Компьютерное моделирование контактной магнитно-импульсной сварки. Ч. 1: динамика, тепло- и электрофизика процесса

Условия 1) выражают балансы по ресурсам основных средств вуза в натуральном выражении в каждом периоде t. При этом учитывается накопление этих ресурсов к периоду t за счет их прироста в каждом периоде до момента t. Условия 2) описывают балансы наличия и затрат в натуральном выражении учитываемых оборотных средств и балансы по фондам рабочего времени III 1С. При этом также учитывается прирост оборотных средств за счет закупок в периоде t и фонда рабочего времени за счет привлечения дополнительных кадров. Условия 3) задают ограничения на численность приема по каждой специальности или специализации на основе маркетинговой оценки емкости своего сегмента рынка. Условия 4) - это ограничение по инвестиционным средствам вуза в каждом периоде t в соответствии с возможными источниками их формирования. Условия 5) - это требования неотрицательности переменных, что следует из их содержательного смысла.

Оптимальное решение задачи (5) {х*к } через эти

переменные в принципе может определять не только функционально-технологические варианты деятельности, но и оптимальную учебно-организационную структуру вуза: число и специализацию его кафедр и факультетов. Такая структура выявляется через ненулевые значения А]к [х*к) и А} (у*).

Литература

1. Кардаш В.А. К вопросу о критериях экономической эф-

фективности современных инвестиционных проектов // Приложение к журн. "Изв. вузов Сев.-Кавк. регион". Кисловодск, 1999. № 1.

2. Кардаш В.А., Кравченко Н.И., Ладейщикова Е.Н. Системный маржинальный анализ прибыли фирмы // Там же. 2001. №3.

Новочеркасская государственная мелиоративная академия

23 октября 2003 г.

УДК 621.3.213.63:003.5

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОЙ МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНОЙ СВАРКИ. Ч. 1: ДИНАМИКА, ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОФИЗИКА ПРОЦЕССА

© 2004 г. М.Ю. Бацемакин, Е.Н. Ладоша, Б.В. Соболь, Е.Л. Стрижаков, О.В. Яценко

Технология контактной магнитно-импульсной сварки (КМИС) основана на омическом нагреве и последующем механическом сдавливании контактной зоны посредством интенсивных электромагнитных полей [1-3]. Схема сваривания таким способом тонких металлических образцов (оболочек) приведена на рис. 1.

Установка КМИС состоит из индуктора 1 (рис. 1), конденсаторно-коммутирующего блока 2 и матрицы соответствующего типоразмера 3. Заготовка представляет собой тонкую пластину из цветного металла, предварительно свернутую в кольцо по форме будущего изделия 4 с небольшим нахлестом 5 в зоне намечаемого сварного соединения. В процессе КМИС заготовка помещается между матрицей и индуктором, после чего производится разряд конденсаторной батареи через индуктор. Наведенные в заготовке электромагнитным полем (ЭМП) индуктора токи, во-первых, формируют вторичное ЭМП, которое вступает во взаимодействие с полем индуктора и, во-вторых, вызывают омический нагрев заготовки. При этом энергия магнитного взаимодействия индуктора и заготовки трансформируется в энергию механического движения последней: заготовка отталкивается от индуктора, препятствуя проникновению в нее внешнего

(магнитного) поля. На ранней стадии процесса повышенное удельное сопротивление контактной зоны (нахлеста) способствует ее преимущественному нагреву индуцированным током. Совместное воздействие электрического тока и магнитного давления приводит при определенных условиях к образованию качественного сварного соединения в зоне нахлеста.

Наиболее частыми дефектами изготовления штампосварных деталей средствами КМИС являются: 1) чрезмерный перегрев контактной зоны, сопровождающийся выплеском сравнительно большого количества металла или даже прогоранием, и 2) наоборот, недогрев и недосжатие в области нахлеста, выражающиеся в неравномерном "островном" сваривании или в отсутствии соединения вообще. Для того чтобы исключить подобные ситуации в серийном производстве, требуется точно устанавливать режимы КМИС в каждом конкретном случае. Параметрами управления здесь служат энергия и частота разряда. Разнообразие свариваемых материалов, форм и размеров заготовок требует множественных экспериментов для выбора оптимальных параметров КМИС. Вычислительный эксперимент (ВЭ) помогает кардинально сократить объем экспериментальных исследований, направленных на оптимизацию КМИС.

