Численные методы в теории взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XXI

199 0

№ 5

:УДК 532.526.5.011.7

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С НЕВЯЗКИМ ПОТОКОМ

А. И. Рубан

Приводится обзор численных методов решения задачи о взаимодействии пограничного слоя с внешним невязким потоком, используемых при исследовании отрывных течений жидкости и газа вблизи поверхности твердого тела. Изложены основные принципы построения разностных схем и организации вычислительного процесса при дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя. Наиболее подробно рассмотрены маршевые, итерационные и спектральные методы. Они могут использоваться как в случае модельной постановки задачи о взаимодействии, так и для решения асимптотических уравнений теории взаимодействия в рамках известной трехслойной схемы течения.

Исследование отрыва потока от поверхности твердого тела представляет собой одну из наиболее сложных задач современной гидродинамики. В общем случае она требует численного решения уравнений Навье—Стокса, что, как известно, сопряжено с немалыми трудностями, которые к тому же становятся все более значительными по мере увеличения числа Рейнольдса. Между тем, если число Рейнольдса является достаточно большим, то задачу можно упростить, рассмотрев вместо уравнений Навье — Стокса уравнения пограничного слоя с самоинду-цированным градиентом давления. Основанием для такой замены служит асимптотическая теория отрыва. Она родилась в 1969 г., когда Нейланд [1] и независимо от него Стюартсон и Вильямс [2] опубликовали две работы, посвященные анализу отрыва- пограничного слоя от плоской поверхности в сверхзвуковом потоке газа. Несколько позднее Сычев [3] построил аналогичную теорию для течений несжимаемой жидкости. В результате было установлено, что отрыв всегда происходит в области взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком.

Эта область, охватывающая окрестности точки отрыва, простирается вдоль стенки на расстояние порядка Ке~3/8, где Ке — число Рейнольдса, и имеет трехслойную структуру. Толщина первого слоя, непосредственно примыкающего к стенке, оценивается как О (Ке-5/8) (он отмечен цифрой 1 на рис. 1). Здесь течение является вязким и описывается уравнениями Прандтля для несжимаемого пограничного слоя:

йр . д3 и ди

дх дуг ’ дх

Ке

-})8

77777777777

Рис. 1

Краевыми условиями для них являются условия прилипания к поверхности твердого тела: и = у = 0 при >/ = 0;

условие сращивания с решением в невозмущенном пограничном слое перед областью взаимодействия:

и,—у при х —со, (3) а также условие сращивания с решением в основной части пограничного слоя (область 2' на рис. 1):

и = у — В

Здесь используется ортогональная криволинейная система коор-

динат, в которой х отсчитывается вдоль поверхности обтекаемого тела, а у — по нормали к ней. Составляющие вектора скорости в этих координатах обозначены через и, и, а избыточное давление — через р. Функция б(х) представляет собой изменение толщины вытеснения вязкого пристеночного слоя.

Вследствие малой скорости течения в области 1 (по отношение к скорости на внешней границе пограничного слоя она составляет величину порядка 1?е_1/8), струйки тока проявляют здесь повышенную

чувствительность к изменению давления. Даже небольшое увеличение давления на величину порядка [Ие-1/4 способно затормозить поток и привести к образованию возвратного течения вблизи обтекаемой поверхности. Торможение газа сопровождается увеличением толщины пристеночных струек тока, а следовательно, и всего пограничного слоя как целого.

Менее чувствителен к изменению давления средний слой области взаимодействия (область 2). Он имеет толщину порядка Яе~112 и включает в себя все струйки тока из приходящего в область взаимодействия пограничного слоя за исключением пристеночных. Скорость каждой жидкой частицы меняется здесь незначительно. Поэтому все линии тока повторяют по форме одна другую, сохраняя ту деформацию, которая возникает в результате вытесняющего действия вязкого пристеночного слоя.

Наконец, верхний слой области взаимодействия, — его толщина оценивается как 0(8.е~т), —лежит во внешнем потенциальном потоке (область 3). Он служит для «преобразования» возмущений формы линий тока в возмущения давления. В сверхзвуковом потоке связь между ними устанавливает формула Аккерета:

р = с1Ъ1с1х1

а в дозвуковом — интеграл Гильберта из линейной теории потенциальных течений жидкости

аыйэ

1 г* аь а

¿в.

Итак, рассматривая отрыв пограничного слоя, можно в качестве исходных уравнений движения принять классические уравнения Прандт-ля. Только теперь градиент давления в правой части уравнения импуль-

сов (1) не является заранее заданным. Он должен определяться в процессе решения задачи по формулам (5), которые принято называть условием взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Это изменение является принципиальным. Оно, во-первых, делает невозможным появление особенности Гольдштейна [4] в точке отрыва потока и, во-вторых, меняет характер зависимости решения уравнений Прандтля от краевых условий, что требует постановки дополнительного краевого условия, отвечающего за передачу возмущений против потока в пограничном слое. Как было показано Лайтхиллом [5] еще в 1953 г., при сверхзвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя линеаризованные уравнения теории взаимодействия (1)—(4), (5а) допускают собственное решение, в котором

11/з у

р = сеХк, к = у -4- сеХх Аг

о

Это решение остается справедливым и в нелинейном случае, но тогда оно должно рассматриваться как асимптотическое представление искомых функций течения при —оо. Здесь А1 (г) — функция Эйри, К — уни-

версальная положительная постоянная: Я=[—ЗА1'(0)]3/4, а с — амплитуда возмущений, которая может быть определена, если, скажем, задано положение точки отрыва на обтекаемой поверхности или известно, что все возмущения затухают при х—>-+оо, как это имеет место в течениях с локальными зонами отрыва.

Лайтхилл построил свое решение, рассматривая лишь две области течения — вязкий пристеночный слой (область 1) и невязкую часть потока, которая включает в себя области 2 и 3. Чаще же поступают по-другому, объединяя в одно целое области / и 2, лежащие внутри пограничного слоя. Для их описания используют обычные уравнения Прандтля. В отличие от уравнений (1) они могут включать в себя переменную плотность р. При этом краевое условие (4) заменяется на

и = ие(х) при у —» оо , где ие(х) —скорость на внешней границе пограничного слоя, а вместо соотношения (4), которое служит для определения б (я), здесь используется обычное интегральное представление толщины вытеснения пограничного слоя

о 4 7

Сформулированную таким образом задачу принято называть «модельной» в отличие от асимптотической задачи, которая представляется соотношениями (1)—(5). Рассматриваемые ниже численные методы в равной степени применимы и к тому, и к другому подходу.

Маршевые методы. Теория взаимодействия потребовала создания специальных методов расчета отрывных течений. Хотя она оперирует с обычными уравнениями пограничного слоя, здесь имеется два принципиальных момента, препятствующих применению традиционных методов их решения. Это, во-первых, условие взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, приводящее к передаче возмущений против течения даже при сверхзвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя, и, во-вторых, появление возвратных токов, которые усиливают этот эффект.

При заданном градиенте давления для решения уравнений пограничного слоя обычно используют маршевые методы. К их числу относится, например, метод Крэнка—Никольсона [6]. Он заключается в по-

следовательном переходе от одной расчетной линии х = х^и ортогональной поверхности тела, к другой х=х,. Система разностных уравнений для значений искомых функций течения в узлах расчетной сетки (X], уи) на каждой такой линии решается после ее линеаризации с помощью метода прогонки, который повторяется необходимое число раз с тем, чтобы правильно аппроксимировать нелинейные члены уравнений пограничного слоя.

