Определение максимального значения пространственного угла атаки наноспутника при движении на низких круговых орбитах

УДК 629.783

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УГЛА АТАКИ НАНОСПУТНИКА ПРИ ДВИЖЕНИИ НА НИЗКИХ

КРУГОВЫХ ОРБИТАХ

© 2013 Л. В. Глухова, И. А. Тимбай

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва

Рассматривается пространственное движение относительно центра масс неуправляемого наноспутника на низких круговых орбитах. Определены аэродинамические характеристики наноспутников CubeSat-2U и CubeSat-3U. Получены функции распределения максимального угла атаки наноспутников для различных высот полёта в зависимости от разброса компонентов начальной угловой скорости.

Наноспутник, пространственное движение, аэродинамические характеристики, функция распределения.

При движении спутника на низких круговых орбитах основное влияние на него оказывают аэродинамический и гравитационный моменты. На высотах полёта, где преобладающим является аэродинамический момент, его можно использовать для ориентации спутника по набегающему потоку. Исследованию движения спутников на низких круговых орбитах посвящено большое количество работ. Однако вопросам статистического анализа углового движения неуправляемых спутников уделялось мало внимания.

В работе [1] получены законы распределения угла атаки спутника на условной границе атмосферы - высоте, где аэродинамические моменты начинают заметно влиять на изменение угла атаки. При этом предполагается, что отделение спутника происходит в направлении вектора скорости центра масс на внеатмосферном участке траектории.

В [2] проведён анализ законов распределения пространственного угла атаки лёгкой спускаемой капсулы на условной границе атмосферы и на участке движения в плотных слоях атмосферы. При этом учитывается неточность знания угла атаки в момент отделения капсулы от тросовой системы.

В работе [3] исследовано неуправляемое движение относительно центра масс

наноспутника стандарта СиЬе8а1;-2и, закрученного вокруг продольной оси и отделённого от орбитальной ступени ракеты-носителя «Союз» на низкой околокруговой орбите, сформированы вероятностные модели начальных условий углового движения наноспутника.

В данной работе рассматривается пространственное движение относительно центра масс неуправляемых динамически симметричных наноспутников СиЬеБа1;-2и и СиЬеБа1;-3и на низких круговых орбитах. Полагается, что отделение наноспут-ника происходит на высотах, где аэродинамический момент оказывает существенное влияние, и им нельзя пренебречь. Предполагается, что при отделении компоненты угловых скоростей нано-спутника представляют собой независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями. Анализируется возможность ориентации продольной оси наноспутника вдоль вектора скорости центра масс.

Будем полагать, что рассматриваемые наноспутники обладают массовой и динамической симметрией. В табл. 1 приведены их основные инерционно-массовые характеристики.

Таблица 1. Основные инерционно-массовые характеристики наноспутников CubeSat-2U и CubeSat-3U

Характерный размер 1

CubeSat-2U 0.2 0.01 2 3.3-10-3 8.340-3

CubeSat-3U 0.3 0.01 3 5.0-10-3 25.0-10-3

В [3] при вычислении аэродинамических характеристик наноспутника CubeSat-2U принималось, что обтекание наноспутника свободномолекулярное и удар молекул газа абсолютно неупругий (все молекулы полностью теряют свою энергию при столкновении с наноспутни-ком и не отражаются). В этом случае аэродинамическая сила представляет собой силу сопротивления, которая определяется площадью поперечного сечения наноспутника, нормального к направлению потока. При этом коэффициент силы лобового сопротивления принимался равным 2,2.

В данной работе определим аэродинамические характеристики

наноспутников, учитывая возможное отклонение в реальности от гипотезы абсолютно неупругого удара. Для этого

введём две системы координат: 1) систему координат O1xyz, связанную с наноспутником таким образом, что точка O1 - это точка приведения всех сил, действующих на наноспутник (для удобства будем считать, что она лежит в геометрическом центре наноспутника), а оси системы координат параллельны соответствующим рёбрам наноспутника; 2) систему координат OXaYaZa, связанную с вектором скорости набегающего потока . Связь между системой координат Oxyz и системой координат OXaYaZa осуществляется с помощью пространственного угла атаки а и угла собственного вращения р (рис. 1а).

