Нелинейные колебания пологих оболочек двоякой кривизны

УДК 534.1

М. Амабили, Р. Гарзиера, Р. Мухарлямов, К. Рябова

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ

Ключевые слова: нелинейные колебания, пологие оболочки.

В статье рассматриваются геометрически нелинейные (высокоамплитудные) колебания пологих оболочек двоякой кривизны c прямоугольными границами, свободно опертых по всем четырем краям и подвергающихся нормальному к поверхности гармоническому воздействию в спектральной окрестности основной формы. Для расчета энергии упругой деформации используются два различных нелинейных соотношения между деформацией и перемещением - из теорий Доннелла и Новожилова. Также учитываются геометрические несовершенства и влияние инерции в плоскости. Строятся приближенные уравнения динамики в форме уравнений Лагранжа.

Key words: nonlinear vibrations, shallow shells.

Geometrically nonlinear (large amplitude) vibration of doubly curved shallow shells with rectangular boundary, simply supported at the four edges and subjected to harmonic excitation normal to the surface in the spectral neighbourhood of the fundamental mode are investigated. Two different nonlinear strain-displacement relationships, from the Donnell's and Novozhilov's shell theories, are used to calculate the elastic strain energy. In-plane inertia and geometric imperfections are taken into account. The approximate equations of dynamics are obtained by means of Lagrangian approach.

Введение

Панели двоякой кривизны широко используются в авиационной и аэрокосмической промышленности. Как правило, они подвергаются динамическим нагрузкам, которые могут вызывать колебания, амплитуда которых сопоставима с толщиной пластины, что приводит к нелинейным явлениям. Исчерпывающий обзор научных работ, касающихся нелинейных колебаний панелей с кривизной и оболочек, представлен авторами Амабили и Пайдоуссис в [1], основное внимание уделено круговым цилиндрическим оболочкам. Пионерами в области исследования высокоамплитудных колебаний свободно опертых круговых цилиндрических оболочек были Рейсснер [2] и Григолюк [3]. Лисса и Кади [4], применяя теорию Доннелла для нелинейных пологих оболочек, изучали линейные и нелинейные свободные колебания пологих оболочек двоякой кривизны с прямоугольными границами, свободно опертых по всем четырем краям, без ограничений в плоскости (в случае оболочек двоякой кривизны используется несколько модифицированная теория Доннела, которая изначально была разработана для круговых цилиндрических оболочек). Было также использовано разложение поперечного

перемещения по одной собственной форме.

Высокоамплитудные колебания пологих оболочек, таких как эллиптический параболоид, параболический цилиндр и гиперболический параболоид, с нулевыми перемещениями и поворотными пружинами на четырех границах были изучены Бхаттакарья [5]. Синхарай и Банерье [6] исследовали нелинейные колебания пологих сферических и некруговых цилиндрических оболочек. Кроме того, сравнительный анализ результатов для эллиптического параболоида, параболического цилиндра и гиперболического параболоида был ранее проделан в работах

Бхаттакарья [5]. В случае цилиндрических панелей края принимались неподвижными с упругим сопротивлением вращению. Авторы использовали простое разложение по формам и энергетический метод. Синхарай и Банерье [7] также рассматривали пологие оболочки неравномерной толщины, применяя метод одномодового разложения.

Чиа [8], используя нелинейную теорию Доннелла для пологих оболочек и одномодовое разложение, исследовал панели двоякой кривизны с прямоугольным основанием, в числовых расчетах, как для формы колебаний, так и для начальных отклонений. Были получены только магистральные кривые, относящиеся к свободным колебаниям.

В работах Хюи [9] были изучены свободные колебания прямоугольных пластин и осесимметричных пологих сферических оболочек с геометрическими несовершенствами. Полученные скелетные кривые показали усиление с ростом амплитуд нелинейности изначально мягкого типа. Был использован метод одномодового разложения. Также был исследован отклик на начальное воздействие в присутствии вязкого демпфирования.

