Об ограниченности нормальных гармонических функций

5. Sadovskii D, Zhilinskii B. Quantum monodromy, its generalizations and molecular manifestations // Mol. Phys. 2006. 104. 2595-2615.

6. Broer H., Efstathiou K., Lukina O. A geometric fractional monodromy theorem // Discrete and continuous dynamical systems. 2010. 3, N 4. 517-532.

7. Bolsinov A.V., Fomenko A.T. Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification. Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC, 2004.

8. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287. 1071-1075.

9. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

10. Фоменко А.Т, Цишанг Х. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.

УДК 517.544.72+517.574

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ НОРМАЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В работе при некоторых условиях, накладываемых на последовательности точек, лежащих в единичном круге, рассматривается ограниченность нормальных гармонических функций, определенных в единичном круге. Важной задаче исследования ограниченности нормальных голоморфных функций посвящены работы В. И. Гаврилова.

Ключевые слова: единичный круг, нормальные гармонические и голоморфные функции.

The boundedness of normal holomorphic functions determined in a unit circle is considered in the paper under some conditions imposed on sequences of points lying in this unit circle. An important problem on the boundedness of normal holomorphic functions was studied by V. I. Gavrilov.

Key words: unit circle, normal harmonic and holomorphic functions.

В настоящей статье изучается вопрос ограниченности нормальных в смысле Монтеля функций в случае, когда известно, что эти функции ограничены на некоторых последовательностях точек, лежащих в единичном круге. Задачи, связанные с ограниченностью различных классов функций, рассматривались, в частности, в работах [1-4].

В дальнейшем будем придерживаться общепринятых обозначений. Обозначим через О, Г и Ь

называют обычно углом Штольца с вершиной в точке £ = егв £ Г, и, если нас не интересует размер угла Штольца, мы будем обозначать его кратко Д(£). Интерпретируя круг О как модель плоскости в геометрии Лобачевского, обозначим через а(х1 ,Х2) неевклидово расстояние между точками %2 из круга О:

Рассмотрим действительнозначную функцию f(г), определенную в единичном круге О. Для произвольного подмножества 5 круга О, для которого точка £ £ Г является предельной точкой, обозначим через С(/,£,в) предельное множество функции f (г) в точке £ относительно множества 5, т.е.

Поступила в редакцию

20.06.2012

С. Л. Берберян

1

Z1 - Z2

где и = --—

1 - Z\Z2

1 Берберян Самвел Левонович — доктор физ.-мат. наук, и.о. проф. каф. математики и математического моделирования ф-та прикладной математики Российско-Армянского (Славянского) университета, e-mail: samvel357@mail.ru.

С(/,£,Б) = П/(Б П и(£)), где пересечение берется по всем окрестностям и(£) точки £, а черта означает замыкание множества относительно двухточечной компактификации К множества К = (—ж, +то) в виде отрезка посредством добавления к точкам множества К символов —то и +то.

Понятие нормальной функции, рассмотренное для мероморфных функций и состоящее в свойстве порождать нормальное семейство на группе Т всех конформных автоморфизмов области определения, было затем перенесено на гармонические и субгармонические функции. В случае единичного круга О группа Т состоит из элементов Т = {Б (г); Б (г) = ега (г + а)  (1 + аг)-1, а — произвольная точка в О, а — произвольное действительное число}. Придерживаясь обозначений из работы [5], скажем, что голоморфная в О функция / (г) принадлежит классу ЭТ, если на группе Т всех конформных автоморфизмов единичного круга О порождаемое ею семейство функций Ф : {/(Б (г)); Б (г) € Т} нормально в О в смысле Монтеля, т.е. из любой последовательности {/(Бп(г))} семейства Ф, где Бп(г) € Т, можно извлечь подпоследовательность {/(Бпк(г))}, равномерно сходящуюся на любом компакте К в О или равномерно расходящуюся к то на К. Скажем, что действительнозначная функция /(г) принадлежит классу М, если на группе Т всех конформных автоморфизмов единичного круга О порождаемое ею семейство функций Ф : {/(Б (г)); Б (г) € Т} нормально в О в смысле Монтеля, т.е. из любой последовательности {/(Бп(г))} семейства Ф, где Бп(г) € Т, можно извлечь подпоследовательность {/(Бпк(г))}, равномерно сходящуюся на любом компакте К в О или равномерно расходящуюся к —то или к +то на К.

