Электромагнитное поле геодиэлектрического волновода при его возбуждении импульсным горизонтальным магнитным диполем

УДК 550. 837. 52

Электромагнитное поле геодиэлектрического волновода при его возбуждении импульсным горизонтальным магнитным диполем

Ю.А. Ним

Приводится решение прямой задачи для аппроксимированной модели геодиэлектрического волновода, ограниченного плоскопараллелъными слоями при импульсном внутреннем возбуждении горизонтальным магнитным диполем. Оригинал модели - электромагнитный каротаж горизонтального ствола нефтегазового коллектора и т. п. геологические объекты.

Ключевые слова: импульсное электромагнитное поле, горизонтальный магнитный диполь, электропроводный, диэлектрический слой, граничные условия, обратное преобразование.

The solution of the direct task for an approximated model of geodielectricalwaveconductor limited by plane-parallel layers under impulse internal excitation by the horizontal magnetic dipole is presented. The original model is electromagnetic logging of the gas and oil collector horizontal borehole and other geological objects.

Keywords: impulse electromagnetic field, horizontal magnetic dipole, electroconductive, dielectric layer, limited parameters, reverse transformation.

Под диэлектрическим волноводом будем понимать диэлектрический слой, ограниченный электропроводными пластами. Такая модель соответствует многим геоэлектрическим структурам, в числе которых золотокварцевые и угольные пласты, нефтегазовые коллекторы, пресные воды и т.п. объекты.

В современной теории и практике электроразведки при поисках полезных ископаемых раздельно используются низко-, средне- и высокочастотные методы, избирательно нацеленные на определение хорошо и слабо электропроводных тел, исследование собственно диэлектрических тел (георадиолокация).

Природные геологические тела характеризуются, главным образом, комплексной электропроводностью, особенно в пределах криолито-зоны, некоторые из них, представляющие объекты картирования, поиска, оценки, разведки и разработки, могут быть представлены в виде волноводной электрической модели, в которой электромагнитная энергия направлена вдоль электропроводящих и диэлектрического (высокочастотная часть спектра) слоев. В этой связи целесообразно рассмотреть весь спектр технических частот, отражающий объект исследования, модель которого можно представить в виде диэлектрического слоя толщиной 1 с диэлек-

НИМ Юрий Александрович - д. г.-м. н., проф. СВФУ, gmpirmpi@ mail.ru.

трической проницаемостью £, ограниченного сверху (по оси «г») и снизу (по оси «- г»), соответственно, электропроводящими пластами

толщиной 11, проводимостью у1 и 12, 72. В качестве возбудителя волновода примем горизонтальный магнитный диполь с моментом

М = Мхш ориентированный по оси «х» прямоугольной системы координат (х,у,/), начало которого совместим с цилиндрической системой (г, ф ,/). Здесь ю - круговая частота, t - время, i - мнимая единица.

Такая геофизическая модель соответствует технологиям скважинных, шахтных, подводных и других исследований, а ориентированный по напластованию возбудитель представляет основной элемент прямой задачи электромагнитного каротажа горизонтальных стволов нефтегазовых скважин [1-7].

Точное аналитическое решение электродинамической задачи с учетом потерь в электропроводящих слоях связано с существенными, зачастую непреодолимыми математическими трудностями. Поэтому рассмотрим поставленную задачу в упрощенной геометрической модели геологической горизонтально-слоистой структуры, которая, как известно, с точки зрения технологической реализации, имеет не меньшее значение, описывая все основные, наи-

более существенные свойства исследуемого явления, процесса, объекта. Упрощение состоит в том, что пласты конечной мощности и электрофизических свойств аппроксимируются плоскостями, суммарные параметры которых равны соответствующим параметрам пластов. В данном случае положим Sn = limyn l n при y„

l n —} 0 и D = lime l при e l — 0, где Sn -

продольная электропроводность слоя «n» (n=1; 2) , D - продольная диэлектрическая проницаемость пласта. Первая плоскость расположена на расстоянии h=z, вторая -H1= — z, а третья -Н2= — z . При этом расстояние между плоскостями, характеризуемыми (у1) и (e), обозначим символом d1, а расстояние между плоскостями (у2) и (e) - d2, так что d1+ d2= h+ Н2; h+ Н1= d1 (рисунок).

c¡1 O h ^ M

H1

d2 H2

Модель геодиэлектрического волновода с потерями, возбуждаемого горизонтальным магнитным диполем

Корректность такой аппроксимации при решении прикладных задач электродинамики, в том числе и электрразведки, наряду со строгими моделями стали классическими [8-15].

В соответствии с магнитным характером источника поля вводим вектор-потенциал «А» соотношением:

Е = тогА,

где Е — вектор напряженности электрического поля.

Согласно симметрии системы, электродинамический вектор-потенциал имеет две скалярные компоненты: горизонтальную Ах и вертикальную Аг, которые определяются решением уравнения Гельмгольца [16,17] :

V2 Azx = к2 А,

При сжатии слоев 8„ и Б уравнение (2) вырождается в уравнение Лапласа V2А2,х = 0 , т.к. в межпластовой среде к2^0 из-за сравнительно

малых значений физических параметров. Здесь к2 = ¡юцу - а>2це - квадрат волнового числа, ц -магнитная проницаемость. Поскольку уравнение Гельмгольца становится пограничным, из него непосредственно следуют граничные условия для каждой соответствующей границы [6, 7, 12, 13].

Для плоскостей 8„ имеем:

дА,х ЭА„, ЪА,

+

(n+l)x

dA,

n+l)z

A

nz^ ( n+1) z :

dx dz = iajjuSnA

для плоскости D

dA2 x dA2 z dA3x dA

dx

dz

+ •

x2 z

3x

3z

iJiaD )A z, A3 z.

dx dz dx dz Другие граничные условия имеют вид:

dAnx dA,

(n+l)x

dx

dx

= 0, Ar,

A

(n + 1)z-

Решая уравнение Лапласа методом разделения переменных с учетом регулярности на бесконечности, с моментом источника М = ¡а>/иМ х / 4п

в начальной точке и в начальный момент времени в каждой из четырех сред соответствующего межграничного пространства будем иметь [7, 15, 17, 18]:

1. A

1x

= Mx J B0 e - mzJ 0 (mr )dm,

2. A2 z = Mx J (

0

±mz

+ B1e

mz + B2e~mzJ0(mr)dm,

3. A2 z = Mx J (B3 e'

+ B4 e -

)J 0

4. A4 z = Mx J B5 emzJ,(mr )dm,

— д f

5. Aiz = Mx dx J C°K

A2z = Mx dd- J (

'J 0 (mr)dm,

+ C2 e—mz

) 0 (mr)dm,

7. A3z = Mx dx J( + C4e"mz)(mr)dm,

— Э Г

8. A4 z = Мх — I С5 eщzJ0(mr)dm.

Эх

Для выполнения граничных условий (3), (4) определим соответствующие производные функций вектор-потенциалов с учетом их конечности, т.е. при 2>0, е_Ш2, а при 2<0-ешг, где т - переменная разделения и интегрирования:

1.

ЭД

Л

— = Мх — I (- тС0 е )0 (тг )ёт, 7 Эх *

Эz

Эх

2.

ЭА

27

—. га

=Мх — \(тСет7 -тС2е"т7)/0(тг^т,

Э7 х Эх

Л —.га

3. = Мх — I (тС3ет7 - mC4e-mz)/0(mr)dm,

4.

Э7 х Эх-ЭА47 гг Э

Э7

= Мх — Г тС5 ет^ 0 (тг^т

х Эх 5 0

5. = Мх — \Б0 е -щzJoí (mr)dm, Эх Эх

6. ^ = Мх—\( + Б1ет7 + Б2еЧ//0(тгУт Эх х Эх 1 2 0

7.

ЭА

3х

= Мх — I (( + Бле~т7 /(т^т,

Эх

Эх

—V л —.га

4 х = Мх — Г Б5ет7/0 (mr)dm,

х Эх 5 0

Эх

9.

10.

га

= Мх — \ ( - тБхе ~т7)/0 (mr)dm, Э7 Эх *

ЭА2 х

Э7

Э

= М —?(± тет7 + тБ1ет7тБ2е ~т7 /

х Эх 1 2

х /0 (mr)dm,

Для определения коэффициентов 5 и С выполним граничные условия на каждой границе с учетом краевых условий. Принимая во внимание ортогональность функций Бесселя или действительность несобственных интегралов, при всех значениях «г», получим системы алгебраических уравнений, состоящих из соответствующих подынтегральных функций [14,15,17].

На границе имеем:

1 ^ - тк _ ^ тк . ^ - тп

А. 0 — 1 I 2 '

тк

- тк

2

2. -тБ0е~тк =-те~тк + тБ1етк -тБ2е"тк = 0,

3. Б0етк - тС0е~тк - е"тк - Де^ - Б2е~тк -

- тС1етк + тС2е

-тк

]1С0е

-тк

где j1 = .

На границе /=-И1 выполняются равенства:

1. С1е ~тН + С 2 етН = С3е - тЯ' + С 4 етЯ',

2-mH, . 7-) - тН, 7-) тН,

. те 1 + тБ1е 1 - тБ2е 1 =

= тБ3е"тН' - тБ4ет"1 = 0, 3. е"тН' + Б1е~тН1 + Б2етН - Б3е"тН' - Б4етН' + + тС1е~ тН1 - тС2етН1 - тС3е"тН' + тС4етН' = = ((©)2^(^е"тН' + С2етН').

На границе 2=-И2:

1. С3е " тН 2 + С 4 етН 2 = С5 е - тН 2,

2. тБ3е-тН2 - тБ4етН2 = тБ5е-тН2 = 0,

3. Б3е"тН2 + Б4етН2 -Б5е-тН2 + тС3е"тН2 -

-тС4етН2 -тС5е~тНг = (а}^Б2Съе-тНг = j2Cъe-mHг.

Решая эти системы уравнения, с учетом того. что в них вторые уравнения совмещают два граничных условия, определяем двенадцать неизвестных коэффициентов:

Б0 = Б3 = Б = Б = 0,

,тН1 —,

Б1 = gнe

-2тк

Б = ¿не -2тН1

где ¿н = ¿н / ^ ¿к = ¿к / ^ ¿н = 1 + е ¿к = 1 + е ~2тк, ^ = 1 - е

-2 тН.

га

11. = Мх— К -тБ^/т^щ

Э7 Эх*

га

12. —^ = Мх — \Б5 е^/^т )dm. Эх х Эх 5 0

С1 = 2^^е-2тк х хм

х

^ е"2та1

хм

и

3 2

= р4 + р—(2т81Д+2т8Д2 -82Д&)+

х

2

+р-—(т2Д+2т—8182 - 2—Д+ (7) +Р—(4т2 8 - 2т—^е^)+^,

где р = х = — 8182 Дш 2, = 1 - е

= 1 - е -2 ^ ^ = + 82.

-2тйл

_ 1 . -2тк— , —

=1 + е gн + gh •

С2 = -С ^-е2тк + 2

gH 1

С 0 = С1е2тк + С 2:

С = <у - С е 2 тн11^ + С

^ 2— 2т

2 т

С4 = ^ 2 е "2тН1

е 1

2т

7

2т - 7

2т

+ С2 + С]е-2тн'7 2 2т 1

2т

П — П 2 тН2 2т

С = -1^/.е -,

где = 2т = 7, 7 = (/^)2—Д.

Для определения электромагнитного поля во временной области приведем коэффициенты С к табличному виду обратного интегрального преобразования Лапласа-Карлсона. При этом учтем, что слагаемые коэффициентов, не содержащих спектральную функцию в режиме выключения первичного поля (технология задания импульса), не вносят вклад в неустановившийся процесс.

Итак, коэффициенты С преобразуются к виду:

С1 =

+ Р

2 gнme ~2тк 2gнS 2 е ~2тк - g 22 81 е

2 282 4т р + р—1 +-

Д —д

+

х

Р + РГз

—818 2 Ж

2 ^нт

X

^н82 -

g 2 2 81е ~2—н

£ 2

2т81 Ш 2 2 ДШ 2 (2 (

е2тн1 -

2тй 2т^ г* „2тЬ

С0 = -С1е2т^ —, С 2 = -С1 ^ е 71 71

Сз = С1 + С1рде

2тйл

—Д 2 С 2т

С = -С

4 М

, 2т Д 1 +—+ р—

71

8

,_2тй Г' ' „ „2тй

1

2т

С = —С

5 4

2т

-1

72

Теперь приведем функцию Ж к табличному виду, разложив её на множители. Представим Ж в виде уравнения четвертой степени [13]:

х4 + х3а + х2Ь + хс + й = 0,

2т 2т ш 1

где х = р, а = —:--1--—1--

—82 Ш2 — Ш2 —81

Ь =

4т

+

2т

2

— 8^2 —ДШ2 —81 82Ш2 4т28 2те~2Ы1

с =

й = 8т/х.

Подставляя в это уравнение функцию а

х = у - —, получим приведенное уравнение в виде:

у4 + р у2 + ЧУ + г = 0 .

Решение этого уравнения зависит от решения её кубической резольвенты

г3 + 2р г + (р2 - 4г)г - д2 = 0.

Канонический вид этого уравнения имеет вид:

х3 + г х2 + sх = 0,

где г = 2р, s = р2 - 4г, Х= -д2.

Производя в этом уравнении замену неизвестного х = у - г/3, получим приведенное уравнение

у3 + ру +д = 0,

в котором р =

3s - г2

3

д =

2г3 гs

---+ Г.

27 3

Решением уравнения (13), а следовательно и (11), являются корни, приведенные в таблице [19]. К примеру, при неравенствах Д>0 и р<0, которые выполняются в широком диапазоне изменения электрофизических параметров геологических объектов, имеем:

= -2Яскр/3, г2 = 2ЯсИр/3 + 143В£Ъу/3,

гъ = Яскф/3 - iRshф/3

2

2

где

R = р^ ч2)| p /3, сПф=а

2Я5

/„\3

у3У

+

/ л2

2,

V у

В этом случае решением приведенного уравнения четвертой степени (2) являются корни:

У1 = (р1 + 4*2 +л/7Г)/2,

У2 = (р1 — л/7! "л/^)/2, (15) У2 = ((1 + ^72

•У 2 :

4^3 )/2,

(-л/7! —4*2+4*3)/2-

Обратной заменой х = у — а /4 получим ис-

а

комое решение уравнения (9): х1—4 = у1—4 — 4.

При этом определяются коэффициенты при неизвестных в уравнении (9):

1. л.

^ Л 2 А А Л 2

2ш 2ш а =--+

Ь = 6

^2

ч4у

+ р;

С

' а ^3

у3У

+ 2 р

а

у4У

+ ч

d = а—+ г + р 4

С \

4

+

а 4

Сравнивая эти коэффициенты с коэффициентами при р = ¡Ю в функции Ж, определяются искомые значения уравнения (3):

Р = (4/ 5 42 ^2(^1 + 52Ч2)2 —

2 Чх)

4шЯ 2Ч 1(51 + 52 л2) + Я2л 1 ].

Ч =

4ш2 Я — 2ш5 2 е

4

9/ Я 2 л 2)3

х

х[8ш 3(^13 + 351Я 2 л 2 + 351Я2 л 2)]— -3(4ш2 Я2 + 4шЗД л 2 + Я2 л2)Я2 л1 +

+ 6ш(Я + Я 2 л 2)Б 2 л12 — я 2 л3.

8ш

а

/ \2 Г Л3

'а /ах

г =

Ч 4 — Р

4

V у

4

V У

Определив корни уравнения четвертой степени, представим функцию Ж в виде сомножителей:

Ж = (Р — х1 )(Р — х2 Х/^ — х3 )(Р — х4 ) =

= (р + d Хр + с)(р + а)2 + ь],

где

d=— +4*2—4*3 + а.

2 4;

С=—

*2 + л/ + а

л =

Ь = 7

—а

2 4

+

4*3

2

Подставляя (16) в коэффициенты С0 - С5, приводим функции вектор-потенциалов Л1г (ш) - Л4г (ш) к табличным интегралам обратного преобразования Лапласа-Карлсона, определяя тем самым электромагнитное поле во временной области во внутренних и внешних частях волновода.

К примеру, в среде, в которой расположен возбудитель, поле складывается из двух частей, одна из которых представляет производную по пространству и времени первого слагаемого и в точности соответствует полю в точках области над волноводом.

Первая часть поля определяется коэффициентом Сь который в выражении (8) с учетом (16) представляем в виде табличного интеграла обратного преобразования Лапласа-Карлсона (ф.21.141.с.211) [20].

Так, функция

Л2,

1 2п 1 — р 1

2г 4п Эх •! 2П

ер г 2лнше

-2шИ

/ 515 2

х

/ 2 252 4ш |

р 1Р + "о + о)

Ж

+

г\— о —2 шп _ о —2шd

+ 2лнЯ2е — л Е251е х +х

/515 2

2

4

4

2

а

х

д р

х——

Р1 + Ри-„ т2 ^ - ,„

* ' * ' лт 11 1

2т^£

J0 (тг )е1рёт.

Таким образом, электромагнитные поля геодиэлектрического волновода во временной области могут быть выражены через однократный интеграл, поддающийся численному анализу. При этом отметим, что, учитывая технологию измерения импульсного электромагнитного поля (временную последовательность), в поле становления вначале отражается диэлектрическая составляющая (высокочастотная часть спектра), а затем электропроводная, тем самым, создавая предпосылки для оценки коллекторских свойств нефтегазоносного пласта, контроля положения водонефтяного контакта и корректировки горизонтального положения ствола бурящейся скважины.

Основные положения работы используются автором при обучении студентов-геофизиков старших курсов СВФУ им. М.К.Аммосова.

Работа выполнена при поддержке целевой программы РНП 2.1.2.8582.

Литература

1. Савин А.Д. Геофизические исследования горизонтальных скважин. Состояние и проблемы // Каро-тажник. - Тверь, 2010. -№2. - С.16-37.

2. Беляков Н.В., Векслер В.И., Перекалин С.О., Ще-паксин В.А. Методы подземной навигации скважин // Каротажник . - Тверь, 2006. - №2-4. - С. 190-198.

3. Дворкин В.И., Метелкин В.И., Царегородцев А.А. и др.Исследование методом индукционного каротажа в процессе бурения // Каротажник. - Тверь, 2005. - №10-11. - С.95-105.

4. Кнеллер Л.Е., Гайфуллин Я.С., Салихянов А.Н. Информационные обеспечения горизонтальных скважин - важнейший резерв повышения их эффективности// Каротажник. - Тверь, 2005. - №5-6. -С.208-220.

5. Эпов М.И., Глинских В.Н., Ульянов В.Н.Оценка характеристик пространственного разрешения систем индукционного и высокочастотного электромагнитного каротажа в терригенных разрезах Западной Сибири // Каротажник. - Тверь, 2001. - №81. - С.19-57.

6. Ним Ю.А. Геонавигационные и оценочные возможности импульсной электроразведки при проходке горизонтальных нефтегазовых скважин // Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Университет XXI века: цели, задачи, перспективы. - Якутск: изд. ЯГУ, 2006. - С. 78-80.

7. Ним Ю.А. Теоретическое обеспечение новых технологий электромагнитного контроля разработки нефтегазовых месторождений // Труды Международной научно-практической конференции «Проблемы и перспективы комплексного освоения месторождений полезных ископаемых криолитозоны». -Якутск: ЯНЦ СО РАН, 2005. - Т. 2. - С.163-168.

8. Уэйт Дж.Р. Геоэлектромагнетизм / Пер. с англ.

- М.: Недра, 1987. - 235 с.

9. Смайт В.Р. Электростатика и электродинамика / Пер. англ. - М.: Изд-во «ИЛ», 1954. - 604 с.

10. Сидоров В.А. Импульсная индуктивная электроразведка. -М.: Недра, 1985. - 192 с.

11. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. - М.: Геос, 1997. - 162 с.

12. Шейнман С.М. Об установлении электромагнитных полей в земле // Прикладная геофизика. - М.: Недра, 1947. - Вып. 3. - С. 5-55.

13. Макагонов П.П., Мухина Н.И., Шерияф Я. Влияние диэлектрической проницаемости на нестационарное электромагнитное поле в микросекундном диапазоне // Изв. вузов. Геология и разведка. -М., 1987. - №8. - С. 81-86.

14. Ним Ю. А. Основы приближенной теории электрозондирования методом переходных процессов // Геология и геофизика. - 1989. - №3. - С. 134-141.

15. Ним Ю.А. Аппроксимационная модель неустановившегося электромагнитного поля диспергирующего пласта при его возбуждении вертикальным магнитным диполем // Наука и образование. - 2008.

- №4. - С. 34-38.

16. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондирований. - М.: Недра, 1965. - 109 с.

17. Кауфман А.А. Введение в теорию геофизических методов. Ч. 2. Электромагнитные поля / Пер.с англ. - М.: Недра, 2000. - 483 с.

18. Ним Ю.А. Импульсная модификация электромагнитного зондирования // Геофизические исследования в Якутии. - Якутск: изд. ЯГУ, 1998. - С.97-109.

19. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. -М.: Наука, 1986.- 544 с.

20. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. - М.: Высшая школа, 1965.- 466 с.