Механика деформирования и разрушения наноматериалов и нанотехнологии

Механика деформирования и разрушения наноматериалов

и нанотехнологии

Р.В. Гольдштейн, Н.Ф. Морозов1

Институт проблем механики РАН, Москва, 119526, Россия 1 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия

Дан обзор некоторых основных результатов в области моделей, методов расчета и экспериментального исследования механического поведения (деформирования и разрушения) наномасштабных объектов и материалов, содержащих наночастицы (нанокомпозитов), а также рассмотрены вопросы применения подходов и методов механики деформируемого твердого тела для моделирования нанотехнологий.

Рассмотрены дискретно-континуальные модели, разработанные для описания процессов деформирования наномасштабных объектов (систем, содержащих несколько атомных слоев, нанотрубок и их систем, нанопокрытий) и материалов, армированных наночастицами, а также процессов дефектообразования в них. Дан анализ возможности расчета и построения оценок эффективных деформационных характеристик указанных объектов и материалов с учетом их структуры.

Обсуждаются представления, модели и экспериментальные результаты, касающиеся прочности и разрушения наноматериалов и нанотрубок, с учетом влияния структуры, наличия и возникновения дефектов, масштабного фактора, а также дислокационных механизмов пластического деформирования применительно к наноматериалам. Рассмотрены атомные модели трещин и взаимосвязи этих моделей с континуальными моделями трещин в механике хрупкого и квазихрупкого разрушения. Обсуждаются вопросы экспериментального определения деформационных, прочностных свойств, а также сопротивления разрушению наноматериалов и нанообъектов.

Mechanics of deformation and fracture of nanomaterials and nanotechnology

R.V. Goldstein and N.F. Morozov1

Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia 1 St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

The paper reviews some results for the development of models, calculation methods and experimental investigation of the mechanical behavior (deformation and fracture) of nanoscale objects and nanoparticle-containing materials (nanocomposites). The application of approaches and methods of the mechanics of a deformed solid to nanotechnology simulation is considered.

We discuss discrete-continuous models developed for the description of deformation processes in nanoscale objects (systems containing multiple atomic layers, nanotubes and their systems, nanocoatings) and nanoparticle-reinforced materials. The processes of defect formation in them are studied. The opportunity of calculating and estimating effective deformation characteristics of the given objects and materials with regard to their structure is analyzed.

The notions, models and experimental results concerning the strength and fracture of nanomaterials and nanotubes are discussed with regard to the influence of structure, presence and generation of defects, scale factor and dislocation mechanisms of plastic deformation as applied to nanomaterials. The atomic models of cracks in deformed solids and their relation to the continuous models of cracks in the mechanics of brittle and quasi-brittle fracture are examined. The experimental determination of deformation and strength properties as well as fracture resistance parameters of nanomaterials and nanoobjects is considered.

1. Введение

Дальнейшее развитие технологий получения наноматериалов, материалов, содержащих наночастицы наполнителя, проектирование и создание нано- и микро-

масштабных элементов конструкций и изделий, их применение в различных областях техники и медицины требует описания деформационных, прочностных свойств и сопротивления разрушению этих материалов.

© Гольдштейн P.B., Морозов Н.Ф., 2007

Материалы с наполнителем в виде наноразмерных частиц известны достаточно давно. К их числу, например, относятся резины с наполнителем в виде сажи. Описание силикатных нанокомпозитов встречается с 50-х годов прошлого столетия. Однако чрезвычайный рост активности в области наноматериалов и наночастиц связан с открытием в 1991 г. углеродных нанотрубок. Нанотрубкам присущи очень высокие значения деформационных и прочностных характеристик. Для них характерны высокий модуль Юнга (~ 1 ГПа), большие упругие (до 5 %) и предельные деформации (до 20 %). Такое сочетание механических свойств обуславливает перспективы использования нанотрубок в качестве армирующих волокон в композитах. В то же время, нанотрубки представляют собой весьма интересный с механической точки зрения объект, сочетающий дискретноконтинуальные свойства. С другой стороны, для многослойных нанотрубок существенную роль во взаимодействии между отдельными слоями играют ван-дер-ваальсовые силы. Их учет требует соответствующего развития моделей механики сплошных сред.

Большой интерес вызывают полимерные нанокомпозиты, в частности нанокомпозиты с полимерной матрицей, армированной минералами или силикатными наполнителями.

Среди таких наполнителей можно выделить природный минерал — монтмориллонит, имеющий такую же слоистую и кристаллическую структуру, как тальк или слюда. Кристаллическая решетка монтмориллонита состоит из тонких слоев толщиной ~ 1 нм. Слои образуют параллельные структуры (свиты) с регулярным зазором между ними. При диспергировании монтмориллонита в полимере в зависимости от термодинамики процесса формования промежутки между слоями могут увеличиваться, при этом параллельность слоев в определенных условиях нарушается (за счет этого создается более однородное армирование нанокомпозита).

Армирование монтмориллонитом приводит к повышению жесткости (модуля Юнга) и предела текучести композита и снижению предельного удлинения при разрыве. Например, для нанокомпозита капрон/монтмориллонит модуль Юнга увеличивается почти вдвое по сравнению с матрицей при содержании монтмориллонита около 7 %, в то же время предельное удлинение падает в 30 раз. Предел текучести при этом возрастает на 20-30 %.

Использование углеродных нанотрубок в качестве наполнителя при получении полимерных нанокомпозитов позволяет существенно улучшить деформационные и прочностные характеристики композита. Так, прочность на сжатие поликарбоната с наполнителем в виде многослойных нанотрубок (около 30 %) повышается в ~1.8 раза в сравнении с прочностью на сжатие материала матрицы.

Все большее внимание привлекают слоистые системы и системы с покрытиями наномасштабных толщин. Именно с созданием подобных систем связаны перспективы развития наноэлектроники. Наноструктурные покрытия оказываются часто чрезвычайно износостойкими, что привлекает внимание специалистов к разработке износостойких нанопокрытий.

Приведенные примеры дают представление о необходимости развития моделей механического поведения, методов расчета и средств для экспериментального исследования как самих наномасштабных объектов, так и материалов, элементов конструкций и изделий на их основе.

В рамках Программы фундаментальных исследований РАН «Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро-, мезо-и макромасштабов при деформировании и разрушении» вопросы наномеханики рассматриваются в тесном взаимодействии с микро- и мезомеханикой. В предлагаемой работе, в первую очередь, внимание уделяется именно различным аспектам наномеханики материалов.

В реализации Программы участвуют Институт проблем механики РАН (г. Москва), Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург), Институт машиноведения РАН (г. Москва), Институт теплофизики экстремальных состояний Объединенного института высоких температур РАН (г. Черноголовка), Институт прикладной механики РАН (г. Москва), Институт механики и машиноведения Казанского научного центра РАН (г. Казань), Южный научный центр РАН (г. Краснодар), Институт механики сплошных сред УрО РАН (г. Пермь), Институт машиноведения УрО РАН (г. Екатеринбург), Институт гидродинамики им. ак. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск), Институт теоретической и прикладной механики им. ак. С.А. Христиа-новича СО РАН (г. Новосибирск), Институт физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), Институт физико-технических проблем Севера СО РАН (г. Якутск), Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН (г. Владивосток), Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН (г. Комсомольск-на-Амуре).

2. Дискретно-континуальное моделирование упругих характеристик наноструктур и нанокомпозитов

2.1. Зависимость упругих характеристик пакета атомных слоев от их количества. Моделирование влияния приповерхностных атомных слоев

При учете атомной структуры наномасштабных объектов возникает естественный вопрос о том, в какой мере упругие характеристики наномасштабной структуры связаны с макроскопическими упругими характерис-

тиками соответствующего материала. Ответ на этот вопрос требует анализа, сочетающего дискретный и континуальный подходы.

Меняя количество атомных слоев в системе, можно проследить постепенное изменение значений модулей упругости и стремление их по мере увеличения толщины пакета атомных слоев к макроупругим характеристикам.

Исследование такого перехода выполнено в работах [1-4] на примере полосы монокристаллического материала с гексагональной плотноупакованной (треугольной) решеткой. Считая взаимодействие между атомами парным и учитывая взаимодействие только ближайших соседей, авторы рассмотрели растяжение-сжатие полосы бесконечной длины, ширина которой составляла несколько атомных слоев N. Нагружение моделировалось заданием на торцевых сечениях полосы постоянных нагрузок. В отличие от бесконечного двумерного кристалла с гексагональной плотноупакованной решеткой рассматриваемый кристалл (полоса) обладает анизотропией. Пусть Е1; У1 и Е2, V2 — значения модулей Юнга и коэффициентов Пуассона полосы при растяжении вдоль и поперек нее соответственно. Рассчитанная зависимость модулей упругости полосы от числа атомных слоев представлена в табл. 1.

Данные расчетов показывают, что в принятой модели модули Юнга системы атомных слоев стремятся сверху к соответствующим континуальным значениям при увеличении числа слоев. Уже при 20 атомных слоях в системе отличие модулей Юнга составляет 1-5 % от континуальных значений.

Полученная оценка числа атомных слоев, при котором происходит переход от дискретной системы к континуальной, с точки зрения характеристик жесткости хорошо согласуется с результатами расчетов, представленными в работе [5]. В указанной работе рассматривается простая кубическая решетка в качестве модели слоистого наноструктурного материала со слоями постоянной толщины и используются гармонические по-

Таблица 1

Зависимость модулей упругости полосы монокристаллического материала от числа атомных слоев N

N еГ“7е„ V 2 v 2/ £2/

2 2.00 0.18 0.53 1.06

3 1.50 0.23 0.69 1.04

4 1.33 0.26 0.77 1.03

5 1.25 0.27 0.82 1.02

10 1.11 0.30 0.91 1.01

20 1.05 0.32 0.96 1.01

50 1.02 0.33 0.98 1.00

100 1.01 0.33 0.99 1.00

тенциалы. Различие результатов работ [1, 2] и [5] в том, что для модели [5] модуль Юнга стремится снизу к своему континуальному значению по мере увеличения числа атомных слоев в решетке.

С другой стороны, в работе [6] в рамках дискретной модели показано, что возможно стремление модуля Юнга к континуальному значению как сверху, так и снизу. Вопрос о том, в каких случаях может реализоваться тот или иной вариант, специально рассмотрен в работе [7]. В рамках молекулярной статики показано, что при учете только парных взаимодействий модуль Юнга стремится снизу к континуальному значению, а при учете множественных взаимодействий — сверху (расчеты проводились для меди с использованием двух подходов: в одном в качестве потенциала взаимодействия был использован потенциал Леннарда-Джонса, в другом — потенциал метода встроенного атома). Большая жесткость пакета из малого числа атомных слоев в сравнении с континуумом также подтверждается вычислениями, проведенными ab initio. Выполненный анализ показал, что имеются два конкурирующих эффекта, которые вызывают противоположные тенденции изменения модуля упругости при изменении числа атомных слоев. Перераспределение плотности электронов в слоистой системе способствует повышению жесткости системы при уменьшении числа слоев. Противоположный эффект может быть связан со снижением координационного числа атомов на поверхности, что, в свою очередь, могло бы приводить к снижению жесткости слоистой системы при уменьшении числа слоев в ней. Представляется, что природа обнаруживаемых модельных зависимостей модулей упругости слоистой системы от числа атомных слоев требует дальнейшего исследования, хотя сама оценка числа слоев, при котором происходит переход от дискретного к континуальному описанию, подтверждается расчетами, выполненными в рамках различных моделей.

Приведенные результаты свидетельствуют об особой роли поверхностных и приповерхностных атомных слоев в процессах деформирования наноструктурных объектов. Специальные исследования этого вопроса методами молекулярной динамики выполнены в работе [8].

Влияние поверхностных атомов на механические свойства нанокристаллов моделировалось для бездефектных кристаллов меди, имеющих сферическую форму. Так как для ГЦК-структур, к которым относится медь, координационное число равно 12, то к поверхностным атомам кристаллических сфер отнесены те, у которых оно меньше двенадцати. Все атомы, у которых координационное число равно 12, отнесены к атомам «объема».

В качестве примера приведена такая сфера с радиусом 2 нм. Черные кружки — объемные атомы, белые — поверхностные (рис. 1).

Рис. 1. Медная наносфера радиусом 2 нм

Рис. 3. Зависимость средней энергии подсистем атомов поверхности (1), объема (2), полной энергии (3), экспериментального значения для когезионной энергии (4) от радиуса сферы

Исследования проведены для сфер, радиус которых менялся от 1 до 7 нм. На рис. 2 приведена существенная характеристика наноструктур — зависимость отношения числа атомов на поверхности к полному числу атомов от радиуса сферы. Как видно, даже для сфер с радиусом в 7 нм это отношение близко к 0.1, а не стремится к нулю, как для макрообъектов.

Для расчета энергетических характеристик использовался потенциал межатомного взаимодействия Джонсона [9]. На рис. 3 приведена зависимость средних значений энергий подсистем атомов: поверхности, объема, полной энергии (энергии, деленной на число атомов подсистем) в зависимости от радиуса сфер. Энергия подсистемы атомов поверхности выше энергии объема, которая, в свою очередь, начиная с 3 нм, практически не отличается от средней энергии всего кристалла. Как видно, с увеличением радиуса сферы их значения приближаются к экспериментальному значению для когезионной энергии и для сфер с радиусом 7 нм отличаются от последнего на 1.2 %.

Дополнительной характеристикой наноструктур может служить отношение энергии атомов поверхности к

полной энергии кристалла и к энергии объемных атомов (рис. 4). Для сфер с радиусом 1 нм энергия поверхности достигает половины полной энергии кристалла и даже превышает энергию объема. С увеличением радиуса до 7 нм доля энергии атомов поверхности уменьшается, но составляет 10 % от полной энергии. Это доказывает, что нельзя пренебрегать поверхностными эффектами в наноструктурах с размерами до 10 нм.

Если определить поверхностную энергию и8Г как сумму энергий атомов поверхности и энергии связи с атомами объема 10 нм, то коэффициент поверхностного натяжения можно вычислить по следующей формуле:

Здесь 5 — площадь поверхности рассматриваемого объекта, изменение площади вызвано приложенным внешним напряжением. Авторы работы [8] рассчитали зависимость у от внешнего давления (рис. 5). Его величина для малых давлений, где зависимость близка к линейной, совпадает с экспериментальным значением коэффициента поверхностного натяжения для расплава

Рис. 2. Зависимость отношения числа атомов на поверхности к полному числу атомов в сферическом кластере меди от радиуса сферы

Рис. 4. Зависимость отношения энергии атомов поверхности к полной энергии кристалла (1) и энергии атомов объема (2) от радиуса сферы

0 1 Р, ГПа

Рис. 5. Зависимость коэффициента поверхностного натяжения кристалла меди от внешнего давления

меди. В различных источниках это значение варьируется от 0.5 до 1.2 Дж/м2.

