О дифференциальных подстановках для эволюционных систем уравнений

УДК 517.957

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПОДСТАНОВКАХ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

С.Я. СТАРЦЕВ

Аннотация. Для наиболее известных дифференциальных подстановок, связывающих между собой скалярные эволюционные уравнения, множества допускающих их уравнений состоят не из конечного числа уравнений, а образуют семейства, параметризованные произвольной функцией. Аналогичным свойством обладают и некоторые подстановки для эволюционных систем. В настоящей работе получены необходимые и достаточные условия того, что дифференциальная подстановка первого порядка допускается семейством эволюционных систем, зависящих от произвольной функции. Также предъявлены явные формулы для нахождения соответствующего семейства эволюционных систем в случае выполнения указанных условий.

В качестве иллюстрации построено семейство систем, допускающих многокомпонентную подстановку Коула-Хопфа. Показано, что любая линейная система с производными не ниже первого порядка в ее правой части принадлежит этому семейству. В результате получено множество С-интегрируемых систем, включающее в себя системы сколь угодно высокого порядка. Другим рассмотренным в статье примером является многокомпонентный аналог подстановки v = их + exp(-u). Показано, что эта многокомпонентная подстановка также допускается семейством эволюционных систем, зависящих от произвольной функции.

Ключевые слова: дифференциальные подстановки, эволюционные системы,

С-интегрируемость.

Mathematics Subject Classification: 37К35, 35G50, 37К35

1. Введение

При изучении дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют дифференциальные подстановки. В частности, они позволяют как связывать между собой уже известные интегрируемые уравнения, так и находить новые. Наиболее известные подстановки вида

V = Р

переводящие решения эволюционного уравнения

ut = f (х,и,щ,... ,ик),

Ui

д ги dxi,

в решения уравнения такого же вида, обладают следующим свойством: для них найдутся ненулевые операторы

т т+1

S = ^2 щ

i=0 i=0

S.Ya. Startsev, On differential substitutions for evolution systems. ©Старцев С.Я. 2017.

Работа поддержана РНФ (грант 15-11-20007).

Поступила Ц сентября 2017 г.

такие что уравнение щ = S(у(х, Р, DX(P),..., DX(P)) переводится подстановкой (1) в уравнение Vt = Н(y(x,v,v1,... vK)) для любой функции у, зависящей от конечного числа аргументов, Здесь Vj := v/dx\ а через Dx обозначен оператор полной производной по

х.

Наиболее известным примером дифференциальной подстановки является преобразование Миуры v = их — и2. Для него

S = Dl + 2uDx + 2их, Н = D3X + 4vDx + 2vx.

Поэтому в дальнейшем для краткости мы будем называть подстановки, обладающие вышеупомянутым свойством, подстановками типа Миуры.

В работе [3] было показано, что уравнение (2) допускает дифференциальную подстановку v = Р(х,и,их) тогда и только тогда, когда (2) является симметрией гиперболического уравнения иху = —иуPu/PUx. Если же (1) является подстановкой типа Миуры, то, согласно [4], соответствующее гиперболическое уравнение интегрируемо по Дарбу, Последний факт позволяет использовать каскадный метод интегрирования Лапласа (см,, например, [5] или вводную часть работы [6]) как для проверки того, является ли (1) подстановкой типа Миуры, так и для построения операторов Mi Я для нее,

В случае систем (то есть когда и, f, v и Р являются n-мерными векторами) дифференциальные подстановки также представляют интерес и рассматривались, например, в [3], [7]—[11]- Однако, как показано в [12], каскадный метод интегрирования Лапласа, вообще говоря, неприменим в случае систем. Поэтому для систем требуется какой-то другой способ проверки того, является ли (1) подстановкой типа Миуры, и построения для нее соответствующих операторов S и Н. Такой способ предложен в настоящей работе и его работоспособность продемонстрирована на примерах,

2. Необходимые и достаточные условия для подстановок типа Миуры

Отсюда и далее мы будем считать (2) системой, а (1) - многокомпонентной подстановкой соответствующей размерности. Другими словами, и и f в (2), а также v и Р в (1) будем считать n-мерными векторами, В связи с этим напомним следующие стандартные обозначения. Через gz = dg/dz, где g - скалярная функция, z - вектор (z1, z2, ..., zn) , мы будем обозначать строку (dg/dz1, dg/dz2, ..., dg/dzn). Если же g является вектор-функцией (д\ д2, ..., дп)\ то через gz обозначается матрица со строками д\, . . . ,д™. В дальнейшем будем предполагать, что матрица PUx невырождена. Стоит заметить, что не все подстановки (1) для систем эволюционных уравнений удовлетворяют этому условию, но в настоящей статье рассматриваются только такие.

