Нелинейная динамика полуквантовых баллистических электронов в сверхрешетках при сильном СВЧ возбуждении

1978. 376 с. 10. Кунченко Ю.П. Нелинейная оценка параметров негауссовских радиотехнических сигналов. К.: Выща шк.,1987. 191 с. 11. Валеев В.Г., Данилов В.А. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне негауссовских коррелированных радиопомех// Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1991. №7. С. 30-34. 12. Киселев Н.В. Мероды построения систем распознавания и классификации негауссовых сигналов. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1986. 188 с. 13. Шелухин О.И. Негауссовские процессы в радиотехнике. М.: Радио и связь, 1999.

УДК 621.317.7

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПОЛУКВАНТОВЫХ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В СВЕРХРЕШЕТКАХ ПРИ СИЛЬНОМ СВЧ ВОЗБУЖДЕНИИ

ЮРЧЕНКО Л.В, ЮРЧЕНКО В.Б.________________

Описывается нелинейная динамика баллистических электронов в классических и полуквантовых сверхрешетках с помощью нового эффективного приближения полуквантовой динамики. Численное моделирование обнаружило возможность проявления хаотической динамики поведения классических и частично квантовых электронов в баллистических сверхрешетках при сильном СВЧ возбуждении. Такая система может служить источником шумовых колебаний. Приводятся параметры системы, которые позволяют преобразовать когерентное высокочастотное поле в хаотический ток ансамбля баллистических электронов.

1.Введение

Данное исследование посвящено изучению хаотической динамики электронов в баллистических гетероструктурах в условиях, пограничных между классическим и квантовым режимами движения частиц, что типично для приборов мезоскопических размеров и представляет в настоящее время значительный научный интерес [1]. Оно также связано с поиском новых методов создания источников шумовых колебаний, которые необходимы в современной шумовой радиолокации и системах связи с расширенным спектром [2]. Квантовые гетероструктуры представляют особый интерес для этих целей. Они обнаруживают большое разнообразие нестабильных эффектов и могут быть потенциально использованы как источники шума.

Анализ электронного переноса в квантовых и мезоскопических структурах является достаточно сложной проблемой, поскольку даже для одного электрона надо решать нестационарное уравнение Шредингера в частных производных. Поэтому для изучения баллистического переноса мы используем в этой работе приближение полуквантовой динамики [3]. В отличие от обычного квазиклассического приближения, это приближение является более усовершенствованным. Оно описывает эволюцию гауссовых волновых пакетов электронов с

361 с. 14. Тихонов В.А. Обобщенная модель авторегрессии негауссовых процессов // Радіотехніка. 2003.

Поступила в редколлегию 26.01.2005

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кравченко Н.И.

Тихонов Вячеслав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент кафедры РЭС ХНУРЭ. Научные интересы: радиолокация, распознавание образов, статистические модели. Адрес: Украина, 61726, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-215-87.

учетом квантовых поправок более высокого порядка, а также с учетом расплывания пакетов не просто в свободном пространстве, а в произвольном потенциале V(x).

Целью этой работы является изучение возможности возбуждения динамического хаоса в классических и квантовых сверхрешетках с помощью СВЧ поля.

Хотя к проблеме высокочастотного возбуждения различного вида сверхрешеток обращались многие авторы [4], мы рассмотрим некоторые новые эффекты, возможные в специального вида боковых сверхрешетках, сформированных вдоль гетерограницы в двумерном электронном газе очень высокой подвижности.

Мы покажем, что динамика классических и частично-квантовых баллистических электронов в периодическом потенциале сверхрешетки является хаотической, когда электроны возбуждаются сильным СВЧ полем определенной частоты f . Квантовые эффекты имеют тенденцию разрушать хаос, когда электроны делокализованы или в реальном пространстве (занимают два или более периодов сверхрешетки l ), или же по энергии (в этом случае они ограничены в реальном пространстве внутри области, малой по сравнению с периодом сверхрешетки). Однако если электроны частично локализованы и по энергии, и в реальном пространстве, т.е. их тепловая энергия или энергия Ферми є

(2 nh)2 V

находится в интервале ----2 << &« Vq , где h —

2mL2

постоянная Планка, m — эффективная масса электрона, Vq — амплитуда потенциала V(x) сверхрешетки, то необходимо некоторое время т для перехода от нерегулярного квазиклассического движения к регулярному квазиквантовому. Таким образом, если т >> 1/f и время релаксации энергии и импульса те и т; соответственно сравнимо или больше времени перехода т, то динамика электрона в основном является классической, баллистической и хаотической.

