Синхронизация дробного осциллятора Ван-дер-Поля

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. № 3/1

ФИЗИКА

УДК 621.373.12

СИНХРОНИЗАЦИЯ ДРОБНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

© 2012 В.В. Зайцев, А.В. Карлов, И.В. Стулов1

Предложена модель автоколебательной системы с дифференциальным уравнением движения дробного порядка, находящейся под действием внешнего гармонического сигнала. Решения уравнения движения, соответствующие режиму установившихся синхронизированных колебаний и режиму биений вблизи полосы синхронизации, получены в квазигармоническом приближении. Проанализированы амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики синхронизации дробного осциллятора Ван-дер-Поля. Установлена аналогия между генератором с дробной цепью обратной связи и генератором с запаздывающей обратной связью.

Ключевые слова: дробная динамика, автоколебательные системы, гармоническая линеаризация, фазовая синхронизация.

В настоящее время формируется новый раздел теории динамических систем — дробная динамика [1] (в англоязычной литературе — фрактальная динамика [2]). Он охватывает исследования систем с интегродифференциальными уравнениями движения дробного порядка. Учитывая роль осцилляторов в классической динамике, есть все основания рассматривать фрактальный осциллятор как базовую модель дробной динамики. В научной периодике можно найти ряд публикаций, посвященных различным вопросам динамики фрактальных осцилляторов. В частности, в монографии [3] приведены аналитические решения задачи Коши для линейных консервативных осцилляторов. Импульсная характеристика осциллятора с дробным затуханием получена в статье [4]. В работе [5] описан алгоритм численного анализа механического осциллятора с демпфирующей силой, пропорциональной дробной производной от смещения. Ряд ссылок на оригинальные работы по динамике линейных фрактальных осцилляторов содержится также в библиографическом списке монографии [1]. Вместе с тем нелинейные колебательные системы с дифференциальными уравнениями дробного порядка пока исследованы в значительно меньшей степени. В статье [6] предложена модель автогенератора томсоновского типа с дробной цепью обратной связи (цепью ОС) и проанализированы его колебания в автономном режиме. Данная статья посвящена исследованию режима синхронизации дробного осциллятора Ван-дер-Поля на основном тоне внешнего гармонического сигнала.

1Зайцев Валерий Васильевич (zaitsev@samsu.ru), Карлов Артем Владимирович (ar.karlov@gmail.com), Стулов Игорь Валерьевич (ig.stulov@yandex.ru), кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Рис. 1. Эквивалентная схема синхронизированного автогенератора

Модель дробного автогенератора в [6] основана на предположении о том, что ток активного трехполюсника За (£), протекающий по первичной обмотке трансформатора ОС (см. рис. 1), возбуждает в его контурной обмотке ЭДС

Ес(г)= ¡йь!1-а 1М*)],

где левосторонний интеграл Лиувилля порядка 1 — а при 0 < а < 1 определяется как

1

ь

1-с

[т]

_ [ а

Г(1 — а) ] (I — т)а

йт;

где Г(х) — гамма-функция аргумента х. Размерный коэффициент ¡л в дробном дифференциальном преобразовании (1) замещает коэффициент взаимоиндукции М в стандартной модели трансформатора.

С учетом уравнения ОС (1) нетрудно записать полное уравнение движения автогенератора при введении синхронизирующего сигнала Ее^) в колебательный контур так, как показано на рис. 1. Относительно переменного напряжения и(Ь) на емкости контура оно имеет вид

—о йи

й

12 + ^ + ш0и = -0-«^Ы^ %(и)] + е8V,

где шо и Q — собственная частота и добротность колебательного контура с характеристическим сопротивлением Zо. Нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) активного элемента в (2) аппроксимируется кубическим полиномом с коэффициентами Бо (малосигнальная крутизна ВАХ) и в (коэффициент нелиней-

1а(и) = Бо^а (и) = Бо (1 — ви2) '

Кроме того, при записи уравнения (2) использован безразмерный параметр глубины положительной обратной связи

= ¡БоZо

д т 1 — а '

Ьшо

Анализ колебаний в осцилляторе (2) проведем в приближении метода эквивалентной (гармонической) линеаризации. Метод широко используется при решении

прикладных задач теории нелинейных колебаний [7]. Условия его применимости — высокая добротность резонансной системы и слабая нелинейность активного элемента. Будем считать эти условия для исследуемого осциллятора выполненными.

