О конически подобных течениях жидкости и газа. Часть I. несжимаемая жидкость

Том XXXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 2

№ 1—2

УДК 533.6.011.32

О КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Часть I. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ

А. П. БЫРКИН, В. В. ЩЕННИКОВ

Рассматривается однопараметрический класс конически подобных течений идеальной несжимаемой жидкости. Существенным моментом является введение в рассмотрение закрутки потока, сохраняющей исходную автомодельность.

Известно, что впервые понятие конического сверхзвукового течения было введено Буземаном применительно к сверхзвуковым течениям газа [1]. Коническое течение газа в области между присоединенным коническим скачком уплотнения и поверхностью конуса обладает свойством постоянства параметров течения вдоль образующих соответствующих конических поверхностей.

Представляется также интересным исследование конически подобных течений несжимаемой жидкости, а также сжимаемого газа при дозвуковых скоростях.

По-видимому, анализ внутренних конически подобных течений несжимаемой жидкости наиболее полно представлен в работе [2]. В ней для анализа автомодельности система уравнений Эйлера приведена к одному уравнению относительно функции тока. Предложенный вариант постановки краевой задачи для этого уравнения позволяет заключить, что по существу в работе [2] рассмотрена задача о конически подобных течениях, индуцированных закруткой жидкости в поперечном сечении ограничивающего конуса при выполнении условия непротекания на оси и его поверхности.

Не снижая значимости результатов, полученных в [2], заметим, однако, что по-прежнему остается открытым вопрос о существовании внешних конически подобных течений несжимаемой жидкости. Наконец, принципиальное значение имеет сопряженная задача, в рамках которой сопрягается пара конически подобных течений: внутреннего и внешнего.

В данной работе приводятся результаты численных реализаций построенного однопараметрического класса решений указанных выше задач. Эти решения описывают конически подобные (автомодельные) течения, вызванные гидродинамическими особенностями на оси симметрии [3]. Показано, что введение в рассмотрение закрутки потока порождает качественно новый тип вихревых течений — винтовые конические движения. Найденные в рамках этого типа течений кинематические инварианты позволяют преодолеть в процессе их численного расчета особенность, возникающую на оси течения.

К числу топологических особенностей конически подобных течений с закруткой, обнаруженных в численном расчете, относится появление конических фронтов, на которых

параметры течения терпят излом. В процессе счета эти особенности удается проходить (насквозь) с использованием кинематических инвариантов.

1. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА, ОПИСЫВАЮЩИЕ КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Будем рассматривать стационарные осесимметричные (в общем случае закрученные) течения несжимаемой жидкости. Уравнения Эйлера запишем в сферической системе координат г, 6, Ф [4] (рис. 1), учитывая, что д/дф = 0:

ды „и ду „ V

— + 2- +----+ Се0- = 0,

дг г гд0 г

ды ды V + м> др

'---------V V--------------------------—---------,

дг гдв г дг

ду ду иу др

и----+ V----1----с1£0— =---------,

дг гд0 г г гд0

дw дw uw „vw

и — + V---------+ — + Се0— = 0.

дг гд0 г г

Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными (отмеченными значком <<0>>) соотношениями

о

г

о

а

о

V

о

г —-

а — -

V — -

р =

о о р - Р()а

о

0 0 0 / где и , V , ^ — соответственно радиальная, нормальная к полярному радиусу (в меридиональном

плоскости) и окружная составляющие скорости, р — давление, р° — плотность, р°а —

постоянная; индекс 1 соответствует величинам на луче 0 = 01 на расстоянии г° от начала

координат, нижние индексы 0, а — параметрам соответственно заторможенного потока и на бесконечности.

о / і

Рис. 1. Линии тока

Будем искать решения системы (1) в виде

о

о

о

о

а

ы

ы

1

р

u

r a r r r

где a, p — параметры.

Подстановка зависимостей

(2-a) U + V'+ V ctg в = 0,

-aU2 + V U'- (V2 + W2) = 2a P,

-aUV + VF'+ UV - W2 е^в = -P'

-a UW + VW'+ UW + VW ctge = 0.

