Об устойчивости по Пуассону в дискретных динамических системах

Математика. Физика

УДК 517.925.52

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПУАССОНУ В ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ А.П. Афанасьев1, С.М. Дзюба2, А.П. Пьянов2

Институт системного анализа РАН, г. Тамбов

Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: дискретные динамические системы; устойчивые по Пуассону движения.

Аннотация: Приводится критерий существования устойчивых по Пуассону движений в дискретных динамических системах.

Проблема построения устойчивых по Пуассону движений динамических систем в сепарабельных метрических пространствах, как известно, непосредственно связана с проблемой построения таких движений в дискретных системах [1]. Более того, в последнее время роль и место дискретных динамических систем приобрели огромное самостоятельное значение в связи с изучением странных, хаотических и иных аттракторов, поскольку существование последних обычно удается доказать только лишь для подобных систем [2]. И, наконец, оказалось, что ситуацию типического поведения динамических систем в компактных метрических пространствах определяют квазипериодические движения, по определению являющиеся устойчивыми по Пуассону (но не обратно [3-5]). Все это говорит о том, что проблема существования устойчивых по Пуассону движений дискретных систем имеет огромное значение.

Известные в настоящее время критерии устойчивости по Пуассону в той или иной степени связаны с исследованием систем с инвариантной мерой и теоремами возвращения Пуанкаре-Каратеодори и Хинчина [1]. Целью настоящей работы является получение нового критерия, позволяющего в некоторых случаях непосредственно установить устойчивость по Пуассону движений дискретных динамических систем.

Основная теорема. Пусть 2 - метрическое пространство с метрикой С и пусть и^ - дискретная динамическая система, характеризуемая гомеоморфным отображением и пространства 2 в себя. Во избежание возможных разночтений введем следующее определение.

Определение. Точку р е X назовем положительно устойчивой по Пуассону (относительно действия на нее системы иМ), если для каждой ее окрестности Е и каждого натурального числа к можно указать такое натуральное число Ык > к,

что иЫк р е Е. Аналогичным образом, точку р е Е назовем отрицательно устойчивой по Пуассону, если для каждой ее окрестности Е и каждого натурального числа к можно указать такое натуральное число Ык > к, что и~Ык р е Е. И, наконец, будем говорить, что точка р е X устойчива по Пуассону, если она и положительно, и отрицательно устойчива.

Легко видеть, что точка р е X положительно устойчива по Пуассону тогда и только тогда, когда найдется такая последовательность натуральных чисел

N1, N2,• •., Ык, • • •, Иш Ык = +¥,

к +¥

что

Иш иЫк р = р.

к

В самом деле, из равенства (2) определение положительной устойчивости следует непосредственно. Обратно, если имеет место положительная устойчивость, найдется такая последовательность

£ь £2,..., £к,..., Иш £к = 0

к

положительных чисел и такие натуральные числа Ык > к, что

с (иЫк p, р )<8к,

откуда и следует (2).

Аналогичным образом, точка р е X отрицательно устойчива по Пуассону тогда и только тогда, когда найдется такая последовательность вида (1), что

Иш и Ык р = р.

к

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. Предположим, что семейство отображений

и±1, и±2,..., и±Ы,...

равностепенно непрерывно в пространстве 2. Пусть д - фиксированная точка множества 2 и пусть траектория у(д), исходящая из д, имеет в 2 компактное замыкание у(д) . Тогда из каждой последовательности вида (1) можно выбрать такую ее подпоследовательность

Ык1, Ык2, — , Ык1 ,•••, 1™ Ык1 =+¥,

что

Иш С(иЫк1 д, р) = 0 1+¥

и

Иш С(иЫк1+1 -Ык1 р, р) = 0,

I +¥

где р е О(д) — некоторая положительно устойчивая по Пуассону точка. Аналогичное утверждение имеет место и для отрицательно устойчивых точек.

Доказательство. Для всех значений N = 1, 2, 3,... положим

ды = иЫд.

Пусть (1) - произвольная последовательность натуральных чисел. В соответствии с (1) из множества (4) выберем последовательность

дN1, дN2,•••, дык ,

и заметим, что согласно компактности множества у(д) из (5) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

дЫк1, дЫк2,-, дык1 ,•,

пределом которой является точка р е О(д) с у(д), зависящая только от выбора

последовательности (1).

Для простоты обозначений будем считать, что выбранная подпоследовательность (6) совпадает с последовательностью (5). Пусть

Д(N1), Д(Ы2),..., А(Ык),... -

множество, элементы которого при всех значениях Nk из (1) определим по формуле

Д( Щ) = Nk+1 - Nk.

Тогда для доказательства утверждения теоремы остается показать, что

11ш иД

к +¥

В самом деле, поскольку для всех значений Nk

дщ+, = и Д№ ’ д»,.,

то имеем

р = к к+г <9>

Пусть е - некоторое сколь угодно малое положительное число. Тогда в силу равенств (8) и (9) найдется такое натуральное число т, зависящее от е, что

с (p, и А( \т, )< 2 •

При этом в силу непрерывности оператора и найдется такое положительное число 5, зависящее от е, что

С (иД^т^ , иД^т)р)< е

всякий раз, когда

с

Согласно аксиоме треугольника имеем

С ( р, и^т ) р )< с ( р, и Д( ^т )дNm ) + С ( р, и^т )дNm , иД^т ) р ) .

Но для каждого фиксированного 5 неравенство (10) выполняется при всех достаточно больших значениях т. С другой стороны, семейство (3) равностепенно непрерывно в пространстве 2. Поэтому семейство

иД(N1), иД(N2),., ^(^),.

также равностепенно непрерывно в 2. Следовательно, для всех достаточно больших значений т выполнено условие

С (р, иД(Nm)р) < е, означающее справедливость равенства (7).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №№ 06-01-00821, 06-07-89350).

Список литературы

1. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений /

B.В. Немыцкий, В.В. Степанов. - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 550 с.

2. Магницкий, Н. А. Новые методы хаотической динамики / Н. А. Магницкий,

C.В. Сидоров. - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 318 с.

3. Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений / С.М. Дзюба // Дифференц. уравнения. - 1999. - Т. 35, № 8. - С. 10201023.

4. Афанасьев, А.П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 10. - С. 1367-1372.

5. Афанасьев, А. П. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем / А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба // Дифференц. уравнения. - 2005. - Т. 41, № 11. - С. 1544-1549.

To Poisson Stability of Motion in Discrete Dynamic Systems

A.P. Afanasyev1, S.M. Dzyuba2, A.P. Pyanov2

Institute of System Analysis RAS, Moscow (1);

Department «Distributional Computing Systems»,TSTU

Key words and phrases: discrete dynamic systems; Poisson stability of motion.

Abstract: The criterion of Poisson stability of motion in discrete dynamic systems is given.

Uber Stabilitat nach Poisson in den diskreten dynamischen Systemen

Zusammenfassung: Es wird das Kriterium der Existenz der nach Poisson standfestigen Bewegungen in den diskreten dynamischen Systemen angefuhrt.

Sur la stabilite par le ponton dans les systemes discrets dynamiques

Resume: Est cite le critere de l’existence des systemes discrets dynamiques par le pongon.