Дифракция однопериодных терагерцовых волн с гауссовым поперечным распределением

2

ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА

УДК 535.4

ДИФРАКЦИЯ ОДНОПЕРИОДНЫХ ТЕРАГЕРЦОВЫХ ВОЛН С ГАУССОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ А.А. Езерская, Д.В. Иванов, В.Г. Беспалов, С.А. Козлов

Получены аналитические выражения для пространственного распределения временных спектров терагерцовых волн из всего одного полного колебания на эмиттере электромагнитного поля в областях дифракций Френеля и Фраунго-фера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера. Показано, что для терагерцовой волны с гауссовым поперечным распределением в дальней зоне дифракции происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полуторапериодной, а ее спектр смещается в область высоких частот. Приведены оценки расстояний до характерных областей дифракции.

Ключевые слова: терагерцовое излучение, параксиальный, дифракция Френеля, дифракция Фраунгофера.

Терагерцовое электромагнитное излучение является пограничным между радиоволнами и оптическим излучением. Для радиофизиков это субмиллиметровые радиоволны, для оптиков - излучение дальнего инфракрасного диапазона спектра.

Исследования техники и физики терагерцового излучения начались давно [1], но с появлением новых высокоэффективных систем генерации и детектирования такого излучения [2, 3], а также в связи с проясняющимися перспективами его широкого применения [4, 5] интерес к этим исследованиям в последние два десятилетия резко вырос.

Были найдены возможности получать терагерцовое излучение оптическими методами, например, с помощью фемтосекундных лазеров, используя явление фотопроводимости полупроводников [6]. Излучение при этом имеет вид всплеска электромагнитного поля, представляющего собой лишь одно его полное колебание (рис. 1). Такие импульсы часто называют однопериодными. В настоящей работе рассмотрены особенности дифракции таких предельно коротких по числу колебаний терагерцовых волн для частного, но важного на практике случая, - их параксиального распространения в однородных изотропных прозрачных диэлектрических средах.

Динамика полей и спектров однопериодных терагерцовых волн в диэлектрических средах

Параксиальная дифракция однопериодного терагерцового излучения изучалась и ранее [7, 8]. В значительном числе работ анализ динамики поля широкополосного излучения проводился методами численного моделирования. Обычно рассчитывался интеграл Френеля-Кирхгофа или его модификации [7]. В работе [8] для гауссовых волновых пакетов получены аналитические выражения для поля волны на оси пучка. В данной работе получены аналитические выражения для общего пространственного распределения временных спектров однопериодных в плоскости источников волн в областях дифракции Френеля и Фра-унгофера и для пространственно-временного распределения их поля в области дифракции Фраунгофера.

Дифракционная динамика декартовых компонент пространственно-временного спектра

с пространственной и временной частотами к х, ку и ю проекций на декартовы оси вектора Ех2 электрического поля Е оптической волны, распространяющейся вдоль оси г (выделенность этого направления в области пространства, где анализируется эволюция поля электромагнитного излучения, формали-

Е 2 Е 2

зуется асимптотическими требованиями ——- ^ 0 , —^^ ^ 0, Ех ^ 0 при х, у ^ +оо ) в однород-

дх ду

ной, изотропной диэлектрической среде с дисперсией показателя преломления п (ю), описывается соотношениями [9]

Введение

gz

kxCx [кх,ку,ю) + kyCy [кх,ку, ю)

• exp

[-Цк2 - kl - kl • z) '

^ kit к

где к = —п (со), с - скорость света в вакууме. В (2) Сх и Су - компоненты пространственно-временного

спектра излучения в плоскости г = 0, которые предполагаются известными. Отметим, что в однородных изотропных диэлектриках электрическое поле оптической волны характеризуется нулевой дивергенцией УЕ = 0 , и граничное условие для г -компоненты спектра, как видно из (2), не произвольно, а связано с

Сх и Су.

Динамика электрического поля оптической волны по известному решению для спектра (2) определяется преобразованием Фурье

1 со со со

Е,у, *, Г) = Т-73 | | | Я* у г (кх , ку , Ю Г)еХР ( ( + куУ + ))^хёкуёЮ .

