Компактные квантовые инверсные полугруппы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 512.667, 517.5 М.А. Аухадиев

КОМПАКТНЫЕ КВАНТОВЫЕ ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ

В статье определяется понятие компактной квантовой инверсной полугруппы. Доказывается, что оно является естественным обобщением понятия С*-алгебры Хопфа. Приводятся важные примеры компактных квантовых инверсных полугрупп, показывающие оправданность введения такого понятия.

Ключевые слова: компактная квантовая полугруппа, компактная квантовая группа, алгебра Хопфа, С*-алгебра, инверсная полугруппа, алгебра Теплица.

Введение. Термин квантовой группы обозначает вид некоммутативной алгебры с дополнительной структурой, который впервые возник в теории квантовых интегрируемых систем и затем был формализован В. Дринфельдом как особый класс алгебр Хопфа. В настоящее время один из основных подходов к изучению компактных квантовых групп основан на определении через С*-алгебры, так как они осуществляют естественные обобщения локально компактных «хаусдорфовых» пространств через теорему Гельфанда. Главный сторонник этого подхода - польский физик и математик С.Л. Воронович [1]. Его точка зрения полностью в духе некоммутативной геометрии, развитой А. Конном, который использует некоммутативные С*-алгебры как основу для сильных и полезных понятий в дифференциальной геометрии на квантовых пространствах. Структура С*-алгебры рассматривает квантовые пространства только как топологические пространства. Для того, чтобы установить группоидную структуру на этих пространствах, нужна дополнительная структура. Такой структурой является алгебра Хопфа.

Аксиомы алгебры Хопфа были записаны еще в 1940-х годах, однако яркие примеры из физики появились лишь в 1980-ых годах. К. Кассель определяет алгебру Хопфа как биалгебру с антиподом и коединицей [2]. Для биалгебры ключевым является отображение копроизведения, которое задает «кодействие», то есть правило, по которому происходит действие на тензорном произведении алгебры на себя. С.Л. Воронович [1] предложил первое определение компактной квантовой группы, к которому его привел пример алгебры функций на компактной группе. Понятия С*-алгебры Хопфа и компактной квантовой группы непосредственно связаны между собой, как доказано С.Л. Вороновичем в [1]. Этот факт приводится в разделе 1 в Теореме 1.9.

Понятие квантовой полугруппы, явилось обобщением понятия квантовой группы и появилось не так давно. Основные работы на эту тему -[3; 4; 5] с 2004 года. Этот термин соответствует понятию биалгебры [2] с дополнительным требованием С* -алгебры. В разделе 1 дается определение ^-алгебры Хопфа, конкретизирующее известное определение, данное в работе [6]. Аналогичный подход осуществляется в работе [7], но без четкого определения.

В теории квантовых полугрупп прослеживается аналогия с теорией обыкновенных полугрупп. Квантовая полугруппа соответствует понятию полугруппы, С*-алгебра Хопфа соответствует понятию группы. Однако, в теории полугрупп также известен класс инверсных полугрупп, который наиболее близок к классу групп по своей структуре, но отличается более слабыми аксиомами. Инверсные полугруппы изучены в работе [8], до этого использовалось название «обобщенные группы», введеное В.В. Вагнером в [9]. Инверсная полугруппа (обобщенная группа - это такая полугруппа, в которой каждый элемент имеет единственный инверсный (обобщенно-обратный) к нему элемент. По аналогии с понятием инверсной полугруппы в разделе 2 определяется новый объект - компактная квантовая инверсная полугруппа. Это особый класс квантовых полугрупп, обладающих коинверсией - обобщением антипода алгебры Хопфа. В этом же разделе доказывается Теорема 2.5, из которой следует, что компактные квантовые инверсные полугруппы являются обобщением С*-алгебр Хоп-фа. В качестве примеров компактных квантовых инверсных полугрупп приводятся очень важные объекты - алгебра матриц конечного порядка и алгебра Теплица (раздел 3). Эти примеры показывают оправданность введения понятия компактной квантовой инверсной полугруппы и актуальность изучения ее свойств.

1. Необходимые сведения

Определение 1.1. [10] Алгебра А называется С*-алгеброй, если A является банаховой * -алгеброй, в которой норма удовлетворяет следующему свойству для любого a из A:

Если A обладает единичным элементом 1, то A называется С*-алгеброй. Если С*-алгебра унитальна, то автоматически ||1||=1. *-гомоморфизм /: А ^ В - это линейное мультипликативное (то есть /(аЪ)=/(а)/(Ъ) ) отображение, сохраняющее инволюцию (/(а*)=/(а)*).

Пример 1.2. Mn(C) - унитальная С*-алгебра комплексных матриц порядка п. Инволюция здесь задается транспонированием матрицы и переходом к

комплексно-сопряженным элементам. В качестве нормы матрицы берется операторная норма.

Определение 1.3. [4; 5] Пара (А, А), состоящая из унитальной С*-алгебры А и унитального *-гомоморфизма А: А —> А А, называется компактной квантовой полугруппой, если А удовлетворяет условию коассоциативно-сти:

Отображение А называется копроизведением.

Пример 1.4. Пусть О - компактная ассоциативная полугруппа и пусть А=С(0) - алгебра непрерывных функций на О. Эта алгебра коммутативна. Мы отождествляем ('((})  ('((У) с С (Ох С). Определим А: А —> А А следующим образом:

Тогда, очевидно, (А, А) - компактная квантовая полугруппа.

Определение 1.5. Рассмотрим компактную квантовую полугруппу (А, А). Предположим существование линейных отображений е: А ^ С, 8: А ^ А, удовлетворяющих таким условиям:

0 /с/)А = М

Пара (А, А) называется С*-алгеброй Хопфа, 8 - коединицей, Б - антиподом. Здесь М: АА —> А - линейное отображение, определенное следующим образом: М(аФЬ)=аЬ для любых а,Ь из А. Конечномерную С*-алгебру Хопфа иногда называют конечной квантовой группой [6].

Определение 1.6. [1; 5; 6], Компактная квантовая группа - это компактная квантовая полугруппа (А, А), для которой выполняются условия:

Л

Д

Пример 1.7. Пусть О - компактная топологическая группа. Тогда, как описано в примере 1.4, алгебра непрерывных функций С(О) с вышеуказанным копроизведением является компактной квантовой полугруппой. Более того, так как О - группа, свойства (1.5) и (1.6), очевидно, выполняются. Таким образом, (С(О), А) - компактная квантовая группа. Заметим,

что групповое произведение «зашифровано» в копроизведении.

Следующая теорема описывает связь между С*-алгебрами Хопфа и компактными квантовыми группами.

Теорема 1.8. [1; 6]. Пусть (А, А) - компактная квантовая группа. Тогда существует единственная С*-алгебра Хопфа (В, Ф) такая, что В - это плотная унитальная *-подалгебра А, А (В): В С1 В В, и что Ф - это сужение А на В.

В теории С.Л. Вороновича [1] В - это подалгебра, порожденная матричными элементами всех конечномерных унитарных представлений (А, А).

2. Компактные квантовые инверсные полугруппы Определение 2.1. [8]. Пусть О - полугруппа. Элементы а,Ь из О называются инверсными друг к другу, если

аЪа = а, ЪаЪ = Ъ.

Определение 2.2. [8] Полугруппа О называется инверсной, если каждый элемент а из О имеет единственный инверсный к нему элемент в О, который обозначается а-1.

Теперь определим основное понятие, аналогичное инверсной полугруппе для случая квантовых полугрупп. Обозначим

Д2 =(Д 1ё)к.

2

Определение А корректно в силу того, что Д коассоциативно и не может казаться двусмысленным, так как отображение До Дне определено (область значений и область определения Д не совпадают). Очевидно,

Д :А^>ААА - унитальный *-гомоморфизм. Аналогично можно

/ ч

определить отображение А : А ^ А . Эти отображения встречаются в работе [10].

Определение 2.3. Компактная квантовая полугруппа называется инверсной, если существует линейное антимультипликативное отображение к: А ^ А такое, что выполняются следующие условия:

т

тЦс!  к  /б/)А2 = /с/.

Здесь ш: ААА—> А - линейное отображение, определенное следующим образом: ш(а Ь<8>с)= аЪс для любых а,Ь,с из А. Отображение к называется коинверсией.

Пример 2.4. Рассмотрим алгебру комплексных матриц п-го порядка

МП(С). Как уже упоминалось в примере 1.2, МП(С) - унитальная С*-алгебра. Пусть Еїі обозначает матрицу п-го порядка, у которой все элементы равны нулю, кроме единицы, стоящей на пересечении і-й строки и ]-го столбца. Множество {Еу}у=і,...,п является базисом, то есть порождает алгебру Мп(С). В то же время, {Еу}^^,..^ - инверсная полугруппа по умножению, инверсным к элементу Еу является Е^, то есть транспонированная матрица. Свойство (2.1) легко проверяется. Покажем, что на Мп(С) можно задать структуру компактной квантовой инверсной полугруппы.

Определим копроизведение:

п

Д

/= 1

ЕГ=і Еи - это единичная матрица, то есть единица алгебры Мп(С). Поэтому, очевидно, А - это унитальный *-гомоморфизм. Определим коинверсию, которая вместе с заданным выше копроизведением будет удовлетворять свойствам (2.2), (2.3). Зададим действие к на порождающих элементах:

к

То есть, коинверсия сопоставляет Е^ инверсный к нему элемент. Далее по линейности продолжаем к на всю алгебру Мп(С). Легко проверяется, что к антимультипликативно и выполняются свойства (2.2), (2.3). Та-

ким образом, (Мп(С), А) - компактная квантовая инверсная полугруппа с копроизведением, заданным равенством (2.4), и коинверсией, заданной равенством (2.5). При таком копроизведении коединицу и антипод, для которых выполнялись бы соотношения (1.3), (1.4), задать нельзя.

Теорема 2.5. Пусть (А, А) - С*-алгебра Хопфа с антиподом Б и коедини-цей є. Тогда (А, А) является компактной квантовой инверсной полугруппой с коинверсией к = Б.

Доказательство: Будем использовать обозначения Свидлера:

А(а) = а' а"

(а) .

Определим коинверсию к = £ . Докажем, что для к выполняется равенство (2.2). Для этого сначала вычислим значение А на ає А:

А2 (а) = (А И)А(а) = (А іа)(^ а'а”)= £(а У (а' )' а"

Далее,

т(к   /с)Д2(а) = ш(/с (Я)  /с) У (а')'  (а') (2) а" =

^-Чсаса')

= У Ка'УЖа'УКа") = У [У 5((а')')(а')']5(а") =

^-<

= V [М(51сг)Д(а')] =

Теперь воспользуемся свойством антипода (1.4):

= (а” )^Иг(а ')$ (а") = $ (^г(а')а") =

Используем свойство коединицы (1.3):

= £(( е  /с!)А(а)) - >Ч(а) = к (а).

Итак, (2.2) доказано. Аналогично докажем (2.3):

т(1Й/с^)Л2(а) = т(1<1к1<1') / (а')' (а')а" =

^

= У (а')' /с((а')а" = У [У (а')']5((а')"Ж =

'(а),(а') '(а) I”-1(«О

= У [М((^5)Д(а')]а" = У [£(а')1]а" =У £(а')а" = а.

'

Таким образом, для к = Б выполняются соотношения (2.2) и (2.3). Следовательно, (А, А) - компактная квантовая инверсная полугруппа.

3. Бесконечномерная компактная квантовая инверсная полугруппа. Существование конечномерной компактной квантовой инверсной полугруппы показывает пример 2.4. из предыдущего раздела. Можно доказать, что каждая конечномерная С*-алгебра допускает задание структуры компактной квантовой инверсной полугруппы. Покажем, что бесконечномерная алгебра Тёплица допускает структуру компактной квантовой инверсной полугруппы. Для начала определим алгебру Тёплица [10].

Пусть 2+ обозначает множество неотрицательных целых чисел. 2+ образует подполугруппу коммутативной группы по сложению целых чи-

'У

сел. Рассмотрим пространство I (2+) тех комплекснозначных функций { на для которых выполняется неравенство ^|/(г)|2 <со. Это пространство можно наделить скалярным произведением

(/, Я) = Е /(2)Я(г),

относительно которого оно становится гильбертовым пространством. Семейство функций {еи }, еп (т) - Ьпт образуют ортонормированный базис

'У

в гильбертовом пространстве I (7,+). Обозначим через А С*-алгебру на 1^{2+), порожденную оператором одностороннего сдвига Т:

— +1

иє2+ иє2+

Очевидно, Т - изометрический оператор, а сопряженный к нему оператор Т* является оператором частичной изометрии. Операторы Т, Т* обладают следующими свойствами:

Т*Т=1,ТТ*^1- проектор.

Алгебра А называется алгеброй Теплица. Это ядерная унитальная С*-

алгебра, множество {ТпТ *т }п т=одд,... образует инверсную полугруппу

по умножению. Для элемента ТпТ *т инверсным является ттТ *п . Каждый элемент Б є А представляется в виде

/7 _ у а гПгр^т п,т

Теорема 3.1. На алгебре Тёплица А можно задать структуру компактной квантовой инверсной полугруппы.

Доказательство. Определим копроизведение на операторе сдвига Т:

А (Т) = ТТ

Очевидно, что сопряженным к Т (8) Т является Т*  Т* и (Т*  Т*). (Т ОТ) = 1<8)1 - единичный элемент алгебры А(8)А, а (Т  Т)(Т*  Т*) = ТТ*0ТТ* - проектор алгебры А А. Поэтому ТТ - изометрический. Согласно теореме Кобурна [10], отображение А можно продолжить до *-гомоморфизмма на А. Значит, (А, А) является компактной квантовой полугруппой. Такой способ задания копроизведения называется «диагональным». Теперь определим коинверсию:

к (Т) = Т*,к(Т*) = Т

<Цо-п.тТпТ*т) = Еа„,тГ"'Г*"

п,т п,т

Проверим, например, соотношение (2.3):

m(idkid) Д2(У animTnT*m) = m(id<g>k<g)id)( Y аптГпГ*т

71,771 71,771

ТпТ*тТпТ*т) = У аптТпТ*тТТпТ*пТпТ*Тп = V аП)ТПГпГ*т.

71,771 71,771

Итак, (A, А) является компактной квантовой инверсной полугруппой (ко-коммутативной).

Источники

1.Woronowicz S.L. «Compact quantum groups», Symetries Quantiques, North Holland, Amsterdam, 1998.

2.Кассель К. Квантовые группы: перевод с англ. И.А. Дынникова / под редакцией

В.М. Бухштабера. М.: Фазис, 1999. 666 с.

3.Murphy G.J., Tuset L., «Aspects of compact quantum group theory». Proceedings of the American Mathematical Society. V. 132. 2004.

4.Sadr M.M. «A kind of compact quantum semigroups». Depertment of Mathematics, Institute for Advanced Studies in Basic Sciences, Zanjan, Iran, 2010.

5.Soltan P.M., «When a quantum space is not a group?» Conference Banach algebras 2009. Stefan Ba-nach International Mathematical Center, Bedlewo, Poland, 2009.

6.Kustermans J., Tuset L. «A survey of C*-algebraic quantum groups, part 1». IMS Bulletin No 43. 1999.

7.Клиффорд А., Престон Г. «Алгебраическая теория полугрупп»: перевод с англ. В.А. Баранского / под редакцией Л.Н. Шеврина. Том 1. М.: Мир, 1972.

8.Вагнер В.В. «Обобщенные группы» // ДАН СССР, 1984. С. 1119-1122, 1952.

9.Vaes S., Van Daele A. «Hopf C*-algebras». Proceedings of the London Mathematical Society, 2001.

10.Мёрфи Дж. «С*-алгебра и теория операторов»: перевод с англ. / под редакцией А.Я. Хелемского. М.: Факториал, 1997.

Зарегистрирована 17.11.2010 г.