Моделирование развития пластической деформации с учетом зарождения дефектов на границах раздела

Моделирование развития пластической деформации с учетом зарождения дефектов на границах раздела

В.А. Романова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Проведено моделирование нагружения материала с внутренней структурой с использованием конечно-разностного метода континуальной механики. При этом каждая расчетная ячейка рассматривается как клеточный автомат, который может находиться в упругом или пластическом состоянии, в зависимости от напряженно-деформированного состояния в данной ячейке и от состояния ближайших ячеек. Критерий перехода ячейки расчетной сетки из упругого состояния в пластическое построен на основе экспериментальных данных о зарождении пластических сдвигов на границах раздела. В качестве иллюстрации приводятся результаты моделирования растяжения образцов с упрочняющим покрытием. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, а также с результатами расчетов без учета зарождения сдвигов на границах раздела.

1. Введение

Анализ ранее опубликованных экспериментальных данных [1-5] с позиции физической мезомеханики, а также результаты последних лет [6-9] привлекли особое внимание к процессам, происходящим в нагруженном материале на границах раздела. Экспериментальные исследования выявили ряд закономерностей, связанных с влиянием межфазных и межзеренных границ [1-5], границ раздела “материал - покрытие” [6-9], свободной поверхности образца [7-9] и др. на деформационные процессы, происходящие в материале на разных масштабных уровнях.

В [1-6] показано, что дислокации — дефекты микроуровня — преимущественно зарождаются на внутренних и внешних границах раздела, а затем движутся вглубь кристалла, вызывая релаксацию напряжений в локальных областях. Коллективное движение дислокаций приводит к формированию полос сдвига, развитию полос Людерса и другим процессам, относящимся к ме-зоуровню [6-9]. Дислокационные потоки по границам зерен приводят к повороту как отдельных зерен, так и целых фрагментов мезоскопического масштаба [2-4]. Недостаточная аккомодация на мезоуровне инициирует появление эффектов макроскопического масштаба [69]: образование шейки, раскрытие и рост макроскопических трещин и др.

Математическое описание процессов упругопластической деформации в среде с границами раздела требует разработки новых моделей и методов физики и механики, а также модификации уже существующих.

В настоящей работе проведено численное моделирование поведения образцов с упрочняющим покрытием с использованием модифицированного сеточного метода континуальной механики [10, 11] и элементов дискретного метода клеточных автоматов [12]. На основе анализа экспериментальных данных [1-9] о зарождении пластических сдвигов на границах раздела построен алгоритм перехода точек среды из упругого состояние в пластическое, описывающий релаксацию напряжений в локальных точках деформируемой среды по мере развития в них пластической деформации.

2. Математическое описание

2.1. Двумерное упругопластическое течение в релаксационной среде

Система уравнений континуальной механики в двумерной постановке [10, 11] для описания поведения твердого тела под нагрузкой включает: уравнения движения

дх ду

= Рих

да да у

- + -

дх ду

= Р1& у

© Романова В.А., 2000

уравнение неразрывности и соотношения для скоростей полной деформации

V дихх + ди

уу _ сТ + сТ

ьхх ьуу •

V дх ду

Тензор напряжений представим в виде суммы шаровой и девиаторной частей:

ахх =-Р + Бхх ’ ауу = _Р + Буу, аху = Бху •

Давление в (3) может быть задано баротропным уравнением вида Р = Др) [13]. Так как процессы релаксации напряжений на мезоуровне играют существенную роль, определяющие соотношения для компонент де-виатора напряжений предлагается записать в релаксационной форме [14]:

& Т _ Ц _ 3 К Б

хх _ * Бх

3 V 2 а и

*5 уу = 2ц

& Т

уу

Бху = 2^

• г 3 ср

&Т _б

ху 2 а Бху

и

Здесь интенсивность напряжений а и и интенсивность скоростей пластической деформации с И определяются соотношениями

3

VеР&Р ’ аи ^2^•

Релаксационные соотношения (4) предполагают разделение полных деформаций на упругую и пластическую составляющие. Согласно (4), компоненты девиатора напряжений растут по упругому закону и релаксируют по мере развития пластических деформаций.

Решение системы уравнений (1)-(4) совместно с начальными и граничными условиями, задающими способ нагружения, дает пространственно-временное распределение напряжений, деформаций, массовых скоростей, плотности, давления и т. д. В настоящей работе эта система уравнений решается численно конечно-разностным методом [11]. Расчетная область разбивается на четырехугольные ячейки. На границах этой области задаются граничные условия в скоростях, моделирующие растяжение с заданной скоростью. Частные производные, входящие в уравнения, заменяются конечно-разностными соотношениями [11]. (Заметим, что дифференциальная форма записи определяющих уравнений (4), (5) требует организации итерационного процесса.) Численное решение дает значения искомых функций в узлах и ячейках расчетной сетки на каждом временном слое.

Рис. 1. Алгоритм перехода расчетных ячеек в пластическое состояние по критерию Мизеса

2.2. Критерий пластичности

Для описания пластической стадии течения материала необходимо сформулировать математическое условие перехода расчетных ячеек из упругого состояния в пластическое, т. е. записать критерий пластичности. Традиционный подход континуальной механики к описанию поведения материала под нагрузкой [10, 11] предполагает, что напряженное состояние в каждой точке среды полностью определяется деформированным состоянием в данной точке и наоборот. То есть каждая точка деформируемой среды переходит в пластическое состояние, если значение инварианта напряжений (или его функция) в этой точке достигает определенного значения — макроскопического предела текучести. К таким критериям относятся критерии Мизеса, Треска и др. [10].

В работе [14] критерий Мизеса был применен для описания поведения материалов с внутренней структурой при различных условиях нагружения. Неоднородность вводилась в расчетную область в явном виде; в зависимости от поставленной задачи в качестве элементов структуры могут выступать зерна поликристалла, матрица и включения, структура материал/покрытие и т. д. Критерий пластичности, справедливый для всех расчетных ячеек, представлен в виде алгоритма на рис. 1. Однако значения напряжений течения для каждого элемента структуры были различными. Для поликристалла различие пределов текучести для разных зерен отражает их различную кристаллографическую ориентацию.

Такой подход позволил получить ряд эскперимен-тально наблюдаемых эффектов, таких как локализация пластической деформации, разбиение материала на фрагменты, которые сдвигаются и поворачиваются друг относительно друга и др. Но при этом мы не получаем информации непосредственно о самом процессе зарождения и развития пластической деформации, так как все точки внутри структурного элемента совершенно равнозначны по возможности появления в них пластической деформации. То есть пластическая деформация может зародиться в любой точке, напряжения в которой достигнут критического значения. Это сугубо макроскопи-

Рис. 2. Алгоритм перехода г-ой расчетной ячейки из упругого состояния в пластическое (а): акр. — критическое напряжение зарождения пластической деформации в г-ой ячейке; а * — теоретическая сдвиговая прочность; сРр _ — критическое значение накопленной пластической деформации в у-ой ячейке (в двумерном случае у = 1, 8), сопряженной с г - ой ячейкой; схематическое представление расчетной области (б): ячейки, принадлежащие внутренним границам и поверхности образца, отмечены соответственно точками и крестиками

ческое усредненное описание, согласно которому макроскопическая частица всегда содержит в себе достаточное количество центров зарождения сдвигов. Такой подход не всегда корректен для моделирования деформации на мезоуровне, где явно вводятся в рассмотрение структурные элементы мезоскопического масштаба. Здесь принципиальное значение имеет не только сам факт зарождения пластической деформации, но также место и физическая причина появления пластического сдвига.

Многочисленные экспериментальные исследования [1-9] свидетельствуют о том, что пластические сдвиги зарождаются на внутренних границах раздела и на поверхности образца, а затем постепенно распространяются вглубь кристалла. Для того чтобы описать этот процесс, необходимо, чтобы каждая расчетная ячейка

“чувствовала” не только к какому структурному элементу она относится, но и местоположение в этом элементе, а также поведение ближайших окружающих ее ячеек. С учетом этого в [15] был построен алгоритм, который теперь будет определять состояние каждой расчетной ячейки в зависимости от напряженно-деформированного состояния в ней, состояния соседних ячеек и местоположения ее в расчетной области. Схематически алгоритм перехода любой расчетной ячейки в пластическое состояние представлен на рис. 2, а. Для каждого элемента структуры выделяются расчетные ячейки, находящиеся на границе (рис. 2, б), в которых возможно зарождение дефектов.

