Статистически однородные случайные графы: определение, генерация, применение

мембранного потенциала от логарифма отношений концентраций 1_п(С2/С1), рассчитанного с помощью уравнения Нернста в случае проницаемости мембраны для анионов. Из графика следует, что мембранный потенциал подчиняется логарифмической зависимости от отношения концентраций растворов. Сопоставление экспериментальных и теоретических значений мембранного потенциала показывает, что экспериментальные данные не согласуются с уравнением Нернста. Наблюдае тся значительное угловое расхождение линий. Отношение средних значений угловых коэффициентов для двух линий на графике составляет 0,53. Мембранный потенциал принимает положительные значения в растворе с большей концентрацией, что указывает на преимущественную проводимость мембраны для анионов С1".

Существенное расхождение между экспериментальной и теоретической линиями на графике указывает на то, что мембрана МА-40 проницаема как для анионов С1~, так и для катионов .

Проведенные с помощью уравнен ия Гольдмана [1) расчеты показали, что полученным экспериментальным данным соответс твует отношение проницаемостей мембраны для катионов и анионов Р№/ Ро=0,18.

Работа выполнена в лаборатории на кафедре медицинской и биологической физики Омской государ-

ственной медицинской академии. Предложенная методика измерений может найти приложение при изучении механизма возникновения мембранного потенциала в растворах на лабораторных работах по курсу биофизики, а также в научных исследованиях.

Библиографический список

1. Биофизика / Антонов В.Ф., Черныш ДМ. [и др.): учебник для вузов. — М.: ВЛАДОС, 2000. — 288 с.

2. Рубин ДБ. Биофизика. Кн. 1: Теоретическая биофизика. — М.: Высшая школа, 1987. — 317 с.

3. Владимиров Ю.А. |идр.| Биофизика. - М.: Медицин, 1983. — 272 с.

4. АнтроновЛ-ИТеоретическаязлектрохимия. — М.:Высш. шк., 1975. — 568 с.

ЧЕРНОВ Юрий Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информационных систем.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 29.06.2009 г.

© Ю. П. Чернов

удк 681.3.06 в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Е. Б. ЮДИН

Омский государственный технический университет

СТАТИСТИЧЕСКИ ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ГЕНЕРАЦИЯ, ПРИМЕНЕНИЕ_______________________________________

Вводится понятие статистически однородного графа (СОГ), охватывающее ряд широко известных графовых моделей и позволяющее строить множество новых. Предлагаются методы построения разнообразных СОГ. Рассматриваются прикладные задачи, эффективно решаемые путем представления больших сетевых структур в виде случайных СОГ.

Ключевые слова: статистически однородный случайный граф, безмасштабный случайный граф, пуассоновский случайный граф, планарный случайный граф, генерация случайных графов.

1. Введение

В последние годы резко возрос интерес к исследованию больших сетевых структур (БСС), таких как сложные социальные и биологические сети, инженерные коммуникации, транспортные се ти мегаполисов, межмолекулярные взаимодействия в различных средах и т.д. Большие размеры и сложность БСС обусловили рост разнообразия их стохастических моделей — случайных графов (сл.г.) и становление теории сл.г. как самостоятельной научной дисциплины.

Одним из наиболее широко известных видов сл.г. является г раф Эрдеша-Реньи [1, 2|. Его генерируют

на N вершинах: всякую их пару случайно, с вероятностью р, связывают ребром. Различные характеристики такого графа — коэффициент кластеризации, диаметр, вероятности появления тех или иных подграфов и др. — выражены через его параметры N и р [3]. Локальная степень связности (связность) к его вершин имеет биномиальное распределение вероятностей и в среднем равна (k) = p (N-1). В дальнейшем нас будут интересовать бесконечные или очень большие графы. Очевидно, при N-*°° и (к) = const биноминальное распределение связности к становится пуассоновским (отсюда второе название графа Эрдеша-Реньи — пуассоновский граф).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 <ВЗ> 2009

Граф Эрдеша-Реньи является простейшим сл.г.: наличие связи между любыми двумя его вершинами определяется «чистой случайностью», независимо от наличия связей между другими вершинами. На его конфитурацию не накладывается никаких ограничений. При конечном N он может получи ться полным или пустым, планарным или не планарным, состоять из одной или из нескольких компонент связности и т.д. Это делает его непригодным для моделирования многих реальных сетей. Поэтому большое число работ по теории сл.г. посвящается исследованию других их видов [4,5,6].

