Процесс глобальной блок-диагонализации матриц

УДК621.37

ПРОЦЕСС ГЛОБАЛЬНОЙ

Задачи исследования:

1) анализ методов решения СТУ;

2) построение формальных рядов;

БЛОК-ДИАГОНАЛИЗАЦИИ МАТРИЦ

АГАПОВА И.С., ДИКАРЕВ В.А., ПОДГОРБУНСКИЙ Н. С.__

Описывается алгоритм блок-диагонализации матриц, используемый для вывода систем телеграфных уравнений из уравнений Максвелла. Данный алгоритм реализован при более общих предположениях об элементах матрицы системы (например, когда элементы матрицы являются кусочно -аналитичными).

1. Введение

Процедура блок-диагонализации предложена Й. Си-буйя [4]. Однако метод блок-диагонализации, излагаемый в данной статье, отличен от метода Сибуйя и имеет по сравнению с его подходом ряд важных преимуществ. Сибуйя получает свой результат в предположении, что элементы матрицы уравнения либо аналитичны, либо бесконечно дифференцируемы (или имеют конечный запас производных). Для каждого из этих случаев его доказательства различны. Приводимое ниже построение является более общим и включает оба указанных случая, а также случаи, к которым результат Сибуйя неприменим. Отметим, например, часто встречающийся в радиоэлектронике случай, когда элементы матрицы кусочно-аналитичны. Кроме того, что особенно существенно для дальнейшего, процесс блок-диагонализации, описанный в статье, имеет «операторный» характер и применим и в бесконечномерном случае. Это дает возможность произвести вывод СТУ (систем телеграфных уравнений) из уравнений Максвелла.

Данная статья посвящена исследованию асимптотических свойств обобщенной системы телеграфных уравнений [1]:

шh

dx

Aq (x)+eAi (x)+e2A2 (x)+...

Здесь є - вещественный малый параметр; у - вектор размерности n, матрица Aq(x) подобна самосопряженной; A; (x) - гладкие функции, h є N. Соответствующий выбор h определяет характер частотной дисперсии погонных параметров (например, при h=2 учитывается скин-эффект).

Спектр матрицы Aq

(i > 1) в большинстве случаев роли не играют.

3) теоретическое обоснование процедуры блок-диа-гонализации;

4) решение СТУ для нескольких частных случаев.

2. Построение формальных рядов Рассмотрим систему порядка n

h “

єУ~ 2 єJAj

j=Q

где є - малый параметр (возможно комплексный), x є [ a, b], правая часть (2) представляет собой асимптотический ряд по степеням є , в котором матрицы Aj (x) - гладкие функции x.

Основное наше предположение состоит в том, что собственные значения {X;(x)} матрицы Aq(x) распадаются на две группы X^x),..., Xr(x) и

Xr+i (x), Xn (x) (нумерация собственных значений

проведена с учетом кратностей), причем при любом

x є [а, b] числа первой группы отличны от чисел второй, хотя в любой из каждой групп их поведение произвольно.

Пусть, кроме того, матрицы Aj(x) из (2) имеют бесконечную гладкость. В этом случае справедливо следующее утверждение [3]. Существует формальный степенной ряд

2 єjTj (x) j=0

такой, что формальная подстановка

у=

2 єjTj

переводит уравнение (2) в формальное дифференциальное уравнение

A

єhz'=| Z Br(x)r

r=Q

где все матрицы Br(x) имеют блочно-диагональный вид

Br(x)=

ґ Bri

Br22(x) ,

Цель исследования - получение решения обобщенной системы телеграфных уравнений с помощью метода блок-диагонализации, имеющего существенное значение для решения уравнений Максвелла.

при x є [ а, Ь. Процесс отыскания матриц Tj (x), Bj (x) называется блок-диагонализацией.

24

РИ, 2007, № 1

Первый шаг конструкции будет состоять в блок-диагонализации матрицы A0(x). Покажем, что существует невырожденная гладкая матрица T0(x), такая, что матрица T(-1A0T0 имеет блочную структуру

Во =

о в:

о

0 ,

где матрицы-блоки в(11), в(22) имеют порядки, соответственно, r и (n-r).

Для построения матрицы Т рассмотрим интеграл

P

по контуру, охватывающему r первых собственных чисел матрицы A((x) и не содержащему других. Контур Г; зависит от x, однако, если он пригоден для некоторого x=x( , то он пригоден и для x , близких к x( . Поэтому можно выбрать конечное число контуров Гj, таких, что для каждого x є м пригоден один из Г .

Замечание. Несмотря на то, что в определении оператора P(x) формулой (4) участвует интеграл, его конструкция является, по сути, не трансцедентной, а алгебраической. В самом деле, резольвента (A0 (x)_^I) является рациональной функцией. Поэтому интеграл (4) может быть записан через ее вычеты. Последние могут быть записаны через элементы обратной матрицы к A0-pj(x)I, где p;(x) - соответствующие собственные числа. Таким образом, P(x) можно записать через миноры A0 -р; (x)I, которые находятся алгебраически.

Известно, что оператор P(x) из (4) является проектором, проектирующим на инвариантное (спектральное) подпространство M(x), отвечающее первым r собственным числам матрицы A0 (x), параллельно спектральному подпространству N(x), отвечающему остальным собственным числам A0(x). Из (3) видно, что P(x) гладко зависит от x .

Известно [3], что существует m линейно-независимых гладких вектор-функций {x; (t^m=1 таких, что x; (t) є N(t) при всех a < t < b .

Применяя к P(x) и 1-P(x) изложенный выше факт, построим n линейно-независимых гладких векторфункций X1(x),..хn (x), первые r которых образуют базис в M(x). А остальные (n-r) - в N(x).

Образуем теперь гладкую невырожденную матрицу T)(x), столбцами которой являются векторы {Xj(x)}j=1. Поскольку подпространства M(x) и N(x) инвариантны для A0(x), матрица B0(x)=T(01A0T0 будет иметь вид (3).

Сделаем в (2) замену y=T)Z и заменим вновь z на у.

Тогда в (2) матрица A0=B0 будет иметь блок-диагональную структуру (3). Будем искать формальную замену

y=T(x, s)z, T(x, є)=; + S єjTj (x), j=1

которая произвела бы блок-диагонализацию в дальнейших членах системы (2). Пусть в результате замены получится система

, <» .

єг'= Z єjB.

j=0

с коэффициентами Bj(x) вида

Bj= ( B(U) j О У

0 B

V j )

блоки которых B(11) и B(22) имеют, соответственно, порядки r и n-r . Подстановка в (2) и сравнение коэффициентов при степеняхє дает равенства

B(x, є)=T'1AT-єhT-1T, AT-TB=єhT',

B0Tk-TkB0 =

=Bk +

-Ak-Tk-h- 2

s=1

поскольку A0 =B0 . Здесь член Tk-h следует опустить при k<h. Допустим, что T) = 1 и Т1, Т2,Т^1 уже выбраны, и известны B1, B2, Bk-1. Тогда (7) при-

нимает вид:

B0Tk -TkB0 =Bk +Sk ,

где матрица Sk известна. Будем искать Tk (x) в виде

Tk =

' 0 T(12) > Tk

T(21) 1 Tk 0 J

где t(12) и t(21) - матрицы, соответственно rx(n-r) и (n-r) xr, а Bk в виде (6). Выражение (8) эквивалентно равенствам:

Bk11)=sk11),

B

Bk Sk ’

B011)Tk12)-Tk12)B022)=sk12),

B{22)T(21)-T(21)B{11)=S(21).

0 k k 0 k

Первые два равенства из (9) дают значения Bk11) и B(k22) . Из 3-го и 4-го надлежит определить прямоугольные матрицы Tj(12) и t(21) , решая их как системы линейных уравнений.

РИ, 2007, № 1

25

Известно [1], что эти системы однозначно разрешимы, благодаря предположению, что собственные значения матрицы B0U), равные I1,..., 1r, отличны от

собственных значений матрицы B022), равных

Xr+1, . , 1п при любом X . Решения этих систем являются гладкими функциями x.

Указанная процедура позволяет последовательно определять Bk и Tk. В случае, если матрица A(x, є) имеет бесконечную гладкость, для B(x, є) и T(x, є) получаются бесконечные формальные ряды, если же гладкость A(x, є) конечна, мы получим лишь конечное число членов разложения, так как, согласно (7) в уравнения для Tk и Bk входят производные от T^h .

Итак, в результате проведенной процедуры мы привели (формально) исходную систему (2) к системе (5), которая распадается на две системы меньших порядков r и n-r.

Рассмотрим отдельно два частных случая. Пусть сначала r=1. При этом первая из систем, на которые распадается (5), имеет порядок 1 и интегрируется квадратурами

z(t)=exp

x їх

:'h J Z єjB(11)(s)ds

J=o J

=exp

є41 \ *Z єjB(11)(s)ds

J=o J

Z єkck(t) k=o

Пусть теперь r>1, 1і=І2 = ...=1r= , и матрица A0 (X не имеет векторов, присоединенных к собственным, отвечающих этому собственному числу. Иными словами, Ao (X скалярна (равна loIr, Ir -единичная матрица rxr) на соответствующем инвариантном подпространстве.

Произведем блок-диагонализацию. Тогда B0n)= 1oIr. Сделаем замену в соответствующей блок-системе

порядка r - z=exp

x

є "h 110(t)dt

W . Тогда в системе

для W(x) будет отсутствовать член, содержащий є в нулевой степени, и можно сократить обе части на є. После этого получим систему с левой частью є1"^' и главной матрицей справа B(11). К ней, в зависимости от свойств матрицы B(11), можно опять применить блок-диагонализацию, производя дальнейшее понижение порядка систем.

Если предположить, что h=1, то новая система не будет содержать малого параметра при производной:

“ ,

W= Z єМ^),

k=o

где dk(x) - векторы порядка r . Подставим (12) в (11). Тогда

го го k

Z єkdk= Z єk Z cjdk j k=o k=o J=o

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях є , имеем

k

d0=codo, dk=codk+ 2 cjdk-j.

J=1

Первая система является однородной линейной, не содержащей є . Если найти фундаментальную систему ее решений, то остальные системы последовательно решаются квадратурами, поскольку неоднородные части их известны.

3. Обоснование процедуры блок-диагонализации

При обосновании процедуры блок-диагонализации ограничимся рассмотрением обобщенной СТУ с h=1. Техника доказательства допускает перенесение на более общий случай и при h>1. При этом можно получить условия, близкие к необходимым, но формулировки оказываются весьма громоздкими, и мы не будем их приводить.

Более точно, мы рассмотрим случай, когда существует непрерывно дифференцируемая матрица-функция U(x) такая, что U-1(x)Ao(x)U(x) - самосопряженная матрица. Ясно, что существование блок-диа-гонализирующего преобразования у системы (1) эквивалентно существованию его у системы (1) после замены y=U(x)z . Поэтому мы можем считать сразу, что матрица Ao (х) самосопряжена.

Замечание. Если система (2) есть СТУ, то предположение о существовании матрицы U(x) всегда выполнено. В самом деле, для СТУ

Ao

o L

C o J,

где L(x) и C(x) - гладкие функции. Возьмем

(L1/2 o 1

U(x)=

o C1/2

U(x) - гладкая и

U-1(x)Ao(x)U(x)=

lV2cV2'

cV2lV2

W'=

Z єJcj

U=o ) j j

Будем искать решение (11) в виде формального ряда:

самосопряженная.

Нам достаточно доказать, что уравнение (7) iєT'=AT-тB

26

РИ, 2oo7, № 1

имеет решение T(x, є):

Здесь

T(x, є)=Б(х, є)+в(х, є) .

p , „ р k

F

k=0 k=0

- отрезки построенных в п.2 формальных рядов, а G(x, є)=0(єр1). При этом достаточно считать, что A0=B0. Тогда

iєG'=AG-GБ-H,

где

H^F'-AF+FBK)^^1),

поскольку н - погрешность при подстановке f в (13).

Заменим f и G в (14), (15) на F+a и G-a, где а=єР+1Тр+1. Получим

іє<5'=aG-GB-H , G=G-a, H=0(єр+1).

Если мы получим оценку G=0(єр1), то отсюда будет следовать, что G=0^p1). Поэтому мы можем сразу положить в (15) н=0(єр+2).

Нам будет удобно переписать (15) в виде

ієя-R

где g и h - векторы размерности n , отвечающие

матрицам G и H , а R(x, є) - матрица в пространстве

2

размерности n , отвечающая линейному оператору AG-GB .

Пусть

R(x, є)=Ro(x)+єRl(x)+є2R2(x, є),

где R2(x, є)=о(1). Матрица R0(x) самосопряженная в скалярном произведении

^1^2)=^^^).

В самом деле:

^0Ш^2)=Бр[(Б0^-01В0^2]=

=Sp[(GlG2Бo-GlБoG2)]=

=Sp[Gl(G2Бo-БoG2)]=

=8р [G1 (B0G2-G2B0)]^ (g1^ R0g2> .

Введем V(x, x0, є) - матричное решение уравнения

dz

ієdT^^, z(x0}= 1

и покажем, что V на [a,b] ограничено константой, не зависящей от є. Действительно,

_d_

dx

(V, V)=2Re(V, V)=

=2Re[-1(R1V, V)--(R0V, V)]=

=2Re[-i(R1V, V)]£c(V, V .

Из полученной оценки вытекает ограниченность на [a, b] нормы (V, V) , а значит, и матрицы V(x).

Уравнение (17) можно переписать в виде интегрального уравнения

x

g(x)=-iє 1 V(x, s, є)R2 (s, є^^^-

a

1x

-7-1 V

іє a

Действительно, дифференцируя последнее равенство и учитывая, что V(t, t, є)=1,

V'(t, s, є)=—(R0 (t)+eR1 (x))V(t, s, є), (19) іє

имеем

iєg'(t)=є2V(t, t, є)R2(t, є^©-У0, t, є)h(t)+

t

+1 Vt'(t, s, є)[є2R2(s, є)g(s)-h(s)]ds=

a

=є 2R2(t, є)g(t)-h(t)+[Ro(t)+єRl (t)] x

t 1

x 1 Vt'(t, s, є)[-iєR2(s, є)—h(s)]ds=

a іє

=[R0

Поскольку второе слагаемое в правой части указанного интегрального уравнения есть 0(єр1), а его ядро мало (имеет порядок є), методом последовательных приближений легко доказывается, что g^fc^1), т.е. G=0^р+1), что и требовалось доказать.

В случае если все собственные значения матрицы A0 (x) простые, последовательное применение блок-диаго-нализации приводит к распадению системы (2) на n независимых уравнений, которые, как уже указывалось, интегрируются в квадратурах по формулам (10):

z1(x)=exp[є-h 1 Z єJbj i(s)ds]x Z єkCk,i(x). (21) .=0 k=0

Этот случай является классическим и хорошо изучен. Обозначим

, h-1 .

pl

.=0

Справедлива следующая теорема, обосновывающая в этом случае блок-диагонализацию.

РИ, 2007, № 1

27

Теорема. Пусть в некотором угле с центром в нуле комплексной плоскости при достаточно малом |є| выполняется одно из неравенств

Re рі

Re pi

при m Ф l, a < x < b. Тогда выражения (21) асимптотически представляют n линейно-независимых решений системы (2).

Если система (2) есть СТУ, то матрица iA0 подобна самосопряженной и, значит, функции bo, i(x), являющиеся собственными числами матрицы Ao(x), чисто мнимые. Поэтому, если выполнено одно из неравенств Re bj, i(x) > Re bj, m (x), Re bj, i(x) < Re bj, m (x) при 1 < j < h-1, m, l=1,..., n и при всех a < x < b и є вещественно, имеют место n ВКБ-асимптотик (21), асимптотически представляющих решения обобщенной СТУ.

Рассмотрим также частный случай: СТУ с h=1, когда спектр матрицы A0(x) прост на всем интервале [a,b]. Тогда функции b0, l(x) чисто мнимые и не равны друг другу. Следовательно, условия (22), (23) выполнены в каждой из полуплоскостей 0 < a^ < п, -п < argє < 0 и там ВКБ-асимптотики представляют n ВКБ-реше-ний.

Заметим, что хотя вид ВКБ-асимптотик одинаков в обеих полуплоскостях, им соответствуют разные ВКБ-решения в каждой из этих полуплоскостей. Одного ВКБ-решения для всей плоскости є, вообще говоря, нет.

4. Склейка ВКБ-асимптотик в случае, когда коэффициенты разрывны

Рассмотрим систему (1) при h=1, a < x < b в предложении, что коэффициенты Ak(x) (k=0,1,2,...) кусочно-гладки. Иначе говоря, существует конечное число точек a=x0 <xj<x2 .. .<xs <b, вне которых функции Ak (x) являются достаточно гладкими, а в точках xi они (или их производные) могут иметь разрыв первого рода. Ясно, что этот случай важен в приложениях.

Будем предполагать, что кратность собственных чисел матрицы A0(x) на интервалах (x^xi) (включая ее пределы при xi_1+0 и xi_! -0 ) постоянна. Тогда на интервале [xi-1, xi ] существует матрица линейно-независимых ВКБ-ассимптотик [2]:

x

Yi-1

xi-1

и Xi-1,0(x) - невырожденная матрица n*n. Матрица Zi-1(x, є)=Yi_1(x, є)xX_.11(xi_1, є) является формальным решением системы (2) на интервале [x^^xj и Zi-1(x, є)=1.

Здесь Х-1!^!, є) - формальный ряд, обратный Xi-1(xi-1, є). Существование его обеспечено тем, что матрица Xi-1,0(x) обратима.

Пусть xk-1<x<xk. Рассмотрим

z

Очевидно, Z(x, є) непрерывна и формально удовлетворяет системе (1). На каждом интервале [x^, xi]:

іє—-A

dx

По доказанным теоремам на каждом интервале [xi-1, xi] она является асимптотическим представлением некоторого решения. Докажем, что она асимптотически представляет некоторое решение на интервале [a, b].

При доказательстве будем предполагать, что A0(x) гладкоподобна самосопряженной на каждом интервале [xi-1,xi].

Лемма. Пусть V(x, s, є) - матричное решение уравнения

іє—=[Ao(x)+єAl(x)]z dx

z(s)=1.

Тогда ||V(x, s, є)|| < С, где С не зависит от є .

Доказательство. Пусть сначала х меняется на интервале гладкости и D0(x)=U-1(x)A0(x)U(x) - самосопряженная.

Сделаем замену z(x)=U(x)W(x). Тогда (27) перепишется в виде

dW -1 -1

іє---=[D0 (x^U-1A1U^U-1U']W=

dx

=(D0(x)+eD1(x)]W.

Имеем

dx^W(x), W(x))=2Re(W, W) =

=2Re[--(D0W, W-^D1W, W)]= =-2Re(iD1W, W) ^ C(W, W) ,

где С не зависит от є . Пусть теперь, для определенности, x<xk . <xi <s. Тогда

V(x, s, є)^(у xk, є)V(Xk, xk+1, є)..^^, s, є).

где

XM

Каждый из сомножителей, как уже доказано, ограничен константой, не зависящей от є . Значит, утверждение справедливо и для их произведений. Лемма дока-

28

зана.

РИ, 2007, № 1

Последующие выкладки проводятся по той же схеме, что и в п.3. Записывая A(x, є) в виде

A(x, є)=А0(х)+єА!(х)+є 2B(x, є), составим интегральное уравнение

X

в(х)=іє 1 V(x, s, є)В^, є)G(s)ds-

a

1 x

— 1 V

іє a

Поскольку второе слагаемое в правой части (27) имеет порядок 0(є P+1), а ядро интегрального оператора мало (порядка є), методом последовательных приближений легко доказать, что G(x)=0fcp1).

Поскольку разность W=z-G в силу (26) и (28) удовлетворяет (1), z(x, є) асимптотически представляет решение на всем интервале [a, b].

5. Выводы

Получен алгоритм «склеивания» ВКБ-асимптотик в точках разрыва коэффициентов СТУ. Исследуя выражения (24) и (25), легко увидеть, как разрывы -сосредоточенные неоднородности канала - порождают преломления и отражения ВКБ-волн [2]. На этих неоднородностях, таким образом, происходит рассеяние волн. Оно происходит на любом неоднородном участке канала. Но в случае, когда неоднородность имеет высокий порядок гладкости, рассеяние имеет сверхстепенной порядок малости. Такие порядки не могут быть учтены ВКБ-методами.

Научная новизна: усовершенствован метод блок-диагонализации матриц при достаточно общих пред-

УДК519.21

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО РАНГА НЕСТАЦИОНАРНОСТИ

ПЕТРОВА А.Ю.________________________________

Вводятся функциональные и числовые характеристики, позволяющие описать отклонения векторных случайных процессов и последовательностей от стационарных. Вводится понятие эволюционной представимости для векторного случайного процесса (последовательности) и получены необходимые и достаточные условия в терминах корреляционной матрицы для соответствующей эволюционной представимости.

Введение

Определенный интерес представляют векторные нестационарные случайные функции. Векторные стационарные случайные последовательности и процессы изучены достаточно подробно [1, 2]. Скалярные не-

РИ, 2007, № 1

положениях об элементах матриц, включая бесконечномерный случай, что позволяет использовать этот метод для решения уравнений Максвелла.

Практическая значимость: разработанный алгоритм блок-диагонализации матриц позволяет произвести вывод систем телеграфных уравнений, шороко используемых в электродинамике.

Литература: 1. Дикарев В.А. Асимптотические представления обобщенной системы телеграфных уравнений // Радиотехника и электроника АН СССР. 1974б Т. XIX, .№11. С. 2349-2356. 2. Дикарев В.А. Волны в многопроводных системах с распределенными параметрами // Радиотехника и электроника АН СССР. 1974б Т. XX, №12. С. 2618-2621. 3. Дикарев В.А., Кольцов В.П., Мельников А.Ф., Шкляров -Л. И. Вычислительные методы в задачах радиоэлектроники. К.: Вища школа, 1989. 303 с. 4. Sibuya J. Formal Solution of a Linear Ordinary Differential Equation on the n-th order at a Fuming Point // Ervas. 1962, № 4. Р. 115-139.

Поступила в редколлегию 12.03.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Агапова Ирина Степановна, канд. техн. наук, ст. преподаватель кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-436.

Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры ПМ ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-436.

Подгорбунский Никита Сергеевич, инженер-программист ДП ТОА «Украина». Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61195, Харьков, ул. Метростроителей, 15, кв. 23, тел. 71602-70.

стационарные случайные процессы и последовательности исследованы в [3-6].

Целью работ ы является изучение некоторых классов векторных нестационарных случайных функций.

Задача: введение функциональных и числовых характеристик, описывающих отклонения векторных случайных функций от стационарных, а также получение критериев принадлежности нестационарных векторных случайных функций тому или иному классу.

Рассмотрим некоторые классы нестационарных векторных случайных функций.

Пусть §(n) = (§1(n),§2(n),...,£,k(n)) , Щj(n) = 0, j = 1,k - случайная векторная последовательность (далее |(n)). Рассмотрим матрицу W(n, m) с элементами Wap (n, m) = Kap (n, m) - Kap (n +1, m +1), где Kap (n, m) - корреляционная матрица.

В дальнейшем матрицу Wap (n, m) будем называть матрицей корреляционных р азностей (МКР).

Векторную последовательность |(n) будем называеть квазистационарной, если ранги квадратичных форм

29