Об одном свойстве кольца эндоморфизмов абелевой группы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3

УДК 512.541

В.М. Мисяков

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ

Рассматривается некоторый класс редуцированных смешанных абелевых групп, в котором исследование смешанных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов сводится к исследованию групп без кручения с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Ключевые слова: абелева группа, коммутативное кольцо эндоморфизмов.

В монографии [1] поставлена проблема 15: «Свести исследование смешанных групп с нётеровыми справа, полупервичными или коммутативными кольцами эндоморфизмов к исследованию групп без кручения с соответствующими кольцами эндоморфизмов». В этой статье данная задача решается для групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов из некоторого класса К. Заметим, что периодические, расщепляемые и некоторый класс смешанных групп, имеющих коммутативное кольцо эндоморфизмов, описаны в [2]. В [3] найдены некоторые необходимые и достаточные условия коммутативности кольца эндоморфизмов произвольной смешанной абелевой группы. Все группы, рассматриваемые здесь, являются абелевыми.

Введем некоторые обозначения: Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А; Тр (А) - р-компонента периодической части группы А; Q - группа рациональных

чисел; 2 (рш) - квазициклическая группа; Qp - группа всех рациональных чисел со знаменателем, взаимно простым с р; Jр - группа целых р-адических чисел;

*

Qp - кольцо целых р-адических чисел; 2 (т) - циклическая группа порядка т ; < а > - циклическая группа, порожденная элементом а; о(а) - порядок элемента а; Ъ-А (а) - высота элемента а в группе А; 2т - кольцо вычетов по модулю т; (т,п) - наибольший общий делитель натуральных чисел т и п; Р - множество всех простых чисел. Все понятия и обозначения, которые не поясняются, являются стандартными, их можно найти, например, в [1, 4 или 5].

Рассмотрим, предварительно, следующий простой факт, который будем использовать в дальнейшем.

Напомним, что матрица (а^) с элементами из кольца Е(А), называется сходящейся по столбцам, если для каждого столбца / сумма ^а^ существует в ко]

нечной топологии кольца Е(А) [5, гл. XV, §106, §107].

Лемма 1. Пусть группа А разлагается в прямую сумму своих подгрупп, то есть А = @А. Кольцо Е(А) коммутативно тогда и только тогда, когда коль/е/

цо Е(А) коммутативно и подгруппа Д является вполне характеристической для любого / е /.

Доказательство. Так как А = @А, то кольцо Е(А) изоморфно кольцу всех

/е/

сходящихся по столбцам / х / -матриц (а^/е/, где а/ е Нот(А, А;-) [5, гл. XV,

§106, теорема 106.1].

Пусть Е(А) - коммутативное кольцо, тогда Нот(А, А}- ) = 0 и Е(А) - коммутативное кольцо для любых /, ] е / . Вполне характеристичность подгруппы А, / е /, вытекает из [1, гл. 3, §19, лемма 19.1].

Обратное утверждение следует из условия и [5, гл. XV, § 106, упр. 4 а)].

Для группы О, такой, что Т(О) Ф 0, будем рассматривать множество п(О) = {р е Р | Тр(О) Ф 0}.

Следующая лемма, доказанная в [6], будет полезна в дальнейшем.

Лемма 2. Пусть А - делимая группа. Кольцо Е(А) является коммутативным тогда и только тогда, когда А = Q или А = 0 2(р“).

реп

В нижеприведённом утверждении даётся описание нередуцированных групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Предложение 3. Пусть О = А0В - нередуцированная группа, где А - редуцированная, а В - делимая группы. Кольцо Е(О) является коммутативным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) В = Q либо В = 0 2(р“);

реп

к к

2) если А Ф 0, то А = 0 2 (р р), причём если А = 0 2 (р р) и

реп

В = 0 2 (р“), то п(А)Р|л(В) = 0.

реп

Доказательство. Так как О - нередуцированная группа, то она содержит ненулевую делимую часть. Пусть Е (О) - коммутативное кольцо. Тогда, как следует из леммы 2, В = Q или В = 0 2(р“).

реп

Пусть А Ф 0. Покажем, что А является периодической группой. Допустим противное, то есть пусть существует элемент а е А , такой, что о(а) = “. Рассмотрим произвольный элемент 0 Ф Ь е В. Так как о(а) = “, то Нот((а), (Ь)) = (Ь) и, следовательно, существует 0 Ф фе Нот((а), (Ь)). Пусть /: (а) ^ А и ] : (Ь) ^ В, где /, ] - вложения. Так как В - делимая, а значит, инъективная группа, то существует гомоморфизм у : А ^ В, такой, что у/ = ]ф. Поскольку ]ф Ф 0, то у Ф 0. Гомоморфизм у легко продолжается до ненулевого эндоморфизма группы О. Следовательно, А - не вполне характеристическая подгруппа, что противоречит утверждению леммы 1. Таким образом, А - периодическая редуцированная

кр

группа. По лемме 1 кольцо Е(А) коммутативно, тогда А = 0 2 (р р) [1, гл. 3,

реп

§ 19, следствие 19.3].

