Закономерности связи напряжений и деформаций в бетоне

Закономерности связи напряжений и деформаций в бетоне

1 2 3

Варламов А. А. , Шишлонов Е. А. , Ткач Е. Н. ,

Шумилин М. С.4, Г ончаров Д. В.5

1 Варламов Андрей Аркадьевич / Varlamov Andrey Arkadievich - кандидат технических наук,

профессор,

кафедра проектирования зданий и строительных конструкций,

Институт строительства, архитектуры и искусства (ИСАиИ),

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова,

главный строитель,

ОАО «МагнитогорскГражданПроект»;

2Шишлонов Евгений Александрович /Schischlonov Evgenij Aleksandrovich - генеральный

директор;

3Ткач Евгений Николаевич / Tkasch Evgenij Nikolaevisch - эксперт;

4Шумилин Максим Сергеевич /Schumilin Maxim Sergeevisch - ведущий эксперт; 5Гончаров Дмитрий Васильевич / Gonscharov Dmitriy Vasil'evich - эксперт, отдел безопасности зданий и сооружений,

ООО «ТехноГарант», г. Магнитогорск

Аннотация: в статье рассматриваются следующие вопросы и проблемы:

Железобетон остается основным конструкционным материалом в строительстве. Основной объем железобетона занимает бетон, на арматуру приходится до 3...4 процентов объема материала. Поэтому от поведения бетона во многом зависит состояние и поведение железобетонной конструкции в целом. Поведение и состояние бетона в железобетонной конструкции описывается сотнями взаимоувязанных характеристик, зависящими как от внешних воздействий, так и от внутреннего состояния железобетонной конструкции. Для описания поведения бетона необходимо выделить основные факторы его поведения и обрисовать их некоторой моделью, способной предсказывать или управлять поведением бетона.

Ключевые слова: железобетон, конструкции, зависимость, модуль упругости, опыт, целесообразность.

Введение

В бетонных и железобетонных конструкциях применяют бетоны, соответствующие функциональному назначению конструкций, при этом устанавливается вид бетона и его нормируемые показатели.

Показатели качества бетона обеспечиваются соответствующим проектированием состава бетонной смеси, технологией производства бетона и контролем на всех этапах изготовления и эксплуатации. Основная характеристика - класс бетона по прочности на сжатие. Обобщенной характеристикой механических свойств бетона при одноосном напряженном состоянии принимается нормативная диаграмма состояния бетона, устанавливающую связь между напряжениями и продольными

относительными деформациями £b п ( £bt Д) сжатого (растянутого) бетона при кратковременном действии однократно приложенной нагрузки (согласно стандартным испытаниям) вплоть до их нормативных значений.

Первые формы диаграмм

Первая (после закона Гука) форма связи между напряжениями и деформациями предложена в 1729 г. Г. Б. Бюльфингером (1693-1750 г), который с 1725 г. был членом Петербургской Академии наук и первым ее профессором физики. Степенной закон при k^ 1 представляет собой нелинейную зависимость, который записывается в следующем виде [1]:

о = А - £к ,

где А - константа, имеющая размерность напряжений; к - показатель степени (безразмерная величина).

Для одновременного описания этой формулой участков растяжения и сжатия применяют правило знаков при возведении в степень, показатель независимо от его значения записывают по правилу: (+£)к = + £к ; (—£)к = — £к .

Зависимость (1) не сложная, что облегчает вычисления; при больших деформациях хорошо описывает опытные кривые; обладает достаточной универсальностью, так как при к = 1 и А = Е из (1) получаем закон Гука , а при к = 1 и А = стт - закон для жесткопластического тела. Это означает, что из решения, найденного для конструкции из материала с произвольным значением к, можно автоматически получить решение для линейно-упругой и жесткопластической конструкции. Кроме того, при этой зависимости направляющие тензоры напряжений и деформаций не зависят от параметра нагрузки, что обеспечивает относительную простоту решения по крайней мере при простом нагружении. Но зависимость имеет также и существенные недостатки: она плохо аппроксимирует опытные кривые при малых деформациях (так как при е = 0 начальный модуль упругости равен бесконечности). В большинстве случаев показатель степени оказывается числом дробным, и поэтому часто решение получается в виде системы нелинейных алгебраических уравнений с нецелыми показателями, которые могут быть решены лишь численными методами.

Обстоятельные исследования Баха [2], приведенные в 1895-1897 г., привели его к степенной зависимости деформаций от напряжений

£ = о  ат,

в которой коэффициенты а и m определяются экспериментальным путем, но не имеют значения физических констант.

Позднейшие опыты не подтвердили целесообразность такой степенной зависимости, но в опытах Баха представлял интерес вывод о развитии деформаций. При испытаниях с повторением нагружения на каждой ступени до стабилизации деформаций было установлено, что существует некоторый предел постоянного сопротивления, до которого можно повторять нагрузку без увеличения полной деформации.

Параболическая зависимость Ф. И. Герстнера (1756-1832) была предложена этим исследователем в 1831 г. и записывается в следующем виде:

а = A1£ — А2  £ 2.

Первую константу определяют из условия А1=Е, т. е. таким образом, чтобы из (3) при малых деформациях получился закон Гука. Для определения второй константы можно составить несколько условий [1]: равенство удельных энергий, равенства нулю среднеквадратического отклонения экспериментальной и аппроксимирующей кривой и др. Исправляя основной недостаток зависимости (3) (несимметричность диаграммы относительно сжатия-растяжения) во втором члене квадрат деформации заменяется на куб.

В 1864 г. Сен-Венаном предложена зависимость, записанная в следующем виде:

* = АМ1 —Й”]' №

Здесь начальный модуль упругости равен конечному числу. Это выгодно отличает зависимость от степенного закона Бюльфингера.

Похожая зависимость была предложена в 1899 г. Риттером [2], основываясь на уравнении Максвелла и полностью совпадая с ним по форме:

а = R [ 1 — е - т Ч ,

где R - конечная прочность бетонного образца; t - время загружения; m -коэффициент, принятый равным 1000.

Во многих случаях трудно разделить модель бетона, аппроксимирующую экспериментальные данные и использующую некоторые физические представления о работе бетона.

Структурные зависимости

В отличие от эмпирических формул, А. Е. Шейкиным [3] предложено уравнение диаграммы сжатия бетона, выведенное аналитически на основе некоторых физических представлений. При выводе предполагалось, что деформации ползучести бетона прямо пропорциональны величине напряжений в нем и времени действия нагрузки. Искривление диаграммы сжатия объясняется нарастанием деформаций ползучести при высоких напряжениях в бетоне. Эти деформации оказываются в уравнении А. Е. Шейкина пропорциональными квадрату величины напряжений в бетоне. Уравнение в конечной форме принимает вид:

е = — + аа2,

Е0

где Е0 - начальный модуль упругости бетона.

Коэффициент пропорциональности рассматривается как некоторая физическая характеристика, постоянная для данного бетона. Однако анализ величины а по ряду призм привел к выводу [4], что в предложенном уравнении а не является константой материала. Диаграммы, построенные при постоянном значении коэффициента, дают при больших напряжениях меньшую величину деформаций.

П. И. Васильев, С. Е. Фрайфельд и В. М. Бондаренко [5] уравнение, связывающее деформации и напряжения, предложили записывать в следующей форме:

£м = <т-[1 + Чк

где ем - условно-мгновенные относительные деформации материала; а -действующие нормальные напряжения; Rkt - предел кратковременной прочности материалов в расчетный момент времени t; Екt - начальный модуль деформаций материала в возрасте Ekt; | к, mk - параметры нелинейности кратковременного деформирования материала.

Приближенно по значениям деформаций Бондаренко В. М., Шагин А. Л. [5] предлагают вычислять соответствующие напряжения по формуле

а = Ае — В  е2

Коэффициенты А и В уравнения (8) определяются из условия минимума квадратичных отклонений от экспериментально полученных для бетона различной прочности диаграмм.

Кроль И. С., Красновский Р. О. [6] закон деформирования бетона записывают в общем виде интегральным уравнением:

е = а + к

где - начальный модуль упругости; - функция, учитывающая влияние

предшествующихнагружений; t - возраст бетона к моменту испытания; т - время загружения.

Первое слагаемое правой части соответствует упругой части деформаций, не зависящей от времени, а второе - обратимой или необратимой ее пластической части, зависящей от времени. Как следует из экспериментально-теоретических работ [7, 8], учитывающих реологические свойства бетона, величина деформаций, а, следовательно, и модуль деформаций являются функцией скорости нагружения.

Ящук В. Е. [6] для определения напряжений в упруго-пластических материалах по результатам замеров их деформаций предложил следующую формулу:

о = Rb

_£о£" 1 — е Rb .

Для того чтобы исправить основной недостаток зависимости Герстнера (т. е. несимметричность диаграммы относительно растяжения-сжатия), второй член этой зависимости (3) квадрат деформации заменяют на куб:

а = А  г — В  г3.

Формула (11) обеспечивает симметричность диаграммы относительно растяжения -сжатия; при е ^ 0 она автоматически переходит в закон Гука. Недостаток формулы состоит в том, что она не очень точно аппроксимирует экспериментальные данные при больших деформациях.

Для повышения точности аппроксимации зависимость между напряжениями и деформациями представляется как сумма двух степенных зависимостей типа:

а = А  гп — В  гт .

Несмотря на большую точность аппроксимации на значительном участке диаграммы, зависимость (12) имеет тот недостаток, что при е = 0 начальный модуль равен бесконечности, так как один из показателей получается меньше единицы. Это означает, что зависимость (12) не переходит автоматически в закон Гука при малых деформациях. Для устранения этого недостатка принимается [1]:

а = Еь£ — В  гт .

Следуя логике развития, выражение для аппроксимирующей кривой можно написать в общем виде:

а = £ П= 1 А;£k.

Одной из простейших зависимостей такого типа будет:

а = Еь£ + А2  г2 + А3  г3.

В. Я. Бачинский и А. Н. Бамбура [9] связь между напряжениями и деформациями описывают двумя уравнениями:

при е Ьи >£ь> Rьt1 Еь '.а ь = Rь £ k=1 akОь/ £/r ) k,

при Rb t /Еь>£ь>— еь ^-аь = Кы

Коэффициенты уравнения назначаются в зависимости от значений параметров диаграммы . Основные параметры диаграммы: - призменная прочность

бетона; - прочность бетона на растяжение; - начальный модуль упругости бетона; - относительные деформации сжатия бетона, соответствующие

напряжениям а ь = R ь; а ь и — PbuRb - напряжения в бетоне в момент его разрушения при сжатии; е - предельные относительные деформации сжатия бетона.

Большое количество предложений было направлено на выбор очертания кривой по параболической или иной зависимости, которая может быть выражена уравнением

аь =f

Ограничивая уравнение первыми двумя членами, получаем линейную зависимость, соответствующую простейшей форме закона Гука. Большее количество членов ряда дает кривую того или иного очертания. Имеется предложение Г. А. Гениева [9] обрабатывать диаграмму - с помощью гармонического анализа и получать выражение для ст в виде ряда Фурье.

В общем случае, зависимость между напряжениями и деформациями бетона при сжатии аь = f (£ь) В. Н. Байков, С. В. Горбатов и З. А. Димитров [10] предлагают ограничить условиями, нормируемыми соответствующими показателями (рис. 1):

При определенном значении аь = ам напряжение в бетоне принимает максимальное значение .

Первая производная аь = f (г/,)^- при £ь = 0 должна быть равна начальному модулю упругости бетона .

Первая производная — при а ь = а м должна быть равна нулю.

Учитывая, что кривая зависимости а- =/ (£й) на участке от ам до ак по очертанию близка к дуге окружности, можно кривизны этих в точках М и K принять

( d2cть\ ( dlah\

одинаковыми I —7- I = I —ч- I .

\d4)M \d4JK

5. При значении а - = а К на ниспадающей ветви напряжение бетона составляет некоторую долю максимального напряжения а- = aR-, где можно принять а = 0,85.

Чтобы удовлетворить всем перечисленным условиям, зависимость а- = было предложено представить в виде полинома пятой степени.

По мнению авторов [10] аналитическая зависимость между напряжениями и деформациями сжатого бетона, построенная с учетом всех нормируемых показателей, позволяет во многих случаях получать наиболее достоверные показатели о несущей способности железобетонных элементов; при этом отказаться от дополнительных эмпирических зависимостей и коэффициентов. Кроме того, она дает возможность оценивать напряженное и деформированное состояние нагруженных элементов не только посредством интегральных величин, таких, как момент и прогиб, но и непосредственно по значениям напряжений и относительных деформаций сжатого бетона.

Для создания общего инженерного метода расчета деформаций Ю. П. Гуща, Л. Л. Лемыш [11] предложили трансформировать с помощью коэффициентов диаграмму бетона о-8 описываемою полином с учетом напряженного состояния элементов и длительностью действия нагрузки.

В работе [12] при кратковременном осевом нагружении призм использовали полином четвертой степени.

Есть много предложений об аппроксимации диаграмм при помощи показательных, тригонометрических, гиперболических, тригонометрических и других функций. Целесообразность их использования зависит от конкретных условий задачи [13, 15-18].

Недостатком этих кривых является то обстоятельство, что физическая сущность явления и причинность тех или иных особенностей кривой полностью выпадают.

В. В. Михайлов в работе [19] при учете неупругих свойств бетона и арматуры в расчете изгибаемых элементов принимает гипотезу плоских сечений для средних деформаций бетона и арматуры аналогично работе [11]. Отличие состоит в использовании полной диаграммы деформирования бетона, описываемой сплайнфункцией. Узлами интерполяции приняты характерные точки состояния бетона при сжатии j, aR и растяжении. Тогда при сжатии диаграмма описывается

уравнениями:

' а-с = Е-£ при 0 < £ < £0

, а-с = Е-£ + т1

а-с = r-£ + т3 ( £r - £) 2 + т4 (£R - £) 3 при 4 < £ < £R; ч а-с = R-+ т5(£-£R)2при£R < £ < £к

где т i - коэффициенты сплайна, определяемые из условия его прохождения через выбранные точки интерполяции, непрерывности первой и второй производных при граничных условиях [19]; R,R^- первая и вторая параметрические точки; R-среднестатистическое значение призменной прочности; - напряжение нисходящей ветви, соответствующее предельным деформациям. Предлагаемый способ, по мнению автора, позволяет учесть неупругие свойства различных бетонов, допускает обобщения для более общего случая и расчет на всех стадиях загружения. Влияние нисходящей ветви диаграммы сжатого бетона возрастает с увеличением относительной высоты сжатой зоны.

Профессор Н. И. Безухов [13] предложил аппроксимировать криволинейное очертание зависимости соответствующим количеством отрезков наклонных прямых линий. Обосновывая свое предложение, Н. И. Безухов пишет: «Можно предложить

десятки и сотни функциональных различных непрерывных зависимостей и ни одна из них не сможет с достаточной точностью осветить поведение материала от начала деформации до последнего момента разрушения по причине, что большинство диаграмм растяжения-сжатия представляет собой скорее прерывную функцию...». Принятое предложение проф. Н. И. Безухова, однако, не исключает возможности использования в расчетах известных аналитических зависимостей при отсутствии первичных экспериментальных данных, но эти зависимости должны быть предварительно аппроксимированы ломаной линией. Практическое применение такого предложения сделано в работе [14]. На каждом отрезке диаграммы упругопластическое тело трактовали как упругое (в пределах своей области), для которого справедлив закон Гука. Задачу распределения напряжений решали, используя гипотезу теории малых упруго-пластических деформаций, в которой предполагается при простом нагружении, что обобщенное напряжение для каждого материала есть определенная функция обобщенной деформации.

Нормативные зависимости

На основании обобщения обширного экспериментального материала, накопленного исследователями, в рекомендациях международных организаций ЕКБ—ФИП [21] приняты зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей в графической форме (рис. 1.3.1), согласно предложению Рюша и Трассера к нормам DIN1045. В них учтено соотношение между напряжениями и деформациями для характерных точек кривых, отвечающих максимальному напряжению бетона, предельным деформациям, начальному загружению для оценки упругих свойств бетона по модулю упругости.

Согласно зависимостям ЕКБ—ФИП, по мере повышения марки бетона начальный модуль бетона увеличивается, а предельная сжимаемость уменьшается. При этом максимальное напряжение бетона для всех марок наступает при одном и том же значении относительного сжатия ем = 0,0022.

