Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования сплайнов первой степени

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 3

УДК 519.6

Б.М. Шумилов, Ш.М. Матанов

АЛГОРИТМ С РАСЩЕПЛЕНИЕМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЛАЙНОВ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ1

Для сплайнов 1-й степени предложен новый тип вейвлетов со смещенным носителем. С использованием расщепления по четным и нечетным узлам получен алгоритм вейвлет-разложения в виде решения трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений со строгим диагональным преобладанием.

Ключевые слова: сплайны первой степени, вейвлеты, соотношения разложения и восстановления.

Вейвлетом называется короткая или быстро затухающая волновая функция, множество сжатий и смещений которой порождает пространство измеримых функций на всей числовой оси [1 - 3]. К недостаткам ортонормальных и биорто-гональных вейвлетов относится то, что их двойственные не имеют аналитического представления и графически похожи на фрактальные кривые. Недостатком по-луортогональных сплайн-вейвлетов является то, что для них не существует явных конечных формул разложения. Поэтому при вычислениях используют приближенные значения главных коэффициентов разложения [2] либо решают систему линейных алгебраических уравнений, для которой не гарантирована хорошая обусловленность [3]. В данной работе для случая сплайнов первой степени рассмотрен неизвестный ранее тип вейвлетов, для которых доказано существование конечных неявных соотношений разложения и обоснован эффективный алгоритм вейвлет-анализа на их основе.

1. Построение сплайн-вейвлетов первой степени

Пусть пространство Уь является пространством сплайнов первой степени на отрезке [а, Ь] с равномерной сеткой узлов Аь: и/ = а + (Ь - а) / / 2Ь, / = 0, 1,..., 2Ь, и базисными функциями (у) = ф1(у - /) V/, где V = 2ь(и - а) / (Ь - а) + 1, с центрами в целых числах, порожденными сжатиями и сдвигами функции ф1(/) (рис. 1):

0 < Г < 1,

1 < Г < 2, t г [0,2].

Если сетка А^-1 получена из Аь посредством удаления каждого второго узла, то соответствующее

пространство Уь-1 с базисными функциями ^-1„ в Рис- 1 График функлии ф1(^ два раза большими по ширине с центрами в четных

целых числах, вложено в Уь. Пространство вейвлетов определяется как до-

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект №11-01-90900_моб_снг_ст).

полнение Vl-i до Vl, так что любая функция в VL может быть записана в виде суммы некоторой функции в Vl-i и некоторой функции в WL-I. В [3] было предложено в качестве базисных функций в Wl-i использовать базисные функции в Vl с центрами в нечетных целых числах («ленивые» вейвлеты). Мы предлагаем использовать в качестве вейвлетов для Wl-j функции NL, в Vl с центрами в четных целых числах при условии обнуления сплайна в последнем узле. Тогда соответствующие базисные функции удаляются из базисов, и размерности полученных пространств Vl, Wl-1 равны 2l+1 - 1 = 2l и 2l-1 соответственно. Следовательно, выполняется условие дополнения размерностей этих пространств, Dim (Vl) = Dim (Vl-1) + + Dim (Wl-1).

После этого на любом уровне разрешения L > 0 сплайн первой степени может быть представлен на интервале [a, b] изменения параметра как

2l-1

SL

i=0

Для дальнейшего удобно записать коэффициенты сплайна и базисные функции с отсутствующими элементами в конце отрезка аппроксимации как

С

= \С0, С1,..., С-- _1 ] и фЬ =[ N0-, N,..., N-1 _1 ] . Тогда уравнение (1) переписывается в виде $>ь(и) = фЬ (и) С-.

Аналогично, обозначим базисные вейвлет-функции как МЬ-1,- = ф1(у - 2/), , 2Ь-1, и на уровне разрешения Ь запишем их в виде матрицы-строки

i = 0, 1,

= M", M",..., m"l 1 ] . Соответствующие вейвлет-коэффициенты будем соби-

рать в вектор БЬ =[^ Б0, Б-,..., Б-Ь 1 ] . Тогда с использованием обозначения

для блочных матриц процесс получения С- из С--1 и Б-1 может быть записан как [3]:

CL = [PL | Ql ]

С

l-1

D

l-1

Ниже представлен пример матрицы [P | Q"], соответствующий L = 3:

"2 2 "

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

Здесь и далее пустые позиции представляют собой нулевые элементы. Блоки матрицы Р составлены из коэффициентов соотношения

Ф^) =1Ф^) + Ф:(2/ _ 1) + 2 ф1(2/ _ 2),

так как каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимации можно построить из трех, а на краю интервала из двух, узких базисных функций. Все элементы столбцов матрицы О - нули, за исключением единственной единицы, так как каждый ленивый вейвлет — это одна узкая базисная функция.

