Уравнения Эйлера-Кирхгофа в компонентах вектора конечного поворота

Раздел II. Математический анализ

УДК 531.38 ББК 22.21

А. А. Илюхин, Г. Г. Гордеев

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-КИРХГОФА В КОМПОНЕНТАХ ВЕКТОРА КОНЕЧНОГО ПОВОРОТА

Аннотация. Предложена новая форма дифференциальных уравнений движения тяжелого гиростата около неподвижной точки. В качестве основных переменных выбраны компоненты вектора конечного поворота. Построены общие интегралы уравнений движения в новых переменных.

Ключевые слова: гиростат, вектор конечного поворота, гибкий стержень.

A. A. Ilyukhin, G. G. Gordeyev EQUATIONS EULER-KIRCHHOFF VECTOR COMPONENTS FINITE ROTATION

Abstract. A new form of differential equations of motion of a gyrostat about a fixed point. The main variables selected components of the final turn. Constructed general integrals of motion in the new variables.

Key words: gyrostat, vector of the final turn, a flexible rod.

Одной из основных задач теоретической механики является задача о движении твердого тела, кинематические и динамические уравнения которой создал Л. Эйлер в 1749-1758 гг. [6]. Решением этой задачи уже на протяжении более чем 250 лет занимаются физики, механики, математики, как в теоретическом, так и в прикладном плане.

В механике деформированного твердого тела классических задач является задача о деформации гибких стержней концевыми и распределенными силами. Уравнения этой задачи были получены Г. Кирхгофом в 1859 году. Кирхгофом была установлена кинетическая аналогия между задачей о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и задачей о равновесии гибкого стержня концевыми нагрузками [3]. Эти две классические проблемы механики решаются совместно уже более 150 лет [2, 5].

Математическая модель рассматриваемых задач механики представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, называемых в литературе уравнениями Эйлера-Кирхгофа.

Рассмотрим обобщенную форму этих уравнений, описывающих движение тяжелого гиростата и деформацию криволинейного гибкого стержня концевыми нагрузками [1, 2, 5]:

_

--ha хК =Гёху,

dt

dv - —

— = vxa>,

dt

В динамике гиростата величины, входящие в эти уравнения имеют следующий смысл: K -кинетический момент гиростата относительно его неподвижной точки, со - угловая скорость, которые связаны соотношением [1, 2, 5]:

К=Х + Л, Х = АШ,

И ^ __ >

A=A°+YJ%>tf+Bl$-ml?l?l-Bjjl>

где A0 - тензор инерции тела - носителя гиростата в его неподвижной точке, mi - масса i -го несомого тела /=1,2,...,и; - его осевой и экваториальный моменты инерции; Г - вектор, идущий из неподвижной точки в центр масс несомого тела (он находится на оси симметрии этого тела), Е - единичный тензор, ei - единичный вектор оси симметрии несомого тела; вектор Л -

п

гиростатический момент (Л = ut - проекция абсолютной угловой скорости несомого

/-1

тела на ось вращения: ич =Ш  ё! + ^, ^ - угол поворота носимого тела; V - единичный вектор силы тяжести; Г = М^ |/'б. (М - масса гиростата, Г - радиус-вектор центра масс гиростата в — Г / ,, ,,

неподвижной точке)); е — с/\— \. Знаком ~ обозначена производная по времени / в осях, же-

/\гс\

стко связанных с телом-носителем гиростата.

В задаче о равновесии гибкого стержня концевыми силами величины, входящие в уравнения (1) - (4) имеют следующий смысл: t - длина дуги упругой линии; К - главный момент внутренних усилий в поперечном сечении стержня; Г - модуль концевых сил; V - единичный вектор центральной оси концевых усилий; со - вектор Дарбу (кривизны) деформированной оси стержня;

А - матрица жесткостей стержня, X - вектор, характеризующий криволинейность стержня до деформации.

Если на теле-носителе гиростата отсутствуют маховики пь — О, = 0 , то он является твердым телом с одной неподвижной точкой, движение которого описывается уравнениями:

А^- + а7х (5) £Й

~ - — ,,,

-= V х со.

Л

В скалярной форме (в проекциях на подвижные оси) уравнения (5), (6) имеют вид:

1 Л 3 2 ^1(°Ъ =Г^з-ез^>

ш ш

й V, й У7 йУ3

—^ = со?у2-а2у з, —гг = со1\ъ-а}ъ\ъ—± = о)г\1-а)1\г

ш ш ш

В механике гибких стержней уравнения (7), (8) являются уравнениями равновесия стержня под

действием концевых нагрузок в случае, когда материал стержня изотропен или его поперечное

сечение является плоскостью упругой симметрии.

Известны три общих интеграла уравнений (5), (6):

4&а>~у=к,

ш= 1, (11) в скалярной форме интегралы имеют вид:

А^ +А2а>2 +Аъсс>1 -2 ГЧ^ +е2У2 + е3У3 3=2Е,

А1а\\1 +А2со1у2 +А3а>3у3 = к,

у\+у\+у3=1

Существуют различные формы уравнений Эйлера-Кирхгофа (1) - (4) и их обобщения. В различных модификациях этих уравнений в качестве основных переменных используются различного рода обобщенные координаты. Наиболее естественными и наиболее отражающими основные свойства движения твердого тела являются углы Эйлера и их модификации и компоненты вектора конечного поворота. Углы Эйлера отражают теорему Эйлера о получении любого положения тела из начального с помощью трёх поворотов вокруг специально выбранных осей. Компоненты вектора конечного поворота отражают теорему Эйлера-Даламбера о конечном вращении тела вокруг некоторой оси, которая для мгновенного движения тела является мгновенной осью вращения.

Уравнения Эйлера-Кирхгофа были записаны в компонентах вектора конечного поворота в работе [1] в гамильтоновой форме. В настоящей работе эти уравнения записаны в виде нормальной системы дифференциальных уравнений.

Теорема Эйлера-Даламбера в кинематике твердого тела утверждает, что произвольное перемещение твердого тела вокруг неподвижной точки можно осуществить одним поворотом вокруг соответствующим образом выбранной оси вращения, проходящей через эту точку. В доказательстве теоремы по двум точкам и их положениям до и после поворота строится только ось конечного поворота, и нет формулы преобразования радиус-вектора любой точки тела при повороте. Эта формула получена Родригом и имеет вид [4]:

г +г0 +

1+

э2

1 - {- 1Я -

х| г0+-вхг0

4

где Т{), V - радиус вектор произвольной точки тела до и после конечного поворота, а 0 - вектор конечного поворота:

— х

9=2Щ~,

направленный по оси конечного вращения с единичным вектором е и осуществляющий конечный поворот на угол X

Пусть базис неподвижной системы координат тх,т2,тъ, а базис системы координат, связанный с телом, т1,т2,тъ, (до поворота эти базисы совпадают). Вектор в осуществляет поворот первого базиса во второй, поэтому приняв в формуле (15) г = тк ^ = 1,2,3^ получим

_ 1 ^ ^ 1:

1 °х\Т,г +^вхтк

1к - 1к ^-л-^ 1к

\+-в2 4

Отсюда получаем матрицу направляющих косинусов преобразования подвижных и неподвижных осей координат [6]:

Гт ^ '1

2К\ въ+-в1в2

2К\ -в2 +-вхвъ

2к[-в3+^2]

2Ки+±в2в3)

2К

2 2 13 1 „ .

где К = -\\ + -в2 21 4

,а в2 =б1+б1+в1.

Заметим, что компоненты вектора конечного поворота 0 в подвижной системе координат совпадают. Это говорит о том, что 0] / = 1,2,3 - инварианты. Применение инвариантных величин и соотношений при решении задач динамики твердого тела и, вообще, в механике целесообразнее, чем величин, зависящих от выбора системы координат.

Вектор СО угловой скорости твердого тела можно выразить через вектор конечного поворота с помощью формулы [5]:

1

1 + -^2 4

в+^вхв

Производная по времени вектора поворота выражается через вектор угловой скорости по формуле

в =а> + — сох в + — 66со . 2 4

Из соотношений (20) можно получить выражения для проекций со , вектора угловой скорости со на оси, неизменно связанные с телом:

со, =-

1

\+-в2 4

1

1

СОп =-

=

1

, , — ОоОл + 0о н— ОлОо

1 I 2 2

4

1

3 - , - 2 1

1

12

2

1

3 2

2 3

2

2

1

1

з

2

Для решения конкретных задач удобно записывать уравнения (22) в матричной форме

ю = Од

__х __т

где О) = со^о)2,б)3 . С] = вх,вг,въ (" Т"-означает транспонирование), а

(

а =

1

1 + - е2

4

V

2

1

1

— ( 2

Соотношения (21) можно записать в координатной форме:

вх М+иАщ +Н-в3 +^е1вХ>2 +Нв2 К

II

II

о3 +\вхв2у +\1+\в22 у2 +±9293у3, =-| -в2 +-6>16'з\о1+Цв1+-в2в\о2+{\ + -вЛ(о3,

2

21

2

4

и в матричной форме:

в = СГ1ю

где в - %,в2,в2 а матрица О , обратная матрице £1, имеет вид

\+-в2 4 1

—( Оо н—ОлО-) 21 2 ,

! + -(

2

4

)2

Компоненты вектора конечного поворота можно выразить через углы Эйлера у/.У.ф [4]:

/1 „ 1 1 Ф + ¥

их = 21ё—\со$ф + ятф tg—-— в2 = 2+ сояф • tg

93=21ё

Ф + У 2 '

Величины у1,у2,у3 также можно выразить через компоненты вектора конечного поворота:

V, =

-в2 + -9Х93

\ + -в2 4

1

У2и3

У-, =-

1 ,2

у3=1~

2+Р2

2

\ + -в 4

2| 1 + ±92

Подставив в уравнения (7), (8) соотношения (22), (26), (28), получим уравнения Эйлера Кирхгофа в компонентах вектора конечного поворота:

в1=ръв2 = ръ93=р3 Р\ =Р^\\Р\ +а22Р2 +а33р1 +апрхр2 +а23р2р3 + а13рхр3 Р2 =р4.\\Р\ +Ь22Р2 + Ь33 Рз +ЬиР\Р2 +Ь2зР2Рз +Ь\3 Р\Рз +Г2 Рз =Р^\\Р\ +С22р1+с33р1 +С12р1р2+с23р2р3 +С13рхр3 +Г3

>

где

Р={ +

,>2

= -ав2в+ +2Ьв2%2в3 + в]в2\ + ^в2-2св3)<92 +вхв3

2 = - 2ав1 % + в{ + -ь^ Щ + в\в2 У + + 2с6>3 %92 + вф3 2 = <гв2в3 +2ав^ + ву У + 2Ь91^2в3 +6>16>2> + С<9з +свх92~%92+9ф3

1

1

з

2

1

1

з

2

2

1

1

2

Т _Ь3

2

2

4

1

2

1"3

2 3

3

2

а

11

а

а

= С-1>Л+ (Щ \ + 02 у 4 - 'ЗМз ">26>з + +0/;2 >

+ + 0{ } С < - 02 р2 + (ЩI «23 = ^1-в1+а{-02 3 + + >203 + +^2 >

з = <Н >1^2 -20, I + ^ > <+ 0{ +Ь(-0\ >Щ + 402 > + < -+ 2^1У,02 +

/>,, = <0, - >0, + ^/Л > < ^з -2Ь02\ + ()\ У <>,0, - 2с03 2(9, + 0,03 ^

/'22 = ^з " 2 а в] + 0Х02 > <02 - Ъ в А Л + <>А + 2св3 > 20, + 0203 I

Ь33 = < (Щ + 2а (\ )03 + 0,0, 'У С,03 + 2602 + ^ <0, + с0,02 £ 2(9, + 0203 I

Ьп = <1-1>02 + + в А > <>,<?, " 2^1 ^ + 022 % 20, + 0203 >

Ь2з в1 >3 + 0,02 >* +1>х02 + 203 | + 022}< +1^3 - 202 > 20, + вхвъ ^

¿13 = < " " 2^3 >+ > ^ < % + ^ + Ь { - 02 3 + 02 } 4 -1>203 + 20, > 20, + 0203;

12>

= <0Х - а0203 > 202 + вф2 У < 0103 + 2Ъ в2 3б0х + 0203 > ^^ - 2с03}(+ 03 г = $2въ-2авУ£2в2+в]въУ4в2-Ьв]в3У,в1+в2в3~}-^]в2 + 2с03}( + 0,2>

= < (Щ + 2а% 203 + 0,03 У С,03 + 2Ь 02 + 0203 У <03 + с0,02 Л + ^ > 42 = С -1>?2 + > 2^2 + "А > < " " Щ М + У {01+0{+сА-(),% + в\ I

2 л2 , / л2 "/ л/1 , п п Ж. , п , ол , лл Л ^ , лл , /.2 >

= 1£-в1+а{- 0{ 3- 2^2 + о А > ( + 1>/Л + 203 + X + ^А +

= 4-СМ -+> (о]+е1 +ь{-в22+^3><-1>2б»з + щ |+ гх = Г ^ + в2 ^ { 4 + + - в\ 3 2<93 + + 2С + ^2^3 + вА % + + 4 - <9,2 - в\ + <932 + 2С - <9^3 +^3^2 +

+ 2 Ф <- 2^2 + > Щ + > ^ <01 + в А ),

Г2 = Г( + 02 Ц{4 + О2 + ()\ - О] ][ + (А } 2С+ (Щ > 2(\ +020, + + ^ ( - 02 - 022 + ^з2 Рз + > 2С <02 " в А > 20х + 0203 5 + + 2 ( <- 202 + 0Х03 + 022 } А <01 + 0203 >03 + 0102 %), Г3 = Г ( + 02 ^ ( 4 + 02 + 022 - 032 ^ + 0203 У 2С <01 + 0203 3( + 0321 + + И - 02 - 022 + 032 > 202 + 0103 > 2С <02 - 0103 + 032 > + + 2^<202+0103^1+ в2в3 У А <0! + 0203 202 + в А 2з X

_ Л2 - А3 ^ _ А3 А1 п_А2 А1

Л ^2 ^3

А=±,В = ±,С = ±,

А1 А2 А3

К уравнениям (29), (30) добавим интегралы (9)-(11) уравнений Эйлера-Кирхгофа в компонентах вектора конечного поворота:

киР\ + к22Р2 + кЪъРъ + кП Р\Р2 + к2зР2Рз + к\ъР\Ръ +К= 32ЕР>

+ т2р2 +т3р3 =16 Кр,

где

ки =А1 + — ^203 + — ^302 , 1 2 1 2

1 2 1 2

-3,

к\2 - ^2^3 Аъв\02> к23 = -—Ах62в-з + ^2

Кх=-Г\ 1 + -п2

(

1

2 2 -2-1-3,

1

1

ei| _в2 + ^в3 I + е21 ву + ^в2в3 I + е31 1 --fl -1022 + ^бз2

1

— 02 Л--|--\ --^2^3 ) ^--^3^2 ^------^3

т2 =-А1в3[-в2 +-в1в3\ + А2[в1 +-в2в3\--А3в1[\--в2-~в\

тъ=-}-А1б\-в2 +-в1в3\ + -А2в1[в1+-в2в3\ + А3[\--в2-~в\ + -6»32 I.

2

2

2

2

2

2

2

Вывод. Уравнения Эйлера-Кирхгофа в форме (29), (30) в обобщенных координатах являются достаточно общими. Из них можно получить уравнения в углах Эйлера с помощью соотношений (27), в новых модификациях углов Эйлера, в параметрах Родрига-Гамильтона и других обобщенных координатах. Система (29)-(30) удобна для численного решения задач динамики твердого тела и механики гибких стержней, так как ее правые части являются алгебраическими полиномами

( 1 2 ^

основных переменных и не имеют особенностей I 1 + — в ^01.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Гордеев, Г. Г. Уравнения Эйлера-Кирхгофа в гамильтоновой форме (обобщенные координаты-компоненты вектора конечного поворота) // Сб. тр. горно-электромеханического факультета ДонГТУ. - Донецк, 1996. -С. 40-44.

2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А. А. Илюхин. - Киев: Наук. Думка, 1979. - 216 с.

3. Кирхгоф, Г. Механика / Г. Кирхгоф. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 404 с.

4. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

5. Харламов, П. В. Лекции по динамике твердого тела / П. В. Харламов. - Новосибирск: Изд-во Новосибир. ун-та, 1965. - 220 с.

6. Эйлер, Л. Основы динамики точки. Первые главы из «Механики» и «Теории движения твердых тел» / Л. Эйлер. - М.; Л.: ОНТИ, 1938. - 500 с.

УДК 531.38 ББК 22.21

Г. В. Горр, А. В. Мазнев

ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ

Аннотация. В работе показано, что движения тяжелого гиростата с переменным гироста-тическим моментом, при котором общий момент количества движения гиростата ортогонален барицентрической оси, возможно только при условиях, аналогичным условиям Гесса. Найдено решение уравнений движения гиростата, содержащее произвольную функцию угла нутации.

Ключевые слова: тяжелый гиростата, гиростатический момент, инвариантное соотношение.

G. V. Gorr, A. V. Maznyev

ON THE SOLUTION OF HEAVY GYROSTAT MOTION EQUATIONS WITH A VARIABLE GYROSTATIC MOMENT

Abstract. In the paper it is shown that motion of heavy gyrostat with a variable gyrostatic moment when a general moment-of momentum gyrostat is a orthogonal to the barycentric axis is possible only at