Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом

В. Г. Быков

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА C АВТОБАЛАНСИРОВОЧНЫМ МЕХАНИЗМОМ

Автобалансировочные механизмы (АБМ) находят применение в высокоточных устройствах, содержащих быстро вращающиеся элементы, например CD и DVD дисководах, а также в роторных машинах, в которых величина дисбаланса может изменяться со временем.

Первое теоретическое исследование АБМ содержится в [1]. В дальнейшем динамика ротора с АВМ рассматривалась в целом ряде работ многих авторов. Среди публикаций, появившихся за последнее десятилетие, можно выделить [2-5]. В [2] изучается динамическая устойчивость движения ротора с помощью теории Флоке. В [3] устойчивость сбалансированного стационарного режима исследуется путем анализа уравнений возмущенного движения в полярной системе координат. В работах [4] и [5] уравнения движения выведены во вращающейся системе координат, а устойчивость стационарных режимов исследуется численно, путем нелинейного бифуркационного анализа с использованием специализированного пакета АиТО-97.

В настоящей работе получен ряд аналитических формул, выражающих условия существования и устойчивости стационарных режимов. Устойчивость сбалансированного стационарного режима изучается путем анализа уравнений возмущенного движения во вращающейся системе координат, а устойчивость несбалансированных режимов — в полярной системе координат. Двупараметрические диаграммы устойчивости стационарных режимов, полученные численно с использованием критерия Рауса, согласуются с результатами, представленными в работах [3-5].

1. Уравнения движения

Рассматривается статически неуравновешенный ротор, представляющий собой жесткий диск, симметрично насаженный на гибкий вращающийся вал (рис. 1). Величину дисбаланса, т. е. расстояние от центра масс диска (точки О) до его геометрического центра (точки С), обозначим через е. Диск оснащен шариковым автобалансировочным механизмом (АБМ), состоящим из двух (или более) шариков одинаковой массы, которые могут свободно передвигаться по ободу диска в полости, заполненной вязкой жидкостью. Расстояние между шариками и геометрическим центром диска считаем постоянным и равным К. Полагаем, что движение диска происходит в горизонтальной плоскости перпендикулярной оси вала, а масса вала мала по сравнению с массой диска и ею можно пренебречь.

Введем неподвижную систему координат ОХУZ, в которой ось Z направлена вертикально вверх, вдоль оси недеформированного вала, а оси X и У горизонтальны и направлены перпендикулярно оси вала. Если АБМ содержит п шариков, то в силу сделанных допущений описанная механическая система имеет п + 3 степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем X и У — координаты точки С в неподвижной системе координат, 0 —угол поворота диска в плоскости ХОУ, отсчитываемый от

© В. Г. Быков, 2006

Рис. 1. Модель ротора с АБМ.

оси OX в направлении против часовой стрелки, i = 1,...,n,—углы отклонения шариков относительно диска.

Обозначим через M массу диска, m — массу одного шарика АБМ, Ig — момент инерции диска относительно оси, проходящей через точку G перпендикулярно плоскости диска, с — коэффициент упругости вала, di, d^, ds —коэффициенты диссипации, учитывающие потери энергии, соответственно, при колебаниях диска, движении шариков АБМ и вращении вала. Пусть Мвр —внешний вращающий момент, приложенный к валу.

Для вывода уравнений движения системы воспользуемся методом Лагранжа. Выражения для кинетической энергии всей системы, потенциальной энергии упругого вала и диссипативной функции Рэлея имеют вид

l l 1 п

T = -M(Xl + Y2) + -IGe2 + 2»n]T (X2, + Yl) ,

i=1

1 1 1 _ n 1

v = -c(X2 + У2), D = -d^X2 + Y2) + -d2 ]T $ + 2^e2,

i=1

где

XG = e cos0 + X, XBi = R cos(0 + ф^ + Х,

Yg = e sin 0 + Y, YBi = R sin(0 + фi) +Y.

