метод параллельной реализации ВЕйВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ с использованием системы остаточных классов

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 4, 2017

удк 681.3 Червяков Н.И. [Chervyakov N.I.],

Ляхов П.А. [Lyakhov P.A.], Калита Д.И. [Kalita D.I.], Шульженко К.С. [Shulzhenko K.S.]

метод параллельной реализации

вейвлет-преобразования

с использованием системы остаточных классов

Method of parallel implementation of wavelet transform using residue number system

В статье рассматривается применение вейвлетных фильтров на основе системы остаточных классов для комплексного улучшения технических характеристик устройств вейвлет обработки сигналов с использованием системы остаточных классов. Важной проблемой практического использования систем с низким энергопотреблением являются искажения сигнала, которые могут существенно повлиять на качество обрабатываемого сигнала и вызвать ошибку в работе системы. Предложена концепция реализации цифровых устройств на основе системы остаточных классов и вейвлет-обработки сигналов с целью повышения быстродействия и снижения энергопотребления. Проведено моделирование на программируемых логических интегральных схемах различных семейств. Предлагаемая концепция позволяет улучшить параметры энергопотребления на 24% и быстродействия на 21% для цифровых фильтров в системах с низким энергопотреблением на основе системы остаточных классов.

The paper considers the use of wavelet filters based on the residue number system for complex improvement of the technical characteristics of wavelet signal processing devices using the residue number system. An important problem in the practical use of systems with low power consumption are signal distortions, that can significantly affect the quality of the signal being processed and cause an error in the operation of the system. The concept of implementing digital devices based on the residue number system and wavelet processing of signals is proposed with the aim of increasing the speed and reducing power consumption. Modeling on programmable logic integrated circuits of various families is carried out. The proposed concept allows to improve energy consumption parameters by 24% and speed by 21% for digital filters in systems with low power consumption based on the residue numbersystem.

Ключевые слова: система остаточных классов, цифровая обработка сигналов, модулярная арифметика, дискретное вейвлет-преобразова-ние.

Key words: Residue Number System, Digital Signal Processing, Modular Arithmetic, Discrete Wavelet Transform.

Введение

На сегодняшний день методы цифровой обработки сигналов играют значительную роль в медицине, космических и научных исследованиях, промышленности, информационных системах и во многих других областях деятельности человека [1]. Одними из наиболее распространенных методов обработки сигналов являются преобразование Фурье и вейвлет-пре-

образование. Преобразование Фурье заключается в разложении частоты сигнала в виде суперпозиции гармонических компонент (синусоид) [2]. В свою очередь, обработка сигналов в частотной области упрощает вычислительную сложность в анализе фильтрации. Однако, при проведении Фурье-преобразования используются гармонические функции, которые хорошо локализованы в частотной области, но не локализованы во временной [3]. Это является существенным недостатком преобразования Фурье, которое можно преодолеть, использовав вейвлет-преобразование, предоставляющее как частотную так и временную информацию об обрабатываемом сигнале [4]. Исследование по проблемам применения вейвлет-преобразования в ЦОС отражены в работах [3], [5-7].

Особенно важным этот вопрос является для мобильных энергозависимых устройств и устройств спутниковой связи. Ключевыми параметрами приложений, использующих ЦОС, являются скорость работы и величина затраченного энергопотребления [8]. В свою очередь, приложения цифровой обработки сигналов должны быть энергоэффективными и обладать достаточно большой скоростью выполнения арифметических операций [2]. Арифметика системы остаточных классов может обеспечить выполнение данных требований [14, 15]. Целью данной статьи является исследование вопроса применения модулярной арифметики в задачах вейвлет-обработки сигналов [7].

Материалы и методы

1. Вейвлет-преобразование в цифровой обработке

сигналов

Наиболее популярным преобразованием, являющимся хорошей альтернативой традиционного преобразования Фурье, при применении методов цифрового сжатия и обработки изображений, является вейвлет-преобразование.

В основе вейвлет-преобразования лежит использование двух непрерывных и интегрируемых по всей оси функций вейвлет-функции и масштабирующей или скейлинг-функции ф(?), таких что [10]:

00 00 = \

—00 —СО

Вейвлет-функция также должна обладать свойством смещения во времени и масштабируемости:

у/{г,а,Ь) = у/(а,Ь^) = а 2у/0

Прямое непрерывное вейвлет-преобразование сигнала s(t) задается вычислением вейвлет-коэффициентов по формуле:

00 - ft-ъЛ

C

-00-00

Обратное непрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле восстановления во временной области [11]:

dadb а2

В связи со значительным неудобством вычисления интегралов, на практике величины a и b обычно задаются дискретно [12]. В этом случае реализуется дискретное вейвлет-преобразование. В численном и функциональном анализе дискретные вейвлет-преобразования (ДВП) относятся к вейвлет-преобразованиям, в которых вейвлеты представлены дискретными сигналами (выборками) [13] в следующем виде:

JV-1

S

¡•=1

В настоящее время основным методом вейвлет обработки сигналов является использование ДВП, на основе которого построены КИХ-фильтры.