Либреску и Чанг [10] исследовали слоистые панели двоякой кривизны из композиционных материалов с геометрическими несовершенствами, без учета демпфирования. При этом ими была использована нелинейная теория пологих оболочек, учитывающая деформации сдвига. Причиной нелинейности были конечные деформации панели, вызванные несовершенствами и действием нагрузок в плоскости. Были рассмотрены только свободные колебания небольшой амплитуды, совмещенные с этой начальной деформацией. Для описания свободных колебаний и начальных несовершенств была использована одна форма. Несовершенства панелей той же формы, что и исследуемая форма, существенно понижали частоту колебаний. Либреску и Чангу [10] удалось также точно описать закритическую устойчивость. В действительности,

искривленные панели характеризуются

неустойчивым закритическим поведением, то есть подвержены прохлопыванию.

Кобаяши и Лисса [11] изучили свободные колебания толстых пологих оболочек двоякой кривизны, используя нелинейную теорию сдвиговых деформаций первого порядка. Прямоугольные границы панелей предполагались свободно опертыми по всем четырем сторонам. Для каждого из трех перемещений и двух углов поворота применялось разложение по одной форме, перемещения в плоскости панели и инерция вращения не учитывались. Затем проблемы была сведена к задаче с одной степенью свободы, описывающей перемещения вне плоскости. Численные результаты были получены для круговых цилиндрических, сферических и параболических пологих оболочек. Во всех случаях, за исключением гиперболического параболоида, наблюдалось мягкое изменение, которое при возрастании амплитуды колебаний до порядка толщины пластины переходило в более жесткое. Тем не менее, увеличение радиуса кривизны, т.е. приближение к плоской пластине, приводило к изменению поведения в сторону повышения устойчивости. Также было исследовано влияние толщины пластины.

Свободные колебания пологих слоистых оболочек двоякой кривизны с прямоугольными защемленными по краям границами были рассмотрены Эйбом [12]. Наряду с теорией сдвиговых деформаций первого порядка, автор использовал также классическую теорию оболочек (аналог теории Доннелла). Результаты, получены без учета инерции вращения и в плоскости, оказались очень близки к результатам, в которых в расчет были приняты данные эффекты. В нелинейном анализе для высоких форм колебаний участвовали комбинации только двух форм, а для формы с одной продольной и одной круговой полуволнами использовалась одна форма.

Солиман и Гонсалвез [13] исследовали вынужденные колебания с большими амплитудами, а также устойчивость осесимметричных пологих сферических оболочек (с круговыми границами). Был изучен переход к хаотическим колебаниям для гармонических нагрузок, достигающих предела статической устойчивости.

В данной работе внимание авторов сосредоточено на высокоамплитудных

(геометрически нелинейных) колебаниях пологих оболочек двоякой кривизны с прямоугольными границами, свободно опертых по всем четырем краям и подвергающихся нормальному к поверхности гармоническому воздействию в спектральной окрестности основной формы. Два различных нелинейных соотношения для деформации-перемещения, из теорий Доннелла и Новожилова, используются при расчете энергии упругой деформации. Также учитываются геометрические несовершенства и влияние инерции в плоскости. Строятся приближенные уравнения динамики в форме уравнений Лагранжа . Настоящая

теория основывается на исследованиях, проведенных Амабили [14, 15, 16] для круговых цилиндрических оболочек, круговых

цилиндрических панелей и прямоугольных пластин, адаптированных должным образом с тем, чтобы принимать в расчет различную геометрию. Нелинейные уравнения движения исследуются (1) программой, основанной на методе естественного продолжения дуги, который позволяет проводить бифуркационный анализ, и (И) прямое интегрирование по времени.

Энергия упругой деформации оболочки

Объектом исследования принимается пологая оболочка двоякой кривизны (небольшой подъем по сравнению с наименьшим радиусом кривизны), как показано на Рис.1. Примем криволинейную систему координат (О; х, у, ¿) с началом в точке О на одном краю оболочки; X = /Rx и у = вRy где / ив - угловые

координаты, а Rx и Ry - главные радиусы кривизны (константы); а и Ь - криволинейные длины границ оболочки, а И - ее толщина. Наименьший радиус кривизны в каждой точке оболочки больше, чем наибольшая длина, измеренная вдоль серединной поверхности оболочки. Перемещения произвольной точки с координатами (х, у), принадлежащей серединной поверхности оболочки, обозначаются и, V и V в направлениях х, у и г, соответственно; V принимается положительным в направлении от центра наименьшего радиуса кривизны. Начальные дефекты оболочки, сопряженные с нулевым начальным напряжением, обозначаются

нормальным перемещением w0, с аналогичным положительным направлением, таким образом, учитываются только начальные несовершенства вне плоскости.

