Усовершенствованный метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

усовершенствованный метод аналитического решения

многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных

уравнений

Акимов П.А., Золотов А.Б., Сидоров В.Н.

Введение. Данная статья продолжает серию работ [2-9], посвященных проблеме решения многоточечных краевых задач строительной механики. Анализируя предложенный в указанных статьях метод аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, нельзя не отметить, что относительно специфичным моментом здесь является необходимость решения вырожденной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Заметим, что сама по себе данная проблема не является краеугольной или сколь либо существенно сложной для многих практических задач. В самом деле, существуют стандартные подходы к решению таких СЛАУ, современные, в частности, основываются на использовании сингулярного разложения (БУБ-разложения) матриц. Другое дело, что естественно предпочтительным шагом является избежание вырожденности и сокращения числа уравнений в решаемой системе. Представляемый далее вариант метода не имеет указанного недостатка. Кроме того, описываемый в данной работе подход приводит к разрешающей СЛАУ с двухблочнодиагональной матрицей с окаймлением. Это приводит к существенной экономии в объеме вычислительной работы на этапе решения системы по сравнению с вариантами, описанными в [2-9], для которых соответствующие матрицы были полностью заполненными.

Под многоточечной краевой задачей (МКЗ), следуя терминологии из [1], понимается задача с «внутренними» граничными условиями, представляющая из себя, таким образом, совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имеющих общие границы (рис. 1). В частности, МКЗ представляют расчетную схему широкого спектра практических задач строительной механики (конструкции и конструктивные элементы с промежуточными опорными закреплениями, шарнирами, прочими связями и т.д.).

граничные точки

Рис. 1. Область определения многоточечной краевой задачи

Необходимость решения МКЗ для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами возникает при расчете самых разнообразных конструкций зданий и сооружений на различные виды воздействий. Это, в частности, балочные системы, тонкостенные и составные стержни, пластины, плиты, оболочки, высотные и протяженные здания, трубопроводы, рельсы, плотины и т.д. К МКЗ сводятся такие известные методы расчета, как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, метод составных стержней А.Р. Ржаницына расчета зданий, различные варианты метода прямых, метод Микеладзе-Ланцоша и т.д. Актуальность рассмотрения данной проблематики состоит также и в том, что представленные в [4-9] дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зданий и сооружений сводятся, в своем промежуточном итоге, именно к решению МКЗ для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Заметим при этом, что даже в самом общем случае произвольного порядка система уравнений всегда может быть сведена к первому порядку.

1. Постановка задачи

Пусть имеем систему п обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами и пк -1 линейных граничных условий, заданных в некотором наборе граничных точек хьк, k=1,...,nk , т.е:

у(1) - Ау = /, хЁ Ц (xk,xkb+1);

к =1

б; У(хк -0) + Б+к У(хк + 0) = Гк + Гк, к=2, ..., Пк -1;

В У(хЬ + 0) + Б- У(хПк - 0) = £+ + Щ

где у = у(х) = [ у1(х) у2(х) ... уп(х) ]7 - искомая п-мерная вектор-функция; / = /(х) = [ ^(х) f2(x) ... fn(x) ]т - заданная п-мерная вектор-функция правых частей; А - матрица коэффициентов, квадратная п-го порядка; Бк, В+ и , ^ - заданные матрицы граничных условий, квадратные п-го порядка и п-мерные векторы правых частей граничных условий.

Пусть по условию требуется определить вектор-функцию у = у (х), являющуюся решением сформулированной задачи (1)-(3).

Решение данной многоточечной краевой задачи на произвольном интервале (хкк, хк+1), обозначаемое Ук (х),

Ук

определяется формулой:

У

где Ск - вектор искомых постоянных коэффициентов п -го порядка;

Ук (х) = (е(х - хк) - е(х - хьк+1 ))Ск + е * /, х ё (хк, хьк+1),

/к(х) = /(х)0(x, 4, хк+1); 0(х 4,4+1) = •

1, х ё

"-к > к+1 > 0, х Ё (хк, О

Введя обозначения

Ек(х) = е(х-хьк)-е(х-хьы); 5(х) = е*/,

Можем переписать (5) в виде

Ук(х) = Ек(х)Ск + 5к, хё (хк,х^). Подставляем (8) в граничные условия (2)-(3), учитывая, что справедливы соотношения:

У(хк -0) = Ук_,(хк -0), к = 2, ..., Пь; У(хк + 0) = У (хк + 0), к = 1, ..., Пк -1. В результате получаем разрешающую СЛАУ относительно коэффициентов Ск, к=1,...,пк -1:

Бк Бк-1(хк - 0)Ск+ Б;Ек(хк + 0)Ск =

= И + £к+ - Б-к Бк(хк - 0) - б;Бк (хк + 0), к=2, ..., Пк -1; В Е,(х? + 0)С + Бщ Б пк _,(х Ьк - 0)Спк =

= + - В+ (хЬ + 0) - Бк (хПк - 0).