Задачей, решаемой в настоящей статье, является разработка общей математической основы для описания и анализа различных видов сл.г., применяемых при моделировании БСС. В качестве такой основы предлагается использовать класс статистически-од-нородных графов (СОГ). Дается формальное определение статистической однородности графа, рассматриваются конс труктивные подходы к построению и анализу СОГ, обсуждаются области их применения.

2. Scale-free графы

Ещё в 1965 г. Д. Прайс на примере сети цитирования показал, что в реальном мире существуют большие сети, связность узлов в которых распределена не по биномиальному, а по степенному закону [7]. Позже он объяснил происхождение степенного закона особенностью генезиса таких сетей, названной им «кумулятивным преимуществом», а ныне более известной как «предпочтительное связывание». Если, начиная с небольшой «затравки», сеть растет таким образом, что новые узлы «предпочитают» присоединяться к узлам с высокой связностью, т.е. если вероятность р, связывания с <-м узлом пропорциональна его связности к-

p,=V2A.

то с ростом сети распределение связности к сходится к асимптотически-степенному закону Ок « к'а, где О* - вероятность значения к (к = т,т + \,... ; т > 1 — число связей, добавляемых с каждым новым узлом), а>1 — константа.

В 1999 г. Р. Альберт и А. Барабаши [4] в ходе исследования сетей web-сайтов переоткрыли подход Д. Прайса, и сл.г., генерируемые по правилу предпочтительного связывания (1), теперь нередко именуют графами Барабаши-Альберг. Сами Р. Альберт и А. Барабаши дали своим графам название scale-free (безмасштабные) графы, подчеркивая этим принадлежность распределения Ок к к " классу масштабноинвариантных распределений. Эти распределения — степенные, асимптотически-степенные, гиперболические — широко распространены, например, в экономической статистике (благодарятрудам В. Парето), в теории стохастических фракталов [8] и в теории сетевого трафика [9, 10]. Таким образом, scale-free графы — это асимптотически-степенные графы. В последовавших за работой |4] интенсивных публикациях А. Барабаши и другие авторы убедительно показывают, что scale-free графы адекватно описывают многие сетевые структуры, изучаемые различными прикладными науками.

Scale-free графы (как и графы Эрдеша-Реньи) рассматриваются нами как частные случаи статистически однородных графов (СОГ) — базовой математической модели больших се тей, разрабатываемой в статье. Обзор публикаций о scale-Ггее графах с этой I точки зрения приводит к необходимости уточнения

ряда недостаточно освещенных моментов, включая следующие: 1) каково точное распределение связности вершин scale-free графов; 2) насколько распределение связности обусловливает структурные свойства графа; 3) насколько структурные свойства г рафа обусловливаю тся методом его генерации.

3. Точное распределение связности вершин scale-free графа

Положим, для простоты, что генерация scale-free графа начинается с «затравки» — полного графа на 2т + 1 вершинах (/п>1) — и выполняется следующим стандартным методом. На каждом шаге генерации к имеющемуся Л/-вершинному графу добавляется одна вершина и связывается т ребрами со случайно выбранными, в соответствии с вероятностями (1), вершинами имеющегося графа. Тогда на любом шаге t генерации графа (< = 1, 2,...) минимальная связность его вершин составляет kmln = яг, а средняя связность (к) = 2т.

Разобьём на шаге I множество всех вершин имеющегося графа на подмножества АК (слои) вершин, содержащие вершины с одинаковой связностью к [к = т,т +1,...). Вероятность Ок слоя Ак определим как вероятность попадания в этот слой при случайном (равновероятном) выборе любой из N вершин имеющегося графа; Ок =|Aj / N, где |АЛ| — число вершин со связностью к. Вероятность того, что в бесконечном scale-free графе случайно выбранная вершина имеет связность к, найдем как предел вероятности Ок при /-»<*•.

На шаге / вероятность Рк выбора вершины из слоя Ак для связи с новой вершиной (данным ребром из т ее ребер) определяется по правилу предпочтения:

X л К

rk Z-.l-'l v’N і

(«Л. Lm*/

kOkN

К I*

5L*

юк

Финальную вероятность Ок, достигаемую в пределе при (-*<*>, найдем из уравнения баланса вероятностей, которое составим следующим образом.

За один шаг генерации в граф добавляется одна вершина с т рёбрами. Число |Ат| вершин слоя А,„ увеличивается на 1 (в этот слой попадает новая вершина) и одновременно уменьшается (т.к. из этого слоя уходят вершины, когда к ним присоединяется новое ребро) в среднем на тРт = т1 От /(к) вершин. Уравнение баланса получим, формально приравнивая выражения для От до и после выполнения шага генерации:

О, =

_ Ищ| _ Ит| +\-т2От /{к)

N

N +1

или

К1 -Ы+ К1= н-\Ат\ +Ы - NmiOm /(к).

Учитывая, что |Лш|= N0,,,, делим обе части уравнения на N и находим

О =—— — m <к) + т2

Аналогично получаем уравнение баланса при к> т - Число |Л4| за один шаг генерации в среднем

(за счет прихода вершин из слоя Ак_,) возрастает на тРк , = т(к-1)Ок ,/(к) и уменьшается на тРк = = ткОк /{к). Уравнение баланса

<?» =

KI.

KI+

т(к-\)Ок_, тк-Ок

N Л/ + 1

дает для финальных вероятностей соотношение:

0=0 т-^к—1У , к>т +1.

<к) + тк

Рекуррентное определение (3), (4) последовательности Ок, к = т,т +1,... позволяет найти для Ок явное выражение. Подставляя (к) = 2т в (3), (4), имеем:

при к = /п:

Qm=-

<*>

2т

т (k)+mi 2т + т' гп + 2 при к = ш + 1:

— I ~

2т

т + 3

т +1

2т

при к = т+ 2 -

* = ^т-г = Фя-И 7 = - —— —“ — ,

/77 + 4

при к = т + 3-

= 3 ~

или, в общем виде,

777 + 2

2т

777 + 5 (777 + 3) (/П + 4) (/П + 5) '

_ 2777(777 + 1) ,

Ок ----------5------—. к>т-

Щ + 1)

3). В программном генераторе scale-free графа случайный выбор вершины в соответствии с вероятностью (1) целесообразно выполнять в два этапа: вначале по распределению (2) следует разыграть номер слоя вершин, и затем взять любую вершину этого слоя равновероятно. Эксперименты с генерацией графов размером 500 — 10000 вершин показали, что такой генератор работает на порядок быстрее генератора системы моделирования AnyLogic и в десятки раз быстрее генератора распространенной библиотеки JUNG (Jung.soureeforqe.net).

4). Если при построении графа применять функцию предпочтения [> о (любую), задавая вероятность привязки к /-Й вершине в виде р, = /(Л, )/£,/(£,), то, согласно уравнениям баланса, ряд распределения Ок будет иметь вид

п

От =-

а + т  f{m)1

Распределение связности (5) отвечает условию нормирования ^кгп1Ок =1:

V О = У 2/77(777 + 1) _

к[к + \)

= 777(/77 + 1)-У {-----------— + —!—1—1.

‘-Ч& к + \ к + 2)

Примечания.

