Моделирование напряженно-деформированного состояния контура выработки в трещиноватых горных массивах

УДК 624.131

Д.Н. Низомов, А.А. Ходжибоев, О.А. Ходжибоев

ТТУ им. акад. М. С. Осими

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНТУРА ВЫРАБОТКИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ ГОРНЫХ МАССИВАХ

Развивается метод граничных уравнений применительно к задачам численного определения напряженно-деформированного состояния контуров незакрепленных выработок произвольного очертания при различных воздействиях.

Ключевые слова: горный массив, напряженно-деформированное состояние, трещино-ватость, ширина раскрытия трещин, метод граничных уравнений, задача Кирша, выработка, анизотропия, трансверсально-изотропная среда.

Актуальной остается проблема проектирования и строительства гидротехнических и инженерных сооружений, взаимодействующих с массивом горных пород. Напряженно-деформированное состояние системы «сооружение — горный массив» представляет собой сложную задачу, зависящую от механических и деформационных характеристик системы. В общем случае горный массив представляет собой сложную многокомпонентную среду, механические, прочностные и деформационные показатели которой распределены по объему сложнейшим образом. Естественные образования массивов горных пород позволяют для описания их механических и других параметров использовать характеристики трансверсально-изотропной модели среды (рис. 1—3). Используя показатели трещиноватости (ширина раскрытия трещин, расстояния между трещинами и др.), среду можно представить как анизотропную и использовать аппарат теории упругости анизотропного тела [1—3].

Плоскость псрпснллкулярнлж

XZ

Рис. 1. Горизонтальное расположение плоскостей изотропии

Рис. 2. Наклонное расположение плоскостей

изотропии

Рис. 3. Пластина с отверстием, растягиваемая в бесконечность

При проектировании гидротехнических и других инженерных сооружений, взаимодействующих с горными породами, одной из наиболее важных и вместе с тем трудных задач является оценка деформируемости трещиноватых массивов горных пород.

Определение численных значений модуля деформации массивов горных пород требует выполнения обширных и крайне трудоемких экспериментов по непосредственному определению этой характеристики с помощью плоских штампов, занапо-ренных камер и т.п. [4]. Не умаляя значения экспериментальных, лабораторных и натурных исследований механических характеристик, дорогостоящих экспериментов, скажем, что определение механических характеристик в отдельно взятых точках не моделирует поведение всего массива горных пород. Поэтому единственным способом определения модуля деформации массива горных пород, где сооружается объект, является аналитический [3]. Этот метод опирается на данных, полученных в ходе обычных инженерно-геологических изысканий, в т.ч. описания трещиноватости массивов (величина раскрытия трещины 5, расстояние между трещинами h и др.) и примене-ных в [5, 6].

Трещиноватый массив горных пород представляет собой сложную среду, механические и деформационные параметры которой в пространстве распределены неравномерно, и для такой среды использование теории упругости изотропного тела невозможно. Именно поэтому для описания напряженно-деформированного состояния такой анизотропной среды привлекается аппарат теории упругости анизотропного тела.

Теория упругости анизотропного тела достаточно полно разработана в известных трудах С.Г. Лехницкого [1, 2], и результаты этих работ использованы в [3, 5—7]. В [3] основные положения и формулы теории упругости анизотропного тела приведены в соответствии и применительно к массивам трещиноватых горных пород, этих положений придерживаемся и мы в настоящей работе.

Для исследования напряженно-деформированного состояния горных массивов преимущественно используется модуль деформации, который обусловлен в основном трещинами, микротрещинами и порами. Согласно данным [12], величина модуля деформации изменяется в пределах от 2105 до 1,25 • 106 кг/см2, в зависимости от многих параметров, в т.ч. от скорости загружения, продолжительности времени ступеней нагрузки на образце и других факторов.

Основной причиной расхождения результатов определения модуля деформации горных пород лабораторными путями и натурным методом является влияние микро-трещиноватости.

