МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ВОДЫ В КАПЛЕУЛОВИТЕЛЕ ВЕНТИЛЯЦИОННОЙ УСТАНОВКИ

СТРОИТЕЛЬСТВО. АРХИТЕКТУРА

DOI: 10.53078/20778481_2023_1_63 УДК 697.93

С. Д. Галюжин, О. М. Лобикова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ВОДЫ В КАПЛЕУЛОВИТЕЛЕ ВЕНТИЛЯЦИОННОЙ УСТАНОВКИ

S. D. Galyzhin, O. M. Lobikova

MATHEMATICAL MODEL OF WATER PARTICLE MOVEMENT IN THE DROPLET ELIMINATOR OF A VENTILATION UNIT

Аннотация

Разработана математическая модель движения капли воды в канале каплеуловителя системы вентиляционной установки, которая дает возможность подобрать его основные параметры: длину изогнутой пластины канала и ширину канала. Модель учитывает действие центробежной силы, сил тяжести и Кориолиса, а также силы сопротивления движению капли воды относительно потока воздуха. Результаты исследований могут быть рекомендованы при проектировании каплеуловителя вентиляционной установки.

Ключевые слова:

каплеуловитель, воздуховод, частица воды.

Для цитирования:

Галюжин, С. Д. Математическая модель движения частицы воды в каплеуловителе вентиляционной установки / С. Д. Галюжин, О. М. Лобикова // Вестник Белорусско-Российского университета. -2023. - № 1 (78). - С. 63-70.

Abstract

A mathematical model of the movement of a water drop in the drop eliminator channel of the ventilation system has been developed, which makes it possible to select its main parameters: the length of the curved channel plate and the channel width. The model takes into account the action of centrifugal force, gravity and Corio-lis forces, as well as the resistance force to the movement of a water drop relative to the air flow. The research results can be recommended when designing a drop eliminator for a ventilation unit.

Keywords:

droplet eliminator, air duct, water particle.

For citation:

Galyzhin, S. D. Mathematical model of water particle movement in the droplet eliminator of a ventilation unit / S. D. Galyzhin, O. M. Lobikova // Belarusian-Russian University Bulletin. - 2023. - № 1 (78). - P. 63-70.

Введение

После прохождения удаляемого воздуха через рекуператор вентиляци-

© Галюжин С. Д., Лобикова О. М., 2023

онной установки, как правило, данный воздух становится насыщенным. При дальнейшем движении удаляемого воздуха в условиях холодного времени го-

да происходит его охлаждение, образование конденсата в виде капель воды и их замерзание в вытяжном воздуховоде [1, 2]. Это приводит к повышению газодинамического сопротивления вытяжного воздуховода и, как следствие, к уменьшению воздухообмена и увеличению расхода электроэнергии [3].

Для исключения данного негативного явления в системах вентиляции устанавливают каплеуловители [4]. Чаще всего для этих целей используют

каплеуловители пластинчатого типа. В них вертикально устанавливаются изогнутые пластины, которые образуют ряд каналов. В каналах воздух движется по криволинейной траектории, в результате возникает центробежная сила инерции, воздействующая на капли воды и отбрасывающая эти капли к вогнутой поверхности пластины. Собранный на этих поверхностях конденсат воды стекает вниз в конденсатоприемник, а затем в дренаж (рис. 1).

Рис. 1. Каплеуловитель пластинчатого типа

Для определения основных размеров пластин была разработана математическая модель движения капли воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки.

Основная часть

При составлении расчетной модели движения капли воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки были использованы следующие допущения:

частица воды является материальной точкой с постоянной массой;

- во время движения форма частицы воды является сферической;

- скорость движения воздуха в канале каплеуловителя постоянна, не изменяется во времени;

- поток воздуха в канале капле-уловителя вентиляционной установки является равномерным;

- для описания условий обтекания частицы воды используется модель сплошной среды;

применен принцип возвратности аэродинамики - характеристики сил взаимодействия частицы воды и воздуха одинаковы при движении тела в неподвижном воздухе и при набегании на неподвижное тело равномерного потока воздуха.

Данные допущения применяются в аэро- и газодинамике и позволяют с высокой достоверностью описывать процесс движения частицы воды в канале каплеуловителя.

Расчетная схема сил, действующих на каплю воды, движущуюся в канале каплеуловителя вентиляционной установки представлена на рис. 2. Базовую (абсолютную) систему координат обозначим ОХаУаХа; подвижную систему координат, релятивную потоку воздуха - ОХУХ. Система координат ОХУХ вращается относительно оси 3 с угловой скоростью Юе.

