Структура прямого скачка уплотнения в колебательно неравновесном газе

УДК 533.6

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

Ю. Н. Ворошилова

СТРУКТУРА ПРЯМОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНО НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ

В работе рассматриваются прямые скачки уплотнения в потоках двухатомного газа с разной степенью колебательной неравновесности. Ударные волны разделяются на релаксационные зоны, на границах которых выписываются обобщенные условия динамической совместности. С использованием методов кинетической теории газов условия совместности сводятся к системе алгебраических уравнений относительно набора интенсивных параметров, входящих в функции распределения. Число уравнений на границе каждой зоны равно числу неизвестных интенсивных параметров. Решение соответствующих уравнений позволяет найти газодинамические параметры и заселенности колебательных уровней, а значит, — послойную структуру скачка уплотнения. В качестве примера исследуется структура скачка в колебательно неравновесном азоте.

1. Обобщенные условия динамической совместности

С повышением температуры в газе возбуждаются внутренние степени свободы молекул. Связанные с этим физико-химические процессы могут оказывать существенное влияние на характер течений газа и, в частности, на структуру ударных волн, возникающих при натекании на преграду сверхзвуковых потоков. Так как столкновения молекул, сопровождающиеся различными изменениями их внутренней энергии, происходят с разной частотой, ударная волна может быть в ряде случаев разделена на так называемые релаксационные зоны [1]. Можно считать, что на границах этих зон часть физико-химических процессов идет в равновесном режиме, а часть — заморожена. В классической газодинамике ударную волну часто моделируют как тонкий (по сравнению с характерным размером течения) переходный слой между двумя состояниями термодинамического равновесия [2]. По аналогии каждую из выделенных релаксационных зон можно считать переходным слоем между двумя квазистационарными состояниями. Для описания состояний газа можно использовать систему определяющих макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам тех молекулярных столкновений, которые нужно учитывать на длинах порядка толщины релаксационной зоны [3].

Если температура газа достаточно велика, можно считать, что возбужден весь энергетический спектр колебательной энергии молекул, и использовать для ее описания модель ангармонического осциллятора при квазиклассическом описании поступательной и вращательной энергии. В этом случае колебательная энергия молекулы, отсчитываемая от нулевого уровня, имеет вид

еу = е1и + Деи

£1 = Нv(1 — 2х), Де = хки .

где и — номер уровня колебательной энергии, Н — постоянная Планка, V — частота колебаний атомов в молекуле, х — постоянная ангармоничности (х ^ 1), —колебательный уровень, соответствующий энергии диссоциации.

© Ю. Н. Ворошилова, 2005

В работе [4] были выписаны обобщенные условия динамической совместности, связывающие параметры газа по обе стороны поверхности разрыва. Такие же условия можно выписать на границах выделенных релаксационных зон. В случае прямых скачков уплотнения их удобно записать в симметричной форме [5]:

0

дМ^)2 + р

у

ф[+)у

Здесь в(-) и @(+) —значения параметра в до ударной волны и на границе выделенной релаксационной зоны за фронтом ударной волны; массовая плотность газа д = гаи; т — масса молекулы газа; п — числовая плотность газа; V и е — скорость и энергия единицы объема газа; р — давление; фх —плотность макропараметров, сохраняющихся в масштабах выделенной релаксационной зоны.

Выделение релаксационных зон в ударной волне связано с иерархией времен релаксации [1].

2. Структура ударной волны в газе из ангармонических осцилляторов

Различные виды столкновений, связанные с обменами энергией, происходят с различной частотой [1, 6, 7]. Сначала с повышением температуры в газе происходит возбуждение вращательных степеней свободы, а затем возбуждаются колебательные степени свободы.

Известно, что обмены поступательной и вращательной энергией происходят значительно чаще, чем столкновения, приводящие к изменению колебательной энергии молекул. Это позволяет в ударной волне выделить зону 1—зону поступательно-вращательной релаксации, когда колебательные степени свободы можно считать замороженными. При этом в газе устанавливается распределение вида [8]

&

V = 0,1,...,У4 .

Здесь пу — заселенности колебательных уровней, рассчитанные на единицу объема газа; к —постоянная Больцмана; Т — температура газа; £г и вг —вращательная энергия и статистический вес вращательного уровня с номером г; Zm^ (Т) —вращательная статистическая сумма; с = и — V — собственная скорость молекулы.

В масштабах зоны поступательно-вращательной релаксации при столкновениях сохраняются импульс mv, полная энергия е и заселенности колебательных уровней пу (V = 0,1,..., Vd). Именно эти заселенности и соответствуют сохраняющимся величинам фх в (5). Так как при выделенных столкновениях сохраняются колебательные уровни молекул, то сохраняется и их колебательная энергия. Поэтому вместо полной энергии на данной стадии релаксации в качестве аддитивного инварианта можно рассматривать поступательно-вращательную энергию молекул. Движение газа в этой зоне описывается с помощью плотностей определяющих макропараметров пу, е1Г-Г01 и V.

Процесс установления равновесия по колебательным степеням свободы молекул протекает значительно медленнее вращательной релаксации. Поэтому его можно изучать на фоне равновесия по поступательным и вращательным степеням свободы. При этом следует отметить, что столкновения молекул, сопровождающиеся обменами колебательной энергии, происходят с различной частотой. Согласно данным [6, 7] вероятности колебательных обменов типа

м + ы ^ К) + К)

определяются прежде всего отношением а дефекта резонанса

Де^

+ £у £у

к колебательной энергии еу + еУ1 сталкивающихся молекул. При этом уменьшение отношения а в два раза приводит к увеличению вероятностей обмена более чем на порядок. Это дает основание полагать, что в определенных условиях в ударной волне можно выделить зоны, где наряду с поступательно-вращательными переходами молекул участвуют колебательные переходы (7), при которых дефект резонанса колебательной энергии (8) не превосходит доли а (а = 1/8; 1/4; 1/2) колебательной энергии сталкивающихся молекул. Таким образом, согласно предложенной в работах [4, 9] модели, в ударной волне можно выделить зоны 2-4 — зоны частичной колебательной релаксации, соответствующие а = 1/8, а = 1/4 и а = 1/2.

Как показано в работах [9, 10], при столкновениях с относительным дефектом резонанса колебательной энергии, не превосходящим а, кроме традиционных инвариантов, связанных с сохранением числа частиц, импульса и полной энергии, существует некоторый дополнительный инвариант фа(к). Этот инвариант является непрерывной кусочно-линейной функцией номера колебательного уровня Ки представляет собой квазигармоническую аппроксимацию безразмерной колебательной энергии еу/е\. Точность соответствующей аппроксимации определяется параметром а.

В этих условиях в газе устанавливаются неравновесные квазистационарные распределения вида (6), но при этом пу имеют вполне определенный вид:

^ъг

ехр

Здесь

а = 1/8; 1/4; 1/2.

^Ъг

уа

ехр

у=0

£у ~кТ

1

кТ

-1-)

т)

Фа (к)е 1

— колебательная статистическая сумма в рассматриваемых неравновесных условиях; £1 и еу — энергии 1-го и к-го колебательных уровней, Т1 — температура, названная Три-нором температурой 1-го колебательного уровня [11].

Поведение распределений (9) зависит от сорта молекул, значений параметра а и температур Т и Т.. Для относительных заселенностей колебательных уровней ху = пу/по, соответствующих распределению (9), можно записать

х у — ех р

£1 кТ\

--Фа(ъ)--

£1 £1

т\ т

1

£

V

п

п

V

В масштабах зон 2-4 определяющими макропараметрами являются п, е, п {фа) и V (е — энергия единицы объема газа, включающая поступательную, вращательную и колебательную энергии, {фа) — средние значения дополнительных аддитивных инвариантов фа, приходящиеся на одну молекулу, п {фа) — суммарные значения дополнительных инвариантов). Наряду с условиями совместности (2)-(4) имеем дополнительное условие (5) для П {фа).

В ситуации, когда все молекулярные столкновения относятся к быстрым процессам, нужно учитывать лишь традиционные аддитивные инварианты, связанные с фундаментальными законами сохранения. В этих условиях заселенности пу в формуле (6) имеют вид

" -р {-§-),

) У кТ)

При этом можно говорить, что при переходе через соответствующую 5-ю зону в газе установилось локальное равновесное термодинамическое распределение по всем степеням свободы молекул.

Определяющими макропараметрами в этом случае являются п, е и V. В этой ситуации нужно учитывать лишь условия совместности (2)-(4).

