Асимптотика достижимых множеств и обобщенные конструкции в классе конечно-аддитивных мер

УДК 519.6

АСИМПТОТИКА ДОСТИЖИМЫХ МНОЖЕСТВ И ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТРУКЦИИ В КЛАССЕ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР

АХ. Ченцов

Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук

Рассматривается абстрактный аналог задачи об исследовании асимптотических свойств областей достижимости линейных управляемых систем с интегральными ограничениями при возмущении последних. Установлены условия асимптотической нечувствительности при возмущении части условий. Построена обобщенная конструкция в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер, доставляющая (в виде образа допустимого множества) представление аттрактора ограниченной сходимости без предположения о выполнении каких-либо естественных условий интегральной ограниченности релаксаций исходной задачи.

§1. Краткое введение. При исследовании экстремальных задач по многом причинам оказывается целесообразным рассмотрение разного рода релаксаций, имеющих смысл задач с ослабленными условиями (см. [1-3] — задачи управления, включая игровые постановки [4-6]; [2,3] — задачи вариационного исчисления; [7,81 — задачи математического программирования). Ключевое значение имеет при этом поведение допустимых множеств (множеств допустимых элементов), что позволяет рассматривать проблему их исследования как самостоятельную. С этой проблемой естественным образом связана и проблема изучения достижимых (на значениях соответствующего оператора) множеств. Примером такой постановки может служить известная [9,10] в теории управления задача об исследовании областей достижимости, имеющая важное теоретическое и прикладное значение. Возмущение условий приводит, вообще говоря, к скачкообразным изменениям допустимых множеств, так что полноценное исследование требует рассмотрения соответствующих регуляриза-ций. Последние, в свою очередь, могут конструироваться на основе расширения всего пространства решений либо "существенной" его части. Такой метод исследования позволяет, в частности, сравнивать в ряде случаев различные схемы введения возмущений в систему условий. Настоящая статья продолжает [11-16]. В ней рассматривается абстрактная постановка задачи об исследовании асимптотики достижимых множеств. Соответствующая конструкция для случая линейных задач теории управления легко может быть проведена по аналогии с [17].

126

§2. Общие определения. В дальнейшем используем в интересах сокращения записи кванторы, связки; следует читать: def (по определению), = (равно по определению). Если А и В — множества, то через Вл обозначаем множество всех функций [18, с. 18] g :А—В. Для обозначения последних неоднократно используется далее индексная форма записи [1,18]. Если А и В — множества, g G Вл, а С есть подмножество А, то (g| С) = g П (С х В) и g1 (С) = jg(x) : х G С} (след функции и образ множества). Выражение

3S[* * 0] (V * 0]

х х

следует читать: существует множество (для всякого множества) X, X * 0 . Если Т — множество, то через ( DIR ) [TJ обозначаем множество всех направлений [18,19] на Т (если << G (DJR)[T\, то

Vi £ Т У у G Т def:(p « у) ((ху) G « )) . Если же А и В — множества, << G (£>//?)[Л] и / € В* , то тройку (А,<</) именуем направленностью в В. Если при этом В оснащено топологией [18,19] т, а Ь G В, то для обозначения сходимости [18,19] направленности (A,<<J) к b в (В,г) используем выражение (А,<</) b . Если X — множество, тс:

1) через В [Jf] обозначаем множество всех непустых семейств H подмножеств X таких, что V -4 6 H V В € H 3 CG Н:С С А П В (если H € Bffl и 0gH , то H есть базис некоторого фильтра X) ;

2) через (top) [X] обозначим множество всех топологий X (если при этом г € (top) [АЛ и А — подмножество X, то с1(А,т) есть def замыкание [18,19] А в (Х,г) ). Тогда

V 5[ДГ * 0] V * 0] V X € В[ДЗ V г G {top)[Y\ V î G У* :

x y

n cl(s\U),T) = jy G Y I 3S[7 # 0] 3 <<G (Ü/Ä)m 3g e )? :

№X T

(V Я 6 X За G Г V ß e T : (a « ß)*(g(ß) G #)) &.

