Динамика плавучего крана «Волгарь» на волнении моря

УДК 539.4

А. В. Синельщиков, Н. Н. Панасенко ДИНАМИКА ПЛАВУЧЕГО КРАНА «ВОЛГАРЬ» НА ВОЛНЕНИИ МОРЯ

Динамический анализ поведения корабельных, крановых и других конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, при произвольном внешнем воздействии до настоящего времени остается предметом исследований. Приведены теоретические основы построения математической модели тонкостенного стержня замкнутого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании с учетом сдвига срединной поверхности. Получены математические соотношения для построения матрицы жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля, которая может быть использована при статическом и динамическом расчетном анализе конструкций методом конечных элементов.

Ключевые слова: тонкостенный стержень замкнутого профиля, матрица жесткости, математическая модель, конечно-элементное моделирование.

Динамический анализ поведения корабельных, крановых и других конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, при произвольном внешнем воздействии до настоящего времени остается предметом исследований.

Прочность судовых конструкций в первую очередь связана с их способностью эффективно противостоять действию волн. Для определения тех или иных прочностных характеристик судна выполняется динамический анализ его поведения при волнении моря.

Для моделирования динамики судна на волнении моря в настоящее время применяются различные методики, однако точность получаемых динамических результатов во многом зависит от математической модели инерционных свойств несущих элементов судна и, если для массивных элементов указанный вопрос является достаточно изученным, то для тонкостенных стержней замкнутого профиля он находится на стадии теоретико-экспериментального обоснования.

Математическая модель матрицы масс тонкостенного стержня замкнутого профиля

Для формирования матрицы масс конечного элемента (КЭ), с учетом правила знаков для перемещений и усилий, которые принимаем по рис. 1, определим функционал его кинетической энергии при пространственном деформировании в виде

Рис. 1. Правило знаков для узловых перемещений тонкостенного стержня замкнутого профиля

Введение

где р - плотность материала КЭ.

На рис. 1 п, С - линейные перемещения узла; ©х( г) - углы поворота; ©!, - депланация, производная от угла закручивания ©г; подстрочные индексы х, у и г обозначают оси МСК; надстрочные индексы] и k указывают на начало (н) и конец (к) стержневого конечного элемента (КЭ).

В формуле (1) поперечные перемещения точки М (х, у) срединной поверхности стержня замкнутого профиля, жестко закрепленного по концам, определяются формулами [1]:

z) = X № (z), ^ = 1, 5, 8,12;

П( z) = X 4sWs (z), s = 2,4,9,11;

Z( z) = X qsVs (z), s = 3,10;

©( z) = X qsWs (z), s = 6,7,13,14,

в которых qs - узловое перемещение, соответствующее его степеням свободы (s = 1,14), ys(z) - аппроксимирующие функции Эрмита [2]:

V (z ) = ^ (z ) = V (z ) = 1 - 3z V l2 + 2 z V l3;

V (z) = (z) = (z) = z - 2z2/1 + z3/l2;

V

V12 (z) = (z) = V14 (z) = - z7l+z712;

v (z ) =1 - Ф; V10 (z ) = zll-

Подставим в (1) функции (2) с учетом (3) и определим функционал кинетической энергии деформации тонкостенного стержня однозамкнутого профиля при пространственном деформировании:

r=I í с Й 1+^

г а2С i2

KdzdtJ

+рА|¥ I + pAU1 +

+рJ + a^A + a2A\ ^©Т -2pi^- ^ax 1^© + FV р x y st J \ at y dt x J dt

+pJ*

гa2©1 , Г а2п i

+ pJy

ydzdt J y [dzdt

+ Jx

r^ i

ydzdt j

)dz,

где р - плотность материала стержня (постоянна по всей длине); А, I - площадь поперечного сечения и длина КЭ; Jx (у) - осевые моменты инерции; Jm - секториальный момент инерции;