Рис. 1. Взаимное расположение систем координат для: а - наноспутника, б - элемента поверхности наноспутника

б

а

Поверхность наноспутников

СиЬеБа1;-2и и СиЬеБа1;-3и можно представить шестью пластинами. На рис.1 б изображён элемент поверхности одной из пластин в связанной системе координат 0ху2. На каждый элемент поверхности действуют нормальное Рп и касательное Р напряжения, возникающие в результате взаимодействия поверхности наноспутника с набегающим потоком

газа. Вектор Рп лежит на оси по направлению внутренней но_рмали к поверхности элемента. Вектор Р лежит в

плоскости, образованной векторами Рп и 0Ха, и ориентирован по направлению

вектора скорости набегающего потока У¥ . Угол у - это угол между вектором нормального напряжения Рп и вектором

скорости набегающего потока (рис.1 б).

Будем считать, что набегающий на поверхность наноспутника поток газа свободномолекулярный и гиперзвуковой, характер взаимодействия молекул с поверхностью зеркально-диффузный, молекулы газа испытывают однократные соударения с поверхностью

наноспутника. В этом случае нормальное Рп и касательное р напряжения,

действующие на элементарную площадку поверхности , можно определить по формулам [4]:

Р = q ^(2 - ап )2^2 у + аг

РТ, = qatcosyi,

где у{ - угол между вектором

нормального напряжения Рп 1-й пластины

и вектором скорости У¥ набегающего потока, который в случае пространственного движения зависит от углов атаки а и собственного вращения р; q -скоростной напор; ап, аТ -коэффициенты аккомодации нормального

и касательного импульсов; с -

показатель адиабаты газа; ^ -температурный фактор.

Значения коэффициентов ап и аТ в

(1, 2) зависят от физических свойств газа и поверхности наноспутника. Величины коэффициентов определяют экспериментально. Исследования, проведённые в [5], показывают, что значения коэффициентов аккомодации для воздуха, взаимодействующего с алюминием и сталью, составляют от 0,87 до 0,97. Значения температурного фактора ^ могут изменяться от 0,001 до 1 [6]. При таких значениях величин ап, аТ и

взаимодействие молекул с поверхностью наноспутника не является абсолютно неупругим. Значение показателя адиабаты газа с принималось в соответствии с [6] равным 1.4.

Коэффициенты нормальной сп и

тангенциальной сх аэродинамических сил определяются интегрированием

зависимостей (1, 2) по поверхности наноспутника, обтекаемой потоком газа.

На рис. 2 и 3 изображены зависимости коэффициентов сп (а,р) и

сх (а,р) от углов атаки и собственного

вращения для наноспутников СиЬеБа1-2и и СиЬеБа1;-3и при различных значениях коэффициентов аккомодации и температурного фактора.

Аэродинамические коэффициенты

принимают наименьшие значения при значениях коэффициентов аккомодации ап = 0,97, аТ = 0,87, температурного фактора ^ = 0,001 и при значении угла собственного вращения р = 0° (рис. 2). Аэродинамические коэффициенты

принимают наибольшие значения при ап = 0,87, аТ = 0,97, ^ = 1 и р = 45° (рис. 3). Как видно, разность между наибольшим и наименьшим значениями аэродинамических коэффициентов

составляет около 50% по отношению к наименьшим их значениям.

-СиЬе5а1-2и - - * СиЪеБаЬЗи

Ч> = 45°

= 0 / V Г /V * г V

* --4 ч ч ч Х> ч

Ч \ ч

О 30 60 90 120 150 а

а, град 180

_а, град

30 60 90 120 150 180 б

Рис.2. Зависимости аэродинамических коэффициентов нормальной Cn и тангенциальной ^ аэродинамических сил от углов атаки и собственного вращения для наноспутников CubeSat-2 U и CubeSat-3 U

а, град

60 90 120 150 180 б

Рис.3. Зависимости аэродинамических коэффициентов нормальной Cn и тангенциальной CT аэродинамических сил от углов атаки и собственного вращения для наноспутников CubeSat-2U и CubeSat-3U

Расчёты показывают, что равнодействующая аэродинамических сил приложена в геометрическом центре наноспутника. В этом случае коэффициент восстанавливающего аэродинамического момента, вычисленный относительно центра масс, определяется по формуле:

1па,р = xтCn (а,Р

вдоль продольной оси, l - характерная длина.

