Модификация алгоритма определения клик графа с параметрической адаптацией

УДК681.3.069

Литвиненко В.А., Черненко И.Ю.

Модификация алгоритма определения клик графа с параметрической

адаптацией

1. Основные положения

Кликой графа называется максимальный полный подграф, который не входит ни в один полный подграф более высокого порядка/1/

Под точностью решения задачи определения клик графа будем понимать количество выделенных клик. При этом, если выделены все клики графа, то точность решения равна 100%.

Рассматривается класс нериентированных графов без петель и кратных ребер.

Комбинаторная сложность точных алгоритмов определения клик графа приводит к необходимости использовать приближенные методы при решении задач большой размерности. К таким задачам, в частности, относятся различные задачи конструкторского проектирования интегральных схем, в которых алгоритмы определения клик графа применяются в качестве алгоритмов проектных операций Известные алгоритмы /1,2/ позволяют определять

только такие семейства клик графа, свойства и мощность которых зависят от структуры решаемых графов и последовательности выполнения самого алгоритма. От качественного решения алгоритмов проектных операций существенно зависит качество решения алгоритмов проектных процедур.

Основными факторами, влияющими на качество выполнения алгоритмов проектных операций, являются:

• требуемая точность решения;

• ресурс времени, отведенный на выполнение проектной операции;

• размерность конкретной задачи.

Из указанных факторов известные приближенные методы позволяют учитывать только ограничение на время выполнения алгоритма - ресурс времени путем прерывания решения в момент его истечения /2/

Однако, возможна ситуация, когда ресурса времени достаточно для получения даже точного решения, а требуемая точность и размерность задачи позволяют выполнить алгоритм за время меньшее, чем ресурс времени. Возможна и другая ситуация, когда размерность задачи и ресурс времени не позволяют получить требуемую точность решения.

Возможность алгоритмическими методами учитывать такие случаи позволяет оптимизировать время выполнения алгоритма проектной операции проектной процедуры и тем самым повышать эффективность использования математического и программного обеспечения САПР.

2.Базовый алгоритм

В /3/ разработан алгоритм определения клик графа, отличающийся от известных возможностью адаптации к изменению ресурса времени, требуемой точности и размерности самой задачи, предназначенный для исследования неориентированных графов без петель и кратных ребер. В основу алгоритма положен метод параметрической адаптации, который позволяет с помощью входных параметров “настраивать” алгоритм определения клик графа на получение решений с различной степенью точности. При этом точность решения может изменяться от получения точного решения задачи определения клик графа, т.е. определения всех клик графа, до определения такого количества клик графа, которого достаточно для получения решения проектной процедуры, для которой задача определения клик графа используется в качестве алгоритма проектной операции.

Тематический выпуск

Известия ТРТУ___________________________________—--------------------------------——--------

обоазом рассмотренный алгоритм позволяет получать решения с различной Таким оор . к допускает принципиальную возможность определения всех

степенью точности и ^ решение. Этот алгоритм используется в качестве базового

клик графа ’ Т^опиЛииированного алгоритма, рассматриваемого в данной работе, алгориша^для алгоритма положена следующая теорема, доказанная в работе /4/.

П графе С=(Х и) имеется вершина X 6 ^ {л} = X] и определена

т - ( У" П") с множеством вершин X" = {х} и X где Х/ С X

клика

уу у ^ Г — XIX" выделены все клики, то и € Л будут выделены Тогда, если V л1

все клики. 1наченИе этой теоремы заключается в следующем.

Практическое зн фЭфа в базовом алгоритме состоит в выделении для

Процесс определен образованных этой вершиной, который заключается в

каждой вершины клик гр ч» . на максимальность,

перечислении полных подграфов и пров р

„„„„пй для каждой вершины л, можно исключить из процесса в соответствие с теорем

айюв рассмотрение вершин, вошедших в одну какую-то клику, и построения полных подгр Ч'1'

ных подграфов вести только для оставшихся вершин, смежных с X(. процесс построения полн

,1,ие одновременно вершину х1 и вершины, исключенные из При этом клики, содержащие

-„очи пои выделении клик, содержащих одновременно вершину х1 и рассмотрения, будут выделены к

оставшиеся вершины.

