Описание возможности нетривиального продолжения симплициального множества в терминах гомологий комплекса Хохшильда

УДК 512.662.1

DOI 10.21685/2072-3040-2017-3-6

М. В. Ладошкин

ОПИСАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ НЕТРИВИАЛЬНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ СИМПЛИЦИАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА В ТЕРМИНАХ ГОМОЛОГИЙ КОМПЛЕКСА ХОХШИЛЬДА

Аннотация.

Актуальность и цели. Процесс создания аналогов алгебраических структур, сохраняющихся при переходе к гомотопиям, является в настоящее время актуальной проблемой алгебраической топологии. Автором ранее было построено высшее симплициальное множество, которое является гомотопически устойчивым аналогом симплициального объекта, описаны объекты, на которых существует данная структура. Полученные результаты были соотнесены с результатами В. А. Смирнова для симплициальных множеств, выявлены существенные различия. В данной статье согласно общему методу исследования гомотопически устойчивых аналогов рассматривается структура множества всевозможных продолжений симлициальных объектов до гомотопически устойчивых аналогов. С этой целью в работе выявляется связь гомологий Хохшильда с возможностью нетривиального продолжения симплициального множества.

Материалы и методы. Все утверждения и конструкции приводятся над полем характеристики два. Подобный прием позволяет избежать определения знаков и необходимости следить за ними при преобразованиях. В алгебраической топологии все основные результаты, полученные над полем характеристики два, могут быть обобщены для случая произвольного поля, что является технической задачей.

Результаты. Описано условие, при котором возможно нетривиальное продолжение симплициального множества до его гомотопически устойчивого аналога - высшего симплициального множества. Формулировка этого условия приводится в терминах гомологий комплекса Хохшильда.

Выводы. Результаты статьи позволяют делать вывод о возможности нетривиального продолжения симплициальной структуры, а также изучить вопрос количества нетривиальных структур с точностью до изоморфизма.

Ключевые слова: симплициальное множество, гомологии Хохшильда, скрещивающие коцепи, высшие симплициальные множества, эквивалентность коцепей, изоморфизм симплициальных множеств.

M. V. Ladoshkin

DESCRIBING A POSSIBILITY OF NON-TRIVIAL CONTINUATION OF SIMPLICIAL SETS IN TERMS OF THE HOMOLOGY OF THE HOCHSCHILD COMPLEX

Abstract.

Background. The process of creating analogues of algebraic structures that persist during the transition to homotopy is currently an urgent problem of algebraic topology. Previously, the author built a higher simplicial set, which was a stable homotopy analogue of the simplicial object described by the objects on which

this structure exists. The obtained results were compared with the results of V. A. Smirnov for simplicial sets and turned out to be significantly different. Following the general method of homotopically stable analogues studying this article considers the structure of many kinds of simplicially objects' continuations up to homotopically stable analogues. With this in mind, the work reveals the link of the Hochschild homology with a possibility of non-trivial continuation of simpli-cial sets.

Materials and methods. In the work all the claims and constructions are shown in the field of characteristisc two. Such a method allows to avoid defining characters and keeping track of them when they change. In algebraic topology, all the main results obtained in the field of characteristic two, can be generalized for the case of arbitrary fields, which is a technical problem.

Results. The article describes a condition under which nontrivial continuation of a simplicial set to its homotopically stable analogue - higher simplicial sets. The wording of this condition is given in terms of the homology of the Hochschild complex.

Conclusions. The results of the article allow to draw a conclusion about the possibility of continuing a non-trivial simplicial structure, and explore the question of the number of non-trivial structures with accuracy up to isomorphism.

Key words: Simplicial set, Hochschild homology, crossing cochains, higher simplicial sets, equivalence of crossing cochains, isomorphism of simplicial sets.

Введение

В современной алгебраической топологии одной из серьезных проблем является исследование аналогов алгебраических структур, которые сохранялись бы при переходе к гомотопиям. На практике это означает построение структур, которые при наложении ограничений или в частном случае совпадали бы с ранее изученными, а при замене объекта на гомотопически эквивалентный совпадали бы с точностью до некоторого отношения эквивалентности, которое описывалось бы в соответствующих терминах. Основные работы по созданию гомотопически устойчивых объектов относятся к 1980-1990-м гг. В них Дж. Мэй, Т. Кадеишвили, В. Смирнов получили аналоги дифференциальных и ассоциативных алгебр [1], которые получили название Аш-алгебр и Аш-модулей над Аш-алгебрами.

