Неявные итерационные схемы для решения стационарных задач несжимаемой жидкости с большим запасом устойчивости

УДК 517.538.7

Неявные итерационные схемы для решения стационарных задач несжимаемой жидкости с большим запасом устойчивости

Е.К. Ергалиев

Восточно-Казахстанский государственный университет им. С. Аманжолова

Implicit Iterative Schemes for Solving Stationary Problems of an Incompressible Fluid with a Large Margin of Stability

Y.K. Yergaliyev

S. Amanzholov East Kazakhstan State University

Работа посвящена построению и исследованию разностных схем для уравнений, описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости в естественных переменных «вектор скорости — давление». Большое внимание уделено неявным разностным итерационным схемам, разработанным на основе идеи «слабой сжимаемости».

Математические проблемы, возникающие при изучении движения вязкой несжимаемой жидкости, актуальны как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других естественных науках для описания реальных процессов. Процессы, связанные с течением вязкой несжимаемой жидкости, успешно описываются уравнениями Навье — Стокса. Данные системы уравнений являются нелинейными, не относятся к эволюционному типу Коши — Ковалевской. Отсутствие граничного условия для давления на твердых стенках рассматриваемой области, где задаются значения для компонент вектора скорости, и наличие малого параметра при старших производных также приводят к технологическим трудностям. Данные обстоятельства, безусловно, усложняют поиск аналитических решений таких систем уравнений, и при современном состоянии математики их можно решать только методами вычислительного характера.

Ключевые слова: итерационная схема, численный алгоритм, погрешность решения, поле скорости, изолиния функции тока.

DOI 10.14258/izvasu(2018)1-14

This paper is devoted to construction and investigation of difference schemes for equations that describe the motion of a viscous incompressible fluid in natural "velocity-pressure vector" variables. Much attention is given to the implicit difference iterative schemes developed on the basis of the "weak compressibility" idea.

Mathematical problems arising in the study of viscous incompressible fluid motion are of current importance both in the theoretical plan and in the study of specific models used in mechanics, physics, and other natural sciences to describe real processes. The processes associated with the flow of a viscous incompressible fluid are successfully described by the Navier — Stokes equations. These systems of equations are nonlinear and do not belong to the evolutionary Cauchy — Kovalevskaya type. The absence of a boundary condition for the pressure on solid walls of the region under consideration, where the values for the velocity vector components and the small parameter for the higher derivatives are given, also lead to technological difficulties. These circumstances certainly complicate the search for analytical solutions of such systems of equations, and, with the current state of mathematics, they can be solved only by computational methods.

Key words: iterative scheme and numerical algorithm, the error of the solution, the speed, the contour of stream function.

Введение

Численному решению системы дифференциальных уравнений несжимаемой жидкости конечно-разностными методами и их математическому обоснованию посвящены многочисленные монографии

и научные статьи [1-4]. Построение эффективных численных алгоритмов для решения уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости представляет большой интерес для специалистов в области вычислительной гидродинамики.

При рассмотрении этой системы в естественных переменных возникают вычислительные и теоретические трудности, обусловленные прежде всего отсутствием граничного условия для давления на твердых стенках и математического обоснования вопросов устойчивости, сходимости и получения оценок скорости сходимости. Поэтому дальнейшее развитие теории разностных методов решения уравнений несжимаемой жидкости является актуальной задачей вычислительной математики.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую стационарную систему уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости в прямоугольной области Б = {о < ха < 1а, а = 1,2,...,М}

йы и = 0,

с краевыми условиями

и = о,

где и = (и1, и2,..., иМ) — вектор скорости;р — давление; V — коэффициент вязкости.

Сначала будет исследована скорость сходимости одного класса итерационных схем для численного решения стационарных сеточных уравнений, со-

ответствующая разностной аппроксимации системы (1), (2), вида

Ьми + gradhP = vАhU + /, йгУки = 0, х е Бк,

с однородными краевыми условиями для компонент вектора скорости.

Здесь и далее приняты обозначения из теории разностных схем [1].

Предположим также, что операторы Ькт, т = 1, N, соответствующие аппроксимации конвективных членов, являются энергетически «нейтральными», т.е.

(Ь, и , и ) = 0, Мт = 1, N,

4 к,т т 1 т ' ' ''

и выполняется дополнительное условие

Е р

которое соответствует условию однозначности определения давления.

Для численного решения сеточных стационарных уравнений несжимаемой жидкости в переменных «вектор скорости, давление» (3) - (4) рассмотрена итерационная схема, разработанная на основе идеи «слабой сжимаемости»:

- + Ь, ип+1 +

к,т т 1 Ч-Г 0-к ' хт к т '0 чт т' х

+ / , т = 1,2,...,N,

•'ОТ ? ? ? у

п + 1 Лп

р——- + й1у.ип+1 = 0,

с однородными краевыми условиями

ип+1\ = 0,

где т, т0, ё — положительные итерационные параметры.