1). В [4] для Ок найдена асимптотическая оценка Ок ~2тгк ', используемая в форме плогносги /(в) = = 2т в, я > т. Эта смещенная оценка дает несмещенную оценку средней связности вершин: (к) =

- [ = 2т

2). Точное распределение (5) найдено также (другим методом) в работе [11]. Результаты [11 ] и настоящей статьи, полученные независимо, совпадают.

л л mf

°'-°k-'a+m-f{k)' ik = m+i,m+Z...).

где (если такое распределение существует) параметр а = (Я можно определять из уравнения ^kimOk = 1 или =2яг- или а = • Разные f

позволяют получать разные (не только степенные) распределения Ок

5). Любопытную картину связности дает логарифмическое предпочтение / = 1од(£). В этом случае, независимо от выбора основания логарифма и параметров а > 0, т > 0 (вещественных), ряд (6) отвечает условию нормирования ^,к^,„Ок =i. Аналогичные свойства имеет инверсное предпочтение / = 1 /log (/с). Эти модели предпочтения отвечают, например, логарифмической шкале силы сигналов на «информационном выходе» органов чувств человека.

4. Распределение связности вершин и структурные свойства графа

Вообще говоря, асимптотически-степенное распределение связности, положенное в основу наименования scale-free графов, никак не определяет их структурные свойства. Это можно видеть из приведенных на рис. 1 примеров графов, которые все имеют одно и то же степенное распределение связности вершин, но по своей структуре определенно не все являются scale-free графами. Слева изображен scale-free граф, по центру — степенное дерево и справа — степенной «творог», состоящий из бесконечного числа компонент связности — «сгустков». Связность вершин каждого из трех графов распределена по закону (5) с т = 2.

Написанные нами генераторы степенного дерева и степенного «творога» реализуют методы, отличные отправила предпочтительного связывания. Из приведенных примеров видно, что структурные свойства

Рис. 1. Три разных вида графов с одинаковым степенным распределением связности

9

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83) 2009

scale-free графов и сам их «род» определяются методом генерации, но не распределением связности. И степенное распределение связности узлов реальной сети — лишь косвенный (необходимый, но не достаточный) признак ее принадлежности к роду scale-free.

5. Релевантность и статистическая согласованность

Сл.г. будем называть релевантным моделируемым сетям, если он генерируется способом, подобным способу формирования этих сетей.

Если подобие между графами и/или сетями определяется близостью их статистических характеристик, будем называть такие графы и сети статистически согласованными. Для статистического согласования генерируемых графов с моделируемыми сетями может потребоваться калибровка алгоритма генерации, т.е. численный подбор подходящих значений его варьируемых параметров. Чтобы углубить статистическое согласование наряду с распределением связности [12], учитывают коэффициенты клас теризации графов 113], их диаметры (14], статистику подграфов определённой структуры (15] и т.д. Однако возникающие при этом вопросы о контроле глубины согласования и о близости ее к исчерпывающему статистическому согласованию оставляются открытыми.

6. Статистически однородные случайные графы

Новые возможности для теоретической разработки и практического использования широкого набора конструктивных статистических характеристик сл.г. открываются в связи с предлагаемым ниже понятием (и определением) статистически однородного графа (СОГ). Определение СОГ непосредственно указывает на способы построения рядов характеристик, углубляющих статистическое согласование СОГ и в пределе обусловливающих полное согласование.

Пусть на множестве G графов некоторого вида (например, всех неориентированных графов без петель и кратных ребер) задана вероятностная мера Р .

Определение. Сл.г. G е (P,G> назовем статистически однородным к узком смысле, если для любой вершины v при всяком г = 1,2,... сл.г. G' с С, лежащий на ее r-окрестности, принадлежит распределению (P',Gr), не изменяющемуся при описании сл.г. G' на r-окрестности любой другой вершины w.

Пояснения. 1). Граф C'cG - это граф, который содержит все вершины графа G, удаленные от вершины v на расстояние не более г (непустая часть которых удалена на г), и все инцидентные им, и только им, ребра.

2). Если с вероятностью л, >0 граф G' cG не существует, то распределение (Pf,G'> приписывает вероятность nt графу G0, содержащему пустое множество вершин и пустое множество ребер.