Следуя работе [2], условимся считать, что гармоническая в О функция и(г) обладает в граничной

точке £ € Г свойством (а), если функция ограничена на некоторой последовательности точек |гп|, нека-

u

^ K^ справедлива для всех индексов n Е N с некоторой

сательно сходящихся к точке £, т.е. оценка константой K^ > 0.

Пусть множество предельных точек последовательности {zn} совпадает со всей единичной окружностью Г. Рассмотрим кривую Л = УЛП, где Лп есть отрезок неевклидовой прямой, соединяющей точки zn,

n

zn+i, k = 1, 2,.... Дополнительно предполагаем, что последовательность точек {zn} такова, что любой радиус г(в), 0 ^ в ^ 2п, круга D имеет с Л бесконечное число точек пересечения {zen}, zen — егв. В этом случае скажем, что последовательность {zn} удовлетворяет свойству (А).

В статье также рассматриваются интегральные операторы произвольного порядка в смысле Римана-Лиувилля при 0 < а < +то. Систематическое изложение основных свойств этих операторов дано в монографиях [6, 7]. Пусть f (x) — произвольная функция из класса L(0,l), где 0 <l < +то. Интегралом

x

от f(x) порядка а (0 < а < +оо) с началом в точке 0 принято называть функцию D~af(x) = рА^у f(x —

0

t)a-1f (t) dt, x Е (0,l), где Г(а) — гамма-функция Эйлера. Известно, что если f (x) Е L(0,l), то при любом а (0 < а < +то) функция D-af (x) определена почти всюду на (0,l) и принадлежит классу L(0,l). При а = 0 принимают D0f (x) = f (x).

Для дальнейшего сформулируем в виде леммы утверждение, полученное П. Лаппаном в работе [8]. Лемма A. Пусть гармоническая в круге D функция u(z) принадлежит классу M. Тогда голоморфная функция f (z) = exp{u(z) + iV(z)}, где V(z) — гармонически сопряженная к u(z) функция, будет в единичном круге D голоморфной функцией из класса R.

Теорема 1. Пусть гармоническая в круге D функция u(z) из класса M ограничена сверху: u(zn) < K, n = 1, 2,... (или снизу: u(zn) > K), на некоторой последовательности точек {zn}, zn Е D, множество предельных точек которой есть некоторая дуга, лежащая на Г7 и lim a(zn, < +оо. Тогда для

каждой внутренней точки £ дуги j предельное множество C(u, £, D) содержит только такие значения a Е C(u,£,D), для которых a ^ K (или a ^ K).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда u(zn) < K. Во втором случае возьмем гармоническую функцию - u(z) и проведем те же рассуждения. Рассмотрим произвольное значение a Е C(u, £, D), где £ — любая внутренняя точка 7. В силу леммы A функция f (z) = exp{u(z) +iV(z)}, где V(z) — гармонически сопряженная к u(z) функция, будет голоморфной функцией из класса R, для которой выполняются условия

1) \f (zn)\ < exp{K}, n = 1, 2,...;

2) lim <r(zn,zn+1) < +00. ^

Из определения предельного множества следует, что существует такая последовательность {z'n}, z'n Е D, z'n — £, для которой lim u(z'n) = a. Значение a = +то, так как в противном случае существует

lim f (z'n) = то и, значит, то Е C(f, D). Но это невозможно в силу условий (1) и утверждения теоремы 3

n—ж

из работы [1]. Следовательно, последовательность {f (z'n)} ограничена, и если lim f (z'n) не существует,

n—ж

то можно, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, извлечь подпоследовательность f (z^k)}, которая

сходится к конечному пределу а = exp{a + ib}, где b = lim V (z'n ). Значит, а Е C(f, D), и снова, приник—ж k

мая во внимание соотношения (1), в силу утверждения теоремы 3 из работы [1] получим, что предельное множество C(f,£,D) содержит только такие значения из комплексной переменной плоскости Q, которые по модулю не превосходят числа exp{K}. Поэтому |а| = exp{a} ^ exp{K}, т.е. a ^ K, что и требовалось доказать. Ввиду произвольности a отсюда следует утверждение теоремы 1.