ц = ((Е / 2G) -1) - коэффициент Пуассона для материала стержня (Е, G - модули упругости первого и второго рода соответственно); Jр = Jx + Jy - полярный момент инерции; ах( ) - координаты центра изгиба стержня относительно точки О начала отсчета дуговой координаты (рис. 2) [3, 4], представленные формулами

~ _ ccx .

ax =--;

Х Jx

J„

2

2

2

2

y

с5 + ——- dz

y

z

Рис. 2. Равновесие выделенного элемента тонкостенного стержня замкнутого профиля

Очевидно, в (5) Jx и Jy - моменты инерции сечения стержня, а Sшx и Sшy представляют

собой секториально-линейные статические моменты отсеченной части сечения стержня, определяемые при расположении полюса в произвольной точке О:

s

S0- =J ötöds .

Поэтому формулы (5) определяют положение центра изгиба А относительно точки О. Следует иметь в виду, что координаты ах и ау из (5) откладываются от полюса О с учетом их знаков, а именно: если они положительны, то их откладывают в положительном направлении осей Оу и Ох (рис. 2).

Кроме того, укажем, что в (5) и (6) ю - функция дуговой координаты

ю = ю

которая называется обобщенной секториальной координатой и играет важную роль во всей теории тонкостенных стержней замкнутого профиля - такую же, какова роль обычной секториальной

координаты ю = | ^ в теории стержней открытого профиля, поскольку обобщенная секториаль-

0

ная координата ю не зависит от выбора точки начала отсчета дуговой координаты 5 (рис. 2). В (7) а (5) - функция депланации

, ч Jk 5 ж

а (5 ) = — I--ю,

^ } ю1 8

в которой Jk - момент инерции чистого кручения стержня, а юк - удвоенная площадь, охватываемая срединной линией поперечного сечения стержня

юк = С^ тйя ,

где г - полярный радиус инерции сечения.

При рассмотрении линейных (малых) колебаний стержня кинетическую энергию (4) представим квадратичной формой скоростей на обобщенных перемещениях д :

1 14 ( 14 Л

Т = 21II тЛ &,

тогда инерционные коэффициенты матрицы масс стержневого конечного элемента т5г замкнутого профиля вычисляются как вторая производная от (8):

о

д2т

(5, t = 1,2,..., 14) .

В качестве компонентов перемещений стержня примем функции (2). Для конечного элемента с жестко защемленными концами принимаем (I = 1, 2, ..., 14) согласно (3).

Матрица масс для пространственного тонкостенного стержня имеет порядок 14 х 14, определение элементов которой по формуле (9) позволяет сформировать матрицу масс тонкостенного стержня замкнутого профиля в местной системе координат при пространственном деформировании [5]:

[ м 1.

т1,1 т1,2 т1,3 ... ... т1,14

т2,1 т2,2 т2,3 ... ... т2,14

т3,1 т3,2 т3,3 ... ... т3,14

т,.

т,, т

т.

14,1 '"14,2 '"14,3

т

т

14,14 Jl4x14

[М ]7х7 [М ]

и

При получении матрицы (10), представленной и в блочном виде, использовались известные зависимости

ЕАС' = К; Ых п' = -Ых; Ыу \' = Му;

А '

ЫхП" = ^х; Е1 у £ "' = -Qy; Е - — =-В;

— = -М-; GJА ' = Н;

Ц

Ц=1 - ^ •

для вектора внутренних усилий по концам стержневого конечного элемента jk

= \QQNMMMB )и) ^уКМММВ Т) [,

где Qx( ) и Nг - внутренние поперечные и продольная силы; Мх( ) и Мг - изгибающие и крутящий момент; В - изгибно-крутящий бимомент. Правила знаков для внутренних усилий (12) аналогичны правилу знаков для узловых перемещений КЭ (1) (см. рис. 1).

