Об обращении полугруппы операторов

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 2, С. 79-89

УДК 517.9

ОБ ОБРАЩЕНИИ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ А. Г. Чшиев

В настоящей работе исследуются полугруппы линейных отношений в банаховом пространстве, полученные путем обращения полугрупп линейных ограниченных операторов различного класса. В качестве основного инструмента исследования полугруппы линейных отношений используется понятие траектории точки. Используется общее определение генератора полугруппы линейных отношений.

Ключевые слова: полугруппа линейных отношений, полугруппа линейных операторов, генератор полугруппы, линейное отношение.

Введение. Как известно, при обращении полугруппы линейных ограниченных операторов в общем случае возникает семейство линейных отношений, обладающее полугрупповым свойством, т. е. полугруппа линейных отношений. Как математический объект полугруппа линейных отношений является малоизученным. С другой стороны, появились работы (например, [1]), которые непостредственно «связаны» с полугруппами линейных отношений. Таким образом, возникает необходимость в формулировке соответствующих определений и поиске приложений и эффективных инструментов исследования полугрупп линейных отношений. В этой связи, обоснованным является исследование полугруппы линейных отношений, полученной при обращении вырожденной полугруппы линейных ограниченных операторов. Стоит отметить, что определение и некоторые результаты для полугрупп линейных отношений содержатся в работе [1]. Стоит также отметить работу [2], где вводится определение и получен ряд результатов относительно полугрупп неограниченных операторов, которые являются частным случаем полугрупп линейных отношений.

Условие, когда оператор —А порождает полугруппу операторов выполняется для сильно некорректных задач типа задачи Коши для уравнения теплопроводности в обА

шаются методами квазиобращения, вспомогательных граничных условий. В работе [6] указываются условия разрешимости и единственности решения в пространстве обобщенных функций для случая, когда —А = А*. В настоящей работе для генератора полугруппы операторов А показано при каких условиях отношение —А является генератором обращенной полугруппы.

Как инструмент исследования полугрупп линейных отношений в работе используется понятие траектории точки. Показано, что каждая точка из области определения полугруппы линейных отношений может иметь две и более траектории. Траектория, непрерывная в нуле называется основной. Доказана единственность основной траектории для точек из области определения полугруппы. Свойства гладкости полугруппы линейных отношений определяются посредством основной траектории точки.

© 2014 Чшиев А. Г.

Используемые ниже понятия из теории линейных отношений, а также приложения спектральной теории линейных отношений к исследованию полугрупп операторов можно найти в монографиях [7, 8], а также в статьях [9-16]. Следует отметить, что определение спектра и первые результаты по теории линейных отношений были получены в статье Аренса [17].

1. Полугруппа линейных отношений. Пусть X — комплексное банахово пространство. Через End X обозначим банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в X. Множество всех линейных отношений на X обозначим через LR(X), а множество замкнутых линейных отношений на X обозначим через LCR(X).

X

LO(X). Таким образом, при отождествлении оператора с его графиком, имеют место следующие включения: End X С LO(X) С LCR(X) С LR(X).

Определение 1.Полугруппой линейных отношений на подпространстве Xo с X называется функция S : (0, ж) ^ LR(X) со свойством S(t + s)x = S(t)S(s)x, t,s > 0, для любого x G Xo. функция S называется пол,у группой линейных отношений, если Xo = X.

Для полугруппы S введем следующие подпространства:

Im S = U Im S(t) — образ полугруппы; t>o

Ker S = П Ker S(t) — ядро полугруппы; t>o

S0 = S(t)0 t>o

Im S(t) , Ker S(t) S(t)0 S(t) t > 0.

2. Мотивация к изучению. 1. Для абстрактной задачи Коши x(to) = xo для дифференциального уравнения x(t) = Ax(t) рассмотрим три постановки:

1) Пусть to = 0. Требуется продолжить решение x : [0, ж) ^ X задачи на всю числовую прямую R (см., например, [18]).

2) Пусть to > 0 и фиксировано. Требуется найти решение x : [0, ж) ^ X. В данном случае значение искомой функции задано в промежуточной точке.

3) Пусть to G R и фиксированно. Требуется найти решение x : [0, ж) ^ X данной неавтономной задачи Коши.

