Математические модели зрачковых реакций глаза человека (пупиллограмм)

220

Общетехнические задачи и пути их решения

этому автор считает, что применение компьютера на занятиях начертательной геометрии (не путать с инженерной графикой) недопустимо, так же как применение калькулятора в младших классах школы. Указанные устройства хороши лишь для людей, усвоивших и понявших предмет.

Ощущение пространства и переход от трёхмерного изображения к плоскому ортогональному чертежу, а также вращение и перемещение объекта должны происходить в голове учащегося, а не на компьютере. Это развивает фантазию, творческий подход и нестандартные решения при выполнении поставленных научно-технических задач. Удобные новые способы объяснения задач не должны идти вразрез с традиционными методами, а напротив, должны органично их дополнять для более быстрого и правильного осмысления и понимания сложных задач.

Библиографический список

1. Geometrie descriptive, nouvelle edition / Monge G. - Paris, 1811. - 162 р.

2. Programme de geometrie descriptive, et de ses applications / Monge G. - Paris,

1811. - 118 p.

3. Курс начертательной геометрии / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский. -М. : Наука, 1969. - 366 с.

Статья поступила в редакцию 08.07.2010;

представлена к публикации членом редколлегии В. А. Ходаковским.

УДК 004.93

В. Н. Фоменко, А. С. Куприянов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗРАЧКОВЫХ РЕАКЦИЙ ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА

В статье освещены проблемы современной пупиллометрии, рассмотрены возможные подходы к анализу и классификации пупиллограмм (кривых зависимости площади зрачка человека от времени в ответ на стимул), в частности аппроксимационный подход, основанный на минимизации невязки между измеренной пупиллограммой и моделирующей функцией. Предложены новые параметры.

анализ кривых, аппроксимация, классификация данных.

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

221

Введение

Известно, что площади зрачков зависят от многих факторов, в том числе от эмоционального и физического состояния человека. В темноте зрачки расширяются, на свету - сужаются, таким образом глаз регулирует освещенность сетчатки. На этом принципе основано пупиллометрическое обследование, которое заключается в подаче обследуемому стимула в виде вспышки и регистрации изменения площади зрачков. Пупиллометрическое обследование может проводиться быстро и эффективно, безвредно для обследуемого [1], [2].

Современное пупиллометрическое обследование проводится с помощью электронно-оптического пупиллометра. Обследование заключается в подаче стимула в виде световой вспышки, регистрации двух последовательностей цифровых изображений (для каждого глаза - своя последовательность), передачи их в компьютер, выделения зрачка на каждом из кадров, оценки площади зрачка на каждом кадре, оценки динамики площади зрачка и принятия решения о наличии и характере патологий. Кривая зависимости площади зрачка от времени называется пупиллограммой.

В данной статье рассмотрены подходы и алгоритмы, позволяющие описывать и классифицировать пупиллограммы более точно, чем по применяющейся в настоящее время методике.

1 Пупиллометрический комплекс КСРЗРц-01

Алгоритмы обработки пупиллограмм продемонстрированы на примере типичного современного пупиллометрического комплекса КСРЗРц-01, разработанного совместно ФГУП НИИГПЭЧ и научно-проектным центром «Оптико-электронные комплексы наблюдения».

Рассматриваемый пупиллометрический комплекс состоит из пупил-лометра, персонального компьютера, программного обеспечения и принтера. Пупиллометр состоит из двух камер, импульсного газоразрядного источника света (вспышки для стимула), системы инфракрасной подсветки, корпуса и набора микросхем, обеспечивающих управление и связь с компьютером. Последовательность кадров регистрируется в течение 3-6 секунд со скоростью 50 кадров в секунду, формат кадра 384x288, серое изображение 8 бит/пиксел (рис. 1).

Рис. 1. Типичные изображения зрачков

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

222

Общетехнические задачи и пути их решения

Типичные примеры пупиллограмм, принадлежащих разным обследуемым, приведены на рис. 2.

Рис. 2. Типичные пупиллограммы. Вспышка происходит в момент 0

2 Понимание природы пупиллограмм

На сегодняшний день известна только общая схема прохождения зрачководвигательного рефлекса. Информация об освещенности передается из сетчатки по зрительному нерву в кору головного мозга, которая регулирует площадь зрачка двумя путями: через парасимпатическую нервную систему и цилиарный ганглий (нервный узел) - сужающую мышцу (сфинктер) - и через симпатическую систему и верхний шейный ганглий -расширяющую мышцу (дилататор).

Однако многие факторы остаются неясными. Так, в книге [1] указано, что верхний шейный ганглий влияет только на дилататор, а цилиарный -только на сфинктер, а в книге [2] - что оба ганглия влияют на обе мышцы. Исследовать влияние ганглиев на мышцы с точки зрения анатомии затруднительно, так как нервные волокна многократно пересекаются, назначение отдельных волокон не до конца изучено, а разрушение одного из них приводит к нескольким не связанным между собой эффектам. Поэтому ведутся в основном функциональные исследования зрачководвигательного рефлекса, то есть зрачководвигательная система рассматривается в основном как черный ящик.

Существует ряд весьма важных факторов, влияющих на результат пу-пиллометрического обследования. Так, в спокойном состоянии присутст-

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

223

вуют спонтанные колебания зрачка, то есть на пупиллограмму накладывается случайный шум (не обязательно аддитивный). Помимо этого, площадь зрачка изменяется в зависимости от того, куда смотрит обследуемый (вблизь или вдаль, вверх или вниз) и прищуривается ли обследуемый. Имеет значение и психологический фактор, например было замечено, что даже при отсутствии стимула при словах «приготовиться, не моргать» у человека возникает реакция, схожая с пупиллограммой по форме, но меньшая по амплитуде; с другой стороны, к вспышке вырабатывается привыкание и амплитуда реакции слегка уменьшается. На пупиллограмму влияют и другие факторы, такие как усталость, настроение, а также некоторые продукты питания, например кофе.

3 Применяемая в настоящее время методика обработки пупиллограмм

До настоящего времени использовалась кусочно-линейная модель, которая имеет следующие параметры: диаметр начальный (ДН), диаметр конечный (ДК), амплитуда сужения (АС), скорость сужения (СС), скорость расширения (СР), латентное время (ЛВ), время сужения (ВС), время расширения (ВР). Только часть из этих параметров (ДН, ДК, АС, СС, СР, ЛВ) измеряются непосредственно и являются независимыми, остальные (ВС и ВР) зависят от первой группы параметров. Затем эти параметры сравниваются с индивидуальной нормой данного обследуемого или с групповой нормой для данной возрастной категории. Если хотя бы один параметр выходит из диапазона двух среднеквадратичных отклонений, констатируется отклонение от нормы.

Точность аппроксимации кусочно-линейной модели является весьма низкой, кроме того, она весьма плохо описывает такие явления, как колебания на заднем фронте пупиллограммы, задержку перед началом расширения, оборонительный рефлекс и т. д.

4 Аппроксимационный подход

Один из подходов к решаемой проблеме заключается в аппроксимации пупиллограммы функцией-моделью и определении ее параметров с последующим дискриминантным анализом (рис. 3). Пусть f - некоторая функция (модель пупиллограммы), зависящая от времени и некоторого набора параметров, и принят критерий невязки между моделирующей функцией и реальной пупиллограммой. Как частный случай функция может быть решением дифференциальных уравнений. Необходимо так подобрать параметры моделирующей функции, чтобы ее отклонение от измеренной пупиллограммы было минимальным по критерию невязки.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

224

Общетехнические задачи и пути их решения

Рис. 3. Оптимизационный подход

Как уже говорилось ранее, точная схема пупилломоторного тракта неизвестна, чрезвычайно большое количество факторов влияет на пупил-лограмму, поэтому модель для аппроксимации пупиллограммы подбирается исходя из следующих критериев: качество аппроксимации пупиллограммы данной функцией, устойчивость решения относительно параметров, статистическая корреляция между параметрами кривой и теми или иными патологиями и возможность интерпретации данных параметров в контексте биологической науки. В качестве невязки разумно использовать среднеквадратичное отклонение или взвешенное среднеквадратичное отклонение.

5 Линейные модели

Несмотря на выраженную нелинейность пупилломоторной системы, были сделаны попытки аппроксимировать ее решением линейного дифференциального уравнения различного порядка. Стимул был представлен единичным импульсом с задержкой. Вначале была испытана линейная модель второго порядка:

X"+ bx'+ cx - d = f (t); f(t) = 8(t -t),

где b и c - коэффициенты уравнения; d - диаметр зрачка в состоянии покоя; т - задержка.

Данная модель имеет следующее объяснение: сетчатка имеет некоторую массу, на сетчатку воздействуют две мышцы и сила жидкого трения. Таким образом, сетчатка эквивалентна грузу на пружине с трением, а эта модель, очевидно, описывается уравнением второго порядка. Вспышка описывается единичным импульсом, а задержка объясняется прохождением сигнала по нервам.

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

225

Однако данная система плохо описывает зрачковую реакцию. Дело в том, что зрачок далеко не сразу восстанавливается до первоначального диаметра. Его восстановление может длиться 2-5 минут, тогда как съемка пупиллограммы ведется 3-6 секунд. Поэтому было решено искусственно ввести еще один параметр к и функцию Хевисайда к импульсу:

х"+ bx'+ cx - d = f (t); f (t) = b(t -t) + kH (t - t) ,

где

0, x < 0;

1, x > 0.

Данная аппроксимация весьма хорошо описывала пупиллограмму со среднеквадратичным отклонением не более 0,1 мм в 90% случаев.

Помимо этих двух моделей были произведены эксперименты с другими линейными моделями второго, третьего и четвертого порядка с задержкой и без задержки, с различным видом правой части. Общая картина такова: чем больше свободных параметров, тем лучше аппроксимация, однако тем хуже устойчивость параметров модели при небольших изменениях кривой.

Таким образом, наилучшей среди линейных моделей можно считать модель, указанную выше.

6 Кривые Безье

Еще один возможный путь аппроксимации пупиллограмм - кривые Безье третьего порядка. С помощью кривых Безье был смоделирован только небольшой участок пупиллограммы от самого начала до минимума. При этом кривая аппроксимации состояла из двух частей: из прямолинейного отрезка и участка кривой Безье. Модель предполагает, что до точки х0 идет процесс гиппуса (случайных колебаний зрачка), он аппроксимируется отрезком; а от точки Х0 до минимума происходит процесс сокращения, он аппроксимируется участком кривой Безье третьего порядка. Кривая Безье требует восемь параметров. Отрезок не требует никаких дополнительных параметров, так как его положение определяется стыком с кривой Безье, а его наклон определяется наклоном кривой Безье.

Алгоритм состоит в следующем:

в явном виде определяются позиция и значение минимума (параметры x3, Уз);

направление касательной в точке гладкого минимума считается горизонтальным (y2 = Уз), так как производная в минимуме равна нулю;

H (x) = <

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

226

Общетехнические задачи и пути их решения

остальные параметры (x0, у0, x1, у\, x2) находятся с помощью алгоритма оптимизации.

В качестве невязки берется среднеквадратичное отклонение.

Данная модель была исследована на устойчивость относительно параметров. Для этого фиксировался один из исследуемых параметров в разных положениях и запускался алгоритм минимизации относительно оставшихся параметров. Так были получены зависимости невязки при изменении параметров. Параметры х3, у3 определяются однозначно по кривой (без алгоритма минимизации), а параметр у2 считается равным у3. Можно сказать, что модель проявила весьма среднюю устойчивость относительно параметров Хо, Хь х2 и хорошую устойчивость относительно параметрову0,у\.

Модель имеет ряд достоинств и недостатков. К достоинствам можно отнести весьма малую невязку в большем количестве пупиллограмм. Можно утверждать, что данная модель весьма хорошо описывает первую часть пупиллограммы. Главным недостатком модели является низкая устойчивость по большей части параметров. Другой существенный недостаток состоит в том, что данная модель описывает только часть пупилло-граммы.

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

227

7 Нелинейные модели

В целях создания более обоснованных моделей были разработаны две нелинейные модели исходя из следующих предположений: площадь зрачка регулируется двумя мышцами - сфинктером и дилататором, сфинктер работает только в том случае, когда диаметр зрачка больше «оптимального», и может только сужать зрачок. Дилататор, наоборот, работает только в том случае, когда диаметр зрачка меньше «оптимального», и может только расширять зрачок. Обе мышцы срабатывают с задержками, сила воздействия каждой мышцы пропорциональна свертке отклонения площади зрачка от нормы с весовой функцией, называемой взвешенным окном.

В качестве взвешенного окна взята экспонента. В модели первого порядка предполагается, что сила жидкого трения при сокращении зрачка пропорциональна скорости, а масса радужной оболочки пренебрежимо мала, поэтому скорость расширения или сокращения пропорциональна силе расширения или сокращения. В модели второго порядка учтено влияние массы. Тогда модели выглядят следующим образом:

х

го

т

s

e esXdт +

го

+Ad * j

Td

e

х"+kx'+ As j| x(t - т) - x(0) + cl(t - т)|+e ^s%dт

s

-Ad j|-(x(t- т) -x(0)) -cl(t- т)| + e P/Cdт = 0,

где x(t) - площадь зрачка; x(0) - начальная площадь зрачка; l(t) -приведенная функция освещенности сетчатки; с - нормировочный коэффициент; As и Ad - «сила» сфинктера и дилататора; Ts и Td - времена задержки сфинктера и дилататора; Ps и Pd - эквивалентные «ширины» окон свертки; k - коэффициент жидкого трения системы.

Используется следующее обозначение:

x

+

x, x > 0; 0, x < 0.

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

228

Общетехнические задачи и пути их решения

Обе эти модели довольно плохо аппроксимируют пупиллограммы (со среднеквадратичным отклонением порядка 0,3-0,6 мм) [7]. Это, вероятно, связано с тем упрощением, согласно которому в каждый момент времени работает либо сфинктер (если диаметр больше диаметра начального), либо только дилататор. На самом деле в каждый момент времени работают и сфинктер, и дилататор.

8 Новые параметры измерения

Непосредственно по кривой могут быть измерены следующие параметры: время половинного сужения и время половинного расширения. Главной причиной введения этих параметров является более высокая их устойчивость по сравнению с параметром «время задержки» стандартной модели. С биологической точки зрения оба эти параметра позволяют оценить скорость реакции, а скорость реакции очень важна как для диагностики некоторых патологий, так и для определения профессиональной пригодности.

Для нахождения времени половинного сужения необходимо: найти среднее между диаметром начальным и минимальным диаметром (назовем эту величину диаметром половинного сужения, эта величина достаточно стабильна, так как стабильны обе исходные величины);

принять в качестве оценки скорости реакции время, протекающее до достижения диаметром зрачка этой величины (назовем эту величину временем половинного сужения).

Рис. 5. Время половинного сужения и время половинного расширения

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

229

За время половинного расширения принимаем то время, в течение которого диаметр зрачка вновь достигает диаметра половинного сужения после сужения.

Данные параметры получились более стабильными, чем прежние параметры, такие как время латентное, скорость сужения, скорость расширения. Было произведено по несколько опытов для каждого из обследуемых. Критерий Фишера составил для новых параметров (на одной и той же выборке): для времени половинного сужения - 2,3, для времени половинного расширения - 1,9, в то время как для старых параметров он составил: для времени латентного - 1,5, для скорости сужения - 1,4, для скорости расширения - 1,2.

9 Дополнительные характерситики глаза

Был реализован ряд новых параметров, основанных на форме зрачка и соотношении двух зрачков.

Анизокория. Анизокорией называется неравенство зрачков. Неравенство зрачков измеряется в три момента времени: в начальный момент (до стимула), в момент минимума среднего диаметра двух зрачков и в конечный момент (через три секунды после вспышки). В книге [1] рассмотрена только анизокория в статике, здесь предлагается измерять анизокорию в нескольких моментах времени.

Асинхронизм. В основе этого параметра лежит корреляция между диаметрами двух глаз. В идеале она равна 1, и чем больше она отличается от 1, тем более вероятна патология. Асинхронизм вычисляется по формуле: DA = 10 + ln(1 - corr(D/, Dr)). Данный параметр, по-видимому, не использовался ранее и может оказаться весьма информативным, так как показывает разбалансированность нервной системы. Необходимо отметить, что реакция обоих зрачков очень хорошо синхронизирована между собой, например, даже если вспышка подается только на один глаз, оба глаза реагируют практически одинаково, причем в большей части случаев амплитуда сужения того глаза, на который вспышка не подавалась, больше.

Неправилъностъ формы зрачка. Для расчета данного параметра зрачок аппроксимируется эллипсом и вычисляются его эксцентриситет и угол наклона большой оси относительно горизонта.

Заключение

В статье рассмотрен ряд подходов и методов, позволяющих анализировать и аппроксимировать пупиллограммы, выделять на них особые точки, классифицировать их с целью определения наличия, характера и степени патологии нервной системы.

Предлагается использовать следующие новые параметры в дополнение к старым: время половинного сужения, время половинного расшире-

ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС

2010/4

230

Общетехнические задачи и пути их решения

ния, анизокория, асинхронизм и неправильность формы зрачка. В настоящее время идет апробация.

Библиографический список

1. Пупиллометрия / А. Р. Шахнович, В. Р. Шахнович. - М. : Медицина, 1964. -

252 с.

2. Пупиллодиагностика / Е. С. Вельховер, В. Ф. Ананин. - М. : Изд-во УДН, 1991. - 212 с.

3. Knowledge Discovery from Sequential Data / Frank Hoppner // 2003 http://citeseer.ist.psu.edu / PhD Thesis. - 171 р.

4. Important Extrema of Time Series: Theory and Applications / Harith Suman Gandhi, Eugene Fink // 2004 http://citeseer.ist.psu.edu. - 7 р.

5. Двоичные коды с исправлением выпадений, вставок и замещений символов / В. И. Левенштейн // Доклады Академий Наук СССР. - 1965. - Вып. 163, № 4. - С. 845848.

6. Искусственный интеллект. Стратегии и методы решения сложных проблем / Джордж Ф. Люггер ; пер. с англ. - 4-е изд. -М. ; СПб. ; Киев : Вильямс, 2005. - 864 с. -ISBN 5-8459-0437-4 (рус.); ISBN 0-201-64866-0 (англ.).

7. Методы обработки и анализа пупиллограмм / А. С. Куприянов // Известия вузов. Приборостроение. - 2009. - № 8. - С. 58-63.

Статья поступила в редакцию 03.09.2010;

представлена к публикации членом редколлегии А. В. Ходаковским.

2010/4

Proceedings of Petersburg Transport University