&

Множество (2.1) — аттрактор сходимости — играет в последующих построениях важную роль. Мы не будем всякий раз оговаривать в тех или иных конкретных вариантах (2.1) соответствующее предельное представление, ограничиваясь краткими напоминаниями. Если Р и Т — непустые множества, а г — топология Т, то обозначаем через  р(г) естественную топологию Iе , соответствующую тихоновскому произведению экземпляров (Т,т). Вещественную прямую R оснащаем естественной | • | -топологией гв и

дискретной [18, с.38] топологией tÄ ; N » |l;2;___} и

V m G N : hm = {i G N | i к от}. Полагаем

V S [7" * 0] V m G N : Г" = Т5^.

т

Если к € N и (Т,т), 7V0 — топологическое пространство, полагаем '[г] = <ОР(т) , получая в зиде (7*,"[т]) декартову степень (7",т) .

17*

127

Всюду в дальнейшем понимаем линейные операции и упорядоченность в пространствах функционалов с общей областью определения как поточечные.

§3. Конечно-аддитивные меры. Многие понятия, приводимые ниже, содержатся в [20,21]. Тем не менее, имеет смысл привести краткую сводку. Фиксируем непустое множество Е и полуалгебру L подмножеств Е. Через (add)+[L] обозначаем конус всех неотрицательных вещественнозначимых конечно-аддитивных (к.-а.) мер на L , а через A(L) — линейное подпространство RL , порожденное конусом (add)+[L] (подробнее см. [14, 20]). Фиксируем rj е (add)+[L] и вводим конус (add)+lL;ij] = € (add)+lL) | V L 6 L: (»/(¿)=0)*(/t(L)=0)} , (3.1) а также линейное подпространство A(L) , порожденное конусом (3.1) и обозначенное ниже через А^ [L]. Если ц € A(L) , то через ^ обозначаем точную верхнюю грань {и ¡-/¿} в A(L) с упорядоченностью, индуцированной (в A(L) ) поточечным порядком пространства RL; v е (add)+[L] . Через В0(Е,L) обозначаем множество всех L — ступенчатых функционалов на Е, а через В(£,L) — замыкание В0(Е,L) в пространстве В(£) всех ограниченных

функционалов на Е с традиционной sup-нормой Ц  j| [22, с.261 ] (по поводу обозначений см. [20,21] ); В(Е, L) с нормой , индуцируемой из (В(Е), || • II ) > есть банахово пространство, а пространство В'(Е, L), топологически сопряженное к В(£,L) , изометрически изоморфно A(L) с нормой-вариацией. Конкретный изометрический изоморфизм A(L) на В'(Е,L) определяется уже простейшей операцией интегрирования [21, с.75], используемой ниже без дополнительных пояснений. Через r.(L) обозначаем •-слабую топологию A(L) , соответствующую двойственности (i?(2j,L),A(L)) . Пусть, кроме того, re(L)— (относительная) топология A(L) , индуцированная

из (Rl, l(t8)) . Наконец, через r0(L) обозначим топологию A(L) ,

индуцированную из (RL, L(ra)) . Триада M(L) = jrt(L) ; r0(L) ; re(L)J

порождает мультитопологическое пространство (A(L),A/(L)) ; подробнее смотри в [20]. Если / € B(£,L) , то через f*rj обозначаем неопределенный ^-интеграл / [21, с.76], f*rf 6 A(L). Пусть Bq(E,L) есть def положительный конус

В0

1/1 4 (l/Ml),e£ € B0+(£,L) . Если b S [0, 00 [ , то через М[Ь] обозначаем множество всех / € В0(Е,L) таких что >7-интеграл |/| на множестве Е не превосходит числа b ;

М [ft] = {/«»; : / £ Jf[i|j. Кроме того, введем обобщенный аналог последнего множества:

V Ь 6 [0,»[: Sib] = |и G AJL] | vJJE) s b}.