Начальные условия для системы (3) запишем в виде

Щво = U1=1, V

где V1, W1, P1 — задаваемые величины, при этом в общем случае V1^0.

Таким образом, система уравнений Эйлера (1) допускает однопараметрический класс (a — свободный параметр) автомодельных решений. Как следует из формул (2) , свойством течений, описываемых этими решениями, является наличие связей между компонентами вектора скорости

и давлением на лучах в = const (v/u = const, w/u = const, p/u2 = const), которые характерны для

конически подобных течений.

Указанные связи на лучах ф = const присущи и плоским автомодельным течениям жидкости [5], в которых законы изменения составляющих скорости и давления от полярных координат r и ф совпадают с

В осесимметричных конических сверхзвуковых течениях газа, описываемых решением Буземана [1], сами газодинамические величины постоянны на лучах в = const, так что указанные выше связи между составляющими скорости на них выполняются автоматически.

Отметим, что связь между собой характеристик потока на лучах в = const или ф = const имеет место также в автомодельных течениях вязкой несжимаемой жидкости и газа, описываемых полными уравнениями Навье — Стокса [6] — [10].

При фиксированных в1, V1, W1 характер конического течения определяется значениями

параметра a и приведенного давления Pl = [р° - pO^j / р0 [u° j в заданной точке течения 1. Величина Р1 характеризует степень отличия полного давления p°°i = р° [ rf. в! j в точке 1 от полного давления на бесконечности р0^ . Так,

P°°i -Р°°»=р , 1 + Vi2 +

2 1

Отсюда следует, что при Р1 = —^1 + V2 + Щ2 ) /2: р^1 = р0«,, при Р1 >—^1 + VI2 + Щ[21 /2: Р01 >Ро<» и при Р1 <_^1 + VI2 + Щ21/2: р°1 <р0^ . Таким образом, при значении приведенного

давления Р_ =— ^1 + У2 + Щ21 /2 полное давление будет постоянным во всей области течения, а

2

при Pf Ф - [l + Vf2 + W2 j /2 оно будет различным на разных линиях тока (в случае a=0 параметр Р1

может принимать только значение - [l + V2 + Щ2 j /2).

Укажем некоторые свойства конически подобных течений с закруткой, описываемых решениями системы (3). Из первого и четвертого уравнений (3) при исключении величины U приходим к уравнению:

1 [V sin ej 1 [W sin ej

2 -a V sin в 1 -a W sin в

интегрируя которое, получаем при aФ2 первый инвариант

1-a

Wsinв = Г[±Гsinej2-a .

Здесь Г — константа, определяемая начальными данными (4) при в = в1; знак в формуле совпадает со знаком величины V. Отсюда при a = 1 следует W = Г^тв. При a = 2 независимо от степени закрутки из первого уравнения системы (3) получаем V = D/ sM, D = const.

Соотношение (5) свидетельствует о «вмороженности» поля окружной составляющей скорости в поле нормальной составляющей скорости.

Как будет показано ниже, для решений (3) с условиями (4) имеем V sM= const при в ^ 0. Из (5) при этом следует, что и W sM = const при в ^ 0. Последнее (в отличие от постановки автомодельной задачи в [2]) свидетельствует об отсутствии сингулярности на лучах в = 0 и л, присущей автомодельным уравнениям.

Далее, из трех последних уравнений системы (3) следует второй инвариант

U2 + V2 + W2 const

P +---------Z-------=-----------~ъГ,

[±V sin j 2-a

где значение постоянной определяется начальными данными (4). Очевидно, что в случаях потенциального и винтового течений ее значение равно нулю.

Таким образом, для определения искомых функций и, V (с учетом (5), (6)) и решения всей задачи в целом остается проинтегрировать лишь систему первых двух уравнений (3).