Требования к системе, при которых появляется указанный хаос, весьма жесткие. Существенным условием является достаточно большая амплитуда возбуждающего СВЧ поля. Наряду с этим необходимо также создание слоя двумерного газа высокой подвижности с боковой сверхрешеткой при низких температурах, когда возможно баллистическое движение электронов с длиной свободного пробега большей, чем 100 мкм.

РИ, 2005, № 2

23

2. Постановка задачи

Чтобы проанализировать движение электрона в сверхрешетке, мы применим приближение полубайтовой динамики [3], учитывающее влияние пространственной делокализации квантовых частиц, и рассмотрим эволюцию обобщеннных гауссовых волновых пакетов:

v(q,t) =

= (2^p2)_1/4exp[ip(q-x)-(q-x)2/ст2(р,П)] ’ (1) где q — конфигурационная координата волновой функции у в q -представлении; x и p — обычные (средние) координата и импульс пакета соответственно; Р и п — дополнительные (флуктуацион-ные) координата и импульс; ст2 (р, П) = 4р2 /(1 - 2ірП) - квадрат комплексной ширины волнового пакета, который изменяется во времени. Эволюция (расплывание) обобщенного пакета в произвольном потенциале V(x) сводится к динамике четырех переменных x,p, риП , которые образуют гамильтонову систему с уравнениями движения [3]:

dx = dp = ” P2k V

dt p dt k=ok!2k

dp=n ^ dt ’ dt

fe2 x 2k—1

-3 -z P k1V

4P3 k=1 (k - 1)!2k 4

где предполагается, что частица имеет единичную массу m=1.

Для цели нашего исследования мы преобразуем уравнения (2) и (3) к виду, более подходящему для анализа динамики электрона в периодическом потенциале. Если использовать разложение потенциала V(x) в ряд Фурье:

V

n=0

то суммирование в уравнениях (2) и (3) по неизвестной переменной р можно выполнить явно, и для периодического потенциала мы получим уравнения движения в следующем виде:

d2x “ -

~2 = Z [Von Sin(nji) -dt2 n=1

-VSn cos

d2 5 h2 “ ~

—2 = —3 + P E [Von cos(nx) + dt2 4 p3 n=1

+VSnsin

где x = 2:rcx/L , p = 2лр/Ь , t = 2f, h = 2nh/(mL2f) и V = V/(mL2f2).

В дальнейшем мы примем простой косинусоидальный периодический потенциал сверхрешетки и гармоническое высокочастотное возбуждение, поляризованное таким образом, что электрическое поле волны параллельно оси сверхрешетки, т. е.

V(x, t) =-VoCOs(x)-excos(t), где e = Eo/(2^mLf2), а Eo - амплитуда электрического поля.

В этом случае уравнения (5) и (6) приобретают конечную замкнутую форму:

d2x

—2 = - V0 sin(x) exp(-p /2) + e cos(t) ,

dt

,2 - x2

-2 = —з - Vo cos(x)p exp(-p2 / 2) dt2 4 p 3

В случае же произвольного периодического V (x) правые части уравнений (5) и (6) хоть и представляют собой ряд, но уже не по степеням неизвестного решения р дифференциального уравнения, а имеющий вид ряда Фурье потенциала V(x) с коэффициентами, которые обрезаны гауссовыми функциями от флуктуирующей координаты р .

В классическом пределе (h ^ o, р ^ o) компактные уравнения (7) и (8) сводятся к уравнению нелинейного маятника с гармоническим внешним воздействием:

d2x - •

—2 + Vo sin(x) dt2

e cos(t).

Когда e = 1, оно может быть записано как обобщенное уравнение нелинейного маятника с параметрическим возбуждением:

d2y -

— - Vo sin

dt2

где y = (x-1)/2-n/4 .

Необходимо отметить, что в этой задаче мы рассматриваем не обычную крантовую сверхрешетку, у которой период L < 1oo A << Xe, а сверхрешетку с периодом L << X e (Xe — характерная длина волны электрона, которая обычно порядка 0,05мкм, а при низких температурах Xe ~ o,1mkm ), а также L << le, li — длин свободного пробега электрона по отношению к рассеянию энергии и импульса. Поэтому здесь нет возможных проблем:

— с энергетическими минизонами, когда из-за большого периода L >> а , где а размер элементарной ячейки, вместо большой зоны Бриллюэна

(Kmax = л/а ) имеем маленькую (Kmax =п/L) и соответственно энергетическая зона получается не широкая (до 1эВ), а раз в 20 меньше;

— с Блоховскими осцилляциями, так как тогда электрон в постоянном внешнем поле E , ускоряясь, успевает без рассеяния набрать энергию до потолка минизоны, а дальше в том же поле — спуск по энергии и поворот назад в пространстве;

— с эффектом Штарка, когда во внешнем e -поле каждый энергетический уровень расщепляется на серию уровней (штарковская лестница уровней);

— с квантовыми переходами между уровнями как внутри минизоны, так и между минизонами и т.п.

24

РИ, 2005, № 2

Таким образом, решетка все же классическая, но поскольку ее период небольшой — решетка баллистическая (нет рассеяния электронов, L << le,lj). Поскольку электрон обладает квантовыми свойствами, то при достаточно длительном его свободном движении он начинает «расплываться» и проявлять квантовое поведение при не слишком больших L , или же, если наберет достаточно энергии, то сможет туннелировать через барьер, что уже находится на грани формирования квантовых сверхрешеток с минизонной структурой энергий и зон Бриллюэна. Кроме того, в этой работе изучается лишь динамика отдельных электронов и не рассматривается их ансамбль и усреднение всех движений по ансамблю (тем самым здесь не учитываются возможные эффекты корреляции в движении электронов в ансамбле).

Для реализации условий, названых выше, необходимо обеспечить длину свободного пробега электрона в сверхрешетке больше тех длин, на которых происходят все эти эффекты. Соответственно время рассеяния как энергии, так и импульса электрона должно быть больше всего времени этого процесса и, разумеется, еще больше, чем период волны. Это сразу же требует волны достаточно высокочастотной, но сильно увеличивать частоту нельзя по другим причинам.

о

Далее, в обычных материалах lj ~ 700 +1000 а (т.е. меньше 1 мкм), в чистых — больше, а в двумерном газе при 78 К, когда подвижность электронов це достигает 106см2 / Вс (обычно при 300 К в кремнии це ~103 , а в GaAs це ~104), достижимы длины свободного пробега lj > 1мкм (иногда lj «10мкм). В [5] приведены данные, что подвижность электронов в 2Б-газе уже достигает це «10 , а lj «100мкм (это довольно типично, особенно при T<78 К, когда le>или>>lj , хотя при Т^н или наоборот 4 К снова lj = le). Баллистический режим движения электронов экспериментально наблюдается при уменьшении температуры до уровня азотной и ниже в тонких гетерослоях полупроводниковых соединений AIHBV толщиной t = 0,1 -1 мкм, где он обычно изучается при токе поперек слоя.

3. Численные результаты

Для решения уравнений (7), (8), а также (9) в классическом пределе мы используем метод Дор-мана-Принца [6] с автоматическим изменением шага интегрирования, обеспечивающим локальную точность решения до 5 = 10 .

В отсутствие возбуждения есть точное аналитическое решение уравнения (9), а при наличии возбуждения в такой системе рано или поздно появляется хаос. Точнее, хаос появляется сразу же, при малейшем возбуждении, но только в очень узкой области

параметров: в окрестности сепаратриссы на фазовом портрете маятника, когда он при слабом воздействии запускается из состояния покоя вблизи верхней точки. Для сильного возбуждения нет точного аналитического решения, а возможно только численное моделирование. При этом в исследованиях основное внимание обычно уделяется окрестности сепаратрис на фазовом портрете, так как именно там более всего развивается хаос [7, 8].

Поскольку электроны обычно находятся не на верхушке потенциальных барьеров, а на дне, то не всегда ясно в деталях, как они себя будут вести в условиях, изучаемых в данной работе. Ряд ситуаций, возникающих в этих случаях, был нами промоделирован путем численного решения уравнений (7), (8), и некоторые результаты приведены на рис. 1-4.

На рис. 1 показаны траектории полуквантового и классического электронов. Начальные условия предполагают, что электроны находятся в покое при минимуме потенциала (X = 0 ), причем полуквантовые электроны слегка делокализаваны (р = 0,1 р = 0,1). Рис.1 показывает сложную хаотическую траекторию классического электрона x(t). Форма его траектории очень чувствительна к точности решения. Полуквантовый электрон вначале следует классической хаотической траектории некоторое время т, но потом отклоняется от нее и в дальнейшем распространяется по своему собствен -ному пути. При этом его движение не зависит от точности решения. Эти результаты получены для потенциала сверхрешетки с периодом 1 мкм и амплитудой 20 мэВ при напряженности СВЧ поля 1,2 кВ/см и частоте 60 ГГц [9].

кривая) и классического электронов при начальных условиях: x = 0 , p = 0 , р = 0,1, д = 0 и точности решения 8 = 10_1° (пунктирная кривая) и 8 = 10_9 (точечная кривая). Параметры модели L = 1мкм , V) = 20мэВ ,E0 = 1,2кВ/см и f = 60ГГц , что

— — _3

соответствует V) = 1 , е = 1 и h = 10

Рис. 2 иллюстрирует важность использования СВЧ поля высокой энергии. Здесь представлены резуль -таты для того же самого случая, что и на рис. 1, но при амплитуде СВЧ поля, в два раза меньшей. В этом случае признаков хаоса для электронов, стартующих с долины потенциального профиля, естественно, не наблюдается.

РИ, 2005, № 2

25

Рис. 2. Траектории полуквантового (сплошная кривая) и классического (пунктирная кривая) электронов при Б0 = 0,6кВ / см (Є = 0,5 ; обе кривые практически совпадают). Остальные параметры такие же, как и на рис.1

На рис. 3 мы сравниваем траектории полубайтовых и классических электронов для двух случаев, когда начальное положение электронов x = 0,2

(период сверхрешетки L = 6,28 в относительных единицах). Остальные параметры выбраны такими же, как и в предыдущих случаях. Численное моделирование обнаружило эффект чувствительной зависимости траекторий классического электрона от точности решения и начальных условий. Полубайтовый электрон также обнаруживает некоторую чувствительность к начальным условиям, поскольку он вначале следует прежней классической траектории. Вместе со сложной формой электронных траекторий, демонстрирующей произвольные прыжки электрона с одного потенциального минимума в другой, зачастую весьма удаленный, эффект чувствительной зависимости обеспечивает дополнительное доказательство наличия динамического хаоса в нелинейной электронной системе.

классического электронов, когда начальная позиция x = -0,2

Наконец, на рис.4 можно увидеть изменение момента полуквантового и классического электрона для случая хаотического движения, представленного на рис. 1. Возрастание изменений момента, типичное для хаотического движения, вызывает

26

усиление флуктуаций тока и, следовательно, появление дополнительного шума в баллистической структуре.

(сплошная кривая) и классического (пунктирная линия) электронов для случая, представленного на рис.1 при 5 = 10_1°

Полученные результаты требуют некоторого пояснения. Если мощность высокочастотного поля не достигает порога (его величина определяется условием e = V0), то электроны остаются в долинах потенциала V(x) и слегка колеблются. Этот случай реализуется, если при частоте 60 ГГц напряженность Е поля в волне составляет менее 1,2 кВ/см. Если достичь порога по мощности (Є > V0), то даже эти электроны можно заставить двигаться в режиме хаотической динамики. Что касается типичных квантовых сверхрешеток с квантовыми электронами, то их поведение в таких условиях мало изучено. В случае же полубайтовых решеток, рассмотренных выше, полученные решения обусловлены следующим сценарием поведения электронов.

