Преимущества применения генеральной совокупности конечного объема вместо выборки для распределения Вейбулла с тремя параметрами

Преимущества применения генеральной совокупности конечного объема вместо выборки для распределения Вейбулла с тремя

параметрами

В.Е. Касьянов, Д.Б. Демченко, Е.Е. Косенко, К.О. Кобзев, Р.В. Хван Донской государственный технический университет

Аннотация: Выборочный метод расчёта из-за своей экономичности уже несколько столетий успешно применяется. Однако при расчётах безотказности в случае усталостных разрушений (часто внезапных), когда существует значительная степенная связь т=10-15 для сверхмногоцикловой области нагружения между прочностью (твердость, предел выносливости) и действующим напряжением, снижение минимального ресурса деталей составит 10-100 и более раз. Это получается из-за неучтенной основной части генеральной совокупности. В нашем примере 104-50=9950 шт таких деталей, т. е. их потенциальных отказов. Поэтому для этого случая выборочный метод - промежуточный этап расчетов. Ключевые слова: выборка, усталостный ресурс, генеральная совокупность конечного объема, степенная связь.

Многолетний опыт применения выборочного метода как в науке, так и в инженерной практике показал себя с выгодной стороны: экономия трудовых, материальных и временных ресурсов [1-4].

Проведение испытаний на надежность выборок примерно из 10 - 100 изделий по сравнению с эксплуатируемым их количеством в сотнях, тысячах и миллионах единиц обусловило преимущество выборочного метода, тем более, что в математической литературе в большинстве случаев совокупности объектов рассматривается бесконечного объема [5-8].

Обычно же совокупности изделий, событий, этапов жизни и тому подобное конечно. Это обстоятельство конечности генеральных совокупностей открывает новые возможности статистических методов в науке и инженерной практике.

Делясь опытом при изучении и применении теории и практики надежности изделий (в частности машин) можно утверждать, что

выборочный метод не обеспечивает полной картины при решении задач надежности [9].

Так, например, занимаясь сбором информации о надежности строительных, сельскохозяйственных, транспортных и других машин при их эксплуатации в Ростовской области и Краснодарском крае с 1969 года, при длительных наблюдениях на протяжении 4 - 5 лет за выборками из 30 - 35 единиц установили, что отказы возникают не только у машин из выборок (ГОСТ 27 - 503 - 81: авторы - А. И. Кубарев, Д. М. Беленький, В. Е. Касьянов и др.), но и у других машин данного производителя из разных регионов страны [10-12].

Если выборка состояла из наблюдаемых 30 экскаваторов Донецкого завода, то отказы этих машин фиксировались и из Сибири, Дальнего Востока, центральной части страны и так далее.

Эти дополнительные отказы не только дополняли отказы выборки, но и изменяли картину появления отказов, так как объединялись отказы выборки и совокупности (ГОСТ 27.401 - 84: авторы - Д. М. Беленький, В. Е. Касьянов, В.Ф. Курочкин и др.), из которой бралась выборка [13-14].

Анализ немногочисленных математических источников [15-17] показал, некоторые особенности генеральных совокупностей конечного объема:

1. Размах распределение совокупности всегда больше, чем в выборке из нее.

2. Это утверждение подтверждается тем, что среднеквадратическое отклонение совокупности больше чем у выборки.

3. Параметр сдвига распределения Вейбулла совокупности некорректен, так как он всегда меньше первого значения вариационного ряда совокупности; поэтому вместо сдвига следует использовать это первое значение [18, 19].

:

Определенную сложность, а точнее невозможность применения совокупности для нахождения параметров закона Вейбулла по сравнению с выборкой представляет реальная эксплуатация машин.

В этом случае приходилось использовать косвенные методы: корреляционный, расчеты с применением моды выборочных распределений и среднеквадратическое отклонение выборочных параметров [20].

Наибольший интерес у нас вызвал графический метод, когда на вероятностной бумаге распределения Вейбулла выполняется экстраполяция прямой выборочного распределения в область малых значений вероятностей

3 3 4

при соответствующих объемах совокупностей: Кс=10 , Q=10~ ; Кс=10 , Q=10" 4; Кс=105, Q=10-5, выборки п=50 и т.д. (рис. 1) [21].

