Применение метода разумных целей для задач с неопределенностью

УДК 519.85

А.В. Холмов

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗУМНЫХ ЦЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧ С НЕОПРЕДЕЛЕНОСТЬЮ1

Предлагается метод поддержки принятия решений в многокритериальной задаче конечного выбора с критериями, принимающими значения на достаточно малых интервалах. Показывается, что на этот случай переносятся концепции метода разумных целей, основанного на визуализации многомерной границы Парето выпуклой оболочки критериальных точек и отборе малого числа альтернатив, соответствующих цели, указанной ЛПР.

Ключевые слова: многокритериальный выбор, стохастические критерии, граница Парето, выпуклая оболочка, разумная цель.

А. V. Kholmov APPLICATION OF REASONABLE GOALS METHOD FOR UNCERTAIN SYSTEMS

New method is proposed for decision support in multi-objective choice problem with objectives, which values belong to sufficiently small intervals. It is demonstrated that this problem can be studied with the help of the reasonable goals method, which is based on visualization of high-order Pareto frontier of the convex hull of the objective points and on selecting a small number of alternatives related to the goal identified by decision maker.

Keywords: multi-objective choice, Pareto frontier, convex hull, reasonable goal.

Введение

Рассмотрим задачу выбора решения, имеющую большое число практических приложений. Пусть есть конечное число N альтернативных вариантов решения (при этом оно может быть сколь угодно большим). Каждый вариант задан значениями m характеристик (то есть показателями качества) y1 y2,..., ym. Необходимо найти наиболее предпочтительный вариант среди предложенных. Значения показателей для альтернатив могут быть, например, результатами эксперимента (быть может вычислительного) либо результатами наблюдений и сбора статистики.

Будем исходить из того, что выбор наиболее предпочтительной альтернативы необходимо осуществить некоему лицу, принимающему решения (ЛПР). Основная задача, которая возникает при разработке систем поддержки принятия решений (СППР), - помочь ЛПР (либо другому пользователю СППР) в анализе возможностей принятия решения.

Необходимость применения СППР возникает в задачах выбора с большим числом вариантов. Как правило, человеческий разум не способен уже в задаче из 20 вариантов и 7 характеристик адекватно воспринимать информацию, представленную в виде списка альтернатив. Это приводит к затруднениям при ее практическом решении. Таким образом, требуется привести информацию в такую форму, которая была бы понятна и в то же время сохраняла бы все существенные черты исходной задачи.

Математически проблема выбора формулируется следующим образом. Пусть возможные альтернативные решения х являются элементами конечного множества X :

х е X ,1 X 1< «>.

Пусть выбор осуществляется с использованием нескольких показателей качества (критериев выбора решений) y = f (х):

У = f ( X) = ( fi( X), f^ ( X),..., fm ( X)).

Функция f является отображением, переводящим исходное множество стратегий в множество точек критериального пространства. Ограничимся случаем f : X ^ Rm. Для определенности предположим, что предпочтительным является увеличение значений критериев.

Для поддержки принятия решения в этой задаче в 1994г. А.В. Лотовым и Д.В. Гусевым в [1] был предложен метод разумных целей (МРЦ), позволяющий выбрать подмножество точек множества X на основе представления совокупности критериальных точек f (х), х е X в графическом виде. МРЦ был успешно применен к задачам экологического и экономического характера.

МРЦ рассчитан на использование четко заданной информации: каждой альтернативе ставится в соответствие некоторая точка в критериальном пространстве. На практике же значения показателей качества

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант ГК 2010-1.2.1-000-029-072) и РФФИ (грант № 10-01-00199).

для альтернатив часто заданы неточно, а значения того или иного критерия удается оценить отрезком, внутри которого находится это значение. В этом случае каждой альтернативе соответствует не точка в т -мерном пространстве, а т -мерный параллелепипед:

А = {у е К” I у < у < у1,I = 1,т}.

МРЦ был перенесен на такие задачи в [2,3].

Задача статьи состоит в том, чтобы применить модификацию МРЦ для случая неточной информации. При этом в разделе 1 на основе описания МРЦ для точных данных вводятся основные понятия, используемые в исследовании; в разделе 2 описывается модифицированный МРЦ для случая с неточной информации; наконец, в разделе 3 рассматривается пример применения этого метода.

1. Метод разумных целей

Опишем сначала МРЦ для решения задач с данными, которые заданы точно, то есть когда нет неопределенности и каждой альтернативе ставится в соответствие некоторая точка в критериальном пространстве. Этот метод поддержки принятия решений основан на использовании компьютерной визуализации информации при отборе одного или нескольких предпочтительных вариантов решения из их большого числа для дальнейшего детального анализа и окончательного выбора решения.

