Применение при преподавании курса высшей математики знаний для научных исследований на примере работы с уравнениями движения моделей экзоскелета с деформируемыми звеньями

Научно-практический журнал «Гуманизация образования» № 6/2013

Борисов А.В.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ЗНАНИЙ ДЛЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НА ПРИМЕРЕ РАБОТЫ С УРАВНЕНИЯМИ ДВИЖЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ЭКЗОСКЕЛЕТА С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЗВЕНЬЯМИ *

Гуманизация образования может осуществляться различными способами. Подход, предлагаемый нами, заключается в использовании получаемых знаний студентами применительно к человеку, изучению его движений и моделированию их. Тема, доступная для изучения - моделирование ходьбы человека и, соответственно, экзоскелета и антропоморфного робота, т.к. все эти объекты могут быть описаны в некотором приближении одними и теми же уравнениями. Экзоскелет помогает в медицинской практике восстановить утраченные двигательные способности человека. В техническом ВУЗе курс высшей математики изучается первые два года в течение четырех семестров. В процессе обучения происходит разделение студентов по интересам, для которых создаются дополнительные курсы и занятия. На дополнительных занятиях по курсу высшей математики есть возможность рассмотрения вопросов, связанных с биомеханикой движений человека, механикой движения экзоскелета и антропоморфного робота. Всеми необходимыми для этого теоретическими знаниями студенты уже обладают на втором курсе. Подобные занятия вызывают значительный интерес у студентов и пользуются большой популярностью, потому что приобретенные знания можно применить на практике, в том числе и в медицинских целях.

Проводится постановка задачи для простой модели, содержащей одно и два звена. Уравнения движения составляются двумя способами: при помощи общих теорем динамики и с использованием формализма Лагранжа. Затем проводится сопоставление полученных результатов, проверка совпадений, анализ процесса составления. Тем самым достигается реализация межпредметных связей. Студенты видят, как полученные ими на занятиях знания применяются на практике. Это повышает мотивацию к качественному изучению содержания основного курса. Далее осуществляется переход к более сложным моделям трех и более звенным. Составление уравнений для данных моделей осуществляется с помощью систем компьютерной математики, которые изучаются студентами во время лабораторных занятий.

В результате анализа составленных уравнений динамики стержневых систем [1, 2] выявляется их структура, предлагается матричная форма записи и выводятся формулы для элементов матриц, позволяющие записывать сразу уравнения стержневых систем с деформируемыми звеньями, минуя этап составления уравнений.

Рассмотрим на примере трехзвенной модели. Для исследования плоского движения экзоскелета, введем неподвижную правую декартову систему координат xyz с нача-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-97512 р_центр_а).

41

ISSN 1029-3388

лом в точке O. Движение центра масс происходит в плоскости ху. Система имеет три весомых звена. Все элементы структуры деформируемыми и длины стержней являются функциями времени: l = l (t) (i = 1, ..., 3).

Пусть OA = l AB = l BC = l3 - длины звеньев экзоскелета. Положение однозначно определяется углами j. и длинами стержней l (i = 1, ..., 3), поэтому рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы. Обозначим через M. моменты, развиваемые в i-том шарнире. Центры масс стержней находятся в точках С Их положения будем задавать в виде отношений длины от начала соответствующего звена до центра масс ко всей длине звена, через множители n (0 < n. < 1). Массы звеньев обозначим m . Центральные моменты инерции звеньев, относительно осей, проходящих через точки прикрепления, перпендикулярно плоскости движения - I

Уравнения движения элементов n-звенной механической системы в одноопорной фазе представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений вектора угловых переменных, которые в матричной форме можно записать:

A(q,l) q + B(q,l) q2 + gC(q)l + 2D(q,l)( lq) + E(q,l) l = F(q,l),

Матричное уравнение для деформаций звеньев имеет вид:

G(q,l) q + H(q,l) q2 + gK(q) + 2L(q,l)( lq) + P(q,l) l + S(E,l) = 0, где q - угловые обобщенные координаты q = (j ..., jn)r; l - обобщенные координаты, описывающие с деформации звеньев l = (l ., ln)T; A(q,l), G(q,l) - матрицы, учитывающая инерционные свойства; B(q,l), H(q,l) - матрицы, учитывающие вязкость; C(q), K(q) - матрицы, определяемые моментами силы тяжести; D(q,l), E(q,l), L(q,l), P(q,l) - матрицы, учитывающие деформации звеньев; F(q,l) - матрица-столбец обобщенных сил, т.е. управляющих моментов; S(E,l) - матрица-столбец, учитывающая упругие свойства материала звеньев, q - матрица обобщенных ускорений; q - матрица обобщенных скоростей, (lq) = (l;q ., l q) - матрица, составленная из произведений lq при равных индексах.

Установлены взаимосвязи между матрицами. Показано, что матрицы для уравнения изменения длин звеньев связаны с матрицами уравнений, описывающих изменения углов, а именно: G(q,l) = E(q,l)T, H(q,l) = - D(q,l)T. В оставшихся матрицах однозначной взаимосвязи установить не удается, но укажем их отличия и общие компоненты. Матрица K отличается от матрицы С тем, что тригонометрические функции cos в матрице С необходимо заменить на sin для получения матрицы К. Матрицы L и P отличаются от матриц B и D отсутствием множителей ll. и l . (i, j = 1,2,3) соответственно.

С учетом выявленных связей между матрицами, матричное уравнение для деформаций звеньев окончательно можно представить в виде:

E(q,l)T q- D(q,l)T q2 + gK(q) + 2L(q,l)(lq) + P(q,l) l + S(E,l) = 0.

Приведем соответствующие матрицы для рассмотренных выше моделей. Матрицы для однозвенной механической деформируемой системы имеют вид:

A(q,l) = (I1 + l12m1n12), B(q,l) = 0, C(q) = m1n1cosj1,

D(q,l) = l1m1n12, E(q,l) = 0, F(q,l) = M1,

K(q) = m1n1sinj, L(q,l) = 0, P(q,l) = m1n12,

S

El

ElIl

2

l

0

\T

J

42

Научно-практический журнал «Гуманизация образования» № 6/2013

Матрицы для двухзвенной механической деформируемой системы:

A{gl)= ( h +l1 (m2 + т1П12) khm2n2 C°S( 1 - 2 T

Vl1l2m2n2 c0s

f

B(q,l) =

C(q) =

0

V- l1l2m2n2 sin

((m2 + m1n1) cos 1

12 + l2 т2П2 J

l1l2m2n2Sin( 1 - 2)Л

0 ^

0

m2 n2C0S 2J

f l1 (m2 + m1nf) l1m2n2 C0S( 1 - 2 У

D(q,l) J f \ j 2

Vl2m2n2C0s

l2m2n2

E(q,l) =

0

Vl2m2n2Sin

- l1m2n2sin( 1 - 2 )' 0 ,

F(q,l) = (M1- M2, M2f.

((m2 + m1n1 )sin

K(q) =

L(q,l) =

V

0 ^

m2n2sin 2 J

m2n2 sin

in( 1 - 2^

P(qJ) =

S(E,l) =

2

m2 + m1n1

Vm2n2C0s

(- El+EE - El+EEl

l l2 ’ l f

V 10 10 20 *20 J

m2n2C0s( 1 - 2 Г

Матрицы для приведенной на рис. 1 трехзвенной механической деформируемой системы:

A(q,l) =

( II + lL2 (m2 + m3 + mLnL2) lLl2 (m3 + m2n2) C0s( l - 2) lLl3m3n3 C0s( l - 3)^

lLl2

4^3^ C0s

lLl3m3n3 C0s

I3 + l32m3n32

0

0

2

m2n2

T

43

ISSN 1029-3388

B(q,l) C(q) =

D

E

0 l1l2(m3 + m2n2 )sin( 1 - 2) l1l3m3n3sin( 1 - 3)^

l1l2

V - l1l3m3n3sin( 1 - 3" 1 - l2l3m3n3 sin( 2 - 3) 0 J

Г ( m2 + m3 + m1n1 )cos 1 0 0 >

0 (m3 + m2n2 )cos 2 0

V 0 0 m3n3 cos 3 J

r l1 (m2 + m3 + m1 n12 ) l1 (m3 + m2n2 )cos( 1 - 2) l1m3n3cos( 1 - 3)^

l 2

V l3m3n3 cos( 1 - 3) l3m3n3 cos( 2 - 3) l3m3n3 j

r 0 -11

l2 (m3 + m2 n2 )sin( 1 - 2) 0 - l2m3n3 sin( 2 - 3

V l3m3n3 sin( 1 - 3) l3m3n3 sin( 2 - 3) 0 у

F(q,l) = (M1 - M2, M2 - M3, M3)T.

Для уравнения деформаций звеньев:

G(q,l) = E(q,l)T =

r 0

-11 (m3 + m2 n2 )sin( v - l1m3n3 sin( 1 -

l2

- 2) 0

3) - l2m3n3sin

l3m3n3 sin( 1 l3m3n3 sin( 2 0

3)

3 )

H(q,l) = _ D(q,l)T =

_ _ r l1

l1

v l1m3n3cos

l2

l2

l2m3n3cos

l3m3n3 cos( 1 l3m3n3 cos( 2 l3m3n3

3)')

3 )

K(q) = r (m2 + m3 + m1n1 )sin 1 0 0 Л

0 (m3 + m2n2 )sin 2 0

V 0 0 m3n3 sin 3J

L(q,l) = r (m2 + m3 + m1n )sin 1 0 0 Л

0 (m3 + m2n2 )sin 2 0

V 0 0 m3n3 sin 3J

44

Научно-практический журнал «Гуманизация образования» № 6/2013

P

' m2 + m3 + m1n12 (m3 + m2n2 )cos( 2) m3n3 cos( 1 - 3) 1

^ m3n3 cos( 1 - 3) m3n3 cos( 2 - 3) m3n32 У

(

S(E,l) =

E1 El E2 E2L E3 ЕЛ.

----1 +

ЛИ

2 ’

---2 +

22

l2 u

,-^+

l

12

4

T

0

0

Обобщим по индукции полученные матрицы для произвольной n-звенной системы подобного вида. Заметим, что матрицы А и D являются симметрическими, поэтому достаточно привести для них только диагональные элементы и наддиагональные, т.е., если i - номер строки, j - номер столбца, то ij = 1,2, ..., n, при этом j > i, остальные поддиагональные элементы получаются равными соответствующим симметричным относительно главной диагонали наддиагональным элементам.

Для матрицы А: а

d.I. + ll.

v .

mjnj5ni + Z m I cos( j - j),

k=i+1 У ' j

где

v - символ Кронекера:

1, при i = j 0, при i * j

символ:

5nt

nj, при i = j 1, при i * j

Для матрицы D: d.. = l.

m,n,Sn. +

J J ‘

Z mk

k=i+1 у

л

cos( j - j),

f

Для матрицы P: p =

m,n,Sn. +

J J ‘

Z mk

k=i+1 у

л

cos(ji - jj),

Матрицы B и E являются кососимметрическими. Соответственно, элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю, поддиагональные элементы равны соответствующим наддиагональным элементам, взятыми с противоположными знаками. Таким образом, достаточно задать только наддиагональные элементы. Если i - номер строки, j - номер столбца, то ij = 1,2, ., n, при этом j > i.

Для матрицы B: b = II.

m^j +

Z

k=i+1

m

sin( j - j).

Для матрицы E: e . . = - l.

mjnj

+ Z

m

k=i+1

sin( j - j).

Для матрицы L: l

mn] + Z

k= +1

m

sin(j - jj).

Матрицы C и К являются диагональными, т.е. достаточно рассмотреть элементы, у которых индексы равны j = i, при i j = 1,2, ., n, остальные элементы нулевые. Достаточно использовать только один любой индекс.

45

ISSN 1029-3388

Для матрицы С: с..

( n \

+ Z

k=j+1 J

mjnj + Z mk

cos(j).

Для матрицы К: k

mjnj

+

Z

m

k=j+1 J

sin(j).

Матрица-столбец обобщенных сил F имеет вид:

f, = M -M,+V где . = 1,2, •••> n

Матрица-столбец, содержащая информацию об упругих свойствах материала S, имеет вид:

_ E + Ы

s, = I /2 , где , = 1,2, •, n.

.0 .0

Примечания: 1) во всех случаях, когда значение индекса превышает n, необходимо значение соответствующей величины положить равным нулю; 2) в данных формулах не используется суммирование по повторяющимся индексам; 3) матрицы для стержневой системы с разветвлением, типа экзоскелета, подчиняются обобщениям, полученным для неразветвленных систем типа рассмотренной трехзвенной модели, но при этом необходимо изменить знаки на противоположные после перехода через точку ветвления перед соответствующими элементами матрицы.

Также матричная форма записи уравнений движения является универсальной и может быть применена к описанию движения экзоскелета с любым количеством звеньев. Структура матриц при этом останется такой же, только изменится их размерность и количество масс, длин звеньев и т.п. в каждом элементе матрицы.

Таким образом, показано на примере получение обобщения для уравнений движения экзоскелета с деформируемыми звеньями, что может быть использовано в дальнейшем в медицинской практике.

Далее уравнения с помощью системы компьютерной математики решаются численно с различным управлением движением звеньев механизма и строится анимация движения модели механизма, которая наглядно показывает адекватность расчетов.

Все это повышает успеваемость студентов, углубляет знания, представление о взаимосвязи различных изучаемых дисциплин и их практическом использовании. Благодаря такому подходу реализуется идея гуманизации образования в техническом ВУЗе.

Библиографический список

1. Борисов, А.В. Динамика эндо- и экзоскелета. Монография. - Смоленск: Изд-во «Смоленская городская типография», 2012. - 296 с.

2. Борисов, А.В. Модель экзоскелета с двенадцатью деформируемыми звеньями // Энергетика, информатика, инновации-2012 - ЭИИ-2012: сб. трудов Междунар. науч.-техн. конф. В 2 т. Т. 2. Секции 5,6,7,8. - Смоленск: филиал МЭИ в г. Смоленске, 2012. - С. 209-214.

3. Borisov, A.V. Elastic analysis of multilayered thick-walled spheres under external load. // Mechanika Nr. 4(84). Technologija Kaunas, 2010. - P. 28-32.

46