О методике исследования функций в школе и вузе в контексте фундаментализации математического образования

А. Д. Новиков

О методике исследования функций в школе и вузе в контексте фундаментализации математического образования

В настоящей статье в результате тщательного анализа выявлены существенные противоречия в методике исследования функций на возрастание и убывание в средней школе и вузе. Показана неустранимость этих противоречий в рамках традиционного подхода к исследованию функций. В аспекте фундаментализации математического образования предложена альтернативная методика исследования функций, основой которой является непротиворечивая система определений и инструментарий исследования.

In this article a careful analysis revealed significant inconsistencies in the methodology of research functions on the increase and decrease in high school and college. Shown inevitability of these contradictions in the traditional approach to the study of functions. Proposed in the aspect of fundamentalization of mathematical education of an alternative method of study functions, the basis of which is the consistent system of definitions and appropriate tools of research.

Ключевые слова: исследование функций, фундаментализация математического образования, возрастание и убывание функций.

Key words: research functions, fundamentalization mathematical education, the increase and decrease features.

Всемирная глобализация, стремительное расширение информационного пространства и насущная потребность стран в развитии инновационных технологий в современном мире обусловили особую актуальность наращивания научного потенциала, и, в частности, через непрерывную модернизацию подготовки специалистов высокой квалификации. Однако, согласование образовательных систем различных стран существенно осложняется различиями образовательных стандартов, уровней образования и качества учебных программ. Для решения возникающих при этом проблем европейские страны решили образовать единое Европейское пространство высшего образования к 2010 г. В качестве первого шага в этом направлении была составлена Болонская декларация, которую подписал представители, ответственные за образование в 29 странах Европы (19 июня 1999 г.). В декларации указывается на ведущую роль университетов в укреплении интеллектуального, культурного, социального, научно-технического потенциала, а также создании общей базы «европейских знаний».

В качестве основных целей декларации были провозглашены: принятие единой системы академических степеней; принятие системы, которая основывалась бы на учебных программах двух уровней, ведущих к получению степеней бакалавра и магистра; устранение препятствий

для свободного передвижения студентов, преподавателей, а также исследователей и работников сферы высшего образования; формирование европейской системы обеспечения качества.

Одним и важнейших условий, обеспечивающих высокое качество образования, является непрерывный процесс его фундаментализации. Фундаментализация общего и высшего образования - это сложный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации и её методики обучения и воспитания.

Фундаментализация математического образования в высшей и старших классах средней школе предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин, новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Существенную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. При этом методами методики преподавания математики можно не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и обновлять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем, или иным причинам начинают входить в противоречие с современным её содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной теории - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов к изложению некоторых тем и разделов математики.

Обновление школьного курса математики введением элементов математического анализа позволило не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Однако, использовав понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позднее понятий убывающей и возрастающей функций, нам удалось разработать новую концепцию и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.

В учебниках математического анализа и высшей математики под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [1]) под этими множест-

вами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме этих промежутков находят также отдельные точки возрастания и убывания функции. Покажем далее, что в обоих случаях такая постановка задачи исследования функций неизбежно ведёт к неустранимым противоречиям, искажающим результаты исследования.

Заметим также, что такие отличия в постановке основной задачи исследования функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе появились лишь в конце 80-ых годов прошлого столетия, когда понятия точек возрастания и убывания функции были без какого-либо анализа и объяснения причин изъяты из учебников алгебры и начал анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в средней школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.

Следующий пример наглядно подтверждает сказанное выше. Удивительно, но современный выпускник средней школы оказывается не в состоянии правильно исследовать на убывание и возрастание даже следующую, довольно простую функцию

У =

—, х ф 0, х

0, х = 0.

В самом деле, старшеклассники, в качестве результата исследования этой функции напишут, что она убывает на промежутках (-¥. 0) и (0, + ¥). При этом точку области определения функции х = 0

(точка возрастания) они никак не классифицируют, поскольку не знакомы с понятиями точек убывания и возрастания функции, которые, как было сказано выше, были изъяты из школьных учебников математики. А кроме того эта точка не принадлежит ни одному из промежутков убывания функции. И лишь студенты вузов, изучающие полные курсы математического анализа, смогут классифицировать эту точку.

Этот контрпример позволят сделать нам следующий вывод: изъятие из учебников алгебры и начал анализа понятий точек убывания и возрастания функций необосновано, поскольку привело к невозможности полноценного исследования функций на убывание и возрастание. И второй вывод, вытекающий из первого состоит в необходимости восстановления этих понятий в учебниках алгебры и начал анализа, хотя бы в том объёме, в котором это было впервые сделано А. Н. Колмогоровым ещё в 1978 г. в его учебном пособии по алгебре и началам анализа для 9 класса средней школы.

Рассмотрим теперь наиболее существенный изъян традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание.

В статье [2], А.Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, пишет " ... одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции". И далее приводится пример исследования на монотонность функции у = х2. По его мнению, исследование

функций на монотонность должно сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания (см., например, [1]). Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (-¥; 0] и возрастает на

полуинтервале [0; + ¥>).

Критически относясь к этому выводу, проанализируем метод получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве

к функции у = х2 с областью определения (-¥; 0], а вторая - в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х2 и областью определения [0; + ¥>). Другими словами, исследуется не функция у = х2 с областью определения (-¥, + ¥), а две другие функции: у = х2 с областью определения (-¥, + <ю) и у = х2 с областью определения (-¥, + <ю). Спрашивается, а где же исследование заявленной функции у = х2 с областью определения (- ¥, + да)? Его

просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект - исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функций, нельзя заменить исследование данной функции. Ведь, хотя эти три функции и задаются одинаковой формулой, но они имеют различные области определения и потому - различны.

Применив же определения монотонных на множестве функций к исследуемой функции у = х2 с областью определения (-¥, + ¥), получим: функция у = х2 с областью определения (-¥, + ¥>) не является монотонной. Таким образом, исследуемая на возрастание и убывание функция у = х2 с областью определения В(у) = (- ¥, + да) так и остаётся

неисследованной.

Сказанное выше подтверждает также исследование на возрастание

и убывание дифференцируемых функций. Например, функция у = —

х

имеет производную у' = —1- < 0 на всей области определения данной

х

функции В = (-¥, 0)и (0, + ¥). Следовательно, эта область В и является областью её убывания, под которой понимается множество точек, в каждой из которых данная функция убывает. И в то же время функция

У = — с В(у) = (-¥, 0)и (0, + ¥) не является убывающей, так как не

х

удовлетворяет соответствующему определению убывающей функции. Тем не менее, говорить, что эта функция является убывающей на промежутках (- ¥, 0) и (0, + ¥) бессмысленно, поскольку тогда, на самом

деле, речь пойдёт уже о двух других функциях у = — с областью опре-

х

деления В = (-¥, 0) и у = — с областью определения (0, +¥>).

х

Опираясь на изложенное выше, приходим к двум выводам:

1) Традиционная постановка основной задачи исследования функций на возрастание и убывание некорректна, поскольку поиск промежутков возрастания и убывания функции автоматически приводит к потере объекта исследования;

2) инструментарий исследования функций на убывание и возрастание (определения монотонных функций) недостаточен, поскольку он позволяет исследовать только монотонные функции.

Поэтому мы предлагаем исследовать функции на возрастание и убывание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования определение областей возрастания и убывания функций [4].

Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.

В [3, с. 224] и [6, с. 175] приведены определения точек возрастания и убывания функций, использующие понятие 8-окрестности точки. Однако в силу симметрии 8 -окрестности относительно исследуемой

точки при исследовании дискретных функций Рис. — с её помощью далеко не всегда удаётся найти все точки возрастания

функции, что показывает следующий пример.

Пусть требуется выяснить, является ли точка х = 1 точкой возрастания функции / (х) = х2 с областью определения

В(/) = {- 3; - 2; -1;0;1;3}. Найти области возрастания и убывания

данной функции.

