Решение задач нелинейного деформирования и разрушения материалов при сложном напряженном состоянии

УДК 539.4

Решение задач нелинейного деформирования и разрушения материалов при сложном напряженном состоянии

В.Н. Шлянников

Исследовательский центр проблем энергетики КазНЦ РАН, Казань, 420111, Россия

На основе критерия Писаренко-Лебедева выведены уравнения предельных деформаций разрушения при сложном напряженном состоянии для условий статического и малоциклового деформирования и дано их экспериментальное обоснование для различных вариантов двухосного нагружения. Представлены экспериментальные и расчетные данные по применению обобщенного условия эквивалентности к решению задач механики трещин при сложном напряженном состоянии. Рассмотрены модели и методы определения направления роста трещины, траектории, скорости и длительности развития трещин при смешанных формах двухосного нагружения.

Ключевые слова: условия эквивалентности, предельные деформации, развитие трещин, малоцикловое двухосное нагружение, зона процесса разрушения

Solution of nonlinear strain and fracture problems of materials in complex stress states

V.N. Shlyannikov

Research Center for Power Engineering Problems, Kazan Scientific Center RAS, Kazan, 420111, Russia

Using the Pisarenko-Lebedev criterion, equations of ultimate failure strain under complex static and low-cycle loading were derived and were given experimental grounds for different types of biaxial loads. Experimental and calculation data are presented on the use of a generalized equivalence condition to solve problems of crack mechanics for complex stress states. Models and methods of determination of the crack direction, path, velocity, and time of crack growth under mixed biaxial loading are considered.

Keywords: equivalence conditions, ultimate strain, crack growth, biaxial low-cycle loading, fracture zone

Расчет несущей способности элементов конструкций на стадиях образования и развития повреждений связан с определением предельного напряженно-деформированного состояния в зонах конструктивной концентрации напряжений. При этом предельные пластические деформации в нелинейной области концентрации принимаются функциями накопленного количества циклов нагружения при эксплуатации и вида номинального напряженного состояния. В приложении к элементам машиностроительных конструкций, подверженным при эксплуатации действию внутреннего давления, осевых растягивающих и сжимающих сил, изгибающих и крутящих моментов, в расчетах несущей способности существенно необходимым является введение функций влияния двухосности нагружения.

Традиционно при комплексном многокомпонентном статическом или циклическом нагружении для установления предельного состояния используются соответствующие условия эквивалентности или теории прочности. Пик исследований по формированию и экспериментальному обоснованию аналитических и феноменологических критериев сопротивления деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии относится ко второй половине предыдущего столетия и связан с именами С.В. Серенсена [1], В.В. Новожилова [2], Г.С. Писаренко и A.A. Лебедева [3], И.А. Биргера [4], Н.А. Махутова [5], Р.Б. Хэйвуда [6], К. Миллера [7] и др. Исчерпывающий обзор становления и развития данного направления конструкционной прочности содержится в монографии [3].

© Шлянников В.Н., 2012

Интенсивно развивающаяся в последнее время междисциплинарная отрасль знаний, известная как механика трещин и разрушения, во многих своих положениях основывается на теориях предельного состояния или условиях эквивалентности в силовой или деформационной трактовке. Основной особенностью механики разрушения является то обстоятельство, что трещина является самым жестким концентратором напряжений и в области ее вершины при номинально упругом или нелинейном поведении конструкционного материала всегда имеет место многоосное или сложное напряженно-деформированное состояние даже при одноосном внешнем нагружении. В этой связи актуальным является построение моделей сопротивления разрушению на основе современных условий эквивалентности при сложном напряженном состоянии. Наибольшие перспективы связывают с формулировкой так называемых дистанционных критериев разрушения, учитывающих состояние локальной области вершины трещины. Среди направлений исследований в механике трещин особое место занимают аспекты смешанных форм деформирования и разрушения, характеризующиеся одновременным присутствием форм нормального отрыва, продольного и поперечного сдвига и среза. В рамках работ данного направления наиболее востребованы условия эквивалентности при сложном напряженном состоянии. Это связано с тем, что дефект, развивающийся при смешанных формах разрушения, не совпадает с плоскостью исходной ориентации и имеет криволинейную траекторию, скорость развития вдоль которой определяется комплексом упругопластических свойств материала и условиями двухосного или трехосного нагружения.