В [8—14] исследованы общие зависимости модуля деформации как функции трещиноватости и получены механико-математические модели трещиноватой среды.

Для описания напряженно-деформированного состояния трещиноватого массива горных пород можно использовать, как это принято во многих работах и в т.ч. в [3], трансверсально-изотропную модель среды. Если в анизотропном теле можно выделить некоторую плоскость изотропии, т.е. такую плоскость, в которой все направления равноправны, то соотношения обобщенного закона Гука существенно упрощаются. По-видимому, в большинстве случаев, представляющих практический интерес, такое упрощение вполне правомерно. Например, для осадочных горных пород, имеющих четко выраженную слоистость, плоскость напластования является плоскостью изотропии. Среда с такими свойствами называется трансверсально-изотропной. Допустим, что в плоскости изотропии расположены оси х и у, тогда соотношения обобщенного закона Гука представляются в виде

е* = «11СТх + «12СТj + «13CTz >

Sj = «12СТх + «11СТj + «13CTz >

Sz = «13^ + «13CTj + «33CTz >

Уjz = «44^jz > Уxz = «44^ >

Уxj = 2 («11 " «12 К

где агу — упругие постоянные. Число различных упругих постоянных а^ для транс-версально-изотропной среды равно пяти. Упругие постоянные а^ выражаются через технические постоянные:

а11 = 1/Е{; а12 =-у1/Е,; а44 = 1/G2;

2

аз3 = 1/Е2; а13 =-У2/Е2; а66 = 2 (а11 - а12 )=-

Е

где Е1, Е2, G2, у1, V2 — главные модули упругости, модуль сдвига и коэффициенты Пуассона.

Закон Гука, записанный с помощью технических постоянных ац, имеет вид

-СТ,, Е 2 1 ху 2(1 + " Е1 ^,

Ст2, Е 2 1 у и

1 Е , 2 1 х 'в2- _

* Е1 V »

1 ( \ V2

6 =-|СТ -^СТ )---с

у е У у 1 х' тг

V2 ,

Е2

Соотношения соответствуют в предложении, когда плоскость изотропии совпадает с плоскостью ху (см. рис. 1).

Деформационные свойства породы характеризуются следующими упругими постоянными: Е1 — модуль деформации в направлении осей х и у; Е2 — модуль деформации в направлении оси г; 02 — модуль сдвига в плоскостях хг и уг; V; — коэффициент Пуассона в плоскости изотропии ху; v2— коэффициент Пуассона, определяемый как отношение поперечной деформации в направлении оси х или у к продольной деформации в направлении оси г; ф — угол поворота осей г и х вокруг оси у.

При повороте осей координат вокруг оси у (см. рис. 1), лежащей в плоскости изотропии, на угол ф, обобщенный закон Гука записывается:

6х = а1 1СТх + а1 2СТу + а1 3СТг + а1 5^ ,

6у = а1 2СТх + а22СТу + а23СТг + а25^ ,

6 = а1 3СТх + а23СТу + аз3СТг + а35^ ,

1 у = а44 Т уг =

1 хг = ,

1 ху = аббхху .

Формулы для преобразования упругих постоянных, входящих в (4):

2 2

3 = а13 cos2 ф + а12 sin2 ф;

1 = а110084 ф + а33 sin4 ф + (а44 + 2а13) sin2 ф ео82 ф; = а11 sin4 ф + а33 cos4 ф + (а44 + 2а13)sin2 фcos2 ф;

= а13 sin2 ф + а12 cos2 ф;

= (аП + а33 - 2а13 - а44 )sin2 ф cos2 ф + а13; = а44 cos2 ф + 2(а11 - а12)sin2 ф; = (а11 + а33 - 2а13 - а44) sin2 2ф + а44;

= а44 sin2 ф + 2(а11 - а12) cos2 ф;

= 1 ^2 (а33 sin2 ф- а11 cos2 ф) + ( а44 + 2а13) cos2фJsin2ф; 35 =1 ^2 (а33 cos2 ф- а11 sin2 ф)-( а44 + 2а13) cos2фJsin2ф;

а

а'25 = (а13 - а12) sin 2ф.

