Условия на линии схода свободной вихревой пелены с поверхности тела при его произвольном нестационарном движении в идеальной несжимаемой жидкости

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 06

№ 1 — 2

УДК 532.527

УСЛОВИЯ НА ЛИНИИ СХОДА СВОБОДНОЙ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ С ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ПРИ ЕГО ПРОИЗВОЛЬНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ ДВИЖЕНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. ГОЛОВКИН

Показано, что скорость перемещения линии сопряжения свободной вихревой поверхности с твердой трехмерной поверхностью совпадает со скоростью последней частицы жидкости, расположенной между этими поверхностями. Для различных типов задних кромок (угловая, гладкая, точка возврата) выведены условия сопряжения свободной вихревой поверхности с поверхностью тела, соотношения для гидродинамических особенностей (векторов завихренности и циркуляций) и скорости сноса свободной вихревой поверхности с поверхности тела, которые необходимо выполнять при пространственном нестационарном обтекании. Полученные результаты имеют принципиальное значение и могут использоваться при построении численных методов решения задач обтекания тел.

В работе получены условия на линии схода свободной вихревой пелены с поверхности тела при его произвольном нестационарном движении в идеальной несжимаемой жидкости. Во-первых, проведено распространение на трехмерный случай известного для двумерного течения результата, используемого в расчетах [1, 2] и указанного также А. А. Никольским в курсе лекций «Вихревые отрывные течения идеальной жидкости», прочитанном им в Московском физико-техническом институте в 1970 г.: показано, что скорость перемещения линии сопряжения свободной вихревой поверхности с твердой трехмерной поверхностью совпадает со скоростью последней частицы жидкости, расположенной между этими поверхностями. Во-вторых, для различных типов формы задней кромки выведены условия сопряжения свободной вихревой поверхности с поверхностью тела, соотношения для гидродинамических особенностей (векторов завихренности и циркуляций) и скорости сноса свободной вихревой поверхности с поверхности тела, которые необходимо выполнять при пространственном нестационарном обтекании. Эти результаты включают в себя выполнение теоремы Томсона о постоянстве циркуляции, а поскольку они получены из требований ограниченности и непрерывности скорости, то в этом смысле они являются, по сути, условиями типа Чаплыгина — Жуковского для случая пространственного нестационарного обтекания. Близкие к этому вопросы рассматривались в работе [3], где проведен анализ сопряжения поверхности вихревого следа с поверхностью крыла конечного размаха только с угловой задней кромкой и лишь при стационарном обтекании. В [4] для двумерного течения был проведен анализ сопряжения вихревого следа с поверхностью тела для различных типов задних кромок при нестационарном обтекании, причем случай перемещающейся точки сопряжения свободного вихревого следа с поверхностью тела не рассматривался. В работах [1, 2] и упомянутом выше курсе лекций А. А. Никольского для двумерного нестационарного течения было получено соотношение для скорости сноса линии тангенциального разрыва с поверхности тела. Интересно отметить, что в [5] указано соотношение для изменения циркуляции в точке отрыва в случае двумерного течения с учетом вязкости, которое аналогично соответствующим соотношениям, содержащимся в [2, 4]. Таким образом, представленные в данной работе результаты обобщают на трехмерный случай произвольного нестационарного

движения тела в идеальной несжимаемой жидкости условия на линии схода свободной вихревой пелены. Результаты этих исследований в сжатом виде были изложены в [6, 7]. Однако многие из принципиальных вопросов, затрагиваемых в данной статье, являются актуальными и в настоящее время, тем более, что автору не раз приходилось встречаться с работами, где эти вопросы игнорировались.

1. Общая постановка задачи и некоторые исходные соотношения. Пусть трехмерное тело с кусочно-гладкой поверхностью £ совершает произвольное нестационарное движение в безграничной идеальной несжимаемой жидкости. С поверхности тела по линии сопряжения т, которая может перемещаться и может быть замкнутой, сходит свободная вихревая поверхность — поверхность разрыва тангенциальных составляющих вектора скорости. Часть поверхности « по одну сторону от т обозначим «1, по другую сторону — «2.

