О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов

УДК 539.3

О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности

кристаллитов

П.В. Трусов, А.И. Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

При моделировании реальных технологических процессов термомеханической обработки материалов требуется постановка геометрически нелинейных краевых задач, при формулировке которой основными вопросами являются описание нелинейной кинематики и построение определяющих соотношений. В большинстве существующих работ принимаемое разложение движения — выделение из движения деформируемого твердого тела части, отвечающей за квазитвердое движение, — явно не обсуждается. Между тем, по мнению авторов, при определении разложения движения и соответствующей жесткой подвижной системы координат последняя должна быть связана с материалом для корректного описания истории воздействий и симметрийных свойств рассматриваемого тела. Следует отметить, что кристаллические материалы (в том числе металлы и сплавы) на различных масштабных уровнях в определенной степени всегда являются анизотропными, их свойства по различным направлениям могут отличаться весьма существенно. Кроме того, при интенсивном пластическом деформировании даже начально изотропные (на уровне представительного макрообъема) поликристаллические материалы вследствие возникновения текстуры также становятся анизотропными. В рамках многоуровневого подхода на уровне кристаллитов для металлов возможно выделение симметрийных элементов (плоскостей и осей симметрии), с которыми предлагается связать оси подвижной системы координат, определяющей квазитвердое движение. Предложен новый способ разложения движения — мультипликативное представление градиента деформации с явным выделением движения подвижной системы координат. Сформулированы определяющие упруговязкопластические соотношения в терминах разгруженной конфигурации. В силу энергетической сопряженности используемых мер напряженного и деформированного состояния требования по отсутствию гистерезиса напряжений и диссипации энергии на произвольных замкнутых упругих циклах выполняются автоматически, что проиллюстрировано примерами для анизотропных кристаллитов. Таким образом, предложен подход к построению геометрически нелинейных кинематических и определяющих соотношений для металлических кристаллитов с использованием физически обоснованного разложения движения, позволяющего учитывать симметрийные свойства материалов.

Ключевые слова: большие упругопластические деформации, разложение движения на квазитвердое и деформационное, определяющие соотношения, анизотропные материалы, двухуровневые модели

On motion decomposition and constitutive relations in geometrically nonlinear elastoviscoplasticity of crystallites

P.V. Trusov and A.I. Shveykin

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The formulation of geometrically nonlinear boundary value problems is a necessary component in modelling real technologies of thermomechanical processing of materials, wherein the main issues are the description of nonlinear kinematics and the formulation of constitutive relations. Most of the existing works do not explicitly consider the assumed motion decomposition when the part responsible for quasi-rigid motion is extracted from the motion of a deformed solid. In our opinion, when determining the motion decomposition and a corresponding rigid moving coordinate system, this system must be associated with the material for a correct description of the loading history and symmetry properties of the modeled solid. It should be noted that crystalline materials (including metals and alloys) on different scale levels are always anisotropic to a certain extent; their properties can differ significantly in different directions. Moreover, even initially isotropic (on the level of the representative macrovolume) polycrystalline materials also become anisotropic under severe plastic deformation due to texture formation. A multilevel approach makes it possible to determine symmetrical elements (planes and axes of symmetry) at the level of crystallites for metals, and we propose to associate these elements with the axes of the moving coordinate system that defines quasi-rigid motion. A new way of motion decomposition has been put forward, namely, a multiplicative representation of the deformation gradient with an explicit extraction of motion of the moving coordinate system. Elastoviscoplastic constitutive relations are formulated in terms of the stress free configuration. Owing to the energy conjugation between the used stress and strain state measures, the requirements for the absence of stress hysteresis and energy dissipation on arbitrary closed elastic strain paths are satisfied automatically, which is exemplified for anisotropic crystals. Thus, the paper proposes an approach to the construction of geometrically nonlinear kinematic and constitutive relations for metal crystallites using physically justified motion decomposition that takes into account the symmetry properties of materials.

Keywords: elastic-plastic strains, motion decomposition into quasi-rigid and strain-induced one, constitutive relations, anisotropic materials, two-scale models

© Трусов П.В., Швейкин А.И., 2016

1. Введение

Большинство краевых задач упругопластичности и упруговязкопластичности, возникающих в связи с необходимостью анализа реальных технологических процессов переработки материалов, относятся к классу геометрически нелинейных проблем. Под последними в настоящей работе понимаются задачи, в которых нельзя считать малыми градиенты полей перемещений, даже если малы собственно деформации (т.е. удлинения материальных волокон и углов между ними), но значительны повороты материальных частиц. Постановка таких краевых задач включает в себя следующие группы уравнений: нелинейные кинематические соотношения, балансовые уравнения (законы сохранения массы, энергии, изменения количества и момента количества движения), конститутивные соотношения (физические уравнения, определяющие соотношения) и краевые условия.

Несмотря на то что нелинейной кинематике деформируемых твердых тел посвящено большое число монографий и статей [1-12 и др.], появляются новые публикации, в большей части относящиеся к разложению деформаций и скоростей деформаций на упругую и неупругую составляющие, определению мер деформации и их скоростей, приемлемых для формулировки геометрически нелинейных определяющих соотношений. Балансовые уравнения и краевые условия являются классическими, однако в силу нелинейности при постановке краевых задач их обычно записывают в скоростной форме или в приращениях.

Наиболее важным элементом постановки задач механики де формируемого твердого тела является конститутивная модель (определяющие соотношения) рассматриваемой среды. Особенно остро вопрос установления соотношений конститутивной модели стоит в геометрически нелинейных проблемах, вследствие чего большинство работ по нелинейной механике деформируемого твердого тела последних десятилетий посвящены именно формулировке определяющих соотношений. В известных публикациях в качестве базового уравнения для построения определяющих соотношений обычно используется упругий закон в конечной (как правило, в терминах отсчетной конфигурации) или скоростной (в большинстве случаев в терминах актуальной конфигурации) формах, дополненных соотношениями для определения неупругой составляющей тензора деформации или скорости деформации соответственно. Заметим, что в англоязычной литературе аналогами двух указанных форм определяющих соотношений считаются гипер- и гипоупругий законы соответственно. В ряде работ используется гиперупругий закон, сформулированный в терминах промежуточной (разгруженной) конфигурации.

Для определения неупругой составляющей тензора деформации или скорости деформации наиболее часто

применяются теории, основанные на макрофеномено-логическом подходе [13]: теория упругопластических процессов Ильюшина [14], теории пластического течения [15, 16], эндохронная теория пластичности [17-20] и др. Макрофеноменологические теории основаны на обобщении результатов механических экспериментов, в том числе при сложном нагружении. Однако диапазон деформаций в экспериментах при сложном нагружении весьма ограничен. Например, в опытах на трубчатых образцах, наиболее часто используемых в подобных исследованиях, сдвиговые деформации при кручении не превышают 5-7 %, после чего образец теряет устойчивость и становится непригодным для установления связей напряжения-деформации [21, 22]. В связи с этим построить соотношения для неупругих составляющих деформации или скорости деформации в случае больших градиентов перемещений непосредственно из анализа результатов экспериментов не представляется возможным. С аналогичными сложностями при идентификации определяющих соотношений сталкиваются исследователи и при использовании других подходов (термодинамического, структурно-механического).

В то же время наибольший интерес представляют конститутивные модели, позволяющие исследовать процессы интенсивного пластического деформирования поликристаллических материалов, в которых последние приобретают уникальные физико-механические характеристики (высокая статическая и динамическая прочность, коррозионная стойкость, жаропрочность и др.). Накопленные неупругие деформации в таких процессах достигают огромных значений в сотни и тысячи процентов. При этом микроструктура металлов и сплавов претерпевает существенные изменения (размеров, формы, ориентаций кристаллитов (зерен, субзерен), дислокационных субструктур и т.д.).

