Исследование устойчивости неподвижных точек систем с трансверсальным односторонним ограничением

4./2011 ВЕСТНИК _7/202J_МГСУ

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК СИСТЕМ С ТРАНСВЕРСАЛЬНЫМ ОДНОСТОРОННИМ ОГРАНИЧЕНИЕМ

FIXED POINTS STABILITY INVESTIGATION FOR SYSTEMS WITH TRANSVERSAL ONE-SIDED RESTRICTIONS

Е.И. Отставное

E.I. Otstavnov

ГОУ ВПО МГСУ

Вводится понятие системы ОДУ с трансверсалъным односторонним ограничением. Указываются их стационарные решения и способ исследования их устойчивости. В качестве примера даётся обобщение одной задачи Г.К. Суслова.

ODE systems with transversal one-sided restrictions are introduced. Fixed points and their stability conditions are investigated. A generalization of one G.K. Suslov's problem is provided as an example.

1. Предварительные соображения. Определение системы ОДУ с односторон-

ним ограничением.

В настоящее время активно исследуется класс механических систем с односторонними связями, в частности, для них строятся методики исследования устойчивости. Книга [1] раскрывает вопросы об импульсивном движении, возникающем при наличии неудерживающих связей, и приводит авторские обобщения метода функций Ляпунова для исследования устойчивости положений равновесия и периодических движений в таких системах. В [8] построена формальная классификация связей и указаны характерные моменты в поведении соответствующих механических систем.

Системой ОДУ с трансверсалъным односторонним ограничением (или просто системой) будем называть тройку (Х,г, Д), состоящую из:

1) Системы обыкновенных дифференциальных уравнений х — Х(х),х £ Rn, называемой свободной системой.

2) Скалярного неравенства г(х) > 0 называемого связью,

3) Вектор-функции Д(х), называемой реакцией связи, причём поле X трансвер-сально поверхности г — 0 почти всюду.

Скачок решения как функции времени будет происходить при выполнении г(х) = 0. Момент скачка никак не привязан к значению фазовых переменных, что не позволяет выделить в расширенном фазовом пространстве поверхность, где происходит скачок с помощью уравнения вида t — т(х) либо просто зафиксировать моменты скачков, как это сделано в [2]-[4].

Введение функции й(х), использующейся для изменения векторного поля системы при г(х) = 0, отличает предлагаемый подход от применяемого в [5],[6] и даёт дополнительную гибкость при построении моделей. В механике существуют стандартные способы вычисления реакций для разных типов связей, их разложения на нормальную и касательную составляющую и соответствующие модели трения. Для общего исследования, однако, удобно опустить традиционные допущения о (не)идеальности связи и считать г(х) и й(х) никак не связанными в этом смысле объектами.

Для простоты дальнейшего изложения функции Х(х), г = г(х) и R(x) будем считать аналитическими в некоторой окрестности точки х — 0. Все значения переменной х всюду ниже предполагаются лежащими в этой окрестности, если не оговорено обратное. Тогда справедливы разложения:

х - f + Ах + -(Вх,х) + —

2 !

г = г(х) = (с,х) + - (Ux,x) + —

где г(0) = 0,/ = ВД Ф 0,А = £(0), (Вх.х) -0(0) = (bj^x*), b)k = Ь1к],

с — ^ (0) Ф 0, U — ^^ (0), троеточием обозначены слагаемые более высоких порядков по х. Круглыми скобками обозначено скалярное произведение векторов (кроме условного обозначения (Вх,х) для квадратичных слагаемых в правой части ОДУ). Ниже норма вектора полагается евклидовой, а норма линейного оператора ей подчинена.

Положим, что решение системы определяется как решение входящей в неё ОДУ, если г > 0.

Рассмотрим изменение функции г на решении свободной системы в окрестности нуля. Дифференцируя, получим:

г

Таким образом, изменение функции г в малой окрестности начала координат определяется преимущественно постоянным слагаемым из правой части (1.2).

Возможны следующие ситуации:

- Если (с,/) > 0, то, по положению, функция г(х) будет возрастать вдоль решений ОДУ, начавшихся достаточно близко к точке х — 0 при г(х) > 0. Этот случай не будет рассматриваться.

- Остаются два случая: (с,/) < 0 и (с,/) = 0. Каждый из них предполагает существенное различие в определении решения системы ОДУ с односторонним ограничением и требует своих предположений. В статье разбирается первый из них, когда векторное поле свободной системы трансверсально границе связи.

