Оптимальное управление токами электрических машин

В. Г. Макаров, В. А. Матюшин ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТОКАМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН.

Ключевые слова: электрические машины, оптимальное управление токами, асинхронный

двигатель, минимум мощности потерь.

В настоящее время актуальной является задача повышения энергетической эффективности электроприводов переменного тока с асинхронными двигателями. Рассматриваются основные методы оптимизации управления асинхронными электроприводами. Получено соотношение между параметрами обмоток и токами асинхронного двигателя, позволяющее реализовать оптимальное управление токами. Критерием оптимизации является минимум мощности потерь в обмотках.

Key words: electric machines, optimum control of currents, asynchronous motor, the minimum of

capacity of losses.

The problem of increase of power efficiency of electric drives of an alternating current with asynchronous motors is actual now. The basic methods of asynchronous electric drives control optimization are considered. Parity between parameters of windings and currents of the asynchronous motor allowing to realize optimum control is deduced. Criterion of optimization is the minimum of capacity of losses in windings.

Примерно 65% вырабатываемой электроэнергии в России потребляют электроприводы (ЭП), обеспечивающие технологические процессы различного рода движений и перемещений. Из них примерно 60% - ЭП переменного тока с асинхронными двигателями (АД) [1]. В связи с неуклонно продолжающимся удорожанием электроэнергии наблюдается обострение проблемы энергосбережения.

Публикуемые в печати материалы свидетельствуют о том, что проблема энергетической эффективности ЭП в последние годы решается за счет совершенствования существующих и разработки новых типов электродвигателей [2, 3, 4, 5] и полупроводниковых преобразователей с повышенными энергетическими характеристиками [6, 7]. Основным фактором повышения энергетической эффективности преобразователей является использование полностью управляемых полупроводниковых приборов силовой электроники (MOSFET, IGBT, IEGT, GTO, IGCT).

Несмотря на значительный прогресс в области силовой электроники и микропроцессорных средств управления, в регулируемых ЭП сравнительно мало используются их возможности для реализации энергосберегающих алгоритмов управления режимами ЭП. Во многих случаях реализуются законы управления электрическими двигателями, которые не полностью отвечают требованиям задачи энергосбережения. [8]

Вопросам оптимального управления ЭП посвящено большое число публикаций.

Существующие алгоритмы оптимизации условно можно разделить на два основных способа формирования электромагнитного момента электрической машины. Одним из них является способ формирования электромагнитного момента, обеспечивающий управление

электрической машиной по минимуму тока статора или суммарных потерь. Этот способ управления применяется в ЭП, не отличающихся высоким быстродействием. Для динамических систем электромагнитный момент формируют в условиях стабилизации потокосце-пления ротора или статора. Несмотря на то, что применение этого способа не обеспечивает экономичности регулирования, формирование электромагнитного момента в условиях стабилизации потокосцепления считается целесообразным в предположении, что в этом случае к обмоткам двигателя необходимо подвести минимум мгновенной мощности для изменения электромагнитного момента.

В [9] рассмотрены законы предельного управления и решение задачи оптимизации по так называемому «векторному» критерию качества. Решение этой задачи дает возможность определить законы управления, позволяющие при заданном значении одного показателя качества обеспечить оптимальные значения другого. Каждый из предельных способов управления может обеспечить максимальное значение только одного показателя качества.

Фундаментальные исследования с целью повышения энергетических показателей асинхронных машин за счет оптимального управления магнитным потоком были выполнены довольно давно [10, 11, 12]. Тогда же был сделан справедливый в общем случае вывод о том, что необходимым условием оптимизации по минимуму мощности потерь является учет насыщения магнитопровода машины.

В [13] предложена расширенная модель потерь мощности в асинхронной машине. Она включает активные и магнитные потери в статоре и роторе, дополнительные и механические. В пределах модели получено уравнение 8-й степени относительно энергетически оптимального значения потока ротора асинхронной машины и найдено аналитическое решение этого уравнения. Получен упрощенный вариант этого решения, предназначенный для практического применения в энергосберегающих асинхронных ЭП. Однако данный аналитический метод показывает приемлемую точность результатов лишь в определенном диапазоне значений потокосцепления ротора. В ином случае приходится использовать численные методы решения задачи минимизации потерь.

