Лобачевского. — 2011. — Т. 4, № 4. — C. 1778-1780.

Материал поступил в редакцию 1.07.2013.

References

1. Melan, E. Zur plastizität des räumlichen kontinuums. Archive of Applied Mechanics, 1938, no. 9 (2), pp. 116-126.

2. Reyssner, E. Nekotoryye problemy teorii obolochek. Uprugiye obolochki. [Some problems of shell theory. Elastic shells.] Moscow : Izdatelstvo inostrannoy literatury, 1962, 263 p. (in Russian).

3. Koiter, W., Warner, T. The nonlinear theory of thin elastic shells. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, 1966, no. 1, pp. 1-54.

4. Galin, L. A., ed. Razvitiye teorii kontaktnykh zadach v SSSR. [Development of contact problem theory in the USSR.] Moscow : Nauka, 1976, 493 p. (in Russian).

5. Alexandrov, V. M., Mkhitaryan, S. M. Kontaktnyye zadachi dlya tel s tonkimi pokrytiyami i prosloykami. [Contact problems for bodies with thin coatings and layers.] Moscow : Nauka, 1979, 486 p. (in Russian).

6. Mkhitaryan, S. M., Agayan, K. L. Ob odnoy periodicheskoy kontaktnoy zadache dlya uprugoy polosy, oslablennoy treshchinami i usilennoy uprugimi stringerami. [On a periodic contact problem for an elastic strip cracked and weakened by reinforced elastic stringers.] Izvestiya Akademii nauk Armyanskoy SSR. Mekhanika. 1978, vol. 31, no. 3, pp. 3-17 (in Russian).

7. Backstrom, G. Deformation and Vibration by Finite Element Analysis: Problems in 2D and 3D Solved by the Free Edition of FlexPDE. Stockholm : GB Publishing, 2007, 240 p.

8. Nikiforov, A. F., Uvarov, V. B. Spetsialnyye funktsii matematicheskoy fiziki. [Special functions of Mathematical Physics.] Dolgoprudny : Intellekt, 2007, 344 p. (in Russian).

9. Paris, P.-C., Sih, G.-C. Stress Analysis of Cracks, Fracture Toughness Testing and Its Applications. Special Technical Publications, 1965, no. 381, pp. 30-81.

10. Panasyuk, V. V., Savruk, M. P., Datsyshin, A. P. Raspredeleniye napryazheniy okolo treshchin v plastinakh i obolochkakh. [Stress distribution around cracks in plates and shells.] Kiev : Naukova dumka, 1976, 443 p. (in Russian).

11. Alexandrov, V. M., Smetanin, B. I., Solovyev, A. S. Effektivnyye metody resheniya slozhnykh smeshannykh zadach teorii uprugosti, svyazannykh s voprosami kontsentratsii napryazheniy. [Effective methods to solve complex mixed elasticity problems dealing with stress concentration.] Kontsentratsiya napryazheniy, 1971, no. 3, pp. 5-10 (in Russian).

12. Sobol, B. V. Ob asimptoticheskikh resheniyakh trekhmernykh staticheskikh zadach teorii uprugosti so smeshannymi granichnymi usloviyami. [On asymptotic solutions to three dimensional static problems of elasticity theory with mixed boundary conditions.] Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N. I. Lobachevskogo, 2011, vol. 4, no. 4, pp. 1778-1780 (in Russian).

THIN PLATE EFFECT ON STRESS INTENSITY FACTOR IN PROBLEMS ON TRANSVERSE CRACK IN HALF-PLANE AND STRIPE*

B. V. Sobol, A. A. Krasnoshchekov

The solution to the equilibrium problem for half-plane and stripe weakened by straight transverse cracks and reinforced by thin flexible plates is considered. Boundary conditions of a special form are used as a mathematical model of a thin plate. To establish the limits of the model applicability, a numerical study of these conditions is carried out On the basis of the equilibrium equations, the problem is converted to the solution of the singular integral equation of the first kind with the Cauchy kernel relating to the function derivative of the crack opening. At this, the generalized integral transform method is used. In various ranges of the geometrical and physical problem parameters, solutions to the described above integral equation are constructed by small parameter and collocation methods. The stress intensity factor values in the neighborhood of the crack periphery are obtained. The multivariate analysis of the plate impact on the critical condition of cracks in the substrate is carried out Keywords: crack, half-plane, stripe, plate, stress intensity factor, factor of influence.

* The research is done within the frame of the independent R&D.

35