О численной реализации метода последовательного изменения параметров при расчёте напряженно-деформированного состояния пологих оболочек

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17 Выпуск 3

УДК 517.5

О ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ

ПРИ РАСЧЁТЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Л, В, Бессонов, Т. А. Кузнецова, С, В, Чумакова

Аннотация

В работе рассматривается класс нелинейных динамических моделей оболочек, нелинейность которых отражает гауссову кривизну поверхности; в случае когда нагрузки, действующие на оболочку меньше критических в любой момент времени. При этом любая неизвестная функция, входящая в уравнения системы, однозначно выражается через функцию прогиба, а область, определяемая серединной поверхностью оболочки, является ограниченной и имеет кусочно-гладкую границу. К этому классу уравнений относятся такие модели как модель Кирхгофа-Лява, уточняющая её модель Тимошенко, заданная как в перемещениях, так и в смешанной форме, модель отражающая связь полей деформации и температуры и другие модели.

Для таких моделей в качестве численного метода расчёта напряженно-деформированного состояния обсуждается метод последовательного нагружения, разработанный в 70-х годах XX века профессором В. В. Петровым, который сводит решение нелинейных уравнений к решению последовательности линейных уравнений. В работе обсуждаются вопросы, связанные с реализацией этого метода. Известно, что метод В. В. Петрова медленно сходится. Поэтому рассматриваются вопросы, связанные с улучшением сходимости. Далее, применение вариационных методов для решения линейных систем уравнений требует определения скорости сходимости этих методов, а также нахождения ортогональной системы функций, удовлетворяющей граничным условиям. Эти вопросы также рассматриваются в работе.

Ключевые слова: оболочечная конструкция, напряженно-деформированное состояние, нелинейные модели оболочек, метод последовательного возмущения параметров.

Библиография: 15 названий.

ABOUT NUMERICAL REALIZATION OF THE METHOD OF SUBSEQUENT PARAMETERS PERTURBATION FOR

CALCULATING A STRESS-STRAIN STATE OF SHALLOW SHELLS

L, V, Bessonov, T, A, Kuznetsova, S, V, Chumakova

Abstract

The paper investigates a class of nonlinear dynamic shell models, which non-linearity reflects Gaussian curvature of a surface; in the case when loads are smaller than critical ones in every point in time. Moreover, every unknown function from the system of equations, can be uniquely-identified through the deflection function. Domain that is defined by the middle shell surface is bounded with piecewise smooth boundary. Such models as Kirchhoff-Love model (that specify Tymoshenko model, defined both in transferences and mixed forma), a model that reflects the bond between deformation fields and temperature and others can represent that equation class.

The method of subsequent parameters perturbation developed by professor V. Petrov in 1970s is used as a numerical method for such models. This method brings the solution of nonlinear equations to the solution of a sequence of linear equations. The paper discusses problems connected with the realization of this method. It is known, that method of V. Petrov converges slowly. That is why questions of convergence improvement are examined. The usage of variation methods for solving systems of linear equations requires defined convergence speed and orthogonal system of functions that satisfies the boundary conditions. These questions are investigated in the paper as well.

Keywords: shell, the stress-strain state, nonlinear shell model, serial parameters perturbation method.

Bibliography: 15 titles.

1. Введение

Данная работа посвящена описанию алгоритма численной схемы расчёта напряжённо-деформированного состояния геометрически нелинейных оболочек в докритической области параметров в динамическом случае. В основе этой численной схемы лежит метод последовательных нагружений, разработанный в 70-х годах В. В. Петровым [1]. Суть этого метода заключается в том, что решение нелинейной модельной задачи сводится к решению ряда линейных систем дифференциальных уравнений. Метод последовательных нагружений даёт значительное преимущество во времени по сравнению с примеяемыми ранее методами расчёта оболочечных конструкций. К недостаткам этого метода относится, во-первых, его медленная сходимость. Как показано в работе [2] порядок скорости сходимости совпадает с порядком разбиения нагрузки на малые составляющие. Поэтому метод В. В. Петрова нашёл широкое применение в случае, когда требовалась невысокая точность при решении модельной задачи. Вторым недостатком является тот факт, что метод не позволяет определить ту ветвь решения нелинейной задачи при переходе в закритическую область, которая отвечает минимальной потенциальной энергии оболочки. Поэтому нужно из каких-либо соображений знать, что вычисления ведутся в докритической области параметров.