Предполагается, что в окрестности линии т поверхности имеют касательные плоскости. Тогда плоскость П, нормальная к т, пересечет поверхность « по гладким в окрестности точки А ет линиям . Пусть единичные векторы , пг-, тг- образуют правую прямоугольную декартову систему координат, связанную с поверхностями «, причем вектор г- направлен вдоль линии г-, пг- нормален к поверхности «, а тг- нормален к 1 и пг- и лежит в плоскости, касательной к «. Тогда если начала этих систем координат лежат в точке А, то векторы т1 = Х2 = ^3 совпадают с касательной к линии т, т. е. с вектором т, а нормали П1 и П2 направлены внутрь тела. Область внутри тела будем обозначать G+. Таким образом, в соответствии с принятой системой осей координат направление движения вдоль линии 3 с «3 от линии т (от тела) является отрицательным.

Предполагается, что в окрестности линии т в области течения G—, не включающей в себя поверхности , отсутствуют другие поверхности тангенциального разрыва скорости жидкости, т. е. в окрестности линии т в G- скорости являются непрерывными функциями точки М е G— вплоть до границ течения «. Будем предполагать также, что поле возмущенных скоростей в области G- соленоидально. Пусть далее на свободной поверхности

где Рз+, Рз- и щп+, щп- — соответственно предельные значения давления и нормальных к £3 компонентов возмущенных скоростей с обеих сторон поверхности «3. На внешней стороне поверхности « в G-, которую будем обозначать «-, выполняется граничное условие непротекания, означающее равенство нулю нормальной компоненты относительной скорости (в системе координат, связанной с телом):

удовлетворяющие уравнению Лапласа.

В дальнейшем в п. 3—5 индексы 1, 2, 3 или  ( = 1, 2, 3) будут соответствовать поверхностям «1, «2, «3, остальные же буквенные индексы, стоящие внизу, означают проекцию на соответствующее направление, а знаки «+» и «—», в зависимости от смысла, соответствуют G+, G— или же предельным значениям величин на поверхности « со стороны отрицательного или положительного направления нормали к ней пг-.

Как известно [8], согласно формуле Стокса скорость, индуцируемая ограниченной линией т поверхностью «/ с распределенным по ней двойным слоем переменной плотности V, в точке М £ «', отстоящей на конечное расстояние от «, выражается формулой

р3+ р3- = 0, и3п+ = и3п- на «з,

уп = 0 на «-,

при этом в G— существует потенциал внешнего поля Ф^ и потенциал возмущенных скоростей ф,

Здесь Г = 4^ — циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему т/ в предположении отсутствия поверхности г' - вектор, направляемый из точки интегрирования в фикси-

рованную точку М; т' — единичный вектор касательной т' в точке интегрирования, YV — вектор

поверхностного распределения завихренности. Далее будем считать, что функции Г и yV удовлетворяют условию Липшица.

Аналогично работам [9, 10] и [11] первый интеграл в (1.3) при стремлении точки М £ к точке т0 е т' выражается формулой:

.. Г(то) 1

V = —-------с,— п +

2п г

!Ы сД+1Ы с3ш

2п г 4п

Ь' + 0

где п' — главная нормаль; Ь' — бинонормаль к т'; С1 и С2 — некоторые константы; С3 — кри-

визна линии т в точке то.

Известно [9, 12], что скорость, индуцируемая вихревым слоем, распределенным по поверхности 8/ , на границе этого слоя [второй интеграл в (1.3)] равна:

^ = Ут: (т0 )1п

п" + 0

Здесь '/V = У^т0 )ctg а = у^т0 )со8 а — проекция вектора YV на направление т', а у^т) — на направление ', нормальное т'; п'' — нормаль к поверхности 8 в точке т0; а — угол между

V ^ /

вектором у и касательной к линии т .

2. Скорость перемещения линии схода свободной вихревой пелены. Пусть линия схода т лежит на гладком участке поверхности 8. Под перемещением линии т схода вихревой пелены будем понимать деформацию ее по нормали к ней самой в плоскости, касательной поверхностям «1 или «2, так как перемещение точки линии схода по касательной к этой линии не приводит к ее деформации.

Докажем, что скорость перемещения точки А, принадлежащей линии схода т и отстоящей на конечное расстояние от ее концов, по нормали к этой линии, то есть скорость перемещения этой линии соприкосновения свободной поверхности разрыва тангенциальных компонентов скоростей с твердыми непроницаемыми поверхностями «1 и «2 , совпадает со скоростью перемещения по этому направлению предельной частицы жидкости, расположенной между двумя соприкасающимися или составляющими между собой некоторый отличный от нуля угол сторонами поверхностей «3 и, например, «2 . Для этого достаточно доказать, что проекция скорости жидкости на плоскость П, нормальную т в точке А е т в секторе, образованном поверхностями «3 и «2, относительно точки А отсутствует.

Для доказательства применим к объему жидкости д, прилегающему к А и заключенному между «2 и «3, теорему Остроградского — Гаусса:

ЦУ<ИуVAdq = vAd5,

д 5

=5

где VА — вектор, скорости жидкости в этом объеме относительно точки А; 5 = 5г- — поверх-

г=1

ность, ограничивающая этот объем; 54, 55 — поверхности, образованные плоскостями, перпендикулярными т; 51 — поверхность, образованная плоскостью, проведенной параллельно касательной к т в точке А е т под некоторым не равным нулю углом к «3; 52 с «2, 53 с «3 — части поверхностей «2 и «3 соответственно, вырезаемые указанными выше плоскостями 51, 54 и 55; будем по-

лагать, что угол пв между 82 и 83: п > пв > 0. Будем считать, что связанная с точкой A ортогональная система координат Oxyz выбрана таким образом, что ось Oz направлена по касательной к т в A, а ось Oy — по нормали к 82. В силу того, что поле возмущенных скоростей соленоидально,

имеем ^у VA = 0. Тогда из (2.1) получим:

= 0.

Здесь проекция скорости

< =0

в силу условия непротекания (1.2).

Пусть скорость по направлению т в двугранном углу, образованном поверхностями 53 и 52, с точностью до величин более высокого порядка малости представима в виде

^ = aо (х, у ) + al (х, у )z,

где функции aо (x, у), al (x, у) ограничены и непрерывны в окрестности точки А. Тогда поток вектора скорости через поверхности 54 и 55, входящий в (2.2), с точностью до величин более высокого порядка малости может быть представлен следующим соотношением:

ДО <d 8 4+и *

а 8 4 + II <5 й 85 = СХ11,

где С — некоторая константа, а величины X, У, Z — максимальные размеры объема д по направлениям осей х, у, z.

Пусть уравнение поверхности 53: ^ (х, у, z, 0 = 0 в окрестности точки А представимо в виде:

гв2

-а-,?

в3 =

0,

где Р3 > 1, в2 > 0, а3 — некоторая константа, а2 () — функция времени. Тогда, согласно [13], скорость УП3 относительно точки А, т. е. скорость перемещения поверхности 53, выразится как

А =

П3 гії

ЭК

Ъх

-в2І

Так как й83 = й зdz, то при 3 порядка малости имеем

Э^ в2

дР) +

, в2 < 1 с точностью до величин более высокого

II уА3 й 83 = с;| X 2в2| ?,

а при 3 х

У

V в2

в2 > 1, или при

в2 1 имеем

Я vAз = С'| хв2+1

5

5

3

х

3

8

3

где C[ и Cl — некоторые константы. Выражения (2.6), (2.7) запишем в виде одного:

хв2

+А

где Су = С(, А = Р2, или Су = С1, А = 1 в зависимости от порядка 3.

Так как уравнение линии 2 в окрестности точки А с точностью до малых более высокого

порядка может быть представлено в виде: у = а4хв4 (а4 — некоторая константа, Р4 > 1), то для любого Р2 > 0, входящего в (2.5), максимальный размер поверхности 5у по оси Оу может быть записан в виде:

Y = C2

Xв2 + с4 х в4,

и тогда с точностью до малых более высокого порядка площадь поверхности 5у можно представить в виде:

5, = C3YZ = C3Z

где С2, С3, С4 — некоторые константы.

Подставляя (2.3), (2.4), (2.8) в (2.2), используя теорему о среднем, учитывая (2.9), (2.10) и производя сокращение, получим:

< =-

C1 < + 2

C3 с X в2 + C4 Xв4 )

+ CX.

При стремлении объема q к нулю, т. е. при X^ 0, первое слагаемое в (2.11) для любого Р4 (Р4 >Р2, Р4 = Р2, Р4 <Р2) стремится к нулю, и, следовательно, уА ^ 0, что и требовалось доказать.

Итак, заключаем, что проекция вектора скорости жидкости на плоскость П, нормальную т, в точке А в углу, образованном поверхностями З и «2, относительно точки А е т отсутствует. Следовательно, скорость перемещения линии сопряжения т свободной поверхности тангенциального разрыва с твердой поверхностью совпадает со скоростью перемещения предельной частицы жидкости, расположенной между этими поверхностями.