Если полубайтовые электроны вначале находятся на дне «ямок» (не сильно локализованы в точку, но и не сильно размыты, так что электронные волновые функции в соседних «ямках» не перекрываются, а период сверхрешетки L << А,де _Бр0йля, но не сильно), то некоторое время под действием поля они будут двигаться по тому же динамически-хаотическому закону, что и электроны классические, а имеющаяся некая квантовая «размазка» не мешает их движению, несмотря на то, что это уже не точка с фиксированным положением и скоростью. При постепенном возрастании «размазки», когда волновая функция расширяется за пределы одной «ямки», электрон переходит в режим регулярного волнообразного продвижения вдоль сверхрешетки с некоторой средней скоростью дрейфа в одном или в другом направлении. Это есть квази-стационарный полубайтовый режим движения, который будет продолжаться до момента рассеяния электрона фононом. В этом случае уже нет хаоса, однако момент перехода в такой режим, возникшая средняя скорость дрейфа и само направление движения вдоль решетки весьма случайны и очень чувствительны к начальным условиям движения, а также к точности интегрирования уравнений движения.

Таким образом, хотя полубайтовый электрон движется вдоль сверхрешетки вполне регулярно, он

РИ, 2005, № 2

наследует как по скорости, так и по направлению случайные черты предшествующего хаотического движения почти-классического электрона.

Интересным и важным эффектом смешанной хаотической и квази-регулярной динамики электронов в полуквантовых баллистических сверхрешетках является возникновение избыточного шума чисто динамического происхождения. По сравнению с обычным тепловым шумом этот динамический избыточный шум в баллистической структуре должен быть весьма большим. Дело в том, что хаотическая динамика баллистического электрона означает наличие соответствующей флуктуации (см. рис. 1,3, где резко меняется координата, и рис.4, где варьируется импульс), что приводит к избыточному шуму, обусловленному в этих структурах воздействием поля. Чисто динамическое движение электронов будет когда-то прерываться рассеянием, и при сильном рассеянии хаос может не успеть проявиться. Однако в баллистических структурах динамические флуктуации могут развиваться достаточно долго, не разрушаясь рассеянием. Наличие некоторого избыточного шума в баллистических структурах наблюдалось экспериментально [5], хотя более типичным является уменьшение шума за счет кулоновских и квантовых корреляций [10, 11].

Необходимо отметить, что наличие избыточного шума не так очевидно, поскольку надо выполнить усреднение по ансамблю всех электронов, а они уже изначально из-за теплового движения распределены хаотически и все флуктуации будут усреднять-сщт.е. средняя амплитуда обычно уменьшается в VN раз, где N — число электронов. Если температура мала, а поле сильное, то начальный тепловой шум мал и в баллистических сверхрешетках будут усредняться флуктуации гораздо большей амплитуды, чем просто тепловые. Кроме этого, есть еще немалая корреляция (коллективность) у самих хаотических колебаний, так как вдоль потенциальной канавки в сверхрешетке (в направлении поперек поля) находится много электронов и они между собой откликаются на волну более-менее согласованно. Поэтому эффект сложения динамических флуктуаций, совершаемых синхронно электронами, лежащими во всей плоскости, поперечной к оси сверхрешетки и к полю волны, все же есть и, по всей видимости, довольно велик.

Условия, необходимые для наблюдения описанных эфектов, весьма трудно реализовать экспериментально. Несмотря на очень узкий диапазон, нам тем не менее удалось подобрать параметры системы, при которых экспериментальная реализация представляется возможной. Рассмотрим выбор этих условий детальнее.

Амплитуду сверхрешеточного потенциала (V0 = 20мэВ) нельзя увеличить, так как если электрон набирает в сильном поле энергию, позволяющую ему достичь верхушки барьера и выше, то уже при 30 мэВ будет происходить сильное рассеяние на оптических фононах, потеря свободного баллистического движения и когерентности соседних электронов, что в свою очередь приведет к отсут-

ствию необходимого динамического шума. При меньших Vo даже при 4 К много электронов будет на самом дне (4 К = 0,33 мэВ), и по координате x «размазка» составляет в относительных единицах x = 0,2 (x = 2nx/L), что нежелательно. Есть еще возможность уменьшать l (до 0,1мкм и меньше) и одновременно увеличивать частоту f (до io12Гц), тогда и при сравнительно малых і;, le = 0,5мкм и соответственно малых временах свободного пробега т;, те~10_11с можно получить требуемый результат. Однако здесь начинаются проблемы с квантовым движением: типичная длина волны де-Бройля оказывается слишком близка к L. При этом растет безразмерная величина h = 2 nh /(mL2f), что тут же сказывается на динамике — такой электрон слишком быстро «расплывается» и не успевает двигаться хаотически. Тем самым мы получили оценку того, насколько быстро квантовые поправки разрушают хаос.