X• исключать из рассмотрения вершины, смежные с X и Если для каждой верш /

Е,сли то в результате выполнение базового алгоритма будут

вошедшие только в одну клику, и

И случае, если для каждой вершины л,- исключать из вылелены все клики графа. Ь

выделены вес боазуюшие несколько таких клик графа, то базовый алгоритм будет

рассмотрения вершины, о0Р^^о нек0торое их подмножество, так как часть клик будет выделять не все клики, а т и 0ПредеЛения клик графа в этом случае будет уменьшаться потеряна. Точность РешенИЯ ины которых исключаются из рассмотрения, с увеличением числа клик, в р ^ ^ Тогда, задавая значения X, можно “управлять"

Обозначим такое чисЛ0 базовым алгоритмом, настраиваивая его на получение точностью решения, получае точности В таком случае X является параметром базового решение с различной степень Использование параметра для адаптации алгоритма к

алгоритма определения клик гр ' решения и послужило введением названия класса

«ши» условиям -

алгоритмов - алгоритмы н ^ ^ предельном случае точность решения, которую можно

Отметим, что При увеличе ^го_итма) соответствует количеству клик графа, которое

получить с помощью базового определения клик, покрывающих все ребра

может быть получена с помош ю базового алгоритма нельзя получить решение с

графа /1,2/.Это означает, что с пом щь

нулевой точностью. алгоритм положен в основу модифицированного алгоритма,

Рассмотренный базовый и

предлагаемого в дипломной раб

3. Модифицированный алгоритм Процесс перебора полных подграфов для каждой вершины Х{ в базовом

вершин,

алгоритме

связан с перебором всех вершин, смежных с вершиной Х1- Тогда чем больше

смежных с вершиной Х1, будет исключено из рассмотрения, тем больше будет сокращен перебор полных под1рафов.

В соответствие с рассмотренной выше теоремой для каждой вершины XI из

рассмотрения можно исключить вершины только одной клики, в которую входит вершина X, Тогда, если такая клика, имеет как можно большее количество вершин, то из рассмотрения будут исключено большее число вершин, смежных вершине Х1 Таким образом, одним из возможных путей улучшения базового алгоритма может быть определение для каждой вершины Х1 одной клики, содержащей наибольшее количество вершин, вершины которой

будут исключаться из рассмотрения.

В работе предлагается для реализации этого пути рассматривать вершины графа в порядке, соответствующем уменьшению локальных степеней вершин.Это связано с предположением, что вершины, имеющие большую локальную степень, вероятнее всего будут образовывать и клики, содержащие большее число вершин. Такой подход и положен в основу модификации базового алгоритма.

4. Оценка сложности модифицированного алгоритма

Оценим сложность модифицированного алгоритма.Оценка сложности производится с целью показать аналитически правильность сделанного выше предположения.

Алгоритм соотоит из иттераций, каждая из которых связана с одной стокой треугольной матрицы смежности. Нетрудно заметить, что трудоемкость выполнения одной иттерации будет наибольшей для первой строки матрицы смежности. Поэтому для того, чтобы оценить преимущество модифицированного алгоритма, достаточно оценить сложность определения клик графа для первой строки матрицы смежности.

Пусть п - количество столбцов первой строки матрицы, а (3 - средняя мощность клик в графе. Тогда, если оценивать количество операций логического умножения элементов двух столбцов двух строк матрицы смежности, то количество операций определения одной клики будет составлять сумму членов арифметической прогрессии с шагом 1, первый член которой равен (п-1), а количество членов прогресси равно (Р-1), т.е.

0,5(р-1)(2п-р-п).

Так как вершины каждой первой выделенной клики из рассмотрения исключаются, то количество операций логического умножения элементов строки со строками матрицы, номерам которых в строке соответствуеют значения, равные 1, в худшем случае будет равно

(Р-1).