Другой подход, используемый при получении численных решений системы (3) с начальными условиями (4), состоит в следующем. Продифференцируем второе уравнение и, используя третье уравнение, исключим величину Р'. В результате получаем соотношение

2а[и' — (1 — а)У~р + 2Щ (Щ' + а ЩС§0) — [и' — (1 — а)Г]Г и -(1 -а)У + р ’

которое будем использовать вместо второго уравнения системы (3) при численном ее решении с начальными данными (4).

Уравнение линий пересечения поверхностей тока с меридиональной плоскостью ф = 0 (при отсутствии закрутки они совпадают с линиями тока) определяется уравением

Ф Ы 0

и V

Его интегрирование с учетом первого уравнения системы (3) дает

const

г =-------------—.

[V sin ej 2-a

1.1. РЕШЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПОСТОЯННОГО ПОЛНОГО ДАВЛЕНИЯ

Для этого случая рц - Ро<» и приведенное давление равно

P = P (в1) = -

1+V2 + w2

2

Запишем далее второе уравнение системы (3) в форме

-2a

U2 + V2 + Щ2Л P +--------------

VU'-[1 -aj[V2 + W2 j

= 0.

Поскольку при условии р°1 - р°х справедлив интеграл Бернулли — Эйлера, получаем

P -

U2 + V2 + W2 2

= 0.

Тогда выражение в квадратных скобках (инвариант) будет равно нулю

т — (1—а) (V 2 + Ж2) = 0.

Исходя из (9), представим V в виде

V = -

a-1 V

После подстановки полученного выражения для V в третье уравнение системы (3) и последующего его интегрирования также приходим к формуле (8).

Как следует из векторной записи уравнений движения в форме Громеки — Ламба [11], при наличии закрутки условие (8) может иметь место, если векторы скорости и и завихренности ё = rot/7 коллинеарны.

При 3/3ф = 0 и условиях (2) компоненты вектора завихренности записываются в виде [4]

1 А[ w sin 0j = a./. „ [W sin в/ .

r sin в 3в

гa+1 sin в

•On = --

1 3 [rw sin вj=—a+- [1 -ajW.

r sin в 3r

°ф=-

r

3[rvj 3u 3r 3в

[(1 -a)V - U' ]

Or =

r

и отличны от нуля.

Непосредственной проверкой убеждаемся в коллинеарности векторов й и та . Так, с учетом соотношения

W 2

U-[1 -aV = [1 -aj —,

являющегося следствием инварианта (9), и выражения для U

V [W sin вj [1 -aj W sin в

получаем

or _ ов _ °ф _ [1 -aj W_

u v w r V

Как известно из [11], течения, обладающие такими свойствами, называются винтовыми. а) Безвихревые течения при отсутствии закрутки. При отсутствии закрутки (W = 0) и произвольном значении a инвариант (9) принимает вид

U' - (1-a)V = 0.

Отсюда видно, что рассматриваемые ниже течения будут безвихревыми.

Используя выписанное выше соотношение, первое уравнение системы (3) представим в

виде

U" + ^в U +

Данное уравнение является уравнением типа Лежандра, которое будем решать при различных значениях свободного параметра a с начальными данными

U

Первое из этих условий есть следствие нормировки, второе — вытекает из (9).

Проведен анализ полученных при некоторых значениях параметра a решений уравнения (11) с условиями (12) и описываемых ими течений. Эти решения удовлетворяют условию непротекания (V1=0) на коническом фронте в = в1 = в0.

Случай a = 0. При в1 = 0 решение уравнения (11) U=tos(, V= -sM. Оно описывает однородное течение жидкости с линиями тока, параллельными лучу в = 0.

При в1 = л/6 решение описывает внутреннее (в < в1) и внешнее (в > в1) течения, вызванные распределенными вдоль лучей в = 0 и в = л источниками (стоками), интенсивность которых (на единицу длины) возрастает в зависимости от r по линейному закону (q~r).

Анализ полученного при в1 = л/6 численного решения показал, что радиальная составляющая скорости U в окрестности значения в = 0 для внутреннего и в = л для внешнего течений в зависимости от величины в (или S = л - в) изменяется по логарифмическому закону. Из первого уравнения (3) с учетом представления Vsi^ = const при в ^ 0 следует, что отношение U/V при в ^ 0 (или S ^ 0) стремится к нулю.

На рис. 1 для значения в1 = л/6 представлены рассчитанные линии тока, отвечающие внутреннему (в < в1) и внешнему (в > в1) течениям. Здесь и ниже x = r cos(, y = r sM.

Случай a=1. В данном случае из уравнения (9) при W = 0 и первого уравнения (3) получаем

U = 1, V =cos в-cos в1 ,

sin в

а уравнение линий тока (7) принимает вид r(cosв - cos в1) = const. При в1 = 0 это решение описывает течение, вызванное распределенными вдоль луча в1 = л источниками (стоками) постоянной интенсивности. На рис. 2 приведена рассчитанная картина линий тока, отвечающая значению в1 = 0.

Отметим, что при в1 = л/2 уравнение линий тока

r cos( = x = const,

т. е. решение (13) описывает течение от плоского источника (стока).

Случай a=-1. При в1 = 0 имеем решение:

и -1- [3оо8 ( 20) +1], V-— ( 20) ,

которое описывает безвихревое осесимметричное течение с критической точкой в начале координат. Соответствующие линии тока показаны на рис. 3.

Случай а=2. В этом случае решение уравнения (11) и = 1, V = 0 описывает радиальное течение от пространственного источника (стока). При условии ^0^ Ф 0 решением уравнения (11) будет: V = С/8т0, и = 1и^0/2| + В, где С, В — константы. Это означает, что в данном случае луч 0 = 0 является линией источников, а луч 0=л — линией стоков (или наоборот). Соответственно линии тока исходят из луча 0 = 0 и подходят к лучу 0 = л.

и= 1 >-*

I " 1---- ---‘ 1----------1--------*"Г---------1-----—(--------------г

-2 0 2 4 6

Рис. 2. Линии тока

а)

(/ = ^[Зс<м(2е) + 1]

[/ = -|8‘п

Рис. 3. Распределение и, Vпо 0

Завершая анализ результатов расчетов безвихревых течений при отсутствии закрутки, отметим, что решения уравнения (11) для U(0) с условиями (12) совпадают при значениях а=1 и 2, а=0 и 3, а= -1 и 4 и так далее. Однако вид функции V(0) разный в соответствии с условием (9) при W = 0. По этой причине будет разной и топология этих течений (сравним случаи а = 1 и 2 при U = 1).

б) Безвихревые закрученные течения. При значении а=1 и наличии закрутки существует решение системы (3) с условиями (4) (при р =— (l + V2 + W2 j/2), примечательное тем, что оно

описывает безвихревое конически подобное течение. Последнее следует из уравнений (5), (9) и соотношений (10) для компонентов вектора завихренности при W = T/sin0, U = 1. Выражение для V(0) получаем из первого уравнения (3) с учетом U=1.

При этом независимо от закрутки имеет место связь

_ V sin 01 + cos 0 — cos 01

sin 0

Отсюда следует, что существует конический фронт 0 = 0О, на котором реализуется условие непротекания — V(0O) = 0. Значение 0О = arccos(cos01 — V1sin01), при V1=0 получаем 0О=01.

Для иллюстрации на рис. 4 для 01=л/6 и U1 = V1 = W1 = 1 сплошными линиями показан фронт

0О = 1,1965 и линии пересечения поверхностей тока с плоскостью ф = 0.

о 1 2

Рис. 4. Линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0

Приведем пример безвихревого закрученного течения при а=1 с другими начальными условиями:

—

0, = -, и = 0, VI = 1, Wl = г.

1 2

В качестве масштаба скорости используется величина V0 ^г,, 0, |.

В отличие от течения, описанного выше, оно имеет иную топологию. Так, и = 0, ¥(0) = 1/8Ш0, Ш(0) = Г/8Ш0, а линии пересечения поверхностей тока плоскостью ф = 0 будут дугами окружности. При этом лучи 0 = 0 и 0 = л будут линиями вихреисточников (стоков).

в) Винтовые конические течения. Приведем примеры рассчитанных винтовых конических течений, отвечающих заданным значениям параметров а и 01. Как указывалось выше, условием реализации винтовых течений является требование выполнения условия

Случай а=0, в1=л/6. По данным численного расчета на рис. 5, а представлены полученные распределения и(0), ¥(0) и Ш(0), отвечающие значениям и1= У1= Ш1=1, Р1= -1,5. При этом существует конический фронт 0 = 0О = 0,8400, на котором ¥(0О) = 0. При отсутствии закрутки в безвихревом варианте течения и' (0О)=0 (см. (9)), при ее наличии величина и'(0О) Ф 0; из уравнения (5) при этом следует Ш(0О)=0, а функция \Ш' (0) да при 0 ^ 0О, как следует из

четвертого уравнения системы (3).

На рис. 5, б показаны линии пересечения поверхностей тока рассмотренного винтового течения с плоскостью ф=0. Течение обусловлено вихреисточниками (стоками) с переменными вдоль луча 0=0 интенсивностями источников (стоков) q~r и циркуляции у~г.

Случай а=0, в=л/2. Рассмотрим другое решение при а = 0, которое отличается от предыдущего как значением 01, так и начальными данными, а именно: и1 = О, ¥1= 1, Ш1 = Г,

1 + V2 + Щ2

а)

в

а=0

01=71/6

1/1=у,=щ=\

У

\

о

2

Рис. 5. Распределение и, ¥, Шпо 0

)/2 = -(1+ Г2 ) /2

В этом случае, P(0) = P = const, поскольку из уравнений (3) следует, что P' (0i) =

=P"(01) = . . . =P”(01) = 0 при n ^ да .

Из уравнения (8) тогда вытекает

U2 + V2 + W2 = U2 + V2 + W12 = 1+ Г2 = Q2 .

Последнее свидетельствует о том, что модуль скорости Q постоянен в области течения. С учетом полученного результата инвариант (9) представляется в виде

Уи'= V2 + Ж2 = Q 2 - и 2 ,

который с использованием первого уравнения (3) запишем следующим образом:

Q2 - и2 (V sin 0) '

Интегрируя это уравнение, получаем с учетом начальных условий при 0 = л/2

и2 = Q2 (1 - Vsin0) = (1+Г2) (1 - Vsin0).

Выражение для функции Ж 2

2 2 V

W =Г2--------

sin 0

С учетом выписанных выше соотношений окончательно получаем

V = Q2 sin0—Г— = (l + Г2 )sin0—-

Отметим, что при отсутствии закрутки (Г = 0, Q = 1) найденное решение описывает однородное и параллельное оси 0 = 0 течение, в котором и = - cos0, V = sin0.

Из последнего уравнения, в частности, следует, что существуют два значения 00, определяющие конические фронты, на которых выполняются условия непротекания. Так, полагая V = 0, получаем

При этом Ж(0О) = 0, а значение Ж' (0) ^ ± да при 0 ^ 0О. Областью существования решения будет 001 — 0 — 002.

Для значения Г = 1 на рис. 6, а и б приведены распределения и(0), Н(0), Ж(0) и показаны линии пересечения поверхностей тока с плоскостью ф = 0. В данном случае 0О1 = л/4, 0О2 = 3л/4.

Случай а= - 1. Для указанной величины параметра а и значений 01=л/6, и1=Н1=Ж1= 1 на рис. 7, а и б приведены профили и(0), Н(0), Ж(0) и картины линий пересечения поверхностей тока рассчитанного винтового течения с плоскостью ф = 0. По сравнению с предыдущими примерами (например, при а= 0), в данном случае на коническом фронте 0 = 0О = 0,7371 величина

0О1 = arcsin

U' (0о)=О согласно (5), (9).

1.2. КОНИЧЕСКИ ПОДОБНЫЕ ТЕЧЕНИЯ С РАЗЛИЧНЫМ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ НА РАЗНЫХ ЛИНИЯХ ТОКА

Как отмечалось выше, для решений, описывающих указанные течения, выполняется условие Р-1 Ф Ф- (1 + V2 + Ж21 /2. При этом конически подобные течения с

различным полным давлением на разных линиях тока являются вихревыми при отсутствии и наличии закрутки потока.

В качестве примера на рис. 4 для значения величины а = 1 при 01=л/6, и1=Н1=Ж1=1 показано влияние

параметра Р1 на топологию течения с

закруткой потока. Видно, что линии пересечения поверхностей тока с

плоскостью ф=0 при Р1=— 3 (полное

давление

отличаются

р01 < р0да )

радикально случая Р1= -1,5

(Р01 = Рода), отвечающего безвихревому случаю. При Р]= -3 линии тока исходят из луча 0 = 0 и замыкаются на луче

Рис. 6. Распределение и, V, Ж по 0

0 = л. При Р1 = 0 (р01 > р0х) течение, вызванное распределенными вихреисточниками на луче

0 = 0, реализуется в ограниченной области 0 < 0О (0О = 0,8136, У(00)=0), причем и(0)^да при 0^0о-

Аналогичные данные для а=—1 при 01=л/6, и1=У1=1, но в отсутствие закрутки (Ж1=0), приведены на рис. 8. При значении Р1= — 1 (р° = р0о, р0о — полное давление при г = 0), отвечающем безвихревому течению, имеются два конических фронта 001= 0,7647 и 002= 2,1108, на которых выполняются условия непротекания У(00) = 0 (соответствующие линии тока показаны сплошными линиями). Данное течение обусловлено распределенными источниками на луче 0 = 0 и стоками на луче 0 = л.

При значении Р1=—2 (р^п < р^) течение вызвано распределенными источниками на луче 0=0. Оно реализуется внутри конуса с полууглом раствора 00=О, 7236, на стенках которого выполняется условие непротекания; при этом и' (0) ^да при 0^00 (линии тока для этого случая показаны штриховыми линиями).

Значению Р 1=0 (р^ > р°0) соответствуют линии тока, показанные штрихпунктиром. В данном случае течение также вызвано распределенными источниками на луче 0 = 0. При этом суще-

Рис. 8. Линии тока

ствует конический фронт 00=2,9336, на котором выполняется условие непротекания, причем и'(0) ^ — да при 0 ^ 00.

2. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ

ПОДОБНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

По аналогии с п. 1 рассмотрим в рамках уравнений Эйлера закрученные течения, описываемые в цилиндрической системе координат х, г, ф (З/Зф = 0),

Зи Зу V „ Зи Зи Зр Зу Зу м2 Зр Зw Зм ум ^

— + — + - = 0, и — + V— = ——, и — + V-= ——, и — + V— + — = 0.

Зх Зг г Зх Зг Зх Зх Зг г Зг Зх Зг г

Здесь х, г — безразмерные координаты, а и, V, ^ — соответственно безразмерная продольная, радиальная и окружная составляющие скорости.

Предполагая далее, что гидродинамические функции рассматриваемого течения изменяются в зависимости от х и г по законам

и

где у — свободный параметр, исходную систему (14) редуцируем к системе обыкновенных

дифференциальных уравнений

У 9 Ж2 УЖ

,и + У + - = 0, ,и2 + Уи' = -2уР, ,иу + УУ'-= -Р', ,иж + УЖ' +-= 0.

г гг

Начальные данные для системы (16) запишем в виде

Щг0=1, У

где г1 — приведенная (отнесенная, например, к единичному линейному размеру) поперечная

координата в начальном сечении х = 0, У1, Жь Р1 — задаваемые величины, причем У1 # 0. Исключая с помощью первого и четвертого уравнений системы (16) величину уги, получаем

(гЖ)' _(гУ)'

гЖ гУ Интегрирование данного уравнения дает

Ж = кУ,

где к — постоянная.

