Моделирование спектральных характеристик жесткости зубчатого зацепления

\ КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 681.326.7

с1о1:10.15217/1ззп1684-8853.2016.6.99

МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЖЕСТКОСТИ ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

В. А. Голубкова, канд. техн. наук, доцент

В. Ф. Шишлакова, доктор техн. наук, профессор

Т. Т. Шарафудинова, преподаватель

И. Н. ЛукьяненкоР, канд. техн. наук, доцент

аСанкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, Санкт-Петербург, РФ

Постановка проблемы: существующие математические модели расчета вибрации редукторов с учетом некоторых погрешностей изготовления их элементов, призванные повысить надежности редукторов, не достаточно учитывают влияния погрешностей изготовления и сборки на флуктуацию жесткостных параметров зубчатых зацеплений. Цель исследования: математическое моделирование спектральных характеристик изменения жесткости зубчатого зацепления в зависимости от погрешностей шага зубчатых колес. Результаты: математическое моделирование спектральных характеристик изменения жесткости зубчатого зацепления в зависимости от погрешности шага зубчатых колес показало, что флуктуация жесткости проявляется не только на зубчатых частотах вращения колес, а также на комбинационных частотах. Соответственно, в спектре вибрации зубчатого зацепления будут содержаться гармоники не только возмущающих сил, но и комбинационные гармоники от этих сил и флуктуации жесткости. Практическая значимость: предложенная математическая модель позволяет более точно проводить расчет вибрации редукторов, оценку динамических нагрузок в зонах контакта элементов, а также значительно точнее оценивать ресурс работы и надежность редуктора. На стадии проектирования позволяет нормировать технологические погрешности элементов для достижения заданного ресурса работы.

Ключевые слова — зубчатое зацепление, жесткость, моделирование, спектральные характеристики.

Введение

Зубчатые зацепления входят в состав редукторов специального и бытового назначения. Наличие вибрации зубчатых зацеплений ощутимо влияет на точность исполняемых функций, а также снижает качественные характеристики, такие как надежность и ресурс [1].

Точность изготовления элементов зубчатых зацеплений на стадии производства, а также дефекты, которые возникают в процессе эксплуатации, вследствие износа, значительно влияют на характеристики жесткости зубчатых зацеплений и, как следствие, увеличивают виброактивность редукторов [2-4], повышают динамические нагрузки в зонах контакта элементов редуктора, снижают ресурс его работы [5].

Следовательно, анализ спектральных характеристик жесткости зубчатых зацеплений в зависимости от погрешностей изготовления зубчатых колес приобретает большую актуальность.

Деформации

и функции контактирования в зубчатом зацеплении

Для анализа характеристик жесткости зацепления необходимо рассмотреть потенциальную энергию деформации зубьев. Потенциальная энергия деформации зубьев в зацеплении ше-

стерни и колеса носит нелинейный характер от обобщенных координат [1-5]:

П = А £ В8?е(81д )е; (фд &),

Р щ

где В — параметр, характеризующий упругие свойства шестерни и колеса: 81д — полная деформация в зацеплении ¿-го зуба шестерни и #-го зуба колеса;

Фщ ) =

10,81д < 0;

— функции контактирования ¿-го зуба шестерни и #-го зуба колеса соответственно.

Полная деформация в зацеплении 81д функционально связана с координатами вибрации Хк^ следующим образом [5]:

81д =801д + £ (~1)к+1ак1хк1 -АН

Щ

где 5Шд — статическая деформация зацепления; а^ — конструктивный параметр к-го колеса в ]-м направлении (к = 1 — шестерня, к = 2 — колесо); АН — функция профильной ошибки зацепления.

Выражение для профильной ошибки зацепления записывается в виде

АН = £ Ни

сов

IЮ-^ +--(I -1) + фц

№ Б, 2016 ^

ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ 99

у— КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ -~7

-X ь

'ЯР

еов

2лр ,

рь2г+-(я -1)+Фяр

Х2

где ки — амплитудное значение профильной ошибки ¿-го зуба шестерни на частоте ¿ю1; кдр — амплитудное значение профильной ошибки #-го зуба колеса на частоте рю2; ю1' га2 — угловые частоты вращения шестерни и колеса соответственно.

Поскольку контакт зубьев носит импульсный характер, то функции контактирования е^), могут быть заданы в виде

е; (Ч - Ч) =

ея(Ч - чя ) =

I I т 1 при Ч- Ч; < —

т;

0 при Ч - > —

т

1 при Ч - Чд| <2

I I т' 0 при ч - ЧЯ \ >—

где ti и t — моменты зацепления ¿-го зуба шестерни и #-го зуба колеса соответственно:

2л ; -1

Ч = -

'1 1

ЧЯ =

2л я -1

Ю 2 ^

Т — длительность контактирования ¿-го и #-го зубьев:

т 2леа

гр__а_

е — коэффициент перекрытия:

( 2 А

Х 2

—в1п а + х +1 4 1

2 ( 2 2 Хз

—в1п а + х2 +1 4 2

Х + Х2

в1п а л еов а,

а — угол зацепления.

Функцию контактирования ¿-го зуба шестерни можно представить в виде последовательности импульсов (рисунок, а), где Т1 — период контактирования ¿-го зуба. При наличии погрешности шага, изменяющейся по синусоидальному закону с частотой Ц (рисунок, б), функция контактирования изменяется (рисунок, в) и описывается выражением

<еов

е;(Ч) = А0; + Х Ап^0;

п=1

I -1

(д/' ^ Л

V 1 /

пЮ1Ч + 2лп-+ Фп + ХХ Ап^1

Х1 / П=1к; =1

д/™

а)

Т

Т

в)

t

Моделирование погрешностей зубчатого зацепления: а — идеальная функция контактирования;

б — функция, описывающая погрешность шага; в — функция контактирования при наличии погрешности шага

ПЮ^ + 2лп--1 + Фп + к; 0.;Ч;

V Х1

+Х X (-1)^« к;Д/;

п=1 к; =1

л

(

еов

ПЮчЧ + 2лп--1 + Фп - к;

ТЮ1 ( Ю-|Т К ( псюТ 1 пю 1Т

где Ао; = Ап = 1^— 1в1пс1^^ Фп = "

2л

2л

2

Ц — частота изменения погрешности шага шестерни; Д/' — амплитудное значение погреш-

т; í дс"

ности шага; ^^ -L — функция Бесселя пер; л

вого рода к^го порядка от аргумента ДТП1/т1.

Конструктивный параметр В определяется выражением

1

В =-

2Е

(

3

К11К12 Щ11 + Щ12

У,

где е — коэффициент Пуассона; Е — модуль упругости; Я1к — радиус выступов рабочих поверхностей контактирующих зубьев к-го колеса: 2акк

Щк = ——, ак — амплитуда к-й преобладающей л

гармоники разложения профиля зуба по ширине зубчатого венца в ряд Фурье.

Спектральные характеристики жесткости

Учитывая, что характер контактирования зубьев определяется значением статистической деформации 5Шд, и используя линеаризацию

t

^ КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ X

с помощью разложения в ряд Тейлора, обобщенные силы, действующие в зацеплении, запишем в виде

^ + *Ст = -XВ8Р071е(801д )в; (* )в, (*) -

< = -

- X (-1)к+1 Бак1хк1(Р - 1)8о-1е(8огд )ег (Г)ея (№) -

г,к,д, р

-X В

X с°8

. I

2Ш,.

¿ю^+-(г -1) + ф;г

21

-X с°8

Р

Р-1

Р2* +-(Я -1) + Фда

г2

ЯР

5сРгд1е(5огд )(Р -1)Ег (*)е? (*) + *Ст,

где ст = Ы/Г1 — статическая нагрузка в зацеплении, М — крутящий момент на валу шестерни; г1 — радиус делительной окружности шестерни.

