Расчет продольного обтекания тела вращения с учетом эжекции реактивной струи

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 19 7 4

№ 5

УДК 533.6.011.32 532.525.2

РАСЧЕТ ПРОДОЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ЭЖЕКЦИИ РЕАКТИВНОЙ СТРУИ

А. С. Гиневский, Л. А. Маслов

Излагается приближенный способ учета влияния эжекции реактивной турбулентной струи на распределение давления по поверхности тела вращения при его продольном обтекании. Приводятся примеры расчета.

1. Постановка задачи. Эжектирующее действие реактивной турбулентной струи, истекающей из кормового среза продольно обтекаемого тела вращения, вызывает заметное перераспределение давления по поверхности тела по сравнению с тем, которое реализуется при отсутствии струи или которое имело бы место при истечении из кормового среза струи идеальной жидкости с тем же, что и у турбулентной струи, избыточным импульсом.

Современные численные методы решения задачи обтекания несжимаемой жидкостью произвольного тела вращения позволяют учесть влияние реактивной струи на распределение давления вдоль поверхности тела. Для этого требуется, прежде всего, произвести расчет турбулентной струи в спутном потоке и определить ее эжекционные характеристики.

Рассмотрим возможные постановки указанной задачи. Пусть из кормового среза продольно обтекаемого тела вращения вытекает осесимметричная турбулентная струя (фиг. 1, а). Поскольку диаметр сопла обычно меньше диаметра кормового среза, за торцами последнего образуется срывная зона. Взаимодействие этой зоны с пограничными слоями, сходящими с внешней поверхности тела и стенок сопла, определяет профили скорости и давления поперек потока вблизи кормового среза тела и закономерности распространения струи. В общем случае указанное струйное течение сопровождается образованием продольных и поперечных градиентов давления.

Воздействие формы обтекаемого тела на закономерности развития струи и, следовательно, ее эжекционные характеристики проявляется через распределение скорости на срезе сопла, определяемое характером обтекания тела и тем полем давления, которое

Фиг. 1

это тело индуцирует в области струйного течения. Предположение

о том, что толщина кромки сопла равна нулю, а струя — изобарическая, соответствует в значительной степени пренебрежению влиянием обтекаемого тела на характеристики струи.

В этом случае влияние формы тела проявляется в том, что при расчете струи в качестве начального принимается распределение скоростей на кормовом срезе тела вращения (толщина пограничного слоя 8, см. фиг. 1, а). Очевидно, что такая задача может решаться лишь последовательными приближениями, поскольку для расчета пограничного слоя на теле требуется распределение давления по его поверхности, которое, в свою очередь, зависит от эжекционных характеристик струи.

Избыточный импульс изобарических спутных струй (в общем случае положительный, отрицательный или равный нулю) сохраняется вдоль потока. Учет начальной неравномерности потока в спутной турбулентной струе становится особенно существенным в тех случаях, когда рассматриваются самодвижущиеся тела, у которых сила сопротивления уравновешивается тягой и избыточный импульс равен нулю.

Расчет изобарических турбулентных струй в равномерном спут-ном потоке [1 — 3] позволяет определить условную границу струи гь(х) и величину нормальной скорости на этой границе, которая обусловлена эжектирующим действием струи. Таким образом, при 56

решении задачи обтекания тела вращения заданной формы с вытекающей из его кормового среза турбулентной струей требуется удовлетворить граничным условиям непротекания на самом теле и заданным условиям протекания через расширяющуюся до бесконечности осесимметричную граничную поверхность струи ъп = =«„[*, /*(•*)].

Можно существенно упростить решение сформулированной задачи, если рассмотреть несколько более простую схему течения, показанную на фиг. 1, б. Здесь принято, что в выходном сечении сопла скорость в струе и вне струи постоянна и меняется скачкообразно на границе струи, т. е. не учитываются пограничные слои, которые образуются на теле вращения и стенках сопла. При указанном упрощении избыточный импульс струи может быть либо положительным (И0>Иг), либо отрицательным (и0<^ио).

Приближенность постановки задачи обусловлена в данном случае допущением о том, что формирование струи происходит независимо от формы обтекаемого тела, поскольку здесь не учитываются вызванные телом нарушения изобаричности струи и постоянства скорости спутного потока в начальном сечении струи. Таким образом, учитывается влияние струи на обтекание тела, но не учитывается влияние тела на закономерности распространения и эжек-тирующую способность струи. Поэтому при решении задачи обтекания следует ограничиться расчетом распределения давления и параметров течения в окрестности тела, но не вычислять параметры течения вблизи границы струи вдали от тела.

Выполненные таким образом расчеты распределения давления по поверхности тела следовало бы сопоставить с результатами соответствующего расчета для случая, когда из сопла истекает струя идеальной жидкости (см. штрих-пунктирные кривые на фиг. 1,6 для случая и0^> щ). Различие эпюр в обоих случаях можно было бы объяснить эжектирующим действием турбулентной струи. Однако задача о расчете обтекания тела вращения, из кормового среза которого истекает струя идеальной жидкости, насколько известно авторам, до сих пор не имеет удовлетворительного решения [4].

В простейшем случае расчет влияния струи на обтекание тела вращения может быть выполнен для тонкого тела вращения, из кормовой точки которого в спутный однородный поток истекает турбулентная струя-источник (фиг. 1, в). Здесь, как и в рассмотренном выше случае, при расчете параметров струи пограничный слой на теле вращения не учитывается и в поперечном сечении, проходящем через заднюю кромку тела, скорость потенциального потока полагается постоянной и равной скорости набегающего потока, за исключением задней кромки тела, где струя-источник индуцирует бесконечную скорость. Избыточный импульс такой струи может быть только положительным. Здесь в качестве исходного распределения давления по поверхности тела может быть принято то, которое получается при расчете обтекания тела в отсутствие струи.

В настоящей работе задача об обтекании тела вращения с реактивной турбулентной струей решена в рамках приближенных постановок, соответствующих схемам фиг. 1, б и 1,6. Принятые упрощения оправдываются тем, что индуцируемые струей скорости вблизи контура обтекаемого тела в большинстве случаев малы по

сравнению со скоростью набегающего потока или местными скоростями на поверхности тела при отсутствии струи или, точнее, при отсутствии ее эжекции. Некоторые соображения о путях решения указанной выше задачи содержатся в работе [5].

2. Эжекционные характеристики турбулентных струй в спут-ном потоке. Для расчета этих характеристик целесообразно воспользоваться интегральным методом [2, 3]. Этот метод базируется на следующих допущениях: течение изобарическое; струя условно подразделяется на два участка — начальный и основной; профиль избыточной скорости и в основном и в начальном участках универсальный; коэффициент турбулентной вязкости постоянен поперек слоя смешения и определяется по формуле Прандтля.

Приведем расчетные формулы для начального участка струи в спутном потоке с начальным ступенчатым профилем скорости (фиг. 1, б и фиг. 2) и параметром спутности т = и<>1и0, где % — скорость спутного потока, и0— скорость струи в начальном сечении. Для определения двух неизвестных (радиуса потенциального ядра течения г0 и толщины слоя смешения о) имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения [3]:

Здесь координата л:, отсчитывается вдоль по потоку от среза сопла, и все линейные размеры отнесены к радиусу сопла г00, т. е_

где

Д — АхР2 — А2Вх, В, = (1 — т2) г0 -}- Фщ о,

/!, = (] — т)г0 4- Ф6 5, В2 = Ф10г0 + 2 Ф,,8,

А2 = фв г0 + 2 Ф:, 8, В3 = - - 2 -/н (1 - т3) (ал г0  ~ Ьі о),

5=^2 + (А — 2 Ь2) т — (6, — Ь>) т=, Фс = а.2 -)- (а, — 2 а2) т — (а, —а2) т2, Ф9 = 2 Ьг т2 (1 — т) + З Ь2 т (1 — т)3 -+- Ь3( 1 — т)3,

Ф10 = 2а1 т2(1 — т) + 3 аг т{\ — т)2 й3 (1 — тъ), хн = 0,0058.

— х,/г00) г0 — г01г00, 8 — 8/го0.

Фиг. 2

Система уравнений (2.1) решается при следующих начальных условиях:_г0 = 1, 8 = 0 при х1 = 0. Расчет продолжается до сечения = х, н, где потенциальное ядро вырождается, т. е. г0 = 0 (конец начального участка). В этом сечении 8 = 8Н.

Для определения двух неизвестных параметров основного участка струи (скорости на оси струи ит — игп/и0 и радиуса струи 8 = 8/г00) имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка [3]:

... )

= 24 х,-.

с1ип

(и.т - от)-'

с, _ йЪ _____ | г) у нш — т (Ь\ — 2 Ь2) т + 1Ь2ип

Ах, 0 (Ьу — 62) 4~ Ь= ит

причем *0 = 0,0095. Начальные условия для решения системы (2.2) определяются из решения предыдущей системы (2.1) в конце начального участка: ит = 1, 8 = 8Н при х1 = х1н.

Входящие в (2.1) и (2.2) коэффициенты аі и Ьі зависят от принятого выражения для безразмерного профиля избыточной скорости в струе [2, 3]. Их значения указаны в таблице.

Определив с помощью приведенных выше формул изменение го, 8', г0 и о вдоль начального участка и ит, 8', ат и 8 вдоль основного участка струи, можно рассчитать эжекционные характе-

03

ристики струи: избыточный расход (3, = 2іг^ (и —и<>)гс1г, его про-

о

изводную по продольной координате ц = радиальные V,,

и нормальные V,, к граничной поверхности струи скорости на границе струи.

Приведем соответствующие формулы.

і 1 2 3 4

«і 2/5 2/7 166/715 48/35

Ьі 1/10 11/210 349/10010 18/35

Начальный участок

<Зі/<Ріо — /0-1-2 6,82 + 2а,ог0; 7= -гг1 = 2Го (г0 -Ь я, 8) -

Чгго

4- 2 о' (а, г0 + 2 Ьх о);

(«1 о 4- г0) Г0 +(я, /-0+26,8)5'

Го

«я

Ql/ QlO

Основной участок

т)

V?

0 и

— = ьх

1 ~1— 9 11 т

‘ ~ Ьх т

1 -

8':

5' +

(1 4-5'2)1/2 (Гб = 8).

Здесь (310 — избыточный расход в начальном сечснии струи, Фю = игоо(ио — и5)- Производная сМ)1/йх1 определяет изменение избыточного расхода на единицу длины струи; на больших удалениях от оси струи обусловленное этим поле скоростей может быть рассчитано с помощью распределенных вдоль оси стоков обильности Ч(Хг).

Зная ^(л:,) и уп(х{) или ^(а-,), можно рассчитать интенсивность кольцевых стоков, расположенных на границе струи, и более точно, чем линейный сток, описывающих вызванные эжекцией струи вторичные точки, особенно на близких расстояниях от границы струи.

На фиг. 3 и 4 представлены рассчитанные по приведенным выше формулам зависимости гг, я и vn|u& от продольной координаты хх для нескольких значений параметра спутности /п = 0-н0,5. В месте сопряжения начального и основного участков на кривых фиг. 4 видны изломы и разрывы, являющиеся следствием принятой схематизации течения в струе.

Фиг. 4

При расчете обтекания тела вращения в качестве характерных размера и скорости принимаются длина тела £ и скорость набегающего потока , причем продольная координата £ отсчитывается от носка тела (! = /. -\-хл) и = 1 -\-xJL — 1 -4- (х}/г00)/^!г00).

В том случае, когда рассматривается идеализированный случай спутной струи, истекающей из точечного турбулентного источ-

ника (г00 -* 0, см. фиг. 1, в), изменение скорости вдоль оси струи может быть определено по формулам [2]:

1 = Лкз + (а1 Р - яг)(^2 + Ь1 |Х)|/2 ], »-= - 1° , (2.7}

1* ит — и5

где

2 2/2 И л/9

«1 = 3*7 ’ “2=ГТГ(-3"*Г“ = ’

“=-----гто--- . <- =-----9- > I = [ и{и — иь) гйг,

* (2 л) ^ 24 %0 ’ 12^’ () ' ' ’

причем / — безразмерный избыточный импульс струи; «(/)—распределение скорости в поперечных сечениях струи.

я

0,05

1,5 2,0 2,5 г,/1

Фиг. 5

Обильность непрерывно распределенных вдоль оси стоков определяется по формуле [2];

- сI ((?,/!= ) /1/2 Ь

я =- У, „ч =" - с — -1-------, С = 24

На фиг. 5 представлены рассчитанные по формулам (2.7) и (2.8) зависимости <7 (~2г) и Iх (тг) ПРИ трех значениях безразмерного избыточного импульса / = 0,005; 0,05 и 0,15.

3. Расчет распределения давления на теле вращения. Рассмотрим вначале способ расчета обтекания тонкого тела вращения, из кормовой точки которого истекает реактивная турбулентная струя-источник (см. фиг. 1, в). В этом случае, как указывалось выше, вторичные течения, обусловленные эжекцией струи, описываются непрерывным распределением стоков переменной интенсивности, расположенных вдоль оси от кормовой оконечности тела вплоть до бесконечности. Если интенсивность этих стоков известна, ТО

дополнительные безразмерные скорости в любой точке пространства х, г вне струи можно определить по известным соотношениям [6):

V

V

3-2

Здесь г— цилиндрические координаты, v^x и <иХг—составляющие скорости вдоль осей х и г; скорости отнесены к скорости набегающего потока, а линейные размеры — к длине тела.

Входящая в (3.1) функция <?(£) в параметрическом виде q=q(\^.) и £ = определяется формулами (2.7) и (2.8). Вычисление несобственных интегралов (3.1) производится следующим образом. Задаемся последовательностью значений \>-и начиная от н-0 = 0 при ?— 1 (на задней кромке тела). С помощью (2.7) находим последовательность точек на оси струи, в которых в соответствии с формулой (2.8) известны точные значения обильности стоков Далее принимаем, что между этими точками, расположенными достаточно близко друг от друга, зависимость q (?) может быть определена путем линейной интерполяции. Тогда интегралы (3.1) могут быть представлены в виде суммы интегралов по малым участкам (;,-, £,- + 1);

V,

N

V.

N

V,

каждый из которых выражается в элементарных функциях: 91+1

п+1 -т К / + 1

4>™,п = где

4 тгу,  ~*•-------------п~ + Ч\ 1п ——,

Ь {х- ?,) + /г? 41 (х -;,-+,) + <?с [/-2 + (X -1;+,) 1

/-/?г

+1

— г2 + {х — ?,)2, —

Ядро интегралов (3.1) и значения интенсивности стоков (2.8) довольно быстро убывают с ростом Используя это обстоятельство, интегралы с бесконечным верхним пределом можно заменить конечными суммами (3.2), где номер слагаемого N определяется в процессе расчета по условию Яы+\!Яо <0,001, где ^—интенсивность стоков на задней кромке тела [<70 = — С’г1/2/(62/^1 )3/2].

Для расчета давлений на поверхности продольно обтекаемого тела вращения с учетом эжектирующего действия струи воспользуемся методом [7], в котором обтекание тела моделируется при помощи слоя источников и стоков, непрерывно распределенных по его поверхности. Условие непроницаемости поверхности тела при-

водится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной интенсивности слоя g(s):

5'

о

Здесь 5 —координата произвольной расчетной точки поверхности тела вращения, отсчитываемая вдоль образующей от его носовой точки;о- координата текущей точки поверхности тела, определяемая аналогично я; — длина образующей тела вращения; К0(5, з) — ядро, выражающееся при помощи полных эллиптических интегралов [7]. Свободный член vn(s) уравнения (3.4) включает в себя не только компоненту скорости равномерного набегающего потока, но и нормальные к поверхности компоненты скоростей (3.2), обусловленные эжекцией струи-источника в каждой расчетной точке поверхности тела.

После решения уравнения (3.4) по методу [7] на поверхности тела по известным формулам подсчитываются суммарные скорости жидкости относительно тела, а затем, в соответствии с формулой Бернулли, и коэффициент давления

Р = (Р- Роо) I ('VI

На фиг. 6, а в качестве примера приведены результаты расчета распределения давления по поверхности тела вращения, обводы которого показаны там же пунктирной линией. Расчеты выполнены для тех же значений безразмерного импульса, что и на фиг. 5, а также для с = 0, когда струя отсутствует.

Из кривых фиг. 6, а видно, что эжектирующее действие струи вызывает ощутимое возрастание разрежения на поверхности тела вращения. Резкое возрастание разрежения вблизи кормовой точки тела вращения обусловлено особенностью, связанной с точечным турбулентным источником в задней кромке (бесконечная скорость истечения}. Для устранения этой особенности во втором примере (штрих-пунктирные кривые на фиг. 6, а) начало струи-источника

располагалось на некотором удалении от задней кромки тела (х — 1,025 г = 0).

