Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля с сингулярным потенциалом для идеально проводящей пластины

А.Р.Хабибуллин, Н.Р.Хуснутдинов

ЭНЕРГИЯ НУЛЕВЫХ КОЛЕБАНИИ МАССИВНОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ С СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ДЛЯ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ пластины Введение

До настоящего времени в квантовой теории поля существует проблема устранения расходимостей при вычислении энергии основных состояний в различных физических моделях. Дополнительные трудности возникают при исследовании моделей, содержащих так называемый - потенциал [2], [3],

[5], [7], [8]. Исследования, посвященные этой тематике, до конца не исчерпали проблему - потенциала. Первой работой, в которой рассматривались проблемы, связанные с сингулярным потенциалом в уравнении Шредингера, была работа Березина и Фаддеева [1]. В последние годы, в связи с рассмотрением квантованных полей на фоне нетривиальных пространств, проблема устранения сингулярностей, возникающих в квантовой теории поля, снова стала актуальной.

Существует множество способов выделения расходимостей в явном виде с последующим их устранением - размерная регуляризация, помодное вычитание, аналитическая регуляризация, дзета-регуляризация и т.д. В данной работе мы будем придерживаться последнего подхода. Применительно к эффекту Казимира этот подход был развит в ряде работ [2], [3], [4], [5], [6] Бордагом с коллегами. Отметим кратко основные моменты дзета-регуляризации.

Чтобы найти энергию нулевых колебаний, необходимо получить всевозможные энергии основного состояния системы и вычислить их полусумму. Спектр энергий обычно находится из краевых условий, которые в общем случае можно рассматривать как некое функциональное соотношение вида

^<Л-£) = 0,

где параметр характеризует граничные условия, и , _ _ ' __ - энергия.

Определенная таким образом энергия нулевых колебаний расходится. В рамках подхода дзета-регуляризации расходящееся выражение для энергии представляется в следующем виде

, - .. “ _ 1 .. - - ,

) =2^ ^_2

где 1 - дзета-функция оператора Лапласа, а ; - собственное

значение этого оператора

А = -А0 + т +1¥ '

Среди собственных чисел оператора Лапласа (3) могут быть как дискретные, так и непрерывные. По дискретным производится суммирование, а по непрерывным - интегрирование. Интегрирование приводит к величине, имеющий смысл плотности энергии. Параметр ^ с размерностью массы введен для того, чтобы величина имела размерность энергии. Для доста-

точно больших значений ряд (2) сходится. Показано, что ^ является

аналитической функцией параметра . Для получения энергии нулевых колебаний необходимо вычислить предел и . В этом пределе функция

Л7 расходится, и расходимость можно выделить в явном виде (в виде

полюсов). Это дает возможность корректным образом провести перенормировку и получить конечное значение для энергии нулевых колебаний.

Простейшим и удобным способом перенормировки является следую-

и сохранить

щий: необходимо вычислить предел больших масс А

все слагаемые, которые "выживут" в этом пределе

тогда перенормированное значение энергии нулевых колебаний имеет следующий вид

где

*?

т

2

£4-1

2

т

,£4-1-» _________2

го--)

2

Величины і:., , представляют собой коэффициенты теплового ядра,

впервые исследованные в работах [9], [10], а 1 - размерность пространства-времени. Вышеописанный метод был успешно применен при вычислении энергии нулевых колебаний для массивного скалярного поля на фоне кротовой норы в работе [11] и при нахождении энергии основного состояния скалярного поля в пространстве-времени космической струны [12]. Опираясь на данный подход, в настоящей работе исследуется энергия нулевых колебаний для одномерного пространства, содержащего сингулярный потенциал. В рамках этого подхода регуляризованная энергия нулевых колебаний представляется в виде аналитической функции

Е{ё) = - [ Щк2 -та) —

9 тг * г)!г

1/2-3

2п

Э_

дк

где 1 - . Таким образом, для вычисления энергии необходимо рассмотреть

функцию (1) на мнимой оси.

Модель

Рассматриваемая модель представляет собой массивное скалярное поле в пространстве-времени размерности £5 = 1 + 1 , содержащее - -потенциал в точке а - и и идеально проводящую границу в точке а — Л . Для того чтобы сделать спектр дискретным, рассмотрим две идеально проводящие границы в точках - и - Р . Для нахождения полной энергии нулевых колебаний поля

во всем пространстве-времени рассмотрим отдельно энергию колебаний поля в области между пластинами, где сосредоточен - потенциал, ~р/ < у < й ,

и в области вне пластин: л  - д и х > ¿( , а затем сложим полученные выражения. Сингулярный в точке л' - " потенциал г имеет следующий вид:

,. ь . Оператор Лапласа в уравнении движения поля с таким

К -- лу

а

потенциалом для мнимых энергий - имеет простой вид

л Л2 £

А = — -к2+^б(х) с1х а

где > _ /. Собственные функции оператора (8) для положительной х>К и отрицательной х<—К1 областей имеют вид:

Имеется четыре неизвестные константы. Общее решение должно быть непрерывным в точке ' - ' ! . Это приводит к первому уравнению ;Г ¡1 - "а ! | . Кроме того, условие "сшивки" производных поля на границе,

содержащей - -потенциал, приводит к следующему соотношению (10), которое получается из уравнения движения поля интегрированием по интервалу [-£+*] с последующим устремлением £ —> 0 :

, г й ф

* ¿X

-Г -г —г

ЧТО РШ^-НО : ;; _

. Идеально проводящие пла-

стины в точках К и описываются условиями Дирихле. Это дает еще два соотношения Ф~ \}[) - и й:') = й .

В итоге мы получили четыре однородных линейных уравнения на четыре неизвестных.

q;4q^cr-cr-c • er - c2+ - cf+c- +-^-(c;+c2+) = о

ka

с{е**+с;е-** = о

С{е~** +С;е+**' = О

Условием разрешимости этой системы уравнений является обращение в ноль следующей функции

, . Г-,Л Г' .иг. - г , - ,г« ^ .

* У М ' ка ка ,

Спектр энергии во внешних областях для л > 4 и л находится

из условия равенства нулю функций

--** " -УЛ!

Wo* =«

и

Для нахождения полной энергии нулевых колебаний необходимо про-

суммировать условия колебания поля для трех областей.

B(s) = - f dk(k2 -m2) — (ln {-e** A + e** А.'} +

l Sk

2 я

+ 1п{0 + Ь{е"^)),

где

ка ка

ка ка

Для нахождения энергии нулевых колебаний поля в случае одной идеально проводящей пластины в точке л-д устремим А’ -^га, тогда

принимает вид:

E(s)= C°S^]dk(k2-m2) —[п{-2+-^(1-е^

2я Qfc ket

)}

Как уже ранее было отмечено, выражение (15) расходится в пределе г — . Используя перенормировочную процедуру, изложенную во введении

(см. (4), (5)), и замену г — ' т , получим окончательное выражение для перенормированной энергии нулевых колебаний:

l/2-з

д-а"^ [¿-г iarnxil-- 2тАж)] •

_-2иА

2 атх. -£ + £е~

Необходимые для перенормировки коэффициенты теплового ядра оператора (8) приведены в приложении.

Оценим энергию нулевых колебаний (16) в пределе малых значений , т.е. при К — п . Другими словами, рассмотрим энергию нулевых колебаний, когда идеально проводящая граница располагается вблизи точки, где сосредоточен потенциал. В этом пределе получим

Ега « —~1)3с-а*Аг и -І_іп

Ат { х2 Ат

Полученная выше формула находится в полном согласии с общим результатом работы [5], в которой показано, что в таком пределе энергия логарифмически расходится, и коэффициент перед логарифмом пропорционален коэффициенту теплового ядра . В нашем случае множитель перед

логарифмом пропорционален коэффициенту . Это связано с тем, что

размерность пространства-времени в нашей модели равна

Сила Казимира 4 после замены — V имеет следующийвид

.1 " фу •

ч

Это выражение находится в полном согласии с работой Милтона [8] для энергии Казимира с двумя сингулярными потенциалами. Для сравнения достаточно сделать переобозначение: ^ —- л и Я —> Я Я /а „ Дг —> Я'¿1! & и затем устремить и —со . Устремление и —со физически означает замену сингулярного потенциала идеально проводящей стенкой. При К —;  сила Казимира расходится степенным образом

. .

АтК

Заключение

В данной работе в рамках подхода дзета-регуляризации вычислена энергия нулевых колебаний скалярного массивного поля в двухмерном пространстве-времени при наличии идеально проводящей границы и сингулярного -образного потенциала. Полученное выражение находится в согласии с ранее полученными другим способом результатами. Как энергия нулевых колебаний, так и сила Казимира не являются постоянными величинами. Идеально проводящая стенка притягивается к потенциалу. Причем в пределе малых расстояний стенки от потенциала сила притяжения неограниченно возрастает. Такого рода расходимость является обычной в теории эффекта Казимира. Например, сила Казимира между двумя идеально проводящими пластинами расходится при приближении пластин друг к другу или сила Казимира для сферы тоже расходится при стягивании сферы в точку. Если же из-

начально искать силу Казимира для совмещенных пластин или сферы, стянутой в точку, то сила Казимира будет равна нулю. Имеющееся противоречие объясняется идеальностью рассматриваемых моделей. Эффект Казимира имеет место только в определенном интервале расстояний. На очень малых расстояниях основную роль играет кулоновское отталкивание, и существенным становится учет внутренней структуры вещества границ. Но в то же время отсутствие безмассового предела в теории остается открытой проблемой. Требование конечности энергии в сверхмассивном пределе Л' не

фиксирует полностью вид энергии, если коэффициент теплового ядра Д, (в

3 + 1 измерениях) или ¿! (в 1 + 1 измерениях) не равен нулю. Необходимо

дополнительное условие. В данное время эта проблема не решена.

Приложение

В работе были получены все коэффициенты теплового ядра для дзета-функции оператора Лапласа следующим образом: в разложении 1 при

ууу -^ ууу

по степеням мы получаем

со5(тг5)^-23 - с* г, о2-1)1/2-5

Ала ^1о (2апг)* { л-2+и

Интеграл, входящий в это выражение, представляет собой соотношение для гамма-функций от при й = 1Л :

2Г

В итоге ¿ 5) представима в следующем виде:

1 т~21 “ ^*+1 + —)

--------------------

22^Г(г--)*-0^

Сопоставляя (6) с учетом размерности пространства-времени для нашей модели и (17), мы сможем найти коэффициенты теплового ядра:

Г

Литература

[1] БерезинФ.А., ФадеевЛ.Д. (1961).ДокладыАкадемиинаук СССР, Том 137, №95.

[2] Bordag, M. and Kirsten K. (1996). Phys. Rev. D53, 5753.

[3] Bordag M. and Vassilevich D. (1999). J. Phys. A32, 8247-8259.

[4] Bordag M., Elizalde E., Kirsten K. and LeseduarteS. (1997).Phys. Rev. D56, 4896.

[5] Bordag M., Kirsten K. and Vassilevich D. (1998). Phys. Rev. D59, 085011.

[6] Bordag M., Kirsten K. and VassilevichD. (1999). Publishedin 'The CasimirEffect 5o Years Later'. pp. 50-61.

[7] Gilkey P.B., Kirsten K. and Vassilevich D. (2001). Nucl. Phys. B601, 125.

[8] Milton K. A. (2004). J. Phys. A37, 6391-6406.

[9] Minakshisundaram S. and Pleijel A. (1948). Can. J. Phys.Vol.1, 242-256.

[10] Minakshisundaram S. (1953). Indian. Math. Soc. Vol.17, 158-165.

[11] Khusnutdinov N.R. and Sushkov S.V. (2002). Phys. Rev. D65, 084028.

[12] Khusnutdinov N. R. and Khabibullin A. R. (2004). Gen. Rel. and Grav. Vol.36.