Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной трехмерным уравнением Лапласа

Известия Института математики и информатики УдГУ

2018. Том 51

УДК 519.651, 517.518.823 © А. Н. Мзедавее, В. И. Родионов

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ, ПОРОЖДЕННОЙ ТРЕХМЕРНЫМ УРАВНЕНИЕМ ЛАПЛАСА

Определено однопараметрическое семейство конечномерных пространств, состоящих из специальных трехмерных сплайнов лагранжева типа (параметр N связан с размерностью пространства сплайнов). Решение краевой задачи для уравнения Лапласа, заданного в трехмерном параллелепипеде, допускает представление в виде суммы четырех слагаемых: функции, линейной по каждой из трех переменных, и решений трех частных краевых задач, порожденных исходным уравнением. В свою очередь, эти задачи порождают три задачи минимизации функционалов невязок, заданных в указанных пространствах сплайнов. Подобная декомпозиция позволяет исследовать лишь одну из трех задач оптимизации (две другие носят симметричный характер). Получена система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов оптимального сплайна, дающего наименьшую невязку. Показано, что система имеет единственное решение. Численное решение системы сводится к реализации метода прогонки (имеет место устойчивость данного метода). Численные эксперименты показывают, что с ростом N минимум функционала невязок стремится к нулю.

Ключевые слова: трехмерное уравнение Лапласа, интерполяция, многомерный сплайн.

Б01: 10.20537/2226-3594-2018-51-03 Введение

Работа продолжает исследования [1-5], посвященные численному решению простейших двумерных задач математической физики. В [3] исследовано уравнение теплопроводности, в [4] — волновое уравнение, в [5] — уравнение переноса. В настоящей работе исследуется стационарное трехмерное уравнение — уравнение Лапласа.

Уравнение А и = иХ1Х1 +иХ2Х2 +иХ3Х3 = 0, заданное в трехмерном параллелепипеде, заменой переменных приводится к виду с1 иХ1Х1 +с2и Х2Х2 +с3и Х3Х3 = 0 (в терминах новых переменных из куба П= [0,1]3). Далее считаем, что числа с1, с2, с3 — положительные, а непрерывные функции : [0,1]2 — М, (I, к) € {1, 2, 3} х {0,1}, таковы, что

П20

П10 (х2, 0) = П30 (0,Ж2), П10(ж2) 1) = П31 (0,х2), П11 (х2, 0) = П30(1,х2), П11 (х2, 1) = П31 (1,х2), П10 (0,х3)= П20(0,Ж3), П10 (1,х3)= П21 (0,х3), П11 (0,х3)= П20 (1,х3), П11 (1,Ж3)= П21 (1,х3)-Решение и = и(ж1,ж2,ж3), (ж1,ж2,ж3) € П, задачи

с1 и Ж1Ж1 + с2 и Х2Х2 + с3 и Ж3Ж3 — 0)

и |Х1=0 = П10 (х2, х3), и |Х2=0 = П20 (х1,х3), и |Х3=0 = П30 (х1,х2),

и |Х1 = 1 = П11 (х2, х3), и |Х2 = 1 = П21 (х1,х3), и |Х3=1 = П31 (х1,х2), 12 3

представимо в виде и = е + и1 + и2 + и3, где

е = е(ж1, Ж2, Ж3) = П10 (0,0) (1-Ж1) (1-Ж2 ) (1-Ж3 ) + Пю(0,1) (1-Ж1) (1-Ж2 ) Ж3 +

+ П10 (1, 0) (1-Ж1 ) Ж2 (1-Ж3 ) + П10 (1, 1) (1-Ж1 ) Ж2 Ж3 + П11 (0, 0) Ж1 (1-Ж2 ) (1-Ж3 ) + + П11 (0,1) Ж1 (1-Ж2 ) Ж3 + П11 (1, 0) Ж1 Ж2 (1-Ж3 ) + П11 (1, 1) Ж1 Ж2 Ж3 — трилинейная функция, а функции и1 = и1(Ж1, Ж2, Ж3), I = 1, 2, 3, — это решения задач

с1 и ж1ж1 + с2 и ж2ж2 + с3 и ж3ж3 = °

u|_ n = 0, u| Q = ±[r]20(xi,x3)-e(xi,0,x3)], u | =0 = \ [î?30(xi, x2) - фь x2,0) ],

lx1=o - IX2 =0~2L' '2o V 1жз=0 2

L = l=0> U L2 = l = è

uL ,=0, u \X2=1 = \ [r]21(xi,x3) - e(xi, 1, ж3) ], и\Хз=1 = ^ [r]31(xi,x2) - e(xi,x2,l)],

U lxi=0 2

u I

Ixi = l

Gi u XiXi + G2 u X2X2 + €з u X3X3 = 0,

[nio (x2 ,x3) — e(0,X2 ,X3)]: u| X2=0 = 0, u | = ' 1X3=0 \ [%o(xi,X2) -

[Пи (Х2 ,Х3) — e(1,X2 ,X3)]: u| X2=1 = 0, u | = X3=1 i [i?3i(xi,X2) -

Gi u XiXi + G2 u X2X2 + G3 u X3X3 = 0,

[Пю (x2 ,x3) — e(0,X2 ,X3)]: u| X2=0 = è [»72О(Х1,Х3) — e(X1,0,X3)],

[Пи (X2 ,X3) — e(1,X2 ,X3)]: u| X2=1 — e(X1,1,X3)],

u lxi=o = è ["ПюЫуХз) -e{0,x2,x3)\, u \X2=0 = i |_г?20(жьж3) - e{xi,0,x3) \, u |жз=0 = 0,

u lxi=i = è [»ьО^хз) -e(l,x2,x3)], u |ж2=1 = i [г?21(жьж3) — £(жь 1,ж3)], u |Жз=1 = 0,

соответственно. В работе обсуждается специальная задача оптимизации, порожденная задачей (1), а аналогичные задачи, порожденные задачами (2) и (3), носят симметричный характер. Задачу (1) запишем в новых обозначениях:

au tt + b0 u ÇoÇo + bi u çi?i =0,

u |t=0 = 0, u |Ço=0 = £00(t,Ci), u |?1=0 = 0io(t,Co),

u |t=1 =0, u |Ço=1 = £oi(t,Ci), u |Çi=1 = £ii(t,C0), где t = xi, £o = X2, Ci = X3, a^Gi, bo =€2, b = €3,

0о1(*>Ы=Ч -e(i,l,£i)]> 0u(i,^o) = è i(^Co) Co,l)]-

Задача (4) порождает задачу поиска оптимального сплайна задачи

J

Через SN (П) обозначено пространство, состоящее из допустимых сплайнов (см. § 1), зависящих от коэффициентов иг11, иг12, u21, u22, i = 1,..., 3N—1 (где N — это параметр, отвечающий за

П.

n=N-1, т = ж> = 0о = 9а_1Ь0т2, 6>х = 9 а_1Ь1^г2,

а точки (r» ,hj , hr ) € П таковы, ч то r» = ir, i = 0,1,..., 3N, hs = sh, s = 0,1, 2, 3. Полагаем N

в0+в, <f ^ iV^la-^bo + b,).

§ 1. Постановка задачи построения оптимального сплайна

Массив (ujr), i = 0,1,..., 3N, j, r = 0,1, 2, 3, называется допустимым для задачи (5), порожденной уравнением (4), если

1) j = 0, u3N = 0 для всех j, r = 0,1, 2, 3;

2) u0r = £oo(r», hr), u3r = £oi(ri, hr) для всех i = 1,..., 3N — 1 r = 0,1, 2, 3;

3) uj0 = £io (r», hj), uj3 = £ii (r», hj) для всех i = 1,..., 3N — 1 j = 0,1, 2, 3. Одномерные интерполяционные многочлены Лагранжа

МС)= И сем, К = 0,1,2,3,

к — а

а=0,1,2,3: а=к

(такие, что = для всех = 0,1, 2, 3, где — символ Кроиекера), и допустимый

массив (и^у ), г = 0,1,..., 3Ж, г = 0,1, 2, 3, порождают семейство полиномов

3 3 3

г=0 7=0 г=0

Пусть, далее, точки (¿,£0 ,{1) € П таковы, что т3к-3 ^ £ ^ т3к, 0 ^ £0 ^ 1, 0 ^ ^ 1,

s = t-3k + 3, а0 = | = 3£0, ^ = 1 = 3^,

3 3 3

Е Е Е - 3^ + 3)^(3^)^(3^) = Q\s,a0,ai).

г=0 j=0 r=0

Очевидно, для всех к = 1,..., N и I, V = 0,1, 2, 3 имеет место цепочка равенств 3 3 3 3 3 3

^ (1,0, V) = ее £ и3к-3+г ^ м ^ (V) = ЕЕ Е и>-3+г ** ^ = <-3+1,

г=0 7=0 г=0 г=0 7=0 г=0

следовательно,

Рк

для всех к = 1,..., N и г,г = 0,1, 2, 3, то есть полином Рк(, , ) является трехмерным интерполяционным многочленом Лагранжа, определенным в 64 узлах параллелепипеда

Пк = { (¿,^0,£1) € П: Т3к-3 < t < Т3к, 0 < £0 < 1, 0 < £1 < 1 }

N

(очевидно, У Пк = П). В силу (1.4) для всех к = 1,...,п и г = 0,1,2,3 справедливы к=1

равенства Рк(т3к, ^, Л,г) = = Рк+1(г3к, ^, Л,г). Следовательно, при каждом к = 1,...

n

значения бикубических полиномов Pk(т3&, £0, ), Pk+1(r3fc, £0, ), (£0, ) € [0,1]2, совпадают в 16 точках (при (£0) = (hj, hr) = (j/3, r/3), j, r = 0,1, 2, 3), поэтому

P k

для всех (£0 ) € [0,1]2. Значит, имеет место непрерывная стыковка полиномов Pk и Pk+1 на плоскости t = Т3& и, таким образом, определена непрерывная функция u : П — R такая, что u(t,£0 ) = Pk(t, £0 ) при (t, £0 ) € Пк. Другими словами, всякий допустимый массив (ujr), i = 0,1,... , 3N, j, r = 0,1, 2, 3, порождает сплайн u: П — R, который мы называем ап-

u11, u12,

u2i, u22, i = 1,..., 3N — 1. Это означает, что аппроксимирующие сплайны образуют конечномерное пространство (размерности 12N — 4). Обозначим его как S(П) = SN(П).

Определим оператор D : S(П) — Ь2(П), заданный следующим образом. Сплайн u € S(П) имеет все частные производные во всех точках множества П, за исключением точек множества M = П П {(t,£0,{1) : t = г3^П=1 меры нуль. Пусть (Du)(t, £0,{1 ) = 0 во всех точках множества M, а в остальных точках параллелепипеда П полагаем (Du)(t, £0 ,{1) = a utt + b0ug0g0 + +b1u£1£1. Тогда определена задача оптимизации вида (5):

J = J

решение которой сводится в конечном счете к поиску чисел u^, u^, u21, u22, i = 1,..., 3N — 1, реализующих минимум JN = min J() функционала (1.5).

Для функционала (1.5) справедлива цепочка равенств 7 = / [а пы + Ь0 п?0?0 + Ъ1и?1 ] ^£0 ^ =

Ё [ а рк + ЪР?к0?0 +Ъ1 С = Е I к /(¿,£0 ,£1) С = Е ,

7 к

где

/к (¿,£0 ,£1) = а (¿Л ,£1 ) + Ъ0 р|,?0 (¿,£0 ,£1 ) + Ъ1 рк а (^0 ,£1 )•

В силу определений (1.2), (1.3) имеет место цепочка равенств

/к (¿,£0 ,£1) = а д2дк (5,^0 )/^2 + Ъ0 д2дк (^ )/д£02 + Ъ1 д2дк (^ )/0£? =

3 3 3

^ Е Е Е «р-^^мчыым +

¿=0 j=0 г=0

Ъ 3 3 3 Ъ 3 3 3

+ ё Е Е Е и^Шг(8)Ш>>(а0)Шг^) + 0ЕЕЕ «Г^М

¿=0 j=0 г=0

^2

¿=0 j=0 г=0

Далее используем 64 полинома

= (5, ^0, ) = ^¿'(з) ^(^0) (^1) + 00 ^¿(з) ) (^) + вг ^¿(з) ^(^) ), (1.7) определенные для всех г, г = 0,1, 2, 3. Тогда имеет место формула

333

кым = ^ Е Е Е

¿=0 j=0 г=0

§ 2. Конечные разности аппроксимирующих сплайнов

Для каждого г = 0,1,... , 3Ж определим матрицу

и ¿ =

( п00 п01 п02 п03 \

п10 п11 п12 п13

п20 п21 п22 п23

\ п30 п31 п32 п33 )

г-е сечение допустимого массива (п^), состоящее из 16 элементов) и конечные разности

40 = и ¿ о

1 -1 -1 1 / 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1 -3 3 3 -3

-1 1 1 -1 , Х01 = и ¿ о 3 -3 -3 3

1 -1 -1 1 V -1 1 1 -1

/ 1 -3 3 -1 \ ( 1 -3 3 -1 \

-1 3 -3 1 -3 9 -9 3

-1 3 -3 1 , Х01 = и ¿ о 3 -9 9 -3

1 -3 3 -1 К -1 3 -3 1

х10 = и ¿ о

Здесь и далее через компактную запись и¿ о М мы обозначаем линейные формы

33

п М.?г,

и ¿ о м =ЕЕ п;-г м,.

j=0 г=0

определенные для произвольных матриц М = ), г = 0,1, 2, 3. Легко проверить, что

9 ж0о + 3 + 3 жг10 + жги =36 игп + иг о М 9 х0о - 3 х01 + 3 жг10 - жги = 36 (21 + и г о М:

где

М11 =

11

21

9 х0о +3 ж01 - 3 жг10 - жгп = 36 (12 + иг о 9 х00 - 3 ж01 - 3 жг10 + жгп = 36 (22 + и * о

М

М

22

/ 16 -24 0 8 / 8 0 -24 16

-24 0 0 -12 , М12 = -12 0 0 -24

0 0 0 0 0 0 0 0

V 8 -12 0 4 V 4 0 -12 8

/ 8 -12 0 4 \ ( 4 0 -12 8 \

0 0 0 0 , М22 = 0 0 0 0

-24 0 0 -12 -12 0 0 -24

V 16 -24 0 8 К 8 0 -24 16

М21 =

Формула (1.8) допускает представление

а-1т2Д(*,£о,£1) = Е [ и3к-3+г  *=0

в котором линейная форма и3к-3+г о Ог порождена матрицей

\

о Ог + и3к-3+г

11

О г + и3к-3+г о г + ( 3к-3+г о г + ( 3к-3+г о г

Оц + ^12 О12 + (¿21 О21 + (¿22 О22

Ог Ог Ог Ог

О00 О01 О02 О03

Ог =

10

20

0 0

0 0

13

23

V О;з0 О31 032 0;33

Следовательно, в силу формул (2.3) имеет место равенство

36 а-1 т / (*,£, ,£1) =

+ 9 ж3к-3+г + 9 ж00

3

Е 136 и3к-3+г о 0 + г=0

Ог +3 ж3к-3+г о г +3 ж3к-3+г О г + ж3к О11 + 3 ж01 О11 + 3 ж10 О11 + ж11

3к-3+г (

3к-3+г о1г1 - и

+ 9 ж30-3+г 0г2 + 3 ж3к-3+г 0г2 - 3 ж30-3+г 0г2 - ж3к-3+г 0г2 - и3к-3+г о М12 0?2 +

+ 9 ж3^-3+г о г о ж3к-3+г о г +3 ж3к-3+г о г ж3к-3+г о г и + 9 ж00 О21 - 3 ж01 О21 + 3 ж О - ж О - и

10 „3к-10

12 21

11

'11 12 21

3к-3+г

о М11 01г1 +

+ 9 ж3т3+г 022 - 3 ж3к-3+г 022 - 3 ж30-3+г 022 + ж3к-3+г 022 - и3к-3+г о М22 О

12

01 21 3 ж01 о22 - 3 ж10

Процедура приведения подобных членов приводит к формуле

33

36 а-1 т2/(*, £0, £1) = Е и3к-3+г о Мг + ^ ¿к,

3к-3+г

12

о М21 02\ +

22

г=0

г=0

в которой используются матрицы

Мг = 36 Ог - М11 01\ - М12 0{2 - М21 02\ - М22 022

и конечные разности

¿к = 9 ж0к-3+г £00 + 3 ж0к-3+г £01 + 3 ж?к-3+г £10 + ж31-3+г £*п,

то есть линейные формы с функциональными коэффициентами

£г = Ог +0г +0г +0г £г = Ог +0г - Ог - Ог £00 = о11 + о12 + о21 + 022, £01 = о11 + о12 о21 022,

£г = О г О г +О г О г £г = О г О г О г +О г £ 10 = о11 - о12 + о21 - 022, £11 = о11 - о12 - о21 + о22-

Для всех к = 1,..., N и V = 0,1 определим конечные разности

Xк = ж3к-3 - ж3к-2 - ж3к-1 + ж3к ^к = ж3^-3 - 3 ж3к-2 + 3 ж3к-1 - ж3к /г, 7\

+ , ^ 3 +3 К^'Ч

(каждая из них содержит 64 элемента допустимого массива ((у), см. определения (2.2)).

§ 3. Вариативные компоненты функционала невязок

В соответствии с определениями (2.7) и (2.6) справедливы равенства

6 х3к-2 =4 тзк-з _ 3 Xк _ ук +2 х3к 6 х3к-1 =2 х3к-3 - 3 Xк + Ук + 4 х3к ИЛ

6 =4 3 У ^ + 2 , 6 =2 3 + у ^ + 4 , Vй--1-/

6 ¿к =9 [ 4 Х0к-3 _ 3 Х0к0 _ У0к0 + 2 х3к ] е), + 3 [ 4 х0/-3 _ 3 Х/ _ У0к1 + 2 х0/ ] £¿1 +

+3 [ 4 х/к-3 _ 3 Хк0 _ Ук + 2 х30 ] е/0 + [ 4 х//-3 _ 3 Хк1 _ У// + 2 х3/ ] е/',

6 ¿2 =9 [ 2 х0к-3 _ 3 Хк0 + У00 + 4 х0к ] £20 + 3 [ 2 х0/-3 _ 3 Х/ + У,1 +4 х01 ] е01 +

+3 [ 2 х/к-3 _ 3 Хк0 + Ук + 4 х30 ] е20 + [ 2 х//-3 _ 3 Х// + Ук +4 х3/ ] е2з • Следовательно, в соответствии с определением (2.6) имеем 3

6 Е ¿к = 54 х0к-3 е00 + 18 х01-3 е0/ + 18 х300-3 е00 + 6 х3к-3 е01 +

г=0

+ [ 36 х00-3 _ 27 Х00 _ 9 У)о + 18 х300 ] е00 + [ 12 х3к-3 _ 9 Х/ _ 3 У0/ + 6 х0/ ] е01 +

+ [ 12 х/0-3 _ 9 Хк0 _ 3 Ук0 + 6 х/0 ] е10 + [ 4 х3/-3 _ 3 X*/ _ Ук +2 х// ] е1к + + [ 18 х00-3 _ 27 Х00 + 9 У00 + 36 х300 ] е00 + [ 6 х0/-3 _ 9 Х/ + 3 У0/ + 12 х0/ ] 4 + + [ 6 х30к-3 _ 9 Хк0 + 3 Ук + 12 х30к ] + [ 2 х3к-3 _ 3 Хкз + У^ + 4 х// ] е/^

+54 Х30 £030 + 18 х0к е01 + 18 х^ е^ + 6 х3к е?1. Процедура приведения подобных членов приводит к равенству 3

6 Е = 18 Х30-3 (3 е00 +2 £00 + е00 ) +6 х0к-3 (3 е0х + 2 е1/ + е0/) +

г=0

+6 х1к-3

Преобразуем функции е^ = е^а0, а1 )• В соответствии с определением (1.7) для функций = (з, а0, а1) справедливы формулы

е00 = ^И + ^12 + ^1 + ^2 = Ш£'(Я) [Ш/^) + ^2(^0)] [Ш/^) + ^2(^1)] +

+ 6>0 Шг («) [Ш'/^ )+ Ш^К )] [Ш/^)+ ^2(^1)] + Шг («) [Ш/^ )+ Ш2 (^0 )] )+ ) ],

е01 =П11 + П12 _ _022 = ш''(в) [Ш/(^0) _Ш2(^0)] [Ш/(^1 )+ Ш2(^1)] + + 00 Шг (8) [Ш/'(^0 ) _Ш2'(^0 )] [Ш1(^1)+ Ш2(^1)] + Шг (5) [Ш/(^0 ) _ Ш2 (^ )] [Ш/'(^1 )+ Ш2'(^1 ) ],

е10 = П/З _ ^12 + ^21 ^22 = Ш''(в) [Ш/(^0) + Ш2(^0л [Ш/(^1 ) _ Ш2К^ + + 00 Шг (8) [Ш/'(^0 )+ Ш2'(^0 )] [Ш1(^1) _ Ш2(^1)] + Шг (5) [Ш/(^0 )+ Ш2 (^0 )] [ Ш/'К ) _ Ш2'(^1 ) ],

е11 = ^¿1 ^12 _ ^21 + ^2 = ш''(в) [Ш/(^0) _Ш2(^0)] [Ш/(^1 ) _ Ш2^)] + + 00 Шг (8) [Ш/'(^0 ) _Ш2'(^0 )] [Ш1(^1) _ Ш2^ )] + 01 Шг (8) [Ш/^ ) _ Ш2 (^0 )] [Ш/'(^1 ) _ Ш2'(^1 ) ]•

Для интерполяционных многочленов Лагранжа справедливы тождества

ьл(о+"2(о = к (3 -с), +^'(0 = -1,

"1

(тождества, связанные с кубическими многочленами (1.1), легко проверяемы), поэтому 4о = I "¿'(«) -^0)^1(3 -^г) ~ \0о ш^а^З-а,) -\в1 и*(в)<70(3 -<70) =

= § С0'/(8) ( 1 -/?02 ) ( 1 -Р* ) - I ",(0 [0О( 1 -Р* ) + 1 ) ] = § Д - | аф) в.

Здесь и далее мы используем новые переменные:

(обратное преобразование имеет вид 5 = |(1 + а), а0 = | (1 +/30), сг1 = 1(1+/^)). Кроме того, определены четные многочлены

р = 3 00 (1 -в2) + 01 (1 - в2), Я = 00 (1 -в?) + з 01 (1 - в2),

4 I-1 I ^У) ^ -ч- V-1-

Аналогичным образом получаем равенства ^01 = "¿'(в)<70(3 -<т0) (2 <70-3)^(3 -о^) +

+ 1 в0 Шг

= -щ ш>>{*) /?о( 1 ) (1 -/?2) + ¥ ",(0 А, [3е0{ I -/?2) + в,(I -Дз2) ] =

243 , ,Н/п\ а г, , 27

сг10 = "¿'00 3 "(Т0) (3 -а,) (2^-3) +

+ \ в0 шг(8) а, (3 -а,) (2 а, -3) + | в1 шг(з) <70( 3 -<т0) (2а1-3) =

= -Щ ¿а*)РЛ1 -А2) (1 -%) + ¥ <*(*) А [0О( 1 -А2) + 3ел 1 -Я)] =

4! = 1^(0 <т0(3-<70) (2<т0-3) (7,(3 -о,) (20,-3) -

-1воШг{8){2а0-3)а1{3-а1){2а1-3)-1в1 шг(з) а0( 3 -<т0)(2 а0-3) (2 ^-3) =

= Ж ""00 ДА ( 1 "/?о ) ( 1 ) " ¥ АА [ 0о ( 1 ~01 ) + ( 1 " А? ) ] = = ж "¿'ООАДД-

Далее вычислим необходимые линейные комбинации функций е^ = е^(з,а0, а1). Так как

Зи0(в) + 2ал(в) +и2(в) = 3-е = |(1-а), 3 + 2 а//(0 + ^'(в) = О,

2

Шг(8) + 2ш2(з) +3шз(0 = 8 = § (1+а), сУ/(0 + + = О

(данные тождества следуют непосредственно из определений (1.1) и (3.4)), то

Зе00 + 2^0+е20 = -§ (1-а)5, ге°01+2еЪ1+41 = %(1-а)Р0Р,

Зе°10+2е\0 + е210 = %(1-а)Р^, Зе°п + 2^ + е2п = -Щ- (1-а)ДДС/,

£¿0 + 2^0= "1(1е101 + 2е21+Зе301 = %(1+а)/30Р, е\0 + 2+ 34 = § (1+а)№, еЪ + 2е2п + 3е3п = -Щ (1+а) ДДи. В силу формул (3.3) и (3.4) справедливы равенства

ил(з) + и2(з) = | (1-а2), ^'(в) +<4'(в) = -1, ал (в) -и2(в) = ~т а (1-а2), а//^) - а;2(в) = 9а,

поэтому

еоо + еоо = -Ц # - Ц (1-а2) £¿1 + е01 = ж Ро^ + ж (1-а2) 4 + 4) = !г А д + !г (!-«2) £П + = -Ж ДА Д - ж (I-«2) МЛ,

г1т-б2т = 1§аП+2-£а{1-а2)3, е1т - е2, = а/?0Е - ^ а (1-а2) /?0Р,

е110-£2ю = -^а(31П-7-^а(1-а2)131Я, е^ - е2п = а ДД К + ^Рр а (1-а2) ДД и. Подставив полученные выражения в формулу (3.2), получаем равенство

з

16 \ " тк

8Т

i=0

= -4к-3 (1 - а) ^ + ХОк-3 (1-а) в0 Р + х?к-3 (1-а) вх 3 - х?к-3 (1-а) в0 вх и + + §Х0*0 [Е + (1-а2)5] - | Г0о [ЗаЛ + а(1-а2)5] -— |^01 [(30П + (1-а2)130Р]+1У0к1 [За/?0Я + а(1-а2)/?0Р] --¡Хк0 [/?1Е + (1-а2)/?1д] + § [За/?1Е + а(1-а2)/?1д] + + 1*11 \_fiafii_R + (1 —а2)¡Зд^и] — | УД [ЗаДАЕ + а(1-а2)ДА£/] -- хОО (1+а) 5 + х3к (1+а) в0 Р + х?0 (1+а) вх 3 - х3? (1+а) в0 вх и.

Следовательно, имеет место представление

3

Ц Е Ьк = ёк + аёк1+130ё% + а(30ё1+131ёк4+а131ёк5+130131ё% + а130131ё!}, (3.7) i=0

где четные полиномы gk = gk(а, в0, вх), I = 0,1, • • •, 7, определены следующим образом:

= " [ хоо"3 + ] ^ + | Хк0 [ К + (1 -а2) 5 ], ёк = [ хзк~3 - хзк] Б - § Г0к [ЗВ + (1-а2) Б ],

ёк=[^-3 + ^]Р-|Хк1[Е + (1-а2)Р], Ек = -[х1к1^-Х1к]Р + 1ук1[ЗК + (1-а2)Р\ §4 = [+ х%]<Э- | [ Д + (1-а2) д], = - [хзк~3 -х1к](1 + I 1?0 [3Я + (1-а2) ], ёб = - [ Хп~3 + 4к1]и + 1хк11[К + ( 1-а2) и], ёк7 = [ х¡к~3 -4к]и- | У* [ ЗК + (1-а2) С/ ].

§ 4. Стационарные компоненты функционала невязок

Мы преобразовали вариативное слагаемое ^ формулы (2.4) к виду, удобному для инте-

г=0

3

грирования. Далее преобразуем стационарную часть ^ и3к-3+гоМг (стационарность означает,

¿=0

что сюда входят лишь граничные, неизменяемые, элементы допустимого массива )). Анализ формулы (2.5) порождает для 16-ти элементов матрицы Мг = (М?гг) равенства

М00 = 36П0о - 16 0^! - 8 012 - 8 021 - 4 022! М01 = 36 001 + 24 011 + 12 021

М02 = 36 П02 + 24 0{2 + 12 022, М03 = 36 003 - 8 011 - 16 012 - 4 021 - 8 022

м!о = 36 0{0 + 24 0!1 + 12 0^2, М11 = М12 = 0, М13 = 12 011 + 24 0{2 + 36 0{3

М20 = 36 п2о + 24 П21 + 12022, М21 = М22 = 0, М23 = 12 021 + 24 022 + 36 023

М30 = 36 030 - 8 0!1 - -4 0*2 - 16 021 — 8 022, М31 = 12 011 + 24 021 +36 031

М32 = 12 012 + 24 П22 + 36 032, М33 = 36 033 - 4 011 - 8 012 - 8 021 - 16 022

В соответствии с определением (1.7) функций 0,гг и тождествами (3.6) справедливо

36 П0т + 24 0^ + 12 0^ = 12 ^г'(в) (3 -ст0) шг(ст,) + 12 0, шг(8) (3 -ст0) ш"'(ст,) =

= (1-/?0)^(|(1+/?1)) +180, ^т-АоК'Ш1^)),

36 0,г0 + 24 0^ + 12 0,г2 = 12 шг'(в) ш, (ст0) (3 ст,) + 12 00 шг(в) ш,'(ст0) (3 - ст,) =

= 18^(5)^(1 (1+/?о))(1"/?1) +1800^(0^(1 (1+/?о))(1-А),

12 +24П2г +36П3т = 12 шг'(в) ст0 шг(ст,) + 12 0, шг(в) ст0 ш"(ст,) =

= 18^(0 ( 1+(30) ^(1(1+/?,)) + 18 0, Шг(8) (1+/?о) ""(К 1+А)),

12 0Д + 24 П,2 + 36 0,3 = 12 шг'(в) ш,(ст0) ст, + 12 00 шг(в) ш,'(ст0) ст, =

= 18^(0 щ (| (1+Ю) (1Д) + 18 0о "гОО 1+Ао)) (1+А)-

Следовательно, для всех (,?', г) € [{0, 3} х {1, 2}] и [{1, 2} х {0, 3}] имеет место равенство

М,гг = а,> ш''^) + , шг

где фигурируют следующие полиномы:

а01 = 81 8 (1 - в )(1-3 в, (1 - в2), &01 = - 9 0,(1-в0) (1-9в,),

а02 = 81 8 (1 - в0 ) ( 1 + 3 в, (1 - в2), ^02 = - 9 0,(1-в0) (1+9в,),

«31 = 81 8 (1+ в0 )(1-3 в, (1 - в2), &31 = - 9 0,(1+в0) (1-9в,),

«32 = 81 8 (1+ в0 ) ( 1 + 3 в, (1 - в2), ^32 = - 9 0,(1+в0) (1+9в,),

аю = 81 8 (1 - 3 в0 )(1 - в, (1 - во2 ), &10 = - 9 00( 1-9в0)(1-в,),

«20 = 81 8 (1 + 3 в0 )(1 - в, (1 - в02), ^20 = - 9 00 ( 1+9 в0 )(1-в,),

а13 = 81 8 (1 - 3 в0 )(1+ в, (1 - в2), &13 = - 9 00( 1-9в0)(1+в,),

а23 = 81 8 (1 + 3 в0 )(1+ в, (1 - в2), ^23 = - 9 00( 1+9в0)(1+в,).

Так как М,? = 0 для всех г) € {1, 2}2, то можно считать, что формула (4.1) верна и для этих индексов (полагаем по определению ац = а12 = а21 = а22 = 0, Ъц = Ъ12 = Ъ21 = Ъ22 = 0). Осталось преобразовать к виду (4.1) «угловые» элементы М,гр, г) € {0, 3}2. В построениях используются четный многочлен Т = ^ — /?2 — /?2 и полиномы

а;21(() = 2 ОЛ (С) + а;2(С) = \ С (3 "С )2, "ЫО = ал (С) + 2 а;2(С) = \ С2 (3 "О,

порожденные многочленами Лагранжа (1.1), такие, что

М|(1 + А)) =1(1-А)(1-Л2), ^21(1 (1 + А)) = (1-ЗЛ),

о;12(|(1 + Л)) =|1(1 + Л)(1-Л2), а//2(|(1 + А)) =-|(1+ЗА).

В соответствии с этими определениями и определением (1.7) справедлива цепочка равенств

М0О = 36 - 16 - 8 П{2 - 8 - 4 П2?2 =

= 36 ^ Ш (СТ0 ) Ш ) + 36 Ш ^ ) Ш ) + 36 ^ Ш ^ Ш (СТ0 ) ) -

- 4 ш'Кв) ^21(^0) ) - 4 6>0 Ш?(8) (^0) ^21К) - 4 Ш?(8) Ш21^) Ш^^) = = ^а;^(5)(1-/?о)(1-9/?о2)(1-/?1)(1-9/?2)-|0оа;г(5)(1-3/?о)(1-/?1)(1-9/?12)--|01а;г(5)(1-/?о)(1-9/?о2)(1-3/?1)-^а;^(5)(1-/?о)(1-/?о2)(1-/?1)(1-/?12) +

+ (1-3/30) (1-/5,) (1-А2) + ( 1-/30) ( 1-/502) ( 1-3/5,) =

= и'Кз) (1 ~(30) (1-/31)Т + 990 шг(з) (1-3/30) (1-Д) +90, а;*(в) (1-Д,) (1-3 А)-Следовательно, имеет место формула М0г0 = а00 ш?'^) + Ъ00 ш?(8) вида (4.1), в которой Ооо =(1-/50) (1-/5х) (^ -/52 -/52), 6ОО = 90о(1-3/?о)(1-/?1) + 901(1-/?о)(1-3/?1).

Формула вида (4.1) верна и для индексов (_?', г) € {(0, 3), (3, 0), (3, 3)} . Здесь справедливы аналогичные выкладки, в результате которых получаем формулы

Ооз = -^ (1-/50) (1+/5,) (^ -/52-/5^), 6оз = 90о(1-3/?о)(1+/?1) + 901(1-/?о)(1+3/?1),

= 6ЗО = 90о(1+3/?о)(1-/?1) + 901(1+/?о)(1-3/?1),

Озз = -^ (1+/?о)(1+/?1)(т-/3о-/?12)' Ьзз = 90о(1+3/?о)(1+/?1) + 901(1+/?о)(1+3/?1).

§ 5. Регулярное представление функционала невязок

Мы показали, что для всех многочленов М,р, (_?', г) € {0,1, 2, 3}2 имеет место представление (4.1). Определим, далее, двумерное множество индексов I = {0,1, 2, 3}2\{ 1, 2}2 и его подмножества К = {0, 3}2, К0 = {1, 2} х {0, 3}, К1 = {0, 3} х {1, 2}. Справедлива цепочка равенств

3 3 3 3 3 3 3

У „.3*-3+ М

Е и 3к-3+ ◦ мг = е Е Е <-3+ мг = ЕЕ [ Е «3к-3+м*

г=0 г=0 ,=0 р=0 ,=0 р=0 г=0

3 3 с 3 -ч 3 3 с 3 ч

Е Е , { Е и?к-3+гш''(«)} + Е Е Ъ*{£ «3?-3+Ш?(«и = Е [, , + Ъ,г

,=0 р=0 ^ г=0 ^ ,=0 р=0 ^ г=0 ^ (,,р) е/

Обозначили суммы, стоящие в фигурных скобках, через (ркг и фкг соответственно. Для всех г) € I определим граничные конечные разности

г и со -3 - и3к-2 - и3к- 1 и;уг , У = и3к-3 = V

рк = и3к 3 г г - 9 и3к-2- 9 и3к 1 и;уг , =и3к-3

3к-2 + 3 и3к-1 - и3к у г у Г ¡-и у г )

27 и^к + 27 и^к и^к •

Тогда в соответствии с определением (1.1) многочленов ш^в) = § (1+ск)) справедливо

к 1 г зк—3 зк—2 зк— 1 зк т 3 Г 3к—3 о 3к—2 о 3к—1 3к 1 1 к 3 к

] - 2 а [

фкг = [ и^"3 - 9г$"2 - 9.-"1 + ] + ^ а [ - 27+ 27- ] +

+ 16 ^ [ ^зг ] 16 ^ [ 3 ^зг 3 ^зг ]

16 Р]? + 16 + 16  ^/Р 16

Следовательно, имеет место равенство 3

16 Е и3к-3+ о М* = 16 Е У + Ьуг У =8 Е аУг У - 24 а ^ У -

г=о (у,г) е/ (у,г) е/ (у,г) е/

Е Ьуг ркг + а Е Ьуг дк-г + 9 а2 ^ У %% - 9 а3 Е Ьуг У

(у,г) е/ (у,г) е/ (у,г) е/ (у,г) е/

Для полиномов ауг, Ьуг, определенных формулами (4.2)-(4.4), справедливы представления "8" \_Q-jr + /30а^г + fí1(ljr + ДАО??- ] А?»") bjr 9 [ Ь00 + в0 Ь01 + в1 Ь)0 + в0 в1 ], где числа аТ, Ь Т и четные поли номы Л7> сведены в единую таблицу.

г г

Таблица 1

и, г) а00 а01 аУг ауг а10 а11 АЗГ Ь00 ЗГ Ь0г1 ЗГ Ь10 ЗГ б11 ЗГ

(0,0) -1 1 1 -1 00+01 -3 00 - 01 -00 - 3 01 ъв0 + ъв1

К (0,3) -1 1 -1 1 00+01 -3 0о - 01 00 + 3 01 —3 0О — 3 в1

(3,0) -1 -1 1 1 00+01 3 00 + 01 -00 - 3 01 —3 0О — 3 в1

(3,3) -1 -1 -1 -1 00 + 01 30о+01 00 + 3 01 гв0 + гв1

(1,0) 1 -3 -1 3 -00 9 00 00 "90о

(1,3) 1 -3 1 -3 -00 9 00 -00 90о

(2,0) 1 3 -1 -3 1-Ао2 -00 -9 00 00 90о

(2,3) 1 3 1 3 -00 "90о -0о "90о

(ОД) 1 -1 -3 3 -01 01 9 01 -9 91

(0,2) 1 -1 3 -3 -01 01 -9 01 9 6,

(ЗД) 1 1 -3 -3 1-А? -01 -01 9 01 9 6,

(3,2) 11 3 3 -01 -01 -9 01 -9 6,

Преобразуем шесть сумм из формулы (5.2). Имеет место равенство

9 ^ ^ ЪугР^ ^ ^ bjr р^г + Д, ^ ^ bjr р^г + /3, ^ ^ bjr р+ Р0Р1 ^ ^ bjr р^г (у,г) е/ (у,г) е/ (у,г) е/ (у,г) е/ (у,г) е/

= < b00,/}1 + ел ь01,рТ + ел ь10,рТ + во ел b11,/}1.

(Здесь и далее для линейных форм вида ^^ b0° pkr используем обозначение (b00, .) Ана-

е/

логичным образом получаем еще три равенства, содержащие числа b^:

I Е b3rqkr = (b00,qky + f30<601>?fc>i + A<610.?fc)i + ^i<611.?fc)i.

С?» е/ С?» е/

i E bjrw% = (b00,wky +130(Ь01^ку + /31(bl0,wk)1 + /30l3i(bn,wk)1. (5.4) (j,r) е/

Справедливы две цепочки равенств, содержащие константы а^:

ST Е air zjr = С?» е/

— ^ ^ ^00 Л^'г Zjr + во ^ ^ Л^'г Zj'r + вх ^ ^ Л^'г Zjr + вовх ^ ^ Л^'^ Zjr —

(j,r) е/ (j,r) е/ (j,r) е/ (j,r) е/

= (f - - А2) < a°°> + ( i-^o) < V>*0 + (1-/52) < a°°) ¿Т1 +

+ A (f - Аэ2 - A') < a°V>* + /?о( 1-/302) < a01, + т-ф < a01, г*)*1 +

+ А (f - Аз2 - Pi) < <Л + А(1-А2) < a10, zk)Ko + А(1-А2) < a10> zk)Kl + + АА ( f - А2 - А2) < an,zk)K + А А (1-А2) < an,zk)Ko + /?0 Д (1-А2) < an,zk)K\

Ш a3r wjr =

О» е/

— ^^ ^ ^00 ^wjr во ^^ ^ aa 01 ^Ojr ++ вх ^^^ ^ j во вх ^^ ^ —

(j,r) е/ (j,r) е/ (j,r) е/ (j,r) е/

= (f " A2" A2) < + (1- A2) < + (1-A2) < a00 V)*1 +

+ A (f - A2 - A2) < + A( 1-A2) < a01, •шТ0 + A( 1-A2) < ^T1 + + A ( f " A2 " A2) < <Л ffc>* + A(I""A2) < a10,wk)K° + Д (1--< aw,wk)Ki + + A A ( f - A2 - A2) < a11. ™k)K + AA( 1-A2) < an,wk)K° + p0 A (1-< a11,^.

Пусть, далее, /0 — K U K0 — {0,1, 2, 3} x {0, 3}, /1 — K U K1 — {0, 3} x {0,1, 2, 3}. В соответствии с тождеством ^ — /?2 — /?2 = —| + (I—/?2) + (I—/?2) справедлива перегруппировка слагаемых:

£ Е азг 4 = -I < a°°> zk)K + ( Х"А2) < zkY° + (!-А2) < zk)h -

М €/ -1А < a01,zk)K + А( 1-А2) <а01> zkY° + А( 1-А2) < о01) -2fc)Jl -

- f А ( a10, + А (1-А2) < a10, ¿fc>/0 + А (1-А2) < a10, zk)h -

-\p0p1{an,zk)K + /?0/?1(i-A2Xall^fc>/°+AA(i-A2)<all^fc>/1'

£ Е =-|<а00,А>х + (1-/?02)(а00,^>/о + (1-/?12)<а00,А>/1-

С?» е/

- | /30 < а01,ъик)к + /30( I-/?2) < а01, ги*)10 + /50(1-/5^) ( а01, ги*)'1 -

- ^ (3, (а10^к)к + (3,(1-13*) (а10,и)ку° + (З^!-^) (а10,и)ку1 -

- | [30[31{ап,Шк)К + {ап,гику° + ДА(1-/?2) (а11,^.

В силу (5.3)-(5.5) формула (5.2) получает представление, аналогичное формуле (3.7):

3

16 ^ = ^ + + + + +

i=0

где четные полиномы Щ = Щ(а, во, вх), I = 0,1,..., 7, определены следующим образом: 1гк = -±( Ь00,рку - | < а00, хк)К + (I-/?2) < а00, + (I-/?2) < а00, г*)'1 + а2 < б00, г*)1

Ъ\ = \{ Ъ00, дку + | < а00,и1к)К - 3 (I-/?2) < а00, - 3 (I-/?2) < а00, •г/)'1 - а2 < Ъ00,и)ку,

кк = -\{ Ь01,рку - | < а°\хк)К + (I-/?2) < а01, гку° + (I-/?2) < + а2 < б01, г")1,

кк = \{ Ь01,дку + | < а01,и>к)К - 3 (I-/?2) < а01, А>/0 - 3 (I-/?2) < а01, м*)'1 - а2 < б01, А)',

^ = _ 1 (Ь10,рку - | < а10, хк)К + (I-/?2) < а10, г*)/о + (I-/?2) < а10, г*)11 + а2 < б10, г")1,

кк = \{ б10, + | < а10,и,к)К - 3 (I-/?2) < а10, - 3 (I-/?2) < а10, •г/)'1 - а2 < Ь10,и)ку,

Щ = _ 1 (V)1 - | (ап,гк)К + (1-/31) < а1 V)10 + (I-/?2) < ап,гк)11 + а2 < Ъп,гку,

кк = \{ Ьп,дку + | < ап,и>к)К - 3 (I-/?2) < ап,и>к)10 - 3 (I-/?2) < а11, ьз^ - а2 < Ьп,и)ку.

В силу (3.7) и (5.6) формула (2.4) принимает вид £оА) = <я аг_2^(о;, /30, /31), где

^ (а, во, ) = /о + а/к + во /2 + а во /зк + вх /к + авх /к + во вх /к + «во вх /к, а четные полиномы

/к = gk + Л*, I = 0,1,..., 7,

определены, в свою очередь, через многочлены (3.8) и (5.7). Согласно (1.3), (3.4) справедливо а = ^ — 2к + 1, (30 = 2£0—1, (31 = 2^—1 (как следствие, сИ = | г <1а, с1(0 = \ с1(30, с^ = \ (1(3,). Следовательно, для слагаемых функционала (1.6) имеет место цепочка равенств

гЗкт г 1 г 1

>4 о-12 „2 _-4

г гЗкт г 1 г 1

3к = /К^Со ) С = 3 4 2-12 а2 т-4 / / / ^2(а,во ,вх) ^ С

-/Пк ) (Зк-З) т.] 0 .70

= 3 5 2-15 а2 т-3 J ! J ^2(а,во ,вх) ¿а^во¿вх,

причем в силу четности всех полиномов /¡к = /I(а, во ,вх) справедливо представление

3-5 215 а-2 т3 3к =

Ш

Здесь и далее для интегралов, определенных в кубе М = [-1,1]3, применяем обозначения

/ = Р(а, в0 ,в1) ^ = / Р(а, в0 ,в1) .

7м Ум 7-1 7-17-1

Итак, мы представили функционал (1.5) в виде суммы из N слагаемых (см. (1.6)), причем каждое слагаемое 7к само является суммой восьми интегральных слагаемых, входящих в формулу (5.9). Эти слагаемые, в свою очередь, порождены полиномами (5.8) (точнее, полиномами (3.8) и (5.7)) и в совокупности зависят от некоторых переменных (2.2) и от всех переменных (2.7), а именно, они зависят от 12N-4 переменных

х3к х3к х3к х3к к = 1 п хк Xк Vк хк хк Vк к = 1 N

х00, Х01 , х 10 , •¿Ш к = 1 , ...,п , х00 , х00 , х01, Х0Ъ х10 , М0 , х1Ъ М1 , к = 1 ,

(Заметим еще, что матрица перехода от этих переменных к искомым переменным и^, и^, М21, ^22, ^ = 1,..., 3N-1, — невырожденная.) Для нахождения минимума функционала (1.5) необходимо вычислить его частные производные по всем указанным переменным.

§ 6. Простые частные производные функционала невязок

Вычисления настоящего параграфа опираются на формулы (5.8), (3.8), (5.9) и (3.5).

6.1. Согласно формулам (5.8) и (3.8) для всех к = 1,..., N справедливо равенство

/о = - Ко"3 + *оо ] 5 + | Хоо [ Д +

Следовательно, вычислив с помощью формулы (5.9) частную производную д7/дХ00 (переменная Х00 не входит в поли номы /°,..., /°) и приравняв ее к нулю, получаем равенства

З"7 2 17 а"2 г3 [ д,1 /дХк0 ] = З"7 217 а"2 г3 [ д,1к/дХк0 ] = § [ /к [ д/к /дХк0 ]

м

0 = А [ х30к-3 + х30к ] + £0X0 + Нк,

где

А0 = - [ 5[Е + (1-а2)5]ф = -^| (30о+ З^+З^ + бЯД + 3в2), 7м

В0 = 1 [ [Е + (1-а2)5]2ф = Ц(3 + 50о + 501+302 + 50о01+302), (6.3) 7м

Н0к = / ^0 [ Е + (1-а2) 5 ] ф.

м

Вычисление интегралов в (6.3) опирается на формулы (3.5) и требует определенных усилий. Далее мы приводим без комментариев еще 7 совокупностей аналогичных формул. Считаем уместным лишь напомнить, что в вычислениях используются формулы (5.8), (3.8), (5.9), (3.5).

6.2. Для всех к = 1,..., N справедливо

Л* = [4к~3 -4о]3-1 ¥к [ЗД +

З"7 217 а"2 г3 [ д.] /д¥к ] = З"7 217 а"2 г3 [ д,7к/д¥к ] = § [ а2/к[ д/к /д¥к ] ф,

м

0 = А1 [ х30-3 - х0О ] + £1 ^к0 + Я°к,

Аг= - [ а2Б [ЗЕ + (1-а2)5] ф = -§§ (15+ 15дг + 302 + 5в0в1 + 302), 7м

Б1 = |/ а2[ЗЕ + (1-а2)5]2ф = ^ (63 + 210О+210х+3^ + 500^+302), (6.6) 7м

Я°к = -/ а2^к [ 3Е + (1-а2) 5 ] ф.

м

6.3. Для всех k = 1,..., N справедливо

/2 = + x¡k]P-¡Xk1[R +

З"7 217 а"2 г3 [ dJ /дХк01 ] = З"7 217 а"2 г3 [ dJk/dX^ ]=¡ [ ß2Jk [ dfk /дХкг ] dß,

Jm

0 = A2 [ x0k-3 + x3k ] + B2Xkx + Hk,

A2 =- [ ß2P[R + (l-a2)P] = (21 d0 + 5 9, + 105+ 35+ 5 92), Jm

б2 = | f ßf}[R + (l-a2)P]2dß = §§(3 + 2190 + 591 + 6392)+ 219091 + 392), (6.9) Jm

Hkk = -Í ß2 hk [ R + (1—a2) P ] dp. Jm

im

6.4. Для всех k = 1,..., N справедливо

/з = - - ] P + | itfi [ЗД +

3"7 217 a"2 r3 [ 9 J /0УО* ] = 3"7 217 а"2 r3 [ dJk/dYk[ ]=¡ í a2ß2fk [ dfk /д¥0\ ] dß,

Jm

0 = Аз [x0k-3 - x3k ] + B3Y0ki + Hk,

A3 = - í a2ß2 P[3R + (1 -a2) P]dß = (21 90 + 5 9г + 21 в2 + 19,9, + 02), Jm

Bs = ¡ í a2ß20 [ 3R + (1 -a2) P ] 2 dp = ^ (105 + 147 90 + 35 9,+ 105 92} + 35 909, + 5 92), Jm

Hk = / a2ß02 hk [ 3R + (1 -a2) P ] dp. Jm

6.5. Для всех k = 1,..., N справедливо

/к = К"3 + ] Q - I *íb [R +

3"7 217 а"2 г3 [ dJ /дХк0 ] = 3"7 217 а"2 г3 [ OJk/dXk0 ] = § í ß2fk [ dfk /дХк0 ] d¡i,

jm

0 = A4 [ xlk-3 + x3k ] + B4Xko + Hk,

A4 =- í ß2Q[R + (l-a2)Q]dß = ~^(5 9o+2191 + 5 92)+ 35 9o91 + 105 92), Jm

Б4 = | í ß2[R + (l-a2)Q]2dß =-§^(3 + 5 90 +219,+3 9^ + 219,9,+ 63 92), (6.15) Jm

Hk = -/ ß2 h4 [ R + (1-a2) Q ] dp. jm

6.6. Для всех k = 1,..., N справедливо

fk = ~[<~3 -4o]Q + i Yko [3R +

3-7 217 a"2 r3 [ dJ /д¥к ] = 3-7 217 а"2 r3 [ dJk/c)Yk ]=¡ í a2ß2Jk [ dfk /dYk0 ] dß,

jm

0 = A5 [xlk-3 - x3k ] + B5Yiko + Hk,

Аь = - f a2/?2 Q[3R + (1 -а2) Q]d¡i = (5 90 + 2191 + 920 + + 2102), J м

В5 = | [ а2/32 [3fí + (l-a2)Q]2d/x = ^ (105 + 35 + 147^ + 5 02 + 35 + 105 в2 ),

JM

H5k = [ а2в 2 [ 3R + (1 — а2) Q ] d^. Jm

6.7. Для всех k = 1,..., N справедливо

/б = - [xlt3 +x¡k1]U + ¡Xk1 [R + {l-a2)U] + hk,

3"7 217 а"2 г3 [ д J /дХки ] = 3"7 217 a"2 r3 [ dJk ¡dXkx ]=¡ í /32 /32Jk [ dfk /дХки ] d»,

Jm

0 = A6 [ x?k-3 + x3k ] + BeXk + Hk,

A6= - í /32I32U[R + (1-a2) U] dfi = -ü (0O + A + 5 0o2 + 79,9, + 592 ), 7m

B6 = | í (320 f32 [ R + (1 -a2) U ] 2dii = gffg (5 + 3 5 90 + 3 5 9X + 105 0Q2 + 147 + 105 Q\ ), jm

Hk =1 в02 в2 hk [ R + (1 —а2) U ] d^. Jm

6.8. Для всех k = 1,..., N справедливо

/7 = |>и~3-^п] [3-ñ +

З"7 217 a"2 г3 [ 9J /0У* ] = З"7 217 a"2 г3 [9 ] = | [ a2p20p2Jk [ dfk /д¥* ] d»,

J м

0 = Ar[ x3k-3 — x3k ] + BrYik + Hk,

Aj = - í a2[32[32 U[3R + (1 -a2) U]dfx = (590 + 591 + 592 + 79,9, + 50X2), 7M

S7 = | í (¿PIPI [3R + {l-a2)U]2dn= ^ (5 + 70o + 79, + 592 + 7 9091 + 5 92), (6.24) 7м

H7k = — / а2в02в2 hk [ 3R + (1 — а2) U ] d^.

м0

§ 7. Составные частные производные функционала невязок

7.1. При каждом k = 1,..., n переменная XqO входит в состав ровно двух слагаемых функционала J (в Jk и в Jk+1), следовательно, в силу (5.9) имеет место цепочка равенств

3-5 214 a-2 т3 [ dJ /dxkk] = 3-5 214 a-2 т3 [ дJk/да^ + dJfc+1/dx0k] =

= ju (fk [ drf/dx3k ] + / [ d/f № /Г [ д«] + / [ д^ /dx3k ]) *

Воспользовались тем обстоятельством, что переменная XQk входит только в полиномы fg, /k. Приравняв частную производную dJ/dx3k нулю, получаем уравнение

0=—

м

/о + fk+1 + а2( fk — fí+1) Sd^.

Применили равенства (6.1) и (6.4). В силу этих же равенств имеем

/о + /о+1 = ~~ [ хоо 3 + 2 ж3к + Ждк+3 ] S + | [ Хк0 + X0fc0+1 ] [ Д + (1 — a2) S* ] +hk + hk+1

67

/1 - Ак+1 = [ 4Г - 2 х30к + Ж3к+3 ] Б - | [ Г0к - Г0к0+1 ] [ 3 Д + (1 -а2) 5 ] + - кк+1. Следовательно, уравнение принимает вид

О = Со [ х30к0~3 + 2 хзк + х3к+3 ] + | Л [ Хк0 + Х0к0+1 ] + Ск + Ск+1 -

— С\[х^к 3 — + ] — | А\ [У0о ~~ ^оо+1 ] + ~~ Ск+1,

в котором числа А и А1 определены формулами (6.3) и (6.6),

С0 = [ Б2(111 = §(3в20+5в0в1+3в21), Ок = -[ кк0Бй^

мм

Сг = [ а2Б2йц = ^ (Зв2 + Ъв0в1 +3^2), = - [ а2^ Б йц.

>м >м

7.2. При каждом к = 1,..., п переменная ж§к входит в состав ровно двух слагаемых функционала 7 (в 7к и в 7к+1), следовательно, в силу (5.9) имеет место цепочка равенств

3-5 214 а-2 т3 [ д7 /дх01] = 3-5 214 а-2 т3 [ д7к/дж3к + д7к+1/дх0к] =

в0/2к [д/2 /дх0к ] + аЭД [ д/з /дх3к ] +

+ в2/^1 [ д/2к+1 /дх0к ] + а2Аз2/зк+1 [д/3к+1 /дх0к ] ) А^.

0

м

, д2;к+1 [ к+1 /дх3к ] , а2 в2 ;к+1 [ д/

Воспользовались тем обстоятельством, что переменная входит только в полиномы /°, /°. Приравняв частную производную нулю, получаем уравнение

0=

м

в2 (/к + /2к+1) + а2в2 (/3к - /3к+1Я Р А^.

Применили равенства (6.7) и (6.10). В силу этих же равенств имеем

/2 + /к+1 = + 2жзк + Ж3к+3 ] Р - | [Хк! + Хк+1 ] [ Д + (I-«2) Р] + /¿к + /4+\

/з " /зк+1 = " [" 2 хзк + Ж3к+3 ] Р + | [Г0к - Г0к+1 ] [3Д + (1 -а:2) Р] + /¿к - ¡гк+1. Следовательно, уравнение принимает вид

о = С2 [ Ж3к"3 + 2 хзк + Ж3к+3 ] +1 л2 [ хк! + хк+1 ]+ск + ак+1 -

- Сз |>зк"3 - 2 х1к + Ж3к+3 ] - I Аз [ Г0к1 - Уо\+1 ]+С1- Ск+\

в котором числа А2 и А3 определены формулами (6.9) и (6.12),

С2 = / /?2Р2ф = ^(2102 + 70о01+^), Ск = [

мм

Сз = [ а2(З2Р2 с11А, = §-5 {21 е2 +7е^+е2), Ск = [ а2[32Нк Рйц.

.Ум .Ум

7.3. При каждом к = 1,..., п переменная ж30 входит в состав ровно двух слагаемых функционала 7 (в 7к и в 7к+1), следовательно, в силу (5.9) имеет место цепочка равенств

3-5 214 а-2 т3 [ д7 /дж?0] = 3-5 214 а-2 т3 [ д7к/дж3к + д7к+1/дж?0] = в,/ [ д/4 /дж30 ] + а2в 2/5 [ д/к /дж3к ] +

+ в 2/4+1 [ д/4к+1 /дж30 ] + а2в°2/5к+1 [д/5к+1 ] ) А^.

м

Воспользовались тем обстоятельством, что переменная ж3^ входит только в полиномы /4к, /к. Приравняв частную производную д3 /дж3к нулю, получаем уравнение

0= / Jm

в2( /4 + /П + а2в2( fk - /5k+1) Qdp.

Применили равенства (6.13) и (6.16). В силу этих же равенств имеем

¡к + /Г1 = [ 4к0~3 + 2 + *?к+3 ] Я -1 [ + Х&1 ] [ д + (1 -«2) д ] + нк + ЛГ1, /5 - /*+1 = -М"3 - + ж3*+3] д +1 [3^0 - гк+1 ] [зд + (I-«2)д] + ^ - /¿к+1.

Следовательно, уравнение принимает вид

О = С4 [ х\к~3 + 2хзк + х\к+3 ] + | А4 [ Хк0 + Хк0+1 ] + Ок + Ск+1 -

- СБЙ"3 - 2хзк + я3*"3] - | А5[¥к0 - Ук+1 ] + Ск -

в котором числа А4 и А5 определены формулами (6.15) и (6.18),

С4 = / /512Q2dp = ^(0o2 + 70o01+2102), Gk = [ p2hk4Qdfi, jm Jm

C5 = f a2l321Q2dii = §E(el + 7в0в1+21в21), Gk = [ a2fi2hk5Qdn. jm jm

7.4. При каждом к = 1,..., п переменная ж3! входит в состав ровно двух слагаемых функционала 3 (в 3к и в 3к+1), следовательно, в силу (5.9) имеет место цепочка равенств

3-5 214 а-2 т3 [ д3 /дж?к ] = 3-5 214 а-2 т3 [ д3к/дж31 + д3к+1/дж?к ] = вo2в12/6k [ /к /джзк ] + а2во2в/ [ / /джзк ] +

+ во2вl2/6k+1 [ д/к+1 /дж?к ] + а2в11в0/'k+1 [/+1 /дж31 ] ) ф.

Воспользовались тем обстоятельством, что переменная жзк входит только в пол иномы /к, /к Приравняв частную производную нулю, получаем уравнение

7 •

0 = -

Jm

e2e 2( /к + fefc+1) + а2в02в 2 ( /7 - /7fc+1) U dp

Применили равенства (6.19) и (6.22). В силу этих же равенств имеем

/к + /к+1 = - Ьи-3+2 +жзк+з ] с/+§ [хкг+х^1 ] [ к+(1 -а2) и ] + +

/к-/к+1= [жзк"8-2ж?к+Ж3к+3] [/-§ [гД-Гк+1] [ЗЯ + (1-а:2)[/] Следовательно, уравнение принимает вид

0 = С6 [ Ж3к"3 + 2 х\к + Ж3к+3 ] + | Л6 [ Хк! + Х^ ]+Ск + Ск+1~

-C7[xlk~3-2xf1+x31k+3] -¡A7[Y1k1-Yk1+1] +Gk — Gk+1,

6 + G6

к /~ik+ 7 — g7

в котором числа Аб и A7 определены формулами (6.21) и (6.24),

С6 = / /52/?2^2Ф = ^(50о2 + 70о01 + 502), Gk = -[ fi20fi2hkUdp,

jm jm

C7 = [ a2i3?)i32U2dfi=§E{b92 + 70о^+502), Gk = - [ a2f32Qf32hk7Udp.

jm jm

§ 8. Система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов оптимального аппроксимирующего сплайна

8.1. В силу формул (6.2) и (6.5) для всех k = 1,... ,n справедливы равенства

о = Ао [ x3k-3+2 xkk+x3k+3 ] + во [ Xk+хл ] + H+HT1 , о = A1 [ x3k-3—2 x3k+x3k+3 ] + B1 [ Yko—Y^1 ] + hí — HÍ+1 .

Следовательно, вычислив линейную комбинацию трех уравнений (двух данных уравнений и уравнения (7.1)) с коэффициентами —9 АоВь 9 AВо и 8 ВоВ1 соответственно, получаем урав-

30—3 30 30+3

пение, содержащее лишь переменные xkk , x¿k, xkk :

0 = dkk x3k-3 + 2 Dkk x3k + dkk x3k+3 + Vko.

Коэффициенты уравнения вычислимы через числа (6.3), (6.6) и (7.2):

Dkk = B1

8.2. В силу формул (6.8) и (6.11) для всех k = 1,..., n справедливы равенства

0 = А2 [ x30-3 + 2 x30 + x30+3 ] + В2 [ XÍ1 + XÍ1+1 ] + H20 + HÍ+1,

0 = А3 [ x3f-3 — 2 x3f + x3f+3 ] + B3 [ Yk01 — Y^1 ] + Hf — Hf+1. Следовательно, вычислив линейную комбинацию трех уравнений (двух данных уравнений и уравнения (7.3)) с коэффициентами —9 А2В3, 9 А3В2 и 8 В2В3 соответственно, получаем урав-

30—3 30 30+3

пение, содержащее лишь переменные xk1 , xg!, xk1^ :

0 = dk1 x30-3 + 2 Dk1 x31 + dk1 x31+3 + V.fc1.

Коэффициенты уравнения вычислимы через числа (6.9), (6.12) и (7.4):

Dk1 = В3( 8В2С2 — 9А2 ) + В2(8В3С3 — 9А2 ), dn = Bi(8В2С2 — 9А2 ) — 8В3С3 — 9А2 ),

Vkfc1 = 8 В2В3 [ Gf + G2+1 + Gf — G.+1 ] — 9 А2В3 [ H20 + H.+1 ] +9 А3 В2 [ H. — H.+1 ].

8.3. В силу формул (6.14) и (6.17) для всех k = 1,..., n справедливы равенства

0 = А4 [ x?k-3 + 2 x3k + x?k+3 ] + В4 [ Xfk + X1Í0+1 ] + H40 + H40+1,

0 = A5 [ x?k-3 — 2 x3k + x?k+3 ] + B5 [ Y10k — Y1Í+1 ] + H50 — HÍ+1. Следовательно, вычислив линейную комбинацию трех уравнений (двух данных уравнений и уравнения (7.5)) с коэффициентами —9 А4В5, 9 А5В4 и 8 В4В5 соответственно, получаем урав-

30—3 30 30+3

пение, содержащее лишь переменные x1k , x30 , x1k :

0 = d1k x3í-3 + 2 Дю X30 + d1k x3í+3 + Vi

Коэффициенты уравнения вычислимы через числа (6.15), (6.18) и (7.6):

Дю = В5(8В4С4 — 9А2 ) + В4(8В5С5 — 9А2 ), dw = 8В4С4 — ) — Bi( 8В5С5 — 9А2 ),

V10O = 8 В4В5 [ Gf + G4+1 + Gf — GÍ+1 ] — 9 А4В5 [ H40 + HÍ+1 ] +9 А5 В4 [ H50 — H.+1 ].

8.4. В силу формул (6.20) и (6.23) для всех k = 1,..., n справедливы равенства

0 = Аб [ x30-3 + 2 x30 + x30+3 ] + Вб [ X.1 + XÍ+1 ] + H. + H.+1,

0 = ¿7 [ ж?к-3 - 2 ж?к + ж31+3] + В7 [ ^ - ф1 ] + як - Я7к+1. Следовательно, вычислив линейную комбинацию трех уравнений (двух данных уравнений и уравнения (7.7)) с коэффициентами —9 АбВ7, 9 ¿7В6 и 8 ВВ7 соответственно, получаем урав-

3к—3 3к 3к+3

пение, содержащее лишь переменные жп , ж31, х11 :

0 = ¿11 х31-3 + 2 Бц ж?к + ¿11 х3к+3 + УД. Коэффициенты уравнения вычислимы через числа (6.21), (6.24) и (7.8):

D11 — 8 ВбСб - 9A6) + Bg

8.5. Таким образом, мы ПОЛуЧИЛИ ИТОГОВуЮ систему О — dij Xij + 2 Dij x3j + dij x3j + Vij ,

k — 1,...,n,

0 — x0k-3 + x30 ] + BoXo + H0k, 0 — A1 [ x00-3 - x0k ] + B1Y00 + Hk,

0 — A2 [ xik-3+xik ] + B2X0k1+Hk, 0 — A3 [ xik-3 - xik ] + B3 YO+Hk,

0 — A4 [ x10-3 + x3k ] + B4X0 + H4k, 0 — A5 [ x10-3 - x3k ] + B5Yko + Hk,

0 — Аб [ x10-3 + X30 ] + B6Xk1 + h0O, 0 — A7 [ X10-3 - X30 ] + B7Y101 + H,

k — 1,...,N, k — 1,...,N,

k — 1,...,N, k — 1,...,N,

линейных алгебраических уравнений относительно линейных комбинаций

ж3к ж3к ж3к ж3к к — 1 п Xк Vk Xк Vк Xк ук Xк Vк к — 1 N

Х00 ! Х01 ! Х 10 ! Х11) к — 1 ! ...,П , ! Х00 ! ^Ъ Х 01 5 X10 ! М0 ! ^ 11 ? М1 ! к — 1 ! ...!

коэффициентов оптимального аппроксимирующего сплайна. Совокупность (8.9) представляет собой единообразную запись уравнений (8.1), (8.3), (8.5), (8.7). Совокупность (8.10) — это уравнения (6.2), (6.5), (6.8), (6.11), (6.14), (6.17), (6.20), (6.23). Количество уравнений в системе (8.9)^(8.10) равно 12Ж — 4, количество неизвестных такое же.

Теорема 1. Система (8.9)—(8.10) имеет, единственное решение.

Доказательство теоремы составляет содержание следующего параграфа. Здесь же отметим лишь основные аспекты поцедуры решения системы. При каждом (г,^) € {0,1}2 матрица системы 0 — й^ ж3к-3 + 2 ж^к + й^ ж3к+3 + У- относительно неизвестных ж3,..., ж3-0,..., ж3™ имеет трехдиагональный вид (из определений допустимого массива и (2.2) справедливы равенства ж- — ж3^ — 0). Одним из достаточных условий ее однозначной разрешимости является условие доминирования главной диагонали, то есть выполнение неравенства | | > | й^ | (что действительно имеет место). Таким образом, решив (например, методом прогонки) каждую из четырех подсистем системы (8.9), находим все значения

ж3к ™3к ™3к ™3к и - 1 гп

ж00 ! ж01 ! ж10 ! ж11 ! к — 1, . . . , и.

После этого из уравнений (8.10) явно вычисляем все значения

X к V к X к V к X к V к X к V к к — 1 N

^0 , ^00 , 01, ^0 , 2 10, ^ 11, 2 11, к — 1 , ...,

Полученные значения позволяют найти по формулам (3.1) все значения

ж3к-2 ж3к-2 ж3к-2 ж3к-2 ж3к-1 ж3к-1 ж3к-1 ж3к-1 к — 1 N

ж00 , ж01 , ж10 , ж11 , ж00 , ж01 , ж10 , ж11 , к — 1 ,..., N ,

и в конечном счете найти по формулам (2.3) все искомые величины

и 11, иг12, иг21, иг22, г — 1,...,3Ж-1.

§ 9. Доказательство теоремы

Достаточно показать четыре неравенства | | > | ^ (г,€ {0,1}2.

9.1. Пусть (г,= (0, 0). Определим локальные числа а = 90 + 9^ Ь = 3 92 + 5 909 1 +3 9 2' с = а-2Ь. Тогда Ь = са2, а в соответствии с формулами (6.3), (6.6) и (7.2) справедливы равенства

А0 = -Ща(3 + са), В0 = Щ (3 + 5а + са2), С0 = Цса2,

А = _12| а (15 +са), Вг = Ц (63 + 21 а + са2), С1 = ^са2.

Пусть, далее, 7 = 2 21 3-5 5-6 7-1 а2,

А = 945 (2 с - 5) + 630 (2 с - 5) а + 9 (29 с - 50) с а2 + 30 с2а3 + 2 с3а4,

6 = 945 (2 с - 5) - 315 (2 с - 5) а + 9 (75 - 13 с) с а2 + 45 с2а3 + с3а4. Проверка справедливости равенств

В1( 8 Во Со - 9А2 ) + Во( 8 В С - 9А? ) =2 7 А, В (8 Во Со - 9^2 ) - Во( 8 В1С1 - 9^2) = 76

требует определенных усилий. Следовательно, две первые формулы (8.2) приобретают вид ^оо = 2 7 А и ^оо = 76 соответственно, а для уравнений (8.9) имеет место представление

0 = б^-3 + 4Ах3к + 6х3к+3 + 7-1^оо, к = 1,... ,п.

Пусть Л = 91/90 > 0, тогда 9 1 = Л90 и

с = а-2Ь = (90 + 91 )-2 (3902 + 59091 + 392) = (1 + Л)-2 (3 + 5Л + 3Л2).

Так как ^с/йЛ = (1 + Л)-3 (Л -1), то рациональная функция Л € (0, то) ^ с € М ведет себя следующим образом: она монотонно убывает на интервале (0,1) от значения 3 до а на интервале (1, то) она монотонно растет, асимптотически приближаясь к числу 3. Таким образом, с € [ 3). В силу этого обстоятельства справедливы оценки 2с — 5 > 0 и 29с — 50 > 0, поэтому А > 0, а так как 3 — а = 3 — 90 — 91 > | — 90 — 91 >0 (см. (7)), то

6 = 315 (2 с - 5) (3 - а) + 9 (75 - 13 с) с а2 + 45 с2а3 + с3а4 > 0.

Кроме того, 3А - 2 6 = 945 (2 с - 5) + 2520 (2 с - 5) а + 9 (113 с - 300) с а2 +4 с3а4 > 0. Следовательно, | 4А | - 2 | 6 | = 4А - 2 6 > 3А - 2 6 > 0, поэтом у | Ооо | > | ^оо |.

9.2. Пусть (г,_?') = (0,1). Определим числа а = 21 90 + 5 91, Ь = 21 92 + 79091 + 92, с = а-2Ь. Тогда Ь = с а2, а в соответствии с формулами (6.9), (6.12) и (7.4) справедливы равенства

=а(1 + 5са), В2 = ^(З + а + Зса2), С2 = ^са2,

= а(1 + са), В3 = 6155 (105 +7а+ 5са2), С3 = Цса2.

Пусть, далее, 7 = 2 21 3-3 5-7 7-4 а2,

А = 105 (30 с - 1) + 14 (30 с - 1) а + 15 (87 с - 2) с а2 + 30 с2а3 + 30 с3а4,

6 == 105 (30 с - 1) - 7 (30 с - 1) а + 45 (1 - 13 с) с а2 + 45 с2а3 + 15 с3а4. Проверка справедливости равенств

В3(8В2С2 -9А2 ) + В2(8В3С3 -9А3 ) =27 А, В3(8В2С2 -9^2 ) -В2( 8В3С3 -9^2 ) = 76

требует определенных усилий. Следовательно, две первые формулы (8.4) приобретают вид ^о! =2 7 А и ^о1 = 76 соответственно, а для уравнений (8.9) имеет место представление

0 = 6хГ3 + 4А+ 6^+3 + 7-Чъ к = 1,... ,п.

Пусть Л = 0,/0О > 0, тогда 0, = Л0О и

c = a-2b = (210О + 5 )-2 (210О2 + 70О0, + 02) = (21 + 5 Л)-2 (21 + 7 Л + Л2).

Так как dc/dA = 7(21 + 5 Л)-3 (Л — 9), то рациональная функция Л € (0, то) — c € R ведет себя следующим образом: она монотонно убывает на интервале (0,9) от значения jj- до а на интервале (9, то) она монотонно растет, асимптотически приближаясь к числу Таким образом, с € [ jjg, IT )• В силу этого обстоятельства справедливы оценки 30 с—1 >0, 87 с—2 > 0, поэтому А > 0, а так как 15 — а = 15 — 21 0О — 5 вг > 21 (| — 0О — 0Х) > 0, то

5 = 7 (30 c — 1) (15 — а) + 45 (1 — 13 c) c а2 + 45 с2а3 + 15 с3а4 > 0.

Кроме того, ЗА — 2 5 = 105 (30 c — 1) + 56 (30 c — 1) а + 45 (113 c — 4) c а2 + 60 c3а4 > 0. Следовательно, | 4А | — 2 | 5 | = 4А — 2 5 > 3А — 2 5 > 0, поэтомv | D01 | > | doi |.

9.3. Пусть (i, j) = (1, 0). Определим числа а = 5 0О +21 0,, b = 02 + 7 0О0Х +21 02, c = а-2Ь. Тогда b = ca2, а в соответствии с формулами (6.15), (6.18) и (7.6) справедливы равенства

А4 = а (1 + 5 са), В4 = Ц (3 + а + 3 са2), С4 = ^са2,

А5 = ~Т§Е а(1 + са), В5 = gffg (105 + 7а + 5са2), С5 = ^са2.

Пусть, далее, y = 2 21 3-3 5-7 7-4 а2,

А = 105 (30 c — 1) + 14 (30 c — 1) а + 15 (87 c — 2) c а2 + 30 c2а3 + 30 c3а4,

5 = 105 (30 c — 1) — 7 (30 c — 1) а + 45 (1 — 13 c) c а2 + 45 c2а3 + 15 c3а4. Проверка справедливости равенств

Вб( 8 B4C4 — 9A2 ) + B4 (8 B5C5 — 9A5) =2 7 А, B( 8 B4C4 — 9A2) — 8 B5C5 — 9A2 ) = y5

требует определенных усилий. Следовательно, две первые формулы (8.6) приобретают вид Dio = 2 7 А и dio = 7 5 соответственно, а для уравнений (8.9) имеет место представление

0 = 5ж?0-3 + 4Аx30 + 5x30+3 + 7-1VÍ0, k = 1,... ,n.

Пусть Л = 0О/0, > 0, тогда 0О = Л0, и

c = а-2Ь = (5 0О + 210,)-2 (02 + 70О0, + 210°2) = (5 Л + 21)-2 (Л2 + 7Л + 21).

Так как dc/dЛ = 7(5 Л + 21)-3 (Л — 9) то рациональная функция Л € (0, то) — c € R ведет себя следующим образом: она монотонно убывает на интервале (0,9) от значения jj- до а на интервале (9, то) она монотонно растет, асимптотически приближаясь к числу Таким образом, с € [ jjg, IT )•  силу этого обстоятельства справедливы оценки 30 с—1 >0, 87 с—2 > 0, поэтому А > 0, а так как 15 — а = 15 — 5 0О — 21 Qx > 21 (| — 0О — 0Х) > 0, то

5 = 7 (30 c — 1) (15 — а) + 45 (1 — 13 c) c а2 + 45 c2а3 + 15 c3а4 > 0.

Кроме того, 3А — 2 5 = 105 (30 c — 1) + 56 (30 c — 1) а + 45 (113 c — 4) c а2 + 60 c3а4 > 0. Следовательно, | 4А | — 2 | 5 | = 4А — 2 5 > 3А — 2 5 > 0, поэтомv | D10 | > | d10 |.

9.4. Пусть (i,j) = (1,1). Определим числа а = 0О + 0,, b = 502 + 70О0, + 502, c = а-2Ь. Тогда b = ca2, а в соответствии с формулами (6.21), (6.24) и (7.8) справедливы равенства

=-±§ a(l + ca), В6 = ^ (5 + 35а + 21 са2), С6 = ^са2,

А7 = ~^§Еа(5 + са), В5 = (5 + 7а + са2), С7 = ^са2.

Пусть, далее, y = 2 21 5 9 7 5 а2,

А = 125 (2 c - 7) + 350 (2 c - 7) а + 15 (29 c - 70) cа2 + 210 c2а3 + 42 c3а4,

S == 125 (2 c - 7) - 175 (2 c - 7) а + 15 (105 - 13 c) c а2 + 315 c2а3 + 21 c3а4. Проверка справедливости равенств

8BeCe -9A2 ) + В>(8B7C7 -9A2 ) =2y А, B7(8BeCo -9A2 ) -Be( 8B7C7 -9A2) = 7S

требует определенных усилий. Следовательно, две первые формулы (8.8) приобретают вид D11 =2 y А и du = 7S соответственно, а для уравнений (8.9) имеет место представление

0 = Sxfk-3 + 4Аx3i + Sx3k+3 + y-1vA, k = 1,...

Пусть Л = в 1/в0 > 0, тогда в 1 = Лв0 и

c = а-2Ь = (во + в1 )-2 (5в02 + 7вов1 +5в2) = (1 + Л)-2 (5 + 7Л + 5Л2).

Так как dc^Л = 3(1 + Л)-3 (Л -1), то рациональная функция Л € (0, то) ^ c € R ведет себя следующим образом: она монотонно убывает на интервале (0,1) от значения 5 до а на интервале (1, оо) она монотонно растет, асимптотически приближаясь к числу 5. Таким образом, с€ [ Ц-, 5). В силу этого обстоятельства справедливы оценки 2 с — 7 > 0, 29 с — 70 > 0, поэтому А > 0, а так как 5 - 7 а = 5 - 7 в0 - 7 в 1 > 0, то

S = 25 (2 c - 7) (5 - 7 а) + 15 (105 - 13 c) c а2 +315 c2а3 + 21 c3а4 > 0.

Кроме того, 3А - 2 S = 125 (2 c - 7) + 1400 (2 c - 7) а + 15 (113 c - 420) c а2 +84 c3а4 > 0. Следовательно, | 4А | - 2 | S | = 4А - 2 S > 3А - 2 S > 0, поэтомv | D11 | > | d11 |.

§ 10. Формулы для свободных коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений

В предыдущих построениях значения свободных коэффициентов

Hk,...,Hk, k = 1,...,N, V0fc0, V0fc1, Vi V/ь k = 1,...,n,

системы (8.9)^(8.10) не были востребованы. Полагаем, однако, что для удобства реализации

процедуры решения системы необходимо привести эти значения в полном объеме. Уместно

линейной комбинацией как минимум 48-ми граничных элементов допустимого массива (ujr ), i = 0,1,..., 3N, j, r = 0,1, 2, 3. Поясним сказанное на примере вычисления величин Hk и . 10.1. Согласно (6.3) и (5.7) имеет место цепочка равенств

ттк 1

Н0 = ~д

b00,pkУ + 8 < а00, zk/ [ R + (1-а2) S] dp +

ш

+ < а00, zk>l0 I (1 -в02) [ R + (1-а2) S] dp + < а00,zk>h f (1-в°2) [ R + (1-а2) S] dp + jm jm

+ < b00,zkУ f а2 [ R + (1-а2) S] dp, Jm

а в силу определений (3.5) вычислимы все интегралы:

Нко = "§ (1 + е0 + в,) \ < Ь00,рку + 8 < a00, zk)K 1 + ff5 (6 + 5 в0 + 6 в,) < а00, zk)10 +

Следовательно, имеет место представление

tf0fc = -§( 1 + 0о+4[ Е bfrVkjr + 8 Е afrz%] + #(б + 50о+60О Е а°г°4 +

(j,r) е/ (j,r) ек (j,r) е/о

+ #(6 + 600 + 500 Е а^4 + #(5 + 30о+301) Е 4°4,

С?» е/х 0» е/

в котором фигурируют константы а00 и определенные в таблице 1, и граничные конечные разности 4, 4Г, 4, 4, определеныые в (5.1) и являющиеся линейными комбинациями граничных элементов допустимого массива (), г = 0,1,... , г = 0,1, 2, 3.

Аналогичным образом получаем формулы для остальных коэффициентов ,..., (отталкиваясь от определений (6.6), (6.9), (6.12), (6.15), (6.18), (6.21), (6.24)):

Н1 = ~Ш (5 + ^о + 4 [ Е 4° 4 +24 Е a°°wjr]+ÉH ЗО + 50о+60х) Е afrwkjr +

(j,r) е/ (j,r) ек (j,r) е/О

+ #(30 + 600+50,) Е а?°^г + ^(7 + 0о + 01) Е Ь;

4» е/i (j,r) е/

00 wkr,

Як = Ц(1 + 50о+01) Е 4^ + 8 Е

01 „fc

jr

64 315

(2 + 70О + 2 0,) Е

4 zjr —

64 675

я.

k _ 32

(j,r) е/ (j,r) ек (j,r) е/О

(б + ЗО0о + 50х) Е 44-^(5 + 1500 + 30!) Е bfrzjr,

(j,r) е/i (j,r) е/

,k

3 - 2025 ( 5 + 5 00 + 0,) Е 44 + 24 Е <$<4 -# (1О + 70о +20Х) Е

4 wjr —

0» е/

64 225

( 6 + 6 0О + 0,) Е

(j,r) ек

01 fc _ _32_ ujr wjr 525

О» е/о

( 7 + 5 0о + 0, ) Е b

01 wjr,

(j,r) е/,

^ = 11(1+^0 + 500 [ Е 4Ч>+8 Е <4

(0,r) е/ (j,r) ек

,10 ^k 32

0,r) е/

64 675

(6 + 5 0О +30 0,) Е а]0 —

О» е/о

4 675

я

5 = 2Ш5(5+^0 + 50i) Е 4°4+24 Е <*>}>% -#(6+^+600 Е

-#(2 + 20о+70х) Е ai°r*

(0,r) е/,

^ kr + 24 Е а10 wfc

(j,r) е/ (0,r) ек

"#(10 + 2 00 + 700 Е

(j,r) е/, k

(5 + 30О + 150j Е 40 z

k, 4 ,

(0,r) е/

а]0 wjr —

10 fc _ _32_

а,jr Wjr 525

+ 5 0, ) Е b

О» е/о

10 wkr,

(0,r) е/

#«=-ais (1 + 500 + 500 Е 4?4+8 Е aJ>4 +1И5 (2 + 70О + Ю0О Е а"4 +

(0,r) е/

(0,r) ек k

О» е/о

+ ^(2 + 1000 + 700 Е 44 + #(i + 30o + 30O Е b)rz:

(0,r) е/, (0,r) е/

k, 4,

я7к =(i+0o+0O Е 414+24 Е а)Мг- +2Í5 (Ю+70О+Ю0О Е 4'г4+

7 2025

L (0,r) е/ (j,r) ек (0,r) е/о

+ 2М5 (10 + Ю0О + 700 Е 4 w% + 2М5 (7 + 5 0О+ 5 00 Е 4

(0,r) е/, (j,r) е/

10.2. Согласно (7.2) и (5.7) имеет место цепочка равенств

4 wkr.

/~<к _ 1

U0 — 9

00 Л\к

<b00+ 4 а00^'

/ Sd^ 4 а°°4)/0 / (1—в2) Sd^ — Im jm

o

-а

x°°,zk>h [ (1-е2) Sdp - <b00,zk>4 а2 Sdp, jm jm

a в силу определений (3.5) вычислимы все интегралы:

/~<к_ 16

U0 — 27 V^o

Е b00 j+8 E

(j,r) ei (j,r) eK

а00 zjr

32 45

(5 в0 + 6 в1) ^ а00 zkr -

(j,r) ei0

32 45

fc _ 16

9 Vvo

u E b

(j,r) ei

00 zk . jr zjr .

(60O+50J

(j,r) eh

Аналогичным образом получаем формулы для остальных коэффициентов Gk,..., Gk (отталкиваясь от определений (7.2), (7.4), (7.6), (7.8)):

S-1K _ _¿6

~~ 81 V ^о

y: j j+24 е

(j,r) ei (j,r) eK

+ §(500+60!) E a?rwjr + (j,r) ei0

+ §(600 + 50,) £ a°r°^ + i(0o + 01) E b>.

(j,r) ei1 (j,r) ei

00 j,

^2 — _Ж ( 5 0O + 01) E ^jr 4 + 8 E a°jl Zjr + ж ( ^ + 2 01) E а°зг zjr +

(j,r) ei (j,r) eK (j,r) ei0

+ i(60o+0i) E <4 + 1(50o + 0i) E

(j,r) eh (j,r) ei

k

= ¿l(50o+0i) E $4 + 24 J] -ж(70о + 20х) E

а01 j -

(j,r) ei

§ (6 0o+0i) E

(j,r) ei1

(j,r) eK

а01 j -

(j,r) ei0

#(50o + 0i) E

(j,r) ei

— ~~ ж ( + 5 01) E $4+8 E a}r zjr + Ii (0Q +60x) E a)r4 +

(j,r) ei

(j,r) eK

(j,r) ei0

+ ж(20о+701) E ^>4 + ^(00 + 500 E bi°r*

(j,r) eh (j,r) ei

k

k, jr,

= ü(0o + 50i) [ E $<£ + 24 £ a)>kr

(j,r) ei (j,r) eK

§ (0o

+ 6 во E

(j,r) ei0

а)0 j -

32 105

(2 в0 + 7 вО Y

(j,r) ei1

10 к _ 16 jr jr 75 \ "0

(в0 + 5 в1) b

j0 wkr,

(j,r) ei

- ж (0O+00 E 4 4+8 E

а]1 4

(j,r) ei

(j,r) eK

32 525

(7 в0 + 10 вО E

(j,r) ei0

а]1 4 -

32 525

(10 в0 + 7 во а]1 z:

(j,r) ei1

jr - H (0o + 00 E b

(j,r) ei

11 zk ,

jr zjr ,

С7 = -ж(0о+0О [ Е 44 + 24 Е а)>кг]+^(70о + Ю0О Е а)г< +

О» еI О» ек О» е1о

+ ж(1О0о+70О Е а)Хг- + #К + 0О Е

О?» е11 0,г) е1

10.3. Согласно (8.2), (8.4), (8.6), (8.8) величины Удо, Ул., У^д, УД вычислимы через числа Нк, ... , Нк, , ... , Ск, каждое из которых является линейной комбинацией, содержащей 48 граничных элементов допустимого массива (и^ ), г = 0,1,... , 3Ж, г = 0,1, 2, 3. Каждая из величин Цдо, "о!, ук, V/! содержит 84 граничных элемента допустимого массива.

Заключение

Алгоритм, представленный в теореме 1, имеет линейную сложность вычислений, и он устойчив (так как неравенство | Dj | > | dj справедливое для всех (i,j) € {0,1}2, гарантирует не только существование и единственность решения системы (8.9)^(8.10), но и устойчивость метода прогонки, с помощью которого решается данная система). Численные эксперименты показывают, что с ростом N минимум функционала невязок JN == min J() стремится к нулю. Полагаем, что линейность алгоритма имеет определенные перспективы, а предложенные многомерные сплайны найдут свое место в ряду многочисленных конструкций, ориентированных на многомерную интерполяцию и аппроксимацию (в этом ряду отметим работы [6-10]).

Список литературы

1. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 4. С. 146-153. DOI: 10.20537/vml00416

2. Родионов В.И. Об одном методе построения разностных схем // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 5-2. С. 2656-2659.

3. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности / / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 141-156. DOI: 10.20537/vml20313

4. Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим волновым уравнением // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. С. 141-152. DOI: 10.20537/vml40112

5. Rodionov V.I. On exact solution of optimization problem generated by simplest transfer equation // Современные компьютерные и информационные технологии: сборник трудов международной научной российско-корейской конференции. УрФУ. Екатеринбург, 2011. С. 132-135.

6. Пацко Н.Л. О численном решении эллиптических краевых задач методом конечных элементов с применением B-сплайнов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 10. С. 1412-1426.

7. Kounchev О. Multivariate polysplines: applications to numerical and wavelet analysis. San Diego: Academic Press, 2001. 512 p.

8. Lai M.J., Schumaker L.L. Spline functions on triangulations. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. 608 p. DOI: 10.1017/CB09780511721588

9. Силаев Д.А., Коротаев Д.О. Решение краевых задач с помощью S-сплайна // Компьютерные исследования и моделирование. 2009. Т. 1. № 2. С. 161-172.

10. Kuzmenko D., Skorokhodov D. Optimization of transfinite interpolation of functions with bounded Laplacian by harmonic splines on box partitions //J. Approx. Theory. 2016. Vol. 209. P. 44-57. DOI: 10.1016/j.jat. 2016.05.002

Поступила в редакцию 27.04.2018

Мзедавее Асаад Насер Хуссейн, аспирант, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: assad0711@yahoo.com

Родионов Виталий Иванович, к. ф.-м.н., зав. кафедрой, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: rodionov@uni.udm.ru

А. N. Mzedawee, V. I. Rodionov

Exact solution of an optimization problem generated by the three-dimensional Laplace equation Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2018, vol. 51, pp. 52-78 (in Russian). Keywords: three-dimensional Laplace equation, interpolation, multivariate spline. MSC2010: 41A15

DOI: 10.20537/2226-3594-2018-51-03

A one-parameter family of finite-dimensional spaces consisting of special three-dimensional splines of Lagrangian type is defined (the parameter N is related to the dimension of the spline space). The solution of the boundary value

problem for the Laplace equation given in a three-dimensional parallelepiped admits a representation in the form of a sum of four summands: a function linear in each of the three variables, and solutions of three particular boundary value problems generated by the original equation. In turn, these problems give rise to three problems of minimizing the functionals of residuals given in the indicated spline spaces. This decomposition allows one to study only one of the three optimization problems (the other two are symmetric in nature). A system of linear algebraic equations is obtained with respect to the coefficients of the optimal spline that gives the smallest discrepancy. It is shown that the system has a unique solution. The numerical solution of the system reduces to the implementation of the sweep method (the stability of this method holds). Numerical experiments show that with increasing N, the minimum of the residual functional tends to zero.

REFERENCES

1. Rodionov V.I. On application of special multivariate splines of any degree in the numerical analysis, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2010, issue 4, pp. 146-153 (in Russian).

DOI: 10.20537/vml00416

2. Rodionov V.I. A method for constructing difference schemes, Vestn. Tambov. Univ. Ser. Estestv. Tekh. Nauki, 2013, vol. 18, issue 5-2, pp. 2656-2659 (in Russian).

3. Rodionov V.I., Rodionova N.V. Exact solution of optimization task generated by simplest heat conduction equation, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, issue 3, pp. 141-156 (in Russian). DOI: 10.20537/vml20313

4. Rodionova N.V. Exact solution of optimization task generated by simplest wave equation, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, issue 1, pp. 141-152 (in Russian). DOI: 10.20537/vml40112

5. Rodionov V.I. On exact solution of optimization problem generated by simplest transfer equation, Advanced Computer and Information Technologies: Abstracts of Int. Conf, Ural Federal University, Yekaterinburg, 2011, pp. 132-135.

6. Patsko N.L. Numerical solution of elliptic boundary value problems by the finite element method using B-splines, Comput. Math. Math. Phys., 1994, vol. 34, issue 10, pp. 1225-1236.

7. Kounchev O. Multivariate poly splines: applications to numerical and wavelet analysis, San Diego: Academic Press, 2001, 512 p.

8. Lai M.J., Schumaker L.L. Spline functions on triangulations, Cambridge: Cambridge University Press, 2007, 608 p. DOI: 10.1017/CB09780511721588

9. Silaev D.A., Korotaev D.O. Solving of boundary tasks by using S-spline, Computer Research and Modeling, 2009, vol. 1, no. 2, pp. 161-172 (in Russian).

10. Kuzmenko D., Skorokhodov D. Optimization of transfinite interpolation of functions with bounded Laplacian by harmonic splines on box partitions, J. Approx. Theory, 2016, vol. 209, pp. 44-57. DOI: 10.1016/j.jat.2016.05.002

Received 27.04.2018

Mzedawee Asaad Naser Hussein, Post-graduate student, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: assad0711@yahoo.com

Rodionov Vitalii Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Head of the Department, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: rodionov@uni.udm.ru