Рассматривая наработку при эксплуатации или долговечность элемента конструкции как взаимосвязанные процессы образования и развития повреждений от исходных до критических размеров, С.Д. Антолович [8] и Ф. Эллин [9] показали, что развитие трещины из так называемой зоны разрушения обусловлено накопленным количеством циклов нагружения ДN и может быть описано уравнениями малоцикловой усталости с использованием деформационных характеристик материала. Предполагалось, что процесс развития дефектов составляет большую часть общей долговечности конструкции. Авторы работ [10 -14] также связывают процесс развития трещины со статическими или циклическими деформациями разрушения и размером пластической области в вершине трещины гр. В этой связи возникает необходимость определения критериальных характеристик предельных деформаций при сложном напряженном состоянии. Кроме того, деформационный критерий, основанный на таких статических или циклических деформациях, должен учитывать влияние вида напряженного состояния и быть достаточно гибким в отношении комплекса основных свойств материала.

В своем становлении и развитии механика трещин как междисциплинарная отрасль знаний опиралась на известные и устоявшиеся модели и критерии предельного состояния. Особенно ярко это прослеживается в решениях задач смешанных форм деформирования и разрушения. Очевидно, что прогнозирование скорости и длительности роста дефектов не может состояться без знания направления и траектории развития трещины. В этой связи вполне закономерным в хронологическом порядке было появление первого критерия направления роста трещин Эрдогана и Си [15], основанного на теории максимальных нормальных напряжений или первой теории прочности. В дальнейшем были предложены критерии направления роста трещин в деформационной и силовой трактовке, в основу которых положены различные условия предельного состояния. Наиболее полный обзор по данному предмету представлен в работе

[16]. Обилие известных в литературе критериев направления роста трещин свидетельствует о том, что у специалистов не сложилось до настоящего времени определяющего мнения по этому поводу ввиду отсутствия обоснования применения обобщенного условия эквивалентности, применимого к условиям статического и циклического нелинейного деформирования.

Одним из важных практических приложений механики трещин является предоставляемая возможность прогнозирования длительности роста дефектов от исходных до критических размеров или расчет остаточного ресурса элемента конструкции на основе комплексных моделей, основанных на теоретических представлениях и экспериментальных данных. Именно в подобных моделях в явной и опосредованной форме в качестве необходимых составляющих присутствуют условия эквивалентности, позволяющие определить предельные пластические деформации, направление, траекторию и скорость развития трещин при сложном напряженном состоянии. Анализ литературных данных показывает, что в рамках одной и той же модели может быть сочетание различных условий эквивалентности, приводящих к противоречивым требованиям поведения материала. В этой связи внимание должно быть обращено на применение таких условий эквивалентности, которые описывают поведение широкого круга конструкционных материалов при минимальном наборе экспериментально определяемых констант.

В настоящей работе будет кратко изложена полученная ранее автором [12, 13] модель скорости роста трещин и долговечности при смешанных формах двухосного нагружения. Основное внимание будет сосредоточено на обосновании и порядке применения современного условия эквивалентности к определению предельных упругопластических деформаций, направления и траектории развития трещины в модели циклического разрушения при сложном напряженном состоянии.

Главные напряжения Г| Главные напряжения Г|

Рис. 1. Зависимости между главными напряжениями и деформациями для плоского напряженного состояния

Теорией предельного состояния, наиболее полно удовлетворяющей перечисленным выше требованиям, является известный критерий Писаренко-Лебедева [3]: ^ = ^

в котором экспериментальная константа X = ст(/стс определяется как отношение прочности на растяжение к прочности на сжатие. В этом уравнении ст1 — максимальное главное напряжение и сте — эквивалентные напряжения или интенсивность напряжений. Кроме того, коэффициенты, входящие в уравнение (1), являются функциями напряженного состояния:

сте =стЛ, е е =Ё1* i, п=—-

ст1

Для условий плоской деформации согласно основным уравнениям теории упругости и пластичности зависимости между коэффициентами двухосности напряжений п и деформаций £ имеют вид:

п = 71-п+п2+"чу^тк1+п)2,

bi = ^ -£+£2,

£ = е2, стз =У(ст1 + ст2), е1

^ = П

При плоском напряженном состоянии вводится дополнительное соотношение для третьей компоненты нормальных деформаций £:

П = 71-п + п2,

2 I---------------------

ь i = 1^1 -£(1 + 0 + £2 Ч + С2,

£ = £2 = л-V £=^ = -^Сп±1)

е1 1-^’ е1 1 -г^ '

В приведенных соотношениях (2) - (5) V — коэффициент Пуассона. На рис. 1 показаны расчетные зависимости по уравнениям (2) - (5) между соотношениями главных напряжений и главных деформаций для двух частных видов напряженного состояния — плоского напряженного состояния и плоской деформации.

