Статистический анализ геометрических размеров объектов, обладающих радиальной симметрией

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ...

ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА

УДК 519.688, 537.877

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ ОБЪЕКТОВ, ОБЛАДАЮЩИХ РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ К.Б. Самусев, М.В. Рыбин, М.Ф. Лимонов

Описан алгоритм вычисления статистических геометрических параметров ансамбля объектов, границы которых обладают радиальной симметрией. К таким объектам относятся цилиндры и сферы, которые являются структурными элементами, образующими фотонные кристаллы и диэлектрические метаматериалы. Основу алгоритма составляет процедура распознавания, основанная на преобразовании исходного изображения по методу, аналогичному преобразованию Хо. Метод позволяет определять диаметры и координаты центров отдельных объектов. Ключевые слова: фотонные кристаллы, метаматериалы, статистический анализ, процедура распознавания.

Введение

Фотонные кристаллы (ФК) [1, 2] и диэлектрические метаматериалы (ДММ) [3, 4] - это структуры, которые создаются искусственным путем, что обусловливает одно из их главных отличий от «обычных» кристаллов: «обычные» кристаллы состоят из абсолютно идентичных атомов или молекул, в то время как ФК и ДММ построены из рукотворных структурных элементов, которым присущи вариации в размере, форме, диэлектрической и магнитной проницаемости. Эта неоднородность неустранима и будет существовать в любом ФК и ДММ. По этой причине определение статистических параметров структурных элементов, образующих ФК и ДММ, является принципиальной задачей.

В настоящей работе мы опишем алгоритм вычисления статистических геометрических параметров ансамбля объектов, границы которых обладают радиальной симметрией, т.е. цилиндров и сфер. Алгоритм позволяет определять диаметры и координаты центров отдельных объектов и, таким образом, вычислять усредненные постоянные кристаллической решетки и определять функцию распределения частиц по каждому из интересующих нас параметров. В случае цилиндра ключевым геометрическим параметром является, как правило, диаметр, а длина цилиндра не рассматривается в большинстве задач фотоники. Это связано с тем, что для формирования 2Б ФК и ДММ цилиндры необходимо расположить параллельно друг другу (оси г параллельны) и перпендикулярно направлению распространения электромагнитной волны (рис. 1).

а

3

б

в

г д

Рис. 1. Схематическое изображение фрагментов 20 периодической структуры, образованной цилиндрами (а) и 30 периодической структуры, образованной сферами (в). Сечение отдельного элемента обеих

структур - вид сверху (б). Изображение плоскости ху 20 плотноупакованной структуры (г) и 30 плотноупакованной структуры - синтетического опала (д), полученные с помощью сканирующей

электронной микроскопии

Обычно предполагается, что цилиндры имеют достаточную длину для того, чтобы не учитывать граничные эффекты, в результате чего фотонные свойства определяются лишь радиусом цилиндров, по-

стоянной кристаллической решетки в плоскости ху и симметрией 2Б-решетки. В случае сферы искомыми параметрами являются радиус и координаты центра сферы в 2Б-плоскости заданного сечения. Классическим примером 3Б ФК являются синтетические опалы [2, 5] и опалоподобные коллоидные кристаллы [2]. В коллоидных кристаллах основным структурным элементом являются частицы, имеющие форму, близкую к сферической. Размер частиц в различных образцах может варьироваться в пределах 200-1000 нм.

Во многих статьях, посвященных изучению синтетических опалов, рассматривают модельную структуру, состоящую из идеальных недеформированных шаров а-8Ю2 одинакового размера, которые находятся в точечном контакте друг с другом и образуют гранецентрированную кубическую решетку. В такой идеальной решетке шары занимают 74% объема образца, а остальные 26% приходятся на долю пустот. Однако такая модель представляет собой приближение, не вполне соответствующее реальности. Отклонение от идеальной модели хорошо прослеживается на изображениях, полученных с помощью электронной микроскопии, а также следует из результатов обработки спектров брэгговского отражения света от синтетических опалов [2]. Для получения численных характеристик структуры, таких как среднее значение и дисперсия размера частиц, необходимо применять специальные методы обработки, подобные методу, использованному в [6] для подсчета числа объектов в поле зрения микроскопа. Другие известные из литературы методики основаны на изучении пространственного фурье-спектра [7] и методе подсчета количества центров, попадающих в кольцо заданного радиуса [8]. Однако эти методы являются интегральными и не позволяют раздельно определить такие параметры, как разброс диаметров частиц и расстояний между их центрами. Настоящая работа решает эту задачу, представляя алгоритм нахождения размера и положения каждой частиц в пространстве.

Алгоритм вычисления статистических геометрических параметров

Определим термины, которые мы будем использовать в данной работе. Следуя монографии [9], под изображением мы будем понимать двумерную функцию /х, у), где х и у - координаты точки на плоскости. Значение функции /х, у) будем называть яркостью (интенсивностью) изображения в точке (х, у). В случае цифрового изображения величины х, у и /х, у) принимают конечное число дискретных значений. Цифровое изображение состоит из конечного числа элементов, каждый из которых характеризуется тремя целыми неотрицательными числами - двумя координатами и яркостью. На координаты никаких специальных ограничений не накладывается, однако яркость может принимать значения только в интервале [0, ¿-1], где Ь - число уровней (градаций) яркости. Из соображений удобства число уровней яркости принимают равным целой степени двойки, т.е. Ь = 2к . Эти элементы называют элементами изображения или пикселями.

В основе алгоритма лежит процедура распознавания объектов, граница которых обладает радиальной симметрией. Процедура состоит в преобразовании исходного изображения по методу, аналогичному преобразованию Хо [9], которое позволяет находить на монохромном изображении кривые, заданные параметрически. Монохромным считается изображение, состоящее из точек двух типов - точек контура, ограничивающего объект (например, окружность, ограничивающая круг), и фоновых точек, к которым относятся как точки вне, так и внутри объекта. Исходя из этого, полутоновое изображение должно быть предварительно трансформировано в монохромное (содержащее только контур объекта и фон) с использованием какого-либо градиентного фильтра, например, фильтра Превитта [9], Собеля [10] или Кенни [11], с последующей пороговой обработкой. Задача преобразования Хо состоит в выделении кривых, проходящих через максимальное количество точек контура объекта.

Поясним принцип преобразования Хо. Пусть Е(х,у,а1,а2,...,ап) = 0 - некоторая функция, задающая на плоскости (х,у) семейство кривых с параметрами а1, а2,..., ап. Параметры семейства кривых образуют фазовое пространство, каждая точка которого (конкретные значения набора а1, а2,..., ап) соответствует некоторой кривой на плоскости (х, у). Ввиду дискретности машинного представления непрерывное фазовое пространство требуется перевести в дискретное. Для этого в фазовом пространстве аь а2,..., ап вводится «сетка», разбивающая его на ячейки достаточно малого размера. Каждой ячейке можно поставить в соответствие число А, указывающее количество точек контура объекта, принадлежащих кривой с параметрами данной ячейки. В результате можно найти кривые Е (х, у, а1, а2,..., ап) = 0, на которых лежит наибольшее количество точек контура объекта.

Для объектов, граница которых обладает радиальной симметрией (сечение цилиндра, сферы), задача Е(х,у,х0,у0,Я0) = 0 сводится к поиску окружностей неизвестного радиуса с неизвестными координатами центра (х - х0)2 + (у - у0)2 - Я02 = 0. При переходе от непрерывного пространства параметров (х0, у0, Я0) к дискретному, с которым мы будем работать, получаем трехмерный массив целых неотрицательных чисел Аптк , индексы которого (п, т, к) задают набор параметров (х0, у0, Я0). Два индекса этого массива (п, т) определяют координаты центров окружностей (соответствуют паре х0, у0) в пространстве изображения, а третий индекс (к) - радиус окружности Я0. Далее введем понятие двумерного сечения

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ .

Впт трехмерного массива Лптк . Трехмерный массив представляет собой последовательность двумерных сечений с размерностью (п х т), совпадающей с размерностью исходного изображения, причем последовательность упорядочена по возрастанию радиуса Я0.

Преобразование исходного изображения (например, изображения, представленного на рис. 1, г) в трехмерный массив чисел сводится к тому, что каждому элементу Лптк присваивается значение, равное количеству точек контура изображения (например, контура, ограничивающего цилиндры на рис. 1, г), лежащих на окружности с центром в точке (п, т) и радиусом, равным к. Процедура подсчета числа точек монохромного изображения, лежащих на окружности радиуса к, эквивалентна нахождению дискретной свертки изображения с ядром (маской), представляющим собой квадратную матрицу размером 2к +1. Элементы этой матрицы, лежащие на вписанной окружности, равны 1, а остальные - нулю. Таким образом, алгоритм включает в себя ряд последовательных преобразований исходного изображения, которые мы кратко опишем. На рис. 2 представлена первая часть этих преобразований. Фрагмент исходной полутоновой картинки (рис. 2, а) с помощью градиентного фильтра Кенни [11] и пороговой обработки (рис. 3) преобразуется в монохромное изображение границ (рис. 2, б). Это монохромное изображение подвергается описанному выше преобразованию, аналогичному преобразованию Хо [9]. На рис. 2, г, в качестве примера представлено одно сечение нормированного трехмерного массива Лптк / к , которое является результатом свертки монохромного изображения (рис. 2, б) с маской радиуса к=88 пикселей (рис. 2, в), Ь * с ^ d.

Рис. 2. Преобразование исходного полутонового изображения в процессе распознавания структур, обладающих круговой симметрией: исходное полутоновое изображение структуры плотноупакованных

пронумерованных цилиндров (а); монохромное изображение границ цилиндров, полученное после применения градиентного фильтра Кенни и пороговой обработки (Ь); изображение квадратной матрицы 177*177 пикселей с вписанной окружностью радиуса к=88 пикселей; свертка Лптк /к контурного

изображения с ядром, нормированная на радиус к=88 (Ь * с ^ d). Нумерация пиков соответствует

нумерации цилиндров на панели

Модель идеального Модель наклонного перепада перепада

Профиль яркости

Первая производная

Вторая производная |

Рис. 3. Пороговая обработка: выделение границ путем дифференцирования профиля яркости на границе объекта. Граница определяется по первой либо второй производной от функции яркости

Далее производится варьирование радиуса маски в широком интервале пикселей (для данного объекта, например, в интервале 50<к<150), при этом центр маски сканируется по всему полю изображения, представленного на рис. 2, а. Результирующий трехмерный массив Лптк является входной информацией для процедуры распознавания объектов (рис. 2, а), состоящей в нахождении радиусов цилиндров и координат их центров. Массив состоит из целого ряда двумерных сечений Впт, представляющих собой свертки контурного изображения с ядрами различных радиусов 50<к<150. На рис. 4 в качестве примера

представлены результаты трех из ста двумерных сечений свертки контурного изображения с тремя масками радиусов £=75, 88, 99 пикселей. Локальные экстремумы (пики) на рис. 2, г, совпадают с центрами соответствующих частиц на рис. 2, а. Радиус отдельной частицы определяется по зависимости высоты пика от радиуса ядра свертки к, которая всегда имеет достаточно четко выраженный экстремум. За радиус распознанной частицы принимается радиус маски к, при котором соответствующий пик свертки Ь * с достигает своего максимального значения, а за координаты ее центра - координаты этого пика (п, т). На рис. 5, в, показан основной результат процедуры распознавания - распределение диаметров частиц и межцентровых расстояний для образца, представленного на рис. 2, а.

™ 200 0 200 г «»

у 0 х

шТ^^И^^Г^ 400

Рис. 4. Свертка монохромного изображения с окружностями трех различных радиусов. Схематичное представление фрагмента трехмерного массива данных Аптк /к , получаемого в результате выполнения описанного преобразования контурного изображения для радиусов маски к=75, 88 и 99 пикселей

280 300 320 340 360

Б, а00, нм

Рис. 5. а - исходное изображение структуры; б - изображение структуры с нанесенными окружностями и центрами окружностей, найденными в результате процедуры распознавания; в - дисперсия диаметров частиц й и межцентровых расстояний а00 для образца, представленного на панели а

Заключение

Результаты визуализации различных макро-, микро- и нанообъектов, получаемые самыми различными методами, начиная от простого оптического фотографирования до применения электронной микроскопии, содержат богатую информацию о симметрии, дефектах, форме и размерах частиц, образующих фотонные кристаллы и диэлектрические метаматериалы. Однако для получения численных характеристик (среднее значение, дисперсия) необходимо применять специальные методы обработки, позволяющие находить индивидуальные геометрические размеры и положения частиц.

в

МЕТОДИКА СРАВНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ СТЕРЕОЗРЕНИЯ

В работе представлен алгоритм для определения статистических характеристик ансамбля частиц, образующих фотонные кристаллы либо диэлектрические метаматериалы. Следует отметить, что исходное соотношение алгоритма F(x,y,a1,a2,...,an) = 0, т.е. функция, задающая на плоскости (x,y) семейство кривых с параметрами ai, a2,..., an, совсем не обязательно должна сводиться к уравнению окружности (x - x0)2 + (y - y0)2 - R = 0. Алгоритм позволяет распознавать объекты любой формы, однако количество параметров и, следовательно, время вычислений и возможные погрешности вычислений существенно возрастают. Мы подробно рассмотрели случай окружности в качестве примера для демонстрации метода обработки изображений широко распространенных структур, состоящих из цилиндров или сфер. Такие объекты имеют границы с радиальной симметрией, и задача F (x, y, x0, y0, R0) = 0 сводится к поиску массива трех параметров (x0, y0, R0). Полученные результаты, представленные на рис. 5, демонстрируют высокую эффективность данного алгоритма.

Авторы благодарят П.А. Белова и Ю.С. Кившаря за обсуждение результатов работы. Работа выполнена в НИУ ИТМО при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.В37.21.1964) и РФФИ (проект № 11-02-00865).

Литература

1. Inoue K. and Ohtaka K. Photonic Crystals: Physics, Fabrication and Applications. - Springer, 2004. - 332 p.

2. Limonov M.F. and De La Rue R.M. Optical properties of photonic structures: interplay of order and disorder. - CRC Press, Taylor & Francis Group 2012. - 514 p.

3. O'Brien S. and Pendry J.B. Photonic band-gap effects and magnetic activity in dielectric composites // J. Phys.: Cond. Matt. - 2002. - V. 14. - P. 4035.

4. Hosseinzadeh A. and Semouchkina E. Effect of permittivity on energy band diagrams of dielectric metamaterial arrays // MOTL. - 2013. - V. 55. - P. 134-137.

5. Rybin M.V., Sinev I.S., Samusev A.K., Samusev K.B., Trofimova E.Yu., Kurdyukov D.A., Golubev V.G. and Limonov M.F. Dimensionality effects on the optical diffraction from opal-based photonic structures // Phys. Rev. B. - 2013. - V. 87. - P. 125131.

6. Дырнаев А.В., Потапов А.С. Комбинированный метод подсчета эритроцитов на изображениях мазков крови // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. -№ 1 (77). - С. 19-23.

7. Palacios-Lidón E., Juárez B.H., Castillo-Martínez E. and López C. Optical and morphological study of disorder in opals // J. Appl. Phys. - 2005. - V. 97. - P. 63502.

8. Rengarajan R., Mittleman D., Rich C. and Colvin V. Effect of disorder on the optical properties of colloidal crystals // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 71. - P. 16615.

9. Gonzalez R.C. Woods R.E. Digital Image Processing. - Prentice Hall, 2002. - Chapter 10. - 793 p.

10. Sobel I. An isotropic image gradient operator. Machine Vision for Three-Dimensional Scenes. - N.Y.: Academic Press. - 1990. - P. 376-379.

11. Canny J. A computational approach to edge detection // IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence. - 1986. - V. 8. - P. 679.

Самусев Кирилл Борисович - Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник, k.samusev@phoi.ifmo.ru Рыбин Михаил Валерьевич - Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат физ.-мат. наук, ст. научный сотрудник, m.rybin@phoi.ifmo.ru Лимонов Михаил Феликсович - Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, m.limonov@phoi.ifmo.ru

УДК 004.932

МЕТОДИКА СРАВНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ СТЕРЕОЗРЕНИЯ ПРИ ВОССТАНОВЛЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ЛИЦА ЧЕЛОВЕКА

С.В. Пономарев

Представлены результаты сравнительного анализа эффективности алгоритмов стереозрения в рамках решения задачи восстановления трехмерной модели лица человека. Рассмотрены методы стереозрения, относящиеся к трем основным классам - локальные, глобальные и полуглобальные методы. В качестве критериев количественной оценки работы алгоритмов предложена мера расхождения восстановленной карты дальности и эталонной карты дальности, полученной с использованием камеры со структурированной инфракрасной подсветкой. При сравнении осуществлялся переход в трехмерное пространство, проводилось вычисление характеристик облака точек, учитывалось каче-