Решение задач перспективного планирования и прогнозирования при случайных оценках продолжительности операций

УДК 519

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПЕРСПЕКТИВНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНКАХ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ

С.А. Баркалов, Д.И. Голенко-Гинзбург, И.Ф. Набиуллин, Е.А. Сидоренко

В статье рассматриваются способы решения задач перспективного планирования и прогнозирования потребляемых ресурсов для систем сетевого планирования и управления, в которых работы подвержены влиянию случайных воздействий; принимается, что продолжительность работ сетевой модели является случайной величиной

Ключевые слова: план, согласование, проект, цикл

Введение

Во всех системах сетевого планирования и управления (СПУ), в которых работы (операции) подвержены влиянию случайных воздействий принимается, что продолжительность работ сетевой модели является случайной величиной.* Предполагается, что случайные величины продолжительности работ подчинены принятому для данной i системы СПУ закону распределения, причем тип распределения принимается одинаковым для всех работ. Что касается параметров распределения, то последние задаются для каждой работы их ответственными исполнителями на основе либо нормативных данных, либо априорных соображений, либо своего производственного опыта.

В системах СПУ типа PERT, например, задаются три параметра: нижняя грань а области определения (оптимистическое время), верхняя грань Ь (пессимистическое время) и мода распределения m (наиболее вероятное I время). В других системах СПУ (например, в некоторых отечественных) задаются всего два параметра - оценки а и b. Практически во всех системах СПУ априорно принимается, что плотность распределения временных оценок продолжительности работ обладает тремя свойствами:* а) непрерывностью, б) унимодальностью, в) двумя неотрицательными точками пересечения этой платности с осью абсцисс. Простейшим распределенном с подобными свойствами является бета-распределение, которое обычно постулируется на практике.

Формула плотности бета-распределения имеет следующий вид:

B(p, q, х)= 1

в( чУ

1 (l - хУ 1 при 0 < x < 1,

где B(p, q) - бета-функция, причем

Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07

Голенко-Гинзбург Дмитрий Иванович - Университет Беер-Шева, д-р техн. наук, профессор, e-mail: dimitry@bgu.ac.il

Набиуллин Ильгиз Фнунович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Сидоренко Елена Александровна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07 38

B(p, q) = J xp 1 (l - x У 1 dx = r(p)r(q),

0 V 7 Г

а гамма-функция r(z) определяется по формуле

Г (z ) = J e-‘tz- 1dt,

0

причем для целых z функция r(z)=1^2...(z-1)= (z-1)! Начальный момент r-го порядка определяется формулой

1 1 г+„-1А \q-1 = в

b

J x'+P-1 (1 - x)q-1 dx = -

B

ние

Mx =

При r=1 получаем математическое ожида-= b(P +1, q) = Г(р + 1)r(q )f(p + q) = p

B

Для дисперсии (r=2) имеем

p+q

Dx =

P

B

p+q

pq

р+<Цр+ч+1) р+ч)2

Рассмотрим одно из обоснований целесообразности принятия закона бета-распределения, основанное на построении модели случайной величины времени окончания работы в сетевом проекте.

Пусть начало выполнения работы относится к моменту То, а ее окончание представляет собой случайную величину, изменяющуюся в интервале

Величина Т1 представляет собой время окончания работы, которое определяется причинами, лежащими в существе данной работы, и называется [1,3] 1-м технологическим временем для данной работы. Аналогично величину Т2 носит название 2-го технологического времени для работы.

Оптимизация разработок со случайными оценками продолжительности операций для случая детализированных ресурсов

Рассмотрим сетевую модель проекта 0(У, и), где У - множество всех вершин (событий), а и

- множество дуг (работ) сетевого проекта.

Предположим, что все работы проекта (/,]) е и , I е У , ] е У , пронумерованы числами натурального ряда от 1 до п. В дальнейшем наряду

2

с общепринятым обозначением работ (i, j) будем пользоваться обозначением к(1 < к < п), где к - порядковый номер соответствующей дуги (i,j).

Примем, что для выполнения всего множества работ проекта требуется m детализированных ресурсов, однако для выполнения любой отдельной работы требуется только один вид ресурсов.

На процесс выполнения каждой работы накладывается условие непрерывности, а продолжительности работ tk, к = 1, 2, ..., п считаются случайными величинами, описываемыми р-функциями распределения с плотностью 12

^

Параметры ак и Ьк для каждой работы с номером к определяются из заданных функциональных зависимостей:

ак = f(rh),

К = f2

гГ < rs< rT , 1 < s < m ,

ics te ics ' *

где ак - минимальное значение продолжительности 4 при определенной интенсивности (гь) потребления s-го ресурса на к-й работе; bj, - максимальное значение 4 при интенсивности rfa ; r”m ; r““ - соответственно минимальное и максимальное допустимое значение интенсивности s-го ресурса на к-й работе. Суммарные максимальные интенсивности (уровни) потреблений ресурсов (Qs, s=l, 2, ... , т) могут изменяться в пределах от As до Bs, т. е.

4 < Qs < Bs, s=1,2, ..., m.

Кроме этого, заданы еще Тт - плановый срок выполнения проекта; ps -приоритетные коэффициенты, определяющие либо дефицит, либо стоимость s-x ресурсов.

Задачи перспективного планирования и прогнозирования потребления ресурсов.

Задача А. Требуется определить такие значения rь (k=1, ... , п) и Qs (s = 1, 2, ..., m), которые минимизировали бы функционал

m

J = Z Qp

s=1

при условиях

P{T < T } > P ,

пл > пл * ' '

As < Qs < Bs, s=1, ..., m.

C" < rb < C\ к=1,2, ..., n.

1 < s < m .

Допустим, что коэффициенты ps отображают стоимость аренды или эксплуатации s-х ресурсов. Тогда задачу, можно сформулировать следующим образом: определить минимальный объем ресурсов (в стоимостных единицах измерения), обеспечивающий выполнение проекта за время (Т), не превышающее плановое время (Тш) с вероятностью, не ниже заданной (Рпл).

Данная задача может быть решена на основе алгоритма построенного на сочетании методов направленного и ненаправленного случайного поиска.

Необходимыми условиями существования решения задачи А являются:

а) г™" < Б,, к=1,2, ..., п; 1 < 5 < т ;

б) при гь = г”\ к=1,2, ..., п и б,=БЛ

Р{Т < Тш } > Рш .

В алгоритме для задачи А многократно используются процедуры, являющиеся алгоритмами ранее рассмотренных самостоятельных оптимизационных задач. Основными из них являются три следующие задачи.

Задача А1: минимизировать время выполнения проекта при фиксированных продолжительностях работ (4) и интенсивностях потребления ресурсов на работах (гк5), а также при заданных уровнях ресурсов (дз). Алгоритм решения этой задачи рассмотрен в работе [2].

Задача АП: определить вероятность

Р{Т<Тпл}, где Т - минимальное время выполнения проекта, при заданных ограничениях на ресурсы и при случайных длительностях работ (4). Алгоритмизация этой задачи рассмотрена в работах [2, 3].

Задача АШ: определить набор

™ ^ ™ ^ ™тах\

ГЬ (гь < гкз < гк5 ) , максимизирующих

Р{Т<Тпл} при заданных значениях уровней потребления ресурсов (дз). Решение задачи АШ может быть легко реализовано путем использования методов направленного случайного поиска, причем задачи А1 и А11 решаются во внутреннем цикле также с использованием методов случайного, поиска в сочетании с методом Монте-Карло.

Задача Б. Требуется определять ранние и поздние сроки обеспечения работ ресурсами, обеспечивающие выполнение проекта в плановый срок, с заданной вероятностью.

Допустим, что нам известен закон распределения случайной величины ^(¡, ]) - времени начала выполнения работы (/, ]). Минимальный отрезок, на котором

О < ^ (Г) = Р{н (/, ]) < ^ < 1,

обозначим через [”0, ]), С“0, ])] или [С (к), С“ (к)]. Очевидно, что этот интервал зависит от процедуры моделирования значений ^(¡, ]). Поэтому мы вправе ожидать, что для некоторых работ (/, ]) е и , имеющих значительный резерв времени относительно Тпл, длина интервала [С"(к), С(к)] и его границы могут меняться при изменении условий розыгрыша (н(к).

Из всех возможных вариантов [гт(/), ¿нтах(к)] наибольший интерес для нас представляют интервалы

[М{С

[шр{Сп

Если (8) и (9) соответствуют условиям

Р{Т < Тпл } >Рпл ,

Р{дф

где Qs (t) эпюра, описывающая фактическую потребность в s-м ресурсе на интервале [0, Тпл], и если в процедуре розыгрыша значений ^(к) следовать условию tH (к) > sup С" (к) + At (At > 0), то это неизбежно приведет к нарушению условия (10). Введение же в процедуру розыгрыша tjji) условия ta (к) < inf{rm (к)} - At (At > 0) приведет к нарушению условия (11). Последнее вытекает из того, что мы предполагаем начало выполнения проекта в момент t = 0. Следствием из вышесказанного, является то, что наиболее приемлемое время начала выполнения любой работы (i, j) eU (в смысле соблюдения условий (10) и

(11)) лежит в интервале [inf{tim‘n(к)}, sup^"^)}]. Отсюда вытекает и целесообразность выбора срока обеспечения работы (i, j) необходимыми ресурсами также в интервале [inf{t Hmm(i, j)},

sup{t 7 (i, j)}] ~ [inf{t ;m (к)}, sup{t ;m (к)}].

Введем обозначения:

шДГт

sup^;“1

где к - порядковый номер работы (i, j).

Примем t* за наиболее ранний срок, a t** -за наиболее поздний срок подачи ресурсов к работе с номером к. Таким образом, задача Б сводится к определению для всех работ к e U значений t* и

с.

Решение задачи проводится в три этапа. На первом этапе многократно моделируем значения длительностей работ (tt e [ак, bt), распределенных по P-закону с плотностью (1). После каждого розыгрыша набора значений 4 решаем задачу AI (минимизация времени выполнения проекта при фиксированных продолжительностях работ (4), интенсивностях rks и уровнях Qs), а также задачи А11 и AIII.

Проведение первого этапа дает нам N наборов {н(к), к= 1, ... , п} и последовательность N значений Tl, l=1, ... , N, где 4(к) - время начала выполнения к-й работы; Ti - время выполнения проекта при l -м розыгрыше значений tk

Решение задачи Б мы проводим после решений задачи А и поэтому можем быть уверены, что условие (10) выполняется. Условие (II) вытекает из неравенств

Q* (t) < Qs, s = 1,2..., m; 0 < t < Тпл, которые соблюдаются при каждом решении задачи

А.

Построим п последовательностей:

где t^) (к) - время начала к-й работы при i-м розыгрыше (1=1, 2, ..., N).

Упорядочив каждую последовательность (2.2.14) по неубыванию, можем построить для каждой работы с номером к вариационный ряд и соот-

ветствующий интервал (Г™ (k), (C“ (k)) изменения

набор

признака.

Обозначим

через Х0

{С” (к), к = 1,2,..., п}, а через 10

(Г“(£), к = 1,2,..., п}.

Границы М{С"(к)}, М(СЧк)} определяем, организуя направленный случайный поиск в пространстве значений переменных Ьк с минимизацией функционала

J = Е-

4 - C"

k=1 tr

при условиях

rn(k) < Lt < C“(k), k = 1,2,..., n .

б*(і) < 0*, * = 1, ..., т; 0 < і < Тпл ,

где 2*

За начальную точку поиска в пространстве значений Ьк выбираем точку

10 = {¿т“(к), к = 1, 2,..., п}, На каждом шаге поиска в пространстве значений {Ьк} для проверки условия (16) решаем некоторое фиксированное число (С различных наборов значений длительностей работ {4}) задачу минимизации уровней потребления ресурсов, т. е. минимизации функционала

max QS (t) - Qs

Qs

І1 + Sgn(max Qs (t) - Q;

при заданном времени выполнения Т=Тпл. При решении задачи минимизации J1 значение 4

Если min J Ф 0 хотя бы одному из С наборов {4}, то разыгранные Lk не могут служить оценкой inf{C“(k)}.

*

Искомыми значениями tk считаем значения min tB (k), определенные по С реализациям минимизации Jj для последнего удачного розыгрыша (в процессе поиска) значений Lk.

Третий этап решения задачи Б - это определение

t** = sup{tHm,n(k)}.

**

Значение tk определяем, применяя направленный случайный поиск в пространстве значений Mk с минимизацией функционала

J = Е-

tmax(k) - Mt

k=l tHmat

при условиях

t* < Mk < t

(k), k = 1,2,..., n,

Qj(t) < Qs, s = 1,2,..., m; 0 < t < 7m tн(k) > Mt, k = 1,2,..., n

s=1

Р{Т < Тш} > Рш .

За начальную точку поиска выбираем точку Х0 = {™п{к), к = 1,...,п} или Х0 = {0,к = 1,...,п} На каждом шаге поиска для проверки условий (20) и (22) решаем некоторое большое число (С) раз задачу минимизации времени выполнения проекта

при постоянных 1к и I,. Эта задача отличается от

ранее описанной задачи А условием (21) и может быть успешно реализована на основе алгоритма с модифицированной процедурой розыгрыша (н рк) таким образом, чтобы выполнить условие (21).

Каждый ]-й розыгрыш значений Мк считается удачным, если

/ < ]

где /]- значения функционала (18) на]-м, (]-1)-и шагах поиска. Искомыми значениями = ;ир{с рк)} считаем Мк: минимизирующее (18) при условиях (19) - (22).

Заметим, что полученные С* и по описанным выше алгоритмам для каждой к-й работы такие, что ^ . Найдем для каждого к величину %

Як .

Величина Як характеризует резерв времени подачи ресурсов к к-й работе, а значит в некотором смысле, и критичность к-й работы.

Задачи календарного планирования. Вследствие случайного характера длительности работ tk построение календарного плана

разработки вызывает большое количество трудностей. В работах [1,4] предлагается проводить комбинированное управление разработкой со случайными длительностями: оптимальное прогнозирование - на основе доверительных экспертных оценок, а календарное планирование и управление - на основе усредненных оценок продолжительностей работ.

Необходимыми условиями задачи календарного планирования на основе усредненных оценок продолжительностей работ в данном случае являются:

а) 0ТШ >ЕГкЛ, 5 = 1,2,...,т,

кеи„

где tl - средняя оценка продолжительности работы (к, определяемая по формуле:

- 3 + 2_

t = ак 1>к .

к = 5 ;

и5 - множество работ проекта, требующих для проведения 5-й вид ресурса;

б) Г < т ,

' кр пл ’

где ¿кр - длина критического пути сети при

tk = Ч, к = 1,2,•••, п

Покажем, что условие (24) выполняется, если при решении задачи получено оптимальное решение ргь, О,, к = 1,2..., п;; = 1,2,...,т) и

й = М [к ],

где М [^ ] - математическое ожидание случайной величины ^

Доказательство.

гь • tk =Юь,

где а>ь - объем к-й работы при tk = tk.

Из условия (25) и (26) вытекает

Ок, = М [ь ]

Тогда по теореме сложения математических ожиданий

ЕгкА = ЕМ[о,] = М Еь = М[]

кеи, кеи, |_кеи, _

где V, - объем работ проекта по з-му ресурсу.

В алгоритме решения задачи А для всех ]-х моделируемых наборов {к} р < ] < N) строго соблюдалось условие

Р^)< Я.,,

где ) - функция загрузки ,-х ресурсов при ]-м наб°ре {/1к}].

Функция ) - кусочно-постоянная, а переменная 1 - дискретная, принимающая значения

0,1,...,Т,и. По определению О^Ро) - это значение а( ] ){t) на отрезке 10-1, t0. Следовательно, в силу (28) Т

Е 0,Мр)< &ТШ, 1 < ] < N.

t=1

Просуммируем неравенства (29) для всех ] и поделим на N.

Тогда

1 N Т

- ЕЕОРр) Я?ш,

N ]=1 t=l

1 К Т- р)/Ч Т- Ы Ор М Т- ------/Ч

ЕЕО^р )=ЕЕ “ = ЕVS

N ]=1 t=l t=l ]=1 N t=l

где К ^) - среднее значение объема работ по ,-му

ресурсу на отрезке (^1^). Отсюда

Е V;

t=l

По теореме Чебышева при N ^ да

V ->М[V,].

Из (30 -32) следует

М [V, ]< 0Лл, а так как имеет место (27), то наше утверждение

(24) доказано.

Допустим, что нами получены такие Г^ и , что условие (24) выполнятся.

Ранее было показано, что наиболее приемлемое время начала выполнения рн рк )) к-й работы (в смысле гарантии условий (10) и (11)) нахо-

дится в интервале [, ]. В этой связи задачу оп-

ределения 1н рк) и 10 рк) дадим в следующем виде.

Требуется определить сроки начала и окончания всех работ проекта (1н рк )д0 рк), к=1,...,п), минимизирующие функционалы

^=Е [ [к)-1; ]2

или

J2 = t [ (t) - С ] [l + Sign(tH (t) - С )]

t=1

при ограничениях

e;(t)< Q,, s = 1,2,...,m; l < t < Tra,

T = T ,

пл *

, = Ъак + 2bk

ак = У! (гь )> ьк = /2 (гь )> к = 1,2,..., п.

Схема решения этой задачи следующая. Фиксированное число С раз (С=соє1) решаем задачу минимизации

J = £"-

¿—ts=\

ЯФ- Q.

Qs

I1 + Sign(- Qs )]

где 2 , 2* - соответственно физический и заданный уровни потребления *-го ресурса при условиях

(25). Из С полученных решений (при условии .7=0) выбираем наилучшее по критерию (33).

Литература

1. Виленский П. Л. Как рассчитать эффектив-

ность инвестиционного проекта. Расчет с комментариями. / П. Л. Виленский, С. А.Смоляк; Под ред.

В.Н.Лившица. - М.: Информэлектро, 1996. - 462с.

2. Воронов К.И. Коммерческая оценка инвестиционных проектов Основные положения методики / К.И.Воронов. - СПб.: Питер, 2001.- 406 с.

3. Вяткин В.Н. Принятие финансовых решений в управлении бизнесом/ /В.Н. Вяткин, Д.Д. Хэмптон, А.Ю.Казак.— Екатеринбург: ЗАО «Издательский дом «ЯВА», 1998.-387с.

4. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 1999. - 55 с.

t=1

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Университет Беер-Шева

THE DECISION OF PROBLEMS OF FORWARD PLANNING AND THE FORECAST AT CASUAL ESTIMATIONS OF DURATION OF OPERATIONS

S.A. Barkalov, D.I. Golenko-Ginzburg, I.F. Nabiullin, E.A. Sidorenko

In clause ways of the decision of problems of forward planning and forecasting of consumed resources for systems of network planning and management in which works are considered are subject to influence of casual influences is accepted, that duration of works of network model is a random variable

Key words: the plan, the coordination, the project, a cycle