Введем безразмерные переменные x = Х/е, у = Y/e, i = Ш, где Q = \Jс/M, и запишем уравнения движения в безразмерном виде:

(1 + n^)X + 25i'x + x = <02 cos 0 + 0 sin 0+

n

+ - У^[(© + Фг)2 cos(0 + ф.1) + (0 + Фг) sin(© + фг)\,

£ i=1

(1 + n^,)y + 251ґу + у = в2 sin в - в cos в+

n

+ - У^[

є

(J + п^)<Э + 253в = P + є2 (X sin в - y cos в) -

n

- [Фі - є[Х sin^ - Фі) + у cos(в + Фі)]],

1=1

фг + 2(^2 фг = е[х 81п(0 + фг) + г/СОб(0 + фг)] - 0, г =

В системе (1) точка обозначает производную по Ь, а безразмерные параметры выражаются через физические параметры системы следующим образом:

т е

М=ЛГ е=д’

_ 1д + Ме2 _ -^вр

МП2 ’ мд2п2’ ^ ;

2* = 2(52 = -А-, 2(5з

M П 2 mRHV MR2Q'

Предполагая, что вал вращается с заданной постоянной угловой скоростью ш, введем безразмерный параметр v = ш/П и подставим в = vt в уравнения

X = P cos vt — п sin vt,

P  t+ t

у = P sin vt + п cos vt.

Умножим первое уравнение системы (1) на cos vt и сложим со вторым, умноженным на sin vt, затем умножим второе уравнение на cos vt и вычтем первое, умноженное на sin vt. В результате получим автономные уравнения движения:

n

(1 + п/л)(р - 2i/r] - v2p) + 25i{p - щ) + Р = V2 + ^ ^[(> + фі)2 cos фі + фі sin^i],

i=1

n

(1 + пц)(і) + 2vp - v2'q) + 25i(rj + vp) + ц = - ^[(г/ + фі)2 sin фі - фі cos фі],

i=1

2

Фі + 2(52 фі = є [(P - 2vn - v P) sin Фі - (п + 2vP - v п) cosфi], i = 1,...,n.

2. Стационарные режимы

Режимы равномерного вращения ротора, при котором обобщенные координаты р, п и фг остаются постоянными, будем называть стационарными. Уравнения, описывающие

стационарные режимы, получим, положив в уравнениях (4) значения всех производных от обобщенных координат равными нулю:

П

[1 — (1 + nii)v2]p — 25\vri = v2 + —v2 V cos ipi,

£ ^

i=1

n

[1 — (1 + njj>)v2]ri + 25\vp = —v2 sin ipi,

i=1

£ sin фi — ц cos фi = 0, i = l,...,n.

2.1. Сбалансированный стационарный режим. Стационарный режим вращения ротора, при котором геометрический центр диска остается на оси вращения недеформирован-ного вала, назовем сбалансированным или стационарным режимом типа 1. Полагая в уравнениях (5) £ = ц = 0, получим

n П

Л cos фi = —£, ^^sin фi = 0.

i=1 i=1

Уравнения (6) при n > 2 имеют бесконечное множество решений. При n = 1 единственное решение ф = П существует только при выполнении условия Л = £. При n = 2

из уравнений (6) находим углы отклонения балансировочных шариков: ф1 = —ф2 = arccos(—£/2л). Таким образом, в случае двух шариков условие существования сбалансированного режима имеет вид л ^ £/2 .

Далее мы будем рассматривать АВМ с двумя шариками.

2.2. Устойчивость сбалансированного стационарного режима. Проведем исследование устойчивочти сбалансированного стационарного режима путем анализа уравнений возмущенного движения во вращающейся системе координат. Пусть Д£, Дп и Дф^ i = 1, 2, — малые отклонения обобщенных координат от стационарных значений, соответствующих сбалансированному режиму. Подставляя £ = Д£, п = Дп, Фi = Фю + Дфi в уравнения (4), разлагая в ряд по малым отклонениям и пренебрегая малыми второго порядка и выше, получим линейную систему уравнений в вариациях

(l-\-2jj1)A£-\-2SiA£-\-[l — (l-\-2jj1)i/2]A£ — 2(l-\-2jj1)i'Ar] — 2Sii'Ari = — [эт^Д^-Ь

е

+ sin ф2 Дф2 + 2vcos ф1Дф1 + 2vcos ф2Дф2 — v2 sin ф1Дф1 — v2 sin ф2Дф2], {l-\-2jj)Ai)-\-25iAri-\-[l — {l-\-2jj)iJ2]Ari-\-2{l-\-2jj)i'A£-\-25ii'A£ = — — [cos^>iA,ipi-\-

+ о^ф2Дф2 — 2vsinф1Дф1 — 2vsinф2Дф2 — v2 cosф1Дф1 — v2 cosф2Дф2],

Дф1 + 2<52 ДФ1 = £ [—v2 sin Ф1 Д£ + v2 cos ф1Дц—

— 2v cos ф1Д£ — 2v sin ф1Дп + sinф1Д£ — cos ф1Дгу],

Дф2 + 232Дф2 = £ [—v2 sin ф2 Д£ + v2 cos ф2Дц—

— 2 v cos ф2 Д£ — 2 v sin ф2 Дц + sin ф2 Д£ — cos ф2 Дц].

