Моделирование теплового состояния полубесконечной пластины при воздействии плазменного потока

УДК 62-97:691.001.57:681.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЛАЗМЕННОГО ПОТОКА

A.M. Шиляев, Г.Г. Волокитин, И.А. Лысак

Решена задача моделирования теплового состояния образца композиционного теплозащитного материала при воздействии на него потока низкотемпературной плазмы. Выполнен выбор оптимальных условий проведения эксперимента по определению зависимости коэффициента теплопроводности изделий от температуры в условиях интенсивного нагрева. Решена коэффициентная обратная задача теплопроводности. Выполнен анализ влияния ошибок измерений на точность определения коэффициента теплопроводности.

Численное моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим методам исследования.

В настоящей работе ставилась задача моделирования теплового состояния образца композиционного теплозащитного материала при воздействии на него потока низкотемпературной

плазмы высокой плотности (q = 5-105 ч-1,5-106 Вт/м2) для выбора оптимальных условий проведения эксперимента по определению зависимости коэффициента теплопроводности изделий от температуры в условиях интенсивного нагрева [1].

В таком эксперименте датчики температуры и плотности теплового потока заделываются в тело образца, который устанавливается на координатном устройстве, обеспечивающем равномерное его прохождение через плазменную струю на заданном расстоянии от среза сопла плазмотрона. При этом датчики регистрируют изменение во времени теплового поля в материале образца, а также величину плотности действующего на поверхность теплового потока.

Для вычисления температуры в узлах пространственно-временной сетки численно реша-

где р - плотность;

Ср - теплоемкость;

X - теплопроводность материала; т - время; Т -температура; х - координата.

Начальные и граничные условия для полубесконечной пластины записывались в виде

лось одномерное уравнение теплопроводности

x = 0:T = TQ;0<x<d;

х = 0:-Х— = q, т>0;

dx

x = d: — = 0;т>0, dx

где с1 - толщина образца;

д - плотность теплового потока.

В математической модели приняты следующие допущения:

- плотность теплового потока д и коэффициент теплоотдачи а не изменяются во времени;

- внутренние источники тепловыделения в образце отсутствуют, IV = 0;

- эффективный коэффициент теплопроводности является функцией только температуры,

Х = ДТ).

Для решения такой задачи разработана компьютерная программа, интерфейсная часть которой изображена на рис. 1, позволяющая получить представление о характере изменения температуры в теле образца и, зная физические характеристики материала, подобрать режимы проведения эксперимента по определению его теплопроводности.

Зависимость теплопроводности от температуры:

X = k,

Характеристики материала

кг/мл3 ДжДкгС)

Схема задачи

Плотность мат-ла.. 11200

Теплоемкость м-ла |1500

Начальные и граничные условия

Т.С lamda» 7.44132

Температура ТО......Р

T=Tw

Температура Т1 ......F"

-ia

Пл-тьт. потока.

Г

1 = 488.26 С

1

То = 20.00 С

q

Коорд-а = 0.0090

Темп-а = 3.60949880009553Е+0002

Коорд-а»0.С._-Темп-а = 2.52550290492733Е +0002

Коорд-а = 0.0070

Темп-а = 1.67222758197140Е +0002

Макс, температура датчиков, С [400 j q Температура датчиков

1000000

Вт/мА2 ! dоптим. = 0.0036764706 м

Х.м

Исходные данные

Координаты датчиков, мм Преда (Факт ) ;

in "Ц F 1 000 > Толщина образца, мрГш Количество узлов.......... 500

Погрешность заделки j 1__ j __ л ^ ,—

датчиков, + £от1 мм jg ^ р " 2.000 j Время нагрева, сек |2 Шаг (tau = b*hA2/a] b= ¡100

Погрешность определения температуры датчиков, t %

Задать

гзг

1.000

Рис. 1 - Интерфейсная часть программы для моделирования теплового состояния полубесконечной пластины при воздействии плазменного потока

Например, для композиционного материала с плотностью р = 1200 кг/м3, теплоемкостью С р = 1500 Дж/(кгК), толщиной образца й = 0,01 м и с заделкой термодатчиков на глубине 5, равной 1, 2 и 3 мм от нагреваемой поверхности, предположим линейную зависимость коэффициента теплопроводности от температуры \ = (1 + к2Т), где = 5, к2 = 0,001. Тогда при воздействии на

образец тепловым потоком плотностью ц - МО6 Вт/м2 в течение двух секунд (т = 2с) максимальная температура на поверхности образца составит Т = 488,26°С, что не приводит к плавлению материала, а значения температур в местах заделки термодатчиков рассчитываются в каждый момент времени.

Кроме того, созданная компьютерная программа позволяет искусственно задавать как погрешность измерительного тракта, так и неточность позиционирования датчиков в образце, сохранять полученные результаты в табличном виде для последующей обработки другими приложениями. Это дает возможность подготовки экспериментов и численного тестирования методики определения коэффициента теплопроводности нестационарным методом [2] с необходимой точностью.

Как в процессе работы программы, так и в ходе эксперимента происходит накопление массива дискретных значений температур датчиков, определенных с той или иной погрешностью. Это требует предварительной подготовки данных.