С электрическим полем при меньших L тоже возникают проблемы: для хаоса, который получается даже для электронов, стартующих со дна зоны, необходимо обеспечить Vo = EoL/2tc , а имея ограничение на Vo «снизу» , чтобы избежать температурной «размазки», которая даже при 78 К слишком велика (при наличии «потолка» Vo = 2o + 30мэВ), уменьшение l потребует усиления поля до нереальных значений (здесь и так уже необходимо обеспечить 1кВ да еще в условиях гигантской баллистической подвижности до Ш7см2 /Вс ). Следует, впрочем, отметить, что ток будет сильно ограничен наличием барьеров, так что общая проводимость структуры, несмотря на гигантскую подвижность электронов, не должна быть большой.

Исходя из изложенного выше, необходимо обеспечить L =1мкм, частоту f =60ГГц, общую длину структуры порядка 100 L = 100мкм и, следовательно, длину свободного пробега не менее 100мкм. Это достигается в специальных условиях при температуре порядка 4 К на двумерном газе, т.е. в слое электронов, зажатом в потенциальной яме шириной около 2o + 5o A вдоль гетерограницы GaAs-AlGaAs, так что поперек границы движение квантовано (необходимо также, чтобы Vo было меньше расстояния между уровнями этого «геометрического квантования»), а вдоль границы, в 2D плоскости, остается свободным классическим — именно в таком газе только и возможны те гигантские l; = looMKM .

Тогда получается, что сверхрешетка должна идти вдоль поверхности, т.е. ось сверхрешетки х, вдоль которой создана периодичность V(x) = - Vo cos(x), идет вдоль гетерограницы. Это может быть обеспечено нанесением на поверхность AlGaAs (под его тонким слоем и находится граница с 2D газом) периодичной контактной сетки с периодом l =1мкм, на которую подан соответствующий потенциал, вытесняющий электроны в 2D газе из участков под контактами, так чтобы потенциальный барьер и был Vo =20мэВ. Это вполне выполнимо, величина Vo даже управляема, и такие сверхрешетки (как и другие, вдоль поверхности) называют боковыми

РИ, 2005, № 2

27

[8]. Тогда волна падает по нормали на границу и поляризована так, что ее поле e параллельно оси x.

Другой системой, где в принципе возможно наблюдение такого рода эффектов, является система холодных ионов, захваченных периодическим потенциалом оптической решетки стоячей волны лазерного излучения [12].

4. Заключение

Численное моделирование обнаружило возможность проявления хаотической динамики поведения классических и, частично, полуквантовых электронов в баллистических сверхрешетках при сильном СВЧ возбуждении. Для появления хаоса частота СВЧ поля должна удовлетворять соотношению: f »Tg1, Y-1, т_1 и такие условия могут быть выполнены в боковых сверхрешетках двумерного электронного газа при очень низких температурах, когда электронная подвижность достигает 107 см2 / Вс , а баллистическое движение возможно вплоть до 100 мкм [5].

В эксперименте динамический хаос этого типа может наблюдаться как флуктуации тока аномально высокого уровня и может быть использован в качестве источника шума, который действует по принципу преобразования когерентных гармонических (синусоидальных) колебаний мощной высокочастотной волны, падающей на структуру, в некогерентные (хаотические, шумовые) колебания электрического тока баллистических электронов на выходе прибора (на внешних контактах).

Возможным проявлением эффекта в таких структурах может быть не только необычный шум (как по величине, так и по свойствам), но также и аномалии сопротивления. В то же время реализовать этот эффект весьма сложно из-за очень специальных условий его возникновения. Более важное значение полубайтового хаоса состоит, видимо, в том, что он может создавать аномальный избыточный шум в тех условиях, когда в отсутствие рассеяния электронов, но при работе в высокочастотных режимах, в баллистических структурах надеются получить подавление шума.

