О вариационных неравенствах с равномерно непрерывными операторами

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№ 145

УДК 517.946:988.8

О ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВАХ С РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

А.А. ФОНАРЕВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

В статье исследуется итерационный процесс для отыскания решения вариационного неравенства в банаховом пространстве с нелинейным равномерно непрерывным оператором и выпуклым функционалом при наличии аппроксимаций выпуклого множества.

Ключевые слова: вариационное неравенство, итерационный процесс, непрерывность, рефлексивность.

Введение

Вариационные неравенства вызывают активный интерес у специалистов как по дифференциальным уравнениям, так и у механиков, занимающихся проблемами теории пластичности, фильтрации, физиков, исследователей в области оптимального управления.

Теория вариационных неравенств исследует многомерные обобщения проблем минимизации и дает общую методику решения многих проблем, в которых присутствует выпуклость. Развитие теории вариационных неравенств и ее применение к задачам механики, физики и оптимального управления отражено, например, в [1-4].

В статье исследован итерационный процесс для отыскания решения вариационного неравенства в банаховом пространстве с нелинейным равномерно непрерывным оператором и выпуклым функционалом при наличии аппроксимаций выпуклого замкнутого множества. Получен результат (теорема 1) о сходимости последовательности итерационного процесса к решению вариационного неравенства без использования рефлексивности пространства, а также теоремы 2, 3 о компактности и слабой компактности последовательности итерационного процесса для вариационного неравенства в рефлексивном пространстве. В качестве приложения рассмотрена задача о сильном изгибе тонких пластин.

1. Построение итерационного процесса

Введем обозначения: ВН - вариационное неравенство; ИП - итерационный процесс.

Далее будем использовать терминологию функционального анализа из [5].

Пусть Е - вещественное банахово пространство с сопряженным пространством Е*; ||-|| -

норма в Е; (у, х) - значение линейного ограниченного функционала у е Е* на элементе х е Е,

К с Е - выпуклое замкнутое множество.

Предположим, что заданы такие функционалы g : К  №, р: К  № ( № - действительная

прямая) и оператор (нелинейный) Е : К  Е*, что:

1) для каждого хе К множество {г е К : g(г) < g(х)} ограниченное;

2) функционал g является ограниченным снизу на К, т.е. существует

¿0 ° 'т?хеК g(х) е №;

3) функционал р выпуклый на К, ограничен снизу на каждом ограниченном множестве из К и выполняется неравенство g(и) - g(у) > (Еу, и - у) + р(и) - р(у) для "и, V е К;

4) оператор F является равномерно непрерывным на ограниченных множествах из K.

В [6] имеется анализ условий 1) - 4).

Решением ВН

называется такой элемент u0 e K, что (Fu0, u0 - v) + j(u0) - j(v) < 0 для всех v e K.

Предположим, что задана такая последовательность ограниченных выпуклых множеств K. с K (i > 1), что K. с Ki+1 для каждого i > 1 и для любого элемента z e K существует последовательность z{ e Ki (i > 1), сходящаяся в E к z. Множества Ki (i > 1) являются аппроксимациями множества K [3]. Далее, будем использовать последовательность {tn} с (0,1], сходящуюся к нулю, и числа q e (0,1), q0 e (0, q).

Рассмотрим последовательность {u. j ИП

u!+1 _ u - tt

с произвольным начальным элементом u1 e K1 , где при

bi ° suPweKi+1 КFu, u - w) + j(ui) - j(w)) > 0 элемент v. e K,.+J такой, что [Fut,ut -vt) + j(ui)-j(v.) > qbt, tt _ ,

nt _ min{n > 1'\F(ui -Tn(ui -vi)),ui - v) + j(u)- j(vi) > q0b.}.

Если b < 0, то tt _ 0 и v. _ 0.

В [6] и [7] при построении ИП использовались такие же n. (i > 1), как здесь.

2. Исследование итерационного процесса

Лемма 1. Для последовательности {ut} ИП

последовательность {ut ограниченная; 3) limsup.^ bt < 0 (limsup - верхний предел).

Лемма 1 доказывается так же, как лемма 1 в [6]. С использованием леммы 1 доказываются следующие следствие [6] и лемма.

Следствие 1. Последовательность {ut j ИП (2) минимизирует функционал g на K, т. е.

g(ui)  d0 (i ¥).

Лемма 2. Если функционал j непрерывный, то для последовательности {u. jИП (2) имеем неравенство limsup;¥ ((Fui, ut - w) + j(ui) - j(w)) < 0 для каждого w e K.

С использованием лемм 1, 2 доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что: 1) для каждого r > 0 существует такая функция gr (t), заданная для t e[0,2r], что уг (0) _ 0, yr (t) > 0 для t e (0,2r], из gr (t)  0 следует, что t  0, и l^Fu - Fv, u - v) >gr (| |u - v||) для всех u, v e K с ||u||, ||v|| < r; 2) функционал j непрерывный. Тогда последовательности {ut} ИП (2) сходится к решению (единственному) ВН (1).

Доказательство. В силу теоремы 1 в [6] ВН (1) имеет решение (единственное) u0 e K.

По лемме 1 для u0 и последовательности {ut j ИП (2) существует такое число r > 0, что lluJI < r и lluJI < r для всех i > 1.

Следовательно, для каждого i > 1 имеем неравенство

(Fut -FUo,иг -Uo) > g (I\иг -uo||), что влечет неравенство (Fut,ui -u0) + j(ui)- j(u0) > gr (||иг. -u01|) для всех i > 1.

С использованием леммы 2 имеем равенство Нтг¥ gr (|Ц -u0||) = 0, из которого вытекает

заключение теоремы. Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 и следствия 1 вытекает следующее следствие.

Следствие 2. Если выполняются условия теоремы 1 и функционал g полунепрерывен снизу на K, т.е. из сходимости в E последовательности {zn} с K к элементу z0 следует, что

выполняется lim infn¥ g(zn) > g(z0) (lim inf - нижний предел), то последовательность {u } ИП (2) минимизирует функционал g на K и g(u0) = d0, где u0 - решение ВН (1).

С использованием лемм 1, 2 и слабой компактности последовательности {u} ИП (2), вытекающей из леммы 1 при наличии рефлексивности пространства E, доказываются две теоремы. Слабая компактность последовательности {zn} с E подразумевает возможность выделения из любой подпоследовательности последовательности {zn}n=1 слабо фундаментальной подпоследовательности. Слабая сходимость последовательности {yn} с E* к y0 е E* означает выполнение равенства limn¥ (yn, x) = (y0, x) для каждого элемента x е E.

Теорема 2. Предположим, что: 1) пространство E рефлексивное и оператор F удовлетворяет условию (S)+, т. е. для произвольной последовательности {xn} с K, слабо сходящейся к элементу х0, при выполнении неравенства limsupn¥ (Fxn,xn -x0) < 0, имеем сходимость последовательности {xn} в E к x0; 2) функционал j непрерывный. Тогда последовательность

{ui}i=1 ИП (2) компактна, любая сходящаяся подпоследовательность последовательности {ui}i=1 сходится к решению уравнения ВН (1) и

infzep|k - 4 0

где P - множество решений ВН (1).

Перед доказательством теоремы 2 отметим, что из выпуклости и непрерывности функционала j вытекает, что функционал j является слабо полунепрерывным снизу на K [8], т. е.

при наличии слабой сходимости последовательности { zn}n=1 с K к элементу z0 выполняется

неравенство liming j(zn) > j(z0).

Доказательство. В силу рефлексивности пространства E и ограниченности последовательности {ui}i=1 ИП (2) из произвольной подпоследовательности последовательности {ui}i=1

выделим подпоследовательность {ui } , слабо сходящуюся к элементу u0 е K.

I и J n=1

По лемме 2 для любого элемента u е K имеем неравенство

lim suPn¥

Отсюда, а также из limsupn¥(^Fut , ut - u^ + j(ui ) - j(u))>

>lim suPn¥ (FuK, u. -u) +lim infn¥ j(uK) - j(u) >lim suPn¥ (Fuln, un -u) + j(u0) - j(u),

имеем неравенство Нтвирп¥^Еи1 , и1 — и^ < р(и) — р(и0) для каждого и е К. Следовательно, при и = и0 имеем неравенство

Нт 8ир„^Еип, ип — и^ < 0,

из которого вытекает сходимость последовательности {иг. } в Е к и0. Переходя в неравенст-

I ^ п=1

ве (4) к пределу, получим неравенство(Еи0, и0 — и) + р(и0) — р(и) < 0 для каждого и е К.

Если (3) не выполняется, то имеется подпоследовательность последовательности {иг} , из

которой нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Предположим, что: 1) пространство Е рефлексивное и оператор Е псевдомо-

нотонный, т. е. для произвольной последовательности {хп} с К, слабо сходящейся к элементу х0, при выполнении неравенства Нтвирп¥ (Ехп,хп — х0) < 0 имеем равенство Нтп¥( Ехп, хп — х0) = 0 и слабую сходимость последовательности {Ехп }П=1 к Ех0; 2) функционал р непрерывный. Тогда последовательность {иг.} ИП (2) слабо компактна и любая ее слабо сходящаяся подпоследовательность слабо сходится к решению ВН (1).

Доказательство. Выделим из произвольной подпоследовательности последовательности

{и.}.=1 подпоследовательность {и. } ^, слабо сходящуюся к элементу и0 е К.

Для последовательности {и. } имеем неравенство (5) (см. доказательство теоремы 2), с

I ^ п=1

использованием которого в силу псевдомотонности оператора Е имеем неравенство р(и) — р(и0) > (Еи0, и0 — и) для каждого и е К. Теорема 3 доказана.

Приведенные результаты частично и без доказательств анонсированы в [7]. Теорема 2, являющаяся теоремой 2 в [7], и теорема 3 не имеют аналогов в [6].

Замечание 1. Если оператор Е потенциальный с потенциалом / и g = / + р, то данные результаты остаются справедливыми при следующем выборе чисел ti (г > 1) в ИП (2):

при Ъ. > 0 возьмем ^ = 8иРТе(0,1] ((Е(иг — й(Щ — У ^ и. — V,) + р(и. ) — р(У ) > ^0Ь., " е (0,Т]) ;

при Ъг < 0 возьмем ti = 0 и у = 0.

Выбор чисел ti (г > 1) в замечании 1 такой же, как в теореме 2 в [6].

При исследовании ИП (2) использованы схемы исследования ВН в [9] и нелинейных уравнений с потенциальными равномерно непрерывными операторами в [10-12].

3. Задача о сильном изгибе тонких пластин

Пусть О - ограниченная область на плоскости №2, х = (х1, х2) еО.

Задача о сильном изгибе тонких пластин сводят к отысканию решений граничной задачи

— , 1

—А^

п п

2 ,

— А у

Е

, -у

= у( х)1

ао ап

= 0,

ао

где н’(х) - функция прогиба пластины; у(х) - функция напряжений; А - оператор Лапласа,

А Э2 Э2 т, , Э2w д2у Э2w д2у 0 Э2w Э2у Э

т. е. А = —у + —у, Ь(м>, V) = + _ _ _ , -производная по направле-

Эх1 Эх2 Эх1 Эх1 Эх2 Эх2 Эх1Эх2 Эх1Эх2 Эп

нию нормали к границе ЭО области О; И, Е, Б - положительные постоянные (И - толщина

пластины, Б - жесткость на изгиб, Е - модуль упругости); ^(х) - заданная функция (нагрузка

на пластину).

Предположим, что функция ^(х) є Ь1 (О), где Ь1 (О) - пространство из измеримых по Лебегу функций и( х), определенных на О и суммируемых со степенью 1, с нормой

\\и\\ = и

II 11!1(П) J I

а

О

Пусть Ж ^(а) - пространство С.Л.Соболева функций, являющееся замыканием множества всех бесконечно дифференцируемых функций с носителями в а в пространстве С.Л.Соболева Ж ^(а), являющемся пополнением совокупности всех бесконечно дифференцируемых функций и(х) (хе аиЭа) по норме

/ \ 1/2

II (Б“и( х))2 йх

Щ\ 2 - 1  ' ' ' ”л2

II \У2(П) _

о а<2

Ба =—----------, Бки ={Баи : \а\ = к}.

„“2 ’ І І I J

\\Щ о 2 II \У2

V о

Здесь а = (а,а2) - вектор с целыми неотрицательными компонентами, а| = а1 + а2,

_Э^'

Эха1 Эх2“2

О

Пространство Ж 2 (а) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

а

О

для функций и(х), у(х) е Ж 2(а) и нормой

V а )

эквивалентной исходной норме (9) этого пространства.

О

Далее в пространстве Ж 2(а) используются скалярное произведение (10) и норма (11). Обобщенным решением граничной задачи (6)-(8) называется вектор-функция

ОО

и

ОО

удовлетворяющая при всех %(х) = (ц(х),у(х))е Ж2(а)хЖ2(а) равенству || — А^(х)А^(х) - Ь(н!(х), у(х))^(х) + — Ау(х)А у(х) + Ь(н!(х), ^(х))у (х) 1 q(х)^(х)ёх.

а V к Е ) к а

О О О

Введем оператор [13] В : Ж2(а)хЖ2(а)  Ж2(а), ставящий в соответствие двум произ-

ОО

вольным элементам у(х), w(х) еЖ2 (а) элемент В (у, w) еЖ 2(а), для которого

А2В(у, w) = ¿(у, ^). С использованием оператора В имеем эквивалентную задаче (6) - (8) систему уравнений [13]

м = - Ив

Е

V = -—В

где дє Ж2(0) - такая функция, что |Ад(х)Ау(х)йХ = |д(х)у(х)йХ для "ує Ж2(0).

п п

О

Следовательно, задача (6)-(8) эквивалентна проблеме отыскания решения м є Ж 2(П) урав

О

2

нения (12). В этом случае Vє Ж2(П) определяется по формуле (13) и и = (м,V) является обобщенным решением задачи (6) - (8).

