О некоторых отношениях эквивалентности на классе тихоновских пространств

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 3

МАТЕМАТИКА

УДК 515.12

В.Р. Лазарев

О НЕКОТОРЫХ ОТНОШЕНИЯХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НА КЛАССЕ ТИХОНОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Предложен метод, порождающий отношения эквивалентности на классе тихоновских пространств. Показано, что известные отношения и, ^ и ^эквива-лентности являются частными случаями отношений, порожденных данным методом. Приведены новые примеры отношений эквивалентности, сохраняющих компактность, число Линделёфа и размерность.

Ключевые слова: пространство непрерывных функций, иэквивалентность, иэквивалентность.

Всюду ниже символом СР(Х) обозначается пространство непрерывных вещественнозначных функций с топологией поточечной сходимости, заданных на тихоновском топологическом пространстве X . Последнее же именуется топологическим пространством, или просто пространством.

Топологические пространства вида СР(Х) служат предметом изучения так называемой Ср-теории.

Один из основных её разделов занимается вопросом о том, насколько сходными обязаны быть свойства пространств X, У, если Ср(Х), Ср(У) линейно гомео-морфны, равномерно гомеоморфны, или гомеоморфны (в этих случаях говорят,

I и

что X, У являются /-, и- или ¿-эквивалентными и кратко пишут X ~ У, X ~ У,

t

X ~ У соответственно). Оказывается, что эти наиболее активно изучаемые ситуации можно рассмотреть с некоторой единой точки зрения.

А именно, каждый гомеоморфизм Ь:Ср(Х)^Ср(У) со свойством Н(Ох) = Оу, где Ох, Оу - тождественно нулевые функции на X, У соответственно, задаёт двойственное отображение И*: С° Ср (Г) ^ С0 Ср (X) между пространствами непрерывных функций на Ср(У), Cp(X), равных нулю в точках Оу, Ох соответственно. Элементы пространств С0 Ср (X), С0 Ср (У) мы далее называем функционалами. Через Lp(X), Up(X) обозначаются пространства линейных, соответственно равномерно непрерывных функционалов на Cp(X). Отображение Н действует по правилу (Н (/))(ф) = _ДН(ф)), ф е Cp(X). Оно линейно и мультипликативно.

Определение 1. Пусть Е с С° Ср (X), Г с С0 Ср (У). Скажем, что гомеоморфизм Н имеет тип (Е;Р), если Н*(У) с Е, (Н*)1^ с К

Замечание. Понятно, что если гомеоморфизм Н:Cp(X)^'Cp(Y) имеет тип (Е;^) и ЕсЕ\, ЕсЕ\, то Н имеет тип (Еь^).

Примерами гомеоморфизмов типа (E;F) могут служить широко изучаемые линейные, равномерные и общие гомеоморфизмы пространств непрерывных функций.

Теорема 1. Пусть h:Cp(X)^Cp(Y) - гомеоморфизм типа (E;F). Тогда

(а) E = X, F = Y, если и только если X ~ Y,

I

(б) E = Lp(X), F = Lp(Y), если и только если X ~ Y,

U

(в) E = Up(X), F = Up(Y) если и только если X ~ Y,

t

(г) E = CpCp (X) , F = СCp (Y) , если и только если X~ Y .

Доказательство. Во всех четырёх пунктах очевидна достаточность указанных эквивалентностей. Покажем их необходимость.

(а) По определению гомеоморфизма типа (E;F), имеем h (Y) с X, (h )-1(X) с Y. Следовательно, h (Y) = X.

(б) В силу линейности отображения h*, из h * (Y) с Lp(X) следует

h* (Lp(Y)) с Lp(X). Аналогично,

(h*yl(Lp(X)) с Lp(Y). Таким образом, Lp(X) и Lp(Y) линейно гомеоморфны, что

i

по следствию 0.5.12. из [1] означает, что X ~ Y.

(в) Покажем, что отображение h равномерно непрерывно. Зафиксируем произвольную окрестность W = W(OY, K, s) точки OY е Cp(Y). Здесь s > 0, K = (yb...,y) с Y. Так как h типа (Up(X);Up(Y)), то h (K) с Up(X). Поэтому для каждого yi существует 8i > 0 и конечное множество Ki с X, такое, что если Ф, у е Cp(X) и |ф - у| е V = V(Ox, Ki, 8/), то |(h уг)(ф) - (h Vi)(y)| < s. Положим 50 = min(5i,.,8„), Ko = KiU...uK„, V0 = V0(Ox, K0, 80), и пусть ф, у е Cp(X) такие, что |ф - у| е V0. Тогда при каждом i, 1 < i < n, выполнено |(h _yi•)(ф) - (hy)(v)| = = [y-(h^)) - y(h(y))| = |h(ф) - h(y)|(y) < s, то есть ^(ф) - h(y)| е W. Это и означает, что отображение h равномерно непрерывно. Рассуждая симметричным образом, можно доказать, что и отображение h-1 равномерно непрерывно. Это завершает доказательство пункта (в).

