Математическое моделирование настационарной подъемной силы крыла большого удлинения в условиях срыва потока

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIX : 19 98

№3-4

УДК 533.6.013.2.011.3:629.7.025.1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАСТАЦИОНАРНОЙ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ СРЫВА

ПОТОКА

К. А. Колинъко, А. Н. Храброе

Получены явные соотношения для оценки влияния координаты точки отрыва потока на аэродинамические характеристики тонкого профиля. На основании этих выражений предложена математическая модель, определяющая изменение продольных аэродинамических характеристик крыла большого удлинения в нестационарных условиях. Дополнительное обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее динамику точки отрыва на профиле, содержит две характерные постоянные времени, которые находятся методами идентификации. Проведено сравнение результатов расчетов по математической модели с экспериментальными исследованиями при вынужденных колебаниях крыла с малыми и большими амплитудами при различных частотах.

1. Традиционное описание аэродинамических нагрузок, действующих на самолет во время маневра, с использованием нестационарных и вращательных аэродинамических производных неприменимо в тех случаях, когда развивается отрывное обтекание крыла или других частей летательного аппарата. В основе линейной математической модели с использованием аэродинамических производных лежат предположения, что аэродинамические нагрузки полностью определяются значениями кинематических параметров движения самолета в данный момент времени, так что значения аэродинамических коэффициентов могут быть получены разложением в ряд Тейлора. При разложении в ряд используется также предположение о том, что применяемые производные существуют и единственны. В услових же развития отрыва потока, как показывают различные экспериментальные исследования [1], нестационарные аэродинамические производные существенно зависят от частоты и амплитуды колебаний модели, а при колебаниях с большой амплитудой на отрывных режимах обтекания аэродинамические нагрузки зависят от всей предыстории движения модели.

Для учета динамических эффектов развития отрыва потока в ряде работ используется подход к математическому моделированию аэродинамических нагрузок в задачах динамики полета с введением дополнительных дифференциальных уравнений. Для самолета с крылом большого удлинения такая модель рассмотрена, например, в работе [2]. Кроме этого, в работе [3] было предложено вводить в математическую модель дополнительные внутренние переменные, описывающие структуру отрывного обтекания. Именно для этих переменных предлагалось вводить обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие динамические свойства развития отрывного обтекания. В работах [4], [5] в рамках аналогичного подхода были рассмотрены задачи моделирования нестационарных аэродинамических характеристик на основе данных, полученных при динамических экспериментах в аэродинамических трубах. Была также подробно рассмотрена задача описания продольных аэродинамических нагрузок треугольного крыла малого удлинения [6]. Для треугольного крыла в качестве дополнительной внутренней переменной выбиралась координата точки разрушения вихрей над верхней поверхностью крыла.

В данной статье в рамках аналогичного подхода рассматривается задача математического моделирования продольных аэродинамических характеристик прямоугольного крыла большого удлинения при нестационарном движении в условиях отрыва потока. Экспериментальное исследование аэродинамических характеристик этого крыла на больших углах атаки было проведено ранее [1]. В настоящей работе с использованием теории тонкого профиля и моделированием отрывной зоны в рамках схемы Кирхгофа [7] выводятся формулы для нагрузок с явным участием координаты точки отрыва на профиле. Затем эти формулы, наряду с соответствующим дифференциальным уравнением, используются для математического моделирования нагрузок на крыле большого удлинения. Методом идентификации находятся характерные постоянные времени развития отрыва потока. Проводится сравнение результатов моделирования с данными экспериментальных исследований при вынужденных колебаниях модели крыла с малыми и большими амплитудами при различных частотах.

' 2. Для количественной

оценки влияния отрыва потока на профиле на его аэродинамические характеристики рассмотрим задачу отрывного обтекания тонкого профиля под углом атаки (рис. 1).

С верхней и нижней поверхностей профиля происходит отрыв потока в точках А и В соответственно.

Отрывная зона моделирутся зоной постоянного давления в схеме Кирхгофа со свободными линия- рис ь Схема н;го обтекания профиля ми тока АС и ВС. Течение потенциально везде за исключением

отрывной зоны. На профиле необходимо выполнить условие непротека-ния потока, а на свободных линиях тока — условие постоянства скоро-

У ' 1 А .—"- С

«V * 0 в с л г-х + ъу

у- С

0\ Ху С X

’’И С=Ч+8Т]

с в А С

К 0 г

сти. Задача достаточно сложна, ввиду того что свободные линии тока заранее неизвестны. Для тонкого профиля можно приближенно выполнять граничные условия непротекания на отрезках (0, *і) и (О, л^), где *і и Х2 — координаты отрыва потока на профиле на нижней и верхней поверхностях. Приближенно для тонкого профиля и не очень больших углов атаки можно считать, что зона Кирхгофа достаточно узка и условия постоянства скорости можно снести на ось (средний график на рис. 1).

Как показано в работе [7], после конформного преобразования <; = >/? для безразмерного возмущенного давления в преобразованной плоскости можно записать:

= 2 лМ - - 5) 4f2 F

к £, "

№

tdt

где и ^2 = л]*2  Функция F(t) зависит от угла атаки и формы

профиля. Для пластинки, установленной под углом атаки а и вращающейся с угловой скоростью Q относительно центра вращения, расположенного в точке л<), данная функция имеет следующий вид:

F{t) = -а + Qu

('t2 - x<j) •

Отметим, что в точке % = 0 распределение давления (1) имеет особенность, характерную для носовой точки в теории тонкого профиля. Эта особенность интегрируема, поэтому выражение (1) может быть использовано для вычисления аэродинамических нагрузок, действующих на профиль. ! " - ’

Поскольку давление в отрывной зоне равно в схеме Кирхгофа давлению на бесконечности для аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, можно записать следующие выражения:

т,

1 2 ; : .

СУ = J Р (x)dx -J p+(x)dx, о о

*1 х2- .

- -J р.(х)(х - xQ)dx + | р+(х)(х - xQ)dx.

В этой формуле индексом «+» отмечено распределение давления на верхней поверхности, а индексом «-» — на нижней поверхности профиля.

В преобразованной плоскости эти выражения принимают вид

cy = 2jPmd^

mz =сух0 -2 j р(£,)£? d$. Si

? После проведения достаточно громоздких преобразований с учетом (1) и (2) были получены следующие формулы для коэффициентов подъемной силы и момента тангажа:

с, = ^(Ч. + \г)2 + Н1 + ^)205^ + 18^1^2 + 15^ - 1бдс0),

тг ~ + + 6^1^2 + 5^2 - 16х0) +

+ 120 + ^2)2(~^4хо + 80х0^ - 25^ + 96дсо^1^г -

- 44^2 + 80х0^22 - 54&22 " Щ&1 - 25^). .

При этом использовались следующие соотношения:

2т + 1 , „ ч г т - 1 с•  ,

\Ь1 Ь2/^т-1 __ т Ь1ъ2-*т-2>

§2

I-

2(т +1) 2т -1

т-2

2т

(^1 + ^2)^от-1 ~ ^1 ^>2^т-2 >

/И

52

= 1Т7Г

Ъ-х)№-Ы&2-&

— хКт_ 1 + /,

взятые из [8]. Для использования рекуррентных соотношений необходимо иметь также несколько начальных значений:

/о=|(41-х2)2,

у^-^.+Ы, /2=Ш(41‘Х2)2№ + ^)2_4^2]’

/д = Я,

•Л = у(^1 + £г)> /2=|№+42)2-4^2].

^о=0,

^1 = Я,

К2 = хп + — (^1 + £2)-

Полученные формулы (5) позволяют в явном виде оценить влияние отрыва потока на: аэродинамические характеристики тонкого про-

филя под углом атаки при наличии установившегося вращения. При безотрывном обтекании (*1 = 1, х2 - I, ^=-1, ^2 = О формулы (5) приводят к выражениям

которые хорошо известны из теории тонкого профиля [9].

Наиболее интересным является случай, когда отрыв потока на профиле под углом атаки развивается только на его верхней поверхности, а нижняя поверхность обтекается безотрывно (точкой схода потока является задняя кромка, т. е. *1 = 1, ^ = -1). После введения обозначения для координаты точки отрыва потока на верхней поверхности профиля х5 = х2 из формул (5) получим выражения

которые можно использовать для количественной оценки влияния отрыва потока на аэродинамические характеристики профиля.

В данные формулы, кроме постоянного значения положения центра вращения профиля х^, которое совпадает с условным центром тяжести, входят мгновенные значения угла атаки профиля а, угловой скорости его вращения О и мгновенное значение положения точки отрыва на его верхней поверхности х5. Угол атаки и угловая скорость вращения являются внешними переменными, значения которых определяются в процессе решения задачи движения самолета как твердого тела. Точка отрыва на верхней поверхности профиля в этой математической модели является внутренней переменной, которая зависит от всей предыстории движения. Положение точки отрыва в нестационарных условиях может существенно отличаться от координаты точки отрыва при тех же значениях углов атаки и угловой скорости вращения в стационарных условиях. Для описания этой динамики было предложено [4] использовать дифференциальное уравнение

В которое ВХОДЯТ характерные постоянные Времени Т1 и Т2, определяемые в процессе идентификации математической модели. Эти характер-

су = 2па

т1=~Щ([ + ^ - 1бх0 - 6л/*7 + 5**) -

~ 7^8 + ^>2(25 - 80х0 + 64*0 - 44^7 +

XI + х, = х5о

ные времена имеют следующий физический смысл: ti — время релаксации, необходимое для того, чтобы точка отрыва перешла к новому стационарному положению при мгновенном изменении угла атаки, Т2 — время запаздывания развития отрыва потока при выходе на большие углы атаки с постоянным темпом изменения угла атаки а . Кроме того, в уравнение (10) входит функция х& (а), которая представляет собой зависимость от угла атаки координаты точки отрыва в стационарном случае и также определяется в процессе настройки математической модели. Уравнение (10) записано так, чтобы в квазистационарном случае тх — 0, Т2 = 0 получалось стационарное решение xs = (а).

3. Такой подход можно применить и для описания нестационарных характеристик прямоугольного крыла большого удлинения, выбрав в качестве внутренней переменной некоторую среднюю координату точки отрыва на крыле xs. Зависимость подъемной силы, действующей на крыло, от угла атаки а и средней координаты отрыва xs запишем аналогично предыдущему, заменив величину коэффициента наклона подъемной силы для идеального профиля 2п величиной с“ реального крыла,

а линейно входящий угол атаки выражением sin а. В итоге для подъемной силы крыла будем иметь следующее выражение в зависимости от мгновенного значения угла атаки и средней координаты точки отрыва потока на верхней поверхности крыла:

В этом выражении учет вращения крыла ограничен лишь линейной составляющей , справедливой для малых углов атаки. Влия-

ние отрыва потока на составляющую подъемной силы, обусловленную вращением крыла, в данном приближении не рассматривалось.

В качестве модели движения средней точки отрыва на крыле будем использовать динамическую модель для профиля (10).

Таким образом, имеем замкнутую математическую модель для нестационарных нагрузок крыла большого удлинения при его произвольном движении. В данную математическую модель входят константы с“ ,

Су* , "Гь х2 и неизвестная функция х^(а). Производная с“ определяется

из статических испытаний крыла, производная — из экспериментов

с вынужденными колебаниями крыла с малыми амплитудами на безотрывных режимах обтекания, где эта производная практически не зависит от угла атаки и частоты колебаний. Для определения неизвестной функции х^(а) можно использовать результаты стационарных испытаний. В соответствии с формулой (11) в стационарных условиях (сог = 0) получим

+ с/ сог .

/

xs0(a) =

4су(а) ^

Эта зависимость использовалась в дальнейшем для моделирования нестационарных аэродинамических характеристик. Характерные времена Х| и Т2 определялись методами идентификации, т. е. путем минимизации функционала рассогласования между результатами моделирования и эксперимента при вынужденных колебаниях крыла с малыми и большими амплитудами. Таким образом были определены все константы математической модели с“=3,58, Су1 =1,1, XI = 10,5, Т2=1,2, и последующие результаты расчетов приведены именно для этих значений.

4. С использованием предложенной математической модели были проведены расчеты по определению нестационарной подъемной силы при колебаниях крыла с малой амплитудой. Рассчитанные зависимости были обработаны по соответствующей методике для выделения составляющих сигнала в фазе с углом атаки (составляющая сигнала, пропорциональная производной Су) и в фазе с угловой скоростью

(составляющая сигнала, пропорциональная производной с“*). Сравнение

результатов эксперимента и математического моделирования для вынужденных колебаний с малой амплитудой представлено на рис. 2. Детали проведения эксперимента описаны в работе [1]. Экспериментальные данные для различных безразмерных частот колебаний показаны

светлыми маркерами на верхних графиках рис. 2. Соответствующие результаты математического моделирования показаны темными маркерами на нижних графиках этого рисунка. На левых графиках показаны резуль-

Рис. 2. Данные эксперимента и математического моделирования для нестационарных аэродинамических производных

таты, полученные для производной Су , там же штриховой линией показана соответствующая производная, полученная по стационарной зависимости подъемной силы крыла от угла атаки.

Видно, что вплоть до критических углов атаки результаты математического моделирования качественно и количественно совпадают с соответствующими экспериментальными зависимостями. Моделируется

как значительное возрастание величины (c°yZ + с“ ) при возникновении

отрыва на крыле, так и расслоение производных с“ и |^с“г + с“ j при

изменении частоты колебаний. При закритических углах атаки на режимах развитого отрыва качество моделирования экспериментальных

зависимостей, особенно производной + Су j , несколько ухудшается.

Предложенная модель уже не может адекватно описать нестационарные аэродинамические характеристики крыла. По-видимому, это связано с тем, что данная, по существу двумерная, математическая модель не учитывает трехмерных эффектов, характерных для крыла при нестационарном обтекании на закритических углах атаки.

5. С использованием предложенной математической модели было проведено моделирование результатов экспериментальных исследований при вынужденных колебаниях крыла с большими амплитудами [1]. В процессе этих экспериментов крыло двигалось по закону

а = ад + Аа sin сох ,

где ао — средний угол атаки, Аа — амплитуда колебаний, со — безразмерная частота колебаний, х = Vj/ba — безразмерное время. Варьировались средний угол, амплитуда и частота. Некоторые характерные экспериментальные результаты приведены на верхних графиках рис. 3. Слева показаны процессы изменения аэродинамических характеристик при колебаниях, когда отрыв потока развивается только на части периода колебаний, в центре — результаты для колебаний в случае, когда средний угол атаки примерно соответствует критическому углу атаки крыла, справа — результаты для того же среднего угла атаки, но с большей амплитудой.

На всех графиках штриховыми линиями показаны соответствующие значения подъемной силы крыла, полученные в квазистационарных условиях [1]. Следует отметить, что для данного крыла при исследованном числе Рейнольдса Re = 0,7 х 10 в квазистационарных условиях наблюдается статический гистерезис при развитии отрыва потока, т. е. при увеличении угла атаки отрыв потока начинается на больших углах атаки (верхняя штриховая кривая), чем восстановление безотрывного обтекания при уменьшении угла атаки крыла (нижняя штриховая кривая). Для учета этого эффекта в уравнение (12) подставлялись различные функции Су (а) для прямого хода крыла (увеличение угла атаки) и обратного хода

крыла (уменьшение угла атаки), и были получены две зависимости xs0(a) для прямого и обратного хода, которые использовались при мате-

Эксперимент

ш=0,3 а 0,8

V 0,6

п ОЛ

о 0,1

I I . I I I I I л I , I I } I 1

- - * ш = 7,2

. %о

0,8

• < > 1 ! 1 1 .1 ..1 1

|,1, Н-1-1—1-

Ч0а ос

Рис. 3. Данные эксперимента и математического моделирования при вынужденных колебаниях с большой . амплитудой

матическом моделировании. Данные зависимости показаны на нижних графиках рис. 3 штриховыми линиями.

