Истина как саморекурсия: определение и следствия

ФИЛОСОФИЯ

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 2. С. 128-134.

УДК 165.4:004.424.36 В.А. Светлов

Петербургский государственный университет путей сообщения

ИСТИНА КАК САМОРЕКУРСИЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СЛЕДСТВИЯ

В статье исследуется такое фундаментальное свойство истины, как саморекурсивность -ее способность служить отношением, необходимо сохраняющим и поддерживающим самого себя. Трактовка истины как саморекурсии позволяет автору установить ряд интересных логических, онтологических и методологических следствий.

Ключевые слова: истина, ложь, саморекурсивность, абдукция, дедукция, индукция, научный метод, методологический инвариант.

Общепринято рассматривать истину и ложь как бивалентные значения. Например, логика высказываний в качестве одного из своих фундаментальных допущений включает именно принцип бивалентности. Многозначные логики расширяют этот принцип, сводя неистину к логической сумме лжи и неопределенности (с возможной градацией по степени), а неложь - к сумме истины и неопределенности, но не исключают его. Одним из следствий принципа бивалентности истины и лжи является распространенное убеждение, что они представляют взаимно исключающие множества. А. Тарский и К. Поппер одними из первых обратили внимание на то, что ложные суждения могут иметь истинные следствия. Откуда следует, что истина и ложь - пересекающиеся множества. Ниже доказывается на основе рекурсивности истины, что и эта точка зрения неверна, так как ложь вообще не представляет множества, выполняющего требование дедуктивного замыкания: она не рефлексивна, не симметрична и не транзитивна. В статье также рассматриваются методологические следствия указанного свойства истины.

Допустим, все утверждения рассматриваемого универсума ложны. Выберем произвольное ложное утверждение Х и образуем суждение «Х ^ Х», которое с необходимостью истинно, потому что ложно противоречащее ему утверждение «Х & —Х». Значит, невозможно, чтобы все утверждения о нашем мире были ложными. Некоторые из них должны быть истинными. Следовательно, как бы ни определялась истина, истинные утверждения необходимо существуют.

Если истина существует необходимо, значит она самовоспроизво-дима в любой когнитивной ситуации. Назовем подобное свойство истины ее саморекурсивностью. Что же позволяет истине быть саморе-курсивной сущностью - быть своей собственной причиной и своим собственным следствием? А. Тарский доказал, что истина рекурсивна в качестве своего собственного следствия: из истины может следовать только истина [1]. Утверждению, что истина также рекурсивна в качестве своей собственной причины, на первый взгляд препятствует

© В.А. Светлов, 2009

закон Дунса Скота, согласно которому истина следует из чего угодно, включая ложь. Ниже доказывается, что этот закон не опровергает рекурсивность истины в качестве достаточной причины самой себя. Ре-курсивность истины как необходимого следствия, так и достаточного условия самой себя позволяет охарактеризовать ее в целом как саморекурсивный процесс и вывести из этого наблюдения несколько интересных логических, онтологических и методологических следствий.

Логические следствия саморекурсив-ности истины

Допустим, каждое утверждение рассматриваемого универсума и либо истинно, либо ложно. Пусть Т обозначает истину, Р - ложь. Тогда верны следующие базисные определения:

Т - —Р;

Р - —Т.

Согласно (1) истина эквивалентна отрицанию лжи; согласно (2) ложь эквивалентна отрицанию истины.

Из (1) и (2) следует

Т- Т-

Из (1), (2) и (3) следует

Р - —

Эквивалентность (3) можно назвать законом рекурсивности истины как необходимого следствия: из истины можно следовать только истина. Смысл этого закона станет более ясен, если дизъюнкцию (Т V Р) заменить импликацией:

Т-

Т-

Эквивалентность (3.1) читается: из истинных допущений необходимо следуют истинные следствия. Эквивалентность (3.2) читается: из ложных следствий необходимо следует ложность допущений. Таким образом, утверждения (3.1) и (3.2) логически эквивалентны, но асимметричны в следующем смысле. В утверждении (3.1) антецедент обозначает истинное допущение, консеквент - истинное следствие; в утверждении (3.2) антецедент обозначает ложное следствие, кон-секвент - ложное допущение.

Эквивалентность (4) свидетельствует, что ложь не обладает свойством сохранения самой себя в качестве необходимого следствия: ложь может иметь как ложные, так истинные следствия. Отсюда следует, что ложь не может быть дополнением истины (см. рис. 1).

Тот факт, что ложь может иметь истинные следствия дает основание для утверждения, что истина следует не только из истины, но и изо лжи также (закон Дунса Скота). Однако такое предположение неверно. Из (4) следует, что предполагаемая выводимость истины изо лжи

Р /-Т

на самом деле в силу эквивалентности Р и (Р & Т представляет выводимость истины из истины (ложь в данном случае выступает иррелевантной посылкой):

Р & Т) А Т.

Иными словами, истина следует изо лжи согласно (5) только потому, что ложь необходимо включает истину в качестве своей конъюнктивной части.

Объединяя (3) и (5), получаем окончательное утверждение. Истина саморекур-сивна, т. е. представляет необходимое и достаточное условие существования самой себя. В противном случае она не обладала бы свойством необходимого существования. Отсюда следует и более общее утверждение: все, что существует необходимо, может существовать только как необходимая и достаточная рекурсия, т. е. как саморекурсивность.

Саморекурсивная природа истины опровергает распространенное мнение о том, что истина и ложь несовместимы, что существование истины устраняет существование лжи, существование лжи устраняет существование истины. На самом деле, истина и ложь выступают необходимыми компонентами существования друг друга: истина в качестве конъюнктивной части лжи, ложь - в качестве дизъюнктивной части истины.

Отношение между истиной и ложью можно символически выразить в виде следующей диаграммы (рис. 1).

Согласно рис. 1 множество всех истинных утверждений Т, во-первых, сов-

падает с множеством всех возможных утверждений о мире и; во-вторых, что выглядит на первый взгляд неожиданно, оно включает множество всех ложных утверждений Р в качестве собственного подмножества. Иными словами, ложь - подмножество истины, но не ее дополнение. Причина этого - в саморекурсивной природе истины: истина логически первична по отношению ко лжи, ибо представляет необходимую часть самой себя и лжи.

Согласно эквивалентности (4) только изо лжи выводимо логическое противоречие. Значит, саморекурсивность истины в логическом смысле можно определить как невозможность вывода из нее относительно данного универсума логического противоречия.

Определение 1. Относительно данного универсума и логически истинно любое его утверждение, из которого невозможно вывести противоречие.

Онтологические следствия саморекур-сивности истины

Из эквивалентности (3) следует, что истина рефлексивна, симметрична и транзитивна:

ТА Т;

Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности свойственны отношениям эквивалентности. Из (6), (7) и (8) следует, что истина представляет отношение эквивалентности.

Рис. 2. Распределение значений истинности среди четырех различных элементов -А, В, С и й, принадлежащих двум несовместимым классам эквивалентности К и К2

Независимо от того, на каком множестве элементов определено отношение эквивалентности, оно обладает следующим характерным свойством, именно разбивает данное множество на непустые взаимно исключающие и совместно исчерпывающие подмножества, называемые классами эквивалентности. Это означает, что любые два элемента, принадлежащие одному и

тому же классу обладают свойством эквивалентности, но любые два элемента, принадлежащие несовместимым классам, таким свойством не обладают. Следовательно, быть истинным означает быть элементом одного и того же класса эквивалентности и быть ложным - быть членом разных классов эквивалентности (рис. 2).

Из факта, что истина определяет эквивалентный класс можно вывести два интересных следствия.

Во-первых, множество утверждений и может быть истинно двумя и только двумя различными способами: (1) все утверждения и являются элементами одного и того же класса эквивалентности; и (2) все утверждения и делятся на два взаимно исключающих и совместно исчерпывающих подмножества и1 и и2 таких, что и\ и и2 = и и и\ п и2 = 0. На рис. 2 воспроизведен второй случай: и = {А, В, С, Б}; их = {А, В}; и2 = {С, Б].

