Принятие многокритериальных решений в условиях стохастической неопределенности

УДК 519.81

В.П. ПОНОМАРЕНКО, С.Ф. ЧАЛЫЙ

ПРИНЯТИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Рассматриваются вопросы принятия решений в условиях многокритериальности, риска и неопределенности. Предлагается модель аналитического вычисления статистических параметров функции плотности распределения обобщенной многофакторной оценки эффективности решений.

1.Введение

В настоящее время очень актуальной является проблема повышения эффективности управления социально-экономическими объектами (СЭО). Это обусловлено тем, что в современных условиях один социально-экономический объект невозможно рассматривать как локально-независимый [1]. Соотвественно, процесс управления СЭО существенно усложняется, повышаются требования к его эффективности, под которой понимается своевременность, комплексность и оптимальность принимаемых управляющих решений. Вместе с этим, в настоящее время организационное управление СЭО является в большей степени искусством, чем формальной научно обоснованной процедурой. Это обусловлено тем, что большинство решений приходится принимать в условиях множественности и противоречивости целей, жестких временных и нормативных ограничений большой размерности, высокой информационной неопределенности характеристик как собственно объекта управления, так и окружающей среды, целенаправленного активного противодействия конкурентов и т.д. С формальной точки зрения это означает, что решения необходимо принимать в условиях многокритериальности, риска и неопределенности.

Анализ существующих подходов и формальных методов решения указанных задач показывает, что недостаточное внимание уделяется совместному решению задач многокритериальной оптимизации и принятия решений в условиях риска и неопределенности. Эти задачи, как правило, рассматриваются отдельно, причем задача многокритериальной оптимизации чаще всего решается в детерминированной постановке, без учета интервальной неопределенности, возникающей при идентификации параметров модели многофакторного оценивания, а задачи принятия решения в условиях риска и неопределенности решаются в предположении, что целевая функция является не многокритериальной, а скалярной. Объединение методологий решений этих задач открывает перспективы более адекватного и эффективного решений широкого круга прикладных задач.

2. Постановка задачи исследования

Целью исследования является выбор из допустимого множества решений X единственного наиболее эффективного решения x0 е X. В формальной постановке это означает, что необходимо решить задачу

x0 = arg extrE

xeX V '

где E(x) - обобщенный скалярный показатель качества решений.

При принятии решений в условиях многокритериальности, когда эффективность решения характеризуется кортежем противоречивых разнородных частных показателей (критериев) (k;(x)), i = 1, n , для которых не существует решения x0 = argextr(k;(x)), Vi = 1, n, воз-

xeX

никает дополнительная задача вычисления обобщенной скалярной оценки эффективности решений, известной как функции полезности P(x):

P

Данная функция полезности , в конечном счете, может быть представлена в виде:

т

Р(х) = Х (х), ] = 1, т, j=1

где а;, j = 1, т - кортеж параметров модели; к^(х), j = 1, т - расширенное пространство

характеристик качества решения.

Особенность рассматриваемой ситуации заключается в том, что многофакторная оценка эффективности решения является не точечной детерминированной величиной, а интервальной неопределенной оценкой, что вызвано следующими причинами:

1) коэффициенты aj независимо от метода их идентификации являются интервальными величинами;

2) значения частных критериев полностью или частично также носят интервальный характер.

Последнее обусловлено тем, что любая система является открытой, т.е. взаимодействует с внешней средой (метасистемой), которая не контролируется локальной системой, а ЛПР не располагает полной информацией о ее состоянии. Это, в свою очередь, означает, что все или часть показателей эффективности решений ^(х) являются интервально неопределенными.

В настоящей работе рассматривается только стохастическая интервальная неопределенность. Это означает, что информация о распределении значений переменных внутри интервала возможных значений сформулирована в терминах теории вероятности. Следовательно, решение необходимо принимать по модели

0 т _ _

х = а^ехгг ^ ajkj

где знаком " - " обозначены случайные величины.