Для приведения термограмм к виду, удобному для обработки, применено нелинейное сглаживание по семи точкам на основе полинома третьей степени. Для вычисления' промежуточных значений температуры применялся метод линейной интерполяции. Результат этих операций применительно к термограммам датчиков, заделанных в образце на глубине 1, 2 и 3 мм от нагреваемой поверхности, изображен на рис. 2.

Гс

600-

500-

400 -

300-

200-

100-

0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 С

Рис. 2. Изменение температуры в теле образца, точки - экспериментальные значения; линии - сглаженные значения

Кроме того, теплофизическим экспериментам присущ фактор уникальности, делающий невозможным повторение одного и того же эксперимента с абсолютно идентичными параметрами, особенно в условиях высоких температур. Поэтому возникает необходимость в определе-

нии управляющих характеристик теплового воздействия на материал образца в процессе каждого эксперимента. Такой характеристикой для нестационарной методики является плотность теплового потока.

Для оценки плотности теплового потока на поверхности материала в образец, помимо термодатчиков, заделывался экспоненциальный датчик. Поверхностная плотность теплового потока по показаниям датчика вычислялась по формуле

дТ ат

где </к - кондуктивные потери в изолятор датчика,

- потери тепла излучением в окружающую среду;

5 = у[ат- характерная толщина, которая приближенно равна глубине проникновения теплового потока за время т в материал, обладающий температуропроводностью а = X/рСр .

В последнее время в теории и практике исследования теплообменных процессов, в тепловом проектировании и моделировании тепловых режимов технических систем интенсивно развивается направление исследований, основывающихся на принципах обратных задач теплообмена, в частности теплопроводности. Особое распространение эти методы получили при экспериментальном изучении нестационарных тепловых процессов, сопровождающих работу теплонагруженных агрегатов различных тепловых машин, при определении теплофизических характеристик материалов, построении и корректировке математических тепловых моделей технических систем и в ряде других случаев В нашем случае решение обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) позволяет восстановить зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Исходными данными для такой

задачи являются:

- физические и геометрические параметры материала;

- качественные и количественные характеристики теплового воздействия на границах образца;

- сглаженные и интерполированные термограммы датчиков.

Далее решение ОЗТ предполагает минимизацию функционала, в качестве которого использована невязка рассчитываемых при решении уравнения теплопроводности и экспериментально измеренных значений температуры в каждый момент времени для трех датчиков:

/=0 /=1

где У - номер текущей температуры;

- номер датчика;

Три - расчетные значения температур;

Т - экспериментальные значения температур.

Задача минимизации функционала решена для каждого элементарного отрезка кривой зависимости теплопроводности от температуры, описываемого линейным сплайном, методом

нерегулярных симплексов, не требующим определения градиентов, что упрощает алгоритм программы и позволяет значительно сократить время решения ОЗТ. Интерфейсная часть программы обработки экспериментальных данных представлена на рис. 3.

Коэффициенты:

Отражения (1 Сжатия |0.5 Растяжения [2 Шаг [об"

Начальное приближение: lamda=X1fl+X2T)

xi =[Г

Точность:

[ТЕ-20

гр-к Температуры

гр-к Т-проводности

Сглаживать 100 раз за одно нажапгие

100

Загрузить данные i

Сглаживание

Сжатие Растяжение Отрзжение Редукция

1 93734 356.49130 252.58140154.95808 1 95180 357.18163 254.41344155.84652 1 96826 356.60266 255.55636156.67792 1 98071 354.43973 255 82055158.17151

1 99517 350.37476 255.01386 160.24816

2 00963 344.09303 252.94655163.02716

Пуск I Вставить | Изменить

"3

Выход

Меньше <•

Исходные данные

Время нагрева, сек 2 Толщина образца, м Кол-во узлов

Характеристики материала

П лотност ь, кг/мл3 1200

Теплоемкость, ДжДкгС) (1500 Начальные и граничные условия

Начальные, То, С Граничные, Т1,С Граничные, я, Вт/мл2 1аи=Ь*Ь"2/а 1апк1а исходная

Ь = ГТо XI [5 Х2|0.001

20 (го"

К-ты датчиков, мм

lemd*

Hit«Alt. k! ~ 5.000 k2 s O.OOI

Barer Itl г «.424 kl - e.ooi

13498

3M.C63 t.C

Рис. 3 - Интерфейсная часть программы обработки экспериментальных данных

Таким образом, нами решена задача моделирования теплового состояния образца композиционного теплозащитного материала при воздействии на него потока низкотемпературной плазмы, выполнен анализ влияния ошибок измерений на погрешность определения коэффициента теплопроводности. Установлено, что для определения коэффициента теплопроводности с погрешностью не более 10 % достаточно обеспечить относительную ошибку измерения температуры в пределах 20 %.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лысак И.А. Экспресс-методика диагностирования теплофизических свойств тепло- и огнезащитных строительных материалов II Материалы второго международного научно-технического семинара «Нетрадиционные технологии в строительстве», 30 мая - 1 июня 2001 г. -Томск: Изд-во ТГАСУ, 2001. - С. 81.

2. Шиляев A.M., Волокитин Г.Г., Лысак И.А. Применение ОЗТ для определения теплопроводности строительных материалов // Сопряженные задачи механики, информатики и экологии: Материалы Международной конференции, 15-20 сентября 2002 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.-С. 171.