Универсальный метод составления линейных вязко-упругих структурных моделей

УДК 625.85

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКО-УПРУГИХ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ

В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н., С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ

Аннотация. Предложен метод синтеза линейных вязко-упругих структурних реологических моделей любой степени сложности.

Ключевые слова: реологическая модель, структурная модель, упругий элемент, вязкий элемент.

УНІВЕРСАЛЬНИЙ МЕТОД СКЛАДАННЯ ЛІНІЙНИХ В’ЯЗКО-ПРУЖНИХ СТРУКТУРНИХ МОДЕЛЕЙ

В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н.,

С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ

Анотація. Запропоновано метод синтезу лінійних в’язко-пружних структурних реологічних моделей різного ступеня складності.

Ключові слова: реологічна модель, структурна модель, пружний елемент, в ’язкий елемент.

UNIVERSAL METHOD FOR DEVELOPING LINEAR VISCOELASTIC

STRUCTURAL MODELS

V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU

Abstract. A method for synthesis of linear viscoelastic structural rheological models of any degru of complexity has been suggested.

Key words: rheological model, structural model, elastic element, viscous element.

Введение

В последнее десятилетие при анализе напряженно-деформированного состояния полимеров, битумов, асфальтобетонов и других конструкционных материалов широкое распространение получили так называемые вязко-упругие реологические модели.

Анализ публикаций

Линейная разновидность реологических моделей, как известно, может быть получена путем различного сочетания элементов Гука и Ньютона [1]. Таких сочетаний может быть бесчисленное множество. Для одного только асфальтобетона и битума разными авторами

[1-9] предложено два десятка таких моделей. Их развитие продолжается [10].

Цель и постановка задачи

При таком обилии мнений возникает задача построения единой методики построения структурных реологических моделей. Причем весь анализ построим на так называемых одноосных реологических моделях [1], применив затем полученные выводы к трехосным [11]. Такой подход вполне оправдан, поскольку в работах [12, 13] доказано, что дифференциальные уравнения одноосных и 3-0 линейных реологических моделей структурно одинаковы. Различие лишь в постоянных коэффициентах. И поэтому 3-0 модели впоследствии легко преобразуются в одноосные.

Исходные предпосылки

1. Любая структурная линейная модель может быть построена на двух элементах: упругом (рис. 1, а) и вязком (рис. 1, б).

а б

Рис. 1. Элементы реологических моделей: а -упругий элемент Гука; б - вязкий элемент Ньютона; Е, п - коэффициенты, характеризующие упругие и вязкостные свойства элементов

2. При составлении структурной модели и структурных уравнений следует пользоваться следующими правилами [11, 14]

Еі

Е,

Еі Гг2 1 Е ; І І =|Е ;

Е

гг 1

Ж" ;

Е

Еі

д

Е \

'_Ь'

\Е

Е Еі

Е

"і

2

ж

ш

"2 "і

і = І] ії| = і і

Е

Е

"2

з

Рис. 2. Простейшие правила упрощения структурных реологических моделей

В символьном виде эти правила можно записать как

- для рис. 2, а

Г-Г=Г; - = — + —,

Е Еі Е2'

где Г - символьное обозначение элемента Гука; «-» символ последовательного соединения элементов;

- для рис. 2, б

Г | Г=Г; Е = Е + Е

'2 ?

где « | » символ параллельного соединения элементов;

- для рис. 2, в

Н-Н=Н; - = — + —,

П Пі П2

где Н - символьное обозначение элемента Ньютона;

- для рис. 2, г

Н\Н=Н; п = П +П2,

- для рис. 2, д

Г-Н-Г=Г-Г-Н=Г-Н,

- для рис. 2, е

Н-Г-Н=Н-Н-Г=Н-Г,

- для рис. 2, ж

Г \ Н \ Г= Г \ Г \ Н = Г\Н ,

- для рис. 2, з

Н \ Г \ Н= Н\Н\Г= Н\Г.

Двухэлементные модели

Из элементов рис. 1 можно получить всего восемь комбинаций, все они приведены на рис. 3.

а

в

г

е

а)

д)

б)

г)

е)

ж)

з)

Рис. 3. Возможные варианты двухэлементных реологических моделей: а-г - варианты, полученные путем сочетания модели рис. 1, а с элементами Гука и Ньютона; д-з - путем сочетания модели рис. 1, б с элементами Гука и Ньютона

Из них:

- четыре элемента вырождаются в более простые (рис. 3, а, б, ж, з);

- два элемента повторяются (рис. 3, в, д, а также 3, г и е);

- таким образом, конструктивно различных остается только два элемента (рис. 3, в и г).

