Универсально слабая сходимость в топологической группе, ассоциированной с ст-алгеброй множеств

МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 517.9

Е. А. Зубова, Е. И. Смирнов

Универсально слабая сходимость в топологической группе, ассоциированной с ст-алгеброй

множеств

Использование функционально-аналитических методов в теории меры и интеграла позволяет развивать теорию интегрирования относительно положительной меры Радона на топологическом пространстве. Существенно, что при таком подходе интеграл появляется раньше меры как счетно-аддитивной функции множества. В то же время основная идея продолжения меры с полукольца на -алгебру множеств несет в себе явные черты замыкания в ассоциированной с -алгеброй группе, наделенной согласованной топологией (или псевдотопологией). В настоящем параграфе вводится и исследуется ряд

псевдотопологий на коммутативной группе B , ассоциированной с -алгеброй множеств, с помощью которых описывается универсально слабая сходимость в B . Основная идея продолжения меры реализуется с помощью теории счетно-полуаддитивных функционалов на топологической группе [3].

Ключевые слова: счетно-полуаддитивные функционалы, топологические группы, универсально слабая сходимость, псевдотопологии.

Е. А. Zubova, Е. I. Smirnov

Universally Weak Convergence in the Topological Group Associated with ст-Algebra of Sets

Use of functional and analytical methods in the theory of measure and integral allows to develop the theory of integration of relatively positive measure of Radon on the topological space. It is essential that using such an approach the integral appears before measure as a countably additive function of the set. At the same time the main idea of continuation of the measure from a half ring on

- algebra of sets has in itself obvious lines of short circuit in associated with - algebra to the group allocated with coordinated topology (or pseudo-topology). In the present paragraph a number of pseudo-topology on the commutative B group associated with

- algebra of sets by means of which universally weak convergence in B is entered and investigated. The main idea of continuation of the measure is realized by means of the theory of calculating and semi-additive functionalities on thetopological group [1].

Keywords: calculating and semi-additive functionalities, topological groups, universally weak convergence, pseudo-topology. Универсальная слабая сходимость

Пусть (X'B'm) - измеримое пространство с неотрицательной счетно-аддитивной конечной мерой m , где B - -алгебра B -измеримых подмножеств A ^ X . Множество B становится абеле-

вой группой, если операцию сложения определить следующим образом: A1+A2=A1AA2, где A G B и A - знак симметрической разности. Нулевым элементом группы является пустое множество ^, противоположным элементом группы данному A G B является само множество A . Если

F = {A G B ' m(A) = 0}, то B / F становится абелевой группой, где групповая операция единственным образом индуцируется из B . Элементы группы B / F будем обозначать A , где A G B и A е A-

Ясно, что неотрицательный функционал 11 11 v ' , определенный на B , является полуаддитив-

© Зубова Е. А., Смирнов Е. И., 2013

ным и симметричным и, следовательно, определяет топологическую группу v m у , вообще говоря, неотделимую, со счетным базисом окрестностей нуля

Vn = {A е B: m(a) < 1} (n = 1,2,...). n

Неотрицательный функционал 11 A ||_ m(A) , где A е A, определенный на B ^ F , является квазинормой. Пространство (B ^ F'11'||) будет метрическим, если расстояние Р ввести следующим образом: р(Al'11 Al + A2 11' Метрическое пространство (B ^ F,рР является полным [1]. Топологические группы B и B ! F будем называть ассоциированными с G -алгеброй B по мере m .

A = lim An = lim An = 1im An

Известно далее, что если -(теоретико-множественный пре-

A е B(n = 1,2,.) m(A) = limm(An) дел), где n , то (так называемое усиленное свойство непрерывно-

сти). Ниже строится отделимая инвариантная относительно сдвигов топология т на B с базисом симметричных окрестностей нуля, определяющая универсально слабую сходимость так, что универсально слабо сходящаяся последовательность множеств (теоретико-множественная сходимость) в B

сходится в топологии Tm для любой неотрицательной конечной меры m на B .

Пусть ü - направленное множество и Aa(a е ü) - семейство подмножеств X . Верхним преде-

lim Aa

лом AllaEü a семейства v a' назовем множество

A' = {х е X: х е Aa(Va е üх)},

где üx - кофинальное подмножество ü. Нижним пределом 1^~т«ей a семейства (Aa) назовем множество

A = {х е X: х е Aa(Va>ax)}.

Ясно, что A ^ A , и при наличии счетного кофинального множества ü приходим к обычному определению нижнего и верхнего пределов последовательностей множеств [5]. Привлекая теоретико-множественные операции, получим равенства

AA = HU Aa, A = UPI Aa.

а'ей a>a' а'ей a>a'

Назовем семейство v a' сходящимся, если и aеQ , а саму сходимость семейства v a'

универсально слабой. Покажем, что введенные выше понятия нетривиальны.

Пример 1. Пусть (Y'т) - пространство Суслина [4]. То есть,

Y = U 1 Y>\n2...nk >

есть, в частности,

vsN* к=1

N с -

где 1у - пространство Бэра всех последовательностей 41 2 ' натуральных чисел и каждое про-

Гу= Iш у N *)

странство v 1 1к=1 "1"2-Пк является пространством Фреше в проективной топологии, не-

прерывно вложенным в (У'т) . Введем частичный порядок на N следующим образом:

у1 Р у2 если и только если УV с У. Направленность частичного порядка сразу следует из теоремы о замкнутом графике, поэтому

Y = lim М,К = lim mYv ^ v « ttt

-ven íííííven Если теперь взять в качестве v пространство распределении Шварца

D'(S) S R" v

v ' с сильной топологией, где ° - открытое подмножество в Л , то 1 не покрывается никакой

последовательностью пространств Фреше [2] и, следовательно, (N 'p) не может иметь счетного кофинального подмножества.

Предложение 1. Пусть В - & -алгебра подмножеств А ^ X. Тогда универсально слабая сходимость в ассоциированной группе В порождается отделимой топологией ТГ на В .

Доказательство. Обозначим через М = М (X'В) линейное пространство ограниченных измеримых относительно В функций ф' X ^ R, а через М - алгебраически сопряженное пространство линейных функционалов на М . Пусть L - линейная оболочка функционалов fx 'р a p(x)(x Е X) в М . Тогда L ^ М и двойственность < М'L > порождает на М отделимую слабую топологию

&(М'L). Базис U окрестностей нуля топологии &(М'L) определяется следующим образом:

и Еи - k Е N > 0 f e L

означает, что найдутся , i и i такие, что

U = (eM :|f(р) |<e¡'i = 1'2V.,k}.

Теперь базис V симметричных окрестностей нуля V в группе В определим соотношениями

V = {A е В :|f (рА )l<ßi' i = 1' 2'...' k}'

где Ра - характеристическая функция множества А Е В . Обозначим через Т отделимую инвариантную относительно сдвигов топологию на В с базисом окрестностей нуля V . Ясно, что (В'т) - топологическая группа. Покажем, что топология Т определяется универсально слабой сходимостью. Пусть

А = 1Ím Аа(А' Аа Е В) ^ ФА(Х) = 1Ílm^A„ (Х) x Е X D x Е A

аЕи . Тогда аЕи для каждого Л Л . В самом деле, если Л , то

р. (x) = 1 фА (x) = 1 а>аг x Е х\ А Фл (x) = 0 а0(х) eQ

t-^v / и Аа^ для x, если же ^ 1 , то ' и найдется 0V у такой, что

а>а0(х) рА (x) = 0

для всех 04 7 имеем а , так как иначе существовало бы кофинальное подмножество

Q x ^Q

x такое, что А x или , что невозможно. Тем самым, сеть А сходится к

Фл в слабой топологии &(М'L) и, следовательно, (Аа) сходится к А в топологии Т . Так как сеть

(ра )(а eQ) р а( М' L) ф( x) = 5Ефа(x) x Е X

а /v у сходится к ^ в v ' ' , если и только если аЕи для каждого Л ^ ^ , то

универсально слабая сходимость определяет топологию Т . Предложение доказано.

Легко видеть, что топологию М'L) можно интерпретировать как индуцированную топологией

ПxEX Rx Rx = R(x e X) М С й

произведения х XxEX , x v y на пространстве LV1 . Следующий пример показывает, что топология Т , вообще говоря, неметризуемая.

Пример 2. Рассмотрим на отрезке [0'1] с -кольцо К не более чем счетных подмножеств 0 . Это семейство можно индексировать множеством О мощности континуума и определить направленО « Р в 5а ^ ^ [0,1] = 1 «П ^ ность в 'считая ^ , если и только если а в Тогда аЕО , и невозможно выделить

счетное кофинальное подсемейство О с таким же пределом. В то же время сеть ^ а ' универсально слабо сходится к [0'1] в топологии Т на ассоциированной группе в измеримых по Лебегу подмно-

жеств отрезка [0'1], поэтому базис V топологии Т также не имеет счетного кофинального подсемейства.