б

Рис. 1. Схемы магнитно-импульсной сварки: а - с работой электромагнитных сил на раздачу заготовки; б - на сжатие

Соответствующая информационно -математическая модель (ИММ) должна быть физичной и податливой для аналитических методов прикладной математики, а также допускать наглядную трактовку. Это равносильно требованию изначально строить минимальную модель или, что равнозначно, феноменологический каркас (аттрактор) процесса КМИС. Такая задача оказывается разрешимой благодаря небольшому числу существенных факторов и резкому «переключающему» характеру нелинейности, управляющей динамикой сваривания. Предварительный анализ важности отдельных физических эффектов позволяет в данном случае конструировать изначально минимальную ИММ.

Важными физическими эффектами при КМИС являются разогрев и магнитное давление, обусловленные и/или сопровождающиеся: 1) теплопроводностью, 2) фазовыми переходами, 3) движением заготовки и 4) выплеском расплава. Переключающий тип нелинейности связан с отличием коэффициентов электро-

проводности цветных металлов и их оксидов, что способствует локализации джоулевых источников тепла на окисленной контактной поверхности и быстрому их рассредоточению при малом улучшении качества поверхности в области нахлеста, за счет увеличения доли оксидной пленки, удаленной с контактной поверхности.

Начнем процедуру моделирования с качественного анализа феномена КМИС. В динамике КМИС отчетливо прослеживаются три стадии. На каждой стадии доминирует определенный механизм, поэтому целесообразно разработать сперва соответствующие фрагментарные ИММ, которые можно затем объединить как на уровне исходных уравнений, так и в процессе программной реализации. Рассмотрим механизмы и сконструируем фрагментарные ИММ каждой из стадий.

Первая стадия КМИС отвечает сосредоточенному прогреву заготовки в зоне нахлеста индуцированными токами. Локализация прогрева обусловлена значительно большим сопротивлением оксидной пленки металла, покрывающей контакты, по сравнению со слоем чистого металла равной толщины. Оксидный слой служит источником джоулевого тепла: нагреваясь, он отдает часть тепла в прилежащие слои металла. Поскольку температура плавления оксида заметно выше таковой для металла, при достаточно больших энерговкладах сперва расплавляется металлический слой под окисной пленкой. Расплавление этого слоя создает возможность для удаления тепловыделяющей пленки оксида в результате сдавливания контактной зоны силами магнитного давления. Увеличение сдавливающего усилия на этой стадии обусловлено исключительно электротехническими параметрами разряда и начальным состоянием свариваемого образца. Этот этап можно назвать стадией электротермического инициирования при КМИС.

Вторая стадия характеризуется сложными динамическими процессами, приводящими: 1) к выносу массы и тепла из контактной зоны, как следствие, изменению ее электрических и теплофизических свойств в направлении выравнивания с таковыми для металла заготовки; 2) к увеличению общей электропроводности заготовки при одновременном рассредоточении джоулевого нагрева (как процесса) и уже выделившегося на контакте тепла, что обеспечивает смену ведущего энергетического канала сваривания с термического на механический; 3) к постепенному охлаждению и застыванию расплава в зоне нахлеста. Следует отметить, что при чрезмерно интенсивном джоулевом тепловыделении предлагаемой феноменологической моделью не исключается возможность закипания расплавленного металла, пары которого резко интенсифицируют выплеск из контактной зоны. В этом случае в пределах данной стадии реализуется так называемый сверхкритический режим, нежелательный в практике КМИС. Однако в пространстве управляющих параметров КМИС предшествуют более мягкие режимы подобного рода - критические, которые сопровождаются излишним перегревом заготовки,

выплеском жидкого металла и поэтому также являются нежелательными. Последнее обстоятельство позволяет не усложнять ИММ феноменом закипания.