Нужно сказать, что в отдельности эти недостатки были устранены в работах, опубликованных в последнее десятиление. Так, в работе [2] была получена модификация метода В. В. Петрова, позволяющая на несколько порядков улучшить его сходимость. В работах [4-6] был разработан спектральный критерий потери устойчивости, который позволяет определить «слабые точки» — точки локальной потери устойчивости. Накопление таких точек позволяет говорить о том, что параметры оболочки приближаются к критическим.

Отметим, что модификация метода В. В. Петрова и спектральный критерий отличаются простотой численной схемы, но для их реализации необходимо строить ортонормированную систему функций, удовлетворяющих граничным условиям. Поэтому численная реализация этих методов в работах [4-6] проводилась в случае прямоугольных в плане пологих оболочек.

Приведённая в нашем случае численная схема использует модификацию метода В. В. Петрова и работает в случае произвольных в плане пологих оболочек.

Результаты расчёта обочечных конструкций произвольной конфигурации границы модифицированным методом В. В. Петрова в статическом случае приведены в работах одного из соавторов данной статьи [10-13].

Остановимся более подробно на отдельных моментах вышеизложенного.

В данной работе рассматривается класс динамических геометрически нелинейных моделей оболочечных конструкций, т.е. нелинейность которых отражает гауссову кривизну серединной поверхности оболочки, удовлетворящих ограничениям:

1. Все функции, входящие в уравнения модели, должны однозначно выражаться через функцию прогиба.

2. Серединная поверхность оболочки должна быть односвязной и компактной в М3 и ограничена простым жордановым контуром, складываемым алгебраическими кривыми.

Пусть О — область в плоскости ХОУ, которая определяется проекцией серединной поверхности оболочки и Г — граница этой области. Будем предполагать, что Г является кусочко-алгебраической кривой, т.е. Г = аО = иГ, где Г — кривые, заданные алгебраическими уравнениями ф^(х,у) = 0.

В класс таких моделей входят модели Кирхгофа-Лява, Тимошенко, заданные как в перемещениях, так и в смешанной форме. Проанализируем схему расчёта, разработанную для этого класса нелинейных моделей, на примере динамической модели Кармана. Эта модель определяется следующей системой уравнений:

= -ОД2Ш + Ь(Ш, F) + ДкF + д,Ь е [О; Т],

Е Д2F = -1 Ь(Ш,Ш) - ДкШ, с граничными условиями в форме Неймана

дF

ш

и начальными условиями

дг]

Ш (0,х,у) = Wo,F (0, х, у) = Fo,

дШ(0,х,у) _лхт дЕ(0,х,у) _ р

дг = дг = ^ь

дг]

= 0,

г

еК3

Где о — цилиндрическая жесткость, определяемая по формуле О = —^-(и — ко-

12

эффициент Пуассона), Е — модуль Юнга, Д2^ = Д(Д^), где Д — оператор Лапласа,

д2F д2Ш д2F д2Ш " д2F д2Ш

Ь(Ш,г ) = 0 0 + — 2 ——--отражает гауссову кривизну деформирован-

ду2 дх2 дх2 ду2 дхду дхду

д2 д2

ной серединной поверхности оболочки, Дк = ку—^ + кх—^, кх и ку характеризуют кривизну

дх2 ду2

поверхности оболочки вдоль соответствующих осей, ц — величина нормальной нагрузки, Ш — функция прогиба, F — функция усилий.

Искомые функции — Ш (¿, х, у) и F (¿, х, у) ищутся в пространстве £те([0; Т], И2(О) хИ 2(О)), где И2 (О) — пространство Соболева.

Будем предполагать, что нагрузки, действующие на оболочку не превосходят критических. То есть нагрузка такова, что сохраняется единственность решения модели на всём отрезке [0; Т]. Под малостью нагрузки в этом смысле будем понимать нагрузку докритическую. То есть соответствующая нелинейная модель на временном интервале [0; Т] имеет единственное решение в пространстве £те([0;Т],И2(О) х И2(О)) и это решение можно найти методом В. В. Петрова — методом последовательного нагружения (см. [1,3]).

