О рассеянии плоской скалярной волны импедансной сферой

относящихся ко всем звеньям граничного контура, кроме самой границы раздела. Последняя система разрешима методом усечения. Численные эксперименты и сравнение с результатами других авторов подтвердили, что построенный таким образом алгоритм обеспечивает эффективное и надежное определение характеристик рассеяния структуры во всем диапазоне значений ее геометрических и электрических параметров, представляющих интерес для приложений.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Чумаченко В. П. О расчете Н-плоскосных волноводных узлов с многоугольной границей // Радиотехника и электроника. - 1986. - Т. 31, № 12. - С. 2335-2342.

2. Chumachenko V. P. Domain-product technique solution for the problem of electromagnetic scattering from multi-angular composite cylinders // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2003. - Vol. 51, No. 10. -P. 2845-2851.

3. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region // Electronics letters. - 2001. - Vol. 37, No. 19. - P. 1164-1165.

4. Chumachenko V. P., Karaghuha E., Petrusenko I. V. Accurate analysis of waveguide junctions with rectangular coupling cavity // Microwave and Optical Technology Letters. - 2001. - Vol. 31, No. 4. - P. 305-308.

5. Chumachenko V. P., Tarapov S. I., Eker S. Scattering by a lossy dielectric cylinder in a waveguide cross-junction // IEE Proceedings. - Microwaves, Antennas and Propagation. - 2002. - Vol. 149, No. 4. - P. 229-236.

6. Chumachenko V. P. Accurate model of E-plane waveguide junction with loaded rectangular coupling cavity // Microwave and Optical Technology Letters. - 2002. - V. 34, No. 5. - P. 351-354.

7. Chow Y. L., Wu S.-C. A moment method with mixed basis functions for scattering by waveguide junctions // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -1973. - Vol. MTT-21, No. 5. - P. 333-339.

8. Kashyap S. C. Slant Dielectric Interface Discontinuity in a Waveguide // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1975. - Vol. MTT-23, No. 2. - P. 257-260.

9. Капилевич Б. Ю., Силин Н. С. Отражение от диэлектрического клина в прямоугольном волноводе // Изв. вузов. Радиофизика. - 1976. - Т. 19, № 1. - С. 135-140.

10. Zuckerman D. N., Diament P. Rank reduction of ill-conditioned matrices in waveguide junction problems // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -1977. - Vol. MTT-25, No.5. - P. 613-619.

11. Ильинский А. С., Воронов А. А. Метод интегральных уравнений в задаче о дифракции волн на наклонной границе раздела двух сред в волноводе // Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во моск. ун-та, 1978. - Вып. 28. - С. 177-194.

12. Кириленко А. А., Рудь Л. А. Дифракция волн на наклонной границе раздела диэлектрических сред в прямоугольном волноводе // Радиотехника и электроника. -1977. - № 10. - С. 2057-2067.

Надшшла 15.01.07

Розглядаетъся eidoMa задача дифракцИ електромаг-ттних хеилъ на nрямoлiнiйнiй межi мiж деома дiелект-ричними середоеищами. Розе'язок знаходитъся за допо-могою нещодаено запропоноеаного eaрiaнтa методу до-бутку областей, який еикористоеуе пееного еиду триго-нометричт розеинення для зображення шуканог функцИ есередит опуклих багатокутните. Шляхом noрieняння отриманих резулътaтie з даними тших aeтoрie естаное-лено мoжлиeiстъ застосуеання та ефектиетстъ цъого тдходу при дoслiдженнi хеилъоеодних пристроге, як мктятъ похилу межу рoздiлу середоеищ.

The known problem of electromagnetic wave scattering by a rectilinear dielectric interface is considered. The solution is found with the help of a recently proposed version of the domain-product technique, which exploits certain trigonometric expansions to represent the sought-for function inside a convex polygon. The comparison of the data obtained with the results of other authors has shown the validity and efficiency of the technique in studying waveguide devices with a slant interface.

