К расчету устойчивости каркасированных цилиндрических оболочек

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1 № 3

УДК 629.735.33.015

К РАСЧЕТУ УСТОЙЧИВОСТИ КАРКАСИРОВАННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Г. И. Замула, К. М. Иерусалимский

Существующие методы расчета устойчивости элементов не учитывают в должной мере такие важные факторы, как неравномерность нагружения, переменность жесткости, нерегулярность конструкции, нелинейные эффекты, поэтому вопросы статической устойчивости авиационных конструкций сохраняют свою актуальность.

Создание программного обеспечения расчетов устойчивости на ЭВМ требует пересмотра существующих подходов в плане их общности и алгоритмичности, а также разработки эффективных вычислительных алгоритмов.

Настоящая статья посвящена развитию методов расчета устойчивости авиационных оболочечных конструкций с учетом названных выше факторов в бифуркационной постановке. В ней полу- , чены общие уравнения устойчивости и термоустойчивости конструктивно-анизотропных некруговых цилиндрических оболочек, пригодные для решения широкого класса задач общей и местной устойчивости пологих и непологих оболочек с учетом момент-ности докритического состояния, начальных прогибов, неравномерного нагрева, эксцентриситета подкрепляющего набора. Показано, что полученные уравнения позволяют решать задачу устойчивости с учетом пластического состояния материала и выпучивания обшивки.

Разработана процедура вычисления переменных жесткостных параметров каркасированной оболочки при пластическом состоянии ее элементов и выпучивании обшивки.

1. Рассмотрим тонкую незамкнутую конструктивно-анизотроп-ную оболочку с некруговой цилиндрической поверхностью приведения 2 и направляющей Ь. Расположение ортогональной системы . координат х, 5, г, связанной с 2, показано на рис. 1. Радиус кривизны оболочки в направлении в обозначим начальный про-

гиб— та>0 (я)-

Соотношения упругости, связывающие усилия и моменты в оболочке с деформациями и изменениями кривизны поверхности й, с учетом температурных расширений, зависимости свойств

материала от температуры и эксцентриситетов подкреплений, запишем в виде [1, 2]:

== /\Х +/2 £5 -\-/зхУ'Х + Л У\5 - ТХх\

Щ =/2 +/4/л;+/з5Х5 ~

“ .Лг Тхв *.*«>

•^лг = /8лг5лг~Ь/4£5 ~^1ьх%х + /б*$ ^ V О’^)

^5 =/4 £ЛГ + /з.5 £.5 + /б + /ьв *5 _ 72.5;

Я = у'/агТ«+/5т

где в соответствии С [1]

5 = -

Л/,

А/,

Н — №хз + -М„),

^1*» т1з, Т2х, т%3

Положительные направления усилий ЛГ*, Ы5, Л^,, и моментов /И*, уИ5, МХ5, Мзх, а также обобщенных перерезывающих сил

температурные усилия и моменты.

/

х

С}х, <35, дополнительных перемещений и, V, ъи, углов поворота нормали к поверхности й бЛ, 64 и распределенных поверхностных нагрузок qx, д8, qг показаны на рис. 2.

Соотношения (1.1) и (1.2) наиболее общие и включают известные в литературе частные формы их записи. В дальнейшем, если исключение пе оговорено особо, принимаем

Мхг=М„^Н.

Геометрически нелинейные связи между деформациями, изменениями кривизны, дополнительными углами поворота нормали и перемещениями поверхности приведения 9, следуя [3, 4] и учитывая начальный прогиб и»0^о=="----’ можно записать в виде:

ди , 1 „2 __ дь т ( 1 й

ег = --- —вх; е.=*-----г-----Г —+

* дх 2 5 дх И V 2

^ + (», + •„)' дх

_Й0,

дх

д$з

дв

дю

дх

две

дх

двх

дБ

ду

дх

дт

дБ

+ т-

При этом, как обычно, удлинения, сдвиги и квадраты углов поворота предполагаем малыми по сравнению с единицей (&х,

Т.™, е*> 04<1), и, кроме того, вращением элемента поверхности 2 относительно нормали пренебрегаем по сравнению с углами поворота нормали. В тех же предположениях нелинейные уравнения равновесия оболочки в проекциях на оси, связанные с недефор-мированной поверхностью О, имеют вид:

.ЙЬ.+ -*» + ,,. " '

дх 05

дБ

0.x =

дБ

дх

+ н

дМх

дх

дМ,

1 дМ,

дх

дО*

+

— 0;

дх

дМх

дв

Я Яг —

+

(95

дМх

дх

мхвх — + 0о);

-ад + 6о)-50,.

Граничные условия на торцах 5 = 0, Ь оболочки зададим следующим образом:

•во |*=о (1 — То) + 5,|=о То = Щ(1— То) + С>50 То'.

0^ |.5=о (1 — §0) + М51^=0 80 — ао (1 — «о) + Мм 80;

и |^=о (1 — 0) + 5 |5=о "Уд = и0 (1 — ?0) + №мй ч>0;

V |4=о (1 — Фо) 4" |л=о фо = о (1 — Фо) + -^ао Фо!

ю \5=ь (1 — ь) + 0, |*=* Т1=10 — ъ)+0*1 т»;

6, |а=б (1 - 80 + Ма \,=ь 81 = е,1(1 — 8,) + м,а 8Х;

и |а=б (1— ?г) + 5 |*=б <р1 = и1 (1 —<?!) + N^1 ?г;

V |,=6 (1 — Ь) + М, 1*1 = «1 (1 — ф4) + Л^1 ф15 где То» 80, ср0, Фо» Ти 8Ь ?1, <1>! — постоянные, равные нулю при кинематическом граничном условии и равные единице при статическом граничном условии, а также

Фа — Фа +

дМ,

дх

О-7)

Система уравнений (1.1) —(1.5) с условиями (1.6) и дополнительными граничными условиями на поперечных торцах описывает нелинейную деформацию непологой цилиндрической оболочки, как отдельной, так и являющейся элементом произвольной цилиндрической конструкции, состоящей из оболочек, пластин и стержней. В последнем случае граничные условия (1.6) либо часть из них заменяются условиями сопряжения элементов. Аналогичная система уравнений может быть получена из общих соотношений для оболочек вращения, приведенных в [4]. Отличие приведенных здесь уравнений состоит в учете начального прогиба, неравномерного нагрева и необязательности выполнения условия (1.3).

Подстановкой выражений для С}х, <2,*, взятых согласно (1.5) в первые три уравнения (1.5) и с учетом (1.7) в граничные условия (1.6), легко показать, что, как и в линейной теории оболочек [1], в разрешающую систему уравнений входят лишь комбинации 5 и Н, определяемые соотношениями (1.2). После решения системы в соответствии с (1.2), (1.5) и конкретными, в том числе не удовлетворяющими (1.3), соотношениями упругости для МХ5, М5Х, находятся величины Л^, Л^, МХ5, М5Х, С}х, <35. В предположениях теории пологих оболочек [3] и при отсутствии в соотношениях упругости (1.1) перекрестных связей усилий с кривизнами, моментов с деформациями, приведенные уравнения переходят в уравнения, используемые в [9], ири этом всегда Л^ = Ы!х, Мхз — М$х.

Положим теперь рассматриваемую оболочку, либо конструкцию, элементом которой она является, достаточно длинной, закрепленной, нагружаемой и нагреваемой в зависимости от монотонно возрастающего параметра г“>-0 так, что оболочка находится в условиях плоского деформированного состояния. В качестве параметра t может выступать как обычный параметр пропорционального нагружения конструкции (устойчивость), так и реальное время (термоустойчивость), в зависимости от которого меняются нестационарное температурное поле и напряженно-деформирован-ное состояние оболочки. Это состояние можнб определить на основе приведенных уравнений при соответствующих упрощениях и условиях на поперечных торцах. При некотором (критическом) значении параметра £ = £* возможна потеря устойчивости плоского деформированного состояния оболочки с мгновенным появлением смежной, отличной от исходной формы равновесия.

Уравнения, определяющие это состояние, и граничные условия получаются варьированием соотношений (1.1), (1.4), (1.5) и (1.6) соответственно.

Они имеют следующий вид: соотношения упругости

Мх —/и ех + /2 е5 + /зх *х + Л ь; К =/а ех + /и + /к ХХ +/*,

=== 7x5 Ч- ХХ5>

Мх=/3* fiZs+ /ьх *х + /е ^5 = /4 £х + е* + /б Хх + Л* у/зтТх*+/51х«;

геометрические соотношения

дв$ __________ двх ,1 дь

дх д.ч Я дх ’

дни . о ________________ дт . V

уравнения нейтрального равновесия

дх

+

дБ

дв

= 0;

+

дЯ _1_

дх Я

дМ

N.

ях

дМг

_ _дОх дх

дМ,г

дз

= 0;

а.

дх

дМ8

дв

дв дМ г

0, — (6°

^о)5;

дх

.Л/^-(6,° + е0)Ч;

граничные условия на продольных торцах

но |*=о (1 — То) + О, |*=о То = 0;

|*=о (1 — 30) + |*=о 80 — 0;

и и=о (1 — ?о) 4~ ^ и=о ‘Ро — 0;

г' |л-=о (1 — фо) ~Ь /У! и=о Фо = 0;

т \з=ь(1 — Т1> + <3,1*=*Т.1 = 0;

О* * (1 -)- Ж, |^. й 3, = 0;

м |*=б (1 91) • I" 515=& 'Р! = 0;

V и=& (1 — фх) + и=& == 0.

Здесь для смежной формы равновесия остаются справедливыми формулы (1.2), (1.7); величины с верхним индексом „0“ обозначают параметры исходного (докритического) состояния, без индекса— параметры смежного (возмущенного) состояния. Задача устойчивости оболочки сведена, таким образом, к отысканию наименьшего критического значения 1%, при котором появляется нетривиальное решение линейной однородной краевой задачи

(1.8) — (1.11) с дополнительными граничными условиями на поперечных торцах. При этом уравнения устойчивости (1.8) —(1.10) и граничные условия (1.11) получены строго на основе нелинейной постановки для случая, когда исходное деформированное состояние является плоским, как безмоментным, так и моментным, с учетом докритического искривления и начального прогиба направляющей I. Члены, учитывающие это искривление и обычно отсутствующие ввиду широко распространенного отождествления невозмущенного состояния с недеформированным, в соотношениях

(1.9), (1.10) дважды подчеркнуты. Все сказанное выше относительно соответствия приведенных здесь уравнений и используемых в работах [41, [9] переносится и на уравнения устойчивости

(1.8) — (1.11).

Отметим, что область применимости указанных уравнений ограничивается исходной предпосылкой о малости деформаций и вращения элемента поверхности 2 оболочки относительно нормали по сравнению с углами поворота нормали, т. е. они применимы для отыскания преимущественно изгибных форм потери устойчивости с достаточно малой характерной длиной полуволны (см. [6]). К таким случаям не относится, в частности, общая потеря устойчивости оболочки при осевом сжатии, характеризующаяся появлением достаточно длинных волн в направлении образующих. Поэтому дополним уравнения устойчивости таким образом, чтобы снять указанное ограничение, одновременно учтем „следящий11

характер давления />= —<?г на оболочку и откажемся от предпосылки о плоскостности исходного деформированного^состояния. Соответствующие уравнения нейтрального равновесия для произвольных оболочек и нагружения при отождествлении 'исходного состояния с недеформированным получены в [6]. Приведя их для рассматриваемой цилиндрической оболочки к форме записи соотношений (1.10) и объединяя с последними, получим:

дЫг

да

дх дБ дх у'х дх

Ов V ОХ С75

+л,^~

дБ

дно

дх

дБ

дб' 1

дх Л?

дМх

дх

/?

-I

д

дх

№4%-+%

дх \ дв Я

д

дх \ дБ

дги V \

Л*

я

дх

дОл-

N4

ду

дМх

дх

дМ,

+

дБ

дм*

дв

дМу~

ди

дх

+

ду

дБ

№хвх

_ / ду_ ш

дх Я \ дБ /?

. гт

-^6,-(9»+еп)5;

АГСО.

№ХХЪХ-

дБ дх

Здесь по сравнению с [6] в третьем уравнении равновесия (1.12) добавлен также в соответствии с исследованиями [5, 7] последний член, учитывающий догрузку от давления в процессе выпучивания. При этом в частном случае круговой цилиндрической оболочки для простейших видов нагружения и без учета докритического искривления уравнения (1.12) совпадают с приведенными в работах [5, 7,8]. Соответствующие (1.12) преобразованные граничные условия (1.11) принимают вид:

ЫЬ(1~-То) + 0*1*=оТо = 0; М*=й(1 — ?,) + <5Л=йТ1 = 0;

6 я=о (I — 80) + |,=о о0 = 0;

и |^=о (1 — ?0) +^1*=о ?о — 0;

|.5-о(1 — ф0) + [л-=о *0 = 0;

где обозначено:

5 = & +

0, 1*=* (1 — §0 + §2 — 0; и|*=*(1 — + 5(,=*91 = 0;

V |5=6 (1 — ф,) + А1315=6 61 = 0,

1

дх дБ

л/ = ./V + №зх 4-

дх

ди

дБ

е1Ю

фу = +

дМ,

дх

Соотношения упругости (1.8) и геометрические соотношения (1.9) остаются прежними с учетом сказанного относительно подчеркнутых членов. Таким образом, наиболее полной системой уравнений устойчивости рассматриваемой оболочки является

система (1.8), (1.9), (1.12) с граничными условиями на продольных торцах (1.13). Из нее, как частные случаи, получаются уравнения устойчивости и термоустойчивости:

а) произвольного исходного состояния оболочки без учета ее докритического искривления (отбрасываются дважды подчеркнутые члены);

б) исходного плоского деформированного состояния с учетом докритического искривления и начального прогиба (Л^ =№ях = О, все характеристики докритического состояния не зависят от координаты х)\

в) исходного плоского деформированного состояния в предположениях теории пологих оболочек (то же, что и в ,,б“), и дополнительно отбрасываются подчеркнутые члены (см. [9]).

Достаточно просто указанные уравнения преобразуются к другим известным в литературе формам записи (в перемещениях и, V, да, с использованием функции напряжений <р для пологих оболочек), а также для частных случаев направляющей, нагружения и т. д.

2. Остановимся теперь на определении жесткостных характеристик каркасированной оболочки. Каркасированной будем называть такую подкрепленную оболочку, у которой продольные {стрингеры) и поперечные (шпангоуты) подкрепляющие элементы составляют основу несущей конструкции, толщина же обшивки мала в сравнении с общими размерами подкреплений [8], и, кроме того, в процессе нагружения оболочки допускается выпучивание обшивки в клетках между подкреплениями.

В целом каркасированную оболочку будем рассматривать как многослойную, каждый слой которой изготовлен из нелинейно упругого материала.

В качестве поверхности приведения внутренних усилий и моментов в оболочке примем срединную поверхность обшивки. Наиболее общие выражения для жесткостных параметров получаются из формул приведения для внутренних усилий и моментов:

А

-|а,(1 + -

Л

= (Ч'Мг;

/г

/г

N.

N

Л

/г

\xKsdz-,

Кхйг\ М*=|Ч(1 +

к

Л

Кхйг\ Мхз = | (1 + 7;

/г

М$х = \xKsZdz-,

Кх гс1г;

Кхгй г\

здесь /г означает суммарную толщину оболочки; Кх, —коэффициенты заполнения, введенные в [2].

После подстановки в последние выражения (2.1) соотношений, определяющих деформации £<*>, е^), ^ любой поверхности 2=сопз1 через деформации и изменения кривизны поверхности приведения, в соответствии с гипотезой Кирхгофа — Лява

е(г) :

+

<г) = е. + 24,;

Т

(г) —

и при использовании обобщенной связи между деформациями и напряжениями в виде [2] (температурные расширения для простоты опускаем):

e(Z) ax 4s Ks &s

X Ex Es

S(Z) as '*x Kx ax

Es Ex

*xs Kx ZSX Ks

1 XS G/CT GK\

где Ех, Е$, в, чх, —коэффициенты упругости, Кт —условный коэффициент заполнения по сдвигу.

Из соотношений (1.1) получим:

/««=(', Е- - йг* /и= ( ", Ъ-~- йт> Л = (', Ех-*-~

/г г * Л х 5 Л * *

/з,= [ /4= [ -Е^±-йг;

£ 1 — ''л: ^5 £ ^ Чг ^ 1 Ч?

/1т = | 0й?2; /зт — 2 | бгйг; /5т = 2 ^ бг3 <£г;

Л-|'ГГГГ*; Л-J-T^f*-

^ 1 V* ys £ 1 - \r V5 ft * 5

В (2.4) введены обозначения:

Е-х=£* Я*; £,=£, А',; О = <Ж7; J

vx = vjr^; vi = v,*r I

Легко видёть, что выражения (2.4) для подкрепленной оболочки соответствуют жесткостям сплошной ортотропной оболочки с приведенными коэффициентами упругости слоев 2 = const, вычисленным согласно (2.5). Связь между деформациями и напряжениями (2.3) для каждого слоя преобразуется к обычному виду:

eU>=4?-—V -=£-• s

* Ех s Es ’ s Es X EX XS G G

где

^x== ^x Kx» as^s’ ^xs ^xs^x> Lsx%s

есть приведенные (осредненные по слою) напряжения.

Таким образом, формулы (2.4) применимы к каркасированным оболочкам, у которых возможно преждевременное выпучивание обшивки между элементами подкрепления. Действительно, поведение обшивки в этом случае также описывается соотношениями (2.5), (2.6), если под Кх, Ks и Кт понимать фиксированные редукционные коэффициенты <pljt «p2j, <pTJ. Рассмотрим этот вопрос более подробно с одновременным учетом работы материала элементов оболочки за пределом упругости.

Считаем, что обшивка каркасированной оболочки изотропна, тогда в (2.3) следует положить

Ех — Е Eot vх ~ vo, Кх Ks s'

G = G0; KT==(?^S>

где Ео, >о — переменные параметры упругости [2], а для переменного модуля сдвига справедлива формула

р*

о

ио --

2

Соотношения, обратные (2.3), с учетом (2.8) для обшивки имеют

вид:

1 2 *2 1 - ь \

Н2) + ?^о4г));

__________г_______ / {г) . * (г)ч

1 2 *2 (£* + ); *5 О

т =<3* *1£_т

В соответствии с теорией малых упругопластических деформаций для переменных параметров упругости справедливы формулы:

£о =--------Л;-------5 *о = 0>5------

4 + Щ 4

где Ео и v0 — модуль упругости и коэффициент Пуассона,

о1 и вг — интенсивности напряжений и деформаций в обшивке соответственно,

о, — 1/”о2 + о2 —• а а + Зх2 ;

* у' X 1 Я х 5 \ г* х&9

2

И

£< =. “"з~ ]/ (£л — ел)2 + - ггУ + (£г - У 2 + •

!* = - "°--

Нетрудно показать, что переменный модуль упругости Ео является секущим модулем диаграммы а (в) при одноосном растяжении. Для деформаций в подкреплениях также справедливы выражения (2.3). С учетом (2.8) интегралы, входящие в выражения для жесткостных параметров (2.4), можно разбить на суммы из трех интегралов, которые берутся по толщине каждого из слоев (обшивка, стрингеры, шпангоуты), причем пределы интегрирования следует устанавливать с учетом расположения каждого слоя относительно поверхности приведения. Поскольку под знак интеграла входят переменные модули упругости и редукционные коэффициенты, зависящие от напряжений в элементах, расчет жесткостных параметров должен производиться шагово-итерационным методом с использованием зависимостей вДег), о*-1, х*-1),

Фт5(а*-’, а*-1, х^1), где &—1 — номер предыдущего шага.

Полученные выражения жесткостных параметров используются для расчета докритического (по общей устойчивости) плоского деформированного состояния каркасированной оболочки с выпучившейся обшивкой. В момент общей потери устойчивости оболочка и элементы ее каркаса получают дополнительные перемещения, вследствие которых возникают дополнительные деформа-

ции и дополнительные напряжения. Считаем, что для дополнительных деформаций слоя z = const по-прежнему справедливы выражения (2.2) и редукционный коэффициент ср4,: сформировавшийся в докритическом состоянии, в процессе бифуркации не меняется, т. е. 8, = 0. Полагая дополнительные перемещения малыми и принимая гипотезу о продолжающемся нагружении в момент буфуркации формы равновесия оболочки, материал которой физически и конструктивно нелинеен, можно записать линеаризованную в окрестности точки бифуркации связь между дополнительными деформациями 8s и дополнительными напряжениями 8а в виде:

Ь^=-сиЬохС12Ьа/, Й£; = сп Ьах + С22 оо5; TjfS = с33 bxxs,

где

К—'

Са =

1

Vs

1 — а ----------

* да г

das I V £0 ) Е* 0

* 1

дах 1 К Ео ! ^0

vo *f °s

<ЬЛ.

да.

-22 •

"33

с,—:».от£

1 СОо

+

дз.

