Двумерные течения неоднофазной смеси в сопле и струе, истекающей в затопленное пространство

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ I

УДК 533.6.071.08:532.57

ДВУМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕОДНОФАЗНОЙ СМЕСИ В СОПЛЕ И СТРУЕ, ИСТЕКАЮЩЕЙ В ЗАТОПЛЕННОЕ

ПРОСТРАНСТВО

В. И. Благосклонов, А. Л. Стасенко

Разработана методика численного исследования сверхзвуковых плоских и осесимметричных стационарных течений смеси газа с неиз-меняющимися шаровыми частицами с учетом обратного влияния частиц на газ. Для определения коэффициентов взаимодействия частиц с газом при произвольном значении числа Кнудсена, построенного по диаметру частицы, использованы интерполяционные формулы Шермана, асимптотически переходящие в соответствующие выражения для случаев сплошного и свободномолекулярного обтекания. Приведены некоторые характерные результаты численного исследования в широкой области значений начальной относительной концентрации частиц и их радиусов.

Неоднофазные среды являются физическим объектом, широко распространенным как в природе (облака, туманы, атмосферы планет), так и в человеческой практике (пересыщенный пар турбин, струи и т. п.).

Динамику неоднофазных сред можно рассматривать по существу как один из разделов механики релаксирующего континуума, в котором, однако, в отличие, например, от случаев неравновесных химических реакций или возбуждения внутренних степеней свободы молекул имеет место инерционное отставание макроскопических частиц от газа, приводящее к сепарации их линий тока и необходимости многоскоростного приближения. К настоящему времени динамике неоднофазных сред посвящено несколько монографий и обзоров [1—6], охватывающих порядка тысячи статей. Наиболее мощный толчок развитию рассматриваемой области газодинамики дали в последние два десятилетия исследования течений в каналах и струях. Однако до сих пор эти исследования проводились раздельно в соплах и струях [2, 6, 7—10]. В соответствии с этим в качестве коэффициентов взаимодействия газа с частицами, которые являются в данном случае входной информацией, вы-

бирались либо коэффициенты для сплошного обтекания сферических частиц [7, 8], иногда с экстраполяцией до чисел Кнудсена

/ч Л

(Кп = //2а) порядка нескольких единиц [11], либо коэффициенты для случая свободномолекулярного обтекания [9, 10]. Между тем ясно, что при расчете только струи граничные условия на срезе сопла (отставания частиц от газа по скорости и температуре) зависят от всей предыстории движения и не могут быть оставлены в виде свободных параметров в случае, и без того богатом параметрами; с другой стороны, мелкие частицы в принципе в любой точке сопла или струи могут попасть в условия свободномолекулярного обтекания.

В настоящей статье излагается численное исследование двумерных течений монодиспе^сной взвеси (с учетом обратного влияния частиц на газ) в сверхзвуковой части сопла и струе, истекающей в затопленное пространство; для определения коэффициентов силового и теплового взаимодействия при произвольных значениях Кп использованы интерполяционные формулы Шермана, асимптотически переходящие в выражения для свободномолекулярного и сплошного обтекания. Задача рассматривается в следующих предположениях, содержащихся в работах [12] и [13]:

1) газ идеальный совершенный; вязкость и теплопроводность проявляются только при взаимодействии с частицами;

2) суммарный объем (но не масса!) частиц '№=-^-т:а5п (п,

м~3 — их числовая плотность) пренебрежимо мал, что имеет смысл, согласно работам [5, 14], вплоть до значений относительной плотА

ности частиц е=р/р—10 (действительно, даже при г—10ир~1кг/м:! № ~ ер/р° ~ 10 • 1 /(103 -г- 104) ~ 10-* — 10-3 <С 1);

3) отсутствуют столкновения частиц друг с другом (это пред-

положение выполняется строго для случая монодисперсной взвеси и стационарных течений). , !

В отличие от статьи [15], в которой впервые предлагается рассматривать движение смеси как взаимопроникающее движение нескольких сплошных сред, здесь не используется предположение о баротропности компонентов, а рассматриваются уравнения энергии, как и в [12, 13 и 16].

В этих предположениях уравнения плоских (V = 0) и осесимметричных (>=1) течений смеси газа и неизменяющихся шаровых частиц имеют вид (л — осевая координата):

4 АЛЛ 4__я „

ЛЛ Л Л л л

лл

дх ду у

У ’

Ф

3 — Ученые записки № 1

зз

Л Лц Л Л А

ч-3-—fx^k(u — u); к = р Сор [(и — и)2 + (г» — г>)8]1/2;

л Л л

Ля) ^

и-&:==А==Ь(‘°-‘0)', Р

л ЙГ

мж = ?-

_£* г. р°

* .

Л ’ а

Здесь уравнения импульсов и энергии для частиц (2) записаны в виде характеристических соотношений вдоль их линий тока. Эта система уравнений приведена к безразмерному виду следующим образом: все линейные размеры отнесены к радиусу критического сечения сопла (или полуширине плоского) плотности — к

р*; скорости — к а*; давление — к р*а2; удельные внутренние энер-

Л Л 2 2

гии еие = с°Г-ка,; проекции ускорения частицы /х, /у — к'а./г*; поток тепла, приходящий на частицу <7, — к а3/г,. Параметры частицы отмечены значком „Д“, свойства ее материала — верхним индексом *0“.

Функции силового и теплового взаимодействия частицы с газом /х, /у, ^ известны в области сплошного обтекания (верхний индекс „с“) в виде многочисленных полуэмпирических зависимостей от чисел М и 1?е относительного потока [17—20]

Д = [(ц — и)2 + (V

V)2]

1/2

У т

— "о* ?Ци-и^ +

Ие — Ие

Иеа

2йр* я*

и в области свободномолекулярного обтекания (верхний индекс

г-- Л

„г“) — в виде функций 5=Кх/2М и коэффициентов аккомодации молекул по импульсу и энергии 0 и а [21, 22]:

Со =

Ие

1 + ехр

0,427

М

4,63

К

м,

СЬ

1>=-е^^2)- + ег{5-454 + 453' У % Б3

254

1/ .

35 V Т :

дс = тми (Тсг — Т), N11 — (2 + 0,459 Яе^Рг0-33) /Ск;

, ^ гГ' 1-, * + 1 “

дг = тг -у- Ие Рг

8% 52

7 =

^ + ег«

(Тг—Т);

2 а* Л

а3 р° с0

(зо

В первом случае величины /х, /у, <7 содержат неизбежную ошибку эксперимента (примерно +20% [23]), во втором неопределенна информация относительно значений & и а.

Выражение СЬ является результатом обработки многих теоретических и экспериментальных результатов и учитывает инерционность и сжимаемость потока в виде поправочных множителей к закону Стокса (~24/Ке); оно пригодно в области чисел

Ие<«1-100 и М<2(я, > 1).

В формулах (4) и (4') величины с нижним индексом „г“ относятся к условиям адиабатического восстановления (коэффициент г):

П=Г(1-г) + Т(1 + ^у*№)г, *Г = Ц7>

Число Рейнольдса, входящее в выражение для Ми, в случае сверхзвукового обтекания сферической частицы определяется по условиям за прямым скачком:

^ Л

„ I Ие при М < 1 /X ^ и. (Т\

Ке= Л Н ^ ; Ке2 = Яе^;

Ие2 при М > 1

МТУ ’

-уя= 4(1 4- (*М2 — —2~") ^ 2 (х + ^)~2-

В некоторых работах [7, 8] это обстоятельство совершенно упускается из виду и тепловой поток записывается в виде — Т —

Л Л

— Т, что справедливо только при М<С1-

Величина Тгг, входящая в выражение для ^.— температура адиабатического восстановления при свободномолекулярном обтекании [22]:

Ттг = —^-—г |~2х -(- 2 (ч — 1) 52--(*- 1) ег* ]

*+1 I. ^ v ’ (1/2 + Б*) еЛ Б+8е8 1Ук\

Поскольку частица при движении в сопле и струе может проходить все режимы обтекания от сплошного до свободномолекулярного, для описания ее взаимодействия с газом необходимо использовать выражения, пригодные в области чисел 0<;Кп<оо. В настоящей работе используются интерполяционные формулы Шермана:

С“1 =

где С1 = /х, /у, я.

Эти формулы асимптотически переходят в приведенные выше

выражения для сплошного (Кп 0) и свободномолекулярного

(Кп -» оо) режимов обтекания, а в переходной области совпадают с имеющимися теоретическими и экспериментальными результатами для сферы [21]. Заметим, что вследствие использования формул (5) в выражениях для Сс0 и Ии (3), (4) опущены поправки Милликена и Каванау на разреженность: Км^Кк = 1.

В дальнейшем примем степенную зависимость вязкости от температуры [а — Tw (со >0). Таким образом, задача описывается следующим набором независимых безразмерных параметров: х, а, г,

<о, Рг, р, у, Re*.

Уравнение неразрывности для частиц (1) можно заменить алгебраическим соотношением ф = const вдоль траектории частицы, вводя следующее определение функции тока для частиц:

Л Л Л

— 2у р (udy — vdx).

В основу разностной схемы положены интегральные законы сохранения массы, компонент импульса и энергии для газа и характеристические соотношения для частиц (2), справедливые вдоль их траекторий. Система уравнений, описывающая течение газа, решалась методом, предложенным в [24] и подробно описанным в [25]. Интегрирование системы дифференциальных соотношений для частиц проводилось модифицированным методом Эйлера по характеристической сетке. Шаг по х выбирался равным половине шага А, выбранного из условий устойчивости при расчете параметров газа. При расчете на одном шаге система для частиц интегрировалась два раза: от начального сечения х до х + Л/2 и от х + А/2 до х + Л. Значения компонент скорости, плотности и давления газа, необходимые при интегрировании системы для частиц, находились параболической интерполяцией по у\ коэффициенты для параболы брались усредненными по четырем точкам. Анализ точности расчетов по использованному методу первого порядка для чистого газа проведен подробно в работах [24, 25]; уравнения динамики и теплового баланса частиц (2) интегрируются со вторым порядком точности.

Ниже приведены примеры расчетов движения монодисперснОй взвеси в сопле, показанном на фиг. 1.

Частицы трех различных радиусов характеризуются набором безразмерных параметров, приведенным в таблице.

Л Л Л 2 ^ Л л

а, мкм р ~ а-1 Re* ~ а Tst ~ а»

1 3.85 0,235 78,4 1

5 0,77 0,0094 392 25

10 0,385 0,00235 784 100

В последнем столбце таблицы представлены обезразмеренные по т* —г*/а* характерные времена релаксации частиц по скорости, которые имели бы место в случае стоксового обтекания,

л л 2 Л

= /и/бя^ат* = -д- а? р0/^*

Свойства газа: 1,125, <в=1 („мягкие" максвелловские моле-

кулы с большим числом степеней свободы, например, фреоны); а = 0 = 1 (идеальная аккомодация молекул на поверхности частйц).

Смесь истекает в затопленное пространство с давлением газа ря = 6,25-10-5.

На фиг. 1 приведены распределения осевой компоненты скоЛ л

ростей и, и и температур Т, Т, частиц и газа (у = 0), показаны граница струи Г, висячий скачок и сепаратриса 5 для нескольких значений относительной концентрации частиц в критическом сечении

Л Л

8*=Р*/Р*=0, 1 и 2. Радиус частиц фиксирован (а — 5 мкм). Показаны также изменения температуры и осевой компоненты скорости газа вдоль сопла и границы струи (индекс Г).

Начальные условия приняты следующими: л0=11,5; и0 = 1,2;

Л Л Л

Т0 = Т0 = 0,866; и0=\, v0 = 0. Уже при г* = 0 (частицы не оказывают влияния на газ) видно, что в рассматриваемых случаях не может быть речи ни о равновесном, ни о замороженном течениях смеси. Поэтому для всех значений є* > 0 параметры газа оставлены одинаковыми; к газу просто добавляется определенное число частиц без пересчета на какие-либо специальные случаи сравнения (например, по одинаковому суммарному расходу).

Из фиг. 1 видно, что если при £* = 0 осевая компонента скорости газа и вдоль Г меньше, чем на оси, то при е~1 картина качественно изменяется: на оси газ тормозится и нагревается вследствие взаимодействия с частицами. Отметим, что на некотором расстоянии за критическим сечением происходит одновременное торможение и падение давления на оси струи — явление, невозможное в чистом газе с постоянным отношением теплоемкостей. В рассматриваемом случае это явление может быть объяснено не совсем точным заданием начальных величин скольжения при всех е*: газ на оси сначала разгоняется [см. и{х)\, почти „не чувствуя* частиц, скорость которых задана слишком большой, затем уходит в область однофазного течения, что приводит к падению плотности и давления у оси; оставшиеся в области двухфазного течения порции газа, не будучи в состоянии разогнать большое количество частиц с уже значительным скольжением, тормозятся и нагреваются.

С удалением от критического сечения газ на оси все же начинает разгоняться. За срезом сопла, когда появляется возможность перетекания его в периферийные области струи, он вновь начинает тормозиться на оси. С увеличением содержания частиц видна тенденция к уменьшению разностей температур газа и частиц на оси (см. фиг. 1). Далее, с увеличением е* диаметр первой бочки растет, а сепаратриса слегка приближается к оси (двухфазная область становится все более кумулированной), что физически легко объяснимо: расширяющийся газ не в состоянии „разбрызгать" в стороны все увеличивающуюся массу частиц. Соответственно точка пересечения границы струи и сепаратрисы отодвигается вниз по потоку; за этой точкой частицы попадают в область неподвижного газа и обмениваются с ним импульсом и энергией. В настоящей работе пренебрегается возникающим в результате этого движением газа в затопленном пространстве.

Так же, как и граница струи, в области чистого газа висячий скачок монотонно удаляется от оси с увеличением относительного потока частиц (штрих-пунктирные линии на фиг. 1); при пересечении сепаратрисы наблюдается увеличение наклона скачка, тем более значительное, чем больше г*. В результате скачок приходит на ось струи при больших е* ближе к соплу, чем при малых.

Интересно отметить влияние начальных условий (задаваемых вблизи критического сечения) на параметры частиц. На фиг. 1 показано изменение вдоль оси скорости газа и\ рассчитанное по квазиодномерной теории, начиная от камеры сгорания. Полученное

А Л

таким образом значение скорости частицы (а — 5 мкм, и0^0,5) использовано в исследуемом двумерном случае (£* = 0) для интегрирования уравнений движения частицы (штрихпунктирная кривая

*=26; а= 5 мкщ у^=6,4

Фиг. 2

Л

и). Видно, что хотя в критическом сечении скорость частицы при-

А

близительно вдвое меньше («0 5^0,5), чем значение, принятое выл

ше (ы0=1), тем не менее уже на расстоянии порядка одного диал

метра критического сечения отличие между а(х), полученными при этих различных начальных условиях, становится меньше относительной ошибки коэффициентов взаимодействия газ — частица. Однако влияние на сепаратрису существенно: уменьшение начальной скорости частицы приводит к увеличению времени ее взаимодействия с газом за критическим сечением и к большему разлету частиц в ^-направлении (см. фиг. 1, штрих-пунктирная кривая 5).

Фиг. 2 и 3 иллюстрируют поперечное распределение газодинамических параметров для = 0; 0,2; 1; 2 и 5 в двух плоскостях х = 26 (у среза сопла) и х= 110 (в струе, в области наибольшего радиуса „бочки", см. фиг. 1). Штрихпунктирные линии соединяют значения параметров газа на сепаратрисе. Видны существенные двумерные эффекты, свидетельствующие о неточности описания движения смеси в квазиодномерном приближении (из-за наличия

' Л Л

сепаратрисы). Отметим вместе с тем, что параметры частиц и, V,

А *

Т незначительно изменяются поперек струи в области двухфазного течения, ограниченного сепаратрисой (0-<у<[^); они могут

быть найдены по фиг. 1 и приняты равными, например, их значениям на оси (у = 0). Во всяком случае, их наибольшие изменения лежат внутри указанного выше диапазона погрешностей, с которыми определены коэффициенты силового и теплового взаимодействия газ — частица. По излому кривых и, V, Т на фиг. 3 можно, судить об ординате висячего скачка (см. также фиг. 1).

лг=110, а = 5 мкм е*= ... О 1 2

ур= . . . 24,4 31,7 34,4

Фиг. 3

I

На фиг. 1 — 3 приведены данные для одного фиксирован-

Л

ного размера частиц (а = 5 мкм). Фиг. 4 и 5 иллюстрируют влиял

ние радиуса частиц а на параметры смеси при фиксированном относительном содержании частиц £*=1 и прежних начальных условиях. Видна вполне понятная тенденция к уменьшению раз-

Л

ностей температур и скоростей газа и частиц с уменьшением а (стремление к равновесной смеси, рассмотренной, например, в [6]). Укрупнение частиц, естественно, приводит к тому, что каждая из них разгоняется газом до меньшей скорости и слабее охлаждается; вместе с тем более крупные частицы слабее влияют на давление газа (их числовая плотность меньше при фиксированном е,, так

Л Л •

как я* — в, а~3).

Характерное время расчета одного варианта на БЭСМ-6 изменяется в пределах 10—30 мин (при е* = 0-ь5).

Пример расчета с двойным числом точек на начальном луче для е* = 1 приведен на фиг. 2 [кривая и (у), отмеченная крестиками].

. ч N

ч

уг

, — — —

/

= =•—

По) а = 1шм 5мкм

ТВмкм г/

Г^ —

Фиг. 4

Таким образом, примеры показывают, что разработанная методика позволяет эффективно исследовать ряд интересных особенностей двумерных неоднофазных течений монодисперсной взвеси в каналах и струях.

1. Дейч М. Е., Филиппов Г. А. Газодинамика двухфазных сред. М., „Энергия”, 1968.

2. Са л та нов Г. А. Сверхзвуковые двухфазные течения. Минск, .Высшая школа“, 1972.

3. К р а й к о А. Н., Нигматулин Р. И., Старков В. К., Стернин Л. Е. Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Гидромеханика. Т. 6. ВИНИТИ, 1972.

4. Циклаури Г. В., Данилин В. С., Селезнев Л. И. Адиабатные двухфазные течения. М., Атомиздат, 1973.

5. Со у С. Гидродинамика многофазных систем. М., „Мир-,

1971. '

6. Стернин Л. Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. М., „Машиностроение", 1974.

7. Васенин И. М., Рычков А. Д. Численное решение задачи о течении смеси газа и частиц в осесимметричном сопле Лаваля. „Изв. АН СССР. МЖГ\ 1973, № 5.

8. Рычков А. Д. Течение смеси газа и твердых частиц в сверхзвуковых недорасширенных струях. „Изв. АН СССР. МЖГ“, 1974, № 2.

Э.Пробстин Р. Ф. Пылевая газодинамика кометных голов. Сб. „Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды”. М., „Наука”, 1969. *

10. С т а с е н к о А. Л., Чеховский В. Ф. Сферически симметричное истечение газа с частицами в пустоту. Труды ЦАГИ, вып. 1612, 1974.

11. Гродзовский Г. Л. О движении мелких частиц в газовом потоке. „Ученые записки ЦАГИ”, т. 5, № 2, 1974.

12. Клигель Дж. Течение смеси газа с частицами в сопле. „Вопросы ракетной техники”, 1965, № 10 (30).

13. К р а й к о А. Н., СтернинЛ. Е. К теории течения двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами. ПМТФ, т. 29, № 3, 1965.

14. Otterman В., Levine A. S. Analysis of gas-solid particle flows in shock tubes. A1AA, vol. 12, N 5, 1974.

15. P a x м а т у л и н X. А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, т. 20, вып. 2, 1956.

16. С т а с е н к о А. Л. К динамике двухфазной смеси совершенного газа с макроскопическими частицами. Труды ЦАГИ, вып. 1453, 1973.

17. Карлсон, Хогланд. Сопротивление и теплоотдача частиц в соплах ракетных двигателей. „Ракетная техника и космонавтика”, 1964, №11.

18. К a van a u L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subsonic flow. Trans. ASME, vol. 77, № 5, 1955.

19. Беккер Дж., Дрейк P. Теплоотдача от шара к разреженному газу в сверхзвуковом потоке. „Вопросы ракетной техники”, 1953, № 2.

20. Никольский Ю. В., Первушин Г. Е., Ч е р н и к о в а Л. Г. Экспериментальное исследование теплопередачи на сферах и тонких конусах в гиперзвуковом потоке разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ”, т. 1, № 1, 1970

21. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., „Мир”, 1973.

22. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука”,

1967.

23. Авдеева В. X. Экспериментальное исследование теплообмена шара и пластины в сверхзвуковом потоке разреженного газа. „Изв. АН СССР. МЖГ”, 1970, № 2.

24. И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н., Михайлов В. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений, 1. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 12. № 2,

1972.

25. Б л а г о с к л о н о в В. И., И в а н о в М. Я. Алгоритм и программа расчета двумерных сверхзвуковых течений идеального газа. Труды ЦАГИ, вып. 1660, 1975.

Рукопись поступила 30\1П 1976