Метод последовательных нагружений был предложен профессором В. В. Петровым. [1] Развитие этого метода получило широкое применение при расчёт напряженно-деформированных состояний тонкостенных оболочечных конструкций и, как следствие, прочности, устойчивости и долговечности конструкций. [3] В основе метода лежит простой факт: малым нагружения соответствуют малые прогибы. Нагрузку ц представим в виде

N

Ц = Е Дц,

г=0

г

Пусть на п — 1 шаге получено Запишем решение на шаге п в виде

Wn = Wn-1 + № = ^к

^га = ^п-1 + ^п = ^ к=1 .

Пусть на п — 1 шаге получено решение (Wn-1, соответствующее нагруже ^П=о Д^г-

На шаге п нормальная нагрузка меняется на величину ДдП- В результате этого воздействия прогиб на п-ом шаге будет отличаться от прогиба на предшествующем шаге на 5Wn, причём отличие это будет незначительным. Этот факт позволяет рассматривать для нахождения прогиба линейную систему дифференциальных уравнений

= — ^Д2™ + Ь(ы, Еп-1) + Ь^п-1, /) — Дк/ + Ддп, * е [0, Т],

-Д2/ = — L(w,Wn-l) — Дк V,

где и Wn-l — известные функции, найденные на предыдущем шаге, а через V и / для упрощения записи обозначены искомые функции, упомянутые в (5) 5Wn и 5Еп соответственно.

При соответствующих исходной задаче граничных условиях последняя система решается одним из вариационных методов. Например, методом Бубнова-Галёркина. Известно, что по-сдеовательность функций (5) сходится в пространстве Т],Н2(^) х Н2(^)) к решению

нелинейной модели (1). [2] Но эта сходимость является медленной. В связи с этим при решении системы (1) методом последовательных нагр ужений приходится решать задачу, модифицируя ход метода с целью улучшения сходимости.

Далее встают задачи по решению системы (6) методом Бубнова-Галёркина, связанные с построением ортогональной системы функций в Ь2(0), удовлетворяющих граничным условиям и определяющим скорость сходимости метода Бубнова-Галёркина.

Задачи такого рода встают при решении любой из нелинейных моделей из указанного нами класса моделей.

В данной работе рассматриваются вопросы, связанные с решением этих задач.

Отметим, что подобные вопросы встают и при решении статических геометрическии нелинейных моделей оболочек (см. [4,5]).

2. Модификации метода последовательного нагружения

В работе [6] рассматривалась модификация метода последовательного нагружения, улучшающая сходимость при малых временных затратах. Пусть (W*_ 1) — приближенное решение, полученное модифицированным методом на шаге п — 1. Пусть (дWn,дFn) — решение линеаризованной в точке (W*_ 1, 1) системы уравнений с граничными условиями в форме Неймана.

п

W- = + SWn.

Решение с «избытком» получим по формуле

W+ = wn_l + А№,

где А > 1 и является корнем уравнения

[[ + /, —-1 + Хы, дп)(—-1 + Хы)^у _ 0,

1/п

где К^/, ы,д) = 0 — первое уравнение системы Кармана (1), дп _ Ад^, а через ы и / обозначены упомянутые в (7) и (8) д—п и ЗЕп соответственно.

Х

ной энегрип оболочки.

Теперь приближенное решение для шага п получим по формуле

— + + —-

-Ш * _ _ п 1 " п

2

При этом функцию усилий для шага п получим как решение второго уравнения системы Кармана (1).

В [6] что такого сорта модификация даёт значительную экономию во времени по сравнению с немодифицированным методом последовательного нагружения и некоторыми известными его модификациями, например, по сравнению с предложенной в [8] модификацией.