3. Условия динамической совместности

на границах релаксационных зон

Для исследования квазистационарных состояний колебательно возбужденного газа, которые могут реализоваться за фронтом ударной волны, выпишем обобщенные условия динамической совместности в симметричной форме (2)-(5) для прямого скачка уплотнения на границах каждой из релаксационных зон.

Начнем с 1-й зоны поступательно-вращательной релаксации, когда все обмены колебательной энергией относятся к медленным процессам.

Условие (2) в химически однородном газе может быть записано в виде

п

Так как давление идеального газа р = пкТ, то условие (3) примет вид

тп

В зоне 1 сохраняется поступательно-вращательная энергия, которую мы рассматриваем в классическом приближении, а именно (е^-гсл) = ^кТ, поэтому, используя (4), получим

у

2 +2 т ~ 2 +2 т '

Условие (5) в данном случае соответствует сохранению заселенностей колебательных уровней молекул, то есть

= п— V = 0,1,...,^.

Условие (2) является следствием (16). При этом можем записать

пу+) пу-)

ттт = ~ТЛ > « = 0,1,...,

п(+) п( >

В ударной волне в масштабах зоны поступательно-вращательной релаксации сохраняются относительные заселенности колебательных уровней. В этих условиях релаксация газа за фронтом ударной волны исследовалась в работах Е. А. Нагнибеда и Е. В. Кустовой [8].

На границах зон 2-4 частичной колебательной релаксации сохраняются условия (13) и (14), а условия динамической совместности (4) и (5) могут быть записаны в виде

,(+)2 7 кТ(+) (4+ъг) к(-)2 7 кТ(-) (4ьг) , х

2 2т т 22 т т

п

где (еУ1Ъг} и {фа) —средние значения колебательной энергии и инварианта фа(к), приходящиеся на одну молекулу. С учетом (2) можно записать

Ф^) =

В ударных волнах в масштабах зон частичной колебательной релаксации сохраняются средние значения дополнительных инвариантов (фа}.

В равновесном набегающем потоке параметры за ударной волной будут удовлетворять условиям совместности (13), (14) и (18).

В каждом случае условия совместности можно рассматривать как алгебраические уравнения относительно некоторого набора неизвестных параметров. На границе зоны поступательно-вращательной релаксации — это пУ+) (к = 0,1,..., к^), Т(+) и к(+).

На границе зон частичной колебательной релаксации в условия совместности входят неизвестные параметры п(+), Т(+) и к(+). Кроме того в (18) и (20) входят ^е^+ъГ^ и

фО+Л

. Эти величины могут быть выражены через функции распределения (6) и (9),

а следовательно, являются функциями от Т(+) и Т(+).

В зоне 5 ^е^ъГ^ выражается через функции распределения (6) и (12) и зависит лишь

от температуры термодинамического равновесия Т(+).

Каждый раз число уравнений равно числу неизвестных. Решая эти системы уравнений можно изучать состояние газа в различных релаксационных зонах внутри ударной волны и оценивать влияние разной степени неравновесности на газодинамические параметры и заселенности колебательных уровней.

4. Скачки уплотнения

в колебательно неравновесном азоте

С помощью метода, описанного выше, в работе [5] была исследована структура прямых скачков уплотнения, возникающих в равновесных потоках молекулярного кислорода. При этом предполагалось, что п(-) = п¿, (числу Лошмидта), а температура

Т

и скорость к(-) варьировались в широких пределах. 74

В некоторых задачах (например, в задаче об истечении сверхзвукового потока газа из сопла и набегании этого потока на преграду) могут возникать ситуации, когда ударная волна образуется в колебательно неравновесном газе. Известно, что в неравновесных условиях может происходить нарушение структуры ударной волны, а в некоторых случаях — образование волны детонации [12]. Однако в настоящей работе подобные нарушения структуры ударных волн не учитываются.

Слой резкого изменения газодинамических параметров, возникший в колебательно неравновесном газе, может рассматриваться как поверхность сильного разрыва между двумя квазистационарными состояниями газа, соответствующими одинаковым стадиям релаксации. Внутри этого слоя могут наблюдаться режимы, предшествующие той стадии релаксации, которая не успела реализоваться в набегающем потоке.