В соответствии со стандартной процедурой эквивалентной линеаризации в токе (3) при гармоническом сигнале п(Ь) = А со8((^о£) учитывается лишь первая гармоника колебаний тока За (м(£)):

ЛИ « ад (А) Асоз(^) = SоSl(A)u(t), где средняя крутизна ВАХ по первой гармонике дается выражением

3

51

Тогда с учетом того, что

LIl-a [cos (uot)| = -1— sin (uot + аП) u V 2 /

(см. таблицы интегралов Лиувилля в [8]), нелинейное слагаемое в правой части (2) принимает форму линейного отклика

«t°4L1 - M«)l = -suoЫЛ» + о^ЩI

с зависящими от амплитуды эквивалентными параметрами

= ^

Параметры имеют простую физическую интерпретацию: 0еж(Л) модуль внешней добротности контура, Д. (Л) — поправка на частоту свободных автоколебаний.

Таким образом, в приближении эквивалентной линеаризации уравнение (2) заменяется уравнением

^ + .0

При внешнем гармоническом воздействии с амплитудой E и частотой и:

Es

решение уравнения (6) представим в виде

u(t) = A(t) cos (ut + p(t).

Амплитуда Л и фаза р принимают постоянные значения для режима синхронизированных колебаний с частотой внешнего воздействия и являются медленными функциями времени для режима биений вблизи границ области синхронизации. Предполагается, что указанные режимы наблюдаются в осцилляторе с дробной ОС, подобно тому как это имеет место в классическом осцилляторе Ван-дер-Поля.

В режиме синхронизированных колебаний дифференциальное уравнение движения (6) сводится к системе двух алгебраических уравнений для амплитуды и фазы колебаний:

1 1 'Л = -E sin р, 2

Q QeXW

Рис. 2. АЧХ синхронизированного генератора

в записи которых использованы относительные величины £ = (w — wo)/wo и

= ^ = — 1 gS\(A) cos («2) • wo 2 V 2 /

После исключения фазы система уравнений (7) дает амплитудное уравнение вида

(Q— oxmí A+ 4(w4)—£)2 A2=E2

или с учетом (5) вида

Для средней крутизны (4) это уравнение является кубическим относительно квадрата амплитуды, поэтому в зависимости от расстройки £ оно имеет либо один, либо три вещественных корня.

На рис. 2 приведены графики амплитудно-частотных характеристик синхронизированных колебаний, построенные по результатам решения уравнения (8) для системы с параметрами а = 0, 5, Q = 30 и g = 0,12. Амплитуды сигналов нормированы на величину A* = 1/ув При амплитуде внешнего сигнала E = 0,013 график АЧХ распадается на две ветви: ветвь 1 в форме замкнутой кривой и ветвь 2 резонансной формы. При увеличении амплитуды синхронизации две ветви сливаются в одну — резонансную. На рис. 2 характеристика такого вида построена для E = 0,075. Результаты исследований (см. ниже) показывают, что устойчивыми являются части АЧХ, расположенные вне области, ограниченной замкнутой кривой II, и выше прямой линии I. Фазочастотные характеристики, соответствующие АЧХ рис. 2, приведены на рис. 3. Неустойчивые части ФЧХ показаны пунктирными линиями.

Общий вывод о форме частотных характеристик синхронизированного осциллятора Ван-дер-Поля с дробной ОС — наличие асимметрии относительно частоты свободных автоколебаний. Степень асимметрии увеличивается с уменьшением

Ф 2

----

\

Л \

1 N

/ í

Рис. 3. ФЧХ синхронизированного генератора

дробного показателя а. В этом осциллятор с дробной ОС аналогичен генератору с запаздыванием т в цепи обратной связи [9], удовлетворяющему соотношению (1 — а)п/2 = uqt .

В процессе установления синхронных колебаний и режиме биений амплитуда A и фаза v полагаются медленными функциями времени, и для них записывается система укороченных уравнений

dA = — A (Q — 9Si(A) sin (а2)) — E sin v, 7J0t = —e — 2 gSi(A) cos (а 2) — 2A cos v.

