Применение системы Maple для исследования почти контактных структур на прямом произведении аффинной алгебры Ли и унимодулярной алгебры Ли

УДК 004.02

Е. В. Прокопенко, Я. В. Славолюбова, А. С. Березина

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ MAPLE ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ СТРУКТУР НА ПРЯМОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ АФФИННОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ И УНИМОДУЛЯРНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

В данной работе рассматривается применение системы аналитических вычислений Maple к получению теоретических результатов в области почти контактной геометрии.

Maple - система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавного времени ее называли системой компьютерной алгебры. Это указывало на особую роль символьных вичислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.

Maple - типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

- мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

- редактор для подготовки и редактирования документов и программ;

- современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;

- мощную справочную систему со многими тысячами примеров;

- ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;

- численный и символьный процессоры;

- систему диагностики;

- библиотеки встроенных и дополнительных функций;

- пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple - одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).

Система компьютерной математики Maple была разработана группой ученых, организованной Кейтом Гедом и Гастоном Гонэ в 1980 году в канадском университете Waterloo, занимающихся символьными вычислениями.

Кардинальным отличаем пакета Maple от систем для проведения численных расчетов является возможность решения задач в символьном виде. Такая специфика систем компьютерной алгебры позволяет проводить точные вычисления и получать ответ в символьной форме, более точной, чем

любой из численных методов. Однако Maple успешно справляется и с численными расчетами. Если необходимо найти ответ в виде числа с плавающей точкой, то он будет найден в конце символьных вычислений. Таким образом, погрешность метода - это лишь погрешность округления.

Пакеты встроенных процедур Linalg, LinerAlgebra. Первые версии Maple содержали только пакет linalg, реализующий основные операции линейной алгебры. Начиная с шестой версии, в Maple появился пакет LinerAlgebra, оснащенный эффективными процедурами. Функциональность пакетов почти одинакова.

Основными объектами, с которыми работают команды этих пакетов, являются матрицы, однако матрицы одного пакета не эквивалентны матрицам другого.

Пакет linalg содержит команды для работы с символьными матрицами и векторами: сложение, умножение матриц, собственные числа и векторы в символьном виде и др. Пакет LinearAlgebra содержит усовершенствованные команды линейной алгебры для работы со специальным видом числовых матриц Matrix.

В Maple выполнение преобразований линейной алгебры можно осуществлять с помощью команд двух пакетов: linalg и LinearAlgebra, функциональность которых практически одинакова. Первый пакет входил в состав всех предыдущих версий Maple, тогда как второй пакет - это новое средство, позволяющее работать с числовыми матрицами, в том числе и с матрицами больших размеров, используя всю мощь известного пакета численных расчетов NAG (Numerical Algorithms Group). Базовыми объектами, с которыми работают команды этих пакетов, являются матрицы, однако матрицы одного пакета не эквивалентны матрицам другого. В пакете linalg используются матрицы, построенные на основе массива, создаваемого командой array(), тогда как в пакете LinearAlgebra применяются векторы и матрицы, построенные на основе новой структуры r-таблицы (r-table) и создаваемые специальными конструкторами Vector( ) и Matrix( ) или с использованием краткой нотации < a, b, c >. Матрицы в пакете linalg вычисляются только до уровня своих имен, поэтому в нем невозможно вычислить операции поэлементного суммирования или вычитания, используя простые операции над идентификаторами матриц, и приходится пользоваться специальной командой evalm( ) для вывода результирующих матриц. В пакете LinearAlgebra матрицы

вычисяются до уровня своих элементов, поэтому простое задание имени матрицы в области ввода рабочего листа приводит к отображению ее элементов, а не имени матрицы, как в случае с пакетом linalg. Кроме этого, в пакете LinearAlgebra матрицы могут задаваться в качестве операторов сложения и вычитания, что приводит к поэлементному выполнению указанных операций без использования дополнительных команд.

При выборе пакета линейной алгебры для работы рекомендуется принять во внимание следующее: пакет linalg полезен при выполнении абстрактных вычислений над матрицами и векторами. Пакет LinearAlgebra обладает более дружественным интерфейсом и особенно эффективен при работе с числовыми матрицами больших размеров из-за возможности обращения к откомпилированным программам пакета численных расчетов NAG.

Определить матрицу или вектор в Maple можно двумя способами: либо с помощью команды array() стандартной библиотеки, либо командами matrix() и vector().

