О преемственности в обучении математике на подготовительных курсах в вузе

ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 194-197.

УДК 37

Е.И. Федорова

О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НА ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСАХ В ВУЗЕ

Рассматриваются вопросы преемственности в обучении математике в среднем и высшем образовании. Обсуждаются возможности для реализации преемственности в обучении математике на подготовительных курсах в вузе. Анализируются два направления реализации преемственности содержания: «по вертикали» и «по горизонтали». Приводятся примеры заданий, иллюстрирующих преемственность в содержании. Обсуждаются возможности преемственности форм и методов обучения математике в среднем и высшем образовании.

Ключевые слова: обучение математике, подготовительные курсы, преемственность в обучении.

Современный рост науки, техники и технологий, увеличение объема знаний, появление новых профессий приводят к потребности непрерывного образования. Очевидно, при обучении на каждом образовательном уровне следует учитывать знания, умения и навыки, полученные на предыдущих уровнях, обеспечивая преемственность обучения. Федеральный Закон «Об образовании в Российской Федерации», определяя систему образования, подчеркивает в статье 11 значимость преемственности в образовании: «Федеральные государственные образовательные стандарты и федеральные государственные требования обеспечивают единство образовательного пространства Российской Федерации; преемственность основных образовательных программ...» [1].

Принцип преемственности в обучении математике является общепризнанным [2-6]. В методической литературе преемственность рассматривается преимущественно в содержательном аспекте. Говоря о преемственности содержания образования, авторы-методисты обсуждают связи между различными уровнями образования (дошкольное, начальное общее, среднее общее, среднее профессиональное, высшее профессиональное и т. д.), связи между различными предметами и связи внутри предмета на одном образовательном уровне. При этом важно сохранить преемственность не только содержания, но и форм и методов обучения. Преемственность математического образования предполагает и воспитательные аспекты - формирование необходимых психологических и мотивационных установок обучения, формирование личностных качеств, направленных на скорейшую адаптацию к обучению на следующем образовательном уровне и необходимых для дальнейшего продолжения образования.

В настоящее время преемственность в обучении математике в общем среднем и высшем образовании в большей степени декларируется. Математическое образование на данных ступенях носит скорее дискретный характер, чем непрерывный. Имеются противоречия между недостаточным уровнем знаний выпускников средних школ и желанием вуза иметь хорошо подготовленных абитуриентов. Формально имеется преемственность в содержании образования средней и высшей школ, но уровень знаний соответствующего материала выпускниками школ не соответствует уровню требований вуза. Организация обучения, методы и формы обучения в школе и вузе также обладают слабой преемственностью, сложилась недостаточная преемственность и в мотивации обучения. Поэтому бывшие школьники часто тяжело адаптируются к обучению в вузе. Определенную роль в разрыве преемственности школы и вуза сыграло введе-

© Е.И. Федорова, 2014

ние ЕГЭ по математике и его уровень требований, направленность учителей лишь на подготовку школьников к сдаче ЕГЭ (преимущественно только к части В), массовость и доступность получения высшего образования, возможность обучения в вузе на коммерческой основе. В результате разрыв между школой и вузом привел в последнее время к созданию новых и усилению существовавших вспомогательных звеньев: репетиторства; подготовительных курсов в вузах; заочных и вечерних школ при факультетах; центров по подготовке к ЕГЭ; элективных и факультативных курсов в школе. Эти противоречия можно разрешить, привлекая школу, вуз, Федеральный институт педагогических измерений к совместной разработке стандартов общего среднего образования по математике. Пока не будет реализована преемственность в обучении математике среднего и высшего уровня образования, сохранится потребность во вспомогательной надстройке.

Подготовительные курсы по математике всегда были направлены на сглаживание разрыва между школой и вузом, обладая специфическими условиями для реализации содержательных и воспитательных аспектов преемственности в обучении математике [7]. С введением ЕГЭ изменились роль и значение подготовительных курсов. Если раньше подготовка к вступительным экзаменам по математике в конкретный вуз была специфической, то сейчас, с введением ЕГЭ, эта подготовка стала универсальной, что привело к массовому оттоку абитуриентов на дополнительные занятия в школы, специализированные центры, к репетиторам. В то же время сохранилась система дополнительной подготовки по математике в стенах вуза, куда собираются поступать абитуриенты. При этом занятия на подготовительных курсах ведут, как правило, вузовские преподаватели, которые в своей работе учитывают специфику дальнейшего обучения абитуриентов, осуществляя, таким образом, преемственные связи.

Можно выделить два направления реализации преемственности в обучении математике на подготовительных курсах в вузе: «по вертикали» и «по горизонтали». Преемственность «по вертикали» предусматривает связь обучения математике «школа - вуз». Это в первую очередь подразумевает формирование у выпускников школ определенного уровня знаний, умений, навыков и подготовку абитуриентов к успешной сдаче ЕГЭ по математике и тем самым к поступлению в избранный им вуз, продолжению образования. Эта задача решается исходя из требований к ЕГЭ, закрепленных в кодификаторе элементов содержания и спецификации экзаменационной работы, с учетом демонстрационного варианта и опубликованного банка заданий группы В.