Уравнения (9) позволяют также исследовать устойчивость стационарных режимов синхронизированных колебаний с амплитудами и фазами, определяемыми решениями уравнений (7). Для этого следует положить

A(t) = Ao + a(t), v(t) = vo + j>(t),

где нулевыми индексами обозначены стационарные величины, и линеаризовать уравнения (9) относительно малых вариаций a(t) и ф(Ь). Результатом линеаризации является система

1 da 1 dф

--77= Pii a + Р12Ф,--— = P2ia + Р22Ф

dt dt

с зависящими от амплитуды Ao коэффициентами

PiiAo) = - 2k + f A (Si(Ao)Ao) sin (a 2 ) , Pi2(e, Ao) = £Ao + 2 Si(Ao)Ao cos (a2), P2i(£,Ao) = - £ + f A (Si(Ao)) - 2A0 Si (Ao)cos (a f) , Pff(Ao) = -2q + f Si(Ao) sin (a2) .

Необходимым и достаточным условием релаксации вариаций a(t) и ф(Ь) к нулевым значениям (условием устойчивости Ao и ^>o) является выполнение неравенств

Dj(Ao) = Pii(Ao) + P22(Ao) < 0,

DII (e,Ao)= Pi2(e,Ao)P2i(e,Ao) - pii(Ao)p22(Ao) < 0 .

Равенства в (12) соответствуют границам области устойчивости. Они показаны на рис. 2 пунктирными линиями I и II. Граница Di(Ao) = O представляет собой прямую линию, параллельную оси частот, а граница Dii(£, Ao) =O — замкнутую кривую второго порядка. При уменьшении дробного показателя а кривая размыкается, и граница принимает вид наклоненной вправо линии параболического типа.

Литература

[1] Тарасов В.Е. Mодели теоретической физики с интегродифференцированием дробного порядка. M.; Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. 568 с.

[2] Zaslavsky G.M. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. Oxford: Oxford University Press, 2005.

[3] Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. M.: ФИЗMAТЛИТ, 2003. 2Т2 с.

[4] Schafer I., Kempfle S. Impulse Responses of Fractional Damped Systems // Nonlinear Dynamics. 2004. V. 38. P. 61-68. URL: http://www.springerlink.com/content/ q18044030l74042l/fulltext.pdf.

[5] Yuan L., Agrawal O.P. A Numerical Scheme for Dynamic Systems Containing Fractional Derivatives // Proc. of ASME Design Engineering Technical Conferences. Atlanta, 1998. URL: http://me.engr.siu.edu/MEEP_old/faculty/agrawal/mech585T.pdf.

[6] Зайцев B.B., Карлов A.B., Яровой Г.П. Динамика автоколебаний дробного томсоновского осциллятора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2012. Т. 15. № 1.

[Т] Боголюбов Н.Н., Mитропольский ЮА. Aсимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 4-е изд. M.: Наука, 19Т4. 504 с.

[8] Самко С.Г., Килбас A.A., Mаричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Mинск: Наука и техника, 198Т. 688 с.

[9] Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. M.: Наука, 1969. 288 с.

Поступила в редакцию 14/II/2012; в окончательном варианте — 14/II/2012.

SYNCHRONIZATION OF FRACTIONAL VAN-DER-POL

OSCILLATOR

© 2012 V.V. Zaitsev, A.V. Karlov, I.V. Stulov2

A model of self-oscillating system with a differential equation of motion of fractional order under the action of external harmonic signal is proposed. Solutions of equation of motion which correspond to the regime of steady-state synchronized oscillations and the regime of beats near the synchronization band are obtained in the quasiharmonic approximation. The amplitude frequency and phase-frequency characteristics of synchronization of fractional Van-der-Pol oscillator are analyzed. An analogy between the generator with a fractional feedback circuit and the generator with delayed feedback is established.

Key words: fractional dynamics, self-oscillations systems, harmonic linearization, phase synchronization.

Paper received 14////2012. Paper accepted 14////2012.

2Zaitsev Valeriy Vasilievich (zaitsevSsamsu.ru), Karlov Artem Vladimirovich

(ar.karlovagmail.com), Stulov Igor Valerievich (ig.stulov@yandex.ru), the Dept. of Radio-

physics and Computer Modelling of Radiotechnical Systems, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.