Если речь идет о течении в области взаимодействия при сверхзвуковой скорости набегающего потока, для которой характерна локальная зависимость индуцированного давления от угла наклона линий тока на внешней границе пограничного слоя (5а), то в описанный итерационный процесс легко включить дополнительную процедуру, позволяющую согласовать градиент давления с толщиной вытеснения пограничного слоя в рассматриваемом сечении Х=Х]. Именно такой подход и был продемонстрирован Нейландом ['1, 7], Стюартсоном и Вильямсом [2] в их первых работах, посвященных отрыву сверхзвукового потока на плоской поверхности. Чтобы избавиться от произвола в выборе амплитуды возмущений с в решении Лайтхилла (6), Нейланд вместо продольной координаты д: использовал в качестве независимой переменной давление р. Стюартсон и Вильямс выполнили свои расчеты в обычных координатах (х, у). Начальное условие они задавали при достаточно большом отрицательном значении х, используя для этого формулы (6). Поскольку формулировка задачи о взаимодействии (1) — (4), (5а) инвариантна относительно сдвига по оси х; амплитуда-возмущений с в решении Лайтхилла может быть выбрана произвольным образом. В самом деле, представляя амплитуду возмущений с в виде c = sign(c) е1х\ легко прийти к выводу, что изменение с равносильно сдвигу на х0 по координате х. Таким образом, задача о взаимодействии пограничного слоя на плоской поверхности со сверхзвуковым внешним потоком имеет два универсальных решения. Первое описывает течения с ростом давления, приводящим к отрыву потока, а второе — течения разрежения [8].

Если же речь идет об обтекании искривленной поверхности, форма которой задана уравнением у=У0(х), то эволюция потока в области взаимодействия уже не следует универсальному закону. Препятствием для его применения является условие взаимодействия, которое теперь записывается в виде

р-Ъ'+Уо. (7>

Между тем, в целом ряде случаев универсальный закон можно использовать как фрагмент решения. Пример течения такого сорта дает задача о взаимодействии скачка уплотнения с пограничным слоем и математически эквивалентная ей задача обтекания угловой точки контура тела, для которой

Ко = 0 при л: < 0; У0 — Ьх при л: > 0.

Нейланд [9], рассмотревший эти течения, заметил, что и в том, и в другом случае решение подчиняется универсальному закону вплоть до точки х=0. При этом параметр с должен быть выбран таким образом, чтобы при продолжении решения вниз по потоку от точки х = 0 все возмущения затухали на «выходе» из области взаимодействия. Другими словами, в качестве дополнительного краевого условия здесь, должно быть использовано условие

и = у при л: -> + оо .

Такой же подход был применен Дэниэлсом при расчете симметричного течения вблизи задней кромки плоской пластины [10] и несимметричного, которое реализуется при установке плоской пластины под углом атаки к набегающему сверхзвуковому потоку [11].

Более сложно обстоит дело при дозвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя, когда условие взаимодействия перестает быть локальным и индуцируемое давление зависит от распределения: толщины вытеснения вдоль всей области взаимодействия. Эта зависимость, выражающаяся интегралом (56), приводит к необходимости-введения в процедуру расчета кроме локальных итераций в каждом сечении Х = Х] еще и глобальных итераций по всему полю течения.

Первое численное решение задачи о взаимодействии для течений несжимаемой жидкости построили Джоб и Бюргграф [12], рассмотревшие заднюю кромку плоской пластины без угла атаки. Предложенный ими метод расчета состоит из двух последовательно выполняемых процедур. Это, во-первых, расчет течения в вязком пристеночном слое. Он осуществляется с помощью маршевого метода, но в нетрадиционной постановке, когда известным считается распределение толщины вытеснения вязкого слоя. Что касается давления, то оно определяется в процессе решения уравнений пограничного слоя и затем используется в качестве исходных данных для второй процедуры, связанной с обращением интеграла (56). Он представляется в виде

что позволяет найти новое распределение толщины вытеснения по известному распределению давления вдоль области взаимодействия. Сходимость построенного таким образом итерационного процесса достигается применением нижней релаксации:

с параметром г = 0,2.

Метод Джоба и Бюргграфа [12] использовался при решении целого ряда задач теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. К нему, в частности, обратились Чау и Мельник [13], рассматривая несимметричное течение около задней кромки плоской пластины, установленной под углом атаки к набегающему потоку. Но еще более важно то, что он позволил приступить к расчету отрывных течений несжимаемой жидкости. Принципиальное значение здесь имеет нестандартный подход к решению уравнений пограничного слоя на каждой итерации. Если бы расчет течения в пограничном слое выполнялся, как это обычно делается, по заданному градиенту давления, то в точке нулевого поверхностного трения неизбежно возникала бы особенность Гольдштейна. Использование в качестве известной функции толщины вытеснения пограничного слоя избавляет решение от этой особенности и позволяет продолжить его в область возвратного течения.

Особенность Гольдштейна влечет за собой неаналитичность в поведении не только толщины вытеснения пограничного слоя, но и других гидродинамических функций, в частности, поверхностного трения. Поэтому можно указать много способов построения решений уравнений пограничного слоя, не содержащих особенности Гольдштейна. К их числу, как уже отмечалось, относится и тот, который предложила сама природа, установив определенную зависимость между индуцированным давлением и толщиной вытеснения пограничного слоя, и кота-

— 00

г;*1 = г8у+(!_/) К

рый, по существу, был реализован в расчетах Нейланда [1, 7], Стюарт-сона и Вильямса [2], требовавших его точного соблюдения в каждом СечеНИИ Х = Х].

Создание численных методов решения задачи о взаимодействии сопряжено с необходимостью адекватной трактовки еще одного свойства уравнений пограничного слоя. Если отрыва не происходит и продольная составляющая вектора скорости и в вязком пристеночном слое остается положительной, то уравнения пограничного слоя обладают обычными свойствами уравнений параболического типа — значения искомых функций течения в любой точке (х, у) области интегрирования однозначно определяются краевыми условиями, задаваемыми вверх по лотоку от нее *. Отрыв потока сопровождается образованием области возвратного течения с и<О, в которой направление передачи возмущений меняется на противоположное и решение уравнений пограничного слоя оказывается зависящим от распределения гидродинамических функций вниз по течению от рассматриваемой точки (х, у) пространства. Ясно, что в этих условиях любой метод, в котором искомые функции течения в каждом сечении х=х^ определяются по их распределению на предыдущем слое х = х^~и вступает в противоречие со свойствами дифференциальных уравнений, что, как это часто бывает, выражается в неустойчивости счета.

Простейший способ подавления неустойчивости маршевого метода в области возвратного течения предложили Флюгге—Лотц и Рейхнер [14]. Они обратили внимание на то, что скорость движения жидкости и в этой области, как правило, является малой, и предложили использовать для описания течения внутри нее приближенные уравнения погра-

ничного слоя с отброшенным конвективным членом и в уравнении

импульсов.

Примером такого подхода к решению модельной задачи о взаимодействии пограничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком может служить работа [15]. Первым, кто применил аппроксимацию Флюгге— Лотц к решению асимптотических уравнений теории взаимодействия, был Вильямс [16]. Он вернулся к задаче о самоиндуцированном отрыве пограничного слоя в сверхзвуковом потоке на плоской пластине и пересчитал течение за точкой отрыва, последовательно уточняя его следующим образом. В первом приближении для решения уравнений теории взаимодействия он использовал тот же метод, что и в работе [2], дополнив его аппроксимацией Флюгге — Лотц. Поскольку решение в области возвратного течения при этом определялось не точно, оно пересчитывалось с помощью обычного маршевого метода, выполняемого по этой области в направлении против основного потока. Полученное таким образом распределение продольной составляющей вектора скорости и использовалось затем для вычисления конвективного члена ди

и на возвратных струйках тока при решении задачи о взаимодеист-вии во втором приближении и т. д.

