Моделирование взаимодействия в неоднородном аксиально-симметричном пучке заряженных частиц

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2012. Вып. 3

УДК 517.558

В. А. Козынченко

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В НЕОДНОРОДНОМ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПУЧКЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

1. Введение. При моделировании и оптимизации динамики интенсивных пучков заряженных частиц с помощью метода крупных частиц большое значение имеет учет кулоновского взаимодействия между частицами. Для расчета кулоновского поля пучка наиболее часто применяются две группы методов. В методах «частица-частица» куло-новская сила, действующая со стороны пучка на модельную частицу, представляется как сумма сил парного взаимодействия частиц пучка. В качестве модельных частиц часто принимаются равномерно заряженные шары [1, 2]. Данные методы дают точные результаты при использовании большого количества частиц и требуют значительных затрат времени. Методы типа «частица в ячейке» основаны на численном решении краевой задачи для уравнения Пуассона. Эти алгоритмы требуют небольших затрат времени и дают хорошие приближения для потенциала собственного поля пучка.

В настоящее время учет кулоновского взаимодействия при моделировании динамики заряженных пучков обычно осуществляется численными методами расчета внутреннего поля пучка. Это связано, с одной стороны, с прогрессом в развитии вычислительной техники, а с другой - с большой сложностью аналитического решения краевых задач для уравнения Пуассона, описывающих внутренние поля заряженных пучков. Однако методы расчета кулоновского поля с помощью численных методов неприменимы при проведении оптимизации динамики заряженных пучков на основе методов, требующих аналитическое представление для внутреннего и внешнего полей в ускоряющих структурах. Поэтому актуальна разработка методов аналитического представления для кулоновского поля заряженных пучков. Для учета поперечного взаимодействия частиц И. М. Капчинский предложил считать, что пучок - это заряженный цилиндр постоянной плотности [3]. На основе данной модели были получены аналитические представления поперечных компонент напряженности кулоновского поля эллиптического пучка. Для расчета продольных компонент кулоновской силы разработаны методы, основанные на представлении пучка набором равномерно заряженных круглых дисков постоянного радиуса [4]. В работе [5] предложена модель пучка в виде цилиндра постоянного радиуса с неравномерной плотностью заряда по продольной координате и постоянной плотностью заряда в каждом поперечном сечении. При этом функция плотности моделировалась тригонометрическим полиномом. С использованием такой модели были получены аналитические представления для продольной и поперечных компонент напряженности внутреннего поля пучка. Однако в данной модели

Козынченко Владимир Александрович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 14. Научное направление: математическое моделирование. E-mail: vladkoz@mail.ru.

© В. А. Козынченко, 2012

не принималась во внимание поперечная неоднородность пучка. Цель настоящей работы - разработка модели пучка заряженных частиц, учитывающая его неоднородность по продольной и поперечной координатам, с помощью которой необходимо получить аналитические представления для вектора напряженности кулоновского поля пучка. Пучок заряженных частиц предлагается моделировать набором заряженных соосных круглых кольцевых цилиндров. В приосевой области находится круглый цилиндр постоянного радиуса. Каждый кольцевой цилиндр предполагается неоднородным по продольной координате и однородным в каждом поперечном сечении. При этом поперечная плотность заряда каждого кольцевого цилиндра различна. Напряженность кулоновско-го поля пучка предлагается вычислять как сумму напряженностей полей, создаваемых каждым кольцевым и осевым цилиндрами. Аналитические представления для напря-женностей кулоновского поля осевого цилиндра получены в [5], для напряженностей кулоновских полей кольцевых цилиндров - в настоящей работе из решения краевой задачи для уравнения Пуассона.

