Сравнительный анализ помехоустойчивости методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами при использовании информации о кратковременной и о долговременной зависимостях

A. N. Leukhin, D. A. Nazarov Mari state technical university

Simplex phase-coded sequences

New method for constructing an ensemble of cyclic simplex sequences based on finding a solution of equations system for the synthesis ofphase-coded sequences with single-level periodic autocorrelation function at the lowest possible value of the sidelobes level is offered. Method of forming a single-level periodic autocorrelation function of the equidistant simplex vectors ensembles from polyphase simplex sequences with minimum possible level of side lobes is described. Realization of the method for phase coded sequences with periods N = 2... 10, forming ensembles of cyclic simplex sequences in spatial dimensions k = 1.9 respectively is presented.

Ensembles of cyclic simplex phase-coded sequences, equidistant simplex vectors, synthesis method of simplex sequences ensembles

Статья поступила в редакцию 31 октября 2009 г.

УДК 621.37

М. И. Богачев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Сравнительный анализ помехоустойчивости методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами при использовании информации о кратковременной и о долговременной зависимостях1

Приведен сравнительный анализ помехоустойчивости двух методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами, наблюдаемых на фоне аддитивного "белого" шума с нормальным и равномерным распределениями. Первый метод основан на анализе кратковременного предиктора выброса и использует информацию только о кратковременной зависимости случайного сигнала. Второй метод базируется на анализе предшествующих выбросов на основе математического аппарата интервальных статистик и использует информацию о долговременной зависимости. Показано, что использование информации о долговременной зависимости позволяет достичь лучших характеристик прогнозирования для случайных процессов с выраженной или нелинейной долговременной зависимостью при условии, что распределение отсчетов сигнала затухает значительно медленнее, чем распределение отсчетов шума, а отношение "сигнал/шум"лежит в диапазоне 3...10.

Случайный сигнал, прогнозирование, выброс, долговременная зависимость, помехоустойчивость

В задачах анализа случайных сигналов типичной является ситуация, когда информация об анализируемых сигналах искажена воздействием шумов различной природы. Это может быть связано с природой порождающей системы, когда случайный сигнал исходно формируется как многокомпонентный, причем не все компоненты являются информативными. Более распространенным является случай, когда сформированные порождающей системой случайные сигналы доступны наблюдателю лишь с искажениями, возникшими вследствие погрешностей используемой при регистрации измерительной аппаратуры, из-за

1 Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (государственный контракт № П2342 от 17.11.2009).

© Богачев М. И., 2010 11

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1======================================

наличия различного рода помех при передаче информации по радиоканалу, и из-за округлений при оцифровке данных и по другим причинам. Во всех указанных случаях требуется извлечение из полученного колебания, представляющего искаженный случайный сигнал, полезной информации.

В задачах анализа случайных сигналов типичной является ситуация, когда информация об анализируемых сигналах искажена воздействием шумов различной природы. Это может быть связано с природой порождающей системы, когда случайный сигнал исходно формируется как многокомпонентный, причем не все компоненты являются информативными. Более распространенным является случай, когда сформированные порождающей системой случайные сигналы доступны наблюдателю лишь с искажениями, возникшими вследствие погрешностей используемой при регистрации измерительной аппаратуры, из-за наличия различного рода помех при передаче информации по радиоканалу, и из-за округлений при оцифровке данных и по другим причинам. Во всех указанных случаях требуется извлечение из полученного колебания, представляющего искаженный случайный сигнал, полезной информации.

В настоящей статье рассматривается задача прогноза динамики выбросов случайного сигнала над заданным порогом Q, при условии, что совокупность моментов сигнала обладает фрактальными свойствами, а наблюдение сигнала производится на фоне аддитивного случайного процесса с независимыми отсчетами ("белого" шума). Актуальность решения задач прогнозирования для данного класса случайных сигналов подчеркивается тем, что фрактальные свойства порождаемых сигналов характерны для разнородных сложных систем, таких, как регуляторные системы в физиологии (где фрактальные свойства были отмечены в отношении сердечного и некоторых других физиологических ритмов [1]), экономические [2], климатические [3], [4], и больших технических систем, среди которых следует выделить системы массового обслуживания, в частности многопользовательские телекоммуникационные сети, где фрактальные свойства обнаруживаются в динамике совокупного трафика от множества пользователей [5], [6]. Прогнозирование выбросов случайных сигналов, порождаемых указанными классами сложных систем, актуально для предупреждения опасных физиологических состояний, кризисных периодов в экономической активности, чрезвычайных ситуаций природного происхождения, перегрузок в сетях массового обслуживания и в ряде других задач.