В данной работе используются два различных нелинейных соотношения для деформаций и перемещений тонких оболочек с целью последующего сравннения результатов. Они основаны на первом приближении Лява нелинейной теории оболочек: (1) на теории Доннелла при расчете энергии упругой деформации и (И) на теории Новожилова. Деформации £х, £у, Yxy в произвольной точке оболочки в соответствии с этими двумя .теориями связаны с деформациями серединной поверхности £х0, £у0, Yxy,0, изменением кривизны и кручения серединной поверхности кх, ку, кху, которые определяются соотношениями:

ех = ех,о + гкх 5у = 5у,0 + 2ку , ^ху = Гху,0 + 2кху

где г -расстояние от произвольной точки до серединной поверхности оболочки. Соотношения для деформаций и перемещений в серединной поверхности, изменения кривизны и кручения различны для теорий Доннелла и Новожилова.

Рис. 1 - Система координат для пологой оболочки двоякой кривизны

В соответствии с нелинейной теорией оболочек Доннелла, зависимости для деформаций и перемещений в серединной поверхности, изменения кривизны и кручения представляются в следующем виде

ч2

"х,0 —

ди w 1

+ ^ + 2 а Ь h/2

г д w Л

Ях ду

д w д w0

ду Rx ду

Уз -

1 ПК

сх ех + су еу +Тху Уху)

0 0 -Л/2

X (1 + г / Rx )(1 + г / Ry )d х с1 у d г,

ди д V д w д w

Уху,0 — + +-

Ry дв Rxду Rxду Ry дв

д w д wl

0

д w,

0

х

д w

Rxду Ryдв Rxду Ryдв'

кх--

д2w

«у

д2w

к —__

у R 2 дв2

у

кху —

д^

RxRy дудв

(2ф

(2:0

Соотношения для деформаций и перемещений, изменения кривизны и кручения в серединной поверхности, которые используются в теории Новожилова [17], имеют более громоздкий характер и не представлены в данной работе ради краткости изложения.

Пренебрегая ат в соответствии с первым приближением гипотезы Лява, получаем выражение для энергии упругой деформации оболочки У*. а Ь Л/2

Уз —

1И / (

сх ех + су е у + Тху

Уху

0 0 -Л/2

<(1 + г / Rx )(1 + г / Rv )С х С у С г,

где для однородного изотропного материала напряжения сх, су, тху связаны с деформациями

следующими соотношениями [18] (в случае плоского напряженного состояния а2=0):

7Т7

("у + -х),

с —1-7

Е

т —-у

ху 2(1 + у)Г ху

где Е - модуль Юнга и V- коэффициент Пуассона.

Формы колебаний, кинетическая энергия и внешние нагрузки

Кинетическая энергия оболочки Тз без учета инерции вращения имеет вид:

1 а"

Тз = ^PsлJJ

о о

где р8 - плотность материала оболочки. В

выражении (5) точкой сверху обозначается производная по времени.

Виртуальная работа внешних сил Ж в свою очередь представляется формулой: а Ь

М — Ц (Яхи + Цуу + qzw)dxdv, (6) 0 0

где Ях, Яу и Яг - распределенные нагрузки на единице площади, действующие соответственно в направлениях х, у и перпендикулярно. Изначально, в рассмотрение принимается только одна нормальная гармоническая нагрузка, поэтому Ях = Яу = 0. Внешняя распределенная нагрузка Яг, приложенная к оболочке, выражается через радиальную сосредоточенную силу f.

= fS{x - х)8[у - у)С08{юЦ,

где со - частота возбуждения, t - время, 8 - дельта функция Дирака, ^ представляет амплитуду нормальной силы, положительное направление которой совпадает с направлением w, хи у -положение точки приложения силы; в данном случае координаты этой точки х — а/2, у — Ы 2.

Используя аппроксимацию перемещений серединной поверхности оболочки и, V и w, можно перейти к дискретной системе, определяемой конечным числом элементов. В представленной работе принимаются классические условия свободного опирания оболочки по четырем краям.

v — — % — Ых — Мх —

и — w — Wo — Му — Му —

д2w0 дх2

д2wo ду2

при х = 0, а, (8а-0

при у = 0, Ь,

где N - нормальное усилие и М - изгибающий момент на единицу длины.