к

Пусть А = 0 2 (р р) и В = 0 2 (), тогда из [7, теорема 1] следует,

реп

что л(А)Р|л(В) = 0.

Обратно, если А = 0, то коммутативность кольца Е(О) следует из леммы 2.

к к Пусть А = 0 2(рр) и В = Q. Поскольку Нот(2(рр), 0 = 0,

реп

к к к

Нот(2, 2(рр)) = 0 и Нот(2(рр), 2(д д)) = 0 при р Ф д, то подгруппы

кр

2 (р р) и Q являются вполне характеристическими в группе О. Так как Е(0 =

кр

[5, гл. XV, § 106, пример 4] и Е(2(р р)) = 2 к [1, гл. 1, § 3, пример 3.2] - ком-

рр

мутативные кольца, то по лемме 1 следует коммутативность кольца Е (О).

Пусть А = 0 2 (рр) и В = 0 2 (рш), причём л(А)Р|л(В) = 0. Тогда

реп

к

для каждого р еп(О) следует, что либо Тр (О) = 2(рр), либо Тр (О) = 2(). Поскольку в обоих случаях кольцо Е(Тр (О)) коммутативно и Тр (О) - вполне характеристическая подгруппа в группе О для каждого р е п(О), то по лемме 1 кольцо Е (О) коммутативно.

Определение 1. Будем говорить, что смешанная редуцированная группа О удовлетворяет условию конечности, если она не содержит ненулевые элементы, у которых р-высота равна бесконечности для всех р е п(О).

Определение 2. Будем называть смешанную редуцированную группу О с бесконечным числом ненулевых р-компонент р^р-группой, если естественное вложение 0 Тр (О) ^ О продолжается до р-чистого вложения О ^ П тр О).

реп

Таким образом, если О - рзр-группа, то, отождествляя группу О с её образом при таком вложении, можно считать, что 0 Тр (О) с О с П Тр (О), где О р-

реп

чиста в П Тр (О) для всех р е п(О). Заметим также, что понятие р-чистоты

реп

(чистоты) эквивалентно здесь понятию р-сервантности (сервантности) подгруппы в группе.

Определение 3. Будем говорить, что смешанная редуцированная группа О принадлежит классу К, если выполняются следующие условия:

1) О = Тр (О)0Ер для любого р еп(О) ;

2) существует семейство дополнений {Ер} ер группы О, удовлетворяющее условию: если В = ^ Ер Ф 0, то существует В-высокая подгруппа А группы О,

реп

содержащая Т(О), причём для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В, следует, что дА = А..

Замечание 1. Пусть О - редуцированная смешанная группа, причём для каждого р е п(О) следует, что О = Тр (О)0Ер, рЕр = Ер и П Ер =0, тогда О

реп

удовлетворяет условию конечности. Действительно, пусть существует элемент 0== g е О, такой, что Ир (g) = да для любого р е п(О). Так как g - ненулевой

элемент, то g е П Ер и, следовательно, найдётся такое д еп(О), что g е Ед.

реп

Поскольку О = Тд (О)0Ед , то g = Яд + бд , где 0 = Од е ^ (О ^ вд е Ер

и g е Ед, причём Ад (вд) = да и Ад (ад) = 5 < да. Тогда имеем

да = Нд (g) = шш{ Нд (ад), Ад (вд)} = 5, что приводит к противоречию.

Теорема 4. Пусть О е К. Кольцо Е(О) является коммутативным тогда и

только тогда, когда для каждого р е п(О) следует, что О = Тр (О)0Ер,

кр

рЕр = Ер , где Тр (О) = 2 (р р), кр е N, для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно, причём выполняется одно из следующих условий:

1) если ^ Ер =0, то группа О является р5р-группой;

реп

2) если ^ Ер = 0, то О = А0( ^ Ер), где

реп

a) если А - смешанная группа, то А удовлетворяет условиям конечности и является р5р-группой;

b) дА = А для любого простого числа д, такого, что д( П ер ) Ф П ер ;

реп

c) П Ер - группа без кручения с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

реп

Доказательство. Необходимость. Пусть Е(О) - коммутативное кольцо, то-

кр

гда Т(О) = 0 2(р р) (кр е Щ [1, гл. 3, § 19, предложение 19.6]. Таким обра-

реп

кр

зом, Тр (О) = 2(рр) (кр е N) для каждого р еп(О). Так как О е К, то

О = Тр (О)0Ер для каждого р е п(О) и для некоторой вполне характеристической подгруппы Ер (см. лемму 1). Поскольку Ер, р е п(О), - вполне характеристическая подгруппа в группе О, то для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно. Покажем, что рЕр = Ер для каждого р е п(О). Допустим, что это не так, тогда существует гомоморфизм Ер/рЕр ^ Тр (О), композиция которого с каноническим Ер ^ Ер /рЕр была бы ненулевым гомоморфизмом из Ер в Тр (О). Поскольку ненулевой гомоморфизм из Ер в Тр (О) продолжается до эндоморфизма всей группы О, то получим противоречие с вполне характеристичностью подгруппы Ер. Таким образом, рЕр = Ер для каждого р е п(О). Следова-

тельно, рВ = В для всякого р е п(О), где В = П ер. Причем, если В = 0, то

реп

В - группа без кручения.

Если П Ер =0, то группа О удовлетворяет условиям конечности (см. за-

реп

мечание 1) и является рзр-группой [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4]. Следовательно, условие 1) выполнилось.

Пусть П Ер = 0. Так как О е К, то существует В-высокая подгруппа А

реп

группы О, содержащая Т(О), причём для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В, следует, что дА = А..

Покажем, что О = А0В. Предварительно заметим, что если дВ Ф В, то В - д-чистая подгруппа в О. Действительно, пусть дВ Ф В и в О разрешимо уравнение д х = Ь е В, то есть существует g е О, такое, что д1 g = Ь. Так как g е О = Тр (О)0Ер для всякого р е п(О), то g = gp + вр для всякого р е п(О),

где gp е Тр (О) и вр е Ер. Тогда д^р = Ь - д1вр е Тр (О)ПЕр =0 для каждого р е п(О). Следовательно, Ь = д1вр для каждого р е п(О). Пусть Ь = д1вр и Ь = д1в5 для произвольных р,5 е п(О). Тогда д1 (вр - в5) = 0. Так как дВ Ф В, то д е п(О) и вр - в5 =0, то есть вр = в5 для произвольных р,5 е п(О). Поэтому вр е П Ер = В иВ - д-чистая подгруппа в О для всякого простого числа д,

реп

такого, что дВ Ф В. Для доказательства того, что О = А0В, достаточно показать [4, гл. II, § 9, лемма 9.9], что из равенства pg = Ь + а (g е О, Ь е В, а е А) непременно следует рЬ' = Ь для некоторого Ь' е В. Если рВ = В, то очевидно существует Ь' е В, такой, что рЬ' = Ь. Пусть рВ Ф В. Поскольку О е К и А - В-высокая подгруппа в группе О, то из рВ Ф В следует, что рА = А. Следовательно, найдётся элемент а' е А, такой, что ра' = а. Тогда из равенства pg = Ь + а получим, что р^ - а') = Ь. Так как рВ Ф В, то В - р-чистая подгруппа в группе О. Таким образом, существует элемент Ь' е В, такой, что рЬ' = Ь.

Покажем, что если А - смешанная группа, то А удовлетворяет условиям конечности и является р5р-группой. Докажем, что справедливо первое из этих условий. Допустим противное, то есть пусть существует 0 Ф а е А, такой, что Ар (а) = да для любого р еп(О). Здесь п(О) = п(А), поскольку В - группа без

кручения. Тогда о(а) = да и для любого р е п(О) рассмотрим разложение О = Тр (О)0Ер, то есть а = gp + вр, где gp е Ор и вр е Ер. Если gp ф 0, то да = Ар (а) = шш{ Нр (gp), Нр (вр)} < да, что невозможно. Следовательно, для любого р е п(О) имеем а = вр е П Ер = В, то есть а е Ар|В = 0, что противоречит

реп

предположению для элемента а. Таким образом, А удовлетворяет условию конечности. Покажем, что А является рзр-группой. Действительно, так как О = А0В, то по лемме 1 следует коммутативность кольца Е(А). Поскольку А - редуцированная смешанная группа и А удовлетворяет условию конечности, то А является р5р-группой [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4].

Так как Е(О) - коммутативное кольцо и О = А0В, то коммутативность

кольца Е(В) следует из леммы 1.

Достаточность. Пусть для любого р е п(О) следует, что О = Тр (О)0Ер,

кр

где Тр (О) = 2 (р р), кр е N, рЕр = Ер и для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно. Если П Ер =0, то группа О является рзр-группой и,

реп

как следует из замечания 1, О удовлетворяет условию конечности. Тогда коммутативность кольца Е (О) вытекает из [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4].

Если П Ер = 0, то выполняется условие 2), и пусть В = П Ер . Тогда

реп

О = А0В . Поскольку для любого р е п(О) следует, что рЕр = Ер, то рВ = В для любого р е п(О).

Если А - периодическая группа, то Е(О) - коммутативное кольцо [1, гл. 3, § 19, следствие 19.5]. Пусть А - смешанная группа. Тогда группа А удовлетворяет условию конечности, является р5р-группой и, следовательно, Е(А) - коммутативное кольцо [1, гл. 3, § 19, теорема 19.4].

Для коммутативности кольца Е(О), согласно лемме 1, достаточно показать, что А и В - вполне характеристические подгруппы в группе О. Допустим, что существуют Ь е В и ае Е (О), такие, что а(Ь) е В. Тогда а(Ь) = а + ё, где 0== а е А и ё еВ. Пусть п:О ^ А - проекция, тогда па(Ь) = а е А. Поскольку а = 0 и А - редуцированная группа, то существует простое число р, такое, что кр (а) < да. Так как О е К, то из того, что рА Ф А, следует, что рВ = В, то есть

кр (Ь) = да. Таким образом, эндоморфизм па е Е(О) понизил р-высоту элемента Ь

в группе О, что невозможно, то есть В - вполне характеристическая подгруппа в

О. Рассмотрим подгруппу А и допустим, что существуют ё е А и РеЕ

понизил д-высоту элемента ё в группе О, что невозможно. Следовательно, А -вполне характеристическая подгруппа в группе О.

Следующее предложение показывает, что класс К, в котором решается поставленная задача, является довольно широким. В частности, он содержит все смешанные редуцированные расщепляемые группы с коммутативным кольцом эндо-

морфизмов [1, гл. 3, § 19, следствие 19.5], все группы с коммутативным кольцом эндоморфизмов, описанные в теореме 19.4 [1].

Предложение 5. Если О - редуцированная смешанная группа с коммутативным кольцом эндоморфизмов, для которой выполняется одно из следующих условий:

1) О - расщепляемая группа;

2) О удовлетворяет условию конечности, то О е К.

Доказательство. Поскольку группа О имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов, то, проведя аналогичные рассуждения, что и при доказательстве теоремы

4, имеем О = Тр (О)0Ер для любого р еп(О). Так как Ер - вполне характеристическая подгруппа группы О (см. лемму 1), то для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно и Нот(Ер ,Тр (О)) = 0. Тогда рЕр = Ер для каждого р е п(О) (см. доказательство необходимости в теореме 4), и поэтому

д( П Ер)= П Ер для любого д е п(О). Так как в условии 2) группа О удов-

реп

летворяет условию конечности, то П Ер =0 и, следовательно, О е К. Рас-

реп

смотрим условие 1). Пусть О = А0В - расщепляемая группа, где А = Т(О), В -группа без кручения. Поскольку П Ер - группа без кручения, то

реп

П Ер с В. Так как В с Ер для любого р е п(О), то В с П Ер и, следова-

реп

тельно, В = П ер . Тогда для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В,

реп

следует, что д еп(О), и поэтому дА = А.. Группа А - В-высокая подгруппа в

группе О как прямое слагаемое этой группы. Поскольку А = Т (О), то О е К.

Следующий простой пример показывает, что класс К строго содержит классы групп с коммутативным кольцом эндоморфизмов, описанные в предложении 5.

Пример 1. Пусть О = П 2(р)0 П Ад, где Р1, Р2 с Р, | Р1 |=| Р2 |= К0,

рер деР2

РПР2 = 0; для любого д е Р2 следует, что Ад = 0>д или Ад = Jд, тогда О е К и

кольцо Е(О) коммутативно.

Доказательство. Покажем, что группа О принадлежит классу К. Действительно, поскольку рАд = Ад для любого простого числа р Ф д, то для любого

р е Р \ Р2 следует, что р( П -А,)- П -А,. Поскольку РПр2 = 0, то для каждо-

деР2 деР2

го р е Р1 из равенства О = 2 (р)0Ер имеем рЕр = Ер , то есть Ер - вполне характеристическая подгруппа в группе О и, следовательно, для каждого р е п(О) подгруппа Ер определена однозначно. Заметим также, что

П ер - П Ад и д

реР1 деР2 реР1 реР1 реР1

является П Ад -высокой подгруппой в группе О как прямое слагаемое этой

деР2

группы и Т(О) с П 2 (р), то О е К.

