Численное решение прямой задачи о течении идеального газа в пространственных турбинных решетках

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 1977 №4

УДК 533 695.5.011.35

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТУРБИННЫХ РЕШЕТКАХ

А. Б. Богод, М. Я Иванов

Развит метод численного решения прямой задачи о течении невязкого и нетеплопроводного газа в изолированном вращающемся венце осерадиальной турбомашины. Нестационарная трехмерная система уравнений газодинамики интегрируется численно с помощью пространственного варианта известной конечноразностной схемы С. К. Годунова, которая ранее была применена к расчету смешанных течений в плоских турбинных решетках. Возможности разработанного метода иллюстрируют примеры расчетов, причем основное внимание уделено оценке точности получаемых результатов и анализу эффектов прост-ранственности рассматриваемых течений.

К настоящему времени разработаны достаточно эффективные и точные методы расчета двумерных течений идеального газа в элементах турбомашин. Наряду с разнообразными приближенными подходами, достаточно полное представление о которых можно получить в монографиях [1,2], в последние годы интенсивно стали применяться конечноразностные методы решения полной системы двумерных уравнений движения сжимаемого газа. Это позволило проводить теоретические исследования в широком диапазоне скоростей потока, включая области трансзвуковых течений.

Прогресс в разработке методов расчета пространственных течений в турбомашинах существенно меньше- Одним из часто используемых в этом направлении подходов является сведение трехмерной задачи к двум двумерным: на поверхностях вращения (в слое переменной толщины) и на поверхностях тока между втулкой и обечайкой [1,2]. Некоторые численные результаты по решению пространственной задачи с помощью указанного подхода можно найти, например, в работах [3,4]. Однако следует отметить, что расчет трансзвуковых пространственных течений проведен только в работах [5, 6]. В первой из них был рассмотрен межлопаточный канал простейшей формы (с параллельными лопатками постоянного по высоте сечения, заключенными между двумя параллельными плоскостями) и исследовалось влияние заданной на входе неравномерности в распределении скорости по высоте канала (от дозву-

ковой — у нижней плоскости до сверхзвуковой — у верхней плоскости) на течение внутри межлопаточной области. В работе [6] приведен пример расчета соплового венца, причем численные результаты были получены методом установления.

В данной работе для расчета смешанных течений в пространственном вращающемся венце турбомашины применена известная конечноразностная схема С. К. Годунова [7, 8]. С помощью этой схемы ранее были решены двумерные задачи о трансзвуковом течении в плоских турбинных решетках [9, 10] и об определении осредненного осесимметричного потока в ступени турбомашины [11].

1. Рассматривается смешанное (до- и сверхзвуковое) течение невязкого и нетеплопроводного совершенного газа в изолированном вращающемся венце турбомашины, две соседние лопатки которого

Фиг. 1

показаны на фиг. 1. Ось л: цилиндрической системы координат хг совмещается с осью вращения, а окружная координата ср отсчитывается от луча, проходящего через переднюю кромку одной из лопаток по направлению к спинке соседней лопатки (см. фиг. 1). За характерный линейный размер принята ширина венца по оси х, так что х=0 отвечает сечению на поверхности втулки, проходящему через входные кромки лопаток, а х=1—сечению, проходящему через выходные кромки лопаток.

Предполагается, что образующая поверхностей лопаток является прямой линией, проходящей через ось вращения, причем угол между образующей и осью х может быть отличным от 90°. При этом лопатка утолщается от втулки к обечайке. Указанное допущение не принципиально для использованного метода расчета, однако облегчает построение расчетной сетки.

Дифференциальные уравнения движения на сильных разрывах эквивалентны следующей трехмерной нестационарной системе интегральных законов сохранения

—| \^агс!х йг

Ь с п

где а, Ь, с, / и £ — вектор-столбцы, имеющие вид

а

( 1 и

V

ш

V 2е -|- <72

& =

/ ры

Р + Р«2 р ии р иш \ Ри (2Л + <?2). рда \ р« \ _» ручу ; g =

р + р2 ра> (2Л + 92) /

С =

р + р (да + «/")2 — ри (ге? + 2»/-) 2рг2 ю2 и

0-1)

здесь О — произвольный фиксированный (не зависящий от времени) объем, 5— ограничивающая его замкнутая поверхность, I — время, Р, р, е и /г— плотность, давление, удельные внутренние энергия и энтальпия газа соответственно, и, V и да — проекции вектора скорости <7 на оси х, г и ср соответственно, ^ — модуль вектора скорости и — угловая скорость вращения венца.

Система (1.1) замыкается соотношениями

е т. — 1р’ х — 1 р ’

где х — показатель адиабаты.

Все переменные считаются безразмерными. Обезразмеривание параметров достигается отнесением пространственных координат к характерной длине /*, компонентов и модуля скорости — к критической скорости звука а*, плотности — к своему критическому значению р* в набегающем потоке, давления — к р* с2, времени — к 1%/а%, внутренней энергии и энтальпии — к а2 и угловой скорости — к

Учитывая то, что достаточно полное изложение пространственного варианта схемы С. К. Годунова представлено в работах [12, 13], ниже остановимся только на некоторых деталях построения расчетной схемы, существенных для дальнейшего изложения.

Рассматриваемая область течения 2 ограничена в направлении оси х начальным (х = ха) и конечным (х — хе) сечениями, отстоящими от передних и задних кромок лопаток на расстоянии порядка высоты межлопаточного канала. Начальное и конечное сечения могут быть поверхностями вращения более сложной формы (например, коническими поверхностями). В направлении координаты г область 2 ограничена двумя поверхностями вращения г = г_(х) и г = г+ (х), отвечающими соответственно втулке и обечайке проточной части турбомашины. По оси ср область Й ограничивает поверхности ¥ = <р_(х) и ¥ = ф+(х), содержащие участки поверхностей лопаток (вогнутой и выпуклой соответственно) и участки протекания до входных кромок и за выходными кромками лопаток. На указанных участках протекания выполняются условия периодичности. На втулке, обечайке и поверхностях лопаток выполняются условия непротекания. В начальном сечении канала задаются полные параметры потока и угол наклона вектора скорости. В выходном сечении либо считается известным распределение статического давления (при дозвуковой нормальной к указанному сечению составляющей скорости), либо дополнительные условия вообще не выставляются (при сверхзвуковой осевой скорости на выходе). .

Функции г_ (х), г+(х), 4-{х) и <?+ (х) задаются в соответствующих узлах координатной сетки, построение которой проводится следующим образом. В направлении от втулки к обечайке проводится ^ — 1 расположенных эквидистантно поверхностей вращения, которые делят область 2 на У слоев переменной (в продольном направлении) толщины. Указанные поверхности, а также поверхности г-(х) и г+(х) разбиваются в окружном направлении на К частей, в продольном направлении на / частей и нумеруются аналогично разбиению, описанному в работе [10] для случая плоских решеток. При этом на данных поверхностях около передних кромок образуются пятиугольные ячейки, а к выходному сечению примыкают треугольные ячейки. Точки разбиения с одинаковыми номерами на соседних поверхностях вращения соединяются прямолинейными отрезками, образуя тем самым расчетные пространственные ячейки разностной сетки. Выходные стенки лопаток считаются заостренными. На фиг. 1 показан пример расчетной сетки, покрывающей рассчитываемую область 2.

Применяя законы сохранения (1.1) к каждой расчетной пространственной ячейке, получаем конечноразностные соотношения, связывающие параметры потока в соседние моменты времени. Проводя вычисления при независимых от времени граничных условиях, в пределе (при Ь -> оо) получаем стационарное решение во всей области 2.

На сверхкритических режимах течения, результаты расчета которых для рабочего колеса будут представлены ниже, область влияния заданного давления в сечении выхода ограничена кромочными скачками, приходящим на спинку соседней лопатки. При этом в межлопаточном канале устанавливается режим течения, соответствующий пропускной способности рассматриваемой решетки. Остановимся еще на одном моменте, относящемся к постановке задачи. В работе [9] показано, что для получения с помощью разностной схемы и метода установления стационарного течения в плоской решетке не требуется дополнительно выставлять условие Жуковского — Чаплыгина (в качестве граничного условия). Вырабатывающееся в результате установления решение пространственной задачи также автоматически удовлетворяет условию схода потока с задних кромок лопаток, в связи с чем в данной работе никаких дополнительных условий в окрестности выходных кромок лопаток не использовалось.

2. Приведем некоторые данные, характеризующие точность получаемых с помощью изложенного метода результатов. В качестве примера, рассмотрим пространственное течение в рабочем колесе турбомашины, лопатки которого в среднем по высоте сечении имеют следующую форму: максимальная толщина профиля, отнесенная к его хорде, с = 0,2; диаметр задней кромки, отнесенный к горлу рассматриваемого сечения межлопаточного канала, с?к = 0,15; величина шага решетки в среднем по высоте сечении, отнесенная к хорде профиля, Т = 0,65. Внутренний и внешний обводы межлопаточного канала выполнены цилиндрическими. Высота канала и, следовательно, лопаток венца характеризуется отношением диаметра окружности средних сечений лопаток к их высоте. Это отношение Е)с/1 — 9.

Венец вращался с угловой скоростью со, которая обеспечивала движение среднего сечения лопаток в окружном направлении с

5—Ученые записки № 4

65

линейной скоростью, равной 0,6 от значения критической скорости потока. На правой границе рассчитываемой области в процессе установления использовалось условие, обеспечивающее на стационарном режиме „запирание“ потока внутри межлопаточного канала. Расчетная сетка содержала 3150 ячеек (/X К — 45 X 7 X Ю). Угол потока перед решеткой задавался в начальном сечении переменным по радиусу и совпадающим на каждом радиусе с направлением касательной к средней линии у входной кромки лопатки.

Проверка точности получаемых результатов проводилась по выполнению интегральных законов сохранения массы и энергии на стационарном режиме течения. Так, например, отличие значения расхода газа внутри межлопаточного канала от его значения в начальном сечении не превышало 2—3%.

Дополнительно к этому в случае изоэнтропического и изо-энергетического потока точность численных результатов может быть оценена из условия сохранения энтропии (или ее однозначной функции) и полной энтальпии. В рассмотренном варианте расчета в большей части области течения ошибки вычисления величины р1рА не превышали 5% и несколько увеличивались при приближении к выходным кромкам лопаток. Ошибки в определении полной энтальпии были существенно ниже. Приведенные данные, а также ряд других оценок точности (например, по сходимости результатов при изменении расчетной сетки или по сравнению результатов расчета плоских течений с помощью трехмерной программы с имеющимися данными) позволяют сделать вывод об удовлетворительной точности разработанного метода.

3. Ниже представлены некоторые результаты исследования пространственных безотрывных течений в изолированных вращающихся венцах турбомашины.

На фиг. 2 для рабочего венца, геометрия лопаток которого описана в предыдущем пункте, построены распределения скорости ц, отнесенной к критической скорости звука, вдоль вогнутой и выпуклой поверхностей профиля в трех цилиндрических сечениях. По оси абсцисс отложена координата S, отсчитываемая вдоль профиля от передней до выходной кромки. Положительная и отрицательная полуоси отвечают соответственно вогнутой S_ и выпуклой S+ поверхностям профиля. Величина S отнесена к своей максимальной величине (разной для вогнутой и выпуклой образующих профиля). Сплошные, штриховые и пунктирные кривые соответствуют среднему, корневому и периферийному сечениям. На фиг. 2, а представлены результаты для неподвижного венца, на фиг. 2, б — для вращающегося с той же, что и в предыдущем пункте, скоростью. При этом величина со = 0,03.

Из приведенных результатов видно, что для рассматриваемого венца при <« = 0 параметры течения слабо зависят от радиальной координаты. При со = 0,03 течение имеет пространственный характер. Более полное представление о пространственной структуре течения можно получить из фиг. 3, где для вращающейся решетки показаны линии р = const на трех поверхностях; втулке и обечайке (сплошные линии) и боковой поверхности, которая ограничивала расчетную область и содержала вогнутую поверхность лопатки (штриховые линии).

