Методика оценки статистических свойств характеристических функций

УДК 681.518.5:519.254

И. С. КУДРЯВЦЕВА

Омский государственный технический университет

МЕТОДИКА ОЦЕНКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Определение численных критериев оценки технического состояния объектов диагностирования и мониторинга по параметрам характеристических функций является актуальной задачей. Целью работы является разработка методики получения теоретических функций распределения и плотности вероятности по экспериментальным данным. В работе предложена методика построения эмпирических и теоретических функций распределения и плотности вероятностей параметров характеристической функция мгновенных значений виброакустического сигнала, полученных для различных состояний объекта диагностирования. Произведена оценка достоверности аппроксимации путем расчета множественного коэффициента детерминации. Полученные выражения теоретических функций распределения модуля характеристической функции для различных технических состояний объекта диагностирования и различных величин параметра характеристической функции позволяют методами принятия статистических решений произвести расчеты численных критериев оценки состояния объектов по параметрам характеристических функций. Данные результаты получены впервые в практике формирования определяющих критериев неисправностей по параметрам характеристических функций.

Ключевые слова: характеристическая функция, диагностика, техническое состояние, диагностический признак, виброакустический сигнал.

Поиск новых диагностических признаков неисправностей объектов диагностирования по параметрам виброакустических (ВА) сигналов является актуальной задачей технической диагностики [1 — 5]. Однако применение новых диагностических признаков связано с научно обоснованным определением их пороговых величин, разделяющих виды технических состояний, которое основывается на статистических характеристиках величин диагностических признаков.

Для описания статистических свойств диагностических признаков следует получить эмпирические и теоретические функции распределения их вероятностей для различных состояний объекта диагностирования [6, 7]. Эти исследования являются первым шагом по оценке предельных значений диагностических признаков, разделяющих состояния объекта диагностирования на классы состояний.

Построение эмпирической плотности вероятности. Для больших выборок эмпирические ряды данных можно представить в виде гистограммы, являющейся графической (эмпирической) оценкой плотности вероятности.

Группировка эмпирических рядов данных по интервалам состоит из следующих процедур [6]:

— определение величины размаха изменений параметра ряда х;

— расчет количества интервалов, их величины;

— определение для каждого г-го интервала [х. — х.,,] абсолютного значения частоты п или ве-

1 г 1+11 г

личины относительной частоты (частотности у.) попадания параметра в интервал.

Итогом расчетов является представление эмпирических рядов данных в виде интервального или

статистического ряда. Графически ряд представляют в виде гистограммы. Чаще всего гистограмму изображают в виде фигуры, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною h, а высоты равны соответствующей абсолютной частоте пг попадания эмпирических рядов данных в заданный интервал величин параметра. Однако такой подход не совсем корректен. Высоту !го прямоугольника I. следует выбрать равной п/п.

I

Такую гистограмму можно интерпретировать как графическое представление эмпирической функции плотности распределения FJx) — в ней суммарная площадь всех прямоугольников равна единице [6].

В качестве примера исходными данными будут являться значения модуля ХФ в(у) при параметре v=0,2.

Чтобы построить общую гистограмму, необходимо определить оптимальное число интервалов группирования экспериментальных данных по Уильям-

су [6]:

К < 4[0,75(368— 1)2]0

40.

В данном случае для удобства вычислений и для наглядности гистограммы используется К = 35.

Длины интервалов удобно выбирать одинаковыми и равными величине:

Л =

у тах тш' у ' ' ' ' '

где х — максим

тах

чение параметра.

Рис. 1. Гистограмма распределения 9

Рис. 2. Модифицированные эмпирические функции распределения 9(0,2) для трех состояний объекта и их регрессионные модели, № — величина достоверности аппроксимации

Затем рассчитывается количество значений параметра, попавших в каждый интервал (частотность в терминах программы MS Excel). В MS Excel частотность рассчитывается с помощью условия — если в ряде данных [x1; xj встречается значение от a до b, в данную интервал прибавляется единица. По данному алгоритму производится расчет для остальных 35 интервалов. Далее производится расчет накопления ряда по всем 35 интервалам и получают значения накоплений для всех интервалов. Каждое накопленное значение, соответствующее определенному интервалу, делят на общее количество значений коэффициентов n для получения процентного ряда или ряда относительных частот.

По рассчитанным данным строят общую гистограмму), по оси абсцисс откладывают x. (интервалы), по оси ординат — относительную частоту (рис. 1).

На гистограмме присутствуют три явно выраженные моды, которые соответствуют трем состояниям деталей цилиндропоршневой группы (ЦПГ) поршневого компрессора (ПК): «Недопустимо» (НДП), «Требует принятия мер» (ТПМ), «Допустимо» (ДОПУСТИМО).

По минимуму значений между модами определяем приблизительные границы между состояниями и получаем три интервала относительных частот, соответствующие трем состояниям ЦПГ, — НДП, ТПМ, ДОПУСТИМО.

Построение эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения F (x) определяется в виде относительной частоты (доле) таких значений x, что x. < x, i = l,..,n

FJx) = PJX<x) = n/n,

n + n2 +... + n

Fn ( X ) = --2-L

Для состояний ТПМ и ДОПУСТИМО ЭФР рассчитываются аналогично, но с использованием рядов относительных частот для соответствующих состояний.

Аппроксимация эмпирической функции распределения. Для аппроксимации ЭФР находят координаты X, У. по следующим формулам:

Y = ln[-ln() - Fn (+))],

X, =ln(x, ),

где п — число вариант, меньших х.

Тогда Р(х) — эмпирическая или выборочная функция распределения:

где и. — число совпадающих значении X, и скачок в точке x. равен п/и.

При и-^ю ЭФР стремится к теоретической, FJx)^F(x).

Для состояния НДП ЭФР определяется согласно (3) и для Xj будет иметь величину:

F(x) = 3/131«0,0153.

где У. — модифицированная функция распределения, X. — модифицированный интервал модифицированной фуниции риспреыелеаиы, Ры(х¡И — ЭФР.

Для полученных экспериментильныы данных для состотния Д^Щ:

Ур т 1т[я 1т(1 я 0,0153)] ~ (4,2 ; X, т 1т(0,273)« (1,3 .

Применяя формулы на все 35 иш[^]^1И|1яо^, по -лучают значаныя кясрдинас X. и У. для всех ин-тервалт р. Коо рдинаты У. для аостояний ТПМ и ДОПУШТИМО рассчитываются аналогично, но с использ ованием ряды с о значениями ЭФР Fn(x) для соответствующих состояний.

По результатам расчетов для каждого состояния строят график и аппроксимируют его линейной функцией вида у = Ь • х+А (рис. 2). Для устранения выбросов точки, координаты которых имеют нулевые значения (возможны в начале и в конце диапазона интервалов), не используются для построения графика.

Из уравнения у = Ь • х+А находят коэффициенты Ь и А, необходимые для расчета теоретической функции распределения (ТФР). По графику (рис. 2) данные расчетов сведены в табл. 1.

Построение теоретической функции распределения. На основе знания параметров распределения Ь и с формируются формулы ТФР F(x) и плотности вероятности /(х) (табл. 2), рассчитываются значения функций распределения для каждого состояния (рис. 3) и плотности вероятности для каждого состояния (рис. 4).

Определение достоверности аппроксимации. Достоверность аппроксимации функции распределения определяет значение Я2 (мера определенности по Линдеру или множественный коэффициент детерминации):

n

Параметры функций распределения Вейбулла—Гнеденко

Таблица 1

Состояние / параметр y = b-x + A b A c = exp

НДП: y=10,163x + 9,4132 10,163 9,4132 0,396

ТПМ: y=13,609x + 6,4712 13,609 6,4712 0,6216

ДОПУСТИМО: y=15,168x + 4,0937 15,168 4,0937 0,7635

Статистические характеристики модуля ХФ 0

Таблица 2

Состояние / характеристика ТФР Плотность вероятности

НДП: F (х) = 1 - i-^ 0396 ^ 1 / \ 9,163 f / \ 10,1631 f(x) = 10'163i x ] expj-i x 1 } 0,396 ^0,396) J ^ 0,396) J

ТПМ: Г / х \Б.60Э 1 cv л 1 fl062^ 1 F (х) = 1 - eL 1 / \ 12,609 P / \ 13,609 36 1 expjJ- i 1 } 0,622^0,622) 1 ^0,622) J

ДОПУСТИМО: F (х) = 1 - - Г1 / \ 14,168 ( / \ 15,1681 f (x) = 15Д68Г x 1 expj-i x 1 J 0,764 ^ 0,764) J ^ 0,764) J

i

if •C 0,9

J

1 Ü.S

й 1

0.7

s s

c. -J о ? 0,i

g Q.

z = 0,5

^ Я

Ч s 0,4

= ~ k = 0,3

И

0,2

= 0.1

-

0

/ 7

/ 1 /' ТФР

r >ФР / )4>f 1 f / 1

1 f

/ i'

НДГ1 / ТПМ j 1 ДОПУСТИМО

/

TOT / ll

/ i -i'P h /

j

0,0 0,2 0,4 0,6 П,8

Модуль \цр^к|срис I мчгскоО функции '.1.1К \

Рис. 3. ТФР и ЭФР значений модуля ХФ 9

Рис. 4. Плотность вероятности значений модуля ХФ 9

¿[F (х,) - Fn (х,)]

R2 = 1 -

E F^

где F(x) — ТФР; FJx) — ЭФР.

Для расчета близости ЭФР к теоретиче с ко й для областей ДОПУСТИМО, ТПМ к НДП используют ряды значений (к(x) с к (x,))2 к 2(x,) к ( x,) ственно для каждого состояния и рассчитывают аналогично.

Определим меры определенности Линдера R2 по формуле (9):

НДП: R2 =0,9996;

ТПМ: R2 = 0,9993;

ДОПУСТИМО: В2 =0,9844,

которые во всех случаях близки к единице, что говорит о хорошем совпадении распределения диагностического признака 0(0,2) с выбранным законом распределения Вейбулла — Гнеденко с соответствующими параметрами распределения.

С использованием данной методики произведена обработка данных и определены ТФР параметров характеристических функций мгновенных значений виброакустических сигналов, полученных с таких узлов поршневого компрессора, как всасывающие и нагнетательные клапаны, осевое и радиальное направление цилиндра, кривошипно-ползунный механизм, коренные подшипники, для различных состояний узлов и деталей.

Полученные характеристики позволяют определить предельные величины модуля ХФ,

?=i

,=i

,=1

определяющие оценки технических состояний объекта диагностирования.

Библиографический список

1. Костюков, В. Н. Использование характеристической функции для диагностики поршневых машин / В. Н. Костюков, А. П. Науменко, И. С. Сидоренко // Динамика систем, механизмов и машин : матер. VII Междунар. науч.-техн. конф., 10-12 ноября 2009. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2009. -Кн. 2. - С. 32-35.

2. Сидоренко, И. С. Анализ характеристических функций виброакустических сигналов клапанов поршневых компрессоров / И. С. Сидоренко, А. П. Науменко // Наука, образование, бизнес : матер. регион. науч.-практ. конф., посвящ. Дню радио. - Омск, 2010. - С. 259-264.

3. Кудрявцева, И. С. Оценка возможности использования характеристической функции для диагностики гидроударов / И. С. Кудрявцева, А. П. Науменко // Наука, образование, бизнес : докл. и тез. докл. регион. науч.-практ. конф., посвящ. 50-летию РТФ ОмГТУ. - Омск, 2011. - С. 215-217.

4. Костюков, В. Н. Диагностика подшипников качения по параметрам характеристической функции / В. Н. Костюков, А. П. Науменко, И. С. Кудрявцева // Динамика систем, механизмов и машин. - 2014. - № 4. - С. 142-145.

5. Diagnostics of rolling bearings by the parameters of the characteristic function / V. N. Kostyukov, A. P. Naumenko, S. N. Boichenko, I. S. Kudryavtceva // 12th International Conference on Condition Monitoring and Machinery Failure Prevention Technologies CM 2015/MFPT 2015. Oxford, United Kingdom, 9 — 11 June 2015. The British Institute of NonDestructive Testing, 2015. P. 246-249. ISBN 978-1-5108-0712-9.

6. Науменко, А. П. Методика статистического анализа диагностических признаков / А. П. Науменко // Наука, образование, бизнез : докл. и тез. докл. регион. науч.-практ. конф., посвящ. 50-летию РТФ ОмГТУ. - Омск, 2011. - С. 188-195.

7. Костюков, В. Н. Основы виброакустической диагностики и мониторинга машин : учеб. пособие / В. Н. Костюков, А. П. Науменко. - 2-е изд., с уточнениями / М-во образования и науки РФ, Омский гос. тех. ун-т, НПЦ «Динамика». -Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2014. - 378 с.

КУДРЯВЦЕВА (Сидоренко) Ирина Сергеевна, аспирантка кафедры радиотехнических устройств и систем диагностики.

Адрес для переписки: s_iren@mail.ru

Статья поступила в редакцию 24.06.2016 г. © И. С. Кудрявцева

Книжная полка

Мурашкина, Т. Техника физического эксперимента и метрология : учеб. пособие / Т. Мурашкина. -СПб. : Политехника, 2015. - 144 с. - ISBN 978-5-7325-1051-5.

Рассматриваются основные разделы теоретической метрологии: теории измерительных процедур и физического эксперимента, теории обработки экспериментальных данных при проведении измерительного эксперимента, теории планирования физического измерительного эксперимента, с которой тесно связаны такие вопросы, как разработка методик выполнения измерительного эксперимента и метрологическое обеспечение физического эксперимента. Учебное пособие подготовлено на кафедре «Приборостроение» и предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 200500 «Лазерная техника и лазерные технологии», «Приборостроение», может быть полезно инженерам и научным работникам, занимающимся организацией и проведением измерительного физического эксперимента. Гриф: Рекомендовано Федеральным государственным автономным учреждением «Федеральный институт развития образования» (ФГАУ «ФИРО») в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Лазерная техника и лазерные технологии», «Приборостроение».

Щепетов, А. Основы проектирования приборов и систем. Задачи и упражнения. Mathcad для приборостроения : учеб. пособие / А. Щепетов. - 2-е изд., стер. - М. : Юрайт, 2016. - 272 c. - ISBN 978-59916-5748-8.

В книге даются начальные сведения о работе в интерактивной программной среде компьютерной математики Mathcad и примеры решения в этой среде типовых задач анализа, синтеза и оптимизации характеристик измерительных устройств. Изложение сопровождается большим количеством примеров с использованием оригинальных алгоритмов и программных модулей, разработанных автором. Их можно с успехом использовать в задачах расчета погрешности от нелинейности статической характеристики прибора, параметрического синтеза этой характеристики, расчета параметров градуировочной характеристики средства измерении, расчета статической характеристики корректирующего звена, кусочно-линейной аппроксимации этой характеристики и пр. Подробно рассматривается решение в Mathcad задач анализа динамических характеристик измерительных устройств и синтеза их параметров по критериям динамической точности, в том числе расчет передаточной функции прибора, расчет реакции прибора на детерминированный и случайный измерительные сигналы, синтез оптимальных значений параметров прибора по критериям минимальной длительности переходного процесса, максимальной ширины полосы пропускания частот, интегральным показателям качества переходного процесса и др. Книга предназначена для студентов, аспирантов, магистров и преподавателей приборостроительных специальностей вузов, а также инженерно-технических и научных работников, специализирующихся в области расчета и проектирования средств измерений.