Основным методом применения дискретного вейвлет-преобразования для цифровой обработки сигналов является последовательная (итерационная) фильтрация входного сигнала при помощи двух фильтров - высокочастотного и низкочастотного. При этом обрабатываемый сигнал обрабатывался параллельно и независимо каждым из этих фильтров. Такие системы обработки сигналов, состоящие из нескольких каналов с цифровыми фильтрами, получили название наборов фильтров (банков фильтров, filter bank).

Самой простой разновидностью наборов фильтров является двухка-нальный набор фильтров, изображенный на рисунке 1.

Рисунок 1. Двухканальный набор фильтров преобразования сигнала.

Входной сигнал х(п) поступает на вход набора фильтров, после чего обрабатывается параллельно и независимо по двум каналам. На верхнем канале рисунка 1 сигнал обрабатывается анализирующим фильтром Н0, после чего

происходит децимация сигнала - удаление каждого второго отсчета. Оператор децимации обозначен на рисунке как |2. В результате такой обработки получается последовательность у0(п). Аналогично происходит работа и второго канала, в котором сигнал фильтруется анализирующим фильтром Н1, в результате чего, после децимации его ответа получается последовательность у1(п).

Для восстановления исходного сигнала по полученным последовательностям у0(п) и у1(п) используются операторы прореживания, которые на рисунке 1 обозначены как |2, и синтезирующие фильтры О0 и 01. Кроме того, для восстановления сигнала необходимо просуммировать результаты работы каждого из каналов. В результате выполнения указанных операций на выходе набора фильтров получается сигнал х(п).

2. Метод повышения технических характеристик вычислительных систем

Существуют различные методы повышения производительности систем цифровой обработки сигналов. К ним относятся регулировка коэффициентов фильтра, гибридные архитектуры, применение нечеткой логики и искусственных нейронных сетей и многие другие [12, 14]. Одним из перспективных путей повышения производительности цифровых фильтров является применение арифметики системы остаточных классов (СОК) [15, 13]. В СОК числа представляются в базисе взаимно-простых чисел, называемых модулями в!$ = \тх,...щк}, НО,[^гп1 1, для IФ j. Произведение всех модулей СОК М = называется динамическим диапазоном системы. Любое целое число 0 <X < М может быть единственным образом представлено в СОК в виде вектора (хь х2, ... , хк}, где х, = = ХтоАт1 [12].

Динамический диапазон СОК обычно делится на две примерно равные части, таким образом, чтобы примерно половина диапазона представляла положительные числа, а остальная часть диапазона - отрицательные. Таким образом, любое целое число, удовлетворяющее одному из двух соотношений:

М -1 лг М -1 --< X <-, для нечетных М,

2 2

М лг М

--< X < —, для четных М,

2 2

может быть представлено в СОК.

Операции сложения, вычитания и умножения в СОК определяются формулами

А±В = {а,±Ъ,\щ,...,\ак±Ък\т),

АхВ = \а1хЬх\ \акхЪк\т).

Равенства

к

где

MM =

х =

M

1=0

м

тивный обратный для M, по модулю т.

Y =

КЧ . Элемент \м  1 означает мультиплика-

i I т. I . I т.

Другим методом преобразования числа из СОК в позиционную форму, является переход к обобщенной позиционной системе счисления (ОПСС, MRC) [9]. Число X <М имеет вид {х'1, х'2, ... , хк}, 0 < х\ < т^ в обобщенной позиционной системе счисления, если:

к-1

Х = х[ + х'2т1 + х'3т1т2 +... +

¿=1

где x\ е [0, mj) цифры числа X в обобщенной позиционной системе счисления,

х[ = xt mod m1 х'2 = (х2 ~ x[)cl2 mod т2

*3 = ((^3 ~~ х\ ~~ х2 ]c23modm3

х'к =Ц{хк -АУхк-x'lhk -••-*i-ih-umo(4

Константы су являются мультипликативными обратными элементами для ту по модулю ту для всех 1 < I <у < к, то есть су • ту = 1mod ту для 1 < I < п, и могут быть вычислены, например, с помощью алгоритма Евклида.

