Об одной альтернативной теории множеств

Вестник ТГПУ. 2000. Выпуск 2 (18). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ (СПЕЦВЫПУСК}

А. И. Забарина, Г.Г. Пестов ОБ ОДНОЙ АЛЬТЕРНАТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Томский госулзпптвенный педагогический университет

" УДК 519,4

Введение

Со времен Кантора фундаментом математики стала теория множеств. Основная идея канторо-вой теории множеств - это идея актуальной бесконечности: бесконечное множество рассматривается как завершенное, существующее со всеми своими элементами. Идее актуальной бесконечности противостоит идея потенциальной бесконечности: бесконечное множество мыслится как строящееся, порождающееся некоторым процессом.

Борьбу этих концепций бесконечного можно проследить на протяжении всей истории математики. Так, Гаусс был решительным противником использования актуальной бесконечности в математике.

Во второй половине нашего века математики предпринимают попытки изменить фундамент математики - теорию множеств. Так возникла теория внутренних множеств, нестандартный анализ во многих вариантах. Сюда же относится и альтернативная теория множеств Вопенки.

Основная установка Вопенки - критика идеи актуальной бесконечности.

Теория множеств Вопенки [1] была задумана как альтернатива канторовой теории множеств с ее актуальной бесконечностью, чем и объясняется ее название. Поэтому построение модели альтернативной теории множеств в рамках теоретико-множественной модели нестандартного анализа Закона-Робинсона [2,4], т.е. в конечном счете средствами классической теории множеств, выглядит несколько парадоксально.

Тем не менее такого рода модели могут быть полезны хотя бы тем, что позволяют использовать интуицию, накопленную в процессе работы с нестандартной моделью теории множеств, для лучшего осмысления альтернативных теорий [5].

Отметим некоторые отличия альтернативной теории множеств Вопенки от канторовой теории множеств.

1. В альтернативной теории различаются совокупности трех видов: множества, классы и полумножества.

2. Все бесконечные множества равномощны.

3. Каждое множество конечно по Кантору (т.е. каждое множество равномощно некоторому начальному отрезку множества натуральных чисел).

В качестве интуитивного оправдания этих понятий своей теории множеств Вопенка приводит такие, возможно шутливые, примеры. Совокуп-

ность человекообразных предков человека (не являющихся, следовательно, людьми) есть полумножество, не являющееся множеством. Они образуют подкласс множества приматов. В альтернативной теории множеств каждое множество, линейно упорядоченное некоторым отношением р (где р, в свою очередь, есть множество), обладает тем свойством, что каждое его непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элементы. Если бы совокупность наших человекообразных предков была множеством, то существовала бы последняя обезьяна, т.е. обезьяна, ребенок которой был бы человеком, что противоречит здравому смыслу. Аналогичные рассуждения применимы и к совокупности всех живущих в данный момент людей.

Существуют аксиоматизации альтернативной теории множеств [2, 3]. Мы, однако, будем исходить из неформального подхода, изложенного в [1]. Нашей целью является построение модели теории множеств, близкой к альтернативной теории множеств Вопенки, средствами нестандартного анализа. В рамках этой модели основные понятия и факты альтернативной теории множеств Вопенки, на наш взгляд, становятся более естественными.

Конструкции универсумов

Обозначим через N множество всех конечных ординалов (по фон Нойману). Каждый элемент этого множества является конечным множеством.

Построим суперструктуру конечных множеств над N. Обозначим через PF(A) множество всех конечных подмножеств множества А. Положим:

JF0(N) = N,..., Wn+] (N) = Wn UPF(Wn), ...

со.

Множество = UWn(N) назовем супер-

Л=1

структурой конечных множеств. Множество W (N) назовем n-тым этажем суперструктуры ЩИ).

Построим обычную суперструктуру над N со своими этажами:

со

F(N) = (JW,

Я=1

где Р(А) есть булеан множества А. Пусть F есть свободный ультрафильтр над N. Если А е F(N) то через *А обозначим ультрастепень А по ультрафильтру F.

00 со

* H4N) = U* КШ * * P(N) = U *Vn(N).

Л=1 Л=1

А.И. Забарина, Г.Г. Пестов. Об одной альтернативной теории множеств

Обозначим;

Построим суперструктуру над - внешний универсум Индукцией по номеру этажа

строим, как обычно [4], вложение у универсума * Р(Ы) во внешний универсум к(*Н). Тем самым мы и получим вложение универсума * ЩИ) во внешний универсум.

