Об одном классе комбинаторных конфигураций

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 681.21

Кадиев И.П., Кадиев П. А.

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КОМБИНАТОРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ Kadiev I.P., Kadiev P.A.

ABOUT ONE CLASS OF COMBINATORY CONFIGURATIONS

В статье предложен класс комбинаторных конфигураций, построенных на основе n х n - матриц, определенные авторами как «циркулянты матрицы», предложены методы формирования, определено возможное числоконфигураций и приведены некоторые их свойства.

Ключевые слова: комбинаторика, конфигурация, множества, матрица, циркулянт матрицы.

The articles descry a new class combinatory configurations - circulate of matrixes and methods them formed.

Key words: class configurations, circulate, matrixes.

Для последних десятилетий характерен рост интереса к разделу математики, известному как комбинаторика. Это объясняется расширением областей ее применения при моделировании и исследований различных явлений и процессов.

Одной из базовых задач комбинаторной математики является создание и исследование свойств комбинаторных комбинаций, под которыми понимается любая система подмножеств конечного множества произвольной природы или, в общем случае, система подмножеств совокупности конечных множеств.

Задачи комбинаторики главным образом сводятся к изучению правил построения конфигураций, взаимного расположения подмножеств элементов в них и определению количества возможных конфигураций этого класса.

К числу наиболее распространенных комбинаторных конфигураций можно отнести -подмножества, образованные из элементов конечных множеств типа перестановки, подстановки, сочетания и размещения элементов этих множеств.

В данной работе в качестве исходного объекта, на основе которого строятся комбинаторные конфигурации, рассматривается, в отличии от выше указанных, не одно конечное множества и конфигурации, составленные на ее основе, а n х n - матрицы, строки (или столбцы) которых являются множествами, образованными из n элементов (n -множества).

Ставится задача создания комбинаторных конфигураций в виде матриц путем преобразования исходных, которые обладают теми или иными свойствами, определение правил их построения и их количества.

В комбинаторике принято различать три основных класса задач существования комбинаторных конфигураций.

К первому классу относятся задачи существования и построения. В них существование конфигураций, удовлетворяющих заданным требованиям, находятся под вопросом. Требуется их построить, предложить способы их формирования. К ним относятся задачи подстановки, и часто они связаны с формированием конфигураций в виде матриц, образованных из элементов конечного множества или конечных множеств, строки и столбцы которых являются перестановками элементов исходных конечных множеств.

Задачи второго класса известны как перечислительные. В них существование интересующей исследователя конфигурации не вызывает сомнения, неясен вопрос об их количестве. Примерами таких задач являются классические задачи о сочетаниях и размещениях элементов множеств.

Задачи выбора, в которых интересующие исследователя конфигурации заведомо существуют и ищутся связанные с ними конфигурации, удовлетворяющие дополнительным требованиям.

Поставленная в данной работе задача может быть отнесена к третьему классу. Конфигурации в виде п х п - матриц, строки которых представляют п - множества, известны, ищутся матричные конфигурации, которые могут быть построены на их базе.

В работе предлагаются три матричные конфигурации, правила их формирования и определено возможное количество конфигураций каждого типа.

В конфигурациях первого типа в каждом столбце матрицы располагаются один и только один элемент из каждого столбца и каждой строки исходной п х п - матрицы. Индексы этих элементов принимают, не повторяясь, значения от 1 до п .

Для формирования конфигурации, обладающей указанными выше свойствами, необходимо в исходной матрице каждую 1 - ую ) строку ( 1=1,п) сдвинуть циклически в одну и ту же строну на (1 -1) позицию. Это свойство полученной конфигурации сохраняется при любых перестановках столбцов. Общее число конфигураций, обладающих этим свойством, равно п!.

В качестве примера ниже приведена конфигурация А*, обладающая указанными выше свойствами, сформированная на базе матрицы

А5х5 путем сдвига ее строк по указанному выше алгоритму.

А =

А11А12А13А14 А15 А21А22А2З А24А25

А31А32А33А34А35 А41А42 А43А44А45

А51 А52А53А54А55

А* =

А11А12А13А14А15 А22А23А24А25А21 А33А34А35А31 А32 А44А45 А41А42 А43 А55 А51А52А53А54

Если в исходной матрице выполнить сдвиги по столбцам, каждый

j -ый столбец сдвинуть в одну и ту же сторону на (j-1) -у позицию, то формируется конфигурация второго типа, в которой указанными свойствами обладают строки конфигурации: в каждой строке один и только один элемент из строк и столбцов исходной матрицы и значения индексов элементов строк принимают, не повторяясь, значения от 1 до n. Это свойство сохраняется при любых перестановках строк полученной конфигурации. Общее число перестановок, определяющих общее число конфигурации указанного типа, равно числу перестановок строк - n!.