Перейдя к матричным обозначениям, представим уравнения в вариациях (7) в виде AZ + BZ = 0, где Z = {Д£, Дц, ДФ1, ДФ2, Д£, Дц, ДФ1, ДФ2}Т, а A и B — матрицы размера 8 х 8.

Подставим в уравнения возмущенного движения стационарные значения углов ф1 и ф2, определяемые уравнениями

£ £2 COS ф\_ = COS Ф2 = -7—, sin^l = - sin Ф2 = \ 1 -

2м у 4м2

и запишем выражения для коэффициентов характеристического полинома:

8

\\Л + B\ =Y, ai\8-i = 0,

а0 - 1 + 2/х + - — j ,

ai = 4(1 + м)[^1 + (1 + 2/x) J2],

i=0

2

£2

0,2 — 2(1 + /x)[l + (1 + 2/t)*'2] + 4e2 ^1 — ——^ + 4(52 + 8(2+3/j-)<5i<52 + 4(1 -|-2/j.)2<5^

аз = 4[1 + (1 + 4^,)v2]^i + 4(2 + 3/t)[1 + (1 + 2^,)v2]$2 + 16[$i + (1 + 2/i)$2]^i^2

.2

(24 = (1 — v2)2 + 2/tz/2[4 + (3 + 4jj)v2] + 6e2 I 1 — -—2 ) + 4г/2(52 + 16(52(52 +

£

4"^2

+ 16[1 + (1 + 3M)v2]^ + 8(1 + 2/t)[1 + (1 + 2^)v2]^2, a5 = 12^v4Ji +4[(1 — v2)2 + 2^v2 + ^(5 + 6^)v4]^2 + 16v2^£2 + 16[1 + (1 + 2^)v2]^1 J2,

аб = 2/tz/4[(l + 2/t)z/2 — l]+4e2 ^1 — г/2+24yU,z/4(5i(52+4[(l + 2yU,)z/2 —1]2(^2 + 16г/2(52(52,

a7 = 4^г/4[(1 + 2/i)v2 — 1]$2,

2

Анализ коэффициентов полинома (8) показывает, что необходимое условие отрицательности действительных частей корней характеристического полинома (т. е. 01 > 0, г = 0,1,8) выполняется при (1 + 2^)^2 > 1, в противном случае имеем 07 ^ 0. Отсюда следует, что в докритической области частот

V ^

а/1 2ц

стационарный сбалансированный режим неустойчив, а значит он нереализуем на практике. Таким образом, автобалансировка ротора возможна только в закритической области частот.

Исследование устойчивости стационарного сбалансированного режима в закритической области удобно проводить с помощью критерия Рауса [6]. Согласно этому критерию необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости данного режима является положительность коэффициентов Рауса €{,1, г = 1,..., 9, вычисляемых по рекуррентной формуле

€г — 1,3 +1 €{ — 2,1 /1Л\

<к,з = <4-2,3+1----------------------------------------------,

€{ —1,1

где

€1,1 = 00, €1,2 = 02, €1,3 = 04, €1,4 = 06, €1,5 = 08,

€2,1 = 01, €2,2 = 03, €2,3 = 05, €2,4 = 07, €2,5 = 0.

В выражения для коэффициентов характеристического полинома входят пять безразмерных параметров: е, ц, 61, 62 и V. Если трем параметрам задать конкретные значения, тогда в плоскости, соответстующей двум оставшимся параметрам, мы можем построить области устойчивости и неустойчивости сбалансированного стационарного режима (будем называть их в дальнейшем двупараметрическими диаграммами устойчивости).

