О классах функций трёхзначной логики, порождённых симметрическими функциями с ограниченным числом слоёв

2015 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 1

УДК 519.716

О КЛАССАХ ФУНКЦИЙ ТРЁХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ПОРОЖДЁННЫХ СИММЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ СЛОЁВ1

А. В. Михайлович

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, г. Москва,

Россия

Изучаются замкнутые классы функций трёхзначной логики, порождённые симметрическими функциями, принимающими значение 1 на ограниченном числе слоёв и нулевое значение — на остальных наборах. Для этих классов получены критерии базируемости и конечной порождённости. Установлена зависимость наличия базиса (конечного базиса) в рассматриваемом классе от существования базиса (конечного базиса соответственно) в подклассах, порождённых монотонными и немонотонными функциями порождающей системы по отдельности.

Ключевые слова: функции многозначной логики, замкнутый класс, порождающая система.

CLOSED CLASSES OF THREE-VALUED LOGIC FUNCTIONS GENERATED BY SYMMETRIC FUNCTIONS WITH A BOUNDED

NUMBER OF LAYERS

A. V. Mikhailovich

National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia

E-mail: avmikhailovich@gmail.com

Closed classes of three-valued logic functions of which a generating system consists of symmetric functions with values in the set {0,1} and with value 1 at a bounded subset of layers from {1, 2}n are considered. Some criteria for existence of a basis and of a finite basis are obtained for these classes. It is shown how the existence of a basis or of a finite basis depends on the existence of a basis or of a finite basis in subclasses generated by monotonous or non-monotonous functions.

Keywords: multi-valued logic functions, closed classes, generating systems.

Введение

Рассматривается задача о конечной порождённости и существовании базисов для некоторых семейств замкнутых классов функций трёхзначной логики. Э. Л. Пост [1, 2] описал все замкнутые классы булевых функций и показал, что каждый такой класс имеет конечный базис. На случай функций k-значной логики (Pk) при k ^ 3 эти результаты не распространяются. В работе [3] показано, что при всех k ^ 3 в Pk существуют как замкнутые классы со счётным базисом, так и классы, не имеющие базиса. Следует

1 Работа выполнена при поддержке программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2014/2015г., проект №14-01-0144.

отметить, что порождающие системы классов из этих примеров состоят из симметрических функций, принимающих значения только из множества {0,1} и равных нулю на единичном наборе и наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту. В работах [4-7] рассматривались некоторые семейства классов, порождённых симметрическими функциями такого вида. В частности, в [7] получены критерии базируемости и конечной порождённости для классов, порождённых немонотонными симметрическими функциями с ограниченным числом слоёв. В данной работе рассматриваются классы, порождённые произвольными симметрическими функциями с ограниченным числом слоёв такого вида. Для этих классов получены критерии базируемости и конечной порождённости в терминах свойств подклассов, порождённых немонотонными и монотонными функциями порождающей системы по отдельности. Отметим, что задача о возможности алгоритмической проверки базируемости и конечной порождённо-сти является сложной самостоятельной задачей. Все недостающие определения можно найти в работах [6-8].

1. Определения и вспомогательные утверждения

Функции f и д из Р& называются конгруэнтными, если одна из них получается из другой переименованием переменных без отождествления (обозначение f = д). Функция f (х1,..., называется симметрической, если она не меняется при любой перестановке своих аргументов. Пусть а С Ри. Множество всех функций, которые могут быть реализованы простыми формулами (простой называется формула, у которой собственными подформулами являются только символы переменных) над а и применением операции введения фиктивной переменной, будем обозначать через (а). Пусть А1 С ЕЩ1, ..., Ар С Е, р ^ 1, п = п1 + ... + пр. Обозначим через А1 х ... х Ар множество всех наборов из ЕЩ вида (а1,... , ар), где аг € А^, г = 1,... ,р. Пусть а € ЕЩ. Число единиц в наборе а обозначим через |а|. Набор из ЕЩ, все компоненты которого равны а, будем обозначать ап.