Рассмотрению подходов к решению этой задачи посвящена настоящая статья.

3. Принятие многокритериальных решений с учетом неопределенности

исходной информации

Предлагаемый подход основывается на том положении, что задача принятия решений в условиях стохастической неопределенности является двухкритериальной. Это означает, что решение необходимо выбирать с учетом как эффективности, так и вероятности ее реализации.

В соответствии с данным подходом выполнена детерминизация кортежа весовых коэффициентов и разработана модель аналитического вычисления статистических параметров функции плотности распределения обобщенной многофакторной оценки эффективности решений.

Этап 1. Детерминизация кортежа весовых коэффициентов. Оценки эффективности решений являются не абсолютными, а относительными, т. е. они устанавливают отношение порядка и силу предпочтения на ограниченном конкретном множестве допустимых решений X. При этом, чтобы получить универсальную метрику, весовые коэффициенты оценки (4) должны удовлетворять требованиям

_ т

0 < ^ < 1, V] = 1, т; X ^ = 1.

j=1

Это дает возможность выполнить детерминизацию значений кортежа весовых коэффициентов aj, j = 1, т.

В дальнейшем будем полагать, что оценки математических ожиданий значений весовых коэффициентов М^), j = 1, т являются заданными.

Как отмечено выше, одним из двух частных критериев оценки эффективности решений в условиях стохастической вероятности является вероятность его реализации. Это означает, что из всех возможных случайных допустимых значений кортежей весовых коэффициентов

aj, j = 1, т в модели (4) необходимо принять:

а] = М

Однако в большинстве случаев это требование невозможно выполнить, так как

т

X М

]=1

Вместе с этим, учитывая, что коэффициенты а], ] = 1, т являются масштабными множителями, а оценка эффективности решений по определению относительна, пронормируем весовые коэффициенты по правилу

н М(аО -

а н =-—, V = 1, т.

] т

X М

Н

Очевидно, в этом случае всегда будет выполняться условие

т

X ан = Ь

Н

и хотя положение экстремального значения оценки эффективности изменится, абсолютное значение останется неизменным в пространстве решений х е X .

Таким образом, случайные коэффициенты а] в модели (4) можно заменить точечными детерминированными значениями, а модель (4) соответственно примет вид:

х0

= ш-м^гXан к|

Этап 2. Аналитическое вычисление стохастической оценки эффективности решений.

Данный этап посвящен синтезу модели вычисления стохастической оценки эффективности решений х е X, т.е. функции полезности:

_ т _

Р

Н _

где а" - детерминированные безразмерные значения весовых коэффициентов; к](х) -безразмерные случайные величины, с одинаковым интервалом возможных значений [0,1], т. е. нормализованные разнородные частные критерии.

При решении поставленной задачи в данном подразделе приняты следующие допущения.

1. Предполагается, что известны объективные или субъективные функции распределения вероятностей случайных характеристик к] (х) решений х е X . При этом рассматриваются только два закона распределения вероятностей: нормальный (Гаусса) и равновероятный.

2. Случайные величины к](х), ] = 1, т взаимно независимы, т.е. не коррелированны.

3. Интервал возможных значений [а,Ь] всех случайных величин к](х), V ] = 1, т известен. При этом для всех характеристики к](х), а=0, Ь=1.

Анализ модели (11), показывает, что для вычисления Р(х) необходимо реализовать операции умножения случайной величины на детерминированный коэффициент и суммирования полученных результатов. Кроме того, пространство переменных к](х) содержит переменные вида

к2

для вычисления которых необходима операция умножения случайных величин.

В соответствии с центральной предельной теоремой [2,3] обобщенная полезность (11) является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. При этом необходимое условие соизмеримости отдельных случайных слагаемых обеспечивается одинаковым интервалом изменения [0, 1].