а) б) в)

д£ Л оI Г

0.4 / 0.4 1

0.3 / 0.3 1 V

0.2 0.2 / \

0.1 ) 0.1 )

ЯШ . . .1 » , А 1 * и /

1 1.& 2 2.5 3 ^ 1.» 2 2.5 3 1 1.5 2 2.5 3

Рис. 2. Диаграммы устойчивости сбалансированного стационарного режима в плоскости параметров V —

На рис. 2 представлены диаграммы устойчивости в плоскости параметров V — 61, рассчитанные при ц = 0.05, 62 = 0.01 и для трех значений е (диаграмме а соответствует е = 0.05; б — е = 0.02; в — е = 0.01). Области, соответствующие асимптотической устойчивости сбалансированного стационарного режима, выделены темным цветом.

а) б) в)

Рис. 3. Диаграммы устойчивости сбалансированного стационарного режима в плоскости параметров V —

На рис. 3 аналогично представлены диаграммы устойчивости в плоскости параметров V — 62, рассчитанные при 61 =0.1.

Анализ диаграмм показывает, что при определенных значениях коэффициентов демпфирования сбалансированный стационарный режим устойчив во всей закритиче-ской области частот.

2.3. Несбалансированные стационарные режимы. Условия существования. Полагая в уравнениях (5) n = 2, C = Co, n = По, получим уравнения описывающие стационарные несбалансированные режимы движения ротора:

[1 -

є

[1 - (1 + 2/л)і/2]щ + 2с5іг/£о = ^^(sin^i + sinф2),

Co sin ф1 — no cos ф1 = 0,

Co sin ф2 — no cos ф2 = 0.

Из двух последних уравнений системы (11) имеем no/Co = tgфl = tgф2, откуда следует, что возможны два типа несбалансированных стационарных режимов: один тип соответствует случаю ф2 = ф1 , т. е. балансировочные шарики находятся на одном конце диска и соприкасаются друг с другом (взаимодействие шариков мы не учитываем), другой тип соответствует случаю ф2 = ф1 + п, при котором шарики располагаются на противоположных концах диска.

Исследование несбалансированных режимов движения ротора удобно проводить в полярных координатах r и p, где r —длина, а p — угол поворота радиуса-вектора OC. Координаты C, n и r, p связаны соотношениями

C = r cos(p — vt), n = r sin(p — vt).

Преобразуем уравнения (4). Умножим первое уравнение на cos(p — vt) и вычтем второе, умноженное на sin(p — vt), затем умножим второе уравнение на cos(p — vt) и сложим с первым, умноженным на sin(p — vt). В результате получим уравнения движения в полярных координатах:

(1 + пц)(Г — rp2) + 2«1r + r = v2 cos(vt — p)+

n

+ — УК* + Фі)2 C0s(z4 -<р+фі)+фі sin {vt -<p+ фі)],

є

(1 + np)(rp + 2rp) + 2«1rp = v2 sin(vt — p) +

n

+ ~ У"[(^ + Фі)2 sin {vt - <р + фі) - фі cos(vt - p + фі)], є i=l

фг + 262^ = е[(г — Гр2) SІn(vt — р + фг) — (гф + 2Гр) COs(vt — р + фг)],

г = 1,...,п.

Введем переменную, описывающую угол сдвига фаз: ф = vt — р. Полагая в уравне-

ниях (12) величины г, ф, фх и Ф2 постоянными, получим

г[ 1 — (1 + 2уи,)г/2] — —г/2 сов(ф + -01) + сов(ф + фг)] = сое Ф,

£

2г5\и — —и2 [зт(</> + фх) + вт(ф + фг)] = 1/2 зт ф,

£

г sin(ф + фх) = 0, г sin(ф + ф2) = 0.

Рассмотрим случай соприкасающихся шариков. Поскольку г = 0, получаем sin(ф + фх) = 0, и здесь возможны два варианта: cos(ф + фх) = 1 или cos(ф + фх) = —1. Каждому варианту соответствует свой стационарный режим, которые мы будем называть в дальнейшем, следуя [4], стационарными режимами типа 2+ и 2_. Случай, когда балансировочные шарики располагаются на противоположных концах диска, назовем стационарным режимом типа 3.

Заметим, что в случае стационарных режимов режимов типа 2+ и 2~ точка М, в которой находятся соприкасающиеся шарики, лежит на одной прямой с точками О и

С. При этом, в случае режима типа 2+ точка М расположена дальше от точки О, чем точка С, а в случае режима типа 2~ точка М находится между точками О и С. Далее будет показано, что стационарные режимы типа 2~ и 3 всегда неустойчивы, а значит практически нереализуемы.

