Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком при продольном обтекании удлиненных тел вращения

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

№ 2

УДК 532.526.5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ВНЕШНИМ ПОТОКОМ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ОБТЕКАНИИ УДЛИНЕННЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

С. Н. Тимошин

В рамках асимптотической теории установившихся течений несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса рассматривается взаимодействие внешнего потока с ламинарным пограничным слоем на поверхности продольно обтекаемого цилиндра при условии, что толщина слоя по порядку величины превышает радиус кривизны цилиндра. Решение строится с помощью асимптотических разложений непредельного тй1 па. Показано, что в зависимости от соотношения между радиусом цилиндра и толщиной пограничного слоя продольный размер области взаимодействия может быть по порядку величины больше, сравним или меньше, чем толщина пограничного слоя. Сформулирована краевая задача для вязкого подслоя области взаимодействия. Рассмотрена задала о взаимодействии вблизи линии излома твердой поверхности; получены оценки для величины угла излома, при которой происходит зарождение отрыва пограничного слоя.

1. Введение. Изучение процессов взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком представляет собой одну из основных задач асимптотической теории течений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса Re. Наиболее полное исследование проблемы выполнено для ламинарных установившихся плоских течений (обзоры [1, 2]). В настоящей работе рассматривается осесимметричный аналог плоской теории (см. также [3—5]).

Пусть имеется безграничный однородный поток несжимаемой вязкой жидкости, вдоль которого установлен длинный круговой цилиндр с заостренной передней кромкой (рис. 1). Обозначим через г, £/«,, рх, \, р соответственно радиус цилиндра, величины скорости и да^вления набегающего потока, кинематический коэффициент вязкости и плотность жидкости. Предположим, что на расстоянии L от передней кромки цилиндра располагается область взаимодействия с характерным продольным размером eL, где e<Cl при Re = t/ooLv_1>l. Для наглядности можно считать, что взаимодействие вызвано осесимметричным утолщенней ИЛИ ИЗЛОМОМ поверхности цилиндра.

В зависимости от положения утолщения на цилиндре реализуются различные режимы взаимодействия. Авторы работы [3] рассмотрели сверхзвуковое течение при Ь~г,Це31& и показали, что при меньших Ь в первом приближении можно пользоваться теорией плоских течений [1, 2]. При Ь~г8,е11г решение получено в [4]. Эти режимы для несжимаемой жидкости исследованы также в [5]. Незначительные изменения в виде масштабных множителей позволяют распространить известные результаты [3—5] на всю область <С! гЯе112.

Ниже рассматривается взаимодействие при Ь^>гЯ1/2. В работе [51 была предпринята попытка такого исследования для Ь ~ гИе9/16 1п (/-/—1 И-1'2), однако при построении асимптотических разложений были отброшены слагаемые, учет которых необходим при сращивании решений в различных областях поля течения (см. разд. 4 настоящей работы).

2. Постановка задачи. На оси цилиндра на расстоянии от передней кромки поместим начало цилиндрической системы координат, продольная ось которой направлена вниз по потоку (см. рис. 1). Продольную и радиальную координаты в этой системе обозначим /.*„ и /.у*, соответствующие компоненты скорости ижи* и ^/оо'Я*, давление р«, + р и1ор. При условии пограничный слой оказывается го-

раздо толще цилиндра. Согласно [6, 7] профиль скорости перед областью взаимодействия можно представить в виде

+ + о, Ие-ч-со,

к=\

где г = Д Не~1/2£, 3 = ^ 1п 1» Уг = У* 1?е1,2= О (1), /0 = 1.

Если у2 + оо, то /к (у2) -> 0 при й > 0; если у2 -+ +0, то f ь ~ ак—11п Уъ ~Ь о,к + 01 (уг)> Ц— 1 = 0, ай = 1.

Запись Ф

"V

при V -* 0.

Наличие в (1) бесконечного ряда, состоящего из логарифмически близких членов, крайне усложняет процесс построения решения. В дальнейшем вместо традиционных разложений предельного типа используются асимптотические представления более общего вида. Под обобщенным асимптотическим разложением функции ?(х, е) при е-Ю, равномерно пригодным в некоторой области изменения л:, -подразуме-

ОО

вается ряд вида /(х, в) ~ £ <?* (х, в), где.у*+1(л:, е) = о[срй(х, е)],

к = 1

п

И /—V == о ( „) при е-* 0, равномерно по х [8]. В силу такого

*=о

определения профиль скорости (1) можно переписать в виде: и* — Г (у„ 8) + Ог (х%) + О, (Д2), х%. -* — 0, Ие оо,

’Р(Уь 8) 1 ПРИ У2 -+ + 00.

