Уде в подготовке старшеклассников к творческой математической деятельности

Дорофеев Сергей Николаевич педагогические

УДЕ В ПОДГОТОВКЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ... науки

УДК 372.851

УДЕ В ПОДГОТОВКЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ К ТВОРЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

© 2016

Дорофеев Сергей Николаевич, доктор педагогических наук, профессор, профессор кафедры «Алгебра и геометрия» Тольяттинский государственный университет

Аннотация. В статье исследуется проблема подготовки школьников к творческой математической деятельности. Творческая деятельность характеризуется такими признаками, как: способность преобразования явлений, фактов, процессов или их образов путем перенесения некоторого знания, полученного при изучении одного математического объекта, на другой объект, включение изучаемых математических объектов в новые отношения, посредством вносимых изменений в условие или требование задачи, сопоставление каждого объекта с его образом; знание родственных отношений между объектами, замена задачи более общей или частной, из решения которой непосредственно следует получение новых фактов и результатов, рассмотрение предельного случая, новизна результатов деятельности, оригинальность и необычность приемов и средств, применяемых в процессе деятельности. Данная проблема изучается в процессе обучения школьников решению трансцендентных уравнений с параметром. Показано, что если в основу обобщающе-повторительных занятий по алгебре и началам анализа положить метод укрупнения дидактических единиц, разработанный известным российским ученым П.М.Эрдниевым, то можно достичь значительных успехов в усвоении учащимися приемов и методов творческой математической деятельности.

Ключевые слова: творческая математическая деятельность, уравнения с параметрами, математические способности учащихся, творческая активность, логическое и абстрактное мышление, аналогия и сравнение, конкретизация и обобщение, анализ и синтез.

IDU IN THE PREPARATION OF STUDENTS TO CREATIVE MATHEMATICAL ACTIVITIES

© 2016

Dorofeev Sergey Nikolaevich, doctor of pedagogical Sciences, Professor, Professor of the Department "Algebra and geometry" Togliatti State University

Abstract. The article examines the problem of preparation of students to creative mathematical activities. Creative activity is characterized by such features as: the ability of transformation of phenomena, facts, processes, or their images by transferring some of the knowledge gained in the study of one mathematical object to another object, enabling the study of mathematical objects in new relationships through changes in condition or requirement of the task, matching each object with its image; knowledge of relationship between objects, the replacement task more public or private, which directly follows the new facts and results, the consideration of a limiting case, the novelty of the results, the originality and usefulness of techniques and tools used in the process activities. This problem is studied in the process of teaching students the solution of transcendental equations with a parameter. It is shown that if the basis bobsays-repetitive lessons in algebra and beginnings of analysis to put the method of integration of didactic units developed by the famous Russian scientist P. M. Erdniev, it is possible to achieve significant success in assimilation of techniques and methods of creative mathematical activities.

Keywords: creative mathematical activity, equations with parameters, mathematical abilities of students, creativity, logical and abstract thinking, analogy and comparison, concretization and generalization, analysis and synthesis.

Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важными научными и практическими задачами. Современный этап развития школьного математического образования характеризуется усиленным вниманием к подготовке обучающихся к творческой деятельности, и, прежде всего, к развитию у них творческих математических способностей. Как известно, творческая деятельность человека связана с созданием новых духовных и материальных ценностей и имеет общественный характер, формируемый потребностями общества, удовлетворение которых возможно по мере созревания необходимых для этого условий. Творческая математическая деятельность немыслима без проявления определенных личностных качеств, например, волевых усилий, сосредоточенности, внимательности, настойчивости, упорства и т. д. [1]. Решение творческих математических задач, несомненно, должно быть связано с испытанием обучающимися положительных эмоций, таких, как удовольствие, радость, желание и т.д. [2]. Исследования творческой деятельности позволяют выделить ее существенные признаки: преобразование явлений, фактов, процессов или их образов путем перенесения некоторого знания, полученного при изучении одного математического объекта, на другой объект, включение изучаемых математических объектов в новые отношения, посредством вносимых изменений в условие или требование задачи, сопоставление каждого объекта с его образом; знание родственных отношений между объектами, замена задачи более общей или частной, из решения которой непосредственно следует получение новых фактов и результатов, рассмотрение предельного случая, новизна 118

результатов деятельности, оригинальность и необычность приемов и средств, применяемых в процессе деятельности [3].

