Упражнения при формировании математических умений

УДК-510:373

УПРАЖНЕНИЯ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ

В.И.Горбачев Г.А.Яцковская

В статье описывается методика исследования роли упражнений в математической деятельности учащихся, их проектирования в методических целях.

Ключевые слова: упражнения, умения, математическая деятельность.

Содержание математической деятельности учащихся, ее проектирование, анализ в значительной степени определяются базовыми теоретическими положениями методики обучения математике, в рамках которой эта деятельность рассматривается.

Так, в деятельностной теории процесс учения структурируется в системе действий разных уровней сформированности в составе ориентировочного, исполнительного и контрольного компонентов. Всякое действие, например, «решение стандартного рационального уравнения» или «исследование квадратичной функции» обладает достаточно сложным операционным составом, проходит три этапа формирования, обобщается, сокращается и на заключительной фазе своего становления должно обладать свойствами обобщенности, развернутости, освоенности [1,2].

Поскольку в реальной математической деятельности учащийся оперирует с системой действий разного уровня сформированности, полноты, обобщенности и весьма сложно даже в теоретическом плане спроектировать дальнейшую процедуру ее становления, то в сложившейся практике учителя математики попытка следовать теоретическим положениям деятельностной теории обычно заканчивается его переходом в устоявшийся режим оперирования знаниями, умениями, навыками.

Анализ математической деятельности в рамках «содержательной методики обучения математике» - той, которая весьма часто критикуется за «информационно-знаниевую парадигму, усреднение ученика», «увлеченность фактами вместо подлинного развития», «предметоцентризм», не только в практике общеобразовательной школы, но и, зачастую, в теоретичебских аспектах оказывается весьма значимым, продуктивным:

содержание математики Евклида, Ньютона, Виета, Гильберта, Вейерштрасса, Гаусса, Лобачевского, спроектированное в общеобразовательные курсы алгебры и начал анализа, геометрии, привнесло в деятельность учащихся методы формирования математического мышления, пространственных представлений, аксиоматического построения научных теорий;

опыт многих поколений учителей математики, дидактически осмысленный и методически обоснованный, обеспечивает гарантированный и пока ни в одной из теорий не превзойденный уровень сформированности культуры учащихся;

всякая современная дидактическая теория, преломляясь в предметной области, в математике находит для себя нужные основания, перерабатывает результаты «содержательной методики обучения математике» и приходит к совокупности определенных новых фактов, пока не составляющих целостную теорию - технологичную и диагностируемую;

все учебники математики, алгебры и начал анализа, геометрии, выстроенные в системе начального, среднего образования обеспечивают «классическую» математическую подготовку учащихся в рамках «содержательной методики обучения математике», не отвергаемой ни гуманитарной направленностью, ни профильным обучением.

В рамках соответствия требованиям современного общества основу содержательной методики обучения составляют следующие положения:

целью обучения математике выступает не накопление учащимися системы знаний, а целенаправленное самостоятельное овладение ими посредством рациональных методов познания, приемов их получения;

в задачи обучения входит формирование у учащихся методов научного познания, становление определенной учебной методологии;

изучение математических знаний в системе формирующих их умений осуществляется в условиях реализации системного подхода, в целостности;

в математическом образовании важное место занимает модельный подход с использованием современных средств систематизации и обработки информации; деятельностный подход, проектирующий освоение учащимся знаний, умений через систему соответствующих видов деятельности.

В методике обучения математике, называемой «содержательной» в отличии от личностно-ориентированной, деятельностной, развивающей теорий, преломляемых в виде методических моделей обучения, понятие умения является одним из базовых:

система математических знаний выстраивается во внутреннем плане учащегося только в единстве с формирующими их умениями;

всякий усвоенный учащимися метод решения задачи, исследования функции, доказательства теоремы есть не что иное, как система определенных умений;

математическое мышление учащегося есть не что иное, как система математических умений, сформированная во внутреннем плане учащегося, превращенная в средство мыслительной деятельности.

Фундаментальность понятия «умение» определяется и тем, что во всякой дидактической теории, ее методической модели проектирование математической деятельности учащихся осуществляется либо в иерархичной системе общеучебных, содержательных, мыслительных умений, либо в их теоретических аналогах:

в деятельностной теории умение - внешнеречевой уровень сформированности действия с обобщенной, полной ориентировочной основой, находящейся в актуальном сознании учащегося;

в теории развивающего обучения умению соответствует обобщенный способ деятельности, выделенный учащимся в условиях восхождения от абстрактного к конкретному и имеющий понятийную основу;

в теории личностно-ориентированного обучения умение - прием деятельности учащегося, находящийся в его субъектном опыте и отрефлексированный учащимся в рамкам осознания и обогащения собственной деятельности. В перечне характеристик умения выделяются: это внутренняя характеристика учащегося; умение связано с конкретной деятельностью, действием;

умение предполагает наличие плана выполнения действия, имеющегося в внутреннем плане учащегося;

внутренний план действия обобщен на класс математических объектов, представлен учащемуся в системе знаний;

реализация внутреннего плана действия осуществляется под контролем сознания учащегося.

Итак, умение - характеристика сформированности действия у учащегося, фиксирующая наличие обобщенного внутреннего плана выполнения действия, представленного в системе знаний и осуществляемого под контролем сознания.

В качестве примера рассмотрим умение исследовать арифметическую прогрессию. Данное умение формируется в системе математических знаний: определение прогрессии, разности прогрессии, формулы п-го члена, характеристического свойства членов прогрессии, формулы суммы первых п членов прогрессии. Умение имеет собственную структуру детализирующих умений:

умение характеризовать члены прогрессии;

умение находить разность прогрессии;

умение использовать характеристическое свойство прогрессии; умение исследовать сумму п членов прогрессии.

Общая характеристика умения может быть представлена в виде схемы

Умение Внутренний, обобщенный Система умений

операционный план выполнения каждой из

операций

Специфику действий учащихся с математическими объектами характеризуют содержательные (предметные) математические умения. Наиболее значимые математические умения, инвариантные в классах задач, видах математической деятельности:

умение доказывать или опровергать теорему, свойство;

умение исследовать функцию;

умение решать уравнение, систему уравнений, неравенство стандартными методами;

умение построить геометрическую фигуру конкретным набором инструментов;

умение вычислить неизвестные элементы фигуры по известным данным;

умение применять нужные преобразования плоскости для решения задач;

умение использовать метод координат для решения задачи.

Фактически перечень умений и их структура отражают структуру всей математической деятельности учащихся.

Существуют различные подходы к вопросу о формировании математических умений, но в большинстве этих подходов можно увидеть общие черты. Формирование умений включает следующие этапы:

1. Подготовительный:

а) мотивация изучения правила (алгоритма);

б) актуализация знаний;

в) постановка целей и принятие их учащимися.

2. Введение (ознакомительный этап):

а) открытие правила (алгоритма);

б) обоснование правила (алгоритма);

в) запоминание формулировки правила (алгоритма);

г) показ образца ответа, записи и формы контроля.

На данном этапе учащиеся должны выделить, что дано, что требуется сделать и какими инструментами, какие операции для этого необходимо выполнить. Исследования психологов показывают, что на ознакомительном этапе является неэффективной методика формирования действия в обобщенном свернутом виде, поскольку тогда учащемуся не видна его динамика.

3. Усвоение (этап, формирующий умение):

а) отработка шагов правила (алгоритма);

б) контроль и коррекция формируемого правила (алгоритма).

4. Закрепление (этап совершенствования умения):

а) обобщение и перенос усвоенного правила (алгоритма);

б) установление связей правила (алгоритма) с правилами (алгоритмами), изученными ранее.

Всякое математическое умение в системе закономерных этапов его формирования выступает субъектной характеристикой тех действий и видов деятельности, которые должен поэтапно осуществлять учащийся. Но действия и виды деятельности, адекватные этапам формирования умения, фиксируются учащимися в виде системы задач разных

уровней трудности. Эти же задачи, проектируемые учителем в его методической системе, выступают в качестве упражнений [6]. Г.И.Саранцевым выделена следующая теоретическая модель упражнения в методической системе учителя.

Компоненты теоретической модели упражнений позволяют учителю отобрать систему содержательных средств, методов формирования этапов, сформировать целостную учебно-познавательную деятельность. Следует заметить, что в учебном процессе упражнения не только включаются в методическую систему учителя (схема 1), но и в реализации цели формирования умения образуют свою, целостную методическую систему (схема 2).

Методическая система " Упражнения"

Итак, упражнения при формировании математического умения должны:

способствовать мотивации введения правила;

способствовать открытию и обоснованию правила (алгоритма);

способствовать усвоению терминологии, символики, пониманию значения каждого слова в формулировке правила, запоминанию его формулировки; способствовать усвоению содержания правила (алгоритма); обеспечивать отработку отдельных шагов правила (алгоритма);

способствовать усвоению признаков распознавания возможности применения правила (алгоритма);

предоставить обзор различных случаев применения правила (алгоритма); обучать применению правила;

раскрывать взаимосвязь изучаемого правила с ранее изученными. Обобщая подходы к формированию математических умений, изложенные в [1] - [6], учитывая, требования которые должны быть реализованы через систему упражнений, и опираясь на схему «Методическая система «Упражнения», мы предлагаем свою схему формирования умений, которая иллюстрирует соответствие между этапами формирования умений и упражнениями, реализующими их.

Этапы формирования Упражнения, реализующие

их

умения

«

3 я

л

п

<D

н к и о н о 1ч о

с:

<Ц S

я

<D

о и

о >>

ш

X X

ш ^

с

<Ц S

я

<D <Ц

и PQ

Мотивация изучения правила

Упражнения с практическим Актуализация знаний

Открытие правила

Запоминание формулировки Л правила

Показ образца ответа, горитма)

записи и формы контроля

(^льных

Отработка шагов правила шаговая

Обобщение и перенос усвоенного правила

Упражнения на применение ранее

изученных понятий, теорем и

содержанием

пражнения, связанные с обоснованием умения

Упражнения на распознавание ситуаций, удовлетворяющих условию правила

Упражнения на представление

формулировки правила

на разных языках

Упражнения на усвоение

составляющих действий

отработка)

Упражнения на открытие способа самоконтроля пражнения на коррекцию

Установление связей правила (алгоритма) с правилами

тесты,

(алгоритмами), изученными ранее

правила (алгоритма) для частных случаев и ситуаций Упражнения на систематизацию и обобщение умений Упражнения на применение правила (алгоритма) в различных ситуациях (дидактические игры,

примеры, задачи)

Проиллюстрируем функционирование предложенной системы упражнений на

примере формирования умения применять формулу (а + Ь) = а + 2аЬ + Ь .

На подготовительном этапе учитель предлагает учащимся открыть формулу квадрата суммы с помощью практической работы: умножить двучлен а + Ь на себя, т.е. раскрыть скобки в произведении (а + Ь)(а + Ь). Учащиеся выводят формулу:

(а + Ь)2 = (а + Ь)(а + Ь) = а  а + а  Ь + Ь  а + Ь  Ь = а2 + а  Ь + а  Ь + Ь2 = а2 + 2аЬ + Ь2.

Учитель сообщает, что данная формула получила название квадрата суммы и позволяет находить квадрат суммы двух выражений, поэтому ее удобней сформулировать в словесной форме:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение.

Далее учитель сообщает, что при вычислениях удобно пользоваться схемой данной формулы: (+о)2=^2+2^о+о2.

После этого проводятся следующие геометрические рассуждения, подтверждающие истинность данной формулы.

Пусть а и Ь - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а +Ь и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и Ь .

a2 ab

ab b2

Площадь квадрата со стороной а + Ь равна (а + Ь) . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2 ), квадрат со стороной Ь (его площадь равна Ь ), два прямоугольника со сторонами а и Ь (площадь каждого такого

прямоугольника равна аЬ ). Значит, (а + Ь) = а + 2аЬ + Ь .

По завершении этих рассуждений учащимся предлагается следующее упражнение на распознавание ситуаций, удовлетворяющих условию правила:

Выберите из предложенных те выражения, которые могут быть представлены в виде: (и+о)2.

а) (4* + 5)2. б) (9 + .у)2, в) г2 + Ь2; г) (*2 +

Затем учитель вместе с учащимися выделяют шаги правила нахождения квадрата суммы двух выражений:

a

b

b

a

1. Установить, что выражение является квадратом двучлена суммы, а именно:

{а + Ъ) , Где а - • , Ь - • , и сделать вывод, что можно применить формулу {а + Ъ) = а2 + 2аЪ + Ъ2

2. Записать правую часть формулы применительно к данному примеру.

3. Привести многочлен к стандартному виду.

Записав правило на доске, учитель демонстрирует еГо применение на конкретном

примере {например, {2х + 7) ), четко проговаривая каждый шаг.

На этапе усвоения учащимся предлагаются упражнения на пошаговую отработку умения применять данную формулу:

1. Установите, являются ли следующие выражения квадратами двучлена суммы, и запишите значения а и Ь:

а) {7 + 2х)2; б) Су + 4)2; в) {а + к2)2; г) т + п2.

2. 1) Найдите квадраты следующих выражений:

13

а) 4Ъ ; б) 12ах; в) 2 ; г) 7 ; д) 9^Ъ ; е) 10т3п . 2) Найдите удвоенное произведение следующих двух выражений: 1

_а

а) 3х и 2у ; б) 2 и 2Ъ ; в) 10т и 7к; г) и 12 ?.

3. Приведите многочлены к стандартному виду:

а) х2 + 2 • х • 9 + 81; б) 49 + 2 • 7 • 2у + 4у2; в) 4 + 2 • 2 • к + к2; г) 9а2 + 2 • 3а • с + с2.

На этапе закрепления учитель предлагает учащимся упражнения следующих видов:

1)Найдите квадрат суммы двух выражений: а) {3х + у)2. б) (а + 7Ъ )2; в) {5т + 12к )2.

2) Используя формулу квадрата суммы, вычислите:

а) 2,012; б) 712; в) 282; г) 392.

3) Заполните пропуски:

а) {4а + А)2 - А + 56а + 49 .

б) {А + 8И)2 - 25г2 + А + А,

в) {А + А)2 - А + 42ас + 49с2

Можно провести с учащимися дидактическую игру "Цепочка". Правила игры таковы. Каждый учащийся ряда получает карточку с небольшим заданием - найти квадрат суммы двух выражений. Выполнив задание, учащийся передает карточку сидящему сзади. Побеждает тот ряд, который дал наибольшее число правильных решений. Пример заданий для одной из команд:

1) {3а + 8)2 - 2) (11х - 3)2 - 3) (2У + 9) - 4) {71 + 5^)2 -5) {4/ + тп)2 - 6) 2] - 7) {к - 4т)2 -

Подводя итог, учитель переходит к систематизации умений {выполняются упражнения на обобщение). Учитель сообщает учащимся, что от формулы {а + Ъ)2 можно перейти к формуле {а - Ъ)2 следующим образом:

{а + Ъ)2  {а + {-Ъ))2 - {а - Ъ)2 - а2 + 2а • {-Ъ) + Ъ2 - а2 - 2аЪ + Ъ2 Итак (а - Ъ)2 - а2 - 2аЪ + Ъ2.

(а + Ь)2

формуле (а + Ь + с) ? Учащиеся предлагают различные варианты, после чего делаются

Учитель ставит перед учащимися проблему: можно ли от формулы перейти

к ч (а + ь + с 42

записи:

(a + b)2  (a + b + с)2 = (a + (b + с))2 = a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 =

= a2 + 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Аналогично от формулы (a + b) переходят к формуле (a + b) :

(a + b)2  (a + b)4 =(a + b)2 (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2) =

= a4 + 2a3b + a 2b2 + 2a3b + 4a 2b2 + 2ab3 + b2 a2 + 2ab3 + b4 =

a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .

Реализованная в формировании конкретного математического умения методическая система обладает свойством универсальности, что подтверждается анализом практики работы учителя математики, методикой подготовки будущего учителя математики.

The article studies the importance of exercises in students mathematical activity and their making for the methodic purpose.

The key words: exercises, skills, mathematical activity.

Список литературы

1. Григорьева Т.П. Технология обучения правилам в системе развивающего обучения//Математика в школе. 1999. №2. С.15-18.

2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990.

3. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1996.

4. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. институтов / Е.И. Лященко и др. М.: Просвещение, 1988.

5. Малова И.Е. и др. Система профессиональной подготовки учителя основной школы при изучении курса теории и методики обучения математике. Брянск: Издательство БГУ, 2003.

6. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.

Об авторах

Горбачев В.И. - доктор пед. наук, профессор Брянского государственного университета, имени академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

Яцковская Г. А.- канд. пед. наук, доцент Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.