Таким образом, можно выделить два основных преимущества модулярной арифметики:

1. Арифметические операции сложения, вычитания и умножения выполняются с меньшим количеством переносов, в отличие от позиционного представления чисел. На рисунке 2 показана операция сложения двух 8 битных чисел в ПСС и СОК с модулями (5, 7, 8), обеспечивающими диапазон, равный 280, что превышает любое значение 8-битного числа. Нетрудно заметить, что при выполнении сложения в по-

зиционной системе счисления, требуются переносы, которые препятствуют параллельному вычислению и увеличивают время выполнения операции. Кроме того, в отличие от модулярного сложения, в двоичном представлении используется больше разрядов, в том числе и в случае переполнения из-за переносов, что приводит к подаче напряжения на большее количество элементов памяти, что в конечном итоге приводит к повышению энергопотребления, в отличие от представления тех же чисел в СОК.

а)

б)

+

в) г)

Рисунок 2. Операция сложения: а) в десятичной системе; б) двоич-

ной системе счисления; в) системе остаточных классов ; г) двоичное представление остатков.

2. Для каждого значения модуля mi арифметические операции выполняются с парой соответствующих вычетов параллельно, при этом вычеты имеют гораздо меньшую разрядность, чем исходные операнды X и У. Основной проблемой СОК является сложность выполнения операции деления и сравнения двух чисел. Однако, несмотря на указанные недостатки, модулярная арифметика может быть эффективно реализована в приложениях, где основная доля вычислений приходится на операции умножения в сочетании со сложением и вычитанием [11]. Как будет видно далее, фильтрация сигналов является именно таким приложением.

физико-математические науки

Комплексное улучшение технических характеристик устройств..

СОК обладает большим потенциалом для улучшения скорости цифровых устройств, благодаря замене операций сложения, вычитания и умножения чисел большой длины, на параллельную обработку остатков гораздо меньшей разрядности [9, 10]. Кроме того, СОК позволяет весьма эффективно проектировать и реализовывать различные цифровые устройства на программируемых логических интегральных схемах (FPGA) и интегральных схемах специального назначения (ASIC) [7].

Применение СОК для фильтрации сигналов позволяет максимально использовать преимущество модулярной арифметики перед ПСС, так как сложение и умножение являются модульными операциями. В то же время фильтрация сама по себе не требует выполнения немодульных операций, о которых было сказано выше. Практически это означает, что недостатки СОК, связанные с медленным выполнением немодульных операций, не замедлят работу фильтров [15, 6]. Принцип обработки сигналов в системе остаточных классов показан на рисунке 2. Поступивший на вход системы сигнал xt преобразуется в модулярный код (блок ПСС ^ СОК). Далее происходит параллельная обработка сигнала по каждому из модулей. Выходной сигнал y получается при помощи обратного преобразования СОК ^ ПСС.

Рисунок 2. цифровая обработка сигнала в системе остаточных клас-

сов.

Результаты и их обсуждения

1. Моделирование цифровых фильтров в системе остаточных классов на программируемых логических интегральных схемах

На рисунке 3 изображена схема вейвлетного фильтра в СОК. Структура фильтра в СОК аналогична структуре фильтра в двоичной системе счисления.

Рисунок 3. Схема вейвлетного фильтра в СОК в Simulink MATLAB с

подключенным Xilinx System Generator.

Отличительной особенностью вейвлетного фильтра в СОК является наличие блоков преобразования сигналов из СОК в ПСС и из ПСС в СОК, замена сумматоров и умножителей на аналогичные модулярные элементы. Для моделирования использовалась ПЛИС разных моделей.

Сравнение результатов моделирования вейвлетных фильтров в двоичной системе счисления и в системе остаточных классов на ПЛИС разных моделей приведено в таблице 1.

Таблица 1. Сравнение результатов моделирования вейвлет фильтров в двоичной системе счисления и СОК на П....

Модель FPGA СОК ПСС

Частота, МГц Задержка, нс Энергопотребление, Ватт Частота, МГц Задержка, нс Энергопотребление, Ватт

Virtex 7 xc7vx550tl-ffg1927 73.486 13.478 0.180 59.025 17.045 0.237

Artix 7 xc7a200tl-ffg1156 52.780 18.456 0.055 42.394 23.342 0.072

Kintex 7 xc7k70tl-fbg676 57.175 17.691 0.039 45.924 22.37 0.051

Spartan 6 xc6slx9l-cpg196 35.628 27.502 0.018 28.617 34.78 0.024

Zynq xc7z045-ffg900 73.913 13.268 0.141 59.368 16.78 0.186

Сравнение результатов полученных технических характеристик проиллюстрировано на рисунках 4-6.