2. Пусть А = {(t,s) G R х R : s ^ ^.Отображение U : А ^ End X называется сильно непрерывным семейством эволюционных операторов «вперед», если выполнены следующие условия:

1) U (t,t) = I — тождественный оператор для любого t G R;

2) U(t, s)U(s, h) = U(t,h), h < s < t;

3) отображение (t, s) ^ U (t, s) x : А ^ X непрерывно для любого x G X;

4) существуют постоянные M ^ 1 и a G R такие, что ||U(t,s)|| ^ Mea(t-s\ s ^ t.

Эволюционные семейства операторов естественным образом возникают в связи

с представлением решений абстрактной задачи Коши

x

для дифференциального уравнения

^ = A

в предположении, что область определения D(A(s)) оператора A(s) ^^отна в X.

Будем говорить, что семейство эволюционных операторов и решает абстрактную задачу Коши (1), (2), если для любого в £ М существует плотное в Х подпространство Х8 из ^(А(в)) такое, что для каждого Хо £ Х8 функция х(Ь) = и(Ь, в)хо, í £ М, дифференцируема при всех Ь ^ в, х(Ь) £ ^(А(Ь)) и выполнены равенства (1) (2).

Пусть Е — замкнутое линейное подпространство из X. Рассмотрим линейный оператор

: ) С £Р(М+,Х) ^ £Р(М+,Х), р ^ 1,

который определяется следующим образом. Непрерывная функция х £ ТР(М+,Х), для которой вектор х(0) принадлежит Е, относится к области определения П(^е) оператора ^е, если существует функция / £ ТР(М+,Х), такая что верны равенства

í

х(ь) = и(Ь, 0)х(0) - ^ и(Ь, т)/(т) йт, Ь ^ 0. о

Далее полагаем ^Ех = /. Если Е = {0}, то итератор ^Е является [1] генератором полугруппы операторов

(То(Ь)х)(в) = (^(в'в - Ь)х(в - Ь)' в ^ ''

[0, 0 < в < Ь.

В случае, если Е = {0} оператор ^Е не является генератором полугруппы операторов. В работе [1] с оператором ^Е связывается эволюционная полугруппа линейных отношений на# = £р

Те(Ь) = |(х,у) £ ЩМ+,Х) х ТР(М+,Х) : у(в) = ( ^(^- ^ - ^ в ^ Л Л , I I и (в, 0)хо(в), 0 ^ в ^ Ь, I

где Хо : [0, Ь] ^ Е — некоторая функция из подпространства

£р([0,Ь],Е) = {х[о,*]Х, х £ ¿Р(М+,Е)}.

Для полугруппы Те в работе [1] получена теорема об отображении спектра. Кроме того, для случая гиперболической полугруппы в [1] дано определение генератора полугруппы линейных отношений и доказано, что оператор ^е является генератором полугруппы Те. Например [1], для случая Е = Х семейство и обладает свойством экспоненциальной дихотомии на М+, откуда следует гиперболичность полугруппы Те . В этом случае имеет место разложение & = ф подпространства &, относительно которого Те

(Т-(Ь)х)(в) = (^(в,в - Ь)х(в - Ь), в ^

I 0, в < Ь, Х £ ,

Т+ — полугруппа непрерывно-обратимых линейных отношений

Г х ^ ^ /х Г и (в, в - Ь)х(в - Ь), в ^ Ь, 1 Т+ (¿) = Мх,у) £ х : у(в) = I К ' У ^ У

\ + + (в, 0)хо(в), 0 < в<Ь, /'

причем 5+(Ь)у(в) = Т+(Ь)-1у(в) = и (в, в + Ь)у(в + Ь), в £ М+, у £ Полугруппы операторов Т_, принадлежат классу (Со). Генератором полугруппы Т_ является сужение

^еоператора ^е па подпространство генератором полугруппы является сужение —^е операто ра -^е на подпростран ство Генератор полугруппы линейны отношений Те для данного случая определяется как прямая сумма операторов ^е и ^е , т- е- оператор ^е является генератором полугруппы линейных отношений Те .

3. Основные определения и некоторые результаты для полугрупп линейных отношений. Всюду далее через Б обозначена полугруппа линейных отношений на подпространстве Хо. Для полугруппы линейных отношений существенными являются подпространства из X вида

где 0(Б(Ь)) — есть область определения отношения Б(Ь). Только на подпространстве О(Б) выполняется полугрупповое свойство. Ясно, что Хо С О(Б) С П\(Б). Подпространство В2(Т) естественно называть областью определены я полугруппы Б.

Теорема 1. Пусть Б — полугруппа замкнутых отношений. Тогда 02(Б) есть подпространство из О (Б), инвариантное относительно всех отношений полугруппы Б.

Доказательство следует из определения произведения линейных отношений и определения инвариантного относительно линейного отношения подпространства [1].

Б

< Пусть т < Ь и (х, 0) £ Б(т). Так как (0, 0) £ Б(Ь — т), то из равенства Б(Ь) = Б(Ь — т)Б(т) и определения произведения линейных отношений, следует (х, 0) £ Б(Ь). Значит, Кег Б(т) С Кег Б(Ь). Аналогично получаем Б(т)0 С Б(Ь)0. >

В данной работе в качестве инструмента изучения полугруппы линейных отношений используется понятие траектории точки.

Определение 2. Траекторией точки х £ 01(Б) относительно полугруппы линейных отношений Б на подпространстве Хо называется векторная функция £х со свойством:

ш £ Б(Ь)х Ь > 0.

Существование траектории для точек из О (Б) следует из определения полугруппы линейных отношений. Траектория точки в общем случае не единственна.

Теорема 3. Пусть £х — траектория точки х £ 01 (Б), и пусть и £ Б0. Тогда:

1) функция Пх вида цх(Ь) = £х(Ь) + и, Ь > 0, является траекторией точки х;

2) траектории точек х и х + и совпадают;

3) для каждого Ь > 0 имеет место представление Б(Ь)х = £х(Ь) + и.

< Доказательство утверждения 1) следует из условия £х(Ь) + и £ Б(Ь), Ь > 0. Утверждение 2) следует из равенства Б(Ь)(х+и) = Б(Ь)х+Б(Ь)и = Б(Ь)х, Ь > 0. Утверждение 3) следует из равенства Ах = у + А0, у £ Ах, верного [10] для любого А £ ЬК(Х). >

Введем в рассмотрения следующие подпространства:

О (Б) = П О (Б (Ь)), О (Б) = р| В(Б (Ь)Б (в)),

Keг Б(т) С Кег Б(Ь), Б(т)0 С Б(Ь)0, т <Ь.

ХС(Б) = {х £ Хо : Иш £х(Ь)= х},

^0+

о

Ясно, что Хс(5) С Хт(5). Кроме того, имеет место Теорема 4. Верны следующие свойства:

Хс(5) П 50 = {0}, Хс(5) П Кег 5 = {0}, Хт(5) П 50 = {0}, Хт(5) П Кег 5 = {0}.

< Доказательство проводится непосредственной проверкой. > Следовательно, для векторов х £ Хт(5) траектория £ точки х единственна. Замечание 1. 1) Если 5 — полугруппа операторов, то все траектории точки х

совпадают с функцией х ^ 5(Ь)х. 2) Полугрупповое свойство для траектории £х точки х выглядит следующим образом + в) £ 5(Ь)5(в)х, Ь,в > 0. Выделим один вид траектории.

Определение 3. Непрерывная на (0, го) траектория £х точки х £ ^(5) называется основной, если Иш^о+ £Х(Ь) = х.

Замечание 2. 1) Пусть £х — основная траектория точки х £ ^(5). Тогда функция Пх : [0, го) ^ Х, пх(Ь) = £Х(Ь) + и, где 0 = и £ 50, не является основной траекторией точки х. 2) Для х £ Кег 5 и 50 нулевая функция является основной траекторией. 3) Из определения основной траектории получаем £Х(Ь) П 50 = {0} Ь > 0. Для основной траектории верны следующие утверждения.

Теорема 5. Для х £ ^2(5) существует единственная основная траектория.

< Пусть и — две основные траектории точки х. Из свойств линейных отношений [10] следует, что 5 (Ь)х = у + 5(Ь)0 для каждого Ь > 0 и любо го у £ 5 (Ь). Следовательно, пх(Ь) = £Х(Ь) + и, где и £ 5(Ь)0. Остается заметить, что для каждой основной траектории £Х(Ь) П 50 = {0} Ь > 0. >

Через основную траекторию определим свойства сильной непрерывности.

5 Хо

зывается сильно непрерывной, если для каждого х £ Хо существует непрерывная на интервале (0, го) траектория

4. Генераторы полугруппы линейных отношений. Дадим определение генератора полугруппы линейных отношений на подпространстве.

Определение 5. Строгим инфинитезимальным линейным отношением полугруп-

5 Хо

Со £ ТЯ(Х), состоящее го пар векторов (х, у) £ Хо х Х таких, что основная траектория £х точки х непрерывно дифференцируема и связана с основной траекторией пу точки у следующим образом: £х (Ь) = пу (Ь) для всех Ь ^ 0.

Определение 6. Инфинитезимальным линейным отношением полугруппы линейных отношений 5 на подпространстве Хо называется линейное отношение Оо £ ТЯ(Х), состоящее из пар векторов (х, у) £ Хо х Х таких, что основная траектория £х точк и х дифференцируема и связана с основной траекторией пу точки у следующим образом: (Ь) = Пу (Ь) Для всех Ь ^ 0.

5

подпространстве Хо называется линейное отношение С из ТЯ(Х), состоящее из пар (х, у) со свойствами: ж £ Хо П 1т 5, основная траектория точки ж дифференцируема на

(0, го) и связана с основной траекторией пу точк и у соотношением (Ь) = Пу (Ь); Ь > 0.

5

стве Хо называется отношение ^ из ТЯ(Х), удовлетворяющее условиям:

1) Go С G С G; 2) для каждых (x,y) G G и t > 0 следует (£x(t),ny(t)) G G, вде £x, ПУ — основные траектории точек x, y относительно полугруппы S.

Генератор G называется базовъш, если резольвентное множество p(G) генератоpa G содержит полуплоскость Cw = {A G C :Re А > w} для некоторого w G R.

Отметим, что определение генератора полугруппы линейных отношений согласуется с определением генератора полугруппы операторов [10].

Теорема 6. Имеет место равенство Ker S U S0 = G0.

< Так как нулевая функция £0 является основной траекторией точки u G Ker SuS0, то £0(t)0 = £0(t)u. Значит, (0, u) G G, т. e. Ker S U SO С G0. Покажем обратное включение. Пусть x G G0, — основная траектория точки x и £0 (t)0 = nx(t), t > 0. Тогда Пх — нулевая функция. Поэтому x G Ker ^шш x G S0. >

Следствие 1. Пусть G G Gen(S). Тогда Ker S U S0 = G0.

Следствие 2. Генератор G полугруппы линейных отношений S является линейным

Ker S U S0 = {0}.

S

группа линейных отношений S : (0, ж) ^ LR(X), S(t) = T(t)-1, получающаяся путем обращения (возможно вырожденной) полугруппы операторов T : (0, ж) ^ End X.

Лемма 1. Для каждого t > 0 сужение T (t) оператора T(t) па подпространство (S) является сюрьективным и инъективным оператором.

< Инъективность. Пусть x G KerT(t) С KerT(t), t > 0. Существует y G X такой, что x = T(t)y. Имеем: x = T(t)y = limh^0 T(h)T(t)y = 0. Сюръективностъ следует из теоремы 1 и определения подпространства D2(S). Действительно, пусть x G D2(S). Тогда существует вектор из D2(S) такой, что x = T(s)y, вде y G D1(S). Пользуясь теоремой 1, вектор y можно выбрать из подпространства D2(S). Остается заметить, что в этом случае T(t)y = T(t)y для всех t > 0. >

Всюду далее через £х дая x G D2(S) обозначена функция [0, ж) Э x ^ T(t)-1 x G D2 (S), вде T(0)x = x.

Лемма 2. Имеют место равенства:

£x(t) = T(t + s)-1T(s)x = T(h - t)T(h)-1 x, t, s > 0, h>t.

Доказательство следует непосредственно из определения траектории £х. > Лемма 3. Функция £х есть основная траектория точки x относительно полугруппы S.

< Непосредственно из определения следует, что £x(t) G S(t)x для каждого t > 0. Используя лемму, для h ^ t ^ s ^ 0 имеем

lim(£x(t) - £x(s)) = lim(T(h - t)T(h)-1 x - T(h - s)T(h)-1 x) = T(h - s)T(h)-1x = £x(s).

t^s t^s

Следовательно, функция £x основной траекторией точки x. >

S

отношений на подпространстве

Ys := D2

t,s>0 t,s>0

Кроме того, Im S = X и D1 (S) ^t>0 Im(T(t)).