Смит [17], дополнив аппроксимацией Флюгге — Лотц метод Джоба и Бюргграфа [12], построил решение задачи Сычева [3] о ламинарном отрыве потока несжимаемой жидкости от гладкого участка поверхности тела, правда без уточнения решения в области возвратных токов. Еще один принципиально важный результат был получен с помощью этого подхода Гиттлером и Клювиком [18]. Они рассмотрели задачу о

* Здесь предполагается, что заранее задана одна из функций: градиент давления, толщина вытеснения, поверхностное трение и т. п.

а

гистерезисе отрывного течения на поверхности осесимметричного тела, помещенного в сверхзвуковой поток, вблизи точки излома контура тела, где его цилиндрическая часть переходит в коническую. Начальный профиль скорости задавался в форме аналогичной (6) с параметром с, который определяется из условия затухания возмущений вниз по течению от угловой точки. Как оказалось, в определенном диапазоне изменения угла излома поверхности это условие может быть удовлетворено при трех различных значениях параметра с, так что локальная зона отрыва, образующаяся в окрестности угловой точки, может принимать три различные формы при одних и тех же условиях обтекания тела.

Работа Гиттлера и Клювика [18], также как и их более раннее исследование на эту тему [19], была посвящена течениям, в которых условие взаимодействия имеет форму, отличную от (5). Это обстоятельство, однако, не является препятствием для применения описанных численных методов. Более того, маршевый метод с пристрелкой по условию вниз по течению оказался полезным и при решении других задач теории взаимодействия, например, задачи о самоиндуцированном отрыве вязкой пристеночной струи [20], для которой р='Ь", при расчете струйного течения около точки излома контура тела [21], а также при решении задачи об обтекании кромки круглого диска, вращающегося в своей плоскости внутри покоящейся жидкости [22].

Итерационные методы. Новый импульс развитию методов расчета отрывных течений дала идея об использовании в итерационном процессе переменного шаблона, позволяющего варьировать способ аппроксимации уравнений движения в зависимости от локальных свойств течения. Эта идея была позаимствована из работы [23], в которой Мурман и Коул изложили свой, ставший впоследствии широко известным, метод решения уравнения Кармана из трансзвуковой теории слабо возмущенных течений. Они предложили пересчитывать потенциал вектора скорости <р на каждой итерации, последовательно переходя от одной расчетной линии х = х3- к другой, расположенной ниже нее по течению. Способ конечно-разностной аппроксимации уравнения Кармана в узлах расчетной сетки (я,-, уъ) выбирался в зависимости от местного значения числа Маха. Если оно превышает единицу, то используется «гиперболический» шаблон с левосторонними разностями для производных по х; в случае же дозвуковой скорости он менялся на «эллиптический», и производные по х представляются центральными разностями.

Полученная таким образом система алгебраических уравнений для значений потенциала на линии х = хможет быть решена методом прогонки. При этом значения функции <р в узлах расчетной сетки необходимо знать не только перед линией х — хгде решение уже построено, но и вниз по потоку от нее в сечении х = Х]+1. Здесь распределение потенциала задается исходя из решений задачи в предыдущем приближении. Итерации продолжаются до тех пор, пока максимум изменения потенциала в поле течения не станет меньше некоторой наперед заданной величины е~10-5—10-6.

Применимость такого подхода к решению уравнений Прандт-ля первыми продемонстрировали >

Клайнберг и Стегер [24]. Способ рис 2

аппроксимации производной в конвективном члене и-^ уравнения импульсов (1) они выбирали в зависимости от знака продольной составляющей вектора скорости и: при и>0 она представлялась левосторонней разностью, а при ы<0 — правосторонней. Для производных по у, первой и второй, использовались центральные разности. Соответствующие шаблоны приведены на рис. 2. Чтобы подавить осцилляции, возникающие в процессе счета, Клайнберг и Стегер ввели еще промежуточный шаблон, позволяющий плавно «переключать» левостороннюю разность в правостороннюю при изменении и от 0,01 до —0,01.

В том же 1974 г. аналогичную работу опубликовал Картер [25]. В отличие от Клайнберга и Стегера он с самого начала переписал

уравнения Прандтля в терминах завихренности а> = -0- и функции

тока г|з, продифференцировав уравнение импульсов (1) по у:

Это, казалось бы, малосущественное изменение привело к значительному увеличению скорости сходимости итерационного процесса и избавило от необходимости использовать переходный шаблон в точках с малыми значениями и.

Картер, как и его предшественники Клайнберг и Стегер, рассматривал обратные задачи теории пограничного слоя — решение уравнений Прандтля строилось либо по заданному поверхностному трению х(х) = ю|у=о, либо по толщине вытеснения б (х). Чтобы перейти к решению прямой задачи о взаимодействии, Рубан [26] внес в метод Картера дополнительную процедуру: пересчет поверхностного трения в соответствии с условием взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Рассматривая процесс зарождения отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа около точки излома контура тела, он воспользовался известным следствием уравнения Прандтля

и, выразив в нем давление по формуле (5а), представил условие взаимодействия в виде

Итерационный процесс был организован следующим образом. Сначала по найденному на предыдущей итерации (или заданному в качестве нулевого приближения) распределению поверхностного трения «о/, 1 определяются значения завихренности ш/, * во внутренних точках расчетной сетки, как это делается в методе Картера. Затем интегрированием второго уравнения системы (9), дополненного условиями прилипания на стенке

находится функция тока.

Распределение толщины вытеснения можно теперь определить с помощью условия (4), переписав его в виде

и ах оу оуї ’ оу* ш'

Осталось воспользоваться условием взаимодействия (11). Если производную в левой его части представить в конечно-разностном виде со вторым порядком точности, то в результате будем иметь

4 1 2 .

«V, i = X Ш/’2--3~ 3-з~ У j •

Принципиальное значение имеет способ аппроксимации производной 6" в условии взаимодействия. Дело в том, что именно взаимодействие отвечает за передачу возмущений против потока в пограничном слое, не содержащем возвратных токов. Описать этот эффект позволяет центрально-разностное представление 8", обеспечивающее зависимость решения в области взаимодействия от значения толщины вытеснения на правой границе расчетной сетки.

Эллиотт и Смит [27] использовали переменный шаблон в рамках маршевого метода с пристрелкой параметра с в решении Лайтхилла (6) по условию затухания возмущений при Они рассмотрели

задачу об отрыве пограничного слоя около задней кромки плоской пластины, установленной под углом атаки к набегающему сверхзвуковому потоку. В результате решение Даниэльса [11] было продолжено в область значений угла атаки, соответствующих отрывному обтеканию верхней поверхности пластины.

Для расчета течений несжимаемой жидкости в области взаимодействия Картер, Уорном [28] и Рубан [29] использовали второй метод Картера [25], в которой решение уравнений пограничного слоя строится по заданной толщине вытеснения. При этом пересчет толщины вытеснения на каждой итерации они выполняли следуя методу Джоба и Бюргграфа [12]. Картер и Уорном рассмотрели отрыв, происходящий в углублении на поверхности тела, а Рубан — отрыв в окрестности точки излома контура тела [29] и вблизи задней кромки тонкого симметричного профиля [30]. Еще один пример применения этого метода представил Дикстра [3il], Он исследовал отрыв на поверхности ступени, имеющей гладкие обводы и обращенной против потока жидкости в пограничном слое.

