Математическая модель электромагнитного переходного процесса для сверхпроводникового огра-ничителя тока короткого замыкания

Mathematical Model of Electromagnetic Transient for Superconducting

Short-Circuit Current Limiter

Manusov V.Z., Pavlyuchenko D.A., Miheev P.A.

Novosibirsk State Technical University Novosibirsk, Russian Federation

Abstract. At present on the basis of significant achievements in the field of high-temperature superconductivity more and more applications of this phenomenon appear in the electric power industry, in particular superconducting current limiters. To investigate current limitation process in electrical networks containing superconducting current limiter it is extremely important to evaluate the electrodynamic and thermal effects of the short-circuit current at any time. The existing superconducting current limiters mathematical models don't consider the inertia of the device transition from the superconducting state to the conducting one. It is necessary to develop the mathematical model for the electromagnetic transient process that can adequately simulate the superconducting current limiter at any time point, taking into account its parameters in the normal and emergency modes and also to describe these parameters dynamics during the process of current limitation. The proposed mathematical model allows to simulate the changing inertia of the superconducting current limiter inductive reactance, to analytically describe the electromagnetic transient process, and also to evaluate the electrodynamic and thermal effects of short-circuit current in networks with superconducting current limiter. The important feature of the mathematical model is the consideration of the increase rate (inertia) of the inductive reactance with respect to the external network. Also the model allows taking into account the initial and final values of the inductance of a superconducting current limiter before and after the end of the electromagnetic transient respectively. Keywords: high-temperature superconductivity, superconducting inductive current limiter, electromagnetic transient, short circuit currents.

Modelul matematic al procesului electromagnetic tranzitoriu pentru un limitator supraconductor a

curentului de scurtcircuit Manusov V.Z., Pavlyuchenko D.A., Miheev P.A.

Universitatea Tehnica de Stat din Novosibirsk Novosibirsk, Federatia Rusa Rezumat. in prezent, pe baza realizarilor semnificative in domeniul supraconductibilitatii la temperaturi ridicate apar tot mai multe aplicatii ale acestui fenomen in industria energetica, in special sub forma de limitatoare supraconductore de curent. Pentru a studia procesul de limitare longitudinala a curentului in retele electrice care contin limitatore supraconductoare de curent, este important sa se estimeze efectele electrodinamice §i termice ale curentului de scurtcircuit la un moment dat. Actualele modele matematice ale limitatoarelor supraconductoare nu reflecta inertia trecerii dispozitivului de la starea supraconductoare la o stare de conductie. Pentru aceasta problema, este necesar sa se creeze un model matematic pentru calculul procesului electromagnetic tranzitoriu capabil de a simula in mod corespunzator dispozitivul la un moment arbitrar de timp, avand in vedere parametrii sai in conditii normale §i de avarie, precum §i pentru a descrie dinamica modificarilor acestor parametri in timpul procesului de limitare a curentului. Modelul matematic propus poate simula inertia modificarii rezistentei dispozitivului superconductor de limitare a curentului, pentru a descrie in mod analitic fenomenele tranzitorii electromagnetice, precum §i pentru a evalua efectele termice §i electrodinamice ale curentului de scurtcircuit in prezenta unui limitator de curent supraconductor. O trasatura distinctiva a modelului matematic consta in luarea la evidenta a vitezei de cre§tere (inertialitatea) a rezistentei inductive in raport cu reteaua externa, la trecerea de la starea supraconductoare a limitatorului de curent in stare de conductivitate naturala. De asemenea, modelul permite sa se ia in considerare valoarea marginala a inductateii limitatorului suraconductor pana la demararea §i dupa finalizarea procesului electromagnetic tranzitoriu. Cuvinte-cheie: suparconductibilitate de temperatura ridicata, limitator de curent supraconductor de tip inductiv, proces electromagnetic tranzitoriu, curenti de scurtcircuit.

Математическая модель электромагнитного переходного процесса для сверхпроводникового ограничителя тока короткого замыкания Манусов В.З., Павлюченко Д. А., Михеев П.А.

Новосибирский государственный технический университет Новосибирск, Российская Федерация Аннотация. В настоящее время на основе значительных достижений в области высокотемпературной сверхпроводимости появляется всё больше применений данного явления в электроэнергетике, в частности в виде сверхпроводниковых токоограничителей. Для исследования процесса продольного токоограничения в электрических сетях, содержащих сверхпроводниковый токоограничитель, крайне важным является оценка электродинамического и теплового воздействия тока короткого замыкания в произвольный момент времени. Существующие в настоящее время математические модели сверхпроводниковых ограничителей не отражают инерционности перехода устройства из сверхпроводящего состояния в проводящее. Для поставленной задачи необходимо создать математическую модель для расчёта электромагнитного переходного процесса, способную адекватно моделировать устройство в произвольный момент времени, учитывая его параметры в нормальном и аварийном режимах, а также, описывать динамику изменений этих параметров в ходе процесса токоограничения. Предложенная математическая модель позволяет моделировать инерционность изменения сопротивления устройства сверхпроводникового токоограничителя, аналитически описывать электромагнитный переходный процесс, а также оценить электродинамическое и тепловое воздействия тока короткого замыкания при наличии сверхпроводникового токоограничителя. Отличительной особенностью математической модели является учет скорости нарастания (инерционности) индуктивного сопротивления по отношению к внешней сети при переходе из сверхпроводящего состояния токоограничителя в естественное проводящее. Также модель позволяет учесть начальную и конечную величины индуктивности сверхпроводникового токоограничителя до начала и после окончания электромагнитного переходного процесса соответственно.

Ключевые слова: высокотемпературная сверхпроводимость, сверхпроводниковый токоограничитель индуктивного типа, электромагнитный переходный процесс, токи короткого замыкания.

Введение

На протяжении последних нескольких десятилетий достаточно интенсивно ведутся работы по разработке и внедрению в электрические сети сверхпроводникового оборудования: генераторов, трансформаторов, кабелей, токоограничителей [1-6]. В настоящее время ведутся разработки нескольких типов сверхпроводниковых токоограничителей (СОТ), основной областью перспективного применения которых являются высоковольтные электрические сети номинальным напряжением до 35 кВ [7,8].

Наиболее эффективным с точки зрения токоограничивающего эффекта является применение СОТ индуктивного типа. СОТ имеют способность изменять в течение нескольких миллисекунд своё внешнее сопротивление. Электромагнитный процесс в сети с СОТ будет иметь свои особенности, обусловленные стремительным изменением одного из её пассивных реактивных элементов. Ранее принималось допущение о мгновенном изменении индуктивности СОТ. Необходима математическая модель данного процесса, позволяющая учитывать электрическую инерционность самого СОТ. Применение данной модели в расчётах позволяет оценить

тепловое воздействие тока короткого замыкания (КЗ) в сети с СОТ, которое является одним из условий выбора электрических элементов, таких как выключатель, воздушная и кабельная лини (КЛ) электропередачи и других.

I.Обоснование математической модели

Рассмотрим схему, содержащую СОТ.

Ес - электродвижущая сила (ЭДС) источника напряжения; ХСОТ - индуктивное сопротивление СОТ; ХЛ - индуктивное сопротивление КЛ; ЯЛ -активное сопротивление КЛ; 2Н - комплексное сопротивление нагрузки потребителя.

Рис. 1. Однолинейная схема для построения математической модели.

По второму закону Кирхгофа имеем: E (t ) = {t) + ^ + г (t). ^ ,

dt

dt

где уС(Ж и уК - потокосцепления СОТ и КЛ соответственно; ЯК - активное сопротивление КЛ.

Потокосцепление кабеля с учётом того, что его индуктивность не зависит от протекающего тока, будет зависеть только от тока:

Ук

Потокосцепление же СОТ будет зависеть как от изменяющейся индуктивности, так и от тока:

у сот (г)= ьсот (г)•* (г).

С учётом уравнений (2) и (3) на основе выражения (1) получаем дифференциальное уравнение переходного процесса:

Е г )= й [ Ьсот (* )• * (г)] +

^' аг а [ ьк (г )• * (г)]

йг

+ * ( )• Кк

С учётом свойства производной произведения двух функций преобразуем дифференциальное уравнение:

Е () = й [Ьсот ()] . . (,) +

w йг w

+(г )• ^+М. (() +

йг

йг

/ Ч а и (г)] ..

+Ьк (г+* (г)• Кк

Исходя из физической природы индуктивности, а также в виду того, что индуктивность кабеля не зависит от времени выражение (5) несколько упрощается:

Е (г) = • * (г) +

а [*(г)]

+ьсот (г) +

аг

а (г)] +ьк (г)~Чт!]+* (г)• Кк

аг

Как известно, для того, чтобы нарушить сверхпроводящее состояние необходимо либо увеличить температуру, либо величину воз-

действующего магнитного поля. В быстродействующих СОТ используется как раз увеличение магнитного поля в момент КЗ в сети.

НС - критическая сила магнитного поля; Тс -критическая температура.

Рис. 2. Область существования сверхпроводмости.

При приближённых расчётах ранее было принято полагать, что индуктивность СОТ изменяется мгновенно (без инерции) как это показано на рис. 4 с помощью применения функции Хевисайда, однако, это не позволяло учитывать влияние СОТ на переходный процесс при токоограничении.

Рис. 4. Упрощённое (безинерционное) изменение индуктивности СОТ в момент короткого замыкания.

Что более важно, подобный подход не допускает математического описания электромагнитного переходного процесса в форме одного аналитического выражения (из-за невозможности дифференцировать скачкообразную функцию), а значит, не позволяет рассчитывать мгновенные значения тока и напряжения, результирующие величины электродинамического и теплового воздействий тока КЗ на электрооборудование, время отключения с помощью выключателя ограниченного СОТ аварийного тока.

В работах исследователей в области применения сверхпроводниковых токоограничи-телях того или иного типа [8-11] приводятся различные модели электрических параметров данных устройств. Во всех работах температура сверхпроводящего элемента в момент короткого замыкания начинает плавно и монотонно возрастать по зависимости близкой к экспоненциальной, с температурой возрастает и внешнее сопротивление СОТ. Анализ зависимостей внешнего сопротивления СОТ позволяет сделать вывод о целесообразности введения адекватной физическому процессу монотонной легко интегрируемой и дифференцируемой функции. В качестве такой функции может быть применена экспонента, как это изображено на рис. 5. Экспоненциальная функция выбрана как соответствующая физике процесса, а также позволяющая ввести понятие «постоянной времени реагирования» СОТ.

Рис. 5. Математическая модель изменения идуктивности СОТ при КЗ в сети.

Тогда изменение индуктивности СОТ как функции времени:

тивности СОТ. В это же время решение поставленной задачи даже с учётом изображённой на рис. 5 модели изменения индуктивности СОТ численными методами не является достаточно наглядным с точки зрения влияния динамики изменения индуктивности СОТ на электромагнитный переходный процесс. Как следствие, в качестве окончательной модели, описывающей изменение индуктивности СОТ, принимается экспоненциальная модель, а отыскание составляющих переходного процесса будет производиться решением дифференциального уравнения.

С учётом выражения (7) для индуктивности СОТ дифференциальное уравнение переходного процесса приобретает вид:

£ (, ) = -

ьпр + (СП ьпр )е

л

1 ()+

+1,

ьпр + (СП ьпр ) е а \} (<)]

* \1 (;)]

ж

ж

1+1 () Кк

Учитывая подобные слагаемые относительно тока и его производной, получим:

£ (() =

Ьк + Ьпр +((сп ьпр ) е

а \ (()]

л

((П ЬПР )е

т

—вк

I

ьсот () _ ьпр + (ьсп ьпр ) е

где ЬСП - индуктивность СОТ в сверхпроводящем состоянии; ЬПР - индуктивность СОТ в проводящем состоянии; ТЬ - постоянная времени реагирования сверхпроводника.

Как следствие, возможное с математической точки зрения применение метода припа-совывания для решения задачи отыскания параметров электромагнитного переходного процесса при учёте индуктивности СОТ изображённой на рис. 4 функцией приведёт к погрешности в определении величин параметров переходного процесса из-за недоучёта физических особенностей изменения индук-

11.решение дифференциального уравнения электромагнитного переходного процесса

Уравнение (10) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением.

В общем случае неоднородное линейное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:

аХ+р

Решение такого уравнения находится в виде [12]:

-Г P(x)dx

у = е

Г Q (x )• е- P{x)dxаx + C

Преобразуем уравнение (9) к виду уравнения (11):

а [} (г )]

Кк -

(ьсп ьпр )'е

Т

йг

ьк + ьпр + (ьсп ьпр )'е

Е

* (г ) =

Ьк + ьпр + (ьсп ьпр ) • е

Таким образом, в виде общего случая неоднородного дифференциального уравнения (11) с заменой у на * и х на г:

Р ( ) =

е (г ) =

(ьсп ьпр )•е

Т

Ьк + ьпр +(ЬСП ьпр ) •е

Е

Ьк + ьпр + (ЬСП ьпр ) • е

Определим | Р (г). По выражению из [10] интеграл такого вида равен:

Г--—Т = г- — • 1п1а + Ь • е"|

: а + Ь • ер а а • р 1 1

Сгруппировав все константы в одну, получаем выражение для свободной составляющей тока замыкания:

|рг)аг=

—1п

Т + ТЬ '((к +ЬПР) •Т

Кк •г

ьк +ьпр

•щ

ьк +ьпр +((сп ьпр)е

+с

В итоге решение уравнения электромагнитного переходного процесса будет выглядеть в виде:

* (г) = е^ р(г)аг

где е (г ) =

| е (г )• ЛР(г )агаг+с

Е

Ьк + ьпр + (ЬСП ьпр ) •е

С - константа после взятия интеграла (определяется путём задания начальных условий решения задачи).