ОО

Определим оператор Г = I - А : Ж 2(П)  Ж 2(П), где I - тождественный оператор в

О И 1 О

Ж2(П), А(м) = -—В(В(м,м),м)+ —д для мєЖ2(П).

Оператор Г является (см. леммы 2.2.5, 2.2.6 в [13]) равномерно непрерывным на ограни-

ОО

ченных множествах из Ж 2 (П) и потенциальным с потенциалом / : Ж2 (П)  М,

1 И 1 О

/(м) = м) О 2 + — (B(B(W, w), w), м) О 2 - — (g, м) О 2 ("м єЖ 2(П)).

2 ж 2

Из неравенства (В(В(м,м),м),м)О > 0, справедливого для "м(х)є Ж2(П) [13], вытека-

Ж 2

ет, что /(м) +¥ при |м||,ж2(П) ¥.

О

Пусть {Иі} - такая последовательность подпространств пространства Ж 2(П), что для

О

каждого элемента и є Ж 2 (П) существует последовательность иі є Иі (і > 1), сходящаяся к и в

О ¥

Ж 2(0), а {гі} с М - такая последовательность положительных чисел, что гі+1 > гі для "і > 1 и г.  ¥ при і  ¥.

Введем множества Кі = {иє Иі : \и\° 2

I ^ 'Ж 2(П) J

По лемме 2.2.5 в [13] оператор А является вполне непрерывным в следующем смысле: для

¥ О О

любой последовательности {ии} с Ж 2(0), слабо сходящейся к элементу и є Ж 2(0), последо-

2

О

вательность {Аип} сходится (по норме) к элементу Аи пространства Ж2(0).

Следовательно, оператор Е удовлетворяет условию (8)+ и в силу замечания 1 и теоремы 2 при наличии (14) справедливо следующее утверждение.

О

Утверждение 1. Пусть Е = Ж 2

1г = ^иРте

при Ь > 0 и ti = 0 (и у = 0) при Ь < 0. Тогда последовательность {иг} ИП (2) компактна в

О

Ж 2(0), любая сходящаяся подпоследовательность последовательности {иг} сходится к ре-

шению уравнения (12) и тГ Р ||иг -г\\° 2(П)  0 (г  ¥), где Р - множество решений (12).

II 1Ж 2

Из утверждения 1 (а также из теоремы 2 в [6]) вытекает, что граничная задача (6) - (8) имеет обобщенное решение.

Заключение

Автором предлагается итерационный процесс для отыскания решения вариационного неравенства в банаховом пространстве с нелинейным оператором и выпуклым функционалом. Предполагается, что нелинейный оператор является равномерно непрерывным на ограниченных множествах банахова пространства, а также наличие аппроксимаций выпуклого множества в рассматриваемой задаче. Вариационное неравенство исследуется в нерефлексивном и рефлексивном пространствах. В качестве приложения абстрактных результатов в банаховых пространствах рассматривается задача о сильном изгибе тонких пластин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир,

1983.

2. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980.

3. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.:

Мир, 1979.

4. Бобылев Н.Ф., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. - М.: Наука, 1998.

5. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.

6. Фонарев А.А. О разрешимости некоторых вариационных неравенств в банаховом пространстве // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики / Сб. научных трудов МФТИ. - М.: 2008.

7. Фонарев А.А. О решении некоторых вариационных неравенств // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Т. 1. - М.: МФТИ, 2008.

8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.

9. Фонарев А.А. Об одном новом методе решения вариационных неравенств // Известия вузов. Математика, 1988, № 11 (318).

10. Фонарев А.А. О разрешимости уравнений с потенциальными операторами // «Сибирский математический журнал» СО АН СССР. - Новосибирск, 1986.

11. Фонарев А.А. О решении некоторых задач минимизации // «Сибирский математический журнал» СО АН СССР. - Новосибирск, 1988.

12. Фонарев А.А. Об одном методе решения уравнений с потенциальными операторами // Некоторые проблемы математики в задачах физики, механики, экономики: Межведомственный сборник. - М.: МФТИ, 1990.

13. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. - М.: Мир, 1983.

ABOUT VARIATIONAL INEQUALITIES WITH UNIFORMLY CONTINUOUS OPERATORS

Fonarev A.A.

The author is offered an iterative process for search of the decision of a variation inequality in Banach space with the nonlinear operator and convex functional. It is supposed, that the nonlinear operator is uniformly continuous on the bounded sets of Banach space. Presence of approximations of convex set in a considered variation problem also is supposed. The variation inequality in nonreflecive and reflecive spaces is considered. As the appendix of abstract results in Banach spaces the problem about a strong bend of thin plates is considered.

Сведения об авторе

Фонарев Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, автор более 100 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа.