Краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся дифференциальных уравнений дробного порядка с нелокальным линейным источником и разностные методы их численной реализации

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 2 (2019). С. 36-55.

УДК 519.63

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ И НЕВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ И РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ИХ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

М.Х. БЕШТОКОВ

Аннотация. В настоящей работе в прямоугольнике исследуются нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка с нелокальным линейным источником, выступающих в качестве математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией. Кроме декартова случая, в работе рассматриваются одномерные случаи с цилиндрической и сферической симметрией. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположений достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью 0(h2 + г2). Библ. 31.

Ключевые слова: краевые задачи, априорная оценка, уравнение влагопереноса, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная производная Герасимова-Капуто /

Mathematics Subject Classification: 65N06; 65N12

Введение

Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях. Теория нелокальных краевых задач важна сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными, как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах.

Дифференциальные уравнения, содержащие дробные производные как по времени, так и по пространственным переменным, в настоящее время стали привлекать внимание математиков, физиков в связи с использованием таких уравнений в качестве математических моделей различных процессов [1] [9].

М.КН. Beshtokov, Boundary value problems for degenerate and degenerate fractional

order differential equations with non-local linear source and difference methods for their numerical implementation.

©Бештоков М.Х. 2019. Поступила 29 мая 2018 г.

Исследованию разнообразных локальных и нелокальных начально-краевых задач для дифференциальных уравнений типа Соболева и его подкласса псевдопараболических уравнений посвящено большое количество работ [10] [19].

В [20]-[25] методом конечных разностей исследуются различные краевые задачи для дифференциальных уравнений соболевского типа с переменными коэффициентами,

В настоящей работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений типа Соболева с дробной по времени производной в смысле Гераспмова-Капуто с нелокальным линейным источником. Кроме декартова случая, в работе рассматриваются одномерные случаи с цилиндрической и сферической симметрией,

1. Постановка краевой задачи для псевдопараболического уравнения

с нелокальным линейным источником.

В замкнутом цилиндре = {(ж,£) : 0 < х < I, 0 < Ь < Т} рассмотрим следующую краевую задачу

^ = ^ {к(х,1)+ Ж;{П(Х)+ Г(Х,1)^ - I У(8,1)и(8,1)^ + f(x,t),

0 <х<1, 0 < Т,

П

—п

и

0 < со < к

= Г(1-а) I — Дробная производная в смысле Герасимова-Капуто порядка а,

( а о (

0 < а < 1, [26], [27], П(х,Ь) = ких + дгц(х)их), = 0,1, 2— положительные постоянные числа, д^и = О^и — ^, О^и = Г(1-а) ^ / (— др°бная производная в смысле

Рнмана-Лнувилля порядка а.

В дальнейшем будем предполагать, что задача (1.1) (1.1) имеет единственное решение, обладающее нужными по ходу изложения производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости, обеспечивающей нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

По ходу изложения будем также использовать положительные постоянные числа Мг, г = 1, 2,..., зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи,

2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

Для получения априорной оценки решения задачи (1.1)—(1.4) в дифференциальной фор-

где

ме введем скалярное произведение и норму в следующем виде:

аиах, \а,а\ = ци|'2

о

Умножим уравнение (1.1) екалярно на и = и + д^и-.

= abdx, = ||а||2, где а,Ь — заданные на [0,1] функции.

д«и, и) = ({ких)х, и) + (д^{Щх)х, и) + {тих, и) — Ц дийз, и) + и). (2.1) Справедлива следующая [28]

Лемма 1. Для любой абсолютно непрерывной на [0,Т] функции v(t) справедливо неравенство

1

v(t)d«v(t) d&{v2(t)), 0 < а < 1.

2

Преобразуем слагаемые, входящие в тождество (2.1), пользуясь неравенством Коши с е [см, [29], стр. 100] и леммой 1:

(d«tu,U) = (д«и,и + д&и) = (1,ид«и) + (l, (d«tu)2) > 1 д&\\и\\0 + R>||0, ([kux)x,U^j = (jkux)x,u + = Ukux ^ - (kux,ux + d^u^ =

= Uku7

-

Ud0t

i 1

V(x)dot(ux?dx - со\\дыих\\0.

(rux,u) = (rux,u + <90>) = (rux ,u) + ^„dûu^ С е\\д&и\\2 + H 0 + \K\\0). (2.5) -(J Quds,U^ = -(J Quds,u + dQtu^ = - ^J quds,uj - ^ J quds,dfît^ С

l r S

с ««Il2 + 2N0 + MH 1,

quds

с m:

3 . j u2dsdx + 2+

00

+ôNI0 С eR>||0 + MeM\0

(f,u) = (f,u + a&u) = (f,u) + (f,a&u) с e№||0 + мш\\0 + и

Учитывая преобразования (2.2)-(2.7), из (2,1) находим

1 1 il

1№110 + №112 + сьК\\2 + 1Jo (к + v(x))d^t(ux)2dx + С0\\д«их\\20 с

с

UU(x,t) | + eR>|| 2 + Ml(\И 2 + \K\\0) + M:

ад \\2.

1

Выбирая e = —, из (2,8) находим

1

ri

1 №110 + 2№110 + *K\\2 + 1J (к + v(x))dzt(ux)2dx + «,№*\\0 С

+

^ ищх,г)| о + м8(и0 + |К||0) + м9щц2.