Теорема 2. Пусть гармоническая в D функция u(z) из класса M ограничена сверху: u(zn) < K, n = 1, 2,... (или снизу: u(zn) > K), на некоторой последовательности точек {zn}, zn Е D, множество предельных точек которой совпадает со всей окружностью Г, и если последовательность {zn} обладает свойством (А) и удовлетворяет условию lim a(zn, < +оо, то в круге D имеем u(z) ^ К (или

n—

u(z) ^ K).

Доказательство. Действительно, проведя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 1, получим голоморфную функцию f (z) = exp{u(z) +iV(z)} из класса R, которая удовлетворяет условиям:

1) lf (zn)| ^ exp{K}, n = 1, 2,..., для последовательности точек {zn}, множество предельных точек которой совпадает со всей окружностью Г;

2) lim a(zn,zn+i) < +то.

n—ж

Таким образом, выполнены условия теоремы 4 работы [1]. Согласно утверждению этой теоремы, lf (z)| ^ exp{K}, а значит, u(z) ^ K для любого z Е D, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть гармоническая в D функция u(z) из класса M ограничена: |u(zn)| < K, n = 1, 2,..., на некоторой последовательности точек {zn}, zn Е D, множество предельных точек которой совпадает со всей окружностью Г. Если последовательность {zn} обладает свойством (А) и удовлетворяет условию lim a(zn, < +оо, то в круге \u(z)\ ^ К.

n—ж

Для дальнейшего докажем следующую лемму.

Лемма B. Пусть f (z) — гармоническая функция из класса M. Тогда функция r-aD-a{f (z)} при 0 ^ а < +то также является гармонической функцией класса M.

Доказательство. Гармоничность функции r-aD-a{f (z)} всюду в круге D при 0 ^ а < +то вытекает из утверждения следствия теоремы 9.1 монографии [6]. Так как при а = 0 принимают D0 f (x) = f (x), то утверждение леммы очевидно. При 0 < а < +то, согласно определению интегродифференциального оператора Римана-Лиувилля, сделав подстановку t = rx, имеем

r 1

r-aD~a{f{reie)} = f(r- t)a~lf(teie) dt = —f (1 - хГ'1 f(rxeie) dx .

Г

00

С другой стороны,

i

r-aD~a{f

0

где Sn(z) — произвольная последовательность, взятая из группы T конформных автоморфизмов единичного круга. Так как при конформных отображениях гармоничность сохраняется, то r-aD-a{f (Sn(z))} — гармонические функции всюду в круге D при любом n. Не нарушая общности, в качестве компактов в D будем рассматривать замкнутые круги Dr : |z| ^ r, 0 < r < 1. Так как f (z) — гармоническая функция класса M, то существует подпоследовательность {Snfc(z)} рассмотренной последовательности {Sn(z)}, для которой f (Snk(z)) или равномерно сходится к гармонической функции F(z), или равномерно расходится к +то или —то на Dr. Отсюда следует, что при любом 0 ^ x ^ 1 последовательность {f(Sn(zx))} равномерно сходится к функции F(zx) или равномерно расходится к +то или —то на Dr. В обоих случаях из соотношения (2) следует нормальность функции r-aD-a{f (z)}. Действительно, при равномерной расходимости к +то или —то на Dr правая часть соотношения (2) стремится к +то или к —то, а значит, левая часть также стремится к +то (или —то). Если же последовательность {f (Sn(zx))} равномерно сходится к функции F(zx), рассмотрим соотношение

i i i

щ |(1 - ж)«"1/^^.)) ^ - Щ /(1 - = щ /(! - ж)а"' - dx>

0 0 0

из которого при k — то следует, что правая часть стремится к нулю, а значит, и левая стремится к нулю. Следовательно, последовательность {r-aD-a{f (Snk(z))}} равномерно сходится к функции Ф^), где $(z) — гармоническая функция в круге D. Утверждение леммы B полностью доказано.

Следствие 2. Пусть u(z) — гармоническая функция класса M и функция r-aD-a{u(z)} при 0 ^ а < +то ограничена сверху: r-aD-a{u(zn)} < K, n = 1, 2,... (или снизу: r-aD-a{u(zn)} > K), на некоторой последовательности точек {zn}, zn Е D, которая обладает свойством (А), множество предельных точек этой последовательности совпадает с Г и lim a(zn, < +оо. Тогда в круге В

п^ж

имеем r-aD-a{u(z)} < K (или r-aD-a{u(z)} ^ K).

Действительно, при 0 < а < +то из утверждения леммы B следует, что r-aD-a{u(z)} — гармоническая функция класса M. При а = 0 по определению r-aD-a{u(z)} = u(z). Теперь утверждение следствия 2 вытекает из теоремы 2.

Теорема 3. Пусть гармоническая в D функция u(z) из класса M ограничена сверху: u(zn) < K, n = 1, 2,... (или снизу: u(zn) > K), на некоторой последовательности точек {zn}, zn Е D, которая обладает свойством (А), множество предельных точек этой последовательности совпадает со всей окружностью и lim a(zn, < +оо. Тогда в круге В при 0 < а < +то гармоническая функция

r~aD~a{u

(или r-aD-a{u(z)}>J^).

Доказательство. Из условий теоремы в силу утверждения теоремы 2 следует, что u(z) ^ K (или u(z) ^ K) всюду в единичном круге D. Снова воспользуемся представлением функции r-aD-a{u(z)}, которая, согласно лемме B, является гармонической функцией класса M. Имеем

1

r-aD~a{u

Г(а) J

0

где Г(а) — гамма-функция Эйлера.

Рассмотрим случай, когда u(z) ^ K. Тогда из представления (3) следует, что

1

KK

r~aD~a{u(reie)} < —- / (1 - x)a~ldx =

Г(а) } у ' аТ(а)'

о

В случае и(г) ^ К рассматриваем —и(г) ^ —К и, принимая во внимание, что г-аВ-а{—и(те%в)} = —га В-а {и(твгв)} при 0 < а < +то, проводим аналогичные рассуждения. Теорема 3 доказана.

Рассмотрим еще одну теорему об ограниченности гармонических функций класса М.

Теорема 4. Если гармоническая функция и(г) из класса М обладает свойством (А) в каждой точке £ Е Г7 то и(г) ограничена в круге В. Если дополнительно существует такая постоянная К > 0, что константы К^ в свойстве (А) удовлетворяют неравенству К^ ^ К для всех точек £ Е Г, то \и(г)\ ^ К всюду в единичном круге В.

Доказательство. Не нарушая общности, ограничимся случаем, когда в каждой точке £ Е Г имеем и(гП) ^ К^, так как в случае и (гП^ ^ —К^ рассмотрим —и (гП^ ^ К^ и проведем аналогичные

рассуждения. В силу леммы А функция /(г) = ехр{и(г) + гУ(г)}, где V(г) — одна из сопряженных к и(г) гармонических функций, является голоморфной функцией из класса ЭТ в круге В, причем \/(г)\ = ехр{и(г)} ^ ехр{К^} для каждой точки £ Е Г. Поэтому в силу теоремы 1 работы [2] отсюда получаем, что \/(г)\ = ехр{и(г)} ограничена в В и, следовательно, и(г) ограничена сверху. Если же К^ ^ К, то из той же теоремы 1 для всех точек £ Е Г имеем \/(г)\ = ехр{и(г)} ^ ехр{К} для всех точек г Е В, и, следовательно, и(г) ^ К. Аналогично, рассматривая гармоническую функцию —и(г), получим, что и(г) ограничена снизу в круге В и и(г) ^ —К. Теорема 4 полностью доказана.

Приведем два следствия из теоремы 4.

Следствие 3. Пусть и(г) — гармоническая функция из класса М и функция г-аВ-а{и(г)} при 0 ^ а < то обладает свойством (А) в каждой точке £ Е Г. Тогда функция г-аВ-а{и(г)} ограничена в круге В и если дополнительно существует такая постоянная К > 0, что константы К^ в свойстве (А) удовлетворяют неравенству К^ ^ К для всех точек £ Е Г, то \г-аВ-а{и(г)}\ ^ К всюду в единичном круге.

Действительно, из условия следствия 3 в силу леммы В следует, что г-аВ-а{и(г)} — гармоническая функция класса М. Применяя теорему 4, получим утверждение следствия 3.

Следствие 4. Если гармоническая функция п(х) из класса М обладает свойством (А) в каждой точке £ £ Г и дополнительно существует такая постоянная К > 07 что константы К^ в свойстве (А) удовлетворяют неравенству К^ ^ К для всех точек ( 6 Г, то \г~а{и(х)}\ ^ пРи 0 < си < +оо.

Действительно, из утверждения теоремы 4 следует, что \и(г)\ ^ К всюду в единичном круге. Из представления (3), проведя такие же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3, получим неравенство \г~а{и(х)}\ ^ ПРИ 0 < а < +оо, что и требовалось доказать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гаврилов В. И. Пределы по непрерывным кривым и по последовательностям точек нормальных мероморфных и обобщенных мероморфных в единичном круге функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1964. № 2. 30-36.

2. Гаврилов В.И., Захарян В.С. Некасательный рост и ограниченность нормальных голоморфных функций // ДНАН Армении. 1996. 96, № 2-4. 3-14.

3. Bagemihl F. Some boundary properties of normal functions bounded on nontangential arcs // Arch. math. 1963. 14, N 6. 399-406.

4. Берберян С.Л. О граничных свойствах субгармонических функций, порождающих нормальные семейства на подгруппах автоморфизмов единичного круга // Изв. АН АрмССР. 1980. 15, № 4. 395-402.

5. Гаврилов В.И. Нормальные функции и почти периодические функции // Докл. АН СССР. 1978. 240, № 4. 768770.

6. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.

7. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев С. Интегралы и производные дробного порядка. Минск: Наука и техника, 1987.

8. Lappan P. Some results on harmonic normal functions // Math. Z. 1965. 90, N 1. 155-159.

Поступила в редакцию 18.06.2012

УДК 511

О РАВНОМЕРНОСТИ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

П. Б. Тарасов1

Рассматривается конечная система A функций многозначной логики, принимающих значения 0 и 1, причем проекция системы A порождает класс всех монотонных булевых функций. Показано, что найдутся константы c и d, такие, что для любой функции f из [A] глубина D(f) и сложность L(f) функции f в классе формул над A связаны соотношением D(f) < clog2 L(f ) + d.

Ключевые слова: равномерность конечных систем, многозначная логика, монотонные функции, полиномиальная эквивалентность.

For any finite system A of functions of many-valued logic taking values in the set {0,1} such that a projection of A generates the class of all monotone boolean functions, it is prooved that there exists constants c and d such that for an arbitrary function f G [A] the depth D(f) and the complexity L(f) of f in the class of formulas over A satisfy the relation D(f) ^ clog2 L(f) + d.

Key words: uniform systems, many-valued logic, monotone functions, polynomially equivalent.

В работе рассматривается задача о соотношении глубины и сложности реализации функций многозначной логики из замкнутых классов формулами в конечных базисах, состоящих из функций, принадлежащих этим же классам. Все необходимые определения можно найти в работах [1-3].

1 Тарасов Павел Борисович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tarasov.p.b@gmail.com.