Ценообразование производных инструментов европейского типа на фрактальном рынке с транзакционными издержками

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

ВАК 08.00.13 б.б. гисин

к.физ.-мат.н., доцент, зав. кафедрой a.a. марков

к.э.н., научный сотрудник Института Финансового университета

«Математика» Финансового университета финансово-экономических исследований

ценообразование производных инструментов европейского типа на фрактальном рынке с транзакционными издержками

Традиционный подход к исследованию фондового рынка основан на выявлении и моделировании его законов. Соответственно теории, объясняющие динамику цен рисковых активов, базируются на паре моделей: математическая модель описывает с той или иной точностью поведение ценовых рядов; модель рынка объясняет свойства временного ряда, используемые в математической модели. Так, классическая модель Блэка-Шоулза неразрывно связана с гипотезой эффективного рынка (EMH). Гипотеза эффективного рынка предполагает, что рыночная цена обусловлена большим числом независимых случайных факторов, а рынок имеет короткую память. Эти предположения ведут к описанию ценового ряда рискового актива с помощью Броуновского движения. Развитие финансовой математики за последнее столетие даёт убедительное свидетельство того, что «непарная» модель оказывается нежизнеспособной. Броуновское движение было применено Л. Башелье для описания цен акций на фондовой бирже еще в 1900 г. Более шестидесяти лет теория Башелье оставалась невостребованной, но после формирования концепции эффективного рынка Броуновское движение превратилось в основной инструмент количественного анализа финансовых инструментов.

Развитие компьютерных технологий и их проникновение в биржевую торговлю позволили провести обработку огромного количества числовых данных. Анализ финансовых временных рядов выявил ряд их особенностей (stylized facts или stylized features), которые не согласуются с постулатами EMH: тяжёлые хвосты, долговременная память, кластеризация волатильности, мультифрактальность и др. [13, 3, 4]. Основные положения EMH подверглись критическому осмыслению. Вместе с тем, стали рассматриваться математические модели, основанные на случайных процессах, отличных от Броуновского движения. В частности, получила распространение теория фрактального рынка (FMH), фундамент которой был заложен ещё в работах Мандельброта. Согласно этой теории, одним из ведущих факторов ценообразования является наличие на рынке большого числа участников с различными инвестиционными горизонтами. Этот фактор обеспечивает ликвидность на финансовых рынках, существование которой сложно обосновать в рамках EMH. Более того, на своих инвестиционных горизонтах участники рынка действуют сходным образом, что обеспечивает своеобразную инвариантность важных характеристик рынка относительно временного масштаба. Статистической характеристикой масштабной инвариантности служит так называемый показатель Херста H. Значения показателя Херста заключены в промежутке от нуля до единицы. Для геометрического Броуновского движения значение показателя

Херста равно 0,5. Если значение Н находится в промежутке от 0,5 до 1, временной ряд является персис-тентным или трендоустойчивым; если Н находится в промежутке от 0 до 0,5, временной ряд является антиперсистентным и демонстрирует свойство «возврата к среднему».

Математический формализм для описания масштабной инвариантности (самоподобия) случайных процессов восходит к работам Колмогорова А.Н., где (в другой терминологии) и было рассмотрено фрактальное Броуновское движение. В последнее десятилетие модели финансового рынка, в которых Броуновское движение заменено фрактальным Броуновским движением, начали интенсивно изучаться [14, 6, 16]. Благодаря использованию фрактального Броуновского движения удаётся учесть наличие в ценовой динамике долговременных зависимостей и, тем самым, сделать модели более реалистичными.

Использование фрактального Броуновского движения для моделирования ценообразования на фондовом рынке сталкивается с одной принципиальной трудностью. В отличие от рынка в модели Блэ-ка-Шоулза, рынок, на котором логарифмическая доходность рискового актива совершает фрактальное Броуновское движение, допускает арбитраж. В связи с этим прямой перенос методов модели Блэка-Шоулза на фрактальный рынок оказывается невозможным. Один из подходов к тому, чтобы сделать фрактальный рынок безарбитражным, связан с модификацией стохастического интегрирования (интегрирование по Ито заменяется интегрированием по Вику). Однако до настоящего времени для модифицированного интегрирования не удалось найти убедительной экономической интерпретации, поэтому к соответствующим результатам (например, оценке производных инструментов) нужно относиться с определённой осторожностью. Отсутствие арбитража в модели может быть обеспечено более полным учётом особенностей торговли на реальном рынке. Например, фрактальный рынок с пропорциональными транзакционными издержками является безарбитражным. Точное определение цены производных инструментов на таком рынке принципиально невозможно, удаётся лишь более или менее точно установить границы цен, не допускающих арбитража.