Оценим первое слагаемое в правой части (2,9), тогда получим

и

+ (и(0,г) + и(0,^ (^л(ь) - рпи(0,г) - ри^д^мо,¿)) = »2&)и(1,ь)+ +^)д&и(1,г) -р21(г)и2(1,г) - р21$)и(1,г)д&и(1,г) -р22&)и(1,г)д&и(1,г)--Ы)(д«и(1,^)2 + г) + »1&)д&и(о,г) - /зп(г)и2(о,г)-

0

0

s

2

—13пи(0,г)д&и(0,г) — р12(г)и(0,г)д™и(0,^ — /з^д&иф,^

^ мю(£ + $) + ^(«г,г))2 + 62^(0,г))2 + мц(||и\\2 + |М2) —

/ \ 2 1 / \2 1 —№Щи(1, г)) — и2(1, г) — ыгЩиф, г)) — ¿ЫЪ^ф, г) ^

< — ^ (ЪФ, о)2 — ^ , $)2 — г) — Мр-ъ*2« , *)+

+мЦ м 2 + |КН2) + м^

Учитывая (2,10), из (2,9) находим

№110 + [1 (к + ч(х))д0Ь(их)2<1х + ЦихГо + 0 + ЦдогПхШ ^

^МиЦи\\^ + М15

где ||м112ш1(о,1) = N10 + ЬхТо.

—а ог 5

Применяя к обеим частям неравенства (2,11) оператор дробного интегрирования Д получаем

N1 Ш1(0,1) + о——г(|КН2 + ЦдоМ\2 + ||5М2) ^ Мыв—ам2щт+

+М16

Для оценки первого слагаемого в правой части воспользуемся леммой [28],

ряет для, почти всех £ из [О, Т] неравенству

д&у(I) < ау(1) + С2(1), 0 <а < 1, где с\_ > 0, с2(Ь) — суммируемвя на [0,Т] неотрицательная, функция. Тогда,

< у(0)Еа( а1а) + Т(а)Еа,а (а Г) с*,

те те

хп ттг /„Л __ХП

где Еа(г) = ^ Г(аП+1), Еа^(г) = ^ Г(аП+^ — Функции Миттаг-Леффлера.

п=0 п=0

На основании леммы 2 оценим первое слагаемое в правой части (2,12), Пусть у(^ = 11 и 112Wl(оyl), д&у (г) = 11 и 11тогда получим

ВДМ1 ^0,1) ^ Ми (О—22а(Н Ш2о + №)+£+ ЦиоШ2^)). (2.13) Справедлива следующая

Лемма 3. Для, любой неотрицательной интегрируемой на [0,Т] функции, д(Ь) справедливо неравенство

о—2ад

т 2

Доказательство. Преобразуем дробный интеграл, стоящий в левой части

д = /V - Г 1 д

Г2

Интегрируя (2,15) по частям, пользуясь формулой В (а, а) = ——-, после несложных

Г

преобразований из (2,15) получим (2,14)), В (2,14)) покажем, что

аГ2(а) > Г(2а), Уа е (0,1).

или

2

Для этого рассмотрим неравенство 2а < 2. Неравенство справедливо для всех а е (-1,1). Тогда из (2,16) находим

Докажем методом математической индукции справедливость

Действительно, при а = 0 верно (2,18), Допустим, что (2,18) выполняется для всех а = п. Докажем теперь, что (2.18) выполняется при всех а = п +1, тогда получим

(2п + 2)\ = 2п\(2п +1)(2п + 2) ^ 2п (п\)2(2п + 1)(2п + 2) ^ ^ 2п22п(п\)22(п + 1)2.

Из последнего находим

2п + 1 ^ 22п

Повторяя рассуждения, методом математической индукции доказывается справедливость (2.20). " "

С помощью леммы 3 из (2.12) с учетом (2.13),(2.14) находим искомую априорную оцен-

ку

I I «IIЩ1т + 0-а(\\их11 0 + I I ад0 + 11 ад11 0) ^

^ м\ ^7

где М- положительное постоянное, зависящее только от входных данных (1.1)—(1.4),

= р(а) I - ДР0бньш интеграл Римана-Лиувилля порядка а, 0 < а < 1.

0 ( т'

Теорема 1. Если к(х^) е С1,0^т), 'ц(х) е С1[0,1], г(х,Ь),д(х,1), /(х,Ь) е С(Ят), и(х,Ь) е С2'0 (Ят) П С1'0 (^т), д^и(х,1) е С((^т) и выполнены условия (1.5), тогда, для, решения задачи (1.1)-(1.4) справедлива, априорная, оценка (2.21).

Из априорной оценки (2.21) следуют единственность и устойчивость решения по начальным и правой части в смысле нормы

I I «и 2 = I I «и ^1(0'0+я-в(и «х 11 0 +1 I ад 0 +11 ад 11 0).

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

Для решения задачи (1.1)—(1.4) применим метод конечных разностей. Построим монотонную схему второго порядка точности, содержащие производные, учитывающие знак г(х, {). Для этого рассмотрим вместо уравнения (1.1) следующее уравнение с возмущенными коэффициентами [28]

д^и = к(ких)х + ды(г]их)х + rux - q(s, t)u(s, t)ds + f(x, t),

Jo

где к = , R = — разностное число Рейнольдса.

На равномерной сетке ш^т дифференциальной задаче (1.1)—(1.4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации О (к2 + т2) :

= к'^) + A^^y,) + ЬГ^уЫ + b+jai+1 ^ - £d№ К + Pi,

Х Х s=0

Koaiу{ха0 + A^.+a (Ъyxfi) = рпу0а) + Q.25h2dOy0a) + ¡3^+,,yo -fa, te uT,

N

- (кмаму{°1 + A^.+a (jNyx,N ^ = P21 y{N + 05hYl d^K + ~p22A%t]+a yN - fa

И

s=0

где

y(x, 0) = uo(x), x Euh

Pi2 = Pi2 + 0.5h, fa(tj+a) = Vi(tj+*) + 0.5hp0, ¡322 = ¡22( tj+a) + 0.5h, fa(t j+a) = tj+a) + 0.5hp3N,

k

k

И

ay3+ + (1 -a) y3, d{ = d(x^, tj+a), at

a

A—a

i(a'a) = (l + a)i-a - (I - 1 + aY-a, l> 1, a = 1 - a,

(a,a) _

2-a

2 a

= 0,

1

2

o

i a

a,

(a, a) _ 0 ;

,0 + ЬГи), s = 0, при j > 0, c^ = { a0r,a) + b^ - b(sx,a), 1 <S<J- 1,

(a,a) 7 (a,a) aj by , S = J,

1 - a

,u) >

¿a,a) > 1-- (s + a)-a > 0,

1,

Aa+' У = rv9-Q\ У% ~ дискретный аналог дробной производной Герасимова-Капуто

j + a Г(2 a) ^ J "

s=0

порядка a, 0 < a < 1 [30].