Обратный процесс разбиения коэффициентов С на более грубую версию С^-1 и уточняющие коэффициенты Б1-1 состоит в решении системы линейных уравнений (2). При этом для облегчения численного решения систему (2) целесообразно расщепить по четным и нечетным узлам [4]. Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть значения сплайн-коэффициентов С,ь в нечетных узлах пересчитаны из решения системы линейных уравнений вида

2 1 1 2 1

[ СЬ ' " сЬ ]

СзЬ := С^зЬ ,

1 7 С 1 Сь -1 ]

вычисля-

где точки, расставленные по диагонали, означают, что предшествующий столбец повторяется соответствующее число раз, сдвигаясь при этом вниз на одну позицию.

Тогда значения сплайн-коэффициентов на прореженной сетке Аь ются по формулам

СоЬ-1=2 С\ С^=2 С^,-1+ 2 С^+ь I = 1, 2,..., 2^, тогда как вейвлет-коэффициенты равны

ВоЬ-1= СЬо - 2 С \ В^=СЬ21 - 2С^,ч- 2СЬ

2і+1

і = 0, 1,..., 2Ь

Доказательство вытекает из легко проверяемых соотношений, связывающих базисные функции пространства сплайнов на густой сетке и базисные функции на прореженной сетке

Ф1 (2х + 2) + 2 ф1 (2х) + ф1 (2х - 2) = 2 ф1 (х +1) + 2 ф1 (х) - 2 ф1 (х +1)- 2 ф1 (2х -1) внутри отрезка аппроксимации и соотношений

2 ф1

на левом и правом концах соответственно.

Введем последовательности матриц ОЬ и ИЬ, блоки которых составлены соответственно из коэффициентов левых и правых частей полученных разложений. В результате находим, что базисные функции пространства сплайнов на густой сетке, базисные функции на прореженной сетке и вейвлеты удовлетворяют равенству

фЬ Оь = [фЬ-1 | /-1] Еь, Ь > 1.

Отсюда, используя свойство дополнения пространства вейвлетов, находим

К-11*ЬЧ ][ СЬг]=ф‘ сЬ =К -11»Ь-‘ ]яЬ (°Ь ) сЬ •

После этого решение системы уравнений (2) можно записать в матричном виде как

С_

БЬ

=яЬ (оЬ)1СЬ

откуда после расщепления по четным и нечетным узлам вытекает утверждение теоремы 1.

Чтобы улучшить усредняющие свойства представленного метода анализа данных, можно прибегнуть к методу «лифтинга» (подъема) [3], вычитая из каждого ленивого вейвлета несколько соседних базисных функций. Например, множество сжатий и сдвигов функций (рис. 2):

^20 () = ^ ( ( + 1)-р()) на левом конце отрезка аппроксимации и

/3

Т2

2

на остальной части отрезка образует ортонормальный базис вейвлетов в том смысле, что

ад 1

| ¥20 (х)¥2 (x - k)dx = 0 Vk > 0, | ¥20 (x)2 dx = 1,

| ¥2(x -1)¥2(x - k)dx = 5k Vl, к.

-ад

Доказательство выполняется непосредственным вычислением [5].

¥20

А ¥2( г) Д

- \ а 1- ч/\ б

\о',5 /Г1 г 0 К/л /г

Рис. 2. График функции Т2

0

Практически, ортонормальность нужна для того, чтобы по величине коэффициентов вейвлет-разложения можно было судить об их значимости. Незначимые убираются с целью сжатия информации. При этом получающиеся погрешности пропорциональны величине отброшенных вейвлет-коэффициентов. Соответствующая матрица восстановления сплайн-коэффициентов С на густой сетке из значений коэффициентов О1"-1 и

DL-1

на прореженной сетке имеет вид

2 1 1 2^6

2 2-13

] = 2 1 ‘ 1 -л/3 •

2 1 2-13

-^.

Что касается вычисления вейвлет-коэффициентов, то аналогично теореме 1 доказывается следующая

Теорема 2. Пусть значения сплайн-коэффициентов С,Ь в нечетных узлах пересчитаны из решения системы линейных уравнений (3).

Тогда значения сплайн-коэффициентов на прореженной сетке ДЬ-1 вычисляются по формулам

С0Ь-1 = И2 Сь0 +С\ С,Ь-1 = 1/2 Си +0^,-1+ С^+ь I = 1, 2,..., 2Ь-1, тогда как вейвлет-коэффициенты равны

БЬ- = ^ ^2с0 -Сь ), БЬ-1 = ^^2а - С^-1 - С^+1 ), I = 1...,2Ь2

Построение вейвлета ¥2(г) со смещенным носителем [1/2, 5/2] ранее изучалось в работах [6, 7]. В [7] было отмечено, что данные вейвлеты удобны для решения проблемы Лапласа по методу граничных интегральных уравнений. А в [8] с целью ускоренного вычисления элементов матрицы жесткости для них была предложена кусочно-синусоидальная аппроксимация. Определенным недостатком построенных вейвлетов является то, что они не ортогональны базисным сплайнам на прореженной сетке. Практически, это означает, что при сжатии с заданной погрешностью в вейвлет-разложении будет оставаться больше коэффициентов, чем для по-луортогональных вейвлетов.

2. Пример

Рассмотрим в качестве тестовой функции функцию Хартена [9]:

/ (х) =

ієіп(Злх), х < |єш(4лх)|, З < х < 2,

1 2

Біп(Зпх), х >—.

