Применение метода собственного времени для расчета эффектов поляризации вакуума в поле сильного лазерного излучения

УДК 517.9 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып. 1

А. А. Андреев, Г. Л. Лабзовский. В. Н. Марков. Ю- М. Письмак

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭФФЕКТОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА В ПОЛЕ СИЛЬНОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ*)

Введение. Современные лазеры, генерирующие фемтосекундные импульсы петаваттной мощности, дают возможность экспериментально исследовать квантовую электродинамику вакуума в сильных электромагнитных полях [1]. Интенсивность поля лазерного излучения пока значительно ниже порога рождения электрон-позитронных пар в вакууме. Однако время его взаимодействия с вакуумом оказывается достаточным большим для значительного влияния поляризации вакуума на параметры излучения, распространяющегося в такой среде [2-4]. В [2] была впервые показана возможность регистрации явлений, обусловленных поляризацией вакуума, достижимой с помощью современной лазерной техники. В последующих работах [3,4] изучались другие нелинейные оптические процессы, такие, как, например, четырехвол-новое взаимодействие, которое облегчает регистрацию влияния поляризации вакуума. Во всех указанных публикациях поляризация вакуума рассматривалась в приближении Гейзенберга-Эйлера [5], что предполагает переход к локальному пределу в эффективном действии, описывающем взаимодействие поля лазерного излучения с флуктуациями электрон-позитронного вакуума.

Данное приближение не используется в настоящей работе, что позволяет изучить явление «замутнения» вакуума для простого случая поля плоской волны. Для проведения расчетов , наиболее эффективным оказывается метод собственного времени Фока-Швингера. Мы покажем, как применить его для вычисления фермионного пропагатора во внешнем электромагнитном поле, а затем получим выражение для поляризационного оператора, что позволит записать уравнения Максвелла с учетом поправок от поляризации вакуума внешним полем плоской электромагнитной волны. Построим решения этих уравнений и проанализируем их свойства. В заключение обсудим и оценим по величине эффект непрозрачности вакуума для электромагнитного излучения.

Метод Фока-Швингера. Метод собственного времени Фока-Швингера является весьма эффективным для исследования нетеоретиковозмущенческих проблем квантовой электродинамики (КЭД) во внешнем поле [6,7]. В самой общей постановке задачи, для которых применяется метод собственного времени Фока-Швингера, формулируются следующим образом. Требуется решить относительно -ф линейное уравнение вида

ЦРМ = ф.

Здесь оператор Ь(Р, <3) записывается в терминах операторов Р и <5, для которых выполняется простое коммутационное соотношение: [Р, <2] = 1. Для того чтобы иметь в дальнейшем возможность применять соотношения, которые будут получены, к возможно более широкому кругу задач, допускаем зависимость Ь не только от Р и С}, но и от других некоммутирую-щих операторов, предполагая только коммутативность этих операторов с Р и Формальное решение уравнения (1) может быть записано как -ф = Ь~1ф, где Ь~1 - обратный оператор к оператору Ь{Р, СЦ).

"^Работа В. Н. Маркова выполнена при финансовой поддержке ШТАБ (грант № 2000-587), Российского фонда фундаментальных исследований (грант X« 1-02-17152), губернаторов Санкт-Петербурга (грант № М03-2.4К-Ю6) и Ленинградской области (персональный грант); работа Ю.М. Письмака -Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00837). © А. А. Андреев, Г. Л. Лабзовский, В. Н. Марков, Ю. М. Письмак, 2004

Теперь определим оператор эволюции: U(s) = elsL. Он является решением уравнения

ди •.