Пример. Граф Эрдеша-Реньи на N вершинах статистически однороден в узком смысле, поскольку метод его генерации не различает вершин ни в стадии затравки (когда вершины изолированы), ни в стадии добавления связей. Этот метод индуцирует распределения (Pr,Gr) сл.г. GI с G, не зависящие от v.

Статистическая однородность графа в широком смысле определяется критериями, соответствующими более слабым градациям однородности. Наиболее легко достижимый критерий однородности в ши-. роком смысле — это независимость от v среднего I числа вершин в сл.г. G'y. Пример критерия более

глубокой однородности — независимость от V распределений (Р'.С1).

Глубину статистического согласования больших или бесконечных СОГ можно регулировать, увеличивая или уменьшая радиусы г тех окрестностей, по распределениям (Р'.С) которых дос тигается согласование. Если г устремить к бесконечности, то в пределе будет получено исчерпывающее согласование: согласованные таким образом СОГ будут статистически эквивалентны.

7. Ускоренный метод генерации пуассоновского графа

Бесконечный пуассоновский граф статистически однороден в узком смысле (как частный случай графа Эрдеша-Реньи). При анализе выборочных пространств (Р',СГ) немедленно выясняется, что любая конечная окрестность вершины пуассоновского графа может индуцировать только деревья. Это позволяет предложить следующий метод его генерации, более экономичный и точный, чем генерация соответствующего «большого» графа Эрдеша-Реньи.

При заданной средней связности (к) = а > 0 генерация пуассоновского графа начинается с произвольной вершины. Ее связность к = 0,1,2,... разыгрывается по распределению Пуассона рк = аке “/к\, и к ней к ребрами присоединяются «почки». Далее для каждой почки ее полная связность к > 1 разыгрывается (независимо) по условной вероятное™ Р(к | к > 1) = = а*е~"/(1-е“)/к\, и к каждой почке добавляется соответствующее (свое) число к -1 > 0 новых почек, а сама эта почка становится узлом или листом. Затем вновь разыгрывается полная связность каждой почки и т.д., пока число почек не станет равно нулю. После этого можно выращивать следующую компоненту связиости графа. Таким образом, пуассоновский граф есть лес, часть деревьев которого вырождена в изолированные вершины. Время генерации графа изложенным методом пропорционально числу его вершин N. Для графа Эрдеша-Реньи оно пропорционально .

8. Планарные СОГ

Частным случаем СОГ является широко используемая в теории перколяции [16] бернуллиева решетка (БР) — сл.г., определяемый случайным удалением ребер или узлов бесконечной сетки с квадратными ячейками. Моделируя посредством БР надежность БСС, принимают, что потере функциональности БСС, т.е. «обвальному» отказу связей, соответствуют состояния БР, в которых она распадается на компоненты связности конечного размера. Работоспособному состоянию ставятся в соответствие состояния БР, характеризуемые наличием т.н. гигантского контактного кластера — бесконечной компоненты связности.

В конечной БР размером пхп вершин гигантскому кластеру приближенно соответствует стягивающий кластер, соединяющий ее противоположные стороны. Для БР теория перколяции устанавливает, что зависимость их надежности Р (вероятности работоспособного состояния) от ненадежности р их элементов (от вероятности их отказа) имеет переключательный (критический) характер.

На рис. 2 изображен ступенчатый график зависимости Р[р) бесконечной БР. Критический характер зависимости Р(р) для конечных решеток ослабляется (тем больше, чем меньше их размер), и смена фазовых

решетка

конечного

размера

бесконечно

большая

решетка

Рс 1 К

Рис. 2. Вероятность гигантского (стягивающего) кластера

Рис. 3. Максимальные контактные кластеры БР в трех опытах с разными р

1

0.5

За

На матрице 1000x1000

На матрице 100x100

ре =0.4954

Рис. 4. Оценка порога перколяции в задаче ребер для планарных сл.г.

I

’Г' + >: Г „

4,. / ..•4- КгСпШ К»; \ V ^ .,

Рис. 6. Формирование планарного СОГ методом экспансии

50

100

150

Рис. 7. Теоретическая и эмпирическая зависимости а от N в сл.г. экспансии

Рис. 5. Максимальные контактные кластеры в трех опытах с планарным сл.г.

состояний происходит не в критической точке р(, а в некоторой критической области значений р. Размеры контактных кластеров БР зависят от р (рис. 3). Критические явления (скачкообразные фазовые переходы) изучаются в теории перколяции для решеток разного вида (треугольных, гексагональных и др.) и разной размернос ти (плоских, трехмерных и т.д.). Разработанные нами генераторы планарных СОГ 117| и опыты с ними позволяют распространить ряд законов теории перколяции и на эти сл.г. (с применением найденных экспериментально числовых коэффициентов). Сл.г. более релевантны ряду БСС, чем решетки.

На рис. 4, 5 показаны результаты опытов с нерко-ляцией на планарных СОГ, выращиваемых методом экспансии в пространстве клеточных автоматов [18].

Метод экспансии описан в [17]. Генерация сл.г. методом экспансии сводится к случайному разбрасыванию на плоскости «зерен», имеющих разную «силу роста», которая определяет вероятность захвата зерном малых ячеек, соседних занятой им области. Процесс случайных захватов ячеек заканчивается формированием плоской карты областей, захваченных зернами, которая и определяет соответствующий планарный граф соседства (рис. 6).

Графы экспансии проявляют критические свойства, все более четко выражаемые с ростом их размеров. В частности, параметр ст, определяющий ширину критической области параметра р, с ростом числа

Рис. 8. Фрагмент сл.г. трёхмерной экспансии

узлов N уменьшается (рис. 7) по степенному закону o(N) = CN”l/|v<,|. тде с( = 2 — размерность пространства, С — коэффициент, зависящий от семейства графов, V — одна из констант теории решеточной перколяции. Подбор V и С по эмпирическим зависимостям ст(Л0, полученным для сл.г. плоской экспансии методом Монте-Карло, подтверждает применимость к ним константы V = 4/3, установленной для плоских решеток.

Аналогичные опыты возможны с графами трехмерной экспансии (рис. 8).

9. Декомпозиционные и подстановочные СОГ

Для генерации СОГ с возможностью широкого варьирования их структуры можно использовать метод декомпозиций или метод подстановок. Метод декомпозиций заключается в выращивании сл.г. из небольшой затравки заменой вершин или ребер случайными подграфами из заданного распределения. Выращиваемые декомпозиционные графы релевантны техногенным БСС, которые проектируются методом «сверху вниз», например, структурам сложного программного обеспечения (ПО). Примеры применения метода декомпозиции рассматриваются в [ 19, 20]. Подстановочные методы обобщают метод декомпозиции и используют замену подграфов на подграфы большего размера. В [ 141 предлагается подстановочный метод генерации сл.г. и методих калибровки.

*

3

>г-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83) 2009

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (S3) 2009

’«ШИ

- Оператор лейсткия Оператор выбора

Рис. 9. Подграфы Д1-Д5 - замены оператора действия и V- замена оператора выбора

Н,

Рис. 10. Реализации орграфа, релевантного структурам ПО.

В методе декомпозиции верптин использовались подграфы Д1-Д5 и V. Точки Н и К - начало и конец орграфа

Одно из применений сл.г., генерируемых методом декомпозиций, связано с P-ориентированным (ориентированным на приложения) тестированием алгоритмов, используемыхдля анализа ПО [20]. Для генерации графов, релевантных структурам ПО, можно предложить набор подграфов (которыми будут заменяться вершины выращиваемого графа), представленный на рис. 9. Генерация начинается из единственной вершины — оператора действия. Распределение (P,G) генерируемого графа G индуцируется заданным набором вероятностей р,....р5 (р, + ...+р5 = 1) и следу-

ющей процедурой генерации.

1). Задаем к = 1 и число шагов п > 1. Определяем G как оператор действия.

2). Если к = п. то идем к 4), иначе идем к 3).

3). Выбираем равновероятно любую вершину графа С, и, если она является оператором выбора, заменяем ее подграфом V, иначе — случайным подграфом из распределения (р,,...,р5;Д 1,...,Д5). Полагаем к = = к + \ и идем к 2).

4). Конец процедуры.

Примеры сл.г., генерируемых этой процедурой, приведены на рис. 10.

Калибровка сл.г., генерируемых методом декомпозиции, заметно упрощается тем, что ряд их статистических характеристик выражается через варьируемые параметры р,....р5 аналитически. Так, для доли

pv вершин выбора в большом графе (при л—юо), исходя из уравнений баланса, получаем выражение Pv ={2“Pi +Pi -И(1-Р|)+(Р, +р2)1\и1)/(2р2). Аналогичные вы ражения можно найти для других характеристик, таких, как плотность циклов, средняя связность вершин по заходам и/или исходам, распределение связности и т.д. [19].

Заключение

Аналитический обзор литературы по случайным графам позволяет заключить, что теория случайных графов — молодая, бурно развивающаяся отрасль наук о сложных системах — имеет широкие перспективы практического применения в области управления большими сетевым и структу рами (БСС). Совре-. менное ее состояние характеризуется постановкой I и решением актуальных задач теоретического обос-

нования используемых математических моделей и, одновременно, разработкой методов и комплексов программ для моделирования широкого класса БСС, являющихся предметом исследования многих прикладных наук. В этом русле находятся и результаты, полученные в данной статье:

1. Предложен метод нахождения распределений связности случайных бесконечных графов, основанный на построении уравнений баланса. Найдено точное распределение связности scale-free графа, генерируемого методом предпочтительного связывания. Предложено обобщение этого метода генерации графов, состоящее во введении произвольной функции предпочтения f > 0, и для нее в общем виде найдено точное распределение связности получаемых графов.

2. Предложен ускоренный метод генерации scale-free графов, позволяющий снизить время их генерации в десятки раз по сравнению с существующими методами. Предложен ускоренный метод генерации пуассоновских графов.

3. Показано, что распределение связности не является полным вероятностным описанием графа. Введено понятие статистически однородного графа (СОГ) и дано его определение, позволяющее строить конструктивные ряды характеристик для сколь угодно полного вероятностного описания статистически однородных графов. Продемонстрированы возможности разработанных авторами алгоритмов генерации планарных СОГ. Показаны перспективы применения планарных СОГ для развития и обобщения результатов теории перколяции.

4. Разработаны и исследованы алгоритмы генерации декомпозиционных СОГ, являющихся релевантными моделями сложных техногенных БСС. Рассмотрены вопросы калибровки декомпозиционных СОГ.

Библиографический список

1. Erdos P., R^nyi A., On random graphs!, Publ. Math. Debrecen 6(1959),290 - 297.

2. Erdos P., and Renyi A., I960. Publ. Math. Inst. Hung. Acad.Sci.

5, 17.

3. Bolloba's. B., 1985, Random Graphs (Academic, London).

4. Barabasi. Albert-Ldszloand Albert, Reka. «Emergence of scaling in random networks». Science, 286:509 - 512, October 15, 1999.

5. Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz Collective dynamics of'small-world' networks//Nature.— 1998. — V.393 — P.440.

G. J. Leskovec, D. Chakrabarti, J. Kleinberg, C.Faloutsos, Z.Gha-ramani Kronecker graphs; an approach to modeling networks, 29 Dec

2008.

7. D.Price, Networks of scientific papers, Science, 149(1965),pp. 510 -515.

8 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

9. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / под ред. О. И . Шелухина. — М.: Радиотехника, 2003. — 480 с.

10. В. Столингс. Современные компьютерные сети. — СПб. : Питер, 2003. — 784 с.

11. Dorogovtsev, S.N. and Mendes, J.F.F. and Samukhin, A.N., «Structure of Growing Networks: Exact Solution of the Barabasi-Albert's Model», Phys. Rev. Lett. 85,4633 (2000).

12. Clauset, Aaron; Rohilla Shalizi, Cosma; Newman, М. E. J. Power-law distributions in empirical data , SIAM Review, in press, eprint arXiv:0706.1062.

13. E.J. Newman, (2003). "The structure and function of complex networks". SIAM Review 45:167 - 256. doi: 10.1137/S003614450342480.

14. Leskovec, J.M. Kleinberg, and C. Faloutsos. Graphs over lime: densification laws, shrinking diameters and possible explanations. In KDD '05: Proceeding of the 1 Ith ACMS1GKDD international conference on Knowledge discovery in data mining, pages 177- 187,2005b.

15. Jure Leskovec, К J. Lang, A. Dasgupta, and M.W. Mahoney. Community structure in large networks: Natural cluster sizes and the absence of large well-defined clusters. ArXiv, arXiv:0810.1355, Oct2008c.

16. Эфрос А.А. Физика и геометрия беспорядка: Библиотечка «Квант» № 19. — М.: Наука, гл. редакция физ.-мат. литературы. 1982. - 175 с.

17. Задорожный В.Н., Юдин Е.Б. Генерация статистически однородных планарных графов // Обработка информации и управление. Теория и практика : сб. докл. науч.-практ. конф. — Омск: ОмГТУ, 2008. - С. 27-31.

18. Задорожный В.Н., Юдин Е.Б. О надежности больших статистически однородных сетей // Информационные технологии и автоматизация управления : матер, межвуз. научно-практ. конф. 20 —24 апреля 2009 г. — Омск: ОмГТУ, 2008. — С. 184— 186.

19. Задорожный В.Н., Юдин Е.Б. Тестирование эффективности алгоритмов на графах // Там же. — С. 180 — 183.

20. Задорожный В.Н., Юдин Е.Б., Ершов Е.С. Р-ориентиро-ванное измерение эффективности алгоритмов редукции //Там же. - С. 177- 179.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: e-mail zwn@vandex.ru ЮДИН Евгений Борисович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: e-mail forrts@mail.ru

Статья поступила в редакцию 17.09.2009 г.

© В. Н. Задорожный, Е. В. Юдин

уДк 6813 06 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Е. Б. ЮДИН

Омский государственный технический университет

ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФА БАРАБАШИ-АЛЬБЕРТ

Исследуется граф Барабаши-Альберт, описывающий большие сетевые структуры типа Интернет. Вводится фундаментальная матрица О, определяющая ряд важных структурных характеристик графа. Выводится точная формула матрицы. Устанавливаются ранее неизвестные и уточняются известные структурные свойства графа.

Ключевые слова: случайные динамические графы, большие сетевые структуры.

1.Введение

Предложенная в 1999 г. в статье Альберта Бара-баши и Реки Альберт [1] модель больших сетевых структур, формируемых по принципу предпочти тельного связывания (называемому еще принципом «богатый становится богаче»), завоевала за последние несколько лет огромную популярность среди исследователей больших сетей [2 — 5). Эта модель представляет собой случайный динамический граф, выращиваемый из небольшого графа-затравки путем неограниченно повторяемых шагов добавления к графу новой вершины с т ребрами. Свободные концы ребер каждой новой вершины присоединяются преимущественно к вершинам, богатым связями, т.к. вероятность р,

соединения ребра с 1-й вершиной графа пропорциональна ее степени связности А,:

pt=k,/I.jkr

С ростом графа Барабаши-Альберт (графа БА) ряд его числовых характеристик сходится к стационарным значениям. Так, известна стационарная вероятность Ок того, что случайно выбранная вершина имеет степень связности к [6]:

Ol =

2m

к>т

В то же время многие структурные характеристики графа БА, важные с прикладной точки зрения,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 («3) 2009