Выражение (18) означает, что поле окружной составляющей скорости Ж «вморожено» в поле радиальной скорости У.

Подход, используемый при получении численных решений системы (16) с начальными данными (17), аналогичен примененному в пункте 1. В результате получаем следующее соотношение:

2 У2

2

2у(и'-,У)и + (и'-,У)У' + 2,к2 " и " = ,У ' --

У

которое и будем использовать вместо второго уравнения системы (16).

Рассмотрим сначала режим течения, для которого Р(г\)=Р\= -(1+У12+Ж12)/2, т. е. полное давление постоянно во всей области течения.

Записав второе уравнение системы (16) в виде

и2 + У2 + Ж2Л

Р +------------

2

V

(и' -,У)У -,Ж2

= 0

и принимая во внимание интеграл Бернулли — Эйлера в форме

и2 + У2 + Ж2

Р + и +У Ж = 0,

выражение в квадратных скобках необходимо положить равным нулю

Отсюда, представив У в виде

та, = —

= -е ух (уЖ),

_ и' Ж2 ~~у V ’

после подстановки этого соотношения в третье уравнение и последующего его интегрирования вновь приходим к соотношению (19).

Данный результат не противоречит второму уравнению системы (16) и исходному условию постоянства полного давления в течениях с закруткой.

При этом векторы скорости й и вихря та с составляющими

тах = I £М = * у. Ж + Ж

г дг

1 д( гм>') г дх

ду ди ух , тг тт,ч

та* = &-!Т-е

должны быть коллинеарны.

В этом убеждаемся непосредственной проверкой. Так,

тах = та = таФ=-^ у . и V w

При доказательстве данного факта привлекалось условие (20). Течения, обладающие этими свойствами, являются винтовыми [11], [12].

2.1. ТЕЧЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМ ПОЛНЫМ ДАВЛЕНИЕМ

У словием реализации данных течений будет ^ = -(1 + у2 + Ж2 ) /2.

Рассматривая случай отсутствия закрутки (Ж = 0, к = 0), из первого уравнения (16) с учетом условия (20) приходим к уравнению

и' 9

и" + — + у2и = 0,

г

которое является уравнением Бесселя нулевого порядка первого рода.

Решением уравнения (21) с начальными данными

^

является цилиндрическая функция Мг), так что и(г)=^(г), У(г)=и'(г)/у. На рис. 9 представлена картина линий тока течения, описываемого решением (21) при у=1.

Рис. 10. Линии сечения поверхностей тока плоскостью ф = 0 цилиндрически подобных автомодельных течений

На рис. 10 сравниваются картины линий пересечения с плоскостью ф=0 поверхностей тока цилиндрически подобных автомодельных течений при отсутствии и наличии закрутки, полученные на основании решений системы (16) с условиями (17). Данные этих расчетов соответствуют параметру у=1, значению ^=0,5 при и1 = V = 1, Ж1 = 0, Р1 = -1 и и1 = V = Ж1=1, Р\ = -1,5. При наличии закрутки (Ж1 = 1, к=1) рассмотренное автомодельное течение является винтовым. Картины линий тока на рисунке показаны только для приосевой области течения. Ширина этой области определяется первым значением г = г0, при котором выполняется условие непротекания У(г0)=0.

Отметим, что при у=0 (д/дх=0) будем иметь случай с вихреисточником (стоком) на оси (г=0) и и = СОИ81=1.

3. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ

Рассмотрим плоские течения при описании их в полярной системе координат г, ф. По аналогии с пространственными течениями будем рассматривать решения вида

и {г, ф) = -^7^, V

г г г

где и, V, р — безразмерные величины, в — свободный параметр.

При этом уравнения Эйлера сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

(1 - e)UV + VV'= -P'

Начальные условия для системы (24) запишем в виде

U

где V1, P1 — задаваемые величины.

Очевидно, что интегралом системы (24) является условие

P = P1 = const.

В предположении безвихревого характера течения (р = -(1 + V2 ) /2), когда справедлив интеграл

Бернулли — Эйлера и выполнено соотношение P + (U 2+V 2)/2=0, из второго уравнения (24) следует

U' = (1 - в )V.

С учетом найденного выражения из первого уравнения (24) получаем линейное

дифференциальное уравнение для определения функции Щф)

U"+

Общее решение этого уравнения и задачи в целом будет

U = A cos (| 1 - в | ф) + Bsin (| 1 - в |ф),

Л' ll - в I

V=^Т7)

В частности, для значения в = 0 при ф1 = 0, U1 = 1, V1 = 0 имеем A = 1, B = 0. Тогда U = cos ф,

V= -sin ф, т. е. полученное решение описывает однородное течение, параллельное лучу ф = 0.

Отметим, что следствием условий P + (U 2 + V 2)/2 = 0 и P=P1 является интеграл U 2 + V 2 = = const.

Изложенные выше результаты относятся к безвихревому течению и известны [5]. Система (24) допускает, однако, при Pi Ф -(l + V2 ) /2 решения, которые описывают течения с различными

значениями полного давления на разных линиях тока.

Так, рассмотрим случай в = 1, когда возможно получение аналитического решения системы (24). Имеем V=V1, P=P1, тогда уравнение для определения искомой функции Щф) принимает вид

( 2Р1 + у2 ) + U2

U ' = ^------------.

V

На рис. 11 сравниваются линии тока плоского течения, описываемого при условиях = 1, ф1 = -л, U1 = 1, V1 = -1 решением (28) - U(ф)=1, V(ф)= -1 (которое отвечает значению

Р1 = -(1 + V2 )^2 = -1), и течения, описываемого при условиях в= 1, ф1 = 0, U1 = V1 = 1 решением (29) - U = U (ф), V = 1 (которое отвечает P1 = -1,2). Течение, соответствующее решению (28),

Рис. 11. Линии тока плоских автомодельных течений

вызвано вихреисточником и имеет линии тока в виде логарифмических спиралей. Течение, соответствующее решению (29), имеет линии тока типа двойной спирали — скручивающейся и раскручивающейся. Таким образом, как и в конических течениях, параметр Р\ оказывает качественное влияние на топологию плоских автомодельных течений.

В заключение отметим, что результаты исследований конически подобных течений сжимаемого газа будут изложены отдельно в части II.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буземан А. Осесимметричное коническое сверхзвуковое течение/Сб. переводов статей «Газовая динамика».— М.: ИЛ.— 1950.

2. Fernandez - Feria R., Fernandez de la Mora J., Perez - Sabo-rid M., Barrero A. Conicaly similar swirling flows at high Reynolds numbers//Quarterly J. of Mechanics and Applied Mathematics. - 1999. Vol. 52, № 1.

3. Быркин А. П., Щенников В. В. Новые представления конических течений/Сб. трудов Всероссийской научно-технической конференции «Фундаментальные исследования для гиперзвуковых технологий».— ЦАГИ.—1998. Т. 2.

4. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. - M.:

Физматгиз.— 1963.

5. Ламб Г. Гидродинамика. - М. - Л.: ГИТТЛ.— 1947.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. - М. - Л.: Гостехтеориздат.— 1944.

7. Яцеев В. И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости// ЖЭТФ. - 1950.— Т.20, вып. 11.

8. Squire H. B. The round laminar jet// Mechanics and Applied Mathematics.—1951.

Vol. 4, pt. 3.

9. Щенников В. В. Об одном классе точных решений Навье — Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа// ПММ. - 1969. Т. 33, № 3.

10. Быркин А. П. О точных решениях уравнений Навье — Стокса для течения сжимаемого газа в каналах//Ученые записки ЦАГИ. — 1970. Т. I, № 6.

11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Физматгиз.— 1970.

12. Васильев О. Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков. -М.— Л.: Госэнергоиздат.— 1958.

Рукопись поступила 7/X1999 г.

71