Из рис. 1 следует, что вариации коэффициента двух-осности деформаций £ более существенны при плоской деформации. Необходимо отметить, что критерий (1) является обобщенной теорией прочности, включающей в себя другие теории как частные случаи для различных классов конструкционных материалов. Так, для хрупкого материала при X = 0 и стеч = ст1 получаем первую теорию прочности максимальных нормальных напряжений, тогда как для пластичных материалов при X = 1 и стеч = сте имеем условие Мизеса.

Для решения поставленных в работе задач, в первую очередь, необходимо оценить возможность применения критерия (1) к проблемам циклического деформирования и разрушения. В этом плане весьма убедительным обоснованием являются экспериментальные результаты

[17], представленные на рис. 2 в виде диаграмм предельных напряжений для кривых равных долговечностей при статическом и малоцикловом нагружении. На рис. 2 символами обозначены результаты испытаний, а линии соответствуют расчету по уравнению (1) с экспериментально найденной константой X = 0.76. Подобные сравнения, свидетельствующие в пользу применения критерия (1) в силовой трактовке, получены в [17] для широкого круга конструкционных материалов.

Рис. 2. Диаграммы статических и циклических предельных напряжений

Ранее отмечено, что в области вершины трещины даже при внешнем номинально упругом нагружении возникает зона пластических деформаций. В этой связи, развивая возможности приложений критерия (1) к условиям циклического нагружения, необходимо его представить в определяющих терминах упругопластического деформирования при малоцикловой усталости.

Для того чтобы придать критерию (1) деформационную трактовку, определим упругую и пластическую составляющие полной деформации, как это сделано в [18, 19]. Будем исходить из предположения, что разрушающим деформациям соответствуют предельные напряжения, найденные из условия эквивалентности (1).

Считаем, что при циклическом нагружении упругая составляющая размаха эквивалентной деформации связана с размахом эквивалентного напряжения законом Гука:

Деч =ДСТч/Е,

а главные деформации определяются следующими соотношениями для плоского напряженного состояния

A£i =

и плоской деформации

Aeje =

В общем случае малоциклового нагружения амплитуда интенсивности пластической деформации Аер связана с размахом интенсивности напряжений Аст для установившегося цикла известным условием:

Астр = KAep/m

где m(k) — циклический показатель деформационного упрочнения. С учетом формул (2) - (5) взаимосвязь между главными напряжениями и главными пластическими деформациями имеет вид:

b 1/ m

, .... ,

ACTj =-

ni

-K (Аер)1/

m

Используя условие эквивалентности (1) с учетом уравнения (9), можно выразить размах максимальной главной пластической деформации при произвольном двухосном нагружении через пластические деформации одноосного растяжения Дер следующим образом:

Аер ( Аер = А£ 0

ni

\m

1 -x+xni

В частном случае, когда k = 1, т.е. при монотонном статическом деформировании, уравнение (11) преобразуется к виду:

,f (

е; =-

ni

N П

1 -x + xni

где е0 — разрушающая деформация при одноосном растяжении; п — показатель деформационного упрочнения в уравнении вида сте = Ке^п.

Прежде чем переходить к формулировке условия малоциклового деформирования и разрушения, представим параметрическую оценку влияния входящих в уравнение (12) основных упругопластических свойств материала при статическом нагружении. На рис. 3 представлено изменение предельных деформаций по уравнению (12) на Г-плоскости в координатах главных деформаций (нормированных величиной предельной деформации одноосного растяжения ер) в полном диапазоне соотношений двухосности от равнодвухосного растяжения £ = 1 до чистого сдвига или кручения £ = -1. Поведение предельных деформаций при сложном напряженном состоянии поставлено в соответствие комплексу упругопластических свойств материала, определяемых коэффициентом Пуассона (V = 0.25, 0.45), показателем деформационного упрочнения (п = 1, 5, 9) и отношением прочности на растяжение к прочности на сжатие (X = 0.6, 0.8, 1.0). Заметим, что критерий (12) в частном случае X = 1.0 совпадает с условием Мизеса

