Вычисления в исключительных группах

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №7

МАТЕМАТИКА

УДК 512.7

ВЫЧИСЛЕНИЯ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ГРУППАХ1

© 2007 Н.А.Вавилов2

Дорогому Валентину Евгеньевичу с неизменным восхищением его талантом и мужеством

Работа представляет собой текст доклада автора на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е.Воскресенского (Самара, 2007). Рассказано о вычислениях в группах Шевалле 0(Ф, R) над коммутативным кольцом. Сформулированы недавние результаты А. Бака, Р. Хазрата и автора о нильпотент-ной структуре -^(Ф,R), опирающиеся на метод локализации-пополнения. Детально описываются геометрические методы доказательства структурных теорем, как развитый в 1990 году А. Степановым, автором и Е. Плоткиным метод разложения унипотентов, так и предложенное совсем недавно автором, М.Гавриловичем и С.Николенко доказательство из книги « А2-доказательство. Кроме того, сформулированы некоторые близкие результаты, в частности, основная лемма А3-доказательства, предложенного автором для атаки на центральность К2(Ф,R) в случае исключительных групп; найденная автором и А. Лузгаревым характеризация расширенной группы Шевалле типа Еб над произвольным коммутативным кольцом; доказанная А. Степановым и автором конечность ширины коммутаторов в элементарных образующих.

Я буду рассказывать главным образом о вычислениях с элементами больших исключительных групп типов Еб, E7, Eg как с матрицами размера 27 X 27, 56 X 56 и 248 X 248, соответственно. Основная мысль моего доклада состоит в том, что работая над общим коммутативным кольцом именно такие вычисления проще всего проводить. Группу F4 также проще

1 Настоящая работа была выполнена в рамках проектов РФФИ 03-01-00349 (ПОМИ РАН), INTAS 00-566 и INTAS 03-51-3251. Часть совместных исследований проведена автором в Uni. Bielefeld, Queen's Univ. Belfast (при поддержке LMS и SERC), Harbin Inst. of Technology и Paris XIII.

2Вавилов Николай Александрович (nikolai-vavilov@yandex.ru), кафедра высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28.

всего рассматривать в 27-мерном представлении как скрученную группу типа Еб.

Группа G2 не представляет большого интереса в этом контексте, так как, во-первых, она настолько тесно связана с группами типов B3 и D4, что ее следует рассматривать как классическую, во-вторых, большинство рассматриваемых нами вопросов для нее решаются прямыми матричными вычислениями в 7-мерном или 8-мерном представлении [35, 51] и, в-третьих, остальные интересующие нас результаты для нее просто не имеют места.

Пусть Ф — приведенная неприводимая система корней ранга l ^ 2, а R — коммутативное кольцо с 1. С парой (Ф, R) ассоциированы несколько тесно связанных между собой, но, вообще говоря, различных групп [2, 18, 19, 33, 37, 45, 52, 61, 66].

• Группа Ш^евалле G = G(&,R). В действительности с точностью до изоморфизма группа G^, R) зависит еще от решетки весов Р лежащей между решеткой корней Q^) и решеткой весов Р(Ф). Чтобы подчеркнуть эту зависимость, иногда пишут G = Gp(Ф,R). Обычно мы рассматриваем од-носвязную группу Gsc^,R), но иногда нам приходится иметь дело с присоединенной группой Gad^,R). По определению группа G является группой точек некоторой аффинной групповой схемы над Z, так что G^, R) = = Hom(Z[G], R), где Z[G] — аффинная алгебра группы G. Иными словами, G^,R) определяется уравнениями с целыми коэффициентами.

• Элементарная группа ШШевалле £(Ф,R). Эта группа порождена некоторыми унипотентными элементами ха(^), где а е Ф, ^ е R. Обычно корневые элементы xa(%) описываются как автоморфизмы модуля Вейля V над R. Стоит подчеркнуть, что во многих книгах, включая [19], группой Шевалле ошибочно называется группа £(Ф,R) ^ G^,R). Конечно, подобная терминология имеет некоторые основания, так как для односвязных групп над полулокальным кольцом R имеет место равенство Gsc^,R) = -^(Ф,R). В то же время, для групп, не являющихся односвязными, это равенство может нарушаться даже в случае поля.

• Группа Стейнберга St^, R). Группа Стейнберга определяется как абстрактная группа с образующими ха(^), а е Ф, ^ е R, про которые предполагается лишь, что они удовлетворяют первым двум соотношениям Стейн-берга, а именно, требуется, чтобы ха(^) были аддитивны по отношению к "%, ха(^ + Z) = ха(^)ха(^), и удовлетворяли коммутационной формуле Шевалле

[ха(£), хр(Z)] = YI х,а+]в(Nc^V),

га+ ]веФ, i,jeN

для любых двух корней а, в е Ф таких, что а + в Ф 0, и любых Z е R. По поводу структурных констант N^j см. [19], [33] и дальнейшие ссылки в [66]. Положив дополнительно

wa.(t) = ха^х-а^Г1)ха(t), ka(t) = Wa(f)Wa(Y)~l,

легко получить копредставление группы Е§с(Ф, Я), потребовав дополнительно, чтобы ка(Е) были мультипликативны по отношению к е, ка(еп) = = ка(е)ка(ц). Вычисления, в которых используются только соотношения Стейнберга, называются элементарными.

Так как элементарные корневые элементы ха(^) е Е(Ф,Я) удовлетворяют соотношениям, определяющим группу Стейнберга, — и еще, быть может, каким-то соотношениям — эти группы связаны между собой следующим образом:

1

I

*2

I

Б^Ф, Я)

I

1 £8с(Ф, Я) ^(Ф, Я) К^Ф, Я) 1

I

1

Группы -^(Ф,Я) и К2(Ф,Я) функториально зависят от Ф и от Я. Тот факт, что -1(Ф,Я) действительно группа — или, иными словами, что Е(Ф,Я) нормальна в G(Ф,Я) — совершенно нетривиален. Более того, для групп ранга 1 он и не имеет места. То, что это так для групп ранга ^ 2, составляет содержание знаменитой теоремы Суслина-Копейко-Таддеи [20,59].

Теорема 1. При гк(Ф) ^ 2 подгруппа Е(Ф,Я) нормальна в G(Ф,Я).

Этот ключевой результат позволяет сводить многие вопросы о группе Шевалле G(Ф, Я) к аналогичным вопросам для элементарной подгруппы Е(Ф,Я), в которой некоторые из них могут быть решены элементарными вычислениями.

Как только что отмечено, для полулокального кольца -1(Ф, Я) = 1, и классическая теорема Стейнберга утверждает, что для поля группа К2(Ф, Я) порождается символами Стейнберга. Еще одна теорема Стейнберга утверждает, что для конечного поля -2(Ф, К) = 1. Таким образом, односвязную группу Шевалле над полем легко задать образующими и соотношениями, так что все вопросы в G(Ф, К) могут быть решены элементарными вычислениями. В действительности, для поля можно сказать гораздо больше. А именно, в этом случае разложение Брюа уточняется до канонической формы элементов группы Шевалле G(Ф, К), которая позволяет проводить в ней эффективные вычисления. Ничего похожего в группах Шевалле над

кольцами в общем случае нет. Даже в тех случаях, когда группа —1(Ф, R) тривиальна и группа Шевалле порождается ха(Ц), в ней, вообще говоря, нет и не может быть [42] никаких канонических форм элементов в терминах элементарных образующих.

Естественно возникает вопрос, как мы можем доказывать результаты о группе С(Ф, R)? В определении этой группы участвует два параметра, система корней Ф и коммутативное кольцо R. Все известные доказательства структурных результатов о группе С(Ф, R) основаны на индукции по размерности основного кольца R, индукции по рангу группы l = Л(Ф), или комбинации того и другого.

• Мы называем доказательства, основанные на индукции по размерности dim(R), т.е. такие доказательства, которые зависят от природы основного кольца R, арифметическими. В конечном счете редукция в таких доказательствах происходит к кольцам размерности 0, скажем, к локальным или полулокальным, поэтому они часто называются также локали-зационными.

• Доказательства, основанные на индукции по рангу, функционируют исключительно в терминах геометрии модуля V, на котором действует группа, и поэтому называются геометрическими. В подобных доказательствах редукция для классических групп обычно происходит к группам ранга 1, 2 или 3, для которых все проверяется прямым матричным вычислением, а для исключительных групп — к подходящей классической подгруппе.

Локализационным методам посвящена огромная литература, поэтому ограничимся лишь несколькими замечаниями. Наиболее известным таким методом является предложенный в 1976 году Дэниэлом Квилленом и Андреем Суслиным метод localisation and patching, [20]. Заметим, что структурные теоремы в исключительных группах Шевалле, в частности, теорема Таддеи [59] и полученное Абе, Судзуки и Васерштейном [21-24], [60] описание нормальных подгрупп были впервые доказаны именно этим методом. Сформулируем окончательный результат, полученный Эйичи Абе [22,23].

Пусть A — идеал в R. Обозначим через A2 идеал, порожденный 2Ц и Ц2 для всех Ц е A. Пара (A, B) называется допустимой парой в R, если A<R, а A2 ^ B ^ A, причем при Ф ф Q аддитивная подгруппа B является идеалом в R, а при Ф = Cl требуется лишь, чтобы B выдерживала умножения на Ц2, для всех Ц е R. Аналогичное понятие можно ввести и для G2, но при этом в определении допустимой пары нужно всюду заменить 2 на 3.

Теорема 2. Предположим, что Л(Ф) ^ 2, причем если Ф = B2 или G2, у кольца R нет поля вычетов F2 из двух элементов. Тогда для любой подгруппы H в группе Шевалле С(Ф, R) нормализуемой элементарной группой Е(Ф, R) существует единственная допустимая пара (A, B) в R такая, что

Е(Ф,R, A, B) ^ H ^ С(Ф,R, A, B).

Здесь Е(Ф,Я,А, В) — нормальная подгруппа в Е(Ф,Я), порожденная элементарными корневыми унипотентами ха(^), где ^ е А для короткого корня а, и ^ е В для длинного корня а. В свою очередь, полная конгруэнц-под-группа С(Ф,Я, А, В) определяется как транспортер ^^п^Ф, R), E(Ф, R, A, B)). В научно-популярных текстах эти понятия обычно встречаются только в случае А = В, что автоматически имеет место при различных упрощающих предположениях, например, если все корни имеют одинаковую длину или если 2 е Я*. Группа Е(Ф,Я, А, А) обычно обозначается просто Е(Ф,Я, А), через G(Ф, Я, А) обозначается главная конгруэнц-подгруппа, т.е. ядро гомоморфизма редукции G(Ф, Я) ^ G(Ф, Я/А).

Мы не будем обсуждать, что происходит для типов B2 и G2 при наличии поля вычетов р2, в этих случаях полный ответ также известен [34,35], но он далек от стандартного и формулируется чрезвычайно сложно. Отметим важное дополнение к этой теореме, которое также можно доказать локализационными методами. Для случая А = В следующий результат легко вытекает из теоремы 1 при помощи релятивизации, но для А ф В нужен чуть более тонкий анализ. Для классических групп следующий результат доказан в [29,30], а для группы типа F4 — в [12,58].

Теорема 3. Предположим, что гЦФ) ^ 2, причем Ф ф B2, G2. Тогда подгруппа Е(Ф,Я, А, В) нормальна в G(Ф,Я), а С(Ф,Я, А, В) совпадает с транспортером Ъ^п^Ф,Я), Е(Ф,Я, А, В)).

Для доказательства более трудных результатов, связанных с кратным коммутированием, удобнее пользоваться другим вариантом локализации, а именно, предложенным в 1991 году Баком [27] методом localisation-completion. Чтобы продемонстрировать мощь этого метода, сформулируем два результата, полученных недавно в статьях Энтони Бака, Рузби Хазра-та и автора [31, 38, 39]. В работах [13, 39, 40, 57] можно найти доступное изложение основных идей этого метода и дальнейшие приложения.

Вильберд ван дер Каллен [43] и Энтони Бак [27] привели примеры, показывающие, что группа ^(Ф,Я) не обязана быть абелевой. Естественно возникает вопрос, насколько далеко она может отклоняться от абелевости? Так как результаты, полученные в только что упомянутых работах, носят достаточно технический характер, ограничимся двумя их простыми следствиями. В следующей теореме через 6(Я) обозначена размерность Басса—Серра кольца Я. Тот, кто не знает, что это такое, может без большого ущерба для общности считать, что 6(Я) обозначает размерность Джекобсона dim(Max(Я)).

Теорема 4. Предположим, что гЦФ) ^ 2, а 6(Я) < т. Тогда группа ^(Ф, Я) нильпотентна.

В действительности в [31] доказано, что нильпотентны даже относительные группы

^(Ф, Я, А) = G(Ф, Я, А)/Е(Ф, Я, А).

Теорема 5. Предположим, что Л(Ф) ^ 2, причем если Ф = B2 или G2, у кольца R нет поля вычетов р2 из двух элементов. Тогда группа E(Ф, R) может быть охарактеризована как наибольшая совершенная подгруппа в

С(Ф, R).

Заметим, что отсюда сразу вытекает не только то, что элементарная подгруппа E(Ф, R) нормальна в группе Шевалле, но и то, что она вполне характеристична там, что, в частности, усиливает результат Васерштейна [60] — и при этом не ссылается на описание нормальных подгрупп в G(Ф, R)!

Перейдем теперь к основной теме настоящего доклада, вычислениям с группами Шевалле в минимальных представлениях. Обычно для приложений в структурной теории для каждого типа достаточно хорошо понять какое-то одно представление. По причинам технического характера удобнее всего работать с базисными представлениями, для которых все ненулевые веса образуют одну вейлевскую орбиту. Пусть п — представление группы Шевалле G = G(Ф, R) на модуле Вейля V = V(щ) со старшим весом ш = гог-, а п = dim(V). Через Л = Л(ш) обозначается множество весов модуля V с кратностями. Для микровесового представления Л = Щ^^, а для присоединенного представления системы с простыми связями, кроме того, появляется нулевой вес кратности равной рангу.

В дальнейшем мы фиксируем допустимый базис vх, X е Л, модуля V. Обычно для практических вычислений удобно накладывать на этот базис какие-то дополнительные требования положительности, например, брать кристаллический базис в микровесовом случае и положительный базис Ше-валле в присоединенном представлении. При этом элемент g е G(Ф,R) обычно отождествляется со своим образом в представлении п и изображается (п X ^-матрицей g = ^х^), X, ц е Л, по отношению к базису vх. Как обычно, столбцами этой матрицы являются столбцы координат векторов gvц, ц е Л, по отношению к базису vх, X е Л. Мы будем часто пользоваться следующим обозначением: ц-й столбец матрицы g будет обозначаться через , а Х-я строка — через gх*. Обратная к g матрица обозначается g-1 = ^^), X, ц е Л.

В работах Хидейя Мацумото [45] и Майкла Штейна [53] была развита техника вычислений с отдельными столбцами и строками матриц из G. По причинам исторического характера в [16, 61, 66] такие вычисления называются стабильными. В стабильных вычислениях достаточно пользоваться квадратичными уравнениями на столбцы матриц из G, причем часто лишь уравнениями на часть столбцов — обычно просто уравнениями на орбиту старшего веса [44] — и даже лишь частью этих уравнений [6, 7, 63]. Основным инструментом при проведении таких вычислений являются весовые диаграммы, которые позволяют визуализировать происходящее и с успехом заменяют матрицы больших степеней. Мы отсылаем читателя к статье [48], где собраны весовые диаграммы всех базисных и присоединенных представлений, а также к [4, 61, 63], где можно найти детальную библиографию.

В работе автора, Евгения Плоткина и Алексея Степанова [16] было замечено, что основные структурные теоремы — теоремы 1 и 2, а также многое другое — легко вытекают из следующего результата. Этот результат кажется техническим, но в действительности его смысл состоит в том, что он полностью сводит вычисления, нужные для доказательства структурных теорем, к элементарным и стабильным вычислениям. Хотя, конечно, чтобы понять это, необходимо разобрать его доказательство хотя бы в каких-то случаях и посмотреть, как он применяется в конкретных ситуациях для доказательства теорем 1 и 2. Проще всего сделать это по работам Алексея Степанова и автора [55, 61], где детально рассмотрены классические случаи. В [16] этот метод был назван разложением унипотентов.

Напомним, что наряду с корневыми элементами gxа(^)g-1, где g е G, а е Ф, ^ е Я, можно рассматривать элементы корневого типа, которые удовлетворяют тем же уравнениям, что корневые элементы [61, 63]. Над полем класс элементов корневого типа совпадает с классом корневых элементов. Однако, над кольцом это, вообще говоря, совершенно не так — например, не каждая трансвекция в SL(n, ^ сопряжена с элементарной трансвекцией.

Теорема 6. Пусть л — какое-то базисное представление группы Ше-валле G = G(Ф,Я) ранга ^ 2. Тогда для любого g е л^) группа Е(Ф,Я) порождается элементами корневого типа г е Е(Ф, Я) такими, что zg*^l = g*^ для некоторого столбца матрицы g.

Иными словами, для микровесового представления л утверждается, что Е(Ф, Я) порождается такими элементами г корневого типа, что как г, так и gzg-1 лежат в собственных параболических подгруппах, причем gzg-1 лежит в подгруппах вида Р™, где щ — старший вес представления л, а ^ е Ж(Ф). В действительности во многих случаях — например, для систем с простыми связями — разложение унипотентов можно сформулировать гораздо точнее, как явные полиномиальные формулы, выражающие gxакак произведение элементов корневого типа, лежащих в собственных параболических подгруппах.

Для классических групп в векторных представлениях реализация этой программы не представила значительных трудностей, притом даже в гораздо более общих ситуациях [15, 30, 55]. Однако, получение аналогичных результатов для исключительных групп оказалось совсем не таким простым делом, как это нам первоначально представлялось.

• Прежде всего, в этом доказательстве приходится самым существенным образом использовать явное знание структурных констант действия и уравнений на орбиту старшего веса. Первоначально мы опирались на компьютерные вычисления для проверки согласованности знаков. Побочным продуктом этой деятельности являются работы [11, 64, 66], содержащие явные вычисления структурных констант, корневых элементов, уравнений и т.д. Лишь гораздо позже для случаев ^6, Ш1), ^7, ГО7) и ^6, Ш2) удалось

записать такие доказательства, которые могут быть проведены и, может быть, даже проверены без участия компьютера, см., в частности, [4, 6, 7, 63].

• Кроме того, эти доказательства зависят от существования огромных классических подгрупп в исключительных группах, таких, скажем, как A5 ^ E6 и A7 ^ E7 для микровесовых представлений или, соответственно, D5 ^ E6, D6 ^ E7 и D8 ^ E8 для присоединенных. Таким образом, никакие дополнительные усилия не позволят нам стабилизировать этим методом одновременно два столбца матрицы g, с тем, чтобы попасть в субмаксимальную параболическую подгруппу. В дипломной работе моего

студента Михаила Гавриловича [8] предложен новый геометрический подход к доказательству структурных теорем для групп типов E6, E7, который мы назвали доказательством из Книги. За счет совсем простых теоретико-групповых соображений в этом доказательстве нам удалось полностью избежать ссылок на знаки структурных констант. Что еще более замечательно, в этом доказательстве вообще не используются какие-либо неочевидные уравнения на элементы матриц g = ^хц) е п^), даже квадратичные уравнения на столбцы! Единственное, на что мы при этом ссылаемся, это линейные уравнения на элементы алгебр Ли. Как заметил ван дер Кал-лен, было бы подозрительно, если бы в подобном доказательстве удалось использовать меньше информации о группе!

В дальнейшем в дипломной работе Сергея Николенко [12] аналогичное доказательство было получено для случая F4. Здесь доказательство уже значительно сложнее, так как теперь мы можем пользоваться только длинными корнями, которых в F4 в три раза меньше, чем в E6. К сожалению, для случая E8 нам пока не удалось полностью преодолеть технические трудности, связанные с тем, что Ф 0. Основной вычислительный трюк работы [8] можно сформулировать следующим образом. Ограничимся для простоты случаями Ф = E6, E7, все детали для F4 можно найти в [9, 12].

Теорема 7. Пусть z е G(Ф,R), Ф = E6, E7, причем g = [2, xs(1)] нецентрален. Тогда существует элемент корневого типа x = xp1(^)Xp2(Z) такой, что (xg)*ц = g*ц для некоторого веса ц и [г, g] Ф e.

Тот факт, что в доказательстве предыдущей теоремы используются только вложения A2 ^ E6, E7, оставляет нам большую свободу. Например, одной из центральных открытых проблем этой теории является вопрос о центральности Полное опубликованное доказательство имеется только в случае Ф = Al, оно было получено около 30 лет назад Вильбердом ван дер Калленом [41] и Маратом Туленбаевым. В 1998 году Бак и Танг объявили доказательство для Ф = Cl, Dl, но детали вычислений до сих пор не опубликованы. Используя вложения Aз ^ E6, E7, можно доказать такой вариант теоремы 7, см. [65].

Теорема 8. Пусть z е G

такой, что (xg)*x = g*x, (xg)*^ = g*^ для некоторых весов X, ^ на расстоянии 1 и [x,g] ф е.

Эта теорема позволяет строить такие модели групп Стейнберга St(Ф,Я), Ф = E6, E7, для которых ядро проекции на элементарную группу Е(Ф,Я) центрально. Разумеется, это только самое начало работы по обобщению [41], так как теперь для завершения доказательства центральности ^ остается сделать самое главное, а именно, доказать изоморфизм этих моделей с обычными группами Стейнберга соответствующих типов! Заметим, что для Ф = F4 доказательство из [12] не может быть усилено подобным образом, так что никакой надежды доказать центральность ^ для этого случая таким методом нет. Совершенно другой подход к доказательству этого результата, который, возможно, работает и для F4, был анонсирован в 2005 году Виктором Петровым, но детальное доказательство также еще не появилось.

Выше я пытался объяснить, как проводить вычисления в группе Шевал-ле G пользуясь минимумом информации об уравнениях, задающих группу. С другой стороны, сами уравнения, определяющие принадлежность индивидуальной матрицы образу л^) группы G в минимальном представлении, не являются секретом. Например, в недавней работе автора и Александра Лузгарева [10] явно строится идеал I в кольце целочисленных многочленов Xl,..., X27], порожденный 27 квадратичными формами /1,...,/27, обладающий следующим свойством. Обозначим через FixR(I) множество Я-линейных преобразований, сохраняющих идеал I, см. [67] или [10] по поводу точных определений.

Теорема 9. Пусть Я — любое коммутативное кольцо. Тогда ЩЕ(Е6,Щ) = ЩО(Е6,Щ) = Тгж(Е(Е6,К),0(Е6,К)) = Е6,К) = Бх хд(/).

Все нормализаторы и транспортеры здесь берутся в ОЬ(27,Я), а С(Еб,И) обозначает расширенную группу Шевалле типа E6, см. [3,5,32]. Разумеется, для полей характеристики 0 этот результат классически известен, 27 квадратичных форм — это в точности первые частные производные инвариантной кубической формы. План доказательства в общем случае следует Уильяму Уотерхаузу [67]. Основные технические сложности при переходе к произвольным коммутативным кольцам, это борьба с характеристиками 2 и 3 — что было проделано Майклом Ашбахером [25, 26] — и проверка гладкости схемы Я ^ FixR(I). К сожалению, для E7 нам пока удается получить аналогичный результат только при дополнительном предположении 2 е Я*, серьезные проблемы здесь возникают уже для полей характеристики 2, см. [26, 36].

В заключение сформулируем основной результат работы Алексея Степанова и автора [56], в доказательстве которого приходится использовать как локализационные, так и геометрические методы. Линейный случай был ранее рассмотрен в [50].

Теорема 10. Пусть G = G(Ф,R) — группа Шевалле ранга ^ 2, а кольцо R конечномерно, d = dim(Max(R)) < т. Тогда существует натуральное число г, зависящее только от Ф и d такое, что каждый коммутатор [%, Щ] элементов g е G(Ф, R) и Щ е E(Ф, R) является произведением не более, чем г элементарных трансвекций.

