О реализации функций алгебры логики BDD, вложенными в единичный куб

4. Алексеев О. Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1986.

5. Штовба С.Д. Муравьиные алгоритмы // ExponentaPro. Математика в приложениях. 2003. № 4(4). С. 9-15.

6. Glover F., Laguna М. Chapter 3: Tabu search // Modern Heuristics Techniques for Combinatorial Problems / Ed. by C.R. Reeves. Blackwell Scientific Publications, 1993. P. 70-141.

7. Raghavan R. Probabilistic construction of deterministic algorithms: approximating packing integer programs // J. of Computer and System Sciences. 1988. 37. P. 130-143.

8. КостенкоВ. А., Смелянский P. JI., Трекин А. Г. Синтез структур вычислительных систем реального времени с использованием генетических алгоритмов // Программирование. 2000. № 5. С. 63-72.

9. Головкин Б. А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. М.: Радио и связь, 1983.

10. Brucker P. Scheduling algorithms. Springer, 2001.

11. Тимошевская Н.Е. Параллельные методы обхода дерева // Матем. моделир. 2004. № 16(4). С. 105-114.

12. Коффман Е.Дж., Грэхем Р. Л. Теория операционных систем. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 19.04.06

УДК 519.71

С. А. Ложкин, О. Б. Седелев

О РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ BDD, ВЛОЖЕННЫМИ В ЕДИНИЧНЫЙ КУБ1

1. Введение. В настоящее время достаточно распространенной моделью реализации функций алгебры логики (ФАЛ) наряду со схемами из функциональных элементов (СФЭ) являются двоичные решающие диаграммы (BDD). Напомним, что BDD представляют собой, по существу, специальный частный случай контактных схем [1] и были введены в рассмотрение в 1959 г. C.Y. Lee [2]. Им же были получены следующие оценки для функции Шеннона L(n), которая равна сложности самой "сложной" ФАЛ от га булевских переменных (БП) при их реализации в классе BDD:

2" 2" — < L(n) ^4--1.

2 ra v 7 га

Позднее В.А. Кузьмин установил [3], что

<г\П

£(») = -( 1±о(1)),

а С.А. Ложкин [4] получил для функции Шеннона L(n) асимптотические оценки высокой степени точности:

Т( \ 2" (Л + -Lin = — 1 ± о 1

га \ \ п

Во многих случаях для дальнейшего использования построенной схемы необходима ее геометрическая реализация, т.е. вложение определенного вида в ту или иную заданную геометрическую структуру. В качестве такой структуры часто выступают плоские прямоугольные решетки, или, иначе, клеточные схемы (см., например, [5, 6]), а в последнее время — единичный га-мерный куб. При этом

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00745).

рассматриваются различные типы вложений (см., например, [7]) и, в частности, гомеоморфные [7, 8] вложения.

В данной работе рассматривается геометрическая реализация BDD, связанная с их гомеоморфны-ми вложениями в единичные кубы, при которых вершины BDD переходят в вершины единичного куба, а ребра — в ребра или так называемые транзитные цепи единичного куба, не имеющие общих внутренних вершин. При этом критерием "сложности" BDD считается минимальная размерность единичного куба, в который возможно вложение указанного вида для этой BDD. Обычным образом определяется значение рассматриваемого функционала сложности для произвольной ФАЛ /, а затем вводится соответствующая функция Шеннона R(n), которая равна минимальной размерности единичного куба, допускающего для любой ФАЛ f(xi,...,xn) гомеоморфное вложение хотя бы одной реализующей ее BDD.

Основной результат работы заключается в установлении следующих оценок2: га — [log log(ra) — log 3 + o(l)J ^ R(n) <i n — [log log(ra) + 3 + o(l)J.

2. Основные определения и некоторые вспомогательные утверждения. Напомним основные понятия3, связанные с реализацией ФАЛ с помощью BDD и гомеоморфными вложениями BDD в единичные кубы.

Пусть В = {0,1} и Вп (га-я декартова степень множества В) — единичный га-мерный куб (гиперкуб), являющийся областью определения ФАЛ / : Вп —> В от булевских переменных (БП) х = (ж!,...,ж„). С единичным кубом будем связывать неориентированный граф, вершинами которого являются наборы этого куба, а ребрами — пары соседних наборов, т.е. наборов, отличающихся только в одном разряде.

Известно, что в ориентированном ациклическом графе [11] всегда есть хотя бы один исток, т.е. вершина без входящих в нее ребер, и хотя бы один сток, т.е. вершина без исходящих из нее ребер, а путь не имеет продолжения тогда и только тогда, когда он заканчивается в стоке.

Двоичная решающая диаграмма от БП х = ..., хп) — это ориентированный ациклический граф Е = Е(ж) с одним истоком, в котором каждому стоку приписывается либо 0, либо 1, а каждой вершине, отличной от стока, приписывается БП Х{ (i £ {1,...,га}) и предполагается, что из такой вершины выходят два ребра, одно из которых помечено символом 0, а другое — символом 1.

Заметим, что любой набор а={а\,.. .,«„) из В" задает в BDD Е(ж) путь который начина-

ется в истоке Е и, проходя через вершину с пометкой Xi, следует дальше по дуге с пометкой оц до тех пор, пока не достигнет одного из стоков Е. Считается что BDD Е(ж) реализует ФАЛ /(ж), которая принимает значение а, а £ В, на наборе а, а £ Вп, тогда и только тогда, когда путь Съ{а) заканчивается в стоке с пометкой а. Легко видеть, что любая ФАЛ f(x) может быть реализована с помощью BDD Еf, получающейся из полного га-ярусного двоичного дерева Dn, ребра которого ориентированы от корня к листьям, в результате приписывания всем его вершинам ¿-го яруса (i £ {1,..., га}) БП Х{ и нанесения на каждый его лист, соответствующий пути С^(а), где а £ Вп, пометки f(a). Заметим, что указанная BDD по существу представляет собой контактное дерево от БП х (см. [1]) и моделирует совершенную ДНФ ФАЛ /.

Напомним далее, что подразбиением [11] графа G называется любой граф G, получающийся из G в результате замены его ребер простыми цепями, которые не имеют общих внутренних вершин и не проходят через вершины графа G. При этом предполагается, что неориентированные (ориентированные) ребра заменяются цепями из неориентированных (соответственно ориентированных в том же направлении) ребер. Указанное подразбиение задает естественное отображение вершин и ребер графа G в вершины и простые цепи графа G, которые называются основными вершинами и транзитными цепями данного отображения соответственно.

Гомеоморфным вложением графа G' в граф G" называется отображение, задающее изоморфизм некоторого подразбиения G' графа G' на граф G", который либо является подграфом графа G", либо может быть получен из такого подграфа в результате придания ориентации некоторой части его неориентированных ребер. При этом основными вершинами и транзитными цепями рассматриваемого вложения считаются те вершины и цепи графа G", которые при указанном изоморфизме являются

2 Эти оценки усиливают аналогичные оценки из [9].

3Те понятия, которые не определены в данной работе, могут быть найдены в [3, 10, 11].

образами основных вершин и транзитных цепей подразбиения С соответственно. Остальные вершины графа С называются свободными вершинами. Заметим, что любой граф С можно гомеоморфно вложить в единичный куб В" при достаточно большом га. Определим величину Д(С) как минимальное значение размерности куба Вп, допускающего гомеоморфное вложение графа С.

Известно (см., например, [12]), что дерево £)„ можно гомеоморфно вложить в куб Вп+1, т.е. Д(£>„) «С га + 1.

Обозначим через Д(/) минимальное значение величины по всем ВББ Е, реализующим

ФАЛ /. Введем, далее, функцию Шеннона Я(п) обычным образом:

Д(га) = шах Д(/).

Из упоминавшихся выше результатов следует, в частности, что

К(п) ^ п + 1.

Напомним [1], что вентильной звездой называется граф, состоящий из га ориентированных ребер, входящих в одну и ту же вершину — центр звезды.

Лемма 1. Для любого га и любых различных вершин ..., юп, из В" существует гомеоморфное вложение в Вп, основными вершинами которого являются вершины ..., юп, причем вершина является образом центра Zn.

Доказательство. Индукцией по га докажем, что в кубе Вп найдутся цепи С\,... ,Сп такие, что для любого г 6 {1,..., га} цепь C¿ соединяет вершину VI с вершиной г>„+1, причем цепи С\,..., Сп не имеют общих вершин, кроме г>„+1.

Заметим, что в кубе В2 любые две вершины г>2 могут быть соединены с любой вершиной г>з требуемыми цепями.

Покажем теперь, что если утверждение верно для куба Вп~1, то оно верно и для куба В".

Пусть в В" выбраны произвольным образом различные вершины г>1,.. которые необходи-

мо соединить вышеуказанным образом. Пусть далее вершинам .. .,и„+1 соответствуют двоичные наборы а1 = (а\,..., а*), о? = (а\,..., а^), ..., й"+1 = (а"+1,...,

В силу известного факта [1] о том, что тупиковый диагностический тест для таблицы с га различными столбцами имеет длину, не превосходящую (га — 1), найдется число ] 6 {1,...,га} такое, что мощность множества А', состоящего из наборов: а1 = (а\,..., а)+п    > ап) £ -В"-1, а2 = (а\,..., а2_1,а2+1,..., а2п) Е Вп~г, ..., а" = (а..., а1]_1,а1]+1,..., а") £ Вп~г, равна га. Это

означает, что в Вп существуют два непересекающихся подкуба В^'3 и В"'3 размерности (га — 1), состоящие из наборов с 0 и 1 в ^'-м разряде соответственно, такие, что любая из вершин принадлежит одному из них, а их проекции на каждый из подкубов различны.

Пусть в единичном кубе Вп вершине г/ 6 В™-1 соответствует набор а' = (<У15... ,а'п), а вершине у" 6 -В"-1 — набор а" = (а",..., а"). Будем говорить, что вершина и" является соседней для вершины V1 в подкубе .В"-1, если для любого i 6 {1,..., га}, i ф а[ = а" и аф а".

Для любой вершины Vi (г 6 {1,...,га+ 1}), принадлежащей подкубу В^'3, ее соседнюю вершину из куба В^'3 обозначим через

В силу вышесказанного все вершины VI и и-, I 6 {1,..., га}, различны.

Для определенности будем считать, что вершина принадлежит подкубу В"'3.

Покажем, как на основе предположения индукции осуществить соединение вершин с

вершиной не имеющими общих вершин, кроме цепями С\,.. - ,Сп.

Пусть в кубе В"'3 расположены некоторые из вершин ..., Для удобства будем считать, что это вершины VI,..., , где к 6 {1,...,га}.

Возможны два случая.

1. Если к < га, то вершины ...,уп расположены в кубе В^'3. Соединим вершины .. .

у'к+1,..., с вершиной цепями С\,..., С&, ,..., С'п_1, не имеющими общих вершин, кроме вершины Для каждого г 6 {к + 1,..., га — 1} цепь, состоящую из ребра и цепи С- обозначим

через C¿. Соединим вершину г>„ с у'п+1 цепью С'п, принадлежащей кубу В™-1 и не содержащей ни одной из вершин ..., (это возможно в силу предположения индукции). Цепь, состоящую из

цепи С'п и ребра обозначим через Сп. Искомые цепи построены (рис. 1 ,а).

Рис. 1

2. Если к = га, то все вершины расположены в кубе В"'3. Среди вершин

найдется такая вершина VI, что оставшиеся вершины можно соединить с вершиной цепями,

принадлежащими кубу В"'3 и не имеющими общих вершин, кроме вершины причем так, что ни

одна из этих цепей не содержит вершину Действительно, проведем в кубе В"'3 не имеющие общих вершин, кроме цепи С\,.. .,Сп-\ из вершин .. . ,и„_1 в вершину (это возможно в силу

предположения индукции), и если никакая из них не содержит вершину юп, то г = га. Если же цепь Ссоединяющая вершину с вершиной г>„+1, где ] £ {1,... ,п— 1}, содержит вершину юп, то вместо вершины соединим с г>„+1 вершину цепью Сп, представляющей собой часть цепи С^ от вершины и„ до вершины и таким образом, г = ]. Соединим вершину Vi с и- ребром, затем проведем цепь

в кубе -Во "'' соединяющую вершину и- с вершиной цепью С, и соединим вершину с г>„+1

ребром Таким образом, мы построили все необходимые соединения (рис. 1,6).

Пусть теперь все вершины .. .,юп находятся в кубе В^'3. Среди них найдется такая вершина VI, что ее можно соединить с вершиной цепью С, все вершины которой принадлежат В^'3, причем

такой, что она не содержит ни одной из вершин ... ,юп, кроме самой вершины Найти эту вершину можно следующим образом: проведем цепь, соединяющую вершину г>„ и вершину Если эта цепь

не содержит ни одной из вершин .. . ,г>„_1, то ] = га. Если же она содержит некоторые из вершин VI,.. .,г>„_1, то среди них найдется вершина г>т такая, что часть цепи С от г>т до не содержит

никаких других вершин из ... ,юп. Таким образом, в качестве вершины Vi возьмем вершину ит. Оставшиеся из вершин .. .,юп соединим с так: соединим их с их соседними вершинами в кубе В"'3 и эти соседние вершины соединим с (рис. 1,е) по индуктивному предположению.

Лемма доказана.

2. Вложение ЕШО в единичный куб. Поведение функции Шеннона Я(п). Нижняя оценка функции Шеннона Я(п) для размерности единичного куба при вложении ВББ получается из обычных

мощностных соображений.

Лемма 2. Для R(n) справедлива следующая нижняя оценка:

R

Доказательство. Пусть А (га, г) — число различных BDD от га булевых переменных х\,..., хп, которые можно вложить в единичный куб Вг. Докажем верхнюю оценку вида

А(п, г) ^ ((га + 4)г(г - 1))2\

Действительно, при вложении BDD от га БП в Вг каждой вершине куба может быть поставлен в соответствие один из следующих символов: ... ,ж„, 0, 1, либо вершина может быть внутренней вершиной транзитной цепи или свободной вершиной вложения. Далее, для любой вершины, которой сопоставлена вершина BDD, существует не более чем r(r — 1) вариантов выбора ее выходных ребер и присвоения им пометок 0 или 1, после чего вложение полностью определено.

Требуемая нижняя оценка (1) получается из решения обычного мощностного неравенства:

((га + 4)i?(ra) (R(n) - 1))2Щп) 2 22™ .

Лемма доказана.

Теорема. Для R(n) справедлива следующая верхняя оценка:

R

Доказательство. На первом этапе, используя метод, основанный на работах [1, 4], построим для произвольной ФАЛ /(жi,.. . ,ж„) специальную BDD Е/.

Пусть q — число, которое можно представить в виде q = 22 + то, где то = 0,1, 2,.... Произведем разбиение единичного куба Bq от БП xi,...,xq на построенные в соответствии с [1] то-регулярные множества наборов Aj, i = 1,..., 2q~m, соответствующие системе из всех 22 ФАЛ от БП х\,..., хт. Из [1] следует, что на множестве наборов Ai любая ФАЛ от переменных xi,...,xq совпадает с одной из переменных xm+i,... ,xq или ее отрицанием.

Пусть Xi — характеристическая функция множества Ai. Тогда любая ФАЛ от q переменных /(ж 1,..., xq) может быть представлена в виде

f(Xl,..., Xq) = xlX% v... v ж,

где ai G {0,1}.

Для любой ФАЛ /(Ж1,.. . ,ж„) искомая BDD Е/ строится на основе представления: /(ж) = \J Xq+1 > ••• i ХпП f{xli ••• J xqi 1J • • • > °n) =

"<3 + 1 !•••!<''IS

— т. 21! — m

= V xq+1 ' • • •' xn ( V XiXj; = \J Xi i \J Xq+1 ) • • • ) ХпП XJ

<T, + 1,...,<T„ 4 ¿ = 1 / i = 1 4(<T9 + 1,...,<T„) = /3

При этом BDD Ef включает в себя следующие подграфы (рис. 2):

1) D' — дерево из q ярусов, реализующее все конъюнкции от переменных х\,..., xq (в корне дерева расположена вершина х\, на втором ярусе — вершины и т.д.);

2) D — граф, состоящий из дерева D', листья которого объединены в группы по 2т в каждой так, что D реализует характеристические функции Х\,.. .,Х2д-™',

3) каждое дерево Di, i = 1,.. .,29_m, состоит из дерева, реализующего все конъюнкции от переменных жд+1,..., ж„ (при этом в корне дерева расположена вершина xq+i, на втором ярусе — вершины xq+2 и т.д.), к листьям которого присоединены деревья (из одного яруса) переменных жj , реализующие ФАЛ х"^. Таким образом, каждое дерево Di, i = 1,.. .,29_m, является деревом из га — q + 1 ярусов.

На втором этапе необходимо вложить BDD Е/ в единичный куб как можно меньшей размерности.

Возьмем гиперкуб В размерности га —то + З и разделим его на два непересекающихся подкуба В1 и В" размерности га —то+ 2. В кубе В' выделим непересекающиеся подкубы В[, В'2, В'4 размерности га — то (рис. 3,а).

О' £>1

Рис. 3

Пусть множества А^о и А^ являются иодкубами одинаковой размерности куба Вп. Назовем подкуб А^о проекцией иодкуба А^ по переменным ..Xij, если для каждой вершины и? подкуба А^о (которой в кубе В" сопоставлен набор («5,...,«°) 6 В") существует и притом единственная вершина и* подкуба АГ1 (которой в кубе В" сопоставлен набор (а\,.. . £ В") и при этом а°к ф а\ только тогда, когда к £ {¿1,..., В этом случае вершину V* мы будем называть проекцией вершины и? по переменным ..Xij.

Два подкуба назовем соседними, если один из них является проекцией другого по одной переменной.

В кубе В'2 выделим 2д~т непересекающихся подкубов размерности п — д (В2 1, В'2 2, • • •, В'2 2я~т) (рис. 3,5).

Потребуем, чтобы выполнялось неравенство

д + 1 < п — д.

В каждом единичном кубе В2 ¿ (г = 1,... ,2д~т) размерности га — q выделим иодкуб В'2 ¿ 1 размерности q + 1 и соседний с ним В2 i 2. В иодкуб В2 1 1 вложим дерево D'. В каждом единичном кубе В2 ¿ 2 (i = l,...,29_m) выделим вершину u¿ и будем считать, что именно ей при вложении будет соответствовать корень дерева D¿.

Проведем проекции из подкуба В2 1 1 в под куб В2 1 2 тех листьев дерева D', которые должны быть соединены с вершиной г>1 (т.е. тех 2т листьев дерева D', которые объединены в группу, реализующую характеристическую функцию Xi), и соединим их с t>i (т.е. с вершиной, в которую затем будем вкладывать корень дерева D\) так, как это сделано в лемме 1 (что возможно в силу неравенства 2m < q + 1).

Проведем проекции из подкуба В2 п в под куб В2 2 1 всех остальных листьев дерева D'. Проведем проекции из подкуба В2 2 1 в под куб В2 2 2 тех проекций листьев дерева D', которые должны быть соединены с вершиной г>2, и соединим эти проекции с г>2 и Т-Д- Для всех t>i,..., v2Q-m (мы сможем обойти весь куб, поскольку в нем возможен гамильтонов цикл).

Покажем, как вложить деревья Di (i = 1,..., 2q~m) так, чтобы корнем дерева Di была вершина u¿. Проведем из вершины u¿ путь (состоящий из одного ребра) в куб В[ ¿ (т.е. соединим ее с соседней вершиной куба В[ ¿) и путь, состоящий из двух ребер в куб В" ¿, причем вначале соединим вершину u¿ с соседней в кубе В'4 ¿, а потом эту вершину в свою очередь соединим с соседней в кубе В" ¿. Эти пути будем считать первым ярусом дерева Di. Далее из вершины первого яруса дерева Di, расположенной в кубе В[ i, проведем пути в куб В'3 ¿ и куб В"¿, а из вершины первого яруса, расположенной в кубе В"i, проведем пути (состоящие из одного ребра) в кубы В2 ¿ и В"¿. Эти пути будем считать вторым ярусом дерева Di. Вложим оставшиеся части дерева D¡ (начиная с третьего яруса) в кубы В'3 ¿, В"¿, В2 i и В" i (это возможно, так как эти части являются деревьями из га — g — 1 ярусов и могут быть вложены в кубы размерности га — q).

Итак, BDD вложена в куб размерности га — т + 3. В процессе вложения были использованы следующие ограничения:

су т

g + 1 < га — q, q = 2 +m.

Откуда

ra > 22™ + 1 + 2m+1.

Возьмем значение m = [log(logra — 2)J, которое удовлетворяет неравенству (3). Таким образом, для вложения BDD, реализующей произвольную ФАЛ от га переменных, достаточно взять куб размерности га — |_log(log га — 2)J + 3 ^ га — log log ra + 4. Теорема доказана.

Тем самым получено совпадение нижней и верхней оценок функции R(n) с точностью до константы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2004.

2. Lee С. Y. Representation of switching circuits by binary decision programs // BSTJ. 1959. 38. N 4. P. 985-1000.

3. Кузьмин В. А. Оценка сложности реализации функций алгебры логики простейшими видами бинарных программ // Методы дискретного анализа в теории кодов и схем. Сб. тр. Ин-та математики СО АН СССР. 1976. Вып. 29. С. 11-39.

4. Ложкин С.А. О сложности реализации функций алгебры логики схемами и формулами, построенными из функциональных элементов с прямыми и итеративными входами // Труды III Международной конференции "Дискретные модели в теории управляющих систем". Красновидово-98. 22-27 июня 1998. М.: Диалог-МГУ, 1998. С. 72-73.

5. Альбрехт А. О схемах из клеточных элементов // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1975. Вып. 33. С. 209-214.

6. ШкаликоваН.А. О реализации булевых функций схемами из клеточных элементов // Матем. вопр. киберн. М., 1989. Вып. 2. С. 177-197.

7. Ложкин С. А., Ли Да Мин. О некоторых оптимальных вложениях двоичных и троичных деревьев в плоские прямоугольные решетки // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995. № 4. С. 49-55.

8. SenguptaA. On ring embedding in hypercubes with faulty nodes and links // Information Processing Letters. 1998. 68. P. 207-214.

9. Седелев О.Б. Верхняя и нижняя оценки сложности реализации функций алгебры логики BDD, вложенными в га-мерный куб // Тезисы XIV Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем". Ниж. Новгород: Изд-во Нижегородского педуниверситета, 2003. С. 70-72.

10. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

11. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.

12. Hennessy М., Milner R. Algebraic laws for nondeterminism and concurrency // J. of ACM. 1985. 32. P. 137-162.

Поступила в редакцию 17.05.06

УДК 519.716

С. С. Марченков

ИТЕРАЦИЯ БУЛЕВЫХ (п, п) -ОПЕРАТОРОВ1

Многие вычислительные процедуры в математике состоят в многократном применении к аргументу одного и того же оператора (преобразования). Если изначально на число применений оператора не налагать никаких ограничений, то результаты применений могут образовать как бесконечную непериодическую, так и бесконечную периодическую последовательности. Обе возможности реализуются в различных разделах математики, а возникающие при этом последовательности исследуются на примерах конкретных операторов.

Одним из наиболее простых операторов является булев оператор (булева вектор-функция). Для осуществления многократных применений (итераций) одного и того же булева оператора к булевым наборам необходимо, чтобы число входных переменных у оператора совпадало с числом его выходных переменных. Поэтому исследование основных закономерностей, возникающих при итерациях конечных операторов, удобно проводить на булевых (га, га)-операторах. Отметим, что асимптотические вопросы сложности реализации итераций булевых (га, га)-операторов схемами из функциональных элементов подробно рассмотрены О.Б. Лупановым [1, 2] (в работах [1, 2] — степени булевых (га, га)-функций).

В первой части статьи оценивается максимальная длина орбит булевых (га, га)-операторов, т.е. максимальное число различных операторов, которые можно получить в виде итераций фиксированного (га, га)-оператора. Во второй части рассматривается вычислительная сложность одной задачи, связанной с итерациями булевых (га, га)-операторов. Устанавливается, что решение этой задачи не может быть существенно проще непосредственного перебора.

Введем необходимые понятия. Пусть Е2 = {0,1}, Р2 — множество всех булевых функций. Если га ^ 1 и (5 С Р2, то булевым (га, га)-оператором над множеством (5 называем булеву вектор-функцию вида

Ф

где /!,...,/„ — булевы функции из множества (5. Для любого натурального т через Фт обозначим то-кратную итерацию (композицию) оператора Ф. Положим

/(Ф) = у Фт.

т 1

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 06-01-00438.