Свободные и связанные квантовые осцилляторы Дуффинга, влияние шума

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 530.145

А.Л.Санин, Е.А.Семёнов

СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ ДУФФИНГА, ВЛИЯНИЕ ШУМА

Осциллятор Дуффинга — модель нелинейных колебаний в классической динамике. Функция Гамильтона осциллятора содержит потенциал, состоящий из двух слагаемых. Одно из них пропорционально квадрату координаты, а второе имеет четвертую степень. Если коэффициент при квадратичном слагаемом отрицательный, а коэффициент при слагаемом в четвертой степени положительный, то мы имеем двухъямный осциллятор Дуффинга. При обоих положительных слагаемых осциллятор Дуффинга является одноямным. Наряду с отдельным осциллятором, в научной литературе проводятся исследования связанных осцилляторов Дуффинга (см., например, работу [1]). Изучение колебаний имеет фундаментальное значение для многих приложений, в частности, в физике твердого тела и теории молекул.

Переход к микро- и наномасштабам стимулировал интерес к изучению квантового аналога осциллятора Дуффинга, или квантового осциллятора Дуффинга. Квантовый осциллятор Дуффинга, включающий силу трения и внешнюю силу, изучался ранее одним из авторов этой статьи в работе [2].

В настоящее время уделяется определенное, но недостаточное внимание к связанным квантовым осцилляторам Дуффинга. Здесь следует отметить работы по изучению стационарных состояний и энергетических уровней [3].

В данной статье мы излагаем результаты исследования двумерных колебаний, обусловленных квантовыми осцилляторами Дуффинга вдоль двух координат. При отсутствии связи между степенями свободы мы имеем два сво-

бодных осциллятора Дуффинга, а введение связи означает переход к системе связанных осцилляторов Дуффинга. Настоящее исследование мотивируется внутренней логикой развития теории колебаний квантовых систем и приложениями в современных нанотехноло-гиях. Статья посвящена двухъямным осцилляторам Дуффинга (свободным и связанным). В ней исследуются идентичные и неидентичные осцилляторы, проблема синхронизации и передача спектра сигнала из одной степени свободы в другую, а также влияние шума. В статье проводится численное интегрирование нестационарного уравнения Шредингера, выполняются расчеты средних значений координат, их Фурье-спектров, а также автокорреляторов. Настоящая статья является продолжением работы [4], в которой исследовался двухъямный осциллятор Дуффинга, связанный с гармоническим осциллятором.

Основные уравнения и допущения

Уравнение Шредингера в безразмерной форме имеет вид

. Зу 1

1 ~д! ~~ 2

л2 Л

дх ду

Оно определяет временную эволюцию волновой функции у = х, у, t); х,у, t — координаты и время, соответственно.

Уравнение (1) является инвариантным относительно выбора единиц измерения. Наши вычисления могут быть применены к твердотельным мезоскопическим системам. Полный потенциал иЕ определяется как сумма

( ~2

иЕ= их( х) + и2( у) + из( х, у),

где и1(х), и2(у) — двухъямные потенциалы, и3( х, у) — потенциал связи.

Эти потенциалы являются конечными в точках ±ха, ± уа на стенках внешней ямы. В целом мы имеем модель плоской ячейки. Если и3 (х, у) = 0 , то динамическая система может рассматриваться как состоящая из двух свободных двухъямных осцилляторов Дуффинга. Если и3(х, у) ф 0 , то система осцилляторов Дуффинга становится связанной. Для потенциалов вводятся стандартные выражения

и1(х) = ахх4 " ьхх2 + С1;

и2( у) = ауу4 - Ьуу2 + С2; из(ху) = уху,

Уо = С ехр [-ах (х - х0) -а у (у - у0) +

х (х - хо)+ /Гоу(у - уо)],

где х0, у0 — средние координаты пакета, Г0х, Г0 — средние скорости. Постоянная Сна-ходится из условия нормировки.

