Задача о разрезе минимальной мощности

УДК 519

ЗАДАЧА О РАЗРЕЗЕ МИНИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ В.Н. Бурков, В.Н. Бондарик, А.П. Сычев

Вводится понятие мощности разреза в сети, равной максимальной из пропускных способностей дуг, заходящих в разрез. Ставится задача определения разреза минимальной мощности. Двойственная задача заключается в определении пути максимальной пропускной способности. Доказана теорема двойственности о равенстве минимальной мощности разреза и максимальной пропускной способности пути, описан алгоритм определения разреза минимальной мощности

Ключевые слова: оптимизация, программа, регион, стоимость

Постановка задачи

Рассмотрим (п + 1)-вершинную сеть с входом 0 и выходом п. Обозначим через К, > 0 пропускную способность дуги (г,,) 6 и (и - множество дуг сети). Обозначим через р путь в сети, соединяющей вход 0 с выходом п.

Определение 1. Пропускной способностью пути р называется минимальная из пропускных способностей дуг пути

с С")=,т1п К,- •

С,, <6"

Определение 2. Мощностью разреза д(У) называется максимальная пропускная способность дуг, заходящих в разрез

) = тах К,

^ ’ С,, )6Г

где W(V) - множество дуг заходящих в разрез (напомним, что разрезом называется множество вершин сети, содержащее выход и не содержащее вход [1]).

Заметим, что пропускная способность любого пути не превышает мощности любого разреза. Действительно, для любого пути р и любого разреза V найдется дуга (г,,) 6 ц и заходящая в разрез V. Имеем

с

Поэтому, если найдется путь р и разрез V, такие что

с

то путь р имеет максимальную пропускную способность, а разрез V имеет минимальную мощность.

Задача 1. Определить разрез минимальной мощности.

Метод решения

Теорема 1 (двойственности). Минимальная мощность разрезов равна максимальной пропускной способности путей.

Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00 Бондарик Владимир Николаевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (473) 276-40-07

Сычев Анатолий Павлович - НПЦ «Восход», канд. техн. наук, e-mail: suchev@mail.ru

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы Форда-Фалкерсона [1], доказательство проведем конструктивно. Пометим вершину 0 индексом 0, а остальные вершины индексом Xi = M, где M - большое положительное число (M > max K J).

(J) J

k-ый шаг. Рассматриваем все дуги сети. Для каждой вершины J проверяем условие к < max mini!.,Kij),

J i^TT v i J /

ну j.

где и, - множество дуг, заходящих в верши-Если это условие нарушено, то заменяем ин-

декс Л, на меньший

А = max min(A, К,).

В противном случае оставляем индекс X, без изменений. За конечное число шагов индексы установятся. Действительно, последовательность индексов является невозрастающей, причем на каждой итерации, если происходит уменьшение, то на конечную величину.

Докажем, что установившиеся индексы Хг равны максимальной пропускной способности путей из входа в вершину г. Это справедливо для п = 1. Пусть это справедливо для сети из п вершин. Докажем, что тогда это справедливо и для (п + 1) вершин. Покажем, что

к = пкктф,-, К1п)

гбип

является максимальной пропускной способностью путей сети. Заметим, что тш(к, Кгп) определяет максимальную пропускную способность всех путей, содержащих дугу (г, п). Следовательно (5) определяет максимальную пропускную способность путей в сети.

Для определения разреза минимальной мощности удалим из сети все дуги, такие что К, < к Пометим вершину 0 индексом (+). Пусть Q - множество помеченных вершин. Помечаем индексом (+) вершину,, если (г,,) 6 и и г 6 Q, а, € Q. Покажем, что множество непомеченных вершин является разрезом V сети мощность которого равна Хп. Во-первых, это разрез сети, поскольку выход п 6 V, а вход 0 € V. Далее для всех дуг, заходящих в разрез, имеет место неравенство К, < к (в противном слу-

чае вершина J была бы помечена), причем существует хотя бы одна дуга (i, j) е V такая, что Ky = Хп. Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим сеть на рис. 1.

1 шаг. Индексы вершин А1 = 5, Х2 = 3, Х3 = 1, Х4 = 3, Х5 = 3.

2 шаг. А1 = 5, Х2 = 3, Х3 = 1, Х4 = 3, Х5 = 3; индексы установились. Поэтому max C(ju) = 3 .

