Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

УДК 517.977 © И.В. Расина, М.А. Аветян

НЕЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ МАГИСТРАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ РАЗВИТИЯ РЕГИОНА

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01-00256-а) и РГНФ (проект 11-02-00171-а).

Рассматривается нелокальный метод улучшения, основанный на достаточных условиях оптимальности. Апробация метода проводится на задаче оптимизации стратегии развития региона, описанной на многокомпонентной социо-эколого-экономической модели, учитывающей ограничения на восстановительные мощности природной среды и социальной сферы и на инновационные мощности.

Ключевые слова: оптимизация, инновация, устойчивое развитие.

I.V. Rasina, M.A. Avetyan

NONLOCAL METHOD OF IMPROVEMENT MAINSTREAM SOLUTIONS IN THE PROBLEM OF REGIONAL DEVELOPMENT

A nonlocal method of improvement, based on the sufficient conditions of optimality is considered. Testing of the method is carried out on the problem of optimizaton the regional development strategy, as described in the multi-component socio-ecological-economic model that takes into account constraints on the capacities of the environment and social sphere recovering and innovative capacities.

Keywords: optimization, innovation, sustainable development.

Введение

Особенность прикладных задач оптимального управления, как непрерывных, так и дискретных, состоит в том, что поиск решения непосредственно из теоретических результатов (таких как принцип максимума Пон-трягина или уравнение Беллмана) затруднен в силу сложности их реализации. Этот факт послужил основой для разработки численных методов, позволяющих искать оптимальное решение напрямую, посредством операций улучшения управления, повторяемых в итерационной процедуре. В первую очередь были созданы градиентные методы, позволяющие находить локальный оптимум и демонстрирующие снижение эффективности по мере приближения к нему. Отметим некоторые из них [1-6]. Затем последовали более сложные разработки, была создана серия методов второго порядка, например [7-9]. Кроме того, усилия исследователей были направлены на создание методов нелокального улучшения [10-14]. Следует заметить, что для дискретных процессов разработок значительно меньше, чем для непрерывных.

И.В. Расина, М.А. Аветян. Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона

Далее в работе рассматривается одна из модификаций метода, предложенного в [15] для дискретных систем, состоящая в сужении множества поиска вариаций управления. Полученный алгоритм апробируется на исследованной ранее задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели [16; 17], описывающей взаимодействие трех секторов - основного производственного, социо-природо-восстановитель-ного и инновационного. Предполагается (в целях упрощения), что мощности последних двух секторов не ограничены, и учитываются лишь прямые затраты, связанные с текущей деятельностью. Это приводит к постановке вырожденной задачи оптимизации неограниченных линейных управлений и характерному для таких задач решению - магистральному, которое находится путем преобразования исходной задачи к эквивалентной меньшего порядка, называемой производной [18; 19].

Соответствующая траектория (магистраль) разрывна, не удовлетворяет в общем случае заданным граничным условиям, реализуется практически при достаточно больших управляющих воздействиях в окрестностях разрывов.

Цель данной работы - решение производной задачи с помощью предложенной модификации метода улучшения. С одной стороны, такое решение имеет самостоятельное значение, содержательную трактовку, а с другой - может быть модифицировано с учетом различных реальных ограничений, отраженных в полной социо-эколого-экономической модели и использовано в качестве эффективного начального приближения при численном итерационном улучшении управления.

1. Модификация метода улучшения

Рассматривается алгоритм улучшения, представленный в [15], основанный на линеаризации соотношений типа Беллмана в окрестности траектории текущей итерации, регулируемой посредством дополнительного ограничения управления с некоторым параметром а > 0 .

Задача оптимального управления имеет вид:

х^ +1) = f (^ х(0,и), и еи, I = F(x(tF)),

Т = ,..., tF} - задано, х(^) = хг - задано.

Рассмотрим задачу улучшения, состоящую в поиске элемента т11 = (х11 ^), и11 ^)) по заданному элементу т1 = (х1 ^), и1 ^)), на котором значение функционала меньше.

