Скользящие режимы управляемых систем с многозначными возмущениями

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

муниципального управления. - 2007. - № 7. -С.64-68.

2. Baxes, G.A. Digital image processing: principles and applications / G.A. Baxes. - N.Y. (USA): John Wiley & Sons, Inc., 1994.

3. Lin, C. Building detection and description from a single intensity image / C. Lin, R. Nevatia // Computer Vision and Image Understanding: CVIU. - 1998. - Vol. 72 (2). - P. 101-121.

4. Meyer-Brötz, G. Methoden der automatischen Zeichenerkennung / G. Meyer-Brötz, J. Schurmann. - München: R. Oldenbourg, 1970. - 154 p.

5. Sohn, G. Extraction of Buildings from High Resolution Satellite Data / G. Sohn, I.J. Dowman // Proc. of the Third Intern. Workshop on Automatic Extraction of Man-Made Objects from Aerial and

Space Images. June 10-15, 2001, Centre Stefano Franscini, Monte Vertia, Ascona (Switzerland). -http://homepages.ge.ucl.ac.uk/~gsohn/Gunho AS CONA.pdf.

6. Бычков, И.В. Об одном подходе к анализу топологии пространственно-распределенных данных с использованием логического вывода / И.В. Бычков, А.Е. Хмельнов, Р.К. Федоров // Вычислительные технологии. -2005. - Т. 10, № 1. - С. 116-129.

7. Fedorov, R. The approach of extracting boundaries on image containing noise using rectangles / R. Fedorov // Proc. of 9-th Intern. Conf. on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-9-2008). - Nizhni Novgorod, 2008. - Vol. 1. - P. 128-131._

Новицкий В.И., Финогенко И. А.

УДК 517.9

скользяшие режимы управляемых систем с многозначными возмущениями

1. Введение. В данной работе рассматривается управляемая система, движение которой описывается дифференциальным включением

x е F

где x = (x1,.. ,xn) е Rn, B(t, x) - матрица размерности n x m , векторная функция u(t,x) = (u1(t,x),..., um(t,x)) , разрывная на некоторых гиперповерхностях, имеет смысл управления по принципу обратной связи, F (t, x) - многозначная функция с выпуклыми компактными значениями, т.е. для каждых фиксированных значений (t, x) множество F(t, x) с Rn является выпуклым и компактным. Эта функция предполагается полунепрерывной сверху и может возникать в задаче (1) различными путями. Например, если система находится под действием возмущений f (t, x), точное значение которых не известно, но известно ограничение в виде f (t, x) е F(t, x). Или же, если функция f(t, x) является разрывной по совокупности аргументов (t, x) и в точках разрыва доопределяется в смысле А.Ф. Филиппова [1]. В этом случае имеем дифференциальное уравнение с разрывной правой частью

x = f

Отличительной особенностью задач (1), (2) является то, что в исследуемую систему одновременно входят разрывные позиционные управления (£, х) и многозначные или разрывные функции, которые описывают какие-либо неуправляемые характеристики. Например, возмущения или, для механических систем, силы сухого трения. В последнем случае уравнение (2) можно рассматривать как формализацию уравнений управляемой механической системы с сухим кулоновским трением в форме Лагранжа

А($, Я)Я = £ ($, Я) + Ц, Я, Я) +

, Я, Я) + и

где Qfr (¿, я, Я) - разрывная функция, описывающая обобщенные силы трения скольжения.

В менее общих постановках задачи (1)-(3) изучались многими авторами. Так, задача (2) при условии, что ^(¿, х) - однозначное непрерывное отображение, относится к хорошо развитой в работах М.А. Айзермана, Е.С. Пятницкого [2] и В.И. Уткина [3] теории разрывных систем управления. Исследование задачи синтеза управления на принципе декомпозиции для механических систем (3) при отсутствии в них сил трения проведено в работе [4]. В статье [5] силы трения учитывались, но

в менее общей постановке задачи.

В данной работе исследуется задача о существовании решения для включения (1) в общепринятом в теории управления смысле, а именно: под решением понимается пара функций (х(г),и (г)), где х(г) - абсолютно непрерывная, и (г) - измеримая функции, для которых почти всюду на соответствующем промежутке [г0, выполняется включение

х

и и (г) еи(г, х(г)), где множество и(г, х) в каждой точке (г, х) представляет собой выпуклую замкнутую оболочку всех предельных значений функции и(г, х). Далее для включения (1) описывается метод эквивалентного управления (см. [3]) и приводится выражение для многозначного поля скоростей движения системы по пересечению поверхностей разрывов функции и (г1, х). Для уравнения (2) представляют интерес также условия возникновения скользящих режимов одновременно на пересечении поверхностей разрывов функции /(г, х) и управлений и1 (г, х) и их взаимное влияние на динамику системы в целом. Возникающие здесь особенности иллюстрируются на примере.