— = iLU ds

с начальным условием U(0) = 1. Для обратного оператора L~l получаем представление

1 />00 1 рос

L'1 = lim 4 / dseis{L+ie) = lim 4 / dsU

e-*+o г J0 '-»+0ЧЛ

Наша следующая задача - вывести выражение для матричного элемента < g(£/(s)lq' >, где

< <?!> W > ~ вектора базиса, в котором оператор Q диагонален: <- q\Q = q < q\, Q\q >= q\q >,

< q\q >= 5{q — q). В общем случае оператор Р может быть представлен в виде

р = ? + №),

где V - оператор сдвига, определяемый соотношением exp{a*P}|q >= — а >. Если Q - это оператор умножения на координату ж, то V - оператор дифференцирования по координате д/дх.

Для оператора L(P, Q) вида L(Q, Р) = РаР + V(Q) и пространства размерности D результат будет выглядеть следующим образом: .

хМ"1 j DaS

Здесь были использованы такие обозначения:

М = / DaS{X(a)) охр {г £ ««^(СЦ ,

1(а) = j\(OdC, S(a]q,q'ts) = £ + + гК(е(к)] dC,

где ' ^

к = к(сг; g, д', s, С) = дС + Qi1 ~ О ~ V« / o-(r)dr

Jo

д

ч - «ctoi.?»*^) = = -VS*«)-

Матричный элемент < g|L-1|g' > оператора L-1 можно вычислить при помощи соотношения (2):

< g|L-y > = Um \ Г dsU

е-и-о г J0

Теперь для него имеем представление в форме функционального интеграла по С б [0,1] и интеграла по «собственному времени» s. Это представление удобно для анализа L-1 и будет использовано ниже.

Уравнение Дирака во внешнем поле. Применим построенный формализм к проблеме вычисления функции Грина для уравнения Дирака G(x, у; А) во внешнем электромагнитном поле А. Эта функция удовлетворяет уравнению

{гд - т + eÄ{x)}G{x, у, А) = -6

Здесь использованы обычные обозначения КЭД [8,9]

Ä(x) = A»Y, Ь =

где Ам(х) - четырехкомпонентный вектор-потенциал внешнего электромагнитного поля, 7м-матрицы Дирака, др- оператор дифференцирования по координате: дц = д/дх*. Параметры т и е в уравнении (5) являются массой и зарядом электрона.

Для нахождения функции С{х,у-,А) удобно представить ее в виде

в{х ,у,А) = {0 + т + еА

Тогда для д(х, у; А) имеем уравнение

{№ + еА

в котором Г (ж) = (х). Решением уравнения (7) является

д{х,у,А) = -Ь-1{Р,<})8[х-у),

где Ь(Р,0) = ~Р2 — т2 + е¥{(2), Р = д — геА(х) и С} - оператор дифференцирования по координате х. Используя (2) и (3), можно вычислить правую часть (8).

В общем случае д^А? ф 0 и Ац{х) = А^(х)+д^ш(х). Здесь поле А^(х) поперечно (д^А^ = 0) и ш{х) является скалярной функцией координат. Для и (в; х, у) в пространстве размерности Б = 4 получаем выражение

Здесь

1/(з, х, у) = С/о(л, у) ехр{ге[ш(г/) - ш(х)]}С/гг.

с/о(5; ^ 16^ехр { И + } •

К

х = + 2/(1 - О - \Гз4(а), = л/^(<),

М'1 = I £)о-(5(/(сг))ехр|-гуг •

В случае А = 0 имеем и(з,х,у) = £/о(й; х,у), и соотношения (4), (6), (9) дают интегральное представление функции Грина й(х,у) = С(х,у;0) обычного уравнения Дирака.

Кроме этого тривиального случая, удается вычислить точно функциональный интеграл в (9) и тем самым получить явные представления (6,7] для функций Грина для постоянного поля и поля плоской волны. Поле плоской волны имеет вид

ч

Ам( х) = £(1/(кх),

где - вектор поляризации, а' - волновой вектор, удовлетворящие соотношениям

емА" = 0, к2 = 0.