Анализ последних исследований и публикаций, в которых рассматривались аспекты этой проблемы и на которых обосновывается автор; выделение не разрешенных раньше частей этой проблемы. Решением проблемы повышения качества математических знаний, развития творческих способностей у школьников на основе УДЕ занимается значительная группа ученых П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев и др., учителей школ республики Калмыкия, например, Караваева З.П. (МБОУ «Малодербетовская СОШ №2»), Риняк Н.В. (МБОУ «Лицей №1 п.Львовский), и т. д., магистранты Тольяттинского государственного университета, например, Малахова О.С. [6], повышением качества математических знаний у студентов технических специальностей с применением принципов УДЕ, построенном на основе асимметрии головного мозга, занимается Т. В. Таненкова [7-10]. Отметим, что психологическую базу этого метода могут составлять не только асимметрия мозга, но и такие глубокие психологические процессы как процесс обратной связи, процесс условного рефлекса, матричность логических операций, значительный вклад в развитие которых внесли и физиологи, и психологи, и методисты [11-19].

Формирование целей статьи. Как известно, в школьном курсе «Алгебра и начала анализа» ведущую роль играют трансцендентные уравнения и неравенства. Значительное внимание уравнениям и неравенствам этого вида уделяют в ЕГЭ по математике. Посредством АНИ: педагогика и психология. 2016. Т. 5. № 4

Дорофеев Сергей Николаевич УДЕ В ПОДГОТОВКЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ...

решения этих уравнении в сознании учащихся закрепляются не только знания, связанные со свойствами числовых функций, входящих в состав этих уравнений, но и формируются умения находить оптимальные способы их решения, представления о способах, методах и приемах исследовательской и творческой деятельности, развивается логическое мышление, актуализируется потребность в расширении круга математических знаний. Однако, как показывает практика, в частности результаты ЕГЭ, к выполнению задания, связанного с решением уравнения или неравенства с параметрами, приступает лишь незначительная часть выпускников. Большая часть из них, к сожалению, выражают явную неуверенность в том, что смогут выполнить это задание. Программы по алгебре и началам анализа настолько загружены второстепенным материалом, что учитель при всем своем желании не имеет возможности ознакомить своих учеников хотя бы с некоторыми способами решения уравнений и неравенств с параметрами. Наиболее острой становится проблема поиска форм, методов и средств, обеспечивающих эффективное повышение качества математических знаний в области решения уравнений с параметрами и обусловливающих эффективную подготовку школьников к творческой математической деятельности.

Изложение основного материала исследования с обоснованием полученных научных результатов. На наш взгляд, наиболее удобным вариантом ознакомления учащихся с некоторыми способами решения уравнений и неравенств с параметрами являются обобщающе-повторительные уроки по некоторым конкретным темам курса «Алгебра и начала анализа». В основу организации таких уроков мы предлагаем положить метод УДЕ (укрупнения дидактических единиц), разработанный известным российским ученым П.М.Эрдниевым. Эта методика хорошо известна ученым и учителям, широко используется не только в школах РФ, но и за ее пределами. В начале 80-х годов была рекомендована к внедрению в общеобразовательную школу, а ее автор в конце прошлого века был удостоен премии Президента РФ.

