Моделирование процесса движения краевых дислокаций методом конечных элементов

УДК 539.3

Моделирование процесса движения краевых дислокаций методом конечных элементов

В.М. Корнев, В.Д. Кургузов

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Для описания испускания дислокации из вершины трещины поперечного сдвига в выбранном направлении используются обобщенные модели Френкеля-Конторовой и Пайерлса: на сдвиг атомной решетки накладывается растяжение (сжатие) в направлении, перпендикулярном направлению распространения трещины. Предполагается, что направление продвижения вершины трещины не меняется. В рассматриваемой схеме нагружения имеет место смещение берегов трещины в поперечном направлении. При превышении критических смещений происходит испускание дислокации в плоскости трещины. Возникает задача отыскания критических смещений берегов трещины в атомной решетке. Для решения задачи о деформировании атомной решетки используется хорошо развитая техника решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов. Поскольку размер конечного элемента согласован с постоянной атомной решетки, решается задача механики деформируемого твердого тела со структурой, причем взаимодействие элементов структуры определяется действующими физическими потенциалами. Определена сила продвижения дислокации из вершины трещины поперечного сдвига. Предложен деформационный критерий продвижения трещины поперечного сдвига (вторая мода). В результате численного решения задачи о деформировании и потере устойчивости атомной решетки получены оценки критических смещений в моделях Френкеля-Конторовой и Пайерлса.

Ключевые слова: разрушение, трещина поперечного сдвига, дислокация

Finite element simulation of edge dislocation motion

V.M. Kornev and V.D. Kurguzov

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

In the paper we describe dislocation generation in the mode II crack tip in the chosen direction by the generalized Frenkel-Kontorova and Peierls models. The atomic lattice displacement is accompanied by extension (compression) in the direction perpendicular to crack propagation. The crack tip is supposed to propagate in a constant direction. The considered loading scheme governs the displacement of crack edges in the transverse direction. On exceeding critical displacements dislocations are emitted in the crack plane. There arises a problem of finding critical displacements of crack edges in the atomic lattice. Atomic lattice deformation is described by a well-developed finite element procedure for solving non-linear tasks of the mechanics of a deformed solid. As the finite element size is correlated with the atomic lattice constant, we consider a task of the mechanics of a deformed solid with structure, in which the interaction of structural elements is governed by acting physical potentials. The force of dislocation motion from the mode II crack tip is determined. The deformation criterion of mode II crack propagation is proposed. The numerical solution of the problem on deformation and stability loss of the atomic lattice provides estimates of critical displacements in the Frenkel-Kontorova and Peierls models.

Keywords: fracture, shear crack, dislocation

1. Введение

Важным средством качественного совершенствования техники различного назначения являются разработка методов оценки физико-механических свойств конструкционных материалов и развитие методов расчета элементов конструкций, органически сочетающих

подходы механики деформируемого твердого тела и физической механики реальных материалов. Только на основе синтеза обоих подходов возможно обеспечение надежности современной техники и одновременное снижение ее материалоемкости. Логика развития физической механики реальных материалов показала, что

© Корнев В.М., Кургузов В.Д., 2008

дефекты кристаллической решетки осуществляют транспорт упругой энергии в объеме деформируемых тел [1]. Снижение возможности релаксации напряжений вызывает локальное перенапряжение материала конструкции и повышение концентрации упругой энергии вблизи внутренних барьеров для дефектов кристаллической решетки, что повышает вероятность зарождения и распространения трещин. При обычных и пониженных температурах транспорт упругой энергии осуществляется преимущественно подвижными дислокациями краевого типа. При повышенных и высоких температурах к дислокационному механизму подключается движение потоков точечных дефектов, главным образом вакансий.

Кроме механизмов заторможенного сдвига дислокаций существенную роль играет дислокационно-сдвиговой механизм зарождения и роста трещин, при котором вершина трещины становится подвижным генератором дислокаций, посредством которых происходит распространение трещин в объеме деформируемого тела. В местах концентраторов напряжений в этом случае происходит преобразование подводимой к телу механической энергии в энергию упругих полей дислокаций, локализованное скольжение которых вызывает перерезание сечения отдельных кристаллитов, вызывая вязкое разрушение [2].

