Об асимптотическом световом режиме в бесконечной среде вдали от осевого источника энергии

УДК 52-64

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ СВЕТОВОМ РЕЖИМЕ В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

ВДАЛИ ОТ ОСЕВОГО ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ

А. К. Колесов, Н. Ю. Кропачева

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассматривается стационарный и нестационарный перенос монохроматического излучения в бесконечной среде с цилиндрической симметрией. Предполагается, что среда освещена стационарным или мгновенным осевым источником энергии. Среда считается однородной. Она характеризуется объемным коэффициентом поглощения а, альбедо однократного рассеяния Л и анизотропной индикатрисой рассеяния, представимой в виде разложения в конечный ряд по полиномам Лежандра. Принимаются во внимание конечность скорости света и определенная продолжительность процесса рассеяния света.

Исследуется поле излучения на больших оптических расстояниях т от источников (т ^ 1). Истинное поглощение света в среде считается малым (1 — Л ^ 1).

Интегро-дифференциальное уравнение переноса излучения в среде, освещеннной стационарным осевым источником энергии, решается методом Кейза. Получаются асимптотические формулы для средней интенсивности и потока излучения.

Переход от стационарного поля излучения к нестационарному осуществляется при помощи методики, предложенной И. Н. Мининым. Таким путем выводятся асимптотические выражения для указанных выше величин в случае мгновенного осевого источника энергии. Библиогр. 22 назв.

Ключевые слова: перенос излучения, осевой источник энергии, мгновенный источник энергии, поле излучения, асимптотические выражения.

1. Введение. Большинство объектов, изучаемых в астрофизике, можно представить в виде плоских или сферических сред. Теория переноса излучения в таких средах подробно разработана и изложена, например, в книгах [1-4]. Однако некоторые астрофизические объекты (солнечные пятна, аккреционные диски, корональные лучи и др.) имеют аксиальную симметрию. Если их длины значительно больше их толщин, то такие объекты можно описать моделью бесконечно протяженного цилиндра. Поэтому задача о распространении света в средах с цилиндрической симметрией имеет определенный астрофизический интерес. Аналогичная задача, возникающая в теории переноса нейтронов (см., например, [5-8]) представляет интерес и для физики ядерных реакторов.

Разработке точных аналитических методов решения задач переноса с цилиндрической симметрией посвящено сравнительно небольшое число работ. Точное решение задачи о линейном источнике в бесконечной среде с изотропным рассеянием было получено в работе [9]. Н. И. Лалетин в работе [10] нашел элементарные решения уравнения переноса, обладающие цилиндрической симметрией, а в работе [11] построил функцию Грина для поглощающей и изотропно рассеивающей бесконечной однородной среды с цилиндрически симметричным распределением источников. Для случая анизотропного рассеяния соответствующую функцию Грина методом интегральных преобразований получил Б. Д. Абрамов [12]. Д. И. Нагирнер [13] на примере задачи о размножающей среде без источников показал, что изотропное рассеяние в плоском слое, шаре и цилиндре можно описать единым образом.

В работе [14] метод Кейза [8] использовался для разработки теории многократного рассеяния света в цилиндрических поглощающих и анизотропно рассеивающих

средах. В случае бесконечной однородной среды с цилиндрически симметричными распределениями источников получены точные аналитические выражения для характеристик поля излучения. В случае однородных сред, ограниченных цилиндрическими поверхностями, характеристики полей излучения выражены через соответствующие величины для бесконечной среды при помощи интегральных соотношений.

В работе Т. А. Гермогеновой и Е. Б. Павельевой [15] рассмотрено характеристическое уравнение, получающееся в задачах о переносе излучения в протяженных цилиндрических областях, а в работе [16] изучена асимптотика решения уравнения переноса излучения в диске большого радиуса с источником в окрестности оси симметрии.

Д. И.Нагирнер [17-19] исследовал процесс переноса излучения в спектральной линии при изотропном рассеянии с полным перераспределением по частоте и без изменения частоты в однородном бесконечном вдоль оси круговом цилиндре с аксиальным распределением внутренних источников излучения. В этих работах, в частности, были получены справедливые при больших значениях оптического радиуса цилиндра асимптотические выражения для ряда характеристик поля излучения, в том числе для собственных значений и собственных функций основного интегрального уравнения переноса излучения.