Обозначим через К множество всех функций трёхзначной логики, принимающих значения только из множества {0,1} и равных нулю на единичном наборе и на всех наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту. Пусть f (х1,... , жга) € К; Nf — множество всех наборов из ЕЩ, на которых функция f принимает значение 1; в/ и d^ — соответственно число единиц и двоек в наборе из Nf с максимальным числом единиц. Пусть ^ С К, к € (через Z+ обозначается множество всех неотрицательных целых чисел). Если для любой фукнции f из множества ^ выполняется неравенство в/ ^ к, то множество ^ будем называть к-ограниченным. Если при этом существует функция д из множества ^, такая, что вд = к, то множество ^ будем называть точно к-ограниченным.

Множество С всех наборов из ЕЩ, которые получаются друг из друга перестановкой компонент, называется слоем. Слой из {1, 2}га, содержащий в единиц и d двоек, в + d = п, будем обозначать С(в^). Множество всех симметрических функций из К обозначим Я. В данной работе рассматриваются только функции из множества К, поэтому в дальнейшем симметрическими функциями будем называть функции множества Я, не оговаривая это отдельно. Функцию f(ж1,...,жга) из К будем называть т-слойной симметрической функцией, если существует т различных слоёв С1,..., Ст, т ^ 1, из множества {1, 2}га, таких, что Nf = С1 и ... и Ст. Семейство всех т-слойных симметрических функций обозначим . Положим = иЯг, где объединение берётся по всем г, 1 ^ г ^ т. Функцию из К будем называть монотонной, если она монотонна относительно порядка 0 < 1 < 2 на множестве Е3. Множество всех монотонных (немо-

нотонных) симметрических функций из Я будем обозначать М8 (соответственно N8). Положим М8т = 8тПМ8, М8(т) = 8(т) ПМ8, = 8тПN8, = 8(т) ПN8. Пусть

Я С 8 (соответственно Я С М8, Я С N8). Если существует такое число т € N что Я С 8(т) (соответственно Я С М8(т), Я С N8^), то будем называть Я множеством симметрических функций (соответственно монотонных симметрических, немонотонных симметрических) с ограниченным числом слоёв.

Сформулируем и при необходимости докажем вспомогательные утверждения.

Лемма 1 [6]. Если формула над Я обращается на некотором наборе в единицу, то и любая её подформула обращается на этом наборе в единицу.

Лемма 2 [6]. Пусть f(ж1,...,жга) € N8', I ^ 1, Ф — формула над 8, реализующая функцию ^ Ф1 —подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,..., Вт), где В1,... , Вт — формулы над 8, д € 8(1). Тогда среди формул В1,... , Вт есть символы переменных из множества {х1,... ,жга}, причем символы всех переменных встречаются одинаковое число раз.

Лемма 3. Пусть f(жь...,жга) € 8, Ф — некоторая формула над Я, реализующая функцию ^ Ф1 —подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,..., Вт), где д(х1, ...,хт) € 8, а В1,..., Вт — формулы над Я. Тогда справедливы неравенства в/ ^ вй и в//(/ ^ вй/(й. При этом если Ф1 не является простой формулой, то имеют место строгие неравенства в/ < вй и в//(/ < вй/(й.

Доказательство леммы 3 проводится аналогично доказательству утверждения 1.2.6 из работы [6].

Лемма 4. Пусть ^д € 8, Я С 8, ^д € [Н]. Тогда } и Я] = [{д} и Я] в том и только в том случае, когда f = д.

Доказательство. Нетрудно видеть, что для любых конгруэнтных функций f и д из 8, для любого подмножества Я множества 8 выполняется равенство [^} и Я] =

= [{д}и я ].

Пусть Я С 8, f(ж1,...,жга), д(х1,...,хт) € 8\[Я] и выполняется равенство [{f} и Я] = [{д} и Я]. Тогда f € [{д} и Я] и д € } и Я]. Пусть Ф — формула над {д} и Я, реализующая функцию ^ Поскольку f € [Я], то существует подформула Ф1 формулы Ф, имеющая вид д(В1,... , Вт), где В1,... ,Вт — формулы над {д} и Я. Из леммы 3 следует, что выполняются неравенства в/ ^ вЙ, в//(/ ^ вЙ/(Й. Аналогично можно показать, что вй ^ в/, вй/(й ^ в//(/. Следовательно, в/ = вй, в//(/ = вй/(й. Значит, выполняются равенства т = п и = (/ и формула Ф1 является простой. Нетрудно показать, что среди тривиальных формул В1, ... , Вт символ каждой переменной из {ж1,...,жга} встречается ровно по одному разу. Следовательно, в силу леммы 1 выполняется включение N С N. Аналогично можно показать, что N С N. Следовательно, N = N, а значит, f = д.

Пусть f,д € N8™, т ^ 1, А С Я. Будем писать f д, если f € [{д} и А]. Из леммы 4 следует, что соотношения f д и д f одновременно выполняются в том и только в том случае, когда функции f и д конгруэнтны. Следовательно, отношение является порядком на любом множестве попарно неконгруэнтных функций из N8™. Поскольку в дальнейшем данное отношение рассматривается только на таких множествах, будем называть его порядком ^а. Множество Я попарно неконгруэнтных функций из N8^ [А] называется цепью относительно порядка ^а, если любые два элемента множества Я сравнимы относительно порядка ^а . Пусть О — множество попарно неконгруэнтных функций из N8^ [А]. Цепь Я С О называется максимальной

цепью множества G относительно порядка если для любой цепи Hi С NSm\[A], такой, что H С Hi, H = Hi, цепь Hi не является подмножеством множества G. Функция f G H называется верхней гранью цепи H относительно порядка ^a, если для любой функции g G H выполняется неравенство g f. Цепь называется ограниченной относительно порядка ^a, если она имеет верхнюю грань относительно порядка ^a.

Докажем вспомогательное утверждение, анонсированное в [10].

Лемма 5. Пусть подмножество F множества функций R содержит счётное число попарно неконгруэнтных немонотонных симметрических функций. Тогда класс G = [F] не имеет конечного базиса.

Доказательство. Предположим, что класс G имеет конечный базис a = = {gi(xi,... , xnl), ... , gr(xi,... , xnr)}. Положим n = max(ni,... , nr).

Пусть f (xi,..., xm) —некоторая немонотонная симметрическая функция из множества F, такая, что m > 2n. Поскольку множество F содержит счётное число попарно неконгруэнтных немонотонных симметрических функций, такая функция существует. Пусть Ф — формула над a, реализующая функцию f.

Предположим сначала, что в/ ^ n. Пусть gs(xil, ...,xins ) —простая подформула формулы Ф, 1 ^ s ^ r. Рассмотрим набор 5 G L(e/, m—в/), такой, что ail = ... = ains = = 1. Поскольку в/ ^ n ^ ns, такой набор существует. В силу включения L(e/, m — в/) С С N/ выполняется равенство f (5) = 1. Применяя лемму 1, получаем, что gs (1ns ) = = gs(ail,..., ains) = 1. Но по определению множества R выполняется gs(1ns) = 0. Получили противоречие.

Пусть теперь в/ < n. Покажем, что для любого набора 5 из {1, 2}m, такого, что |5| ^ в/, и для любой подформулы Ф1 формулы Ф выполняется равенство Ф1(5) = 1. Доказательство будем проводить индукцией по глубине подформулы Ф1.

Пусть Ф1 —простая формула, имеющая вид gs(xil,... , xins ), 1 ^ s ^ r. Без ограничения общности будем считать, что среди переменных xil,..., xins встречаются символы x1,... , xt, и только они. Положим а = |(a 1,... , at)|, b = в/ — а. Определим набор /3 из £(в/, m — в/) так: 3 = (a 1,... , at, 1b, 2m-t-b). Поскольку £(в/, m — в/) С N/, то в силу леммы 1 выполняется равенство Ф1(/3) = 1. Кроме того, из определения набора в следует равенство Ф1(/3) = Ф1(5). Значит, Ф1(5) = 1.

Пусть теперь Ф1 — формула глубины d и Ф1 имеет вид gs(B1,... , Bns ), где глубина каждой из формул B1,..., Bns не превосходит d — 1. Без огранечения общности будем считать, что подформулы B1,... , являются символами переменных, а подформулы Bq+1,... , Bns — нетривиальными формулами. По предположению индукции для любой нетривиальной подформулы 1 ^ t ^ ns, для любого набора 5 из {1, 2}m, такого, что |5| ^ в/, выполняется равенство Bt(5) = 1. Пусть среди B1,... , встречаются символы переменных x1,...,xt, и только они. Положим а = |(a i,..., a t)|, b = в/ — а. Определим набор 5 из £(в/, m — в/) так: 5 = (a 1,... , a t, 1b, 2m-t-b). Поскольку £(в/,m — в/) С N/, то в силу леммы 1 выполняется равенство Ф1(,в) = 1. Значит, gs(a il,... , a i , 1ns-q ) = 1. Поскольку наборы 5 и 5 совпадают на первых t компонентах и для любой подформулы Bt, q < t ^ ns, для любого набора 5 из {1, 2}m, такого, что |5| ^ в/, выполняется равенство Bt(5) = 1, то справедливо равенство Ф1(5) = 1.

Таким образом, получаем, что для любого набора 5, такого, что 15| ^ в/, выполняется равенство f (5) = 1. Поскольку в/ —число единиц в наборе с максимальным числом единиц из N/, то функция f является монотонной симметрической. Получили противоречие. Следовательно, класс G не имеет конечного базиса.

Для доказательства основного результата потребуются также следующие утверждения.

Лемма 6 [9]. Пусть F С S, H С R, G = [F U H] и существует такое n G Z+, что число существенных переменных у каждой функции из множества H не превосходит n. Тогда если класс G имеет базис, то и класс [{/ G F : в/ ^ n}] имеет базис.

Лемма 7 [9]. Пусть F С S и существует функция / из F, такая, что в/ > 0; H С R, G = [F U H]. Пусть существует такое n G Z+, что число существенных переменных у каждой функции из множества H не превосходит n. Тогда если класс [{/ G F : в/ ^ n}] имеет базис, то и класс G имеет базис.

Лемма 8. Пусть F С S и существует функция / из F, такая, что в/ > 0; k G Z+, H — k-ограниченное множество симметрических функций, G = [H U F ], G' = [F ]. Тогда класс G имеет базис в том и только в том случае, когда класс G' имеет базис.

Доказательство. Обозначим через F + множество функций / из F, таких, что в/ > k. Пусть класс G' (соответственно G) имеет базис. Применяя лемму 6, получаем, что класс [F+] имеет базис. Далее, применяя лемму 7, получаем, что класс G (соответственно G') имеет базис.

Лемма 9 [6]. Пусть /(xi,...,xn), g(xi,...,xm) — функции из MS, n ^ m ^ 1. Пусть в/ < вй. Тогда / G [{g}].

Лемма 10. Пусть k G N, G — некоторое точно k-ограниченное множество попарно неконгруэнтных монотонных симметрических функций, F = [G]. Тогда класс F имеет базис, причём базис класса F конечный в том и только в том случае, когда множество G П MSk конечно.

Доказательство. Положим Gk = G П MSk. Обозначим через no минимальное число существенных переменных у функций из Gk, через /0 — произвольную функцию из Gk, у которой n0 существенных переменных, через G0 —множество функций из G, число существенных переменных у которых не превосходит n0.

Покажем сначала, что G С [Gk U G0]. Пусть /(x1,... , xn) G G. Если в/ = k, то / G Gk. Если в/ < k, n ^ n0, то / G G0. Если в/ < k и n > n0 > 1, то в силу леммы 9 выполняется включение / G [{/0}]. Следовательно, G С [Gk U G0].

Покажем, что для любой функции /(x1,...,xn) из Gk выполняется соотношение / G [(Gk U G0)\{/}]. Предположим, что это не так. Пусть Ф — формула над (Gk U G0)\{/}, реализующая функцию /. Поскольку для любой функции g из Gk U G0 верно неравенство вй ^ в/, то из леммы 3 следует, что формула Ф простая. Следовательно, существует функция g(x1,... , xm) из Gk U G0, такая, что / G [{g}]. Из леммы 3 следует, что вй = в/ и в//d/ ^ вй/dg. Следовательно, dg ^ d/. Поскольку формула Ф простая, то n ^ m. Кроме того, выполняются равенства n = в/ + d/, m = вй + dg. Значит, d/ ^ dg. Следовательно, d/ = dg. Получаем, что / = g, что противоречит условию леммы. Поэтому для любой функции / из Gk выполняется соотношение / G [(Gk U G0)\{/}]. Поскольку множество

G0

конечно, существует подмножество H множества G0, такое, что [G0 U Gk] = [H U Gk] и для любой функции g из H выполняется соотношение g G [(H U Gk)\{g}]. Значит, класс F имеет базис H U Gk. Поскольку множество H конечно, класс F имеет конечный базис в том и только в том случае, когда множество Gk конечно.

Основные результаты данной работы — критерии базируемости и конечной порож-дённости для классов, порождённых множествами симметрических функций с ограниченным числом слоёв, — существенно опираются на критерии базируемости и конечной

порождённости для классов, порождённых множествами монотонных симметрических функций и немонотонных симметрических функций с ограниченным числом слоёв по отдельности. Критерий конечной порождённости для классов, порождённых к-ограни-ченным множеством монотонных симметрических функций, приведён выше (поскольку функции монотонные, то множество функций с ограниченным числом слоёв является к-ограниченным множеством для некоторого к из Z+). Кроме того, показано, что при к ^ 1 такие классы всегда имеют базис. Следующая теорема устанавливает, в каких случаях класс, порождённый множеством немонотонных симметрических функций с ограниченным числом слоёв, имеет базис и в каком случае этот базис конечный.

Теорема 1 [7]. Пусть к € N С — некоторое множество попарно неконгруэнтных функций из , С1 = С П N8', И1 = С П (Ш(и)^8(1)), 1 ^ / ^ к, ^ = [О]. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Класс ^ имеет конечный базис, если и только если множество С конечно.

2. Класс ^ имеет счётный базис тогда и только тогда, когда для любого / каждая функция множества С'\[И'] содержится в ограниченной максимальной цепи множества С'\[И1 ] относительно порядка .

3. Класс ^ не имеет базиса тогда и только тогда, когда существует т, 1 ^ т ^ /, и существует функция к € Ст\[Ит], которая не содержится ни в какой ограниченной максимальной цепи множества С1 \[И1 ] относительно порядка ^я1 .

2. Основные результаты

Теорема 2. Пусть к € N С — некоторое множество попарно неконгруэнтных функций из ^ = [С], множество С П М8 является точно /-ограниченным для

некоторого / € / ^ к. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Класс ^ имеет конечный базис тогда и только тогда, когда множество С П N8 конечно и выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) класс [С П М8] имеет конечный базис;

б) существует функция f € (СП ^8(и)\Ж(1-1))), такая, что для некоторых

I

в, d € N выполняется включение У С(г, d — г) х (1е) С N7-.

г=0

2. Класс ^ имеет счётный базис тогда и только тогда, когда класс [С П N8] имеет базис и выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) класс [С П N8] имеет счётный базис;

б) класс [С П М8] имеет счётный базис и не существует функции f из

)), такой, что для некоторых в^ € N выполняется

I

включение У — г) х (1е) С N7-.

г=0

3. Класс ^ не имеет базиса тогда и только тогда, когда класс [С П N8] не имеет базиса или С является 0-ограниченным множеством, содержащим счётное число попарно неконгруэнтных функций.

Доказательство. Докажем утверждение 1. Пусть класс ^ имеет конечный базис а. В силу леммы 5 множество С П N8 конечно. Если класс [С П М8] имеет конечный базис, то первое условие утверждения выполнено. Пусть класс [С П М8] не имеет конечного базиса. Положим А = С П М8 . В силу леммы 10 множество А счётно. Кроме того, из леммы 3 следует, что для любой функции f из А выполняется соотношение f € [А\^}]. Поскольку базис а является конечным, существует конечное

множество В С О, такое, что а С [В]. Пусть функция f из а реализуется формулой Т/ над В. Обозначим через п0 максимальное число существенных переменных в функциях из множества В. Поскольку множество А счётно, то существует функция f (х1,... , жп) из А, такая, что п > п0. Рассмотрим формулу Ф над а, реализующую функцию А и формулу п(Ф) над В, полученную заменой в формуле Ф каждой функции f из базиса а на соответствующую подформулу Т/. Поскольку п > п0, формула п(Ф) не является простой.

Пусть Ф1 —подформула формулы п(Ф), имеющая вид д(В1,... , Вт), где д — функция из В, а В1,... , Вт — простые формулы над В или символы переменных из множества {х1,... , жп}. Без ограничения общности будем считать, что В1,... , — символы переменных из множества {ж1,...,ж^}, £ ^ п, а В5+1,..., Вт — простые формулы. Обозначим через д1(х1,...,хг) функцию, которую реализует формула д(В1,... , ж4+1,... , жг). Очевидно, что д1 € ({д}). Из леммы 1 следует, что множество содержит все наборы, имеющие вид (а, 1Г-*), где а € £(в,£ — в), 0 ^ в ^ /.

Покажем теперь, что если выполняются условия утверждения 1, то класс Я имеет конечный базис. По условию множество О П N8 конечно. Если класс [О П М8] имеет конечный базис, то очевидно, что множество Я имеет конечный базис. Пусть класс [ОП М8] не имеет конечного базиса и существует функция f € (О П (Ж(к)^8(1-1))), такая,

I

что для некоторых в,( € N выполняется включение У £(г,( — г) х (1е) С Ж/. Пусть

г=0

<¿0

(0 —максимальное число, такое, что выполняется включение и £(г, ( — г) х (1е) С Ж/.

г=0

В силу определения множества N8 выполняется неравенство ( > (0.

Построим сначала функцию Д(яь ... , хП1) € [^}], такую, что для некоторого

I

(1 ^ (, (1 € М, выполняется включение У £(г,(1 — г) х (1) С Ж/ и существует набор а € £(/ + 1,(1 — I — 1) х 1, такой, что а € Ж/1. Если (0 = /, то функции f и f1 совпадают. Пусть теперь (0 > /. Без ограничения общности будем считать, что набор (1<0+1, 1е) не содержится в . Тогда

А(жь ... ) = f (х1,. - ,Х1, Х2,... ,жг, хг+1,. - ,хг+1).

<0-1+1 е

Очевидно, что набор (11+1, 2Й1 -1-1,1) не содержится в Ж/1, а все наборы из множества и £(г, (1 — г) х (1) содержатся в Ж/1.

г=0

I

Построим функцию ... , жП1), такую, что и £(г,(1 — г) х (1) С Ж/2 и для

г=0

любого набора а из £(/ + 1, (1 — I — 1) х (1) набор а не содержится в Ж/2.

Положим ^ = С<+1, X = {ж1,...,ж<1}. Обозначим через (У1), (У2,Х2), ..., (Увсевозможные разбиения множества X на помножества, содержащие I + 1 и (1 — I — 1 элементов соответственно. Пусть 2 — некоторая фиксированная перестановка переменных из множества У1, а 2 — некоторая фиксированная перестановка переменных из множества X1, г = 1,... , 5. Покажем, что

f2(жl,...,жra2) = А (у1, ^АС^З^АС.. (А (УД^Жщ .

5 символов /1 5

Для каждого 1 ^ £ ^ 5 определим формулу Ф4. Положим Ф* = А (у*, 2*, и). Рассмотрим набор а из {1, 2}П1 -1. Пусть а = |а| ^ /. Поскольку выполняется включение

£(а, — а) х (1) С , то для любого г, 1 ^ г ^ 5, верно равенство Фг(5,1) = 1. Индукцией по глубине подформулы формулы, реализующей функцию /2, нетрудно показать, что любая её подформула принимает значение 1 на наборе (5,1). Значит, /2(5,1) = 1.

Пусть теперь а = / + 1. Тогда существует разбиение (Ур, ^р), г ^ р ^ 5, такое, что все компоненты набора 5, соответствующие переменным из множества Ур, принимают значение 1. Поскольку /1(1г+1, 2^1—1, 1) = 0, подформула

/(5,5,/1(3^, З*1,/^.. (Д(Г, х„1 ^

5 —р+1 символов /1 «—Р+1

принимает значение 0 на наборе (5,1). В силу леммы 1 выполняется равенство /2 (5,1) = 0.

Пусть ..., хт) —функция из О П М81, такая, что т ^ а ... ,дг — все

функции из О П М81, зависящие от меньшего чем т числа переменных. Покажем, что О П М81 С ... ,дг, $,/}]. Для этого достаточно показать, что для любой функции ... , хр) из М1, такой, что р > т, выполняется соотношение к € [{/2} и {$}]. Положим 5 = С*1, X = {х,.. .,%}. Обозначим через (У1 ^1), (У2,^2), ..., (У всевозможные разбиения множества X на помножества, содержащие и р—элементов соответственно. Пусть 5г — некоторая фиксированная перестановка переменных из множества Уг, а 55 — некоторая фиксированная перестановка переменных из множества г = 1,..., 5. Покажем, что

к(х1,...,хр) = /2 (51, 51 ,/2(у/2,52,/2(. . . (/2 .

5 символов /2 ^

Рассмотрим произвольный набор 5 из {1, 2}р. Пусть а = 15| ^ /. Покажем, что для любой подформулы Ф формулы, реализующей функцию к, выполняется равенство Ф( 5) = 1.

Обозначим через Ф4 формулу, имеющую вид

Л^,^1^1^... (/2(Г,5^(Х1 )), 1 ^ Ь ^ 5,

5— ¿+1 символов /2 5 —1+1

а через Ф5+1 — формулу ... , хт). Индукцией по Ь от в + 1 до 1 нетрудно показать, что для любого набора 5 из {1, 2}р, такого, что |5| ^ /, выполняется ФД5) = 1.

Пусть теперь / < а < р — — /) — 1. Без ограничения общности будем считать, что 5 = (1а, 2р—а). Рассмотрим разбиение множества X следующего вида: Уг = {х1,... ,хг+1, Хр—(¿1—г)+2,... ,Хр}, = {жг+2,... ,Хр—^+1}. Рассмотрим подформулу Фг. Значение формулы Фг на наборе 5 совпадает со значением функции /2 на наборе (в,1), где 5 — набор из £(/ + 1, — / — 1). Следовательно, Фг(5) = 0. В силу леммы 1 выполняется равенство Ф1(5) = 0.

Пусть теперь а ^ р — — / + 1). Тогда |(а1,... , ат)| ^ т — — / + 1). Поэтому ... , ат) = 0. В силу леммы 1 Ф1(5) = 0. Следовательно, формула Ф1 реализует функцию к.

Таким образом, класс ^ имеет конечный базис.

Докажем утверждение 2. Пусть класс ^ имеет счётный базис. Очевидно, что в этом случае множество О счётно. Поскольку О С 8(к), существует число / ^ к, такое, что множество О П М8 является /-ограниченным. Из леммы 8 следует, что класс [О П N8] имеет базис. Если множество О П N8 счётно, то в силу леммы 5 класс [О П N8] не

имеет конечного базиса, а значит, он имеет счётный базис, и в этом случае утверждение доказано. Пусть множество G П NS конечно. Тогда класс G П MS имеет счётный

базис. Если существует функция f, такая, что для некоторых e,d G N выполняется i

включение U L(i,d — i) х (1e) С Nf, то, как показано выше, класс F имеет конечный

г=0

базис. Следовательно, такой функции не существует.

Пусть выполняется одно из условий утверждения 2. Пусть класс [G П NS] имеет счётный базис. В силу теоремы 1 множество G П NS счётно и в силу леммы 5 класс F не имеет конечного базиса. Поскольку для некоторого l ^ k множество GnMS является /-ограниченным, в силу леммы 8 класс F имеет базис. Следовательно, класс F имеет счётный базис.

Пусть теперь множество G П NS конечно. Тогда класс [G П MS] имеет счётный

базис. Поскольку для некоторого l ^ k множество G П MS является /-ограниченным,

применяя лемму 8, получаем, что класс F имеет базис. Предположим, что класс F

имеет конечный базис. Выше показано, что в этом случае существует функция f,

i

такая, что для некоторых e,d G N выполняется включение U L(i,d — i) х (1e) С Nf•

г=0

По условию такой функции не существует. Следовательно, класс F имеет счётный базис.

Утверждение 3 следует из справедливости утверждений 1 и 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Post E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Am. J. Math. 1921. V. 43. No. 3. P. 163-185.

2. Post E. L. The Two-Valued Iterative Systems of Mathematical Logic. Ann. Math. Studies. Princeton Univ. Press, 1941. 122 p.

3. Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // ДАН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 44-46.

4. Михайлович А. В. О замкнутых классах трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. №4. С. 54-57.

5. Михайлович А. В. О классах функций трехзначной логики, порожденных монотонными симметрическими функциями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. №1. С. 33-37.

6. Михайлович А. В. О замкнутых классах функций многозначной логики, порожденных симметрическими функциями // Математические вопросы кибернетики. М.: Физматлит, 2013. Вып. 18. С. 123-212.

7. Михайлович А. В. О базируемости замкнутых классов функций трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями с ограниченным числом слоев // Материалы IX молодежной науч. школы по дискретной математике и её приложениям (Москва, 16-21 сентября 2013 г.). М.: Изд-во ИПМ РАН, 2013. С. 80-85.

8. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001. 384 с.

9. Михайлович А. В. О замкнутых классах трехзначной логики, порожденных системами, содержащими симметрические функции // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. С. 58-62.

10. Михайлович А. В. О свойствах замкнутых классов функций трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями // Материалы X Междунар. семинара «Дискретная математика и ее приложения» (Москва, 1-6 февраля 2010 г.). М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2010. С. 193-196.

REFERENCES

1. PostE.L. Introduction to a general theory of elementary propositions. Am. J. Math., 1921, vol.43, no. 3, pp. 163-185.

2. Post E. L. The Two-Valued Iterative Systems of Mathematical Logic. Ann. Math. Studies. Princeton Univ. Press, 1941. 122 p.

3. Janov Ju. I., Muchnik A. A. O sushhestvovanii k-znachnyh zamknutyh klassov, ne imejushhih konechnogo bazisa. DAN SSSR, 1959, vol. 127, no. 1, pp. 44-46.

4. Mikhailovich A. V. O zamknutyh klassah trehznachnoj logiki, porozhdennyh simmetricheskimi funkcijami. Vestn. Mosk. un-ta. Matem. Mehan., 2008, no. 4, pp. 54-57.

5. Mikhailovich A. V. O klassah funkcij trehznachnoj logiki, porozhdennyh monotonnymi simmetricheskimi funkcijami. Vestn. Mosk. un-ta. Matem. Mehan., 2009, no. 1, pp. 33-37.

6. Mikhailovich A. V. O zamknutyh klassah funkcij mnogoznachnoj logiki, porozhdennyh simmetricheskimi funkcijami. Matematicheskie voprosy kibernetiki. Moscow, Fizmatlit Publ., 2013, no. 18, pp. 123-212.

7. Mikhailovich A. V. O baziruemosti zamknutyh klassov funkcij trehznachnoj logiki, porozhdennyh simmetricheskimi funkcijami s ogranichennym chislom sloev. Materialy IX molodezhnoj nauch. shkoly po diskretnoj matematike i ejo prilozhenijam

8. Jablonskij S. V. Vvedenie v diskretnuju matematiku. Moscow, Vysshaja Shkola Publ., 2001. 384 p.

9. Mikhailovich A. V. O zamknutyh klassah trehznachnoj logiki, porozhdennyh sistemami, soderzhashhimi simmetricheskie funkcii. Vestn. Mosk. un-ta. Matem. Mehan., 2012, no. 1, pp. 58-62.

10. Mikhailovich A. V. O svojstvah zamknutyh klassov funkcij trehznachnoj logiki, porozhdennyh simmetricheskimi funkcijami. Materialy X Mezhdunar. seminara «Diskretnaja matematika i ee prilozhenija»