Приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений

* ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

THEORY AND METHODOLOGY OF TEACHING MATHEMATICS AND INFORMATICS

УДК 514

ПРИЕМЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Кара-Сал Н.М., Бичи-оол Е.К.

Тувинский государственный университет, Кызыл

METHODS FOR SELECTION OF ROOTS IN SOLVING OF TRIGONOMETRIC

EQUATIONS

Kara-Cal N.M., Bichi-ool E.K.

Tuvan State University, Kyzyl

В данной статье рассматриваются некоторые приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений. Приведены примеры уравнений, где рассматриваются такие приемы отбора корней как: подстановка в равенство целых значений n методом подбора; использование графика функции; наглядное использование единичной окружности и др.

Ключевые слова: приемы отбора корней, тригонометрические уравнения, элективные курсы по математике.

This article discusses some of the roots of sampling techniques for solving trigonometric equations. Examples of equations, which deal with the roots of sampling techniques such as substitution of an equality of integers n method of selection are given; use of functions graphics; intuitive use of the unit circle.

Key words: the roots of the selection methods, trigonometric equations, elective courses in mathematics.

Формирование у учащихся «умений учиться» является основной задачей современной школы в условиях ФГОС [1]. Одним из компонентов этого умения является овладение общими приемами решения класса задач. Это требует от учителя выбора соответствующих методов, средств и различных форм организации учебной деятельности школьников.

В статье рассмотрим различные приемы решения математических задач при отборе корней тригонометрических уравнений, предлагавшихся авторами данной статьи при проведении элективного курса «Тригонометрические уравнения» со школьниками.

В последние годы в контрольно - измерительных материалах (КИМ) ЕГЭ [2] по математике на профильном уровне в качестве обязательного задания включаются задания на отбор корней тригонометрических уравнений, с которыми справляется лишь небольшая часть выпускников.

Анализ работы учителей математики Республики Тыва показывает, что основная причина низкого качества знаний школьников заключается в том, что учащиеся не владеют приемами решения этого типа задач. В лучшем случае они оперируют одним из приемов, но при этом не доводят до конца решение задачи.

Как показал наш опыт работы, при проведении элективного курса для овладения приемами отбора корней тригонометрических уравнений необходима предварительная работа по актуализации и систематизации следующих блоков знаний: определения и основные свойства тригонометрических функций; тождественные преобразования как тригонометрических, так и алгебраических выражений; приемы решения как тригонометрических уравнений и неравенств, так и соответствующих алгебраических уравнений, неравенств; определения и основные свойства обратных тригонометрических функций.

Рассмотрим приемы отбора корней тригонометрических уравнений. Сначала обратимся к случаям вида

sin x = a, cos x = a, tgx = a, ctgx = a .

Пример! Решить уравнение cos2 3x = — и отобрать корни,

Гп roi

принадлежащие отрезку i 0; — i [3].

L 2 J

Решение. Исходное уравнение распадается на совокупность простейших уравнений

Г 42

cos 3 х =

cos 3х = -

2

V2

2

, которая сводится к следующей серии решении

1 V2 2 тг

х = + — arccos--1--

3 2 3

22

1 V 2

х = + — arccos(--) +

32

2 mm

3

n е Z

n е Z

или

1 2mn

х = + — +-, n е Z

12 3

m 2 mm

х = + — +-, n е Z

4 3

2

Заметим, что учащиеся часто допускают ошибки при нахождении

( 42 ^

значения arccos

2

и пропускают деление на 3 выражения 2—

второго слагаемого в записи серии корней уравнения.

Решение еще сопряжено тем, что нужно отобрать корни из четырех серий корней, поэтому лучше воспользоваться другим способом решения -использованием формулы понижения степени.

Тогда получим вместо совокупности уравнений лишь одно уравнение,

1 + cos 6 x 1 ,

равносильное уравнению: -= —, уравнение cos 6 x = 0 , решение

2 2

—

которого сводится к одной лишь серии X = —-- n е Z . Обратим

12

внимание на то, что сильным учащимся можно предложить оба приема и доказать, что они равносильны

Следующий этап решения этой задачи вызывает еще большие затруднения, связанные с отбором корней, допускающие различные приемы решения, по крайней мере, их три.

Рассмотрим отбор корней серии х = —(2n + 1) n е Z . Первый

12

прием заключается в подстановке в это равенство целых значений n методом подбора.

Если n=0, то имеем х = — которое удовлетворяет условию задачи. 12

,-, — Г — 1

При n=1 получим х = — г i 0; — i.

4 L 2 J

.- ,, 5— „ 5— — 5— —

Если n=2, то х = —. Сравнив числа — и —, имеем--< —,

12 12 2 12 2

5— Г — 1 значит -е I 0; — I.

12 L 2 J

У некоторых учащихся эта простая задача сравнения чисел вызывает затруднения, связанные с пробелами знаний из курса математики 5-6 классов. Иногда удобно сравнивать значения, переведя радианы в градусную меру угла или дуги.

Если n=3, то х = , это значение не удовлетворяет условию 12

задачи.

Мы не испытывали значения n=-1, -2 и т.д. так как х > 0 .

\

/

Второй прием отбора корней основан на использовании свойств числовых неравенств, который заключается в решении неравенства

л (2п + 1) л

0 < —-- < — в целых числах.

12 2

Имеем следующую цепочку равносильных неравенств:

(2 п + 1) 1

0 < --- < -,

12 2

- — < п < 5. Целые числа, удовлетворяющие данному неравенству: 2 2

л

л

5л

п=0, 1, 2, откуда получим х =

12 4 12

Третий прием основан на результатах решения задачи с помощью первого приема, отличие заключается в наглядности - в использовании единичной окружности.

Рис.1

При n=0, х = л. Для изображения чисел л на окружности удобно 12 12 верхнюю часть окружности разделить на 12 равных частей (или на 6 равных частей в первой и второй четверти) и взять одну часть. Остальные значения легко фиксируются на единичной окружности. Из рисунка наглядно видно, какие корни попадают в требуемый промежуток.

Четвертый прием заключается в использовании графика функции

y = cos 6 х .

Для построения графика функции y = cos 6х необходимо воспользоваться приемами преобразования графиков: из графика функции y = cos х график функции y = cos 6х получается сжатием в 6 раз по оси

абсцисс. Полезно также воспользоваться тем фактом, что период функции

у = cos 6x равен т = — . Следующее действие - на оси абсцисс выделим

3

Г —1

промежуток I 0; — I и считываем ответ с рисунка.

L 2 J

Рис.2

Сравнение рассмотренных приемов показывает, что самым надежным является второй прием, хотя он уступает по наглядности. Второй прием, например, неудобен в случаях, когда промежуток большой длины. Если в этом примере, например, задать промежуток [0; ж], то процесс отбора корней будет более громоздким, чем второй прием.

Особенность задачи отбора корней зависит не только от вида, от способа решения того или иного тригонометрического уравнения, но и от длины промежутка и от способа обхода при использовании единичной окружности.

Пример 2. Решить уравнение V2cos2 х = cos (4ж - х) и отобрать

Г 7ж 1 корни на промежутке х е i--;-2ж i.

L 2 J

Решение: Не останавливаясь на всех приемах отбора корней, рассмотрим лишь прием использования единичной окружности.

Решив уравнение, получим следующие серии корней

х =--ь жп,

2

п е Z

х =--V 2жк,

4

к е Z ,

х =---V 2жк, к е Z .

4

На единичной окружности при отборе серии корней необходимо показать учащимся, как обходим окружность - по часовой или против часовой стрелки.

В данном случае сначала обходим один раз против часовой стрелки, т.е. проходим 3600 или 2 ж , второй раз обходим против часовой стрелки, что

71

и

означает 7200 или 4ж . Если пойти обратно по часовой стрелке, то значения будут отрицательными. В нашем случае надо попасть в промежуток [- 630 0;-360 0 ], т.е. нужно обходить по часовой стрелке 2 раза, а затем против часовой стрелки - четверть круга, что соответствует -6300. В данный

7ж 0 5ж 0

промежуток попадают два корня х = - — = -630 0 их = - — = -450 0.

2 2 Эти значения соответствуют числам n=-4 и n=-3. Аналогично поступая со

второй и третьей серией корней, осуществляем отбор х = - — = -630 0 и

2

9ж 0

х =--= - 405 0 .

2

Иногда бывает сложным осуществлять отбор, когда решение содержит арксинус (арккосинус, арктангенс, арккотангенс) чисел, не соответствующих табличным значениям тригонометрических функций, например,

ж

х =--arctg 2 + жп, п е Z .

2

Пример 3. [2]. Решить уравнение

3 sin 2 х - 3 sin х cos х + 4 cos2 х = 2 и найти корни, принадлежащие

Г ж 1 отрезку i--; ж i.

L 2 J

Решение. Это тригонометрическое уравнение, сводящееся к однородному

3 sin 2 х - 3 sin х cos х + 4 cos 2 х = 2(sin 2 х + cos 2 х), которое равносильно уравнению

sin 2 х - 3 sin х cos х + 2 cos2 х = 0 . Разделив левую и правую

9 2

части уравнения на cos2 х, имеем tg х - 3tgх + 2 = 0, откуда получим

совокупность уравнений

tgх = 1 tgх = 2

Решая их, получим следующие серии: х = —+ лп, п е 2 и

4

х = аг^ 2 + лп, п е 2 . Первую серию корней изобразим на окружности.

Рис.3

Чтобы отобрать соответствующие корни у второй серии, необходимо сравнить аг^ 2 + жп, с числами — | ,п. Изобразим их на единичной окружности. На оси тангенсов - прямой х=1 отметим aгctg 2 и агсг^ 2 - ж . Они соответствуют требованию задачи

Рис.4

Задачи на отбор корней тригонометрических уравнений могут быть сформулированы не прямо, а через другие условия.

Пример 4. [3]. Решить уравнение sin Vx = 1.

Решение. Заметим, что х > 0 . Поэтому среди корней уравнения

Г— —

V х = (-1)"— + — n е Z нужно отобрать корни, удовлетворяющие

6

)\[Х = (-1)n-.

числах.

п

условию Vх = (-1)n — + — > 0 , т.е. надо решить неравенство в целых

6

п 11 (- 1)п— + тп > 0 « (-1)п- + п > 0 ^ п > (- 1)п+1- . 6 6 6

Если п > 1, то неравенство всегда верно, если п < -1, то таких целых

Т

значений n не существует. Если n=0, то (-1) п — > о верно. Значит,

6

Т

неравенство (-1)п — + пп > о верно при п > 0 , тогда

6

п п 4

х = ((-1) — + пп) , п е Z , п > 0 . 6

Отбор корней также требуется чаще всего при решении тригонометрических уравнений, содержащих радикалы, т.е. комбинированных уравнений.

Гз Гз

Пример 5. [4]. Решить уравнение . — cosx = .— co 3 х .

V 4 V 4

Решение. Используя область определения левой и правой частей

уравнения, возводим обе части уравнения в квадрат. имеем систему

Гcosx = cos 3х

J з , равносильную следующей системе

I cos < — I 4

х = 3 х + 2пп Г пп

, п е Z I х = —, п е Z

JL х = - 3 х +2пп . откуда J 2 з .

I cos < — I 4

3

cos < —

4

Среди серии корней х = пп нужно отобрать те, которые

3

соответствуют условию cos < —. Изобразим на числовой окружности.

4

Отметим темными точками корни х = —:

2

Рис.5

ж 3ж

x = о, x = —, x = —, x =—, x = 2— , которые затем 2 2

повторяются. Заштрихуем ту часть окружности, которая соответствует

3

неравенству cos < —.

4

Целесообразно разделить на 4 части отрезок [0;1] на оси косинусов

3

(ОХ) для удобства изображения чисел arccos — и заштрихуем

4

3

соответствующую дугу левее от x = — и ответ считываем с чертежа:

4

X = ж, x =

2

3ж 2

которые повторяются. Поэтому их можно

записать с помощью одной формулы x = —+жп x = — + 2—п .

2

Пример 6. [5]. Решить уравнение (l + tg2x)sin x - tg2x + 1 = 0 и отобрать корни, удовлетворяющие условию tgx ^ 0 .

Решение. Заметим, что cos x ф 0 , откуда x Ф—+жк, к е Z .

2

Дальнейший ход решения зависит от выбора приема решения задачи.

Можно воспользоваться тождеством tg2 x +1 =

, тогда после

преобразований получим уравнение sin x -1 + 2cos2 x = 0 , сводящееся к квадратному 2 sin 2 x - sin x -1 = 0 .

ж

x=

1

2

cos x

Можно было к этому уравнению прийти другим путем - преобразовать исходное, пользуясь определением тангенса.

( ™ 2 „Л • 2

sm х

1 +-

2

v cos х J

sm х

sin х--+ 1 = 0 , откуда имеем

cos 2 х

2 sin 2 x - sin x - 1 = 0 .

Сравнение обоих приемов показывает, что операционный состав первого приема осуществляется с помощью меньшего числа шагов, чем у второго.

Итак, приходим к следующей системе условий

Г 2 sin 2 x - sin x - 1 = 0 | cos x Ф 0 .

^ tgx -< 0

Первое уравнение сводится к совокупности простейших

тригонометрических уравнений: sin x = 1 или sin x = -1, откуда можно

2

сделать вывод, что первое уравнение не удовлетворяет условиям системы.

Решив второе уравнение, получим серию корней:

п Я

x = (-1)п— + кп п е Z , которую можно записать в виде

6

я 7 к

x = - — + 2 як, к е Z и x = -+ 2 як, к е Z .

6 6

Второму неравенству системы полученные серии удовлетворяют, поэтому остается проверить третье условие: tgx < 0 . Здесь лучше подставить соответствующие серии корней в данное неравенство и убедиться в его

К _ , Í 7 я

справедливости: tg

---+ 2пк

6

^ 0, tg| -+ 2жк | ^ 0 . Значит,

я

х = - — + 2 як, к е Z . 6

Можно было решить неравенство tgx < 0 и проверить, удовлетворяют ли его решения условиям задачи. Тогда отбор корней исходного уравнения было бы громоздким. Поэтому в данном случае подстановка серии корней в неравенство tgx 0 намного рациональнее. На самом деле, для решения даже простейшего неравенства вида tgx -< а необходима актуализация соответствующих знаний, требующих прежде всего наглядных иллюстраций.

Можно предложить следующие задания для самостоятельного решения [6;5;2;3]:

1. Решить уравнение 6 sin 2 x - 5 sin x - 4 = 0 и найти корни

Г 1т 3т1

x еГ- IT- TJ-

/ cos x \sm x J2coS x - Г 5t 1

2. Решить уравнение (49 J = 1 и найти корни x е — ;4t

3. Решить уравнение cos 2x + 2 cos2 x - sin 2x = 0 и найти корни

4. Отобрать те корни уравнения 9sm2x - 3 —j = 6, которые

удовлетворяют уравнению sin( 242.x - 17 42ж) = 0 .

5. Найти корни уравнения л/x + sin x = л/x - sin 2x , удовлетворяющее неравенству - 2ж ^ x -< 2ж .

6. Решить уравнение tg 2x - tgx = sin( 7ж - x)sin —, принадлежащее

6

области определения функции j = sin -J 4 ж2 - x2 .

„ sin x

7. Решить уравнение-= 1 + cos x .

1 - cos x

8. Решить уравнение y¡i - >/з sin x + л/10 cos x = 0 .

Опыт проведения элективного курса «Тригонометрические уравнения» со школьниками показал, что овладение различными приемами решения математических задач способствует формированию их интереса к изучению тригонометрии, развитию творческих способностей и исследовательских умений, успешной сдаче ЕГЭ по математике на профильном уровне.

Библиографический список

1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. М.: Просвещение, 2011.

2. ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.Р. Высоцкий и др. Под ред. И.В. Ященко. М.: Изд. "Экзамен", 2016.

3. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под ред. М.И. Сканави. М.: Изд. АСТ, 2016.

4. Виленкин, Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Профильный уровень. Учебник. М.: Просвещение, 2014.

Тувинский государственный университет

5. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина. М.: Мнемозина, 2012.

6. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н.Мишустина. М.: Мнемозина, 2012.

Bibliograficheskij spisok

1. Federalnyj gosudarstvennyj obrazovatelnyj standart osnovnogo obschego obrazovaniya. M.: Prosveschenie, 2011.

2. EGE 2016. Matematika. 50 variantov tipovykh testovykh zadanij / I.R. Vysotskij i dr. Pod red. I.V. Yaschenko. M.: Izd. "Ekzamen", 2016.

3. Sbornik zadach po matematike dlya postupayuschikh v vuzy / Pod red. M.I. Skanavi. M.: Izd. AST, 2016.

4. Vilenkin, N.Ya. i dr. Algebra i matematicheskij analiz dlya 10 klassa: profilnyj uroven. uchebnik. M.: Prosveschenie, 2014.

5. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 11 klass. V dvukh chastyakh. Ch.2: Zadachnik dlya obscheobrazovatelnykh uchrezhdenij (profilnyj uroven) / A.G. Mordkovich, L.O. Denischeva, T.A. Koreshkova, T.N. Mishustina. M.: Mnemozina, 2012.

6. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 10 klass. V dvukh chastyakh. Ch.2: Zadachnik dlya obscheobrazovatelnykh uchrezhdenij (profilnyj uroven) / A.G. Mordkovich, L.O. Denischeva, T.A. Koreshkova, T.N. Mishustina. M.: Mnemozina, 2012.

Кара-Сал Надежда Маасовна - к.п.н, доцент кафедры математического анализа и МПМ Тувинского государственного университета, Кызыл

Kara-Sal Nadezhda - Candidate of Pedagogics, Associate Proffesor, Department of Mathematical Analysis, Tuvan state University, Kyzyl.

Бичи-оол Елена Карловна - старший преподаватель, кафедры математического анализа и МПМ, Тувинского государственного университета, Кызыл Email: bichlena@mail.ru

Bichi-ool Elena - senior lecturer, Department of Mathematical Analysis Tuvan state University, Kyzyl E-mail: bichlena@mail.ru