Для приведенной выше матрицы А5х5 сформированная по приведенному алгоритму конфигурация А** имеет вид:

А11А22А33А44А55 А21А32А43А54А15 А**= А31А42А53А14 А25 А41А52 А13А24 А35 А51 А12А23А34А45

Конфигурации третьего типа обладают свойствами, присущими конфигурациям обеих рассмотренных выше типов. Для формирования конфигурации третьего типа необходимо последовательно выполнить указанные выше операции сдвиги по строкам и столбцам. В полученной конфигурации в каждой строке и в каждом столбце будет один и только один элемент из каждой строки и каждого столбца исходной конфигурации - п х п - матрицы, оба индекса элементов строк и столбцов будут принимать, не повторяясь, значения от 1 до п.

Для приведенной выше матрицы А5х5 сформированная по приведенному алгоритму конфигурация А лк имеет вид:

Эти свойства конфигурации типа Алк остаются неизменными при любых перестановках ее строк и столбцов. Общее число таких конфигураций и число таких перестановок этого типа равно п! (п-1)!.

Комбинаторной конфигурацией, образованной из элементов конечного множества, близкой по способу построения к предлагаемой в работе, является циркулянтная матрица или просто циркулянт [1].

Циркулянт конечного множества представляет собой матрицу, строки которой являются перестановками элементов только одного конечного множества. Каждая строка этой конфигурации получается из расположенной сверху строки циклическим сдвигом ее элементов в одном и том же направлении на одну позицию.

Ниже, в качестве примера, приведен циркулянт Ац конечного множества

А = (А1А2А3А4А5).

Предлагаемые выше конфигурации являются обобщением принципов построения циркулянтов на множествах, которые могут быть представлены в виде строк матрицы. Последние могут рассматриваться как конфигурации, каждая строка которых являются п-множеством. Поэтому предлагаемые конфигурации могут рассматриваться, в отличии от циркулянтных матриц, как циркулянты матриц. При этом можно различать «строчные циркулянты матрицы», образованные сдвигами строк матрицы, «столбцевые циркулянты матрицы», образованные сдвигами столбцов матрицы и «полные циркулянты матрицы», образованные сдвигами в последовательности «строки-столбцы» или «столбцы-строки» по приведенным выше алгоритмам.

При выборе сдвигов в порядке «строки - столбцы» образуются конфигурации транспонированные по отношению к конфигурациям, построенным в последовательности сдвигов «столбцы-строки», и наоборот.

Как отмечалось выше, из приведенных выше комбинаторных конфигураций путем перестановок строк, столбцов или тех и других могут быть сформированы указанное выше количество конфигураций, обладающих теми же свойствами. Так, например, путем перестановок строк и столбцов можно сформировать конфигурации с расположением любого из элементов п х п - матрицы на любом из п х п мест в формируемой конфигурации.

Алк

А11А23А35А42А54 А22А34А41А53А15 А33А45А52А14 А21 А44А51 А13А25 А32 А55 А12А24А31А43

А1А2А3А4 А5 А2А3А4 А5А1

А3А4А5А1А2

А4А5 А1А2А3 А5 А1А2А3А4

Это обстоятельство позволяет отметить, что приведенные выше алгоритмы позволяют формировать базовые или производящие конфигурации.

Следует отметить, что приведенные выше базовые комбинаторные конфигурации могут быть получены и по другим алгоритмам, отличным от сдвиговых. Так, расположив любой из элементов исходной матрицы на любой из п х п позиций, при известном значении первого индекса этого элемента, первый индекс следующего за ним элемента в этой же строке на единицу больше, а второй индекс на две единицы больше. Если первый индекс элемента строки равен числу элементов в множествах - п, то первый индекс следующего элемента в строке по циклу равен 1, второй индекс этого элемента при равенстве второго индекса предшествующего элемента (п-1) равен 1, а при индексе равном п, равен 2. Пользуясь этим правилом, могут быть определены все элементы этой строки. Индексы элемента в столбце стоящего ниже рассматриваемого элемента определяются прибавлением к индексам вышестоящего элемента единицы. Если при прибавлении получается число большее, чем п, то индекс принимается равным единице. Индексация элементов строк и столбцов выполняется по циклам в одном и том же направлении: в строках слева направо, в столбцах - сверху вниз. В качестве характеристик предлагаемых классов конфигураций, отражающих указанные выше свойства, может быть предложена таблица инцидентности элементов и множеств, образующих строки или столбцы приведенных конфигураций.

В качестве примера ниже приведена таблица 1 инцидентности конфигураций третьего типа, являющаяся обобщением характеристик всех трех типов.

Таблица 1 - Матрица инцидентности конфигураций третьего типа

Множества - Элементы Столбцы циркулянты Алк

строки множеств Б2 Б3 Б4 Бз

матрицы А А!

А11 1 0 0 0 0

А12 0 1 0 0 0

Ах Ахз 0 0 1 0 0

А14 0 0 0 1 0

Ахз 0 0 0 0 1

А21 0 0 0 0 1

А22 1 0 0 0 0

А2 А23 0 1 0 0 0

А24 0 0 1 0 0

А25 0 0 0 1 0

А31 0 0 0 1 0

Аз2 0 0 0 0 1

Аз Азз 1 0 0 0 0

А34 0 1 0 0 0

А35 0 0 1 0 0

А41 0 0 1 0 0

А42 0 0 0 1 0

А4 А43 0 0 0 0 1

А44 1 0 0 0 0

А45 0 1 0 0 0

А51 0 1 0 0 0

А52 0 0 1 0 0

Аз А53 0 0 0 1 0

А54 0 0 0 0 1

А55 1 0 0 0 0

Пусть на множестве А = {А1} 1п, где А1 = ( Ап,А12,А1з,...Ат), задана конфигурация А**, состоящая из подмножеств 8 =(81,82, 8з,..,8 п), образующих ее строки (или столбцы). Элемент Ау принадлежит подмножеству 8 к, если он входит в качестве элемента в это подмножество (в соответствующую строку или столбец матрицы Алк). Составим таблицу 1, в которой в качестве строк рассматриваются элементы множеств А1, образующих строки исходной матрицы -А у, общее число которых равно п х п, в качестве столбцов - строки полученной конфигурации Алк - 8 = (81,82,8з,..,8п). На пересечении строки А у и столбца

8 к заносится цифра 1, если элемент А у принадлежит в конфигурации строке 8 к, в противном случае - цифра 0.

В этой таблице устанавливается инцидентность элементов исходных множеств А1 и подмножеств 8к, образующих столбцы комбинаторной конфигурации - полной циркулянты матрицы Алк. Для рассмотренного выше примера конфигурации Алк, составленной по исходной матрице А размерности 5х5, таблица инцидентности имеет вид, приведенный ниже.

Как видно из таблицы 1 инцидентности элементов множеств А1-А5, образующих строки исходной матрицы А, и строк построенной конфигурации Алк, каждый из элементов Ау множеств А1-А5 входит в одно и только в одно из полученных подмножеств 8к, образующих строки матрицы Алк, о чем свидетельствует наличие только одного символа 1 в каждой из строк.

Из столбцов матрицы инцидентности видно, что подмножества 8к включают в себя только элементы, имеющие неповторяющиеся индексы на обеих позициях.

В качестве примера практического применения предлагаемых конфигураций можно указать использование их при решении таких важных вопросов, связанных с повышением эффективности информационных процессов, как перемежение символов путем перестановки элементов двумерных информационных массивов для:

- организации скремблирования, имеющего назначением защиту информации от несанкционированного доступа;

- защиты от пачек ошибок, вызывающих стирание большой группы последовательно следующих символов в потоках данных;

- устранения статистических связей между символами источников дискретной информации с целью устранения естественной избыточности их сообщений, повышения энтропии и эффективности процессов сжатия данных, передачи и хранения информации.

При этом в качестве матриц могут рассматриваться двумерные информационные массивы. Элементами матриц могут выступать символы, группа символов (слова), цифры, числа и другие объекты, несущие информацию. Для повышения эффективности информационных процессов, связанных с решением перечисленных выше практических задач, могут быть использованы различные алгоритмы последовательности считывания элементов массивов: по строкам, по столбцам, по строкам и столбцам.

В заключение следует отметить, что разработана и получила государственную регистрацию программа формирования одного из классов предлагаемых комбинаторных конфигураций [2]. Наряду с приведенными в данной работе алгоритмами формирования конфигураций, путем сдвигов элементов строк и столбцов матрицы, в [3] авторами приведены алгоритмы, позволяющие строить эти конфигурации с расположением любого элемента исходной матрицы на любом из пхп позиций в конфигурации.

Библиографический список

1. В.Е. Тараканов Комбинаторные задачи и (0,1) - матрицы. М.; Наука, 1985, с.193

2. П. А. Кадиев, М. З. Зейналов Программа преобразования матриц методом латинских квадратов. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2009616143 от 9.11.2009г.

3. П.А.Кадиев, И.П. Кадиев, М.З. Зейналов Алгоритмы преобразования «классических» матриц в 2-х индексные латинские квадраты.

Вестник ДГТУ, Технические науки, № 17, 2010, стр.93-99