В последние десятилетия большинством специалистов в области нелинейной механики деформируемого твердого тела признается, что свойства материала на макроуровне определяются его микроструктурой. В то же время в большинстве макрофеноменологических теорий отсутствует даже упоминание о структуре материала. Отмеченные недостатки теорий данного класса делает их малопригодными для анализа технологических процессов глубокой переработки металлов и сплавов, разработки технологий создания функциональных материалов [23-28].

В последние десятилетия интенсивно развивается многоуровневый (и/или многомасштабный) подход к моделированию материалов, существенный вклад в развитие методологии которого внесли отечественные ученые [23, 29-32].

Весьма перспективным для решения упомянутых выше проблем представляется подход, основанный на введении внутренних переменных — тензорзначных (произвольного ранга) параметров, характеризующих

мезо- и микроструктуру материалов [13, 33-39]. Для реализации данного подхода в последние десятилетия широко используются многоуровневые модели [40-45], основанные на физических теориях упруговязкоплас-тичности [13].

Несмотря на разнообразие подходов, в настоящее время нельзя считать полностью решенной проблему построения конститутивных моделей деформируемых твердых тел с медленно затухающей памятью [46], пригодных для решения геометрически нелинейных задач. Одной из основных проблем, по мнению авторов, является сложность выделения из движения деформируемого твердого тела части, отвечающей за квазитвердое движение [47]. Иначе говоря, речь идет о трудности разделения движения на квазитвердое и деформационное в общем случае движения среды. В большинстве работ, посвященных построению геометрически нелинейных конститутивных моделей, указанная проблема подменяется условием независимости определяющих соотношений от выбора системы отсчета. Как показано в [9], последнее может быть удовлетворено множеством (мощности континуум) способов. В известных авторам работах вопрос о разложении движения явным образом не обсуждается.

Для выделения квазитвердого движения необходимо ввести жесткую подвижную систему координат, связанную с рассматриваемым телом (представительным объемом рассматриваемого уровня). В любом жестком движении введенная система должна в точности воспроизводить последнее [48]. Кроме того, для описания поведения сред с длительной памятью деформационная часть движения должна наиболее точно и полно определять именно историю изменения конфигурации материальных частиц исследуемого объема. В связи с этим подвижная система отсчета должна быть связана с одними и теми же для всего исследуемого процесса материальными элементами (материальными волокнами и площадками). Указанное требование для интенсивных неупругих деформаций вступает в противоречие с условием жесткости (недеформируемости) подвижной системы. Последнее связано с тем, что при использовании деформируемых (с позиций наблюдателя в лабораторной системе координат) систем координат (например лагранжевой) возникает дополнительная сложность в установлении физического смысла получаемой конвективной производной: изменения компонент тензорной характеристики, обусловленные теми или иными воздействиями (например приложенными нагрузками), трудно отделить от их изменения за счет деформирования базиса [48]. При этом в сплошной среде отсутствуют изначально выделенные «естественные» элементы материала, с которыми можно было бы связать оси координат жесткой подвижной системы отсчета.

В связи с этим в известных авторам работах по данной тематике для неявного разложения движения ис-

пользуются кинематические характеристики: оси подвижной системы координат связываются с главными осями тензоров деформации или их скоростей. Понятно, что в общем случае движения континуума в каждый момент деформирования оси подвижной системы будут связаны с различными материальными волокнами, что не позволяет определять историю деформаций исследуемого объема.

Однако в большинстве конструкционных материалов (композиты, моно- и поликристаллические металлы и сплавы) всегда имеются такие «естественные» материальных элементы, с которыми можно связать оси координат подвижной системы отсчета на соответствующем масштабном уровне. Разумеется, при этом возникает необходимость введения в рассмотрение структуры материала на различных масштабных уровнях, использования смешанного «дискретно-континуального» подхода и многоуровневых моделей.

В настоящей работе рассматривается вариант модели упруговязкопластичности, с использованием которой авторы попытались решить обозначенные выше проблемы. При этом в предлагаемой статье рассматриваются определяющие соотношения мезоуровня (уровня кристаллита), которые в дальнейшем будут использованы в двухуровневой модели для описания неупругого поведения поликристаллических материалов. В части кинематического описания модель примыкает к используемым в так называемых теориях микрополярной пластичности соотношениям для определения скорости деформации [49-55] (см. также обширный обзор [56]). Однако в отличие от указанных теорий микрополярной пластичности предлагаемая модель основана на связи подвижной системы координат с реальными материальными элементами — кристаллографическими направлениями и плоскостями. Спин элемента мезоуровня (кристаллита) определяется как скорость ротации жесткой системы координат, связанной с кристаллической решеткой. При этом в отличие от классических континуальных моделей в рассматриваемых двухуровневых моделях для мезоуровня не осуществляется «стягивание в точку» (обычно используемое в континуальной механике для формулировки уравнений в дифференциальной форме), представительный объем мезоуровня является всегда конечным (хотя и малым по сравнению с представительным макрообъемом). На макроуровне спин определяется из условий согласования конститутивных соотношений мезо- и макроуровня и равен осредненному спину элементов мезоуровня.

2. Основные понятия, определения и гипотезы

Построение конститутивных моделей для описания поведения материалов осуществляется для представительных объемов. При использовании многоуровневого подхода данное понятие вводится на каждом масштабном уровне. Под представительным объемом в механике

деформируемого твердого тела принято понимать минимальный объем материала, в котором содержится достаточное для статистического описания состояния тела число «носителей» рассматриваемых механизмов процесса [13]. При этом предполагается, что размеры представительного объема таковы, что градиентами параметров состояния (переменных конститутивной модели) в пределах представительного объема можно пренебречь, что позволяет считать указанные поля однородными (в статистическом смысле) в масштабах представительного объема. Кроме того, полагается, что для представительного объема выполняются все законы баланса (массы, энергии, количества движения, момента количества движения).

На каждом масштабном уровне материал будет полагаться простым (первого порядка) [46], т.е. деформационные воздействия описываются мерами деформации, определяемыми только по первому градиенту места (или вектора перемещений). В связи с этим в каждый момент времени представительный объем будет испытывать однородные аффинные преобразования. Объектом исследования являются процессы деформирования моно- и поликристаллических металлов и сплавов, основным механизмом неупругой деформации считается скольжение краевых дислокаций по вполне определенным для каждого типа решетки системам скольжения, определяемым единичными векторами нормали к плоскости скольжения п и направления скольжения Ь [57]. Следует подчеркнуть, что скольжение краевых дислокаций оставляет решетку инвариантной, упругие искажения последней малы.

Одним из важнейших при формулировке конститутивных моделей в нелинейной механике является требование их независимости от выбора системы отсчета. Согласно этому требованию операторы конститутивной модели не должны изменяться при замене одной системы отсчета на другую, совершающую произвольное движение относительно первой. Выполнение этого ограничения позволяет «отбраковывать» заведомо неприемлемые варианты определяющих соотношений. Например, классический закон Гука, связывающий тензор напряжений Коши и тензор малых деформаций, не удовлетворяет указанному требованию и приводит к физически некорректным результатам при применении к процессам деформирования с большими градиентами перемещений [6].

Тем не менее в качестве базового при построении геометрически нелинейных определяющих соотношений в большинстве работ используется закон Гука, преобразованный к скоростной форме, удовлетворяющей условию независимости от выбора системы отсчета:

Еся = П :

Здесь Е — тензор напряжений Коши; СЯ — обозначение той или иной коротационной производной; П —

тензор (4-го ранга) упругих характеристик; D, Dm — тензор деформации скорости и его неупругая составляющая. Все входящие в (1) тензоры определены в терминах актуальной конфигурации и обладают свойством индифферентности [9]. Заметим, что при выводе (1) из классического закона Гука неявным образом предполагается, что тензор П является неизменным, П = 0. Строго говоря, данное предположение выполняется только для упругоизотропных материалов [47]. Вероятно, именно этим обстоятельством объясняется использование в большинстве известных авторам работ по геометрически нелинейным конститутивным моделям материалов с изотропными в упругой области свойствами (см., например, [4, 5, 58]). Однако в процессах интенсивных неупругих деформаций (для описания которых главным образом и предназначаются геометрически нелинейные определяющие соотношения) большинство конструкционных материалов приобретают текстуры обработки [30, 59], что не позволяет считать материалы изотропными даже на макроуровне.

