ЦИФРОВОЙ ДЕМОДУЛЯТОР ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ С ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ФАЗОВОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
DIGITAL BINARY SIGNAL DEMODULATOR WITH SECOND-ORDER RELATIVE PHASE MANIPULATION

Изобретение относится к области радиотехники и может быть использовано в устройствах приема цифровых информационных сигналов для цифровой демодуляции двоичных сигналов с относительной фазовой манипуляцией второго порядка (ОФМ2).
Известно устройство некогерентной демодуляции сигналов с однократной (двоичной) относительной фазовой модуляцией второго порядка [1]. Устройство содержит два коррелятора, генератор гармонических колебаний, фазовращатель, линии задержки, вычислитель откликов и схему сравнения. Его недостатком является аналоговая обработка сигнала, сложность реализации корреляторов, линий задержки и вычислителя, неидентичность каналов квадратурной обработки сигнала.
Известен демодулятор, описанный в [2]. В этом демодуляторе производится нелинейное преобразование входного сигнала в импульсную последовательность с определением фазового сдвига подсчетом числа тактовых импульсов на интервале смещения во времени входного и опорного сигналов, далее в многоканальной линии задержки формируются отклики демодулятора, которые корректируются сигналами кольца фазовой автоподстройки частоты, а затем подаются в фазовый дискриминатор. Недостатком устройства является неоптимальная аналого-цифровая обработка сигнала, приближенная оценка фазового сдвига, особенно затруднительная для высокочастотных радиосигналов, что приводит к снижению помехоустойчивости, а также сложность практической реализации.
Наиболее близким по технической сущности и внутренней структуре к предлагаемому устройству является цифровой демодулятор сигналов с относительной фазовой манипуляцией [3], способный выполнять демодуляцию сигналов с ОФМ первого порядка. Его недостатком является отсутствие возможности демодуляции сигналов с относительной фазовой манипуляцией второго порядка.
Задачей предлагаемого технического решения является обеспечение высокоскоростной цифровой демодуляции сигналов с относительной фазовой манипуляцией второго порядка.
Поставленная задача решается тем, что цифровой демодулятор сигналов с относительной фазовой манипуляцией второго порядка, содержащий аналого-цифровой преобразователь (АЦП), регистр сдвига многоразрядных кодов на четыре отсчета, первый и второй n-каскадные каналы квадратурной обработки (ККО) сигналов и генератор тактовых импульсов (ГТИ), дополнительно содержит первый и второй блоки обработки отсчетов (БОО), каждый из которых состоит из первого и второго многоразрядных регистров сдвига, первого, второго и третьего сумматора, первого, второго и третьего вычитателя и блока формирования решения (БФР), содержащего первый, второй, третий и четвертый квадратичные преобразователи (КП), первый, второй и третий вычитатели, первый и второй мультиплексоры и триггер, выход каждого ККО соединен с входом соответствующего БОО, в котором вход первого регистра сдвига соединен с первыми входами первого сумматора и первого вычитателя, образуя вход БОО, а выход первого регистра сдвига подключен к входу второго регистра сдвига и вторым входам первого сумматора и первого вычитателя, выход второго регистра сдвига соединен с первыми входами второго и третьего сумматора и первыми входами второго и третьего вычитателя, вторые входы второго сумматора и второго вычитателя соединены с выходом первого сумматора, вторые входы третьего сумматора и третьего вычитателя соединены с выходом первого вычитателя, выходы второго и третьего сумматора и второго и третьего вычитателя образуют соответственно первый, второй, третий и четвертый выходы БОО, первые выходы первого и второго БОО соединены с первым и вторым входами первого КП БФР, вторые выходы первого и второго БОО соединены с первым и вторым входами второго КП БФР, третьи выходы первого и второго БОО соединены с первым и вторым входами третьего КП БФР, а четвертые выходы первого и второго БОО соединены с первым и вторым входами четвертого КП БФР, выходы первого и второго КП соединены с первым и вторым входами первого вычитателя БФР и с первым и вторым входами первого мультиплексора БФР, а управляющий вход первого мультиплексора БФР – с выходом знакового разряда первого вычитателя БФР, выходы третьего и четвертого КП соединены с первым и вторым входами второго вычитателя БФР и с первым и вторым входами второго мультиплексора БФР, а управляющий вход второго мультиплексора БФР – с выходом знакового разряда второго вычитателя БФР, выходы первого и второго мультиплексоров БФР подключены к первому и второму входам третьего вычитателя БФР, а его выходной знаковый разряд соединен с входом триггера, на управляющий вход которого подается сигнал тактовой синхронизации демодулятора, тактовые входы первого и второго ККО, регистров первого и второго БОО подключены к выходам ГТИ, выход триггера является выходом демодулятора.
