Метод аналогии как средство организации поиска решения стереометрических задач

занятии, после объяснения студентам материала по применению данной методики на более различных видах примеров и после решения большого количества упражнений, как во время занятий, так и во время выполнения студентами домашнего задания.

Аналогичными были рассуждения при проверке критерия знаков для контрольных работ, проведенных среди школьников.

В данном случае T = 12. Из 19 пар в пяти случаях разность измерений равна нулю, следовательно, остается 14 (19-5=14) пар, т.е. П = 14 . Для уровня значимости а = 0,025 при П = 14 значение п — tа = 11. Это означает, что выполняется равенство ^^^ > п — (а (14 > 11). Это

позволяет сделать вывод об обученности учащихся после объяснения им приемов эскизирования графиков функций.

Анализ полученных нами результатов позволяет говорить о том, что данный материал хорошо усваивается как студентами, так и школьниками. В данном эксперименте нами была рассмотрена и подтверждена с помощью критерия знаков эффективность применения методики эски-зирования графиков функций как среди студентов 2 курса факультета физики, математики и информатики, так и среди учащихся 10 «класса».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Башуров, В.В. Методика решения математических задач / В.В. Башуров, И.А. Комлева. - 2011. - С. 3-10.

2. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. - 1977. - С. 39-70.

3. Райхмист, Р.Б. Графики функций / Р.Б. Райхмист. - 1991. - С. 60-64.

4. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki.

5. Режим доступа: http://veseloe.gvarono.ru/docs/la/p22.pdf.

УДК 514 ББК 22.151я72-4

А.С. Дровянникова, М.Г. Макарченко, А.В. Забеглов

МЕТОД АНАЛОГИИ КАК СРЕДСТВО ОРГАНИЗАЦИИ ПОИСКА РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аннотация. В статье представлен метод аналогии, виды аналогий, схема поиска решения задач по планиметрии и стереометрии этим методом. Приведены примеры.

Ключевые слова: метод аналогии, виды аналогий, поиск решения задачи.

A.S. Drovyannikova, M.G. Makarchenko, A.V. Zabeglov

ANALOGY METHOD AS MEANS OF THE ORGANIZATION OF SEARCH OF THE SOLUTION OF STEREOMETRIC TASKS

Abstract. The analogy method, types of analogies, algorithm of the solution of tasks in planimetry and stereometry by this method is presented in article. Examples are given.

Key words: analogy method, types of analogies, search of the solution of a task.

Одной из актуальных проблем методики преподавания математики является проблема повышения эффективности обучения, которую можно решить, если сформировать у учащихся различные способы поисковой деятельности при изучении теоретического материала и решении задач. Вопрос использования аналогии в обучении математике не является абсолютно новым, он изучается уже давно. Именно аналогия чаще всего лежит в началах введения и усвоения математических понятий, поиска доказательства или решения сформулированных утверждений, а также аналогия является основой для получения новых знаний об обучаемом объекте.

Понятие «аналогия» широко используется в самых разных отраслях научного знания, причем в каждой из них этому определению придаются свои, специфические оттенки значения. Многие педагоги признают необходимость использования аналогии при обучении математике, требуют широкого и систематического применения аналогии в обучении. Однако, вопрос использования аналогии как метода исследования в математике не получил своего должного раскрытия как в теоретических исследованиях, так и в практике обучения. В методической литературе пока нет достаточных ответов на вопросы: Где и как использовать аналогию? По какому пути формировать

у учащихся умение использовать аналогию? Отсутствует необходимое описание деятельности учителя и учащихся в процессе использования аналогии при обучении основным вопросам школьного курса геометрии, не выявлены общие закономерности использования аналогии как исследовательского метода и конкретные примеры его применения. Именно ответам на данные вопросы посвящена эта статья.

В настоящее время умозаключениями по аналогии принято называть «рассуждения, в которых заключение делается на основании структурного, функционального или какого-либо иного сходства сравниваемых вещей» [7, 246]. Принцип всякой аналогии: если сравниваемые вещи сходны в одном отношении, следовательно, они могут быть сходны и в других отношениях.

