Моделирование бифурцирующих решений k-параметрических динамических систем

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2007, том 50, №5________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 519.92

* *

М.Г.Юмагулов , А.А.Вышинский , И.Д.Нуров МОДЕЛИРОВАНИЕ БИФУРЦИРУЮЩИХ РЕШЕНИЙ ^-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Введение

Функционирование динамических систем, как правило, зависит от различных внешних и внутренних параметров. Особый интерес представляют те значения параметров, при которых качественно изменяется поведение системы. В математической постановке таким значениям параметров соответствуют точки бифуркации (см., например, [1,2] и имеющуюся там библиографию).

Моделирование бифуркационных процессов в динамических системах является важной и в то же время сложной задачей, т.к. поведение системы изучается вблизи границы устойчивости стационарных состояний, а возникающие новые решения, как правило, образуют непрерывные по параметрам ветви, что затрудняет применение многих приближенных методов исследования. Вопросам теоретического и компьютерного моделирования бифуркационных явлений в динамических системах посвящена обширная литература (см., например, [24]).

В настоящей статье приводятся основные положения нового метода исследования широкого класса бифуркационных задач, приводящего к итерационной процедуре построения решений. Метод позволяет моделировать поведение динамических систем, зависящих от нескольких параметров и линеаризованные уравнения которых имеют многомерные вырождения.

2. Постановка задачи

Рассмотрим зависящую от скалярного или векторного параметра Я динамическую систему, описываемую уравнением

У = /

Предполагается, что уравнение (1) при всех Я имеет нулевое решение х = 0, то есть /(0, Я) = 0 . При переходе через некоторые значения Я0 параметра Я решение х = 0 может потерять устойчивость, а система (1) перейти на новый устойчивый режим (новые состояния равновесия, периодические или почти периодические решения и т.п.). Такие Я0 называют

точками бифуркации. В статье рассматривается случай, когда этот переход осуществляется непрерывно, т.е. бифуркация сопровождается мягкой потерей устойчивости решения х = 0.

Другими словами, изучаются локальные бифуркации уравнения (1) в окрестности решения х = 0.

В задаче о локальной бифуркации основными являются следующие вопросы: при каких Л0 возможна локальная бифуркация; какими эффектами сопровождается бифуркация; тип бифуркации, т.е. при каких именно значениях параметра возникают новые решения; приближенное построение бифурцирующих решений; анализ их устойчивости и т.д.

Указанным вопросам посвящена обширная литература. Здесь разработан ряд эффективных методов исследования, например, метод интегральных многообразий, метод теории ветвлений, метод усреднения и др. (см., например, [1,2]).

Ниже предлагается новая общая схема исследования задачи о локальных бифуркациях системы (1) в ситуации, когда линеаризованное в окрестности х = 0 уравнение имеет в точке бифуркации кратное вырождение.

3. Переход к операторному уравнению

Локальные бифуркации обычно сопровождаются возникновением новых состояний равновесия, периодических или почти периодических решений уравнения (1). Задача о таких решениях различными способами может быть сведена к эквивалентному операторному уравнению вида

х = В

где u е Rk - векторный параметр, линейный оператор B(u) : H ^ H является вполне непрерывным, H - банахово пространство (часто конечномерное), а нелинейный вполне непрерывный оператор Ь(х, и) удовлетворяет соотношениям:

||b(х и)\ . lim sup -—jj-jj—11 = 0.

sup ||b(х u) - b(У, u^l И e(p%х - y\|, Iх|, IIy|| И P,

для некоторой функции s(p) такой, что s(p) ^ 0 при р ^ 0. Здесь и - некоторое значение параметра и , а ||| обозначает норму в соответствующем пространстве.

Ниже будем считать, что оператор B(u) непрерывно дифференцируемо зависит от параметра и, через T(u0,s) и T(х0,е) будем обозначать шары радиуса s > 0 с центрами в точках и и х0 в пространствах Rk и H соответственно.

Значение и называют точкой бифуркации уравнения (2), если для любого s > 0 существует и = u(s) такое, что при и = u(s) уравнение (2) имеет ненулевое решение х^), при этом х^) ^ 0 и u(s) ^ и при s ^ 0 .

Уравнение (2) при всех /и имеет нулевое решение х = 0. Если оператор Б(и0) не имеет собственное значение 1, то из теоремы о неявной функции следует, что при некотором 50 > 0 при всех и близких к и уравнение (2) не имеет в шаре Т(0,80) ненулевых решений. Поэтому точки бифуркации уравнения (2) следует искать лишь среди таких и о, при которых оператор Б(и0) имеет собственное значение 1.

Предполагается, что выполнено условие

и1. Число 1 является полупростым собственным значением оператора Б(и0) кратности к.

Другими словами, предполагается, что корневое подпространство Е0, соответствующее собственному значению 1 оператора Б(и0), имеет размерность к и состоит только из собственных векторов.

Пусть е е Н - некоторый вектор; значение и о назовем правильной точкой бифуркации уравнения (2) по направлению вектора е, если существует функция д(е), д(е) = о(е) при е ^ 0 , такая, что при любом е > 0 существует /и(8) е Т(и,е) , при котором уравнение (2) имеет ненулевое решение х(е) еТ(ее,д(е)) . Векторы х(е) и значения и(е) назовем бифур-цирующими решениями уравнения (2). Правильная точка бифуркации уравнения (2) соответствует тому, что уравнение (2) имеет семейство бифурцирующих решений и(е) и х(е) так,

что и(е) ^ и ||х(е) - ее| = о(е) .

Из общей теории локальных бифуркаций векторных полей известно, что правильные точки бифуркации уравнения (2) имеет смысл искать только по направлению собственных векторов оператора Б(и0), отвечающих собственному значению 1. При этом, как показывают простые примеры, не каждому собственному вектору отвечает правильная точка бифуркации.

4. Признаки правильной бифуркации

Ниже для простоты будем считать, что Н является гильбертовым пространством. Рассмотрим вопрос о достаточных признаках правильной бифуркации. Для однопараметрических векторных полей этот вопрос изучен достаточно полно (см., например, [1]). В этом случае правильные точки бифуркации могут возникать по направлению только двух векторов е и — е, где е - собственный вектор оператора Б0 = Б(и0), отвечающий простому собственному значению 1.

Обозначим через g собственный вектор сопряженного оператора Б* = Б* (и), соответствующий простому собственному значению 1, а через Б'(и) - производную оператора Б (и) по параметру и .

В[7] установлена

Теорема 1. Пусть /не Я1, оператор Б(и0) имеет простое собственное значение 1 и выполнено соотношение (Б'(и )е, g) ф 0. Тогда и - правильная точка бифуркации уравнения (2) по направлению векторов е и — е.

Приведенная теорема является частным случаем более общего утверждения, приводимого ниже.

Рассмотрим вопрос о признаках правильной бифуркации для к -параметрических семейств векторных полей при к > 2 . Этот вопрос существенно менее изучен. Некоторые задачи для к -параметрических векторных полей обсуждаются, например, в [1,2,6]. Приводимый ниже признак правильной бифуркации уравнения (2) основан на вычислении некоторой числовой характеристики оператора поля Б и является развитием теоремы 1.

Так как оператор Б0 = Б(и0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности к ,

то существует линейно независимая система из собственных векторов е1: Бе = е, 1 = 1, к • Сопряженный оператор Б* : Н ^ Н также имеет полупростое собственное значение 1 кратности к , которому отвечают собственные векторы е* : Б*е* = е*, 1 = 1, к. Векторы е1 и е* можно выбрать из соотношений (е., е*) Ф 0, (е., е* ) = 0 при 1 Ф ], I = 1, к, 7 = 1, к.

Ниже, наряду с Ш, предполагается, что для некоторого собственного вектора еу. оператора Б0 выполнено условие:

и2. Имеет место соотношение:

А = ёе!

* о

_(Б',ч Ч) (Б',„ 7 е*) - (Б'пел> е"*)_

Здесь Б'щ = Б'щ (и ). 1 = 1, к, и - компоненты к -мерного вектора /и.

Теорема 2. Пусть выполнены условия и1 и и2. Тогда и0 является правильной точкой бифуркации уравнения (2) по направлению вектора е .

5. Приближенное исследование бифуркации

Справедливость теоремы 2 следует из предлагаемой ниже схемы приближенного построения бифурцирующих решений уравнения (2).

Для простоты изложения параметр /и будем считать двумерным, а именно и = (Т, Л), где Т и Л - скалярные параметры. Тогда уравнение (2) примет вид

х = Б

Пусть и0 = (Т0, Л0); в этом случае условие Ш означает, что оператор Б(Т0, Л0) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть е, g - это линейно независимые векторы, так что Б(Т0, Л0 )е = е и Б(Т0, Л0)g = g.

Для определенности будем исследовать уравнение (4) на наличие правильной бифуркации по направлению вектора е. Пусть е* и g * - собственные векторы, отвечающие собственному значению 1 сопряженного оператора Б*(Т0, Л ), которые выбраны в соответствии с п.2, т.е. (е,е*) Ф 0, ^,g*) Ф 0, (е,g*) = (g,е*) = 0. Тогда условие и2 (имеется в виду формула (3)) для вектора е примет вид

А = det

Ф 0.

(БТ (Т0,Л0)е, g^) (БЛ (Т0,Л0)е, g*)_

В основе схемы построения бифурцирующих решений уравнения (4) положим метод функционализации параметра [5].

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

х = Б[Т

где Т (х) и Л( х) - непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде

Т (х) = Т + -е

(^ е ) е

--------*— е

Л( х) = Л0 + :

е

здесь е > 0 - вспомогательный малый параметр. Если х* - решение уравнения (5), то х* -решение уравнения (4) при Т = Т(х*) и Л = Л(х*) .

На втором этапе уравнение (5) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (5) представляется в виде

0

где G(x) = х — Б\Г(х),Л(х)]х, Ж(х) = — Ь[х, Т(х),Л(х)]. Операторы G , Ж действуют в пространстве Н и зависят параметра е > 0 , однако, для простоты изложения (учитывая, что уравнение (6) будет рассматриваться при фиксированных значениях е ) в обозначении операторов G и Ж не используется е.

Положим х0 = ее; оператор G(x) дифференцируем по Фреше в окрестности вектора

х0 .

Из условия и2 следует, что существует ограниченный оператор Г0 = ^'(х0)]: Н ^ Н , при этом оператор Г не зависит от е. Для оператора Г может быть получено явное представление из формулы, определяющей оператор G'(х0) :

О'(хл )И = к - [(к, е‘)Б’т (Т0,Л>)+(к, g * )БЛ (Т,,Л>)]г - БТ, А )А

е

Теорема 3. При всех достаточно малых е > 0 уравнение (6) имеет в шаре Т(х0,—) решение х(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений

х«+1 = хп — Г0^

при этом ||х(е) — ее| = о(е), Л(х(е)) ^ Л0 и Т(х(е)) ^ Т0 при е ^ 0.

Доказательство теоремы 3 сводится к проверке достаточных условий сходимости модифицированного метода Ньютона-Канторовича с возмущениями (см. [6]) для уравнения (6). Теорема 2 следует из теоремы 3.

6. Приложение

Теоремы 2 и 3 могут быть использованы в задачах компьютерного моделирования бифуркационных процессов в динамических системах. Авторами разработана программа (в среде Ма1ЬаЬ), реализующая итерации (7) и позволяющая приближенно определять бифур-цирующие решения и соответствующие значения параметров. Для пользования программой необходимо задачу о бифуркации в динамической системе привести к эквивалентной задаче для операторного уравнения вида (2).

Приведем в качестве иллюстрации некоторые результаты компьютерного моделирования бифуркации в модели Ван-дер-Поля, описываемой уравнением

х" +

При Л < 0 решение х = 0 уравнения (8) является устойчивым, а при Л > 0 оно становится неустойчивым и в результате рождаются малые ненулевые периодические решения с

периодом близким к Т0 = 2п. Перепишем уравнение (8) в виде системы

у" = А

"011 Г

где A(Л) =

" о 1" " о "

1 , a(y, Л) =

_- ^-Уі у2 _

Матрица A(0) имеет собственные значения ± /. Задача о Т -периодических решениях системы (9) равносильна задаче о решениях операторного уравнения

у = Б

Т

где Б(Т, Л) = еТА(Л), Ь(у, Т,Л) = |е(Т—^А(Л)а\у^),Л\Я$, у($) - решение уравнения (9) при на-

0

чальном условии у(0) = у .

Уравнение (10) зависит от двух параметров Т и Л , при этом оператор Б(Т0, Л0) имеет

полупростое собственное значение 1 кратности 2. Поэтому исследования бифуркации можно вести с помощью теорем 2 и 3.

Компьютерное моделирование Точные результаты

Л Т х

0.025 6.28343 0.18257

0.05 6.28417 0.25817

0.1 6.28711 0.36496

Л Т х

0.02500000001843 6.28343026592089 0.18256597839844

0.05000000002588 6.28416008178513 0.25818119397738

0.10000000001966 6.28713275173306 0.36514307040126

В левой таблице приведены результаты численного расчета по разработанной программе значений параметров Л, Т и максимального значения решения х(^) уравнения (8).

Для сравнения указаны "точные" значения соответствующих данных, полученных с помощью простой численной пристрелки

Сибайский институт Башкирского Поступило 08.10.2007г.

государственного университета,

Институт математики АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 400 с.

2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.

3. Острейковский В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. - М.: Высшая школа., 2005, 326 с.

4. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985, 280 с.

5. Козякин В.С., Красносельский М.А. - ДАН СССР, 1980, т. 254, №5, с. 1061-1064.

6. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969, 456 с.

7. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С. - Автоматика и телемеханика, 2007, №4, с. 104-110.

М.Г.Юмагулов, А.А.Вишинский, И.Ч,.Нуров ТАР^СОЗИИ ^АЛ^ОИ k- ПАРАМЕТРИИ БИФУРКАСИОНИИ СИСТЕМАМИ ДИНАМИКИ

Дар мак;ола усули нави х,алх,ои бифуркасионие омухта шудааст, ки ба проседурах,ои итерасионй оварда мешаванд. Усули номбурда имкон медихдд, ки дина-микаи аз якчанд параметр вобаста будаи муодилаи хаттикунонидашуда тархрезй карда шавад.

M.G.Yumagulov, A.A.Vishinskii, I.J.Nurov MODELLING OF BIFURCATION SOLUTION OF k- PARAMETR DYNAMICAL SYSTEMS

In this article considered a new method of bifurcation solution which derivative to iteration method. One modeling behavior of the dynamical systems, depending from many parameters and linear ting equation which had a multimeasure degenerate.