ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО НЕОБХОДИМОСТЬ

УДК 51

Гырлыева Г.Т.

преподаватель кафедры «Математический анализ»

Туркменский государственный университет имени Махтумкули

Иламанов Б.Б.

преподаватель кафедры «Математический анализ»

Туркменский государственный университет имени Махтумкули

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЕГО НЕОБХОДИМОСТЬ

Аннотация: в данной статье рассматриваются особенности развития математического анализа и его роль в современной науке. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния технологий и факторов роста в образовании на развитие математического анализа.

Ключевые слова: анализ, метод, математика, наука.

Математический анализ продолжает развитие исчисления и теории вещественных и комплексных функций. Это захватывающая, динамичная область огромной глубины и разнообразия с широким спектром приложений как в чистой, так и в прикладной математике, а также в физике, биологии, химии и технике.

Дифференциальные уравнения и приложения Уравнения Пенлеве

В конце XIX и начале XX века Пенлеве и его сотрудники провели классификацию обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго

порядка, решения которых однозначны в окрестности всех подвижных особенностей, т. е. не имеют подвижных критических точек.

В процессе Пенлеве и др. открыли шесть новых нелинейных ОДУ, общее решение которых определяет новые трансцендентные функции, поскольку они не могут быть выражены в терминах ранее известных функций, таких как элементарные и эллиптические функции, и/или в терминах решений линейных ОДУ, и их можно рассматривать как нелинейные аналоги классических специальных функций.

Во второй половине XX века уравнения Пенлеве, хотя и открытые из математических соображений, нашли применение в широком диапазоне областей, начиная от случайных матриц и квантовой гравитации и заканчивая критическими явлениями в распространении волн. Текущие исследования в основном связаны со специальными решениями уравнений Пенлеве (рациональными решениями и решениями, заданными в терминах линейных специальных функций), а также связями с ортогональными полиномами и теорией случайных матриц. Другие исследования включают дискретные уравнения Пенлеви, которые возникают из тех же контекстов, а также из нелинейных формул суперпозиции (преобразования Беклунда) для ОДУ Пенлеви.

Геометрический и нелинейный функциональный анализ

Геометрический и нелинейный функциональный анализ находится на пересечении функционального анализа, топологии и геометрии и является важной и обширной областью математического анализа. Исследования в этой области сосредоточены на захватывающих взаимодействиях между алгебраической и геометрической топологией, динамикой и теорией бифуркаций. Кроме того, исследуются геометрически мотивированные нелинейные дифференциальные уравнения и связи между метрической геометрией и операторными алгебрами. Подробнее о наших исследованиях в этой области можно узнать ниже.

Жордановые алгебры и метрическая геометрия

Концепция йордановой алгебры имеет богатую историю в математике. Первоначально он был введен П. Джорданом, Дж. Фон Нейманом и Э. Вигнером в 1930-х годах как алгебраическая модель для квантовой механики, но вскоре были обнаружены неожиданные связи с теорией Ли, геометрией и гармоническим анализом. Прекрасная связь между формально вещественными йордановыми алгебрами и геометрией конусов была обнаружена М. Кехером и Э. Винбергом. Они показали, что конусы квадратов бесконечномерных формально вещественных йордановых алгебр являются в точности симметричными конусами, т. е. самодуальными конусами, на которых группа линейных автоморфизмов действует транзитивно внутри. Характеристика Кехера-Винберга обеспечивает поразительную связь с теорией римановых симметричных пространств.

В бесконечных измерениях такой характеристики реальных йордановых алгебр не существует, поскольку большинство реальных йордановых алгебр реализуются как банаховы пространства, а не гильбертовы пространства. Однако недавние открытия показывают, что существуют альтернативные характеристики реальных йордановых алгебр в терминах геометрии их конусов квадратов. Исследования в этой области сосредоточены на дальнейшем раскрытии связей между реальными йордановыми алгебрами и геометрией и переплетают идеи анализа, йордановых алгебр и метрической геометрии.

Динамика нерасширяющих отображений

Нерасширяющие отображения — это липшицевы отображения с постоянной единицей. Возможно, помимо изометрий, они являются наиболее фундаментальными отображениями метрических пространств. Центральная проблема состоит в том, чтобы понять неподвижные точки и итеративное поведение неэкспансивных отображений. В случае, если отображение является липшицевым сжатием на полном метрическом пространстве, теорема Банаха о сжимающем отображении дает решение. Если, однако, просто предположить,

что отображение не является расширяющим, гораздо труднее решить, имеет ли оно фиксированную точку, и итеративное поведение может быть сложным.

В последние десятилетия в этой области было сделано несколько удивительных открытий. Среди других результатов было показано, что всякая ограниченная орбита нерастягивающего отображения на конечномерном нормированном пространстве с многогранным единичным шаром сходится к периодической орбите и, кроме того, существуют априорные верхние границы возможных длин периодов. Кроме того, интересные аналоги классической теоремы Данжуа-Вольфа о динамике голоморфных отображений открытого единичного круга без неподвижных точек в себя были получены для свободных от неподвижных точек нерастягивающих отображений на метрических пространствах, обладающих свойствами неположительной кривизны. Исследования в этой области используют замечательную смесь анализа, топологии, метрической и дискретной геометрии.

Топологические методы в теории бифуркаций

Теория бифуркаций веками использовалась для объяснения различных явлений в естественных науках, когда физическая система зависит от параметра и меняет свое качественное поведение, как только параметр пересекает порог. Типичными примерами являются коробление стержня Эйлера в статике, появление вихрей Тейлора в гидродинамике, возникновение колебаний в электрической цепи в электротехнике, бромирование малоновой кислоты в химии. Топологические методы применялись в теории бифуркаций с самого начала ее систематического изучения и часто выявляли удивительные границы между анализом и топологией.

Нелинейные дифференциальные уравнения в геометрии

Многие задачи современной геометрии приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям. Нелинейные уравнения обычно не могут быть решены в явном виде, но существование решений и их качественное поведение — волнующий вопрос, для решения которого на протяжении столетий

разрабатывались мощные инструменты. Типичным примером является уравнение геодезической, представляющее собой обыкновенное дифференциальное уравнение, которое получается при поиске кратчайших путей между двумя точками в искривленном пространстве.

Теория операторов — важный раздел функционального анализа, изучающий линейные и нелинейные отображения между топологическими или нормированными векторными пространствами. Обычно основное внимание уделяется анализу спектра, собственных значений и собственных функций операторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 744с.

2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. — М.: Просвещение, 2014. — 336 с.

3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. — М.: Либроком, 2016. — 216 с.

4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 408 с.

Gyrlyeva G.T.

Lecturer at the Department of Mathematical Analysis Turkmen State University named after Magtymguly

Ilamanov B.B.

Lecturer at the Department of Mathematical Analysis Turkmen State University named after Magtymguly

FEATURES OF THE DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND ITS NECESSITY

Abstract: this article discusses the features of the development of mathematical analysis and its role in modern science. A cross-sectional and comparative analysis of the influence of technologies and growth factors in education on the development of mathematical analysis was carried out.

Keywords: analysis, method, mathematics, science.