Аппроксимация негладкой функции оптимального результата в одном классе задач быстродействия

АППРОКСИМАЦИЯ НЕГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА В ОДНОМ КЛАССЕ ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

Изучен один класс задач быстродействия с круговой вектограммой скоростей и в общем случае негладким и невыпуклым целевым множеством. Показана связь функции оптимального результата с обобщённым решением соответствующей краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных типа Гамильтона - Якоби и эйконала. Построены сингулярные кривые, так называемые биссектрисы целевого множества. Приведен пример решения одной задачи быстродействия. Для визуализации построения аппроксимации функции оптимального результата применен программный комплекс «ВИагрЕуе».

Ключевые слова: задача быстродействия, сингулярная кривая, краевая задача, функция оптимального результата.

1. Постановка задач

Рассмотрим взаимосвязанные задачи на плоскости К2 для заданного замкнутого множества М С К2 .

Задача I. Пусть управляемая система [1] на плоскости К2 имеет динамику

Г х = и\

\ У = V

где на управление V = (р\,р2) наложено ограничение \\р|| = \/^2 + ^ 1. Требу-

ется привести движение динамической системы (1) на множество М за наименьшее время за счет надлежащего выбора допустимого управления V = (VI, ^).

Функцией оптимального результата [1] в задаче I является функция р(х, М) расстояния до множества М (здесь и далее обозначаем жирным шрифтом вектор на плоскости х = (х,у)). Управлением, обеспечивающим приведение системы на целевое множество за кратчайшее время, является вектор V единичной длины, сонаправленный х — у, где у € Пм(х), т. е.

У — х

V = й----й, у € Пм(х).

\У — х11

Оптимальной траекторией для задачи I в произвольной точке является отрезок [х,у], где у € Пм(х).

Работа поддержана грантом РФФИ № 11-01-00427-а, грантом Президента РФ для ведущих научных школ № НШ-5927.2012.1, Программы Президиума РАН «Математические модели и алгоритмы в управляемых системах с нелинейной динамикой» при финансовой поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1012) и проекта молодых ученых и аспирантов УрО РАН «Оптимальные конструкции и аппроксимации в динамических игровых задачах».

Задача II. Пусть задано дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка [2] типа Гамильтона - Якоби

/ ди дп\ min vi— + V2 — +1 = 0

с краевым условием

Краевое условие (3) определено на границе Г = дМ замкнутого множества М С R2.

В работах [3-5] доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Функция u(x) = p(x, М) — минимаксное решение задачи Дирихле (2), (3) на множестве G, где G = R2 \ М.

Задача III. Пусть задано уравнение в частных производных первого порядка

о \ 2 / п \ 2

ди\ I ди

ах] ду) —1 = 0'

с краевым условием

Задача (4), (5) изучается в геометрической оптике: линии уровня её решения совпадают с волновыми фронтами, порождёнными источником, распределённым вдоль кривой Г. Уравнение (4) является частным случаем уравнения эйконала [6] для однородной среды.

Исходя из содержательных аспектов и постулатов геометрической оптики [6], С. Н. Кружков ввел [7] так называемое главное (фундаментальное) решение задачи (4), (5), имеющее вид и(х) = — р(х, М) .

По сути задачи 1-111 описывают один процесс — распространение волнового фронта [8; 9] от множества, когда скорость движения волны берется из круга единичного радиуса с центром в начале координат. Их решение сводится к построению функции евклидового расстояния до множества М. При этом в случае невыпуклого множества М задачи 1-111 не имеют гладкого решения. Авторами введены для его отыскания новые конструкции, описанные в следующих разделах.

2. Биссектриса множества

Свойства функции и(х) = р(х, М) изучались ранее с применением методов дифференциальной геометрии [10], выпуклого анализа [11] и теории особенностей [12]. Была выявлена геометрия линий её негладкости и предложены алгоритмы их построения.

Определение 1. Биссектрисой Ь(М) замкнутого непустого множества М С К2 назовем [13; 14] множество всех точек из его дополнения до К2, которые имеют не менее двух проекций на множество М:

Ь(М) = {х € К2 \ М: 3у1 € Пм(х) Зу2 € Пм(х) у1 = у2} .

Под множеством Пм (х) проекций точки х на множество М понимаем набор всех точек у € М, ближайших в евклидовой метрике к х.

Кривая Ь(М) является рассеивающей линией по классификации Р. Айзекса [15] в задаче быстродействия I. При построении обощённого (минимаксного) решения задачи II биссектриса является сингулярным множеством в том смысле, что через каждую её точку проходит более одной характеристики [2] уравнения (2). В задаче III кривая Ь(М) есть множество изломов волновых фронтов [7]. Изломы обусловлены тем, что в точки биссектрисы доходит световая волна от двух или более источников, расположенных на границе множества М.

