Конечно-элементная модель пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля в 2-х частях. Часть 1

УДК 539.4

Н. Н. Панасенко, В. П. Юзиков, А. В. Синельщиков

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ТОНКОСТЕННЫ1Х СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫ1ТОГО ПРОФИЛЯ В 2-Х ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1

Расчетный анализ конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, до настоящего времени остается предметом исследований. Приведены теоретические основы построения математической модели тонкостенного стержня открытого профиля, в которой учитывается влияние сдвигов и перемещений точек и углов закручивания поперечных сечений на величину и характер распределения внутренних усилий. Получены математические соотношения для построения матрицы жесткости тонкостенного стержня открытого профиля, которая может быть использована при статическом и динамическом расчетном анализе конструкций методом конечных элементов.

Ключевые слова: тонкостенный стержень открытого профиля, сдвиг и угол закручивания поперечных сечений, матрица жесткости, метод конечных элементов.

Введение

К технической инфраструктуре морских и речных портов предъявляются повышенные требования надежности и работоспособности, обусловленные необходимостью бесперебойной и круглосуточной работы. Большинство сооружений, эксплуатирующихся в портах (быстровоз-водимые склады закрытого хранения, грузоподъемные краны, эстакады и т. д.), представляют собой преимущественно стержневые конструкции, несущие элементы которых являются стержнями открытого или закрытого профиля.

В создании технической теории тонкостенных стержней открытого профиля выдающаяся роль принадлежит В. З. Власову [1]. Разработанная им общая теория широко используется инженерами при проектировании строительных, машиностроительных и других конструкций. За последние годы теория расчета тонкостенных стержней непрерывно развивалась, уточнялись области её применения. Исследования последних лет напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней открытого профиля развиваются, как правило, в двух направлениях. Первое посвящено уточнённым теориям, в которых делается различие между координатами начального и конечного состояния тонкостенного стержня и учитывается влияние сдвигов и перемещений точек и углов закручивания поперечных сечений на величину и характер распределения внутренних усилий.

Второе направление представлено приложением теории тонкостенных стержней открытого профиля к методам расчетного анализа пространственных конструкций из тонкостенных стержней в области как статического, так и динамического нагружения на основе достижений метода конечных элементов (МКЭ) [2].

Математическая модель тонкостенного стержня открытого профиля

Исходя из предпосылок, представленных в [3], рассмотрим наиболее характерные стороны этой теории. В главах 1-5 изложена теория тонкостенных стержней открытого (гл. 3) и замкнутого профилей (гл. 4). Особенностью и новизной полученных решений является учет влияния сдвигов срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля на его напряженно-деформированное состояние (рис. 1).

Следуя [4], учтем влияние деформации сдвига, включив в выражение для энергии деформации тонкостенного стержня открытого профиля ту её часть, которая вызвана работой касательных напряжений, и установим ее влияние на «динамический портрет» стержня. Нормальные и касательные напряжения в точке А тонкостенного стержня будем определять по следующим формулам:

N Мх М Бю

о = — + —- у--—х —юю,

А 1х 1у !а

т =

2H QxSy QySx MaSa

IyS Iß

I 5

в которых Н - расстояние от точки А до срединной поверхности стержня толщиной 8.

dz

ZZ

VT

d

m

n

а

z

Рис. 1. Тонкостенный стержень открытого профиля: а - исходное состояние; б - деформированное состояние в местной системе координат

Крутящий момент Н, возникающий из-за неравномерного распределения касательных напряжений по толщине стенок 8, выражается через угол закручивания 0 формулой

й 0

Н = 01™ .