Главная деформация 8т

Главная деформация 8л

Главная деформация 8л

Главная деформация 8л

Главная деформация 8л

Главная деформация £,

Рис. 3. Предельные деформации разрушения при статическом двухосном нагружении: а-в — плоское напряженное состояние, г-е — плоская деформация; V = 0.25

для пластичных материалов. Обращает на себя внимание кратное по отношению к одноосному растяжению изменение предельных деформаций в зависимости от соотношения двухосности £ при монотонном статическом нагружении.

Распространим теперь критерий предельного состояния (11) на условия малоциклового упругопластического деформирования. Напомним, что полная циклическая деформация при произвольном двухосном нагружении допускает аддитивную декомпозицию на упругую и пластическую составляющие, которые, в свою очередь, допускают интерпретацию в форме уравнений типа Мэнсона-Коффина:

Де = Дее + Дер = Се N——q + Ср N——p,

где Се, Ср, q, р — экспериментально определяемые константы; N f — усталостная долговечность. Выражая деформации произвольного вида через предельные деформации одноосного растяжения (7), (8) и (11), получим следующие условия предельных циклических деформаций при двухосном нагружении для плоского напряженного состояния

Д£1 = С

+ 3

1-УП N+ 1 -Х + ХПі

/ \т

Пі

1 -Х + ХПі

N.

и плоской деформации

1 -Х + ХПі

+ -

С ь і

Пі

\т

1 -Х + ХПі

N

1/ т

На рис. 4 приведено сравнение расчетных и экспериментальных литературных данных [20] по малоцикловой выносливости при сложном напряженном состоянии для стали при следующих значениях экспериментальных констант: Се = 0.1023, Ср = 0.5546, q = -0.1539, р = -0.513 и X = 0.77. Из рис. 4 следует, что условие эквивалентности (1), входящее в критерий малоцикловой долговечности, позволяет достаточно хорошо описать изменение предельных деформаций при двухосном нагружении. Следует отметить, что цитируемые экспериментальные результаты [20] получены на цилиндрических полых тонкостенных образцах.

Следующим основным аспектом приложения условий эквивалентности в рамках моделей прогнозирования остаточного ресурса элементов конструкций с повреждениями является определение направления развития трещины при смешанных формах двухосного нагружения. Напомним, что все компоненты тензора напряжений в области вершины трещины являются непрерывными функциями полярных координат г и 0. Это обстоятельство обуславливает необходимость поиска

Рис. 4. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных для предельных циклических деформаций

экстремума условия эквивалентности по полярной угловой координате 0. Как следует из [16], более двух третей известных в литературе критериев направления роста трещин основаны на условиях эквивалентности в упругой формулировке. Описание свойств конструкционных материалов только двумя упругими константами существенно ограничивает возможности применения подобных критериев. Обоснованием этого утверждения могут служить экспериментальные результаты [21], полученные для восьми алюминиевых сплавов с одинаковыми упругими свойствами, но отличающихся комплексом пластических характеристик.

На рис. 5 представлены траектории развития трещин при двухосном растяжении с соотношением номинальных напряжений п = 0.5 при значении исходного угла ориентации трещины в = 45°. Из представленных данных следует, что в одних и тех же условиях нагружения при одинаковых упругих характеристиках траектории развития трещин отличаются более чем в два раза и эта разница обусловлена проявлением пластических свойств материалов одного класса. Таким образом, при формулировке критерия направления роста трещины необходимо учитывать комплекс характеристик сопротивления материала упругопластическому деформированию и разрушению. Подобную возможность предоставляет условие эквивалентности (1). Первые предложения по использованию этого обобщенного критерия предельного состояния для определения направления роста трещины при сложном напряженном состоянии высказаны в работе [22].

Напомним, что критерии роста трещины при смешанных формах разрушения основаны на достижении экстремальных значений тех или иных параметров в на-

Рис. 5. Влияние свойств алюминиевых сплавов на траекторию развития трещин

правлении предполагаемого развития дефекта. В этой связи непосредственное применение условия эквивалентности (1) проблематично в силу противоположных требований экстремумов для первой теории прочности и интенсивности напряжений. Так, согласно этой теории трещина должна развиваться по нормали к максимальным нормальным напряжениям, тогда как условие Ми-зеса предполагает рост дефекта в направлении минимума интенсивности напряжений. Для преодоления этой математической трудности авторами [23] предложено феноменологическое условие, основанное на вкладе каждого из ведущих механизмов разрушения, который регулируется константой X. Следуя структуре критерия (1), в качестве границ диапазона изменения направления роста трещины для конструкционных материалов используются условия минимума интенсивности напряжений 01(Фетп) и максимума нормальных напряжений 02(<Г0 тах):

до

д0

до

= 0,

д2о

0=0Г

д0

= 0,

д02

д2о

> 0,

0=0Г

0=02

д02

< 0.

0=02

Линейная комбинация отдельно найденных значений 01(стетп) и 02(ст0 тах) приводит к феноменологическому критерию направления роста трещины вида [23, 24]:

X0 1

Любой из локальных критериев механики разрушения, сформулированный в терминах напряжений или деформаций, является дистанционным критерием ввиду

зависимости компонент напряженно-деформированного состояния от полярных координат г и 0, центрированных относительно вершины трещины. Для состояния маломасштабной текучести компоненты напряжений в уравнении (18) при удержании первого члена разложения описываются известной моделью Хатчинсона-Райса-Розенгрена:

о о Кр г (и+1)(~

°0 = о0 КМГ о0,

о = о Кр г(и+1)?г

ое = о0К Мг ое.

Безразмерные функции напряжений ст0 и сте зависят от полярного угла 0, параметра смешанности Мр и показателя деформационного упрочнения п. Входящий в уравнение (19) упругопластический коэффициент интенсивности напряжений для плоской задачи определяется через соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений нормального отрыва К1 и поперечного сдвига К2 [25]:

,

Кр =

КМ =

. К2 + К22

'«°04

где к = 1 для плоского напряженного состояния и к = = 1 -V 2 для плоской деформации. В приведенных выше формулах (19), (20) ст0 — предел текучести; а и п — константы упрочнения в модели Рамберга-Осгуда. Численные значения интеграла 1п (Мр, п) и безразмерных функций напряжений 50 и 5е для полного диапазона п и смешанных форм разрушения Мр представлены в работе [26]. Таким образом, для того чтобы воспользоваться условием (18) и определить направление развития трещины 0* при сложном напряженном состоянии, необходимо на некотором характеристическом расстоянии от вершины трещины гс найти экстремумы по полярной координате 0 угловых распределений окружных ст0 (гс, 0) и эквивалентных напряжений сте(гс, 0). В большинстве современных моделей разрушения это характеристическое расстояние трактуется как размер зоны процесса разрушения, или размер зоны повреждений, охватывающий вершину трещины.

В работах [12-14] для условий статического и циклического нагружения предложена концепция зоны процесса разрушения, согласно которой реализация ведущего микромеханизма разрушения — эстафетного (хрупкого) или встречного (вязкого) — зависит от соотношения размеров зоны процесса разрушения и пластической области во фронте трещины. Размер зоны процесса разрушения предложено рассчитывать как

5 = ^ = [ ¿2 ± І-*/ - 4(Ж/- ¿зХЦ + ¿р)] |2

2

где входящий в (21) параметр Wc определяется при статическом нагружении через основные константы диаграммы деформирования материала:

Рис. 6. Расчетные и экспериментальные данные направления роста трещины

Ж.* =

а„

1__2

—а +

ап _п+і

п +1

а при малоцикловом нагружении через характеристики петли упругопластического гистерезиса:

(Ж )С = 4а^ е* (2 Nг)-

В формулах (21), (23) а — длина трещины; ап — номинальное напряжение; аг — локальное разрушающее напряжение при статическом нагружении; Si (г = = 1, 2, 3) и Sp — упругие и пластический коэффициенты, зависящие от условий двухосного нагружения и формы трещины [26]; а*, е* — параметры кривой малоцикловой выносливости; т — циклический показатель деформационного упрочнения; Nf — накопленное количество циклов до разрушения. В частности, е* определяется предложенными на основе условия эквивалентности (1) уравнениями (14), (15). Последовательная подстановка уравнений (21) - (23) в распределения напряжений (19) и нахождение экстремумов этих функций предоставляют возможность определения направления развития трещины по критерию типа Писаренко-Лебедева (1) с учетом комплекса упругопластических свойств материала, который включает отношения пределов прочности при растяжении и сжатии х, предел текучести а0, истинное сопротивление отрыву аг, предельные деформации разрушения при сложном напряженном состоянии е*, показатель деформационного упрочнения п.

