Метод возмущений в одномерной динамике несжимаемых упругих сред при ударных воздействиях

2192

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2192-2194

УДК 539.3

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ОДНОМЕРНОЙ ДИНАМИКЕ НЕСЖИМАЕМЫХ УПРУГИХ СРЕД ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

© 2011 г. Ю.Е. Иванова, В.Е. Рагозина

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток

ivanova@iacp.dvo.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Качественные особенности процессов одномерного сдвигового ударного деформирования описываются на основе решения соответствующего эволюционного уравнения, отличного от уравнения Хопфа, определяющего нелинейную динамику объемного деформирования. Сдвиговое эволюционное уравнение авторами получено в результате применения метода сращиваемых асимптотических разложений. Оно определяет решение в прифронтовой области ударной волны. Представлены результаты для многочисленных краевых задач с плоской и осевой симметрией, для случая одной ударной волны. В качестве обобщающего результата рассматривается задача о совместном осевом и скручивающем нагружении цилиндрической полости. Показано, что даже при отсутствии предварительных деформаций в среде в такой краевой задаче возможно возникновение двух типов ударных волн: нейтральной волны и волны круговой поляризации. Применение метода возмущений в этой задаче приводит к системе двух эволюционных уравнений, решение которых представлено инвариантами Римана.

Ключевые слова: нелинейная упругость, несжимаемость, ударная волна, метод возмущений, эволюционное уравнение.

Движение ударных волн в твердом теле изучено значительно меньше, чем в механике жидкости и газа. В первую очередь сказанное относится к поперечным и квазипоперечным волновым процессам. Для сжимаемой нелинейно упругой среды движение сдвиговых волн всегда предваряется объемным деформированием, кото -рое отражается на характере поперечной волны, изменяя ее на квазипоперечную [1]. Это обстоятельство затрудняет математическое описание данных волн. Еще одна сложность связана с зависимостью скорости ударных волн от состояния среды в их окрестности [1]. В общем случае оказываются заранее неизвестными геометрия ударной волны и ее положение. Они могут быть определены только совместно с остальными неизвестными задачи. Перечисленные проблемы приводят к необходимости обращения к приближенным численным или аналитическим методам решения. В настоящее время одним из наиболее эффективных аналитических методов следует считать метод сращиваемых асимптотических разложений [2] либо вариант лучевого метода для ударных волн [3]. В представленном исследовании применен метод сращиваемых асимптотических разложений к одномерным краевым задачам в несжимаемой нелинейно упругой среде, в которых условия на границе приводят к возникновению ударных волн. Модель несжимаемой среды выбира-

ется исключительно для возможности описания чисто поперечных эффектов динамического деформирования.

Замкнутая система уравнений, определяющая движение среды в представлении Эйлера для декартовых пространственных координат xi (/ = 1, 2, 3), имеет вид:

V," и, + и,',,,, а„. = |(„^ + и,', -,,),

] "Р^ + V, ],]),

dW

, = -P*ij+-— (5 к] - 2ак, х

да

ik

к,

W(Ii,I2) = (a - ц)Ii + al2 + bll - KI1I2 -- 0If + cI 4 + dI 2 + kIj212 + к,

Ii =а и -

где ui и vi — компоненты векторов перемещении и скорости, а., и с.. — компоненты тензора дефор-

Ч У

маций Альманси и тензора напряжений Эйлера-Коши, р = const — плотность среды, p — добавочное гидростатическое давление, W— функция упругого потенциала.

Для упругого полупространства, ограниченного плоскостью x1 = 0, рассматривается задача с краевым условием

u

2 x1=0,t>0

= g(t),

в котором g(t) — известная функция, приводящая

сразу или впоследствии к образованию ударной волны £(0, на которой задаются условия:

Ч

Xl(T) = { ед^, G = С(1 + а!У2 +...),

*0

a+Ь + к + d

а = •

У = [«2,1], C = 4щ> 1

и 2x1=X1(t) = 0,

[и2,1]| X1

(t) = и2,1 X1(t).

2 1 т'—1

П = 8 Х1С 1 ,

р = (х1 — а )с ~1т_1,

w( п, р) = 8 1и 2( х1, t )С 1Т 1,

2

иг (г, t) = Г (1 — С08 ф), иф (г, ^ = Г 8Ш ф,

иг (Г,tX Ф(Г, 0.