Выводы по аналогии - одна из форм правдоподобных выводов. Основу этих выводов составляет сходство

ВД),ВД).....Рп

Вероятно, $ (Р) - заключение, где п > 1.

Из этой схемы видно, что посылки указывают на сходство предметов а и в в ках Р1,Р2,  ,Рп и наличие, кроме того, признака Q у предмета а. Заключение указывает на вероятное наличие сходного признака Q' у предмета в.

Пример 1. В качестве объектов а и в будем рассматривать

посылки

а - перпендикуляр к прямой. Р±(а): отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямой;

Р2(а): отрезок лежит на прямой, перпендикулярной данной прямой;

Q(a): этот отрезок меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к прямой.

в - перпендикуляр плоскости. Р{(Р): отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости;

Р-г(Р): отрезок лежит на прямой, перпендикулярной данной плоскости;

Вероятно Q'(P): этот отрезок меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой плоскости.

В зависимости от того, что представляют собой предметы а и в - являются ли они отдельными объектами, последовательностями объектов и т.д. и, соответственно, в зависимости от характера рассматриваемых признаков, аналогии можно квалифицировать следующим образом.

Так, если а и в - отдельные объектыа и Ь; Р±, Р2, , Рп - признаки, указывающие на наличие или отсутствие у них тех или иных свойств, то говорят об аналогии признаков или, можно было бы сказать, об аналогии свойств. А если а и в - некоторые последовательности объектов, соответственно - а1,а2,-.,ап и Ь1,Ь2,--,Ьп

ркьиь?),р;хьиь?)....._

Вероятно, Q'(b1,b2).

Приведем пример аналогии свойств.

Пример 2. В качестве объектов а и в рассмотрим касательную к окружности и касательную плоскость к сфере соответственно. Обозначим

а - касательная к окружности. Р±(а): прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку;

Р2(а): прямая, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания прямой и окружности;

Q(a): касательные к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности._

в - касательная плоскость к сфере. РЦР): плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку;

Р2(Р): плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания плоскости и сферы;

Вероятно, Q'(P): касательные плоскости к сфере, имеющие общую точку вне ее, состав-

ляют равные углы с плоскостью, проходящей через общую прямую плоскостей и центр сферы.

В данном примере объектами аналогии являются а и Ь (где а - касательная к окружности,Ь -касательная плоскость к сфере), а признаки сходства Р1 и Р2 указывают факт наличия у них определенных свойств, поэтому установленную аналогию между объектами можно считать аналогией свойств.

Пример 3 иллюстрирует аналогию отношений.

Пример 3.

а± - прямоугольный треугольник; Ь± - прямоугольный тетраэдр;

а2 - 2 катета: а, Ь; Ь2 - 3 ребра: а, Ь, с;

а3 - прямой угол; Ь3 - трехгранный прямой угол;

а4 - высота треугольника ^ Ь4 - высота тетраэдра h;

Р1(а1,а2): катеты, принадлежащие тре- Р-[(Ь1,Ь2): ребра, принадлежащие тетраэд-

угольнику; ру;

Р2 (а2, а3): катеты заключают прямой угол; Р^(Ь3,Ь3): ребра заключают прямой трех-

гранный угол;

Р3(а3,а4): высота, опущенная из вершины Р3(р3,Ь4): высота опущена из вершины

прямого угла; прямого трехгранного угла;

Q(a2,a4): ¿ = ^ +

Вероятно,

Итак, рассуждения по аналогии можно представить в двух видах - аналогия свойств и аналогия отношений.

Кроме указанной классификации аналогии существуют и другие. Ю.М. Колягин в книге «Методика преподавания математике в средней школе» приводит еще одну классификацию аналогии, в рамках которой виды аналогии различаются по основаниям для вывода. Ю.М. Колягин вводит в рассмотрение следующие виды аналогий [3, 93]:

1) «простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают о сходстве их и в других признаках;

2) «распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин».

Схема простой аналогии имеет вид: Р1

ТО), ТО).....ТО)_

Вероятно, $(£).

Форма распространенной аналогии имеет вид: 1. Р1

ТО), ТО).....ТО)

Вероятно,

2. Ц(а).

3. Аг ^ А2 ^ — ^ Q(a).