Реальные варианты отличаются от демоверсии экзамена, поэтому для успешной сдачи ЕГЭ необходимы повторение, систематизация и обобщение школьного курса математики. В то же время особое значение для освоения вузовского курса математики приобретает углубление знаний, формирование общего подхода к решению многих задач, сближение изучаемых разделов с материалом, который придется изучать в вузе. Выделим содержание, которое играет важную роль для дальнейшего изучения вузовского курса математики (при этом некоторые разделы не включены в задания ЕГЭ последних лет):

1. Рациональные преобразования (базовые знания, необходимые в дальнейшем для проведения качественных вычислений в вузовском курсе математики).

2. Метод подстановки (широко используется в вузовском курсе дифференциального и интегрального исчисления).

3. Метод неопределенных коэффициентов (интегральное исчисление, решение дифференциальных уравнений).

4. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене, разложение рациональной дроби на простейшие дроби (интегральное исчисление).

5. Понятие модуля (дифференциальное и интегральное исчисления, исследование рядов на сходимость).

6. Геометрическая прогрессия (исследование рядов на сходимость, теория вероятностей).

7. Решение однородных уравнений различного типа (решение дифференциальных уравнений).

8. Координаты, векторы (аналитическая геометрия).

Отбор этих тем определяется в первую очередь требованиями математических дисциплин в вузе и требованиями вузовских преподавателей математики к школьной подготовке студентов-первокурсников. Слабая успеваемость первокурсников объясняется не только слабой подготовкой выпускников школ. Немаловажную роль играет смена форм и методов обучения, организации обучения, мотивации к обучению у школьников и студентов. У подготовительных курсов существуют условия для сближения связей между школой и вузом в организационных и воспитательных моментах. В этой связи в преподавании математики на подготовительных курсах полезно использование вузовских форм и методов обучения: лекций, индивидуальных заданий, тестирования, самостоятельной работы, консультаций. Возможна на курсах и корректировка мотивационных и психологических установок на продолжение обучения. Неслучайно абитуриенты, прошедшие подготовительные курсы, как правило, лучше адаптированы к обучению в вузе.

196

Е.И. Федорова

Преемственность в обучении математике «по горизонтали» подразумевает связь между различными предметами, между различными разделами математики: алгеброй, математическим анализом, геометрией, а также внут-рипредметную связь. При изучении математики важно уметь видеть общие подходы при решении задач, применять ранее изученный материал в новых условиях, проводить анализ и синтез, использовать сравнение и аналогию. С этой точки зрения выигрышными для формирования соответствующих умений и способов рассуждений являются задания на обогащение решения приемами и понятиями, взятыми из других тем. Анализируя задания повышенной сложности школьного курса и задания части С ЕГЭ, можно выделить темы, которые хорошо иллюстрируют преемственные связи «по горизонтали»:

1. Свойства функций и решение уравнений, неравенств.

2. Графики функций и решение уравнений, неравенств.

3. Производная функции и решение уравнений, неравенств, геометрических задач.

4. Векторный и координатный методы и решение традиционных геометрических задач.

Особое значение при обучении математике имеет функциональная линия. Недостаточно сводить эту линию в школьном курсе только к определению свойств изучаемых функций, таких как область определения функции, область значений функции, четность, периодичность и монотонность функции, локальные и глобальные экстремумы функции. Будущим студентам полезно уметь читать графики, применять свойства функций и графические иллюстрации при решении задач, применять производную для исследования и построения графика функции. К соответствующим заданиям с явным использованием понятия функции в части В экзамена школьники в целом подготовлены. Однако применять данные умения при решении заданий части С (задачи С2-С5 прошлых лет) экзамена большинство абитуриентов уже не могут, что говорит о формальном усвоении соответствующих знаний и умений, при котором не устанавливаются связи между понятиями и между методами решений, в большей степени развивается память, а не мышление.

Важно научить применять этот аппарат при решении задач, не содержащих условие на использование свойств входящих функций. Приведем лишь некоторые примеры таких заданий (здесь и далее использованы материалы книг [8-10]). Например, решение

уравнений ,^агс8т (4-) - п + 1п (2 + tg п-) = 0,

2 -V2 - - = ^2- - 4 + 3х + 6 сводится к на-

хождению области определения функций и непосредственной проверке ее значений. Решение уравнений

3 + log45 (x2 - x +1) = 3 • |cos(x-l)cos2x) ,

2x2-4x+5 = 1 + sin2 n , 3cos4 2x - 2sin5 x = 5 облегчит использование области значений, ограниченности и четности входящих функций. Обобщенный метод интервалов для решения неравенств различного типа также имеет функциональную основу. При обосновании постоянства знаков функции на интервалах используется непрерывность элементарных функций в их области определения.