В работе [2] автор представляет построение аналога симплициального объекта, доказывая теорему существования, причем доказательство осуществляется путем предъявления соответствующей структуры. В работе [3] автором строится комплекс Хохшильда для симплициальных объектов с согласованным дифференциалом, вводятся новые операции на построенном комплексе и исследуется их связь с дифференциалом по аналогии с работами [4, 5]. В этой же работе проводится сравнение полученной структуры с результатами В. А. Смирнова.

В представленной работе рассматривается возможность построения нетривиального с точностью до изоморфизма продолжения структуры симпли-циального множества до гомотопически устойчивого налога, в роли которого выступает высшее симплициальное множество. С помощью техники скрещивающих коцепей устанавливается связь между гомологиями комплекса Хох-шильда и высшими симплициальными множествами.

В статье все вычисления, а также формулировки утверждений и конструкции теорем осуществляются над полем конечной характеристики (для простоты выбрано поле Z2). Опыт использования данного метода в алгебраической топологии позволяет утверждать о справедливости полученных для него утверждений и в случае произвольных полей.

1. Описание комплекса Хохшильда для симплициального множества и дополнительных операций на нем

Рассмотрим цепной комплекс X, т.е. прямую сумму модулей X = Х., в которой X. - модуль, снабженный индексированными отображениями : Ху ^ Ху _, которые называются дифференциалами и удовлетворяют условию

ёу (ёу+1) = 0.

Рассмотрим на данном цепном комплексе структуру симплициального множества в смысле работы [6], причем предположим, что действие операторов граней и вырождений будут перестановочны с дифференциалом

ё д. = д.ё, dsi = .

Напомним определение комплекса Хохшильда, построенного ранее в работе [3] для случая симплициального объекта.

Определение 1. Будем называть комплексом Хохшильда для симпли-

*

циального объекта и обозначать СБ (X) подмножество множества Нот(X,X), образованное всеми отображениями, которые можно индексировать двумя последовательностями натуральных чисел, т.е.

CX*(X) = {/ е Нот(X,X), такие что / = /Ы^к : xm ^ Xm_+к,

г1,г ,...,1г

^, ]г _ натуральные числа, т = тах(,, ¡,), ¡1 < ¡2 < - • • < г,; к < к < - • < 7к },

с кодифференциалом 8, действие которого определяется по следующему правилу:

8/

в котором суммирование предполагается по всевозможным отображениям,

отображениям /}к (х) . Другими словами, перебор отображений можно

¡1,г2,..,г,

рассматривать как перебор всех наборов индексов, удовлетворяющих условию , + к = т .

Проводя аналогии с аналогичными построениями, проведенными автором в [4, 5] для модулей над алгебрами и соответствующими комплексами

* *

Хохшильда, в работе [3] была определена операция V: СБ (X) ^ СБ (X), которая является перестановочной с дифференциалом в построенном комплексе Хохшильда, т. е. для нее выполняется условие

8^ = V8/.

2. Описание возможности продолжения симплициального объекта до высшего симплициального множества в терминах гомологий комплекса Хохшильда

В данном подразделе рассмотрено использование гомологий Хохшильда для описания возможности гомотопически устойчивого продолжения симплициального множества.

Одним из приемов, используемых при построении продолжений алгебраических структур [4, 5], является использование техники скрещивающих коцепей как операций, связывающих дополнительные операции на цепном

комплексе с дифференциалом. Сформулируем понятие скрещивающей коце-

*

пи для комплекса Хохшильда СБ (X) симплициального множества X .

Определение 2. Скрещивающей коцепью для комплекса Хохшильда

* V ч /1 /о ... /к

СБ (X) симплициального множества X назовем элемент / = > г ' .' , удовлетворяющий условию

V/ = 0,

где V - отображение из работы [3].

Термин «скрещивающая коцепь» используется в данном случае по аналогии с подобными отображениями для модулей над дифференциальными ассоциативными алгебрами и дифференциальных алгебр. Следующее определение позволяет сформулировать отношение эквивалентности для скрещивающих коцепей.

Определение 3. Две скрещивающие коцепи / и /, принадлежащие

*

комплексу Хохшильда СБ (X) симплициального множества X, будем называть эквивалентными и обозначать / ~ /, если существует отображение

g : СБ*

где g - автоморфизм цепного комплекса X такой, что

= f!i27kg

для любых /Лу'2,....^к е /, Л•;2• .,е / . В работе [3] автором доказана

Теорема 1. Отношение = из определения 3 является отношением эквивалентности.