Определение 1. Будем говорить, что система (2) допускает дифференциальную подстановку (1) в систему vt = f(x,v,v1,... ,Vk), если PUx = 0 и выполняется соотношение1

Р„ D„U) + P,f = f

Будем называть (1) подстановкой типа Миуры, если найдутся дифференциальные операторы, вида (3), такие что ащ ф являются п-мерными векторами, ат = 0 и для, любой зависящей от конечного числа аргументов скалярной функции у система, ut = S (y(x,P,Dx(P),...)) допускает подстановку (1) в систему vt = Н (rj(x,v,v1,...)). В этом, случае будем называть операторы, S и Н исходным и целевым оператором, подстановки соответственно.

Данное соотношение означает, что v = Р (ж, являете решением системы vt = f для любого

решения системы (2).

Для дальнейших рассуждений удобно разрешить соотношение (1) относительно их, получив в результате выражение их = а(х, и, v). Пользуясь последним равенством, мы можем выразить любую функцию от ж, и и производных и по х в переменных ж, и, v, Vi. Для любой скалярной функции д от этих переменных оператор Dx задается формулой

г\ г\ г\ г\

^ , ч од од од од

D-(g) = кг + л~Д + х-^1 + ^2 —Уг+х

i= 1

dvi

На вектора и матрицы оператор Dx действует покомпонентно. Для более компактной записи формул в дальнейшем мы будем считать нулевую степень оператора Dx (равно как и нулевую степень любого другого оператора) равной тождественному отображению. Символом о будем обозначать композицию операторов.

Теорема 1. Если матрица PUx невырождена, то (1) является подстановкой 'типа Миуры, с исходным оператором, порядка т тогда, и только тогда, когда, найдутся п-мерные векторы j3i(x, v,v1,..., vp), i = 0, m + 1, такие что [дт+1 = 0 и выполнено соотношение

т+1

^

1=0

где Р(х, и, а(х, и, v)) = v.

Если, выполнено (5), то операторы,

т m—i т+1

S = ^

1=0 j=0 1=0

являются, соответственно исходным оператором, (записанным, в переменных х, и, v, Vi) и целевым оператором, подстановки, (1).

Доказательство. Дифференцируя соотношение Р(x,u,a(x,u,v)) = v по v и и, получим PUx = (av) — 1 и Ри = —(av) — 1аи. Поэтому, после исключения производных и по х с помощью выражения их = a(x,u,v) и его дифференциальных следствий, определяющее соотношение (4) принимает вид

(Dx - аи) (/(x,u,a,Dx (a), ...,Dkx 1(а))) = av f(x,v,V1,... ,vk).

В случае подстановки типа Миуры последнее равенство эквивалентно соотношению (Dx - аи) о S = av Н между исходным и целевым операторами (3), Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Dx в правой и левой частях этого соотношения, получим цепочку равенств

(Ат

'j(m+1

а

1

(DX &u)(Q,i) + 1 Ci, 1 — ^

(DX ^n)(^0) C0.

Последовательно выражая через Q, j > i, e помощью первых двух уравнений этой

цепочнщ а затем ПОдСтавляя ПОЛученное таким образом выражение для а0 в третье уравнение, мы приходим к соотношению

т+1

^

1=0

Равенство вида (5) легко получить из (7) многократно воспользовавшись формулой (DX au)(av () (DX a,u)(a,v Д + o,v Dx((),

Обратно, если выполнено (5), то непоередетвенной проверкой убеждаемся в том, что равенство (Dx - аи) о S = av Н выполняется для операторов (6),

Стоит отметить, что условие (5) вместе е его следствиями, получаемыми дифференцированием по и, представляет из себя чисто алгебраическую линейную систему уравнений для нахождения Д (вообще говоря, переопределенную). Поэтому анализировать это условие сравнительно просто. Проиллюстрируем это на примерах.

3. Примеры многокомпонентных подстановок типа Миуры

Для дальнейших рассуждений удобно ввести следующие обозначения. Для любого вектора z = (z1, z2,..., zn)T чсрез (z) обозначим сумму его координат, а через [z] - диагональную матрицу с диагональю из координат вектора z:

П

(z) := ^^ [z] :=diag{z\z2,...,zn}.

г=0

3.1. Подстановка Коула-Хопфа. Многокомпонентная подстановка Коула-Хопфа v = (и)-1их рассматривалась, например, в работах [3, 7], Проверим, является ли она подстановкой типа Миуры,

Для этого выпишем для нее соотношение (5) при т = О, В данном случае а = (u)v, av = (и)Е, аи = ф]0, где Е - единичная матрица, а все элементы матрицы С равны 1, Также легко видеть, что Dx ((и)) = (u)(v). С учетом этого, соотношение (5) в случае подстановки Коула-Хопфа имеет вид

Нетрудно видеть, что для любого вектора /3 Е ker С (что равносильно условию (@) = О) векторы /31 = р и fl0 = (v)fl удовлетворяют этому уравнению. Еще одним решением (8) является fl0 = О /31 = V.

Таким образом, подстановка Коула-Хопфа является подстановкой типа Миуры и имеет п различных исходных и целевых операторов (6), Их можно рассматривать как два оператора с матричными коэффициентами S = (и)В и H = Dx о В + (v)B, где первым столбцом матриц В и В соответственно являются вектор v и нулевой вектор, а остальные столбцы у обоих матриц совпадают и образуют базис ker С. Для определенности в качестве базиса ker С выберем векторы ец у которых первая координата равна —1, г-тая координата равна 1, а остальные компоненты равны нулю. При таком выборе

( V1 ---1 --- 1 .. . ---1

V2 1 О .. . О

в = V3 О 1 .. . О

V Vn О О .. . 1

Для любой n-компонентной вектор-функции fj система

щ = S

переводится подстановкой v = (и)-1их в систему vt = H(rf(x,v,v1,...)),

В работе [7] было показано, что любая система щ = где Л - постоянная матрица,

допускает подстановку v = (и)-1их. Обобщим это наблюдение, продемонстрировав, что любая линейная система (2) с fu = О может быть представлена в виде (9),

Индукцией по г нетрудно проверить, что (и)-1щ = (Dx + (Р))г-1(Р), вде i > О иР = (и)-1их. ^^^^^^^тельно, для г = 1 равенство ^^гаадает с формулой Р = (и)-1их, а из выполнения его для какого-нибудь г вытекает

Ui+1

Dx ^ — Dx ( — \иг

Ш«=(D*+

(Dx + (Р )У(Р).

С учетом этого равенства имеем

Аиг =

для любого г > 0 и любой матрицы А. Если эту матрицу можно выразить в терминах X; Р и полных производных Р по ж, то система щ = Ащ представляется в виде (9) с if = В-1A(DX + (Р))г-1(Р) и, следовательно, переводится подстановкой Коула-Хопфа в систему

vt = H

Непоередетвенной проверкой нетрудно убедиться к том, что

( 1 1 1 ... 1 \

---V2 (v) --- v2 ---v2 . . . ---v2

В-1 = -1 --- V3 ---v3 (v) --- v3 ... ---v3

\ ---vn ---vn ---vn . . . (v) --- vn /

Из (В + В — В)В-1 = Е следует ВВ-1 = Е + (В — В)В-1. Первый столбец матрицы В — В равен —v, а все остальные элементы этой матрицы равны нулю. Поэтому В В-1 = Е — (v)-1[v\C. Подставляя последнее выражение в (10), получим

vt = (Dx + (v)) (A(DX + (v))l-1(v)) — (A(DX + (v))l-1(v))v.