Аналогично, с применением теоремы Остроградского — Гаусса доказывается, что проекция скорости жидкости относительно тела во внутреннем двугранном углу между твердыми непроницаемыми стенками на плоскость П, нормальную к линии, являющейся вершиной двугранного угла, равна нулю. Такое же доказательство можно проделать и для конической «вмятины» на теле — в этом случае полный вектор относительной скорости в углу равен нулю. Из требования непрерывности скорости жидкости в области течения 0- также следует, что когда двугранный угол между твердыми стенками является внешним, а поверхность следа «3 отсутствует, проекция скорости движения жидкости на плоскость П относительно тела в этом внешнем углу равна нулю.

Рассмотрим еще некоторые следствия из доказанного положения.

Следствие 1. В случае, когда линия 1 2 является гладкой, а проекция ут на линию схода потока т интенсивности вихрей 73 в следе в окрестности точки А не равна нулю, т. е.

уТ3 = (А3+ - уА3_ ) ) 0, свободная поверхность следа должна подходить к твердой непроницаемой

поверхности по касательной. В противном случае и в углу между линиями 3 и 2, и в углу между линиями 3 и 1 скорость в плоскости П относительно точки А по доказанному равна

5

3

л А

нулю, равны нулю и проекции на 3 скорости жидкости относительно А с верхней V 3+ и нижней

V А сторон поверхности «3, а следовательно, и ут3 = 0, что противоречит предположению. Это

утверждение следует также и из требования ограниченности и непрерывности скорости в области G_, о чем будет сказано ниже.

Следствие 2. В случае, когда линия 1 2 является гладкой и поверхность следа «3 подходит по касательной к поверхности тела, например «3 является как бы продолжением «1, а скорость перемещения линии схода потока т относительно тела равна нулю, причем в окрестности точки А имеем ут3 Ф 0, обращается в нуль и проекция на плоскость П скорости жидкости между поверхностями «2 и «3.

Следствие 3. Если след «3 сопрягается с угловой кромкой тела и в окрестности точки А интенсивность ут3 Ф 0, то он должен сопрягаться по касательной плоскости либо с поверхностью «1, либо «2 , так как в противном случае в окрестности точки А проекция вектора завихренности ут3 = 0. Действительно, пусть «3 сопряжена не по касательной; положим для определенности, что угол ( 1, 3) лежит в пределах п>( 1, 3)>0. Тогда, поскольку по доказанному проекция скорости на плоскость П относительно точки А в углу ( 1, 3) и во внутреннем углу ( 1, 2) равна нулю, то в силу свойств вихревого слоя и требования непрерывности скорости в углу ( 2, 3 ) должны выполняться соотношения: Ут38Ш ( 2, 3 ) = 0, Ут3С08 ( 2, 3 ) = Ут2 . Отсюда следует, что при ( 2, 3), не равном нулю или п, проекции векторов завихренности ут3 = 0, ут2 = 0, а также равна

нулю и проекция скорости на плоскость П. Что и доказывает сформулированное утверждение. Это также может быть получено и из требования ограниченности скоростей в области G_. Очевидно, полученные результаты применимы и тогда, когда « является тонкой несущей поверхностью.

3. Условия для гидродинамических особенностей на линии схода свободной вихревой пелены. Получим соотношения, которые должны выполняться на линии сопряжения поверхности тела и свободной вихревой пелены в любой момент времени, вытекающие из требований ограниченности и непрерывности скорости.

Требования ограниченности скорости. Пусть по поверхностям « ( = 1, 2, 3) распределен двойной слой. Запишем выражения для проекции на любое направление т вектора скорости, индуцируемой поверхностями вне этих поверхностей в точке М^ А е т. Воспользуемся для этого выражениями (1.3) — (1.5). Учитывая, что на линию т опираются поверхности «1, «2, «3, получим:

+

+ (п1 • т _Тт2п2 • т _Ут3п3 • т)1п) + О(1).

Здесь п' — главная нормаль к линии т в точке А; Ь' — бинормаль; Я — расстояние от М до А; Г — циркуляции в точке А, входящие в первый интеграл формулы (1.3); утг- — проекции векторов вихрей у, распределенных по поверхностям <«, на направление т в точке А, причем за положительное направление векторов уг- принято такое, при котором векторы г, пг-, уг- составляют правую систему координат. Так как проекции скорости, индуцируемой гидродинамическими особенностями, должны быть всюду в G_ вне ограничены и так как особенность типа Я-1 не может

быть скомпенсирована особенностью типа 1пЯ_1 при Я ^ 0, то в (3.1) в любой момент времени ^ должны выполняться следующие тождества по времени:

/г г г \| С1 1 / + С2 1 . ' + С3 ] 1 . '

= ( -Г _Г3 )| —1— п т +—2— Ь т +—Мп—Ь т у 1 2 3/1 2п Я 2п Я 4п Я

и

т

Ут1п1 • т -Ут2п2 • т _ Ут3п3 • т = 0.

Если бы по поверхностям был распределен вихревой слой, то из (1.3), (3.1) было бы получено только соотношение (3.3). Соотношение же (3.2) для этого случая также должно выполняться в любой момент времени, что следует из теоремы Томсона о постоянстве циркуляции во все время движения жидкости [8]. Таким образом, выполнение соотношения (3.2) по сути соответствует выполнению указанной теоремы Томсона в любой момент времени.

Очевидно, что (3.3) тривиально выполняется при ут1 = ут2 =Ут3 = 0, что возможно в соответствии с (1.5) при а = а2 = а = ±п/2, т. е. когда вихревые линии, лежащие на «1, «2, «3 орто-

гональны т, или в том случае, когда полные векторы завихренности на этих поверхностях равны нулю: У1 = У2 =У3 = 0.

Условие (3.3) также тождественно выполняется и для следующих комбинаций двух последних тождеств:

а = ±п/ 2, у 2 =У3 = 0; а =а2 = ±п/ 2, У3 = 0;

а2 = ±п/2, 71 =У3 = 0; а1 =а3 = ±п/2, у2 = 0;

а = ±п/ 2, У1 = У 2 = 0; а2 =а3 = ±п/ 2, У1 = 0.

Требования непрерывности скорости. Потребуем еще вблизи точки А вне « непрерывности скорости, которая геометрически означает, что в окрестности этой точки существуют лишь поверхности разрыва тангенциальных компонентов скорости . Пусть иг- — индуцированная поверхностями « скорость вблизи поверхности « . Тогда в любой момент времени между

«1 и «2: и1+ • т - и 2+ • т = 0,

«2 и «3: и2+ • т -(У 2т2 + Ут2 2 )т = и3+ • m,

«3 и «1: и1+^т-

здесь т — любое направление, причем в А: ^ = т 2 = т3 = т. Разность и сумма двух последних соотношений, входящих в (3.4), с учетом первого из них могут быть представлены в виде:

Из линейной независимости векторов т и г- следует, что для выполнения (3.5) при любом т необходимо, чтобы

У 1 -У 2-У 3 = 0

Ут1 1 • т - Ут2 2 • т-Ут3 3 • т = 0,

при этом выражение (3.6) будет выполнено в соответствии с (3.7), (3.8) и со свойствами вихревого слоя.

Докажем, что соотношение (3.8) эквивалентно (3.3). Представим т в виде суммы двух ортогональных векторов: т = тп + т т, где тт — проекция т на т, тп — проекция т на плоскость П, проходящую через А и ортогональную т. Тогда, так как вектор тт ортогонален  и пг-

(I = 1, 2, 3), соотношения (3.8), (3.3) приводятся к виду:

Ут1 1 • тП-Ут2 2 • тП-Ут3 3 • тП= 0

Ут1п1 • тП - Ут2п2 • тП - Ут3п3 • тП = °.

Запишем теперь вектор тП как: тП = С1 3 + С2^ где С1, С2 — любые числа. Тогда (3.9), (3.10) можно представить в следующем виде:

С1

С1

Так как С и С2 — любые произвольные числа, то необходимо, чтобы выражения, содержащиеся в скобках в (3.11), (3.12), обращались в ноль:

Ут1 1 • 3 -Ут2 2 • 3 -Ут3 = 0, Ут1 1 • п3 -Ут2 2 • п3 = 0,

Ут1п1 • п3 - Ут2п2 • п3 -Ут3 = 0, Ут1п1 • 3 - Ут2п2 • 3 = 0.

Но пг- • п3 =  • 3,  • п3 = пг- • 3, (I = 1, 2, 3), поэтому соотношения (3.13) эквивалентны

(3.14). Таким образом, соотношение (3.8) равносильно соотношению (3.3) и наоборот, что и тре-

бовалось доказать. Соотношения (3.14) можно также записать в виде:

С08

Итак, требования ограниченности и непрерывности скорости вне «1, «2, «3 в окрестности линии схода свободной вихревой пелены с поверхности тела приводят к необходимости выполнения в любой момент времени соотношений (3.2), (3.3), (3.7), причем выполнение (3.3) равносильно выполнению соотношений (3.14) или (3.15). Полученные соотношения согласуются с положениями п. 2. Очевидно, эти результаты применимы и к случаю, когда поверхность тела « — тонкая несущая поверхность.

4. Скорость сноса свободной вихревой пелены с поверхности тела. Для определения скорости сноса свободной вихревой пелены «3 в окрестности линии отрыва т обратимся к интегралу Коши — Лагранжа, записанному в произвольной подвижной системе координат [14]:

р^+т-т-£-Т- <41)

где р — давление; р — плотность жидкости; / (¿) — произвольная функция времени; У0 — переносная, а V — относительная скорости. Применим (4.1) с обеих сторон точки В е «3, совершающей движение вдоль следа; при В ^ А е т с учетом первого граничного условия на «3 (1.1) будем иметь:

^ _ Г3++ ^--

где Г3 = Ф3+ - ф3- — циркуляция скорости по любому контуру, пересекающему свободную поверхность «3 лишь в одной рассматриваемой точке В. Учитывая, что

Эт3 д 3 ЭГ3 ЭГ3

У3 =_дГт3 + -дТ 3, У3 ="д т3 +3 3,

д^ д^ д 3 дт3

соотношение (4.2) может быть представлено следующим образом:

йГ3 (3, з, і) дГз ЭГ3 д з ЭГ3 ЭТз ЭГ3

- +---------3—3 +-3—3 = 0, или —3 + у3 хп3 • г3 = 0,

йі ді д 3 ді дТ3 ді ді

здесь т3 и 3 — некоторые ортогональные поверхностные координатные линии на «3. Поскольку ут3 = дт3 /дх, V 3 =д 3/дх, ут3 = дГ3/д 3 , у 3 = дГ3/дт3 , (4.4) можно записать также в виде

ЭГ3

ді

+ ^У 3 + V 3Ут3 = °.

Соотношения (4.4), (4.5) выполняются в любой системе координат, так как индивидуальная производная й Г3/йх инвариантна относительно системы координат.

Представим вектор Vз в виде суммы

г3 = wА + vГ,

где wА — скорость перемещения линии схода свободной вихревой пелены в системе координат, связанной с телом, т. е. скорость перемещения точки А е т; Vз — скорость движения частиц жидкости относительно системы координат, связанной с точкой А. С учетом того, что согласно п. 2 = 0 и поверхность «3 касается

в (4.5), в силу свойства вихревого слоя

п. 2 = 0 и поверхность «3 касается либо «1, либо «2, проекции (4.6) на Т3 и 3, входящие

И3 =±123,

можно представить в следующем виде:

= ГЛ = ^3- + ^3+ = ^1- + ^2-

ут3 = ут3 =------------------------,

V 3 = wA + уА3.

Проекцию вектора завихренности у 3 в силу (3.7) и свойств вихревого слоя можно предста-

вить в виде:

У 3 = У 1 -У 2 = ^3- -^и3+ = ^1- -^2-.

Тогда в системе координат, связанной с точкой А, (4.5) запишется в виде:

+ ^У 3 + ^эУт3 = 0 или ^ ^ 2^2- + ^эУт3 = 0.

В дальнейшем будем полагать, что в соответствии с принятой в п. 1 системой координат

Vа < 0,

т. е., что вихревая пелена сходит с поверхности тела. Тогда в системе координат, связанной с точкой А, с учетом (4.7), (4.12) из (4.11) получим:

дГ3 ^ „дГ3 2 2

+ ^3У 3 I = 2^Г_ + ^1- - ^и2-,

^ ді 13 3 ) ді

откуда

Ут3 =-вщп | 2^ + ^1- - ^2- |

и, следовательно,

Итак, скорость сноса свободной вихревой пелены с поверхности тела полностью определяется соотношениями (4.6), (4.8), (4.9), (4.10), (4.14), (4.15). Эти соотношения применимы и к несущей поверхности. При относительной скорости внутри тела, равной нулю, в выражениях (4.10), (4.14) Ут1- =у 1, Ут2- =7 2.

5. Сопряжение свободного вихревого следа с поверхностью тела. Перейдем к анализу различных случаев сопряжения тела со следом, соответствующих различным видам формы задней кромки тела, или крыла, обтекаемого потоком жидкости.

Угловая задняя кромка. Пусть точка А схода потока — угловая точка линии 1 2, п1 Ф п 2, угол пв (рис. 1, а — г) изменяется в пределах 0 < пв < п, а линия схода потока т является ребром на «. Если ут3 = 0 в точке А, то из условия непрерывности и ограниченности скорости в области G_ следует (п. 3), что ут1 = ут2 = 0, а это тривиальный случай, и он рассматриваться не будет. Будем рассматривать случай, когда проекция вектора завихренности в следе на линию схода потока ут3 Ф 0. В соответствии со следствием 3 п. 2 при ут3 Ф 0 необходимо положить, что поверхность следа «3 касается либо верхней «1, либо нижней «2 поверхности тела, т. е. либо п1 п3, либо п2 п3. При этом, как следует из (3.3) или (3.14), (3.15), в первом случае ут2 = 0, во втором ут1 = 0. Пусть сначала

В соответствии с (5.1) cos (и1; n3 ) = n1 • n3 = 1 • 2 =±1. Если 1 3 =-1 (рис. 1, а, б), то необ-

жду 2 и 3 проекция скорости на плоскость П, нормальную т, равна нулю, то V 3 = ут3 /2. На рис. 1, а точка А должна двигаться справа налево вдоль поверхности «1; в противном случае не-

ветствует тривиальному случаю, а он не рассматривается. В следующий за представленным на этом рисунке момент времени поверхность «3 переместится вдоль поверхности «1 тела, и в угловой точке из условия ограниченности скоростей либо должна зародиться новая поверхность тангенциального разрыва, либо должно соблюдаться тривиальное условие ут1 = Ут2 = Ут3 = 0. Таким образом, тип сопряжения, представленный на рис. 1, а, соответствует движению следа «3 вдоль гладкой поверхности, и он будет рассмотрен ниже. При сопряжении, показанном на рис. 1, б, уТ3 > 0, Vа > 0, т. е. вихревая пелена «входит» в поверхность тела, что противоречит (4.12), (4.14), (4.15), поэтому этот вариант сопряжения не рассматривается. Кроме этого следует отметить, что при ут3 Ф 0 такой случай может иметь место лишь в единственный момент времени, так как точка А в этом случае движется со скоростью wA = у^ вдоль «1, и поверхность «3 не будет одновременно иметь общей как с «1, так и «2 линии т, в следующий момент времени. Это вызовет появление бесконечных скоростей в области течения G-, что не допускается. Таким об-

Yt2 = 0 n1 • 3 = 0 т. е. n3 n1.

Тогда согласно

Yt3 -Yt1C0S (

ходимо принять, согласно п. 4 и (5.1), что wA = V 1_ =7т1 = _Ут3. Поскольку во внешнем углу ме-

обходимо принять, что wA =ут1 =Ут3 = 0, а поскольку в силу (3.15) тогда и ут2 = 0, то это соот-

Рис. 1. Различные варианты сопряжения вихревой пелены с угловой кромкой

разом, необходимо положить: i • 3 = 1, П1 = (рис. 1, в). Тогда, согласно п. 3, wA = Yt2 = 0 и

в силу (5.2) v 1- =ут1 =Yt3, а следовательно, v 3 = vA3 = Yt3/2. Согласно соотношениям (4.13) —

(4.15) это возможно лишь при ут3 < 0, т. е. при sign(2flT3/3i + v\__ -v,^) > 0. Аналогично проводится анализ в случае, когда в выражениях (3.14), (3.15) ут1 = 0, п2 • 3 = 0, т. е. п3 п2 (рис. 1,г). В итоге получаем:

дГ n3 = nb Yt1- - Yt3 = 0, Yt2 = 0 пРи 2“д^ + VT21- - vV22 > 0 дГ

n3 = -n2, Yt2 - Yt3 = 0, Yt1 = 0 при 2 —3 + v^- -v^ < 0.

dt

Условие (5.3) является следствием требований ограниченности скорости жидкости вблизи острой кромки при yt3 (t0, непрерывности скоростей вне <S1, S2, S3 и схода вихревого следа S3 в любой момент времени именно с острой кромки тела.

