Исследование методов определения частоты однотонального сигнала

энергии. Существующее понятие реактивной энергии не отражает полностью процессов, происходящих в электрических цепях.

2. Предлагается отдельно учитывать составляющую мощности, обусловленной высшими гармониками сигнала, а реактивную (обменную) мощность определять только на основной гармонике.

3. Мощность искажений предлагается определять из токовых искажений мощности, искажений мощности, вызванных искажениями напряжения и полной мощности высокочастотных гармоник.

4. При наличии несимметрии необходимо учитывать мощность несимметрии, которая характеризует дополнительные потери энергии, связанные с неравномерным распределением тока по фазам многофазной цепи.

Список литературы

1. Баков, Ю. В. Мощность переменного тока [Текст] / Ю. В. Баков / Ивановский гос. энерг. ун-т. - Иваново. 1999. - 200 с.

2. IEEE Trial Use Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Non-Sinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions: IEEE Std 1459-2000. -IEEE, 2002. - 52 p.

3. Аррилага, Дж. Еармоники в электрических системах [Текст] / Дж. Аррилага, Д. Бред-ли, П. Боджер. -М.: Энергоатомиздат, 1990. -320 с.

4. Жежеленко, И. В. О методах расчета реактивной мощности при несинусоидальных режимах [Текст] / И. В. Жежеленко, Ю. J1. Саенко // Промышленная энергетика. - 1985-№12. -С. 44-48.

5. Мельников, Н.А. Реактивная мощность в электрических сетях [Текст] / Н. А. Мельников. -М.: Энергия, 1975. - 128 с.

6. Дрехслер, Р. Измерение и оценка качества электроэнергии при несимметричной и нелинейной нагрузке [Текст] / Р. Дрехслер. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 112 с.

7. Маевский, О. А. Энергетические показатели вентильных преобразователей [Текст] / О. А. Маевский. - М.: Энергия, 1978. - 320 с.

8. Машкин А. Е. Мощность искажения в системах тягового электроснабжения [Текст] / А. Е. Машкин // Электрика. - 2006. - № 6. - С. 29 - 33.

9. Кадомский, Д. Е. Активная и реактивная мощности - характеристики средних значений работы и энергии периодического электромагнитного поля в элементах нелинейных цепей [Текст] / Д. Е. Кадомский // Электричество. - 1987. - № 7. - С. 39-43.

УДК 519.65

Е. А. Альтман, Д. А. Елизаров

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ ОДНОТОНАЛЬНОГО СИГНАЛА

В статье произведен анализ эффективности методов определения частоты однотонального сигнала. В работе рассматрены алгоритмы: метод Якобсена (Jacobsen's Modified Quadratic Estimator), метод Маклеода (Macleod's Estimator), два метода Квина (Ouinn's Estimator, Ouinn's Second Estimator) и метод корреляционных функций. Для всех методов произведена оценка точности определения частоты при различных уровнях шума.

Определение параметров спектра сигналов в тяговой сети железнодорожного транспорта является важным элементом контроля качества электрической энергии и, как следствие,

важной составляющей систем повышения энергоэффективности. Сигналы в указанных сетях имеют ярко выраженную основную гармонику с частотой, используемой в промышленных сетях, т. е. с некоторыми ограничениями эти сигналы его можно считать однотональными. В статье рассматривается проблемы определения частоты по ограниченному количеству отсчетов сигнала.

Основным инструментом для решения данной проблемы является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Однако ДПФ не способно точно определить частоту сигнала, когда максимум ДПФ не совпадает с положением основной гармоники сигнала, что наглядно отражено на рисунке 1.

Рисунок 1 - Случай несовпадения максимума дискретного преобразования Фурье и непрерывного спектра сигнала

На рисунке 1 номера максимального отсчета ДПФ и двух соседних обозначены как к, к +1 и к-1 соответственно. Частота основной гармоники сигнала обозначенна как к к,

разность между максимальным отсчетом ДПФ и частотой основной гармоники сигнала - д .

Частота сигнала является его базовым параметром, от которого определение нахождение амплитуды и фазы. В статье производится сравнительный анализ методов, оценивающих частоту сигнала, заданного набором дискретных отсчетов.

Рассмотрим периодический сигнал s(t) с периодом Ts и спектром, ограниченным N-й гармоникой и «белым шумом» ц(t):

v=N

s(t)=х Д'cos

v=0

2 n

Т..

-v-t + cpv

+ 77(0,

где Ау и с/), - амплитуда и фаза у-й гармоники.

Для определения номера отсчета максимума ДПФ необходимо определить параметр 5, который может быть как положительным, так и отрицательным, а затем, зная параметр 5, можно определить частоту и другие параметры сигнала.

Параметр 5 является разностью между положением отсчета максимальной частоты, найденного с использованием ДПФ, и положением гармоники истинной максимальной частоты. Положение гармоники истинной максимальной частоты и частота определяются по форму-

kpeak=k + S',

Ю4 ИЗВЕСТИЯ TpaHCCiTOa | ЦЩ

f = k

peak

L

N

где fs - частота дискретизации;

N - число точек ДПФ.

1. Метод Якобсена (Jacobsen's Modified Quadratic Estimator).

Все методы, кроме метода корреляционных функций, являются интерполяционными алгоритмами для нахождения параметров сигнала. Сутью метода интерполирования является нахождение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений, т. е. кривая построенной функции должна точно пройти через имеющиеся точки данных.

В методе Якобсена положение максимального коэффициента сигнала определяется с использованием двух смежных коэффициентов ДПФ. В качестве интерполируемой функции выступает квадратичная функция, графиком которой является парабола, которая близка к спектру функции исследуемого сигнала (вершина параболы и максимальное значение спектра делят графики пополам).

Обозначим для квадратичной функции у максимальный коэффициент функции у(к) и истинный коэффициент, достигнутый в максимуме у{к + 8). Тогда значение функции у в выбранных точках к-1, к и к +1 можно описать так:

у(к-\) = а(к-\-3)2 +Ъ;

у(к) = а{к-8)2 + Ъ ; у(к + \) = а(к + \-8)2 +Ъ.

Установив параметр к равным 0, получим выражение для расчета 8:

0,5 {у{к +1) - у{к -1))

8 =

2 v

Далее произведем простую адаптацию формулы (5) для возможности оценки частоты комплексных значений ДПФ:

Г ( /7 П /7 1ч\ Л

8= Re

Используя формулы (2) - (3), определяем номер отсчета максимальной частоты и частоту сигнала.

2. Методы Квина (Quinn's Estimator, Quinn's Second Estimator).

Первый метод Квина подробно описан в работах [3, 6], он основан на выборе одной из двух оценок - 5i и §2, в зависимости от значений соседних точек ДПФ:

Re

У{к)

I - Re

У

Re

¿2 =

У{к)

1 - Re

У

Если получившиеся значения 5i и §2 больше 0, то искомое значение 8 равно 82, в противном случае - 81.

Аналогичным образом, как и в предыдущем методе, определяются порядок максимального коэффициента и частота.

В источнике [3] можно найти описание метода Quinn's Second Estimator. Разработчик алгоритма определяет параметр 8 из выражения:

S = a~l+a+l +к(а+х)-к(а_х)..

где £(*) определяется из выражения (9);

и а+1 - из выражений (13, 14), и из выражений (15, 16).

f 9 , Г7~\

к(х) = К l°g (З*4 + 6х2 +1) - log

X¿+\ + л/2/

3

а

-0-1 .

-i

а

/»-"I' "А, .

+ 1

Р+1-1'

Р_{= Re

Ai = ^

Гу{к- 1)Л

У

v

Аналогичным образом, как и в предыдущих методах, определяются номер отсчета максимальной частоты и частота сигнала.

3. Метод Маклеода (Macleod's Estimator).

Базовая часть метода Маклеода похожа на базовую часть метода Якобсена:

Х =

2R{2) + R

где

г = у(ку,

i?(T?) = Re{v(^)-r*}. Параметр 8 определяется из выражения:

8 =

4Z

Аналогичным образом, как и в методе Якобсена, определяются номер отсчета максимальной частоты и частота сигнала. 4. Метод корреляционных функций.

106 ИЗВЕСТИЯ TpaHCCiTOa | ЦЩ

Для исследуемой функции сигнала формируется набор эталонов. С этой целью необходимо определить базовую точку, вокруг которой будут создаваться эталоны (обозначим ее через К) [1]. Базовая точка выбирается из ближайших целых значений частоты измеряемого сигнала. Необходимо определить также шаг, с которым будут формировать эталоны (обозначим его через И). Затем на промежутке [К~У2, К + уследует произвести формирование

эталонов. Для этого спектр оконной функции необходимо сдвигать вправо и влево с шагом Ъ в пределе заданного промежутка и определять пять точек вокруг базовой точки К. Далее производится анализ на наличие связи в точках между параметрами взвешенного сигнала и эталона, т.е. производиться определение коэффициента корреляции.

Возможность смещать спектр на заданную величину без изменения амплитудного спектра обеспечивается свойством ДПФ [2]. Согласно данному свойству необходимо спектр окна

. 2-ж-у{К±Ь)

домножить на величину е

Таким образом, получается набор эталонных множеств

из М точек Ж. = {1¥/()Лп }, каждая точка которого вычисляется по правилу:

Ж, = Ж

У1

тЧ/ + Ао)

V у

М  М а Л 1

где--</< —, 0< Дг. < 1.

2 2 3

Пусть имеется сигнал . Наложим на данный сигнал некоторое окно , имеющее

Т... Т.,

отличное от нуля значение на временном отрезке

2 ' 2

со спектром Ж (со) для ограни-

чения длительности этого сигнала. В качестве оконной функции автор метода использует окно Кайзера.

Процесс наложения окна представляет собой домножение неограниченного во времени сигнала на ограниченную во времени функцию . Процесс наложения показан на рисунке 2.

Таким образом, в результате наложения окна на сигнал получается новый, ограниченный во времени сигнал:

2-ж

]---V-/

Т,

5(0 = 5(0-^(0= ХХ^'МО-е +77(0-^(0

1>=0

а б

Рисунок 2 - Вид сигнала до (а) и после (б) наложения на него окна

2-ж }---

Т.

Спектр сигнала -е * , как известно из свойств преобразования Фурье, представля-

г ~ л

[2].

2 п

ет собой смещенный на величину спектР сигнала ^№(1:), а именно И7

2ж со--V

Т'

* У

Спектр сигнала 77(0-^(0 обозначим через ©Д«).

Следовательно, спектр полного сигнала 8(4) представляет собой взвешенную сумму спек-

тров наложенного окна Ж

2ж

со--V

Т„

и случайной величины ©Д«):

5 У

л'=0

2ж со--V

Т.

* у

Далее задача измерения гармоники сигнала ограниченного во временной области окном сводится к нахождению коэффициента Ау и фазы срл, по М точкам функции 7(<я) в области у-го пика.

Найдем значение функции У (со) в точках М. Так как эти точки получаются при помощи вычисления ДПФ дискретизированного сигнала на временном отрезке Т№ (ширина окна), то в результате применения этого данного алгоритма получается значение спектра в равномерно

отстоящих точках со = ^-п. Подставляя в выражение (23) получаем, что в районе пика V ДПФ будет иметь следующие значения:

7

г2п Л ^ —п Т

V » У

1>=0

2 п 2 п

—п--V

Т Т

V » ^ у

Т..

Г 2тт г

л'=0

Т

т,

п-^у Т

\\

V V 5 УУ

Пусть целая часть выражения п-^г равна г, а дробная часть равна Аг, тогда получаем:

7

а2тг ^ ^

— п

Т

V У

г

2п

\

= ^Ауе^Ж — {г + Аг)

Л'=0 V7"'

у

Таким образом, получается реализация ДПФ периодического сигнала, ограниченного окном, для которой 7 = {Го^,...,!^ } - множество из М точек этого ДПФ в области пика V.