Предлагаемое техническое решение поясняется чертежами.
На фиг. 1 представлена структурная схема предлагаемого устройства;
На фиг. 2 – процесс квантования;
На фиг. 3 – моделирование работы демодулятора без помех;
На фиг. 4 – моделирование работы демодулятора при наличии шумовой помехи;
На фиг. 5 показаны результаты расчета и моделирования вероятности ошибок демодулятора по изобретению.
<mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>log</mi></mrow><mn>2</mn></msub><mi>N</mi></mrow>
<mrow><mi>N</mi><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></mrow>
Устройство (фиг.1) содержит аналого-цифровой преобразователь АЦП 1, на вход которого поступает принимаемый сигнал 2 с выхода усилителя промежуточной частоты приемника, а на управляющий вход – тактовые импульсы 3. Выход АЦП 1 соединен с входом регистра 4 сдвига многоразрядных кодов на четыре отсчета, четные выходы которого соединены с соответствующими входами вычитателя 5 первого канала квадратурной обработки ККО 6, а нечетные выходы – с соответствующими входами вычитателя 7 второго ККО 8. Каждый из ККО 6, ККО 8, помимо вычитателя, содержит n каскадно соединенных блоков накопления отсчетов БНО. Количество БНО n зависит от числа N периодов сигнала в информационном символе и определяется двоичным логарифмом N (). Такое построение устройства обеспечивает минимальное количество БНО, при этом число обрабатываемых периодов сигнала равно .
Первый ККО 6 содержит последовательно соединенные БНО 9-1, …, 9-n , а второй ККО 8 – последовательно соединенные БНО 10-1, …, 10-n. Каждый из БНО состоит из регистра сдвига многоразрядных кодов и сумматора. Блоки 9-1, …, 9-n накопления отсчетов содержат регистры 11-1, …, 11-n сдвига многоразрядных кодов и сумматоры 12-1, …, 12-n соответственно, а БНО 10-1, …, 10-n – соответственно регистры 13-1, …, 13-n сдвига многоразрядных кодов и сумматоры 14-1, …, 14-n. В каждом блоке накопления отсчетов 9 (как и 10) первый вход регистра 11 (13) сдвига является входом блока 9 (10) накопления отсчетов. Второй вход сумматора 12 (14) соединен с выходом регистра 11 (13) сдвига. Выход сумматора 12 (14) является выходом блока 9 (10) накопления отсчетов, а тактовый вход регистра 11 (13) сдвига является управляющим входом блока 9 (10) накопления отсчетов. Выход вычитателя 5 соединен с входом блока 9-1 накопления отсчетов ККО 6, а выход блока 9-n накопления отсчетов ККО 6 – с входом первого блока обработки отсчетов БОО 15. Выход вычитателя 7 соединен с входом БНО 10-1 ККО 8, а выход БНО 10-n ККО 8 – с входом второго блока обработки отсчетов БОО 16.
В БОО 15 (16) вход первого регистра сдвига 17 (25) соединен с первыми входами первого сумматора 18 (26) и первого вычитателя 19 (27), образуя вход БОО 15 (16), а выход первого регистра сдвига 17 (25) подключен к входу второго регистра сдвига 20 (28) и вторым входам первого сумматора 18 (26) и первого вычитателя 19 (27), выход второго регистра сдвига 20 (28)  соединен с первыми входами второго 22 (30) и третьего 23 (30) сумматора и первыми входами второго 21 (29) и третьего 24 (32) вычитателя, а вторые входы второго сумматора 22 (30) и второго вычитателя 21 (29) соединены с выходом первого сумматора 18 (26), вторые входы третьего сумматора 23 (30) и третьего вычитателя 24 (32) соединены с выходом первого вычитателя 19 (27), выходы второго 22 (30) и третьего 23 (30) сумматора и второго 21 (29) и третьего24 (32) вычитателя образуют соответственно первый, второй, третий и четвертый выходы БОО 15 (16).
Первые выходы первого БОО 15 и второго БОО 16 соединены с первым и вторым входами первого квадратичного преобразователя КП 33 БФР, вторые выходы первого БОО 15 и второго БОО 16 соединены с первым и вторым входами второго КП 34 блока формирования решения БФР, третьи выходы первого БОО 15 и второго БОО 16 соединены с первым и вторым входами третьего КП 35 блока формирования решения БФР, а четвертые выходы первого БОО 15 и второго БОО 16 соединены с первым и вторым входами четвертого КП 36 БФР, выходы первого 34 и второго 35 КП соединены с первым и вторым входами первого вычитателя 38 БФР и с первым и вторым входами первого мультиплексора 39 БФР, а управляющий вход первого мультиплексора 39 БФР – с выходом знакового разряда первого вычитателя 38 БФР, выходы третьего36 и четвертого 37 КП соединены с первым и вторым входами второго вычитателя 40 БФР и с первым и вторым входами второго мультиплексора 41 БФР, а управляющий вход второго мультиплексора 41 БФР – с выходом знакового разряда второго вычитателя 40 БФР, выходы первого 39 и второго 41 мультиплексоров БФР подключены к первому и второму входам третьего вычитателя 42 БФР, а его выходной знаковый разряд соединен с входом триггера 43 БФР, на управляющий вход которого подается сигнал тактовой синхронизации демодулятора 44, тактовые входы первого ККО 6 и второго ККО 8, регистров первого 15 и второго 16 БОО подключены к выходам генератора тактовых импульсов ГТИ 46, а выход триггера 43 БФР является выходом 45 цифрового демодулятора двоичных сигналов.
Устройство работает следующим образом.
<mrow><msub><mi>s</mi><mi>k</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>S</mi><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>f</mi><mn>0</mn></msub><mi>t</mi><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><mi>π</mi><mo>+</mo><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>f</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
Сигнал с ОФМ второго порядка представляет собой последовательность информационных символов, k-й из которых является гармоническим колебанием вида , где S – амплитуда,  – несущая частота,  – начальная фаза,  – двоичный элемент со значениями 0 или 1, который определяется информационным символом  со значениями 0 или 1 и двумя предшествующими значениями  и .
Таблица истинности имеет следующий вид.
<maths num="10"><math display="block"><mrow><msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub></mrow></math><img file="00000007.jpg" he="7" wi="6" img-content="undefined" img-format="jpg" /></maths>
<maths num="11"><math display="block"><mrow><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></mrow></math><img file="00000010.jpg" he="7" wi="6" img-content="undefined" img-format="jpg" /></maths>
<maths num="12"><math display="block"><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math><img file="00000011.jpg" he="7" wi="9" img-content="undefined" img-format="jpg" /></maths>
<maths num="13"><math display="block"><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math><img file="00000012.jpg" he="7" wi="10" img-content="undefined" img-format="jpg" /></maths>
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
В принятых обозначениях
<mrow><msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow>
.
Повышение помехоустойчивости при демодуляции сигнала с ОФМ второго порядка по сравнению с классической ОФМ (первого порядка) при сохранении скорости передачи обеспечивается обработкой «в целом» трех последних принятых элементов [1], что и реализуется в предлагаемом устройстве.
<mrow><mi>T</mi><mo>=</mo><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mrow><msub><mi>f</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>f</mi><mrow><mi>К</mi><mi>В</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><msub><mi>f</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>T</mi><mi>Э</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>T</mi><mi>Э</mi></msub><mo>=</mo><mi>N</mi><mi>T</mi></mrow>
<mrow><mi>N</mi><mo>=</mo><msup><mn>2</mn><mi>n</mi></msup></mrow>
Входной сигнал с ОФМ второго порядка на входе 2 АЦП 1 квантуется во времени по четыре отсчета на период повторения  (частота квантования равна ) в соответствии с тактовыми импульсами 3. Информационный элемент сигнала длительностью  содержит N периодов T несущего колебания (), причем , где n – целое число.
<mrow><msub><mi>T</mi><mi>Э</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>4</mn></mrow></msub></mrow>
Процесс квантования показан на фиг. 2 точками для трех последовательных информационных элементов длительностью . Результаты некогерентной обработки не зависят от начальной фазы  сигнала с ОФМ. Регистр 4 сдвига многоразрядных кодов на четыре отсчета заполняется на интервале T для i-го периода четырьмя отсчетами , ,  и .
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>4</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>S</mi><mi>cos</mi><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
<mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>4</mn><mi>S</mi><mi>cos</mi><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
На вход вычитателя 5 поступают четные отсчеты  и , а на его выходе формируется разность , которая поступает на вход сумматора 12-1 первого БНО 9-1 первого ККО 6. На выходе сумматора 12-1 первого БНО 6 первого ККО 6 получим сумму поступившей разности отсчетов и ранее записанной в регистр 11-1 предшествующей разности в виде . Во втором БНО суммируются 4 разности, в третьем 8 разностей и т.д. При отсутствии помех на выходе сумматора 12-n последнего БНО 9-n первого ККО 6 (при условии постоянства начальной фазы ) получим величину
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>N</mi><mi>S</mi><mi>cos</mi><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
. (1)
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow>
На вход вычитателя 7 поступают нечетные отсчеты  и , разности которых аналогично предыдущему накапливаются во втором ККО 8, на выходе которого формируется сумма
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>N</mi><mi>S</mi><mi>sin</mi><msub><mi>φ</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
. (2)
В первом БОО 15 производится обработка «в целом» четных отсчетов трех последних принятых символов, каждый длительностью по N периодов несущей, для четырех возможных комбинаций информационных фазовых сдвигов. В первом сумматоре 18 первого БОО 15 вычисляется величина
<mrow><msub><mi>z</mi><mrow><mi>i</mi><mn>10</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>N</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow>
,
а в первом вычитателе 19 первого БОО 15 – разность
<mrow><msub><mi>z</mi><mrow><mi>i</mi><mn>11</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>−</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>N</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>4</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow>
,
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
значения  поступают с выхода ККО 6, а  – с выхода регистра сдвига 17 первого БОО 15 емкостью N ячеек памяти.
Во втором сумматоре 22 первого БОО 15 вычисляется величина
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>100</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
, (3)
во втором вычитателе 21 первого БОО 15 –
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>101</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
, (4)
в третьем сумматоре 23 первого БОО 15 –
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>110</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
, (5)
а в третьем вычитателе 24 первого БОО 15 –
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>111</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
. (6)
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
Значения  поступают с выхода регистра сдвига 20 первого БОО 15 емкостью N ячеек памяти.
Аналогично во втором БОО 16 производится обработка «в целом» нечетных отсчетов трех последних принятых символов. В первом сумматоре 26 второго БОО 16 вычисляется величина
<mrow><msub><mi>z</mi><mrow><mi>i</mi><mn>00</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>N</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow>
,
а в первом вычитателе 27 второго БОО 16 – разность
<mrow><msub><mi>z</mi><mrow><mi>i</mi><mn>01</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>−</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>N</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>s</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow>
,
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
значения  поступают с выхода ККО 8, а  – с выхода регистра сдвига 25 второго БОО 16 емкостью N ячеек памяти.
Во втором сумматоре 30 второго БОО 16 вычисляется величина
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>000</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
, (7)
во втором вычитателе 29 второго БОО 16 –
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>001</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
, (8)
в третьем сумматоре 31 второго БОО 16 –
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>010</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
, (9)
а в третьем вычитателе 32 второго БОО 16 –
<mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>011</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
. (10)
<mrow><msub><mi>y</mi><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
Значения  поступают с выхода регистра сдвига 28 второго БОО 16 емкостью N ячеек памяти.
Результаты обработки отсчетов (3)-(6) и (7)-(10) в первом БОО 15 и втором БОО 16 поступают в блок формирования решения 33.
В первом квадратичном преобразователе 34 БФР 33 вычисляется величина
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>100</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>000</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow>
, (11)
во втором КП 35 БФР 33 –
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>110</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>010</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow>
, (12)
в третьем КП 36 БФР 33 –
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>101</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>001</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow>
, (13)
а в четвертом КП 37 БФР 33 –
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msqrt><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>111</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mn>011</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow>
. (14)
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>></mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
Далее в БФР 33 выбирается наибольшее значение из , ,  и . Для этого в вычитателе 38 БФР 33 формируется разность  и знаковый разряд вычитателя 38 управляет мультиплексором 39, который передает на выход  , если , а иначе выдается , так что на выходе мультиплексора 39 формируется величина
<mrow><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>max</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
.
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>></mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow>
Аналогично в вычитателе 40 БФР 33 формируется разность  и знаковый разряд вычитателя 40 управляет мультиплексором 41, который передает на выход  , если , а иначе выдается . В результате на выходе мультиплексора 41 получим
<mrow><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>max</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
.
<mrow><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mrow><mi>A</mi><mo>></mo><mi>B</mi></mrow>
<mrow><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
Величины A и B поступают на первый и второй входы вычитателя 42 БФР 33, знаковый разряд которого формирует двоичный логический уровень , если , а иначе – . Значение D поступает на вход триггера  43 БФР 33, на выходе 45 которого по импульсам тактовой синхронизации демодулятора 44 формируется принятый информационный символ демодулятора.
<mrow><msub><mi>v</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
В общем виде величины  в (3)-(6) и (7)-(10) можно представить следующим образом
<mrow><msub><mi>v</mi><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mi>N</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mrow><mi>i</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow></msub></mrow>
, (15)
<mrow><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>±</mo><mn>1</mn></mrow>
<mrow><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>±</mo><mn>1</mn></mrow>
где  и  – коэффициенты, определяемые знаками в выражениях (3)-(6) и (7)-(10).
С учетом (1), (2), (15) для значений откликов квадратичных преобразователей после поступления k-го информационного символа получим
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>N</mi><mi>S</mi><mrow><mo>|</mo><mrow><mtext> </mtext><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow>
,
<mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mrow><mn>0,3</mn></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></mrow>
<mrow><msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>v</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
<mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msup><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
где  и  коэффициенты модуляции фазы из таблицы истинности,  – номер канала обработки в (11)-(14). Если передается информационный символ , то ему соответствует пара значений  и , и, если она согласована с каналом вычисления , так что  и , то по окончании приема символа имеем
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>6</mn><mi>N</mi><mi>S</mi></mrow>
,
а, если не согласована (для трех других каналов), то
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>N</mi><mi>S</mi></mrow>
.
<mrow><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow>
<mrow><msubsup><mi>σ</mi><mi>V</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow>
<mrow><mn>6</mn><mi>N</mi></mrow>
При воздействии полосового гауссовского шума с дисперсией отсчетов на выходе АЦП  дисперсия  значений откликов V (суммы отсчетов в каждом квадратурном канале) на выходе каналов обработки равна
<mrow><msubsup><mi>σ</mi><mi>V</mi><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><mn>6</mn><mi>N</mi><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow>
.
Предполагается, что отсчеты шума на выходе АЦП статистически независимы.
Одномерная плотность вероятностей значений V в согласованном с сигналом канале обработки соответствует распределению Райса [4] вида
<mrow><msub><mi>w</mi><mi>С</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mi>V</mi><mrow><mn>6</mn><mi>N</mi><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mi>exp</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mi>V</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>6</mn><mi>N</mi><mi>S</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>12</mn><mi>N</mi><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mtext> </mtext><msub><mi>I</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
,
а в несогласованном (помеховом) канале –
<mrow><msub><mi>w</mi><mi>П</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mi>V</mi><mrow><mn>6</mn><mi>N</mi><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mi>exp</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msup><mi>V</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><mi>S</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>12</mn><mi>N</mi><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mtext> </mtext><msub><mi>I</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
.
<mrow><msub><mi>I</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
Здесь  – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
При расчетах помехоустойчивости необходимо учитывать коррелированность откликов в различных каналах.
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>N</mi></mrow>
<mrow><mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><mi>S</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>N</mi><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow>
Отношение сигнал/шум  для одного информационного элемента длительностью N периодов (по  отсчетов в квадратурном канале) равно отношению мощности сигнала  к мощности шума . Тогда
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mrow><mrow><mi>N</mi><msup><mi>S</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>/</mo><mrow><msubsup><mi>σ</mi><mi>Ш</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow>
.
<mrow><mi>N</mi><mo>=</mo><mn>256</mn></mrow>
<mrow><mn>6</mn><mi>N</mi><mi>S</mi></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><mrow><mi>i</mi><mo>/</mo><mi>N</mi></mrow></mrow>
<mrow><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
На фиг. 3 показаны результаты имитационного моделирования работы демодулятора сигнала с ОФМ второго порядка при отсутствии помехи . На фиг. 3а представлены нормированные к  зависимости  (сплошная линия) и  (пунктир) от номера текущего периода. Здесь целые значения  соответствуют моментам формирования решения, а их максимальные значения (равные 1) соответствуют решению .
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>V</mi><mrow><mi>i</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>7,1</mn></mrow>
На фиг. 3б показаны аналогичные зависимости  (сплошная линия) и  (пунктир), по максимумам которых принимается решение . Те же зависимости при наличии помех при   дБ  показаны на фиг. 4.
Для определения помехоустойчивости демодулятора можно использовать известные [4] выражения для оптимального некогерентного демодулятора сигналов с ОФМ первого порядка
<mrow><msub><mi>P</mi><mrow><mi>О</mi><mi>Ш</mi><mtext> </mtext><mi>Н</mi><mi>К</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><mi>exp</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></mrow>
. (16)
и для оптимального когерентного демодулятора
<mrow><msub><mi>P</mi><mrow><mi>О</mi><mi>Ш</mi><mtext> </mtext><mi>К</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mtext> </mtext><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>F</mi><mn>2</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mi>h</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow>
. (17)
<mrow><mi>F</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msqrt><mrow><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mi>π</mi></mrow></mrow></msqrt><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>x</mi></msubsup><mrow><mi>exp</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mrow><mrow><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> d</mtext><mi>t</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow>
где .
<mrow><msub><mi>P</mi><mrow><mi>О</mi><mi>Ш</mi><mtext> </mtext><mi>Н</mi><mi>К</mi></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>P</mi><mrow><mi>О</mi><mi>Ш</mi><mtext> </mtext><mi>К</mi></mrow></msub></mrow>
Зависимости (16), (17) вероятностей  (верхняя кривая) и  (нижняя кривая) от отношения сигнал/шум h (в дБ) показаны на фиг. 5. Здесь же треугольниками нанесены значения вероятности ошибки демодуляции сигнала с ОФМ второго порядка, полученные в ходе статистического моделирования. Как видно, предлагаемый некогерентный демодулятор обеспечивает практически такую же помехоустойчивость, что и когерентный, не требуя при этом фазовой синхронизации опорного генератора с принимаемым сигналом. По сравнению с демодулятором сигналов с ОФМ первого порядка  выигрыш в отношении сигнал/шум равен 3 дБ. Подобные результаты известны в [1] при аналоговой обработке сигнала.
Предлагаемое цифровое техническое решение требует минимальных аппаратных затрат при реализации на программируемых логических интегральных схемах.
Использованная литература:
1. Окунев Ю.Б. Цифровая передача информации фазомодулированными сигналами. – М.: Радио и связь, 1991. – 296 с.
2. Тримайлов А.Е., Крутов М.И., Горляковский В.А. Цифровой демодулятор сигналов фазоразностной модуляции первого и второго порядка // Авторское свидетельство SU 1838884А3, МПК H04L27/22, опубл. 30.08.93 (Бюлл. № 32), заявка № 4938353/09 от 20.05.1991.
3. Литвиненко В.П., Глушков А.Н. Цифровой демодулятор сигналов с относительной фазовой манипуляцией // Патент № 2505922C2, МПК H04B1/10, H03D3/02, опубл. 27.01.2014 (Бюлл. № 3), заявка № 2011130805/08 от 22.07.2011.
4. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. – М.: Сов. Радио, 1970. – 728 с.