Фильтрационные волны давления при неравновесном законе фильтрации

УДК 532

Г. Г. Куштанова

ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ ПРИ НЕРАВНОВЕСНОМ ЗАКОНЕ ФИЛЬТРАЦИИ

Рассматривается периодическое гидродинамическое возмущение в пористом пласте, когда движение жидкости подчиняется неравновесному закону фильтрации. Определен вклад временных параметров в релаксационные процессы. Отмечены экстремумы амплитуды давления при прохождении границы областей с различными гидропроводностями через точку наблюдения.

Рациональная разработка нефтяных месторождений тесно связана с построением математических моделей фильтрации, адекватно описывающих движение жидкости в пласте. В теории фильтрации и ее приложениях широко используется модель классического упругого режима. Плоско-радиальная нестационарная фильтрация по этой модели описывается следующей системой уравнений:

где р - давление; г - радиальная координата; г - время; т - пористость; р -плотность жидкости; в - коэффициент упругоемкости пласта; к - коэффициент проницаемости пласта; ц - коэффициент кинематической вязкость; ж -скорость фильтрации; V - скорость распространения возмущения, индекс 0 соответствует параметрам прир0; к - коэффициент пьезопроводности.

Используемый закон фильтрации Дарси обеспечивает мгновенное соответствие между скоростью потока и градиентом давления и хорошо описывает медленно меняющиеся во времени процессы. Однако в некоторых условиях относительно быстрого изменения параметров наблюдается явление запаздывания в реакции фильтрационного потока. Для учета этого явления был предложен [1] закон фильтрации, имеющий неравновесный характер и включающий параметры размерности времени

где тр, - параметры размерности времени; к - коэффициент проницаемо-

сти пласта.

к др

л л

——(т) + — (тр) = О,

г дг дг

тР = тоРо + РоР

которая сводится к известному уравнению пьезопроводности

В этом случае уравнение для давления примет вид [2]

к д г дг

г ^ г др ^ др д2 р

^ + Х^ТУ-

дг дг2

г

дг

р + тр И р дг

Соответствующую модель будем называть моделью неравновесной фильтрации.

Релаксационные явления широко распространены в нестационарных процессах. Детальное их изучение требуется как для более глубокого проникновения в фундаментальные законы природы, так и для практического использования в прикладных вопросах. Описываются они сложными нелинейными уравнениями в частных производных, поэтому для решения привлекается аппарат численных методов.

Для определения фильтрационных параметров пласта в промысловых условиях применяют гидродинамические методы воздействия, среди которых особо выделяются периодические возмущения давления или дебита. Если регистрация отклика (дебита или давления) происходит на той же скважине, метод носит название самопрослушивания, и определяемые гидродинамические параметры относятся к прискважинной зоне. Если регистрация отклика ведется на другой скважине, то такое исследование часто называют меж-скважинным прослушиванием, определяемые при этом параметры соответствуют межскважинному интервалу.

Из асимптотического анализа в моменты времени близкие к г = 0 + 0 следует, что если тр Ф 0, фильтрационное возмущение распространяется с бесконечно большой скоростью. Если же тр = 0, фильтрационное течение описывается гиперболическим уравнением. В этом случае возмущение распространяется с конечной скоростью и вся область фильтрации разбивается фронтом возмущения на возмущенную и невозмущенную части. На больших временах, когда релаксационное поведение закона фильтрации (согласно принципу затухающей памяти) практически прекращается, давление будет удовлетворять уравнению пьезопроводности (2).

Процесс установления депрессионной воронки в пласте при пуске скважины для обеих моделей при тр = 0 в ограниченном пласте представлен на рисунке 1. В зависимости от времени возможны три различные ситуации. В начальный период, вплоть до времен, соответствующих времени релаксации, давление в любой точке пласта меньше по классической модели. В модели неравновесной фильтрации ясно выделяется невозмущенная зона, и де-прессионная воронка по этой модели как бы «вложена» в депрессионную воронку, рассчитанную по классической модели. Далее, в течение некоторого времени в окрестности скважины давление по неравновесной модели становится меньше, чем по классической модели. Постепенно эта ситуация распространяется на весь пласт. Подобное поведение отмечено для уравнения теплопроводности с релаксацией в линейной геометрии [3].

Сравнительный вклад каждого из временных параметров можно проследить по графику (рис. 2) (к = 0,1 мкм2, ц = 10-3 Па-с). Для сравнения там же приведены динамика давления по классической модели упругого режима и изменение дебита. Задержку изменения давления на принимающей скважине, иными словами, задержку, связанную со скоростью распространения, обеспечивает параметр тж. Сдвиг фаз на принимающей скважине в исследо-

ванном интервале прямо пропорционален величине параметра тж, и большая его величина обеспечивает большую величину амплитуды пришедшего сигнала. А задержку изменения давления на задающей скважине при изменении дебита определяет параметр тр [4].

85

80 ----------------------------------------------------------

0 200 400 600 800 1000

г, м

Рис. 1 Распределение давления в пласте на различные моменты времени

время, ч

---1 —2 —3 ---4

Рис. 2 Динамика давления на принимающей скважине: 1 - по классической модели упругого режима; 2 - по модели неравновесной фильтрации тр = 3600 с, = 10 с;

3 - тр = 10 с; тМ! = 3600 с; 4 - дебит на задающей скважине

Введение релаксационного параметра т№ трансформирует параболическое уравнение пьезопроводности в гиперболическое, что приводит к таким физическим следствиям, как наличие конечной скорости распространения возмущений V = и возрастание (по сравнению с параболическим) ам-

плитуды распространяющихся в среде сигналов, поскольку при выполнении др д 2 р

условия — << zw —— затухание сигнала определяется только геометрией дг дг2

задачи (в нашей постановке - цилиндрической симметрией).

Рассмотрим ситуацию межскважинного прослушивания, когда на задающей скважине задается изменение дебита по гармоническому закону, а на другой, принимающей, расположенной на расстоянии 100 м, регистрируется изменение давления. Пусть пласт разбит на две области так, что вблизи задающей скважины гидропроводность на порядок больше, чем в остальной части пласта. Рассмотрим изменение параметров на принимающей скважине, или, иными словами, в точке наблюдения при перемещении границы этих двух областей. Возможная физическая интерпретация - продвижение фронта воды при заводнении или каком-то химическом воздействии и т.п.

Динамика сдвига фаз между дебитом и давлением, а также удвоенная амплитуда давления в точке наблюдения при периодическом гидродинамическом воздействии с периодом 12 часов показаны соответственно на рисунках 3 и 4. Чем большую часть интервала между задающей скважиной и принимающей занимает зона с улучшенной гидропроводностью, тем, естественно, меньше сдвиг фаз. До тех пор пока граница не доходит до точки наблюдения, сдвиг фаз меньше для неравновесной модели. Сдвиг фаз по обеим моделям сравнивается при прохождении границы через точку наблюдения. При дальнейшем продвижении границы за принимающую скважину сдвиги фаз для обеих моделей стабилизируются, при этом для классической модели он становится меньше. Амплитуда сигнала при смещении границы в сторону принимающей скважины растет, и максимум соответствует прохождению границы через точку наблюдения. Данное поведение базируется на форме депрес-сионной воронки в неоднородном пласте.

Если период гидродинамического воздействия сопоставим со временем релаксации, принципиальных изменений не происходит, но сдвиг фаз для неравновесной модели практически постоянен, изменение составляет 10%, и он всегда меньше сдвига фаз для классической модели. Амплитуда давления на принимающей скважине для классической модели меньше, чем для неравновесной примерно до 60 м местоположения границы зон с разными характеристиками.

В случае, когда от задающей скважины перемещается зона ухудшенной гидропроводности, ситуация обратная. При прохождении границы через принимающую скважину наблюдается минимум амплитуды, сдвиг фаз растет, отмеченная стабилизация сдвига фаз после прохождения границей точки наблюдения сохраняется.

Таким образом, в результате численного исследования модели и анализа результатов разделены роли каждого из временных параметров в релаксационном процессе. Отмеченные закономерности, в частности наличие экстремума на величине амплитуды, могут быть использованы при наблюдении за динамикой процессов выработки нефтяных месторождений.

Рис. 3 Сдвиг фаз в зависимости от местоположения границы зон с различными параметрами времени: 1 - модель классического упругого режима фильтрации; 2 - модель неравновесной фильтрации

5.5 5

4.5 4

3.5 3

2.5 2

50

100

150

г, м

Рис. 4 Удвоенная амплитуда давления в зависимости от местоположения границы зон с различными параметрами времени; І - модель классического упругого режима фильтрации, 2 - модель неравновесной фильтрации

Список литературы

1. Алишаев, М. Г. К учету явлений запаздывания в теории фильтрации I М. Г. Алишаев, А. Х. Мирзаджанзаде II Известия вузов. Нефть и газ. - І915. -№ б. - С. 1І-14.

2. Молокович, Ю. М. Пьезометрия окрестности скважин. Теоретические основы I Ю. М. Молокович, А. И. Марков, А. А. Давлетшин, Г. Г. Куштанова. -Казань : Изд-во «ДАС», 2000. - 203 с.

3. Volz, S. Transient Fourier deviation by molecular dynamics in solid argon I S. Volz, J.-B. Saulnier, M. Lallemand II Physical review B. - І996. - V. 54. - № І. - P. 340-341.

4. Куштанова, Г. Г. Восстановление давления при неравновесном законе фильтрации жидкости в пласте I Г. Г. Куштанова II Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. - М., 2005. - 3 т. - С. 99-І00.