Рис. 2. Схема сил, действующих на каплю воды, движущуюся в канале каплеуловителя:

1, 2 - изогнутые пластины, образующие канал каплеуловителя для движения потока воздуха; 3 - вертикальная ось, проходящая через центр кривизны средней криволинейной поверхности между пластинами 1 и 2; 4 - частица воды

Уравнение движения частицы (капли) воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки с учетом принятых допущений можно представить в виде следующей зависимости [5, с. 237-255]:

тЧВ а ЧВ = ^ Т ^ ^ ЦТР ^ ^ КР ^ ^ СП ,

где шчв - масса частицы (капли) воды в канале каплеуловителя, кг; аЧВ - ускорение частицы (капли) воды в канале кап-леуловителя в системе координат ОХУХ,

м/с2; GТ - сила тяжести, действующая на каплю воды, Н; ^ - центробежная сила инерции, действующая на каплю во-

ды, Н; ¥ КР - сила Кориолиса, Н; ¥ СП -

сила сопротивления, Н.

Сила тяжести и центробежная сила инерции, действующие на частицу (каплю) воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки, определяются по общеизвестным формулам:

О т = тЧВ ё;

¥ ЦТР а Ц тЧВ ,

где ё - ускорение свободного падения, м/с2; ац - центростремительное ускорение, м/с2.

Система координат 0ХУ2, релятивная потоку воздуха, вращается с угловой скоростью Юе, тогда модуль центробежной силы будет равен [6, с. 365-369]

Рцтр = тЧВЮ К

где Юе - угловая скорость криволинейного движения частицы (капли) воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки вместе с потоком воздуха, с-1; Я - радиус криволинейной траектории движения капли воды 4 (см. рис. 2) в канале каплеуловителя вентиляционной установки, м.

При движении капли воды под воздействием ¥цтр относительно потока воздуха возникает сила Кориолиса, устанавливаемая зависимостью [7, с. 201-203]

быть рассмотрена как тело, обтекаемое потоком, с учётом аэродинамических закономерностей. А сила сопротивления ¥сп будет равна совокупности сил сопротивления, возникающих в результате обтекания капли воды воздушными потоками. Форма данной зависимости разработана Ньютоном и имеет следующий вид [7, с. 255-257; 8, с. 133-136]:

¥ СП 0,5 кСП 8СП р ВЗ

Ут

Уг

¥ Кр 2тЧВ

ю Уг

где ксП - коэффициент лобового сопротивления капли воды; 8сп - площадь проекции капли воды на плоскость, перпендикулярную вектору Ук, м2; Рвз - плотность воздуха, кг/м3.

Используем полученные результаты сил ОТ, ¥ ЦТР, ¥ КР, ¥ СП из выражений (2)-(6) в уравнении (1) движения частицы (капли) воды и спроецируем его на оси ХУ2. Также предположим, что составляющие у и т. относительной скорости Ук пренебрежительно малы в сопоставлении с х . Следовательно, при определении сил ¥сп и ¥кр возможно учитывать исключительно х, пренебрегая у и т . Тогда систему дифференциальных уравнений движения капли воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки при х > 0 можно представить в виде

тЧв х = тЧВЮе х 0,5кСП 8СПрВЗ Х

тЧВ У = ~2тЧВ ЮеХ - 0, 5кСП 8СП Р ВЗ У ^

тЧВТ = тЧВё - 0,5ксп8спРвзТ2

где Ук - скорость движения капли воды релятивно (относительно) воздушного потока в канале каплеуловителя вентиляционной установки, м/с.

Движение капли воды в канале кап-леуловителя происходит в потоке удаляемого воздуха. Размеры капли воды значительно превышают размеры молекулы воздуха. Поэтому капля воды должна

или

х =

Т = ё -(0, 5кспЯспРВЗ / тЧВ ) т2.

Для упрощения решения введем обозначения:

2

а1 = e ; b1 = О, 5^СЯ8СПРВЗ 1 тЧВ ;

d1 = 2ш .

1 e

Тогда система дифференциальных уравнений движения капли воды в канале каплеуловителя вентиляционной установки (8) примет вид:

x = а1 x - b1 x2; у = -d, x -b, .у2; if = g - b, z2.

Для приведения данной системы к системе дифференциальных уравнений Риккати первого порядка произведем замену х1 = х, х2 = х1, у1 = у, у2 = у1,

21 = г, г2 = ^ . Тогда система уравнений дифференциальных уравнений (10) сведется к следующему виду:

IZ2 = g - b,z22;

Z1 = Z2.

Первая зависимость системы (12) представляет собой уравнение Риккати. Чтобы выполнить его интегрирование, произведем разделение переменных:

di 2 7 2

— = g - Ь1 Z 2

или

dt

dzn

g - biz 2

= dt

= dt.

x1 = x2 ;

••^2 - 0^1 b1 ;

у1 = У2;

У2 =-d1X2 -b1 У22;

zf2 = g - b1 z22.

