Оптимальный индикатор двоичных сигналов для систем дистанционного обучения и медицинского обслуживания

ОПТИМАЛЬНЫЙ ИНДИКАТОР ДВОИЧНЫХ СИГНАЛОВ ДЛЯ СИСТЕМ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И МЕДИЦИНСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Проблема передачи информации с высокой скоростью и прекрасным качеством практически решена путем прокладки оптических линий связи для жителей крупных городов, желающих получать дистанционные услуги. Однако, она остается актуальной для граждан, проживающих в средних и небольших городах и поселках, где значительная часть каналов невысокого качества. В каналах связи низкого качества высокий уровень помех от межсимвольной интерференции, многолучевости, индустриальных помех и теплового шума. Иногда возникает проблема так называемой "последней мили", т.е. низкого качества части линии связи от абонента до сетевых устройств. И всегда актуально повысить эффективность использования полосы частот любого высококачественного канала. Статья расширяет диапазон применения оптимального индикатора (ОИ), что повышает помехоустойчивость приема для помех теплового и индустриального типа.

Предложен способ повышения помехоустойчивости приема двоичных сигналов, пораженных аддитивной помехой, если некоторые параметры помех и неинформационные параметры сигнала известны на приеме. Для канала с постоянными параметрами о сигнале известна форма огибающей информационных импульсов и время их прихода на вход приемника. Для предыдущих и последующих информационных импульсов, вызывающих межсимвольную интерференцию (МСИ), также известна форма огибающей импульсов и время их прихода на вход приемника. Для импульсов сигнала, пришедших по другим путям распространения и вызывающих помехи от многолучевого распространения (МЛР), известна только форма огибающей импульсов. Для решения задачи оптимального приема двоичного сигнала, пораженного аддитивными помехами любого типа, предложен оптимальный индикатор сигналов. Оптимальный индикатор сигналов представляет собой линейный индикаторный функционал *) в виде свертки линейного оператора Fm(s) от опорного сигнала s(t) и линейного оператора Fm(z) от процесса z(t) на входе оптимального индикатора.

Процесс z(t) может быть либо шумом х(^, либо суммой сигнала s(t) и шума х^). Оптимальный индикатор определён на множестве и показывает, принадлежит процесс подмножеству 5 или нет. Оптимальный нормированный индикатор !^)=1, если z(t)=s(t)+х(t) и 1^)=0, если z(t)=х(t). Для реализации этого условия импульсы информационного сигнала должны иметь огибающую, совпадающую с импульсной реакцией канала. Множество линейных ограниченных операторов Fm(s) должно представлять множество ортонормированных функций. Наилучшие результаты могут быть получены, если АЧХ канала связи эквивалентна АЧХ идеального ФНЧ (ИФНЧ). Сильной стороной такого решения является то, что для любой помехи на входе приемника процесс на выходе идеального ФНЧ принадлежит к Ь2, ограничен по мощности и может быть дифференцируем т раз. Если АЧХ канала связи эквивалентна АЧХ ИФНЧ, то огибающая сигнала должна иметь вид s(t-ts)=sin[ю(t-ts)]/ю(t-ts), где ю - полоса частот канала, ^ - момент прихода импульса сигнала. Множество операторов Р^) в этом случае представляет собой совокупность ортонормированных функций, сформированных на базе производных от импульсной реакции ИФНЧ в соответствии с алгоритмом Грама-Шмидта.

Рассмотрен квазиоптимальный алгоритм работы ОИ и соответствующая структурная схема, позволяющие несколько упростить процедуру обработки. Компьютерный эксперимент подтверждает способность ОИ повысить помехоустойчивость приема как для помех типа МСИ и МЛР, так и для помех типа аддитивный белый гауссов шум.

Для цитирования:

Сухоруков А.С. Оптимальный индикатор двоичных сигналов для систем дистанционного обучения и медицинского обслуживания // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Том 10. №11. С. 9-16.

For citation:

Sukhorukov A.S. Optimum indicator of binary signals for distance learning systems and medical service. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.11, pp. 9-16.

Сухоруков Александр Сергеевич,

к.т.н., доцент кафедры общей теории связи Московского технического университета связи и информатики, Москва, Россия, suhas@yandex.ru

Ключевые слова: оптимальный индикатор, линейный оператор, линейный функционал, ортогональность, норма, ряд, производная, идеальный ФНЧ, межсимвольная интерференция, многолучевость, аддитивный белый гауссов шум.

7Тл

1. Введение

Проблема передачи информации с высокой скоростью и прекрасным качеством практически решена путем прокладки оптических линий связи для жителей крупных городов, желающих получать дистанционные услуги. Однако, она остается актуальной для граждан, проживающих в средних и небольших городах и поселках, где значительная часть каналов невысокого качества. В каналах связи низкого качества высокий уровень помех от межсимвольной интерференции (МСИ), многолучевого распространения (МЛР) сигнала, индустриальных Помех и теплового шума. Иногда возникает проблема так называемой «последней мили», т.е. низкого качества части линии связи от абонента до сетевых устройств. И всегда актуально повысить эффективность использования полосы частот любого высококачественного канала.

Неинформационные параметры сигнала и некоторых помех известны на передаче if на приеме: для канала с постоянными параметрами известны форма импульсов сигнала и время их прихода на вход приемника, известна форма предыдущих и последующих информационных импульсов, вызывающих МСИ, известна форма импульсов, приходящих на вход приемника по другим путям распространения и вызывающих помехи от MJiP.

В работе [4] предложен Оптимальный индикатор /,(s) сигналов, неинформационные параметры которых полностью известны па приеме. Он позволяет устранить влияние МСИ и МЛР на помехоустойчивость приема. Однако, кроме МСИ и МЛР в каналах низкого качества высок уровень аддитивного белого гауссова шума (АБГШ), как теплового, гак и помех от различных индустриальных источников. В отношении этого типа помех мы имеем существенно меньше априорной информации. Цель данной статьи расширить диапазон применения оптимального индикатора (ОИ) и добиться повышения помехоустойчивости для помех теплового и индустриального типа,

2. Алгоритм работы оптимального индикатора

для канала связи с идеальной АЧХ

Принимаемый процесс z(l) рассматриваем как результат прохождения сигнала s(£) и помех x(t) через некоторые линейные фильгры. Предполагаем, что процессы на выходе фильтров (на входе блока оптимальной обработки) ограничены по мощности и дифференцируемы.

Алгоритм работы оптимального индикатора сигнала s(t) в общем виде следующий [2],|4|:

НтЦуН

1 при ve S; О при ye S;

В |4] определены условия, при которых О И, определенный в (1), (2), позволяет отличить сигнал от помехи. Для линейных преобразований оператор ИЦу) в общем виде [5], [6] записывается как Рк(у)=ак^]ку/^Ик- (а^ — нормирующий множитель). Соответственно, алгоритм работы О И принимает вид:

ш= Jí>

д'у d's

к Эdt" llK

В |4| показано, что множество {К^й)} ограниченных линейных операторов должно представлять собой совокупность ортогональных с весом операторов:

Jw(s)F„(s)Fk(s)dM=

В, к = п; О, к Ф п\

Так как s(t) есть сигнал на входе ОИ, а для операторов F(*) должно выполняться условие (4), то в качестве информационных импульсов следует использовать производящую функцию для семейства ортогональных с весом функций. Это требование накладывает жесткие ограничения на форму частотной характеристики канала и форму сигнала.

Конкретная реализация О И зависит от выбранной модели канала связи. В |4| рассмотрен вариант, когда АЧХ канала связи эквивалентна гауссовой кривой. В этом случае огибающая импульса сигнала на выходе канала, на входе ОИ имеет вид:

(м, г

s(t,t>e 2

где 15 - время прихода импульса сигнала на вход ОИ.

Производные от (5) - это производящие функции для ортогональных с весом полиномов Эрмита НЩ). Однако, для этой модели канала связи индикатор успешно борется только с помехами от МСИ и МЛР, но не может ослабить влияние АБГШ на помехоустойчивость приема. Покажем это. Алгоритм работы ОИ (3) для гауссовой модели канала связи принимает вид:

ш=

1

4ix

i

1 d*X d" Ц?- ...

е 3 dt\

klyflñ dtk dt

" m

W= JlFt{z)Fk(sW/;

где [Р[(г),.,Рт(г)] - множество ограниченных линейных операторов, определяющих совокупность преобразований входного процесса; - заданная индикаторная функция (сигнал) на входе индикатора; =5{0+х<1) - процесс на входе индикатора.

Индикатор (индикаторная функция) /,(у) определяет принадлежность произвольной функции у{1) к некоторому множеству:

Если х(1) импульсы помехи ОТ МСИ или МЛР, то по форме они совпадают с сигнальными импульсами, но смещены по времени на 1Х , имеют случайную амплитуду ит и произвольную ширину спектра 1/р:

х(<)=и,е * ;

Спектр процесса х(1) имеет вид:

¡хфе^аии, |е~ е^Л^Т^е^У'^;

Заменяя в выражении (6) производные на соответствующие спектры вида (7), получим при ^=0:

1 ™ и 1 °° ™

2к41л ьо

Интегрируя по I, получим ¿(м+у), а свертка этой дельта функции с составляющими, зависящими от аргумента V, преобразует (х) к виду (с точностью до постоянного сомножителя):

' 2пТгЖ.1 Ы к\

Следовательно, при т—

2Ж^2К Ъъ.Нчг J

2к4Ъс.

Для импульса сигнала ß= I, ts = t,=0, т.е. из (8) получим: 1 "го,,»,, . i°°nputx=ts=0

Iim/S(s)=—)= [e°*J<a'de>= £(tt) =\ x ' ; m m-)» 2jz-42k [0 при 0 y '

Из (9) видно, что /Дх} равен 0 для помехи при Ъ,=0 и стремится к <х> для сигнала при ^=0, Так как время прихода импульса помехи от МСИ не равно 0, а время прихода импульса помехи от МЛР есть непрерывная случайная величина равная 0 с вероятностью 0, то напряжение на выходе ОИ от МСИ и МЛР также равно 0.

Если импульсы помех имеют ширину спектра меньше сигнала ¡3>1, то ОИ также подавляет их. Даже при точном совпадении времени прихода помехи с сигналом происходит полное подавление помехи и отношение I, (хУ/^з) стремится к 0.

Однако, помеха может иметь большую ширину спектра, чем сигнал (Р<1). Например АБГШ, проходит только через фильтры приемника, а импульсы сигнала проходят через фильтры как в передатчике, гак и в приемнике. В этом случае выражение (8) при р<1 бесконечно растет уже при конечных т. Такая помеха растет быстрее сигнала на выходе ОИ и глушит сигнал. Мощность процесса на входе ОИ неограниченно растет, процесс не может быть описан в рамках модели Ь2. С практической точки зрения это означает, что отношение сигнал/помеха стремится к 0. Прием сигнала невозможен.

По этой причине ОИ, использующий в качестве информационного сигнала производящую функцию полиномов Эрмита, позволяет бороться только с помехами от МСИ и МЛР.

Покажем, что модель канала связи с ЛЧХ эквивалентной идеальному фильтру нижних частот позволит в идеале бороться также и с помехой типа АБГШ. Предположим, что

частотная характеристика канала связи эквивалентна АЧХ ИФНЧ в полосе А:

|K(öf=K0 ; 0<£У<Д;

Предположим также, что огибающая импульсов информационного сигнала на выходе канала, на входе ОИ имеет вид:

So(t.ts)=

sin A(/-tJ

АС-О 5

Спектр такого импульса Г(со) равномерен в полосе частот от 0 до А и, следовательно, такой импульс без искажений проходит через канал связи с АЧХ (10), приобретая только некоторую временную задержку:

f

-e-J"-;A>ü)>0-А

—eА = ш>0-, 2A

0;й»Д>0;

Сильная сторона такой модели канала связи - любой процесс, включая процессы с бесконечной энергией, например, АБГШ, на выходе такого канала связи имеют ограниченную мощность, дифференцируемы и интегрируемы. Они принадлежат к L2.

Однако, в отличие от гауссовой модели, производные sinAt/At не являются ортогональными с весом функциями.

Лемма 1. Пусть на выходе канала с АЧХ вида (10) заданы не пустые, не пересекающиеся подмножества сигналов ScL2 и случайных помех XcL2, XriS =9. Тогда для любых

реализации сигнала S0(t)—llm-; u, - случайная величина, и случайной помехи хеХ в L2 существуют [Fi(z)... F„i(z)] - множество ограниченных линейных операторов и соответствующий линейный ограниченный индикатор сигнала /f(s)=A^0 такие, что отношение:

I/,(*)[

ш

где £>() - сколь угодно малая величина. Доказательство.

Алгоритм работы ОИ имеет вид [4]:

/((х)= j (д-№;

Рассматривая только линейные преобразования от произвольного г, можно сказать, что [Р|(г),..Р1П(г>] - множество ограниченных линейных операторов, определяющих совокупность преобразований входного процесса, есть набор производных процесса г с некоторыми весовыми коэффициентами.

Линейные ограниченные операторы Рк(й) должны представлять совокупность ортогональных (орто нормированных) функций. При разложении в ряд по совокупности ортогональных функций, понятия базисное™ и замкнутости совпадают, разложение является единственным, сходимость разложения в ряд легко проверяется. Таким образом требование ортонормированности операторов Р^б) является необходимым и достаточным для единственности и сходимости последующих рядов.

Рассмотрим совокупность производных сигнального импульса (11) при Ц—О, Д=1:

ш=

ük sin/

Эти производные образуют множество функций определяемых выражением:

Первые 4 производные имеют вид: So(0=$int/l; S](t)=cost/t- sint/t2; s2(t)= -sint/t- 2cost/r+ 2sint/t3; s3(t)= -cosl/t+3sinl/r +óeost/t3 - 6sint/t4.

Дня формирования ортонормированных функций Sk(t) па базе производных sin/// из (13), (14) воспользуемся алгоритмом Грама-Шмидта [3].

Общее выражение для формирования функций ортонормированного ансамбля, образованного из ансамбля s^(t) следующее [3]:

№

dtk

[i этом случае алгоритм работы ОИ принимает вид для сигнала (1!) и помехи x(t):

dt l, At dkx

UxhJS^W^dt;

Рассмотрим индикатор I, (x):

w-Zlw^*

k=o.

Ряд в

dtk

мы умножаем каждый раз другую функцию Каждое из слагаемых вида:

есть одни из коэффициентов разложения функции Иными словами, можно записать ряд:

(¡*х№

dlx (/) dík

dt

, =Ai0S0(t) + AtlS](n+.,.+AtJJty,

где:

fk(0=sk(t)-fiallSl(ty, aik(/) = \sk{t)fi{t)dt\

4,= Js„(0

dt

Ek= [mfdt.

Первые четыре ортонормироваиные функции ансамбля имеют вид:

$(,и)=0.5745т1/[; 5,(1)= I .ОЗсоэгЛ- 1.03$т1/Г; 82(0= -1,445цгЙ- 4,1 7со51/Г+ 4.1Тзт^;

-1.87со51/1+10.4З1П1/12 +25.6СО51/Г1 - 25.б8тгЛ4; Таким образом сформирован ансамбль (15) ортонормированных функций и, следовательно, можно положить Кк(з)-5к([).

Алгоритм Грама-Шмидта линейный, по достаточно сложный для реализации над суммой сигнала и шума в реальном масштабе времени.

В этой связи рассмотрим квазиоптимальный алгоритм работы ОИ, Пусть:

Тогда индикатор принимает вид:

/ДФ4+41+-+4м*

При т—ортонормированная система функций {Н\(б)} становится полной.

Так как все функции

dkx{t) dtk

принадлежат к L2, то ряды

, _ ,. dx(t) d"'x(t) для функции W/V--- ---сходятся и, в соответ-

dt dt'" ствии с уравнением замкнутости, имеем:

dkx(t) dt1

Следовательно, для любого конечного m конечна и сумма: пЗ

Ii

J

iir"

dt=£EAb=£u<«;

k=(l ii=0

k=0

так как это сумма сходящихся рядов и, значит, ограничена. Соответственно, сумма:

так как это только одно слагаемое из Lk

Но если сходится числовой ряд для д*. , то lim А^ - 0;

и, начиная с некоторого к, отношение:

———<1;

Л" Li

.k+L

Из этих соотношений следует, что lim | |= 0; и, начи-пая с некоторого к, отношение:

Ai I

I

кк

<1;

к+1Л-1

Следовательно, ряд /, (х) сходится и ограничен: |J, (x)j— I Aoo+ A,!+...+ Aram+... |=A<qo; Выполним нормировку слагаемых в ОИ:

Г„ _ dk f sin At I, . ,

_ dt ^ At

Из (17) следует для любого сигнала из множества S:

dk ( u sin At ы, dt4 At

r "1_l d

1Л00Н ilA(t)-

В результате всегда можно указать т, при котором выполняется неравенство (12):

/,(-у)|= А

\1ш 141»

<е;

Теорема.

Пусть на выходе канала с ЛЧХ вида (10) заданы не пустые, не пересекающиеся подмножества сигналов и случайных помех ХоЬ2, ХпЯ =9. Тогда для любой реализа-

ции z(t) аддитивной смеси сигнала sg(t)=u

smi

us - слу-

чайная величина, и случайной помехи хеХ в L2 существуют [F|(z)...Fm(z)] — множество ограниченных линейных операторов и соответствующий нормированный оптимальный

/ s ¡Лz) индикатор | (z)= такие, что:

ш

lim Is(z) =

I при z=x+s; 0 при z=x;

Доказательство.

Так как множество Z является объединением множеств X и S , то любая сумма реализации случайной помехи х и сигнала s также принадлежит Z. Следовательно, произвольная реализация z может быть двух типов: либо z=x, либо z=s+x. Нормированный оптимальный индикатор для этих двух вариантов принимает следующий вид. Если z=x, то:

Is(z=x) = lim = lim—=0;

т

um

Если z=s+x, то:

. , /,(s)+/.(x) .. uTm± А .

Is(z=s+x) = lim —--—- - hm —1-= 1;

/,(s) m->™ u,m

Это соответствует выражению (18).

3. Компьютерный эксперимент

В соответствии с выражением (7) структурная схема оптимального индикатора сигнала s(t,tj принимает вид, показанный на рис. I, где обозначены: прм - перемножители, d/cit - дифференцирующие устройства, ИНТ - интегратор, РУ- решающее устройство.

блок формирования s^t)

i

SUD

S„{t>

pu

арч

СУММАТОР

Рис. I. Структурная схема оптимального индикатора

а) Модель помехи: помехи от МСИ и МЛР.

Помехи от МСИ - помехи от соседних импульсов, вызванные узкой полосой пропускания А канала связи. Такая помеха имеет огибающую, совпадающую с сигналом, но смещена на интервал времени кТ=к/У, где V - скорость работы в бодах:

sinü(/±An.

A(t±kT) '

Помехи от МЛР - помехи от информационных импульсов, пришедших по другим путям распространения. Такая помеха имеет огибающую, совпадающую с сигналом, по имеет случайную амплитуду ик и смешена на случайный интервал времени 1ч:

5ШД(/±0

Д(/±0 '

7Тл

У

в) Модель помехи типа АБГШ-2.

Напряжение помехи на входе канала связи представляет случайную последовательность гармонических колебаний со случайной частотой, равномерно распределенной в полосе пропускания канала связи, и случайной нормально распределенном амплитудой:

x(t)=y Uj sin (Üf \

Рис. 5. Зависимость напряжения на выходе ОИ для каждого

из случайных импульсов (22) от порядка дифференцирования

Множество гармонических колебаний со случайной частотой и амплитудой поступают на вход ОИ. На рисунке 5 показана зависимость напряжения на выходе ОИ от каждого из случайных импульсов (22) от порядка дифференцирования. Мешающее напряжение от импульсов помехи стремится к нулю.

Приложение

Оценим потенциальную помехоустойчивость классического идеального (оптимального) приемника по отношению к МСИ. Для нормальной помехи с произвольной функцией корреляции В „и-и) и энергетическим спектром 0„(ю) логарифм функционала отношения правдоподобия имеет вид [I ]:

ln/[z(t)]= Jv(0

z(0-

dt >0;

если z(t)=x(t)+s0(t), a v(t) - решение инторалыюго уравнения:

jBn$ru)v(u)du=s^t)-s0(t); B(J(t-u)= jG^io^'dio;

Для противоположных ДВОИЧНЫХ сигналов S()(t} —-S](t), выражаем сигнал S|(t) через спектр Fs(co):

(0] = ^iF,( ja»e>"der, 2 к J

Выражение лля определения принимает вид: Отсюда имеем спектр опорного сигнала:

Если форма импульса помехи совпадает с сигналом, то энергетический спектр помехи по форме совпадает с энергетическим спектром сигнала:

Спектр опорного сигнала:

4ВД0«» _ 4ВД0к>) _ 4ите"^ .

F,(jœ)=

Gn(ffl) <r]F,(j)|2 I F, (j)l1

Вероятность ошибки, вычисляемая по стандартной формуле [ IJ, стремится к 0:

Р =

=i-F

0.5 jv(t)s(t)dl

так как, заменяя функции их спектрами, получим с точностью до постоянной:

|v(t)s(t)dt = jdt J

Wj^dœ'tU* „, , MfJS,. Ul

27KrFs(œ) l, 2л

ffdm

J In <rw J

Однако, опорный сигнал нереализуем, так как его спектр обращается в бесконечность.

Выводы

1. F.c.hh АЧХ канала связи эквивалентна АЧХ ИФНЧ, то оптимальный индикатор позволяет повысить помехоустойчивость приема двоичных сигналов, если огибающая информационных импульсов имеет вид sinl/t. В качестве опорных напряжений оптимальный индикатор использует совокупность ортонормировакных функций, сформированных на базе производных s(t) в соответствии с алгоритмом Грама-Шмидта. 2. При выполнении этих условий оптимальный индикатор дает на выходе отношение напряжения помехи к напряжению сигнала меньше сколь угодно малой величины. Это справедливо для помех от многолучевое™, от межей м-зольной интерференции и от аддитивного белого гауссова шума в виде случайной последовательности дельта-импульсов м гармонических колебаний.

Литература

1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

2. Ву.шх Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла, М.: Наука, 1973. 352 с.

3. Прокис Д:ж. Цифровая связь / Пер. с анг, под ред. Кловскпго ДД. М: Радио и связь, 2000. 800 с.

4. Сухорукое A.C. Оптимальный индикатор двоичных сигналов, пораженных помехами от многолучевости и межсимвольной интерференции II T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Том 10, №2. С. 40-47,

5. Сухорукое A.C. Введение в теорию многомерной связи. М.: Медиа Паблишер, 2011. 274 с.

6. Сухорукое A.C. Разделение лучей в многолучевом канале при использовании узкополосных сигналов с дифференцированием на приеме// Радиотехника, 1986. №2, С. 55-57.

7ПТ

OPTIMUM INDICATOR OF BINARY SIGNALS FOR DISTANCE LEARNING SYSTEMS

AND MEDICAL SERVICE

Alexander S. Sukhorukov, Cand. tech. Sci., Associate Professor of Faculty of the general communication theory of the Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, suhas@yandex.ru

Abstract

The information transmission problem with a high speed and excellent quality is almost solved by fibre optics laying for people from large cities, who want to receive distance services. However, it continues to be actual problem to people living in middle and small cities and settlements, where the sagnificant part of channels has a low quality. The communication channels of low quality have a high interference from the intersymbol interference, multipath, man-made noise and thermal noise. Sometimes there is a last mile problem, i.e. poor quality of part of the communication line from a subscriber to network devices. And actually it is important to increase the bandwidth efficiency of any high-quality channel. Article expands the range of use of the optimal indicator (OI) that increases noise immunity to interference, thermal and industrial type.

There is provided a method of increasing the noise immunity of receiving digital signals, which are struck by additive noises, if some parameters of noises and not information parameters of a signal are known on reception. The envelope shape of information pulses and time of their arrival are known at the receiver input for a channel with constant parameters of the signal. For the previous and subsequent data pulses that cause intersymbol interference (ISI), also envelope shape of the pulse and the time of their arrival are known at the receiver input. It is known only to the shape of the envelope pulse signal pulses that come from other propagation paths and causing interference from multipath. To solve the problem the optimum reception of the binary signal, affected by additive noise of any kind, the optmum indicator of signals has been offered.

The optimum indicator of signals represents the linear indicator functionalities of Is(*) in the form of a convolution of the linear operator of Fm(s) from reference signal s(t) and the linear operator of Fm(z) from process z(t) on an input of the optimum indicator. The process z(t) may be either the noise x(t), or the sum signal s(t) and noise x(t). The optimum indicator is defined on a set L2 and indicates that the process belongs to the subset S or not. The optimum normalized indicator Is(z) = 1; when z(t) = x(t)+s(t); and Is(z) = 0; when z(t) = x(t). To realize this condition the information signal pulses must have the envelope matching impulse response of the channel. The set of bounded linear operators Fm(s) must be represented by a set of orthonormal functions. Best results can be obtained if the amplitude-frequency response of the channel is equivalent to the amplitude-frequency response of ideal low-pass filter. The strength of this solution is the fact that for any interference at the receiver input the process belongs to L2 at the output of ideal low-pass filter, limited power and can be differentiate m times.

If the amplitude-frequency response of the channel is equivalent to the amplitude-frequency response of ideal low-pass filter, then the envelope of the signal will take a form:

s(t-ts)=sinm(t-ts)/m(t-ts), where m - frequency band of the channel, ts - moment of arrival of signal pulse.

The set of the operators F(s) in this case represents set of the orthonormalized functions created on the basis of derivative of impulse response of ideal low-pass filter in accordance with the Gram-Schmidt algorithm. Considered the quasioptimal algorithm of OI and corresponding block diagram. This allows some simplification of the procedure for processing. Computer experiment confirms the ability of the OI to improve noise immunity to interference, ISI and interference from multipath and for interference type of additive white Gaussian noise.

Keywords: optimal indicator, linear operator, linear functional, orthogonality, norm, series, ideal low-pass filter, derivative, intersymbol interference, multipath, additive white Gaussian noise.

References

1. Levin B.R. Theoretical bases of statistical radio engineering.-M.: Radio i svyaz'. 1989. 656 p.

2. Wulich B. A short course of theory of functions of a real variable. Introduction to the theory of integral. Moscow. Nauka. 1973. 352 p.

3. Proakis J.G. Digital Communications: Per. s angl. / pod red. Klovskogo D.D. Moscow. Radio i svyaz. 2000. 800 p.

4. Sukhorukov A.S. The optimal indicator of binary signals distorted by multipath and intersymbol interference noise / T-Comm. 2016. Vol. 10. No. 2, pp. 40-47.

5. Sukhorukov A.S. Introduction to the theory of multi-dimensional communication. Moscow. Media Pablisher. 2011. 274 p.

6. Sukhorukov A.S. Division of rays in the multipath channel using narrowband signals with differentiation at the reception / Radiotekhnika, 1986. No 2. Pp. 55-57.

7TT