Рассмотрим множество всех скрещивающих коцепей комплекса Хох-

*

шильда СБ (X) . Поскольку введенное нами отношение = является отношением эквивалентности, то мы можем провести факторизацию по этому отно-

*

шению. Полученное фактор-множество будем обозначать через Б(СБ ). Поскольку отображение V является цепным, то данное множество будет иметь

связь с гомологиями комплекса Хохшильда для симплициальных множеств

*

Н(СБ (X)), описываемую следующей теоремой.

Теорема 2. Если Н(СБ (X)) = 0, то Б(СБ ) состоит только из тривиальной коцепи, т.е. коцепи, для которой все высшие составляющие (имеющие более одного индекса) будут равны нулю.

Доказательство. Так как Н(СБ (X)) = 0, то любой элемент

*

к / е СБ (X), удовлетворяющий условию 8/ = 0 , является образом некоторого элемента при дифференцировании, т.е. существует g такой, что / = 8g . Отсюда следует представимость любого высшего симплициального оператора (оператора высших граней, высших вырождений или смешанного) в виде последовательности действия простых операторов симплициальных граней и вырождений на симплекс соответствующей размерности, т.е. мы можем

представить действие любого элемента /к1,к2,".'кк е / как набор граней и вы-

¡1 ,¡2,...,.,

рождений. Нам необходимо показать существование отображения эквивалентности между произвольной коцепью и тривиальной. В роли такого отображения может выступать любой симплициальный автоморфизм, поскольку за счет представления произвольной коцепи в виде последовательности простых симплициальных граней и вырождений и применения симплициальных

соотношений отображение /к1,к2,' . ,кк е / может быть переставлено местами

¡1 ,¡2,...,.,

с нулевым.

Справедливость доказанной теоремы дает еще одно обоснование

*

для названия комплекса СБ (X) комплексом Хохшильда для симплици-

альных объектов. Все рассмотренные элементы, такие как скрещивающие коцепи и гомологии Хохшильда, дают возможность получить о симплици-альном объекте с введенной согласованной дифференциальной структурой ту же информацию, что их аналоги для случая ассоциативных дифференциальных алгебр и модулей над ассоциативными дифференциальными алгебрами.

Опишем теперь связь скрещивающих коцепей в комплексе Хохшильда для симплициального множества с возможностью существования нетривиальных структурой высших симплициальных множеств на цепном комплексе с дополнительной структурой симплициального множества. Высшие симпли-циальные множества, определенные автором в работе [3], будем обозначать для краткости Б^ -множеством, не делая различия между высшим симплици-альным множеством и высшим симплициальным объектом (в нашем случае различие между ними несущественно для общей конструкции).

На множестве всех высших симплициальных множеств существует отношение изоморфизма симплициальных множеств, являющееся, очевидно, отношением эквивалентности. Будем обозначать через БX) множество всех структур высшего симплициального множества на X, согласованное с заданной структурой симплициального множества на цепном комплексе, профакторизованное по отношению быть изоморфными как высшие симпли-циальные множества. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Множества Б(СБ ) и БX) биективны.

Доказательство. Поставим в соответствие каждому высшему симпли-

циальному множеству элемент / = /^^—Лк е СБ (X) по следующему

г1,г2,...,.

правилу:

где символы под символом понимаются как рассматриваемые

г1,г2,."Л

в обобщенном виде составляющие высшего симплициального оператора из [3].

При указанном отождествлении составляющие отображения

*

/ е СБ (X) будут удовлетворять условию

2 2г°(^Х...,«^)г°(^.ц),...,а(^к) = ^

где суммирование идет по всем перестановкам из симметрической группы Бк и по множеству 1а всех возможных представлений набора {а(/1),...,а(/t)} в виде двух строго упорядоченных по возрастанию поднаборов {а(/1),...,а)} . Значения символов г§( ) §( ) вычисляются в соответствии с определением высшего симплициального оператора [3]. Отсюда следует, что элемент

/ = { /;/1У2,'у'/к } будет удовлетворять условию (3) и, следовательно, являться

I г1,г2,.... J

скрещивающей коцепью. Аналогично доказывается и обратное - любая скрещивающая коцепь может быть отождествлена со структурой высшего симплициального множества. По существу, каждая коцепь является изображением структуры высшего симплициального множества , и наоборот.

