Интервально-вероятностный подход к оценке инвестиционного проекта в условиях неопределенности

13 (142) - 2009

инвестиционная политика

интервально-вероятностный подход к оценке инвестиционного проекта

в условиях неопределенности

Б.И. ВАЙСБЛАТ,

доктор технических наук, профессор

Г.В. АНТОНЯН

Нижегородский филиал Государственного университета — Высшая школа экономики

Реализация инвестиционного проекта (ИП), как правило, осуществляется в условиях неопределенности. В настоящее время в инвестиционном проектировании используются различные методы оценки инвестиционных проектов. Подробный анализ недостатков и преимуществ этих методов дан в работе [1]. По мнению автора работы [2], наиболее подходящим методом является нечетко-интервальный метод, базирующийся на теории нечетких множеств [3]. Для оценки ИП с использованием нечетко-интервального метода эксперт должен формализовать свои представления о возможных значениях оцениваемого параметра ИП в терминах задания характеристической функции (функции принадлежности) множества значений, которые он может принимать. Далее на основе функциональной зависимости выходного параметра (оценочного показателя ИП) рассматривается распределение возможности по «а-уровневому принципу обобщения».

На наш взгляд, нахождение характеристической функции выходного параметра ИП с использованием указанного выше метода является довольно сложной и громоздкой процедурой.

В связи с этим в настоящей статье предлагается так называемый интервально-вероятностный метод оценки ИП в условиях неопределенности, основанный на чистом дисконтированном доходе (^V).

Суть метода заключается в следующем.

Инвестиционный проект будем характеризовать набором входных параметров, среди которых выделим детерминированные (ар а2.....ап) и случайные

, Е2.....Ет). Оценочные показатели ИП (выходные

параметры) Y1Y2 YN выражаются через входные параметры и, следовательно, также являются случайными величинами. Для определения вероятностных характеристик случайных входных параметров воспользуемся методом экспертных оценок [4].

Процедура нахождения среднего значения и дисперсии параметра Е заключается в следующем. Если эксперт может оценить два значения прогнозируемого показателя (Ет1п — наименьшее значение показателя Е и Е — наибольшее значение), то, исходя из предположения о том, что Е имеет равномерное распределение вероятностей в промежутке [Ет;п, Етах], среднее значение и дисперсия вычисляются по формулам:

е = (Еп

+ Е

' ) . щ _ _

2 ' " 12 Если эксперт может оценить еще и наиболее вероятное значение Е0 показателя Е, то, исходя из гипотезы о нормальной плотности распределения вероятностей, среднее значение и дисперсия рассчитываются по формулам:

Е=(Еш

+ 4Ео +Еш

с ) . ЩЕ __(Ешах Еш

п)2

, „ (2) 6 36

Для оценки степени зависимости между двумя случайными входными параметрами воспользуемся коэффициентом корреляции. Экспертная оценка коэффициента корреляции р производится по таблице Чеддока (см. таблицу). Вначале эксперт прогнозирует оценку знака коэффициента кор-

Таблица Чеддока

характеристика связи Слабая Умеренная Заметная Высокая Весьма высока

Значение р 0,1 — 0,3 0,3 — 0,5 0,5 — 0,7 0,7 — 0,9 0,9 — 0,99

реляции, а затем количественную оценку тесноты корреляционной связи.

После того как определены вероятностные характеристики случайных входных параметров (£,,., , р.), зная функциональную зависимость выходных параметров (результирующих показателей) с использованием известных теорем о числовых характеристиках функции от случайных

аргументов, рассчитываются средние значения У. и дисперсия БУ. выходных параметров [2]. Одним из основных интегральных показателей ИП является NPV (чистый дисконтированный доход). Представим NPVв следующем виде:

NPV = £ _ /„

,=1

где Х1 — приток денежных средств в год £ — отток денежных средств в год £ Г — годовая ставка дисконта в год £ 10 — первоначальные инвестиционные затраты. Рассмотрим следующие показатели:

Я. = х- У

Dt =

' (1 + г,)'

- дисконтированное сальдо в год,

Я,, если >0 - дисконтированный

0, если < 0 инвестиционный доход в год,;

Dj = £ D

- дисконтированныи инвестиционным доход за n лет;

Ф = D — I0 — дисконтированный инвестиционный финансовый результат;

0, если Ф > 0 - инвестиционный -Ф, если Ф < 0 убыток;

П =

Y =

R =--инвестиционная доходность за n лет;

K = 1 + П = 1 + R - коэффициент наращивания

(капитализации) за n лет; (10) nk -1 - годовая инвестиционная

d = U -1

доходность.

Годовая инвестиционная доходность определяется из уравнений:

K = (1 + d) n — для сложного процента наращивания;

K = (1 + d * n) — для простого процента наращивания.

Инвестиционный проект будем называть рискованным , если у инвестора нет полной уверенности в том, что инвестиционный проект обеспечит получение желаемой инвестиционной прибыли. Под инвестиционным риском будем понимать неуверенность инвестора в достижении поставленной цели (получение желаемой инвестиционной прибыли).

Если По — величина желаемой инвестиционной прибыли, то в качестве основного показателя инвестиционного риска можно использовать величину недополученной прибыли до По инвестиционной прибыли. Очевидно, если П будет меньше По, то величина недополученной инвестиционной прибыли будет равняться (По — П). Если же П > По, то величина недополученной инвестиционной прибыли будет равна 0. Следовательно, величина недополученной до По инвестиционной прибыли в общем случае будет равна:

|По - П, если П < По ДП = о = тах{(По -П);0}.

[0, если П > По

Аналогичным образом можно рассмотреть:

- показатель инвестиционного риска по инвестиционной доходности за n лет — величина недополученной инвестиционной доходности до желаемой величины Ro, тогда

ДR=max {(Ro - R); 0};

- показатель инвестиционного риска по коэффициенту наращивания — величина недополученного значения К до желаемой величины Ко

ДК = max {(Ко — К); 0};

- показатель инвестиционного риска по коэффициенту годовой инвестиционной доходности — недополученная годовая инвестиционная доходность до желаемой величины d

о

Дd = max {(do — d); 0};

- показатель инвестиционного риска по инвестиционному убытку целевого значения Уо

|У-Уо, если П>Уо

ДУ = L ° <v о = тах{(У-Уо);0}.

[0, если У < Уо

Экономическая оценка инвестиционного проекта предусматривает составление прогнозов притоков Х и оттоков У. Поскольку невозможно

t=i

°

°

n

точно спрогнозировать эти величины, то их можно рассматривать как случайные. Основными вероятностными характеристиками случайной величины являются среднее значение (математическое ожидание) и дисперсия. Предположим, что нам

известны характеристики величин X, и У( (X ,, У, — средние значения, DXt и DУt — дисперсии).

Так как X, у являются случайными величинами, то и показатели по формулам (2) — (11) являются случайными.

Вычислим среднее значения и дисперсии этих показателей через вероятностные характеристики X, У.

Из формулы (4) согласно теореме о числовых характеристиках разности случайных величин [4] получим

Б = (X - Т) х д

ОБ, = (ОХ, + ОУ, - 2 х рху х^ОХ, х^ОТ,) х Д, где р — коэффициент корреляции между X, и У,,

ху

А = -

1

ОО, = у 2(2) • об,

где 2 =

Б,

у(2) =

я

х

' I т

1х - функция Лапласа

(определяется по таблицам [(2)]),

1 -22

Р(2) = ^= • I 2 - функция Гаусса

К

(определяется по таблицам [(2)]).

Аналогичным образом можно получить формулы для среднего значения и дисперсии по следующим показателям:

О = £ О,; ОО = £ ОО,;

,=1 ,=1

ф = О -1 о; Оф= ОО;

п = ф • у(21) ^^/Оф 21);

ОП = у2(2,) • Оф;

где 21 =

л/Оф '

- - дисконтным множитель.

Поскольку St может изменяться в пределах от —<» до то в соответствии с принципом максимальной неопределенности наилучшим приближением плотности распределения для St (при известных Б, и DSt) является нормальное распределение [2]. Тогда учитывается, что Dt является функцией от St, получим выражения для среднего значения и дисперсии дисконтированного инвестиционного дохода:

О = Б-у(2) + 40Б, -Р(2);

У = -фТ(-21) + ТОф^(2.); ОУ = у2(-2.) • Оф;

Я = П; ОЯ = ОП;

I Т2

10 10

К = 1 + Я; ОК = ОЯ;

1 = ; ОЛ = ОК-.

п п

Показатель инвестиционного риска по прибыли можно рассчитать по формуле, имеющей следующий вид:

ш=

Показатели инвестиционного риска для рентабельности (К), коэффициента наращивания (К), убытка (У), доходности ($) определяются аналогичным образом по формуле (12), где вместо П, ДП, По используются соответственно Я , ДК, Ко;

К ДК, Ко; Т, ДУ, То; 1 ,Д1, 1,.

Заметим, что если в качестве желаемого значения оценочного показателя взять его среднее значение, то получим:

ДП = 0,4л/ОП; ЛЯ = 0,4л/ОЯ ; ДК = 0,4Л/ОК ;

ДТ = 0,4л/ОТ; Д1 = 0,Ь[Ш,

где 0,4 = р (0).

Из этих формул видно, что чем больше дисперсия оценочных показателей, тем больше риск, т. е. дисперсия является косвенным показателем риска.

ф

1

Список литературы

1. Бекетов Н. В., Федоров В. Г. Традиционные методы оценки эффективности инвестиционных проектов // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2008. №3.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз. М., 1968.

3. Литвак Б. Г. Экспертные оценки и принятие решений. М.: Патент, 1995.

4. Севастьянов П. В., Севастьянов Д. П. Оценка финансовых параметров и риска инвестиций с позиций теории нечетких множеств // Надежные программы. 1997. № 1. С. 10 — 19.