Критическое поведение параметра порядка в неевклидовой модели зональной дезинтеграции горных пород

Критическое поведение параметра порядка в неевклидовой модели зональной дезинтеграции горных пород

М.А. Гузев, А.А. Ушаков

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, 690041, Россия

Рассматривается неевклидова модель сплошной среды, в которой скалярная кривизна является параметром порядка системы, характеризующим несовпадение внутренней геометрии модели с евклидовой геометрией внешнего наблюдателя. В рамках этой модели показано, что параметр порядка определяет переход от монотонного к осциллирующему поведению в распределении поля напряжений вокруг выработки, если внешняя нагрузка достигает некоторой критической величины.

Critical behavior of the order parameter in the non-Euclidean model of zone disintegration of rocks

M.A. Guzev and A.A. Ushakov

Institute for Automation and Control Processes FEB RAS, Vladivostok, 690041, Russia

We consider a non-Euclidean continuum model in which the scalar curvature is the order parameter of the system. The parameter characterizes the lack of coincidence between the geometry of the model and the Euclidean geometry of an external observer. It is shown that the order parameter defines the transition from monotonic to oscillating behavior in stress field distribution around an opening, if the external load reaches a critical value.

1. Введение

Последние десятилетия XX века были отмечены открытиями новых геомеханических явлений, которые, с точки зрения традиционных представлений о деформировании и разрушении горных пород, следует характеризовать не иначе как аномальными. Речь идет, прежде всего, о явлении зональной дезинтеграции, заключающемся в том, что вокруг горных выработок формируются периодические структуры в форме чередующихся зон слабо нарушенных и разрушенных пород [1-5]. До открытия явления зональной дезинтеграции теоретическое описание напряженно-деформированного состояния разупрочняющегося массива вокруг выработки рассматривалось в работе [6] (см. также ссылки в ней). В [6] была использована модель материала [7], в которой переход в неупругое состояние связан с появлением пластической деформации и сопровождается появлением дискретной сетки линий скольжения. Построенное в [6] решение позволяет вычислить расположение неуп-

ругих зон для известной диаграммы напряжение-проскальзывание. При рассмотрении условий формирования периодического чередования упругих и неупругих зон автор [6, с. 19] отмечает, что такая ситуация может реализоваться при учете объемных сил, но для рассматриваемой задачи она не анализировалась.

В работе [8] предлагается описывать слабо разрушенные зоны вокруг выработки как линейно-упругие, а сильно разрушенные зоны как пластические, для которых выполняется условие пластичности Мизеса. Показано, что при наличии единственной разрушенной области упругопластическая задача является статически определимой. Если разрушенных областей несколько, то их расположение не определяется в рамках предложенной модели.

Следует отметить, что лабораторные эксперименты, проведенные на плоских и объемных моделях из эквивалентных материалов [9-11] с целью изучения зонального характера разрушения вокруг выработок, выявили

© Гузев М.А., Ушаков А.А., 2007

критический характер процесса разрушения: появление охватывающих выработку трещин начинается при напряжениях, превышающих предел прочности материала модели на одноосное сжатие, а форма этих зон в пространстве близка к форме выработок.

Модели механики деформируемого твердого тела, в рамках которых анализировалось явление зональной дезинтеграции, не учитывают внутренних механизмов упругопластического деформирования. Известно, что с точки зрения физики механизм пластических деформаций определяется структурными дефектами материала (микронеоднородностями), а в реальном массиве они всегда присутствуют. Исследование микрохарактеристик различных материалов физическими методами обусловило введение в материаловедческую литературу таких понятий, как дислокации, дисклинации, вакансии и другие характеристики дефектов кристаллического строения [12]. Тогда при построении модели, учитывающей микронеоднородности структуры материала, необходимо расширить число параметров описания, задавая соотношения, определяющие связь этих параметров с другими кинематическими и динамическими характеристиками рассматриваемой модели сплошной среды. Поскольку в реальном материале плотность распределения микроскопических дефектов очень высока, то при рассмотрении процессов неупругого деформирования, связанных с коллективными движениями дефектов, используется континуальная теория, в которой тело рассматривается как среда с непрерывно распределенными дислокациями. В середине пятидесятых годов XX века было показано, что для описания линейных дислокаций необходимо ввести в теорию объекты, запрещенные геометрической структурой классической теории упругости, при этом распределение дислокаций приводит к нарушению условия совместности деформаций [12, с. 89]. Включение неевклидовых геометрических характеристик в качестве внутренних переменных новой модели позволяет учесть дефекты различных типов в среде [13, 14]. С точки зрения физики, неевклидовы геометрические характеристики образуют набор параметров порядка системы, характеризующих несовпадение внутренней геометрии модели с евклидовой геометрией внешнего наблюдателя. В наиболее четкой форме С.К. Годунов [15] указал, что в классической теории отождествление изменений внутренней метрики материала, определяющей изменение его внутренней энергии и соответствующее изменение формы тела в евклидовой метрике внешнего наблюдателя, является дополнительной гипотезой. Поэтому обобщение классической теории означает переход к неевклидовой модели сплошной среды.

Экспериментальные исследования явления зональной дезинтеграции пока не дают полного количественного ответа на вопрос о влиянии характеристик микродефектов на формирование зон разрушения вокруг вы-

работки. Для решения этой задачи необходимо дополнительное изучение деформационных полей с различным уровнем разрешения при измерениях. Подходы к теоретическому анализу этой проблемы с использованием неевклидовой модели среды рассматривались в [16]. В ней рассмотрен частный случай неевклидовой модели, для которой в качестве параметра порядка была введена скалярная кривизна R. Для R были построены осциллирующие и монотонные решения, определяющие структуру поля напряжений. Однако в рамках этой модели не исследовался переход компонент напряжений от монотонного к осциллирующему поведению при изменении внешнего параметра нагружения, что соответствует формированию областей зонального разрушения материалов [9-11]. Данная работа восполняет указанный пробел.

2. Общие соотношения задачи

Рассмотрим массив как невесомую среду, ослабленную цилиндрической полостью, моделирующей круглую закрепленную выработку в условиях всестороннего сжатия, т.е. компоненты напряжений удовлетворяют уравнению:

дх,

= 0,

где х; — декартовы координаты, по повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается суммирование. Введем цилиндрические координаты {г, ф, z} так, чтобы координата z совпала с осью симметрии полости кругового цилиндра радиуса г0. Из-за полярной симметрии уравнения равновесия имеют вид:

Эа ъг.

ФФ= 0, а,ф = 0.

Д  “Гф “•

аг г

На контуре выработки (г = г0) радиальные напряжения равны нулю, а на бесконечности они заданы:

агг = 0 при г = г0, агг р при г

В классической теории упругости первый инвариант тензора напряжений является гармонической функцией, тогда для этой модели данное условие вместе с (2) составляют замкнутую систему уравнений для определения компонент напряжений.

Пусть массив является сплошной средой с некоторой внутренней дефектной структурой. Поскольку дефекты нарушают условие совместности деформаций, то расширение классической модели выполняется за счет введения дополнительных переменных, характеризующих несовместность [16]. Напомним [15], что в линейной теории упругости условия совместности Сен-Венана

д2 е

- = 0,

Э2 є.. ЭЧ

£„ =------------——Де,-„+- 1

дх‘ дхд 111 Эх1 дхд дх' Эх1

в которых А — оператор Лапласа, являются необходи-

мыми и достаточными условиями для представления Представим ег в виде:

1

є.. =

1 2

компонент тензора деформаций е. в виде:

ди' Эи1’л

—- + —- •

Эх1 дх'

К У

Если напряжения и деформации связаны (для изотермического или адиабатического процесса) законом Гука, то соотношения (4) приводят к требованию гармоничности первого инварианта тензора напряжений. Тогда при отказе от условия совместности величины являются естественными дополнительными переменными для построения новой модели.

