Производственные функции многих переменных с переменной эластичностью замещения

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Горбунов В. К., Дедовских А.Г.

УДК 519.862.5

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ С ПЕРЕМЕННОЙ ЭЛАСТИЧНОСТЬЮ ЗАМЕЩЕНИЯ

1. Введение.

Производственные функции (ПФ) и подобные им функции предпочтения (порядковые функции полезности) относятся к базовому математическиму аппарату моделирования рационального поведения основных объектов экономической теории и прикладного экономического анализа - производственных фирм и агрегированных производственных систем (отраслей, регионов, национальной экономики), потребительского спроса, исследования экономического равновесия как основы рыночного ценообразования [10,5,2].

Важнейшей характеристикой производства и потребления является замещение различных факторов или продуктов при условии постоянного эффекта (уровней выпуска или потребления). Эта характеристика наиболее полно исследуется в случае положительной однородности вогнутых производственных функций или функций предпочтения. Отметим, что свойство однородности является типичным для производственных процессов и, наоборот, исключительным для потребительских предпочтений, если его не добиваться целенаправленным подбором номенклатурных групп потребляемых благ для построения агрегированных показателей (индексов) потребления.

Количественная мера замещения была впервые введена Дж. Хиксом (1932) для двух-факторных однородных ПФ как эластичность (введённая А. Маршаллом для функций спроса [7,3]) зависимости пропорции использования некоторой пары производственных факторов от соответствующей предельной нормы замещения при условии постоянства выпуска [4,5]. Эта мера называется эластичностью замещения по Хиксу. Для мно-

гофакторных функций существуют и другие понятия эластичности [5].

Наиболее известная и исторически первая ПФ Кобба-Дугласа имеет эластичность замещения, равную единице. В 1961 был получен общий вид двухфакторных ПФ с произвольной (положительной) постоянной эластичностью замешения [9], позже обобщенный на многофакторные ПФ.

Следующим этапом развития аппарата производственных функций стал поиск аналитического класса функций с переменной эластичностью замещения, зависящей для каждой пары факторов от их пропорции использования. Эта задача была решена для двух-факторных функций в общем виде в [12] (в терминах неопределённых интегралов) и в [11] был построен и исследован конкретный подкласс функций, эластичность замещения которых линейно зависит от пропорции использования факторов. Функций с выявленной переменной эластичностью замещения с более чем двумя факторами в литературе нам не известно. Более того, можно встретить утверждение о несуществовании таких функций. В данной работе представляется класс положительно однородных ПФ с переменными эластичностями замещения с произвольным числом факторов. Данный класс определяется с помощью представления линейно однородных вогнутых функций на неотрицательном п-мерном ортанте, полученного ранее Горбуновым на основе преобразования гомотетии произвольных положительных вогнутых функций, определённых на стандартном симплексе [1, 2]. 2. Эластичности замещения для многофакторных функций.

В случае многофакторных ПФ существует два подхода к определению показателя эластичности замещения [5]. Согласно первому

е

УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

подходу в многофакторной функции фиксируются все переменные, кроме двух, для которых вычисляется эластичность замещения по Хиксу. При втором подходе все факторы считаются переменными. Мы используем второй подход.

Рассмотрим положительно однородную п—факторную функцию f(х 1,х2,...,хп ) степени ц. Предельная норма замещения (ПНЗ) фактора г фактором ] есть величина

дf

5.. (х) = -

1 ' дх

дх

Отметим, что для вычисления произвольной ПНЗ 5. достаточно иметь набор п—1 величин 5 п , = 1, п -1, так как 5. = 5п / 5 п.

Выделив произвольный замещающий фактор ] и используя однородность функции ^х), представим её в виде

f (х) = х ^

х

х

V 1

хх

1-1 1 1+1

хх

х

1 J

дх

= хц -1 (цф %1)-(%1 ,ф'( %1))),

вд = х ц -1 дф %1)

дх

д%„

Здесь и далее ф'(%1) обозначает вектор частных производных функции (4) по компонентам вектора (3) и (•, ^ — скалярное произведение.

Подставляя производные (5) в (1), приходим к следующему виду функций ПНЗ

цф %1)-(%1 ,ф'( %1

51 (%1) ="

дф( %1)/ д%„

Таким образом, функции ПНЗ (1) в однородном случае являются функциями от пропорций использования факторов. Запишем это для фиксированного замещающего фактора 1 в виде системы уравнений относительно всех переменных - ПНЗ 5. .,...,5. , .,5. , ,.,5 и

1 1Г 1-1,1 1+1,1 п1

пропорций % 111 -1,11+ип1 :

51 = у 1

Здесь правая часть совпадает с правой частью выражений (6).

Определение эластичности замещения Хикса (в двухфакторном случае) основано на применении понятия эластичности Маршалла [7,3] к зависимости пропорции использования факторов от ПНЗ%12(512) [4,5]:

512 4,12 _ а 1П % 12

а,

% 12 d512 d 1п 5,

Введём обозначения: для пропорций использования факторов % =

для (п — 1)-мерного вектора пропорций

%1 =

и для приведенной функции

ф

При этом функция

Дифференцируя полученное представление, получаем частные производные функции f

'дf

Для двухфакторного случая нетрудно убедиться [2], что а 12 =а 21 =а. В работе [9] был определён общий класс однородных производственных функций постоянной эластичности замещения (труда капиталом).

В многофакторном случае для обобщения этого понятия требуется разрешимость системы (7) относительно компонент вектора % 1 , т.е. существование обратной функции (у / )(•). При этом определена система функций

%1 =!) (511,•••,51 -1,1,51+1,1 ,•••,5п),

.=1.....1 -1,1 +1.....п,

и эластичностями замещения ,—х факторов ]—м называются [5] величины

а.. =

1

5.. д%^ д 1п %. 1

1 1 1

%. 1 д5.. д 1п 5..

1 1 1

Известен общий вид многофакторных функций с постоянной (для всех пар факторов) эластичностью замещения а [5]:

fр (х) = а[£ р, х -

-ц /р

, р , > 0, -1<р* 0.

Здесь р , =1, ц — сепень однородности, а =1/(1 +р).

Для двухфакторного случая в [12] решена задача аналитического представления класса функций с заданной переменной эластичностью замещения а(% 12) через неопределённые интегралы (см. также [6,5]). В [11] построен и исследован конкретный подкласс функций с линейной зависимостью а(%12).

Таким образом, вычисление эластич-ностей замещения в многофакторном случае требует разрешения системы (7) относи-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

тельно пропорций использования факторов 2У и вычислений по формуле (8). В общем случае для этого потребуются численные методы. В приведенных ниже примерах этот алгоритм удалось реализовать аналитически. 3. Аналитическое представление класса однородных вогнутых функций.

Учитывая большую важность однородных вогнутых функций в экономико-математическом моделировании, желательно иметь аналитическое представление этого класс, удобное для их математического анализа (вычислений значений функций и их производных) .

Известно [8], что класс всех выпуклых положительных линейно однородных функций совпадает с множеством опорных функций всех непустых выпуклых множеств. Такое представление класса однородных функций неэффективно в прикладном отношении, так как опорная функция определяется как значение некоторой экстремальной задачи.

В [1] получено аналитическое представление класса линейно однородных неотрицательных вогнутых функций, определённых на неотрицательном ортанте Я+П пространства Яп, через произвольные неотрицательные вогнутые функции, определённые на стандартном симплексе Бп в Я+\ Это представление тривиально обобщается на положительно однородные неотрицательные вогнутые функции, что отражено в следующей теореме.

Введём обозначения

X = £X., ^ = {х ^ 0:(х) =1}.

1 =1

Теорема [1, 2]. Любая вогнутая, положительно однородная степени 0 и неотрицательная на ортанте ЯП функция и(х) может быть представлена в виде

и( X) =(х)Ц V

( ^ X

(х>

ди(х) / х 1 дх,. ^ '

д-

ду1 (хЬ= 1 дук к

Таким образом, представление (9) существенно расширяет возможности моделирование производственных систем и потребительских предпочтений в предположении их положительной однородности. Для дифференцируемых функций (9) определены эластичности (8). Формула (10) облегчает их вычисление.

4. Вычисление эластичностей замещения.

Рассмотрим применение приведенной теоремы о представлении вогнутых положительно однородных функций для подкласса (9), порождаемого вогнутыми квадратичными функциями

V х) = а +

с отрицательно определёнными матрицами

О=&}.

Проиллюстрируем это представление для п = 2:

где Чу), У 6 Я П - некоторая вогнутая инеотри-

цательная на симплексе Бп функция.

Если порождающая функция -(у) дифференцируемая, то функция (9) также дифференцируемая, при этом

и(хр х2) =

_ (а + с1 + ди)х2 + (2а + с1 + с2 + 2q12)x1x2 + (а + с2 + д22)х^ х1 + х2

Приведенная функция от пропорции использования факторов 2 = х2 /х 1 имеет вид

<К 2) = и(1,2) =

а + с1 + q 11 + (2 а + с1 + с2 + 2q 12)2 + (а + с2 + q 22)2

х1 +2

а функция ПНЗ (6) -

5 ^2) = (2ql2 -q22 + с1 + а)2" + 2(с1 + а + q11)2 + а + q11 + с 21 (q22 + с2 + а)22 + 2(с2 + а + q22)2+ 2q 12 ql1 + с2 Аналитические формулы вычисления эластичностей замещения достаточно громоздкие. Они реализованы с помощью символьных вычислений програмной системой "МаШетайса".

Зададим значения параметров функции

(11):

Г-2 0.5 ^ а =1, с = (2,1),О = .

