Расчет на устойчивость прямоугольных пластин при упругих и пластических деформациях

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 1981

№ 1

УДК 539.3:534.1

РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ПРИ УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

В. С. Морозов, И. Ф. Образцов

Работа посвящена расчету устойчивости пластин, панелей на устойчивость. Приводится численное решение вариационным методом, синтезированным с методом локальных вариаций,задачи об устойчивости прямоугольных пластин, гладких и подкрепленных ребрами жесткости, упругих и работающих за пределами упругости.

В настоящее время численные методы находят широкое применение в практике расчета и проектирования конструкций. Эти методы дают возможность быстро и точно рассчитать напряжения и деформации сложных конструкций при статических и динамических условиях нагружения, они же эффективно применяются для анализа устойчивости конструкций. Численные методы,традиционно используемые для определения бифуркационных нагрузок потери устойчивости элементов конструкций, обычно приводят к вычислению наименьшего собственного значения матриц высокого порядка либо к громоздким итерационным процессам. В статье предлагается строить расчет на устойчивость на основе вариационного подхода к решению задач на собственные значения и метода локальных вариаций. Такая комбинация позволяет наиболее экономно использовать машинную память при расчетах на устойчивость.

1. Энергетический критерий устойчивости упругих систем позволяет сформулировать задачу определения критических напряжений в виде вариационной проблемы поиска минимума некоторого функционала. Полагая, что действующие на пластину и подкрепляющие ребра усилия N° и силы Р] пропорциональны некоторому параметру Р, запишем вариационный функционал устойчивости для прямоугольных пластин, подкрепленных дискретными ребрами жесткости:

Якр= т!п и/V;

0 = ЕН3/12(1 - V2),

где та — прогиб пластины; Л, V — толщина, модуль упругости, коэффициент Пуассона материала пластины; Е„ Уг-, ]р1— модули упругости, моменты инерции и моменты инерции при кручении ребер жесткости; а, Ь — размеры пластины; N° = N/°/Ркр, Р? = Р//Ркр-Граничные условия для функции прогиба ни в случае опира-ния по контуру пластины будут: при шарнирном закреплении т>= = 0 на внешнем контуре пластины; для защемления ни = 0 и дт/д^—О, где производная взята по нормали к контуру пластины. Для пластин, закрепленных по контуру, целесообразно использовать в расчетах более простое выражение энергии деформации пластины. Используем известное равенство:

Я

дх2 ду2 J ,1 \дл: ду

Тогда получим

й ГГ

+£.

1-1 о

г? . / д2 ни \* , х,р1 и* т и* ш | „ /л\

Е^1 -ГГ- Лх.

Е1 3р1 д2 т

(1 + ч) дх2 ду2 1

У—У/

Знаменатель функционала (1) при помощи операции интегрирования по частям может быть записан в следующем виде;

о о

дх ду

НО

йх йу +

+2№*)„Л

1=1 о <

В некоторых случаях формулу (5) удобнее использовать в расчетах, поскольку прогибы контура пластины равны нулю.

Для решения вариационной задачи о нахождении минимального значения функционала (1) используем метод локальных вариаций [1]. В соответствии с методом заменим непрерывную область поиска решения регулярным набором сеточных узлов, решение задачи будем строить в классе дискретных функций, определенных в этих узлах.

Представим интегралы отношения (1) в виде сумм по узлам дискретной сетки, дифференциальные операторы в подынтегральных выражениях, заменим на конечно-разностные.. ...

Полученный сеточный аналог функционала (1) можно вычислить,: если задать значение функции прогиба в узлах сетки.

Поиск значений прогиба в узлах сетки, сообщающих минимум параметру критической нагрузки, будем проводить при помощи процедуры локальных вариаций, которая состоит в том, что в каждом узле сетки начальному значению прогиба та° . дается последовательно либо приращение на величину о,, тогда имеем та', / = та?,либо уменьшение прогиба на эту же величину та!/= та?,/ — 8,. Каждому новому значению та) . соответствует,, вычисленное значение функционала Р°у Р', Р2. Последовательно определяя наименьшее значение Р8, оставляем соответствующее ему та?,I и переходим в следующую точку, где повторяем вычисление. В процессе итераций, если но происходит уменьшения величин Р% г. е. — Р5-<е, где г — малое число, величина шага вариации 81 уменьшается и процесс повторяется до достижения §/г—заданной малой величины. Для проверки сходимости численного решения к точному необходимо повторить расчет на сетке большей размерности.

Вычисление значения функционала (1) можно производить с использованием выражения (3) или выражения (5), причем для аппроксимации могут быть использованы следующие разностные операторы:

№ № 1 / , п \ дт 1 , -.

— (та/+1./ + та,_1,/ — 2та,, /); — = —— («>,_,. / — таг+1,

дх? Ал:2............................ . 4 . дх ' 2Дх

д2 ни 1

дх ду АкхЬу

(та/+1, /_1 — та,-_ 1, /_1 + тм\-\, /_|_1 — та,-+1, /+1),

где Ах, Ду —шаг сетки: та,-,/—значение функции прогиба в произвольной точке.

Для оценки сходимости численного решения к точному в зависимости, от числа узлов сетки Л7Х^ было проведено численное исследование применяемого метода с использованием разностных операторов (6) для выражений (3) и (5), причем для. (2) применялись центральные разности.

Исследование проводилось на модельной задаче об устойчивости квадратной пластины, нагруженной сдвигающими усилиями. Полученные данные приведены на рис. 1. Было получено, что использование функционала (3) с центральными разностями дает сходимость численного решения к точному решению сверху (кривая 1), использование функционала (5) дает сходимость к точному решению снизу (кривая 2) при одинаковом способе суммирования. Этот результат получен за счет различия по величине, погрешностей.

интегральных сумм по сравнению с точными значениями Интегралов в выражениях- (3), (4), (5). Поскольку для центральных разностных операторов первого и второго порядков максимальный член ошибки имеет знак, противоположный знаку оператора, то если

В целом выполняется условие Л3>-Ь-Д4>Д5, где Д3, Д4, Д.—погрешности аппроксимации подынтегральных выражений в (3) — (5), а Р определено выражением (1), сходимость численного решения к точному будет происходить снизу и сверху. В задачах устойчивости опертых по контуру пластин с однородным докрити-ческим напряженным состоянием это условие выполняется.

Критические напряжения были представлены в следующем ви-де: окр — D\a- h, где коэффициент КЧ; вычислялся. Аналогичные результаты были получены и для задач устойчивости прямоугольных пластин, нагруженных сжимающими усилиями. Описанный метод был использован для расчета критических напряжений потери устойчивости квадратных гладких и подкрепленных ребром пластии, имеющих точечное крепление (yot.t — 0) в различных местах срединной поверхности.

Рассмотрены следующие случаи нагружения: 1) сжатие в одном направлении; 2) сжатие в двух направлениях ож = ау; 3) сдвиг; 4) сжатие в двух направлениях и сдвиг равной интенсивности <зх—

— а» — °ху Расположение точечного крепления определено координатами а, р. В случае нагружения 1) и 2) точечное крепление в центре пластины (а = р = а/2) приводит к появлению формы прогиба с двумя полуволнами в одном направлении и одной полуволной в другом направлении.

Такая форма прогиба соответствует точному решению этих

задач w = Л sin sin при т — 2 и п = 1; коэффициенты в

cl а

формуле для критических напряжений будут: в случае 1)—К' — = 6,25 и в случае 2) — К'1 — 5. Таким образом," наличие' точечного крепления в середине пластины эквивалентно закреплению по линии х — а/2. На рис. 2 представлены зависимости А (а) = 100 (/<* г —

— Ki)jKj при р = а/2, где i — вычисленные коэффициенты для

различных случаев расположения закрепления; Ki — коэффициенты для пластин без закреплений. Была рассмотрена также подкрепленная дискретным ребром квадратная пластина, нагруженная

сжимающими усилиями в двух направлениях и сдвигом одинаковой интенсивности.•

41

W

—S— J 'ГГ- ./ 1 О"**0

(

<00

4 8

Рис. 1

N

г 2

,/

— /

/ . 5~ 4

/

// 1

)// -J 5

: т

С 0,25 0jci.tr Рис. 2

Параметры подкрепляющего ребра были следующими: £У/аО = = 0,1, Ь]р!аВ = 0,1, причем Р? = 0. Результаты решения приведены на рис. 2 (кривая 5).

2. Для пластин, нагруженных в своей плоскости напряжениями за пределом пропорциональности, справедлива вариационная формулировка задачи устойчивости. Только в этом случае в качестве искомой величины более удобно использовать параметр 1/Л* при заданных напряжениях. Тогда решение задачи устойчивости будет заключаться в нахождении минимального значения некоторого функционала:

1/А; = ш1п

где

а Ь

2 и,

-Я

о о

д210 \2

дх2

Ъс_Щ ч V

д2  \2

ду2

1 О /Ой 1 Й V д2 т д2 т

+ 2(2В33 + 021)-— -----------------Ь

дх2 ду'2

, ,.п д2 т д2т . .„ д- & д2 ге>

+ 40ЗГТТГ^Т'+ 4632

21/ :

о о

дх~ дх ду

дт \2 дх

ду'1 дх ду

йхйу\

Ч дх ду \

1

12

ду

1-

21

^31

1

1 -

4(1

---------(1

- *) \

4 (1 -,2) — ^к Ес

1*

Ес

с2 .

4(1 + '0

4(1

!—(1

•-М

! 32 ----

0„ =

1 - V

9

1

Ек

4(1+V) 5у5'гу; ?2 •

>ху,

5, = ^(2-*)-^(1-2ч); == —- (2 — V) ^ (1 2у);

Згу = 1° ь = V - а, + о2 -+ За^.

Здесь £<, — секущий модуль; Ек — касательный модуль.

Выражение энергии деформации £/„ записано с использованием формул для изгибающих и скручивающего моментов, полученных в работе [2] на основе деформационной теории пластичности с учетом сжимаемости материала и без учета разгрузки:

Для решения задачи устойчивости пластин за пределом пропорциональности будем использовать описанный метод. С целью оценки сходимости численного решения к точному был произведен расчет на устойчивость сжатой в одном направлении пластины, выполненной из материала Д16Т4 [2] при ах = 220 мН/м2; Ек/Е— = 0,800, Е^Е — 0,98 и ч = 0,304. Результаты решения получены с использованием выражения (8) и приведены ниже.

ЫХИ 4X4 5'Х5 6X6 7X7 8x8

Л* 2,61 2,76 2,81 2,83 2,83 2,87

Был проведен анализ устойчивости пластины размерами

100X100 см, нагруженной сдвигом и имеющей точечное крепление. Расчет был проведен для случая

оху = 200 мН/м2 (кривая 1), аху — 320 мН/ма (кривая 2) и аху = 360 мН/м2 (кривая 3).

На рис. 3 представлена зависимость критических толщин от положения точечного закрепления. В качестве иллюстраций на

Рис. 3

Рис. 4

рис. 4 приведена полученная форма прогиба для случая нагружения сдвигом.

В заключение отметим, что, как показали расчеты, предлагаемый метод может быть эффективно применен при анализе потери устойчивости гладких и подкрепленных дискретными ребрами пластин. Для получения достаточной точности результатов в задачах проектирования метод требует решения вариационных задач относительно малой размерности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. М., „Наука", 1973.

2. Б е л о у с А. А., Б е л о у с В. А. Устойчивость прямоугольных пластин за пределом упругости с учетом сжимаемости материала. „Ученые записки ЦАГИ\ т. 8, № 6, 1977.

Рукопись поступила 5/VI 1980 г.