В настоящей работе методом Кейза исследуется асимптотический световой режим в однородной бесконечной среде, освещенной стационарным или мгновенным линейным источником, на больших оптических расстояниях от этого источника при малом истинном поглощении. Выводятся асимптотические формулы для средней интенсивности и потока излучения.

2. Основные уравнения. Рассмотрим нестационарный перенос излучения в бесконечной однородной поглощающей и анизотропно рассеивающей среде, освещенной мгновенным линейным источником энергии, вспыхивающим в начальный момент времени £ = 0. Этот источник можно представить в виде множества точечных источников светимости Ь, непрерывно и равномерно распределенных по оси симметрии с линейной плотностью I.

Оптические свойства среды будем характеризовать коэффициентом поглощения а, вероятностью Л выживания кванта света при элементарном акте рассеяния, средним временем ¿1, затрачиваемым квантом непосредственно на акт рассеяния, и средним временем ¿2 пребывания кванта в пути между двумя последовательными актами рассеяния. Будем считать, что эти характеристики не зависят от координат точек среды и от времени. Вместо геометрических расстояний г между точками среды и времени отсчитываемого от момента вспышки источника, будет использовать оптические расстояния т = аг и безразмерное время

и=—,

а вместо параметров ¿1 и ¿2 —безразмерные параметры

Индикатрису рассеяния х(7), где 7 — угол рассеяния, представим, как обычно (см., например, [2]) в виде разложения по полиномам Лежандра Рп(соб7), т.е.

N

хЬ) = ^2 ХпР„

п=0

Поле излучения в цилиндрически симметричной среде, освещенной мгновенным линейным источником энергии, определяется оптическим расстоянием т от этого источника и промежутком безразмерного времени и, протекшего после вспышки. Направление распространения излучения может описываться в двух различных сферических системах координат. В одной из них полярная ось направлена параллельно оси симметрии (см. [5]), а в другой — перпендикулярно этой оси (см. [6]). Полярные и азимутальные углы в первом случае обозначим через агссоэ £ и а во втором — через агссоэ м и у соответственно. Отметим, что указанные сферические системы координат вводятся локально, т. е. в каждой точке луча распространения света. Полная интенсивность излучения /(т, и) или /(т, м, у, и), т. е. сумма интенсивности диффузного излучения и интенсивности прямого излучения, приходящего в данную точку среды непосредственно от источника, определяется интегро-дифференциальным уравнением в частных производных.

В первом случае выбора полярных и азимутальных углов это уравнение имеет

вид

в2

д/(т, £, и) ди

д/

дт

г-2п

т

д—

+ / (т, и) —

4п

¿'ф' / х

а во втором случае оно записывается в форме

в2

д/

ди

+ М

дт

+

-соэ

дм

+

и д/

Д Л27Г 1-й ц—ц'

+ /

4п /п ./-1 ,/п

Обратим внимание на то, что в формулах (4) и (5) одной и той же буквой / обозначены различные функции указанных угловых переменных, но имеющие одинаковые значения в каждой точке поля излучения.

Косинус угла рассеяния 7', являющийся аргументом индикатрисы х(соэ7'), связан с угловыми переменными направлений падающего (£', —' или м', у') и рассеянного (£, — или м, у) излучения очевидными соотношениями

со8 7' = ее + ^а-^а-е2)«^ -

ссе 7' = /X// + ^/(1 — М2)(1 ~~ м'2) С08(у — у').

Уравнения переноса (4) и (5) эквивалентны, так как они определяют одну и ту же величину, т. е. интенсивность излучения, но записаны в различных системах координат. Структуру поля излучения целесообразно искать, используя более простое уравнение (4). Но для получения асимптотических выражений для характеристик поля излучения при т ^ 1 удобнее применить уравнение (5), переходящее при этом условии в соответствующее уравнение для плоской среды.

1

Л

и—и

п

1

п

Эффективным способом решения задач теории нестационарного переноса излучения является применение преобразования Лапласа по времени (см., например, [3, 8]). В результате этого преобразования получается уравнение стационарного переноса, но при этом величины коэффициента поглощения а и оптического расстояния т умножаются на множитель 1+^2 в, а величина А делится на (1 + в\в) (1 + в2в), где в — параметр преобразования Лапласа. Решение задачи нестационарного переноса получается при помощи обратного преобразования Лапласа, примененного к полученным характеристикам стационарного поля излучения.

