М-матрицы и кристаллические структуры

INFORMATION ABOUT THE PAPER IN ENGLISH

RESEARCH ADDICTION WETTABILITY USED IN METALLURGY GRAPHITE VARIOUS QUALITY

Mamina Lyudmila Ivanovna - PhD (Eng.), professor, Siberian Federal University, Krasnoyarsk. Baranov Vladimir Nikolaevich - PhD (Eng.), associate professor, Siberian Federal University, Krasnoyarsk. Bezrukikh Alexander Innokentievich - PhD (Eng.), associate professor, Siberian Federal University, Krasnoyarsk. Gilmanshina Tatyana Renatovna - PhD (Eng.), associate professor, Siberian Federal University, Krasnoyarsk. Yuriev Paul Olegovich - a postgraduate student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk.

Abstract. The wettability dependence of crystalline and cryptocrystalline graphite on their preparation method (mechanical activation, oxidation, and oxidation with subsequent mechanical activation) liquids which are widely used in foundries (alcohol, water, oil, glycerol) has been investigated. Wettability contact angle was determined. To calculate the remaining coefficients (the work of adhesion, spreading coefficient and the relative work of adhesion) the program «AppSV» was used. It was found, that the greatest work of adhesion for all investigated liquids is observed when graphite is wetted with water, which has a maximum surface tension, and the lowest wettability is when graphite is wetted with alcohol. It was shown that graphite wettability with all investigated liquids essentially depends on the method of graphite preparation. So, mechanical activation leads to increased particles activity that reduces graphite wettability. Oxidized graphites have less compared wettability. With additional mechanical activation of oxidized graphite a further decrease in the wettability of graphite is observed.

Keywords: crystalline graphite, cryptocrystalline graphite, mechanical activation, oxidation, programs «AppSV», alcohol, water, oil, glycerol, contact angle, the work of adhesion, spreading coefficient, the relative work of adhesion.

References

1. Vtorov, B.B. Osobennosti fiziko-himicheskih processov formirovanija rezorcinovyh kompozitov [Features physico-chemical processes formation of the resorcinol composites]. News of higher educational institutions. Building, 2000, no. 12, pp. 113-115.

2. Lytkina S.I., Mamina L.I., Baranov V.N. [etc.]. The certificate of state registration computer program № 2012617194 RF Design program of study materials by liquids wettability «AppSV». Application №2012615180. 22.06.12, the priority of invention, the patent owner since 10/08/12 "Siberian Federal University."

3. Gilmanshin T.R., Mamina L.I., Baranov V.N. [etc.]. Svojstva litejnyh sus-penzij na osnove nanostrukturirovannyh grafitov [Properties of casting suspensions based on nanostructured graphite]. Foundry, 2011, no. 10, pp. 31-35.

4. Mamina L.I., Baranov V.N., Bezrukikh A.I. [etc.]. Issledovanie vlijanie rezhimov podgotovki napolnitelja na svojstva nanostrukturirovannyh sus-penzij s razlichnymi zhidkimi fazami [Investigation of the influence modes of preparation filler on the properties of nanostructured suspensions with different liquid phases]. Proceedings of the Tenth Congress of the Russian foundry workers. Kazan, 2011. pp. 419-423.

5. Abramson A.A. Voz'mem za obrazec list lotosa [Take a sample of the lotus leaf]. Chemistry and Life. 1982, no. 11, pp. 38-40.

УДК 519.614

Балонин H.A., Сергеев М.Б.

М-МАТРИЦЫ И КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Аннотация. В статье приведен обзор минимаксных ортогональных матриц Адамара, Мерсенна, Ферма и Эйлера. Рассмотрены элементарные базисы из них и разложения малоуровневых ортогональных матриц на выделенные структуры. Пояснены применение моделей химических элементов, опирающихся на связь периодической таблицы Менделеева с теорией чисел, и преимущество базисов, дающих пространственные характеристики. Показаны примеры математических моделей сплавов в форме квазикристаллов, решающих теоретические трудности официальной кристаллографии.

Ключевые слова: кристаллические структуры, ортогональные матрицы, матрицы Адамара, числа Мерсенна, числа Ферма.

Введение

Давно отмечено, что между компактными математическими объектами и реально наблюдаемыми в физическом мире структурами есть соответствие. Один из давних примеров на эту тему - размышление Иоганна Кеплера о шестиконечной форме снежинки (рис.1). Он объяснил ее тем, что кристалл замерзшей воды строится из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг другу: вокруг центрального шарика можно плотно разместить только шесть таких же шариков.