В [8] рассмотрены задачи экстремального управления АД по минимуму потерь, минимуму тока статора и максимуму электромагнитного момента при ограничениях выходного напряжения и тока силового преобразователя. Отмечена важная особенность оптимального управления по минимуму тока статора, отличающая его от режима управления

0 0

по минимуму потерь: оптимальные значения потокосцеплений статора и ротора / , главного потокосцепления /т, абсолютного скольжения ^°, а также токов статора и

ротора /0, определяется моментом нагрузки и не зависят от скорости.

Одним из недостатков перечисленных моделей является то, что в них рассматриваются только потери мощности в двигателе и не учитываются потери мощности в остальных частях ЭП (выпрямитель, инвертор).

В [14] предложена математическая модель общих (суммарных) потерь мощности в частотно-регулируемых асинхронных электроприводах, состоящих из потерь мощности в выпрямителе, инверторе и двигателе. Затем с помощью данной модели проведена оптимизация общих потерь мощности в асинхронном электроприводе с АИН-ШИМ.

В [15] требования оптимальности по потерям рассмотрены по отношению к двигателю, преобразователю частоты и в целом к электроприводу. Предложены аналитические и численные методы решения задачи оптимизации работы системы ПЧ—АД. Рассмотрено влияние режимов двигателя на характеристики преобразователя частоты и в первую оче-

редь на мощность потерь АРпч при постановке задачи оптимизации по минимуму суммарных потерь электропривода АР^П. Результаты исследований статических характеристик АД показывают, что асинхронный двигатель как объект управления обладает экстремальными характеристиками по ряду частных критериев качества. Наличие экстремумов тока статора /1 и активной мощности Р1 обусловливает экстремальный характер отдельных составляющих электрических потерь выпрямителя, инвертора и суммарных электрических потерь преобразователя. В частности, режим минимальных потерь АД обеспечивает минимум электрических потерь в источнике питания АИН.

Оптимальные характеристики электрических машин зависят не только от их параметров, но и от соотношений между ними. Для определения этих соотношений рассмотрим постановку и решение задачи оптимального управления токами электрических машин применительно к двигателю постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ НВ), синхронному двигателю с электромагнитным возбуждением (СД ЭВ) и асинхронному двигателю с короткозамкнутым ротором (АД КЗ).

В [16] рассмотрена задача оптимального управления токами двигателя постоянного тока с независимым возбуждением в стационарном режиме, а именно обеспечение минимально возможных потерь в обмотке якоря и обмотке возбуждения при создании требуемого электромагнитного момента [17]. Традиционно решение данной задачи находится при условии, что магнитный поток машины и, соответственно, потери в обмотке возбуждения являются постоянными, вследствие чего обеспечить минимальные потери в ДПТ НВ можно, регулируя только ток якоря двигателя.

Однако двигатель независимого возбуждения имеет два параметра, которые можно регулировать независимо друг от друга - ток якоря и магнитный поток. Предполагается, что до точки насыщения магнитный поток пропорционален току обмотки возбуждения. Тогда задача оптимального управления при одновременном измерении тока якоря и магнитного потока сводится к следующей задаче Лагранжа: определить значения тока якоря

/я и тока возбуждения /f, создающие требуемый электромагнитный момент М0, при минимальных потерях в обмотке якоря и обмотке возбуждения, т.е.

Электромагнитный момент ДПТ определяется по формуле:

М — сФ/я — скф/f/я .

Метод множителей Лагранжа позволяет получить следующие формулы для функций Лагранжа и условий ее стационарности:

Р = кя/Я + Rf/f т'п .

. _ К я / я + А,скф — 0,

I я

я

— + Яокф / я — 0.

Из формул (1), (2) следуют следующие соотношения:

/ я

г

к я

Таким образом, для того чтобы обеспечить минимум потерь при создании требуемого электромагнитного момента в ДПТ НВ необходимо, чтобы мощности потерь в обмотках якоря и возбуждения были одинаковыми, а это возможно при обеспечении указанного в формуле (3) соотношения между токами и сопротивлениями обмоток якоря и возбуждения.