Механические характеристики массивов трещиноватых горных пород в зависимости от характеристик трещин определяются по следующим формулам [3]:

Ei Ei

E±=-

En =

1 + X Л,

g±,II =

E

2 h +Vl +ХЛ,

G =

E

cos

V±,II =V1 +ХЛ,sin2 0,cos2 0,

21 1+ V1 +ХЛ,

Sin

где Е ±, Е11— главные модули деформации, по направлениям перпендикулярно и параллельно пластам; i — индекс системы трещин, согласно обозначениям; л , — геометрическая характеристика трещин i-й системы, определяемая по формуле

Л , = 8,- / £ к,

где 8, — ширина раскрытия трещин; hi — толщина ненарушенного слоя (расстояние между трещинами); 0, — угол, образуемый трещинами ,-й системы с горизонтом; £ = 3 -10 4— постоянная, равная относительной площади скальных контактов; V, — коэффициент Пуассона; — модуль сдвига в плоскости изотропии; п — модуль сдвига в плоскости, перпендикулярной к плоскости изотропии; V ± п — коэффициент

Пуассона для направлений, перпендикулярных плоскости изотропии.

Рассмотрим численное решение задач по расчету концентрации напряжений вокруг отверстий незакрепленных горных выработках от действия напряжений, приложенных на бесконечности, на основе метода граничных уравнений. Используя фундаментальные решения Грина [10] получены граничные сингулярные интегральные уравнения. Эти уравнения путем сплайн-аппроксимации граничных параметров сведены к системе алгебраических уравнений [15]

АХ = Ж

где А — матрица коэффициентов, элементы которой отражают свойства анизотропии среды; А' — вектор искомых перемещений; В — вектор свободных членов.

В табл. 1 и 2 приведены результаты численных экспериментов по исследованию сходимости и точности предлагаемого метода решения задач при различных значениях h и 0 .

k

k

k

Табл. 1. Результаты расчета при горизонтальном расположении плоскостей трещин, полученных при следующих данных: =0,2, 8 = 0,03см, 6 = 0', Е1 = 6-105кг/см2, стлУ =1,

£ = 3-10-4, к = 50см, R = 200см

Количество Тангенциальное напряжение и,, кг/см2 Нормальное перемещение un -103, см

элементов ТочкаА Точка В ТочкаА Точка В

NE = 8 -1,616 4,267 -0,9342 0,3726

NE = 16 -1,599 4,163 -0,9748 0,4456

NE = 32 -1,645 4,080 -0,9979 0,4765

NE = 64 -1,682 4,058 -1,011 0,4928

NE = 100 -1,699 4,059 -1,016 0,4990

Табл. 2. Результаты расчета при наклонном расположении плоскостей трещин, полученных

при следующих данных: =0,2, 8 = 0,03 см, 6 = 71/6 = 30°, Е1 =6-105 кг/см2, стл у =1,

£ = 3 -10-4, h = 0,5 м, R = 200 см

Количество Тангенциальное напряжение ст,, кг/см2 Нормальное перемещение un -103, см

элементов ТочкаА ТочкаВ ТочкаА Точка В

NE = 8 -1,186 3,373 -0,1284 0,4795

NE = 16 -1,163 3,235 -0,1330 0,5654

NE = 32 -1,185 3,203 -0,1358 0,6060

NE = 64 -1,07 3,206 -1,374 0,6270

NE = 100 -1,217 3,211 -1,380 0,6348

В табл. 3 приведены результаты расчета концентрации напряжений для плоского напряженного состояния в трещиноватой среде (см. рис. 3) при следующих данных:

=0,2, Я = 200 см, 8 = 0,03 см, Е1 = 6-Ю5 кг/см2, 9 = 0% ^ = 3-10"4, ст1Я) =1.

