Гармонический осциллятор как объект управления в задаче динамического синтеза. I

дання вихідних точок та умов фізичної реалізації сформованої траєкторії руху РО СВР. Метод може бути використано при викладанні відповідних дисциплін у вищих навчальних закладах ІІІ -IV рівнів акредитації, зокрема на факультеті ЕА ХНУРЕ при проведенні лабораторних і практичних робіт з дисциплін за напрямом «Робототехніка». Також практичні результати можуть бути використані у цехах із верстатами з ЧПК і промисловими роботами на Харківському заводі підйомно-транспортного обладнання, заводі «Комунар» та на ХДПЗ ім. Т.Г. Шевченка.

У порівнянні з існуючими аналогами [4, 6 - 8] цей метод може дозволити реалізувати програмне керування рухом відразу за кожною прямокутною координатою переміщення РО. СВР, що містять програмне забезпечення на основі поданого методу, можуть значно швидше виконувати розрахунок відповідної траєкторії руху поточної робочої точки у просторі та забезпечити найвищу точність опису тр аєкторій.

Перспективи розвитку даного методу полягають у створенні відповідного алгоритму, на підставі якого буде створений програмний засіб, що повинен точно розраховувати та наглядно відображувати траєкторію руху РО СВР у просторі, причому інтерфейс якого повинен повністю відповідати сучасним пристроям вводу інформації у СВР.

Література: 1. Великодний С.С. Аналіз динамічної точності дволанкового маніпулятора промислового робота // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики. 2005. № 130. С. 82-85. 2. Худяєв О.А., Прокопенко О.О., Великодний С.С. Алгоритмічні та програмні засоби автоматизованих систем керування. Харків: УТПА, 2006. 120 с. 3.ХудяевА.А. Кинематика систем воспроизведения движений. Харьков: УИПА, 2000. 132 с. 4. Юревич Е.И. Основы робототехники, 2-е издание. Санкт-Петербург: БХВ- Петербург, 2005. 416 с. 5. Костюк В.І.,Спину Г.О., Ямпольський Л.С. Робототехніка. Київ: Вища школа, 1998. 448 с. 6. Олссон Г., Пиани Дж. Цифровые системы автоматизации и управления. Санкт-Петербург: Невский Диалект. 2001. 557 с. 7. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. Москва: Лаборатория Базовых Знаний. 2002. 832 с. 8. Yim Y., Zhang Y., Daff D. Modular Robots // IEEE SPECTRUM. 2002. № 2. P. 30-34.

Надійшла до редколегії 20.09.2007

Рецензент: д-р техн. наук Дубровський В.В.

Невлюдов Ігор Шакирович, д-р техн. наук, професор, завідувач кафедри ТАВР ХНУРЕ. Наукові інтереси: автоматизація технологічних процесів у радіоелектронному приладобудуванні. Адреса: Україна, 61000, Харків, пр. 50-річчя СРСР, б. 16, кв. 473, тел. 702-14-86 (роб.), 778-77-44 (дом.).

Великодний Станіслав Сергійович, магістр, асистент кафедри ТАВР ХНУРЕ. Наукові інтереси: робототехніка, електропривод. Захоплення та хобі: туризм та вивчення філософських праць. Адреса: Україна, 61204, Харків, пр. Л. Свободи, б. 46, кв. 292, тел. 337-14-70 (дом.), 8-097-950-0274 (моб.).

УДК618.514.01:517.977.5

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА. I

РАДИЕВСКИЙ А. Е.__________________________

В классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуется задача динамического синтеза для гармонического осциллятора как обьекта управления. Исследование базируется на положениях теории экстремальных задач.

