Влияние достижений геометрии на конструкторские способности учащихся

ВЛИЯНИЕ ДОСТИЖЕНИЙ ГЕОМЕТРИИ НА КОНСТРУКТОРСКИЕ СПОСОБНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Л.Р. Юренкова, канд. техн. наук, доцент Н.В. Билаш, старший преподаватель

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Аннотация. В статье показано, как развитие геометрии представляет пример того, как вклад ученых в науку приводит к революционному прорыву в таких областях деятельности человека, как архитектура и техника. Возможности геометрии как учебной дисциплины неограниченны для успешного развития творческого потенциала учащихся благодаря использованию средств компьютерного моделировании. Для подтверждения этого приведены примеры построения электронных моделей последних достижений геометров в средах программ SD-моделирования КОМПАС компании Аскон (Россия) и INVENTOR компании Autodesk.

Ключевые слова: геометрия, форма, архитектура, проектирование, многогранники, модель, макет.

Стремление человека к познанию существовало всегда, как и применение знаний к улучшению условий жизни. Любую науку можно представить, как могучее дерево, выросшее из земных человеческих нужд, вызванных к жизни насущными требованиями человеческой практики.

Одним из направлений познания является геометрия и ее ветвь - начертательная геометрия, изучающая предметы с помощью чертежа. История этого вопроса уходит в далекое прошлое.

Творческий труд человека, носящий коллективный характер, требовал языка общения между людьми. И для передачи зрительного образа появился рисунок.

Развитие промышленности усложнило задачу - изображение необходимо было передать метрически точно. Изображение предметов трехмерного пространства на двухмерном носителе требовало дополнительных знаний и приемов изображения. Зародился чертеж, вызвав к жизни новую ветвь геометрии - начертательную геометрию.

Ученый, внесший огромный вклад, в развитие русской школы начертательной геометрии, Н. А. Ренин так писал о начертательной геометрии: «является

наивысшим средством той таинственной и мало поддающейся изучению точными науками способности человеческого духа, которая зовется воображением и которая является ступенью к другой способности - фантазии, без которой почти не совершаются великие открытия и изобретения.» [6, с. 7].

Повышение творческой активности учащихся и как следствие улучшение успеваемости учащихся школы и студентов технического университета зависит от введения в учебный процесс последних достижений науки и техники. Знание истории развития науки показывает, что открытия математиков, какими бы парадоксальными они не казались, рано или поздно находят свое место в практической деятельности.

Наиболее яркие примеры того, как геометрия повлияла на жизнь людей, касаются архитектуры. Особое место в геометрии по праву занимают многогранники. Первоначально эти фигуры использовались при строительстве пирамид и дворцов. Великий философ Платон (У-ГУ вв. до н.э.) в трактате «Тимей» изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые именно поэтому стали называться Платоновыми телами.

Рис. 1. Египетские пирамиды

Историки считают, что первая научная информация об архитектурной форме сооружений, дошедшая до современников, датируется У11-Ш вв. до нашей эры. Свидетельством тому являются египетские пирамиды - самые прочные архитектурные сооружения (рис. 1).

Затем на смену пирамидам пришли так называемые стоечно-балочные системы или, говоря геометрическим языком, прямоугольные параллелепипеды. Это всемирно известный древнегреческий храм Парфенон (IV в. до н.э.) (рис. 2), а памятник Древнего Рима Колизей (I век) имеет форму цилиндра (рис. 3).

Рис. 2. Парфенон

Рис. 3. Колизей

Таким образом, в основе архитектуры лежат геометрические фигуры, от которых зависит как красота, так и прочность сооружений. В IX веке в Византийской архитектуре появились кре-

стово-купольные храмы (рис.4а), которые позже получили дальнейшее развитие в архитектуре Древней Руси (рис. 4 б) [11].

а б

Рис. 4. Купол Пантеона в Риме (а) и купол церкви Покрова на Нерли (б); XII в. Бо-

голюбово

Следует отметить, что не меньшую роль геометрия играет в развитии техники. Если иметь в виду только геометрическую форму машин и механизмов, то в их конструкции происходили грандиозные изменения.

Великий математик-геометр

Н. И. Лобачевский советовал студентам

учиться у природы. Вот паук создает паутину (рис. 5), и в архитектуре появился гиперболический параболоид. На рис. 6 представлена 3Б-модель гипара, как теперь называют гиперболический параболоид [5], а на рис. 7 макет. В архитектуре здания цирка в Новосибирске использована форма гипара (рис. 8) [1].

Рис. 5. Паутина

Рис. 6. 3D-модель гипара Рис. 7. Макет гипара

Можно сказать, что использование гипара в архитектуре и строительстве является большим техническим прорывом, а также создает гармонию про-

странства. Во многих странах мира построены стадионы с крышей в форме гиперболического параболоида.

Рис. 8. Здание цирка в Новосибирске

Можно привести множество примеров зданий по всему миру, архитектура которых содержит гипар. Например, в Линкольн-центре (США, Нью-Йорк) на крыше павильона «Гипар» в форме ги-

перболического параболоида расположился газон, на котором могут отдыхать посетители. На рис. 9 приведена фотография океанографического музея в г. Валенсия (Испания) [2].

Рис. 9. Океанографический музей в г. Валенсия

В XIX веке немецкий математик, механик и физик Бернхард Риман (18261866) теоретически обосновал возможность существовании многомерного пространства. Человеку, обитающему в трехмерном мире, представить четырехмерное пространство невозможно. После того, как английский математик Говард Хинтон (18801907) опубликовал ряд книг на эту тему, математики начали использовать теорию многомерного пространства для описания на геометрическом языке многих научных проблем, которые невозможно описать на простом и понятном в трехмерном пространстве геометрическом языке [8].

Художники из желания отобразить невозможное привлекли четырехмерное пространство в своих произведениях для подчеркивания необъятности мироздания. В творчестве Сальвадора Дали (1904-1989) многомерность пространства отобразилась в картинах «В поисках четвёртого измерения», «Распятие или Гиперкубическое тело» (рис. 10) [9]. Четырехмерные образы заинтересовали и архитекторов. Математикам удалось представить четырехмерные фигуры в виде их проекций в трехмерном пространстве. Электронная модель проекции четырехмерного куба, построенная в среде программы Inventor, приведена на рис. 11.

Рис. 10. Картина Сальвадора Дали «Распятие»

Рис. 11.Электронная модель проекции гиперкуба

На рис. 12 приведены фотографии по электронным моделям проекций немакетов, изготовленных на 3Б-принтере скольких четырехмерных фигур.

Рис. 12. Трехмерные макеты проекций четырехмерных фигур. Слева направо: анало-

ги

тетраэдра, гиперкуба и октаэдра

Современные геометры продолжают работать над созданием новых форм, которые в будущем должны найти реализацию, как в архитектуре, так и в технике. В 1977 году венгерский математик Лайош Силаши предложил конструкцию геометрической фигуры, названной его именем. Многогранник Си-

лаши представляет собой невыпуклый многогранник с осью симметрии. На рис. 13 приведено несколько его изображений, полученных с разных сторон. У многогранника Силаши 14 вершин, 21 ребро и семь шестиугольных граней, причем каждые две грани имеют общее ребро [4].

Рис. 13. Изображения многогранника Силаши с разных сторон

В 1979 году немецкий математик К. Штеффен построил изгибаемый многогранник без самопересечений с наименьшим на сегодняшний день числом вершин. У многогранника Штеффена девять вершин и четырнадцать граней [12]. Существование изгибаемых многогранников без самопересечений может показаться неудивительным, если представить себе игру на таких музыкальных инструментах, как баян и ак-

кордеон. Информации о применении многогранника Силаши в настоящее время пока нет, а многограннику Штеффена нашлось место в технике в связи с развитием робототехники. В частности, в конструкции солнечных батарей космических кораблей имеют место элементы по форме близкие к изгибаемым многогранникам (рис. 14) [2, с. 217-241].

Рис. 14. Солнечные батареи на космическом корабле

На рис.15 показана 3Б-модель многогранника Силаши в среде программы Компас Российской компании Аскон, а на рис. 16 а, б и в приведены этапы построения модели многогранника

Штеффена в среде программы Inventor компании Autodesk. Фотографии макета многогранника Штеффена с разных сторон приведены на рис.17.

Рис. 15. 3D-модель многогранника Силаши в среде программы Компас

Рис. 16. Этапы построения 3D-модели многогранника Штеффена в среде программы

Inventor

в

Рис. 17. Фотографии многогранника Штеффена с разных сторон

Российский математик

Н. П. Долбилин в работе «Три теоремы об изгибаемых многогранниках» показывает: «Теорема Коши, в частности, объясняет, почему модель выпуклого многогранника, склеенная из картона, не деформируется или, как еще говорят, неизгибаема. Многогранник, который может непрерывно деформироваться так, что его грани остаются плоскими и равными самим себе и меняют лишь его двугранные углы, называется изгибаемым. Если же такой непрерывной деформации не существует, то многогранник не изгибаем» [3, с. 3].