Таблица 1 Сводная таблица реологических структурных моделей

№ Кол-во элементов в модели Параметр одноэлем. двухэлем. .м е л т X е тр .м е л 3 х <и ыр ы т е 4

1 Всего вариантов моделей 2 8 24 80

2 Вырождающихся в более простые 0 4 16 56

3 Отличных друг от друга всего строка 1 - строка 2 2 4 8 24

4 Повторяющихся конструктивно 0 2 4 12

5 Отличных конструктивно строка 3 - строка 4 2 2 4 12

6 Приводящихся к вырожденным через дифференциальное уравнение 0 0 0 4

7 Всего отличных конструктивно строка 5 -строка 6 2 2 4 8

8 Приводящихся к повторяющимся через дифференциальное уравнение 0 0 2 6

9 Принципиально различных по виду дифференциального уравнения строка 7 - строка 8 2 2 2 2

Трехэлементные модели

Рассуждая аналогичным образом, из моделей рис. 3 в, г, можно получить 24 варианта трехэлементных структур (см. строка 1 табл. 1). И только 4 из них конструктивно отличаются (строка 5 табл. 1), все они представлены на рис. 4.

1

Ез

Е\

П1 Ф

Е2

а.

Е4І ^П2

Е5

Пз

П5

Т

б

і

П4

еЛ *т* П6

Т

Полученные данные занесены в табл. 1.

а

г

в

Рис. 4. Трехэлементные модели

Отметим одну особенность у этих схем.

Дифференциальное уравнение, описывающее рис. 4, а [11]

ап + аЕ1 — вг^

где а, в - напряжения и относительные деформации в элементе; а, в, в - их производные по времени.

Е

Е

П7 I

:е

Для рис. 4, б [11]

ап2 + а

П Е Е3Е4

При Е2 — —3 4 •

Е3 + Е4

Е3

Е3 + Е4

(

выражение (9) легко трансформируется в (10). Т.е. схемы на рис. 4, а и б аналогичны, поскольку описываются одинаковыми уравнениями.

Точно также доказывается и то, что схемы на рис. 4, в и г также аналогичны. Отсюда появилась и строка 8 в табл. 1. Принципиально же отличных трехэлементных схем, как и в предыдущем случае, осталось всего 2 (строка 9 табл. 1) - это схемы на рис. 4, а и в.

Четырехэлементные модели

Не нарушая общности рассуждений, из четырёх моделей на рис. 4 можно получить всего 80 четырехэлементных моделей.

Из них только 12 будут конструктивно отличаться друг от друга (строка 5 табл. 1). Эти модели приведены на рис. 5.

Е1 П101

П1

т

ж

ЕЛ %Е1

„8^

и

м

Анализ дифференциальных уравнений, описывающих схемы (рис. 5, а-м), выявляет также некоторые их особенности.

Например:

Дифференциальное уравнение для схемы 5, а имеет вид

аП7 (Е7 + Е8 + Е9 ) + аЕ8 (Е7 + Е9 ) —

= вп7 Е7

Рис. 5. Четырехэлементные модели

При

Е = . Е7 Е9

Е7 + Е9

Е2 Е

П = П

Г^

\ Е1 + Е3 у

б

в

а

е

д

г

з

к

л

где п1, Е1, Е2 - обозначены на рис. 4, а; п7,

Е7, Е8, Е9 - на рис. 5, а,

уравнение (9) трансформируется в (12), т.е. схемы на рис. 4, а и 5, а аналогичны. Аналогичны также:

- схемы на рис. 5, д и рис. 4, а;

- схемы на рис. 5, л, м и рис. 4, в.

Т.е. по виду своих дифференциальных уравнений схемы рис. 5, а, д вырождаются в схему 4, а. А схемы рис. 5, л, м - в схему рис. 4, в.

Поэтому в табл. 1 появляется строка 6.

Дифференциальное уравнение схемы 5, е

аП8П9 +а (П Е11 +П9 Е10) + аЕ10 Е11 =

— ВП8П9( Е-ю + Еи) + 8Ею Еп(п8 +п9).

Схемы 5, ж

6 ЛюПи +*^ (П11Е12 +П10 Е13 + П10 Е12) + +СТЕ12 Е13 — ^П10П11Е12 +8 П10 Е12 Е13.

Если принять, что в уравнении

Е — П-0 Е12

Е-і —

Т1 . е — П-0 Т1 е •

? ^10 _ ^11 ?

Ті То

П8 — Т1Е10 ; П9 — Т2Е11 :

где х, 2 — — ±„

- А

в

— Е12П11 + Е13Гі10 + Е12П10 . А — П-иЛ- - .

Е12 Е13

Е12 Е13

П9, Е10, Е11 - обозначены на рис. 5, е; п10,

П11, Е12, Е13 - на рис. 5, ж,

то уравнение (14) трансформируется в (15), т. е. схемы на рис. 5, е и ж аналогичны друг другу.

Точно также можно показать, что и схемы на рис. 5, б и к аналогичны схеме на рис. 5, е. А схемы на рис. 5, г, з, и приводятся к схеме на рис. 5, в.

Таким образом, из 12 схем на рис. 5 принципиально различными остаются рис. 5, в и рис. 5, е, что и отражено в строке 9 табл. 1.

Проанализировав полученные результаты, из рис. 4, 5 можно сделать вывод о том, что преобразование «аналогичных» схем друг в друга происходит не только в соответствии с правилами рис. 2 и выражениями (1)-(8).

Проявляет себя закономерность, смысл которой изложен на рис. 6.

В2

В2

В-

Л

Т

В-

V*1

В-

В,

В2

Рис. 6. Дополнительные правила преобразования структурных реологических моделей: В,, В2 - ветви схемы; в качестве ветви может выступать один из элементов рис. 1, или их сочетание

Т.е. для рис. 6, а справедливо

Г-

для рис. 6, б

Н-

для рис. 6, в

для рис. 6, г

Если теперь допустить, что правила (1)-(8), (17)-(20) распространяются и на схемы с п количеством простейших элементов рис. 1, можно представить общую схему синтеза линейных схем реологических моделей, в виде, показанном на рис. 7.

б

а

в

г

т

2

а б

з

Рис. 7. Схема формирования линейных структурных реологических моделей: а-е -одно- - шестиэлементные; ж - с п количеством простейших элементов, в случае, если п нечетное число; з - то же, но для четного числа п

Выводы

1. Структурная реологическая схема любой сложности может быть приведена к обобщенной модели Максвелла, в которой может быть не более двух вырожденных элементов Максвелла [12]. Предложена методика такого преобразования.

2. Независимо от количества простейших элементов (рис. 1) при фиксированной их величине п может быть только две различающиеся между собой схемы, с точки

зрения вида дифференциальных уравнений, описывающих эти схемы.

3. Принципы конструктивного построения схем зависят от четности или нечетности величины п.

4. Для схем с нечетным количеством простейших элементов, если в них есть возможность появления остаточных деформаций, то нет мгновенной упругости, и наоборот.

5. Для схем с четным количеством, если есть возможность появления остаточных деформаций, то есть и мгновенная упругость, и наоборот.

Литература

1. Шульман З.П. Реофизика конгломератных

материалов / З.П. Шульман, Я.Н. Ковалев, Э.А. Зальцгендлер. - Минск : Наука и техника, 1978. - 240 с.

2. Богуславский А. Основы реологии асфаль-

тобетона / А. Богуславский, Л. Богуславский ; под общ. ред. Н.Н. Иванова. -М. : Высшая школа, 1972. - 199 с.

3. Зальцгендлер Э.А. Реологические свойства

и поведение асфальтового бетона при сложном нагружении / Э.А. Зальцгендлер, Я.Н. Ковалев // Реофизика : сб. науч. трудов. - 1977. - С. 112-117.

4. Золотарев В.А. Исследование свойств ас-

фальтобетонов различной макроструктуры: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.05 /

В.А. Золотарев. - Харьков, 1967. - 207 с.

5. Радовский Б. С. Теоретические основы конст-

руирования и расчета нежестких дорожных одежд на воздействие подвижных нагрузок : автореф. дисс. на соиск. учен. степ. докт. техн. наук: спец. 05.22.03. «Изыскания и проектирование железных дорог и автомобильных дорог» / Б.С. Радовский. - М., 1982. - 35 с.

6. Рейнер М. Реология / М. Рейнер ; пер. с

англ. Н.И. Малинина. - М. : Наука, 1965.

- 223 с.

7. Руденская И.М. Реологические свойства

битумов / И.М. Руденская, А.В. Руден-ский. - М.: Высшая школа, 1967. - 118 с.

8. Рыбьев И.А. Асфальтовые бетоны /

И.А. Рыбьев. - М. : Высшая школа, 1969. - 399 с.

9. Ткачук Ю.П. Влияние структурных осо-

бенностей асфальтобетона на закономерности его вязкоупругого поведения

при статическом нагружении: дис. ... канд. техн. наук : 05.23.05 / Ю.П. Ткачук. - Харьков, 1977. - 217 с.

10. Богомолов В. О. Реологічна модель робо-

ти асфальтобетону при стисканні / В О. Богомолов, В.К. Жданюк, В.М. Ря-пухін, С.В. Богомолов // Автошляховик Украіни. - 2010. - № 3. - С. 34-37.

11. Ржаницын А.Р. Теория ползучести / А.Р. Ржа-

ницын. - М. : Изд-во лит-ры по строит-ву, 1968. - 416 с.

12. Богомолов В.А. Простейшие звенья линей-

ной пространственной реологической модели асфальтобетона / В.А. Богомолов,

B.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт. - 2010. - № 27. -

C.157-162.

13. Богомолов В.А. Общий метод получения

дифференциальных зависимостей деформаций от напряжений для линейных реологических 3-Б моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ. - 2011. - № 52. -

С.54-59.

14. Рейнер М. Деформация и течение / М. Рей-

нер; пер. со втор. англ. изд. Л.В. Никитина, А.Н. Кочеткова, В.Н. Кукуджано-ва. - М. : Гос. научн.-техн. изд-во неф-тян. и горно-топливной лит-ры, 1963. -381 с.

Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н, ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 1 июня 2011 г.