Математические модели для сетей беспроводного потока

УДК 519 А. А. Али

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ СЕТЕЙ БЕСПРОВОДНОГО ПОТОКА

Ключевые слова: сети беспроводного доступа, модель, трафик, энергопотребление, топология, маршрутизация.

Статья посвящена рассмотрению актуальных проблем, связанных с построением математических моделей для сетей беспроводного доступа. Особое внимание уделено беспроводным сенсорным сетям (БСС), имеющим большое практическое значение. В ходе исследования разработаны отдельные компоненты математической модели БСС, ориентированные на требования повышения энергоэффективности, отказоустойчивости, увеличения времени работы сети до момента ее отказа и максимизацию области покрытия. В работе представлено математическое описание оценки допустимого размера сети, модель максимизации области покрытия и определения местонахождения кластерных центров БСС, модель оптимизации энергопотребления БСС, а также алгоритмы построения энергоэффективной топологии БСС и динамической маршрутизации сети.

Keywords: wireless access network model, traffic, energy, topology, routing.

Article is devoted to the urgent problems related to the construction of mathematical models for wireless access networks. Particular attention is paid to wireless sensor networks (WSN), which is of great practical importance. The study developed a mathematical model of the individual components of the FSU-oriented requirements of energy efficiency, resiliency, increasing the time the network until its failure and maximizing the coverage area. The paper presents a mathematical description of the allowed size of the network, a model of maximizing the coverage area and location of cluster centers FSU FSU model of optimization of energy consumption, as well as algorithms for constructing energy efficient WSN topology and dynamic routing network.

В настоящее время сети передачи данных продолжают активно развиваться. Особое место в данном процессе занимают беспроводные сети (БС), которые позволяют обеспечить эффективность управления и успешное функционирование самых различных организаций. БС играют особую роль среди средств сбора и обработки большого количества разнообразной информации [1]. Отдельный акцент в составе БС следует сделать на беспроводных сенсорных сетях (БСС). Они представляют большой интерес с точки зрения их применения в таких важных областях, как антитеррористическая деятельность, военные приложения, автоматизация управления распределенными объектами, выявление и предупреждение чрезвычайных ситуаций, автоматизация систем жизнеобеспечения, контроль и мониторинг транспортных магистралей различной физической природы и др. [2].

Расширение сфер использования БГС требует постоянного их усложнения, повышения надежности, долговечности, быстродействия и уровня защищенности информации. Одной из основных проблем в использовании и эксплуатации БСС является обеспечение высокой отказоустойчивости и продолжительности жизни, а также эффективное управление и распределение трафика. Это определяется, с одной стороны, особенностями их применения, а с другой - высокой вероятностью нарушения работы сети в результате отказов узлов и каналов связи, что связано как с большим количеством узлов, возможностью внешних неблагоприятных воздействий, так и с ограничениями в энергопотреблении узлами вследствие лимитированного ресурса их источников питания.

Все это требует проведения экспериментальных исследований свойств сетей, причем не только в режиме оперативного мониторинга, но и для более глубокого изучения - в частности, с целью прогнозирования их поведения.

Решению этих задач способствует наличие эффективных методов математического моделирования. Известно, что математическое моделирование БСС позволяет разрабатывать аппаратное и программное обеспечение со значительно меньшими затратами, чем в случае использования реальных устройств.

Учитывая вышеизложенное, разработке и апробированию новых методов моделирования БСС уделяют особое внимание. Но сложности в создании оптимальной математической модели БСС связаны, прежде всего, с тем что такая модель должна быть одновременно достаточно упрощенной и достаточно полноценной. Простота позволит проводить моделирование и вывод теоретических результатов, а полноценность необходима для того, чтобы такая модель могла быть применена на практике.

Таким образом, математическое моделирование сетей беспроводного доступа является важным и значимым направлением исследования, что подтверждает актуальность, теоретическую и практическую значимость выбранной темы статьи.

Работы по исследуемой проблематике ведутся достаточно интенсивно, как отечественными, так и зарубежными учеными, в состав которых можно отнести Л.И. Абросимова, В.В. Крылова, А.И. Ше-лухина, А.В. Осина, А.К. Скуратова, Н.А. Олифера, Н. Шварца, К. Парка, Дж. Медхи, IF Akyildiz, P. Wang и др. В работах Chinh T., R. Hakim БСС представляются в качестве поверхности, а для их математического описания и визуализации (графического представления) используются методы триангуляции Делоне, диаграммы Вороного и т.д. С целью анализа параметров сигналов информационных узлов, в частности силы сигналов в БСС достаточно часто применяются геометрические модели, для создания которых наиболее приемлемы средства вычислительной геометрии, в частности геометрии расстояний A. Becher, Кулакова Ю.И., Плахтеева

А.П., В. ЯооЪег и др.