Поверхности тока, которые в начальном сечении имеют форму окружности, внутри вращающегося венца существенно искривляются. Указанный эффект иллюстрируется фиг. 4, где показано

/ і

•V \\ kzJ

s

отклонение Дг межлопаточной поверхности тока, совпадающей в начальном сечении с окружностью среднего радиуса канала, от цилиндрической поверхности вдоль трех линий пересечения данной поверхности с вогнутой стенкой профиля, выпуклой стенкой и средней по ср поверхностью межлопаточного канала (соответственно сплошная, штриховая и пунктирная кривые). По оси абсцисс отложена координата х. Положительные значения Дг, отнесенные к высоте лопатки /, соответствуют отклонению линий тока в сторону

Фиг. 5

обечайки, причем в середине канала указанные отклонения меньше, чем около лопаток.

Аналогичные данные для соплового лопаточного венца, заключенного между двумя цилиндрическими поверхностями, приведены на фиг. 5. В цилиндрическом сечении среднего радиуса лопатки имели форму профиля решетки ЦКТИ-ТН-2 [14] с характерными параметрами с =0,16, с?к = 0,1, 7 = 0,66, = 6,5. Профили двух

соседних лопаток в этом сечении показаны в верхней части фигуры. Давление на правой границе рассчитываемой области было постоянно по сечению и равно 0,75, что соответствует теоретическому числу Маха изоэнтропического истечения потока из решетки, вычисленному по перепаду давления, равному 0,95. На реализующемся режиме течения около спинки лопатки существовала местная сверхзвуковая зона. Дополнительно штрихпунктирной линией на фиг. 5 показано изменение угла аг наклона вектора скорости к оси х вдоль средней (по г и по ср) линии межлопаточного канала. Отметим, что в данном случае, в отличие от предыдущего, отсутствие вращения венца и форма межлопаточного канала приводят к отклонению средней (по г) поверхности тока к втулке венца.

Расчеты были проведены на ЭЦВМ БЭСМ-6 по программам, составленным на алгоритмическом языке АЛГОЛ-бО. Время счета одного варианта при 3000 расчетных ячейках составляло около 7 часов.

Авторы признательны А. Н. Крайко за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения ее результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., Физматгиз, 1962.

2. Жуковский М. И. Аэродинамический расчет потока в ссевых турбомашинах, Л., „Машиностроение“, 1967.

3. Катсанис Т. Применение|метода произвольных ортогональных линий к расчету распределения потока в турбомашине. Сер. А., т. 88, № 2, 1966.

4. П о д в и д з Г. Л. Расчет квазитрехмерного течения газа в межлопаточном канале осевой турбомашины. „Изв. АН СССР, МЖГ'“, 1971, № 4.

5. О 1 i V е г D. A., Sparis P. A. Computational study of threedimensional transonic sheer flow in turbomachine cascades. „А1АА Paper“, N 71—83, 1971.

6. D e n t o n J. D. A time maching method for two and three dimensional blade to blade flows. ARC Reports and Memoranda, N 3775, 1974.

7. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Мат. сб., 1959, т. 46 (89), вып. 3.

8. Г о д у н о в С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. „Ж. вычислит. матем. физ.“, т. I, № 6, 1961.

9. Бог од А. Б., Замтфорт Б. С., Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Об использовании процесса установления по времени при решении задач стационарного обтекания газом решеток профилей. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1974, № 4.

10. Богод А. Б., Грановский А. В., Иванов М. Я. Численное исследование некоторых особенностей трансзвуковых течений в плоских турбинных решетках. „Изв. АН СССР, МЖГ“, .1976, № 2.

11. Иванов М. Я., Кима сов Ю. И. Численное решение прямой задачи определения осредненного осесимметричного потока идеального газа в ступени турбомашины. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 4, 1975.

12. Иванов М. Я., Рылько О. А. Расчет трансзвукового течения в пространственных соплах. „Ж. вычислит, матем. и матем. физ.“, 1972, т. 12, № 5.

13. И в а н о в М. Я. К решению двумерных и пространственных задач обтекания тел околозвуковым потоком. „Ж. вычислит, матем. и матем. физ.*, 1975, т. 15, № 5.

14. Гукасова Е. А., Жуковский М. И., 3 а в а д о в-

ский А. М., Зысина — Моложен Л. М., Скнарь Н. А., Т ырышкин В. Г. Аэродинамическое совершенствование лопаточ-лых аппаратов паровых и газовых турбин. М. — Л., Госэнергоиздат, i960.

Рукопись поступила 18/XI 1976