Вынужденные колебания в релейных системах с цифровым управлением

УДК 681.511.4

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ЦИФРОВЫМ

УПРАВЛЕНИЕМ

А.В. Моржов, С.В. Моржова, Д.Л. Хапкин

Рассматриваются релейные системы с двух- и трехпозиционными релейными элементами, работающие в режиме вынужденных колебаний. Формулируются условия возникновения вынужденных периодических движений как на основной частоте, так и на частоте субгармоник. Обсуждаются вопросы, связанные с работой систем при широтно-импульсной модуляции. Выявляются особенности рассматриваемых режимов в релейных системах с цифровым управлением. Даются практические рекомендации по выбору периода дискретизации сигналов по времени.

Ключевые слова: релейные системы, вынужденные колебания, цифровое управление.

Релейные автоматические системы с давних пор широко используются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Весьма важным классом систем автоматического управления являются следящие системы. В силу высоких динамических характеристик релейные системы часто используются в качестве следящих. Так, например, релейные газовые, пневматические и воздушно-динамические приводы применяются в качестве исполнительных устройств летательных аппаратов. Далее, следует отметить, что именно релейные приводы имеют высокую точность слежения на так называемых «ползучих скоростях».

Релейные следящие системы могут работать как в автоколебательном режиме, так и в режиме вынужденных колебаний. Возникающие в таких системах периодические движения существенно затрудняют исследование режима слежения, особенно на этапе синтеза. В режиме вынужденных колебаний частота периодических движений определяется частотой вынуждающего сигнала и остается постоянной как при отработке системой полезного входного сигнала, так и при изменении параметров объекта управления. К релейным системам, работающим в режиме вынужденных колебаний, обычно обращаются в тех случаях, когда необходимо обеспечить работоспособность релейной системы в сложных условиях эксплуатации, приводящих, например, к существенному изменению параметров системы.

1. Условия возникновения вынужденных колебаний

На рис. 1 изображена типовая структурная схема релейной следящей системы, работающей в режиме вынужденных колебаний. Здесь y0 = H f (t) - вынуждающий периодический сигнал, y - полезный входной сигнал. Вынужденные периодические колебания будем исследовать при отсутствии входного сигнала y(t), полагая, что Hf0)(t) - периодическая функция с периодом 2TB, удовлетворяющая условию симметрии Hfo(t + Тв ) = - Hfo(t), причем max| fQ{t )| = 1.

Движение системы задается уравнениями

— = f

dt

u = Ф0

В равенствах (1), (2) x = (л^,x^,...,xn) - вектор состояния системы, f - n-мерная вектор-функция, R - вектор-строка коэффициентов обратных связей. Функция Ф0 задается статической характеристикой двух или трехпозиционного релейного элемента. Выполняется условие симметрии:

{(-х, -и) = -Г(х, и).

Рис. 1. Типовая структурная схема релейной следящей системы, работающей

в режиме вынужденных колебаний

Ограничимся рассмотрением простых симметричных вынужденных колебаний, при которых х(/ + Тв) = —х(/) (здесь 2ТВ - период), а управление и(1) на периоде изменяет знак только два раза. Именно такого вида вынужденные колебания возникают, как правило, в релейной системе (1), (2).

Как и в случае автоколебаний, исследование вынужденных колебаний выполняется с использованием фазового годографа релейной системы [1-5]. Рассмотрим сначала систему (1), (2) с двухпозиционным релейным элементом.

Так же, как и автоколебания, вынужденные колебания определяются из условия переключения релейного элемента с минуса на плюс. Имеют место соотношения

* Т *

И/^) — ЯТх

И/^Г) — К х-

* *

Здесь / (0 < / < 2ТВ) - фаза вынуждающего сигнала Н/)(/), которая устанавливает соответствие между функцией ) и периодическим решением х(/). Символом

х-

х - (Тв ) = Г ( х*(ТВ ), - А).

Поскольку рассматриваются симметричные периодические решения, то условие переключения релейного элемента с плюса на минус не требуется.