В этом примере (см. график на Рис.1) определение точки

возрастания функции на основе понятия 8 -окрестности точки не позволяет классифицировать точку х = 1 как точку возрастания данной функции, поскольку не существует такой 8-окрестности этой точки, в которой

А кУ

10' • ' •

5' •

• 1 • •

1  “ х

/(х1) < /(х) < /(х2), где х1 е(1 -8;1) и х2 е(1;1 + 8). В то же время, как видно, например, из графика данной функции точка х = 1 есть точка возрастания заданной функции. Этот пример позволяет сделать вывод, что определения точек возрастания и убывания функций, базирующиеся на понятии 8 -окрестности, успешно позволяют находить эти точки только при исследовании непрерывных функций и беспомощны в случае дискретных функций. Если же обобщить эти определения, заменив в них понятие 8 -окрестности на понятие окрестности, которая может быть и несимметричной относительно исследуемой точки, то точка х = 1 в рассмотренном выше примере будет классифицирована как точка возрастания функции. Сформулируем обобщённые определения точек убывания и возрастания функции.

Определение 2. Точка х0 области определения функции У = /(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (х0-81, х0 +82), в которой /(х) >/(х0) при х<х0, хеВ(/) и

/(х)</х при х > х0, х е В(/).

Определение 3. Точка х0 области определения функции У = / (х) называется точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки (х0 -81, х0 +82), в которой /(х) < /(х0) при х < х0, х е В(/) и /(х) > /(х0) при х > х0, х е В(/).

В соответствии с этими определениями, где В(/) - область

определения функции, точка минимума функции х = 0 в примере не может быть включена ни в область возрастания, ни в область убывания исследуемой функции. Аналогичные заключения, очевидно, будет иметь место и для точек экстремума любых других функций.

Исследуем далее точки х = -3 и х = 3 из предыдущего примера. Ясно, что поскольку функция не определена слева от точки х = -3 и справа от точки х = 3, а значит определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются ещё два определения.

Определение 4. Точка х0 называется точкой убывания функции у = / (х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 +8) ((х0 -8, х0]), в которой /(х) < /Ю (/(х) > /(х0)) при х > х0 (х < х0), х е В(/) .

Определение 5. Точка х0 называется точкой возрастания функции у = / (х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 +8) ((х0 -8, х0]), в которой /(х) > /(х0) (/(х) < /(х0)) при х > х0 (х < х0), х е В(/) .

Применяя определения 4 и 5 соответственно к точкам х = -3 и х = 3, приходим к выводу, что точка х = -3 - это точка убывания справа,

а точка х = 3 - точка возрастания слева. Следовательно, областью убывания функции из предыдущего примера является множество В с={- 3, - 2,-1}, а областью возрастания - В т= {1,3}. Заметим, что

практикуемый ныне в средней и высшей школе подход к исследованию функций, подобных той, что приведена в только что рассмотренном примере, вообще неприменим (средняя школа), либо приводит, как было показано выше, к подмене объекта исследования (высшая школа).

В то же время, ясно, что при первоначальном введении функциональной зависимости и изучении свойств функций в 7 классе средней школы сразу же вводить такое, далеко не самое простое понятие, как понятие окрестности точки привело бы к серьёзным методическим трудностям. Это понятие разумнее было бы ввести при последующем изучении функций в 8-ом и 9-ом классе. И всё же, если в 7-ом классе при изучении функций, заданных на множествах изолированных точек заменить определения 2-4 на соответствующие им определения, в которых используются гораздо более простые для усвоения понятия - понятия предшествующей и последующей точек дискретного множества, то сформировать правильные начальные представления учащихся о точках убывания и возрастания функций вполне возможно. Этот пропедевтический приём тем более уместен, поскольку графики функции строятся с помощью таблиц значений функции, составляемых для отдельных точек её области определения.

Определение 2'. Точка х{ называется точкой возрастания функции у = /(х), если выполняется неравенство /(хг._1) < /(х{) < /(хг+1), т.е.

если значение функции в данной точке больше значения функции в предшествующей точке, но меньше значения функции в последующей точке.

Определение 3'. Точка х{ называется точкой убывания функции у = /(х), если выполняется неравенство /(хг.-1) > /(х{) > /(хг+1), т.е. если значение функции в данной точке меньше значения функции в предшествующей точке, но больше значения функции в последующей точке.

Определение 4'. Точка а = х1 функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) справа, если выполняется неравенство

/(х1) > /(х2) ( /(х1) < /(х2) ).

Т.е., если значение функции на левой границе её области определения В (/) больше (меньше) значения функции в последующей точке.

