Происхождение дроби

Вдогонку по поводу «деления единицы». Если камень разделить на 5 частей — расколоть, — то получится (внезапно!) 5.

Пять мелких камешков. В учебнике пятого класса было написано ― натуральные числа используются для счёта предметов. При делении камня на 5 возникает 5 новых предметов.

«Одну пятую» можно получить, только если отвлечься от камней и перейти к величине — массе. Нагляднее — песок.

В школьной математике тоже не надо забывать, что на числах можно рассматривать разные структуры, и они обслуживают разные математические модели. Полтора землекопа ― хороший тому пример.

А с формальной точки зрения положительные дроби, как и рациональные числа, можно построить

на основе

натуральных чисел, рассматривая классы эквивалентности отношения на

, при котором пара (a, b) эквивалентна (c, d) при условии ad = bc. На этих классах эквивалентности можно определить порядок, сложение и умножение, при этом оказывается, что отображение, которое натуральному числу n ставит в соответствие класс эквивалентности пары (n, 1), является мономорфизмом (т. е. инъективным и сохраняющим порядок, сложение и умножение). Этот мономорфизм

условно

можно считать вложением, отождествляя число n и класс эквивалентности [(n, 1)]. То есть иногда удобно считать, что [(1, 1)] ― это то же самое, что 1. Но иногда можно и вспомнить, что это разные вещи, причём 1 существовала, пока класса [(1, 1)] ещё не было.