Оценка параметров систем массового обслуживания при аппроксимации дисциплины обслуживания потоками Эрланга

П.Б. Абрамов,

кандидат технических наук, доцент, Военный авиационный инженерный университет

А.В. Леньшин,

доктор технических наук, доцент, Военный авиационный инженерный университет

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ АППРОКСИМАЦИИ ДИСЦИПЛИНЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОТОКАМИ ЭРЛАНГА

ESTIMATION OF MASS SERVICE SYSTEMS PARAMETERS AT APPROXIMATION OF SERVICE DISCIPLINE BY ERLANG

STREAMS

Приводятся результаты аналитического моделирования одноканальных систем массового обслуживания с ожиданием для случая, когда потоки обслуженных заявок аппроксимируются потоками Эрланга. Результаты моделирования сопоставлены с расчетами классической теории, на этой основе получены коэффициенты коррекции, позволяющие учесть последействие в системах массового обслуживания.

Results of analytical modeling of single-channel mass service systems with expectation are discussed in the article for a case when streams of the served demands are approximated by Erlang streams. Results of modeling are compared with classical theory calculations, and on this basis correction factors are received, allowing to consider postaction in mass service systems.

Моделирование систем массового обслуживания (СМО) в настоящее время приобретает все большую актуальность. Это обусловлено тем фактом, что современные системы и сети передачи и обработки информации по своей сути являются системами массового обслуживания. Разветвленность структуры информационных сетей, их достаточно сложная архитектура и значительный объем передаваемого трафика требуют адекватной оценки возможностей подобных систем с целью минимизации риска потери информации.

Исследованию и оптимизации сетей массового обслуживания посвящено большое количество научных трудов. Особенный интерес вызывает моделирование систем, в которых потоки событий являются не вполне пуассоновскими. Для этой цели применяются самые различные модели и методики, начиная от алгоритмов решения задач на графах и заканчивая теорией нечетких множеств. Заметную роль среди научных подходов в данной предметной области занимают полумарковские модели и методы, основанные на моментах вероятностных распределений случайных величин. Полученные авторами расчетные соотношения достаточно сложны и позволяют учесть многие существенные аспекты реальных процессов.

Вместе с тем, представляется незаслуженно забытым такой классический подход, как метод расширения пространства фазовых состояний системы. Как известно [1], он основывается на аппроксимации потоков событий в системе массового обслуживания потоками Эрланга. Распределение времени как случайной величины между собы-

тиями в потоке Эрланга описывается гамма-распределением с целочисленными параметрами. Порядок потока Эрланга может быть достаточно просто оценен на основе выборки случайного процесса, методом сравнения математического ожидания временного интервала между событиями и дисперсии этой величины, согласно следующему выражению

К э =

m

где m — математическое ожидание; а — среднеквадратичное отклонение значения временного интервала между событиями в стохастическом потоке. После этого достаточно ввести на соответствующем переходе графа KЭ — 1 псевдосостояний, увеличив в KЭ раз интенсивности потоков событий на вновь полученных дугах графа состояний системы, чтобы модель стала марковской, оставаясь при этом вполне адекватной моделируемым процессам.

Следует отметить, что подобный подход осложняется целым рядом затруднений, в силу чего не получил широкого распространения. Прежде всего, при расчете порядка потока по формуле (1) вероятнее всего будет получено не целое значение. Округление результата может привести к значительным погрешностям. Кроме того, при больших значениях последействия введение псевдосостояний существенно увеличивает количество уравнений в системе, описывающей моделируемый процесс. Вместе с тем, основные положения данного метода были сформулированы в 30-40-е годы ХХ столетия, когда возможности математических вычислений являлись весьма и весьма ограниченными. Современное развитие компьютерных технологий позволяет успешно преодолеть указанные трудности и получить полезные для практики расчетные соотношения для немарковских систем массового обслуживания.

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием, в которой дисциплина обслуживания не может быть смоделирована простейшим потоком событий. Подобная модель представляется вполне адекватной для выделенных серверов локальных информационных сетей. Действительно, имеет место очередь, так как пришедшие заявки ожидают обслуживания, а значения временных интервалов их обслуживания, как правило, группируются около некоторого значения, что не отвечает экспоненциальному закону распределения.

В качестве отправной точки рассуждений возьмем классическую модель СМО с ожиданием. Граф переходов и состояний системы приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний и переходов одноканальной СМО

Здесь m — количество мест в очереди; Л — интенсивность входящего простейшего потока заявок; ц — интенсивность обслуживания заявок в канале. Будем полагать, что поток обслуженных заявок с достаточной точностью аппроксимируется потоком Эрланга порядка KЭ. Составим граф состояний и переходов для модели с введенными

псевдосостояниями. Для одноканальной СМО с очередью в одно место он будет иметь вид, приведенный на рис. 2.

Можно видеть, что граф существенно усложняется не только из-за введения псевдосостояний, но также потому, что из каждого псевдосостояния S1k возможен переход в старшее по номеру состояние графа S2. При увеличении количества мест в очереди происходит дальнейшее усложнение, с возникновением переходов из S2к в S3, из S3к в S4, и т.д. Количество уравнений, описывающих динамику модели, также существенно возрастает с увеличением порядка потока Эрланга KЭ.

Рис. 2. Граф состояний и переходов для одноканальной СМО с очередью в одно место

Вместе с тем, для приведенного на рис. 2 графа вполне обоснованно могут быть составлены и решены уравнения Колмогорова — Чепмена, а затем рассчитаны вероятности состояний для немарковской модели согласно выражению

K

^ ^ + X Pik .

