Построение высокоточных измерителей параметров гармонического сигнала при воздействии негауссовских помех

Результаты расчета сравнивались между собой в полосе пропускания, непосредственно за ней, и на частоте, соответствующей первому боковому лепестку (таблица).

Сравнение результатов применения для аподизации ВШП оконных функций

МГц Функция 37,5 40,5 34,5

Кайзера -1,805 дБ -6,874 дБ 0 дБ

СИС -1,983 дБ -7,733 дБ 0 дБ

В полосе пропускания функция СИС имеет незначительно большую (на 0,078 дБ) неравномерность, чем функция Кайзера.

Непосредственно за полосой пропускания на частоте f=41,5 МГц функция Кайзера обеспечивает затухание сигнала — 20,863 дБ, а функция СИС — 27,1 дБ, т.е. значительно больше.

На частоте первого бокового лепестка функция Кайзера обеспечивает затухание, равное —37,72 дБ, а функция СИС — 42,62 дБ, что тоже является значительным преимуществом.

Таким образом, использование функции СИС при применении ее в качестве оконной для аподизации ВШП позволяет достичь существенно лучших результатов, чем при наиболее широко используемой функции Кайзера.

Кроме того, по приведенной выше методике возможно получение целого класса оконных функций. Класс оконных функций, учитывающих дискретность и ограниченность ИХ, следует признать более предпочтительным для применения в качестве оконных при синтезе фильтров на ПАВ, чем используемые в настоящее время функции, в том числе

УДК 621.391

ПОСТРОЕНИЕ ВЫСОКОТОЧНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ

ГАВРИШ А.С.______________________________

Синтезируются новые нелинейные алгоритмы измерения (оценки) параметров гармонического сигнала при негауссовских помехах, отличающиеся от существующих измерителей повышенными точностными характеристиками. При этом используется метод максимизации полинома.

1. Введение

Гармоничный сигнал широко распространен в разно -образных технических приложениях, поэтому часто возникает необходимость измерять его информативные параметры. При прохождении полезного сигнала через реальные каналы связи он подвергается искажающему влиянию помех, в связи с чем решение данной задачи требует статистического подхода.

8

Кайзера, что подтверждается приведенным выше сравнительным расчетом для наиболее простой оптимальной функции СИС и функции Кайзера.

Литература: 1. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчет, технология и применение): Пер. с англ. / Под ред. Г.Мэттьюза. М.: Радио и связь, 1981. 472 с. 2. Орлов В. С., Бондаренко В. С. Фильтры на поверхностных акустических волнах. М.: Радио и связь, 1984. 272 с. 3. Гуляев Ю.В., ЛепихЯ.И., Калашников А.Н. Исследование характеристик фильтров на поверхностных акустических волнах аналитическим методом // Радиотехника и электроника. 1988. Т.33. Вып.11. С.2395-2399. 4. Лепих Я.И., Калашников А.Н. Оптимизация аподизированных встречно-штыревых преобразователей устройств на поверхностных акустических волнах // Радиотехника. М. 1989. № 9. С.25-37. 5. ЛепіхЯ.ї. Особливості проектування фільтрів на ПАХ з п’єзокерамічним звукопроводом // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 2. С.17-18. 6. РабинерР.Л., Маклеллан Дж, Паркс Т. Методы расчета цифровых фильтров с конечным импульсным откликом, использующие взвешенную чебышевскую аппроксимацию // ТИИЭР. 1975. Т.63, № 4. С.61-78. 7. Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах: Пер. с англ./ Под ред. С.И. Баскакова. М.: Радио и связь, 1990. 416 с. 8. Харрис Ф.Д. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. 1978. Т.66, № 1. С.60-97. 9. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 427 с.

Поступила в редколлегию 25.01.2000

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Швец В.Т.

Лепих Ярослав Ильич, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, начальник НТЦ “Фонон” СКТБ “Элемент”. Научные интересы: акустоэлектроника, дат-чиковое приборостроение. Адрес: Украина, 65104, Одесса, пр-т Акад. Глушка, 29, тел.: (0482) 66-82-29, (0482) 66-82-29, т/ф (0482) 47-02-23.