2. Физическая модель аксиально-симметричного неоднородного пучка заряженных частиц. Сделаем следующие упрощающие предположения. Будем считать пучок неограниченным и периодическим по продольной координате. Будем полагать, что он находится в соосной круглой металлической трубе радиуса а. Также будем предполагать, что пучок обладает азимутальной симметрией. Эти предположения позволяют существенно упростить построение аналитических представлений для компонент вектора напряженности кулоновского поля пучка. Для определения кулоновского поля пучка заряженных частиц будем моделировать пучок в виде набора кольцевых цилиндрических соосных слоев. Каждый кольцевой цилиндрический слой неоднороден по продольной координате, в каждом поперечном сечении плотность слоя считается постоянной. Вектор напряженности кулоновского поля пучка вычисляется как сумма векторов напряженностей каждого слоя по формуле

где Ег - вектор напряженности кулоновского поля кольцевого г-го слоя; N - число кольцевых слоев; нулевой слой - цилиндрический осевой слой. Данная модель позволяет учесть продольную и поперечную неоднородность пучка заряженных частиц при расчете кулоновского поля пучка.

3. Математическая модель круглого кольцевого цилиндрического пучка заряженных частиц в круглой соосной металлической трубе. Введем цилиндрическую систему координат (х, в, г), ось Ох которой совпадает с осью симметрии трубы. Предположим, что кольцевой слой обладает азимутальной симметрией, т. е. координаты и скорости частиц не зависят от полярного угла в. Будем считать, что плотность объемного заряда внутри кольцевого цилиндра есть периодическая функция продольной координаты х, а в поперечном сечении постоянна. В этом случае потенциал и (х, г) будет удовлетворять уравнению Пуассона

N

Е

i=0

т (х) - заряд пучка, приходящийся на единицу длины, и граничным условиям

и

ди

дг

= 0 Ух е Я,

и(х, г) = и(х + Ь, г) Ух е Я, Уг е [0, а].

ди

дх

ди(х

дх

Ух е Я, Уг е [0, а].

г=р+Ь

Функции и(х,г), ди(х,г)/дг, ди(х,г)/дх будем полагать непрерывными при г = Я\

{ц(г), 0 <г < Я1,

у(г), Я\ < г ^ Я2, При таких обозна-ш(г), Я2 < г ^ а.

чениях граничные условия (2)-(5), а также условие непрерывности функций и(х, г), ди(х, г)/дг, ди(х, г)/дх при г = Я\ и г = Я2 примут вид

чл

дг

0 Ух,

п(х, г) = п(х + Ь, г) Ух е Я, Уг е [0, Я1],

и(х,г) = и(х + Ь, г) Ух е Я, Уг е [Я1,Я2],

,ш(х, г) = и)(х + Ь, г) Ух е Я, Уг е [Я2, а].

дп

дх

ди

дп

г=р

дх дчл(х, г

дх ди

Ур е Я, Уг е [0, Я1]

г=р+Ь

дх

дх дчл

г=р+Ь

дх

Ух е Я, Ур е Я е [Я^Щ,

Ух е Я, Ур е Я е [Я2,а],

г=р+Ь

п(х, Я1) = и(х, Я{) Ух е Я,

дц

дх дц

ду

дг

т=Яг

т=Яг

дх ду

Ухе Я,

дг

т=Яг

т=Я\

Ухе Я.

V(х, Я2) = и)(х, Я2) Ух е Я,

ду

дх

д,ш

Т=Я2

дх

х Я,

13)

14)

Т = Я2

т

г=р

т

г=р

г=р

dv

dr

dw

r=R2

dr

z R.

r = R2

Исходя из предположения о периодичности пучка по продольной координате, функцию ](г, г) будем полагать периодической по г с периодом Ь. Для моделирования функции /(г, г) введем на оси Ог сетку Б = = Ы, 1г = Ъ/Ы, г = О, Ж}, где N - количество узлов сетки. Определим функцию заряда пучка, приходящегося на единицу длины, т (г) в узлах сетки Б, исходя из расположения модельных частиц. По формулам (1) рассчитаем значения функции ] (г, 0) в узлах сетки Б. Будем моделировать функцию / (г, г) тригонометрическим полиномом, значения которого в узлах сетки Б совпадают с известными величинами = /(г^, 0):

f

M

k=i

(fk (r) cos(^kz) + fkk(r) sin(^kz)),

О, О <r с Ri,

О, О <r С Ri,

где юн = Щ^-', М = Гк{г) = { Гк, Я, < г < Д2, /¡»(г) = I Я, < г < Д2,

0, К2 <г < а, У 0, Н2 <г < а.

Определим коэффициенты тригонометрического полинома по следующим формулам (см., например, [6]):

fkk =

2

Ж

Nz-i

Nz-i

fi' fk ~ ДГ X/ f'

cos

2nki

W'

Nz-i

rs 2 . 2nki

= fi sm '

Nz •

4. Потенциал кулоновского поля аксиально-симметричного кольцевого цилиндрического пучка. Будем искать решение уравнения Пуассона (1) с граничными условиями (2)—(5) в виде тригонометрического полинома

M

k=i

с неизвестными коэффициентами - функциями пск(г) и ивк(г), подлежащими определению. Введем обозначения, учитывающие непрерывность функций иск(г) и ивк(г):

Г nk(r), О С r С Ri, \(r)= { Vk(r), Ri с r С R2, wck(r), R2 С r С а,

Г ni (r), О С r С Ri, :(r) = { Vk(r), Ri с r С R2, wk(r), R2 С r С а.

Подставив представления для функций f (z,r) и u(z,r) (20), (21) в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях cos и sin получим следующие уравнения:

1 d f dnC (r)N

1 d

r dr

1 d

r dr

dr

dVk

dr

dvtÁr)

dr

dr

О,

- иInk

- ulnsk

С Ri

О, r С Ri

О, r С Ri

(24) 5l

u

1 d

r dr

dvpjr)

dr

= -fc, Ri < r < K2

1 d

r dr 1 d r dr

Afc

dr

dK

dr

- ufâ(r) = -fc, Ri < r < R2

- J\yk(r) = -fk, Ri < r < R2

1 d ( dw0 (r)\ „

-T- [r—=0, Rî^r^a,

r dr dr

1 d f dwC

r

dr

dr

- иkwk(r

(r) =0, R2 < r <

1 d ( dwi (r) \ 2 „, „ „

Граничные условия (6)—(19) примут вид

wk(a) = 0,

dVk

dr

0,

wk

dnk

dr dvk

r=0

nk

r=R1

dr

0,

r=0

nk (Ri) = vk(Ri), vk(R2) = wk (R2),

dr

dnk

r=R1

dvk

dr

dwk (z, î

r=R2

dr

dr dvk

r=R1

r=R2

dr

dr dwk(r

r=R1

r = R2

dr

r = R2

Очевидно, что условия (8)-(13), (15), (18) выполняются автоматически, если решение уравнения Пуассона (1) имеет вид тригонометрического полинома (21), так как оно является периодической по х функцией. Решая уравнение (22) с учетом граничного условия (32), получим

Решая уравнение (25) с учетом условия непрерывности (35), находим, что при Я1 < г ^ Я2 выражение для Vo (г) имеет вид

c f0c r2

^оМ =--— +

Rïf§ 2

In r + Ci3.

Преобразовав уравнение (28), имеем

Учитывая условие непрерывности

я2 Я2 * с с

производной ди(г,г)/дг (36) при г = R2 получим + "тд = ~н±- И3 Данного

dr

Ял Я2 ? с

равенства находим выражение для константы С14: С14 = Н—Подставив его

(Я1 - Я2).

в выражение для производной (¿и>д(г) /dr, будем иметь уравнение л Проинтегрировав последнее уравнение, напишем формулу

d<{r) _ Л

2r

vc0 = §,(Rl-R32)\nr + C15,

R2 < r < a.

Граничное условие

w.

/ с г

о - у

После получения представления для искомой функции и0(г) найдем константы Со и С из условий непрерывности функции и(г,г) при г = К\ и г = (33), (34). Для этого приравняем правые части равенств (38), (40), положив в них г = Д2: — "4 2 + 1п Д2 + С13 = # {Щ ~ Щ 1п откуда

С13 = —[2

Далее приравняем выражения для функций п0(г) и (г) (37), (38), положив в них г = К1:

/ с 2 / с 2

Си = Щ 4+^- 21ПЙ1 + С13. К 1 К 1

Следовательно, Сп = & (2 {Я\ - Щ) 1п + 2К\ 1п Щ + Щ - Д^. Таким образом, окончательно функцию и0(г) представим следующим образом:

„8М = | (2 (Л? - Д|) 1п Щ. + 2R\ ln |i + Щ -R¡y г < R,

= + {К\ - Щ) 2К\ 1пД2 + Д22У Д! < г < Д2,

4 2 4 \ а у

/ с г

г«о = — (Д? — Д|) 1п —, Д2<г<а.

о 2 1 2 а

Перейдем к рассмотрению уравнений (23), (24), (26), (27) и (29), (30). Рассмотрим сначала уравнения (23), (26) и (31) при /¡с = 0. В этом случае уравнения (23), (24), (26), (27) и (29), (30) можно записать одним уравнением

1 d fj-l4

dr V dr

г  'У  I -4j2kij,ck(r) = 0, 0

г

для неизвестных функций ¡к(г) = ик(г) и ¡к(г) = и'к(г). Перепишем это уравнение в виде

^Кг) + 1 Мг) _ / ) = 0

(¿г2 г dr к

Решения данного уравнения выражаются через модифицированные функции Бесселя и Ганкеля /0 и К0 (см., например, [7]):

¡¡(г) = С11о(шк г) + С2Ко(шкг).

Учитывая условие ограниченности решения при г = 0, получаем С2 = 0. Таким образом, ¡(г) = С11о(^кг). Для определения коэффициента С1 воспользуемся граничным

условием (2), откуда следует, что С\ = 0. Следовательно, ик(г) = 0 при /С = 0. Аналогично и к (г) = 0 при /% = 0.

Будем теперь рассматривать случай, когда /С = 0 и / % = 0. Преобразуем уравнения (26), (27) при условии, что /С = 0 и /% =0:

(г) 1 (г) 2 ¿2у%(г) 1 ¿^(г) 2

Эти два уравнения можно записать как одно:

(Рцк(г) 1(1цк(г) 2

+ =

для функций лк

Цк

В (42) 1о и Ко - модифицированные функции Бесселя и Ганкеля соответственно. Подставив в общее решение (42) представления ¡лк(г) = VI(г)//С и ¡лк(г) = VI (г)//С, имеем

= Я

= Я

Будем решать уравнения (23), (24) и (29), (30). Функции пС(г) и пк(г), (г) удовлетворяют одному уравнению

1 (1 ( д,ц(г) \ 2

После преобразований оно сводится к модифицированному уравнению Бесселя

(12ц{г) + 1 (1ц(г) _ = 0

(кг2 г (кг к

Учитывая вид решений У%(г) и vк(г), будем искать решения уравнений (23), (24) и (29), (30) как линейную комбинацию модифицированных функций Бесселя и Ганкеля 1о иК0:

ПС (г) = /С (Сз1о(* кг) + СК(и кг)), пак (г) = Я(Сз1о(ш кг) + С\ Ко(ш кг)),

™к (г) = /С (С51о(ш кг) + С6Ко(ш кг)), (г) = /к(С51о(ш кг) + С6Ко(ш кг)). Производные от указанных решений будут иметь вид

= Дш^СзЬМ - СЛК^г)), = /кМЫМ - СЛК^г)),

аг аг

^^ = Кшк(С51 гМ - СбК^шы)), ^^ = ПМСЖМ - СбК^шы)). Из граничного условия (30) находим константу С\ = 0:

Формулы (45), (46) получены при условии, что = 0, = 0. Они верны также и при /к =0, = 0. Действительно, полагая в (45) = 0, а в (46) = 0, находим пк (г) = 0 и Пк(г) = 0. Такие же формулы были выведены для г ^ К\ при = 0, = 0.

Дифференцируя при Кг < г < К2 решения уравнений (26), (27) ^к(г) и (г) (см. (43), (44)), имеем

= (СМ^г) - С2Кх{шкг)), = Дшк (СМ^г) - С2Кх{шкг)) .

аг аг

Из условий непрерывности на внешней границе пучка (кольцевого цилиндрического слоя) при г = К2 (34), (36), получим

~~2 + С^о

ик

СХ1Х

Из граничного условия на апертуре (31) при г = а следует

С510

Из условий непрерывности на внутренней границе пучка (кольцевого цилиндрического слоя) при г = К\

С310 КЙ1) = Л + Кй 1) + С2К0

Сз1г

Решая систему уравнений (47)-(51), найдем представления для неизвестных коэффициентов С1, С2, С3, С5, Сб. Таким образом, получено аналитическое представление в виде тригонометрического полинома вида (21) для внутреннего и внешних потенциалов кулоновского поля аксиально-симметричного кольцевого цилиндрического пучка с периодической модуляцией плотности заряда по оси Ох, находящегося в соосной круглой металлической трубе постоянного радиуса а:

1 М

= -Ид

к=1

¡2 - Щ) 1п + 2Е\ 1п Ц + Щ - Д?), 0 < г < Дь ис0(г) = ^ + (2(д2 _дЗ)1п^2 _ 2Я\ 1п Д2 + Д2), Й1 < Д2,

(53) 55

Г rkC3I0 (ukr), 0 < r < Ri,

ul

( fC (C^IoM + C6Ko(ukr)), R2 < r < a,

( f!C3Io (u kr), 0 < r < Ri,

K

( fS (c5lo(ukr) + C6KoM), R2 < r < a.

Здесь коэффициенты определяются по формулам

~ _h (ukRi)_ „ rP 1

°2 — 9 / т^ /-\ т /-^ N . TS /-г* \ Т /-TTTTi — °2---2-

uk (Ko (UkRi) Ii (UkRi) + Ki (UkRi) Io (ukRi)Y a a.7'

Io

в =

(Ii (ukRk) Ko (uka) + Io (uka) Ki (ukRk)) (Io (ukRk) Ko (uka) - Io (uka) Ko (ukRk))'

CiIi

7 = Io (ukRk) Ko (uka) - Io (uka) Ko (ukRk), C3 =

Ii

Ko

— T1-r, \ T^ /-n—i—Tl-\~F?—7-7ГТ> — L/5-

II

5. Напряженность кулоновского поля аксиально-симметричного кольцевого цилиндрического пучка. Получим выражения для продольной и поперечной компонент вектора напряженности кулоновского поля кольцевого цилиндрического аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с учетом неоднородности и периодичности плотности заряда по продольной координате. Для этого продифференцируем по переменной г выражение для потенциала (52):

dru( z r) ^

Ez (z,r) =--— = 2_.Uk (uck(0)smukz - vsk(0) cos ukz),

k=i

где функции ик(г) и и6к(т) вычисляются по формулам (53)-(55).

Для получения формулы для поперечной компоненты вектора напряженности ку-лоновского поля круглого кольцевого цилиндрического пучка в круглой металлической трубе продифференцируем выражение для потенциала (52) по переменной т:

ЕЛг,г) = = - У (ЩР-савыьг + вша**

дт 2 ат V ат ат

к=1 у

. 0, 0 < r < Ri, duo(r) f cr r2 f c

duc (r) ( fkukC3Ii (ukrl 0 < r < Ru

—= I fkuk (Cxh(ukr) + C2K^kr)\ Й1 < r < Д2, r [ fk uk (C5Ii(uk r) + C6Ki(ukr)), Rk < r < a,

a=

ёг

ЦшиС! (шиг), 0 < г < Яь

Цши (С111(шиг) + С2К1(шиг)), Я1 < г < Я2,

I %ши (С5Т1(шиг) + С6К1(шиг)), Е2 < г < а.

