К вопросу об определении весов метрик некоторого атрибута гарантоспособности системы

УДК 621.3.019.3

В.Н. ЯРОШЕНКО*, Н.В. СЕСПЕДЕС ГАРСИЯ*, Ар.А. МУХА*

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЕСОВ МЕТРИК НЕКОТОРОГО АТРИБУТА ГАРАНТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМЫ

Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина_

Анотація. Розглянуто питання аналітичної оцінки вагів метрик гарантоздатності систем. Розвивається базовий підхід до комплексної кількісної оцінки рівня гарантоздатності комп ’ютерних систем.

Ключові слова: атрибутивна модель гарантоздатності, атрибути, метрики, нормовані оцінки, ваги.

Аннотация. Рассмотрены вопросы аналитической оценки весов метрик атрибутов гарантоспособности систем. Развивается базовый подход к комплексной количественной оценке уровня гарантоспособности компьютерных систем.

Ключевые слова: атрибутивная модель гарантоспособности, атрибуты, метрики, нормированные оценки, веса.

Abstract. The questions of analytical estimation of metric weights of systems dependability were considered. A basic approach to complex numerical estimation of the degree of systems of computer dependability was developed.

Keywords: attributive model of dependability, attributes, metrics, normalized estimations, weights.

1. Введение

В [1] в качестве обобщенного показателя предлагается представить линейный функционал, составляющими которого были бы нормированные значения атрибутов и метрик с соответствующими весовыми коэффициентами. Выбор величин весовых коэффициентов при этом зависел бы от особенностей применения каждой конкретной системы. В тех случаях, когда метрики не имеют аналитических оценок, их измерение предлагается осуществлять экспертными методами.

В этой же статье [1] на основе количественных оценок метрик предлагается вычислять количественные оценки атрибутов и далее через них вычислять оценки достигнутого уровня гарантоспособности исследуемой системы для различных вариантов ее исполнения. В качестве иллюстрации, представленной ниже, подход посвящен анализу линейного функционала, рассматривающего атрибут как функцию составляющих его трех метрик. Считаем, что с целью минимизации аналитических выкладок общность предлагаемого подхода никак не пострадает, если ограничиться рассмотрением только трех метрик. В рассматриваемом подходе фигурируют метрики, оцениваемые как аналитическими выражениями, так и на основе метода экспертных оценок [2].

2. Установление взаимосвязи метрик и их весов

Пусть имеется система с конечным числом атрибутов, и пусть некоторый ее атрибут описывается тремя метриками с оценками A1, A2, A3.

Предполагается, что, аналогично предложению в [1], система может быть представлена некоторым показателем в виде линейного функционала

Д A, +b A2 +Ьз A3,

где Ai (i = 1,2,3) - оценки метрик с соответствующими неизвестными весами Д .

© Ярошенко В.Н., Сеспедес Гарсия Н.В., Муха Ар.А., 2014 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

189

Утверждение 1. Веса Д являются некоторыми функциями от Л1, Л2, A3. Утверждение 2. Метрики л, (i = 1,2,3) представляются своими нормированными значениями относительно значений, установленных в спецификации (или в соответствующих нормативных документах).

2.1. Предварительные рассуждения и изложение предлагаемого подхода

Очевидно, что выражение

ДЛ /

можно рассматривать как долю (вес) слагаемого fiAi в сумме ДЛ1 + Д2Л2 + Д3Л3.

Утверждение 3. Веса Д являются численным отражением результата взаимодействия процессов функционирования системы, описываемых метриками ЛІ (i = 1,2,3) .

Утверждение 4. Каждая из метрик ЛІ подвергается влиянию остальных метрик, а степень этого взаимовлияния зависит от количественных оценок, представляющих метрики.

В этой связи в качестве примера рассмотрим отношение Л1 /(Л2 + Л3). При уменьшении суммы Л2 + Л3 (суммы оставшихся по отношению к Л1 метрик) можно априори предполагать, что влияние величины Л1 на вклад в сумму (1) величины fiiAi будет возрастать, а при увеличении суммы Л2 + Л3 убывать. Аналогичное рассуждение применимо к отношениям Л2 /(Л1 + Л3) и Л3 /(Л1 + Л2) .

Такие интуитивные рассуждения основываются на том, что сумма относительных

3 3

вкладов ДІЛІ / £ДД величин ДІЛІ в их сумму ^ДД. равна 1, то есть

i=1 i=1

3

(ДЛ1+Д2 Л2 +Д A3)/^ ДЛ, = 1,

i=1

и по прагматическим соображениям левую часть равенства (3) можно приравнять некоторому выражению, также равному 1, но так, чтобы по возможности соблюдалась логическая справедливость рассуждений.

В связи со сказанным упомянутое выражение можно получить следующим образом.

Л1 Л2 Л3

Сумму отношений-----1—, ----2—, 3— можно считать суммарной численной ха-

J Л2 +Л3 Л1+Л3 Л1+Л2 у F

рактеристикой взаимовлияния метрик друг на друга, а отношение

___________A /

Л1 /(Л2+Л3 )+Л2 /(Л1+Л3 )+Л3 /(Л1+Л2) M

где M - обозначение знаменателя левой части равенства, можно называть весом влияния метрики Л1 .

Аналогично [A2/(AX + Л3)]/M - это вес влияния метрики Л2, а [A3/(AX + Л2)]/M - вес влияния метрики Л3. Непосредственно видно, что сумма определяемых таким образом весов влияния этих трех метрик равна 1. Ниже веса влияния представляются в другом виде для их дальнейшего использования.

190

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

Итак, после очевидных алгебраических преобразований, приводящих к отсутствию в числителях и знаменателях выражений операций деления, получаем новые выражения упомянутых весов, обозначаемых как Bj (i = 1,2,3):

В =

А1

A1

SA ’

где SA - обозначение знаменателя первого члена цепочки равенства (4).

A2

В2 = -------------------,

2 S „ ’

Вз

A3

S

A

3

Из формул (4-6) видно, что сумма весов влияния метрик L В =1.

i=1

3

2.2. Гипотеза о зависимости соотношений вкладов ДІАІ в их сумму Lb А и соответ-

i=1

ствующих В. весов влияния метрик A.

3

Исходя из предположения, что соотношение вкладов величин РІАІ в сумму L ДІАІ про-

i=1

порционально соотношению весов влияния соответствующих метрик A., считаем, что, с учетом формул (4-6), справедливы равенства:

3

Д A' LbA

_______i=1

3

Д-A' 'Lb,a.

=1

В2 = А2( A2+Д )( A2 +A3 )/Sa В = Д(Д+ A2)(A1+ A3)/Sa ’

3

Д Д ' 1=ГДД' =В =A3(A3+Д )( A3+A2 )/Sa ДД/£ДД B1 A] (A^+ A2) ( A, + A3 )/Sa ’

i =1

3

Д A3' lpa

______i=1___

3

Д A' LbA

i =1

B3 = A3(A3 +A1)( A3 +A2 )/Sa B2 A2(A2+A1)(A +A3 )/Sa '

После очевидных сокращений в числителях и знаменателях выражений в левых и правых частях цепочек равенств (7-9) получаем зависимости между искомыми весами Д (i = 1,2,3) в следующем виде:

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

191

b _ A2 + A3 b . b _ A3 + A2 b

b 4+A3 b; b A1+A2 b'

Зависимость Д_——~b2 является очевидным следствием зависимостей из (10).

A2 + A1

При получении выражений для искомых весов b (i _ 1,2,3) воспользуемся предпо-

3

ложением, что выполняется условие Zb _1.

i-1

С учетом этого условия, а также выражений из (10), справедлива следующая цепочка равенств:

b+ A2 + A3b+ A3 + A2b=b( A1+A2 )( A1+A3 )+( A2 +A1)( A2 +A3 )+( A3+A1)( A3 +A2 ) _1

A1 +A3 A1 +A2

откуда

b-

(A1+ A2 )(Ax+ A3 ) ' SH

где Sp - обозначение знаменателя выражения из левой части цепочки (11).

С учетом зависимостей, представленных в (10), и равенства (11), получаем формулы для b2 и b3:

b _

Sb

Sb

bb

3

Нетрудно видеть, что Zb_1, так как сумма числителей дробей, представляющих

i_1

выражения для b (/ _ 1,2,3), равна общему знаменателю этих дробей, то есть величине S^.

2.3. Проверка корректности рассмотренного подхода

Выше было показано, что гипотеза о пропорциональности отношений вкладов любых двух

3

метрик в сумму ZbA и отношений весов влияния этих метрик правомерна.

i_1

Используя полученные выше формулы, можно доказать, что имеет место более сильный факт, из которого вытекает упомянутая пропорциональность.

3

Факт состоит в том, что вклад biAi (i _ 1,2,3) в сумму Zb А равен весу влияния Д

i_1

соответствующей метрики Ai .

Докажем справедливость этого факта относительно метрики A1, то есть что имеет место равенство 3bA _Д . Из формулы (11) следует, что

ZbiAi

I _1

_ A1

b A1 ГУ ,

Sb

а используя формулы (10-12), получаем следующее равенство:

192

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

= A

2-1

Sb

Sb

Sb

Теперь видно, что отношение правых частей равенств (13) и (14) равно выражению,

В A

представляющему в (4) величину В1. Итак, равенство А 1 =В, справедливо.

'AbA

2=1

Совершенно так же показывается, что имеют место равенства

b2A2 =

Ab.A

i =1

=В и

Вз a =

=В3, где В2 и Вз - соответственно веса влияния метрик А2 и Аз, выражаемые фор-

ZAA

=1

мулами (5, 6).

Получение формул (10-12) для весов b дает возможность представить этот функ-

ционал (сумму Ab А ) в явном виде, зависящем только от переменных - метрик

=1

A (2 = 1,2,3).

Это представление имеет следующий вид:

В A +В а +В A = A1

b 1 b 2 b 3 (a1+a2 )(a1+a3)+(a +A )(a2+a3+(a3+a )(a3+a ) ' 1 ;

3. Учет влияния неблагоприятной метрики на сумму Ab, А,

2=1

Полезно отметить следующее. В изложенном подходе все три метрики подразумеваются благоприятными [2].

Определение 1. Благоприятной метрикой будем называть метрику, увеличение численного (нормированного) значения которой способствует повышению уровня гарантоспособности системы.

Примером такой метрики может быть, например, вероятность безотказной работы системы в течение некоторого заданного промежутка времени.

Определение 2. Неблагоприятной метрикой будем называть такую метрику, увеличение численного (нормированного) значения которой приводит к снижению уровня гарантоспособности системы.

В качестве примера такой метрики может послужить метрика - среднее время восстановления работоспособности системы.

В представленном выше подходе каждая из трех благоприятных метрик A (і = 1,2,3) атрибута вносила соответствующий положительный вклад р.А.(і = 1, 2, 3) в

3

сумму AbA . Как изменилась бы эта сумма, если бы некоторые метрики атрибута оказа-

i =1

лись неблагоприятными?

Пусть атрибут характеризуется двумя благоприятными метриками A1 , A2 и одной неблагоприятной метрикой А3. По формулам (11) и (12) определяются величины b. (і = 1,2,3), а значит, и р.А. (і = 1, 2,3). Правомерно полагать, что теперь в изначально

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

193

предлагаемом виде выражения УДА, слагаемые Д Д и Д2А2 будут положительными, а

i=1

слагаемое Д3 А3, соответствующее неблагоприятной метрике А3, должно сменить знак на противоположный, то есть превратиться в - Д3 А3.

3

При этом явный вид выражения УД. А. будет таким:

i=1

Д Ai+ Д2А2-Д3А3,

где Д.А.(i = 1, 2, 3) - положительные числа.