Определение 5'. Точка Ь = хп функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) слева, если выполняется неравенство /(хп) < /(хп-1) (/(хп) > /(хп-1)), т. е. если значение функции на правой

границе её области определения меньше (больше) значения функции в предыдущей точке.

Заметим, что определения 4, 5, 4', 5' можно использовать при исследовании функций на возрастание и убывание лишь, применяя их к наименьшему и наибольшему значениям независимой переменной из области определения функции. Так, например, для функции у = х2 с В(у) = (-¥, + ¥>) определения 4, 5 нельзя применять для точки х0 = 0, поскольку данная функция определена как слева, так и справа от этой точки.

Остановимся далее на выявлении множеств точек, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2-5, в которой используются знаки < и >.

В следующем примере требуется исследовать функцию, график которой изображён на Рис.2. Здесь область нестрогого убывания В э = [а, с] и область нестрогого

возрастания В & = [Ь, й]. Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси (х) входит как в область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого её возрастания, т.е. точки этого отрезка не классифицируются, а значит, функция просто недостаточно детально исследована. Поэтому разумно ввести понятие области постоянства функции В-.

Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, каждое из которых включает в себя не менее двух точек, значения функции в которых одинаковы.

Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария определения точек постоянства функции, используем понятия окрестностей точек.

Определения 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.

Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (см. рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3. Схема классификации точек области определения функции

Используя определения 2-6, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображён на Рис.2: область убывания Вс = [а,Ь), область постоянства В =[Ь, с], область возрастания В -= (с, й]. Здесь точки х = Ь и х = с включены в область

постоянства функции, поскольку существуют их односторонние окрестности, содержащие эти точки, во всех точках которых значения функции одинаковы. Определения нестрого возрастающих и убывающих функций в данном случае, как видно из приведённого примера, становятся излишними в процессе исследования, ввиду того, что выполнено более детальное исследование.

Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наименьшему и наибольшему значениям аргумента (если они существуют) используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента выявления точек постоянства функции следует пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.

Таким образом, мы приходим к схеме исследования функций на убывание и возрастание, изображённой на рис.4., где под символом * в обозначении В* понимается один из трёх символов 4, |, _.

Рис. 4. Схема исследования функций на убывание и возрастание

На схеме цифрами 1 и 2 обозначены определения, позволяющие классифицировать точки области определения функции; цифрами 3 и 4 обозначены обобщения определений 1 и 2 на любые промежутки; цифрой 5 обозначена производная функции, используемая только для исследования дифференцируемых функций. Блок, обозначенный цифрой 6, позволяет классифицировать точки области определения исследуемой функции на монотонность.

В ходе дальнейшего изучения свойств функций важно обратить внимание на необходимость уточнения терминологии при исследовании функций на непрерывность и с помощью производных, а именно:

• при исследовании функций на непрерывность вместо термина «промежутки непрерывности» следует пользоваться термином «область непрерывности»;

• при вычислении производной функций действительной переменной вместо терминов «промежутки дифференцируемости» функции следует пользоваться термином «область дифференцируемости» функции;

• при исследовании функций действительной переменной на выпуклость (вогнутость) вместо терминов «промежутки выпуклости функции» и «промежутки вогнутости функции» правильно использовать термины «область выпуклости функции» и «область вогнутости функции».

Таким образом, в результате детального анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе приходим к следующим выводам и предложениям:

1) традиционный подход содержит неустранимые внутренние противоречия, связанные с некорректной постановкой основной задачи и неадекватностью инструмента исследования;

2) предложены новая концепция исследования функций на убывание и возрастание, соответствующий ей подход и адекватный инструментарий;

3) в рамках нового подхода сформулирована основная задача исследования функций на убывание и возрастание, разработана схема исследования функций на основе классификации точек её области определения;

4) разработаны методические рекомендации реализации нового подхода в средних школах и вузах.

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; под ред. А.Н. Колмогорова. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 20о4. - 384 с.

2. Блох А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве // Математика в школе. - 1978. - № 6. - С. 21-23.

3. Ильин В.А., В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс: В 3-х т. Т.1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - 425 с.

4. Новиков А.Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах // Высшее образование сегодня. - 2008. № 12. С. 83-85.

5. Райков Д.А. Одномерный математический анализ: учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 1982. - 415 с.