Если два элемента / = { /. к/2,".''-/к } и / = { /]} будут принад-

I \,12,...,Ч ) I г1,г2,...,. J

лежать одному классу эквивалентности в О(СБ ), то между ними существует отображение g , удовлетворяющее условиям (4) и (5). Существование данного условия является равносильным выполнению условий изоморфизма двух Б^ -множеств, и в качестве доставляющего эту эквивалентность отображения может быть взят собственно изоморфизм высших симплициальных множеств. Таким образом, двум эквивалентным коцепям будут соответствовать изоморфные высшие симплициальные множества, и наоборот, двум изоморфным Б^ -множествам соответствуют скрещивающие коцепи, принадлежащие одному и тому же классу эквивалентности в О (СБ ) .

Из теорем 2 и 3 напрямую следует следующее утверждение, которое описывает связь гомологий комплекса Хохшильда с возможностью существования нетривиального продолжения структуры симплициального множества до высшего симплициального множества.

*

Теорема 4. Если Н (СБ (X)) = 0, то на цепном комплексе X с согласованной структурой симплициального множества любая структура высшего симплициального множества будет изоморфна тривиальной.

На самом деле структура гомологий Хохшильда позволяет определить число различных структур S^ -множества с точностью до изоморфизма. Оно будет равно числу образующих элементов в группе гомологий. Данное утверждение не имеет аналогов в случае дифференциальных ассоциативных алгебр и модулей над ними, а также в работах В. А. Смирнова [7].

Заключение

В рамках данной статьи автором была установлена связь между возможностью построения нетривиального продолжения симплициальной структуры до гомотопически устойчивого аналога и структурой цепного комплекса Хохшильда для исходного симплициального множества. Описание возможности построения такой структуры получено в терминах гомологий Хохшильда, что позволяет определить число различных структур на заданном симплициальном множестве с точностью до изоморфизма. Таким образом, в рамках статьи полностью решена проблема построения гомотопически устойчивого аналога симплициальной структуры.

Библиографический список

1. Кадеишвили, Т. В. К теории гомологий расслоенных пространств / Т. В. Кадеишвили // Успехи математических наук. - 1980. - Т. 35, № 3 (213). -С. 183-188.

2. Ладошкин, М. В. Гомотопически устойчивый аналог симплициального объекта / М. В. Ладошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 3-11.

3. Ладошкин, М. В. Дополнительные операции для комплекса Хохшильда для симплициального множества / М. В. Ладошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 4 (36). -С. 20-28.

4. Ладошкин, М. В. А„-модули над А„-алгебрами и когомологии Хохшильда для модулей над алгебрами / М. В. Ладошкин // Математические заметки. - 2006. -Т. 79, № 5. - С. 717-728.

5. Ладошкин, М. В. Структура А„-модуля над алгеброй многочленов в кольцах Стенли-Райснера / М. В. Ладошкин // Математические заметки. - 2007. - Т. 82, № 2. - С. 224-231.

6. May, J. P. Simplicial objects in algebraic topology / J. P. May. - Van Nostred, Math. Studies. - 1967. - № 11. - 162 p.

7. Смирнов, В. А. Симплициальные и операдные методы в теории гомотопий / В. А. Смирнов. - М. : Факториал Пресс, 2002. - 306 с.

References

1. Kadeishvili T. V. Uspekhi matematicheskikh nauk [Progress of mathematical sciences]. 1980, vol. 35, no. 3 (213), pp. 183-188.

2. Ladoshkin M. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 4 (24), pp. 3-11.

3. Ladoshkin M. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 4 (36), pp. 20-28.

4. Ladoshkin M. V. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2006, vol. 79, no. 5, pp. 717-728.

5. Ladoshkin M. V. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2007, vol. 82, no. 2, pp. 224-231.

6. May J. P. Simplicial objects in algebraic topology. Van Nostred, Math. Studies. 1967, no. 11, 162 p.

7. Smirnov V. A. Simplitsial'nye i operadnye metody v teorii gomotopiy [Simplicial and operad methods in the homotopy theory]. Moscow: Faktorial Press, 2002, 306 p.

Ладошкин Михаил Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: m01051977@mail.ru

Ladoshkin Mikhail Vladimirovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, head of sub-department of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevev

УДК 512.662.1 Ладошкин, М. В.

Описание возможности нетривиального продолжения симплици-ального множества в терминах гомологий комплекса Хохшильда /

М. В. Ладошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 65-72. Б01 10.21685/2072-3040-2017-3-6