3. Вопросы гладкости решений линейных задач и вопросы сходимости метода Бубнова^Галёркина

Метод последовательного нагружения за счёт линейной аппроксимации по отдельным параметрам позволяет строить последовательность функций {ып}, которые являются решением соответствующего линейного операторного уравнения вида

' 2 д_ -^А2ы + Ьп

(0,•)_ Ы1,

где Ьп(ы) _ Щг • 1x1 + ^^ • дуу! - 2|хЛ • дХду > а /п _ Ак^п + д и {^п} — последовательность функций, полученная каким-либо методом, сходящаяся в пространстве Ьте([0;Т],Н2(О)) к функции прогиба В работе [2] в качестве последовательности таких функций была взята последовательность функций, получаемых методом последовательных нагружений. В данном случае возьмём последовательность функций {^п}, получаемую методом Бубнова-Галёркина и исследуем вопросы гладкости и сходимости решения. Известно [9], что такая последовательность сходится в пространстве Ьте([0; Т],Н2(О)), где Н2(О) — пространство Соболева, к функции усилий Относительно гладкости фукнций ып, полученных в результате решения линейных операторных уравнений вида (9) имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Предположим, что:

р. 2 г?

1. Функции дх.ду. непрерывны по времени.

2. Оператор Ап _ ^А2 — Ьп является положительно определённым.

3. При любом * е [0; Т] функции ы0,ы1 ,д принадлежат, области определения оператора А2г, где действие опреатора Лапласа рассматривается в пространстве Н2^).

Тогда, для, любого * е [0; Т] решение ып задачи (9) принадлежит области определения оператора

А2г.

Рассмотрим вопрос сходимости метода Бубнова-Галёркина для операторного уравнения (9). Пусть выполняются условия теоремы 1. Метод Бубнова-Галёркина для операторного уравнения (10) заключается в определени последовательности функций

N

—т,п

у) = Е вк,пОек,

к=1

сходящихся к решению —п, где (вк} — система собственных функций оператора Д, а коэффициенты вк,п(1) находятся из условий:

1. ^^^ ,вг) + (ОД2^ + ), вг) = (¡п, вг ),г = ьм;

2. —п^(0, •) = Wo,N, (0, •) = Wl,N,

где —0N —> —> -1, при N —> ж.

Относительно порядка скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина при сделанных выше предположениях имеет место теорема.

Теорема 2. Скорость сходимости последовательности функций (—пN} вида (10) к решению —п операторного уравнения (9) в пространстве £те([0; Т],Ид(О)) имеет порядок О ( N2г-0-

Доказательство теоремы 2 см. в работе [2].

4. Построение ортонормированной системы функций для решении я задачи методом Бубнова^Галёркина

При n = 0 функции Wo и Fo являются решением линейной системы уравнений, полученной в результате линеаризации системы (1) при q = Aqo. Линейные системы вида (6) решаются методом Бубнова-Галёркина. Тут следует отметить, что для применения метода Бубнова-Галёркина потребуется построение полной ортнормированной системы базисных функций из L2(Q), отвечающих граничным условиям задачи. Это несложно сделать, к примеру, для прямоугольных в плане оболочек. В самом деле, для оболочки, серединная поверхность которой определена как прямоугольная область Q = {(х,у) :0 < x < a & 0 < y < b}, в качестве такой системы подойдёт, к примеру, следующая система

. 2nm . 2п1

pml = sin-sin——, m = 1,2,..., I = 1,2,____

a b

В случае оболочечной конструкции с произвольной конфигурацией границ, удовлетворяющей лишь условиям, описанным во введении, задача нахождения такой полной ортнормированной системы базисных функций из L2(Q) существенно усложняется.

Построим линейно независимую систему функций, определенных в области Q и удовлетворяющих граничным условиям задачи Коши (1). С этой целью введём вспомогательную функцию ф(х,у).

Пусть граница области Q является кусочно алгебраическим линией, т.е. Г = (J¿ r¿, где Г i определяется алгебраическим уравнением ф^(х,у) = 0 и рассмаотри нулевые граничные условия вида:

dW

W |г = 0, dW

ОТ]

dF'

F|r =°- Щ

= 0,

Г (11) = 0.

Г

Тогда вспомогательная функция будет иметь вид

Ф

к

Определим систему функций (рг,з(х,у)} следующим образом:

V = (Рг,з(х,у) : Рг,з(х,у) = ф2(х,у)хгу3}, г е М+, з е М+.