^05 -О

С данными параметрами эта функция

-(х) = 1 + 2х1 + х2 -2х2 + х1 х2 -х2

строго вогнута. Соответствующая линейно однородная функция (9) имеет вид

х.2 + 6х. х 2 + х 2 и(х) = —-1—2--

е

УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Изокванты функций (12) и (13) представлены на рис. 1. Приведенная функция полезности для (13) имеет вид

5%2 + 2%+1

Ф):

71x2 + 73.4x2 + 75x2 + 148XjX2 + 150XjX3 + 150x2 x3

Ф(%) =

%2 + 2% + 5

Значения функции o

Таблица 1

% 0.5 1 3 5 8

o 1.1949 1.0000 1.5476 2.4286 3.9609

-1 -2

-0.6 -1

-1 -3

Выберем в качестве замещающего фактора ] = 3. Соответствующая приведенная функция определяется выражением

Используя формулы

^ 5%4 +12 %3 + 30%2 +12 % + 5

ol %) =-ъ-•

8% %2 + 6% +1)

Можно проверить, что эта функция выпуклая с минимумом o(1) =1, причём o(%) при 0 . Несколько её значений представлено в табл. 1.

Таким образом, двухфакторная фнукция (13) имеет переменную эластичность замещения.

Рассмотрим трёхфакторную функцию (9), порождаемую квадратичной функцией (11) с

Ф %3) =

75 + 71%f3 +150%13 +148%13 %23 +150%23 + 73.4%2

%13+%23 +1

параметрами

а = 71, с = (5,3,7), Q =

Нетрудно убедиться, что матрица О отрицательно определённая и порождающая функция

•Цх) = 71 -5х^ -0.6х2 -3х2 + 5х 1 + 3х2 + 7х3 -

- 2х1х 2 - 4х1 х 2 - 2х 2х 3

строго вогнутая. Соответственно,

Значения эластичностей замещения первого фактора третьим а 13 И второго третьим а 23, вычисляются с использованием формул (6), (7) и (8). Соответствующие выкладки достаточно громоздки и мы их опускаем. Результаты вычислений представлены в табл. 2 и табл. 3.

Таким образом, рассмотренная трёхфак-торная ПФ имеет переменные эластичности замещения. Достаточно произвольный выбор порождающих функций в виде квадратичных (11) и их (отрицательно определённых) матриц показывает, что класс положительно однородных функций с переменными элас-тичностями замещения достаточно богат. Он определяется аналитическим представлением (9), где в качестве порождающих функций можно выбирать произвольные вогнутые и положительные на симплексе 5п функции.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Горбунов, В.К. О представлении линейно однородных функций полезности / В.К. Горбунов //Уч. запискиУлГУ. Сер. "Фунд. пробл. матем. и механики", Вып. 1(6),-Ульяновск: УлГУ, 1999. С. 56-63.

2. Горбунов, В.К. Математическая модель по-

требительского спроса: Теория и приклад-

ной потенциал/ Горбунов, В.К. - М.: Экономика, 2004. 231с.

Рис. 1. Изокванты v

+ x^2 + x3

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Значения функции

Таблица 2

2i3 \ 223 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5 53.5728 65.8014 78.0742 90.3733 102.6890 115.0170 127.3520

1 41.9051 47.3476 53.0418 58.8785 64.8035 70.7870 76.8110

1.5 40.4035 43.0714 46.2414 49.6920 53.3153 57.0524 60.8683

2 41.4446 42.3405 43.9996 46.0831 48.4269 50.9419 53.5753

2.5 43.5038 43.0285 43.5817 44.7055 46.1787 47.8812 49.7423

Значения функции а 2

Таблица 3

213 \ 223 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5 156.655 122.485 117.811 120.512 126.163 133.290 141.260

1 210.777 151.696 137.800 135.202 137.123 141.304 146.777

1.5 265.986 180.807 157.514 149.694 148.063 149.527 152.760

2 321.790 209.820 177.047 164.075 159.024 157.933 159.107

2.5 377.948 238.748 196.456 178.392 170.020 166.495 165.739

3. Емцов, Р.Г. Микроэкономика / Р.Г. Емцов, М.Ю. Лукин. - М.: ДИС, 1997. 320 с.

4. Интрилигатор, М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. - М.: Прогресс,1975. 278с.

5. Клейнер, Г.Б. Производственные функции /Г.Б. Клейнер. - М.: Фин. и стат., 1986. 194с.

6. Клейнер, Г.Б. О производственных функциях с постоянными и переменными элас-тичностями замены факторов / Г.Б. Клейнер, Б.Н. Сирота // Экон. и мат. методы. 1975, Т.Х1, Вып. 3. С.134-141.

7. Маршалл, А. Принципы экономической науки / А. Маршалл. Т.1. - М.: Прогресс, 1993 (1890). 150 с.

8. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рока-феллар.- М: Мир, 1973. 257 с.

9. Arrow, K.J. Capital-Labor substitution and economic efficiency / K.J. Arrow, H.B. Chenery, B.S. Minhas, R.M. Solow // Rev. Econ. Stat, 1961, NO. 43.

10. Mas-Colell, A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory / A. Mas-Colell, M. Whinston, J. Green. - New York: Oxford Univ. Press, 1995.

11. RevankarN.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions. Econometrica. 1971. Vol. 39. No. 1.

12. Sato, R. Production Functions with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing / R. Sato,R.F. Hoffman // The Review of Economics and Statistics, 1968, Vol. 50, No. 4.