Элементы алгебраической геометрии над вполне простыми полугруппами

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 37-40.

УДК 512.533.52 П.А. Уляшев

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НАД ВПОЛНЕ ПРОСТЫМИ ПОЛУГРУППАМИ*

Рассматривается алгебраическая геометрия над вполне простыми полугруппами. Работа посвящена классификации координатных полугрупп неприводимых алгебраических множеств в нескольких классах вполне простых полугрупп.

Ключевые слова: уравнение, алгебраическое множество, полугруппа.

Введение

Общие теоремы о решении систем уравнений над произвольными группами были доказаны в [1; 2]. Естественно продолжить такие исследования над классом полугрупп. Алгебраическая геометрия специального вида над полугруппами рассматривалась в работах А.Н. Шевлякова [3-5], в которых исследовались свойства алгебраических множеств над полугруппами и были классифицированы координатные алгебры.

Мы продолжаем исследования в хорошо известном классе вполне простых полугрупп. Данный класс был выбран из-за своей близости к классу групп (для элементов вполне простых полугрупп определена операция обращения). Были выделены три подкласса полугрупп (см. раздел «Некоторые классы вполне простых полугрупп»). Для исследуемых классов получены критерии, определяющие координатные полугруппы неприводимых алгебраических множеств (серия теорем 3.6-3.8).

Предварительные сведения

1. Рисовские полугруппы матричного типа

Пусть S - произвольная полугруппа, I и Л - непустые множества индексов и P - матрица элементов из S размера |/| х|Л| .

Определение 1.1. Рисовской полугруппой матричного типа M(S;I^;P) называется множество I х S х Л с заданной на нем операцией умножения

j, s,Л)(j, t,М) = (i, spAjt,р).

Полугруппу матричного типа можно рассматривать как матрицу размера |l| х|Л|, в каждой клетке которой стоит полугруппа S . Множества

i х S х Л , I х S х X и i х S х X будем называть строкой, столбцом и ячейкой полугруппы соответственно. Полугруппа S называется структурной полугруппой M . Матрица P называется сэндвич-матрицей полугруппы.

Согласно классической теореме Риса (см. [6]), всякая вполне простая полугруппа изоморфна регулярной рисовской полугруппе матричного типа над группой.

В данной статье будем рассматривать только вполне простые полугруппы. Поэтому в дальнейшем будем подразумевать, что любая рассматриваемая полугруппа вполне проста. Также будем подразумевать обозначения M = M(G;I,Л;Р) и М' = М(в';Г,Л';Р') .

Рассмотрим подробнее некоторые свойства вполне простых полугрупп. Согласно [7], структурная группа G (с точностью до изоморфизма) и мощности множеств I , Л являются инвариантами полугруппы M .

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00085).

© П.А. Уляшев, 2014

38

П.А. Уляшев

Однако при различных матрицах P и Q могут получаться изоморфные полугруппы. Любую сэндвич-матрицу можно нормализовать - при помощи элементарных линейных преобразований привести к матрице, у которой один столбец и одна строка состоят из единиц структурной группы, и при этом полученная полугруппа будет изоморфна исходной. Поэтому далее будем считать, что первая строка и первый столбец сэндвич-матрицы состоят из единиц.

Также нам понадобится описание идем-потентов вполне простой полугруппы.

Предложение 1.2. Идемпотенты вполне простой полугруппы M

имеют вид I i, p'^, Л).

Доказательство. Пусть (, g, Л ) =

= (,g,Л)(/',g,Л) = (,gpug,Л). Отсюда следу-

ет, что g = p- .

Элементы алгебраической геометрии

Основные понятия универсальной алгебраической геометрии можно найти в статьях [8] и [9]. Используемое в исследованиях определение координатной алгебры (в данном случае это будут координатные полугруппы) можно найти в [9] (п. 3.3). Напомним определения и теоремы, которые нам понадобятся в этой статье.

Определение 1.3. Тождеством языка L называется формула вида

Vx,...Vxn (t (x) = s( x)).

Квазитождеством языка L называется формула вида

f

Vx,„.Vx

1 n

v

Л

Л

^(t(x) = s(x)) ,

где t(x ), s (x ), (x ), st (x ) - термы языка L .

Теорема 1.4. Для любого алгебраического множества Y над алгеброй A верно, что Г(Г) е Qvar(A). В частности, координатная алгебра T(Y) удовлетворяет всем тождествам и квазитождествам языка L , истинным в алгебре A .

Основными в данной статье являются определения аппроксимируемости и дис-криминируемости.

Определение 1.5. L -алгебра C аппроксимируется классом L -алгебр K, если для любой пары неравных элементов c,, с2 е C найдётся такой гомоморфизм

h : C ^ B в алгебру B е K, чтоh(c,) Ф h(c2).

Определение 1.6. L -алгебра C аппроксимируется классом L -алгебр K , если для любого конечного множества W элементов из C найдётся гомоморфизм h : C ^ B для некоторой алгебры B е K, ограничение которого на W инъективно.

Если C аппроксимируется (дискриминируется) классом K = {B} , то говорят просто, что C аппроксимируется (дискриминируется) алгеброй B .

Предложение 1.7. Пусть A - алгебра языка L . Тогда для любой конечно порождённой алгебры C языка L следующие условия эквивалентны:

1) C аппроксимируется алгеброй A ;

2) C является координатной алгеброй некоторого алгебраического множества над A , определённого системой уравнений языка L .

Предложение 1.8. Пусть A - алгебра языка L . Тогда для любой конечно порождённой алгебры C языка L следующие условия эквивалентны:

1) C дискриминируется алгеброй A ;

2) C является координатной алгеброй некоторого неприводимого алгебраического множества над A , определённого системой уравнений языка L .

2. Некоторые классы вполне простых полугрупп

Зафиксируем язык L без констант с бинарной операцией • (умножение) и унарной операцией -1 (обращение). Будем рассматривать полугруппы в языке L . Умножение было представлено в определении 1.1. Обращение определяется следующим образом. Пусть x = (i, g, Л) е M . Элемент

xx"1 = x0 является идемпотентом полугруппы. По предложению 1.2 x° = (i,pl,Л). Отсюда

x_1 =

Определение 2.1. Пусть x = (i, g, Л) е M.

Элемент x° = xx 1 = (i,plt ,Л) будем называть единицей ячейки i х S х Л .

Решим задачу классификации координатных полугрупп для нескольких классов вполне простых полугрупп. Рассмотрим отдельно каждый класс, для каждого класса найдем верные тождества и квазитождества.

I. Полугруппы с тривиальной структурной группой

Элементы полугруппы имеют вид x = (i,1, Л) . Структурная группа G тривиальна, следовательно, матрица P состоит из единиц, поэтому групповая часть x всегда равна 1. Отсюда следует, что на результат умножения влияют только крайние индексы. Поэтому верно тождество VxVy (xyx = x).

Обратно, пусть VxVy(xyx = x) . Докажем, что группа G тривиальна. Зафиксируем ячейку i х S х Л и возьмем два произвольных элемента (i, f, X),(i, g, у) из ячейки. По предположению fpXi gpki f = f , откуда сле-

Элементы алгебраической геометрии над вполне простыми полугруппами

39

—1

для любых элементов

f и g . Зафиксируем f = p]i и получим,

что Vg g = Pfo = 1. Таким образом, доказано следующее предложение.

Предложение 2.2. Полугруппа M имеет тривиальную структурную группу тогда и только тогда, когда верно тождество VxVy (xyx = x).

Тождество VxVy (xyx = x) эквивалентно условию VxVy (xy = yx ^ x = y) (доказа-

тельство можно найти в [6]). Полугруппы, для которых выполнено это условие, называются нигде не коммутирующими.

II. Полугруппы с матрицей-вектором

Будем считать, что |Л| = 1. Поскольку

матрицу можно считать нормализованной, то P - строка из единиц.

Предложение 2.3. Элементы x, y полугруппы M принадлежат одной строке (одному столбцу), если и только если (xy) = y°

((xy ) = x0).

Доказательство. Элементы x и y принадлежат одной строке, если и только если у них совпадают первые индексы. Это, в свою очередь, выполнено тогда и только тогда, когда элементы xy и y принадлежат

одной ячейке, т. е. когда (xy) = y°. Аналогично доказывается для элементов одного столбца.

Тождества из предложения 2.3 выполнены для всех элементов полугруппы M тогда и только тогда, когда матрица Р состоит из одной строки или одного столбца. Тем самым мы доказали следующее предложение.

Предложение 2.4. Полугруппа M имеет матрицу P , состоящую из одной строки (одного столбца) тогда и только тогда, когда верно тождество VxVy (xy) = y°

(VxVy (xy)0 = x0).

III. Полугруппы с матрицей из единиц

Матрица P состоит из единиц в том и только том случае, когда единицы ячеек имеют вид (i,1,X) . Поэтому из предложения 2.2 следует предложение 2.5.

Предложение 2.5. Полугруппа M имеет матрицу P , состоящую из единиц, тогда и только тогда, когда верно тождество

VxVy x°y° x0 = x0.

3. Координатные полугруппы

Для описания координатных полугрупп будем опираться на определения аппроксимируемости и дискриминируемости. Оба

они используют понятие гомоморфизма полугрупп, поэтому сначала исследуем общие свойства гомоморфизмов вполне простых полугрупп.

Лемма 3.1. Гомоморфизм полугрупп

p.M' ^ M :

1) элементы одной строки переводит в элементы одной строки;

2) элементы одного столбца отображает в элементы одного столбца;

3) элементы одной ячейки отображает в элементы одной ячейки;

4) единицу ячейки отображает в единицу ячейки.

Доказательство. По предложению 2.3 элементы x, y 6 M' принадлежат одной

f \0 0

строке тогда и только тогда, когда (xy) = y . Гомоморфизм сохраняет операции языка, поэтому если x, y 6 M' принадлежат одной строке, то верно соотношение

(x)9(y)1) = {0 )0, откуда следует, что ф(x) и ф(y) принадлежат одной строке. Определяющим соотношением для элементов одного столбца является (xy) = x° , а для

элементов одной ячейки - соотношение 0 0 x = y .

Утверждение последнего пункта следует из того, что идемпотентность при гомоморфизме сохраняется.

Лемма 3.2. Инъективный гомоморфизм полугрупп разные ячейки отображает в разные ячейки.

Доказательство. Возьмем единицы различных ячеек. Инъективное отображение переводит их в разные элементы, а поскольку по лемме 3.1 они отображаются в единицы ячеек, то в одну ячейку они перейти не могут. Остается добавить, что по лемме 3.1 все элементы из какой-либо ячейки переходят в одну и ту же ячейку.

Лемма 3.3. Если матрица P состоит из единиц, то ограничение гомоморфизма полугрупп p: M' ^ M на каждую ячейку является гомоморфизмом групп.

Доказательство. Единица сохраняется по лемме 3.1. Поскольку матрица P состоит из единиц, то (i, f, X)(i, g, X) = (i, fg, X) и

(i, g, X)'1 = (i, g-1, X), т. е. ограничение гомоморфизма полугрупп на отдельную ячейку сохраняет групповые операции.

Следствие 3.4. Если матрица P состоит из единиц и M' дискриминируется (аппроксимируется) M, то G' дискриминируется (аппроксимируется) G .

Доказательство. Достаточно в определении дискриминируемости (аппроксимируемости) рассмотреть все подмножества элементов одной ячейки. По определению существует соответствующий гомоморфизм

40

П.А. Уляшев

полугрупп. По лемме 3.3 его ограничение на ячейку будет гомоморфизмом групп, в силу чего получаем дискриминируемость (аппроксимируемость) группы G' группой G .

Лемма 3.5. Если полугруппа M' дискриминируется полугруппой M, то

Доказательство. Возьмем множество всех единиц ячеек одной строки полугруппы

(мощность множества равна |Л '|). По определению дискриминируемости существует гомоморфизм полугрупп, инъективный на этом множестве. Аналогично доказательству леммы 3.2 получаем, что строка, в которую попадают образы выбранных единиц ячеек, содержит

не менее |Л '| ячеек и при этом имеет мощность |Л| . Аналогично получаем |l'| < |/|.

Теперь мы можем сформулировать критерии, определяющие координатные полугруппы неприводимых алгебраических множеств для каждого рассматриваемого класса полугрупп. Докажем последний из них (первые два доказываются аналогично).

Теорема 3.6. Пусть M - нигде не коммутирующая полугруппа. Полугруппа M' является координатной полугруппой некоторого неприводимого алгебраического множества над M, определённого системой уравнений языка L , тогда и только тогда, когда:

1) G' тривиальна;

Теорема 3.7. Пусть M - полугруппа с матрицей из одной строки. Полугруппа M' является координатной полугруппой некоторого неприводимого алгебраического множества над M , определённого системой уравнений языка L , тогда и только тогда, когда:

1) G 1 дискриминируется G ;

2) I11 <14;

3) матрица P' состоит из одной строки.

Теорема 3.8. Пусть M - полугруппа с

матрицей из единиц. Полугруппа M' является координатной полугруппой некоторого неприводимого алгебраического множества над M , определённого системой уравнений языка L , тогда и только тогда, когда:

1) G' дискриминируется G ;

2) I11 <14, Л1 <1Л;

3) матрица P' состоит из единиц.

Доказательство. Учитывая предложение

1.8, необходимо и достаточно показать, когда полугруппа M' дискриминируется полугруппой M . Необходимость пункта 2 следует из леммы 3.5, пункта 1 - из следствия 3.4. Для теоремы 3.6 очевидно, что G' дискриминируется G , если и только если G' триви-

альна. Для теорем 3.7 и 3.8 условия из пункта 2 являются тождествами языка L (предложения 2.4 и 2.5), поэтому будут выполнены по предложению 1.4. Докажем достаточность. Нужно для любого конечного множества W С M' построить гомоморфизм полугрупп ф: M' ^ M , инъективный на W . Поскольку G' дискриминируется G , то внутри каждой ячейки по определению дискрими-нируемости существует такой гомоморфизм групп. Сэндвич-матрицы состоят из единиц, поэтому гомоморфизм групп переносится в явном виде на каждую ячейку. Учитывая,

Л' в Л , сохраняя порядок. Это всегда можно сделать, так как никаких ограничений на сохранение операций не накладывается: нужно любым удобным способом инъективно отобразить меньшее множество в большее. Получим, что разные ячейки переходят в разные. Очевидно, что это и будет искомый гомоморфизм.

Автор выражает благодарность А.Н. Шев-лякову за постановку задачи, советы и замечания по оформлению данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Baumslag G., Miasnikov A., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups // Trends in Math., Int. Conf. «Algorithmic problems in groups and semigroups» (Lincoln, NE, May 11-16, 1998). Boston, MA, 2000, P. 35-50.

[2] Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J. of Algebra. 2000. № 234. P. 225-276.

[3] Shevlyakov A. Algebraic geometry over the additive monoid of natural numbers: The classifcation of coordinate monoids // Groups, Complexity and Cryptology. 2010. № 2 (1). P. 91-111.

[4] Morar P., Shevlyakov A. Algebraic Geometry over the Additive Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations // Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences. 2010. P. 261-278.

[5] Шевляков А. Н. Алгебраическая геометрия над моноидом натуральных чисел. Неприводимые алгебраические множества // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. № 16 (2). С. 258-269.

[6] Howie J. Fundamentals of semigroup theory // London Mathematical Society Monographs. New Series. 1995. № 12. 351 p.

[7] Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А. и др. Общая алгебра / под общ. ред. Л. А. Скорнякова. М. : Наука, 1991. Т. 2. 480 с.

[8] Daniyarova E., Miasnikov A, Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // ^ge-bra and Discrete Mathematics. 2008. № 1. P. 80111.

[9] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания // Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17. № 1. С. 65-106.