О геометрии транссасакиевых многообразий

О ГЕОМЕТРИИ

ТРАНССАСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Н Аила Демедерос

212

Аннотация. В работе изучаются почти контактные метрические структуры, линейное расширение которых принадлежит классу W4 Грея-Хервеллы. Такие структуры называются транссасакиевыми (короче, TS-) структурами. Получена полная группа структурных уравнений TS-структур, вычислены компоненты тензора римановой кривизны, тензора Риччи на пространстве присоединенной G-структуры. Установлена связь между квазисасакиевыми и транссасакиевыми структурами. Приведены частные случаи транссасакиевых структур. Рассмотрены транссасакиевые многообразия постоянной кривизны.

Ключевые слова: почти контактные метрические структуры, линейное расширение, транссасакиевые структуры, пространство присоединенной (G-структуры, интегрируемая транссасакиева структура, квазисасакиева структура, тензор римановой кривизны, тензор Риччи, скалярная кривизна.

Summary. In this paper we study almost contact metric structures, linear expansion which belongs to the class W4 Gray-Hervella. Such structures are called trans-sasakian (in short, TS-) structures. The full system of structural equations TS-structures, compute the components of the Riemann curvature tensor, the Ricci tensor in the space of the associated G-structure. The relation between the structures of quasi- and trans-sasakian. Found special cases trans-sasakian structures. Considered trans-sasakian manifolds of constant curvature.

Keywords: almost contact metric structures, linear expansion, trans-sasakian structure, space associated G-structure is integrable trans-sasakian structure, quasi-Sasakian structure, the Riemann curvature tensor, the Ricci tensor, the scalar curvature.

Геометрические свойства почти эрмитовых и почти контактных метрических структур имеют ряд интересных взаимосвязей. Например, хорошо известно [1; 2], что если М- почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии Мх N канонически индуцируется почти эрмитова структура (называемая линейным расширением исходной почти контактной метрической структуры [3]). Вопрос о связи этих структур многократно изучался. Классическим результатом в этом направлении является известный результат Накаямы, утверждающий, что почти контактная метрическая структура нормальна тогда и только тогда, когда ее линейное расширение является эрмитовой структурой [4]. С другой стороны, А. Греем и Л. Хервеллой [5] естественным образом выделена в известном смысле полная система, состоящая из 16 классов почти эр-

митовых структур. Это наводит на мысль о классификации почти контактных метрических структур, соответствующий классификации их линейных расширений. На этом пути Обиньей [6] были выделены классы транссасакиевых и почти транссасакиевых структур, линейные расширения которых принадлежат классам №4 и Щ © Щ4 Грея-Хервеллы, соответственно. В работе [3] получен ряд глубоких результатов, касающихся геометрии транссасакиевых и почти транс-сасакиевых многообразий.

В настоящей работе изучаются почти контактные метрические структуры, линейное расширение которых принадлежит классу Щ Грея-Хервеллы. Такие структуры естественно называются транссасакиевыми (короче, Т&) структурами.

Напомним, что почти контактной метрической (короче, АС) структурой на многообразии М называется совокупность (р, у, Ф, д =< $, $>) тензорных полей на М, где £ - векторное поле, называемое характеристическим, п - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой, Ф - эндоморфизм модуля Х(М) гладких векторных полей многообразия М, называемый структурным эндоморфизмом, д = < $, $ > - риманова метрика. При этом:

1) 17(0= 1; 2) Ф(0= 0; 3) г, ° Ф = 0; 4) Ф2 = -Ш+^ 5)<ФХ,ФУ>=<Х,У>- Г1(Х)Т1(У); Х,У !X(М) Такие структуры естественно возникают на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий [7], на пространствах главных ^-расслоений над сим-плектическими многообразиями с целочисленной фундаментальной формой (расслоения Бутби-Вана [8]) и, более обще, над почти эрмитовыми многообразиями [9] и являются естественными обобщениями так называемых контактных метрических многообразий, возникающих на нечетномерных многообразиях с фиксированной 1-формой максимального ранга (контактной структурой).

