АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ ОРИЕНТАЦИИ СЕТКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

АНАЛИЗ ЭФФЕКТОВ ОРИЕНТАЦИИ СЕТКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

А.М. Гриф, мл. науч. сотр.

Новосибирский государственный технический университет

DOI:10.24412/2500-1000-2022-12-2-109-114

Аннотация. Рассматривается влияние эффекта ориентации конечноэлементной сетки при решении задач многофазной фильтрации с использованием специальной математической модели, основанной на использовании метода конечных элементов, явном расчете поля давления и специальной вычислительной схеме для расчета насыщенностей. Проведен вычислительный эксперимент на модели реального месторождения высоковязкой нефти Республики Татарстан, состоящего из нескольких пластов и нескольких десятков действующих скважин. Полученные результаты показывают, что описанная схема моделирования процесса фильтрации с использованием метода конечных элементов не подвержена влиянию ориентации конечноэлементной сетки.

Ключевые слова: многофазная фильтрация, моделирование, нефтяное месторождение, метод конечных элементов, конечноэлементная сетка.

Создание высокоадекватных моделей нефтяных месторождений является основополагающим фактором эффективной разработки и оптимизации технологий нефтедобычи [1, 2]. Широко применяемые для решения задач многофазной фильтрации методы конечных объемов и конечных разностей обладают существенными недостатками, связанными с ограниченной геометрической гибкостью и низкой точностью моделирования разноконтрастных сред [3, 4]. Существенной проблемой при их применении является эффект ориентации сетки - решения, полученные при раз-

где и"1 - фазовая скорость фильтрации с насыщенностью 8т, фазовой проницаемостью к , вязкостью Т] и плотностью

„т г» Г>т

р ; Р и р - давление в коллекторе и капиллярное давление фазы; К и Ф - аб-

личных поворотах сетки вокруг оси Оъ, имеют крайне большие различия, которые могут быть компенсированы лишь повышением порядка элементов. В последнее время для решения задач фильтрации получило распространение применение метода конечных элементов [5, 6], и было необходимо проанализировать, насколько его использование позволяет снижать значимость ориентации сетки.

Математическая модель. Моделирование процесса фильтрации осуществляется с помощью решения уравнений [7, 8].

солютная проницаемость и пористость по-рового пространства.

В случае моделирования несжимающейся смеси, система (1)-(2) становится эквивалентной краевой задаче

div(pmum) = ^(OpmSm), т = 1,А/ .

_

и'" = - К—grad( / ' + Р"'), т = 1, А/,

-div

r M — / чЛ

X К —grad

m=1 jj

= 0,

с условиями на границе

M

P П = P > X К

1 m=1

-m QP

Tm Qn

= 0.

где Г - проницаемые границы расчетной области О, через которых в месторождение может поступать нефть/вода, а Г - верхняя и нижняя границы расчетной

области и элементы перфораций в скважинах.

Для решения краевой задачи (3)-(4) используется метод конечных элементов. В

этом случае область моделирования О представляется в виде объединения конечных элементов О , а давление представляется в виде непрерывной функции Р = ^ р Ц , коэффициенты разложения

которой могут быть найдены в результате решения СЛАУ

Ap = b.

Здесь вектор р составлен из искомых коэффициентов, а элементы матрицы А и вектора правой части Ь задаются с помощью соотношений

f M -m ^

Aj = i К X—grad V • grad Q >

Q\ m=l j j

( M — \

b = \0WidQ-J" КX—gradp; • gradvdQ.

Г 2 Q\ m=1 jj j

По распределению давления можно рассчитать скорость фильтрации смеси

—

йт =-К£—grad Т,Р,¥,+Р

m i ' i С

m=1 j \ j J

и значения мгновенных объемов, перетекающих через грани смеси

дг1 = \йггпгж.

Г

В этом случае мгновенные объемы отдельных фаз можно найти с использованием соотношения

кп

м

n=1 / jj

Перетекающие объемы за время вычисляются с использованием соотношения

Vm =

' Т Г\

Qr

At.

Г

2

Тогда значения насыщенностей фаз на конец интервала моделирования будет определяться с помощью соотношения

Sm =

iel,

у Vm - У Vm + Vm

JGlout, n e

Ф-mes

ГДе 1in ,ne И Lut ,ne " ГРаНИ к°НечН°ГО

элемента Пе, через которые в него втекает и вытекает смесь, соответственно.

Для получения новых значений насыщенностей, распределения давления, необходимо повторить процесс (3)-(9).

Вычислительный эксперимент. Рассмотрим модель месторождения реального месторождения высоковязкой нефти Рес-

публики Татарстан, построенную в результате автоадаптации [9]. Она состоит из нескольких пластов, имеющих довольно сложное строение - множество слабопроницаемых зон контактирует с высокопроницаемыми (отличие проницаемости в соседних зонах достигает 5-ти порядков). На рисунке 1 представлен 3Б-вид этой модели с отсечением вдоль двух профилей.