4. — ^ Вп.

5. Bn^Q'(P).

6. То).

В свою очередь, простая и распространенная аналогии могут быть строгой и нестрогой. Строгой аналогией называется аналогия, при которой установлена взаимная зависимость в признаках сравниваемых объектов. Нестрогой аналогией называется аналогия, при которой взаимная зависимость в признаках сравниваемых объектов не установлена в явном виде.

Схема строгой аналогии имеет вид: Р1

ТО), ТО).....ТО)

Р1,Р2,... ,Рп и Q находятся во взаимной зависимости или Р1,Р2,... ,Рп детерминируют Q

Для того, чтобы установить, что аналогия между объектами является строгой, достаточно показать, что признак Q является следствием Р1,Р2,... ,Рп или, что для каждого из признаков сходства выполняются 2 условия:

1) элементы объектов, встречающиеся в рассматриваемом признаке, аналогичны;

40

2) между этими элементами можно установить аналогию отношений.

Главное отличие нестрогой аналогии от строгой состоит в том, что признаки сравниваемых объектов не находятся во взаимной зависимости и, как следствие, вывод, полученный в результате применения нестрогой аналогии, носит вероятностный характер.

Форма нестрогой аналогии может быть представлена в виде: Р±

Pj(fi).....ТО)_

Вероятно, Q'(P).

Тот факт, что признаки сравниваемых объектов не находятся во взаимной зависимости, означает нарушение хотя бы одного из двух условий, указанных ниже схемы строгой аналогии.

Основное отличие строгой и нестрогой аналогий заключается в характере вывода. Согласно Е.К. Войшвилло и М.Т. Дегтярева, заключение, полученное в результате использования строгой аналогии, является достоверным, в то время как результатом использования нестрогой аналогии является гипотеза.

Широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному.

Полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать аналогию при поиске способов решения предложенной им трудной задачи. В этом случае можно рекомендовать им следующий план работы над задачей.

1. Сформулировать задачу, аналогичную данной, т. е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение (вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно).

2. Решить вспомогательную задачу.

3. Составить план доказательства или решения вспомогательной задачи.

4. Провести аналогичные рассуждения при составлении плана данной задачи.

5. По плану построить доказательство или решение данной задачи.

Познавательное значение аналогии определяется тем, что она выступает одним из активных исследовательских приемов преимущественно на начальном этапе процесса познания.

Теперь рассмотрим применение выше указанного плана для решения задач. Проиллюстрируем это на примерах.

Пример 4. Площади двух граней тетраэдра равны Sí и S2, а - длина их общего ребра, а -двугранный угол между ними. Докажите, что: V = 2SlS?Sln а. Сформулируем задачу, аналогичную данной.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между i

ними, т.е. S = -cb sin АА.

2

Перейдем к доказательству этой задачи.

Доказательство.

B

с \ a

hb

а п

¿ABC = \ШЪ (1).

Из прямоугольного треугольника ABH выражаем высоту hb: hb = с sin Аа (2). Подставляем (2) в (1): SABC = - be sin Аа.

Составим план доказательства вспомогательной задачи.

План.

I. Выражаем SABC через один или несколько заданных элементов, например, через сторону b: i

$АВС = 2^hb.

II. Выражаем оставшиеся элементы через заданные, например, высоту h¡, выражаем через сторону си sin Аа:

hb = с sin Аа. III. Подставляем результат, полученный в пункте II, в I:

hb = - be sin Аа.

0 2

Проведем аналогичные рассуждения относительно исходной задачи и составим план ее доказательства.

План.

A

C

I. Выражаем объем тетраэдра через один или несколько заданных элементов, например, через i

площадь: V — -SABCh. II. Выражаем площадь одной из боковых граней тетраэдра:

$adb = ~ahi.

III. Выражаем высоту h через оставшиеся элементы, т.е. через sin Za:

h — ht sinZa.

i

IV. Подставляем III в I: V — -SABCh1 sin Za.

V. Выражаем высоту Л^из пункта II и подставляем в IV:

hi =

A

A

2sadb

VI. Делаем вывод:

V = ~SABC х^М.sinZa.

3 AtíL а

V —

2SABCSADBsmZa За '

Теперь переходим к построению доказательства исходной задачи в соответствии с пунктами построенного плана.

B Доказательство.

Строим DO 1 (ABC), DM1 AB^> OM1 AB^> zDMO= a.

Обозначим DO = h, DM = hx.

'DABC

= \SABCh (1).

h = h-L sin Za (2).

$adb = 2 ahi

hi = (3).

B

Подставляем (3) в (2): h = 2J¿msinZa (4). Подставляем (4) в (1):

-i?

2¿ADB  . _ 2SABCSADBsmZa

x sin Za — .

Пример 5. В тетраэдре ABCD плоские углы при вершине D прямые. Пусть h - высота тетраэдра, опущенная из вершины D, а, Ь, с - длины ребер, выходящих из вершины D. Докажите, что:

i — i + i + i h2 ~ а2 Ь2 с2'

Сформулируем вспомогательную задачу, аналогичную данной.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой. Пусть h - высота, опущенная из вершины C, a, b - длина катетов. Докажите, что:

Докажем сформулированную задачу. Доказательство.

По т. Пифагора: с2 — а2 + b2 ^ с — Va2 + b2. SABC — ^ he — ^ hVa2 + b2.

i — i + i h2 ~ a2 b2'

1 2 $ABC — 2

^аЬ = ^к^а2 + Ъ2 ^ к = ^ ^ = а . Возведем обе части равенства в квадрат, получим:

1 = а2+Ь2 ^1=а2 + Ь2=1 + 1 П2 ~ а2Ь2 П2 ~ а2Ь2 а2Ь2 ~ а2 Ь2'

Составим план вспомогательной задачи.

План.

I. Находим обратную величину квадрата высоты треугольника:

1) Находим высоту треугольника:

5АВС = г-ск^к = 2-^.

1

2) Находим Бавс через оставшиеся величины, а именно через катеты а, Ь: 5двс = -аЬ.

2 xi ab 2

—

с

3) Подставляем (2) в (1):к =

и

4) Выражаем сторону через катеты: с2 — а2 + Ь2 ^ с — Vа2 + Ь2.

5) Подставляем (4) в (3): к — ,

Va¿+Ъ¿

6) Находим квадрат высоты: к2 =

а2+Ь2'

ъ тт 1 а2 + ъ2

7) Находим обратную величину: — = . II. Находим обратные величины квадратов катетов треугольника:

1 h2

a2b2 + a2b2

а2 + b2'

Составляем план исходной задачи, основываясь на план вспомогательной задачи.

План.

I. Находим обратную величину квадрата высоты тетраэдра: 1) Находим высоту тетраэдра:

Т/ —1с и ^ и — ЗУОАВС

уОАВС — 3 ¿АБС

h*h =

SABC

2) Находим объем тетраэдра через оставшиеся элементы, а именно через ребра a, b, c: V = - abc.

6

„ i , i , 3x-abc -abc

3) Подставляем (2) в (1):h = —--= --.

SABC SABC

4) Выражаем площадь треугольника через ребра a, b, c: $АВС = $ADC + $ADB + $BDC '

$ADC = ~O.C.

2 1

$ADB = ~аЬ

DBDC

Sabc = ~r(a2c2 + a2b2 + b2c2) *

= -bc * SABC = ~^a2c2 + a2b2 + b2c2.

5) Подставляем (4) в (3):

h = -

-abc

abc

•Ja2c2 + a2b2+b2c2

Va2c2+a2b2+b2c2' 2 a2b2c2

6) Находим квадрат высоты:к — _ _ _ _ , ,.

а2с2 + а2Ь2+Ь2с2

7) Находим обратную величину квадрата высоты:

1 _ а2с2+а2Ь2+Ь2с2 Л2 =

а2Ь2с2

II. Находим обратные величины квадратов ребер a, b, c:

1 а2с2 . a2b2 . b2c2 h2

+

+

a2 b2 c2

а2Ь2с2 а2Ь2с2 а2Ь2с2 а2 Ь2 с2' Перейдем к доказательству исходной задачи в соответствии с пунктами построенного плана.

