Нелинейная динамика спиновых вихрей в антиферромагнетиках

УДК 538.115

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СПИНОВЫХ ВИХРЕЙ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ

А. К. Звездин

Исследована динамика магнитных вихрей - линий Блоха -в антиферромагнитных кристаллах. Вычислены гироскопическая сила, сила вязкого торможения, которая является существенно нелинейной функцией скорости, изменение профиля доменной границы, индуцированное движущимся вихрем, зависимость скорости вихря от скорости доменной границы, в которой локализован вихрь.

Магнитным вихрям в ферромагнетиках и антиферромагнетиках посвящено большое число теоретических работ (см.[1 - 8] и цитируемую там литературу), однако практически отсутствуют прямые экспериментальные наблюдения таких объектов.

Исключением являются так называемые линии Блоха в доменных границах. Линии Блоха разделяют между собой участки доменной границы (субдомены), обладающие различным направлением разворота спинов. С топологической точки зрения линии Блоха несомненно являются вихрями с определенным топологическим зарядом и, очевидно, их динамические свойства отражают главную особенность кинематики вихря снос вихря в перпендикулярном направлении относительно вектора скорости его поступательного движения. Это свойство применительно к ферромагнетикам характеризуют введением так называемой гироскопической силы (см. по этому поводу [1]).

Очень интересными объектами для изучения динамики магнитных вихрей являются антиферромагнетики и слабые ферромагнетики. Дело в том, что динамика вихрей в ферромагнетиках (и ферримагнетиках) значительно осложняется магнитодиполными взаимодействиями, в то время как в антиферромагнетиках и слабых ферромагнетиках [7, 14] магнитодипольные взаимодействия отсутствуют или значительно ослаблены.

Другое важное достоинство антиферромагнетиков в обсуждаемом аспекте состоит в том, что они представляют собой систему, практически идеально описываемую при

помощи так называемой "нелинейной сг-модели" [11, 9, 10]. "Нелинейная сг-модель" является одной из наиболее содержательных моделей статистической физики, в рамках которой были получены принципиальные результаты, относящиеся к различным разделам теории поля, физики твердого тела, жидких кристаллов, топологическим солитонам и дефектам и т.д.

В настоящей работе исследуется динамика магнитного вихря, локализованного в движущейся доменной границе. Вычислена его скорость в зависимости от скорости до менной границы и изменение профиля доменной границы, индуцированное вихрем.

Уравнения, описывающие динамику намагниченности в антиферромагнетике и слабом ферромагнетике могут быть получены из следующих выражений для лагранжиана L и диссипативной функции Релея R нелинейного поля G(r, t) (G - вектор антиферромагнетизма, |G| = 1) [9, 10]:

L = WÓ2~f (H't«.«])-^ «

где X-Li 7> Mo - поперечная восприимчивость, гиромагнитное отношение и намагниченность подрешетки; Н< = Н -f H¿>, Н - напряженность внешнего поля, Но поле Дзялошинского, си - безразмерная константа затухания, F - свободная энергия.

Во многих случаях вектор антиферромагнетизма переориентируется в определенной кристаллографической плоскости, так что вектор G может быть определен при помощи одной угловой переменной. В этом случае

Gx = cos<¿>, Gy = sinv?, Gz = 0,

и лагранжиан и функция Релея принимают вид

L = - А

7

аМ0 2

i?-—

Здесь А - константа неоднородного обмена (обменная жесткость), К - константа анизотропии в плоскости ху, Ms - намагниченность насыщения (возникающая под влиянием взаимодействия Дзялошинского).

Уравнения Эйлера - Лагранжа рассматриваемой системы имеют вид [11, 10, 12]

ф — c2VV--Е 1 sin 2ip -f tjJE^z sin = 7Hz — сишеФ,

где с2 = 7Мхх1 = 7 ЛшЕМ0 \

шЕ = 7МоХх1, = Т2АГ1М0 ш2 = 7Н2М5М0 1.

2\ -1/2

Ао =

Решение (7) описывает уединенную волну - солитон (кинк), движущийся с постоянной скоростью и в диссипативной среде под влиянием внешней силы, £ - координата в направлении, совпадающем с вектором скорости солитона. С физической точки зрения этот солитон представляет собой движущуюся доменную границу, разделяющую области с произвольной ориентацией вектора антиферромагнетизма (у? = 0,7г). Характерной особенностью этого решения является "вырождение": г] = ±1, т.е. вырождение по направлению разворота спинов (по часовой стрелке или против) в солитоне.

Непосредственным следствием вырождения является возможность существования неоднородных в поперечном направлении доменных границ с областями, отличающимися направлением разворота спинов и линий, разделяющих эти области - линий Блоха.

Рассмотрим простейшую ситуацию с одной линией Блоха: (г/ — +1 для х > х0 и г] — — 1 для х < х0, х - координата вдоль доменной границы, х0 - координата центра линии Блоха). Легко убедиться, что распределение вектора антиферромагнетизма С вокруг линии Блоха соответствует вихрю.

Если исключить из 32)-пространства множество (плоскость) х = Хо, то легко убедиться непосредственной подстановкой, что функция ср(х,у), определяемая уравнением

удовлетворяет уравнению (6) всюду за исключением множества х — х0• Заметим, что Хо, вообще говоря, может зависеть от I.

(7) и

X > Хо X < Хо,

Рассмотрим динамику такого образования. Для этого мы перейдем к сокращенному (редуцированному) описанию изучаемой нелинейной волны, в котором этот объект (доменная граница с линией Блоха) рассматривается как двумерная поверхность (мембрана), разделяющая области в трехмерном пространстве с противоположными направлениями вектора антиферромагнетизма. Эта поверхность определяется уравнением <7 = д(х, у12, ¿), где - координата центра доменной границы, и координатой центра линии Блоха, заданной на поверхности: х0 = х0(£).

Мы полагаем, что в положении равновесия поверхность д = д(г) параллельна плоскости у — 0. Уравнение для д(г^) может быть получено как уравнение медленного изменения адиабатического инварианта нелинейного поля <^(г, ¿), т.е. действия поля, которое имеет в данном случае смысл импульса поля.

Адиабатический инвариант может быть определен следующим образом [13, 7]:

где V - плотность импульса поля, £ = у — q{r,t) - быстрая переменная и q медленно изменяется как функция / иг. При Hz —> 0 и а = 0 функция определяется

уравнением

Нт 1

sin y?,

д<р

где А(q, Vxg) = До [l + (V±9)2 -£] , Vj. = (£, £). Подставляя (12) в (11) и интегрируя по получаем

Р =

7---уф + —HtMx)Q*:

[1 - £ + (Vxg)2] 7

где

m0 = <70/с2, (То = 4(А/01/2. Уравнение сохранения плотности действия имеет вид [13, 7]

dV „ dL dR . _ _ dlvU = - +

где плотность потока действия есть

Пг.2

' dL ' dL'

[*?*, J Vy, пу = w»\ V'v

Подставляя (12) в (15) и интегрируя по быстрой переменной, получим

+ ^ _ у±<7У±д = 2М.Н

ОТ Т

2 _1/2

где г-1 = аи>Е, с — тс2 — т0с2 + С^х^)2 — ) > ~ топологический заряд магнитного вихря.

Уравнению (17) можно поставить в соответствие следующие лагранжиан и дисси-пативную функцию Релея:

С = Ьо

7

¿0 = -т0с2^11 -

Д=1Г- ^

где т/(х) определяется уравнением (10).

Рассмотрим движение доменной границы с постоянной скоростью и. В этом случае <7 = ^

-Ш±<?1 _ ад'! = -2М,Я'д - - х0),

(1 - $) г ^

и его решение можно представить в виде

{ -\+(х-х0) х > Хп

а г ;

6— 0 , X < Х0,

где

/2Л№ /т^о\2Х1/2 ^¿о Л и2\"3/2

А±=±

Из уравнения (21) следует также, что

- ?1)х=хо = -^i27rg¿o.

7

Используя (22) и (24), получим

тг ¿о

90 =--7— 7-/ ( }

7 (2МяН><т + ^

Следующим шагом является определение скорости сноса вихря ¿о, которую можно определить из уравнения сохранения компоненты импульса поля вдоль движущейся доменной границы:

д < Ь > _ д < В.> дх0 дх0

где < А >= / ¿эА и интегрирование ведется по площади доменной границы. Другими словами, она определяется из условия равенства гироскопической силы, действующей на вихрь в движущейся доменной границе, и силы трения, определяемой диссипативной функцией Релея (2).

Гироскопическая сила определяется как

дЬ ^ 2тгх_±Ни 7

длина образца в ¿-направлении принимается равной 1.

Силу трения естественно представить в виде суммы двух вкладов:

Р9

да

^ = Я +

представляет собой "собственную" силу трения вихря; для ее вычисления необходимо знать распределение обоих углов 0 и в вихре. В предположении, что Д^ << Д ее можно оценить следующим образом:

аМ0 . л Д , ч

рг---х0

7

где Д, Д/, - характерные толщины доменной границы и линии Блоха.

Сила трения возникает за счет прогиба доменной границы, индуцированного двп жущейся линией Блоха. Она равна

—оо

При интегрировании в (30) использованы формулы (22), (23), (25). Подставляя (27), (29), (30) в (26), получим уравнение для определения х0:

=А + 1/2. .

7 7 Д£ т \ а )

Таким образом, формулы (22), (23), (25), (31) полностью решают поставленную задачу о равномерном движении вихря (линии Блоха) в движущейся доменной границе в антиферромагнитном кристалле.

Характерно, что второе слагаемое в правой части уравнения (31) пропорционально квадрату величины Q, поэтому при достаточно больших Q первым слагаемым в левой части уравнения (31) можно пренебречь. В этом случае задача полностью решается в рамках редуцированной системы (18) - (20) без привлечения информации о внутренней структуре вихря.

Приведем некоторые численные оценки. Полагая q < 10е см/с, М0 ~ 103 Э, Ms ~ 10 Э, Нг ~ 103Э, хх ~ Ю-5, #' ~ 104Э/см, а ~ I эрг/см2, с = 2-106см/с, т ~ Ю-10 —Ю-11 с, Q ~ 102-103, получим из (25), (31) q0 ~ 10"5-10"4 см, i0 ~ 105-106 см/с. Приведенная оценка для А+_ ~ 103 см~1 означает, что характерная длина доменной границы под влиянием движущегося вихря - порядка 10 мкм (см. [14]).

В заключение отметим, что рассмотренный подход к исследованию динамики вихря предполагает, что диаметр внутренней части вихря много меньше характерных размеров задачи - толщины стенки и прогиба доменной границы. В свою очередь это выполняется, если энергия магнитной анизотропии, характеризующая выход вектора аниферромагнетизма из плоскости ху, значительно превышает энергию магнитной анизотропии в плоскости ху.

Работа поддержана МНТП (проект 97-1071) и ФЦП "Интеграция" (проект К-0573).

ЛИТЕРАТУРА

[1] М а 1 о z е m о f А. P. and Slonczewski J. С. Magnetic Domain Walls in Bubble Materieals, Academic, 1979.

[2] К о с e в и ч А. М., Иванов В. А., Ковалев А. С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев, Наукова Думка, 1983.

[3] I v а п о v V. A., Sheka D. D. Phys. Rev. Lett., 72, 404 (1994).

[4] I v a n о v V. А., К о 1 e z h u k A. K. Phys. Rev. Lett., 74, 1859 (1995).

[5] I v a n о v V. А., К о 1 e z h u k A. K., W у s i n G. M. Phys. Rev. Lett., 76, 511 (1996).

[6] В e 1 a v i n A. A., P о 1 у a k о v A. M. Письма в ЖЭТФ, 22, 245 (1975).

[7] Ч e т к и н М. В., Звездин А. К., Гадецкий С. Н. и др. ЖЭТФ, 94, 269 (1988).

[8] 3 в е з д и н А. К., Попков А. Ф. ЖЭТФ, 91, 1789 (1986).

[9] А н д р е е в А. Ф., Марченко В. И. УФН, 130, 39 (1980).

[10] 3 в е з д и н А. К., Мухин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 12, 3 (1981).

[11] Z V е z d i п А. К. Письма в ЖЭТФ, 29, 605 (1979).

[12] 3 вез дин А. К., Мухин A.A. ЖЭТФ, 102, 577 (1992).

[13] Witham G. В. Linear and Nonlinear Waves, Wiley, 1974, p. 151.

[14] 4 e t к и h M. В. ЖЭТФ, 1999 (в печати).

[15] 3 в е з д и н А. К., Попков А. Ф. Письма в ЖЭТФ, 39, 348 (1984). Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 19 апреля 1999 г.