Соотношения (1)-(3) описывают дифракционно-дисперсионную эволюцию в диэлектрических средах пространственно-временных спектров и полей оптических волн, у которых как пространственный, так и временной спектры могут быть сверхуширенными, т.е. волн, поперечные размеры которых сопоставимы с центральной длиной волны, а длительность - с центральным периодом колебаний.

Далее в работе ограничимся анализом распространения излучения с широким только временным спектром. Будем рассматривать параксиальное излучение, т.е. волны, пространственный спектр которых узок:

{к*},{2} «йп2

В неравенстве (4) {к2} , {ку;} , {ю2} - значения квадратов пространственных и временных частот

области пространственно-временного спектра, в которой находится практически вся энергия волнового пакета.

Тогда, как следует из (2), наличием продольной компоненты поля волнового пакета можно пренебречь, а выражения для спектров поперечных компонент его поля записать в более простом виде:

8х.у

(

ехр

(

—кг

1 —

к* + к

2\ Л

2к2

Рассмотрение особенностей дифракционной динамики полей и спектров параксиальных волн из малого числа колебаний в диэлектрических средах в настоящей работе проведем для гауссова граничного (при г = 0) поперечного пространственного распределения ее поля. Такие условия близки, например, полю эмиттеров терагерцового излучения в виде фотопроводников, поверхности которых облучаются импульсами мощных фемтосекундных лазеров инфракрасного диапазона спектра [5, 6].

Пусть излучение линейно поляризовано вдоль оси х, и его спектр при г = 0 имеет вид

+ ку2 )Л

Сх (кх, ку, ю) = яр2

' Р2'

ехр

О0 (Ю) .

Другими словами, поле осесимметрично и представляется на поверхности эмиттера соотношением

Ех (х, у, *) = ехр I -

х2 + у2

где р - поперечный размер распределения поля волны; (*) - ее временной профиль, который пока не конкретизируется; О0 (ю) - преобразование Фурье от ).

Тогда в соответствии с (5) пространственно-временной спектр волны на произвольном расстоянии г описывается соотношением

Я (кх, ку, ю, г ) = яр2 ехр

' Р2

1 -1

2сг

\\

р2п (ю)с

• ехр

п

юг

• О0

а рассчитываемое по формуле (3) с учетом соотношения (8) дифракционно-дисперсионное расплывание ее поля может быть представлено в виде

Е(х,у,*,г) = -11 О(х,у,ю,г)ехр(ю*с

где пространственная зависимость временного спектра излучения имеет вид

1 + i

2cz

G (x, y, ю, z ) =-

p2n

ю

( 2cz Л

exp

1 +

p2 n (ю)с

, . 2cz

2 2 1 +i 2 / 4

x +y p n(ю)ю

( 2cz Л

1 +

p2 n (ю)с

exp

n

юz

G0 (ю) •

В соотношениях (8)-(10) и далее индекс х, означающий, что рассматривается излучение, линейно поляризованное вдоль оси х, для упрощения записи опускается.

Отметим, что в выражениях (8) и (10) показатель преломления п(ю) может быть комплексным п (ю) = п (ю) +1 к(ю), поэтому эти соотношения описывают дифракционную динамику спектров излучения не только в прозрачных средах с дисперсией показателя преломления, но и в поглощающих средах с дисперсией коэффициента поглощения к(ю). В данной работе ниже среды будем полагать прозрачными

с к(ю) = 0.

Из (8) и (9) ясна важность оценки характерных расстояний

z, =— (n (ю)ю| ,

1 2c in

p2

z2 =—(n (ю)ю| •

2 2c Jmax

Здесь |п (ю)ю| - минимальное и максимальное значения величины |п (ю)ю| из диапазона частот, в котором находится практическая часть энергии излучения. При

соотношения (8)-(9) принимают вид

( -.2 i 7.2 , 7.2 \ Л

g (kx, ky, ю, z) = —p2 exp

-р2

exp

г(ю)с

• Go (ю ) '

( X 2 + 2 Л 1 ™ E (x, y, t, z ) = exp I - X 2У !• — J Go (ю) • exp

V p у — -да

(

iю

t-

г

ЛЛ

d ю .

V V у у

Неравенство (13) обычно называется приближением тени [10]. Оно соответствует расстояниям вблизи поверхности эмиттера излучения. Как видно из (14)-(15), при малых 2 изменения поперечного распределения поля еще не происходит, но следует учитывать изменение фазы волны (и ее поглощение) на пройденном волновым пакетом расстоянии. При

2«22 (16) соотношение (10) принимает вид

(

, . p2n(ю)ю

G (x, y, ю, z) = i—— exp

2cz

(

-i-

г(ю)с

Л

• Go (ю) •

V vh"vv~y у

Неравенство (16) определяет область дифракции Фраунгофера для всех спектральных компонент излучения. Выражение (17) для каждой из этих компонент описывает хорошо известную из учебных курсов [11] динамику гауссовых лазерных пучков в дальней зоне.

Приступим к анализу изменения временного профиля волнового пакета при его дифракционном расплывании. Ограничимся при этом случаем диэлектрических сред, дисперсией которых можно пренебречь, и будем полагать п(ю) = no = const. Для таких сред выражение для динамики спектра (17) может быть переписано в виде

G

2 2 2 x2 + y2

exp

-/ю — | z +

2 , 2 ЛЛ

x + y Л 2 z

Go

где Т (2) = ^ П" • —, а его преобразование Фурье (9) представлено как соотношение

2с г

1 ™ ( X 2 + 2 ^

Е(х,у,t',г) = — | Т(г)ехрI -Т2 (г)ю2 •Х—I' ¡юО0 (ю)ехр' )ю,

2Л -т V Р /

где «запаздывающее» вследствие кривизны сферического волнового фронта время

/ 2 2 , п0 ( X + у Г = t —-I г - '

2 z

Из соотношения (19) следует, что временной спектр поля излучения в новых переменных х, у, t', г имеет вид

x 2 + y 2

G (x, y, ю, z ) = T (z )exp I -T2 (z )ю2--2— I' 'roG0 (ю) .

На оси волнового пакета при х = 0, у = 0 выражение для спектра

из которого следует, что временная структура поля на оси пучка при любой форме импульса на границе среды Е0 () = 0 в дальней зоне дифракции определяется ее производной [12]

, дЕр

Е(0,0, t', z) = T (z)-

dt '

Как видно из (21) и (22), временной спектр поля излучения в области дифракции Фраунгофера при малых х и у смещен по сравнению со спектром на входе в среду О0 (ю) в высокочастотную область; при больших х и у - в низкочастотную область. Закон сохранения общей энергии излучения

т т 2 т т 2

-т -т -т -т

для зависимости (21) при этом, как легко проверить, соблюдается (интеграл (24) от координаты г не зависит).

Временную эволюцию поля волнового пакета в дальней зоне дифракции проиллюстрируем для однопериодной на границе волны вида

E(t) = E0 ^exPI

которая хорошо аппроксимирует терагерцовое излучение фотопроводящих полупроводниковых эмиттеров, облучаемых импульсами фемтосекундных лазеров [7, 13]. Волна

Г ( / \ 2 А

yjn

п i \ Jn ^ (хюА

G0 (ю) = - — тЕ01ю exP -l"2j

û.:'  пс

5 (о/ио

а)

б)

Рис. 1. Нормированные зависимости электрического поля Е от времени t (а) и модуля спектра О| от нормированной частоты ю/ю0 (б) на эмиттере терагерцовой электромагнитной волны

Преобразование Фурье (9) от (21) с учетом конкретного вида спектра излучения эмиттера (26) выполняется в элементарных функциях, и

E (x, y, t', z) = E0 • A3 (x, y, z) 1

Г

1 - 2 ^A (x,y, z))-j • expA (x,y, z))-j

где A (x, y, z) =

Ti \ "oP

1 (z) =-, а «запаздывающее» время t определяется соотно-

2cz

21 (z)) _ x2 + y2

1 +

шением (20). Вблизи оси пучка при

,2_2

2 2 • = a z

x2 + y2 «-PT =a2 z ^

412

где

noP

выражение для поля (27) упрощается и принимает вид

1 (z )[

E (-', z ) = Eo

2 ( \2 Л

, J t 1 ( t \

1 - 21-| exp -Ц

1 j

которое, как отмечено выше, есть умноженная на T ( z ) производная поля на эмиттере излучения E0 (t ).