аг

В (1)—(3) О - модуль упругости при сдвиге; й0/йг - депланация, производная угла закручивания;

]=п Н Л3

=

¡-1 3

геометрическая характеристика сечения, выполняющая ту же роль, что и полярный момент инерции для стержней круглого поперечного сечения, а последние слагаемые в (1) и (2) сю и тю - нормальные и касательные напряжения в стержне открытого профиля, обусловленные, соответственно, его стесненным изгибом и кручением, в которых Вю - бимомент, имеющий внешнюю аналогию с выражением внутреннего изгибающего момента, с тем отличием, что в (4) плечо, на которое умножается элементарная внутренняя сила ОюйЛ, заменено сектори-альной координатой ю (размерность см ):

Вю = | ашюОА = -Е0"| ю2йА,

А А

Укажем, что для удобства вычислений обычно строят эпюру секториальных координат ю в соответствии с принятым для них правилом знаков, на которой их значения откладывают по нормам, а их знак зависит от расположения главной секториальной нулевой точки М0.

Очевидно, что в (1) и (2) 1ю - секториальный момент инерции (размерность см , м ):

= j ю2dA,

который, как известно, является геометрической характеристикой сечения, аналогичной осевым моментам инерции 1Х и 1у; Мю - изгибно-крутящий момент, соответствующий напряжениям тю из (2). В сумме с моментом чистого кручения М0 они создают в сечении стержня внутренний крутящий момент Мкр, который уравновешивает момент внешних сил Мг:

М, = Мкр = Мю + Мо,

б

ю

A

в котором

Мю = |тш5дю = -Е0"|ю2д.А .

А

Кроме обозначенных выше величин тонкостенного стержня, в (2) Sю - секториальный ста-

тический момент сечения (размерность см4, м4):

Sm = | юдА,

ю

А

Из рассмотрения (4) и (6) следует:

дБ„

д1

= -Е/т0" = Мт,

поэтому Вю и Мю и, как следствие, сю и тю не могут быть определены без вычисления угла закручивания 0 = /(¿), что является характерной особенностью расчета тонкостенных стержней открытого профиля, работающих в условиях стесненного кручения. Для определения 0 = /(¿) подставим в (5) значение (6):

-Е/0 + в/Л 0' = Мг,

а далее, с учетом первой производной от (7), получим уравнение угла закручивания:

0" - к 20' = - ™

Е!т

где к - изгибно-крутильная характеристика стержня (размерность см-1, м-1):

к =

V

01д

Е1„

а т - распределенный внешний крутящий момент.

Потенциальная энергия внутренних сил выражается через напряжения о и т из (1) и (2) равенством

12 12 V = [ [—дАдг + [ [—дАдг,

0 А 2Е 0 А

которое, после преобразований, принимает вид

Б2 Н2 ^

д1 +

Т7 \I N2 Му2 М2 Б2 Н V = 1|-+ —— + —— +-+

о ^ 2ЕА 2Е1у 2Е1х 2Е/ш 2в/Л ,

+ м Ц 2 + ^ + ^ + К^ +

+КтйхМ ю + кутауМ ю) дг, где К^ , входящие в (8), равны:

Кч = ТГ/^^ дА; *> Ч = х, у, ю •

/'/] А О

Для симметричных профилей, если сечение тонкостенного стержня симметрично относительно оси х, в (8) Кху = Куа = 0. Если осью симметрии является ось у, то Кху = Кх(Л = 0. Если же сечение симметрично относительно обеих главных осей, то Кху = Кхю = Кую = 0.

Пусть п, С - перемещения точек линии центров изгиба стержня в направлении осей х, у и г. Учитывая известные зависимости

ЕАд = N; Е1х ц =-Мх;

Е1у Г = Му; - Е1х п'' =

Е/уГ = йх; -Е/ш0" = Мш -Е/„0' = ;

и подставляя их в (8), получим 1 1

V = 2/|ЕА(С)2 + Е1у (Г)2 + Е1х (п')2 + Е1т (0'')2 + 0/Л (0')2}йг +

2 о

1 1

+ 2041К

+2КхуЕ/хЕ/у п'Т + 2Кую Е/уЕ/Х 0" + 2Кхт Е/ХЕ/тц0"'} йг.

Далее получим дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенного стержня открытого профиля с учётом сдвига срединной поверхности. Пусть на стержень действует распределённая нагрузка qx(г), %(г), qг(г), не изменяющая своего направления в процессе деформирования стержня. Тогда работа внешних сил будет

l l

U = jj

0 0

После чего функционал полной энергии с учетом (10) и (11) примет вид

I

П = V - и = | Ф

0

Из условия экстремума функционала полной энергии системы (12) уравнения изгиба и кручения в перемещениях будут выглядеть следующим образом:

ЭФ

- +

( ЭФ >

ЭФ

dq 1 aq'j aq эф ( ЭФ Y ( ЭФ

= 0,

=0, .

Эп I Эп" У I Эп

ЭФ > + ( ЭФ"! _ (. = 0

30'У +1Э0" J I Э0" 1 .

Подставляя в (13) выражения (10) и (11), получим дифференциальные уравнения изгиба и кручения тонкостенного стержня открытого профиля с учетом сдвига срединной поверхности [5]:

EIy

( к I YV

q+0

A У

= qx + ф у (z),

K j YV

eix | п+0 I = qx+Фу"

EIa | 1 + 0IV _ GId0'' = mz + Фт'''(z),

в которых, согласно (3) и (6), Ь = Н + Мю 92

Е/у , ^

Ф х (г) = (Куй. + Куйу + Кую Ь),

Е/

Фу (г) = ~0А (Кххйу + Кхуйх + КхюЬ), Е/

Фю (г) = ~Ш( Куйх + Кюйу + Кюю Ь).

Полагая в уравнениях (14) Кхх, Куу, Кху, Кхю, Кую равными нулю, получим уравнения без учёта сдвига срединной поверхности, приведенные в [6]. Из уравнений (14) следует, что задачи об изгибе и кручении стержней с учётом сдвига срединной поверхности являются связанными. Если в некоторых случаях задача о кручении может быть решена независимо от задачи об изгибе, то решение задачи об изгибе невозможно без решения задачи о кручении [5].

Выполним оценку вклада сдвига срединной поверхности тонкостенного стержня открытого профиля в его «динамический портрет», для чего воспользуемся известным решением С. П. Тимошенко [7], которое относится лишь к поперечным колебаниям призматических стержней с симметричным профилем, при этом колебания тонкостенного стержня будем рассматривать только в плоскости симметрии. Уравнение поперечных колебаний С. П. Тимошенко [7], записанное с учётом поперечной силы и инерции вращения, является частным случаем общего решения [8], следуя которому запишем третье уравнение системы (6) из [8]:

EJX f? + РА

dz

í Э^п dt2 '

Jx э4п

А dz2dt2

+ РА  K

EJr

GJ„

р Э4^

E эТ"

Э4п at 2dz2

=о.

в котором координаты центра изгиба ах и су, а также коэффициент Кху из выражения (10) равны нулю.

Решение однородного уравнения (15), при однородных граничных условиях, которое определяет собственные числа и собственные функции краевой задачи о свободных изгибных колебаниях стального тонкостенного стержня открытого профиля (р = 7,85 т/м3), представим в виде

П(z, t) = n(z) sin (соt + ф). После подстановки (16) в (15) получаем

nv (z) + Ktf( z) - Kn( z) = 0,

в котором

K1 = со2 ^ 1 El

El

K = 2

рА El

x V GId í

1 - со2

x Kx +— ~ А

PlxK GI

d У

Решение (17) ищем в виде

П( г) = с  е5г.

После подстановки (19) в (17), с учетом (18) получим характеристическое уравнение

/ + ,ч2К - К = 0,

соответствующее дифференциальному уравнению (17) и имеющее четыре корня:

52 = ± а; 53 4 = ± ¡Ь; I = л/-1,

в которых

a =

- к+,

2 V

2

K í к ^ „

1 —1 1 + к

2 У V 2 У

2

Следовательно, общее решение (17), с учетом (19) и (21), примет вид

П(z) = Qch (az) + C2sh (az) + С3 cos (bz) + С4 sin (bz).