Если в набегающем потоке установилось максвелл-больцмановское равновесие по поступательным и вращательным степеням свободы при сильно неравновесном распределении по колебательным степеням свободы, ударная волна включает лишь зону 1 (зону поступательно-вращательной релаксации).

Если до ударной волны уже установилось квазистационарное распределение за счет поступательно-вращательных переходов и колебательных переходов, при которых относительный дефект резонанса колебательной энергии (е V + е ъ 1) < а = 1/8, то в ударную волну можно включать лишь зону 1 поступательно-вращательной релаксации и зону 2 частичной колебательной релаксации с а = 1/8. Если до ударной волны наряду с поступательно-вращательными переходами учитываются колебательные переходы при а = 1/4, то в ударной волне могут реализоваться зона 1 поступательно-вращательной релаксации, а также зоны 2 и 3 (частичной колебательной релаксации с а =1/8 и а = 1/4).

Наибольший интерес представляет ситуация, когда до ударной волны на фоне равновесного максвелл-больцмановского распределения по поступательным и вращательным энергиям сформировалось неравновесное квазистационарное колебательное распределение (9) с а = 1/2. В этом случае ударную волну также можно разделить на соответствующие релаксационные зоны: зону 1 поступательно-вращательной релаксации и зоны 2-4 частичной колебательной релаксации при а = 1/8, а = 1/4 и а = 1/2. Таким образом если до ударной волны по колебательным уровням установилось неравновесное распределение (9) с а = 1/2, то за ударной волной будем иметь новое неравновесное колебательное распределение вида (9) с той же степенью неравновесности, то есть с а = 1/2.

При этом до ударной волны значения параметров в правых частях уравнений (13), (14), (18) и (20) будут неравновесными. Средние значения колебательной энергии и инварианта Ф1/2(V), приходящиеся на одну молекулу, до ударной волны можно представить в виде

у=0

\ 1 Уа

=

у=0

где пV ) определяется выражением (9) при а = 1/2, Т = Т(-) и Т\ = Т( ).

В настоящей работе в качестве иллюстрации были рассмотрены прямые скачки уплотнения в молекулярном азоте. Параметры набегающего потока п(-), V

и Т( ) варьировались в пределах п( ) =0, 5пь — 5пь, к( ) = 500 3500 м/с, Т( ) = 500 - 5000 К, Т(-) = 1000 - 5000 К.

Результаты расчетов показали, что неравновесные эффекты мало влияют на величины скачков плотности и скорости.

Как и следовало ожидать, скачок температуры газа Т возрастает с увеличением скорости набегающего потока к

до скачка при п

пь и различных скоростях набегающего потока к

100008000600040002000-

"Г

"Г

"Г

"Г

1

0 1000 2000 3000 4000 5000

Рис. 1. Связь температур до и после

скачка уплотнения при п(-) = п 1000 К и различных значениях скорости до скачка уплотнения: 1 — = 1000 м/с; 2— = 1500 м/с; 3 —= 2000 м/с; 4 — = 2500 м/с; 5 — = 3000 м/с.

=

Температура 1-го колебательного уровня Т(+) практически не меняется по сравнению с температурой Т( ) до скачка при значениях Т( ) < 3000 К. Если Т( ) > 3000 К, температура Т возрастает при переходе через ударную волну. Однако, скачок температуры Т1 значительно меньше скачка Т. Зависимость температуры 1-го колебательного уровня Т(+) за скачком уплотнения от температуры Т( ) до скачка при п(-) = пь и различных скоростях набегающего потока к(-) приведена на рис. 2.

0 1000 2000 3000 4000 5000 1

Рис. 2. Связь температуры 1-го колебательного уровня до и после скачка уплотнения при п(-) = п£, Т= 500 К и различных значениях скорости до скачка уплотнения: 1 — = 1000 м/с; 2 — = 2000 м/с; 3 — = 3000 м/с.

В работе были рассчитаны заселенности колебательных уровней на границе каждой из рассматриваемых релаксационных зон.

На рис. 3 при одном и том же отношении Т( )/Т(— = 8 изображены относительные заселенности колебательных уровней (11) на границе зоны 1 поступательно-вращательной релаксации, а также на границах зон 2-4 частичной колебательной релаксации при а = 1/8, а = 1/4 и а = 1/2. Как видно из графика, на границе зоны 1 сохраняются те же неравновесные относительные заселенности колебательных уровней, что и до ударной волны (кривая 1); на границе зоны 2 происходит перераспределение заселенностей колебательных уровней (кривая 2): распределение остается не больцмановским, однако на кривой отсутствует платообразный участок; на границе зоны 3 перераспределение заселенностей колебательных уровней (по сравнению с зоной 2) происходит лишь на самых верхних уровнях (кривая 3); на границе зоны 4 (за ударной волной) устанавливается новое неравновесное квазистационарное распределение, по типу совпадающее с колебательным распределением до ударной волны (кривая 4). При этом по сравнению с состоянием газа до ударной волны высота плато понижается, а заселенности верхних уровней расположены значительно выше соответствующих за-селенностей до ударной волны. Это связано с тем, что при возрастании Т(+) и Т(+ за ударной волной отношение Т(+ /Т(+) оказывается меньше отношения Т( )/Т(-). Полученные результаты позволяют сделать вывод, что при прохождении потока молекулярного азота через ударную волну степень его неравновесности, связанная с различием температур Т и Т, уменьшается.

О 10 20 30 40 50

Рис. 3. Относительные колебательные заселенности молекул азота на границах релаксационных зон при Т( - /Т)=8: 1 соответствует зоне 1 поступательно-вращательной релаксации; 2, 3, 4 — зонам частичной колебательной релаксации: 2 — а = 1/8, 3— а = 1/4, 4 — а = 1/2.

0 10 20 30 40 50

Рис. 4. Зависимости относительных колебательных заселенностей молекул азота за скачком уплотнения от отношения температур Т( '/Тдо скачка при = п^, -ю- = 1000 м/с. Значения т(-)/Т1 — 2; 2 —4; 3 —6; 4 — 8.

При одном и том же значении а поведение относительных заселенностей колебательных уровней вида (11) полностью определяется перепадом температур Т /Т. На рис. 4 представлены относительные заселенности колебательных уровней (11) при п(-) = п^, v(-) = 1000 м/с и разных значениях Т( )/Т(-). Из графика видно, что с ростом отно-

шения T( ^/T( ) высота плато повышается, а заселенности верхних уровней располагаются ниже.

В заключении отметим, что проведенные исследования позволяют определить характер поведения газа на границах разных релаксационных зон внутри ударной волны, а также оценить влияние разной степени неравновесности на газодинамические параметры и заселенности колебательных уровней. Приведенная схема расчета может быть применима к другим двухатомным газам из ангармонических осцилляторов.

Summary

Voroshilova Yu. N. The structure of plane shock waves in vibrationally non-equilibrium gas.

The structure of plane shock waves in vibrationally non-equilibrium gases is discussed. The influence of the different non-equilibrium processes on the gasdynamical parameters and the vibrational population are estimated.

Литература

1. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М.: Наука, 1965. 484 с.

2. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

3. Валландер С. В., Нагнибеда Е. А., Рыдалевская М. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 280 с.

4. Рыдалевская М. А. Модели описания ударных волн в химически реагирующих смесях газов // Моделирование в механике, 1988. Т. 2(19). №5. С. 111-118.

5. Рыдалевская М. А. Газодинамические скачки в релаксирующем газе // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск, 1995. Т. 36. №3. С. 92-97.

6. Никитин Е. Е., Осипов А. И. Колебательная релаксация в газах // Итоги науки и техники. Кинетика и катализ. М.: ВИНИТИ, 1977. Т. 4. 172 c.

7. Гордиец Б. Ф., Осипов А. И., Шелепин Л. А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. М.: Наука, 1980. 512 c.

8. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 270 c.

9. Рыдалевская М.А., Рябикова Т. В. Разные стадии колебательной релаксации ангармонических осцилляторов // Аэродинамика. СПб., 1997. С. 101-114.

10. Рыдалевская М. А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. СПб., 2003. 248 с.

11. Treanor C. E., Rich I. W., Rehm R. G. Vibrational relaxation of anharmonic oscillators with exchange dominated collisions // J. Chem. Phys. 1968. Vol. 48. P. 1798-1807.

12. Осипов А. И., Уваров А. В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике // УФН, 1992. Т. 162. №11. С. 1-42.

Статья поступила в редакцию 4 мая 2004 г.