Рис. 1. Вид зависимости Og=f (Eg), принятой в нормах США

Рис. 2. Зависимости, принятые в рекомендациях ЕКБ-ФИП для бетонов прочностью:

1-20 МПа; 2-40 МПа; 3-60

Расчеты железобетонных элементов существенно упрощаются, если вместо графической используется аналитическая форма зависимости. Такие предложения имеются. В частности, в нормах США она описывается двумя уравнениями (рис. 1) соответственно на участках I и II:

Участок I Сб j : Участок II аб л =

б

2 —

£м

^б,макс ( 1-0 ,1 5

£ б — £м~ «к-«м'

Напряжение бетона, отвечающее предельному относительному сжатию, для бетонов всех марок составляет 85 % от максимального значения (рис. 1 и 2). Формула (21) недостаточно учитывает большие упругие свойства бетонов высоких классов и пластические свойства низких классов. Составители новой модели кода в ЕКБ - ФИП в 1990 г. развернули формулу так, чтобы она лучше учитывала пластические и упругие свойства бетонов.

С помощью введения коэффициента k = Ес/Ecl, где Ес - тангенциальный (начальный) модуль упругости, Ecl - секущий модуль упругости, обсуждаемая формула получила следующий, более сложный вид:

о, =

/с

с

1+

где - цилиндрическая прочность бетона, которая примерно равна призменной прочности Rb, так как Rцил/ Икуб= 0,8; £с( = 0,0022 - деформации бетона при максимальном напряжении стшах = /cm; £с- текущая координата по деформациям.

Экспериментальные диаграммы Узин И. А. [22] описывает зависимостью ЕКБ-ФИП, в которой определяет при центральном сжатии:

к = Еь- £r/ Rb,

- предельная деформация бетона при центральном сжатии, равная 2 %.

При внецентренном сжатии:

к = Еь- £b/db,

где и - деформации и напряжения в вершине диаграммы деформирования бетона при внецентренном сжатии.

Более сложные функциональные зависимости, в том числе М. Сарджина, рекомендованы Евро-Интернациональным комитетом по бетону

уп~п

Rb i+(y-2)q’

Ш. Поповича

а

Rb

ГУ

г

l+(7—Diji-r

Здесь используются обозначения: Rb - призменная прочность бетона; £bR -деформация, соответствующая , ; - начальный модуль упругости;

У = Е ь£ь r/Д ь-

Г. В. Мурашкин, В. Г. Мурашкин [23, 24] предлагают моделировать диаграмму деформирования бетона и схемы НДС следующим выражением: ab = a - £b - exp

которое достаточно хорошо согласуется как с экспериментальными данными, так и теоретическими предложениями. Коэффициенты , , определяются из расчетных предпосылок, заложенных в [25], и физического представления о работе бетона. Однако зависимость затрудняет определение деформаций в явном виде.

Характерно, что в ранних предложениях делаются попытки в очертании диаграммы сжатия бетона уловить участки, которые выражали бы определенные свойства материала. Так, например, в исследованиях конца XIX века предлагается на диаграмме сжатия бетона различать три части [26]. Начальный участок зависимости ст = f (е) имеет большую кривизну (вогнутая часть обращена к оси абсцисс). Следующий

участок приближается к прямой. Последняя часть кривой характеризуется увеличением кривизны, кончаясь разрушением материала. Как отмечают исследователи, увеличение деформаций совпадает с поперечным расширением твердого тела.

Проведенные многочисленные опыты (испытано более 500 образцов), а также математическая обработка опубликованных результатов испытаний привели авторов работы [27] к выводу, что зависимость «напряжение-секущий модуль упруго-пластичности» ( а — Е) при сжатии призменных образцов, загружаемых с постоянной скоростью, является линейной вплоть до разрушения образца при нелинейной зависимости « а — £»:

Ео-Еь

Е = - = Е „

Rbu

а.

На наблюдаемую в экспериментах линейную зависимость «а — Е» в кирпичной кладке и тяжелых бетонах в свое время обращали внимание Д. И. Онищик и С. П. Павлов [28], а на независимость модуля упругости бетона Е0 от уровня напряжений указывал Е. А. Чистяков [29]. Однако при определенных условиях твердения бетонов встречаются случаи искривления прямой кратковременного сжатия « » при

уровнях напряжений (0,15-0,25)Я ъ.

Экспериментально устанавливаемая при кратковременном сжатии призменных образцов линейная зависимость « » (даже без доведения деформаций до

разрушения) дает возможность установить путем линейной экстраполяции (графически или аналитически - методами математической статистики) истинное значение модуля упругости как предельное значение секущего модуля упруго-пластичности Е' при а = 0. Аналогичным способом могут быть установлены при принятой скорости загружения предельное значение модуля упруго-пластичности и предельная деформация сжатия при .

Бабич Е. М., Крусь Ю. А., Гарницкий Ю. В. [30] в качестве реологического уравнения механического состояния бетона, описывающего внешние связи между напряжениями и относительными деформациями при одноосном нагружении образцов без учета деформаций усадки и ползучести, приняли в соответствии с [31]:

где

© -

** = *©©•

множитель

\Rb/ \Е о

афиноподобия

упруго мгновенных деформаций, (может быть назван условно «функцией

являющийся функцией напряжения напряжения»).

После преобразований и учета известного [32] положения о том, что зависимость «напряжения - секущий модуль упругопластических деформаций» (стЬ / Б'0) при сжатии призменных образцов, загружаемых с постоянной скоростью, является линейной вплоть до разрушения образца при нелинейной зависимости была

получена аппроксимация кривой а ь — £ ъ:

оь = (vRE0£Ry l Vlt>  (E0vRy«  £bR = VRE0£R

( 1 - )ev«

ьъ ,

где - полные деформации бетона:

4 = аъ/Ео { 1 + [ Ая/

В последнее время процесс деформирования бетонов предлагается описывать при помощи структурно-реологической модели [33].

Выводы

Для аналитического выражения диаграмм сжатия и растяжения бетона в

связи с развитием расчетных методов предлагалось много различных уравнений, основанных на степенной зависимости, параболических и гиперболических законах, а также более сложные уравнения.

В этих уравнениях в подавляющем большинстве случаев не имелось в виду вскрыть физический смысл тех или иных отклонений от линейной зависимости; преследовалась лишь цель внешне описать кривую, в наибольшей степени отвечающую экспериментам.

В стандартном представлении модели деформирования отражают лишь кратковременное воздействие нагрузки. Для длительных процессов необходимо вводить дополнительные условия, учитывающие вопросы ползучести.

Наиболее простой способ описания совмещения деформаций выражается условием £ ь = £ ь е t + £ ь р [.

В последнем условии £Ье1 - упруго-мгновенные деформации, £Ьр1 - неупругие пластические деформации.

Литература

1. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики М.: Стройиздат, 1978.-С. 202.

2. Столяров Я. В. Введение в теорию железобетона, Стройиздат, М., 1941. - 449 с.

3. Шейкин А. Е. К вопросу прочности, упругости и пластичности бетона, труды МИИТ, вып. 69, Трансжелдориздат, 1946. С. 48-52.

4. Берг О. Я.Исследования мостовых железобетонных конструкций, Трансжелдориздат, 1956. 128 с.

5. Бондаренко В. М., Шагин А. Л.Расчет эффективных многокомпонентных конструкций. - М.: Стройиздат, 1987. - 175 с.

6. Экспериментальные исследования инженерных сооружений. - Издательство «НАУКА» М., 1973.

7. Нилендер Ю. А. Механические свойства бетона и железобетона. Справочник проектировщика промышленных сооружений, т. IV «Железобетонные конструкции». ОНТИ, 1935.

8. Осташов Н. А. Зависимость деформации материалов от времени действия нагрузки и скорости ее приложения (научное сообщение). Академия строительства и архитектуры УССР, 1953.

9. Гениев Г. А. Некоторые задачи расчета стержней при общей нелинейной зависимости напряжений и деформаций. - В сб. статей ЦНИИПС. М., Госстройиздат, 1954, вып. 13.

10. Байков В. Н., Горбатов С. В., Димитров З. А. Построение зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей. // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. - 1977. - № 6. С. 15-18.

11. Гуща Ю. П., Лемыш Л. Л. Расчет деформаций конструкций на всех стадиях при кратковременном и длительном загружении // Бетон и железобетон. - 1985. - № 11. - С. 13-16.

12. Финк К. Измерение напряжений и деформаций; перевод с немецкого, Машгиз, 1961.

13. Безухов Н. И. Основы теории сооружений, материал которых не следует закону Гука. Труды Московского автомобильно-дорожного ин-та, сб. 4. 1936.

14. Работа стеновых панелей на вертикальные нагрузки / Гагарина А. А., Манасян В. С., Борисов М. В. ЦНИИЭП жилища. М., Стройиздат, 1971, 111 С.

15. Семенцов С. А. О методе подбора логарифмической зависимости между напряжениями и деформациями по экспериментальным данным. В сб.: «Прочность и устойчивость крупнопанельных конструкций». Госстройиздат, 1962.

16. Скрамтаев Б. Г., Лещинский М. Ю. Испытание прочности бетона в образцах, изделиях и сооружениях. Стройиздат, 1964.

17. Чистяков Е. А. О модуле упругости бетона при сжатии. Сборник НИИЖБ «Особенности деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для

оценки их влияния на поведение конструкций», под ред. А. А. Г воздева и С. М. Крылова, Стройиздат, М., 1969.

18. Заикин А. И. Исследование несущей способности и деформативности внецентренно сжатых с малыми эксцентриситетами элементов из бетона высокой прочности. Дис. ... канд. тех. наук. - Л., 1972. - 136 с.

19. Михайлов В. В. Расчет прочности нормальных сечений изгибаемых элементов с учетом полной диаграммы деформирования бетона. // Бетон и железобетон. - 1993.

- № 3. - C. 26.

20. Михайлов В. В., Емельянов М. П., Дудоладов Л. С., Митасов В. М. Некоторые предложения по описанию диаграммы деформаций бетона при загружении // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. - 1983. - № 2 - С. 23-27.

21. ЕКБ-ФИП. Международные рекомендации для расчета и осуществления обычных и предварительно напряженных железобетонных конструкций (русский перевод). М., НИИЖБ Госстроя СССР, 1970.

22. Узин И. А. Расчет прочности и деформативности железобетонных элементов с учетом неравномерности распределения деформаций // Изв. вузов. Строительство.

- 1998. - № 4-5. - С. 9-14

23. Мурашкин Г. В., Мурашкин В. Г.Моделирование диаграммы деформирования бетона и схемы НДС // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. - 1997. - № 10. С. 4-6.

24. Мурашкин Г. В., Алешин А. Н., Гимадетдиков К. И. Тяжело нагруженные полы из бетона, твердеющего под давлением // Изв. вузов. Строительство - 1995, - № 12, с. 136-139.

25. СНиП 2.03.01-84 Бетонные и железобетонные конструкции - М. Стройиздат, 1985, с. 18.

26. Берг О. Я. Физические основы прочности бетона и железобетона. — М.: Госстройиздат, 1962. —95 с.

27. Макаренко Л. П., Фенко Г. А. Практический способ определения модуля упругости и упруго-пластических характеристик бетона при сжатии // Изв. вузов. Сер.: Стр -во и архитектура. - 1970. - № 10. С. 141 -147.

28. Павлов С. П. Исследование оптимальных и предельных величин обжатия бетона предварительно напряженных железобетонных конструкций, кандидатская диссертация, М., 1968.

29. Чистяков Е. А. О модуле упругости бетона при сжатии. Сборник НИИЖБ «Особенности деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ для оценки их влияния на поведение конструкций», под ред. А. А. Г воздева и С. М. Крылова, Стройиздат, М., 1969.

30. Бабич Е. М., Крусь Ю. А., Гарницкий Ю. В. Новые аппроксимации зависимости «напряжения-деформации», учитывающие нелинейность деформирования бетонов // Изв. вузов. Сер.: Стр-во и архитектура. - 1996. - № 2 - С. 39-44.

31. Бондаренко В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. -Харьков, ХГУ. 1968. - 324 с.

32. Глаговский Б. А., Пивен И. Д. Электротензоментры сопротивления // Изд. Энергия, 1972. - 85 с.

33. Хетагуров А. Т. О структурно-реологической модели бетона. - Сб. материалов всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Строительные конструкции 2000», ч. I. М., 2000. - 109-112 с.