О разрешимости задачи синтеза При оптимизации колебательных процессов

Список литературы

1. Жалмагамбетова У.К., Жантлесова А.Б., Клецель М.Я., Майшев П.Н. Геркон как фильтр тока нулевой последовательности // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2011. № 1. С. 300-303.

2. Пономарев А.В., Луцкий В.А., Хромов А.А. Геркон как источник упругих волн в лабораторном эксперименте // Сейсмические приборы. 2012. Т. 48. № 2. С. 58-66.

3. Новожилов Т.А. Датчик тока на герконе для релейной защиты // Омский научный вестник. 2017. № 156. С. 83-87.

4. Оганесян А.Т. Расчет гармонических затухающих колебаний в системе геркона // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 1-2. С. 125-128.

5. Косарева И.А. Оптимизация режимов работы ТЭЦ при прохождении пиков и провалов электрической нагрузки // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Москва, 1984.

6. Нечаев Ю.Б., Зотов С.А., Макаров Е.С. Коррекция амплитудно-фазового распределения электромагнитного поля в задаче радиопеленгации // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2009. Т. 52. № 4. С. 60-72.

Керимбеков А., Таирова О.К.

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Кыргызско-Российский Славянский университет

Ключевые слова: колебательные процессы, синтез, оптимизация.

Аннотация. В статье исследована разрешимость задачи Коши-Беллмана-Егорова. Найдено решениебесконечномерной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для нахождения функции, определяющей интервалы, на которых полученное управление является оптимальным.

Keywords: oscillatory processes, synthesis, optimization.

Abstract. In this paper, the solvability of the Cauchy-Bellman-Egorov problem was investigated. It was found the solution of an infinite-dimensional system of ordinary linear differential equations of the first order, to find a function that determines the intervals at which the control obtained is optimal.

Рассмотрим задачу Коши-Беллмана-Егорова.

dS[t,W ]

i

+

0

= min {ß \ u(t)| +u(t) g (Xo)m2(t, xo) +

dt u(T)ep ^

J[Vt

где W (t) =

- состояние колебательного процесса,

точке

'V (t

V '(t X

g (x<)) - известная функция

x0;m(t,x) = {m1(t,x),m2(t,x)}- градиент S[t,W],a,ß-

параметры. <%( x) = {^ (x), ^ (x)} - заданная вектор-функция.

Для ее решения найдем минимум правой части равенства

где

A

Возможны 3 случая: A(t) > ß, |A(t)| < ß и A(t) < -ß.

1. При A(t) > ß, оптимальным управлением является u(t) = — 1

2. При |A(t)| < ß, оптимальным управлением является u(t) = 0

3. При A(t) < — ß, оптимальным управлением является u(t) = 1 В дальнейшем будет рассматриваться первый случай, когда

A

Подставляя (5) в (1), получим dS[t,W ]

1

+

0

^ =ß- g

J V (t, x) m (t, x) - V (t, x)m2x (t, x) + Xm2 (t, x)J K(t, z)V(t, x)d z

0

dx,

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Q

1 1 1 S[t, W] = J J W * *t, x)R

0 0 0

где R(t, x, y) - симметричная матрица порядка 2 x 2 ; q (t, x) = jq (t, x), q (t, x) J - вектор-функция, j](t) -скалярная функция.

Вычислим дифференциал Фреше функционала S[t, W]. Согласно (7) легко подсчитать, что для любого допустимого приращения AW (t, x) , соответствующего приращению Au (t) уравнения

u 0(t) имеет место равенство

1 1

S[t,W(t,x) + AW(t,x)] -S[t,W(t,x)] = JAW'(t,x)J(R(t,x,y) +R'(t,x,y))W(t,y)dy +

0 0

1 1 1 +J aw '(t, x)q (t, x)dx + J J aw "(t, x)R (t, x,y)AW (t, y)dydx. 0 0 0 Отсюда с учетом симметричности матрицы

R

находим, что градиент функционала S[t, W (t, x)] вычисляется по

формуле

1

m

0

или

ml

0

1

m2

0

Далее используя разложение функции по коэффициентам Фурье получим следующее

œ

V

n=1 œ

V

n=1

g

Л

п=1 т=1

Л1 (?) - бесконечномерная квадратная матрица

'л*(0 л*« ... (?) . ^ л* (0 л* (г) .. л2П(?) .

