Предварительные предположения о волновом сопротивлении трубопровода

УДК 622.4:532.595.2

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ О ВОЛНОВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

ТРУБОПРОВОДА

Ф. А. Корсун, соискатель

Проблема. При передаче хладоносителя на глубокие горизонты в шахтах Донбасса возникает большое давление на отрабатываемом горизонте, так называемый столб жидкости. При переключении потоков жидкости в гидрораспределителе возникает гидравлический удар. Он разный в горизонтальном трубопроводе и в вертикальном. Для этого следует предположить, что в вертикальных трубопроводах возникают стоячие волны и волновое сопротивление.

Анализ публикаций. Проблемой волнового сопротивления в горизонтальных трубопроводах занимались такие ученые как: Л. Бернерон, И. А Чарный, Г. Д. Розеиберг. Они описали, что волновое сопротивление в трубопроводе возникает при наличии сил инерции массы жидкости и зависит от сил упругости трубопровода, его материала и толщины стенок. Н. З. Жуковский изучил гидравлический удар в московском горизонтальном трубопроводе от диаметра 50 мм до 600 мм на магистральных трубопроводах московского водоканала.

Смирнов Д. Н. и Зубов Л. Б. изучили гидравлический удар при остановке насоса в Останкинской башне Москвы. В этой статье делается попытка анализа волнового сопротивления в вертикальном трубопроводе при передаче хладоносителя на глубокие горизонты с большим статическим давленим, по исследованиям, которые были проведены на аналоговой электрической модели аналогичной системы кондиционирования рудничного воздуха.

В установившемся режиме гидравлическое сопротивление какой-либо гидравлической цепи или её части определяется как отношение давления (или напора), срабатываемого на этом участке, к расходу жидкости. При неустановившемся течении возникает ряд явлений, в которых связь между напором и расходом определяется не этим или не только этим параметром, характерным для стационарного режима, а ещё рядом других величин.

Понятия волнового сопротивления вводится при изучении различных физических явлений:

1)Волновое сопротивление в тяжёлой жидкости возникает при движении тела вблизи свободной поверхности жидкости или поверхности раздела жидкости с разной плотностью. Оно обусловлено образованием на поверхности жидкости волн, создаваемых движущимся телом, которое при этом совершает роботу по преодолению реакции жидкости, эта реакция и представляет силу волнового сопротивления. Величина его зависит от формы тела, глубины его погружения под свободную поверхность, скорости фарватера, где происходит движение.

Волнообразование зависит от числа Фруда Ег = (/ - скорость поступательного

движения тела, I - его длинна), которое является критерием подобия при моделировании движений и волнового сопротивления геометрически подобных тел. Если для тела и его модели числа Фруда равны, то получается геометрическое подобие картин волнообразования и равенство безразмерных коэффициентов их волнового сопротивления.

2) Волновое сопротивление в газовой динамике тела превышает скорость распространения в газе слабых (звуковых) возмущений (т .е. при сверхзвуковом течении), является результатом затрат энергии на образование ударных волн, в несколько раз превышает сопротивление, связанное с трением и образованием вихрей, зависит от формы тела, угла атаки и отношения скорости газа относительно тела к скорости звука.

3)Волновые сопротивления в акустике - в газе или жидкости - отношение звукового давления Р в бегущей плоской волне к скорости З колебания частиц среды. Оно характеризирует степень жёсткости среды (способность сопротивляться образованию деформаций) в режиме бегущей волны, не зависит от формы волны и выражается формулой Р'/З = ра , где р - плотность среды, а - скорость звука.

Термин „ волновое сопротивление " введен по аналогии с волновым сопротивлением в теории электрических линий; при этом давление соответствует напряжению, а скорость смещения частиц - электрическому потоку.

Понятием волнового сопротивления можно пользоваться и для твердого тела (для продольных и поперечных упругих волн в неограниченном твердом теле и для продольных волн в стержне) определяя волновое сопротивление как отношение соответствующего механического направления, взятого с отрицательным знаком, к скорости частиц среды [ 1 ].

4)Волновое сопротивление передающих электрических линий - отношение напряжения к току в любой точке линии, по которой распространяются электромагнитные волны. Волновое сопротивление представляет собой сопротивление, которое оказывает линия бегущей волне напряжения. В бесконечно длинной линии или линий, не происходит отражения электромагнитных волн и образования стоячих волн. В этом случае линия передаёт в нагрузку практически всю энергию от генератора (без потерь).

В разомкнутой и короткозамкнутой линиях образуются стоячие волны. В линии, нагруженной на сопротивление, не равное её волновому сопротивлению, образуются смешанные волны.

