Использование дивергентных задач в начальном курсе математики

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИВЕРГЕНТНЫХ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

2011 Гашаров Н.Г., Махмудов Х.М.

Дагестанский государственный педагогический университет

В статье обосновывается целесообразность использования на уроках математики в начальной школе дивергентных задач для развития креативности мышления школьников. Предлагается несколько дивергентных задач с методикой обучения их решению, показавшие свою эффективность на практике. Приводятся приемы диверсификации конвергентных задач в дивергентные.

The authors of the article prove the suitability of using the divergent problems on the Mathematics lessons at the elementary school for the development of the schoolchildren’s thinking creativity. They offer several divergent problems with training methods of their solving. They showed their efficiency in practice, give some devices for the diversification of the convergent problems into divergent ones.

Ключевые слова: мышление, креативность, дивергентная задача,

конвергентная задача, диверсификация задачи.

Keywords: thinking, creativity, divergent problem, convergent problem, problem diversification.

Современная система начального образования России находится в состоянии перманентного развития. Она первой сталкивается на практике с новыми педагогическими веяниями и первой определяет перспективы дальнейшего развития средней школы. На этом пути российская педагогическая наука и практика преодолела самоизоляцию и, сохранив традиции отечественного образования, активно впитывает все ценное и перспективное, чем богата мировая педагогическая культура.

В государственном

образовательном стандарте России первым в перечне основных целей начального образования поставлено развитие личности школьника, его творческих способностей, интереса к учению, желания и умения учиться. Таким образом, на первый план в образовательном процессе выходит не владение стандартным набором знаний, умений и навыков, а

достигнутый учащимися в процессе учебы уровень самостоятельной творческой деятельности.

В свое время американские ученые вплотную занялись проблемой развития креативности мышления учащихся в процессе их обучения в образовательных учреждениях страны. Тогда президентом американской

ассоциации психологов Д. П. Гилфордом [2] была выдвинута неожиданная идея о делении на конвергентной и дивергентной составляющих мышления. Это был отход от классического деления мышления на индуктивное и дедуктивное, который позволял взглянуть на проблему развития творческого мышления с иных, более прагматичных и перспективных позиций. При этом конвергентное мышление определялось как логическое, последовательное, однонаправленное мышление, а

дивергентное - как альтернативное, отступающее от логики мышление, которое характеризуется

способностью мыслить вширь и видеть иные нетрадиционные атрибуты рассматриваемых

объектов.

К основным факторам,

определяющим дивергентное

мышление, принято относить беглость, гибкость и оригинальность мышления. Как известно, эти факторы поддаются эффективному измерению посредством

специальных тестов креативности, как восходящих Д. П. Гилфорду и Е. П. Торренсу, так и их последующих модификаций. Идея Д. П. Гилфорда оказалась настолько плодотворной, что послужила мощным толчком в исследованиях по проблемам развития творческого мышления учащихся во многих странах мира. Как метко отмечает Д. Б. Богоявленская: «в последние

десятилетия «дивергентность»

превратилась в «символ веры» не только западных, но и отечественных психологов; с ней связываются буквально все проявления

творчества» [1. С. 69].

Это связано с тем, что именно дивергентное мышление

квалифицируется большинством психологов как определяющая и более весомая компонента

творческого мышления (говоря иначе, креативности). Однако это обстоятельство нисколько не

снижает важность и другой, более

простой по своей сути, компоненты творческого мышления -

конвергентного мышления. Хорошо известно, что низкий уровень конвергентного мышления приводит к низкому уровню дивергентного мышления, а в целом и творческого мышления. Этот вывод есть

следствие из хорошо известной в психологии теории

«интеллектуального порога»,

разработанной Д. Перкинсом и Д. Шнейдером [3. С. 48].

Последующими исследованиями в этой области было установлено, что умственные способности человека также состоят из двух компонентов -интеллекта и креативности, которые в процессе измерения посредством специальных тестов определяют соответственно коэффициент

интеллекта Ю и показатель уровня креативности Сг. Вот как высказался по этому поводу А. И. Савенков: «Психология за сто с небольшим лет своего существования научилась дифференцировать эти функции (интеллект и креативность), и пусть не со стопроцентной надежностью, но все же способна их измерять. Это и создает фундамент для их различения как на уровне теории, так и на уровне практики» [4. С. 31].

Для нашей работы не меньший интерес представляет также тезис В. Н. Дружинина: «Теоретические

соображения и экспериментальные данные позволяют заключить, что креативность и интеллект являются ортогональными факторами, т.е. независимы друг от друга. Операционально они

противоположны: ситуации,

благоприятствующей проявлению интеллекта, противоположны по своим характеристикам тем ситуациям, в которых проявляется креативность» [3. С. 113].

Одновременно с делением мышления на конвергентное и дивергентное Д. П. Гилфордом были предложены термины

«конвергентные задачи» и «дивергентные задачи»,

обозначающие соответствующие понятия. Так, к задачам

дивергентного типа относятся самые разнообразные по предметной направленности проблемные,

творческие задания. Главное, что свойственно таким задачам - это то, что они допускают много правильных ответов. Как известно, именно с такими задачами, когда требуется оценить и найти самый оптимальный ответ из имеющегося множества ответов, сталкивается человек в

повседневной жизни и в любой другой деятельности. Конвергентные задачи предполагают существование лишь одного - «единственно

верного» - ответа, который может быть найден посредством строгих логических рассуждений, на основе использования соответствующих законов, правил, алгоритмов, формул, теорем и т.д.

При традиционном обучении математике задачи дивергентного типа встречаются крайне редко и эпизодически, тогда как

конвергентные задачи встречаются чрезмерно, т.е. составляют порою почти все содержание обучения. Особенно отчетливо это выявляется при анализе содержания традиционных учебников математики для начальных классов.

Как известно, упражнения в решении конвергентных задач способствуют главным образом развитию конвергентного

(однонаправленного, логического) мышления, а дивергентных задач -дивергентного (беглого, гибкого, оригинального) мышления. Поэтому для эффективного развития творческого мышления учащихся наряду с конвергентными задачами в учебном процессе должны быть задействовано и достаточное число дивергентных задач, ибо

вариативность правильных ответов и способов решения таких задач создает оптимально благоприятные условия для проявления и упражнения творческого потенциала ребенка, позволяя ему постоянно совершенствоваться в творческих поисках.

Именно в процессе решения дивергентных задач

отрабатываются, развиваются и формируются такие важные факторы дивергентного мышления, как беглость, гибкость и оригинальность мышления. В повседневной жизни и в профессиональной деятельности человек чаще всего имеет дело с задачами дивергентного типа. Например: какие блюда приготовить

семье на обед? Кем стать после окончания средней школы? Какой из городов выбрать в качестве места жительства? Какой подарок купить товарищу на день рождения? И так далее.

Ситуации различной степени неопределенности, создаваемые дивергентными задачами,

стимулируют активность, ибо решение задач такого типа предполагает поиск разных

подходов, не исключая самые невероятные. При решении таких задач зачастую требуются интуиция, озарение и другие факторы,

свойственные творческому

мышлению. Говоря иначе,

мыслительные процессы учащихся при решении дивергентных задач действуют как катализаторы, высвобождая творческий потенциал каждого из них.

В традиционных учебниках встречаются следующие

дивергентные задачи: 1) с

недостающими данными; 2) на

составление по заданному решению или уравнению; 3) на состав и представление числа. Обычно таким задачам уделяется мало внимания и роль таких задач в учебном процессе незначительна, так как при их

решении доминирует конвергентный подход. В данной статье

предлагаются некоторые приемы по диверсификации конвергентных задач в дивергентные, несколько примеров интересных и проверенных на практике дивергентных задач, а также методика организации обучения учащихся решению таких задач.

К наиболее подходящим для начальной школы типам

дивергентных задач, на наш взгляд, можно отнести задачи: а) связанные с движением; б) на построение и конструирование геометрических фигур; в) комбинаторные; г) на преодоление инерции мышления. Вначале отметим, что дивергентной может быть даже задача с лишними данными. Например.

Задача 1. Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с двух собрали 7 картофелин, с трех по 9, с семи по 6, а с восьми по 5 картофелин?

Как дивергентная задача она имеет много ответов, причем возможные ответы варьирует от 52 до 76 картофелин, тогда как конвергентная она не имеет

решения.

Задача 2. Из муравейника одновременно вылезли 2 муравья и побежали со скоростью 5 м в минуту. На каком расстоянии они окажутся через 1 мин?

Если было бы известно, что муравьи поползли в одном или противоположном направлениях, то она решалась бы как обыкновенная конвергентная задача. Однако в данном случае это нам неизвестно, поэтому задача будет иметь целую совокупность правильных ответов в пределах от 0 м до 10 м. Чтобы дети могли самостоятельно найти решение задачи, было бы целесообразном составить с ними модель этой задачи в виде схематического чертежа:

Из этого чертежа дети могут извлечь ряд ответов к задаче. Уместен вопрос: может ли

расстояние между муравьями равняться 1 м? 5 м? 7 м? 15 м? 18 м? Более развитым детям полезно задавать и более сложные вопросы.

Задача 3. Найдите как можно больше прямоугольников на данном чертеже:

Диапазон ответов учеников бывает весьма разнообразной. Все ответы, как правило, можно посчитать правильными, и в этом проявляется вариативность ответов. Чтобы помочь учащимся увидеть «спрятавшиеся» прямоугольники полезно, постепенно усложнять вспомогательные чертежи:

В конечном итоге количество прямоугольников может быть 12.