2. Существование решений. Пусть 2 ,У -метрические пространства, Н : 2 ^ У - многозначное отображение. Для полноты и точности изложения приведем ряд определений и фактов из теории многозначных отображений, которые будут использоваться в дальнейшем без оговорок (см., например, [6]). Мы рассматриваем многозначные отображения с компактными значениями.

Многозначное отображение Н называется полунепрерывным сверху, если для каждой точки 2 е 2 и для любого открытого множества V с У такого, что Н(г) с V , существует окрестность Ж (г) точки 2 такая, что Н (Ж(х)) с V .

Многозначное отображение Н называется замкнутым, если замкнутым является множество ГН = {(г,у) е 2 х У | у е Н(г)} - график многозначного отображения Н .

Между замкнутостью и полунепрерывностью сверху многозначных отображений существует тесная связь: эти два понятия эквивалентны, если пространство У компактно.

В определении измеримости многозначных отображений, определенных на числовой прямой, мы следуем [6].

Отметим, что если Р(г) и G(t) - измеримые многозначные отображения, то отображения

ттт

Н (г) + G(t) и Н (г) п G(t) (при условии, что Н (г) п G (г) Ф 0 для всех 1) - также измеримые отображения. Любое измеримое многозначное отображение Н(г) имеет измеримый селектор. Последнее означает, что существует измеримая однозначная функция, удовлетворяющая включению /(г) е Н (г) для всех г. Отметим также, что полунепрерывное сверху многозначное отображение Н(г) является измеримым.

Доказательству существования решения включения (1) предпошлем следующую лемму.

Лемма 1. Если Н(г) и G(t) - измеримые многозначные отображения с компактными значениями, у(г ) е Н(г) + G(t) - измеримая функция, то существуют измеримые селекторы И(г) е Н(г) и g(г) е G(t) такие, что у(г) = И(г) + g(г).

Доказательство. Пусть у(г) е Н(г) + G(t) -измеримая функция. Тогда для каждого г существуют точки е Н(г) и г2 е G(г) такие, что у(г) = гх (г) + г2 (г). Следовательно, у(г ) -(г) = (г) е G(г). Отсюда вытекает, что (у(г) - Н (г)) п G (г) Ф 0 . Тогда существует измеримый селектор g (г) е (у(г) - Н (г)) п G(t). При этом g (г) е G(t) и g (г) е у(г) - Н (г). Следовательно, у(г) - g(г) = И(г) е Н(г) и И(г) - измеримая функция. Окончательно получаем у(г) = И(г) + g (г) , где И(г) е Н(г), g(г) е G(г) - измеримые селекторы. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть Г (г, х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями, и (г, х) =

(и1 (г, х),..., ит (г, х)) - ограниченная функция, В(г, х) = [Ьг] (г, х)] - п х т -матрица, составленная из непрерывных функций. Тогда для любых начальных данных (г0, х0) существует пара функций (х(г), и (г)), где х(г) - абсолютно непрерывная, и(г) - измеримая функции такие, что х(г0) = х0, почти всюду на некотором отрезке [г0 ,г1 ] выполняется включение (4) и и(г) еи (г, х(г)), где и (г, х) = сои1(г, х), символ "со" означает переход к выпуклой оболочке множества и1 (г, х), которое для любых фиксированных (г, х) представляет собой множество всех предельных значений функции и(г', х') при (г', х') ^ (г, х), дополненное значением и(г,х).

Доказательство. Рассмотрим многозначное

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

и, (г, х) = \

,(г, х) е 8г, и- < и. ,(г,х) е ,и- >игн

иг. (г, х), (г, х) г .

отображение ¥ (г, х) = ¥(г, х) + В(г, х)и(г, х). Для каждых фиксированных (г, х) образ выпуклого компактного множества и (г, х) при линейном отображении В(г, х) является выпуклым компактным множеством. График многозначного отображения и1(г, х) замкнут, следовательно, оно полунепрерывно сверху. Этим же свойством обладает многозначное отображение и (г, х) . Тогда из [6] вытекает, что В(г, х)и(г, х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение с выпуклыми компактными значениями. Этим же свойством обладает и многозначное отображение F1(t, х). Из [1] вытекает, что существует решение дифференциального включения х е ¥ (г, х(г)), х(г0) = х0, определенное на некотором промежутке [г0 ,г1] . Согласно лемме 1 для функции у(г) = х(г) существуют измеримые функции /(г) е ¥(г, х(г)) и £ (г) е G (г, х(г)) = В (г, х(г))и (г, х(г)) такие, что х(г ) = / (г) + £ (г), где £ (г) е В(г, х(г))и (г, х(г)). Из леммы Филиппова о неявной функции [6] следует, что существует измеримая функция и (г) еи (г, х(г)) такая, что £ (г) = В(г, х(г))и(г). Следовательно, х(г) е ¥(г, х(г)) + В(г,х(г))и(г). Теорема доказана.

3. Скользящие режимы и эквивалентные управления. Пусть функции и.

и и- (г, х) обозначаются предельные значения функции и. (г, х) с обеих сторон поверхности . Предполагается, что такие предельные значения существуют и однозначно определены, а значения и. (г, х) расположены произвольно на отрезке с

концами и+ (г, х) и и- (г, х).

Пусть и (г, х) = (и1(г, х),...,ит (г, х)), где

3 (г, х ) =

Бх

ду

5х1 дх

ду

дхп

дУт

дх.

ГУуЛ

Уу

т у

п у

где через У у обозначены градиенты функций у .

Скользящим режимом системы (2) называется такое решение включения (1), что у (г, х(г)) = 0 для всех г е[г0,г1] и всех . = 1,.,т . Для существования скользящего режима необходимо, чтобы для всех г е [г0, г1] выполнялось условие

д у (г, х(г)) + (У у (г, х(г)), х (г)) = 0, . = 1,., т.

п

Для каждой точки (г, х) е 8 = п через иея (г, х) обозначим

г=1

множество

всех

иея = иея (г, х) , которые удовлетворяют включе-

нию

ея

Рассмотрим матрицу

0 е ду(г, х) + 3 (г, х) ¥ (г, х) + 3 (г, х) В(г, х)и где дх) - вектор частных производных ду (г, х), . = 1,..., т , и (при фиксированных (г, х)) множество 3 (г, х)¥ (г, х) представляет собой образ множества ¥ (г, х) при линейном отображении 3(г,х). Функции иея (г,х) называются эквивалентными управлениями. Теория эквивалентных управлений для уравнений вида х = /(г, х,и) и, в частных случаях, для уравнений вида х = /0(г, х) + В (г, х)и(г, х) изложена в [3]. Если (г, х)В(г, х) Ф 0, то получаем

иея (г, х) е иея (г, х) = -(3В)-1 (г, х)(ду(г, х) + 3 (г, х) ¥ (г, х)). Легко видеть, что многозначное отображение иея (г, х) полунепрерывно сверху и имеет выпуклые компактные значения. Тогда, если для любых (г, х) е 8 выполняется условие

и *ея = иея

то многозначное отображение и *ея (г, х) полунепрерывно сверху и имеет выпуклые компактные значения. Многозначное поле скоростей движения системы (1) по пересечению поверхностей 8. определяется из включения

х е ¥

Таким образом, (6) представляет собой дифференциальное включение скользящих режимов для системы (1) в том смысле, что они могут быть реализованы только как решения включения (6).

Множество Ueq (t, x) является наибольшим по включению для определения значений эквивалентных управлений ueq(t, x) . Если условие (5) не

n

выполняется, то движений по множеству S = ^ St

i=1

не существует.

Замечание. Если при выполнении условия (5) скользящий режим в любой момент времени может сойти с пересечения поверхностей разрыва или остаться на нем, то он является неустойчивым и не осуществляется в реальных системах. Устойчивость скользящих режимов определяется свойствами поля скоростей системы в окрестности поверхностей разрыва управлений. Иначе говоря, управление u (t, x) должно быть стабилизирующим. Как правило, условия устойчивости системы на поверхностях разрыва являются (вместе с условием (5)) достаточными и для существования скользящих режимов одновременно.

Отметим, что для уравнения (2) с разрывной функцией f (t, x) могут еще существовать скользящие режимы по поверхностям разрыва функции f (t, x). В частности, это могут быть множества неизолированных положений равновесия, что характерно для механических систем с сухим трением.

4. Пример. Тело, рассматриваемое как материальная точка массы m, движется по горизонтальной прямой Ox под действием пружины c коэффициентом упругости k, силы тяжести P = mg , силы сухого трения F = - fP sign x ( f - постоянный коэффициент трения) и управляющей силы u = - H sign ( x + ax) , a > 0 . Уравнение движения системы запишем в виде

mit = -kx + F + u .

Сила трения F при условии x = 0 может принимать любое значение из отрезка [—fP,fP]. Система (7) без управляющего воздействия обладает «зоной застоя» вида Z = {(x,0):| x |< fP/k). Это отрезок на оси Ox , содержащий начало координат фазовой плоскости системы и состоящий из множества неизолированных положений равновесия.