На основании свойств фундаментальной матрицы-функции записываем:

Ек(хЬ -0) = е(Ак_1 -0) - е(-0) = е^) - е(-0), к = 2, ..., % ;

где

Ек (хк + 0) = е(+0) - е(0 - к"к) = е(+0) -г(-кьк), к = 1, ..., % -1,

н = хк+1 - хк, к=1, ..., Пк -1.

Слагаемые е(-0) и е(+0) будем называть главными частями.

Систему (11) можно переписать в матричном виде

где

КС = о;

о = [ от от ... бк-1 ]Т ; С =[ сТ сТ .. сТк ]т.

" К1.1 0 0 ... 0 К1,Пк -1

К2,1 К22 0 ... 0 0

К = 0 К3,2 К3,3 ... 0 0 ;

0 0 0 ... К„к _1Пк _2 КПк-1,пк-1_

б, = + Гп. - б:ЭД + 0) - Б;Дк _

б = §; +§1 - б;^_.

Кк,к-1 = Бк Бк-1

Ки = б; ЕДХ? + 0); К1Пк _1 = Б-Пк Б% ^(Х* - 0). В матрице коэффициентов (17) полезно выделить главную К0 и дополнительную К1 части:

К = К0 + К',

где

К0 = Б+ [е( + 0)  Еп ] - Б - [е( - 0)  Еп ];

Б =

0 0 0 ... 0 "в; 0 0 ... 0 0 "

в; 0 0 ... 0 0 0 в; 0 ... 0 0

0 в- 0 ... 0 0 ; Б = 0 0 в; ... 0 0 ;

0 0 0 ... в. 0 0 0 0 ... 0 в;-1 _

" К1,1 0 0 0 К1,Пк-1

К2,1 К2,2 0 0 0

К1 = 0 К3,2 К3,3 0 0 »

0 0 0 ... КПк - 1,пк - 2 КПк -1,Пк-1

К,к-1 = Б-к г

К\л = - Б; е

Здесь символ  обозначает операцию прямого произведения матриц.

Важно отметить, что матрицы е( + 0) и е( - 0) не зависят от х.

Сопоставляя полученную СЛАУ с той, что приводилась в [2], подчеркнем, что в данном случае разрешающая система насчитывает меньшее число уравнений (п X (пк -1) вместо п X пк) и, кроме того, не является вырожденной. По своей структуре такая СЛАУ называется системой с окаймлением и для ее решения могут применяться специальные методы.

J/2007_мГВЕС ТНИК

Особо подчеркнем, что в рамках данного варианта метода можно принять более общую трактовку поставленной задачи, в частности, после соответствующих модификаций допустить изменения вида уравнения на наборе выделенных участков (например, можно решать МКЗ для уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами или вообще задачи с различными уравнениями на разных подобластях и т.д.).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Золотов А.Б., Лейтес Е.С. Об одном подходе к решению систем дифференциальных уравнений при расчете строительных конструкций. // «Строительная механика и расчет сооружений». - 1976. - №3.

2. Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Ширинский В.И. Построение аналитического решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом наличия жордановых клеток в матрице коэффициентов. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: Сб. науч. тр. №3. - М.: МГСУ. 2000, с.61-73.

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Ширинский В.И. Построение аналитического решения многоточечных задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Сб. материалов международной научно-практической конференции «Строительные конструкции XXI века». Ч. 1. М.: МГСУ, 2000, с. 200-202.

4. Золотов А.Б., Акимов П.А. Дискретно-континуальный подход к решению пространственных задач теории упругости. // «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов». Труды XIX Международной конференции. - СПб.: НИИХ СПбГУ, 2001, с. 185-190.

5. Золотов А.Б., Абдурашитов А.Ю., Акимов П.А. Применение полуаналитического метода конечных элементов для оценки напряженно-деформированного состояния рельса. // Вестник ВНИ-ИЖТ. 2001. №4. с. 26-32.

6. Zolotov A.B., Akimov P.A. Semianalytical Finite Element Method for Two-dimensional and Three-dimensional Problems of Structural Analysis. // Proceedings of the International Symposium LSCE 2002 organized by Polish Chapter of IASS, Warsaw, Poland, 2002, p. 431-440.

7. Золотов А.Б., Акимов П.А. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций. // «НТТ - Наука и техника транспорта», №3, 2003, с. 72-85.

8. Akimov P.A., Zolotov A.B. Discrete-continual Finite Element Method of Analysis for Three-dimensional Curvilinear Structures with Unilateral Constraints. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Volume 1, Number 5, Begell House Inc. Publishers & ASV, 2003, p. 10-27.

9. Сидоров В.Н., Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений. // Известия ВУЗов. Строительство, 2004, №10, с. 8-14.

Публикуемая статья создана с использованием результатов выполнения работ на средства Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-1785.2006.8.