Конспект &quot;Решение дробных рациональных уравнений&quot;(8класс)

Тема: «Решение дробных рациональных уравнений»

Цели: Начать формирование у обучающихся понятия о дробных рациональных уравнениях, формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму. Развитие логического мышления через вывод алгоритма решения таких уравнений. Воспитание интереса к предмету через введение новой темы.

Ход урока

1. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать и исправить ошибки, допущенные учащимися при решении контрольной работы. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

2. АОЗ.

Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а)

; б)

;

в)

; г)

; д) 2х2 – 8; .

3. Объяснение нового материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я дробного рационального уравнения.

Мы с вами изучили много разных выражений и уравнений, вспомните, с чего мы начинали? Давайте попробуем, сформулировать какие уравнения мы научимся решать сегодня и как их можно определить среди всех уравнений?

2. Р а с с м о т р е н и е а л г о р и т м а решения дробного рационального уравнения.

Используем приём аналогии: решая целое уравнение с числом в знаменателе, мы умножают обе части уравнения на общий знаменатель, что позволяет избавиться от дробей. Возникает идея применить этот приём для нового вида уравнений. После домножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, выясняем, что произошло с областью допустимых значений уравнения? Она «расширилась» и теперь допустимыми стали любые значения переменных, а значит полученное уравнение не равносильно исходному. Как поступим в таком случае?

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3. Решить полученное целое уравнение;

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль

общий знаменатель.

4. Формирование умений и навыков.

№ 600

а)

. Общий знаменатель (у + 3).

Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

у2 = у;

у2 – у = 0;

у (у – 1) = 0;

у = 0 или у – 1 = 0;

у = 1.

При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль. Ответ: 0 и 1

в)

;

;

. Общий знаменатель дробей (х – 2).

Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

2х2 = 7х – 6;

2х2 – 7х + 6 = 0,

D = (–7)2 – 4 · 2 · 6 = 49 – 48 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 =

= 2; x2 =

= 1,5.

Если х = 2, то х – 2 = 0.

Если х = 1,5, то х – 2 ≠ 0.

Ответ:1,5

д)

. Общий знаменатель дробей (х + 7)(х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

(2х – 1) (х – 1) = (3х + 4)(х + 7);

2х2 – 2х – х + 1 = 3х2 + 21х + 4х + 28 = 0;

2х2 – 2х – х + 1 – 3х2 – 21х – 4х – 28 = 0;

–х2 – 28х – 27 = 0;

х2 + 28х + 27 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –27, х2 = –1.

Если х = –27, то (х + 7)(х – 1) ≠ 0.

Если х = –1, то (х + 7)(х – 1) ≠ 0.

Ответ: -27, -1

и)

= 0;

. Общий знаменатель дробей (2х + 3) (3 – 2х).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(х – 1) (3 – 2х) = (2х – 1) (2х + 3);

3х – 2х2 – 3 + 2х = 4х2 + 6х – 2х – 3;

3х – 2х2 – 3 + 2х – 4х2 – 6х + 2х + 3 = 0;

–6х2 + х = 0;

6х2 – х = 0;

х (6х – 1) = 0;

х = 0 или 6х – 1 = 0;

6х = 1;

х =

.

Если х = 0, то (2х + 3) (3 – 2х) ≠ 0.

Если х =

, то (2х + 3) (3 – 2х) ≠ 0.

О т в е т: 0;

.

При умножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения. Тогда сперва определяем ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверяем, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

№ 601.

а)

– 4 = 0; ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

2х – 5 – 4 (х + 5) = 0;

2х – 5 – 4х – 20 = 0;

–2х – 25 = 0;

–2х = 25;

х = –12,5.

Ответ: -12,5

в)

; ОДЗ: х ≠0.

х2 – 4 = 2 (3х – 2);

х2 – 4 = 6х – 4;

х2 – 6х = 0;

х (х – 6) = 0;

х = 0 или х – 6 = 0;

х = 6.

Ответ: 6

г)

= х – 1; ОДЗ: 2х – 3 ≠ 0,

х ≠ 1,5.

10 = (х – 1) (2х – 3);

10 = 2х2 – 3х – 2х + 3;

10 – 2х2 + 3х + 2х – 3 = 0;

–2х2 + 5х + 7 = 0;

2х2 – 5х – 7 = 0;

a + c = b, значит, х1 = –1; х2 = –

, то есть х1 = –1; х2 =

= 3,5.

О т в е т:–1; 3,5.

5. Итоги урока.

– Какое уравнение называется дробно-рациональным?

– Приведите примеры целого и дробного уравнения.

– Сформулируйте алгоритм решения дробного рационального уравнения.

–Какими способами можно исключить «посторонние» корни дробного рационального уравнения?

Домашнее задание: п. 25 с. 139-141, № 600