2 3

Это кусочно-гладкая функция, имеющая разрывы первого рода в точках х=1/3 и 2/3 и угол (разрыв первой производной) в точке х=1/2. Для «ленивых» вейвлетов, начиная с верхнего уровня разрешения Ь = 5, то есть при числе разбиений п = 2Ь = 32, на интервале 0 < х < 1 с длиной шага Дх = 1/п, находим последовательно при

Ь = 5: Б4,= [-0,2039, 0,1914, -0,2247, 0,1818, -0,2198, 0,1995, -0,9497, 0,809,

-0,8673, 0,809, -0,9497, 0,004389, 0,01591, 0,02207, 0,02079, 0,0125]Т;

I = 4 I = 3 I = 2 1 = 1

Б3 = [1,093, -0,3749, 1,018, 1,709, 1,312, 1,709, 0,07489, 0,09784] Т;

Б2 = [-4,173, 0,7168, -2,086, 0,7168] Т;

Б1 = [3,284, 3,964] Т;

на последнем шаге остается одно значение сплайна в начале отрезка аппроксимации, С00 = -4,645, и один вейвлет-коэффициент, Б00 = 4,645.

На рис. 3, а представлены результаты реконструкции узловых значений Сі = СД і = 0, 1,...,32, сплайна 1-й степени ^(х) при условии обнуления незначимых вейвлет-коэффициентов Б63 и Бп4, Б124, Б154. Здесь сплошной линией обозначается исходная функция. Аналогично, для «ортонормальных» вейвлетов находим, при

Ь = 5: Б4 = [-0,0104, 0,01381, -0,01621, 0,01312, -0,01586, 0,0144, -0,06854,

0,05839, -0,06259, 0,05839, -0,06854, 0,0003168, 0,001148, 0,001592, 0,0015, 0,0009021] Т;

Ь = 4: Б3 = [0,05603, -0,0474, 0,07176, 0,1265, 0,00651, 0,1265, 0,007478, 0,009771]Т;

Ь = 3: Б2 = [-0,3, 0,1663, -0,339, 0,0927] Т;

Ь = 2: Б1 = [0,09721, 0,6154] Т;

Ь = 1: С00 = 0,4922, Б00 = 0,1448.

В данном случае удается обнулить 14 незначимых вейвлет-коэффициентов, что обеспечивает коэффициент сжатия 33/(33-14) = 1,737. Результаты реконструкции узловых значений сплайна представлены на рис. 3, б. Для сравнения на рис. 3, в представлены соответствующие результаты для полуортогональных вейвлетов [3]:

Ь = 5: Б4 = [-2,093, -2,081, -2,048, -2,005, -1,967, -1,946, -1,196, -1,056, -0,9973, -0,939, -0,7984, 0,1469, 0,1266, 0,08864, 0,04579, 0,0125] Т;

Ь = 4: Б3 = [1,172, 1,265, 1,43, 0,272, 0,6862, 1,1, 0,2589, 0,09363] Т;

Ь = 3: Б2 = [-4, -3,43, -1,783, 0,5703] Т;

Ь = 2: Б1 = [2,22-10-16, 0,7071] Т;

Ь = 1: С00= 0, Б00 = -4,898 10-16; коэффициент сжатия равняется 33/(33-19)= 2,357.

32 '

32

32

Рис. 3. Графики вейвлет-реконструкций узловых значений сплайна 1-й степени

х

х

х

Заключение

Представленные в статье схемы построения сплайн-вейвлетов 1-й степени со смещенным носителем и получения для них неявных соотношений разложения с расщеплением по четным и нечетным узлам могут быть распространены и на сплайны более высокой степени и предоставляют широкие возможности для создания вычислительно-эффективных алгоритмов построения и использования сплайн-вейвлетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 32 с.

2. Чуи Ч. Введение в вейвлеты: пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 с.

3. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике: пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 272 с.

4. Шумилов Б.М. Алгоритм с расщеплением вейвлет-преобразования эрмитовых кубических сплайнов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. № 4(12). С. 45-55.

5. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Построение эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. Приложение. 2006. № 19. С. 260-266.

6. Bultheel A. Wavelets with applications in signal and image processing, 2001 - 2006. 176 p. URL: http://people.cs.kuleuven.be/~adhemar.bultheel/

7. Koro K., Ade K. Non-orthogonal spline wavelets for boundary element analysis // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2001. V. 25. P. 149-164.

8. Geranmayeh A., Moini R., Hesam Sadeghi S.H. On the use of piecewise linear wavelets for fast construction of sparsified moment matrices in solving the thin-wire EFIE // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2006. V. 30. P. 869-881.

9. ArandigaF., BaezaA., DonatR. Discrete multiresolution based on hermite interpolation: computing derivatives // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2004. V. 9. P. 263-273.

Шумилов Борис Михайлович Матанов Шерали Маматжанович Томский государственный университет

E-mail: b_shumilov@math.tsu.ru; sheralimatanov@yahoo.com Поступила в редакцию 21 февраля 2011 г.