Во-вторых, истину можно интерпретировать как оператор, сохраняющий не только характеристическое свойство класса эквивалентности, но и его отрицание, а ложь - как оператор, инвертирующий любое из них в противоположное свойство. Иными словами, истину и ложь можно рассматривать как операторы сохранения и инверсии значения истинности (истины или лжи), допускающие итерацию - последовательное применение (которую нельзя путать с операцией логического умножения). В случае подобной интерпретации справедливы следующие зависимости:

Т(Т) ^ Т(истинность истины порождает истину); Т(Р) ^ Р (истинность лжи порождает ложь); Р(Т) ^ Р (ложность истины порождает ложь); Р(Р) ^ Т (ложность лжи порождает истину).

Указанные свойства легко проверяются с помощью диаграммы, изображенной на рис. 2. Например, для элемента А справедливы следующие преобразования: Р(АВ)Т(ВдР(СБ)Т(БА) ^

^ Р

^ Т

^ Т(АА),

где  - знак последовательного выполнения.

Нетрудно убедиться, что аналогичные результаты имеют место и для остальных элементов - {В, С, Б].

Приведенный пример позволяет сде-

лать важный вывод. Любое множество утверждений рассматриваемого универсума и когнитивно сбалансировано (непротиворечиво), если и только если каждое утверждение и необходимо находится в отношении «истина» к самому себе. Иными словами, истина проявляет себя как отношение самоподдержки во всех логически допустимых циклах - рефлексивности, симметричности, транзитивности. Если данное условие выполняется, отношение поддержки приобретает свойство необходимости. Значит, саморекур-сивность истины можно считать показателем способности систем и их элементов сохранять и поддерживать себя с необходимостью. Этот вывод говорит о том, что в общем случае истина имеет не только гносеологическое, но и онтологическое измерение. В онтологическом смысле истина характеризует образование устойчивых синергетических циклов.

Определение 2. Истинно все, что воспроизводит (сохраняет, поддерживает) само себя с необходимостью.

Структура истины как эквивалентного (рефлексивного, симметричного и транзитивного) отношения изображена на рис. 3.

Согласно рис. 3 истина как эквивалентное отношение циклична длиной 1, так как рефлексивна, циклична длиной 2, так как симметрична, циклична длиной

3, так как транзитивна. Всех этих видов цикличности достаточно и необходимо для необходимого самопорождения истины, т. е. для ее саморекурсивности.

Ложь не обладает ни свойством рефлексивности, ни свойством иррефлексивности, так из нее следует как ложь, так и истина. По этой же причине ложь не симметрична и не асимметрична. Кроме того, она не транзитивна и не интранзи-тивна. Ложь, иными словами, в отличие от истины не имеет четко определенной структуры. В частности, она не является дополнением истины и тем самым дополнением отношения эквивалентности (ан-

тиэквивалентным, т. е. иррефлексивным, асимметричным и интранзитивным отношением).

Методологические следствия саморе-курсивности истины

Если истина - саморекурсивное отношение, обозначающее самоподдержи-вающиеся процессы, то методология ее познания также должна так или иначе соответствовать этому свойству. Пространное обоснование этого вывода было дано в другом месте (см. [2]). Поэтому здесь ограничимся общими замечаниями.

Познание истины - самокорректирующийся процесс научного исследования, представляющий процесс приближения к некоторому устойчивому циклу (пределу, аттрактору). Такой цикл возникает в результате процесса асимптотического совпадения двух обратно направленных процессов - все более адекватного объяснения аномального факта и все более высокого подтверждения той из гипотез, которая представляет лучшее объяснение.

Пусть Н обозначает гипотезу, Е - эмпирический факт, требующий объяснения.

Определение 3. Гипотеза Н и факт Е связаны отношением «истина», если и только если Н представляет лучшее о^яс-нение Е и Е максимально подтверждает Н.

Процесс познания истины представляет процесс ее более или менее последовательного установления указанного соответствия между гипотезой и эмпирическими данными и состоит из трех взаимосвязанных стадий, называемых абдукцией (изобретением гипотез), дедукцией (выводом необходимых следствий в качестве объяснения или предсказания) и индукцией (испытанием гипотез). Каждая стадия регулируется особыми методологическими правилами (предписаниями).

Правило абдукции. Гипотеза Н представляет новое и лучшее объяснение факта Е, если и только если ее принятие в сравнении с другими гипотезами максимизирует разность Р(Е/Н) - Р(Е).

Разность Р(Е/ Н) - Р(Е) оценивает объяснительный потенциал гипотезы Н и представляет функцию от двух факторов - вероятностей Р(Е/ Н) и Р(Е).

Вероятность Р(Е) оценивает степень аномальности факта Е. Чем меньше ее значение, тем более удивителен этот факт. Наоборот, чем выше значение вероятности Р(Е), тем менее удивителен для

исследователя факт Е. Предельные значения Р(Е) = 1 и Р(Е) = 0 исключаются по тем соображениям, что равенство Р(Е) = 1 выполняется тогда, когда описание Е представляет логически истинное высказывание, а равенство Р(Е) = 0 выполняется тогда, когда отчет о Е представляет логически ложное и тем самым противоречивое высказывание. В первом случае Е тривиально следует из Н, Р(Е/Н) = 1 и Р(Е/ Н) - Р(Е) = 0. Во втором случае Е тривиально опровергает Н, Р(Е/Н) = 0 и Р(Е/ Н) - Р(Е) = 0. Учитывая сказанное, часто принимается по допущению, что Е не должно быть логически истинным и логически ложным высказыванием, т. е. должно выполняться следующее ограничение: 0 < Р(Е) < 1.

Вероятность Р(Е/Н), часто называемая правдоподобием гипотезы Н относительно факта Е, а также обратной вероятностью гипотезы Н, измеряет степень правдоподобия Н как возможной причины факта Е. Чем выше значение Р(Е/Н), тем более вероятно, что Н обозначает истинную причину Е.

Максимальное значение разности Р(Е/ Н) - Р(Е) достигается при максимальном значении правдоподобия Р(Е/ Н) гипотезы Н и минимальном значении Р(Е) вероятности факта Р(Е). Значит, при прочих равных условиях объяснительная способность гипотезы Н тем выше, чем более аномальным является объясняемый ею факт и/ или чем более вероятно, что Н обозначает истинную причину Е.

Максимальное значение разности Р(Е/Н) - Р(Е) означает также, что факт Е более вероятен как следствие гипотезы Н, чем как следствие любой из ее возможных альтернатив.

По тем же причинам, изложенным выше для описания факта Е, принимается по допущению, что гипотеза Н не является логически истинным и логически ложным высказыванием.

Правило абдукции объясняет творческий (интуитивный) характер большинства научных открытий. Истина открывается не в результате постепенного накопления знаний или механической дедукции из принятых аксиом, а в результате неожиданного «прозрения», указывающего, какая из гипотез представляет лучшее объяснение рассматриваемого факта.

Абдукция не обладает свойством от-

крывать необходимые истины. Посылки абдуктивного рассуждения могут быть истинны, а заключение, тем не менее, ложно. Плодотворность абдукции заключается в том, что она позволяет предложить новую и потенциально самую информативную истину.

Следующей стадией установления истины является дедукция - вывод необходимых следствий из проверяемой гипотезы. Она подчиняется следующему предписанию.

Правило дедукции. Высказывание Е представляет необходимое (логическое, законное, общезначимое) следствие гипотезы Н тогда и только тогда, когда выполняется любое из трех эквивалентных условий:

• если Н истинна, всегда истинно Е;

• отрицание Е несовместимо с истинностью Н;

• если Е ложно, всегда ложно Н.

Какой бы удачной ни была догадка, она

остается всего лишь предположением. Чтобы стать элементом достоверного знания, она должна выдержать независимое испытание. Но проверке подвергаются не только догадки, но и теории, считающиеся хорошо подтвержденными. Это происходит тогда, когда они используются для предсказания ранее ненаблюдавшихся явлений. Неподтвержденное предсказание, как минимум, снижает доверие к теории. Как максимум, оно опровергает ее. Предписания, которые регулируют подобные испытания, принято называть индукцией. Ее предназначение состоит в эмпирической коррекции результатов абдукции и дедукции: гипотезы принимаются в состав научного знания тогда и только тогда, когда они эмпирически корректны, или эмпирически обоснованы.

Индукция осуществляет обратную связь между гипотезой или теорией и результатами испытания. Например, в терминах ГДМ (гипотетико-дедуктивного метода научного познания) корректирующая функция индукции реализуется следующим образом. Пока некоторая теория объясняет и предсказывает подтверждаемые в опыте факты, обычно к ней не предъявляется претензий. Но если встречается аномальный факт, не объясняемый данной теорией, тогда изобретается гипотеза (научный закон) для его объяснения. Поскольку гипотеза может быть неверной или случайной догадкой, ее подвергают испытанию. Для этого из гипотезы дедуцируется новое след-

ствие (предсказание), которое должно отличаться от объясняемого аномального факта, т. е. быть от него независимым. Подтверждение нового следствия подтверждает гипотезу, которая временно принимается и присоединяется к исходной теории. Поскольку модифицированная теория объясняет и предсказывает все факты, которые объясняла и предсказывала начальная теория, плюс объясняет и аномальный факт, считается, что она обладает большей объяснительной и предсказательной силой.

Пусть О обозначает дополнительное решающее предсказание для испытания гипотезы Н. Тогда справедливо следующее предписание.

Правило индукции. Гипотеза Н получает независимое подтверждение в качестве новой истины, а все ее альтернативы — дисподтверждение (уменьшение степени подтверждения) или опровержение, если и только если подтверждение решающего предсказания О, не совпадающего с объясняемым (аномальным) фактом Е максимизирует разность Р(Н/ О) - Р(Н).

Вероятность Р(Н), которую принято называть априорной вероятностью, измеряет степень информативности гипотезы Н. Чем меньше ее значение, тем более информативна данная гипотеза. Наоборот, чем выше значение вероятности Р(Н), тем она менее информативная. Вероятность Р(Н/О), которую принято называть апостериорной вероятностью гипотезы Н на основании факта О, а также прямой вероятностью гипотезы Н, измеряет степень эмпирической поддержки Н как возможной причины предсказываемого события О. Чем выше значение Р(Н/О), тем больше эмпирическая поддержка гипотезы Н от подтверждения предсказания О.

Максимальное значение разности Р(Н/О) - Р(Н) означает среди прочего, что гипотеза Н имеет максимальное значение эмпирической поддержки Р(Н/ О) и минимальное значение априорной вероятности Р(Н), т. е. максимальную степень информативности. Соответственно все альтернативы гипотезы Н получают минимальные значения указанной разности.

Подтверждая предсказание, эксперимент тем самым подтверждает и новую гипотезу, превращает ее в элемент достоверного научного знания. При этом следует учитывать, что в науке любая истина, даже если она получила статус аксиомы, закона

или принципа, представляет лишь временно и условно принимаемое допущение. Это не свидетельствует о ее ущербности. Наоборот, благодаря своей относительности и гипотетичности она способна к исправлениям, обобщениям и опровержению при столкновении с новыми фактами. Но именно в этом и заключается сущность научного прогресса.

Правила абдукции и индукции, если они определяются для одной и той же гипотезы Н и одного и того же эмпирического свидетельства Е, представляют логически эквивалентные утверждения: Р(Е/Н) - Р(Е) = Р(Н/Е) - Р(Н). Согласно указанной эквивалентности открытие и обоснование новой истины в равной мере необходимы и достаточны друг для друга. Причина такой зависимости - в том, что степени правдоподобия и подтверждения гипотезы прямо пропорциональны друг другу. Значит, успешно объяснять, предсказывать и иметь высокое эмпирическое подтверждение -одно и то же.

В общем случае абдукция и индукция требуют проведения принципиального различия между фактами двух различных видов. Абдукция имеет дело с аномальными фактами, требующими объяснения; индукция - с фактами, подтверждающими или опровергающими гипотезу и независимыми от объясняемых фактов. Если объясняемые факты задаются исследователю объективно, независимо от его воли, то подтверждающие и опровергающие факты конструируются, отыскиваются, собираются им, как правило, специально. Здесь уместна аналогия с криминальным происшествием. Преступление - факт, требующий объяснения с помощью абдукции. Выдвинутая гипотеза указывает на подозреваемого. Поиск улик, изобличающих подозреваемого или, наоборот, оправдывающего его, - сбор фактов, необходимых для индуктивного подтверждения или опровержения абдуктивной гипотезы.

Методологический инвариант как модель самокорректирующегося познания истины

Саморекурсивность истины означает среди прочего, что истина не создается из ничего, а открывается как определенное предельное отношение между гипотезой и эмпирическими данными. Для объяснения этого заключения введем понятие научного метода и понятие методологического инварианта.

Научный метод - совокупность предписаний, регулирующих и контролирующих процесс открытия новой истины (стадия абдукции), ее логического развития (стадия дедукции) и коррекции результатов открытия истины и дедукции из нее следствий (стадия индукции).

Концепция научного метода представляет конкретный исторически обусловленный способ обоснования необходимости и достаточности определенной комбинации и/ или интерпретации указанных методологических предписаний. История методологии свидетельствует, что наиболее дискуссионными частями научного метода до сих пор являются абдукция и индукция, меньше всего споров вызывает дедукция.

Цели, допущения и логическая техника каждой методологической концепции в значительной степени определяются мировоззренческими идеалами и личными установками ее автора. Однако независимо от конкретных деталей и особенностей все методологические концепции строятся по одной и той же, как принято сейчас говорить, парадигмальной схеме. Честь ее открытия принадлежит Аристотелю. Поскольку она воспроизводится с небольшими вариациями в каждой методологической концепции, есть смысл назвать ее методологическим инвариантом:

Теория

Наблюдаемые Объясняемые и

аномальные факты, предсказываемые

требующие объяснения факты

Рис. 4. Методологический инвариант

Методологический инвариант представляет циклическое объединение:

• множества когнитивных элементов: (а) теории; (Ь) наблюдаемых аномальных явлений, требующих объяснения; (с) новых предсказываемых явлений, независимых от тех, которые наблюдаются;

• множества методологических операций (1) г (3), определенных на указанном множестве когнитивных элементов.

Цель методологического инварианта -обнаружение и сохранение истины. Ус-

пешная абдукция открывает истину, дедукция ее развивает, индукция подтверждает. Критерием плодотворности узнавания истины служит асимптотически достигаемый предел знания, существование которого означает, что оно в данной предметной области не только не имеет, но и не может иметь контрпримеров. Такое знание истинно уже с необходимостью.

Операции вида (1) символизируют все виды открытия новых истин (законов, теорий), т. е. все способы восхождения от наблюдаемых явлений к законам и теориям -простое (энумеративное) обобщение, интеллектуальную интуицию, догадку, идеализацию и т. д. Все они контролируются предписаниями, названными выше абдукцией.

Операции вида (2) обозначают все способы логического развертывания содержания новой истины, т. е. вывода из нее необходимых следствий для раскрытия ее содержания, объяснения аномальных и предсказания новых явлений. Этот вид операций подчиняется предписаниям, названным дедукцией.

Операции вида (3) представляют преобразования, корректирующие результаты операций вида (1) и (2). Они регулируется предписаниями, названными индукцией.

В ГДМ индукция определяется как операция, обратная дедукции, т. е. как операция, контролирующая только дедукцию. В методологической концепции

Ч. Пирса индукция корректирует не только дедукцию, но и абдукцию также.

Конкретная версия научного метода зависит от того, какие виды методологических операций из перечисленных выше определяются на множестве указанных когнитивных элементов.

Подведем итоги. Было исследовано проявление саморекурсивности истины на трех различных уровнях - логическом, онтологическом и методологическом. Каждый из них по-своему характеризует выделенное фундаментальное свойство истины - ее способность служить отношением, необходимо сохраняющим и поддерживающим само себя.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Светлов В. А. История научного метода. М.,

2008.

[2] Тарский А. Понятие истины в дедуктивных нау-

ках // Философия и логика Львовско-

Варшавской школы. М., 1999. С. 14-177.