Пакет линейной алгебры linalg содержит команды создания матриц и векторов, предлагает большой набор функций для работы со структурой этих объектов, для выполнения основных матричных и векторных операций и для решения основных задач линейной алгебры: решение систем линейных уравнений, нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы, приведение матриц к специальным формам и т. д. И все эти действия можно выполнять с матрицами и векторами, элементами которых являются общие алгебраические выражения, получая результаты также в виде алгебраических выражений.

Все команды пакета LinearAlgebra можно вызвать непосредственно по имени, предварительно подключив весь пакет стандартным способом, или можно подключить отдельную команду с использованием синтаксиса

with(LinearAlgebra, имя команды);

Можно вызвать команду, предварительно не подключая ее, а используя длинное имя

LinearAlgebra[имя команды] (параметры); LinearAlgebra['имя команды'] (параметры);

Последняя форма (имя команды, заключенное в кавычки), вызывает соответствующую команду пакета, даже если в текущем сеансе используется какой-либо объект с таким же именем.

Пакет LinearAlgebra реализован в виде модуля, новой языковой конструкции Maple, использующей элементы объектно-ориентированного программирования. Каждая команда является методом объекта LinearAlgebra, и поэтому ее можно вызвать, используя специальную операцию: - обращения к методу объекта.

LinearAlgebra: - имя команды (параметры);

В этом случае вызываемая команда также будет загружена, не конфликтуя с объектом другого

типа, созданным в текущем сеансе.

Для получения более полной информации по пакету LinearAlgebra можно загрузить справку командой ?LAOverview. На этой странице справки расположены ссылки на другие страницы, подробно описывающие работу и программирование пакета LinearAlgebra, включая рабочие листы с примерами использования подпрограмм пакета NAG.

1. Общие сведения из теории почти контактных структур

Остановимся на основных понятиях и фактах относительно почти контактных структур, лево-инвариантных метрик и левоинвариантных почти контактных структур на группах Ли.

Определение 1. Говорят, что дифференцируемое многообразие M2n+1 имеет почти контактную структуру (п, 4, ф), если оно допускает поле ф эндоморфизмов касательных пространств, векторное поле £ и 1-форму п, удовлетворяющих условиям:

<p

где I - тождественное преобразование TM2и+1 [1].

Определение 2. Риманова метрика g на M2n+1 называется совместимой с почти контактной структурой (п, 4, ф), если

g

Из равенств (1) и (2) следует, что n(X) = g(g,X) (а также kern = g1 ) для любой совместимой метрики.

Любая почти контактная структура допускает совместимую метрику. Фундаментальная 2-форма почти контактной метрической структуры (п, 4, ф, g) определяется по формуле:

Ф( X ,Y) = g (X <Y).

Для любой почти контактной структуры выполняется неравенство п л Фп ф 0 , из которого следует, что почти контактное многообразие ориентируемо. Если совместимая метрика g удовлетворяет условию dn = Ф, тогда многообразие (M, п, 4, ф, g) называется контактным метрическим многообразием, а метрика g - ассоциированной метрикой.

По определению ранг почти контактной структуры (п, 4, ф) является рангом ее 1-формы п. Таким образом, структура (п, 4, ф) имеет ранг r = 2s (соответственно, r = 2s +1), если dtf ф 0 и

П л (dn)s = 0 (соответственно, п л (dn)s = 0 и (dn)s+1 = 0). При этом 1-форма п называется контактной формой, если ее максимальный ранг равен n, то есть п л (dn)n ф 0 . Данное условие всегда выполняется в случае контактной метрической структуры [1].

Пусть M2n+1 - почти контактное метрическое многообразие, наделенное почти контактной структурой (п, 4, ф). Рассмотрим M2n+1 х R и обо-

значим (X, fd) -произвольное векторное поле

на данном многообразии. Почти комплексная структура определяется следующим образом:

J (X, fd) = (gX - fiMX ) d). dt dt

Почти контактная структура (n, 4, ф) является нормальной, если и только, если почти комплексная структура J интегрируема. Выражая интегрируемость почти комплексной структуры J в терминах тензора Нейенхейса имеем, что почти контактная структура (n, 4, ф) - нормальная, если и только, если

N(1) = [g,g] + 2dn£ = 0 (см. теорему 6.1 [2]). Структурой Сасаки является нормальная контактная метрическая структура

Напомним, что почти контактная структура (П, 4, ф, g) называется n- Эйнштейновой, если Ric = ag + b п  п , где Ric - тензор Риччи метрики g и a, b -гладкие функции [1].

Если в качестве многообразия рассматривается группа Ли G, то естественно рассматривать левоинвариантные почти контактные метрические структуры. В этом случае контактная форма n, векторное поле Риба 4, аффинор ф и совместимая метрика g задаются своими значениями в единице, т.е. на алгебре Ли L(G) группы Ли G.

2. Применение пакета Maple к исследованию почти контактных метрических структур на 5-мерной алгебре Ли

Рассмотрим 5-мерную алгебру Ли aff (R) х u , являющуюся прямым произведением аффинной алгебры Ли aff (R) и 3х-мерной унимодулярной

алгебры Ли u. Она имеет базис (e1, e2, e3, e4, e5 ), в котором выражения скобок Ли приведены в таблице.

Таблица. Скобки Ли алгебры Ли aff (R) х u

4 aff (R) х e(1,1) [ei, e2 ] e2 , e4] = e5 , [e3, e5] = -e4.

5 aff (R) х h3 [ei, e2 ] = e2 , [e3, e4] = e5.

№ Алгебра Ли Скобки Ли

[ei e2 = e2 ,

1 aff (R) х su (2) = [e3 e4 = e5 ,

aff (R) х so(3) [e4 e5 = e3,

[e3 e5 = e4 .

[ei e2 = e2 ,

2 aff (R) х sl(2, R) = [e3 e4 = 2e4,

aff (R) х o(1,2) [e3 e5 = -2e5,

[e4 e5 = e3.

[ei e2 = e2 ,

3 aff (R) х e(2) [e3 e4 = e5 ,

[e3 e5 = e4 .

Определим левоинвариантную почти контактную метрическую структуру (п, 4, Ф, ё) на алгебре Ли а//(Я) х su (2). В качестве характеристического векторного поля 4 можно взять £ — в1, '=1,...,5. Соответствующие наиболее простые почти контактные формы п — в', '=1,...,5. Рассмотрим в отдельности каждый из приведенных случаев.

Случай 1. Пусть п — в1 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х (2). Дифференциал 1-формы dп = -в3 л в4, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в1.

Выберем специальный базис (Еь.ЕУ, взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

Е'1 — в2 ; Е'2 — в^ • Ез — в^ ; Е'4 — в5 • Е'г — в1 .

Ненулевые структурные константы в базисе (Е1...Д5У.

С1 — — с1 — — 1 • С4 — — С4 — — 1 • С2 — — С2 — 1 •

15 51 ' 23 32 1 ' 34 43 1 '

С3 — — С3 — 1

24 42

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п — Е5. Ее внешний дифференциал: dE5 — 0.

Определим аффинор ф, который должен удовлетворять условиям: р2 |кегп — I, р(£) — 0,

р2 — — I + п£. Отметим, что такой аффинор задается неоднозначно. Зафиксируем аффинор фо, который действует на базисных векторах (Е1,...,Е5) следующим образом: р(Е1) — Е2, р(Ег) — —Еп р(Е3) — Е4, р(ЕА) — — Е3, р(Еъ) — 0. Определим также метрику

ё 0 — Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5.

Случай 2. Пусть п — в2 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х (2). Дифференциал 1-формы dп — — в1 л в1, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в2.

Выберем специальный базис (Е1,...,Е5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

ЕЕ 1 - в1 ; ЕЕ 2 - в3 ; Е3 - в4 ; ЕЕ 4 - в5 ; Ег - в2 .

Ненулевые структурные константы в базисе

(Е1,.,Е5):

С5 — — С5 — —1 • С4 — —С4 — 1- С2 — — С2 — 1 •

15 51 ' 23 ^32 1 ' 34 43 1 '

С3 — — С3 — —1

24 42

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п — Е5. Ее внешний дифференциал: ёЕ5 = -Е1 л Е5.

Зафиксируем аффинор фо, который действует на базисных векторах (Е1,...,Е5) следующим образом: р(Е1) = Е2, р(Е2) = -Е1, р(Е3) = Е4, р(Е4) — -Е3, р(Е5) = 0 . Определим также метрику g0 — Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е\

Случай 3. Пусть п — в3 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х su (2). Дифференциал 1-формы ёп = -в4 л в5, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в3.

