Обратные задачи оптики слоистых сред

УДК 517.958, 538.975 А. В. Тихонравов

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИКИ СЛОИСТЫХ СРЕД

Введение. Начало работ по обратным задачам оптики слоистых сред в Московском университете относится к 1971 г. Инициаторами этих работ были два выдающихся ученых XX века — академики Андрей Николаевич Тихонов и Рэм Викторович Хохлов.

В начале 70-х гг. прошлого века области применения многослойных оптических покрытий уже были достаточно широкими. Повсеместное применение находили просветляющие оптические покрытия, без которых уже тогда не обходились объективы ни одного сколько-нибудь приличного фотоаппарата или любого другого оптического прибора. Многослойные диэлектрические зеркала позволяли получать коэффициенты отражения более 99%, что немыслимо с помощью зеркал на металлической основе. В связи с бурным развитием лазерной физики, приборов для контроля и передачи оптического излучения широкое распространение получили различного рода фильтры, светоделительные покрытия, поляризаторы света и т.п.

В последние годы XX века и в начале нынешнего века многослойные оптические покрытия сыграли и продолжают играть решающую роль в развитии таких областей, как телекоммуникационные технологии и оптоэлектроника. С их помощью достигнуты фантастические плотности передачи информации, превышающие несколько террабит в секунду.

Все устройства лазерной литографии, использующиеся для создания компонентной базы современной микроэлектроники, имеют большое число многослойных оптических покрытий, в первую очередь различного рода просветляющих покрытий и зеркал. Развитие микроэлектронных технологий с характерными размерами 0,09 и 0,065 микрон требует использования для литографии лазеров с длинами волн 193 и 157 нанометров. Оба типа лазеров работают в области так называемого вакуумного ультрафиолета, где создание и исследование многослойных покрытий связано с гораздо большими трудностями, чем в традиционных для оптических покрытий спектральных областях.

Огромное значение для научных исследований в различных областях знаний имеет создание лазеров со сверхкороткими длительностями импульсов. Многослойные диэлектрические покрытия с очень высоким отражением в широкой области спектра и весьма специфическими фазовыми свойствами позволили в настоящее время достичь длительности импульсов всего в 5-6 фемтосекунд (одна фемто-секунда равна Ю-15 секунды). Сейчас широко обсуждается возможность создания лазеров с еще более короткими длительностями импульсов. Решающую роль в их разработке будет иметь проектирование и изготовление многослойных лазерных зеркал с уникальными спектральными свойствами.

Несомненно, что уже более тридцати лет назад и Р.В. Хохлов, и А.Н. Тихонов прекрасно понимали, что прогресс в области многослойных оптических покрытий связан не только с развитием технологий их изготовления, но и с созданием теоретической основы решения обратных задач проектирования и исследования оптических слоистых сред. Такая основа в то время практически отсутствовала, несмотря на то что к началу 70-х гг. прошлого века уже были опубликованы сотни работ и более десятка монографий, связанных с задачами оптики слоистых сред. В этих работах были получены в основном теоретические результаты, относящиеся к разработке эффективных методов решения прямых задач [1-6]. Начиная с 1958 г. для решения обратных задач проектирования оптических покрытий стали применяться методы оптимизации [7]. Однако основной подход к проектированию покрытий в эти годы можно охарактеризовать как синтез путем анализа. Наиболее успешные работы, развивавшие этот подход, были основаны на анализе физики явлений в оптических слоистых средах. Важнейшие результаты в этом направлении были подытожены в книге известного специалиста по оптике слоистых сред, профессора Альфреда Телена [8]. Данная работа наглядно демонстрирует, что синтез путем анализа является уделом немногих профессионалов, обладающих огромным практическим опытом в этой области. При этом проектирование любого нового типа покрытий занимает зачастую многие годы и зависит от творческой удачи специалиста.

В 1973 г. была опубликована первая работа [9], в которой последовательно проводился взгляд на задачи проектирования многослойных оптических покрытий как на обратные задачи математической

физики. В дальнейшем, в 70-е и 80-е гг. прошлого века были заложены теоретические основы решения обратных задач оптики слоистых сред. Ряд важнейших результатов в этой области рассматривается в первом разделе настоящей статьи. Девяностые годы прошлого века и начало нынешнего века характеризуются массовым практическим применением методов, основанных на созданной теории. Развитие практических методов шло параллельно с фантастическим технологическим прогрессом производства многослойных покрытий, что стимулировало их постоянное совершенствование. Основные вехи этого развития рассмотрены во втором разделе статьи. Последний, третий, раздел посвящен нынешнему состоянию теории и практики решения обратных задач оптики слоистых сред, а также направлениям дальнейших работ в этой области.