Учитывая, что матрица масс (10) симметрична относительно главной диагонали, в которой т51 = ти , приведем ненулевые компоненты ее наддиагональной части:

13

6^

11

1

ти = -рА1+-—у; т 5 =-—-рА1 - — рJ ;

35

5 I

13

210 11

10

т16 = -—рАШу; т^ = -—— рА1 ау;

35

6рJ

210

13

т18 = — рА1 --—у; т„2 =—— рА1 - —^у;

70

5 I

420

10

9

13

т 13 = -—рА1ау; тИ4 = -—— рА1 ау;

70

420

13 ,, 6рJx 11 ,,2 1 г

т22 =— рА1+--х; т24 =-рА1 +--ш х;

2,2 35 5 I 2,4 210 10х

т* =

т = т;

Ц

13 Л/ 11 Л2

«2,6 = 35PAlax; m2,7 = ax;

6p/x 13 ,,2 1 r

m29 =— pAl--t—Z-; m211 =--pAl +— pJ ;

2,9 70 5 l 2,11 420 10x

9 Л1 13 Л12

«2,13=тор *; m2,14=420pAl ax;

1 + ^2p/p 1 ^2p/p

m = - pAl + —-e-; m3 = - pAl--—ü-;

3 l 6 l

m44 = —pAl3 +—pJx; m46 = -^pAl 2ax; 4,4 105 15 4,6 210 x

m47 =-^pAl3ax; m49 = -13-pAl2 -—pJx;

4,7 10^ ^ 4,9 420 10 x

m411 =——pAl3-—pJx; m413 = ——pAl2a ; 4,11 140 30 4,13 420

m414 =-^pAl3ax; m55 = —pAl3 +—pJy; 414 140 5,5 105 15 y

m56 = -11pAl2av; m57 =-^pAl3av;

5,6 210 y 5,7 105 y

m58 =—13 pAl2 +—pJy; m512 = ——pAl3 - — plJy; 5,8 420 10 y 5,12 140 30 y

m5,13=420pAl2ay; m5,14=^pAl3ay;

m6,6 = 35plA44 + ^5plA2a2xa2y + !|plA2a 4 +

26 2 26 2 13 7r2 6 pJm +—plAJpa2 +—plAJpaУ +—pJp2 + -

35 p x 35 p y 35 p 5 l

11 2 2 4 11 2 2 2 2 11 2 2 4

m67 =-A2l2pa; +-Al2pa2a2 +-Al pa4 +

6,7 210 105 y 210 y

+—Al 2pJpax2 + — Al 2pJpa2 + — 12pJp2 +—pJm; 105 p x 105 p y 210 p 10

9 9

m6,8=-70pAlay; m6,9=70pAlax;

13 2 13 2

m6,11=- 420 pAl ax; m6,12=- 42öpAl ay;

m613 = — plA2a4 + — plA2a2a2 + — plA2a 4 +

6,13 nc\ x ^^ xyHft y

70 35 y 70

+—plAJpax2 +—plAJpa2 +—pJp2 - 6 J; 35 p x 35 p y 70 p 5 l

т614 = — А212ра4 +—А212ра2а2 +—А212ра4 + 6,14 420 210 у 420 у

13 2 2 13 2 2 13 2 2 1

+— А12рJраx2 + —А12^а2 + —12рJр2 -—р^; 210 р х 210 р у 420 р 10

т7 7 А21 Зра4 + А21 Зра2а2 + А21 Зра4 +

7.7 105 105 у 105 у

2 2 12 +— А1Зр/а2 + — А13рJ а2 + —13рJo2 +—р17;

105 х 105 у 105 1Г -

13 2 13 2

т78 =--рА1 ау; т79 =-рА1 ах;

7,8 420 у 7,9 420

т711 =——рА1 Зах; т712 = ——рА1 Зау;

7,11 140 7,12 140 у

т713 = А212ра4 + -13 А212ра2а2 + -13 А212ра4 + 7,13 420 х 210 у 420 у

13 2 2 13 2 2 13 2 2 1

+— А12рJa2x +—А1 рJ„а2 +—12рJ02 -—р/; 210 х 210 у 420 10^п

т714 А21 Зра4 +—А21 Зра2а2 + А21 Зра4 + 7,14 140 70 у 140 у

+—А1Зр/ах2 + — А13рJ„a2 + —13рJ„2 +—р^; 70 р х 70 р у 140 р 30 п

13 ,, 6рJy 11 ,.2 1 г

т88 =— рА1+---; т812 =-рА1 +--р^,;