Методы установления. Глобальные итерации по всему полю течения, с которыми связано решение задачи о взаимодействии, сближают описанные выше итерационные методы с методами установления, причем сходство между ними выражается не только в трудоемкости вычислений, но и, что особенно важно, в способе аппроксимации уравнений движения. Как правило, в основе метода установления лежит решение обычных нестационарных уравнений пограничного слоя, а для них необходимость в изменении конечно-разностного шаблона при изменении направления потока в пограничном слое прямо следует из условия Куранта.

Впервые метод установления был применен к решению задачи о взаимодействии в работе [32]. Ее авторы, Верле и Ватса, добавили в правую часть уравнения импульсов (1) искусственный нестационарный член h с варьируемым в процессе счета коэффициентом h и

искали решение стационарной задачи как предел нестационарной при стремлении t к бесконечности. Каждый шаг по времени они делили на два полушага, используя один из них для определения поля вектора скорости, а другой — для определения толщины вытеснения пограничного слоя. На первом полушаге t* = tn + М уравнение импульсов представлялось в форме

\ дуъ дх ду / \ йх ] At|2

где градиент давления вычисляется по формуле Аккерета р — .

Если, как и прежде, производные по у в левой части соотношения (12) представить центральными разностями, а для производной по х использовать левостороннюю разность при и", * > 0 и правостороннюю при 0) то в результате получится система алгебраических уравнений относительно м;, к •! Ее решение на каждой расчетной линии х = Х) можно построить методом прогонки.

Чтобы получить второй порядок аппроксимации в целом на каждом шаге, Верле и Ватса воспользовались на втором полушаге следующим соотношением:

(д* и ди ди \* ( <1р \п+1 , вп+1—5я ,10

\^-а^г-'и-ду)=\-£г) -ь—щ • (13

Используя для давления формулу Аккерета и полагая в (13) у = 0, получаем

(¿Мл+1 __ 2А 8я+1 /*“ Г_

,___, ____ „ _______,_______5*

\йх2 / М \ ду?) М

Осталось записать с помощью центральной разности и, применив

прогонку, найти распределение толщины вытеснения 3"+' в момент времени Ьп+Х .

Верле и Ватса применили свой метод к анализу отрыва пограничного слоя в окрестностй угловой точки контура тела. Они исходили из модельной постановки задачи о взаимодействии. Позднее Верле и Вердон [33] использовали этот метод при решении асимптотической задачи об отрыве сверхзвукового потока около задней кромки профиля с толщиной, а Наполитано, Верле и Дэвис [34] переформулировали его применительно к решению асимптотических уравнений теории взаимодействия в случае дозвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя. Первый полушаг они оставили без изменений, а на втором, используя соотношение (56) вместо (5а), получили интегральное уравнение для функции 8Л+1 . Сделано это было следующим образом. Если из (13) вычесть (12), считая А=1, то окажется, что

йР\П+Х_(ЛрУ . 5П+1 -25* + 8" н

ах 1 йх ) Д*/2  и ’

Подставляя (14) в интеграл теории тонкого профиля (8), продифференцированный предварительно по х, получаем

СО СО

«»71 =__!_ Г &1** Г ±"1- »• + »1 л$.

йх2 те Л 5 — х тсД£ 0 я •— х ' 7

— 00 —00

Решение этого уравнения, записанного в конечных разностях, можно получить обращением соответствующей матрицы. Однако более быстрым является прием, предложенный в [34]. Он заключается в выделении из интегральной суммы в правой части уравнения (15) трех главных членов, пропорциональных 8"1{, 8"+1 и 8/+11. Перенося их в

<Р 5П+1

левую часть этого уравнения и используя для —^— центральную

разность, получаем систему алгебраических уравнений:

1 . 2 1п 3\ 5,л+1 2 ^/1+1 I / 1 2 1 п 3\ т_т 11 \

Т* + ~ш) ^-----------Ш Ь< +

решение которой ищется методом последовательных приближений: оста-

(16), которое строится обычной прогонкой. Для обеспечения сходимости этого внутреннего итерационого процесса применяют нижнюю релаксацию с параметром г = 0,2-=-0,3.

Возможности своего метода Наполитано, Верле и Дэвис продемонстрировали, решив задачу об отрыве пограничного слоя в углублении на поверхности плоской пластины. Они, разумеется, смогли определить лишь предельное стационарное состояние потока. Исследовать нестационарные процессы, происходящие в области взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, позволяет метод Енсона, Бюргграфа и Риззетты [35, 36]. В качестве исходных уравнений движения они использовали обычные уравнения нестационарного пограничного слоя, ко-

„ , ,ч да

торые отличаются от уравнении (1) членом в левой части уравнения

импульсов. Дифференцируя это уравнение по у, можно записать задачу о взаимодействии (1) — (5а) в виде

Краевое условие для производной вихря на поверхности тела (у=0) представляет собой условие взаимодействия. Оно сформулировано здесь для сверхзвукового внешнего потока исходя из формулы Акке-рета (7) и соотношений (10), (4).

В качестве дополнительного краевого условия, определяющего коэффициент с перед собственной функцией в решении Лайтхилла (6), Енсон, Бюргграф и Риззетта использовали условия

Дело в том, что они рассматривали локальные зоны отрыва, образующиеся в окрестности угловой точки контура тела, полагая, что далеко вниз по течению от нее все возмущения затухают и профиль скорости возвращается к своему первоначальному состоянию и—у.

Каждый шаг по времени выполнялся в два приема. Сначала определялись значения вихря (О/,4*1 на новом слое по времени ¿л+1 во внутренних точках расчетной сетки, а затем — его распределение о)"+11 на обтекаемой поверхности. Эта вторая задача решалась с помощью условия взимодействия из (17). Если интеграл в его правой части представить по правилу трапеций, а для второй производной по х использовать центральную разность, то при всех / = 2,..., 1—1 будем иметь

ток интегральной суммы Н3- вычисляется по значениям §/ + 1 на предыдущей итерации, а новое приближение для 8"+1 находится из решения

<о|у = 0 = 1 При х -> + оо .

При известных значениях вихря во внутренних точках расчетной сетки эта система уравнений, дополненная условиями

может быть разрешена относительно со3,1 методом прогонки.

Учитывая, что условие взаимодействия приводит к серьезным ограничениям на шаг по времени в методе установления, Рубан [37] предложил трактовать его полностью неявным образом. С этой целью он разработал специальный прием, позволяющий решать задачи определения завихренности во внутренних точках поля течения и на поверхности обтекаемого тела не последовательно, одна за другой, а одновременно. Для уравнения импульсов из (17) использовалась следующая конечно-раз-ностная схема:

где I — sign [uj, k), т = sign {v", *) .

При заданном значении вихря на внешней границе вязкого слоя со = 1 эта система уравнений допускает применение прогонки в каждом сечении X = Xj

так что решение во внутренних точках расчетной сетки оказывается линейно зависящим от “/Д1-.

Этим же свойством обладает и толщина вытеснения вязкого слоя

После решения этой системы уравнений, а оно строится прогонкой, можно вернуться к формуле (18) и восстановить ш во всем поле течения.

Описанный метод позволил Рубану [37] исследовать процесс формирования локальной зоны отрыва в пограничном слое при падении на него скачка уплотнения. Жук и Рыжов [38, 39] использовали его при анализе отрыва, происходящего из-под скачка, который перемещается вдоль обтекаемой поверхности. Позднее Кравцова и Рубан [40] применили этот метод для расчета отрыва пограничного слоя перед

+ к.