Из выражения (1) следует, что жесткость зацепления определяется из следующего соотношения:

С3 = X (-1)к+1 (Р - 1)В8Р-я2акуе; (*)в, (*).

г,к,я, Р

Статистическая деформация 8Шд находится из решения нелинейного уравнения

Тв5ще(50щ )вг «в, (#) - = 0.

Как видно из выражения (2), жесткость зубчатого зацепления определяется произведением функций контактирования. Спектральные характеристики произведения функций контактирования ед(г) представлены в таблице с учетом того, что частоты изменения погрешности шага от зуба к зубу шестерни и колеса Ц, кратны частотам вращения ю1 и ю2 соответственно.

Заключение

Разработанная модель расчета спектральных характеристик жесткости зубчатого зацепления учитывает погрешность шага нарезки зубьев колес редуктора. Установлено, что при возникновении погрешности шага, кроме зубцовых и кратных им частот, в спектре изменения жесткостей

Спектральные характеристики произведений функций контактирования

Частота Амплитуда Примечание

0 -

Ь(ог ( А/ Ш1 г1г2 А0яАл,У011 г 1 ге = 1г1

Ь(ог ( А/ Щ 1 г1г2 А0гАтя^0я 1 2 1 т = ¿г2

(1 + р)гог „ „ т (А/ Щ \ (А/ Щ 1 г1г2 АпгАтя^йг 1 г \ 1 г \ т = рг2 п = ¿г1

К ± кр1 ( А/ Щ1 г1г2 1 Ь 2 1 ге = 1г1 ± к1

(1 + р)тг ± „ „ т (, а/т)т (а/Щ 1 г1г2 АшАшд^к; 1 кг 2 1 ¿Од 1 2 1 т = рг2 п = ¿г1 ± к1

риг ± кд&2 ( А/ Щ 1 г1г2 А01Ашя^кй 1 кя 2 1 т = р^2 ± кч

(р + 1)тг ± ^ , , т (А/ Щ \ ^ А/ Шд 1 г1г2 Аи1Ашя^011 2 1 ¿кя 1 кя 2 \ п = ¿г1 т = р^2 кя

(р + 1)тг ± к^ ± кчо,2 ( А/ Щ 1 ( А/ Щ 1 г1г2 Аи1Ашя^'кг 1 кг 2 1 ¿кя 1 кя 2 1 п = ¿г1 ± кг т = р^2 ± кя

(р + 1)тг ± к^ ± ( А/ Щ 1 ( А/ Щ 1 г1г2 Аи1Ашя^'кг 1 кг 2 1 ¿кя 1 кя 2 \ п = ¿г1 ± кг т = р^2 ± кя

№ 6, 2016 ^

ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ 101

КРАТКИЕ СООБШЕНИЯ

зубчатого зацепления появляются комбинационные частоты

(I + р)юХ + к;Ю1 + кя юх ; рюХ + кяюх ; 1юХ + к;к>1,

где ю2 — зубцовая частота; I, р, к,, кд — целые числа 1, 2, 3... .

За счет погрешности шага в спектре вибрации редуктора появляется много дополнительных составляющих. В нем будут содержаться гармо-

Литература

1. Семенова Е. Г. Основы моделирования и диагностики антенных устройств бортовых комплексов. — СПб.: Политехника, 2003. — 186 с.

2. Голубков В. А. и др. Математическая модель расчета вибрации ступени редуктора / В. А. Голубков, А. О. Смирнов, Т. Т. Шарафудинов, И. Н. Лукь-яненко // Информационно-управляющие системы. 2014. № 6. С. 87-92.

3. Голубков В. А., Голубков А. В., Шарафудинов Т. Т. Анализ вибрации зубчатых зацеплений при проскальзывании зубьев // Завалишинские

ники не только возмущающих сил от неточности изготовления зубчатых зацеплений, но и комбинационные гармоники от этих сил и флуктуации жесткости. При увеличении погрешности шага происходит расширение спектра комбинационных частот изменения жесткости, увеличение вибрации, возрастание динамических нагрузок в местах контакта зубьев и сокращение ресурса работы.