4./2011 ВЕСТНИК _4/20ТТ_МГСУ

2. Трансверсалъный случай (с, /) < 0. 2.1. Определение решения системы при (c,f ) < 0.

Решение системы x(x0,t), отвечающее начальным условиям х0 определим конструктивно:

a) Если (пока) r(x(x0,t)) > 0, то решение строится с помощью свободной системы пока не выполнено b).

b) Если r(x(x0,t*)) = 0, f: = ^X(x(x0,t*)) <0 и существует е >0, что для всех t £ (t*,t* + е) справедливо г < 0 в силу свободной системы, то происходит переход от a) к с), либо решение сразу строится с помощью с), если t* — 0. Этот переход называется выходом на связь.

c) Если (пока) г(х) = 0, то решение сроится с помощью системы на связи

х — Х(х) + R (х) пока не выполнено d). Функция Д(х) выбирается таким образом, чтобы обеспечить сохранение равенства г — 0 для системы на связи.

d) Если r(x(x0,t**)) = 0,f> 0 и существует е >0, что для всех t £ (t**,t** + е) справедливо г > 0 в силу свободной системы, то происходит переход от с) к a), либо решение строится с помощью a) в случае, если t" = 0. Этот переход называется сходом со связи.

Допустим, что решения свободной системы и системы на связи единственны для получаемых начальных условий и продолжимы в будущее на необходимый для рассмотрения интервал времени. Тогда решение системы определено единственным образом и продолжимо в будущее.

2.2. Исследование устойчивости решения x(0,t) = 0 при (с,/) < 0.

Допустим, что Д(0) = —Х(0) = /, тогда в силу г(0) = 0 и f(0) = (с,/) < 0 х(0, t) = 0 является стационарным решением системы на связи и всей системы в целом. Исследуем вопрос о его устойчивости в смысле Ляпунова. Лемма 1. Существуют положительные постоянные £,g, d такие, что для любого начального условия х0 свободной системы при ||х0|| < е решение выйдет на связь за время Т(х0), и справедливы оценки:

||х(Г(х0),х0)|| < gs,T(x0) < ds Доказательство. Решение свободной системы x(x0,t) является аналитической функцией времени по предположению. Тогда функция r(t) = r(x(x0,t)) также является аналитической: r(t) = r(t)|t_0 + (c,/)t + ••• Для начальных условий из некоторой малой (замкнутой) шаровой окрестности начала координат радиуса £: \г(х)-г(у)\ = |(с,х) - (с,у) + ••• | < \{с,х-у)\ + \\х-у\\ <

< ЦсП • Ух - у\\ + Ух - у\\ = (УсУ + 1) • Ух - у\\ = С1 • Ух - у|| Второй переход возможен в силу гладкости г(х) и подходящей оценки сверху младших членов, а третий произведён в силу неравенства Коши-Буняковского. Члены второго и более высоких порядков разложения r(t) допускают оценку сверху величиной с2 Ухо У'с2 > Опри достаточно малых значениях t. Отсюда следует: r(t) = r(t)|t=0 + (c,/)t + - < cjxoll + (c,/)t + с2Ух0У

Так как (с,/) <0, то при t > > 0 выполняется r(t) < 0, значит для

данного х0 существует такое Т(х0) , Г(х0) < Clr+'í2. ||x0ll < С1Г+1Д £ , при котором r(T(x0)) = 0. Если £ достаточно мало, то на промежутке времени ^el разложе-

L _ k.C>J ) J

ние решения в ряд по времени остаётся справедливым и одновременно выполнены оценки выше. Положим d — ^^. Разложим решения свободной системы в ряд по времени и оценим слагаемые при t £ [0,7], ||х0|| < е. Цепочка неравенств IMx0,t)|| = \\x0+X{x0)t + - || < ||xoll + №o)l|t+ll*oll <

Теорема 1. Для системы с односторонним ограничением в случае (с,/) < 0 при ñ(0) = — Х(0) устойчивость решения х(0, t) = 0 определяется только исследованием его устойчивости как решения системы на связи.

Доказательство. Рассмотрим малое возмущение начальных условий х0. Если г(х0) = 0, то решение будет определяться системой на связи в силу определения и выполения f = (с,/) + ••• < 0 в некоторой окрестности начала координат. Устойчивость подобных решений системы является необходимым условием устойчивости относительно произвольных (малых) возмущений. Отсюда же следует неустойчивость всей системы при неустойчивости системы на связи. Ниже будем предполагать, что 0 - устойчивая по Ляпунову стационарная точка системы на связи.

Рассмотрим малое по норме х0, такое, что г(х0) > 0. Согласно лемме решение выйдет на связь за малое время близко от начала координат. По определению, оно будет продолжаться решением системы на связи в силу г < 0, до тех пор, пока не покинет некоторую конечную окрестность начала координат. По определению устойчивости для произвольного е >0 найдётся такое 8 — 5(е) > 0, что все решения системы на связи, начавшиеся в шаре радиуса 5, вечно будут оставаться в шаре радиуса е (оставаясь при этом на связи в силу сохранения г < 0 при достаточно малом е). Если рассматривать возмущения, не лежащие на связи, то их выбор из--jj+^í--окрестности точки х — 0 гарантирует (см. лемму), что они окажутся на связи внутри 8 - окрестности начала координат и вечно будут оставаться в е - окрестности, согласно предположению. Теорема доказана.

Замечание 1. Результаты остаются справедливыми, если правые части (1.1) являются функциями класса С1 в окрестности начала координат, т.к. использовалась лишь малость отбрасываемых слагаемых в разложениях, что позволяет заменить ряды Тейлора для аналитических функций разложениями Маклорена.

Замечание 2. Система на связи является обычной системой ОДУ, и можно применять классический аппарат теории устойчивости [7], в частности, теорему Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

4/2011 ВЕСТНИК _4/20ТТ_МГСУ

Замечание 3. В книге [1] доказывается похожее утверждение для механических систем с неупругим выходом на границу односторонней голономной связи. Вывод об устойчивости также делается из рассмотрения систему на связи. Это сходство внешнее. Во введённом выше определении решения не происходит скачков решения при выходе на границу связи (никакие составляющие "импульса" не теряются). Такая ситуация типична при выходе на границу неудерживающей неголономной связи [8].

3. Задача о движении твёрдого тела с неподвижной точкой, на которое наложена односторонняя дифференциальная связь.

Рассмотрим абсолютно твёрдое тело, точка O которого зафиксирована в абсолютном пространстве. Примем, что внешние силы отсутствуют, либо не создают момента относительно точки O. Пусть м - вектор угловой скорости, а е - орт, вмороженный в тело. На тело наложена односторонняя дифференциальная связь (идеальная односторонняя неголономная, согласно терминологии [8], если не забывать про угловое положение тела).

Рассматриваемая задача является обобщением задачи Суслова[11] путём замены равенства на неравенство в уравнении связи.

Для её воплощения в реальности подходит следующая модель: рассмотрим схему Вагнера [10] с заменой колёсиков с острой кромкой (эквивалентных в данном случае конькам Чаплыгина) на аналогично закреплённые односторонние коньки [8], лежащие в одной плоскости, вмороженной в тело и проходящей через неподвижную точку. Их допустимые для скольжения стороны расположим центрально-симметрично относительно последней. Тем самым получим требуемую возможность вращения только в одну сторону. Это является простейшим обобщением реализаций дифференциальной односторонней связи из рассмотренных в [9].

Свяжем с твёрдым телом правую систему координат О^^, построенную на главных осях инерции для точки O, которым соответствуют моменты инерции А, В, С соответственно. Твёрдое тело будем предполагать динамически невырожденным - ABC > 0.Дальнейшее исследование будем проводить "в скоростях" м. При этом не имеют значения условия интегрируемости связи (3.1), рассматриваемой в фазовом пространстве механической системы и само понятие неголономности теряет смысл. Этим обуславливается применение термина "односторонняя дифференциальная".

Уравнения движения имеют вид:

Jw + MXjM = Ле, X = % 0'при е) = * 0

(0, в остальных случаях.

Они получаются как уравнения Аппеля с использованием компонентов м в качестве квазискоростей, X - неопределённый множитель Лагранжа, условия для него приведены с учётом того, что связь неудерживающая.

В левой части (3.2) написаны классические уравнения Эйлера, а точкой обозначена производная по времени во вмороженных осях. Справа стоит реактивный момент, возникающий при выходе на границу связи и препятствующий выходу системы в запрещённую область (м, е) < 0.

Допустим, что система совершает движение по связи. По предположению тензор инерции J невырожден, поэтому умножим уравнение (3.2) слева на J"1 и затем скаляр-но на е. Так как оператор J симметричен и е2 = 1, получим

Так как при движении на связи (w(t), е) = 0, то (ы,е) = 0 в (3.3). Выражая X, получим:

X = =

Последнее выражение равняется взятой с обратным знаком проекции на направление е углового ускорения свободной системы в рассматриваемой точке границы связи. То есть условие X >0 в общих обозначениях даёт с — e,f — х /ы),

(с,/) < 0 при рассмотрении системы в малой окрестности данной точки ы.

Как было показано в [8], выход на границу неудерживающей голономной связи происходит без удара-скачка (квази) скорости, просто возникает дополнительная сила и лишь ускорение претерпевает разрыв. Это окончательно подтверждает соответствие поведения рассматриваемой механической системы определению, введённому выше.

Согласно теореме 1 устойчивость неподвижных точек (перманентных вращений твёрдого тела) по переменным ы будет унаследована от соответствующих решений задачи Суслова, среди которых будут выбираться удовлетворяющие дополнительному требованию неотрицательности проекции реактивного момента на вектор е.

Автор выражает благодарность В.В. Белецкому за обсуждение результатов этой статьи. Работы выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00406.

Литература

1. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997.

2. Мышкис А.Д., Самойленко A.M. Система с толчками в заданные моменты времени.// Мат. Сборник. Т.74 вып 2., 1967, стр. 202-208.

3. Мышкис А.Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при обобщённых импульсных возмущениях.//Автоматика и телемеханика. 2007, №10, стр. 125-133.

4. Перестюк H.A. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев, 1987.

5. Горбиков С.П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями.// Изв. АН СССР МТТ. 1987, №3, стр. 23-26.

6. Горбиков С.П. Локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями. // Мат. Заметки т.64 вып.4. 1998, стр. 531-542.

7. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Изд. 2, испр. М., Гостехтеориздат. 1955. 175 с.

8. Березинская С.Н., Кугушев Е.И., Сорокина О.В. О движении механических систем с односторонними связями // Вестн. МГУ, Сер. 1. Математика, механика. 2005. Вып. 3. С. 18-24.

9. Борисов A.B., Мамаев И.С. Гамильтонизация неголономных систем, ArXiv: nlin.SI/0509036, 2005.

10. Вагнер Г.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1941 Вып. 5, с.301-327.

11. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М., Гостехиздат, МЛ, 1946.

4./2011 ВЕСТНИК _4/2011 МГСУ

Literature

1. Ivanov A.P. Dinamika sistem s mehanicheskimi soudareniyami. M.: Mejdunarodnaya programma obrazovaniya, 1997.

2. Myshkis A.D., Samoilenko A.M. Sistema s tolchkami v zadannye momenty vremeni.// Mat. Sbornik. T.74 vyp 2., 1967, str. 202-208.

3. Myshkis A.D. Ustoichivost' reshenii differencial'nyh uravnenii pri obobschennyh impul'snyh vozmuscheniyah.//Avtomatika i telemehanika. 2007, №10, str. 125-133.

4. Perestyuk N.A. Samoilenko A.M. Differencial'nye uravneniya s impul'snym vozdeistviem. Kiev, 1987.

5. Gorbikov S.P. Osobennosti stroeniya fazovogo prostranstva dinamicheskih sistem s udarnymi vzaimodeistviyami.// Izv. AN SSSR MTT. 1987, №3, str. 23-26.

6. Gorbikov S.P. Lokal'nye osobennosti dinamicheskih sistem s udarnymi vzaimodeistviyami. // Mat. Zametki t.64 vyp.4. 1998, str. 531-542.

7. Chetaev N.G. Ustoichivost' dvijeniya. Izd. 2, ispr. M., Gostehteorizdat. 1955. 175 s.

8. Berezinskaya S.N., Kugushev E.I., Sorokina O.V. O dvijenii mehanicheskih sistem s od-nostoronnimi svyazyami // Vestn. MGU, Ser. 1. Matematika, mehanika. 2005. Vyp. 3. S. 18-24.

9. BorisovA.V., Mamaev I.S. Gamil'tonizaciya negolonomnyh sistem, ArXiv: nlin.SI/0509036,

2005.

10. Vagner G.V. Geometricheskaya interpretaciya dvijeniya negolonomnyh dinamicheskih sistem. Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu, 1941 Vyp. 5, s.301-327.

11. Suslov G.K. Teoreticheskaya mehanika. M., Gostehizdat, ML, 1946.

Ключевые слова: неудерживающая связь,неголономная связь, удар, реакция связи, устойчивость по Ляпунову, дифференциальная связь, задача Суслова

Key words: one sided restriction, nonholonomic restricition,impact, reaction, Lyapunov stability, differential restriction, Suslov's problem

e-mail: eotstavnov@ya.ru

Рецензент: Родников Александр Владимирович, к.ф.-м.н., доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУим. Баумана