Степенные моменты функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса

Литература:

1. Власова Е.З. Теоретические основы и практика использования адаптивных технологий обучения в профессиональной подготовке студентов педагогического вуза: Автореф. дисс. . д-ра пед. наук.- СПб., 2009. - 242 с.

2. Захарова И.Г. Информационные технологии в образовании: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. М.: Изд. центр «Академия», 2003. - 192 с.

3. Кинелев В.Г. Контуры системы образования XXI века // Информатика и образование. 2009. - №5. - С. 287.

4. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы; перспективы использования. М.: Школа-Пресс, 2014. - 274 с.

Literature:

1. Vlasova E. Z. Theoretical basis and practice application of adaptive learning technologies in training students of pedagogical University: author. Diss. . d RA PED. Sciences.- St. Petersburg, 2009. - 242 p.

2. Zakharova I. G. Information technologies in education: Ucheb. a manual for students. the high. PED. proc. institutions. M.: Izd. center "Academy", 2003. - 192 p.

3. Kinelev V. G. Outlines of the system of education in the XXI century // Informatics and education. 2009. - No. 5. - S. 287.

4. Robert I. V. Modern information technologies in education: didactic problems; prospects. M.: School-Press, 2014. - 274 p.

УДК 517.5

СТЕПЕННЫЕ МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ ФИКСИРОВАННОГО РАДИУСА

Очаковская О.А., к. ф.-м. н., старший преподаватель кафедры Естественнонаучных дисциплин ЧОО ВО «Социально-педагогический институт», г. Дербент;

Аннотация. Главный результат статьи доказывает существование ненулевых функцт с нулевыми степенными моментами с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса. Это доказывает, что эти условия нельзя усилить.

Ключевые слова: сферические средние, периодичность в среднем.

POWER POINTS OF FUNCTIONS WITH ZERO INTEGRALS OVER BALLS OF A FIXED RADIUS

Ochakovskaya O. A., candidate of Phys.-M. D., senior lecturer of the Department of Natural Sciences ORR IN "Social pedagogical Institute", the city of Derbent

Abstract. The central result of the paper asserts that there exist nonzero functions with zero power moments and vanishing integrals over balls of fixed radius. This shows that some of results in the theory of such functions can not be refined. Key words: spherical means, mean periodicity.

Пусть R - вещественное евклидово пространство размерности n > 2 с евклидовой нормой | • |. Предположим, что f е lLloc (Rn) и для некоторого

фиксированного r > 0 и всех y е Rn имеет место равенство

\ f

Верно ли, что f - нулевая функция? В общем случае ответ отрицательный (см., например, [1, гл. 2], [2], где получено описание некоторых классов таких функций), но при некоторых дополнительных предположениях равенство f = 0 справедливо. Одним из таких предположений является условие достаточно быстрого убывания f на бесконечности.

Подобное явление было впервые отмечено Ф. Йоном для функций с нулевыми сферическими средними в

R3 [3, гл.6]. Многие авторы исследовали вопрос о точных условиях убывания на бесконечности, из которых следует, что функция f,

удовлетворяющая уравнению типа (1), равна нулю. Для шаровых средних в Rn первый точный результат принадлежит Д. Смиту [4], который установил, что если f е C(Rn) с условием

n—1

lim f

удовлетворяет (1), то f = 0. При этом условие (2) нельзя заменить условием ( I — ^ I I

f (х) = O |х| 2 | при |х| — ад. Аналогичное утверждение имеет место и для

2n

сферических средних в К [4]. Известно также, что если при некотором р е

1,

n-1

2п

функция f с условием (1) принадлежит классу Ьр (Кп), то f = 0, а при р >-это

п -1

утверждение уже не имеет места (см. [5], а также [6], где утверждение сформулировано для случая сферических средних). Существенно более общие и точные результаты в этом направлении получены В.В. Волчковым в [7], [1]. Из [7]

Г 2п

следует, в частности, что если при некотором р е 1,

n-1

функция f e Цос

удовлетворяет (1) при всех | y | > r и

üm i f Xpdx = о,

n - — p 2n то f = 0 на множестве {x e Rn :| x | > r -1} (здесь ßp(R) = R 2 при 1 <p <- и

2п

(К) = 1п R при р =-). При этом условие (3) нельзя заменить условием

р п -1

{|/(х)|= (К)) при Я ^ да. Ряд далеко идущих обобщений этого результата

получен в [7, § 8], а также в [1], где условие (1) заменяется уравнением свертки более общего вида.

Некоторые аналоги рассмотренной выше проблемы на симметрических пространствах исследовались в [8], [9]. В работах [10], [11] изучались подобные вопросы для функций с нулевыми шаровыми средними, заданных на полупространстве.

Характерной особенностью всех перечисленных выше условий для поведения / на бесконечности, при которых из (1) следует, что / = 0, является их

инвариантность относительно группы вращений [Рп . Это позволяло использовать в их доказательствах аппарат гармонического анализа на компактных группах (см., например, [1]). В работе [12] рассматривается подобная задача для случая, когда указанная выше инвариантность существенно нарушается и требуются другие

методы. В частности, рассмотрены классы локально интегрируемых на Рп функций, для которых выполняются оценки

где у > 0, а Мц " некоторая последовательность положительных чисел.

Найдено необходимое и достаточное условие на последовательность Мц ^ ^,

гарантирующее, что функция с нулевыми средними по шарам фиксированного радиуса, принадлежащая указанному классу, является тождественно нулевой. Это условие имеет вид

Г П-1

Е

т=1

тГ Мд

д > т

= + да.

Можно доказать также, что при условии (5) оценку (4) можно заменить неравенством вида

| |/(хь..., Хп )| (1+1 Х1 I) Ц1...(1 +|Хп_1 |)Цп-1 йхх... йхп_1 < Мдвухп |,

Рп-1

где ц = +... + Цп-1 (см. [11]).

В связи с этими результатами возникает следующий вопрос: можно ли заменить условие (4) оценкой моментов

I /(х1,..., хп) х1д1...хп-1Цп-1 ¿хь.. ^п-1

Рп-1

< Мдеухп|,

где ц = Ц1 +... + цп-1 (возможно, с заменой показателя в экспоненте функцией от | хп |, растущей медленнее линейной)?

да

В данной работе показано, что ответ на данный вопрос является отрицательным. Таким образом, сформулированный выше результат работы [12] нельзя усилить в указанном направлении.

Теорема. Существует ненулевая функция / е С(Рп) с условием (1), для которой

|/(х1,...,хп) х1д1.хп-1Чп~1 ¿хх... ¿хп= 0

Р п-1

для любого хп е Р1 и всех целых неотрицательных д1,...,дп_1.

Доказательство. Пусть Jn (г) функция Бесселя первого рода порядка п и

2

пусть у > 0 такое, что Jn (у) = 0. Такие числа у существуют (см., например, [13, §

2

23]). Положим

/

р п-1

где 8 ненулевая функция класса С(Рп-1), удовлетворяющая следующим условиям:

1) 8 убывает на бесконечности вместе со всеми своими производными быстрее, чем ехр(-а | % |) при любом а > 0;

2) Все частные производные от 8 в нуле равны нулю.

Существование такой функции 8 очевидно. Тогда / ф 0 и из равенства (7) находим

(Д/Хх) + у2/(х) = 0 при х е Рп . По теореме о среднем для решения уравнения Гельмгольца (см.[1, глава 1, формула 7.10] ) имеем

п 3-п

)2 2

2

I х - У |<1 2

п 3-п

|/(х)Лх = (2ж)2Jn_2(у)у 2 /(У) = 0

Таким образом, условие (1) выполнено при г = 1. Поэтому из (7) и формулы обращения для преобразования Фурье вытекает

11 (х1,...,хп) ехР(-* (%1х1 + ... + %п-1хп-1))Лх1...¿хп

кп-1

Р п-1

-Д--8(%1,...,%п-1) у2- 1 % |2хп) (2ж)п

Пусть (д1,...,дп-1) е 1 и д = д1 +... + дп-1. Тогда

|1 (х1,...,хп) х1д1 . хп-1дп-1 ах1.. Лхп-1 =

Р п-1

1 dq

g(£) (cos^v22xn)) о

{2жУ(-i)q dtf1 ...

Отсюда и из свойства 2) функции g следует утверждение теоремы при r = 1. Общий случай легко выводится отсюда с помощью линейной замены переменной в интеграле (1). Тем самым теорема полностью доказана.

Литература:

1. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. - Kluwer Academic Publishers. Dordrecht / Boston / London. - 2003, 454 p.

2. Волчков В. В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах // Матем. сб. 1995. Т. 186. № 6. С. 15 - 34.

3. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: ИЛ, 1958.

4. Smith I. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1972. V. 72. P. 403 - 416.

5. Sitaram A. Fourier analysis and determining sets for Radon measures on Rn // Illinois J. Math. 1984. V. 28. P. 339 - 347.

6. Thangavelu S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J. Anal. Math. 1994. V. 63. P. 255 - 286.

7. Волчков В. В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Матем. сб. 1997. Т. 188. № 9 С. 13 - 30.

8. Shahshahani M., Sitaram A. The Pompeiu problem in exterior domains in symmetric space // Contemp. Math. 1987. V. 63. P. 267 - 277.

9. Волчков В. В. Теоремы о шаровых средних на симметрических пространствах // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 9. С. 17 - 38.

10. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса на полупространстве // ДАН. 2001. Т. 381. № 6. С. 745 -

11. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Математическая физика, анализ, геометрия. 2002. Т. 9. № 3. С. 493 - 501

12. Очаковская О. А. Теоремы типа Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // ДАН. - 2007. - Т.415, №2. - С.

13. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.

1. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. - Kluwer Academic Publishers. Dordrecht / Boston / London. - 2003, 454 p.

2. Volchkov V.V. A definitive version of the local two-radii theorem", Mat. Sb. 186:6 (1995), 15-34; English transl. in Sb. Math. 186:6 (1995), 783-802.

3. F. John, Plane waves and spherical means applied to partial differential equations,Interscience Publ., New York-London 1955.

747.

171-173.

Literature:

4. Smith I. D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1972. V. 72. P. 403 - 416.

5. Sitaram A. Fourier analysis and determining sets for Radon measures on Rn // Illinois J. Math. 1984. V. 28. P. 339 - 347.

6. Thangavelu S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J. Anal. Math. 1994. V. 63. P. 255 - 286.

7. V. V. Volchkov, "Solution of the support problem for several function classes", Mat. Sb. 188:9 (1997), 13-30; English transl. in Sb. Math. 188:9 (1997), 1279-1294.

8. Shahshahani M., Sitaram A. The Pompeiu problem in exterior domains in symmetric space // Contemp. Math. 1987. V. 63. P. 267 - 277.

9. Volchkov V. V. Theorems on ball means values in symmetric spaces // Sbornik: Math. - 2001. - V. 192. - P. 1275-1296.

10 Ochakovskaya O.A. "On functions with zero integrals over balls of fixed radius on a half-space", Dokl. Ross. Akad. Nauk 381:6 (2001), 745-747; English transl. in Dokl.Math. 64:3 (2001), 413-415.

11. Ochakovskaya O.A. "On functions with zero integrals over balls of fixed radius", Mat. Fiz. Anal. Geom. 9:3

12. Ochakovskaya O.A. Liouville-Type Theorems for Functions with Zero Integrals over Balls of Fixed Radius

13. B. G. Korenev, Introduction to the theory of Bessel functions, Moscow 1971.

УДК: 374

КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ

Хайбулаев М.Х., к. п. н., профессор кафедры педагогики и технологий

профессионального образования, Раджабалиев Г.П., к.тех.н., доцент кафедры педагогики и технологий

профессионального образования ФГБОУ ВО «Дагестанский государственный педагогический университет»

Аннотация. В работе рассмотрены проблемы маркетинговой деятельности вузов Дагестана, повышающих уровень их конкурентоспособности.

Ключевые слова: конкурентоспособность, макроуровень, микроуровень, образовательные услуги, потребитель, стратегия развития, уровень вуза.

COMPETITIVENESS OF EDUCATIONAL INSTITUTIONS

Haybulayev M. H., c. p. n., professor of the Department of pedagogy and

technology, vocational education, Radzhabaliyev G. P., c. tech.n., associate professor of the Department of pedagogy and technology, vocational education, FGBOU VO "Dagestan State Pedagogical University"