< Ясно, что S(t) G LR(X), t > 0. Кроме того,

Di(S) = П D(S(t)) = П Im(T(t)), t>0 t>0

Im S = У Im(S(t)) = [J D(T(t)) = X.

t>0 t>0

Полугрупповое свойство выполняется на D2(S), которое в терминах полугруппы T имеет вид (3). Для x G YS функция является основной траекторией. >

Следствие 3. Пусть T : (0, го) ^ End X — полугруппа сюрьективных операторов в X. Тогда функция S есть сильно непрерывная в пуле справа полугруппа отношений.

S.

u G Ys, используя лемму для любых h ^ t ^ s ^ 0, имеем:

Иш Ш-Ш = lim T(h - t)&{h)~lu - T(h - s),?{h)-lu

t—s t — S t—s t — S

= —T'(h — s)T (h)-1 u = — T (h)-1 T'(h — s)u.

Пусть u G D(A0) и v = —A0u. Тогда

(s) = —T(h)-1 T'(h — s)u = —T(s)-1A0u = T(s)-1v = (s), h > s ^ 0.

Следовательно, (u, v) G G0. Обратно, пусть (u, v) G G0. Тогда £'(s)u = £(s) v для любого h > s ^ 0. Имеем: T'(0)u = T'(h)T(h)-1u = —£'(0)u = —£(0)v = —v. Следовательно, u G D(A0) и — v = A0u. Таким образом, имеет место

Теорема 8. Инфинитезимальный оператор G0 полугруппы S имеет вид

D(G0) = Ys П D(A), G0u = —A0u.

Определим вид старшего генератора полугруппы S. Пусть (u, w) G A, u G Ys. Тогда h>s>0

(s) = —T(h)-1T'(h — s) u = —T(h)-1 T(h — s) w = —T(s)-1w = f-w(s).

Следовательно, (u, —w) G G. Пусть теперь (u, w) G G. Тогда u G Ys и (s) = £w(s) для каждого s > 0. Имеем для t > s > 0:

T'

t—>s t — S t—t — S

= }im Г(*+ «)&(«)-¿Л*» = -T(2s)as) = -T(2s)Us) = ~T(s)w.

t—>-s t — s

Следовательно, (u, —w) G A. Таким образом, имеет место

GS

G = {(x, —y) : x G Ys, (x, y) G A},

A T.

Так как подпространство Ys инвариантно относительно операторов полугруппы T, то G есть сужение отношения —A на подпространство Ys .

Теорема 10. Пусть А £ Сеп(Т). Тогда линейное отношение

= {(ж, —у) : х £ Уя, где (х, у) £ А}

является генератором полугруппы Б.

< Включен не Со С ^ С С следует непосредственно из определения генераторов Со, С и включений Ао С А С А. Пусть (и, ш) £ ^ и — основные траектории

точек и ш. Подпространство Уя инвариантно отношений Б(¿), Ь > 0. Поэтому £и(Ь) £ Уя, (Ь) £ Уя, Ь > 0. Покажем, что для каждого Ь > 0 следует (^(Ь),^^(Ь)) £ ^. Для этого покажем, что (¿), (¿)) £ А. Так как У5: С 1т Т, то достаточно показать, что Т/(.з)£и(Ь) = Т(в)£т(Ь) для всех з,Ь > 0. Для Ь < з имеем:

Т'(з) Ш = Т'(з — Ь) и = Т(з — Ь) ш = Т(з) ^(1).

Для Ь > з имеем

Т'(з) (Ь) = Т'(з)Т(Ь)-1 и = е'(Ь — з) и = е»(Ь — з) = Т(з)Т(Ь)-1ш = Т(з) ^(Ь).

Для з = ¿и 0 < Н < з имеем

Т'(з) е«(Ь) = Т (Н) Т' (з — Н)Т (Ь)-1и = Т (Н) еи (Ь — з + Н) = Т(Н) е» (Ь — з + Н) = Т(Н) Т(з — Н) е» (Ь) = Т(з) е» (Ь). >

Следствие 4. Пусть Уз = 1тТ и А £ Сеп(Т). Тогда линейное отношение —А

Б.

Замечание 3. 1) Условие = ЭТ выполняется, например, если операторы полугруппы Т сюрьективны, или имеют место равенства 1т Т(Ь) = 1т Т(з), Ь = з. 2) Из определения образа нуля полугруппы Б и [10] получаем Б0 = Кег Т = А0 для любого А £ Сеп(Т). Кроме того, используя теорему 10, получаем А0 = ^0.

6. Примеры. 1. На Хо С X определим полугруппу линейных отношений

{0 х = 0

Х0, х = 0.

Основной траекторией любой точки х £ Хо относительно полугруппы Бо является функция

ех : (0, ж) ^ Хо, е*(*)=0.

Поэтому отношение С = {(0, и) : и £ Хо} является старшим генератором полугруппы Бо. Обращая полугруппу, мы снова получим полугруппу Бо. Ясно, что генератором полугруппы Бо является любое отношение вида ^ = {(0, и) : и £ У}, где У С Хо.

2. Пусть Х = Ьр(0,,ц). Рассмотрим оператор А] = д • /, О (А) = {/ £ Х : д • / £ Х}, умножения на функцию д : ^ ^ С. Если 8ир5е^ Ие д(з) < го, то формула Тд(Ь)/ = е1д • / определяет полугруппу операторов класса (Со), инфинитезимальным оператором которой является А. Обратная полугруппа Бд = Т-1 определена на подпространстве У^ = 1тТ = {/ £ X : е~д  / £ X} и имеет вид Бд(£)/ = е-*9 • /, Ь > 0. Инфинитезимальным оператором полугруппы Бд является оператор —А. Если потребовать выполнения условия 8ир5еП | Иед(з)| < ж, то Уя = Х.

3. Рассмотрим полугруппу линейных отношений Те из пункта 2. Из определения полугруппы Те следует, что 01(Те) = 02(Те) = ТР(Ж+,Х). Кроме того, из сильной

непрерывности семейства и следует Кег Те = {0}. Подпространства Те (£) 0, £ > 0, состоят из функций хо : [0, ^ Е со свойствами:

1/р

р Лт I <

хо(() = 0' и ||х(тг*) <

Отсюда получаем Те0 = {0}. Таким образом, все генераторы полугруппы Те являются операторами. Основной траекторией точки х £ ТР(М+,Х) является функция £ ^ То(£)х. Следовательно, полугруппа Те является сильно непрерывной (в том числе и в нуле справа). Оператор ^0, определяемый с помощью равенств

í

х(£) = ~У и (£,т)/(т) Лт, £ ^ 0, о

является инфинитезимальным оператором полугруппы Те . Оператор ^е является старшим генератором полугруппы отношений Те . Обратная к Те полугруппа Б = Т—1 имеет вид

Б(£)у(в) = и(5,5 + £)у(в + £), 5 £ К+, у £ Тр(ж+, X),

причем А (Б) = £2(Б) = ТР(М+,Х).

4. Пусть X — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом {е&, к = 0,1, 2,...}, и пусть последовательность отрицательных чисел {А&, к £ Н} такая, что сходятся ряды: еЛк5 > 0, и 1 /1А^|2. Рассмотрим полугруппу

операторов

Т : (0, го) ^ ЕпёX, Т(£)х = ^ еЛк*(х, ек)(ек + ео).

к>1

Тогда КегТ — одномерное подпространство, содержащее вектор ео, и ЭТ = X. Обратная к полугруппе операторов Т полугруппа отношений Б = Т-1 имеет вид:

Б(£)у = ^ е-Лк*(у, е&)(е* + ео) + уо,

к>1

где уо £ Кег Т. Подпространство ^(Б) состоит из векторов вида

у = ^^(у, е& + ео)(е& + ео), для которых сходится ряд ^^ е-Л^(х, е& + ео)(е& + ео).

к>1 к>1

Заметим, что данный ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

£ е-Лк * |(х,ек + ео)|2. к>1

Заметим, что Б0 = Кег Т. Траектория точки г £ ^(Б) имеет вид

& (£) = е-Лк %, )(е* + ео) + у(г), к>1

где у(г) — произвольный фиксированный вектор из Б0. При у(г) = 0 имеем основную г

6* (£) = £) е-Лк *(у, е& )(е* + ео). к>1

Инфинитезимальный оператор Ao полугруппы T имеет вид:

Aox = ^ Afc(x, efc)(efc + eo), k>i

с областью определения D(Ao) состоящей из векторов

x = efc)(efe + eo), для которых сходится ряд ^^ |А&(x, )|2.

k>i k>i

Базовый генератор Ac состоит из пар (y, ^fc>1 Ak(y, )(e& + eo) + yo), где yo — произвольный вектор из Ker T. Область определения D(Ac) состоит из векторов

x = efc)(efe + eo), для которых сходится ряд ^^ |А&(x, e&)|2.

fe>i fe>i

При дифференцировании основной траектории точки z G D2 (S), получаем, что инфинитезимальный оператор Go полугруппы S имеет вид:

Go z = — ^ Afc (z, efc )(efc + eo), fe>i

с областью определения D(Go ), состоящей из векторов

z = efc)(e& + eo) G D2(S), для которых сходится ряд ^^ |А&(z, e&)|2.

fe>i fe>i

Иначе говоря, оператор Go есть сужение оператора —Ao на подпространство D2 (S). Кроме того, сужение отношения — Ac на подпространство D2 (S) является одним из генера-S.

Литература

1. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений // Изв. РАН. Сер. мат.—2009.—Т. 73, № 2.-С. 3-68.

2. Hughes Rhonda Jo. Semigroups of Unbounded Linear Operators in Banach Space // Trans. Amer. Math. Soc.-1977.-Vol. 230.-P. 113-145.

3. Melnikova I. V. General theory of ill-posed Cauchy problem.—1995.

4. Латтес P., Лионе Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения.—М.: Мир, 1970.—336 с.

5. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи.—М.: Наука, 1995.—176 с.

6. Ануфриева У. А., Мельникова И. В. Особенности и регуляризация некорректных задач Коши с дифференциальными операторами//Дифференц. ур-я и теория полугрупп. СМФН.—М.: РУДН, 2005.—Vol. 14.—Р. 3-156.

7. Cross R. Multivalued linear operators.—N. Y.: M. Dekker, 1998.—352 p.—(Monogr. and Textbooks in Pure and Appl. Math. Vol. 213).

8. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces.—N. Y.: M. Dekker, 1998.

9. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.—829 с.

10. Баскаков А. Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов // Мат. заметки.— 2008.—Т. 84, № 2.-С. 175-192.

11. Баскаков А. Г., Чернышев К. И. Линейные отношения, дифференциальные включения и вырожденные полугруппы // Функцион. анализ и его приложения.—2002.—Т. 36, № 4.—С. 65-70.

12. Баскаков А. Г., Чернышев К. И. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы // Мат. сб.-2002.-Т. 193, № 11—С. 3-42.

13. Чшиев А. Г. Теорема Герхарда — Прюсса для некоторого класса вырожденных полугрупп оператора // Мат. заметки.—(Принята в печать).

14. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений // Успехи мат. наук.—2013.—Т. 68, № 1 (409).-С. 77-128.

15. Чшиев А. Г. Об условиях замкнутости и условиях замыкаемости инфинитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов // Изв. вузов. Матем.—2011.—№ 8.—Р. 77-85.

16. Чшиев А. Г. О полугруппе Сильченко // Владикавказ, мат. журн.—2013.—Т. 15, № 4.—С. 82-90.

17. Areas R. Operational calcules of linear relations // Pacific J. Math.—1961.—Vol. 11.—P. 9-23.

18. Загорский А. С. О полугруппах линейных отношений // Вестн. ВГУ. Сер. физ.-мат.—2004.— № 2.-С. 158-161.

19. Engel К. J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.—New York: Springer Verlag, 2000.-586 p.

Статья поступила IS марта 2013 г. Чшиев Аслан Григорьевич

Южный математический институт ВИЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник отдела функцион. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: zchaslan@mail.ru

ON INVERSION OF SEMIGROUPS OF OPERATORS Chshiev A. G.

We study semigroups of linear relations in Banach space obtained by inversion of semigroups of bounded linear operators of different classes. As a basic research tool we use the orbit of a point. Also we use the common definition of the generator of a semigroup of linear relations.

Key words: semigroup of linear relation, semigroup of operators, generator of the semigroup, linear relation.