На основе решения выражений(16)-(21) рассмотрим консольный стальной широкополочный двутавр, для которого использование граничных условий

П(0) = 0; ©х (0) = 0; n'(l) = 0; ц(1) = 0,

приводит уравнение (20) к трансцендентному уравнению относительно его собственной круговой частоты ю, рад/с,

а5 + b5k + (a3b2 + a2b3k)ch(al) cos (bl) + (a2b3 - a3b2k)sh (al) sin (bl) = 0, где, с учетом (9),

ell GI„

a + a • Kr

k =

a - a3 • K^Elx

GL

Для частного случая, когда не учитываются сдвиг и инерция поворота (К = 0, Кхх = 0), и, кроме того, в (21) a = b = tfK , где К принимается по (18), уравнение (22) принимает известный из [7] вид ch (al) cos (al) = -1, наименьший корень которого al = 1,8751. Отсюда находим частоту w первого тона:

ю, =

Для широкополочного двутавра с параметрами длины I = 0,6 м, Ь = к = 12 см, 6полки = 8стенки = 1 см, у которого А = 34 см2, 1Х = 809 см4 (ось х параллельна полкам), Е = 2,1105 МПа, GI¿ = 10,9 кНм2, р = 7,85 т/м3, решение выражения (22), с учетом сдвига срединной поверхности с применением МаШсаё [9], привело к собственной частоте первого тона ю1 = 2142 с1, в то время как без учета сдвига по (23) ю1 = 2464 с1.

Таким образом, учет сдвигов срединной поверхности в тонкостенных стержнях открытого профиля даёт уменьшение частоты первого тона колебаний на 13 %, что, по нашему мнению, не рекомендуется считать неучитываемым фактором для динамических систем. Кроме того, уравнения изгиба и кручения (14) позволяют строить матрицы жесткости [А] и масс [М] тонкостенного стержня открытого профиля, которые легко встраиваются в любой вычислительный комплекс, реализующий расчет пространственных конструкций по МКЭ.

Матрица жесткости [А]14х14 тонкостенного стержня Д открытого профиля, с учетом сдвига срединной поверхности, имеет вид

[ K

k11 k12 k13 • •• ••• k • ••• k114

k21 k k22 k k23 • •• ••• k • ••• k214

k31 k k32 k k33 • •• ••• k •• ••• k314

kj • kü •••

k141 k k142 k k143 • •• ••• k • ••• k1414

Деформации конечного элемента будем определять перемещениями граничных поперечных сечений узлов ] и к в виде вектора перемещений в местной системе координат (МСК) Оxyz, которая на рис. 2 не совпадает с общей системой координат ОXYZ:

{Си ={(v)j (v)k f =-

(5х 5 г Ф хФ , ©г ©;) ^ (5Х 5 у5 г ф хФ , ©г ©' )k^

Очевидно, что в (25) Т - индекс транспонирования; Ъх(уЛ) - линейные перемещения узла;

фху - углы поворота; 0г - депланация (производная от угла закручивания 0г); подстрочные

индексы х, у и г в выражении (25) обозначают оси МСК; надстрочные индексы (/) и (к) указывают на начало ] и конец к стержневого КЭ. Знаки компонент узловых перемещений (25) для стержневого КЭ определяются в соответствии с рис. 2.

Рис. 2. Правило знаков для узловых перемещений КЭ ]к в МСК Охуг

Вектору перемещений (25) соответствует вектор внутренних усилий в дискретных граничных узлах:

где Qx(у) и N - внутренние поперечные и продольная силы; Мх(у) и Мг - изгибающие и крутящий моменты; В - изгибно-крутящий бимомент. Правила знаков для внутренних усилий (26) аналогичны правилу знаков для узловых перемещений КЭ (25).

Как следует из вектора (26) и рис. 2, стержневой КЭ имеет 14 степеней свободы и его пространственное положение определяется вектором обобщенных координат (25).

В качестве компонентов перемещений примем следующие аппроксимирующие функции Эрмита с учетом сдвига срединной поверхности [6]:

г) = ХчЖ (г), * = 1,5,8,12; П(г) = Е (г), * = 2,4,9,11;

С

в которых - узловое перемещение, соответствующее вектору (25); * = 1,14 - степени свободы КЭ. Таким образом, для стержневого КЭ с двумя осями симметрии, жестко защемленного по концам, в (27) следует принять:

K —I 1 1

V2x ( z) = V1y ( z) = ( z) = 1 - 2 --z2 +-z3;

x Y1,yW Y6,-w Kl GA 4K 6Kl

V4, x( z) = V5, y( z) = ( z) =

\ - kjl -l >

K 2GA

f

/2 Л „3

1+

4K

i /

Г + 1 3;

— +-z ;

2l 12K,

K -I 1 1

V9x(z) = v8y(z) = V13œ(z) = —--L z +-z2--z3;

y^w 8yW ^ ga Kl 4K 6Kl

K -I

V11,x(z) = V12,y(z) = (z) = ga 2K z +

V3,z ( z)=1 - zll, V10,z ( z) = z/1,

f

l

1

\

v 8K; 2l

2

z2 -

12K

где

/2 —т

К = — + Кн—^,( 1 = X, у, г).

! 12 "ОА

При выводе выражений (28) использовались результаты из [10], согласно которым функции Уб,;(г), у7,;(г), у13/г), у14/г), (г = х, у, ю) являются приближенными. Используя выражения (28), любой элемент матрицы жесткости тонкостенного стрежня открытого профиля (24) в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности определяется по формуле

K = — j àq^i

, i, j = 1,2, ...,14,

в которой V - потенциальная энергия деформации (8), для определения которой использована формула (2).

Очевидно, что если в выражении (28) устранить влияние сдвига, то функции Эрмита примут более простой вид [10]:

¥1 (г) = ¥2 (г) = ¥б (г) = 1 - 3г 2//2 + 2 г3//3, ¥5 (г) = -¥4 (г) = -¥7 (г) = г - 2г2// + г3//2, ¥8(г) = ¥9(г) = ¥13(г)= 3г2//2 -2г3//3, ¥12 (г) = -¥„ (г) = ¥14 (г) = - г 2/1 + г 3/1 ¥з (г) =1 - г/1, ¥10 (г) = г//.

Ниже, с учетом к- = к^, приведены элементы матрицы жесткости (24) КЭ Д, учитывающие сдвиг срединной поверхности, при определении которых в первом приближении касательные напряжения в выражении (2) равны нулю.

4-I

-I

-I

к1,1 = к8,8 = к1,8 = 13 Ay ; k5,5 = k12,12 = ^ (1 + Ay ); k5,12 = ^ ( Ay 1) ;

к = к = -к = -к = 2-Iy A ' к = к = -к =—A '

к1,5 к1,12 к5,8 k8,12 12 Ay ; к3,3 к10,10 к3,10 ^ '

4 —I —I —I

к = к =-к = x A ' к = к = — (1 + A )' к = — (A -1)-

к2,2 к9,9 к2,9 13 Ax ; к4,4 к11,11 ^ (1 + Ax ); к4,11 ^2 ( Ax 1);

к = к =-к =-к = . к = к =-к = 1—L A + .

к4,9 к9,11 к2,4 к2,11 12 Ax; к6,6 к13,13 к6,13 ^3 Am ^ 5l '

1

3

z

к =

к7,14

д -1)-^; к77 = кШ4 = +А)

Е1, Л ч 2Ю1к ю'1 + Ду ;

к = к =-к =-к = а + ^  к •

к7,13 к13,14 к6,7 к6,14 ,2 Аш ^ 1 п . к1,2 „ „ ,.

I 10 GА • К • А , • —

Х у

К Е21 I К Е21 I

к =_У2_у ю • к = КХШЕ 1х1ю . к = к = —к = —к •

к1'6 GА • Ку • Кю • I' к2'6 GА • Кх • Кю • I' к8'9 ки к1'9 к2'8; к = к = —к = —к • к = к = к =-к =-к =-к = к = к =-к — •

к1,7 к1,14 к12,13 к6,12 к5,6 к5,13 к8,14 к7,8 к1,6 2 ;

—2 —2

к = к = к = к = —к —• к = к = к = к =-к — •

к4,5 к5,11 к4,12 к11,12 к1,2 4 • к5,7 к5,14 к7,12 к12,14 к1,6 4 •

к2,7 = к2,14 = к9,14 = к6,11 = к4,6 = —к7,9 = к4,13 = -к2,6 Т •

к = к = —к = —к • к = к = к = к = к —

к9,13 к2,6 к2,13 к9,6 • к4,7 к4,14 к11,14 к7,11 к2,6 , ,

где

А =-

1 + 12К...

Е1{

I ^А

-, (г = х, у, ю).

Для оценки решения (30) сравним значение коэффициента матрицы к6 7, полученного с применением функции у6( z) и у7( z) из (29), с точным решением, полученным на основе (28). Точное решение, полученное на основе [10], вычисляется по формуле

к6,7 =

GId

+ Кюю Д

8И2(р/) -(1 - сИ(Р/))2

где

в =

Gh

ЕТ

Приближенное решение для выражения (32) имеет вид (см. (30)):

к =_2Ею А _^

к6,7 = ,2 Аю

11

10

Вычислим к6 7 для стержневого элемента длиной I = 0,6 м с поперечным сечением в виде широкополочного двутавра с размерами Ь = к = 12 см, 5полки = 8стенки = 1 см, у которого А = 34 см2! = 809 см4 (ось х параллельна полкам), ^ = 8700 см6, Е = 2,1 • 105 МПа, GId = 10,9 кНм2. Предварительно по (9) вычисляем: Кхх = 3,33; Кюю = 0,0562 см-2 = 562 м-2.

Для рассматриваемого двутавра точное решение по выражению (32) дало: к6 7 = -28,13 кНм, приближенное решение по (33): к6 7 = -28,28 кН м. Расхождение составило 0,53 %.

2

3

Кроме того, с помощью матрицы (31) были определены перемещения свободного конца консольного стержня при плоском поперечном изгибе (рис. 3).

/

\

( У

——Z

п Ш

Рис. 3. Поперечный изгиб консольного стержня Прогиб и угол поворота (рис. 3) в символьном виде равны:

Р13

У(1) = -

4ET A„

Ф, (l) = -

Pl2 2EJ

что совпало с известным решением, приведенным в [10]. Для рассмотренного ранее стержня двутаврового профиля (при I = 0,6 м) характеристика Ах = 1,807 (32) и прогиб конца консоли

Р\ъ Р\ъ

у(1) = -0,388-фх(I). По сравнению с прогибом без учета деформацией сдвига у(1) =--2—

Е1х 3Е 1х

прибавка составила 16,6 %.

В заключение укажем, что, по нашему мнению, матрица жесткости (24), представленная компонентами (30), легко встраивается по алгоритму МКЭ в любой программный конечно-элементный комплекс с целью как статического

[ К ]

П X п

х{У}

п X1 { Рст } п X 1 ,

так и динамического расчетного анализа пространственных металлических конструкций, составленных из тонкостенных стержней открытого профиля с п степенями свободы:

[ M ] =

L J n х n

( д 2V >

v di2 , ,

V У n х 1

+ [ ^ ]n

{V} ={P } +{P } ,

L J nх 1 l C^J nх 1 l №Hj nх 1

для практической реализации которого, очевидно, необходимо получить для выражения (34) матрицу масс [М]пхп, составленную из матриц масс отдельныхКЭ [3].