Л (г) =

Д*

...у

Л(г, х, у) = х)Л(г) г(у) = г*(у)Я(г) г( х),

Л(г) =

12

Л (г) Л (г) чЛ21 (г) Л22 (г)у

Я

п=1

где 7( х) = (г (х)} - собственные функции краевой задачи г" (х) + Л2 г( х) = 0,

г/ (0) = 0, г/ (1) + (1) = 0.

Следует указать, что

1

| г (х) г( х)^ = Е,

0

где Е - единичная матрица,

1

Г г '(х)г '(х)^х = -аг (1)г (1) +

0, Л

т Ф п т = п

1

Г г'

0

где М (Л) =

Л 0

о Л2

00

о о

Л

V...............У

(9) и (10) перепишем в следующем виде

т (г, х) = 1'(х)[2 (я"(0¥(0+яиу)г '(о) + ^ (г)] = х*(х)т (г),

т (г, х) = 2 (х)[2 (Я2 (г)¥(г) + Я22 (Г)¥'(г)) + Цг (г)] = 2* (х)т (г). Пользуясь формулами (11)-(16) преобразуем следующие интегралы

1) 1 1 ^

х)¥(I,х)с!х = /£{£тКЪУ,,(О + КК'Ут '(О] +Ч1г1 (ОК(х) х

о о Г!=1 т =1

» 1

хЕ V '((')2, (х')^х =/2'(х) (2Яи(г)¥(г) + 2Я12(г)¥'(г) + ^ (г)) х)¥' (г)& =

1=1 о

1

= (2¥'(г)Яп(г) + 2¥ г'(г)Я12(г) + д*(г))/г(х) х)<±с¥ '(г) =

о

= (2¥\г)Яи(г) + 2¥'*(0Я12(0 + ч*(г))¥'(г) = ¥''(г)щ(г) (17) 2) / 2)¥хх)сы=/Е{¿:2[я2т(1)¥т(о+я2т№т хт ^ежх

о о И=1 т=1

» 1 хЕ¥(г)2 '(х)ах = (2¥'(г)Я21(Г) + 2¥'"(г)Я22(Г) + д*(Г))/г' (х)г''(х)Лс¥(г) =

1=1 о

= ( 2¥ '(г )Я2\г) + 2¥ ''(г )Я22(г) + д*(Г) )(-а2(1)2\1) + М (Л) )¥ (г) = = -аг'(1) [ 2Я21 (г )¥ (г) + 2Я21(г )¥' (г) + д2 (г)] г '(1)¥ (г) + +(2¥ '(г )Я21(г) + 2¥ '"(г) Я22 (г) + д2(г)) М (Л)¥ (г) = -атг (г,1)¥ (г,1) + +¥ '(г)М (Л) (2Я21(г)¥ (г) + 2Я22(г)¥ () + д2 (г)) =

= -ат2

Учитывая все вышеизложенное от (8) до (18), уравнение Беллмана-Егорова (1) преобразуем в следующий вид

д "

-2¥ '* (г)Я12 (г)¥ '(г) - 2¥'' (г)Яп (г)¥ (г) + 2¥ * (г)М (Л)Я22 (г)¥ '(г) +

+2¥* (г)М (Л)Я21 (г)¥(г)+¥''(г) ^^ )Я22 (I) ^) - ш] +

+¥'

Учитывая подстановки (11)-(14), возьмем частную производную от (7), как от функционала, по переменной г

] = Г Г Ж *(/, х)Л, (г, х, у)Ж (г, y)dydx +1Ж *(г, х)Я (г, х)& +

д 0 0 0

+^'(г) = Г* (г )Л" '(г)У(г) + V '*(г)Л21 '(г)К (г) + Г*(г)Л1/ '(г)К '(г) + +V )Л22 '(/)Г (г) + Г*(/)Я1 '(г) + V '(г )д2' (г) + У(г) = = Ж*(г) Л '(г)Ж(г) + Ж*(г)ч '(г) + у'(г) (20) В левую часть равенства (20) поставим (19). В этом случае,

приравнивая соответствующие выражения относительно

V (г) и V' (г) получили следующую бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Л22'

Л11 '

Я '(г) = 2g(Xo)z(Xo)Л2l(t) + М(Л)Я2(г) Я2'(г) = 2g (х0) г( х0)Л22(г) - Я!(г) у (г) = 2 g (х0) /( х0)Я2(г) -Р

Для решения этой системыдифференциальных уравнений нам не хватают «начальные» условия, которые найдем из «начального» условия (2) для уравнения Беллмана-Егорова.