Рис. 1 - Графически метод перехода от выборки к совокупности

Преимущество графического метода для определения трех параметров закона Вейбулла генеральной совокупности состоит в том, что по ранее рассчитанным параметрам для выборки а, Ь, находятся соответственно равные параметры совокупности а=А, Ь=В [22].

Однако параметр сдвига С совокупности за счет экстраполяции получается меньше первого (минимального) значения вариационного ряда, что математический некорректно, т.е. отказа со временем менее 1-го значения вариационного ряда быть не может при Кс=104. В этом случае следует вместо С применять первое значение вариационного ряда совокупности [19,23].

Известно, что основными повреждениями деталей машин являются износ и усталость. Параметры деталей при износе не значительно влияют на ресурс деталей, обычно в степени примерно 1 - 3.

Наиболее важным обстоятельством при использовании совокупности вместо выборки является расчет усталостного ресурса деталей машин: зубчатых колес, валов, металлоконструкций и т.п. [24-25].

Усталость характеризуется существенно большим влиянием на ресурс детали: прочность (твердость, предел выносливости имеют близкую прямо пропорциональную связь) стали и действующее напряжение в опасном сечении детали связаны степенью т1= 3 - 8 с ее ресурсом для многоцикловой области нагружения [24].

Для сверхмногоцикловой области, когда деталь должна иметь ресурс более 2 - 3 тыс. часов и отрабатывать более (2 - 5)106 циклов нагружения степень составит:

тг = т1-а^1в/аа,

достигая значения около 15 [26].

Здесь:

- предел выносливости стальной детали;

(7а - действующее напряжение в опасном сечении детали.

Далее рассмотрим пример и сравнительный анализ для детали с усталостным ресурсом из сталей Ст. 3, 15Г и 15ХСНД [27].

1К1 Инженерный вестник Дона. №4 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2018/5263

Прочность (твердость) сталей получена измерением выборок по 50 образцов.

Заводские конструкторские организации располагают только выборочными параметрами прочности и обычно действующими напряжениями, записанными при тензометрировании на одной детали и на одной машине [28, 29].

В отличие от конструкторских бюро, которые обычно пользуются в расчетах усталостных ресурсов деталей выборочными значениями твердости и предела выносливости, предлагается перейти от выборок к генеральной совокупности конечного объема [30]. Генеральная совокупность - это то количество деталей, узлов и машин, которые обычно выполняются без изменения конструкции и технологии изготовления в течение примерно 8-12 лет и могут составлять несколько тысяч единиц [31 - 33].

В этих целях выполнен переход от выборочных значений твердости (объемом выборок п = 50) к совокупности с использованием графического метода и вероятностных сеток для сталей Ст. 3, 15Г, 15ХСНД (рис. 2).

Р

о. 6

0.4

0.2

0 . 1

О .02 Ы=102 10"2

Ы=103 10"3

Ш-104 10"4

N=10Ь 1СГ5

60 70 80 90 100 110 130 150 НВ

Рис. 2 - Графический метод перехода от выборки к совокупности для трех марок сталей 1 - Ст. 3, 2 - 15Г, 3 - 15ХСНД

Расчет коэффициентов уменьшения твердости Кнс для совокупностей представлен в табл. 1.

Таблица 1

Результаты расчета коэффициентов уменьшения твердости Кнс для

совокупностей

Стали п НБтЬ Ыс НБтЬ Ыс НБтЬ Ыс НБтЬ

Ст3 50 109,0 103 92,0 104 81,5 105 71,0

15Г 50 118,0 103 90,5 104 74,0 105 61,5

15ХСНД 50 129,5 103 115,5 104 106,0 105 97,5

Стали Выборка НВтт Совокупность

Ыс К нс Кнс Ыс К нс Кнс Ыс К нс Кнс

Ст3 109,0 103 109,0/92,0 1,18 104 109,0/81,5 1,34 105 109,0/71,0 1,5

15Г 118,0 103 118,0/90,5 1,31 104 118,0/74,0 1,59 105 118,0/61,5 1,92

15ХСНД 129,5 103 129,5/115,5 1,12 104 129,5/106,0 1,21 105 129,5/97,5 1,33

По результатам определения коэффициентов Кнс построены графические зависимости Кнс=f (Ыс) (Рис. 3).

Рис. 3 - График зависимости Кнс от объема совокупности Ыс

1К1 Инженерный вестник Дона. №4 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2018/5263

Исходные данные по твердости и результаты расчетов для трех марок сталей Ст. 3, 15Г, 15ХСНД приведены в табл. 2.