Справедливость (г) очевидна.

Приведём ещё два заслуживающих внимания примера конкретного выбора подмножеств E, F.

Пример 1. Пусть Е, - линейный функционал на Cp(X), nеN. Степенным функционалом (степени n) назовём функционал , действующий по правилу ^"(ф) = (^(ф))и. Если ^1,...,^m - линейные функционалы с дизъюнктными носителя-

m n

ми, то функционал вида p = 22 aj Ы , где все aiJ из R, назовём многочленом.

/=1 j=1

Множество всех многочленов будем обозначать через Mp(X).

Очевидно, что при n = 1 мы получим обычные линейные функционалы, так что Lp(X) с Mp(X).

Каждому многочлену p можно естественным образом поставить в соответст-

m

вие конечное множество supp p = U supp ^г-, которое уместно называть носителем

i= 1

многочлена p.

Пример 2. Функционал ^СДХ^И вида d = х!у ... , действующий по пра-

к

вилу d(ф) = П (ф (Х1 )) , где х1 е Х, п1 е N при всех г от 1 до к, назовём мономом.

/=1

Множество всех мономов обозначим через -ОДХ).

Аналогично примеру 1, для каждого монома также можно определить носитель: Бирр^ = {хь...,хк}.

Пусть теперь к:Ср(Х)^Ср(У) - гомеоморфизм типа (Е;Р), где

(Е;Г) = (Мр(Х) ; Мр(У)) или (Е;Г) = фДХ) ; Ор(У)). В обоих случаях определены конечнозначные отображения БМ:У^Х, Бм(у) = $>иррку, ТМ-Х^У, ТМ(х) = $>ирр(Н*у1х и соответственно Бв:У^Х, Т^Х^-У, задаваемые аналогично. Для первого из указанных случаев введём множества Хп = {хеХ; |ТМ(х)|<п}, X" = Х"+1\Х" и симметрично определяемые множества У", У" для всех nеN.

Ниже мы формулируем несколько утверждений (лемма 1, следствия 1 - 4) относительно свойств отображения БМ. Понятно, что в силу равноправного положения отображений БМ и ТМ последнее обладает теми же свойствами. Доказательства этих утверждений можно найти в статье [2] (лемма 2 и следствия из неё).

Лемма 1. Пусть уеУ, |Бм(у)| = к(у), {и1,.,ик(у)} - произвольная дизъюнктная система окрестностей точек из БМ(у). Тогда у точки у найдется окрестность Уу, целиком состоящая из точек г, для которых БМ^) п и1 Ф 0 для всех г = 1,...,к(у).

Следствие 1. Отображение БМ полунепрерывно снизу.

Следствие 2. Отображение БМ: У"^Хполунепрерывно сверху при любом nеN.

Следствие 3. У ~ " замкнуто в У при любом nеN.

Следствие 4. Если уеУ, то уеи{ТМ(х); хеБМ(у)}. В частности, отображение БМ сюръективно.

Формулируемая ниже теорема обобщает теорему статьи [2], поскольку введённое в [2] множество Мр

Теорема 2. Если Х, У - пространства со счётной базой, а к:Ср(Х)^Ср(У) - гомеоморфизм типа (Мр(Х) ; Мр(У)), то ШшХ = ШшУ.

Лемма 2. Отображения Бв и Тв сюръективны и полунепрерывны сверху.

Доказательство. Ясно, что достаточно доказать утверждение для Бв. Сюръек-тивность можно доказать так же как следствие 5 в статье [2]. Докажем, что Бв полунепрерывно сверху. Пусть уе У и G - открытое в Х множество, содержащее Бв(у) = {хь...,хк}. Пусть и - окрестность множества Бв(у), содержащаяся в G. Пусть, далее, функция ф е Ср(Х) такова, что ф(х1) =.= ф(хк) = 1 и ф тождественно равна нулю вне и. Рассмотрим У = (А(ф))-1(И\{0}). Ясно, что У открыто в У. Так как (Н(ф))(у) = (Н*(у))(ф) = (ф (х ))п •... • (ф (хк ))”* = 1, то уеУ. Если геУ и х0еБ0(г)\и, то выражение (к(ф))(г) = (к*(г))(ф) содержит сомножитель (ф(х0 ))”0 = 0, и потому (й(ф))(г) = 0. Следовательно, гг У. Заключаем, что ге У ^ Бв(г)си, что и доказывает требуемую полунепрерывность сверху.