При этом, как отмечено выше, вопрос о разложении движения в явной форме в известных авторам работах не обсуждается, неявным образом он решается выбором той или иной коротационной производной [47, 48]. Например, использование производной Зарембы-Яуманна соответствует разложению движения на основе теоремы Коши-Гельмгольца [11, 60]. Применение коротационной производной Грина-Нагхди [61] отвечает повороту подвижной системы координат, определяемому тензором ротации главных осей левой меры искажения и к главным осям правой меры искажения V [6, 9]. Во всех известных авторам работах требование связи осей координат подвижной системы отсчета с одними и теми же материальными элементами не выполняется. Мера деформации при этом обычно определяется коротацион-ным интегрированием, ее физический смысл, как правило, не обсуждается.

Для построения конститутивной модели будут использованы подход, основанный на введении внутренних переменных, и физическая теория упруговязкоплас-тичности. Для простоты ограничимся рассмотрением изотермических процессов и двумя уровнями — макро-и мезоскопическим. В настоящей статье внимание сосредоточено на построении определяющих соотношений для описания неупругого деформирования элементов мезоуровня — кристаллитов.

При построении конститутивной модели материалов одним из основных элементов на каждом из уровней является собственно определяющее соотношение. Как отмечено выше, в качестве такового в большинстве существующих моделей используется упругий закон, чаще всего формулируемый в скоростной форме в терминах актуальной конфигурации. В связи с этим целесообразно кратко рассмотреть существующие формулировки упругих определяющих соотношений.

3. О гипер- и гипоупругих определяющих соотношениях

Вероятно, одними из первых работ по гипоупругим определяющим соотношениям (или упругому закону в скоростной форме) были статьи К. Трусделла [62-64]. Материал полагался простым (первого порядка). Уже при формулировке общего вида гипоупругого закона изначально была исключена возможность его применения для анизотропных материалов. В силу этого при записи закона в «стандартной» форме четырехвалентный тензор свойств («тензор гипоупругости») принимался изотропной функцией тензора напряжений (Коши). Гипо-упругий закон был записан в виде квазилинейной связи между мерой скорости изменения напряжений и тензором деформации скорости. В качестве меры скорости изменения напряжений использовалась производная Трусделла тензора напряжений Коши. Подчеркивалось, что предлагаемая новая теория не использует понятия «деформации». В то же время отмечалось, что в результате применения данного соотношения можно получить связь «напряжение - деформация», но она будет зависеть от конкретного процесса деформирования.

Анализу соответствия упругих (по Коши и Грину[ 1]) и гипоупругих определяющих соотношений посвящена статья [65]. Гипоупругий закон представлен в виде

Еи = П : D, Еи = Е + Е • W - W • Е,

где ZJ — обозначение производной Зарембы-Яуманна [66, 67]; W — тензор вихря. При этом принимается, что тензор П является инвариантной или изотропной функцией тензора напряжений. В [68] было показано, что данные соотношения приводят к нефизичным ос-цилляциям напряжений при монотонном нагружении простым сдвигом. Сформулированы условия, при которых гипоупругий материал является упругим по Коши и по Грину.

С конца 70-х годов XX века интерес к построению геометрически и физически (упругопластических, упру-говязкопластических) нелинейных определяющих соотношений никогда не исчезал. В подавляющем большинстве работ для описания деформирования упругих тел использовались определяющие соотношения, по структуре совпадающие с гипоупругим законом (2):

Еся = П : D, Еся = Е + Е • О -О • Е,

где Е — тензор напряжений, определенный в актуальной конфигурации (обычно тензор Коши или Кирхгоф-фа); О — спин. При этом симметрийные свойства материала, как правило, не обсуждаются. Кроме того, в структуре определяющих соотношений отсутствуют явно вводимые элементы симметрии (центры, оси, плоскости, связанные с материалом). Следует отметить, что в большинстве работ на всех рассматриваемых масштабных уровнях (включая уровень кристаллитов) использовался изотропный упругий закон. Для упруго-пластических (упруговязкопластических) тел принима-

ется гипотеза аддитивности упругих и неупругих составляющих тензора деформации скорости и определяющие соотношения принимают вид

Еся = П : De, D = De + Din.

В большинстве работ в качестве коротационной производной используется производная Зарембы-Яуманна, т.е. О = W. Заметим, что эта производная «зашита» и в структуру наиболее распространенных конечно-элементных пакетов (ANSYS, ABAQUS). В случае использования других производных физический (геометрический) смысл спина авторами, как правило, не обсуждается.

В [69] предложены определения так называемых «упругого» и «пластического» спинов, выражаемых соответственно через упругую и пластическую составляющие тензора деформации скорости и левой меры искажения. В качестве базового кинематического соотношения использовано мультипликативное разложение градиента места F на упругую Fe и пластическую Fp (F = = ре • Рр) составляющие. Отмечается, что данное разложение единственно только с точностью до ротации (промежуточной конфигурации). В ранее опубликованных работах [70, 71] авторами предложено мультипликативное разложение, свободное от отмеченной неоднозначности. Для этого использовано полярное разложение ре и Ер:

ре = яе • ие, рр = яр • ир. Вводятся новая инвариантная по отношению к наложенному жесткому движению мера упругой составляющей искажения и новый ортогональный тензор Q:

ие = ЯрТ • ие • Яр, Q = Яе • Яр,

с использованием которых вводится единственное полярное разложение

Е = Q • ие-ир.

Тензор Q называется тензором «ротации макросуб-структуры», физический смысл тензора не обсуждается, скорость ротации устанавливается тензором спина

О = О • О-1,

который в дальнейшем используется для определения индифферентных коротационных производных. Получено соотношение, связывающее О со спином, используемым в производной Грина-Нагхди. Рассмотрены различные сочетания упругих и пластических составляющих тензора деформаций (малые, умеренные, большие), для которых анализируется приемлемость применения тех или иных коротационных производных. Проведен также сравнительный анализ имеющихся в литературе соотношений для «пластического» спина. Приведены различные известные формулировки геометрически нелинейных определяющих соотношений. Предложены гипо- и гиперупругие изотропные определяющие соотношения, основанные на предложенном мультипли-

кативном разложении градиента места. Приведены результаты численного исследования простого сдвига с использованием различных определяющих соотношений.

В статье [72] предложено решение двух тензорных уравнений, часто возникающих при установлении связей между мерами деформаций и их коротационными производными:

М • X + X • М = А, X • М - М • X = S, где М — мера (симметричный тензор 2-го ранга); А — антисимметричный; S — симметричный тензоры (2-го ранга); X—искомый антисимметричный тензор (спин). Получены решения приведенных уравнений в инвариантной форме (в терминах тензоров М и А или S). Приведены примеры применения указанных решений. В частности, определен спин, обозначенный авторами как и , с применением которого коротационная производная логарифмической меры деформации Генки, определенной в актуальной конфигурации, равна тензору деформации скорости.

В [73] доказаны теоремы, являющиеся аналогами рассмотренных в [65], о соответствии гипоупругого и упругих (по Коши и Грину) материалов для определяющих соотношений вида

Е108 = П : D, Е108 = Е + Е • П108- П108 • Е,

где под Е понимается тензор напряжений Кирхгоффа; П108 — логарифмический спин (по сути, результат совпадает с полученным в [72]: П108 = П^ Н108 = Б, где Н — тензор деформации Генки, определенный в актуальной конфигурации [6]).Тензор упругих характеристик П также полагается изотропной функцией тензора напряжений Кирхгоффа. В этом случае гиперупругий (или упругий по Грину) закон принимает вид Е = П : Н. Для случая изотропного постоянного тензора свойств П условия теоремы эквивалентности ги-поупругого и упругого материалов выполняются тривиально. Заметим, что авторы статьи особо отмечают, что это позволяет избежать возникновения диссипации энергии и возникновения гистерезиса напряжений на замкнутых упругих циклах деформирования. Для этого случая приведено аналитическое решение задачи простого сдвига, отмечается отсутствие осцилляций компонент напряжений. Стоит отметить, что в силу отсутствия связи логарифмического спина с материалом применение его для анизотропных материалов представляется необоснованным [48].

