Управление движением спутника с помощью линейной неголономной связи третьего порядка

Ш. Х. Солтаханов

УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ СПУТНИКА С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОЙ НЕГОЛОНОМНОЙ СВЯЗИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В работах [1-3] решалась смешанная задача динамики. Она заключалась в отыскании дополнительных обобщенных сил, обеспечивающих выполнение программных связей, заданных в виде системы дифференциальных уравнений порядка п ^ 3. Вводилось понятие обобщенной управляющей силы. Показывалось, что если число программных связей равно числу обобщенных управляющих сил, то последние могут быть найдены как функции времени из системы дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат и этих сил. Определялись условия, при которых данная система уравнений имеет единственное решение. Были найдены также условия, при которых управление движением при связях любого порядка осуществляется в соответствии с принципом Гаусса. Таким образом, была построена теория, позволяющая решать новый класс задач управления.

В качестве примера применения этой теории рассмотрим движение спутника по эллиптической орбите в поле притяжения Земли. Предположим, что начиная с некоторого момента времени движение спутника происходит с постоянным ускорением. Это условие будем рассматривать как нелинейную неголономную программную связь второго порядка. Момент наложения связи может соответствовать любой точке орбиты, дополнительная сила в этот момент отсутствует.

Движение спутника по эллиптической орбите описывается уравнением

Здесь р — радиус-вектор, соединяющий центр Земли со спутником, 7 — гравитационная постоянная, М — масса Земли. Постоянная л может быть представлена в виде

где а — большая полуось эллиптической орбиты спутника, Т — время полного оборота [4].

Уравнение (1) с безразмерными переменными

Здесь и в дальнейшем производная по безразмерному времени т обозначается точкой. Интеграл энергии и интеграл площадей уравнения (2) имеют вид

г = хі + у} = р/а, т = 2кі/Т,

запишется в виде

г

V

,2

2/г — 1, V = |г|, г2ф = л/1 — е2 ,

© Ш.Х.Солтаханов, 2005

где е — эксцентриситет эллиптической орбиты [4]. Пусть в исходный момент, начиная с которого спутник должен двигаться с постоянным ускорением, он находится на оси х. Не умаляя общности, можно принять, что начальные данные при этом таковы:

ж(0) = хо , ¿(0) = ¿о = ^2хо — ж2 — 1 + е2/жо ,

2/(0) =уо = 0, у( 0) =уо = VI ~ е2/х0, 1-е<ж0<1 + е.

Уравнение связи в принятых обозначениях запишется в виде

Г — 1/х4 = 0 .

Данное уравнение будет, в частности, выполняться тогда, когда вектор г, коллинеарный вектору г, будет постоянным по величине. При этом производная по времени от вектора г будет ортогональна вектору г, т. е. получим

ег  г =0 , ег = г/г .

Это уравнение — линейная неголономная программная связь третьего порядка.

Будем считать, что спутник снабжен обобщенной управляющей силой Л, при которой вектор управляющей силы имеет вид

И = Лег .

Из уравнения (6) следует, что при данной силе И управление будет идеальным, т. е. будет происходить в соответствии с принципом Гаусса.

Движение спутника, начиная с момента наложения связи (6), описывается уравнением

гг

*=~^ + А~-

В момент наложения связи управляющая сила отсутствует, т. е.

Л

Дифференцируя выражение (7) по т, получаем

... г 3Г -г , г , Гг

г = —д -\—+ Л—Ь Л----------Л—2" .

Умножая это уравнение скалярно на г и учитывая уравнение связи (6), а также то, что

2 г2 гг

приходим к уравнению

Полагая в уравнении

получим

2г

А=--я-

; аЛ

А= -—г, ат

¿А _ 2

ат т3

Интегрируя это уравнение и учитывая, что в соответствии с выражениями (4) и (8) Л = 0 при г = хо, имеем

А = — - —

г2 ж2

Подставляя это выражение в уравнение (7), получим

Г = —г/

Покажем, что это уравнение непосредственно вытекает из принципа Гаусса. Действительно, определяя минимум функции

Z = |г + г/г312

на множестве значений Г, допускаемых уравнением (5), придем к уравнению

Г + г/г3 + Л*Г = 0,

где Л* —искомый множитель Лагранжа.

