Динамические уравнения эволюции в ядрах линейных дефектов кристаллических материалов при соударении твердых тел

УДК 539.4, 669.017

Динамические уравнения эволюции в ядрах линейных дефектов кристаллических материалов при соударении твердых тел

В.Л. Бусов

Донбасская государственная инженерная академия, Краматорск, 84313, Украина

В обобщенном пространстве прямоугольных импульсов рассмотрена общая схема дискретной модели ядер линейных дефектов в кристаллических материалах, где недеформированный совершенный кристалл принимается как гильбертово пространство волновых функций уравнения Шредингера, а ядро дислокации — оснащенное гильбертово пространство ступенчатых функций в виде сочетания этих функций разного знака, разделенных временным интервалом. Представлена система уравнений Власова для функций распределения заряженных частиц катионов и электронов и уравнения для перемежаемого поля и их решения. Показано, что закон дисперсии частиц является комплексным, действительная часть которого имеет нелинейный квадратичный характер.

Ключевые слова: обобщенное пространство прямоугольных импульсов, уравнения Власова, функции распределения заряженных частиц, перемежаемое поле

DOI 10.24411/1683-805Х-2019-12009

Dynamic evolution equations for the cores of linear defects of crystalline materials in colliding solids

V.L. Busov

Donbass State Engineering Academy, Kramatorsk, 84313, Ukraine

A general scheme of a discrete model of cores of linear defects in crystalline materials is considered in the generalized space of rectangular pulses. An undeformed perfect crystal is taken as the Hilbert space of wave functions of the Schrudinger equation, and the dislocation core is the rigged Hilbert space of step functions as a combination of these different sign functions separated by a time interval. A system of Vlasov equations is proposed for the charged particle distribution functions of cations and electrons, as well as equations for the alternating field and their solutions. It is shown that the particle dispersion law is complex, and its real part is nonlinear and quadratic.

Keywords: generalized space of rectangular pulses, Vlasov equations, charged particle distribution functions, alternating field

1. Введение

В настоящее время в физико-математических моделях ядер линейных дефектов — дислокаций в кристаллических материалах [1-5] — рассматривается дискретная периодическая структура кристалла, но заряды и токи зарядов электронов и ионов учитываются только в модели [4]. В континуальной теории индивидуальных дислокаций [6, 7] вследствие расходимости полей деформаций и напряжений на линии дислокации цилиндрическую пространственную область, расположенную коаксиально этой линии, вырезают. В атомных моделях ядер дислокаций рассматривают расположение нейтральных твердых сфер [8].

Известно, что в рамках теории LHOPS [9-11] в плоском квадратном комплексе из четырех катионов матрицы центробежный вклад в потенциальную энергию ядер катионов

где j — квантовое число, связанное с моментом количества движения заряженной частицы вблизи потенциальной ямы; Мса( — масса ядра катиона; р — расстояние от центра грани, включающей квадратный комплекс, приводит к появлению сильно возбужденных состояний, связанных с узким минимумом верхней по-

© Бусов В.Л., 2019

тенциальной поверхности при V > 0 по отношению к широкому минимуму нижней потенциальной поверхности при V < 0. Возникновение стабильных и квазистабильных состояний электронов в ядрах дислокаций в металлах показано также с помощью численного расчета временного уравнения Шредингера в решеточной модели Пайерлса-Набарро [12] при числе атомов N = = 1000.

Целью данной работы является построение замкнутой системы динамических уравнений эволюции заряженных частиц катионов и фотоэлектронов в ядрах дислокаций в кристаллических материалах и анализ их решений.

2. Теоретическая модель

Введем оператор скачков L[] = [...]. Результат воздействия оператора [f] на некоторую пробную функцию fзапишем с помощью ступенчатой единичной функции Хэвисайда U_ [13]

[0 при x < 0,

U _

[1 при x > 0

и некоторого (амплитудного, среднего) значения функции fo:

[f ] = /o • U_.

Будем считать оператор [...] линейным:

[of + pg] = af] + p[g],

где а и в — константы; f и g — пробные функции и

[fg] = ^•g+f-[g].

Приложим [... ] к известным соотношениям квантовой механики, связывающим импульс (количество движения) частицы Рц (ц = e, cat) c ее волновым вектором кц, а также ее энергию ец с угловой частотой юц через постоянную Планка h:

[ Рц ] = h • [кц ],

[ед] = h •[Юц].

Здесь необходимо отметить, что в физике прочности и пластичности хорошо известен экспериментально подтвержденный ударный механизм генерации линейных дефектов в кристаллических материалах [14, с. 770], где при слабом ударе по внешней поверхности совершенного кристалла в нем зарождаются отдельные не взаимодействующие между собой дислокации. При сильном ударе плотность таких дислокаций достигает критических значений и кристалл разрушается. В обоих случаях в кристалле распространяются импульсы ударных волн почти прямоугольной формы, передние и задние фронты которых разделены временным интервалом т, причем амплитудные значения импульсов и значения т могут различаться на несколько порядков.

В данной работе совершенный недеформированный кристалл принимаем как гильбертово пространство волновых функций заряженных частиц временного

уравнения Шредингера, а при генерации ядер линейных дефектов пространство их объемов как оснащенное гильбертово или обобщенное пространство прямоугольных импульсов. К этому обобщенному пространству мы придем, если вместо оператора скачков и_ введем линейный оператор прямоугольных импульсов Цд = и_ (х) _ и _ (х + т), где т — временной интервал между единичными ступенями противоположных знаков. Действие оператора Цп на функцию f имеет вид

Цп/ = /с •

Чтобы построить замкнутую систему уравнений, необходимо принять, что термодинамический потенциал Ф, а при нулевом тепловом поле Т = 0 потенциальный рельеф КСоге ядра дислокации является функционалом четырех сторонних токов /^(г, Р, *), /ит(г, Р, О, /С£(г, Р, *), /^(г, Р, *):

V = V {/е Je Jcat Jcat }

core c t osc' turn' osc' turn > '

core c t osc' turn' osc' turn i *

Эти токи соответствуют дополнительным степеням свободы заряженных частиц s = 4: двум колебательным и двум вращательным для электронов и катионов. Токи могут рассматриваться как векторы в трехмерном пространстве или как 4-векторы в 4-пространстве. Вариация функционала Vc имеет вид [15, с. 305]:

8Vc(x')8/V (x')d4xj

8 Vc =JE c ц---,

v№ 8J ц-

v = e, cat, ц = osc, turn, J = x, y, z, где в 4-пространстве x- = t, r(0,1, 2, 3); величины 8/— считаем независимыми. Будем также считать, что гамильтониан совершенного недеформированного кристалла H0 изначально задан. Отсюда удобно разбить гамильтониан ядра H c на две части:

Hc = H о + Hi,

где HI — гамильтониан взаимодействия, который мы запишем в представлении взаимодействия [15, с. 209] как оператор в произвольный момент времени t:

HI =IE Jv (r') Av (r')d3r'

где потенциалы поля выступают в роли векторных потенциалов перемежаемого поля

Е*. Согласно (9),

поле Е^ может быть представлено как функциональная производная

.

Ef = -8V

В пространстве сторонних токов мы приведем два ограничения, позволяющие снизить 5 до 5 = 2 для электронов. Масса электрона те на три порядка меньше массы катиона Мса, поэтому колебательной степенью свободы катиона в первом приближении можно пренебречь и считать его неподвижным при выполнении закона сохранения количества движения системы из

двух противоположно заряженных частиц. При выполнении другого закона сохранения момента количества движения пар катионов и электронов сумма сторонних токов для вращательных степеней свободы равна нулю:

Je + Jcat = о

^turn/ -'turny

Процесс соударения кристаллических тел в основном определяется их атомной структурой. Примем ряд упрощений. Будем считать, что 1) при ударе тела работают на сжатие; 2) направления нормалей кристаллографических плоскостей этих тел, соприкасающихся при ударе, совпадают с направлением удара; 3) потенциал межатомного отталкивания имеет вид Ьг~п, п = = 6-9, г — межатомное расстояние, что приводит при ударе к смещениям атомов и из узлов решетки порядка (0.01- 0.03)а0 ,а0 — параметр решетки; 4) частота следования импульсов ударных волн

югер - 2я/Ггер = (0.01-0.03)0,/^ = 1010-1011 с-1. Отметим, что вдоль плотно упакованных направле-нийрешетки параметр Ь0 - 0.71а0 и югер существенно уменьшается. Отсюда моделью ударных волн при отсутствии теплового поля Т = 0, в режиме бегущей волны приближенно является периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудным значением м0 = (°.Ш - 0.03)Ь0/сг„ (сгя > с8), где и с8 — скорости распространения ударных и звуковых волн, и частотой следования югер.

Рассмотрим действие прямоугольного импульса смещений Ц^ы на систему «примесный ион - распределение электронов проводимости» в некоторой точке г в режиме бегущей волны. На первой ступени Ьпы в момент времени t возникает дипольный момент d° —

— г[ы ]8(^), где [и] — скачок смещения примесного иона по отношению к окружающим его катионам матрицы, затем гало электронов проводимости вокруг примесного иона перераспределяется за время релаксации тге = (0.01-0.03)й0/^р = 10-13-10-14 с, — 105 м/с до обращения d° — е[ы ]8(^ + тге) в ноль. Такая релаксация при тге << Тгер является источником тормозного излучения перемежаемого поля, где интенсивность тормозного излучения 1у ~ О ехр(-^тге)~ ю4, где юге —

— т- — релаксационная частота подсистемы электронов проводимости. На второй ступени Цпы при t + т алгоритм излучения повторяется, но это поле изменяет знак.

Воспользуемся [16], где обоснованы сингулярные обобщенные функции Хэвисайда и Дирака как единичные ступенька и импульс соответственно, их символические соотношения, а также ряд основных свойств прямых произведений обобщенных функций и их производных, такие как коммутативность и ассоциативность и т.д.

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение, связывающее векторный потенциал Аjf — (ф, А'г) перемежаемого поля и сторонние токи J^scj, Jí^ через волновой оператор

^ Л 1 д2 д2 д2 д2

O = А--—г, А =—2 + + —г.

c2 дt2 э-2 э-2 э-2

дх2 ду2 дz2

oa/ =-£ j;.

е е /

Выразим сторонние токи Jj г) — гуj ^, г) — гР^ /те через количество движения фотоэлектронов ре, где кольцевой ток определяется проекцией Vj (t, г) на плоскость квадратного комплекса катионов. Для перемежаемого поля Е j (Е°™, Н°™) как аналога электромагнитного поля имеют место известные соотношения ^

Е?™ —-дА^-Уф„, Н°™ — го!А"?,

/

дt

/

/

где Eown и H°™ — собственные электрические и магнитные поля в ядре дислокации. Последовательно применим действие линейных операторов д/дt и rot к обеим частям (14) и в результате их коммутативности с оператором O получим волновые уравнения, связывающие Е/и н°™ соответственно с алгебраической суммой электрических сил, действующих на фотоэлектрон от перемежаемого поля и кулоновского притяжения от катиона-донора, из которого был выбит фотоэлектрон, в правой части первого уравнения и центростремительной силы в виде силы Лоренца в правой части второго уравнения. В ядре дислокации поля E°w ~ J^sc и Н/wn ~ J^ существенно изменяются в масштабах порядка одного a0, а внешние поля E°ut и H^ut — порядка сотен a0. Поэтому на макроуровне в объеме ядра

дислокации между точками ее закрепления значения

^out Н out

E/ , H г- принимаются за некий постоянный уро-

7-rOWn TrOWn

вень,а Е/ , Н/ могут рассматриваться, например, как периодическая последовательность EO™8(t) и -E(OwnS(t + т) с частотой fflrep в режиме стоячей волны.

Сторонние токи JOsc, J^ состоят из тока перехода, обусловленного атомными спектрами, и пороговых токов генерации осцилляций и вращений. Здесь необходимо отметить, что атомные спектры в виде схем энергетических уровней атомов являются линейчатыми спектрами, где разности между уровнями тоже скачки, которые остаются неизменными во времени и пространстве в любой точке кристалла, при этом норма гильбертова пространства волновых функций любого отдельно взятого атома равна единице. В ядрах линейных дефектов кристалла между точками их закрепления могут возникнуть порядка 105-106 заряженных частиц катионов и фотоэлектронов. Здесь норма обобщенного пространства не определена и описание с помощью волновых функций эволюционного уравнения

LfV + Vv

V = e, cat,

Шредингера должно быть заменено на плотность вероятности нахождения частиц p(r, t) в 4-пространстве с помощью эволюционных уравнений типа уравнений Лиувилля [17, с. 22, 19, с. 132]. Другими словами, мы приходим к статистическому описанию в терминах ансамблей Гиббса-Эйнштейна [18]. В нашем случае мы воспользуемся уравнениями, совпадающими по форме с уравнениями Власова [19, с. 148] или уравнениями физической кинетики для бесстолкновительной низкотемпературной плазмы:

L/efe = 0,

L/catfcat = 0,

где оператор L/ запишем в виде суммы

д Э Э

— + — + Fv,-—. dt Vi dxVi Эр

оператора d/dt и двух скалярных произведений векторов скоростей частиц vvi (фотоэлектронов (е), катионов (cat) и сил Fvi, действующих на частицы, на операторы набла V. = (d/dx1, d/dx2, d/dx3) в прямом евклидовом пространстве и соответственно VP. = (Э/ЭР1, Э/ЭР2, Э/ЭР3) в пространстве импульсов или согласно (5) в обратном k-пространстве; f,(t, r, Pe), f^t, r, P^) — функции распределения фотоэлектронов и катионов. При vvi << vF сила Fvi, действующая на отдельно взятые частицы, состоит из внешней силы Fout и суммы силы кулоновского притяжения ze2/ее0 r2 (возвращающая сила Fjest), силы отталкивания благодаря эле" r>own

ктрической компоненте перемежаемого поля eE-(вынуждающая сила F- ) и центростремительной силе

own

ецаЕ—vViHk посредством магнитной компоненты пе-

Яown к .

В данной работе ограничимся простейшим случаем расположения линейных структур в одной плоскости скольжения вдоль оси x: FJ = FJout( E°ut) _

_[eE+ « дЭ71V

где ne =(fe) — усредненная плотность фотоэлектронов; V = (e9e + V0), 9e — скалярный потенциал фотоэлектрона (x -) в кулоновском поле ядра катиона (x-). Здесь для колебательной степени свободы вынуждающую силу Fпредставим как отношение разности порогового тока генерации осцилляций JUg и тока перехода / ко времени релаксации фотоэлектронов Tre в произвольный момент t:

Ff = < _ Jtr = h

x e^eTtr emeTre

где кх и kj" — пороговые и переходные волновые числа токов /otg и / при Tre <<т и T<Trep, Tosc. Фотоэлектрон может пребывать в состоянии вблизи устой-

чивого равновесия, если интервал вариации его расстояний до катиона-донора мал: rmax - rmin << rmin и r ~ b0 [9], а возвращающая сила Fjest =-Уф6 осциллирует во времени вблизи постоянного значения с размахом SFrest =-(0.01-0.1)ze2/bg по гармоническому закону sin (ffl0t); ее фурье-компонента [20, с. 41] имеет вид cosф с амплитудой AF, зависящей от Г-функции [13, 21]. Силы отталкивания между парами катионов и фотоэлектронов, вызванные диполь-дипольным и другими короткодействующими взаимодействиями, принимаем на уровне поправок.

Будем искать решение уравнения (16) в виде многомерных 8-функций, которое имеет место в фазовом пространстве или в прямом и обратном k-пространствах:

fe = fe0 • 8

где амплитудное значение fe принимаем fe0 = 1, а пространственные координаты фотоэлектрона как неявные функции времени te: xe(te), kxe(te). В k-пространстве S-функции S(t - te) и S(x - xe), входящие в (21), мы заменим с помощью интегралов Фурье и символических соотношений [15]

F[S(n-ne)] = e¿§ne, F[ ^aS(n-ne)] = F[S(n-ne)], где при n = t значение ^ = otosc; при n = x соответственно £ = kx; фурье-компонентами производных Da (a = 1, 2, ...) от этих S-функций являются F[DaS(n -ne)]. Подставим полученные выражения в (16) и придем к алгебраическому уравнению

тп

+  й ,2 +  +1—kx +

me

h

emeTre

ze 2 ^р(Г) cos ф^

" b2

fe = 0.

Ясно, что /е Ф 0, и, соответственно, выражение в скобках равно нулю. В результате для колебательной степени свободы фотоэлектронов выражение ю05,с является комплексным, где действительная его часть отражает нелинейный квадратичный закон дисперсии при осцилля-циях, а мнимая — диссипативные процессы при генерации устойчивых линейных структур. Действительно, первый член во внутренних скобках линейно зависит от юге, определяющей релаксацию электронной подсистемы фотоэлектронов, а оба члена в этих скобках содержат в знаменателях разности кх _ к^, что при кх ^ к^ приводит к расходимости. Если заменить кх _ к* на кх _ к^ + га, где а [м-1] — коэффициент диссипации, то расходимость устраняется диссипацией энергии вблизи точек поворота траекторий фотоэлектронов при осцилляциях. Отметим, что потери энергии на тормозное излучение фотоэлектронов при vF >> ve вблизи поворотов на несколько порядков меньше таких

потерь проводимости на примесных ионах. Для катионов решение уравнения (17) аналогично.

Для вращательной степени свободы фотоэлектронов под влиянием перемежаемого поля в потенциальном рельефе Vis подрешетки узких потенциальных ям междоузлий и V) основной решетки широких потенциальных ям узлов

F — F

] ]

(нО*) -

+Пе ¡V( Xj - Х] ) /е( ху' - Х' ^ Х]

где V — ^ + V°, р — х^ - X' — расстояние от центра грани. Если траектория фотоэлектрона близка или совпадает с плоскостью квадратного комплекса, то вероятность такой его степени свободы максимальна. Анализ выражения (12) показывает, что между определением перемежаемого поля с размерностью [Дж/А/м2] и влиянием соленоидального магнитного поля через силу Лоренца, не изменяющую модуль скорости частицы, а только ее направление, возникает противоречие. Кроме того, вариация 8 V может рассматриваться либо как скачок, либо как флуктуация (9), либо в обобщенном пространстве последовательно как скачок-флуктуация-скачок. В ядре дислокации вариация 8V становится комплексной по отношению к совершенному недефор-мированному кристаллу:

8 V — 8 V

где ее действительная часть зависит от Ej , а мнимая часть от Н°™; знак

что и приводит к появлению комплексных собственных

значений гамильтониана Нс. С другой стороны, теперь

гИ'

тензор электромагнитного поля Fkm в ядре дислокации (в отличие от тензора внешнего поля Fkmlt) может быть записан как Fkmm — (а1И, гр'И), где полярный вектор а1И —

— Е

а аксиальный вектор р — (Н°,

ктромагнитного поля в ядре дислокации могут быть представлены в виде [15, с. 16]

д( рт+р"0?) _ , гой

дхт

— —( , т0Wn \

— (Jк + Jк ),

тОШ л

где ик и Зк — 4-векторы плотности соответственно внешних и собственных (в ядре дислокации) электрических токов.

Рассмотрим в к-пространстве зависимость суммы вынуждающей силы Рх перемежаемого поля и возвращающей силы притяжения р^1 от волнового числа кх при кх0 ^ кХ*1. Здесь в рамках квадратичного закона дисперсии ю08с ~ кх вариация 8V при t = 0 определяется положительным скачком: 8V ~ кх8кх, т.е. сила р^ ~ ~ кх. При к^ ^ кх0 в выражении р^1 (23) «включается» расходимость (кх - кЦ )-1, и вариация 8 V при t = т соответствует отрицательному скачку.

Ядро дислокации является новой фазой [22], и поэтому в переходной области между ядром дислокации и окружающей средой имеет место структурно-фазовый переход, теоретическую модель которого еще предстоит найти с помощью [17, 23].

3. Обсуждение результатов

Сравним данный подход и теорию холодной бес-столкновительной плазмы [19], которая является макроскопической вследствие дальнодействующего характера кулоновских сил, экранирование которых происходит в масштабах порядка 102 а0 для полностью ионизированного разряженного газа электронов и ионов как однородной неограниченной среды. Напротив, система пар фотоэлектронов и катионов при генерации ядра дислокации является частично ионизированной бес-столкновительной плазмой на расстояниях 2 - 3а0. Экранирование такой системы в металлах происходит путем перераспределения электронов проводимости в пределах до 25а0, а в диэлектриках перераспределения поляризации ионов на расстояниях до сотен а0.

Релаксационный механизм бесстолкновительной плазмы обусловлен затуханием Ландау [19]. В нашем случае возрастание энтропии происходит скачкообразно при генерации системы фотоэлектронов и катионов, из которых фотоэлектроны были выбиты (необратимый процесс), затем следует термодинамически обратимый периодический процесс обмена энергией в системе «перемежаемое поле-распределение фотоэлектронов» при участии кулоновских сил.

Если в условиях слабого удара линейные структуры в плоскости скольжения занимают площадь, размеры которой составляют порядка (102 -103)а0, то такие

1). Принимаем, что составляющие 4-векто- структуры представляют собой ансамбли электронных

ра А1И), ц = 0, 1, 2, 3, при преобразованиях

Лоренца ведут себя как компоненты четырехмерного радиуса-вектора хц (и, г). В этом случае уравнения эле-

и катионных цепочек, описание которых является вероятностным описанием хаотических неинтегрируемых систем [18]. При рассмотрении устойчивости таких

структур в качестве аналогии мы можем воспользоваться теорией неустойчивостей холодной плазмы [19], где при простейшем экспоненциальном поведении системы из дисперсионного соотношения roosc (kx) = = osc _ iY (Y — инкремент неустойчивости) следует общий критерий устойчивости: при Im ю = _у < 0 система устойчива в определенном интервале kx , а при у < 0 возмущение (здесь перемежаемое поле) возрастает, т.е. система становится неустойчивой. Для данной системы фотоэлектронов и катионов мы можем говорить о плазменной частоте Юр! как о собственной частоте колебаний Ю0. В этом случае при kx > k^ и rorep ^ ^ Юр! мы приходим к резонансу. С другой стороны, при kx > kh и x^Tosc/2 возникает параметрический резонанс, где югер выступает в роли частоты накачки энергии, а при T<Tosc/2 размах колебаний возрастает, что может привести к пороговым значениям kx и Jsc при пластической деформации.

Структура ядра дислокации является комбинацией линейных структур, расположенных как симметрично, так и асимметрично в двух взаимно перпендикулярных плоскостях скольжения при максимально возможных линейных плотностях пар катионов и фотоэлектронов вдоль линии дислокации.

Литература

1. Френкель Я.И., Конторова Т.А. // ЖЭТФ. - 1938. - Т. 8. - C. 1340-

1349.

2. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. -

599 с.

3. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. - М.: Наука, 1972. - 278 с.

4. Чаркина О.В., Чишко К.А. Электромагнитное излучение подвижных дислокационных сегментов в ионном кристалле // ФТТ. -2001. - Т. 43. - № 10. - С. 1821-1827.

5. Зельдович Я.Б., Бучаченко А.Л., Франкевич Е.Л. Магнитно-спиновые эффекты в химии и молекулярной физике // УФН. - 1988. -Т. 155. - № 1. - С. 3-45.

6. Ван Бюрен Х.Г. Дефекты в кристаллах. - М.: Изд-во иностранной лит., 1962. - 584 с.

7. Косевич А.М. Физическая механика реальных кристаллов. - Киев:

Наукова думка, 1981. - 327 с.

8. Миркин Л.И. Физические основы прочности и пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1968. - 538 с.

9. Стоунхэм А.М. Теория дефектов в твердых телах. Электронная структура дефектов в диэлектриках и полупроводниках. Т. 1. -М.: Мир, 1978. - 357 с.

10. Longuet-Higgins H.C., Öpik V., Pryce M.H.L., Suck R.A. // Proc. Roy. Soc. A. - 1958. - V. 244. - P. 1-8.

11. Sloncewski J.C. // Phys. Rev. - 1963. - V. 131. - P. 1596-1605.

12. Анохин А.О., Гальперин М.Л., Горностырев Ю.Н., Кацнель-сон М.И., Трефилов А.В. О возможности локализации электронов на дислокациях, дисклинациях и границах зерен в металлах // Письма в ЖЭТФ. - 1994. - Т. 59. - № 5. - С. 344-347.

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1970. - 720 с.

14. Головин Ю.И. Магнитопластичность твердых тел // ФТТ. - 2004. -Т. 46. - № 5. - С. 769-803.

15. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. -М.: Наука, 1969. - 623 с.

16. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976. - 527 с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. - М.: Наука, 1976. - 584 с.

18. Пригожин И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. - М.: Прогресс, 1994.

19. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979. - 528 с.

20. Oberhettinger F. Fourier Transforms of Distributions and Inverses. Collections of Tables. - New York: Academic Press, 1973. - 248 p.

21. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. - М.: Наука, 1968. - 344 с.

22. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая основа наномате-риаловедения // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 7-26.

23. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. - М.: Наука, 1982. - 382 с.

Поступила в редакцию 10.12.2018 г., после доработки 10.12.2018 г., принята к публикации 11.01.2019 г.

Сведения об авторе

Бусов Владимир Львович, к.т.н., ст. преп. ДГМА, dima_busov@mail.ru