Современные методы оценки параметров случайных процессов в большинстве основаны на использовании плотности распределения. В этой связи приоритетное место занимает гипотеза гауссовости наблюдаемого случайного процесса, позволяющая решить или значительно упростить ряд важных задач в различных областях науки и техники. В настоящее время возникло множество научных направлений, где гауссовская модель не всегда является адекватной реальной ситуации и поэтому вытесняется негауссовскими моделями. Однако использование существующих методов для оценки параметров негауссовских процессов часто приводит к громоздким результатам. Поэтому возникает необходимость создать и использовать новые конструктивные методы измерения параметров наблюдаемого процесса. Так, в работе [1] предложен метод максимизации полинома, основанный на использовании стохастических полиномов, при частичном априорном описании наблюдаемой случайной величины с помощью конечной последовательности усредненных характеристик (моментов, кумулянтов). Он позволяет синтезировать алгоритмы измерения параметров полезного сигнала при известных параметрах негауссовских помех.

РИ, 2000, № 1

Особенно интересным с практической точки зрения представляется случай обработки сигнала в условиях, когда статистические характеристики помехи неизвестны, и их необходимо измерять совместно с информативными параметрами полезного сигнала. В общем случае решить задачу совместной оценки параметров полезного сигнала и конечного числа кумулянтов негауссовской помехи не удается, поскольку количество уравнений максимизации полинома меньше числа неизвестных параметров. При этом с увеличением степени полинома на единицу размерность векторного параметра увеличивается вдвое, т.е. для того, чтобы использовать метод максимизации полинома, необходимо ввести некоторые частные случайные величины, которые бы при любой конечной степени полинома описывались одинаковым набором кумулянтов. С этой целью вводятся так называемые перфорированные случайные величины (от лат. perforatio — пробивание), т.е. в имеющемся частичном описании часть “мешающих” кумулянтных коэффициентов полагают равными нулю. Введенные частные случайные величины очень схожи с модельными распредеюется от них, поскольку являются вероятностными. Среди всего многообразия перфорированных случайных величин выделяют множество случайных величин, в описание которых основной вклад вносят кумулянтные коэффициенты низших порядков, получившие название класса случайных величин, близких к гауссовским. Совершенно очевидно, что поскольку в описании случайных величин, близких к гауссовским, набор ненулевых кумулянтных коэффициентов может быть разным, то для первых можно ввести некоторую классификацию, т.е. определить различные типы случайных величин, близких к гауссовским. В данной работе, при нахождении совместной оценки параметров полезного сигнала и негауссовской помехи, для аппроксимации случайных последовательностей используются так называемые асимметричные случайные величины 1-го типа.

2. Оценка параметров гармонического сигнала при гауссовских помехах методом максимального правдоподобия

Наиболее распространенной и адекватной моделью принимаемого сообщения |(t) служит аддитивная

смесь полезного сигнала S(t) и помехи n(t). Попытки синтеза измерителей параметров сигналов, принимаемых на фоне помех, с непрерывным временем приводят к громоздким результатам, связанным с необходимостью решать интегральные уравнения. В данной работе, для упрощения расчетов случайный процесс представляется в виде совокупности случайных величин, т.е. при каждом фиксированном значении tv функция £,v =|(tv) является случайной величиной. Другими словами, рассматривается пример наблюдения сигнала с дискретным временем.

Пусть имеется выборка X = (хь Х2,..., xn } из независимых неодинаково распределенных случайных

веёичиН ^2,..., % n} , где

%v - Sv + nv , v = 1,П .

В выражении (1) в качестве полезного сигнала рассматривается гармонический сигнал вида

Sv = asin ю5у + bcos ra5v ,

где a , b — амплитуды синусной и косинусной составляющих сигнала; ю — частота; 5 — равномерный шаг дискретизации; v — отсчеты.

В целях сокращения записи далее будут опущены аргументы у синуса и косинуса и сделаны следующие обозначения:

sinv =sin ю5v , cosv =cos ю5v ,

sinv p =sinpro5v , cosv k =coskro5v , p,k = 2,3,...

Прежде чем синтезировать новые измерители, рассмотрим классический случай, а именно, когда в

помеха nv является гауссовской случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Х2 [3].