Как уже отмечалось выше, применение изгибаемых многогранников в технике задача сложная, мало проработанная, но перспективная в поиске технических решений такого применения.

Так, применение гибких пленочных солнечных батарей может способствовать увеличению роста энерговооруженности космических аппаратов различного целевого назначения, в частности тяжелых спутников связи на высокой (геостационарной) орбите и платформ дистанционного зондирования Земли, с прогнозируемым рабочим ресурсом их использования не менее 15 лет.

И. В. Молохиным запатентована солнечная батарея космического аппарата, имеющая гибкую плёночно-сотовую структуру, соты которой выполнены в виде четырех- или шестигранных пирамид. Пирамиды соединены друг с другом по ребрам своих воображаемых оснований. Фотоэлектри-

ческие преобразователи размещены на боковых гранях пирамид, принимая солнечное излучение со стороны указанных оснований.

Технический результат изобретения состоит в повышении эффективности солнечной батареи путём увеличения коэффициента поглощения за счет увеличения количества переотражений света от фотоприемного слоя внутри пирамид, а также - в снижении зависимости коэффициента поглощения от угла падения солнечного излучения и в упрощении технологии изготовления и эксплуатации солнечной батареи [7].

Подготовка современного инженера в техническом университете предусматривает активное вовлечение студентов в научно-исследовательскую работу кафедры. Начертательная геометрия, в основе которой лежит школьная стереометрия, предоставляет богатые возможности для развития творческой личности.

Выводы

- Многолетний опыт преподавания геометрии в школе и университете показал авторам статьи, что знакомство учащихся с последними достижениями современных математиков повышает интерес к изучению геометрии.

- Все более широкое внедрение в учебный процесс средств компьютерного моделирования и создание макетов уникальных фигур, способствует развитию творческой активности учащихся и увлечению конструкторской деятельностью.

Библиографический список

1. Баландин С.Н. Новосибирск. История градостроительства 1945-1985 гг.

2. Гущин В.Н. Системы энергопитания // Основы устройства космических аппаратов: Учебник для вузов. М.: 2003. Изд. Машиностроение. 272 с.

3. Долбилин Н. П. Три теоремы об изгибаемых многогранниках // Квант. 2001. №5. С. 7-12.

4. Многогранник Силаши. ISBN 978-5-9963-0514-8.

5. Федоренков А. П., Полубинская Л. Г. Autodesk Inventor. Шаг за Шагом. М.: изд-во: ЭКСМО. 2008 ISBN: 978-5-699-30582-7. 336 с.

6. Фролов С. А., Покровская М. В. В поисках начала: Рассказы о начертательной геометрии. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 192 с.

7. http://www.fmdpatent.m/patent/263/2632677.html

8. http://ru.wikipediа.org/wiki/Четырёхмерное%20пространство Четырёхмерное пространство: Материал из Википедии

9. https://muzei-mira.com/kartinijispanskih_hudo] nikov/684-raspyati e-ili-giperkubicheskoe-telo-salvador-dali.html

10. http://ru.wikipedia.org/, статья "Изгибаемый многогранник".

11. https://ru.wikipedia. org/wiki/Крестово-купольные храмы Древней Руси

12. https://ru.wikipedia. org/wiki/Многогранник Штеффена

INFLUENCE OF GEOMETRY ACHIEVEMENTS ON STUDENT DESIGN

CAPABILITIES

L.R. Yurenkov, candidate of technical sciences, associate professor N.V. Bilash, senior lecturer Bauman Moscow state technical university

Abstract. The article shows how the development of geometry is an example of how the contribution of scientists to science leads to a revolutionary breakthrough in such areas of human activity as architecture and technology. The possibilities of geometry as an academic discipline are unlimited for the successful development of students' creative potential through the use of computer modeling tools. To confirm this, examples are given of constructing electronic models of the latest achievements of geometries in the environments of the 3D modeling KOMPAS programs of Ascon (Russia) and INVENTOR of Autodesk.

Keywords: geometry, shape, architecture, design, polyhedra, model, layout.