Этапы, методы и способы решения текстовых задач начального курса математики

УДК 372.8

doi: 10.20310/1810-231Х-2017-16-2-50-56

Образовательные этапы, методы и способы решения тех НОЛОГИ И ТЕКСТОВЫХ задач начального курса

МАТЕМАТИКИ

Айвазян Нарине Самвеловна

МБОУ «Стрелецкая средняя общеобразовательная школа», Россия, Тамбовская обл., с. Стрельцы e-mail: amzojan@yandex.ru

В статье определены понятия «текстовая задача» и «математическая задача». Проанализированы различные методы решения текстовой задачи. Обоснованы основные этапы решения текстовой задачи младшими школьниками: анализ задачи; поиск и составление плана решения задачи; осуществление плана; проверка решения задачи; формулировка ответа на вопрос задачи; исследование решения. Особое внимание обращается на то, что учителю начальных классов важно использовать разнообразные методы решения текстовых задач, замечать нестандартные идеи ребенка, поддерживать его. Выработка привычки к поиску другого способа решения задачи, умение и способность находить различные пути и способы решения проблемы играет большую роль в будущей работе, научной и творческой деятельности школьника.

Ключевые слова: математика, текстовые задачи, этапы, методы и способы решения текстовой задачи, младший школьник, арифметический, алгебраический, графический, практический метод

Для выработки у учащихся умения решать текстовые задачи важна всесторонняя работа над задачей, в частности, решение ее различными методами. Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти (ответ). В русском языке слова «метод» и «способ» очень близки по значению, и в обыденной жизни каждое из них часто заменяют другим. В целях большей определенности под методом решения задачи в математике будем понимать совокупность приемов, способов, правил, используемых учащимся для достижения определенного результата - ответа задачи [1].

Под способом решения задачи вслед за Г. А. Баллом будем понимать систему операций, выполнение которых обеспечивает решение задачи. Таким образом, понятие «метод» шире понятия «способ». Тогда разные способы решения задачи будут пониматься однозначно и основной признак решения задачи различными способами - это отличие связей между данными и искомыми.

В методической литературе можно встретить различные классификации методов решения текстовых задач. Остановимся на клас-

сификации, которую предлагает нам Л. П. Стойлова. Она выделяет следующие методы решения текстовых задач: арифметический; алгебраический; графический; практический (предметный) [1].

Основными же методами решения текстовых задач в начальном курсе математики являются арифметический и алгебраический. Решить задачу арифметическим методом -это значит найти ответ на вопрос задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Арифметические способы решения задач отличаются друг от друга одним или несколькими действиями, или количеством действий, также отношениями между данными, данными и искомым, данными и неизвестным, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.

Следует отметить, что решение текстовой задачи различными способами позволяет убедиться в правильности ее решения, дает возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. При решении задач различными способами

ученик рассматривает один и тот же вопрос с разных точек зрения, привлекая при этом дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет большее число рассуждений, выбирает варианты из нескольких возможных. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал.

Приведем пример решения задачи начального курса математики алгебраическим методом, различными способами:

Задача. В трех классах 76 учеников. В первом и во втором вместе 51 ученик, а во втором и в третьем 52 ученика. Сколько учеников в каждом классе?

1 способ:

1) 76 - 52 = 24 (ученика) в первом классе;

2) 51 - 24 = 27 (учеников) во втором классе;

3) 52 - 27 = 25 (учеников) в третьем классе.

2 способ:

1) 76 - 52 = 24 (ученика) в первом классе;

2) 76 - 51 = 25 (учеников) в третьем классе;

3) 24 + 25 = 49 (учеников) в первом и третьем классах;

4) 76 - 49 = 27 (учеников) во втором классе.

3 способ:

1) 76 - 52 = 24 (ученика) в первом классе;

2) 76 - 51 = 25 (учеников) в третьем классе;

3) 51 - 24 = 27 (учеников) во втором классе.

4 способ:

1) 76 - 52 = 24 (ученика) в первом классе;

2) 76 - 51 = 25 (учеников) в третьем классе;

3) 52 - 25 = 27 (учеников) во втором классе.