нм м .< л ^ \ /

k=1

С целью оценки параметров немарковских СМО было проведено аналитическое моделирование динамики системы для количества мест в очереди от одного до пяти и коэффициента потока Эрланга, равного KЭ = 2. Результаты расчета вероятности отказа

РОТК в обслуживании заявки приведены в табл. 1.

Таблица 1

Вероятность отказа РОТК в обслуживании заявки

Нагрузка СМО, Число мест в очереди

1 2 3 4 5

0,4 0,1090 0,0450 0,0190 0,0080 0,0037

0,6 0,1970 0,1170 0,0730 0,0048 0,0032

0,8 0,2820 0,2040 0,1580 0,1280 0,1070

1,0 0,3570 0,2910 0,2530 0,2290 0,2130

1,2 0,4220 0,3690 0,3410 0,3260 0,3160

1,4 0,4780 0,4360 0,4170 0,4080 0,4030

1,6 0,5250 0,4930 0,4800 0,4740 0,4720

1,8 0,5650 0,5410 0,5320 0,5280 0,5270

2,0 0,6000 0,5810 0,5740 0,5720 0,5720

2,5 0,6670 0,6570 0,6540 0,6540 0,6450

3,0 0,7160 0,7100 0,7090 0,7080 0,7080

3,5 0,7520 0,7490 0,7480 0,7480 0,7480

4,0 0,7800 0,7780 0,7780 0,7780 0,7780

5,0 0,8210 0,8200 0,8200 0,8200 0,8200

6.0 0,8490 0,8490 0,8480 0,8480 0,8480

7,0 0,8690 0,8690 0,8690 0,8690 0,8690

8,0 0,8850 0,8850 0,8850 0,8850 0,8850

9,0 0,8970 0,8970 0,8970 0,8970 0,8970

Для сравнения с результатами классической теории массового обслуживания были проведены расчеты вероятности отказа по формуле [2]

ЛИ+1/1 >у

p* = р—

ОТК 1 _ ГП+2 ’ V3'

где р = 1т — нагрузка системы массового обслуживания.

В результате были получены коэффициенты коррекции ^К0РР, приведенные в табл. 2, на которые необходимо умножить классические результаты с целью получения параметров немарковской системы массового обслуживания

Р0ТК = ^ОРР ' ^ТК .

Таблица 2

Коэффициент коррекции Kк0pp для вероятности отказа СМО

Нагрузка СМО, Уц Число мест в очереди

1 2 3 4 5

0,4 1,0583 1,1538 1,1875 1,3333 1,4800

0,6 1,0707 1,1818 1,3036 1,4545 1,6842

0,8 1,0763 1,1792 1,2951 1,4382 1,6212

1,0 1,0689 1,1548 1,2402 1,3392 1,4200

1,2 1,0657 1,1460 1,2222 1,2988 1,3680

Продолжение табл. 2

1,4 1,0622 1,1295 1,1880 1,2401 1,2753

1,6 1,0585 1,1129 1,1566 1,1880 1,2103

1,8 1,0541 1,1018 1,1343 1,1528 1,1659

2,0 1,0508 1,0901 1,1124 1,1260 1,1349

2,5 1,0406 1,0666 1,0792 1,0864 1,0932

3,0 1,0347 1,0519 1,0598 1,0599 1,0615

3,5 1,0287 1,0417 1,0447 1,0462 1,0476

4,0 1,0236 1,0332 1,0360 1,0373 1,0373

5,0 1,0186 1,0237 1,0250 1,0250 1,0250

6.0 1,0143 1,0180 1,0180 1,0180 1,0180

7,0 1,0105 1,0140 1,0140 1,0140 1,0140

8,0 1,0091 1,0114 1,0114 1,0114 1,0114

9,0 1,0079 1,0090 1,0090 1,0090 1,0090

Графики зависимостей коэффициента коррекции КК0РР от нагрузки СМО при различном количестве мест в очереди приведены на рис. 3. Индекс переменной по оси ординат соответствует количеству мест в очереди СМО.

Рис. 3. Зависимость коэффициента КК0РР от нагрузки СМО

Характер полученных зависимостей определяется несколькими факторами. При увеличении нагрузки вероятность отказа РОТК в любом случае стремится к единице. Поэтому и коэффициент коррекции также стремится к единичному значению. При уменьшении нагрузки до нуля, напротив, вероятность отказа РОТК стремится к нулю, как в марковской, так и в немарковской системе. Следовательно, коэффициент коррекции также обращается в единицу

Нт ^рр = Нт ккорр =1.

Р0 Р¥

Экстремум функциональной зависимости наблюдается при нагрузках СМО, близких к единице. Это отвечает наиболее вероятным режимам работы системы, когда вероятность отказа составляет величину порядка РОТК = 0,05...0,2. Таким образом, увеличение значения вероятности отказа в обслуживании заявки в 1,5—2 раза исключительно по причине той или иной дисциплины обслуживания в канале представляется весьма существенным для оценки возможностей СМО при разработке и проектировании аппаратуры передачи и обработки информации в инфокоммуникационных сетях. Полученные результаты находят практическое подтверждение, из опыта проектирова-

ния вычислительных сетей известна целесообразность обеспечения 15-20 % запаса пропускной способности сервера с целью обеспечения требуемых показателей системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. — М.: Высшая школа, 2000. — 383 с.

2. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций: пер. с англ. — 7-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — 912 с.

3. Абрамов П.Б. Надежность сложных радиоэлектронных систем: моделирование и управление // Телекоммуникации. — 2004. — № 6. — С. 3—6.