О0

Учитывая, что в соответствии с (2.10) Z?0 = —, где 6р = ег +

Ер

1 — 2v„

4---jj?---3;, и вводя касательный модуль по формуле Et=~~—, по-

лучим из

'11

С 22 —

+

^12 — ^21 --------"

1

Et 1

Et

v0fs

+

1

Е,

2зг •— 3t \2

2з;

1

р*

о

(2зх — 3,.) (2с; — ах) 4°1

fs

Соотношения между дополнительными напряжениями и деформациями, обратные (2.13), можно записать в виде:

8«-= ——— (8е* + vs 8es); Ч=—(Ч + Ч);

где

Ех =

Е =

С 22

С33

С12

^22

С12

С\\

Приведенные (осредненные по слою) дополнительные напряжения вычисляются, как и ранее, по формулам:

ЪаХ = ^ Й°*'> Ч = =

Интегрируя приведенные дополнительные напряжения в соот-:

ветствии с (2.1), получим выражения для соответствующих дополнительных усилий и моментов и, приводя их к виду (1.8), запишем выражения жесткостных параметров каркасированной оболочки в форме, аналогичной (2.4), в которых вместо Ех\ Е3, в, чх, 75

следует подставить соответственно <рЛ Ех, Ех, <р3С, чх, Урав-

нения устойчивости при этом сохраняют вид, приведенный в п. 1, и решаются теми же методами на каждом шаге нагружения оболочки.

Наряду со случаем плоского деформированного состояния с учетом докритического искривления описанная методика и уравнения применимы для задачи устойчивости при чисто сдвиговом нагружении оболочки. Выражения для коэффициентов сх) в этом случае имеют вид:

1 '"оФл-

! - ^21 Г-* 1

1 ------ с22----

22

Г 1 Сп

+

1

Е1

1

р*

А

Зт

-<о \

Приведенные здесь уравнения и соотношения послужили основой для разработки двух типов универсальных вычислительных алгоритмов расчета устойчивости цилиндрических оболочек. Один из них основывается -на точных решениях уравнений устойчивости в тригонометрических функциях для частного случая круговой цилиндрической оболочки, равномерно нагруженной сжатием и давлением или кручением, дру-гой — распространяет подход, разработан- /ш=ОМШм

ный в [9], на общий, описанный выше слу- ^ чай исходного плоского деформированного с состояния оболочки.

Критическое усилие сжатия оболочки;

I) при упругом поведении без редуцирования -

кр— *'06 Мн/м;

II) при упругом поведении с редуцированием

Л^ир = 0,55 Мн/м;

III) при неупругом поведении без редуцирования

лг“'р = 0,83 Мн/м;

IV) при неупругом поведении с редуцированием

IV

1УХ кр = 0’45 Мн/м*

9=0,002м

Рис. 3

Для иллюстрации влияния редуцирования обшивки на устойчивость приведем результаты расчета подкрепленной оболочки, имеющей параметры, типичные для фюзеляжей современных самолетов. На рис. 3 схематически показаны оболочка и ее размеры, там же даны критические значения погонного усилия сжатия четырех вариантов расчета. Из сравнения значения Л^кр с Л^'кр и Л/хкр видно, что для данной оболочки редуцирование обшивки . оказывает большее влияние на критическую силу, чем пластичность. Совместный учет обоих факторов приводит к значительному (>50%) снижению критического усилия.

Следует отметить, что выражения (2.13), записанные для плоского деформированного состояния оболочки, легко обобщаются на случай произвольного комбинированного нагружения. При этом связи между вариациями деформаций и напряжений приобретают зид известных соотношений для анизотропного материала, и это приводит к появлению в выражениях для усилий и моментов (1.8), а также в уравнениях устойчивости (1.12) дополнительных членов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпром-гиз, 1962.

2. Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения.

М., Оборонгиз, 1961.

3. Муштари X. М., Г а'л и м о в К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань, Таткнигоиздат, 1957.

4. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочек конструкций. М., „Машиностроение", 1975.

5. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., Госстроййз-дат, 1961.

6. Болотин В. В. Об уравнениях теории устойчивости тонких упругих оболочек. „Инженерный журнал, МТТ*, 1967, № 4.

7. Рудых Г. Н. Устойчивость круговой каркасированной цилиндрической оболочки. Труды конференции по теории пластин и оболочек. Казань, 1960.

8. Рудых Г. Н. Устойчивость круговых цилиндрических авиационных оболочек. Труды ЦАГИ, вып. 1114, 1969.

9. 3 а м у л а Г. Н. Термоустойчивость цилиндрических панелей.

В сб. „Расчет подкрепленных конструкций". Труды ЦАГИ, вып. 1728,

1975.

Рукопись поступила 29\Х11 1979 г.