Табл. 3. Зависимость распределения тангенциальных напряжений от расстояния между трещинами к в круглой незакрепленной выработке, устраиваемой в теле горного массива, растягиваемой на бесконечность

Расстояние между трещинами h, см Тангенциальное напряжение ст,, кг/см2 Нормальное перемещение un -103, см

ТочкаА ТочкаВ ТочкаА Точка В

50 -1,616 4,267 -0,9342 0,372

100 -1,334 3,785 -0,8003 0,2955

150 -1,224 3,596 -0,7476 0,2654

200 -1,163 3,494 -0,7190 0,2491

250 -1,126 3,430 -0,701 0,2389

300 -1,1 3,385 -0,6885 0,2319

3000 -0,9727 3,169 -0,6278 0,1977

Из результатов табл. 3 следует, что с увеличением h распределение напряжений на контуре отверстия стремится к решению задачи Кирша.

В табл. 4 приведены результаты и зависимость распределения напряжений от изменения ширины раскрытия трещин 8 . Результат показывает, что с уменьшением величины ширины раскрытия трещины анизотропное тело превращается в изотропное те-ло.Табл. 4. Зависимость тангенциальных напряжений на контуре круглой выработки, без закреплений, от ширины раскрытия трещин, полученных при следующих данных: Vj = 0,2, /; = const = 40 см, 9 = 0°, R = 200 см, Ех = 6 • 105 кг/см2, £, = 3 • 10"4, а, = 1

Ширина раскрытия трещины 8, см Тангенциальное напряжение ст,, кг/см2 Нормальное перемещение un -103, см

ТочкаА Точка В ТочкаА Точка В

0,05 -2,0875 5,074 -1,157 0,5022

0,04 -1,921 4,790 -1,079 0,4565

0,03 -1,738 4,475 -0,9918 0,4060

0,2 -1,529 4,117 -0,8927 0,3486

0,01 -1,280 3,643 -0,7746 0,2808

0,005 -1,132 3,441 -0,7040 0,2406

0,0001 -0,9606 3,149 -0,6223 0,1946

Выводы. 1. Сравнение результатов показывает, что предлагаемая модель на основе метода граничных интегральных уравнений позволяет получать результаты концентрации напряжений на контурах незакрепленной выработки в трещиноватом горном массиве.

2. Составлен алгоритм расчета и разработана программа расчета методом граничных интегральных уравнений концентрации напряжений вокруг отверстий произвольной формы при различных воздействиях.

3. При предельном переходе, т.е. при S ^ 0 и при h , на основе предлагаемой методики получаем результаты, соответствующие изотропной среде.

4. Разработанные алгоритм и программа могут быть использованы для исследования концентрации напряжений на контурах подземных гидротехнических сооружений.

Библиографический список

1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки, ОГИЗ. M.-Л. i Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. 355 с.

2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. M.-Л. i Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. 299 с.

3. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных нород. M. i Недра, 1975. 223 с.

4. Роза С.А., Зеленский Б.Д. Исследование механических свойств скальных оснований гидротехнических сооружений. M. i Энергия, 1967. 392 с.

5. Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных массивов. M. i Недра, 1988. 271 с.

6. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Mеханические процессы в породных массивах. M. i Недра, 1986. 272 с.

7. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Mеханика горных нород. M. i Недра, 1975. 271 с.

8. Зеленский Б.Д. О методе учета влияния трещиноватости на деформационные свойства скальных массивов // Тр. Ленинградского инженерно-экономического института им. П. Тольяти. 1967. Вып. 68. С. 62—70.

9. Зеленский Б.Д. Основные направления исследований информаций скальных нород как оснований бетонных плотин // Проблемы инженерной геологии в строительстве. M. i Гостройи-здат, 1961. С. 143—156.

10. Крауч С., Старфилд А. Mетоды граничных элементов в механике твердого тела. M. i Щр, 1987. 328 с.

11. Кузнецов Ю.И., Позиненко Б.В., Пылаева Т.А. Об анизотропии упругих свойств трещиноватых горных нород // Ученые записки ЛГУ, серия физических и геологических наук. 1966. Вып. 16. № 329. С. 94—106.

12. Pancini M. Result of the First Series of Tests Performed on a Model Reproducing the Actual Structure of the Abutment Rock of the Vaiont Dam. Geologie und Bauwesen, H. 3, 4, 1962, p. 105—119.

13. Tokano M. Rupture Studies on Arch Dam Foundation by Means of Models. Geologie und Bauwesen, H. 3, 4, 1961, p. 99—121.

14. Walsh J.B. The Effect of Cracks on the Uniaxial Elastic Compression of Rocks. Journal of Geophysical Research. V. 70, №. 2, 1965, p. 399—411.

15. Низомов Дж.Н. Mетод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. M. i Изд-во АСБ, 2000. 283 с.

16. Мюллер Л. Инженерная геология. Mеханика скальных массивов. M. i M^, 1971. 255 с.

Поступила в редакцию в декабре 2011 г.

Об автор ах i Низомов Джахонгир Низомович — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, заведующий лабораторией теории сейсмостойкости и моделирования Института геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии, Академия наук Республики Таджикистан, Республика Таджикистан, г. Душанбе, +992 919355734, tiees@mail.ru;

Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой строительной механики и сейсмостойкости сооружений, Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. акад. Раджабовых, 10а, +992 918893514, hojiboev@mail.ru;

Ходжибоев Орифджон Абдуазизович — старший научный сотрудник лаборатории теории сейсмостойкости и моделирования Института геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии, Академия наук Республики Таджикистан, Республика Таджикистан, г. Душанбе, +992 918720844, oiif-83@mail.ru.

Для цитирования: Низомов Д.Н., Ходжибоев А.А., Ходжибоев О.А. Моделирование напряженно-деформированного состояния контура выработки в трещиноватых горных массивах // Вестник МГСУ. 2012. № 4. С. 108—115.

D.N. Nizomov, A.A. Hodzhiboev, O.A. Hodzhiboev

SIMULATION OF THE STRESS-STRAIN STATE OF EXCAVATION BOUNDARIES IN FRACTURED MASSIFS

The authors have applied the method of boundary equations to resolve the problem of numerical calculation of the stress-strain state of arbitrary boundaries of excavation works in fractures massifs, if subjected to various impacts.

Benchmarking of the results have proven that the proposed model based on the method of boundary integral equations may be used to identify the concentrated stresses that the loose excavation boundaries in fractured massifs are exposed to.

The authors have developed an algorithm and a calculation pattern through the application of the method of boundary integral equations to calculate the values of stresses concentrated around arbitrary shape openings under impacts of various origins.

Any limiting process, namely, if 0 or h and any results are in line with the isotropic medium.

The proposed algorithm and calculation pattern may be used to research the concentrated stresses alongside the boundaries of hydrotechnical engineering facilities.

Key words: massif, stress-strain state, fracturing, crack opening width, method of boundary equations, Kirsch problem, excavation, anisotropy, transversely isotropic medium.

References

1. Lehnickiy S.G. Anizotropnye plastinki [Anisotropic Plates]. Moscow - Leningrad, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoy literatury [State Publishing House of Theoretical Technical Literature]. 1947, 355 p.

2. Lehnickiy S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela [Theory of Elasticity of Anisotropic Bodies]. Moscow - Leningrad, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoy literatury [State Publishing House of Theoretical Technical Literature]. 1950, 299 p.

3. Ruppeneyt K.V. Deformiruemost' massivov treschinovatykh gornykh porod [Deformability of Fractured Rock Massifs]. Moscow, Nedra Publ., 1975, 223 p.

4. Roza S.A., Zelenskiy B.D. Issledovanie mehanicheskikh svoystv skal'nykh osnovaniy gidrotehnicheskikh sooruzheniy [Research of Mechanical Properties of Bedrock Foundations of Hydrotechnical Engineering Facilities]. Moscow, Jenergiya Publ., 1967. 392 p.