К сожалению, в рамках доклада невозможно упомянуть все полученные в этой области результаты. В частности, мы вообще не затронули вопросы стабилизации ^-функторов (см. [28, 49, 47, 53]), различные вопросы описания подгрупп и надгрупп (см. ссылки в [13, 14, 17, 46, 54, 57, 62]), комбинаторной геометрии унипотентных подгрупп и торов, автоморфизмы [1], эффективные задания образующими и соотношениями, геометрию разложений типа Брюа, формы исключительных групп и многое другое. Во всех этих направлениях петербургскими математиками в последние 4-5 лет были получены важные, в некоторых случаях решающие, продвижения.

Литература

[1] Абе, Э. Автоморфизмы групп Шевалле над коммутативными кольцами / Э. Абе // Алгебра и Анализ. - 1993. - Т. 5. - №2. - С. 74-90.

[2] Борель, А. Свойства и линейные представления групп Шевалле / А. Борель // Семинар по алгебраическим группам. - М.: Мир, 1973. -С. 9-59.

[3] Вавилов, Н.А. Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор / Н.А. Вавилов // Труды Ленингр. Мат. Об-ва. - 1990. - Т. 1. -С. 64-109

[4] Вавилов, Н.А. Как увидеть знаки структурных констант? / Н.А. Вавилов // Алгебра и Анализ. - 2007. - Т. 19. - №4. - С. 34-68.

[5] Вавилов, Н.А. Весовые элементы групп Шевалле / Н.А. Вавилов // Алгебра и Анализ. - 2008. - Т. 20. - №1. - С. 34-85.

[6] Вавилов, Н.А. Нумерология квадратных уравнений / Н.А. Вавилов // Алгебра и Анализ. - 2008. - Т. 20. - № 3.

[7] Вавилов, Н.А. Разложение унипотентов в присоединенном представлении группы Шевалле типа E6 / Н.А. Вавилов // Алгебра и Анализ (появится).

[8] Вавилов, Н.А. A2-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов E6 и E7 / Н.А. Вавилов, М.Р. Гаврилович // Алгебра и Анализ. - 2004. - Т. 16. - №4. - С. 54-87.

[9] Вавилов, Н.А. Строение групп Шевалле: док-во из кн. / Н.А. Вавилов, М.Р. Гаврилович, С.И. Николенко // Зап. науч. семин. ПОМИ. -2006. - Т. 330. - С. 36-76.

[10] Вавилов, Н.А., А.Ю. Лузгарев Нормализатор группы Шевалле типа E6 / Н.А. Вавилов, А.Ю. Лузгарев // Алгебра и Анализ. - 2007. -Т. 19. - №5. - С. 35-62.

[11] Вавилов, Н.А. Группа Шевалле типа F4 в 27-мерном представлении / Н.А. Вавилов, А.Ю. Лузгарев, И.М. Певзнер // Зап. науч. семин. ПО-МИ. - 2008. - Т. 20. - №2. - С. 5-68.

[12] Вавилов, Н.А. A2-доказательство структурных теорем для групп Шевалле типов F4 / Н.А. Вавилов, С.И. Николенко // Алгебра и Анализ. - 2008. - T.20. - №2.

[13] Вавилов, Н.А. О надгруппах Ep(2l, R) / Н.А. Вавилов, В.А. Петров // Алгебра и Анализ. - 2003. - Т. 15. - №3. - C. 72-114.

[14] Вавилов, Н.А. О надгруппах EO(n, R) / Н.А. Вавилов, В.А. Петров // Алгебра и Анализ. - 2007. - Т. 19. - №2. - C. 10-51.

[15] Вавилов, Н.А. Поливекторное представление GLn / Н.А. Вавилов, Е.Я. Перельман // Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2006. - Т. 338. -С. 69-97.

[16] Вавилов, Н.А. Вычисления в группах Шевалле над коммутативными кольцами / Н.А. Вавилов, Е.Б. Плоткин, А.В. Степанов // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 40. - №1. - C. 145-147.

[17] Лузгарев, А.Ю. О надгруппах E(E6, R) и E(E7, R) в минимальных представлениях / А.Ю. Лузгарев // Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2004. -Т. 319. - С.216-243.

[18] Спрингер, Т.А. Линейные алгебраические группы / Т.А. Спрингер // Итоги науки и техн., Сер. Соврем. проблемы мат. Фундам. направления. - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 55. - С. 5-136.

[19] Стейнберг, Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. - М.: Мир, 1975. - 262 с.

[20] Суслин, А.А. О структуре специальной линейной группы над кольцом многочленов / А.А. Суслин // Изв. АН СССР, Сер. Мат. - 1977. -Т. 141. - №2. - С. 235-253.

[21] Abe, E. Chevalley groups over local rings / E. Abe // Tohoku Math. J. -1969. - V. 21. - №3. - P. 474-494.

