Конечные группы с X-перестановочными максимальными подгруппами силовских подгрупп

УДК 512.542

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С Х-ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ СИЛОВСКИХ ПОДГРУПП

О. В. Нетбай

В данной работе на основе понятия Х-перестановочной подгруппы получены новые характеризации р-разрешимых и р-сверхразрешимых групп.

Ключевые слова: Х-перестановочная подгруппа, р-разрешимая группа, р-сверхразрешимая группа, р-нильпотентная группа, р-группа, силовская подгруппа, нормальная подгруппа.

Все рассматриваемые в работе группы конечны.

Известно, что строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на максимальные подгруппы силовских подгрупп самой группы или силовских подгрупп некоторых выделенных подгрупп этой группы. Впервые это было замечено в работе Хупперта [1], где, в частности, была доказана свехразрешимость разрешимой группы G при условии, что все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из G перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы G. Несколько позднее в работе [2] Сринивазан доказал, что группа G является сверхразрешимой при условии, что в G имется такая нормальная подгруппа N со сверхразрешимой факторгруппой G/N, что все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из N нормальны в G. Эти два результата получили развитие в исследованиях многих авторов.

Целью данной работы является дальнейший анализ некоторых результатов рассмотренного направления на основе понятия Х-перестановочной подгруппы. Напомним, что подгруппа А группы G называется перестановочной с подгруппой В, если АВ=ВА. Если А перестановочна со всеми подгруппами из G, то А называется перестановочной [3] или квазинормальной [4] подгруппой в G. Часто встречается ситуация, когда подгруппы А и В группы G не являются перестановочными, но в G имеется такой элемент х, для которого АВХ=ВХА.

Определение. [5] Пусть А, В - подгруппы группы G и 0 ^ ^cG. Тогда А называется Х-перестановочной с В, если АВх=ВхА для некоторого х е Х.

Используя понятие Х-перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных Х-перестановочных подгрупп для подходящих Х. Например, используя это понятие можно дать следующую интерпретацию классической теоремы Холла о разрешимых группах (см., например, [6, II, теорема 2.4]): группа G разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две холловские подгруппы G-перестановочны. Согласно теореме 3.8 из [7], группа G является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы G-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах Х-перестановочных подгрупп для классов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах [5, 7, 8, 9, 10, 11].

Напомним, что группа G называется р-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо р'-группой, либо группой порядка р. Для сверхразрешимых и р-нильпотентных групп получено большое число их описаний, и большая часть из них отражена в книге [12]. В то же время р-сверхразрешимые группы остаются мало изученными и в настоящее время. Нами доказана следующая теорема в данном направлении.

Теорема. Пусть Р - силовская р-подгруппа группы G, |Р| > р и Х - нормальная р-нильпотентная подгруппа в G. Если каждая максимальная подгруппа из Р Х-

перестановочна с каждой силовской q-подгруппой из G для всех q # р, то группа G р-сверхразрешима.

Предварительные результаты

Для доказательства основного результата нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть P - силовская р-подгруппа группы G и X - нормальная р-разрешимая подгруппа в G. Если P X-перестановочна с каждой силовской q-подгруппой из G для всех q #р, то группа G р-разрешима.

Доказательство. Допустим, что утверждение леммы неверно и пусть G -контрпример минимального порядка. Рассмотрим два формально возможных случая.

1) X # 1. Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в G, которая содержится в X. Тогда N является либо р-группой, либо р-группой. Покажем, что условие леммы выполняется для G/N. Действительно, ясно, что X/N является нормальной р-разрешимой подгруппой в G/N. Кроме того, PN/N является силовской р-подгруппой в G/N. Пусть Q/N -силовская q-подгруппа в G/N, где q # р. Тогда Q = Q1N, где Q1 - некоторая силовская q-подгруппа в Q. Ясно, что Q1 является силовской q-подгруппой в G. Поскольку P X-перестановочна с Q1, то PN/N XW-перестановочна c Q1N/N = Q/N, по лемме 2.1(3) из [13]. Так как \G/N\ < |G|, то, по выбору группы G, факторгруппа G/Nр-разрешима. Это влечет, р-разрешимость группы G, что противоречит выбору группы G.

2) X = 1. Пусть Q - силовская q-подгруппа в G, где q # р. По условию, P перестановочна со всеми силовскими q-подгруппами группы G и поэтому P перестановочна с каждой сопряженной с Q подгруппой Qg для всех g î G. Так как G # PQg (в противном случае G - разрешимая группа), то, по теореме 3 из [14], группа G непроста.

Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в G. Покажем, что группа N р-разрешима. Действительно, так как N нормальна в G, то NP является подгруппой в G. Мы можем полагать, что р \ |#| (в противном случае N р-разрешима). Если NP = G, то \G : N\ = р1 и поэтому все r-подгруппы, где r #р содержатся в N. По лемме [15, V, 7.7], подгруппа N Ç P является силовской р-подгруппой в N. Пусть Q1 - силовская q-подгруппа в N, где q #р. Тогда, поскольку \G : N\ = р\ то Q1 является силовской q-подгруппой в G. Значит, PQ1= Q1P и поэтому

PQi çN=(P çN)Qi=Qi (NçP).

Таким образом, условие леммы выполняется для N и поэтому, по выбору группы G, N р-разрешима.

Предположим теперь, что NP # G. Пусть R1 - произвольная силовская r-подгруппа в NP, где r #р. Ввиду [15, VI, 4.7], R1 - силовская r-подгруппа в N. Тогда R1 = N Ç R, где R - некоторая силовская r-подгруппа в группе G. Значит,

RiP = (R Ç N)P = RP Ç RN = P(R ç N) = PRi

и поэтому условие леммы выполняется для PN. Тогда по выбору группы G, подгруппа NP р-разрешима, а значит, Np-разрешима.

Аналогично случаю 1) легко показать, что условие леммы верно для G/N. Так как \G/N\ < \G\, то, по выбору группы G, факторгруппа G/N р-разрешима. Это влечет, р-разрешимость G, что невозможно, ввиду выбора группы G. Данное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 2. Пусть P - силовская р-подгруппа конечной группы G, \P\ > р и X -нормальная р-разрешимая подгруппа в G. Если каждая максимальная подгруппа из P X-перестановочна с каждой силовской q-подгруппой из G для всех q # р, то группа G р-разрешима.

Доказательство. Допустим, что утверждение леммы неверно и пусть G -контрпример минимального порядка. Рассмотрим два формально возможных случая.

1) X # 1. Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в G, которая содержится в X. Поскольку группа X р-разрешима, то N является либо р-группой, либо р'-группой. Покажем, что условие леммы выполняется для G/N. Действительно, ясно, что X/N является нормальной р-разрешимой подгруппой в G/N. Кроме того, PN/N является силовской р-подгруппой в G/N. Пусть P1/N - произвольная максимальная подгруппа в PN/N. Если N - р-группа, то P1 является максимальной подгруппой в P и в этом случае условие леммы выполняется для G/N. Предположим теперь, что N - р'-группа. Тогда P1 = MN, где M - некоторая максимальная подгруппа в P. Пусть Q/N - силовская q-подгруппа в G/N, где р # q. Тогда Q = Q1N, где Q1 - некоторая силовская q-подгруппа в Q. Согласно условию леммы, M X-перестановочна с Q1 и поэтому P1/N = MN/N X/N-перестановочна c Q1N/N=Q/N, по лемме 2.1(3) из [13]. Так как \G/N\ <\ G|, то по выбору группы G, факторгруппа G/Np-разрешима. Это влечет р-разрешимость G. Противоречие.

2) X=1. Пусть Q - силовская q-подгруппа в G, где q # р. Если силовская р-подгруппа P группы G не является циклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы P1 и P2 такие, что P = P1P2. Тогда, используя условие леммы, имеем

PQ = P1P2Q = QP1P2 = QP,

И поэтому, ввиду леммы 1, группа G р-разрешима.

Предположим теперь, что P - циклическая группа с максимальной подгруппой P1. Покажем, что группа G не является простой. Действительно, по условию, P1 перестановочна со всеми силовскими q-подгруппами группы G (q # р) и поэтому P1 перестановочна с каждой сопряженной с Q подгруппой Qg для всех g е G. Так как G # P1Qg (в противном случае G - разрешимая группа), то, по теореме 3 из [14], группа G непроста.

Пусть N - минимальная нормальная подгруппа в G. Покажем, что группа N р-разрешима. Пусть R1 - произвольная силовская r-подгруппа в NP1, где r #р. Ввиду [15, VI, 4.7], R1 - силовская r-подгруппа в N. Тогда R1 = N п R, где R - некоторая силовская r-подгруппа в группе G. Значит,

R1P1 = (R п N)Pi = RP1 пRN = Pi(R п N) = PR

и поэтому условие леммы выполняется для P1N. Тогда по выбору группы G, подгруппа NP1 р-разрешима, а следовательно, Np-разрешима.