м

Для определения пути с максимальной пропускной способностью удаляем из сети все дуги с Kjj < Xn. Все оставшиеся пути имеют пропускную способность, равную Хп (рис. 2).

Для определения разреза минимальной мощности помечаем вершины 0, 1. Множество вершин 2, 3, 4, 5 образует разрез сети, а множество дуг (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 5) - это множество дуг, заходящих в разрез. Мощность разреза, очевидно, равна 3.

Если сеть не имеет контуров и вершины имеют правильную нумерацию, то алгоритм существенно упрощается:

1 шаг. Определяем X1 = K01.

k-ый шаг. Определяем

!k = шек min(!i; Kk).

i<k

п-ый шаг. Определяем

!п = max min(!i, Kin ) .

i < п

3. Пример прикладной задачи Задан проект из п операций (работ), зависимости между которыми определяются сетевым графиком. Для каждой операции (г,,) определена зависимость

Z j = K Jjiy, 0 < Tj < Ay

затрат Zj, требуемых на сокращение продолжительности операции на время Ту. Унифицированная линейная система стимулирования определяется функцией стимулирования

Sj<Tj) = Хту,

определяющей вознаграждение исполнителям операции (i, J) при сокращении ее продолжительности на время ту. Коэффициент ky определяет затраты исполнителей на сокращение продолжительности операции на единицу, а параметр X равен ставке оплаты исполнителей за каждую единицу сокращения продолжительности операции [2].

Очевидно, что исполнители согласны на сокращение продолжительности операции на время Ту > 0, если

Х > Ky.

Суммарные выплаты вознаграждения равны

S

Задача. Определить Х и {ту}, такие что продолжительность проекта уменьшилась на величину А > 0, а суммарное вознаграждение (премия) (9) минимально.

Опишем алгоритм синтеза оптимальной унифицированной линейной системы стимулирования. Обозначим Dy - нормативные продолжительности операций, dy - минимальные продолжительности операций (Ay = Dy - dj).

1 шаг. Полагаем продолжительности всех операций равными Dy.

2 шаг. Определяем сеть критических путей.

3 шаг. Для сети критических путей решаем задачу определения разреза минимальной мощности q1.

Полагаем Х1 = qb фиксируем продолжительности на уровне Dy для всех операций таких, что Kiy > q1, а также для тех, у которых diy = Diy, и определяем разрез сети V1 с минимальным числом дуг. Дело в том, что при заданном Х задача минимизации фонда стимулирования сводится к задаче минимизации суммарного сокращения продолжительностей операций. Пусть число дуг разреза равно m1. В этом случае сокращение продолжительности проекта на 1 требует величины фонда стимулирования q1m1.

Увеличим q до q2, при котором число критических операций таких, что Ky < q2, увеличивается, и снова определяем разрез с минимальным числом заходящих дуг m2.

Если, q2m2 < q1m1, то очевидно, что норматив q2 выгоднее, чем q1, хотя q2 > q1. Продолжаем увеличивать q до тех пор, пока на некотором шаге S не получим qS = max Ky , где М - множество кри-

(, J )еМ J

тических операций. Определяем т, такое что

qm = min qjmy .

у

Сокращаем продолжительности дуг, заходящих в разрез VT, до тех пор, пока в сети не поя-

вится новый критический путь либо пока продолжительность хотя бы одной дуги, заходящей в разрез, не будет равна минимальной. Далее возвращаемся к шагу 2. Алгоритм заканчивается, когда в сети появляется хотя бы один критический путь, у которого продолжительности всех работ равны минимальным.

Литература

1. Гладков М.Ю. Анализ развития Бурков В. Н., Заложнев А. Ю., Новиков Д. А. Теория графов в управлении организационными системами. - М.: СИНТЕГ, 2001. - 124 с.

2. Новиков Д. А. Теория управления организационными системами. - М.: Московский психологосоциальный институт, 2005. - 584 с.

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

PROBLEM ABOUT THE CUT OF THE MINIMAL CAPACITY

V.N. Burkov, V.N. Bondarik, A.P. Sychev

The concept of capacity of a cut of a network equal maximal from the throughputs of arches, coming in a cut is entered. The problem of definition of a cut of the minimal capacity is put. The dual problem consists in definition of a way of the maximal throughput. The theorem of a duality of equality of the minimal capacity of a cut and the maximal throughput of a way is proved is described algorithm of definition of a cut of the minimal capacity

Key words: optimization, the program, region, cost