Найдем коэффициент корреляции между множеством 7 и эталоном Ж.:

л

и . и

2 2 Этт

м

м

V V/

Ж

т

у V

2 п

(2п ] (2п

где я{Аг - Аг]) - корреляционная функция функций Ж —

Т

V у

У

Т

V у

Если в качестве окна выбирается симметричная функция, то функция Ж (со) и множество ее значений Избудут действительными. С учетом этого получаем соответственно модуль амплитуды у-й гармоники:

А =

1 ( 7-М ^ 2 ( /-М V

. м V т + Е 1т (7) Ж.. . м \ ~2~ у

Ю8 ИЗВЕСТИЯ Трансс^а | ЦЩ

Величина ^(Лг-Лг^.) определяет погрешность метода. Если функция Ж (со) нормирована, то я(Аг - Аг^.) —»1 при Лг; —» Аг. Соответственно необходимо из набора эталонов выбрать тот, который наиболее точно соответствует множеству У. В качестве критерия точности соответствия выберем минимум выражения | А г - Аг^. |. Очевидно, что чем меньше значение приведенного выражения, тем больше значение корреляционной функции ^(Аг-Аг^) и вычисляемого модуля гармоники Ау.

Для случая, когда эталоны формируются достаточно часто и корреляционную функцию я(Аг-Аг ) можно считать равной 1, формулу (27) можно переписать в виде:

А =

I Му,)^,,

__м

+

__м

Наибольшее значение коэффициента корреляции показывает на пару «эталон - сигнал» и, соответственно, на величину отклонения 8 от базовой точки. Частота сигнала определяется как разность значений К и 8.

В системе без шума все представленные выше методы не дают погрешности. Анализ работы методов был произведен при следующих параметрах: / = 10,1 и N = 2048.

Рассмотрим как работают представленные выше методы в системе с шумом при следующих параметрах: / = 10,1 и N = 2048.

На рисунке 3 изображены графики зависимостей средней погрешности определения частоты от БКЯ (соотношение «сигнал - шум»). Параметр БКЯ берется с шагом 5 дБ. Под средней погрешностью в данном случае понимается абсолютное значение разности истинной частоты от частоты, полученной расчетным путем. Для каждого значения БЫ Я вычисляется среднее смещение. Среднее значение смещения вычисляется из 100 величин модуля смеще-

О.ОБ

0.05

О 04

0.03 -

0.02

0.01

Рисунок 3 - Графики зависимостей смещения от ЗТчШ

Метод корреляционных функций показал наилучшие результаты в отличие от остальных методов на протяжении всего диапазона БКК. На рисунке 3 не отражен диапазон от минус 30 до минус 15 дБ, где другие методы имеют значительное смещение и не вписываются в данный график в отличие от метода корреляционных функций. Если сравнивать оставшиеся четыре метода, то можно отметить хорошие результаты у второго метода Квина и метода Мак-леода. Однако преимуществом у метода Маклеода является относительная простота в реализации в отличие от метода Квина.

Результаты работы по определению вычислительной сложности для каждого метода представлены в таблице.

Вычислительная сложность рассматриваемых методов

Вычислительные Методы определения

операции Якобсена Квина (первый способ) Квина (второй способ) Маклеода корреляционных функций

Операция умножения 1 0 10 6 14

Операция деления 1 3 6 2 0

Квадратный корень 0 0 0 1 1

Логарифм 0 0 2 0 0

Сравнение значений 0 1 0 0 2

Операция сложения (вычитания) 3 1 12 5 12

В таблице представлено число операций для вычисления одного значения 8. Для метода корреляционных функций результирующее число операций зависит от значения шага h (чем меньше значение h, тем больше вычислительная сложность алгоритма), т. е. число операций из таблицы нужно умножить еще на параметр . В таблице не учтены затраты на построение набора эталонов. Как видно из данных таблицы, наибольшую вычислительную сложность имеет метод корреляционных функций.

