Разработка конечно-элементной математической модели асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором

На рис. 3 представлена кривая электромагнитного момента, рассчитанного через тензор напряжения Максвелла по формуле (8), полученная при моделировании прямого пуска АД. По результатам моделирования была получена еще одна кривая электромагнитного момента АД, рассчитанного косвенным методом по формулам (9).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Пер. с англ., М: Мир, 1979. - 393с.

2. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000 г. - 654 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 г. - 632 с.: ил.

4. Luomi, J. Finite element methods for electrical machines. Lecture notes for a postgraduate course in electrical machines. Chalmers University of Technology, Department of Electrical Machines and Power Electronics, Göteborg, 1993.

5. Chari, M. V. K., Silvester, P. P. . Finite elements in electrical and magnetic field problems. J. Wiley & Sons, New York, 1980 - 219 p.

6. Sadowski, N. Lefevre, Y. Lajoie-Mazenc, M. Cros, J.Finite element torque calculation in electrical machines while considering the movement.

7. Определение энергосиловых параметров процессов обработки металлов давлением косвенным методом / А.А. Радионов, Д.Ю. Усатый, А.С. Карандаев, А.С. Сарваров. - М.: 2000.

УДК 629.423.1

А.С. Сарваров , В.В. Купцов

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ

В настоящее время для расчета магнитных полей в электрических машинах часто используется метод конечных элементов (finite-element method) [1,2,4]. В основе этого метода лежит разбиение расчетной области сеткой конечных элементов, чаще всего треугольников, как это показано на рис.1 для поперечного сечения асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. Значения поля рассчитываются либо в узлах сетки, либо в центре тяжести каждого конечного элемента.

Рис.1. Расчетная область поперечного сечения асинхронного двигателя с сеткой конечных элементов

Чаще всего магнитное поле в пределах активного пространства двигателя представляется плоскопараллельным, то есть в любом поперечном сечении машины картина поля остается неизменной. Как видно, данный метод позволяет точно учитывать геометрию машины в ее поперечном сечении, а также электрические параметры двигателя, нелинейность кривой намагничивания и т.д. В большинстве случаев данный метод используется для расчета мгновенной картины магнитного поля по заведомо известным значениям плотностей тока в пазах статора и ротора. В этой связи представляет интерес разработка конечно-элементной модели асинхронного двигателя, позволяющая непосредственно рассчитывать значения плотностей токов в каждый момент времени, исходя из динамически меняющейся картины магнитного поля, мгновенные значения которого, в свою очередь, зависят от значений плотностей тока в каждый конкретный момент времени.

Как известно, электромагнитное поле описывается системой уравнений Максвелла [1,3], которую применительно к теории электрических машин можно записать в виде:

rotH = j; j = - E + j ;

- д B -

rotE = - —; divB = 0

dt

P

B = ua H;

Первое уравнение системы (1) представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме, выражающий связь между вихрем

(ротором) напряженности магнитного поля н и плотностью тока j в

той же точке поля. Второе уравнение выражает закон электромагнитной индукции, согласно которому всякое изменение индукции магнитного

поля B во времени возбуждает вихрь напряженности электрического

поля E в этой же точке. Третье уравнение описывает связь между напряженностью и индукцией магнитного поля, гдр - относительная магнитная проницаемость среды, р о - относительная магнитная проницаемость вакуума. В ферромагнетиках эта связь является нелинейной. Четвертое уравнение представляет собой закон Ома в дифференциальной форме и описывает плотность тока проводимости как сумму двух слагаемых. Первое слагаемое обусловлено токами проводимости, которые возникли в исследуемой области в результате явления электромагнитной индукции, где р - удельное сопротивление среды. Второе слагаемое обусловлено сторонними токами проводимости, источник которых лежит вне исследуемой точки пространства. Последнее уравнение описывает непрерывность силовых линий магнитного поля.

Мгновенную картину плоскопараллельного электромагнитного поля в поперечном сечении асинхронного двигателя можно описать скалярным неоднородным уравнением Гельмгольца [1]:

1 d2 А 1 52 А 1 дА

---I------= —j

ju0ju дх2 ju0ju ду2 р dt стор

Данное уравнение является прямым следствием системы уравнений (1) и записывается относительно векторного магнитного потенциала поля A, ротор которого равен индукции магнитного поля в данной точке [1]:

B = rotj

Поскольку поле плоскопараллельно, то, если ориентировать ось z системы координат параллельно оси вала машины, то вектор индукции

магнитного поля B будет лежать в плоскости xOy, то есть в плоскости поперечного сечения машины. Тогда согласно первому и третьему уравнениям системы (1) и уравнению (3) вектор плотности тока прово-

димости j и векторный магнитный потенциал А будут параллельны

оси 2. Это позволяет перейти от векторов к скалярным величинам в уравнении (2).