5)Волновое сопротивление в трубопроводе возникает при наличии сил инерции массы жидкости и сил упругости жидкости и самого трубопровода. По своей природе оно наиболее близко к волновому сопротивлению электрических линий, процессы в которых хорошо изучены и объяснены [1; 3; 6, 9]. Выполнить подобную работу по отношению к гидравлическим цепях - чрезвычайно трудоемкая задача. Целесообразнее рассмотреть параллельно оба процесса - в электрической линии и гидравлическом трубопроводе - и вывести формулу волнового гидравлического сопротивления с вытекающими из неё следствиями по аналогии с волновым сопротивлением электрических линий.

Различные электрические процессы (протекание постоянного тока через омическое сопротивление переменного тока, через омическое сопротивление, индуктивность, емкость, нелинейное электрическое сопротивление, линию с распределенным параметром) описываются различными уравнениями, но в каждом случае сопротивление электрической цепи или её участка определяется как отношение напряжения между концами этого участка к току в нем:

Я =

или производной напряжения по току:

я = аи/си

либо

Я = ди/дг,

если и(х, t ) и х, t ) меняются от точки к точке и от момента к моменту.

В каждом процессе сопротивление имеет различную физическую природу и выражается различными формулами (активные, индуктивные, емкостные, дифференциальные, волновые). Размерность у всех видов сопротивлений одна и та же - Омы.

Руководствуясь этими соображениями электрической линии с распределёнными

параметрами и упругого трубопровода с жидкостью как производную дим/дм или дк/ дQ в

соответствующих переходных процессах и найдем эти величины из уравнений переходных процессов, не прибегая к их решению.

Исходные уравнения:

Трубопровод:

Электрическая линия:

дк 1 дQ

~~ = ~ + Ъпог Q Q (4), дх gs дt

дим дiм

= Ьпог--+ Япог  I

дх

м

дt

1

м

дQ gs дк

д I

м

= С

д и

м

Л = 2 'л, (5), д ~пог д.

дх а дt дхм д tм

Разделим левую и правую часть уравнения (4) соответственно на левую и правую часть (5) и обе части полученного выражения умножим на дк/дQ . Аналогично поступаем с уравнениями (6) и (7). Получим следующие выражение:

2 н =

д к

1

/ Л 2 а

gs

+ -

X

пог

gs

№ д I

7 м = д и м Л в ~

м

д,

\

ь

Я

пог

С

+

пог

пог

С

пог

м

д *м/ д t

м

Если вторыми слогаемыми в подкоренных выражениях можно пренебречь по сравнению с первыми, то получится, что волновое сопротивление в каждом из этих процессов является чисто активным и постоянным для всей линии:

^ н =

а

gs

2

а

в

Zв = л/Тпог /Cпог •

Однако следует оценить величину каждого члена в подкоренных выражениях, а также выяснить их физический смысл.

Формулы (8) и (9) выражают мгновенные значения волновых сопротивлений. Эти значения не зависят от координаты и зависят от закона изменения тока или расхода во времени.

Рассмотрим два случая.

1)Установившийся синусоидальный процесс

i = im sin at,

Индекс „m" относится к амплитудным значениям. o = 2pf - угловая частота.

Эi/Э t = oim cos Ot .

• //s./л \ im sin cot 1

// (Э//Эt) = —m-= — tgot

om cos cot o

И формула 2.4(9) для электрической линии или модели принимает вид:

7м — Z в =

Т R

^пог . Лпог

C-+ C-tgCt .

с пог спог

От мгновенного значения сопротивления следует перейти к комплексному сопротивлению, заменяя ctgwt мнимой единицей j, а tg№t - отрицательной мнимой единицей -у. Правомерность такой замены можно доказать, переходя от мгновенных значений сопротивлений индуктивности и ёмкости в цепи синусоидального тока к их реактивным сопротивлениям [ 10 ].

И так:

z м =

L R

пог у пог

с J C0r~

пог пог

Этот результат совпадает с выводом, полученным в работе [10, ф-ла (11.17)] из решения телеграфных уравнений для линии с распределённым параметром при установившемся синусоидальном процессе.

