Спектральный анализ годографов смещений точек земной поверхности

УДК 511.3

А.В. Маноенков СГГ А, Новосибирск

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ГОДОГРАФОВ СМЕЩЕНИЙ ТОЧЕК ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В статье приведены результаты исследования смещения оползня на основе спектрального метода анализа геодезических измерений. Выполнен анализ смещения оползня, в основе которого лежит представление обобщенной характеристики движения тела оползня в виде однонаправленных связанных векторов точек, полученных по всему циклу наблюдений.

A.V. Manoenkov

Siberian State Academy of Geodesy

10 Plakhotnogo UI., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

SPECTRUM ANALYSIS OF HODOGRAPHS CURVE DISPLACEMENT CONTROL POINTS OF LAND SURFACE

The paper presents the results of sliding investigation on the basis of the geodetic measurements spectral analysis. The foundation of the sliding analysis is the generalized characteristic of the landslide body motion as unilateral bound vectors of the points received throughout the observation cycle.

Объектом исследования настоящей статьи явились оползни, а именно один из оползней, развитых на крутых береговых склонах, расположенных вдоль долины р. Москвы и ее крупных притоков, сформированный на моренных юрских глинах и развитый под влиянием речной эрозии, естественного и техногенного обводнения склонов и неразумных строительных воздействий. Одной из причин выбора такого объекта исследования явилось то, что сходы оползней могут стать виной чрезвычайных ситуаций, связанных с перекрытием автомобильных и железных дорог, повреждением опор ЛЭП и мостов, газо-, водо-, нефтепроводов, объектов жизнеобеспечения, разрушением жилых домов и строений. На сегодняшний день опасность схода оползней существует на территории Сочи, Геленджика, Новороссийска, Горячего Ключа, а также Туапсинского, Апшеронского, Северского, Абинского, Крымского, Темрюкского районов.

Для получения данных о простраственно-временном смещении оползня на нем был размещен 21 пункт (контрольная точка), за положением которых произведено 15 циклов наблюдений. После соответствующей обработки получены плановые и высотные смещения всех контрольных точек. Плановое и высотное смещение точек отражено на графике [1].

По геодезическим данным планового и высотного смещения точек земной поверхности получена траектория движения каждого пункта сети на оползне. Траектория каждого пункта в рассматриваемом случае является

случайной функцией и может быть представлена годографом пространственно-временного смещения точек.

Для изучения характера кинематического процесса какого-либо участка оползня, был применен метод случайных функций, с помощью которого можно определить какие параметры влияют на процесс изменения местоположения оползня [2]. Представив траекторию каждого пункта как случайную функцию Х^) и используя аппарат спектрального анализа можно определить периодичность и амплитуду колебательных движений, т.е. выявить характер пространственно-временных изменений точек земной поверхности по времени.

О

160.00 Ы0,00 ] 20,00 100,00

50.00

60.00

40.00

20.00 0.00

* ^

г

л*

3& Ж Ж

я?

&

&>

0,00 -20.00 -40.00 -60.00 -30.00 -100,00 -I 20,00 1-10,00

^я

М

-8

АН

Рис. 1. График изменения положения точек геодезической сети на оползне:

а) изменение планового положения точек;

б) изменение высотного положения точек

Цель анализа - комплексное разложение комплексных временных рядов с циклическими компонентами, которыми являются пространственные траектории движения точек оползня.

Возьмем в качестве сечения случайной функции Х^) промежуток времени в один месяц. Обозначая момент времени ^ а промежуток времени т, получим корреляционный момент двух сечений случайной функции Кх(Х, X + т)-

В данном примере случайная функция будет сведена к системе пятнадцати случайных величин, отвечающих сечениям X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Намечая сечения на графике, и снимая с графика изменения высотного и планового смещения в этих сечениях, получили таблицу значений реализаций функции. Так как анализ высотного и планового смещения проводился аналогично, то для примера рассмотрим смещение высотного местоположения точек (табл. 1).

