Критерий точности линеаризации следящей системы на классе сигналов

УДК 623.438.45:623.465

В.В. Воробьев, канд. техн. наук, доц.,

КРИТЕРИЙ ТОЧНОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ НА КЛАССЕ СИГНАЛОВ

Предложен критерий точности линеаризации следящей системы по полезному сигналу на классе сигналов. Сформирована система моделей для оптимизации релейной следящей системы с контролем влияния неопределенностей.

Ключевые слова: критерий, точность линеаризации, следягцая система, система моделей, оптимизация.

Следящие системы (СС) являются одним из важнейших классов систем автоматического управления. Целью их работы является воспроизведение заранее неизвестного входного сигнала, меняющегося по произвольному закону. Наиболее адекватный и гибкий учёт класса входных сигналов на этапе синтеза регулятора обеспечивает метод гарантированной точности (ГТ) [1].

Релейные следящие системы (РСС) широко используются в высокоточных управляемых комплексах. Рабочими режимами РСС могут быть скользящий, автоколебательный режим захватывания (принудительной синхронизации), стохастический режим (при наличии помехи с широким спектром). Для синтеза таких систем традиционно используют приближенную модель режима слежения, которую получают методами вибрационного сглаживания и линеаризации по полезному сигналу. При этом используются методы гармонического баланса, фазового годографа, статистической линеаризации, эквивалентного управления [2]. При синтезе непрерывных гладких СС используют приближенную модель режима слежения, получаемую линеаризацией нелинейностей разложением в ряд. Причем, модель первого приближения считают адекватной в конечной области изменения переменных (в линейной зоне).

В реальной СС всегда имеются неидеальности (структурные неопределенности): малые инерционности, запаздывания в измерительных и дифференцирующих устройствах, гистерезис, нелинейность статических характеристик реле и датчиков и др. Ими часто пренебрегают в процессе линеаризации СС по полезному сигналу. Режим слежения в реальной системе может существенно отличаться от идеального, рассчитанного по линейной модели. В связи с этим для СС разных типов актуальным является разработка критерия и методики повышения точности линеаризации по полезному сигналу на классах воздействий в условиях неопределенностей.

Рассмотрим задачу оценки точности линеаризации на примере РСС со скользящим режимом (СР) слежения. Традиционно синтез РСС проводится по приближенной модели, т.е. по модели идеального СР. Под идеальным СР автономной системы будем понимать такой предельный ре-

жим, частота переключения которого бесконечна, а амплитуда вибраций относительно поверхности переключений стремится к нулю.

Рассмотрим вначале РСС с линейным объектом управления (ОУ) и линейными безынерционными обратными связями. Для такой системы разработана методика оптимизации параметров регулятора на классах воздействий по критерию минимума ГТ с контролем условий существования скольжения [3]. Для расчета ГТ используется расширенная стационарная система, функционирующая при нулевых начальных условиях (рис. 1). Система содержит динамическое задающее устройство (ЗУ) и линейную непрерывную модель идеального СР, которая строится методом эквивалентного управления. ЗУ1 описывает класс Ух полезных сигналов. Вход ЗУ1 ограничен по уровню. Для случая квазискользящего режима оптимизация на классе Ух по критерию ГТ становится весьма трудной задачей.

Рис. 1. Схема расширенной системы

Синтез регулятора РСС предлагается проводить поэтапно, начиная с расчета динамических характеристик ОУ методом предельных отклонений. Без потери общности рассуждений рассмотрим РСС, которая реализована, например, на базе электрического двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. ОУ является силовая подсистема, т.е. двигатель, работающий на инерционную нагрузку. Рассмотрим управляющее воздействие в виде напряжения на якорной обмотке двигателя. Класс сигналов управления V0 определяется как множество функций времени, ограниченных по уровню напряжением питания Uт. Отметим, что поскольку никаких предположений о характере управляющих напряжений, возникающих в процессе слежения, сделать невозможно, естественно использовать в качестве ЗУ для объекта (далее обозначим его как ЗУО) усилитель с коэффициентом, равным Uт.

Предельные динамические возможности ОУ определяют область достижимости D в пространстве переменных состояния (ф,со,а), где ср,со,а -угловые положение, скорость и ускорение нагрузки. В частности, предельное отклонение по скорости на интервале времени t е [О, Т] имеет вид

* ri I

Ga = \\w

о

где w(t) - весовая функция по скорости расширенной системы (т.е. последовательного соединения ЗУО и линейной модели силовой подсистемы).

Длительность Т наблюдения допустимо ограничить наибольшим временем затухания весовой функции. Экстремальный тест-сигнал, при

воздействии которого на расширенную систему в момент t = Т достигается предельное отклонение по скорости, определяется выражением

Wffl

где w(t - Т) - весовая функция в обратном времени.

Предельные отклонения ОУ по ускорению а, по взвешенной сумме S ускорения а и скорости со, а также соответствующие им экстремальные тест-сигналы определяются по зависимостям аналогичным (1) и (2). С помощью предельного отклонения (3) определяются координаты контрольных точек границы области D на плоскости (со,а). Причем, т.к. область достижимости симметрична относительно начала координат, достаточно рассмотреть верхнюю полуплоскость, например, в семи характерных точках:

Л П П 2Л 5П '

а е {О,

71}.

Е = оо cosa + a sin а, 6 3 2' 3 ' 6

Степень влияния структурных неопределенностей на точность РСС зависит от вектора с параметров регулятора. Его синтез предлагается производить с использованием семейства расширенных систем и их математических моделей

МО, MI, М2, М3.

Все модели содержат некоторое ЗУ. МО - линейная, представляет собой соединение ЗУО и модели ОУ, которое рассмотрено выше. МО служит для расчета предельно достижимых значений фазовых координат РСС по зависимостям вида (1). М1 - линейная непрерывная, строится на основе метода эквивалентного управления [2]. Она содержит ЗУ 1 и предназначена для оптимизации вектора с по критерию минимума гарантированной точности G в идеальном СР на заданном классе V¡ полезных сигналов.

М2, М3 - релейные, причём М2 содержит идеальный релейный элемент и безынерционные обратные связи, а М3 - неидеальное реле и, возможно, некоторые другие нелинейности ОУ (например, люфт, сухое трение, насыщение), а также инерционные звенья, описывающие динамику датчиков обратных связей. В М2 и М3 на входах стоят одинаковые ЗУ (далее обозначим их как ЗУ2). Специфика ЗУ2 состоит в том, что оно описывает некоторый класс V2 сигналов, включающий экстремальные сигналы, при которых РСС достигает предельных отклонений по фазовым координатам. В качестве ЗУ2 будем использовать линейную модель ОУ.

Особенностью М2 является то, что в ней реализуется идеальный СР, причем с полной инвариантностью по отношению к задающим сигналам из V2 для любых значений параметров регулятора, при которых этот режим существует. Следует отметить, что при комбинированном управлении СС практически реализованной может быть частичная инвариантность, обыч-

но, с использованием производных входного сигнала не выше второй. В данном случае исследуется расширенная система М2. Наличие в ней ЗУ2 позволяет решить проблему полной инвариантности к классу У2. Все необходимые производные (до порядка ОУ) получаются в ЗУ2.

Таким образом, релейная М2, работающая в идеальном СР слежения, тождественна ОУ и характеристики вида (1), (2) подходят для определения её предельных возможностей. Рассмотренный способ построения М2 позволяет решить обратную задачу динамики и определить эталонный тест-сигнал на её входе, при котором замкнутая РСС достигает предельного отклонения по скорости, причем такого же, как предельное отклонение ОУ. Тест-сигнал описывается выражением (2). Он разгоняет М2 на интервале времени / е [О, Т] до предельного отклонения (1) в момент Т.

В процессе синтеза РСС идеализированная (эталонная) М2 служит основой для построения М3, которая близка к реальной системе. Вследствие запаздывания в переключении управления М3 работает в квазискользящем режиме. В структуру М2 вводятся различные возмущающие факторы (гистерезис, люфт, инерционности датчиков и др.). При этом в М3 снижается эффективность использования регулятором динамических возможностей ОУ, нарушаются как линейность по отношению к полезному сигналу, так и инвариантность к классу У2. Степень близости М2 и М3 при подаче на их входы сигнала (2) может быть оценена относительной невязкой предельных отклонений скорости

ЛG„

G„ - G

СО

G

< А,

СО

* /О

где - предельное отклонение в МО; Сгю - реакция в М3 на эталонный тест-сигнал (2), которая оценивается по средней составляющей процесса со(/) в момент / = У; Ам - малая положительная константа, характеризующая требование к степени влияния неидеальностей.

Критерий (5) зависит от вектора с параметров. Он позволяет определять факторы, существенно влияющие на динамическую точность РСС, количественно оценить это влияние и на этой основе корректировать с. Для более полного анализа факторов используется обобщенный критерий равномерной близости, который представляет собой максимальную невязку отклонения границы области достижимости М3 от границы эталонной области О на множестве контрольных точек плоскости (см. (3).

Таким образом, на основе метода предельных отклонений разработаны критерии и способ повышения точности линеаризации СС по полезному сигналу на классах сигналов в условиях неопределенностей, которые могут быть применены как для релейных, так и для непрерывных систем.

*

*

Список литературы

1. Макаров Н. Н. Метод гарантированной точности следящих систем// Мехатроника, автоматизация, управление. №11. М.: Новые технологии, 2006. С. 24-30.

2. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 368 с.

3. Воробьев В.В., Макаров Н.Н., Макарова Н.Н. О применении метода гарантированной точности к расчету следящих систем, работающих в скользящем режиме // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Тула: ТулГУ, 2001. С. 81-85.

V.V. Vorobev

THE CRITERION OF ACCURACY LINEARIZATION FOR FOLLOW-UP SYSTEM ON CLASS SIGNALS

The criterion of accuracy linearization for follow-up system on wanted signal on class signals is offered. System of models for optimization relay follow-up system with control indeterminateness is constructed.

Key words: criterion, accuracy linearization, follow-up system, system of models, optimization.

УДК 623.438.45:623.465

B.B. Воробьев, канд. техн. наук, доц.,

МЕТОДИКА СИНТЕЗА СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ НА КЛАССЕ СИГНАЛОВ С МАЛОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ К НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМ

Предложена методика оптимального синтеза следящей системы по критерию динамической точности на классе сигналов. На основе использования регрессионных моделей рассчитывается регулятор системы с малой чувствительностью к неопределенностям.

Ключевые слова: критерий, оптимизация, регрессионная модель, регулятор, следящая система, неопределенность.

В развитие работы [1] предлагается метод оптимального синтеза следящих систем (СС) по критерию динамической точности на классе сигналов в условиях неопределенностей. Он включает следующие этапы:

1. Изучение класса Vx входных сигналов и построение ЗУ 1.

2. Построение семейства расширенных систем и их математических моделей МО, Ml, М2, М3.

3. Расчет предельных динамических характеристик объекта управления и построение эталонной области достижимости D.

4. Формирование набора экстремальных тест-сигналов для испытаний моделей МО, Ml, М2, М3.