Восприятие жизненных ситуаций, возникающих в деятельности каждого человека, их анализ требуют от субъекта деятельности проявления умения изучать эти ситуации в анализе и сравнении, во взаимосвязи и противоречии. С целью формирования этого умения в учебном процессе от учителя требуется создание на уроках таких необычных ситуаций, атмосфера которых предполагает развитие комплексного типа мышления, способности открывать изучаемые объекты и явления в их новом, незнакомом свете и значении. Метод УДЕ, а точнее система заданий, построенных по методу УДЕ, является одним из эффективных методов реализации поставленной задачи обучения. Обучение, построенное на базе УДЕ, приобретает особое значение, если оно реализуется посредством многокомпонентных упражнений. П.М.Эрдниев описал основные принципы построения многокомпонентных упражнений. Многокомпонентное упражнение, как правило, это система, состоящая из нескольких математических заданий, объединенных в некоторую психологическую целостность, которая обусловливает умственное развитие каждого ученика и способствует формированию у него стремления к само-развитию[12,13] .

Это утверждение имеет глубокий смысл, прежде всего в том, что, обучая школьников математическим понятиям, теоремам и утверждениям, мы не только развиваем у них математические способности, но и самое важное развиваем у них такие психические качества, как устойчивость, любознательность, целеустремленность, настойчивость. Хорошо известно, что математическое упражнение, как средство подготовки к творческой математической деятельности, может включать в себя решение готовой задачи, составление обратной и ее решение, составление аналогичной и ее решение, со-

ставление обобщенной и ее решение, составление конкретизированной и ее решение, составление и решение задач, определяемых утверждениями, эквивалентными требованию данной задачи, составление и решение задач, определяемых утверждениями, эквивалентными некоторым условиям данной задачи[20] .

Посредством многокомпонентных упражнений учитель в ходе учебного процесса с большим потенциалом и большей эффективностью формирует в сознании каждого школьника приемы применения обобщения, аналогии, конкретизации, анализа и синтеза, абстрагирования, сравнения и противопоставления; умения обнаруживать логические связи, единство процессов составления и решения задач, отделять главное от второстепенного.

Мы предлагаем систему учебных заданий, построенных по методу УДЕ, в которых органично соединены темы «Алгебраические и трансцендентные уравнения». Выполнение заданий, построенных по методу УДЕ, направлено не только на развитие интеллектуальных способностей учащихся, но и позволяет учителю активно использовать в процессе обучения приемы умственных действий. Действие процесса выполнения многокомпонентных упражнений на сознание учащихся согласной определенной методике обеспечивает непроизвольное овладение знаниями, искусством проявления творческих способностей, делает само учение трудом, приносящим удовлетворение. Роль многокомпонентных упражнений (заданий, построенных по методу УДЕ) заключается не только в том, чтобы развивать умственные способности обучающихся, но и, самое главное, оснащать восприятие каждым учеником нового математического понятия живостью и интересом, стремлением к познанию этого понятия во взаимосвязи с другими, делать более эффективным повторение материала, создавать условия для эффективной творческой деятельности.

Приведем пример организации обобщающе-повторя-ющего урока по теме «Квадратные уравнения». Мы не будем останавливаться на вводной части урока, а начнем с его основной части, в которой ученикам предлагается система заданий, построенных по принципу УДЕ, следующего вида:

1. Решить уравнение х2 + 6х + 5 = 0.

2. Найти сумму и произведение корней уравнения х2 + 6х + 5 = 0.

3. Найти сумму и произведение корней уравнения 2х2 - 5х + 3 = 0.

4. Определите при каком значении параметра а уравнение

х2 +(а-2)х + а-3 = 0 имеет 1) два положительных; 2) два отрицательных корня; 3) корни разных знаков.

5. Найти точки пересечения параболы у = 5х2+10х + 1 и прямой у = 7х + 3.

6. Составить уравнения прямой и параболы, проходящих через точки ^(0,4;5,8) и А(— 1;-4).

7. Постройте графики функций у = х2+6х и у = 5. По графикам этих функций найдите абсциссы точек их пересечения.

8. Определите при каких значениях параметра р уравнение х2+6х = р имеет 1)два различных корня; 2) один корень; 3) не имеет корней.