8.8 35 5 I 8Д2 210 10у

13 11 2

т8,13=-3^рА1ау; т8,14=-21^рА1 ау;

13 „ 6рJx 11 ,,2 1 г

т99 =— рА1+---; т911 =--рА1--рJx;

9.9 35 5 I 9Д1 210 10х

13 11 2

т9,13=3^рА1ах; т9,14=ах;

т1010 = 1рА1 + Ц р/р; т1111 = —рА13 +—рих; 10,10 3 I ' 105 15 х

т1113 = —11рА12а ; т1114 = ——рА1 Зах;

11,13 210 11,14 105

т1212 =-^рА13 +—рJy; т1213 = —11рА12ау; т1214 =——рА1 ъа ;

12,12 105 15у 12,13 210 у 12,14 105 у

13 2 4 26 2 2 2 13 2 4

«13,13 = —р1А ах +—р1А ахау + —рМ ау +

26 т 2 26 т 2 13 1т2 6рJn

--рlAJa2x + — рlAJ а2 + — р17 р2 +35 р х 35 р у 35 р 5 I

т1314 = -11 А212ра4 + -11 А212ра2а2 + -11 А212ра4 + 13,14 210 105 у 210 у

+—А12р/а2 +—А12рJрa2 + — 12рJР2 +—р/; 105 х 105 у 210 10^п;

т1414 = — Л21 Зра4 +—ЛЧ Зра2а2 + —ЛЧ Зра4 + 1414 105 х 105 х у 105 у

2 2 1 2 +—Л1Зр/„а2 +—Л1Зр/„а2 + — IV2 +—р/п. 105 х 105 у 105 1Г п

Расчетный анализ плавучего крана «Волгарь» на волнении моря

Теперь становится очевидным, что для проведения динамического расчетного анализа пространственных конструкций на волнении моря можно, с учетом работы [6], сформировать математическую конечно-элементную модель сооружения с п степенями свободы:

[М]{К

в которой уз - коэффициент потерь [7]:

Уз = 22, = 2 {5з Г

при этом 8з - логарифмический декремент затухания колебаний стальных конструкций, в соответствии с которым коэффициент относительного демпфирования в (15) лежит в диапазоне 2 < 0,02 * 0,04 (8з = 0,125 * 0,25).

Очевидно, векторы в правой части уравнения движения (14) обозначают внешние статические, динамические и кинематические воздействия, в которых {Л (t)} может обозначать акселерограммы землетрясений или морской волновой процесс для расчетного анализа буровых платформ либо плавучих кранов на волнении моря. В частности, по рекомендации ООО «Крейн Марин Контрактор», нами по предложенной методике был подвергнут расчетному анализу на волнении Каспийского моря плавучий кран «Волгарь» грузоподъемностью 1400/1600 т (рис. 3), дооборудованный для выполнения грузовых операций с увеличенной до 1600 т грузоподъемностью при волнении до 2-х баллов (hз% < 0,75 м ) и силе ветра не более 10 м/с, а также на волнении моря 3 балла до h3%=1,25 м и силе ветра до 5 баллов при грузоподъемности до 1400 т.

Район плавания - смешанное (река - море) плавание на волнении с высотой волны 3%-й обеспеченности 4,0 м, с удалением от места убежища не более 100 миль и с допустимым расстоянием между местами убежища не более 200 миль.