Теорема 3. Если А:Ср(Х)^Ср(У) - гомеоморфизм типа фДХ) ; Ор(У)), то 1(Х) = 1(У). Если Х компактно, то и У компактно.

Доказательство. Пусть пространство X компактно (соответственно l(X) < т, где т - некоторый кардинал). Пусть у - произвольное открытое покрытие пространства Y. Рассмотрим семейство уь состоящее из объединений всевозможных конечных подсемейств семейства у. Для каждой точки x из X зафиксируем элемент V(x) из уь такой, что TD(x) с V(x), а также окрестность U(x), для которой справедливо TD(U(x)) с V(x). Из открытого покрытия {U(x): x е X} пространстваX извлечём конечное (соответственно мощности не свыше т) подпокрытие. Соответствующие множества V(x) образуют подсемейство той же мощности в уь покрывающее Y в силу сюръективности отображения TD. Для завершения доказательства остаётся учесть, что каждое множество V(x) есть объединение лишь конечного числа элементов из у.

Определение 2. Пространства X и Y назовём (^^-эквивалентными, если существует гомеоморфизм h:Cp(X)^Cp(Y), представимый как композиция конечного числа гомеоморфизмов типа (E;F). Факт (Е^-эквивалентности пространств Xи Y

будем кратко записывать так: X ~ Y. При (E;F) = (Mp(X) ; Mp(Y)) будем писать

m

X ~ Y и говорить, что Xи Ym-эквивалентны, а при (E;F) = (Dp(X) ; Dp(Y)) - писать

d

X ~ Y и говорить, что X и Y d-эквивалентны.

В обозначениях определения 2 можно так сформулировать элементарные следствия из теорем 2 и 3:

Следствие 5. (а) Если пространства X и Y m-эквивалентны и имеют счётную базу, то dimX = dimY.

(б) Если пространства X и Y d-эквивалентны и одно из них компактно, то и другое компактно.

(в) Если пространства X и Y d-эквивалентны, то l(X) = l(Y).

В связи с определением 2 возникают два вопроса.

Вопрос 1. При каком выборе подмножеств E с C°pCp(X), F с C0Cp (Y) из

определения 2 можно исключить слова «представимый как композиция конечного числа гомеоморфизмов»?

Вопрос 2. Каковы взаимосвязи между (Е^-эквивалентностями, определяемыми различным выбором пар (E;F)?

В направлении исследования второго вопроса идёт следующее Предложение. Для любого пространства X верно равенство Mp(X)nUp(X) = Lp(X).

Доказательство. Каждый линейный функционал, как уже упоминалось, является многочленом. В то же время, как известно, он равномерно непрерывен. Так что Mp(X)<^Up(X) з Lp(X). Покажем обратное включение. Для этого достаточно

m n

показать, что если peMp(X)\Lp(X), то pi Up(X). По определению p = 22 aijЫ , и

i =1 j=1

мы предполагаем, что существуют индексы k, l, 1< k <m, l > 2, такие, что aki ^ 0. Рассмотрим некоторую точку xesupp^k и функцию yeCp(X), такую, что ty(X) с [0;1] и равную нулю на всём носителе многочлена р, кроме точки x, где 9(x) = 1. Пусть T = {t-ф; teR}cCp(X). Тогда сужение многочлена р на

множество T есть степенная функция от t степени не ниже 2. В самом деле, ^Оф) = ан-О^ф))1 = aн•(t•afa;•ф(x))/ = akV •t (здесь afe - коэффициент линейного функционала при точке x). Поэтому при любом 8 > 0 можно выбрать достаточно большие по абсолютной величине t, s , такие, что |t—s| < 8, но [p(t- ф)—p(s • ф)| > 1. Поскольку |(t • ф)^)—(s • ф)(х)| = |(t—s) • ф(х)| < 8 при любом xeX, то заключаем, что p не равномерно непрерывен.

Следствие 6. Каждый равномерный гомеоморфизм h:Cp(X)^Cp(Y) типа (Mp(X) ; Mp(Y)) линеен.

ЛИТЕРАТУРА

1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

2. Лазарев В.Р. О полиномиальных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2007. № 1. С. 28 - 32.

Статья принята в печать 16.10.2008 г.