Д. К. Фаддеев и Петербургская алгебраическая школа

К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ДМИТРИЯ КОНСТАНТИНОВИЧА ФАДДЕЕВА

УДК 512.2

А. В. Яковлев Д. К. ФАДДЕЕВ

И ПЕТЕРБУРГСКАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ШКОЛА

30 июня 2007 года исполнилось 100 лет со дня рождения замечательного математика, члена-корреспондента Академии наук СССР Дмитрия Константиновича Фаддеева (1907-1989).

Дмитрий Константинович — основатель Ленинградской—Петербургской алгебраической школы, получившей всемирное признание. На счету воспитанников этой школы немало научных достижений самого высокого уровня.

Он родился в семье петербургского инженера в г. Юхнов Смоленской губернии (ныне Калужская область). В 16 лет он стал студентом-математиком Петроградского университета, и с тех пор до конца жизни (с небольшим перерывом в конце 20-х гг.) вся его многогранная творческая деятельность была тесно связана с нашим университетом, профессором которого он стал в 1933 г. Многие годы Дмитрий Константинович заведовал кафедрой высшей алгебры и теории чисел, несколько лет был деканом математико- механического факультета. С 1932 г. он начал работать в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР, который тогда назывался Физикоматематическим институтом им. Стеклова. С момента организации в 1940 г.

Ленинградского отделения института (ЛОМИ, ныне ПОМИ РАН) и до конца жизни Д.

К. Фаддеев был одним из его наиболее ярких научных сотрудников. Многие годы Д. К.

Фаддеев заведовал в ЛОМИ лабораторией алгебраических методов, ставшей одним из признанных во всем мире центров алгебраических исследований.

Круг научных интересов Д. К. Фаддеева был очень широк. Но, конечно, прежде всего мы вспоминаем его как одного из самых выдающихся алгебраистов своего времени.

Его исследования затронули почти все разделы алгебры. Первые его результаты отно-

© А. В. Яковлев, 2008

сятся к теории диофантовых уравнений, которыми он заинтересовался под влиянием своего учителя Бориса Николаевича Делоне. Они были впечатляющи: Дмитрию Константиновичу удалось весьма существенно расширить класс уравнений 3-й и 4-й степеней, которые можно решить до конца. Как известно, решения бинарных уравнений третьей степени образуют группу относительно естественного умножения, и классическая теорема Морделла—Вейля утверждает, что эта группа конечно порождена; однако вычислить ранг этой группы не просто. В ряде случаев Д.К.Фаддееву удалось найти такие оценки этого ранга, которые позволяют найти все решения уравнения. Например, уравнения х3 + у3 = А удалось полностью решить для всех А < 50. Для того, чтобы оценить силу этого результата, отметим, что до исследований Д. К. Фаддеева удавалось лишь показать, что для некоторых А у этого уравнения есть лишь тривиальные решения. Очень красив и результат, касающийся уравнения х4 + Ау4 = ±1: Д.К.Фаддеев доказал, что при любом целом А оно имеет не более одного нетривиального решения, и это решение отвечает основной единице некоторого чисто мнимого поля алгебраических чисел 4-й степени и существует лишь тогда, когда основная единица трехчленная. Эти и другие результаты вошли в замечательную монографию «Иррациональности третьей степени», написанную Дмитрием Константиновичем вместе с Б.Н.Делоне.

Диофантовы уравнения продолжали интересовать Д. К. Фаддеева и в последующие годы. В цикле работ он доказывает конечность группы классов дивизоров нулевой степени для кривой Ферма степеней 4, 5, 7; отсюда вытекают очень сильные результаты

о самих уравнениях. Так, существует лишь конечное число квадратичных полей, в

44

которых уравнение х + у = 1 имеет нетривиальное решение, и в каждом из этих полей есть лишь конечное число решений. Результатов такого рода раньше не было. Конечно, с сегодняшней точки зрения, когда решены многие классические проблемы теории диофантовых уравнений, эти результаты видятся по-другому, но в то время они были рекордными.

Вторым направлением, которое заинтересовало Д. К. Фаддеева в первые годы его научной деятельности, стала теория Галуа. Особенно его интересовала так называемая обратная задача теории Галуа (и до сих пор не решенная полностью): построить расширение заданного основного поля с предписанной группой Галуа. Первые результаты Д. К. Фаддеева в этой области относятся к построению расширений с небольшими группами Галуа — подгруппами группы подстановок четырех элементов, метациклическими транзитивными группами подстановок простого числа элементов, группами кватернионов и кватернионных единиц. При этом используется красивый геометрический подход: искомое поле интерпретируется как подмножество некоторого векторного пространства, на котором действие группы Галуа описывается достаточно просто. Многие полученные здесь результаты нашли изящную геометрическую формулировку. Так, расширения поля рациональных чисел с кватернионной группой Галуа оказываются в тесной связи с тройками попарно ортогональных векторов с рациональными компонентами в трехмерном евклидовом пространстве.

Однако для дальнейшего продвижения в этом направлении разработанные им в этих работах приемы оказываются недостаточными: они слишком сильно используют индивидуальные особенности групп и не допускают существенных обобщений. Следующим шагом здесь должно бы было стать решение задачи для разрешимых групп. И естественный подход здесь такой: надо научиться строить цепочки расширений, каждое последующее из которых — расширение предыдущего с абелевой группой Галуа. Так возникает более общая, чем обратная задача, проблема погружения Галуа: погрузить заданное расширение Галуа в более широкое поле с заданной группой Галуа и с заданным эпиморфизмом этой группы на группу Галуа исходного расширения. Одной из первых работ, в которой начато систематическое исследование задачи погружения, стала замечательная статья 1944 года «Исследования по геометрии теории Галуа», написанная им опять с Б. Н. Делоне. В параграфах этой статьи, принадлежащих Д. К. Фаддее- ву, он формулирует необходимое условие разрешимости задачи погружения — условие согласности: оно состоит в аддитивной разрешимости задачи (от решения требуется, чтобы оно было векторным пространством, на котором действует группа операторов, согласованная должным образом с группой Галуа погружаемого поля, и совершенно не требуется существование умножения). Тут же доказывается, что согласность достаточна для погружаемости, если ядро рассматриваемой задачи погружения — циклическая группа порядка, не делящегося на 8. Кроме того, в той же работе Д. К. Фаддеев доказывает, что если задача погружения с абелевым ядром для числовых полей допускает решение, являющееся алгеброй Галуа, то существует и поле, решающее ее. Значение этих результатов для дальнейшего развития исследований по обратной задаче и задаче погружения трудно переоценить.

Условие согласности оказалось очень глубоким и в ряде случаев очень близким к достаточному условию погружаемости. Неудивительно, что переоткрывший его четыре года спустя выдающийся немецкий алгебраист Хельмут Хассе предположил и пытался доказать, что оно является и достаточным условием погружаемости (по крайней мере, в случае абелева ядра). Но почти сразу Д.К.Фаддеев и И.Р.Шафаревич построили примеры, опровергающие эту гипотезу Хассе. Особенно прост пример Д.К.Фаддеева: в нем ядро задачи погружения — циклическая группа 8-го порядка. Позднее Д. К. Фаддеев и его аспирант Р. А. Шмидт нашли и дополнительное необходимое и достаточное условие погружаемости для такого ядра.

Исследования Д. К. Фаддеева по теории Галуа оказали большое влияние на дальнейшее развитие этой теории. Они, вместе с результатами Д. К. Фаддеева о когомо- логиях групп, самым существенным образом были использованы при доказательстве разрешимости обратной задачи теории Галуа для разрешимых групп и числовых полей (И. Р. Шафаревич) и при решении задачи погружения для случая абелева ядра (А. В. Яковлев). Результаты многолетних исследований Д. К. Фаддеева и других математиков в этом направлении подытожены им в монографии «Задача погружения в теории Галуа», написанной вместе с В. В. Ишхановым и Б. Б. Лурье.

В 1947 г. вышла статья Д. К. Фаддеев «О фактор-системах в абелевых группах с операторами», в которой он определяет то, что мы теперь называем группами когомологий для групп. Одновременно и независимо эти группы были введены американскими математиками С. Эйленбергом и С. Маклейном. Группы когомологий стали мощнейшим средством исследований в различных областях алгебры. Представляется вероятным, что Д. К. Фаддеев пришел к этим понятиям,

стремясь создать аппарат для изучения задачи погружения полей: многие его последующие результаты по гомологической алгебре явно навеяны конструкциями, естественными для теории Галуа. И действительно, когомологии оказались идеальным аппаратом для изучения проблем погружения полей, построения полей с разрешимыми группами и других задач, связанных с теорией Галуа и ее приложениями.

Вклад Д. К. Фаддеева в гомологическую алгебру не ограничивается только определением групп когомологий. Ему принадлежат также весьма важные содержательные результаты. Отметим его замечательную теорему, связывающую когомологии подгруппы в некотором модуле с когомологиями всей группы в некотором модуле над всей группой. Важнейшую роль, особенно для отечественных математиков, сыграли написанные Д.К.Фаддеевым вместе с З.И.Боревичем работы «Теория гомологий в группах. 1.,11.», опубликованные в 1956 и 1959 гг. в «Вестнике ЛГУ»; в них впервые была систематически изложена теория когомологий для групп. В этих статьях авторы не только дают обзор состояния теории, но и приводят много новых важных результатов. Например, здесь впервые построены минимальные проективные резольвенты для модулей над локальными кольцами и при помощи таких резольвент показано, что у любой нециклической р-группы существует бесконечно много попарно неизоморфных неразложимых р-адических представлений.

Д. К. Фаддеев применяет гомологические методы, в создании которых он сам активно участвовал, и к другим интересным задачам. Так, он построил теорию простых алгебр над полем алгебраических функций и вычислил группу Брауэра поля рациональных функций над полем характеристики 0, намного опередив свое время. Дальнейшим развитием этого результата стала знаменитая теорема Меркурьева—Суслина, ставшая одним из ярких достижений Ленинградской алгебраической школы, созданной Дмитрием Константиновичем.

Среди работ Д. К. Фаддеева, относящихся к теории Галуа, особняком стоит статья 1960 г. «Приведенная мультипликативная группа локального поля», в которой полностью описывается строение факторгруппы мультипликативной группы циклического р-расширения локального поля по р-м степеням относительно двух структур — действия группы Галуа и символа Гильберта. Эта статья послужила толчком для развития нового направления в теории Галуа — теории модулей Галуа. Впечатляющие результаты в этом направлении были получены учеником Д. К. Фаддеева З. И. Боревичем и учениками последнего; в частности, во многих случаях была полностью описана мультипликативная группа локального поля как модуль относительно действия группы Галуа. Ситуация с аддитивными модулями Галуа сложнее, но и здесь надо отметить значительные результаты, полученные в Петербургской алгебраической школе (С.В.Восто- ков, М.В.Бондарко).

В конце 50-х годов Д. К. Фаддеев обращается к проблематике теории целочисленных представлений. Вероятно, одним из стимулов для этого стал упоминавшийся выше результат о том, что у нециклической р-группы всегда бесконечно много различных неразложимых целочисленных представлений. Он выступает с лекциями и докладами на различных конференциях, привлекая внимание алгебраистов к этой тематике. Под его влиянием в СССР складывается сильная школа, на счету которой много выдающихся достижений. Особенно следует отметить здесь учеников Д. К. Фаддеева А. В. Ройте- ра и Л. А. Назарову, результаты которых во многом определили современное развитие этой теории.

В развитии теории целочисленных представлений большую роль сыграла статья «Введение в мультипликативную теорию модулей целочисленных представлений» (1965), в которой во многом определяется стратегия работы в этой области. В ней построена мультипликативная теория решеток в алгебрах над полем отношений деде- киндова кольца. Эта статья очень богата свежими идеями, которые, по-видимому, до сих пор не до конца оценены и значение которых далеко не ограничивается рамками теории целочисленных представлений. Так, теория прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения, которая объясняет аномалии прямых разложений таких групп, во многом основана на этих идеях (отметим, что абелевы группы конечного ранга, вообще говоря, не конечно порождены, и поэтому не вкладываются в рамки теории Д. К. Фаддеева).

Среди результатов Д. К. Фаддеева, относящихся к тематике целочисленных представлений, отметим также его совместные с З.И.Боревичем работы, в которых изучаются представления порядков с циклическим индексом в максимальном порядке. Доказывается, что всякий конечно порожденный модуль без кручения над таким порядком раскладывается в прямую сумму идеалов порядка и указывается полный набор инвариантов, задающих модуль. Тот же класс колец с другой точки зрения был изучен Х. Бассом, и такие кольца называются теперь бассовыми, что кажется не совсем справедливым.

Другому направлению теории представлений посвящены работы 70-80-х годов. В них дается красивая классификация комплексных представлений для классических групп над конечными полями в терминах умножения Грина.

Кроме алгебры, большое место в научной деятельности Д.К.Фаддеева занимали вопросы, связанные с вычислительными методами линейной алгебры. Он был одним из ведущих специалистов в этой области. Деятельность Д.К.Фаддеева в этой области неразрывно связана с деятельностью В.Н.Фаддеевой. Обзорные доклады, прочитанные ими на многих всесоюзных и международных конференциях, обзорные статьи и монография «Вычислительные методы линейной алгебры» сыграли большую роль в развитии численных методов линейной алгебры. Монография Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой, удостоенная Государственной премии СССР, получила всемирное признание и была переведена на многие языки. В ней представлена большая группа методов и алгоритмов решения задач алгебры, дан глубокий анализ принципов их построения и систематизации.

Большинство собственных исследований Д. К. Фаддеева в этой области в основном относится к теоретическому исследованию устойчивости численного решения систем линейных алгебраических уравнений и оценке результатов вычислений, что имеет огромное значение для практики вычислений. В частности, ряд работ посвящен выяснению того, какую достоверную информацию несут в себе плохо обусловленные системы, точные решения которых сильно меняются при небольших изменениях параметров, не превышающих ошибок измерения.

Научные интересы Д. К. Фаддеева не ограничивались только алгеброй. Дмитрию Константиновичу принадлежат не столь многочисленные, но очень яркие работы по теории функций, теории вероятностей и др. Некоторые из них вошли в учебники.

Дмитрий Константинович был замечательным преподавателем. Многие поколения студентов мат-меха навсегда запомнили его глубокие по содержанию и блестящие по исполнению лекции по общему курсу высшей алгебры и специальные курсы. Его «Лекции по алгебре» и созданный совместно с И. С. Соминским «Сборник задач по высшей алгебре» вобрали в себя многолетний опыт работы в университете; они выдержали многочисленные переиздания и до сих пор по праву считаются одними из лучших университетских учебников по алгебре.

Много внимания Д. К. Фаддеев уделял вопросам школьного математического образования. Он был одним из инициаторов и организаторов математических олимпиад для школьников, первая из которых была проведена в Ленинграде в 1934 г. Первый опыт оказался удачным, идею подхватили в других городах, и ныне система олимпиад для школьников не только по математике, но и по другим предметам, охватила весь мир. В нашем городе удается сохранять традиционно высокий уровень этих олимпиад, и во многом благодаря этому в Петербурге постоянно появляются математики высочайшего класса.

В конце 50-х — начале 60-х годов Д.К.Фаддеев принимал активное участие в организации специализированных физикоматематических школ и физико-математической школы-интерната при ЛГУ для одаренных школьников Северо-Запада СССР (ныне Академическая гимназия Санкт-Петербургского государственного университета).

Проблемы преподавания математики в школе с давних пор занимали Д.К.Фаддеева. Им написаны школьные учебники по алгебре и элементам высшей математики, в которых проводится основной принцип: абстрактные понятия вводятся лишь тогда, когда накоплен достаточный конкретный материал, который позволяет возбудить у учащихся потребность в обобщении. В этих учебниках Д. К. Фаддееву удалось сочетать достаточно высокий уровень с доступностью изложения.

Дмитрий Константинович Фаддеев был человеком высочайшей культуры и интеллигентности. В молодости он учился в консерватории, и был большим знатоком и ценителем классической музыки, прекрасным пианистом. Для всех, кто знал и любил его, Дмитрий Константинович навсегда останется высочайшим авторитетом. Нам повезло, что посчастливилось работать и постоянно общаться с этим замечательным человеком.

Summary

A. V. Yakovlev. D. K. Faddeev and St.Petersburg algebraic school. A survey of scientific achievements of 2 D. K. Faddeev.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.