Функция и(х) = р(х, М) дифференцируема во всех точках С \ Ь(М). На биссектрисе эта функция супердифференцируема [16]. Её супердифференциал имеет вид

в+и<х)=со{ РхМ): у € Пм

Введём основные элементы, необходимые для построения биссектрисы.

Определение 2. Несовпадающие точки у1 и у2 границы дМ множества М, являющиеся проекциями точки х биссектрисы Ь(М) на это множество, называются а-симметричными точками [13; 14]. При этом х называется точкой, порожденной парой (у1; у2).

Определение 3. Будем называть точку у0 € дМ псевдовершиной [13; 14] множества М, если существует последовательность {(уи, уп)}^5с=1 пар а-симметрич-ных точек, сходящаяся к (у0, у0):

Иш (уга, уга) = (уо, уо).

и^Ж

Определение 4. Пусть у0 — псевдовершина множества М с биссектрисой Ь(М). Будем говорить, что точка х является крайней точкой биссектрисы [17], соответствующей псевдовершине у0, если существуют последовательности {(уи,уп)}Ж°=1 С дМ и {хга}^°=1 С Ь(М), для которых выполняются следующие условия:

1) Иш(уга,уга) = (у0,у0);

и^Ж

2) Иш хи = х;

и^ж

3) Уи € N (уи, уи) С Пм (хи).

Подробнее о нахождении псевдовершин и крайних точек см. в [13; 14; 17].

3. Свойства биссектрисы Ь

Ранее в работах авторов разрабатывались алгоритмы построения множества Ь(М) и изучались их свойства. Найдены необходимые условия существования псевдовершин.

Теорема 2. Если у0 — псевдовершина множества М с кусочно-гладкой границей Г ив точке у0 определен радиус кривизны Я кривой Г, то кривизна к кривой Г достигает в точке у0 локального максимума.

У

Рис. 1. Множество М, биссектриса Ь(М) и волновые фронты Ф

х

Доказательство приведено в работе [14].

Выписаны координаты крайних точек биссектрисы для случая достаточно гладких псевдовершин.

Теорема 3. Пусть уо — псевдовершина множества М с биссектрисой. Если в точке у0 для кривой Г определён центр кривизны с, то с есть крайняя точка биссектрисы, соответствующая псевдовершине у0.

Утверждение доказано в [14].

Найдены достаточные условия гладкости биссектрисы и построена к ней касательная.

Теорема 4. Пусть у точки х € Ь(М) множество проекций на М состоит, из двух точек (х) = |у1, у2}, и в окрестности точек у1 и у2 кривая Г = дМ является графиком дважды гладкой функции и выполняются следующие условия:

1) х = (У1 + У2)/2 ;

2) Точка х не является центром кривизны кривой Г хотя бы в одной из точек у1; у2 (в т. ч. в одной из этих точек кривизна Г может равняться нулю).

Тогда в точке х к кривой Ь(М) определена касательная П — биссектриса угла у1ху2

Доказательство можно найти в работе [18].

Приведённые результаты используются для построения волновых фронтов — линий уровня функции расстояния до множества М. На их основе строятся аппроксимации графика функции и(х).

4. Пример решения задач 1—111

На базе введённых конструкций А. А. Успенским и П. Д. Лебедевым [19; 20] разработаны численные методы построения функции расстояния до невыпуклого множества. Реализован программный комплекс, позволяющий проводить и визуализировать вычисления в виде линий уровня функции и(х, у) на плоскости и её графика в трёхмерном пространстве [21; 22].

и(х,у)  .:

4\

3ч

2ч

и

0ч

Рис. 2. Функция u

Пример 1. Рассмотрим задачу I, в которой целевым множеством M взят под-график hyp f функции

f (x) = exp(x — 2.5) + exp(-x — 2.5) — x/10.

Биссектриса L(M) состоит из объединения трёх одномерных многообразий (гладких ветвей) и одного нульмерного — точки бифуркации Хо ~ (0.138, 3.838), в которой они склеиваются. У биссектрисы имеются две крайние точки Xi ~ (—0.335, 3.213) и Х2 = (1.021, 2.396). Они порождены соответственно двумя псевдовершинами множества M: y1 « (—2.039, 0.845) и у2 « (2.14, 0.493).

Кривая Г, линии уровня Ф функции оптимального результата u(x) = p(x, M) с шагом hp = 0.4 и рассеивающая линия L(M) показаны на рис. 1.

Функция u(x,y) в виде аппроксимации на прямоугольной сетке с размером клетки 0.2 х 0.2 представлена на рис. 2.

Альтернативным способом построения решения задач I—III является применение конечно-разностного оператора. Он основан на аппроксимации графика gr f ломаной линией и пошаговом построении ломаных, с достаточно большой точностью совпадающих с волновыми фронтами. При этом узлы полученной сет-

Рис. 3. Аппроксимация функции u

ки оказываются расположенными нерегулярно. Для их графического изображения использована система визуализации «SharpEye», разработанная П. А. Васё-вым и его коллегами [23]. Система позволяет создавать дополнительные модули для загрузки данных произвольного формата. Так, был создан модуль, считывающий расчетные данные аппроксимации функции u(x,y) и строящий по ним поверхность с помощью триангуляции Делоне. Аппроксимация решения задач I-III показана на рис. 3. На нём видны негладкие особенности графика, обусловленные формой супердифференциала (6) в точках биссектрисы L(M).

Список литературы

1. Красовский, Н. Н. Игровые задачи динамики. I / Н. Н. Красовский // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1969. — № 5. — С. 3-12.

2. Субботин, А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации / А. И. Субботин. М. ; Ижевск : Ин-т компьютер. технологий, 2003. — 336 с.

3. Успенский, А. А. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия / А. А. Успенский, П. Д. Лебедев // Прикладная математика и информатика : тр. фак-та вычисл. математики и кибернетики Моск. гос. ун-та им. М. В. Ломоносова. — М. : МАКС Пресс, 2007. — № 27. — С. 65-79.

4. Лебедев, П. Д. Построение минимаксного решения уравнений типа эйконала / П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, В. Н. Ушаков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2008. — Т. 14, № 2. — С. 182-191.

5. Brykalov, S. A. Symmetry Sets in Construction of a Minimax Solution for a Bellman-Isaacs Equation / S. A. Brykalov, P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii [et al.] // Proceedings of the 18th IFAC World Congress / Edited by S. Bittanti, A. Cenedese, S. Zampieri. — Milan, 2011. — Vol. 18, Part 1. — IFAC PapersOnLine Identifier: 10.3182/20110828-6-IT-1002.00744. — http://www.ifac-papersonline.net/Detailed/51871.html

6. Слюсарев, Г. Г. Геометрическая оптика / Г. Г. Слюсарев. — М. : Изд-во АН СССР, 1946. — 332 с.

7. Кружков С. Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала. I / С. Н. Кружков // Мат. сб. — 1974. - Т. 98, вып. 3. — С. 450-493.

8. Арнольд, В. И. Особенности каустик и волновых фронтов / В. И. Арнольд. — М. : Фазис, 1996. — 334 с.

9. Арнольд, В. И. Инварианты и перестройки фронтов на плоскости / В. И. Арнольд // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1995. — № 209. — С. 14-64.

10. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 432 с.

11. Лейхтвейс, К. Выпуклые множества / К. Лейхтвейс. — М. : Наука, 1985. — 335 с.

12. Брус, Дж. Кривые и особенности / Дж. Брус, П. Джиблин. — М. : Мир, 1988. — 262 с.

13. Лебедев, П. Д. Вычисление меры невыпуклости плоских множеств / П. Д. Лебедев // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2007. — Т. 13, № 3. — С. 84-94.

14. Лебедев, П. Д. Геометрия и асимптотика волновых фронтов / П. Д. Лебедев, А. А. Успенский // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 3 (550). — С. 27-37.

15. Айзекс, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзекс. — М. : Мир, 1967. — 479 с.

16. Демьянов, В. Ф. Недифференцируемая оптимизация / В. Ф. Демьянов, Л. В. Васильев. — М. : Наука, 1981. — 384 с.

17. Успенский, А. А. Условия трансверсальности ветвей решения нелинейного уравнения в задаче быстродействия с круговой индикатрисой / А. А. Успенский, П. Д. Лебедев // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2008. — Т. 14, № 4. — С. 82-99.

18. Успенский, А. А. Условия гладкости множества симметрии минимаксного решения одного уравнения Айзекса-Беллмана / А. А. Успенский, П. Д. Лебедев // Проблемы динамического управления : сб. науч. тр. Моск. гос. ун-та. — МАКС Пресс. — 2008. — Вып. 3. — С. 231-245.

19. Успенский, А. А. Построение функции оптимального результата в задаче быстродействия на основе множества симметрии / А. А. Успенский, П. Д. Лебедев // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 7. — С. 50-57.

20. Успенский, А. А. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества / А. А. Успенский, П. Д. Лебедев // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2009. — Т. 49, № 3. — С. 431-440.

21. Лебедев, П. Д. Алгоритмы построения сингулярных множеств для одного класса задач быстродействия / П. Д. Лебедев, А. А. Успенский // Вестн. Удмурт. ун-та. Сер. Математика, механика, компьютерные науки. — 2010. — Вып. 3. — С. 30-41.

22. Успенский, А .А. О множестве предельных значений локальных диффеоморфизмов при эволюции волновых фронтов / А. А. Успенский, П. Д. Лебедев // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 1. — С. 171-186.

23. Васёв, П. А. Конструктор специализированных систем визуализации / П. А. Ва-сёв, С. С. Кумков, Е. Ю. Шмаков // Науч. визуализация. — 2012. — Т. 4, № 2. — С. 64-77.