1. Теоретические основы решения обратных задач оптики слоистых сред. Идеи метода регуляризации А.Н. Тихонова сыграли решающую роль в создании теории решения обратных задач оптики слоистых сред. При этом они послужили основой, на которой при создании данной теории были использованы результаты и других, казалось бы, далеких друг от друга разделов математики: теории оптимального управления, теории обратной задачи Штурма-Лиувилля, теории целых функций конечной степени. Существенную роль в развитии теории обратных задач оптики слоистых сред сыграл также тот факт, что простые математические модели реальных слоистых сред оказались вполне адекватными физике происходящих в них явлений.

Подложка 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ni 1 1 1-1 1 d, 1 1 d ' 1 d„ Внешняя среда л.

z„=О z, z,,, z, zm z„=z.

Рис. 1. Базовая модель оптической слоистой среды

Базовая модель оптической слоистой среды изображена на рис. 1. Она представляет собой систему плоскопараллельных слоев с неограниченными по осям ж и у размерами. Эти слои обрамлены двумя средами, также неограниченными по осям ж и у и полубесконечными по оси z. Все слои и обе среды считаются однородными и изотропными. Их физические свойства характеризуются показателями преломления, которые в случае диэлектрических слоев и сред часто можно считать действительными величинами.

Левая полубесконечная среда на рис. 1 обычно называется подложкой, а правая — внешней средой. Они характеризуются показателями преломления ns и па соответственно. В базовой модели считается, что из внешней среды на систему слоев падает плоская электромагнитная волна. Процесс распространения электромагнитной волны описывается уравнениями Максвелла, из которых следует, что во внешней среде возникает идущая в обратном направлении отраженная волна, а в подложке — прошедшая волна.

Слои в базовой модели нумеруются начиная от подложки и характеризуются показателями преломления ni,..., пт, где m — общее число слоев покрытия. Толщины слоев обозначаются d\,..., dm. В задачах синтеза многослойных покрытий толщины слоев являются основными конструктивными параметрами, за счет надлежащего выбора которых достигаются требуемые свойства этих покрытий.

Очевидно, что система слоев может быть описана не только набором характеризующих слои параметров, но и функцией n(z), описывающей профиль показателя преломления вдоль оси z. Как будет показано в следующем разделе, такой дуализм описания является плодотворным для построения эффективных методов оптимизации многослойных оптических покрытий. Он также является важным элементом в построении общей теории обратных задач оптики слоистых сред.

В случае системы однородных слоев n(z) — кусочно-ступенчатая функция. В дальнейшем мы будем рассматривать и более широкие классы профилей показателя преломления слоистой среды, в частности кусочно-гладкие и гладкие функции. Следует отметить, что оптические покрытия с непрерывно

изменяющимся профилем показателя преломления реально существуют и, более того, представляют большой интерес для ряда практических приложений [10].

Важнейшими (но далеко не единственными) характеристиками оптической слоистой среды являются ее коэффициенты пропускания и отражения. Эти коэффициенты зависят от длины волны падающего излучения А. Практически всегда характеристики слоистой среды представляют интерес в некотором диапазоне значений А, т.е. в некоторой спектральной области. Поэтому их обычно называют спектральными коэффициентами, или спектральными характеристиками.

Обозначим Т(А) и Д(А) энергетические коэффициенты пропускания и отражения слоистой среды, которые определяются как отношения энергий прошедшей и отраженной волн к энергии падающей волны. Из закона сохранения энергии следует, что

Г

Для непоглощающих слоистых сред неравенство в (1) естественно обращается в равенство.

Уравнения Максвелла позволяют выписать систему уравнений и граничных условий, с помощью которых можно вычислить коэффициенты Т(А), Д(А), а также любые другие спектральные характеристики слоистой среды, если заданы описывающие ее параметры или профиль показателя преломления п(г). Таким образом, уравнения Максвелла определяют операторы прямой задачи для различных формулировок этой задачи. Оказывается, что вычисление спектральных характеристик слоистой среды можно свести к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую длина волны А входит как параметр [11]. В случае слоистой среды, состоящей из однородных слоев, для вычисления спектральных характеристик существуют эффективные рекуррентные алгоритмы. Все эти вопросы детально обсуждаются в [11].

Намного более сложную проблему, чем решение прямых задач, представляет собой решение обратных задач оптики слоистых сред. Сформулируем кратко пока только две из них. Пусть в диапазоне длин волн [АьА2] измерен энергетический коэффициент пропускания Т(А). Известно, что слоистая среда состоит из однородных слоев. Требуется определить их параметры. Вторая задача отличается от только что сформулированной тем, что Т(А) — не измеренный, а теоретически заданный коэффициент пропускания, который хотелось бы получить путем подбора нужного числа слоев среды и параметров этих слоев.

Даже неискушенный в теории обратных задач человек немедленно почувствует принципиальную разницу между сформулированными выше задачами. Действительно, первая из них относится к так называемым обратным задачам распознавания, а вторая — к задачам синтеза (проектирования). Детальное рассмотрение различия постановок обратных задач распознавания и синтеза, а также значения для них таких вопросов, как существование, единственность и устойчивость решения задачи, можно найти в работе [12].

До начала работ по теории обратных задач в оптике слоистых сред идеи регуляризации А.Н. Тихонова применялись в основном при решении обратных задач распознавания в различных областях физики [13-15]. Полное понимание особенностей применения этих идей при решении обратных задач синтеза пришло в процессе работ по оптическим слоистым средам.

Специфической особенностью задач синтеза является то, что для них, как правило, не существует решения обратной задачи в обычном смысле. Рассмотрим в качестве примера задачу синтеза, в которой необходимо найти распределение профиля показателя преломления 11(2), обеспечивающее требуемый энергетический коэффициент пропускания Т(А) в заданной спектральной полосе [А1, А2]. Пусть А — оператор прямой задачи, ставящий в соответствие функции п(г) коэффициент Т(А):

А[п{г)] = Т{ А).

Одно из фундаментальных свойств спектральных коэффициентов слоистой среды состоит в том, что все они являются аналитическими функциями параметра А [16, 17]. В то же время задаваемые при синтезе зависимости Т(А) имеют точки разрыва, участки постоянства и т.п., т.е. заведомо не являются аналитическими. Таким образом, решение уравнения (2) с Т(А) в правой части этого равенства заведомо не существует.

Все теоремы существования в обратных задачах оптики слоистых сред доказывают возможность аппроксимации требуемых спектральных коэффициентов с заданной точностью в классах функций 11(2), определяемых условиями физической реализуемости этих функций [16-18]. Например, доказывается, что в классе функций п(г) > 0 (условие физической реализуемости) любой кусочно-непрерывный

в конечной спектральной области коэффициент Т(А), удовлетворяющий естественному энергетическому неравенству

О «С Г

может быть аппроксимирован в метрике ¿2 с любой наперед заданной точностью [16].

Отношение к вопросу о единственности решения обратных задач синтеза изменялось со временем под влиянием тех идей, которые использовались уже в первой статье на эту тему [9]. В ней единственное решение задачи синтеза выделялось за счет введения дополнительного функционала, учитывавшего условия наилучшей конструктивной реализуемости синтезируемого оптического покрытия. В качестве такого условия использовалось требование минимальности общего числа слоев покрытия, что было обусловлено технологическими возможностями производства того времени.

В последние годы было показано [19], что к числу важнейших конструктивных параметров оптического покрытия относится также его полная оптическая толщина. Этот параметр определяется формулой

«а

* = /»

О

где га — полная физическая толщина покрытия (см. рис. 1).

Особая роль параметра Н вытекает из фундаментальных свойств спектральных характеристик слоистой среды, детально исследованных в работах [16, 17]. Оказывается, что отношение спектральных коэффициентов Д(А)/Т(А) является не просто аналитической функцией, а функцией, принадлежащей весьма специальному классу аналитических целых функций конечной степени роста. Для таких функций справедлива теорема Пэли-Винера, утверждающая, что их преобразование Фурье имеет конечный носитель [20]. Для указанного выше отношения доказывается справедливость следующего представления:

2 н

Д

-2 Н

Как следует из [5], удвоенная полная оптическая толщина определяет максимальную частоту ос-цилляций гармоник в фурье-представлении Д(А)/Т(А). Поэтому при недостаточной полной оптической толщине невозможно аппроксимировать требуемые спектральные характеристики с достаточной точностью.

Обозначим Р значение функционала, оценивающего в некоторой метрике точность аппроксимации требуемых спектральных характеристик слоистой среды (пример одного из таких функционалов приведен в следующем разделе). Из изложенного выше следует, что наряду с Р важнейшими параметрами, определяющими качество решения задачи синтеза, являются также общее число слоев покрытия то и его полная оптическая толщина Н. Величины Р, то, Н стали называть основными конструктивными параметрами покрытия [19].

Ясно, что трудно формализовать выбор единственного решения задачи синтеза, поскольку трудно определить даже выбор оптимальной тройки основных конструктивных параметров. Более того, оказывается, что многие задачи синтеза допускают множественные решения, характеризующиеся почти одинаковыми с практической точки зрения комбинациями этих параметров. В таких условиях выбор единственного решения задачи синтеза может определяться только условиями наилучшей конструктивной реализуемости этого решения. В настоящее время эта проблема решается уже на принципиально другом уровне, чем тот, который использовался в работе [9]. Об этом более подробно рассказывается в третьем разделе статьи.

Вопрос об устойчивости решения задач синтеза слоистых сред также формулируется в необычном для задач распознавания виде. Важна не устойчивость решения обратной задачи по отношению к малым возмущениям входных данных, каковыми являются требуемые зависимости спектральных коэффициентов слоистой среды, а возможность устойчивой реализации найденных решений на практике в смысле малого отличия реальных спектральных коэффициентов напыленного слоистого покрытия от идеальных спектральных коэффициентов, соответствующих найденному теоретическому решению обратной задачи. Методы поиска устойчивых в этом смысле решений также обсуждаются в третьем разделе.

2. Современные методы решения задач синтеза и распознавания слоистых сред. Качество решения задачи синтеза оценивается функционалом Р [га(,г)], который для одной из постановок задач синтеза слоистых сред может иметь следующий вид:

2

Здесь {Ак} — сетка длин волн, на которой сравниваются требуемый коэффициент пропускания Т(А) и соответствующий функции п(г) коэффициент пропускания Т(А) (последний определяется оператором прямой задачи в (2)). Величины 1/ДТк представляют собой весовые множители.

В процессе поиска решения задачи синтеза оценочный функционал Р[п(2)] минимизируется тем или иным способом. При этом основной проблемой является его невыпуклость и чрезвычайная много-экстремальность. Представление о структуре оценочных функционалов дает рис. 2. На нем показана зависимость такого функционала от двух параметров для одной из простейших задач синтеза, в которой функция п(г) задается всего двадцатью параметрами.

"4>

Рис. 2. Зависимость оценочного функционала от двух параметров — толщины 7-го и 8-го слоев двадцатислой-ного отражателя

В связи с очевидной сложностью минимизации оценочных функционалов большое внимание в проводившихся в МГУ работах было уделено исследованию классов распределений 11

ГАкЛ

Т(ХК)-Т(ХК) А Тк

должно удовлетворять ограничениям

nL ^ n

где граничные значения n¿ и пн определяются наличием реальных материалов, которые можно использовать на практике.

Цикл работ по исследованию необходимых условий оптимальности в задачах синтеза слоистых сред [21-24] привел к получению ряда теорем, аналогичных принципу максимума Понтрягина, а также к получению на основе этих теорем важнейших практических выводов для различных постановок задач синтеза. Так, в частности, было показано [22], что для задач синтеза в случае нормального падения света на среду оптимальное распределение n(z) является кусочно-экстремальным, т.е. принимает всего два предельных значения n¿ и п#. Слоистые покрытия, описываемые такими функциями n(z), принято называть в оптике двухкомпонентными. В большинстве случаев двухкомпонентные покрытия являются и наиболее технологичными с практической точки зрения.

Используемая в математике уже на протяжении более ста лет идея игольчатой вариации (малой в норме L\ вариации) оказалась плодотворной и для построения численных методов минимизации оценочных функционалов в оптике слоистых сред. Основанный на таких вариациях метод минимизации получил наименование метода игольчатых вариаций. Его идея и общая схема были впервые предложены в работе [25], однако огромные возможности этого метода стали очевидны только позднее в процессе его применения для решения разнообразных задач синтеза оптических слоистых систем [2628]. В настоящее время этот метод и его последующие модификации являются основными методами решения практических задач проектирования оптических покрытий в сотнях лабораторий и компаний во всех регионах мира.

Основная математическая идея метода игольчатых вариаций состоит в следующем. Рассмотрим игольчатую вариацию профиля показателя преломления в некоторой точке внутри одного из слоев многослойного оптического покрытия (см. рис. 3). Параметром малости для игольчатой вариации является ее толщина Sz. Очевидно, что изменение оценочного функционала, соответствующее этой вариации, записывается в следующем виде:

6F = P

где z — координата точки, в которой проводится игольчатая вариация, а п — величина этой вариации.

Рис. 3. Игольчатая вариация профиля показателя преломления слоистой среды: для многослойной системы проведение одной игольчатой вариации внутри слоя приводит к увеличению общего числа слоев на два

Вариационные методы позволяют построить эффективный алгоритм вычисления функции Р(п, z), не требующий реального проведения самих вариаций. Эффективность данного алгоритма такова, что вычисление этой функции требует примерно того же числа операций, что и однократное решение прямой задачи [11]. Таким образом, имеется практическая возможность использования игольчатых вариаций в процессе минимизации оценочного функционала.

Общая схема метода игольчатых вариаций (см. рис. 4) основана на дуализме описания оптической слоистой среды, обсуждавшемся в начале предыдущего раздела. Работа метода начинается с задания некоторой начальной слоистой системы, например простейшего однослойного покрытия. Набор допустимых показателей преломления слоев задается заранее (использование более чем двух материалов необходимо для решения ряда задач синтеза при наклонном падении света). В процессе решения задачи синтеза ищутся величины толщины слоев и оптимальные значения их показателей преломления из заданного допустимого набора п. При этом число слоев покрытия заранее не фиксируется.

Рис. 4. Общая схема метода игольчатых вариаций

Заданная начальная слоистая система оптимизируется по толщинам составляющих ее слоев с помощью одного из современных методов оптимизации, например демпфированного метода наименьших квадратов или метода Ньютона [29]. Оптимизация в пространстве толщин слоев заканчивается при достижении одного из локальных минимумов оценочного функционала. После этого вычисляется функция Р(п, z) для всех допустимых значений показателя преломления. Игольчатая вариация показателя преломления производится в точке z и с величиной п такими, что данные п и z доставляют максимальное по модулю отрицательное значение функции P(n,z). При этом толщина игольчатой вариации Sz выбирается таким образом, чтобы обеспечить максимальное убывание оценочного функционала. Вследствие проведения игольчатой вариации профиля показателя преломления число слоев системы увеличивается на два. Таким образом, с параметрической точки зрения происходит переход оценочного функционала в новое пространство толщин слоев с размерностью на два большей, чем ранее. В этом новом пространстве опять осуществляется оптимизация оценочного функционала по толщинам слоев и процесс продолжается по описанной выше схеме. Оптимизация слоистой системы с помощью метода игольчатых вариаций оканчивается в тот момент, когда функция Р(п, z) становится неотрицательной для всех значений z и для всех допустимых показателей преломления.

Как следует из вышеизложенного, в методе игольчатых вариаций не фиксируется размерность пространства, в котором производится поиск оптимального решения задачи синтеза. Такой подход полностью соответствует обсуждавшимся в предыдущем разделе особенностям постановки задач синтеза оптики слоистых сред.

Осознание значения полной оптической толщины слоистой среды (см. предыдущий раздел) привело к созданию на основе метода игольчатых вариаций более общего метода решения задач синтеза слоистых сред, названного методом последовательной эволюции [19]. В целом разработанные к настоящему времени методы синтеза позволяют решать любые по сложности задачи проектирования элементов многослойной оптики [30].

Огромный прогресс был достигнут и в решении обратных задач распознавания оптики слоистых сред, имеющих ничуть не меньшее значение для успешной практической реализации оптических покрытий, чем задачи синтеза. Укажем прежде всего на две из них. Это — задача исследования параметров тонкой пленки (одного слоя), нанесенной на поверхность известной подложки, и задача постпроизводственного исследования многослойных оптических покрытий с целью определения фактических параметров покрытий и их отличий от заданных теоретических значений этих параметров. Несмотря на кажущуюся простоту первой из них, даже в случае одного слоя задача исследования его параметров представляет собой сложнейшую проблему.

С теоретической точки зрения задача восстановления параметров слоистой среды по энергетическим спектральным характеристикам (именно они измеряются в эксперименте) не имеет единственного решения [17, 31]. Для обеспечения теоретической единственности решения входные данные должны содержать фазовую информацию [32, 33], которая недоступна в практически осуществимых экспериментах. Однако основная трудность состоит не в теоретической неединственности решения, а в про-

блеме обоснованного выбора конечно-параметрической модели, используемой для численного решения обратной задачи.

Все современные методы решения обратных задач распознавания оптики слоистых сред основаны на введении этих задач в конечно-параметрические классы корректности и минимизации на этих классах функционалов невязки, сравнивающих экспериментально измеренные и модельные спектральные характеристики слоистых сред. При таком подходе выбор параметрической модели слоистой среды имеет решающее значение. В работах последних лет [34-40] развивается новая методология выбора моделей слоистой среды и поиска решений обратных задач распознавания. Ее основные особенности состоят в следующем. Во-первых, строятся модели, характеризующиеся минимально возможными наборами наиболее значимых с физической точки зрения параметров. Построение таких моделей требует, как правило, специальных глубоких теоретических исследований. Во-вторых, при решении обратной задачи выбор модели согласуется с имеющимися в распоряжении исследователя экспериментальными данными и с их точностью. Наконец, используется иерархический подход к выбору моделей, при котором модель слоистой среды может последовательно усложняться в ходе решения обратной задачи в зависимости от результатов минимизации функционала невязки и характера аппроксимации экспериментальных данных модельными характеристиками.

Указанная методология основывается на идеях А.Н. Тихонова о значении априорной информации для решения обратных задач распознавания. Вместе с тем она еще требует полного теоретического осмысления в рамках общей теории обратных задач математической физики.

3. Новые проблемы в оптике слоистых сред. Конечной практической целью решения всех обратных задач оптики слоистых сред является реальное создание многослойных оптических покрытий с заданными спектральными свойствами в вакуумных напылительных установках. Взаимосвязь трех типов рассмотренных выше задач с процессом производства покрытий отражена на рис. 5. На этом рисунке выделены также такие важнейшие компоненты производственного процесса, как методы и алгоритмы контроля напыления. Проблема выбора оптимального с практической точки зрения и устойчивого к ошибкам производства решения задачи синтеза привлекает все большее внимание именно к этим компонентам.

Алгоритмы контроля напыления

Исследование тонких пленок Синтез покрытий

Методы контроля напыления — Вакуумная установка

Постпроизводственное исследование покрытий

Рис. 5. Обратные задачи оптики слоистых сред и их связь с процессом производства оптических покрытий

В современной практике используются десятки различных методов контроля напыления. Основное место среди них занимают оптические методы, основанные на регистрации изменения энергетического коэффициента пропускания или отражения в процессе напыления покрытия. Оптические методы подразделяются на методы контроля на одной длине волны и методы контроля в широкой спектральной полосе одновременно на большом массиве длин волн. Последние методы стали широко применяться в связи с бурным прогрессом измерительной аппаратуры, позволяющей в течение миллисекунд регистрировать огромные объемы экспериментальной информации.

Для определения текущей толщины слоя в процессе его напыления и предсказания времени прекращения напыления необходимо решать задачи распознавания слоистых сред в режиме on-line. Используемые для этого алгоритмы контроля напыления должны обрабатывать экспериментальную информацию в очень короткое время и обеспечивать высокую устойчивость определения толщины слоя. Идеи А.Н. Тихонова, связанные с введением стабилизирующих функционалов, имеют решающее значение для разработки таких алгоритмов [41].

Как было отмечено в первом разделе, одним из принципиальных отличий обратных задач синтеза от обратных задач распознавания является положительный характер возможной неединственности решений первых из них. Для задач синтеза имеет смысл говорить только о практической оптимальности искомого решения [19], и само понятие практической оптимальности зависит от конкретных особенностей производственного процесса, который будет использоваться для создания оптического покрытия. Очевидно, что практически оптимальное решение должно обладать свойством устойчивости соответствующих ему спектральных характеристик по отношению к возможным ошибкам производственного процесса. При этом понятно, что бессмысленно исследовать устойчивость спектральных характеристик по отношению к малым вариациям самого решения (т.е. набора теоретических значений толщин слоев покрытия), поскольку эти вариации не являются независимыми, а коррелированы большим числом различных факторов, среди которых важнейшими являются используемый метод контроля напыления и алгоритм анализа экспериментальных данных в режиме on-line.

В работах последнего времени была сформулирована концепция вычислительного производственного эксперимента как инструмента поиска практически оптимального решения [41-43]. Вычислительный производственный эксперимент в оптике слоистых сред занимает по отношению к теоретическому решению задач синтеза и реальному производственному процессу примерно такое же место, как в более общем плане занимает вычислительная физика по отношению к теоретической и экспериментальной физике. Несомненно, что работы по созданию все более полных моделей вычислительного производственного эксперимента будут играть в ближайшие годы определяющую роль в дальнейшем развитии оптики слоистых сред.

В перспективе поиск решения обратной задачи синтеза должен быть скоррелирован с выбором метода контроля процесса напыления и с выбором алгоритма решения обратной задачи распознавания параметров напыляемого покрытия, поскольку и методы контроля, и алгоритмы обработки экспериментальных данных также оказывают влияние на выбор практически оптимального решения [43]. Работы в этом направлении еще только начинаются, но нет сомнения, что в ближайшие годы они составят одно из центральных направлений в развитии общей теории и методов решения обратных задач оптики слоистых сред.

Заключение. Андрей Николаевич Тихонов был одним из величайших ученых двадцатого века, гармонично сочетавшим математический и физический стили мышления. Именно это сочетание, лежащее в основе большинства его работ, оказало огромное влияние на автора настоящей статьи как вследствие личных его контактов с А.Н. Тихоновым, так и в результате осмысления работ А.Н. Тихонова в различных областях знаний. За это автор статьи выражает особую признательность своему Учителю.

Автор благодарит М.К. Трубецкова, E.H. Смирнову, Т.В. Амочкину и И.В. Кочикова за помощь при подготовке данной публикации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гребенщиков И.В., Власов А.Г., Непорент B.C., СуйковскаяН.В. Просветление оптики. М.: Гостехиздат, 1946.

2. РозенбергГ.В. Оптика тонкослойных покрытий. М.: ГИФМЛ, 1958.

3. Кард П. Г. Анализ и синтез многослойных интерференционных пленок. Таллин: Валгус, 1971.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.

5. M ас le od H. F. Thin film optical filters. London: McGraw-Hill, 1969.

6. Knittl Z. Optics of thin films. N.Y.: John Wiley and Sons, 1976.

7. Baumeister P. Design of multilayer filters by successive approximations // JOSA. 1958. 48. P. 955958.

8. Thelen A. Design of optical interference coatings. McGraw-Hill, 1989.

9. Гласко В.Б., Тихонов А.H., Тихонравов A.B. О синтезе многослойных покрытий // ЖВМиМФ. 1974. 14. № 1. С. 135-144.

10. Tikhonravov А. В. et al. New optimization algorithm for the synthesis of rugate optical coatings // Applied Optics. 2006.

11. Furman Sh., Tikhonravov A.V. Basics of optics of multilayer systems. Editions Frontiers, Gif-sur Yvette, 1992.

12. Тихонравов А. В. Синтез слоистых сред. М.: Знание, 1987.

13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

14. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Я г о л а А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

15. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Я г о л а А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

16. Т и хо н р а во в А. В. О принципиально достижимой точности решения задач синтеза // ЖВМиМФ. 1982. 22. № 6. С. 1421-1433.

17. Т и хо н р а во в А. В. Амплитудно-фазовые свойства спектральных коэффициентов слоистых сред // ЖВМиМФ. 1985. 25. № 3. С. 442-450.

18. Тихонравов А. В. Синтез слоистых сред с заданными амплитудно-фазовыми свойствами // ЖВМиМФ. 1985. 25. № 11. С. 1647-1688.

19. Tikhonravov A.V., Trubetskov М.К., Amochkina T.V., Kokarev M.A. Key role of the coating total optical thikness in solving design problems // SPIE Proceedings. 2003. 5250. P. 312-321.

20. Левин В. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехтеориздат, 1956.

21. Свешников А.Г., Тихонравов А.В., Яншин С.А. Синтез оптических покрытий при наклонном падении света // ЖВМиМФ. 1983. 23. № 4. С. 929-936.

22. Тихонравов А. В. О задачах оптимального управления, связанных с синтезом слоистых сред / / Диф. ур-ния. 1985. 21. № 9. С. 1516-1523.

23. Tikhonravov А. V. On the optimality of thin film optical coating design // SPIE Proceedings. 1990. 1270. P. 28-35.

24. Tikhonravov A.V. Some theoretical aspects of thin film optics and their applications // Applied Optics. 1993. 32. N 28. P. 5417-5426.

25. Тихонравов А. В. О методе синтеза оптических покрытий, использующем необходимые условия оптимальности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Физика. Астрономия. 1982. 23. № 6. С. 91-93.

26. Тихонравов А. В. Устойчивый метод решения задач синтеза слоистых сред // Докл. АН СССР. 1985. 283. № 3, 5. С. 582-585.

27. Свешников А. Г., Тихонравов А. В., Трубецков М.К. Нелокальный метод оптимизации многослойных оптических систем // Матем. моделир. 1995. 7. С. 105-127.

28. Tikhonravov A.V., Trubetskov М.К., DeBell G.W. Application of the needle optimization technique to the design of optical coatings // Applied Optics. 1996. 35, N 28. P. 5493-5508.

29 Тихонов А.Н. (мл.), Тихонравов А. В., Трубецков М.К. Методы оптимизации второго порядка в задачах синтеза многослойных покрытий // ЖВМиМФ. 1993. 33. № 10. С. 1518-1535.

30. Tikhonravov A.V. Design of optical coatings // Optical Interference Coatings / Eds.: N. Kaiser and H.K. Pulker. Springer, 2003. P. 81-104.

31. Зуев И. В., Тихонравов А. В. О единственности определения параметров слоистой среды по энергетическому коэффициенту отражения // ЖВМиМФ. 1993. 33. № 3. С. 428-438.

32. Klibanov M.V., Sacks Р.Е., Tikhonravov A.V. The phase retrieval problem // Inverse problems. 1995. 11. P. 1-28.

33. Tikhonravov A.V., Baumeister P. W., Popov K.V. Phase properties of multilayers / / Applied Optics. 1997. 36. N 16. P. 4382-4392.

34. T i k h о n r a v о v A.V., Trubetskov M.K., Sullivan B.T., Dobrowolski J.A. Influence of small inhomogeneitics on the spectral characteristics of single thin films // Applied Optics. 1997. 36. N 7. P. 7188-7198.

35. T i k h о n r a v о v A.V., Trubetskov M.K., Krasilnikova A.V. Spectroscopic ellipsometry of slightly inhomogeneous non-absorbing thin films with arbitrary refractive index profiles: theoretical study // Applied Optics. 1998. 37. P. 5902-5911.

36. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Krasilnikova A.V., Masetti E., Duparre A., Q u e s n e 1 E., Ri s t au D. Investigation of the surface micro-roughness of fluoride films by spectroscopic ellipsometry // Thin Solid Films. 2001. 397. P. 229-237.

37. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Kokarev M.A.,Amotchkina T.V., Duparre A., Quesnel E., Ristau D., Gunster S. Effect of systematic errors in spectral photometric data on the accuracy of determination of optical parameters of dielectric thin films // Applied Optics. 2002. 41. P. 2555-2560.

38. Tikhonravov A.V.,Trubetskov M.K.,Tikhonravov A.A.,Duparre A. Effects of interface roughness on the spectral properties of thin films and multilayers // Applied Optics. 2003. 42. P. 51405148.

39. Tikhonravov A., Trubetskov M., Amotchkina Т., Tikhonravov A., Ristau D., Gunster S. Reliable determination of wavelength dependence of thin film refractive index // Proc. of SPIE. 2003. 5188. P. 331-342.

40. Tikhonravov A., Trubetskov M., DeBell G. On the accuracy of optical thin film parameter determination based on spectrophotometric data // Proc. of SPIE. 2003. 5188. P. 190-199.

41. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K. Stabilization of computational algorithms for the characterization of thin film coating // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6. № 1. С. 96-104.

42. Tikhonravov А. V., Trubetskov M.K. Computational manufacturing as a bridge between design and production // Applied Optics. 2005. 44. P. 6877-6884.

43. Tikhonravov A.V. Virtual deposition plant // SPIE Proc. 2005. 5870. P. 108-120.

Поступила в редакцию 10.02.06

УДК 517.9

А. С. Ильинский

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН

Введение. Разработка математических моделей вибраторных антенн представляет одну из важных и актуальных проблем теории антенн. Вибраторная антенна появилась в радиотехнике с момента ее возникновения, когда A.C. Попов впервые использовал радиоволны для передачи сигнала в 1895 г. и начал эру радио. В настоящее время системы вибраторных излучателей широко применяются для разработки антенн КВ и УКВ диапазонов. При этом в современных условиях очень большое значение имеют вопросы взаимного влияния активных и пассивных излучателей различного диапазона друг на друга. Учет взаимного влияния проводников требует эффективных методов расчета распределения токов. Метод наведенных э.д.с., предложенный A.A. Пистелькорсом [1] в 1928 г., дает приближенное решение, точность которого во многих случаях недостаточна, а оценка погрешности требует более детального расчета распределения токов. Строгая постановка задачи определения распределения тока приводит к системе интегральных уравнений. Для параллельных проводников такая система интегральных уравнений получена в работе А.Н. Тихонова и В.И. Дмитриева [2], а для произвольно расположенных проводников — в работе A.C. Ильинского и И.В. Бережной [3]. При получении интегральных уравнений ток на поверхности вибраторов определяется из решения краевой задачи для уравнений Максвелла.

Задача возбуждения конечного вибратора имеет давнюю и интересную историю. К. Поклингтон и М. Абрахам впервые в своих статьях [4, 5] рассмотрели вопрос о распределении тока вдоль вибратора. Они показали, что основному колебанию тока в вибраторе соответствует синусоидальное распределение тока вдоль провода антенны. Было установлено, что резонансная длина волны основного колебания близка к удвоенной длине вибратора. Достаточно подробно результаты излучения антенны как линии, открытой на конце, рассмотрены в книге И.Г. Кляцкина [6].

Строгая постановка задачи о распределении тока в вибраторе основана на сведении задачи о возбуждении вибратора к интегральным уравнениям относительно функции распределения тока. Первая работа в этом направлении принадлежит Е. Галлену [7]. В этой работе для передающей антенны полагалось, что сторонняя напряженность тока сосредоточена в зазоре, а на поверхности вибратора