О

Подставляя (19) в правую часть условия взаимодействия (17) и используя соотношение (18) для записи производной через а»"*1,

где

dj—F* h.= 9F. -и -=±- П _ А , r.= F,+u

донным срезом контура тела, а Жук [41] — для изучения структуры течения в области взаимодействия на проницаемой поверхности, когда через стенку осуществляется вдув или отсос газа.

Чтобы перейти к течениям несжимаемой жидкости, Королев заменил формулу Аккерета в условии взаимодействия интегралом теории тонкого профиля. В результате вместо (20) было получено интегральное уравнение, определяющее распределение вихря вдоль стенки. Его решение на каждом шаге по времени строилось методом последовательных приближений. Этот подход Королев использовал для решения задачи Сычева [3] о ламинарном отрыве на гладком участке контура тела [42], а также для исследования симметричного отрыва около задней кромки тонкого эллиптического профиля [43].

Быстрые итерационные методы. При дозвуковой скорости на внешней границе пограничного слоя применение метода установления для расчета течения в области взаимодействия сопряжено с необходимостью принятия специальных мер для подавления возникающих в решении осцилляций. Их появление связано не с тем или иным способом конечно-разностной аппроксимации уравнений теории взаимодействия, а с фундаментальными свойствами самих этих уравнений. Как было показано Смитом [44], Жуком, Рыжовым [45] и Михайловым [46], «дозвуковая» теория взаимодействия описывает реальные колебания потока — волны Толлмина — Шлихтинга на нижней ветви кривой устойчивости пограничного слоя.

Эти волны представляют собой существенно нестационарную форму движения жидкости. Они не могут появиться, если расчет течения ведется с помощью итерационного метода, основанного на стационарных уравнениях теории взаимодействия. Именно таким является метод Картера, Уорнома [28], Рубана [29[. Его называют «обратным» итерационным методом, поскольку на каждой итерации расчет течения внутри пограничного слоя в этом методе выполняется не по заданному распределению давления, а по толщине вытеснения пограничного слоя б”. Что же касается давления, то оно находится как часть решения этой задачи и затем используется в качестве исходных данных для внешнего невязкого потока. Здесь также решается обратная задача — новое распределение толщины вытеснения б* находится по формуле (8). Напомним, что этот итерационный процесс удается сделать сходящимся лишь благодаря нижней релаксации

8"+1 = гЬ* + (1 — г) 8",

где параметр г зависит от конкретной рассматриваемой задачи, но во всех случаях, когда речь идет о течениях с достаточно протяженной областью отрыва, г не удается поднять выше 0,1.

Исправить дело позволяет изменение подхода к внешнему невязкому потоку, предусмотренное в «полуобратном» методе. Его авторы, Ле Балле [47] и Картер [48, 49], сохранили процедуру расчета течения внутри пограничного слоя неизменной, а во внешнем потоке перешли от решения обратной задачи к решению прямой. На каждой итерации по заданному распределению толщины вытеснения бп(х) они определяли сразу две функции давления: одну pv(x)—из уравнений пограничного слоя и вторую п(х) — из анализа внешнего невязкого потока. Ясно, что они не совпадают друг с другом, и задача заключается в том, чтобы по 8п и разности давлений ръ—найти новое распределение толщины вытеснения 8П+1 (х), при которой эта разность станет меньше.

Формула пересчета, которую предложил Ле Балле, оказалась не вполне удачной. Она не избавляет от необходимости применения нижней релаксации в итерационном процессе. Если же использовать формулу Картера

где ие(х) —скорость на внешней границе пограничного слоя, то расчет можно выполнять с верхней релаксацией

обеспечивающей наиболее быструю сходимость итерационного процесса при г=\,2~ 1,8.

Еще одно преимущество полуобратного метода заключается в том, что он позволяет включать в программу расчета готовый блок, предназначенный для решения обычной задачи обтекания твердого тела невязким потоком. Такая возможность была продемонстрирована еще в первой работе Картера [48], посвященной отрыву трансзвукового потока вблизи линии сопряжения эллипсоида с круговым цилиндром. Полуобратный метод использовался и при решении других задач теории взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком. В частности, Квон и Плетчер [50] применили его к анализу отрыва в средней части крылового профиля, а Дэвис и Картер [51] — при исследовании коротких зон отрыва на передней кромке профиля. И в том, и в другом случае учитывалась потеря устойчивости отрывного течения и переход к турбулентности перед точкой присоединения.

Если речь идет о скорости сходимости итерационного процесса, то в этом отношении и обратный, и полуобратный метод значительно уступают «квазиодновременному» методу Велдмана [52, 53]. По своей организации он напоминает ранние методы расчета сверхзвуковых течений в области взаимодействия [1, 2, 7—11], когда решение уравнений пограничного слоя строится последовательно шаг за шагом по сечениям х—хз'. В каждом таком сечении давление р3- определяется одновременно с толщиной вытеснения 6.„ исходя из условия взаимодействия (5а). При дозвуковой скорости внешнего течения это условие выражается интегралом теории тонкого профиля (56). Для его представления в дискретной форме Велдман [52] использовал простое правило прямоугольников, согласно которому на каждом интервале (Хг, *¿+1) подынтегральное выражение считается постоянным и берется в средней точке интеграла интегрирования:

5«+1 =г8"-^- + (1 ~г)Ьп,

і п

'Є, ІП

Если представить 8,'+і/2 как

то для давления в точке х, будем иметь

N-1

---------!-------- й. =_____________—________

(/ —у)2 — 1/4 ’ Р/ N — у — 1/2

В методе Велдмана принципиальное значение имеет способ, посредством которого условие взаимодействия (21) используется при решении уравнений пограничного слоя. Как и прежде, это решение строится последовательно по сечениям X]. Но теперь ни давление р> ни толщина вытеснения 8^ не заданы заранее. Вместо этого между ними устанавливается линейная связь:

+ (22*

I =2 /=/-4-1

Как следствие эллиптичности уравнений для внешнего невязкого потока, правая часть соотношения (22) включает в себя суммирование не только по точкам с i<j, где решение уже построено, но и вниз по течению от X]. Это приводит к необходимости осуществления глобальных итераций. В методе Велдмана они выполняются с использованием верхней релаксации: после того, как решение уравнений пограничного слоя, дополненных условием (22), получено при всех /, новое приближение для толщины вытеснения пересчитывается по формуле

8"+1 = гЬ]+1 Н- (1 — г) 8"

с г = 1,5.

Применив квазиодновременный метод к расчету отрыва пограничного слоя в углублении на поверхности плоской пластины, Велдман и Дикстра [53] обнаружили, что он обеспечивает сходимость с точностью до

шах | 8“+1 — 8" | < 10~4 /

за 17 глобальных итераций. Для решения этой же задачи обратным методом Картеру и Уорному [28] потребовалось 64 итерации, а Квон ж Плетчер [50], использовавшие полуобратный метод, получили ее решение за 16 итераций, правда с точностью до

тах | 8"+1 - 8" | < 5-10-4.

/

Цебеси, Стюартсон и Вильямс [54] использовали метод Велдмана-для анализа коротких зон отрыва, возникающих на передней кромке тонкого крылового профиля. Смит и Меркин [55] применили его для решения асимптотических уравнений теории взаимодействия. Они рассмотрели отрыв, происходящий в потоке несжимаемой жидкости вблизи точки излома контура тела, около клиновидной задней кромки тонкого профиля и в некоторых других ситуациях.