Оценки расстояний до характерных областей дифракции и изменений пространственно-временных параметров однопериодной терагерцовой волны

Проведем оценку характерных дифракционных расстояний для однопериодной на эмиттере тера-герцовой волны (27) с гауссовым поперечным распределением (7), полагая длительность волнового пакета х = 0,2 пс, а его поперечные размеры - р = 3 мм . Временной профиль такой волны и ее спектр приведены на рис. 1. Из рисунка видно, что основная часть энергии излучения лежит в интервале частот от Vmin = 0,1 ТГц до Vmax = 3,5 ТГц.

На расстоянии, в несколько раз меньшем zj = 10 мм (11), для рассматриваемого волнового пакета выполняется приближение тени (13) и изменение его пространственно-временной структуры еще не происходит. На расстоянии, в несколько раз большем z2 = 35 см (12), реализуется дифракция Фраунго-фера и терагерцовое излучение принимает вид сферической волны (27). Поперечный размер светового

х

пятна в этой зоне дифракции увеличивается в раз и, например, на расстоянии в 1 м становится равным 10 см. В углах, в несколько раз меньших a = 0,1 (29), зависимостью поля от поперечной координаты можно пренебречь и его временной профиль принимает вид (30). На рис. 2 приведены этот временной профиль (а) и его спектр (б), пунктиром даны временной профиль и спектр на эмиттере при z = 0. Из рисунка видно, что из однопериодной в дальней зоне дифракции вблизи оси волна становится полутора-периодной, а ее спектр смещается в область высоких частот.

О.? . пс

а)

б)

5 (в/и0

Рис. 2. Нормированные зависимости электрического поля Е от времени t (а) и модуля спектра |Ю| от нормированной частоты ю/ю0 терагерцовой волны (б) в зоне дифракции Фраунгофера вблизи оси волнового пакета. Пунктиром показаны эти зависимости на эмиттере

Иллюстрации пространственно-временной структуры дифрагировавшей терагерцовой волны

На рис. 3 продемонстрированы плоскостные изображения поля волнового пакета с гауссовым в плоскости источника поперечным распределением в ближней и дальней зоне дифракции. Светло-серым участкам изображения соответствуют максимальные положительные значения поля, темно-серым - максимальные отрицательные значения. Как видно из рисунка, в дальней зоне однопериодная волна превращается в полуторапериодную, вблизи оптической оси максимум частоты сдвигается в область высоких частот, однако по мере удаления от оптической оси наблюдается обратная динамика - сдвиг спектра в область низких частот. Волновой фронт пучка в дальней зоне уширяется и становится сферическим.

х/Х^

И

х/Х^

41

'III— —;

'-пс -Г1.: ? ',пс ? -'шс ? ''пс а б в г

х/К/,

д

5 О -5

5 О -5

е

ж

Рис. 3. Пространственно-временная эволюция электрического поля терагерцового излучения с гауссовым

поперечным распределением и входными пространственно-временными параметрами Х0 = 0,3 мм, р = 10Х0, х = 0,2 пс по мере распространения в воздухе на расстояниях: а) 0; б) 40 мм; в) 75 мм; г) 125 мм;

д) 200 мм; е) 300 мм; ж) 400 мм

Заключение

В работе показано, что по мере дифракционного распространения параксиального терагерцового волнового пакета происходят изменения не только пространственной, но и временной структуры излучения: для любой временной зависимости электрического поля вблизи оптической оси на эмиттере электрическое поле вблизи оси в дальней зоне дифракции определяется ее производной. В частности, одно-периодная терагерцовая волна в зоне дифракции Фраунгофера превращается в полуторапериодную, а ее спектр вблизи оптической оси смещается в область высоких частот, в то время как по мере удаления от оси наблюдается смещение в противоположном направлении - в область частот ниже исходной центральной частоты импульса в плоскости источника.

Работа поддержана грантами НШ-5707.2010.2, РНП 2.1.1/4923, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы ГК № П872.

Литература

1. Волков А.А., Горшунов Б.П., Козлов Г.В. Динамические свойства проводящих материалов // Труды ИОФАН. - М.: Наука, 1990. - Т. 25. - С. 112-161.

