Математическая модель фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах с распределенным внешним источником

ИНФОРМАЦИОННЫЕ

УДК 517.9

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ ПОРОДАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ВНЕШНИМ ИСТОЧНИКОМ

ВЛАСЕНКО Л.А._______________________

Описывается математическая модель фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах при наличии распределенного внешнего источника. Дается уравнение давления жидкости в трещинах. Указываются условия существования и единственности решения начально-краевой задачи для этого уравнения. Приводится численный метод решения начально-краевой задачи.

1. Введение

Цель работы: описание и исследование математической модели фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах при наличии несвободного распределенного внешнего источника. Задачи: 1) получить уравнение, которое описывает давление жидкости в трещинах; 2) представить начальнокраевую задачу для давления жидкости в трещинах в виде абстрактной задачи Коши для полулинейного уравнения; 3) указать условия однозначной разрешимости абстрактной задачи Коши; 4) применить абстрактные результаты к рассматриваемой задаче фильтрации жидкости; 5) описать численный метод нахождения давления жидкости в трещинах. Предложенное в данной статье уравнение для давления жидкости в трещинах отличается от соответствующих уравнений из работ [1, 2, с. 252256], где также рассматривалась задача фильтрации. Отличие вызвано наличием несвободного внешнего источника, влияние которого зависит от давления и приводит к тому, что в абстрактной форме уравнение для давления записывается в виде так называемого вырожденного уравнения с необратимым оператором при производной. В работах [1,2] абстрактная форма имеет вид неявного уравнения с обратимым оператором при производной по времени. В [3] также описывается математическая модель фильтрации жидкости при наличии несвободного внешнего источника (однако этот источник организован иначе, чем в данной статье), поэтому абстрактное уравнение для давления также является вырожденным. В данной статье для разрешимости абстрактного уравнения указываются условия, отличающиеся от соответствующих усло -вий из [3]. Так как давление жидкости в трещинах

144

описывается уравнением в частных производных с необратимым оператором при производной по времени, то невозможно применить хорошо известные разностные методы (см., например, [4]) для нахождения численного решения такого уравнения. Поэтому разработан новый численный метод.

2. Описание математической модели и сравнение с другими моделями фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах

В статье [1] была построена математическая модель фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах. Порода состоит из пористых блоков, отделенных один от другого системой трещин. Было получено уравнение для давления жидкости Pi(x,t) в трещинах:

~

где ц > 0 — коэффициент, характеризующий трещиноватую породу, к> 0 — коэффициент пьезопроводности, Д — оператор Лапласа. Воспользуемся следующими обозначениями из [1]: P2(x,t) — давление жидкости в порах, р — плотность жидкости, q(x,t) — масса жидкости, вытекающей из пор в трещины за единицу времени на единицу объема породы, m2 — коэффициент пористости блоков, ki > 0 — проницаемость системы трещин, ц> 0 — вязкость жидкости, а> 0 — характеристика трещиноватой породы. В [1]

установлено, что q = -— (P2 - Pi).

4

Модель (1) из [1] не предполагает наличие внешнего источника. Модель фильтрации жидкости в среде с двойной пористостью при наличии внешнего источника описана в [2, с. 255-256]. Распределенный источник в [2] не зависит от давления жидкости в породе (свободный источник). Уравнение для давления жидкости в трещинах Pi(x,t) в случае, когда поры получают жидкость из распределенного внешнего источника (несвободный источник), было получено в [3]:

(1 - у - pA)Pi(x,t) - (кД - 5)Pi(x,t) = f (x,t,Pi), (2) dt

где у = а^ц / pKki > 0,5 = ащ / pKki > 0 . Там учитывалась масса жидкости q0 , которую поры получают от внешнего источника:

q0= ai

at

(a; > 0,P0 > 0), так что соотношение (2.5) из [1] принимает вид

q - q»=0.

Здесь dm2 =—dP2

(см. [1]).

В данной статье мы будем предполагать, что масса жидкости q0, которую поры получают от внешнего источника, определяется по формуле

РИ, 2004, № 4

5o

q0= al

at

где a; > 0, po (x) > 0 — начальное давление в пласте. Формула (5) означает, что приток жидкости в поры из внешнего источника зависит от падения давле -ния в порах P2 по сравнению с начальным давлением po, от скорости оттока жидкости из пор в трещины 3q/ St, а также от нелинейного влияния источника g.

Также как и в модели из [1], давления Pi,P2 связаны соотношением

Функцию P(x,t) назовем смещенным давлением в трещинах, функцию po(x) — смещенным начальным давлением.

Будем предполагать, что функция f (x, t, z): [0.л] x [t0, t0 + T] x R ^ R непрерывна по совокупности переменных. Обозначим через L2 = L2[0,л] пространство интегрируемых с квадратом на [0, л] функций. Введем пространство Соболева W22 = W22[0, л] функций u(x) таких, что u(x) и ее обобщенные производные u'(x).u''(x) принадлежат L2 . Также рассмотрим пространство

P2 = P1 -PAP1.

Учет в (3) массы qo, определяемой по формуле (5), соотношения (4) и представления P2 в виде (6) приводит к следующему уравнению для давления жидкости P1(x,t) в трещинах:

(1 + yA)P1(x,t) + (81 -82A)P1(x,t) = f(x,t,P1), (7) ot

где у = a2K - ц > -ц может принимать как положительные, так и отрицательные значения; 81 = а^ц/pk1 > 0, 82 = к(а1Ц/ар +1) > к > 0 . В предельном случае у = -ц, 81 = 0,82 = K,f = 0 уравнение (7) переходит в уравнение (1) из работы [ 1]. В общем случае в отличие от (1) дифференциальное выражение 1 + уА при производной по времени д / St в (7) может определять вырожденный дифференциальный оператор, имеющий нетривиальное ядро. Эта ситуация характерна и для уравнения (2).

В дальнейшем ограничимся случаем одномерной фильтрации в слоистой среде. Это означает, что x є R , Д = d2 /dx2 . Будем рассматривать (7) в области t0 < t < t0 + T,0 < x <л . Для однозначной разрешимости уравнения (7) мы должны задать краевые и начальные условия. Пусть P1(x,t) удовлетворяет краевым условиям

P1 (0, t) = C0, P1(^,t) = Єл, t0 < t < t0 + T

и начальному условию P1

можно взять p(x) = C0 + —-0 x.

Тогда функция p(x,t) удовлетворяет уравнению

Ot

краевым условиям

P

и начальному условию

P

где P0(x) = P0(x) - p(x).

РИ, 2004, № 4

W-2 = W22[0, n] = {u(x) є W2 u(0) = u(^) = 0}.

В пространстве L2 краевая задача (8),(9) допускает представление в виде абстрактного полулинейного уравнения вида

-d-[Au

Здесь операторы A,B порождаются дифференциальными выражениями

d2u d2u

Au = u(x) + y—— Bu = 81u(x) -S2—2 dx2 2 dx2

с областью определения Da = Db = W2. Оператор A, вообще говоря, является вырожденным. Функция f0(t,u): [t0,t0 + T] х L2 ^ L2 определяется равенством f0(t,u)(x) = f (x,t,u(x)).

3. Существование и единственность решения абстрактного уравнения

Пусть в (11) операторы A,B являются замкнутыми, линейными из вещественного банахова пространства X в вещественное банахово пространство у с областями определения Da,Db соответственно, f0(t,u) — непрерывная функция из [t0,t0 + T] х X в у . Для уравнения (11) рассмотрим начальное условие

u

Уравнение (11) с вырожденным оператором A (нетривиальное ядро KerA ф {0}) называют вырожденным, в противном случае — неявным. Анализ неявных и, в частности, вырожденных полулинейных уравнений вида (11) проводился в [2,3,5-8].

Для каждого целого p>0 через CP([a,b],X) обозначим банахово пространство p раз сильно непрерывно дифференцируемых функций из [a,b] в X , через CP([a,b),X) — класс функций, которые принадлежат пространству Cp([a,T],X) для всех a < T < b . Используем обозначение C = C0. Вектор-функцию u(t) є C([t0,t0 + T],X) назовем решением уравнения (11) на отрезке [ф,ф + T], если u(t) є D , Au(t) є C1([t0,t0 + T],Y), u(t) удовлетворяет урав-

145

нению (11) при всех t є [t0,t0 + T] . Решением начальной задачи (11), (13) называется решение уравнения (11), которое удовлетворяет начальному условию (13).

Пусть X,Y — комплексные оболочки пространств X,Y и A,B — комплексные расширения операторов A,B (см. [9, с. 25-26]). Уравнению (11) отвечает характеристический пучок операторов XA + B , который определен на D = Da П Db . Пусть

D = Da П Db ^ {0} . Через L(X,Y) обозначается пространство ограниченных линейных операторов из X в Y , L(X) = L(X,X) . Аналогично мы будем рассматривать пространства ограниченных линейных операторов L(X,Y) и L(X). Предположим, что выполнено следующее условие:

(H) Для всех комплексных чисел X таких, что | X |> C (Cj > 0), пучок операторов XA + B имеет резольвенту R(X) = (XA + B)_1 є L(Y,X) и справедлива оценка ||R(X)||< C2 (C2 > 0).

При исследовании вырожденного полулинейного уравнения условие (H) использовалось в [3,7,8]. В [3] для доказательства существования решения

уравнения Au'(t) + Bu(t) = f0(t,u), которое является частным случаем уравнения (11), вводились огра-

of

ничения на производную Фреше —°(t,u). В [7,8]

от

существование и единственность решения задачи Коши (10), (12) были установлены при ограничениях на константу Липшица функции f0(t,u) по переменной u. В работах [3,8] рассматривался случай комплексных пространств X, Y . Если выполнено условие (H), то как и в разделе 6 работы [7], рассмотрим прямые разложения D = D1 + D2, Y =Y1+Y2 , где Y1 = AD , D2 = KerA П D , Y2 = BD2, D1 = (vA + B)_1 Y1. Здесь KerA — ядро оператора A. При определении D1 рассматриваются те v , для которых существует обратный оператор. Например, достаточно выбрать v > C2 . Пусть P1,P2 — проекторы на D1,D2 соответственно, Q1,Q2 — проекторы на Y1, Y2 соответственно, оператор

G = AP1 + BP2 = Q1A + Q2B определен на D и имеет ограниченный обратный G_1 є L(Y,X). Укажем, как изменится формулировка теоремы 1 из [7] в случае вещественных пространств X, Y и начальной задачи (11),(13). Теорема 1 из [7] также остается справедливой, если условия (12),(13) из [7] заменить нижеследующими условиями (14), (15).

Теорема 1. Пусть выполнено условие (H). Предположим, что функция f0(t,u) непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица:

с константой M, не зависящей от t, причем

Тогда для любого вектора u0 є D такого, что

Q2Bu0 = Q2f0

начальная задача (11),(13) имеет единственное решение на всем интервале [фЙ0 + T] .

4. Приложение результатов раздела 3 к задаче фильтрации жидкости

Вернемся к смешанной задаче (8)-(10), описанной в разделе 2. Эта задача допускает представление в абстрактной форме (11), (13). Здесь X = Y = L2, начальный вектор u0 из (13) есть P0(x). Пространство X = Y есть комплексное пространство L2 ; операторы A,B определяются теми же самыми дифференциальными выражениями (12), что и операторы A,B , а их области определения Da,Db есть комплексное пространство W2 . Предположим, что у ф 0 . Тогда операторы A,B удовлетворяют ограничению (H). Действительно, покажем, что

для всех ХфХ^ = (51 + n252)/(n2y-1) (n = 1,2,...) и

X ф 82 / у существует резольвента R(X) є L(X):

где

Имеем

R(X)u £ X + S1 -n2Xy+52n2’

2 ^

un = —f u(x)sinnxdx.

n 0

XA + B = (52 -Xy)(A0 +-^LI): 82

где I — единичный оператор, оператор A0 определяется дифференциальным выражением A0u =-Au и имеет область определения Da0 = Da = Db . Хорошо известно, что спектр оператора A0 состоит из собственных чисел n2 (n = 1,2,...) и с соответствующей ортонормированной в L2 системой собственных функций л/2/п sinnx . Для резольвенты R0(p) = (A0 + pI)_1 справедливо представление по формуле (3.35) из [10]:

R0(p)u

u

—sinnx, n=1 Р + n2

где un определяются по формуле (18). Отсюда с учетом (19) имеем представление (17), из которого заключаем, что выполнено ограничение (H).