^Г, Ж ] = Г ([ V (Т, х) - £ (х)]2 + [ V (Т, х) - ^ (х)]2) ах =

0

= V*

5[Т,Ж] = V*(T)Л11(T)V(T) + Т-СОЛ^СТТ '(Т) + V' *Л21(T)V(T) + (23) +v '\Т)Л22(ТУ '(Т) + Г(ТШТ)+V '*(Т)Я2(Т)+у(Т) Приравнивая правые части равенств (22) и (23) имеем начальные условия для системы дифференциальных уравнений (21):

Ru (T ) = E, R12 (T ) = в, R21 (T ) = в, R22 (T ) = E,

q

где в - нулевая матрица. Итак получили задачу Коши

R^(t) = 8/ cos 24 (T -1), Ri-2(t) = 84 sin 24 (t - T),

R2\t) = ! sin 24 (t - T), 4

R2(t) = 8i cos 24 (t - T).

Посленахождения решений (25) переходим к решению последующих двух дифференциальных уравнений. Решение которых имеет вид

q1¿ = C cos 4t + C sin 4t - Pi¿ cos 24 (t - T), q2¡ = -4C sin 4t + 4c2 cos 4t + P2¡ sin 24 (t - T), i = 1,2,3,... где

( 2 1 I ( 4 12

Pu = 2g (xo)z, (x0) + -I, p2, = 2g (xo)z, CxO I ^r -Y+3"

A = P^2 ; /2=-2 ,

cosX¿T 4

C = (A + 4 )cos4T, c = A - (A + h )sin 4T. Отсюда имеем функцию

t

* J- \ _ J- \ лХ J (s С** I

?

0

Итак, из полученных (25)-(27) будет известно функционал S[t,W ], т.е. решение задачи Коши-Беллмана-Егорова (1)-(2), также

градиент m(t, x) = [щ (t, x), m2 (t, x)} функционала

щ (t, x) = ¿ [2 (cos 24 (t - Г)V (t) + 4 sin 24 (t - T)V (t)) + +C cos 4tt + C2 sin 4t — pu cos 24 (t — T)}zf (x),

от

2(t, x) = jj {21 — sin 24 (t - T V (t) + cos 24 (t - T) V '(') I -

n=i ^ 4 )

-4C sin 4 + 4C cos 4t + P2, sin 24 (t - T)}zt (x),

определяеющий точки переключения оптимального управления.

Список литературы

1. Дубинин В., Борохова Н.В., Пашков А.В., Ремизов А.В. Плоская статика. Варианты курсового задания. - Москва, 2015. - 48 с.

2. Калмыков В.Н., Волков П.В., Мещеряков Э.Ю. Разработка интегрированных технологических схем интенсивного освоения запасов приграничных зон карьеров // Комбинированная геотехнология: комплексное освоение и сохранение недр земли материалы международной научно-технической конференции: сборник трудов. 2009. С. 31-33.

3. Палеев Д.Ю., Лукашов О.Ю. Программа расчета вентиляционных режимов в шахтах и рудниках // Горная промышленность. 2007. № 6 (76). С. 20-23.

4. Тимирязев В.А., Хостикоев М.З., Дудко С.В., Таиров И.Е., Вэй Пью Маунг Эффективность комплексной технологии изготовления деталей сложной геометрии на современных многоцелевых станках // Технология машиностроения. 2014. № 11. С. 11-15.

5. Федорчук Ю.М. Азработка способов вовлечения сульфаткальциевых отходов фтороводородных производств в круговорот промышленного использования // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. № 11-2. С. 151155.

6. Хостикоев М.З. Управление геометрией инструмента в процессе обработки // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2011. № 4. С. 319-321.

Кручок Д.Н.

ОЦЕНКА РЕЧЕВОЙ МАСКИ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ СПЕКТРАЛЬНОГО ВЫЧИТАНИЯ

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Ключевые слова: речевая маска, спектральное вычитание, отношение сигнал-шум.

Аннотация: В статье рассмотрена оценка речевой маски зашумленного сигнала, для задачи идентификации диктора. В качестве метода оценки используется модифицированный алгоритм спектрального вычитания. Спектр сигнала получается с помощью слухового банка фильтров в шкале Мел. Оценка маски выполняется