В режиме вынужденных колебаний в релейной системе (1), (2) устанавливаются периодические движения, имеющие частоту вынуждающего сигнала И/)(). С помощью равенства (3) определяется фаза / . Она легко находится графическим способом

Т *

как точка пересечения графика функции у) = И/)(/) с прямой у) = Ь + К х (Тв) [5]. Неравенство (4) позволяет определить, какая из найденных фаз действительно соответствует переключению релейного элемента с минуса на плюс.

Обозначим ИКр такую амплитуду вынуждающего сигнала, что при И < ИКр вынужденные колебания в системе

И кр = \Ь + ЯТ х*(Тв).

Таким образом, для того, чтобы в релейной системе имели место вынужденные колебания с периодом 2Тв, необходимо выполнение неравенства И > Икр.

Поступающий на релейную систему сигнал у)(/) = ), наряду с периодом 2Тв, имеет также период 2ТвП, где V = 2,3,4,.... Поэтому в изображенной на рис. 1 релейной системе могут иметь место так называемые субгармонические колебания с периодом 2ТвП . Легко видеть, что при четном V = 2,4,6,... в релейной системе (1), (2) невозможны простые симметричные субгармонические колебания, т.е. колебания, при

591

которых и(Х + \ТВ) = — и (7). Однако они вполне могут иметь место при нечетном V, так как в этом случае вынуждающий сигнал Н ^¿(7) обладает симметрией: Н/о(7 +УТВ) = — Н/о(/).

Условие возникновения в системе (1), (2) субгармонических вынужденных колебаний задается соотношениями:

* Т *

Н/о(0 — ЯТх(пТв) = Ь, у = 3,5,7,...,

Н/о'(7*) — КТ г—(пТв) > 0.

* *

Как и в выражениях (3), (4), фаза 7 должна принадлежать интервалу 0 < 7 < 27В. Вектор

г—(пТв) = * (х*(пТв), — А).

Для определения вынужденных колебаний в релейной системе (1), (2) с трех-позиционным релейным элементом, как и в случае автоколебаний, наряду с фазовым

годографом х (Т,У), понадобится смещенный фазовый годограф х (Т,У), где у - па-

раметр определяющий скважность трехпозиционного сигнала.

Выпишем условия переключения релейного элемента с нуля на плюс и с плюса

на нуль:

и* т И* *

Н/о

Н /¿

Н/о

Н/о

Здесь:

г—(Тв, Ув) = f (х*(Тв, Ув ),о), г—(Тв, Ув) = * (х**(Тв, Ув), А).

Соотношения (5) - (8) называют условиями возникновения в релейной системе (1), (2) вынужденных колебаний основной частоты.

Поскольку в режиме вынужденных периодических движений период колебаний

*

определяется вынуждающим сигналом, то из равенств (5) и (7) находятся фаза и параметр скважности у в. Для решения уравнений (5), (7) целесообразно использовать графический способ [5], который позволяет найти все решения системы (5), (7). Для этого, решая

* *

уравнение

*

. Точки пересечения указанных графиков и задают значения фазы 7 и параметра Ув. Далее, в точках пересечения графиков ф^Ув) и ф2(Ув) проверяют неравенства (6), (8).

Соотношения (5) - (8) часто имеют не одно, а несколько решений, которым соответствуют разные периодические траектории х(7) . Для того, чтобы определить, какое из полученных решений реализуется на практике, необходимо исследовать их устойчивость.

в системе (1), (2) с трехпозиционным релейным элементом также возможны субгармонические колебания с периодом 2ТвУ, где У = 3,5,7,.... Запишем условия возникновения субгармонических вынужденных колебаний:

н* т И* *

Н/о

Н/о'

Н/о

Н/о'

В неравенствах

г-(ПГВ,Тв) = \(х*(пТв,Тв),0), г-(пТв,Тв) = \(х**(пТв,Тв), а) .