Рисунок 4,

Рисунок 5

Сравнение результатов рабочей частоты вейвлет фильтров в двоичной системе счисления и СОК на FPGA.

Временная задержка целевых плат

Целевая плата

Сравнение результатов временной задержки вейвлет фильтров в двоичной системе счисления и СОК на FPGA.

Рисунок 6.

Сравнение результатов энергопотребления вейвлет фильтров в двоичной системе счисления и СОК на FPGA.

Результаты моделирования свидетельствуют о том, что применение СОК для устройств цифровой обработки сигналов позволяет увеличить скорость работы на 21% и снизить энергопотребление на 24%.

Выводы

Применение цифровых фильтров на основе СОК в системах с низким энергопотреблением позволяет повысить скорость работы, уменьшить аппаратные затраты, снизить потребляемую мощность, повысить помехоустойчивость и получать информацию о неисправности. Показано, что применение модулярной арифметики для вейвлетных фильтров позволяет снизить энергопотребление на 24% и повысить скорость работы на 21%. Перспективным направлением для дальнейшего исследования является разработка адаптивных цифровых фильтров с динамическим изменением коэффициентов в СОК.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Пре-идента РФ № 14-07-31004-мол-а.

Литература

1. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов (статистические проблемы обучения) / В.Н. Вапник, А.Я. Червоненкис. М.:Наука, 1974. 415 с.

2. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е издание / С. Хай-кин. М.: Вильямс, 2006. 1104 с.

3. Червяков Н.И. Модулярные параллельные вычислительные структуры нейропроцессорных систем / Н.И. Червяков, П.А. Сахнюк, А. В. Шапошников, С.А. Ряднов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 288 с.

4. Червяков Н.И. Реализация высокоэффективной модулярной цифровой обработки сигналов на основе программируемых логических интегральных схем / Н.И. Червяков // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2006. № 10. C. 24-36.

5. Chervyakov N.I. Digital filtering of images in a residue number system using finite-field wavelets / N.I. Chervyakov, P.A. Lyakhov, M.G. Babenko // Automatic Control and Computer Sciences. 2014. № 3. P. 180-189.

6. Червяков, Н.И. Принцип сжатия изображений на основе дискретного вейвлет-преобразования / Н.И. Червяков, П.А. Ляхов, Д.И. Калита, К.С. Шульженко // Наука. Инновации. Технологии. 2016. №3. С. 97-118.

7. Червяков Н.И. Цифровые фильтры в двухступенчатой системе остаточных классов с модулями специального вида / Н.И. Червяков, П.А. Ляхов, К.С. Шульженко // Наука. Инновации. Технологии. 2014. № 1. С. 41-55.

8. Фомин, Я.А. Распознавание образов: теория и практика. Издание третье, дополненное / Я. А. Фомин. М.: ФАЗИС, 2014. 460 с.

9. Стемпковский, А.Л. Особенности реализации устройств цифровой обработки сигналов в интегральном исполнении с применением модулярной арифметики / А.Л. Стемпковский, А.И. Корнилов, М.Ю. Семенов // Информационные технологии. 2004. №2. C. 2-9.

10. Shahana, T.K. Performance Analysis of FIR Digital Filter Design: RNS Versus Traditional / T.K. Shahana, R.K. James, B.R. Jose, K.P. Jacob, S. Sasi / ISCIT 2007 International Symposium on Communications and Information Technologies Proceedings. Sidney, 2007. P. 1-5.

11. Omondi, A. Residue Number Systems: Theory and Implementation / A. Omondi, B. Premkumar / Imperial College Press. Singapore, 2007. 296 p.

12. Juxian, M. Based on the fourier transform and the wavelet transformation of the digital image processing / M. Juxian / 2012 International Conference on Computer Science and Information Processing (CSIP). Xian, Shaanxi, 2012. P. 1232-1234.

13. Goh, V.T. Multiple Error Detection and Correction Based on Redundant Residue Number Systems / V.T Goh, M.U. Siddiqi // IEEE Transactions on Communications. 2008. № 3. Vol. 56. P. 325330.

14. Goswami, J.C. Fundamentals of Wavelets. Theory, Algorithms, and Applications / J.C. Goswami, A.K. Chan // Wiley. 2011. Vol. 2. 359 p.