Для рассматриваемого примера в обозначениях работы [8] потенциал скорости волн на глубокой воде определялся по формуле

ф

ra

а волновое давление с учетом (16) принимает вид

p

Профиль волн определялся по формуле

zw

В формулах (16)-(18) r - амплитуда волн; ra = 2п / т - круговая частота; k = 2п / X - волновое число (количество длин волн, укладывающихся в 2п м); р = 1000 кг/м3 - плотность воды. Гребни волн принимались движущимися вдоль оси х с фазовой скоростью c = ra / k = X / Tw, где Tw - период волн. Соотношение между высотой и длиной волны X определялось по эмпирической формуле Циммермана hw = 0,17X0,75 [9].

Расчетно-динамическая модель (РДМ) крана, разработанная в среде CSI SAP 2000, загруженная полезным грузом 1200 т на вылете 27 м, представлена на рис. 4.

Рис. 4. Конечно-элементная РДМ несамоходного морского плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1400/1600 т с вантовой стрелой: 1045 узлов, 247 стержневых КЭ замкнутого профиля, степеней свободы п = 6270

С целью безопасного ведения грузовых работ расчетом по уравновешиванию было установлено, что транспортируемый груз 1200 т на волнении моря 3 балла и волне h3%= 1,25 м (без учета ветра) получил амплитуду перемещений по оси X - 1,6 м, по оси Y - 0,4 м, по оси Z - 0,1 м (рис. 5).

м

о.а 0.6 0.4 0.2 О -0.2 0.4 -0.6 -о.в

д А А / \

/ 1 L \ / \ / \ -

г /1 \ / г

2 / \\ / / \ у А

/ \\у / \

V д_ / \ / " \

1 3 \ / т J / \

г \V * 4v

10 12 14 16 18 20

Рис. 5. Пространственное перемещение полезного груза 1200 т РДМ несамоходного плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1600 т на волнении моря 3 балла (Ъ3 % = 1,25 м): 1 - по оси Y, м; 2 - по оси Х, м; 3 - по оси Z, м

Выводы

Полученная динамическая реакция плавучего крана «Волгарь» грузоподъемностью 1600 т на волнении моря 3 балла при hз % = 1,25 м хорошо согласуется с результатами, приведенными в [8, 9]. Полученная матрица жесткости тонкостенного стержня замкнутого профиля [6] и матрица масс (10) с ее компонентами (13) являются важнейшими расчетными инструментами конечно-элементного моделирования динамики судна на волнении моря и могут быть использованы по методологии [10] для сложных машиностроительных конструкций, подвергаемых расчетному анализу на произвольное сочетание внешних нагрузок.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Юзиков В. П., Панасенко Н. Н. Строительная механика тонкостенных стержней / под ред. Н. Н. Пана-сенко. Волгоград: Волгоград. науч. изд-во, 2013. 361 с.

2. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.

3. РозинЛ. А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 237 с.

4. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы: учебное пособие. М.: Изд-во Ассоциации строит. вузов, 2005. 736 с.

5. Панасенко Н. Н., Левин А. И., Юзиков В. П. Расчет на сейсмические нагрузки машиностроительных конструкций из тонкостенных стержней // Изв. Северо-Кавказ. науч. центра высш. шк. Техн. науки. 1988. № 3. С. 75-82.

6. Синельщиков А. В., Панасенко Н. Н. Математическая модель жесткостных характеристик тонкостенных стержней замкнутого профиля корабельных конструкций // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2016, № 2. С. 41-52.

7. Панасенко Н. Н., Рабей В. В., Синельщикова Л. С. Конечно-элементная модель демпфирования колебаний несущих металлоконструкций грузоподъемных кранов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2013. № 2 (56). С. 41-49.

8. Благовещенский С. Н., Холодилин А. Н. Справочник по статике и динамике корабля. Динамика (качка) корабля. Л.: Судостроение, 1975. 176 с.

9. Чижиумов С. Д. Основы динамики судов на волнении: учеб. пособие. Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2010. 110 с.

10. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М.: ДМК Пресс, 2007. 600 с.

Статья поступила в редакцию 18.03.2016

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Синельщиков Алексей Владимирович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский инженерно-строительный институт; канд. техн. наук, доцент; зав. кафедрой прикладной механики и графики; laex@bk.ru.