. Ограничимся рассмотрением простейшего случая /(кх) = ехр(гА;ж), для которого результат вычисления функции Грина С{х, у) записывается в виде однократного интеграла по собственному времени з:

оо

С(х,у) = -г J Ф(з,х,у)д(з,х,у){1 + {еёк$Р]ёз,

Ф

2ехр

(4тг э)2 _7\ вт/З/г

/3

0 = к(х- у), -у = к(х + у),

х-у

9{э,х,у) = д_

_д[Змдр

—ке

- ее {У - + т

25

а/з]'

г^ + 2

е

Здесь производная по /? берется при постоянном 7" Таким образом, метод собственного времени позволяет получить для пропагатора Дирака во внешнем поле результат суммирования бесконечного ряда теории возмущений. Используя представление <?(х, у, А) в фейнмановской диаграммной технике, можно исследовать невозмущенческие проблемы КЭД в сильных внешних полях. Так мы применяем этот метод, в данной работе для описания электромагнитных процессов в. вакууме, поляризованном лазерным излучением.

Поправки к уравнениям Максвелла. Рассмотрим КЭД во внешнем поле плоской волны (будем обозначать это классическое поле АС1). Порождающий функционал фотонных функций Грина после интегрирования по фермионным полям может быть записан в форме

С(7) = У е<

где

¡5(А) - поправка к электромагнитной части действия, которая возникает из-за взаимодействия фотонного' поля с флуктуациями электрон-позитронного вакуума. Функционал 5(А) нелокален:

' ...м« («1 • Яп)АМ1 (хг) •  • А"» (хп).

йхг,

Здесь

я) = 1^

где (?(х, у) обозначает функцию Грина (10) уравнения Дирака во внешнем поле плоской волны АС1. Применяя гамильтонов принцип к полному действию 5(А) (11), можно найти поправки к уравнениям Максвелла для классического электромагнитного поля и получить модифицированные уравнения

+ М- = 7м,

- я 2,

в которых - вектор тока, = дд^ — д^ди- Уравнения (14) могут быть исполь-

зованы для исследования нелинейных электромагнитных явлений, возникающих вследствие возмущения электрон-позитронного вакуума полем лазерного излучения Ас(.

Для случая слабых полей А левую часть (14) с достаточной степенью точности можно заменить ее линейной аппроксимацией:

Здесь

КМ„А — Зр.

К ¡л/ — & ¡¿у е П„„.

Используя представление (10) для пропагатора С?, можно получить из определения (13) явное выражение П^. Результат расчета П,^, на основе (10), (13) имеет следующий вид:

П ^{х,у) = д^Ао 4- г^Ах 4- г^КА2 + г„кцА1 + е11е1/Аз +

где

i = J J ai(sl,s2)ф(sl,_s2)d.slds2, г = х-у 1 ("

Аг =

О О

ехр

М2 + *

и коэффициенты ai таковы:

а0 = г2 + 48152ш2 - е2е2 [/9С[в? + + 0аРв1а2] ах = -2, (в? + 82)2 +251*2 'а2Т

2 2 а -2 — е е

21

а4 = —2е2а/3в1527', а-5 = 25152е2е2

а3 = 2е2023181Т>, - 81 в2е2е2е2 - (¿2 + 45152ГП2)Г2

В формулах (16) были использованы обозначения

Аналогично можно получить явные аналитические выражения функций П^. п > 2, которые дают нелинейные поправки для уравнения (14). Если поле Ар считать медленно меняющимся по сравнению с характерным масштабом 1/т (в системе к = с == 1), т.е. если частота ш поля такова, что '

' ш •< ш (йш «С тс2 ),

то в этом случае главное приближение для действия 5(А) определяется его локальным пределом (А), который получается в результате замены в (12) функции Грина С? главным членом (?г ее асимптотического разложения при то оо. Асимптотическое поведение Сг(ж, у) при тп —> оо формируется областью малых 5 в интеграле (10). Вклад интеграла по в в этой области отличен от нуля только при малой разности аргументов функции С?(ж,у), т.е. главный член асимптотического разложения (7(ж,у) при т —> оо квазилокален:

Сг(х,у) = ¿¡¿(ж - у), где с£г - некий дифференциальный оператор по аргументу х. В силу того, что

для

Ф

£=0

е=0

имеем

С;

£=0

Таким образом, в главном приближении асимптотическое поведение (3(ж, у) при больших т не зависит от поля Асг, поэтому (Л) получается таким же, как и в случае отсутствия внешнего поля: .

5,(А) = 5,(А) / .

АЫ= 0

Вклад в §1 (А) членов не выше четвертой степени по полю А дает приближение Гейзенберга-Эйлера. Как известно, оно применимо только в случае, если выполнено следующее условие для напряженности электрического поля Е:

Уе

— » 1, Уе с

\е Е\ гаш

В интересующем нас случае величина напряженности электрического поля значительно меньше тех значений, при которых удовлетворяется это неравенство, поэтому локальное приближение Гейзенберга-Эйлера [5] оказывается недостаточным. Заметим, что в [2-4] при решении уравнений Гейзенберга-Эйлера использовалась линеаризация. Эти результаты могут быть получены из наших уравнений в локальном пределе.

Эффекты поляризации вакуума. Из-за того что ядро поляризационного оператора нелокально, уравнение (14) является интегродифференциальным. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

КриА" = 0,

которое получается в отсутствие тока J. В силу (10), (11) и (15) ядро Пци{х,у) может быть записано в форме '

Пр„(х,у) = Ь^{егкх,х - у).

Не будем приводить явный вид функции Ь111,(а, 6), но укажем только некоторые ее важные свойства. Если обозначить е" = , где |п| = 1 , то

оо

Ьци(а, Ь) = ^ак(е£)2к1*и(Ь),

к-0 ^

где 1$(Ь) не зависит от заряда электрона е и амплитуды е поля излучения лазера. После процедуры перенормировки параметры т, е й е, которые входят в (18), будут соответствовать физическим значениям массы электрона, его заряда и амплитуды лазерного излучения поля

АС1. В этом случае функция имеет следующие свойства [8]: = представлении

и в импульсном

£=0

= (9^Р2-р,ри)1°{р2), 1°(0) = 0.

Решение уравнения (18) запишем так:

А"

Здесь а"(0) Ф 0, и поле Аи(х) поперечно: диА"(х) = 0, т.е. функции а" удовлетворяют соотношениям д1/а'/(а) + к1/аа'"(а) = 0, где а'"(а) = ^а"(а).

Подставляя (19) в (18), получаем следующие уравнения для функций а" и вектора д:

д2а„

Полагая а = 0 в (20), находим уравнения, определяющие д:

д2[1-е2го(д2)К(0) = 0.

Поскольку а"(0) Ф 0, данное равенство выполняется, если д2 = 0 или

1 — е21°

Второе слагаемое в левой части (21) пропорционально квадрату заряда электрона. Следовательно, уравнение (21) имеет решение только в случае очень больших д2. Физически это означает энергии, близкие к порогу рождения пар. Данный случай мы не рассматриваем. Таким образом, есть только одно ограничение для д: д2 = 0. В низшем приближении по е решение является плоской волной:

А" ~ а"(0)е*41

с произвольным вектором поляризации, удовлетворяющим условию поперечности: д"а„(0) = 0.