Возможны два основных подхода к прогнозированию выброса случайного сигнала У1 с фрактальными свойствами. Первый из них - классический, основанный на поиске для искомого выброса уп > Q характерного предиктора уп к длительностью к принятых отсчетов. Этот подход использует информацию только о кратковременной зависимости отсчетов случайного сигнала. Для его реализации в относительно простых системах, где единственный наивероятнейший предиктор уп к является репрезентативным, необходимо

обладать информацией об этом предикторе уп к и оценивать близость к нему на основании некоторой заданной метрики расстояния между предикторами. В более сложных системах, где наивероятнейший предиктор уп к не является единственным либо репрезентативным, необходимо обладать полной базой данных вероятностей Р(уп > 0^упк) превышения случайным сигналом у^ порога Q в момент времени п.

Второй подход основан на анализе долговременной зависимости. В рамках этого подхода предложен метод прогнозирования случайных сигналов с фрактальными свойствами с исполь-

Г7Т ^

зованием математического аппарата интервальных статистик [7], когда вероятность ^

превышения порога Q случайным сигналом у' в следующий момент времени оценивается с 12

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1

учетом времени ^ истекшего после последнего такого превышения, на основании выражения

Ж (^ ^) = [Сд (t + 1)- Сд (t)]/[1 - Сд (t)] ^ CQ (t) ,

^ -|/|- ^ -1, 1, где и - функция распределения вероятностей между выбросами случайного сигнала свыше заданного порога Q [8]. Более подробное описание указанных подходов и примеры их применения для прогнозирования трафика в телекоммуникационных сетях приведены в [9], [10].

В работе [11] проведен сравнительный анализ эффективности данных подходов при прогнозировании выбросов фрактальных процессов с линейной и с нелинейной составляющими долговременной зависимости. Согласно полученным результатам при наличии только линейной составляющей долговременной зависимости (монофрактальная модель случайного сигнала) анализ кратковременного предиктора всегда предпочтительнее, тогда как в присутствии выраженной нелинейной долговременной зависимости (мультифрак-тальная модель случайного сигнала) оба подхода показывают сопоставимую эффективность прогнозирования. С учетом этих результатов преимуществами подхода на основе интервальных статистик могут быть только простота его реализации, отсутствие необходимого для альтернативного подхода этапа обучения алгоритма прогнозирования, минимизация объема информации, требуемой для осуществления прогноза, до единственного параметра истекшего времени t после последнего произошедшего выброса.

Однако задача прогнозирования в работе [11] была рассмотрена в предположении неискаженных случайных сигналов, в частности без учета воздействия шумов. Подобное предположение уместно при анализе трафика в телекоммуникационных сетях, где объем переданных или полученных данных за истекший временной интервал может быть определен с точностью до бита без искажений. При анализе регистрируемых случайных сигналов, порождаемых физиологическими или климатическими системами, воздействие факторов шумов при съеме и погрешности измерения значительно и подобное допущение может приводить к снижению достоверности результата.

В качестве примера подобного противоречия можно привести результаты прогнозирования аномально больших интервалов между сердечными сокращениями (эпизодов бра-дикардии) на основании анализа случайных сигналов, полученных при суточном мониторинге электрокардиосигнала, приведенные в работе [12]. Сердечный ритм, как и многие другие физиологические ритмы, является случайным сигналом с выраженными как линейной, так и нелинейной составляющими долговременной зависимости. При анализе эффективности прогнозирования искусственно синтезированного случайного сигнала (с использованием математической модели мультипликативного каскада с параметрами, имитирующими динамику сердечного ритма в норме) полученные результаты указывают на сопоставимую эффективность прогнозирования при использовании как подхода на основе анализа предикторов, так и подхода на основе интервальных статистик, что согласуется с данными работы [11]. С другой стороны, при анализе реальных записей сердечного ритма прогноз на основе метода интервальных статистик оказался более эффективным в подавляющем большинстве записей [12]. В качестве значимого фактора, который мог повлиять на расхождение в результатах, следует отметить погрешности измерения интервалов между сердечными сокращениями при анализе электрокардиосигнала, так как его съем при амбулаторном мониторинге проводился в условиях сложной помеховой обстановки.

