Алгоритм совместной фильтрации дискретного и непрерывных параметров многомерных коррелированных импульсных сигналов

Статистическая радиофизика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 212-219

УДК 621.391.2

АЛГОРИТМ СОВМЕСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДИСКРЕТНОГО И НЕПРЕРЫВНЫХ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНЫХ КОРРЕЛИРОВАННЫХ

ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

© 2011 г. Е.П. Петров, Е.В. Медведева, А.П. Метелев

Вятский госуниверситет, Киров

ЕМе^@шаП. ги

Поступила в редакцию 03.09.2011

Рассмотрен синтез алгоритмов совместной фильтрации дискретного и непрерывных параметров многомерных многозначных импульсных коррелированных сигналов. Предполагается, что все параметры являются марковскими процессами. Совместная фильтрация параметров осуществляется в присутствии белого гауссова шума. Синтезированные алгоритмы требуют для своей реализации минимальных ресурсов и позволяют повысить помехоустойчивость приема импульсных сигналов.

Ключевые слова: совместная фильтрация, коррелированные сигналы, марковские процессы.

Введение

Синтез приемных устройств для обработки импульсных коррелированных сигналов ведется в большинстве случаев без учета взаимного влияния качества фильтрации дискретного параметра (манипулированной фазы, частоты и т.д.) на непрерывные параметры радиосигнала (амплитуду, задержку и т.д.). В действительности реализация статистической избыточности импульсных коррелированных сигналов приводит к увеличению вероятности их распознавания, что эквивалентно увеличению точности оценки непрерывных параметров при приеме некоррелированных импульсных сигналов. Задача синтеза в этом случае сводится к установлению механизма взаимодействия между устройствами фильтрации дискретного и непрерывных параметров импульсных коррелированных сигналов.

В различных постановках задача совместной фильтрации параметров бинарных импульсных сигналов, представленных простой цепью Маркова с двумя состояниями, рассматривалась в работах [1-4], в которых предполагалось, что импульсные сигналы некоррелированы. Это сужает возможности практического использования результатов работ [1-4] в системах передачи информации. Наиболее полные исследования совместной фильтрации параметров коррелированных импульсных сигналов проведены в работах [5, 6].

В настоящее время наибольший практический интерес представляет совместная фильтрация параметров многомерных многоуровне-

вых коррелированных импульсных сигналов, примером которых являются видеопоследовательности цифровых полутоновых изображений (ВП ЦПИ), представленных ^-разрядными двоичными числами [7]. Совместная фильтрация дискретного и непрерывных параметров многомерных многоуровневых импульсных коррелированных радиосигналов мало изучена. Как показано в [7], ВП ЦПИ, представленные трехмерной цепью Маркова с 28 состояниями, обладают большой статистической избыточностью, реализация которой существенно увеличивает помехоустойчивость приема ЦПИ, что эквивалентно повышению точности измерения непрерывных параметров при отсутствии корреляции элементами ВП ЦПИ. Для исследования механизма воздействия оценок всех фильтруемых параметров необходима их совместная фильтрация.

1. Постановка задачи

Необходимо синтезировать алгоритмы совместной фильтрации дискретного и непрерывных параметров

п(І) с нулевым средним и дисперсией СТ 2 .

2. Уравнения совместной фильтрации дискретного и непрерывных параметров трехмерных двоичных импульсных сигналов

Разобьем 8-разрядные ЦПИ, представляющие трехмерные цепи Маркова с 28 равновероятными состояниями, на 8 РДИ. Возьмем в качестве многомерных коррелированных импульсных сигналов трехмерные бинарные импульсные сигналы, адекватные элементам 1-х (І є 8) РДИ ВП ЦПИ, дискретный параметр которых является трехмерной однородной цепью Маркова.

На рис. 1 представлены два соседних кадра

І-х РДИ ВП ЦПИ, разделенных на области ,

элементы которых являются цепью Маркова различной размерности.

Алгоритмы фильтрации элементов первых трех областей известны и хорошо изучены [7]. Наибольшую сложность представляет алгоритм фильтрации элементов области . Фильтру-

где

емый элемент ) = .\-^к области зависит

от состояний семи окрестных элементов (рис. 2):

у(') _ і,(0 . у(') _ ..(О . у(') _ і,(0 .

у1 _ .І, ]-1,к; у2 _ .г-1, ],к; у3 _ .г-1, ]-1,к;

_ VI

-Ім) V(1),V<'),V"),у;1",V;1'),V,

Т},

У1 = .г, ]-\,к-1’ */2 = .г-1, ],к-1’

у'(0 = || (0 . у'(1) = .(О

^3 = .г-1, ]-1,к-1’ */4 = .г, ;,к-Г

Для упрощения дальнейшего изложения материала, учитывая, что алгоритмы фильтрации импульсных сигналов всех g разрядов ВП ЦПИ отличаются лишь значениями элементов матриц вероятностей переходов (МВП), индекс (/) опустим.

Будем считать, что фильтрации подлежат дискретный параметр трехмерного импульсного сигнала, адекватного двоичным элементам . г ^ к

РДИ ВП ЦПИ, и два непрерывных параметра: флуктуирующая часть а амплитуды импульса А = а + а (а - среднее значение) и его задержка т. Остальные параметры полагаются априорно известными. Дискретный параметр .г У к бинарных трехмерных импульсных

сигналов, адекватных состояниям элементов РДИ ВП ЦПИ, представляет собой однородную трехмерную цепь Маркова с двумя равновероятными (р1 = р2) состояниями Ы\ и М2 и МВП вида:

Рис. 1. Соседние кадры последовательности 1-го разряда ВП ЦПИ

П

Ліііі Пііі] ^а1 а1'

Піі]і Пііл а 2 а 2

Пі]іі Лі}і} а 3 а3

Лі}}і Лі}}} а 4 а4

Л ]ііі Л }іі] а5 а1

Л ]і]і Л }і}} а 6 а16

Л Ціі Л Ці] а7 а1

Л ші Л ШІ ) ча8 а8,

Матрица П симметричная и удовлетворяет

условию нормировки а + а^ = 1; 5 = 1,8 .

Элементы первой строки матрицы П определяются выражениями

2„ 4 7

Л • • * Л • • * Л • • * Л • •

іі іі іі іі

3^ 5^ 6^

* Л1'-,'

а1 Лііі/

1^ 2^ 4^ 7

Л • • * Л • • * Л • • * Л •

і/ і/ і іі

з„ ^ б,„.

Л::* Л::* Л:,

кадрам:

41

: 1П =

і 1 2 2

к4 Л1 2 її С 2 Л11 Л12

<ч £ 2 2 £ 21 N 2 2 2 2

4 4

Л11 Л12

4 4

где г лй (і = 1,2; г = 1, 7) - элементы априорно известных МВП по горизонтали, вертикали и

и сопутствующих МВП од-

номерных цепей Маркова с двумя равновероятными состояниями Ы\ и М2:

3 П=:П-2 П; 5П=1П 4 П; 6П=2П-4 П;

; ; ;

7 П=3 П-4 П=1 П-2 П-4П.

Вычисление остальных элементов матрицы П (2) осуществляется в соответствии с состояниями элементов окрестности Лг-  к.

Непрерывные параметры трехмерного импульсного сигнала, адекватного элементу У4 РДИ ВП ЦПИ (рис. 2): флуктуирующая часть амплитуды а и задержка сигнала т - независимые гауссовы марковские процессы с непрерывным пространством изменения, удовлетворяющие стохастическим дифференциальным уравнениям

а + Раа = ^

где Рд, рт - ширина спектров флуктуаций амплитуды и задержки, соответственно; у() - белый шум на единицу полосы О,, 1 = 1, 2 .

Представим многомерную апостериорную плотность вероятности (АПВ) параметров трехмерных двоичных импульсных сигналов, адекватных элементам последовательностей РДИ ВП ЦПИ, как произведение АПВ дискретного и не-

прерывных параметров, полагая их апостериорно независимыми [7]:

к т п

Рк і,ч ,а х} = П П П рКи Iх

д=2 і=2 /=2

Х ^{.і,іл |.і,/-1,9, .і-1,/-1,9, .і-1,/,9,

.і,]-1,9-1, .і-1,]-1,9-1, .і-1,},9-\, .і,],9-1 }Х Х РГ(ак Ха І ак )РГ(Тк Мх | Хк ) .

Если і = / = 9 =1 то р{.і,/ 9 }= 0.5 ;

если і = 1,] > 1, д = 1, то Р.л }= Р{.1,1Д}х

ХП^К/,11.1,/-1,1};

/=2

если і > 1 j > 1, д = 1, то р{.і,/Д}= р{іш}х

т п . .

ПП "к/д1 .і-1,./-1,1}, і=2 /=2

где р{.111} - априорная начальная трехмерная плотность вероятности; ^ .і,/-^, ц^,/-^,

.і-1,, .і,/-1,9-1, .і-1,/'-1,9-15.7-1,/,9-1, .і,/,9-1} —

априорная условная плотность вероятности перехода от комбинации элементов окрестности Л^ /9 к значению элемента ., /9; а = а(у4),

ак = а(ух), х = х(у4), Хк = Х0>1) (рис. 2);

РТ (ак), Ркас(хк) - апостериорные плотности вероятностей непрерывных параметров; м(а | ак ), w(x | Хд.) - плотности вероятностей

перехода непрерывных параметров.

Плотность вероятности перехода дискретного параметра в (6) может быть представлена в форме:

а1 Ліііі

4.ІЛ"І )= t 4? ) = )|v1(l) = M^»;...;

1,...S=1

'4(l) = м') )s(v{') - м(1) ).s(v4(l) - мП')),

где Мі - возможные состояния дискретного параметра уг-; 8(*) - дельта-функция.

Примем для апостериорных плотностей вероятностей непрерывных параметров гауссовы распределения:

pa a)=

і

(a - Ук )2

2a 2

pTdu) =

і

-exps

2к02

(і-Ок )2

202

w(a 1 ak ) =

1

2кЪ

2

a - a

4і 1 і к ) =

1

^2кЪ,

і-2

где

Подставив (7)—(11) в (6), проинтегрировав с 8-функциями по всем элементам окрестности Лг- ^ к и приравняв коэффициенты при одинаковых дельта-функциях 8(цг- ^ — Ы]), получим

систему нелинейных рекуррентных уравнений совместной фильтрации дискретного и непрерывных параметров импульсных сигналов, адекватных элементам РДИ ВП ЦПИ:

(8) p(v4)expj-

(a - Ук+1)2 І (і-Ок+1)2

2a

к+1

exp<--

20

к+1

= C exp

f (Mj (v4), Ук, ©к )}

.. p

где Ук = К(У1); ©к = ©(V!) - апостериорные оценки флуктуирующей части амплитуды и задержки бинарных импульсных сигналов, адекватных

элементам v1 РДИ ВП ЦПИ; 0 \ =0 2(^),

2 2/ \

а = а (V) - дисперсии апостериорных оценок непрерывных параметров импульсного сигнала в элементе v1 РДИ ВП ЦПИ (рис. 2).

Плотность вероятности перехода для флуктуаций амплитуды а:

p(v3) K1j

і 1 (a - Vk )2

x exp--------

2 2

2 2b ak

p(v1)5 Кі^P(vk)б K1j

_1(і-О к )2

2 2r 2

2 2Ьтк

где Ьа = 1 — еХР Ь2^7! Га = еХР {-РаТ}; Т -

2

период тактовой частоты системы; оа = = Ga /2Ра - априорная дисперсия флуктуаций амплитуды.

Для случайной задержки т плотность вероятности перехода имеет вид

Ч-^ і •

К= 1 -ехр{-2ртг}; гт = ехр{-РтГ};

ст^ = GT /2РТ - априорная дисперсия флуктуаций параметра.

Будем считать, что при наличии БГШ, искажающего изображение, функцию правдоподобия дискретного параметра сигнала для последовательности элементов РДИ можно записать в форме [4]:

I k m П I

^{Pi,J,k, a x} = exp Z Z Z f

[?=1 i=1 j=1 J

где f (цi j ) - логарифм функции правдоподобия элемента ц j k РДИ в q-м кадре.

2 2г\2 7 2 2 2 2,7 2

где 8тк = Гт 0к + ЬтСТт ; ^ак = Га ак + Ъа^ а ';

ук+1 = Г К); ©к+1 = ©(^4); у к = Гаук- экстраполированная оценка флуктуирующей части амплитуды импульсного сигнала элемента v1 РДИ

ВП ЦПИ; ©к = гт©к - экстраполированная оценка задержки импульсного сигнала элемента v1 РДИ ВП ЦПИ, с - коэффициент нормировки.

Будем считать, что флуктуации амплитуды сигнала малы, т.е. выполняется условие А >> а

2 °2

и р а =—а << 1. Тогда, проинтегрировав урав-

° п

нение (14) по непрерывным параметрам, разделив полученное выражение с v4 = М1 на выражение с v4 = М2 и прологарифмировав, получим рекуррентный алгоритм нелинейной фильтрации дискретного параметра бинарных трехмерных импульсных сигналов, адекватных элементам РДИ ВП ЦПИ, в виде:

Ы(У4) = [/ (Ы , © к ) —

— / (Ы2 МЛ , © к )]+[ф(Ы1(У4), Гк , ©к ) —

— ф(ы 2 ы, Гк , ©к )]+мы +

+ ^ [м(^1 ),: Ку ]+ м(У2 ) + [м(^ ),к Ку ] +

Г л 1

+ м(У,4) + ^4 [м(V4), %1} ]+ м(у’з ) +

+ ^7 [м(V; ),7 ]— м(Уз ) — 7з [м(Уз ),3 ] —

(у;) — ^5 [м(у;),5 Лу. ]—м(У,2) —

- u(vi) - z5 [M(vi), К у ]-м( - z6 [u(v2),<5 K1j ]> H,

где u(v4) = ln

pl

- логарифм отношения

p2

АПВ состояний элемента V4 (рис. 2);

2

2

1

/(Ы, (у4), Ук, ©к) - логарифм функции правдоподобия дискретного параметра М, в экстраполированной на такт точке оценки амплитуды и задержки сигнала в элементе v1 РДИ ВП ЦПИ; Н - порог, минимизирующий ошибки различия бинарных сигналов по критериям идеального наблюдателя [1];

Г ГС,-,- + Г КЦ СХр{— м(Уд )}.

Г К ц +Г К„ СХ1РМ^', )} ’

/ V

9 = ід г = 1,3;

г ліі +г лл ехр{- и(у’ч)}

г Л,, +г Л/ ехр'

'КЧ )}

}} ч 9 = 1, 4; г = 4, 7; г ли (і = 1,2; г = 1,7) - элементы МВП в одномерных цепях Маркова с двумя состояниями;

Ф{Мг (у4), Ук, ©к } =

Г б л л 1 2

— / (М 1(у4), V, ©к) бх _ ехк

1 -ЄхкТ-2 (М 1(^4), V, ©к ) бх2

і = 1, 2 .

Вычислим логарифм функции правдоподобия дискретного параметра сигнала:

/г = /(м^ ) Ук, ©к ) =

1

= 4р2

где Рэ =

Я(к -х) + -

^

і = 1, 2,

А 2Г

Для импульсов гауссовой формы нормированная автокорреляционная функция имеет вид

К

где Тэф - эффективная длительность единичного импульса.

При малой апостериорной неточности измерения задержки величина (©к — т)2 мала, поэтому экспоненту в правой части (20) можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя членами разложения

Я

где У2 =—- коэффициент, определяющий 2Т

21 эф

ширину спектра единичного импульсного сигнала.

Запишем уравнение для апостериорной

оценки задержки ©к+1 и ее нормированной на

а П дисперсии 02+1 в виде:

9 ( /' /Л

© к+1 =© к +С 2+1 В /-„ + вг /2.

V /1 / 2 у

2 = гх2 с 2 + ЬхР2%

с‘+1 1 4х2 с 2 + »,р

2

ХрХ

где

В =

- оценка отношения сигнал/шум

1 ,Еі 1 1 + ехр{- м(у4)}’ 1 + ехр{и(у4)}'

в единичном импульсе; А = А(ух) = а + Ук - экстраполированная оценка амплитуды в элементе v1 РДИ в д-м кадре ВП ЦПИ (рис. 2).

причем Бх + В2 = 1, р2 = —^.

Х „2 СТ п

На рис. 3 представлены графики изменения коэффициентов Вь В2.

2

2

2

Первый сомножитель в знаменателе (23) представляет собой сумму экстраполированной на такт апостериорной и априорной дисперсии задержки, а второй равен обратной величине дисперсии единичного замера на выходе дискриминатора задержки, т.е. второе слагаемое в знаменателе (23) есть не что иное, как отношение двух дисперсий задержки.

Уравнение для оценки флуктуирующей части амплитуды сигнала при гауссовых флуктуациях:

Vк+1 - V к + Xк+1 [В1 (г1 - а - Рк) +

)],

где

Х к +1

Ьа р 2 + к2 X к

2 к+1 N

1 + Ьа р а + к а Х к

г Мі К)Л , © к ) =

2 2 2 ста а к

ра = -у; Хк = 2.

брегая шумами измерения задержки по сравнению с БГШ, окончательно алгоритм фильтрации дискретного параметра двоичного сигнала можно представить в виде

ФЛ) = 4р:

^(©к_ х) + "у (©к -х)2 +

~п(Хк ) + u(vі) + 2 (u(vі),і Л/ ) +

/ \

+ u(vа) + (u(vа ),а Л/ ) + u(v4 ) +

+ 24 Л/ )+ ЧЦ ) + 27 (ЧЦ ),7 Лу )-

- u(vз ) - 23 (Ч^ ),3 Лу-) - u(v1 ) -

(u(vі),5Л/ )- - 2б(u(vа),6 Л/Ь Н .

Если шумы на входе приемника малы, то, пренебрегая шумовым членом в квадратной скобке (29) и используя разложение (21), получим

2 2 1 -^ (©к -Х)2 +~ (©к -х)2

= 4р 2.

Будем считать, что используются ФМ импульсные сигналы, для которых /1 = -/2. Прене-

Из (30) следует, что добавка ~(©к _х)2 к сигнальной части Я(к - х) позволяет скомпен-

2

а)

т}{п^$),дБ

б)

Рис. 4. Выигрыш в отношении сигнал/шум на выходе приемного устройства

сировать уменьшение отношения сигнал/шум на выходе приемного устройства, вызванное незнанием истинного значения задержки.

3. Результаты исследования

На рис. 4 представлен выигрыш по мощности ^(тсйй, р2) при совместной оптимальной фильтрации дискретного и непрерывных параметров (амплитуды и задержки) сигнала. Сплошными линиями обозначены графики выигрыша при наличии каналов измерения задержки и амплитуды, пунктирными - при их

отсутствии. Отношение сигнал/шум на входе приемного устройства р2 = -3 дБ.

Статистическая избыточность трехмерных коррелированных импульсных сигналов, адекватных элементам РДИ ВП ЦПИ, даже при относительно небольшой корреляции по каждому

измерению Г ки = 0.8 (, = 1, 2; г = 1, g) имеет большую величину ( кш = 0.99), реализация которой в условиях флуктуирующей амплитуды и случайной задержки дает выигрыш по мощности сигнала до 12 дБ и мало зависит от ра .

На рис. 5 показан пример нелинейной фильтрации ВП ЦПИ «Самолет» из 5 кадров размером 1300^800. На рис. 5а приведен незашумленный первый кадр ВП ЦПИ, а на рис. 5б - тот же кадр,

зашумленный БГШ при р^ = -9 дБ. На рис. 5в, г представлены отфильтрованные 1-й и 5-й кадры ВП ЦПИ при отсутствии каналов измерения задержки и амплитуды, на рис. 5д, е - отфильтрованные 1 -й и 5 -й кадры ВП ЦПИ при наличии каналов измерения задержки и амплитуды.

Из приведенных результатов следует, что учет при фильтрации дискретного параметра импульсных сигналов каналов измерения задержки и амплитуды позволяет повысить качество приема ВП ЦПИ.

Заключение

Результаты исследования совместной нелинейной фильтрации дискретного информационного и непрерывных параметров многомерных импульсных сигналов, адекватных элементам РДИ ВП ЦПИ, показали, что совместную фильтрацию параметров импульсных сигналов имеет смысл производить для коррелированных сигналов, содержащих большую статистическую избыточность, которая при ее эффективной реализации может значительно повысить помехоустойчивость приема импульсных сигналов.

Список литературы

1. Тихонов В.И., Степанов А.С. Совместная фильтрация непрерывных и дискретных марковских процессов // Радиотехника и электроника. 1973. № 7. С. 1376-1383.

2. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Повышение эффективности и качества систем синхронизации за счет использования информационной избыточности // Радиоэлектроника. Науч. тр. вузов Лит. ССР. Синхронизация систем связи. 1983. № 19(3). С. 72-77.

3. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь, 1986. 264 с.

4. Амиантов И.Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971. 416 с.

5. Петров Е.П. Совместная фильтрация дискретного и непрерывных параметров двоичных коррелированных сигналов // Радиолокация, навигация, связь: Сб. трудов IV МНТК. Воронеж, 1998. Т. 1. С. 46-53.

6. Петров Е.П., Прозоров Д.Е., Кишмерешкин П.Н. Совместная фильтрация параметров импульсных коррелированных сигналов с неизвестной амплитудой и задержкой // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Сб. трудов VII МНТК. М., 2005. Т. 1. С. 243-247.

7. Медведева Е.В. Нелинейная многомерная фильтрация цифровых полутоновых изображений / Е.В. Медведева, А.П. Метелёв, Е.П. Петров, И.С. Трубин // Радиолокация, навигация, связь: Сб. трудов XI МНТК. Воронеж, 2009. Т. 1. С. 182-192.

AN ALGORITHM FOR SIMULTANEOUS FILTRATION OF DISCRETE AND CONTINUOUS PARAMETERS OF MULTIDIMENSIONAL CORRELATED PULSE SIGNALS

E.P. Petrov, E. V. Medvedeva, A.P. Metelyov

Synthesis of algorithms for simultaneous filtration of discrete and continuous parameters of multidimensional binary correlated signals is considered. All parameters are assumed to be Markov processes. The simultaneous filtration of parameters is carried out in the presence of white Gaussian noise. The synthesized algorithms require minimal resources for their implementation and allow the noise stability to be increased when receiving pulse signals.

Keywords: simultaneous filtration, correlated signals, Markov processes.