Нелинейное деформирование и распространение волн в трубопроводах

УДК 532.595:621.644.01

О.П. Ткаченко

д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник,

Вычислительный центр ФГБУ «Дальневосточное отделение Российской академии наук», г. Владивосток

НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН

В ТРУБОПРОВОДАХ

Аннотация. Обобщены результаты работы автора по исследованию внутренней и внешней динамики трубопроводов. Описан комплекс математических моделей движения трубопровода во внешней среде и результаты численного анализа уравнений этих моделей. Изложены математические модели распределения гидроупругих колебаний в трубопроводе и ключевых характеристик решений их уравнений.

Ключевые слова: изогнутый трубопровод, гидроупругость, сложный изгиб, колебания в трубопроводах.

0.P. Tkachenko, Far East Branch Russian Academy of Sciences, Vladivostok

FINITE STRAINS AND WAVE PROPAGATION IN PIPELINES

Abstract. Results of work of the author on research of internal and external dynamics of pipelines are generalized. The complex of mathematical models of movement of a pipeline in an external media and results of the numerical analysis of the equations of these models is described. Mathematical models of distribution of hydro-elastic oscillations in the pipeline and key characteristics of solutions of their equations are described.

Keywords: bending pipeline, hydro-elasticity, complex bending, oscillations in the pipelines.

1. Проблема неустойчивости профиля трубопровода

Известно, что подводный трубопровод может всплывать на участке своей трассы из-за статической неустойчивости. Подземный трубопровод по той же причине может изменить свой профиль. Проблема изменения профиля носит название задачи о статической неустойчивости трубопровода и изложена в [2]. Эту задачу первоначально сформулировал В.И. Феодосьев [9].

В связи с такой неустойчивостью подводных трубопроводов в 1988 году в НИИ компании «Сахалинморнефтегаз» была поставлена задача о диагностике профиля трубопровода по результатам анализа параметров прошедшей волны давления. Эта задача остается актуальной и сейчас.

Здесь обозначены возможные пути решения некоторых задач из комплекса возникающих проблем, построены математические модели и проведен асимптотический анализ решений уравнений этих моделей. Сформулирован примерный план создания диагностического комплекса трубопровода, для которого вышеуказанные математические модели являются теоретической базой.

Рассматривается трубопровод, проложенный неидеально, имеющий некоторый слабый изгиб профиля в ненапряженном «начальном» состоянии. Исследование на устойчивость в данном случае не проводится, рассматривается динамика изменения профиля под влиянием внутреннего потока жидкости и сопротивления внешней среды. Эту постановку назовем «внешней задачей». Некоторые результаты по этой задаче опубликованы в [8; 3].

Вторая часть работы посвящена анализу прохождения сквозь внутренний поток жидкости квазилинейных и нелинейных колебаний давления и скорости. Эту постановку назовем «внутренней задачей». Изучена зависимость квазилинейных волн от формы осевой линии трубопровода [4] и условия возникновения в прямой трубе уединенной нелинейной волны [5].

В заключение показано, как использовать результаты работы для построения системы контроля трубопровода.

2. Математические модели для внешней и внутренней задачи динамики трубопровода

Рассматривается в общем случае неидеально проложенный трубопровод круглого

поперечного сечения с осевой линией в форме плоской кривой. Глобальная декартова {О;х,y,z} и со-

путствующая лагранжева {0;в,в,Я} системы координат описаны в [8; 4]. Координата 5 - длина дуги вдоль осевой линии трубы; в,Я - полярные координаты в поперечном сечении трубы.

Математическая модель для внешней задачи строится в предположении, что на больших интервалах времени внешняя среда ведет себя как сильно вязкая жидкость. Движение внутреннего потока жидкости считается известным и квазистационарным, перемещения стенки трубы - конечными и медленными. Продольные деформации стенки также могут быть конечными, а остальные деформации положены малыми. Эти предположения эквивалентны работе [8].

При этих предположениях главные порядки компонент тензора деформации стенки в криволинейных координатах (в,в, Я):

1 ди 1 дЛ 1

е =--+--V + к.м---

1 Л дв ЛВ дв 1 2Л

дм

э5

1 дВ 1 дv

- е2 =--и +--+ км , е„

2 ЛВ дв В дв 2 5

.* = ЛА Г и 1+в д

В = Я0, Л = 1 + к эт в , к1 =

этв

р0 + Я0этв

Здесь их,м - компоненты вектора перемещения срединной поверхности стенки трубы в актуальной конфигурации (по терминологии [6]), Я0 - радиус трубы, к0(5) - начальная кривизна осевой линии Г , р0(в) - начальный радиус кривизны осевой линии.

В [8] были получены уравнения движения стенок трубы как оболочки относительно неизвестных и' = и/а , V' = , м' = м/с. в безразмерных переменных д = в/!, т = оЛ, в :

/ Кп / Кп / Кп

а

2 д2и' 1 -V д2и' , д2и' 1 + п д2V' . (1-П , „ 2 д2и'

2 1 - к,—- +-а-+ Яf этв|-и - 2а

дд2 2 дв2

1 + V д2V'

--а-

2 дддв

дv'д2v' 1

' дт2 2 " дддв

0, 3-V дv' 1-п ди'

+ 1 соэв|-а— +--

2 дд 2 дв

дд2 +а(1 -

-а3

дм' д2м'

."дд

дд дд

1 -V 2 д2V' д2V'

=- шф> (^);

а

2 дд2 дв2

, д2V' 1 + п д2и'

1

2и'м соэв

' дт2

2 дддв ЕI!

К

+1 Б1пв| V--vv'-(1 -п)а ,

1 дв дд2 2 дддв

0,5 - 1п

дм' ,„ ч 2 д2V' 1 + п д2и' 1 .. ( , дv' 3-V ди'

ГРдги 4т

дм'

т +-+

Л дв

+ Яf соэв

-а2

дм' д2м' дv' д2V'

- + -

дд дддв дд дддв

+ a2Яf соэв

дм'

"эд

дв 2

2

дд

дх-

дд

= 0;

. д2м'

к т+м +

( 2 д2м' д2м V 4 д4м'

12

а

дд2 дв2

+а

дд4

+ 2а2

д4м' д4м'

дд2дв2 дв4

ди'

+ va— +

дд

+— + Яf этв[ 2vм'+ (1-v)aдu- + v—1 + Яf соэв-V'-

дв у дд дв 1

-^

дм'

"эд

( дх'

+1 дд

= Е! (р - Ре).

2

2

+

0

2

+

2

2

Здесь E*, h*, kt - физические и геометрические константы, l, со - характерные мас-

k

штабы координаты и времени, 1 = R0max|k0| << 1 - малый параметр, f =-:—г - функция

кривизны оси трубы, k - текущая кривизна осевой линии, a = , p - внутреннее давление

жидкости на стенку, pe - давление внешней среды, Ft - сила внутреннего трения, u* - скорость поперечного движения трубы.

С другой стороны, в [3] получены уравнения движения подземного трубопровода как растяжимого стержня в вязкой среде. Распределенная нагрузка на него представлена в виде

qn =-mSfvlo+qnr+qns,

где vs0 - скорость потока жидкости; pf, Sf - плотность и площадь поперечного сечения потока; qnr - сила сопротивления среды на единицу длины трубы; qns - поперечная сила, обусловленная продольным натяжением трубы. Выражение силы продольного натяжения T в формуле для qns было взято из [7], а сила qnr - из [1]. Окончательно для трубопровода найдено уравнение

EJIw" + (2EJk2 + PfS^lo -T)-w + J + fVo)k0wn + k0pfSfvl0 +

4pu = 0,

0,5 + In

V 0 -

/rPgRoU

u • = W

Ы

Здесь Е - модуль Юнга материала трубы, J - момент инерции ее поперечного сечения; т , р - коэффициент вязкости и плотность внешней среды. В (3) отброшены слагаемые,

описывающие инерцию стенки, так как рассматривается трубопровод в целом вместе с потоком жидкости, и движение считается медленным, квазистационарным. В (2) эти слагаемые оставлены по двум причинам: стенка рассматривается как оболочка, отдельно от потока; без этих слагаемых сложно создать алгоритм расчета на ЭВМ.

Таким образом, были созданы две математические модели движения трубопровода в вязкой среде: уравнения оболочки (2) и уравнения стержня (3). При этом нельзя сказать, что одна модель лучше, а другая хуже, они с разных сторон описывают одно и то же явление. Модель оболочки лучше описывает движение трубопровода в окрестности начального состояния, пока перемещение осевой линии < Я0; модель стержня должна лучше описывать перспективу и предельные состояния, когда > Я0.

3. Решение внешней задачи. Деформации и напряжения в стенке трубы

Задача (2) может быть упрощена путем разложения ее решения в асимптотический ряд по малому параметру 1 и использования специального представления для решения:

и' = и0 (т,д) + Яи1 (т,д)Б1пв + О(12), V' = у0 (т,д) + Лv1 (т,д)ооэв + О(12),

ш' =

dw„ „ . „/„2\ . R с

u * = __т_ = 1u* + O (1) ,

дт ' у >• 1 2

^ dv1 + dw1 ^ дт дт

v

В результате преобразования (4) получаются уравнения движения стенки трубы, не зависящие от в и разделенные на приближения по степеням 1. Эти уравнения, а также поста-

новку начально-краевой задачи для них можно найти в [8]. Здесь мы называем эту постановку первой внешней задачей.

Первая внешняя задача является одномерной математической моделью движения трубопровода как оболочки с конечными деформациями. Выражения для деформаций (1) через искомые функции (4) имеют вид:

du0 a2 ( dw0 ,

e =a—0--1—0 | +lsinq

1 dg 2 [ dg

dui 2 dw0 dwi ,

a--a —0-+ f ..0 . _

dg dg dg l l dg ) dg

2

21 dw0 ^ du0 wn + a I —0 I -a 0

= w0 + isinq(wi -vi), v = icosq

dv1 . ^ ui + a--fu0

dg

/

Начально-краевую задачу движения трубопровода по стержневой модели (3), дополненной начальными и краевыми условиями на wn, назовем второй внешней задачей.

Первая и вторая внешние задачи были численно решены для модельных наборов параметров в [8; 3]. Для первой внешней задачи найден алгоритм, написана и протестирована программа для ЭВМ расчета деформаций стенки. На примере модельной задачи показано, что поперечное сечение искажается и гипотеза плоских сечений может нарушаться, поэтому для исследования на устойчивость вторая внешняя задача должна быть уточнена путем учета де-планаций поперечных сечений трубы.

Для второй внешней задачи найдены значения продольных напряжений в стенке трубы при больших временах расчета. В модельной задаче эти значения имели тот же порядок величины, что и предельно допустимые напряжения при растяжении. Это говорит о необходимости проведения таких расчетов для оценок прочности трубопроводов.

4. Внутренняя задача распространения гидроупругих колебаний

Квазилинейные колебания в трубопроводе подробно изучались в [4]. Построена математическая модель совместного движения стенки трубы и внутреннего потока жидкости с учетом инерциальных слагаемых и упругой реакции внешней среды.

Проведены численные расчеты давления и скорости в потоке жидкости. Для давления было принято разложение, аналогичное (4):

p' = Р0

Здесь слагаемое pi имеет физический смысл перепада давления на диаметре трубы (то есть при в = ±У2). Эта величина зависит от кривизны осевой линии трубопровода и может

быть измерена. Таким образом, есть возможность создания системы контроля профиля.

В изучаемой механической системе могут распространяться и нелинейные волны. Если считать заполняющую жидкость идеальной и несжимаемой, трубу - цилиндрической, и пренебречь влиянием внешней среды, то в [5] найдены условия, при которых внутри трубопровода возникает уединенная волна (солитон).

Если осевая линия имеет равномерный изгиб, то на уединенную волну накладывается возмущение. Найдено [5], что безразмерный потенциал скорости жидкости ф в зависимости от

переменных g, Х = R/R0 , в, t равен:

d2f0

ф = ф00

R 2 /

где e= << i - малый параметр, ф00 (t,g) - безразмерный потенциал скорости жидкости в прямой трубе вдоль осевой линии, z0 - возмущение, находимое из уравнения

ЭЧ _3ЭЧ +20 = _15.Эф

Эг2 8 Эд2 г 16 Эд2 '

Первые два слагаемых (7) - это полный потенциал скорости жидкости в прямой трубе

ф0, он имеет вид бора [5]. Функция скорости жидкости и0 = -Эфф имеет вид солитона. Выражение

Эд

для поправки в (7) и уравнение (8) говорят о том, что: (1) физический смысл поправочного слагаемого - разница потенциалов скорости жидкости на диаметре трубы; (2) учет первого приближения ведет к появлению малых колебаний потенциала, наложенных на функцию нулевого приближения и зависящих от кривизны осевой линии.

Заключение

1) По внешней задаче динамики трубопровода построено две математические модели: (а) первая внешняя задача, в которой трубопровод рассматривается как полубезмоментная протяженная оболочка; (б) вторая внешняя задача, в которой трубопровод рассматривается как стержень в вязкой среде.

2) По внутренней задаче о колебаниях трубопровода также построено две математические модели: (а) модель, описывающая квазилинейные колебания в рамках теории полубезмо-ментных оболочек; (б) модель, описывающая нелинейные волны в трубопроводе.

Для моделей (а) внешней и внутренней задачи предложен единый алгоритм редукции задачи к одномерной. Этот же алгоритм оказался частично применим к внутренней задаче (б), что позволяет говорить о его универсальном характере.

По результатам работы возможно создание программно-аппаратного комплекса контроля трубопровода, который отражает текущий профиль осевой линии и прогнозирует его динамику по результатам измерения давления в транспортируемой жидкости. В комплекс должны войти два блока: (1) анализирующий блок, показывающий текущий профиль на основании анализа измеряемого перепада давления жидкости (6) и построенный по результатам п. 4; (2) прогностический блок, вычисляющий возможные перемещения осевой линии по результатам п. 2, 3 и определяющий напряжения в стенке.

Список литературы:

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. - М.-Л.: Гостехиз-дат, 1948. - Т. 2. - 612 с.

2. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1987. - 352 с.

3. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Нелинейные уравнения движения растяжимого подземного трубопровода: вывод и численное исследование // Прикладная механика и техническая физика. - 2003. - Т. 44, № 4. - С. 144-150.

4. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Прикладная механика и техническая физика. - 2000. - Т. 41, № 6. - С. 161-169.

5. Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. Об уравнении Кортевега-де Вриза в цилиндрическом трубопроводе // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. - 2010. - Т. 50, № 11. - С. 1988-1997.

6. Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2 т. - СПб.: Лань, 2004. - Т. 1. - 528 с.

7. Тимошенко С.П. Выпучивание пологих стержней и слегка искривленных пластин // Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука, 1971. - С. 662-669.

8. Ткаченко О.П. Асимптотическое представление и численный расчет конечных деформаций криволинейного подземного трубопровода // Вычислительные технологии. - 2006. -Т. 11, № 1. - С. 95-105.

9. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инженерный сборник. - 1951. - Т. 10. - С. 169-170.