Тогда совместная плотность распределения независимых случайных величин £, v , v = 1,n имеет вид

p(x/§) = U-F1= exp[~(x2~Sv) ]

v=1yj2n% 2 2X 2

Далее, используя метод максимального правдоподобия, находим оценку векторного параметра О = {a,b}.

Система уравнений максимального правдоподобия имеет вид

д

5Sq

lnp(x/0)|g=g = 0 ,

q = 1,2 .

После несложных преобразований последнее выражение можно записать так:

Z[xv Sv(^)] gQ Sv(^)|§=§ 0, q = 1,2

v=1

Из совместного решения уравнений (3), учитывая условия ортогональности составляющих гармонического сигнала [4], легко найти, что

„ 2 n - 2 n a =—£ xvSinv, b =—£xvcosv.

nv=1 nv=1

Эти оценки являются несмещенными.

Для нахождения дисперсии оценки векторного параметра § воспользуемся информационной матрицей

Фишера 1(0). Легко показать, что в данном случае элементы искомой матрицы будут равны:

- 1 n

Im,k (&0) =---Ё яа

Х2 v=15S

<3 ^

РИ, 2000, № 1

9

где S о — истинное значение рассматриваемого векторного параметра.

Дисперсии оценок рассматриваемых параметров являются соответствующими диагональными элементами вариационной матрицы оценок V(0), которая равна обратной матрице Фишера, т. е.

у k(q)F =—— j=l Jv F(ij)v бйр

miv, i = 1,3

где центрированные коррелянты F(i,j)v связаны с

начальными моментами i -го порядка miv соотношением

У(§) = I _1(й).

F(i,j)v (^) = m (i+j)v (S) - m iv (S)m jv (5).

Опустив промежуточные вычисления, покажем, что дисперсии оценок а и b при известном значении дисперсии помехи х 2 равны:

2 2 СТ-, = ст» a1 bl

2Х2

n

Полученные оценки (4) и их точностные характеристики (5) далее будут использованы для сравнения с новыми алгоритмами измерения соответствующих параметров гармонического сигнала при негауссовских помехах.

Опуская громоздкие вычисления, легко показать, что решением системы линейных алгебраических уравнений (7) будут коэффициенты вида:

4

k(v)(a,b) = ^(х 2B + 2Sv x0’5G + 3SvR)sinv,

А 3

4

kg(a,b) = -^(^G + 3SvR)sinv,

A3

4

k3v

A3

3. Измерение параметров гармонического сигнала при известных статистических характеристиках негауссовских помех

Рассмотрим случай, когда в (1) аддитивная помеха nv является негауссовской случайной величиной, которая описывается конечной последовательностью кумулянтов х r порядка r или кумулянтных

коэффициентов у r [2]. Будем предполагать, что статистические характеристики помехи точно известны и оценке подлежат только параметры гармоническо-

k(v)(a,b) = y^(X2B + 2Sv x0’5G + 3S^R)coSv,

A 3

4

k22)(a,b) = -^(x2,5G + 3SvR)cosv,

A 3

4

k3^>(a,b) =^^Rcosv,

3v A 3

где в данном случае:

B = (У 4 + 2)(Н + 3У 4)-у 5 (у 5 + 15У 3 ) + 9у 3(у 4 - 4),

го сигнала О = {a,b} .

При использовании метода максимизации полинома для синтеза алгоритмов совместной оценки параметров гармонического сигнала учет влияния негауссовской помехи на полезный сигнал возможен только в том случае, когда выборочные значения подвергаются нелинейной обработке. Рассмотрим случай, когда совместная оценка параметров a и b находится из совместного решения двух уравнений максимизации полинома при s = 3 :

£ k((v) [xv - Sv ] + £ kg [x? -X2 - Sv ] +

v=1 v=1

+ Z kg[x4-X3 - 3Sv X 2 - Sv]a=a = 0 v=1 b=t)

it k

v=1 v=1

+ Z k3?[4 -X3 -3SvX2 -Sv]|a=a = 0

і v=1 b =b

В системе уравнений (6) каждая тройка коэффициентов k1(v) (5), k2<v) (§) и k3qv) (й), q = 1,2 определяется из решения системы трех алгебраических уравнений:

Н =у 6 + 9у 4 + 6,

G =У3(Н + 9У3 -6У4)-У4У5>

R =У 3

А3 =x6{(Y4 + 2)(Н-у4)-у5[у5 -2у3(у4 -6)]-

_У6У2 + Зу2(4у4 -Зу2 -8)}.