На рис. 4 и 5 показаны зависимости коэффициента восстанавливающего

аэродинамического момента от пространственного угла атаки а и угла собственного вращения р для наноспутников CubeSat-2U и CubeSat-3U, безразмерная координата центра масс которых равна xT = 0,1. Кривые 1 и 2

где xT = xT /1 - безразмерная координата

центра масс наноспутника, положение центра масс, отсчитываемое от геометрического центра наноспутника

построены для зависимости ma р,

полученной при значениях угла собственного вращения р = 0° и р = 45° соответственно. Кривая 3 построена для зависимости ma , усреднённой по углу

а

р . Для проведения анализа параметров движения зависимость коэффициента та р, усреднённую по углу собственного вращения р , с достаточной точностью можно аппроксимировать синусоидальной зависимостью а0 Бт(а) (пунктирная линия на рис. 4 и 5). На рис. 4а, 5а

приведены зависимости, полученные при значениях коэффициентов аккомодации ап = 0,87, аТ = 0,97 и температурного

фактора = 1, и на рис. 4б, 5б - при

а = 0,97.

п

аТ = 0,87 и ^ = 0,001.

Рис.4. Зависимости коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента наноспутника СиЪеБаг-2и от пространственного угла атаки и угла собственного вращения: а - при ап = 0,87, ат = 0,97 и = 1; б - при ап = 0,97, аТ = 0,87 и ^ = 0,001

а)

о

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

\ /

— аппроксимация кривой 3

\\

4 V 1

\ 3 \ /

> 47 ' /

2/

30

60

90

120

150

а, град

180

б)

О

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

— аппроксимация кривой 3

1 4

3 //

У

О

30

60

90

120

150

а, град 180

Рис.5. Зависимости коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента наноспутника СиЪе8аг-3П от пространственного угла атаки и угла собственного вращения:

а - при ап = 0.87, ах = 0.97 и ^ = 1; б - при ап = 0.97, аТ = 0.87 и = 0.001

Сравним величины гравитационного и восстанавливающего аэродинамического моментов на высоте 330 км, что соответствует средней высоте орбиты, на которую в 2015 г. планируется запустить 50 наноспутников стандарта СиЬеБа! в рамках европейского проекта 0Б50, а также на высотах 245 км и 193 км, что соответствует максимальной и

минимальной высоте околокруговой орбиты, используемой для выведения

спутников с помощью третьей ступени ракеты-носителя «Союз».

В табл. 2 - 4 приведены изменения отношения максимального значения аэродинамического момента к

максимальному значению гравитационного момента в зависимости от начальной

высоты

полёта

Н 0

и

величины

безразмерной координаты центра масс наноспутника хТ для ночной плотности

атмосферы при минимальной солнечной активности [7]. Значения аэродинамического момента определялись при значениях коэффициента восстанавливающего момента, усреднённого по углу

собственного вращения р и аппроксимированного синусоидальной зависимостью по углу атаки а .

Таблица 2. Изменение отношения максимального значения аэродинамического момента к максимальному значению гравитационного момента в зависимости от величины безразмерной координаты центра масс на высоте полёта 330 км

xT 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3

CubeSat-2U 2,1 4,1 6,2 8,4 12,5

CubeSat-3U 1,1 2,3 3,4 4,5 6,7

Таблица 3. Изменение отношения максимального значения аэродинамического момента к максимальному значению гравитационного момента в зависимости от величины безразмерной координаты центра масс на высоте полёта 245 км

xT 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3

CubeSat-2U 22,4 44,8 67,2 90,6 135,4

CubeSat-3U 12,0 24,4 36,4 48,4 72,8

Таблица 4. Изменение отношения максимального значения аэродинамического момента к максимальному значению гравитационного момента в зависимости от величины безразмерной координаты центра масс на высоте полёта 193 км

xT 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3

CubeSat-2U 102,2 204,3 306,5 413,5 617,8

CubeSat-3U 54,7 111,3 166,0 220,7 332,0

Как видно из таблиц, на высотах до 330 км преобладающим является аэродинамический момент даже для плотности, соответствующей ночной атмосферы при минимальной солнечной активности.

Рассмотрим случай, когда аэродинамический момент является преобладающим и определяет характер углового движения. Тогда, пренебрегая влиянием гравитационного момента и орбитальной угловой скоростью, усредняя аэродинамический момент по углу собственного вращения и аппроксимируя его синусоидальной зависимостью от угла атаки, изменение пространственного угла атаки наноспутника можно описать следующим уравнением [1]:

а + (G - R cos а)(R - G cos а)/sin3 а --a(H) sin а = 0,

где R = Ixa>x / In = const,

G = R cos а + (-wy cos f+a>z sin f )sin а = const

- отнесённые к поперечному моменту инерции проекции вектора кинетического момента на продольную ось наноспутника и на направление скорости центра масс, соответственно; Ix - продольный момент

инерции; I = Iz = In - поперечный момент

инерции; wx, wy, (Oz - проекции вектора

угловой скорости на оси связанной

системы координат; (р - угол собственного вращения;

a(H) = та рSlVp(H)/(2In) - коэффициент

аппроксимации аэродинамического

момента синусоидальной зависимостью от угла атаки, отнесённый к поперечному моменту инерции; та,р - коэффициент

восстанавливающего момента,

вычисленного относительно центра масс, S - характерная площадь, l - характерный размер наноспутника; V - скорость центра

масс, H - высота полёта; р (Н) -плотность атмосферы.

Изменение высоты круговой орбиты вследствие сопротивления атмосферы происходит очень медленно, и при рассмотрении углового движения наноспутника на одном или нескольких витках можно принять H = const. В этом случае для системы (4) имеет место интеграл энергии:

а2/2 + (R2 + G -2RGcosa)/(2sin2а) + + a cosa = E

.

Значение E определяется по начальным условиям, при этом а0 = (Оу cos j0 + (Oz sin j0 .

Максимальное значение угла атаки определяется из уравнения

(R2 + G -2RGcosamax)/(2sin2 amax) +

+ a cos amax - E = 0

которое следует из интеграла энергии (5) при а = 0.

Для определения функции распределения максимального угла атаки наноспутника было проведено

статистическое моделирование (10000 численных экспериментов) по

соотношениям (5) и (6). Предполагалось, что компоненты начальной угловой скорости наноспутника независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и в начальный момент времени продольная ось наноспутника направлена по вектору скорости центра масс. Предполагалось, что начальное значение коэффициента а(Н) - это случайная величина, распределённая равномерно в диапазоне от минимального значения, соответствующего минимальному

значению коэффициента нормальной сп аэродинамической силы и ночной плотности атмосферы при минимальной

солнечной активности, до максимального значения, соответствующего

максимальному значению коэффициента нормальной сп аэродинамической силы и дневной плотности атмосферы при максимальной солнечной активности.

На рис. 6 - 8 показаны изменения функции распределения максимального угла атаки наноспутников СиЬеБа1;-2и и СиЬеБа1;-3и (со значениями безразмерной координаты центра масс 0,1 и 0,2) в зависимости от величин

среднеквадратичных отклонений

составляющих начальной угловой скорости наноспутника: кривая 1 для 3о^= 3ац= 2,5 град/с и 3оЮх = 0,5 град/с;

кривая 2 для 3<об) = 3<об) = 1,5 град/с и

3ою = 0,3 град/с; кривая 3 для

3ою^ = = 0.5 град/с и = 0,1 град/с;

кривая 4 для 3<об) = 3<об) = 0,25 град/с и

3ою = 0,05 град/с. Графики построены

для высот 193 км, 245 км и 330 км.

Используя полученные функции распределения максимального угла атаки, можно проанализировать возможность ориентации продольной оси наноспутника вдоль вектора скорости с заданной вероятностью на заданной высоте полёта, определить требования к начальным величинам углового движения и к положению центра масс наноспутника.

Так, например, для того чтобы на высоте 193 км обеспечить ориентацию продольной оси наноспутника СиЬеБа1;-3и вдоль вектора скорости центра масс в пределах 0 - 20° с вероятностью 0,95 в случае, если величины

среднеквадратичных отклонений

составляющих начальной угловой скорости не превосходят значений 30^ = =1,5 град/с и 30^, = 0,3 град/с,

необходимо обеспечить положение центра масс наноспутника хТ = 0,2 (рис. 6б).

1

0.8 0.6 0.4 0.2 О

1

0.8 0.6 0.4 0.2

О

1

0.8 0.6 0.4 02

О

Рассмотрим частный случай пространственного движения относительно центра масс наноспутника - плоское угловое движение. В этом случае соотношение (6) имеет вид

ес8атах-Е = 0,

г а 02

1е Е = а соб а0 + .

_а^,град 0

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

а б

Рис. 6. Функция распределения максимального угла атаки на высоте 193 км для наноспутников: а - СиЬе8а(-2П, б - СиЬеБа(-3и

.а^град ^- ' | -г/гад

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 О Ю 20 30 40 50 60 70 80 90 100

а б

Рис. 7. Функция распределения максимального угла атаки на высоте 245 км для наноспутников: а - СиЬе8а(-2П, б - СиЬеБа(-3и

О

. град

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

а

Рис. 8. Функция распределения ^ на высоте 330 км для наноспутников

а

г

Из(7)следует

СО8 атах = СО8 а0 +

(&0

2а0

Будем считать, что величина а0

распределена по Рэлеевскому закону (компоненты поперечной составляющей угловой скорости независимы и распределены по нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными о2у = о2г = о2).

Тогда, вычисляя распределение функции по распределению аргумента в соответствии с [8], получим аналитические выражения для плотности распределения и функции распределения максимального угла атаки атах е (а0, ж) :

г

У ( тах) - 2 еХР

Р (атах ) = 1 - ехР

- а

о

.

Для оценки возможности использования полученной для случая плоского углового движения

аналитической функции распределения максимального угла атаки в случае пространственного движения были проведены расчёты для наноспутника СиЬеБа1-2и со значением безразмерной координаты центра масс 0,1 и с минимальным значением коэффициента нормальной аэродинамической силы. Рассматривалась высота полёта 245 км, плотность соответствовала ночной атмосфере при минимальном индексе солнечной активности. Оценивалось влияние начального угла атаки а0 и

начальной продольной угловой скорости ах.

На рис. 9 и 10 показаны графики функции распределения максимального угла атаки атах , полученные в результате численного эксперимента по

соотношениям (5) и (6) (сплошные линии), и графики аналитической функции распределения (10) (пунктирные линии) для различных значений начального угла атаки а0 (рис. 9) и начальной продольной угловой скорости ах (рис.10). На рис. 9 кривые 1-3 построены для среднеквадратичных отклонений составляющих начальной угловой скорости наноспутника 3оЮу = 3ою^ = 1 град/с и 3оах = 0,2 град/с,

при этом кривые 1 соответствуют а0 = 0 , кривые 2 - а 0 = 15°, кривые 3 - а 0 = 30°; кривые 4-6 построены для 3оа = 3оа = 2 град/с и 3оа = 0,2 град/с, при этом кривые 4 соответствуют а0 = 0, кривые 5 - а0 = 15°, кривые 6 - а0 = 30°. На рис. 10 кривые 1-4 построены для 3оа = 3оа = 1 град/с и а 0 = 0, при этом

кривая 1 построена для аналитической функции, кривая 2 - для 3оа = 0,2 град/с,

кривая 3 - для 3оа = 2 град/с, кривая 4 -

для 3оа = 4 град/с; кривые 5-8

построены для 3оа = 3оа = 2 град/с и

а 0 = 0, при этом кривая 5 построена для аналитической функции, кривая 6 - для 3оа = 0,2 град/с, кривая 7 - для 3оа = 2

град/с, кривая 8 - для 3оа = 4 град/с.

Па )

0.8

0.6

0.4

0.2

2 / 1 //' // 4

"Чб

15

30

45

60

75

90

105

. град

Рис. 9. Функция распределения максимального угла атаки для различных значений начального угла атаки а0

15 30 45 60 75 90 105 «„.Чрод

Рис. 10. Функция распределения максимального угла атаки для различных значений начальной продольной угловой скорости (0Х

Как видно, при отделении наноспутника по вектору скорости центра масс (начальное значение угла атаки мало) и при незначительной закрутке наноспутника относительно продольной оси можно в случае пространственного углового движения с достаточной точностью использовать аналитическую функцию распределения максимального угла атаки, полученную для случая плоского углового движения.

Таким образом, определены аэродинамические характеристики

наноспутников СиЬе8а1;-2и и СиЬе8а1;-3и. Получены функции распределения максимального угла атаки наноспутников для различных высот полёта в зависимости от разброса компонентов

начальной угловой скорости. Используя полученные функции распределения максимального угла атаки, можно проанализировать возможность

ориентации продольной оси наноспутника вдоль вектора скорости с заданной вероятностью на заданной высоте полёта, определить требования к начальным величинам углового движения и к положению центра масс наноспутника.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 13-08-97015-р_поволжье_а.

Библиографический список

1. Ярошевский, В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере [Текст] /

B. А. Ярошевский. - М.: Машиностроение, 1978. - 168 с.

2. Заболотнов, Ю.М. Статистический анализ движения относительно центра масс лёгкой капсулы при входе в атмосферу [Текст] / Ю.М. Заболотнов // Космические исследования. - 2013. - Т. 51. - № 3. - С. 228-239.

3. Belokonov, I.V. Radionavigation of low orbital cubesat after separation from Soyuz upper stage: attitude motion influence / I.V. Belokonov, A.V. Kramlikh, I.A. Timbai // 7th International Workshop on Satellite Constellations And Formation Flying. - Lisbon, Portugal. - 13-15 march, 2013.

4. Аэрогидромеханика [Текст] / Е.Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю.А. Рыжов,

C.Б. Свирщевский, Н.В. Семенчиков. -М.: Машиностроение, 1993. - 608 с.

5. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике [Текст]: учебник для авиац. специальностей вузов / В. С. Авдуевский, Б.М. Галицейский, Г.А. Глебов [и др.]; под общ. ред. В.С. Авдуевского, В.К. Кошкина. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1992. - 528 с.

6. Воронич, И. В. Влияние особенностей взаимодействия газа с поверхностью на аэродинамические характеристики космического аппарата [Текст] / И.В. Воронич, З.М. Мьинт // Вестник МАИ. - 2010. - Т. 17. - № 3. - С. 59-67.

7. Основы теории полёта космических аппаратов [Текст] / В.С. Авдуевский, Б.М. Антонов, Н.А. Анфимов [и др.]; под ред. Г.С. Нариманова и М.К. Тихонравова. - М.: Машиностроение, 1972. - 607 с.

8. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. -М.: Наука, 1969. - 576 с.

DETERMINATION OF THE MAXIMUM VALUES OF THE SPATIAL ANGLE OF ATTACK OF A NANOSATELLITE IN MOTION ON LOW CIRCULAR ORBITS

© 2013 L. V. Glukhova, I. A. Timbai

Samara State Aerospace University

Spatial motion of an uncontrolled nanosatellite around its center of mass on low circular orbits is considered. The aerodynamic characteristics of nanosatellites CubeSat-2U and CubeSat-3U are determined. The distribution functions of the maximum angle of attack of nanosatellites for various flight altitudes depending on the dispersion of the components of the initial angular velocity are obtained.

Nanosatellite, spatial motion, aerodynamic characteristics, distribution function.

Информация об авторах

Глухова Лия Валерьевна, программист кафедры высшей математики, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: glukhova.liya@gmail.com. Область научных интересов: механика космического полёта.

Тимбай Иван Александрович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: timbai@ssau.ru. Область научных интересов: механика космического полёта.

Glukhova Liya Valerievna, programmer of the Department of Higher Mathematics, Samara State Aerospace University. E-mail: glukhova.liya@gmail.com. Area of research: space flight mechanics.

Timbai Ivan Alexandrovich, Doctor of Science (Engineering), Professor, Professor of the Department of Higher Mathematics, Samara State Aerospace University. E-mail: timbai@ssau.ru. Area of research: space flight mechanics.