Топология Т будет, например, метризуемой, если положить X {х1'Х2'"'Xk}, B совпадает с бу-леаном ß(X) множества X . Тогда M(X^B) - n -мерное линейное пространство, L =M и <(M, L) - отделимая нормальная топология; сходимость в (M <(M, L)) - покоординатная, поэтому топология Т дискретная. Геометрически группу B можно интерпретировать как вершины n -мерного параллелепипеда, построенного на координатных ортах.

Предложение 2. Пусть B - < -алгебра множеств и Tm - топология на ассоциированной группе

B, порожденная неотрицательной конечной мерой m . Тогда топологии Т и Tm на B, вообще говоря, несравнимы.

[0 1] lim^( Sa) = 0

Действительно, если в примере 2 ^ - мера Лебега на L ' J, то aEÜ , в то время как

М[0Д]) = 1.

Тем не менее универсально слабо сходящаяся последовательность множеств из (B'т) сходится в

т.ъ A = 1|ш , An A о A7 =0(i * j) A = Yш , An

топологии m В частности, если и 1 , то ряд ¿—иг-1 универсаль-

(B Т) m(A) = m(An) Уш= An =A1AA2А...

но слабо сходится в v ' -', причем ^n1 . Отметим, что ряд ^n1 ассо-

Б lim An = 0

циированной группы B универсально слабо сходится, если и только если [5].

Предложение 3. Пусть (X, B'm) - измеримое пространство с конечной мерой m . Тогда ТГ m является полной полуметрической группой.

A A е Б

Доказательство. Ясно, что функционал p(A1,A2)=m(A1AA2), где , является полуметри-

кой на B , инвариантной относительно сдвигов, и задает структуру на B , база окружений которой

Qs= {(A1, A2): р(A, A2) <£}(£> 0) П (А ) Б

состоит из множеств " '. Пусть v n/ - последовательность из D

Т°= m(An) <+оо (вт) A B

^—in=1 Для устанпипения полноты v ' m' дпстятпчнп найти A G B

^ ад

такая, что -^п=1 п' . Для установления полноты '"т/ достаточно найти А е в такое, что

ч ад

*п=1~

А = У Ап

¿—i п=1 п

А = U Ап\U(А пAj).

п=1 iФj

Ясно, что А ^ B и имеют место включения (п = 1 2'

inn Лад

АА(А1АА2А...ААп) = АА1 U А, U(А пА})1с U А,

Vi=1 \ j у ,=п+1

поэтому

f п ^ f f п S\ f^

Р

V i=1 У

A,XАг| = m[AA[AАг)|<m| (JAt ).

A = E П=1 An в

V V У J \i=n+1 J i=n+\

о

A

n

Так как ряд справа есть остаток сходящегося положительного ряда, то Предложение доказано.

Библиографический список

1. Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы [Текст] / Н. Данфорд, Дж. Шварц. - T. 1. - М., 1962. -720 с.

2. Робертсон, А., Робертсон, В. Топологические векторные пространства [Текст] : [пер. с англ.] / А. Роберт-сон, В. Робертсон. - М. : Мир, 1967. - 257 с.

3. Смирнов, Е. И. О непрерывности полуаддитивных функционалов [Текст] / Е. И. Смирнов // Math. Notes. -1976. - Т. 19, 4. - P. 541-548.

4. Смирнов, Е. И. Предел Суслина топологических линейных пространств и его приложения [Текст] : дис. ... канд. физ.-мат. н. / Е. И. Смирнов. - Л., 1979. - 104 с.

5. Халмош, П. Теория меры [Текст] : [пер. с нем.] / П. Хамош. - М. : Мир, 1953. - 292 с.

Bibliograficheskiy spisok

1. Danford, N., Shvarts, Dzh. Lineyny'ye operatory' [Tekst] / N. Danford, Dzh. Shvarts. - T. 1. - M., 1962. - 720 c.

2. Robertson, A., Robertson, V. Topologicheskiye vektorny'ye prostranstva [Tekst] : [per. s angl.] / A. Robertson, V. Robertson. - M. : Mir, 1967. - 257 s.

3. Smirnov, Ye. I. O nepreryvnosti poluadditivny'h funktsionalov [Tekst] / Ye. I. Smirnov // Math. Notes. - 1976. -T. 19, 4. - P. 541-548.

4. Smirnov, Ye. I. Predel Suslina topologicheskih lineyny'h prostranstv i yego prilozheniya [Tekst] : dis. ... kand. fiz.-mat. n. / Ye. I. Smirnov. - L., 1979. - 104 s.

5. Halmosh, P. Teoriya mery' [Tekst] : [per. s nem.] / P. Hamosh. - M. : Mir, 1953. - 292 s.