Как обычно, образ множества при отображении у назовем внутренним универсумом. Каждый элемент из мы отождествляем с

его у'-образом. Это можно сделать, поскольку отображение у отношения равенства и принадлежности по ультрафильтру переводит в отношения равенства и принадлежности в теоретико-множественном смысле.

По построению, имеют место включения;

*к„ (Ы) а *г„(Щ*К(А0 э ♦»'СИ)-

Множества, полумножества, классы

Рассмотрим теперь множество [/(К) всех подмножеств универсума *

Элементы множества * назовем множествами, элементы (М) - классами. Классы, не являющиеся множествами, назовем собственными классами.

Приведем пример множества. Пусть V е N. Обозначим;

[О, V] = {и е N10 < и < V}.

По построению Уу € N([0, V] е . По

принципу переноса: Следо-

вательно, [0, V] есть множество.

Классы А и В назовемравномощными, если существует биекция f:А->& где / е . Если би-екция - внутренняя, т.е. / еТ(!чт), го эти классы назовем внутренне равномощными. Классы рав-номощные, но не внутренне равномощные, назовем внешне равномощными.

Класс, равномощный классу N. назовем, как обычно, счетным.

Для каждого множества А существует такое

V е что А равномощно множеству [0, V].

Каждое множество можно линейно упорядочить с помощью некоторого внутреннего бинарного отношения.

В самом деле, пусть А е ЩИ). Тогда для некоторого натурального к имеем: А е й7^). Обозначим количество элементов множества А через

V е N. Из построения ЩИ) легко следует, что найдется такое 5 е N, что для каждого А е И^ДО) существует биекция /: Л [0, V],/ е ЖДЫ).

Итак, У А е Шк (ЛОЗ V е N3/ е (/ есть биекция А на [0, V]).

Последнее утверждение легко записывается на языке первого порядка. По принципу переноса

получаем: V^e*rt(N)3ve*N3/e!Ws(N) (N) (/есть биекция А на [0, v]).

Отсюда следует, что естественный линейный порядок с [0, v] переносится на А с помощью внутренней биекции, следовательно, на А задается внутренний линейный порядок.

Если множество линейно упорядочено внутренним отношением г, то каждое непустое его подмножество имеет первый и последний элементы относительно этого порядка.

Доказательство получаем, аналогично предыдущему, по принципу переноса.

Никакой счетный класс не является множеством.

Это следует из того факта, что множество [0, v], v G *N или конечно, или несчетно [б].

Приведем пример класса, не являющегося множеством. Имеем: N с W*N следовательно, Ne C/(N), N есть класс. В то же время N не имеет наибольшего элемента. Итак, N не есть множество.

Подкласс множества называется полумножеством. Полумножество называется собственным, если оно не является множеством.

Так как Nc[0, v] и [0, v] есть множество, то N есть собственное полумножество.

Класс, включающий собственное полумножество, называется бесконечным.

Каждое бесконечное множество включает счетное полу множество.

В самом деле, пусть А есть бесконечное множество. Так как А - множество, то для некоторою v е *N имеем: существует биекция fe* H^N) множества А на [0, v]. Ясно, что v е *N\N, иначе А не включало бы собственного полумножества. Но тогда N с [0, v], и прообраз В класса N при отображении /есть счетный подкласс множества А. Значит, В есть счетное полумножество, входящее в А.

Все бесконечные множества внешнеравномощны.

В самом деле, пусть А, В - бесконечные множества. По предыдущему, А равномощно [0, v], В равномощно [0, v^, где v, v,e *N\N. Но все множества [0, v], где ve *N\N, внешне равномощны [6]. Следовательно, равномощны и множества А и В.

Каждый счетный класс есть собственное полумножество.

Пусть А есть счетный (и, следовательно, собственный) класс. Тогда существует биекция /:N AJ е K(*N). Итак, А = /(N) е K(*N). Поэтому существует такое и натуральное, что A<zVn (*N). Так как А-класс, то А с *W (N). Значит, A c*IF,(N).

Итак, А есть полу множество.

Собственный класс, равномощный некоторому множеству, есть полу множество.

Доказательство аналогично предыдущему, только в роли N выступает теперь некоторое множество из универсума * W(N).

Вестник ПНУ. 2000. Выпуск 2

Литература

1. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. М.: Мир,1983.