В проведенном численном эксперименте по сжатию наносферы получено значение коэффициента объемного сжатия:

для всей сферы и для внутренней области, включающей только объемные атомы, а также построена зависимость К от приложенного давления. Значение, найденное для объемной части, для малых давлений совпадает с экспериментальным значением, полученным для макрообъектов. С другой стороны, расчет К для сферы как единого объекта дает величину, меньшую этого значения примерно на 10 %, что указывает на значительное влияние поверхности.

2.2. Дискретно-континуальное моделирование углеродных нанотрубок и их систем

Так же, как и для систем, состоящих из небольшого числа атомных слоев, вопрос о возможности и пределах применимости континуального описания механических свойств важен и для нанотрубок и их систем.

В связи с этим разработана дискретно-континуальная модель расчета деформационных характеристик нанотрубок и их систем [10]. В основе модели лежит возможность замены совокупности атомов, образующих нанотрубку, некоторой эквивалентной моделью упругих изотропных стержней с учетом регулярности атомной структуры нанотрубок. В свою очередь, система стержней заменяется континуальной моделью, что позволяет перейти к континуальной модели нанотрубки в зависимости от рассматриваемой задачи. В качестве континуальной модели может использоваться либо модель цилиндра, либо модель оболочки.

При построении эквивалентной стержневой модели нанотрубки используется энергетический подход, позволяющий подобрать параметры стержневой модели, которые обеспечивают соответствие стержневой и атомной моделей нанотрубки. Взаимодействие атомов в молекулярной структуре количественно описывается

методами молекулярной динамики. Силы притяжения и отталкивания для каждой пары атомов зависят от относительного положения атомов и описываются выбранным силовым полем. Эти силы дают вклад в общую потенциальную энергию, связанную с колебаниями молекулярной системы, которая, в свою очередь, равна энергии деформации макроскопического тела эквивалентной геометрии. С вычислительной точки зрения, стержневая модель обеспечивает существенное сокращение времени расчетов в сравнении с подходами молекулярной динамики.

При выборе потенциалов для атомов углерода используются потенциалы Морзе и Леннарда-Джонса для описания ковалентных и нековалентных взаимодействий соответственно. Среди многих силовых полей для описания параметров ароматических углеродных молекул выбиралось силовое поле ММ3, поскольку оно позволяет наиболее полно описать поведение различных молекул, содержащих углерод.

Структуру нанотрубки можно представить себе следующим образом: часть гексагональной плоскости, составленной из атомов углерода (графеновая плоскость) свернута в нанотрубку. Каждый атом в этой плоскости ковалентно взаимодействует с тремя соседними. Характерный элемент гексагональной плоскости состоит из четырех соединенных атомов в пределах одной гексагональной ячейки. В этой системе все степени свободы обеспечивают отдельный вклад в энергию деформации (за счет энергии растяжений и изменения угла связи, а также за счет несилового взаимодействия).

В общем виде суммарную потенциальную энергию наноструктурной системы (материала) можно представить состоящей из пяти слагаемых:

Е = £ Е Р+Х Е е+Х Е ‘0Г +Х Е “ + Х ЕШ№.

Здесь Ер — энергия растяжения связи; Е0 — энергия изменения угла между соседними связями атома; Е — энергия нековалентных взаимодействий; Е *°Г — энергия выхода связей из плоскости, сопровождающегося их кручением; Е “ — энергия изгиба плоскости вследствие изменения я-электронной плотности. При моделировании нанотрубок в большинстве случаев существенны только две первые степени свободы. Энергия кручения достаточно мала и ею можно пренебречь. Сумма Е “ становится существенной только в задачах с большими изгибными деформациями.

Энергия растяжения ковалентной связи Ер равна энергии деформации стержня, соединяющего два атома: Ер= Кр(га -Rа) (гармонический потенциал), где Яа — начальное межатомное расстояние и га — расстояние в деформированном состоянии для ковалентной связи; Е0 = К0 (0-0)2, где 0 — начальная величина угла и 0 — величина угла в деформированном состоянии. Учитывая, что в стержневой модели энергия де-

формации зависит только от деформаций самих стержней, можно преобразовать последнее выражение: Е0 = 4К0 (гь - Яь)2/(Яь)2, где Яь — начальная длина и гь — длина стержня в деформированном состоянии, соединяющего два атома, ковалентно связанных с третьим.

Энергия упругой деформации произвольной стержневой системы может быть записана следующим образом:

Е = 1^ (г' - Я1 )2,

1 П 2 Я

где суммирование проводится по всем стержням каждого типа; п — номер стержня; гп — его длина в деформированном состоянии; А1 — поперечное сечение стержня г-го типа.

Исходя из дискретной атомной модели можно перейти к стержневой модели, если учесть все существенные парные взаимодействия в атомной структуре и заменить их эквивалентными стержнями. Таким образом, можно получить стержневую систему, эквивалентную атомной модели при тех же самых условиях нагружения. Применительно к наномасштабным структурам подобный подход был реализован в работах [11, 12].

Если в качестве примера рассмотреть нанотрубки и графеновые плоскости, то можно получить следующие оценки модуля упругости для стержней эквивалентной стержневой модели. Выделим два типа стержней (а и Ь), которым соответствуют энергии Ер и Е0 тогда их модули Юнга равны

Уа =

2 К р Я а

Уь =

2 Я ь А '

Межатомные расстояния для углерода в графите Я а и Я известны; постоянные Кр и К 0 — также известные параметры силового поля [11]: К р = 46 900 ккал/(моль • нм2) и К0 = 63 ккал/(моль-рад2).

Если принять радиус стержней равным 0.01 нм (что достаточно мало по сравнению с длиной межатомной связи), то можно получить оценки значений модулей Юнга: Уа = 295 ГПа, Уь = 9 ГПа. Оценки показывают, что стержни третьего типа, моделирующие взаимодействие противолежащих атомов шестиугольной ячейки, можно не учитывать, так как значения модулей стержней первого и второго типов уже отличаются более чем в 30 раз.

Модель обобщена и применима для описания процессов деформирования не только одиночных нанотрубок, но также их систем и групп графеновых слоев различной структуры (гексагональной и ромбоэдрической). Это обобщение потребовало, в частности, введения в эквивалентную стержневую систему дополнительных стержней, отличных от стержней типа а и Ь, с тем чтобы можно было описать изгиб графеновых плоскостей, сопровождающийся накоплением энергии вследствие из-

Рис. 6. Сжатие тонких трубок

менения л-орбитальной электронной плотности с обеих сторон графенового слоя.

В рамках модели выполнен численный анализ различных процессов деформирования наноструктурных объектов. Среди них отметим деформирование нанотрубки в матрице композита, деформирование систем нанотрубок различной геометрии, а также пакета графе-новых плоскостей. На рис. 6 представлены характерные результаты моделирования процесса потери устойчивости одностенной нанотрубки при осевом сжатии. Видно, что в зависимости от соотношения диаметра трубки и ее длины возможны, как и в классической задаче о потере устойчивости упругого стержня, различные формы потери устойчивости. Для коротких нанотрубок форма потери устойчивости аналогична форме потери устойчивости упругой оболочки (рис. 7).

Отметим, что анизотропия упругих свойств углеродных нанотрубок связана с анизотропией упругости графита. Молекулярной основой однослойной углеродной нанотрубки служит графеновая плоскость, имеющая толщину в один атом углерода. Подробный анализ анизотропии упругих свойств многослойных углеродных нанотрубок и графитовых стержней выполнен в работе [13].

2.3. Моделирование прочностных свойств углеродных усов при растяжении

Подходы механики сплошных сред позволяют выполнить теоретический анализ прочностных свойств графитоподобных материалов, имеющих слоистое строение и отличающихся анизотропией механического поведения [14]. Волокна из таких материалов важны

Рис. 7. Сжатие коротких трубок

для приложений ввиду их особых механических и иных служебных характеристик. В частности, это относится к микро- и наномасштабным графитовым усам, основу структуры которых, как и графита, составляют прочные графеновые слои, относительно слабо связанные между собой ван-дер-ваальсовыми силами. Варьируя технологии и режимы, можно получать трубки различных форм (круговые цилиндрические, торообразные и конические), а также свитко- и лентообразные, спиральные и жгутообразные пластинчатые стержни. Общность графитоподобного слоистого атомного строения роднит их и в отношении упругих и прочностных свойств. Вместе с тем механические характеристики сильно меняются с изменением ориентации структуры и геометрической формы нано- и микрообразцов.

На примере тонкого стержня, вырезанного из графитоподобного материала, исследована зависимость его прочностных свойств от угла ориентации структуры относительно направления растяжения стержня. Показано, что изменение статической прочности стержня при растяжении обусловлено изменением вкладов двух конкурирующих механизмов потери прочности, связанных с расслаиванием или с относительным сдвигом слоев при вариации угла ориентации. При малых углах 0 между осью растяжения и кристаллографической с осью кристалла (рис. 8) ведущим оказывается механизм расслаивания графеновых слоев. При больших углах (6> 0С, в рассмотренных условиях 0С близко к 30°) ведущим становится механизм соскальзывания графе-новых слоев. Оценки и сопоставления с эксперимен-

Рис. 8. Нитевидный кристалл графитоподобного материала

тальными данными, выполненные в [14], показывают, что значения прочности по отношению к расслаиванию СТС и к соскальзыванию ТС графеновых плоскостей отличаются на порядок (стс = 50 МПа, ТС ~ 0.5 МПа). На основе учета взаимосвязи статической и кинетической прочности с использованием формулы Журкова авторами получены также зависимости долговечности от температуры и угла ориентации структуры относительно направления растяжения.

2.4. Моделирование влияния наночастиц наполнителя на эффективные свойства композитов

Одно из перспективных направлений нанотехнологий связано с использованием тех или иных частиц в качестве наполнителя при производстве композиционных материалов различной природы. В частности, из экспериментов известно, что композиты, состоящие из полимерной матрицы (например, полипропилена или полистирола), содержащей всего единицы процентов наночастиц монтмориллонита, имеют существенно более высокие деформационные характеристики в сравнении с исходным полимерным материалом. В то же время, теоретические оценки эффективных упругих характеристик такого рода композитов, выполненные в рамках классических подходов механики композитных материалов, предсказывают значения эффективных модулей, меньшие наблюдаемых в эксперименте. В связи с этим исследованы возможные причины указанных расхождений. В работе [15] рассмотрены эффекты, связанные с образованием на границе раздела фаз «матрица - наполнитель» промежуточной фазы, окружающей в форме оболочек наночастицы наполнителя. Выполнено моделирование влияния промежуточной фазы на эффективные деформационные характеристики компо-

зита, наполненного наночастицами. В соответствии с предложенным подходом сначала рассматриваются наночастица и окружающий ее слой промежуточной фазы и вычисляются эффективные свойства такой двухфазной среды. Затем вычисляются эффективные деформационные характеристики композита, состоящего из матрицы и включений, образованных из однородного материала, обладающего свойствами, подсчитанными на предыдущем этапе при рассмотрении частицы и окружающей ее промежуточной фазы. Подход допускает решение как прямой, так и обратной задачи. В прямой задаче вычисляются эффективные упругие и прочностные свойства композита по известным механическим и геометрическим характеристикам наночастиц, матрицы и промежуточной фазы. В обратной задаче по механическим свойствам композита и матрицы вычисляются эффективные упругие свойства промежуточной фазы и/или наночастиц. Эффективность предложенного подхода иллюстрируется примером решения обратной задачи для типичного нанокомпозита (матрица содержит 0.5 % нанопластин наполнителя, модуль Юнга которых в 200 раз превышает модуль матрицы; коэффициенты Пуассона матрицы и включения равны соответственно 0.45 и 0.33; увеличение модуля Юнга композита по сравнению с матрицей составляет 70 %). При отсутствии промежуточного слоя теория предсказывает увеличение модуля Юнга на 50 %. В результате расчетов по полученному решению обратной задачи определены возможные комбинации толщины и модуля Юнга слоя промежуточной фазы, приводящие к дополнительному увеличению модуля композита. Показано, что коэффициент Пуассона промежуточной фазы слабо влияет на конечные результаты.

Формирование тонких слоев с промежуточными свойствами вокруг наночастиц наблюдается в наполненных эластомерах, в которых в качестве наполнителя используются наночастицы технического углерода. Моделирование наблюдаемого повышения предельной деформации и прочности такого типа материалов выполнено в работах [16, 17]. Для объяснения наблюдаемых эффектов предложена модель, в которой в соответствии с гипотезой И. Фукахори принимается, что вокруг наночастицы образуются два пограничных слоя. В одном из них материал находится в стеклообразном состоянии, а в другом — в вязком. При деформировании в вязком пограничном слое имеют место ориентационные эффекты, происходит переход от плоского ориентированного состояния цепей эластомера к одноосному ориентированному состоянию. В результате повышаются предельная деформация и прочность наполненного наночастицами эластомера. Теоретически дано обоснование указанной гипотезы.

В связи с отмеченным расхождением наблюдаемых значений эффективных модулей упругости и предска-

зываемых классическими теориями представляет интерес исследование возможности дополнительного увеличения значений эффективных модулей композита, наполненного наночастицами, посредством учета роли поверхностных напряжений на границах раздела частиц нанонаполнителя и матрицы (см., например, [18, 19]).

Для сред с микро- и наноструктурой существенными оказываются также эффекты нелокальности, наличия внутренних степеней свободы. В работах [20, 21] рассмотрены эти эффекты применительно к композитам с полимерной матрицей и наполнителем в виде углеродных и силикатных наноразмерных включений. Для вычисления эффективных деформационных и прочностных характеристик авторами использованы различные методы, сочетающие возможности описания многомасштабных процессов. Описаны особенности микроструктуры широкого круга нанокомпозитов на основе полимеров. Проведено ранжирование нанокомпозитов по их микросвойствам. Установлен механизм развития микротрещин в больших молекулярных композитных агрегатах.

2.5. Моделирование дефектов и трещин в микро- и наномасштабных объектах, в нанокристаллических материалах

В связи с использованием микро- и наномасштабных объектов в качестве наполнителей в композиционных материалах особое внимание уделяется изучению закономерностей формирования и развития дефектов и трещин в подобных объектах.

В частности, наличие дефектов структуры в углеродных нанотрубках рассматривается как одна из причин большого разброса значений их модуля упругости.

Предложенный в [10] дискретно-континуальный подход к описанию процессов деформирования микро-и наномасштабных объектов позволяет также моделировать возникновение дефектов структуры, в частности в углеродных нанотрубках и графеновых плоскостях. Удается определить, например, предпочтительные направления развития дефектов с учетом их взаимного расположения.

Для микро- и наномасштабных объектов важны вопросы о переходе дефекта структуры в трещину и о возможности моделирования условий предельного равновесия и развития подобных трещин в рамках континуального приближения.

В связи с этим отметим выполненное в работах [22, 23] моделирование формирования концевой области трещины в решеточной модели.

Предложена обобщенная атомная модель трещины томсоновского типа. Считается, что краевая трещина разделяет четыре полубесконечные цепочки атомов. Взаимодействие атомов в пределах каждой цепочки характеризуется пружинами, имеющими изгибную жест-

кость, в то время как взаимодействие между атомами соседних цепочек моделируется билинейными связями (пружинами), работающими на растяжение.

Нагружение осуществляется растягивающими сосредоточенными силами, приложенными к крайним атомам внешних атомных цепочек. Выполнено аналитикочисленное моделирование процессов деформирования и разрыва связей вблизи конца трещины и получена оценка размера зоны сцепления в зависимости от длины трещины и параметров связей. В общем случае в модели предполагается образование трех зон: зона 1, где отсутствуют межатомные связи (зона трещины, ее длина характеризуется числом т разорванных связей), зона 2, где межатомное взаимодействие описывается падающей ветвью принятого силового закона (когезионная зона), и зона 3, где межатомное взаимодействие происходит в соответствии с возрастающей ветвью силового закона. Количество атомов в когезионной зоне 5 характеризует ее длину. Получены оценки зависимости длины когезионной зоны от длины трещины и двух параметров закона связи (первый характеризует жесткость решетки, второй — работу разрыва связи) для билинейного закона. Показано, что размер когезионной зоны может быть сравним с длиной трещины для коротких трещин (число разорванных связей в трещине m = 510), в то время как для длинных трещин (m = 15-20) размер когезионной зоны становится существенно меньшим (л/т ~ 0.1-0.2). Эти большие трещины имеют наномасштаб. Следовательно, можно ожидать, что континуальный подход линейной механики разрушения может быть использован для моделирования равновесия и роста нанотрещин. Отметим, что модель Томсона содержит только две атомные цепочки и в этой модели отсутствует релаксация напряжений в зоне неразрушенных связей впереди вершины трещины. В результате, размер когезионной зоны почти не меняется при изменении длины трещины.

Зарождение и развитие дефектов и трещин в наноструктурных материалах имеет свою специфику. Те или иные дефекты могут, с одной стороны, играть отрицательную роль, приводя к разрушению, и, с другой стороны, могут способствовать развитию процесса деформирования, повышая предельные деформационные характеристики материала. Систематическое исследование процессов дефектообразования (включая зарождение нанотрещин) и возможности подавления этих процессов выполнено в работах [24-32], где разработана теория новых механизмов пластической деформации в на-нокристаллических материалах, учитывающая особенности их наноструктуры.

Наличие в нанокристаллическом материале таких элементов структуры, как тройные стыки границы зерен, приводит к возникновению в этих местах пор и нанотрещин, последующему интенсивному решеточ-

ному скольжению в областях между нанотрещинами и порами, что, в свою очередь, проявляется в формировании «ямочной структуры». Указанным процессам дано теоретическое описание.

С другой стороны, на зарождение нанотрещин в на-нокристаллических материалах влияет диффузия. Этот эффект проявляется в условиях сверхпластических деформаций.

Теоретически показано, что интенсивная диффузия обеспечивает подавление зарождения нанотрещин в сверхпластически деформируемых нанокристалличес-ких материалах в определенных областях параметров их структуры и условий деформирования.

Деформирование нанокристаллических материалов может происходить путем двойникования, зарождение деформационных двойников приурочено к границам зерен. Построена модель, описывающая параметры указанного процесса.

В пластически деформируемых нанокомпозитах наночастицы могут вызывать эмиссию дислокаций, способствующую развитию пластических деформаций. Получены теоретические зависимости параметров наноструктуры и эмиссии дислокаций.

Изучены закономерности зарождения и развития трещин в нанокомпозитных покрытиях. Показано, что наночастицы тормозят рост трещин или изменяют направление их роста в определенном диапазоне параметров структуры и составляющих фаз.

Построена теоретическая модель ротационной моды пластической деформации, связанной с локальной миграцией границ зерен, в сверхпрочных нанокомпозитных покрытиях на основе нитридов и карбидов.

2.6. Моделирование влияния сил, проявляющихся в наномасштабном диапазоне, на характеристики контактного взаимодействия

Развитие техники все больше сопряжено с созданием миниатюрных систем, к числу которых можно отнести микро- и наноэлектромеханические системы, системы атомно-силовой микроскопии. Проектирование и анализ работы подобных систем приводят к необходимости моделирования процессов взаимодействия контактирующих тел, поверхности которых имеют нано-масштабную шероховатость. В связи с этим в работах [33, 34] выполнено моделирование закономерностей контактного взаимодействия деформируемых тел с учетом адгезионных сил различной природы, вызванных молекулярным притяжением поверхностей или капиллярным давлением в поверхностных пленках жидкости. В частности, исследовано контактное взаимодействие неровностей упругих и вязкоупругих тел с учетом адгезии.

В случае молекулярной адгезии использовалась модель Можи-Дагдейла для описания адгезионного взаи-

модействия поверхностей, а при капиллярной адгезии — формула Лапласа, при использовании которой принималось во внимание деформационное искажение формы поверхности. Предложен подход, позволяющий в рамках единых представлений решать задачи о взаимодействии упругих тел с учетом адгезии различной природы, а также исследовать адгезию при взаимодействии тел с регулярным поверхностным рельефом. В рамках подхода используется представление адгезионного давления в виде кусочно-постоянной функции, что позволяет рассматривать произвольные виды потенциала адгезионного взаимодействия, включая случаи капиллярной адгезии, а также учитывать наличие другой пригрузки, отражающей влияние особенностей геометрии поверхностей контактирующих тел (влияние соседних выступов при адгезии шероховатых тел и тел с регулярным поверхностным рельефом).

На основе полученного решения проведен анализ зависимости контактных характеристик (контактного давления, размера площадки контакта, сил адгезионного притяжения и т.д.) от поверхностной энергии взаимодействующих тел и толщины и свойств поверхностных пленок жидкости. Установлено, что в замкнутом цикле сближение-удаление поверхностей в обоих рассматриваемых случаях (молекулярной и капиллярной адгезии) совершается работа, происходит потеря энергии. Изучена зависимость диссипации энергии от объемных и поверхностных свойств взаимодействующих тел. Дан анализ влияния параметров шероховатости поверхности, толщины и свойств покрытий на характеристики контактного взаимодействия с учетом адгезии. Изучено совместное влияние адгезии и несовершенной упругости на сопротивление относительному перемещению поверхностей при трении скольжения.

3. Разработка методов экспериментального исследования механических характеристик наномасштабных объектов

Одной из ключевых проблем наномеханики является определение механических и физических характеристик нанообъектов. Возникающие при этом трудности хорошо иллюстрируются многочисленными работами, посвященными определению упругих характеристик углеродных нанотрубок (см., например, обзор [35]).

Применение к экспериментальному исследованию наномасштабных объектов методов, хорошо зарекомендовавших себя в случае объектов микромасштаба, нередко сопряжено с большими трудностями. Обобщение указанных методов для испытаний наномасштабных объектов представляет собой нетривиальную задачу. Так, один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей, используемых в механике макрообъектов, основан на измерении собственных частот. Непосредственное перенесение этого метода на нано-размерные объекты затруднительно.

В [36, 37] предложен метод определения собственных частот некоторых наноструктур (нанотрубок и нанокристаллов), основанный на измерении собственных частот «большой системы», состоящей из высокоориентированного массива (решетки) одинаковых нанотрубок или нанокристаллов, выращенных на подложке макроскопических размеров и расположенных перпендикулярно подложке, и подложки без нанообъектов. Согласно [36, 37] спектр собственных частот «большой системы» можно разделить на две части. Одна часть спектра системы соответствует собственным частотам одного нанообъекта. При колебаниях с этими частотами подложка остается практически неподвижной. Другая часть спектра системы представляет собой спектр собственных частот, близких к собственным частотам подложки без нанообъектов. При этих частотах амплитуда колебаний нанообъектов оказывается существенно меньше амплитуды колебаний подложки.

В [3 8] предложены две модификации методики проведения экспериментов по определению собственных частот, основанные на [36, 37]. В соответствии с ними требуется:

- Измерить несколько первых собственных частот системы «решетка нанотрубок или нанокристаллов -подложка». Измерить собственные частоты точно такой же подложки без нанообъектов. Сравнить два полученных спектра. Частоты в спектре системы, близкие к частотам подложки без нанообъектов, не представляют интереса. Частоты в спектре системы, которым не находится соответствия среди частот в спектре подложки, представляют собой частоты нанообъектов.

- Измерить резонансные частоты системы, зафиксировав электромагнитное излучение нанообъектов (это можно сделать, поскольку многие нанообъекты представляют собой пьезоэлектрики). Одновременно измерить амплитуду колебаний подложки (это можно сделать, поскольку подложка представляет собой макрообъект). Резонансные частоты, при которых амплитуда колебаний подложки равна нулю, являются собственными частотами нанообъектов.

В [38] указанные модификации были применены к случаю нанотрубок, закрепленных на подложке частью боковой поверхности, что позволило оценить изгибную жесткость нанопленки, из которой изготовлены нанотрубки. Результаты расчетов (рассматривались многослойные пленки из арсенида галлия на подложке из сапфира) представлены на рис. 9, 10.

Возможность выделения первых собственных частот из спектра «большой системы» в [36-38] показана на основе анализа уравнений колебаний составных оболочек и пластин, а также в результате конечно-элементных расчетов с использованием трехмерных уравнений теории упругости и электроупругости.

Отметим, что исследования собственных колебаний упорядоченных массивов нанообъектов вызывают инте-

Рис. 9. Собственные моды, локализованные в нанотрубках

рес не только в связи с развитием методов определения их механических свойств, но также имеют и самостоятельное значение, поскольку такие массивы, в частности, из полупроводниковых нанокристаллов и нанотрубок, представляются весьма перспективными для устройств нанофотоники и наноэлектроники.

Методические трудности измерения деформационных характеристик наномасштабных объектов еще в большей мере проявляются при попытках измерить прочность подобных объектов. В настоящее время прочностные испытания углеродных нанотрубок находятся скорее на уровне искусства, чем ремесла. В качестве подтверждения этого достаточно указать пионерские работы [39, 40] по измерению прочности на растяжение однослойных и многослойных углеродных нанотрубок. В этих экспериментах в качестве нагружающего устройства использовали соответствующие элементы атомно-силового микроскопа, к которым нанотрубка была «приварена», а наблюдения за процессом ее растяжения осуществляли с помощью сканирующего электронного микроскопа высокого разрешения (заметим, что полученные значения прочности на растяжение однослойных нанотрубок оказались равными 13-

Рис. 10. Собственная мода, соответствующая первой изгибной моде подложки

52 ГПа, а для внешнего слоя многослойных нанотрубок— 11-63 ГПа).

Весьма перспективными представляются методы ударно-волнового нагружения для исследования сопротивления наноматериалов, в частности металлов и сплавов с наномасштабной структурой, деформированию и разрушению. Эти методы разрабатываются авторами работ [41-43]. В частности, ими выполнены измерения откольной прочности меди в различных структурных состояниях и установлены корреляции между спектром дефектов в материале и сопротивлением деформированию и разрушению. Показано, что сопротивление разрушению определяется соотношением между скоростью растяжения, с одной стороны, и скоростями зарождения и роста несплошностей, с другой.

Наблюдавшиеся в [41-43] температурные зависимости откольной прочности удается описать с помощью критерия инкубационного времени разрушения [44-47]. Этот критерий удобен также для анализа процессов разрушения, происходящих в различных масштабах, и позволяет прослеживать переход процесса разрушения с одного масштаба на другой.

Взаимосвязь между откольной прочностью и скоростью деформирования образца исследована методами молекулярной динамики в работе [48].

Для измерения механических характеристик и параметров микро- и наноструктуры материалов могут быть использованы и методы волновой диагностики. Так, в работах [49, 50] показано, что информацию о структурных параметрах можно получить с помощью поверхностных волн нового типа, присущих среде с внутренним вращением (среде Коссера). Авторами найден новый тип поверхностной волны — сдвиговой, имеющей поперечную компоненту перемещения по отношению к направлению распространения волны и лежащей в плоскости поверхности. Задача диагностики с помощью волны этого типа облегчается тем, что она имеет ярко выраженные дисперсионные свойства.

Эффекты деформирования наноструктурных объектов, связанные с возможным влиянием внутренних вращений, проанализированы в работе [51].

Применительно к наноструктурным материалам могут быть адаптированы общие методы идентификации свойств материалов с учетом многоуровневой структуры, предложенные в работах [52-54], где разработаны методы отыскания экстремальных состояний деформируемой слоистой среды на основе выделения и построения классов слоисто ориентированных неоднородностей, вызывающих локализацию вибраций в слоистой структуре и способных приводить к ее разрушению.

Разработка методов экспериментального исследования прочностных характеристик и характеристик сопротивления росту трещин наномасштабных образцов представляется весьма актуальной проблемой наномеханики, поскольку развитие нанотехнологий требует

сертификации служебных свойств, в том числе механических свойств, как самих наномасштабных объектов, так и композитов и изделий, изготовленных на их основе.

4. Моделирование элементов нанотехнологий

Модели и методы наномеханики оказываются полезными для моделирования тех или иных элементов и отыскания оптимальных режимов нанотехнологий.

В качестве примера можно привести выполненное в работах [55, 56] моделирование технологии синтеза нанотрубок сворачиванием напряженной двухслойной пленки при травлении буферного слоя, предложенной в работах [57, 58]. В работе [56] использованы методы молекулярной динамики, а в работе [55] — методы теории упругости. Рассчитаны модули упругости и диаметр нанотрубок. Получено соответствие расчетных и экспериментальных значений. Результаты могут быть использованы для выбора технологических параметров, необходимых для получения нанотрубок с заданными упругими и геометрическими характеристиками.

Теоретические основы возможной технологии выращивания тонких пленок наноразмерной толщины разработаны в работе [59]. Предлагается выращивать тонкие пленки, управляя процессами диффузионного переноса вещества вдоль поверхности подложки. При построении модели учитывается конкуренция эффектов поверхностного натяжения и эффектов, связанных с несоответствием кристаллических решеток.

Возможности управления предельными деформационными характеристиками систем с покрытиями или упрочненными поверхностными слоями посредством направленного изменения геометрических параметров и характеристик упругости соединенных материалов продемонстрированы в работе [60]. На основе результатов экспериментальных и теоретических исследований показано, что прочность и пластичность материалов с упрочненными поверхностными слоями или с упрочняющим покрытием определяются характером множественного растрескивания упрочненного слоя (или покрытия). Упрочнение поверхности, которая обуславливает возникновение в поверхностном слое нагруженного материала системы поперечных трещин отрыва, всегда сопровождается снижением пластичности материала. С другой стороны, множественное растрескивание упрочненного поверхностного слоя (покрытия) в виде сетки трещин по сопряженным направлениям максимальных касательных напряжений обеспечивает однородное нагружение деформируемого материала (образца) на мезомасштабном уровне. Подобное множественное растрескивание приводит к повышению как прочности, так и пластичности материала. Показано, что наблюдаемый эффект зависит от толщины упрочненного поверхностного слоя (покрытия) и профиля

(плоский/зубчатый) границы раздела «упрочненный слой (покрытие) - подложка».

Наряду с технологиями создания покрытий выполнялись разработки и в области технологий изготовления тонких и тончайших проволок. Предложена технология изготовления тончайшей проволоки (менее 1 мкм) из труднообрабатываемых материалов, в частности титана и его сплавов [61, 62]. По результатам этой работы получено положительное решение о выдаче патента на изобретение.

5. Заключение

Представленные в статье результаты исследований показывают перспективность применения подходов механики деформируемого твердого тела и механики прочности и разрушения для моделирования и оптимизации функциональных характеристик нанообъектов и наноматериалов, а также для моделирования и оптимизации нанотехнологий.

Подчеркнем, что в статье рассматривались преимущественно вопросы, непосредственно относящиеся к реакции материалов в наномасштабах на внешние механические воздействия. В то же время, в рамках упомянутой выше Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН существенное место занимают исследования процессов взаимодействия масштабов при деформировании и разрушении. Результаты этих исследований требуют отдельного обсуждения.

В заключение обратим внимание на ряд проблем механики наноматериалов и нанотехнологий, приобретающих все большую актуальность в связи с возрастающим вниманием в нашей стране и в мире к нанотехнологиям.

- Моделирование механического поведения нанокомпозитов (и вообще наноматериалов) только начинается. Требуется развить модели, учитывающие влияние на механические свойства нанокомпозитов промежуточной зоны между частицами наполнителя и матрицей, тип наполнителя, его объемное содержание. Такие модели и соответствующие им определяющие соотношения позволяют прогнозировать механические свойства нанокомпозитов и создавать материалы с заданными свойствами.

- Разработка методов испытаний механических свойств нанокомпозитов, наночастиц наполнителя, зон соединения наночастиц с матрицей.

- Развитие основ метрологии механических испытаний наномасштабных объектов.

- Экспериментальное исследование и теоретическое моделирование механического поведения наночастиц и их конгломератов при механических нагрузках, воздействии физических полей и активных сред.

- Развитие механики многослойных наноэлементов и покрытий в связи с перспективами их использования в наноэлектронике, в машиностроении при создании

градиентных термо- и коррозионностойких покрытий, а также триботехнических соединении с повышенной износостойкостью.

- Развитие механики нанотехнологий с целью построения количественных зависимостей между механическими свойствами и технологическими параметрами, для отыскания оптимальных технологических режимов производства наноматериалов и изделий из них с заданными эксплуатационными характеристиками.

- Разработка механических основ технологий измерения механических и физических величин с использованием нано- и микроисполнительных элементов в датчиках и измерительных системах.

Авторы пользуются случаем выразить свою глубокую благодарность участникам работ по Программе фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН «Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро-, мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении» (координатор — ак. Н.Ф. Морозов) за помощь, поддержку и предоставление материалов при подготовке доклада на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в г. Н.-Новгород 22-28 августа 200б г., на основе которого написана данная статья.

Литература

1. Кривцов A-М., Морозов НФ. Аномалии механических характерис-

тик наноразмерных объектов // Докл. АН. - 2001. - Т. 381. - № 3.-С. 825-827.

2. Кривцов A-М. О механических характеристиках наноразмерных объектов // Физика твердого тела. - 2002. - Т. 44. - N° 12. - С. 2158-21б3.

3. Иванова E.A., Кривцов A-М., Морозов H.O. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов // Докл. АН. - 2002. -Т. 385.- К 4. - С. 1-3.

4. Кривцов A-М. Деформирование и разрушение твердых тел с микро-

структурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

5. Sun C.T., Haitao Zhang. Size-dependent elastic moduli of platelike nanomaterials // J. Appl. Phys. - 2002. - V. 93. - No. 2. - P. 12121218.

6. MillerR.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized

structural elements // Nanotechnology. - 2000. - V. 11. - P. 139-147.

7. Zhou L.G., Huang H. Are surfaces elasticity softer or stiffer? // Appl. Phys. Lett. - 2004. - V. 84. - No. 11. - P. 1940-1942.

8. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин B-М. Особенности применения методов механики сплошных сред для описания наноструктур // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - К 5. - С. 47-54.

9. Johnson R.A. Alloy models with the embedded-atom method // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 39. - P. 12554-12559.

10. Гольдштейн P.B., Ченцов A.B. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - К 4. - С. 57-74.

11. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-continuum modeling of nano-structured materials // NASA Langley Research Center: Technical Memorandum NASA/TM-2001-210863. -2001.

12. Odegard G.M., Gates T.S., Nicholson L.M., Wise K.E. Equivalent-continuum modeling with application to carbon nanotubes // NASA Langley Research Center: Technical Memorandum NASA/TM-2002-211454. - 2002.

13. Городцов B.A., Лисоеенко Д.С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойные углеродные нанотрубок (кручение и растяжение) // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - С. 42-56.

14. ГородцовB.B., ГотлибВ.А., Лисоеенко Д.С., СалганикР.Л. Некоторые особенности прочности углеродные усов при растяжении // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32. - Вып. 19. - С. 28-33.

15. Гольдштейн Р.В., Устинов К.Б. Влияние включений на эффективные свойства композитов. Учет влияния промежуточной фазы // Препринт ИПМех РАН. - 2006. - № 792. - 22 с.

16. Svistkov A.L., Komar L.A. Modeling of relaxation processes in filled elastomer materials // Polymer Science. - 2005. - V. 47. - No. 4. -P. 370-375.

17. СвистковА.Л., Комар Л.А. Моделирование релаксационные процессов в наполненных эластомерных материалах // Высокомолекулярные соединения. А. - 2005. - Т. 47. - № 4. - С. 630-636.

18. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress // J. Mech. Phys. Solids. - 2005. - V. 53. - P. 15741596.

19. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P, Karihaloo B.L. Eshelby formalism for nano-inhomogeneities // Proc. R. Soc. London. A. - 2005. -V. 461.- P. 3335-3353.

20. Yanovsky Yu.G. Multiscale modeling of polymer composite properties // Int. J. Multiscale Computational Engineering. - 2005. - V. 3. -No. 2. - P. 10-37.

21.ЯновскийЮ.Г., Никитина Е.А., Карнет Ю.Н., ВалиевХ.Х., Луще-кина С.А. Молекулярное моделирование мезоскопических композитных систем. Структура и микромеханические свойства // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - No. 5. - C. 61-76.

22. Гольдштейн Р.В., Шаталов Г.А. Хрупкое разрушение в одномерной модели атомистической трещины // Изв. РАН. МТТ. - 2003. -№ 3. - С. 135-147.

23. Гольдштейн Р.В., Шаталов ГА. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва // Изв. РАН. МТТ. - 2006. - № 4. - С. 151164.

24. Гуткин М.Ю., Овидько НА. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 2. Нанослойные структуры. - СПб.: Янус,

2005. - 194 с.

25. Ovid’ko I.A. Superplasticity and ductility of superstrong nanomaterials // Rev. Adv. Mater. Sci. - 2005. - V. 10. - No. 2. - P. 89-104.

26. Ovid’ko I.A., Sheinerman A.G. Suppression of nanocrack generation in nanocrystalline materials under superplastic deformation // Acta Mater. - 2005. - V. 53. - No. 5. - P. 1347-1359.

27. Ovid’ko I.A., Sheinerman A.G. Misfit dislocations in nanocomposites with quantum dots, nanowires and their ensembles // Advances in Physics. - 2006. - V. 55. - No. 5-6. - P. 627-689.

28. Ovid’ko I.A. Review on the fracture processes in nanocrystalline materials // J. Mater. Sci. - 2007. - V. 42 (in press).

29. Морозов Н.Ф., Овидько И.А., Петров Ю.В., Шейнерман А.Г. Катастрофическое слияние нанотрещин в хрупких нанокристалли-ческих материалах // Докл. АН. - 2006. - Т. 406. - № 4. - С. 480482.

30. Gutkin M.Yu., Ovid’ko I.A. Special mechanism for dislocation nucle-ation in nanomaterials // Appl. Phys. Lett. - 2006. - V. 88. - No. 21. -P. 211901.

31. Bobylev S.V, Gutkin M.Yu., Ovid’ko I.A. Partial and split dislocation configurations in nanocrystalline metals // Phys. Rev. B. - 2006. -V. 73. - No. 6. - P. 064102.

32. Ovid’ko I.A., Sheinerman A.G. Nanoparticles as dislocation sources in nanocomposites // J. Phys.: Cond. Matt. - 2006. - V. 18. - P. L225-L232.

33. Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю. Об одном подходе к решению задач о взаимодействии упругих тел при наличии адгезии // ДАН. -

2004. - Т. 398. - №3. - С. 335-339.

34. Маховская Ю.Ю. Скольжение вязкоупругих тел при наличии адгезии // ПММ. - 2005. - Т. 69. - № 2. - С. 334-344.

35. Qian D., Wagner G.J., Liu W.K., Yu M.F., Ruoff R.S. Mechanics of carbon nanotubes // Appl. Mech. Rev. - 2002. - V. 55. - No. 6. -P. 495-533.

36. Еремеев В.А., Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Соловьев А.Н. Об определении собственных частот нанообъектов // Докл. РАН. -2006. - Т. 406. - № 6. - С. 756-759.

37. Еремеев В.А., Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Соловьев А.Н. Об одном методе определения собственных частот упорядоченной системы нанообъектов // ЖТФ. - 2007. - Т. 77. - Вып. 1. - С. 3-8.

38. Еремеев В.А., Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Строчков С.Е. Собственные колебания нанотрубок // Докл. РАН. - 2007. - Т. 415. -№5. - С. 605-610.

39. Yu M.F., Files B.S., Arepalli S., Ruoff R.S. Tensile loading of ropes of single wall carbon nanotubes and their mechanical properties // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V. 84. - No. 24. - P. 5552-5555.

40. Yu M.F., Lourie O., Dyer M.J., Moloni K., Kelly T.F., Ruoff R.S. Strength and breaking mechanism of multiwalled carbon nanotubes under tensile load // Science. - 2000. - V. 287. - P. 637-640.

41. Канель Г.И., Разоренов С.В., Фортов В.Е. Субмикросекундная прочность материалов // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - C. 86-

111.

42. Разоренов С.В., Савиных А.С., Зарецкий Е.Б., Канель Г.И., Колобов Ю.Р. Влияние предварительного деформационного упрочнения на напряжение течения при ударном сжатии титана и титанового сплава // ФТТ. - 2005. - Т. 4. - № 47. - C. 639-645.

43. Zaretsky E.B., Kanel G.I., Razorenov S.V, Baumung K. Impact strength properties of nickel-based refractory superalloys at normal and elevated temperatures // Int. J. Impact Engineering. - 2005. -V. 1. - No. 31. - P. 41-54.

44. Morozov N., Petrov Y. Dynamics of fracture. - Berlin-Heidelberg -New York: Springer, 2000. - 120 p.

45. МорозовН.Ф., ПетровЮ.В., СмирновВ.И. Об оценке предельной интенсивности импульсных динамических нагрузок в механике трещин // ДАН. - 2005. - Т. 400. - № 3. - С. 341-343.

46. Петров Ю.В. Критерий инкубационного времени и импульсная прочность сплошных сред: разрушение, кавитация, электрический пробой // ДАН. - 2004. - Т. 395. - №5. - С. 621-625.

47. Петров Ю.В., Ситникова Е.В. Температурная зависимость от-кольной прочности и эффект аномальных температур плавления при ударно-волновом нагружении // ЖТФ. - 2005. - Т. 75. - № 8. -C. 71-74.

48. Индейцев Д.А., Кривцов А.М., Ткачев П.В. Исследование методом динамики частиц взаимосвязи между откольной прочностью и скоростью деформирования твердыгх тел // ДАН. - 2006. - Т. 407. -№ 3. - С. 341-343.

49. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в

рамках континуума Коссера // ПМТФ. - 2005. - № 4. - С. 116124.

50. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Докл. АН. -

2005. - Т. 405. - № 2. - С. 196-198.

51. Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А.Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. -C. 75-85.

52. БабешкоВ.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме исследования материалов с покрытиями // ДАН. - 2006. - Т. 410. -№ 1.- С. 49-52.

53. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. К проблеме оценки состояния материалов с покрытиями // ДАН. - 2006. - Т. 409. -№4. - С. 481-485.

54. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В. О некоторых типах материалов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2006. - №2 1. - С. 14-

17.

55. МорозовН.Ф., СеменовБ.Н., ТовстикП.Е. Моделирование методами сплошных сред процесса формирования нанообъектов // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 5-8.

56. Bolesta A.V, Golovnev I.F., Fomin VM. Molecular dynamics simulations of InGaAs/GaAs nanotubes synthesis // Физ. мезомех. - 2004. -Т. 7. - Спец. выпуск. - Ч. 2. - С. 8-10.

57. Prinz VYa., Seleznev VA., Gutakovsky A.K. Free-standing and overgrown InGaAs/GaAs nanotubes, nanohelices and their arrays // Physica E. - 2000. - V. 6. - P. 828-831.

58. Golod S.V, Prinz VYa., Mashanov VI. Fabrication of conducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Technol. - 2001. - V. 16. - P. 181-185.

59. Indeitsev D.A. Influence of the kinetics of processes on the behavior of thin structures in a continuous medium // Book of Abstracts of Int. Sci. Conf. on Mechanics. Fourth Polyakhov Readings, 7-10 February

2006. - P. 25.

60. Гольдштейн Р.В., Панин В.Е., Осипенко Н.М., Деревягина Л.С. Модель деформирования структуры разрушения в слое с упрочненными поверхностными зонами // Физ. мезомех. - 2005. - Т.8.-№ 6. - С. 23-32.

61. Колмогоров В.Л. «Побочный продукт» сверхпроводников. Технология получения металлических проволок и трубок наноразмеров // Наука. Общество. Человек. Информационный вестник УрО РАН. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - № 2(4). - С. 17-21.

62. Колмогоров В.Л., Залазинский А.Г., Колмыгков В.Л., Глазунова М.Ю. Способ изготовления микропроволоки из труднодефор-мируемых материалов / Заявка № 2006100240/02(000259). -Опубл. в Бюллетене «Изобретения. Полезные модели», 2007, №2 24.

Поступила в редакцию 08.10.2007 г.