A

A /1 / i / i / i /a / i

/D A

/ < 4 / / ' V - \c

A \ "" - - \

B

M

Vdabc = 1-SABCh * h = 3 SABC 1 3 xTabc 1abc

1

Vdabc = -abc*h = о 2

S ABC S ABC

Ç2 °ABC = ^ADC + ^ADB + $BDC

$ADC 1 = -ac. 2 1

$ADB = — ab * 2

SABC = т(а2с2 + a2b2 + b2c2) * SBDC = \bc *

JABC

4

= ~^a2c2 + a2b2 + b2c2. 2

h =

abc

h2 =

y/a2c2+a2b2+b2c2 a2b2c2

Возведем обе части в квадрат:

a2c2+a2b2+b2c2

' Находим обратную величину:

1 _ a2c2+a2b2+b2c2 ^ 1 _ a2c2 + a2b2 + b2c2 _ 1 + 1 + 1 h2 a2b2c2 h2 a2b2c2 a2b2c2 a2b2c2 а2 b2 c2'

Итак, для того чтобы учащиеся с легкостью могли перейти от раздела геометрии «Планиметрия» к разделу «Стереометрия», смогли доказывать теоремы и решать задачи, нужно научить их пользоваться методом аналогии. Применение метода аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных побудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским.

В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полученные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными.

И для того, чтобы успешно пользоваться этим приемом для решения задач и доказательства теорем, целесообразно пользоваться алгоритмом, приведенным в данной статье.

Чтобы школьники могли лучше усвоить этот прием решения задач, необходимо время от времени предлагать им задачи, при решении которых метод аналогии оказывается полезным. При этом поначалу полезно предлагать учащимся не одну, а две (или более) взаимосвязанные по содержанию задачи, которые решаются одинаково, либо по образцу и подобию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

12.Александров, А.Д. Стереометрия. Геометрия в пространстве / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Библиотека школьника, 1998.

13.Буй Зуи Хынг. Метод аналогии при обучении решению стереометрических задач в средней школе: авто-реф. дис. ... канд. пед. наук / Буй Зуи Хынг. - СПб., 1991.

14.Войшвилло, Е.К. Логика как часть теории познания и научной методологии. Фундаментальный курс / Е.К. Войшвилло, М.Г. Дегтярев. - М.: Наука, 1994. - Книга II.

15.Гордин, Р.К. Геометрия. Планиметрия / Р.К. Гордин. - 3-е изд. - М.: МЦНМО, 2006.

16.Горский, Д.П. Краткий словарь по логике / Д.П. Горский, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров; под ред. Д.П. Горского. - М.: Просвещение, 1991.

17.Готман, Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения / Э.Г. Готман. - М.: МЦНМО, 2006.

18.Колягин, Ю.М. «Методика преподавания математики в средней школе: общая методика: учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1980.

19.Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии / В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

С.И. Дяченко

ОСОБЕННОСТИ СОДЕРЖАНИЯ КУРСА «МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ «СПЕЦИАЛЬНОЕ (ДЕФЕКТОЛОГИЧЕСКОЕ) ОБРАЗОВАНИЕ», ПРОФИЛЬ «ЛОГОПЕДИЯ»

Аннотация. В статье анализируется содержание курса «Методика обучения математике» и выделяются его главные отличительные особенности при профессиональной подготовке бакалавров по направлению 050700 «Специальное (дефектологическое) образование», профиль «Логопедия». Особенности содержания данного курса реализуются в специальной методике обучения математике.

Ключевые слова: методика обучения математике, дети с тяжелыми нарушениями речи, акалькулия, дискалькулия, афазия.

S.I. Dyachenko

FEATURES OF MAINTENANCE OF COURSE "METHODS OF TEACHING MATHEMATICS" FOR STUDENTS, STUDYING TO SOFTWARE TO DIRECTION "SPECIAL (DEFECTOLOGY) EDUCATION", PROFILE "SPEECH THERAPY"

Abstract. The article analyzes the content of the course "Methods of teaching mathematics" and highlighted its main distinctive features of training of bachelors in 050700 "Special (defectology) education," profile "Speech therapy". Especially the content of this course are implemented in a special methodology of teaching mathematics.