15. Taleshmekaeil, D.K. The use of residue number system for improving the digital image processing / D.K. Taleshmekaeil, A. Mousavi / In Proc. of 10th International Conference on Signal Processing. Pecin, 2010. P. 775-780.

Referenses

1. Vapnik V.N., Teoriya raspoznavaniya obrazov (Pattern recognition theory). V. N. Vapnik, A.Ya. Chervonenkis. M.:Nayka, 1974. 415 p.

2. Xaikin C. Neyronnye seti: polnyi kyrs, 2-e izdanie (Neural networks: a comprehensive foundation, 2nd ed.). C. Xaikin. M.: Vil'yams, 2006. 1104 p.

3. Chervyakov N.I. Modylyarnye parallel'nye vychislitel'nye stryctyry neyroprocessornyx system (Modular parallel computing structures of neuroprocessor systems). N.I. Chervyakov, P.A. Saxnuk, A.V. Shaposhnikov, C.A. Ryadnov. M.: FIZMATLIT, 2003. 288 p.

4. Chervyakov N.I. Realizaciya vysokoeffektivnoi modylyarnoy cifrofoy obrabotki signalov na osnove programmiryemyx logicheskix integral'nyx sxem (Implementation of high-efficiency modular digital signal processing based on FPGA). N.I. Chervyakov, Neyrokomp'utery: razrabotka, primenenie. 2006. № 10. P. 24-36.

5. Chervyakov N.I. Digital filtering of images in a residue number system using finite-field wavelets. N.I. Chervyakov, P.A. Lyakhov, M.G. Babenko, Automatic Control and Computer Sciences. 2014. № 3. P. 180-189.

6. Chervyakov N.I. Princip sgatiya izobragenii na osnove diskretnogo veivlet-preobrazovaniya (Principle of image compression based on discrete wavelet transform). N.I. Chervyakov, P.A. Lyaxov, D.I. Kalita, K.S. Shul'genko, Nauka. Innovacii. Texnologii. 2016. №3. P. 97-118.

7. Chervyakov N.I. Cifrovii fil'try v dvuxstupenchatoi sisteme osta-tochnyx klassov s modulyami special'nogo vida (Digital filters in two-stages residue number system with special moduli). N.I. Chervyakov, P.A. Lyaxov, K.S. Shul'genko, Nauka. Innovacii. Texnologii. 2014. № 1. P. 41-55.

8. Fomin, Y. A. Raspoznavanie obrazov: teoriy i praktika. Izdanie tret'e, dopolnennoe (Pattern recognition: theory and practice, 3rd ed.). Y.A. Fomin. M.: Fazis, 2014. 460 p.

9. Stempkovskii A.L. Osobennosti realizacii ytroystv cifrivoy obrabotki signalov v integral'nom ispolnenii s primeneniem modylyarnoy arifmetiki (Features of implementation of digital signal processing devices in the integrated version with the use of modular arithmetic). A.L. Stempkovskii, A.I. Kornilov, M.U. Semenov, Informacionnye texnologii. 2004. № 2. P. 2-9.

10. Shahana, T.K. Performance Analysis of FIR Digital Filter Design: RNS Versus Traditional. T.K. Shahana, R.K. James, B.R. Jose, K.P. Jacob, S. Sasi, ISCIT 2007 International Symposium on Communications and Information Technologies Proceedings. Sidney, 2007. P. 1-5.

11. Omondi, A. Residue Number Systems: Theory and Implementation. A. Omondi, B. Premkumar, Imperial College Press. Singapore, 2007. 296 p.

12. Juxian, M. Based on the fourier transform and the wavelet transformation of the digital image processing. M. Juxian, 2012 International Conference on Computer Science and Information Processing (CSIP). Xian, Shaanxi, 2012. P. 1232-1234.

13. Goh, V.T. Multiple Error Detection and Correction Based on Redundant Residue Number Systems. V.T Goh, M.U. Siddiqi, IEEE Transactions on Communications. 2008. № 3. Vol. 56. P. 325 - 330.

14. Goswami, J.C. Fundamentals of Wavelets. Theory, Algorithms, and Applications. J.C. Goswami, A.K. Chan, Wiley. 2011. Vol. 2. 359 p.

15. Taleshmekaeil, D.K. The use of residue number system for improving the digital image processing. D.K. Taleshmekaeil, A. Mousavi, In Proc. of 10th International Conference on Signal Processing. Pecin, 2010. P. 775-780.