РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ШАРНИРНО СОЕДИНЕННЫХ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-5-389-394 УДК 624.131.5

Развитие теории расчета шарнирно соединенных балок на упругом основании

Канд. техн. наук, доц. О. В. Козунова1)

^Белорусский государственный университет транспорта

© Белорусский национальный технический университет, 2020 Belarusian National Technical University, 2020

Реферат. В статье в кратком изложении приводится обзор литературы по теории и методикам расчета шарнирно соединенных или шарнирно сочлененных конструкций на упругом основании. Автор ссылается на работы Б. Г. Коренева, Г. Я. Попова, И. А. Симвулиди, Р. В. Серебряного, А. Г. Юрьева, в которых с помощью различных подходов проведены исследования по расчету шарнирно соединенных балок и плит на упругом основании. Из анализа научной литературы по рассматриваемой тематике можно сделать вывод об отсутствии общего подхода к решению этой проблемы, справедливого для любых шарнирно соединенных балок и плит, лежащих на любой модели упругого основания при действии на них произвольной внешней нагрузки. Кроме того, аналогичная проблема по данному виду инженерных расчетов наблюдается и в нормативных документах. В Республике Беларусь для расчета несущих элементов дорожных покрытий для автомобильных дорог различного назначения и поперечного строения пути используется ряд отраслевых документов, в которых дорожная одежда с несущим элементом и соединение элементов между собой (шарнирное или жесткое) рассматриваются в несвязной постановке. В статье предлагается универсальный подход для расчета шарнирно соединенных балок на упругом основании, базирующийся на смешанном методе строительной механики с учетом соотношений Жемочкина для функций влияний упругой среды. В расчет принимаются следующие гипотезы и допущения: на контакте балки с основанием действуют только нормальные напряжения, для балок справедливы гипотезы теории изгиба, шарниры между балками являются цилиндрическими, распределение контактных напряжений по ширине балок - равномерное. В результате предлагаемого расчета исследуется напряженно-деформированное состояние системы из шарнирно соединенных балок на упругом основании, а именно: распределение контактных напряжений под балками, внутренние усилия в балках и шарнирных соединениях, а также осадки упругого основания под ними. Численная реализация этого подхода выполнена с использованием математического пакета Mathematica 10.4. Приведены примеры расчета для трех шарнирно соединенных балок на основании Винклера и семи - на упругом полупространстве.

Ключевые слова: шарнирно соединенные балки и плиты, смешанный метод, соотношения Жемочкина, упругое основание Винклера, упругое полупространство, напряженно-деформированное состояние

Для цитирования: Козунова, О. В. Развитие теории расчета шарнирно соединенных балок на упругом основании / О. В. Козунова // Наука и техника. 2020. Т. 19, № 5. С. 389-394. https://doi.org/10.21122/2227-1031-2020-19-5-389-394

Development of Calculation Theory for Hinged-Connected Beams on Elastic Base O. V. Kozunova1)

^Belarusian State University of Transport

Abstract. The paper provides a brief review of the literature on the theory and methods of calculating hinged-connected or articulated structures on an elastic base. The author refers to the works of B. G. Korenev, G. Ya. Popov, I. A. Simvulidi, R. V. Serebryany, A. G. Yuriev, in which, using various approaches, studies have been carried out to calculate hinged-connected beams and slabs on an elastic base. From the analysis of scientific literature on the topic under consideration, it can be concluded that there is no general approach to solving this problem, which is valid for any hinged-connected beams and plates lying on any model of an elastic base under the action of an arbitrary external load. In addition, a similar problem for this type of engineering calculations is observed in the normative documents. In the Republic of Belarus, a number of industry documents have been used to calculate pavement bearing elements for various highways and track transverse structures, in which road pavements with a load-bearing element and the connection of elements between themselves (hinged or rigid) are considered in an incoherent formulation. The paper proposes a universal approach for calculating hinged-connected beams on an elastic foundation, based on the mixed method of structural mechanics, taking into account the Zhemochkin ratios for functions of the elastic medium effects. The following hypotheses and assumptions are taken into account: only normal stresses act on the contact of the beam with the base, hypotheses of the bending theory are valid for beams, hinges between the beams

Адрес для переписки Address for correspondence

Козунова Оксана Васильевна Kozunova Oksana V.