Оператор A будет вырожденным, когда у = 1/n2 при каком-нибудь натуральном n. Пусть для определенности у = 1. Это означает, что вместо уравнения (8) мы рассматриваем уравнение

146

РИ, 2004, № 4

(1 + A)p(x,t) + (5j -82A)p(x,t) = f(x,t,p) .(20) at

Находим подпространства

D2 = Y2 = KerA = Lin{sinx} , D1 = Y1 = KerA1, проекторы

2 ^

P2U = Q2U =—Ju

n 0

Доказательство. Для доказательства покажем, что выполнены условия теоремы 1. Предположение (H) было установлено. Из (22) следует, что выполнено условие Липшица (14). Условие (23) обеспечивает выполнение условия (15). Условие согласования на начальный вектор (16) принимает вид (23). Таким образом, для смешанной задачи (9), (10), (20), допускающей абстрактное представление в виде (11),( 13), можно применить теорему 1 и получить требуемое утверждение.

5. Численное решение смешанной задачи

и операторы

Gu = Ди + u + (Si + §2)ui sinx,

11 X і -1

р 1 ui yi un

G 1u =-----— sinx + > —-hr sinnx.

81 +82 n=2І- n2

о

Область определения оператора G есть Dg = W^ . Так как P^,Qk (k = 1,2) — ортогональные проекторы, то ||Pk ||=||Qk ||= 1. Нетрудно видеть, что || G_11|= max{1/(51 + 82>,1/3} .

Пусть функции po(x) и f(x,t,z) удовлетворяют

условию согласования (24), причем po(0) = Ро(л) = 0. Преобразуем уравнение (20). Обозначим P(p(x,t) = w(x,t) , P2p(x,t) = v(t)sinx . Имеем

p(x,t) = w(x,t) + v(t)sinx . Применение к (20) проекторов P1,P2 дает уравнения

д_

5t

S2w

Sx2

+ w

d 2w

-82 ^+§1w =

= f (x,t, v(t)sin x + w(x,t)) - (81 +82 )v(t) sin x,

Любую функцию v : x,t ^ v(x, t) будем также рассматривать как функцию от t со значениями в пространстве функций от x и записывать как v(t)(x). Описание пространств функций от t и x можно найти в [11, раздел 1.2]. Справедлива следующая теорема существования и единственности решения p(x,t) смешанной задачи (9), (10), (20).

Теорема 2. Предположим, что функция f (x,t,z): [0.л] X [t0,t0 + T] X R ^ R непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условию Липшица

с константой M, не зависящей от x,t, и такой, что

M <

__________1_________

max{1/(S1 +S2),1/3}

Для любой функции р0 (x) є , удовлетворяющей

соотношению

J [

0

смешанная задача (9), (10), (20) имеет единственное решение p(x,t) в области [0,л] х [ф,ф + T] такое,

о

что p(t)(x) є W22 для всех ф < t < t0 + T ,

p(t)(x) є C([t0,t0 + T],L2),

^2p

^-2(t)(x) + p(t)(x) є C1([t0,t0 + T],L2) .

v

2

(81 +§2)Л

к ~

J f (x,t,v(t)sinx + w(x,t))sinxdx.

0

Здесь v0 = v(t0) удовлетворяет соотношению

v0 =——J~(x,t0,v0sinx + ~0(x))sinxdx. (27) (81 +82)л 0 v >

Для численного решения смешанной задачи (9), (10), (20) применим метод сеток или конечных разностей. Зададим сеточную область: {(xj ,tj)}, xj = ih (i = 0,1,...,n), tj = t0 + П (j = 0,1,...,m). Шаг h по x связан с шагом т по t соотношением % = rh, где r — некоторая константа. Пусть Uh — пространство сеточных функций u(h), определенных в точках сетки (x±,tj); uj — значения сеточной функции. Функции u(x,t): [0,л] х [t0,t0 + T] ^ R отвечает сеточная функция u*h) є Uh со значениями u(xbtj). Для сеточных функций u(h) рассматриваем норму || u(h) ||uh = max | uj |. Основные понятия и

определения из теории разностных схем можно найти в [4].