В настоящей статье предлагается подход к определению цен производных инструментов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками, основанный на определении ценовых границ с использованием аппарата стохастического доминирования. В качестве примера приведена оценка опциона на фьючерс на индекс РТС.

Статья организована следующим образом. В первом параграфе приводятся необходимые для дальнейшего изложения определения и факты, связанные с фрактальным Броуновским движением. Во втором параграфе описывается интегральное представление фрактального Броуновского движения и его дискретная аппроксимация. В третьем параграфе обсуждаются проблемы арбитража на фрактальном рынке. В четвёртом параграфе излагается подход к определению справедливой цены опциона на фрактальном рынке с транзакционными издержками.

1. Фрактальное Броуновское движение

Понятие фрактального Броуновского движения было введено А.Н. Колмогоровым [11] и связано с изучением случайных процессов, обладающих свойством масштабной инвариантности. Случайный процесс (X) называется самоподобным (с показателем Херста Н), если случайные процессы (Ха) и (аНХ) имеют одинаковые распределения. Иными словами, процесс самоподобен, если изменение временного горизонта в а раз приводит к изменению масштаба в аН раз, а вероятностные закономерности

остаются неизменными. Для Броуновского движения (И) справедливо соотношение (Иг) ~ И1) , так что Броуновское движение самоподобно с показателем Н = S.

Под (двусторонним) фрактальным Броуновским движением с показателем Херста Н понимается

гауссов процесс В(Н) = (В^НеК, обладающий следующими свойствами:

1) В0( Н) = 0;

2) ЕВ\Н) = 0 для всех г е Л;

3) ЕВ\Н) В(Н) = г I2 Н + | 5 I2 Н - \г - 5 I2 Н ) для всех г, s е Л.

Непосредственно из определения вытекает, что

Е

Далее,

Е

Следовательно, В^) — В^Н) и В(Н) одинаково распределены, т.е. процесс В(Н) имеет однородные приращения.

Содержательное принятие гипотезы фрактального рынка математически формализуется предположением о том, что самоподобной является случайная компонента доходности рискового актива. Уточним сказанное. Пусть - цена рискового актива в момент времени (. Тогда доходность за промежуток времени А( представляется в виде суммы

^^ =МД,

где д - норма доходности, а - волатильность рискового актива, а В(Н) - фрактальное Броуновское движение. Соотношение (3) можно переписать в виде стохастического дифференциального уравнения

^ =

Используя (3), рассмотрим ковариацию очищенной от неслучайного сноса приведённой доходности

1

Pt =-а

(S S \

V St J

с временным лагом т. Можно показать, что

Y(t) = E(PtPt) = \ ((т + At)2H - 2т2H + (т - At)2H).

Отсюда следует, что при малых At имеем

Y (т) - (т2H)''(At)2 = 2H(2H - 1)т2H-2 (At)2.

Для цен акций характерно персистентное поведение и значение H > 1/2. В работе [2] представлены результаты вычисления показателя Херста на основе анализа исторических цен закрытия по индексам РТС, ММВБ, а также американских DJIA, NASDAQ и S&P500. В частности, в случае индекса РТС показатель Н оценён на основе дневных цен закрытия, взятых за период с 1995 по 2009 гг. и преобразованных к логарифмическим доходностям с удалённым трендом. Вычисления проводились с помощью четырёх различных методов, в том числе метода нормированного размаха [14], и вычисленная оценка показателя Херста составила 0,617. Для остальных четырёх индексов также получены оценки показателя Херста, свидетельствующие об их персистентном поведении. Так, для индекса ММВБ оценка Н составила 0,556; для индекса DJIA - 0,568; для индекса NASDAQ - 0,604; для индекса S&P500 - 0,570. Для анализа американских фондовых индексов использовались исторические данные за достаточно длительные периоды. По индексу DJIA были взяты данные с 1928 г., по индексу NASDAQ - с 1971 г., по индексу S&P500 - с 1952 г. По индексу ММВБ были взяты данные, начиная с 1999 г.