1. Введение

Развитие механики тесно связано с изучением маятника и маятниковых систем. За более чем 300 лет, прошедших со времени, когда Галилей обратил внимание на изохронность колебаний маятника, ни одной механической системе не было уделено столько всестороннего теоретического внимания, как маятнику^]. Маятник и маятниковые системы постоянно привлекали к себе внимание исследователей в различных областях математики, механики, физики и техники. Уравнение движения маятника является одним из фундаментальных, описывает широкий класс колебательных процессов. В силу своей простоты маятник служил хорошей моделью для изучения сложных динамических процессов [2], что позволяло проводить экспериментальную проверку различных теоретически обнаруженных колебательных эффектов, значительно расширить область применения маятни-

РИ, 2007, № 3

ковых моделей для математического описания колебательных процессов[3]. Одной из разновидностей многообразия моделей маятниковых систем является математическая модель гармонического осциллятора.

Интересс к изучению названной модели объясняется тем, что, с одной стороны, можно провести исследования общетеоретических положений[4], а с другой -возможно их использование при изучении конкретных маятниковых систем (например, проблематика стабилизации положения плазменного шнура[5], движение вращающегося в пространстве тела с одной осью симметрии[6] и др.).

В настоящей работе в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) исследуется линейная модель гармонического осциллятора без демпфирования как обьекта управления (ОУ).

Целью данного исследования является разработка математического, алгоритмического и технического обеспечения процедуры проектирования для исследуемой задачи динамического синтеза.

2. Постановка и особенности задачи

На движениях ОУ

dx

dt 1 ;

необходимо определить алгоритм управления (АУ), который доставляет экстремум критерию качества

37

t1 т 2 J

t0

при ограничении

u Є U =

и граничных условиях

x

Здесь x = (x1,x2) є Q c С^оДі) - состояние,

Q = (x: |x| < xmax), int Q ^0,0 - пустое множество, Cn (to, ti) - пространство n-мерных непрерывных на kb] функций x(t) с нормой

0 1

T2

b

о

, b-

параметр, характеризующий состояние равновесия ОУ(1) [7] : b > 0 — устойчивое, b < 0 — неустойчивое, b = 0 - безразличное, т - постоянная времени ОУ(1);

В =

0

k

k = k k T2 ,k0 -

коэффициент усиления ОУ(1);

x(t0) ЄХ0 = (x(t0):|x(t0)| — xmax (t0)), int X0 Ф& ;

u є U c L^(t0,t1) - управление, Lr00(t0,t1)- пространство r -мерных, существенно ограниченных на [t0, tj измеримых функций с нормой

||u(t)|| = vraisup|u(t)|,Vt є [t0,tj c R1, intU ^0 ;

R = diag|ri||12,ri є G1 = (ri:|r^ < rimax), intG1 *0 ;

m є G2 = (m: |m| ^ mmax) - число,int G2 ^0 ;

t є [t0, tj c R1 - время, kb] - интервал управления,

R1 - числовая прямая; t1 - конечный, не фиксированный момент времени; т - транспонирование;

xmax,umax, xmax(t0) , rimax,mmax - заданные числа, величины которых определяются исходя из технологических особенностей функционирования исследуемого ОУ(1).

Характеристическое уравнение ОУ (1) запишем в виде X2 + T- = 0. Тогда 7,1,2 = и при b > 0

Xi = +jra , ю= -^Vb , j = V-1 при b < 0 - 7; = +ю , при b = 0 Xj = 0 , i є [1,2 .

Характерной особенностью исследуемой задачи является то, что она относится к классу колебательных динамических задач, процедура проектирования которой реализуется в классе задач АКОР. Одной из проблем, связанных с общей проблематикой динамического синтеза в классе задач АКОР, является проблема выбора параметров Г;,і є [1,2 матрицы r и m критерия качества (2), при значениях которых про-38

цесс отработки задания синтезированной системой управления (СУ) удовлетворяет требуемым, наперед заданным показателям качества[8].

3. Структурный синтез

АУ получим в виде [8]

umax , пРи L(t) — umax; u(0 _ ‘ L(t) , прИ _ umax ^ L(t) ^ umax;

- um

при L(t) < -um

где L(t) = --B^Rx^), K(t) = eAтt Je“AтXdx. m0 Тогда для открытой области соответственно получим

L^t) = -—втХуст.Ь^хЬ0) • m

L^bt) = -—ВтКнеуст. (t)Rx(t0) m

где

Куст

lj 1 ? lj

N уст (t) = К у2т. (t) = — (sin rot - sin 2rot),

ro ’

Kf- (t) = cos rot - cos 2rot,

^ 21т.

