Исследование критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной модели Поттса с числом спиновых состояний, равным трем

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 71-74.

УДК 539

В.Н. Бородихин, Д.В. Греку

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ СЛАБО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ПОТТСА С ЧИСЛОМ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ, РАВНЫМ ТРЕМ

Методом компьютерного моделирования исследовано поведение слабо неупорядоченной трехмерной модели Поттса с числом спиновых компонент, равным трем. Установлено, что для данной модели характерен слабовыраженный фазовый переход 2-го рода.

Ключевые слова: фазовые переходы, критические явления, модель Поттса, влияние примесей, гистерезис.

Введение

Проблема фазовых переходов в неупорядоченных системах представляет большой теоретический и экспериментальный интерес. Это связано с тем, что большинство реальных твердых тел содержит примеси и другие дефекты структуры, присутствие которых влияет на их термодинамические характеристики и, в частности, на поведение систем при фазовых переходах. В настоящее время наиболее интересным является исследование влияния вмороженных примесей на критические свойства спиновых систем [1].

Исследования показали, что присутствие вмороженных примесей изменяет при фазовых переходах свойства лишь тех магнетиков, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга. Для разбавленных изингоподобных систем было получено хорошее согласие теоретических расчетов с результатами эксперимента и численного исследования [2; 3].

Представляет интерес исследование неупорядоченной модели Поттса, которая в пределе двух спиновых состояний сводится к модели Изинга, и дефекты структуры могут оказывать существенное влияние критические свойства данной модели. В частности, представляет интерес исследование критического поведения слабо неупорядоченной модели Поттса с числом спиновых состояний q = 3, поскольку существующие в настоящее время результаты являются неоднозначными. До сих пор окончательно не установлен тип фазового перехода в данной модели.

Трехмерная модель Поттса с примесями

Модель Поттса с числом спиновых состояний q = 3 находит широкое применение при описании ряда объектов и явлений в физике конденсированных сред, таких как сложные анизотропные ферромагнетики кубической структуры, многокомпонентные сплавы и жидкие смеси. Структурные фазовые переходы в некоторых материалах, таких как SrTiOз или Pbз(PO4)2, относятся к классу универсальности трехкомпонентной модели Поттса [4].

Данная модель имеет следующие основные особенности. В узлах кубической решётки расположены спины Si, которые могут находиться в одном из 3^ спиновых состояний, и немагнитные примеси. Немагнитные атомы примеси распределены случайным образом и являются фиксиро-ваными в узлах решетки. Энергия связи между двумя узлами равна нулю,

© В.Н. Бородихин, Д.В. Греку, 2013

в случае если они находятся в разных состояниях или если в одном узлов находится немагнитная примесь, и равна | Л |, если взаимодействующие узлы находятся в одинаковых состояниях, где Л - обменный интеграл.

Гамильтониан модели имеет вид:

Н = -1лЪрр№Р>) - КЕрАЗД ,

2 *,.} I

где Бг, q = 1, 2, 3, Ъщ - индукция внешнего магнитного поля, &(Бг,Б]) = 1 при Бг = Б] и 5(Бг,Б/) = 0 при Бг Ф Б% рг = 1, если в узле находится спин, и рг = 0, если в узле находится немагнитая примесь.

Известно, что в чистой модели Поттса с состоянием щ > щс(ф, где й - размерность системы, наблюдается фазовый переход

1-го рода, а для щ < щс(й) - фазовый переход

2-го рода. Для двумерной модели Поттса величина щс(й = 2) = 4 [5], в то время как для трехмерной модели щс(й = 3) = 2.45 [6]. К настоящему времени также известно, что присутствие вмороженного беспорядка в модели Поттса с состоянием щ > щс может изменить порядок фазового перехода. В [7] было доказано, что для низкоразмерных систем й < 2, описываемых моделью Поттса с щ > щс(й), наличие сколь угодно малой величины вмороженного беспорядка достаточно, чтобы изменить фазовый переход 1-го рода на фазовый переход 2-го рода. Для трехмерной модели Поттса с щ = 4 при концентрациях примесей с = 0,2 и выше фазовый переход 1-го рода меняется на фазовый переход 2-го рода [8]. Для трёхмерной модели Поттса с щ = 2, которая соответствует трёхмерной модели Изинга, при примесных концентрациях выше порога примесной перколяции наблюдается фазовый переход второго рода.

Компьютерное моделирование.

В работе использовался однокластерный алгоритм Вольфа [9].

В качестве намагниченности т для разбавленной модели Поттса использовалось следующее выражение [10]:

Я

< m >

m =-

q -1

где Nmax = max {N1, N2, N3}, N1 - число спинов в состоянии с q = 1, N2 - число спинов в состоянии с q = 2, N3 - число спинов в состоянии с q = 3, N = pL .

Восприимчивость определялась по формуле

N, 2 2Ч

х=т(<m >-<m> ),

где Т = Л / къ - приведенная температура.

Угловые скобки обозначают статистическое усреднение и усреднение по различным примесным конфигурациям. Для анализа характера фазового перехода проводился расчет кумулянтов Биндера:

о 2 2 .

3 < т >< т >

Применение кумулянтов позволяет хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. Так, в случае фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную зависимость от Ь и некоторую область (треугольник) пересечения, близкую к точке. В случае фазового перехода первого рода кривые кумулянтов имеют специфический вид без взаимного пересечения, практически отсутствует их зависимость от размера моделируемой системы, а кумулянты в некоторой области температур принимают отрицательные значения. Также исследовалась температурная зависимость корреляционной длины § по формулам из [11], обобщенным на случай неупорядоченных систем:

# =

где F =< Ф > / L,

1

2sin(n/L) v F

X-1.

ф=3(1 ^ps‘ exp(2nx1,,-/ L) i2 3 i

+ 1 ZPSi exp(2nx2,i /L) |2 +

i

+ 1 ZPiSi exP(2nix3,i /L) |2),

где хи, х2;, х3{ - координаты ьго узла решетки.

Основные результаты

В ходе работы для трехмерной модели Поттса со спиновым состоянием щ = 3 было реализовано моделирование решеток с линейными размерами Ь = 16, 24, 32, 64 с концентрацией спинов р = 0,95. Критическая температура для данной концентрации Тс = 1,724 [12]. Начальная спиновая конфигурация задавалась таким образом, чтобы все спины находились в одном и том же состоянии. Усреднение проводилось по 50 примесным конфигурациям. Осуществлялась прогонка по 100 000 шагам Монте-Карло, 50 000 из которых отводились на установление равновесия. При определении температурной зависимости проводилось исследование температуры Т = 1.694-1.914 с шагом по температуре ДТ = 0.01, а на участке Т = 1.72-1.77 - с шагом ДТ = 0.002. Было проведено исследование зависимости намагниченности и восприимчивости от числа примесных конфигураций Ис при Т = 1.724 для системы с линейным размером Ь = 24. Начиная с 35 конфигураций, флуктуации значений намагниченности не превышают 1.5 % (рис. 1), а начиная с 50, флуктуации восприимчивости не превышают 3 % (рис. 2). Это значит, что использование 50 конфигураций допустимо.

Исследование критического поведения трехмерной слабо неупорядоченной модели.

73

0,40

0,35-

0,30-

0,25-

0,20-

0,15

20 40 60 80

Рис. 1. Зависимость намагниченности от числа примесных конфигураций

100

1Чс

470

460

450

440

430

420

410

400

390

380

370

360

350

340

330

320

310

300

0 20 40 60 80 100

Рис. 2. Зависимость восприимчивости от числа примесных конфигураций

На рис. 3. представлены характерные зависимости намагниченности от температуры Т. С ростом температуры намагниченность непрерывным образом уменьшается, испытывая резкое уменьшение в районе температуры Т >1,724. При температурах много ниже Т = 1,724 значение намагниченности практически не зависит от линейного размера системы. По мере роста температуры различие становится заметным. Скорость стремления к нулю прямо пропорциональна размеру системы. На рис. 4 представлены характерные зависимости восприимчивости от температуры. Восприимчивость растет по мере приближения температуры к Т = 1,724. Вдали от этой температуры восприимчивость близка к нулю и не зависит от линейного размера системы. На рис. 5 представлены характерные зависимости кумулянтов Биндера от температуры. При температурах много ниже Т = 1,724 значение кумулянтов практически не зависит от линейного размера системы. При температуре Т = 1,724 наблюдается пересечение графиков для разных линейных размеров, что характерно для фазовых переходов 2-го рода. Однако также наблюдается уход графиков кумулянтов в область отрицательных значений, что характерно для

фазовых переходов 1-го рода. При температурах много выше Т = 1,724 значения также практически не зависят от линейных размеров. Заметим, что чем больше линейный размер системы, тем более острый пик отрицательных значений образуется, а сам пик смещается к температурному значению Т = 1,724. На рис. 6. представлена зависимость корреляционной длины от температуры. Наблюдается пересечение графиков для разных линейных размеров, что характерно для фазовых переходов 2-го рода.

0,45

0,40

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10 -

0,05 -

0,00 -

..

^~А-А-А~А~А-А--А~А-А-А-А-А-<

0“>Ск#>, А А А-

Д-Д-Д

-О-О-О-Й А А А А

Л л л л

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77 -

Рис. 3. Зависимости намагниченности от температуры

1400-,

X

0-

Рис

1 -I

и

0-

-1 -

-2-

-3-

-4

1,60 1,65 1,70 1,75 1,8

4. Зависимости восприимчивости от температуры

?.о.А ЛДД Л А

"о . • • • •

4%

1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 у

Рис. 5. Зависимости кумулянтов Биндера от температуры

150 -

50-

о Ч \ 'жХ

• • • • £

£й?8=а=а=а-а=а-а-л-й-л-й-й-д-д-л-д-д-й-д

1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 J

Рис. 6 . Зависимости корреляционных длин от температуры

1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1

-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

И

Рис. 7. Зависимость намагниченности от индукции внешнего магнитного поля

Для получения более однозначных результатов впервые были проведены дополнительные исследования поведения трехмерной модели Поттса с числом спиновых состояний, равным трем, во внешнем магнитном поле. Исследования не выявили признаков появления петель гистерезиса (рис. 7), что характерно для фазовых переходов 2-го рода.

Следовательно, можно заключить, что для трехмерной модели Поттса с числом состояний спинов щ = 3 и концентрацией

примесей с = 1 - p = 0,05 характерен слабо-выраженный фазовый переход 2-го рода. Данные выводы согласуются с результатами работы [12]. Таким образом, даже небольшая концентрация примесей меняет характер фазового перехода с 1-го рода на 2-й.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003. Т. 173. С. 175.

[2] Pelissetto A., Vicari E. Randomly dilute spin models: a six-loop field-theoretic study // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 6393.

[3] Прудников В. В., Прудников П. В., Ваки-лов А. Н., Крыницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т.132. С. 417.

[4] Wu F. Y. The Potts model // Rev. Mod. Phys. 1982. V. 54. Р. 235.

[5] Loulidi M., Physica A. Some analytical results on the bond diluted g-state Potts model // Physica A. 2000. V. 287. P. 177.

[6] Guttmann A. J., Enting I. G. Series studies of the Potts model: III. The 3-state model on the simple cubic lattice // J. Phys. A. 1994. V. 27. Р. 5801.

[7] Aizenman M., Wehr J. Rounding of first-order phase transitions in systems with quenched disorder // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. Р. 2503.

[8] Chatelain C., Berche B., Janke W., Berche P.-E. Monte Carlo Study of Phase Transitions in the Bond-Diluted 3D 4-State Potts Model // Nuclear Physics B. 2005. V. 719/3. Р. 275.

[9] Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett. 1989. V. 62. Р. 361.

[10] Chatelain C., Berche B. Finite-Size Scaling Study of the Surface and Bulk Critical Behavior in the Random-Bond Eight-State Potts Model // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. Р. 1670.

[11] Salas J., Sokal A. Universal Amplitude Ratios in the Critical Two-Dimensional Ising Model on a Torus // J. Stat. Phys. 2000. V. 98. P. 551.

[12] Муртазаев А. К., Бабаев А. Б., Азнаурова Г. Я. Исследование влияния вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной модели Поттса // ФТТ. 2008. Т. 50. С. 703.