Так как данные заданы точно, то можно считать, что конечное число альтернатив задано в виде строк некоторой таблицы, часть столбцов которой представляет собой значения критериев выбора. Особенностью МРЦ является интерактивная визуализация паретовой (недоминируемой) границы выпуклой оболочки многомерного множества точек, порождаемых строками таблицы.

Напомним, что для определенности рассматривается задача многокритериальной максимизации, то есть пользователь заинтересован в увеличении значений каждого из критериев.

Определение. Пусть у = (у1у2,..., ут) и у' = (у '1 у '2,..., у 'т) - некоторые векторы из Ят: у, у'е Ят . Будем говорить, что у' доминирует у по Парето, если

у \ > у{, VI =1 т и у' * у.

Будем обозначать доминирование по Парето через у' > у.

Определение. Будем говорить, что у' доминирует у по Слейтеру, если

у \ > у>, VI = 1, т.

Будем обозначать доминирование по Слейтеру через у' ^ у.

Обозначим У = /(X) = ^ /(х). Пусть У = {у1,у2,...,ум}.

хеХ

В МРЦ изучается не само множество У , а его выпуклая оболочка:

N N

Ус = сану(у1,у2,...,yN) = {у е Ят I у = ,а >0,£ц. = 1}.

1=1 1=1

Так как ЛПР заинтересован в увеличении оценок по всем критериям, то он сделает свой выбор не из всего исходного множества Ус , а из его паретовского (недоминируемого по Парето) подмножества:

Р(Ус) = {у е Ус 1{у'е Ус I у' ^ у} = 0}.

Определение. Выпуклой оболочкой Эджворта-Парето (ВОЭП) множества У называют множество

Ус = {у е Ят I зу'е Ус : у> у,VI = 1^}.

Из определения видно, что У^ = Ус + (-К”). Отметим, что Р(Ус) = Р(Ур).

МРЦ состоит из следующих шагов:

1. Построение (или аппроксимация) выпуклой оболочки Эджворта-Парето (ВОЭП) множества

У = / (X).

2. Визуализация паретовой границы ВОЭП наборами ее двухкритериальных сечений.

3. Выбор пользователем целевой точки на паретовой границе ВОЭП.

4. Отбор альтернатив, показатели качества которых соответствуют в определенном смысле целевой точке.

Методы аппроксимации выпуклых тел, применяемые на шаге 1, описаны в [4].

Рассмотрим проблему визуализации. При т = 2 недоминируемая граница Ус показывает связь между критериями в графической форме и поэтому характеризует замещение (так называемая кривая объективного замещения). Проанализировав кривую объективного замещения, пользователь может выбрать

наиболее предпочтительное сочетание значений критериев (цель y*) прямо на недоминируемой границе ВОЭП. Цель, вообще говоря, может не совпадать ни с одним из критериальных векторов из Y , так что требуется дополнительна процедура отбора.

Если число критериев равно трем, то для демонстрации недоминируемой границы ВОЭП можно использовать более сложные изображения, сохраняющие в то же время простоту. Это так называемые карты решений, представляющие собой совокупности границ сечений ВОЭП, определяемых значениями третьего критерия. Эти границы не пересекаются, что определяет их близость к обычным топографическим картам.

Если же число критериев превосходит три, то необходимо использовать программное обеспечение диалоговых карт решений (ДКР), в которых влияние четвертого, пятого и других критериев можно изучить с помощью интерактивной визуализации и анимации карт решений. Выбрав одну из карт решений, пользователь может указать цель непосредственно на предпочтительном сечении. Подробно визуализация на основе ДКР описана в [4].

Так как обычно целевая точка y* не совпадает ни с одним из критериальных векторов, то отбираются одна или несколько альтернатив, связанных с ней значениями критериев в том или ином смысле. В [1] было предложено отбирать альтернативы следующим образом: критериальная точка отобранной альтернативы должна быть максимумом по y е Y по крайней мере одной функции U(у,Д), где Д > 0,i = 1, m -

^ ^ * параметры свертки критериев, построенной с использованием целевой точки y :

U(y,A) = -max Д(y* - yt).

i

Точнее говоря, для любой отобранной с помощью МРЦ альтернативы х' существует набор Д' = (Д\,Д'2,..., Дm) > 0 такой, что

f (х') е Arg max U(y, Д ’).

ye Y

Реализовать такой подход «в лоб» не представляется возможным, так как пришлось бы решать бесконечное число задач оптимизации для всех Д > 0 . В [1] было показано, что совокупность решений всех таких задач оптимизации есть точки, выбранные по следующему алгоритму (рис. 1):

- Рассматривается множество y* + (—R+1), которое содержит все точки, доминируемые целевой точ-

v.» * r%m *

кой y , и является конусом в R с вершиной в y .

- На конус y* + (—R+1) проецируются точки множества Y , которые лежат вне его. Для этого у каждой точки y множества Y сравниваются значения координат со значениями соответствующих координат целевой точки y* . Если значение координаты yi лучше yi* (то есть yi > yi* ), то это значение заменяется

*

на значение yt ; в противном случае значение координаты не меняется.

- Среди модифицированных критериальных точек выбираются недоминируемые по Парето. Отбираются альтернативы из X , которые порождают выбранные критериальные точки.

На рисунке 1 алгоритм отбора точек представлен для случая двух критериев. На нем видно, что точки 1,2,4,5 лежат вне конуса и проецируются на него. Точка 3 лежит внутри конуса, а потому не изменяется. Среди точек 1',2',3,4',5' недоминируемыми по Парето являются точки 2',3,4'. Это значит, что альтернативами, отобранными на основе целевой точки, выбранной ЛПР, являются альтернативы, критериальными точками которых являются точки 2,3,4.

Рис. 1. Алгоритм отбора критериальных точек по целевой точке для задачи без неопределенности

Интерпретировать этот результат можно следующим образом: пользователь (ЛПР) фиксирует некоторый уровень притязания для каждого критерия, причем предполагается, что для него значительно важнее достичь этот уровень, чем превзойти его.

Заметим, что, вообще говоря, в совокупности отобранных критериальных точек могут быть точки, доминируемые по Парето (но не доминируемые по Слейтеру). При этом в такой совокупности будут содержаться и точки, доминирующие их по Парето. Так что для выделения недоминируемых по Парето точек необходимо провести дополнительный отбор среди полученных альтернатив.

2. Модификация МРЦ для случая неточной информации

Модификация МРЦ для случая неточной информации предложена в [2,3]. Каждой альтернативе х из множества X соответствует уже не точка в т -мерном пространстве, а т -мерный параллелепипед:

А = {у е Ят I у < у < у;,I = 1,т}.

Через Q(Ят) обозначим множество всех параллелепипедов в пространстве К", ограниченных гиперплоскостями, перпендикулярными осям координат. Тогда значения критериев задаются отображением ¥: X ^ Q(Rm), то есть для х е X имеем ¥(х) е Q(Ят).

Введем бинарные отношения для элементов множества Q(К"), аналогичные доминированию по Парето и доминированию по Слейтеру для точек т -мерного пространства. Пусть А и В - некоторые т -мерные параллелепипеды: А, В е Q(Ят).

Определение. Будем говорить, что А доминирует В по Парето, если для У а е А, УЬ е В выполняется а У Ь.

Будем обозначать доминирование по Парето для множеств так же, как и для точек через А У В . Аналогично дадим следующее.

Определение. Будем говорить, что А доминирует В по Слейтеру, если для У а е А, УЬ е В выполняется а Ь.

Будем обозначать доминирование по Слейтеру для множеств через А В .

Модифицированный МРЦ для задачи с неточной информацией состоит из следующих шагов:

1. Построение (или аппроксимация) ВОЭП множества наилучших точек параллелепипедов, соответствующих всем альтернативам (то есть точек у = (у,, у2,..., ут) с наибольшими значениями координат).

2. Визуализация паретовой границы ВОЭП на основе использования ДКР.

3. Выбор пользователем целевой точки у* на паретовой границе ВОЭП.

4. Отбор альтернатив, показатели качества которых соответствуют в некотором определенном смыс-

^ * ле целевой точке у .

Подчеркнем, что пункты 1-3 полностью повторяют эти пункты для случая без неопределенности. Алгоритм отбора альтернатив по выбранной ЛПР целевой точке состоит в следующем:

- На множество у + (-Я+1), где у - целевая точка, проецируем т -мерные параллелепипеды, которые лежат вне его. Стоит заметить, что если часть параллелепипеда лежит вне построенного конуса, а часть внутри, то проецируются только те точки, которые находятся вне конуса. Точки, которые находятся внутри конуса остаются без изменений. Проецирование точек происходит по такому же алгоритму, что в детерминированном случае.

- Среди модифицированных множеств выбираются недоминируемые по Парето. Альтернативы, которые им соответствуют, и есть множество альтернатив, отбираемых для дальнейшего анализа.

Для случая двух критериев алгоритм проиллюстрирован на рисунке 2.

Рис. 2. Алгоритм отбора альтернатив по целевой точке для задачи с неточными данными Как уже упоминалось, в [1] было доказано, что все решения задачи с точно заданными данными, полученные с помощью МРЦ являются решениями задачи оптимизации для какой-либо из сверток критериев. Можно провести анализ модифицированного МРЦ, в ходе которого доказывается аналогичное утверждение, а значит, и обосновывается отбор альтернатив в предложенном методе.

3. Пример применения метода к конкретной задаче

Описанная методика была применена к задаче улучшения качества воды в бассейне реки. Математическая модель, которая подробно описывает изучаемую проблему, наиболее полно представлена в работе [6]. Приведем краткое описание модели.

В модели предполагается, что задано К предприятий, осуществляющих выброс загрязненных сточных вод в реку. Концентрации загрязняющих веществ измеряются в гидрологических пунктах, расположенных ниже точек выброса.

Гидрологические пункты, расположенные ниже точек выброса, разбивают реку на К участков (створов). Расход воды Qk в реке в районе к -го гидрологического пункта задан. Пусть I - число загрязнителей, рассматриваемых в модели. Уравнение баланса г -го загрязнителя для к -го створа имеет вид:

к

Мы = £я>„- + 3°°т°, к = 1,2,...К, г = 1,2, ...I,

г=1

где тг - сброс из источников, расположенных выше первого предприятия,

Мы - поток г -го загрязнителя в реке через к -й гидрологический пункт,

- коэффициент распада к к -му створу г -го загрязнителя, поступившего из г -го предприятия, тн - сброс г -го загрязнителя в единицу времени в составе сточных вод г -го предприятия.

Считается, что потоки т° каждого из I загрязнителей заданы заранее.

В технологической модели очистки стоков рассматривается совокупность из N возможных технологий очистки, заданных своими удельными приведенными затратами и коэффициентами очистки сбросов, различными для разных загрязнителей. Задача состоит в выборе некоторой технологии для каждого из К предприятий. Потоки загрязнителей в составе сточных вод после очистки, т.е. величины ткг, заданы соотношениями:

N

ти = т0(1 -Х4А,), к = 1,2,...К, г = 1,2,...1 ,

п=1

где т°. - поток г -го загрязнителя в составе сточных вод, выбрасываемых к -м предприятием до строительства очистных сооружений,

8Ы - коэффициент очистки г -го загрязнителя при обработке сточных вод по п -й технологии очистки (0 <6т < 1),

tkn - целочисленная переменная, равная единице, если технология применяется для очистки сточных вод к -го предприятия, и нулю в противном случае. Предполагается, что на каждом предприятии может быть использована только одна технология.

Концентрация -го загрязнителя в речной воде в к -той станции мониторинга вычисляется по формуле:

ф = Мш /ак, к = 1,2,...К, 1 = 1,2,...I,

где Цк - расход воды в реке в районе к-го предприятия.

Относительная концентрация -го загрязнителя, измеряемая в используемых водохозяйственниками единицах предельно допустимой концентрации (ПДК), в к -том створе вычисляется по формуле:

г* = Ф /Ф™ к = 1,2,...К, г = 1,2,...I,

где ф1™* - ПДК для г -го загрязнителя. В качестве критериев загрязненности речной воды используются максимальные по всем створам значения относительных концентраций, т.е. величины

= тах гкг , г = 1,2,...! ,

к

представляющие собой максимальные загрязнения отдельными веществами по всей реке.

Модель расчета затрат на очистку сточных вод имеет следующий вид. Поскольку каждая технология очистки описывается стоимостью обработки кубического метра стоков, то приведенные затраты на водоохранные мероприятия на к -том предприятии рассчитываются по формуле:

N

рк = Чк Е ап*кп , к = 1,2,..., К ,

п=1

где чк - объем стоков к -го предприятия в единицу времени, ап - стоимость обработки кубического метра стоков по п -й технологии очистки. В качестве стоимостного критерия в системе используется общая стоимость проекта улучшения качества воды, равная сумме расходов по всем предприятиям.

Как уже говорилось, задача состоит в выборе технологий, которые будут использованы для очистки стоков для каждого из предприятий.

Для демонстрации применения методики, описанной в статье, нами было рассмотрено 3 критерия: стоимость проекта, а также максимальные по реке концентрации двух видов загрязнений. При этом рассматривалось 14 предприятий, где для каждого из предприятий считался возможным выбор одного из двух вариантов технологических решений по очистке выбросов. Таким образом, в нашем исследовании было рассмотрено 214 = 16384 возможных вариантов проекта очистки выбросов. Неопределенность задавалась отрезками возможного изменения одного из критериев, а именно стоимости проектов. В качестве минимального значения стоимости проекта бралась его стоимость в задаче с точными данными [7], далее задавалось процентное отклонение значения стоимости проекта от минимального значения (оно одинаково для всех проектов).

Например, пусть ц - стоимость г -го проекта, £ - выбранное относительное отклонение (выражен-

£

ное в процентах). Тогда значение стоимости г -го проекта будет лежать в отрезке [щ, (1 + ^^)а ].

На рис.3 представлена черно-белая копия карты решений, представляющей паретову границу ВОЭП для этой задачи. Здесь по оси абсцисс показывается значение ПДК для второго типа загрязнения, а по оси ординат - ПДК первого вида загрязнения. Разным штриховкам соответствуют различные стоимости проектов. Карта решений построена с помощью системы КвББ [8].

Рис. 3. Визуализация паретовой границы ВОЭП для задачи улучшения качества воды

Пусть в качестве целевой точки y* пользователь (ЛПР) выбрал точку с координатами (1.4, 0.2, 0.74). Первая координата - стоимость проекта в миллиардах рублей, вторая и третья координаты - ПДК первого и второго видов загрязнений соответственно.

В этом случае при помощи МРЦ в задаче без неопределенностей отбирается 4 альтернативы. Однако уже при малом отклонении 0.05% в стоимости проекта находится 61 альтернатива. Дальнейшие исследования показывают, что при отклонении 0.1% будет 82 решения, при 0.5% - 121, 1% - 133 альтернативы, 2% - 196.

Заключение

Полученные результаты показывают, что при наличии хотя бы небольшой неопределенности число отобранных альтернатив резко увеличивается. Дальнейшее увеличение неопределенности ведет к еще большему увеличению числа отобранных альтернатив, но в этом случае это число решений растет медленнее роста неопределенности. Таким образом, следует полагать, что требуется разработка дополнительных средств, позволяющих уменьшить число отобранных альтернатив перед их детальным анализом.

Литература

1. Гусев Д.В., Лотов А.В. Методы поддержки принятия решений в задаче конечного выбора // Исследование операций. Модели, системы, решения / под ред. Ю.П. Иванилова. М.: ВЦ РАН, 1994. С. 15-43.

2. Lotov A.V. Visualization-based Selection-aimed Data Mining with Fuzzy Data // International Journal of Information Technology & Decision Making. Vol.5, No4 (December 2004), 611-621.

3. Лотов А.В., Холмов А.В. Метод разумных целей в многокритериальных задачах с неточными данными // Труды V Московской международной конференции по исследованию операций (ORM 2007). М.: МАКС Пресс, 2007. С.152-153

4. Лотов А.В., Бушенков В.А., Каменев Г.К. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей. М.: Наука, 1997.

5. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. М.: ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006.

6. Бурмистрова Л.В., Ефремов Р.В., Лотов А.В. Методы визуальной поддержки принятия решений и ее применение в системах управления водных ресурсов // Известия Академии наук. Сер. Теория и Системы управления. 2002. №5. С.89-100.

7. Lotov A.V., Bourmistrova L.V., Efremov R.V., Bushenkov V.A., Buber A.L., Brainin N.A. Experience of model integration of Pareto frontier visualization in the search for preferable water quality strategies // Environmental Modeling & Software. #20. 2005. P.243-260.

8. Lotov A.V., Kistanov A.A., Zaicev A.D. Visualization-based Data Mining Tool and its Web application // In Y. Shi, W. Xu and Z. Chen, editors. Data Mining and Knowledge Management. Chinese Academy of Sciences Symposium CASDMKD. 2004. Beijing, China. July 12-14, 2004 series, Lecture Notes in Artificial Intelligence. Vol.3327. P. 1-10

Холмов Алексей Владимирович, аспирант факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, тел. +7(926)5771004, e-mail: akholmov @ yahoo. com

Kholmov Aleksey Vladimirovich, postgraduate student in Faculty of Computational Mathematics and Cybernatics, Moscow State University named after M.V. Lomonosov.