В настоящее время интенсивно развиваются исследования по анализу предельного состояния кристаллических твердых тел на основе физических механизмов образования, роста и объединения микротрещин. Разработаны дислокационные модели зарождения и подрастания микротрещин, накоплен значительный материал по изучению закономерностей образования и роста микротрещин в различных структурах [3-6], однако полное описание продвижения вершин трещин на наноуровне при обобщенном напряженном состоянии в средах со структурой в данный момент отсутствует. Несомненный интерес представляет частный случай распространения трещины, когда имеет место испускание дислокации из ее вершины.

Как отмечено в [7], при формулировке критериев разрушения наиболее целесообразным представляется подход, интерпретирующий механические макроскопические характеристики исходя из структурных процессов, контролирующих разрушение в тех или иных условиях.

2. Постановка задачи

Для описания испускания дислокации из вершины трещины поперечного сдвига в выбранном направлении воспользуемся моделями Френкеля-Конторовой [8], Пайерлса [9] и их обобщениями. Рассмотрим плотно-упакованную атомную решетку с острой трещиной, образованной удалением одного ряда атомов. Атомная

решетка подвергается поперечному сдвигу (вторая мода) в направлении распространения трещины и растяжению (первая мода) в перпендикулярном направлении. Введем обозначения и для нормальных (первая

мода) и сдвигающих (вторая мода) напряжений, заданных на бесконечности.

При изучении испускания дислокаций из вершин трещин поперечного сдвига при обобщенном напряженном состоянии предполагается, что направление продвижения вершины трещины не меняется. В рассматриваемой схеме нагружения имеет место смещение берегов трещины в поперечном направлении. При превышении критических смещений происходит испускание дислокации в плоскости трещины. Возникает задача отыскания критических смещений берегов трещины в плотноупакованной атомной решетке.

3. Модель Френкеля-Конторовой

В модели Френкеля-Конторовой [8] рассматривается взаимодействие двух рядов атомов в плотноупакован-ной кристаллической решетке. Нижний ряд состоит из неподвижных атомов, закрепленных в узлах решетки, и создает периодическое силовое поле; верхний представляет собой цепочку атомов, которые могут смещаться в горизонтальном направлении (рис. 1, а). В начальный момент атомы нижнего и верхнего рядов образуют идеальные трехатомные ячейки, затем крайний атом верхнего ряда начинает движение вправо с постоянной скоростью, что приводит к смещению атомов верхнего ряда и образованию дислокации. Задача рассматривается в квазистатической постановке, под временем понимается некоторый монотонно возрастающий параметр нагружения.

Действие межатомных сил предполагается центральным с потенциалом взаимодействия Морса [10]

и

где г — расстояние между атомами; ге — положение равновесия; D—энергия связи; параметр а характеризует скорость убывания экспоненты. При г = ге (равновесное состояние) центральная сила взаимодействия атомов равна нулю; при г < ге между атомами действует сила отталкивания (отрицательная); при г > ге — сила притяжения (положительная), которая достигает макси-

Рис. 1. Образование краевой дислокации в моделях Френкеля-Конторовой

мума А на некотором расстоянии г1? так что при дальнейшем удалении атомов центральная сила их взаимодействия ослабевает и на расстоянии 2ге уменьшается на порядок по сравнению с максимальным значением. Первая производная от потенциала Морса дает выражение для центральной силы

/(г) = ди(г) = 2Da[e_a(г-ге) - е~2а(г-ге) ], дг

откуда г = ге + 1п 2/ а, ft = D а/2.

Парный потенциал Морса широко применяется при изучении динамики атомной решетки, структуры дефектов в металлах, инертных газов в металлах, уравнения состояния и упругих свойств металлов, взаимодействия атомов газа с поверхностью металлов [11].