Р (Уъ 8) = а (8) (1 +8 1пу2) +Оу(у\) при у2 -> 0;

а і

ак при

0.

*=0

3. Асимптотическая структура решения в области взаимодействия.

Предположим, что характерный продольный размер области взаимодействия Ке-1'2. Тогда 2

1п

I \-1

малые па-

— и (О = (1__

раметры, причем 2<С1Д- В потенциальной части области взаимодействия, где х — е-1 хФ = О (1) и Уг '= е~1У* = О (1) при Ие -* оо (область / на рис. 1), решение будем искать в виде

.и* = 1 + тг" «і \Хі уи 8,-і«) + О, ,

О3 (О \ Д2-/

"У*

1 (*. У и 8. “) + Оі

О.Ч

Подставляя (3) в уравнения Навье—Стокса и пренебрегая членами 0і(06/А2), получаем систему линеаризованных уравнений Эйлера, решение которой запишем в виде интеграла распределенных на оси источников:

д у дх ’

дУі

И,

+ 00—5 (і, В, о>) 1 /» а*

Т /

,У

йі.

^ ^ Шс 8’ Ш^П^Г + + А -(-У?)»

, +°° ~ . Т(Х, 8,0))==--— | — <з£п (х — 0 1п|х —

Здесь — 5 (х, 8, і») — неизвестная пока интенсивность источ-дх

ников на ОСИ симметрии:

В основной части пограничного слоя у2 = У* Неї/2'= О

а3 аз

63 ш

< С*. У*- 8> ш) + °л (24)>

Д«(Л

щ (X, у, 8, Ю) -\- 0

Уа. Л“і + °>(-^) •

Подстановка (4) в уравнения Навье—Стокса дает

дий д ._1_ д (уи уг) _ д

дх у2 ду2 = д“2 + г^+*0,

дх

‘^2

Р % + р-0.

дх ду2

Решение системы (5), обращающееся в нуль вверх по потоку, имеет

ВИД

Р дА . А др

, і — , Уз дх у» ду2

р2 = Въ{х, 8, со)Ч-

& А

дх2

^<0)Г.-1. Л_ 1ПЛ

у»

Выполняя сращивание решений в областях 1 и 2, имеем

А = 5,

/?2= —- [-1-----— + 1п 2 ]

дх*[ о) 8 ]

&Т дх*

Установим поведение решения (6) на нижней границе области 2. Согласно (2) при у^О

[Р V,

Ф = 1п у 2. + 8 Ь

I

у»

• а} ^ 1п8^2 + 81пг у2 + 1п у21 + 01 {у\),

поэтому

. Аа

Здесь Ь(5) — 8*6*, 8^0. Постоянные Ьк можно определить,

к=0

если известен вид.функций /к(у2), входящих В (1).

Для того чтобы удовлетворить условию прилипания на твердой поверхности, необходимо рассмотреть движение в тонком пристеночном слое (область 3 на рис. 1). Потребуем, чтобы в этой области уравнения движения содержали наряду с градиентом давления и силами вязкости нелинейные конвективные члены. Тогда при л: = 0 (1),

<22

«* = — и (х, у, 8, <о)4-О, (24),

оси

<*>) +О. (^), Р. = ~Р(х,у, 8, СО) + О, (26).

0-э 00г О- СО*

Подстановка последних разложений в уравнения Навье—Стокса при условии

> г = д2 £24-5

дает систему уравнений '

цд_и уди_ + дР_ = »и_

дх ду дх ду2

— 4- — = 0, ^=0, дх ду . ду

решение которой должно удовлетворять условиям прилипания на твердой поверхности:

и= У = 0 при у = 0

где у = 0(х)— форма бугорка на поверхности цилиндра, 0(—оо) = 0, условию сращивания с решением вверх по потоку:

и~ау при х -* — оо,

и условию сращивания с решением в области 2:

и — ау -* — аЭ (х, 8, о>) ,

„ , Ш / в» . .1 д2 Т . ,

Р —* — 1 4-I — — 11 4- ^ 4~ 8шЬI — (о — при у —> 4-

дх* |_ 1 8 \ 3 / ] дл?

оо.

Решение краевой задачи (8) — (11) можно представить в виде асимптотических рядов с малыми параметрами б и со. При этом, если и (<о З-1)" ф 8т ни при каких целых п и тп, то любая из функций и, V, Р, 5 и Т представляется в виде

со оо /

<3 (*, У, 8, (О) ~ 2 X (-Н 8/ Яи (х, у).

1=0 7=0 ' '

Если 2 = д1+‘* при а^>0, то соответствующее представление решения имеет вид:

<2 ~ 2 8г о (х, У)-

;=о

Краевая задача для функций главного приближения, очевидно, описывается уравнениями (8) и условиями

Краевая задача (12), (13) совпадает с краевой задачей для главного приближения работы [4] и была подробно исследована в асимптотической теории взаимодействия в пристенных струях и течениях со свободной конвекцией [9, 10].

Изначально предполагалось, что продольный размер области взаимодействия гораздо больше толщины пограничного слоя, что рав-

носильно, согласно (7), условию Дб-1»^ ’в. При Д о—1 = О (Ре 16) происходит вырождение потенциальной части области взаимодействия. Формально это выражается в том, что асимптотические разложения в областях 1 и 2 [соответственно (3) и (4)] теряют равномерную пригодность.

4. Вырождение взаимодействия на тонких телах. Пусть

Д8-1 = 0(Не '), г = Ие 2, область взаимодействия состоит из двух

слоев. В основной части, где у2 =>»* Ие2 = 0(1), л: = д:*Ке1/2= 0(1), решение представляется в виде

Подстановка этих разложений в уравнения Навье—Стокса дает

Так как р1 имеет особенность на оси симметрии, то при у2->-0 второе слагаемое в (14) оказывается гораздо больше первого, поэтому при

Из уравнений Навье—Стокса следует, что искомые функции С/, V, Р удовлетворяют уравнениям (8), граничным условиям (9), (10) и условиям сращивания с решением во внешней области

и—а у — а~1 5 (х, 8) , |

{«*, V*, /?*} = {/% 0, 0} + Д48-3{Иі, VI, />,} + О, (Дв).

г/2-^0

В пристеночном вязком слое

Система (8) — (Ю), (15) должна быть дополнена еще одним уравнением— соотношением между функциями 5(х, б) и £)(х, 6). Это соотношение в принципе можно получить, используя (15), однако для этого необходимо знать явный вид функции (г/2, 6).

Решение системы (8) — (10), (15) можно представить в виде рядов по степеням б. В главном приближении справедлива система (8), (12), (13) при а=0.

Рассмотрим теперь течение в области взаимодействия при _х_

е<Ке 2. Пусть й = Д1-°‘, 0 < а < 1, е = д8--б1б-8> Область взаимодействия располагается внутри пограничного слоя. В основной ее части

х = х*е-1 = О (1), У1 = У*«“1 = 0(1),

!«*, />*} = .{а (1 - а) |1 + 1П у1 ^ о, 0

+ Д4-4а2-з {11и ^ рх] + 0х (Дв-в«).

Можно показать (аналогично предыдущему случаю), что при ^=0

р,-----ац 1 - «)’ (5^^ №у, + Ы’У‘ +|п X

Х_5*С£^ + ^!ЬЧ. + 01(Л.

дх2 дх2

В вязком подслое х = 0

^(у4-|]А,.-,-2 = °(1),

, , /Д2~2а .. Д5"5* .. д4-4а о

{11%, 1)%, Рх} | д2 и, 1/, Р

4-О^ {Д4—4а, Д7-7с1, Д6-6а)_

Функции и, V, Р удовлетворяют уравнениям (8), условиям (9), (10) и условиям сращивания с решением во внешней области

и — ау -+ — а5,

Г, (1 — а)* - #>5 ,

Р-* —---— а?--------ь о — при у + со.