Величины допускают интерпретацию в терминах неевклидовой геометрии. С этой целью введем метрический тензор gij = 5. - 2г. и коэффициенты связности

1

Эх' Эх1 Эх

Рассмотрим ковариантный тензор Римана-Кристоффе-ля [17]:

Л Л

R = -—Г --—Г - (Г

1 дхі ‘1’1 дх1 Щ’1 'і

Г -Г

^ 11, р 11’

Ф, р ).

Если тензор Римана-Кристоффеля равен нулю [17],

то метрика g^1 является евклидовой, т.е. для нее существует порождающее векторное поле у = t) Эу“Эу“

такое, что gij =—:----- . В трехмерном случае для

Эх' Эх1

определения тензора Римана-Кристоффеля достаточно знать тензор Риччи Щ [15, 17]. С тензором Римана-Кристоффеля он связан соотношениями:

Лл = щк = gilRl

Л

Щк = 1к + - 1к + glkgil - gllgikх

R = gR.,

где величина R называется скалярной кривизной. Рассмотрим линейное приближение относительно е., тогда

= 5... = 5. =

1 11 1

Л = Щ

1 1 11 1 11 1

д2 є /у д2 Е„

=------——Ае. н----------—1—

Эх'Эх1 1 дх1 дх1

Щ = Щ

э21

дх' дх

Щ Щ

Отсюда и из (4) видно, что величины совпадают в ведущем порядке с компонентами тензора Риччи и характеризуют неевклидовость поля деформаций.

В условиях плоской деформации единственным параметром несовместности является скалярная кривизна и уравнение несовместности имеет вид:

Т. ~АЯк = Т

дх, дх. 2

1

А

Эф,- Эф 1

Эх1 дх'

V У

5;/ Дф-

д 2ф

Л

дх' дх1

У

выделяя классический (по кинематике) вклад (5). Отсюда и из (6) имеем уравнение для определения ф при заданной скалярной кривизне R:

2 Щ

А2 ф =----------.

4

Для массива, содержащего дефекты структуры и находящегося в состоянии равновесия, справедливы уравнения (2). Чтобы замкнуть систему соотношений (2), (7), необходимо знать уравнения состояния для массива. В [14] показано, что для неевклидовой модели сплошной среды уравнения состояния можно записать в виде:

в 1 =Р(8* - 2еЛ )------2ТлР^~,

1 Эе# дЯ.

ЭД _ эи _5

ЭЕ. _РЭе1 у дхкдх

В > 0,

где р — плотность; Е.. — источник несовместности деформаций; J . = рЭЦ/ ЭЯ., ии D — внутренняя энергия и диссипативная функция соответственно. Скалярная кривизна определяются в соответствии с уравнением:

dЯ

dt

= - 2^^дРЕ!рЩі - 2gisg1PEslR

FUjq

ІІЇ1

ЭД,., дD,

'1,1

Щ,1

дх1

Эх1

' Г 1І, рД у, а

е1 '11,

-Г 1- ДЦ,р)

2 gФgmnEы (Г^Г

ЭЕ,,.

ЭЕ,.

Д, = —- н-----------

j’ Эх1 Эх '

11, р

ЭЕ.. _____1

дх1 ’

'Г,!, „Гц, р )

где g,1 — компоненты матрицы, обратной к g.. Поскольку деформации малы, то р = р„, ЭЯ/дЯ. ~ 5., J . = = &уЛ/2, J = 2р0Эи / дЯ. Это позволяет перейти к укороченной форме записи в уравнении состояния:

ди

дп 1

(

ЭЕ,,.

ди

Т 1 (

р0 эГ_5 у А 3+

а.-^.Д 3 +

1 1 дх'дх

д2 3

дх' дх1 Э23 ^

В этом приближении стационарное уравнение (9) для плоской деформации можно записать в виде:

Э2 Е..

Е - ЕШЯ = 0-

Эх дх1

Соотношение (11) соответствует предположениям неравновесной термодинамики [18] о том, что диссипа-

тивная функция представляется билинейной формой термодинамических сил и потоков:

( э2 з

п = Е 1 -5'.,. А 3 + ——-

1 дх' дх]

Для обеспечения неотрицательности D полагаем,

что

Е •• =Ь

1

д2 3

о..-5..Д3 + - . .

