Свойства конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2012. Вып. 1

УДК 517.95 О. А. Махинова

СВОЙСТВА КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФЕ

1. Введение. В последнее время в естествознании и приложениях сетеподобные системы являются распространенными объектами исследований. Достаточно упомянуть промышленные объекты, материалообразующая основа которых конструктивно выполнена в виде одномерных континуумов, взаимодействующих через связующие их узлы -места крепления фрагментов технической конструкции. Описать протекающие в таких устройствах колебательные процессы, как правило, удается классическими математическими моделями, реализуемыми на геометрических графах. В данных исследованиях применяются два типа графов - граф-звезда и граф с циклом. Такие графы и комбинации их используются в качестве множества изменения пространственной переменной при математическом описании колебательных процессов сетеподобных промышленных конструкций, например при мониторинге колебательных процессов в ма-териалообразующей основе сложных антенных конструкций: антенные системы типа «мачта-растяжки», сетчатые и решетчатые антенные системы. Численная реализация математических моделей с непрерывно меняющимися аргументами сводится в конечном итоге к системе алгебраических уравнений той или иной структуры. Построение такой системы существенно опирается на априорную информацию, каковой являются свойства оператора исходной задачи. Такая информация во многих случаях оказывает решающее влияние на выбор методов вычислительной математики, используемых для решения указанных алгебраических систем уравнений: преемственность свойств операторов задач при редукции к конечно-разностному аналогу дает возможность опираться на хорошо разработанные методы функционального анализа, что обычно позволяет простым и универсальным путем проводить изучение эффективности алгоритмов вычислительной математики для эволюционных и динамических задач.

В работе показано, что при редукции дифференциального оператора к конечно-разностному аналогу последний наследует спектральные свойства дифференциального оператора: структура множества собственных чисел аналогична структуре множества собственных значений дифференциального оператора, сохраняется полнота собственных векторов в конечномерном пространстве, что открывает возможности для глубокого анализа устойчивости (счетной устойчивости) и сходимости разностных схем для эволюционных и динамических задач. При этом разностный аналог оператора Лапласа остается симметричным и положительным оператором в конечномерном пространстве.

Махинова Ольга Алексеевна — аспирант кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доц. B. B. Провоторов. Количество опубликованных работ: 9. Научные направления: краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графе, численные методы анализа. E-mail: moa1002@mail.ru.

© О. А. Махинова, 2012

2. Необходимые понятия и определения. Рассмотрим два вида множеств изменения переменной: граф-звезда Г и граф с циклом Э. Граф Г содержит ребра

(к = 1, то), примыкающие к внутреннему узлу С- Ребра (к = 1,то— 1) ориентированы «к узлу С», ребро 7т - «от узла С»- Ребра (к = 1, то — 1) параметризуются отрезком [0, ребро 7т - отрезком [§,7г]. Через (/г = 1,то) обозначим граничные узлы графа Г. Граф Э состоит из шести ребер, причем три из них образуют цикл. Обозначим через СъС2,Сз внутренние узлы графа с циклом Э. Все ребра параметризуются отрезком [0, Ребра 71,73,75 образуют замкнутый контур (цикл), ориентированы по часовой стрелке, ребра 72,74,7б - граничные ребра рассматриваемого графа Э, ребра 72,74 - ориентированы ко внутреннему контуру, а 76 - от контура.

Обозначим через С (Г) множество непрерывных на Г функций, С [Г] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными), С2[Г] - множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат С [Г]. Аналогично определяются пространства С(Э), С[Э], С2[Э]; Ь2(Г) (Ь2(Э)) - пространство функций, интегрируемых с квадратом на графе Г (графе Э). Сужение функции /(х) на ребро 7 будем обозначать через ](х)7. Интеграл от функции ](х) по графу Г понимается как сумма интегралов от сужений ](х)7 по каждому ребру 7.

3. Дифференциальные операторы на графах. Ниже рассматриваются диффе-

,2

ренциальные операторы, порождаемые дифференциальным выражением Ь(р(х) = —-¿^ на функциях у(х), заданных на графе Г или Э. В приложениях с помощью таких операторов (одномерный оператор Лапласа на графе Г или Э) описываются многие краевые задачи математической физики, относящиеся к теории упругости [1].

Рассмотрим граф Г. Обозначим через Жг множество функций х) € С (Г) р| С2 [Г], удовлетворяющих соотношениям

71 \ /7Г\

^ 9 =^ 9 ' к=1,т-1,

У 2 1к У 2 1т

г-1

, '

к=1

^2<р'{х)х=%е7к=<р'{х)х=±е7т, /г = 1, то — 1.

Дифференциальному выражению Ь сопоставим оператор Аг, действующий в пространстве ¿2 (Г) на функциях р(х) многообразия Жг; областью определения Ваг оператора Аг является множество функций <^(х) € Жг, удовлетворяющих условиям

¥>

Далее рассмотрим граф Э и пусть Жэ - множество функций х) € С(Э) р| С2[Э], удовлетворяющих соотношениям

^

>

= ^'«»7,+»?'«>)„,

Как и выше, дифференциальному выражению Ь сопоставим оператор Аэ, действующий в пространстве Ь2(Э) на функциях у(х) многообразия Жэ; областью определения оператора Аэ является множество функций у(х) € Жэ, удовлетворяющих условиям

Ф)х=ое72 = 0,

Ясно, что операторы А г и Аэ линейные.

Замечание 1. При моделировании упругих колебаний сетеподобных промышленных конструкций (упругие сети), выполненных по типу графа Г или Э, либо конечного числа указанных графов, соотношения (1), (2) или (4)-(9) являются условиями трансмиссии (согласования), соотношения (3) или (10) - условиями закрепления сетей.

В работах [2, 3] достаточно подробно изучены свойства операторов Аг и Аэ. Нам в дальнейшем потребуются некоторые из них.

Теорема 1 [2]. Операторы Аг и Аэ симметричны:

(Агу,ф) = (у,Агф), Уф), ф(х) € Блг, (Аэу,ф) = (у,Аэф), Уф), ф(х) € Баэ,

здесь через (, ) обозначено скалярное произведение в пространстве Ь2(Т): (¡,д) = / /(х)д(х)йх, Т - граф Г или Э. т

Теорема 2 [2]. Операторы Аг и Аэ положительно определены:

(.Агу, у) > 0, Уф) € Блг, (Аэу, у) > 0, Уф) € Бла.

Замечание 2. Из теоремы 2 вытекает положительность собственных значений операторов Аг, Аэ. Структура множества собственных значений, вид соответствующих собственных функций представлены в работах [1-3].

4. Разностные аналоги операторов Аг и Аэ. Построим конечно-разностные аналоги дифференциальных операторов Аг и А^.

Рассмотрим граф Г. Обозначим через х\ (г = 0, Ж) точки, принадлежащие ребру

к = 1,т — 1: х\ = ^г; через х1т (г = М,2М) - точки ребра 7т: хгт = | + 577«•

Множество точек х\ (г = 0, 2Ы, к = 1, то — 1) и хгт (г = Ж, 2М) назовем равномерной сеткой (далее просто сеткой) графа Г и обозначим через Гк; величина Н = 277 - шаг сетки. Каждой функции у, заданной на графе Г, сопоставим сеточную функцию значение (ун)\ функции в точке х\ € ГА равно у(х\).

Обозначим через Жг множество сеточных функций удовлетворяющих соотношениям

= к =1^1,

^ - УХ-1 -

к=1

(соотношения (11), (12) - аппроксимация функций у>(х) многообразия Жг). Оператор АГ - конечно-разностный аналог оператора Аг - на сеточных функциях € ЖГ определяется следующими равенствами:

= ¿= 1,ЛГ-1, к=1,т-1,

областью определения ПГ оператора АГ является множество сеточных функций € ЖГ, удовлетворяющих соотношениям

№)1=0, к = Т^Т,

(аппроксимация условий (3) в граничных узлах графа Г). Таким образом, оператор АГ определен в конечномерном пространстве сеточных функций .

Далее рассмотрим граф Э. Обозначим через х\ (г = О, Ж, к = 1,6) точки, принадлежащие ребрам (к = 1,6). Множество этих точек назовем равномерной сеткой графа Э и обозначим через величина шага сетки равна ^. Каждой функции ср, заданной на графе Э, ставится в соответствие по вышеописанному правилу сеточная функция .

Обозначим через Ж^ множество сеточных функций удовлетворяющих соотношениям

N = УГ) 1 = 0,

к к к '

н + л - л '

(^)Г-(^Г1 , (^Г-^)Г1 (^)е - Г20,

к + к - к [и)

(соотношения (15)-(20) - аппроксимация функций ¡р(х) многообразия Жэ). Оператор А^ - конечно-разностный аналог оператора Аэ - на сеточных функциях € Ж^ определяется равенствами

область определения П^ оператора А^ описывается соотношениями

= (^)0 = (^ = 0- (22) Ясно, что оператор АГ определен в конечномерном пространстве сеточных функций .

Теорема 3 [2, 3]. Операторы Ар и Ар, задаваемые соотношениями (13) и (21), симметричны и положительны.

Замечание 3. Собственные числа операторов А^ и Ар положительные. Структура множества собственных чисел операторов А^ и АЭ наследует структуру множества собственных значений операторов А г и Аэ соответственно.

Отметим, что краевые задачи, порожденные операторами Аг или Аэ, аппроксимируются с погрешностью Н алгебраическими системами уравнений с матрицами, соответствующими операторам А^ и Ар в конечномерном пространстве сеточных функций. Для получения разностного аналога второго порядка аппроксимации (погрешность аппроксимации Н2) решение краевой задачи при достаточной его гладкости удобно продолжить вне ребер графа еще на один интервал длиной Н, вводя так называемые «фиктивные» точки [4]. Дополним сетку Г'1 точками х¿Г1, (к = 1, то — 1) и ж^-1, Такую сетку обозначим через Г^, очевидно включение Гр С Г^. Сеточная функция в точках сетки Гр определяется, как и выше, значения на множестве Гр\Гр (т. е. в точках ЖдГ1, (к = 1, то — 1) и ж^-1, ) - соотношениями

^ (^)Г - (^)Г (^)Г1 - (^)Г

^ 2к - 2к [ '

к=1

(^)Г'-(ЛГ 1"=—>. = (Эд

</):' =

Соотношения (23)-(26) задают множество Жр.

Конечно-разностный оператор А^ рассчитывается по равенствам

= ; { = (Щ к = 1,то- 1,

(А^ )1т = ^ ^ , i = N,2N.

Областью определения Iр оператора А^ является множество сеточных функций € Жр, для которых выполнены соотношения (14), аппроксимирующие соотношения (3) в граничных узлах графа Г.

Аналогичные построения осуществим и для сетки Дополним сетку «фиктивными» точками х—1, х^ +1, к =1, 2,6. Получим в них значения функции

= ^ )Г = 1,

+1 =

- (^)г1, - (^)з1 (^)Г1 - (^)Г1 21% 21% 2к К '

(^Г1 - , (^)Г1 - (^)Г1 - (^)Г 2/12/1 2/1 '

(^)Г1 - (^)Г1 , - (^)Г (^)е - (^)е 1

= к =—6,

= А =

Новую сетку обозначим через ЭГ. А соотношения (28)-(35) задают множество Жд.

Конечно-разностный оператор Ад на сеточных функциях € Жд рассчитывается по равенствам

1к

= -:: /к УГ , г = 0,ЛГ, к= 1,6.

Областью определения Пд оператора Ад, устанавливаемой (36), является множество сеточных функций € Жд, для которых выполнены соотношения (22). Для оператора АГ имеют место следующие утверждения. Теорема 4. Для любых функций фГ € Пд имеет .место тождество

т—1 N , . ч 2N , . ч

Е N (А ^, (Ф%) + Е (, (Ф%) =

к=1 .= 0 4 ' 4 '

т— 1 N , . ч 2N , . ч

= Е Е . + Е

к=1 .=0 4 ' i=N 4 '

Доказательство. Соотношение (37), учитывая вид (27) оператора АГ, можно представить в виде суммы двух равенств:

т—1 т— 1

е (- ю—1 >:) - юг+1 (*г)г:=Е (- ю: (*%') - )т (*г т+1.

к=1 к=1

% {-юГ ЮГ" - ЮГ" юГ - ± Сй юГ+юГ) юг}+ +(-юг ю: - ю: юг - ± юг+юг) ю:} -= е' {- ЮГ юг - юг юг - юг-+юг) юг}+ +(-ю; юг - юг ю; - * (е юг+юг) ю;}

Равенства (38) и (39) превращаются в тождества, учитывая соотношения (25), (26) и (23), (24) соответственно. Теорема доказана.

Следствие 1. Из утверждения теоремы вытекает самосопряженность оператора А^.

Теорема 5. Для любых функций фр € I4р имеет место тождество

т -1 N , . ч 2N , . ч

,

к=1 .=0 4 ' i=N 4 '

Доказательство. Левую часть (40) можно записать в виде

5 и; - (^)Г1)2 - * ( е1 (^)Г1++и

1 Л^1 ^м"-1 ^ ^ ((,п м^2 ^ ((„ну _

т 1

Е

к=1

- * { е иг+

11 ' "

Используя замены, получаемые из соотношений (23)-(25), выражение (41) преобразуется к виду

т 1 т1

к=1

N — 1 2 2 N — 1 2

е и: -

. .=0 ] i=N

2N -1

Неотрицательность выражения (42) очевидна. Теорема доказана.

Следствие 2. Оператор А Г положительный.

Замечание 4. Аналогичные утверждения справедливы и для конечно-разностного оператора .

5. Заключение. В статье предложены способы построения конечно-разностного аналога одномерного оператора Лапласа на графе. При этом показано, что при редукции дифференциального оператора к конечно-разностному аналогу последний наследует спектральные свойства дифференциального оператора: структура множества собственных чисел аналогична структуре множества собственных значений дифференциального оператора, сохраняется полнота собственных векторов в конечномерном пространстве, что открывает возможности для глубокого анализа устойчивости (счетной устойчивости) и сходимости разностных схем для эволюционных и динамических задач. При этом разностный аналог оператора Лапласа остается симметричным и положительным оператором в конечномерном пространстве. Отметим, что полученные результаты могут быть распространены на случай дифференциального выражения Ьср(х) = (а,(х) + Ь(ж)у(ж), в котором функции а( х) > 0, Ь( ж), ж € Г (или

х € Э) обладают достаточной гладкостью. Кроме того, утверждения теорем сохраняются и для граничных условий вида {аЩ^- + Ру{х)) |жеаг(жеаЭ) = 0, где а,/3 -некоторые фиксированные числа. Следует отметить также, что для таких граничных условий введение «фиктивных» точек в граничных узлах сетки графа Г (или Э) дает эффект повышения точности численных расчетов, в то время как для условий вида (3) (или (10)) такового не может быть - аппроксимация (14) (или (22)) является точной.

Литература

1. Провоторов В. В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж: Научная книга, 2008. 248 с.

2. Махинова О. А. Задача теплопереноса на графе-звезде // Актуальные проблемы математики и информатики (Труды матем. факультета Воронеж. гос. ун-та). 2009. № 3. С. 17—26.

3. Махинова О. А. Задача теплопереноса на графе с циклом // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 1(39). С. 19-22.

4. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.