Информационные технологии автоматизированной генерации заданий по дифференциальным уравнениям

1УДК 378:004

ББК 74.58

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ГЕНЕРАЦИИ ЗАДАНИЙ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Р. М. Асланов, Е. В. Беляева, С. А. Муханов

В статье рассматриваются вопросы проектирования самостоятельной работы студентов при изучении курса дифференциальных уравнений. Одной из ключевых парадигм современного образования стала его гуманизация, индивидуализация и дифференциация. Одним из инструментов, позволяющих задействовать указанные принципы обучения без кардинальных изменений сложившейся системы образования, является использование в учебном процессе систем дистанционного обучения, например МооШе. Данная система имеет развитые возможности по организации самостоятельной работы студентов. При этом проблемой является подготовка индивидуального набора заданий каждому студенту. Для решения данной проблемы авторами был разработан генератор заданий самостоятельной работы. Генерирование вида дифференциального уравнения производится с учетом выделенных канонических форм дифференциальных уравнений. В канонических формах для генерации использовались рекурсивные функции. Уровень вложенности данных функций предлагается регулировать параметром, значение которого определяет сложность уравнения. В каждой рекурсивной функции выбор тех или иных математических функций осуществлялся с помощью генератора случайных чисел.

Ключевые слова: самостоятельная работа, высшее образование, образовательные технологии, технология дистанционного обучения, МооШе.

INFORMATION TECHNOLOGIES OF AUTOMATED GENERATION OF TASKS ON THE DIFFERENTIAL EQUATIONS

R. M. Aslanov, E. V. Belyaeva, S. A. Mukhanov

The article considers the issues of designing students' independent work when studying the course of 'Differential Equations". The main paradigm of modern education has become its humanization, individualization and differentiation. Distance Learning System is one of the tools to use these principles without fundamental changes in the current education system. Moodle is the example of this system. It has advanced capabilities for organization of independent work of students. The challenge is to create an individual set of tasks for each student. Authors have developed a generator of homework tasks for independent work. The form of differential equation generation is made taking into account the selected canonical form of differential equations. Recursive functions were used for the generation of equations from its canonical forms. The nesting level of these functions is proposed to adjust by the parameter. The value of this parameter determines the complexity of the equation. In each recursive function the choice of these or those mathematical functions is carried out by means of random figures generator.

Keywords: independent work, higher education, educational technologies, distance learning technology, Moodle.

В современных стандартах высшего образования значительный объем часов отводится на самостоятельную работу студентов (СРС). Термин «самостоятельная работа студентов» рассматривается как самостоятельный поиск необходимой информации (С. И. Архангельский); деятельность, направ-

ленная на творческое восприятие и осмысление учебного материла (А. Г. Молибог); разнообразные виды индивидуальной, групповой познавательной деятельности студентов без непосредственного руководства, но под наблюдением преподавателя (Р. А. Низамов); форма самообразования (С. И. Зиновьев). Та-

ким образом, самостоятельная работа - это прежде всего автономная деятельность студентов, характеризующая их самостоятельность и познавательный интерес.

Одной из ключевых парадигм современного образования стала его гуманизация, активное использование принципов индивидуализации и дифференциации. По нашему мнению, одним из инструментов, позволяющих задействовать указанные принципы обучения без кардинальных изменений сложившейся системы образования, является использование в учебном процессе систем дистанционного обучения, в том числе и при обычном очном обучении. Мы согласны с Е. С. Полат и В. А. Смирновым в том, что системы дистанционного обучения позволяют «организовать личностно-ори-ентированное обучение на основе сочетания традиционных педагогических и информационных технологий, что связывается с созданием единого интерактивного образовательного и информационного пространства» [1].

В так называемой смешанной форме обучения, при очном обучении студентов используются элементы электронной (дистанционной) формы. В Федеральном законе «Об образовании в Российской Федерации», предусматривается возможность реализации и освоения образовательных программ с помощью сетевых форм (ст. 15), и дистанционных образовательных технологий (ст. 16) [2].

Дистанционное обучение - совокупность технологий, обеспечивающих доставку учащимся основного объема изучаемого материала посредством информационных технологий. При этом, принципиальной особенностью организации образовательного процесса с использованием дистанционных технологий является сокращение аудиторной нагрузки и замена пассивного слушания лекций увеличением доли самостоятельной работы студентов. Центр тяжести в обучении перемещается с преподавания на учение как самостоятельную деятельность.

Сегодня в образовательных учреждениях дистанционное обучение осуществляется с использованием различных программ (систем) управления обучением. Наиболее распространенной такой системой на сегодняшний день является система ЬМБ МооЬ!е - система управ-

ления курсами, известная как система управления обучением или виртуальная обучающая среда. Она представляет собой свободно распространяемое веб-приложение, предоставляющее возможность создавать сайты для онлайн-обучения. На сегодняшний день данная система активно используется при проектировании различных демонстрационных, обучающих и контролирующих курсов в образовательных учреждениях различных направлений подготовки не только как дистанционные курсы, но и в виде дистанционной поддержки очных курсов обучения [3]. Тем не менее при подготовке курсов по математике и информатике плюсом является то, что LMS Moodle имеет встроенный модуль поддержки языка TeX, что предоставляет значительный интерес при необходимости использования математических формул.

Данная система имеет развитые возможности по организации самостоятельной работы студентов и контролю за ее выполнением. С этой целью могут использоваться различные ее инструменты. Наиболее интересным, на наш взгляд, является элемент курса «Задание», позволяющий выдать задание студентам, а затем загрузить выполненное задание на проверку преподавателем в систему. Задание предполагает творческий ответ от студента. Студент может опубликовать ответ сразу же на сайте или загрузить как файл или нескольких файлов. Могут быть некоторые ограничения на задания: по сроку выполнения (отправить к определенной дате), по количеству возможной пересдачи (закачек), блокировка отправки ответа по истечении срока выполнения задания.

При этом проблемой является подготовка индивидуального набора заданий каждому студенту. С целью решения данной проблемы нами была разработана программа, которая генерирует страницы заданий в формате HTML для самостоятельной работы студентов.

Следует отметить, что при разработке программ средствами информационных технологий могут использоваться два подхода проектирования и создания диалогового взаимодействия между компьютером и обучаемым. В первом - используется строго спроектированный диалог. Все сообщения заносятся в программу при ее разработке, и в дальнейшем без помощи программиста изменить их уже нельзя. Такой

подход слегка упрощает разработку программы. Однако она не обладает гибкостью, ограничена в адаптации и, следовательно, данный подход нецелесообразен. Другой подход заключается в проектировании общей структуры диалоговых окон. Далее создается файл, содержащий вопросы, сообщения и пр., которые программа использует по мере необходимости. Заполнение и редактирование информации может выполняться стандартными компьютерными программами или, для облегчения работы преподавателя, специально разработанными для этих целей программами. Таким образом, программа становится динамичной, легко адаптируемой и масштабируемой. Появляется возможность разнообразить диапазон вопросов и ответов.

В предлагаемой программе генерации заданий выбран второй подход. При помощи данного генератора легко создать необходимое количество вариантов заданий. Созданные в результате работы программы страницы могут быть размещены как в системе дистанционного обучения Moodle, так и на любом сайте сети Интернет.

Для создания страницы с заданиями необходимо подключить локальную библиотеку MathJax. Эта библиотека работает во всех браузерах, включая старые версии IE, а также на iPhone, iPad и Android, поддерживает нотацию MathML, TEX и AsciiMath.

Для использования MathJax необходимо скачать библиотеку и все требуемые для ее работы файлы и скопировать их к себе на сервер, но можно поступить проще и загружать скрипт по сети, что, конечно, потребует подключения к сети Интернет. Нами был выбран второй вариант, так как в настоящее время обеспечение постоянного подключения к сети не проблема.

Для подключения библиотеки MathJax наш генератор добавляет в заголовок HEAD страницы следующий скрипт:

<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/ latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTM-LorMML"></script>

После этого приступаем собственно к генерации страниц с заданиями. После запуска генератора преподавателю необходимо последовательно создавать задания, выбирая тип уравнения, определяя его сложность и записывая текст задания (рисунок).

Рис. Внешний вид генератора заданий

Для обеспечения работы генератора нами были выделены основные канонические формы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнение генерировалось при помощи рекурсивных функций с регулируемым параметром вложенности с использованием данных канонических форм. Первоначально нами были разработаны основные начальные генераторы, позволяющие сформировать основные конструктивные элементы путем вызова рекурсивных функций (табл. 1).

Далее приведены примеры двух таких функций, написанных на языке Pascal. Первая функция генерирует случайным образом одну из следующих функций: синус, косинус, квадратный корень, арксинус, арккосинус, натуральный логарифм или степенную функцию. Вторая функция генерирует либо произведение, либо частное функций, являющихся входными параметрами с использованием языка ТеХ:

function f(x:string;k:integer):string;

var p:integer;c1,c2,s:string;

begin

Str(random(5)+2,c1);

Str(random(5)+2,c2);

if k=0 then x:=' \left( '+c1+' \cdot '+x+' + '+c2+' \right)' else

begin

p:=random(7);

k:=k-1;

if length(x)<>1 then x:=' \left( '+x+' \right) ';

Таблица 1

Основные начальные генераторы

Начальный генератор Действие

Op1(x,y) x+y или x-y

Op2(x,y) x*y или x/y

Con Генерация целого числа

Pari, Par2 Генерация параметра — отличие от предыдущей функции в том, что параметр остается неизменным для данного уравнения независимо от количества его вызовов

St(x,y) Генератор одночлена заданной степени (степень задается в настройках и не меняется в процессе работы): Con*xA(Pari-n)*yAn n — случайное число, меньшее Pari.

F(x) При значении параметра вложенности 0: con*x+con При значении параметра вложенности 1: Sin(x), cos(x), sqrt(x), arcsin(x), arcos(x), ln(x), xAcon

FP

case p of

0: x:=' \sin{ '+f(x,k)+' } '; 1: x:=' \cos{ '+f(x,k)+' } '; 2: x:=' \sqrt{ '+f(x,k)+' } '; 3: x:=' \arcsin{ '+f(x,k)+' } '; 4: x:=' \arccos{ '+f(x,k)+' } '; 5: x:=' \ln{ '+f(x,k)+' } '; 6: x:=' \left( '+f(x,k)+' \right) л '+cl; end; end; f:=x; end;

function Op1(x,y:string; k:integer):string;

var p:integer;s:string;

begin

p:=random(2); k:=k-1; case p of 0: s:=' \frac { '+x+' } { '+y+'} '; 1: s:=x+' \cdot '+y; end; Op1:=s; end;

В каждую функцию-генератор в качестве одного из входных параметров входит параметр k (из-за его наличия в каждой функции он не указывался в табл. 1), который определяет уровень вложенности. При вызове каждой ре-

курсивной функции значение параметра уменьшалось на единицу.

Формирование дифференциальных уравнений должно было производиться в текстовом виде с соблюдением правил разметки формул, используемых в языке TeX путем вызова соответствующего генератора (табл. 2).

Пример функции, формирующей собственно дифференциальное уравнение, приведен ниже (в качестве примера приведено уравнение с разделяющимися переменными):

function u1:string;

begin

u1:='\( '+'y''= '+ Op1(f('x',k),f('y',k))+ ' \)');

end;

Рассмотрим подробнее данные примеры. В переменную u1 записывается строка, начинающаяся» символами «\(» и заканчивающаяся «\)» - это служебные символы, означающие начало и конец математического выражения, которое будет обрабатываться библиотекой MathJax. Затем, к символу начала математического выражения приписываются символы «y'=». Удвоение апострафа необходимо, чтобы Pascal записал его в переменную u1 именно как апостроф (из-за того, что в синтаксисе данного языка программирования апострофами отделяются строковые выражения). В заключение

Таблица 2

Соответствие канонических форм дифференциальных уравнений используемым генераторам

Тип уравнения Каноническая форма Генератор

Диф >ференциальные уравнения первого порядка

С разделяющимися переменными y' = f

Линейное / = - p

Бернулли y = -p

Однородное y' = f

Дис )ференциальные уравнения второго порядка

Простейшее y" = f

Не содержит явно у y ' = f

Не содержит явно х y" = f

Линейное однородное с постоянными коэффициентами Второго порядка: y" + a1  y'+ a2  y = 0 или для порядка n: y

Линейное однородное с переменными коэффициентами y" + p(x)  y'+q(x)  y = 0 Op1(Op1(y'',F(x)*y'),F(x)*y)=0

Уравнение Эйлера второго порядка Op1(Op1((Par1*x+Par2)A2*y", con* (Par1*x+Par2)*y'),con*y)=0

Линейное неоднородное с постоянными коэффициентами y'+p  y '+q  y = f

Линейное неоднородное с переменными коэффициентами y"+p

записывается результат действия строковой функции Op1, аргументами которой, в свою очередь также выступают функции f с аргументами x и y и уровнем сложности к, означающим вызов рекурсивных функций к раз.

В результате получалась текстовая переменная, после записи которой в файл заданий в формате HTML, получалась строка, записанная в формате ТеХ, которая при обработке библиотекой MathJax давала визуальное представление дифференциального уравнения.

Таким образом, генератор позволяет легко подготовить необходимое количество вариантов самостоятельной работы студентов. Тем не менее при его работе необходимо учитывать некоторые особенности, например то, что при увеличении параметра к, о котором мы говорили

ранее, - уровня вложенности рекурсивных функций - могут получаться уравнения, решить которые будет весьма затруднительно или даже невозможно в общем виде. Для преодоления указанной проблемы мы знакомили студентов с решением дифференциальных уравнений с помощью систем компьютерной математики, в том числе и приближенными методами решения, для чего нами были разработаны соответствующие учебные пособия [4]. Авторы исходили из того, что не у всех студентов, изучающих курс дифференциальных уравнений, есть знания и опыт программирования, поэтому ими использовались графические решатели, не требующие таких знаний, в частности такие программы, как ЭАеИ, Рр!апе, ОЬеБо^е. Данные программы написаны на входном языке системы МаНаЬ. Эти

программы бесплатны для использования в образовательных целях. Есть несколько версий РАеИ и Рр!апе, предназначенных для различных версий МЛИЛВ.

Основу образовательного процесса при использовании дистанционных технологий обучения или в смешанной форме обучения составляет целенаправленная и контролируемая интенсивная самостоятельная работа студента, который может учиться в удобном для себя месте, по индивидуальному расписанию, имея при себе комплект специальных средств обучения. Представленная организация самостоятельной работы студента не только позволяет оптимально построить учебный процесс, использовать потенциал и время преподавателя более эффективно, но и создает комфортные психологические условия при обучении.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полат, Е. С. Дистанционное обучение [Текст] / Е. С. Полат, М. В. Моисеева, А. Е. Петров; под ред. Е. С. Полат. - Изд. 3-е., пе-рераб. и доп. - М.: Владос, 2005. - 192 с.

2. Федеральный закон «Об образовании в Российской Федерации» (Собрание законодательства Российской Федерации) [Текст]: от 31.12.2012, № 53 (ч. 1), ст. 7598.

3. Беляева, Е. В. Дистанционная поддержка лабораторного практикума по информатике в институте гражданской авиации [Текст] /

Е. В. Беляева // Вестн. московского гор. пед. ун-та. Сер.: Информатика и информатизация образования. - 2015. - № 2.

4. Асланов, Р. М. Задачник по дифференциальным уравнениям (с использованием систем компьютерной математики) [Текст]: учеб. пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 050100 «Педагогическое образование» / Р. М. Асланов, А. С. Безручко, В. Л. Матросов. - М.: Прометей, 2013. - 242 с.

REFERENCES

1. Polat E. S., Moiseeva M. V., Petrov A. E. Distantsi-onnoe obuchenie. Moscow: Vlados, 2005. 192 p.

2. Federalnyy zakon "Ob obrazovanii v Rossiys-koy Federatsii" (Sobranie zakonodatelstva Ros-siyskoy Federatsii): ot 31.12.2012, No. 53 (Part 1), Art. 7598.

3. Belyaeva E. V. Distantsionnaya podderzhka laboratornogo praktikuma po informatike v institute grazhdanskoy aviatsii. Vestn. moskovsk-ogo gor. ped. un-ta. Ser.: Informatika i informa-tizatsiya obrazovaniya. 2015, No. 2.

4. Aslanov R. M., Bezruchko A. S., Matrosov V. L. Zadachnik po differentsial'nym uravneniyam (s ispol'zovaniem sistem komp'yuternoy matema-tiki): ucheb. posobie dlya studentov vysshikh uchebnykh zavedeniy, obuchayushchikhsya po napravleniyu 050100 "Pedagogicheskoe obra-zovanie". Moscow: Prometey, 2013. 242 p.

Асланов Рамиз Муталлим оглы, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа Московского педагогического государственного университета e-mail: r_aslanov@list.ru

Aslanov Ramiz M., ScD in Education, Professor, Mathematical Analysis Department, Moscow State Pedagogical University

e-mail: r_aslanov@list.ru

Беляева Елена Вадимовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики Ульяновского высшего авиационного училища гражданской авиации (институт) e-mail: r_aslanov@list.ru

Belyaeva Elena V., PhD in Education, Associate Professor, Informatics Department, Ulyanovsk Higher Civil Aviation School (Institute) e-mail: r_aslanov@list.ru

Муханов Сергей Александрович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного машиностроительного университета (МАМИ) e-mail: s_a_mukhanov@mail.ru

Mukhanov Sergey A., PhD in Education, Associate Professor, Mathematics Department, Moscow State Engineering University (MS EU) e-mail: s_a_mukhanov@mail.ru