О статистической независимости суперпозиции булевых функций. II

Таким образом, оценка из теоремы 1 достижима.

Поскольку максимальная нелинейность для функций от чётного числа переменных равна 2n-1 — 2n/2-1, нелинейность функций вида (1) заметно отличается от максимально возможной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Courtois N. and Meier W. Algebraic Attacks on Stream Ciphers with Linear Feedback // LNCS. 2003. V. 2656. P. 345-359.

2. Meier W., Pasalic E., and Carlet C. Algebraic Attacks and Decomposition of Boolean Functions // LNCS. 2004. V. 3027. P. 474-491.

3. Dalai D.K., Maitra S., and Sarkar S. Basic Theory in Construction of Boolean Functions with Maximum Possible Annihilator Immunity // Designs, Codes and Cryptography. 2006. V. 40. Iss. 1. P. 41-58.

УДК 519.7

О СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ СУПЕРПОЗИЦИИ

БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ. II

О. Л. Колчева, И. А. Панкратова

Следуя [1], будем говорить, что булева функция f статистически не зависит от подмножества U своих аргументов, если для любой её подфункции f', полученной фиксированием значений всех переменных в U, имеет место w(f;) = w(f)/2|U|, где w(f ) —вес функции f.

В [2] доказано следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть x, y, z — переменные со значениями в (Z2)n, (Z2)m и (Z2) соответственно и функция f (x,y) статистически не зависит от переменных в x. Тогда и функция h(x,y,z) = g (f (x,y),z), где g — любая функция от l + 1 переменных, статистически не зависит от переменных в x.

В общем случае это утверждение не допускает обобщения на случай нескольких внутренних функций f. Получено следующее достаточное условие статистической независимости от аргументов суперпозиции произвольной функции с двумя внутренними функциями.

Утверждение 2. Пусть x, y, z — переменные со значениями в (Z2)n, (Z2)m и (Z2) соответственно, функции f1(x,y), f2(x,y), u(x,y) = f1(x,y) Ф f2(x,y) статистически не зависят от переменных в x. Тогда и функция h(x, y, z) = g (f1(x, y), f2(x, y), z), где g — любая функция от l + 2 переменных, статистически не зависит от переменных в x.

Доказательство. Для любых a G {0,1}n, i,j G {0,1} обозначим cj = |{y G G {0,1}m : f1(a, y) = i, f2(a, y) = j}|. В силу статистической независимости функций f1, f2, и от переменных в x для любого a G {0,1}n выполняется

Cîü + cn = w(f1)/2n ^1 + cn = w ( f2) / 2™, c^1 + c?0 = w(u)/2n.

Отсюда получаем c^1 = (w(u) — w(f1)+ w(f2))/2n+1, c^0 = (w(u)+ w(f1) — w(f2))/2n+1, can = (w(f1) + w(f2) — w(u))/2n+1, cgo = 2m — (w(u) + w(f1) + w(f2))/2n+1, т.е. c“ не

зависит от a для всех i, j G {0,1}. Тогда и вес подфункции функции h, полученной фиксацией переменных в x набором значений a, не зависит от a, так как w(h(a, y, z)) =

= cj  w(g(i, j, z)). Следовательно, функция h статистически не зависит от пе-

ije{0,1} ременных в x.

Следующее утверждение характеризует условия статистической независимости от переменных в x суммы двух функций в частном случае — когда одна из функций зависит только от x.

Утверждение 3. Пусть x, y — переменные со значениями в (Z2)n и (Z2)m соответственно и функция f (x, y) статистически не зависит от переменных в x. Тогда функция f (x, y)  g(x), где g — любая функция от n переменных, статистически не зависит от переменных в x, если и только если f уравновешена или g = const.

Доказательство. По условию w(f (a,y)) = w(f)/2n для всех a G {0,1}n; следовательно, w(f (a,y)  g(a)) не зависит от a, если и только если g = const или w(f )/2n = 2m — w(f)/2n; последнее равенство равносильно уравновешенности f.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агибалов Г. П., Панкратова И. А. Элементы теории статистических аналогов дискретных функций с применением в криптоанализе итеративных блочных шифров // Прикладная дискретная математика. 2010. №3(9). С. 51-68.

2. Колчева О. Л., Панкратова И. А. О статистической независимости суперпозиции булевых функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2011. №4. С. 11-12.

УДК 519.712.2

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ1

А. С. Кузнецова, К. В. Сафонов

Пусть есть п стульев, каждый из которых имеет уникальный порядковый номер г = 1, 2,..., п. Стулья расставлены по окружности. На стулья произвольным образом садятся п человек так, что на каждом стуле оказывается по одному человеку. Каждый человек имеет уникальный порядковый номер ] = 1, 2,... , п. Посадка называется правильной, если у всех стульев порядковые номера совпадают с номерами сидящих на них людей, в противном случае посадка называется неправильной. Будем называть перестановкой перемену мест двух сидящих рядом людей. Требуется вычислить наименьшее число перестановок ^, которые позволят получить правильную посадку из произвольной начальной посадки.

Перестановки (р,д), указанные в условии задачи, порождают симметрическую группу степени п. Запишем данную группу через порождающие элементы и определяющие соотношения. Пусть XI = (1, 2), х2 = (2, 3), ..., хп-1 = (п — 1, п), хп = (1, п) — порождающие элементы группы $„. Теперь запишем определяющие соотношения К для 5П,.

х2 = е, г =1, 2,..., п,

R

(x^x,)2 = e, если 1 < |j — i| <n — 1,

(x^x,)3 = e, если |j — i| = 1 или |j — i| = n — 1,

Таким образом,

^ X1X2 * * * Xn-2Xn-1Xn-2 * * * x2X1 xn*

Sn = (Xi,X2, * * * ,Xn | R)*

1Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 10-01-00509-а.