Рис. 1. Вид 3Б-модели нефтяного месторождений с отсечением вдоль двух профилей

Для исследования эффекта ориентации сетки проведем моделирования на исходной конечноэлементной сетке и повернутой на 30 градусов в плоскости ХУ.

На рисунке 2 приведены совокупные отборы нефтяной фазы при моделировании на исходной и повернутой сетке, как

по всему месторождению, так и по некоторым отдельным скважинам. Из результатов моделирования видно, что совокупные отборы, рассчитанные на исходной и повернутой на 30 градусов сетке, практически не отличаются.

Рис.

5000

2. Совокупные отборы нефтяной фазы: добыча по всему месторождению (а), добыча

по некоторым скважинам

На рисунке 3 приведена абсолютная проницаемость и распределения нефти, рассчитанные на исходной и повернутой сетке, для среднего пласта месторождения. Видно хорошее совпадение распределений (за исключением участка сильного изменения шага сетки).

Дальнейшее моделирование было проведено при поворотах на 45 и 60 градусов. Полученные результаты, рассчитанные на исходной и повернутой сетке, также хорошо согласовались.

-500 500 Х,м -1000 0 Х,м Рис. 3. Абсолютная проницаемость и распределения нефти, рассчитанные на исходной и повернутой сетке, для среднего пласта месторождения

Заключение. Представлен анализ эф- стан. Вычислительные эксперименты по-фектов ориентации сетки при решении за- казывают, что приведенная в работе выдач многофазной фильтрации с использо- числительная схема решения задачи мно-ванием метода конечных элементов. При- гофазной фильтрации с использованием ведена соответствующая математическая метода конечных элементов не подверже-модель и вычислительный эксперимент на на влиянию ориентации конечноэлемент-примере модели реального месторождения ной сетки, даже для довольно сложных высоковязкой нефти Республики Татар- многопластовых моделей месторождений.

Библиографический список

1. Aziz K. S.A. Petroleum Reservoir Simulation // Applied Science Publ. Ltd., London, UK. 1979.

2. Shirangi M.G., Durlofsky L.J. Closed-loop field development under uncertainty by use of optimization with sample validation // SPE Journal. Society of Petroleum Engineers, 2015. Vol. 20, № 5. P. 908-922.

3. Doyle B., Riviere B., Sekachev M. A multinumerics scheme for incompressible two-phase flow // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier B.V. 2020. Vol. 370. P.113213.

4. Jo G., Kwak D.Y. An IMPES scheme for a two-phase flow in heterogeneous porous media using a structured grid // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. Elsevier B.V. 2017. Vol. 317. P. 684-701.

5. Jackson M.D., Gomes J.L.M.A., Mostaghimi P., et al. Reservoir modeling for flow simulation using surfaces, adaptive unstructured meshes and control-volume-finite-element methods // Society of Petroleum Engineers - SPE Reservoir Simulation Symposium 2013. Society of Petroleum Engineers. 2013. Vol. 2. P. 774-792.

6. Abd A.S., Abushaikha A. Velocity dependent up-winding scheme for node control volume finite element method for fluid flow in porous media // Scientific Reports. Nature Research, 2020. Vol. 10, № 1. P. 1-13.

7. Numerical modeling of multi-phase flow for various junctions of water and oil saturated layers in 3-D porous media / M.G. Persova, Y.G. Soloveichik, I.I. Patrushev, A.M. Grif // Actual problems of electronic instrument engineering, Novosibirsk, 2-6 Oct. 2018. Vol. 1, № 4. P. 212215.

8. Ovchinnikova A.S., Patrushev I.I., Grif A.M. Modeling of Gas-liquid Mixture Flow Considering the Processes of Gas Liberation and Dissolution // Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2021): proc. of the 15 intern. sci. and techn. conf., Novosibirsk, 19-21 Nov. 2021. - Novosibirsk: Publ. NSTU, 2021. P. 568-572.

9. Persova M.G., Soloveichik Y.G., Vagin D.V., et al. The design of high-viscosity oil reservoir model based on the inverse problem solution // Journal of Petroleum Science and Engineering. Elsevier B.V. 2021. Vol. 199. P. 108245.

ANALYSIS OF THE EFFECTS OF MESH ORIENTATION WHEN SOLVING PROBLEMS OF MULTIPHASE FLOW BY USING THE FINITE ELEMENT METHOD

A.M. Grif, Junior Researcher Novosibirsk State Technical University

Abstract. The influence of the orientation effect of a finite element mesh is considered in solving problems of multiphase filtration using a special mathematical model based on the use of the finite element method, explicit calculation of the pressure field, and a special computational scheme for calculating saturations. A computational experiment was carried out on a model of a real high-viscosity oil field in the Republic of Tatarstan, consisting of several layers and several dozen operating wells. The results obtained show that the described scheme for modeling the filtration process using the finite element method is not affected by the orientation of the finite element mesh.

Keywords: multiphase flow, modeling, oil field, finite element method, finite element mesh.