Уравнение стационарного переноса часто решается методом Кейза [8]. Интенсивность излучения представляется в виде суперпозиции собственных функций, т. е. нетривиальных решений однородного уравнения переноса, соответствующих положительным собственным значениям V и Vk непрерывного и дискретного спектров. В случае цилиндрически симметричной среды интенсивность излучения I(т, ф) или I(т, р, у) записывается в виде

I

I ф)

IL

47Г2

IL

4п2

к

1 +

k=1

I о N

1,1 f

N

к

N

dv + ]T

k=1

/

N

где Р(т, ф, V) и /(т, р, у, V) — собственные функции уравнений стационарного переноса излучения, соответствующих уравнениям (4) и (5). В формулах (8) и (9) величины N(V) и N(^) —кейзовские нормировочные интегралы [8], обеспечивающие ортонормированность собственных функций. Число К положительных собственных значений дискретного спектра при не очень сильно вытянутых индикатрисах рассеяния равно единице, а с ростом степени их вытянутости возрастает [20].

Из соотношений между локальными системами координат, в которых используются угловые перемены ф и р, у, получается связь между собственными функциями Р(т,£, ф, V) и /(т,р,у, V):

. , , „ / п-^ . v71 — M2cos w \

j (г, /х, (p,v) = t г, V 1 — /x^sin у, arctg-, г/ .

V м ;

Отметим, что эти функции нужно подобрать так, чтобы с их помощью можно было построить решение уравнения переноса, стремящееся к нулю при т ^ ж.

3. Асимптотика стационарного поля излучения в бесконечной среде

с цилиндрической симметрией. Как известно [8], в выражения для собственных

функций при v > 0 входят быстро убывающие с ростом т экспоненциальные функции

g-r/í/ Поэтому при jj 1 основной вклад в величину интенсивности излучения вно-

сит слагаемое, содержащее собственную функцию, соответствующую наименьшему дискретному собственному значению ь>\ = j, т.е. F(t,£, ф, j) или /(г,/х, у,

Эти функции удовлетворяют уравнениям

sin ф dF (т, £, ф,

совф---—

дт

1м

А

4п

,-2п

дф Аф'

1-1

x(cos y')F (т, £', ф',

К = o,

о

k

1

о

м

1-м2 2 df

— 1 --5--1_ Sln2y>-5—

дт

+

-cos y-

+

дм ' 2т^

Д /-1

+ - Vy ^

Функцию Р(т,£,ф, можно представить в виде разложения в ряд Фурье:

^ (V е, = (V е, £) + 2 £ (г, е, т ф,

в котором вследствие цилиндрической симметрии отсутствуют слагаемые, содержащие sin тф.

Коэффициенты этого разложения, т. е. функции

Fm = 2тг Jo F

связаны рекуррентными соотношениями. Действительно, умножая уравнение (11) почленно на cos 1ф и интегрируя по ф от 0 до 2п, получаем

v7^

дт

+ rF [^k

+

VT^T2

дт

+

+

S^+i^ei) m +1

дт

+

+

+i?m(T'e'£) -Т2 = Q (то =1,2,...), (16) где pm(£, С') —коэффициенты разложения в ряд Фурье индикатрисы рассеяния

x

m= 1

Принимая во внимание, что модифицированные функции Бесселя 1-го рода Кт(г) целого индекса т связаны известными соотношениями [21]

dKm{z) то

-3--1--Km{z) = -Km-^Z),

dz z

dKm(z) то

—dz--—-Km{z) = -Km+1 (z),

находим, что рекуррентным соотношениям (15) и (16) удовлетворяют функции вида

Рт

При кт ^ 1 для функций Кт

Кт{кт) = х!—е-к\

т. е. при указанном условии функции Кт (-) не зависят от индекса то, следовательно

е 1

в выражении (13) для Р(т,£,ф, пространственная переменная г и угловые пере-

менные £ и ф разделяются. Поэтому, согласно формуле (10), функция /(г, /л, ср, -¡¿) при кт ^ 1 представляется в виде

Подставляя (22) в уравнение (12) при кт ^ 1 и пренебрегая величинами, содержащими находим, что функция Д(р, у, угловых переменных совпадает с соответствующей функцией, получающейся из уравнения переноса излучения в плоской среде с учетом зависимости от азимута, т. е.

ОО

К0 (р) + 2 дт (р) СО!3 ту

где

п=т

Здесь Р™(р) —присоединенные функции Лежандра, а величины Д™ —известные в теории переноса излучения [2] полиномы, удовлетворяющие рекуррентным соотношениям

(п - то + 1)Д?+1 + (п + тХ_! = (2п + 1 -

дт _ \ рт _

т V*/ т

Вдали от источника излучения, как уже отмечалось выше, в выражении (9) для I(т, р, у) можно учитывать только слагаемые, соответствующие собственному значению V1 = поэтому в соответствии с формулами (9) и (22) асимптотическую формулу для I(т, р, у) можно записать в виде

Отметим, что кейзовский интеграл фигурирующий в этой формуле, связан с

используемыми в книге В. В. Соболева [2] функцией 1,(п) и постоянной величиной М соотношением

= Т

1

Функция I(т, р, у) в формуле (26) описывает интенсивность диффузного излучения, так как вдали от источника энергии прямым излучением, поступающим в данную точку среды, можно пренебречь.

Из формул (22)—(24) вытекают следующие асимптотические выражения для средней интенсивности J(т) и потока Н(т) излучения:

1 />27Г Г1 1Ь Г~л~ е~кт

^ =4* Тб^^Щ)' <28>

р27Г 1Т I ~~ 1 _ Л

При малом истинном поглощении, когда 1 — Л ^ 1, используя известные разложения постоянных к и М по степеням а/1 — А (см. [2, 3]) и пренебрегая в них малыми членами более высокого порядка, чем а/1 — А, получаем асимптотические формулы

•/

= ¿2^0

справедливые при 1 — Л ^ 1, кт ^ 1.

4. Асимптотические формулы для средней интенсивности и потока нестационарного излучения. Методика вывода асимптотических формул для характеристик нестационарного поля излучения изложена в книге И. Н. Минина [3]. В асимптотических выражениях для соответствующих характеристик стационарного поля излучения, справедливых при малом истинном поглощении (1 — Л ^ 1), величина 1 — Л заменяется параметром 8 преобразования Лапласа. Применение к полученным выражениям обратного преобразования Лапласа приводит к асимптотическим формулам для соответствующих характеристик нестационарного поля излучения.

Следуя этой методике, из формул (30) и (31) находим выражения для зависящих от времени и величин J(т,и) и Н(т, и), преобразованных по Лапласу:

¿[7

Ь [Н

Обратное преобразование дает для этих характеристик нестационарного излучения асимптотические формулы

1Ь _(3-х1)т2

Пт,и) = ^-з-е 4и ,

1Ь (3-Х1)т2

Н

выполняющиеся при условиях 1 — Л ^ 1, кт ^ 1, и > вт. Последнее неравенство учитывает конечность скорости распространения световой волны, излучаемой рассматриваемым мгновенным осевым источником энергии.

5. Заключение. В настоящей работе рассматривается поле излучения в бесконечной среде на больших оптических расстояниях от источника (т ^ 1). Как известно (см., например, [22]), в случаях стационарных полей излучения, освещенных плоскими или сферически симметричными источниками, в выражениях для интенсивности излучения и связанных с ней величин при т ^ 1 происходит разделение пространственных и угловых переменных. Но в рассматриваемом случае аксиально симметричного поля излучения в разложении интенсивности в ряд Фурье существенную роль играют азимутальные члены, и такое разделение переменных при т ^ 1 происходит не при любых значениях параметра к, а при условии кт ^ 1. В настоящей работе при этом условии получены асимметрические выражения для средней интенсивности и для потока излучения в случае стационарного источника. Из этих выражений при помощи предложенной И. Н. Мининым [3] методики получены соответствующие асимптотики для указанных величин в случае мгновенного источника.

Имея эти выражения, легко получить соответствующие формулы и при условии, когда светимость L(u) нестационарного источника зависит от безразмерного времени u произвольным образом. Для этого получающиеся для случая мгновенного источника формулы для характеристик поля излучения, например для средней интенсивности и для потока излучения, следует умножить на функцию L(u) и проинтегрировать по всему промежутку времени u, в течение которого действует источник.

Литература

1. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.: Гостехиздат, 1956. 391 с.

2. Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972. 336 с.

3. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 264 с.

4. Смоктий О. И., Аниконов А. С. Рассеяние света в средах большой оптической толщины. СПб: Наука, 2008. 440 с.

5. Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М.: ИЛ, 1961. 732 с.

6. Лалетин Н. И. Элементарные решения односкоростного уравнения переноса нейтронов // Методы расчета полей тепловых нейтронов в решетках реакторов / под ред. В. Я. Шевелева. М.: Атомиздат, 1974. С. 155-186.

7. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960. 520 с.

8. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

9. Hund G. E. Radiative transfer in a homogeneous cylindrical atmosphere // SIAM J. Math. 1968. Vol. 16. Nr. 6. P. 1255-1265.

10. Лалетин Н. И. Элементарные решения уравнения переноса нейтронов для задач с цилиндрической и сферической симметрией // Атомная энергия. 1966. Т. 20. Вып. 6. С. 509.

11. Лалетин Н. И. Функция Грина уравнения переноса нейтронов для задач с цилиндрической симметрией // Атомная энергия. 1969. Т. 26. Вып. 4. P. 370-371.

12. Абрамов В. Д. Фундаментальное решение интегро-дифференциального уравнения переноса. Препринт ФЭИ. Обнинск, №1135. 1980. 18 с.

13. Нагирнер Д. И. О переносе излучения в слое, шаре и цилиндре // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289. №3. С. 606-609.

14. Колесов А. К. О переносе излучения в средах с цилиндрической симметрией // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. №1. С. 115-118.

15. Гермогенова Т. А., Павельева Е. Б. Характеристическое уравнение в задачах о переносе излучения в протяженных цилиндрических областях // Журн. выч. матем. и мат. физики. 1989. Т. 29. №8. С. 1195-1211.

16. Павельева Е. Б. Асимптотика решения уравнения переноса в диске большого радиуса с источником в окрестности оси симметрии. Препринт ИПМ. М., № 97. 1990. 27 с.

17. Нагирнер Д. И. Перенос излучения в цилиндре. I. Резольвента основного интегрального уравнения // Астрофизика. 1994. Т. 37. Вып. 1. С. 111-117.

18. Нагирнер Д. И. Перенос излучения в цилиндре. II. Частные задачи. Асимптотика // Астрофизика. 1994. Т. 37. Вып. 4. С. 655-670.

19. Нагирнер Д. И. Перенос излучения в цилиндре. III. Спектр основного интегрального уравнения // Астрофизика. 1995. Т. 38. Вып. 1. С. 77-88.

20. Масленников М. В. Проблемы Милна с анизотропным рассеянием // Труды МИАН СССР. 1968. Т. 97. С. 3-132.

21. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

22. Колесов А. К., Кропачева Н.Ю. Некоторые асимптотические формулы в теории нестационарного переноса излучения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2013. Вып. 4. С. 152-158.

Статья поступила в редакцию 2013 г.

Сведения об авторах

Колесов Александр Константинович — доктор физико-математических наук, профессор; s.kolesov@spbu.ru

Кропачева Наталия Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент; NK@NK11595.spb.edu

ON ASYMPTOTIC LIGHT REGIME IN AN INFINITE MEDIUM FAR FROM A LINEAR SOURCE OF ENERGY

Alexander K. Kolesov, Natalia Yu. Kropacheva

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; s.kolesov@spbu.ru, NK@NK11595.spb.edu

Stationary and nonstationary monochromatic radiative transfer in an infinite medium with cylindrical symmetry is considered. It is supposed that the medium is illuminated by a stationary or momentary linear source of energy. The medium is assumed to be homogeneous. Its optical properties are characterized by the volume absorption coefficient a, the single-scattering albedo Л and the anisotropic phase function, which is represented by a finite sum of Legendre polynomials. The finite speed of light and the duration of the light scattering process are taken into account.

The radiation field at large optical distances т from the source of radiation (т ^ 1) is investigated. The true absoption of light in the medium is assumed to be small (1 — Л ^ 1). The partial-differential-integral equations of radiative transfer in the medium illuminated by a stationary linear energy source are solved by means of the Case method. Asymptotic formulae for the mean intensity and the radiation flux is derived.

Transition from a stationary to a non-stationary radiation field is realized by the technique proposed by I. N. Minin [3]. In this way the asymptotic expressions for the above-mentioned values are reduced for the case of a momentary linear source of energy. Refs 22.

Keywords: radiative transfer, linear energy source, momentary energy source, radiation field, asymptotic expressions.