Эквивалентное управление находится из условий x + ax = 0, x + axe = 0 и при x Ф 0 определяется однозначно:

ueq =

При условии x = 0 получаем x = 0 и значение ueq может быть любым из отрезка [-d, d], где

а = шт( Н, /Р).

1. Пусть выполняется неравенство Н > /Р . Тогда условие (5) имеет вид неравенства | иес |< Н и из (8) получаем (к + а2т) | х |< Н + /Р или, равноценно, (ат + к/а) | х |< Н + /Р . На плоскости (х, х) эти неравенства образуют прямоугольник, в пределах которого на прямой х + ах возникает асимптотически устойчивый скользящий режим для уравнения (7). На рис. 1 представлена верхняя полуплоскость фазовой плоскости. Траектории представляют собой дуги четырех эллипсов, соответствующих четырем областям фазовой плоскости, на которые ее разбивают ось Ох и прямая х + ах = 0 . Они симметричны относительно начала координат. Центр эллипса для области х > 0, х + ах < 0 расположен на оси Ох справа от начала координат (точ-/Р Н ^

ка х =---1--). Это приводит к тому, что от-

к к

резок застоя не возникает, положение равновесия единственно - начало координат. Все траектории, попадающие на прямую х + ах = 0 в пределах прямоугольника, двигаются по этой прямой в на-

Н + /Р

чало координат. Точки A = - a-

k + a2

B H + fP

в =-— определяют границу прямоуголь-

k + a

ника.

Рис. 1. Верхняя фазовая полуплоскость при выполнении условия Н > /Р

2. Пусть выполняется неравенство Н < /Р . Система имеет «зону застоя» - отрезок [-Ь, Ь].

Отметим, что в начале координат условие (5) выполняется всегда, а в оставшихся точках прямой х + ах = 0 оно, как и в первом случае, имеет вид

неравенства | иес1<Н . Простой анализ этого неравенства с учетом (8) показывает, что оно порождает на фазовой плоскости два вложенных прямоугольника (рис. 2). В пределах маленького прямо-

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

угольника неравенство | ищ |< Н нарушается, и скользящий режим по прямой х + ах = 0 не существует. Центр эллипса для области х > 0, х + ах < 0 расположен слева от начала координат

УР Н

(точка Ь =---). Это приводит к тому, что

к к

некоторые траектории из указанной области могут приходить на отрезок застоя [—Ь, Ь] . Скользящий режим реализуется только на отрезках прямой линии х + ах = 0 , расположенных внутри большого и вне маленького прямоугольника, и прекращается

в вершине маленького прямоугольника.

Рис. 2. Верхняя фазовая полуплоскость при выполнении условия Н < УР

Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (интеграционный проект № 85).

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985.

2. Айзерман, М.А. Основы теории разрывных систем. I, II / М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий // АиТ. - 1974. - № 7. - С. 33-47; № 8. - С. 3961.

3. Уткин, В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В.И. Уткин. - М.: Наука, 1981.

4. Пятницкий, Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I, II / Е.С. Пятницкий // АиТ. - 1989. - № 1. - С. 87-98; № 2. - С. 57-71.

5. Финогенко, И.А. О принципе декомпозиции для механических систем с сухим трением / И.А. Финогенко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2008. -№ 3(19). - С. 66-70.

6. Обуховский, В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / В.В. Обуховский, Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис. - М.: Ком-Книга, 2005.

Черкашин Е.А., Ипатов С.А. УДК 004.4'242

логический подход к обработке

uml-моделей информационных

систем

Введение. В настоящее время при разработке сложных информационных систем популярно визуальное проектирование с использованием языка UML (Unified Modeling Language). Одним из обменных форматов представления UML-моделей является базирующийся на стандарте XML (Extensible Markup Language) [1] формат XMI (XML Metadata Interchange) [2]. Стандарт XML является одной из популярных технологий, используемых для представления информации, в частности, для хранения документов и обмена информацией между приложениями, а также для передачи информации, например, XML-RPC (XML Remote Procedure Call) [3]. Основными причинами

высокой популярности XML послужили его открытость, масштабируемость, независимость от конкретной программно-аппаратной платформы, иерархическая структура документа, позволяющая представлять данные достаточно широкого класса, а также технологическая поддержка обработки XML-файлов существующими стандартами.

Существует ряд подходов к решению задачи трансляции и обработки XML-документов. Для императивных языков программирования консорциумом W3C разработаны стандартизованные технологии SAX (Simple API for XML) и DOM (Document Object Model). Технология SAX представляет разработчику (программисту) событий-