Метод Рунге-Кутта в задаче исследования бифуркации негладких динамических систем

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №12_

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.63

И.Д.Нуров, М.Ш.Халилова, М.К.Арабов МЕТОД РУНГЕ-КУТТА В ЗАДАЧЕ ИССЛЕДОВАНИЯ БИФУРКАЦИИ НЕГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Институт математики АН Республики Таджикистан

Исследуются бифуркационные явления, возникающие в негладких динамических системах. Применяется метод Рунге-Кутта для численного исследования бифуркаций, возникающихпри состоянии равновесия уравнения, при изменении ее параметров. Проводится анализ фазовых портретов, полученных посредством Mathcad и методом Рунге-Кутта.

Ключевые слова: бифуркация - негладкие динамические системы - численное исследование - фазовые портреты - метод Рунге-Кутта - устойчивость - нелинейные дифференциальные уравнения.

Негладкие эффекты имеют важное значение в различных разделах науки: физике, механике, биологии, экономике и т.п. Особый интерес представляет теория фазовых переходов в электричестве и магнетизме [1,2]. В термодинамике простейшими примерами таких переходов являются: парообразование, конденсация, кристаллизация и сублимация. Присутствие негладких элементов типа реле влияет на функционирование систем, описывающих динамику таких негладких систем, как обычно зависящих отпараметров. Изменение одних параметров может влиять на структуру решений в целом, или система может переходить из одного состояния в другое, и это в дальнейшем назовем бифуркационным явлением [3]. Следует отметить, что модели негладких систем описываются посредством дифференциальных уравнений с негладкими релейными и гистерезисными нелинейностя-ми.

Не всегда можно явно написать решение исследуемого объекта. Следовательно, актуальным будет разработка программы и компьютерного моделирования бифуркационого поведения негладких (модельных и кусочно-линейных) динамических систем.

Целью данной работы явилось численное исследование бифуркаций в системах с негладкой правой частью. Посредством метода Рунге-Кутта [4] приближённо построено бифуркационное явление в негладких двумерных системах.

Важное место при изучении бифуркационных явлений занимает компьютерное моделирование. Аналитические методы исследования задач о бифуркациях, как правило, сталкиваются с трудностями вычислительного характера при анализе конкретных моделей.

I. Постановка задач и основные построения

Введём в рассмотрение квазилинейное уравнение вида

Адрес для корреспонденции: Нуров Исхокбой Джумаевич, Халилова Мохчехра Шавкатовна, Арабов Муллоша-раф Курбонович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: nid1@mail.ru; mashka_01@inbox.ru; cool.araby@mail.ru

у + ау + Ьу + с У - Ш = 0

Здесь в уравнении (1) скалярный параметр Я является особой точкой. Случай, когда с=0, хорошо исследован, например, в работе [5]. Интерес представляет случай, когда с Ф 0. На стыке с работами [6-8] мы исследуем возникновение бифуркации в системе (1). При этом рассматриваются следующие случаи

Ь > тах <

\ 2 / \ 2 а - с 1 ( а + с

2 )

а - с )2 ( а + с )2

."Г" ГЬ <( т >

а + с 1 7 ( а - с 1

ОТ) <Ь<Ы

Ь < 0, У а, с,

0 < Ь<тт<

\2 / \2 а - с ) ( а + с

2 )

Здесь а, Ь, с - коэффициенты из (1). Введём в рассмотрение уравнение (1) в ином виде

У + ау + Ьу + + у, Ш) = 0

В отличие от уравнения (1) в левой части (3) присутствует нелинейность ((у,Ш). Заданное

возмущение (нелинейность) удовлетворяет следующему условию ((у,Ш) = о (|у|) ,|у| ^ 0 . Задача. Насколько близки фазовые портреты (1) и (3)?

На первом этапе построим состояние равновесия этих уравнений. После несложных вычислений имеем:

с Ш

у =-4^, Ь * 0, Ь

с\Ш +

у2 =- 11 (( , ), Ь*0. Ь

В системе (4), у - соответствует состоянию равновесия уравнения (1) и у2 - состоянию

равновесия (3). Интерес представляет поведение решений уравнений (1) и (3) в окрестностях точек равновесия (4).

II. Фазовые портреты

А) Практический интерес представляет изменение фазовых портретов уравнения (3) при вариации постоянных в условиях (2).