Производные в (25) заменим конечными разностями. При достаточной гладкости функции w(x,t) порядок аппроксимации производных будет O(h). В сеточной области уравнение (25) аппроксимируется разностным уравнением

wjtj + (h2 - 2)wj+1 + wftj - (1 + rh82)wj_1 +

+ (2 - h2 + 282rh + 81rh3)wj - (1 + rhS2)wj+1 =

+ rh3fj,(xi,tj,vjsinxi + wj) - (81 +82)rh3vjsinx;,

РИ, 2004, № 4

147

где

w0 = Wji = О , w0 =

Vj — численное решение уравнения (26) при t = tj (j = 1,...,m ). Однако так построенное численное решение wi не аппроксимирует точное решение w(x,t) в сеточной области. Причина этого следующая. На каждом слое tj точное решение w(x,tj) принадлежит подпространству Di = Yi, поэтому p2w(x,tj) = О . Численное решение wi (i = 0,i,...,n), вообще говоря, этим свойством не обладает. Поясним это. В рассмотрение введем разностные проекторы Pi(h),P^h), которые являются приближенными значениями проекторов Pi,P2 (21). Разностные проекторы P(h),P2h) = {pjj} есть матрицы размеров

2h .

(n -1) X (n -1) : Pij = -^~sinxisinxj, Pi(h) = I - P^h) ,

где I - единичная матрица соответствующего размера. Если u = (u(x1),...,u(xn _1))tr, то P^h)u дает приближенные значения функции (P2u)(x) (21) в точках xi,...,xn_i. В этих обозначениях в общем случае P2h)wj + 0 , где wj = (wi,...^.^ есть решение разностного уравнения (28) на j -м слое. Поэтому для вектора wj нужно сделать поправку, которая “возвращает его в подпространство Di ”, и вместо вектора wj рассмотреть вектор

wj = Pi

Остальные значения wv! определяются в силу условий (29) как wi = wi.

Введем якобиевы матрицы Л, Л о размеров

(n - i) х (n - i), у которых все элементы, не принадлежащие главной диагонали, первой наддиагонали и первой поддиагонали, равны нулю; элементы главной диагонали матрицы л равны h2 - 2, а элементы первой наддиагонали и первой поддиагонали равны 1; элементы главной диагонали матрицы Л о равны h2 - 2 - 252rh - S^h3, а элементы первой наддиагонали и первой поддиагонали равны 1 + rhS2. Матрица л обратима. Обозначим

fl = ~j(xi,tj,VjSinxi + wi ), fj = (f1j,...,f1j_1)tr, gi = fij - (8i +§2)VjSinxi, gj = (gj,...,gi_i)tr.

С помощью (28),(29) и с учетом поправки (30) получаем

Awj =Лowvj_1 + rh3gj_1, j = i,...,m.

Здесь vo удовлетворяет соотношению (27), остальные Vj находим из уравнения

Vj = 1 я ч S(h)fj, S(h) = —(smxb...,sinxn_i).

J (Si +82) n

Сеточная функция p(h) є Uh со значения pi = wi + VjSinxi аппроксимирует точное решение p(x,t) начально-краевой задачи (9), (10), (20) в точках сетки (xi,tj), т.е. аппроксимирует сеточную функцию p*h) є Uh .

Вычислим погрешность в решении R(h) = p*h) - p(h) и оценим норму II R(h) llUh . Обозначим

R(h) = w*h) - w(h), R(2h) = R(h) - R((h),

f*i = f(xi,tj,p(xi,tj)) , f* = (f*i,^,fj(n_i))tr,

Sf-j = f* - fi, 5fj = (5fj,...,5fj_1 )tr,

g*i = f*i -v(tj)sinxi, g* = (gl1,—,gi(n_1))tr,

Sgi = g*i -g^ 5gj = (Sgi, —,5gn_1)tr,

w* = (w(xi,tj),...,w(xn_i,tj))tr. С помощью (30), (31) находим

wj = (Pi(h)A_1Ao)wvj_1 + rh3Pi(h)gj_1, j = i,...,m.

Так как при замене уравнения (25) на разностное уравнение (28) порядок аппроксимации производных конечными разностями есть O(h), то имеем

w* = (Л_1Лo)wi-1 + rh3[g*-1 + O(h)], j = i,...,m.

Погрешность используемой формулы приближенного вычисления интеграла для оценки проектора P2 через P^h) есть O(h2). Поэтому

Ri = w* - wlj =

= P1(h)A_1A 0Rj_1 + O(h2) + rh3P1(h)A_1(O(h) + Sg-b1). Следовательно,

I I Ri I N ZI I Pi(h)A-1Ao | |k[O(h2) + rh3 | | Pi(h)A-11 | O(h)] +

k=0

+ rh3 I I Pi(h)A_1 I I £| |Pi(h)A-1A 0 I j-k-1 11 Sgk I |. k=0

Используя последнее соотношение, а также принимая во внимание, что нормы | |Pi(h)Л_1Ло | |k ограничены в совокупности, оцениваем

| | R(h) | |uh <| I R((h) I Iuh +I I R2h) I Iuh = O(h).

Для различных функций f (x,t,p) из (20) и po(x) из (10), Si = i, 52 = i найдены сеточные функции

p(h). Графики этих функций представлены на рис. 1,2,3.

148

РИ, 2004, № 4

о о

Рис. 1. Решение смешанной задачи (9), (10), (20) при

f

о 0

Рис. 2. Решение смешанной задачи (9), (10), (20) при f (x,t,p) = sin(0.99p(sint + sin21) + x), ~o(x) = sinx/2

Рис. 3. Решение смешанной задачи (9), (10), (20) при f(x,t,p) = t/9sin(tp + x), ~o(x) = 0

6. Выводы

Предложена и исследована новая математическая модель фильтрации жидкости, которая содержит уравнение в частных производных, не разрешенное относительно производной по времени. Это уравнение в частных производных также является неразрешаемым относительно производной по времени, что существенно отличает математическую модель фильтрации, предложенную в данной статье, от аналогичных моделей фильтрации из работ [1,2]. Установлена новая теорема существования и единственности решения начально-краевой задачи для полученного уравнения в частных производных. Результаты, описанные в статье, могут найти практическое применение при исследовании процессов фильтрации нефти и других жидкостей в трещиновато-пористых породах, а также при решении некоторых экологических задач. Для практического применения результатов данной статьи разработан новый численный метод решения смешанной задачи, возникающей в исследуемой модели фильтрации.

Литература: 1. Баренблатт Г.И., ЖелтовЮ.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / / Прикладная математики и механика. 1960. Т. XXIV. С. 852-864. 2. Showalter R.E. Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society: Mathematical Surveys and Monographs, ISSN 0076-5376. 1997. Vol. 49. 278 p. 3. Rutkas A. G, Vlasenko L.A. Existence of solutions of degenerate nonlinear differential operator equations / / Nonlinear oscillations. 2001. Vol. 4, N 2. P. 252-263. 4. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с. 5. Favini A., Rutkas A. Existence and uniqueness of solutions of some degenerate nonlinear equations // Differential and Integral Equationas. 1999. V. 12, N 3. P. 373-394. 6. Favini A., Plazzi P. On some abstract degenerate problems of parabolic type-2. The nonlinear case // Nonlinear Analysis. TMA. 1989. V. 13, N 1. P. 23-31. 7. Rutkas A.G., Vlasenko L.A. Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semilinear functional differential equations // Nonlinear Analysis. TMA. 2003. V. 55, N 1-2. P. 125-139. 8. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Об однозначной разрешимости одного вырожденного функционально-дифференциального уравнения // Доповіді національної академії наук України. 2003. N 3. C. 11-16. 9. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с. 10. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504 с. 11. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

Поступила в редколлегию 25.11.2004

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Руткас А.Г.

Власенко Лариса Андреевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры моделирования и мат. обеспечения ЭВМ Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Научные интересы: моделирование, дифференциальные уравнения. Адрес: Украина, 61001, Харьков, ул. Плехановская, 2/5, кв. 29, тел.: (057) 73228-35.

РИ, 2004, № 4

149