1 1 дх'дх1

Уравнения (2), (7), (8), (10), (12), (13) при заданной внутренней энергии и представляют полную систему соотношений для определения всех неизвестных функций.

3. Структура поля напряжений

Зададим внутреннюю энергию как функцию деформации е. и скалярной кривизны R: и = и(е., Я). При малых деформациях ограничимся лишь первыми и вторыми членами разложения внутренней энергии по степеням е., R:

р0и = у

где Л1, V, р,2 — феноменологические параметры. Из (10), (14) следует выражение для тензора напряжений:

=3! + УЯ) + 2^1Е!.

Учитывая (7), запишем соотношение (15) следующим образом:

а.=х18. !?+5. (2х1Аф+ук)+

+ ^1

Эф'. Эф 1 \

дх1 дх'

+ 2^1

Я Л 3 2ф

5„Дф------------——

дх ' Эх1

Перейдем к полям л,, полагая

Эф

^ =Ф>“ТТ. дх

Преобразование (17) оставляет инвариантным условие несовместности (6) и позволяет переписать (16) в виде:

ст. = ^8 В + 2^1 В. +5./,

Эл,. Эл 1 ^

Эх1 дх'

V У

/ = (3А,1 + 2ц1 )Лф + уЯ.

Структура тензора Д совпадает со структурой классического тензора деформации линейной теории упругости, т.е. он порождается векторным полем ^. Тогда сумма первых двух слагаемых в (18) может быть отождествлена с полем напряжений аН1, вычисляемым в соответствии с законом Гука, а последнее слагаемое характеризует распределение поля внутренних напряжений, создаваемых дефектами:

^Н,'1

°Н, 1 _ ^1^1Пкк + 2^1Д.

В общем случае для тела, находящегося в равновесии, показано [19], что структура поля внутренних напряжений складывается из поля напряжений, созданного дефектами, и компенсирующего их поверхностную неуравновешенность поля упругих напряжений.

В физике градиентные преобразования, аналогичные (17), возникают, например, в теории поля [20], когда исследуется проблема определения электромагнитного поля через потенциалы. При этом электромагнитное поле инвариантно относительно градиентных (калибровочных) преобразований, а потенциалы определяются неоднозначно. Из-за неоднозначного определения потенциалов их можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному условию — условию калибровки. По аналогии с теорией поля, можно сказать, что условие (8) фиксирует выбор калибровки (выбор функции ф) при введении вектора смещения для точек сплошной среды, содержащей дефекты структуры, при этом калибровочная инвариантность условия несовместности позволяет разделить классический вклад в поле напряжений и вклад, определяемый дефектами структуры.

4. Стационарные решения уравнения для скалярной кривизны

Уравнение (12) для скалярной кривизны содержит источники Е .. Источники несовместности деформаций Е.. определяются в соответствии с соотношением (13). Тогда уравнение (12) можно переписать в виде:

ЗЛ, + 2ц, Я м _

Л-1 + 2^1 16у2

Л-1 + 2^1

М*1 л 2

3^1 + 2^1 ^1 + 2^1

А2 Щ +

-2^2 +

12у

2

3^1 + 2^1

4у

А2Щ -

3^1 + 2^1

Аа +

+ДЩ

-2^1 +

12у

2 'Л

3^1 + 2^1

Щ = 0,

где = а — след тензора напряжений. Дальнейшая редукция (21) связана с уменьшением числа феноменологических параметров модели. Выберем

^2 = 7(3^1 + 2^),

тогда

3Х> + 2\ м +_^ м.

^1 + 2^1 16у2

^1 + 2^1

Мі

3^1 + 2^1 ^1 + 2^1 3^1 + 2^1

-А2 Щ =

^1 + 2^1

4^1 3*1 + 2^1

-А-1

Щ.

Обозначая

3Л. + 2 и,,

q = - 1 1

, h =

4v

^1 + 2^1 ЗХ1 + 2^1

запишем (21) в виде:

дцДНД-1)2 Я + 2

Для замыкания этого уравнения следует воспользоваться условием несовместности (6), представляя его в терминах напряжений. С этой целью выразим е. из (15):

1 ' "............

^ (ц-sj + vR]).

2Ml

Подставляя (24) в (6) и используя уравнения равновесия (1), имеем:

-R = Др +_^AR.

М1 М1

Первый инвариант тензора деформаций £ш = 11 вычисляется через а и R:

I _ о ЗуЯ

ЗЛ1 + 2^1 ЗХ1 + 2^1 Тогда (25) редуцируется к виду:

До = дцДНД —1)Я,

где учтены обозначения (22). Линеаризуем уравнения (23), (26) относительно классического решения оск88. Для цилиндрической выработки

^ = С1 + ^)( Огг +афф) =

= -2

где у1 =А,1/(2(А,1 +ц1)) определяет эффективный коэффициент Пуассона рассматриваемой модели среды.

Полагая о = ос1а88 + g, где Дос1а88 = 0, перепишем (23),

(26) в виде:

дМ-1 (hД - 1)2 Я + 2(°сЫ8 + g - Н^)Я = 0>

Дg = д^1 (НА - 1)Я.

Ясно, что g = 0, R = 0 являются решениями этой системы. Поскольку мы рассматриваем модель сплошной среды, содержащей дефекты структуры, описание которых выполняется в терминах R, то нас интересуют отличные от нуля решения. С этой целью рассмотрим линейное приближение. Тогда, учитывая (27), имеем

дц1

Рассмотрим решения (28), зависящие только от г и удовлетворяющие естественному, с точки зрения физики, требованию убывания на бесконечности при г ^«>. Представим (28) в виде:

Пусть Р^ < др,1, тогда решение уравнения (29) имеет следующую структуру:

Я = Я1 + Я2 , (НД-у )Я1 = 0,

' г^—

(НА-2 + у_)Я2_= 0, у_=1 -у!Р^/д\^1.

Функции R1_ и R2_ определяются формулами:

Ri,- = ci K0(rV У-/ h )>

R2,- = c2K0(rV(2 -Y- Vh)>

где Ko — функция Макдональда нулевого порядка. Отсюда видно, что решение для скалярной кривизны имеет монотонный характер, если внешняя нагрузка не превышает величины q^i, определяемой характеристиками материала.

Пусть Pj > q^i, тогда

R = R1, + + R2,+ ,

(hA + y+) Ri + =0,

(hA-2 -Y+ R+ = 0,

Y+=JPJWi -1.

Решение для R1 +, R2+ определяется через функции Бесселя J0, Неймана N0 и Макдональда нулевого порядка:

Ri, + = aJo(^У+/ h) + bNo (rftjh),

R2,+ = cK 0W(2 + Y+ Vh )-Таким образом, если внешняя нагрузка превышает q\i1, то скалярная кривизна содержит осциллирующие вклады.

5. Вычисление поля напряжений

Подставляя (20) в уравнение равновесия (1), получаем:

Если воспользоваться тождеством Vdiv л - Ал = rot rotл, то (34) можно переписать в виде:

V[

Деформация Л направлена по радиусу и является функцией только от г, поэтому rot Л = 0 и уравнение (35) приобретает вид:

V[(Aj + 2^)div Л + / ] = 0.

Отсюда имеем:

(A-i + 2^)div л + / =

= (ki + 2^i)---(Г^) + f = 2a(ki + 2^i).

r dr

Интегрируя это уравнение, находим:

л = ar + b-----i-----f dsf(s) s.

r (Xi + 2^)r

Отличные от нуля компоненты тензора деформации Dравны:

D = ^ =

dr

f

i

r Xi + 2ц1 (Ai + 2ц1 )r

-j d:f(s)s,

г, Л Ь

= — = а + —

1

-} Сф.

г г~ (Х1 + 2^1)г 0

Компоненты напряжений определяются как:

°гг = ^1 (Вгг + Вфф ) + 2 М-1 Вгг + /,

%Ф = *1 (Вгг + Вфф ) + 2^1 Вфф + /.

Постоянные а и Ь определяются из краевых условий (3), в результате находим:

= - Р

' Г 2 ^

1 - Гг

Г

V )

'1 - £

2^145

(^1 + 2^1)г 2 ’

2^1 РДГ) , 2^/

V

(Х1 + 2^)г 2 Х1 + 2^

Іге5 (Г) = 1 (ф.

Чтобы вычислить эталонный интеграл в (36), необходимо знать функцию f (19). Рассмотрим случай Р < щ1. Будем искать ф в виде ф = Р1 _Щ _ + Р2 _Я2 _ с некоторыми коэффициентами Р1 _, Р2 _. Подставим ф в (8) и воспользуемся (30), тогда находим:

Р1, К=~ 1

Дф =

4у_/ h 1

4(2 -у_)/h’ 1

4л/у7^ 47(23^

Щ

Отсюда и из (19) определяем

/ =

4л/у7^

V-

3^1 + 2^1

Вычисление 1те£ (г) основано на использовании решения (31) и справочной формулы

d

dг

(гК 0(г )) = - гК1(г ).

В результате имеем:

Ъ(г ) = -

V-

V-

3^1 + 2^1 4^(2-у')/к ^(2-у_)/к

1(^(2 -у_ )/к )|Г .

1Гп

Переопределим коэффициенты, полагая

2^1

^1 + 2^1 2^1

А

V-

^1 + 2^1

3^1 + 2^1

4*Щк

3^1 + 2^1

С1 = ср

А

у

4^(2 -у_ )/ к

Суммируя все вычисления, получаем представление для компонент напряжений при условии У_ = 1 -

-VР*/д^1 > 0:

= - Р

2

Г2

1 - ^

Г

V У (%2 е

г у (2 -у_ Vк

= - Р.

Г V V-/ к

К1СУ(2 -у_ Vк )|Г ,

1Г0

Г Г2 >

1 + Г

Г2

V У

2л/уТк

1( ^л/уТк )|Г

!Гг

г У(2 -у_ )/ к

К

'(^ (2 -у_ V к )| Г

+--------К

'г(

г У(2 -у_ V к

К

,(^(2 -у_ Vк )|Г .

Г

Случай у+ = у]Р /др,1 -1 > 0 рассматривается аналогичным образом. Представляя ф в виде ф = а1 + Я1 + + +а2 + Я2 +, подставим в (8) и воспользуемся (19), (32), тогда находим:

11

а, =-

Дф =

4У+/ к 1

_____ Щ___________

4-Щк 1,+ ^ (2 + у+ )/ к

4(2 + у+ )/ к’

Щ? +,

/ =

4Щк

Щ1, + +

V-

3^1 + 2^1

4^(2 +у^ V к

Щ2, + .

Используя решение (33), (37) и соотношения

(гJo (г)) = ^1 (гX (г^0 (г)) = г^1 (г),

аг аг

вычисляем интеграл от цилиндрических функций. Тогда находим:

1ге,(г) =

44%1ь J^/Y7h

X[а31(уу+/к) + ь^1(уу^к)] -

'ГГ

3^1 + 2^1

^(2+У+Vк ^(2+у+Vк X сК1(У(2 + у+ Vк ^г .

Полагая

2^1

^1 + 2^1 2^1

V-

3Х1 + 2^1 а ^ ( а \

Ь

\ )

^1 + 2^1

4^Цк

3^1 + 2^1

^(2 + у^ V к

ь

\ )

с - с,

в результате получаем следующие формулы для компонент напряжений при условии у+ = л/Р-/^1 _ 1 > 0:

= - Р

Г У(2+у+ Vк

X с К1( У(2 + у+ Vк ^ +

ІГ0

+ -п=гг [а31 ^ у+/к) + ЬН1^у+/к )]1 г V у+/к 1

= - Р

Г Г2 ^

1+

Г

V У

г У(2+у+ VН X С К1(У(2 + у+ VН ^ -

"0

---^/=т [^'/1 (^л/у^Н ) + Ь^1(^л/у7Н )] +

г ^ у+/ Н |г0

+~т1=гг[а'/0(г^йк)+)] .

г у]у+/Н |г0

6. Обсуждение

Поставленная первоначально задача была направлена на объяснение критического характера поведения поля напряжений, связанного с переходом от монотонного к осциллирующему поведению поля напряжений при достижении внешней нагрузкой некоторой предельной величины. В принятой математической модели предполагается, что материал содержит дефекты, параметризация которых дается в терминах неевклидовой характеристики модели — скалярной кривизны, определяющей несовместность деформаций. Выполненное исследование показало, что характер поведения компонент поля напряжений (38), (39) определяется скалярной кривизной. При этом изменение функциональных свойств последней, связанное с переходом от монотонного (31) к осциллирующему поведению (33), наблюдается, если величина внешнего приложенного напряжения превышает критическое значение, зависящее от характеристик среды. С точки зрения физики, это означает, что в материале, изначально содержащем отдельные дефекты, которым соответствует локализованное решение для скалярной кривизны, начинает развиваться дефектная структура. Как было указано во введении, она определяет механизм пластических деформаций, приводящий к переходу материала в макроскопически неупругое состояние. Дальнейшее вычисление макроскопических параметров зонального разрушения можно выполнить на основе подхода [6].

Работа выполнена в рамках интеграционного гранта № 06-П-У0-01-001.

Литература

1. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. 1. Данные натурных наблюдений // ФТПРПИ. - 1986. -№3. - С. 3-15.

2. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. 2. Разрушение горных пород на моделях из эквивалентных материалов // ФТПРПИ. - 1986. - № 4. - С. 3-12.

3. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. 3. Теоретические представления // ФТПРПИ. - 1987. -№1. - С. 3-8.

4. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. 4. Практические приложения // ФТПРПИ. - 1989. - № 4. -

С. 3-9.

5. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок // ДАН СССР. - 1986. - Т. 289. - № 5. - С. 1088-1094.

6. Реєуженко А.Ф. О напряженно-деформированном состоянии ра-зупрочняющегося массива вокруг горной выработки // ФТПРПИ. -1978. - № 2. - С. 10-20.

7. Ревуженко А.Ф. К вопросу о плоском деформировании упрочняю-

щихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. -1977. - № 3. - С. 156-174.

8. Рева В.Н., Тропп Э.А. Упруго-пластическая модель зональной дезинтеграции окрестности подземной выработки // Физика и механика разрушения горных пород применительно к прогнозу динамических явлений. - СПб.: ВНИМИ, 1995. - С. 125-130.

9. Тропп Э.А., Розенбаум М.А., Рева В.Н., Глушихин Ф.П. Зональная дезинтеграция породы вокруг горных выработок на больших глубинах. - Л., 1985. / Препринт ФТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР № 976.

10. Глушихин Ф.П., Шклярский М.Ф., Рева В.Н. и др. Новые закономерности разрушения горных пород вокруг выработок // Шахтное строительство. - 1986. - № 2. - С. 11-14.

11. Глушихин Ф.П., Кузнецов Г.Н., Шклярский М.Ф. и др. Моделирование в геомеханике. - М.: Недра, 1991. - 240 с.

12. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 248 с.

13. Панин В.Е., ГриняевЮ.В., Данилов В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.

14. Гузев М.А., МясниковВ.П. Термомеханическая модель упругопластического материала с дефектами // Изв. АН. Механика твердого тела. - 1998. - № 4. - С. 156-172.

15. Годунов С.К., РоменскийЕ.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. - Новосибирск: Научная книга, 1998. - 268 с.

16. Гузев М.А., ПарошинА.А. Неевклидовая модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок // ПМТФ. -2000. - № 3. - С. 181-195.

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. - М.: Наука, 1986. - 760 с.

18. Пригожин И., Кодепуди Д. Современная термодинамика: от тепловых двигателей до диссипативных структур. - М.: Мир, 2002. -462 с.

19. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах //Докл. Академии наук. - 2001. - Т. 38. - № 5. - С. 627-629.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1988. -512 с.

Поступила в редакцию 16.10.2006 г., переработанный вариант 05.06.2007 г.