Математические методы в технологии машиностроения

ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

В.Ф. Безъязычный

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

При расчете точности обработки возникает задача определения температуры в режущей части резца и увеличение размеров резца в процессе обработки. В работе произведен расчет тепловых явлений, возникающих в зоне механической обработки материала.

Ключевые слова: температура в зоне резания, распределение температурных полей, уравнение теплопроводности, пластические деформации материала.

V.F. Bez'yazychny

MATHEMATICAL METHODS IN TECHNOLOGY OF MECHANICAL ENGINEERING

At calculating accuracy of processing there is a problem of definition the temperature in a cutting part of a cutter and increase in the sizes of a cutter in the course of processing. In the article the calculation of the thermal phenomena arising in a zone of material machining is made.

Keywords: temperature in a cutting zone, distribution of temperature fields, the heat conductivity equation, plastic deformations of the material.

При анализе точности механической обработки необходимо учитывать тепловые явления, возникающие в зоне обработки. Образующееся вследствие деформации обрабатывающего материала тепло переходит в заготовку, резец и стружку

Рис. 1. Тепло, переходящее в заготовку Р3, инструмент Рр и стружку Рс Температура в зоне резания (рис. 2) определяется по следующим формулам [1]:

Рис. 2. Схема действия плоского и объемного источников тепла в зоне первичных пластических деформаций

обрабатываемого материала

Для плоского источника тепла:

в

АВ

ег/^

БВ —

а,

4

вА

/БВ

Для объемного источника тепла

в

ег/<

ЛВОЫ

БВ

(

4

Л

1 +

А

1 у

вЛ

/Т

ле [1]

Количество тепла, выделяющееся в условной плоскости сдвига АВ, определяется по форму-

Оав =

а1Ь1срвА

ег/^БВ

где QАВ - количество тепла, выделяющееся в условной плоскости сдвига; ср - удельная объемная теплоемкость обрабатываемого материала;

Температура резания на условной вершине резца [1]

в = -Т-ег/]Б4В

срВ V 4

где тр - сопротивление обрабатываемого материала при сдвиге.

Температура в средине площадки контакта режущей части инструмента с обрабатываемым материалом [2]

0,5 •вл +

0.36sin а 0,4655м'5Б°61ЪЕ0"55 cosa

В12ЧВЕ „0.25 т-,-0.075  0,275 г IБВ

1д sin a .erf A-

4

В формулах 1 - 5 приняты следующие условные обозначения:

Б =

а „ „ _

% - критерии процесса резания, характеризующий степень влияния режимных условии обработки по сравнению с влиянием теплофизических свойств обрабатываемого материала, где V -скорость резания; а1 - толщина среза; а - температуропроводность обрабатываемого материала;

Г = ^ р8

% - критерии, отражающий влияние геометрии инструмента и отношения теплопровод-ностей инструментального и обрабатываемого материалов, где Яр и А^ - теплопроводность обрабатываемого и инструментального материалов; р и в - угол при вершине резца в плане и угол заострения режущей кромки;

д=£

1 - критерий характеризующий геометрию сечения среза, где Ь1 - ширина среза. Е = Ра - критерий, характеризующий влияние на процесс резания геометрической формы режущей кромки инструмента, где р1 - радиус округления режущей кромки инструмента;

аА (СР) 0

А =

Р_

отношению ко всей выделяющейся в зоне резания теплоте; 0 - температура в зоне резания; Ре -сила резания;

В = . СБХД2

Гу (1 - sin y)0 73 „ ,

v ' - критерии. характеризующий степень влияния пластических деформации

металла снимаемого припуска и поверхностного слоя обрабатываемой детали. где у - передний

угол резца.

Температура в поверхностном слое детали определяется по формулам [2] (рис. 3).

в

0.5

вА erfj 0.25БВ При Д1 < x < Д1+ Д

ехр

- БВ

f y -_х ^

V а1 Д1У

с erfc

БВ Д1 4 ^ х

У ~ х — - 2—

- erfc

БВ. А y

4 х а.

Л1

1 У

0.5

вА erfyj 0.25 БВ

ехр

erf

- БВ I У-х

) erf

БВА! f y_ +1 - 2х

БВА1 y 4 х a

БВА

4 (х + А1 )) а1 А, f

- erf

4 х I а.

БВА! f y_ - 2

14

-1

БВ cos Pj

2erfV 0.25 БВ

14

тгБВА,

У-1

exp

БВ (y -а1 )2 А1

4

1 - 21 х-А1L БВ А! I y -1

3 V А А У 6 А I а

1 -х+ А -БВ. А1 y-1

А А 6 А V а1 47

erf

БВ (y - а1) А1 4 (х - А1 )а12

> +

в

Рис. 3. Схема действия плоских источников тепла и распределения температурных полей в поверхностном слое детали: Р - резец; ОБ - обрабатываемая деталь При х < Д1

После математической обработки результатов расчетов по формулам (6) и (7) формула для определения температуры в поверхностном слое принимает вид:

вл

= Св{БВ )Х1

(

у + а 1

\Х2 / \х3

-а

V а1

V а1 J

бш0'05-0'042*4 а 8ш-0'21х4 у

Остаточные напряжения в поверхностном слое, обусловленные тепловым воздействием, определяются по зависимостям: при у< уОН; сОшах = 2сТ

[

с = •

ост.