Подробное сравнение квазиодновременного метода с полуобрат-ным было выполнено Дэвисом и Верле [56] на примере решения задачи об обтекании задней кромки плоской пластины. Эта работа содержит также результаты расчета отрыва пограничного слоя около эллиптической задней кромки тонкого профиля и в углублении на плоской поверхности. Дэвис и Верле внесли в процедуру расчета ряд усовершенствований. Особенно интересен использованный ими способ представления условия взаимодействия. Поскольку речь шла о модельной задаче для области взаимодействия, интеграл теории тонкого профиля они записали в виде

И

— ОО

Скорость сходимости глобальных итераций в квазиодновременном методе непосредственно связана с формой зависимости давления р] или,,

2—«Ученые записки» № 5

1Т

что то же самое, — продольной составляющей вектора скорости ыез- от толщины вытеснения бз в рассматриваемом сечении пограничного слоя. В связи с этим возникает стремление по возможности «усилить» вклад окрестности особой точки я = х в конечно-разностном представлении интеграла (23). Чтобы достичь этой дели, Дэвис и Верле [56] сначала произвели в (23) интегрирование по частям и представили результат в следующем символическом виде

имеет ярко выраженный максимум в точке с £=/.

Дэвис и Верле использовали эту формулу как в полуобратном методе, так и в квазиодновременном, причем в последнем случае она рассматривалась совместно с соотношением

которое определяет асимптотическое поведение поперечной составляющей вектора скорости V на внешней границе пограничного слоя.

Если переписать (24) по аналогии с (22) в виде

исключить из нее (ие5)з с помощью (26), то в результате получим соотношение

Оно позволяет однозначным образом разрешить уравнения пограничного СЛОЯ В СеЧеНИИ Ху

Построенный таким образом квазиодновременный метод использовался Дэвисом [57] для анализа отрыва пограничного слоя в окрестности точки излома контура тела и на параболическом выступе из плоской поверхности.

Более серьезной модернизации этот метод был подвергнут в работе Эдвардса и Картера [58], посвященной анализу течений со сложной геометрией, когда решение во внешнем невязком потоке уже не может быть представлено интегралом теории тонкого профиля. Вместо него Эдвардс и Картер использовали уравнение Лапласа для функции тока невязкого течения 1()*. Это уравнение записывалось в криволинейной

Считая далее иеЬ постоянным на каждом интервале х1—Дх,

х1 -|- Ах 1 и совпадающим с (и^В),-, они пришли к формуле

в которой сеточная функция

& (1 /) — 1 _ 4 (/ _ у)2

ди а , *ч ч-У-5? ПРИ

и^ = а.(иеЪ)1+ Ь и, представив правую часть в (25) левосторонней разностью

ди (ие )у (ие^)/—1

(Че 8)у -(ие Ах

15 Применительно к течениям с трансзвуковой скоростью на внешней границе пограничного слоя такой же подход развивался Хювиком Велдманом [59].

системе координат, выбор которой зависит от конкретной задачи. Однако во всех случаях ось л: удобно совместить с поверхностью обтекаемого тела, и тогда условие сращивания с решением внутри пограничного слоя запишется как

ф

Если представить производные в уравнении Лапласа центральными разностями, то для значений функции тока в узлах расчетной сетки, лежащих на линии х = х^, получится система уравнений следующего вида:

аь 'Ъ, ь-\ + Ьь ф/, к + ск ф/, к +1 йк = 0.

Ее решение строится прогонкой

ф/, * = Як 'Ь, к-1 + (Зк

Воспользуемся условием (27) и, продифференцировав г|з по нормали к поверхности тела, найдем продольную составляющую вектора скорости на внешней границе пограничного слоя ие1 как функцию б3-. Поскольку эта функция является линейной

ие] = а8;. + Ь,

задача для пограничного слоя сводится к рассмотренной ранее.

Эдвардс и Картер применили описанный метод к расчету отрыва пограничного слоя на стенках расширяющегося канала. Вторая рассмотренная ими задача — это отрыв потока несжимаемой жидкости в углублении на поверхности плоской пластины. Вслед за Картером и Уорномом [28] его изучали многие исследователи, использовавшие эту задачу в качестве теста для проверки разрабатываемых численных методов.

Гораздо более сложным делом является расчет пространственных течений в области взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. Исследования на эту тему еще только разворачиваются, и поэтому сошлемся здесь лишь на две работы. Первая из них, выполненная Бо-дони.и Даком [60], посвящена применению квазиодновременного метода для расчета трехмерного отрыва в пограничном слое. Авторы второй работы — Карась и Ковалев [61] — использовали для этой же цели полуобратный метод.

Спектральный метод. Совсем другие принципы организации итерационного процесса лежат в основе спектрального метода. Бюргграф и Дак [62] постарались реализовать в нем те преимущества, которые дает применение операционных методов в асимптотической теории взаимодействия. Как известно, с операционными методами связано одно из наиболее плодотворных направлений в этой теории. Его основоположником явился Стюартсон [63], который еще в 1970 г., используя преобразование Фурье, построил в аналитическом виде решение линейной задачи обтекания угловой точки контура тела. Искомые функции течения он представил в виде

и=у + и', ю = <и\ р = р’, 8 = 8',

и в соответствии с этим переписал задачу о взаимодействии (1) — (5) следующим образом:

д2и' диг , йр' ____________ ди' дь'

ду2 У дх ^ йх дх “Ь ду

,= _1_ + ,

" я } в — X ’

= 0;

и' = ю' — 0 при у = О, и' -»О при х -» ± оо , и' -»— 8' при у-*+оо.

Для определенности здесь рассмотрен случай течения несжимаемой жидкости, когда условие взаимодействия выражается интегралом (56). Правая часть в уравнении импульсов определяется как

„ . ди' , , ди'

* = и ЛГ + Т5Г’

а через У0(х) обозначена функция, которая задает форму обтекаемой поверхности

У0 = 0 при х<0, 70 = вх при х> 0,

где 0 — угол поворота касательной к контуру тела в угловой точке, отнесенный к а112 Ке-13; а — безразмерное поверхностное трение в решении Блазиуса: а = 0,3321.

Если 0 = 0, то течение в области взаимодействия остается невозмущенным:

« = у, ^ = /7 = 8 = 0.

Если же 0 отлично от нуля, но мало по сравнению с единицей, то все функции, обозначенные штрихом, пропорциональны 0, а # является величиной порядка 02. Отбросив на этом основании правую часть в уравнении импульсов и замечая, что коэффициенты в полученном таким образом линейном уравнении не зависят от х, Стюартсон применил к задаче о взаимодействии преобразование Фурье. Вместо функций и', V', р', 8' были введены их Фурье-изображения и, V, р, 8 по правилу

ОО

а = (х, у) е~1кх ¿х.

%/

— оо

В результате уравнения и краевые условия для вязкого пристеночного-слоя преобразуются к виду

и -Игуи. — V — Игр = 0; I

¿у2

§ + 1кп = 0; .!

и = V — 0 при 3'=0, и= — 8 при у = оо , ,

а интеграл теории тонкого профиля удается заменить простым алгебраическим соотношением

р=-\к\{1+У0).

Если продифференцировать первое уравнение в (29) по у и исключить из него V, используя второе уравнение, то для производной с1и/с1у получится уравнение

(Р ( йи\ йи п

~1у* \~йу" / _ У ~1у = ’

которое заменой независимой переменной г= (Иг)113у сводится к уравнению Эйри. Как известно, уравнение Эйри имет два линейно независимых решения. Одно из них, функция Эйри А1 (г), стремится к нулю-

при 2-^оо, а второе Ш(г) экспоненциально возрастает. Поэтому, принимая во внимание ограниченность и при у—>- следует положить

|-=сАЦг).

