Виброакустическая модель прямолинейного неоднородного трубопровода при его силовом возбуждении пульсациями рабочей жидкости

НАДЁЖНОСТЬ, ДИНАМИКА И ДИАГНОСТИКА МАШИН

УДК 621.64

ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ТРУБОПРОВОДА ПРИ ЕГО СИЛОВОМ ВОЗБУЖДЕНИИ ПУЛЬСАЦИЯМИ

РАБОЧЕЙ ЖИДКОСТИ

© 2000 Е.В. Шахматов, А.Б. Прокофьев

Институт акустики машин, г. Самара

Представлена математическая модель поперечных вибраций прямолинейного неоднородного участка трубопровода при его силовом возбуждении пульсациями давления и скорости рабочей жидкости. Определены общие подходы к решению дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных с переменными коэффициентами, лежащего в основе модели. Представлены пути развития исследований.

Известно, что пульсации давления рабочей среды генерируют интенсивные поперечные колебания трубопроводов [1, 2, 3]. Данное обстоятельство приводит к существенному снижению их прочности и надежности. В настоящее время имеются многочисленные экспериментальные результаты исследования взаимодействия динамических процессов в рабочей жидкости с элементами гидромеханических систем. Например, в работах [3, 4, 5] представлены экспериментальные результаты силового возбуждения трубопроводов пульсациями рабочей среды. Несмотря на большую практическую значимость решения задачи расчета амплитуд установившихся колебаний трубопровода под действием пульсирующего потока рабочей жидкости, она еще решена не полностью. В работе [6] предложено решение указанной задачи для частного случая основного параметрического резонанса. В работе [7] предложена виб-роакустическая модель прямолинейного однородного трубопровода. В ней решение уравнений, описывающих колебания трубопровода, осуществляется аналитическим путем. Сложность математических преобразований приводит к необходимости принятия допущений, оказывающих существенное влияние на точность решения задачи. В то же время в работе [8] отмечаются преимущества численного подхода к решению подобных уравнений.

В настоящей работе представлена математическая модель поперечных колебаний прямолинейного неоднородного участка тру-

бопровода в условиях пульсаций давления и скорости протекающей жидкости.

В отличие от предыдущих работ здесь учитываются:

- возможная неоднородность физических и геометрических параметров трубопровода вдоль его оси;

- число и упруго-жесткостные характеристики опор трубопровода;

- распределенность параметров пульсирующей жидкости.

Перечислим ряд принимаемых допущений:

1. Изменением плотности жидкости пренебрегаем (Рж = const).

2. Поперечные колебания системы не вызывают в жидкости никаких дополнительных волновых явлений.

3. Известны демпфирующие свойства опор и материала трубопроводной системы, трением о воздух пренебрегаем.

4. Жесткость сечения трубопровода на изгиб вдоль продольной оси является функцией, не имеющей разрывов второго рода.

5. Кинематическое возбуждение трубопровода отсутствует.

Кроме перечисленных остаются в силе все обычные допущения сопромата.

При такой постановке задачи динамические свойства и характеристики источника пульсаций рабочей жидкости и присоединенной гидравлической цепи определяют краевые и граничные условия.

При изгибных колебаниях трубопровода круглого сечения в плоскости его оси эффекты, типичные для тонкостенных стерж-

ней, не сказываются, ибо центр изгиба всегда совпадает с центром тяжести сечения. Поэтому неоднородный прямолинейный трубопровод можно рассматривать как обычную балку с переменными по длине параметрами (рис.1). С учетом предположения 4 уравнение прогибов оси у имеет вид:

гд4 у д2 М

ЕІ-

д2 М

дх2

= Р - N

д2У дN ду д2N

дх2

дх дх

у

дх2

единицу длины

Р =

дх2

слагается из нор-

д2у д2

, силы инерции заполняющей

Рис. 2. Схема поперечных вибраций трубопровода

трубопровод жидкости

тж

( )<2У

(х)—т~ С

на-

дх4 дх2 ’

где Е(х) - модуль упругости;

1(х) - момент инерции сечения относительно нейтральной оси; у - прогиб трубопровода.

Изгибающий момент М в данном случае выражается так:

М = М0 - Му.

Здесь М0 - изгибающий момент, который был бы при отсутствии продольной сжимающей силы N. Эта сила изменяется вдоль оси трубопровода за счет гидравлического трения и, если трубопровод не горизонтален, за счет составляющей веса оболочки по оси. Исходя из

грузки, вызванной внутренним давлением.

Последняя определяется на основании рис.2. Если система прогнулась, то при бесконечно малом расстоянии между сечениями 1 и 2 поперечная сила, вызываемая внутренним давлением р, будет равна 8ж(х)рСф, где <ф - угол между сечениями 1 и 2. Значение этой силы на единицу длины есть 8ж(х)рСф/Сх = - Бж(х)рд 2у/дх2. Здесь Сф/Сх= -д 2у/дх2 есть кривизна оси.

Необходимо подчеркнуть, что траектория вектора средней по сечению скорости течения жидкости и (х, ґ) не совпадает с изогнутой осью системы, поэтому сила инерции жидкости выражается через сРу/йї2, а не через д 2у/дґ2, как сила инерции оболочки. Используя правила дифференцирования сложных функций, можно записать:

Нормальная к оси системы нагрузка на д2 Мп

С2 у = С Ґ

йґ

2

у

+ и

Сґ2 + 2и

ду ду

+и дґ дх

ду дґ2

+

ди дил

+и дґ дх

ду

дх

+

дхдґ

дх2

мальной к оси трубопровода составляющей веса оболочки и заполняющей ее жидкости

(тм (х)+ тж (х)), силы инерции оболочки

где и(х,?) - средняя по сечению скорость течения.

Выражения для продольной сжимающей силы и ее частных производных по координате х запишем следующим образом:

1окр (х )Рж§

С2

и2 (х, ґ )х + тм (х)х 8Іп а,

эта,

Э2 N 21 (х )рж g

Эх2

Р = Ро

С2

Рж8

Эи

у ! + и (х, і) у !

Эх

Эх

( 2и о2 (х) _

С2 г

\

-эта

: + Р

где Ы0 - значение N при х = 0;

р0 - стационарная составляющая давления при х = 0;

Р(хЛ) - пульсационная составляющая давления;

р - плотность рабочей жидкости; g - ускорение свободного падения; а - угол наклона оси системы к горизонту (а > 0 для нисходящих и а < 0 для восходящих трубопроводов);

Ьокр - длина контакта жидкости с окружающей ее оболочкой в плоскости поперечного сечения;

и - скорость течения жидкости;

С - коэффициент Шези. Используя классическую формулу Маннинга, можно представить коэффициент Шези в виде [9]:

й16 С = -____

п^2 ;

п - коэффициент шероховатости (п=0,02...0,04);

й - внутренний диаметр трубопровода. При дифференцировании учитывалось предположение 4, которое распространяется и на функции Ьокр=/1(х), т=/2(х).

ь

+

Ро

1

( 2и о2 (х).

С2 г

\

-эта

х +

Рж8

\

+ Р(х,і))+ N0 +—окр К " и2 (х,і)х +

+ тм (х)gx эта]

"2-(х')=ЕШ),,(х’ ‘):

а

аА) = Е (х ) (х ) :

тж (х (а“Т) +

+ и

Эи

Эх

+ 2

21окр (х )Рж8

С2

(х, і )х

Эи(х,і) / \

х—-—- + тм (х )е эта Эх

Ххі ) =

2Ьокр (х)Рж§

С2 Е/

Эи

Эх

+

+ и

Э2 и

Эх2 '

Подставляя в (3) значения

Э2 М

Эх

2

Т и N,

приходим к следующему уравнению поперечных колебаний:

0 + аі (х,, ^ + а 2 (х,, ^ +

( )Э2У ( )Эу

+ аз (х)—-у + ад (х, і )^ +

Эі Эх

+ а 5 (х, і )у = аз (х), в котором обозначено:

Уравнение (4) описывает поперечные колебания неоднородного прямолинейного участка трубопровода с учетом движущейся с пульсирующим давлением жидкости. Уравнение (4) имеет структуру, схожую со структурой уравнения, полученного Н.С. Кондра-шевым [6]. Некоторые отличия связаны с тем, что при выводе уравнения (4), в отличие от уравнения Н.С. Кондрашева, учитывались:

- изменение скорости жидкости по длине трубопровода и во времени;

- трение в жидкости;

- угол наклона оси трубопровода к горизонту;

- распределение пульсаций давления по длине трубопровода;

- изменение геометрических и физических

параметров трубопровода по длине.

Учет перечисленных факторов позволяет описывать уравнением (4) не только установившиеся периодические процессы в гидромеханической системе, но и моделировать поведение трубопровода во время переходных процессов в гидролинии.

Переходя к решению уравнения (4), несколько упростим его, приняв некоторые допущения, характерные для рассматриваемого случая установившихся периодических процессов в гидравлических линиях энергетических установок. Будем рассматривать горизонтальный участок системы (принимаем а=0). Пренебрежем потерями среднего давления по длине линии. С учетом этих допущений уравнение (4) можно переписать в виде:

"\4 ~\2 ~\2

^ + а10 (x, *)-Эх^ + а20 (x, *+

+ а

/ 2у ( \Эу

(Х ) + а40(^ * )дх +

+ а50 (x, *)У - аз0 (х)g = 0

где

а10 (хЛ) =

E

\т ж (x у (.м)+ Sж (x Ъ>о +

+ Р(х,,))+ N0 +

Ьощ, (Х)Рж с2

Ч

“20(*,' )=ЕтЩх)и(х,' >;

а

30

(х)= т(х)+ тж(х) х = Е(х)1(х) ;

а40 (х,{) =

Е

.(*4х.< ^

41~

2ЬоКр (х )Рж Ч

С Е1

^ + и

Эх

Эх2

Для решения уравнения (5) воспользуемся методом Бубнова-Галеркина. Примем приближенно:

Я-м ЬХ/ ( ф (х),

где/.($ - подлежащие определению функции времени;

ф,(х) - аппроксимирующие функции, удовлетворяющие граничным условиям.

В качестве функций ф,(х) следует принимать собственные формы поперечных колебаний трубопровода с учетом характеристик упругостей опор.

Применяя к уравнению (5) метод Бубно-ва-Галеркина, получим систему п дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:

Ё4*Л'+ в,„г: + с- О = 0,

*='

, = 1,2,..., п

где

Аш =\аз0ф№ках;

0

I

В1к = [а20фкф^х>

С1к = [ фк + а10фк + а40фк

I

°1к = Ч [аз0ф ¿х-

0

С учетом выражений, соответствующих силам трения [6], система уравнений (6) преобразуется к виду:

£ л*/;+(+2е,)/;+с,к/к -

к=1

-О1к = 0, , = 1,2,..., п

где е. - коэффициент затухания для г-го тона, который легко определяется, если известны демпфирующие характеристики опор и материала трубопровода [6].

Подчеркнем, что в последнем уравнении А.к, В.к, С.к, О.к есть функции одного параметра ¿.

Для повышения наглядности уравнения (8) и выражений (7) расшифруем их, ограничившись сначала первым, а затем вторым приближением.

В первом случае приближенное решение уравнения (5) записывается в виде:

У(х>0 = f(t)ф(x),

+

т

а

1=1

где в качестве аппроксимирующей функции j(x) следует выбирать форму собственных колебаний в соответствии с рекомендациями работы [6].

В этом случае уравнение (8) переписывается в виде:

Af" +

где

i

A = J a30j2dx;

0

i

B = J a20p'pdx;

0

C = fjIV + ap" + appdx;

0

i

D = g f a30pdx.

0

Во втором случае приближенное решение уравнения (5) записывается в виде:

y(x t) =f/t)j1(x) +f2(t)j2(x).

Запись уравнения (8) будет следующей:

A11f1 + A21f2 + (B11 + 2ei )f" + (B21 + 2ei )f2 +

+ Ciifi + Cf - D11 - D21 = 0 A12f1 + A22f2 + (B12 + 2e2 )f1 + (B22 + 2E2 )f >2 +

+ C12 f1 + C22 f2 - D12 - D22 = 0

l

C11 = j[j1 + ai0j1 + a 40 j1 ]1dx;

где

A11 = Ja30 ji2 dx;

0

i

A21 = A12 =Ja30jij2 dx;

0

1

A22 =f^30j^^ dx;

0

i

B11 _ Ja20 jl j1dx;

0

i

B12 _ f a20j2jidx;

0

i

B21 _ Ja20 ji j2dx;

0

i

B22 _ Ja20j2j2dx;

C12

j2 + a10j2 + a40 j2

]dx;

C21 _ j[j1 + a10jl + a40 j1 ]2dx;

C 22 = J

j2 + a10 j2 + a 40 j2

]j2 dx;

1

О11 = О12 = g [аз0ф1йх;

0

I

О21 = О22 = g [а30Ф2 йх';

0

Из сравнения выражений для этих двух приближений очевидно резкое увеличение громоздкости расчетных соотношений, пропорциональное квадрату номера приближения.

Анализ работы [8] показывает, что аналитический путь решения уравнений (9), (10) и (8) является весьма трудоемким, мало наглядным и совершенно неприемлемым для инженерной практики. В той же работе отмечается, что наиболее перспективный путь интегрирования подобных уравнений - численный.

Таким образом, в данной работе были проанализированы методы теоретического исследования вибраций трубопроводов под воздействием пульсирующего потока рабочей жидкости, применявшиеся ранее. Были определены и обоснованы недостатки и особенности различных подходов к этому вопросу. Авторами представлен вывод уравнения, описывающего динамику прямолинейного участка неоднородного трубопровода под воздействием пульсирующего потока рабочей жидкости. Данное уравнение справедливо не только для установившихся периодических процессов в гидравлической системе, но может также быть использовано для моделирования вибраций трубопровода во время переходных процессов в гидролинии (например, при гидравлическом ударе).

Представленная виброакустическая модель прямолинейного неоднородного участка трубопровода также является базой для

разработки расчетных моделей эффективности снижения вибропараметров трубопроводной системы после установки корректирующих устройств (гасителей колебаний давления, механических демпферов и т.п.). Для этого в рассмотренную модель необходимо ввести соотношения, учитывающие влияние характеристик корректирующих устройств (КУ) на изменение пульсационного состояния гидролинии, геометрии полученной системы, форм колебаний. Проведение подобной работы может послужить основой для создания САПР КУ, обеспечивающих максимальное снижение вибрационных и пульса-ционных нагрузок в трубопроводных системах энергетических установок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Старцев НИ. Трубопроводы газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1976.

2. Сапожников В.М., Лагосюк Г. С. Прочность и испытания трубопроводов гидросистем вертолетов и самолетов. М.: Машиностроение, 1973.

3. Снижение виброакустических нагрузок в гидромеханических системах / А.Г. Гима-диев, А.Н. Крючков, В.В. Ленъшин, А.Б. Прокофьев, Е.В. Шахматов, Г.В. Шестаков, В.П. Шорин. Под ред. Е.В. Шахматова и

В.П. Шорина. Самара: СГАУ, 1998.

4. Ленъшин В.В., Шахматов Е.В. Экспериментальные исследования виброакусти-ческих свойств трубопроводов с пульсирующей рабочей средой // Ракетно-космическая техника. Ч1.Самара. 1996. Вып.1.

5. Калнин В.М., Корвяков Ю.М., Митрофанова Л.И., Науменкова Н.В., Олифирова Г.И. Экспериментальное исследование пульсационно-вибрационных процессов в элементах систем топливопитания и управления летательных аппаратов и двигателей // Динамика гидросистем энергетических установок летательных аппаратов. Киев: Наукова думка, 1991.

6. Кондрашов Н. С. О параметрических колебаниях трубопроводов // Вибрационная прочность и надежность авиационных двигателей. Вып.XIX. Куйбышев: КуАИ, 1965.

7. Ленъшин В.В., Шахматов Е.В. Виброаку-стическая модель трубопровода // Труды Всероссийской научно-техн. конф. "Технопарки, инновации, конверсия". Самара: СГАУ, 1995.

8. Акимов М.Ю., Велъмисов П.А. Исследование устойчивости трубопровода с учетом нелинейной осевой упругой силы // Прикладные задачи механики. Ульяновск: Ул-ГТУ, 1998.

9. ЧугаевР.Р. Гидравлика. Л: Энергия, 1975.

VIBROACOUSTICAL MODEL OF STRAIGHT NONUNIFORM PIPELINE UNDER FORCE EXCITEMENT BY WORKING FLUID PULSATION

© 2000 E.V. Shakhmatov, A.B. Prokofiev

Institute of Machines Acoustics, Samara

Vibroacoustical math model of straight nonuniform part of pipeline under its force excitement by working fluid pulsation of pressure and velocity is presented. General ways to solving fourth order partial differential equation lying in base of model are defined. Ways of research development are presented.