Уравнения полубайтовой динамики, преобразованные к виду (7),(8), устанавливают прямую связь между классическим динамическим хаосом в системе, описываемой стандартным уравнением нелинейного маятника (9), и слабо-квантовым поведением этой системы, когда квантовые поправки постепенно разрушают классические неустойчивые (хаотические) траектории электронов и приводят к регулярной динамике размытых волновых пакетов.

Таким образом, проведенное исследование обеспечивает более глубокое понимание переходных ситуаций между чисто классическим (в частности, динамико-хаотическим) и квантовым режимами движения частиц, а также предлагает новый подход к моделированию таких ситуаций. Полученные результаты будут полезны при разработке и проектировании реальных источников хаотических колебаний различных диапазонов, применяемых в современной шумовой радиолокации [2].

Литература: 1. Nakamura K. Introduction to Chaos and Quantum Transport // Chaos, Solitons and Fractals. 1997. V.8, №.7-8. P.971-993. 2. Lukin K.A. Millimeter Wave Noise Radar Applications: Theory and Experiment. Proc. 4h Int. Kharkov Symposium “Physics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves, ” June 4-9, 2001. V.1. P.68-73. 3. Pattanayak A.K. and Schieve W.C. Gaussian Wave-Packet Dynamics. Semiquantal and Semiclassical Phase-Space Formalism // Phys. Rev. E. 1994. V.50, №5. P.3601-3614. 4. WackerA. Semiconductor Superlattices: A Model System for Nonlinear Transport // Phys. Rep. 2002. V.357, №1. P.1-111. 5. Weisbuch C. and VinterB. Quantum Semiconductor Structures. Fundamentals and Applications. New York: Academic Press, 1991. 252 p. 6. Hairer E,. Norsett S.P. and Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations. I. Nonstiff Problems. Berlin: Springer-Verlag, 1987.480 р. 7. Hilborn R C. Chaos and Nonlinear Dynamics. An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford: 2000. 650 p. 8. Wagenhuber J, Geisel T, Niebauer P. and Obermair G. Chaos and Anomalous Diffusion of Ballistic Electrons in Latteral Surface Superlattices // Phys. Rev. B. 1992. V. 45, № 8. P.4372-4383. 9. Yurchenko L.V. and Yurchenko V.B. Semiquantal Dynamics of Electrons in Quantum Heterostructures // NATO Science Series. 3. High Technology. The Netherlands. Kluwer Acad.Publ. 1998. V. 48. P.83-86. 10. BlanterYa.M. andButtikerM. Short Noise in Mesoscopic Conductors // Phys. Rep. 2000. V. 336. P.1-99. 11. Bulashenko O.M. and Rubi J.M. SelfConsistent Theory of Current and Voltage Noise in Multimode Ballistic Conductors // Phys. Rev. B. 2002. V. 66, № 4. P.045310-16. 12. Fromhold T.M., Tench C.R, Bujkiewicz S., Wilkinson P.B. and Sheard F.W. Quantum Chaos for Cold Atoms in an Optical Lattice with a Tilted Harmonic Trap // J. Opt. B. Quantum Semiclass. Opt. 2000. V. 2, № 5. P.628-632.

Поступила в редколлегию 23.04.2005

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.

Юрченко Лидия Валерьевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела нелинейной динамики электронных систем ИPЭ им. АЯ.Усикова НАН Украины. Научные интересы: моделирование динамического хаоса в электронных системах, автогенерации широкополосных шумовых сигналов и уль-тра-коротких импульсов. Адрес:

Украина, 61085, Харьков, ул. Ак.

Проскуры, 12, Тел.:+380-577-448349, email: yurchenk@ire.kharkov.ua

Юрченко Владимир Борисович, д-р физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, факультет экспериментальной физики Национального Университета Ирландии, г. Мейнут. Научные интересы: ранее -теория переноса горячих электронов в полупроводниковых приборах, фото- и термо-электрические эффекты, явления нестабильности и хаос; в последнее время — нелинейная динамика электронных систем, распространение волн и моделирование антенн. Адрес:

Experimental Physics Department,

NUI Maynooth, Co.Kildare,

Ireland. Tel: + 353-1-7083746,

Fax: + 353-1-7083313, e-mail: v.yurchenko@nuim.ie

28

P^ 2005, № 2