Перейдем теперь к расчету распределения давления по поверхности тела вращения с реактивной турбулентной струей, истекающей из сопла конечного радиуса (см. фиг. 1, б). В этом случае, в соответствии с п. 1, вместо заданного тела вращения рассматривается бесконечное полутело, состоящее из заданного непроницаемого тела г,м(х) и проницаемой осесимметричной граничной поверхности расширяющейся турбулентной струи Гь(Х). При этом свободный член интегрального уравнения (3.4) на поверхности тела соответствует величине — Ь'оэ соэ (п, х), а на граничной поверхности струи при заданном т — величине Vп согласно формулам (2.6). Величина Ь3 представляет собой длину образующей составного тела, включающего в себя образующую тела и ее продолжение на рассматриваемом участке струи.

При проведении расчетов учитывался конечный участок проницаемой поверхности, длина которого равна примерно 40 калибрам сопла. Влияние остальной части струи на обтекание самого тела не учитывалось, так как эжекция спутной струи вдоль по потоку довольно быстро убывает (см. фиг. 4). Для оценки обусловленной этим погрешности были выполнены дополнительные расчеты для части струи длиной 25 калибров сопла, результаты которых мало отличались от исходных. Заметим, что влияние эжек-ции дальней „отброшенной" части струи можно учесть, помещая вдоль оси непрерывно распределенные стоки интенсивности <7(х), как в предыдущем примере.

На фиг. 6,6 приведены результаты расчета распределения давления по поверхности составного тела: передняя непроницаемая часть длиной Ь получена из исходного тела (см. фиг. 6, а) путем отсечения его кормовой части (22% длины, г0(1/Ь == 0,0513), а задняя проницаемая поверхность получена из расчета турбулентной спутной струи при параметрах спутности т — 0,2 и 0,3. Значения гЦх) и vn\x> Гг, (х)] определялись в соответствии с формулами (2.1) — (2.6) и задавались в табличной форме. Для сравнения на фиг. 6, 6 построена часть эпюры давлений исходного тела при отсутствии струи. Резкие изменения в кривой р(х) вблизи кормового среза тела на фиг. 6, б обусловлены нарушением плавности перехода от радиуса тела гш (х) к радиусу струи гь(х) вблизи сопла и скачкообразным изменением граничных условий в этом месте.

В реальных условиях обтекания тела вращения с реактивной струей граница пограничного слоя на теле вращения плавно переходит в границу струи, вследствие чего указанные выше резкие изменения распределения давления на теле вблизи среза сопла в значительной степени сглаживаются.

Из проведенных расчетов видно, что в случае положительного избыточного импульса струи (т<^\) эжектирующее действие реактивной струи вызывает увеличение скорости и уменьшение неблагоприятного градиента давления в кормовой части тела. Отмеченные особенности приводят к затягиванию отрыва пограничного слоя на теле, а при отсутствии отрыва —к возрастанию сопротивления трения. В случае отрицательного избыточного импульса струи (т^> 1) влияние струи должно иметь противоположный характер. Известные результаты экспериментального исследования |8| подтверждают эти выводы.

1. А б р а м о в и ч Г. Н. Теория турбулентных струй. М., Физ-матгиз, 1960.

2. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов. М., „Машиностроение*, 1969.

3. Арбекова В. М., Войтович Л. Н., Г инецский А. С., Колесников А. В., Полольный И. Н. Расчет турбулентных слутных струй с учетом начальной неравномерности профиля скорости. Сб. „Промышленная аэродинамика", вып. 30, М., „Машиностроение”, 1973.

4. Craven А. Н. A potential flow model for the flow about a nacelle wilh jet. The College of Aeronautics, Cranfield. Rep. № 101, 1956.

5. Матвеев Г. А. Определение поля скоростей потока, индуцированного реактивной струей. Сб. материалов по итогам научноисследовательских работ механического, автодорожного и самолетостроительного факультетов ТашПИ, 1970, вып. 82, ч. 1, 1971.

6. Ко чин Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. I, М., ГТТИ, 1948.

7. М а с л о в Л. А. Метод расчета обтекания тела вращения

любой формы при произвольном движении в идеальной жидкости.

„Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1970.

8. К ю х е м а н Д., В е б е р И. Аэродинамика авиационных двигателей. М., Изд. иностр. лит., 1956.

Рукопись поступила 251X11 1973 г„

5—Ученые записки ЦАГИ ,Vj 5