Нормальный закон распределения полностью и однозначно характеризуется двумя статистическими параметрами: математическим ожиданием и дисперсией (среднеквадра-тическим отклонением) [2,3]. Это означает, что для вычисления обобщенной стохастической полезности эффективности решений х е X необходимо вычислить математическое

_ п _ П _

ожидание М[Р(х)] = М[£ aj kj(x)] и дисперсию Б[Р(х)] = Б[ £ aj kj(x.)] .

j=l j=l Необходимые для этого соответствующие арифметические операции строго определены и имеют вид [2].

Математическое ожидание суммы случайных линейных функций равно

М[ £а^] = ]£а1М[У1],

1=1 1=1

где а1 детерминированные коэффициенты; У1 - случайные величины. Дисперсия суммы случайных линейных функций равна

Б

£ а1У

_1=1

Соответственно для произведения нескольких случайных независимых величин

П ,2т

= £ а2Б[У1].

1=1

М[П У1] = П М

1=1 1=1

Б[П у1] = П Б

1=1 1=1

В соответствии с этим модели вычисления статистических параметров обобщенной стохастической оценки эффективности решений имеют вид

т

М[Р

j=l

- т 2 -

Б[Р

j=1

При принятых допущениях о том, что закон распределения вероятностных величин ^(х) задан и интервал их возможных значений известен, определение статистических параметров: математического ожидания М[^(х)] и дисперсии Б[^(х)], j = 1, т не вызывает затруднений.

Для нормального закона распределения вероятностей с учетом того, что 99,9 % значений случайной величины попадает в интервал, равный 6 ст , получаем

С учетом того, что [Ь-а]=1, дисперсия равна

Соответственно математическое ожидание равно

М[к:

2

Для закона равной вероятности соответствующие формулы имеют вид:

2

Ь - а 1

С учетом соотношений (20)-(23), полученные модели вычисления математического ожидания и дисперсии стохастической оценки обобщенной полезности решений имеют следующий вид:

а) для нормального закона распределения вероятностей частных характеристик к (х):

_ т

М[Р

.Н

- т 2

0[Р

.Н

в) для закона равной вероятности:

_ т

М[Р

.Н

- т 2

0[Р

.Н

г) для смеси нормального закона и закона равной вероятности

_ т

М[Р

.Н

_ т _ т

0[Р

1=1 Ь=1

Как отмечено выше, с учетом центральной предельной теоремы можно считать, что при любой комбинации законов распределения вероятности случайных величин ^(х) обобщенная оценка эффективности решения будет распределена по нормальному закону с функцией плотности распределения вероятностей вида

[Р(х)-М[Р(х)]]

— 1--2-

^Р

а>/ 2п

"V

k 2 m 2

X

l=1 L=1

Таким образом, синтезирована модель аналитического вычисления статистических параметров функции плотности распределения обобщенной многофакторной оценки эффективности решений p(x), x е X.

4. Заключение

Впервые предложена модель аналитического вычисления статистических параметров функции плотности распределения обобщенной многофакторной оценки эффективности решений, которая основывается на детерминизации кортежа весовых коэффициентов, учитывает комбинацию закона равной вероятности и нормального закона распределения вероятности случайных величин. Это дает возможность решать задачу принятия решений в условиях стохастической неопределенности с учетом как эффективности, так и вероятности реализации указанных решений.

Список литературы: 1. Соколова Н.А. Необходимые условия развития объектов хозяйственной деятельности / Н.А. Соколова, К.Э. Петров, В.Е. Ходаков // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы: Сб. науч. тр. Херсонского национального технического университета. 2007. №1(19). С. 175-182. 2.ВентцельЕ.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Высшая шк., 2000. 480 с. 3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. М. : Юнити-ДАНА, 2001. 543 с.

Поступила в редколлегию 22.02.2009 Пономаренко Владимир Петрович, соискатель ДП «НИИ Технологии приборостроения». Адрес: Украина, 61010, Харьков, ул.Примакова, 40/42.

Чалый Сергей Федорович, д-р техн. наук, профессор кафедры ИУС ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-451.