Другим примером аналогичного противоречия могут послужить результаты анализа экономических показателей, где при прогнозировании отрицательных выбросов суточных возвратов (соответствующих резким падениям котировок акций и индексов на финансо-

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1======================================

вом рынке), представляющих собой некоррелированный случайный процесс с выраженной долговременной нелинейной зависимостью, была получена равная эффективность прогнозирования при использовании метода на основе предикторов и метода на основе интервальных статистик при анализе математической модели мультипликативного каскада с соответствующими параметрами, и значительное повышение эффективности при использовании метода интервальных статистик для анализа реальных исторических временных рядов значений котировок [13]. В данном примере, вероятно, имел место случай двухкомпонентного случайного процесса, где наряду с нелинейно долговременно зависимой составляющей, успешно описываемой моделью мультипликативного каскада, имеется случайная составляющая, неинформативная для прогноза, которая может быть формально описана в виде эквивалентного аддитивного шума.

В связи с указанными противоречиями представляется важным рассмотреть и проанализировать случай прогнозирования фрактального процесса (обладающего долговременной зависимостью) на фоне аддитивного шумового случайного процесса (с независимыми отсчетами).

В качестве моделей сигналов остановимся на монофрактальной и мультифрактальной моделях, наиболее распространенных для описания процессов с долговременной зависимостью, порождаемых сложными системами,2. Для монофрактальной модели рассмотрим наиболее распространенное нормальное распределение отсчетов случайного сигнала. Для мультиф-рактальной модели наряду с гауссовским распределением целесообразно рассмотреть случай распределения с "тяжелыми хвостами", так как согласно литературным данным распределения с логнормальными или степенными "хвостами" типичны для сложных систем с мультифрак-тальной динамикой, в частности для процессов в физиологических, экономических, климатических и больших технических системах [14]-[17].

Рассмотрим монофрактальную модель, т. е. случайный сигнал с исключительно линейной долговременной зависимостью при нормальном распределении сигнала и шума. Остановимся на случайных сигналах, характеризуемых показателями Хёрста Н = 0.6 (слабая долговременная зависимость), 0.8 (промежуточное значение) и 0.98 (выраженная долговременная зависимость). Согласно данным предыдущих исследований приемлемой вероятности правильного прогнозирования выброса D в отсутствие шума удается добиться при значениях вероятности ложной тревоги а в диапазоне 0.1...0.3 [11]. Поэтому для построения характеристик помехоустойчивости зафиксируем два значения вероятности ложной тревоги, равных границам указанного диапазона. Поскольку по условиям задачи прогнозированию подлежат превышения случайным сигналом фиксированного порога Q, в качестве отношения "сигнал/шум" примем отношение Q|аш, где аш - стандартное отклонение значений шума. Полученные при заданных условиях характеристики помехоустойчивости приведены на рис. 1 для пороговых значений Q, соответствующих средним интервалам повторения выбросов Ед = 10, 70 и 500. Сплошными линиями при-

2 В связи с тем, что определения, свойства и способы формирования моно- и мультифрактальных случайных сигналов детально освещены в литературе (см., например, [5], [7], [9]), данные определения и свойства здесь опущены. 14

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1

ведены результаты для метода прогнозирования на основе кратковременных предикторов выброса, штрихпунктирными линиями - для метода на основе интервальных статистик.

Из рис. 1 следует, что для всех рассмотренных значений в диапазоне значений отношения "сигнал/шум", характерных для измерений в реальных системах, лучшими характеристиками прогнозирования обладает метод на основе анализа кратковременных предикторов.

