Влияние гидродинамических сил на дрейф включений в волновых полях

УДК 531.3

ВЛИЯНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ НА ДРЕЙФ ВКЛЮЧЕНИЙ В ВОЛНОВЫХ ПОЛЯХ

Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН, П.П. ОСИПОВ ИММ КазНЦ РАН

Приближенными методами исследуется дрейф сферического включения в волновых гидродинамических полях. Уточнены хорошо известные формулы для силы дрейфа включения в полях типа стоячей волны. Установлено существование критической частоты, при переходе через которую суммарная сила дрейфа меняет направление. Предложена схематичная диаграмма направлений сил дрейфа.

Ключевые слова: дрейф частицы, силы в гидродинамических волновых полях.

При очистке газа или жидкости от мелкодисперсных частиц широко используются акустические поля. В неоднородных акустических полях возникают силы, порождающие дрейф включения. Исследованию причин возникновения сил дрейфа в волновых полях посвящено большое число работ. Одним из первых был исследован дрейф частиц под действием сил радиации, т.е. сил из-за отражения и поглощения волн частицей [1]. Обзор по влиянию на дрейф основных видов сил можно найти в работе [2]. Достаточное полное рассмотрение гидродинамических сил с позиции двухфазных сред дано в работах [3, 4]. Влияние ударных волн на дрейф частиц изучено в работах [5].

При малых размерах включений, когда можно пренебречь их обратным воздействием на скорость несущей фазы, математическая модель становится однофазной (остается только дисперсная фаза). Эта модель сводится ко второму закону Ньютона для движения пробной частицы под действием сил Стокса, Осеена, Архимеда, присоединенных масс и силы Бассэ. Без учета силы Бассэ задача формулируется в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с периодическим возмущением во втором уравнении. При учете сил Бассэ второе уравнение становится интегро-дифференциальным (появляется интеграл наследственности типа Дюамеля).

Уравнения гидродинамики пробной частицы исследованы в работах [6,7,8]. В периодических полях, когда имеется основная гармоника частоты w, можно получить приближенные решения системы уравнений движения частицы и оценить силу дрейфа. Благодаря неоднородности поля скорости несущей фазы, в

«-» «-» ш • n

решении порождается целый спектр степеней гармоники cos wt, sin wt и их попарных произведений cosm wt  sinn wt. Четные степени m, n, а затем и произведения четных степеней гармоник вызывают дрейф включения. Поскольку таких членов много, то не всегда легко определить, который из них является основным в том или ином режиме. Вывод формулы для ускорения дрейфа с учетом силы Стокса и, частично, силы Бассэ дан в работе [6]. Несколько различные уточнения формулы для ускорения дрейфа даны в работах [7] и [9]. Эти уточнения не учитывают полностью силу присоединенной массы и силу Архимеда и поэтому не позволяют обнаружить критическую частоту, при

© Д.А. Губайдуллин, П.П. Осипов Проблемы энергетики, 2010, № 1-2

переходе через которую сила дрейфа меняет направление. Поэтому в настоящей работе будет дано последующее уточнение формулы для ускорения дрейфа включения.

1. Силы, действующие на сферическое включение

Основные гидродинамические силы, действующие на сферическое включение радиуса г со стороны несущей фазы, имеющей скорость и(х, *), приведены в таблице.

Таблица

Сила Формула

Стокса ¥$ = 6р г ц {и(х, *) — v(t)}

Архимеда ^43 йи( х, *) ра=3"Г3Р х

присоединенных масс Р 2 з (йи(х, *) ) т 3 ^ ж \

Бассэ (Буссинеска) 2 1-Г 0и(х,т) Л(т) Рв = 6 г vррц 1 к , * , от йт , 7 йт V* — т

где р, ц - плотность и вязкость несущей фазы, причем 10 = —¥ для периодических процессов и *0 = 0 для переходных;

йи ди ди

— = — + и— (1) й* д* дх

- полное ускорение несущей фазы в эйлеровой системе координат;

8и ди ди

— = — + V—

8* д дх

- темп изменения эйлеровой скорости несущей фазы в точке нахождения включения (переменная во времени величина); х, V - координата и скорость включения. Кроме этого при больших скоростях появляются дополнительные силы (из-за конвективного ускорения несущей фазы). Их учитывают с помощью поправок типа Осеена. Ниже приведены некоторые из них: аналитическая поправка Осеена-Голдстейна:

О

16

19 +,

1280

экспериментальная поправка Клячко:

Ро = Р

1 Re2/3 6

Re =

ц

Заметим, что наличие силы Бассэ в виде интеграла наследственности затрудняет аналитические оценки, однако для периодических процессов интеграл упрощается, а именно каждая гармоника дает вклад [3]:

cos mí , i p

dt = J—(cos mí + sin mí),

, ,-dt = J—(sin mt - cos mí).

_J¥Ví—t V 2m '

2. Уравнение движения включения Запишем второй закон Ньютона для сферического включения массы m :

dv

= ^ + ^ + + ^т + рБ

dt

или подробно для случая без поправки типа Осеена:

' 4 з Л m = — p г р „ 3 p

0

1 +

2Р/

dv , 3 „ р du

— = (u - v) + -0 —--+ 3

dt 2 р p dt

р I 0 r Í5u dv I dt

р pM 2p /l8t dt J ^í - t , í0

где введены средняя плотность включения р р и время релаксации включения

в=А-

9 ц / р р

3. Дрейф под действием сил Стокса, Архимеда и сил присоединенной массы

Пренебрегая поправкой типа Осеена, силой Бассэ, а также эффектами сжимаемости несущей фазы, запишем уравнение движения включения так:

0

1 +

р

2р/

dv 3 _ р du

— = (u - v) + — 0—--.

dí 2 р p dí

После введения коэффициентов

0

t = ^ (2 + р 1 р p ),

d=

1

3

р 1 р p

2 + р I р,

полная система уравнений движения включения примет вид: dx

dí v, dv u - v

dí

.2 du + d —. dí

Заметим, что величина d меняется от 0 (при р / рр = 0) до (при р / рр = ¥). При р = рр она равна единице, причем при р > р р d > 1, а при р < р р d < 1. Далее рассмотрим поля типа стоячей волны:

и

Р

t

Для них имеем

du Su Su гт, . г„ . 2

— =--+ u— = wU(x)coswt + U(x)U (x) sin wt.

dt St dx

Итак, можно записать полную систему уравнений движения включения: dx

* = v,

dv U(x)sin wt - v ,2 LT, ч жт, ч U (x) . 2 I

— = -+ d2wí U(x)cos wt + U(x)—— sin2 wt}.

dt ti w I

4. Колебания включения в однородном периодическом поле скоростей

При определении сил дрейфа важную роль играет колебание включения, вызванное фоновым колебанием скорости несущей фазы в окрестности включения. Для определения такого колебания положим U(x) = Uо и запишем второе уравнение (11) в виде

t= -v + Uo {/2wt cos wt + sin wt}.

Ищем решение в виде гармонических колебаний:

x = a cos wt + b sin wt,

v = (-a sin wt + b cos wt) w . Первое уравнение (11) удовлетворяется тождественно. Из второго находим:

1 2 2 2 a = -u o-(d 2m2 + m2), w

b = -и o tm 2

2 i 2 V1

где введены аналоги коэффициента увлечения включения mр = |1 + (wt) j ,

играющего фундаментальную роль в ортокинетической теории [7], и

коэффициента обтекания включения m g = (wt)2 m p = 1 -m p, играющего

фундаментальную роль в теории коагуляции [9, 10]. Скорость включения запишется так:

v = Uо m2 {[(wt)2 d2 + 1] sin wt - wt [1 - d2 ] cos wt }

или

v = U0 mpV

ют (1 - й „ „

где у = аг^ -1-—. При малой относительной плотности несущей фазы

1 + (ют )2 й 2

й @ 0, т @ 0 последняя формула переходит в известную формулу Брандта для колебаний частицы под действием силы Стокса:

V =

= mpU0sin( wt -g), g = arctg( w0),

из которой, видно, что величина mp равна отношению амплитуды колебаний

включения к амплитуде колебаний несущей фазы, а величина mg равна

отношению разности квадратов амплитуд несущей фазы и включения к квадрату амплитуды несущей фазы.

5. Движение включения в неоднородном периодическом поле

Здесь мы обобщим предыдущую задачу на случай полей типа стоячей волны u( x, t) = U (x) sin wt. В общем случае в таких полях включение не просто совершает колебания, но и дрейфует. Вместо (13), согласно методу Боголюбова-Митропольского, запишем:

x = X + a cos wt + b sin wt,

v = h + (-a sin wt + b cos wt) w ,

где X,h - положение и скорость дрейфа - суть медленные функции времени по сравнению с cos wt и sin wt. Они дают среднее по периоду положение и скорость включения. В фазовой плоскости (x, v) включение совершает быстрые колебания вокруг средних величин (X, h). Так же, как и фазовые координаты (X, h), коэффициенты a, b в (16) - суть медленные функции времени. Они определяются из (14), где надо положить Uо = U(X). Разложим амплитуду скорости в окрестности включения в ряд Тейлора:

U(x) @ U(X) + U' (X) (x - X) + (x - X)2 +... +.

Ограничиваясь линейной частью этого ряда, запишем аппроксимацию второго уравнения (11):

tdVV = U(X) + U' (X)(x - X)}sin wt - V + + d2wt J U(X) + U' (X)(x - X)}cos wt + U(X)^sin2 wt 1 .

Далее

dx dX da db . .

— = — +--cos wt +--sin wt + (-a sin wt + b cos wt)w ,

dt dt dt dt

dv dh da . db . , .

— = —1--sin wt +--cos wt + (-a cos wt - b sin wt)w .

dt dt dt dt

Подставляя в уравнения (11) и сокращая, получим:

dX dt

h"

da db . — cos wt +--sin wt

V dt dt

dn

t — = -n + { U (X)(a cos rat + b sin rat)}sin rat +

+ d2wt JU (X)(a cos wt + b sin wt)coswt + U(X)U (X) sin2 wt

I w I

- T

da

db

--sin rat + — cos wt

dt dt

6. Уравнения дрейфа включения

Согласно методу Ван-дер-Поля, можно взять среднее интегральное значение правых частей (18) по периоду Т=2я/га, в итоге получим:

dX dt

= h,

dh U

t—L = -h + dt 2

{b + d2wt a + d2t U(X)}.

При этом мы пренебрегли малыми величинами:

Ída raa . ,

— cos wt dt @ 0, —sin wt dt @ 0, dt dt

da

dt

0

dt

Ídb rdb . ,

— cos wt dt @ 0, —sin wt dt @ 0, dt dt

0

dt

а при осреднении воспользовались соотношениями: 2p

cos I

1 2P

— f sin j cos j d j = 0 , 2n J

0 2p

1 1 1

— f sin2 j dj = — f cos2 j dj = — . 2я J 2n J 2

Кроме этого, медленные функции времени и функции от них были вынесены из-под интеграла как константы. С учетом (14) окончательно запишем систему усредненных уравнений дрейфа:

dt

= h

dh = -^ + (d2 -i)(mp-d2m2).

dt

Последнее соотношение обобщает формулу для ускорения дрейфа, полученную в работе [6], и ее уточнение, данное в работе [7], а затем в [9]. Второй член вызван градиентом амплитуды скорости несущей фазы. Он-то и порождает среднюю силу, которая вынуждает включение дрейфовать даже при наличии только силы Стокса. При учете только силы Стокса имеем й = 0 и формула (21) упрощается:

л и

йг

m 2p. Эта формула показывает, что если бы сила Стокса

t 2

была единственной причиной дрейфа включения, то ускорение дрейфа было бы направлено всегда к узлам (рис.1). Для стоячей волны (U (х) = U o sin kx) имеем

' 2

U(X)U (X) = U0 k sin kX cos kX . Поскольку волновое число связано с частотой и скоростью звука c соотношением k = 2p/ l = w/ c, то (21) можно записать так:

т-2

ГЛ i ъ

U

dt t 2

0 w (d2 - i)(m p - d2m g) sin kx cos kx.

о х=е, ь х

Рис. 1. Направление силы дрейфа под действием сил Стокса; Ь -длина полуволны

Заметим, что максимум силы дрейфа в стоячей волне достигается в точках X/Ь _ 1/4, 3/4. В точках X/Ь _ 0, 0.5, 1 (т.е. в узлах и пучностях) сила дрейфа равна нулю.

7. Критическая частота волны несущей фазы

При р _ рр й _ 1, поэтому сила дрейфа равна нулю (условно область

суспензии).

Пусть й Ф1.

2 2

1. При малых частотах й (ют) << 1 имеем

dh = h U О w

dt

2 c

22 (d - 1) m p sin kX cos kX.

откуда видно, что ускорение дрейфа при й > 1 (область пузырек-жидкость) направлено к пучностям, а при й < 1 (область частица-газ) - к узлам. Отметим, что в данной работе радиальным движением сферических включений

t

пренебрегается. Его величина с уменьшением частоты уменьшается практически линейно. Назовем силу, порождающую последний член в этом уравнении, ^ .

2. При больших частотах й 2 (шт )2 >> 1 имеем

йц

а

т

и

— ш (й 2 -1) й 2 т I ЭШ кХ соэ к£,

2 с *

откуда видно, что ускорение дрейфа при й > 1 (область пузырек-жидкость) направлено к узлам, а при й < 1 (область частица-газ) - к пучностям. Его величина с увеличением частоты возрастает практически линейно. Назовем силу, порождающую последний член в этом уравнении, .

3. При частоте, для которой тр = й2ц|, т.е. при шк = (т й) 1 или

ш к =

1 + 2

Р

направление силы дрейфа меняет знак (назовем эту частоту критической), а уравнение дрейфа упрощается:

йц

й

т

При этом:

1. Если р>рр, то й> 1. Поэтому при частотах меньше критической ш< шк, сила дрейфа направлена к пучностям, при больших частотах ш > шк - к узлам.

2. Если р < рр, то й < 1. Поэтому при частотах меньше критической, сила дрейфа направлена к узлам, при больших частотах- к пучностям.

3. На критической частоте ш = шк суммарная сила дрейфа равна нулю.

На рис. 2 показана диаграмма направления сил дрейфа включения. При частотах, меньших критической, преобладающее воздействие на дрейф включений оказывает сила ^, при частотах, больших критической, - сила . Эти силы вызывают дрейф в противоположных направлениях. На критической частоте они равны по модулю, поэтому суммарная сила дрейфа исчезает.

Р/Рр.

пузырек -жидкость сила дрейфа отсутствует

к пучностям к узлам /

суспензия

к узлам к пучностям

частица- газ

О

1

со/со«

Рис. 2. Направление силы дрейфа © Проблемы энергетики, 2010, № 1-2

1

8. Критический радиус включений

При заданной частоте поля ш удобно ввести понятие критического радиуса включения. Обращая (25), найдем критическое время: тк = (ш й)-1, а по

нему - критический радиус: гк = 3

. При r > гк сила дрейфа

1/а й

направлена к пучностям, если р < рр ; к узлам, если р > рр. При г < гк сила дрейфа направлена к узлам, если р < рр, к пучностям, если р > рр. Рис. 3

иллюстрирует сильную зависимость параметра й от отношения плотностей. При радиусах включения, больших критического значения, преобладающее воздействие на дрейф оказывает сила ^2, при меньших - сила ^ .

2.5

1.5

0.5 00

- пузырек - жидкость

/суспензи я

частица-газ

0 2 ( Н 1 1 12

р/р/ 2

Рис. 3. Зависимость параметра d от отношения плотностей 9. Дрейф частиц аэрозоля

Для частиц аэрозоля плотность несущей фазы много меньше плотности включения р/ рp << 1 , поэтому t @ 0, а уравнения дрейфа запишутся так:

dX

dt

dh dt

= h,

1 - d 2(ю0 )2 U (X) U '(X) t 1 + (w0 )2 2

Пример. Рассмотрим дрейф водяных капель радиуса г = 0.2  10 4  10 4 д

3 3 3

с плотностью р р = 10 ку/д в воздухе, имеющем плотность р = 1.29 ку/д и

вязкость V = 0.15  10- 4 д2/р. Рис. 4 иллюстрирует сильную зависимость критической частоты от радиуса капельки.