2. Беспалов В.Г. Сверхширокополосное импульсное излучение в терагерцовой области спектра: получение и применение // Оптический журнал. - 2006. - Т. 73. - № 11. - С. 28-37.

О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ.

3. Lee Y.-S. Principles of Terahertz Science and Technology. Corvalis: Springer Science+Business Media, 2009. - 347 p.

4. Fitzgerald A. J., Cole B. E., Taday P. F. Nondestructive analysis of tablet coating thicknesses using terahertz pulsed imaging. J. Pharm. Sci. - 2006. - V. 94. - № 1. - Р. 177-183.

5. Zhang X.-C., Xu J. Introduction to THz wave photonics.-N.Y.: Springer Science+Business Media, 2010. -246 p.

6. Крюков П.Г. Фемтосекундные импульсы. Введение в новую область лазерной физики. - М.: Физмат-лит, 2008. - 208 с.

7. Gürtler A., Winnewisser C., Helm H., Jepsen P.U. Terahertz pulse propagation in the near field and the far field // JOSA A. - 2000. - V. 17 - № 1. - P. 74-83.

8. Kaplan A.E. Diffraction-induced transformation of near-cycle and subcycle pulses // JOSA B. - 1998. -V.15 - № 3. - P. 951-956.

9. Козлов С. А., Самарцев В.В. Основы фемтосекундной оптики. - М.: Физматлит, 2009. - 292 с.

10. Литвиненко О.Н. Основы радиофизики. - Киев: Техника, 1974. - 208 с.

11. Бутиков Е.И. Оптика. - М.: Высш. шк., 1986. -512 с.

12. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. - М.: Мир, 1970. - 346 с.

13. Greene B.I., Saeta P.N., Douglas R.D., Schmitt-Rink S., Chuang S.L. Far-infrared light generation at semiconductor surfaces and its spectroscopic applications // IEEE J. Quant. Electron. - 1992. - V.28. - № 10. -P. 2302-2312.

Езерская Анна Александровна - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, студент, a.a.ezerskaya@gmail.com Иванов Дмитрий Владимирович - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, студент, dmitry.haxpeha@gmail.com Беспалов Виктор Георгиевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, victorbespaloff@gmail.com

Козлов Сергей Аркадьевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан, kozlov@mail.ifmo.ru

УДК 535.135

О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ ИСХОДНО ОДНОПЕРИОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА Ю.А. Капойко, С.А. Козлов

Получены выражения для скоростей движения центра тяжести и дисперсионного расплывания импульсов, содержащих на входе в волноведущую среду лишь одно полное колебание светового поля. Показано, что для таких предельно коротких по числу колебаний входных оптических импульсов эти скорости прямо пропорциональны дисперсионным характеристикам волновода и обратно пропорциональны квадрату исходной длительности импульса. Ключевые слова: однопериодные импульсы, распространение, дисперсия.

Введение

При теоретическом анализе распространения импульсного излучения в волноведущих средах, в которых можно пренебречь изменением поперечной структуры светового пучка, рассматривается деформация формы и фазовая модуляция оптического импульса. Это дает исчерпывающую информацию об изменении его структуры в среде [1]. Когда такой полный анализ является трудоемким или не необходимым, часто ограничиваются рассмотрением изменения в среде интегральных параметров импульса, например, его длительности [2, 3]. Так, в работе [4] получены широко используемые на практике выражения, характеризующие эволюцию в оптических средах среднеквадратичной длительности квазимонохроматических световых импульсов произвольной на входе в среду формы (обзор статей в развитие результатов этой работы можно найти, например, в [2, 3]).

Бурное развитие в последние два десятилетия оптики волн из малого числа колебаний [5] привело к необходимости изучения распространения сверхширокополосных импульсов, которые не могут быть рассмотрены в рамках квазимонохроматического приближения. В работе [6] были получены аналитические выражения, описывающие динамику в прозрачных оптических средах средних параметров (центра тяжести и длительности) импульсов без ограничения на их начальную длительность. В настоящей работе показано, что для предельно коротких по числу колебаний однопериодных входных оптических импульсов эти выражения могут быть записаны в виде элементарных функций от характеристик среды и входных параметров импульсов.