Хорошо известно, что многообразие, допускающее А&структуру (короче, А&многообразие), нечетномерно и ориентируемо. В Ст(М)-модуле Х(М) гладких векторных полей на таком многообразии внутренним образом определены два взаимно дополнительных проектора тп. = (&>т]п-(? = 1с1 — т= —Ф:. Их образы обозначим ЛГ и £, соответственно. Таким образом, Х(М) = ©

Задание АОструктуры на многообразии М2п+1 равносильно заданию б-структуры д на М со структурной группой С = £/(п) X {1}. Элементами тотального пространства этой б-структуры являются комплексные реперы многообразия Мвида р = (р, £Т,..., £п, £Т' • • •< Еп). Эти реперы характеризуются тем, что матрицы тензоров Ф и g в них имеют, соответственно, вид:

/0 0 \ /1 0 0\ (фД = 0 0 ; Ы = 0 0 ,

\0 0 -7-Т„/ \0 1п 0

где 1п - единичная матрица порядка п. Будем предполагать, что индексы г, ], к, ... пробегают значения от 0 до 2м, а индексы а, Ъ, с, ... - значения от 1 до п. Положим а = а + п. Хорошо известно [10], что первая группа структурных уравнений б-структуры д имеет вид:

213

ава = л в" + Сайс0° л 0Ь + СаЬсвь л 0С + Саьвь лв +СлвьМ; <ма = -Оа лвь + СаЬсвс лвь + СаЬсвъ л бс + Саьвь л 0 + СаЬвь лв; (1) ав = ОаЬва лвь + £>ай0а лвь + лвь + йа в лва + С в лва,

где - компоненты формы римановой связности V метрики 3, 1} - компоненты формы смещения, в — 6° — 7с*т], п - естественная проекция тотального пространства б-структуры на многообразие М,

2

f-abc _ г — Т fb"

С -— ф[£,с]' Cabc - - — ф[Ь,с]>

СаЬс = -~-1Ф1с, СаЬС - —ГФЬ,С'

с\ - -//-Тф,л, cab - V=1<s,

c«b - -V-1

^ - V-Гф^^, Dab - -V-ГфОа^],

D«--/-ТФ^, д, -/-ТФ^.

- -V-T^^ + ф°'Ь)' ф - о, сфЦ - О, ф0,к - 0.

При этом

pabc _ _pacb nab _ _rb a . nab _ _nb a. г _ _г .

г и , и c г c; n и • rabc racb •

Г c _ Г c • Г) — —Г) • T~)b _ Г b _ rb rab rb a • na b _ ub a• ua ra г a-

Коротко напомним конструкцию линейного расширения Абмногообразия 11Л М (или, что то же самое, линейного расширения его Абструктуры). Заметим, tl4 что на многообразии M X N внутренним образом определено двумерное распределение Д, такое, что Д(р()=ЛГр ф R. Очевидно, это распределение снабжено канонической почти эрмитовой структурой (/,-,., с/10 ), где /р - оператор поворота на угол - в положительном направлении. Очевидно также, что пара (], д), где

2

Ар е) = ^  /о' 8 - метрика декартова произведения, является почти эрмитовой структурой на многообразии МХК Заметим, что распределение Д~ инвариантно относительно эндоморфизма ]. Тройка (М X [I, ], д~) называется линейным расширением исходного АС-многообразия [3]. На многообразии внутренним образом определены векторное поле V, порожденное единичным вектором числовой оси И, дуальная ему замкнутая 1-форма С определяющая вполне интегрируемое уравнение Пфаффа С = 0, максимальные интегральные многообразия которого естественно отождествляются с многообразием М, а также векторное поле £ и ковекторное поле п, соответственно, характеристическим вектором и контактной формой многообразия М. С их помощью реперы типа р — {р., Ор,г1г..., £п, многообразия М естественно дополняются

до реперов типа р = [р,^р,£±, многообразия (М X И). С этим

многообразием естественно ассоциируется б-структура (5 со структурной группой , первая группа структурных уравнений которой имеет вид [11]:

(1ша = Шр Л + Ва$Л а)р + ВаПгь>$ Л а)у;

с1о)а = — Шд Л сор + Варгсог А + ВарусоР Л

(индексы ... пробегают значения от 0 до и). Элементами тотально-

го пространства этой б-структуры являются комплексные реперы вида

,

где £о

.