г-10 [м]

Рис. 4. Зависимость критической частоты от радиуса водяной капельки в воздухе 10. Дрейф несжимаемой сферической полости

Рассмотрим дрейф сферической полости в жидкости, полагая р / рр >> 1

Поскольку

т»е

р 2

р

1 г

2р р 9 т/ р р 2р р 9 т/ р

то уравнения дрейфа запишутся так:

йХ

= ц ,

йг

йл = -л +1 -3(ша)2 и(Х)и (Х) . йг а - -2 ^ ^

= а , й@л/з ,

Ч"1

1+(ша )2

При этом критическая частота равна ш к = (л/з аг

Пример. Рассмотрим дрейф сферических полостей, заполненных воздухом с

3 —3 —3

плотностью рр = 1.29 ку/ц , радиуса г = 0.1 • 10 * 10 ц , в жидкости, имеющей

плотность р = 103 ку/ц 3 и вязкость V = 0.01 • 10—4ц 2/р. Рис. 5 иллюстрирует сильную зависимость критической частоты от радиуса полости.

Рис. 5. Зависимость критической частоты от радиуса полости в воде

Таким образом, полученная в работе формула для ускорения дрейфа обобщает и уточняет известные формулы [6, 7, 8, 9]. Она позволяет обнаружить критическую частоту, при переходе через которую суммарная сила дрейфа меняет направление. Установлены две силы ^ и ^2, вызывающие дрейф включений в противоположных направлениях. При частотах, меньших критического значения,

2

г

преобладающее воздействие на дрейф включения оказывает сила , при больших частотах - сила F2. На критической частоте эти силы равны по модулю, поэтому суммарная сила дрейфа (в первом приближении) отсутствует. При работе на заданной частоте удобно ввести критический радиус, по которому можно судить о направлении дрейфа включения. При радиусах включения, больших критического значения, преобладающее воздействие на дрейф оказывает сила F2, при меньших - сила F\. Предложенная в работе диаграмма дает простое и наглядное представление о влиянии частоты поля и отношения плотностей несущей и дисперсной фаз на направление сил дрейфа.

Работа выполнена по программе Президиума РАН №17П и при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00339).

Summary

A drift of spherical inclusion due to hydrodynamic waves is studied by approximate methods. The well-known formulae for the drift force in fields like standing waves are precised. The critical wave frequency is detected, which is crucial for the direction of the drift force. The schematic diagram of the drift force direction is suggested.

Key words: particle drift, forces in hydrodynamic wave fields.

Литература

1. Горьков Л.П. О силах, действующих на малую частицу в акустическом поле в идеальной жидкости // Доклады АНССР. 1961. 140, 1, 88-91.

2. Каневский И.Н. Постоянные силы, возникающие в звуковом поле // Акустический журнал, 1961. Т. 7. Вып.1. С.3-17.

3. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. Москва: Наука, 1987. Часть 1, 2.

4. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Нелинейная волновая механика и технология. Москва: Изд. R&C Dynamics, 2008. 712 с.

5. Kutushev A.G. Non-stationary shock waves in two-phase gas-particle or gas-droplet mixtures. Saint-Petersburg: Nedra, 2003. 115 c.

6. Духин С.С. Теория дрейфа аэрозольной частицы в стоячей звуковой волне // Коллоидный журнал. 1960. Т. 22. №1. С. 128-130.

7. Медников Е.П. Акустическая коагуляция и осаждение аэрозолей. М.: Изд. АНССР, 1963.

8. Н.А. Фукс. Механика аэрозолей. М.: Изд. АН СССР, 1955. 159 с.

9. Czyz H. On the concentration of aerosol particles by means of drift forces in a standing wave field. // Acustica. 1990. vol.70, 23-28.

10.Shaw D.T. and Rajendran N. Application of acoustic agglomerators for emergency use in liquid-metal fast breeder reactor plants. // Nuclear science and engineering. 1979. 70, 127-134.

Поступило в редакцию 01 сентября 2009 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН, директор Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 236-52-89. E-mail: gubaj dullin@mail. knc. ru.

Осипов Петр Петрович - д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 231-91-17. E-mail: petro300@rambler.ru.