Численное решение задачи о течении расплава полимера в одношнековом экструдере

УДК 532.516.5 DOI: 10.15350/17270529.2019.2.22

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ РАСПЛАВА ПОЛИМЕРА В ОДНОШНЕКОВОМ ЭКСТРУДЕРЕ

БЕССОНОВА М. П., ПОНОМАРЕВА М. А., ЯКУТЕНОК В. А.

Национальный исследовательский Томский государственный университет, 634050, г. Томск, пр-т Ленина, 36

АННОТАЦИЯ. Описывается простая численная методика решения задачи о течении полимерного расплава в зоне дозирования одношнекового экструдера. Математическая модель учитывает наличие циркуляционного движения, неньютоновское поведение экструдируемого материала и разогрев полимера за счет вязкой диссипации. В качестве геометрической модели шнека используется его развертка на плоскость, а также рассматривается обращенное движение. Реологическое поведение материала описывается уравнением в общем виде, учитывающим зависимость вязкости от температуры и интенсивности деформаций. Для численной реализации предложено совместное использование итерационного метода Ньютона для вычисления профилей скорости и маршевого метода для расчета температуры с согласованием в общем итерационном процессе.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: одношнековый экструдер, неизотермическое течение, математическая модель, неньютоновская жидкость, степенная модель, модель Керри-Яшидо.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время полимерные материалы, обладающие эксплуатационными характеристиками, позволяющими использовать их в жестких условиях (агрессивные среды, высокая температура, перепады давления), широко применяются в различных отраслях промышленности. Основными технологическими машинами, применяемыми для переработки полимеров, являются экструдеры. Преобладание экструдеров в полимерной индустрии связано с их непрерывным развитием в течение многих десятилетий, которое стало возможным только благодаря интенсивным экспериментальным и теоретическим исследованиям. Однако ввиду высокой стоимости, как оборудования, так и самих перерабатываемых материалов экспериментальные исследования по отладке технологических режимов и модернизации оборудования уступают теоретическим.

Многочисленные теоретические исследования можно формально разделить на следующие категории: ньютоновские и неньютоновские модели; одномерные и многомерные модели; изотермические и неизотермические модели. В ранних работах [1 - 3] исследовались характеристики изотермического плоскопараллельного течения ньютоновской жидкости в канале бесконечной ширины с использованием принципа обращенного движения (вращение корпуса при неподвижном шнеке) и развертки винтового канала на плоскость. Авторы работы [4] предлагают аналитическое решение задачи изотермического течения ньютоновской жидкости в канале одношнекового экструдера. Отличие данной работы от других заключается в задании граничных условий. С целью приблизить граничные условия к реальным условиям процесса экструзии, авторы рассматривают движущийся шнек и неподвижный корпус. При использовании таких граничных условий авторы отмечают необходимость учета влияния гребней шнека на скорость течения в канале. Для преобразования дифференциальных уравнений в частных производных используется метод конечного синусоидального преобразования. В [5] предлагается аналитическое решение аналогичной задачи, основанное на методе обобщенных интегральных преобразований.

Поскольку полимерные материалы в расплавленном состоянии обладают ярко выраженным неньютоновским поведением, его необходимо учитывать при теоретическом исследовании. Для неньютоновских жидкостей основные уравнения становятся нелинейными в связи с зависимостью вязкости от скорости сдвига. Существует множество

реологических моделей эмпирического типа: степенная модель Оствальда-де Вилля [6], Керри [7], Кросса, Фан-Тьен-Таннера [8], Балки-Гершеля [9], Керри-Яшидо и т.д. Степенной реологический закон (модель Оствальда-де Вилля) наиболее часто применяется для описания псевдопластичного поведения, поскольку отличается простотой использования и малым количеством эмпирических коэффициентов. В работе [10] приводится сравнение трех реологических моделей в условиях сложного сдвига в шнековом канале экструдера при различных геометриях канала: прямоугольной (канал развернут на плоскость) и винтовой. Было отмечено, что различие вискозиметрических кривых наблюдается только в областях низких скоростей сдвига. В остальных случаях поля температур, вязкости и скоростей сдвига, полученные на основе моделей Оствальда-де Вилля, Керри и Кросса, достаточно хорошо совпадают. В [11] для исследования явления разбухания струи вязкоупругого полимерного материала на выходе из формующего отверстия используется интегральный реологический закон, который соответствует жидкости Максвелла. Данный закон не только связывает тензор напряжений с интенсивностью скоростей деформаций, но и включает производные и интегралы от данных величин.

На сегодняшний день даже самая простая задача изотермического течения неньютоновской жидкости в канале шнека экструдера не имеет точного аналитического решения, и вследствие чего использование методов численного моделирования для анализа течений в одношнековых экструдерах является необходимым. Численные методы позволяют прогнозировать поведение экструдата, корректировать параметры работы оборудования и снижают затраты на натурные эксперименты.

Подробно вопросы экструзии полимеров рассмотрены в работах [12 - 18]. Указанные монографии можно считать основой при разработке численных моделей течения расплава полимера в канале шнекового экструдера, которых к настоящему моменту существует достаточно большое количество. Большинство авторов, при создании численных моделей процесса течения полимерного расплава, используют упрощающие предположения, подробно сформулированные в [12]. Одним из таких предположений является возможность пренебрежения влиянием боковых стенок на поток в серединном сечении канала. Проведенный в работе [19] анализ циркуляционного течения в прямоугольной каверне показал, что для применения данного упрощающего условия достаточно, чтобы отношение ширины к глубине было больше 3. В данной работе используется степенная модель, а решение получено методом граничных элементов.

В [20] обсуждаются численные проблемы, связанные с применением метода конечных элементов при учете конвективных слагаемых в уравнении энергии. Отмечается, что использование полного набора трехмерных уравнений неоправданно, так как экспериментальные данные показывают, что могут быть сделаны упрощающие предположения. Основными допущениями являются: 1) течение является ползущим; 2) установившимся; 3) канал шнека может быть развернут на плоскость; 4) производные скорости в продольном направлении малы, по сравнению с производными в поперечном направлении (за исключением входа); 5) корпус движется со скоростью и направлением, соответствующим угловой скорости вращения шнека, диаметру корпуса и углу подъема стенок шнека. Исходные трехмерные уравнения являются полностью эллиптическими. Сделанные предположения сводят их к параболическим и позволяют рассчитывать течение пошаговым образом в направлении основного потока с использованием данных выше по течению (маршевым методом).

В [21] предложены два подхода к моделированию течения в винтовом канале одношнекового экструдера, при наличии избыточного давления в канале за счет присутствия узкой формующей матрицы или высоких скоростей вращения шнека. Все это может вызвать течение жидкости в обратном направлении.

В первом подходе проблема избыточного давления и отрицательных скоростей решается путем учета теплопроводности в продольном направлении. В результате уравнение энергии, имеющее изначально параболический тип, трансформируется в эллиптическое,

тем самым устраняя численные трудности, с которыми сталкиваются маршевые методы. Второй подход основывается на применении другой, так называемой осевой, системы координат, когда первая ось направлена вдоль оси ствола шнека, вторая - перпендикулярно ей, а третья - по высоте шнекового канала.

Оба подхода дают результаты близкие к экспериментальным данным. Однако для реализации второго подхода требуется гораздо меньше расчетного времени, в связи с чем, его применение для расчета неизотермического течения предпочтительней. При этом автор отметает, что использование осевой системы координат подходит не для любой геометрии экструдера.