В статье рассмотрены методы оценки частоты по дискретизированной выборке сигнала. При малом уровне шумов (от 10 дБ) все методы показали относительно высокую точность. Учитывая высокую вычислительную сложность метода корреляционных функций, в данном случае предпочтительней применять интерполяционные методы. При повышении уровня шума погрешность интерполяционных методов значительно возрастает, и на определенном уровне они перестают работать. В этом случае необходимо применять метод корреляционных функций.

Список литературы

1. Ерицутенко, С. С. Повышение достоверности измерения показателей качества электрической энергии в системе тягового электроснабжения: дис... канд. техн. наук / С. С. Ерицутенко- Омск, 2007. - 154 с.

2. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А.Б. Сергиенко. СПб: Питер, 2002. - 608 с.

3. Quinn, В. G. Estimation of frequency, amplitude and phase from the DFT of a time series // IEEE Trans. Signal Processing / B. G. Quinn // Vol. 45/ - no. 3/ 1997. - P. 814 - 817.

4. Jain, V. High-accuracy analog measurements via interpolated FFT / V. Jain, W. Collins, D. Davis // IEEE Trans. Instrum. Meas., Vol. IM-28. - 1979. - P. 113 - 122.

no ИЗВЕСТИЯ Транссиба1 Ир

5. Macleod, M. Fast nearly ML estimation of the parameters of real or complex single tones or resolved multiple tones / M. Macleod // IEEE Trans. Signal Processing. Vol. 46, №. 1. - 1998. - P. 141-148.

6. Quinn, B. G. Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients / B. G. Quinn // IEEE Trans. Signal Processing. Vol. 42, №. 5, 1994. - P. 1264 - 1268.

УДК 656.259.12

Е. М. Тарасов

ПРИНЦИП МНОГОКАИАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ КЛАССИФИКАЦИИ СОСТОЯНИЙ РЕЛЬСОВЫХ ЛИНИЙ

В статье обоснована необходимость использования в инвариантных системах прптшпа многоканальности для реализации классификаторов состояния рельсовых линий. Разработана обобщенная структурная схема инвариантного классификатора состояний рельсового линии, построенного по принципу двухканальности.

Необходимый признак реализуемости абсолютно инвариантных систем можно формулировать в форме принципа многоканальности (двухканальности): необходимым (но недостаточным) признаком осуществимости абсолютно инвариантной системы является наличие в схеме по меньшей мере двух каналов передачи возмущающего воздействия между точкой приложения возмущающего воздействия и выходным сигналом системы, для которого достигается инвариантность [1,2].

При этом следует отметить, что принцип многоканальности не заменяет собой необходимых и достаточных условий физической реализуемости абсолютно инвариантных классификаторов состояний рельсовых линий (РЛ), но он является основным положением, которым следует руководствоваться при выборе рациональной структуры абсолютно инвариантных классификаторов состояний рельсовых линий (КСРЛ). Для практической реализации таких КСРЛ этот принцип имеет существенное значение.

Если положить все возмущения кроме gi(t) равными нулю, то выражение для передаточной функции \¥(р) между точкой приложения воздействия gi(t) и выходом РЛ и2(1) можно записать в виде:

где и2(р)и 0;(р) - изображения по Лапласу величин и2(1) и §¡00;

А(р) и Ау(р)- главный определитель системы, преобразованной по Лапласу, и его алгебраическое дополнение, соответствующее элементу а^.

Для состояния рельсовой линии на основании выражения (1) можно записать, например, для и2^) и возмущения §¡{1) следующее соотношение, получаемое после перехода к изображению по Лапласу:

и2

А

Условие абсолютной инвариантности сигнала и2^) относительно возмущения §¡00 эквивалентно приравниванию к нулю передаточной функции \¥(р):

\¥(р) = 0.