Аналогичным образом в [16] сформулирована задача оптимального управления токами синхронного двигателя с электромагнитным возбуждением. Принимаются традиционные допущения обобщенной электрической машины (ОЭМ), в частности, считается, что магнитная система двигателя ненасыщенна [18].

Предполагается, что механические процессы протекают более медленно, чем электромагнитные, т.е. имеет место квазистационарный режим протекания токов. Вследствие этого токи демпферных обмоток полагаются равными нулю. Потери энергии в стали учтены с помощью эквивалентной обмотки потерь в стали.

Уравнения баланса напряжений в d, q осях для квазистационарного режима ОЭМ на основе СД ЭВ имеют вид:

и4 — Я/б - а^/ц - аМв/Вц,

Ыц — Кд + а^/б +

uf — Rf/f,

0 — КВ/Вб -а-В/Вц -Мв/ц, 0 — К В / Вц + а-В / Вб + аМВ/б + М Вf/f,

где Мв - взаимная индуктивность между фазой обмотки статора и соосной фазой вихревых токов; MSf - взаимная индуктивность между фазой d обмотки статора и обмоткой возбуждения; Mвf - взаимная индуктивность между фазой d вихревых токов и обмоткой

возбуждения; Uf , Rf - напряжение и активное сопротивление обмотки возбуждения; К в ,

-В - активное сопротивление и индуктивность фазы вихревых токов; /Вб, /Вц - токи

продольной и поперечной фаз вихревых токов; а - частота вращения ротора, эл.рад/сек.

Электромагнитный момент определяется выражением:

М — РП Ч [MSf/q + МВf/ Вц)

Мощность потерь во всех обмотках определяется формулой:

Р—К (б + ц)++ кв (В б + В ц).

Вводится предположение, что напряжения обмоток якоря и возбуждения не превышают допустимых значений. Следовательно, уравнения (4)-(6) при оптимизации можно не учитывать. Тогда имеется следующая задача математического программирования (задача на условный экстремум): определить токи /б, /ц, Ч, /Вб, /Вц, создающие требуемый

электромагнитный момент М0 при минимальных потерях в обмотке якоря, роторе двигателя и от вихревых токов, т.е.

_ .9 ,

тт,

и! гшлисвыл ИЛхЛЛЗ, 1.С.

Р — К

а также при трех ограничениях типа равенства:

ві = РП іЧ (мБГіц + мВЧіВц)- м0 = о,

= ІЇВіВб - ш-ВіВц -юМвід = 0, ез = Яв і Вц + ш-В і Вб + М В іб + М Вчіч = о.

Далее эта задача решена методом множителей Лагранжа и получены следующие соотношения между токами и сопротивлениями обмоток якоря и возбуждения, обеспечивающие минимум потерь при создании требуемого электромагнитного момента в СД ЭВ

Мы можем сформулировать задачу оптимального управления АД, принимая традиционные для ОЭМ допущения об отсутствии насыщения магнитной системы и потерь в стали.

Уравнения баланса напряжений ОЭМ на основе АД для квазистационарного режима имеют вид:

где иіб, иіц - напряжения фаз обмотки статора; і іб, іц , і2б , і2ц - токи фаз обмоток статора и ротора; Я і, Я2, -і, -2 - активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора; Мт - взаимная индуктивность; щ - частота вращения системы координат б, ц, эл. рад/с; сщ - частота скольжения, определяемая как разность частоты вращения системы координат щ и частоты вращения ротора ш.

Электромагнитный момент определяется выражением:

где Рп - число пар полюсов.

Предположим, что напряжения фаз обмотки статора не превышают допустимых значений. Следовательно, уравнения баланса напряжений фаз обмотки статора системы (7) при оптимизации можно не учитывать. Тогда система (7) принимает вид:

Условимся также, что электромагнитный момент, определяемый выражением (8), равен требуемому значению

Задача оптимизации решается при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора ш. Угловая частота вращения системы координат б, ц рассчитывается вычислительным устройством по формуле:

[16]:

мэ _ рпмт(іці2б -іібі2ц)_ мэ .

а1 — а + аб.

Требуется определить токи / 1б, /1ц, /2б, /2ц, создающие требуемый

электромагнитный момент МО при минимальных потерях в обмотках

АР — К1

а 2

Следовательно, может быть сформулирована следующая задача оптимизации: при заданных а и М0 требуется найти четыре тока - / 1б, /1ц, /2б, /2ц и частоту скольжения а2 при четырех функциях ограничений типа равенства:

— рпМт(1ц/2б -/1б/2ц)-Мэ — 0; в2 — я2/2б - а2 (-2/2ц + Мт/1ц)— 0;

03 — К 2/2ц + а2 (-2/2б + Мт/1б)— 0;

04 — а1-а-а2 — 0,

когда критерием оптимизации является выражение (12).

От такой постановки задачи оптимизации перейдем к постановке и решению задачи оптимального изменения угловой частоты скольжения а2 в функции угловой частоты вращения ротора а из условия минимума мощности потерь в обмотках при заданном

значении электромагнитного момента М0 . Для решения задачи оптимизации имеем два уравнения системы (9), а также уравнения (10), (11).

Условимся, что вектор тока статора направлен по оси d ОЭМ:

/1б — 11т; /1ц — °.

Тогда из системы (9) и уравнения (8) следует:

0 — К2/2б - а2-2/2ц;

0 — К2/2ц + а2

Мэ — -рпМт/1т/2ц.

Из уравнений системы (13) следуют выражения:

— а2МтК2 . .  — а2-2Мт ,

/ 2ц - о 2 2 '1т; ^б - 2 2 2 '1т.

+а^-2 я 2 +а^-2

Тогда величина вектора тока ротора ОЭМ определяется выражением:

, _ 1:2 + ; 2 _ ш2 мт .

12т _т1і 2б + 2ц _ I 2 + 2,2 Ііт.

2 + ш2 -2

Выражение мощности потерь в обмотках будет иметь вид:

АР — К1 (/1б +/ 12ц) + К2(/2б +/ 2ц) — К1/2т + К2'2г

С учетом (15) запишем выражение для мощности потерь в виде

і9і

2 щ2 мт

АР _ Я^т + Я2 2

О2 + ш2,2 іт О 2 + ш2 -2

Выражение электромагнитного момента системы (13) с учетом (14) принимает вид

м э _

рпмт |2т0 2ш2

о 2 + ш 2 - 2 о 2 + ш2 -2

Анализ выражений (16), (17) показывает, что мощность потерь и электромагнитный момент зависят от угловой частоты скольжения а2.

Выбирая в качестве критерия оптимизации удельную мощность потерь, можем записать:

АР ОіО 2 + Ош2—2 + О 2Ш22мт

мЭ "

тіп.

ш

'э а2

Приравняв производную от (18) нулю, получаем выражение оптимальной частоты скольжения

\Rl-l + О 2 мт

Анализ выражения (19) показывает, что оптимальная частота скольжения не зависит от требуемого момента и от частоты вращения ш , т.е. постоянна. Очевидно, что в этом случае токи і іб, ііц , і2б , і2ц при изменении частоты вращения будут оставаться постоянными.

Таким образом, при заданных ш и мО могут быть определены частота скольжения 2, частота вращения магнитного поля і и токи і іб, ііц, і2б, і 2ц. Кроме того, на основании перв^іх двух уравнений системы (7) могут быть определены напряжения фаз обмотки статора иіб, иіц .

При заданном значении электромагнитного момента мО на основании (і8) можем определить величину вектора тока Iіт :

!іт _

о;

+ Ш-2О)

-О)

, рпмтО2 щ2

Подставив (і9) в (і5), получим следующее соотношение между величинами векторов токов и сопротивлениями фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе АД

О2

-2

Оі

+ 2

мт

В (20) фигурируют величины векторов токов обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины, для которых можем записать:

і92

11т — 3 ^1б + /12ц ; 12т — 3^2б + /2ц .

Таким образом, для постановки и решения задачи оптимизации мощности потерь в обмотках асинхронного двигателя в зависимости от частоты скольжения целесообразно использовать математическое описание обобщенной электрической машины в установившемся режиме. Критериями оптимизации могут быть мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь. В ходе решения задачи оптимизации аналитическими методами получено выражение оптимальной частоты скольжения, а также соотношение между величинами токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе асинхронного двигателя.

Литература

1. Ильинский, Н.Ф. III Международная (XIV Всероссийская) конференция по автоматизированному электроприводу // Электричество. - 2001. - №1. - С.69.

2. Беспалов, В.Я. Перспективы создания отечественных электродвигателей нового поколения для частотно-регулируемого электропривода / В.Я. Беспалов // Автоматизированный электропривод в XXI веке: пути развития: тр. IV Международной (XV Всероссийской) конф. по автоматизированному электроприводу (ЭАП-2004, Магнитогорск, 14-17 сент. 2004г.). Магнитогорск, 2004. -Ч.1. - С.24-31.

3. Кравчик, А.Э. Перспективы разработки и производства стандартных асинхронных двигателей на предприятиях группы компаний «ВЭМЗ» / А.Э. Кравчик [и др.] // Электротехника. - 2005. -№5. - С.3-8.

4. Васильченко, В.А. Трехфазные асинхронные двигатели специальных конструктивных исполнений для комплектных частотно-регулируемых приводов / В.А. Васильченко [и др.] // Электротехника. - 2005. - №5. - С.42-47.

5. Макаров, Л.Н. Особенности работы асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором в системе частотного регулирования / Л.Н. Макаров, С.В. Ястреба // Электротехника. 2007. - №11.

- С.15-18.

6. Гуревич, М.К. Перспективы применения запираемых силовых полупроводниковых приборов в электроэнергетике / М.К. Гуревич, М.А. Козлова, Ю.А. Шешнев // Электротехника. - 2004. -№10. - С.3-7.

7. Ковалев, В.Д. Элементная база силовой полупроводниковой электроники в России. Состояние и перспективы развития / В.Д. Ковалев, Ю.А. Евсеев, А.М. Сурма // Электротехника. - 2005. - №8.

- С.3-23.

8. Поляков, В.Н. Экстремальное управление электрическими двигателями / В.Н. Поляков, Р.Т. Шрейнер; под общ ред. Р.Т. Шрейнера. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2006. - 420с.

9. Боченков, Б.М. Оптимизация электропривода переменного тока по векторному критерию качества / Б.М. Боченков, Ю.П. Филюшов // Электричество. - 2007. - №8. - С.13-17.

10. Вакуленко, К.Н. Об оптимальном регулировании асинхронного двигателя. - В кн.: Электромашиностроение и электрооборудование, вып.1 / К.Н. Вакуленко, Э.М. Агабян. Харьков: Изд. ХГУ, 1965. - С.92-98.

11. Сандлер, А. С. Автоматическое частотное управление асинхронными двигателями / А.С. Сандлер, Р.С. Сарбатов. М.: Энергия, 1974. - 163с.

12. Шрейнер, Р.Т. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами / Р.Т. Шрейнер, Ю.А. Дмитренко. Кишинев: Штиинца, 1982. - 224с.

13. Приймак, Б.И. Аналитическое определение энергетически оптимального значения потока ротора асинхронной машины / Б.И. Приймак. // Электричество. - 2005. - №12. - С.36-43.

14. Волков, А.В. Оптимальное по минимуму общих потерь мощности управление частотнорегулируемым асинхронным электроприводом с АИН-ШИМ / А.В. Волков, Ю.С. Скалько // Электротехника. - 2008. - №9. - С.21-33.

15. Браславский, И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод: уч.пособие для студ. высш. учеб. заведений / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, В.Н. Поляков. - М.: Academa, 2004. -202с.

16. Тумаева, Е.В. Синхронный электропривод с оптимальными режимами работы : дис. ... канд. техн. наук : 05.09.03: защищена 15.06.06 : утверждена 13.10.06 / Тумаева Елена Викторовна. -Нижнекамск, 2006. - 174с.

17. Петров, Ю.П. Оптимальное управление электроприводом / Ю.П. Петров. - М., Л. : Энерго-атомиздат, 1961. - 187с.

18. Копылов, И.П. Математическое моделирование электрических машин / И.П. Копылов. - М.: Высшая школа, 2001. - 327с.

© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КГТУ, electroprivod@list.ru; В. А. Матюшин - студ. КГТУ.