Таблица 1. Высотное смещение точек земной поверхности в мм

^ и 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 -8,06 -10,8 -18,9 -28,8 -40,4 -42,6 -44,6 -48,8 -54,3 -54,4 -50,9 -62,3 -82,1 -87,8 -95,6

2 -11,3 -18,9 -20,6 -21,5 -57,7 -59,1 -62,8 -66,4 -52,3 -65,2 -65,5 -79,6 -97,5 -102 -95,6

3 -5,0 -4,5 -4,0 -5,1 -4,3 -5,7 -37,0 -34,1 -43,7 -47,3 -58,8 -71,9 -83,8 -84,6 -88,1

4 -8,9 -6,7 -22,4 -22,6 -30,2 -43,2 -45,6 -50,8 -53,6 -57,2 -65,6 -75,3 -81,8 -87,0 -94,4

5 -10,0 -3,0 -12,5 -23,9 -27,2 -34,8 -36,4 -41,4 -47,8 -49,8 -51,0 -58,7 -76,4 -80,7 -84,9

6 -4,1 -9,50 -21,2 -34,8 -34,4 -42,2 -40,8 -47,2 -38,9 -43,1 -57,4 -66,2 -83,7 -80,7 -91,5

7 -5,1 -11,2 -1,0 -10,2 -11,7 -18,0 -22,2 -26,2 -29,2 -33,3 -66,6 -89,0 -106 -110 -114

8 -8,9 -18,9 -16,3 -49,1 -46,9 -49,4 -53,8 -60,2 -60,9 -63,7 -60,1 -85,9 -115 -121 -135

9 -9,2 -16,3 -50,8 -46,9 -48,3 -51,9 -54,5 -61,2 -61,2 -61,7 -60,9 -79,9 -110 -115 -122

10 -6,1 -13,6 -54,1 -41,0 -48,9 -50,3 -58,0 -64,4 -63,0 -63,7 -63,6 -89,6 -124 -128 -141

11 -4,1 -9,5 -38,9 -40,8 -45,3 -47,2 -51,1 -55,3 -56,6 -58,8 -60,1 -85,1 -112 -119 -128

12 -10,3 -23,3 -35,1 -38,0 -41,0 -43,4 -46,4 -54,2 -51,2 -56,9 -60,3 -80,9 -103 -107 -120

13 -5,1 -11,2 -32,2 -35,2 -41,0 -40,5 -40,8 -45,5 -47,4 -52,8 -55,2 -72,0 -91,4 -95,3 -103

14 -2,2 -2,2 -6,4 -7,3 -12,4 -8,9 -13,4 -20,2 -23,8 -28,7 -32,8 -42,9 -49,2 -52,4 -56,4

15 -2,2 -4,5 -6,7 -7,3 -8,2 -10,6 -13,4 -17,5 -24,2 -26,6 -30,1 -39,8 -45,9 -49,4 -73,0

16 -9,0 -6,1 -18,0 -20,6 -23,3 -21,9 -19,8 -37,4 -34,5 -39,7 -45,5 -53,9 -66,6 -67,7 -71,8

17 -4,1 -9,2 -13,3 -27,8 -31,2 -31,1 -35,4 -39,7 -217 -46,8 -54,5 -65,1 -83,1 -87,3 -94,3

18 -5,1 -9,2 -26,1 -41,6 -46,1 -48,5 -49,9 -53,5 -57,5 -60,2 -59,4 -83,4 -101 -107 -114

19 -5,0 -9,9 -22,0 -39,1 -43,0 -46,6 -50,5 -55,5 -57,2 -59,4 -62,0 -85,2 -111 -117 -126

20 -6,4 -13,9 -27,2 -48,0 -58,0 -55,8 -59,4 -61,7 -63,4 -66,1 -63,3 -72,2 -126 -132 -142

21 -4,1 -9,2 -13,0 -5,0 -139 -2,2 -14,1 -21,4 -21,9 -26,9 -33,2 -41,7 -52,3 -57,3 -65,1

Исходя из графиков (рис. 1) видно, что процесс смещения оползневых точек не зависит от времени (т.е. стационарен), то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси О^) взяли участок т, а должен зависеть только от длины этого участка. Таким образом, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна

зависеть не от определенного момента времени, а только от промежутка между моментами времени. Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента.

КД г + т) = Кх

На примере образца стационарного случайного процесса построим его характеристики, а именно математическое ожидание дисперсию и корреляционную функцию.

Суммируя значения реализаций по столбцам и разделив сумму на число реализаций, получим зависимость математического ожидания от времени:

г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Мх(1) -6,4 -10,6 -21,9 -28,3 -39,9 -35,9 -40,5 -45,8 -55,2 -50,6 -55,1 -70,5 -90,6 -94,6 -102,7

Для вычисления корреляционного момента соответствующих сечений случайной функции, перемножаются значения, стоящие в соответствующих столбцах сечения функции произведения складываются алгебраически; полученная сумма делится на 21 (количество реализаций) из результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий. Для получения несмещенной оценки корреляционного момента результат умножают на 21/(21-1).

По итогам этих вычислений строится корреляционная матрица системы случайных величин высотного перемещения точек Х(1), Х(2), Х(3), Х(4), -она же таблица корреляционной функции Кх(1:, 1 + т) (табл. 2).

Таблица 2. Корреляционные моменты величин высотного смещения по

времени

t+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1,00 0,49 0,24 0,34 0,10 0,48 0,40 0,50 0,01 0,41 0,35 0,32 0,32 0,31 0,23

2 1,00 0,57 0,69 0,37 0,63 0,62 0,68 0,32 0,59 0,58 0,64 0,65 0,63 0,69

3 1,00 0,71 0,32 0,55 0,59 0,57 0,20 0,50 0,34 0,34 0,45 0,51 0,55

4 1,00 0,38 0,84 0,85 0,87 0,53 0,83 0,67 0,74 0,81 0,85 0,79

5 1,00 0,37 0,47 0,45 0,19 0,41 0,26 0,30 0,31 0,41 0,50

6 1,00 0,92 0,96 0,54 0,95 0,84 0,84 0,87 0,90 0,80

7 1,00 0,96 0,53 0,94 0,83 0,85 0,88 0,92 0,80

8 1,00 0,57 0,97 0,86 0,87 0,90 0,95 0,84

9 1,00 0,61 0,58 0,53 0,55 0,59 0,53

10 1,00 0,91 0,90 0,92 0,97 0,82

11 1,00 0,96 0,95 0,92 0,65

12 1,0 0,98 0,95 0,73

13 1,0 0,97 0,7

14 1,0 0,8

15 1,0

Оценки дисперсий величин высотного смещения, точек земной поверхности:

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Ох(0 7,4 30 201 220 760 308 245 226 1550 169 121 246 553 592 624

Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

°х(0 2,7 5,5 14,2 14,8 27,6 17,5 15,6 15,0 39,4 13,0 11,0 15,7 23,5 24,3 25,0

X

Разделив значения из табл. 2 на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений амплитуд колебаний, высотного смещения точек. Осредняя значения амплитуд колебаний, высотного смещения точек вдоль параллелей главной диагонали получим средние значения амплитуды колебаний и по этим данным построим график колебаний высотного смещения точек оползня (рис. 2):...................

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рх(0 1 0,65 0,70 0,56 0,62 0,51 0,50 0,54 0,44 0,54 0,50 0,61 0,37 0,34 0,25

т

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 ІЗ II4 15'

Рис. 2. График колебаний высотного смещения точек оползня

Представим колебательный процесс в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник») спектром колебательного процесса будет являться функция описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе и какова его внутренняя структура. Спектр случайной функции будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Разложим корреляционную функцию ^(т) в ряд Фурье, пользуясь только четными косинусными гармониками

К* О) = Ек=0 °к СОБЮкТ,

, 2п 71

где Юk = кюь 1 = — = -

где Kx(т) - корреляционная функция;

Dk - дисперсия;

- гармонические колебания;

T - период гармонических колебаний.

Для вычисления дисперсий представим формулу (2) в виде:

2 Т

°к = т /0 Кх

Произведем вычисления, подставив вместо Т 15 (количество месяцев), а вместо ^(т) средние значения амплитуды колебаний. По полученным данным построим график спектрального разложения значений высотного смещения точек земно поверхности во времени (рис. 3).

Рис. 3. Спектральное разложение гармонических колебаний высотного

смещения оползня

На графике видно, что в структуре случайной функции присутствует некий элемент периодичности во времени, положительным значениям гармонических колебаний соответствует такое же количество отрицательных. Период колебаний равен примерно 8 месяцам. Исходя из этого, можно проследить стохастическую зависимость между временем года и колебаниями высотного смещения, т.е. в определенный годовой период можно точно предсказать величину колебания.

Для установления истинных причин смещения оползня требуются более детальные характеристики вещественного состава приповерхностного слоя земной коры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Симонян, В.В. Точность геодезических измерений и определение периода стабилизации оползней [Текст] / В.В. Симонян, В.В. Буш // Труды ГУЗ. - М., 1992.

2. Вентцель, Е.С.Теория вероятностей: учебник для студ. вузов/ Е. С. Вентцель. -10-е изд., стереотип. - М.: Академия, 2005. - 576 с.

© А.В. Маноенков, 2010