Значения параметров потенциала Морса для меди приведены в [12]: ге = 0.2866 нм, а = 13.59 нм-1, D = = 0.343 эВ. Для удобства численных расчетов перейдем к безразмерным переменным по следующей схеме: все линейные размеры и смещения отнесем к ге, параметр

а, поскольку его размерность [длина]-1, умножим на ге, энергию связи отнесем к D. Приведенные ниже результаты получены при следующих безразмерных значениях постоянных: ге = 1, D = 1, а = 4. В этом случае гх = 1.17,

А = 2.

Для решения задачи о деформировании атомной решетки используется хорошо развитая техника решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов [13]. Поскольку размер конечного элемента согласован с постоянной атомной решетки, решается задача механики деформируемого твердого тела со структурой, причем взаимодействие элементов структуры определяется действующими физическими потенциалами. Характер деформирования атомной решетки близок к характеру деформирования стержневой конструкции (фермы): атомы решетки можно рассматривать как узлы фермы, а отрезки, соединяющие атомы, — как стержни с нелинейным поведением (рис. 1, а). На каждый находящийся в решетке атом действуют внешние силы и силы со стороны ближайших соседей. Уравнения движения атомной решетки следуют из принципа возможных перемещений: виртуальная работа внутренних сил равна виртуальной работе внешних сил и сил инерции. Для интегрирования уравнений движения используется пошаговая процедура [14, 15]: равновесная конфигурация и внутренние силы атомной решетки в момент t предполагаются известными, и решается задача по определению равновесной конфигурации и внутренних сил в момент времени t + At. При достаточно малом шаге интегрирования At решение нелинейной системы уравнений сводится к решению линеаризованной системы уравнений. На каждом шаге по времени это решение уточняется с помощью итерационной процедуры Ньютона-Рафсона, затем происходит переход на следующий шаг.

При решении подобных задач основную трудность вызывает наличие ниспадающего участка на диаграмме сила-смещение. В этом случае матрица жесткости системы теряет свойство положительной определенности вследствие появления отрицательных элементов на главной диагонали. В силу плохой обусловленности матрицы системы итерационные процедуры ньютонова семейства не всегда обеспечивают сходимость численного решения. Преодолеть расходимость можно за счет уменьшения точности расчета, но в этом случае не гарантируется получение приемлемого решения. Для всех приводимых ниже результатов расчеты велись до момента времени, гарантирующего получение решения с точностью 10-5 по силам и смещениям и 10-10 по энергии деформирования.

В работе [16] моделировалось образование дислокации в моделях Френкеля-Конторовой и Пайерлса в результате внедрения одиночного атома в цепочку атомов, причем учитывалось взаимодействие только соседних атомов, находящихся на расстоянии ге (близкодейст-вие). При моделировании краевой дислокации в условиях поперечного сдвига учет близкодействия явно недостаточен, что демонстрирует рис. 2, на котором приведена зависимость силы от приложенного смещения для близкодействия ге и для дальнодействий 2ге, 3ге и 4ге. Появление отрицательных значений силы на начальных шагах объясняется тем, что при введении дальнодействий возникают внутренние усилия, стремящиеся сжать атомную решетку.

Введем в рассмотрение обобщенную модель Френ-келя-Конторовой, в которой на сдвиг атомной решетки накладывается растяжение в перпендикулярном направлении. На рис. 3 показаны зависимости сила-смещение при сжатии атомной решетки на величину 0.4а 1, растяжении на 0.4а 1, 0.8а1 и 0.9а 1, где а1 — теоретическая прочность монокристалла при растяжении, которая определяется из решения задачи о деформировании и потере устойчивости трехатомной ячейки [17, 18]. В при-

Рис. 2. Зависимость силы продвижения дислокации от приложенного смещения для близкодействия ге

Рис. 3. Зависимости сила-смещение в обобщенной модели Френке-ля-Конторовой при сжатии атомной решетки на величину 0.4а1 (1), растяжении на 0.4а1 (3), 0.8а1 (4) и 0.9а1 (5); кривая 2 — классическая модель Френкеля-Конторовой

веденных расчетах учитывалось взаимодействие четырех ближайших атомов.

От усилий f к напряжениям а перейдем, используя осреднение для гибридной модели в механике разрушения: а = А/ге2, где ге — характерный линейный размер (расстояние между атомами в положении равновесия). Тогда а 1 ге2, где — максимум кривой сила-смещение [17, рис. 2]. В численных расчетах для трехатомной ячейки было найдено значение а 1 = 3.621. Тогда, например, для значения 0.4а 1 по кривой деформирования можно найти соответствующее ему смещение Аи = 0.036. Увеличив (уменьшив) расстояние между слоями атомов на величину Аи в начальный момент, получим обобщенную модель Френкеля-Конторовой, в которой слои атомов подвергнуты предварительному растяжению (сжатию).

Минимумы на кривых, показанных на рис. 3, соответствуют прохождению атомом 1 положений, занимаемых атомами 2, 3, 4 и т.д. (рис. 1, а). Очевидно, из соображений симметрии, что квазипериодическая структура, показанная на рис. 3, будет сохраняться при последующем движении атома 1, если взять достаточно протяженные слои атомов и учитывать дальнодействия более высокого порядка. Результаты, приведенные на рис. 3, получены для атомной решетки, содержащей 61 атом. Следует отметить, что предварительное растяжение довольно слабо влияет на величину минимума и

Таблица 1

Критические значения смещений и соответствующие им максимумы нагрузки в обобщенной модели Френкеля-Конторовой

а * и А* и2

-0.4а 1 0.424 11.259 1.417 11.847

0 0.434 8.744 1.412 9.093

0.4а1 0.443 6.790 1.411 6.857

0.8а1 0.458 4.445 1.456 4.591

0.9а1 0.478 3.590 1.479 3.798

заметно изменяет величину максимума: чем сильнее растянуты атомные слои, тем легче осуществить продвижение дислокации. Второй характерной особенностью представленных кривых является то, что точки экстремумов для различных уровней предварительного растяжения (сжатия) примерно совпадают. Критические значения смещений и*, и * и соответствующие им максимумы нагрузки А*, для первых двух максимумов

приведены в табл. 1.

4. Модель Пайерлса

В модели Пайерлса рассматривается взаимодействие трех и более рядов атомов в плоской плотноупако-ванной кристаллической решетке. Нижний ряд состоит из неподвижных атомов, закрепленных в узлах решетки, верхний представляет собой цепочку атомов, которые могут смещаться в горизонтальном направлении, атомы среднего ряда могут смещаться в произвольном направлении (рис. 1, б). В отличие от одномерной модели Френкеля-Конторовой модель Пайерлса является существенно двумерной.

В обобщенной модели Пайерлса атомная решетка, кроме сдвига, подвергается растяжению в направлении, перпендикулярном направлению распространения трещины. На рис. 4 показаны зависимости сила-смещение при сжатии атомной решетки на величину 0.4а 1, растяжении на 0.4а 1, 0.8а1 и 0.9а 1, где а 1 — теоретическая прочность монокристалла при растяжении. Результаты, приведенные на рис. 4, получены для атомной решетки, содержащей 69 атомов.

Принципиальное отличие модели Пайерлса от модели Френкеля-Конторовой заключается в появлении отрицательных значений силы движения дислокации при перемещении атома 1 в положение 2, что объясняется «провалом» атомов среднего слоя: при прохождении атомом 1 положения неустойчивого равновесия (первый максимум кривых сила-смещение, и = 0.5) атом 3 смещается вниз и влево и затем как бы «подталкивает»

Рис. 4. Зависимости сила-смещение в обобщенной модели Пайерлса при сжатии атомной решетки на величину 0.4а1 (1), растяжении на 0.4а1 (3), 0.8а1 (4) и 0.9а 1 (5); кривая 2 — классическая модель Пайерлса

Таблица 2

Критические значения смещений и соответствующие им максимумы нагрузки в обобщенной модели Пайерлса

а и* /1* * и2

-0.4а1 0.510 10.131 1.499 10.700

0 0.516 8.249 1.505 8.663

0.4а 1 0.522 6.710 1.515 7.036

0.8а 1 0.484 3.482 1.556 5.431

0.9а 1 0.445 2.297 1.616 4.862

атом 1 к положению минимума потенциальной энергии системы (первый минимум кривых сила-смещение, и ~ ~ 1). Второе отличие связано со смещением точек экстремумов кривых для предварительных растяжений, соответствующих значениям 0.8а 1 и 0.9а1. Критические значения смещений и*, и2* и соответствующие им максимумы нагрузки /2* для первых двух макси-

мумов приведены в табл. 2.

Сравнивая табл. 1 и 2, можно заметить, что значения максимумов нагрузки /1 и /*, полученные с использованием модели Пайерлса, существенно отличаются от соответствующих величин в модели Френкеля-Конто-ровой для предварительных растяжений, больших 0.8а 1.

5. Квадратная атомная решетка

Важнейшими типами решеток являются гексагональные (ГПУ), кубические гранецентрированные (ГЦК) и кубические объемноцентрированные (ОЦК) решетки. В соответствии с различием систем скольжения в различных типах решеток по-разному проявляет себя деформируемость кристаллов.

ГПУ-кристаллы имеют в качестве наиболее плотно-упакованной плоскости основную плоскость (0001), которая всегда рассматривается как плоскость скольжения. Таким образом, у этих материалов встречается в основном только эта плоскость скольжения. Гексагональные металлы демонстрируют по сравнению с другими металлами более низкую деформируемость.

В ГЦК-решетке скольжение происходит в плоскости октаэдра {111}, а в этих плоскостях в направлениях скольжения (110), которые характеризуются как направления с самой плотной упаковкой атомов. Различными комбинациями возможных плоскостей и направлений скольжения в ГЦК-решетке создается 12 систем скольжения. Многообразие этих возможностей скольжения обусловливает хорошую деформируемость ГЦК-металлов [19].

Если в пространственном случае имеются 14 решеток Браве, то в случае плоского слоя атомов всего две: плотноупакованная (атомы находятся в вершинах правильных треугольников) и квадратная (атомы находятся в вершинах квадратов). Дополним полученные выше

результаты рассмотрением моделей Френкеля-Конто-ровой и Пайерлса для квадратной атомной решетки типа №С1.

Кристалл №С1 образуется благодаря тому, что № отдает свой электрон на внешней оболочке, а С1, у которого отсутствует электрон, принимает его. Благодаря этому №+ с положительным избытком заряда становится катионом, С1- с отрицательным зарядом — анионом. Связь — через электростатическое взаимодействие противоположно заряженных ионов. Этот вид связи обладает очень высокой энергией. В ионном кристалле ионы располагаются так, что кулоновское притяжение разноименных зарядов сильнее, чем кулоновское отталкивание одинаковых ионов.

Параметры потенциала Морса для № и С1 приведены в [10]. Переходя к безразмерным переменным по указанной выше схеме получим в качестве параметров потенциальной функции Морса (1) следующие безразмерные значения: для взаимодействия №-С1 ге = 1, D = = 2, а = 4, для взаимодействий №-Ыа и С1-С1 ге = = 1.4142, D = 1, а = 4.

На рис. 5 показаны зависимости сила-смещение в обобщенной модели Френкеля-Конторовой при сжатии квадратной атомной решетки на величину 0.4а 1, растяжении на 0.4а 1, 0.8а1 и 0.9а 1, где а1 — теоретическая прочность монокристалла при растяжении. Расчет проводился для атомной решетки, содержащей 60 атомов.

На рис. 6 показаны зависимости сила-смещение в обобщенной модели Пайерлса при растяжении квадратной атомной решетки на величину 0.4а 1, 0.8а1 и 0.9а 1, где а1 — теоретическая прочность монокристалла при растяжении. Результаты, приведенные на рис. 6, получены для атомной решетки из пяти рядов, содержащей 120 атомов. Фрагмент деформированной конфигурации на момент времени, соответствующий приложенному смещению и = 1.5, показан на том же рисунке.

Как видно из приведенных результатов, модель Френкеля-Конторовой является очень грубой: сила со-

О 1 2 3 4 и

Рис. 5. Зависимости сила-смещение в обобщенной модели Френке-ля-Конторовой при сжатии квадратной атомной решетки на величину 0.4а1 (1), растяжении на 0.4а1 (3), 0.8а1 (4) и 0.9а1 (5); кривая 2 — классическая модель Френкеля-Конторовой

Рис. 6. Зависимости сила-смещение в обобщенной модели Пайерлса при растяжении квадратной атомной решетки на величину 0.4а1 (2), 0.8 а1 (3) и 0.9 а1 (4); кривая 1 — классическая модель Пайерлса

противления движению дислокации достигает довольно больших значений, что объясняется высокой жесткостью атомной решетки из двух слоев атомов.

Критические значения смещений и1, и2 и соответствующие им максимумы нагрузки /2* для первых

двух максимумов приведены в табл. 3 (модель Френ-келя-Конторовой) и табл. 4 (модель Пайерлса).

Сравним полученные результаты с расчетами Френкеля [20] идеальной сдвиговой прочности тс в условиях простого сдвига. Френкель использовал простейший синусоидальный закон взаимодействия атомов. Он предположил, что в любом твердом теле сдвиговое напряжение т, необходимое для сдвига любой атомной плоскости на расстояние х над соседней, определяется формулой

. 2 пх т = тс эт—

Ь

где Ь — размер атомной решетки в направлении сдвига. Френкель также предположил, что плоскость сдвига при деформации остается неискаженной. Тогда, если тс выбрать согласованным с модулем сдвига G, то

Gb Тс = ^Т ’

2па

где а — расстояние между сдвигаемыми плоскостями.

Для моделирования решетки Френкеля оставим в верхнем ряду атомов (рис. 1, а) только атом 4, в нижнем

Таблица 3

Критические значения смещений и соответствующие им максимумы нагрузки в обобщенной модели Френкеля-Конторовой

О * u /і* * Щ /2

-0.4а t 0.851 123.847 2.855 134.117

0 0.861 102.139 2.869 113.639

0.4ot 0.871 84.333 2.866 97.543

0.8ot 0.887 60.995 2.930 78.231

0.9ot 0.895 52.387 2.960 71.935

Таблица 4

Критические значения смещений и соответствующие им максимумы нагрузки в обобщенной модели Пайерлса

а u* /і* u2 /2

0 1.190 48.678 2.950 57.756

0.4ot 1.170 41.012 2.920 51.474

0.8ot 1.130 29.883 2.750 35.925

0.9ot 1.105 25.567 2.735 33.416

ряду оставим 7 атомов (учитывается взаимодействие 3-го порядка) и заменим треугольную решетку на квадратную. Максимальное значение силы сопротивления сдвигу, полученное в наших расчетах, fc = 0.486 при смещении и = 0.245 (у Френкеля и = Ъ/4, в безразмерных переменных и = 0.25). Перейдем к размерным значениям, используя параметры потенциала Морса для меди, приведенные выше. Тогда тс = 1.136 ГПа. Келли [21] получил методом Френкеля для меди при сдвигах {111} ^112^ оценки идеальной сдвиговой прочности тс = 0.86-1.20 ГПа. Таким образом, видим довольно хорошее совпадение наших расчетов с расчетами Френкеля.

6. Критические параметры разрушения

В [22] предложен деформационный критерий прочности, описывающий симметричное испускание двух дислокаций из вершины внутренней трещины нормального отрыва:

2 w

Ki =стмТЛ7.

Здесь 2v(x, 0) — раскрытие берегов трещины (х < 0, начало системы координат выбрано в вершине трещины); G — модуль сдвига; к = 3 - 4 V для плоской деформации, к = (3 — V)/(1 + v) для плоского напряженного состояния, где V — коэффициент Пуассона; KI — коэффициент интенсивности напряжений; 21 — длина острой внутренней трещины; ra — расстояние между двумя слоями атомов (вообще говоря, не совпадает с постоянной атомной решетки re); в — угол между нормалью к плоскости трещины и плоскостью движения дислокации; ht — критическое смещение в атомной решетке такое, что при деформировании системы с учетом геометрической и физической нелинейности превышена теоретическая прочность монокристалла на сдвиг Tt.

Аналогично (2) введем в рассмотрение деформационный критерий продвижения трещины поперечного сдвига (вторая мода):

2и

Кп = т_л/Л7.

Для критического смещения выше были получены оценки \ = (0.42 0.52)ге в плотноупакованном слое атомов и \ ~ (0.85 -*1.19)ге в квадратной атомной решетке (в табл. 1-4 параметру ^ соответствуют значения и1), конкретные значения ^ зависят от выбора потенциала межатомного взаимодействия.

7. Заключение

Таким образом, в результате численного решения задачи о деформировании и потере устойчивости атомной решетки получены значения критического смещения Нх в обобщенных моделях Френкеля-Конторовой и Пайерлса. Эти критические смещения Нх целесообразно использовать в достаточных критериях разрушения при обобщенном напряженном состоянии [23, 24]. Подчеркнем, что в отличие от деформационного критерия (2), где использовалась более простая модель Френкеля-Конторовой, в критерии (3) используется обобщенная модель Пайерлса краевой дислокации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-00163) и интеграционных проектов РАН №№ 16.3, 4.12.3.

Литература

1. Новиков И.И., Ермишкин В.А. Физическая механика реальных материалов. - М.: Наука, 2004. - 328 с.

2. Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физико-механическое моделирование процессов разрушения. - СПб.: Политехника, 1993. - 391 с.

3. Коттрел Ф.Х. Теоретические аспекты процесса разрушения // Атомный механизм разрушения. - М.: Металлургиздат, 1963. -С. 30-68.

4. Финкель В.М. Физика разрушения. - М.: Металлургия, 1970. -376 с.

5. Владимиров В.И., Ханнанов Ш.Х. Актуальные задачи теории зарож-

дения дислокационных трещин // Физика металлов и металловедение. - 1970. - Т. 30. - №3. - С. 490-510.

6. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. -М.: Металлургия, 1984. - 280 с.

7. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные

задачи механики разрушения. - М.: Физматлит, 2004. - 408 с.

8. Конторова ТА., Френкель Я.И. К теории пластической деформации

и двойникования. II // ЖЭТФ. - 1938. - Т. 8. - Вып. 12. - С. 13401348.

9. Peierls R. The size of a dislocation // Proc. Phys. Soc. - 1940. - V. 52. -

Pt. 1. - P. 34-37.

10. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 160 с.

11. Torrens I.M. Interatomic Potentials. - New York-London: Academic Press, 1972. - 247 p.

12. Каплан И.Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. - М.: Наука, 1982. - 301 с.

13. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. - London: McGraw-Hill, 1991. - 707 p.

14. Korobeynikov S.N. The numerical solution of nonlinear problems on deformation and buckling of atomic lattices // Int. J. Fract. - 2004. -V. 128. - No. 1. - P. 315-323.

15. Korobeynikov S.N. Nonlinear equations of deformation of atomic lattices // Arch. Mech. - 2005. - V. 57. - No. 6. - P. 435-453.

16. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов // ПМТФ. - 2000. - Т. 41. - № 5. - С. 211-216.

17. Корнев В.М., Кургузов В Д. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве // ПМТФ. - 2001. - Т. 42. - N° 2. -С. 161-170.

18. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2000. - № 6. - С. 99-106.

19. Шмитт-ТомасК.Г Металловедение для машиностроения. - М.: Металлургия, 1995. - 512 с.

20. Френкель Я.И. Введение в теорию металлов. - М.: Физматгиз, 1958. - 384 с.

21. Келли А. Высокопрочные материалы. - М.: Мир, 1976. - 261 с.

22. Корнев В.М. Разрушение хрупких и вязких кристаллов. Силовой и деформационный критерии // ПММ. - 2003. - Т. 67. - № 6. -С. 1027-1039.

23. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 5. - С. 43-52.

24. Kornev V.M., Kurguzov VD. Multiparametric sufficient criterion of quasi-brittle fracture for complicated stress state // Eng. Fract. Mech. -2008. - V. 75. - No. 5. - P. 1099-1113.

Поступила в редакцию 07.11.2007 г., после переработки 07.04.2008 г.

Сведения об авторах

Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, kornev@hydro.nsc.ru

Кургузов Владимир Дмитриевич, д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, kurguzov@hydro.nsc.ru