Из формулы (16) следует, что волновое сопротивление электрической линии в общем случае является комплексным. Приведем его к стандартному виду:

в

7 м DM ,-vM Z в = Re + JX в

Г,м уЫ

где Яв и Х в - активная и реактивная составляющие комплексного волнового

2м

_________в . Это удобно сделать, представив комплексное число под корнем в

2м

__г___________--------„-------------------г______________ в в показательной форме:

2 м )2 =

ь

с

V пог

+

Я„

V ЮС пог у

I - ]агс^ (япог /юЬпог ) =

( Ь Л ^ пог

С

V пог у

1 +

( я Л

пог

еоС

V пог у

I - ]'аг^ (Я Пог ¡юЬ пог ) ;

откуда

аг^ 1я юЬ )

^ пог пог '

ПО^  41 +

Я -Лпог

V ЮЬ пог

I

Я

tgS,

где

6 = агС^(япог! юЬпог У 2'

Сравним все приведённые параметры электрической модели трубопровода с аналогичными параметрами длинной линии, диапазон изменения которых, вообще говоря, весьма велик. Для дальнейших сравнений выберем линию с такими характеристиками параметрами [10, задача 4.3]: Ьпог = 1,2-10-6 Гн/м, Спог = 9,2-10-12 Ф/м, Япог = 0,3 Ом/м, Опог = 0,9-10-7 1/ОМм,/= 2-107 Гц.

Сравниваемые величины сведены в таблицу из которой следует, что волновое сопротивление данной линии с полным основанием можно считать активным. В модели реактивная составляющая волнового сопротивления равна 4,6 % от активной составляющей, а модуль комплексного волнового сопротивления на 0,2 % больше величины волнового сопротивления, оцениваемого без учета потерь. На первый взгляд, эти величины достаточно малы, чтобы ими можно было пренебречь.

2)Затухающий синусоидальный процесс.

Из обработки результатов измерений на модели следует, что так после размыкания цепи изменяется по закону

iм = iмoГkмtм smюмtм,

2

2

2

2

м

2

2

в

пог

где iмo - амплитудное значение тока в момент размыкания ключа, км = 2,2-104, с'1 - постоянная затухания,

юм =3,14-105, с-1 - угловая частота затухающих колебаний.

При этом

Э

= *м0£ кМм

Эм

М — 1 /1 км1м ( — к , С

" ......мм ' 1ЛУмсо^1ЛУм1м)

I! \ СО t к С /

м/чм/ м' — к 81П С t +С COS С t и2 , ,„2 и2 , ,„2

/ м м м м мм к "г" ш к "г" ш

После подстановки (24) в (9) получим:

7м _

2 е =

Ь пог Япог к  Япог С

— ---:-7 .

. С пог С пог к2 + С С пог к2 + С2 Сравним подкоренные выражения (16) и (25):

Ьо^ = 148. 105 Ьж^ — --к-= 1,48. 105.

С ' ' С С 12 2 '

Спог пог ^пог к + С

Я л Япог сО 4

СЮ^ = 1,36. 104, ^^ ' —-2 =1,35'10

в^пог Спог к + С

Их действительные и мнимые части практически не отличаются, так что волновое сопротивление модели трубопровода в затухающем синусоидальном процессе будет таким же, как в установившемся синусоидальном режиме.

Причем к оценке волнового сопротивления трубопровода по формуле (8). Изменение расхода во времени возьмем по результатам моделирования (оценки сделаны для опыта ХХ).

г к^н

Q = Q м 01 8т С t н ;

'н н 5

— = Q м01 кн*н (— к 81п с t + С соsa t ) ;

Эt м0 V н н н н нн

е/(эе/Эt )=

к

С

к 2 +С2

н н

к 2 +С2

нн

В качестве возьмем максимальное значение расхода ^м0|. Тогда волновое сопротивление трубопровода выразится следующим образом:

2 Нв =

/ \2 * 2 а — * пог а

\ gs )

gs

к

м0

к2 + С2

н н

* 2 —. *пога . е | у е м0

gs

С

к2 +С2

нн

н

н

н

н

На самом деле с течением времени будет уменьшаться, и величина двух последних членов под корнем тоже будет уменьшаться.

Другая оценка:

кн = км!К( = 2,2-104/(1,86-105)= 0,182 с-1.

Сн=см/К=3,14-105/(1,86-105)=1,688 с-1.

„ а 2р  1295 ,

сон = 2р— =-= 1,849 с-1.

н 41 41100

Причем сон = 1,7 с- .

0 м 0 = 1м 0 Ко = 7

О 0

м 0 ~ 'м О ~ 'м 0  ^ I

= 0,165

м0

0,259 0,2

= 0,214 м3/с.

Учитывая, что = 0,1256 м2, £пог = 0,2423 с2/м6, а = 1295 м/с, вычислим значение каждого члена под корнем в последней формуле:

2

= Ц-1С6 с2/м4

С пог а

И*

О

• ( / „ •

м 0

к 2 + с2

н н

= 4 4 . 10 3 с2/м4;

И*

О

с

= 4,1  104 с2/м4;

• н / „ •

м0

к 2 + с2

нн

Последними двумя членами по сравнению с первым пренебрежём. Таким образом, волновое гидравлическое сопротивление трубопровода составляет

а / 2

— = 1050 с/м .

