Математическое моделирование поверхности горного склона при прогнозировании схода снежных лавин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ГОРНОГО СКЛОНА ПРИ ПРОГНОЗИРОВАНИИ СХОДА СНЕЖНЫХ

ЛАВИН

Соловьев А.С., начальник кафедры, к.ф.-м.н., Калач А.В., заместитель

начальника института по науке, д.х.н., доцент ФГБОУ ВПО Воронежский институт ГПС МЧС России, г. Воронеж,

Карпов С.Л., аспирант, Воронежский ГАСУ

Процесс схода снежной лавины чрезвычайно сложен для экспериментального изучения поскольку лавина образуется в случайный момент времени и сходит очень быстро. Кроме того, уровень кинетической энергии движущейся снежной массы опасен для исследовательского оборудования и исследователей [1]. Однако, в последние десятилетия появилась возможность использовать высокопроизводительную вычислительную технику для компьютерного моделирования. Ранее нами был предложен математический аппарат и произведена серия компьютерных программ для моделирования схода снежной лавины [2, 3]. Имитационная модель схода лавины позволяет изучить схему схода лавины и оценить ее поражающее действие в зависимости от толщины снежного покрова, состояния снега, температуры, угла склона. Установлено, что одним из наиболее важных факторов, определяющих характер схода снежной лавины, является рельеф поверхности склона.

Методология создания необходимого рельефа поверхности заключается в следующем. Поверхность представлялась в виде случайной функции z(x) с определенными средними параметрами. Поверхность склона в модели формировалась в два этапа. На первом этапе генерировали горизонтальную поверхность со случайными неровностями, описываемую в дальнейшем функцией q(x), на втором этапе поверхность поворачивали на угол склона а, что отражалось в повороте графика функции q(x).

На первом этапе, плавную функцию q(x) задавали как суперпозицию гауссовских пиков с параметрами xi (положение неровности), Н (высота неровности) и ^ (среднеквадратическое отклонение, задающее ширину неровности):

где I - номер неровности; ^ - количество неровностей на участке поверхности склона заданной длины.

Гауссовские пики распределялись по длине контрольного участка (100 м) случайным образом по равномерному закону. При этом параметры Н и а1 также выбирались случайным образом по равномерному закону из заданных

V

У

интервалов. Характерные значения интервалов следующие: от 0 до 1 м для Н и от 0,3 до 5 м для а

Для универсальности поверхность склона представлялась состоящей из таких же элементов-кругов, что и снежная масса. Трибологические свойства склона, и взаимодействие его со снежной массой задавались путем выбора параметров вязкоупругого взаимодействия. Элементы склона располагали вдоль полученной функции q(x), то есть координата элемента склона yi определялась, как yi = q(xi). Однако элементы склона располагались ближе друг к другу, чем равновесное состояние элементов-кругов. Этим самым исключалось проникновение снежной массы под склон.

В трехмерном случае генерировали функцию высоты поверхности от двух координат z

% + %

z(х, у) = £ Н ехр /=1

(х - х )2 + (у - У )2 ^

о-

2

где ЫХ - количество холмов, ЫП - количество препятствий. В данном случае использовали два типа неровностей: "холмы" - протяженные неровности (а более 2 м) и "камни" - неровности небольшого размера (а менее 0,4 м).

Гауссовские пики распределялись по длине и ширине контрольного участка (500 х 5м ) случайным образом по равномерному закону. При этом параметры Нх и а также выбирались случайным образом по равномерному закону из следующих интервалов: от 0 до 1 м для Н и от 0,2 до 0,4 м для а Число гауссовских пиков, имитирующих выступы, рассчитывается исходя из поверхностной плотности "холмов" и "камней".

После генерации поверхности случайной формы производился ее наклон на угол склона а. Для поворота поверхности относительно центра (х0, у0) координаты элементов поверхности Х у^ пересчитывались следующим образом. Сначала рассчитывались начальные угол фi и расстояние г до центра вращения по формулам

г.

I

xi - xo) +(У - yo) ;

Фi =

arctg

o)

У - У

o

X • X А

i o

x. - ь > 0; i 0

y - y0

arctg-+ 7, Xi - Xo < 0.

X • X А i 0

Затем новые координаты элементов поверхности рассчитывалась следующим образом.

X. = X0 + г. cos(^i + а);

У1 = У0 + г ыЩ + а).

Процесс сползания снежной массы во многом определяется наличием и размерами неровностей склона, т.к. неровности могут препятствовать сползанию снега, влиять на перераспределение толщины и плотности снежного покрова. Поэтому были проведены две серии компьютерных экспериментов, в которых исследовалась зависимость выходных параметров от высоты неровностей склона h, принимающих значения 0,00, 0,01, 0,02, 0,03, 0,05, 0,07 и 0,09 м (рисунок 3), и от ширины неровностей склона Ь, принимающих значения 0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50, 0,65, 0,80 и 1,00 м.

Таким образом, предложен универсальный метод представления склона горы для моделирования схода снежной лавины. Метод позволяет задавать такие параметры рельефа, как линейная плотность протяженных выступов (холмов) и небольших выступов (камней), высоту выступов, закон их распределения по высоте.

Список литературы

1. Божинский А.Н., Черноус Г.А. Статистическое моделирование напряженного снежного покрова на склоне гор: материалы гляциологических исследований. М., 2005. Вып. 99. С. 111-116.

2. Соловьев А.С., Лебедев О.М., Калач А.В. Математическое моделирование поведения снежной массы на горном склоне. Вестник ВГТУ, 2011, т.7, №4.- С.115-117.

3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614354 от 2.06.2011г. - Имитационная модель схода снежной лавины. -Соловьев А.С., Посметьев В.В., Калач А.В., Лебедев О.М.