<

<

1. Пусть выполнено первое условие (2). Тогда, в частности, коэффициенты могут принимать следующий вид: а = 1;с =-1;Ь = '/г; и пусть р'' у, Я) = 0. Следовательно, получим следующие фазовые портреты:

\ {—^ 1

Рис. 1.

Рис. 2.

2. Пусть выполнено условие А) и пусть р'у, Я) = у2. Тогда получим следующие фазовые портреты:

Рис. 3.

Рис. 4.

Фазовый портрет, приведённый на рис. 2, получен с помощью стандартного пакета МаШса^ А рис. 3 получен с помощью метода Рунге-Кутта, программа к которому составлена авторами.

3. Пусть выполнено условие А) и пусть р'у, Я) = у3. Тогда получим следующие фазовые

портреты:

Рис. 5.

Рис. 6.

Если анализировать фазовые портреты, приведённые на рис.1-6, то видно, что при наличии нелинейности малого порядка мало меняются портреты. Вариации постоянных на основе (2) изменяют фазовые портреты соответствующих задач. Из полученных рисунков следует справедливость ал-

горитма авторов, то есть рисунки, полученные с помощью метода Рунге-Кутта, почти совпадают с рисунками стандартного пакета Mathcad.

III. Алгоритм построения фазовых портретов

При составлении блок-схемы используются нижеприведённые переменные в алгоритме. Теперь приведём операторное описание алгоритма:

y1[2], y00[2], y2[2] - динамический массив для сохранения значений параметров уравнения пошагово; h - шаг сетки; n - количество разбиений сетки; a, b, c - коэффициенты уравнения; x - переменная ; y[0] - начало интервала; y[1] - конец интервала; F1() - первое уравнение системы; F2() -второе уравнение системы; K1, K2, K3, K4 - первые значения уравнения (функции); runge1, runge2 -функции Рунге-Кутта

Соответственно блок-схема примет вид:

Поступило 19.11.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959.

2. Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. Динамические системы V. - М.: ВИНИТИ, 1986.

3. Гукенхеймер Дж. Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.:Наука, 1973.

5. LeineR.I., Van Campen D. H. - European Journal of Mechanics A/ Solids,2006.

6. Филиппов А.Ф. - Мат. сборник, РЖМат, 1966.

7. Nurov I., Yumagulov M. - Italian Journal of pure and applied mathematics, 2003, №13, pp. 71-81.

8. НуровИ.Д.,Халилова М.Ш. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №10, с. 815-820.

9. Нуров И.Д., Халилова М.Ш. - ДАН РТ, 2010, т. 53, №10, с. 752-758.

И.Ч,.Нуров, М.Ш.Халилова, М.Ц.Арабов МЕТОДИ РУНГЕ-КУТТА ДАР ТАЭДИЦИ МАСЪАЛА^ОИ ^ОДИСА^ОИ БИФУРКАТСИОНИИ СИСТЕМАМИ ГАЙРИХАТТЙ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар ин макола х,одисах,ои бифуркатсионй, ки дар атрофи х,олати оромии муодилах,ои дифферентсиалй бо тагийри параметрх,ои он ба вучуд меоянд, таткик карда шудаанд. Бо истифода аз методи ададии Рунге-Кутта дар забони С++ барномае нависташудааст, ки графики х,алх,ои муодилах,ои дифферентсиалиро тасвир мекунад. Натичаи х,осилкардашуда бо усули Рунге-Кутта, бо портретное, ки дар пакети Mathcad тасвир кардадашудааст мукоиса карда шудаанд.

Калима^ои калиди: бифуркасия - системауои динамикии гайрисуфта - тащицот^ои ададй -тасвируои фазавй - усули Рунге-Кутта - устувори - муодилауои дифференсиалии гайрихатти.

I.J.Nurov, M.Sh.Khalilova, M.K.Arabov THE METHOD OF RUNGE- KUTTA IN THE PROBLEM OF THE STUDY OF BIFURCATIONS IN NON SMOOTH DYNAMICAL SYSTEMS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

It is researched bifurcation phenomena's, appearing in non-smooth dynamical system. The method Runge-Kutta is used for the numerical study of the bifurcations arising out of condition balance equation, when its parameter change. It is conducted analysis phase portrait got by means of Mathcad, and method Runge-Kutta.

Key words: bifurcation - an nonsmooth dynamic systems - a numerical study - a phase portraits - the method of Runge-Kutta - stability - a nonlinear differential equations.