Многочлены Золотарёва и редукция многочленов Шабата в положительную характеристику

Краткие сообщения

УДК 512.624.3; 512.725.2

МНОГОЧЛЕНЫ ЗОЛОТАРЁВА И РЕДУКЦИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ШАБАТА В ПОЛОЖИТЕЛЬНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ

Д. А. Оганесян1

Статья посвящена изучению многочленов Шабата над полями различных характеристик и их деформации в многочлены с тремя критическими значениями. С помощью такой деформации в статье найдены простые плохой редукции для многочленов Шабата, соответствующих деревьям диаметра 4.

Ключевые слова: многочлены Шабата, многочлены Золотарёва, пары Белого, поля положительной характеристики, редукция в положительную характеристику.

The paper is focused on the study of Shabat polynomials over fields of different characteristics and their deformation into polynomials with three critical values. Using this deformation, we obtain prime numbers of bad reduction for Shabat polynomials corresponding to trees of diameter 4.

Key words: Shabat polynomials, Zolotarev polynomials, Belyi pairs, field of positive characteristic, reduction to positive characteristic.

1. Введение. В настоящей работе мы рассматриваем многочлены Шабата, соответствующие деревьям диаметра 4 (определение данного соответствия см. в [1]). Чтобы изучить свойства таких многочленов, в частности вычислить простые плохой редукции, мы включим их в семейство многочленов с тремя критическими значениями (подобная идея для пар рода 1 реализована в [2]). На базе семейства многочленов мы вводим функцию, равную простому отношению критических значений многочлена. Вычисление кратностей ее критических значений позволяет найти простые плохой редукции (теорема 4). Этот результат сильнее, чем предыдущие результаты о редукции таких деревьев [3]. Кроме того, эта функция является функцией Белого и входит в интересную серию пар Белого (теорема 3).

2. Основные определения.

Определение 1 [1]. Многочленом Шабата называется многочлен, имеющий два конечных критических значения.

Определение 2. Многочленом Золотарёва называется многочлен, имеющий три конечных критических значения (о многочленах Золотарёва см. [4, 5]).

Определение 3. Диаметром дерева называется максимальная длина (в ребрах) кратчайшего пути в дереве между любыми двумя вершинами.

В дальнейшем мы будем рассматривать деревья диаметра 4, их вложения в плоскость, соответствующие им многочлены Шабата и их деформации в многочлены Золотарёва. О деревьях диаметра 4 и соответствующих им многочленах Шабата см. также [6, 7].

Определение 4. Центральной вершиной дерева диаметра 4 называется единственная вершина, такая, что длина кратчайшего пути от нее до любой вершины не превосходит 2.

Будем обозначать через n число ребер рассматриваемых деревьев диаметра 4, через s валентность центральной вершины и через ai,... ,as валентности вершин, соседних с центральной. Паспорт такого дерева (a1,..., as|s, 1,..., 1 |n) будем обозначать IVai,..,as (определение паспорта см. в [1]).

Количество классов подобия многочленов с набором валентностей IVai...,as над алгебраически замкнутым полем k будем обозначать Nk(ai,..., as).

Определение 5. Для паспорта (k1,..., ki|m1,..., mj|n) простым плохой редукции называется такое простое число р, что количество классов подобия многочленов Шабата с тем же паспортом для полей Q и ¥р различно.

Более подробно это определение описано в [8]. Например, для набора валентностей IVaii..,as простое число p является простым плохой редукции, если

Щ(аъ ...,а8)ф NfHai,..., а8), подробнее о простых плохой редукции см. [3, 8, 9].

1 Оганесян Дмитрий Алексеевич — e-mail: grag.oganes@gmail.com.

3. Система уравнений относительно многочленов Ш^абата, соответствующих деревьям диаметра 4. Пусть s, ai, a2,..., as — натуральные числа и k — алгебраически замкнутое поле. Выведем систему уравнений относительно многочленов Шабата с набором валентностей IVai,..,as над k.

Для заданного набора s, ai, a2,..., as натуральных чисел рассмотрим многочлены степени n = ai + a2 + ... + as и кратностями нулей ai, a2,..., as. Такие многочлены имеют вид C(1 — Aix)ai ... ...  (1 — Asx)as, где Ai £ kx.

Будем считать два таких многочлена Pi и P2 эквивалентными, если Pi (ж) = CiP2(C2x), где Ci, C2 £ kx. Поскольку при замене координат ж — кж коэффициенты (Ai, A2,..., As) переходят в (kAi, kA2,..., kAs), пространство рассматриваемых многочленов с точностью до эквивалентности является открытым подмножеством Ps-i(k), дополнение к которому составляют гиперплоскости, задаваемые уравнениями Ai = 0 и Ai = Aj. Будем обозначать это квазипроективное многообразие

через Sai,a2,...,as .

Лемма 1. Многочлены из Sai,a2,...,as, удовлетворяющие условию xs | (P(ж) — P(0)), являются многочленами Шабата с паспортом IVai,..,as.

Доказательство следует из определения паспорта.

Лемма 2. Критическая точка t многочлена P из Sai,a2,,,,,as, соответствующая конечному ненулевому критическому значению, является нулем его логарифмической производной:

P'(t) _ aiAi a2A2 as As „

Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Теорема 1 [10]. Многочлен P из Sai,a2,...,as является многочленом Шабата с паспортом IVai,...,as и критической точкой кратности s в ж = 0 тогда и только тогда, когда выполняется следующая система из s — 1 уравнений:

''aiAi + a2A2 + ... + asAs = 0, aiAi + a2A2 + ... + asA2 = 0,

aiAi-i + a2A2-i + ... + asAs-i = 0.

Доказательство. Многочлен Шабата из Sai,a2,...,as с паспортом ,...,as имеет единственную критическую точку с ненулевым критическим значением кратности s. По условию эта точка имеет координату ж = 0. Таким образом, у логарифмической производной ~рщ в этой точке нуль кратности s — 1. Рассмотрим выражение логарифмической производной из леммы 2 и разложим его в ряд в точке ж = 0, т.е.

P/(t) - f>i^+1 + + • • • + asAk+l)tk.

Равенство нулю первых s — 1 коэффициентов дает нам искомую систему.  Чтобы вычислить количество таких многочленов Шабата, включим их в однопараметрическое семейство многочленов Золотарёва. 4. Многочлены Золотарёва В

пространстве S«iрассмотрим кривую, состоящую из многочленов, имеющих в нуле критическую точку кратности s — 1 и еще одну критическую точку кратности 2. Обозначим замыкание этой кривой в Ps-i(k) через Fai,...,as• Обозначим через b критическую точку кратности 2, т.е. такую, что (ж — b)2 | (P(ж) — P(b)) и b = 0, P(b) = 0. Теорема 2. Справедливы следующие утверждения: (i) кривая Fai,•••,«3 задается системой уравнений

'ai Ai + a2A2 + ... + asAs = 0, a1Al + a2A2 + ... + asA2 = 0,

a1A1-2 + a2A2-2 + ... + asAS-2 = 0.

_ _ п—а 2 I I n—as

n I 4i т Л2 "I" • • • "I"

(и) если char k f п, то Ъ = ^ +

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.

5. Функция Белого на базе семейства многочленов Золотарёва. Рассмотрим класс многочленов [P] из Fai,..,as, и пусть P — один из представителей этого класса. Пусть P имеет набор критических значений {0, то, k0, k}, где k0 = P(0) и k = P(b).

Лемма 3. В поле k(Fai,.. .,as) выполняется тождество (1 b  Ai) =  .

Доказательство. Явное вычисление.

k_

ко

Теорема 3. (г) Функция xai,...,as '= ^ € k(Jr(lb...)(ls) является функцией Белого;

П (Aj

-ai  (—Ö2)"2  af  (-а4)а4  ...  ((-1)s-1as)as i^j

П (Aj - Ai)ai+aj

ПП A™—ai . An-a2 . . A1—as

Доказательство. Пункт (i) см. в [1]. (ii) Имеем к = P (b) = (1 — A1  b)ai  ...  (1 — As  b)as. Используя лемму 3, получим искомую формулу.

Замечание. Теорема 3, как и некоторые утверждения нашей статьи, остаются верными, если вместо натуральных ai рассматривать целые. Подробные рассмотрения автор планирует сделать в следующих работах.

Следствие 1. Справедливы следующие утверждения:

(i) нули Kai...,as имеют кратности ai + aj по всем 1 ^ i,j ^ s;

(ii) множество нулей валентности ai + aj является множеством многочленов Шабата с паспортом IVai+aj,ai,...,<ri,...,aj-,..,as ;

(iii) полюсы Kai,..,as имеют кратности n — ai по всем 1 ^ i ^ n;

(iv) множество полюсов валентности n — ai является множеством многочленов Шабата с паспортом IVaii..,âi,..,as •

Доказательство. Используя теорему 3, мы видим, что нуль кратности ai + aj соответствует пересечениям базы с гиперплоскостью Ai = Aj. Добавляя это уравнение к системе уравнений базы семейства из теоремы 2, получим систему уравнений относительно многочленов Шабата с паспортом

IVa i+aj,ai,..,âi,..,âj,..,as из теоремы 1.

Аналогично доказываются пп. (ii) - (iv).

Следствие 2. Справедливы утверждения:

(i) нули Kai...,as — 1 имеют кратность s или 1;

(ii) множество нулей валентности s является множеством многочленов Шабата с паспортом IVai,... ,as >

(iii) множество нулей валентности 1 является множеством многочленов Шабата с паспортом (a1,a2,..., as|s — 1,2,1,..., 1 |n)•

6. Простые плохой редукции. Используя полученные в предыдущих пунктах результаты, найдем простые плохой редукции для паспорта IVai,..,as.

Лемма 4. Если char k > s и char k { ai для всех 1 ^ i ^ s, то система из теоремы 1 вне гиперплоскостей Ai = Aj не имеет кратных корней•

Доказательство. Действительно, рассмотрим дополненную к гиперплоскости Ai =0 аффинную карту с координатами yi = Ai/Ai и рассмотрим нормали гиперповерхностей, заданных уравнениями из теоремы 1. При yi = yj они алгебраически независимы, так как определитель матрицы, составленной из них, является определителем Вандермонда:

a

s

a2 2а2У2

аз 2азуз

(s - 1)a2yS 2 (s - 1)азУз

s-2

ап 2азУз

(s - 1)азУЗ—2

= (s - 1)!  а2

•  аз  П (yj- yi)•

1<i<j^s

Лемма 5. Пусть char k f (n — ai), char k f n. Тогда Nk(ai,... ,as) = deg (b  Ai). Доказательство. По теореме 2

n \ Ai As

т.е. b  Aj € k(Fai,...,aä)• Рассмотрим нули этой функции. Поскольку char k { n — aj, в нулях функции b  Aj координата Aj не обращается в нуль, т.е. в нулях b  Aj выполняется b = 0. Уравнение b = 0 равносильно тому, что в теореме 2 кратность критической точки 0 равна s. Этот случай соответствует многочленам Шабата с набором валентностей IVab...,as. То есть нули b  Aj соответствуют решениям системы из теоремы 1. По лемме 4 все корни этой системы простые и число этих корней Nk(ai,... ,as).

Лемма 6. Пусть char k { n — aj7 char k { n, тогда

Nk(ai,... ,as) = Nk(ai,..., aj, ...,as).

j=j, char k{

Доказательство. По лемме 5 имеем Nk(a1,..., as) = deg (b  Aj). Вычислим теперь deg (b  Aj) по количеству полюсов, т.е. в точках Fai)...,as с Aj = 0. По лемме 4 они простые и по следствию 1, (iv) соответствуют многочленам Шабата с набором валентностей /Vai,...,aj-,...,as.

Лемма 7. Пусть char k > s. Тогда char к \ п, ..., as) ^ Щ (ai,..., as).

Доказательство. Количество пар Белого с набором валентностей IVai,...,as над k всегда не больше, чем над Q, так как над Q это количество равно числу деревьев с таким набором валентностей, т.е. (n — 1)!. Решений же системы из теоремы 1 над любым полем не может быть больше по теореме Безу.

Теорема 4. Пусть р > s, р \ п. Равенство ..., as) = Щ: (ai,..., as) верно тогда и

только тогда, когда для любого набора индексов I С {1,..., s} выполняется условие p \ aj.

je/

Доказательство. Индукция по s. Случай s = 2 очевиден. Переход от s — 1 к s: найдется индекс i, такой, что p \ n — aj (так как p { n). По лемме 6 имеем

Nk(ai,... ,as) = Nk(ai,..., aj, ...,as).

j=j, char k{

Из предыдущего равенства и леммы 7 получим

Nqj(ai,... ,as) = Щ (ai,...,as) Vj ф i chark{ (n — aj) A ...,a},...,as) =

= ^fp(ai>  ,äj,... ,as).

Таким образом, утверждение свелось к предположению индукции.

Данная теорема сильнее подобных теорем из диссертации А. М. Вашевника [3].

7. Пример. Рассмотрим случай s = 3. Пространство многочленов Золотарёва вида P(ж) = C(1 — Aix)ai (1 — A2x)a2 (1 — A3x)a3 вкладывается в P3(k) и образует там гиперповерхность aiAi + a2A2 + a3A3 = 0. По теореме 3

aiai (—a2)a2 a3a3 (A2 — A3)a2 +a3 (A3 — Ai)ai+a3 (Ai — A2)ai+a2

Ж- = - • -

n"- Aa2+a3 Aai +a3 Aai+a2

Над полем C многочлены Шабата, соответствующие двум деревьям с набором валентностей IVaba2>a3, являются решениями системы

aiAi + a2A2 + a3A3 = 0, aiAi + a2A2 + a3A2 = 0, Aj = 0.

To есть _/Vq(oi, a2, a3) = 2.

Рассмотрим теперь случай положительной характеристики, такой, что char k | (ai + a2). Тогда ai = —a2 (mod char k) и a3 = n (mod char k). Пространство многочленов Золотарёва будет задаваться уравнением ai(A2 — Ai) = a3A3, формула для к(k) упрощается и ее степень падает:

„ ч aiai (—a2)a2a3a3 (A3 — A2)a2+a3(A3 — Ai)ai+a3(A2 — Ai)ai+a2 (A3 — A2)a2+a3(A3 — Ai)ai+a3 it k =--- —

n"

/ia2+a^ ai+a3 л ai +a2 Aa2+a3 a ai +a3

Ai A2 A3 Ai A2

Система относительно многочленов Шабата над k с набором валентностей IVai,a2,a3 примет вид

а2^1 - A2) = аз A3, Ai + A2 = Aз, Ai = 0.

Эта система в Рз(к) имеет не больше одного решения и если char k { (а1 + аз), (а2 + аз), а2, аз, то решение существует, т.е. Жк(а1,а2,аз) = 1.

Автор выражает благодарность за ценные замечания Г. Б. Шабату, Н. М. Андрианову и участникам семинара МГУ "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями". Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Фонда Саймонса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2011.

2. Oganesyan D. Abel pairs and modular curves // Записки научных семинаров ПОМИ. 2016. 446. 165-181.

3. Вашевник А.М. Пары Белого над конечными полями и их редукция: Канд. дис. М., 2006.

4. Кочетков Ю.Ю. Многочлены Чебышёва, многочлены Золотарёва и плоские деревья // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 6. 161-170.

5. Hirzebruch F., Berger T., Jung R. Manifolds and Modular Forms. Wiesbaden: Vieweg-Verlag, 1992.

6. Шабат Г.Б. Мнимоквадратичные решения антивандермондовых систем с 4 неизвестными и орбиты Галуа деревьев диаметра 4 // Фунд. и прикл. матем. 2003. 9, № 3. 229-236.

7. Kochetkov Yu. Trees of diameter 4 // Proc. 12th Int. Conf., FPSAC'OO (Formal Power Series and Algebraic Combinatorics) / Ed. by D. Krob, A. A. Mikhalev, A. V. Mikhalev. Springer, 2000. 447-475.

8. Дремов В.А., Вашевник А.М. О парах Белого над произвольными полями // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, № 3. 3-8.

9. Вашевник А.М. Простые плохой редукции детских рисунков рода 0 // Фунд. и прикл. матем. 2005. 11, № 2. 25-43.

10. Couveignes J.-M. Calcul et rationale de fonctions de Belyi en genre 0 // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1994. 44, N 1. 1-38.

Поступила в редакцию 16.03.2016

УДК 517.977

ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО НЕРАВЕНСТВА

Д. И. Бугров1

Рассмотрена задача о построении внутренней аппроксимации множества достижимости вполне управляемой линейной стационарной системы. Данная аппроксимация получается как пересечение двух областей, заданных квадратичными формами. Одна из форм определяется параметрами исходной системы. Матрица, задающая вторую форму, получается как решение линейного матричного неравенства. Использование предлагаемой методики проиллюстрировано численным примером.

Ключевые слова: область достижимости, линейная стационарная система, линейное матричное неравенство, внутренняя аппроксимация.

The problem considered is the construction of reachability set's internal approximation for a full controllable linear time-invariant system. This approximation is obtained as an intersection of two areas governed by quadratic forms. One of these forms is based on parameters of the

1 Бугров Дмитрий Игоревич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.bugrov@mech.math.msu.su.