Для того чтобы точка минимума не вышла из окрестности элемента т1 = (х1 ^), и1 ^)), предлагается в соответствии с принципом локализации [8; 9] рассматривать вспомогательный функционал

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

I ^ Ia = (1 - a)I + aJ(mI, m), где

J(mI, m1) = 0, J(mI, m) > 0, m Ф m1 : 0 < а < 1.

Отсюда следует при а ^ 1: m1 = m„ = arg min Ia. Введем новое уравнение

x0(t +1) = x0(t) + (u -u1 (t))2., с учетом которого функционал Ia примет вид:

Ia = (1 -а) F (x(tр)) + ax°(tF). Рассмотрим аппроксимацию условий метода Кротова-Беллмана, задавая функцию Кротова ф линейно,

</)(t, x) = ^т (t) x + l(t). Использование принципа расширения [20] позволяет отдельно исследовать на экстремум конструкции достаточных условий оптимальности [20] - функции G и R, которые в данном случае имеют вид:

G(x, x0) = (1 - a)F(x) + ^т x(tF) + u(tF) + ax0 + y°(tF) x0, R=\f?(t+1)/(t, x,u) -y?(t)x+|t+1)=/(t+1)(x0 + (u-uT(t))2) -/(t)x-|t). Рассмотрим разность

AR = R(t, x0, x, u) - R(t, 0, x (t), uI). Линеаризуем ее и заменим моделью:

AR = AR y + AR'x0 y0 + AR| + ^0(t + 1)(u)2,

где y = x - xI (t),u = u - uI (t),y0 = x0(t),(ARIx, AR^, AR^) - вектор частных

производных, подсчитанных на элементе mI. Далее будем максимизировать эту конструкцию по y, и . Введем в рассмотрение функции

H (t,^, x, u) = у/т / (t, x, u), Ha = H + y\t +1)(x0 + (u - uI)2). Тогда AR примет вид:

AR=H(y(t+1),xi(t),ui(t))xy+/(t+1)y0 + H|+/(t+1)(u)2 V(t)yV(t)y0.

Решая задачу максимизации AR , будем выбирать и = Au так, чтобы и было достаточно малым (|и| < a),(uI (t) + u(t)) eU (U считается для простоты постоянным множеством).

Иначе говоря, и будем подбирать так, чтобы

(uI(t) + u(t)) e Ua = {u eU||| < a} .

При достаточно малом a отклонение от соответствующего приращения Ax будет малым. Модификация состоит в том, чтобы вместо анали-

И.В. Расина, М.А. Аветян. Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона

тического представления для v получить его значение, находящееся в множестве Ua . В процессе вычислений такой поиск можно производить численным перебором при различных a , что дает возможность учесть ограничения на u непосредственно без использования штрафных функций.

Процедура улучшения в целом состоит из следующих шагов.

1. Просчитывается цепочка

y/(t) = - Hx (t,y(t +1), x7 (t), u7 (t)) при начальном условии на правом конце

W(tp) = -Fx (x7 (tF)).

2. Находится va непосредственным поиском в окрестности u7, в множестве UU(|va -u7| <а}, где U = {0< va <u7^}. Поиск сводится к численному перебору на указанном множестве, зависящим от параметра а .

3. Решается заданная система с новым управлением

x(t +1) = f (t, x(t), u7 (t) + va(t)), x(t7) = x{ для различных а , находится функционал F(xa (tF)) и минимизируется по а .

Определяется a„ из условия

F(Xa (tF)) ^ min a ^ a„.

4. Вычисляется

u77 (t) = u7 (t) + va ,

которое принимается за новое u7 (t), начинается новая итерация.

Критерий остановки - прекращение улучшения функционала.

2. Производная задача

Производная задача для поиска магистрального решения получается из полной системы уравнений модели [21] и состоит из двух уравнений: С = к(в)y - pBSk - p(Av (ß)yv + BvSv )kv - S(r) +

. _ (1) (ß)(r + N(r - r) + imr - exr) - tf (ß)r )ß (yv [kv ] + H)(в-в),

ß = -

где r/z = p(Azyz + SzBz)(Czrz)-1, к = p(E - A(ß)) -tfzC(ß).

Здесь y, z, v - векторы выпусков продукции по отраслям, активного природо-социо-восстановления, активных инноваций; (k, kz, kv), (u, uz, uv) - основные фонды, мощности и инвестиции (векторы (матрицы-столбцы)); (у, yz, yv), (S, Sz, Sv) - фондоотдачи и темпы амортизации в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном

29

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

секторах (диагональные матрицы); р - матрица-строка цен (ценовых поправок); г - вектор (матрица-столбец) индексов состояния природной среды и социума; в - вектор (матрица-столбец) инновационных индексов;

в - предельная граница инновационных индексов, г ^) - заданная функция (опорная), например получаемая из статистического прогноза; тг, ехг - миграционные потоки загрязнений и ресурсов; А, А2, А" - матрицы прямых затрат в экономическом, природо-социо-восстановительном и инновационном секторах; В, В2, В" - матрицы фондообразующих затрат в указанных секторах; N - матрица коэффициентов взаимовлияния компонентов природной и социальной подсистем; С - матрица коэффициентов прямого воздействия отраслей экономики на компоненты природной и социальной подсистем; Н - диагональная матрица, отражающая влияние диффузии инноваций; [ к" ] - диагональная матрица из компонентов вектора К".

Критерий оптимальности - максимум функционала С,р = ^(tF), который имеет смысл благосостояния [21]. В стандартной форме рассматривается задача поиска минимума функционала I = )при следующих

предположениях: К" не ограничено сверху, А = А(в), С = С (в), А" = А"(в), А2 = А2(в). Предположения относительно матриц означают, что инновационным изменениям подвержены все коэффициенты прямых затрат.

3. Программная реализация и вычислительный эксперимент

Рассматривался конкретный пример для агрегированной версии модели с одномерными секторами производства, восстановления и инноваций для условного региона, прототипом которого служит Байкальский регион по состоянию на 2010 г.

Расчеты проводились для условного региона при следующих исходных данных:

tF = 2, р = 1, б = 82 = = 0.05, А = 0.5, А(в) = (1 + в) Д,, С0 = 0.000406, С (в) = (1 + в)С0, В = 1, А2 (в) = (1 + в)А2, В2 = 1, А" (в) = (1 + в) А"", В" = 1, С2 = 1, к0 = 400, к02 = 10, К" = 6, в0 = 0, в =-0.8, г0 = 0.8, г = 1, N = -0.001, тг = 0.1, ехг = 0.1, 5 (г) = s(r - г )2, s = 5000, у = 10, х2 = 0.0002, А0 = 200, А" = 200, кг = 0, Н = 0.03,

у" = 0.0015, у' = у"(к"к' = к/,!дёк'(в)<0, к' = ((рВб))р-1, р1 = 0.7,

г' находится из уравнения (условие стационарности):

И.В. Расина, М.А. Аветян. Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона

((^г (в)ЩТ)3 - 2s(rJ - г ) —3 = 0,

где Я(г) = (в)г)в)Т([у»Г] + Н)(в-в). Поиск решения осуществлялся в два этапа.

Первый этап. Поведение исследуемой системы представлялось в виде дискретного процесса по методу Эйлера, в предположении, что на шаге дискретизации переменные сохраняются как константы.

+1) = £(0 + Цк(в)у - pB8k - р(А» (в)у» + В»8»)К» - S(г) +

. _

(в)(г + N (г - г) + тг - ехг) - (в)г )Т (у» [Г ] + Н )(в - в)), в^ +1) = в(t) + h(-(у»[k»] + Н)(в-в)), ) = 0, в(t/) = 0, (4) где т}' = р( А*у* + 8*В* )(Сгуг )-1, к = р( Е - А(в)) С (в).

Поставленная исходная задача при этом становится дискретной задачей оптимального управления о поиске минимума функционала

I = -£($„).

Второй этап. Производилось улучшение управления К" с помощью метода, описанного выше.

Результаты представлены на графиках и в таблице. Видно, что процесс улучшения заканчивается через три итерации (при том что каждая итерация содержит серию просчетов при разных а) с существенным уменьшением функционала (увеличением накопленного дохода).

Таблица 1

Значение функционала

I I

0 -16 703

1 -33 417

2 -78 914

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

График к

График г

Рис. 1. Основные фонды традиционной экономики

р-ЬО ° Ь2

Рис. 2. Основные фонды инноваций

График г

р-гР « г 2 |

Рис. 3. Индекс состояния природной среды и социума

350000 300000 250000

. 200000

График у

-7° ♦

Рис.4. Выпуск продукции

График 6 График С

° а _1

|-90 » 82 |-« ¡^21

Рис. 5. Инновационный индекс Рис. 6. Уровень накопленного

дохода

И.В. Расина, М.А. Аветян. Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона

Заключение

Проведенные расчеты подтверждают работоспособность предложенной модификации алгоритма, с помощью которой удалось улучшить полученное ранее [21] магистральное решение. Проведенная серия вычислительных экспериментов позволяет определить пределы рентабельности инновационной деятельности (в терминах коэффициентов прямых инновационных издержек).

Литература

1. Courant R. Variational methods for solutions of problems of equlibrium and vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. 49, № 1. P.43-51.

2. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // Прикладная математика и механика. 1946. 10, № 2. С. 87-96.

3. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физических наук. 1957. 15, № 1а. С.56-62.

4. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т 2, № 3. С. 488-491.

5. Келли Г. Дж. Метод градиентов // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета / под ред. Дж. Лейтмана. М.: Наука, 1965. С.101-116.

6. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума // Автоматика и телемеханика. 1962. Т 23, №12. С. 1571-1583; 1963. Т. 24, № 15. С. 581-598; 1963, Т. 24, №7. С. 826-843; 1965, Т. 26, № 11. С. 24-41.

7. Jacobson D.H. New second-order and first-order algorithms for determinining optimal control. A differential programming approach // J. Optimiz. Theory and Applications. 1968. V. 2, № 4. P. 411-440.

8. Гурман В.И., Расина И.В. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума // Автоматика и телемеханика. 1979. № 10. С. 12-18.

9. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983.

10. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления. // Изв. АНСССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 160-168.

11. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

12. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых ситем. Улан-Удэ: Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2008.

13. Булдаев А.С. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов // Известия вузов. Математика. 2004. № 1. С. 18-24.

14. Трушкова Е.А. Алгоритмы глобального улучшения управления // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6.

15. Гурман В.И., Трушкова Е.А. Практические методы оптимизации: учеб. пособие. Переславль-Залесский: Изд-во УГП, 2009.

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2012

16. Ухин М.Ю. Ачитуев С.А. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели // Автоматика и телемеханика. 2008. № 3. С. 178-189.

17. Гурман В.И., Рюмина Е.В. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. М: Наука, 2001. 175 с.

18. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977. 304 с.

19. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и телемеханика. 2003. № 3. С. 61-71.

20. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 447 с.

21. Расина И.В., Блинов А.О., Гусева И.С. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели // Вестник БГУ. 2011. №6. С.36-42.

Расина Ирина Викторовна, кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой математических и естественно-научных дисциплин Сибирской академии права, экономики и управления. Е-mail: irinarasina@gmail.com

Аветян Мактах Арсеновна, магистр кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета. E-mail: magdaavetian@mail.ru

Rasina Irina Victorovna, candidate of physical and mathematical sciences, head of the department of mathematics and natural science disciplines, Siberian Academy of Law, Economics and Management.

Avetyan Maktakh Arsenovna, master of department of applied mathematics, Buryat State University.