Математическое моделирование и численный анализ в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции

УДК 517.518.85

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ КВАДРАТИЧНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

А.С. Тимашов

В статье рассматриваются аппроксимации функций при помощи целочисленных сдвигов функций Гаусса -квадратичных экспонент. Предложен метод нахождения узловой функции для данной задачи интерполяции, основанный на решениях усечённых систем линейных уравнений. Найдена явная формула для определителя рассматриваемой системы, доказана однозначная разрешимость системы. Проведено сравнение данного метода с известными ранее, кратко намечены приложения полученных результатов в теории сигналов

Ключевые слова: интерполяция, функции Г аусса, узловые функции, тета-функции Якоби, сигналы

В различных разделах математики и прикладных областях имеется весьма широкий круг задач, приводящих к разложению функций по неортогональным системам.

Неортогональные системы весьма характерны для задач анализа различных сигналов и спектров. В общем виде эти задачи можно сформулировать как выделение отдельных доминирующих компонент в исследуемой зависимости. В настоящее время широкую применимость получили методы теории всплесков, которые изначально строятся ортогональными. Однако, зачастую и конкретный тип всплеска, и его параметры выбираются чисто эвристически, на основе большого числа вычислительных экспериментов. Кроме того, прямой физический смысл имеют, как правило, не коэффициенты разложения при отдельных всплесках, а лишь некоторые их комбинации. Также, вопреки распространенному мнению, оказывается, что при правильной организации вычислений, многие стандартные методы ничуть не уступают всплесковым.

В последнее время среди получивших широкое распространение методов разложения функций часто используются аппроксимации мультипликативными сдвигами некоторой целой функции вида

где £ - искомые коэффициенты разложения заданной функции /От..1, Од - заданный набор параметров мультипликативных сдвигов.

Второй вариант - это аппроксимации аддитивными сдвигами некоторой целой функции и'(г’) вида

Д Иг - ак}.

Наиболее распространённые и известные разложения по мультипликативным сдвигам---это ряды Фурье, ряды Бесселя—Каптейна и Неймана по функциям Бесселя. Ещё более распространены разложения по аддитивным сдвигам с использованием рядов Тэйлора, всплесков, сплайнов, функций Рвачёвых, а

Тимашов Александр Сергеевич - ВИ МВД России, адъюнкт, e-mail: Loaderrus@gmail.com

также рассматриваемых в настоящей статье квадратичных экспонент (функций Гаусса).

Рассмотрим задачу о приближении достаточно произвольной функции в виде ряда по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Для численного анализа и приложений основную роль играют приближения данного типа конечными суммами, которые возникают при усечении соответствующих рядов. Исследованию таких конечных приближений и посвящена данная работа. Историю вопроса, основные результаты и многочисленные приложения см. в [1-8].

Более точно, будет исследована следующая основная

Задача: рассмотрим произвольную функцию заданную на всей оси х е Ей некоторый параметр а > 0, который в приложениях играет роль среднеквадратичного отклонения. Будем искать интерполирующую функцию так же определён-

ную на всей оси х ё К, которая представляется в виде ряда по целочисленным сдвигам функции Гаусса

(д—

fke

k=-oz

и совпадает с исходной функцией во всех целых точках

/

Известны два подхода к решению поставленной задачи. При первом подходе решение ищется с помощью специальных функций, а именно тета-функций Якоби [1-2]. Как показано в [6-8], несмотря на теоретическую ценность этого подхода, он не имеет вычислительных перспектив, так как связан с делением на чрезвычайно малые знаменатели. Другой подход разрабатывался в [3-5], он основан на применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Такой подход имеет определённую вычислительную ценность, но она достигается ценой существенного усложнения алгоритма, при этом вычисления возможны в достаточно узких диапазонах параметров и с небольшим числом разрядов в результатах. Поэтому в настоящей работе предлагается наиболее простой прямой метод решения поставлен-

ной задачи, основанный на сведении её к решению конечных систем линейных уравнений.

Существенным препятствием для развития этого метода являлось отсутствие результатов по доказательству однозначной разрешимости соответствующих систем линейных уравнений. В настоящей работе получены результаты, устанавливающие требуемую однозначную разрешимость линейных систем. Эти результаты являются теоретическим обоснованием для разработки практических численных алгоритмов, избавленных от необходимости работы со специальными функциями или ДПФ.

Для дальнейшего изложения введём удобное обозначение для квадратичной экспоненты

2£Га

Решение поставленной задачи сводится к нахождению последовательности неизвестных коэффициентов из (1). Для этого, следуя стандартной схеме решения задач интерполяции, необходимо построить узловые функции для каждого узла интерполяции х = ж, т ё Е. В нашем случае достаточно построить одну базисную узловую функцию для узла при х = 0. которую мы будем искать в виде

дкв{о,х!\

1г=-ос

Из (2) следует, что эта базисная узловая функция должна удовлетворять основному условию при

всех т Е £:

С(сг,т) = У дке(сггтгк') =

где есть символ Кронекера

_ с 1, т = 0 “ 1п, т Ф 0.

Предположим, что такая функция С (и, а-..1 . удовлетворяющая условию (5), уже найдена. Тогда нетрудно вычислить формальное решение поставленной задачи. Действительно, функция

Сс(ег, ж) = С{сггх — I) является узловой функцией для узла при х = I, так как при всех значениях m

С;0,Т?0 = е(о-,т - о = °<т.1

Тогда решением задачи будет, очевидно, функция

оа

так как при х = тп от суммы (6) остаётся только одно слагаемое:

Чтобы перейти от представления решения в виде (6) к искомому представлению в виде (1), выполним необходимую подстановку. В результате получим с учётом (4):

Введём новый индекс суммирования / = |Г + Лс вместо I = ] — к и формально поменяем порядок суммирования. Тогда получим

где искомые коэффициенты разложения представляются в виде

_/ = -ос

где - значения заданной функции в целых

точках, а д-ш - коэффициенты разложения базисной узловой функции (4).

Упростим систему уравнений:

Ш (т-Юа

^ Зке~ ^ ,ш = Ъ.

Для этого введём новую переменную Ц = 9 Получим

Для численного решения необходимо рассмотреть конечномерные усечения полученной бесконечной системы уравнений. Рассмотрим такую систему уравнений при -п <іс<аи-я<ів<п.

Она имеет вид: л

(9) к = -та

Это система из 2л -І- I линейного уравнения с квадратной матрицей специального “крестообразного” вида.

Например, при п=2: в матричном виде она будет выглядеть следующим образом,

(дЛ

Зі

Зо = Ото  Е

я

/д4 я2 1 ч~2 ч~А

ІV2 я 1 ч-1 ч~‘

1 1 1 1 1

. Я~2 -Г1 1 я ч2

V4 я~2 1 я2 ч*

Получилась система пяти линейных уравнений с матрицей специального вида.

В работе получены теоретические результаты, касающиеся корректной разрешимости основной системы линейных уравнений для конечномерного приближения бесконечной системы, а также проведён достаточно существенный объём компьютерных вычислений.

Приведём список основных полученных результатов (см. также [9-10]).

1. Доказана следующая

Теорема. Для главного определителя системы (9) справедлива формула

1 _

= штбштг (д1 - ^!Н

"И 1 \ ЯН 2 )1.

2. Следствие. Система линейных уравнений (9) однозначно разрешима при любых а > О

Действительно, при допустимых рассматриваемых о > 0 очевидно, что 0 < ^ < 1, поэтому главный определитель системы, как следует из приведённой выше формулы, отличен от нуля.

Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях параметров ц, ст исследуемые конечномерные системы линейных уравнений имеют единственное решение.

3. Проведено компьютерное исследование решений полученных конечномерных систем линейных уравнений численными методами при помощи математического пакета MATHEMATICA при широком наборе управляющих параметров q, о.

Приведем некоторые результаты проведенных компьютерных расчетов.

При значениях параметров б = 1,11 = 100 получим 4 = 2.7132313235 и следующую таблицу коэффициентов разложения £]( базисной узловой функции, в которой приводятся первые двадцать коэффициентов с положительными номерами Ь(коэффици-енты с отрицательными номерами, как показывают вычисления, имеют те же значения):

Таблица 1

k g

0 5.29387370326

1 -4.11728848698

2 2.72609498428

3 -1.70681071002

4 1.04732851545

5 -0.63795153450

6 0.38754419274

7 -0.23519298794

8 0.14268201289

9 -0.08654776687

10 0.05249538065

Продолжение таблицы

11 -0.03184039401

12 0.01931225019

13 -0.01171348859

14 0.00710459369

15 -0.00430915473

16 0.00261363465

17 -0.00158524959

18 0.00096150249

19 -0.00058318074

20 0.00035371700

Приведём графики построенной по этим коэффициентам базисной узловой функции при значениях аргумента вблизи начала координат

Из графиков видно хорошее совпадение полученных значений с ожидаемыми. В частности, построенные аппроксимации чётко проходят в целочисленных узлах через нулевые значения. Качество приближений также оценено количественно как величина ошибки в различных нормах.

4. Численно показано, что при увеличении размерности приближающих систем их решения стремятся к предельным значениям, которые следует принять за решение исходной бесконечной системы уравнений.

5. Рассмотрено разложение указанным методом по целочисленным сдвигам функции Гаусса основного набора стандартных электрических сигналов: переключательных режимов, кусочно-постоянных, прямоугольных, треугольных, сложной формы, включая различные нерегулярные меандры. Выведен большой объём графиков для аппроксимаций этих сигналов, проанализированы ошибки приближений, вычислены количественные характеристики ошибок, среднеквадратичные и равномерные.

Для примера приведём исходный и построенный рассмотренным методом экспоненциальной квадратичной интерполяции графики для сигнала прямоугольной формы

0.8

0.6

0.4

0.2

5  5

Рис. 3.

и для сигнала пилообразной формы

На приведённых графиках видно точное совпадение исходного и приближённого сигналов в целочисленных узлах.

Качество приближений также оценено путём вычисления ошибки в различных нормах.

Рассмотрены приложения полученных теоретических и численных результатов к теории фильтрации электрических сигналов. Произведён численный расчёт и анализ погрешности для реализации фильтров, близких к идеальным. Для этого реализации фильтров как свёрток с исследованными ранее стандартными сигналами смоделированы с использованием приближений сигналов целочисленными сдвигами функций Г аусса.

1. Lanzara F., Maz’ya V., Schmidt G. Approximate Approximations from Scattered Data // J. Approx. Th. - 2007.-№145.- P. 141-170.

2. Maz’ya V., Schmidt G. Approximate approximations. - University of Linkoping, Sweden, 2007 - 350 P.

3. M. V. Zhuravlev, E. A. Kiselev, L. A. Minin and S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions// Journal of Mathematical Sciences, Springer.- 2011, Volume 173, Number 2. - P. 231-241.

4. Журавлёв М.В., Киселёв Е.А., Минин Л.А., Ситник С.М. Тета--функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Г аусса// Современная математика и её приложения. Т. 67. Уравнения в частных производных - 2010 - С. 107-116.

5. Минин Л.А., Ситник С.М., Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций. // Научные ведомости Белгородского государственного университета - 2009.- № 13 (68), Выпуск 17/2. -С. 89-99.

6. Минин Л.А., Ситник С.М. О неравенствах для тета-функций Якоби// Чернозёмный альманах научных исследований. Серия "Фундаментальная математика".-2009.- № 1 (8).- С. 234-311.

7. Минин Л.А., Ситник С.М. Неравенства для третьей тета - функции Якоби// Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАДЕ). Тезисы докладов международной конференции.- 2009.-Минск, Беларусь.- С. 111.

8. Минин Л.А., Ситник С.М. О неравенствах для тета-функций Якоби// Труды участников международной школы -семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо - 2008.- Ростов-на-Дону, Южный Федеральный университет.- 2008.- С. 124-126.

9. Тимашов А.С. О вычислении характеристик сигналов при их разложении по функциям Гаусса// Сборник материалов Всероссийской научно--практической конференции "Актуальные вопросы эксплуатации систем охраны и защищённых телекоммуникационных систем".-Воронеж, Воронежский институт МВД.- 2011.- С. 260261.

10. Тимашов А. С. О решении систем уравнений, определяющих коэффициенты разложения по целочисленным сдвигам функций Гаусса// Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», посвящённой 75-летию Ю. П. Самарина (ММиКЗ).-2011.- Самара.- С. 234-236.

Литература

Воронежский институт МВД России

MATHEMATICAL MODELING AND NUMERICAL ANALYSIS IN PROBLEMS OF

QUADRATIC INTERPOLATION

A.S. Timashov

In this paper we consider approximations of functions using integer shifts of Gaussians - quadratic exponentials. A method is proposed to find coefficients of node functions by solving linear systems of equations. The explicit formula for the determinant of the system is found, based on it solvability of linear system under consideration is proved and uniqueness of its solution. We compare results with known ones and briefly indicate applications to signal theory

Key words: interpolation, Gaussians, nodes, theta-functions, signals