Численное исследование системы уравнений Карлемана

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ

СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 517

О.А. Васильева

ФГБОУВПО «МГСУ»

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрена одномерная модельная система кинетической теории газов, описываемая системой уравнений Карлемана. Проведено для различных начальных условий численное исследование задачи Коши для кинетической системы уравнений Карлемана. Приведены и обсуждаются полученные численные результаты.

Ключевые слова: кинетическая теория газов, модель Карлемана, конечно-разностная схема, квазилинейное гиперболическое уравнение, случайные процессы, стабилизация решения.

В работе проводится численное исследование решений задачи Коши для системы уравнений Карлемана. Система Карлемана является одной из модельных систем кинетической теории газов, состоящих из одноатомных молекул, имеющих конечное число скоростей, в общем случае описываемых дискретным кинетическим уравнением Больцмана [1—3]. В этом случае одномерный газ состоит из двух типов частиц, имеющих равные по модулю и противоположно направленные скорости. Исследуемая система является квазилинейной системой гиперболических уравнений. В общем случае не существует аналитического решения рассматриваемой системы [4], это объясняет важность численного исследования системы уравнений Карлемана.

Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений Карлемана [5—15]

где е >> 1 — постоянный коэффициент.

Рассмотрим случай периодических начальных условий. В начальный момент времени и0(х) является невозмущенным и не отклоняется от состояния равновесия, н°(х) = 1, ^°(х) в начальный момент времени имеет гармоническое возмущение от положения равновесия ^°(х) = 1 + 0,Шп(2лх). Для численного исследования системы (1), (2) применяется явная конечно-разностная схема первого порядка точности с периодическими граничными условиями.

На рис. 1—4 приведены результаты численного исследования решения задачи х), х) для значений времени tl = 0, t = 0,0125, tъ = 0,1, t = 0,75

КАРЛЕМАНА

&

с начальными условиями

u |i=0 = u0 (x), w |i=0 = w0 (x),

соответственно. В начальный период времени 0 < t < ? происходит быстрое перераспределение частиц между группами, «перекачка энергии» возмущения (отклонения от состояния равновесия) х) и возникает отклонение от состояния равновесия ы(^ х). При t > ^ ы(^ х) совпадает по форме с х), между ы(^ х) и х) имеется фазовый сдвиг ф(е) (рис. 4). Наличие фазового сдвига (различия между ы(^ х) и м>(^, х)), обусловленного различием скоростей у разных групп частиц, приводит к эффекту диссипации возмущений и к стремлению к состоянию равновесия, существование которого доказано в [6]. Величина фазового сдвига ф(е) уменьшается при уменьшении параметра задачи е (ф(е) ^-0 при е ^-0).

Рис. 1. Начальные условия задачи

Рис. 2. Профили решения задачи х), х) для значения времени t = 0,0125

Рис. 3. Профили решения задачи х), х) для значения времени t

Рис. 4. Профили решения задачи u(t, x), w(t, x) для значения времени t = 0,75

На рис. 5 представлено изменение максимумов модулей отклонений функций u(t, x), w(t, x) от состояния равновесия Du(t) = max|u(t, x)-1|,

0<x<11 1

Dw(t) = max\w(t, x) -l| в зависимости от времени t. При 0 < t < t* происходит

0<x<11 1

быстрое увеличение максимума отклонения Du(t) и такое же быстрое уменьшение максимума отклонения Dw(t) вплоть до их совпадения. При t > t максимумы модуля отклонения от состояния равновесия совпадают для u(t, x), w(t, x) и стремятся к нулю при t ^ <х.

Рис. 5. Зависимость от времени t максимумов модулей отклонений решения от состояния равновесия Du

На графике рис. 6 приведены зависимости от времени t максимумов модулей отклонений от положения равновесия для различных значений параметра е. Кривые u1 и w1 соответствуют значению е = 0,1, кривые u2 и w2 — значению е = 0,05, кривые u3 и w3 — значению е = 0,01. На рисунке видно, что для любого фиксированного е максимумы модулей отклонений Du(t) и Dw(t) симметричны относительно прямой параллельной оси Ot, y = max |u (t (e), x) - 1.

Время «перекачки энергии» (время выхода на равные максимумы модулей отклонения функций от положения равновесия) уменьшается с уменьшением параметра задачи е. Зависимость времени t* (е) приведена на рис. 7, при рассмотренных значениях параметра е зависимость является линейной.

ВЕСТНИК

МГСУ-

6/2015

Рис. 6. Зависимости максимумов модулей отклонений для различных е

На рис. 8 для различных значений параметра задачи е приведены зависимости от времени максимума модуля отклонения от состояния равновесия Dw(t). Кривые Dw 1, Dw2, Dw3 соответствуют следующим значениям параметра е: 0,1; 0,05; 0,01.

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 О.ОЧ 0.03 0.02 0.01 0

Рис. 8. Зависимости от времени Dw(t) для различных значений е

В [6] доказано, что решение задачи (1), (2) стремится к состоянию равновесия при ^ ^ ю. При ^ > ¿*(е) максимум модуля отклонения решения задачи от состояния равновесия монотонно стремится к нулю (см. рис. 8). При уменьшении параметра задачи е время выхода на состояние близкое к состоянию равновесия (максимумы отклонений равны 5, |Du(t)| = 5, |Dw(t)| = 5) увеличивается.

На рис. 9 кривые И, t2, t3, t4 соответствуют следующим значениям 5: 0,01; 0,005; 0,0025; 0,001 соответственно. Значения отклонения от состояния равновесия составляют 10, 5, 2,5 и 1 % от начального возмущения. Полученные зависимости позволят аналогично [16] проводить количественные сравнения результатов.

° 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Рис. 9. Зависимость времени «стабилизации» решения

Рассмотрим задачу Коши (1), (2) для случая непериодических начальных условий [17]. Начальное условие для функции u(t, x) имеет прежний вид u°(x) = 1. Начальное условие для w(t, x) в начальный момент времени отклоняется от состояния равновесия только при 0 < x < 1. Возмущение от состояния равновесия совпадает с возмущением для периодического случая w°(x) = 1 + 0,1sin(2nx).

Как и в случае периодических начальных условий вначале происходит быстрая «перекачка энергии» — формирование возмущения для u(t, x). Время t*(s) для периодического и непериодического случаев одинаковое. При t > t(s) происходит выход на состояние равновесия. На рис. 10 для различных значений параметра задачи s приведены зависимости от времени максимума модуля отклонения от состояния равновесия Dwn(t) = max|w(t, x) - 1|. Кривые Dwn 1, Dwn2, Dwn3 соответствуют следующим значениям параметра s: 0,1; 0,05; 0,01. Скорость уменьшения Dwn(t) меньше, чем скорость уменьшения Dw(t) для периодических начальных условий (см. рис. 8). Подробное исследование стремления решения для случая непериодических начальных условий к состоянию равновесия будет проведено в следующей статье.

Рис. 10. Зависимости от времени Dwn(t) для различных значений е

Рассмотрим задачу Коши (1), (2) для случая начальных условий, являющихся стационарными нормальными случайными процессами. Математические ожидания и0(х) м?°(х) равны 1, корреляционные функции Л(т) = 0,01е~|10х|. На рис. 11 приведены результаты численного исследования решения задачи и(^ х), х). Кривые №0, Ж?0 соответствуют значению t = 0, кривые №1, — значению t = 0,14. Кривые Us1, имеют одинаковую форму и фазовый сдвиг, что свидетельствует о том, что процесс «обмена энергией» завершен. На рис. 12 приведена зависимость математического ожидания модуля отклонения М1(0 = х) - 1|. Вычисление математического ожидания про-

водилось методом, описанным в [18—20].

Рис. 11. Профили решения задачи и

Рис. 12. Математическое ожидание модуля отклонения от t

Проведено численное исследование задачи Коши для системы уравнений Карлемана с различными начальными условиями. Приведены и обсуждаются результаты численного исследования зависимости величины времени «обмена энергией» и зависимости времени стабилизации решения для различных значений параметра модели.

Автор выражает признательность Е.В. Радкевичу за постановку задачи, полезные обсуждения и замечания.

Библиографический список

1. Больцман Л. Избранные труды. М. : Наука, 1984. 590 с.

2. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 3 (159). С. 3—51.

3. Радкевич Е.В. О дискретных кинетических уравнениях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447. № 4. С. 369—373.

4. Euler N., Steeb W.-H. Painleve test and discrete Boltzmann equations // Aust. J. Phys. 1989. Vol. 42. Pp. 1—10.

5. Radkevich E.V The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 181. No. 2. Pp. 232— 280.

6. Radkevich E.V., Vasil'eva O.A., Dukhnovskii S.A. Local equilibrium of the Carleman equation // Journal of Mathematical Science. 2015. Vol. 207. No. 2. Pp. 296—323.

7. Радкевич Е.В. О поведении на больших временах решений задачи Коши для двумерного дискретного кинетического уравнения // Современная математика. Фундаментальные направления. 2013. Т. 47. С. 108—139.

8. Аджиев С.З., Амосов С.А., Веденяпин В.В. Одномерные дискретные модели кинетических уравнений для смесей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 3. С. 553—558.

9. Ильин О.В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2076—2087.

10. Aristov V., Ilyin O. Kinetic model of the spatio-temporal turbulence // Phys. Let. A. 2010. Vol. 374. No. 43. Pp. 4381—4384.

11. Illner R., Reed M.C., Neunzert H. The decay of solutions of the Carleman model // Math. Methods Appl. Sci. 1981. Vol. 3 (1). Pp. 121—127.

12. Illner R., ReedM.C. Decay the equilibrium for the Carleman model in a box // SIAM J. Appl. Math. 1984. Vol. 44. No. 6. Pp. 1067—1075.

13. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows. Kluwer Academic Publishing, 2001. 312 p.

14. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск : Изд. Т. Рожковская, 2007. 300 с.

15. Ильин О.В. Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла // Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 170. № 3. С. 481—488.

16. Фриштер Л.Ю. Анализ напряженно-деформированного состояния в вершине прямоугольного клина // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 57—62.

17. Radkevich E.V. The existence of global solutions to the Cauchy problem for discrete kinetic equations (non-periodic case) // Journal of Mathematical Science. 2012. Vol. 184. No. 4. Pp. 524—556.

18. Васильева О.А. Исследование некоторых вероятностных характеристик решения задачи Коши для уравнения Бюргерса-Хаксли // Труды МАИ. 2014. Вып. 78. Режим доступа: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=53684.

19. Васильева О.А. Программный модуль CORFUN 1.2.-2 // Математика. Компьютер. Образование : тр. XVIII Междунар. конф. 2011. Вып. 18. С. 193.

20. Васильева О.А. Исследование вероятностных характеристик решения уравнения Бюргерса-Хаксли // Математика. Компьютер. Образование : тр. XXII Междунар. конф. 2015. Вып. 22. С. 130.

Поступила в редакцию в мае 2015 г.

Об авторе: Васильева Ольга Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, vasiljeva.ovas@yandex.ru.

Для цитирования: Васильева О.А. Численное исследование системы уравнений Карлемана // Вестник МГСУ 2015. № 6. С. 7—15.

O.A. Vasil'eva

NUMERAL INVESTIGATION OF THE CARLEMAN SYSTEM

In the article the Cauchy problem of the Carleman equation is considered. The Carleman system of equations is a model problem of the kinetic theory of gases. It is a discrete kinetic model of one-dimensional gas consisting of identical monatomic molecules. The molecules can have one of two speeds, which have equal values and opposite directions. This system of the equations is quasi-linear hyperbolic system of partial differential equations. There is no analytic solution for this problem in general case. So, the numerical investigation of the Cauchy problem of the Carleman system solution is very important.

The paper presents and discusses the results of the numerical investigation of the Cauchy problem for the studied system solution with periodic initial conditions. The dependence of the stabilization time of the solution and the time dependence of energy exchange from small parameter are obtained.

The second point of the paper is numerical investigation of the solution of the Cauchy problem with non-periodic initial conditions. The solution stabilization to the equilibrium state is obtained. The solution stabilization time is compared with stabilization time in periodic case.

The final point of the paper is numerical investigation of the Cauchy problem with stationary normal processes as initial conditions. The solution to this problem is two stationary stochastic processes for any fixed value of time variable. As a rule, the practical interest is not a stochastic solution but its statistical characteristics. The stochastic solution realization is presented and discussed. The dependence of the mathematical expectation of the solution deviation modulus from equilibrium state is obtained. It demonstrates the process of the solution stabilization.

Key words: kinetic gas theory, Carleman model, finite-difference method, solution quasi-linear hyperbolic equation, stochastic processes, solution stabilization.

References

1. Bol'tsman L. Izbrannye trudy [Selected Works]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 590 p.

2. Godunov S.K., Sultangazin U.M. O diskretnykh modelyakh kineticheskogo uravneniya Bol'tsmana [On Discrete Models of Boltzmann Kinetic Equation]. Uspekhi Matematicheski-hk Nauk [The Success of Mathematical Sciences]. 1971, vol. 26, no. 3

3. Radkevich E.V. O diskretnykh kineticheskikh uravneniyakh [On Discrete Kinetic Equations]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2012, vol. 447, no. 4, pp. 369—373.

4. Euler N., Steeb W.-H. Painleve Test and Discrete Boltzmann Equations. Aust. J. Phys. 1989, vol. 42, pp. 1—10. DOI: http://dx.doi.org/10.1071/PH890001.

5. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations. Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 181, no. 2, pp. 232— 280. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0683-9.

6. Radkevich E.V., Vasil'eva O.A., Dukhnovskii S.A. Local Equilibrium of the Carleman Equation. Journal of Mathematical Science. 2015, vol. 207, no. 2, pp. 296—323.

7. Radkevich E.V. O povedenii na bol'shikh vremenakh resheniy zadachi Koshi dlya dvumernogo diskretnogo kineticheskogo uravneniya [The Behavior of Cauchy Problem Solutions for Two-Dimensional Discrete Kinetic Equation at Large Times]. Sovremennaya matema-tika. Fundamental'nye napravleniya [Contemporary Mathematics. Fundamental Directions]. 2013, vol. 47, pp. 108—139.

8. Adzhiev S.Z., Amosov S.A., Vedenyapin V.V. Odnomernye diskretnye modeli ki-neticheskikh uravneniy dlya smesey [One Dimensional Discrete Models of Kinetic Equations for Mixtures]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2004, vol. 44, no. 3, pp. 553—558.

9. Il'in O.V. Izuchenie sushchestvovaniya resheniy i ustoychivosti kineticheskoy sistemy Karlemana [Investigating the Existence of Solutions and Stability of Carleman Kinetic System]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2007, vol. 47, no. 12, pp. 2076—2087.

10. Aristov V., Ilyin O. Kinetic Model of the Spatio-Temporal Turbulence. Phys. Let. A. 2010, vol. 374, no. 43, pp. 4381—4384. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2010.08.069.

11. Illner R., Reed M.C., Neunzert H. The Decay of Solutions of the Carleman Model. Math. Methods Appl. Sci. 1981, vol. 3 (1), pp. 121—127. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/ mma.1670030110.

12. Illner R., Reed M.C. Decay the Equilibrium for the Carleman Model in a Box. SIAM J. Appl. Math. 1984, vol. 44, no. 6, pp. 1067—1075. DOI: http://dx.doi.org/10.1137/0144076.

13. Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Non-equilibrium Flows. Kluwer Academic Publishing, 2001, 312 p.

14. Radkevich E.V. Matematicheskie voprosy neravnovesnykh protsessov [Mathematical Problems of Nonequilibrium Processes]. Novosibirsk, T. Rozhkovskaya Publ., 2007, 300 p.

15. Il'in O.V. Statsionarnye resheniya kineticheskoy modeli Broduella [Stationary Solutions of the Kinetic Broadwell Model]. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and Mathematical Physics]. 2012, vol. 170, no. 3, pp. 481—488.

16. Frishter L.Yu. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya v vershine pryamougol'nogo klina [Analysis of Stress-strain State on Top of a Rectangular Wedge]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 57—62.

17. Radkevich E.V. The Existence of Global Solutions to the Cauchy Problem for Discrete Kinetic Equations (Non-Periodic Case). Journal of Mathematical Science. 2012, vol. 184, no. 4, pp. 524—556. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10958-012-0879-z.

18. Vasil'eva O.A. Issledovanie nekotorykh veroyatnostnykh kharakteristik resheniya zadachi Koshi dlya uravneniya Byurgersa-Khaksli [Investigation of Some Statistical Characteristics of the Cauchy Problem for Burgers-Huxley Equation Solution]. Trudy MAI [Works of Moscow Aviation Institute]. 2014, no. 78. Available at: http://www.mai.ru/science/trudy/pub-lished.php?ID=53684.

19. Vasil'eva O.A. Programmnyy modul' CORFUN 1.2.-2 [The Program Unit CORFUN 1.2.-2]. Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie : trudy XVIII Mezhdunarodnoy konferentsii [Mathematics. Computer. Education : Works of the 18th International Conference]. 2011, no. 18, p. 193.

20. Vasil'eva O.A. Issledovanie veroyatnostnykh kharakteristik resheniya uravneniya Byurgersa-Khaksli [Investigation of Statistical Characteristics of the Burgers-Huxley Equation Solution]. Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie : trudy XXII Mezhdunarodnoy konferentsii [Mathematics. Computer. Education : Works of the 22nd International Conference]. 2015, no. 22, p. 130.

About the author: Vasil'eva Ol'ga Aleksandrovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; vasiljeva.ovas@yandex.ru.

For citation: Vasil'eva O.A. Chislennoe issledovanie sistemy uravneniy Karlemana [Numerical Investigation of the Carleman System]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 7—15.