Дополнив систему (1) уравнениями еШ0 = 0, где 90 = тг'%, и используя матрицу перехода от репера р к реперу г, нетрудно установить фундаментальную связь между структурными объектами б-структуры § и  [3]:

и формулы, комплексно сопряженные.

Пусть М - (2п+ 1)-мерное почти контактное метрическое многообразие,

снабженное Абструктурой (Ф,С,?],д = (у)}. Обозначим через П(ЛТ, У) = (X, Ф1"') фундаментальную форму структуры; П{X, I7) = — П(УГХ).

Определение 1 [3]. Формой Ли почти эрмитовой структуры (/, д) на многообразии М2г' 2 называется форма я = — ° / , где ^(Д, У) = д (Л',]У) - фун- 215

даментальная форма структуры, 5 - оператор кодифференцирования. Вектор в, дуальный форме Ли, называется вектором Ли. Под формой Ли Абструктуры в этой работе мы будем понимать форму Ли её линейного расширения.

Несложно проверить, что на пространстве присоединенной б-структуры

компоненты вектора (или формы) Ли находятся по формуле ¡1а = -БЯ7у или с учетом (4),

Определение 2 [6]. Абструктура называется транссасакиевой (короче, ТЯ-) структурой, если ее линейное расширение принадлежит классу И-'4 в классификации Грея-Хервеллы.

Абмногообразие, снабженное транссасакиевой структурой называется транс-сасакиевым (короче, ТЯ-) многообразием.

Напомним [5], что АН-структуры класса W4 в классификации Грея-Хервеллы

(структуры Вайсмана-Грея) на многообразии MZr' определяется тождеством

VX(W)(Y,Z) =

2(n-l}

{(X,Y)S4>{Z) - {X,Z)54{Y~) - (XJY)SV(JZ) + {XJZ)SV(JY)}

где ЧЧЛ', 1') = (Х,/У) - фундаментальная форма АН-структуры, 5 - оператор кодифференцирования. Непосредственным подсчетом проверяется, что это тождество равносильно следующим соотношениям на пространстве присоединенной ^структуры: ВаЬс = ВаЬс = 0; ВаЪ,с = ВаЬс = где {£] - функции на пространстве присоединенной б-структуры, являющиеся компонентами формы Ли.

Пусть М2т'~г - Т&многообразие.

Теорема 1 [12]. АС- структура является 75-структурой + на пространстве присоединенной б-структуры:

216

Доказательство. Пусть М - 75-многообразие. Согласно определению это означает, что линейной расширение его Абструктуры принадлежит классу Грея - Хервеллы. Как уже отмечалось, это равносильно соотношениям: Б^^у = В ару = В а= = 0. Расписывая (4) с учетом этих со-

получаем: (1) ВаЬ с = т.е. С0*, = ^; (2) Ва\ = = 0,

'.е. С[яЬ] = ОаЬ; (3) Ва\ = т.е. С% = (4) Ва\ = = ,

отношении т.

¡За = иа; (5) S[a!,c] = ВаЬс,

Q [аЫг] _ Qabc,

(6) ВаЫ = -Bia0

т.е.

а значит,

т.е.

Cab _ jnba пдЬ _ ¡nab /fT4 r>abO _ r>DflEi лев _ тгчоЬ

— — , а значит, ¡J — f- ; (7) & — & , т.е. i- — ¿¡J СаЪ = Dab = 0; (8) B00a = 0, Т.е. Da = 0, а значит, = 0,Cabc = 0. Наконец, -'.—-.' ~ -'. — ~ -' _ - - -'.-. Аналогично проверяются оставшиеся соотношения.

Следствие 1 [12]. Первая группа структурных уравнений 75-структуры на пространстве присоединенной б-структуры имеет вид:

Следствие 2. Для компонент ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма 75-структуры на пространстве присоединенной б-структуры имеем:

,

а остальные компоненты нулевые.

Тензором (или оператором) Нейенхейса эндоморфизма Ф называется тензор типа (1,2), определенный формулой:

АЧХ. У) = Ф2[X, У] + [ФХ, ФУ] - Ф[ФХ,У] - Ф[Х,ФУ], Х,У е х(м). (7) Его обращение в нуль равносильно интегрируемости структуры [13]. Прямой подсчет с учетом тождества [Хг У] = 7 ¡.-Л' показывает, что

ВДУ) = 1А{Чфх

С учетом Следствия 2 получаем отсюда, что на пространстве присоединенной б-структуры компоненты тензора N определяются тождествами

Остальные компоненты тензора Нейенхейса тождественно равны нулю.

Из (9) следует, что Т&структура интегрируема тогда и только тогда, когда

Кроме того из Следствия 1 следует, что контактная форма Т&структуры замкнута тогда и только тогда, когда /?'"' = ¡3 0.

Таким образом, условие интегрируемости и замкнутости контактной формы для 75-структуры равносильны.

Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если N + 2|= 0. Учитывая, что 9=1г * (г;), тг - естественная проекция пространства присоединенной б-структуры на многообразие М, то согласно Следствию 1 и (9), условие нормальности равносильно соотношению ¡3=

Таким образом, Т&структура нормальна тогда и только тогда, когда (3° = (30. Т.е. доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть 5 = (£, Ф, д = (у)) - АС-структура. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) 5 = (¿Г, г}, Ф,д = (,) ) интегрируемая Т&структура;

(2) 5 — (С,¡7, Ф,д = (,)) - Т&структура, имеющая замкнутую контактную форму;

(3) 5 = Ф,д = (у)) - нормальная Т&структура.

Далее, компоненты фундаментальной формы АС- структуры на пространстве присоединенной бструктуры имеют вид = — = — V—16^, а значит, О. = -2 у'

г " '. . Дифференцируя это соотношение внешним образом с учетом Следствия 1 получим, что сЕП = —\'—2{рс + р^б^в11 Л въ А 9.

217

Напомним [10], что нормальная почти контактная метрическая структура с замкнутой фундаментальной формой называется квазисасакиевой структурой.

Таким образом, Т&структура имеет замкнутую фундаментальную форму тогда и только тогда, когда = —р0- А значит, Т&структура является квазисаса-киевой тогда и только тогда, когда (З" = /?0 = 0, т.е. 5?] = 0 - контактная форма является козамкнутой. Т.е. доказана следующая теорема.

Теорема 3. Т&структура является квазисасакиевой тогда и только тогда, когда (3° = Р0 = 0, т.е. Зт} = 0.

Напомним [14], что нормальная контактная метрическая структура называется сасакиевой структурой. А Абструктура, характеризуемая тождество = {ФХ, У)( - 7}(У)ФХ;Х, У Ё Х(М), то из Следствия 1 следует следующая теорема.

Теорема 4. Т&структура является: сасакиевой <=> 0С = ~ ~ 2;косим-плектической ¡3° = (30 = 0; Кенмоцу ¡3° = ¡30 =

Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы структурных уравнений дает нам вторую группу структурных уравнений Т& структуры на пространстве присоединенной б-структуры:

= Aabcd9cA9d +AldcecA9d + Ааьс<)9сл9+Ааьса9сл9

218

Кроме того получим следующие разложения:

1) ¿¡3й = +Р0ава +Р°ава + Р008

2) = + (30а9а + (30а9а + (Зоа9. При этом имеют место следующие соотношения:

1) 5[ь/?|0|с] = 2) = Я[а/?|о|с]; 3) /?00 - А» + ^К/?0)2 - (&)2} = 0;

4) = 0; 5) <С] = 0; 6) ^ = 0; 7) = - 8) А?0 = - -=5^;

9) ^ = 0; 10) = 1{(/?0)2 - (&) 2>«[Ч*]; 11) <0 = ¿«¿Ас; 12) ^аС]0 = ¿Лс1.

Рассмотрим соотношение (12:8), т.е. = —7= Проальтернируем это

/1 о 1 о\ _ 1 1 рйп

равенство по индексам а и с, тогдасучетом (12:12) Лд = —ц ой ¡5 = -щ оа р0 ,

V2

/ю 1\ . [ис]0 _ 1 ,[«п с] _ 1 _ 3 с]

которое с учетом (12:1), дает Аъ - (30 - 5Ъ (3 Р0 > т-е-

= т.е. ófV] = = О-

Таким образом, = 0, = 0, = 0. И, наконец, свернем

по индексам а и с равенство оь р0 = и, тогда т.е. либо п = 1,

либо ¡Зс' = 0. Аналогично, из равенства = 0 получим либо п = 1, либо

— 0. Далее в работе мы полагаем, что dim М > 3, т.е. п > 1. А, значит, Тогда разложения (10) и (11) примут вид:

,

где

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 5. Полная группа структурных уравнений 75-структуры на пространстве присоединенной б-структуры имеет вид:

1) а,ва = в£лвь+^=б%р°0леь

2) <1ви - -в*лв„+^:р0влвь

3} d9 = ±(p°-p0)Sba9*A9b

4} dBZ - О* Л 9ЪС = [АЦ - - р0)]9° A 9d

S )dp°=p009. 6) dp0 =

Для тензорных компонент формы римановой связности имеем следующие соотношения на пространстве присоединенной G-структуры [10]: [—[ !~[ _

!)<*£=-—Ф^в*-, 2)0f = — Ф^е*; 3)90° = -^-1Ф1к9к;

.

Согласно Следствию 2 к Теореме 1 соотношения (15) для 75-структуры примут вид:

1) Ц = 0; 2)0ье = о; 3= 4=

.

Продифференцировав (16) внешним образом, с учетом (6) и (13), получим:

219

1

-1

3) £¿00= л 0й + + —(00)2Ьь л0;

-2 -2 1 -2 ^

-2

1

-2

4) ¿00* = -^„в* л 0Ь + -1=5ай {/?00 + л 0;

-2

5) £*0а° = - л 0Й - {/?00 + -^(Д,)2^ л 0;

6) ав0 = -=р0о% л 0й - ¿¿Ф00 + ¿О? 0)2}вь л0.

Рассмотрим вторую группу структурных уравнений римановой связности

[10]:

¿и) = < Л + Л

1к 1 ™ > (18) ГДе С^ (ВМ ) - компоненты тензора Римана-Кристоффеля.

Расписывая (18) на пространстве присоединенной б-структуры, получим:

1

(V

1) к

аБ0

2)

-2 1

-2

220

3) Д00й0 = -15ф00 + -^С))2};

11

4) <сг = ^ - ^Я^/?0 - &) + L8?8tfi0fiо;

5) = (Л2^;

7) =

8) Л*са = -ЛЙ* + ^¿^Я/?0 - &) - \Р0№%8ЬС.

А остальные компоненты нулевые.

Используя (19), вычислим по формуле 5 ¡у = Д^ компоненты тензора Риччи 5 на пространстве присоединенной б-структуры:

1) 500 = - + &0 + -^[

= --^|/?00 + -=(^Зо)2j;

3 / 2013

5) 5а£ = -А* - -=5*{Роо + ^[^{(р0)2 -Р°РО} -

6) 56а = -А^с - -¡=8ъа{р00 + -¡={рО)2]+2-5^а]{^0)2 -Р°Ро) -

-^аР^о+З&^р0)2.

В частности, скалярная кривизна х ^^-многообразия вычисляется по формуле

х = = з00^ + Лг + дъ^а = - -¿{Р00 + Роо + -¿[(Р0)2 + (Ро)2]} -- - -¿{Роо + ^Р0)2}+П-^{(Р0)2 -Р°Ро\ - ГгР0Р0 + ^-±(Ро)2 - ¿Й -

в00 + -={Р0)2}+ ^{(р0)2 - р0р0] - ^Р^о + ^^о)2 = -2А?Ь -

2

-

В заключение рассмотрим 75-многообразия постоянной кривизны к. Известно, что в случае постоянства кривизны ковариантный тензор рима-новой кривизны удовлетворяет условию:

%и =ь

Пусть М2г' 1 - А&многообразие, снабженное Т&структурой

Ц.п.ъ.д = <'».

Поскольку ненулевые компоненты тензора римановой кривизны имеют

вид:

1)4Б0=--=8Ьа{Р00 + -=(Р0)2};

2) К0Ьо=--28£{р00 + -=(р0)2}-,

1

-2-аг -2

3) К$Ьо=-=8г{роо + -=(р°)2}-,

4) ЯаЬса = А# - - Ро) + \8?8*р0Ро;

5)Я%с<1=

6) ИаоБо = -=8ьа{Роо + -=(Ро)2};

7)«beei=(A,)2«; i i

8) Rfea = -А™ + --S^]p0(p0 -Ро) - ^Miti ,

то соотношение (22) можно расписать на пространстве присоединенной б-структуры следующим образом:

Кбо = - 72 Й {А» + 72(А>)2} = - д.»^ = кб^

-725Фоо + 7!

я и Ь. Тогда получим

т.е. - T-^a + = Свернем полученное равенство по индексам

*=-т2{А» + Т2

2) Ка = Аы - -А>) + \8?8$Р°Р0 = Л^й - дьааас) = ^Ч",

т.е. -\8^]р°(р° -р°) + = - .

3) Я^ = (До)2^] = к(дВсдм -дЫ9ас) = - = т.е.

Рассмотрим равенство (Ао)2^] = т.е. - <^сй) = - 2(0°)2(№Ь - ВД). Полученное

равенство свернем сначала по индексам я и с, а затем по индексам Ь и <, тогда

получим кп(п- 1) = -2(/?°)2п(п- 1). Отсюда, поскольку мы рассматриваем многообразия размерности больше 3, мы получаем, что

222 к = - 1

Из (24) и (25) следует, что /?00 = 0.

Теорема 6. Т&многообразие Ai211-1 постоянной кривизны k является многообразием не положительной кривизны А, причем it = 0 тогда и только тогда, когда р0 = 0, т.е. Т&многообразие является косимплектическим.

Доказательство непосредственно следует из (25) и Теоремы 4.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sasaki S., Hatakeyama Y. On differential manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure // II, Tohoku Math. J. - 13 (1961). - № 2. - P. 281-294.

2. Tashiro Y. On contact structure of hypersurfaces in almost complex manifolds // Tohoku Math. J.

- 192 (1963). - № 15. - P. 62-78.

3. Кириченко В. Ф., Родина Е.В. О геометрии транссасакиевых многообразий // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. - Т. 3. - № 3. - С. 837-846.

4. Nakayama S. On a classification of an almost contact metric structures // Tensor. - 1968. - V. 9.

- № 1. - P. 1-7.

5. Gray A., Hervella L. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Pura ed Appl. - 1980. - V. 123. - P. 35-58.

6. Oubina J.A. New classes of almost contact metric structures // Publ. Mat. - 1985. - V. 32. -№ 3-4. - P. 187-193.

7. Goldberg S. Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds // Pacif. J. Math. - 27 (1968). - № 2. - 275-281.

8. Kobayashi S. Principal fibre bundle with the 1-dimensional toroidal group // Tohoku Math. J. - 8 (1956). - P. 29-45.

9. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия главных тороидальных расслоений // Фундаментальная и прикладная математика. - 6 (2000). - № 4. - 1095-1120.

10. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. - 2002. - Т. 193. - № 8. - С. 70-100.

11. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей // Мат. сб. - 198 (1998). - № 1. - С. 21-44.

12. Родина Е.В. Линейные расширения почти контактных метрических многообразий: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М.: МПГУ, 1997.

13. Кобаяши Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1981.

14. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003. - 495 с.

223