Динамические свойства квантовых волновых пакетов изучались при помощи вычислений средних значений координат (х) ,(у) , средних скоростей (Ух), Гу), а также нормальных отклонений (Дх), (Ду) , (ДГх), ^ . Произведения gx = ДхАУх, gy = ДуДГу удовлетворяют соотношениям неопределенностей

1 _ 1

2,

Временные реализации (х)у) обсуждались в рамках Фурье-преобразований. Соот-

g >—, g > —.

ох — ^ ' оу — 2

ветствующие амплитуды Фурье были обозначены как ¥<х>(О), ¥<у>(О), где величина О, — частота. В качестве дополнительного средства в изучении волновопакетной динамики использовался автокоррелятор, вычисленный по формуле

R =

ха уа

I йх | йуу *

ха уа

где ах ,а , Ьх ,Ьу — варьируемые параметры; с1,с2 выбираются так, чтобы сделать минимальные значения и1, и2 равными нулю.

Граничные условия на внешних стенках квантовой системы и начальная волновая функция определяются как

у

Начальное условие задается гауссовым волновым пакетом:

Численное интегрирование уравнения Шредингера (1) было проведено в замкнутой области

й = {(х,у,1): -7 < х < 7, -7 < у < 7, 0 < г < 2000}.

Термин «фигуры Лиссажу» обычно используется для описания режимов с соизмеримыми частотами. Мы применили его для режима, когда отношение частот является иррациональным, а траектории становятся незамкнутыми.

Синхронизация квантовых осцилляторов Дуффинга

Динамические исследования синхронных колебаний в системе, состоящей из двух идентичных двухъямных осцилляторов Дуффинга, были проведены для разных наборов параметров и начальных условий.

Обсудим более подробно результаты численного моделирования системы с параметрами

ах = ау = 0,002; Ьх = Ьу =-0,05.

Карты уровней потенциалов, исследуемых в задаче, представлены на рис. 1; численные значения координат и уровней потенциала —в табл. 1. Форма потенциального рельефа при у = 0 является простой. Она характеризуется максимумами, минимумами, а также седловы-ми точками. Если у ф 0 , то расположение на плоскости (х, у) экстремумов и седловых точек, а также значения потенциалов в них изменяются. В численных расчетах, приведенных ниже, величина средней энергии волнового пакета была меньше максимального значения потенциала. В задаче с внешним шумом средняя энергия в начальный момент времени также была меньше максимума потенциала.

2

-4-3-2-101234

X

X

Рис. 1. Карта уровней потенциала на плоскости (х, у) для свободных (у = 0 ) (а) и связанных (у = 0,01) (б) идентичных осцилляторов Дуффинга: Л, В, С, D — седловые точки потенциала; Е — точка максимума потенциала; G, Н, К — точки минимума потенциала. Координаты точек и значения потенциала приведены в табл. 1

Таблица 1

Координаты точек и значения уровня потенциала на картах рис. 1

У Координата (потенциал) Значение координаты (потенциала) в точке

Л В С Б Е F G Н К

0 X 0 0 3,52 -3,52 0 3,52 -3,52 3,52 -3,52

Y 3,52 -3,52 0 0 0 3,52 -3,52 -3,52 3,52

^ 0,3125 0,625 0

0,01 X -0,36 3,48 0,36 -3,48 0 3,65 -3,65 3,35 -3,35

Y 3,48 -0,36 -3,48 0,36 0 3,65 3,65 -3,35 3,35

и 0,4502 0,756 0 0,2492

Начальный волновой пакет характеризуется величинами а х = а у = 0,5; средними значениями х0 = у0 = 3,52; Г0х = Г0у = 0,05 . В том случае, когда связь отсутствует, то есть у = 0 , мы имеем два свободных двухъямных осциллятора Дуффинга. Они обладают одинаковыми свойствами. Временные реализации для

представляют собой модулированные колебания с разными временными периодами (рис. 2, я). Волновой пакет перемещается из начального крайнего положения, пересекает область барьера и достигает другого крайнего положения. Процесс повторяется. Частота этого процесса О = 0,037 определяет больший период в колебаниях средних координат, а ампли-

Рис. 2. Временные реализации средних координат для свободных (у = 0 ) (а) и связанных (у = 0,01) (б) идентичных осцилляторов Дуффинга

Таблица 2

Значения частот О и Фурье-амплитуд F (О) для наиболее интенсивных компонент спектра

0,006 0,066 0,160 0,173 0,220 0,264 0,342

F< х > (П) 1,0929 0,0147 0,0522 0,0733 0,0318 0,0198 0,0313

Рис. 3. Зависимость произведений неопределенностей gx (а), gy (б) и автокоррелятора Я (в) от времени

для связанных идентичных осцилляторов

туда Фурье на этой частоте является наибольшей. Амплитуды Фурье на частотах О., соответствующих малым периодам, в 10 — 50 раз меньше амплитуды на частоте 0. = 0,037. Естественно, для двух свободных осцилляторов Дуффинга фигура Лиссажу представляет собой отрезок прямой в зависимости (у} = f ((х)).

Введение связи между осцилляторами Дуффинга изменяет картину динамических процессов. Здесь мы рассмотрим систему со слабой связью при у = 0,01. Параметры ax ,Ьх ,ay,Ьу и начальные условия оставляем неизменными, как для случая свободных колебаний. Временные реализации (х), (у)даны на рис. 2,б. В отличие от режима свободных колебаний, заметно уменьшается скорость перемещения пакета из одного крайнего положения в другое. Однако, по-прежнему, обе реализации идентичны, а спектры частот ¥<х>(О), у>(О) одинаковы. В табл. 2 приведены частоты и Фурье-амплитуды для наиболее интенсивных компонент.

Компоненты с Фурье-амплитудами, меньшими 0,01, не включены в табл. 2. Можно полагать, что механизм распространения волнового пакета через область барьера связан с туннелированием. Однако свойства и особенности туннелирования в двумерной системе с заданным потенциалом иЕ требуют проведения дополнительных исчерпывающих исследований. Произведения неопределенностей и автокоррелятор даны на рис. 3. Несмотря на то, что спектр содержит множество частот, фигура Лиссажу, выражающая зависимость (у} = f ((х)), представляет собой отрезок прямой (с высокой степенью точности). Расчеты, проведенные для значений у = 0,03 и 0,05 при одинаковых остальных параметрах и начальных условиях, показывают,

что спектры частот совпадают и фигуры Лис-сажу представляют собой отрезки прямых.

Другими словами, синхронизация колебаний волновых пакетов сохраняется. Влияние начальных условий на синхронизацию исследовалось при скоростях пакета Г0х = Г0у = 0,10; 0,15; 0,30 , остальные параметры оставались неизменными. Увеличение начальных скоростей пакета приводило к перераспределению энергий колебаний в спектрах. Спектры частот ¥<х>(О), у>(О) были одинаковы, а фигуры Лиссажу укладывались на отрезки прямых. Автокоррелятор как функция времени (рис. 3,в) иллюстрирует многочастотный процесс, повторяющийся через крупномасштабные промежутки времени и приближающийся к минимальным значениям на малых участках. Наибольшие значения не спадают монотонно к нулю, поэтому динамический режим является регулярным.

Неидентичные осцилляторы Дуффинга

Колебания в системе, состоящей из двух неидентичных квантовых осцилляторов Дуф-финга, исследовались для набора параметров, характеризующих двухъямные потенциалы вдоль каждой оси:

ax = 0,0025; ay = 0,0020; Ьх = 0,055; Ьу = -0,050.

Форма двумерного потенциала, соответствующего этим параметрам, дана на рис. 4.

В качестве первого шага исследуем режим колебаний при у = 0 . Начальные условия были использованы те же, что и в прошлом случае для идентичных осцилляторов. При отсутствии связи временные реализации (х), (у) даны на рис. 5.

Таблица 3

Координаты точек и значения уровня потенциала на картах рис. 4

Координата (потенциал) Значение координаты (потенциала) в точке

Л В С D Е ¥ С Н К

X -0,68 0,68 3,24 -3,24 0,00 3,64 -3,64 3,00 -3,00

Y 3,48 -3,48 -0,68 0,68 0,00 3,88 -3,88 -3,16 3,16

0,590 0,582 0,870 0,000 0,470

-4-3-2-101234

X

Рис. 4. Карта уровней потенциала на плоскости (х, у) для связанных неидентичных осцилляторов Дуффинга (у = 0,02). Обозначения точек соответствуют приведенным на рис. 1. Координаты точек

и значения потенциала представлены в табл. 3

Рис. 5. Временные реализации средних координат для свободных неидентичных осцилляторов (у = 0;. Малые вариации ах, Ьх , по сравнению со случаем идентичных осцилляторов, приводят к изменению реализации х

Видны два выраженных временных масштаба: крупный и мелкий; при этом крупномасштабные колебания промодулированы мелкомасштабными. Зависимость амплитуд Фурье х>(О), F<у>() от частоты  представлена на рис. 6. Как и следовало ожидать, для независимых осцилляторов Дуффинга, отличающихся параметрами потенциала, частоты колебаний средних значений различны. Фигура Лиссажу, выражаю-

щая зависимость (у) = f ((х)) для рассматриваемого многочастотного процесса, не лежит на прямой, как это может быть при синхронных колебаниях. Она заполняет некоторую область, не является замкнутой, что типично при наличии несоизмеримых частот (рис. 7). Введение связи между степенями свободы изменяет картину динамических процессов: временных реализаций, их Фурье-спектров и другие свойства.

Таблица 4

Значения частот  и Фурье-амплитуд для наиболее интенсивных спектральных компонент

0,047

0,242

0,264

0,308

0,380

Рис. 6. Фурье-спектр колебаний средних координат для свободных неидентичных осцилляторов

0,553

х.

0,1022

0,0500

0,2458

0,0115

0,0173

0,0304

0,038

0,214

0,251

0,283

0,320

0,506

Рис. 7. Фигура Лиссажу для свободных неидентичных осцилляторов

F< у >

1,1354

0,0246

0,1401

0,0289

0,0164

0,0479

Табл. 4 характеризует наиболее эффективные спектральные компоненты.

При наличии слабой связи у = 0,02 для параметров и начальных условий, совпадающих с предыдущим вариантом расчета, временные реализации для средних координат (х), (у) существенно изменяются (рис. 8). Крупномасштабный период колебаний существенно воз-

растает, как и ранее; мелкомасштабные колебания модулируют колебания с большим периодом.

Качественные изменения в картине реализаций, по сравнению с предыдущим вариантом при у = 0 , обусловлены чувствительностью системы к изменениям параметров потенциала.

Рис. 8. Временные реализации средних координат для связанных неидентичных осцилляторов

Рис. 9. Фурье-спектр колебаний средних координат для связанных неидентичных осцилляторов

Такие свойства по отношению к другим полиномиальным потенциалам (потенциал Хено-на — Хейлеса) отмечались в работе [5]. Частотный отклик дан на рис. 9. В спектрах F<х>(О), F<у>(О) много совпадающих частот, однако амплитуды спектральных компонент на этих частотах отличаются. Фигура Лиссажу (рис. 10) занимает меньшую область на плоскости ((х), (у)), чем в предыдущем режиме при у = 0 , «прижимается» к диагонали квадранта. Для полностью синхронного движения фигура Лиссажу представляет собой отрезок прямой на диагонали. Поэтому можно косвенно говорить о стремлении системы к самосинхронизации.

Влияние шума на колебания неидентичных осцилляторов

Влияние шума на динамику квантовых осцилляторов Дуффинга можно рассмотреть на примере двух неидентичных осцилляторов с параметрами и начальными условиями, которые обсуждались в предыдущем разделе. Для этого в формулу потенциала (2) вводится дополнительное слагаемое, которое представляет собой набор импульсов и4 = ^0х, действующих в течение очень коротких временных промежутков №. Шум формируется при помощи генерации случайных импульсов. Функция рас-

пределения импульсов является равномерной. Рассмотрим вариант расчета, когда импульсы имеют разные полярности и значения на промежутке [-5, 5]. Расстояние между импульсами постоянно, а их частота следования совпадает с одной из частот спектра колебаний связанных неидентичных осцилляторов Дуффинга. Характерные реализации для (х), (у) даны на рис. 11. Они являются откликом на случайное воздействие. Среднее значение для кинетической энергии (Г) как функции времени представлено на рис. 12. Для обеих компонент F<х>(О), F<у>(О) частотный спектр является широкополосным, а их зависимости от О — не плавные, а скачкообразно изменяющиеся. Наиболее сильные изменения амплитуд происходят в диапазоне [0,01586; 0,03875] для частот а е [0,02199; 0,04461]. При 0,8 вариации амплитуд и широкополосность спектра остаются, однако величины амплитуд сильно уменьшаются. В частотном спектре для обеих компонент имеется множество совпадающих частот. Несмотря на внешний случайный сигнал и слабую связь, происходит передача сигнала в виде отдельных спектральных компонент, но с разными амплитудами Фурье. Фигуры Лиссажу не являются простыми, а характеризуются запутанной траекторией. Если

Рис. 10. Фигура Лиссажу для связанных неидентичных осцилляторов

2000

О 1000 С

Рис. 11. Временные реализации средних координат для неидентичных осцилляторов под влиянием шума

амплитуды импульсов шума распределены на промежутке [-7,5; 7,5], то по сравнению с предыдущим вариантом частотный спектр колебаний становится более богатым. Колебания средних координат (х), (у) уменьшаются по амплитуде и происходят относительно значений (х) = 0, (у) = 0 . Фигуры Лиссажу становятся сложными и не «прижимаются» к диагонали квадранта. Произведения неопределенностей представляют собой сложные осцилляции и по величине значительно удаляются от минимального значения, равного 0,5. На расчетном промежутке t е [0; 2000] нет перехода из одного крайнего положения в другое и обратно, как это было при отсутствии шума.

Таким образом, в рамках численного интегрирования уравнения Шредингера с начальными условиями в форме гауссовых волновых пакетов были исследованы двухъямные осцилляторы Дуффинга как свободные, так и

Рис. 12. Изменение кинетической энергии пакета под воздействием шума в системе неидентичных осцилляторов

при слабой связи. Детально изучены временные реализации для динамических средних, произведения неопределенностей, частотные спектры, автокорреляторы и другие характеристики волновых квантовых пакетов. В результате установлено, что система чувствительна к малым изменениям функции Гамильтона, обусловленным введением потенциала связи. Спектр частот, характеризующий среднюю координату как функцию времени, смещается в сторону меньших частот. Время перехода из одного крайнего положения пакета в другое существенно возрастает. Для идентичных связанных осцилляторов Дуффинга реализуется режим синхронных колебаний. Спектры частот и формы колебаний совпадают. Если осцилляторы Дуффинга являются неидентичными, то возможна частичная передача частот из одного осциллятора в другой. Воздействие шума на систему связанных неидентичных осцилляторов Дуффинга может приводить к ослаблению колебаний.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vincent, U.E. Synchronization and bifurcation in coupled periodically forced non-identical Duffing oscillators [Текст] / U.E. Vincent, A. Kenfack // Phys. Scr. — 2008. - Vol.77. - P. 045005 (7 p).

2. Sanin, A.L. Oscillatory motion in confined potential systems with dissipation in the context of the Shro-dinger-Langevin-Kostin equation [Текст] /A.L. Sanin, A.A. Smirnovsky // Phys. Lett. A. - 2007. - Vol. 372. -No. 1. - P. 21 - 27.

3. Chung, N.N. Energy eigenvalues and squeezing properties of general systems of coupled quantum anhar-

monic oscillators [Текст] / N.N. Chung, L.Y. Chew // Phys. Rev. A. - 2007. - Vol.76. - P. 032113 (9 p).

4. Sanin, A.L. Two-dimensional oscillations in a quantum well with polynomial potential [Текст] / A.L. Sanin, E.A. Semyonov // Nonlinear phenomena in complex systems. - 2011. - Vol. 14. - No. 6. - P. 411 - 416.

5. Neetu, Gupta. Does the classically chaotic He-non - Heiles oscillator exhibit quantum chaos under intense laser fields? [Текст] / Neetu Gupta, B.M. Deb. // Pramana-Journal of Physics. - 2006. - Vol. 67. - No. 6. -P. 1055 - 1071.