Математическое описание петли гистерезиса

УДК 621.316.925, 621.317.4.

Математическое описание петли гистерезиса

В.Н.ГРЕЧУХИН, к.т.н., доцент

Показано, что не только кристаллические материалы, такие как ферромагнетики, сег-нетоэлектрики и сегнетоэлластики характеризуются гистерезисом, но что гистерезис в природе и технике имеет фундаментальный характер и его математическое описание не обязательно должно базироваться на процессах в атомах, кристаллах и доменах.

Сформулирована теорема о петле гистерезиса, вследствие этого уточнены векторные соотношения между напряженностью магнитного поля, магнитной индукцией и намагниченностью, введен оператор запаздывания с разделением на временное и фазовое запаздывание.

Выведены формулы, построены петли гистерезиса по мгновенным значениям, дан расчет комплексной динамической магнитной проницаемости, построены графики реальной, мнимой частей.

Многие кристаллические материалы, такие как ферромагнетики, сегнетоэлектрики и сегнетоэлластики характеризуются гистерезисом, т.е. неоднозначной зависимостью между входными и выходными магнитными, электрическими и механическими величинами соответственно.

При циклическом изменении одной физической величины, например напряженности магнитного поля от нуля до максимума, затем до минимума и снова до нуля, другая физическая величина, например магнитная индукция в ферромагнетике, изменяется по частной петле гистерезиса.

При изменении напряженности магнитного поля в максимальных пределах магнитная индукция описывает предельную петлю гистерезиса.

Природа магнитного гистерезиса анализируется во множестве статей, посвященных этому вопросу, так как магнитные материалы наиболее распространены в технике. В [1] отмечаются три фундаментальные особенности, три основные причины возникновения магнитного гистерезиса:

• магнитный гистерезис, связанный с необратимым смещением доменных границ;

• магнитный гистерезис, связанный с необратимым вращением спонтанной намагниченности;

• магнитный гистерезис, связанный с задержкой образования и роста зародышей перемагничи-вания.

В [2] отмечено, что, «несмотря на декларируемую сложность физических процессов, происходящих при динамическом перемагничивании магнито-проводов, можно получить весьма хорошее согласование расчетных и экспериментальных динамических петель гистерезиса, опираясь лишь на два тезиса фундаментального характера.

• Первый из них заключается в том, что динамические петли могут быть значительно шире квазистатических не только из-за вихревых токов.

• Другим фактором является магнитная вязкость с малым временем релаксации, которая долгое время оставалась плохо воспринимаемой (виртуальной)».

В природе и технике гистерезис встречается не только в перечисленных выше кристаллических материалах.

Гистерезис характерен для изменения температуры внутренних слоев почвы Земли в зависимости

от годового цикла изменения температуры окружающего воздуха. Причем минимальная температура почвы достигается не зимой, а в середине весны, когда средняя суточная температура воздуха уже выше нуля, т.е. с существенным фазовым отставанием.

В технике известны компараторы, обладающие гистерезисом, они могут быть получены из операционных усилителей путем охвата последних положительной обратной связью. Для компараторов характерна петля гистерезиса с напряжением срабатывания и напряжением возврата, что аналогично коэрцитивной силе для петли гистерезиса магнитных материалов.

В [3] проведен анализ гистерезиса компараторов, предложена аппроксимация и даны формулы для расчета напряжений срабатывания, возврата, коэффициента возврата и других параметров петли гистерезиса.

Анализ материалов [3] указывает на два фактора, обуславливающих гистерезис компараторов:

• запаздывание выходного сигнала по отношению ко входному;

• нелинейную зависимость коэффициента усиления операционных усилителей от входного сигнала.

Очевидно, что любая система автоматического управления (регулирования) для устойчивости своего функционирования должна обладать гистерезисом.

Базируясь на вышеизложенном материале, применительно к ферромагнетикам можно сформулировать следующую теорему о петле гистерезиса:

Для полного математического описания петли гистерезиса ферромагнитных материалов в частотной области, ограниченной полосой пропускания магнитопровода, необходимо и достаточно:

• учитывать временное и фазовое запаздывание намагниченности по отношению к напряженности магнитного поля;

• выполнить аппроксимацию нелинейной зависимости интенсивности скачков Баркгаузена в функции напряженности магнитного поля.

Доказательство этой теоремы в рамках данной статьи не приводится, а рассматриваются только одно следствие и три примера описания петли гистерезиса.

Следствие 1. Уточнение векторных соотношений.

Будем рассматривать (рис.1.) напряженность магнитного поля Н, ИДО), магнитную индукцию В, Ь(1) и намагниченность Л ДО) как функции комплексного переменного, разделяя магнитную индукцию на два слагаемых в соответствии с Максвелловскими представлениями:

Ъ

где: ьб(1) магнитная индукция в воздухе (рассеяния), линейно связанная с напряженностью магнитного поля ИДО), ъб(1) =

ЬДО) магнитная индукция в ферромагнетике нелинейно связанная с напряженностью магнитного поля вд, Ъ1(1) = ^(Ь(1)).

Известно, что вектор магнитной индукции в ферромагнетике отстает от вектора напряженности магнитного поля на угол б, как показано на рис 1.

На рис 1. приведена уточненная векторная диаграмма в соответствии с (1).

И

Ь з

Ь ]

Ь з

Рис. 1. Отставание магнитной индукции на угол б, а намагниченности на угол а от напряженности магнитного поля.

Очевидно (рис. 1). следует, что вектор намагниченности

отстает от напряженности магнитного поля на угол а, больший чем б°.

Исследование показало, что угол а не может превышать 90о в пределах полосы пропускания, угол б при этом не превышает 45 о.

Пример 1 описания петли гистерезиса.

На рис.2 приведена зависимость магнитной индукции ферритового сердечника ВТ-2 (0.7 ВТ) 3х2х1.2 мм Нс=0.61А/см, Вг=23 сТ от напряженности магнитного поля, построенная по экспериментальным данным [4] и по расчету.

0.4

0.27

0.13

"0.13

"0.27

"0.4

ххюоо

00 ООО« С/лЛЛ(

"300 -200 -100 0 100 200 300

Рис. 2. Петля гистерезиса ферритового сердечника ВТ-2 (0.7 ВТ), построенная по экспериментальным данным [4] (ромбы) и по расчету (сплошная линия) в пределах 300

0 := е

А/м и 0.4 Т

При расчете напряженность магнитного поля ИДО) задавалась функцией комплексного переменного

И

где: Нт -амплитуда напряженности магнитного поля, равная 300 А/м.

Магнитная индукция рассчитывалась по формуле (1) с учетом аппроксимации намагниченности гиперболическим тангенсом аналогично [3] с введением оператора запаздывания © намагниченности по отношению к напряженности магнитного поля ИДО):

1а

где: I -мнимая единица;

а -угол запаздывания (отставания) намагниченности от напряженности магнитного поля (причем в этом угле учитывается и временное т и фазовое р запаздывание намагниченности по отношению к напряженности магнитного поля ИДО)).

Следует отметить, что в качестве функций аппроксимации в расчетах использовались не только функция гиперболического тангенса, а целый класс функций комплексного переменного, в том числе функции обратных тангенса и гиперболического синуса. Не исключено, что для конкретного магнитного материала интегрирование функции интенсивности скачков Баркгаузена даст другую, не названную выше, функцию аппроксимации.

Анализ составляющих оператора запаздывания проводился для различных магнитных материалов: от магнитомягких, таких как аморфные и нанокри-сталлические сплавы, холодно- и горячекатаные стали, до магнитотвердых материалов для постоянных магнитов.

Анализ проводился на разных частотах с целью разделения компонент угла запаздывания на часто-тозависимую и частотонезависимую части.

Разработана методика и программа расчета коэффициентов аппроксимации и констант временного и фазового запаздывания. Точность расчета повышается, если для магнитного материала известна статическая и динамическая (на одной, двух частотах) петля гистерезиса, однако в большинстве случаев достаточно знать коэрцитивную силу по магнитной индукции и/или по намагниченности, остаточную индукцию и параметры насыщения: по индукции, напряженности и намагниченности.

В таблице приведен фрагмент расчета комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2), соответствующий наибольшей скорости изменения магнитной индукции в окрестности перехода её через нуль.

Расчет комплексной динамической магнитной проницаемости выполнен по известной формуле:

-Ь

^1п

.0 [ ^ВД

- 7

где р0 = 10 магнитная проницаемость вакуума.

В результате расчета (см. табл.) определено, что максимум реальной части динамической магнитной проницаемости наступает на 283 точке расчета и составляет 16780, а переход

0

через нуль со сменой знака мнимой части динамической магнитной проницаемости наступает с запаздыванием на 2 расчетные точки.

Таблица Фрагмент расчета комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2. (мнимая единица обозначена буквой О

цСт() =

0

274 2.213-103-5.67И-103

275 3.005-103 -6.632г103

276 4.088-103 -7.6141-103

277 5.52Г103 -8.516г103

278 7.337-103 -9.183г103

279 9.497,103-9.41г103

280 1.185,104-8.98г103

281 1.4Г104-7.741г103

282 1.586,104-5.705г103

283 1.678,104-3.11г103

284 1.668-104 -367.0781

285 1.564'104+2.082г103

286 1.392'104+3.928г103

287 1.188-104+5.062г103

288 9.832-103 +5.5491-103

289 7.967-103 +5.5441-103

На рис. 3 приведена действительная часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2) в логарифмическом масштабе, на рис. 4 в линейном масштабе.

4

з

1-103

Re(цd¡n(t¡)) 100 10 1

0.1

Рис. 3. Действительная часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса по рис. 2. в логарифмическом масштабе.

2-10

,.1.678x10'\

Ке

1 -10

,.0.985.,

7 V У V

-400 -200 0 200 400

.- 300 Ре(м ¡), Ре(м ¡) ДО,

Рис.4. Действительная часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2) в линейном масштабе.

Анализ графиков рис. 3,4. показывает, что максимумы реальной части динамической магнитной проницаемости точно соответствуют коэрцитивной силе ± Ие (переходу магнитной индукции через

нуль), минимум соответствует магнитной проницаемости воздуха

Следует отметить, что движение во времени по петле гистерезиса (рис. 2) и по кривой динамической магнитной проницаемости (рис. 3, 4) происходит сначала через левую часть петли (рис. 2) и левый максимум (рис. 3, 4), а затем обратно, через правую часть петли (рис. 2) и правый максимум магнитной проницаемости (рис. 3, 4).

На рис.5 приведена мнимая часть комплексной динамической магнитной проницаемости в обычном масштабе.

1-104

ь5.549х103., 1т (цСт()) 0

,.- 9.41x10 .,

„4

-300 - 300.,

0

Re(h 1 ¡

200 300 ,.300.,

Рис. 5. Мнимая часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2) в линейном масштабе.

Анализ графика (рис. 5) и результатов расчета комплексной магнитной проницаемости (см. табл.1) показывает, что минимумы и максимумы мнимой части динамической магнитной проницаемости чередуются вблизи коэрцитивной силы и составляют -9410 +5549.

Пример 2 описания петли гистерезиса магни-тотвердого материала. На рис. 6 приведена зависимость магнитной индукции и намагниченности магнитотвердого материала !ю=40 кА/м, 1ит=400 кА/м от напряженности магнитного поля.

Яе

-4 -10

„- 4x10

Ке

Рис. 6. Петля гистерезиса магнитотвердого магнитного материала по индукции (круги) и по намагниченности (сплошная линия) при ||с=40 кА/м и в ||т=400 кА/м .

Петля гистерезиса по намагниченности магнитного материала с большой энергией, применяемого для изготовления постоянных магнитов, имеет, как показано на рис. 6, горизонтальный безгистерезис-ный участок, а петля гистерезиса по магнитной индукции имеет наклонный безгистерезисный участок в соответствии с магнитной проницаемостью вакуума (воздуха).

На рис. 7. приведены действительная и мнимая части комплексной динамической магнитной прони-

200

100

1 -10

цаемости для петли гистерезиса (рис. 6). Отметим, что экстремумы магнитной проницаемости (141.445 - для реальной части и -67.681 - для мнимой) существенно меньше, чем в предыдущем примере, хотя коэффициент прямоугольности петли гистерезиса выше.

Re

-8-10 -6.10 -4-10 —2 10

о

2 -10 4-10 6-10 8-10

Re

поля), а основная кривая намагничивания имеет наибольшую крутизну при переходе этих величин через ноль.

-1

-2

1

2

-40

-20

20

40

Рис. 8. Петля гистерезиса с начальной (1) и основной (2) кривой намагничивания.

Литература

Рис.7. Действительная (сплошная тонкая линия) и мнимая (ромбы) части комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 6) в линейном масштабе.

Пример 3 описания петли гистерезиса магни-томягкого материала с начальной и основной кривой намагничивания. На рис. 8 петля гистерезиса дополнена начальной (1) и основной (2) кривыми намагничивания, причем на начальной кривой виден характерный излом в области малых значений магнитной индукции (напряженности магнитного

1. Кандаурова Г.С. Природа магнитного гистерезиса.

- Статьи Соросовского образовательного журнала в текстовом формате.

2. Кадочников А.Н., Стародубцев Ю.Н., Малюк В.П. Динамические кривые перемагничивания тороидального магнитопровода из аморфного сплава Co68Fe4Cr4Si13B11 в диапазоне частот 50-10000 Гц // Электричество. - 2005.

- № 1. - С. 50-55.

3. Гречухин В.Н., Таршис А.С. Анализ характеристик измерительного релейного органа на операционном усилителе в интегральном исполнении // Электричество. -1977. - № 8. - С. 68-71.

4. Ионов И.П. Магнитные элементы дискретного действия. - М.: Высш. шк., 1968. - 284 с.

2

0

0

-50

67.681

х10