Устойчивость решений параболическихуравнений с дробными производными

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 517.9

И. В. Бойков, В. А. Рязанцев

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Аннотация. Получены критерии устойчивости решений систем дифференциальных уравнений параболического типа с дробными производными. Исследование основано на сведении исходных систем уравнений к системам обыкновенных дифференциальных уравнений в спектральной области. Ключевые слова: устойчивость тривиального решения, параболические уравнения, дробные производные Римана - Лиувилля, логарифмическая норма.

Abstract. The authors have developed stability criteria of solutions of parabolic equations and systems of parabolic equations with Riemann-Liouville fractional partial derivatives. The investigation is based on the reduction of a given equation system to the system of ordinary differential equations in spectral space. Key words: Liapunov stability, parabolic equations, Riemann - Liouville fractional derivatives, logarithmic norm.

Введение

Проблема устойчивости решений уравнений в частных производных является актуальной как с теоретической точки зрения, так и в связи с большим количеством приложений этих уравнений в естествознании и технике. Этим проблемам посвящена обширная литература, в которой нужно отметить публикации [1-6], содержащие большую библиографию.

В данной работе исследуется устойчивость параболических уравнений с дробными производными и с коэффициентами, зависящими от времени. Получены критерии устойчивости, выраженные через логарифмические нормы матриц, полученные в результате применения преобразования Фурье по пространственным переменным. Логарифмическая норма оператора A определяется формулой [7]

A(A) = lim ^ + hAЧ 1.

w Uo h

В случае, если A - вещественная матрица, логарифмическая норма в про-

n

k=1,n j =1,n k=i

вычисляется по формуле [7, 8]:

A(A) = max

j=1, n

( n \

a ц + "V a

k=1, k Ф j

/

Объектом исследования в данной работе являются дифференциальные уравнения в частных производных дробного порядка в смысле Римана - Лиувилля. Дробная производная порядка у> 0 в смысле Римана - Лиувилля

^^ f ^) некоторой функции f (x) определяется формулой [9]:

а»"*/(* ) =

1 й[У]+1 I / ф г(1 — {у})^1 1 (Х 4){у}

-й

где [у] - целая часть порядка дробной производной V ; {у} - дробная часть V , так что у = [у] + {у} ; Г - гамма-функция.

Несмотря на то, что метод дробных производных находит все больше применений в физике и технике (например, в термодинамике, электродинамике, физике плазмы, теории турбулентности, космофизике и т.д. [9-11]) исследование устойчивости решений уравнений в частных производных параболического типа с производными дробного порядка в настоящее время находится в начальном состоянии.

1. Критерии устойчивости

Рассмотрим задачу Коши для нелинейного двумерного дифференциального уравнения с дробными производными Римана - Лиувилля по координатным переменным:

иЫ ( 1, , Х2 ) / \ у 1 / \ , Ч у_ / \

—--- = а1 ()В 1ы (,Х1,Х2) + а2 ()В 2ы (,хь *2) +

дг

+аз(г)_В*3 _ВХ24Ы(г,Х1,Х2) + а4(г)_ВХ25 _В*6Ы(г,Х1,Х2) +

+а5

Ы

где 1 > 1о, а у к , к = 1,6 - фиксированные положительные числа.

Исследование устойчивости решения задачи Коши (2)-(3) будем проводить в банаховом пространстве функций / (1, Х2) с нормой, задаваемой равенством

00 ОО '

1 I \/(Х1, Х2 ) йХ1йХ2

—О —О

При каждом фиксированном значении 1 норма функции ы(г,Х1,Х2) определяется формулой

"1/2

Ю ОО '

I I Ы (г, Х1, Х2 )) йх^2

—ОО —ОО

Дадим тривиальному решению уравнения (2) начальное возмущение и будем рассматривать возмущенную задачу Коши (2)-(3). Обозначим Х = (х1,Х2) и будем считать, что решение ы(г,х) задачи (2)-(3) существует и

вместе со своей производной ды(г,х))дг суммируемо с квадратом по пространственным переменным.

Пусть ид (х) - непрерывная функция, удовлетворяющая условию |м0 (х Для прямого и обратного преобразований Фурье используем

обозначения

и (х, ю) = Ри (х, х ) = — Г Г и (х, х у((х1 +ю^2 )б/х1^Г2; 2—

—^ —^

и(х,х) = Р—1и(х,юью2 ) = 2- Г Г и(х,ю)е"/(с01Х1+Ю2Х2)£/ю1^ю2,

—^ —^

где ю = (сс>1,Ю2).

Применим к задаче (2), (3) преобразование Фурье по пространственным переменным, учитывая [9], что

Р

В результате приходим к задаче ди

Эх

\V3

a*, (t) + ai (t)(-/ю1) 1 + Ü2 (t)(-/Ю2) 2 +

+a3

U

где G(t,u ) = F(g(t,u)) .

Справедливы равенства:

(-7Юу ) k =|юу| k (-i sgn Юj ) k =|юу| k (oos(^2) - i sin (л/ 2 )sgn Юj ) k = = |юу| k •( cos ( 7! ( sgn Юj )) )-7 sin (л (sgn Oij )))) k = = Ю| k • exp(-iVkft(sgnЮj ))) =

Используя (7), можно представить (5) следующим образом:

Эи Э|'Ю =¥1

где

¥i (t,ю) = a5(t) + ai (t)|a)i |Vl cos(7V^2) + a2 (t)|ю2|V2 cos(7V2/2) + +a3(t) |ю1 |V3 |ю2 |V4 [cos(TV^2)cos(TV^2) -

-sgn(<Di)sgn(<B2)sin(rcv3/2)sin(rcv4/2)] + a4(t)Ц|v<5 |ю2f5 х x[cos(rcv5 / 2) cos(rcv 6 /2) - sgn(roi) sgn(ro2) sin(rev^ 2) sin(rcv6 /2)]; (9) ¥2 (t,ю) = ai (t) |mi f1 sgn(a>i) sin (tjv^2) + a2 (t) Ю f2 sgn^) sin (v2/2) + +аз (t) |a>i |v3 |ю2 |v4 [sgn(roi) sin(rev^2) cos(rev^2) + + sgn(ro2)cos(nv^2)sin(rev^2)] + a4(t)Ю|v |ю2|v5 x x[sgn(roi) cos(rev^ 2) sin(rcv 6 /2) + sgn(ro2) sin(^v^ 2) cos(rcv 6 /2)].

При всяком фиксированном юе Я решение уравнения (8) может быть

г

г | [( ,5,ю)-г| 2( .?,ю)]]

представлено в следующем виде [7]:

t

J [( s,a>)-iy 2( s,ffl)]ds

U (t, ю) = et0 Очевидно,

Uо (ю) + Ji

G

0

U (t, (o)f

J [(s,a>)-iy2(s,a>)]ds

t J [(s,ffl)-iy 2( s,a>)]ds J ex G (x,u )di

2 J yi(s,a>)ds < 2e t0 |U0 (ю)|2 + 2

i t t J ¥i( s,a>) ds

J e T t0

Оценим каждое из двух слагаемых в правой части полученного нера-

2

венства в предположении, что при всяком фиксированном юе R и при t > to функция ¥i (t, ю) удовлетворяет неравенству

¥i

Первое слагаемое оцениваем следующим образом:

t

2 J ¥i (s,a>)ds

Для оценки второго слагаемого воспользуемся неравенством Гельдера:

i t t J ¥i( s,ffl)ds

J eX

t0

2

< 2

( it 11 t —J ¥i( s,ffl)ds —J ¥i( s,ffl) ds

Je x • e x |G(x,u)|dx

2

t0

( г

< 2

V г

г | 5,ю) сЬ

го

< 2

/ V

V,

V Го

| е"у(г _т)С т | е"у(г "т)| С (т, и ))2 С т

V го

< 2

(1 _ е_К'_'о Кг г

2

/V Го

/ ^о

.

Из неравенств (11)—(14) следует оценка

\и(г,ю)|2 < 2е"у(_о^ (ш|2 +

2 2

| е"у(г _т) С (т, и )|2 С т

V го

Проинтегрировав обе части неравенства (16) по переменным о>1, ю2:

имеем

то то (г

'V 'о

Пусть справедливо неравенство

У (г, и ЩкрЦиЦ, р> о.

Сю!Ю2.

