Влияние характерных параметров на структуру вихрей в течении Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа

УДК 531.1

ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА СТРУКТУРУ ВИХРЕЙ В ТЕЧЕНИИ КУЭТТА-ТЭЙЛОРА СЖИМАЕМОГО ГАЗА

СУАНЬ ЗОАНЬ ДО, М.И. ЛИПАТОВ, ТУАН ВИНЬ ФАМ

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Дудиным Г.Н.

Исследованы течения Куэтта-Тэйлора сжимаемого газа при больших числах Рейнольдса. Сформулирована постановка задачи на основе системы дифференциальных уравнений (система уравнений Навье-Стокса) для сжимаемого газа в цилиндрических координатах. На основе физической модели, построенной в CFD-пакете, получены численные результаты для различных температур поверхностей и угловых скоростей цилиндров. Построена зависимость размеров вихрей от температуры поверхностей и угловых скоростей цилиндров.

Ключевые слова: течения Куэтта Тэйлора, влияние сжимаемости, структура течения.

Устойчивость течений Куэтта-Тэйлора изучалась в течение более чем 70 лет. Это течение возникает между двумя коаксиальными цилиндрами в случае, когда оба или один цилиндр вращаются. Если параметры вращения превосходят критические значения, течение Куэтта-Тэйлора становится неустойчивым, так что появляется вторичное течение с ненулевыми радиальной и осевой компонентами скорости; это новое течение, называемое течением Тейлора-Куэтта, может иметь форму противоположных тороидальных вихрей, расположенных рядом друг с другом в осевом направлении.

Как известно, первая успешная оценка устойчивости вязкого течения между вращающимися цилиндрами принадлежит Тейлору. Эксперименты, которыми Тэйлор продемонстрировал возникновение неустойчивости, проводились с устройством, в котором разница в радиусах двух цилиндров была небольшой по сравнению со средним радиусом. Условия, при которых течение переходит к неустойчивости, могут быть выражены через характеристическое число, известное как число Тейлора. Позже Мексин решил проблему математическим методом, который отличается от метода Тейлора. На основе отдельных асимптотических решений ему удалось вывести условие устойчивости в замкнутой форме.

Исследованию течений несжимаемой жидкости посвящено много работ. В то же время с точки зрения технологических приложений и фундаментальной науки анализ течений сжимаемого газа имеет несомненный интерес. Обычно основным методом исследований являются численные методы анализа. В ряде статей были представлены результаты решения уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа [1; 2].

На практике могут реализовываться и течения с конечными числами Рейнольдса. Течение в таком случае описывается обычными уравнениями Навье-Стокса нелинейными или линейными в зависимости от рассматриваемых задач (описания среднего течения или исследовании устойчивости). Понятно, что для решения таких задач единственным способом является применение численных методов, основанных на использовании конечных разностей или представлениями в виде разложений в ряды.

При анализе течений с большими числами Рейнольдса возникает вопрос о сосуществовании инерционного и вязкого течений. Под вязким понимается течение, описывающееся только дис-сипативной частью уравнений Навье-Стокса. На самом деле даже без предположения об отсутствии инерционности, только принимая условие одномерности течения, можно получить описание с диссипативными членами (как в случае несжимаемой жидкости [3-4]).

При преимущественном влиянии инерционных эффектов уравнения не содержат диссипа-тивных членов вообще, поэтому обычной является схема рассмотрения задач, для которых (при

любых числах Рейнольдса) на основное течение, описывающееся дффузионными членами, накладывается возмущение, описывающееся инерционными членами. Таким образом, можно исследовать линейные и нелинейные режимы.

Ситуация с большой величиной параметра (пропорционального отношению величин инерционных членов к диффузионным) приводит так и для течений открытого типа к локальным задачам, описывающим квадратные вихри с асимптотически одинаковыми размерами в направлениях у и z.

Можно показать, что возмущенное течение описывается в этом случае параболизованными уравнениями Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с локальными термодинамическими величинами, соответствующими местоположению вихря (расположенному около одной из стенок или всплывшему).