Панасенко Николай Никитович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры техники и технологии наземного транспорта; psastr@mail.ru.

A. V. Sinelshchikov, N. N. Panasenko

DYNAMICS OF THE FLOATING CRANE "VOLGAR" WHEN HEAVING OF THE SEA

Abstract. The dynamic analysis of the behavior of the ship, crane and other structures, consisting of thin-walled cores, at random external impact still remains a subject of the research. The theoretical bases of creation of the mathematical model of the thin-walled core of the closed profile in the local system of coordinates at spatial deformation taking into account a shift of the median surface are given. The mathematical ratios for creation of the rigidity matrix of the thin-walled core of the closed profile, which can be used in the static and dynamic calculation analysis of the structures using the method of finite elements, are received.

Key words: thin-walled core of closed profile, rigidity matrix, mathematical model, finite element modeling.

REFERENCES

1. Iuzikov V. P., Panasenko N. N. Stroitel'naia mekhanika tonkostennykh sterzhnei [Structural mechanics of thin-walled cores]. Pod redaktsiei N. N. Panasenko. Volgograd, Volgograd. nauch. izd-vo, 2013. 361 p.

2. Klaf R., Penzien Dzh. Dinamika sooruzhenii [Dynamics of structures]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1979. 320 p.

3. Rozin L. A. Sterzhnevye sistemy kak sistemy konechnykh elementov [Core systems as systems of finite elements]. Leningrad, Izd-vo Leningradskogo universiteta, 1975. 237 p.

4. Slivker V. I. Stroitel'naia mekhanika. Variatsionnye osnovy [Structural mechanics. Variational bases]. Moscow, Izd-vo Assotsiatsii stroitel'nykh vuzov, 2005. 736 p.

5. Panasenko N. N., Levin A. I., Iuzikov V. P. Raschet na seismicheskie nagruzki mashinostroitel'nykh konstruktsii iz tonkostennykh sterzhnei [Calculation for seismic loads of machine engineering constructions from thin-walled cores]. Izvestiia Severo-Kavkazskogo nauchnogo tsentra vysshei shkoly. Tekhnicheskie nauki, 1988, no. 3, pp. 75-82.

6. Sinel'shchikov A. V., Panasenko N. N. Matematicheskaia model' zhestkostnykh kharakteristik tonkos-tennykh sterzhnei zamknutogo profilia korabel'nykh konstruktsii [Mathematical model of rigid characteristics of thin-walled cores of the closed profile of ship structures]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2016, no. 2, pp. 41-52.

7. Panasenko N. N., Rabei V. V., Sinel'shchikova L. S. Konechno-elementnaia model' dempfirovaniia kolebanii nesushchikh metallokonstruktsii gruzopod"emnykh kranov [Finite element model of damping of fluctuations of bearing metal structures of cargo lifting cranes]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2013, no. 2 (56), pp. 41-49.

8. Blagoveshchenskii S. N., Kholodilin A. N. Spravochnik po statike i dinamike korablia. Dinamika (kachka) korablia [Reference on static and dynamics of the vessel. Dynamics (floating) of the vessel]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1975. 176 p.

9. Chizhiumov S. D. Osnovy dinamiki sudov na volnenii [The bases of the dynamics of the ships when heaving]. Komsosolsk-na-Amure, GOUVPO «KnAGTU» Publ., 2010. 110 p.

10. Perel'muter A. V., Slivker V. I. Raschetnye modeli sooruzhenii i vozmozhnost' ikh analiza [Calculation models of structures and possibility of their analysis]. Moscow, DMK Press, 2007. 600 p.

The article submitted to the editors 18.03.2016

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Sinelshchikov Alexey Vladimirovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan Institute of Civil Engineering; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Head of the Department of Applied Mechanics and Graphics; laex@bk.ru.

Panasenko Nickolay Nikitovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences; Professor; Professor of the Department of Technique and Technology of Land Transport; psastr@mail.ru.