О диверсификации индексного фонда

О диверсификации индексного фонда The diversification of an index fund

I s /Ц МОСКОВСКИЙ p ЭКОНОМИЧЕСКИЙ лЛ ЖУРНАЛ

УДК 519.852 DOI 10.24411/2413-046X-2020-10412 Северина Любовь Александровна,

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Севодин Михаил Алексеевич, научный руководитель, к.ф.-м.н., доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Severina Liubov Aleksandrovna Sevodin Mikhail Alekseevich Аннотация. В работе предложены новые подходы к решению задачи оптимизации портфеля ценных бумаг. Указано направление, по которому можно объединять известные модели составления оптимальной структуры портфеля, базирующиеся с одной стороны на активном способе управления, а с другой стороны на пассивном. Совместное использование названных методов проведено в виде диверсификации или метода EGP, которые, помимо своих обычных целей, еще и приводят к портфелю, по составу максимально приближенному к структуре индексного фонда. В качестве одного из возможных здесь направлений исследований предложено вводить дополнительную целевую функцию, которая описывает степень совпадения распределения долей ценных бумаг портфеля инвестиций с распределением, построенным по методу индексного фонда. Показано, что итогом такого подхода является двухкритериальная задача оптимизации с ограничениями. В заключение работы авторы приводят практическую иллюстрацию предлагаемой модели, результаты которой показывают возможность практического использования разработанной методики.

Summary. This paper describes a new way to solve the problem of optimization of the securities portfolio. It describes the direction in which it is possible to combine known models of drawing up an optimal portfolio structure based on the one hand on the active control method, on the

other hand on the passive. Sharing these practices carried out in the form of diversification or method Elton-Gruber, which in addition to its ordinary purpose, and even lead to the portfolio composition as close as possible to the index fund structure. As one of the possible lines of research are proposed to introduce additional objective function that describes the degree of coincidence of the distribution of shares of the securities portfolio with the distribution constructed by the method of the index fund. It has been shown that the outcome of this approach is two factor optimization model with constraints. In conclusion, the authors give a practical illustration of the proposed model, the results of which indicate the possibility of the practical use of the developed method.

Ключевые слова: портфель ценных бумаг, доходность, риск, структура индекса. Keywords: portfolio, profitability, risk, index structure.

1.Введение. Так как на финансовом рынке невозможно найти ценную бумагу, которая одновременно будет ликвидной, а также иметь высокий доход и являться высоконадежной (т.е. иметь нулевой риск), следует прибегнуть к портфельному инвестированию, которое подразумевает под собой распределение инвестиционного потенциала между различными группами активов. В широком смысле, слово «инвестировать» означает расстаться с деньгами сегодня, чтобы в дальнейшем получить большую сумму.

Приняв решение о необходимости инвестирования денежных средств в финансовые активы, инвестор начинает чаще всего работает не с отдельным определенным активом, а с некоторой совокупностью этих активов, называемым портфелем ценных бумаг, или инвестиционным портфелем.

Под инвестиционным портфелем понимается некий набор ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления.

В зависимости от поставленных целей и задач, при формировании какого-либо портфеля ценных бумаг, выбирается определенное процентное соотношение между активами входящими в его состав. Как правило, портфель представляет собой определенный набор из ценных бумаг.

Основной задачей, при формировании портфеля ценных бумаг является грамотный учет всех потребностей инвестора и состав портфеля ценных бумаг, сочетающий в себе допустимый риск и приемлемую доходность.

Но так как рынок очень изменчив, мало просто составить хороший портфель, т.к. портфель, который хорош сегодня, уже завтра может стать неэффективным. Поэтому

необходимо грамотно вести оптимальное управление портфелем ценных бумаг. Модели управления портфелем ценных бумаг могу быть активными или пассивными.

Под активной моделью управления портфелем ценных бумаг, понимается своевременное варьирование состава финансовых инструментов в портфеле в случае нарушения инвестиционных целей. В активной модели важно постоянно определять и привлекать к портфелю ценных бумаг эффективные рыночные инструменты и в это же время избавляться от неэффективных, на данный момент, активов.

Пассивные же методы управления, в свою очередь, основываются на предположении о информационной достаточности рынка ценных бумаг. В данном случае исходят из представления о невозможности стабильного отклонения от среднерыночных уровней доходности финансовых инструментов.

Исходя из этого можно сделать вывод, что наиболее интересным будет рассмотрение совместного использования пассивного и активного методов управления портфелем ценных бумаг. [1]

В данной работе делается попытка объединения названных методов. В качестве представителей активного управления берутся диверсификация (модель Марковица) [2] и метод EGP [3], а в качестве представителя пассивного управления - метод индексного фонда. В настоящей статье предлагается под результатом объединения этих методов понимать соответствующим образом построенную в работе двухкритериальную задачу с ограничениями. В заключении работы полученные результаты иллюстрируются на конкретном примере.

2. Метод ЕОР и модель Марковица. В методе EGP ставится задача нахождения оптимальных удельных весов инвестиций в различные ценные бумаги ПЦБ [3]. Пусть\-доходность 1-й ценной бумаги в момент1. Она выражена в процентах прибыли.

где St - стоимость 1-й ценной бумаги в момент1. Тогда доходность портфеля в момент 1:

где к; - доля инвестиций в 1-ю ценную бумагу, входящую в состав ПЦБ,

Математическое ожидание доходности портфеля также является взвешенной средней ожидаемых доходов от отдельных ЦБ:

Рискованность данного ПЦБ оценивается стандартным отклонением вычисляемым на основе дисперсии его доходности:

где и 1- дисперсия доходности 1-й ценной бумаги, Иу-ковариации между доходностями 1-й и _]-й ценными бумагами:

В методе БОР построение оптимального ПЦБ соответствует максимизации следующей функции

где Я^норма доходов ЦБ с фиксированным процентом, для этих бумаг риск равен нулю, т. е. и^О. Максимальное значение функции соответствует решению системы уравнений

Итак, решение системы определяет оптимальную структуру портфеля при заданном наборе ЦБ и норме доходов Rf по ЦБ с фиксированным процентом.

Перейдем теперь к модели Марковица. В отличии от (1), в этой модели эффективный ПЦБ-это портфель, имеющий минимальный риск при данном уровне доходности портфеля (или, имеющий максимальную доходность при заданном уровне риска). Поиск

л,л> о.

решения здесь сводится к построению в плоскости кривои, называемой

эффективным фронтом (каждая точка кривой удовлетворяет названному критерию оптимальности и соответствует конкретной структуре ПЦБ) Для этого для каждого

1=1 Г=1

минимизируется функция Задача (2) решается методами квадратичного программирования. Далее по

определенным для каждого ^ долям ПЦБ определяются доходность и риск, которым соответствует точка на эффективном фронте.

3. Учет индексного фонда. Учет индексного фонда проведем с помощью аналогов кривой Лоренца [4] и коэффициента Джини [5]. Для начала построим идеальную кривую Лоренца, то есть биссектрису первого координатного угла, которую назовем кривой .

к — (^ *—^у}

Далее будем строить аналог кривой Лоренца - кривую распределения долей ценных бумаг ПЦБ. При построении индексов будем использовать систему условного взвешивания, то есть находить долю каждой ценной бумаги в общем объеме продаж. Эту долю будем брать за вес, который назначается каждой ценной бумаге при использовании метода индексного фонда. Таким образом, имеются значения долей

Упорядочив доли по не убыванию вложенных в них средств и переномеровав,

получим новую последовательность 1

Далее на координатной плоскости отметим

Очевидно, что Sk равно общему числу вклада в к первых долей, а SN соответствует сумма всех долей. Соединяя соседние точки отрезками прямых, получаем ломаную линию, концами которой являются начало координат и точка (1,1), которую назовем кривой Гк.

По аналогии построим на координатной плоскости ломаную соответствующую решению, полученному методов EGP. На входе будем иметь упорядоченную

к.,1 = 1,...,ЛГ.

последовательность 1

Московский экономический журнал №6 2020

Полученную кривую обозначим за Аналогично коэффициенту Джини [5] введем для данного распределения

^ 1 ^ коэффициент близости к распределению индексного фонда

где

-площадь фигуры, ограниченной отрезком биссектрисы первого координатного угла Г и кривой Tk,

Г н Г^.

" - соответственно площадь между

Заметим, что и что чем меньше будет значение этого коэффициента, тем

ближе кривая Г\ к кривой

Таким образом, можно говорить о двух задачах.

у/ —> max, 1 —> min.

Задача 1(диверсификация индексного фонда):

О —> max, I -^mim.

Задача 2(оптимизация типа EGP индексного фонда): 4. Пример. Рассмотрим задачу 2. В качестве инструментов, входящих в портфель, выберем акции таких компаний как, Сбербанк ПАО (SBER), Газпром ПАО (GAZP), Роснефть ПАО (ROSN) ОАО ЛУКОЙЛ (LKOH), ОАО ГМК Норильский никель (GMKN), ОАО НОВАТЭК (NVTK), Газпром нефть (SIBN), ОАО Татнефть (TATN), Яндекс Н.В. (YNDX), Банк ВТБ (ОАО) (VTBR), ОАО Мобильные ТелеСистемы (MTSS), ОАО Ростелеком (RTKM), ОАО Аэрофлот (AFLT), ОАО Акрон (AKRN). На входе мы имеем данные о стоимости акций и объем продаж на период 01.11.2019-28.02.2020. Все данные взяты с сайта http://ru.investing.com, на котором представлены актуальные данные котировок акций.

Так как мы имеет две целевые функции (функцию доходности и функцию объема продаж), задачу будем решать методом уступок [6], в данном случае за целевую функцию возьмем функцию объема продаж. Результаты приведем в виде кривых Tk. При решении данной задачи получим следующее решение (Рисунок 1-Рисунок 4):

Мет о д уступ ок:

ДОМ Лмцш Cpií.h'.n.n JíMtífJírtKm ь PlHllf НОЖГЛ .h>'.ní,C-TLLU'.ri ДахаЭноап ь

íA<m st-ас ОАО ГШ Норильск ий н ивель 1<:-мюн цшяит 1.ЙМЕ9Н8 а,17СЛ?Ш2 í 0J6456776

1Д 755 Л- (К ЯНДвКС Н.В. [YNO(| ЦЖБ«5в4 ¿лшщдте Í.29M1K48 2

2,5392 51-05 Г= pDM не et ь i ЕIBN: 0J071S12Í 1ЛЖ(В(ИЗ (Uie73(E3ci 1

2Я0914Г СЕ cao лушй1 икон;. С.ОЙ499Я2 1,77Ы47799 С.С 7В 51555 1

i,:iM4IC5 ОАОТетнефть|ТАТН| QH7IZ15S Z19177CSSJ ЩНД22ШТ 5

7,:С781[-05 ОАО Роетепеиоу ;F Т KJ/; c.csciäaM L4Ü(H9D9 а.явдиасз С

ОАО МоВипьньв Геле Системы №11] ашшси 1241Í97315 С.2<Ж729М 7

алаамщл Роснефть ПАО |HO¡N) сл99мс1 Z101545242 0,014336846 S

0,0КШ74Л ИЯрЙНПМ) liHEh.f C.OCÍÍC297S ЦШШ -1C-0G 9

0,001612124

Рисунок 1. Доли, полученные методом уступок

X Y

N tí» 5к 5W 5t/5N

3 й 50 й 4001512124 С

a íiiiiiiii 5J Ь4007БМБ ааозвта

Ц777777777 52 Ц.515Б1Н5 OJO 1553432

аэзззззззз 53 CLÍB1355Z54

54 7,824 Ь05 (10131.52535

I?. ======== 5 55 CIÍ03U4Í7Í

Qffi5E56567 5£ СЩИШЖБ iL 13 7Б 75 513

Q 77777777В 57 СЮККБ41Б 01ЕЭ14Э251

QffiffiffiffiS 5S QÍDM74M5 QH44Z1E5

1 59 CL СО 1512124 1

Рисунок 2. Ко ординат ы, полученные методом уступок

Метод EGP,

ДОЛИ Акция Средняя доходность Риски W1-W2*... -tWl4(Beco) Новая нумерация /Сходность

ЗД34Е5т07 ОАО Акрон [АКИН| -С!,Ш7557915 0, 555525559 tLCO3497131 1 0,074931626

БуМОТБЕ-'Зб ОАО ГМК Норильский никель igmkh; 0111ЕЕ4Е7Б ЦЯНШНВ 5,К452Е-07 2

2^В914Е-0Б ОАО ЛУКОЙЛ |LKOH} цсшиинг 1,771447799 Ц4510150ББ 3

7J707BLE-,DB ОАО Росгепе ком IRTKMf ЦСКИЗЕЯ 1,457534509 Q5454E55D6 4

ВДЙЕЕтСБ ОАО МоСИЛЬНЫе ТелеСистемы if/ТБ £f Q1356Z3017 циеини 5,31532Е-07 5

0,OOOIS373

Рисунок 3. Доли, полученные методом EGP

X Y

N k/N 5к 5N 5íi/5N

5 ü 50 0 4000193973 0

0,2 51 343455 Е-07 01001752535

0,4 52 5 74425Е-06 Q0B44U154

0,5 53 55Щ57Е-СЕ Q1KJBIS075

0,Е 54 0,0001.12514 Q57412H06

1 55 0,000195973 1

Рисунок 4. Координаты, полученные методом EGP

На следующем графике (Рисунок 5) представлены кривые построенные при выбранной уступке в 20%. Зеленым обозначена кривая Г (идеальная кривая Лоренца),

синим кривая (полученная на основе метода ЕОР), оранжевым кривая (полученная на основе решения задачи 2).

к 1

Рисунок 5. График полученных решений Для вычисления коэффициента Джини воспользуемся формулой площади Гаусса, получим следующее

ST_ = 0,3 542 77646: ,Sr = 0.241777064

из этого следует, что коэффициент Джини равен:

I = 0,056250291.

Из представленных выше данных можно сделать вывод о том, что в приведенном примере, результаты, полученные при нахождении оптимального портфеля ценных бумаг методом уступок, являются наиболее интересными для рассмотрения, так как доходность данного портфеля (0,1645678) более высокая, нежели доходность портфеля, полученная при нахождении весов методом EGP (0,074991626).

Список литературы

1. Портфельное инвестирование: уч. пособие / А.А. Пересада, А.Г. Шевченко, Ю.М. Коваленко, С.В. Урванцева. - К.: КНЭУ 2004. - 408 с.

2. Markowitz H.M. Portfolio Selection. Journal of Finance, 1952. V.7. № 1. - 15c.

3. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y.: JohnWileyandSons, 1987. -645c.

4. Экономика: Учебник.3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. д-ра экон. наук проф. А.С. Булатова. - М.: Экономистъ, 2003. -635c.

5. Экономическая теория: учеб. / В.И. Антипина, И.Э. Белоусова, Р.В. Бубликова [и др.] ; под ред. И.П. Николаевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. -576с.

6. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; под ред. А.В. Кузнецова. -2-е изд. - Мн.: БГЭУ, 2000. -412с.

References

1. Portfolio investment: textbook / A. A. Peresada, A. G. Shevchenko, Yu. M. Kovalenko, S. V. Urvantseva. - K.: KNEU 2004. - 408 p.

2. Markowitz H.M. Portfolio Selection. Journal of Finance, 1952. V.7. № 1. - 15s.

3. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y.: JohnWileyandSons, 1987. -645s.

4. Jekonomica: Uchebnik.3-e izd., pererab. i dop. / Pod red. d-ra jekon. nauk prof.A.S. Bulatova. - M.: Jeconomists, 2003. -635s.

5. Jekonomicheskaja teorija: ucheb. / V.I. Antipina, I.E. Belousova, R.V. Bublikova [I dr.] ; pod red. I.P. Nikolaevoy. - 2-e izd., pererab. I dop. - M.: TK Velbi, Izd-vo Prospekt, 2006. -576s.

6. Jekonomiko-matematicheskie metody i modeli: Ucheb. posobie/N.I. Holod, A.B. Kuznetsov, Ya.N. Zhihar i dr.; Pod red. A.B. Kuznetsova. -2-e izd. - Mn.: BGEU, 2000.-412s.