В работе [22] представлен подход для расчета трехмерного потока полимерного расплава и анализа явления теплопередачи в зоне дозирования канала одношнекового экструдера. Для его реализации выбирается система координат, фиксированная на шнеке, и используется принцип обращенного движения: шнек считается неподвижным, а корпус разворачивается на плоскость и движется с постоянной скоростью. В результате задача о течении в винтовом канале сводится к задаче о течении в прямоугольном канале бесконечной ширины. Система основных дифференциальных уравнений в частных производных, включающая уравнения движения, неразрывности и энергии, является трехмерной, но параболической в направлении вдоль канала, что позволяет использовать для расчета маршевые методы. Данная система с учетом соответствующих граничных условий решается методом Галеркина в сочетании с полностью неявной маршевой схемой. Отличием предложенного подхода является учет циркуляционного поведения потока в поперечном сечении канала с учетом конвективного слагаемого. Верификация численной методики проводится путем сравнения полученных результатов с экспериментальными данными работы [23], где в качестве рабочей жидкости использовался полиэтилен низкой плотности Ьиро1еп 1800Н. Для описания реологии данного полимера использовались две реологические модели: степенная и Керри-Яшидо с экспоненциальной температурной зависимостью. Более того, учитывалась зависимость плотности полимерного расплава от температуры и давления, а также зависимость теплопроводности и теплоемкости от температуры. Для полной проверки численной методики было проведено сравнение с восьмью наборами экспериментальных данных, полученных при различных технологических условиях (скорость вращения шнека, производительность, начальные температура и давление, температура стенок шнека и корпуса). Акцентируется внимание на проблеме наличия перетоков расплава через зазоры между гребнями шнека и внутренней поверхностью корпуса. Такого рода течения в области зазоров характеризуются высокими скоростями сдвига, на порядок выше тех, что наблюдаются в основном потоке. Вследствие этого, можно предположить, что в области зазоров выделяется значительное количество тепла за счет вязкой диссипации. С целью исследования влияния наличия зазоров и перетоков через них расплава на характеристики основного потока, были рассмотрены два варианта задания граничных условий. В случае отсутствия зазоров, система основных уравнений становится двумерной. Полученные в данной работе результаты, показывают, что введение зависимости плотности от температуры и давления, а также зависимости теплоемкости и теплопроводности от температуры, практически не влияют на кривые течения. Наблюдаемое расхождение незначительно. С другой стороны, использование модели Керри-Яшидо вместо степенной модели для учета псевдопластичного поведения полимера более эффективно, особенно при расчете градиента давления. Кривые перепада давления, полученные для модели Керри-Яшидо лучше коррелируются с экспериментальными. Необходимо отметить, что проведенное в работе исследование показывает незначительное влияние на картину течения учета перетоков расплава через гребни шнека. Влияние на кривые перепада давления практически отсутствует, а кривые распределения среднемассовой температуры вдоль канала имеют расхождение не более 3 оС.

Авторами работы [24] предложена математическая модель течения ньютоновской жидкости в шнековом канале экструдера, позволяющая достаточно точно прогнозировать поле скорости. Численное решение основано на методе конечных разностей. Отличительной особенностью данной работы является то, что авторы стремились создать максимально легко воспроизводимые численную модель и метод решения, что обусловлено ясностью изложения и простотой того и другого. Простота применения подтверждается возможностью использования широко распространенного программного обеспечения, такого как Microsoft Excel, для реализации разработанной модели. Авторы отмечают, что существующие программные пакеты, позволяющие получать решения для сложных гидродинамических задач, похожи на «черные ящики», которые ввиду своей сложности и непрозрачности решения, не дают полного понимания результатов и имеют узкий круг пользователей.

Поскольку реальная конструкция экструдера всегда имеет радиальный зазор между гребнями шнека и корпусом, в [25] оценивается влияние его величины на характеристики работы экструдера. Рассматривался экструдер с классической геометрией шнека, а в качестве экструдата был выбран полиэтилен. Отмечается, что увеличение зазора способствует уменьшению мощности диссипации механической энергии и увеличению мощности подводимой/отводимой тепловой энергии через стенки шнекового канала. Наряду с этим, происходит снижение средней и максимальной температуры полимерного расплава на выходе из канала. Также с ростом величины зазора снижается производительность, в основном за счет увеличения перетоков.

Автором [26] предложена компьютерная модель для расчета процессов движения экструдата, основанная на численном решении дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов и методом сеток и позволяющая получать поля скоростей, давлений и температур. Математическая модель учитывает нестационарность процесса теплопроводности и описывает течение экструдата не в отдельных зонах, а в экструдере в целом. Используются следующие предположения: 1) частицы гранулята ведут себя подобно сплошной среде; 2) твердая пробка находится в контакте со всей стенкой канала и движется как поршень; 3) глубина шнекового канала постоянна; 4) зазоры пренебрежимо малы. Векторное поле давления было получено путем решения уравнений методом конечных элементов, поле температуры - методом сеток. Как отмечает автор, полученные результаты могут иметь ценность при формировании управляющего воздействия в системе управления экструдером. Указано, что адекватность разработанной модели была обоснована верификацией на промышленных установках, однако информации об этом в работе не приведено.

Для исследования процессов переработки полимеров в одношнековых экструдерах разрабатываются целые программные комплексы. Разработка одного из таких программных продуктов обсуждается в работе [27]. В основу «UNIVERSAL SCREW» заложена трехмерная математическая модель процессов тепломассопереноса полимерного расплава в канале одношнекового пластицирующего экструдера, охватывающая все функциональные зоны. Данная модель учитывает: нелинейные свойства экструдата, конвекцию расплава в условиях фазового перехода, влияние потока материала через зазоры. Используются классические упрощающие предположения: стационарность процесса, обращенное движение, отсутствие диффузии тепла вдоль канала шнека, неизменность скорости и плотности пробки гранул, неучет упругих процессов, превалирование сил вязкого трения. Полученная система дифференциальных уравнений, с соответствующими граничными условиями, описывающая процесс тепломассопереноса и плавления в шнековом канале, решается методом конечных разностей с пошаговым продвижением по длине канала, при котором на каждом шаге в поперечном сечении рассчитываются необходимые характеристики. В работе указано, что тестирование разработанного программного продукта проводилось путем сравнения расчетных результатов с экспериментальными данными работ [28, 29] и дало положительный результат. Расхождение по давлению не превышало 20 %, а по температуре - 5 %.

Возможности «UNIVERSAL SCREW» продемонстрированы в [30, 31]. В [30] с его помощью проведен численный анализ процессов теплообмена расплава полиэтилена в винтовом канале при учете наличия теплопроводности шнека в условиях фазового перехода. В [31] на основе математической модели, изложенной в [30] выполнено численное исследование процессов течения и тепломассопереноса нагревостойких полимерных материалов. Получены напорно-расходные характеристики, температурные поля, картины изменения формы пробки. Все это свидетельствует об эффективности использования разработанного программного комплекса «UNIVERSAL SCREW».

Примером использования программного комплекса ANSYS FLUENT для решения задачи о течении и теплообмене расплава полимера, на примере полиэтилена, в зоне дозирования одношнекового экструдера является работа [32]. Для постановки трехмерной математической модели задачи также используются классические упрощающие предположения (процесс стационарный, массовый расход постоянный, развертка канала на плоскость, приближение ползущего течения), которые позволяют перейти к моделированию процесса течения и теплообмена в длинном прямоугольном канале, верхняя стенка которого движется с постоянной скоростью. Система дифференциальных уравнений в частных производных включает уравнения движения, неразрывности, энергии и реологический закон (в данном случае степенной с зависимостью вязкости от температуры). Предполагается отсутствие перетоков через гребни. В результате решения получены напорно-расходные характеристики. Отмечается значительное влияние диссипативного разогрева. Программный комплекс ANSYS также был применен в работе [33] для исследования влияния учета теплопроводности шнека.

Для описания процессов течения в шнековых каналах наиболее распространены одно-и двумерные модели. Анализу использования данных моделей, построенных в декартовой (плоские модели) и в цилиндрической (осесимметричные модели) системах координат, посвящена работа [34]. При построении математических моделей применяются классические упрощения. Численная реализация базируется на методе конечных элементов с применением итерационных процедур для неньютоновского случая. Было отмечено, что отличие напорно-расходных характеристик для одно- и двумерных моделей при достижении величины отношения глубины шнекового канала к его ширине равной 0,2 превышает 10 % и с ростом величины отношения отличие возрастает. При стремлении значения данного отношения к нулю разница между одно- и двумерными моделями практически исчезает. Кроме этого, при выборе между одномерной плоской и одномерной осесимметричной моделями предпочтение стоит отдавать плоской модели, поскольку она позволяет получать напорно-расходные характеристики с большей точностью. Различие полученных напорно-расходных характеристик для двумерных плоской и осесимметричной моделей минимально.

Исходя из всего вышесказанного, можно сделать следующие выводы:

1. Исследование процессов течения и тепломассопереноса расплава полимерного материала в винтовых каналах одношнековых экструдеров остается актуальным, в силу активного использования полимеров в современной промышленности. Ввиду того, что натурные эксперименты требуют больших затрат, методы математического моделирования являются основным инструментом для исследования течения расплава полимерного материала в винтовых каналах одношнековых экструдеров.

2. Существующие методики численных расчетов, основанные на применении метода конечных разностей и метода конечных элементов, а также использовании пакетов прикладных программ, достаточно трудоемки в реализации.

3. На основе анализа литературных данных можно заключить, что следующие предположения о характере течения в канале шнека являются общепринятыми: 1) процесс стационарный и полностью установившийся; 2) массовый расход постоянный; 3) возможно использование принципа обращенного движения и приближения ползущего течения; 4) в большинстве практически важных случаев можно пренебречь перетеканием расплава через гребни; 5) необходимо учитывать зависимость вязкости расплава от скорости сдвига и

температуры; 6) тепловыделение за счет вязкой диссипации является, как правило, существенным фактором, влияющим как на кинематику течения, так и на распределение температуры вдоль шнека; 7) диффузионным теплопереносом вдоль канала можно пренебречь, т.е. возможно сведение уравнения теплопроводности к параболическому типу, что в свою очередь позволяет использовать маршевый метод для расчета температуры вдоль канала шнека.

В настоящей работе описывается достаточно простая в реализации методика расчета параметров течения и тепломассопереноса расплавленного полимерного материала в зоне дозирования канала одношнекового экструдера. При этом учитываются сформулированные выше упрощения и предположения о характере течения. Для численной реализации требуется применение только лишь метода Ньютона и метода прогонки. В качестве реологической модели допускается использование практически любой зависимости вязкости от температуры и скорости сдвига, а также различных граничных условий для вектора скорости и температуры на поверхностях шнека и корпуса. Настоящая работа обобщает результаты, полученные в [35], в которой рассматривалась модель степенной жидкости.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При формулировке физико-математической постановки задачи будем исходить из ряда упрощающих предположений, являющихся общепринятыми [12, 17, 18]. В качестве геометрической модели винтового канала будем использовать его развертку на плоскость. Это является обоснованным, если глубина канала много меньше радиуса шнека [34]. Предполагается также, что отношение ширины канала к его глубине больше 3 [19]. Последнее позволяет рассматривать течение в серединном продольном сечении без учета влияния боковых стенок. Перетоком жидкости через гребень шнека будем пренебрегать, т.к. расстояние между гребнем и корпусом экструдера обычно мало, даже по сравнению с глубиной канала [22].

Как известно течение вязкой жидкости в экструдере характеризуется малыми числами Рейнольдса [12], что позволяет использовать модель ползущего течения. Тогда, пренебрегая влиянием гравитационных сил, уравнения движения можно записать в виде:

где о. =-р5. + т.. - компоненты тензора напряжений, р - давление, 5.. - символ Кронекера, т.. - компоненты тензора вязких напряжений х. - координаты (рис. 1). К ним следует присоединить уравнение неразрывности

до..

-Л- = 0, I,. = 1 ^ 3,

где V - компоненты вектора скорости.

Рис. 1. Область решения

Реологическое поведение экструдируемой среды может быть различным. Ограничиваясь возможным нелинейно-вязким поведением и зависимостью вязкости от температуры, представим связь тензора вязких напряжений, скоростей деформации и температуры в форме:

т„ = 2п

Здесь п - вязкость, А = (ё^ё^ )1/2 - второй инвариант тензора скоростей деформаций, ёу = (Эу; / дх] + дуу. / дх;) - компоненты тензора скоростей деформаций, Т - температура. Функция п(А, Т) должна определяться, исходя из реологических свойств конкретной перерабатываемой среды.

Будем рассматривать обращенное движение: шнек неподвижен, а корпус вращается с угловой скоростью шнека. Как показывает анализ, проведенный в [14], такой вариант модели плоского течения является наиболее приемлемым.

При выполнении указанных условий имеем:

V = хэХ

V = ^2( ХэХ

V = 0,

р = р( Хр Х2).

Тогда уравнение неразрывности выполняется тождественно, а уравнения движения принимают вид:

Эт13 _ др

дх3 дх1 '

^ ,

дх3 дх2

= 0.

дх3

Для расчета температуры жидкости в серединном продольном сечении канала шнека экструдера используется уравнение энергии, записанное в форме

„ дТ д 2Т 2 рСрУ1 — = ^тг + ПА ,

дх1 Эх

где р - плотность экструдируемой среды, Cp - коэффициент теплоемкости,

X - коэффициент теплопроводности. Уравнение (5) учитывает основные тепловые эффекты: конвекцию вдоль канала, перенос тепла теплопроводностью между корпусом и шнеком и тепловыделение за счет вязкой диссипации. Температурный градиент в направлении оси х2 (от гребня к гребню) считается малым в виду выравнивания температуры за счет циркуляционного течения, так что T = T(х1, х3). Перенос тепла за счет теплопроводности

вдоль канала также не учитывается, и уравнение (5) имеет параболический тип. Подробное обоснование сделанных предположений проведено в [13]. Граничное условие на входе для уравнения (5):

T(0,х3) = TN, х3 е [0,H], TN - температура расплава полимера на входе. Граничные условия на стенках шнека и

корпуса заключаются в выполнении условий прилипания, а также предположении, что температура последних известна. В этом случае:

Vi

T(Хр0) = Ts (Xi), T(Xi,H) = TB(Xi).

В выражениях (6) V - скорость движения корпуса, ф - угол нарезки винтовой линии, Т (х1), Тв (х1) - распределение температуры на стенках шнека и корпуса соответственно. Первые два уравнения (4) дают:

д Г д Л

дх3

дх3

ду,

п—1

дх

V их3 у

Г Л

= Р2

ду2

п—2

V дх3 у

= Р1^

где р1 =др / дх1, р2 =др / дх2. Градиенты давления р1, р2 должны иметь постоянные значения. Это следует из того, что левые части уравнений (7) зависят от переменной х3, а правые от х1 и х2 .

Математическая формулировка задачи включает уравнения (5), (7), граничные условия (6), реологическое соотношение для п(А, Т) и требует задания величин р1, р2. Последнее эквивалентно заданию массовых расходов в направлениях х1, х2, которые равны производительности экструдера и нулю соответственно. При этом градиенты давления р1, р2 являются неизвестными, определяемыми в результате решения задачи. Уравнения движения (7) можно проинтегрировать, что дает:

^=х5 - СД

дх3 п

д2=х - С,).

дх3 п

Здесь С1, С2 - константы интегрирования. Основные уравнения удобно представить в безразмерной форме. Для этого используются следующие масштабы: для координаты х - длина винтового канала Ь, для координаты х3 - глубина канала Н,

для скорости - V, для давления - ПсУ / Н , где п0 - значение эффективной вязкости при

характерной скорости сдвига, равной V / Н и характерной температуре Т0, входящей в

различные реологические модели Безразмерные переменные связаны с исходными формулами:

- х - х2 _ V; _ П - рН 2 . . „

х = , х2 =—, =—, п =—, р; = —, ; = 1 ^ 2. 1 Ь 2 Н 1 V 1 по поУ

Тогда уравнения (8) при переходе к безразмерным переменным с сохранением прежних

обозначений не изменятся, а уравнение энергии (5) приобретет вид:

2

ОгУ1 — = -т + БгпА2,

дх1 дх3

где вг = рС^Н2 / ХЬ - число Гретца, которое является отношением времени достижения

теплового равновесия за счет теплопроводности (рСрН2/ Х) ко времени, которое

характеризует пребывание жидкости в канале шнека (Ь / V). Параметр Бг = п^2 / Х является аналогом числа Бринкмана [14], имеет размерность температуры и характеризует интенсивность тепловыделения за счет вязкой диссипации. В уравнении (9) все слагаемые имеют размерность температуры ввиду того, что температура не обезразмеривается, т.к. это не приводит к упрощению постановки задачи.

В безразмерном виде в граничных условиях изменятся лишь соотношения для составляющих скорости на поверхности корпуса:

Э

V (1) = cos ф,

1 (10) v2 (1) = sin ф.

Уравнения движения (8) с учетом граничных условий прилипания на поверхности шнека можно еще раз проинтегрировать:

}

v,( Х3) = Pi J—-- dx3,

; 11

v2(x3) = p2 J——С)dx3. о П

Следовательно, для вычисления значений скоростей v1, v2 по формулам (11) требуется определение величин p1, p2,С1,С2, которые обозначим y1, y2, y3, y4 соответственно. Граничные условия (10), а также выражения для объемных расходов на единицу ширины в направлениях x1, x2 позволяют записать систему их четырех нелинейных уравнений:

f

y1 J

3 J3- dx3 - cos ф = 0,

о П

У2 J —y4) dx3 - sin ф = 0,

0 П (12) УJ'^ dx, -ft = 0,

f

п

1(x3 - y4)(1 - ^ d.x = 0.

J

0 П

При получении последних двух уравнений принято во внимание, что:

1 У 1

Ц g (x)dx = | g (х)(1 - х^х,

0 0 0

где g (х) - произвольная функция. Безразмерное значение объемного расхода через единицу ширины канала 4 получается по формуле:

П

41 =-,

1 3600рУЖ

где П - производительность экструдера.

Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений (12) совместно с уравнением (9) и граничными условиями для температуры (6) для вычисления профилей скорости у1, у2 и температуры Т во всех поперечных сечениях канала (2 < I < т +1), а также распределения давления р вдоль канала.

МЕТОД РАСЧЕТА

Уравнение энергии (9) имеет параболический тип, поэтому для его решения можно использовать маршевый метод, т.е. расчет температуры проводится слева направо. Численная модель основывается на конечно-разностной дискретизации области решения, которая покрывается равномерной расчетной сеткой. Узлы сетки нумеруются числами I, ] (1 < I < т +1,1 < ] < п +1) (рис. 2). В каждом сечении данное уравнение решается методом

прогонки. Одновременно решается система уравнений (12) для нахождения скоростей у1, у2. Для этого используется итерационный метод Ньютона. Так как для расчета температуры требуется знание компоненты вектора скорости уь а для расчета скоростей необходимо знать значение температуры, то возникает необходимость в организации дополнительного

итерационного процесса. Таким образом, реализуются два итерационных процесса: локальный (решение системы (12)) и глобальный (решение уравнения (9) совместно с решением системы (12)).

Рис. 2. Расчетная сетка

Алгоритм решения состоит из следующих действий:

1. Задаются входные данные (реологические и теплофизические характеристика перерабатываемого полимера, геометрия экструдера, производительность, скорость вращения корпуса).

2. Задается температура полимера на входе в канал и распределение температуры на поверхности шнека и корпуса.

3. Задается начальное приближение итерационного процесса метода Ньютона для решения системы (12), в качестве которого используется аналитическое решение данной системы в ньютоновском приближении (входная температура известна).

4. Организуется локальный итерационный процесс на основе метода Ньютона для вычисления значений вязкости, компонент вектора скорости и их производных, а также безразмерных градиентов давления на входе в канал (г = 1) (рис. 2). В результате решения системы нелинейных уравнений получаются значения следующих величин: у1 = р1, у2 = р2, у3 = С1, у4 = С2. Далее рассчитываются компоненты вектора скорости поперек канала,

а также средняя скорость вдоль канала по формуле трапеций.

5. Далее вычисляются температура, вязкость, компоненты вектора скорости и их производных в следующих сечениях (2 < г < т).

5.1. Задается начальное приближение для компонент скорости и вязкости (с предыдущего сечения).

5.2. Вычисляются прогоночные коэффициенты, затем температура в г-м сечении.

5.3. Организуется локальный итерационный процесс на основе метода Ньютона для вычисления значений вязкости, компонент скорости и их производных в г-м сечении.

5.4. Рассчитывается среднемассовая температура и давление.

5.5. В соответствии с вышеуказанным, организуется глобальный итерационный процесс для согласования решений уравнения (9) и системы (12).

Для удобства реализации метода Ньютона система (12) используется в виде:

Л (У,) = о, к, I = 1 - 4.

Конечно-разностное представление уравнения (9) имеет вид:

Т

г, 1

Т Т

Т-1,1 _ 1+1

2Т ..+ Т ..

г, 1-1

Аху

Ах;

+ Ф.

^ 1 -

где Фг 1 = По'А2;'. В (13) конвективный член аппроксимирован разностью против потока (при у1; 1 > 0), что позволяет устойчивым образом вычислить температуру в г-м сечении

методом прогонки. В случае возникновения отрицательных значений компоненты скорости у1; . используется среднерасходное значение скорости, что позволяет избежать неустойчивости процесса расчета. Для реализации метода прогонки (13) используется в виде:

- АА у+1+ВТ у - СТ у-1 = О.

Здесь

А = 1

В. = 2 + вг ^ - у1

Ах1

С = 1

Ах2

О = Ф. АХз2 + Ог ^ - .1,..

Прогонка реализуется стандартным образом [36], причем в случае необходимости нет никаких препятствий для применения граничных условий второго рода (например, адиабатичный шнек).

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Для проверки адекватности использованной математической модели и метода решения проведено сопоставление полученных результатов с данными других авторов. На первом этапе проверки рассматривается случай изотермического течения в винтовом канале одношнекового экструдера степенной жидкости [34]. Реологическое уравнение в размерной форме имеет вид:

П = ВА"-1,

где В - коэффициент консистенции, В = 15260 Пах", п - показатель нелинейности. При переходе к безразмерным переменным с сохранением прежних обозначений получаем:

П = А"-1.

Геометрические и технологические параметры экструдера приведены в табл. 1 согласно [34].

Таблица 1

Значения параметров

Обозначение Наименование Значение Ед. измерения

Ь Длина винтового канала 1,0 м

Ширина канала шнека 0,054 м

н Глубина канала шнека 0,003175 м

ф Угол подъема винтовой линии 17,65 град.

V Скорость вращения поверхности корпуса 0,133 м/с

р Плотность материала 810 кг/м3

Получены напорно-расходные кривые для значений показателя нелинейности п = 1,0 и 0,4. Объемный расход экструдера изменялся от 0 до 1,240-5 м3/с. На рис. 3 показано сравнение авторских результатов с данными работы [34]. Видно, что расхождение между кривыми незначительное, т.е. в данном случае обоснованным является использование одномерной плоской модели течения.

Рис. 3. Напорно-расходные кривые при «=1,0 (а), п=0,4 (б), сплошная линия - авторские результаты, пунктирная - результаты [34]

На втором этапе проверки рассматривается случай неизотермического течения расплава полистирола с неньютоновским поведением в канале одношнекового экструдера. Анализ данного течения представлен в работах [17, 21]. В качестве реологического уравнения используется степенной закон и температурная зависимость в виде [17]:

П = цо Ап~1в~Ь

где цо - коэффициент эффективной вязкости расплава полистирола при Т = То и А = 1,

Ь - температурный коэффициент вязкости. В соответствие с выбранными масштабами и с сохранением прежних обозначений уравнение (14) записывается в безразмерных переменных:

П = А"-1е-Ь(Т-То).

Значения геометрических параметров экструдера, а также реологических и теплофизических параметров полистирола выбираются в соответствии с [17] и представлены в табл. 2.

Таблица 2

Значения параметров

Обозначение Наименование Значение Ед. измерения

Ь Длина экструдера о,96 м

Б Ширина канала шнека о,Ю2 м

Н Глубина канала шнека о,ооб м

Ф Угол подъема винтовой линии 17,66 град.

У Скорость вращения поверхности корпуса о,628 м/с

П Производительность экструдера 51о кг/ч

Тб Температура стенок шнека 22о оС

Тв Температура стенок корпуса 22о оС

Ти Начальная температура полистирола 22о оС

То Температура приведения полистирола 2оо оС

п Параметр нелинейности о,36 -

Цо Эффективная вязкость Ю8оо Н-с/м2

X Коэффициент теплопроводности о,21 Вт/м^ оС

Ср Коэффициент теплоемкости 2ооо Дж/кг^ оС

Ь Температурный коэффициент вязкости о,о22 1/ оС

р Плотность 99о кг/м3

Кривая изменения давления вдоль винтовой длины канала шнека представлена на рис. 4. Характер кривой имеет небольшое отклонение от линейного из-за больших значений вязкости расплава и, как следствие, значительного тепловыделения за счет вязкой диссипации.

Среднемассовая температура вычисляется по формуле [17]:

1 н

Тт = - ГухТйхъ.

0

Изменение последней вдоль винтовой длины канала шнека показано на рис. 5. Наблюдается увеличение значения среднемассовой температуры от 220 оС на входе в канал до 237 оС на выходе. Рис. 6 иллюстрирует распределение температуры по безразмерной высоте канала шнека в различных сечениях х1. Температурные профили в окрестности

входного сечения имеют два пика, которые по мере приближения к выходу сглаживаются за счет теплопроводности. Разогрев полимера в канале обусловлен наличием диссипации тепла за счет работы сил вязкого трения, вследствие чего температура расплава на выходе значительно выше начальной температуры полистирола и температуры корпуса экструдера. Дополнительно на рис. 4 - 6 представлены данные работ [17, 21]. Наблюдается хорошее согласование приведённых результатов.

Для проверки аппроксимационной сходимости предложенного численного алгоритма проанализировано распределение поперечной составляющей вектора скорости во входном сечении, полученное на равномерных сетках 11x11, 41x41, 71x71, 101x101 (рис. 7). Профили не имеют существенных различий, что говорит об аппроксимационной сходимости вычислительного алгоритма. Все представленные расчеты были получены на сетке 101x101.

Рис. 4. Изменение давления вдоль винтовой длины канала шнека, сплошная линия - авторские результаты, 1 - [17], 2 - [21]

Рис. 5. Изменение среднемассовой температуры вдоль винтовой длины канала шнека, сплошная линия - авторские результаты, I - [17], II - [21]

Рис. 6. Изменение температуры по высоте канала

шнека в различных сечениях х1: 0,79 м (1); 1,58 м (2); 2,37 м (3); 3,17 м (4); сплошная линия -авторские результаты, I - [17], II - [21]

Рис. 7. Профили поперечной компоненты скорости у2, вычисленные при различных сеточных разбиениях: 1 - 11x11, 2 - 41x41, 3 - 71x71, 4 - 101x101

Поскольку описанная численная модель адаптирована для расчета течений полимерных расплавов, нелинейно-вязкое поведение которых может быть описано различными реологическими уравнениями, на третьем этапе проверки исследовалась задача о течении полиэтилена низкой плотности Ьиро1еп 1800Н в зоне дозирования винтового канала одношнекового экструдера [22].

Зависимость вязкости Ьиро1еп 1800Н от скоростей сдвига и температуры описывается реологическим уравнением Керри-Яшидо [22]:

П = ц0а

где п - показатель нелинейности, ц0, ш - реологические константы. Температурный коэффициент а имеет вид зависимости типа Аррениуса:

а = ехр

(

Ь

1 1

V

т т

0 у

Геометрия зоны дозирования приведена в табл. 3, реологические и теплофизические характеристики Ьиро1еп 1800Н - в табл. 4 [22].

Таблица 3

Геометрия зоны дозирования

Обозначение Наименование Значение Ед. измерения

ь0 Длина экструдера 0,45 м

Ширина канала 0,0388 м

н Глубина канала 0,003 м

ф Угол подъема винтовой линии 17,66 град.

Таблица 4

Реологические и теплофизические характеристики Lupolen 1800Н

Обозначение Наименование Значение Ед. измерения

Т0 Температура приведения 423,15 К

п Параметр нелинейности 0,334 -

Эффективная вязкость 12156 Па-с

ш Реологическая постоянная 0,6247 с

1 Коэффициент теплопроводности 0,21 Вт/

Ср Коэффициент теплоемкости 2780 Дж/

Ь Температурный коэффициент вязкости 5533 К

р Плотность 785 кг/м

В качестве начальной температуры задается температура полимерного расплава на входе в канал, на внутренней поверхности корпуса и шнеке задаются распределения температуры, которые определяются путем линейной интерполяции заданных значений. Технологические параметры процесса, а также значения температур для двух случаев приведены в табл. 5.

Таблица 5

Начальные данные

Вариант об/мин П, кг/ч Po, МПа оС Длина канала, мм Длина канала, мм

25 160 295 430 0 135 270 450

Температура корпуса, оС Температура шнека, оС

1 100 12,6 0,9 152 176 190 203 214 172,5 190,5 207 221

2 200 43,8 8,1 153 151,3 139,1 132,5 150,6 171,5 160 157,5 174

На рис. 8, 9 показаны кривые распределения перепада давления (рис. 8) и среднемассовой температуры (рис. 9), рассчитанной по формуле (15), вдоль безразмерной длины винтового канала в зане дозирования. Данные результаты получены для двух вариантов задания технологических параметров процесса и значений начальной температуры и температур стенок корпуса и шнека. Дополнительно представлены расчетные и

экспериментальные данные работ [22, 23]. Результаты на рис. 8, б, и рис. 9, а демонстрируют хорошее согласование, как с расчетными, так и с экспериментальными данными [22, 23].

На рис. 8, а и рис. 9, б, отклонение немного больше. Стоит отметить, что результаты настоящей работы (рис. 8, 9) более приближены к результатам эксперимента, чем расчетные данные работы [22]. Сравнение с данными [22] для второго варианта задания входных данных также проводилось в работе [10], где численные результаты были получены с применением пространственной модели течения с использованием пакета ЛМБУБ.

Рис. 8. Перепад давления и вдоль безразмерной длины винтового канала в зоне дозирования: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2, (1) - расчетные данные [22], (2) - экспериментальные данные [23],

сплошная линия - авторские результаты

Рис. 9. Изменение среднемассовой температуры вдоль безразмерной длины винтового канала в зоне дозирования: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2, (1) - расчетные данные [22], (2) - экспериментальные данные [23], сплошная линия - авторские результаты

Заметим, что значение среднемассовой температуры в выходном сечении канала значительно выше начальной температуры рассматриваемого полимера, что говорит о разогреве расплава за счет тепла, выделяемого в результате работы сил вязкого трения, а также за счет тепла, подводимого от стенок корпуса и шнека.

Процесс разогрева полиэтилена по мере продвижения по каналу в зоне дозирования наглядно иллюстрирует рис. 10, на котором представлены поля температуры перерабатываемого материала в двух случаях (табл. 5). В первом случае (рис. 10, а) значений технологических параметров процесса и температуры стенок шнека и корпуса наблюдается более сильный разогрев полиэтилена, по сравнению со вторым вариантом. Это связно с тем, что в первом случае задаваемые значения температуры гораздо выше, как начальной температуры, так и значений во втором случае. Кроме того, влияние на интенсивность разогрева оказывает значение производительности, которое во втором случае существенно

выше. При увеличении производительности среднее время пребывания расплава в канале уменьшается, в результате чего происходит и уменьшение температуры.

Существенное влияние диссипативного разогрева на картину течения иллюстрирует рис. 11, на котором представлено поле температуры без учета разогрева материала за счет вязкой диссипации.

а) б)

Рис. 10. Поле температуры: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2

Рис. 11. Поле температуры без учета вязкой диссипации: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2

Кинематические характеристики течения для двух вариантов задания начальных условий приведены на рис. 12 - 14. На профилях продольной скорости у1 (рис. 12, а) имеется

участок отрицательных значений скоростей, но это не означает, что имеет место движение расплава в обратном направлении оси экструдера.

Рис. 12. Компонента вектора скорости у1: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2, сплошаня линия - входное сечение, штрихпунктирная - серединное сечение, пунктираня - выходное сечение

Частицы расплава движутся по спиралевидным траекториям от входа к выходу, что иллюстрируется рис. 13, где показаны профили осевой скорости . Отметим также, что

кинематические характеристики течения достаточно консервативны по отношению к изменениям температуры и давления в винтовом канале.

б) \

- ! .7 — , s^ ^ s-' "

-1 i 1 1

" \ \ \\ А 1 1 I 1

-0,1 О 0,1 0,2 0,3 v2

Рис. 13. Компонента вектора скорости г2: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2, сплошаня линия - входное сечение, штрихпунктирная - серединное сечение, пунктираня - выходное сечение

Рис. 14. Компонента вектора скорости v/: (а) - вариант 1, (б) - вариант 2, сплошаня линия - входное сечение, штрихпунктирная - серединное сечение, пунктираня - выходное сечение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время для расчета течения расплава полимера в зоне дозирования используются достаточно сложные численные методики, основанные на применении метода конечных разностей и метода конечных элементов, а также существующих пакетов (ANSYS Fluent, Universal Screw 12). Описанная в настоящей работе численная модель основывается на приближении «сложного сдвига». Для численной реализации предложено совместное использование итерационного метода Ньютона для вычисления профилей скорости и маршевого метода для расчета температуры с согласованием в общем итерационном процессе. Данный подход, реализуемый достаточно просто, дает хорошее соответствие результатов экспериментальным данным и данным других работ, использующих гораздо более сложные численные модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Carley J. F., Mallouk R. S., McKelvey J. M. Simplified flow theory for screw extruder // Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 1953, vol. 45, pp. 974-978.

2. Mohr W. D., Saxton R. L., Jepson C. H. Theory of mixing in the single-screw extruder // Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 1957, vol. 49, pp. 1857-1862.

3. Mohr W. D., Mallouk R. S. Flow power requirement, and pressure distribution of fluid in a screw extruder // Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 1959, vol. 51, pp. 765-770.

4. Li Y., Hsieh F. Modeling of flow in a single screw extruder // Journal of Food Engineering, 1996, vol. 26, pp. 353-375.

5. Alves M., Barbosa J., Prata A. Analytical solution of single screw extrusion applicable to intermediate values of screw channel aspect ratio // Journal of Food Engineering, 2009, vol. 92, pp. 152-156.

6. Черняев В. В. Математическое моделирование влияния геометрических параметров шнека на процессы тепломассопереноса // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. 2012. № 6. С. 85-92.

7. Conelly R., Kokini J. Examination of the mixing ability of single and twin screw mixers using 2D finite element method simulation with particle tracking // Journal of Food Engineering, 2007, vol. 79, pp. 956-969.

8. Cruz D., Pinho F. Analysis of isothermal flow of a Phan-Thien-Tanner fluid in a simplified model of a single-screw extruder // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2012, vol. 167, pp. 95-105.

9. Lawal A., Kalyon D. Analysis of nonisothermal screw extrusion processing of viscoplastic fuids with significant back flow // Chemical Engineering Science, 1999, vol. 54, pp. 999-1013.

10. Труфанова Н. М., Ершов С. В. Численный анализ неизотермических процессов течения расплавов полимеров в зоне дозирования экструдера для различных пространственных математических моделей и реологических законов // Вычислительная механика сплошных сред. 2017. Т. 10, № 2. С. 153-163.

11. Березин И. К., Копысов С. П. Численная процедура расчета течения вязкоупругой жидкости при экструзии // Химическая физика и мезоскопия. 2012. Т. 14, № 2. С. 206-211.

12. Тадмор З., Гогос К. Теоретические основы переработки полимеров / пер. с англ. под ред. Р.В. Торнера М.: Химия, 1984. 632 c.

13. Торнер Р. В., Акутин М. С. Оборудование заводов по переработке пластмасс. М.: Химия, 1986. 400 с.

14. Раувендаль К. Экструзия полимеров / пер. с англ. под ред. А.Я. Малкина. СПб.: Профессия, 2008. 768 с.

15. Ким В. С. Теория и практика экструзии полимеров. М.: Химия, КолосС, 2005. 568 с.

16. Басов Н. И., Брой В. Техника переработки пластмасс. М.: Химия, 1985. 528 с.

17. Fenner R. Principles of polymer processing. The Macmillan Press LTD, 1979. 176 p.

18. Янков В. И., Боярченко В. И., Первадчук В. П. Переработка волокнообразующих полимеров. Том 2. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. 998 c.

19. Пономарева М. А., Филина М. П., Якутенок В. А. Циркуляционное течение высоковязкой неньютоновской жидкости в канале одношнекового экструдера // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 2 (40). С. 97-107.

20. Lawal A., Kalyon D. Noimisothermal model of single screw extrusion of generalized Newtonian fluids // Numerical Heat Transfer. Part A: Applications. An International Journal of Computation and Methodology, 1994, vol. 26, iss. 1, pp. 103-121.

21. Chiruvella R. Y., Jaluria Y., Sernas V., Esseghir M. Extrusion of non-Newtonian fluids in a single-screw extruder with pressure back flow // Polymer Engineering and Science, 1995, vol. 36, no. 3, pp. 358-367.

22. Syrjälä S. Numerical simulation of nonisothermal flow of polymer melt in a single-screw extruder: a validation study // Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. An International Journal of Computation and Methodology, 2000, vol. 37, iss. 8, pp. 897-915.

23. Kuhnle H. Die Strömung von Kunstsoffschmelzen in Einschneckenextrudern, Doctoral thesis, Universität Stuttgart, 1988.

24. Ferretti G., Montanari R. A finite-difference method for the prediction of velocity field in extrusion process // Journal of Food Engineering, 2007, no. 83, pp. 84-92.

25. Щербинин А. Г., Труфанова Н. М., Савченко В. Г. Влияние геометрических параметров шнека на работу экструдера // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. 2009. № 3. С. 4-14.

26. Сагиров С. Н. Исследование и моделирование процесса движения полимера в одношнековом экструдере // Фундаментальные исследования. Технические науки. 2011. № 12. С. 179-183.

27. Субботин Е. В., Труфанова Н. М., Щербинин А. Г. Разработка программного продукта для исследования процессов переработки полимерных материалов в одношнековых экструдерах // Кабели и провода. 2011. № 5 (330). С. 018-022.

28. Tadmor Z., Klein I. Engineering principles of plasticating extrusion. New York: Van Nostrand Reinhold Co, 1970. 500 p.

29. Agur A., Vlachopoulos J. Numerical simulation a single screw plasicating extruder // Polymer Engineering & Science, 1982, vol. 22, no 17, pp. 1084-1094.

30. Субботин Е. В., Труфанова Н. М., Щербинин А. Г. Численный анализ процессов тепломассопереноса полимеров в винтовом канале экструдера с учетом теплопроводности шнека // Вычислительная механика сплошных сред. 2015. Т. 8, № 3. С. 329-339.

31. Труфанова Н. М., Субботин Е. В., Щербинин А. Г., Казаков А. В., Ершов С. В. Математическое моделирование процессов тепломассообмена при экструзии нелинейных полимерных композиций и экспериментальное исследование их свойств // Вестник Пермского научного центр. 2017. Т. 3. С. 80-85.

32. Бачурина М. В., Щербинин А. Г. Моделирование процессов течения и теплообмена расплава полимера в зоне дозирования одношнекового экструдера // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. 2012. № 6. С. 138-143.

33. Пузанов М. В., Субботин Е. В. Численное исследование процессов экструзии полимерных материалов при различных условиях теплообмена на шнеке // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Электротехника, информационные технологии, системы управления. 2014. № 10. С. 20-28.

34. Субботин Е. В., Труфанова Н. М., Щербинин А. Г. Численное исследование течений полимерных жидкостей в канале шнекового экструдера на основе одно- и двухмерных моделей // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5, № 4. С. 452-460.

35. Бессонова М. П., Пономарева М. А., Якутенок В. А. Расчет течения степенной жидкости в одношнековом экструдере // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 49. С. 81-104.

36. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

NUMERICAL SOLUTION OF POLYMER MELT FLOW PROBLEM IN A SINGLE SCREW EXTRUDER

Bessonova M. P., Ponomareva M. A., Yakutenok V. A. Tomsk State University, Tomsk, Russia

SUMMARY. A simple numerical method for solving the polymer melt flow problem in the channel of a single-screw extruder is proposed. The mathematical model of the flow process taking into account the presence of a circulation flow, non-Newtonian behavior of the processed material and the heat generation due to the viscous dissipation of energy is offered. Plane model of the screw and creeping flow model are used. The reversed motion is considered: the screw is assumed to be fixed and the extruder cylinder is movable. The rheological behavior of a polymer melt can be different. It is assumed that the behavior of the polymer melt is nonlinearly viscous. Therefore, a used rheological equation takes into account the dependence of viscosity on temperature and strain intensity. Taking into account the boundary conditions and the predetermined flow rate the equations of motion reduced to four nonlinear equations. To calculate the temperature of a polymer melt, energy equation is used that takes into account the main thermal effects: heat generation due to the viscous dissipation of energy, convection along the channel and heat transfer by heat conduction between the body and the screw. The Newton's method and the marching method are used for the numerical solution four nonlinear equations and energy equation. In order to verify the proposed method, three problems of polymer melt flow in the channel of the extruder screw were solved. Two rheological models were considered: power-law and Carreau-Yasuda. The reliability of the obtained results is confirmed by comparison with the literature data.

KEYWORDS: single-screw extruder, non-isothermal flow, mathematical model, non-Newtonian fluid, power-law model, Carreau-Yasuda model.

REFERENCES

1. Carley J. F., Mallouk R. S., McKelvey J. M. Simplified flow theory for screw extruder. Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 1953, vol. 45, pp. 974-978. https://doi.org/10.1021/ie50521a032

2. Mohr W. D., Saxton R. L., Jepson C. H. Theory of mixing in the single-screw extruder. Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 1957, vol. 49, pp. 1857-1862. https://doi.org/10.1021/ie50575a031

3. Mohr W. D., Mallouk R. S. Flow power requirement, and pressure distribution of fluid in a screw extruder. Journal of Industrial and Engineering Chemistry, 1959, vol. 51, pp. 765-770. https://doi.org/10.1021/ie50594a034

4. Li Y., Hsieh F. Modeling of flow in a single screw extruder. Journal of Food Engineering, 1996, vol. 26, pp. 353-375. https://doi.org/10.1016/0260-8774(95)00016-X

5. Alves M., Barbosa J., Prata A. Analytical solution of single screw extrusion applicable to intermediate values of screw channel aspect ratio. Journal of Food Engineering, 2009, vol. 92, pp. 152-156. https://doi.org/10.1016/i.ifoodeng.2008.10.037

6. Chervyaev V. V. Matematicheskoye modelirovaniye vliyaniya geometricheskikh parametrov shneka na protsessy teplomassoperenosa [Mathematical modeling of the influence of the geometric parameters of the screw on the processes of heat and mass transfer]. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Perm National Research Polytechnic University], 2012, no. 6, pp. 85-92.

7. Conelly R., Kokini J. Examination of the mixing ability of single and twin screw mixers using 2D finite element method simulation with particle tracking. Journal of Food Engineering, 2007, vol. 79, pp. 956-969. https://doi.org/10.1016/iifoodeng.2006.03.017

8. Cruz D., Pinho F. Analysis of isothermal flow of a Phan-Thien-Tanner fluid in a simplified model of a single-screw extruder. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2012, vol. 167, pp. 95-105. https://doi.org/10.1016/i.innfm.2011. 10.007

9. Lawal A., Kalyon D. Analysis of nonisothermal screw extrusion processing of viscoplastic fuids with significant back flow. Chemical Engineering Science, 1999, vol. 54, pp. 999-1013. https://doi.org/10.1016/S0009-2509(98)00446-1

10. Trufanova N. M., Ershov S. V. Chislennyy analiz neizotermicheskikh protsessov techeniya rasplavov polimerov v zone dozirovaniya ekstrudera dlya razlichnykh prostranstvennykh matematicheskikh modeley i reologicheskikh zakonov [Comparative analysis of heat and mass transfer processes in the extruder dosing zone with the use of different spatial mathematical models and rheological law]. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2017, vol. 10, no. 2, pp. 153163. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.2.13

11. Berezin I. K., Kopysov S. P. Chislennaya protsedura rascheta techeniya vyazkouprugoy zhidkostipri ekstruzii [Numerical calculation of current procedure viscoelastic fluid during extrusion]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2012, vol. 14, no. 2, pp. 206-211.

12. Tadmor Z., Gogos C. Principles of Polymer Processing. New York: John Wiley & Sons, 1979. 984 p.

13. Torner R. V., Akutin M. S. Oborudovaniye zavodovpo pererabotke plastmass [Equipment for plastic processing plants]. Moscow: Khimiya Publ., 1986. 400 p.

14. Rauwendaal C. Polymer Extrusion. Munich: Hanser Publishers, 1986. 950 p.

15. Kim V. S. Teoriya i praktika ekstruzii polimerov [Theory and practice of extrusion of polymers]. Moscow: Chemistry Publ., 2005. 568 p.

16. Basov N. I., Broy B. Tekhnika pererabotki plastmass [Plastics processing technology]. Moscow: Chemistry Publ., 1985.

528 p.

17. Fenner R. Principles of polymer processing. The Macmillan Press LTD, 1979. 176 p.

18. Yankov V. I., Boyarchenko V. I., Pervadchuk V. P. Pererabotka voloknoobrazuyushchikh polimerov. Tom 2 [Fiber-forming polymer processing. Volume 2]. Moscow, Izhevsk: R&C Dynamics Publ., 2005. 998 p.

19. Ponomareva M. A., Filina M. P., Yakutenok V. A. Tsirkulyatsionnoye techeniye vysokovyazkoy nenyutonovskoy zhidkosti v kanale odnoshnekovogo ekstrudera [Circulatory high-viscosity non-Newtonian fluid flow in a single-screw extruder channel]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics], 2016, no. 2(40), pp. 97-107. https://doi.org/10.17223/19988621/40/10

20. Lawal A., Kalyon D. Noimisothermal model of single screw extrusion of generalized Newtonian fluids. Numerical Heat Transfer. Part A: Applications. An International Journal of Computation and Methodology, 1994, vol. 26, iss. 1, pp. 103-121. https://doi.org/10.1080/10407789408955983

21. Chiruvella R. Y., Jaluria Y., Sernas V. Extrusion of non-Newtonian fluids in a single-screw extruder with pressure back flow. Polymer Engineering and Science, 1995, vol. 36, no. 3, pp. 358-367. https://doi.org/10.1002/pen.10422

22. Syrjälä S. Numerical simulation of nonisothermal flow of polymer melt in a single-screw extruder: a validation study. Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. An International Journal of Computation and Methodology, 2000, vol. 37, iss. 8, pp. 897-915. https://doi.org/10T 080/10407780050045883

23. Kuhnle H. Die Strömung von Kunstsoffschmelzen in Einschneckenextrudern, Doctoral thesis, Universität Stuttgart, 1988.

24. Ferretti G., Montanari R. A finite-difference method for the prediction of velocity field in extrusion process. Journal of Food Engineering, 2007, no. 83, pp. 84-92. https://doi.org/10.1016/ijfoodeng.2007.01.002

25. Scherbinin A. G., Trufanova N. M., Savchenko V. G. Vliyaniye geometricheskikh parametrov shneka na rabotu ekstrudera [The influence of geometrical parameters of the screw on the extruder]. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Perm National Research Polytechnic University], 2009, no. 3, pp. 4-14.

26. Sagirov S. N. Issledovaniye i modelirovaniye protsessa dvizheniya polimera v odnoshnekovom ekstrudere [Analysis and modeling of polymers motion in single screw extruder]. Fundamentalnyye issledovaniya [Fundamental research], 2011, no. 12. pp. 179-183.

27. Subbotin E. V., Trufanova N. M., Shcherbinin A. G. Razrabotka programmnogo produkta dlya issledovaniya protsessov pererabotki polimernykh materialov v odnoshnekovykh ekstruderakh [Development of a software product to study the processing of polymer materials in single-screw extruders]. Kabeli iprovoda [Cables and wires], 2011, no. 5(330), pp. 18-22.

28. Tadmor Z., Klein I. Engineering principles of plasticating extrusion. New York: Van Nostrand Reinhold Co, 1970. 500 p.

29. Agur A., Vlachopoulos J. Numerical simulation a single screw plasicating extruder. Polymer Engineering & Science, 1982, vol. 22, no 17, pp. 1084-1094. https://doi.org/10.1002/pen.760221706

30. Subbotin E. V., Trufanova N. M., Shcherbinin A. G. Chislennyy analiz protsessov teplomassoperenosa polimerov v vintovom kanale ekstrudera s uchetom teploprovodnosti shneka [Numerical analysis of heat and mass transfer of polymer in extruder screw channel taking into account thermal conductivity of screw]. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2015, vol. 8, no. 3, pp. 329-339. http://dx.doi.org/10.7242/1999-6691/2015.8.28

31. Subbotin E. V., Trufanova N. M., Shcherbinin A. G., Kazakov A. V., Ershov S. V. Matematicheskoye modelirovaniye protsessov teplomassoobmena pri ekstruzii nelineynykh polimernykh kompozitsiy i eksperimentalnoye issledovaniye ikh svoystv [Mathematical modeling of heat and mass transfer in the extrusion of non-linear polymer compositions and experimental studies of their properties]. Vestnik Permskogo nauchnogo tsentra [Perm Scientific Center Journal], 2017, vol. 3, pp. 80-85.

32. Bachurina M. V., Shcherbinin A. G. Modelirovaniye protsessov techeniya i teploobmena rasplava polimera v zone dozirovaniya odnoshnekovogo ekstrudera [Modeling the processes of flow and heat transfer of polymer melt in the dosing zone of a single-screw extruder]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Perm National Research Polytechnic University], 2012, no. 6, pp. 138-143.

33. Puzanov M. V., Subbotin E. V. Chislennoye issledovaniye protsessov ekstruzii polimernykh materialov pri razlichnykh usloviyakh teploobmena na shneke [The numerical study of extrusion processes polymer materials under various heat exchange conditions on the screw]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Perm National Research Polytechnic University], 2014, no. 10, pp. 20-28.

34. Subbotin E. V., Trufanova N. M., Shcherbinin A. G. Chislennoye issledovaniye techeniy polimernykh zhidkostey v kanale shnekovogo ekstrudera na osnove odno- i dvukhmernykh modeley [Numerical study of polymer fluid flows in the channel of a screw extruder using one-and two-dimensional models]. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2012, vol. 5, no. 4, pp. 452-460. http://dx.doi.org/10.7242/1999-6691/2012.5.4.53

35. Bessonova M. P., Ponomareva M. A., Yakutenok V. A. Raschet techeniya stepennoy zhidkosti v odnoshnekovom ekstrudere [Calculation of a power-law fluid flow in a single-screw extruder]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics], 2017, no. 49, pp. 81-104. https://doi.org/10.17223/19988621/49/8

36. Roache P. Computational fluid dynamics. Hermosa Publishers, 1976. 446 p.

Бессонова Мария Петровна, аспирант ФТФ ТГУ, e-mail: bessonova.mp@mail. ru

Пономарева Мария Андреевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной газовой динамики и горения ФТФ ТГУ

Якутенок Владимир Альбертович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики ФТФ ТГУ