Слабонелинейная динамика волновых пакетов в пограничном слое в гауссовом приближении

Том XLII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 6

УДК 532.517.4:533.9

СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ В ГАУССОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ*

В. А. ЖАРОВ

Рассмотрена динамика волнового пакета, образующегося в пограничном слое при ламинарно-турбулентном переходе. Исследовано обтекание плоской пластины вязкой несжимаемой жидкостью в режиме слабой нелинейности при продольном градиенте давления, равном нулю. Учтены трехволновой и гармонический резонансы, дисперсия и смежные с ними явления. Показано, что на распространение волнового пакета влияет поведение гармоник с волновыми векторами, расположенными вблизи начала координат пространства волновых векторов. Уравнения динамики волновых пакетов сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой составляющие сложного волнового пакета имеют гауссов вид в пространстве волновых векторов.

Ключевые слова: ламинарный пограничный слой, несжимаемая жидкость, волновые пакеты, слабая нелинейность.

После появления работы [1] начались интенсивные исследования нелинейных процессов, происходящие в переходной области пограничного слоя. В зависимости от начальных условий различают два крайних случая развития возмущений: N и К-режимы. Образование пространственной структуры в N и К-переходах, как показано в [2 — 4], связано с трехволновым и гармоническим резонансом. В [3, 4] предложена и экспериментально обоснована гипотеза о механизме развития возмущений в допереходной области, обусловленном последовательным развитием гармонического, параметрического и трехволнового резонансов.

Теоретическому исследованию слабонелинейной динамики волн в ламинарном пограничном слое посвящено множество работ (исторически оно началось в ряде других областей физики

(см. [5 — 10], а также [11])), из которых в данном контексте следует отметить [12— 68]. В [12] рассмотрена динамика резонансного триплета волн в пограничном слое над плоской поверхностью в несжимаемой жидкости. В [13 — 16] получены уравнения для амплитуд (типа нелинейных уравнений Шрёдингера) огибающих волн в приближении слабой нелинейности с учетом трехволнового резонанса (и резонансов более высокого порядка) в рамках метода усреднения. При этом предполагалось, что отношение мнимой части частоты волн к действительной малэ (малый параметр зад ачи), а волновые векторы достаточно удалены от начала координат. С помощью этих уравнений в пространственной постановке рассмотрена динамика волн в N и

К-режимах перехода. Высказана гипотеза, что сплошной низкочастот-ЖАРОВ и хт

Владимир Алексеевич ный спектр в N-режиме возникает за счет множественного трехволно-

кандидат физико- вого резонанса (см. также [17]), и получен ряд других эффектов. В [18]

математических нгаук, рассмотрены теоретические возможности описания развития трехмер-

ведущии научный

соТрудНик ЦАГИ ности возмущения на основе различных типов резонансов и проведено

Основные результаты работы доложены на объединенном семинаре ЦАГИ — ИТПМ — СПбГПУ [03] 09.06.2009 г.

сравнение различных механизмов в пределе бесконечно узкого в пространстве волновых чисел волнового пакета. В [19] для описания вторичной неустойчивости была использована теория Флоке.

Много важных результатов было получено в рамках асимптотической по 1/R ^ 0 теории, где R — число Рейнольдса. Наиболее важное продвижение в асимптотической теории пограничного слоя после Прандтля было сделано Месситером [20], Нейландом [21], Стюартсоном [22] (так называемая теория «triple deck», подробнее см. [23, 24]). В рамках этого метода рассмотрены линейные [25 — 27] и нелинейные [28 — 36] волны Толлмина — Шлихтинга и Сквайра, взаимодействие волн со средним течением, нелинейный критический слой, зависимость критического числа Рейнольдса перехода от начальной величины возмущения, фокусировка вихревых волн [34]. Суперэкспоненциальный рост возмущений рассмотрен в [35, 36]. В [37 — 41] представлены результаты по асимптотической теории восприимчивости пограничного слоя.

Неудобство асимптотической теории состоит прежде всего в том, что имеется огромное множество масштабов, из которых не всегда ясно как выбрать такой масштаб, который бы согласовывался с экспериментом. Препятствие, возникающее на пути развития нелинейной асимптотической теории при больших числах Рейнольдса, связано также с сильным усложнением анализа резонансного взаимодействия волн Толлмина — Шлихтинга, который потребовал уже семислойной схемы асимптотического анализа [34, 42]. Сингулярности, невозможность продолжения решения за сингулярность и необходимость включения экспоненциально малых членов обсуждается в [34, 42]. Таким образом, сложности и парадоксы асимптотического по числу Рейнольдса анализа требуют существенного развития метода сращиваемых асимтптотических разложений, которое позволило бы обойти все эти трудности.

В связи с этим интенсивно развиваются численные методы решения данной задачи. В [19] предложен подход на основе теории Флоке. В [43] рассматривается возможность описания допе-реходной области параболизованными уравнениями Навье — Стокса. Кинематическая трактовка продольных структур предложена в [44]. Концепция нелинейных волн, являющихся точными

*

решениями полных уравнений Навье — Стокса, представлена в [45 — 50] .

Параллельно асимптотический анализ уравнений Навье — Стокса в многочастотном случае (волновые пакеты, описываемые квазипериодическими функциями) был проведен в [51 — 55], получены в общем виде замкнутые уравнения для среднего поля и амплитуд пульсационных волн. При этом обнаружена асимптотическая неединственность решений при числе Рейнольдса, стремящемся к бесконечности, которая была интерпретирована как возможность возникновения индетерминистических решений. Это в некоторой мере пересекается с возможностью многочастотных режимов в постановке [15] и механизмом стохастизации нелинейных волновых полей Б. В. Чирикова [56, 57] за счет перекрытия резонансов.

В реальных течениях [58, 59] в качестве начальных условий наблюдается волновой пакет конечных спектральных размеров. В [60, 61] рассмотрены способы генерации волновых пакетов и прослежена их эволюция во времени. В связи с этим возникает необходимость описания его слабонелинейной динамики в допереходной области. В [62, 63] дана попытка описания динамики двумерных волновых пакетов на основе уравнений Навье — Стокса численно и аналитически в асимптотическом по числу Рейнольдса приближении. Параболизованная модель Зельмана во временной постановке [15] содержит в себе множество ситуаций, возникающих при исследовании динамики волн в допереходной области пограничного слоя на пластине. Однако она не содержит изменение среднего поля за счет пульсаций, так как при выводе уравнений этой модели не рассматривались волновые векторы вблизи начала координат пространства волновых чисел и тем самым не учтена аналитическая особенность дисперсионного уравнения в этой области. Этот же недостаток присущ парабализованной модели Герберта [43]. В [35, 36] этот эффект уже учтен.

Ниже приводится гауссово приближение слабонелинейных явлений, включающее в явном виде трехволновой и гармонические резонансы, дисперсию, взаимодействие со средним полем и другие эффекты в пограничном слое плоской пластины в несжимаемой жидкости под нулевым углом атаки. Гауссово приближение для волновых пакетов конечных спектральных по волновым числам размеров [64 — 66] представляет еще одну возможность исследования их динамики. Для

* Автор благодарит С. И. Чернышенко за указание на это направление исследований.

решения уравнений нужны начальные и граничные условия, которые можно взять из теории восприимчивости или из данных экспериментов, например из [60, 61]. Получить эти уравнения можно, если опереться на известные свойства собственных чисел и собственных решений уравнений Орра — Зоммерфельда и Сквайра [30, 32, 69, 70]. При этом не требуется стремления числа Рейнольдса к бесконечности, а только его большая, но конечная величина. В результате удается, помимо динамики волновых пакетов, получить оценку числа Рейнольдса начала перехода. Заметим, что подобный подход может быть усовершенствован с помощью современных алгебраических методов «улучшения» асимптотических разложений (например, [71]).

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КОМПОНЕНТЫ СКОРОСТИ [65, 66]

Представим скорость (и,V,и давление р в пограничном слое в виде:

и = и + и', V = V + V', w = м>', р = р',

где и и V удовлетворяют уравнениям двумерного пограничного слоя на пластине в отсутствие продольного градиента давления. Выберем в качестве характерных длин некоторый продольный масштаб Ь, который будет определен ниже, и толщину 5 пограничного слоя, определенную по Ь. Соответствующими масштабами по времени будут т = 5/их и Т = Ь/их, их — скорость набегающего потока. Введем безразмерные величины:

в2 =5 /Ь ~ 1/Я, Я = ижд / V. Величины и и V изменяются в масштабах Т и Ь по времени ^ и координате х и масштабе 5 — по у. Соответствующими масштабами изменения пульсационных величин являются т — по ^; 5 — по х, у, г. В результате обезразмеривания и отбрасывания членов порядка 0(82) в уравнениях Навье — Стокса получим для , р, 1 = 1, 2, 3 следующую систему уравнений:

Въ+ 8 f + =-ур + 8§У2 -ф2 ,8 У= 0, В = —+ и—, У =

& дх

дх ду дг

где

ди

Ь = (иъu2,из ) = (й,У^),(о1 f = ОЬуТ,0„0), ) = х у 2 О = 2х2у2г

_ди.\ _д щ _д Щ _ди -д и _д V -д V д -д W

О, = и-± + V—!; + , вх = и — + ^ —, в = V — + = —, вг = V —,

д х д у д г д X д у д у д у д у д у

И = I/Т,5, X = х/Ь5, х = х//5, у = у /т. г = г I = I

В качестве граничных условий для системы уравнений (1.1), (1.2) примем:

и = 0, I = 1,2,3, у = 0, <х>; р = 0, у = ].

Комбинируя уравнения (1.1), можно получить два уравнения, одно из которых имеет линейную часть в виде уравнения Орра — Зоммерфельда для вертикальной компоненты V скорости, а второе — линейную часть в виде уравнения Сквайра относительно вертикальной компоненты завихренности П [29]. При этом компоненты и, W, которые входят в оставшиеся члены этих уравнений, определяются из соотношений

ди дW д^ ди дW _

— + — =---------,п-----------= .

дх дг ду дг дх

Пусть D — характерный размер волнового пакета по координате х, причем 5 < D << L . Введем координаты X0)(t) центра системы отсчета, движущейся вместе с волновым пакетом,

в текущий момент времени. Все медленно изменяющиеся величины типа U (X) и V (X) при

этом можно разложить в окрестности центра движущейся системы отсчета, который совпадает с центром возмущения в начальный момент времени, в ряд по х, например:

U (X ) = U ^ X0 + L x j = U (X0) + s2 щ-x +..., x = (X - Xо)/5.

Далее необходимо перейти к компонентам Фурье в уравнениях в соответствии с формулами: °k (y)= UexP (-/k • r)a (x, y, z)dr, a (x,y, z)= —ff exp (ik • r)ak (y)dk

Л л 1 ff

(ab)k =(ba)k = ——у JJ ak1 bk2 dkl , k2 = k - k1, a-k (y) = ak(y),

r=(x, k=( a k=v2 +2

ый

Уравнение Сквайра содержит член, пропорциональный вертикальной компоненте скорости, который создает индуцированное влияние на вертикальную компоненту завихренности. Вертикальная компонента завихренности входит в уравнение Орра — Зоммерфельда только в QOSk ,

т. е. в члены порядка О(є2). Предполагая, что резонанс мод уравнения Орра — Зоммерфельда с модами Сквайра отсутствует, с помощью процедуры последовательных приближений по в можно выразить nk из уравнения Сквайра через vk и ее производные по у. При этом все члены в уравнении Орра — Зоммерфельда будут выражены через вертикальную скорость Vk вплоть до членов порядка є2 . Для этого можно ограничиться главным приближением для nk . В этом приближении зависимость от времени у nk будет такая же, что и у vk в главном приближении. Поэтому, положив в уравнении Сквайра ю = oos k, получим для nk

%=-

(aU — OSk — aX0) d y

В выражении (1.5) величина osk равна собственному значению неустойчивой моды уравнения Орра — Зоммерфельда; величины (а,Р) и oOSk = aR + iaI обезразмерены соответственно

на 1/5 и U/5 , 5 — толщина пограничного слоя на длине L. Кроме того, определим длину L выражением [64, 65]:

L = U/соI,

где (1 — максимальное значение инкремента волн Толлмина — Шлихтинга на пластине. Тогда характерная толщина 5 = L/(Rl )1/2 =(vL/U^)12 = (v / соI) , т = 5/UOT. При этом

є2 = 5/L = 1/R = (va/ /U2 ) и О = (5/U^)aR + i(5/U^)( = (R + є2юI, ОI = aI/(. Разло-

жим функцию vk (у) по собственным решениям оператора Los из дискретного спектра (свойства спектра уравнения Орра — Зоммерфельда см. в [69, 70]). Оставим в этом разложении только низшую моду, наименее затухающую: vk = /і(0)фк0) (у) +..., где фк0) (у) — неустойчивая мода

оператора 1os . Умножая уравнение Орра — Зоммерфельда на собственную функцию xk0

б3

сопряженного оператора и интегрируя по у от 0 до, полагая N амплитуды /к [64, 65]:

X 08к, Ф018к

= 1, получим для

д і

[юЯ (к)- (х0а)] І/к - 8|нкк,/к/к-кйк' -

-8

д а

(д^_ ^ чдХо /к,

82 ^к /к + О (82 ) = 0, Ок = юЮ + Q\ + 02.

Здесь

си

(Хо8к ,008к ) = Iн (к, k1, к - к1) /к1 /к-к1 (Хо0!)к, QoSk ) = (Оі + Q2 ) /к, (а Ь ) = \abdУ,

а ^08к, 008к, Вэ8к — Фурье-образы выражений

0оэ =

(д (У±-0)-У±20у1, 0(8 =(дду(^О)-^

д у

у

^='дХ Д 11 •

В18 (хо, V).

дХ„

0 ^2у-^ ^ дх д у 2 дх

Xо =

а (х0/ ь) ах 0

х0 = х0 / ь, і0 =

й (і / Т ) йі2

і2 = 2|(0 = є2 (і ) = і Т

V =

Яе[—^ /4°

X о8к — неустойчивая мода уравнения, сопряженного уравнению Орра — Зоммерфельда.

Уравнение (1.7) содержит малый параметр 8 (82 = Я_1 ~ 10-2 ) . Слабонелинейному варианту отвечает, например, ситуация, когда /к =(1/8 ) /, /к ~ О (1 ) 4а ~ 4р ~ 8. Она соответствует представлению возмущения в виде дискретной моды, сосредоточенной в пространстве волновых чисел на области, мера которой имеет порядок О (82) . Очевидно, что воздействие пульсаций

на среднее поле в этом случае отсутствует. Поэтому применимость теории ограничена соотношением

тах 1шю (к, Я )< д / Я, д = О (1), здесь ю (к, Я ) — к

собственное число неустойчивой моды уравнения Орра — Зоммерфельда, к — волновое число (рис. 1). Могут существовать и другие ситуации, когда мера области сосредоточения моды имеет порядок О (8) . Ниже подробно рассмотрен первый вариант.

Рис. 1. Сравнение вязких членов с пульсационными чле- Ниже величина Нкк1 = Н (к, кЬ к 2 ),

шми, п°зв°ляющее ввести характерн°е число рейн°льдса, к2 = к - к1 вычисляется с учетом того, что начиная с которого пульсационный тензор напряжения 2 1

сравним с вязким собственные функции уравнения Орра — Зом-

0

мерфельда определяются в качестве простейшей ситуации на автомодельном поле скорости и(X. у) = и (у Ы^ и(). поэтому"

Н(к, кь к2) = ТХ}” Oos (к,кьк2 ,С,х(>/Хк,Я5{Х} ^л/Хк^х),0,Ф(л/Хк2, Я5{х),ОХ Ж •

Здесь X0 — групповая скорость волнового пакета; £ = у/Х1/2 — автомодельная переменная; ф(л^Хк, Я^( х ), , %(л/Хк, Я5(х ) ,0 — собственные функции прямой и сопряженной спектральных

задач уравнения Орра — Зоммерфельда. В определение матричных элементов входят величины

и(X,у), ди(X,у)/ду, ди(X,у)/дХ,д2и(X,у)/ду2, V(X,у), д2и(X,у)/дХду, которые определяются из автомодельного решения уравнения Блазиуса.

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОГИБАЮЩЕЙ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА В ГАУССОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Решение уравнения (1.7) для спектральной амплитуды / ищем в виде сложного волнового пакета, состоящего из триплета конечных спектральных размеров, сосредоточенного вблизи векторов к1, к2, кз в состоянии трехволнового резонанса, и области вблизи начала координат (рис. 2). В гауссовом приближении в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью основной гармоники, имеем:

/к = ао(0 Д ^ еХР[Т2Г -"д2_°-( г (кК (д }(к) д )к_,

п Д а0Др0 Д а0 Др0 У

+Еа/

1=1 а П Д а/ Др/ Д / Д / Х 17

+(комплексно-сопряженные члены).

Исследование [64, 65] дисперсионной зависимости волн Толлмина — Шлихтинга вблизи начала координат показывает, что с хорошей точностью в некоторой окрестности начала координат можно положить

г

где Со, С1 — константы, зависящие от числа Рейнольдса.

а

Рис. 2. Схема сложного волнового пакета в пространстве волновых векторов

Огибающая всего сложного волнового пакета определится выражением

ф( х, г, і ) = :

.. ТО ТО

-Р^Т ^ р .4 ехР (+г' х +і г)^

(2п) -ТО-ТО

Вблизи концов векторов к1, к 2, к 3 подэкспоненциальные выражения формулы

ф(к ) =

(а - а, )2 , (в - р, )2

р/

+ і (юг (к)- а(дюг (к)/да)к=к )і - (іах + /рг),

к = ( а,Р), і = 1,2,3

можно разложить в ряд по Дк = к - к,, і = 1,2,3 до квадратичных членов включительно. При этом получим квадратичную форму вида

Ф( к ) + Да-

дФ

5а

-др-

др

да2

ДаДр-

дадр

др2

/ = 1,2,3

относительно величин Да, Др . Интеграл от такого подынтегрального выражения представляется в явном виде, если осуществить сдвиг в пространстве (Да, Др), с помощью которого исключаются линейные члены, и учесть известную формулу

то то

| | А^пехр(-Лу,у) = л/^^(Л),

которая в данном случае справедлива, когда действительная часть коэффициентов при квадратах компонентов вектора у в квадратичной форме (Ау,у) , А = {{-1/Д^,а}, {а,-1/Др }} — симметричная матрица; у = {2,,г|}, (х, у) — скалярное произведение векторов х, у положительна. Доказательство этого факта легче всего провести с помощью сравнения ряда

ТО ТО ( ~ 2 2

-п:

Д 2 Д 2

Да Дрк

п=0

п!

с рядом, получающимся при разложении функции 1/-\Д-г в точке г = 0 .

В начале координат пространства волновых чисел так сделать нельзя. В этой точке остается квадратура, которая при переходе к цилиндрической системе координат сводится к интегралу по углам.

3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУД, ВЕКТОРОВ РЕЗОНАНСНОГО ТРИПЛЕТА И

ШИРИНЫ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ

Для получения уравнений для амплитуд, векторов резонансного триплета, ширины волновых пакетов необходимо воспользоваться уравнением для , умножая его последовательно на 1,

(а, р), а , р с последующим интегрированием по областям сосредоточения компонентов сложного волнового пакета. Получим для амплитуд резонансного триплета:

da0 3

= ао2Н (0,0,0) +X \а, \ Ь/о + Цао

,=1

Са,

8Сі

= -/

(к0,Х0 )- (Х0а0 )]а/ + а/а0Ь0/ + аІатЬІт + єЦк1а,,

і = 1,2,3; І,т є {1,2,3} \ {і}, І < т, ат = ат, і = 1; ат = а*т, і > 1; для векторов резонансного триплета (уравнения Гамильтона):

d аі 8Сі

дю

= -8-

дХп

к=к і

С^

вСі

= 0, і = 1,2,3;

для ширины гауссовых распределений:

8Сі

Ґ

Да,

2 Л

= Да0 (а0 )2 Ь0 + X Да2 К |2 Ь0 + 8(«2ц)к=0 а0,

с Да2 вСі 2

Да

і=1

Да2 + Дат - Да2 _

-------------аІат +В

Да2Цк (Ч

V

а,

8 (к ))к =18 (Дк + к і) /дк+кгС (Дк), Дк = к - к і, і = 1,2,3; і, т є {1,2,3} \ {і}, і

У

< т.

Заметим, что уравнения (3.3) не гарантируют величинам Дар, Дар, Дар, Дар действительность и положительную определенность, которая требуется при использовании гауссова приближения, даже если сгруппировать комплексно-сопряженные члены. Поэтому уравнения (3.3) имеют весьма ограниченное применение. Правильные уравнения для ширины можно получить, по-видимому, используя вероятностную трактовку исходных уравнений (см., например, [72]).

Аналогичные уравнения можно написать для р -направления. В этих уравнениях присутствуют коэффициенты

И0 = Н (0,0,0), Ию = Н (0, -к, ,к,)(+ Н (0, к,, -кг), , = 1,2,3, ц,, ( 2Ц ( 2ц

0і

Н(кі,0,кі)(+ Н(кі,,кі,0), а Окг, (д 1°ЦЬ

Д = -

0і

і =

^23 = Н (к1,к 2,к 3 ) + Н (к1,к 3,к 2 ), ^13 = Н (к 2, к1, к 3 ) + Н (к 2, к 3, к1),

Й12 = Н (к3,к1,-к2 ) + Н (к3, -к2,к1),

которые определяются в соответствии с формулами (1.8) раздела 1 с использованием решения спектральной задачи Орра — Зоммерфельда.

Выпишем соотношения для характерной длины и толщины в пограничном слое Блазиуса:

Ь = их /ю1, 5 (Ь) = Ь/^ = л/у/юг, Я5 =уЩ^\[Х,

Яь = и2 /ую \ юг =тах (юг)и^/5 (Ь) =0.002 и^/5 (Ь) ЯЬ =500 Ь5(Ьу

Я = Я2(ь), % )= 500, Яь = 2.5-105, Л5М= 500^.

Все формулы в основном тексте содержат число Рейнольдса по толщине потери импульса пограничного слоя Я5(х) .

2

Для получения решения возникает следующая последовательность действий:

1) решаются уравнения (3.2) для волновых векторов к0 — центров волновых пакетов;

2) для этих волновых векторов определяются к' = к/л/%, с = с (к') и ф(п, Я5(%),к ), что

позволяет определить матричные элементы;

3) после этого можно решать уравнения для амплитуд (3.1) и ширины (3.3) волновых пакетов. Динамика элементов волнового пакета в гауссовом приближении определяется уравнениями Гамильтона (3.2). Начальные условия для основной гармоники — а1 (0) ^ 0, Р^0) = 0,

Х1(0) = 1, 21(0) = 0; для субгармоники — а2 (0) = а1 (0)/2, в2(0) = а1 (0)л/3/2, Х2(0) = 1,

22(0) = 0. Ниже а1 (0) принято равным 0.15. Коэффициенты ^0(Я), С1 (Я) можно определить из

решения спектральной задачи для уравнения Орра — Зоммерфельда. Результаты численной оценки даны формулами:

С0 = 0.2583 - 0.0000657786Я +1.10714-10-8 Я2, ^ = 1.1.

2

Решение уравнений Гамильтона представлено на рис. 3, где ^ = е ^0, ^0 =ида t/5. Результаты показывают, что центры волновых пакетов смещаются практически линейно по времени, величина волновых векторов меняется во времени, но меняется слабо. Детальное сравнение показывает, что величина продольного волнового числа второй субгармоникиа 3 = а1 - а2 немного отстает от нарастания волнового числа первой субгармоники. Это говорит о том, что происходит уширение носителей субгармоник.

Рис. 3. Эволюция во времени смещения элементов составного волнового пакета и величин волновых векторов — центров элементарных волновых пакетов

Рис. 4. Матричные элементы как функции волнового числа основной гармоники:

1 — 30еЦ0 (а1); 2 — ЮеЦ] (а]); 3 — 10еЦ2 (а1);

4 — 100Яе[Й00 (а;)]; 5 — 2001т[/)0 (а;)]; 6 — 5Яе[/)1 (а1)];

7 — 1т[^01 (а1)]; 8 — яе[*02 (а1)]; 9 — 1т[*02 (а1)];

10 — /тю (а1); 11 — 0.1^20 (а1); 12 — 15 К-е[/23 (а1)];

13 — 21т[/23 (а!)]; 14 — 100Яе[/[2 (а!)]; 15 — 1000Яе[/12 (а!)]

Рис. 5. Модули и фазы комплексных амплитуд элементарных волновых пакетов составного возмущения

как функции времени

Для решения уравнений для амплитуд необходимо знать коэффициенты этих уравнений, которые определяются матричными элементами. На рис. 4 представлена зависимость этих коэффициентов вдоль траектории ота 1. На рис. 5 приведены зависимости модулей амплитуд и их фаз элементов составного волнового пакета от ^ = е^, ^ = Цх//5. Начальное значение амплитуд принималось равным оо(0) = 0,

01(0) = 1, 02(0) = аз(0) = 0.1.

Расчеты показывают, что сначала образуется «нулевая» компонента. При этом амплитуды составляющих резонансного триплета уменьшаются по величине. Затем начинается рост всех компонентов. На

достаточно больших временах амплитуды проявляют сингулярное поведение. В этой области слабонелинейное приближение теряет свою пригодность.

Вместе с уравнениями для амплитуд решались уравнения для ширины А 0, А1, Д2, Дз составляющих волнового пакета. На рис. 6 представлены зависимости ширины от ^. Эти величины проявляют сингулярное поведение при 11 ~ 2, изменяя знак в промежутке от tl = 0 до 11 ~ 2. В связи с этим сделан вывод, что уравнения дляД 0, А1, А2, Аз не описывают правильно изменение этих величин на больших временах, и дальнейшие результаты получены при постоянных Д0 = 0.15, Д1 = Д2 = Аз = 0.1. Более последовательный подход к описанию уширения волновых пакетов в пограничном слое, по-видимому, может быть получен в рамках стохастической формулировки [72] исходных уравнений.

Рис. 6. Зависимость модулей ширины элементарных волновых пакетов составного возмущения от времени

X X X X X

100 100 100 100 _ 100

0 ф 0 Ш ’ ^г ш 0 °

-100 -100 -100 -100 ТИТ -юо

-200 -200 -200 -200 -200

/1=0 ог> II /1=6.8 /1 = 10.2 /1=13.6

-50 0 50 2

-50 0 50 2

-50 0 50 Г

-50 0 50 г

-50 0 50 г

Рис. 7. Пространственно-временное развитие составного возмущения в движущейся системе отсчета

На рис. 7 представлена последовательность конфигураций составного волнового пакета для моментов времени t1 е {0, 3.38, 6.75,10.13,13.5}, если начальный волновой пакет состоял из компонентов, задаваемых гауссовыми распределениями в пространстве волновых чисел. В данном приближении составляющие волнового пакета остаются гауссовыми с постоянной шириной в пространстве волновых чисел на протяжении всего исследуемого периода времени tl, меняются только волновые векторы, определяющие центры резонансного триплета, и амплитуды.

Возмущение движется снизу вверх. Результаты представлены в системе отсчета, движущейся с групповой скоростью основной гармоники волнового пакета. Структура волнового пакета качественно похожа на то, что наблюдается в эксперименте [61]. Кроме того, видно начало образования следа за волновым пакетом [60, 64]. В [73] обнаружены полосчатые структуры. След за волновым пакетом при достаточно продолжительном развитии вниз по потоку напоминает подобные структуры, поэтому можно предположить, что полосчатые структуры — это след за волновым пакетом. Поскольку передний фронт этих структур движется со скоростью, близкой к скорости набегающего потока, такой волновой пакет должен содержать волны непрерывного спектра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в статье представлена модель развития возмущений в пограничном слое. Модель справедлива в слабонелинейном случае, так как не учитывает воздействия возмущения на фоновое поле течения и, видимо, поэтому проявляет сингулярное поведение на конечных расстояниях от точки образования возмущения вниз по потоку. Тем не менее, эта модель включает в себя взаимодействие возмущения с длинноволновой составляющей, которая, как показывает расчет, образуется в потоке, даже если в начальный момент она отсутствовала. В результате образуется след за волновым пакетом, амплитуда которого вниз по потоку увеличивается и может превзойти амплитуду основной гармоники, что приведет к появлению зарождающегося пятна Эммонса, так как фактически след — это вертикальная компонента скорости. Небольшая область увеличения вертикальной компоненты скорости приведет к деформации вихревых линий (к их поднятию) и, как следствие, к образованию шпилькообразного вихря, являющегося основным элементом турбулентного пятна [75].

Конкретные вычисления показали, что уравнения для ширины волновых пакетов, входящих в состав сложного возмущения, дают нефизический результат. Тем не менее, уширение фактически имеет место, если обратить внимание на поведение центров волновых пакетов в пространстве волновых векторов при движении вниз по потоку (см. рис. 3): субгармоника с ks = (as, ps) сдвигается вперед по отношению к положению гармоники с kh = (ah, Ра), т. е. a s - ah/2 > 0. При этом субгармоника с ksi = (ah - as, Ра - ps) смещается назад. Это естественно интерпретировать, в данной постановке, как уширение субгармоники. Последовательное описание этого явления требует стохастической формулировки исходных уравнений.

В заключение следует указать на возможность обобщения полученных уравнений на случай, когда волновой пакет сосредоточен в пространстве волновых векторов в некоторой малой области вблизи кривой (например, вблизи кривой 3-волнового резонанса [76]). В этом случае матричные элементы необходимо определять вдоль всей рассматриваемой кривой.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 11-08-00832).

ЛИТЕРАТУРА

1. Klebanoff P. S., Tidstrom D. K., Sargent L. M. The three-dimensional nature of boundary layer instability // J. Fluid Mech. 1962. V. 12, pt. 1, p. 1 — 34.

2. Knapp C. F., Roach P. J. A combined visual and hot wire anemometer investigation of boundary-layer transition // AIAA J. 1968. V. 6, p. 29 — 36.

3. Качанов Ю. С. Резонансно-волновая природа перехода к турбулентности в пограничном слое // Моделирование в механике. 1987. Т. 1, № 2.

4. Kachanov Yu. S. Physical mechanisms of laminar-boundary layer transition // Ann.

Rev. Fluid Mech. 1994. V. 26, p. 411 — 482.

5. Пайерлс Р. Е. Квантовая теория твердых тел. — М.: ИЛ, 1956.

6. Кадомцев Б. В., Петвиашвили В. И. Слаботурбулентная плазма в магнитном поле // ЖЕТФ. 1962. Т. 43, вып. 6 (12), с. 2235.

7. Захаров В. Е. Слабая турбулентность в средах с распадным спектром // ПМТФ.

1965. № 4, с. 25.

8. Захаров В. Е., Филоненко Н. Н. Слабая турбулентность в капиллярных волнах // ПМТФ. 1967. № 5, с. 62.

9. Кадомцев Б. В. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.

10. Zakharov V. E., L’vov V. S., Falkovich G. Kolmogorov spectra of turbulence I. — Berlin: Springer, 1992.

11. Филлипс О. Взаимодействие волн — эволюция и идеи. Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. — М.: Мир, 1984, c. 297 — 314.

12. Craik A. D. D. Non-linear resonant instability in boundary layers // J. Fluid Mech.

1971. V. 50, p. 393 — 413.

13. Зельман М. Б. О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельных потоках // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1974. Т. 3, вып. 13, с. 16 — 21.

14. Володин А. Г., Зельман М. Б. Трехволновое резонансное взаимодействие возмущений в пограничном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 4, c. 78 — 84.

15. Зельман М. Б., Масленникова И. И. Об эффектах резонансных взаимодействий волновых возмущений в пограничном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 4. с. 23 — 30.

16. Zelman M. B., Maslennikova I. I. Tollmien — Schlichting-wave resonant mechanism for subharmonic-type transition // J. Fluid Mech. 1993. V. 252, p. 449 — 478.

17. Жаров В. А. О волновой теории развитого турбулентного пограничного слоя // Ученые записки ЦАГИ. 1986. Т. XVII, № 5, с. 28 — 38.

18. Nobutake I. Another rout to the three-dimensional development of Tollmien — Schlichting-waves with finite amplitude // J. Fluid Mech. 1987. V. 181, p. 1 — 16.

19. Herbert T. Secondary instability of boundary layer // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. V. 20, p. 487 — 526.

20. Messiter A.F. Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 18, p. 241 — 257.

21. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4, с. 53 — 57.

22. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate. Part II // Mathema-tica. 1969, V. 16, p. 106 — 121.

23. Cowley S. J. Laminar boundary-layer theory: A 20th century paradox? // 20th Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Chicago, Illinois, August 27 — September 2, 2000) Abstract Book for ICTAM 2000. (In Proceedings of ICTAM 2000, eds. H. Aref and J. W. Phillips, 389 — 411, Kluwer (2011)).

24. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит, 2003, 456 с.

25. Михайлов В. В. Об асимптотиках нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 5, c. 39 — 46.

26. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнений Орра — Зоммер-фельда, задающих неустойчивые колебания при больших числах Рейнольдса // ДАН СССР, 1983. Т. 268, № 6.

27. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнений Орра — Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 4.

28. Жигулев В. Н., Современное состояние проблемы устойчивости ламинарных течений. — В сб.: Механика турбулентных потоков. — М.: Наука, 1980, c. 109.

29. Jang P. S., Benny D. J., Gran R. L. On the origin of streamwise vortices in a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 1986. V. 169, p. 109 — 123.

30. Реутов В. П. Нелинейный критический слой и формирование продольных вихрей при взаимодействии волн в сдвиговых течениях // ПМТФ. 1987. № 5, с. 107 — 115.

31. Hall P., Smith F. T. Nonlinear Tollmien — Schlichting vortex interaction in boun-dary-layers // Euro. J. Mech. B — Fluids. 1989. V. 8, p. 179 — 205.

32. Жигулев В. Н., Ту мин А. М. Возникновение турбулентности. — Новосибирск: Наука, 1987, 281 с.

33. Goldstein M. E. The role of nonlinear critical layers in boundary-layer transition // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1995. V. 352, p. 425 — 442.

34. Wu X., Stewart P. A., Cowley S. J. On the weakly nonlinear development of Tollmien — Schlichting wavetrains in boundary layers // J. Fluid Mech. 1996. V. 323, p. 133 — 171.

35. Goldstein M. E., Lee S. S. Fully coupled resonant-triad interaction in an addverse-presure-gradient boundary layer // J. Fluid Mech. 1992. V. 245, p. 523 — 551.

36. M an kb ad i R. R., Wu X., Lee S. S. A critical layer analysis of the resonant triad in boundary-layer transition — nonlinear interactions // J. Fluid Mech. 1993. V. 256, p. 85 — 106.

37. Рубан А. И. О генерации волн Толлмина — Шлихтинга звуком // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 5, с. 44 — 52.

38. Goldstein M. E. Scattering of acoustic-waves into Tollmien — Schlichting waves by small streamwise variations in surface geometry // J. Fluid Mech. 1985. V. 154, p. 425 — 442.

39. Goldstein M. E., H u 11 g r e n L. S. A note on generation of Tollmien — Schlichting waves by sudden surface-curvature change // J. Fluid Mech. 1987. V. 181, p. 519 — 525.

40. W u X. Generation of Tollmien — Schlichting waves by convecting gusts interacting with sound // J. Fluid Mech. 1999. V. 397, 285 — 316.

41. Реутов В. П., Рыбушкина Г. В. О возбуждении пакетов волн сплошного спектра в пограничном слое внешней турбулентностью. — Н. Новгород: Ин-т прикл. физики РАН. 1992. Препринт.

42. Moston J., Stewart P. A., Cowley S. J. On the nonlinear growth of twodimensional Tollmien — Schlichting waves in a flat-plate boundary layer // J. Fluid Mech. 2000. V. 425, p. 259 — 300.

43. Herbert T. Parabolized stability equations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1997. V. 29, p. 245 — 283.

44. Chernyshenko S. I., Baig M. F. The mechanism of streak formation in near wall turbulence // J. Fluid Mech. 2005. V. 544, p. 99 — 131.

45. W a l e f f e F. Three-dimensional coherent states in plane shear flows // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, N 19, p. 4140 — 4143.

46. Waleffe F. Exact coherent structures in channel flow // J. Fluid Mech. 2001. V. 435, p. 93 — 102.

47. Waleffe F. Homotopy of exact coherent structures in plane shear flows // Phys. Fluids. 2003. V. 15, p. 1517 — 1534.

48. W e d i n H., K e r s w e 11 R. R. Exact coherent structures in pipe flow: travelling wave solutions // J. Fluid Mech. 2004. V. 508, p. 333 — 371.

49. Ker swell R. R. Recent progress in understanding the transition to turbulence in a pipe // Nonlinearity. 2005. V. 1S, R17 — R44.

50. Pringle C., Kerswell R. R. Asymmetric, helical and mirror-symmetric travelling waves in pipe flow // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99, 074502.

51. Маслов В. П., Омельянов А. Г. Взаимодействие трех волн с учетом эффектов удвоения частоты // Изв. ВУЗов, Сер. Физич. 1986. № 3, с. 3 — 24.

52. Маслов В. П. Когерентные структуры, резонансы и асимптотическая неединственность для уравнений Навье — Стокса нри больших числах Рейнольдса // УМН. 1986. Т. 41, вып. 5 (252), с. 19 — 35.

53. Маслов В. П. Детерминистическая и индетерминистическая теория когерентных структур в турбулентности // МИАН. 1986. № 1. Препринт.

54. Мас лов В. П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1987, 408 с.

55. Maslov V. P. Asimptotic theory of interactions of waves in weakly nonlinear media / Tr. Vsesoyuzn. Konf. «Nonlinear Science». — M.: Nauka, 1991.

56. Чириков Б. В. Исследования но теории нелинейного резонанса и стохастич-ности. — Новосибирск. 1969. Препринт ИЯФ, № 267.

57. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, 1984.

5S. Emmons H. W. The laminar-turbulent transition in a boundary layer. — Part 1 //

J. of Aeron. Sci. 1951. V. 1S, N 7, p. 490 — 49S.

59. Занин Б. Ю. Переход к турбулентности на крыле в нолете и в аэродинамической трубе нри одинаковых числах Рейнольдса // Изв. СО АН СССР. Сер. Техн. Наук. 1988. № 18, вып. 5, c. 51 — 5з.

60. Grek G. R., Kozlov V. V., R am az an o v M. P. Three types of disturbances from the point source in boundary layer. Laminar-Turbulent Transition / Ed. V.V. Kozlov. — Berlin: Springer-Verlag, 19S5, p. 1i0 — 111.

61. Medeiros M. A. F., Gaster M. The production of subharmonic waves in the nonlinear evolution of wavepackets in boundary layers // J. Fluid Mech. 1999. V. 399, p. 301 — 31S.

62. Терентьев Е. Д. О формировании волнового пакета в пограничном слое на плоской пластине // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 5, c. S14 — S19.

63. Рыжов О. С., Савенков И. В. Асимптотическая теория волнового пакета в пограничном слое на пластинке // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51, вып. 5, c. S20 — S2S.

64. Жаров В. А. Асимптотическое описание слабонелинейных волновых пакетов в среде со слабой дисперсией, типичной для ламинарных пограничных слоев на пластине, обтекаемой несжимаемой жидкостью // Труды ЦАГИ. 1993, вып. 2523, с. 3 — 1б.

65. Жаров В. А. Вариант описания слабонелинейной динамики волнового пакета в пограничном слое на пластине в несжимаемой жидкости // Там же, с. 17 — 1S.

66. Горелов С. Л., Жаров В. А., Хлонков Ю. И. Решение уравнения Релея с использованием методов машинной аналитики // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38, № 4, c. бб9 — б73.

67. Додонов И. Г., Жаров В. А., Хлонков Ю. И. Локализованные когерентные структуры в пограничном слое // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 6, с. 60 — б7.

6s. Zharov V. A. Discrete Fourier transform in the problem of the wave packet dynamics / 6й1 ISNM NSA NIS aug. 24 — 29 2003. Facta Universitatis. Series mechanics, automatic control and robotics. — 2003, V. 3, N 15, p. 1077 — 10S2 (ПМТФ. 2004. Т. 45, № 6, с. 31 — 38).

69. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1977.

70. S alwen H., Gro sch C. E. The continuous spectrum of Orr-Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expansion // J. Fluid Mech. 1981. V. 1o4, Pt. 1, p. 445 — 465.

71. Ковалев В. Ф., Ширков Д. В. Ренормгрупповые симметрии для решения нелинейных краевых задач // УФН. 2008. Т. 178, № 8, c. 849 — 865.

72. Chanem R. Ingradients for a general purpose stodastic finite element formulation // Computer Meth. Appl. Mech. Eng. 1999. V. 168, p. 19 — 34.

73. Козлов В. В., Левченко В. Я., Сарик В. С. (США). Образование трехмерных структур при переходе в пограничном слое // ИТПМ СО АН СССР. Препринт № 10 — S3. — Новосибирск, 1983.

74. Amini J., Lespinard G. Experimental study of an «incipient spot» in translational boundary layer // Phys. Fluids, 1982. V. 25, N 10, p. 1743 — 1750.

75. Белоцерковский О. М., Хлонков Ю. И., Жаров В. А., Горелов С. Л., Хлонков А. Ю. Организованные структуры в турбулентных течениях. Анализ экснери-ментальных работ по турбулентному пограничному слою. — М.: МФТИ, 2009. 302 с.

76. Боголенов В. В., Жаров В. А., Липатов И. И., Хлонков Ю. И. Модель турбулентного пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4, с. 65 — 74.

Рукопись поступила 10/XI2010 г.