Кристалл - упорядоченная структура, состоящая из бесконечно повторяющегося фрагмента, который называется элементарной ячейкой. Систематизация сведений в отношении допустимой симметрии кристаллов выделила кристаллическую решетку - вспомогательный геометрический образ, вводимый для

анализа строения кристалла, и поворотные оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков, отвечающие совпадению фигуры с собой при повороте соответственно на 180, 120, 90 и 60 град. Эти догмы настолько укоренились в официальной кристаллографии, что оппонирование их привело к получению Нобелевской премии 2011 года Даном Шехтманом [1], открывшим пентаграммы в экспериментах по сверхбыстрому охлаждению сплавов алюминия и марганца.

Признанию открытия способствовали опыты британского математика Р. Пенроуза с двумя ромбами -плитками Пенроуза, построенными на пропорциях золотого сечения [2], образующими повторяющиеся узоры с дальней симметрией, как у фракталов. Подобные объекты сегодня признаны и названы квазикристаллами. Новые материалы уже используются для изготовления лезвий хирургических инструментов, особенно в глазной хирургии. Будущие перепек-

тивы очень широки, в частности, материалы с такими свойствами нужны в авиационной промышленности.

Рис. 1. Дифракционная картина квазикристалла и симметрия снежинки

Данная статья - первая попытка осветить еще один аспект задач о плотной упаковке, связанный с изучением ортогональных матриц, обладающих экстремальными свойствами.

Теория соответствия чисел и матриц ортогональных базисов

Гипотеза Адамара о кратности порядков ортогональных матриц Адамара числу 4 закладывает основы теории соответствия чисел и ортогональных базисов, речь идет об оставшихся трех соседях матриц Адамара.

Числа 4к+\ и 4к+3 (4к-1) ввели в научный обиход Ферма и Эйлер. Согласно утверждению Ферма всякое простое число вида 4к+1 может быть представлено в виде суммы двух квадратов, причем единственным образом. Простые числа вида 4к+3, как легко показать, не представляются в виде суммы квадратов. Эйлер установил, что верно и обратное: если представление п в виде суммы квадратов существует и единственно, то п - простое число. Минимаксными ортогональными матрицами (М-матрицами) с минимальным числом уровней, в зависимости от остатка г деления порядка п на 4, являются:

г = 0, матрицы Адамара Н, включающие матрицы последовательности Сильвестра;

г = 1, матрицы Ферма Е, включающие порядки из последовательности чисел Ферма;

г = 2, матрицы Эйлера Е (и матрицы Белевича С, с исключениями порядков на основе критерия Эйлера);

г = 3, матрицы Мерсенна М, включающие порядки из последовательности чисел Мерсенна.

М-матрицы включают Н, Е, Е, М множества ортогональных матриц, в которых последовательности Сильвестра являются системообразующими. Оценки плотности охвата матрицами числовой оси питаются, соответственно, сходными гипотезами Адамара (перенос свойств последовательности на матрицы Н) и Балонина [4] (перенос свойств последовательности на матрицы М). Получается общая для числовой оси теория минимаксных ортогональных базисов.

Минимаксные ортогональные базисы Мерсенна и Ферма

Матрицы Адамара - пример экстремальных матриц ортогональных базисов, дающих минимальную максимальную проекцию их ортов на оси коорди-

нат. Обобщение этой задачи на случай матриц любого порядка дает нетривиальные решения, например, крестовина из двух отрезков при ее повороте составляет оси минимального квадрата, однако минимальный охватывающий «трехмерный еж» параллелепипед вовсе не куб. Одна из проекций оптимального ежа на ось координат вдвое меньше двух остальных.

Напомним, что матрица Адамара (Hadamard) -квадратная двухуровневая матрица Нп порядка п, состоящая из чисел {1, -1}, столбцы которой ортогональны

Н^ Нп = п I ,

где I - единичная матрица.

Адамар примерами матриц 12-го и 20-го порядка дополнил известную в теории последовательность Сильвестра ортогональных матриц четных порядков п=2к [4].

В работах [5,6] предложены адекватные им версии малоуровневых ортогональных матриц, отвечающих нечетным порядкам, равным числам Мерсенна и Ферма. Последовательность Мерсенна задается формулой п=2к-1 и начинается с чисел 1, 3, 5, 15, 31, ..., она принадлежит подмножеству чисел вида 4к-1. Последовательность Ферма задается формулой

п = 2 +1 и начинается с чисел 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ..., она принадлежит подмножеству чисел вида 4к+1.

Дадим определения нужных нам, в аспекте данной работы, малоуровневых матриц.

Определение 1. Матрица Мерсенна - это квадратная двухуровневая матрица Мп порядка п, состоящая из чисел {а=1, - Ь}, столбцы которой ортогональны

М1Мп = Ц2 I ,

где Ь =— при п=3, 2

в остальных случаях

Я -л/4д

Ь =---, я=п+1 (порядок матрицы Адамара), вес

Я - 4

_ (п +1) + (п -1)Ь7

Я

учитывает, что — элементов

каждого столбца составляют а = 1, остальные элементы равны -Ь.

Итерационная процедура вычисления двухуровневых ортогональных матриц, порядки которых равны числам Мерсенна вида п=2' получается модификацией [5] алгоритма Сильвестра. Так же, как у матриц Адамара, это множество расширяется до матриц порядков п=4к+3.

Определение 2. Матрица Ферма - это квадратная трехуровневая матрица Еп порядка п, состоящая из чисел {а=1, - Ь, 5}, столбцы которой ортогональны

ЕТ Е = /"2 I

жп жп > '

, 2

где b = — при n = 5, 3

в остальных случаях

b =

2n - q

s =

\jnp - 2y[p

'=p+4p , p = n-1

q q

(порядок матрицы Адамара), 5 - элементы первой строки и столбца, начинающихся с а (т.е. каймы матрицы Ь<з<а).

,2_(2р - q) - (2р - ^)Ъ2 2 , „2

Вес f =

2

-nbz

учи-

q

тывает, что р — — элементов прочих столбцов составляют а = 1, остальные элементы равны -Ъ (помимо начального з).

Итерационная процедура вычисления трехуровневых ортогональных матриц, порядки которых равны числам Ферма, а также числам вида п = 2к+1, где к - четное (за исключением к = 1, когда Ъ = 5 = 2), получается модификацией [6] алгоритма Сильвестра.

Обе отмеченные структуры локально-оптимальны по критерию минимума максимума абсолютных значений элементов (максимума да-нормы), они строго оптимальны в рамках выделенной малоуровневой структуры, как и матрицы Адамара, и стремятся к ним с ростом порядка. В этом построении отсутствуют порядки п=2 +2, что восполняется построением минимаксных ортогональных базисов Эйлера.

Минимаксные ортогональные базисы Эйлера

Определение 3. Матрица Эйлера - это квадратная четырехуровневая матрица Еп порядка п, состоящая из чисел {а=1, -а, Ъ, -Ъ}, столбцы которой ортогональны

eT En

=

E =

( M n/2

V M n/2

M n/2 ^

"Mn/2 y

меньшего нечетного порядка, состоящая из чисел {a=1, -b}, с пересчетом их уровней согласно выше приведенным формулам [7].

Иерархия минимаксных ортогональных базисов и связь с химическими элементами

Дополнение матриц Адамара матрицами четных и нечетных порядков создает структурный базис вложенных матричных элементов: матриц первого (Odin), второго (Euler), третьего (Mersenne), четвертого (Hadamard) и пятого (Fermât) порядков, приведенных на рис. 2. Цвет клеток соответствует уровням a = 1 (белый), -b (черный) и s (серый).

где Ъ = — при п=6, в остальных случаях

q — J&q

Ъ =-1-, q=n+2 (порядок матрицы Адамара), вес

q - 8

,, (п + 2) + (п - 2)Ъ2 q

с, =--- учитывает, что — модулей

элементов каждого столбца такой матрицы имеют значения а = 1, модули остальных элементов равны Ь < 1.

Техника построения матриц Эйлера наследует способ построения матриц Адамара удвоением порядка по правилу Сильвестра из матриц Мерсенна

где Mn/2 - двухуровневая матрица Мерсенна вдвое

Рис. 2. Пять вложенных элементов минимаксных ортогональных базисов

Пятый элемент этой иерархии (матрица Ферма) восполняет отсутствие какой-либо структуры у первого единичного элемента. Этот базис, как и в случае плиток Пенроуза, может быть удвоен диагонали-зацией матрицы Мерсенна, что встречается, например, при построении двухуровневой минимаксной ортогональной матрицы тринадцатого порядка M13 из двух сортов клеток Мерсенна M3, обозначенных как Mel, Me2 (рис. 3).

Построение периодической таблицы химических элементов Менделеева наследует у теории чисел (и, соответственно, ортогональных базисов) характерные для нее периоды. В частности, порядкам матриц Адамара соответствуют элементы: Гелий 4 (атомная масса 4,002602), Неон 20 (20.1797), Аргон 40 (39.948) и т.п., а также Углерод 12, Кислород 16, Кремний 28,

Германий 72. Порядкам обобщенных матриц Мерсенна п=4к+3 - последовательность радиоактивных элементов, называемая рядом актиния: Уран 235, Плутоний 239 (изотоп, который является более мощным источником атомной энергии, чем Уран) и т.п. В ряду, соответствующем матрицам Ферма и их замещениям, стоят волею судьбы Фермий 257, Золото 197. Медь 64 и Серебро 108, символы электроники, соответствуют матрицам Адамара. Порядкам матриц Эйлера соответствует Азот 14, ас золотым сечением связан Бор -атомная масса наиболее близка к 10 (точнее 10.8).

Рис. 3. Строение матрицы М13 и гистограмма модулей ее элементов

Форма кристалла бора - икосаэдр, пять треугольников образуют вершину. Бор - достаточно скрытный элемент. Строение каркаса в его структурах гораздо сложнее, чем в алмазе. Уникальный тип химической связи, которая позволяет бору поглощать любую примесь, очень плохо изучен, хотя за исследования, связанные с ним, большое количество ученых уже получили Нобелевские премии.

Хаотические решения

Известная нестабильность тяжелых элементов имеет у их аналогов - минимаксных ортогональных матриц - свою интерпретацию. Также как и химические элементы, минимаксные матрицы в итерациях поискового алгоритма сжатия их да-нормы с ростом размерности неустойчивы, а устойчивые решения имеют выделенные в данной статье структурные признаки. Приведенная выше двухуровневая матрица М13 лишь

локально-оптимальна. В работе авторов [8] показано, что на тринадцатом порядке по критерию да-нормы начинает превалировать хаотическая структура. Эта структура в работе изучена, приведен численный показатель в виде специфической меры хаоса: .ß-уровень для да-нормы. Показаны примеры бифуркаций уровней ортогональных М-матриц, среди которых рассмотренные выше отвечают максимально простой структуре.

При переходах от матрицы к матрице вниз по порядку наблюдается усложнение структуры уровней: двухуровневые матрицы Адамара и Мерсенна замещаются четырехуровневой структурой матриц Эйлера, на пятом порядке наблюдается наличие пятиуровневой структуры, альтернативной трехуровневой структуре матриц Ферма. Все это говорит о том, что структурные признаки распространяются как вверх по порядкам, так и вниз, причем матрицы Адамара составляют специфические узлы стабильности. Начиная с порядка n = 10 встречаются отдельные оригинальные матрицы золотого сечения и прочие артефакты [9]. Континуальные множества решений, возможные у локально-оптимальных матриц, также не рассматривались ранее.

Заключение

Задачи плотной упаковки имеют достаточно важные интерпретации в области физических экспериментов, в частности, относительно недавно это существенно продвинуло понимание структуры квазикристаллов.

Главная заслуга Д. Шехтмана заключалась в том, что он не списал полученные результаты на случайность, как это делали многие до него. Не исключено, что математические особенности выделенных выше элементарных минимаксных базисов имеют существенное отражение на физический эксперимент, также достаточно интересное для исследования, поскольку в отличие от модели Пенроуза рассматривается не плоская, а n-мерная модель. Однако освещение таких интерпретаций выходит за рамки данной статьи.

Хаос в построении минимаксных ортогональных базисов и островки стабильности могут сделать их востребованными при математическом моделировании квазистабильных химических элементов, кристаллов и сплавов.

Список литературы

1. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic Phase with LongRange Orientational Order and No Translational Symmetry // Physical Review Letters, 1984. Vol. 53. P. 1951-1953.

2. Penrose R. Pentaplexity // Evreka. 1978. Vol. 39. P. 16-22.

3. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques 17: 1893, P. 240-246.

4. Балонин H.A. О существовании матриц Мерсенна 11 -го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2. С. 90-91.

5. Балонин H.A., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2012. № 5. С. 92-94.

6. Балонин H.A., Сергеев М.Б., Мироновский Л.А. Вычисление матриц Адамара-Ферма // Информационно-управляющие системы. 2012. № 6. С. 90-93.

7. Бапонин H.A., Сергеев М.Б. О двух способах построения матриц Адама-ра-Эйлера // Информационно-управляющие системы. 2013. № 1. С. 7-10.

8. Балонин H.A., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14-21.

9. Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87-90.

Сведения об авторах

Балонин Николай Алексеевич - д-р техн. наук, проф. Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения (СПбГУАП). E-mail: korbendfs@mail.ru.

Сергеев Михаил Борисович - д-р техн. наук, проф., директор НИИ информационно-управляющих систем Национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. E-mail: mbse@mail.ru.

INFORMATION ABOUT THE PAPER IN ENGLISH

M-MATRICES AND CRYSTAL STRUCTURES

Balonin Nikolaj Alekseevich - D.Sc. (Eng.), professor Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation (SUAI). E-mail: korbendfs@mail.ru

Sergeev Mikhail Borisovich - D.Sc. (Eng.), professor, Director of Information and Control Systems Institute, Saint Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics. E-mail: mbse@mail.ru.

Abstract. This article provides an overview of Minimax orthogonal Hadamard, Mersenne, Fermat and Euler matrices. The elementary basis of these matrices and low-levels orthogonal matrices with the shown structures are considered. The models of chemical elements, based on the relationship of the periodic table of Mendeleev with the theory of numbers, and the advantage of bases, giving the spatial characteristics, are explained. Examples of mathematical models of alloys in the form of quasicrystals solving theoretical difficulties of the official crystallography are clarified.

Keywords: crystal structures, orthogonal matrices, Hadamard matrices, Mersenne primes, Fermat numbers.

References

1. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic Phase with LongRange Orientational Order and No Translational Symmetry. Physical Review Letters, 1984, vol. 53, pp. 1951-1953.

2. Penrose R. Pentaplexity. Evreka. 1978, vol. 39, pp. 16-22.

3. Hadamard J. Résolution d'une question relative aux déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques 17: 1893, P. 240-246.

4. Balonin N.A. Mersenne matrices of 11-th n 19-th order existence. Infor-matsionno-upravlyayushhie sistemy [Information and Control Systems]. 2013, no. 2, pp. 90-91.

5. Balonin N.A., Sergeev M.B., Mironovsky L.A. Calculation of Hadamard-Mersenne Matrices. Informatsionno-upravlyayushhie sistemy [Information and Control Systems]. 2012, no. 5, pp. 92-94.

6. Balonin N.A., Sergeev M.B., Mironovsky L.A. Calculation of Hadamard-Fermat Matrices. Informatsionno-upravlyayushhie sistemy [Information and Control Systems]. 2012, no. 6, pp. 90-93.

7. Balonin N.A., Sergeev M.B. Hadamard-Euler matrix calculation by two methods Informatsionno-upravlyayushhie sistemy [Information and Control Systems]. 2013, no. 1, pp. 7-10.

8. Balonin N.A, Sergeev M.B. M-matrices. Informatsionno-upravlyayushhie sistemy [Information and Control Systems]. 2011, no. 1, pp. 14-21.

9. Balonin Yu.N., Sergeev M.B. M-matrix of the 22nd Order. Informatsionno-upravlyayushhie sistemy [Information and Control Systems]. 2011, no. 5, pp. 87-90.

УДК 669.018.58.017

Чукин М.В., Голубчик Э.М., Кузнецова A.C., Родионов Ю.Л., Корме И.А., Бухвалов Н.Ю., Касаткин A.B., Подузов Д.П.

РАЗРАБОТКА КОМПОЗИЦИЙ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СПЛАВОВ ИНВАРНОГО КЛАССА С РАСШИРЕННЫМИ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ*

Аннотация. Рассмотрены современные требования и подходы к получению новых сплавов с повышенными физико-механическими характеристиками, а также области их применения. Представлены базовые принципы разработки композиций инварных сплавов с высокими показателями механических свойств при низких значениях температурного коэффициента линейного расширения. Проанализировано влияние химических составов на достижение расширенного диапазона эксплуатационных свойств многофункциональных сплавов на примере железоникелевых композиций. Приведены результаты исследований влияния легирующих элементов на коррозионную стойкость высокопрочных инварных сплавов.

Ключевые слова, многофункциональные сплавы, инвары, прочность, термодеформационное упрочнение, температурный коэффициент линейного расширения.

На настоящем этапе развития техники и технологий одним из ведущих направлений является разработка и внедрение новых материалов, обладающих сочетанием уникальных физико-механических и экс-

* Работа проведена в рамках реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, выполняемого с участием российского высшего учебного заведения (договор № 02.G25.31.0040; программы стратегического развития университета на 2012 — 2016 гг. (конкурсная поддержка Минобразования РФ программ стратегического развития ГОУ ВПО), а также гранта в форме субсидии на поддержку научных исследований (соглашение № 14.В37.21.0068).

плуатационных свойств. Новые материалы для современной техники должны обладать не только определенным уровнем основных характеристик, но и удовлетворять целому комплексу дополнительных требований. В частности, в ряде случаев необходимо обеспечить высокую стабильность геометрических форм и размеров отдельных частей или всего изделия при изменении рабочей температуры. Для этой цели используют специальные сплавы на железоникелевой основе - инварные сплавы. Основным свойством инварных сплавов является низкая величина температурного коэффициента линейного расширения (ТКЛР). Сплавы инварного класса благодаря их уни-