Генерация многочастотных колебаний в микрополосковых линиях передачи с диодами Ганна

ЭЛЕКТРОНИКА

УДК 517.862

самосогласованно, с учетом взаимодействия всех компонент системы, куда входят: а) активные элементы, в которых колебания возникают; б) линии передачи с задержками, которые обеспечивают связь между элементами системы; в) компоненты, обеспечивающие излучение энергии колебаний на бесконечность («антенны»).

ГЕНЕРАЦИЯ МНОГОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В МИКРОПОЛОСКОВЫХ ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ С ДИОДАМИ ГАННА

ЮРЧЕНКО Л.В., ЮРЧЕНКО В.Б._____________

Предлагается эффективная модель для расчета сложных автоколебаний в цепочках диодов Г анна в открытой микрополосковой линии. Проводится сравнение расчетов с аналитическими оценками для системы с одним диодом и балансным отрезком линии. Определяются режимы генерации многочастотных и хаотических колебаний.

1. Введение

Целью исследований в данной работе является численное моделирование во временной области широкополосных и хаотических автоколебаний в открытых микрополосковых линиях с дискретными активными элементами (диодами Г анна), между которыми существует обратная связь с задержками по времени, вызванными распространением волн на участках микрополосковых соединений. Задержки обратной связи зачастую являются причиной хаотизации колебаний в нелинейных системах [ 1 -4]. Такие системы представляют интерес для разработки компактных генераторов шума как источников сигнала в шумовых радарах ближнего радиуса действия и в других приборах современной радиофизики.

В простейшем виде роль задержек проявляется в системах, которые описываются алгебраически-раз-ностными уравнениями [5]. Такие уравнения описывают дискретные отображения, которые в определенных условиях приводят к явлению «перемешивания» в фазовом пространстве решений, что и обуславливает хаотическую динамику. В чистом виде дискретные отображения реализуются тогда, когда нелинейный элемент обладает мгновенной реакцией на внешнее воздействие. Приближение мгновенного отклика активного элемента лежало в основе наших предыдущих исследований электродинамических систем с хаотической динамикой поля [6].

Здесь мы рассмотрим системы и эффекты, в которых впервые учитываются два новых фактора: 1) собственные характерные времена активных устройств, обусловленные собственными емкостями и индуктивностями. Эти времена огр аничивают частоты колебаний сверху таким образом, что хаотические режимы, если они существуют, возможны лишь в диапазоне ниже собственных частот активных устройств; 2) развитие нелинейных режимов колебаний изучается

В работе изучается микрополосковое соединение последовательного («лестничного») типа, когда активные элементы (диоды Ганна с эквивалентными емкостью, индуктивностью и нагрузочным сопротивлением) связаны в цепочку секциями микрополосковых линий. Колебания, возникающие в цепочке, излучаются в открытую бесконечную линию таким образом, что вся структура представляет собой активную открытую систему.

Активные системы с линиями передачи широко изучались ранее в частотной области [7,8], когда применялась концепция комплексного импеданса как функции частоты. В настоящее время наиболее продвинутой формой такого подхода являются гибридные методы [9] и методы гармонического баланса. В этих методах линейная часть задачи (распространение и рассеяние волн в пассивных компонентах структуры) в определенном смысле решается точно, а нелинейная анализируется в рамках довольно аккуратных приближений, справедливых для выбранного диапазона частот.

Для процессов с произвольной и сложной зависимостью от времени, таких как короткие импульсы, широкополосные сигналы, хаотическая динамика, указанные выше методы, несмотря на их достоинства, оказываются не вполне адекватными. В этих случаях именно прямое моделирование во временной области является необходимым. Существует много методов прямого моделирования, такие как FDTD метод, метод конечных элементов, TLM метод и др., но все они имеют тот существенный недостаток, что требуют чрезмерно больших компьютерных и временных ресурсов.

2. Постановка задачи

В случае малой пространственной дисперсии микрополосковой линии линейная часть задачи существенно упрощается и распространение волн на волноводных участках описывается известным решением Ри-мана-Даламбера одномерного волнового уравнения. В наших расчетах мы используем это приближение для линейной части задачи, в то время как нелинейная часть моделируется в полном объеме.

Рассмотрим полубесконечную одномерную линию передачи (рис.1,а). Четырехполюсные блоки n (рис.1 ,б) представляют собой цепи с активными элементами, которые могут иметь любой вид. В данной работе в качестве активных элементов мы рассматриваем диоды Ганна. В настоящее время они могут работать в широком диапазоне частот, а отдельные их виды (например, на основе нитрида галлия GaN),

24

РИ, 2007, № 2

работают при частотах f > 100ГГц. В этом исследовании диоды Ганна моделируются в терминах заданных вольтамперных характеристик (ВАХ), имеющих участки с отрицательным дифференциальным сопротивлением (ОДС).

а

Рис. 1. Линия передачи с N - активными блоками

Вольтамперная характеристика диода Ганна (рис.2) дается той же аппроксимацией как в [10], которая является типичной для структур на основе арсенида галлия:

iGn= Gn

где iGn = :GnZ0 / V иE = EGn = VGn /V0 - безразмерные ток и напряжение на диоде (E > 0); Ig0 и V - ток и напряжение, хар актеризующие диод (в точке максимума Gn(E) , IGmax _ ^35 IG0 и VGmax _ ^77 V0); G0 = z0IG0 /v0 - коэффициент связи диода с линией [4]; Z0 - импеданс линии (для GaN диода, описанного

в [11L IGmax ~ 9А и VGmax ~ 45B, что при Z0 = 50 Ом

дает G0 = 13 ).

Это приближение соответствует модели прибора, работающего с ограниченным накоплением объемного заряда (ОНОЗ). Режим ОНОЗ обеспечивает более широкополосное функционирование диодов Г анна, с отношением максимальной частоты генерации к минимальной более десяти fmax /fmin > 10 . Приближе-

ние этого вида означает мгновенный отклик диодов на изменение внешнего напряжения и соответствует пренебрежению детальным моделированием сильно-полевых областей в диодных структурах. Вместо этого характерные времена внутренних процессов, свойственных диодам, представлены эквивалентной емкостью и индуктивностью активных устройств.

Рис. 2. Вольтамперная характеристика Gn = Gn(E) и дифференциальная проводимость gn (E) = dGn (E) /dE диода Ганна

Электромагнитное самовозбуждение возникает, когда напряжение на диоде попадает в область ОДС. Коле бания развив аются в ответ на малую флуктуацию напряжения смещения в этой о бласти напряжения или же в результате переключения напряжения смещения из устойчивой в нестабильную область ОДС.

Полная система уравнений, описывающая токи и напряжения в цепочках, состоит из следующих трех групп уравнений:

1) волнового уравнения для тока in (т, x) и напряжения En (т, x) в каждой секции n микрополосковой линии передачи xn_1 < x < xn ;

2) уравнений цепи, записанных для каждого блока n в терминах тока in (т) и напряжения En (т), определенных, как показано на рис.1, б;

3) граничных условий для волновых уравнений в точке подсоединения цепи в линию (x* = xn + 0), которые устанавливают связь между током и напряжением в линии в точке x„ (i„(т) = in(x,x„), E* (т) = En (т, x*)) и током и напряжением цепи (in (т), En( т)), как показано на рис.1,а.

Здесь мы рассматриваем последовательную цепочку, показанную на рис. 1,а, с активными блоками, показанными на рис .1, б (все блоки считаются идентичными). Для данной цепочки из N блоков системы уравнений приобретают вид:

cEn / Sx = -5in / St , Sin / Sx = -SEn / Sx ,

En = inRn +^Lndin/d^-EBn , i„ = Gn

РИ, 2007, № 2

25

где n = 1...N . Точки подключения блоков в линию описываются координатами xn+i = xn + dn+i, где xi = 0 , di = 0 . Система уравнений дополняется условием излучения при x = -ж (нет приходящих волн от открытого конца линии передачи) и условием короткого замыкания En+i = 0 при x = xn+i , обеспечивающим отражение волны в этой точке.

Уравнения (2) - (4) записаны в терминах нормированных переменных, таких как относительная координата x = X/a, время х = ct/a, напряжение En = Vn / V0 и ток in = ZoIn/Vo, где a - пространственный масштаб, используемый для нормировки, c - скорость волны в линии передачи, Rn = rn /Z0, xCn = cZ0Cn /a , X-Ln = cLn /(Z0a) , и ^n = 2л(хы -XCn)1/2 •

После подстановки решения Римана и соответствующих упрощений эти уравнения приобретают вид дифференциально -разностных:

dUn/dx = %n

где Fun , Fpn - алгебраические функции Un , Pn , взятые с различными задержками по времени 5n и с отсутствием задержек по отношению к моменту времени х = ct/a. Функции Un , Pn - профили волны напряжения, определяемые в точке локализации цепи x = x“ (слева от n -го активного блока) и распространяющиеся влево и вправо вдоль n -й секции микрополосковой линии. Функции Un , Pn определяются следующим образом:

FUn (^n ) = FUn+1 (&n+1 _ dn+1) _

-0,5[FLn

FPn (^n ) = FPn-1 (^n-1 _ dn ) +

+0,5[FLn

FLn(^n) = Ln(Un(Sn) --Pn-1(^n-1 _ dn) +

+Rn[Un

FCn (^n ) _ Cn {Un+1 (^n+1 _ dn+1) ^

+Pn

где

n = 1,2,...N, Sn = xn + x, P0 = 0,5R1G1(EG0),

FP0 = 0

FU N+1(^N+1 _ dN+1) = FP N(^N _ 2dN+0> roCn = 1/ XCn

и Ln = 1/TLn - характерные частоты, связанные с емкостью Cn и индуктивностью Ln цепи; Rn -

сопротивление, нормализованное на импеданс линии Z0 (как и все импедансы); Gn (EGn) - ток в диоде,

EGn(x) = EBn (G -

-Un+1

- напряжение на диоде ( Eg0 = EGn (0) - начальное напряжение) и Евп - напряжение смещения. Самовозбуждение является результатом малой начальной флуктуации Евп(х) , которая впоследствии уменьшается до нуля.

В случае малых колебаний условия их возникновения и частотный спектр могут быть найдены приближенно с помощью концепции нулевого комплексного импеданса системы в режиме генерации [7, 8]. В данной работе мы обобщим этот подход, применив его для открытой системы, излучающей энергию на бесконечность.

Для системы с одним диодом (короткозамкнутым, или же с балансным отрезком микрополосковой линии длиной d ) мы можем, пользуясь этим методом, получить некоторые аналитические результаты и сравнить их с численным моделированием. Приравнивая нулю полный импеданс системы Z, определенный между точками подключения внешнего источника напряжения, мы получим уравнение Z(ro) = 0 , где ю

- угловая частота колебаний. Условия Re(Z) = 0 и Im(Z) = 0 образуют пару действительных уравнений, которые могут быть записаны в виде:

{ro0(ZG + R) “ro(roLZd +ro)ZG}Zr =

= raZd

{ro0Zd +ro(LZGR +roC)}Zr =

= ro

где Zr - дифференциальный импеданс излучающей микрополосковой секции (сопротивление излучения антенны), = roLroC, R = R1, ZS = iZd(ю) = itg(rad) -

импеданс балансного отрезка длиной d при угловой частоте ю и Zg = 1/(dG/dEG) - импеданс диода в рабочей точке Eg .

В открытой системе эффективный импеданс Zr (реальное число, которое описывает уход энергии на бесконечность) заранее неизвестен, в отличие от нагрузочного импеданса в закрытой неизлучающей цепи. Уравнения (10), (11), определяя одну и ту же величину импеданса Zr , приводят к уравнению для частоты ю , которое может быть записано в виде:

Z(()l( Zg +c)^Zd(){ Zg +

+2[(roLZG _raC)2 +LzG(r2 _1)] +

+ro4R2}+roroCzG

26

РИ, 2007, № 2

Корни уравнения (12), которые удовлетворяют системе (10), (11), с учетом ее дополнительных решений, возможных за счет сингулярностей, определяют спектр возникающих колебаний. Если балансный отрезок отсутствует (d = 0), уравнение (12) имеет одночастотное решение, не зависящее от ZG:

Ю = о^1 — R /с .

При этом находим Zr = -ZGс /(юс + lZgR) (если БО0 попадает в область ОДС, то ZG < 0 и Zr > 0). Если же есть балансный отрезок d Ф 0, уравнение (12) определяет многочастотный спектр, который существенно зависит от импеданса диода в выбранной рабочей точке Eg .

Уравнения (5) определяют дисперсионное соотношение для малых колебаний u,p ~ exp(irox). Если d = 0, это соотношение имеет вид:

ю2 - iro[roLR + raC

где Yg = 1/Zg- дифференциальный адмиттанс диода. Уравнение (14) показывает, что малые флуктуации растут, если (Yg +1) < -qlR/юс, но они могут превратиться в колебания лишь при выполнении условия |(Yg +1)с - R“l| < 20 (в противном случае происходит переключение диода в устойчивое состояние).

Заметим, что хотя на первый взгляд может показаться, что уравнение (14) должно определять частоту колебаний ю, в реальности именно баланс прихода энергии от источника и ее потерь в нагрузке, выраженный уравнениями (10) и (11), контролирует доминантные частоты в спектре установившихся автоколебаний в режиме малого сигнала, рассмотренного выше.

3. Численные результаты

Для численного моделирования выбир ались такие же параметры устройств, как в работах [3, 11], и использовался метод [12] Дормана-Принса для решения уравнений (5) - (9). В случае N = 1 рассматривались блоки с балансным отрезком линии передачи длиной

dN+1 = d ф 0 (распределенные цепи размера d) и без

балансного отрезка (компактные открытые цепи, d = 0) (рис.3).

Значения параметра G0 (пропорционального адмиттансу диода) варьировались так, чтобы генерировались колебания либо малой, либо большой амплитуды. Также изменялись и другие параметры для тестирования пригодности и ограничений аналитических решений, найденных выше.

В цепи без балансного отрезка (d = 0), когда значение параметра G0 достаточно для самовозбуждения, определяемого уравнением (14), мы получаем малые колебания (u ~ 0,1) на одной частоте, в полном соответствии с уравнением (13), как показано на рис.3,а (приR = 0, 5, 9 и l = 0,1, с = 10, оба подхода дают одинаковый спектр, показанный сплошной, пун-

РИ, 2007, № 2

ктирной и точечной линиями, когда ю = 1, 0,866 , 0,436, соответственно). С ростом адмиттанса диода в области колебательных решений в спектре появляются более высокие гармоники, а основная частота уменьшается. Спектр остается, однако, простым, всего с несколькими гармониками малой амплитуды (см. рис.3,6).

0.03 -----1----1-----1-----1-----1-----1----1-----

rj0,02

S

о

3

л 0.01

О L

О

а

3 : 2 1

і

' '* ______ ' і   '

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

ю, отн.ед.

0,6

Ef 0,4

3

ь 0.2

О

1 г 1 L —1 1 1 г

3 і 4 і

I 1 1 Ї

1 JU L g 1 - 1 І 1  ч

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Ю, отн.ед. б

0.003

10.002

ь 0,001

R- 0 т 1 Т 1 (OL = 0.1 п

«І0-1- (Zd(Mo)-0-

о. 0 и 1

- , L j L

0.5

1 1.5

ю, отн.ед.

в

Рис. 3. Спектр излучения из цепи с одним активным блоком ( N = 1), когда: а - d = 0 при малом G0 —11...12 ; б -d = 0 при большом G0~14...16 (R = 0...5); в -d = ^/2 при малом G0 (G0 = 2) ; г - левая часть уравнения (12) для случая

27

В цепи с балансным отрезком, как и предсказывает уравнение (12), мы наблюдаем малые колебания с многочастотным спектром. Рис. 3,в показывает спектр излучения сигнала из цепи с отрезком длиной

d0 = Xq /2 , имеющим резонанс на частоте = 1 (Zd (oq ) = 0 , do =n, Xq = 2n в относительных единицах), когда raL = 0.1, юс = 10 , Gq = 2 и R = 0 . Спектр соответствует корням и сингулярностям левой части уравнения (12), как видно из рис.3,г. Возбуждение цепей с балансным отрезком возникает при очень малых Gq , например, даже при Gq < 0,2 в данном

примере, по сравнению с Gq > 11,2 (R = 0) в такой же цепи без отрезка (см.рис.3,а).

В нелинейном режиме спектр излучения из цепи с балансным отрезком имеет мало общего со спектром, полученным из уравнения (12), при соответствующем

значении Gq (оба спектра изменяются значительно с

изменением Gq ). С увеличением Gq колебания остаются многочастотными с достаточно узкими спектральными линиями, но основная частота уменьшается, как и в цепи без отрезка.

Более интересные эффекты наблюдаются в линии, состоящей из N активных блоков. С увеличением N наблюдается уширение спектр альных линий и увеличение их числа, как показано на рис.4,а. Эффект появляется даже в регулярной цепи идентичных блоков с микрополосковыми секциями одинаковой дли-ныd (длина балансного отрезка равна d/2), если R = 0 (сплошная кривая). В то же время линии остаются узкими, если есть достаточное сопротивление в каждом блоке (например, R = 5, пунктирные линии).

Последовательное соединение активных элементов (сосредоточенных цепей с диодами Г анна) протяженными секциями микрополосковой линии, создающими значительные задержки обратной связи, может привести к динамическому хаосу в системе даже в случае не мгновенного отклика активных элементов, обусловленного их реактивными компонентами.

Сравним колебания, возникающие при малых и больших значениях нагрузочных сопротивлений в активных блоках. Рис. 4, в, г показывают профиль волны, излучаемой из системы с N = 4 активными блоками в бесконечную открытую линию, когда нагрузочное сопротивление есть R = 0,1 (см. рис. 4,в) и R = 0,5 (см. рис. 4,г) (R = rn /Zq одинаково для всех n). При этом длины микрополосковых секций выбраны произвольным нерегулярным образом и составляют

d1 = 6,91, d2 = 3,77 , d3 = 8,17, d4 = 3,14, а G0 = 13 , тогда как для спектра, показанного на рис. 4,а, d1 = d2 = d3 = 5, а d4 = 2,5.

Рис. 4. Спектр излучения из цепи, состоящей из N = 4 блоков, подобных представленным на рис. 1,6, когда: а

- d1 = d2 = d3 = 5 , а d4 = 2,5; б -d1 = 6,91, d2 = 3,77, d3 = 8,17, d4 = 3,14, (в обоих случаях Gq = 13 ). Профиль излученной волны для случая б имеет вид в, если R = 0,1, и г, если R = 0,5

Рис. 4,б показывает частотный спектр излучаемого поля, который в обоих случаях R = 0,1 и R = 0,5 выглядит очень похоже, несмотря на внешнее отличие временных зависимостей поля, приведенных на рис.

4,в, г.

28

РИ, 2007, № 2

Как видим, если цепь нерегулярна, например, с различными длинами секций микрополосковой линии, расширение спектральных линий при малых R становится более сложным, спектр может быть квазинепрерывен, (см. рис. 4, б), а излученная волна скорее хаотична (рис. 4,в). Этот эффект мог бы означать переход к динамическому хаосу, однако это требует более тщательного исследования. Профиль волны выглядит весьма хаотическим в течение всего длительного времени вычисления, если R мало (вплоть до времени т = 8000, до которого велись вычисления при R = 0,1, рис.4,в), но переключается в регулярный режим после длительного периода времени xs, если R не очень мало (xs = 1400, R = 0,5, рис. 4,г). Оба спектра, однако, имеют заметную квазинепрерывную компоненту.

4. Заключение

Построена эффективная математическая модель для расчета во временной области сложных широкополосных автоколебаний в цепочках диодов Ганна в микрополосковой линии передачи с учетом задержки обратной связи. В последовательных цепочках с диодами Ганна выявлена возможность сложной многочастотной генерации колебаний. В цепочках с малыми нагрузочными сопротивлениями в открытый бесконечный участок линии может излучаться хаотическое колебание, иногда сопровождаемое многочастотной генерацией.

Для упрощенного анализа этих систем предложено обобщение метода нулевого комплексного импеданса на случай открытых структур и проведено сравнение этого метода с решением задачи во временной области. Сравнение на примере системы с одним диодом и резонансным отрезком линии подтвердило пригодность приближенного метода для расчета спектров автоколебаний в режиме многочастотной генерации при условии малой амплитуды сигнала. Спектр автоколебаний в целом сильно отличается от спектра пассивного резонатора и во многом определяется параметрами активных приборов.

В сильно нелинейном режиме метод нулевого импеданса непригоден. Для цепочки диодов, включенных последовательно, спектральные линии имеют тенденцию расширяться, особенно при разной длине промежутков между диодами. В этих случаях спектр может приобретать непрерывную компоненту, что характерно для хаотических колебаний.

Предложенные методы моделирования и анализа активных микрополосковых систем, а также эффекты многочастотной и хаотической генерации, описанные в работе, представляют интерес для создания новых приборов, таких как генераторы сложных сигналов для шумовой радиолокации и т. п.

Дальнейшее развитие исследований предполагает устранение упрощений в описании пассивной части системы, переход к более реалистичным моделям

активных приборов (диодов Ганна, резонансно-туннельных диодов, квантовых сверхрешеток) и изучение новых систем - систем с пространственным сложением мощности, умножителей частоты и других устройств современной радиофизики.

Данная работа частично выполнена в рамках проекта УНТЦ 3377.

Литература: 1. Shiau Yuo-Hsien, Peng Yih-Ferng, Cheng Yi-Che and Hu Chin-Kun. Multistability and Chaos in a Semiconductor Microwave Device with Time--Delay Feedback // Journal of the Physical Society of Japan. 2003. Vol. 72, No. 4. P. 801-804. 2. Lin J. T. andCao. J. C. Terahertz generation and chaotic dynamics in GaN NDR diode // Semicond. Sci. Technol. 2004. Vol. 19, No. 3. P.451-4566. 3. Yurchenko L. V. and Yurchenko V. B. Time-Domain Simulation of Power Combining in a Chain of THz Gunn Diodes in a Transmission Line // Int. J. Infrared and Millimeter Waves. 2004. Vol.25, No1. P. 43-54. 4. Yurchenko L. V. and Yurchenko V. B. Chaos in a Cavity with Active Microwave Devices // Appl. Radio Electronics. 2005. Vol.4, N 1. P. 80-84. 5. Lukin K. A. et al. Method of difference equation in the resonator problem with a nonlinear reflector // Soviet Physics - Doklady. 1989. Vol. 34. P. 977-979. 6. Юрченко Л. В.и Юрченко В. Б. Генерация ультракоротких импульсов в резонаторе с активным слоем и диэлектрическим зеркалом // Прикладная радиоэлектроника. 2005. Vol.4, № 2. C. 195-200. 7. Kurokawa K. The Single-Cavity Multiple-Device Oscillator // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1971. Vol. MTT-19. P. 793-801. 8. Russell K. J. Microwave Power Combining Technique // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1979. Vol. MTT-27. P. 472-478. 9. Erturk V. B., Rojas R. G. and Roblin P. Hybrid Analysis/Design Methodfor Active Integrated Antennas // IEE Proc.-Microw. Antennas Propag. 1999. Vol. 146. P. 131-137. 10. Shur M. GaAs Devices and Circuits // Plenum Press. London. 1987. 11. Alekseev E. and Pavlidis D. GaN Gunn diodes for THz signal generation // IEEE MTT-S Int. Microwave Symposium Digest. Vol. 3. 1116 June 2000. P. 1905-1908. 12. Hairer E. and Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems // Springer-Verlag. Berlin. 1991.

Поступила в редколлегию 07.06.2007

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Чурюмов Г.И.

Юрченко Лидия Валерьевна, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник отдела нелинейной динамики электронных систем ИРЭ им.А.Я.Усикова НАН Украины, г. Харьков. Научные интересы: моделирование динамического хаоса в электронных системах, автогенерации широкополосных шумовых сигналов и ультракоротких импульсов. Адрес: Украина, 61085, Харьков, ул. Ак. Проску-ры, 12, тел.: +38-057-7203-349, e-mail: yurchenk@ire.kharkov.ua

Юрченко Владимир Борисович, д-р физ. -мат. наук, старший научный сотрудник, факультет экспериментальной физики Национального Университета Ирландии, г. Мей-нут. Научные интересы: ранее - теория переноса горячих электронов в полупроводниковых приборах, фото- и термо-электрические эффекты, явления нестабильности и хаос; в последнее время - нелинейная динамика электронных систем, распространение волн и моделирование антенн. Адрес: Experimental Physics Department, NUI Maynooth, Co .Kildare, Ireland. Tel:+353-1-7083746, Fax:+353-1-7083313, email: v.yurchenko@nuim.ie

РИ, 2007, № 2

29