Выполним процедуру понижения размерности мультииндекса. Сведём мультииндекс (г,з) системы функций V к одномерному индексу т как показано в [10-13]. Такая система будет линейно независимой. Теперь выполним ортогонализацию системы V:

77 = {rm(x, у) : rm(x, у) = |ДХГА2 , Г0(х, у) = ^

т-1 2 1

Гт

где {, ) обозначает

$ п(х,у)у(х,у)йхйу

{и,У') ^ у(х,у)у(х,у)д,хду. ^^^

п

Полученная система функций 71 является ортонормированной и удовлетворяет краевым граничным условиям задачи Коши для модели Кармана, взятой для оболочки произвольной конфигурации.

На каждом шаге метода последовательного нагружения, кроме возможно первого, решается задача с граничными условиями в форме Неймана. В этом случае вспомогательная функция будет выглядеть следующим образом

Ф

к

Заметим, что в данной работе не планировались примеры численной реализации модифицированного метода В. В Петрова.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.

2. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций : дис. .. .д-ра техн. наук. Саратов, 2000.

3. Петров В. В., Овчинников И. Г., Иноземцев В. К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного равномодульного неоднородного материала. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1988.

4. Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. О численной реализации метода последовательных нагружений при расчете геометрически нелинейных оболочек // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 6. С. 27-43.

5. Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Чумакова С. В. Операторные методы в нелинейной динамике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1. С. 70-80.

6. Чумакова С. В., Пшенов Д. А., Шабанов Л. Е. К вопросу улучшения сходимости метода В. В. Петрова - метода последовательного возмущения параметров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во СГТУ, 2002. С. 61-64.

7. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М. : Издательство технико-теоретической литературы, 1967.

8. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру // ПММ. 1994. Т.58. Вып.6. С. 14-21.

9. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. : Мир, 1972. 104 с.

10. Бессонов Л. В. Численная реализация метода последовательного возмущения параметров при расчете напряжённо-деформированного состояния оболочечной конструкции в случае жесткого закрепления краев оболочки // Изв. Сарат. ун-та Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т.15. вып.1. С. 74-79. DOI 10.18500/1816-9791-2015-15-174-79

11. Бессонов Л. В. Численная реализация алгоритма спектрального критерия локальной потери устойчивости оболочечной конструкции // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 7. С. 3-9.

12. Бессонов Л. В. Численная реализация спектрального критерия определения точек локальной потери устойчивости оболочечной конструкции // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2015), Москва, 2015. С. 223-225.

13. Bessonov L. V. Numerical Realization of The Method of Subsequent Parameters Perturbation for Calculating a Stress-Strain State of The Shell // Applied Mechanics and Materials. 2015. T. 799-800. C. 656-659.

14. Бессонов Л. В. Об операторном подходе при расчёте напряжённо-деформированного состояния оболочечных конструкций //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Казань. 2015. С. 467-469.

15. Бессонов Л. В. Геометрические параметры и точки локальной потери устойчивости цилиндрической оболочки // Студенческая наука: перекрёстки теории и практики. Материалы I Внутривузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов. Саратов. 2013. С. 20-23

REFERENCES

1. Petrov V. V., 1975, Metod posledovatel'nykh nagruzhenii v nelineinoi teorii plastin i obolochek. [Successive loading method in nonlinear theory of plates and shells] Saratov: Izd-vo Sarat. un-ta.

2. Kuznetsov V. N., 2000, Metod posledovatel'nogo vozmushcheniia parametrov v prilozhenii k raschetu dinamicheskoi ustoichivosti tonkostennvkh obolochechnvkh konstruktsii [Method of sequential perturbation of parameters applied to the simulation of dynamic stability thin-walled shell structures] : dis. ... d-ra tekhn. nauk. Saratov,

3. Petrov V. V., Ovchinnikov I. G., Inozemtsev V. K., 1988, Deformirovanie elementov konstruktsii iz nelineinogo ravnomodul'nogo neodnorodnogo materiala. [The deformation of structural elements of the same-module non-linear inhomogeneous material] Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta.

4. Kuznetsov V. N., Kuznetsova T. A., Chumakova S. V., 2010, O chislennoi realizatsii metoda posledovatel'nykh nagruzhenii pri raschete geometricheski nelineinvkh obolochek [About numerical realization of the successive loading method for calculating the geometrically nonlinear shells], Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional'nomu analizu i smezhnvm voprosam: mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta. Vvp. 6. S. 27-43.

5. Kuznetsov V. N., Kuznetsova T. A., Chumakova S. V., 2003, Operatornve metodv v nelineinoi dinamike [Operator methods in nonlinear dynamics], Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional'nomu analizu i smezhnvm voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta. Vvp. 1. S. 70-80.

6. Chumakova S. V., Pshenov D. A., Shabanov L. E., 2002, K voprosu uluchsheniia skhodimosti metoda V. V. Petrova - metoda posledovatel'nogo vozmushcheniia parametrov [To the problem of improving the convergence of the Petrovs method - the method of successive perturbation of parameters], Problemv prochnosti elementov konstruktsii pod deistviem nagruzok i rabochikh sred: Mezhvuz. nauch. sb. Saratov: Izd-vo SGTU. S. 61-64.

7. Mikhlin S. G., 1967, Variatsionnve metodv v matematicheskoi fizike. [Variational methods in mathematical physics] M. : Izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoi literaturv.

8. Kuznetsov E. B., Shalashilin V. I. 1994, Zadacha Koshi dlia mekhanicheskikh sistem s konechnvm chislom stepenei svobodv kak zadacha prodolzheniia po nailuchshemu parametru [The Cauchv problem for mechanical systems with a finite number of degrees of freedom as the problem of continuing on the best parameter], PMM. T.58. Vvp.6. S. 14-21.

9. Lions Zh. L., 1972, Nekotorve metodv resheniia nelineinvkh kraevvkh zadach. [Methods of solving nonlinear boundary value problems] M. : Mir. 104 s.

10. Bessonov L. V., 2015, Chislennaia realizatsiia metoda posledovatel'nogo vozmushcheniia parametrov pri raschete napriazhenno-deformirovannogo sostoianiia obolochechnoi konstruktsii v sluchae zhestkogo zakrepleniia kraev obolochki [Numerical Implementation of Method of Subsequent Perturbation of Parameters for Computation of Stress-Strain State of a Shell Rigidly Fixed on the Boundaries], Izv. Sarat. un-ta Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika. T.15. vvp.l. P. 74-79. (in Russian) DOI 10.18500/1816-9791-2015-15-1-74-79

11. Bessonov L. V., 2012, Chislennaia realizatsiia algoritma spektral'nogo kriteriia lokal'noi poteri ustoichivosti obolochechnoi konstruktsii [The numerical implementation of the algorithm of spectral criteria for the local buckling of the shell structure], Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional'nomu analizu i smezhnvm voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov : Izd-vo Sarat. un-ta. Vvp. 7. S. 3-9.

12. Bessonov L. V., 2015, Chislennaia realizatsiia spektral'nogo kriteriia opredeleniia tochek lokal'noi poteri ustoichivosti obolochechnoi konstruktsii [Numerical realization of the spectral

criterion for determining the points of local buckling of the shell structure], Materialv XIX Mezhdunarodnoi konferentsii po vychislitel'noi mekhanike i sovremennvm prikladnvm programmnvm sistemam

13. Bessonov L. V., 2015, Numerical Realization of The Method of Subsequent Parameters Perturbation for Calculating a Stress-Strain State of The Shell, Applied Mechanics and Materials. T. 799-800. P. 656-659.

14. Bessonov L. V., 2015, Ob operatornom podhode pri raschete naprvagenno-deformirovannogo sostovaniva obolochechnvh konstrukciv, XI Vserossiiskiv s'ezd po fundamentalnvm problemam teoreticheskov i prikladnov mehaniki. Kazan. S. 467-469.

15. Bessonov L. V., 2013, Geometriceskie parametrv i tochki localnov poteri ustovchivosti ci-lindricheskov obolochki, Studencheskava nauka: perekrestki teorii i praktiki. Materialv I Vnutrivuzovskoi nauchno-prakticheskov konferencii studentov i aspirantov. Saratov. S. 20-23

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского.

Саратовский государственный аграрного университет имени Н. И. Вавилова.

Получено 11.06.2016 г.

Принято в печать 13.09.2016 г.