На рис. 2 приведены аналогичные характеристики при равномерном распределении отсчетов шума и нормальном распределении отсчетов сигнала. В этом случае распределение отсчетов сигнала затухает медленнее отсчетов шума, что более типично для сигналов, порождаемых сложными системами. Из рис. 2 видно, что для слабовыраженной линейной долговременной зависимости (Н = 0.5 и 0.8) полученные результаты качественно не отличаются от полученных при нормальном распределении отсчетов шума. Напротив, для Н = 0.98 и при отношении "сигнал/шум" около 3 для всех рассмотренных значений среднего интервала между выбросами Яд получен некоторый выигрыш при использовании прогноза на основании информации о долговременной зависимости по сравнению с анализом кратковременных предикторов. Таким образом, сравнение рис. 1 и 2 показывает сущест-

D 0.25

0 D

0.75 0.5 0.250 D

0.75 0.5 0.25

0

Яб = 70

= 500

а = 0.3

10 15 2/с

5 10 15 б/а Рис. 1

10 15 б/с

0

0

5

5

о Яд =10

Н = 0.6

а = 0.3

0.25

5 10 15 д/ст

о

0.5

а = 0.3

0.25

0 о

0.750.5 0.25

0

Яд = I0 Н = 0.8

Яд = I0

Н = 0.98 ]_

I5 д/ст

о

0.25

0 о

0.75 0.5 0.25

0 о

0.750.5 0.25

0

Яд = 70

Н = 0.6

л

а = 0.3

а = 0.1

¡Л___

о Ед =500

0.25

Л

Н = 0.6

а = 0.3 а = 0.1

4=-

5 10 15 д/ст

Яд = 70 1-Н = 0

0 5 10 15 д/ст о Яд = 500

а = 0.3

5 10 15 д/ст Рис. 2

0.750.5 0.25

0 о

0.750.5 0.25

0

I5 д/ст

венное влияние соотношения распределений отсчетов сигнала и шума на выбор оптимальной тактики прогнозирования3.

Проанализируем случайные сигналы с нелинейной долговременной зависимостью. Для этого воспользуемся математической моделью мультипликативного каскада со случайными множителями. Рассмотрим сигналы при тех же показателях Хёрста, что и для монофрактальных моделей4. Характеристики помехоустойчивости при нормальном распределении сигнала и шума приведены на рис. 3 для тех же значений параметров Яд и а,

что и на предыдущих рисунках. Из рис. 3 следует, что оба подхода показывают сопоставимую эффективность прогнозирования при одинаковых распределениях сигнала и шума в широком диапазоне значений отношения "сигнал/шум".

Преимущество от соотношения ширины распределений при использовании информации о долговременной зависимости может быть получено и при меньших значениях показателя Хёрста Н для распределений сигнала с "тяжелыми хвостами". Монофрактальные процессы с "тяжелыми хвостами" могут быть синтезированы на основе итерационного алгоритма Шрайбера-Шмидца [18]. Однако поскольку монофрактальные процессы (характеризующиеся только линейной составляющей зависимости между отсчетами), описываемые распределениями с "тяжелыми хвостами", встречаются достаточно редко, данный случай представляет скорее академический интерес и потому опущен.

4 Более подробно вопрос подбора параметров модели мультипликативного каскада для получения заданных характеристик линейной и нелинейной долговременных зависимостей формируемого случайного сигнала рассмотрен в работах [8], [9], [11].

0

ст

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1

Как отмечалось ранее, исходя из литературных данных случайные сигналы, порождаемые сложными системами с выраженной нелинейной динамикой и мультифракталь-ными свойствами, характеризуются, как правило, распределениями с "тяжелыми хвостами". В этой связи на рис. 4 приведены характеристики помехоустойчивости для сигналов, подчиняющихся логнормальному распределению, наблюдаемых на фоне аддитивного нормального "белого" шума. Из зависимостей на рис. 4 следует, что при существенно более медленном спадании распределения сигнала по сравнению с распределением шума в диапазоне отношений "сигнал/шум" 3...10 имеется значительный выигрыш при использовании метода прогнозирования на основе интервальных статистик перед методом на ос-

D 0.75 0.5 0.25

10

6

0.75

0.5

0.25

05 D а= 0.3

Ч

Н = 0.8 \_|_

10 15 д/а

D 0.75 0.5 0.25

а= 0.3

= I0

Н = 0.98 I I

10 15 д/а

D 0.75 0.5 0.25

0 D

0.75

0.5

0.25

0 D

0.75

0.5

0.25

5

а = 0.3

D 0.75 0.5 0.25

10 15 д/а 0 D

0.75 0.5 0.250 D

0.75 0.5 0.25

10 15 д/а

Н = 0.8 ]_|_

10 15 д/а

10 15 д/а

Кд = 70

Н = 0.98 ]_

10 15 д/а

10 15 д/а

Рис. 3

5

5

и

0

5

5

0

0

0

5

5

5

0 о

0.750.50.25-

5 10

а = 0.3

I5 д/ст

и-Л.

10

Яд =10

Н = 0.98

15 д/ст

0 о

0.75 0.5 0.25

10 15 д/ст

0 о

0.75 0.5 0.25

5

а = 0.3

10

I5 д/ст

5 10 15 д/ст Рис. 4

15 д/ст

нове кратковременных предикторов, по крайней мере для выраженных выбросов, соответствующих большим значениям Яд. Это можно объяснить тем фактом, что для больших

значений среднего интервала между выбросами (Яд »подавляющее большинство

предикторов, на анализе которых основывается метод прогнозирования, лежит ниже порога д. В то же время при использовании метода интервальных статистик прогнозирование базируется на информации о ранее произошедших выбросах, которые по определению лежат выше порога д. Таким образом, с увеличением мощности аддитивного шума с узким (относительно распределения отсчетов сигнала) нормальным распределением предикторы претерпевают значительные искажения ранее, чем предыдущие выбросы. При слабом сигнале ситуация аналогична ситуации для монофрактальных случайных сигналов и прогнозирование на основе предикторов является предпочтительным. В случае сильного сигнала эффективность прогнозирования при использовании обоих подходов сопоставима, что согласуется с результатами прогнозирования выбросов мультифрактальных случайных сигналов в отсутствие шумов [11]. 18

а

5

0

0

0

5

Чтобы подтвердить влияние распределения отсчетов на эффективность прогнозирования на основе данных о кратковременной или о долговременной динамике случайного сигнала для сигналов с нелинейной долговременной зависимостью рассмотрим случай еще более "узкого" равномерного распределения шума. Характеристики помехоустойчивости для этого случая представлены на рис. 5. Из него следует, что отмеченный ранее для нормально распределенного шума эффект присутствует и в случае равномерного распределения. Более того, преимущество прогноза на основе долговременной зависимости в данном случае еще более выражено.

Полученные результаты позволяют утверждать, что при прогнозировании выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами на фоне аддитивного "белого" шума использование информации о долговременной зависимости позволяет получить выигрыш в характеристиках прогнозирования в диапазоне отношений "сигнал/шум" 3.10 при выраженной или нелинейной долговременной зависимостях и при условии, что распределение отсчетов сигнала затухает значительно медленнее, чем распределение отсчетов шума. В

о

0.75 0.5 0.25

0 о

0.75

Яд =10

Н = 0.6

10

15 д/с

0.25

/ | а= 0.1

и / /

а = 0.3

Яд = I0

Н = 0.8

0 о

0.75 0.5 0.251-

10

I5 д/ст

I5 д/ст

о

0.75 0.5 0.25

0 о

0.75 0.5 0.25

0 о

0.75 0.5 0.25 —;

15 д/ст

5 10 15 д/, Рис. 5

15 д/ст

5

5

и

0

остальных случаях прогнозирование на основании анализа кратковременных предикторов является достаточным или даже предпочтительным.

Указанный результат объясняет ранее полученные в работах [12], [13] качественные расхождения между результатами прогнозирования выбросов для синтезированных данных с фрактальными свойствами и для процессов, порожденных реальными сложными системами. Если при анализе синтезированных данных эффективность прогнозирования выбросов на основании анализа информации о кратковременной и о долговременной зависимостях оказывалась сопоставимой, то при работе с реальными записями случайных сигналов использование информации о долговременной зависимости давало существенный выигрыш в характеристиках прогнозирования. Этот эффект можно объяснить искажениями доступных для анализа сигналов. Искажения возможны либо из-за наличия случайной составляющей в рамках самой генерирующей системы, либо в силу погрешностей измерительной аппаратуры при регистрации сигналов, воздействия шумов и т. п.

Таким образом, следует признать, что при моделировании долговременной зависимости отсчетов случайных сигналов с фрактальными свойствами непосредственное использование моно- и мультифрактальных моделей является упрощенным, отражающим только одну из составляющих процесса, к которой необходимо добавлять шумовую составляющую, учитывающую случайные факторы. Опираясь на результаты, полученные для физиологических [12] и экономических [13] систем, следует отметить, что соотношение указанных составляющих в процессах, доступных для наблюдения в указанных системах, находится в том диапазоне, когда наблюдается существенный выигрыш при использовании прогнозирования на основании анализа долговременных зависимостей. Сопоставив эти выводы с данными настоящей статьи, можно предположить, что типичное соотношение между фрактальной составляющей (с долговременной зависимостью отсчетов) и случайной составляющей (с независимыми отсчетами) для рассмотренных случайных сигналов лежит в диапазоне Q/аш = 3.. .10.

Список литературы

1. Multifractality in human heartbeat dynamics / P. Ch. Ivanov, M. G. Rosenblum, L. A. Amaral et al. // Nature. 1999. Vol. 399. P. 461-465.

2. Bouchaud J.-P., Potters M., Meyer M. Apparent multifractality in financial time series // Eur. phys. J. B.

2000. Vol. 13. P. 595-599.

3. Storch H. V., Zwiers F.W. Statistical analysis in climate research. Cambridge: Cambridge university press,

2001. 448 p.

4. The science of disasters / ed. by A. Bunde, J. Kropp, H. J. Schellnhuber. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2002. 453 p.

5. Шелухин О. И., Тенякшев А. М., Осин А. В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. М.: Радиотехника, 2003. 576 с.

6. A multifractal wavelet model with application to network traffic / R. H. Riedi, M. S. Crouse, V. J. Ribeiro et al. // IEEE trans. inf. th. 1999. Vol. IT-45, № 4. P. 992-1018.

7. Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. Effect of nonlinear correlations on the statistics of return intervals in multifractal data sets // Phys. rev. lett. 2007. Vol. 99. P. 240601-240604.

8. Bogachev M. I., Bunde A. On the occurrence and predictability of overloads in telecommunication networks // Europhys. lett. 2009. Vol. 86. P. 66002 (1-6).

9. Богачев М. И. Статистический анализ и прогнозирование динамики случайных процессов в телекоммуникационных сетях с использованием мультифрактальных моделей трафика // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2. С. 34-45.

10. Богачев М. И. Сравнительная оценка информативности кратковременной и долговременной зависимостей трафика при прогнозировании его динамики в телекоммуникационных системах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2. С. 52-59.

11. Богачев М. И. К вопросу о прогнозируемости выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами при использовании информации о линейной и нелинейной составляющих долговременной зависимости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5. С. 31-40.

12. Statistics of return intervals between long heartbeat intervals and their usability for online prediction of disorders / M. I. Bogachev, I. S. Kireenkov, E. M. Nifontov, A. Bunde // New J. phys. 2009. Vol. 11. P. 063036 (118).

13. Bogachev M. I., Bunde A. Improved risk estimation in multifractal records: Application to the value at risk in finance // Phys rev. E. 2009. Vol. 80. P. 182908 (1-7).

14. Long-range anticorrelations and non-Gaussian behavior of the heartbeat / C.-K. Peng, J. Mietus, J. M. Hausdorff et al. // Phys. rev. lett. 1993. Vol. 70. P. 1343-1346.

15. Adler R. J., Feldman R. E., Taqqu M. S. A practical guide to heavy tails: statistical techniques and applications. Boston: Brikhauser, 1998. 533 p.

16. Katz R. W., Parlange M. B., Naveau P. Statistics of extremes in hydrology. Advances in water resources. 2002. Vol. 25. P. 1287-1304.

17. Rachev S.T. Handbook of heavy tailed distributions in finance. North-Holland: Elsevier, 2003. 680 p.

18. Schreiber T., Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. rev. lett. 1996. Vol. 77. P. 635-638.

M. I. Bogachev

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Comparative analysis of the noise robustness of extreme events prediction methods in fractal signals exploiting the information on the short-range and long-range dependencies

Comparative analysis of two methods for prediction of extremes in fractal signals with additive white noise characterized by either normal of uniform distribution is performed. The first method is based on the analysis of the short-term precursor of the extreme and thus exploits solely the information about short-range dependence. The second method is based on the analysis of the preceding extremes via the return interval statistics tools and thus exploits the information about long-range dependence. It is shown that the usage of the information about long-range dependence considerably improves prediction efficiency in fractal signals with either pronounced or nonlinear long-range dependence characterized by a heavy-tailed distribution that are significantly broader than the additive noise distribution while the signal-to-noise ratio is within the range 3...10.

Random signal, prediction, extreme, long-range dependence, noise robustness

Статья поступила в редакцию 30 ноября 2009 г.