Использование графических иллюстраций часто позволяет упростить решение задачи. Приведем примеры уравнений, при решении которых эффективно использование графиков функций:

x3 = sin 3x; 2x + x2 - 3 = 0; x5-log3 x = x7-6x.

Графическое представление функций часто бывает удачно при решении задач с параметрами:

1. При каких значениях a уравнение

x2 - 6 • |x +1 + a = 0 имеет ровно три различных корня?

2. Найдите значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения (a +1)-x2 - 2ax + a + 2 = 0 меньше 2.

3. Найдите значения параметра a, при которых наименьшее значение функции f (x) = 2ax + |x2 - 8x + 15l больше 1.

4. Найдите значения параметра a, при

((x - a)-(ax - 2a - 3) > 0, которых система <^ax > 4 v ' не

имеет решений.

5. Найдите все значения параметра a,

при которых система |lo2g+ У ~ (x _ ^ax) ,

имеет ровно два решения.

Разнообразие примеров преемственных связей дает использование производной при решении задач:

1. Найдите число корней уравнения 2x+1 + +21-x = 1 - 4x - x2.

2. Решите неравенство -s/7 - x + Vx +1 + + cos2nx > 5 .

3. При каком наименьшем целом значении параметра a уравнение j x3 + у x2 -

- 6x = a имеет три корня?

4. При каких значениях p уравнение 4sin x + 9 = p (1 + ctg2x) имеет хотя бы один корень?

5. Найдите значение параметра a, при котором имеется хотя бы одно решение неравенства 3 • 22x+a + 22a-3x+1 < 10 .

6. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с 8 < x < 9,8 диагональю OM , где O - начало координат, а М - точка на графике функции у = 5 - 21п (0,4 x - 3).

7. Стороны прямоугольника равны 2 и

5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

Следует также отметить слабую подготовку абитуриентов по геометрии и применению координатно-векторных методов для решения геометрических задач. В дальнейшем многие студенты-первокурсники испытывают сложности при овладении основами аналитической геометрии. Недостаточное внимание со стороны школьных педагогов к данной теме объясняется ее отсутствием в заданиях ЕГЭ и ее оторванностью от традиционных планиметрических и стереометрических задач. В то же время решение задач планиметрии и стереометрии в некоторых случаях можно существенно упростить введением прямоугольной системы координат. Приведем два примера геометрических задач, которые имеют громоздкие традиционные решения и простые решения координатно-векторными методами:

1. На катетах AC = 1 и BC = 4 прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACEF и BCGH. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает отрезок EG в точке N. Найти CN.

Решение упрощается введением системы координат с центром в точке C и нахождением координат точки N через пересечение прямых EG и CM.

2. Угол между скрещивающимися прямыми AB и CD равен агссо8 (Ц5) . Точки E и F

- середины отрезков AB и CD, а прямая EF перпендикулярна прямым AB и CD. Найти

угол ACB, если AB = 2 >/5 , СО = 2^7 и

EF = 713.

Решение сводится к введению, например, системы координат с центром в точке Е и осями АВ и EF. Искомый угол ищется

как угол между векторами СА и СВ .

Преемственные связи, реализуемые «по горизонтали», обогащают абитуриентов знаниями, умениями и навыками проводить анализ и синтез, аналогию и сравнение, повышают логическую культуру и интерес к предмету, формируют его лучшее понимание.

Реализация преемственности в обучении математике на подготовительных курсах в вузе является сложной задачей и не исчерпывается направлениями, обсуждаемыми в данной статье. Необходимо дальнейшее расширение содержания, форм и методов, воспитательной составляющей для усиления преемственности в обучении математике.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Об образовании в Российской Федерации :

Федеральный закон Российской Федерации от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ. Ш1_:

|1Йр://минобрнауки.рф/документы/2974 (дата

обращения: 20.02.2014).

[2] Апанасенко О. Н., Малюкова Е. В. Теоретический аспект сущности преемственности в обучении. Ш1_: http://preemstvennost.ru (дата обращения: 20.02.2014).

[3] Байдак В. А. Теория и методика обучения математике: наука, учебная дисциплина : монография. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2008. 264 с.

[4] Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложения математики. М. : Наука, 1983. 328 с.

[5] Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе : курс лекций. Тобольск : Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997. 191 с.

[6] Преемственность в обучении математике. Пособие для учителей : сб. ст. / сост. А. М. Пыш-кало. М. : Просвещение, 1978. 239 с.

[7] Котюргина А. С., Федорова Е. И. О преподавании математики на подготовительных курсах при вузе // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе : матер. III межвуз. конф. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. С. 61-64.

[8] Вольпер Е. Е., Федорова Е. И. ЕГЭ по математике: сб. задач (для слушателей подготовительных курсов). Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2013. 72 с.

[9] ЕГЭ - 2014. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С) / ред. А.Л. Семенов, И.В. Ященко. М. : Экзамен, 2014. 215 с.

[10] Сергеев И. Н. Математика. Задачи с ответами и решениями. М. : Изд-во КДУ, 2004. 360 с.