Методика синтеза следящей системы на классе сигналов с малой чувствительностью к неопределенностям

Список литературы

1. Макаров Н. Н. Метод гарантированной точности следящих систем// Мехатроника, автоматизация, управление. №11. М.: Новые технологии, 2006. С. 24-30.

2. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 368 с.

3. Воробьев В.В., Макаров Н.Н., Макарова Н.Н. О применении метода гарантированной точности к расчету следящих систем, работающих в скользящем режиме // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Тула: ТулГУ, 2001. С. 81-85.

V.V. Vorobev

THE CRITERION OF ACCURACY LINEARIZATION FOR FOLLOW-UP SYSTEM ON CLASS SIGNALS

The criterion of accuracy linearization for follow-up system on wanted signal on class signals is offered. System of models for optimization relay follow-up system with control indeterminateness is constructed.

Key words: criterion, accuracy linearization, follow-up system, system of models, optimization.

УДК 623.438.45:623.465

B.B. Воробьев, канд. техн. наук, доц.,

МЕТОДИКА СИНТЕЗА СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ НА КЛАССЕ СИГНАЛОВ С МАЛОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ К НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМ

Предложена методика оптимального синтеза следящей системы по критерию динамической точности на классе сигналов. На основе использования регрессионных моделей рассчитывается регулятор системы с малой чувствительностью к неопределенностям.

Ключевые слова: критерий, оптимизация, регрессионная модель, регулятор, следящая система, неопределенность.

В развитие работы [1] предлагается метод оптимального синтеза следящих систем (СС) по критерию динамической точности на классе сигналов в условиях неопределенностей. Он включает следующие этапы:

1. Изучение класса Vx входных сигналов и построение ЗУ 1.

2. Построение семейства расширенных систем и их математических моделей МО, Ml, М2, М3.

3. Расчет предельных динамических характеристик объекта управления и построение эталонной области достижимости D.

4. Формирование набора экстремальных тест-сигналов для испытаний моделей МО, Ml, М2, М3.

5. Оптимизация регулятора в М1 по критерию минимума гарантированной точности С на заданном классе У1 и расчет первого приближения С0 вектора корректируемых параметров С = (Сх, С2,Ск ).

6. Построение регрессионных моделей (РМ) в окрестности С0 в функции от параметров регулятора для критерия точности С = Р(с) и для критерия АС = Ф(с), оценивающего близость моделей МО и М3.

7. Расчет области ИР 1 допустимых значений параметров регулятора, в которой обеспечивается достаточная точность системы. Эта область описывается неравенствами

Дс)<8,; ф

где 5х.д2. - малые положительные константы, характеризующие требования к точности слежения и к влиянию неидеальностей.

8. Расчет области ОР2 значений параметров регулятора, в которой обеспечивается достаточная грубость системы. Эта область описывается неравенствами

)] -

где К0, КАО - модули частных производных от соответствующих критериев С и АС по параметрам регулятора; б5/7,55ф - малые положительные константы, характеризующие требования к грубости. Для коэффициентов чувствительности К0, КАО не нужно строить специальные РМ. Их получают аналитическим дифференцированием РМ, построенных на этапе 6. На основе К(;, К хг; рассчитываются технологические допуски на параметры.

9. Расчет области ИРЗ допустимых значений параметров регулятора, в которой обеспечиваются требуемые быстродействие и колебательность. Эта область описывается неравенствами

II <83; т2 <84; <85; а2 <86,

где 83. 84. - константы, характеризующие требования по времени регулирования тг в режиме I отработки ступенчатого сигнала малой амплитуды и

по времени регулирования т2 в режиме II отработки ступенчатого сигнала большой амплитуды; 85.86.- константы, характеризующие требования к перерегулированиям а,. а2. в режимах I и II. Зависимости II =^(с); 12 =^2(с); ^ =^3(с); а2 = Р4(с) - представляют собой РМ, построенные на основе анализа динамики СС с неидеальностями.

10. Определение множества приемлемых вариантов (ПВ).

Множество ПВ коррекции регулятора, каждый из которых удовлетворяет совокупности требований (1) - (3), представляет собой в нормированном пространстве критериев пересечение областей DP1, DP2, DP3. Множество ПВ непрерывно по своей природе. Оно может быть определено решеткой в пространстве параметров, которая использовалась для по-

строения РМ. Дискретное множество ПВ, определяется в результате полного перебора узлов решетки с выявлением тех узлов, для которых система неравенств (1) — (3) совместна. При этом любой элемент множества ПВ может быть либо реализован как вариант коррекции регулятора, либо служить начальным приближением для расчета некоторого предпочтительного варианта (ППВ), в частности ПВ, предпочтительного по точности. Ранжирование ПВ по значениям О, АС, Кс, КАО позволяет на подмножестве множества ПВ с отрицательными и большими производными по параметрам сформировать набор начальных приближений для поиска ППВ.

11. Расчет ППВ.

Расчет ППВ по точности сводится к решению однокритериальной задачи поиска минимума С в условиях ограничений (1) - (3). На заключительном этапе производятся проверочные тест-испытания ППВ с контролем соответствия показателей качества заданным. Полученную в результате синтеза СС будем считать оптимальной по точности на классе V.

РМ являются полиномиальными и строятся путем аппроксимации экспериментальных данных, полученных в результате активных экспериментов (тест-испытаний). Независимыми управляемыми факторами являются отклонения параметров. Отметим достоинства использования РМ при многокритериальной оптимизации СС:

- снижение трудоемкости синтеза за счет декомпозиции исходной задачи оптимизации на более простые независимые подзадачи, которые хорошо формализованы и решаются параллельно;

- упрощение алгоритмов поиска ПВ и ППВ на основе использования в них алгебраических неравенств (1) - (3), которые легко проверяются, а также лучших начальных приближений;

- получение множества ПВ и на этой основе расширение возможностей технической реализации регулятора;

- упрощение расчета параметрических допусков.

Недостатком РМ является их приближенность. Это не является критичным, т.к. РМ используются для формирования неравенств. Следует отметить, что традиционный подход к решению многокритериальных задач синтеза, основанный на использовании обобщенного (взвешенного) критерия оптимальности, как правило, сложен в применении. Это обусловлено: 1) неоднозначностью выбора вида критерия и значений весовых коэффициентов; 2) трудностями обеспечения сходимости алгоритма поиска из-за отсутствия информации о топологических особенностях критерия и неопределенности начального приближения; 3) большим объемом моделирования (из-за последовательного алгоритма вычислений).

Построение РМ производится с использованием различных стандартных пакетов программ, в том числе в системе МайаЬ. Отметим, что в задачах синтеза СС построение РМ требует относительно небольших объемов моделирования на ПЭВМ. Для практически важного примера СС с коррекцией трех параметров при построении РМ для критерия АС (как

наиболее трудоемкого) затраты времени на моделирование составили менее 0.5 часа. Для уменьшения трудоемкости целесообразны параллельные тест-испытания в компьютерной сети, где затраты времени снижаются в десять и более раз. Метод автоматизирован в среде МаЛаЬ.

Метод апробирован на примере релейной СС постоянного тока, работающей в скользящем режиме. Силовая подсистема с нежесткой кинематической передачей описывается дифференциальными уравнениями пятого порядка с нелинейностью типа люфта. В качестве неидеальностей рассмотрены: гистерезис реле, инерционность тахогенератора, люфт редуктора. Корректируемыми параметрами являются коэффициенты обратных связей км! по скорости двигателя и И по току якоря. Схема виртуального стенда для испытаний М2, в которой обеспечена полная инвариантность к классу V2, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Зітіїїіпк-схема М2: РР1 - источник тест-сигнала

Расчет в М1 первого приближения С0 проводился по критерию минимума С с контролем расположения корней характеристического уравнения вырожденной линейной системы и расчетом степеней устойчивости и колебательности [1]. Эти показатели выступали как ограничения при условной оптимизации, которая производилась методом случайного поиска.

Оптимизация регулятора выполнялась с использованием РМ в виде полиномов третьего порядка. На плоскости параметров {к\\>, кі) введена равномерная сетка размерности 5*5=25. В ее узлах с использованием пакета Statgrapllics выполнена аппроксимация данных тест-испытаний и построены графики РМ (рис. 2), где G = G/51; =0.004 рад. Граница об-

ласти ПВ определяется пересечением линий уровня РМ, в частности, уровня <5, (для критерия С) и уровня д2 = 0.07 (для критерия АС). Это означает, что внутри области ПВ С не превышает 4 мрад, а невязка моделей АС - 7 %. В этой области произведена оптимизация СС по критерию минимума С и найден ППВ, для которого С менее 1 мрад. Коэффициенты чувствительности к влиянию неопределенностей для ППВ соответствуют

наклонам не более 25 град. Это свидетельствует о высокой точности СС и достаточной грубости регулятора.

Рис. 2. Графики регрессионных моделей

Таким образом, разработан автоматизированный метод оптимального синтеза СС по критерию динамической точности на классе сигналов в условиях неопределенностей. Предложена последовательность моделей, позволяющая оценивать и учитывать при синтезе влияние неидеальностей на динамику системы. Основу такого учёта составляют метод предельных отклонений и использование регрессионных моделей.

Метод повышает адекватность линеаризации СС по полезному сигналу и надежность оценки диапазона динамической ошибки, обеспечивает робастность регулятора. Метод может быть применен для широкого класса СС как с релейными, так и с непрерывными законами управления.

Список литературы

1. Воробьев В.В., Макаров Н.Н., Макарова Н.Н. О применении метода гарантированной точности к расчету следящих систем, работающих в скользящем режиме // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Тула: ТулГУ, 2001. С. 81-85.

V.V. Vorobev

THE TECHNIQUE OF SYNTHESIS FOR FOLLOW-UP SYSTEM ON THE CLASS SIGNALS WITH SMALL RESPONSIVITY TO INDETERMINATENESS

The technique of optimal synthesis follow-up systems on criterion dynamic accuracy on the class signals is offered. On the basis of usage regression models the regulator of the servomechanism with small responsively to indeterminateness is calculated.

Key words: criterion, optimization, regression model, regulator, follow-up system, indeterminateness.