УДК 537.874.6

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко, Я. В. Чумаченко

О РАССЕЯНИИ ПЛОСКОЙ СКАЛЯРНОЙ ВОЛНЫ ИМПЕДАНСНОЙ

СФЕРОЙ

Рассматривается задача рассеяния плоской скалярной волны реактивно нагруженной сферой. Теория основывается на свойстве локальности коротковолнового рассеяния и дает в явном виде значение поля на поверхности цели. Она учитывает кривизну поверхности, а также значение поля на ее затененной части. Многочисленные сравнения с точными решениями для сфер различных размеров с постоянными значениями поверхностного импеданса показали, что метод является более точным, чем приближение физической оптики, и требует приблизительно тех же вычислительных затрат. Приведен при© Крапивной А. В., Чумаченко В. П., Чумаченко Я. В., 2007

мер использования развитого подхода в случае сферы с изменяющейся поверхностной нагрузкой.

ВВЕДЕНИЕ

Задача рассеяния гармонических волн некоторым телом сводится, как известно [1], к граничным задачам для уравнения Гельмгольца. Их точное аналитическое решение существует только для нескольких относительно простых частных случаев, для которых возможно

РАДЮФ13ИКА

использование метода разделения переменных [2]. Для более сложных поверхностей разработаны как приближенные аналитические методы, включая такие асимптотические подходы как метод физической оптики и геометрическая теория дифракции, так и численные или численно-аналитические методы, включая методы конечных и граничных элементов, метод сшивания и другие методики. Области приложений всех этих методов ограничены в том или ином аспекте либо частотным диапазоном, либо классом поверхностей, либо возможностью их эффективной численной реализации.

Метод физической оптики (приближение Кирхгофа) [3, 4] применяется обычно в задачах рассеяния коротких волн. Рассеянная волна находится в виде интеграла по элементам поверхности, для каждого из которых предполагается, что его коэффициент отражения совпадает с коэффициентом отражения бескнечной касательной плоскости. На затененной части поверхности рассеивающееся поле принимается равным нулю. Метод имеет ряд недостатков, в частности, точность расчета поля, отраженного в некотором направлении, ухудшается, когда это направление отклоняется от зеркального. Однако этот метод широко используется, так как, исключая матричное решение, является простым и эффективным инструментом при решении задач высокочастотного рассеяния для гладких тел общего вида.

В недавних работах [5, 6] был предложен подход к оцениванию поля, рассеянного выпуклыми двумерными объектами, который, сохраняя простоту метода физической оптики, позволяет заметно улучшить оценки для не зеркальных направлений. Подобно методу физической оптики он дает аналитическое выражение для поля у рассеивающей поверхности, однако при этом учитывает ее кривизну и не предполагает обращение возбуждающего поля в нуль в тени. В работе [7], на примере рассеяния плоской волны мягкой сферой, была показана возможность применения развитой методики к решению трехмерных задач. В настоящей работе метод используется для решения задачи рассеяния плоской скалярной волны на сфере с переменным поверхностным импедансом. По своему физическому содержанию задача является акустической, однако может также рассматриваться как необходимый этап в развитии методов решения задач электромагнитного рассеяния.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Рассмотрим стационарное волновое поле, которое устанавливается в среде, характеризуемой волновым сопротивлением и скоростью распространения волн с, при наличии в ней сферы, показанной на рис. 1. Поле будем характеризовать переменной р и гармоничес-

гюЬ

кой зависимостью от времени е , где ю круговая час-

тота колебаний. Если ось г направлена навстречу падающей плоской волне, то возбуждающее поле можно записать в виде

гкг , ю

рг = е , к = — 1 с

2 п

где X - длина волны в среде. Полное поле

удовлетворяет уравнению Гельмгольца вне сферы и граничному условию

дп

гк%р = 0

на ее поверхности. Здесь

X

2 '

где 2 - поверхностный импеданс. Направление нормали П указано на рис. 1. Отметим также, что значение X = 0 отвечает случаю жесткой сферы.

Рассеянное поле р, на бесконечности удовлетворяет условию излучения. Вне сферы оно может быть выражено через значения р и др/дп на ее поверхности 5 с помощью интеграла Кирхгофа

р.,(М) = ¿Я

де

-гкгР

дп г

дре

-гкгР

РМ

дп г

РМ

С учетом соотношения (3) ясно, что р, полностью определяется значениями полного поля р(Р) на поверхности рассеивателя.

Рисунок 1 - Геометрия задачи

г I ,

Б

С помощью метода физической оптики значение поля на поверхности легко может быть оценено как

p ( P ) =

ikRcosy 2cosy ,, п

e --1- у< -г

cosy + x 2

0

п

У> Ô

где у - угол падения в точке Р. Для того, чтобы уточнить это приближение, мы будем рассматривать окрестность точки Р не как часть тангенциальной плоскости, а как часть кругового цилиндра, который перпендикулярен плоскости падения, касается линии пересечения плоскости падения со сферой и имеет радиус К, совпадающий с радиусом кривизны этой линии.

Пусть (г, 0, ф) - сферическая система координат с началом в центре шара и полярной осью вдоль Ог, а (р, ф, д) - цилиндрическая система координат такая, что д направлено вдоль оси цилиндра и ф = 0 - 0р вблизи точки Р. В малой окрестности точки Р, воспользовавшись разложением ео80 по степеням ф, падающую волну можно приближенно описать следующим выражением

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

При M ^ œ формула (5) преобразуется к виду

-ikr

Ps

Здесь r = OM и функция рассеяния f($M, 0 м) определяется интегралом

= jj eik\oP\cos^p

s

/(фм>0м) = -цп jj ei ldn

-ikpcosajdSp,

где у - угол между г и ОР, а а - угол между г и П. Учитывая граничные условия (3) и то, что для сферы у = а и |ОР| = К, формулу (11) можно переписать в виде

/'

ikRcosa

Величина

ikRcosQ ikR cos(ф + 0р) ikR( cos 0p - ф sin0p + ...) Pi =e =e =e

ikR

представляет поперечник рассеяния. Если х(Р) не зависит от ф, то интегрируя в (12) по ф и учитывая известные [8] табличные интегралы, можно получить

Далее мы предположим, что точно также как и в случае отражающей плоскости, функциональные зависимости р, и рг в пределах названной окрестности на поверхности совпадают с точностью до постоянного множителя. После этого, разделяя переменные в уравнении Гельмгольца в цилиндрических координатах и сравнивая полученное выражение с формулой (7), мы получим, что вблизи Р

Я(ц2)(kp) -iцф

Ps = C —(2-e , Ц = kRsinу.

Я^2)

Подставив (8) в граничное условие (3), мы найдем константу С и, далее, следующее приближение для поля на поверхности

P (P ) =

= eikRcosy

1 + i

x - cosy

siny - ЯЦ2+ t(kR)/НЦ2)(kR) - ixJ

3нание поля на поверхности сферы позволяет с помощью формулы (5) определить полностью все характеристики рассеянного поля.

(0м)=пRik2 |jp[(x - cos0mCos0)/o(kR sin0мsin0) -

i sin0Msin0/j (kR sin0Msin0)]e

ikRcos0Mcos0 2

sin0d0| .

Ниже для представления данных применяются нор-

2

мированный поперечник рассеяния о, = ст/(пК ) и нормированная амплитуда рассеянного поля = = 2/ К. В случае постоянного поверхностного импеданса для сравнения используется точное решение, под которым мы подразумеваем решение в виде ряда, полученное методом разделения переменных.

На рис. 2 показаны рассчитанные распределения полного поля на поверхности сферы радиусом 2Х при различных значениях поверхностного импеданса. Во всех случаях наше приближение лучше, чем приближение физической оптики. Точность аппроксимации повышается при изменении типа поверхности от жесткой к мягкой.

Рис. 3 представляет угловые зависимости рассеянного поля в дальней зоне. Для всех значений К и х при использовании нашего приближения точность оценок для не зеркальных направлений повышается. Особенно это заметно для относительно небольших К.

п

РАД1ОФ1ЗИКА

PucJнoк 2 - Пoлнoe тле на noeepxrncmu cфeры рaдuJcoм 2 X npu % = 0, 1, % = 1 u % = 10

PucJнoк 3 - Углoвaя зaвucuмocmь рacceянoгo тля в дальней ço^

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко, Я. В. Чумаченко: ИМПЕДАНСНОЙ СФЕРОЙ

О РАССЕЯНИИ ПЛОСКОЙ СКАЛЯРНОЙ ВОЛНЫ

Рисунок 4 - Заеисимостъ поперечника обратного рассеяния от радиуса сферы при % = 2

Рисунок 5 - Заеисимостъ поперечника рассеяния е прямом напраелении от радиуса сферы при % = 2

Рисунок 6 - Полное поле на поеерхности при R = 1, 5 X u % = 1 - cos у

Рисунок 7 - Углоеая заеисимостъ рассеяного поля е далъней зоне при R = 1, 5X и % = 1 - cos у

На рис. 4 и 5 показаны полученные зависимости от К поперечников обратного и прямого рассеяния. Видно, что использование формулы (9) вместо (6) приводит к некоторому повышению точности и для обратно отраженного поля. Для прямого же направления улучшение точности весьма существенно и эта точность быстро увеличивается с ростом К.

На рис. 6 и 7 приведен пример эксплуатации алгоритма для случая импеданса, обладающего угловой зависимостью, которая реализует плавный переход от жесткой поверхности на освещенной части к х = 2 в тени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача высокочастотного рассеяния плоской скалярной волны на сфере с переменным поверхностным импедансом. Для ее решения применен предложенный ранее приближенный метод, использующий свойство локальности коротковолнового рассеяния и основанную на этом возможность аналитичес-

кой оценки поля на рассеивающей поверхности. Путем сравнения получаемых приближенных решений с точными решениями для ряда объектов с постоянными значениями поверхностного импеданса установлено, что предложенный алгоритм является более точным, чем метод физической оптики, и обладает приблизительно той же эффективностью. Приведен пример расчета характеристик рассеяния для сферы с импедансом, зависящим от угла падения возбуждающей волны.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. - М.: Наука, 1979. - 384 с.

2. Морс Ф. М. и Фешбах Г. Методы теоретической физики. Том 1. - М.: Изд-во иностр. лит., 1958. - 930 с.

3. Knott E. F., ShaefferJ. F., Tuley M. T. Radar cross section. - Norwood, MA: Artech House, 1993. - 611 p.

4. Gaunaurd G. C. Sonar cross sections of bodies partially insonified by finite sound beams // IEEE J. Ocean Eng. -Vol. 10. - 1985. - P. 213-230.

5. Chumachenko V. P. On the estimation of scattering from convex conducting cylinders // Microwave and Optical Technology Letters. - Vol. 45. - May 2005. - P. 191-194.

РАДЮФ13ИКА

6. Krapyvny A. V., Chumachenko V. P. On the estimation of scattering from convex impedance cylinders // Proceedings of the 11th Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkiv, Ukraine. - June 26-29, 2006. - P. 248-250.

7. Крапивной А. В., Чумаченко В. П. Об оценивании волнового поля рассеянного мягкой сферой // Радю-електрошка. ¡нформатика. Управлшня. - № 2, 2006. -С. 12-15.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. -1108 с.

Надшшла 31.01.07

Розглядаетъся задача розствання плоскоi скалярноЧ хвил1 реактивно навантаженою сферою. Теор1я Грунту-етъся на властивост1 локалъност1 короткохвилъового роз-ствання i дае значення поля на поверхт в явному вигля-di. Бона враховуе кривизну поверхнi, а також значення поля на ii заттенш частит. Багаторазовi порiвняння з точними розв'язками для сфер рiзних розмiрiв зi ста-лими значеннями поверхневого iмпедансу показали, що метод е бiлъш точним, тж наближення фiзичноi оптики,

i nompe6ye npu6nu3H0 mux caMux oSnucAmeaAbnux 3a-mpam. HaeedeHo npuKAad 3acmocyeaHHM po3euHymozo nid-xody e eunadKy ctyepu 3 noeepxHeeuM iMnedaHcoM, w,o 3Mi-HK/embCM.

The problem of scalar plane-wave scattering off a reacti-vely loaded sphere is considered. The theory is based on the locality property of short-wave scattering and yields an explicit formula for the surface field. It takes into account the curvature of the surface and supposes that the incident field is nonzero in both the lit and shadow regions. Extensive comparisons with exact solutions for spheres of different sizes with constant surface impedances have shown that the approach is more accurate than the physical optics approximation and requires about the same computational costs. Although the method is strictly valid for high frequencies, it gives good qualitative results down to resonant frequency range. An example of application of the technique to the sphere with a varying reactive load is presented.