128

Тогда V b € [О,оо[ Vre A/(L): S[b] = cl(M [ö],r).

Кроме того, Vre A/(L) : A^IL] = cl(\f*tj: f E ßfl(£,L)},r) . Подробнее о такого рода свойствах плотности см. в [20,23]. Пусть V S[7V0] :

т

В¿тлич) = {С?()/ б г е ЧЕ±)Т I Зс е [0,оо[ V/er; s с}.

Е

Наконец, через r^[L] обозначим ( относительную ) топологию А^ [L], индуцированную из (A(L),r#(L)) .

§4. Релаксации допустимых множеств, 1. Фиксируем непустое множество Г, оператор ,

y-*5y:r-Ä

и множество У,У С Rr , замкнутое в смысле Рассмотрим релаксации

условия

/ 6 B0

£

Полагаем, что

V К G Лл(Г) V с е ]0,оо[:£2СК,е) = = ife B0(E,L) I Эу е У V у е Js/di, - у(у)| s 4

Е

Здесь и ниже через Fin (Г) обозначается семейство всех непустых конечных подмножеств Г. Тогда семейство

Г = {Q(K,£):(«,£) G №(Г)х]0,=о[) б B[ß0(£,L)]

определяет одну из возможных асимптотик возмущений условия (4.2). Для введения другой асимптотики фиксируем множество Г0, Г0 С Г такое , что V у 6 Г0 G £0(£\L) ; Г0 есть некоторое множество ступенчато-значности

оператора (4.1) . Пусть

VKE FinÇT) V с € ]0,оо[:

Q0(К,е) = {/" S В0(Е,L) | Эу € У:(У у G Г0:/5/Л, =

£

= у е к \ г0: Is s/dt) - у(у) I s e)),

в

Q0(K,e) С Q(K,e).

Тогда Г0 = 6 /ВДх]0,«[| е B[Ä0(£,L)]. Если

HGB[i90(£,L)] и teA/(L) , то через (г; - Lim)[Н;г] обозначим пересечение всех множеств G #}>r) , H G Н. Тогда

а4 И VL1 I (JV<"W е У] - ïro;r.(L)] - (V-^) [Г;

а

t.

129

< подробнее см. в [20,23] ). В следующем параграфе (4.3) адекватно распространяется на случай описания достижимых множеств.

§5. Асимптотическая достижимость, 1. Фиксируем хаусдор-фово [18, 19] пространство (0,0),©5*0 и оператор к^А^Ь] -» 8, непрерывный в смысле г^Щ , в. Через V/ обозначаем оператор

/ - »(/*Г1У.В0(Е,Ь) - © (так что = и>(/*п) для / е В0{Е,Ц). Пусть V Н е В[В0(£,Ь)] :

(ВИГ - <и)1Н;0] = \ш е в | Э5[Г^0]

1 т

3« е (£>/Я)[71 Зё € В0(ГДЬ,7): (V Я е Н) За е Т V р е Т: (а << Р) * * (Е(р) е Н))&«т,«,\Уе) £ <о)| .

Теорема 5.1. ^(П ) = (ВИК - от) [Г;0] = {Ш - от) [Г0; в] .

Доказательство теоремы опирается на вытекающую из утверждений § 3 возможность компактификации множеств М [Ь] при погружении в Е[Ь] , Ь 'г. 0; при этом в качестве г е М(Ь) надлежит брать г.(Ь). Кроме того, следует использовать, наряду с Г, Г0 соответствующие "усеченные"

асимптотики, получаемые в виде семейств множеств вида Я(К,е)ПМ[с] или Й0(АГ,£)ПЛ/[с] соответственно при переборе всех К 6 /гш(Г), с > 0 ;

параметр с г 0 для каждой такой усеченной асимптотики фиксируется, что и позволяет использовать процедуру компактификации, аналогичную применяемой в [20].

§6. Векторные конечно-аддитивные меры. В целом ряде случаев, подобно [12], требуется использовать в качестве "материала" для построения обобщенных конструкций векторные к.-а. меры. Одна из таких конструкций рассматривается ниже. Через т*(Ь) < через ) обозначим

топологию (асШ)+ [Ь;»;] , индуцированную [18,С.1И] из (А(Ь),г,(Ь)) ( из (А(Ь),т0(Ь)) ). Фиксируем г 6 N ,

N

Два первых множества в (6.1) — суть декартовы степени ; элементы ЛГ(Ь) — топологии множества, являющегося степенью конуса (3.1) . Основное аппроксимативное свойство, используемое далее, состоит в том, что Угё Ы(Ь) :

Кроме того, полагаем Ус 6 [0,»[ :

130

Mr+[c] 4 e ВЦЕМ 12 Jffr i с) ,

/= I £ г

s;ic] 4 {0

i-1

Тогда, как легко проверить с использованием утверждений [23],

V с € [0,»[ Vr6 N(L) :

К № ~ с/

Представления (6.2) , (6.3), как и аналогичные утверждения §3, имеют смысл

аппроксимативных аналогов свойства Радона-НикоДима ( подробнее см. в [20,

23] ). Пусть V S[7V0] : г

B°r(T,E,L,v) = lg G Blr[E-,L]T | 3c G [0,oo[

Г

V t G T : 2 JV(0(0*7 * 4

§7. Релаксации допустимых множеств, 2. Мы следуем соглашениям §4 в отношении Г и У ; фиксируем ( вместо (4.1) ) (у,/) - 5 ;:Гх17 - В(Е,Ц . Рассмотрим релаксации следующего условия

' г \

2 I'W"

J-

G У .

yer

Именно, полагаем V К С /?г>»(Г) V е е ]0,оо[ :

Й(АГ,е) 4 6 | Эу 6 У V у € К :

Г

1(2 Я,,/;^) " У001 * 4

У' £

Тогда семейство Г = {Й(К,е):(К,е) € /¡ш(Г)х]0,«> [} 6 В[В0+Д£,Ь]] определяет асимптотику возмущений условия (7.1). Для рассмотрения иной асимптотики мы, по аналогии с § 4, зафиксируем множество Г0,!41 С Г такое, что V у е Г° V / £ 17 : е В0(Е,Ц). Пусть

V К е Ял(Г) V е С ]0,оо[ : й(К,е) =

4 т^Гг е КЛЕМ | Зу е У:

(v у

G КП

2 ß,jfid*

/«I £

= У(У))&

&(V у е АГ\Г^ : 1(2 ¡S^dv) - у(у)| £ £)}.

/-1 £

131

Тогда Г0 = : (К,е) S" Яга(Г)х]0.~[} 6 B[^[£,L]] Если

Н е B[Bpr[£,L]] иге N{L), то через (7-/ЛМ)[Н;т] обозначим пересечение всех множеств c/({Cf1*v)l6l^:(/'i)i6T7 е Н},т),Н е Н . Пусть, кроме того,

г

а* 4 € I (Z JV/^/W е П

М Е

Тоща справедлива следующая, проверяемая по аналогии с [23],

Теорема 7.1. Vie N(L): Я* = (ij-LIM) [Г;г] = (|/-1,Ш)[Г0;т].

В связи с обоснованием теоремы см. конструкции [12,23], где обсуждаются основные моменты идейного характера.

§8. Асимптотическая достижимость, 2. Мы следуем соглашениям § 5 в отношении (0,0) и фиксируем оператор <p:(add)* [L,ty] -* в ,

непрерывный в смысле топологий  r[r*(L)] , в. Через Ф обозначаем оператор

(/iWr - <P«fMe r^KrW - в. Если Н е B[Bgr[£,L]], то полагаем, что

(ВФ - As)[Н;0] = \<о е © | 3S[7>0]

т

з << е (£>//?)[Л 3g е В(ГД,М):

(V Н € Н) За е Г V р е Т: (а « Р) =>

=> (х(Р) е //)Ж(Т,«,Ф°£) & о»}. Тогда справедлива следующая

Теорема 8.1. <p[(Q' ) = (ВФ - Л^)[Г;(9] = (ВФ - Л.г)[Г0;<?] , Доказательство использует эффект компактификации на основе (б.З) в случае, когда т =  '[t*(L)] ; это обстоятельство позволяет привлечь (2.1) для некоторых "усеченных" асимптотик возмущенных условий ( здесь имеет место идейная аналогия с рассуждением по поводу доказательства теоремы 5.1. ).

§9. Нечувствительность достижимых множеств к возмущению части условий. Всюду в пределах данного параграфа полагаем ( для общей постановки § 7 ) выполненным следующее Условие 9.1.

г

2 //,<**: (Я, 617 6 Н с 1°-сЬ

зя е г Зс е [О,оо[

<=1 Е

Тогда, как легко проверить* эквивалентны условия:

1) Q* * 0; 2). 0 £ Г; 3) 0 g Г9. Пусть

V К S Fin(T) : (Fw)[r|/i] = {К е Ял(Г)|К С К } . Справедлива следующая

132

Теорема 9.1. Пусть множество H * , H ' С © есть в-окрестность т.е.

{G G в | у>'(£Г) С G С H *} * 0 .

Тогда ЭК, G Ял(Г) Эе. G ]0,»[ V К G (Ял)[Г|К.] V е G ]0,£,[:

с1{Ф\й{К,£)),в) С /Г.

Следствие. Пусть (©,0) метризуемо, а /?:©х© -* СО,'»[ есть def метрика ©, порождающая в ; если р G ]0,»[ и H — подмножество в , полагаем ifyHfi) = {a> G 0 | ЗА G H:p(m,h) < p} . Тогда

V /с G JO,oc[ 3K G FinÇT) 3e G ]0,«>[ V К G (Fin)[T\K ]

v £ 6 ]0Д : <P\Ù0(K,e)) С <P\Ù(K,e)) С U°fi(<Pl{Ù0(K,e)), к).

Теорема 9.1 устанавливается с использованием упоминаемой при обсуждении теоремы 8.1 схемы компактификации на основе (6.3) ; следствие теоремы 9.1 проверяется с учетом некоторых предельных представлений для достижимых множеств, подобных равенству теоремы 7.1. и устанавливаемых с использованием условия 9.1. Отметим, что утверждения, подобные

теореме 9.1 и ее следствию, имеют место для соответствующих "усеченных" асимптотик и в случае постановки § 5 ( речь идет об интегрально ограниченных допустимых множествах, упоминаемых при обсуждении схемы доказательства теоремы 5.1 ). Мы не рассматриваем их сейчас, поскольку эти утверждения в идейном отношении в значительной мере аналогичны положениям настоящего параграфа.

§10. Заключение. Естественные приложения обсуждаемых выше конструкций связаны, в частности, с проблемой исследования областей достижимости линейных управляемых систем [9,10]. В данном случае при соответствующей конкретизации общих положений § 5, 9 реализуется некоторая схема исследования асимптотик областей достижимости при возмущении тех или иных интегральных ограничений на выбор управляющей программы. Погружение соответствующей постановки задачи управления в общую схему реализуется посредством формулы Коши [24] и ее расширения [17]. Применительно к случаю постановки §5 такого рода конкретизацию можно построить по аналогии с [17]. Что же касается "управленческой" конкретизации § 9, то она может быть построена по аналогии с [12]. Другие приложения связаны с исследованием допустимых множеств для бесконечных, вообще говоря, систем интегральных неравенств ( см. в этом направлении [25] ). Отметим в заключение один частный случай теоремы 5.1 ( аналогичное суждение можно высказать и в отношении теоремы 8.1 ). Итак, предположим сейчас, что Г = hn , где л G N. В этом случае Y является замкнутым подмножеством R" ; тогда V е G ]0,»[:

У. 4 {('Лета 6 R" I ЭСЛвта е У V / G Тл : |У/ ~ zj\ s £} »

133

Ft 4 {/• e в ¿EX) I (Js,fA,)l6m e Y} = Q(U , e) .