Корректность изложенного подхода позволит получать явные выражения для ана-

3

логов суммы УДА в случаях атрибутов с числом метрик, большим трех.

i=1

Рассмотрим несколько примеров по определению численных значений величин bi (i = 1,2,3) и ДА + Р, А2 + Д А..

Пример 1. Исходные данные: А1 = 1,2; А2 = 1,0; А3 = 0,8 .

По формулам (11) и (12) вычисляем

(1,2+11,2+0,8 ) 4,4

Д=

(1,2+1 )(1,2+0,8 )+(1+1,2 )(1+0,8 )+( 0,8+1,2 )( 0,8+1) 11,96 Д=(1+1,2 )Г1+°.8) =396=0,3311,

=0,3679.

11,96

11,96

Д3 = ( °.8+1.2)/°.8+^) ^=0,3010.

1196

11 ,96

Проверка показывает, что УД =0,9999 »1. Расчет численного значения суммы

3

УДА дает результат

i=1

Д =

Д1А1+Д2 А2 +Д3 А3 =0,3679-1,2+0,3311 1+0,3010-0,8=1,01338.

Пример 2. Исходные данные: А1 =0,9;А2 =1,25;А3 =1,1.

Использование тех же формул (11) и (12) позволяет вычислить

(0,9 +1,25)(0,9 +1,1) 4,3

= 0,3060,

(0,9 +1,25)(0,9 +1,1) + (1,25 + 0,9)(1,25 +1,1) + (1,1 + 0,9)(1,1 +1,25) 14,0525

Д =( us+o,9)(и5+и )=50^=0 ,

14.0525 14,0525

Д =(U+0,9 )< U+1,25 ) =_4^=0,3345.

14.0525 14,0525

33

Проверочный расчет показывает, что УД =1. Сумма УДА дает следующий ре-

i=1 i=1

зультат:

Д1А1+Д2 А2 +Д3 А3=0,3060 0,9+0,3595 1,25+0,3345 1,1=1,09273.

г=1

194

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

Пример 3. Исходные данные: Л1 = 1,0; Л2 = 0,95; А3 = 1,15 .

Использование упомянутых формул (11, 12) приводит к следующим расчетам:

Д=

_________________(1+0,95)(1+1,15)____________________= 4,1925 _

(1+0,95)(1+1,15)+(0,95+1)(0,95+1,15)+(1,15+1)(1,15+0,95)_12,8025_

=0,32747.

А =(095^095+1^=J^=0 2 12,8025 12,8025

А =( Ш+1)(1,15+0,95 ) =j4M5_=0 27.

12,8025 12,8025

3

Проверка показывает, что ^Д =0,99999

i=1

приводит к следующему результату:

3

то есть близка к 1. Расчет суммы ~^Д.Д

i=1

Д Aj +Д2 Л2 +Д3 Л3=0,32747 1+0,31986 0,95+0,3527 1,15=1,036942.

Нетрудно видеть, что веса метрик Д отслеживают долевое участие каждой метрики в обобщенном показателе уровня исполнения атрибута в целом.

4. Выводы

Предлагаемый подход позволяет получать выражения, аналогичные (15), и в тех случаях, когда атрибуты описываются числом метрик, большим трех. Это дает возможность вычислять количественные оценки атрибутов и далее через них достигнутый уровень гарантоспособности анализируемой системы с произвольным набором атрибутов и метрик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федухин А.В. Атрибуты и метрики гарантоспособных компьютерных систем / А.В. Федухин, Н.В. Сеспедес Гарсия // Математичні машини і системи. - 2013. - № 2. - С. 195 - 201.

2. К вопросу о сравнительной оценке гарантоспособных систем / А.В. Федухин, В.Н. Ярошенко, А.И. Сухомлин [и др.] // Математичні машини і системи. - 2014. - № 1. - С. 185 - 194.

Стаття надійшла до редакції 04.08.2014

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4

195