Третья стадия соответствует сварке давлением в твердой фазе, когда прилагаемое импульсное усилие сменяется процессами релаксации механических напряжений. Механизм этой стадии детально изучен и описан в литературе [1-3]. Особенностью интеграции известных ИММ данной стадии - в совокупную ИММ КМИС-процесса является необходимость аккуратно сопрячь динамику сваривания на всех трех стадиях.

В минимальной ИММ КМИС все три стадии должны описываться сквозным образом - посредством общих уравнений, чтобы корректно воспроизводить переходные процессы, отражающие смену ведущих физических механизмов. С другой стороны, требуется выбрать предельно простой математический аппарат, позволяющий тем не менее отразить все существенные стороны моделируемого процесса. При разработке модели КМИС воспользуемся следующими приемами: 1) техникой пространственного осреднения уравнения с частными производными (УЧП), описывающего теплопроводность, что эквивалентно замене точных решений на приближенные для последующего применения в качестве строительных блоков ИММ; 2) установлением подобия тепловых и электрических процессов для их единообразного описания; 3) выделением и аналитической аппроксимацией существенных нелинейностей; 4) использованием соотношений материально-энергетического баланса для обеспечения консервативности ИММ в соответствии с физическим содержанием задачи; 5) анализом характерных времен различных динамических процессов и выбора связей надлежащего типа, в частности жестких между отдельными переменными ИММ. Наиболее существенные результаты этой подготовительной работы описаны ниже.

Динамику прогрева образца в зоне нахлеста можно схематизировать согласно рис. 2 (поскольку задача симметрична относительно плоскости контакта, рассмотрение проводится для одного из слоев).

Рис. 2. Геометрия контактной зоны в тепловом модуле ИММ КМИС. Направление оси х соответствует движению вглубь заготовки, оси у - вдоль контактной поверхности; направление Г - символическое, "эволюционное"

Листовая заготовка, предполагается, имеет толщину х0 ~ 100-300 мкм, покрытую слоем оксида, толщиной 8 ~ 1-3 мкм. Толщина окисленного поверхностного слоя выбирается совпадающей с микрошероховатостью поверхности, также сильно ухудшающей электропроводность контакта. В модели эти механизмы не разделяются и учитываются брутто-образом. Задачу можно считать пространственно одномерной, так как ширина заготовки на 2-3 порядка превосходит ее толщину. Пространственной переменной х выступает глубина (прогрева, расплавления, выплеска) образца: началом отсчета удобно выбрать границу окиси и чистого металла. Степень покрытия контактной зоны окисной пленкой обозначим символом у: она может принимать значения от у0 (начальное) до 0 (минимальное, соответствующее выплеску всего окисленного слоя).

Предполагая равными плотность р и теплоемкость С твердого и жидкого металла, его окиси, а также коэффициенты температуропроводности металла в твердой и жидкой фазах совпадающими аМе3 = аМеь = аМе и не зависящими от температуры, можно сформулировать тепловой блок ИММ КМИС следующим образом:

дТ/дГ = аОх д2Т/дх2 + 1/Ср д

дТ/дГ = аМе д2Т/дх2 , х = 0... х0 ,

с условиями старта и на границе. Будем пренебрегать теплоотдачей с поверхности образца, а температурным нулем выберем начальную температуру заготовки

Т

и контактными условиями, т.е. условиями сопряжения теплопроводности в средах с различными теплофизи-ческими свойствами:

ХОх дТ/дх|-0 = ХМе дТ/дх|+0 , Т|_0 = Т|+0 ,

ХМе дТ/дх^ - 0 = ХМе дШ%0 - б1яп(Т(0,Г) - Тпп) АНр й^Г,

Тц - 0 = ТЦ+0 ,

где х = аСр - коэффициент теплопроводности; ^ -координата поверхности, разделяющей твердую и жидкую фазы металла; АН - теплота плавления; sign(T(0,Г) - Тпл) - ступенчатая функция, равная единице для неотрицательных значений аргумента и нулю в противном случае. Уравнениями (1)-(5) не предусмотрены вынос перегретой массы и фазовые переходы сверхкритического режима - закипание металла и расплавление окисной пленки.

Даже в такой предельно упрощенной, с точки зрения физики процесса, постановке нахождение аналитического решения задачи (1)-(5) оказывается весьма нетривиальным делом. Согласно [4], наиболее универсальная процедура требует выполнить следующие работы: 1) на основании анализа УЧП и граничных условий (ГУ) теплопроводности подобрать подходящее интегральное преобразование или набор преобразований; 2) с помощью этих преобразований - путем нахождения сверток УЧП и ГУ с ядрами преобразова-

нии в определенных пределах - исключить одну из переменных и получить эквивалентную систему ОДУ; 3) решить ОДУ либо, применив к ним повторно действия п. 2), свести задачу к алгебраическим уравнениям для (двойных) изображений исходных УЧП; 4) на основании ГУ определить значения констант в изображении искомого решения; 5) обратным преобразованием (или набором обратных преобразований) восстановить вид решения по его изображению. Каждая из перечисленных операций представляет собой достаточно сложную математическую задачу, сопряженную с многочисленными трудностями. Таким образом, аккуратное аналитическое решение и исследование УЧП (1)-(5) требует специальной математической подготовки и определенного предметного опыта, что заставляет отказаться от такого подхода по причине несоответствия теоретико-методическим основам прикладной физико-химической кинетики (ПФХК).

Простые регулярные численные алгоритмы [5-6] также оказываются неприменимыми в чистом виде, поскольку важным требованием, предъявляемым к ИММ КМИС (1)-(5), служит качественное воспроизводство процессов расплавления и выплеска металла, а регулярные сеточные алгоритмы плохо приспособлены для описания процессов с образованием разрывов. В данном случае фазовый переход можно рассматривать как нелинейность теплофизических свойств материала, приводящую к образованию разрыва производной в температурном поле. Однако оба названных подхода представляются исключительно полезными и будут задействованы при построении минимальной ИММ КМИС. Получаемые на их основе аналитические и численные результаты помогают выделять главные черты теплопроводности и строить приближенные решения (1)-(5), относительное отличие которых от точных согласуется с погрешностями имитации прочих процессов в совокупной модели, а также с недостоверностью исходных тепло- и электрофизических данных.

В частности, рассмотреть распространение тепла в глубь образца удобно на примере простейшей модели - полубесконечного (х = 0... «>) изначально холодного (Т(х,0) = 0) образца, нагреваемого расположенным на границе источником (д(х,1) = 8(х)д(1), где 8(х) -дельта-функция). Динамика температурного поля в такой постановке задается уравнением (1). Задача имеет аналитическое решение [2, 6]:

T

1/2

t

'] t

0

1/2

/4aüxt

dq.

Для процесса КМИС функция источника соответствует омическому нагреву при затухающих гармонических колебаниях по закону

U = U0 sinmt е

где и - напряжение; ю и т - соответственно частота и время затухания колебаний, определяемые электрическими параметрами установки (см. рис. 1).

Тепловая мощность электрического источника (7) равна

= д = и02Лк-1 эш2«1 е-2л ,

где Як - величина контактного сопротивления.

Получить явное выражение Т(х,1) с помощью интеграла (6) для источника (8) невозможно. Поэтому дальнейшее продвижение в этом направлении состоит в замене гладкой функции (8) на непрерывную, состоящую из параболических и горизонтальных прямых участков (рис. 3).

0,5 -

п/ю

2п/ю

3п/ю t

Рис. 3. Схема аппроксимации теплового источника функциональной зависимостью, допускающей аналитическое решение УЧП (1): I - реальная функция источника (8); II - аппроксимирующая функция вида Сд/С = и02,Кк-1ф , где ф = Ап(ю1)2 при п - (0,674 + 0,225А) Ач/2 + пп < сЮ < 0,674 + + 0,225А + пп и ф = Ап(0,674 + 0,225А)2 - в противном случае; п = 0, 1,... - порядковый номер колебания

Параболические участки должны при этом «совпадать» с (8) в окрестностях нулей, а высоту горизонтальных участков следует выбирать из условия равномощности точного и аппроксимирующего источников в пределах каждого полупериода. Поскольку исходная функция (8) инвариантна по отношению к сдвигу аргумента на п и одновременному