На рис. 6 представлено сравнение результатов расчета с использованием уравнения (18) и экспериментальных данных по направлению роста трещин при смешанных формах деформирования в образцах различной геометрии. Данные рис. 6, а получены на компактном об-

разце с односторонним надрезом при одноосном нагружении. Результаты рис. 6, б относятся к испытаниям образцов с центральной трещиной при двухосном растяжении с соотношением номинальных напряжений п = = 0.5. На этих рисунках в — угол исходной ориентации трещины. Наблюдается достаточно хорошее взаимное соответствие теоретических и экспериментальных данных для двух классов материалов — стали 30 ХГСА и алюминиевого сплава 1163АТМ.

Более детальное обоснование применения критерия (18) для материалов одного класса с одинаковыми упругими свойствами, но с различными характеристиками сопротивления нелинейному деформированию и разрушению представлено на рис. 7. Экспериментальные и расчетные (уравнение (18)) данные о направлении роста трещины при смешанных формах разрушения относятся к одно- и двухосному нагружению образцов из восьми алюминиевых сплавов, основные механические характеристики которых приведены в табл. 1. Представленные на рис. 7 данные свидетельствуют о существенном влиянии комплекса свойств материалов и очевидном ограничении применения критериев роста трещин, построенных только на упругих константах материала. В этом отношении феноменологическое условие (18) обладает большей гибкостью и возможностями адекватного и необходимого учета влияния более широкого набора основных свойств материала.

Важной составляющей частью интерпретации экспериментальных данных и прогнозирования остаточной долговечности является описание траекторий развития трещин при смешанных формах двухосного нагружения. В работе [14] предложено уравнение для расчета траектории развития трещины шаговым методом, объединяющее в общую расчетную модель определен-

Таблица 1

Рис. 7. Оценка влияния свойств алюминиевых сплавов на направление роста трещины

ные ранее направление роста трещины (18) и приращение ее длины в этом направлении (21):

аг = [а2 + Г2 - 2аг-1гсг- ^ (я - 0*- )]1/2,

в =РмШСЯП Гсг »Ь^-0^.

В уравнении (24) пара значений текущей длины трещины аг и угла ориентации координируют положе-

ние вершины трещины на траектории ее развития. Построение траектории трещины в соответствии с шаговым методом осуществляется путем определения на*

правления развития 0г-1, вдоль которого откладывается приращение длины трещины гсг в элементарном акте статического или циклического разрушения.

Материал .0 0. II .5 0. II а„/ °о п X

АМГ6  ☆ 2.00 4.293 1.00

01420Т   1.74 4.813 0.89

1163АТ Ж + 1.54 5.569 0.85

D16AT  д 1.43 6.197 0.91

1201АТ ♦ О 1.28 7.441 0.82

01419 т V 1.15 11.58 0.40

В95АТ1 • о 1.12 11.59 0.65

На рис. 8 представлены расчетные и экспериментальные траектории развития трещин при смешанных формах циклического разрушения в компактных образцах из стали 30ХГСА при одноосном нагружении и в плоских образцах из алюминиевого сплава АМГ6 при двухосном растяжении. Следует отметить хорошее их взаимное соответствие, основу которого составляют достаточно полный учет основных упругопластических свойств материала через критерий направления роста трещины (18) и размер зоны процесса разрушения (21).