6. Напряженность кулоновского поля аксиально-симметричного цилиндрического пучка на оси ускоряющей структуры. Для определения кулоновского поля центральной части пучка заряженных частиц рассмотрим бесконечный круглый цилиндр радиуса Я, который находится в соосной круглой металлической трубе радиуса а. Введем цилиндрическую систему координат (г, в, г), ось Ох которой совпадает с осью симметрии трубы. Будем полагать, что цилиндрический пучок обладает азимутальной симметрией. В этом случае потенциал кулоновского поля и(х,г) будет удовлетворять уравнению Пуассона

1 д

дг

дг

г, ч р

£с

1Ы г < N 0, г> Я,

где т (х) - заряд пучка, приходящийся на единицу длины, и граничным условиям

и

дг

= 0 Ух,

г=0

/,(х, г) = и(х + Ь, г) Ух, Уг € [0, а],

ди

дх

ди

дх

Ух, Уг € [0, а].

г=р+Ь

Функции и(х,г), ди(х,г)/дг, ди(х,г)/дх будем полагать непрерывными при г = Я.

Функцию I(х,г) будем моделировать тригонометричесим полиномом (22) с коэффициентами

Ги

к'

< Я,

I Кг)

Д, г < Я, 0, г > Я, '' \ 0, г > Я,

которые вычисляются указанным в п. 2 способом.

Выражения для продольной и поперечной компонент вектора напряженности куло-новского поля цилиндрического пучка соответственно имеют вид

Ег (х, г) = -

исо

ди(х, г) дх

Г

м

4

/осД:

У^ш и (и и(0) Бт ш их - и и (0) сов ш их), 0 < г < Я,

и=!

2 '21п£ + 1-^

2

Я < г <

ии

и и

Я,

п^ + саом),

I и (Сз1с(шиг) + С4Кс(шиг)), Я < г <

Д^+СМ^иг)), О^г^Н, I I (СзТс(шиг) + С\Кс(шиг)), Я < г <

г=р

Сз — — С — —

Ко

ик.1о(ика)(К1(икК)1о(икК) + Ь(икК)Ко(икК))'

_К0(шка)11(шкЯ) + К1(шкЯ)10(шка)_

и11о

^^__

и2кК1(икК)10(икК) + 1\(и:кК)Ко(и:кК)' к=1 У

Чпргт, г ^ Д' = ¡Як^кСгЬКг), Г < Д,

Д <"• 1-/ос1Г7' П<г<а, ЩМСзЬМ - С^М), Н<г^а,

Зпк

_ и и С111(икт), т < R,

7. Заключение. В настоящей работе представлена модель периодического по продольной координате аксиально-симметричного пучка заряженных частиц, находящегося в соосной круглой металлической тубе постоянного радиуса. Данная модель учитывает неоднородность пучка по продольной и поперечной координатам и предназначена для расчета кулоновского поля пучка. В рамках рассмотренной модели получены аналитические представления для компонент напряженности кулоновского поля пучка. На основе этих аналитических представлений можно строить вычислительные алгоритмы расчета кулоновского поля пучков заряженных частиц в ускоряющих структурах. Такие алгоритмы могут использоваться для расчета кулоновского поля пучка при моделировании и оптимизации динамики заряженных пучков в линейных ускорителях, таких как ускорители Альвареца, ускорители с пространственно-однородной квадру-польной фокусировкой и т. д. Следует отметить, что предложенная модель допускает естественное распараллеливание вычислительных алгоритмов.

Литература

1. Рошаль А. С. Моделирование пучков заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1979. 224 с.

2. Овсянников Д. А., Свистунов Ю. А. Моделирование и оптимизация пучков заряженных частиц в ускорителях. СПб.: Науч.-исслед. ин-т прикл. химии, 2003. 104 с.

3. Капчинский И. М. Теория линейных резонансных ускорителей. М.: Энергоиздат, 1982. 241 с.

4. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

5. Козынченко В. А. Аналитические и численные алгоритмы вычисления кулоновского поля пучка заряженных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 3. С. 30—44.

6. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2000. 296 с.

7. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / ред.: М. Абрамовиц, И. Стиган; пер. с англ.; под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Карамзиной. М.: Наука, 1979. 832 с.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья принята к печати 26 апреля 2012 г.