Анализ динамических условий совместности в

этом случае приводит к двум возможным видам ударных волн, их скорости:

Gx = С{1 + а(г 2[ф,г ]2 + [«г,г ]2) + ...}1/2

+ \2>

1/2

В удаленной от границы области в безразмерных переменных

W = ^о +8 ^2 + .,

где е — малый параметр задачи, Т — характерное время, на нулевом шаге метода приходим к эволюционному уравнению сдвиговых волн:

>0п + 1.5а>2 >0,р = 0, W0,p = >0.

Рассмотрены методы представления решения этого уравнения, позволяющие на его основе строить поле перемещений для различных условий (2). Представлен метод решения и для последующих приближений (w2, W4, ...).

Кроме плоского случая, представлен переход к задачам с осевой симметрией на двух примерах задач об антиплоском движении границы цилиндрической полости в несжимаемой среде и о скручивающем движении границы такой полости. В обоих случаях метод возмущений в прифронтовой области ударных волн приводит к уравнению типа (5), но с дополнительными членами, определяющими затухание решения.

Наиболее интересная задача с осевой симметрией для предварительно недеформирован-ной среды возникает, если точки границы полости (г = г0) двигаются по закону

г = г0, ф = ф0^), и2 = ^

где г, ф, г — цилиндрические координаты, ф0(0 и г0(() — известные функции. В этом случае, считая, что все точки среды совершают винтовое перемещение, определим кинематику формулами

G2 = С{1 + а

Первая из волн меняет только интенсивность исходного сдвига без изменения направления. На

2 2 2

второй волне [г фг + игг] = 0 и меняется только направление сдвига.

Применение метода малого параметра с определением безразмерных функций И и w, соответствующих ф и иг, и выбор полухарактеристичес-ких безразмерных переменных п, р в области, удаленной от г = г0, приводит к системе эволюционных уравнений:

22

2а0,п +а(3(1 + п) а0 +)а0,р +

7 7 3а 0 ~

+ 2аа00000 р +------= 0,

*0 0 0, р

1+п

2Ь0,п + а

+ 2а(1 + п) а0Ь0а0 р +---------= 0

1 + п

0_

+ п

а0 = И0,р, Ь0 = Wо,р.

Вдоль каждого из семейств определены инварианты Римана. Их структура оказывается согласованной с предыдущими выводами о возможных типах ударных волн.

Представленные решения показывают эффективность метода возмущений в применении к нестационарной динамике упругих сред. Полученные результаты могут быть обобщены и перенесены на случай многомерных задач при условии, что безразмерные полухарактеристические координаты строятся на основе лучевой сетки.

Список литературы

1. Буренин А. А., Чернышов А. Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 4. С. 711—717.

2. Иванова Ю.Е., Рагозина В.Е. Об ударных осесимметрических движениях несжимаемой упругой среды при ударных воздействиях // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47, №6. С. 144—151.

3. Буренин А.А., Россихин Ю.А. Лучевой метод решения одномерных задач нелинейной динамической теории упругости с плоскими поверхностями сильных разрывов // Прикладные задачи механики деформир. сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С. 129—137.

THE PERTURBATION METHOD IN ONE-DIMENSIONAL DYNAMICS OF INCOMPRESSIBLE ELASTIC MEDIA UNDER IMPACT LOADING

Yu.E. Ivanova, V.E. Ragozina

The basic qualitative features of one-dimensional shear shock deformation process are described on the basis of solution of the corresponding evolutionary equation, differing from Hopf equation determining nonlinear dynamics of volumetric deformation. The authors derive the shear evolutionary equation by applying the method of matched asymptotic expansions. This equation defines the solution near the front area of the shock wave. As a generalizing result, the problem of combined axial and torsional loading of a cylindrical cavity is considered. It is shown that even without prior deformations in the medium, the occurrence of the two types of shock waves: the neutral wave and the wave of circular polarization, is possible in such boundary problem. Application the perturbation method to this problem results in a system of two evolutionary equations, with the solutions represented by Riemann invariants.

Keywords: nonlinear elasticity, incompressibility, shock wave, method of perturbations, the evolutionary equation.