Введем скалярные произведения и норму:

N

>V]

i=0

N

(u,v] = ^^UiVih, [и, и] = [1,и2] = |[u]|

i=i

г 1 ^ ^ i0.5h, i = 0,N,

[U,V\ = 2_^игЬгй, К =< ^

i = 0, N.

X

J

а

1

Перепишем (3.2)-(3.5) в операторной форме

А«ь+а у = Л(г+ )у(а) + 5У + ф, у(х, 0) = щ(х), X € шн,

где

Л у,

к(ау^)х + Ъ-ау^) + Ъ+а^уР - Е

«=о

Л(г+ )у(а) ч А-у0а) = коа1УХ0 - Риу0а) - ОЖкЧОуО?^, г = 0,

/ м \

Л+Ум) = 2 ( - кмамуХ^м - р21Ум] - (%у{а)н), г

4 в=0 /

$Уг = Ат+а (ЪУx)х, г =1- 1 5у = { Ь-Уо = 2 (11Ух,о) - РиА«^Уо) , г = 0,

й+ум = |( - Ат3+а (1мУх,м) - Ум^, г

Ф

<р = <^г, г = 1, N - 1, Ч>~ = 2 (М^+а) + 0.Ыир>о) , г = 0, <Р+ = 1{^2(13+а) + 0.Ыг^м) , г = N.

Умножим теперь (3,6) екалярно на у = у(а + А^. у

к =

Ко =

км

1

1+

1+ 0.5^|го1 + ^0.5 1

1+

0.5

Го < 0

Гм > 0.

А°ь+„ У,У = 'л(г +) у(а\у + $У, У + Ф,у

, ь , Ь , Ь ,

Справедлива следующая [30]

Лемма 4. Для, любой функции у(Ь), заданной на сетке шТ, справедливо неравенство:

2

1

У(а)Аа0Ь+ау > ^^(у2).

Оценим суммы, входящие в (3,8), с учетом леммы 4:

А

оц+аУ, У

А«ь+„ у,у(а) +А.

У

А

оц+аУ, У

+

^

>

> - А« 2

Л(1+ )у(а),у

а) Т,

ШЮ + I [Ао^+г У%. у)+0.ЬНуоЛ-у{о) + 0.5кум Л+у^ = (к(ауХ))х,у) +

+ (ь-ауФ,у) + (кь+а^+1)уха),у) - ( £¿{у^П.у) + уоКоац^ -

в=о

Уо

м

в=о

-Км ам у(ха)м Ум - 0.25Н2$оУоа')уо - Р21 У^Ум - 0.Ъкйм Ум^2 сРау{а)Н. Преобразуем слагаемые в правой части (3,10):

-

-(, К«У + к(-1)У. -(ау{<\ К<гА°ь+„ У

Умк м^мУх,м - Уокоа1 ух о

умкмамух м - Уокоа.1 ух о

(

а Ух \ кх У( '

(

ау{<а\ к(-1)Ао

У х

<

^ Умхмаму^ — уохосчу™ + е\[А^у]\0 + Мг

/ Со

ак,

1

1 + к М2

2(1 + к М2 )\К, ^

^ - И И ,

^ умКмамух м — УоКоа.1 ух0 +

У]\2о + \[УИ]\0 + ||Л0) — МзЦУхГ)]\20 — МА I'2

14А01+а ||'Ух]\0

Ь-ау!?\у) + (Ь+а<+« ух\у\ =

+

= (ъ-ау^, уЫ) + (ъ-ау™, А^у) + (ъ+а™у^, у(°\

+

м

— ( V ¿{у^К, у) — 0.25к2соуМУо — 0.5ЫмУм Е ^у^К — Риу™уо — 021 у^ум =

\ / j ^г/в

«=0

«=0

[Е ¿{У^К у&

«=0

г

[ Е АоЬ+ау] — Му0а))2 — РпуР^Уо—

в=0

—)2 — Р21У0а)Ааоь+а ум ^ у]\20 + М11

о\о ~ 1У±6 2 / \ 2

1,

в=0

2

^ ,0 +

2

+

+М^3\[у(ст)]\2 + ^(а-^уо) + Ум) ^ е1\[А&+ау]\0+

+М^3 \ [у(-)] \0 + ^ (А^уо)2 + в з (А" ^ ум )2

8 НУ \\0

Учитывая преобразования (3.11)—(3.13), из (3.10) получим

2

Л^у^^ ^ б1\[А^+а у]\1 + б2[ А^+а уо) + А«ь+а ум) +

2

+\[у +1| у^]\о) — МзН уМ]\о — м4А:

4АМ5+а ||Ух]\1.

, У

У

+ 0.5к5 уоуо + 0.5Ы+Ум Ум = (ЪУх)х, у) +

+УоАщ+а (1%Ух,о) — Уор12Ат+аУо — УмАт+а (1мУх,м) — умр22Ат+аУм

ъ]+<?

— I А"

1 Ао*+

— I А"

1 Ао*+

—(322 У^А^+с Ум — Р22А+ ум )2 ^ — у А;

(ЪУх),Ух — р12УоАъЬ+а Уо — Умр22АъЬ+а Ум = ЫуР), у^ — (ъ, Ух)2 — Р^А», Уо — /112 (а&,+„ Уо у

с0а " 11 П10 — соНАй^уЖ—

Ч + а

2

3+&

у0 — ут А&+. У2м — ^

12

Ф, у = ((р,у) + 0.5ку0 + 0.5кр+ум = (р,у) + Уо(^1 + 0.5к<р0) + +Ум(^2 + 0.5крм) = (р, у) + Уо 1^1 + 0.5кр0Уо + Ум№ + 0.5крмУм =

Р, У

+ 1^1 Уо + №Ум =

^У

+

Р, Аои+„У

2

+

+1| У^ ]\2

+1ИУ(а) + ^АаШ]+аУо + V2у{м) + Ум ^ 81 \ [А«ь+ау]\0 + е^А«ь+ау0) +

+ез (А" ^ ум) 2 + М^ез + 1Щ + Мь

Принимая во внимание преобразования (3.9)—(3.16), из (3.8) находим

Ш12 + |[Ай,+„ У]|2 + М12А«ь+а\\у<]\о + Со\ \А«ь+а у^о + М3\\ уМ]12+

+^т Уо +12 У2м + УоУ + Ь 2(а^+„ Ум У ^

^ у]Ц + ^(а«^Уо)2 + ез(А«ь+аУм)%-

+МГ2,Е3

Выбирая £1 = 1, £2 = , £3 = из (3.17) получаем

1М1^

гДе Ш12\У21(О,1 ) = И + \\Ух]|2. Перепишем (3.18) в другой форме

ЬМщт < Ма71У+1]1^1) + Маш 1У]?щт + М^МЮ + £ + ¿2),

Справедлива следующая

Лемма 5. Пусть {рэ}- последовательность, удовлетворяющая следующим услови-

ям:

—1—аг1 _ т 1 _

з=1

ро = 1, а1-аР] = ^(с«-а1 - с0,а)рз> 1,

тогда

0<< 1, я-*= °1-а, 1 з,

где а1-а = ^^ ((1 + а)2-а - а2-а) - 1((1 + а)1-а - а1-а).

Доказательство. Следуя [31] докажем равенство (3.20). Тогда, учитывая, что с3 < с3-1 для ^ > 1, получаем

£Р-с«,а < с«-а1,

=1 =1

где

Т.Р- с«-1 = Е Р>-{с«,а,

*=1 *=о

Из (3.21), (3.22) находим

^Рэ-з = роСо = а1-а,

в=3

а1-а, э = 0,

где ~сг1-а 1 (, ч„ „ \ 1,, ,1_а ,

" • 1/1, \2-а 2—а\_1(1 | 1 а _ /у

((1 + а)2-а - а2-а) - ^ (1 + а)1-а - а1-а), 3 > 1,

2 -а\у ) 2

э э

<^2Рэ-*са,а = Росо = ё1-а.

*=1 *=о

Учитывая (3,23), (3,24), получаем

Са-а1 = а1-а, ^р-Са,а <а1-а, ^р-(Са-а1 - ) < а1-а,

*=1 *=1 *=1

]Тр-са,а <£Рэ-*са,а + РэСо, РэСо > 0, Со = а1-а.

*=1 *=1

Из (3,22) находим

э

°оРэ = 52( °а-а1- с°,а )рэ-*

з=1

Из (3,24), (3,25) получаем

0 < рэсо < а1-а, 0 < рэ < 1. Пусть 8 = I + к - 1, тогда с учетом (3,23) получим

э З-к+1

\ л а,а \ л а,а —1—а

Сз-к = Рэ-к+1-1 С1-1 =а , 1 <к < 3.

з=к 1=1

Лемма доказана,

Справедливы следующие

Лемма 6. Пусть выполнено (3.20), тогда для т = 1, 2,.... получим

Г

Г

Лемма 6 доказывается аналогично лемме 3,2 [31], Лемма 7. Пусть " = (1,1,..., 1)Т € Яэ и

'0 Р1 ... Рэ-2 Рэ-1 0 0 ... рэ-з Рэ-2

3 = 2аа-1 Г(2 - а)\т°

0 0 ... 0 р1 0 0 ... 0 0

и выполнено (3.26), тогда получим

Г = 0, г >

3т" < ^^--((2М'°)т, (2Ма_ ,)т,..., (2М'°)т)Т, т = 0,1, 2,...

Г(1 + та) \ э э /

г э-1 Т

^38" = " < (Еа(2Щ),Еа(2Ма-1),...,Еа(2Ма)) , г> 3.

*=о 8=о

Лемма 7 доказывается аналогично лемме 3,3 [31],

Лемма 8. Предположим, что неотрицательные последовательности, у^, ] = 0,1, 2, удовлетворяют неравенству

Ааоь+„ у3 у3+1 + \2У3 + р, 3> 1 где Л1 > 0, Л2 > 0 — константы, тогда, существует такое т0, что есл,и г ^ т0, то

у3+1 ^ 2(у° + + ) шахУ')Еа(2Л%), 1 ^ 3 ^ Зо, V 1(1 + а) о^з'^з / 3

те Л2

где Еа(г) = ^ ----—- — функция Миттаг-Леффлера, Л = Л1 + -———

к=0 1(1 + ка) 2 + 21 с

Лемма 8 доказывается на основании лемм 4-6 аналогично лемме 3,1 [31] На основании леммы 8 из (3,18) получаем

\[уз+1]\щ1т ^\[Уо]\2Щ1тот*х

где М — положительная постоянная, не зависящая от к и т.

о

т ^ т0, то для, решения разностной задачи, (3.2)-(3.5) справедлива, априорная, оценка (3.27).

Из априорной оценки (3,27) следуют единственность и устойчивость решения задачи (3,2)-(3,5) по начальным данным и правой части.

Пусть и(х, Ь) - решение задачи (1.1)—(1.4), у(хг, ) = у\ - решение разностной задачи (3,2)-(3,5), Для оценки точности разностной схемы (3,2)-(3,5) рассмотрим разность = у1 — и1; гДе и1 = и(хг, tj) Тогда, подставляя у = х + и в соотношения (3.2)—(3.5),

г

А^ = ^

х х в=0

коа1 + Ащ+а

м

—

{=о

г

где Ф = О{кг2+т2^, й1 = О{кг2+т2), й2 = О{кг2+т2) — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1.1)—(1.4) разностной схемой (3,2)-(3,5) в классе решении и = и(х, Ь) задачи (1.1)—(1.4).

Применяя априорную оценку (3.27) к решению задачи (3.28)—(3.31), получаем неравенство

к*^1 <м ^

где М — положительная постоянная, не зависящая от к и т.

Из априорной оценки (3.32) следует сходимость решения разностной задачи (3,2)-(3,5) к решению дифференциальной задачи (1.1)—(1.4) в смысле нормы \[^+1]\^ ^^ на каждом слое так, что существует такое т0, что при т ^ т0 справедлива оценка

\[УШ — п3+1]\2Щт ^М(к2 + г2).

д ( ди\ д ( ди\ ди /

д°ьи = дх Vк(Х}г)а.х) + д°ьдх(Г](х)эх) + г(х,г)а.х у0 д(Х}г)и(Х}^ +

Следствие 1. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда уравнение (1.1) имеет вид:

д Л , ,диЛ пп д ( . .ди\ г1

)— I + да.-I п(х)— I ,

ио

о <х<1, о <г <т,

если, потребовать выполнения условия |д| ^ с2.

4. Постановка краевой задачи для вырождающегося

псевдопараболического уравнения с нелокальным линейным

источником

В замкнутом цилиндре QT = {(х, Ь) : 0 < х < I, 0 < £ < Т} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу

даи = х^ I Иё) + 1х (х^'(х) дх) + гдх- [«(°  м  ^+¡(х'1)-

0 <х<1, 0 < ¿<Т,

Иш хтП

-п

и

где 0 < т < 2.

При х = 0 ставится условие ограниченное!и решения |и

5. Априорная оценка в дифференциальной форме

Получим априорную оценку методом энергетических неравенств, для этого умножим уравнение (4,1) екалярно на хти = хт(и + д^и) :

(д&щхти) = {[хтЫх)х,и) + (д«{хтг]их)х,и) +

+

о

Принимая во внимание преобразования (2,2)-(2,7), из (5,1) после несложных преобразований находим

11 Г1 1

-дт\\х + (к + ф))д«(х 2их)Чх + со\\х %их\\1 + - № г^и\\1+

+Со\\даых2их\0 ^ хтип(х, 1)10 + хТи\\0 + \\хтих\\0) + М8\\х\\о. (5.2) Оценим первое слагаемое в правой части (5,2), тогда имеем

хти п(х, г) |0 = г(и(1, г) + д&и(1, г)) п(1, г) =

= Iт

= Iти(1, г)ц(г) + Гц(г)д&и(1, г) - Ги2(I, г)^) - гр1(ь)и(1, г)д&и(1, *)--Iт/з2(г)и(1, г)д«и(1, *) - г/з2(Ши(1, ^)2 ^ -т&Ш

Iт& (^

да „,2п 4-\ I 1 +\\2 I Л/Т I И™2?^!|2

-д*и2(1, *)+ и(1, г))2 + М9(\\х 2 и|| 2+

2

+||s^их\\2) + Mwfa(t) < - ,t))2 - ^f^d^ii,t)+

+Mg

Учитывая (5,3), из (5,2) находим

доЛ*fUI0 + i (к + ф))д&(х^ux)2dx + \\хтих\Ц + \\д«хти||0+ Jo

+ \\тих\Ю < Mn\\х-u||^ + M12^|х\\0 + to

—а 0t ,

где \ \ х 2 u||2wim) = \\хти\\0 + \\х2их\\2.

Применяя к обеим частям неравенства (5,4) оператор дробного интегрирования Д находим

\ \ х-uI w2im + д-а

На основании леммы 2 из (5,5) получаем искомую априорную оценку

\ \ хт и\2wim+д-*(\\х fux\ю + \\дах-и\\2 + \\дах-их\ю) ^

'(д-?(\\х \\20 + l4(t)) + \\х-и0(х)\\2WH0^

^ Щ И-ГИ\хТ/112 + ^)) + \1*Тщ

где М — положительная постоянная, зависящая только от входных данных задачи (4.1)-г

(4,4), 0—аи = гГ) I {г-т)1 . лробньпыж ич рал Рн.мана-- 1нуг,н. ыя порядка а, 0 < а < 1.

Теорема 3. Если к(х,Ь) е С1,0(((т), г](х) Е С1[0,I], г(х, Ь), д(х, Ь), ¡(х, г) Е С(((т), и(х, Ь) Е С2'°((т) ПС1,0((Т), дГи(х, Ь) Е С(((т) и вы/полнены, условия (1.5), тогда для решения задачи (4-1)~(4-4) справедлива априорная, оценка (5.6).

Из априорной оценки (5,6) следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части в смысле нормы

i i х Ти|| 2 = \\х Ти|| ^ + ДоТ(|| х Тиж\\2 + \\дГх Ти|| 2 + i\дГх Тих\\2).

6. Устойчивость и сходимость разностной схемы

На равномерной сетке ш^т дифференциальной задаче (4.1)-(4.4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации 0(Н2 + т2) :

-1 7 _^

= х + — (хГ_0.5ЪУ,,г)Х + ^ (х^'Й) +

{хГ+0.5а1+1 Ух,1) — а"*У*'п + Щ

«=0

+ ^

х А \ ' г.

1 5=0

K0aiу{;0 + да^

N

-хмаму^ - A<at]+„

у

где

З1 = кр1 ), ¡32 = Кр2 + 0.5к, ¡11 1

0.5к

ко =

0.5Цго1 (т+1)к1+°

1+

если г0+а ^ 0,

т

Хм =

(р0, ¡2 = Х^з+а) + 0.5к^м,

1

, если г3]+а > 0

1+

кМ-0.5

г = г+ + г , |г| = г+ -г , г+ = 0.5^т + |г|^ > 0, г = 0.5^т - |г|^ ^ 0,

к(хг-0.5, &+а), 7г = Г](х^0.5), Ь,

Л

!

— £]+а

г ,

ХгЦ Л+а, г = 0,М,

1=1 +

хг

1 = 1,N - 1,

,

0.5кт

-'г

- ±3+а

и+а :

^г

{

— ]+а ХгЩ ,

- 1,

д]+а, г = 0^,

К

1

\0.5h, г = [к, г = Т,

0,

1

0.5Нт I

Х; =

1N - 1, 1

1 + Пг :

Х;

т(т - 1)к

24 х2

И

0Щ Г^Хг кг-0.5

Найдем априорную оценку методом энергетических неравенств, для этого перепишем (6,1)-(6,4) в операторном виде

ХА«+аУ = Л(I ]+а )у(а) + 6у + *,

У (х, 0) = щ(х),

где

х =

I

хг, х Е Шн,

1, х = 0, ,

ХА

т(т - 1)к

24 х2

5уг = Ам,+(Т (хт- 0.5 7гУх,г )х, (х, $ Е

1 д а (г-т

х™ АЩ+*

Ху={ Ь-У0 = (71 Ух,о), х = 0

Аа

н

л(г]+а) уа =

Ум = -н (Ааь+а (7мУх,м) + Х32Ащ+аУм) , х = I. А( ) у\ ) = —т(ухТ-0.5^Ух})^ + ^-т{хТ-0.5 ^ +

+ х™ \хт-0.5а{+1 Ух Л - ¿ ^Ув

г У ' з=0

Л-у0а) = Ш(х0а1 у{:0 - 0Ы^) , х = 0,

/ м \

к+У™ = -Н (кмамУ(ха)м + 31 уМ + 0.5к £ ¿{у^К) = I.

= <£г, (х, 1) Е ШНт,

V- = Ш1!^ х = 0, ч>+ = ооk^12, х = I.

Умножим теперь (6,5) екалярно на хту = хту+ хтА.аг.+(ту :

( ХАа0Ь+„ у,хту

)

]+а )У {а),хт у

+

хт Х

+ Ф,хту

где

2 ^ 2 \0.5h, г = 0^

(и, V\ = у ил^гК, и| 0 = > и. К, К = < V > \ г г 1 ^ ^ \к,г = 0,К

г=1 г=1

(ХАа

К у,хту

=

ХАа^ у,хту

+ (ХАаог^ У,хтАа]+аУ

>

з

а

Х -а ^ ' ' ™ 4 2-1

> , (х - у)2 +(-Х, (А«^ (х Ъ

а),хту

а) хтТ!

+

у) +0.5кЛ+у^хтум = (х(х™0.5 агуХа))х,у) +

г

+ (ъ-(хт-0.5а]ух)),у) + (ь+(хт+0.5а]+1 У^), у) - ( £ ^у^К^ту) -

=0

м

-хтУм(уХмаму^м + 31 Ум) + 01)к £ ^1у¥)к) = -(хт-0.5агУ{°\ (ху)- +

в=0

г

{ь-(Хтагух^)),у) + (ь+хт+0.5а{+1, у^Х) - ( ^^у^К,хту) - ^уР Ум -

«=0

м

х

тт

хм - хм IУмХмамУ(х1 - хт5х0а1 Уха0У0.

ьм0.5кУм У]

Преобразуем слагаемые в правой части (6,9):

- (хт-0.5агУ(ха), (ХУ)х = -{хт-0.5агУ(ха), ХхУ + х(-1)У.

- (хтаух-А&^у

-

т

х а ух , х( ) ух

хтау{х\ х(-1)Ааь+аУ-х

<

< е\\А&+.х2уШ + М{(\\х2у(а)]|0 + \\х2

1

1 + к М2

хтая, (у^)2

1

хтах, А^у2, ^ еЦАЬ+.х2у]120+

13 + &

2

+М!

(б- (Хта]у^)),^ + (ъ+хт+0.5а(+1), у^Х) = (ъ-Хтаух\ у(а)) + + (Ъ-Хтаух\ Аа^у) + (ь+хт+0.5а(+1)у™, У(а)) + (ь+хт+0^У(х), А*,+ау) ^

^ е\\Ай,+„х2 уШ + М!

г м г

( £ ^у^К, хту) - З^аУм - хт0.5кХм £ ¿1у(3а)К = - ( £ ^у^К, хтХ

в=0

=0

в=0

ЬхтуЧрХм ^ -(£ <рвУ(а)п,хтУ(а)] -(у *1у(а)К,хтАа^у\ -¡1хт(У(м])2 =0

=0

З^ту^Аа^ Ум < е^Аа^х2 У]ю+^(а^ Ум) +

+Мб^ (\\х2у(а)]10 + \\Х2уЩ.

Учитывая (6,9)-(6,12), из (6,9) получим

а),хту

< е1\\А&^х2у]Ц + ЦА^ум) +

( а) 2

+М.7

(бу,хтХ] = (бу, ухт) +0.5кхтУм5+Ум = (Ааь+а (Хст7у-)х,у) +

2

+0.5Нх^ум8+ум = — (А^з+сгхт7Ух,Ух + х^ъм ум А&з+а ух,м— —хг^умЪмА°ь+аух,м — УмА°ь+аум — х^ъХоАщ+а (щух,о).