В [58] приведены результаты исследования поведения изотропного гипоупругого материала при сложном циклическом кинематическом нагружении. Показано, что при использовании производных Зарембы-Яуманна и Грина-Нагхди в конце замкнутого по деформациям цикла напряжения отличны от нулевых, причем по мере возрастания числа циклов отклонение от нулевых напряжений конца цикла нарастает. При применении оп-

ределяющих соотношений с логарифмическим спином циклы оказываются замкнутыми по напряжениям.

В [74] рассматривается модель упругопластического тела для случая больших градиентов перемещений, в которой для записи гипоупругого закона и закона кинематического упрочнения используются логарифмический спин и соответствующая коротационная производная. В качестве меры скорости деформации применяется тензор деформации скорости, для которого принимается гипотеза аддитивности упругих и пластических составляющих.

В работе [75] рассматривается построение анизотропных определяющих гипер- и гипоупругих соотношений, в которых в качестве мер деформации используется класс тензоров деформации Лагранжа и Эйлера [76] (содержащий подкласс деформаций Сетха [77]). Особое внимание уделено определяющим соотношениям, основанным на использовании логарифмического тензора деформации, определенного в актуальной конфигурации. Определяющие соотношения гиперупругого материала формулируются на основе термодинамического подхода, из которых дифференцированием получены гипоупругие соотношения. Последние записаны в виде зависимости производной Грина-Нагхди тензора напряжений Кирхгоффа от аналогичной производной тензора деформаций Эйлера. К сожалению, в статье отсутствует детальное обсуждение «привязки» тензора упругих характеристик к материальным осям.

При построении конститутивных моделей для описания процессов с большими градиентами перемещений широко используется термодинамический подход. Например, в статье [78] рассмотрены различные формулировки определяющих соотношений, полученных из четырех рассмотренных форм неравенства диссипации. Для всех рассматриваемых вариантов гипоупругих определяющих соотношений принимается гипотеза изотропии упругих свойств. Последние, в свою очередь, построены с использованием 2-го закона термодинамики при различном выборе энергетически сопряженных пар мер напряженного и деформированного состояния [4]. При записи мощности работы на неупругих деформациях возникает необходимость применения различных видов независимых от выбора системы отсчета производных меры деформации. Значительная часть статьи посвящена описанию процедур численного интегрирования определяющих соотношений. Приведены примеры применения полученных физических уравнений (вязкоупругих, упруговязкопластических, упругоплас-тических, эндохронной теории) для решения задач осадки, одноосного растяжения, простого сдвига, штамповки из листовой заготовки.

В работе [79] предложены отличные от рассмотренных выше формулировки гипоупругого закона в терминах инвариантных к наложенному жесткому движению характеристик. Наряду с отсчетной лагранжевой и «по-

лярной» (получаемой из актуальной конфигурации поворотом с помощью ортогонального тензора R, входящего в полярное разложение градиента места) формулировками рассматривается построение определяющих соотношений в терминах так называемой «материальной конфигурации», получаемой из актуальной поворотом с использованием тензора ротации, определяемого по логарифмическому спину. Получаемые соответствующими преобразованиями меры напряжений и деформаций аналоги тензора напряжений Коши (или Кирхгоффа) и тензора Генки являются инвариантными по отношению к наложенному жесткому движению, что позволяет перейти от коротационного дифференцирования к материальным производным.

Таким образом, из приведенного краткого обзора следует, что при формулировке упругого закона (в том числе в скоростной форме) в известных авторам работах вопросы физического обоснования выбора коротацион-ных производных, возможности учета анизотропии материала не обсуждаются, в структуре соотношений отсутствуют внутренние переменные, с использованием которых можно было бы включить в рассмотрение сим-метрийные свойства. В то же время все монокристаллы являются анизотропными, с различными типами сим-метрий, при этом свойства материалов по различным направлениям могут отличаться весьма существенно (например, для кристаллов низшего и среднего классов симметрий). В процессах интенсивного пластического деформирования поликристаллические материалы, даже если они в недеформированном состоянии демонстрируют изотропные свойства на макроуровне, вследствие возникновения текстуры также становятся анизотропными.

4. Модель упруговязкопластичности и альтернативный способ разложения движения для кристаллитов

Для построения конститутивной модели использованы подход, основанный на введении внутренних переменных, и физическая теория упруговязкопластичности. Рассмотрение ограничено изотермическими процессами и двумя уровнями — макро- и мезоскопическим. Представительный объем макроуровня состоит из нескольких сотен (400-1000) кристаллитов (зерен, субзерен), каждый кристаллит рассматривается как представительный объем мезоуровня. «Родственные» характеристики различных уровней будут обозначаться одинаковыми буквами, прописные — для макроуровня и строчные — для мезоуровня. В отсчетной конфигурации ориентация подвижных систем отсчета кристаллитов определяется законом распределения ориентаций, подвижная система макроуровня считается совпадающей с лабораторной системой координат. Спины подвижных систем на макро- и мезоуровне обозначаются как П и ю.

Как отмечено выше, в предлагаемой статье внимание сосредоточено на описании деформирования представительного объема мезоуровня (кристаллита), считая его материалом первого порядка. Примем, что пластические деформации осуществляются сдвигом при движении краевых дислокаций, не изменяющим ориентации кристаллической решетки. В дальнейшем полагается, что подвижная ортогональная декартова система координат Ох1х2 х3 с базисом к1 жестко привязана к одному кристаллографическому направлению и кристаллографической плоскости, содержащей это направление [48]. Для вспомогательных рассуждений вводится также

12 3

специальная лагранжева система координат Оу у у с базисом Ь1, которая в течение всего процесса деформирования связана с кристаллографической системой координат. Иначе говоря, от обычной лагранжевой системы координат данная отличается тем, что не учитывает пластические деформации. В процессе пластической деформации материал течет сквозь подвижную систему координат, оставляя последнюю недеформирован-ной. Такое представление обосновано тем, что пластические деформации не изменяют ориентации решетки, а следовательно, и симметрийных свойств материала, поэтому не оказывают влияния на движение подвижной системы координат. Следует заметить, что при рассмотрении пластических деформаций введение лагранжевой системы координат на микроуровне принципиально невозможно, поскольку для атомов при движении дислокаций не выполняется требование сохранения локальной близости («локальной топологии») [80], необходимой для введения лагранжевых координат. В то же время на более «грубых» масштабных уровнях (мезо- и макроуровень), в отличие от [81], авторы настоящей статьи считают приемлемым классическое определение лаг-ранжевых координат и мер деформаций. В отсчетной конфигурации базис кристаллографической системы координат выбирается ортонормированным, так что Ь |(0 — также ортонормированный триэдр. Для упрощения рассмотрения, не теряя общности, можно принять, что ортонормированный базис кристаллографической системы координат совпадает с базисом подвижной системы координат в отсчетной конфигурации к 0. Отметим также, что для металлов и сплавов (упругие) искажения кристаллографической системы координат можно считать малыми, так что векторы базиса Ь1 близки к векторам базиса к1.

Движение деформируемой среды представим последовательностью пластических деформаций (сохраняющих положение подвижной системы координат), поворота подвижной системы координат вместе с материалом и упругого искажения решетки относительно подвижной системы координат. В соответствии с таким представлением движения мультипликативное разложение градиента места мезоуровня имеет следующий вид:

f =у ГТ = fе • fр = fе • Г • fр.