Заключение

Несмотря на достаточно давно разработанные основные положения теории тонкостенных стержней, в расчетной практике они применяются редко. Использование математической модели тонкостенных стержней открытого профиля при проведении расчетного анализа пространственных конструкций из тонкостенных стержней как в области как статического, так и динамического нагружения приводит к уточнению получаемых результатов при описании их жесткостных характеристик, а также при определении напряженно-деформированного состояния. Приведенные в статье формулы для матрицы жесткости тонкостенного КЭ позволяют использовать математическую модель тонкостенного стержня открытого профиля при расчетах любых пространственных конструкций с использованием МКЭ.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни / В. З. Власов. М.: Физматгиз, 1959. 566 с.

2. Панасенко Н. Н. Расчетное обоснование сейсмостойкости грузоподъемных кранов / Н. Н. Пана-сенко, А. В. Синельщиков // Подъемные сооружения: специальная техника. В 3 ч. Одесса. Ч. 1: 2010. № 10. С. 23-27. Ч. 2: 2010. № 12. С. 19-22. Ч. 3: 2011. № 1. С. 23-26.

3. Юзиков В. П. Строительная механика тонкостенных стержней / В. П. Юзиков, Н. Н. Панасенко; под ред. д-ра техн. наук Н. Н. Панасенко. Волгоград: Волгоград. науч. изд-во, 2013. 361 с.

4. Воробьёв Л. Н. Влияние сдвига срединной поверхности на величину деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с недеформированным контуром / Л. Н. Воробьёв // Тр. Но-вочеркас. политехн. ин-та. 1955. № 26 (40). С. 92-111.

5. Юзиков В. П. Расчёт тонкостенных стержней открытого профиля с учётом сдвига срединной поверхности / В. П. Юзиков, О. Б. Завьялова // Изв. вузов. Строительство. 2011. № 1. С. 108-115.

6. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы: учеб. пособие / В. И. Сливкер. М.: Изд-во Ассоциации строит. вузов, 2005. 736 с.

7. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. М.: Физматгиз, 1987. 582 с.

8. Воробьев Л. Н. К вопросу об изгибно-крутильных колебаниях тонкостенных стержней / Л. Н. Воробьев, Л. В. Яицкий // Прочность, устойчивость и колебания инженерных сооружений. Новочеркасск, 1972. Т. 223. С. 43-50.

9. Семенов П. И. Расчет прочности и деформативности анизотропных тонкостенных стержней открытого профиля / П. И. Семенов. Киев: Вища шк., 1974. 184 с.

10. Панасенко Н. Н. Динамика и сейсмостойкость подъемно-транспортного оборудования атомных станций: дис. ... д-ра техн. наук / Н. Н. Панасенко: в 2 ч. Ч. 1. Новочеркасск: НГТУ, 1992. 475 с.

Статья поступила в редакцию 13.04.2015, в окончательном варианте - 29.04.2015

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Панасенко Николай Никитович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры «Техника и технологии наземного транспорта»; psastr@mail.ru.

Юзиков Владимир Петрович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский инженерно-строительный институт; канд. техн. наук, доцент; профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство»; laex@bk.ru.

Синельщиков Алексей Владимирович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский инженерно-строительный институт; канд. техн. наук, доцент; зав. кафедрой «Прикладная механика и графика»; laex@bk.ru.

N. N. Panasenko, V. P. Yuzikov, A. V. Sinelshchikov

FINITE ELEMENT MODEL OF THE SPATIAL STRUCTURES FROM THIN-WALLED OPEN SECTION BARS.

IN 2 PARTS. PART 1

Abstract. The design analysis of the structures consisting of the thin-walled bars remains a subject of the research up to the present moment. The paper presents the theoretical foundations of designing the mathematical model of a thin-walled open section bar, which takes into account the impact of shifts and displacements of points and torsion angles of the cross sections on the size and nature of the distribution of internal forces. The mathematical relations for the construction of the stiffness matrix of thin-walled open section bar, which can be used for static and dynamic analysis of the structures calculated by finite element method.

Key words: thin-walled open section bar, shift and torsion angle of cross sections, stiffness matrix, finite element method.

REFERENCES

1. Vlasov V. Z. Tonkostennye uprugie sterzhni [Thin-walled firm bars]. Moscow, Fizmatgiz, 1959. 566 p.

2. Panasenko N. N., Sinel'shchikov A. V. Raschetnoe obosnovanie seismostoikosti gruzopod"emnykh kranov [Analytical explanation of seismic stability of hoisting crane]. Pod"emnye sooruzheniia: spetsial'naia tekhnika. V 3 ch. Odesa. Part 1: 2010, no. 10, pp. 23-27. Part. 2: 2010, no. 12, pp. 19-22. Part 3: 2011, no. 1, pp. 23-26.

3. Iuzikov V. P., Panasenko N. N. Stroitel'naia mekhanika tonkostennykh sterzhnei [Structural engineering of the thin-walled bars]. Pod redaktsiei d-ra tekhn. nauk N. N. Panasenko. Volgograd, Volgograd. nauch. izd-vo, 2013. 361 p.

4. Vorob'ev L. N. Vliianie sdviga sredinnoi poverkhnosti na velichinu deformatsii i napriazhenii v tonkos-tennykh sterzhniakh otkrytogo profilia s nedeformirovannym konturom [Influence of the shift of the middle surface on the size of deformations and stresses in the thin-walled open section bars with undamaged flow section]. Trudy Novocherkasskogo politekhnicheskogo instituta, 1955, no. 26 (40), pp. 92-111.

5. Iuzikov V. P., Zav'ialova O. B. Raschet tonkostennykh sterzhnei otkrytogo profilia s uchetom sdviga sredinnoi poverkhnosti [Calculation of the thin-walled open section bars taking into account shift of the middle surface]. Izvestiia vuzov. Stroitel'stvo, 2011, no. 1, pp. 108-115.

6. Slivker V. I. Stroitel'naia mekhanika. Variatsionnye osnovy [Structural engineering. Variational bases]. Moscow, Izd-vo Assotsiatsii stroitel'nykh vuzov, 2005. 736 p.

7. Timoshenko S. P. Kolebaniia v inzhenernom dele [Fluctuations in engineering]. Moscow, Fizmatgiz, 1987. 582 p.

8. Vorob'ev L. N., Iaitskii L. V. K voprosu ob izgibno-krutil'nykh kolebaniiakh tonkostennykh sterzhnei [To the issue of the flexural-and-torsional vibrations of the thin-walled bars]. Prochnost', ustoichivost' i kolebaniia inzhenernykh sooruzhenii, Novocherkassk, 1972, vol. 223, pp. 43-50.

9. Semenov P. I. Raschet prochnosti i deformativnosti anizotropnykh tonkostennykh sterzhnei otkrytogo profilia [Calculation of the strength and deformity of anisotropic thin-walled open section bars]. Kiev, Vishcha shkola, 1974. 184 p.

10. Panasenko N. N. Dinamika i seismostoikost' pod"emno-transportnogo oborudovaniia atomnykh stantsii. Dissertatsiia dok. tekhn. nauk [Dynamics and seismic stability of lift-and-transport equipment of the nuclear stations. Dis. doc. tech. sci.]. V 2 ch. Part 1. Novocherkassk, NGTU, 1992. 475 p.

Panasenko Nickolay Nikitovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences; Professor; Professor of the Department "Technique and Technology of Land Transport"; psastr@mail.ru.

Yuzikov Vladimir Petrovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan Institute of Civil Engineering; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Professor of the Department "Industrial and Civil Construction"; laex@bk.ru.

Sinelshchikov Alexey Vladimirovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan Institute of Civil Engineering; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Head of the Department "Applied Mechanics and Graphics"; laex@bk.ru.

The article submitted to the editors 13.04.2015, in the final version - 29.04.2015

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS