Познавательные универсальные учебные действия в обучении математике

1УДК 372.851 ББК 74.262.21

ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ ДЕЙСТВИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Л. И. Боженкова

Аннотация. В статье рассматриваются познавательные универсальные учебные действия, необходимые для обучения математике. Обсуждается проблема их формирования у школьников при обучении учебной информации. Учебной информацией школьного курса математики являются учебные тексты, определения понятий, теоремы, математические задачи. Рассмотрены три модели взаимосвязи учебной информации с использованием приемов умственных действий. Разработано содержание умственных действий с учетом специфики математики: сравнение, анализ, синтез, выведение следствий. Создана структура процесса формирования познавательных учебных действий в обучении математике. Деятельность учителя и учащихся на каждом этапе соответствует определенным дидактическим целям. Познавательные учебные действия позволяют управлять учебной деятельностью школьников при обучении математике.

Ключевые слова: управление, результаты, математика, учебная информация, общие и специфические приемы умственной деятельности, модели.

COGNITIVE UNIVERSAL EDUCATIONAL ACTIONS IN TEACHING MATHEMATICS

L. I. Bozhenkova

Abstract. The article examines the cognitive universal educational actions required for the teaching math. It also discusses the problem of their formation in students when learning academic information. Educational information of the school mathematics is the teaching texts, definitions of concepts, theorems and mathematical problems. The article considers three models of the relationship of educational information with the means of mental actions. The content of mental actions specific to mathematics: comparison, analysis, synthesis, deducing consequences are developed. The structure of process of forming of cognitive learning activities in teaching mathematics is created. The activity of teachers and students at each stage corresponds to a specific didactic purpose. Cognitive universal educational actions allow to manage the educational activities of schoolchildren when teaching mathematics.

Keywords: management, results, mathematics, educational information, general and specific means of mental activity, models.

Организация процесса обучения в условиях реализации системно-деятель-ностного подхода предполагает постепенную передачу учителем функций управления учебно-познавательной деятельностью учащихся самим учащимся. Для успешного управления собственной интеллектуальной деятельностью ученику необходимо владеть определенными приемами умственной деятельности. Под умственной деятельностью понимается психическая деятельность человека, усваивающего уже известные знания или от-

крывающего новые [1]. Умственная деятельность осуществляется с помощью мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование) или их систем (подведение под понятие, выведение следствий, моделирование и др.). Системы мыслительных операций образуют приемы умственной деятельности, которые необходимы для решения задач определенного типа разной степени обобщенности. Освоенный учеником прием умственной деятельности, сознательное владение этим приемом становит-

ся умением (интеллектуальным) [1]. Приемы умственной деятельности связаны с познавательными универсальными учебными действиями (УУД), которые, в соответствие с ФГОС основного и среднего (полного) общего образования, относятся к метапредметным результатам освоения предметной учебной информации [2]. Учебная информация становится знанием ученика, когда она освоена, прибавлена к его наличному умственному опыту, переработана с помощью познавательных УУД, представленных в виде приемов умственной деятельности, адекватных этой учебной информации.

Основными единицами школьного курса математики являются учебные тексты, включающие определения понятий, свойства, теоремы, математические задачи. Как правило, учебная информация школьного курса математики - текстовая информация, которую ученику необходимо самостоятельно преобразовать с помощью познавательных УУД. Преобразование - как интерпретация, организация знаний связаны со знаково-символической деятельностью человека, в результате которой информация представляется в виде модели. В процессе преобразования информации происходит ее

запоминание, являющееся основой процессов накопления, сохранения информации и последующего использования знаний. Основной способ преобразования информации - структурирование. Однако в обучении математике не менее важную функцию выполняют такие способы преобразования информации, как достраивание и алгоритмизация [3]. Результат преобразования учебной информации школьного курса математики - определенные учебные модели (табл. 1, первый столбец), которые в когнитивной психологии и в информатике имеют специальные названия: логические, реляционные, семантические и продукционные (табл. 1, второй столбец) [4]. Для получения учебных моделей необходимы соответствующие им познавательные общеучебные действия, выраженные в приемах умственной деятельности, названия которых отражают содержание соответствующей деятельности (табл. 1, последний столбец).

Трудности, возникающие при обучении математике, связаны, в том числе, с недостаточно сформированным умением переходить от одной модели к другой. Выполнение указанных приемов умственной деятельности в процессе освоения учебной информации школьного кур-

Таблица 1

Модели представления информации школьного курса математики и познавательные общеучебные действия

Типы моделей представления учебной информации(УИ) Познавательные общеучебные действия для преобразования УИ, названия приемов умственной деятельности

в обучении математике (учебные модели) в психологии

1) схемы определений понятий; 2) схемы поиска решения задачи

4) поисковые области понятий, связанных отношением; 5) наборы объектов для подведения под понятие; 6) таблицы, информационные схемы 2. Реляционные (сообщающие) модели Достраивание, структурирование Приемы умственной деятельности: 4) составление поисковой области 5) составление набора объектов для подведения под понятие; 6) составление информационной схемы

7) классификационные и систематиза-ционные схемы 3. Семантические модели Структурирование Прием умственной деятельности: 7) составление классификационной (систематизаци-онной) схемы

8) предписания для решения математических задач определенного класса 4. Продукционные модели Алгоритмизация Прием умственной деятельности: 8) составление предписания для решения задач определенного класса

са математики невозможно без формирования и последующего использования мыслительных операций - познавательных логических УУД. Только в этом случае познавательные учебные действия станут инструментом, позволяющим ученику управлять собственной познавательной деятельностью при освоении математики.

Психологи отмечают, что при спонтанном формировании познавательных учебных действий (ПУД) многие учащиеся не достигают необходимого для данного возраста уровня интеллектуального развития. Структура становления познавательных действий включает этапы, цели этапов, краткую характеристику деятельности учителя и учащихся на каждом этапе [3]. Подготовительный этап выделен в связи со спецификой обучения математике и в связи с содержанием формируемых действий. Ознакомительный, формирующий и совершенствующий этапы содержательно отражают требования теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина [5]. Рефлексивно-оценочный этап необходим для формирования регулятивных действий.

Дидактическая цель подготовительного этапа: осознание необходимости конкретного ПУД для руководства собственной интеллектуальной деятельностью, осмысление его состава при выполнении упражнений. Учитель при подготовке к уроку выполняет анализ состава ПУД с целью учета возможностей учеников при выполнении каждого действия, подбирает задания для актуализации знаний учащихся, для выполнения операций, входящих в состав конкретного действия. Деятельность учителя на подготовительном этапе включает: мотивацию введения ПУД; предъявление заданий для актуализации знаний учащихся; подведение к постановке учебной задачи. Деятельность учащихся на этом этапе направляется учителем и завершается формулировкой учебной задачи . Актуализированная здесь учебная информация становится основой для продолжения формирования действия на следующем этапе [3].

На ознакомительном этапе происходит первичное ознакомление с усваиваемым действием. Дидактическая цель этого этапа: введение ПУД и начальное его использование при выполнении заданий, что соответствует теории П. Я. Гальперина - введение ориентировочной

основы действия. Сочетание индивидуальной и коллективной поисковой работы на этом этапе позволяет учащимся своевременно ориентироваться в успешности своей самостоятельной деятельности и систематически рассматривать пути исправления допущенных ошибок. Поэтому деятельность учителя на ознакомительном этапе включает подбор таких форм и методов работы, которые позволяют поставить учащихся в условия необходимости проявления поисковой деятельности, носящей коллективный характер и проявляющейся в самостоятельном поиске и «открытии» познавательного действия.

На третьем, формирующем этапе организуется выполнение действий в знакомых условиях, происходит автоматизация его отдельных элементов, постепенное овладение действием в целом. Дидактическая цель этого этапа: становление умения при решении задач с использованием познавательного действия в явном виде, а затем - в неявном. При этом становление учебного действия происходит в форме «громкой» речи (вслух), и «внутренней» речи («про себя») [5]. Учащиеся самостоятельно выполняют действие, осуществляя пошаговый самоконтроль при помощи приема. Учитель руководит деятельностью учащихся, оказывая им, при необходимости, помощь. Постепенно действия, трансформируясь, переходят в исполнение в умственном плане. Ведущая деятельность учащихся на этом этапе - применение ПУД при выполнении заданий. Она включает в себя распознавание условий применимости, выбор соответствующего действия и его применение. Длительность формирующего этапа индивидуальна для каждого ученика: некоторые учащиеся осваивают определенные умственные приемы только на уровне этого этапа.

Дидактическая цель этапа, совершенствующего умение: применение ПУД при решении математических и учебных задач. Деятельность учащихся здесь - творческая, возможно решение «любых» задач определенного класса. Не все учащиеся достигают различных этапов одновременно. Явное использование ПУД при решении задач соответствует обязательному уровню обучения; использование ПУД «в уме» (действие свернуто), соответствует про-

двинутому уровню. На совершенствующем этапе ученик усваивает учебную информацию, сознательно используя приемы умственной деятельности. При этом учитель организует деятельность учащихся с учетом внутренней и профильной дифференциации. Рефлексивно-оценочная деятельность осуществляется с помощью известных учебных познавательных действий на всех этапах учебно-познавательной деятельности и как итог результатов освоения определенной темы школьного курса математики [3].

Результаты экспериментальных исследований показывают, что самоконтроль чаще осуществляется на этапе применения знаний, самооценка - на этапе контроля знаний, а самокоррекция - во внеурочной деятельности. Отметим, что рассмотренные этапы становления ПУД, хорошо «вписываются» в традиционные этапы учебно-познавательной деятельности: мотивационно-ориентационный, опера-ционно-познавательный, рефлексивно-оценочный. На каждом этапе формирование ПУД осуществляется в неразрывном единстве с освоением учебного содержания. Процесс становления ПУД выступает, как процесс постепенной передачи учителем функций управления, самим учащимся.

Например, для формирования познавательного общеучебного УУД - преобразование

учебной информации (способ алгоритмизации) используется прием умственной деятельности - составление предписания для решения задач определенного типа (табл. 2). Этот прием применяет учитель на ознакомительном этапе с целью организации «открытия» учащимися предписания для сравнения натуральных чисел (пятый класс) [3].

Учитель предлагает учащимся выполнить анализ собственной умственной деятельности при сравнении натуральных чисел (примеры 1-10) и представить результат в виде предписания. Необходимо распределить следующие примеры на группы, выбрав основание для сравнения:1)37297 и 59382; 2) 254673 и 235932; 3)5674 и 5690; 4)4693723 и 993729; 5)846372 и 923710; 6) 3972013 и 20001001; 7) 39108 и 39190; 8) 41360 и 41294; 9) 5973021 и 5973472; 10) 7098210 и 7396024.

Затем учитель предлагает учащимся заполнить пустые блоки предписания (см. рис. 1, например, блоки 2, 3, 4, 5) и дополнить частично заполненные блоки блок-схемы (см. рис. 1, например, блоки 6, 7), используя собственные знания, результаты выполнения предыдущего задания. При выполнении заданий используются: познавательное логическое УУД «Сравнение», которое должно быть, согласно ФГОС, сформировано у учащихся при обучении в начальной школе. При необходимости учитель актуализи-

Таблица 2

Прием составления предписания для решения задач определенного типа

1. Выделить тип задач, для которого составляется предписание — общий метод решения.

2. Предложить учащимся для решения набор задач, включающий в себя задачи, соответствующие всем «маршрутам» предписания, которое составляется.

3. Организовать решение задач учащимися, оказывая, при необходимости, помощь.

4. Обобщить с учениками решение задач, устанавливая последовательность действий, которые были выполнены.

5. Организовать правильное формулирование выполненных действий и «открыть» (постепенно) соответствующие блоки предписания и все предписание.

6. Организовать анализ предписания в целом виде.

Таблица 3

Прием сравнения

1. Используя наблюдение, выявить известные понятия, характеризующие данные объекты; сформулировать соответствующие суждения.

2. Выделить свойства сравниваемых объектов.

3. Установить общие и различные свойства.

4. Выделить несущественные и существенные свойства.

5. Выбрать основание для сравнения (один из признаков).

6. Сопоставить объекты по этому основанию.

7. Сформулировать выводы сравнения.

Рис. Предписание для сравнения натуральных чисел

Таблица 4

Приемы выведения следствий в школьном курсе математики

I. Прием выведения следствий из условия задачи (теоремы):

1. Выделить условие задачи (теоремы).

2. Раскрыть термины понятий, данных в условии задачи (теоремы).

3. Вспомнить теоремы-свойства, относящиеся к этим понятиям и их формулировки.

4. Выводить следствия из условий, до тех пор, пока в качестве промежуточного следствия не получится требование задачи (заключение теоремы).

5. фиксировать свои действия выбранным способом (словесная, символьная запись, схема, дополнительные построения).

II. Прием выведения следствий из требования (заключения) задачи (теоремы):

1. Выделить условие и требование (заключение) задачи (теоремы).

2. Выделить понятия, о которых говорится в требовании задачи.

3. Вспомнить теоремы-признаки этих понятий, их определения.

4. Выяснить, что достаточно доказать, чтобы получить искомое (использовать поисковые области); переформулировать требование.

5. Выяснить, какие дополнительные построения необходимо выполнить; выполнить их;

6. Если искомое не получено сформулировать промежуточное требование и сделать новые выводы.

7. С помощью теорем-признаков, определений понятий выводить следствия из требования задачи до тех пор, пока в качестве следствия не получится условие задачи (теоремы).

8. Фиксировать свои действия выбранным способом (словесная, символьная запись, схема, дополнительные построения).

рует использование соответствующего приема умственной деятельности (табл. 3).

Для формирования познавательного общеучебного УУД - преобразование учебной информации (способ достраивания) используется прием умственной деятельности - составление схемы поиска решения задачи. В процессе поиска используются познавательное логическое УУД «Выведение следствий», которое в применении к математике трансформируется в соответствующие приемы умственной деятельности (табл. 4). Эти приемы применяют ученики на формирующем или совершенствующем этапах. Приемы считаются сформированными, если ученик «своими словами» объясняет их суть и применяет при решении задач. Например, ученик после выделения условия и требования задачи может задавать себе вопросы

типа «Что следует из этой части условия?», «Какой следующий вывод можно сделать из полученного вывода?» и т. п. Полный состав приемов умственной деятельности необходимо знать учителю для собственной грамотной речи в процессе организации открытия приема на ознакомительном этапе [3].

Приемы умственной деятельности необходимы учащемуся для достижения предметных результатов, так как они, согласно ФГОС, включают, в частности, освоенные учащимися специфические для данной предметной области, виды деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению [2]. Приведем пример организации деятельности учителя и учащихся, направленной на «открытие» способов решения дробно-рациональных уравнений (ознакомительный этап). В данном случае эти

Таблица 5

Иллюстрация «открытия» способов решения дробно-рациональных уравнений

Деятельность учителя Деятельность учащихся

Актуализирует прием саморегуляции для решения уравнений (он использовался при решении уравнений первой и второй степени) Осознают, что отсутствует стандартный вид для дробно-рациональных уравнений

Подводит к пониманию того, что необходимо сделать в соответствии с приемом саморегуляции для решения уравнений? Необходимо выявить преобразования, необходимые для решения дробно-рациональных уравнений

Формулируют проблему: «Найти способ (способы) решения дробно-рациональных уравнений»

Предъявляет учащимся набор уравнений для «открытия» способов решения дробно-рациональных уравнений и предлагает сравнить уравнения (1) — (6) Выполняют покомпонентный анализ левой и правой частей уравнений, сравнивают уравнения

(1) 4x2 V - 0; (2) х2"8 -1; (3) 93х2 = 42х+8; (4) =±=3; 4 у х +1 ' 4 '2х ' ч / 2-х 2-х' 4 у х + 5 х + 2'

(5) 2(х + 1)2 - 7(х + 1) + 9 = 0; (6) (х+3)2 + (х+3)2 = 2

Актуализирует знания учащимися, связанные с группами преобразований уравнений. Организует выявление тех, которые подходят для конкретных уравнений: «Дробь равна нулю...»; «Перенос слагаемых...»; умножение обеих частей уравнения.»; замена переменной - известный способ решения целых уравнений Пытаются свести к одинаковому виду эти уравнения, связать с такими преобразованиями, которые дадут возможность получить целое уравнения, делают выводы, рассуждая следующим образом:

а) для уравнения (1) можно применить известное правило для числовых дробей, обобщив его для алгебраических дробей: «Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля»; б) уравнения (2), (3), (4) можно свести к виду уравнения (1), выполнив преобразования: перенос слагаемых из одной части в другую с изменением их знака; приведение дробей к общему знаменателю (первая группа преобразований); в) уравнение (5) с помощью преобразования: замена переменной сведётся к целому, а затем — к дробно-рациональному уравнению и к (1); г) уравнение (6) с помощью преобразования: замена переменной сведётся более простому дробно-рациональному уравнению, а затем, к виду (2) и (1); д) из уравнения (3) можно получить целое, используя преобразование: умножение обеих частей уравнения на выражение, не равное нулю — обобщение известного правила: обе части уравнения можно умножить на число, не равное нулю; это же преобразование можно использовать и для решения уравнений (2), (4).

способы выполняют функции специфического приема умственной деятельности (табл. 5).

Сделанные учениками выводы обобщаются, в результате чего они «открывают» способы решения дробно-рациональных уравнений, а учитель предъявляет точную информационную схему «Дробно-рациональные уравнения и способы их решения» (табл. 2). Полезно выяснить причины появления посторонних корней, которые могут появиться при решении уравнения, сравнить способы и предоставить учащимся выбор какого-либо из них на этапе закрепления новой учебной информации.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богоявленский, Д. Н. Психология усвоения знаний в школе [Текст] / Д. Н. Богоявленский, Н. А. Менчинская. - М.: Наука, 1959. - 347 с.

2. ФГОС основного общего образования [Текст] / М-во образования и науки РФ. - М.: Просвещение, 2011. - 48 с.

3. Боженкова, Л. И. Формирование УУД в обучении математике: Типовые задания [Текст] / Л. И. Боженкова. М.: МПГУ, 2015. - 140 с.

4. Солсо, Р. Когнитивная психология [Текст] / Р. Солсо. - СПб.: Питер, 2002. - 592 с.

5. Гальперин, П. Я. Управление процессом учения [Текст] / П. Я. Гальперин. - М.: Наука, 1965. - С. 12-18.

REFERENCES

1. Bogoyavlenskiy D. N., Menchinskaya N. A. Psikhologiya usvoeniya znaniy v shkole. Moscow: Nauka, 1959. 347 p.

2. FGOS osnovnogo obshchego obrazovaniya. Moscow: Prosveshchenie, 2011. 48 p.

3. Bozhenkova L. I. Formirovanie UUD v obuche-nii matematike: Tipovye zadaniya. Moscow: MPGU, 2015. 140 p.

4. Solso R. Kognitivnaya psikhologiya. St. Petersburg: Piter, 2002. 592 p.

5. Galperin, P. Ya. Upravlenie protsessom ucheni-ya. Moscow: Nauka, 1965. Pp. 12-18.

Боженкова Людмила Ивановна, доктор педагогических наук, заместитель декана математического факультета по научной работе, доцент, профессор кафедры элементарной математики и методики обучения математике Московского педагогического государственного университета e-mail: krasel1@yandex.ru

Bozhenkova Lyudmila I., ScD in Education, Deputy Dean for research, Mathematics Faculty, Associate professor, Professor, Elementary mathematics and methods of training mathematics Department, Moscow State Pedagogical University

e-mail: krasel1@yandex.ru