В интеграле в правой части неравенства (16) изменим порядок интегрирования и, воспользовавшись формулой Планшереля, получим

Р(г,ю))2 < 2е"^_о)ио (ю)2 + 2|е_т)|С(т,и) Ст<

< 2е"

_У(г _го) Ро (ю)2 + 21 _т)| g (т, и ))2 С т

<

го

2 г

< 2е

"у(г _о ) | ио (ю)2 + ^ | е"у(г _т) | и(т, ю)||2 С т

<

го э2 к

< 2е

)Ро

го

\

о

Введем функцию ф(5) = е у(х 5и(5,ю)|| и представим предыдущее

232 Г

неравенство в виде ф(х)< 2ф(о )--J ф(т)/т. Применяя неравенство Гро-

нуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, получаем неравенство

\\и (х, ю))2 < 2ехр

( 2Р2 ^ --У

Извлекая квадратные корни из обеих частей полученного неравенства и применяя формулу Планшереля, имеем окончательно

||и (х, х )^л/2ехр

(о 2 ^

Р__У

У 2

Е1.

Из неравенства (19) следует, что тривиальное решение уравнения (2) асимптотически устойчиво, если константы Р, у удовлетворяют неравенству

Р<уД/2.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия:

1) функции й1((),..., 05(0 непрерывны при X> (о;

2) для любых вещественных значений Ю1, Ю2 и для X> (о выполняется неравенство (12), где ^ (х, ю) определяется формулой (9);

3) функция g(х,и) непрерывна по обеим переменным и удовлетворяет

условию (17), причем справедливо неравенство (20).

Тогда тривиальное решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.

2. Устойчивость решений системы линейных параболических уравнений с дробными производными

Рассмотрим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка относительно неизвестных функций и (X, Х1, Х2), и2 (X, Х1, Х2):

= °11 (()(-В^Щ) + 012 (х)(-К^2 щ) + 013 (х)(_ В^ и2) + + 014 (X)(В^4и2) + 015 (х)и1 + а16 (х)и2, д( = «21 (X)(-ВX-2-Ul) + 022 (X)(_ВХ222щ ) + 023 (х)(_В^23и2) + + 024 (X)( — ВХ24и2 ) + 025 (х)щ + 026 (х)и2,

Эи

с начальными условиями

и1

89

о

Обозначим х = (х}, х2). Исследование устойчивости решения задачи Коши (21)-(22) проводится в банаховом пространстве вектор-функций f (х) = ((1 (х),У2 (х)) с нормой, задаваемой равенством

= тах

к =1,2

12

При каждом фиксированном значении t норма функции и (, х) определяется формулой

ю оо /

'(t,

и (t, х ни = тах

к =1,2

I I К (, х )|2 dxldx2

—^ —^

Замечание 1. Нижеприведенное исследование устойчивости тривиального решения может быть распространено на систему уравнений

^=«1,1 ()((D;;д и1)+аи (t)((д;2и и1)+«1,з (t)(( и2)+ +«1,4 (t)(( ^ и2) + ) (( Д^5 и1)+ +«1,6(о (^ /Л7 д^ и1)+(«1,7 () (( /Л9 ^ и2)+

+ «1,8^)((Д^1 —осД^12 и2 )+ «1,9 (t)и1 + «1,10 ()и2,

^ = «2,1 ()( (D;l2ДUl ) + (2,2 ()( (и1) + (2,3 ()( ( Д^Ч ) +

+«2,4 ()(( Дх;2,4и2 )+ «2,5^)(( Д^5 _ д;22,6и1) +

+«2,б(0 ( _ Д]2^) + «2,7^) ( Д^9 _ Д^10 и2) +

+ «2,8 (t)(Д^2,12и2 )+ «2,9 (t)и1 + «2,10 ()и2,

а в рамках настоящей работы с целью упрощения выкладок исследуется устойчивость тривиального решения более простой системы уравнений (21).

Обозначим ю = (о)1,^2). Введем матрицу В(,ю) = {Ьу(,ю)}, I,у = 1,4,

где

Ь11 = ь22 = «11 (t )Ы 11

С08[ ™П

+ «12 (ЖГ

С08

™12

+ «15 (t),

№ 4 (24), 2012 Физико-математические науки. Математика

¿J2 =-b21 =аи (t)|ю1 |Vl1 sin^-21 jsgn(roj ) + a!2 (t)|ro2|Vl2sin^jSgn(Ю2 ),

b13 = b24 = ai3

b14 = -b23 = a13 (t)|ro1 T13sin^-у1 )sgn(Ю1 ) + a14 (t)Ю2Г14 sin[-V± )sgn(Ю2)'

b31 = b42 = a21

b34 = -b43 = a23 (t)|ro1 Г23 sin ^^f )sgn (Ю1) + a24 (tЖГ* sin (—J4)sgn (Ю2 ) Теорема 2.1. Пусть выполнены условия:

1) функции aij (t) (i = 1,2, j = 1,6) непрерывны по переменной t;

2) при любых фиксированных значениях (t,ro), t > t0, <ro¿ < °° , k = 1,2, логарифмическая норма матрицы B (t, ro) удовлетворяет неравенству

A

где A(B(t,ro)) вычисляется по формуле

4

A(B(t,ro)) = max bj (t,ro)+ £ |bjk (t,ro) j=1'4 ^ k=1, k * j

Тогда тривиальное решение задачи (21)-(22) устойчиво. Доказательство. Обозначим х = (*1,*2). Дадим тривиальному решению начальное возмущение и будем рассматривать задачу Коши (21)-(22). Пусть решение ы (t, х) = ((г, х), Ы2(1, х) ) задачи (21)-(22) существует и вместе

со своей производной ды/дг = (ды^дг,ды^дг) суммируемо с квадратом на

всей плоскости. Для прямого и обратного преобразований Фурье введем следующие обозначения:

Uk

—^ —^

ик\

—^ —^

где к = 1,2 .

Применив преобразование Фурье к системе (21), приходим к следующей системе относительно неизвестных функций и1 (х,ю), и2 (х,ю):

эи

dt

эи2

1 = au (t)(/Ю1 )V11 Ui + ai2 (t)(/2 )Vl2 Ui + 013 (t)(/i )Vl3 U2 +

Эt

+ a14 (t)(/2 )V14 U2 + 015 (t)U 1+015 (t)U2, = a21 (tЖ)V21 U1 + a22 (t)(z2f22 U1 + 023 (t)(7 )V23 U2 +

+ a24 (t)(/2 )V24 U2 + a25 (t)U 1+ 025 (t)U2. Обозначим U(t,) = (U^t,),U2(t,ю))T и ||U(t,ю)|| = max|Uk(t,ю) при

к=1,2'

2

каждом фиксированном юе Я .

Введя представления и = У + 7У2, и2 = У3 + 7У4 и используя формулу (4), представим (29) в виде следующей системы уравнений относительно неизвестных функций V (х,ю), V) (х,ю), Уз (х,ю), ¥4 (х,ю):

Э¥1

"ЭГ

|Vl1 cos1 -V11

+ a12 (t)|ю2 Г

008

-V12

+ a15

¥1 +

a11 (t)|1 |V11smI -V1i]sgn(ю1) + a12 (t)Ы

|V12 sin I -V_12 I sgn

¥2 +

013

¥3 +

a13 (t)|ю1 Г

81П

-V13

sgn(ю1) + 014 (t)ю2|

V14 I -V14

'14 sin I ^^ I sgn

¥4;

Э¥2

Эt

—a11 (t )i1 г11 sin ^ —sgn (ю1)—

— a12

¥1 +

011 (t |V11cos I ) +

+a12 (t )|ю21

IV12__J -V12

008

+ 015

¥2 +

—013 (t)|ю1

81П

lVl3 sin I -V13 I sgn (ю1 )-

—014 (t)|ю1 Г

14

81П

-V14

sgn

¥3 +

013 (t )ю1 |V13 cos I —— I +

-V13

+a14 {t )h Г

cos

rcv14

+ a16

V

dt

a21 (t )|ю1 Г

™ 21

cos| —r^- | + a22(t

22

V4

™ 22

+ a25

V +

a21 (t )|ю1 Г21 sin ^ ) sgn (1) + a22 (t Ж Г

'22 sin i ^22 1 sgn

V2 +

a23 (t)|c1|V23 cos|) + a24 (tЖГ cos|^

+

a26

V3 +

a23 (tЖ P

23

sin

23 2

dV4 = dt

sgn (1) + a24 (tЖ P

24 24

sin

24

sgn

V4;

-a21 (t Ж Г

21

sin

rcv21

sgn (ю1 )-

-a22 (t)|c21

sin

v22 sin I rcv22 Isgn

V +

a21 (t Ж1

v21 cos № 1 +

+a22 (t Ж Г

22

cos

™ 22

+ a25

V +

-a23 (t)|ю1 Г

23 23

sin

23

sgn (ю1 )-

-a24 (t)|ю1 Г

sin

rcv24

sgn

V3 +

a23 (tЖ Г

cos

rcv23

+a24 (t)|ю1 Г

24

cos

rcv 24

+ a26

V4.

В операторном виде система (30)-(33) записывается следующим обра-

зом:

dV

dt

= B (t, ю) (t, ю),

где V(t,ю) = ( (t,rn),V2 (t,ю)^ (t,rn),Vj (t,ю)) .

При каждом фиксированном юе R2 норма вектор-функции V(t,ю) вычисляется по формуле ||V(t,ю) = max V (t,ю)|. Справедливы неравенства

V

( 12 max Vk (t,ю) < maxpk (t,ю)| = ||U(t,ю)||,

' v

k =1,4

/

k =1,2'

p(,ю) = maxpk (t,ю) <12 WZVkГ < V(t,ю).

Тем самым имеем оценку

И х , ю)1 < |и

Пусть Я4 - пространство векторов х = ( х1, х2, хз, х4) с нормой ||х|| = шах| хЛ . Пусть, кроме того, В [а, г ]=|х е Я 4,|| х — а|| < г\. Докажем, что

и и к=1,4' I I " " J

при всяком фиксированном юе Я2 траектория У(Х,ю) решения уравнения (34) при Хд < Х не покидает шара В[0,8д ], где 8д = ||у( Хд,ю)) . Предположим противное: пусть при некотором ю = ю в момент времени Т траектория решения уравнения (34) покидает шар В[0,8д ] . Для этого значения ю = ю уравнение (34) представим следующим образом:

дУ

дх

• = В( Т, ю)У( Х, ю) + Т( Х, ю)У( Х, ю),

где ¥( Х, ю) = В( Х, ю) — В( Т, ю).

Решение уравнения (36) при Х > Т может быть представлено в виде [7]

У ( Х, ю) = еВ ( Т ,ю) ( Х—Т )У (Т, ю) + ГеВ ( Т ,ю) ( Х—5 Ц5, ю) V ( 5, юЦ.

Переходя к нормам, имеем:

гВ

У(х, ю»

Г еВ(Т ,ю)(х—5 Ц 5, ю)У( 5, ю)Л

.

Оценим норму первого слагаемого. Так как по условиям теоремы логарифмическая норма Л(В( Х,ю)) удовлетворяет при всех юе Я2 неравенству (25), то имеем следующую оценку:

В

У

< е"

о)

1У( Х, юЦ.

Для оценки второго слагаемого отметим, что из структуры оператора ¥(Х,ю) следует, что для любого как угодно малого е>0 найдется такой

промежуток времени ДТ(е,ю), что при Т < Х < Т + ДТ(е, ю) будет выполняться неравенство ||т(Х,ю)У( Х,ю)) <е||У( Х,ю)) . Поэтому

Г еВ(Т ,ю)(х—5 Ц ю)у( юЦ

х

Т

В(Т ,ю)(Х —

< ||еВ( Т,ю) ( Х—5 1 Т

Х

—а ( ю) (Х—5

Т

¥

I

II5,ю)У

1

1

1

Из неравенств (37)-(39) имеем

V(t,») < e-0^)(t) IV(г,ю)) + е|е"а(ю)(~s) |V(*,сор*.

T

Введем функцию ф(*) = e а(ю)(г *) ||v(s,юЦ и представим предыдущее

t

неравенство в виде ф^)<ф(Т) + еJф(*)ds. Применяя неравенство Гронуолла -

T

Беллмана и возвращаясь к нормам, получаем неравенство

V (t, а ) < e 1>а(ю )+£](t-T ) V (T, а )||г

откуда в силу условия (25), выбора е и произвольности T следует неравенство V(t,а))1 < V(to,сс)) . Тем самым приходим к противоречию, обосновывающему справедливость для любого значения юе R2 неравенства V(t,ю) < V(to,юЦ, из которого в силу двусторонней оценки (35) следует

неравенство ||U(t,ю))2 < 2||Uo (ю)Ц2 . Проинтегрировав обе его части по переменным ю^, ю2 и воспользовавшись формулой Планшереля ||U (t, ю))^ =

= ||«(t,х^2 , приходим к неравенству ||«(t,x))2 < 2||«o(x)||2, из которого сразу

же следует неравенство ||« (t, х )Ц<-\/2||«o(x)||, означающее устойчивость тривиального решения задачи (21), (22). Теорема доказана.

3. Устойчивость решений системы нелинейных параболических уравнений с дробными производными

Исследуем устойчивость тривиального решения задачи Коши для системы нелинейных параболических уравнений с дробными производными

^ = «11 ( -^«1 ) + «12 ( -D22«1) + «13 ( -D/3«2) +

+ «14 (D^4U2 ) + «15«! + «16^2 + g1 (t,«1,U2),

< д У

-Ц2 = «21 (- DX121«1) + «22 (- DX222 «1) + «23 ( - DX,23 «2) +

+ «24 ( — DX224 «2 ) + «25«1 + «26«2 + g2 (t, «1, «2 ) с начальными условиями

«1

Обозначим x = (1, x2). Исследование устойчивости решения задачи Коши (4o)-(41) проводится в банаховом пространстве вектор-функций

/ (х ) = (/ (х), / (х)) с нормой, задаваемой равенством (23). При каждом фиксированном значении t норма функции и (, х) определяется формулой (24). Пусть ю = (сю, ^2); введем матрицу Р (, ю) = { ру (, ю)} , ¡, у = 1,4, где

Р11 = Р22 = «11 ю1 11 С08

^) + «12 ^СО*(^] + «15,

, .у,, . [ЯУП ^ , , , .у,, . [ЯУ12 ^ , ч

Р12 = —Р21 = Р11 Ы 81п I —2 I Э8п (ю1) + Р12 |ю2| 81п 8§П (ю2 ),

Р13 = Р24 = «13 Ы"13^|| + «14 |ю2р4 С°Э|\ + «\6, Р14 = —Р23 = «13 |ю1 Г13 *1п |^ \ ввп (ю1) + «14 |ю2 Г14 вш |\88П (ю),

| + «22 |ю2 Г22 С°Э |^Ур^ + «25,

ЯУ 21

Р31 = Р42 = «21 21 С0*

Р32 = —Р41 =«21 ИР ЯП[^у21 \в8п(ю1) + «22 КГ22 ЭШ^(ю2 ),

Р33 = Р44 = «23 |ю1 Г23 |^^ + «24 |ю2 Г24 [^ + «26,

Р34 = —Р43 = «23 |ю1 Г23 эт(^(ю) + «24 |ю2 Г24 *1п |Яу21 \*8п (ю2). Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) при любых фиксированных значениях Юк, —1к = 1,2, логарифмическая норма матрицы Р (ю) удовлетворяет неравенству

Л

где Л(Р(ю)) вычисляется по формуле

( 4

Л

У=1,4 ( к=1, к Ф у

Т

2) функция g(^и) = ( (t,и),g2 (^и)) непрерывна по обеим переменным и удовлетворяет условию

и

причем справедливо неравенство Р < у/2 .

Тогда тривиальное решение задачи (40), (41) устойчиво.

Доказательство. Дадим тривиальному решению начальное возмущение и будем рассматривать возмущенную задачу Коши (40), (41). Пусть решение и (Х, х) = ( и1 (Х, х), и2(Х, х)) задачи (40), (41) существует и вместе со своей

производной ди/дх = ( дщ/дх,д^/дх) суммируемо с квадратом по всей плоскости. Для прямого и обратного преобразований Фурье используем обозначения (27) и (28) соответственно.

Применив преобразование Фурье к системе (40), приходим к следующей системе относительно неизвестных функций и ( Х,ю), и2 ( Х,ю):

Э U1

Э;

эи2

I = an ( iю ) 1 Ui + ai2 ( ¿ю )Vl2 U + al3 ( iю )Vi3 U2 +

Эt

+ ai4 ( i&2 )Vl4 U2 + ai5Ui+ai6U2 + Gi ( t,u), = a2i ( iff>i )V21 Ui + a22 ( ^ )"22 Ui + a23 ( iK»i f23 U2 +

+ a24 ( i2 )V24 U2 + a25U 1+a26U2 + G2 ( t,u), где Gk(t,u) = F(gk(t,u)), k = 1,2.

Обозначим U( t,ю) = (Ui(t,ю),и2(t,ю))T и ||u( t,ю)|| = max|Uk( t,ю)| при

k=1,2

2

каждом фиксированном юе R . Введя представления Ui = V + iV2, U2 = V3 + V4 и используя тождество (4), представим (44) в виде следующей системы уравнений относительно неизвестных функций V ( t,ю), V2 ( t,ю),

V3 ( t, ю), V4 ( t, ю):

dv Э;; ю=р( ю)к(, ю)+G(t, u),

где

У( х, ю) = (У1 ( х, ю),У2 ( х, ю),У3 ( х, ю),У4 ( х, ю))Т,

6(Х,и) = ( 61 ( Х,и),&2 ( х,и),63 ( Х,и),64 ( Х,и)) , Gl(Х,и) = 61 (Х,и) + ¡&2(Х,и), 62(Х,и) = 63(Х,и) + /64(Х,и).

При каждом фиксированном юе Я2 норма вектор-функции У( Х,ю) вы-формуле ||У( Х,ю) = шах|Ук(Х,ю) и справедлива оценка (35).

Решение уравнения (45) может быть представлено в виде [7]

числяется по

V( t, ю) = eP( ю) ( ; )V( t0, ю)+ J eP (ю) ( ; )G( s, юЦ.

;

о

Переходя к нормам, имеем

У

| еР(ю)(х - 5 ( ( 5, ю)й

Оценим норму первого слагаемого. Так как по условиям теоремы логарифмическая норма Л(Р(ю)) удовлетворяет при всех юе Я2 неравенству (42), то имеем следующую оценку:

Р

Второе слагаемое в правой части неравенства (46) оценивается следующим образом:

| еР (ю)(х-5 ((5, ю)Л

1 хо

< |||еР (ю) ( х-5((5,ю) < | еР(ю) ( х-5) 1 •((5,юЦй

< |е"у(х-5)((5,ю) ¿5.

Из неравенств (46)-(48) следует неравенство

хо

В силу двусторонней оценки (35) и аналогичной оценки для ((5, ю)) из неравенства (49) следует оценка

хо

Проинтегрируем неравенство (5о) с квадратом по переменным ю1, ю2 . Тогда последовательно используя неравенство (11), неравенство Гельдера и условие (43) вместе с неравенством Планшереля, получаем оценку

1ИX,ю| < 2 | | е-у(х-хо)и( хо,ю)Ц+ }е-у(х-5)С(5,и))¿5

й ю1ю2 <

X уп л у

< 4е"2у(х-хо)и(хо,ю)Ц2 + 4 | | |е"2^е"2^)(( 5,и){*

V о

й ю1 ю2 <

1

х

о

1

х

о

< 4е"у(-о) |и(о,ш) + ) |О(и) & :

у к

< 4е

„2 '

"У( "'о1 \ТТ ( ш)) + ^ Ге"У( - )|

и (ь ш) + ^ | е"у(' - и ( ш) *.

У '

'о

Введем функцию ф(5) = е у(' 5^и (я, и представим предыдущее

4р2 \

неравенство в виде ф(')< 4ф('о )н--I ф(яПрименяя неравенство Гро-

у Т

нуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, получаем неравенство

-у

||и(',ш)2 < 4е^ у г"0' Т('о,»)Ц2,

следовательно

- 2 V-о)

Отсюда в силу условия Р<у/2 получаем асимптотическую устойчивость тривиального уравнения (4о). Теорема доказана.

Список литературы

1. Шестаков, А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. - М. : Наука, 199о. - 32о с.

2. Сиразетдинов, Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами / Т. К. Сиразетдинов. - М. : Наука, 1987. - 232 с.

3. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М. : Мир, 1985. - 376 с.

4. Крейн, С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, М. И. Хазан // Итоги науки и техники. Математический анализ. -Т. 21. - М. : ВИНИТИ, 1983. - С. Ш-264.

5. Бойков, И. В. Об определении областей устойчивости для некоторых классов нелинейных уравнений с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2оо1. - № 1. - С. 4о-49.

6. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2оо8. - 244 с.

7. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 197о. - 536 с.

8. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. - М. : Мир, 1988. - 334 с.

9. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С. Г. Самко, А. А. Килбас, Маричев О. И. - Минск : Наука и техника, 1987. - 688 с.

10. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. - Ульяновск : Артишок, 2оо8. - 512 с.

11. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 272 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Рязанцев Владимир Андреевич аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Ryazantsev Vladimir Andreevich Postgraduate student, Penza State University

УДК 517.9 Бойков, И. В.

Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2о12. -№ 4 (24). - С. 84-1оо.