Проведем интегрирование уравнения (13)и получим

2Vgb!

ln

g z, + 1

g

^ z2 - 1

g

= t + ln C1.

Дифференциальное уравнение Риккати интегрируется в квадратурах только в частных случаях, соответственно системы дифференциальных уравнений Риккати решаются только с использованием численных методов. Поэтому для решения системы (11) целесообразно применить метод Рунге -Кутта, реализованный в пакетах символьной математики [9, 10].

Две последние зависимости системы уравнений (11) не включают переменные х и у и для их решения можно использовать метод разделения переменных. Запишем данные зависимости:

Проведем далее преобразования зависимости

z = —ln b1

?2b -11 c

t

Vb7

g

+C2.

Подставляя в (15) значение b1 из (9), получим следующую зависимость:

1

2т,

т =

ЧВ

x 1п

кСП 8СП Р ВЗ ,\12 ксп 8сп Рвз 8/ тчв*__1

' с

\1кСП 8СПР ВЗ / 2тЧВ

+с2.

8

Определим постоянные интегрирования С и С2. Продифференцируем уравнение (16), чтобы определить постоянную С:

1

1

т =

Ь е2"^8 -1/ с

х е

За начальный момент времени (* = 0) примем момент времени вхождения частицы (капли) воды в канал кап-леуловителя вентиляционной установки. При этом, если т = 0, то т = 0. В этом случае зависимость (17) примет следующий вид:

1

_= 1 2УЬё

^ьЛ К1 -1/с'

Если умножить обе части последнего уравнения на и выполнить

преобразования, то получим значение постоянной интегрирования С = -1.

Для определения постоянной интегрирования С2 воспользуемся зависимостью (16) с теми же начальными условиями:

С2 =- 2тЧв Ь2 = 1,386тЧв

кСП 8СПРВЗ кСП 8СП РВЗ

С учетом выведенных постоянных интегрирования С = -1 и С2 из (18) уравнение (16) запишем в виде

2т

т =

ЧВ

кСП 8СП РВЗ

X 1п е^2ксп8спрвз8/тЧВ* + 1 -

1,386т,

ЧВ

\1кСП8СПРВЗ / 2тЧВ 8 кСП8СПРВЗ

.

Подставляя в (17) значения ¿1 из (9) и С2 из (18), и выполнив преобразования, получим

т =

= 2тЧв е^2ксп 8сп РВЗ 8 / 2ксп Р вз 8 /

тЧВ*

кСП 8СП Р ВЗ (

,л/2 ксп 8спР вз 8 /

тч

+ 1 ) VкСП8СПРВЗ8 / 2тЧВ*

Преобразуем для упрощения выражение (20). Тогда

т =

А

2тЧВ 8

кСП 8СП Р

ВЗ

( 2е^2ксп8спрвз8/ тчв* ^

^ 2ксп 8спРвз 8/ тч

— 1

+ 1

Таким образом, два первых уравнения системы (8) возможно решить с использованием численных методов, для решения третьего уравнения используется зависимость (19).

Для определения длины канала каплеуловителя вентиляционной установки необходимо вывести зависимость * = / (х), т. к. при наличии информации о продолжительности движения капли

воды от стенки 2 до стенки 1 (см. рис. 2) каплеуловителя возможно определить протяженность пути движения воздушного потока в канале и, соответственно, длину изогнутых пластин.

Предложенная математическая модель дает возможность сформулировать следующую методику проектирования ключевых параметров каплеуло-вителя вентиляционной установки. На первом этапе, основываясь на конструкции вентиляционной установки, с учетом габаритных и присоединительных размеров, находим параметры Ro и Як (см. рис. 2). Из-за того, что площадь живого сечения всех каналов каплеуловителя примерно на 10 % меньше площади живого сечения канала для удаляемого воздуха, то с достаточной точностью для технических расчетов можно считать, что средняя скорость движения в канале каплеуловителя будет равна Уер.к = 1,1 Уу.в (Уу.в - средняя скорость движения удаляемого воздуха в вентиляционном канале).

ш = V IR .

e ср.к ср V /

Далее с использованием численных методов решаем первые два уравнения системы (8), при соблюдении требований, что Як > х > Ro, а у > 0. Определяем t1 - продолжительность движения капель воды различной массы от стенки 2 до стенки 1 каплеуловителя вентиляционной установки (см. рис. 2). Используя допущение, что форма капли воды является сферической, ее массу можно рассчитать по формуле

4

тчв = Рв 3пЯЧв,

где рв - плотность воды, кг/м3; Ячв - радиус капли воды, м.

Так как форма капли воды модели принята сферической формы, то, соответственно, проекция ее на плоскость, перпендикулярную вектору скорости движения капли воды относительно воз-

душного потока в канале каплеуловите-ля вентиляционной установки VR, будет являться кругом площадью Sen, и может быть рассчитана по формуле

Sen = пЯЧв.

Для данной формы капли воды значение коэффициента лобового сопротивления ксп возможно определить на основании данных [7, с. 257-260]: ксп = 0,62. Чтобы учесть плотность воздуха рвз, воспользуемся известным уравнением Клапейрона

Рвз = Рабс I

где рабс - абсолютное давление воздуха, Па; Табс - абсолютная температура, К; Яв - газовая постоянная воздуха, Яв = 287 Дж/(кг-К) [11, с. 21].

Далее находим максимальное значение t1 и угол поворота подвижной системы координат OXYZ у, релятивной воздушному потоку в канале каплеуло-вителя:

Y = et1.

Тогда длина пластины канала кап-леуловителя вентиляционной установки l будет определена по формуле

l = у^.

Важным параметром каплеуловителя является ширина канала L = Як - Я0. Чем больше L, тем длиннее будут пластины, что приведет к повышению линейного газодинамического сопротивления каплеуловителя. Уменьшение L приводит к снижению линейного газодинамического сопротивления, но при этом будет возрастать местное газодинамическое сопротивление, т. к. будет увеличиваться число пластин в капле-уловителе. Решение данной проблемы требует дополнительных исследований газодинамических процессов в капле-

уловителе. На данном этапе, исходя из результатов эксплуатации каплеуловите-лей, можно принять Ь = 40 мм [11, 12].

Таким образом, разработанная математическая модель движения частицы воды в каплеуловителе вентиля-

Заключение

ционной установки позволяет выбрать его основные параметры: длину изогнутой пластины канала и ширину канала. Результаты исследований могут быть рекомендованы при проектировании каплеуловителя вентиляционной установки.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОМ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галюжин, С. Д. Сравнительный анализ способов определения расхода конденсата в системе вентиляции машиностроительного предприятия / С. Д. Галюжин, О. М. Лобикова // Транспортное машиностроение. - 2022. - № 7 (7). - С. 53-63.

2. Галюжин, С. Д. Определение исходных данных для проектирования устройства удаления конденсата из рекуператора вентиляционной установки / С. Д. Галюжин, Н. В. Лобикова, О. М. Лобикова // Вестн. Белгород. гос. технол. ун-та им. В. Г. Шухова. - 2019. - № 7. - С. 63-71.

3. Галюжин, С. Д. Экономическая выгода мероприятий повышения энергетической эффективности систем вентиляции / С. Д. Галюжин, Н. В. Лобикова, О. М. Лобикова // Казахстан-Холод 2019: материалы Междунар. науч.-техн. конф., Алматы, 20-21 февр. 2019 г. - Алматы: АТУ, 2019. - С. 104-110.

4. Каплеуловитель [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/. - Дата доступа: 07.01.2023.

5. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебное пособие: в 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. - Санкт-Петербург: Лань, 1998. - Т. 1. - 736 с.

6. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики: учебник / Н. Н. Никитин. - Москва: Высшая школа, 1990. - 607 с.

7. Альтшуль, А. Д. Гидравлика и аэродинамика: учебник / А. Д. Альтшуль, Л. С. Животовский, Л. П. Иванов. - Москва: Стройиздат, 1987. - 414 с.

8. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник д / Т. М. Башта [и др.]. - 2-е изд., пере-раб. - Москва: Машиностроение, 1982. - 423 с.

9. Кирьянов, Д. В. Самоучитель МАТНСАD / Д. В. Кирьянов. - Санкт-Петербург: БХВ-Пе-тербург, 2003. - 560 с.

10. Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе МАТНСАD: учебное пособие / В. А. Охор-зин. - 3-е изд. - Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 352 с.

11. Каплеуловители и воздухораспределители в вентиляционных установках [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://lazerps.ru/uslugi/vozdukhopodgotovka/kapleuloviteli/. - Дата доступа: 18.01.2023.

12. Каплеуловитель для вентиляции [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://redvent.ru/ cat-alog/kapleulavlivatel-dlya-ventilyatsii/. - Дата доступа: 18.01.2023.

Сергей Данилович Галюжин, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. Тел.: 8-044-711-78-12. E-mail: serg.galujin@yandex.by.

Ольга Михайловна Лобикова, ст. преподаватель, Белорусско-Российский университет. Тел.: 8-033-628-83-73. E-mail: olg.lobikova@yandex.by.

Sergei Danilovich Galyzhin, Cand. Sc. (Tech.), Associate Professor, Belarusian-Russian University. Tel.: 8-044-711-78-12. E-mail: serg.galujin@yandex.by.

Olga Mikhailovna Lobikova, senior lecturer, Belarusian-Russian University. Tel.: 8-033-628-83-73. E-mail: olg.lobikova@yandex.by.

Статья сдана в редакцию 12 января 2023 года