реР1

Поскольку Е(Ад) - коммутативное кольцо для любого д е Р2 и рАд = Ад для

любого простого числа р Ф д, то П Е(А ) - коммутативное кольцо.

деР2

Группа П 2 (р) удовлетворяет условию конечности. Отождествляя

реР1

0 2 (р) и Т(П 2 (р)), можно считать, что П 2 (р) является рзр-группой. Та-

реР1 реР1 реР1

ким образом, группа О удовлетворяет условию 2) теоремы 4 и, следовательно, кольцо Е (О) коммутативно.

В следующем примере рассмотрим способ построения некоторых групп из класса К с коммутативным кольцом эндоморфизмов.

Пример 2. Пусть О = А0В, где В - редуцированная группа без кручения с

коммутативным кольцом эндоморфизмов и группа А удовлетворяет условиям:

1) А е К;

2) кольцо Е(А) коммутативно;

3) рА = А для любого простого числа р, такого, что рВ Ф В, тогда кольцо Е(О) коммутативно и О е К.

Доказательство. Из условия 3) следует вполне характеристичность подгрупп А и В в группе О, тогда, согласно лемме 1, кольцо Е(О) коммутативно. Покажем, что группа О принадлежит классу К. Действительно, поскольку А е К и Е(А) -коммутативное кольцо, то А = Тр (А)0Ер и рЕр = Ер для всякого р еп(А). Поскольку Т(О) = Т(А), то п(О) = п(А). Тогда для каждого р еп(О) имеем О = Тр (О)0Ер, где Е'р = Ер 0В - вполне характеристическая подгруппа в группе О. Следовательно, для каждого р е п(О) подгруппа Е’р определена однозначно. Так как рЕр = Ер и рВ = В для каждого р е п(О), то рЕ'р = Е'р для каждого р е п(О). Поскольку П Е'р Ф 0, подгруппа А в группе О является В-

реп

высокой, Т(О) с А и для любого простого числа д, такого, что дВ Ф В, следует, что дА = А, тогда группа О е К.

Замечание 2. Если смешанная редуцированная группа О имеет коммутативное кольцо эндоморфизмов, то ответ на вопрос: «Принадлежит ли данная группа классу К?» - можно получить, проверив только одно условие в определении 3. Действительно, из коммутативности кольца Е(О) для каждого р е п(О) следует

равенство О = Тр (О)0Ер, из которого для каждого р е п(О) имеем, что

pEp = Ep. Тогда Ep - вполне характеристическая подгруппа в группе G и, следовательно, для каждого p en(G) подгруппа Ep определена однозначно.. Если B = ^ Ep = 0, то G удовлетворяет условию конечности и по предложению 5

pen

принадлежит классу K. Если B = ^ Ep Ф 0, то B - группа без кручения и

pen

T(G)P|B = 0. Тогда нетрудно показать, что всегда существует B-высокая подгруппа A группы G, содержащая T(G). Поэтому для проверки принадлежности группы G классу K остаётся проверить только условие: для любого простого числа q, такого, что qB Ф B, должно выполняться равенство qA = A.

Таким образом, из замечания 2 следует, что для решения задачи в проблеме 15, относящейся к смешанным группам с коммутативным кольцом эндоморфизмов, остаётся описать смешанные редуцированные группы G с коммутативным кольцом эндоморфизмов, у которых для ненулевой подгруппы без кручения B, определённой в замечании 2), и для любой B-высокой подгруппы A, содержащей T(G), существует простое число p, такое, что pB Ф B и pA Ф A, либо доказать, что таких групп G с коммутативным кольцом эндоморфизмов и указанным свойством не существует.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Томск: ТГУ, 2002.

2. Szele T., Szendrei J. On Abelian groups with commutative endomorphism ring // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1951. V. 2. No. 3 - 4. P. 309 - 324.

3. Schultz P. On a paper of Szele and Szendrei on groups with commutative endomorphism rings // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1973. V. 24. No. 1 - 2. P. 59 - 63.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2.

6. Чехлов А.Р. О скобке Ли эндоморфизмов абелевых групп // Вестник Томского госуни-верситета. Математика и механика. 2009. № 2(6). С. 78 - 84.

7. Гриншпон С.Я. О равенстве нулю группы гомоморфизмов абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 1998. № 9. С. 42 - 46.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

МИСЯКОВ Виктор Михайлович - доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: mvm@mail.tsu.ru

Статья принята в печать 31.05.2010 г.