Завершающей стадией прогнозирования роста трещин при смешанных формах деформирования является построение моделей скорости роста трещин и остаточной долговечности. Эти модели должны объединять в требуемой последовательности все предыдущие этапы расчета роста трещины, включая определение предельных циклических деформаций при сложном напряженном состоянии, направление и траекторию развития дефекта. В работе [13] показано, что применение уравнения (21) совместно с (23) приводит к следующему выражению для размера зоны процесса разрушения или приращения длины трещины в элементарном акте циклического разрушения:

X, мм

X, мм

Рис. 8. Расчетные и экспериментальные траектории роста трещин при смешанных формах разрушения

КИН 3.2КУ, МПа-м1'2

N. 104 цикл

Рис. 9. Расчетные и экспериментальные диаграммы скорости роста трещин и долговечности

8=-

аК

4 Ещ е£(2 N{)-

где К г = 51 + 5 р + 5 2 л/8 + S3 8 и Е — модуль упругости. Разрешая уравнение (25) относительно абсолютного приращения длины трещины Да = гс, отнесенного к соответствующему приращению количества циклов нагружения ДМ, получаем следующее уравнение скорости роста трещины [13]:

da

dN

= 28а

( а2 К2 а2 ДК2 ^П

ап К -ай ДКй

4а* е* Е8

где 8 = гс/а, ДК& — пороговое значение коэффициента интенсивности напряжений. Параметр т в этом уравнении может быть выражен через циклический показатель деформационного упрочнения т = (1 + и*)/(5 + и*).

Напомним, что в полученной модели роста трещины критические деформации разрушения е* являются функциями вида двухосного нагружения п и описываются уравнениями (14), (15), а размер зоны процесса разрушения определяется с учетом направления развития трещины в соответствии с формулой (18). Уравнение (26) можно разрешить и численно проинтегрировать относительно долговечности Nf и тем самым определить остаточную долговечность на стадии роста трещины от исходных до критических размеров:

Nе = Е

28 7-а]

ГаПК2 -а2дК* ^ 4а* е^ Е8

На рис. 9 приведены результаты численного расчета по модели (27) и экспериментальные данные развития трещин при смешанных формах двухосного цикличес-

кого нагружения. На рис. 9, а представлена диаграмма скорости роста трещины в зависимости от эквивалентного коэффициента интенсивности напряжений, а рис. 9, б представляет кривую остаточной долговечности для алюминиевого сплава Б16АТ с исходной ориентацией трещины в0 = 43° при двухосном растяжении с П — 0.5. Более детальное обоснование применения расчетных моделей (26), (27) в полном диапазоне смешанных форм разрушения для плоской задачи содержится в работе [27], в которой объектами исследования выступали шесть типов сталей и одиннадцать типов алюминиевых сплавов.

Суммируя представленные выше результаты, следует отметить, что относительно простая формулировка условия эквивалентности (1) содержит в себе достаточно глубокое содержание, которое раскрывается в процессе тщательного моделирования и интерпретации экспериментальных данных развития трещин в наиболее сложных условиях смешанных форм нелинейного циклического деформирования и разрушения. Успеху применения этого критерия способствуют его обобщенный характер, основанный на анализе доминирующих механизмов разрушения, и достаточно полный набор определяющих механических констант конструкционного материала.

Настоящая работа не ставила своей целью составление обзора по исследованиям разрушения при сложном напряженном состоянии. Существенным было показать способы решения разнообразных задач малоциклового деформирования и разрушения за счет расширения возможностей использования достаточно популярного в расчетной практике и экспериментальных исследованиях условия эквивалентности типа (1). К подобным способам относятся непосредственное приме-

нение условия эквивалентности Писаренко -Лебедева в силовой трактовке и различные формы его преобразований в определяющие критерии и параметры нелинейного сопротивления деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии.

Представленная работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (госконтракт № 16.740.11.0432).

Литература

1. Серенсен С.В. Об условиях прочности при переменных нагрузках для плоского и объемного напряженного состояния // Инженерный сборник. - 1941. - Т. 1. - Вып. 1. - С. 3-12.

2. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой

прочности // Прикладная математика и механика. - 1969. - Т. 33. -№ 2. - С. 212-222.

3. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наукова думка, 1976. - 415 с.

4. Биргер И.А. Об одном критерии разрушения и пластичности // Изв. АН СССР. МТТ. - 1977. - № 4. - С. 143-150.

5. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. - М.: Машиностроение, 1981. - 272 с.

6. Хэйвуд Р.Б. Проектирование с учетом усталости. - М.: Машиностроение, 1969. - 504 с.

7. Miller K.J. Fatigue under complex stress // Met. Sci. - 1977. - Aug.-Sept. - P. 432-438.

8. Antolovich S.D., Saxena A., Chanani C.R. A model for fatigue crack propagation // Eng. Fract. Mech. - 1975. - V. 7. - P. 649-652.