о

Здесь V — набла-оператор, определенный в отсчетной конфигурации; г — радиус-вектор материальных частиц; fр определяется накопленными сдвигами в отсчетной конфигурации; г = к 1 (к11 ) = к ¿к 0 — собственно ортогональный тензор, преобразующий отсчетный базис подвижной системы координат в текущий (тензор ротации подвижной системы координат из отсчетной в актуальную конфигурацию (вместе с материалом)); f е — градиент места, преобразующий пластически деформированную конфигурацию, испытавшую поворот, в актуальную конфигурацию (одновременно характеризующий однородное искажение решетки кристаллита). Для рассмотрения упругопластического деформирования требуется также введение дополнительной (разгруженной) конфигурации К*, которая в каждый момент деформирования определяется аффинным преобразованием fе-1 актуальной (текущей) конфигурации К{. Нетрудно видеть, что конфигурация К* совпадает с пластически деформированной конфигурацией, испытавшей поворот. Следует отметить, что при разгрузке подвижная система координат остается фиксированной.

Используем в качестве тензора, преобразующего индифферентные меры в инвариантные и обратно, тензор ротации г, обладающий необходимыми свойствами [7]. Введем инвариантный аналог двухточечного тензора (транспонированного) градиента места:

0 = гТ • f = гТ • Ге • г • fр = Ге • fр,

о

где через Г е обозначен тензор упругих искажений, приведенный («повернутый») к базису отсчетной кристаллографической системы координат (или подвижной системы координат в отсчетной конфигурации). Очевидно, что эта мера является инвариантной, равно как и ее материальная производная:

0 = гТ • Г + гТ • & = гТ • г • гТ • Г + гТ • е • г • Гр +

+ Ге • г• Гр + Ге • г • &р) = гТ • г • 0+ гТ • ({е • г • Гр +

+ Ге • г • Гр + Ге • г • Гр).

Преобразуя последнее соотношение, получим

1 = гТ •Гесг •г Гр + гТ • Ге •г• &*

где Г есг = & е + Г е • ю - ю • f е — коротационная производная (со спином подвижной системы координат) упругой составляющей градиента места во введенном разложении; ю = г • гТ — тензор спина подвижной системы координат. Нетрудно проверить, что Гесг является индифферентной тензорзначной функцией.

Теперь от меры скорости деформаций (8) можно перейти к ее аналогу в К, для чего слева умножим на г, а справа—на гТ. Соотношения между инвариантными и индифферентными родственными мерами («двойниками») и их производными хорошо известны (см., на-

пример, [82]). Напомним их для рассматриваемых мер:

7 = г • Г гТ ^ 7сг = г • Г0• гТ,

и наоборот — из правой части следует левая, что нетрудно проверить. Из (9) с использованием (8) получаем

Гг = г • I • гТ = -ю • 7е • г • 7р • гТ +

+

Из приведенных соотношений сразу можно определить и индифферентную меру 7 (в актуальной конфигурации К{):

7 = г •0 гТ = Г • гТ = Ге • г • Гр • гТ = Ге • 7

где введено обозначение ?р = г • Гр • гТ (заметим, что 7р-1 = г • Гр-1 • гТ). С использованием введенного обозначения соотношение (10) может быть преобразовано к виду

гг = (Гесг + ге • г • &р • гТ • г • ГР-1 • гТ) • 7Р =

=

В качестве упругой составляющей меры скорости деформации можно использовать коротационную производную упругой составляющей градиента места:

Гесг =

Связь полученной меры скорости деформаций с градиентом места и его производными определяется соотношением

гг = г •0 • гТ = г • (гТ • Г + гТ • &) • гТ =

=

где Гсг — коротационная производная двухточечного тензора (транспонированного градиента места). С учетом (14) и ранее введенного обозначения для 7Р соотношение (13) может быть преобразовано к виду

Гесг = Гсг • Гр-1 • гТ - Ге • г • &р • Гр-1 • гТ.

Введем обозначения: Iр = &р • Гр-1, /р = г • Iр • гТ, с учетом которых соотношение (15) может быть записано в виде

Гесг = гсг • Гр-1 • гТ - Ге • 7р.

Полученные кинематические соотношения могут быть использованы для построения закона упругости в конечной или дифференциальной форме, в терминах отсчетной К0, актуальной К{ или разгруженной К* конфигурации. В силу нелинейности проблем, для решения которых требуются формулируемые определяющие соотношения, предпочтительной является дифференциальная (скоростная) форма. В качестве базовой конфигурации для формулировки определяющего соотношения на мезоуровне наиболее корректным представляется использование разгруженной «решеточной» конфигурации. Заметим, что в процессе разгрузки и повторного упругого нагружения подвижная система координат кристаллита может считаться неподвижной, что согласуется с предложенным способом определения последней и ее движения [48, 83]. В указанной конфигура-

ции подвижная система координат совпадает с неискаженной кристаллографической системой координат. В базисе последней компоненты тензора упругих характеристик можно считать постоянными. Кроме того, для большинства кристаллических материалов искажения решетки незначительны по сравнению с неупругими деформациями, что открывает возможности для построения приближенных аналогов определяющих соотношений, сформулированных в терминах актуальной конфигурации.

В качестве базового определяющего соотношения на мезоуровне выберем гиперупругий закон, используемый в нелинейной теории упругости [4, 6], однако в настоящей работе сформулированный в терминах разгруженной конфигурации К, как в ряде работ по физическим теориям пластичности (например [84-86]). Следует, однако, отметить, что в цитируемых работах разгруженная конфигурация определяется из актуальной преобразованием fе-1, тогда как используемая в данной работе разгруженная конфигурация устанавливается с помощью f е-1, причем при разгрузке подвижная система координат полагается неподвижной. Приведенные ниже соотношения справедливы для произвольного кристаллита, входящего в представительный объем макроуровня. Номер кристаллита для упрощения записи опущен. Определим в базисе разгруженной конфигурации (или в базисе подвижной системы координат на момент начала разгрузки, которая остается, как отмечено выше, неподвижной на протяжении всего процесса упругой разгрузки-нагрузки) упругую составляющую Се тензора деформаций Коши-Грина С, второй тензор Пиола-Кирхгоффа к,, четырехвалентный тензор упругих характеристик П:

1 ^ еТ «е

2'

се = — к- ЦеТ • fе-1),

к = íijk 'к- =Р fе-1 • о • fе- Т,

П Путпк к7к к >

где I — единичный тензор; р, р — плотность материала в разгруженной и актуальной конфигурациях. Тогда определяющее соотношение гиперупругости принимает вид

к = П: се.

Следует отметить, что в базисе подвижной системы координат к' компоненты тензора упругих свойств п (по существу, в базисе разгруженной кристаллографической системы координат) полагаются постоянными. С учетом последнего в базисе подвижной системы координат можно перейти к эквивалентной [47] скоростной форме соотношения: = п-^с™. С учетом физического смысла коротационной производной [9] с позиции неподвижного наблюдателя последнее соотношение принимает вид

ксг = П: сесг,

где коротационные производные второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгоффа и упругой составляющей тензора деформаций Коши-Грина имеют вид

к.сг = £+к • ю - ю I ,

сесг = се + се • й - Й • се. ^ 7

Как известно [1, 6], гиперупругий закон формулируется на основе предположения о существовании упругого потенциала и, являющегося функцией упругой составляющей меры деформации (при условии энергетической сопряженности мер напряжений и деформации). Работа напряжений при этом на любом процессе деформирования из состояния 1 в состояние 2 равна разности упругого потенциала в этих точках: и2 - и1. Определяющее соотношение гиперупругого материала для случая изотермического деформирования далее устанавливается как равенство меры напряжения производной от и по упругой составляющей меры деформации, при этом меры напряжений и деформаций являются энергетически сопряженными. Понятно, что для гиперупругого материала выполняется свойство отсутствия диссипации энергии и совпадение тензоров напряжений в исходной и конечной точках на любых замкнутых по деформациям траекториям упругого деформирования. Указанные условия были сформулированы в работах [73, 82, 87-90] в качестве дополнительных ограничений на определяющие соотношения гипоупругого типа. На основе этих ограничений авторами цитируемых работ было показано, что для изотропных упругих соотношений единственным корректным вариантом гипоупругих соотношений является уравнение типа (3), в котором в качестве меры напряженного состояния используется взвешенный тензор Кирхгоффа, а его коротационная производная определяется с помощью логарифмического спина.

