Философско-методологические основания анализа природы математического знания

ла бы собой дальнейшее развитие и обобщение теории относительности, закончилась неудачей. Кроме того, экстраполяция пространственно-временных представлений, разработанных в рамках теории относительности на область микромира, приводит к серьезным противоречиям.

Существует область знания, которая возникла на основе своего рода синтеза квантовой механики и теории относительности. Это релятивистская квантовая механика или, как еще ее называют, квантовая теория поля. Гейзенберг указывал на противоречие, существующее в квантовой теории поля. С одной стороны, специальная теория относительности проводит резкую границу между областью одновременных событий, между которыми возможно взаимодействие, и областями, в которых непосредственное воздействие одного процесса на другой может иметь место. С другой стороны, соотношение неопределенностей в квантовой теории утверждает, что такие характеристики микрообъектов, как координаты, импульсы, моменты времени и энергии не могут быть измерены одновременно точно. Если мы точно зафиксируем положение в пространстве и времени, что требует специальная теория относительности, то мы получим неопределенность (бесконечность) в значениях импульса и энергии. Возможно, утверждал Гейзенберг, математические противоречия (бесконечности значений некоторых физических величин - энергии, импульса, массы), возникающие в квантовой теории поля, обязаны именно этому обстоятельству [3, 133-134].

Таким образом, в критериях содержательности физических высказываний (и связанных с ними концепциях физической реальности, способах ее познания) можно увидеть не только общие моменты, характерные для всей физики, но и такие моменты, которые являются специфическими для той или иной теории, например для теории относительности и для квантовой механики. Развитие физического знания приводит к обнаружению ограниченности одних критериев и установлению большей адекватности других.

Итак, философия всегда оказывала воздействие на развитие гносеологических принципов физики, которые никогда не были результатом деятельности только физиков, а формировались в контексте всей философии. Роль гносеологических принципов как регулятивов в создании физических теорий огромна. Их значение обусловлено тем, что опыт принципиально неполон, чтобы из него можно было вывести однозначно ту теорию, которая является истинной, а математический формализм, применяемый в физике, открывает целый океан логически непротиворечивых возможностей, согласующихся с опытом. Обращаясь к истории классической физики, мы можем проследить ее связь с различными течениями философии. И в развитии оснований современной физики существенная роль принадлежит также именно философии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бунге Марео. Философия физики. М., 2003.

2. Бриллюэн. Новый взгляд на теорию относительности. М., 1972.

3. Гейзенберг В. Физика и философия. М., 1963.

4. Дюгем П. Физическая теория, ее цель и строение. СПб., 1910.

5. Карнап Р. Философские основания физики. М.,2006.

6. Мэрион Д. Б. Физика и физический мир. М., 1975.

7. Эйнштейн А. Замечания к статьям: собр. науч. тр. М., 1972. Т. 4.

8. Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции. М., 2001.

9. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. М., 1987.

Л.Г. Интымакова, Н.П. Чередникова

ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА ПРИРОДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

Вопрос о природе математического знания является одним из центральных философских вопросов математики. Он издавна привлекал к себе пристальное внимание крупных математиков и философов, и от его решения, как показывает история развития математики, существенно зависел не только выбор направлений и проблем математического исследования, но и поиски средств их разрешения.

Зависимость двух областей знания (математики и философии) имеет достаточно большое значение для математики в решении вопроса о природе данного знания. Особенно хорошо эта связь прослеживается в крупные моменты его развития. На протяжении своей истории математика, как известно, трижды испытывала кризис собственных основ. Первый кризис возник в V веке до н. э. в результате открытия древнегреческими математиками явления несоизмеримости отрезков, второй - в начале XIX века в связи с обнаружением шаткости исчисления бесконечно малых, третий - в начале XX века в связи с обнаружением в классической теории множеств так называемых парадоксов. Для понимания специфики современного понимания вопроса о природе математического знания необходимо осознать особенности и основное содержание третьего кризиса в основаниях математики.

Когда начинается третий кризис, к этому времени в силу имманентного развития математика приходит к осознанию своего внутреннего единства. Работами Р. Дедекинда, К. Вейерштрасса и других ученых было показано, что все основные разделы «чистой» (теоретической) математики (геометрия, алгебра, анализ, теория функции действительных переменных и т. п.) в принципе сводимы к арифметике натуральных чисел. Это, в свою очередь, означало возможность сведения проблемы обоснования всей «чистой» математики к проблеме обоснования арифметики натуральных чисел.

Перед математиками конца XIX века встали вопросы: а можно ли и как обосновать саму арифметику натуральных чисел? Подавляющее большинство из них верило в возможность положительного решения этих вопросов, видя основание этой веры в созданной Г. Кантором в конце

XIX века теории множеств, которая за короткий срок существования сумела доказать исключительную эффективность своих идей. С позиции теории множеств оказалось возможным произвести обзор большинства математических теорий и дать единый метод их обоснования. В этом отношении весьма характерным является заявление А. Пуанкаре, сделанное на Втором международном математическом конгрессе: «...Теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел. Математика. полностью арифметизирована...Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная строгость» [5].

Подобные абсолютистские умонастроения были вообще характерны для большинства ученых конца XIX века, образуя одну из специфических черт стиля мышления того времени. Однако вскоре развитие как физики, так и математики показало несостоятельность метафизического идеала абсолютно истинного знания и необходимость замены его новыми прогрессивными представлениями о характере научного знания.

В оценке основных современных направлений обоснования математики необходимо отметить следующее:

во-первых, каждое из них представляет собой не чисто философскую доктрину, а определенный синтез конкретно-научной математической части и философских идей. При этом, как показывает опыт развития логицизма, интуиционизма и формализма, философский и конкретно-научный аспекты в рамках этих направлений обладают не только относительной самостоятельностью, но и разным удельным весом. Наиболее устойчивой и ведущей стороной этого синтеза является конкретно-научная математическая часть, которая может быть истолкована с разных философских позиций. Таким образом, каждое из направлений в своей сущности является хотя и достаточно общей, но все же конкретно-научной теоретической концепцией, имеющей, правда, как и всякая мощная теория, определенные философские предпосылки и основания. Не случайно указанные направления подробно изучаются в рамках математики. Однако при философском их рассмотрении на первый план, естественно, выдвигаются их гносеологические предпосылки и основания.

Во-вторых, при оценке каждого из направлений необходимо различать направление само по себе и его конкретные реализации у разных авторов.

Рассмотрение различных направлений в обосновании математики целесообразно начать с анализа логицизма. Истоки логицизма восходят к XVII веку, к трудам Р. Декарта и Г. Лейбница. Однако наиболее систематическое развитие идеи логицизма получили в конце XIX и начале

XX веков в работах Г. Фреге и Б. Рассела. Основная суть логицистской программы обоснования

математики состоит в том, чтобы вывести всю «чистую» математику из логики. Идея выведения математики из логики имеет своим реальным основанием тот факт, что логика является основным методом построения математических теорий и главным средством получения в математике новых истин. В отличие от наук о природе и обществе в математике ее отдельные положения доказываются не путем апелляции к наблюдениям или эксперименту, а путем их логического выведения из других положений, принятых в качестве аксиом.

Итак, для осуществления программ логицизма достаточно было вывести из логики только аксиомы арифметики, то есть определить в терминах логики лишь главные понятия арифметики и доказать основные аксиомы арифметики как теоремы логики.

Исторически Г. Фреге был первым, кто попытался реализовать эту программу. В целях чисто логического обоснования арифметики он построил формализованный логический язык - исчисления высказываний и предикатов, ввел понятие логической функции, определил в терминах логики исходное понятие арифметики - понятие кардинального числа (определение натурального числа Фреге-Рассела). Попытка Фреге, однако, потерпела неудачу. Исходя из предпосылки об универсальности предметной области логики, Г. Фреге допускал в своей системе в качестве аргументов логических функций любые объекты. Но это допущение приводит к тому, что в системе Фреге оказывается возможным сформулировать парадокс Рассела о множестве всех множеств, не являющихся собственными элементами [3].

Обнаружение Расселом парадокса в системе Фреге, казалось, должно было положить конец дальнейшим попыткам реализации логицистской программы. Однако этого не случилось. Роль «реставратора» взял на себя Бертран Рассел. В написанной им совместно с А. Уайтхедом монографии «Principia Mathematica» была предпринята новая попытка сведения математики к логике. При этом сама математика истолковывается как формальная, априорная наука, законы и понятия, которых совершенно не зависят от опыта. «В чистой математике, - писал Рассел, - мы никогда не должны обсуждать факты, которые относятся к какому-то индивидуальному предмету, нам никогда не нужно знать, что бы то ни было о действительном мире. Нас интересуют исключительно переменные...» [5].

Необходимость устранения парадоксов теории множеств приводит Рассела к созданию теории типов. Основная идея этой теории состоит в том, что вводится такая иерархия функций и их аргументов по типам, при которой было бы невозможно образование функций, содержащих в качестве аргументов самих себя или какие-либо члены, включающие ссылку на эту функцию. Всякую функцию, тип которой на единицу выше типа ее аргументов, Рассел называет предикативной: «Посредством иерархии типов, - указывает Г.И. Рузавин, - можно избавиться от известных парадоксов теории множеств. Например, парадокс Рассела здесь не возникает просто потому, что множество и его элементы относятся к различным типам объектов, а именно логический тип множества всегда выше типа его элементов» [4].

Однако теория типов привела к значительным усложнениям в построении арифметики, ибо она исключила не только парадоксы, но также некоторые конструкции, лежащие в основе теории вещественных чисел.

Необходимо отметить, что и имевшие место попытки логицистов вывести математику из логики окончились неудачно и, по меткому выражению А. Черга, «удались не более чем наполовину» [2], однако это не означает, что эти попытки не принесли никаких положительных результатов. Заслуга логицизма как раз и состоит в том, что многие его представители осуществляли строгий логический анализ основных понятий математики, выяснили взаимоотношение между ними и этим в значительной мере способствовали дальнейшим исследованиям в области оснований математики и математической логики.

В отличие от логицистов, интуиционисты (А. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг и другие ученые) рассматривали возникновение парадоксов в кантовской теории множеств как результат неблагополучия всей классической математики. Эти антиномии, указывал Г. Вейль, «следует рассматривать как симптомы некоторого неблагополучия всей этой науки, в противоречиях этих открыто вступает то, что скрывается внешне блестящим и крепким видом математического здания, - выступает именно внутренняя непрочность фундамента, на котором покоится вся постройка» [1].

Непосредственной причиной парадоксов является, с их точки зрения, использование в теории множеств Кантора понятия актуальной бесконечности, бесконечности, одновременно заданной всеми своими элементами. Это понятие, утверждают они, лежит в основе большинства рассуждений классической математики и факт обнаружения парадоксов именно в теории множеств Кантора связан только с тем обстоятельством, что в ней это понятие использовалось явным образом. Причину всех проблем, согласно интуиционистам, следует искать в неправильном понимании всеми представителями классической математики природы математического знания.

Главным заблуждением всей классической математики являлась, по мнению интуициони-стов, вера в объективное существование математических объектов. С точки зрения интуициони-стов нет никаких математических объектов, существующих вне и независимо от сознания субъекта. Математические объекты есть продукт человеческой деятельности. Пока они не построены -они не существуют. Сущность математической деятельности как раз и заключается в конструировании этих объектов.

При оценке интуиционистской программы в целом, необходимо, прежде всего, различать две её стороны: философскую и конкретно-математическую. Хотя эти стороны в генезисе и функционировании интуиционистского направления тесно связаны между собой, однако они обладают известной относительной самостоятельностью и связь между ними не носит необходимого характера. Как показывает история развития математики, конкретно-математическая часть интуиционистской программы может быть обоснована с других философских позиций.

Об этом свидетельствует, в частности, появление такого направления в обосновании математики, как конструктивизм, сторонники которого принимают все основные математические идеи интуиционизма, но в то же время отвергают их философское обоснование в рамках интуиционизма. Среди сторонников конструктивизма есть немало представителей русской школы математиков (А.А. Марков, М.Д. Заславский, Г.С. Цейтин, Н.А. Шанин и др.), в работах которых обоснование конструктивного характера математики ведется с позиций философии об активном, деятельном характере человеческого мышления и его практической основе [2].

Что касается тезиса интуиционистов об изначальной интуиции, то, анализируя это учение, Х. Карри насчитывает пять свойств изначальной интуиции. К ним относятся:

1) мыслительная деятельность человеческого мозга,

2) она не зависит от языка и первична по отношению к нему,

3) имеет априорный характер,

4) одинакова у всех мыслящих существ,

5) не может быть адекватно описана никакими заранее составленными правилами.

В результате анализа этих свойств он делает вывод о том, что интуиционистский тезис о существовании изначальной интуиции есть не более чем определенная гипотеза онтологического характера, которая с философской точки зрения представляется в высшей степени сомнительным и метафизическим предположением. В то же время Х. Карри считает возможным допускать в математику некоторую долю интуиции при условии, что разрешается рассматривать эту интуицию как естественное развитие опыта безотносительно к некой априорной истине.

Данная интуиционная программа во многом способствовала разработке конструктивных методов математики, пониманию сущности, границ возможностей методов классической математики, выявлению ее конструктивной части, созданию теории алгоритмов.

Та разрушительная критика, которая прозвучала из уст интуиционистов в адрес классической математики, подавляющим большинством математиков и философов не была принята. Они считали, что в основе своей классическая математика - достоверная и надежная наука и потому истинный путь обоснования математики должен быть направлен не на разрушение старой математики, а на сохранение по возможности всех ее результатов. Наиболее полное выражение эта тенденция получила у представителей школы Д. Гильберта, которые создали такое направление, как формализм.

Выдвинутая данной школой программа была направлена на преодоление того кризиса, который был вызван открытием в классической математике парадоксов.

Основная мысль данной теории доказательств такова, что все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Доказательство есть фигура, которая должна наглядно предстать перед нами. Доказуемые теоремы, то есть, формулы, получающиеся при этом способе, являются, отображением мыслей, которые образуют обычную до сих пор математику.

Но сама по себе формализация математических теорий имела для самого Гильберта второстепенное значение. Главное для него - доказательство их непротиворечивости. Классический метод доказательства непротиворечивости теории через нахождение для него модели в данном случае не годился.

Гильберт считал, что в математике должны использоваться только такие рассуждения, которые не вызывают возражений самых строгих интуиционистов.

Подобно логицистам и интуиционистам Гильберт верил, что можно чисто теоретически обосновать всю математику, и обосновать ее окончательно.

Но этой программе был нанесен серьезный удар в лице крупного австрийского математика и логика Курта Геделя. Он доказал две теории, которые показали принципиальную невозможность выполнения в полном объеме каждого из этапов формалистической программы.

Анализ различных направлений в обосновании математики показывает, что и в математике формой развития и существования знания является гипотеза, а критерием истинности математических теорий - социальная практика во всем многообразии и исторической обусловленности. Причем это в равной мере относится как к отдельным математическим теориям, так и к целым направлениям. Именно этим объясняется:

1) многообразие направлений в обосновании математики,

2) широкое привлечение философских аргументов при выборе и оценке того или иного направления, особенно в период формирования исследовательских программ, ибо именно философия представляет собой наивысшее обобщение всей наличной практики освоения человеком действительности.

Сегодня часто говорят, что есть «чистая» математика и прикладная математика. Утверждается также, что математика изучает объекты реального мира, но абстрагируется от их конкретного содержания. Споры вокруг статуса математики продолжаются, и им не видно конца.

На наш взгляд, математика - достаточно самостоятельная часть науки, которая обладает определенной спецификой, которая делает несостоятельной ее зачисление в область то ли естествознания, то ли гуманитарных наук (где она также широко используется). Математике чужды семантический критерий подтверждаемости и прагматический критерий эффективности. Несмотря на принципиальное различие математики, естествознания и гуманитаристики, между ними существует некоторая синтаксическая общность (простой пример: у=х2 встречается в любой науке, но при этом под «у» и «х» понимаются специфические вещи, понятия, ценности, параметры). Именно эта общность как раз и является основанием того, что выше обозначалось как «использование математики в естествознании и гуманитаристике». Между математикой и гуманитарным знанием существует некоторая синтаксическая общность, но лишь частичная. Синтаксические достоинства математики намного богаче синтаксических реалий естествознания, равно как и гуманитарных наук. Наличие общности между математикой и естествознанием не является достаточным основанием для их отождествления (если А и В имеют нечто общее, то отсюда не следует, что А есть В).

Следует отметить, что ученые, компетентные во взаимоотношениях математических и нематематических структур, занимаются междисциплинарными исследованиями. Так, компетентный в области математической физики ученый является одновременно знатоком как математики, так и физики.

Необходимо отметить, что особый интерес вызывает проблема истины в математике.

Конкретность истины в математике проявляется в специфике ее непосредственного предмета (точка, числа и т. п.). Поэтому истина в математике является аналитической истиной, когда об истинности или ложности суждения судят не на основе эмпирической проверки, а на основе знания определений тех объектов, о которых идет речь в суждении.

Таким способом судят об истинности аксиом математических теорий. Из истинности аксиом следует уже истинность теорем. Истинность системы аксиом тесно связана с ее непротиворечивостью: нельзя считать истинной ту систему аксиом, которая приводит к противоречию, например, к выводам типа 1=0. Если система аксиом приводит к подобным выводам, это означает, что не существует совокупности объектов, ей удовлетворяющих.

Но если данной совокупности суждений (системе аксиом) не соответствуют никакие объекты, то она не может быть истинной. Итак, требование непротиворечивости в математике является необходимым условием истинности ее теорий, необходимым, но не достаточным условием, обеспечивающим соответствие математических теорий с действительностью, потому что из такой системы аксиом можно вывести множество теорем и не столкнуться с противоречием.

Однако «неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, не становится от этого менее правильной, подобно тому, как преступное поведение, не остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным» [2]. Поэтому математики и уделяют большое внимание исследованию оснований математики, то есть тех систем аксиом, которые кладутся в основу математических теорий. В частности, огромное значение придается доказательству непротиворечивости системы аксиом. Абстрактные математические теории создаются для использования их в решении научно-практических задач.

С этой целью математические теории интерпретируются в области реальных объектов. В результате возникает прикладная математика. Истинность в прикладной математике является уже эмпирической истинностью, так как прикладная математика и есть отрасль естествознания или обществознания.

В этом случае истинность суждений понимается как адекватное их соответствие действительности. В частности, истинность аксиом теперь уже проявляется анализом их соответствия (с учетом допускаемых упрощений и огрублений) действительности. А истинность теорем снова следует из истинности аксиом.

Таким образом, большое значение приобретает проблема обоснования математики. Для обоснования истинности бесконечного множества математических суждений самых различных теорий целесообразно свести вопрос об истинности всех суждений математики к вопросу об истинности суждений какой-либо одной математической теории, а этот вопрос целесообразно свести к вопросу об истинности аксиом выбранной теории.

В конце Х1Х века подобное сведение мыслилось сведением вопроса об истинности математических суждений к вопросу об истинности аксиом канторовской теории множеств. Это и называется теоретико-множественным обоснованием математики.

При помощи теоретико-множественных принципов можно построить все известные математические понятия и дать интерпретацию любым системам аксиом. Казалось бы, проблема обоснования математики была решена. Однако вскоре в решении этой проблемы обнаружились серьезные трудности. Использование при логических операциях над такими объектами, как «актуальная бесконечность», закона исключенного третьего привело в теории множеств к ряду парадоксов и поставило под сомнение единственность теоретико-множественного обоснования математики.

Так как теория множеств Кантора содержала парадоксы, то возникли сомнения в возможности использовать ее в качестве основания истинности всей математики. Парадоксы теории множеств показали, что она не является вполне надежным основанием математики. Так называемое «классическое» направление в математике подверглось резкой критике со стороны Кронекера, Шатуновского, Бореля, Лузина и многих других математиков.

Таким образом, история науки показывает, что понятийная система может быть логически и философски обоснована не раньше, чем она достигнет определенной степени зрелости и однозначности фундаментальных определений.

В заключение можно сделать следующие выводы: во-первых, математика имеет дело с воображаемыми структурами, во-вторых, математика - торжество творческого продуктивного воображения. В-третьих, между математикой и естествознанием существует известная синтаксическая общность. В силу этого обстоятельства возможно установление взаимно однозначного соответствия между математикой и естествознанием. И, в-четвертых, использование математики в естествознании позволяет наиболее эффективным путем выявлять многие черты упорядоченности последнего.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981. С. 175.

2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 73.

3. Бирюков Б.В. Крушение математических концепций универсальности предметной области в логике.

М., 1973. С. 65.

4. Рузавин Т.И. О природе математического знания. М, 1986. С. 102-103.

5. Френкель А. и Бар Хилел. Основания теории множеств. М., 1966. С. 37.

Н.А. Кот

ФОРМИРОВАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ И ИНИЦИАТИВНЫХ ДЕЙСТВИЙ ДЕТЕЙ В ПРОЦЕССЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ

Формирование осознанного, активного и ответственного отношения человека к труду, к другими сторонам своей жизнедеяльности начинается еще в дошкольном детстве. Общеизвестно, что дошкольный возраст является тем периодом, когда, по мнению А. Леонтьева, фактически складываются психологические механизмы личности, происходит развитие ряда ее основных качеств, в частности, и качеств воли.

Проблема становление волевой сферы личности на начальном этапе онтогенеза всегда рассматривалась дошкольной педагогикой как одна из первостепенных: от того, как будут формироваться мотивы деятельности, как сложатся нравственно - волевые черты характера, во многом зависит будущее ребенка, его успехи в обучении, а в дальнейшем и в труде.

В настоящее время данная проблема приобрела исключительно научную и практическую значимость, что обусловлено коренной перестройкой общества на основе общечеловеческих и национальных духовных ценностей. Этот исторический процесс предусматривает интенсификацию воспитания ведущих нравственных убеждений и установок, а также комплекса волевых качеств, обеспечивающих саморегуляцию поведения личности.

Решая вопросы становления волевой сферы личности, многие авторы связывают ее проявление с развитием волевых качеств: целеустремленности, настойчивости, решительности, смелости, самостоятельности, выдержки и др. Так, В.Селиванов отмечает, что воля личности - «это не что иное, как сложившаяся в процессе жизни совокупность свойств, характеризующих достигнутый личностью уровень сознательной регуляции поведения» [6, 113].

Психологическая наука (А. Веденов, Н. Добрынин, Н. Корнилов, П. Рудик, В. Селиванов и др.) выделяет значительное количество волевых качеств, среди которых - самостоятельность и инициативность.

В исследованиях, посвященных изучению проявлений самостоятельности и инициативности у детей дошкольного возраста, отсутствует четкое разделение этих качеств. Чаще всего инициативность рассматривается как составляющий компонент самостоятельности (Р. Буре, С. Максименко, Г. Назарова и др.). В тоже время самостоятельность выступает одной из черт, характеризующих такие сложные личностные образования как организованность (Э. Лиштованая) или ответственность (Т. Фасолько).

Такой подход является полностью оправданным, так как в действиях дошкольников преобладает воспроизводящая инициатива, когда собственный почин ребенка не выходит за пределы его опыта, т. к. зависит от объема тех знаний, умений и навыков, которые он может самостоятельно использовать в любой деятельности.

Источником развития самостоятельности и инициативности у дошкольников, как и всего произвольного поведения в целом, является противоречие между новыми и ранее усвоенными требованиями воспитателя; между новыми задачами деятельности и наличием практических умений и мотивов поведения (Л. Выготский, В. Котырло, Н. Цыркун, А. Суровцева и др.). Сталкиваются и противоречивые устремления самого ребенка: желание быть самостоятельным и отсутствие опыта самостоятельного достижения цели. Противоречия наблюдаются и в позиции воспита-