Упругопластические волны в стержне, свойства материала которого зависят от скорости деформирования

Микрометрические отклонения, локальные значения микротвердости, параметра шероховатости, изменяемые по поверхности образцов шеек в результате нанесения покрытия такого типа, могут быть использованы в качестве исходных данных для моделирования процессов в локальных зонах фрикционного контакта покрытия, но уже с материалом вкладыша при работе данного трибосопряжения.

Рассмотренный подход позволит получить определенные представления в отношении проявления ИП в рассматриваемом трибосопряжении. Исходя из полученных результатов, ИП может проявляться в данном случае фрагментально по зонам контакта. Для этого необходимо провести ряд исследований, связанных с физическим моделированием процессов работы три-босопряжения «шейка-покрытие-вкладыш» в лабораторных условиях и оценкой структурных параметров пленочных образований в нем.

Перечень ссылок

1. Кубич В.И. Ивщенко Л.И. К методике исследования избирательного переноса в трибосопряжении // HoBi ма-Tepiara i технологи в металургй та машинобудуванш. -2007. - № 2 - С. 134-138.

2. Гаркунов Д.Н. Триботехника. М.: Машиностроение, 1985. - 411 с.

3. Д.Н. Гаркунов. Триботехника. Износ и безызносность. -М.: МСХА, 2001. - 627 с.

4. Колчаев А.М., Степанов В.Б. Способ фрикционно-ме-ханического нанесения антифрикционного покрытия. Патент РФ № 2060300. - 1996. - 13 с.

5. Харитонов Л.Г. Определение микротвердости. - М.: Металлургия, 1967. - 36 с.

6. Балабанов В.И. Повышение качества отремонтированных двигателей внутреннего сгорания путем реализации избирательного переноса при трении. - М.: Вестник машиностроения. - 2001. - № 8. С. 14-19.

7. Куксенова Л.И. и др. Методы испытаний на трение и износ. - М: Интермет инжиниринг, 2001. - 274 с.

Поступила в редакцию 16.10.2008

Розглянуто змти euxidnuxмжрометричниххарактеристик поверхонь зразюв шийок колтчастих eanie, ят обумовлет використанням мiдьутрuмуeaльнuм антифрикцшним покриттям з застосуванням адгезионного середовища гaлiй-iндiй для моделювання проце^в euбiркоeого переносу у трибоз 'eднaннi «шийка-покриття-вкладиш».

The changing of initial micrometric characteristics of crankshafts neck surfaces caused by application of copper-bearing antifriction coating using adhesive gallium-indium environment as a basis for selective transfer processes modelling in «neck-coating-insertion »junction is studied.

УДК 539.374

Канд. техн. наук Ю. В. Мастиновский, А. В. Паршуков Национальный технический университет, г. Запорожье

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В СТЕРЖНЕ, СВОЙСТВА МАТЕРИАЛА КОТОРОГО ЗАВИСЯТ ОТ СКОРОСТИ

ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Рассматривается распространение продольных волн в упругопластическом стержне, полубесконечном или закрепленном на неударяемом торце, при действии удара с постоянной или зависящей от времени скоростью и с конечным временем приложения нагрузки. Движения стержня описываются квазилинейным уравнением гиперболического типа, к которому присоединяются соотношения деформация-перемещение и определяющие соотношения, в которых предполагается, что скорость деформации можно разложить на упругую и пластическую составляющие. Задача решается численно с помощью приведенных уравнений характеристик и условий на них.

Основные задачи о распространении упругоплас-тических волн в средах, обладающих нелинейной зависимостью напряжения от деформации, при продоль-

ном и поперечном ударах рассмотрены в работах [13]. Нелинейные дифференциальные уравнения движения стержня и некоторые модели линейно-вязкоупру-

© Ю. В. Мастиновский, А. В. Паршуков, 2008 126

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1

гого поведения тела, получившие наибольшую известность, приводятся в [4; 8].

Исследование влияния скоростей деформации на динамическое поведение материалов и конструкций требует преодоления многих теоретических и экспериментальных трудностей [5; 6; 8]. Аналитическое решение удается получить лишь в случае простейших граничных условий для идеализированной диаграммы деформация-напряжение. Для реальных реологических соотношений, описывающих переход от упругого к пластическому состоянию требуется привлечение численных методов. Однако, большее число разрывов в конкретных задачах значительно усложняет численное решение с точным рассмотрением всех разрывов. Это приводит к необходимости сглаживания разрывов (например, введением искусственной вязкости) для возможности применения схем сквозного счета.

Постановка задачи

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения, который до момента времени t = 0 находился в покое, в недеформированном состоянии. Положим начало координаты Лагранжа на торце стрежня, а ось «х» направим вдоль стержня. В момент времени t = 0 торец стержня х = 0 подвергается механическому воздействию, которое моделируется заданием напряжения, или деформации, или скорости частиц торца (в общем случае, зависящими от времени). При этом напряжение предполагается известной функцией деформации ст = ст(е).

Предполагается, что свойства материала в рассматриваемой модели зависят от скорости деформации е, которую можно разложить на упругую е е и пластическую ер составляющие:

е _е е + е р = —+ / <ст-ст , >

Е

где Е - модуль Юнга; / <ст - ст > - функция упрочнения; ст, - статический предел текучести. При ст < ст, скорость пластической деформации равна нулю.

Основные уравнения, описывающие процесс распространения волн в тонком упруго-вязкопластичес-ком стержне, для случая больших деформаций, имеют следующий вид:

уравнение движения

5ст_ дГ; дх дt

соотношения деформация-перемещение

1 ди. ди де ди. д V

е_

2 дх дх дt дх дх

определяющие соотношения

дст де

_ Е—,

дг д(

дст де

_ Е--

дх д(

при ст < ст,

где/<ст - ст,> - скорость пластической деформации; t - время, измеряемое от начала удара; х - лагранже-вая координата; р - начальная плотность; и - переме-

,, ди

щение; V _ — - скорость частицы.

дt

Скорость распространения волн в общем случае есть функция напряжения. Введем безразмерные величины

~ _ х. ~ _ t • с; ~ _ и ; ~ _ V ; ст _ ст

х_7' _Т' и _7' _7' ст_ТТ2"'

р^с

, 2 Е й

где 7 - длина стержня; с _ — - скорость продольной

Р

упругой волны в стержне. Опуская верхний знак тильда «~» у безразмерных величин и обозначая нижним индексом частную производную у искомых величин, систему (2), (3), (4) запишем так:

V,-ст х _ 0;

в, - а2 • Vx _ 0;

ст, -а 2 • ^ _- F,

где а2 = (1 + их); Е = р/<ст - ст,>; р _-; величина п,

с -п

связанная с временем релаксации и имеющая размерность секунды.

Система (5) представляет собой систему квазилинейных уравнений с частными производными гиперболического типа, которая может быть решена с использованием метода характеристик [8].

Начальные и граничные условия примем в виде [7]:

V _ ст _ е _ 0, при t _ 0;

А+ А2 •V + А3 •ст_ф1(0, при х _ 0,

В1 •Vt + В2 •V + В3 •ст_ф2

Граничные условия (6), записанные в общем виде, при А Ф 0 или В1 Ф 0 требуют задания: t = 0, У\ = V0;

= V1. х= Численный метод решения

Система уравнений (5) имеет три семейства характеристик, вдоль которых выполняются следующие соотношения:

йх _ 0, йе - йст _ Е • йР;

dx _ ± а • Л, ± а • йV - йст _ Е • Л.

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008

127

Для упругой области получаем а = 1, т. е. предполагается, что упругие деформации не зависят от скорости деформации (е = и и Е = 0). К соотношениям (7) присоединяем равенство

йи = их-6х +

которое выполняется вдоль любого направления.

Заметим, что в характеристики, определяемые (7), в пластичной области не постоянны а = а(и ), а их вид зависит от самого решения. Численное интегрирование этих уравнений, следовательно, усложняется.

При численном интегрировании уравнений (7) вдоль сетки характеристик в каком из возможных состояний находится рассчитываемая точка проверялось следующими неравенствами:

д IV

ст > ст о и —!—1 > 0, область пластического

дг

д V

деформирования,

ст > ст £ и ——- < 0, область упругой разгрузки,

дг

д IV <

ст < ст £ и —0, область упругого

дг ^

деформирования.

В отличии от упругой области, в которой линии характеристик постоянны, в пластической области на каждом шаге по времени использовался метод итера-

ций для уточнения угла наклона характеристик.

Пример расчета

Для проверки работы вычислительной схемы решалась задача об ударе по полубесконечному стержню с постоянной скоростью V, материал которого обладает линейным упрочнением:

ст(е) =

е < 1;

1 + Е1(е- 1), е > 1.

На рис. 1 показаны распределения деформаций в стержне для V0 = -3 и V0 = -4 при г = 64, которые хорошо согласуются с результатами, приведенными в работе [9].

С использованием диаграммы (9) решалась задача об ударе по стержню конечной длины. При расчетах задавалось: V = -/-е-4, при х = 0; V = 0, при х = 1; Ах = Аг = 0,005; р =0 1, Е1 = 0,2.

На рис. 2 представлен процесс распространения волн напряжений в стержне для 0 < г < 6. Расчеты показали, что учет влияния скорости пластической деформации существенно сказывается лишь вблизи уда -ряемого и заделанного концов стержня, что и видно на рис. 3, где выделены зоны пластичности.

Предложенная методика расчета позволяет исследовать влияние эффекта повышения модуля упрочнения при увеличении скорости пластической деформации и решать задачи для реальных диаграмм материалов.

Рис. 1. Распределение деформаций в полубесконечном стержне (г = 64). (-) - Vo = -3, (--) - Vo = -4

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГ1Т ТА МАШИНОБУДУВАНН1

Рис. 2. Распространение волн напряжений в стержне конечной длины

Рис. 3. Зоны пластичности

Перечень ссылок

1. Рахматулин Х. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках // М. - 1961.

2. Новацкий В. К. Волновые задачи и теории пластичности // М.: «Мир», 1978. - 307 с.

3. Вернер Гольдсмит. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел // М., 1965. - 448 с.

4. Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах. Учебное пособие // М., 1985. - 416 с.

5. Васин Р. А., Ленский В. С., Ленский Э. В. Динамические зависимости между напряжениями и деформации // Проблемы динамики упруго-пластических сред. Сборник обзоров, серия Механика, № 5. - М.: «Мир». - 1975, С. 7-38.

6. Чейз К., Гольдсмит В. Экспериментальное определение нестационарных одноосных напряжений в стерж-

не методом фотопластичности // Нестационарные процессы в деформируемых телах. Сборник обзоров, серия Механика, № 8. - М.: «Мир», 1976. - С. 214-237.

7. Бураго Н. Х., Кукуджанов В. Н. Распространение волн в материалах с запаздыванием текучести // В книге: «Распространение упругих и упругопластических волн». - Алма-Ата: «Наука», КазахскаяССР, 1973. -С. 101-107.

8. Зукас Дж. А., Николас Т., Свифт Х. Ф., Грещук Л. Б., Курран Д. Р. Динамика удара: перевод с английского // М.: Мир, 1985. - 296 с.

9. Кукуджанов В. Н. Распространение упругопластичес-ких волн в стержне с учетом влияния скорости деформации //Труды Вычислительного центра АНСССР, т. 1. -М., 1967. - 48 с.

Одержано 12.06.2008

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванн №2, 2008

129

Розглядаеться розповсюдження подоeжнiх хвиль у пружно-пластичному стрuжнi, нaпieнескiнченому або закртленому на торцi, по якому вдаряють, при дИ удару з постшною або залежною eiд часу швидтстю i з юнцевим часом прикладення навантаження. Рух стрижня описуеться квазжншним рieнянням гiперболiчного типу, до якого приеднують спieeiдношення деформaцiя-перемiщення та euзнaчaльнi спieeiдношення, в яких припускаеться, що швидюсть деформацИ можна розкласти на пружну та пластичну склaдоei. Задача euрiшуеться чисельно за допомогою приведенихрieнянь характеристик та умов на них.

Spreading of longitudinal waves in elastic-plastic rod, semi-infinite or fixed on nonstruck butt-end is considered, under the action of stroke with stationary or time-dependent velocity and with finite time of load application. Rod movement is expressed by the quasilinear equation of hyperbolic type together with strain-displacement correlation and defining correlation in which it is supposed, that the strain velocity can be decomposed on elastic and plastic component. The problem is solved numerically with the help ofreduced equations of characteristics and conditions on them.

УДК 539.3

Я. В. Чумаченко, Т. И. Левицкая Национальный технический университет, г. Запорожье

К РАСЧЕТУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ КРУЧЕНИЯ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕЙ, ОСЛАБЛЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫМИ РАЗРЕЗАМИ

Задача кручения полигонального стержня решается методом произведения областей. Получены формулы, упрощающие в рамках этого метода нахождение коэффициентов интенсивности напряжений, возникающих вблизи края разреза. Теория применяется к расчету квадратного и треугольного стержней с трещинами.

Введение

Коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) играют весьма важную роль в механике разрушения, являясь объектами аналитических и экспериментальных исследований [1, 2]. При кручении призматических стержней касательные напряжения вблизи края продольного разреза (трещины) могут быть описаны [3] асимптотическими формулами

K

111 sin 1,

K

111 cos1.

где (г, ф) - полярная система координат в поперечном сечении стержня с полюсом на краю трещины и полярной осью вдоль ее продолжения, г - ось кручения, а постоянная Кщ является коэффициентом интенсивности. В работе [4] для нахождения Кщ в рамках метода произведения областей (ПО) был адаптирован подход, развитый в [5], который сводится к нахождению некоторого интеграла вдоль контура, охватывающего край трещины. В настоящей работе получены формулы, которые (при решении задачи кручения методом ПО) позволяют избежать указанного ин-

тегрирования. Выполнено систематическое численное исследование зависимостей КИН от геометрии скручиваемого объекта для квадратного стержня с произвольно-ориентированным внутренним разрезом и правильного треугольного стержня с перпендикулярным или наклонным разрезами, выходящими на его поверхность.

Вывод расчетных соотношений

Пусть (х, у) является основной прямоугольной системой координат на (в общем случае) многосвязном поперечном сечении полигонального стержня с границей, состоящей из N прямолинейных звеньев. Поставим в соответствие каждому такому звену

I] (] = 1, N) систему локальных координат (Х], у]-), начало которой находится в центре звена, а орт у ] направлен в сторону материала стержня. Ориентацию системы выберем так, чтобы X] х у ] = г . Дополнительно, с помощью соотношений

х] = I] сЩ ] сое п 7, у] = fj ^ 7 вш п ]. (2) где - половина длины ] -го звена, введем локаль-

т rz

2

2

© Я. В. Чумаченко, Т. И. Левицкая, 2008

130