Для предложенного алгоритма (6) - (8) доказана ограниченность итерации в случаях линейной и нелинейной задачи, а в случае задачи Стокса выявлено, что скорость сходимости не зависит от количества узлов конечно-разностной сетки [5, 6].

Разностное соотношение для погрешности решения в случае линейной задачи Стокса будет иметь вид:

- +

1 4 0-к ' х.„ к т 1 0 4 т т/ х

п+1 _ п

п-— + й^^1 = 0,

где гп (х) = ип (х) — и (х), х е Б, ;

^ т4' т4' т4'' к,т '

пп = рп — р(х), х е Бк, и имеет место следующая теорема о скорости сходимости итерационного процесса.

Теорема 1. Для погрешности итерационного процесса (9), (10) имеет место оценка

рп+1 < чрп

где

т

т

0

т

т

Fn = 1112 + rr0S Д к^ IГ + \pn |Г, q = max11 - rr0c02, j-1 < 1,

" m 11 r„ d11 11 I d I

d = min] 1 + rve,d., 1 +--1 к

2 1 1 1 ^ J

c0, d1, e1, e2 — равномерно ограниченные константы, не зависящие от параметров сетки.

Из соотношений (11), (12) видно, что величина q, (0 < q < 1) не зависит от пространственных шагов

n+1 — п n

-— + divhzn+1 = 0.

r

сетки, т.е. скорость сходимости итерационного процесса (6) - (8) в линейном случае не зависит от количества узлов конечно-разностной сетки.

Далее исследована скорость сходимости итерационного алгоритма (6) - (8) для нелинейного случая. Здесь разностное соотношение для погрешности решения будет иметь вид:

Для погрешности итерации (13) показано, что, если данные задачи (3), (4) и параметры сетки удовлетворяют условиям:

+hm u K+1+Lmh (zn )um+(n - ^ dvz )m = vaz:1+r^ - ^ ^,

r m m m m

v - c0||VhU||(1 + e1) > v0 > 0, 1-|Vu|| > v1 > 0, S - N > S1 > 0,

2s1h

то имеет место следующая оценка:

En+1 + rr^\divhzn\ |2 + 2т^| VhZ-f |?n+1 - 2n| f + rr0S1 Д ¡z^ - zm.J \ < En,

m

где En =|\z n\ |2 + r\\n"\ |2 + rr0S^| У

divhun

= 0.

которая гарантирует сходимость итерации.

Для сравнения с другими известными алгоритмами и иллюстрации возможностей предложенного алгоритма (6) - (8) рассмотрена задача в каверне с двигающейся верхней границей при £е=100 для двумерного случая N=2. Для сравнения выбрана неявная разностная схема вида

+ьиУ2 + ^у=у\ипп+У2 + /,

un+1 - un+12

+ gradh (pn+1 - pn) = 0,

Итерации производились до выполнения критерия сходимости

п

Надо отметить, что во всех случаях критерий сходимости достигнут с указанной точностью.

В таблицах 1 и 2 приведены значения п0(е) — количество итерации для удовлетворения критерия сходимости (16).

Результаты расчетов по схеме

Таблица 1

0

r

r 33x33 65x65 129x129

0,15 85 281 1222

0,2 88 373 1627

0,3 129 557 2438

0,35 150 650 2844

Как видно в данной таблице, с уменьшением шага сетки количество итерации для алгоритма (14), (15) увеличивается.

Результаты расчетов по схеме (6) - (8) для т = 2

Таблица 2

т0 33x33 65x65 129x129

0,01 45 45 45

0,0125 42 43 43

0,025 42 42 43

0,03 40 43 43

Из таблицы видно, что для итерационной схемы (6) - (8) с увеличением количества узлов сетки п0(е) количество итерации остается практически неизменным. С помощью предложенного алгоритма также была рассмотрена задача встречных течений несжимаемой жидкости в канале конечной длины с краевы-

ми условиями, приведенными на рисунке 1. При численном решении задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости используются уравнения Навье — Стокса, записанные как относительно переменных «вектор скорости — давление», так и в переменных «функция тока — вихрь скорости» [7, 8].

////////////£ х Рис. 1. Расчетная область для плоского течения

Результаты расчетов при параметрах т = т0 = 0,05 , К.е=1000

Таблица 3

п0(£) 368 379 381 396 419

Время счета 0:00:29 0:03:36 0:24:10 4:29:54 14:13:20

На рисунках 2-4 приведены поля скоростей и изо- тельного эксперимента можно заключить, что во всех линии функции тока для различных значений длины случаях стационарный режим течения был достиг-рассмотренной области. По результатам вычисли- нут [9, 10].

Рис. 2. Поле скорости и изолиния функции тока при Яе=500, 1= 1,

Рис. 3. Поле скорости и изолиния функции тока при 1= 2,

б)

Рис. 4. Векторные поля в прямоугольной области 1= 3, (193 х 65): а — при Яв=500; б — при Яв=1000

Далее для численного решения сеточной стационарной задачи (3), (4) Навье — Стокса предложена новая итерационная схема вида

т

^п+1 где т,т0, а, в — положительные итерационные пара-

- + divhйn+l = 0, (18) метры и предполагается, что выполняется дополни-

т0 тельное условие (5).

с однородными краевыми условиями Исследована скорость сходимости итерации

(17) - (19) в случае линейной задачи Стокса. В этом и^Л = 0, (19) случае имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Для итерационного процесса (17) - (19) будет справедлива оценка

Пп+1 < qПn, где Пп =1 |ип| Г + а\\4ыкип\Г + вКип| Г + Т\\рп\ Г,

q=

tvö.

TT

TV,

min{(1+— ),(1+^),(1+—),(1+c2tt M)}

2 a ß 00

<1,

ё, М — положительные константы. Здесь число Разностное соотношение для погрешности реше-

q (0 < q < 1), характеризующее скорость сходимо- ния в случае нелинейной задачи будет иметь следу-сти, не зависит от параметров пространственной сет- ющий вид: ки, т.е. предложенный алгоритм (17) - (19) обладает свойством равномерной сходимости.

__Zn+1 _Zn _

(E_agradhdivh _ßAh)z-- + Lha(un)zn+1 + LhS(zn)u + gradhpn+1 = vA^1 + f(x),

- + divhzn+1 = 0.

В этом случае, если предположить, что

1 + е1 )> v1 > 0,

с0т Vhu

1 —0 II h Ii > v2 > 0, 1_

c0 Vhu

2^1 ß

тогда для скорости сходимости справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Для погрешности итерационного алгоритма (20) будет справедлива оценка £п+1 < qEn,

где Еп = 1п 112 + т\кп 112 + а|\diVbZп 112 + |УЛ2п 112,

q=—\-1—тт—Тт^ <1,

ш1п|1 + тё0е2,1 + тт0 7,1 + ^ ,1 + ^

в а

положительные константы.

Заключение

Для уравнений несжимаемой жидкости в естественных переменных «скорость — давление» в данной работе получены следующие результаты:

— для численного решения сеточных стационарных уравнений Навье — Стокса построена и иссле-

дована неявная итерационная разностная схема вида (6) - (8). Методом априорных оценок установлено, что в случае линейной задачи Стокса построенная схема не зависит от количества узлов пространственной сетки, т.е. обладает свойством равномерной сходимости;

— охарактеризованы свойства сходимости итерационного алгоритма в нелинейном случае: выявлено, что в случае нелинейной задачи исследование сходимости итерационного алгоритма (6) - (8) накладывает ограничение на решение, совпадающую по порядку с условием, гарантирующим существование и единственность решения исходной дифференциальной задачи;

— на основе идеи «слабой сжимаемости» разработана новая неявная многопараметрическая схема вида (17) - (19);

— получена оценка скорости сходимости итерационного алгоритма (17) - (19) для линейных и нелинейных стационарных уравнений и доказано, что предложенная схема сходится к нулевому стационарному решению со скоростью геометрической прогрессии.

0

T

0

Библиографический список

1. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М., 1982.

2. Воеводин А.Ф., Юшкова Т.В. Численный метод решения начально-краевых задач для уравнений Навье — Стокса в замкнутых областях на основе метода расщепления // Сибирский журнал вычислительной математики. — 1999. — Т. 2, № 4.

3. Zhilin Li, Cheng Wang. A Fast Finite Differenc Method For Solving Navier-Stokes Equations on Irregular Domains // Commun. Math. Sci., V. 1, №1 (2003).

4. Папин А.А. Разрешимость «в малом» по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. — 2000. — Вып. 116.

5. Данаев Н.Т., Ергалиев Е.К. Об одном итерационном методе решения стационарных уравнений Навье — Стокса // Вычислительные технологии. —2006. — Т. 11, № 4.

6. Данаев Н.Т., Ергалиев Е.К. Об одной неявной итерационной схеме для задачи Стокса // Вестник КазНУ Сер. математика, механика и информатика. — 2006. — № 3 (50).

7. Danaev N.T., Amenova F.S. About one Method to Solve Navier-Stokes Equation in Variables (П^) // Advances in Mathematical and Computational Methods, Information Engineering Research Institute, USA, № 3(2), 2013.

8. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных урав-

нений Навье — Стокса в переменных (уш) // Численные методы механики сплошной среды. — 1979. — Т. 10, № 2.

9. Мерзликина Д.А., Пышнограй Г.В., Пивоконский Р., Филип П. Реологическая модель для описания вискозиме-трических течений расплавов разветвленных полимеров // Инженерно-физический журнал. — 2016. — Т. 89, № 3.

10. Merzlikina D.A., Pyshnograi G.V., Koshelev K.B., Kuznetcov A., Pyshnograi I.G., Tolstykh M.U. Mesoscopic Rhelogical Model for Polymeric Media Flows // Journal of Physics: Conference Series, V. 790, № 1, 2017.