Таким образом оценка числа операций логического умножения, которые необходимо произвести для элементов строки , составляет

0(0,5(Р-1)(2п-Р-4)(п-Р)).

В соответствие с правилами преобразования О-функций последнее выражение можно преобразовать к следующему виду

0(р(2п-р)(п-р)).

Теперь, при Р, стремящемся к п , 0(0,5(Р-1)(2п-Р-4)(п-Р)) -» О(п),

а при Р, стремящемся к 0,5п , 0(0,5(Р-1)(2п-Р-4)(п-Р)) -»О(п).

_______ Тематический выпуск

Известия ТРТУ________________ _______ ________ ___________________________________-—

образом эффективность модифицированного алгоритма возрастает с „Г В -средней мощности клик в графе, т.е. аналитичеки подтверждается положенное • OOOW модификации ба»„ого алгоритма.

5. Реализация модифицированного алгоритма

огоамма на Borland C++ Builder для Windows'95 и проведено

Разработана пр Ф предложенного модифицированного алгоритма на графах

Исследование эфф вершиИ( а также на графах Муна-Мозера, которые являются

размерности до ’леНия клик графа, так как содержат набольшее количество

критическими для задачи н "исдом ввршин

клик для графов с одинаковым^чи^^ ^ использование в системах автоматизированного

Программа орнеитиро ластях связанных с решением комбинаторно-логических проектирования, а так же в других оола

задач на графах. цто предложенная модификация алгоритма позволяет

Исследования пок базового алгоритма , при этом наибольший эффект достигается

сократить время выполне мощностью клик близкой к числу вершин графа,

при исследовании графов со срсдл

Литература

. „ с»п1птсин Л.С., Курейчик В.М. Применение теории графов для

1. Мелихов А-^т2уСтр0йсТв.М.:Сов.радио, 1975.224с.

Проектирования дискретн у г еделения семейств клик графа- В кн.: Методы и

2. Литвиненко В.А. онных задач на графах и сетях. Часть 2. Теория, Алгоритмы, программы решения оптимиз ц

Новосибирск: 1982,с.90-92. о д к вопросу определения семейств клик графа.ЗО.

3. Калашников В.А., Литв 1985 с 41-44.

Intern. Wiss. Koll. ТН llmenau ^ ^ Определение клик симметрического графа.

4. Литвиненко В.А. УРе центра высшей школы. Технические науки,

//Известия Северо-Кавказского У4

1979,№2,с.13-16

УДК 658.512

Кашуба Л.А., Чекалин 0.В.

CAD/CAM ADEM - наилучшая отечественная система для мелкосерийного

производства

Анализ возможностей CAD/CAM систем и приемлемых по цене средств вычислительной техники для оснащения рабочих мест, представлявшихся на выставках Comtek’95-96, Softool’95, Autodesk-EXPO’96, Unix-EXPO’96, показал, что наиболее полно огвечает отечественный легкий интегрированный CAD/CAM ADEM, разработанный фирмой Omega Technologies Ltd., всесторонне учитывающий требования ГОСТ ЕСКД и ЕСТД.

В этой системе привлекает прежде всего ее четкая направленность на решение реальных Задач конструктора и технолога, с которыми они сталкиваются в своей повседневной работе.. й этом отношении CAD/CAM ADEM является системой, изначально ориентированной на Решение машиностроительных задач сквозного проецирования^

Несколько слов об истории создания CAD/CAM ADEM. В 1993 году произошло Сияние двух российских фирм, ведущих разработку программного обеспечения дщ, автоматизированных систем проектирования. Это были ЭЛГРА , Москва, выпускавшая с *985 года известную систему для автоматизации конструкторских работ "ChenyCAD" и "КРОНА" Ижевск с 1978 года осуществлявшая разработку пакета автоматизированной подготовк’и управляющих программ дп. станков с ЧПУ "KATRAN". Объединение этих фирм,