2

кнеуст. (t) = кнеуст. (t) = 4rotshrot + 4chrot - 3ch2rot,

К н2еуст. (t) = 4ro 2 tchrot - 4ro shrot ,

К2еуст (t) = -4tchrot + — shrot.

Учитывая вид и порядок соответствующих матриц, можно записать

u уст. (t) = (t)x1 (t0 ) + пуст. (t)x2 (t0 )] =

= -k[K у1т.

u неуст (t) = - (t)x1 (t0) + (t)x2(t0)] =

= -k[K 21уст.

mm

Видно, что для открытой области управляющее воздействие изменяется во времени по закону: для области устойчивого равновесия - синуса и косинуса, а для неустойчивого равновесия - гиперболического синуса и гиперболического косинуса.

4. Топологические особенности исследуемой задачи

Множество Е = Q х U х X0 х G1 х G2 х R1, являющееся областью определения задачи (1)-(4), представляет собой выпуклое тело [9] . В силу основной теоремы отделимости [10] его можно представить в виде Е = Е1 + Е2, где Е1 - множество, задающее область

РИ, 2007, № 3

определения задачи (1)-(4) при b > 0, Е2 - при b < 0, а через точку b = 0 можно провести гиперплоскость, которая разделяет множества Ei и Е 2. В силу выражения (6) каждое из множеств Е;, і є [i,2 состоит из двух подмножеств, определяющих открытую область и область насыщения. Тогда [11] фазовая траектория в задаче (1)-(4) может двигаться только из области Ei в область Е2 или наоборот, а в каждом из множеств Е;, І Є [1,2] существует непрерывное продолжение в область насыщения.

5. Исследование синтезированного алгоритма управления

Структурная схема управляющего устройства (УУ), реализующая АУ (6), может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев: линейного L(t) и нелинейного элемента (НЭ) типа “насыщение” [12]. При постоянстве матриц А и В ОУ (1) изменения АУ (6) пропорциональны изменениям эле-

ментов 2 і є [1,2], критерия качества (2), которые

могут быть классифицированы как управляющие параметры синтезированного УУ [12]. При этом изменения параметра m эквивалентны изменениям наклона характеристики НЭ в начальной точке и характеризуют изменения коэффициента усиления НЭ.

Введем в рассмотрение следующие обозначения размерностей: [Р1] - управляющее воздействие, [Р2] -

фазовая координата x1(t), [p2 /cl - фазовая коорди-

ната x2(t), [-] - параметр b [13], [1 /с] -ю и Т, [?2 / 2 - коэффициент ko, [k0 / с2 ] - коэффициент k, [с] - время.

Тогда из выражений (6) и (7) получим

ы

уст. _

Ы

уст.

1

k

0

1

мС2

ы

неуст.

" 1 " [г, 1неуст- = " 1 "

Lk0/cJ 2 _ k/c _

И >"-= [m] “»"-=[Р2/ У = [Ц].

Уравнения движения синтезированной СУ запишем в виде [12]:

= А устх уст(1) + Bsignumax, dt

dX"Т(1) = Анеуст'Х»'," (t) + Bsignumax , dt

dX уст (1) = A уст х уст (1) - — BBTi m

dt

К уст. (t)Rx уст (10) :

dx неуст- (t) dt

Aнеуст. xнеуст. (t) _

_ -LbbTk^XORx неуст. (t0) m

Для открытой области можно записать

dx^g)

dt

dx^d)

dt

01

2

- ю 0

xr

xrw

0

k2

u уст

dx^d)

dt

dx 2еустЧ!) dt

01

ю2 0

x^d) x 2єуст

0

k2

u неустЧ!),

применив преобразование Лапласа к которым получим передаточные функции

X у"(р) = ХГ(р)ХГ(р) =

= хГ

ХЇТ-W 0

X>'f

22 p2 +ю2

1

k

W^p) - ku^Cp) +1

Xнеуст. (p) = хнеуст. (р)Хнеуст. (p) = Xjf^fp) 0

= x^Iеуст^P

х-^

0

k

k

p

2

2

1

k

0

ku^p) - ku2еуст.(p) + k

где p - независимая переменная изображения.

Проведя необходимые структурные преобразования, а также принимая во внимание вид синтезированного АУ (6), передаточные функции синтезированной СУ получим в виде

хуст. (p) = Xy^xyM (p)x УПч (p),

X -^.(p)=X уеуст. (p^y^ ^хУПЧ'. (p),

РИ, 2007, № 3

39

где Xуу (p) =

2 . 2 ’ ОУ

p + ю

, X ОУст(Р) =

22 Р -го

- переда-

точные функции исследуемого ОУ;

XИМ (Р) = ХИмЧр) = РРНЭ - передаточнЫе функции исполнительного механизма; ^НЭ - НЭ типа “насыщение”; хУПч(р) =і хуст , ХУПЧ» = іхнеуст - пе-1=3 i=3

редаточные функции усилительно-преобразовательных частей,

X зуст(р) = х уст(р) = х|еуст^0 = X 6еуст(0 = k-,

куГ' (t) = ~~т (2t sin rot - 8 cos rot + 8 cos 2rot) 4ro2 3 3

уст 1 4 2

k2, (t) = —2 (2rotsm rot — cos rot — cos4rot + 2) 4ro2 3 3

24

уст' 1 2 4

k22 (t) = — (2rotcos rot + — sin rot — sin2rot), 4ro 3 3

kire^T.^) = t3(48ro2chrot) + t(8chrot + 8roshrot) +

42 H— shrot — sh3rot

ro 3

kf^t) = t3(48ro3shrot) + t(-8ro2chrot) +

хуст(р) =

3kr1

22

Хуст(р) = -k(p -22p + °> )3

p(p2 +Ю2)2

х4еуст(р) =

x(t) = eAtx(t0) - eAt j e AXBB1K(x)Rx(t0)dx

0

At г T<

Тогда

xr

x^t)

(cosrot - k^y^TOrixl'^Tto)) + (-ro sin rot - k2kУ1T' (t^rix^’1’. (to)) +

+

+

xj^t)

xнеуст'

(chrot - A^TOrix^Tto)) + (-Юshrot - k2k21уст' (t))^^ (t0)) +

+^ - k2k;i2еуст'

ro

+

где

kll^(t) = —P- (-2ro t co s rot -10 sin rot - — sin 4ro t) 11 4ro3 3 3

H— sh2t + 2ch3t

p(p2 -Ю2)2

X неуст. (p) _ k(4(p2 +2) 3 )r

X5 (p) - k(~2 272 ( 2 4 2))r2.

6. Энергетические процессы в исследуемой системе управления

Решение системы дифференциальных уравнений для открытой области запишем в виде

k 21уст' (t) = t3 (-48ro3shrot) + t(-8ro shrot + 8ro2chrot) + +6chrot,

k22уст'(t) = t3 (48ro4chrot) + t(8ro3shrot) +

+2ro shrot + 3chrot - 3.

Полная энергия исследуемой СУ определяется выражением [7] Э = Эп + ЭК, где Эп и ЭК - потенциальная и кинетическая энергии соответственно.

Тогда

uvx уст(Г))2 T2(x уст(1-))2

^ "Г^К _

_,уст (+))2 - {coc2r-* ^-„„*1,21,

Эуст. = Эуст. + Эуст. = Mx^H))2 + Т2(Хуст (г))2 П К 2 2 ’

