Единая ламинарно-турбулентная дифференциальная модель для течений вязкой несжимаемой жидкости

А. Л. Чистов

ЕДИНАЯ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Во многих случаях расчета обтекания тел вязкой жидкостью заранее не ясно, какой режим течения - ламинарный или турбулентный - реализуется на том или ином участке поверхности. Это порождает трудности в выборе математической модели течения, что в конечном итоге снижает достоверность получаемых результатов. Кроме того, для турбулентного режима течения проблема замыкания уравнений движения до настоящего времени окончательно не решена [1]. При этом режиме возникает дополнительная проблема выбора модели турбулентности, так как каждая из имеющихся обладает своими существенными изъянами. Для преодоления указанных трудностей представляется полезным создать такую единую феноменологическую модель течения вязкой жидкости при произвольных числах Рейнольдса, которая бы удовлетворительно, в согласии с опытом, описывала поле осредненных (по Рейнольдсу) скоростей и трение на стенках. Достижение этой цели возможно путем анализа обширных экспериментальных данных, имеющихся в механике жидкости.

Результатом такого анализа является ламинарно-турбулентная модель, альтернативная гипотезе пути перемешивания Л. Прандтля, построенная в работе [2]. Согласно этой алгебраической модели,

где т - суммарный тензор напряжений, включающий в себя в общем случае как чисто вязкостные, так и турбулентные напряжения; Э ^ 'Vv + ('Vv)T - тензор скоростей деформации (осредненных при турбулентном режиме); и - скорость жидкости; V- вектор Гамильтона (набла); Т - символ транспонирования; р - динамическая вязкость; / = / (г, £), 0 ^ ^ 1, - скалярная безразмерная мера турбулентности, которая

определяется из уравнения переноса этой скалярной величины. При этом, когда число Рейнольдса мало, Ие ^ 0, ] ^ 0 и режим течения жидкости является чисто ламинарным во всей рассматриваемой области, а при Ие ^ то величина f ^ 1 и режим течения является турбулентным с профилями скорости предельной полноты.

Подставим реологическое соотношение (1) в уравнение движения сплошной среды в напряжениях, которое в пренебрежении массовыми силами имеет вид

ди _____ __

р— = — \7р + \7-т.

dt

В результате получим

du а 2а

'~dt =-Vp+ (wl + (Wf

Р-,г = -Vp + 1 S  V/,

Чистов Алексей Леонидович — аспирант кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научное направление: турбулентность. E-mail: chistovalexey@gmail.com.

© А. Л. Чистов, 2008

здесь р - плотность жидкости; р - давление; Д - оператор Лапласа, ^ - материальная производная по времени; точка - символ скалярного произведения.

В скалярном виде, в компонентной форме записи в декартовой прямоугольной системе координат уравнение (3) принимает вид

Р

9уі

т

+ из

9уі

дхз

др

дхі

+

р

д2г

+

р

дщ+дщ\д1 дхк дхі ) дхк ’

где г, ], к =1, 2, 3.

Уравнение (4) представляет собой модификацию уравнений Навье-Стокса. Причем при ] = 0 (чисто ламинарный режим) оно переходит в уравнение Навье-Стокса.

Для замыкания системы, помимо уравнения неразрывности, которое для несжимаемой жидкости имеет вид V • и = 0, необходимо дополнительное скалярное уравнение переноса величины ]. Оно было получено в работе [2]:

# Д г , ИКЯттг ттг , ,1 ^

Р777 = + 71-71^ ' + Р 1 - / /г, Ю ОІ /„ІГЛ •

В (5) П

Ъи - (Ъи)1

антисимметричная часть тензора градиентов скоро-

стей деформаций (она связана с тензором скоростей деформации соотношением Ъи = Э + Г2); двоеточие - символ двойного скалярного произведения; Ф (/) = 2а+р(1-/^ ~~ алгебраическая функция, где а и в - феноменологические константы, полученные из обработки опытных данных для широкого класса пристенных течений а = 2.5, в = 8.5.

В компонентной форме это уравнение записывается следующим образом:

Р

= д2/ I ф(Я д1 д1 I

^дхкдхк ^(1 - /) дхк дхк Р

дж* дхь кг3 кі$і

здесь - компоненты тензора Леви-Чивита.

Система уравнений (4), (6) в совокупности с уравнением неразрывности является замкнутой и позволяет решать задачи об изотермических течениях несжимаемой вязкой жидкости независимо от режима течения. Для рассмотрения конкретной задачи систему необходимо дополнить только граничными условиями, в качестве которых выступают условия прилипания и равенство функции ] нулю на поверхности обтекаемого тела.

Описанная модель позволяет рассматривать течения жидкостей при произвольных числах Рейнольдса, т. е. рассчитывать как ламинарные, так и турбулентные потоки. Переход из одного режима течения в другой получается естественным образом.

Однако при больших числах Рейнольдса, когда режим течения становится турбулентным, возникает проблема учета анизотропии и памяти потока. Потому реологическую модель (1) необходимо усовершенствовать. Для этого заменим данное алгебраическое реологическое соотношение на дифференциальное. Подробный вывод такой замены применительно к модели турбулентности в рамках обобщенной теории В. В. Новожилова содержится в работе [3]. Используя аналогичную процедуру применительно к реологическому соотношению (1), можно получить следующее дифференциальное уравнение переноса тензора суммарных напряжений потока:

д т

— + (г>  V) т = -Аг/Б - 2ре{{

8 • П +(8 • П)1

+

П + (т • П)1

2

где

28 : 8

Если перенести последнее слагаемое правой части в левую часть уравнения (7), то там получим локальную, конвективную и вращательную части полной материальной (конститутивной) производной в форме Яуманна. Используя известные обозначения для материальной производной, имеем

Запись материальной производной (8) обеспечивает независимость компонент эйлеровой производной тензора относительно поворотов системы отсчета. Существует несколько видов записи материальной производной, и в зависимости от конкретизации вращательной части различают производные Яуманна, Олдройда, Труссделла, Ривли-на, Хилла и Седова [4]. Все они являются эквивалентными частными случаями пространственной меры скорости изменения.

То, что в уравнение переноса тензора суммарных напряжений (7) материальная производная содержит вращательную часть, следует и непосредственно из уравнения Навье-Стокса после некоторой его трансформации применительно к турбулентному режиму [5]. Действительно, если векторное уравнение Навье-Стокса р + (и • V) и] = —Ър+рДи, где все величины понимаются как мгновенные, тензорно умножить на вектор пульсационной скорости и' сначала справа, а затем слева и сложить полученные выражения, то в результате имеем тензорное уравнение, в котором все слагаемые -симметричные тензоры второго ранга. После разбиения мгновенных величин на осред-ненные и пульсационные и применения правил осреднения Рейнольдса можно получить уравнение переноса тензора рейнольдсовых напряжений И, = —рг)' <8 Vі:

здесь длинная черта сверху - символ осреднения по Рейнольдсу.

Уравнение (9) можно переписать в несколько ином виде, для этого преобразуем последнее слагаемое правой части. Запишем вспомогательные соотношения:

Использование (10) позволяет записать следующее представление для указанного слагаемого:

= _д,/8-2Ме// [8-П+(8-П)т .

+ (у  V) И = V • (ypv, <S>v, <Е> V') — И • 'Vv + ('Vv)т  И +

+ рАИ + 2p('Vv/)T • 'Vv/ + [г/ <8 \7р' + ^рг~гУ\ ,

^р>и> = р'^хуі \7р' (8> г/, (Чр'^)т = р' ('Vv/)T + Vі <8 \7р'.

\7р' <8 Vі + Vі <8 = ^р^1 + (^р^')Т — 2р'8/,

где Э' = \ Vt^, + СУг;' )1 - тензор пульсационных скоростей деформации.

Учтем, что градиент вектор-функции можно представить в виде дивергенции тензора третьего ранга, например Ъа = Ъ • (Е <8> а), где Е - единичный тензор, Е = 5^еі <8> е^,

____ _____ гр _ _ р

~ дельта Кронекера. Тогда Vр'Vі + ('г>') = V • (Е <8> р'г»') + (V • (Е <8> р'г»')) . В

итоге уравнение переноса тензора И - уравнение (9) - можно переписать таким образом:

+ (г> • V) И + И VI; + (\7г>)Т - И = V • \ръ' <8> Vі <8> Vі + /XVИ] +

-2/8'.

+ 2fji('Vv')T • 'Vv' + V • (Е + (V • (Е (g)p/,^/))T

В левой части уравнения (11) стоит материальная производная тензора второго ранга в форме Ривлина.

Располагая системой уравнений (2), (5), (7) и дополняя ее уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости и граничными условиями, можно ставить и решать задачи расчета течений, в которых учитываются, кроме нелинейности, еще и эффекты анизотропии и памяти.

Summary

Chistov A. L. Unified laminar turbulent differential model of incompressible viscous liquid flows.

Viscous liquid flows under arbitrary Reynolds numbers are examined. The flow model equally acceptable both laminar and turbulence regimes and synchronous accounting of turbulence flow nonlinearity, memory and anisotropy useful availability was shown. Such flow model was built. Flow regimes accounting in the model was realized by using non dimensional turbulence measure and overall stress tensor. Synchronous accounting of flows nonlinearity and anisotropy requires of differential rheological equation usage was shown. The differential overall stress tensor transport equation was obtained and analyzed. The transport equation independence from frame rotation was shown and prof produced.

Key words: liquid, turbulence, rheology, model, flow.

Литература

1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

2. Павловский В. А. Об одной чисто феноменологической теории, альтернативной гипотезе длины пути перемешивания//Физическая механика. Вып. 7 / Под ред. Б. В. Филиппова. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. - С. 21-35.

3. Новожилов В. ВПавловский В. А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. - СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 1998. - 484 с.

4. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред / Пер. с болг. В. А. Дмупанова, С. П. Радева. - М.: Мир, 1979. - 302 с.

5. Павловский В. А. Различные формы трансформации уравнений Навье-Стокса // Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС: Межвуз. сб. науч. трудов. -СПб.: ГОУВПО СПбГТУ РП, 2007. - С. 5-11.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 29 апреля 2008 г.