Если P1 не является силовской подгруппой в NP1 и NP1 # G, тогда, ввиду выбора группы G, NP1 р-разрешима. Значит, N также р-разрешима.

Предположим, что NP1 = G. Тогда \G : N\ = р1 для некоторого i е N и поэтому все q-подгруппы группы G содержатся в N, где q #р. По лемме [15, I, 7.7], подгруппа N п P является силовской р-подгруппой в N. Ясно, что N п P1 является максимальной подгруппой в N п P. Если N п P1 # 1, то лемма верна для подгруппы N. Действительно, пусть Qi - силовская q-подгруппа в N, где q # р. Тогда Qj является силовской q-подгруппой и в G. Значит, P1Q1 = Q1P1. Тогда

P1Q1 п N = (N п P])Q] = Q(N п P),

и поэтому условие леммы верно для N. Тогда, по выбору группы G, N р-разрешима. Если N п Pi = 1, то очевидно, что группа N является р-разрешимой.

Рассуждая аналогично как и выше легко показать, что условие леммы верно для G/N. Так как \G/N\ < \G\, то, по выбору группы G, факторгруппа G/Nр-разрешима. Это влечет, р-разрешимость G, что невозможно, ввиду выбора группы G. Это противоречие завершает доказательство леммы.

Доказательство основной теоремы

Предположим, что это утверждение теоремы неверно и пусть G - контрпример минимального порядка. По лемме 2, группа G р-разрешима. Пусть N - минимальная

нормальная подгруппа группы G. Поэтому N либо р-группа, либо р'-группа. Доказательство теоремы разобьем на шаги:

1) Факторгруппа G/N является р-сверхразрешимой для любой минимальной нормальной подгруппы N из G.

Пусть N # G. Поскольку \G/N\ < |G|, то необходимо лишь проверить, что условие верно для G/N. Действительно, ясно, что X/N является нормальной р-нильпотентной подгруппой в G/N. Прежде заметим, что РN/N - силовская р-подгруппа в G/N. Пусть Р}Ш

- произвольная максимальная в Р/N подгруппа. Если N - р-группа, то P1 является максимальной подгруппой в P и в этом случае условие леммы выполняется для G/N. Предположим теперь, что N - р'-группа. Тогда P1 = MN, где M - некоторая максимальная подгруппа в P. Пусть Q/N - силовская q-подгруппа в G/N, где р # q. Тогда Q = QiN, где Q1

- некоторая силовская q-подгруппа в Q. Согласно условию теоремы, M X-перестановочна с Qu и поэтому P1/N = MN/NX/N-перестановочна c Q1N/N = Q/N, по лемме 2.1(3) из [13]. Так как \G/N\ < \G\, то по выбору группы G, факторгруппа G/Np-разрешима. Это влечетр-разрешимость G. Так как \G/H\ < \G\, то, по выбору группы G, имеем 1).

2) В группе G имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа N и F(G)=1.

Это прямо вытекает из 1) и того хорошо известного факта, что класс всех р-сверхразрешимых групп замкнут относительно образования подпрямых произведений, и всегда из р-сверхразрешимости факторгруппы G/F(G) следует р-сверхразрешимость самой группы G.

3) Минимальная нормальная подгруппа N группы G является абелевой р-группой и

X £ P.

Предположим, что это не так и пусть L - минимальная нормальная в N подгруппа. Если L - абелева группа, то р не делит \N\, что в силу 1) влечет р-сверхразрешимость группы G. Значит, L - простая неабелева группа. Применяя теперь 2), получаем X = 1. Поскольку L является субнормальной подгруппой в G, то P п L - силовская р-подгруппа в L. Предположим, что P п L # P и пусть M - максимальная в P подгруппа, содержащая P п L. Согласно условию, QXM = MQX, где Q - силовская q-подгруппа в G, q # р и x -некоторый элемент из X, и поэтому

QXMп L =

для любой силовской q-подгруппы Q из G, q # р. Это означает, что в L имеются холловские {р, qZ-подгруппы для всех q делящих порядок группы L. Последнее противоречит [16]. Таким образом, P iL и поэтому условие теоремы переносится на L. В силу выбора группы G мы должны заключить, что L = G, что вновь приводит нас к противоречию с [16]. Так как по 2), Ор' = 1, то Ор'(Х) £O^G). Это влечет X£P.

4) G=[N]M, где M - р-сверхразрешимая максимальная в G подгруппа и N = Ор^)= Cg(N)=X.

Пусть C=Cg(N). В силу 2), для некоторой максимальной в G подгруппы M имеет место G = NM. Понятно, что N п M = 1. Кроме того, в силу 1), подгруппа M р-сверхразрешима. Согласно 2), MG = 1 и поэтому C п M = 1. Следовательно,

C = C п NM = N(C п M) = N.

Так как X содержится в централизаторе любого главного р-фактора группы G, то утверждение 4) верно.

5) Заключительное противоречие.

Пусть P1 - максимальная подгруппа в P, Q - силовская q-подгруппа группы G, где q #р. Если P - циклическая группа, тогда \N\ = р, ввиду минимальности N, и поэтому G сверхразрешима(согласно 1)), противоречие. Следовательно, P - нециклическая и PQ =

QP. Пусть T = PQ. Понятно, что условие леммы справедливо для T. Предположим, что T # G. Тогда, в силу выбора G, T - р-сверхразрешимая группа и поэтому P - нормальная в T подгруппа, что влечет P í CG(N) = N, что невозможно. Следовательно, T = G = PQ. Пусть Мр - силовская р-подгруппа в Ми L - такая максимальная подгруппа в P, которая содержит Мр. Пусть D - силовская ^-подгруппа в М. Тогда, очевидно, D является силовской подгруппой в G и поэтому, согласно условию, LD = DL. Но, М í LD и поэтому, в силу максимальности М в G, М = LDx. Но тогда \G : Мс\ = \G : М\ = р, что влечет \N\ = \G : М\ = р. Таким образом, в силу 4), из последнего вытекает р-сверхразрешимость группы G. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

In this work on the basis of concept of a X-permutable subgroup are received new haracterizations of p-soluble and p-supersoluble groups.

The key words: Х-рвгтШаЫв subgrouр, р-soluble groир, р-А'иреп'оШЫв groир, р-пИро(вп( groир, р^гоир, a Sylow subgrouр, a normal subgrouр.

Список литературы

1. Huppert B. Zur Sylowstruktur auflosbarer Gruppen // Arch. Math. 1961. V. XII. S. 161-169.

2. Srinivasan S. Two sufficient conditions for supersolubility of finite groups // Israel J. Math. 1980. V. 35, № 3. P. 210-214.

3. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter.

1992.

4. Ore O. Contributions in the theory of groups of finite order // Duke Math. J. 1939. 5. P.431-460.

5. Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. Киев: Наук. Думка. 1987.

6. Guo W., Shum K.P. and Skiba A.N. Conditionally Permutable Subgroups and Supersolubility of Finite Groups //SEAMS Bull Math. 2005. V. 29, №2. P.240-255.

7. Го В., Шам К.П., Скиба А.Н. G-накрывающие системы подгрупп для классов p-сверхразрешимых и p-нильпотентных конечных групп, // Сиб. мат. журнал. 2004. 45, №3. С.75-92.

8. Guo W., Shum K.P. and Skiba A.N. X-Semipermutable Subgroups.Gomel: Preprint/GGU im.F. Skoriny, №10, 2004.

9. Guo W., Shum K.P. and Skiba A.N. X-Permutable Subgroups, Gomel: Preprint/GGU im. F. Skoriny, №61, 2002.

10. Guo W., Shum K.P. and Skiba A.N. Criterions of Supersolubility for Products of Supersoluble Groups (to appear in Publicationes Math. Debreceen, 2005).

11. Al-Sheikahmad A. Finite groups with given c-permutable subgroups // Algebra and Discrete Math. 2004. №3. P.12-19.

12. Weinstein M. Beetween Nilpotent and Solvable. Passaic, N.J.: Polygonal Publishen House, 1982.

13. Skiba A. N. H-permutable subgroups // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины.- 2003.- №4(19). C.37-39.

14. Huppert B.Endliche Gruppen I. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag,

1967.

15. Kegel O. Produkte nilpotener Gruppen // Arch. Math. 1961. Bd.12. S. 90-93.

16. Тютянов В.Н. К гипотезе Холла, Гомель: Препринт/ Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины. №111, 2001.

Об авторе

О.В. Нетбай - Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.