Распространение возмущений вверх по потоку во внутренних течениях

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2006

№ 1 — 2

УДК 532.542:532.526

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ВВЕРХ ПО ПОТОКУ ВО ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЯХ

С. В. ДУБИНСКИЙ

Рассматривается одна из краевых задач для системы уравнений, описывающей взаимозависимое развитие возмущений в пограничных слоях плоского канала [1]. Возмущающим условием выступает изменение давления на срезе канала. Исследуются свойства системы уравнений на режиме интенсивного обмена возмущениями между стенками и сходимость численного решения к аналитическому. Приводятся результаты численного решения задачи, в которой возмущающее условие ставится на правой границе расчетной области для различных режимов. Обсуждаются особенности постановки граничных условий для уравнений, содержащих функции с запаздывающим аргументом.

В сороковых годах XX века ученые обратили внимание на то, что в областях с большой локальной кривизной контура тела, местах падения скачков уплотнения, точках отрыва и присоединения потока теория Прандтля неприменима. Предпринятые для объяснения этого феномена экспериментальные исследования позволили обнаружить интересное явление, которое состояло в том, что при падении скачка уплотнения на пограничный слой наблюдалось распространение возмущений вверх по потоку. Поскольку согласно линейной теории сверхзвуковых течений вне конуса Маха информация не распространяется, здесь, очевидно, имело место распространение возмущений по дозвуковой части пограничного слоя.

Рациональное математическое описание этого явления, дающее хорошее совпадение с результатами эксперимента, было получено с появлением асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя с невязкой частью сверхзвукового течения [2]. Особый интерес оно представляет во внутренних течениях, где влияние оказывают дополнительные факторы, например, отражение от стенок канала акустических волн давления, возникающих по разным причинам в невязком ядре потока. Впервые процесс вязко-невязкого взаимодействия был рассмотрен применительно к плоскому каналу в работах [4 — 6]. В [7 — 9] подобные исследования были продолжены, в частности был рассмотрен режим, на котором пограничные слои, развивающиеся на стенках плоского канала, имеют возможность взаимодействовать друг с другом через общее невязкое ядро.

1. Постановка задачи о взаимодействии в канале. В работе [1] была рассмотрена задача о воздействии малого возмущения на сжимаемый газ, протекающий со сверхзвуковой скоростью по плоскому каналу. В соответствии с [2] при воздействии на течение возмущения давления с амплитудой Ар << 1 изменяется толщина вытеснения пограничного слоя, причем основной вклад в это изменение вносит пристеночная область с малыми скоростями. При нелинейном воздействии на пристеночное течение изменения скорости по порядку величины здесь

1/2 тт

оцениваются как Аи ~ и ~ Ар . Предположение о влиянии вязкости в этой области приводит к

известным оценкам теории свободного взаимодействия [2], в основе которой лежит трехслойная схема.

В [1] были сформулированы основные предположения и проведен асимптотический анализ для

режимов, на которых влияние вязкости в этой области в первом приближении несущественно, что приводит к оценкам четырехслойной схемы взаимодействия [3]. В этом случае в возмущенной области имеется возможность выделить четыре масштаба толщины: потенциальное ядро 1; область, трансформировавшуюся из невозмущенного пограничного слоя 2; невязкую нелинейную зону 3; вязкий подслой 4 (рис. 1).

В [1] были введены следующие обозначения для координат, отсчитываемых вдоль поверхности канала по нормали к ней, времени, компонентов вектора скорости, плотности, давления и коэффициента вязкости: 1х, 1у,

и/ида, идаи, иху, рдар, рдаидар , цдац. Параметр I определяет

в задаче расстояние от входного сечения канала до области, где вносятся возмущения, параметр й — ширину канала. Индекс «да» относится к размерным параметрам невозмущенного набегающего потока. Предполагается, что число Рейнольдса Яе = рдаида1 / велико, но не превосходит критического значения, так что сохраняется ламинарный режим течения. На основании оценок, сделанных в [1], в области 3 порядки возмущений функций таковы, что предельный переход

Рис. 1. Схема взаимодействия в канале

Яе

Ар ^ 0, Ар Яе

1/4

приводит систему уравнений Навье — Стокса в этой области к системе уравнений

дхп

диз + дРз дУз дхз

= 0,

диъ 5у3

дхз дУз

= 0,

дРз

дУз

= 0

как для нижней, так и для верхней стенки канала.

В настоящей работе, как и в [1], предметом исследования являются такие режимы течения, для которых ширина канала совпадает по порядку величины с поперечным размером потенциального ядра 1. Это условие приводит к необходимости учета воздействия течения вблизи одной стенки на течение вблизи другой стенки канала. При этом существенно, что характерная скорость в какой-либо области определяется как отношение продольного размера, одинакового для всех рассматриваемых областей, к характерному времени. Поскольку наименьшие величины продольной скорости характерны для областей 3 и 4, оказывается, что нестационарные процессы в областях 3 и 4 сопровождаются квазистационарными процессами в областях 1 и 2. Таким образом, любое возмущение, индуцируемое течением вблизи нижней стенки, мгновенно (в масштабе времени, характерном для пристеночного течения) передается вдоль характеристики в невязком течении и воздействует на течение около верхней стенки.

Решения уравнений (1.2) можно искать в виде:

из- (xз,Уз+,із) = Уз + 4+ ^,із) - Аз-(хз -А^зХ

и3- (хз,Уз-,із) = Уз- + Аз-(хз,із) - Аз+(хз - А,із).

Здесь и далее индексами «+» и «-» обозначены функции соответственно в нижнем и верхнем пограничном слое канала. Функции А+ и А- происходят из решения волнового уравнения

в невязком ядре. Параметр подобия А = (р№/рда)12 (й/1 )а,р2 (Ар/в) определяет расстояние между

текущей точкой на одной из стенок и точкой, откуда приходит возмущение с противоположной стенки вдоль характеристики. В последнем равенстве рм, — плотность жидкости у стенки; а —

коэффициент трения вблизи области взаимодействия; в = ^(М2 -1), М — число Маха

—1/2

в невязком ядре потока над областью взаимодействия; е = Re ' — масштаб толщины

невозмущенного пограничного слоя. С использованием (1.3) уравнения (1.2) могут быть преобразованы

и объединены в систему, связывающую верхний и нижний пограничные слои:

д(А3+ -#3_) +(а _в )д(А3+ -в3-) = др3+

&3 У 3+ ^ дх3 дх3 ’

д(А3- _в3+) +(а _в )д(А3- _в3+) = др3-д^3 3 3+ дх3 дх3

Здесь введены обозначения: В+ = А+ (х - А, ^), В-= А- (х - А, ^). В случае, когда возмущения

вносятся вследствие изменения условий вниз по потоку, а не присутствием на стенке неровности, как в [1], выражения для давления, также получающиеся из решения задачи в невязком ядре, имеют вид:

д

Р3+ (х3, *3 > = [А+ (х3, *3 > + А- (х3 - А, ^3 >],

д3

Р3- (х3, *3 > = [ А- (х3, ^ > + А+(х3 - А, Ь)].

дх3

Тогда уравнения, связывающие пограничные слои плоского канала, в отличие от [1], являются однородными:

д(А+-В->,(А в )д(А+-в-) д2(А++В->

+

д

д1 ' - +' дх дх2

(индекс «3» в уравнениях опущен).

Ниже будут проанализированы предельные случаи системы (1.6) по величине параметра А, приведены замечания об особенностях постановки граничных условий на срезе канала и даны соответствующие численные решения.

2. Режим отсутствия взаимодействия между стенками канала. На режиме А ^ да, в силу условия отсутствия возмущений на входе в зону взаимодействия

А+

из системы (1.6) исчезают члены в+ и в-, в результате чего каждое из уравнений (1.6) превращается в уравнение Бюргерса:

+ А

д1 дх дх

Это приводит к тому, что уравнения системы (1.6) оказываются не связанными между собой, и получаются две независимые задачи, т. е. взаимодействие между противоположными пограничными слоями плоского канала пропадает. Чтобы дать качественную картину распределения давления в канале в этом случае, можно привести пример численного решения двух краевых задач: в первой — на срезе поддерживается постоянный перепад давления:

Р (^еза , > )=дА+ (дТ ’' > =-• (23>

во второй — возмущение на срезе вносится в виде кратковременного импульса:

/ \ дА+ (хсреза , to >

Р (хсреза, t0 ) =----дх-= _1’ Р(хсреза, t > t0 > = °. (2.4>

Как видно из результатов решения, и в первом (рис. 2), и во втором (рис. 3) случае возмущения локализуются около среза, быстро затухают и проникновения каких-либо волн вглубь канала не наблюдается.

3. Появление взаимодействия между стенками канала. Пограничные слои плоского канала начинают взаимодействовать, когда параметр А по величине становится меньше длины расчетной зоны. В этом случае, в силу соотношения (1.5), возмущения давления в пограничном слое могут быть индуцированы возмущениями, приходящими с противоположной стенки.

Однако, прежде чем привести результаты численного решения системы (1.6) на режиме, когда величина А ограничена, необходимо сделать замечание относительно постановки соответствующей краевой задачи. Так же как и для случая отсутствия взаимодействия между пограничными слоями канала, на левой границе ставятся условия отсутствия возмущений:

Р+ (х, 0| х=1 = Р- (х, 0| х=1 = А+( х, t )| х=1 = А- ( х, t )| х=1 = 0. (3.1>

Источником возмущений выступает правое граничное условие. Наиболее ясный

физический смысл имеет условие вида (2.3) или (2.4) для изменения давления на срезе. Однако

поставить его на режиме (3.1) не так просто. Дело в том, что в соответствии с (1.5) искомая функция давления зависит не только от значений функций А+ (х, t) и А- (х, t) в точке х, но и от

значений этих функций в точке (х - А). Это означает, что, формулируя на правой границе условия для давления

д

Р+ (хсреза,t> = - д ( А+ (хсреза,t) + А- (хсреза -А )) = Р0+,

^ (3.2>

Р- (хсреза,t> = - дх ( А- (хсреза,t) + А+ (хсреза - А,t)) = Р0-,

и в то же время решая уравнение (1.6) относительно функций А+( х, t) и А-(х, t), для

удовлетворения (3.2) необходимо потребовать на каждой из стенок выполнения сразу двух условий для каждой из указанных функций. Очевидно, что для уравнения второго порядка такое требование не может быть выполнено.

Причиной этой проблемы является то, что при численном моделировании уравнения системы (1.6) решаются последовательно относительно функций А+ (х, t), А- (х, t) , и условие на правой границе необходимо поставить именно для той функции, относительно которой выполняется расчет. На первом этапе соответствующего итерационного процесса это А+ (х, t) , на

О 7 14 21 І 5 25 45 -V

Рис. 4. Возмущения давления на срезе (правое граничное Рис. 5. Возмущения давления в канале в разные моменты у словие) времени на режиме А = 1.5

втором — А-( х, ґ) . Естественно, что распределения давления, которые получаются в результате

решения этой краевой задачи, необязательно удовлетворяют (3.2).

На основании изложенных замечаний рассмотрим обратную задачу. Если условия поставить раздельно для функций А+

дА+

дх +, дх

которые не несут сами по себе физического смысла, то в результате решения получим некоторые

распределения А+(х,ґ) , А-(х,ґ) , удовлетворяющие (1.6). Тогда на правой границе будут

некоторые нестационарные распределения давления, сгенерированные самой задачей:

д (А+ (хсреза, ґ) + А- (хсреза А,ґ )) р+ (хсреза,ґ) р0+,

дх

— дх (А- (хсреза,ґ) + А+- (хсреза — А,ґ)) _ р- (хсреза,ґ) _ р0-.

Таким образом, анализ решений рассматриваемой задачи должен быть проведен совместно с анализом в некотором смысле искусственного краевого условия, которое привело к этому решению.

Так, граничные условия

А+

поддерживаемые на срезе канала на режиме А_1.5 , формируют там распределение давления, представленное на рис. 4. Оно носит колебательный характер, что приводит к распространению осцилляций от среза канала вверх по потоку (рис. 5).

Эти результаты иллюстрируют качественное изменение механизма распространения возмущений в канале при усилении взаимодействия между стенками. Оно приводит к тому, что в отличие от задачи (2.2) на таких режимах возмущения распространяются по пограничному слою в виде волновых пакетов. При этом результаты численного моделирования свидетельствуют о том, что тенденция к более активному распространению возмущений усиливается по мере уменьшения А.

4. Режим наиболее интенсивного взаимодействия между стенками канала. Рассмотрим, теперь, режим наиболее интенсивного обмена информацией между пограничными слоями

канала, что соответствует пределу А ^ 0 . В этом случае функции А+ (х - А, t) и А_ (х - А, I) в системе (1.6) можно разложить в ряд по малому параметру:

дх ) ( . . дА_ | V + дх ^ д2 ( АА | , .

А+_А + А----------------------------------------I—-- =—-\ А++ А _А-| + о(А

+ я,, я,, ^ ..2 + я,, V

дt V дх ) дх дх2 V дх

д| А _А + АдЛ+! . _.чд(А _А^ +АдА+

,

А__А++А^\---------^----“ТУ| А_+ А+_А^++°(А).

дt V + дх ) дх дх2 V + дх

Если отбросить слагаемые порядка о(1), то уравнения (4.1) с точностью до о(А) примут вид:

А(А+_А) + (А+_А )А(А+_А1 = _А2_(А+ + А ),

А'

д(А _ А+) , д(А _А+) д2 ,

---- + (А _А+)-^-------^ = ——(А + А+).

д^ У - дх дх2 ~ +

Согласно [9] рассмотрим два частных случая полученной системы (4.2): симметричный, в котором у системы (1.6) предполагается существование решения

А+

и антисимметричный, для которого

А+

В антисимметричном случае система (4.2) расщепляется на два независимых уравнения:

АА*+ 2 а+АА+ = 0,

дt дх

дА „, аа л

—_ + 2 Л_ —_ = 0. дt дх

Эти эволюционные соотношения допускают существование разрывов [10]. Они

представляют собой предел гладких решений уравнения Бюргерса при уменьшении диссипации. Следовательно, однородная антисимметричная задача в рассматриваемом пределе должна приводить

к появлению движущихся фронтов, на которых функции течения терпят разрыв.

В симметричном случае система (4.2) выходит на стационарное решение:

А+= Л_ = А = С1х + С2,

где С1 и С2 — произвольные константы, определяющиеся из граничных условий.

Рассмотрим, насколько хорошо результаты численного решения согласуются с аналитическим решением. Уравнение (4.6) с граничными условиями

А+

имеет в расчетной области х е [0.50] решение:

А±

На рис. 6, 7 представлено численное решение задачи (1.6) при А = 0.1, с условиями

Рис. 6. Сходимость функции Л(х) к аналитическому решению

Рис. 7. Сходимость функции р(х) к аналитическому решению

Рис. 8. Возмущения давления в канале для разных режимов в момент Г « 1

Рис. 9. Правое граничное условие для рассматриваемых режимов

А+

и условиями (4.7) при г > 0.

На рис. 6 видно, как решение сходится к аналитическому результату (4.8). Производить дальнейший маршевый расчет по времени от момента Г«1 в данном случае физически некорректно, поскольку при Г > 1 не выполняется условие отсутствия возмущений давления на входе

в область взаимодействия, вследствие чего полученные результаты перестают быть применимыми к физике. Но данный пример приводится исключительно для того, чтобы подтвердить совпадение численных результатов с результатами анализа.

Решение, представленное на рис. 7, определяет характер распространения возмущений на режиме интенсивного взаимодействия между стенками. Тенденция, наблюдающаяся при уменьшении параметра взаимодействия, состоит в том, что за одинаковое время возмущения преодолевают большее расстояние от среза. Это иллюстрирует представленное на рис. 8 распределение давления для момента времени Г«1 на режимах А = 0.3; 0.2; 0.1. Возмущение имеет вид уединенной волны, которая постепенно размывается, распространяясь вверх по течению. Эту волну генерирует нестационарное возмущение на срезе, приведенное на рис. 9. Поскольку оно имеет одинаковую для всех режимов частоту, можно предположить, что разная скорость движения волны обусловлена разными величинами А, разной интенсивностью обмена возмущениями между стенками канала. Что касается эффекта размывания формы волны в процессе движения, то соответствующий механизм, как следует из результатов, представленных на рис. 7, порожден самой задачей и направлен на то, чтобы приблизить решение к аналитическому пределу (4.8). Таким образом, он является не следствием работы схемной диссипации, а характерной особенностью системы уравнений (1.6).

В заключение отметим, приведенные результаты подтверждают, что усиление процесса обмена возмущениями между пограничными слоями, развивающимися на противоположных стенках, пробуждает такие механизмы, которые нельзя увидеть в задаче без взаимодействия, описываемой несвязанными уравнениями Бюргерса. Обилие краевых задач, которые можно сформулировать в рамках настоящего рассмотрения, позволяет изучить не только традиционные симметричные и антисимметричные моды течения, но и большое количество режимов, при которых источники на стенках могут быть или не коррелированы между собой, или связаны с изменением термодинамических и геометрических характеристик потока.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации (проект МК-2717.2005.1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Дубинский С. В., Липатов И. И. О распространении возмущений в пограничных слоях во внутренних течениях // МЖГ. — 2004, № 4.

2. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений //

Труды ЦАГИ. — 1974. Вып. 1529.

3. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. — 1982. Т. 263, № 1.

4. Smith F. T. On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes //J. Fluid Mech. — 1976. Vol. 78. Pt. 4.

5. Smith F. T. Flow Through Constricted or Dilated Pipes and Channels // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 1976. Vol. 29. Pt. 3.

6. Smith F. T. Upstream interactions in channel flows // J. of Fluid Mechanics. — 1977.

Vol. 79. Pt. 4.

7. Богданова Е. В., Рыжов О. С. О свободных колебаниях вязкой несжимаемой жидкости в полубесконечном канале // ПММ. — 1983. Т. 47. Вып. 1.

8. Рубан А. И., Тимошин С. Н. О распространении возмущений в пограничном слое на стенках плоского канала // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1986. № 3.

9. Николаева Е. М., Тригуб В. Н. О самоиндуцированном взаимодействии пограничных слоев в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. — 1995. № 4.

10. Нелинейные волны / Под ред. Лейбовича С. и Сибасса А. — М.: Мир. — 1977.

Рукопись поступила 10/XI2004 г.