2. Дискретная аппроксимация фрактального Броуновского движения

В работе [15, (см. [6]) получено интегральное представление фрактального Броуновского движения на конечном интервале:

BH = J z

где

1 - Ht

1 —-H Л H -— H - —

z(t, s) = cH (H - -)s2 J u 2 (u - s) 2 du

0

s

сн =

2 Н Г

Г

Представление (5) позволяет получить дискретную аппроксимацию фрактального Броуновского движения аналогично тому, как это делается для Броуновского движения ВПриращение йВг в ^-шаговом приближении заменяется величиной — £, где £ - случайная величина со средним 0 и дис-

персией 1.

Единичный промежуток времени разбивается на N равных интервалов точками —, i = 1, ..., N. Из-

N

менения цены актива происходят только в этих точках. Пусть £ i = 1, ..., N, - независимые случайные величины, принимающие лишь значения 1 и -1 с одинаковой вероятностью 0,5. Обозначим через

цену рискового актива в момент времени

N

Положим

к

у/ы'

А N)

\

П i

vN' N

I- N

/

п

г

I--N

'S^¡NCн (Н - 2) |

ы.

N

V

ы. V

N

Н -1 Н

и 2

—, V =

N )

йи

п-1

Рп = Ъ (к(n, 0 - к(п - 1 ^ + кК п)1п .

i=1

Тогда индуктивное соотношение для 5 можно записать следующим образом:

й* = (1 + 7+Рп ) йп-1.

На шаге п, как и в классической биномиальной модели, получаем повышающий коэффициент и при £п = 1 и понижающий коэффициент йп при £п = -1. В отличие от классической модели, повышающий и понижающий коэффициенты зависят от значений случайных величин £ на предшествующих шагах. В зависимости от значений £ величина Бп принимает одно из 2п возможных значений.

3. Арбитраж

В соответствии с первой фундаментальной теоремой теории расчётов финансовых активов отсутствие арбитражных возможностей равносильно существованию так называемой мартингальной вероятностной меры, эквивалентной исходной. Это условие можно интерпретировать как возможность построения рационального прогноза. Напомним, что прогноз, удовлетворяющий некоторым естественным условиям алгебраического характера, считается рациональным, если он является математическим ожиданием прогнозируемой величины относительно некоторой вероятностной меры, имеющей те же возможные события, что и «естественная» вероятностная мера [1]. При этом предполагается, что для получения арбитражного дохода допустимы практически любые самофинансируемые инвестиционные стратегии (стандартные требования: стратегии должны быть интегрируемы и допустимая величина заёмных средств должна быть заранее ограничена).

Из общих соображений понятно, что при достаточно широком классе допустимых инвестиционных стратегий на фрактальном рынке (при Н Ф 1/2) возможен арбитраж. Арбитражную стратегию позволя-

и

п

1

2

п

V

и

ет построить учёт долговременных зависимостей. Для более точных формулировок нам потребуется несколько определений.

Зафиксируем некоторый временной горизонт Т, и будем рассматривать все процессы на временном промежутке [0, Т].

Пусть 5 = () <Т - процесс изменения цены рискового актива. Под инвестиционной стратегией (портфелем) понимается пара процессов (В(, у ()0 <, <Т, где в( и у ( соответственно объём средств, вложенных в безрисковый актив, и число единиц рискового актива на момент (. Процессы в = (в() и У = (У() предполагаются предсказуемыми, т.е. к моменту времени ( значения в( и у ( должны быть известны. Стоимость портфеля (в(, у ) в момент времени ( равна величине

V = В + у 5 .

( 1( (

Рассмотрим последовательные моменты времени (1 и (2, в которые изменяется состав портфеля. Будем предполагать, что сделки по купле-продаже активов происходят без транзакционных издержек, а г - безрисковая процентная ставка. Непосредственно перед реструктуризацией портфеля в момент (2

его стоимость составит е ((2 (1)В( +у, а непосредственно после - В( +у. Самофинансируе-

мость инвестиционной стратегии означает, что эти две величины должны совпадать, т.е.

е"(t2 -^Р, + Y, St2 = Pt2 +Yt2 St2.

Тогда, как легко видеть,

"t2 V, - е-4 = Yt, К - е"1 К )

Содержательно, при самофинансируемой стратегии, приращение дисконтированной стоимости портфеля происходит только за счёт приращения дисконтированной стоимости рискового актива.

Назовём стратегию неразорительной, если стоимость портфеля ограничена снизу: Vt > a почти наверное для некоторой, заранее заданной, постоянной a.

В дальнейшем мы будем рассматривать только самофинансируемые неразорительные стратегии.

Стратегия называется арбитражной, если, начав её реализацию с нулевым капиталом, можно получить к моменту T портфель положительной стоимости при благоприятном стечении обстоятельств, и в любом случае не оказаться в долгу. Более формально: V0 = 0, VT > 0 (почти наверное) и событие VT > 0 имеет положительную вероятность.

Арбитражные возможности можно исключить за счёт сужения класса допустимых инвестиционных стратегий. Если, например, на интервале [0, T] запрещены сделки купли-продажи рискового актива, то и арбитража на этом промежутке времени не возникнет. На фрактальном рынке, где класс допустимых инвестиционных стратегий достаточно широк, как правило, появляются арбитражные возможности [5]. На таком рынке невозможно хеджирование, и, значит, невозможно установить справедливые цены на производные инструменты.

Заметим, что предыдущие рассуждения относились к идеализированной модели рынка. Более полный учёт свойств реального фондового рынка позволяет добиваться безарбитражности. Например, торговля без транзакционных издержек означает, что трейдер может бесплатно хеджировать свои риски (и за счёт этого получать арбитражный доход). В модели Блэка-Шоулза арбитраж отсутствует, поскольку случайная компонента цены рискового актива в определённом смысле «совершенно случайна»: единственно возможный рациональный прогноз исходит из того, что завтрашняя цена будет такой же, как сегодняшняя. На фрактальном рынке такой прогноз уже перестаёт быть рациональным. Более того, на фрактальном рынке рациональный прогноз вообще невозможен, но учёт закономерностей ценовой динамики позволяет получать арбитражный доход. Ситуация меняется, как только в модели начинают учитываться транзакционные издержки. Невозможность бесплатно реструктурировать позицию, хеджируя риски, не позволяет трейдеру строить арбитражные стратегии. Отсутствие арбитражных возможностей на фрактальном рынке с транзакционными издержками было доказано в [9], (см. также [10]). Опуская технические детали, приведём основной результат из упомянутых работ.

Пусть S - транзакционные издержки (брокерская комиссия) при покупке и продаже активов. Если на рынке фиксируется цена St, значит, на рынке есть трейдеры, готовые покупать рисковый актив по цене

St = (1 + 8)St, и трейдеры, готовые продавать его по цене S4 = (1 -8)St. Таким образом, цены bid

и ask образуют своеобразный ценовой коридор. Смысл основной теоремы в том, что рынок не допускает

е

арбитражных возможностей, если возможен приближённый рациональный прогноз с точностью до этого ценового коридора. В работе [9] доказано, что именно так обстоит дело в случае фрактального рынка.

4. Границы цен опционов на фрактальном рынке с транзакционными издержками

Рынок с транзакционными издержками, как правило, не полон. Совершенное хеджирование производных инструментов на неполном рынке неосуществимо. Для определения цены производного инструмента используются верхние и нижние хеджи, которые позволяют оценить границы, в которых должна находиться справедливая цена. Эффективный алгоритм для получения таких границ в случае многопериодного рынка был предложен в работе [8]. На многопериодном рынке инвестиционные решения могут быть приняты в моменты времени n = 0, 1, 2, ..., N. Одно из ключевых предположений

S„

в [8] состоит в том, что доходности ——, n = 1, 2, ..., N, независимы. Как мы видели, для фракталь-

S ,

n-1

ного Броуновского движения это не так. Тем не менее, некоторые важные результаты из [8] остаются верными и в этом случае.

Рассмотрим многопериодный рынок, на котором имеются три вида активов: безрисковый актив (счёт), рисковый актив и денежный (cash-settled) опцион «колл» европейского на рисковый актив с ценой исполнения K и сроком исполнения N. Обозначим через r безрисковую процентную ставку и через £ - брокерские комиссионные. Чтобы приобрести g долей рискового актива в момент t, требуется снять

(1 - е )b

со счёта сумму b = (1 + £)gS . Сняв сумму b со счёта, можно приобрести g =- единиц риско-

n S

n

вого актива. Продажа (или короткая продажа) единицы рискового актива увеличивает счёт на величину (1 - £)S . Мы предполагаем, что ожидаемая доходность рискового актива не меняется от периода к периоду и превосходит безрисковую ставку:

E

S

П

S 1

n-1

для всех n = 1, 2, ..., N.

Инвестор (трейдер) действует на рынке, максимизируя функцию полезности u(x). Предполагается, что u(x) - возрастающая вогнутая функция. Положим

- 1 + £ Е[(SN - K) + | S, ]

С =--.

n 1 /1 \N~ n

1 -£

С помощью индукции можно показать, что в момент n премия за подписание опциона не должна

превышать величину Cn .

Сходным образом можно установить, что премия за подписание опциона в момент n не должна быть меньше величины Cn , задаваемой индуктивно следующим образом:

CN = ( SN - K )+ ;

E[C +, | S , S+1 < Z ]

C - --n+1 1 n 1 n+1_n J

1 + r

где величина Z определяется из уравнения

1 -e

E[Sn + 1 1 Sn , Sn+1 Zn ] „ (1 + r )Sn .

1 + e

Покажем, как описанные величины позволяют оценить границы ценового интервала, за пределами которого возможен арбитраж. Рассмотрим динамику фьючерсного опциона «колл» на индекс РТС с ценой исполнения 120 000 б.п. и датой исполнения 14 октября 2009 г., торгующегося в секции FORTS, на фрактальном рынке. Расчёты границ цен опциона (колонки 4 и 5 таблицы) проводились в ежедневном

Таблица

Безарбитражные границы цен фьючерсного опциона «колл» на индекс РТС

Дата Дней до исполнения Цена баз. актива (б.п.) Верхняя граница стоимости опциона (б.п.) Нижняя граница стоимости опциона (б.п.) Б1б Лэк Теор. цена

14.09.09 30 116 340 8 435,05 1 316,69 5 530 5 810 5 705 5 425

15.09.09 29 120 780 10 661,47 4 306,88 7 105 7 230 7 270 7 185

16.09.09 28 123 590 12 447,71 6 288,69 1 055 9 000 8 550 8 400

17.09.09 27 124 960 13 143,21 7 296,29 8 070 8 700 8 585 8 400

18.09.09 26 121 730 10 698,40 4 698,39 7 310 7 705 7 535 7 635

21.09.09 23 119 805 8 734,03 3 094,13 6 500 6 600 6 535 6 500

22.09.09 22 124 045 11 207,60 6 125,49 8 330 8 895 8 525 8 000

23.09.09 21 125 010 11 600,38 6 801,86 8 370 9 075 8 990 9 200

24.09.09 20 123 720 10 443,71 5 682,46 7 435 8 170 7 925 7 700

25.09.09 19 121 190 8 501,72 3 661,69 5 815 6 375 6 035 7 090

28.09.09 16 123 640 9 257,57 5 231,83 7 125 7 545 5 500 7 310

29.09.09 15 124 145 9 303,09 5 530,50 7 100 7 625 5 500 7 400

30.09.09 14 125 720 10 065,62 6 673,29 7 860 8 385 8 145 8 250

01.10.09 13 125 370 9 517,86 6 289,06 7 185 7 700 7 700 7 600

02.10.09 12 120 750 6 168,66 2 611,52 4 205 5 555 4 595 4 610

05.10.09 9 120 485 5 019,20 2 067,98 3 625 3 700 3 615 3 580

06.10.09 8 124 070 6 973,69 4 681,80 5 570 6 025 5 875 5 900

07.10.09 7 129 000 10 471,36 8 865,79 5 000 9 980 9 550 9 800

08.10.09 6 131 880 12 738,86 11 423,88 12 150 13 350 12 335 12 300

09.10.09 5 138 460 18 965,10 17 781,01 1 555 20 000 18 515 18 135

режиме с 14 сентября по 9 октября 2009 г. В целях сравнения приведены также котировки на покупку (колонка 6) и на продажу (колонка 7), теоретическая цена опциона, вычисляемая биржей по формуле Блэка-Шоулза (колонка 8), цена последней сделки (колонка 9). В качестве безрисковой была принята годовая ставка по облигации ОФЗ-25057 по состоянию на начало сентября 2009 г., равная 9,0079%. В пересчёте на один период дрейф и волатильность индекса составляли, соответственно, 0,00213 и 0,0568. Транзакционные издержки принимались равными 0,01%.