Поверхность тела — гладкая. Пусть точка A расположена на гладком участке линии 1 2'

1 • 2 = 1 (рис. 2). Так как тривиальный случай нами не рассматривается, то из (3.15) получаем:

Yt3 _(yt1 _Yt2 )cos (, «3 ) = 0. Если cos (n1, n3 )= 1 • 3 =-1, т. е. n3 =-п1 =-п 2 (рис. 2, а), то необходимо принять согласно п. 2 v 1-= v 3-= wA, где wA = v 1++Yt1 = v 2++Yt1, а так как

Рис. 2. Сход вихревой пелены с гладкой поверхности

Рис. 3. Различные варианты сопряжения вихревой пелены с задней кромкой в виде точки возврата

V 3+= V 3- — ут3 = wA - Yt3, то v 3 =

vA3 = -yt3/2. В соответствии с (4.12), (4.13) в этом случае 2дГ3/dt + v2^ — v^2 <0. Рассмотрев случай, когда 1 • 3 = n • n3 = 1 (рис. 2, б), получим следующий результат:

дГ

n3 = n1, Yt3 = Yt1 -Yt2 при 2~дt3 + v21- — Vt2 > 0

[

дГ

n3 = _n2, Yt3 = Yt2 -Yt1 при 2~dt3 + vT21- -vT22 < °.

Когда же точка A неподвижна (A = 0), а скорость внутри тела равна нулю, v 1+ = v 2+ = 0,

в соотношении (5.4), согласно следствию 2 п. 2, либо yT2 = wA = 0, либо YT1 = wA = 0 и, таким образом, (5.4) преобразуется в (5.3).

Задняя кромка — точка возврата. Пусть точка A является точкой возврата линии 1 2, а линия т — ребром на поверхности тела S (рис. 3, а — в). В этом случае 2 • 3 =- 1 • 3 и

2 • n3 = - 1 • n3 = 0. В соответствии с (3.14), (3.15) при yt3 ^ 0 имеем yt3 - (yt1 + Yt2 )cos(и1, п3) = 0. Случаи cos(n1, n3 )= 1 • 3 =-1 (рис. 3, а, б) совершенно аналогичны описанным ранее и изображенным на рис. 1, а, б, и поэтому они также не рассматриваются. Следовательно, необходимо положить cos(1, П3 )= 1 • 3 = 1. Тогда из записанного выше соотношения для Yu (рис. 3, в) и свойств вихревого слоя получаем:

I Yu1 - Yu2 I ¿г с\

n3 =n1 = _n2, Y3 =Yt1 + Yт2, v 3 =-J--------2----.

Все полученные здесь соотношения применимы и к тонкой несущей поверхности. При относительной скорости внутри тела

vT1- = Y 1, vT2- = Y 2, а скорость перемещения линии схода вихревой пелены будет в соответствии с п. 2 и 5 выражаться как wA = yT1, либо как wA = yT2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Постоловский С. Н., Ильичев К. П. Расчет вихревого обтекания тел потоком несжимаемой среды при высоких значениях чисел Re // Энергетическое машиностроение, турбостроение. — 1971, № 3-70-20.

2. Постоловский С. Н., Ильичев К. П. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1971, № 6.

3. Mangler K. W., Smith J. H. B. Behaviour of the vortex sheet at the trailing edge of

a lifting wing // Aeronautical J. — 1970, Vol. XI.

4. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановившемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом // Ученые записки ЦАГИ. —

1972. Т. III, № 3.

5. Девнин С. И. Аэрогидродинамический расчет плохообтекаемых судовых конструкций. — Л.: Судостроение. — 1967.

6. Головкин М. А. Метод решения задачи об отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью произвольно движущегося трехмерного тела // Ученые записки ЦАГИ. — 1977. Т. 8, № 2.

7. Головкин В. А., Головкин М. А. Численное решение задачи о нестационарном и отрывном обтекании тел произвольной формы идеальной несжимаемой жидкостью // Труды VI Международной конференции по численным методам в гидродинамике. — Тбилиси, 20—25 июня 1978 г. Сб. докладов, т. 2, М., Ротапринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. — 1978.

8. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — М. — Л.: ОГИЗ, ГОСТЕХИЗДАТ. — 1948.

9. Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии на случай крыла с изогнутой осью и осью неперпендикулярной потоку // ПММ. — 1944. Т. VIII.

10. Дородницын А. А. Избранные научные труды. — М.: ВЦ РАН. — 1997. Т. 1, 2.

11. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир. — 1973.

12. Майкапар Г. И. К теории тонкого крыла. Приложение вихревой теории винта // Труды ЦАГИ.— 1947. Вып. 613.

13. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. — М. — Л.: ГИТТЛ. — 1949.

14. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука. — 1970. Т. 1.

Рукопись поступила 20/УІІ2004 г.