Для дискретизации системы используется разложение перемещений оболочки. Перемещения и, V и м> могут быть выражены таким образом, чтобы

точно удовлетворять геометрическим граничным условиям (8a,b, 9a,b):

u( x, y ,t) = YZUmn(t )COS I I sin I m=1 n=1 ^

M N

v

m=1 n=1 V J V

b

M N

w (x, y ,t) =

m=1 n=1

... . , m^x . . I пжу wm,n(t)sin( ISin(

где m и n - число полуволн в направлении соответственно; umn(t), vmn(t) и wmn(t) -обобщенные координаты, которые являются известными функциями t. Используя различное число членов разложения в (10), можно изучить сходимость и точность решения. Было показано, что в случае отсутствия внутренних резонансов 9 степеней свободы (dofs) определяют достаточно точную модель для формы (m = 1, n = 1). В частности, были использованы следующие члены в уравнении (10): m = 1, 3, n = 1, 3 в уравнении (10a, b) и m = 1, n = 1 в уравнении (10c).

Геометрические несовершенства

Начальные геометрические несовершенства оболочки рассматриваются только в нормальном направлении - z. Они связаны с нулевым начальным напряжением. Нормальное отклонение w0 раскладывается в той же форме, что и w, т.е. в двойной ряд Фурье, удовлетворяющий граничным условиям по краям оболочки (8c,f, 9c,f).

Wo

m=1 n=1 ( 1 ( 1

где Am n - амплитуды форм несовершенств; Ñ и M а - количество членов в разложении.

Граничные условия

Выражения (8, 9) представляют собой граничные условия для свободно опирающейся оболочки. Уравнения (8a,b,c,f 9a,b,c,f) удовлетворяются тождественно при разложении u, v, w и w0. С другой стороны, выражения (8d,e, 9d,e) могут быть представлены в следующей форме [19]:

M =

Eh3

12

2ч ( + Vky ) = 0,

M =

Eh

y 12(1- v2)v 'y Eh

(ky + Vkx )= 0 ,

NX = ^ ( + Vy ,0 ) = 0,

N.. =

Eh

(y,0 + Vx,0 )= 0,

y 1-V2l° У^г "x,0l

Уравнения (12, 13) удовлетворяются тождественно для кх и ку, определенных в выражениях (2^ е) для теории Доннелла. Уравнения (14, 15) не удовлетворяются тождественно ни для одной из нелинейных теорий оболочек. Для того,

чтобы точно удовлетворялись граничные условия в плоскости Ых = 0, Ыу = 0, в разложения и и V

должны быть добавлены члены ¿/ и V.

Уравнения движений Лагранжа-Эйлера

Уравнения Лагранжа-Эйлера записываются

в виде:

d_ dt

97s Э qj

Ms ~ - г

dq¿ dq¡ J

дЪ

где

dqj

S = 0. Наиболее сложным является

слагаемое, содержащие квадратичную и кубическую нелинейность:

ди К 'X I.KI

ТГ = Х^м + X qi q^jJM + X qi qK qi hw, 4j k=1 i,k=1 i,k,l=1

_

где коэффициенты z определяются громоздкими выражениями, которые включают в себя также геометрические несовершенства.

Заключение

В статье представлено многомодовое разложение с использованием уточненных теорий оболочек, которые учитывают инерцию в плоскости, что позволяет исследовать высокоамплитудные и вынужденные колебания пологих оболочек двоякой кривизны.

Это позволяет преодолеть два ограничения, которые часто встречаются в предыдущих исследованиях: во-первых, применение разложения с одной или двумя степенями свободы, а во-вторых, использование упрощенной, но не достаточно точной теории пологих оболочек Доннелла, которая пренебрегает влиянием инерции в плоскости.

Учет нелинейных эффектов, связанных с инерцией в плоскости, а также использование большого числа степеней свободы, является фундаментально важным шагом к изучению феномена внутренних резонансов в оболочках, работа над которым будет продолжена вторами в дальнейшем

Литература

1. M. Amabili and M. P. Paidoussis, "Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid-structure interaction". Applied Mechanics Reviews, 56, 349381, 2003.