Если в выражении (19) заменить неопределённое интегрирование интегрированием в пределах от 0 до г, то получится решение, принимающее значение С при г = 0.

Решение уравнения легче всего получить с применением численных методов.

Ш.ТЕСТОВЫЙ ПРИМЕР ПО УДАЛЁННОМУКОРОТКОМУ ЗАМЫКАНИЮ

-1

Если а = ьк + ьпр , Ь = (ЬСП - ьпр ), р =— , то

Т,

I

ьк +ьпр +((СП ьпр )е

ьк +ьпр

•1п

ьк +ьпр +((п ьпр )•e

+с =

Т

ьк + ьпр

1п

ьк +ьпр +((п ьпр )•e

+с

Для схемы рис.1. заданы параметры схемы замещения

Источник:

Бном = 10 кВ.

КЛ:

Ькл = 0.1 Гн; Якл = 1 Ом.

СОТ:

ЬСП = 0, ЬПР = 0.5 Гн. Рассматривается случай для постоянных времени реагирования СОТ: Тц = 2 мс, ТЬ2 = 10 мс, ТЬ3 = 20 мс.

Режим: предшествующий режим - холостой ход, в момент времени г = 0 в сети происходит трёхфазное короткое замыкание.

Необходимо определить составляющие тока замыкания в ходе переходного процесса по построенной математической модели.

Все расчёты проводим в соответствии с моделью. Результаты расчётов иллюстрируем с помощью графических зависимостей для каждой постоянной времени СОТ в отдельности.

i • t

s 1/ h

Время, сек

-СОТ с ТЬ = 2 мс

— СОТ с ТЬ — 10 ыс •• СОТ с ТЬ — 20 ыс

Рис. 6. Изменение индуктивности СОТ в тестовой задаче при различных Ть.

?nr> j.V" ÎV v. 1 1 "il J y-

Время, сек

=-БеаСОТ — СОТсТЬ=2мс

---СОТ с ТЪ = 10 ыс

"«" СОТ с IX-20 мс

Рис. 7. Результирующий ток в цепи с токоогра-ничением с помощью СОТ и без него при различных Ть.

Построенная математическая модель не претендует на абсолютную объективность, хотя и построена в строгом соответствии с законами электротехники и математическими выражениями.

В случае иных исходных условий переходного процесса (фазы начала КЗ, учёта тока в цепи до начала переходного процесса) необходимо учесть граничные условия для времени ^ = 0, с целью выполнения закона коммутации.

Выводы

Показано, что ранее принимались допущения к параметрам СОТ, не позволявшие аналитически описывать электромагнитный

переходный процесс в электрической сети. На основании предложенной модели можно более точно по сравнению с допущением о мгновенном изменением индуктивности сверхпроводникового токоограничителя оценить время отключения выключателем тока короткого замыкания.

Приведённая математическая модель электромагнитного переходного процесса для сверхпроводникового ограничителя тока короткого замыкания учитывает такой параметр устройства как скорость нарастания (инерционность) индуктивного сопротивления по отношению к внешней сети при переходе из сверхпроводящего состояния в естественное проводящее состояние. Одновременно с этим модель учитывает и другие параметры - начальную и конечную величины индуктивности сверхпроводникового токоограничителя до начала и после окончания электромагнитного переходного процесса соответственно.

Благодарность

Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ, проект 8.6809.2017/8.9

Литература

[1] Kalsi S.S. [Applications of high temperature superconductors to electric power equipment]. New Jersey, John Wiley & Sons Inc., 2011, 312 p.

[2] Lutidze Sh.I., Dzhafarov E.A. Sverkhprovodiashchie transformatory [Superconducting transformers]. Moscow, Nauchtehlitizdat Publ., 2002, 206 p. (In Russian).

[3] Sytnikov V.E., Visotsky V.S., Rychagov A.V., Polyakova N.V., Radchenko I.P., Shutov K.A., Fetisov S.S., Nosov A.A. and Zubko V.V. 30m HTS Power Cable Development and Witness Sample Test. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2009, vol. 19, no. 3, p. 17021705.

[4] Yuhei Ohtsubo, Masataka Iwakuma, Seiki Sato, Kizen Sakaki, Akira Tomioka, Takeji Miyayama, Masayuki Konno, Hidemi Hayashi, Hiroshi Okamoto, Yoshihiro Gosho, Tohru Eguchi, Takashi Saitoh, Teruo Izumi, Yuh Shiohara Development of REBCO Superconducting Transformers With a Current Limiting Function—Fabrication and Tests of 6.9 kV-400 kVA Transformers. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2015, vol. 25, no. 3, Art. ID 5500305.

[5] Kozulin, A., Vinogradov A. Vysokotemperaturnye sverkhprovodnikovye transformatory - novoe pokolenie podstantsionnogo oborudovaniia [The high temperature superconducting transformers - a new generation of substation equipment]. Elektrooborudovanie: ekspluatatsiia i remont -Electrical equipment: operation and repair, 2008, no. 12, pp. 7-9. (In Russian).

[6] Manusov V.Z., Pavlyuchenko D.A., Ahyoev J.S. Analiz processov ogranicheniya tokov korotkogo zamikaniya transformatorom s vysokotemperaturnymi sverhprovodyaschimi obmotkami [Analysis of the Processes of Short-Currents Limiting by Transformer with High-Temperature Superconducting Windings]. Problemy regoinalnoy energetiki - Problems of the regional energetics, 2017, no. 1(33), pp. 1-7. (In Russian).

[7] Manusov V.Z., Miheev P.A. Superconducting fault current limiters saving rate [Proc. 3rd International forum strategic technology (IFOST-2008]. Russia. Novosibirsk-Tomsk, 2008. pp. 538-539.

[8] Gluskin I.Z., Dmiyrieva G.A., Misrihanov M.Sh., Narovlyanskiy V.G., Yakimets I.V. Sverkhprovnikovie tokoogranichivayuschie ustroistva i inductivnie nakopiteli dlya elektroenergeticheskih system [Superconducting current limiters and inductive energy storage for

electric power systems]. Moscow, Energoatomtizdat, 2002, 373 p.

[9] Stemmle M., Steurer M., Mclaren P. G., Muthumuni D., Foucher F. Transient studies of fault current limiters in ship power systems with PSCAD. Flux Magazine, 2005, no. 49, pp. 12-14.

[10] Qingqing Yang, Simon Le Blond, Fei Liang, Weijia Yuan, Min Zhang, Jianwei Li Design and Application of Superconducting Fault Current Limiter in a Multiterminal HVDC System. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2017, vol. 27, no. 4, Art. ID 3800805.

[11]Feng Zheng, Changhong Deng, Lei Chen, Shichun Li, Yang Liu, Yuxiang Liao Transient Performance Improvement of Microgrid by a Resistive Superconducting Fault Current Limiter. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2017, vol. 27, no. 4, Art. ID 3800805.

[12] Manusov V.Z., Miheev P.A. Matematicheskaya model elektromagnitnogo perehodnogo processa v electricheskih seti soderzhaschey sverhprovodnikoviy tokoogranichitel inductivnogo tipa [The mathematical model of the electromagnetic transient in electrical network containing inductive type superconducting current limiter]. Elektrotehnika - Electrical Engineering, 2008, no. 7, pp. 50-56. (In Russian).

Сведения об авторах.

Манусов Вадим Зиновьевич. Новосибирский государственный технический университет, кафедра системы электроснабжения предприятий, д-р техн. наук, профессор. Основное направление исследований: применение методов искусственного интеллекта для планирования и оптимизации режимов электроэнергетических систем. E-mail: Manusov36@mail.ru

Павлюченко Дмитрий Анатольевич. Новосибирский государственный технический университет, кафедра системы электроснабжения предприятий, кандидат техн. наук, доцент, заведующий кафедрой. Основное направление исследований: повышение энергоэффективности, качества функционирования и развития систем электроснабжения. E-mail: d pavluc@mail.ru

Михеев Павел Александрович. ОАО «Новосибирскэнергосбыт», кандидат техн. наук, начальник аналитического отдела. Основное направление исследований: продольное и поперечное токоограничение в электрических системах с помощью сверхпроводниковых устройств. E-mail: miheevpa@rambler.ru