Специфика движения диска на реологическом основании

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 3

УДК 531.3

Г.В. Павлов, М.А. Кальмова СПЕЦИФИКА ДВИЖЕНИЯ ДИСКА НА РЕОЛОГИЧЕСКОМ ОСНОВАНИИ

Построена новая математическая модель силового взаимодействия, движущегося по реологическому основанию модели Кельвина. Получена система дифференциальных уравнений движения диска в форме модифицированных уравнений Чаплыгина, включающих обобщенную реологическую силу реакции, а также уравнения неголономных связей. Исследована устойчивость невозмущенного движения по уравнениям первого приближения. Показано, что режимы прямолинейного движения диска и верчение вокруг вертикального диаметра неустойчивы по углу нутации 0.

Ключевые слова: связи неголономные, реологическое основание, кривая релаксации, годограф Михайлова.

Реологические модели находят широкое применение при анализе работы конструкции из синтетических материалов. К достоинствам применения реологических моделей следует отнести относительную простоту их математического описания, поскольку уравнения движения в основном выражаются в форме обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоретически и экспериментально доказано [1], что реологическое тело Кельвина - Фойхта наиболее корректно описывает природу несовершенной упругости при стационарных и нестационарных колебаниях неметаллических материалов. Но, к сожалению, вопрос построения уравнений Лагранжа для анализа гироскопических систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина в литературе практически не освещался. При составлении уравнений Лагранжа в такого рода системах обычно вводят функцию Релея с полной или неполной диссипацией или поправку на рассеяние энергии в форме нелинейной функции, учитывающей гистерезисные потери.

Как показывает обзор литературы [1-4], анализ устойчивости диска на реологическом основании тела Кельвина отсутствует. Поэтому проведём анализ устойчивости движения диска на основании Кельвина.

Рассмотрим движение однородного кругового жесткого диска массой М и радиусом г по вязкоупругому основанию, наделенному деформационно-демпфи-рующими свойствами, отвечающими физической модели Кельвина, и работающему совместно с безмассовой оболочкой-мембраной с конечной жесткостью с1 на растяжение. Предполагается, что основание имеет точечный контакт с диском, причем силы взаимодействия сводятся к силе, приложенной в точке касания и вертикально направленной. Силовое взаимодействие между диском и основанием, вообще говоря, сводится к реологической реакции Р и моменту трения Мтр, так как контакт колеса и основания с учетом их деформаций осуществляется по некоторой малой поверхности контакта. Приложив их к диску, образуем модель диска с точечным контактом. Но как показано в работе автора [2], модуль момента трения убывает по экспоненциальному закону - релаксационной кривой, асимптотически приближаясь к постоянной, близкой к нулю, а вертикальная деформация основания при надлежащем выборе эксплуатационных параметров основания

может быть пренебреженно малой. Поэтому решаем задачу в предположении, что кривизна линии контакта основания и диска меньше кривизны диска. Тогда справедлива гипотеза о точечном контакте диска с основанием.

Движение диска отнесем к неподвижной системе координат О |пС (рис. 1) с началом в точке О в опорной плоскости. Ось q направлена вертикально вверх.

С точкой касания диска D свяжем полуподвижные оси Кёнига D|*n*Z* - параллельные осям О^пС и движущиеся поступательно. Неизменно с центром диска свяжем систему координат Сх-yz, ось z направлена по нормали к плоскости диска. За обобщенные координаты приняты координаты центра масс диска |с, пс, Zc, углы Эйлера у , 9 , ф , а также Z - вертикальная координата точки касания диска с основанием. Имеет место соотношение Zс = Z + r sin 9 .

Уравнения связей получим из равенства скоростей точки диска и точки основания в точке касания

VD = VC +¡x CD,

где VD = ( >V - вектор скорости деформации точки основания, совпадаю-

щей с точкой касания диска, в нашем случае: V^ = Vn = 0,.

Проецируя векторное равенство (1) на неподвижные оси координат, получим | c = r [0 sin ф sin 9-cos ф(ф + ф cos 9)],

П c =-r [9 cos ф sin 9 + sin ф

Z c = Z + r9 cos 9.

Два первых уравнения (2) представляют уравнения неголономных связей, последнее уравнение - голономная связь и может быть проинтегрирована. Кинетическая и потенциальная энергии диска имеют вид

П = Mg(rsin9 + Z) + CjZ2 /2.

„ , , Mr2 Mr1

Здесь Ix = Iy = ^ , Iz = i - экваториальный и аксиальный центральные моменты инерции диска, а юхюу raz - задаются кинематическими уравнениями Эйлера, g - ускорение свободного падения.Учитывая склерономность связей и то, что кинетическая, потенциальная энергии и уравнения связей не содержат обобщенных координат |с, пс, целесообразно записать уравнения движения диска в

форме модифицированных уравнений Чаплыгина - в уравнения включены обоб-

к

щенные реологические силы - Z bkjPk. В этом случае уравнения движения диска

j=i

можно исследовать независимо от уравнений связей:

Lj ^ ¿¡,t) + Z bkjpk = Bj

j=i

d dT dT

Здесь Lj jq,q,t) =-Q',, qf = (,у,9,ф) - Лагранжиан индекса j, опи-

dt dq j dq,

сывающий движения диска на реологическом основании, T - кинетическая энергия, выраженная через независимые обобщенные скорости, Q'. - обобщенные силы с исключенными вариациями зависимых координат, B j - гироскопические силы, порождаемые неголономностью связей, причем Ву = —mr 29 ф sin 9, B9 = 0,

Вф = mr 29ср sin 9, K -число реологических элементов, b- = 2 e¡k~~J~, % - на-

T j=i За-

правляющие косинусы реакции Pk в i-й точке, х: - декартовые координаты точки приложения реологической силы Pk , m - число обобщенных координат, v - число неголономных связей. Координата ф является циклической, так как не содержится в уравнениях движения, координата у - псевдоциклической, ввиду вхождения её в коэффициенты неголономных связей. Напряженно-деформированное состояние реологического основания по координате Z определяется уравнением

nkPk + Pk = nkcZ + cz , где nk - время релаксации k-го элемента, c, C - соответственно мгновенный и длительный модули упругости основания.

Уравнения движения (3) допускают частные решения вида

9 = 90 , 9 = 0, ф = ф0 = ю, у = у 0 = Q, Ç = Ç 0, Z = 0, P = P0, P = 0,

описывающие стационарные невозмущенные движения диска.

Уравнения невозмущенного движения диска имеют вид

Mg + P0 + C1Z0 = 0 , P0 - CÇ0 = 0,

Mgr cos 90 +

— ¡Hf « U9 •

3N dX:

При фиксированных значениях ф и ф эти уравнения допускают семейство установившихся решений относительно 9 .

Из (5) следует, что размерность многообразия стационарных движений диска равна двум. На рис. 2 приведены графические иллюстрации невозмущенных дви-

п

жений. В интервале значений 0 <9< — точки кривой обозначают движение диска

с различными нутационными угловыми скоростями О > Окр по круговым орбитам с постоянным углом отклонения плоскости диска от основания; при 9 = п/2, О = 0, 0 (рис. 2, а) диск совершает прямолинейное движение и при

9 = п /2, О = ю = 0 (рис. 2, б) - происходит верчение вокруг неподвижного вертикального диаметра. На всех графиках нижняя ветвь физически не реализуется.

Исследуем устойчивость невозмущенного движения по уравнениям первого приближения. Положив ф = Q + Xj, ф = ro + X2, 9 = 90 +x3, 9 = X3, Z = Z0 + X4,

Z = X4, P = P0 + x5, P = X5, линеаризуя уравнения движения диска в окрестности стационарного движения (4) и ограничиваясь первыми степенями возмущений, получим уравнения возмущенного движения первого приближения:

kjx4 + k2 х5 + k3X3 + k4 X4 = 0,

¡X +12 X2 +13 X3 = 0, mj Xj + m2 X2 + m3 X3 + m4 X3 + m5 X4 = 0, n1Xc1 + n2 X2 + n3 X3 = 0,

Px4 + P2 X5 + P3 X4 + P4 X5 = 0.

Здесь kj = cj, k2 = 1, k3 = Mrcos90, k4 = M,

¡j = 2 [('X + ^ + Mr2) - 4 - Mr2) cos 200 ], ¡2 = ( + Mr2 )Q sin 90,

¡3 = [(IX^cos90 -Izю)-2(lz + Mr2)cos90 Jsin90,

m1 =[(lz + Mr2) ю - 2 (lX - Iz - Mr2) cos 90 J sin 90, m2 =(lz + Mr2) sin 90,

|^(/г + Мг200890 -( -12 -Мг2)2 соб2 90 + ( -12 -Мг2)2 біп2 90], т4 = 1Х + Мг2, т5 = Мг соб 90,

П = ( + Мг2)об90, п2 = /г + Мг2, п3 = -( + 2Мг2 )біп90,

Р = -с, Р2 = 1, Р3 = -с • п, Р4 = п. Характеристическое уравнение имеет вид

X2 ^$0^5 + а^4 + $2^3 + о^з^2 + а4Х + ) = 0.

Нулевым корням соответствуют простые элементарные делители. Два нулевых корня характеристического уравнения обусловлены двумерностью многообразия стационарного движения диска. Необходимые условия устойчивости имеют вид

Д1 = а1 >0, Д2 = а1а2 -а0а3 >0, а3 = а1 (а2а3 -а1а4)-а0(а2 -а5а4)>0,

А 4 =

а1 а0 0 0

аз а0 а а0

0 0 а5 а4

> 0, А5 = а5 > 0.

Ввиду необозримости коэффициентов а/, анализ условий (7) затруднителен.

п

Поэтому условия устойчивости движения диска при 9=90 ф — исследованы чис-

2

ленно при следующих данных: п

= —, ф0 =ю = 100 с 1, М = 0,2 кг , г = 0,2 м , е = 9,8 м/с2 , /г = Мг ,/. =

4 х 4 2 2

Н Н

у0 =О = 20с-1, с = 150 — , с = 0,7• с —, п = 50с.

мм

Применяя критерий Михайлова [4], в уравнении (6) делаем замену X = /ю , где ю - угловая скорость диска на границе устойчивости. Отделяя вещественную и мнимую части, приходим к уравнениям

Рис. 3. Годограф Михайлова

и = а5 - а3ю2 + а,ю4 ,

V = а4ю - а2ю3 + а0ю5.

На рис. 3 видим, что вектор годографа Михайлова поворачивается на угол П • 5 рад. Следовательно, режим движения диска, соответствующий заданным эксплуатационным и начальным условиям, будет асимптотически устойчив.

и

Можно показать, что координата Z в режиме прямолинейного движения диска п

(90 = —, vj/ = Q = 0, ф = ю Ф 0) будет устойчивой.

В этом случае уравнения движения диска принимают более простой вид:

M £ + P +Mg = 0,

nP + P - ncZ - cZ = 0. ф = 0.

Исключая реологическую реакцию P , запишем

nMZ +M Z + ncZ + cZ+Mg = 0, ф = 0.

Внося в уравнение (9) Z = Z0 = const, получим уравнение для определения деформации Z в установившемся режиме

cZ 0 + Mg = 0.

Принимая установившийся режим за невозмущенное движение, сообщим координате Zo возмущение Z = Zo + z . Тогда с учетом равенства (10) получим уравнение возмущенного движения

nMz + Mz + ncz + ~cz = 0 .

Характеристическое уравнение nMX3 + MX2 + ncX + c = 0 в соответствие с данными (8) имеет корни

X1 =-0,015, X2 =-0,0025-12,25/, X3 -0,0025 +12,25/.

Таким образом, заключаем, что установившееся движение по координате Z асимптотически устойчиво.

Общее решение уравнения (9) принимает вид

Z = -^ + Ае~ЮЛШ + Be-0 0025t cos12.25t + De~'0 0025t sin12.25t.

c

Из (11) вытекает, что диск на реологическом основании движется по инерции с постоянной скоростью и совершает вертикальные затухающие колебания, которые накладываются на медленное экспоненциальное движение. Поэтому можно утверждать, что координата Z является устойчивой. Характер изменения координаты Z показан на рис. 4.

см

y'vWW'J-Vw

> VvV v vA/v WO vv>v W v W OW

vWvWtivWr

svt'vfrvtivWv

Рис. 4

Более полную информацию о характере устойчивости диска по отношению к переменным 9, ^, 9, 4 и у,ф получим [3], перейдя от фазовых переменных 9, ^, 9, 4, У и ф системы уравнений (2), (3) к переменным 9, ^, 9, £,

дТ дТ , „

рф = ——, ру = —- и введем аналог функции Рауса при помощи соотношения

R = T - П -||Ру Ар II

где обобщенные скорости псевдоциклических координат исключены с помощью соотношений

у

Здесь

~их + I, + тг2 + (и -3Х + тг2)со829 — (3, + тг2)со829

^ 4 X , ' , X ' ^ , '

2

- блок матрицы кинетической энергии Т, содержащий коэффициенты при псевдоциклических координатах ф и у .

Представим

R = R2 + Rj + Rq ,

где R2 =110 с|| -0,

R1 = Q - система гироскопически не связана, ввиду ра-

венства нулю блока матрицы кинетический энергии 9га , содержащего коэффициенты при смешанных позиционных и псевдоциклических координатах,

RQ =- П - 21 Ру Рр>||

Ру

Рр

1 ,т ч mr ,

— (Jx + mr) —cos(

2 x 2

mr m

cos 0 2 2

- блок матрицы кинетической энергии T , содержащий коэффициенты при позиционных координат 0, р.

Представим уравнения движения диска (3) в новых переменных

d dR2 dt d0

DW d dR2

DW

D0 dt dZ DZ

Р У = ГРу0,Р p= Г Рр0

1

R2 = —

2\ А 2 л

-1

р

DW _ dW DW _ dW D0 _ 50 ’ DZ _ 5Z ’

cz 2

W _ rng(r sin0 + Z) +-^~ + (Jxpl + (p« + 8pb(Jz + даг2) - 4p«pw (Jz + даг2)cos0 +

Рф2(- Jx + Jz + mr 2)cos20

- измененная потенциальная энергия диска. В новых переменных частное решение, определяющее стационарное движение диска, принимает вид

0_а, Z_P, Z _0, 0 _ 0, pv_Pv, p«_P«

и удовлетворяет уравнениям

2

8(—4Pm + P« cos a)(-JxP« + Pm (4Jx - 3(JZ + даг ))cos a sin a gдаr cos a+---------------------^--------------------=---------2-----_0,

mg + с^р + P _ 0.

Стационарные движения диска будут устойчивы, если выполняются неравенства

D 2W д 2W

+ даг sin 0

dW д 2W dW d2W

> 0,

D2W d2W

Д92 д92 дРу дРфд9 дРф дРуд9

_ _ = с > 0

DQ2 дZ2 1

Границы зон устойчивости, с использованием данных (8), были построены графически (рис. 5).

Рис. 5. Границы зон устойчивости при 0 Ф п/2

Таким образом, движение диска при отсутствии покрывающей мембраны становится неустойчивым. Характер устойчивости диска в режиме верчения вокруг вертикального диаметра (9=п /2, ф = ю= 0, 0^0) представлен на рис. 6. Отсюда следует, что верчение вокруг вертикального диаметра неустойчиво, тогда как верчения вокруг наклонных диаметров (0,39п < 0 < 0,64п) - устойчивы и на практике реализуются. Анализ устойчивости прямолинейного движения диска (9=п/2, 0 = 0, ю^0) можно проследить на рис. 7, где видно, откуда вытекает неустойчивость движения диска в этом режиме.

Ш, Дж 0,4

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 9, рад

Рис. 6. Границы зон устойчивости в режиме верчения

W, Дж 40 30 20 10 0

\ Г"\

/ \ I 1 \

\ V —

\

\

0 0 ,5 —' 2 2,5 3 0

Рис. 7. Границы зон устойчивости в режиме прямолинейного движения

ЛИТЕРАТУРА

1. Василенко Н.В. Теория колебаний. Киев: Высща Школа,1992. 430 с.

2. Павлов Г.В., Кальмова М.А. Эффект влияния полосы контакта упруго-вязкого основания на динамику диска // Вестник СамГТУ. 2009. С. 186-192.

3. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 166 с.

4. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971. 312 с.

Статья поступила 21.11.2011 г.

Pavlov G.V., Kal’mova M.A. SPECIFIC CHARACTER OF DISK MOTION ON THE RHEOLOGICAL GROUND. This paper proposes a new mathematical model of disk motion on the rheological ground on the basis of Kelvin’s model. A system of differential equations of the disk motion is derived in the form of modified Chaplygin equations involving generalized rheological response force as well as nonholonomic constraints equations. The instability of undisturbed motion is studied by equations of the first approximation. It is shown that the rectilinear motion of the disk and spinning around a vertical diameter are unstable with respect to the nutation angle 0.

Keywords: nonholonomic connections, rheological ground, relaxation curve, Mikhailov hodo-graph

Pavlov Georgiy Vasil’evich (Samara State University of Architecture and Civil Engineering) E-mail: senitskiy@mail.ru

Kalmova Maria Aleksandrovna (Samara State University of Architecture and Civil Engineering) E-mail: Kalmova@inbox.ru