ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ (Часть I)

УДК 519.6+539.194

Г. В. Квитко, Э. Л. Кузин, Д. В. Шоть

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ

В части I статьи численно реализовано фундаментальное решение задачи Коши; решена спектральная задача для одномерного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде полинома Рт(х) (т ^ 6). Расчеты применены для модельных адиабатических потенциалов с двумя минимумами, характерных для протона в соединениях с внутримолекулярными водородными связями.

The fundamental solution of a Cauchy problem and the spectral task for a one-dimensional Schrodinger equations with potential in the form of polynomials Pm(x) (m < 6) is solved. Numerical calculations are applied to modelling adiabatic potentials with two minima characteristic for a proton in compounds with intramolecular hydrogen bonds.

Ключевые слова: уравнение Шрёдингера, протон, задача Коши, функция Грина, спектр, метод Ритца, адиабатический потенциал, численное решение.

Key words: Schrodinger equations, proton, Cauchy problem, Green's function, specter, Ritz method, adiabatic potential, fundamental solution.

Введение

Нахождение спектра, равно как и решение нестационарной задачи для ангармонических осцилляторов, — хорошо известная проблема квантовой физики. Сформулированная еще в работах создателей квантовой механики в рамках теории возмущений, она не потеряла своей актуальности и в настоящее время. Несмотря на то что ее изучению отводится важное место в любом учебнике по квантовой механике, а также посвящено значительное число статей, включающих как некоторые эвристические рассуждения, так и строгие математические результаты, эта тема еще далека от полного понимания. Известно, например, что в ряде задач квантовой теории поля, квантовой химии и физики твердого тела возникает ситуация, когда уже нельзя ограничиваться асимптотическим разложением по малому параметру h и потому приходится прибегать к нетрадиционным численным методам [1].

Рассматриваемая задача имеет чисто теоретический интерес, в этом плане можно отметить, например, работу [2], где предложена регулярная аналитическая процедура нахождения спектра уравнения Шрёдингера с вырожденным полиномиальным потенциалом типа x2m, а также и чисто практический вычислительный интерес, возникающий при численном решении конкретных задач квантовой физики [3]. Нас в большей степени будет интересовать именно вторая практическая сторона этого вопроса, связанная — в перспективе — с проблемой математического моделирова-

115

Вестник Балтийского государственного университета им. И. Канта. 2011. Вып. 5. С. 115—119.

Г. В. Квитко, Э. Л. Кузин, Д. В. Шоть

116

ния изомерных превращений, происходящих в соединениях с внутримолекулярными водородными связями — прототропных таутомерах [4; 5]. Ключевую роль в таких явлениях играют процессы, обусловленные поведением протона в потенциальном поле между некоторыми центрами (атомами), участвующими в образовании водородной связи.

Данные эксперимента показывают, что эффективный потенциал, в поле которого движется протон, имеет вид ямы с двумя ярко выраженными минимумами, разделенными потенциальным барьером. Причем иногда этот потенциал таков, что полностью исключает возможность использования теории возмущений. В простейшем одномерном случае вид этого потенциала можно аппроксимировать, например, полиномом Pm (х) (т > 4).

Настоящая работа не связана с непосредственным исследованием динамики процесса таутомерного превращения, а лишь предлагает один из возможных вариантов описания колебательного движения протона в модельных потенциалах, соответствующих начальной или конечной формам таутомера.

Ясно, что практическое решение уравнения Шрёдингера с такими потенциалами, как правило, требует применения каких-либо численных способов. Сведения о методах и схемах численного решения уравнения Шрёдингера до 1990 г. можно найти книге [6], новейшие достижения обсуждаются в работах [7; 8], описание методов, с которыми работают физики, содержится в [9].

1. Постановка задачи и выбор метода решения

В данной работе решается задача Коши для базового уравнения квантовой физики — нестационарного уравнения Шрёдингера:

^ =_ _Й_ д y

где у(х, *) е 1} (Я, йх), * е Я+; т — масса квантовой частицы (протон); Й — постоянная Планка; i — мнимая единица.

Волновая функция у(х, *) содержит в себе всю информацию о

квантовой системе, а квадрат ее модуля |у(х, *)|2, согласно принципам квантовой механики, имеет смысл плотности вероятности обнаружения системы с заданными свойствами в точке (х,Ь). Поэтому она нормирована на единицу:

Наша цель — получить численное решение уравнения (1) для потенциалов V (х), имеющих вид полиномов

П

V

к=о

и по возможности исследовать влияние конфигурации выбираемого потенциала и начальных условий на получаемые решения.

В данной работе численно реализовано фундаментальное решение у(х, *) задачи Коши (1 — 2) с произвольным потенциалом, V(x) полученное для достаточно широкого класса функций f (х):

+да

x, t) = J G

—да

где G(x, I, t) — функция Грина.

В случае задач с дискретным спектром, а именно такой спектр возникает в задачах с потенциалами рассматриваемого вида, функция Грина имеет следующий вид [10]:

G

Здесь фп (x) — собственные функции, а En — собственные значения

оператора Гамильтона

- Й2 д2

H =— ^ ^ + V

2m дх

в задаче на собственные значения (стационарном уравнении Шрёдингера):

HФп

Для фп(x) выполнены условия нормировки на единицу типа (3) и требования: фп (x) ^ 0 при x ^ + L, где L — величина соответствующая характерному размеру исследуемой системы.

В качестве начальной функции f (x) (исключительно для удобства) был взят так называемый гауссов волновой пакет с центром (q, p) и полушириной а > 0:

f

Функция (9) удовлетворяет условию нормировки (3). Центр пакета (p, q) определяют средние значения операторов координаты X = x и импульса p = —ІЙ • д / дx . Особенностью гауссовых волновых пакетов является то, что они представляют собой такие квантовые состояния, которым соответствует минимум соотношения неопределенностей Гейзенберга между координатой и импульсом.

2. Результаты численных расчетов

При отыскании решений y(x, t) задачи Коши (1 — 2), помимо технологии численно реализующей фундаментальное решение (5), был использован и традиционный классический сеточный метод — применена двухслойная неявная разностная схема Кранка — Николсона [11]. Обычно при решении нестационарного уравнения Шрёдингера переход на следующий временной слой определяется с помощью какой-

либо аппроксимации оператора эволюции: Ud(t) = exp (—i • Hd t / Й), где

Hd — некоторый сеточный аналог оператора Гамильтона H. В этом

плане схема Кранка — Николсона может быть интерпретирована как аппроксимация Паде экспоненты:

117

118

Г. В. Квитко, Э. Л. Кузин, Д. В. Шоть

Щ(() = ( - (  Нл1 ЦЬ)(Е, + і  Нл1 /2й) + 0(12),

где Е^ — единичный оператор, действующий в пространстве сеточных функций. Известно [11], что если оператор Н^ — эрмитов (как в рассматриваемой задаче), то схема Кранка — Николсона — эрмитова, абсолютно устойчива и сохраняет Ь -норму решений. При использовании этой схемы для численного решения задачи Коши был учтен ряд жестких ограничений, в частности критерий устойчивости Неймана и необходимые требования, обеспечивающие применимость матричной прогонки.

На рисунке приведены сравнительные графики (контурные), показывающие поведение модуля решения у(х, £) задачи Коши (1 — 2), которые получены на основе сеточного метода Кранка — Николсона (а) и на основе описанной выше технологии, численно реализующей фундаментальное решение (б). Расчеты проводились для одного и того же потенциала У4(х) со следующими параметрами:

— размер базиса N = 100;

— характерные параметры потенциала: У1 = 0, У2 = 5000, У3 = 50 (в см-1) заданы в экстремальных точках: х1 = -0,5, х2 = 0,0, хЗ = 0,5 (в А);

— параметры начальной функции (волнового пакета): ц = 0, р = 0,1, ст = 0,005;

— частота базисного гармонического осциллятора: Ш 0 = 2  10 с 1.

б

Рис. Модуль решения у(х, {) уравнения Шрёдингера (1) для потенциала У4(х): а — по схеме Кранка — Николсона; б — на основе фундаментального решения

а

Из приведенного рисунка четко видно хорошее совпадение результатов, полученных по двум различным технологиям.

Основная цель данной работы состояла, главным образом, в том, чтобы показать возможности предлагаемого метода решения уравнения Шрёдингера и проиллюстрировать его на некоторых практических примерах. Проведение планомерных и детальных исследований численных решений, получаемых на основе рассмотренной технологии, как для спектральной задачи, так и для задачи Коши — это цель следующей специальной работы, планируемой в рамках развития матема-

тической (квантово-статистической) модели внутримолекулярных тау-томерных превращений, предложенной в работах [4; 5].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту № 08-01-00-431.

Список литературы

1. Арсеньев А. А. Оценка функции Грина оператора Шрёдингера // Теоретическая и математическая физика. 1998. Т. 115, № 1. С. 85 — 91.

2. Вшивцев А. С., Норин Н. В., Сорокин В. И. Решение спектральной задачи для уравнения Шрёдингера с вырожденным полиномиальным потенциалом четной степени // Теоретическая и математическая физика. 1996. Т. 109, № 1. С. 85 — 91.

3. Brickmann J., Zimmermann H. Lingerig Time of Proton in Well of DoubleMinimum Potential of Hidrogen Bonds // The Journal of Chemical Physics. 1966. Vol. 50, N 4. P. 1608—1618.

4. Квитко Г. В., Кузин Э. Л., Новиков В. И. Квантовая статистическая модель внутримолекулярного таутомерного превращения // Теоретическая и экспериментальная химия. 1975. Т. 11, № 6. С. 754 — 761.

5. Квитко Г. В., Кузин Э. Л., Шоть Д. В. Математическая модель внутримолекулярного таутомерного превращения и процессы релаксации протона // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 10. С. 104 — 111.

6. Цикон Х, Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера. М., 1990.

7. Treves F. Parametrics for a class of Schrodinger equation // Commun. Pure Appl. Math. 1995. Vol. 48, N. 1. P. 13 — 78.

8. Craig W., Kappler T., Straus W. Microlocal dispersive smoothing for the Schrod-inger equation // Commun. Pure Appl. Math. 1995. Vol. 48, N. 8. P. 769 — 860.

9. Barvinsky A. O., Osborn T. A., Gusev Yu. V. A phase-space technique for the perturbation expansion of Schrodinger propagators // J. Math. Phys. 1995. Vol. 36, N 1. P. 30—61.

10. Polyanin A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC, 2002. URL: http://eqworld.ipmnet. ru/en / solutionslpde/ lpde108.pdf

11. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., 1977.

Об авторах

Геннадий Васильевич Квитко — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: gkvitko.univ@gmail.com.

Эдуард Леонидович Кузин — канд. хим. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: eduard_kuzin@mail.ru.

Дмитрий Владимирович Шоть — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, e-mail: d. schott@triumph-adler.ru.

Authors

Dr Gennady Kvitko — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: gkvitko.univ@gmail.com

Dr Eduard Kuzin — assistant professor, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: eduard_kuzin@mail.ru

Dmitry Shott — PhD student, I. Kant Baltic Federal University, e-mail: d.schott@triumph-adler.ru.

119