-2п/т ^ г

сжатию в е раз, таким же свойством должна обладать ее аппроксимация. Это позволяет, во-первых, вычислить параметры формы кривой рис. 3, б всего один раз, и во-вторых, упростить процедуру поин-тервального вычисления интеграла (6). Приравняв периодическую мощность исходного и аппроксимирующего источника и решив получившееся трансцендентное уравнение

-2/3

(1 + (ют)2)(ют)3

= 0,

где = ю 1 - безразмерное время среза синусоиды

1

0

освобождается от стремящегося к бесконечности параметра ют. Для этого вырожденного случая (9) трансформируется в -4/3 ^ + п - п/2 = 0 , решением которого служит ^ ~ 0,899. Рассматривая теперь левую часть (9) как функцию двух переменных Ф = Ф(А, нетрудно получить зависимость «решения» от «параметра» ^ = ^(А) вблизи А = 0. Таким способом получается приближенное решение (9), определяемое формулой. При нахождении частных производных дФ/дА необходимо учитывать связь А = е-2пЮт. Вообще, вычисление коэффициента параметрической чувствительности й ^/¿А = - (дФ/дА)/(дФ/д удобнее производить численно: при этом можно одновременно определить границы качественной аппроксимации ^ = 0,674 + 0,225А и отличающееся от точного не более чем на 3% при А > 0,8 (на 15 % - при А = 0,5).

Воспользовавшись результатом рис. 3, можно получить конечные формулы для температурного поля внутри заготовки. Однако для наших целей предпочтительным является другой путь, состоящий не в получении точного решения уравнения теплопроводности для модельного источника, а наоборот, - в отыскании приближенного решения уравнения (1) при описании энерговклада согласно (8). Контролировать качество аппроксимации будем, сверяя приближенное аналитическое решение с «точным», получаемым для тех же условий численным методом [5]. Для численного решения (1) сконструируем грубую неравномерную сетку (рис. 4): первые три пространственные ячейки выберем равноразмерными и отвечающими окисному слою 8, а остальные 22 ячейки, отвечающие слою металла, - с увеличивающимся в геометрической прогрессии размером. Размер четвертой ячейки выберем совпадающим с размером третьей, т.е. 8/3, а коэффициент геометрической прогрессии а из условия 8/3(а22 - 1)/(а - 1) = х0. Явная схема пересчета температурного поля пластины на такой сетке позволяет учесть ее конечную пространственную протяженность, что важно при низкой интенсивности источника и/или малой толщине металла. Существенно, что данная численная методика, основанная на использовании неподвижной сетки, принципиально не пригодна для отслеживания фазового перехода. Чтобы

наделить ее подобным свойством, требуется, по меньшей мере, «встроить» туда подвижную границу, перемещение которой внутри ячейки и между ячейками определяется условиями реализации на ней фазового перехода [6]. Мы этого здесь делать не будем, а ограничимся только свойством разностной схемы воспроизводить динамику температурных полей в объеме заготовки при заданных ГУ.

1-1 1-1 1-1

1 т 5/3 5/3 5/3 5/3 а5/3

1-1 1-1 1-1 1-1

Рис. 4. Сетка для численного решения уравнения теплопроводности

Построенная в работе ИММ позволяет детально воспроизводить динамику электротеплофизических параметров в контактной зоне (сваривания) оболочеч-ных конструкций при КМИС. В последующих работах цикла будут рассмотрены как возможности упрощения ИММ и ее аналитического исследования, так и результаты детального вычислительного эксперимента, основанного на приведенных выше уравнениях. Существенно, что описанная модель позволила резко сократить число «пристрелочных» экспериментов при изготовлении ряда типовых (медных, латунных и дюралюминиевых) оболочечных конструкций для аэрокосмических нужд.

Литература

1. Дудин А.А. Магнитно-импульсная сварка металлов. М.,

1979.

2. Кочергин К.А. Сварка давлением. Л., 1973.

3. Воздействие лазерного излучения на материалы / Р.В. Ару-тюнян и др. М., 1989.

4. ЛыковА.В. Тепломассообмен: Справочник. М., 1978.

5. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., 1980.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.

Донской государственный технический университет

23 декабря 2003 г.