Подставив найденные коэффициенты (8) в (6), получим систему двух нелинейных уравнений относительно оцениваемых параметров a и b :

3 3 2

—Ra + Yna + Y^a + 2Z^ab +

8

2 3 2 I

+ Z2ib2 + Zb — Rab2 + Hi a=a = 0,

8 'b=b

3 3 2

- 8Rb + Y2,2b + Y2,1b +2Z 2,1ab +

2 3 2 і

+ Z12a + Za — Ra b + H2 a~a = 0,

^ 8 b=b

где

10

РИ, 2000, № 1

1 n 3

Yu = 3R- X xvsinV, Y22 = 3R — E XvCOSv

n v=1 ’

Ux.^.3

nv=1

Yi 2 = -3R1 E x2 s^ + 2x0’ 5G - it xv sln2 -

n v=1 n v=1 2

1 n 2 2 05 1 n 2 By2

Y2 1 = -3R— Ё xv cosv + 2x°’ 5G — Ё Xvcosv---2-

n v=1 n v=1 2

1 n 2

Z1 2 = 3R — Exv sinv cosv, nv=1

1 n 2 Z2 1 = 3R— Exv sinv cosv,

nv=1

1 n 2 0 5 1 n

Z = -3R — E xv sinv cosv + 2x?’ 5G — E xv sinv cosv,

n v=1 n v=1

1 n 3 о 5 1 n 9

H1 = R — Exv sinv -X2 G Exv sinv +

n v=1 n v=1

1n

+ X 2B E xv sinv n v=1

1 n 3 05 1 n 9

H2 = R— Exv cosv ~X2 G — Exv cosv + n v=1 n v=1

1n

+ X2B— E xv cosv .

nv=1

Как видно из выражения (10), оценки параметров находятся из совместного решения двух кубических уравнений относительно а и ь . В данном случае не удается записать оценки в явном виде, но оценки, найденные из решения системы уравнений (10), являются новыми и обладают замечательными свойствами, которые мы обсудим ниже.

На основании выражения (10) синтезируется функциональная схема алгоритма нахождения совместной оценки параметров a и b при степени полинома s = 3 . Как видно из рисунка, алгоритм измерителя параметров гармонического сигнала разбивается на 4 блока. В блоке гетеродинов (БГ) с помощью опорного генератора и фазовращателя формируются значения sinv и cosv, которые одновременно с выборочными значениями xv поступают в блок формирования статистик (БФС). Отметим, что именно в статистиках, входящих в выражения (11), содержится вся извлекаемая информация о параметрах исследуемого сигнала. Напомним, что с математической точки зрения статистики представляют собой среднее арифметическое от выражений xv, xv cos),, xv sinv и

xv si^ cosv , i’j’k = 1,2,..., v = й . Таким образом, основными элементами БФС являются перемножи-тели и накапливающие сумматоры.

РИ, 2000, № 1

Функциональная схема измерителя параметров гармонического сигнала

Анализируя выражения (11), легко заметить, что кроме статистик они содержат еще ряд других функций. Эти величины в отличие от статистик не зависят от выборочных значений, а являются функциями от частичной априорной информации о помехе и от оцениваемых параметров. Формирование значений этих величин происходит в блоке исходных данных (БИД), который состоит из перемножителей и сумматоров.

Далее вся информация поступает в вычислительный блок (ВБ), в котором формируются значения Yy ,

Y1,2 , Y2,1 , Y2,2 , Z1,2 , Z , Z2,1, H1 иH2 согласно выражениям (11) и происходит решение системы двух кубических уравнений относительно а и ь вида (10). В случае, если имеется несколько совокупностей действительных положительных корней {а, Ь}, то в ВБ еще отыскивается глобальный максимум стохастического полинома l (x / О), позволяющий найти

оптимальную оценку векторного параметра § [1]. Кроме того, найденные оценки также используются в качестве начальных значений параметров гармонического сигнала, входящих в выражения (10).