Коэффициент с в этой формуле можно определить, рассматривая первое уравнение системы (29) при у=0:

с А*'

Осталось проинтегрировать (30) с учетом условия прилипания на по-

верхности тела

^ <32>

о

и, перейдя к пределу при 2->оо, удовлетворить условию на внешней границе пристеночного слоя. Поскольку интеграл от функции Эйри на интервале [0, оо) равен 1/3, то в результате получим, что

туг \k\Yo

8=

Эта формула вместе с (31), (32) как раз и дает решение задачи о взаимодействии в пространстве Фурье-изображений.

Бюргграф и Дак {62] обобщили описанную процедуру на случай нелинейных возмущений, когда функция Р в правой части уравнения импульсов из (28) не является малой по сравнению с остальными членами этого уравнения. Решение задачи о взаимодействии они предложили искать с помощью метода последовательных приближений, в котором уравнение импульсов трактуется как

—

ду2 - дх с1х

а все остальные соотношения, входящие в формулировку задачи о взаимодействии (28), целиком рассматриваются на новом итерационном слое.

Дифференцируя уравнение (33) по у и применяя к нему преобра-зование Фурье по х, получим для Фурье-изображения вихря а/ = следующее уравнение:

¿2 (йП-И — в + 1 / г (Эй/ ¿(У

¿у2 ^ дх 1 ду

Его решение, удовлетворяющее условию 0)п+1 ч. о при у ОО , можно (после замены независимой переменной 2 = (г&)1/3у) представить в виде

ш"+1 (г) = с А1 (2) + А1 (г) | | g (з) А! (я) ¿я,

О со

где

и тогда задача, как и прежде, сведется к определению коэффициента с перед функцией Эйри. Однако в данном случае более удобно, представив вторую производную в левой части этого уравнения централь-

ной разностью, воспользоваться для его решения_прогонкой, которая позволяет выразить Фурье-изображение вихря «>й+1 во внутренних

точках расчетной сетки ук через его значение и>"+1 на поверхности обтекаемого тела

«2+1 = + Яш, ¿ = 2, ... , К. (35>

Для определения ш?+1 необходимо выполнить те же действия, что

и при решении линейной задачи, т. е. рассмотреть уравнение (33) при у = 0:

№-„1Г+_в1 = ^.+., (36>

(1а

йу

у=0 Ду

и, составив формулу, аналогичную (19),

«"+1 = /?й?+1 + О

удовлетворить условию на внешней границе вязкого пристеночного слоя:

/^+1 + 0 = Ап+1 =р"+11\к\ +

Осталось разрешить (36) и (37) относительно <о”+1 и, воспользовавшись рекуррентной формулой (35), найти распределение а>”+1 поперек всего вязкого слоя. Чтобы ускорить вычислительный процесс, Бюргграф и Дак [62] применяли алгоритм быстрого преобразования Фурье как для вычислений правой части в уравнении (34), так и для обращения <о*+1 при всех значениях у и-

В работе [62] спектральный метод использовался для анализа отрыва пограничного слоя в окрестности неровности на поверхности плоской пластины —выступа или впадины. Позднее он был обобщен на случай трехмерных течений в области взаимодействия [64]. Простота,, с которой осуществляется это обобщение, выгодно отличает спектральный метод от других методов решения задачи о взаимодействии. Дак использовал этот метод для анализа нестационарных течений в области взаимодействия. В работе [65] он рассмотрел с его помощью процесс формирования волнового пакета в пограничном слое, при внезапной деформации контура тела, а в работе [66] исследовал явление рассеяния акустических волн на локальной неровности обтекаемой поверхности.

Завершая данный обзор, обратим внимание на еще один чрезвычайно любопытный метод. Он принадлежит Королеву и носит название прямого численного метода решения задачи о взаимодействии. Учитывая, что его подробное изложение содержится в монографии [67], а также в статье Королева [68], мы не будем здесь останавливаться на описании этого метода, а ограничимся лишь краткой его характеристикой.

Прямой метод основан на записи алгебраических уравнений, получаемых в результате конечно-разностной аппроксимации уравнений пограничного слоя, условия взаимодействия и краевых условий, в форме единой системы. Ее решение строится с помощью метода Ньютона. Такой подход, конечно же, является довольно сложным по организации, но в нем не возникает проблемы сходимости итераций или, точнее говоря, она не стоит так остро, как в других методах. Используя этот метод, удается получить решение с точностью до 10-6 всего за 5 —6 итераций.

В работе [68] Королев изложил свой метод на примере задачи об отрыве пограничного слоя вблизи выступа на поверхности плоской пла-

стины. Однако основное его предназначение — это анализ наиболее сложных явлений, связанных с отрывом потока, таких, например, как гистерезис отрывного обтекания или вторичный отрыв пограничного слоя. Именно эти проблемы и были рассмотрены Королевым в работе [69], которая посвящена отрыву пограничного слоя вблизи задней кромки плоской пластины в потоке несжимаемой жидкости. Как было> установлено, локальная зона отрыва, образующаяся на верхней поверхности пластины, может существовать лишь при условии, что угол атаки не превосходит некоторого критического значения. При этом возможными оказываются две формы обтекания задней кромки.

ЛИТЕРАТУРА

1. НейландВ. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

2. Stew art son К., Williams P. G. Self-induced separation.—

Proc. Ray. Soc. London, Ser. A, 1969, vol. 312, N 1509.

3. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ,

1972, № 3.

4. G о 1 d s t е i n S. On laminar boundary-layer flow near a position of separation. — Quart. J. Mech. Appl. Math., 1948, vol. 1, pt. 1.

5. L i g h t h i 11 M. J. On boundary layers and upstream influence II. Supersonic flows without separation. — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A,

1953, vol. 217, N 1131.

6. Crank J., Nicolson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat — conduction type. — Proc. Camb. Phil. Soc., 1947, vol. 43, pt. 1.

7. H e й л а н д В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 3.

8. Н е й л а н д В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений.—Труды ЦАГИ, 1974, вып. 1529.

9. Н е й л а н д В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем — Изв. АН СССР, МЖГ„

1971, № 4.

10. D a n i е 1 s P. G. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge of a flat plate. — Quart. J. Mech. Appl.

Math., 1974, vol. 27, pt. 2.

11. Daniels P. G. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge of a flat plate at incidence. — J. Fluid Mech., 1974, vol. 63, pt. 4.

12. J о b e С. E., В u r g g r a f O. R. The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow. — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A,.

1974, vol. 340, N 1620.

13. Chow R., Melnik R. E. Numerical solutions of the triple-deck equations for laminar trailing-edge stall. — Proc. 5th Int. Conf. Num. Meth.. in Fluid Dyn., Lecture Notes in Phys., 1977, vol. 59.

14. Reyhner T. A., F 1 ii g g e-L о t z I. The interaction of a shock wave with a laminar boundary layer.— Int. J. Non-Linear Meth., 1968,. vol. 3, N 2.

15. Werle M. J., Polak A., Bertke S. D. Supersonic boundary layer separation and reattachment. Finite-difference solutions. — Rept.

AFL 72-12-1, Dept, of Aeronaut. Eng., Univ. of Cincinnati.

16. Williams P. G. A revers flow computation in the theory of self-induced separation. — Proc. 4th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn.,. Lecture Notes in Phys., 1975, vol. 35.

17. S m i t h F. T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface. — Proc. Roy. Soc. London, Ser A, 1977, vol. 356, N 1687.

18. Gittler Ph., Kluwick A. Triple-deck solutions for supersonic flows past flared cylinders. — J. Fluid Mech., 1987, vol. 179.

19. К 1 u w i с k A., Gittler Ph., В о d о n у i R. J. Freely interacting axisymmetric boundary layers on bodies of revolution. — Quart. J..

Mech. Appl. Math., 1985, vol. 38, pt. 4.

20. Smith F. Т., Duck P. W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall.—Quart. J. Mech. Appl. Math., 1977, vol. 30, pt. 2.

21. Merkin J. H., Smith F. T. Free convection boundary layers near corners and sharp trailing edges. — Z. angew. Meth. Phys., 1982, vol. 33, Nr.l.

22. S m i t h F. T. A note on a wall jet negotiating a trailing edge. — Quart. J. Mech. Appl. Math., 1978, vol. 31, pt. 4.

23. M u r m a n E. М., Cole J. D. Calculation of plane steady transonic flows. — AIAA Paper, N 70-188.

24. Klin eb erg J. М., Steger J. L. On laminar boundary-layer separation. — AIAA Paper, N 74-94.

25. Carter J. E. Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment. — AIAA Paper, N 74-583.

26. P у б а н А. И. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 2.

27. Elliott J. W., Smith F. Т. Separated supersonic flow past a trailing edge at incidence. — Int. J. Comput. and Fluids, 1986, vol. 14, N 2.

28. Carter J. E., W о r n о m S. F. Solutions for incompressible separated boundary layers including viscous-inviscid interaction. — NASA SP 347, Aerodynamic Analyses Requiring Advanced Computers, Part 1, 1975.

29. Py б а н А. И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 4.

30. Рубан А. И. К асимптотической теории течения вблизи задней кромки тонкого профиля. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 1.

31. Dijkstra D. Separating, incompressible, laminar boundary-layer flow over a smooth step of small height. — Proc. 6th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn., Lecture Notes in Phys., 1979, vol. 90.

32. Werle M. J., Vats a V. (N. New method for supersonic bounda-,ту-1ауег separation. — AIAA J., 1974, vol. 12, N 11.

33. W e r 1 e M. J., V e r d о n J. M. Solutions for supersonic trailing ledges including separation. — AIAA Paper, N 79-1544.

34. Napolitano М., Werle M. J., Davis R. T. Numerical •technique for triple-deck problem. —AIAA J., 1979, vol. 17, N 7.

35. J e n s о n R., В u r g g r a f O. R., R i z z e 11 a D. P. Asymptotic solution for supersonic viscous flow past a compression coner. — Proc. 4th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn., Lecture Notes in Phys., 1975, vol. 35.

36. Rizzetta D. P., Burggraf O. R., Jenson R. Triple-deck solutions for viscous supersonic and hypersonic flow past coners. — J. Fluid Mech., 1978, vol. 89, pt. 3.

37. P у б а н А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, № 5.

38. Жук В. И., Рыжов О. С. О пограничном слое с самоиндуци-рованным давлением на движущейся поверхности. — Докл. АН СССР,

1979, т. 248, № 2.

39. Жук В. И. О локальных рециркуляционных зонах в сверхзвуковом пограничном слое на движущейся поверхности. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т. 22, № 5.

40. Кравцова М. А., Рубан А. И. Отрыв сверхзвукового пограничного слоя перед донным срезом контура тела.—Ж. вычисл. матем. л матем. физ., 1988, т. 28, № 4.

41. Жук В. И. О течении в области свободного взаимодействия около проницаемого участка стенки. — Ж. вычис. матем. и матем. физ., 1988, т. 28, № 6.

42. Королев Г. Л. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. II № 2.

43. К о р о л е в Г. Л. К асимптотической теории течения вблизи задней кромки эллиптического профиля. Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. II, № 4.

44. S m i t h F. T. On the non-parallel flow stability of the Blasius boundary layer. — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 1979, vol. 366, N 1724.

45. Ж у к В. И., Р ы ж к о в О. С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — ДАН СССР,

1980, т. 253, № 6.

46. М и х а й л о в В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.

47. L e Bailer J. C. Couplage visqueux- non visqueux: methode numerique et applications aux ecoulements bidimensionnels transsoniques et supersoniques. — La Recherche Aerospatiale, 1978, vol. 183.

48. С a r t e r J. E. A new boundary-layer interaction technique for separated flows. — NASA TM-78690, 1978.

49. С a r t e r J. E. A new boundary-layer inviscid iteration technique for separated flow. — AIAA Paper 79-1450, 1979.

50. К w о n О. К., P 1 e t с h e r R. H. Prediction of incompressible separated boundary layers including viscous-inviscid interaction. — Trans. ASME, J. Fluids Eng., 1979, vol. 101, N 4.

51. Davis R. L., Carter J. E. Counterrotating streamline pattern in a transitional separation bubble.—AIAiA J., 1986, vol. 24, N 5.

52. V e 1 d m a n A. E. P. New, quasi-simultaneous method to calculate interacting boundary layers. — AIAA J., 1981, vol. 19, N 1.

53. Veld man A. E. P., Dijkstra D. A fast method to solve incompressible boundary-layer interaction problems. — Proc. 7th. Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn., Lecture Notes in Phys., 1981, vol. 141.

54. С e b e с 'i Т., Stewartson K., Williams P. G. Separation and reattachment near the leading edge of a thin airfoil at incidence. — AGARD CP N 291, Paper 20, 1981.

55. Smith F. Т., Merkin J. H. Triple-deck solutions for subsonic flow past humps, steps, -concave or convex corners and wedged trailing edges. — Int. J. Comput. Fluids, 1982, vol. 10, N 1.

56. D a v i s R. Т., Werle M. J. Progress on interacting boundary-layer computations at high Reynolds number. — Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows/ed. T. Cebeci, Springer—Verlag, 1982.

57. D a v i s R. T. A procedure for solving the compressible interacting boundary-layer equations for subsonic and supersonic flows. — AIAA Paper N 84-1614.

58. E d w a r d s D. E., Carter J. E. A quasi-simultaneous finite difference approach for strongly interacting flows. — Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows/ed. T. Cebeci, Springer—Verlag, 1986.

59. H о u w i n к R., V e 1 d m a n A. E. P. Steady and unsteady separated flows computations for transonic airfoils.—AIAA Paper N 84-1618.

60. В о d о n у i R. J., Duck P. W. A numerical method for treating strongly interactive three-dimensional viscous-inviscid flows. — Int. J. Comput. and Fluids, 1988, vol. 16, N 3.

61. Карась О. В., Ковалев В. Е. Применение обратного метода расчета трехмерного пограничного слоя к задаче обтекания крыла с учетом влияния вязкости. — Ученые записки ЦАГИ, 1989, т. 20, № 5.

62. В u г g g г a f О. R., Duck P. W. Spectral computation of tripledeck flows. — Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows/ed. T. Cebeci, Springer—Verlag, 1982.

63. Stewartson K. On laminar boundary layer near corners. — Quart. J. Mech. Appl. Meth., 1970, vol. 23, pt. 2.

64. D u с k P. W., Burggraf O. R. Spectral solutions for three-dimensional triple-deck flow over surface topography. — J. Fluid Mech., 1986, vol. 162.

65. Duck P. W. Laminar flow over unsteady humps: the formations of waves. — J. Fluid Mech., 1985, vol. 160.

66. Duck P. W. The effect of small surface perturbations on the pulsatile boundary layer on a semi-infinite flat plate. — J. Fluid Mech., 1988, vol. 197.

67. Сычев В. В., Рубан А. И., Сычев Вик. В., Королев Г. Л. Асимптотическая теория отрывных течений. —М.: Наука, 1987.

68. Королев Г. Л. Об одном методе решения задач асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, — Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987, т. 27, № 8.

69. Королев Г. Л. К теории отрывного обтекания задней кромки тонкого профиля. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1989, № 4.

Рукопись поступила 27/Ш 1990 г.