Как видно, в основном котировки на покупку и продажу, как и цены последних сделок, попадают в интервал между безарбитражными границами цен опциона. Отдельные «выбросы» (например,

16 сентября и 9 октября, когда были выставлены заниженные котировки на покупку) объясняются, главным образом, относительно невысокой ликвидностью опционного рынка в России.

Снижение цены опциона «колл» с приближением к нижней границе можно рассматривать как сигнал на покупку. Предположим, что инвестор приобрёл опцион 17 сентября по цене 8 070 б.п. согласно выставленной котировке (см. таблицу) и держит его до истечения срока до погашения.

По состоянию на 14 октября 2009 г. цена закрытия индекса РТС составила 1 441,24 пункта, или 144 124 б.п., что превышает цену исполнения. Инвестору выгодно исполнить опцион на покупку. Его доход составит:

27

144124 • 0,9999 -120000 • 1,0001 - 8070 • 1,0001- (1 + 0,090079--) „ ^

365 365

г =-•-• 100% = 168,52% годовых.

27 27

120000 • 1,0001 + 8070 • 1,0001 •

365

Если же инвестор купил опцион по цене 13 143 б.п., близкой к верхней границе по состоянию на

17 сентября, его доход существенно снизится, хотя всё равно будет достаточно высоким за счёт сильного роста индекса РТС в рассматриваемом периоде:

27

144124 • 0,9999 -120000 • 1,0001 -13143 1,0001 • (1 + 0,090079--) „ ^

365 365

г =-365----100% = 110,24% годовых.

27 27

120000 • 1,0001 + 13143 • 1,0001 •

365

Таким образом, прибыльность инвестирования в опционы удаётся существенно повысить путём выбора цены покупки вблизи нижней безарбитражной границы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Концепция арбитража в математической теории эффективного рынка. - М. : Вестник Финансовой академии, № 2 (2005). - С. 64-68.

2. Марков А.А. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов. - М. : Сегодня и завтра российской экономики, № 30 (2009). - С. 101-110.

3. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков. Интернет-Трейдинг. - М., 2003. - 400 с.

4. Харитонов В.В., Ежов А.А. Эконофизика. - М. : МИФИ, 2007. - 624 с.

5. Bender C, Sottinen T, Valkeila E. Arbitrage with fractional Brownian motion? - Theory of Stochastic Processes 13 (29), 2007. - №1-2. - С. 23-34.

6. Biagini F., Hu Y, Oksendal B., Zhang T. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications. - Springer, 2008. - 329 p.

7. Constantinides G.M. Multiperiod consumption and investment behavior with convex transactions costs.

- Management Science, 25 (1979), Issue 11. - Р. 1127-1137.

8. Constantinides G.M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs. - Journal of Economic Dynamics & Control 26, 2002.

- Р. 1323-1352.

9. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond. -Mathematical Finance 16, 2006. - Issue 3. - Р. 569-582.

10. Guasoni P., Rasonyi M. The Fundamental Theorem of Asset Pricing under Transaction Costs, preprint, 2008.

11. Kolmogorov A.N. Wienershe Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertishen Raum. -ДАН СССР (ест. науки) 26, 1940. - Р. 115-118.

12. Mandelbrot B.B., van Ness J.W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. - SIAM Rev. 10, 1968. - Р. 422-437.

13. MantegnaR.M., Stanley H.E. An Introduction to Econophysics. - Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press, 2000. - 148 p.

14. Mishura Y. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. - Springer Lecture Notes in Mathematics v. 1929, 2008. - 393 p.

15. Norros I., Valkeila E., Virtamo J. An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motion. - Bernoulli, 5 (1999), 571-587.

16. Rostek S. Option Pricing in Fractional Brownian Markets. - Springer Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems v. 622, 2009. - 137 p.

17. Shiryaev A.N. On arbitrage and replication for fractal models. - Research Reports 20 (1998), MaPhySto, Department of Mathematical Sciences, Univ. of Aarhus.

18. Sottinen T. Fractional Brownian motion, random walks, and binary market models. - Finance Stoch. 5, 2001. - Р. 343-355.