Выберем специальный базис (Е1,...,Е5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

Ненулевые структурные константы в базисе (ЕЬ...,Е5):

С2 = -С2 = 1' С4 = -С4 = -Г С5 = -С5 = -1 •

12 21 ' 35 53 -1 ' 34 43 1 >

С3 = -С3 = 1

45 54 1 •

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п = Е5. Ее внешний дифференциал: ёЕ5 = - Е3 л Е4.

Аффинор фо действует на базисных векторах (Ег,.,Е5) следующим образом: р(Е1) = Е2, <(Ег) — -Ег, р(Е^) = Е4, р(ЕА) = -Е3, р^) = 0.

Определим

также

метрику

g0 = Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5.

Случай 4. Пусть п = в4 - почти контактная форма на алгебре Ли а//(Я) х яи (2). Дифференциал 1-формы ёп = в3 л в5, характеристическое векторное поле 4 имеет вид £ — в4.

Выберем специальный базис (ЕГ,...,Е5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

Е — вг • Е'2 — в 2 • Е3 — в3 • ЕЕ4 — в5 • Е5 — в 4 .

Ненулевые структурные константы в базисе

(Ег,.,Е5):

С2 — -С2 — 1 • С4 — - С4 — -1 • С5 — - С5 — -1 •

12 21 ' 35 53 -1 ' 45 ^54 1 '

С5 — -С5 — -1 .

34 43

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п — Е5. Ее внешний дифференциал: ёЕ5 — Е3 л Е4.

Аффинор фо действует на базисных векторах (Е1,...,Е5) следующим образом: р(Е1) — Е2,

р(Е2) — -Е1, р(Е3) — Е4, р(Е4) — -Е3, р(Е5) — 0. Определим также метрику

g0 — Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5.

Случай 5. Пусть n = e5 - почти контактная форма на алгебре Ли aff (R) х su(2). Дифференциал 1-формы dn = -e3 л e4, характеристическое векторное поле 4 имеет вид g = e5.

Выберем специальный базис (E1,_,E5), взяв в качестве пятого вектора характеристическое векторное поле 4:

E'j — ej; E-2 — e2; E3 — e3; — e^; E'5 — e5.

Ненулевые структурные константы в базисе (E1...M :

С 2 = —Г 2 = 1 • С5 = — Г15 = 1 • С3 = — Г13 = — 1 •

12 21 ' 34 43 > 45 ^54 1 '

С4 =—С4 = —1

35 53

Почти контактная форма в новом базисе определяется 1-формой п = E5. Ее внешний дифференциал: dE5 = — E3 л E4.

Аффинор р0 действует на базисных векторах (E1,...,E5) следующим образом: p(Ej) = E2, p(E2) = —En p(E3) = E4, p(E4) = — E3, p(E5) = 0. Определим также метрику

g0 = E1 + E2 + E3 + E4 + E5.

Составляем программы на m-языке Maple для определения основных геометрических характеристик (см. пример листинга ниже) и свойств ле-воинвариантной почти контактной метрической структуры (п, 4, ф, g).

В результате компьютерного исследования структуры (п, 4, ф, g) получается следующий теоретический результат.

Теорема 1. Пусть Aff (R) х SU(2) - группа Ли, наделенная левоинвариантной почти контактной метрической структурой (п, 4, ф, g) . Тогда:

1. При п = e', i=1,2 левоинвариантная почти контактная метрическая структура (ц, фо, go) на алгебре Ли aff (R) х su (2) не является ни нормальной, ни K-контактной структурой.

Матрица оператора Риччи имеет вид:

RIC = diag1;1;1;1;— .

Квадраты норм тензора Римана, Риччи и тензора кручения N(1) имеют выражения:

[4 при i = 1, [2 при i = 2.

Скалярная кривизна принимает следующее

с 1

значение: S = —.

2

Главные кривизны Риччи имеют значения:

Л1 = Л5 = —1; А2 = A3 = А4 = 1.

Секционные кривизны имеют вид:

k = k = k = 0- k = k = k =1 ;

"'1,2 _ 1,3 _ ""1,4 _ u ' 2,3 2,4 л3,4 _ 4 >

N

(1) 2 -

ki 5 — 1 ; 5 — k 5 — k4 5 — 0 .

2. При п = e', i=3,4,5 левоинвариантная почти контактная метрическая структура (ц, фо, go) на алгебре Ли aff (R) х su (2) является нормальной, не является K-контактной структурой.

Матрица оператора Риччи имеет вид:

RIC — diag 1;-1;1;1;1

Квадраты норм тензора Римана, Риччи и тензора кручения N(1 имеют выражения:

I 12 =19 ;

II II 4

\Ric\\2 =-; N (1f = 0. I II 4 II II

Скалярная кривизна принимает следующее

с 1

значение: S — —.

2

Главные кривизны Риччи имеют значения: A — Я2 ——1; A3 — Я 4 — Л5 — — .

Секционные кривизны имеют вид:

k — — 1- k — k — k — k — 0- k — 1 •

1,2 1 ' "-1,3 _ "1,4 _ 2,3 2,4 ' 3,4 4 '

k1,5 — k2,5 — 0 • k3,5 — k4,5 — ^4 .

Доказательство теоремы получается прямыми вычислениями с использованием системы символьных вычислений Maple.

Аналогичные результаты получены для остальных алгебр Ли: aff (R) х sl (2, R), aff (R) х o(1,2), aff (R) х e(2), aff (R) х e(1,1), aff (R) х h3. В базисе (e1,...,e5) алгебры Ли aff(R) х e(2) и aff(R) х e(1,1) допускают нормальную структуру (n, 4, ф0, g0), если п — e3; алгебра Ли aff (R) х h3 допускает нормальную структуру

(n, 4, ф0, g0), если п — es.

Приведем один из аннотированных листингов для вычисления основных геометрических характеристик левоинвариантной почти контактной метрической структуры (n, 4, ф0, g0) на m-языке Maple.

#Запускаем команду restart для одновременной очистки всех переменных.

restart:

#Подключаем пакеты: linalg, позволяющий работать с символьными матрицами и LinerAlgebra, позволяющий работать со специальным видом числовых матриц Matrix.

with(LinearAlgebra):with(tensor):with(linalg):

#Загружаем массив метрики g0:

g0:=array(sparse,1..5,1..5,[(1,1)=1,(2,2)=1,(3,3)= 1,(4,4)=1,(5,5)=1]);

#Загружаем массив аффинора ф0, действующего на алгебре Ли aff (R) х su (2): f0:=array(sparse,1..5,1..5,[(1,2)=1,(2,1)=-1,(3,4)=1,(4,3)=-1]);

#Загружаем массив C структурных констант

Ck, i, j, k=1,...,5 алгебры Ли aff (R) x su(2):

C:=array(sparse,1..5,1..5,1..5,[(1,5,1)=1,(2,3,4)=1 ,(3,4,2)=1,(2,4,3)=1,(5,1,1)=1,(3,2,4)=1, (4,3,2)=-1, (4,2,3)=1]):

#Вычисляем дифференциал deta почти контактной формы dn по формуле

dEk =-£ CkEi л Ej [3]:

i< j

deta:=array(sparse,1..5, 1..5):

for j to 5 do

for i to j-1 do

deta[ij]:=-C[i,j,5]:

deta[j,i]:=C[i,j,5]:

od od;

#Проверяем условие: p02 |kern = -I .

f0f0:=simplify (multiply(f0,f0));

#С помощью команды inverse находим обрат-

-1

ную матрицу g0 : g0inv:= inverse(g0);

#По формуле: rp = 1 (cp + g'rgiC + g'pgjC)[3]

находим компоненты Gamma связности ГЦ , i, j,

p=1,...,5 (символы Кристоффеля): Gamma:=array(1..5,1..5,1..5): for i to 5 do for j to 5 do for p to 5 do Gam-

ma[i,j,p]:=(1/2)*(C[i,j,p]+sum(sum(g0inv[l,p] *g0[i,k] *C[l,j,k] +g0inv[l,p] *g0[j ,k]* C[l,i,k],'l'=1..5),'k'=1..5)); od od od;

i:='i': j:='j': k:='k': l:='s': l:='p': #Вычислим тензор кривизны Riem ассоциированной метрики g0 по формуле:

Ri = ГРrjk-ГрГР -CPrSk [3].

Riem:=array(1..5,1..5,1..5,1..5): for i to 5 do for j to 5 do for k to 5 do

for s to 5 do p:='p':

Riem[i,j,k,s]:=simplify(sum(Gamma[i,p,s]*Gam ma[j,k,p] -Gamma[j ,p,s] *Gamma[i,k,p] -C[i,j,p]* Gamma [p,k,s],'p'=1..5)); i:='i': j:='j': k:='k': s:='s': p1:='p1': Riem1:=array(1..5,1..5,1..5,1..5): for i to 5 do for j to 5 do for k to 5 do for s to 5 do p1:='p1':

Riem1 [i,j,k,s] :=simplify(sum(Riem[i,j,k,p1] *g0[p 1,s],'p1'=1..5)); od od od od;

i:='i': j:='j': k:='k': s:='s': p1:='p1':

#Вычислим квадрат нормы NRiem тензора

кривизны ||Rie^y по формуле:

\\Riem\\2 = g^g^gj^ [3].

NRi-

em:=factor(simplify(sum(sum(sum(sum(sum(sum(su

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Appel K., Haken W. The Solution of the Four-Color-Map Problem // Scientific American. - 1977. - V. 237, 4. - P. 108 - 121.

2. Blair D. E. Contact Manifolds in Riemannian Geometry Lecture Notes in Mathematics. - Springer; Verlag; Berlin; Heidelberg;1976. - 145 p.

3. Blair D. E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. -2010. - Vol. 203. - 145 p.

4. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds // Progress in Mathematics. -Birkhauser Boston, 2002. - Vol. 203. - P. 304.

5. Calvaruso G. Three-dimensional homogeneous almost contact metric structures // Journal of Geometry and Physics, (69), 2013. - P. 60-73.

6. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv:math/0403555-v2, [math.DG], 2004. -17 p.

7. Diatta, A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math.DG/ 0403555, 2004. - Vol. 2. -17 p.

8. GeigesH. Contact Geometry // arXiv:math/0307242v2 [math.SG], v2, 2004. - 86 p.

9. Goze M., Khakimdjanov Y., Medina A. Symplectic or contact structures on Lie groups. // Differential Geom. Appl. - Vol. 21, No. 1. - 2004. - P. 41 - 54.

10. Ovando G. Complex, symplectic and K - ahler structures on four dimensional Lie algebras // arXiv:math/0309146v1, [math.DG], 2003. - 15 p.

11. Ovando G. Four dimensional symplectic Lie algebras // arXiv:math/0407501v1, [math.DG], 2004. -21 p.

12. Rodionov E. D., Slavskii V. V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups // Differential Geometry and Application. Proceeding of the 7th International Conference. Brno, August 10 - 14, 1998. - Masaryk University, Brno, Czech Republic, 1999.

13. Rodionov, E. D., Slavskii V. V. Conformal deformations of the Riemannian metrics and homogeneous Riemannian spaces // Comm. Math. Univ. Carol. - 2002. - V. 43, No 2. - P. 271 - 282.

14. Аладьев В.З., Бойко В.К., Ровба Е.А. Программирование и разработка приложений в Maple. Грод-но:ГрГУ, 2007.

15. Алексеев Е.Р., О.В. Чеснокова. О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. Серия: Самоучитель. - НТ Пресс, 2006. - 496 с.

16. Арнольд В.И. Математичские методы классической механики - 5-е изд., стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2003. -416 с.

17. Гандер В., Гржебичек И. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и MATLAB. ISBN: 985-6642-06-X. Издательство "Вассамедина" 2005г. 520 стр.

18. Дьяконов, В. Maple 9 в математике, физике и образовании - M.: СОЛОН Пресс, 2004. - 688 с.

19. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1981. - Т 1. - 344 с.

20. Кремлев А.Г.., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на четырёхмерных группах Ли. Унимодулярный случай Мат.труды. - 2008. Т.11, №2. - С.115-147.

Авторы статьи

Прокопенко Евгения Викторовна, к.ф.-м.н., доцент каф. прикладных информационных технологий КузГТУ. e-mail: pev-05@mail.ru

Поступило в редакцию 15.11.2014

m(sum(g0inv[i,p] *g0inv[j,r] *g0inv[k,s] *g0[l,t] *Riem [i,j,k,l]*Riem[p,r,s,t],'p'=1..5),'r'=1..5),'s'=1..5),'t'=1..5 ),'l'=1..5),'k'=1..5),'j'=1..5),'i'=1..5)));

i:='i': j:='j': k:='k': s:='s': t:='t': l:='l': p:='p':r:='r':

Славолюбова Ярославна Викторовна, к.ф.-м.н., доцент каф. высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиала) РЭУ имени Г.В. Плеханова. e-mail: jar1984@mail.ru

Березина Анна Сергеевна, старший преподаватель каф. высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиала) РЭУ имени Г.В. Плеханова.

e-mail: asberezina79@mail.ru