Отсюда следует, что

(1+Л*)2Г2 = 1/г4.

Учитывая уравнение связи (5), получаем

Л* = х0/г2 — 1.

Подставляя найденное значение множителя Лагранжа в уравнение (11), придем к уравнению (10), что и требовалось показать.

Уравнение (10) позволяет найти движение, удовлетворяющее уравнению (5), не зная той управляющей силы И = Лг/г, благодаря которой оно осуществляется. Однако для того, чтобы оно реально произошло, эту силу необходимо знать как функцию времени. Поэтому не будем исключать управляющую силу из уравнения (7), а будем его рассматривать совместно с уравнением (9). Проецируя векторное уравнение (7) на орты полярной системы координат ег = г/г и е^, получаем

г — гф2 -|—^ =Л, гф + 2гф = 0 .

Дополнив эти два уравнения уравнением (9), получим замкнутую систему уравнений, позволяющую найти и движение, и управляющую силу.

Численное интегрирование системы уравнений (9), (12) велось при начальных данных

г(0) = х0 = 1 — е, г(0) = 0 , у>(0) = 0 , фу(0) = \/1 — е2/ж2 , Л(0) = 0 .

Расчеты показали, что при любом значении эксцентриситета е, отличном от нуля и единицы, траекторией движения спутника является кривая, лежащая между двумя концентрическими окружностями. Чтобы определить их радиусы и то, как они зависят от значений хо и е, необходимо обратиться к уравнению (10). Интеграл энергии для него при произвольных начальных данных (4) имеет вид

V2 г х2 + у2 1 4 — хо

2о

2 х2 2 хо 2хо

Рис. 3.

Отсюда и из формулы Бинэ [4]

22 V = с

Ли \ 2

Т' +и~

аф;

1

и = — г

2 2 • 4 п 2

с = г ф =1 — е

следует, что

Лг ^2 2г4 (4 — хо г 1 — е2

Лф

с2 2хо

2г2

Лг

Траектория спутника касается окружности радиуса г в той точке, в которой — = 0.

Лф

Следовательно, искомые радиусы г-1 и г2 являются положительными корнями уравне-

2г3 — (4 — хо)хог2 + хо(1 — е2) = 0 .

ния

Отметим, что движение между окружностями этих радиусов не является периодическим в том смысле, что точка никогда не возвратится в исходное положение за целое число оборотов.

В качестве примера на рисунках 1, 2, 3 приведены результаты расчетов в интервале времени 0 ^ t ^ T/2(0 ^ т ^ п) при e = 0, 4. На рис. 1 пунктиром показаны исходная эллиптическая орбита, а также концентрические окружности соответственно радиусов ri = 0.6 и Г2 = 0.754, между которыми лежит решение уравнения (10). Оно изображено сплошной линией.

Годограф управляющей силы R = Л(т)r/r, обеспечивающей данное решение на рис. 2, изображен жирной линией. При его рассмотрении следует иметь в виду, что во все время движения Л ^ 0. График функции Л(т) изображен на рис. 3. Отметим, что величина Л, как следует из уравнений (1) и (7), измеряется в долях силы тяготения F, где

р _ Мто a2

Здесь m — масса спутника.

Summary

Sh. Kh. Soltakhanov. Control of the motion of a sputnik with the help of a linear third order non-holonomic constraint.

The motion of a sputnik in the gravity field of the Earth is investigated when control is set as a linear non-holonomic constraint of the third order. The motion of a sputnik and controlling force as a time function are found, the controlling force providing realization of the motion program.

Литература

1. Зегжда С. А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М. П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб. Изд-во С.-Петербург. ун-та. 2002. 278 с.

2. Солтаханов Ш. Х. Определение обобщенных управляющих сил в смешанной задаче динамики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Сер. 1. Вып. 1. С. 111-115.

3. Солтаханов Ш. Х. Смешанная задача динамики и принципы Гаусса и Манжерона— Делеану // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Сер. 1. Вып. 2. С. 121-128.

4. Поляхов Н.Н., Зегжда С. А., Юшков М. П. Теоретическая механика. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та. 1985. 536 с.; М.: Высшая школа. 2000. 592 с.

Статья поступила в редакцию 25 января 2005 г.