Однако значительная часть вопросов математического моделирования БСС исследована еще недостаточно полно, кроме того, существующие наработки ориентированы на решение узких прикладных задач.

Таким образом, цель статьи заключается в разработке компонентов математических моделей БСС, которые позволят оценить допустимый размер сети, оптимизировать энергопотребление БСС, а также управлять и распределять трафик.

В последнее время исследования ученых и практиков были сосредоточены, главным образом, на моделировании распространения сигнала в системах сотовой или широковещательной связи. Некоторые специалисты предлагают применять указанные модели также для БСС. Однако автор не согласен с этим мнением, поскольку для сотовой связи характерно обязательное размещение одного из пары узлов (базовая станция, мачта-антенна) на высоком расстоянии от поверхности земли, в то время как в случае сенсорной сети все узлы могут находиться на поверхности земли (например, прямо в траве) или быть прикрепленными к стенам помещения на разной высоте.

Именно поэтому, направление математического моделирования БСС активно развивается и только начинают появляться разнообразные модели для сетей такого класса. Существующие наработки постоянно совершенствуются, появляются новые уточнения к ним. Не вызывает сомнения тот факт, что именно корректное создание математической модели и ее верификация способны обеспечить удачное функционирование БСС, уменьшить временные затраты на ее проектирование и наладку и позволить повысить эффективность работы уже существующей сети.

Таким образом, для моделирования рассмотрим БСС со стационарными узлами, которые равномерно распределены в двумерной области Я площадью Ь. То есть расположение узлов можно рассматривать как точки Я, которые генерированы в двумерном пространстве с пуассоновским распределением и постоянной интенсивностью (плотностью узлов) МЬ. Если предположить, что каждый узел использует диапазон передачи г и, что Ь>>пг2, можно пренебречь краевыми эффектами Я, чтобы получить точную вероятность того, что ни один узел не является изолированным. Узлы могут быть расположены в пределах г далеко от каждой из границ; или меньше, чем г по одной из границ, но далеко от других; или расположены ближе, чем г по двум из границ.

Агенты событий передаются от узла к узлу с помощью метода случайного распространения, пока либо не проходит событие (то есть достигает своего срока действия), либо истекает время жизни счетчика. Узлы передают информацию в случайно выбранный узел из набора узлов в пределах его диапазона передачи. Узлы могут также сгенерировать запросы, чтобы запросить данные или ресурсы из сети. Если запрос не может определить местонахождение информированного узла до окончания функционирования запроса, то запрос потерпит не-

удачу. Кроме этого, если узел не работает из-за разрядки аккумулятора, то считаем, что узел не обслужен. В противном случае, узел считается «живым». «Живой» узел может быть либо в режиме сна (ожидания) или в активном режиме. В спящем режиме узел выключает свои возможности считывания и коммутации для сохранения энергии.

Итак, для оценки допустимого размера сети введем фактор суммарной избыточности аА, характеризующий избыточность, которую вносят все уровни стека протоколов такую, что

= Y ь х а A

где ZА - скорость передачи данных, измеренная на прикладном уровне; Yb - скорость передачи данных.

Отметим, что значение аА для современных протоколов имеет значение от 0,1 до 0,5.

Пусть макет данных длины К направляется каждые Е секунд, тогда для однозвеньевой передачи имеем:

Уь *аЛ * Ег

И

8х К

Например, пусть узлы-сенсоры посылают каждые две секунды пакет данных длиной 5 байт со скоростью 56 кбит/с; аА примем равным 0,3, тогда получим максимально допустимый размер одинаковой сети 840.

Для многозвенной передачи введем понятие Ит -среднее количество звеньев для достижения пакетом монитора, тогда:

N

Уь хОа х Ег

8хК х Ит

То есть максимальный размер сети с многозвенной передачей является обратно пропорциональным среднему количеству звеньев.

Для сети с несколькими мониторами и многозвенной передачей имеем:

О. *

О я хУь ха а х Ег

8хК хН„

где Оя - количество мониторов / контроллеров.