Как видно из примера, не существует

строгого определения наиболее рационального способа решения, которое можно было бы применить в качестве критерия при оценке того или иного решения прикладной задачи, так как при оценке надо учитывать: объем знаний, применяемый при решении задачи: расширение объема знаний у учащихся, как правило, ведет к увеличению количества способов решения задачи, а следовательно, к появлению новых более простых способов решения; решение задачи подразумевает не только вычисление или построение, но и прежде всего пояснения и обоснования (может оказаться, что, например, вычисления при одном способе решения проще, чем при другом, но обоснования и построения значительно сложнее); доступность для учащихся; время на отыскание данного способа.

Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на вопрос задачи путем составления и решения уравнения. Тек-

стовые задачи алгебраическим методом решают по следующей схеме:

- выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

- вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

- с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;

- решают полученное уравнение или систему;

- проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения, то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами. Но надо отметить, что в начальных классах алгебраический способ для решения текстовых задач не применяется.

Приведем пример алгебраического и арифметического решения одной и той же задачи. Здесь мы имеем дело с различными подходами к решению, связи между искомыми и данными могут быть одинаковыми. Например, задача: «От пристани в противоположные направления вышли два корабля. Через 2 часа они находились друг от друга на расстоянии 112 км. Один из них шел со скоростью 30 км/ч. Найдите скорость другого корабля.

Способ арифметического решения:

1) 112 : 2 = 56 (км/ч);

2) 56 - 30 = 26 (км/ч).

Способ алгебраического решения:

Пусть х км/ч - скорость одного корабля, тогда:

(х + 30) 2 = 112, х + 30 = 112:2, х + 30 = 56, х = 56 - 30, х = 26.

Если говорить о подходах к решению задачи, то они разные, если говорить о связях между данными и искомыми, то они одинаковые. Следовательно, нужно различать либо различные арифметические способы задачи, либо различные алгебраические способы. Форма записи различных способов решения может быть также различна: по действиям или выражением.

Если ответ на вопрос текстовой задачи можно дать, опираясь только на чертеж, то такой метод решения называется графическим. До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифметических задач не нашел должного применения в школьной практике. Однако, потенциал графического метода очень велик, поскольку он дает возможность более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

Следует отметить, что благодаря применению графического метода решения текстовых задач в начальной школе можно сократить сроки, в течение которых ученик научится решать различные задачи. Графический

метод дает иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую дети еще не могут решить арифметическим способом и которую можно предлагать во внеклассной работе.

Если ответ текстовой задачи находят с помощью непосредственных действий с предметами, то речь идет о практическом методе решения задачи. Практическим называется метод, при котором поиск решения и само решение задачи выполнено на основе теоретико-множественного истолкования операций над числами.

Рассмотрим пример задачи: «На каждой из четырех картинок изображено по два аиста. Сколько всего изображено аистов на картинках?»

А$ At

В задаче идет речь о четырех множествах, в каждом из которых по два элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих четырех множеств. Если

n( A) = n( A2) = n( A) = n( Л4) = 2

то n

= n( Ai) + n( A2) + n( A3) + n( A4) = = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

Ответ: восемь журавликов изображено на четырех картинках.

В некоторых классификациях методов решения комбинаторных задач встречается еще и комбинированный метод решения, включающий в себя арифметический, алгебраический, графический и практический методы решения.

Требования к решению задач различными способами имеются в некоторых номерах задач учебников математики. Но такая работа должна вестись более глубоко и систематиче-

ски и если не со всеми учащимися класса, то хотя бы с учениками, проявляющими интерес к математике, во внеурочное время, тем более что, как показывает опыт, учащимся этот вид работы нравится [2].

Итак, рассмотрев различные методы и способы решения текстовых задач начального курса математики, мы пришли к следующим выводам:

- во-первых, понятие «метод решения задачи» оказался шире понятия «способ решения задачи», поскольку метод - есть совокупность приемов, способов, правил, используемых учащимся для достижения определенного результата - ответа задачи, а способ решения задачи - есть система операций, выполнение которых обеспечивает решение задачи;

- во-вторых, в математике существуют различные методы и способы решения текстовых задач (арифметический, алгебраический, графический, практический). Однако не все они применяются при решении текстовых задач в начальной школе. Наиболее активно применяются арифметический и практический методы решения текстовых задач.

- в-третьих, при выработке у учащихся умения решать текстовые задачи, огромное

значение приобретает всесторонняя работа над задачей, в частности, решение ее различными способами, что требует от учащихся глубоких математических знаний, умения отыскивать наиболее рациональные решения.

Таким образом, учителю начальных классов важно использовать разнообразные методы и способы решения текстовых задач, всегда замечать неординарный поворот мысли ребенка, поддерживать его. Выработка привычки к поиску другого способа решения задачи, умение и способность находить различные пути и способы решения проблемы играет большую роль в будущей работе, научной и творческой деятельности школьника.

Решение текстовых задач осуществляется поэтапно. Последовательность этапов обусловлена логикой условия задачи. Между тем, следует отметить, что единого взгляда на количество этапов и их названия в методике до сих пор нет. В реальном процессе решения текстовой задачи названные ниже этапы не имеют четких границ.

Традиционно принято выделять следующие этапы:

1 этап - Анализ задачи, цель которого состоит в понимании задачи.

Л. М. Фридман выделяет два направления, по которому может проводиться анализ задачи:

а) предметно-содержательный анализ -это декодирование условия задачи в целом, воссоздание той реальной задачной ситуации, моделью которой является данная задача;

б) логико-семантический анализ - это анализ текста задачи для установления величин, их значений и соотношений между ними, заданных в тексте задачи, разбиение тем самым текста задачи на отдельные элементарные условия и требования.

Приемы выполнения:

- правильное чтение и слушание задачи: правильное прочтение слов и предложений, правильная расстановка логических ударений; правильное слушание при восприятии задачи на слух;

- представление ситуации, описанной в задаче. Фактически оно осуществляется при чтении или слушании задачи. Однако на этом этапе уделяется внимание вычленению основных количественных и качественных характеристик задачной ситуации: разбиение текста на смысловые части; переформулиров-

ка текста задачи (изменение текста или построение словесной модели);

- постановка специальных вопросов по содержанию задачи и поиск ответов на них. Цель данного приема - научить учащихся задавать себе подобные вопросы и отвечать на них самостоятельно, научить сознательно, пользоваться ими при анализе содержания задачи. Вопросы целесообразно использовать после того, как учащиеся подготовлены к поиску решения задачи и их нужно только немного соориентировать до завершения их мысли. Постановка специальных вопросов: О чем задача? Что требуется узнать (доказать, найти)? Что известно? Что неизвестно? Что обозначают слова...? Словосочетания...? Предложения...? Какие предметы, понятия, объекты описываются в задаче? и др. [1];

- моделирование ситуации, описанной в задаче.

С помощью модели в процессе решения текстовой задачи удается:

- свести изучение сложного к простому, т. е. сделать ее доступной для тщательного и всестороннего изучения;

- зафиксировать результат анализа текстовой задачи.

Процесс построения модели и изучения строения оригинала с помощью построенной модели называется моделированием.

Основными задачами процесса моделирования являются выбор модели, наиболее адекватной оригиналу, и перенос результатов исследования на оригинал, что требует от учащихся умения определять проблемы и ставить задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки; выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки.

2 этап - Поиск и составление плана решения задачи, назначение которого - установить связь между данными и искомыми объектами, наметить последовательность действий.

Под поиском решения задачи Л. Л. Гурова понимает отыскание принципа построения логики решения, в соответствие с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя заранее сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет [3].

План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что идея окажется неверной, тогда необходимо

вновь возвращаться к анализу задачи. Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен. Можно указать лишь некоторые приемы, позволяющие осуществить этот этап.

Можно выделить следующие приемы поиска плана решения текстовой задачи:

- по модели. Прием заключается в выделении элемента, моделирующего искомое, в определении последовательности операций с другими элементами модели или соответствующей последовательности арифметических действий над данными и неизвестными для получения искомого или для составления уравнения;

- с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу». Несмотря на то, что при разборе любой задачи, обучающиеся мыслят аналитико-синтетически, в данном процессе в зависимости от возрастных особенностей психики детей и сложности задачи может преобладать одна из его сторон, то есть разбор задачи приобретает определенную направленность. Если разбор задачи ведется в направлении от данных к вопросу, его называют синтетическим методом, а если от вопроса задачи к ее данным - аналитическим.

Разбор составной задачи аналитическим методом состоит в том, что к главному вопросу задачи подбирают такие данные из условия, по которым можно на него ответить. Если в условии задачи нет нужных данных или одного из них, то ставят новые вопросы, как его найти. И так до тех пор, пока не дойдут до вопроса, для решения которого уже известны все данные в условии задачи. Потом составляется план. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке [3];

- разбиение текста задачи на смысловые части. Использование данного приема, по мнению С. Е. Царевой, обеспечивает порционное усвоение учащимися содержания задачи. А это способствует как его пониманию, так и запоминанию;

- переформулировка текста задачи: замена данного в нем описания другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные и качественные характеристики, но более явно их выражающими. Ее цель заключается в отбрасывании несущественной информации и преобразовании текста задачи в форму, облегчающую поиск пути решения.

3 этап - Осуществление плана решения задачи, назначение которого найти ответ на вопрос задачи (выполнить требование задачи). Осуществление плана решения задачи предполагает устное или письменное выполнение каждого пункта плана.

При решении текстовых задач арифметическим методом используют следующие приемы:

- запись по действиям (с пояснениями, без пояснений, с вопросами);

- запись в виде выражения (с записью шагов по его составлению, вычислений и полученного результата этих вычислений - равенства; в виде выражения, преобразуемого после вычислений в равенство, без записи шагов по составлению его; по действиям);

При решении текстовых задач алгебраическим методом используют следующие приемы:

- запись в виде уравнения и его решения;

- через запись шагов составления уравнения; самого уравнения и его решения.

При решении текстовых задач графическим методом используют прием табличного решения (в виде таблицы с записью шагов по ее построению и заполнению; в виде таблицы и ее заполнения без предоставления промежуточных шагов).

4 этап - Проверка решения задачи, цель которого состоит в установлении правильности или ошибочности выполненного решения.

Приемы выполнения:

- прогнозирование результата (прикидка, установление границ ответа на вопрос) и последующее сравнение хода решения с прогнозом. При несоответствии прогнозу - решение неверно. При соответствии решение может быть, как верным, так и неверным. Возможно установление правильности или неправильности хода решения;

- установление соответствия между результатом решения и условием задачи: введение в текст задачи вместо вопроса ответа на него. Получение всех возможных следствий из полученного текста, сопоставление результатов друг с другом и с информацией, содержащейся в тексте. Если в результате будут обнаружены противоречия, то задача решена неправильно. В противном случае -верно. Правильность хода решения не устанавливается;

- решение задачи другим методом или способом. Если в результате решения другим (другими) способом или методом получили тот же результат - этот результат верен, в противном случае - неверен. Правильность хода решения не устанавливается;

- составление и решение обратной задачи. Если в результате решения обратной задачи получено данное прямой задачи, то результат решения верен, в противном случае - неверен. Правильность хода решения не устанавливается [4];

- определение смысла составленных в процессе решения выражений. Если все выражения имеют смысл, и смысл последнего таков, что позволяет ответить на вопрос задачи, то выражения составлены верно и после проверки правильности нахождения значений выражений можно утверждать, что ход и результат решения верны. В противном случае либо ход решения, либо его результат - неверны. Возможно установление правильности как хода, так и результата решения;

- сравнение с правильным решением - с образцом хода и (или) результата решения. При решении задачи тем же методом и способом, что и в имеющемся образце, возможно установление правильности как хода, так и результата решения [5];

- повторное решение тем же методом и способом. Возможно установление правильности хода и результата решения.

5 этап - Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования). Цель данного этапа - дать ответ на вопрос задачи (подтвердить факт выполнения требования задачи).

Приемы выполнения:

Построение развернутого истинного суждения вида: «так как ..., то можно сделать вывод, что ... (формулируется ответ на вопрос задачи полным предложением в устной или письменной форме). Формулировка полного ответа на вопрос задачи без обосновывающей части устно или письменно. Формулировка краткого ответа устно или письменно с помощью специальных знаков [5].