2. Proceedings of the 1s' symposium «Mathematics in the internal Set Theory». Bratislava, 1989.

3. Mattes J. // Axiomatic approaches to nonstandard analysis. Jahrbuch der Kurt Goedel Geselschaft. 1992. P. 61-79.

4. Robinson A., Zakon E. A set-tneoreticai characterization of enlargements, in Applications of Mode! Theory to Algebra, Analysis and probability; W. A. J. Luxemburg (ed.), Holt, Rinehart and Winston. New York, 1969. P. 109-122.

5. Chang S.S., Keisler H.G. Model theory, 3,d edn, North-Holland. Amsterdam, 1990.

6. Галанова Н.Ю. О конфинальности *N. Региональная научно-практическая конференция: Естественные науки. Томск, 1994. С. 74.

В.В. Бордунов*, A.C. Ситников**, В.А. Ситников***, B.C. Дмитриев**, Г.Н. Гладышев**, M.JI. Белявин**, И.А. Соболев*, C.B. Бордунов*, О.Л. Васильева***

БЫТОВЫЕ СИСТЕМЫ ОЧИСТКИ, УВЛАЖНЕНИЯ, ОБЕСПЫЛИВАНИЯ И ОБЕЗЗАРАЖИВАНИЯ ВОЗДУХА

'Институт химии нефти СО РАН "Томский политехнический университет •"Томский государственный педагогический университет

Общеизвестно, что постоянно растущая индустриализация, компьютеризация, использование и переработка огромного количества химических веществ приводят воздушную среду обитания человека в производственных, общественных и домашних условиях к серьезному загрязнению самыми различными веществами антропогенного происхождения и микроорганизмами. Эти загрязнения отрицательно влияют на организм человека, вызывая различные заболевания. Поэтому можно считать состояние воздушной среды обитания человека и животных категорией экономической. Такой подход к ней уже осознали в развитых странах и принимают серьезные меры по очистке воздуха в производственных помещениях и жилье.

В настоящей работе описаны исследования в части разработки, изготовления и реализации размерного ряда устройств для очистки и регулирования сосгава воздуха (очистка, увлажнение, наполнение отрицательными аэроионами, лекарствами. ароматизаторами и т.д.): проанализированы доступные источники по этой проблеме. Приведено в историческом ракурсе становление некоторых биологических и технических решений. Рассмотрены основные конструктивные элементы очистителей воздуха: фильтры, устройства нагнетания воздуха, генераторы отрицательных аэроионов, распылители и компоновка очистителей наиболее известных фирм.

Не выделяя отдельно экономический аспект (стоимость очистителей и их элементов), тем не менее там, где имеется информация о цене продаж, она приводится непосредственно по тексту. Эта информация дает опорные представления о том, сколько стоит очистка воздушной среды обитания человека, с одной стороны, а с другой - сведения о том, что очистители - довольно сложные и дорогостоящие устройства. Проведен-

ный анализ позволил сформулировать выводы и задачи, которые необходимо решить при создании отечественных очистителей воздуха. Состояние воздушной среды обитания человека

В настоящее время в производственных, общественных и жилых помещениях широко используются телевизоры, компьютеры, кондиционеры, нагреватели и другие современные приборы, работа которых приводит к изменению свойств воздуха в среде обитания человека. В помещениях, где работает компьютер или телевизор, резко сокращается количество отрицательно заряженных частиц и увеличивается количество положительных частиц, поскольку они «съедают» остатки целебных отрицательных аэроионов в воздухе. Экраны компьютеров и телевизоров создают в помещениях «смог» вредоносных потожительных аэроионов. Невидимки без вку-с а и запаха проникают в легкие, и альвеолы легких покрываются слизью, слипаются. Это подтверждено целым рядом работ.

Впервые острую необходимость отрицательных аэроионов воздуха для жизни доказал русский биофизик Александр Леонидович Чижевский. Это было в 20-е гг. в СССР. Чижевский ставил такой эксперимент. Помещал мышей в герметичную камеру и пропускал туда воздух сквозь плотный фильтрующий слой ваты. Через 5-10 дней животные становились вялыми, как при авитаминозе. Постепенно болезненное состояние переходило в коматозное, мыши наотрез отказывались от пищи. Наконец агонизировали и гибли. Это явление Чижевский назвал аэроионным голоданием, объясняя, что при фильтрации воздух, проходя через слой ваты, оставляет на ней все свои электрические заряды, в том числе отрицательные аэроионы.