Введем следующие обозначения:

сов(ф + фх) = = ±1, сов(ф + ф2) = к2 = ±1, X = ,

а = 1 — (1 + 2^)и2, в = 26ху,

и преобразуем первые два уравнения системы (13). Возведем обе части уравнений в квадрат и сложим, в результате получим квадратное относительно г уравнение

«Х± Vх»2 +/?2

а2 + в2

Параметр х назовем балансировочным коэффициентом. Знак балансировочного коэффициента зависит от типа рассматриваемого стационарного режима: при кх = к2 = 1 (что соответствует режиму типа 2+) коэффициент х = 2^/£ > 0; при кх = к2 = —1 (режим типа 2_) имеем х = —2^/£ < 0 и, наконец, для режима 3, где кх = — к2, получим X = 0.

Поскольку г представляет собой длину радиуса-вектора, имеют физический смысл только действительные и неотрицательные корни уравнения (14). Анализ выражения (15) дает следующие условия существования стационарных режимов:

при х = 0 уравнение (14) для любых значений V имеет один положительный корень, соответствующий стационарному режиму типа 3;

если |х| < 1, то для любых значений V уравнение (14) имеет по одному положительному корню, соответствующему стационарному режиму типа 2+ или 2~;

если |х| = 1, то уравнение (14) имеет имеет один нулевой корень и при V < 2ц п0~ ложительный корень, соответствующий режиму 2+, а при V > — положительный

корень, соответствующий режиму 2~;

корни которого равны

если |хІ > 1, то уравнение (14) имеет при 1

(уі + 2М + д-2(Х2-1) - б^Х2-!^

1 + 2/л

два положительных корня, соответствующих стационарному режиму 2+, а при

1

1 + 2/л

^1 + 2^ + 62(Х2 -I) + З^х2-!^

— два положительных корня, соответствующих режиму 2_.

Определив величину г, стационарные значения угла сдвига фаз легко найдем из первого уравнения (13):

аг

ф = агссоз(— — х).

Рис. 4. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа 2+.

На рис.4,а для значений безразмерных параметров л = 0.01, = 0.2, представ-

лены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) стационарных режимов типа 2+, расчитанные для черырех значений балансировочного коэффициента х. Соответствующие фазо-частотные характеристики (ФЧХ) представлены на рис.4,б. На рис. 5 представлены аналогичные характеристики стационарных режимов типа 2~. Пунктиром

Рис. 5. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа 2 .

показаны кривые, соответствующие стационарным режимам, неустойчивым при всех значениях параметров.

Кривые, соответствующие нулевому значению балансировочного коэффициента, совпадают с АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа 3.

2.4. Устойчивость несбалансированных стационарных режимов. Подставим в уравнения (12) г = го + Дг, ф = фо + Дф, фх = фхо + Дфх и ф2 = ф20 + Дф2, где Дг, Дф, Дфх и Дф2 — малые отклонения обобщенных координат от стационарных значений, соответствующих несбалансированному режиму. Затем, разлагая в ряд по малым отклонениям и опуская слагаемые второго порядка малости, получим линеаризированную систему уравнений в вариациях:

(1 + 2 уи,)Дг + 2 5\Аг + гог/(1 + 2 ц)Аф-^—Аф\-Дф2 +

££

+ [1 — (1 — 2^^2]Дг + 2г0v6хДф = 0,

- (1 + 2/л)г0Аф + ——Афх + ^^Аф2 + 2(1 + 2ц)иАг - 2г0(5хД</Н-

££

+ 21/5\Аг — го[1 —

££

— £кхг0Дф + Дфх + 2£к^ Дг + 262 Дфх + £kхг0v2 Дф + £кхг0^2 Дфх = 0,

— £к2г0Дф + Дф2 + 2£к^ Дг + 262Дф2 + £к2г^2 Дф + £к2г0 V2 Дф2 = 0.

Перейдем к матричным обозначениям и представим систему (17) в виде + = 0, где ^ = {Дг, Дф, Дфх, Дф2, Дг , Дф, Дфх, Дф2}.

Выводы об устойчивости различных типов стационарных несбалансированных режимов могут быть сделаны на основе анализа коэффициентов характеристического полинома и критерия Рауса. Анализ выражений для коэффициентов характеристического полинома показывает, что определяющий характер имеет свободный член

08 = £Гокх k2V4[£Гo(а2 + в2) — а(кх + к2)^2].

Рассмотрим стационарный режим типа 3. Подставляя кх + к2 =0 и кхк2 = —1, получим 08 = — £^4г2(а2 + в2) < 0. Отсюда следует, что этот стационарный режим неустойчив всегда.

Для стационарных режимов типа 2+ или 2~ имеем кхк2 = 1. Подставим в выражение для коэффициента а8 значение го, определяемое формулой (15), и заменим /л(/сх + /с2) = е\. Получим о,8 = ±е‘2ь'6го\/а2 + /З2(1 — х2)- Знак «+» соответствует большему корню уравнения (10) (что соответствует верхней ветви АЧХ); знак «—» — меньшему (нижняя ветвь АЧХ). Отсюда следует, что нижние ветви АЧХ стационарных режимов типа 2+ и 2~ неустойчивы всегда.

Неустойчивость режимов типа 2_, соответствующих верхней ветви АЧХ, может быть проверена численно. Наглядно это может быть показано, если зафиксировать все параметры системы и представить коэффициенты характеристического уравнения ог, г = 1,..., 8, как функции от безразмерной частоты V. На рис. 6 представлены графики

минимальных значений коэффициентов 0{, рассчитанные при тех же значениях параметров системы, что и АЧХ. Поскольку все кривые лежат в нижней полуплоскости, нарушается необходимое условие устойчивости.

Таким образом, нам остается проверить выполнение условий устойчивости стационарных режимов типа 2+, соответствующих верхней ветви АЧХ. Исследование устойчивости данных режимов было проведено численными методами. Результы расчетов представлены на рисунке 7 в виде двухпараметрических диаграмм в плоскости V — $х. Диаграмма а соответствует значениям параметров х = 0.5, $2 = 0.1; диаграмма б— X = 0.5, $2 = 0.01; диаграмма в — х = 2, $2 = 0.01.

б) в)

6, н

0.4 0.4 1

0.3 0.3

0.2 А 0.2 ч

/~ч 0,1 од

V 0 -) 1 0 1^

12 3 05 1

Рис. 7. Диаграммы устойчивости несбалансированного стационарного режима типа 2+ в плоскости параметров V — $1.

Диаграммы показывают, что в случае когда балансировочный коэффициент меньше

1, стационарный режим 2+ устойчив во всей области частот лишь при при определенных, достаточно больших значениях коэффициентов демпфирования.

В случае, когда балансировочный коэффициент больше 1, расчеты показывают, что для любых значений параметров системы стационарный режим 2+ устойчив во всей области существования, определяемой выражением (16а).

V. G. Bykov. Stationary modes of motion of an unbalanced rotor with the automatic balancer.

Stationary modes of motion of an unbalanced symmetric rotor equipped with the ball automatic balancing device are considered. For the rotor spinning with a fixed angular velocity we obtain the analytic conditions of existence of the balanced and nonbalanced stationary modes. The stability of the balanced mode is investigated by analysis of the variational equations of perturbed motion with respect to a rotating frame, the stability of the unbalanced ones — with respect to a polar frame. The twoparameter diagrams of stability of stationary modes are constructed by the Routh criterion.

Литература

1. Thearle Е.Ь., Schenectady N. Y. A new type of dynamic-balancing machine // Transaction of ASME N54(12), 131-141, 1932.

2. Lee J., Van Moorhem W. K. Analitical and experimental analisys of a self-compensating dynamic balancer in a rotating mechanism // ASME Journal of Dynamic Systems. Measurement, and Control. Vol. 118. P. 468-475. 1996.

3. Chung J., RoD S. Dynamic analysis of an automatic dynamic balancer for rotating mechanism // Journal of Sound and Vibration. Vol. 228. N5. P. 1035-1056. 1999.

4. Green K., Champneys A. R., Lieven N. J. Bifurcation analysis of an automatic dynamic balancing mechanism for eccentric rotors // Technical report. University of Bristol. 2004. http://www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r19.html.

5. Green K., Champneys A. R., Friswell M. I. Analysis of the Transient Response of an Automatic Dynamic Balancer for Eccentric Rotors // Technical report. University of Bristol. 2004. http://www.enm.bris.ac.uk/anm/preprints/2004r26.html.

6. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

Статья поступила в редакцию 16 февраля 2006 г.