3 дх2 дх* н *

Все неизвестные функции могут быть представлены в виде асимптотических рядов по степеням б. В главном приближении справедлива система (8), (12) с условием взаимодействия

п

г 00 —------5-

3 йх2

Аналогичным способом можно изучить такой режим течения, при котором продольный размер области взаимодействия лишь незначи-телино превышает радиус цилиндра. Ограничимся тем, что укажем пот рядки величин в вязком подслое области взаимодействия. Пусть 8 2“

при любом а>0. Тогда в вязком подслое

л* Д-2 8-'2-6 ш^о (1),

(у*-у)-^й-2ш2 = 0(1), к* = 0 (8 22(0-3),

^ = 0(8 25м-6), Р* = 0 (822* (о-6).

1 Приведенные оценки показывают, что если О есть величина порядка единицы, то вязкий подслой области взаимодействия совпадает с областью, которая описывается системой полных уравнений Навье—Сток-

1_

са. Такое вырождение взаимодействия наступает при Л6=0 (Ие 2).

5. Зарождение отрыва вблизи излома твердой поверхности. Рассмотрим задачу об обтекании тонкого тела вращения с коническим изломом поверхности. Пусть р0 — такое значение угла раствора конуса, при котором вблизи излома возникает отрыв пограничного слоя. Зарождение отрыва в окрестности особых точек обтекаемой поверхности тесно, связано с явлением взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком. В частности, р0 по порядку величины совпадает с отношением поперечного и продольного масштабов вязкого подслоя области взаимодействия [10]. В случае осесимметричного течения, очевидно,

Ро = Ро ^е> Пусть г=0(£Не-е), р0 = О (Ие-ч), Ие ->оо. В нас-

_ 1_

тоящей работе рассмотрен диапазон 1?е-11п ИеСг/.<Ке 2, Можно убедиться, что в этом диапазоне

г;0=1ш1-^ = ^

Ие—>со 1 /

1п '7Г Ие

(отрезок АВ на рис. 2). Точка В соответствует режиму течения,

_з^

рассмотренному в [4]. При г>£Ке 8 взаимодействие происходит

в рамках теории плоских течений, поэтому ро = О (Ие 4) [11] (отрезок СИ на рис. 2).

Режим взаимодействия, отвечающий точке С, рассмотрен в [3]

3 1

для сверхзвуковых течений. В области — < £ <— задача может

8 2

быть решена методом, изложенным в [4]; оказывается, что % = 5 2

=*---------5 (отрезок ВС). Точки плоскости параметров I, ?}0, рас-

14 7

положенные выше ломаной АВСО и луча т)0 = 0, £>1, соответствуют безотрывному обтеканию излома. Течение с отрывом пограничного слоя имеет место в том случае, когда параметры задачи заключены внутри пятиугольника ОАВСИ. Очевидно, что чем меньше радиус цилиндра (при фиксированной длине Ц, тем больший угол раствора допускает безотрывное обтекание линии излома.

Автор признателен В. В. Сычеву и А. И. Рубану за постановку задачи и обсуждение результатов.

1. Stewartson К. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies.—Advan. Appl. Mech., 1974, vol. 14.

2. P у б а н А. И., Сычев В. В. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости. — Успехи механики, 1979, т. 2, № 4.

3. М i n g-k е Huang, Inger G. R. Application of the triple-deck theory of viscous-inviscid interaction to bodies of revolution. — J. Fluid Mech., vol. 129, 1983.

4. T p и г у б В. Н. Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком при обтекании тонких осесимметричных тел. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. XIV, № 6.

5. D и с k P. W. The effect of a surface discontinuity on an axisymmet-ric boundary layer, Q. Jl. Mech. Appl. Math., 1984, vol. 37, pt. 1.

6. G 1 a u e r t M. - 6;, L i gh th i 11 M. J. The axisymmetric boundary layer on a long thin cylinder. Proc, Roy. Soc., London, 1955, vol. 230,

n 1181.

7. S te w a r t s on K.- The asymptotic boundary layers on a circular cylinder in axial incompressible flow. — Quart. Appl. Math., 1955, vol. XIII, N 2.

8. К о у л Д ж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972.

9. Smith F. Т., Duck P. W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall. — Q. Jl. Mech. Appl. Math., 1977, vol. XXX, pt. 2.

10. M e r k i n J. H, Smith F. T. Free convection boundary layers near corners and sharp trailing edges. — ZAMP, 1962, vol. 33.

11. Рубан А. И. К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой поверхности. — Ученые записки ЦАГИ, т. VII, № 4, 1976.

Рукопись поступила 6/XI 1984