Согласно методу максимизации полинома, для нахождения дисперсий оценок компонент векторного параметра используют матрицу количества извлекаемой информации J sn (й), физический смысл которой аналогичен информационной матрице Фишера. В общем случае элементы матрицы количества извлекаемой информации имеют вид

r(q,m)(

-sn ЧЭ) = EEk(v)(S)-Ё-

i=1v=1 j dSm

-miv

n

Дисперсии искомых оценок параметров лежат на главной диагонали вариационной матрицы оценок, равной

Vsn(O) = J“n1(0) .

Используя выражения для оптимальных коэффициентов (8), после несложных, но громоздких преобразований получаем, что асимптотические дисперсии

оценок а и Ь, найденные из решения системы уравнений (10), запишутся так:

22 Фа,, —Фа

а3 Ь3

2Х 2 n

g31 .

где величина g31 имеет вид:

11

_ л У З (Н + 9У 3 _ 12 У 4) + У 4 (у 4 + 2) _ 2 У 3 У 4 У 5

g3i -1 2---------.

Сравнивая (13) с (5), видим, что асимптотические дисперсии оценок, найденные методом максимизации полинома при его степени s = 3 , в общем случае

будут меньше в g3i раз дисперсий оценок тех же параметров, найденных методом максимального правдоподобия, когда помеха гауссовская. Величина уменьшения дисперсии искомых оценок зависит от

конкретных значений параметров помехи (у 3 ^ у 6 ).

4. Оценка параметров гармонического сигнала и параметров негауссовских помех

Как отмечалось выше, для совместного измерения параметров гармонического сигнала и параметров негауссовской помехи последнюю целесообразно аппроксимировать частными случайными величинами. Рассмотрим случай, когда в описании негауссовской помехи кумулянты X 2 и %3 играют основную роль и их необходимо измерять совместно с параметрами полезного сигнала. Тогда, чтобы воспользоваться методом максимизации полинома, будем считать, что кумулянтами х; порядкаi, i = 4,2s можно пренебречь (приравнять нулю), а высшие кумулянты не используются и могут принимать произвольные

значения. Такую случайную величину \ v будем называть перфорированной асимметричной случайной величиной 1-го типа с глубиной перфорации r = 2s - 3 .

Согласно методу максимизации полинома совместная оценка рассматриваемых параметров сигнала и помехи возможна при степени полинома s = 3 и

выше, поскольку коэффициент асимметрии У 3 в качестве параметра входит в начальные моменты, только начиная с момента третьего порядка. Синтезируем алгоритм совместного измерения параметров гармонического сигнала, дисперсии и коэффициента асимметрии помехи, оптимальный в классе полиномиальных преобразований третьей степени.

При s = 3 совместная оценка векторного параметра

О = {a, b, Х2, У 3 } определяется из системы уравнений:

EEk

i=1v=1

Весовые коэффициенты k1(p)(Q), k2p)(0) и k3v)(0) каждого p -го уравнения (14) находятся из решения системы трех алгебраических уравнений (7).

Ввиду громоздкости вычислений, приведем только конечные выражения для искомых коэффициентов. Коэффициенты 1-го уравнения системы (14) равны:

ki^) =Т-6Х4 sinv (3S2у2 + 3SvX0’5У3 +

А 3

+ 2Sv X0,5У3 _ 6Х2У2 + 2Х2) ,

k^)

Д 3

3х4 у 3 sinv(6Sv у 3 + Зх °’5 у2 + 2х 25),

k3v(^ =т^6^2У3 sinv .

3v А3

Легко показать, что для записи оптимальных коэффициентов 2-го уравнения системы (14) достаточно

в выражениях (15) функцию sinv заменить на функцию cosv.

Коэффициенты 3-го уравнения максимизации полинома системы (14) запишутся в виде:

k^) = -Jt-3x^(3svУ3 svУ3 + 4Svх23 -

.3,5

3 с2„,3

.0,5

2

3

3 3)

-X2У3 -2X2У3 ),

1 'Х

k23v)

k3v(§)=“173* 2,5(1+1 у2).