9. Ellin F Crack growth rate under cyclic loading and effect of singularity fields // Eng. Fract. Mech. - 1986. - V 25. - P. 463-473.

10. Kujawski D., Ellin F On the size of plastic zone ahead of crack tip // Eng. Fract. Mech. - 1986. - V. 25. - P. 229-236.

11. Liu Y.Y., Lin F.S. A mathematical equation relating low cycle fatigue data to fatigue crack propagation // Int. J. Fatigue. - 1984. - V 6. -P. 31-36.

12. Шлянников В.Н. Плотность энергии деформации и зона процесса разрушения. Сообщение 1. Теоретические предпосылки // Проблемы прочности. - 1995. - № 10. - C. 3-17.

13. Шлянников В.Н. Плотность энергии деформации и зона процесса разрушения. Сообщение 2. Экспериментальное обоснование // Проблемы прочности. - 1995. - № 11/12. - C. 3-21.

14. Shlyannikov V.N. Modelling of crack growth by fracture damage zone // Theor. Appl. Fract. Mech. - 1996. - V 25. - P. 187-201.

15. Erdogan F., Sih G.C. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear // J. Basic Engng. - 1963. - V. 85. -P. 519-527.

16. Шлянников В.Н. Смешанные моды развития трещин при сложном напряженном состоянии. Обзор // Заводская лаборатория. - 1990. -Т. 56. - № 6. - С. 77-90.

17. Шканов И.Н., Брауде Н.З., Муратаев Ф.И. Исследование циклической прочности и анализ закономерностей разрушения при мягком двухосном нагружении // Технология производства и прочность деталей летательных аппаратов и двигателей. - Казань, 1980.- С. 49-56.

18. Шканов И.Н., Шлянников В.Н., Брауде Н.З. Об одном подходе к критериальному анализу предельных деформаций при сложном напряженном состоянии // Авиационная техника. - 1980. - № 4. -С. 98-101.

19. Брауде Н.З., Шканов И.Н. Условия разрушения материалов при двухосном малоцикловом нагружении // Авиационная техника. -1984. - № 3. - С. 23-27.

20. Brown M. W., Miller K.J. Two Decades of Progress in the Assessment of Multiaxial Low-Cycle Fatigue Life // Low-Cycle Fatigue and Life Prediction. ASTM STP 770 / Ed. by C. Amzallag, B.N. Leis, P. Rabbe. -Philadelphia, PA: ASTM, 1979. - P. 482-499.

21. Шлянников В.Н. Траектории развития криволинейных трещин в алюминиевых сплавах при двухосном циклическом нагружении произвольного направления // Проблемы прочности. - 1991. -№ 6. - C. 42-47.

22. Шлянников В.Н., Иваньшин Н.А. Коэффициенты интенсивности напряжений для трещин сложной формы при двухосном нагружении произвольного направления // Авиационная техника. -1983. - № 4. - C. 72-79.

23. Shlyannikov V.N., Braude N.Z. A model for predicting crack growth rate for mixed mode fracture under biaxial loads // Fatigue Fract. Eng. M. - 1992. - V. 15. - P. 825-844.

24. Долгоруков В.А., Шлянников В.Н. Феноменологическое моделирование особенностей инициирования наклонных трещин // ПМТФ. - 1993. - № 5. - C. 43-48.

25. Shih C.F. Small-Scale Yielding Analysis of Mixed Plane Strain Crack Problem // Fracture Analysis. ASTM STP 560. - Philadelphia, PA: ASTM, 1974. - P. 187-210.

26. Shlyannikov V.N. Elastic-Plastic Mixed-Mode Fracture Criteria and Parameters. - Berlin: Springer-Verlag, 2003. - 246 p.

27. Shlyannikov V.N. Mixed-Mode Static and Fatigue Crack Growth in Central Notched and Compact Tension Specimens // Mixed-Mode Crack Behavior. ASTM STP 1359 / Ed. by K.J. Miller, D.L. McDowell. - Philadelphia, PA: ASTM, 1999. - P. 279-294.

Поступила в редакцию 30.12.2011 г.

Сведения об авторе

Шлянников Валерий Николаевич, д.т.н., проф., дир. ИЦПЭ КазНЦ РАН, shlyannikov@mail.ru