чтения'13: тр. конф., Санкт-Петербург, 8-12 апреля 2013 г. СПб.: ГУАП, 2013. С. 46-48.

4. 4. Голубков В. А., Голубков А. В., Шарафу-динов Т. Т. Анализ влияния процессов проскальзывания на вибрацию зубчатых зацеплений // За-валишинские чтения'14: тр. конф., Санкт-Петербург, 8-12 апреля 2014 г. СПб.: ГУАП, 2014. С. 101-104.

5. 5. Веркович Г. А. и др. Справочник конструктора точного приборостроения/ Г. А. Веркович, Е. Н. Го-ловенкин, В. А. Голубков и др. — Л.: Машиностроение, 1989. — 792 с.

UDC 681.326.7

doi:10.15217/issn1684-8853.2016.6.99

Modeling Spectral Characteristics of Gear Engagement Stiffness

Golubkov V. A.a, PhD, Tech., Associate Professor, viktor-golubkov@yandex.ru Shishlakov V. F.a, Dr. Sc., Tech., Professor, svfmail@yandex.ru Sharafudinov T. T.a, Lecturer, timsx@mail.ru

Lukyanenko I. N.a, PhD, Tech., Associate Professor, irina.n.lukyanenko@gmail.com

aSaint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 67, B. Morskaia St., 190000, Saint-Petersburg, Russian Federation

Introduction: The available mathematical models of calculating gear vibration take into account possible manufacturing errors in order to improve reliability. However, these models do not take into account the influence of the errors in manufacturing and assembly on the fluctuation of stiffness parameters of the gears. Purpose: Our goal is mathematical modeling of spectral characteristics of a gear engagement stiffness which varies depending on the inaccuracies in the gear pitch. Results: The mathematical modeling has shown that the stiffness fluctuates not only at the gear frequencies but also at the combination frequencies. Hence, the vibration spectrum will contain not just the harmonics of the perturbing forces but also the combination harmonics of these forces and stiffness fluctuations. Practical relevance: The proposed mathematical model allows you to more precisely calculate the vibration of the gears, evaluate the dynamic loads in the contact zones, and much more accurately estimate the operational life and the reliability of a gearbox. At the development stage, it allows you to normalize technological errors of the elements to achieve the desired operational life. Keywords — Gearing, Stiffness, Modeling, Spectral Characteristics.

References

6. Semenova E. G. Osnovy modelirovaniia i diagnostiki anten-nykh ustroistv bortovykh kompleksov [Fundamentals of Modeling and Diagnostics Antenna Devices Onboard Complexes]. Saint-Petersburg, Politekhnika Publ., 2003. 186 p. (In Russian).

7. Golubkov V. A., Smirnov A. O., Sharafudinov T. T., Lukyanenko I. N. Mathematical Model of Reducer Step Vibration. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2014, no. 6(73), pp. 87-93 (In Russian).

8. Golubkov V. A., Golubkov A. V., Sharafudinov T. T. Vibration Analysis of Slip Teeth Gearing. Trudy konferentsii "Za-

valishinskie chteniia'13" [Proc. Conf. "Zavalishinskie Reading'13"]. Saint-Petersburg, GUAP Publ., 2013, pp. 4648 (In Russian).

9. Golubkov V. A., Golubkov A. V., Sharafudinov T. T. Analysis of the Impact of Slip Processes on Vibration Gearing. Trudy konferentsii "Zavalishinskie chteniia'14" [Proc. Conf. "Zavalishinskie Reading'14"]. Saint-Petersburg, GUAP Publ., 2014, pp. 101-104 (In Russian).

10. Verkovich V. A., Golovenkin E. N., Golubkov V. A., at al. Spravochnik konstruktora tochnogopriborostroeniia [Reference Book for Precision Instruments Designer]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1989. 792 p. (In Russian).