И, наконец, коэффициенты последнего уравнения системы (14) равны:

kn(Q) =Т-3х 4,5(2Sv - sv у 2 + 4Sv х0’5 У 3 +

л 3

+ 3Х2У2 -2Х2),

k24v)

k3>) =~^xf(2-уз),

где Д3 — главный определитель системы уравнений (7), который в данном случае равен

Д3 = 3Х6

Подставив полученные коэффициенты (15)-(17) в выражение (14), можно записать систему уравнений для нахождения искомого векторного параметра

5 = {a,b,Х2,У3 } :

і 3 n ,, _ ,, _

- 22 k!vp,0)xv + k0p>)| а ,а = 0

n i=1v=1

Р =1,4 ,

где весовые коэффициенты k(p) - k3p), p = 1,4 имеют вид (15)-(17), а коэффициенты k0p) равны:

12

РИ, 2000, № 1

kj>(3) = -3ГГІ[3уз(а2 + b2 -8X2) + 8X2],

4 Д3

k02v

4A3

k0?(») = ^[a2 + b2 +X2(у + y3 -2)],

3

k04v)(^) =[X2(4 +У2) - 3(a2 + b2)]

A 3

Совершенно очевидно, что в данном случае невозможно записать аналитические выражения оценок компонент векторного параметра, поэтому необходимо воспользоваться численными методами решения системы уравнений максимизации полинома

(19).

Исследуем точностные свойства получаемых оценок векторного параметра. Используя методику, описанную выше, легко показать, что асимптотические дисперсии оценок параметров гармонического сигнала равны:

_2 _ 2 _2Х2 g, ,~1Ч

СТ

где коэффициент эффективности

g 31 = 1 -

у3 (2 + Зу2) 2(2 - 3у3) •

Сравнивая выражения (21) и (5), легко заметить, что дисперсия оценок параметров гармонического сигнала а и b, найденных методом максимизации полинома при s = 3 , при их совместном оценивании с параметрами асимметричной помехи 1-го типа меньше дисперсии оценок соответствующих параметров, найденных методом максимального правдоподобия, при известных параметрах гауссовской помехи.

Изменение величины дисперсии искомых оценок а и b зависит только от коэффициента асимметрии

помехи у3 . Известно, что кумулянтные коэффициенты не могут принимать произвольные значения. В данном случае именно условие, что главный определитель (18) всегда больше или равен нулю, накладывает ограничение на интервал допустимых значений коэффициента асимметрии. Поэтому при анализе

асимптотических свойств оценок а и b необходимо учитывать, что у 3 может принимать значения в интервале [-0,6561; 0,6561].

5. Выводы

1. На основании полученных результатов построена функциональная схема измерения параметров гармонического сигнала при известных параметрах не -гауссовских помех.

2. Ценность полученных результатов дополняется и подкрепляется простотой их алгоритмической и технической реализации.

3. Эффективность предложенных алгоритмов измерения параметров гармонического сигнала будет проявляться тем сильнее, чем больше распределение помехи будет отличаться от гауссовского.

Литература: 1. Купченко Ю.П., Лега Ю.Г. Оценка параметров случайных величин методом максимизации полинома. К.: Наук. думка, 1992. 180 с. 2. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с. 3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. 2. М.: Сов радио, 1975. 392 с. 4. Гавриш А С., Кунченко Ю.П. Синтез алгоритмов совместной оценки параметров гармонического сигнала при негауссовских помехах // Материалы научно-технической конференции “Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация”. Воронеж, 1997. Т. 2. С.673-682.

Поступила в редколлегию 10.03.2000

Рецензент: д-р техн. наук, профессор Кочкарев Ю.А.

Гавриш Александр Степанович, аспирант Черкасского инженерно-технологического института. Научные интересы: теория статистической обработки сигналов, в частности оценка параметров сигналов на фоне негауссовских помех. Увлечения: нумизматика, настольный теннис. Адрес: Украина, 18000, Черкассы, ул. серж. Смирнова, 2, кв.131, тел.: (0472) 42-56-85, (0472) 43-51-71.

РИ, 2000, № 1

13