Условия (3), (4) и (5) - (8) не гарантируют, строго говоря, существование в системе (1), (2) вынужденных периодических решений. Для получения окончательного ответа необходимо найти сами эти решения. Для этого следует проинтегрировать в интервале 0 < t < 2Тв уравнения (1), (2) для системы с двухпозиционным релейным эле*

ментом с начальным условием х(0) = х (Тв), а для системы с трехпозиционным релей*

ным элементом - с начальным условием х(0) = х (Тв, Ув) и убедиться, что в первом случае релейный элемент переключается в моменты времени t = Тв и t = 2Тв, а во втором случае - в моменты времени t = увТв, t = Тв, t = (1 + Ув )Тв и t = 2Тв . Аналогичным образом проверяется существование вынужденных субгармонических решений.

Рассмотренные выше условия существования вынужденных колебаний имеют большое значение для синтеза релейных систем. С их помощью, например, можно так выбрать амплитуду вынуждающего сигнала, чтобы в системе имели место колебания либо основной частоты, либо на частоте субгармоник. Указанные условия позволяют легко сформировать закон управления, который обеспечивает в системе вынужденные колебания с заданным параметром ув.

2. Исследование систем, работающих в режиме широтно-импульсной модуляции. в технических системах в качестве усилителей мощности, как правило, применяются устройства, работающие в ключевом режиме. При этом управление может осуществляться с использованием широтно-импульсной модуляции (ШИМ). Различают два основных типа широтно-импульсной модуляции - несимметричный и симметричный.

Режим с несимметричной ШИМ, с одной стороны, характеризуется меньшими затратами энергии на управление. С другой стороны, в этом режиме модуляции система, как правило, является слабо чувствительной к малым входным сигналам в отличие от режима с симметричной ШИМ. в контексте проектирования высокоточных следящих систем управления последний аргумент является наиболее весомым. Поэтому в следящих системах целесообразно использовать усилители мощности, работающие в режиме симметричной ШИМ Ниже речь будет идти именно об этом типе модуляции.

Обычно частота ШИМ достаточно высока, поэтому на практике такие системы рассматриваются как системы с пропорциональным управлением. в действительности это не так. С теоретической точки зрения систему с симметричной ШИМ правильно рассматривать как релейную, работающую в режиме вынужденных колебаний (см. рис. 2). Опыт эксплуатации систем с ШИМ показывает, что в них достаточно часто возникают нелинейные эффекты, обусловленные неустойчивостью вынужденных колебаний или наличием субгармонических колебаний кратной частоты.

Рис. 2. Схема с симметричным ШИМ управлением

Поэтому на этапе проектирования систем с симметричной ШИМ целесообразно применять предложенные выше методы исследования релейных систем, работающих в режиме вынужденных колебаний. Указанные методы охватывают как системы с линей-

593

ными, так и с нелинейными объектами управления. Использование этих методов позволит, с одной стороны, значительно упростить разработку систем с ШИМ, а с другой, добиться качественного улучшения функционирования важнейшего класса систем автоматического управления.

3. Системы с цифровым управлением. Практически все современные системы управления реализуются в цифровом виде. Это с одной стороны приводит к их качественному улучшению со многих точек зрения. Однако, при этом имеет место дискретизация сигналов, которая может являться причиной некоторых особенностей. В [7], было показано, что в релейных автоколебательных системах такая дискретизация приводит к возможности появления дополнительных предельных циклов, а значит колебаний с разными частотами и амплитудами. При этом количество предельных циклов будет зависеть от периода дискретизации по времени. В автоколебательных системах выделение всех возможных периодических движений является ключевой задачей, так как от этого будет зависеть качество режима слежения. В релейных системах, где реализуется режим вынужденных колебаний такого эффекта не наблюдается, поскольку имеет место принудительная синхронизация на заданной частоте. В этих системах основной проблемой является обеспечение колебаний с нужным периодом, который определяется вынуждающим сигналом. Данные колебания будут иметь место при выполнении условий их возникновения (5)-(8). Однако дискретизация сигналов по времени может привести к срыву режима вынужденных колебаний. Очевидно, что при стремлении периода дискретизации к нулю, процессы в системе будут стремиться к аналоговым. Значит, универсальной рекомендацией является повышение частоты дискретизации. Однако, в некоторых практических случаях это может потребовать мощного и дорогого вычислителя. Получение аналитического критерия срыва режима затруднительно, и он не будет иметь преимуществ перед численным моделированием с практической точки зрения.

Рассмотрим особенности использования цифрового регулятора на модельном примере. На рис. 3 изображена структурная схема релейной системы с цифровым управлением. В качестве вынуждающего используется пилообразный сигнал ^0 = Н_/0(/), вид которого представлен на рис. 4. Системы имеют следующие значения: К = 10, К = 1, Т = 0.1с, T2 =0.05с, £ = 2.5.

Рис. 3. Структурная схема релейной системы с цифровым управлением

Рис. 4. Вид пилообразного сигнала

Параметры вынуждающего сигнала Н0 = 1.6, частота 20 Гц. На рис. 5 показаны вынужденные колебания в аналоговой системе, которые можно также выделить с помощью метода фазового годографа [5,6]. На сис. 6 и 7 представлены процессы в системе с дискретизацией по времени (10 и 2 кГц соответственно). Моделирование проводилось при нулевых начальных условиях, с этим связано наличие переходных процессов.

Рис. 5. Вынужденные колебания в аналоговой системе

Рис. 6. Колебания при частоте дискретизации 10кГц

Рис. 7. Колебания при частоте дискретизации 2кГц

Представленные графики подтверждают высказанные предположения о том, что при высокой частоте дискретизации устанавливаются колебания, соответствующие процессам в аналоговой системе. При увеличении периода дискретизации происходит срыв режима вынужденных колебаний и возникает двухчастотный процесс с большой амплитудой. При этом система становится неработоспособной. Таким образом, можно дать практическую рекомендацию по выбору минимальной частоты дискретизации таким образом, чтобы она обеспечивала надежное возбуждение вынужденных колебаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект № 18-о8-о1141.

Список литературы

1. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник. В 3-х т. Т. 1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления; под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.748 с.

2. Фалдин Н.В., Моржов A.B. Анализ вынужденных периодических движений в релейных системах автоматического управления // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009. № 1. С. 2 - 7.

3. Фалдин Н.В., Феофилов C.B. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 2. С. 15-27.

4. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №11. С. 19-23.

5. Феофилов С. В. Периодические движения в релейных системах с трехпози-ционным управлением и ограничителями в объекте регулирования // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. №5. С. 11 - 17.

6. Моржов А.В., Моржова С.В. Синтез релейного автоколебательного объемного силового гидропривода при задании ограничений на чувствительность. Мехатрони-ка, автоматизация, управление, 2012. № 6. С. 39-44.

7. Феофилов С.В., Козырь А.В. Анализ периодических движений в цифровых автоколебательных системах управления // Мехатроника, автоматизация, управление, 2018. №9. С. 587-594.

Моржов Александр Владимирович, канд. техн. наук доцент, morzhov@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Моржова Светлана Владимировна, канд. техн. наук, инженер, svetlana-morzhova@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Хапкин Дмитрий Леонидович, аспирант, dima-hapkin@ya. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

FORCED VIBRATIONS IN RELAY SYSTEMS WITH DIGITAL CONTROL A.V. Morzhov, S.V. Morzhova, D.L. Khapkin

The relay systems with two and three-position relay elements operating in the mode of forced oscillations are considered. The conditions for the occurrence of forced periodic motions both at the fundamental frequency and at the subharmonic frequency are formulated. Discusses issues related to the operation of systems with pulse-width modulation. The features of the considered modes in relay systems with digital control are revealed. Practical recommendations are given on the choice of the sampling period of signals over time.

Key words: Relay systems, forced oscillations, digital control.

Morzhov Aleksandr Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, mo-rzhov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Morzhova Svetlana Vladimirovna, candidate of technical sciences, engineer, svetlana-morzhova@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Khapkin Dmitriy Leonidovich, postgraduate, dima-hapkin@ya. ru, Russia, Tula, Tula State University