Вектор поляризации а"(0) и волновой вектор являются произвольными параметрами решения. Если они заданы, то все коэффициенты а" разложения в ряд функций

оо

а» = ]Г>Га1

г=0

можно определить по уравнению (20). Для а\ имеем

„2,2 е е

где

Т

Jl^

Расчеты, необходимые для нахождения матрицы (23), довольно громоздки, однако ответ можно получить в явной форме. Для кд/т2 1

/

Lßl,{a,z)e-iqzav(ae-ikz)dz =

e2Cg2a-

0)-'

Здесь С - константа, - матричная структура, выражающаяся через тензор д^ и вектора к, е. Если обозначить ААд- длины волн поля лазерного излучения Aci и g-волны, Ае - компто-новскую длину волны электрона, в - угол между векторами к и q и воспользоваться данным в (17) определением величины Ve, то, вследствие д2 = 0, из (20) при kq/m2 -С 1 получается, в силу (24), дифференциальное уравнение для а(а), которое можно записать следующим образом:

d ( \ 2 е2(ее)2 kq . . 2 Vf Ае Ае , ч

= ea^r^ta{a) = ae 2*ТдТк{1-С059)*а{а)-

Его решение имеет вид

V2

^ о(а) = е4 а(0). Таким образом, для поля Л имеем

А(г) = ехр (~ %^^(1 - cos6)te2ikx\ о(0).

\ 4 С1 \q X к )

В низшем приближении

АДх) я eiqx(ам(0) Ч- 1 - cos0)e2i*%,a"(O)).

4 С- Лд Лк

. Для fco <С тп и до «С тп отношение амплитуд главного приближения и поправки (х) могут рассматриваться как мера непрозрачности вакуума. Для плоской волны с волновым вектором q в присутствии внешнего поля Аы это отношение имеет порядок величины

е2е2(кд) Fj Ае Ае п „

Легко убедиться, что поправки, возникающие от коэффициентов а% в разложении функции в (22), имеют порядок величины рк.

Заключение. В данной работе было продемонстрировано применение формализма функционального интегрирования в исследовании К9Д во внешнем поле методом собственного времени. Хорошо известный точно решаемый случай поля плоской волны в рамках этого метода представляется гауссовыми интегралами. Для плоской волны был получен поляризационный оператор, который дает первую поправку к уравнениям Максвелла, возникающую вследствие поляризации вакуума лазерным излучением. В работе представлена также нелокальная теория взаимодействия интенсивного лазерного излучения с электрон-позитронным вакуумом. Показана возможность регистрации сверхвысоких напряжений поля лазерного излучения по нелинейно-оптическому отклику вакуума.

Summary .

Andreev A. A., Labzowski G. L.. Markov V. N., Pis'так Yu. M. Application of the proper time method for calculation of effects of the vacuum polarization in strong laser radiation field.

The modern lasers can not generate electron-positron pairs. However the phenomena caused by the polarization of vacuum and characterizing its "non-transparency" can be studied in contemporary experiments. In the paper the non-local theory of interaction of laser radiation with electron-positron vacuum is presented. Beside the framework of the Heisenberg-Euler approximation it is possible to investigate the perturbation of vacuum by the field of plane wave generating corrections to Maxwell equation. To find them one can use the method of proper time of Fock-Schwinger. The analysis of solutions of modified Maxwell equation for vacuum in intensive external field of plane wave is carried out.

Литература

1. Luther-Davies В., Gamaly E. G., Wang Y. et al. // Laser Phys. 1991. Vol. 1. P. 325-365.

2. Александров E. В., Ансельм А. А., Москалев А. Я.// Журн. экспер. и теор. физики. 1985. Т. 89. С. 1181-1189. 3. Grynberg G., Courtois J. Y.// C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. II. 1990. Vol. 311. P. 1149-1154. 4. Розанов H. Н.Ц Журн.- экспер. и теор. физики. 1993. Т. 103. С. 1996-2007. 5. Heizenberg W., Euler Н.Ц Zs. f. Phys. 1936. Bd 98. S. 714732. 6. Schwinger. J.//' Phys. Rev. 1951. Vol.82. P. 664-679. 7., Варбашов Б. M./ j Журн. экспер. и теор. физики. 1965. Т. 48. С. 607-621. 8. Берег.тецкий В. В., Лифйшц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. М.; 1989. 9. Боголюбов Н. #., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М., 1980.

Статья поступила в редакцию 15 сентября 2003 г.