Из этого, в частности, следует, что любая система вида

к

vt = ^ [(Dx + (v)) (Ai(t,x)(Dx + (v)Y-1(v)) — (Ai(t,x)(Dx + (ф)г-1(ф)ж) ,

i= 1

где At - матрицы размера п х п, является С-интегрируемой поскольку получается из линейной системы щ = JOPf=1 Ai(t,x)ui подстановкой Коула-Хопфа, Здесь мы добавили зависимость от t в if, поскольку ничего не мешает нам рассматривать подстановки (1) для систем (2) с явной зависимостью от t в правой части: единственное изменение, которое добавление t вызывает в определении 1, состоит в том, что f в (4) также может зависеть от t] на определяющее еоотношение (PUx Dx — Ри) оS = H для исходного и целевого операторов добавление зависимости от t в if не влияет никак,

3.2. Экспоненциальная подстановка. Одной из скалярных подстановок типа Ми-уры является подстановка v = их + exp(w) (ем,, например, [1, 4]), Попробу-

ем построить ее многокомпонентный аналог. Для этого обозначим через eu вектор (exp(w1), exp(u2),..., exp(wra))T и посмотрим, не является ли ж = их — Heu, где А - постоянная матрица размера п х п, подстановкой типа Миуры,

При т = 0 условие (5) для этой подстановки имеет вид +^[eu](31 = 0, Дифференцируя это равенство по и1, получим что произведение г-той координаты вектора /31 на г-тый столбец матрицы А нулю. Поэтому подстановка v = их — Heu с невырожденной

матрицей А (то сеть в ситуации общего положения) не допускает исходного оператора нулевого порядка,

В случае т =1 равенство (5) записывается как

& + A[eu\^1 = 3-[eu]

Обозначим через Yj вектор, у которого координаты с г-той по j-тую равны единице, а остальные координаты равны нулю. Нетрудно видеть, что /31 = v и = 0 являет-

ся решением (11). Соответствующими этому решению исходным и целевым операторами являются S = §nDx + uxi Н = Yn Щ + vDx + vx. Таким образ ом, v = ux — Heu является подстановкой типа Миуры для любой постоянной матрицы А В случае матрицы А специального вида эта подстановка может допускать дополнительные исходные и целевые

операторы. Помимо указанного в предыдущем абзаце случая матрицы А с одним или более нулевым столбцом, дополнительные исходные и целевые операторы могут иметься и при условии det(A) = 0,

Например, если матрица А является блочно-диагональной с г-тым блоком, расположенным в строках и столбцах с р^-го по ^-тый, то Р1 = [г\Й)) и j30 = 0 также

являются решениями (11). В частности, если матрица А является диагональной (то сеть размер всех блоков равен 1), то соответствующий этим решениям набор исходных и целевых операторов можно записать как S = EDX + [щ], H = EDl + [v\Dx + [vx\. Также нельзя исключать, что дополнительные исходные и целевые операторы могут обнаружиться при анализе соотношения (5) с т > 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хабиров С.В. Преобразования Беклунда эволюционных уравнений. Препринт Башк. филиала АН СССР. Уфа. 1984. 34 с.

2. S.Yu. Sakovich On the polinonial Mima transformation // Phvs. Lett. A. 1990. V. 146. Xs 1,2. P. 32-34.

3. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений // УМН. Т. 43. Xs 5(263). 1988. С. 133— 163.

4. Старцев С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. Т. 116. № з. 1998. С. 336-348.

5. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ. 1957.

6. Старцев С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для, линейных гиперболических систем уравнений // Ма гем. заметки. Т. 83. Xs 1. 2008. С. 107-118.

7. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Факторизация эволюционных уравнений // УМН. Т. 47. № 3(285). 1992. С. 115-146.

8. Демской Д.К. Об одном, классе систем лиувиллевского типа // ТМФ. Т. 141. № 2. 2004. С. 208-227.

9. Киселев А.В .Алгебраические свойства деформаций по Гарднеру интегрируемых си,cm,ем, / / ТМФ. Т. 152. № 1. 2007. С. 101-117.

10. Балахнев М.Ю. Дифференциальные подстановки первого порядка, для, уравнений интегрируемых в Sn Ц Матем. заметки. Т. 89. У 2. 2011. С. 178-189.

11. Балахнев М.Ю. О дифференциальных подстановках для векторных обобщений мКдФ // Матем. заметки. Т. 98. № 2. 2015. С. 173-179.

12. Жибер А.В., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа, линейной гиперболической системы уравнений // Матем. заметки. Т. 74. № 6. 2003. С. 848-857.

Сергей Яковлевич Старцев,

Институт математики е ВЦ УНЦ РАН, ул, Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: startsev@anrb.ru