И*

Его можно считать чисто активным. Сопротивление трения всего трубопровода (напорного и обратного) в стационарном режиме составляет

£пог /общ00 = 0,2423  2700  0,259 = 170 с/м2.

к

н

2

С

а

пог

н

В переходном режиме оно вероятно больше, ибо там надо учитывать дифференциальное сопротивление составляет 124 Ома. Отношение волнового сопротивления к сопротивлению трения для модели и натуры равны.

Однако следует учитывать, что эти два параметра характеризуют разные физические явления, и складывать их, по-видимому, нельзя. Часто применяющиеся выражения „линия без потерь", „активным сопротивлением линии можно пренебречь по сравнению с её волновым сопротивлением" наводят на мысль об идентичности этих сопротивлений и возможности сравнить их как величины одинаковой физической природы. Влияние активного сопротивления на волновое проявляется в том, что активное сопротивление вносит в волновое реактивную составляющую, равную

Хв = *в|- ^СН1 + {Сг-)  81П^

С

пог

\ с^пог )

и при малой величине отношения Япог1 Сй^пог этой реактивной составляющей можно пренебречь по сравнению с активной.

Для модели отношение X Ям было определено выше. Для натурного трубопровода

Хм I пм

в / Яв составляет такую же величину, если исходить из линеаризованных гидравлических уравнений.

Выводы. Решая задачу о гидравлическом ударе, то есть решая систему уравнений (4) и (5) при определенных граничных условиях, можно не прибегать к понятию волнового сопротивления. Однако оно может оказаться весьма эффективным, если поставить цель использовать энергию ударной волны в полезной нагрузке. Изучаемую гидравлическую систему можно рассмотреть как четвертьволновую линию, разомкнутую на конце, и одновременно как генератор затухающих синусоидальных колебаний.

На основе этого сравнения был подготовлен опыт по подключению к модели полезной нагрузки, величина которой согласована с её волновым сопротивлением. Результаты опыта обсуждаются.

Волновое сопротивление - это не сопротивление току, а сопротивление волне или потоку энергии.

Вопросы:

1) Волновое сопротивление не зависит от длины линии. Является ли оно погонным параметром?

2) Расходуется ли энергия на преодоление волнового сопротивления или оно только определяет характер отражения волны, а энергия волны гаснет на Япог?

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Бержерон Л. От гидравлического удара в трубах до разряда в электрической сети. - М. : Машгиз. 1962. - 348 с.

2. Белоцерковский Г. Б. Задачи и расчёты по курсу основы радиотехники и антенны. - М. : Машиностроение. 1966. - 198 с.

3. Бескаравайный Н. М., Поздеев В. А. Теоретические основы изменения импульсных давлений в жидких средах. - К. : Наук. думка. 1981. - 190 с.

4. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электротехническое поле/ Уч. для студ. вузов. - 7-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1978. - 231 с.

5. Бреховский Л. М. Распространение звуковых и инфразвуковых волн в природных волноводах на большие расстояния.1960,-УФН.т.-вып.2. 351 - 360.

6. Веников В. А. Теория подобия и моделирование .Изд. 2-е.,перераб., 4 доп. - М. : Высш. шк. 1976. - 479 с.

7. Жуковский Н. Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. - М. : Гос.изд-во технико-теоретич. лит., 1949. - 103 с.

8. Смирнов Д. Н., Зубов Л. Б. Экспериментальные исследования гидравлического удара, сопровождающегося кавитацией потока // Тр. лаборатории. - М. : Стройиздат.1972. С. 138 -158.

9. Тетельбаум И. М. Электрическое моделирование. - М. : Гос. изд физ. - мат. литературы.1959. -74с.

10. Чарный А. И. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. - ГТ ПИ, - М-Л. : 1951. - 132с.

УДК 622.4:532.595.2

Преварительные предположения о волновом сопротивлении трубопровода / Ф. А Корсун // В1сник ПридншровськоТ державно'1 академп будiвництва та архiтектури. -Дншропетровськ: ПДАБА, 2009. - № 4. - С.30 - 36. - Бiблiогр.: ( 9 назв.).

Говорится о волновом сопротивлении при неустановившемся движении жидкости в вертикальном трубопроводе.

При движении жидкости в неустановившемся режиме предлагается осмыслить физические процессы, возникающие в это время в стоящих волнах, которые уменьшают величину гидравлического удара в вертикальном трубопроводе при остановке жидкости.