Результаты моделирования подъемной силы крыла при вынужденных колебаниях показаны на средних графиках рис. 3. На нижних графиках того же рисунка показаны соответствующие динамические зависимости х^0(а), полученные интегрированием дифференциального уравнения (10).

Как видно, предложенная математическая модель позволила достаточно точно описать основные качественные и количественные характеристики нестационарной подъемной силы прямоугольного крыла, в особенности при динамическом увеличении угла атаки. При уменьшении угла атаки, при «0, степень совпадения с экспериментом несколько ухудшается. Это особенно заметно для обратного хода при колебаниях с ад = 24° и Да = 25°. По-видимому, при развитом отрыве на крыле на величину подъемной силы оказывают влияние дополнительные динамические процессы, и одной переменной состояния для более точного описания нестационарных аэродинамических характеристик при глубоком отрывном течении уже недостаточно.

Следует отметить также, что использование выражения для тг из соотношений (9) наряду с динамической моделью (10) для координаты отрыва потока приводит к математической модели, которая описывает динамическое поведение продольного момента не очень точно. Момент тангажа является гораздо более тонкой характеристикой в сравнении с подъемной силой крыла, вопрос о математическом моделировании момента тангажа нуждается в дальнейшем исследовании.

6. На основании проведенных исследований можно сделать вывод о том, что главным фактором, обусловливающим изменение нестационарных аэродинамических характеристик крыла большого удлинения на отрывных режимах обтекания, является запаздывание развития и уменьшения отрывной зоны на верхней поверхности крыла.

Предложенная математическая модель для описания нестационарных аэродинамических характеристик, использующая в качестве дополнительной внутренней переменной среднюю координату отрыва потока на верхней поверхности крыла и соответствующее дифференциальное уравнение, позволила достаточно точно описать основные особенности поведения нестационарных аэродинамических характеристик крыла при его динамическом выходе на большие углы атаки и вынужденных колебаниях в области углов атаки, где происходит развитие срыва потока.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 96-01-00754).

ЛИТЕРАТУРА

1. Жук А. Н., Колинько К. А., Ми ат о в О. Л., Храбр о в А. Н. Экспериментальные исследования нестационарных аэродинамических характеристик изолированных крыльев в условиях срыва потока // Препринт ЦАГИ. - 1997, № 86.

2. Г о м а н М. Г. Математическое описание аэродинамических сил и моментов на неустановившихся режимах обтекания с неединственной структурой // Труды ЦАГИ. — 1983. Вып. 2195.

3. Погодаев А. А., Святодух В. К. Математическое описание нестационарных нелинейных аэродинамических характеристик для задач динамики полета // Труды ЦАГИ. — 1989. Вып. 2449.

4. Гоман М. Г., Столяров Г. И., Тартышников С. Л., Усольцев С. П., Храбров А. Н. Описание продольных аэродинамических характеристик самолета на больших углах атаки с учетом динамических эффектов отрывного обтекания // Препринт ЦАГИ.— 1990, № 9.

5. Goman М., Khrabrov A. State-space representation of aerodynamic characteristics of an aircraft at high angles of attack // Journal of Aircraft.- 1994. V. 31, N 5.

6. Виноградов Ю. А., Жук A. H., Колинько К. А., Храбро в A. H. Учет динамики разрушения вихрей при математическом моделировании нестационарных аэродинамических характеристик треугольного крыла // Ученые записки ЦАГИ.— 1997. Т. XXV1I1, № 1.

7. Храбров А. Н. Неединственность ламинарного отрывного обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа // Ученые записки ЦАГИ.- 1985. Т. XVI, № 5.

8. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды,— М.: Наука.— 1981.

9. Седов J1. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Изд. 3-е. — М.: Наука. — 1980.

Рукопись поступила 15/У/ 1997 г.