6 этап - Исследование решения, назначение которого - установить, является ли данное решение (результат решения) единственным или возможны другие результаты (ответы на вопрос задачи), удовлетворяющие условию задачи.

Приемы выполнения:

- Изменение результата решения в соответствии с его смыслом и установление направления изменений в отношениях между измененным результатом и условием задачи.

- Подбор другого результата решения и установление соответствия условию задачи. Оценка степени возможности удовлетворения условию задачи других вариантов [6].

Итак, в процессе решения текстовой задачи младшие школьники проходят ряд основных этапов: анализ задачи; поиск и составление плана решения задачи; осуществление плана решения задачи; проверку решения задачи; формулировку ответа на вопрос задачи; исследование решения. В реальном процессе решения текстовой задачи названные этапы не имеют четких границ. Вместе с тем, будущему учителю необходимо понимать, что решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых сделает процесс усвоения материала целенаправленным, а, следовательно, более успешным. Полнота использования младшими школьниками рассмотренных приемов организации выполнения каждого из перечисленных этапов решения текстовой задачи во многом зависит от уровня математических знаний, опыта и мыслительных умений младших школьников.

Литература

1. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. М., 1984.

2. Бантова М. В., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах. М., 1984.

3. Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж, 1976.

4. Аргинская И. И. Математика. Методическое пособие к учебнику 1 -го класса четырехлетней начальной школы. М., 1999.

5. Вялова С. О. Как составить и решить задачу // Начальная школа. 1998. № 16.

6. Комарова В. А. Формирование умения решать задачи в начальной школе //Начальная школа. 2007. № 1. С. 66-68.

References

1. Freadman L. M., Turetskij E. N. Kak nauchit'sya reshat' zadachi [How to learn to solve tasks]. M., 1984.

2. Bantova M. V., Bel'tyukova G. V. Metodika prepodavaniya matematiki v nachal'nykh klassakh

[Technique of teaching mathematics in elementary school]. M., 1984.

3. Gurova L. L. Psikhologicheskij analiz resheniya zadach [Psychological analysis of the solution of tasks]. Voronezh, 1976.

4. Arginskaya I. I. Matematika. Metodicheskoye posobiye k uchebniku 1-go klassa chetyrekhletnej nachal'noj shkoly [Mathematics.

Study guide to the textbook of the 1st class of four-year elementary school]. M., 1999.

5. Vyalova S. O. Kak sostavit' i reshit' zadachu [How to make and solve a task] // Nachal'naya shkola. 1998. № 16.

6. Komarova V. A. Formirovaniye umeniya reshat' zadachi v nachal'noj shkole [Formation of ability to solve tasks at elementary school] // Nachal'naya shkola. 2007. № 1. S. 66-68.

* * *

STAGES, METHODS AND WAYS OF THE SOLUTION OF TEXT PROBLEMS OF THE INITIAL COURSE OF MATHEMATICS

Ayvazyan Narine Samvelovna

MBEI «Streltsy High Comprehensive School», Russia, Tambov Region, Streltsy, e-mail: amzojan@yandex.ru

In article the author defined concepts «text task» and «mathematical task», analyzed various methods of the solution of a text task, justified the main stages of the solution of a text task by younger school students: analysis of a task; search and scheduling of the solution of a task; implementation of the plan; verification of the solution of a task; formulation of the answer to a task question; decision research. The author paid special attention to the fact that it is important to elementary school teacher to use various methods of the solution of text tasks, to notice the non-standard ideas of the child, to support him. Development of a habit to search of other way of the solution of a task, ability and ability to find various ways and ways of a solution plays a large role in future work, scientific and creative activity of the school student.

Key words: mathematics, text problems, stages, methods and ways of the solution of a text task, younger school student, arithmetic, algebraic, graphic, practical method

Об авторе:

Айвазян Нарине Самвеловна, учитель начальных классов МБОУ «Стрелецкая средняя общеобразовательная школа», Тамбовская область, Тамбовский район, с. Стрельцы

About the author:

Ayvazyan Narine Samvelovna, Elementary School Teacher of MBEI «Streltsy High Comprehensive School», Tambov Region, Tambov District, Streltsy