Преобразуем слагаемые в правой части (6,14):

И

— (А^+сХт1У„ АГ+су.

Ч + с

<

0

^ — ^Ащ+с \\х^уЖ — Со\\ А^+сХтуЖ

З + с

—к^ Ум АГ+с ум = —5*02 хКУ^А^+с Ум — %02х%{ А&+. Ум) Учитывая (6,15) и (6,16), из (6,14) получим

,

хт у

Со 2

< —-А&.. \\хТуЖ — со!\Ааои+ахТуЖо — хм )умА* Ыу,,м) —

Ю ~о1|-о1з + с

2

—х™5уоАТь+с

+ с 2

Ф ,хту\ = (р,хту) + 0.5Ъ,х™умР = [р,хту) +х^112ум =

= (р,хту^ + (р,хтА^+су) +х^Ум ^ 61 ЦАГ+хТу]Ц+

+М11 (|| х Т у^Х + \\х Т у™ ]|2) + М!1 \\х ТИ12 + х^2 Ум. Принимая во внимание преобразования (6.8)—(6.18), из (6,7) получаем

,(х Т у)2} + МюА-з+с \\х Т У,]Ц + М3\\х Т уЫ]12+

К АГ

2 ' °З+ с '

+ (К, (А^+с(хТу))2] + со\\А&+хТу,]12 + 02хмАаоь+с(Ум)2+ +02х^ А+сум)2 ^ е1\\АаЫ]+ахТу]Ц + Ца^Ум)\

+ (хм — хм) (хмаму^м + АЫз+с(1мУа,м^ Ум — х™5Уо(коа1 ¿2 + А°.+а (Ъ1 Ух,о)) +

+М8

хм — хм) (*маму£м + Аы+а (1мУх,м^ Ум — —х™.5Уо(коа1 у(х,о + Ащ+с(ЪУх,о)) + хм^2Ум =

мУоШ

I I ~гп ™т

+ \ хм хм

0.5к

т + 1

АГз+с Уо + 0.5ЫIоУ^о) +

Ум[р-2 — 01 У[м] — 02Аы+а Ум) +

+хм&2Ум = хо.5У{оа){ч + х™.ф1Ат+а Уо —

0.5к

т + 1

х™5У{а)АоЬ+сУо — АШз+аУо У—

2

^^-хК.ьуРЪуР — ^^хКА^ АГз+.Уй + хмуР^ + хм^А°т+с ум—

т + 1

т + 1

— (х% — х^)Шм)2 — (х% — х%)Р1 у^АГ+с ум — — х^уЧР^АГ+с Ум—

— хм — х$)АГгз+сУм)2 < ^(АГг+сУо)' + ^(Ум)' + М£"(¡¿2 + ¡%) +

2

-т „т

2

+ М1

13 V \\ХтУ(а% + (х1У0)2 + \\х2уЩ -

Х0.5А(Нз+а У0

- хХмт - х м

\ §2

0.5к

уАа%+ст(ум)2-У0) - (хт-хт)Х2(Ааь+„ум). (6щ

1

- с 2 , £ 2

^хЩ _ = Нх%5 2 , Ь 3 4

с4 — (хм хм) 2

2п

+

+С0\\Ааь+ах 2 уЖ + -4(т

к

Хо.5 Уо + 1 2

0.5к

1|2 , к „т да „ 2,1 Х32^т , [-т „т\ ¡2 \ да („ \2

у0.5'

2 ' Х ¡2 _ т

хт + № -хт) у) (У м )2+

2{т+^(а^,У0)2 +[Х32хт+{Хт - хт)(а^Ум)2 ^ Ми\\х2 и\0+

Преобразуем первое, четвертое, седьмое и девятое слагаемые в левой части (6,21) с учетом

х

1т

> 1Х м-0.5 > 6Хм

' Х . а . т

у, (х 2

(

+(к, (а^ (х 2 у))2] + (

+ I хт + (хт - хт у ) А^, (да)2+

+ I ^хЪ

2

хт -хт) Ф) ум

0.5к

(Х, (хЧу)2) + ^хтА-а,^(да)2 + (к, (*а1н.(хЦ)+

0.5к

+

А01+а (ум 2 ' Х32

2

+ {хт -хт) (У м )2+

хт(А&,+а ум)2 + ^

(Х^хт + (хт - хт)§) ум)2 = (|, а*+. (х2у)2)+

+(Х, (х2 у)) '2) + (Х,32 хт + —

0.5к N . -Гхт) А

м ]А0^+а (Ум

( м)2+

+

+кхт(Ааь+„ ум)2 > -¿ь ¿аь+„ (х2 у)2) + 01кхт Аа^ (ум )2+

ХЗ:

0.5к

тХ™ х

2 хт+ 2 хм к

А

ъ]+<? М17

2 М17

ум) 1

2

+

+к хт Аач+, (Ум)2+М77 (г, (а!^ (х %)))+

2 1 4

0.5к

1

+1

(1, (Аа,+(х2') + 0§хт( у«)2 >

> их f¡,]|2 + 1 \\Аа,н,х Чу]!2

0

где

М

17

1, т = 0, т 1,

1, если т Е (0,1), к < к0 = .

2

2

Учитывая (6,22), из (6,21) получаем

АГз+с\\хТуШ + \\хТЛ + \\А&+ахТу]120 + \\А&+ахТу,Щ ^

^ М18\\хТу^Ц + М19

(т \ 2

хо25Уо) .

Повторяя рассуждения (3,18)-(3,27), из (6,23) находим искомую априорную оценку

\\хтУ>+% ^ М ^\\хТуо]Ц + ты

где М - положительная постоянная, не зависящая от к и т.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (1-4), (4-5), тогда существуют такие то,ко, что если, г ^ то,к ^ ко, то для решения разностной задачи, (6.1)-(6.4) справедлива, априорная, оценка (6.24)-

Из априорной оценки (6,24) следуют единственность и устойчивость решения задачи (6,1)-(6,4) по начальным данным и правой части.

Пусть и(х, Ь) — решение задачи (4,1)-(4,4) у(х^, ) = у3 — решение разностной задачи (6.1)-(6.4). Для оценки точности разностной схемы (6.1)-(6.4) рассмотрим разность = у1 — и^, где и3 = и(хг, ). Тогда, подставляя у = х + и в соотношения (6.1)—(6.4),

KA0tj+= хт(хГ1-0.5а:'^х ^ + 1 A0tj+a (хТ-0.51ггх,А )х + — (хТ-0.5 aizi,i) +

{х+0^+1 ¿1) - £ + Щ,

s=0

z^ + Ъ0) = —у

j+n V / m + 1

N

-xNaNz^N - Aatj+a

s=0

г

где ЦхФ\0 = 0(h2 + т2), й1 = 0(h2 + т2), v2 = 0{h2 + т2)- погрешности аппроксимации

и =

и

ство

\\хтz3+% ^ M max

\ /

M- h

Отсюда вытекает априорная оценка

\\хZJ+1]I2 ^ M max.

V /

где M- положительная постоянная, не зависящая от h и т.

к решению дифференциальной задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4) в смысле нор мы \\х на

каждом слое так, что если существуют такие r0,h0, то при т ^ r0,h ^ h0, справедлива априорная оценка

\\х(у3+1 -u3+1)]h ^ M(h2 + т2).

Следствие 2. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда уравнение (4-1) имеет вид:

*и=«!)+£)+

ди [1

+г(х, 1)—--д(х, Ь)и(х, Ь)йх +/(х, Ь), 0 < х < I, 0 < Ь<Т,

д х 0

если, потребовать выполнения условия |д| ^ с2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. Физматлит. М. 2003.

2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Издательство «Артишок». Ульяновск. 2008.

3. В.В. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. New York. 1982.

4. Бегли P.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка, - новый подход к расчёту конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. 2:2, С. 84-93, (1984).

5. Федер Е. Фракталы. М. Мир. 1991.

6. Динариев О.Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин // Изв. АН СССР.сер. МЖГ.1990. 5, С. 66-70.

7. Нигматуллин P.P. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phvs. Status solidi. B. 133, 425-430, (1986).

8. Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка, // Дифференц. уравнения. 1990. 26, С. 660-670.

9. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. 5:11 С. 18751884.

10. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. 1960. 25:5. С. 852-864.

11. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // ДАН СССР. 1975. 220:3, С. 540-543.

12. Hallaire M. Эффективный потенциал воды, при высыхании почвы // Термодинамика почвенной влаги, Гидрометеоиздат, Л., (1966).

13. Нерпин C.B., Чудновский А.Ф. Знерго и массообмен в системепочва растение-воздух. Гидрометеоиздат, Л., 1975.

14. P.J. Chen, М.Е. Curtin On a theory of heat conduction involving two temperatures // Jornal Angew. Math. Phvs. 1968. 19, P. 614-627.

15. R.E. Showalter, T.W. Ting Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. 1:1, P. 1-26.

16. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1954. 18:1, С. 3-50.

17. Свешников A.A., Алынин А.Б., Корпусов М.О. Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. Физматлит, М. 2007.

18. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. 18:4, С. 689-699.

19. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка, с нелокальным условием A.M. Нахушева //Дифференц. уравнения. 1983. 19:1, С. 163-166.

20. Бештоков М.Х. О численном решении нелокальной краевой задачи для, вырождающегося псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2016. 52:10, С. 1393-1406.

21. Бештоков М.Х. Разностный метод решения нелокальной краевой задачи для, вырождающегося, псевдопараболического уравнения третьего порядка, с переменными коэффициентами // ЖВМ и МФ. 2016. 56:10, С. 1780-1794.

22. Бештоков М.Х. On a non-local boundary value problem, for the third order pseudo-parabolic equation // Computational Mathematics and Modeling. 2016. 27:1, C. 60-79.

23. Бештоков М.Х. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation // 11th International Conference on "Mesh methods for boundary-value problems and applications"IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 158,*2016, 012019 doi:10.1088/1757-899X/158/l/012019.

24. Бештоков М.Х. Дифференциальные и разностные краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений третьего порядка, и разностные методы их численной реализации // ЖВМ и МФ. 2017. 57:12, С. 2021-2041.

25. Бештоков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для, вырождающихся, и невы,рождающихся, псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля // Диф-ференц. уравнения. 2018. 54:6, С. 763-778.

26. Н. Caputo Lineal model of dissipation whose Q is almost frequency independent //II Geophvs J. Astronom. Soc. 1967. 13, P. 529-539.

27. Герасимов A.H. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам, внутреннего трения //АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. 12, С. 251-260.

28. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач, для, уравнений дробного порядка, // Дифференц. уравнения. 2010. 46:5, С. 658-664.

29. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983.

30. A.A. Alikhanov A new difference scheme for the time fractional diffusion equation //Journal of Computational Physics. 2015. 280, P. 424-438.

31. D. Li, H. -L. Liao, W. Sun, J. Wang and J. Zhang Analysis of Ll-Galerkin FEMs for time-fractional nonlinear parabolic problems // Commun. Comput. Phvs. 24:86 (2018).

Мурат Хамидбиевич Бештоков,

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул.Шортанова, 89А, 360000, г. Нальчик, Россия E-mail: beshtokov-murat@yandex.ru