Автоматизированная система аппроксимативного анализа взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов

Прохоров С.А., Москаленко И.С.

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА АППРОКСИМАТИВНОГО АНАЛИЗА ВЗАИМНЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

1. Структура автоматизированной системы

Система предназначена для генерирования и обработки временных рядов (ВР) с различными взаимнокорреляционными функциями (ВКФ), аппроксимации ВКФ ортогональными рядами Дирихле, Лагерра, Лежандра, определения взаимного спектра по параметрам аппроксимирующих выражений.

На первом этапе работы системы задаются исходные данные для генерации ВР с заданным видом корреляционной функции. Типовые корреляционные функции приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Типовые корреляционные функции

№ КФ

1 1

2

3 е ^т

4 ех

5 —Х|т \ е ' \ 008 &0т

6 е~хт

7 е~Лт

При генерации осуществляется расчет некоторых вероятностных характеристик процесса, а именно математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса и корреляционной функции. Процесс поступает на вход второй подсистемы, состоящей из двух модулей. Первый и второй модули имеют в своем составе фильтр. Задав параметры модулей, можно получить два ВР, взаимная корреляционная функция которых рассчитывается в третьей подсистеме, учитывающей временную задержку второго временного ряда относительно первого. Отсчеты ВКФ поступают в подсистему аппроксимации с помощью рядов Дирихле, Лагерра, Лежандра. При работе в этой подсистеме необходимо задать значения параметров аппроксимирующих выражений или получить их оптимальные значения. В этой же подсистеме можно рассчитать взаимную спектральную плотность мощности или построить графики ортогональных функций заданного порядка.

Работа может производиться как последовательно по схеме, описанной выше, так и непосредственно в каждой конкретной подсистеме, с использованием информации из файлов (рис.1).

Рисунок 1 - Пример открытия данных из файла

Итак, система разделена на следующие подсистемы: генерирования процесса с заданной КФ; создания пары процессов; расчета ВКФ;

идентификации корреляционных функций; аппроксимации.

Подсистема генерирования процесса с заданной КФ состоит из двух частей: генерирования псевдослучайной последовательности с заданным видом КФ и ввода данных из файла [1].

Генерирование псевдослучайной последовательности с заданным видом КФ осуществляется методом рекурсивной фильтрации.

Подсистема создания пары процессов предназначена для генерирования двух СП для дальнейшего построения взаимной корреляционной функции.

Подсистема расчета ВКФ состоит из двух частей: вычисления ВКФ двух сгенерированных (открытых

из файлов) процессов и открытия ВКФ из файла.

Подсистема идентификации корреляционных функций состоит из двух частей: построения фазовых

портретов и проверки качества идентификации [2].

Подсистема аппроксимации состоит и трех частей: аппроксимация ВКФ ортогональными функциями Дирихле, Лагерра, Лежандра, определение взаимной спектральной плотности мощности по параметрам аппроксимирующего выражения и построение ортогональных функций [3].

2. Программная реализация

Подсистема генерирования процесса с заданной КФ.

Для генерирования исходного процесса методом рекурсивной фильтрации, используется первая закладка, приведенная на рис. 2.

Необходимо ввести: число отсчетов СП, шаг дискретизации, вид КФ,

параметры КФ X, Юо, погрешность моделирования, число отсчетов КФ.

Аппроксимация КФ ортогональными функциями ______________ВЕЮ

Генерация | Процессы | ВК=Р | Аппроксимация | Коэффициенты полинома Лежандра | Коэффициенты Функций Дирихле | Значения Финкиии < I

И

Рисунок 2 - Генерирование процесса

После нажатия на кнопку "Генерация" СП будет смоделирован. Сразу же будут рассчитаны и отображены математическое ожидание, дисперсия, коэффициенты асимметрии и эксцесса и КФ процесса. Предусмотрена возможность отображения КФ, самого СП и фазового портрета. Для этого нужно выбрать отображение соответствующего графика.

Подсистема создания пары процессов

Вторая закладка реализует интерфейс второй подсистемы. Она состоит из двух панелей, соответствующих двум процессам, получаемым после фильтрации.

Для создания пары процессов (рис.3) необходимо задать параметры фильтров: вид фильтра, количество отсчетов КФ, X и ю0. Фильтра может и не быть (установить "нет" в окне "фильтр") .

Рисунок 3 - Создание пары процессов

Число отсчетов и шаг КФ могут быть определены автоматически (рис.4) или заданы вручную. Если при этом шаг первой КФ отличается от шага второй КФ, автоматически выбирается минимальный и пересчитывается количество отсчетов КФ с большим шагом таким образом, чтобы сохранить интервал отображения КФ на графике прежним.

Рисунок 4 - Определение оптимальных параметров КФ

При генерации пары процессов минимальный шаг из двух шагов КФ рекомендуется в качестве интервала дискретизации ВКФ на третью страницу.

При генерации осуществляется расчет моментов каждого процесса, расчет и отображение корреляционных функций внизу страницы.

Подсистема расчета ВКФ

На третьей закладке происходит расчет ВКФ. На верхней панели нужно указать интервал дискретизации ВКФ и количество отсчетов левой и правой ветвей, задать задержку (в виде количества интервалов, равных шагу дискретизации) для второго процесса.

Предусмотрена возможность сохранения и чтения ВКФ.

Закладка 3 приведена на рис. 5.

Рисунок 5 - Расчет ВКФ

Подсистема идентификации корреляционных функций;

Состоит из двух частей: построения фазовых портретов и проверки качества идентификации.

В данной подсистеме производится построение фазового портрета КФ, а затем его последовательное сравнение с фазовыми портретами типовых КФ, используемых в системе. Проверка качества идентификации производится на основании расчета квадратической погрешности фазового портрета.

Подсистема аппроксимации

Подсистема аппроксимации состоит и трех частей: аппроксимация ВКФ ортогональными рядами, определение взаимной спектральной плотности мощности и построение ортогональных функций.

Аппроксимация ВКФ ортогональными рядами

Аппроксимация ортогональными рядами производится на четвертой закладке, приведенной на рис. 6.

Для аппроксимации необходимо выбрать (для правой и левой ветвей отдельно) метод численного интегрирования (Симпсона, трапеций, правых прямоугольников, левых прямоугольников), ортогональный базис (Дирихле, Лагерра, Лежандра), задать порядок аппроксимирующего выражения и значение параметра а и нажать кнопку «Аппроксимация». Если ВКФ имеет смещенный относительно задержки максимум, то для получения лучших результатов необходимо установить флажок «Найти тах». В этом случае левая и правая ветви будут пересчитаны и аппроксимированы относительно максимального значения ВКФ. Если функция имеет ярко выраженный минимум, то для получения лучших результатов необходимо установить флажок «Обратить ВКФ». В этом случае левая и правая ветви будут пересчитаны и аппроксимированы относительно минимального значения ВКФ, а затем результаты аппроксимации будут откорректированы.

р" Аппроксимация КФ ортогональными фуни цияыи Ц£Лй|

Рисунок 6 - Аппроксимация ВКФ

Результаты аппроксимации выводятся на экран в виде графиков и таблиц значений полученных коэффициентов аппроксимирующего выражения.

Определение взаимной спектральной плотности мощности

На четвертой закладке можно также вычислить взаимный спектр по параметрам аппроксимирующего ВКФ выражения (рис.7) [3]. Для этого необходимо задать шаг и количество отсчетов спектра и нажать

кнопку «Построить». После этого можно просматривать интересующие графики, устанавливая соответствующие флажки.

Рисунок 7 - Определение взаимной спектральной плотности мощности

Взаимный спектр вычисляется как при одинаковых ортогональных базисах аппроксимации ВКФ, так и при их различных сочетаниях.

При аппроксимации симметричных относительно максимума ВКФ, полученных на основании типовых корреляционных функций, можно построить теоретический спектр (рис.8).

Аппроксимация КФ ортогональными функциями цаа

Рисунок 8 - Построение теоретического спектра

Построение ортогональных функций

Для построения ортогональных функций необходимо задать интервал дискретизации, число отсчетов, значение параметра а и порядок и нажать кнопку «Построить». На экране появятся графики ортогональных функций Дирихле, Лагерра, Лежандра (рис.9).

Аппроксимация КФ ортогональными функциями

Рисунок 9 - Построение ортогональных функций ЛИТЕРАТУРА

1. Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. / СГАУ, 2 0 01.

32 9 с., ил.

2. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов - 2-е изд., перераб. и доп. / СНЦ

РАН, 2001. 380 с., ил.

3. Прохоров С.А., Иващенко А. В., Графкин А.В.; под ред. Прохоров С.А. Автоматизированная система корреляционно-спектрального анализа случайных процессов. / СНЦ РАН, 2003. 286 с., ил.