Как показывает наш опыт, в процессе выполнения этих заданий в указанном порядке значительная часть школьников самостоятельно или с незначительным внешним воздействием со стороны учителя овладевают началами одного из основных способов решения уравнений с параметром - графическим. В ходе выполнения шестого задания учащиеся закрепляют навыки составления обратной задачи и осваивают приемы открытия новых знаний. Особенность этого задания состоит в том, что оно имеет бесконечно много решений, значит, через две точки можно провести не одну параболу, а бесконечно много, а вот прямых только одну. Обучение решению уравнений с параметрами подобного вида стиму-

Дорофеев Сергей Николаевич

УДЕ В ПОДГОТОВКЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ..

лирует мыслительную деятельность обучающихся, формирует в их сознании стремление и интерес к познанию математических объектов, поскольку у большей части школьников обучение сопровождается положительными эмоциями, порождаемыми успешным преодолением каждого этапа урока. Метод УДЕ в данном примере реализуется не только в процессе укрупнения основной дидактической единицы (построении многокомпонентного упражнения), но и в методике, основанной на одновременном изучении взаимосвязанных понятий и опирающейся на одновременную подачу одного и того же математического объекта разными кодами.

Эффективность графического способа решения уравнений с параметрами ярко проявляется при изучении уравнений третьей степени. Конечно, можно решать с учениками отдельно взятые уравнения с параметрами различного вида сложности, не обязательно связывая их между собой в единую систему, но следует иметь ввиду что в этом случае будет достигнут успех только у совсем незначительной части обучающихся, а вернее лишь только у единиц. Развертывание каждого уравнения с параметром в некоторую систему заданий или многокомпонентное упражнение способствует формированию у учащихся способности к более осознанному и быстрому раскрытию тех внутренних связей, которые заложены в каждом уравнении с параметром. Приведем еще один пример многокомпонентного упражнения, некоторые части которого целесообразно использовать при организации повторения по темам «Показательные уравнения», «Логарифмические уравнения», «Тригонометрические уравнения» и, конечно, на завершающем этапе изучения курса «Алгебра и начала анализа». Мы опишем только основную часть урока.

1. Построить график функции у = 1 х3 _ 5х2 + 9х .

3

левой части данного уравнения. Далее, необходимо акцентировать внимание обучающихся на том факте, что левая часть уравнения представляет собой дробь со знаменателем sin X + cos X. Поэтому необходимо указать,

те значения переменной х при которых эта дробь имеет смысл. Для этого составим и решим неравенство: sin X + cosx ф 0. Получим, что x ф - п + nn n 6 z .

4 '

2. Найти при каких значениях параметра а уравнение

— x3 — 5x2 + 9 x = a 3

имеет а)одно решение; б) два решения; в) три различных решения.

3. Найти при каких значениях параметра а уравнение 1 3 2 имеет решения.

—g x — 5g x + 9tgx = a

4. При каких значениях параметра а уравнение

1 3 2

— sin x — 5sin x + 9sin x = a

Нахождение области определения математического выражения обеспечивает нам поле правовых математических действий, которые мы будем совершать в процессе его преобразования. Поскольку sin x + cos x ф 0, то, умножая обе части данного уравнения на выражение sin x + cos x, мы сведем его к равносильному ему уравнению вида: 2(а +1) cos X - а = 2(sin х + cos х) или, после

раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, к уравнению: 2а cos х - 2 sin x - а = 0. Акцентируя внимание обучающихся на левой части этого уравнения, мы со значительной долей самостоятельности со стороны школьников заключаем, что данное уравнение представляет собой тригонометрическое уравнение первой степени относительно sin x, cos x . Вспоминаем основные

способы решения тригонометрических уравнений подобного рода. В ходе этого процесса те умственные действия, которые будут возникать в сознании учащихся, мы будем активно анализировать, оценивать их положительные и отрицательные стороны. Каждый из предложенных учащимися способов решения уравнения мы отдадим им в качестве домашнего задания. Однако, на уроке целенаправленно будем ориентировать их действия на применение классического способа решения уравнений подобного вида с использованием формул:

22

1- g2

i+g 2

i+g 2

В результате такой подстановки уравнение примет

вид:

где

1 - g 2 g 2

2а--- 4-—

. Заменой tgx = t

а = 0

1 + fg 2

1 < t <«te

i + tg2

приведем

его

к виду:

1) имеет хотя бы одно решение 2) не имеет решений 5. При каких значениях параметра а уравнение

18х _ 5 • 4х + 9 • 2х = а

3

2а

1 - t2 1 + t2

- 4-

1 +12

. - а = 0 или после элементарных

преобразований к уравнению 2а(1 - 3t2) - 4t = 0 .