Таблица.2

Расчетно-экспериментальные данные по твердости и ресурсу образцов

сталей

Ст3

Выборка п Совокупность N HBmin в НВтт с

50 104 109 81

!-«с-«=154

^'т^шНк ~ ^шпк — 3-.346" — 5,7 раз

^-«.»-гиР-оы*.

Сталь 15Г

Выборка п Совокупность N НВтт в НВтт с

50 104 118 74

- Т- —

^•т*.««р-

Сталь 15ХСНД

Выборка п Совокупность N HBmin в НВтт с

50 104 129 106

— ^"¿¿гя^ — — Раз ад —*

Iljfl Инженерный вестник Дона. №4 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2018/5263

По результатам расчета Ктнс построен график (рис. 4).

f t— „.......

Ш \233 2000 20000 т ,ч

pmin '

Рис. 4 - График изменения минимального ресурса для совокупности

деталей

Анализ табл. 2 показывает, что использование выборок вместо совокупности для 3 марок сталей существенно сокращает заданный минимальный ресурс деталей с 20000 часов до 19 часов и коэффициент снижения ресурса достигает 1049 раз.

Результаты могут быть скорректированы с определением нижней доверительной границы для первого значения вариационного ряда совокупностей.

Литература

1. Проников А.С. Надежность машин. - М.: Машиностроение, 1978. - 592 с.

2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 448 с.

3. Пугачев. В. С. Теория вероятности и математическая статистика. - М.: Наука, 1979 - 496 с.

1К1 Инженерный вестник Дона. №4 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2018/5263

4. Бойцов Б.В., Орлова Т.М., Сигалов В.Ф. Определение закона распределения ресурса деталей машин и механизмов методом статистических испытаний/ Вестник машиностроения. - 1983. - №2 - С. 20-22.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.

6. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1969. - 512 с.

7. Закс Ш. - Теория статистических выводов. / пер. с англ. Чапурина Е.В. / под ред. Беляева Ю.К. - М.: Мир, 1975. - 776 с.

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. / пер. с англ. Прохорова - М.: Мир, 1984. - 528 с.

9. Касьянов В.Е., Роговенко Т.Н., Щулькин Л.П. Основы теории и практики создания надежных машин//Вестник машиностроения. - 2003. - №10 - С. 3-6.

10.Касьянов В.Е. Метод определения уровня надежности одноковшовых экскаваторов // Надежность машин. - 1972. - Вып. 2 - С. 98 - 107.

11. Касьянов В.Е. Испытания экскаваторов в эксплуатации и расчет показателей их надежности на ЦВМ. // Надежность и контроль качества. -1976. - № 6. - С.15 - 19.

12.Касьянов В.Е. Опыт анализа надежности машин по результатам длительных эксплуатационных наблюдений // Вестник машиностроения. -1978. - № 10 - С. 13 - 16.

13.Касьянов. В. Е. Система обеспечения надежности машин, применяемых в мелиораторном строительстве: (атореф. дис. д. т. н.). - Ростов н/Д, 1991 -48 с.

Iljfl Инженерный вестник Дона. №4 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2018/5263

14.Касьянов В.Е. Определение установленных показателей надежности машины и ее составных частей // Надежность и контроль качества, 1986. -№5. - С.17-22.

15.Справочник по надежности. / пер. с англ. П. К. Горохова. - М.: Мир, 1970. - 304 с.

16.Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

17.Закс Ш. Теория статистических выводов. / пер. с англ. Чапурина Е.В. под

ред. Беляева Ю.К. - М.: Мир, 1975. - 776 с.

18.Касьянов В.Е., Косенко Е.Е., Косенко В.В., Хван Р.В. Исследование эксплуатационной надежности автомобилей при замене параметра сдвига распределения ресурса деталей закона Вейбулла // Качество и жизнь, 2018. - 2018. - С. 65-69

19.Касьянов В.Е., Коломейцев С.Ю., Холостова В.В. Сравнение сдвига совокупности конечного объема и минимального выборочного значения в зависимости от параметров моделирования для деталей экскаватора // Инженерный вестник Дона. 2012, №4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1237.

20.Котесова А.А. Увеличение и оптимизация усталостного гамма-процентного ресурса деталей одноковшового экскаватора (автореф. дис. к. т. н.) Ростов н/Д, 2016. 21 с.

21.Теплякова С.В. Обеспечение безотказности деталей машин в течение назначенного усталостного ресурса (автореф. дис. к. т. н.) Ростов н/Д, 2017. 20 с.

22.Капур К., Ламберсон Л. Надёжность и проектирование систем. / Перевод с англ. Коваленко Е.Г. под ред. Ушакова И.А. М.: Мир, 1980. - 604 с.

23.Касьянов В.Е. Метод оценки безотказности для выборки и совокупности конечного объема // Научное обозрение, 2014. - № 11-3. С. 785-788.

IH Инженерный вестник Дона. №4 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2018/5263

24.Серенсен С.В., Когаев В.П., Шнейдерович Р.М. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. - М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.

25. Касьянов В.Е. и др. Основы теории и практики создания надежных машин // Вестник машиностроения. - 2003. - №10. - С.3-6

26. Роговенко Т. Н. Вероятностно статистическая оценка гамма-процентного ресурса ответственных деталей машин (автореф. дис. к. т. н.). - Ростов н/Д, 1995. - С. 23.

27. Касьянов В.Е., Косенко Е.Е., Косенко В.В., Котесова А.А., Хван Р.В. Исследование влияния объемов выборок и генеральных совокупностей прочности деталей автомобилей на их ресурс // Инженерный вестник Дона, 2018, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4765.

28.Касьянов В.Е. Система управления надежностью одноковшовых экскаваторов Э-652 Б // Надежность машин. - 1973. - Вып 3. - С.98-107

29.Касьянов В.Е. Принципы создания практически безотказных машин // Стандарты и качество, 1988. - №7. - С.39-42.

30. Дмитриченко С.С., Занцевич В.В. Опыт испытаний и расчета на сопротивление усталости сварных металлоконструкций // Вестник машиностроения. - 1990. - № 6 - С. 31 - 32.

31.Касьянов В.Е. Интегральная оценка, повышение и оптимизация надежности машин (на примере одноковшового экскаватора) // Вестник машиностроения. - 1990. - № 4 - С. 7 - 8.

32. S.V.Tepliakova, E.E.Kosenko, V.V.Kosenko, A.V.Cherpakov . Analysis of Requirements to Ensure Absolute Reliability of Machines //Abstracts & Schedule. International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications"(PHENMA 2016) Surabaya, Indonesia, July 19-22, 2016, рр. 267-268.

33. S.V.Tepliakova, E.E.Kosenko, V.V.Kosenko, A.V.Cherpakov Mathematical Modeling of Ensuring Machine Reliability //Abstracts & Schedule. International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications"(PHENMA 2016) Surabaya, Indonesia, July 19-22, 2016, pp. 269.

References

1. Pronikov A.S. Nadezhnost' mashin [Reliability of cars]. M.: Mashinostroenie, 1978. 592 p.

2. Gnedenko B. V. Kurs teorii veroyatnostej [Probability theory course]. M.: Nauka, 1988. 448 p.

3. Pugachev. V. S. Teoriya veroyatnosti i matematicheskaya statistika [Probability theory and mathematical statistics] M.: Nauka, 1979. 496 p.

4. Bojtsov B.V., Orlova T.M., Sigalov V.F. Vestnik mashinostroeniya. 1983. №2 pp. 20-22.

5. Venttsel' E.S. Teoriya veroyatnostej [Probability theory]. M.: Nauka, 1969. 576 p.

6. Smirnov N.V., Dunin-Barkovskij I.V. Kurs teorii veroyatnostej i matematicheskoj statistiki dlya tekhnicheskikh prilozhenij [Course of probability theory and mathematical statistics for technical applications] M.: Nauka, 1969. 512 p.

7. Zaks SH. Teoriya statisticheskikh vyvodov [Theory of statistical conclusions] per. s angl. CHapurina E.V. pod red. Belyaeva YU.K. M.: Mir, 1975. 776 p.

8. Feller V. Vvedenie v teoriyu veroyatnostej i ee prilozheniya [Introduction to probability theory and its applications]. Per. s angl. Prokhorova M.: Mir, 1984. 528 p.

9. Kas'yanov V.E., Rogovenko T.N., SHHul'kin L.P. Vestnik mashinostroeniya. 2003. №10 pp. 3-6.

10. Kas'yanov V.E. Nadezhnost' mashin. 1972. Vyp. 2 pp. 98 - 107.

11. Kas'yanov V.E. Nadezhnost' i kontrol' kachestva. 1976. № 6. pp.15 - 19.

12. .Kas'yanov V.E. Vestnik mashinostroeniya. 1978. № 10 pp. 13 - 16.

13. Kas'yanov. V. E. Sistema obespecheniya nadezhnosti mashin, primenyaemykh v melioratornom stroitel'stve [The system of ensuring reliability of the cars used in melioratorny construction]: (atoref. dis. d. t. n.). Rostov n D, 1991. 48 p.

14. Kas'yanov V.E. Nadezhnost' i kontrol' kachestva, 1986. №5. pp.17-22.

15. Spravochnik po nadezhnosti [Reference book on reliability] per. s angl. P. K. Gorokhova. M.: Mir, 1970. 304 p.

16. Kramer G. Matematicheskie metody statistiki. [Mathematical methods of statistics] M.: Mir, 1975. 648 p.

17. Zaks SH. Teoriya statisticheskikh vyvodov [Theory of statistical conclusions] per. s angl. CHapurina E.V. pod red. Belyaeva YU.K. M.: Mir, 1975. 776 p.

18. Kas'yanov V.E., Kosenko E.E., Kosenko V.V., KHvan R.V. Kachestvo i zhizn', 2018. 2018. pp. 65-69.

19. Kas'yanov V.E., Kolomejtsev S.YU., KHolostova V.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012. №4 (part 2)/ URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1237.

20. Kotesova A.A. Uvelichenie i optimizatsiya ustalostnogo gamma-protsentnogo resursa detalej odnokovshovogo ehkskavatora [Increase and optimization of a fatigue gamma percent resource of details of the odnokovshovy excavator]. (avtoref. dis. k. t. n.) Rostov n D, 2016. 21 p.

21. Teplyakova S.V. Obespechenie bezotkaznosti detalej mashin v techenie naznachennogo ustalostnogo resursa [Ensuring non-failure operation of details of cars during the appointed fatigue resource] (avtoref. dis. k. t. n.). Rostov n D, 2017. 20 p.

22. Kapur K., Lamberson L. Nadezhnost' i proektirovanie sistem [Reliability and design of systems] perevod s angl. Kovalenko E.G. pod red. Ushakova I.A. M.: Mir, 1980. 604 p.

23. Kas'yanov V.E. Nauchnoe obozrenie, 2014. №11. pp.785-788.

24. Serensen S.V., Kogaev V.P., SHnejderovich R.M. Nesushhaya sposobnost' i raschety detalej mashin na prochnost'. M.: Mashinostroenie, 1975. 488 p.

25. Kas'yanov V.E. i dr. Vestnik mashinostroeniya. 2003. №10. pp. 3-6

26. Rogovenko T. N. Veroyatnostno statisticheskaya otsenka gamma-protsentnogo resursa otvetstvennykh detalej mashin [Probabilistically statistical assessment of a gamma percent resource of responsible details of cars] (avtoref. dis. k. t. n.). Rostov n D, 1995. P. 23.

27. Kas'yanov V.E., Kosenko E.E., Kosenko V.V., Kotesova A.A., KHvan R.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2018/4765.

28. Kas'yanov V.E. Nadezhnost' mashin. 1973. Vyp 3. pp. 98-107

29. Kas'yanov V.E. Standarty i kachestvo, 1988. №7. pp. 39-42.

30. Dmitrichenko S.S., Zantsevich V.V. Vestnik mashinostroeniya. 1990. № 6 pp. 31 - 32.

31. Kas'yanov V.E. Vestnik mashinostroeniya. 1990. № 4 pp. 7 - 8. 32.S.V.Tepliakova, E.E.Kosenko, V.V.Kosenko, A.V.Cherpakov. Abstracts &

Schedule. International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications"(PHENMA 2016) Surabaya, Indonesia, July 19-22, 2016, pp. 267-268. 33. S.V.Tepliakova, E.E.Kosenko, V.V.Kosenko, A.V.Cherpakov Abstracts & Schedule. International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications"(PHENMA 2016) Surabaya, Indonesia, July 19-22, 2016, pp. 269.