Белорусский государственный университет транспорта Belarusian State University of Transport

ул. Кирова, 34, 34, Kirova str.,

246653, г. Гомель, Республика Беларусь 246653, Gomel, Republic of Belarus

Тел.: +375 232 953-650 Tel.: +375 232 953-650

kozunova@gmail.com kozunova@gmail.com

Наука

итехника. Т. 19, № 5

are cylindrical, and the distribution of contact stresses along the width of the beams is uniform. As a result of the proposed calculation, the stress-strain state of a system of hinged-connected beams on an elastic foundation has been investigated, namely: distribution of contact stresses under beams, internal forces in the beams and hinged joints, as well as settlements of the elastic foundation under them. The numerical implementation of this approach has been performed using the mathematical package Mathematica 10.4. Examples of calculation are given for different versions of hinged-connected beams and an elastic base: for three hinged-connected beams based on Winkler and seven - on an elastic half-space.

Keywords: hinged-connected beams and slabs, mixed method, Zhemochkin relations, Winkler elastic base, elastic half-space, stress-strain state

For citation: Kozunova O. V.

Введение. Обзор литературы

Из анализа научной литературы по расчету шарнирно соединенных конструкций на упругом основании можно сделать вывод об отсутствии общего подхода к решению этой проблемы, справедливого для шарнирно соединенных балок и плит различной жесткости, лежащих на любой модели упругого основания при действии на них произвольной внешней нагрузки.

Одним из первых исследованием напряженно-деформированного состояния (НДС) шар-нирно соединенных балок и плит на упругом основании в СССР занимался Б. Г. Коренев [1], который предложил использовать угловую деформацию для описания скачка в угловом перемещении слева и справа от промежуточного шарнира между соседними балками.

Г. Я. Попов [2] применил сложный математический аппарат для получения точного решения контактной задачи об изгибе шарнирно соединенных балочных плит на упругой полуплоскости, что было неприемлемо для инженерных расчетов из-за громоздкости.

Н. И. Симвулиди [3] предложил интересный метод расчета составных балок на упругом основании (автор так назвал шарнирно соединенные балки), основанный на расчленении шар-нирно соединенной конструкции на отдельные элементы (простые однопролетные и консольные) при использовании прерывателей Герсе-ванова. Однако в этом методе есть существенный недостаток, который не дал ему развиться в универсальную методику, а именно: не учитывается взаимное влияние соседних балок и трение балок с основанием.

В [4] Н. И. Симвулиди исследует работу жестко соединенных балок на упругом основании под эксплуатационной нагрузкой в виде системы перекрестных фундаментных балок с защемленными концами и сетчатых плит. Методика этого расчета построена на многократном составлении уравнений прогибов каждой элементарной балки на упругом основании, жестко соединенной с другими. Учитывая совместность деформаций в узлах перекрестных балок, в самом общем виде получена система уравнений, куда вошли заданная нагрузка,

искомые силы и моменты, возникающие по концам балок (в заделке), и силы в узлах перекрестных балок. Методика расчета перекрестных фундаментных балок не учитывает круче -ние каждой балки, что упрощает инженерный расчет, но приводит к заведомо искаженным результатам и требует уточнения.

Р. В. Серебряный [5] дал решение пространственной задачи об изгибе шарнирно соединенных прямоугольных плит на упругом полупространстве и составил таблицы для облегчения инженерных расчетов. В [6] А. Г. Юрьев использовал интегральный метод Л. П. Винокурова для решения этой задачи.

Автор данной статьи предлагает универсальный подход для статического расчета шарнирно соединенных балок на упругом основании. Расчет ведется смешанным методом [7] с использованием соотношений Жемочкина [8] для балок различной длины и жесткости, на любой модели упругого основания и при действии произвольной внешней вертикальной нагрузки.

Постановка задачи. Граничные условия

В статическом расчете рассматривается система из шарнирно соединенных балок на упругом основании под действием внешней нагрузки (рис. 1). В результате расчета исследуется НДС этой системы, а именно: распределение контактных напряжений под балками, усилия в балках и шарнирных соединениях, а также осадки упругого основания под ними.