Задача 4. Чтобы отвести сына в соседнее село, отец оседлал коня, а затем они отправились в путь. В

каком порядке могло осуществляться их передвижение?

Можно предложить детям смоделировать ситуацию с помощью фишек, игрушек или в виде

условного рисунка. Удобно также записывать способы передвижения в виде упорядоченных наборов. Например: (О, С, К), (О, К, С), (К, О, С), (К, С, О) и т.д. Полемизируя с детьми, можно найти первые шесть вариантов. После этого можно задать вопрос - мог ли отец при передвижении брать сына на руки или сесть верхом на коня? Ответ конечно утвердительный. В результате могут быть без особого труда найдены еще шесть вариантов ответа типа (ОС, К), (К, ОС), (ОК, С), (С, ОК), (СК, О), (О, СК). На вопрос -могут ли они передвигаться, сидя оба на коне, или отец, сидя на коне, с ребенком на руках? - Ответ, как правило, утвердительный. Значит, находим еще два новых способа. Уже имеем 14 ответов, а на самом деле есть еще несколько вариантов ответов на вопрос задачи.

Задача 5. Покупатель при оплате покупки в 22 рубля дал продавцу сторублевую купюру. В каких купюрах или монетах можно отсчитать сдачу? Можно ли дать сдачу без использования металлических монет? Если да, то как это сделать?

Естественно, следует обсудить привлекательность разных

вариантов ответов для покупателя и продавца. При поиске ответов на второй вопрос, можно обсуждать

Опираясь на эту таблицу, можно найти не менее 7 арифметических способов решения этой

конвергентной задачи. Теперь рассмотрим один из вариантов ее диверсификации в дивергентную: Задача 7 (див.). Необходимо

доставить 60 т продукции на двух машинах. Из-за сложности погрузочно-разгру-зочных работ каждая машина за день может выполнить 1 рейс с грузом 2 т или 3

разные варианты решений и ответов. Например:

1) Да, если у покупателя есть мелочь в 2 рубля.

2) Да, если продавец пожертвует в пользу покупателя 2 рубля.

3) Да, если покупатель обязуется вернуть 2 рубля в следующий раз.

Ясно, что перечень таких решений можно продолжить.

Задача 6. Как разрезать заданный прямоугольник на две равные по площади части?

Кроме четырех банальных ответов, при которых разрез проводится по диагоналям или осям симметрии, эта задача допускает довольно много иных решений. Для этого можно брать конкретный прямоугольник с целочисленными сторонами и предложить детям продемонстрировать. В случае необходимости можно использовать бумажный прямоугольник, ножницы и прием наложения фигур друг на друга.

Задача 7 (конв.). Необходимо доставить 60 т продукции на двух машинах. За день машина может выполнить 3 рейса с грузом 1 т. Сколько дней понадобится для выполнения этой работы?

Для лучшего усвоения условия задачи и ее разбора наиболее подходящим приемом является составление вспомогательной

модели в виде таблицы:

рейса с грузом 1 т. Как выгодно организовать доставку продукции?

Модифицируя предыдущую

таблицу для этого случая, нетрудно получить по крайней мере три ответа.

1) Если загружать по 1 т в обе машины, то работа завершится за 10 дней, при этом будет выполнено 60 рейсов.

2) Если загружать по 2 т в обе машины, то работа завершится за 15

Машины Доставляет за 1 рейс Рейсов за 1 день Доставляет за 1 день Всего дней Нужно доставить

1 1 /77 3 ? ? ?

2 1 /77 3 ? ? ?

Вместе ? ? ? ? 60 /77

дней, при этом будет выполнено 30 рейсов.

3) Если же в одну машину загружать по 1 т, а в другую - по 2 т, то работа завершится за 12 дней, при этом будет выполнено 48 рейсов.

Очевидно, на вопрос задачи напрашивается такой ответ: если

работу надо завершить быстро, то подходит первое решение - ответ; если же необходимо

минимизировать число рейсов или расход топлива, то подходит второе решение - ответ. Третье решение -ответ занимает промежуточное положение.

Примечания

1. Богоявленская Д. Б. Психология творческих способностей. М. : Изд. центр «Академия», 2001. 320 с. 2. Гилфорд Дж. Три стороны интеллекта // Психология мышления. М. : Прогресс, 1965. С. 433-456. 3. Дружинин В. Н. Когнитивные способности: структура, диагностика, развитие. М. : ПЕРСЭ; СПб. : ИМАТОН. М, 2001. 224 с. 4. Савенков А. И. Одаренные дети в детском саду и школе. М. : Изд. центр. «Академия», 2000. 232 с.

Статья поступила в редакцию 14.02.2011 г.