[22] Abe, E. Chevalley groups over commutative rings / E. Abe // Proc. Conf. Radical Theory, Sendai. - 1988. - P. 1-23.

[23] Abe, E. Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings / E. Abe // Contemp. Math. - 1989. - V.83. - P. 1-17.

[24] Abe, E. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings / E. Abe, K. Suzuki // Tohoku Math. J. - 1976. - V.28. - №1. -P.185-198.

[25] Aschbacher, M. The 27-dimensional module for E6. I-IV / M. Aschbacher // Invent. Math. - 1987. - V. 89. - №1. - P. 159-195; J. London Math. Soc. - 1988. - V. 37. - P. 275-293; Trans. Amer. Math. Soc. - 1990. -V. 321. - P. 45-84; J. Algebra. - 1991. - V. 191. - P. 23-39.

[26] Aschbacher, M. Some multilinear forms with large isometry groups / M. Aschbacher // Geom. dedic. - 1988. - V.25. - №1-3. - P. 417-465

22 Н.А. BaenAoe

[27] Bak, A. Non-abelian K-theory: the nilpotent class of K1 and general stability / A. Bak // K-Theory. - 1991. - V. 4. - P. 363-397.

[28] Bak, A. Stability for quadratic K1 / A. Bak, V. Petrov, Gouping Tang // K-Theory. - 2003. - V.30. - №1. - P. 1-11.

[29] Bak, A. Normality of the elementary subgroup functors / A. Bak, N. Vav-ilov // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1995. - V. 118. - №1. -P. 35-47.

[30] Bak, A. Structure of hyperbolic unitary groups I. Elementary subgroups / A. Bak, N. Vavilov // Algebra Colloquium. - 2000. - V. 7. - №2. -P. 159-196.

[31] Bak, A. Localisation-completion: application to classical-like groups / A. Bak, R. Hazrat, N. Vavilov //J. Pure Appl. Algebra (to appear).

[32] Berman, S. Extensions of Chevalley groups / S. Berman, R.V. Moody // Israel J. Math. - 1975. - V. 22. - №1. - P. 42-51.

[33] Carter, R.W. Simple groups of Lie type / R.W. Carter. - London: Wiley, 1972. - 331 p.

[34] Costa, D.L. Radix redux: normal subgroups of symplectic groups / D.L. Costa, G.E. Keller // J. Reine Angew. Math. - 1991. - V. 427. -№ 1. - P. 51-105.

[35] Costa, D.L. On the normal subgroups of G2(A) / D.L. Costa, G.E. Keller // Trans. Amer. Math. Soc. - 1999. - V.351. - №12. -P. 5051-5088.

[36] Cooperstein, B.N. The fifty-six-dimensional module for E7. I. A four form for E7 / B.N. Cooperstein // J. Algebra. - 1995. - V. 173. - P. 361-389.

[37] Hahn, A. The classical groups and K-theory / A. Hahn, O.T. O'Meara Springer-Verlag. - N.Y. et al. - 1989. - 576 p.

[38] Hazrat, R. Dimension theory and non-stable K1 of quadratic module / R. Hazrat // K-Theory. - 2002. - V. 27. - P. 293-327.

[39] Hazrat, R. K1 of Chevalley groups are nilpotent / R. Hazrat, N. Vavilov // J. Pure Appl. Algebra. - 2003. - V. 179. - P. 99-116.

[40] Hazrat, R. Bak's work on lower K-theory of rings / R. Hazrat, N. Vav-ilov // (to appear).

[41] van der Kallen, W. Another presentation for Steinberg groups / W. van der Kallen // Indag. Math. - 1977. - V. 39. - №4. - P. 304-312.

[42] van der Kallen, W. SL3(C[x]) does not have bounded word length / W. van der Kallen // Springer Lecture Notes Math. - 1982. - V. 966. - P. 357-361.

[43] van der Kallen, W. A module structure on certain orbit sets of unimodular rows / W. van der Kallen // J. Pure Appl. Algebra. - 1989 - V. 57. -№3. - P. 281-316.

[44] Lichtenstein, W. A system of quadrics describing the orbit of the highest weight vector / W. Lichtenstein // Proc. Amer. Math. Soc. - 1982. -V. 84. - №4. - P. 605-608.

[45] Matsumoto, H. Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples deployes / H. Matsumoto // Ann. Sci. École Norm. Sup. (4). - 1969. -V.2. - P. 1-62.

[46] Petrov, V.A. Overgroups of unitary groups / V.A. Petrov // K-Theory. -2003. - V. 29. - P. 147-174.

[47] Plotkin, É. On the stability of K1-functor for Chevalley groups of type E7 / É. Plotkin // J. Algebra. - 1998. - V.210. - P. 67-85.

[48] Plotkin, É. Visual basic representations: an atlas / É. Plotkin, A. Semen-ov, N. Vavilov // Internat J. Algebra Comput. - 1998. - V. 8. - №1. -P. 61-95.

[49] Plotkin, É.B. Stability of ^-functors modeled on Chevalley groups, revisited / É.B. Plotkin, M.R. Stein, N.A. Vavilov. - (to appear).

[50] Sivatsky, A. On the word length of commutators in GLn(R) / A. Sivatsky, A. Stepanov // K-Theory. - 1999. - V. 17. - P. 295-302.

[51] Springer, T.A. Octonions, Jordan algebras and exceptional groups / T.A. Springer, F.D. Veldkamp. - Berlin, 2000. - 208 p.

[52] Stein, M.R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings / M.R. Stein // Amer. J. Math. - 1971. - V. 93. -№4. - P. 965-1004.

[53] Stein, M.R. Stability theorems for K1, K2 and related functors modeled on Chevalley groups / M.R. Stein // Japan J. Math. - 1978. - V. 4. -№1. - P. 77-108.

[54] Stepanov, A. Nonstandard subgroups between En(R) and GLn(A) / A. Stepanov // Algebra Colloquium. - 2004. - V. 10. - №3. - P. 321-334.

[55] Stepanov, A. Decomposition of transvections: a theme with variations / A. Stepanov, N. Vavilov // K-Theory. - 2000. - V. 19. - P. 109-153.

[56] Stepanov, A. On the length of commutators in Chevalley groups / A. Stepanov, N. Vavilov (to appear).

[57] Stepanov A. Overgroups of semi-simple subgroups via localisation-completion / A. Stepanov, N. Vavilov, Hong You (to appear).

[58] Suzuki, K. Normality of the elementary subgroups of twisted Chevalley groups over commutative rings / K. Suzuki // J. Algebra. - 1995. -V. 175. - №3. - P. 526-536.

[59] Taddei, G. Normalite des groupes elementaire dans les groupes de Chevalley sur un anneau / G. Taddei // Contemp. Math. - 1986. - V. 55. -Part II. - P. 693-710.

[60] Vaserstein, L.N. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings / L.N. Vaserstein // Tohoku Math. J. - 1986. - V. 36. - №5. -P. 219-230.

[61] Vavilov, N.A. Structure of Chevalley groups over commutative rings / N.A. Vavilov // Proc. Conf. Nonassociative algebras and related topics. Hiroshima, 1990. - London: World Scientific, 1991. - P. 219-335.

[62] Vavilov, N.A. Intermediate subgroups in Chevalley groups / N.A. Vav-ilov // Groups of Lie Type and their Geometries (Como, 1993). - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. - P. 233-280.

[63] Vavilov, N.A. A third look at weight diagrams / N.A. Vavilov // Ren-diconti del Seminario Matem. dell'Univ. di Padova. - 2000. - V. 204. -P. 1-45.

[64] Vavilov, N.A. Do it yourself structure constants for Lie algebras of type El / N.A. Vavilov // Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2001. - V.281. -P. 60-104.

[65] Vavilov, N.A. An A3-proof of structure theorems for Chevalley groups of types E6 and E7 / N.A. Vavilov // Int. J. Algebra Comput. - 2007. -V. 17. - № 5-6. - P. 1283-1298.

[66] Vavilov, N.A. Chevalley groups over commutative rings. I. Elementary calculations / N.A. Vavilov, E. Plotkin // Acta Applicandae Math. -1996. - V. 45. - No1. - P. 73-113.

[67] Waterhouse, W.C. Automorphisms of det(Xij): the group scheme approach / W.C. Waterhouse // Adv. Math. - 1987. - V.65. - No 2. -P. 171-203.

Поступила в редакцию 17/IX/2007;

в окончательном варианте - 17/IX/2007.

CALCULATIONS IN EXCEPTIONAL GROUPS

© 2007 N.A. Vavilov3

This is the text of a talk at the International Conference in Algebra and Number Theory, dedicated to the 80-th anniversary of Prof. V.E. Voskresenskii (Samara, 2007). We describe calculations in Chevalley groups 0(Ф,R) over a commutative ring. We formulate recent results by A. Bak, R. Hazrat and the author on the nilpotent structure of ^1(Ф,R), based on the method of localisation-completion. We thoroughly discuss geometric approaches to proof of main structure theorems, both the decomposition of unipotents developed by A. Stepanov, the author and E. Plotkin since 1990, and the proof from the book « A2-proof, discovered recently by the author, M. Gavrilovich and S.Nikolenko. We give also closely related results, such as the main lemma of the A3-proof, proposed by the author to assault centrality of К2(Ф, R) for exceptional groups; a characterisation of the extended Chevalley group of type E6 over an arbitrary commutative ring, found recently by the author and A. Luzgarev; and finiteness of commutators in elementary generators, established by A. Stepanov and the author.

Paper received 17/IX/2007. Paper accepted 17/IX/2007.

3Vavilov Nikolam Alexandrovich (nikolai-vavilov@yandex.ru), Dept. of Higher Algebra and Number Theory, Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, Petrodvotets, Russia.