1) имеет одно решение 2) имеет два решения 3) имеет три решения 4) не имеет решений.

6. При каких значениях параметра а уравнение

в -15-V - 55+ 27 • а - 5 =

1) имеет одно решение 2) имеет два решения 3) имеет три решения 4) не имеет решений

7. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 2(а +1) cos x ~ а = 2 имеет хотя бы

sin х + cos X

одно решение на отрезке

П

—; п 2

Поскольку 1 <t <<fc , то 1 -3t2 ф 0. Значит,

последнее уравнение можно привести к виду

2t

1 - 3t2

Апофеозом данного математического упражнения служит последнее задание. Остановимся более подробно на описании процесса обучения школьников решению уравнения, входящего в состав этого задания. Конечно, начать этот процесс целесообразно с анализа

, для решения которого используем хорошо усвоенный учениками графический способ. В результате совместными усилиями получаем, что

а <= [-2; л/2 - 2) ^ (л/2 - 2; 0) .

Данное многокомпонентное упражнение нацелено на то, чтобы учащиеся в процессе его выполнения могли бы самостоятельно или с незначительной помощью учителя осваивать некоторые приемы творческой деятельности, например, приемы составления задач с параметрами путем видоизменения предложенных или известных им, в том числе и обратных, решать эти задачи, тем самым самостоятельно формировать процесс работы над задачей, вырабатывать навыки самопровер-

3

t

= а

Дорофеев Сергей Николаевич УДЕ В ПОДГОТОВКЕ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ...

ки и самоорганизации с опорой на средства косвенного и перспективного управления поиском решения или составления задачи с параметрами, обнаруживать «новые» ранее им неизвестные факты, на повышение творческого потенциала и на развитие исследовательских умений.

Методическая ценность математических упражнений подобного рода заключается в том, что на их примере мы формируем у учащихся не только умение, как применять усвоенные школьниками знания к исследованию задач с параметрами, но и самое главное расширяем знания обучающихся о фундаментальных составляющих математики, о приемах и методах творческой математической деятельности.

Процесс обобщающе-повторительных занятий, организованных на основе УДЕ, способствует формированию у обучающихся умения выделять существенные стороны исследуемой задачной проблемы; умения переформулировать задачу с целью получения нового более эффективного пути ее решения; умения отождествлять исходные понятия с другими математическими эквивалентами; умения преобразовать интересующие нас стороны исходного явления в строгую формулировку математической задачи; умения переходить от общих утверждений к их частным случаям; обусловливает знакомство с методами проверки соответствия полученных решений исходной задачной ситуации и умения применять эти методы на практике; развивает критичность по отношению к полученным выводам; видение динамики развития задачной ситуации; развивает способность производить разбиение исходной задачи на ее мелкие составляющие; формирует умение проводить сравнение и устанавливать аналогию между задачами и использовать их с целью нахождения рационального решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Дорофеев С.Н. Теория и практика формирования творческой активности будущих учителей математики в педагогическом вузе /Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук / Пенза, 2000.-410 с.

2. Дорофеев С.Н. Личностно ориентированный подход как основа построения индивидуальных траекторий обучения математике //«Мир науки, культуры и образования». Горно-Алтайск.-№2 (39), 2013. С.48-50.

3. Дорофеев С.Н. Индивидуальные траектории обучения как средство реализации личностно ориентированного подхода //Вестник Северо-Арктического федерального университета.Архангельск.-№2, 2013. С.117-121.

4. Дорофеев С.Н. УДЕ как метод подготовки будущих бакалавров педагогического образования к профессиональной деятельности//Гуманитарные науки и образование. МордГПИ им.М.Е.Евсевьева.-№1, 2013. С.14-17.

5. Кочуренко Н.С. Формирование умения конструировать серию задач, подводящих к «самостоятельному открытию» теоремы// Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвузовский сборник научных трудов, посвященный 65-летию заслуженного деятеля науки РФ, доктора физико-математических наук, профессора О.В.Мантурова, под ред. С.Н.Дорофеева.-Пенза: ПГПУ им.В.Г.Белинского ,2001. С.277-280.

6. Малахова О.С., Дорофеев С.Н. УДЕ как технология организации повторительно-обобщающих уроков по математике// Математика и математическое образование: современные тенденции и перспективы развития: Материалы научно-практической конференции, г.Саранск, 27 ноября 2015 г., под ред. С.М.Мумряевой/ Морд.гос.пед.ин-т.-Саранск. С.12-16.

7. Новикова Т.В., Тумашева О.В. Обучение способам организации труда подростков в процессе обучения математики// Межвузовский сборник научных трудов, посвященный 65-летию заслуженного деятеля науки РФ, доктора физико-математических наук, профессора О.В.Мантурова, под ред. С.Н.Дорофеева.-Пенза: ПГПУ им.В.Г.Белинского, 2001. С.320-324.

8. Сикорская Г.А., Воротилова Н.М. Задачи с па-

раметром как средство обучения моделированию// Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики: Межвузовский сборник научных трудов под редакцией С.Н.Дорофеева.-Пенза: ПГТА,2007.С.130-136.

9. Снегурова В.И. Задачи с изменяющимися параметрами как одно из средств обучения решению задач с параметрами// Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвузовский сборник научных трудов, посвященный 65-летию заслуженного деятеля науки РФ, доктора физико-математических наук, профессора О.В.Мантурова, под ред.С.Н.Дорофеева.-Пенза: ПГПУим.В.Г.Белинского,2001. С.277-280.

10. Таненкова Т.В. Психолого-педагогические основы дифференцированного подхода к математическому образованию студентов //Актуальные проблемы математики и методики преподавания математики:Межвузовский сборник научных трудов под редакцией С.Н.Дорофеева.-Пенза: ПГТА,2007.С.139-143.

11. Утеева Р.А. Содержательно-методические особенности подготовки магистров математического образования в России// Science and Educaition a New Dimension, 2015. T.III, №45 (22).- с.14-17.

12. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. - М.: Просвещение, 1960. - 151с.

13. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике М.: Просвещение, 1986.-255 с.

14. Таненкова Т.В. Природосообразные основы дифференциации обучения студентов математике // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2014. № 4. С. 283-286.

15. Кондаурова И.К., Гусева М.А. Место дисциплины «введение в систему математического образования России» в профессиональном становлении педагога-математика // Карельский научный журнал. 2014. № 4. С. 62-65.

16. Аниськин В.Н., Куликова Е.В. Обобщенные приемы решения геометрических задач как обязательная составляющая учебных умений будущих учителей математики // Самарский научный вестник. 2012. № 1 (1). С. 27-30.

17. Кондаурова И.К., Захарова Т.Г., Гусева М.А. Региональный опыт подготовки и профессионального становления будущих педагогов-математиков в условиях модернизации среднего и высшего математического образования // Балтийский гуманитарный журнал.

2014. № 4. С. 81-84.

18. Зайниев Р.М. Преемственность в математическом образовании и математической подготовке учителя математики // Самарский научный вестник. 2014. № 4 (9). С. 51-54.

19. Кондаурова И.К. Перспективы организации профессиональной подготовки будущих учителей // Азимут научных исследований: экономика и управление.

2015. № 3 (12). С. 25-27

20. Лодатко Е.А. Философия обучения математике как смысловая составляющая современного образовательного пространства// Вектор науки ТГУ: Серия: Педагогика, психология. 2015. №1. С.107-111.