On the existence of solutions with prescribed number of zeros to regular Nonlinear Emden - Fowler type third-order equation with variable coefficient

УДК 517.9

В.В. Рогачёв1

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ НУЛЕЙ У РЕГУЛЯРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭМДЕНА - ФАУЛЕРА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ2

Рассматривается уравнение типа Эмдена — Фаулера третьего порядка. Доказывается существование решения с заданным числом нулей на заданном отрезке. Этот результат расширяет результат, относящийся к уравнению Эмдена — Фаулера с постоянным коэффициентом, на случай переменного коэффициента.

Ключевые слова: уравнение типа Эмдена — Фаулера, переменный коэффициент, знакопеременные решения, число нулей решения уравнения.

Введение

Вопрос существования решений с заданным числом нулей на заданном интервале — один из важных вопросов в качественной теории дифференциальных уравнений. Исследованию существования таких решений посвящено много работ, среди которых можно выделить хорошо известные работы Штурма для линейных уравнений второго порядка, которые были продолжены в работах В.А. Кондратьева для уравнений 3-го, 4-го и более высокого порядка [4-6]. Исследование асимптотического поведения знакопеременных решений нелинейных уравнений содержится в работах И.Т. Кигурадзе и Т.А. Чантурия [7], И.В. Асташовой [1]. В частности, уравнения третьего порядка изучаются в работах [1, гл. 6, 7; 8]. В работах [2] исследовался вопрос о существовании решений с заданным числом нулей на заданном интервале для уравнения типа Эмдена — Фаулера третьего и четвертого порядков с регулярной и сингулярной нелинейностью и постоянным коэффициентом.

1. Основные результаты

Рассматривается уравнение

у"' = р

х© Рогачёв В.В., 2015

Рогачёв Владимир Викторович (valdakhar@gmail.com), кафедра дифференциальных уравнений, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 119991, Российская Федерация, г. Москва, ул. Ленинские горы, 1.

2Статья подготовлена по докладу конференции "СамДиф-2015".

функция р(х,уо,у1,у2) непрерывна, дифференцируема по своим аргументам и удовлетворяет условию Липшица по У0,У1,У2• Для этого уравнения изучается вопрос о существовании решения с заданным числом нулей на отрезке. Доказывается следующая

Теорема 2.1. Для любых к £ (1, то), —то <а <Ь < +то и целого ] ^ 2 уравнение (1.1) имеет решение, определенное на отрезке [а, Ь], равное нулю в точках а,Ь и имеющее на этом отрезке ровно ] нулей.

Замечание. Заменой х ^ —х уравнение (1.1) приводится к уравнению вида

у"' + р

решения которого — зеркально отражённые относительно оси Оу решения уравнения (1.1).

При доказательстве теоремы используются следующие леммы из [1]. Лемма 2.1 (лемма 7.1 из [1]). Пусть у(х) — решение (1.2). Пусть в некоторой точке х0 выполнены неравенства

у(хо) > 0, у'(хо) > 0, у''(хо) > 0.

Тогда решение достигнет локального максимума в некоторой точке х0 > хо, причём

к—1

хо — хо < (ру'(хо))-'к+2, у(х'о) > (ру'(хо))^,

у''(х'о) < —(ру'(хо))^,

где р > 0 — константа, зависящая только от к, т, М.

Лемма 2.2 (лемма 7.2 из [1]). Пусть у(х) — решение (1.2). Пусть в некоторой точке хо выполнены неравенства

у(хо) > 0, у' (х'о) < 0, у ''(х'о) < 0.

Тогда решение обратится в ноль в некоторой точке хо > хо, причём

к— 1

хо — х'о < (ру(х'о)) ^,

у'(хо) < —(ру(х'о)) ^, у''(хо) < —(ру(хо))^, где р > 0 — константа, зависящая только от к, т, М.

Лемма 2.3 (лемма 7.3 из [1]). В условиях лемм 2.1, 2.2 для любого х1 > хо, при котором у(хо) = 0, у(х1) = 0, верно неравенство

\у'(х1)\ > Я\у'(хо)\,

где Q > 1 — константа, зависящая только от к, т, М.

Доказательство теоремы 2.1. Проведём замену х ^ —х и впредь будем рассматривать уравнение (1.2). Пусть у(х) — решение уравнения (1.2). Из трёх приведённых лемм следует, что если в некоторой точке хо выполняется

у(хо) > 0, у' (хо) > 0, у ''(хо) > 0,

то правее хо существует точка х1 такая, что

/ / к — 1 х1 — хо < (р у (хо)) к+2,

у(хх)=0, у'(х!) < —<у'(хо), у''(х1) < 0, где ¡' > 0 и д > 1 — константы, зависящие только от к,т и М.

Заметим, что при домножении у(х) на — 1 вид уравнения не изменится, поэтому справедливы аналогичные леммы и в случае, когда у(хо) ^ 0, у'(хо) < 0, у ''(хо) < 0.

Из оценок следует, что если в точке хо выполняется у(хо) ^ 0, у'(хо) > 0, у''(хо) ^ 0, то решение будет колеблющимся, т. е. иметь возрастающую бесконечную последовательность нулей правее хо.

Пусть у(х,а,у1,у2) — зависящее от начальных данных семейство решений, т. е. при фиксированных а,у1,у2 функция у(х) = у(х,а,у1,у2) является решением уравнения (1.2), удовлетворяющим начальным условиям у(а) = 0, у'(а) = у1, у''(а) = = у2. Пусть для этого решения при фиксированных начальных данных хг — г-й ноль решения, х. — г-й локальный экстремум, Ьг = х— хг-1 — расстояние между двумя соседними нулями.

Чтобы доказать, что для заданного отрезка [а, Ь] есть решение, имеющее на отрезке ровно ] нулей, рассмотрим Ь = ^3—1 Ьг — расстояние от хо до (] — 1)-го нуля. Пусть хо = а, у(а) = 0.

Если можно подобрать такие у'(а) > 0, у''(а) > 0, что Ь = Ь — а, то теорема верна, так как решение у(х) в таком случае имеет ровно ] нулей на отрезке [а,Ь], причём у(а) = у(Ь) = 0. Будем рассматривать Ь как функцию, зависящую от

у' (а),у' '(а).

к — 1

Оценим Ь сверху. Уже доказано, что Ь1 ^ (¡'у'(а))-к+. Из леммы 2.3 следует, что в каждом следующем нуле модуль производной возрастает более чем в д раз, поэтому

\у'(х-г)| > $\у'(а)|.

Можно оценить Ьг. Так как — < 0, то верна оценка

._ -| к—1( к — 1\ г—1,, к—1 Ьг < (¡'яг у'(а)) к+2 = (д к+2) (¡у'(а)) к+2.

Пусть д = д к+2. Так как д > 1, —т—1 < 0, то 0 < д < 1 и Ьг оцениваются

к—1

Т^,, /О ^ 1 _

к+2

сверху членами убывающей геометрической прогрессии. Следовательно, Ь сверху можно оценить так:

1 — д^ к — 1 к—1

Ь = Ь1 + Ь2 + ... + Ь—1 < -—у-(¡'у'(а))-к+ = С1(у'(а))-,

1 — д

к1

Ь<а

где С1 — константа, зависящая только от к,т, М и

Оценим Ь снизу. Для этого достаточно оценить Ь1 снизу. Рассмотрим у(х) на отрезке [а, а + Ь{], где у(х) ^ 0, причем у(а) = у(а + Ь1) = 0. Используя это, получаем:

0 < / р(х,у,у ',у ")ук+1 dx = — уу'''¿х = у '¿у' =

(а + Ь))1— ^ = Г' < ЬМФ^,

где х'0 — точка максимума решения на отрезке. Из этого неравенства и леммы 2.3 следует

т > (О2 - 1)(у'(а))2 1 > 2Му(х'о)к+1 '

Для завершения оценки необходимо оценить у(х'о) сверху. Рассматривая промежуток знакопостоянства, интегрируем уравнение у''' = -р(х,у,у',у'')|у|к,

х _ а|2 Гх Гх Гх у(х) = у(а) + у'(а)1х - а1 + у''(а)--—- р(х,у,у',у'')ук¿х3,

2 Л а Л а Л а

поэтому

у(х'о) < 1х'о - а\у' (а) + 1хо - ^ у ''(а).

к—1

Из леммы 2.1 следует, что 1х0 - а| < ¡¡(у'(а))-, где ¡1 — некоторая константа. Мы можем произвольно менять значения у'(а), у''(а), поэтому пусть у''(а) = = у'(а)1+к—. Теперь Т зависит от одного переменного значения — у'(а). С этими изменениями верна следующая оценка:

22 у(х'о) < ;(у'(а))-^у'(а)+^(у'(а))-2Ыу''(а) = ;(у'(а))1-Ш + ^(у'(а))1+ ^-2,

или

у(х'о) < С2(у'(а))^, где С2 > 0 — константа, зависящая только от к, т, М. Используя эту оценку, получаем

Т > > сзу <^-'МП* = С3(«'(а))-

Вместе с выражением (1.3) получаем такую оценку на Т:

_к—1 _к—1 сз

где с1,сз — положительные константы, зависящие только от к,т,М и

Теперь докажем непрерывную зависимость Т от у (а). Для этого сначала докажем непрерывность функции, показывающей расстояние до первого нуля решения у(х) . Решение уравнения непрерывно изменяется при непрерывной модификации начальных данных, но ноль произвольной функции при её непрерывном изменении может не меняться непрерывно. Покажем, что в нашем случае непрерывность есть.

Обозначим у(х,а,у1,у2) — семейство решений (1.2), то есть при зафиксированных а,у',у'' у(х) — решение, и у(а) = 0,у'(а) = у1,у''(а) = у2. Из лемм 2.1, 2.2 известно, что если у1 > 0, у2 > 0, то существует точка х1 , правее а, такая, что у(х1) =0, и до неё других нулей не будет. Если мы напишем функцию Т (а,у1,у2), описывающую расстояние от а до первого нуля решения у(х, а,у1,у2), при у1 > 0, у2 > 0 она будет определена, положительна, но, возможно, разрывна. Выпишем выражение

у(х, а,у1,у2) = 0.

В точке х1 это равенство выполняется. Функция у(х,а,у1,у2) гладкая по теореме о дифференцируемости решения по параметру. Производная (х,а,у1,у2) в точке х1 не равна нулю, это следует из лемм. Тогда по теореме о неявной функции получаем, что в некоторой окрестности точки х1 верно

у

и / — некоторая непрерывная функция. Если мы докажем, что в каждой окрестности f(а,у1,у2) состоит только из первых нулей, мы докажем, что функция Ь\(а,у\,у2) непрерывна в каждой своей точке.

Для простоты записи доказательства считаем, что а = 0. Пусть Г (у) = = Ьх(0,ух,у2) — расстояние до первого нуля, где V = {у\,у2}. Очевидно, что Г (у) > 0. По теореме о неявной функции для любой точки {и, Г (и)} есть прямоугольная окрестность и(и)хУ(Г(и)), в которой существует непрерывная функция /и(у) : и (и) ^ У (Г (и)), значения которой — нули решения у(х) (не обязательно первые), причём /и(и) = Г (и), и в упомянутой окрестности кроме /и(у) нет других нулей. Если в любой точке и в некоторой окрестности и(и) есть совпадение 1и(у) = Г (у), то непрерывность Г (у) доказана.

Предположим, что существует хотя бы одна точка и* такая, что в любой её окрестности есть несовпадение /и* (у) и Г (у). Пусть {V} — множество аргументов V, в которых несовпадение произошло. По определению и*, это множество имеет предельную точку и*, и и* (/. {у}. Получается, что множество {у} имеет как минимум счётное число элементов. Из множества {у} выделим последовательность {уп}, стремящуюся к и*. Рассмотрим последовательность {хп} = {Г^п)}. Снизу {хп} ограничена нулем, а сверху — окрестностью У (Г (и*)), ведь лежать в этой окрестности хп не может, так как тогда хп = /и* (уп), а если хп выше этой окрестности, то хп не будет первым нулём — он будет лежать после нуля х = /и* (уп).

Из ограниченной последовательности {хп} извлечём подпоследовательность {хп.}, сходящуюся к х* — нижнему пределу {хп}. Последовательность {хп. ,уп.} стремится к точке {х*,и*}, причём х* < Г (и*).

Переобозначив, мы получим последовательность точек {хп,у'п,у'г,',}, стремящуюся к {х*,у'*,у''*}. Заметим, что семейство решений у(х,а,ух,у2) непрерывно по всем аргументам, и поэтому

У(xn, 0,у'п,у'п) = 0

откуда

у(х*, 0,у'*,у''*)=0.

То есть точка х* является нулём решения уравнения при у = у*, причём х* < < Г (у). Получается противоречие с тем, что Г (у) — первый ноль решения при этих начальных данных. Непрерывность доказана.

Функция Ьх(а,у\,у2) непрерывна в каждой своей точке при ух > 0, у2 > 0. Из непрерывности изменения положения нуля следует непрерывность изменения значений производных в этом нуле. Поэтому Ь2,Ьз,... ,Ь^, как и Ьх, непрерывно меняются при трансформации у (а) > 0, у (а) > 0. Следовательно, Ь тоже непрерывна как сумма конечного числа непрерывных функций.

Считаем, что у'(а) > 0, у''(а) = у'(а)х+ т—. Тогда относительно у'(а) функция Ь непрерывна, и верна оценка (1.4). Эта оценка показывает, что Ь может быть больше любого заданного положительного числа, также Ь может быть сколь угодно близка к нулю. В сочетании с непрерывностью Ь это значит, что область значений Ь — все положительные числа, поэтому существуют такие начальные данные решения, что Ь = Ь — а.

Литература

[1] Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И.В. Асташовой. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. С. 22-288.

[2] Асташова И.В., Рогачёв В.В. О числе нулей осциллирующих решений уравнений третьего и четвертого порядков со степенной нелинейностью // Нелшшш коливан-ня. 2014. Т. 17. № 1. С. 16-31.

[3] Асташова И.В., Рогачёв В.В. О существовании решений с заданным числом нулей для уравнений типа Эмдена — Фаулера третьего и четвертого порядков // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 11. С. 1509-1510.

[4] Кондратьев В.А. О колеблемости решения линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядка // ДАН СССР. 1958. Т. 118. № 1. С. 22-24.

[5] Кондратьев В.А. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядка // Труды ММО. 1959. Т. 8. С. 259-281.

[6] Кондратьев В.А. О колеблемости решений уравнения yn +p(x)y = 0 // Труды ММО. 1961. Т. 10. С. 419-436.

[7] Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990. 432 с.

[8] Smirnov S. On Some Spectral Properties of Third Order Nonlinear Boundary Value Problems // Mathematical Modelling and Analysis. 2012. V. 17. № 1. P. 78-89.

References

[1] Astashova I.V. Qualitative properties of solutions to quasilinear differential equations in Qualitative properties of solutions to differential equations and related topics of spectral analysis: scientific edition. Astashova I.V. (Ed.) M., IuNITI-DANA, 2012, pp. 22-288 [in Russian].

[2] Astashova I.V., Rogachev V.V. On the number of zeros of oscillating solutions of third and fourth order equations with power nonlinearity. Нелтшт коливання [Nonlinear Oscillations], 2014, Vol. 17, no 1, pp. 16-31 [in Russian].

[3] Astashova I.V., Rogachev V.V. On the existence of solutions with prescribed number of zeros to Emden-Fowler type third- and fourth-order equations. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 2013, Vol. 49, no. 6, pp. 1509-1510 [in Russian].

[4] Kondratiev V.A. On oscillation of solutions to linear third- and fourth-order differential equations. DAN USSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1958, Vol. 118, no 1, pp. 22-24 [in Russian].

[5] Kondratiev V.A. On the oscillation of solutions for third and fourth order linear differential equations. Trudy MMO [Transactions of the Moscow Mathematical Society], 1959, Vol. 8, pp. 259-282 [in Russian].

[6] Kondratiev V.A. On the oscillation of solutions for the equation y(n) + p(x)y = 0. Trudy MMO [Transactions of the Moscow Mathematical Society], 1961, Vol. 10, pp. 419-436 [in Russian].

[7] Kiguradze I.T., Chanturia T.A. Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordinary differential equations. M., Nauka, 1990, 432 p. [in Russian].

[8] Smirnov S. On Some Spectral Properties of Third Order Nonlinear Boundary Value Problems. Mathematical Modelling and Analysis, 2012, Vol. 17, № 1, pp. 78-89 [in Russian].

V.V. Rogachev3

ON THE EXISTENCE OF SOLUTIONS WITH PRESCRIBED NUMBER OF ZEROS TO REGULAR NONLINEAR EMDEN - FOWLER TYPE THIRD-ORDER EQUATION WITH VARIABLE COEFFICIENT

A third order Emden — Fowler type equation is considered. Existence of solution with given number of zeros on given interval is proved. This theorem extends previous results, related to Emden — Fowler type equation with constant coefficient, in case of variable coefficient.

Key words: Emden — Fowler type equation, variable coefficient, oscillating solutions, number of zeros of solution to equation.

Статья поступила в редакцию 18/К/7/2015. The article received 18/V77/2015.

3Rogachev Vladimir Victorovich (valdakhar@gmail.com), Department of Differential Equations, Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation.