Анализ характеристик микромеханического гироскопа с нелинейной жесткостью подвеса

Раздел IX. Микросистемная техника

М.И. Евстифеев, А.С.Ковалев, А.А. Унтилов, Ю.В. Шадрин

АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА С НЕЛИНЕЙНОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ ПОДВЕСА

В настоящее время большое внимание уделяется разработке малогабаритных и дешевых микромеханических гироскопов (ММГ) для измерения угловой скорости объектов различного назначения [1]. Наиболее распространенными являются ММГ, построенные по принципу вибрационного гироскопа. В гироскопах этого типа возбуждаются первичные колебания инерционного тела в упругом подвесе и при наличии угловой скорости основания возникают вторичные колебания тела, вызванные силами Кориолиса. При этом амплитуда вторичных колебаний пропорциональна измеряемой угловой скорости. Для получения максимальной амплитуды колебаний в ММГ первичные колебания возбуждаются на резонансной частоте.

ММГ представляют собой представляют собой приборы модуляционного типа с высокой добротностью колебаний, работающие в режиме резонансной настройки [2,3] и изготавливающиеся с использованием технологических процессов микроэлектронной промышленности.

При проектировании конструкции ММГ необходимо учитывать различные виды нелинейностей, связанные с кинематикой подвесов, с использованием электростатических двигателей и емкостных измерителей, с механическими элементами упругого подвеса. Последний вид нелинейностей оказывает существенное влияние на первичные колебания инерционного тела и характеристики ММГ в целом. Проблемы влияния нелинейностей упругого подвеса рассмотрим на примере одной из конструкций одномерного дискового ММГ (рис.1), имеющего первичные угловые колебания по оси Ъ и вторичные угловые колебания по оси X [4]. Рассматриваемые проблемы носят общий характер и имеют место при разработке различных конструкций ММГ [3].

В планарной конструкции при движении инерционного тела упругие элементы подвеса кроме изгибных деформаций подвергаются деформациям растяжения и сжатия. При этом появляется так называемое “цепное” усилие, возникающее из-за невозможности смещения опор в радиальном направлении [5]. Наличие “цепного” усилия приводит к тому, что характеристика восстанавливающей силы упругости становится жесткой и описывается кубической параболой:

Опорная площад]

Рис.1. Конструктивная схема ММГ

Двигатели возбуждения

Инерционный диск

Упругие элементы подвеса

Мупр = С1 'ф + Сз -ф3 ,

где С1 и С3 - коэффициенты линейной и кубической жесткости подвеса, ф - амплитуда первичных колебаний.

Соответственно дифференциальное уравнение первичных колебаний принимает вид

где Л - осевой момент инерции диска, Дг - коэффициент демпфирования, М() -момент внешних сил, создаваемый двигателем.

Аналитические выражения коэффициентов С1 и С3 для внутреннего подвеса, состоящего из четырех прямых стержней, могут быть получены с использованием нелинейной теории упругости [6]:

где Е - модуль Юнга материала подвеса; I = км> /12 - момент инерции сечения стержня; к, V, Ь - толщина, ширина и длина стержня; А = Нм> - площадь поперечного сечения стержня; Я - радиус диска в месте наружной заделки стержня.

Анализ выражений (2) показывает, что коэффициент С3 имеет нулевое значение при Я/Ь = 0,873, однако для внутреннего упругого подвеса такая конструкция не реализуема и всегда соблюдается соотношение Я > Ь.

Для параметров упругого подвеса Е = 170 ГПа; к = 0,02 мм; V = 0,01 мм; Ь =

0,26 мм; Я = 0,55 мм расчет по формулам (2) дает следующие значения коэффициентов С1 = 8,5 -10-5 Н - м и С3 = 0,219 Н -м.

Более достоверные оценки нелинейной жесткости подвеса для разнообразных конструкций ММГ могут быть получены при использовании методов конечно-элементного анализа (КЭА), которые позволяют существенно упростить процедуру расчета. Оценка, полученная с помощью программы Рго/МесИатса, для коэффициента С1 составляет 7,7 -10-5 Н -м, а для коэффициента С3 равна 0,076 Н -м.

В первую очередь, влияние нелинейной жесткости проявляется на момент -ных и амплитудно-частотных характеристиках ММГ.

Электростатические двигатели, применяемые в ММГ, отличаются своей небольшой мощностью, и для достижения требуемой амплитуды первичные колебания необходимо возбуждать на собственной частоте. Это позволяет увеличить амплитуду колебаний в Qф раз по отношению к статическому отклонению от постоянного момента, где Qф - добротность осциллятора по оси первичных колебаний. Наличие дополнительного упругого момента, вносимого нелинейностью, приводит к тому, что для достижения требуемого угла необходимо прикладывать больший момент (рис.2). При реально достижимых моментах возбуждения масштабный коэффициент будет меньше ожидаемого [7] и снизится порог чувствительности ММГ как измерительного устройства [8].

С другой стороны, наличие нелинейной восстанавливающей упругой силы приводит к тому, что амплитуда собственных колебаний и их частота оказываются связанными друг с другом (рис.3).

Характер связи этих параметров может быть выделен из соотношения (1):

где V,, - амплитудно-зависимая частота собственных колебаний.

Выражение (3) представляет собой уравнение скелетной кривой. Ширина резонансной кривой определяется выражением [9]

4Е1 2 2 4ЕА 2 2 2

С, = 4-^-(Ь2 -3ЬЯ + 3Я2), С3 = 4-----------(Ь -9ЬЯ + 9Я2)2,

1 Ь3 225Ь

Ь = 2,

JzФ

2 (

2 3С3 2

V? +—3 2 0 4 J/ ,

где у0 - частота собственных колебаний при ф =0.

0.5 1 1.6 2 *10 Н-м

— КЭА — Аналитический

Рис. 2. Статическая характеристика

Частота, Гц

Рис. 3. Нелинейный резонанс

Для построения амплитудно-частотной характеристики в обе стороны от скелетной кривой откладываются отрезки Ь/2. Амплитудно-частотная характеристика нелинейной системы имеет вид, показанный на рис.3. При большой амплитуде разница между амплитудами устойчивых и неустойчивых колебаний (ветвями амплитудно-частотной характеристики, лежащими над и под скелетной кривой) уменьшается, что может приводить к срывам колебаний [10]. Малая ширина резонансной кривой при рабочих углах отклонения ротора, а также существенная нелинейность резонансной кривой выдвигают серьезные требования к системе поддержания заданной амплитуды колебаний. Для увеличения ширины резонансной кривой требуется уменьшать коэффициент жесткости С3, увеличивать момент двигателя, повышать добротность и уменьшать частоту собственных колебаний.

Пренебрежение эффектами, связанными с нелинейной жесткостью подвеса может поставить под угрозу функционирование прибора в целом. Рассмотрим случай, когда частоты первичной и вторичной моды колебаний (V, и va соответственно) изначально совмещены, что обеспечивает максимальную чувствительность прибора. Однако при возбуждении первичных колебаний их частота сместится за частоту вторичных колебаний и чувствительность ММГ к угловой скорости резко снизится (рис. 4а). Для решения этой проблемы можно предложить следующие способы:

а)

Рис. 4. Пути обеспечения резонансной настройки в конструкции ММГ с нелинейной жесткостью: а) выпрямление резонансной характеристики;б) разнесение

частот.

1. “Выпрямление” резонансной характеристики первичных колебаний путем снижения коэффициента нелинейной жесткости (рис. 4а), достигаемое изменением конструкции упругого подвеса.

2. Первоначальное разнесение частот первичных и вторичных мод таким образом, чтобы при возбуждении первичных колебаний вследствие изменения их частоты достигалась требуемая резонансная настройка (рис. 4б).

Заметить нелинейную жесткость при работе прибора можно, сопоставляя амплитуду первичных колебаний и их частоту в одинаковые моменты времени. Результаты в виде графиков развития процесса и спектрограммы, полученные для ММГ (рис. 5), позволяют экспериментально определить влияние нелинейной жесткости и ее коэффициент. Например, для графиков, изображенных на рис. 5, полученное из соотношения (3) значение коэффициента С3 составляет 0,106 Н ' м/рад3, что в достаточной мере соответствует расчетным данным и результатам КЭА (рис. 6).

а) б)

Рис. 5. График изменения амплитуды колебаний ротора во времени (а) и спектрограмма (б): I - разгон ротора, II - удержание амплитуды, III - выбег ротора

Оценка влияния нелинейной жесткости на одну из основных характеристик ММГ - масштабный коэффициент может быть осуществлена по формуле [7]

* = , ^Хф ,

)+4Фа#а

где X = 3 / 3х - конструктивный параметр; 3х - момент инерции тела относительно оси вторичных колебаний; = 1/2Qа - декремент затухания по оси вто-

ричных колебаний, Qa - добротность по оси вторичных колебаний.

При наличии нелинейной жесткости частота первичных колебаний V, и масштабный коэффициент будут зависеть от амплитуды. Вид зависимости при наличии и отсутствии нелинейной жесткости показан на рис. 7, где увеличение масштабного коэффициента связано с изменением условий резонансной настройки.

Как следует из полученных оценок, рассматриваемая конструкция обладает значительной нелинейностью, так что при угловых колебаниях с амплитудой свыше одного градуса смещение частоты первичных колебаний превышает 100 Гц. Уменьшение нелинейности характеристик может быть достигнуто уменьшением величины “цепного” усилия, связанного с растяжением-сжатием стержней упругого подвеса. При этом упругие элементы могут быть выполнены в виде зигзагообразных (в форме меандра) стержней [11]. В случае невозможности использования такого конструктивного решения стабилизация масштабного коэффициента может быть достигнута путем обеспечения постоянства амплитуды первичных колебаний при установке механических стопоров и колебаниях до упора [12].

Рис. 6. Зависимости амплитуды первичных колебаний от изменения их частоты

0-5 1 15

фрфад

Рис. 7. Зависимость масштабного коэффициента ММГ от амплитуды первичных колебаний

Особое внимание следует уделить обеспечению устойчивости колебаний при наличии вибрационных ускорений и ударов. Механические удары по корпусу прибора как широкополосное воздействие могут привести к снижению амплитуды первичных колебаний, соответствующему переходу колебательной системы в зону неустойчивости и резкому снижению чувствительности ММГ. Вопросы устойчивой работы прибора с нелинейной жесткостью подвеса в условиях инерционных воздействий требуют отельного исследования.

Нелинейность жесткости подвеса по оси вторичных колебаний имеет менее существенное значение, так как даже при работе с разомкнутым контуром управления колебания по этой оси не превышают единиц угловых минут. В ММГ компенсационного типа при использовании замкнутого контура управления по оси вторичных колебаний амплитуда близка к нулю (колебания компенсируются силовым устройством) и поэтому нелинейность упругого подвеса оказывает существенное влияние только на первичные колебания.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала XXI века//Гироскопия и навигация, 2003. №4. С.5-18.

2. Северов Л.А., Пономарев В.К., Панферов А.И. и др. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития // Известия ВУЗов, Приборостроение, т.41, №1-2, 1998, с.57-73.

3. Евстифеев М.И. Проблемы расчета и проектирования конструкций микро-механических гироскопов // Гироскопия и навигация, 2004. - №1. - с. 27-39.

4. А.с. № 18768. Россия. Микромеханический вибрационный гиро-

скоп/М.И.Евстифеев, С.Г.Кучерков, Л.П.Несенюк и др., 2001.

5. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. - М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

6. Davis W.O., Pisano A.P. Nonlinear Mechanics of Suspension Beams for a Micromachined Gyroscopes//Modeling and Simulation of Microsystems, 2001, pp.270-273.

7. Кучерков С.Г., Шадрин Ю.В. К вопросу о выборе конструктивных параметров микромеханического кольцевого гироскопа вибрационного типа // Навигация и управление движением. Материалы III конференции молодых ученых, С-Петербург, 2001, С.94-101.

8. Евстифеев М.И. Оценка порога чувствительности микромеханических гироскопов // Гироскопия и навигация. - 2003. - № 1. - С. 27-33.

9. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. - М.: Высшая школа. - 1972.- 416 с.

10. Лестев А.М. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромехани-ческого гироскопа// Известия ВУЗов, Приборостроение, т.47, №2, 2004, с. 36-42.

11. Fujita T. et al. Disk-shape bulk micromachined gyroscope with vacuum sealing // Sensor and Actuators, 82, 2000. - pp.198-204.

12. Geiger W., Sandmaier H., Lang W. A mechanically controlled oscillator // Sensor and Actuators, 82, 2000. - pp.74-78.

А.С. Батурин, А.А. Чуприк

НОВЫЙ МЕТОД КОЛИЧЕСТВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ ЛАТЕРАЛЬНЫХ СИЛ

Введение

С развитием атомно-силовой микроскопии стало возможным изучение сил, действующих на молекулярном масштабе, и, как следствие, разных (упругих, капиллярных, магнитных) свойств материалов. Одним из направлений применения атомно-силовой микроскопии является нанотрибология — раздел физики, изучающий природу трения на атомарном уровне [1,2]. При рассмотрении на микроскопическом масштабе площадь соприкосновения двух тел оказывается состоящей из большого числа элементарных контактных площадок чрезвычайно малой площади. Проведенные в последние годы исследования указывают на существенное отличие физики трения в таких элементарных контактах от привычных представлений макротрибологии [2].

Зондовый микроскоп является инструментом, весьма подходящим для целей нанотрибологии [3]. Область соприкосновения кантилевера с образцом — хороший экспериментальный пример элементарного контакта, доступного для изучения. Методика измерения силы трения известна — образец сканируется в контактном режиме в направлении, перпендикулярном оси балки кантилевера. Сила трения, которая в данном случае является латеральной (боковой), закручивает балку кантилевера (рис. 1). Для регистрации подобных отклонений в АСМ Solver P47 производства фирмы NT-MDT [4] служит лазерный луч, который направляется на верхнюю зеркальную поверхность кантилевера, а отразившись, попадает на четырехсекционный фотоприемник, который генерирует сигнал, пропорциональный смещению светового пятна в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см., например, [5]). При этом вертикальному изгибу балки кантилевера соответствует сигнал DFL, а деформации кручения, при которой происходит боковой наклон зеркальной площадки над зондом, — сигнал LAT. Среди других устройств регистрации отклонения кантилевера следует отметить емкостной [6, 7] и пьезорезистивный [8, 9] датчики перемещений, также в АСМ широко используются интерференционные оптические устройства [10, 11].

В АСМ Solver P47 вся информация об образце в АСМ-исследованиях поступает в виде двух сигналов, DFL и LAT, измеряемых в наноамперах и соответствующих вертикальному и латеральному смещению острия зонда. Для количественной интерпретации этих результатов необходима калибровка — способ перевода токовых единиц в абсолютное отклонение кантилевера или в силу, действующую на зонд.

Сигнал DFL может быть легко сопоставлен вызывающей его вертикальной силе. Прижимая кантилевер к образцу, можно точно задать величину вертикального отклонения балки. По ней, зная коэффициент жесткости кантилевера, легко можно найти силу взаимодействия с исследуемой поверхностью. Сопоставляя