2. E. Reissner, "Nonlinear Effects in Vibrations of Cylindrical Shells". Ramo-Wooldridge Corporation Report AM5-6, 1955.

3. Григолюк Э.И., Мамай В.И., "Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций". М.: Физматлит, 1997. - 264 с.

4. A. W. Leissa and A. S. Kadi, "Curvature effects on shallow shell vibrations". Journal of Sound and Vibration, 16, 173-187, 1971.

5. A. P. Bhattacharya, "Nonlinear flexural vibrations of thin shallow translational shells". ASME Journal of Applied Mechanics, 43, 180-181, 1976.

6. G. C. Sinharay and B. Banerjee, "Large-amplitude free vibrations of shallow spherical shell and cylindrical shell - a new approach". International Journal of Non-Linear Mechanics, 20, 69-78, 1985.

7. G. C. Sinharay and B. Banerjee, "Large-amplitude free vibrations of shells of variable thickness - a new approach". AIAA Journal, 24, 998-1004, 1986.

8. C. Y. Chia, "Nonlinear analysis of doubly curved symmetrically laminated shallow shells with rectangular platform". Ingenieur-Archiv, 58, 252-264, 1988.

9. D. Hui, "Accurate backbone curves for a modified-Duffing equation for vibrations of imperfect structures with viscous damping". ASME Journal of Vibration and Acoustics, 112, 304-311, 1990.

10. L. Librescu and M.-Y. Chang, "Effects of geometric imperfections on vibration of compressed shear deformable laminated composite curved panels". Acta Mechanica, 96, 203-224, 1993.

11. Y. Kobayashi and A. W. Leissa, "Large amplitude free vibration of thick shallow shells supported by shear diaphragms". International Journal of Non-Linear Mechanics, 30, 57-66, 1995.

12. A. Abe, Y. Kobayashi and G. Yamada, "Non-linear vibration characteristics of clamped laminated shallow

shells". Journal of Sound and Vibration, 234, 405-426, 2000.

13. M. S. Soliman and P. B. Gonjalves, "Chaotic behaviour resulting in transient and steady state instabilities of pressure-loaded shallow spherical shells". Journal of Sound and Vibration, 259, 497-512, 2003.

14. M. Amabili, "Comparison of shell theories for large-amplitude vibrations of circular cylindrical shells: Lagrangian approach". Journal of Sound and Vibration, 264, 1091-1125, 2003.

15. Р.Г. Мухарлямов, О.В. Матухина "Моделирование процессов управления, устойчивость и стабилизация". 15,. // Вестник КГТУ, 2012, т. 15, в. 12. - С. 220-224.

16. Mukharlyamov R.G., Deressa C.T., "Dynamic equations of controlled mechanical system with redundant holonomic constraints". Вестник КГТУ, 2014, т. 17, в. 11. - С. 236243.

17. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И., "Линейная теория тонких оболочек". Л. Политехника, 1991. - 656 с.

18. A. W. Leissa, Vibration of Shells, NASA SP-288. Washington, DC: Government Printing Office, 1973. Now available from The Acoustical Society of America, 1993.

19. J. Argyris, G. Faust and M. Haase, An Exploration of Chaos. Amsterdam: North-Holland, 1994.

© М. Амабили - профессор и ведущий ученый кафедры Машиностроения, Университет МакГилл, Монреаль, Канада, marco.amabili@mcgill.ca; Р. Гарзиера - профессор, заведующий кафедрой Промышленной инженерии Университета Пармы, Италия, rinaldo.garziera@gmail.com; Р. Мухарлямов - профессор кафедры математики НХТИ ФГБОУ ВПО «КНИТУ», nchti-nio@mail.ru; К. Рябова - аспирант кафедры Промышленной инженерии Университета Пармы, Италия, kseniia.riabova@studenti.unipr.i.

© M. Amabili, Professor and Canada Research Chair (Tier 1), Department of Mechanical Engineering, McGill University, Montreal, Canada, marco.amabili@mcgill.ca; R. Garziera, Professor and Head of Industrial Engineering Department, University of Parma, Italy, rinaldo.garziera@gmail.com; R. Mukharlyamov, Professor, Department of Mathematics, Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology, Russia, nchti-nio@mail.ru; K. Riabova, PhD student, Department of Industrial Engineering, University of Parma, Italy, kseniia.riabova@studenti.unipr.it.