5. Baklashov I.V. Deformirovanie i razrushenie porodnykh massivov [Deformation and Collapse of Rock Masses]. Moscow, Nedra Publ., 1988, 271 p.

6. Baklashov I.V., Kartoziya B.A. Mehanicheskie processy v porodnykh massivakh [Mechanical Processes in Rock Masses]. Moscow, Nedra Publ., 1986, 272 p.

7. Baklashov I.V., Kartoziya B.A. Mekhanika gornykh porod [Rock Mechanics]. Moscow, Nedra Publ., 1975, 271 p.

8. Zelenskiy B.D. O metode ucheta vliyaniya treschinovatosti na deformacionnye svoystva skal'nykh massivov [About the Method of Analysis of the Impact of Fractures onto Deformation Properties of the Rock Massif]. Works of Leningrad Institute of Engineering and Economics. 1967, Issue No. 68, pp. 62—70.

9. Zelenskiy B.D. Osnovnye napravleniya issledovaniy informaciy skal'nykh porod kak osnovaniy betonnykh plotin [Principal Lines of Information Research of Rock Massifs as Bedrocks of Concrete Dams]. Problemy inzhenernoy geologii v stroitel'stve [Problems of Engineering Geology in Construction]. Moscow, Gostrojizdat Publ., 1961, pp. 143—156.

10. Krauch S., Starfild A. Metody granichnykh elementov v mekhanike tverdogo tela [Method of Finite Elements in Mechanics of Rigid Body]. Moscow, Mir Publ., 1987, 328 p.

11. Kuznecov Ju.I., Pozinenko B.V., Pylaeva T.A. Ob anizotropii uprugikh svoystv treschinovatykh gornykh porod [About the Anisotropy of Elastic Properties of Fractured Rocks]. Academic Papers of Leningrad State University, Series of Physical and Geological Sciences. 1966, Issue no. 16, № 329, pp. 94—106.

12. Pancini M. Result of the First Series of Tests Performed on a Model Reproducing the Actual Structure of the Abutment Rock of the Vaiont Dam. Geologie und Bauwesen Publ., H. 3, 4, 1962, pp. 105—119.

13. Tokano M. Rupture Studies on Arch Dam Foundation by Means of Models. Geologie und Bauwesen Publ., H. 3, 4, 1961, pp. 99—121.

14. Walsh J.B. The Effect of Cracks on the Uniaxial Elastic Compression of Rocks. Journal of Geophysical Research. Issue no. 70, №. 2, 1965, pp. 399—411.

15. Nizomov Dzh.N. Metod granichnykh uravneniy v reshenii staticheskikh i dinamicheskikh zadach stroitel'noy mekhaniki [Method of Boundary Equations Used to Solve Static and Dynamic Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2000, 283 p.

16. Myuller L. Inzhenernaya geologiya. Mekhanika skal'nykh massivov [Engineering Geology. Mechanics of Rock Massifs]. Moscow, Mir Publ., 1971, 255 p.

About the authors: Nizomov Dzhahongir Nizomovich, Institute of Geology, Antiseismic Construction and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan; Dushanbe, Republic of Tajikistan; tiees@mail.ru; 8 (992) 919-35-57-34;

Hodzhiboev Abduaziz Abdusattorovich, Tajik Technical University named after academic M.S. Osimi, 10 Akademikov Radzhabovyh St., 734042, Dushanbe, Republic of Tajikistan; hojiboev@mail.ru; 8 (992) 918-89-35-14;

Hodzhiboev Orifdzhon Abduazizovich, Institute of Geology, Antiseismic Construction and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan; Dushanbe, Republic of Tajikistan; orif-83@mail.ru; 8 (992) 918-72-08-44.

For citation: Nizomov D.N., Hodzhiboev A.A., Hodzhiboev O.A. Modelirovanie napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya kontura vyrabotki v treschinovatykh gornykh massivakh [Simulation of the Stress-Strain State of Excavation Boundaries in Fractured Massifs]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 4, pp. 108—115.