Плотность тока и значение векторного магнитного потенциала в пределах каждого отдельного конечного элемента расчетной области рис.1 представляются неизменными. Следовательно, внутри каждого конечного элемента электромагнитное поле можно описать уравнением

(2). Для того чтобы описать полную картину поля необходимо решить систему, состоящую из уравнений вида (2), размерность которой равна числу конечных элементов. Задача усложняется тем, каждый раз при изменении угла поворота ротора меняется геометрия расчетной области, что приводит к необходимости переопределять сетку конечных элементов. Решение уравнений параболического типа, к которому относится уравнение (2), методом конечных элементов на непостоянной сетке является сложной задачей. Чтобы упростить ее представим частную производную по времени от векторного магнитного потенциала в виде конечной разности [2]:

дА _ А^А

д/ Л/

где А - значение векторного магнитного потенциала в рассматриваемой точке на данной итерации, А0 - значение векторного магнитного потенциала в той же точке на предыдущей итерацииЛ t - дискрета времени.

Используя второе и четвертое уравнения системы (1) и уравнение

(3) плотность тока проводимости, обусловленного явлением электромагнитной индукции, можно выразить через векторный магнитный потенциал:

. 1 „ 1 дА

j _— Е _---,

р р д

Плотность стороннего тока проводимости ]СТор в каждой точке проводника, помещенного в переменное магнитное поле, может быть представлена, как результат действия суперпозиции электрических полей, возникающих в других областях, электрически связанных с рассматриваемой точкой, вследствие явления электромагнитной индукции, либо под действием внешних источников ЭДС. Стержни короткозамкну-того ротора электрически соединены друг с другом контактными кольцами. Следовательно, для 1-го конечного элемента, лежащего внутри одного из пазов ротора, плотность стороннего тока проводимости может быть представлена как функция от производных векторного потенциала по времени в других конечных элементах, лежащих внутри пазов ротора:

/ _ /

]сторл м дГ д/ "" д/ ' д/ "" д/ Л

где Аг - векторный магнитный потенциал произвольного конечного элемента, лежащего внутри одного из пазов ротора, М - общее число конечных элементов, лежащих внутри всех пазов ротора.

На плотность стороннего тока в статорных обмотках помимо явления электромагнитной индукции в каждый момент времени оказывают влияние мгновенные значения фазных ЭДС питающей сети двигателя. Следовательно, аналогично для ]-го конечного элемента, лежащего внутри одного из пазов статора:

Л,

= дА 2

дА

,./-1

дА

Д. ./+1

дА„

-, е , е., е ),

' а ' Ь ' с /'

дг дг дг дг дг

где Аэ - векторный магнитный потенциал произвольного конечного элемента, лежащего внутри одного из пазов статора, N - общее число конечных элементов, лежащих внутри всех пазов статора, ва, вь, ее -мгновенные значения фазных ЭДС питающей сети двигателя.

Согласно (2), (4), (6) и (7) систему уравнений для расчета значений векторного магнитного потенциала во всех конечных элементах расчетной области рис.1 в каждый момент времени можно представить в виде:

Г-

ц„ дх2

Мо ду

1 — А0Н А

мг

Рг

- А

г 2 0г 2

мг

г 1-1 Ог ¿-1

мг '

мг

А — А

^тМ ОгМ

' м

1 д2 А,, 1 д2 А

1 А,

Мо

=— Г,

дх2 А1

ду2

1 А 2

Р, А0

мг А,

мг

мг

мг

мг

мг

зЧ» + = 0

МоМ дх2 МоМ ду2

1 д2 Аа 1 д 2Аа

ап ап _ о

Мо дх Мо ду

V:

1 д Ап , 1 д2Ап

1 А,—А

+

А

А

А

ог

А

+

А

А

А

А, — А

од /-1

, /+1

е.,, е, е

Все уравнения системы (8), размерность которой равна общему числу конечных элементов, можно разделить на четыре типа, соответствующие четырем типам подобластей расчетной области. Первое уравнение соответствует произвольному конечному элементу, лежащему внутри одного из пазов ротора. Второе уравнение - аналогично для паза статора. Третье и четвертое уравнение справедливы для конечных элементов, заключенных соответственно в магнитопроводе и воздушном зазоре машины.

Таким образом, решение системы уравнений параболического типа в частных производных методом конечных элементов на непостоянной сетке сводится к циклическому алгоритму, на каждой итерации которого осуществляется решение системы уравнений (8) эллиптического типа на постоянной в пределах каждой итерации сетке.

Для того чтобы учесть в модели вращение ротора, то есть для определения геометрии расчетной области рис.1 на каждой итерации в соответствии с текущим углом поворота ротора, дополним систему (8) уравнением движения электропривода [1]: т йа

М _ М - 3--

с йг

Для этого заменим производную от угловой скорости по времени конечной разностью, выраженной через угол поворота ротора:

йа й 2ф -ф00 + 2ф0 -ф

' ~ _ йЛ2

dt dt2

где ф - угол поворота ротора на текущей итерацииф о, фоо - угол поворота ротора соответственно на предыдущей и предпредыдущей итерациях.

Подставив выражение (10) в уравнение (9) и выразив угол поворота ротора, окончательно получим:

(M - M )(At)2 - J (<р00 - Ър0 ) J

Значение электромагнитного момента M можно получить через интегрирование тензора натяжения Максвелла (Maxwell stress tensor) [4]. Опуская математические выкладки, приведем формулу в конечном виде:

M = ^^ I BB,dS

2а J

'О S ,

где Dr - диаметр ротора, le - ширина воздушного зазора, Bn, Bt -соответственно нормальная и тангенциальная составляющие вектора магнитной индукции относительно поверхности ротора. Интегрирование ведется по поверхности, окружающей ротор и проходящей через центр воздушного зазора.

Значение проекций вектора магнитной индукции на оси координат находятся из выражений (13), которые следуют из определения вектор-

ного магнитного потенциала (3) и условия плоскопараллельности поля:

Я дЛ

ду

в дА;

ву '

В соответствии с (8), (11), (12) и (13) был разработан алгоритм, представляющий собой конечно-элементную математическую модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. При разработке модели были использованы следующие упрощения и допущения:

• магнитное поле в пределах активного пространства машины является плоскопараллельным;

• зависимость между индукцией и напряженностью магнитного поля является линейной;

• магнитопровод машины обладает бесконечным сопротивлением, то есть вихревые токи в стали отсутствуют;

• соединительные кольца «беличьего колеса» ротора обладают нулевым сопротивлением.

Целью разработки данной модели является исследование особенностей протекания переходных процессов в асинхронных двигателях при наличии в них неисправностей различного рода и дальнейшее выявления диагностических признаков данных неисправностей в динамических режимах работы двигателя. Так данная модель была использована для исследования особенностей переходного процесса прямого пуска АД при обрыве одного стержня ротора. На рис. 2 приведены расчетные осциллограммы.

время, сек

Рис.2. Расчетные кривые переходных процессов пуска АД

В ходе исследований было установлено, что данные кривые практически не отличаются от аналогичных кривых, полученных при прочих одинаковых условиях для исправного двигателя. Однако, в картине магнитного поля поперечного сечения машины во время пуска были выявлены периодически возникающие искажения в области сломанного стержня ротора. На рис.3 показана рассчитанная с помощью модели мгновенная картина магнитного поля, характерная для обрыва стержня ротора АД.

Данные искажения в магнитном поле машины вызывают незначительные искажения формы потребляемого двигателем тока. Это может быть обнаружено посредством специального анализа осциллограмм статорного тока и положено в основу метода диагностики обрыва стержня ротора по пусковому току статора.

Рис.3. Мгновенная картина магнитного поля в поперечном сечении АД со сломанным стержнем ротора

Использование в основе модели метода конечных элементов и специфика построения алгоритма делают данную модель удобной для изучения несимметричных и аварийных режимов работы двигателя. В частности, варьирование электрических параметров позволяет исследовать работу двигателя при обрыве одного или нескольких стержней ротора, межвитковом замыкании обмотки статора, несимметричном или несинусоидальном питающем напряжении. Задание неравномерного воздушного зазора в расчетной области позволяет исследовать работу двигателя при повышенном эксцентриситете ротора и повреждении подшипников.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000 г. - 654 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 г. - 632 с.: ил.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высш. шк., 1999 г. - 718 с.: ил.

4. Burakov A. Modelling the unbalanced magnetic pull in eccentric-rotor electrical machines with parallel windings: Abstract of doctoral dissertation. Helsinki University of Technology, 2007.

УДК 621.746

Лукьянов С.И., Суспицын Е.С.,

Демкин Д.М.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ КАЧАНИЯ КРИСТАЛЛИЗАТОРА МНЛЗ

Большинство дефектов непрерывнолитой заготовки зарождаются в кристаллизаторе МНЛЗ. Для обеспечения стабилизации условий вытягивания заготовки из кристаллизатора, ему сообщают возвратно-поступательные движения, что минимизирует величину силы трения между заготовкой и кристаллизатором, а также улучшает условия подачи шлака в зазор между заготовкой и стенками кристаллизатора. Эффект от качания кристаллизатора достигается тогда, когда время опережения ton, в течение которого скорость его движения вниз больше, чем вытягивания слитка Усл , превышает заданную величену. Согласно технологическим требованиям для малоуглеродистой стали с содержанием углерода менее 0,14%, время опережения должно быть ton = 0,1...0,12 с; для среднеуглеродистой стали с содержанием углерода больше 0,16%, ton = 0,15...0,2 с [1].