Считается [9], что на контакте балки с основанием действуют только нормальные напряжения, для балок справедливы гипотезы теории изгиба, шарниры между балками являются идеальными, цилиндрическими, без трения. Распределение контактных напряжений по ширине балок - равномерное.

Е, V, к

Рис. 1. Система из шарнирно соединенных балок на упругом основании

Fig. 1. System of articulated beams on elastic foundation

Наука

итехника. Т. 19, № 5

Алгоритм расчета

Разобьем каждую балку на участки равной длины и в центре каждого участка поставим вертикальную связь, через которую осуществляется контакт балки с упругим основанием (рис. 2). Полученную многократно статически неопределимую систему решаем смешанным методом строительной механики [7], приняв за неизвестные усилия Хк в связях Жемочкина на контакте балок и основания, линейные ик и угловые фк перемещения введенного на краях балок защемления и поперечные силы Qk в разрезанных промежуточных шарнирах (рис. 3).

h

у EI I j. v.

jCL

nm

; i m ! i a un un

S

E, v, h

Рис. 2. Связи Жемочкина на контакте балок и основания

Fig. 2. Zhemochkin connections at the contact of beams and base

Основная система смешанного метода приведена на рис. 3.

У Ol 02 Оз О,

Ф1

EI I

U I ^

Фз

Ф4

гт

Ф5

Т V * ¥ I Ï * # Si IX ¥ * Î ¥ ¥ <tUW

U1 X X f2tt H i"3 к * A 4 f ft X 5 X

E, v, h

Рис. 3. Основная система смешанного метода Fig. 3. Mixed method basic system

Система канонических уравнений смешанного метода для расчета одной балки с номером i имеет вид:

51ДХх +... + д1тХт + и, -ф, x -8iqQ, + + Ai,, =0;

8m,1 X1 + - + 8m,mXm + "г " ФгХт " 8m,QQ.i + + p = 0;

m

"I X, + Q.,1 + R = 0;

k=1

£ ХЛ -1 Qгд - М = 0;

к=1 т

£5кЯХк - SÍ,QQÍ - и + 1 ф+ AQ,р + иг+1 = 0,

к=1

где т - число участков Жемочкина на балке; и, фг- - неизвестные линейное и угловое переНаука

итехника. Т. 19, № 5

мещения введенного защемления на балке с номером г; Я, М - равнодействующая внешних сил и момент равнодействующей относительно введенного защемления на балке с номером г; Qi - поперечная сила в разрезанном шарнире по правую сторону балки с номером г; Хк - усилие в связи Жемочкина с номером к.

Для основания Винклера:

S..k =-

1

Kbc 3EI

-w,.

k'

г = k ;

8k =

3EIб

-w,

i,k>

г ф k,

где К - коэффициент постели упругого основания; Е1б - изгибная жесткость балки.

Для упругого полупространства

8 = F +

г,k - -г i,k +

лЕ„С

3EIб

-w

i,k '

где £о, Цо - упругие параметры основания; -безразмерная функция, определяемая из соотношений [8]:

Fг г = 2

ib b ln — + — ln

c c

+1

(

+ ln

1 +

F,k =1

b2 1

•+ 1

x  x.

Ь, с - размеры участка Жемочкина на балке (Ь -ширина балки).

При иной модели упругого основания соотношение Жемочкина (4) меняется как для двухслойного [10], так и для комбинированного основания [11].

Прогибы балки в основной системе смешанного метода с защемлением на краю балки определяются по формулам [8]: 2

Wi,k = 3~ "Xi

„ xt хг

Wik =ir'3-"

xk > xi ;

Свободные члены системы (1) зависят от вида внешней нагрузки и определяются с использованием формул (5). Последнее уравнение в (1) выражает условие отсутствия взаимного

2

2

вертикального перемещения в промежуточном шарнире между соседними балками.

Если обозначить число балок через N, то общее число неизвестных усилий в связях Же-мочкина, линейных и угловых перемещений введенных защемлений на балках и поперечных сил в промежуточных шарнирах для расчета рассматриваемой системы составных балок выразится формулой

Ы

Структура системы разрешающих уравнений для системы балок представлена на рис. 4. Блоки по главной диагонали образованы по системе (1), побочные блоки являются нулевыми для основания Винклера. Для упругого полупространства они характеризуют взаимное влияние балок и определяются с использованием формул (4).

На рис. 4 введены следующие обозначения блоков системы разрешающих уравнений: Ой -блоки по главной диагонали системы разрешающих уравнений: О11 - левый блок главной диагонали матрицы коэффициентов, составленный для первой слева балки, не учитывает влияние смежных балок; О22 - средний блок главной диагонали матрицы коэффициентов, составленный для средней балки, тоже не учитывает влияние смежных балок, и т. д.; Оу -побочные блоки системы разрешающих уравнений: О12 - побочный блок, составленный для первой балки, но от воздействий на второй балке, т. е. учитывает влияние смежных балок, и т. д.

о,

Du

D31

Dr.

Dr.

D3.

Q-:

Dr:

D.3

D3

Рис. 4. Структура системы разрешающих уравнений Fig. 4. Structure of system of resolving equations

Численные результаты

Пример 1. Рассмотрим систему из трех шарнирно соединенных жестких балок одинаковой длины l на упругом основании Винклера с к = 10 кН/м3.

Собственный вес балки 20 кН. Средняя балка центрально нагружена силой 100 кН. При расчете балка разбивается на девять участков Жемочкина.

На рис. 5 показан график распределения нормальных напряжений с на контакте шарнирно соединенных балок с упругим основанием.

с, кПа

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 х, м 3,0

Рис. 5. Распределение нормальных напряжений на контакте шарнирно соединенных балок с упругим основанием

Fig. 5. Distribution of normal stresses at the contact of articulated beams with elastic foundation

Очевидно, что график перемещений шарнирно соединенных балок на их контакте с упругим основанием получается из графика распределения нормальных напряжений (рис. 5) умножением ординат напряжений на постоянный множитель.

Поперечные силы в цилиндрических шарнирах, соединяющих соседние балки, одинаковы. Согласно расчетам, их значения равны 13,25 кН.

Пример 2. Рассчитаем систему из семи шарнирно соединенных гибких балок из метал-лополимерного материала, каждая из которых одинаковой длины (3,6 м), ширины (0,4 м) и высоты (0,3 м), изгибной жесткостью Е1б = = 1000 кНм2 на упругом полупространстве с упругими параметрами Ео = 20 МПа, = 0,3. Балки загружены равномерно распределенной нагрузкой q = 10 кПа. При расчете балка разбивалась на девять участков Жемочкина.

На рис. 6 приведен график распределения контактных напряжений с под шарнирно соединенными гибкими балками из металлопо-лимерного материала.

-9,5 с, кПа

-10,0

-10,5

10

15

20 х, м 25

,r\r\r\r\r\i

Рис. 6. Распределение контактных напряжений под шарнирно соединенными (составными) гибкими балками из металлополимерного материала

Fig. 6. Distribution of contact stresses under articulated (composite) flexible beams made of metal-polymer material

Наука

итехника. Т. 19, № 5

Q

Q

Q

Q

Пример 3. Рассчитаем систему из семи шарнирно соединенных гибких балок из сборного железобетона, выбранных по грузоподъемности и несущей способности в соответствии с серией 1.415.1-2 Типовые конструкции, изделия и узлы зданий и сооружений «Балки фундаментные железобетонные для наружных и внутренних стен производственных зданий промышленных предприятий», выпуск 5 [12].

Графики распределения поперечных сил Q в шарнирах составных гибких балок из метал-лополимерного материала и их линейные перемещения и представлены на рис. 7 и 8 соответственно.

Каждая из балок марки 4БФ48-5 из бетона класса С20/25 (Еб = 29 ГПа) со следующими геометрическими и упругими параметрами: длина 4,68 м, переменная ступенчатая ширина: 0,52 м - верхняя полка, 0,26 м - нижняя полка, высота 0,30 м, изгибная жесткость Е1б = = 18850 кНм2 на упругом полупространстве с Ео = 20 МПа, = 0,3. Балки загружены равномерно распределенной нагрузкой д = 50 кПа. При расчете балка разбивалась на девять участков Жемочкина.

Рис. 7. Распределение поперечных сил в шарнирах составных гибких балок из металлополимерного материала

Fig. 7. Distribution of shear forces in hinges of composite flexible beams made of metal-polymer material

u, м 0,046 0,044 0,042 0,040 0,038 0,036 0,034

....

5 10 15 20 25 х, м

Рис. 8. Линейные перемещения шарниров составных гибких балок из металлополимерного материала

Fig. 8. Linear movements of hinges of composite flexible beams made of metal-polymer material

На рис. 9 приведены графики распределения контактных напряжений с под шарнирно соединенными гибкими балками из сборного железобетона.

5 10 15 20 25 х, м 30

-48 о, кПа -52 -54 -56

Рис. 9. Распределение контактных напряжений под шарнирно соединенными гибкими балками из сборного железобетона

Fig. 9. Distribution of contact stresses under articulated flexible beams made of precast concrete

На рис. 10, 11 приведены график поперечных сил Q в промежуточных шарнирах соединения гибких балок из сборного железобетона и их линейные перемещения соответственно.

0,02 0,01

0

-0,01 -0,02

0 х,

5 10 15 20 25 3

Рис. 10. Распределение поперечных сил в промежуточных шарнирах составных гибких балок из сборного железобетона

Fig. 10. Distribution of shear forces in intermediate hinges of composite flexible beams made of precast concrete

u, м 0,016 0,015 0,014 0,013 0,012

10

15

20

25

30

35 х, м

Рис. 11. Линейные перемещения промежуточных шарниров составных гибких балок из сборного железобетона

Fig. 11. Linear displacements of intermediate hinges of composite flexible beams made of precast concrete

Наука

итехника. Т. 19, № 5

5

ВЫВОДЫ

1. Предложен общий подход к статическому расчету шарнирно соединенных балок на упругом основании. Расчет ведется смешанным методом с использованием соотношений метода Жемочкина для балок различной длины и жесткости, соединенных цилиндрическими шарнирами, на любой модели упругого основания и при действии произвольной внешней вертикальной нагрузки.

2. Результаты численного расчета соответствуют гипотезам строительной механики, теории упругости и механики грунтов и позволяют полностью описать напряженно-деформированное состояние балок (внутренние усилия), их соединений (поперечные силы в шарнирах) и упругого основания (осадки), а также более корректно описать контактную зону взаимодействия балок с основанием.

3. Возможности предлагаемой методики расчета шарнирно соединенных балок на различных упругих основаниях свидетельствуют о ее универсальности и применимости при проектировании фундаментов в промышленном и гражданском строительстве, а также элементов дорожных покрытий при устройстве дорог.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коренев, Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании / Б. Г. Коренев. М.: Стройиздат, 1954. 232 с.

2. Попов, Г. Я. О расчете неограниченной шарнирно разрезной балочной плиты, лежащей на упругом полупространстве / Г. Я. Попов // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1959. № 3. С. 25-33.

3. Симвулиди, И. А. Составные балки на упругом основании / И. А. Симвулиди. М.: Высш. шк., 1961. 204 с.

4. Симвулиди, И. А. Расчет сложных фундаментов на упругом основании / И. А. Симвулиди. М.: Высш. шк., 1969. 51 с.

5. Серебряный, Р. В. Расчет тонких шарнирно соединенных плит на упругом основании / Р. В. Серебряный. М.: Стройиздат, 1962. 64 с.

6. Юр'ев, О. Г. Разрахунок шаршрно-з'днатх балок на податазий основ! !з застосуваниям штегрального методу / О. Г. Юр'ев // Труды Х1Б1. 1963. Т. VII, вып. 29. С. 44-55.

7. Ржаницин, А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржа-ницин. М.: Высш. шк., 1991. 439 с.

8. Жемочкин, Б. Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании / Б. Н. Жемочкин, А. П. Синицын. М.: Стройиздат, 1962. 240 с.

9. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Мали-кова, В. И. Соломин. М.: Стройиздат, 1984. 680 с.

10. Босаков, С. В. Расчет прямоугольной плиты на двухслойном основании / С. В. Босаков, С. И. Зиневич // Наука и техника. 2018. Т. 17, № 2. С. 91-94. М1р8:/Мог о^/10.21122/2227-1031-2018-17-2-91-94.

11. Босаков, С. В. Об одной модели упругого основания и ее использовании для расчета прямоугольной плиты на упругом основании / С. В. Босаков, С. И. Зиневич, О. В. Козунова // Строительная механика и расчет сооружений. 2018. Т. 279, № 4. С. 2-5.

12. Балки фундаментные железобетонные для наружных и внутренних стен производственных зданий промышленных предприятий. Вып. 5: Балки без предварительного напряжения продольной арматуры для стен зданий с шагом колонн 6 м. Рабочие чертежи. Указания по применению: Типовые конструкции, изделия и узлы зданий и сооружений. Серия 1.415.1-2. М.: Госстрой СССР, 1990. 28 с.

Поступила 06.06.2019 Подписана в печать 20.08.2019 Опубликована онлайн 30.09.2020

REFERENCES

1. Korenev B. G. (1954) Calculation Issues for Beams and Slabs on an Elastic Foundation. Moscow, Stroyizdat Publ. 232 (in Russian).

2. Popov G. Ya. (1959) On the Calculation of an Unrestricted Hinged-Split Beam Slab Lying on an Elastic Half-Space. Izvestiya Vuzov. Stroitelstvo i Arkhitektura = News of Higher Educational Institutions. Construction, (3), 25-33 (in Russian).

3. Simvulidi I. A. (1961) Elastic Split Beams. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 204 (in Russian).

4. Simvulidi I. A. (1969) Calculation of Complex Foundations on an Elastic Foundation. Moscow, Vysshaya Shko-la Publ. 51 (in Russian).

5. Serebryanyi R. V. Calculation of thin Hinged-Connected Plates on an Elastic Foundation. Moscow, Stroyizdat Publ. 64 (in Russian).

6. Yuriev O. G. (1963) Calculation of Hinged Beams on a Pliable Base Using the Integrated Method. Trudy KhIBI [Trudy Proceedings of the Kharkov Civil Engineering Institute], VII (29), 44-55 (in Ukrainian).

7. Rzhanitsyn А. R. (1991) Building Mechanics. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 439 (in Russian).

8. Zhemochkin B. N., Sinitsyn A. P. (1962) Practical Methods of Calculations of Foundation Beams and Slabs on an Elastic Base. Moscow, Stroyizdat Publ. 240 (in Russian).

9. Gorbunov-Posadov M. I., Malikova T. A., Solomin V. I. Calculation of Structures on an Elastic Base. Moscow, Stroyizdat Publ. 680 (in Russian).

10. Bosakov S. V., Zinevich S. I. (2018) Calculation of a Rectangular Plate on the Two-Layer Basis. Nauka i Tekhni-ka = Science and Technique, 17 (2), 91-94 (in Russian). https://doi.org/10.21122/2227-1031-2018-17-2-91-94.

11. Bosakov S. V., Zinevich S. I., Kozunova O. V. (2018) About one Model of the Elastic Basis and its use for Calculation of a Rectangular Plate on the Elastic Basis. Stroitelnaya Me-khanika i Raschiot Sooruzhenii = Structural Mechanics and Analysis of Constructions, 2018, 279 (4), 2-5 (in Russian).

12. Typical Constructions, Products and Units of Buildings and Structures. Series 1.415.1-2. Reinforced Concrete Foundation Beams for External and Internal Walls of Industrial Production Buildings. Issue 5. Beams without Prestressing Longitudinal Reinforcement for Building Walls with a Column Pitch of 6 m. Working Drawings. Directions for Use. Moscow, Cosstroi USSR, 1990. 28 (in Russian).

Received: 06.06.2019 Accepted: 20.08.2019 Published online: 30.09.2020

Наука

итехника. Т. 19, № 5