На следующем этапе формализуем задачу максимизации области покрытия и определения местонахождения кластерных центров БСС. Для этого предлагается математическая модель, которая позволит достичь максимальной области охвата при сведении к минимуму расходов на определение местоположения и перемещение кластерных центров.

Е ЕЕ(1-р 1 р -С ЕЕж

Р | Е V*-Е к ]еN ,,еУ

' =1 хеК )

Е х Х < п геУ

ж - х

X х,

ХеК, геУ \{1}

ж-х„-1 -х ,,-1 ХеК, геУ 41}

тах

Хе К

Х,-1

Ми

0, Хйе {0,1} /еК,

{0Д}

/еК, , кеК

где 4 - требование периода, которое сгенерировано датчиком у еЫ; р - вероятность отказа связи между любым кластерным центром и датчиком (0<р<1); С - стоимость единицы одного центра кластера или стоимость переналадки; 2уи - случайная переменная, указывающая близость центра кластера i к сенсору у в период t.

1, если центр кластера i расположен в пределах досягаемости датчика у в период :; 0, иначе.

2}й

Цель предложенной модели заключается в том, чтобы определить местонахождение и переместить туда центры кластеров, а также переопределить сенсоры для центров кластеров каждого периода. Поэтому в модели используются следующие переменные:

хи: - бинарная переменная для определения местоположения предполагаемого центра кластера.

1 , если центр кластера помещен в хц = | место расположения i в период t;

0, иначе.

Уук1: - бинарная переменная, указывает охват сенсора, по крайней, мере к кластерами в период :.

1, если сенсор у покрытий по крайней мере к кластерными центрами в

Уук: = | период :; . 0, иначе.

- бинарная переменная, которая описывает или возглавляет данный сенсор кластера i в период :.

У»

1, если центр кластера расположен в / период :-1, а не в период :; = | 1,если центр кластера расположен в / период :, а не в период :-1; 0, иначе.

Целевая функция (5) представляет собой требование покрытия центрами кластеров минус полная стоимость перемещения сенсоров. Компонент " является ожидаемым по-

1(1 - Р

к-1 т

р

V

к

крытием сенсора у в период :, учитывая качество связи. Ограничение (6) гарантирует, что если сенсор у покрытый к кластерами в момент времени :, то каждая из переменных Vj1:, Vj2:, ..., Vjk: принимает значение 1, поскольку целевая функция содержит компонент Vjk:.

Ограничения (7) гарантирует, что максимальное число кластерных центров не может превысить п

для любого периода. Ограничения (8) и (9) определяют перемещение центров кластеров и заставляют принять Мц равной 1, если есть изменение местоположения центра кластера i с точки зрения кластерного определения в момент времени :. Допустимые значения переменных гарантируются ограничениями (10) и (11).

С позиции энергоэффективности основной задачей БСС является оптимизация энергопотребления, что влечет за собой увеличение времени функционирования сети [3]. Таким образом, одним из способов максимизации времени жизни БСС является определение времени функционирования каждого покрытия с учетом максимального времени функционирования каждого сенсора.

Когда все живые узлы датчиков являются активными для всех периодов времени, т.е. р:=1, для всех :еТ, можем построить модель для одного периода, чтобы определить оптимальный диапазон передачи в течение каждого периода, который максимизирует срок службы сети.

Введем предположение для каждого ::

N1. А(п, а) не увеличивается в п:;

N2. ¥(п:, а) увеличивается в п:; где п: - ожидаемое количество активных узлов на начало периода :; а: - решение, принятое в самом начале периода :; ^(п:,а1) - вероятность того, что сеть подключена в момент времени :; А(п:,а) - частота отказов запросов в момент времени :.

Представленные предположения могут быть объяснены эффектом «перепосещения» таким образом, что вероятность повторного посещения узла запросом может быть значительной. Эффект «перепосещения» увеличивает количество неинформированных узлов, время определения информированного узла и, следовательно, долю неудачных запросов. По мере увеличения числа активных узлов эффект «перепосещения» становится менее выраженным.

Предположение N2 возможно при > 2г: и

И, <4

+ 3л

4 Ьл

1

Заметим, что при условии (12) имеет место,

1

и, <4

+ 3л •

)г

4 Ьл п,лг] , 3п: лг2

И, г,

Ь л

+ 3п.лг, <

4Ь

п: лГ:

4 Ь

4 Ь

Ь

а:)

да:

{41- 2Г: '

ГС:{4+3 л) 4Ьл

п:{4+ 3л'К - 2г:/ -с 4Ьл 1-----

п: <Ь -2г^

4Ьл

2

п:лг:

[Л - 2г: ]

Ь

п: л г,

г

<

2 ^

Ь

с

1

ехр

х

-С

Ь

Ь

2 ^

п (4+3 л ¡п

2 Л

2\

1

Ь

Ь

с

Таким образом, у(пьа) растет в п.

Заметим, что условие обычно соблюдается

на практике, так как дальность передачи датчика является относительно маленькой по сравнению с размерами поля сети. Возможно интерпретировать (12) следующим образом: если ожидаемая степень узлов, расположение которых меньше г по одной из границ, но дальше от других, равно по крайней мере единице, то предположение N2 имеет место быть.

Согласно этим предположениям, получено оптимальное решение, когда количество активных узлов для каждого геТ достигает максимума. Это может быть осуществлено путем последовательного решения задачи минимизации энергии (модели одного периода) для каждого времени ,еТ.

Мобильность узлов, их отказ, критические изменения во внешней среде требуют высокой степени динамичности от БСС в целом. Поэтому, топология конкретной БСС или ее части может изменяться многократно в течение срока ее функционирования [4]. Фрагменты БСС в связи с этим нуждаются в современных алгоритмах, которые должны быть работоспособными и адекватными меняющимся условиям.

Учитывая вышеизложенное, автор предлагает следующий алгоритм построения энергоэффективной топологии БСС.

Этап 1. Узлы распределены случайным образом в области 8. Каждый узел получает информацию о своих потенциальных соседних узлах в диапазоне передачи через сообщение. На данный момент топология сети не сформирована, сеть не является связанной.

Этап 2.

1. Построение топологии начинается со шлюза и т0 узлов (шлюз и его т0-1 потенциальных, сопредельных с ним узлов), и е0 случайных связей между ними.

2. На каждой итерации, добавляется новый узел к сети. Для этого, определяется т0 узел, имеющий наибольшее количество доступных в своем соседском окружении узлов, и отмечается уже как узел а0. Избранный в произвольном порядке новый узел из соседского окружения узла а замечается как узел ь. В соответствии с таким подходом, сеть «разрастается» в сторону подключенных узлов и покрывает область с доступной скоростью.

3. Произвольным образом избираются т узлов, которые уже включены в топологию и являются потенциальными соседями узла ь и соединяются с ним. Если число потенциальных соседей узла Ь будет меньше т, то все эти узлы будут соединены с новым узлом. Узел Ь соединяется с узлом Х с т потенциальных соседних узлов на основе правила приоритетного присоединения:

П ГЕ)к.

П =

I f E )к1 - qkt

где i,j^local-area множество потенциальных соседних узлов узла b в его диапазоне передачи; kmax -предопределенный верхний предел значения степени узла; q - число узлов, которые уже имеют максимальную степень к; f (E) - функция энергетических затрат в процессе взаимодействия узлов.

Когда степень узла достигает значения ктах, к нему не могут быть добавлены другие связи.

4. Повторяются шаги (1), (2), и (3), пока все узлы не будут добавлены в топологию.

Согласно [5] плотность вероятности остатка энергии Е:

Р(к) = E[>(£e) dE = mУрк-}+Ур,

Emm Emm Р

dE

где Pe(Emin /2E >Emax /2E Г Emm'

Етах пре-

дельные значения энергии Е; р - распределение Е с

границами Em

E max .

jpdE =1

E

определяется выражением

Таким образом, управление топологией является одной из основных проблем эффективного использования ресурсов БСС. Предложенный алгоритм построения энергоэффективной топологии БСС использует локальную информацию. Кроме того, теоретическое распределение степени связности узлов в предложенном алгоритме при условии к>т подчиняется степенному закону, поэтому такой алгоритм имеет лучшие показатели отказоустойчивости при одинаковых энергетических затратах или случайных отказах узлов.

Итак, модели, которые предлагаются автором в данной статье, как уже отмечалось ранее, ориентированные на достижение и обеспечение энергоэффективности БСС. Но необходимость обеспечивать низкое энергопотребление накладывает ряд ограничений на алгоритмы работы БСС и скорость связи. Актуализируется в данном контексте задача разработки эффективного протокола динамической маршрутизации (ДМ), который не требует значительных вычислительных ресурсов и быстрого канала связи. Важнейшим этапом работы протокола ДМ является построение таблицы маршрутизации, основанный на оценке качества связи между ее отдельными узлами.

Учитывая то, что структура БСС имеет общие черты со структурой нейронных сетей, целесообразно использование принципов нейронных сетей для оптимизации ДМ.

Искусственные нейронные сети (НС) - это математические модели, а также их программные и аппаратные реализации, построенные по принципу организации и функционирования биологических НС - сетей нервных клеток живого организма.

В данном случае НС не позволят:

• распознать и исключить из использования те маршруты, которые потеряли свою актуальность;

• с помощью весовых коэффициентов устанавливать приоритеты маршрутов, которые могут изменяться в зависимости от условий, в которых функционирует сеть;

• снизить информационную нагрузку на сеть;

• уменьшить время расчетов таблицы маршрутизации микроконтроллером.

Блок-схема оптимизированного алгоритма ДМ БСС, основанного на принципах НС, изображена на рис. 1.

Рис. 1 - Блок-схема алгоритма маршрутизации

Расшифруем более подробно предложенный алгоритм.

На первом этапе строится таблица маршрутизации на основе метрики, то есть качественной или количественной оценки маршрутов. Оценка маршрута определяется условиями, в которых работает сеть. Если известно, что в среде действуют мощные помехи, то следует использовать качественную оценку, в противном случае количественную. Сеть начинает работать в соответствии с имеющейся таблицей маршрутизации, которая в свою очередь, дополняется значением веса для каждого маршрута. Сначала все маршруты имеют одинаковый вес. Далее с каждым успешно доставленным пакетом соот-

ветствующему маршруту присваивается новое значение веса - больше чем предыдущее. В случае не подтверждения доставки пакета или доставки его с ошибками, соответствующему маршруту присваивается меньшее значение веса, чем предыдущее. Через некоторое время Тгр весовые коэффициенты становятся более приоритетными, чем метрика (качественная или количественная оценка) и оптимальным считается тот маршрут, у которого больший вес. Таким образом, БСС приспосабливается к изменениям внешней среды.

Подводя итоги проведенного исследования можно сделать следующие выводы. Стремительное развитие и усовершенствование БСС, высокие требования их энергоэффективности, актуализируют вопросы разработки гибких и адаптивных математических моделей функционирования данных сетей. В работе предложены отдельные компоненты математической модели функционирования БСС, позволяющие определить допустимый размер сети, максимизировать область покрытия и определить местонахождение кластерных центров БСС, оптимизировать энергопотребление и создать энергоэффективную топологию БСС. Кроме того, с целью разработки эффективного протокола динамической маршрутизации предложена блок-схема алгоритма маршрутизации, основанного на принципах нейронных сетей.

Литература

1. Антоненко В.И., Новичков А.В., Буряков Д.А. Предпосылки формирования информационного общества // Русский космизм: история и современность. М. - 2015. С. 113-119.

2. Кадиев А.Р., Кадиев М.А., Михайлов Б.М. Анализ эффективности беспроводных сенсорных сетей с динамической структурой // Вестник МГТУ МИРЭА. - 2015. - Т. 2. . -№3(8). - С. 64-72.

3. Arivudainambi, D.; Sreekanth, G.; Balaji, S. Energy Efficient Sensor Scheduling for Target Coverage in Wireless Sensor Network // Lecture notes in electrical engineering. -2016. - Vol. 348. - Set 2. - Р. 693-706.

4. Vasuhi, S.; Vaidehi, V. Target tracking using Interactive Multiple Model for Wireless Sensor Network // Information Fusion. - 2016. - Vol. 27. - P. 41-53.

5. Zhang, Jing; Yang, Ting; Zhao, Chengli Energy-efficient and self-adaptive routing algorithm based on event-driven in Wireless Sensor Network // International journal of grid and utility computing. - 2016. - Vol. 7 issue 1. - P. 41.

© А. А. Али - асп. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, препод. Аденского ун-та (Йеменская Республика), anees_aleysai@yahoo.com .

© Ali Anees Abdullah Shafal, Ph.D. student of Applied Mathematics & Computer Science department, Kazan National Research Technological University, junior lecturer - Aden University (Republic of Yemen), anees_aleysai@yahoo.com.