Более интересными оказываются течения, в которых действительно сказывается влияние вязкости, а именно в таких, для которых размер вихря в направлении у сравним с величиной зазора.

В настоящей работе приведены результаты расчетов, показывающих влияние температуры поверхностей цилиндров и вращательных скоростей на плотности вихрей.

1. Постановка задачи

Исследуется течение между двумя концентрическими цилиндрами бесконечной длины, которые вращаются с различными угловыми скоростями. Предполагается, что поверхности цилиндров имеют различные температуры.

1.1. Система координат

Вводится цилиндрическая система координат. На рис. 1 показан эскиз системы координат для установившегося потока сжимаемой вязкой жидкости. Течение газа между двумя коаксиальными цилиндрами поддерживается за счет постоянной угловой скорости одного или обоих цилиндров, при этом в среднем течение в осевом направлении отсутствует [осредненный поток в осевом направлении равен нулю]. Внутренний цилиндр имеет радиус К] и вращается с угловой скоростью Г2ь а внешний - радиус Яг и вращается с угловой скоростью О.2. Звездочкой обозначены размерные величины.

1.2. Определяющие уравнения в цилиндрической системе координат

Уравнения Навье-Стокса для сжимаемого газа состоят из уравнения сохранения массы, момента импульса и уравнения сохранения полной энергии. Поток считается идеальным газом с постоянным коэффициентом теплоемкости. Все величины сделаны безразмерными с использованием параметров относительно опорного местоположения в потоке; здесь используется модель безграничного набегающего потока/притока. Радиус тела выбран в качестве опорной длины. Безразмерные результаты приводят к следующим безразмерным параметрам:

Re =

М =

Маэ ^оо ^/,

С помощью z, г, 0 обозначают направление по потоку, радиальное и азимутальное направление, соответственно, и u,v,w обозначают компоненты скоростей в z,r,0 направлениях, соответственно, безразмерные уравнения Навье-Стокса для сжимаемого газа в цилиндрической системе координат [5]:

ди дА dB 1 дС 1

+ — + — +--+ -D = 0,

dt dz

dr

U =

дв

pu pv pw

A =

C =

KpE

\

pu x

puu + p-zzz puv -Trz В =

puw-Tez

puH  (/ HT - VTrz - ИТ,, J

pw puw-Tez

pvw — T Qr pww + p-T0z pwH +qe- UTgz - VTer - 1VTgg )

D =

pv puv-zrz

pw + p-Trr pVW-Tgr

pvH + qr -uzrz - vTrr - WT, pv puv-Trz pw - pww - Trr + Tœ 2pvw-2T0r

Ov

pvH + qr~ ut

rz VTrr~WTerJ

где полная энергия есть Е = Т / у у — 1 М +1/ Ъл1и1 с у = 1.4 и полная энтальпия Н = Е + р / р.

Молекулярные компоненты тензора напряжений:

2/л Г_ ди <9у

т =

гг

твв -

3Re 2 /и

2

dz дг г

1 (dw Л — + v дв

3R е

2 ju

3Re

\ии у

"dw Л

-+ V

кдв

du dv 1 ^

----+ 2-

dz дг г

du „dv 1

--+ 2---

dz dr г

dw

удв

т =

rz

Tez =

Z9r -

JL

Re

JL

Re

JL

Re

f dv

du dv — + —

dr dz

dw 1 du — +--

dz r dd

V

дв

-w

dw dr

Вектор компонент теплового потока:

* * *

*

*

Г

-jj_дТ_

Pr у-1 М2 Re dz

9S=~-J±T7ÏZT^

дТ . nm

Чг =-5--

Pr у-1 M2 Re йг

-С")

-// 1 дТ Рг у-1 М2Яе г 9(9

где число Прандтля предполагается постоянным Рг = 0,72. Молекулярная вязкость // вычисля ется с использованием закона Сазерленда (С.Ф. Уайт, 1991), причем константа Сазерленда бе рется равной 0,36867. Для замыкания системы уравнений, давление получается из безразмерно

го уравнения состояния р = рТ / уМ2 .

1.3. Численный метод

При аналитическом решении задачи рассматривается бесконечный цилиндр. Однако при численном моделировании необходимо ограничивать длину цилиндров, соблюдая условие И » А = |^2 (/7-0.1 л/,

^ = 0.100л/ и Я2 = 0.101л/) (рис. 2а).

При достаточно малых угловых скоростях цилиндров вихри имеет равномерное распределение, постоянное вдоль оси 0(р . Поэтому достаточно рассмотреть двумерную задачу. В расчете рассматривался круговой сектор с углом 1" (рис. 26). При л/К2 данный круговой сектор можно приближенно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с размерами 0.000175л/х 0.001л/хО. 1л/.

Характерная длина: радиус внутреннего цилиндра

- 0.100л/, безразмерные величины указаны в табл. 1.

Сетка была построена с помощью программы ANSYS ICEM CFD. Сетка является структурированной, содержит более 2 миллионов ячеек (рис. 3).

В задаче проводятся расчеты с приме-

Таблица 1

Безразмерная величина

R / R 1,01

IR2- R\/ R 0,01

h / R 1

нением коммерческой программы ANSYS CFX (лицензия МФТИ). Рассматриваемые течения моделируются с помощью уравнений Навье-Стокса, записанных в цилиндрических координатах. Для расчета использовалась модель турбулентности SST (Shear Stress Transport), и предполагалось, что газ является идеальным.

2. Результаты

2.1. Случай С22 = 0, О! = 20 об./с и = Т2 = Тгаз = 293°К

Результат: появилась 61 пара одинаковых вихрей, имеющих равномерное распределение. Одна пара состоится из двух осесимметричных вихрей. В сечении Ох: размер каждого вихря Л х ¿7 где Л = -Щ </ = Л/(61х2)«0.8196721лш (рис. 4).

Распределения компонентов вектора скорости представлены на рис. 5.

Рис. 4. Пара оси симметричного вихря

Рис. 5. Распределения поля скорости вихря

2.2. Температуры цилиндров Т1 = Т2 = Тгаз = 293°К и 02 = 0. Изменение Яе от 4*10 до 4*105

Характерная угловая скорость: линейная скорость внутреннего цилиндра при угловой ско-

— _ 1\ _ 2лП}Н} _ О,

о*

рости £1" =20 об / с : У{ = 2тт£1х= 6,2832 м / с. Безразмерная скорость \\ = = """ 1 - * ^

принимает безразмерные значения, указанные в табл. 2.

VI)

Таблица 2

Число Рейнольдса Яе =

Л

где

1) = 0,100 м; Г= 2т£}}Ми '1= 15,11x10 5 м2/с. поэтому ке =-—- и принима-

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

V 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Таблица 3

4

об/с 10 20 30 40 50

Яе 41583,05 83166,11 124749,17 166332,23 207915,29

об/с 60 70 80 90 100

Яе 249498,25 291081,40 332664,46 374427,52 415830,58

п

ет значения, показанные в табл. 3.

Анализ полученных результатов показывает, что при изме нении числа Рейнольдса от 4x10 до 4х105 (угловой скорости О! от 10 об/с до 100 об/с) количество пар вихрей изменяется в соответствии с кривой, показанной на рис. 6. При числе Рейнольдса Яе = 41583,05 (! = 10 об/с) поле является стационарным и не со-

держит вихрей. Из графика видно, что при числе Рейнольдса Яе < 20х 104 (О1 < 50) количество пар вихрей монотонно возрастает с увеличением числа Рейнольдса (т.е. угловой скорости). В диапазоне изменения числа Рейнольдса от 20x10 до 30x10 (т.е. О1 е [50, 70]) количество вихрей быстро уменьшается при увеличении После этого оно почти остается постоянным, хотя угловая скорость продолжает увеличиваться. При О] > 50 вихри переходят в нестационарные состояния. Пары вихрей изменяют свою форму и становятся разными (рис. 7).

Рис. 6. Зависимость плотности пар вихрей от вращательной скорости внутреннего цилиндра

Рис. 7. Изменение поля вихрей при увеличении вращательной скорости

2.3. Фиксированное число Рейнольдса Re = 8x10 (Qi = 20 об/с, Q2 = 0), Ti = Тгаз = 293°К при изменении тепературы Т2 = (400, 800,1200,1600, 2000, 2400)°К

Температура торможения СРТ0 = СРТ\ + V\ /2, где V\ = 6,2832 м/с; '/] = 293°К;

yl е: "7 -

Ср = 7/2-Я = 3,5x287 = 1004,5 Дж/(кг-°К), поэтому Т: = Тг + = 293 +7 . = 293= 078б(К) .

2С„

1004.5

Характерная температура Т = — представлена в табл. 4.

Результат: при изменении температуры внешнего цилиндра поле скоростей является стационарным. Пары вихрей образуют периодическую структуру. Плотность пар вихрей (количество пар вихрей в размере одного метра цилиндра) незначительно изменяется (рис. 8). Сначала, при Т < 4 или Т, < 1200° К количество пар монотонно увеличивается с повышением температуры. После этого оно уменьшается и, наконец, стабилизируется при Т > 7 или Т2

>2000°К

Таблица 4

Т2 400 800 1200 1600 2000 2400

T 1,3648 2,7296 4,0944 5,4592 6,8241 8,1889

nondimerisional temperature

Рис. 8. Зависимость плотности пар вихрей от температуры внешнего цилиндра

Выводы

Численными методами исследовано течение Куэтта-Тейлора вязкого сжимаемого газа. На основе физической модели получены численные результаты для разных температур поверхностей и угловых скоростей цилиндров. Исследовано влияние данных параметров на плотность и структуру вихрей в течении. Выявлены немонотонные зависимости числа вихрей (или размеров вихрей в окружном направлении) от числа Рейнольдса и от температуры поверхности внешнего цилиндра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kao K.H., Chow C.Y. Linear stability of compressible Taylor-Couette flow // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. - V.4, V5. - P. 984-996.

2. Боголепов В.В., Липатов И.И. Влияние сжимаемости на структуру вихрей Гертлера // Механика жидкости и газа. - 1997. - Т. 1. - С. 36 - 47.

3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - М.: Физматлит, 1963.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика // Гидромеханика. - М.: Наука, 1986. - Т. 6.

5. Richard D. Sandberg Governing equations for a new Navier-Stokes Solver in general cylindrical coordinates // Report No. AFM-07/07, University of Southampton, 2007.

THE INFLUENCE OF CHARACTERISTIC PARAMETERS ON THE VORTEX STRUCTURE OF THE TAYLOR-COUETTE FLOW OF COMPRESSIBLE GAS

Do Suan Zoan, Lipatov M.I., Pham Tuan Vinh

The Couette-Taylor flow of compressible gas at high Reynolds numbers is studied. Problem statement is formulated on the basis of the differential equation system (the Navier-Stockes equations) for compressible gas in cylindrical coordinates. On the basis of physical model built in CFD, the numerical results for various temperatures of the cylinder's surfaces and rotational speed are obtained. The relation between vortice dimensions and surface temperatures and rotational speed is established.

Key words: Couette-Taylor flow, compressibility influence, flow structure.

Сведения об авторах

До Суань Зоань, 1983 г.р., окончил МФТИ (2010), аспирант МФТИ, автор 2 научных работ, область научных интересов - динамика вязкого газа, гидродинамическая устойчивость.

Липатов Михаил Игоревич, 1986 г.р., окончил МФТИ (2009), аспирант МФТИ, автор 2 научных работ, область научных интересов - динамика вязкого газа, гидродинамическая устойчивость, гиперзвуковые течения.

Фам Туан Винь, 1985 г.р., окончил МФТИ (2012), аспирант МФТИ, автор 2 научных работ, область научных интересов - компьютерное моделирование газодинамики.