Обеспечение астатизма в системах управления движением морских судов

УДК 681.5.013

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2

М. А. Смирнова

ОБЕСПЕЧЕНИЕ АСТАТИЗМА В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МОРСКИХ СУДОВ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В настоящее время задачам построения систем автоматического управления движением морских судов уделяется значительное внимание в научных публикациях как теоретической, так и практической направленности. Одним из важнейших требований, предъявляемых к ним, является наличие астатизма по регулируемым координатам, т. е. способность системы обеспечивать нулевую статическую ошибку при воздействии постоянных внешних возмущений. Однако кроме режима стабилизации широко используются и другие режимы автоматического управления движением. В частности, существенное внимание уделяется режимам отработки заданной траектории и динамического позиционирования морских судов. Цель данной статьи — развитие методов обеспечения астатизма с помощью многоцелевой структуры законов управления. Основное внимание при этом уделяется расширению сферы их применимости на задачи траекторного управления и динамического позиционирования морских судов. Библиогр. 8 назв. Ил. 5.

Ключевые слова: астатизм, управление, стабилизация, траектория, динамическое позиционирование.

M. A. Smirnova

ASTATICISM IN THE MOTION CONTROL SYSTEMS OF MARINE VESSELS

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation

The problem of construction of systems for automatic motion control of marine vessels is one of the main problems considered in the scientific publications of both theoretical and practical orientation. One of the most important requirements for such systems is astaticism on regulated coordinates, i. e. the ability of the system to guarantee a zero static error under the constant external disturbance. However, in addition to stabilization mode it is widely used another modes of automatic traffic control. In particular, considerable attention is paid to tracking control and dynamic positioning. The aim of the paper is the development of methods to provide the astaticism using the multipurpose structure control laws. The main focus is to expand the scope of their applicability to the task of tracking control and dynamic positioning. Bibliogr. 8. Il. 5.

Keywords: astaticism, control, stabilization, tracking control, dynamic positioning.

Введение. В настоящее время задачам построения систем автоматического управления движением морских судов уделяется значительное внимание в научных публикациях как теоретической, так и практической направленности. С одной стороны, это связано с постоянным расширением комплекса требований, предъявляемых к таким системам; с другой - определяется непрерывно возрастающими возможностями бортовых цифровых устройств, реализующих законы управления.

Известные аналитические и численные методы построения систем управления движением, как правило, позволяют улучшить локальные динамические

Смирнова Мария Александровна — аспирант; е-mail: smirnova-ma@bk.ru Smirnova Maria Aleksandrovna — post-graduate student; e-mail: smirnova-ma@bk.ru

характеристики процессов управления судном, в то время как практическое применение этих систем требует многоцелевой ориентации привлекаемых подходов.

В работах [1-4] представлена теория многоцелевого синтеза систем управления движением, учитывающая наличие комплекса условий, требований и ограничений, которые должны, безусловно, выполняться во всех режимах функционирования судна. Одним из важнейших требований, предъявляемых к системе управления, является наличие астатизма по регулируемым координатам, т. е. способность системы обеспечивать нулевую статическую ошибку при воздействии постоянных внешних возмущений.

В настоящее время известны несколько способов обеспечения астатизма, среди которых наиболее популярно введение в закон управления интеграла от регулируемой переменной [1, 4]. Однако такой способ обладает существенными недостатками, не позволяющими достичь желаемого динамического качества управления при движении в условиях воздействия ветра и морского волнения. В работе [5] предложен иной подход, применяющий оценки для производных вектора состояния («скоростной» закон управления), который дает возможность обеспечить астатизм для систем стабилизации продольного или бокового движения судна. Однако кроме режима стабилизации широко используются и другие режимы автоматического управления движением. В частности, существенное внимание уделяется режимам отработки заданной траектории и динамического позиционирования морских судов.

Движение по заданной траектории связано с необходимостью обхода препятствий, перемещения судна в узкостях, выполнения маневров расхождения и группового движения и т. д. В этих ситуациях задается программа ^ (Ь) движения по курсу (слежения за заданным курсом), и задача системы управления состоит в обеспечении близости текущих значений реального курса и ^а(Ь) желаемого курса в каждый момент времени Ь > 0.

Особую актуальность в связи с работами по освоению природных богатств Мирового океана приобрела проблема динамического позиционирования. Существо режима состоит в автоматическом переводе судна в заданное желаемое положение по координатам центра масс и по курсовому углу с дальнейшей стабилизацией в этом положении. Необходимость в динамическом позиционировании возникает при бурении, когда судно должно находиться над устьем скважины независимо от действия внешних возмущений, при проведении поисковых работ с помощью буксируемых подводных аппаратов и т. д.

Цель данной статьи - развитие методов обеспечения астатизма с использованием многоцелевой структуры законов управления. Основное внимание уделяется расширению сферы их применимости на задачи траекторного управления и динамического позиционирования морских судов.

Задача обеспечения астатизма. Пусть математическая модель динамики морского судна представляется следующей системой дифференциальных уравнений [1, 2]:

х = ¥х(х, 5) + ва(ь),

5 = Рй

У = Сх,

где функции Ех и определяют нелинейности судна и привода соответственно; х € Еп - вектор состояния; 5 € Ет - вектор управляющих воздействий; и € Ет - вектор управляющих сигналов (управлений); у € Ек - вектор измеряемых и регулируемых переменных; d € Е1 - вектор внешних воздействий, связанных с течением, ветром

и морским волнением. Будем считать, что при постоянной скорости хода матрицы В и С имеют постоянные компоненты.

Наряду с системой

ъ = ¥г(ъ, 5, у),

, ,зи

с вектором состояния ъ € Е1".

Будем называть замкнутую систему (1), (2) астатической по выходной переменной у, если для внешнего возмущения А(г) = ^ • 1(4) со ступенчатыми компонентами при любом выборе вектора ^ из заданного множества М^ С Е1 у системы есть положение равновесия, причем оно по регулируемой переменной у является нулевым,

т. е. выполняется условие Иш у(4) = 0.

ь—

Задача состоит в том, чтобы так спроектировать обратную связь (2), чтобы указанное положение равновесия было асимптотически устойчивым, а замкнутая система (1), (2) - астатической по регулируемой переменной у.

Астатизм в системах стабилизации. Поставленная задача решается наиболее просто при синтезе системы стабилизации судна. Для соответствующего режима движения, как известно [1, 2], математические модели объекта (1) и регулятора (2) линейные и стационарные (ЬТ1), что позволяет говорить о глобальной асимптотической устойчивости положений равновесия, причем имеет место равенство М^ = Е1 в определении астатизма.

Как было отмечено выше, традиционный подход связан с введением интеграла в закон управления, что чаще всего реализуется в рамках ПИД-структуры [6].

Другой подход состоит в использовании специализированного скоростного регулятора по состоянию [1, 5], уравнение которого имеет вид

и = дх + vy.

Скоростной базовый регулятор строится однозначно в силу уравнений динамики объекта на основе исходного управления и = Кх + Ко5 по состоянию. При этом коэффициенты исходного и скоростного управления определяются с обязательным учетом следующих требований:

• замкнутая линейная система должна быть устойчивой;

• перерегулирование Р и длительность переходного процесса Тр не должны превосходить заданных величин, т. е. Р ^ Ро, Тр ^ Тро.

Идея метода обеспечения астатизма для режима стабилизации заключается в численном поиске коэффициентов исходного базового закона управления, обеспечивающего выполнение указанных требований с переходом к скоростному закону управления (3) в силу уравнений объекта. Поскольку производные вектора состояния недоступны непосредственному измерению, они заменяются в этом законе оценками, полученными с помощью асимптотического наблюдателя полного порядка.

Заметим, что функционалы Р и Тр предъявляют противоречивые требования к регулятору. Для достижения определенного компромисса между ними при поиске коэффициентов базового закона удобно использовать интегральный квадратичный функционал

сю

1 = J (хтдх + ити.и) ¿г,

о

заданный на движениях замкнутой системы (1), (3). Минимизация этого функционала позволяет найти матрицы К, Ко базового стабилизирующего регулятора. Заметим, что весовые матрицы Р и И. заранее не задаются и находятся адаптивно при реализации общей схемы синтеза управления (3).

Как показано в [5], эта схема, базирующаяся на конечномерной задаче на условный экстремум, состоит из таких вычислительных операций:

1. Указывается вектор 7 € Ер вещественных числовых параметров, от которых однозначно зависит знакоположительная матрица Р = Р(^) и положительно-определенная матрица И = И.(7) и задаются начальные приближения для его компонентов.

2. Решается задача LQR-оптимального синтеза для замкнутой системы с интегральным квадратичным функционалом

3 = 3Ь) = I (хТд(7)х + итИ(7)и) аь,

что дает коэффициенты К = К(7), К0 = К0(7) базового стабилизирующего регулятора.

3. Базовый регулятор преобразуется в силу линейных уравнений объекта к скоростной форме (3) при условии отсутствия внешнего воздействия, что дает коэффициенты д = ^(7), V = v(7).

4. На соответствующих движениях получившейся замкнутой системы при учете ступенчатых возмущений определяются значения функционалов Р = Р (7) и Тр = Тр(у), а также вспомогательного функционала

I = I(7) = Р(7) - Ро + \Р(7) - Ро| + Тр(7) - Тро + |Тр(7) - Тро\.

5. Если для данного вектора 7 вспомогательный функционал положителен, с помощью любого численного метода спуска следует задать новое приближение вектора 7 и повторить вычисления по пунктам 2-5, минимизируя функционал I = I(7) до достижения им нулевого глобального экстремума, соответствующего выполнению желаемых ограничений.

Астатизм в системах управления движением по траектории. Реализацию траекторного управления рассмотрим на примере линейного стационарного объекта с математической моделью

4 = А4 + Ви, 4

у = С4 + Би,

где 4 € Е" - вектор состояния объекта; и € Ем - вектор управляющих воздействий; у € Ек - вектор регулируемых координат; А, В, С, Б - матрицы соответствующих размерностей с постоянными компонентами.

Уравнения (4) определяют линейный стационарный оператор

Яр

который при заданных начальных условиях 4(0) = 4о по вектору состояния объекта ставит каждому управлению и из допустимого множества и в однозначное соответствие выход у из множества У. Далее будем считать, что найден и соответствующий обратный оператор Я-1(4о).

Пусть при этом задана стабилизирующая обратная связь с ЬТ1 математической моделью

с = Ас С + Вс у,

и = СсС + Бсу,

здесь £ ^ Е^1 - вектор состояния регулятора, Ас, Вс, Сс, Ос - матрицы соответствующих размерностей с постоянными компонентами. Заметим, что обычно начальные условия по вектору £ принимаются нулевыми.

Как и для объекта, модели (б) отвечает линейный стационарный оператор Яс : У ^ и обратной связи

и = ^сУ,

который ставит каждому измерению у из множества У в однозначное соответствие управление и из множества и.

При замыкании объекта (4) обратной связью (б), согласно соотношениям (5) и (7), имеем

у = )ИсУ,

т. е. уравнение, решение которого приводит к линейному стационарному оператору Я3(^о) замкнутой однородной системы

^з

Поскольку обратная связь стабилизирующая, нулевое положение равновесия системы (9) асимптотически устойчиво по Ляпунову, т. е. справедливо условие (10):

у

Теперь вместо обратной связи (7) сформируем управляющее воздействие в виде следующей суммы:

и = я-1ул + Яс

где первое слагаемое можно трактовать как задающий командный сигнал и* (4) = Я- 1(^0)у^(4), подаваемый на замкнутую систему, а второе слагаемое и = Яс(у — уа) определяет обратную связь по ошибке е(4) = у (4) — у а (4) слежения.

Замыкая объект (5) обратной связью (11) с учетом линейности оператора Яр(^о), получаем

у = у а + Яр

или е = Яр(^о)Ясе. В соответствии с (8) и (9) это приводит к замкнутой однородной системе

Яз

по отношению к ошибке слежения.

С учетом свойств оператора Я3(^о) (см. (12)) имеем

е

Из (13) следует условие

у (4) ^ у а (4) при г ^то.

Учитывая приведенные выше соображения, рассмотрим вопрос обеспечения аста-тизма морского судна по ошибке отработки программного движения по курсу. Для

скоростного регулятора, структура которого описана раньше, правило трансформации заданного стабилизирующего управления для его использования с целью реализации желаемого движения судна по курсу выглядит следующим образом:

=>

z = Az + Ы + g(p — cz),

u = |z + vp,

= Az + Ы + g(p — cz), = H-i(p)pd(t) + |z + v [p — pd(t)]

где

H-1(p)= Am(p)/B(p), Am (s) = ki и k2 - элементы строки kz = |(A — gc) = (ki k2 коз), k4 = |b, v = кз,

Es — A —b

—ki — k2 0 s — k4

B(s) = —

s — an —«21 0

a12

-bi

S — «22 —b2

-1

0

Заметим, что первое слагаемое и* (Ь) = Н-1(р)ф^(Ь) можно трактовать, как задающий командный сигнал, который непосредственно подается на привод в сумме с обратной связью. При этом второе слагаемое и = ||г + V [<р — ^а^)] определяет обратную связь с учетом ошибки е(Ь) = р(Ь) — ^(Ь) слежения. Астатическое свойство по ошибке отработки курса с учетом линейного уравнения привода очевидно.

Астатизм в системах динамического позиционирования. Рассмотрим нелинейную модель морского судна с тремя степенями свободы, предложенную в работе Фоссена [7]:

Mv = —Dv + т + d(t), т| = R(n)v.

Здесь вектор v = (u v p) представляет скорости в связанной с судном системе координат, вектор n = (x y ф) - положение (x y) судна и курсовой угол ф в системе координат, связанной с землей, вектор т G E3 - управляющее воздействие, а вектор d G E3 - внешнее воздействие. Матрицы M и D с постоянными компонентами положительно определены, M = MT.

Нелинейность данной системы обусловливается ортогональной матрицей вращения

cos ф — sin ф 0 R(n) = RW = sin ф cos ф 0 0 0 1

Сформируем закон управления в виде [8]

Mz V = —Dzv + т + RT (n)Ki(n — z^), z n = R(n)zv + K2(n — z^), т = KT (—Kdzv — RT(n)Kp(n — nd)) .

Уравнения (17) представляют собой уравнения нелинейного асимптотического наблюдателя, где zv € Е3 и z„ €

Е3

- оценки векторов V и п соответственно, К1 и К2 -матрицы наблюдателя, уравнение (18) описывает динамику привода. Преобразуем регулятор (18) к скоростной форме

т = |iz v + |2¡é n + PiCn — ^d)

u

С этой целью выразим из уравнений (16) переменную Т при нулевом внешнем воздействии

Т = Му + БИт

и подставим (20) в уравнения (17), (18):

М:гV = -Dzv + му + БИТ(п)тП + (п)Кх(п - ^), Zп = R(n)zv + К2(П - zv), Т = Кт (-К^ - Rт(п)Кр(п - ца) - му - DRT(п)п) .

Далее разрешим уравнения (21), (22) относительно переменных zV и п:

П = А1Z ^ + A2:Z п + AзZn + А^ + абТ! , Zv = Б^ ^ + б2:2п + BзZn + В4У + В5П, где матрицы А^ В^ ¡ = 1,5, определяются следующими равенствами:

-1

А1 = DRT (п)К2 + RT (п)К

А2 = DRT (п)К2 + RT (п)К

Аз = DRT (п)К2 + RT (п)К

А4 = DRT (п)К2 + RT (п)К

А5 = DRT (п)К2 + RT (п)К

В1 = (п)К2А1,

В2 = Rт(п) - RT(п)К2А2,

Вз = 0,

В4 = (п)К2А4,

В5 = (п)К2А5.

м,

1

1

1

м,

Подставив полученные для zV и п выражения в формулу регулятора (23), нахо-

дим

Т = Кт [-К^В^V - К^В2:гп - KdBзZn - К^у - КВ5п -

- Rт(п)Кр(п - Пй) - МУ - DRT(п)п

Покажем, что если при условии Ь ^ ж справедливы равенства "V = ZV, п = Zп, то закон управления (24) принимает вид (19), где

= -Кт м,

М-2 = Кт [-КЖ (п) - DRJ (п) Р1 = -Кт Rт (п)Кр.

1

Так, замкнув систему управлением (19), в статике имеем

(П - П^ ^ 0 ^ п ^ П*

т. е. структура регулятора (19) обеспечивает астатизм замкнутой системы по отношению к отклонению судна от заданного положения п^.

Пример 1. Рассмотрим вопрос о достижении астатизма в системе стабилизации движения судна по курсу. Пусть его движение описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, приведенной в [2]:

/3 = ап/3 + а12 с + аюр Щ + М + Р (Ь), сз = а21@ + а22 и + Ь2$ + М (Ь), ф = и.

Здесь и - угловая скорость относительно вертикальной оси, ф - курс, 5 - угол отклонения вертикальных рулей, /3 - угол дрейфа, и - управляющее воздействие, Р = ^1/(Ь) - боковая возмущающая сила, М = h2f (Ь) - возмущающий момент по курсу, /(Ь) - ступенчатое внешнее воздействие, определяемое влиянием на судно порывов ветра.

На отклонения рулей и скорость их поворота накладываются следующие ограничения: |5| < 30°, и| < 3°/с .

Реализуем предложенную схему обеспечения астатизма для изучаемой конкретной ситуации с математической моделью морского судна в виде (25).

Введем обозначение к = {р и ф 5)Т для вектора состояния системы и у = ф для ее выхода. В соответствии с введенными обозначениями систему (25) можно переписать в форме

х = Ах + Ви + Н/(Ь),

У = Сх,

А

а11 а12 0 Ь1 0 АД

а21 а22 0 Ь2 , В = 0 , Н = h2

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

С = (0 0 1 0).

Уравнение наблюдателя полного порядка для системы (26) имеет вид ¡г = (А - СС)г + Ви + Су(Ь),

где г = {ро с0 ф0 50)Т - оценка вектора состояния, а матрица С находится таким образом, чтобы наблюдатель был устойчивым. Введем в рассмотрение квадратичный функционал

3 = 3(и) = I Ы+ пЫ + п!и2) А,

в котором п2, П2, Пз - вещественные параметры, которые подлежат определению.

В данном примере скоростной закон управления

и = IA.1l3 + Ц2Ш + ¡ЛзС + Уф.

Здесь

a21 k4 — b2 k1 b1 k1 — an k4

=-H—i-

а 11Ь2 + а21 &1' -ац Ь2 + а21 Ь1'

(а12Ь2 - Ь1 а22к + («11а22 - «21 а12к

=--ГТТ:-' ^ =

-«11Ь2 + «21Ь1 + к2

Поскольку для измерения нам доступны не все компоненты вектора х, вместо неизвестных компонент вектора состояния возьмем их оценки, полученные с помощью асимптотического наблюдателя, в результате чего управление (28) примет вид

и = ¡11 /во + ¡12 V О + 1з V +

Зафиксировав параметры п2, п!, Пз функционала, находим вектор коэффициентов регулятора К, который доставляет минимум функционалу (27), по нему вычисляем новые коэффициенты закона управления (28) и изучаем динамический процесс. Если качество процесса нас не устраивает, то изменяем начальные значения параметров функционала.

В результате реализации описанного алгоритма получим закон управления с коэффициентами

к1 = -0.3700, к2 = -0.9483, кз = -0.4062, ^ = -0.3039. При этом параметры функционала (27) равны

п2 = 0.3605, п2 = 0.1250, п2 = 0.6823.

На рис. 1 изображен график изменения курса при воздействии ступенчатого возмущения, а на рис. 2 - при отработке командного сигнала величиной 40° для замкнутой системы. Эти рисунки демонстрируют отсутствие ошибки регулирования и, следовательно, наличие свойства астатизма у объекта управления при использовании скоростного регулятора. При этом переходный процесс при отработке командного сигнала завершается достаточно быстро.

Курс, град 10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Время, с

Рис. 1. Изменение курса при ступенчатом возмущении

Пример 2. Теперь опишем систему автоматического управления движением по заданной траектории с учетом требования астатизма.

Снова рассмотрим математическую модель (25) динамики морского судна. Примем в качестве программного движения по курсу гармоническое колебание

Курс, град 60

80 100 120 140 160 180 Время, с

Рис. 2. Изменение курса при повороте на 40o

Pd(t) = Ad sinUdt с заданными амплитудой и частотой. Тогда, в соответствии с (15), трансформированное стабилизирующее управление (29), реализующее желаемое движение судна по курсу, выглядит следующим образом:

z = Az + bó + g(p — cz), u = H-i (p)pd(t) + |z + v [p — pd(t)] , | = Hi H2 H3],

где коэффициенты имеют такие численные значения:

Hi = —1.7068, fi2 = —6.9414, ¡i3 = —4.2482, v = —0.4062.

Соответствующий динамический процесс отработки программного движения pd представлен на рис. 3, 4. Из графиков видно, что при использовании указанного закона управления судно вышло на заданную траекторию.

35 40 Время, с

Рис. 3. Отработка программного движения по курсу Сплошная линия - заданная траектория, пунктирная - траектория судна.

Пример 3. Обеспечение астатизма в задаче динамического позиционирования проиллюстрируем на примере системы управления судном с математической моделью

Рис. 4- Отклонение рулей при отработке программного движения по курсу Пунктирная линия - технические ограничения.

(16), взятой из работы [7]. Матрицы математической модели (16) для него имеют вид

0

'5.31 • 106 0 0

М = | 0 8.28 • 106 0

0 0 3.75 • 109;

'5.02 • 104 0

Б = | 0 2.72 • 105 -4.39 • 106 |. 0 -4.39-106 4.19-108

Матрицы Кх и К2 наблюдателя (17) также взяты из [7]:

0 0 1.1 0 0

0.1 0 | , К2 = | 0 1.1 0

0 0.01/ 20 0 1.1

Пусть базовый закон (20) определяется матрицами, численные значения которых заимствованы из [8]:

0

0

0.0207 К = | 0

0 0.0439 4.05

0.0155 0.0439 | • 108, Кр =

0.0213 0 0 0 0.0099 0 0 0 4.49 >

107, Кт = 0.6,

обеспечивающими следующие собственные значения для замкнутой системы при малом курсовом угле, т. е. К(п) ~ Е3х3:

51 = 52 = -0.1, 53 = в4 = -0.12, в5 = 56 = -0.2.

Тогда, преобразовав регулятор (18) к скоростной форме (19), имеем коэффициенты

=

^2 =

-0.3186 0 0

0 -0.4968 0 0 0 —225}

107

-0.127212 0 0

0 -0.10932 0 0 0 -49.44 у

-0.0213 0 0

0 -0.0099 0 | • 107 0 0 —4.49 у

107

Возьмем в качестве командного сигнала па = (хЛ УЛ Фи)Т, ха = 30 м, уа = 30 м, Фа = 45°.

Рис. 5. Переходные процессы в замкнутой системе

На рис. 5 верхние графики иллюстрируют переходный процесс в системе при отсутствии внешних воздействий, средние - с управляющим сигналом (18) под воздействием возмущения 6.(Ь) = ^, нижние - с управляющим сигналом в скоростной форме (19) под влиянием того же возмущения, что и во втором случае.

Таким образом, применение структуры управления (19) обеспечивает астатизм замкнутой системы и не изменяет динамику системы при отсутствии возмущения.

Заключение. В данной работе предложены и реализованы алгоритмы построения управления, обеспечивающего астатизм замкнутой системы по курсу в задачах стабилизации, траекторного управления и динамического позиционирования. Формирование закона управления производится с использованием оценок производных вектора состояния объекта, полученных с помощью асимптотического наблюдателя полного порядка. Рассмотрены примеры применения алгоритмов для каждого описанного в статье случая.

Литература

1. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В. и др. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 370 с.

2. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. 320 с.

3. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Применение метода H^-оптимизации для синтеза фильтров морского волнения // Гироскопия и навигация. 2009. Вып. 2. С. 24—36.

4. Fossen T. I. Guidance and control of ocean vehicles. New York: John Wiley and Sons, 1999. 494 p.

5. Веремей Е. И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009. Вып. 4. С. 3—14.

6. Смирнов М. Н, Федорова М. А. Компьютерное моделирование системы астатической стабилизации курса морского судна // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2010. С. 25-34.

7. Fossen T. I., Strand J. P. Passive Nonlinear Observer Design for Ships Using Lyapunov Methods: Experimental Results with a Supply Vessel // Automatica. 1999. Vol. 35, N 1. P. 3-16.

8. Veremey E. I. Dynamical correction of positioning control laws // Proc. of 9th IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems. 2013. P. 31-36.

References

1. Veremey E. I., Korchanov V. М., Korovkin М. V. a. a. Komp'juternoe modelirovanie sistem upravlenija dvizheniem morskih podvizhnyh ob'ektov (Computer modeling of control systems for marine movable objects). St.-Petersburg: Izd-vo S-Peterb. un-ta, 2002, 370 p.

2. Lukomskiy U. A., Korchanov V. M. Upravlenie morskimi podvizhnymi ob'ektami (The control of the marine movable objects). St.-Petersburg: Elmor, 1996, 320 p.

3. Veremey E. I., Sotnikova М. V. Primenenie metoda H^ -optimizacii dlja sinteza fil'trov morskogo volnenija (Application of the H^-optimization method for synthesis of filters for marine disturbances). Gyroskopiya i navigatsiya, 2009, no. 2, pp. 24-36.

4. Fossen T. I. Guidance and control of ocean vehicles. New York: John Wiley and Sons, 1999, 494 p.

5. Veremey E. I. Sintez zakonov mnogocelevogo upravlenija dvizheniem morskih ob'ektov (The synthesis of the laws of multipurpose control for marine movable objects). Gyroskopiya i navigatsiya, 2009, no. 4, pp. 3-14.

6. Smirnov М. N., Fedorova М. А. Komp'juternoe modelirovanie sistemy astaticheskoj stabilizacii kursa morskogo sudna (Computer modeling of the astatic stabilization system of sea-going ship course). Processy upravleniya i ustoychivost': Trudy 41 mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii aspirantov i stu-dentov. St.-Petersburg: Izd-vo S-Peterb. un-ta, 2010, pp. 25-34.

7. Fossen T. I., Strand J. P. Passive Nonlinear Observer Design for Ships Using Lyapunov Methods: Experimental Results with a Supply Vessel. Automatica, 1999, vol. 35, no. 1, pp. 3-16.

8. Veremey E. I. Dynamical correction of positioning control laws. Proc. of 9th IFAC Conference on Control Applications in Marine Systems, 2013, pp. 31-36.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.