(xf^t)) = {cos2 rot - 2cosюtk2kУCT'(t)rl +

k4(kУ0T'(t))2rl2}(xУсT'(t))2 + {

2

2 sin rot

2

2sin rot

ro

k^a)^ + k4(ky:сT'(t))2r22}(xyст'(to))2 +

_ ,sin2t . 2/sint. уст /.ч ,1 уст /,х \

+ 2{— ------k2(-------kfj (t)ri + cosюЛу2 (t)^) +

2ю ю

+ k4kУCT'(t)ky—TЧt)rlr^xyст'(to)xyстЧto), ^^(t))2 = {ro2sin2 rot + 2rosin юtk2kУlTЧt)rl +

+ k4(kУ^TЧt))2rl2}(xУсTЧt))2 + {cos2 rot -- 2cosrotk2kУ2TЧt)r2 + k4(kУ2TЧt))2r22}(xУсTЧto))2 -- 2{Ю sin22mt - k2 (cosrotkу!т (t)r1 - ro sin юtk''2T' (t)r2) + + k4kУlTЧt)kУ2TЧt)rlr^xУсTЧto)xyстЧto),

Энеуст. _ Энеуст. Энеуст. _

_ Kx^t))2 + T2(x2еуст(П)2

k

k

2

2

40

РИ, 2007, № 3

(xfeycT(t))2 = {ch2rot - 2chrotk2k1HeycT(t)r1 +

+ k4(kH1eycT(t))2ri2}(xHeycT(t))2 +

+ {^1 - kV^' (t)r2 +

ю2 Ю

+ k4(kHJy"(t))2r2Kx fy“(t„))2 +

+ 2{^ - k2(5h^^kH?ycT(t)ri + ctotk“y'T(t)r2) +

+k4kH1eycT(t)kycT- (t)rir^xHeycT- (to)x 2eycT(to),

(x 2eycT (t))2 = {roWrot + 2roshrotk2k ^ (t)r1 +

+ k4(kHeycT(t))2r2}(xHeycT' (t))2 + {ch2rat -- 2chrotk2k22ycT'(t)r2 + k4(kH2ycT(t))2r22}(x2(to))2 -

- 2{^sh2^t - k2(chrotk 21ycT (t)r1 - roshrotk H2ycT (t)r2) +

+ k4k 21yCT (t)k 22yCT' (t)rir2}xHeyCT- (to)xHeyCT (to).

7. Заключение

В классе задач АКОР исследована задача динамического сишеза для гармонического осциллятора без демпфирования как ОУ.

Проведенное исследование позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение. Практическая значимость результатов исследования определяется тем, то в рамках заданной топологии приведено:

- решение исследуемой задачи для двух возможных равновесных состояний (устойчивое и неустойчивое) исследуемого ОУ;

- изучение топологических особенностей движения исследуемой СУ;

- аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволило сформировать математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение процедуры проектирования;

- определение размерностей управляющих параметров, а также установление их связи с параметрами исследуемого ОУ.

Кроме того, результаты исследования возможно использовать в качестве основы при реализации технической и программной составляющей процедуры проектирования СУ.

Литература: 1.Капица П.Л Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т.54. Вып.1.0.7-2o. 2. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М.: Гостехиздат, 1954. 595с. 3. Швец А.Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении//УМЖ. 2oo7. Т.59, №4. С.534-548. 4. Стри-жак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа “маятник”. Алма-Ата: Наука, 1981. 251с. 5. Радиев-ский А.Е. Динамический синтез в задаче управления положением плазменного шнура // Автоматизация производственных процессов. 2oo6. №1(22). С.62-64. 6.АтансМ., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764с.7. Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276с. 8. РадиевскийА.Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2oo4. №3. C7o-75. 9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука, 1968. 496с. 10. Рокафеллер Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир,1973. 469с. 11. НеймаркЮ.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472с. 12. Радиевский А.Е. Функционально-аналитический метод синтеза детерминированного регулятора / / Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. Харьков: ИМиС, 1995. С.137-148. 13. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления.Ч.1. М.-Л.: Энергия, 1965. 396с.

Поступила в редколлегию o9.o9.2oo7

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, канд.техн.наук, с.н.с.,заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации (ХИКА) Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61oo3, Харьков, пер. Кузнечный,2, тел. 7313567, 731418o.

РИ, 2667, № 3

41