E

Легко видеть, что семейство F = G ]0,oo[J g B(ß0(£,L)] эквивалентно

Г §4 : (ВЖ-ш)[F;0] - (BW-ai)ir;0] . Подобное построение можно провести и для Г0, но мы ограничемся сейчас только тем частным случаем,

когда V / G Г : Si 6 BQ(E,L) ; полагаем далее Г0 = Г. Тогда множество F 4 \f g В0(Е, L) j (fsjdvXert G У}

Е

есть наименьший по вложению элемент Г0. В силу этого обстоятельства

(BW-as) [Го;0] является подмножеством замыкания W*(F) в (0,0) , причем

И¿(F) С (BW-as) [Го;0] , т.к. стационарные направленности в F — суть

элементы множеств типа BQ(T,E,L,*l) параграфа 3. Из теоремы 5.1 вытекает,

что W*(F) С (BW-as)[F;0] С c/(H^(F),0) . Полученная "вилка" означает фактически своеобразную устойчивость при ослаблении У-ограничения в общем "неограниченном" случае рассматриваемой задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

2. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

3. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.' Мир, 1979. 399 с.

4. Красоаский H.H. , Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1985. 456 с.

5. Красоаский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. ML: Наука, 1985. 518 с.

6. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 287 с.

7. Даффин Р.Дж. Бесконечные программы // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. С. 263-279.

8. Голъштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 255 с.

9. Красоаский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

10. Пянасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986. 296 с.

11. Ченцов А.Г. Асимптотическая эффективность и расширения в классе конечно-аддитивных мер // Докл. АН СССР, 1990. Т. 314, № 5.

12. Chentsov A.G. On the construction of solution to nonreguiar problems of optimal control // Problems of Control and Information Theory. 1991. V. 20, № 2. P. 129-143.

13. Ченцов А.Г, К вопросу о расширении и устойчивости по результату в одном классе экстремальных задач // Кибернетика. 1990. № 4, С. 122, 123.

14. Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и расширения некоторых экстремальных задач с ограничениями асимптотического характера // Кибернетика. 1990. N? б. С.78-84.

15. Ченцов А.Г. К вопросу об асимптотической эквивалентности релаксаций экстремальных задач // Изв. вузов. Математика. 1991. № 6. С.53-60

16. Белов Е.Г., Ченцов А. Г. Расширение и устойчивость некоторых многокритериальных задач / / Кибернетика. 1990. Ne 5. С. 44-49.

134

17. Серов В.П., Ченцов А.Г. Об одной конструкции расширения задачи управления с интегральными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 4. С.607-618.

18. Энгелысинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

19. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 с.

20. Ченцов А. Г. Релаксации некоторых экстремальных задач с интегральными ограничениями // Вести. Челяб. ун-та. 1991. Вып. 1. С.37-47.

21. Ченцов А.Г. К вопросу об универсальной интегрируемости ограниченных функций // Математический сборник. 1986. Т.131, № 1. С.73-93.

22. Дан форд Дж. Т.,Шварц Н. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1964. 895 с.

23. Ченцов А. Г. Асимптотическая оптимшцив и конструкции компактификаций / УПИ им. С.М. Кирова. Свердловск, 1991. 146 с. Дел. в ВИНИТИ, № 401-В91.

24. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

331 с.

25. Ченцов А.Г. О конечно-аддитивном расширении в одном классе экстремальных задач / УПИ им. С.М. Кирова. Свердловск, 1988. 65 с. Деп. в ВИНИТИ, N8 1882 - В88.

Получено 15.09.92