РдА1 ЕД 1 -)

а*2

Е

ДУоо

Е

а

[

X2

Е

дуоо

при у > уОН; сОшах < 2сш

а = -аТ + -

ост Т

РдА Е

Д

1 -м

1

'Н - у + а1")Х2 + а*2 -

[а- (Н + а1 )+*2 ]

а

Н

где Н - толщина детали; аОтах-напряжение на поверхности при охлаждении; у - глубина залегания рассматриваемого слоя от поверхности; уОН, уОО - границы раздела упругих и пластических деформаций при нагревании и охлаждении соответственно; аТ и Е - предел текучести и модуль упругости обрабатываемого материала; Рд и м - коэффициент температурного линейного расширения и коэффициент Пуассона обрабатываемого материала; А1 и х2 - величины, определяющие значение температуры в поверхностном слое обрабатываемой детали.

При расчете точности обработки возникает задача определения температуры в режущей части резца и увеличение размеров резца в процессе обработки.

Уравнение теплопроводности для мгновенного точечного источника теплоты [1]:

9 = -

ьсп^т

-ехр

Я2

4а т

ст _

где А,ст - коэффициент теплопроводности материала державки резца; аст - температуропроводность материала державки резца; т - время нагрева (работы) резца; Я -удаление рассматриваемой точки державки резца от вершины резца; q - интенсивность теплового источника. Температура вдоль стержня резца определяется по формуле[2]

9 = — 9

ст 2 Р

ег/

Х

2/с

а1а ст Т

ь 1

+ е'

• ег/е

Х

2у[с

а1аеп Т

' К 1

где а1 - коэффициент теплоотдачи материала стержня резца; Ь - отношение площади сечения державки резца к его периметру; А,ст - коэффициент теплопроводимости материала державки резца; Х - расстояние от задней поверхности резца до рассматриваемой точки в стержне резца.

Погрешность обработки, обусловленная температурной деформацией режущего инструмента, определяется по формуле:

в р9Р

М =-

р 2К

1 + 2 рОШ

ПЬет 1

1 - ехр

( а ^ -I

V Р Ьст1 у

ьет 1

1

Паст Т

(

ьтт 1

(

-ехр

а,

Л

(

\

1 - 2.\^ пЬ ст 1

V-N Кт ^

(

К ст 1

+1

ьтт1

1

1 - ехр

V 1 Ь-1 у

па ст Т

Ьт 1

-ехр

V

Кт1 у

Л

^ - 1

V Ьст1 у

Ьт1

где Рр - коэффициент температурного линейного расширения материала державки резца; Ьр -длина вылета резца; 0р - температура в зоне резания; К - величина, учитывающая геометрию инструмента при несвободном резании; а1 - коэффициент теплоотдачи материала державки резца в окружающую среду.

Значение температуры в зоне резания определяется по формуле

в, =

2вм\[<

а т

ст

H

- Е

,2 Л

V 16аст Т J

H

24а7тТ

(

+2л

- Е

H2

астТ J

а т ст

- Е

2

V 16астТ J

erf—Н— - erf- А

2

а т ст

ч

аст Т J

где Н - высота державки резца; А - длина площадки контакта державки резца с деталью; Ei - интегрально показательная функция Эйлера; erf - интеграл вероятностей; 9N - максимальная температура на задней поверхность резца.

Библиографический список

1. Силин, С. С. Метод подобия при резании материалов [Текст]. - М.: Машиностроение, 1979. - 159 с.

2. Безъязычный, В. Ф. Разработка теоретических основ технологического обеспечения качества и эффективности механической обработки деталей авиационных двигателей. [Текст] Дис... д-ра технич. наук. М., 1982.

О. В. Виноградова

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ЗАДАЧ В АВИАДВИГАТЕЛЕСТРОЕНИИ

Рассмотрены конкретные примеры решения стохастических задач в авиадвигателе-строении: повышения усталостной прочности рабочих лопаток I ступени турбины серийного двигателя, проектирования многоступенчатого компрессора, квалиметрические шкалы эффективности. Разработанная система математических методов позволяет решать задачи анализа и синтеза характеристик качества объектов различной физической природы.

Ключевые слова: математическое моделирование, стохастические задачи, авиадвигателе-строение, эффективность производства и эксплуатации изделий.

O.V. Vinogradova

APPLICATION OF MATHEMATICAL METHODS FOR THE STOCHASTIC PROBLEM

SOLUTION IN AVIAMOTORBUILDING

Certain examples of stochastic problem solution in aviamotorbuilding are considered: increases of fatigue durability of working shovels of the I-st step of the turbine of the serial engine, designing of the multistage compressor, qualimetry efficiency scales. The developed system of mathematical methods allows to solve problems of the analysis and synthesis of object quality characteristics of the various physical nature.

Keywords: mathematical modelling, stochastic problems, aviamotorbuilding, production efficiency and operation of products.

Современный газотурбинный двигатель (ГТД) - изделие предельных параметров, высокой размерности, со многими степенями свободы. Он создается и совершенствуется в условиях ограничений по себестоимости, срокам создания, при растущих требованиях к ресурсу, надежности,