Уравнения Власова-Максвелла в моделирования динамики движения заряженных частиц в плазме электродугового разряда при синтезе углеродных наноструктур

УДК 533.95

УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА В МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ ЭЛЕКТРОДУГОВОГО РАЗРЯДА ПРИ СИНТЕЗЕ УГЛЕРОДНЫХ НАНОСТРУКТУР Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин

В статье представлена математическая модель динамики движения заряженных частиц в плазме электродуго-вого разряда с численным её решением методом крупных частиц. Приведен график изменения модуля средней скорости ионов углерода в зависимости от положения в межэлектродной зоне

Ключевые слова: плазма, нанотрубка, фуллерен, ионов углерода, кластер

Моделирование движения заряженных частиц в плазме электродугового синтеза углеродных наноструктур, позволит приблизится к понятию механизма формирования таких структур как фуллерены, нанотрубоки.

Для описания динамики плазмы заряженных частиц в основном используются две модели разных уровней детализации - магнитогидродинамическая (МГД) теория (рассматривающая плазму как проводящую жидкость) и кинетическая теория (оперирующая с функцией распределения заряженных частиц по координатам и импульсам).

МГД описание в основном используется при равновесном распределение частиц, например при моделирование динамики плазмы в плазменных ускорителях, при моделировании космической плазмы и т.п.

Кинетическое описание используется для моделирования коллективных явлений, таких как колебания в плазме, неустойчивости и т.п. В основе кинетической теории лежит уравнение Больцмана [1]:

+if, с«

dt dr m dr ^ dt )ст

где f (r ,3, t) - функция распределения

частиц, m - масса частицы, i - сила действующая на частицу,

f] =fl(/ f'-Ж )\3-$dadSi

Здесь /, / и //1 - функции распределения молекул до столкновения и после столкновения соответственно, 3,31 - скорости молекул до столкновения, Сс = С(СО - дифференциальное

Абрамов Геннадий Владимирович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 255-25-50, e-mail: agw@vgta.vm.ru

Гаврилов Александр Николаевич - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 275-62-09, e-mail: ganivrn@mail.ru Татаркин Евгений Сергеевич - ВГТА, аспирант, тел. (473) 255-25-50, e-mail: tatarkin.evg@gmail.com

эффективное сечение рассеяния в телесный угол dQ, зависящее от закона взаимодействия молекул. Для модели молекул в виде жёстких упругих сфер

(радиуса R) О = 4R2 cos U , где U - угол между относительной скоростью сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры.

Уравнение Больцмана трудно применимо для описания плазмы заряженных частиц с куло-новским взаимодействием вследствие дальнодейст-вующего характера кулоновских сил. Поэтому для описания плазмы с кулоновским взаимодействием используется уравнение Власова с самосогласованным электромагнитным полем, созданным заряженными частицами плазмы.

Уравнения Власова записывается в виде:

dfa | ndfa 5 , 1 3 5ЪС

^ + 3^--q (E + -dt dr c

з,в )^а=о,

-1 др

С целью нахождения взаимодействия заряженных частиц в плазме уравнение Власова для самосогласованного поля, необходимо дополнить следующей системой уравнений (уравнения Максвелла):

5 4nj 1 dE

rotB =—- + -

c dt

rotE = --1 —, c dt

сНуВ = 0,

С1\Е = 4пр,

где /а(г ,3,1) - функция распределения для каждой компоненты плазмы; г - ко ординаты частицы; р - поле импульса частицы; 3 - поле скоростей частицы; Е, В - напряженность электрического и магнитного поля; р - плотность заряда; ] - плот-

ность тока; д - заряд частицы; д(Е +— 3, В ) -

с л

сила Лоренца.

Для решения полученной системы уравнений Власова-Максвелла (3-9) использовался численный метод крупных частиц.

Использование метода крупных частиц состоит в том, что фазовое пространство для каждой компоненты в начальный момент времени разбивается на ячейки. В соответствии с начальной функцией распределения каждой компоненты

/ (г ,3,0) считается число частиц в каждой ячейке. Затем суммируются заряды всех частиц данного сорта, содержащиеся в одной ячейке, суммарный заряд присваиваются одной модельной частице данного сорта, которую помещают в узел сетки (рис. 1). Таким образом, получается не только начальное распределение макрочастиц, но и задается в каждом узле начальное значение плотности заряда и тока. Далее рассчитываются электрическое и магнитное поле по имеющимся значениям заряда и тока в узлах. После этого рассчитывается траектория движения частиц, их новое положение в фазовом пространстве в последующий момент времени. Таким образом, определяется текущая функция распределения [2].

Условия сходимости и адекватности решения методом крупных частиц [3] определялись следующим образом:

1) Шаг интегрирования должен быть много меньше минимального характерного времени процессов в плазме, то есть времени электронных колебаний (колебаний плазмы - Ленгмюров-ские волны):

л о „ 1

At < 3.4—,

2) Шаг сетки должен быть меньше радиуса Дебая:

h < 0.2Ad ,

Суммирование заряда макрочастицы в узлах сетки может происходить по разным алгоритмам:

а) Ближайший к узлу (NGP - nearest grid point) на рис 3.

б) Облако в ячейке

t

O; O' О;; О.: O .O;; O

Анод

- h+ = h - -  =   --•O—O......о....О.....О :: 0.....О.

' є : . + ї - ! -•

"О....;6 -:0---6---.Q.......О. 6

І Є h і h І , + і і , +е і h Iе

їр  п S _ «ГІ + Р»

о.....о о.......ой о........о о

Катод

Рис. 1. Расчетная сетка

Расчетная схема выбранного метода решения представлена на рис. 2.

Рис. 2. Расчетная схема метода крупных

частиц

Рис. 3. Методы суммирования, черная точка - частица, белая точка - макрочастица.

N0? алгоритм заключается в том, что заряд частицы суммируется в ближайший узел сетки (макрочастица). С1С алгоритм заключается в разнесение заряда частицы по узлам с помощью линейной интерполяции. В двух мерном случае заряд разносится по узлам пропорционально площади прямоугольника, дальнего от узла решетки.

Рис. 4. Суммирование по С1С методу

5, 52 53

д = я5; ъ = ; ъ = ^5;

Ъ = 5 = 5 + 52 + 53 + 54,

где д,, ъ2, ъ3, д4 - заряд макрочастицы; - заряд

частицы; 5,, 52,53,54 - площадь прямоугольников показанных на рис. 4.

В трехмерном случае взвешивание происходит пропорционально объему ячейки, а не площади.

Уравнения Максвелла (4-9), выраженные через скалярный потенциал ф и векторный потенциал А примут следующий вид:

УЁ = -Аф = 4пр,

У В = Ах А = /л01,

где р - плотность заряда определяется как сумма разнесенных в звешенных зарядов частиц Рк =£ Чг , 1 - плотность тока определяется как

г

1 к =£ Чг9г .

І

Расчет скалярного потенциала ф в узлах сетки можно провести, используя уравнение Пуассона [2]:

д2ф д2ф д2ф л ,

+ ^Г +ГГ = —4пР

дх ду д;

Ф\гр = ФР

О < х < Ьх ,0 < у < Ьу ,0 < г < Ьг

где Ьх, Ьу, Ьг - размер сетки по координатам,

р( X, у, г) - плотность заряда, в к-м узле сетки.

Конечно-разностный вид уравнений 15-17 имеет вид:

фк+1, і ,г — 2фк, і , і + фк—1, і ,і +

^х

фк, і+1,г — 2фк, і ,г +фк, і-1,г

и.

, фк, і ,г +1 2фк, і ,і +фк, і ,г —1 4

+ -------------^----------- = — Р^’г'

0 1 = ф1 , фп+1, і ,і ф2 ,

фк ,0,і = ф3,фк ,т + 1,г = ф4 ,

фк, і ,0 = ф5 , фк, і ,Ь + 1 = ф6,

где к = 0..П, і = 0..т, і = 0..Ь - индексы узлов

сетки,

ки.

и =и =—?— и =

X , 1 ’ у , 1 ’ ; 7,1

п +1 т +1 Ь +1

шаг сет-

При Их = Иу = Иг = И легко привести конечно-разностное уравнение к виду [2]:

фк+1, і г +фк—1, і г +фк, і+1,г +

+фк, і—1,і + фк, і ,г+1 + фк, і і—1 —

—6фк,;, г = — 4пРк, 1ііИ 2

Для решения этого матричного уравнения применяется метод установления [2], заключающегося в том, что решение уравнения (13) рассматривается как установившееся (стационарное) решение уравнения диффузии с коэффициентом диффузии, дф

равным единице -------= Дф + 4пр , то есть на

дг

временах, когда уже нет изменения потенциала, то

дф п

есть-----= 0 .

д г

фк,}, ,(г+д г)=ф, ,(г) +а(фк+и ,,(г)+

фк-1,} Л (г) + фк,}+и (г) + фк,}-1,1 (г) +

+ фк, ] ,г + 1 (г) + фк, ] ,г-1 (г) - 6фк, ] ,г (^) +

+ 4 ПР к, і, і И 2 ) где а =

к, і, і А ї И2

Условие выхода потенциала на стационар можно выразить следующим образом:

^фк,іг

к, і ,і к, і ,і

где £п - задаваемая погрешность.

Значение электрического поля в узлах вычисляется следующим образом:

фк-1, ] ,1 фк+1, ] ,1 ;

Ёх =

хк, і

Ё =

ук, і ,і

фк, і—1,і — ф

к, і+1,і .

2И„

2Их

Ёг =

гк, і ,і

фк, і г—1 — ф

к, і ,і+1 .

2И

Значения магнитного поля в узлах сетки определяется аналогично электрическому полю но для уравнения 14.

Расчет силы действующей на частицу:

1 ггг1)

9, В,

*і = Ч г (Ё г +

С

Ё =

В =

Значение полей 1-ой частицы определяется интерполированием к месту её расположения, как и для взвешивания заряда для макрочастицы.

Изменение скорости и перемещения 1-ой частицы:

4=4+—Дг щ

Г = Г+4Дг

Количество электронов в плазме электроду-гового разряда

I Дг пе = —, е

где I - сила тока дуга (А); Дг - шаг интегрирования по времени (с); е - заряд электрона (Кл).

Количество положительных ионов углерода в плазме можно получить из экспериментальных данных скорости испарения анода:

4

п = —, с Дг

где 4а - скорость выгорания анода по экспериментальным данным

Из условия квазинейтральности плазмы, количество положительных ионов гелия: п, = п - п

пес

Общее количество атомов гелия в межэ-лектродном объеме можно определить из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Использование представленной модели позволило произвести расчет изменения модуля средней скорости ионов углерода в межэлектрод-ном пространстве (рис. 5). В качестве исходных данных принималось межэлектродное расстояние 1 мм, диаметр электродов 10 мм, сила тока 150 А [4], количество расчетный точек 1000.

Модуль вектора скорости м/с

Рис. 5. График изменение модуля среднего скорости ионов углерода от анода к катоду.

Численное решение полученной системы уравнений Власова-Максвелла методом крупных частиц, позволяет провести исследование механизмов роста кластеров при взаимодействий частиц в плазме, рассмотреть динамику прикатодных и при-анодных процессов с учетом формы выгорания анода (форма определяет конфигурацию потока атомов углерода), а также определить влияние параметров синтеза на скорость роста и состав депозитного осадка [5].

Использование данного метода моделирования требует значительных затрат машинного времени для расчетов, поэтому для ускорения вычислений использовалась техника распараллеливание вычислений с привлечением объединенных вычислительные комплексов.

Литература

1. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов / УФН, 2000, № 170, С. 649-679

2. Цветков И.В. Применение численных методов для моделирования процессов в плазме: учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. 84 с.

3. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 640 с.

4. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Татаркин Е.С. Влияние газоплазменной струи в процессе электродугового испарения графитового электрода на формирование углеродных нанотрубок. Вестник Воронежской государственной технологической академии. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление / Воронеж: ВГТА, 2010, № 2(44). С.60-63

5. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Пологно Е.А., Татаркин Е.С. Исследование свойств углеродного депозита получаемого при распылении графитового электрода в плазме электродугового разряда // Кибернетика и высокие технологии XXI века. X международная научно-техническая конференция. Том 2 / Воронеж: ВГУ, 2009. С.785-709.

Воронежская государственная технологическая академия

VLASOV-MAXWELL EQUATIONS IN MODELING THE DYNAMICS OF CHARGED PARTICLES IN PLASMA BY ARC DISCHARGE SYNTHESIS OF CARBON NANOSTUCTURES G.V. Abramov, A.N. Gavrilov, E.S. Tatarkin

The article presents a mathematical model of the dynamics of motion of charged particles in the plasma-wave electric arc discharge with the numerical solution by “particle-in-cell” method. The schedule of change of the module of average speed of ions of carbon depending on position in an interelectrode zone is resulted

Key words: plasma, nanotube, fullerene, carbon ions, cluster