Ранее [47, 48] было показано, что гипо- и гиперупругие определяющие соотношения эквивалентны при условии использования подвижной системы координат, в базисе которой компоненты тензора упругих характеристик неизменны. Данное условие выполняется для введенной подвижной системы координат, связанной с решеткой материала, в силу чего гиперупругий (18) и гипоупругий (19) законы эквивалентны. Следовательно, не требуются дополнительные доказательства замкнутости траектории напряжений при замкнутых по (упругим) деформациям циклах и отсутствия диссипации энергии на любых замкнутых циклах упругого деформирования.

Несложно показать энергетическую сопряженность используемых в рассматриваемых определяющих соотношениях тензоров напряжений к и Се, т.е. что плотность (на единицу массы) внутренней энергии для упругого материала определяется как

-I

i (

1 - T - о: V vT

Р

Л

dt = I

1l :С6

dt.

В связи с этим в случае использования предложенных определяющих соотношений при упругом деформировании по замкнутым циклам траектории напряжений замкнуты, а диссипация энергии отсутствует. Некоторые иллюстрирующие примеры для анизотропных кристаллитов приведены ниже.

Пластическая составляющая градиента места определяется следующим образом:

-1 _ K „•,

fp . fp-1 = £ f k=1

b(k) n( k),

где Ь , п — единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскости скольжения (в отсчетной конфигурации); у( к) — сдвиг в к-й системе скольжения; К — число систем скольжения для рассматриваемого типа кристаллитов. Заметим, что число систем скольжения удвоено по сравнению с числом кристаллографических плоскостей, так что в каждой системе скольжения сдвиги (и скорости сдвигов) могут быть только положительными [57]. Накопленные сдвиги определяются интегрированием скоростей сдвигов по соот-

,,(k) =I f (k) 0

dx.

ветствующим системам скольжения: у4

Для установления скоростей сдвигов в системах скольжения можно использовать одну из известных моделей вязкопластичности, например степенной закон вида [91, 92]

Y(k )= Y о

(T(k) Л

r

Н(т(к) - тСк)),

V

где т(к) и т£к) — сдвиговое и критическое сдвиговое напряжение в к-й системе скольжения; у 0 — скорость сдвига по системе скольжения при достижении касательным напряжением критического напряжения сдвига; т — показатель скоростной чувствительности материала; Н(-) — функция Хэвисайда. Сдвиговое напряжение в к-й системе скольжения определяется по второму тензору напряжений Пиола-Кирхгоффа, преобразованному («повернутому») в отсчетную конфигурацию:

т(k) = b(k) n(k

Таким образом, получена замкнутая система уравнений модели мезоуровня, позволяющая определять все требуемые характеристики для описания упруговязко-пластического деформирования кристаллита. Соответствующие соотношения для анализа поведения представительного объема поликристаллического материала будут рассмотрены в отдельной работе.

5. Некоторые иллюстрирующие примеры

Рассмотрим результаты применения предложенных соотношений при моделировании некоторых кинема-

тических (жестких) нагружений упругих анизотропных металлов. При формулировке определяющих соотношений в терминах неподвижного наблюдателя в лабораторной системе координат предлагается использовать «решеточную» коротационную производную, когда жесткая подвижная система координат «привязана» к кристаллографической оси и плоскости кристаллита [48]. Компоненты тензора упругих характеристик в базисе этой системы координат для металлов и сплавов можно считать постоянными. При любых способах привязки подвижной системы координат к материалу результаты (напряжения Коши, плотность внутренней энергии) получаются близкими к нижеприведенным, полученным

1 12 при привязке к оси Oy и плоскости Oy y кристаллографической системы координат (максимальное на всем интервале времени отличие — норма разности соответствующих величин — составляет менее 0.001 % по отношению к максимальному значению рассматриваемой величины).

При моделировании ГЦК-кристалла использовались упругие свойства (постоянные для наблюдателя в подвижной системе координат), соответствующие меди, независимые компоненты тензора свойств в подвижной системе координат: п1111 = 168.4 ГПа, п1122 = 121.4 ГПа, п1212 = 75.4 ГПа [93], для ГПУ-кристалла — упругие свойства, соответствующие TiO2, независимые компоненты тензора свойств в подвижной системе координат: п1111 = 273 ГПа, п1122 = 176 ГПа, п1133 = 149 ГПа, пзззз = 484 ГПа, п1313 = 125 ГПа, п1212 = 194 ГПа [93]. Начальные ориентации кристаллографической и подвижной систем координат совпадают и определяются путем последовательного поворота начально совмещенной с лабораторной системой координат системы координат для ГЦК-кристалла вокруг оси Ох1 на угол ф1 = = 0.41, вокруг оси Ох2 на угол ф2 = -0.66, вокруг оси Охг на угол ф3 = 1.19, для ГПУ-кристалла вокруг оси Ох1 на угол ф1 = 0.43, вокруг оси Ох2 на угол ф2 = 1.28, вокруг оси Охг на угол ф3 = -0.755 (углы поворота выбраны случайным образом).

Пример 1. Деформирование по циклу № 1

Рассматривается однородное аффинное деформирование по замкнутому циклу кинематического нагруже-ния прямоугольного в отсчетной конфигурации параллелепипеда с квадратом в поперечном сечении (с длиной стороны L), расположенным в плоскости ОХ1Х2 фиксированной лабораторной системы координат. Рассматриваемые варианты упругих свойств материала (тип решетки кристаллита и ее ориентация) описаны выше. Движение определено градиентом деформации

f (t)=I+12 (1--^ Р1Р 2+ 1 + sin ф r¿/h

+1

Рис. 1. Схема движения точки с лагранжевыми координатами (0, Ь, 0) м, в начальный и конечный момент деформирования положение точки соответствует Х^L = 0, Х2/L = 1, Х3 = 0

где ф = 2га/к = 0.0005 — постоянный параметр; Р' — базис неподвижной лабораторной системы координат; деформирование рассматривается в интервале времени tе [0 с,1 с]. В силу однородности деформирования радиус-вектор материальной точки тела в произвольный момент времени t определяется согласно формуле г(V) = Г (V) • qlp', где ql — лагранжевы координаты. Для иллюстрации на рис. 1 приведена схема движения точки тела с лагранжевыми координатами (0, Ь, 0) м.

При принятом разложении движения подвижная система координат для каждого расчетного варианта в конечный момент времени приходит точно в свое начальное положение.

На рис. 2 приведены зависимости от времени компонент в лабораторной системе координат тензора напряжений Коши для рассматриваемых ГЦК- и ГПУ-кристаллитов. Следует отметить, что напряжения Коши получаются нулевыми в конце цикла, т.е. отсутствует гистерезис напряжений.

-♦-СУ 11 -О- С>22

-±-Gi3 -п-С)зз

0.0 02 0Л о!б 08 I с

-100-

0.0 0.2 0.4 0.6

Рис. 2. Зависимость компонент тензора напряжений Коши в лабораторной системе координат от времени для ГЦК-

и, МДж 0.030.020.01-

и, МДж 0.08

0.0 0.2

Рис. 3. Изменение плотности внутренней энергии со временем для ГЦК-

На рис. 3 приведена зависимость плотности внутренней энергии от времени. Результаты свидетельствуют об отсутствии диссипации энергии.

Пример 2. Деформирование по циклу № 2

Рассматривается однородное деформирование по замкнутому циклу кинематического нагружения описанного выше тела с градиентом места:

ч т 2 (1 - cos ф) -d/h F (t) = I +12 \ . ф d, PiP 2 + 1 + sin ф rd/h

+1(t -1)2 (1 - cos ф) sin ф—p2p2, h

где ф = 2nt; -d/h = 0.0005 — постоянный параметр; p¿ — базис неподвижной лабораторной системы координат; деформирование рассматривается в интервале времени tе [0 c,1 с]. На рис. 4 приведена схема движения точки тела с лагранжевыми координатами (0, L, 0) м.

На рис. 5 приведены зависимости от времени компонент в лабораторной системе координат тензора напряжений Коши при нагружении (24), на рис. 6 — изменение плотности внутренней энергии со временем.

Рис. 4. Схема движения точки с лагранжевыми координатами (0, Ь, 0) м, в начальный и конечный момент деформирования положение точки соответствует Х1/ L = 0, Х2/ L = 1, Х3 = 0

а Ф МПа~

200-20-

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 и с

Рис. 5. Зависимость компонент тензора напряжений Коши в лабораторной системе координат от времени для ГЦК-

Полученные численные результаты подтверждают приведенные ранее теоретические выводы: при любых упругих циклических деформированиях будут отсутствовать гистерезис напряжений и диссипация энергии. Отметим, что были проведены тестовые расчеты и при значительно больших циклических деформациях по различным циклам подтверждается вышеприведенный аналитический результат об отсутствии диссипации энергии на любых упругих циклах при использовании предложенных соотношений (эти результаты не привои, МДж -0.002 -0.001 -

0.000

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 и с

и, МДж 0.006 -

0.004 -

0.002 -

0.000 -

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 с

Рис. 6. Изменение плотности внутренней энергии со временем для ГЦК-

дятся по причине физической нереализуемости — для известных металлов невозможно достижение значительных чисто упругих деформаций).

6. Заключение

Для анализа реальных технологических процессов переработки материалов необходима постановка геометрически нелинейных краевых задач. При реализации постановки важнейшими вопросами является описание нелинейной кинематики и формулировка определяющих соотношений.

На основе обзора существующих работ, посвященных решению данных вопросов, отмечено, что одной из основных проблем, по мнению авторов, является сложность выделения из движения деформируемого твердого тела части, отвечающей за квазитвердое движение, в большинстве работ явно не обсуждающееся. Для моделирования деформирования анизотропных материалов вводимая при разложении движения подвижная система координат должна быть связана с материалом для правильного учета его симметрийных свойств. В известных авторам работах вопросы физического обоснования выбора коротационных производных, возможности учета анизотропии материала не обсуждаются, в структуре соотношений отсутствуют внутренние переменные, с использованием которых можно было бы включить в рассмотрение симметрийные свойства. В то же время все кристаллы являются анизотропными с различными типами симметрий, при этом свойства материалов по различным направлениям могут отличаться весьма существенно (особенно для кристаллов низшего и среднего классов симметрий). В процессах интенсивного пластического деформирования поликристаллические материалы, даже если они в недефор-мированном состоянии демонстрируют изотропные свойства на макроуровне, вследствие возникновения текстуры также становятся анизотропными.

При использовании многоуровневого подхода на ме-зоуровне (уровне кристаллитов) для металлов возможно выделение симметрийных элементов, с которыми предлагается связать движение подвижной системы координат, определяющей квазитвердое движение. Предложен новый способ разложения движения — мультипликативное представление градиента деформации с явным выделением движения подвижной системы координат. Сформулированы определяющие упруговязкопласти-ческие соотношения в конечной и скоростной формах, связывающие меры напряженного и деформированного состояния (и скорости их изменения), определенные в терминах разгруженной конфигурации. В силу энергетической сопряженности используемых мер требование отсутствия гистерезиса напряжений и отсутствия диссипации энергии на произвольных замкнутых упругих циклах выполняется автоматически, что проиллюстрировано примерами для анизотропных кристаллитов.

Таким образом, предложен подход к построению геометрически нелинейных кинематических и определяющих соотношений для металлических кристаллитов с использованием физически обоснованного способа разложения движения, позволяющего учитывать анизотропные симметрийные свойства и обеспечить выполнение известных критериев адекватности модели при упругом деформировании.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистр. 01201460535), РФФИ (гранты №№ 14-01-00069-а, 14-01-96008р_урал_а, 15-08-06866-а).

Литература

1. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965. - 456 с.

2. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. -

М.: Мир, 1979. - 302 с.

3. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. - М.: Наука, 1990. - 207 с.

4. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

5. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материа-

лов при высоком давлении. - Киев: Наукова думка, 1987. - 232 с.

6. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

7. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. - М.: Мир, 1991. - 560 с.

8. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Тру-

бицын А.А., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., Ворошилов Я.С. Нелинейная механика геоматриалов и геосред / Отв. ред. Л.Б. Зуев. -Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2007. - 235 с.

9. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластичес-

кие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

10. Работягов Д.Д. Механика материалов при больших деформациях. - Кишинев: Штиинца, 1975. - 168 с.

11. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. - М.: Физмат-гиз, 1962. - 284 с.

12. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain // ASME J. Appl. Mech. - 1969. - V. 36. - P. 1-6.

13. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. - 419 с.

14. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: АН СССР, 1963. - 272 с.

15. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 704 с.

16. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. -420 с.

17. Валанис К. Обоснование эндохронной теории пластичности методами механики сплошной среды // Труды ASME. Теоретические основы инженерных расчетов. - 1984. - Т. 106. - №2 4. - С. 72-81.

18. Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. Эндохронные теории пластичности: основные положения, перспективы развития // Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. - № 1. - С. 161-168.

19. ValanisK.C. A theory of viscoplasticity without a yield surface. Part I: General theory // Arch. Mech. Stos. - 1971. - V. 23. - No. 4. - P. 517533.

20. Valanis K.C. A theory of viscoplasticity without a yield surface. Part II: Application to the mechanical behavior of metals // Arch. Mech. Stos. -1971. - V 23.- No. 4. - P. 535-551.

21. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 342 с.

22. Васин Р.А. Об экспериментальном исследовании функционалов пластичности в теории упругопластических процессов // Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: МГУ, 1988. - С. 40-57.

23. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с.; Т. 2. - 320 с.

24. Adams B.L., Henrie A., Henrie B., Lyon M., Kalidindi S.R., Garme-stani H. Microstructure-sensitive design of a compliant beam // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 49. - No. 8. - P. 1639-1663.

25. Kalidindi S.R., Houskamp J., Proust G., Duvvuru H. Microstructure Sensitive Design with First Order Homogenization Theories and Finite Element Codes // Proc. ICOTOM 14. - Leuven, Belgium, 2005. -P. 23-30.

26. Proust G., Kalidindi S.R. Procedures for construction of anisotropic elastic-plastic property closures for face-centered cubic polycrystals using first-order bounding relations // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. -V. 54. - P. 1744-1762.

27. McDowell D.L., Olson G.B. Concurrent design of hierarchical materials and structures // Sci. Model. Simul. - 2008. - 34 р. - doi 10.1007/ s10820-008-9100-6.

28. Nakamachi E., Kuramae H., Sakamoto H., Morimoto H. Process metallurgy design of aluminum alloy sheet rolling by using two-scale finite element analysis and optimization algorithm // Int. J. Mech. Sci. - 2010. - V. 52. - P. 146-157.

29. Лихачев B.A., Малинин Б.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

30. Рыбин B.B. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

31. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-130.

32. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. -2003. - Т. 6. - № 4. - C. 111-124.

33. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

34. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несим-метричныж мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 15-31.

35. Guo Y.B., Wen Q, Horstemeyer M.F. An internal state variable plasticity-based approach to determine dynamic loading history effects on material property in manufacturing processes // Int. J. Mech. Sci. -2005. - V. 47. - P. 1423-1441. - doi 10.1016/j.ijmecsci.2005.04.015.

36. McDowell D.L. Internal State Variable Theory // Handbook of Materials Modeling / Ed. by S. Yip. - Berlin: Springer, 2005. - P. 1151-1169.

37. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013) // Mech. Res. Commun. - 2015. - V. 69. -P. 79-86. - http://dx.doi.org/10.1016/j.mechrescom.2015. 06.00.

38. Sat K. Multi-mechanism models: Present state and future trends // Int. J. Plasticity. - 2011. - V. 27. - P. 250-281.

39. Zhao J., Sheng D. Strain gradient plasticity by internal-variable approach with normality structure // Int. J. Solids Struct. - 2006. - V. 43. -P. 5836-5850.

40. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

41. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

42. Ghoniem N.M., Busso E.P., Kioussis N., Huang H. Multiscale modelling of nanomechanics and micromechanics: an overview // Philos. Mag. - 2003. - V. 83. - No. 31-34. - P. 3475-3528.

43. McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - P. 1280-1309.

44. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials // Mater. Sci. Eng. R. - 2008. - V 62. - P. 67-123.

45. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -P. 1152-1211.

46. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

47. Трусов П.В., Кондратьев Н.С., Швейкин А.И. О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2015. - № 3. - С. 182-200.

48. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезо-мех. - 2016. - Т. 19. - № 2. - С. 47-65.

49. Altenbach H., Eremeyev V.A. Strain rate tensors and constitutive equations of inelastic micropolar materials // Int. J. Plasticity. - 2014. -V. 63. - P. 3-17.

50. de Borst R. A generalization of J2-flow theory for polar continua // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1993. - V. 103. - P. 347-362.

51. Forest S., Sievert R. Nonlinear microstrain theories // Int. J. Solids Struct. - 2006. - V. 43. - P. 7224-7245.

52. Lippmann H. Cosserat plasticity and plastic spin // Appl. Mech. Rev. -1995. - V. 48. - P. 753-762.

53. Steinmann P. A micropolar theory of finite deformation and finite rotation multiplicative elastoplasticity // Int. J. Solids Struct. - 1994. -V. 31. - P. 1063-1084.

54. Mayeur J.R., McDowell D.L. A comparison of Gurtin type and micropolar theories of generalized single crystal plasticity // Int. J. Plasticity. - 2014. - V. 57. - P. 29-51.

55. Grammenoudis P., Tsakmakis C. Micropolar plasticity theories and their classical limits. Part I: Resulting model // Acta Mech. - 2007. -V. 189. - P. 151-175.

56. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: A short review and bibliography // Arch. Appl. Mech. - 2010. - V. 80. - P. 73-92.

57. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упруго-пластичности // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 3. - С. 21-30.

58. Meyers A., Xiao H., Bruhns O. Elastic stress ratchetting and corotatio-nal stress rates // Tech. Mech. - 2003. - B. 23. - H. 2-4. - S. 92-102.

59. ВишняковЯ.Д., Бабарэко А.А., Владимиров С.А., Эгиз И.В. Теория образования текстур в металлах и сплавах. - М.: Наука, 1979. -344 с.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука. - Т. 1. -1970. - 492 с.; Т. 2. - 1970. - 568 с.

61. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory of an elasto-plastic continuum // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1965. - V. 18. - P. 251-281.

62. Truesdell C. The simplest rate theory of pure elasticity // Commun. Pure Appl. Math. - 1955. - V. VIII. - P. 123-132.

63. Truesdell C.A. Hypo-elasticity // J. Ration. Mech. Anal. - 1955. -V. 4. - No. 1. - P. 83-133.

64. Truesdell C. Hypo-elastic shear // J. Appl. Phys. - 1956. - V. 27. -P. 441-447.

65. Bernstein B. Hypo-elasticity and elasticity // Arch. Ration. Mech. -1960. - V. 6. - No. 1. - P. 89-104.

66. Zaremba S. Sur une forme perfectionnée de la théorie de la relaxation // Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie. - 1903. - P. 595-614.

67. Jaumann G. Geschlossenes System physikalischer und chemischer Differential-gesetze // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. Abt. IIa. - 1911. -В. 120. - S. 385-530.

68. Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies // Acta Mech. - 1979. - V. 32. - P. 217-232.

69. Schieck B., Stumpf H. The appropriate corotational rate, exact formula for the plastic spin and constitutive model for finite elastoplasti-city // Int. J. Solids Struct. - 1995. - V. 32. - No. 24. - P. 3643-3661.

70. Schieck B., Stumpf H. Deformation analysis for finite elastic-plastic strains in a Lagrangean-type description // Int. J. Solids Struct. -1993. - V. 30(19). - P. 2639-2660.

71. Stumpf H., SchieckB. Theory and analysis of shells undergoing finite elastic-plastic strains and rotations // Acta Mech. - 1994. - V. 106. -P. 1-21.

72. Reinhardt W.D., Dubey R.N. Coordinate-independent representation of spins in continuum mechanics // J. Elasticity. - 1996. - V. 42. -P. 133-144.

73. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Hypo-elasticity model based upon the logarithmic stress rate // J. Elasticity. - 1997. - V. 47. - P. 51-68.

74. Zhu Y., Kang G., Kan Q, Bruhns O.T. Logarithmic stress rate based constitutive model for cyclic loading in finite plasticity // Int. J. Plasticity. - 2014. - V. 54. - P. 34-55. - http://dx.doi.org/10.1016/j.ijplas. 2013.08.004

75. Dluzewski P. Anisotropic hyperelasticity based upon general strain measures // J. Elasticity. - 2000. - V. 60. - P. 119-129.

76. Hill R. Constitutive inequalities for isotropic solids under finite strain // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1970. - V. 314. - P. 457-472.

77. Seth B.R. Generalized Strain Measure with Applications to Physical Problems // Second-Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics: Proc. Int. Symp., Haifa, April 23-27, 1962 / Ed. by M. Reiner, D. Abir. - Oxford: Oxford Univ., 1964.

78. Lin R.C., Brocks W., Betten J. On internal dissipation inequalities and finite strain inelastic constitutive laws: Theoretical and numerical comparisons // Int. J. Plasticity. - 2006. - V. 22. - P. 1825-1857.

79. FreedA.D. Hencky strain and logarithmic rates in Lagrangian analysis // Int. J. Eng. Sci. - 2014. - V. 81. - P. 135-145. - http://dx.doi.org/ 10.1016/j.ijengsci.2014.04.016.

80. Трусов П.Б. Некоторые вопросы нелинейной механики деформируемого твердого тела // Вестник ПГТУ Математическое моделирование систем и процессов. - 2009. - № 17. - С. 85-95.

81. Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. - 584 с.

82. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Objective corotational rates and unified work-conjugacy relation between Eulerian and Lagrangean strain and stress measures // Arch. Mech. - 1998. - V. 50. - No. 6. -P. 1015-1045.

83. Трусов П.Б., Янц А.Ю. О физическом смысле неголономной меры деформации // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 2. - С. 13-21.

84. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. Crystal Plasticity // Handbook of Materials Modeling / Ed. by S. Yip. - Netherlands: Springer, 2005. - P. 1133-1149.

85. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals // J. Mech. Phys. Solids. - 1992. - V. 40. - No. 3. - P. 537-569.

86. McGinty R.D., McDowell D.L. A semi-implicit integration scheme for rate independent finite crystal plasticity // Int. J. Plasticity. - 2006. -V. 22. - P. 996-1025.

87. Bruhns O.T. The Prandtl-Reuss equations revisited // Z. Angew. Math. Mech. - 2014. - V. 94. - No. 3. - P. 187-202. - doi 10.1002/zamm. 201300243.

88. Bruhns O.T., Xiao H., Meyers A. New results for the spin of the Eule-rian triad and the logarithmic spin and rate // Acta Mech. - 2002. -V. 155. - P. 95-109.

89. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. The choice of objective rates in finite elastoplasticity: general results on the uniqueness of the logarithmic rate // Proc. R. Soc. Lond. A. - 2000. - V. 456. - P. 1865-1882.

90. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Objective stress rates, path-dependence properties and non-integrability problems // Acta Mech. -2005.- V. 176. - P. 135-151.

91. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Adv. Appl. Mech. - 1983. - V. 23. - P. 1-115.

92. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. - 1985. - V. 33. - No. 6. -P. 923-953.

93. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

Поступила в редакцию 16.11.2015 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Швейкин Алексей Игоревич, к.ф.-м.н., доц., снс ПНИПУ, alexsh59@bk.ru