По сути, предлагаемый алгоритм принятия решения о локальном переходе материала в пластическое состояние объединяет сеточный метод механики сплошной

Рис. 3. Схема образца с покрытием (а) и кривые течения основного материала и покрытия (б), заданные в расчетах

V І/ > / ,х Г{( і ^ \ Ч< *

у А \ / \ ц к 11)< » і и л И;

)ДЭДЬ у/Л' 1 ^

,/Д..\ _V . XXV ' \ '¡Г ' 1 '

\ N \ч Л\ ,._ ^ п ‘ ‘ V’/ / < < ¡у / ' і " ' ' Ч\>^ ^ "///// \ \//'\V/ Гл

—- - - '/о ',  ч-^-V' -

Рис. 4. Расчет растяжения материала с покрытием по модели, учитывающей зарождение пластических сдвигов на границах раздела: распределение пластических деформаций (полутоновой рисунок) и поля скоростей (стрелки) в различные моменты активного нагружения. Скорость растяжения 10 с-1

среды и дискретный метод клеточных автоматов. Каждая ячейка расчетной сетки представляет собой клеточный автомат, для которого ключевыми определяющими параметрами являются как состояние соседей, так и некоторые пороговые значения. В данном случае это сткр — пороговое напряжение, при котором возможно пластическое течение в рассматриваемой ячейке, и ерр — пороговая накопленная пластическая деформация в какой-либо из соседних ячеек, необходимая, чтобы сдвиг мог перейти к рассматриваемой ячейке. В любой внутренней ячейке структурного элемента пластическое течение может начаться только в том случае, если к ней придет пластический сдвиг от границы. То есть происходит постепенное распространение пластической деформации от источника зарождения вглубь кристалла.

3. Результаты моделирования

Одним из ярких примеров применения изложенного подхода к решению прикладных задач является расчет развития пластической деформации в мезообъеме образца с покрытием (рис. 3, а). Расчеты были выполнены для модельного материала, по механическим свойствам близкого к сплаву А16061-Т6. Прочностные характеристики покрытия примерно в 2.5 раза превышали соответствующие параметры основного материала (рис. 3,6). Кроме того, для основного материала и покрытия была задана внутренняя неоднородность путем случайного разброса механических характеристик в пределах 10 % относительно среднего значения сдвиговой прочности. Такой разброс механических свойств соответствует реальности и позволяет системе “решить”, где первона-

Рис. 5. Экспериментальные поля скоростей в кремнистом железе при растяжении [7]

чально произойдет сдвиг. Следует заметить, что выбор значений критических напряжений и деформаций, входящих в критерий пластичности (рис. 2, а) требует специальных исследований, поэтому на настоящем этапе можно говорить лишь о качественном описании.

На границе раздела “материал - покрытие” сохранялся идеальный контакт, так как процесс пластической деформации на мезоуровне предполагает сохранение сплошности материала. Зарождение пластических сдвигов разрешалось на границе раздела, а также на поверхности образца. Переход внутренних ячеек в пластическое состояние осуществлялся согласно построенному алгоритму (рис. 2, а).

Пластическая деформация зарождается вдоль границы “материал - покрытие” и уже на начальных этапах развивается существенно неоднородно, рис. 4 ^).

Распространение пластической деформации вглубь основного материала происходит от одного локального источника зарождения, расположенного на границе раздела, тогда как пластическая деформация зародившаяся на других участках границы практически прекращает свой рост. Преимущественный рост полосы пластической деформации, перпендикулярно направлению

Рис. 7. Расчет растяжения образца с покрытием без

и-/ 1 '»2 /

к

го

~ / о

го

ф

/ упругость о. упрочнение

1 . 1  1. . 1 . 1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

удлинение образца, %

Рис. 6. Расчетные а-с-диаграммы: 1 — учтено влияние границ, скорость растяжения 10 с-1; 2 — без учета влияния границ, скорость растяжения 10 с-1; 3 — учтено влияние границ, скорость растяжения 100 с-1. Точки t1-t6 соответствуют полям пластической деформации и массовых скоростей, приведенным на рис. 4 и 7

растяжения, и более слабое ее развитие в направлении растяжения приводят к формированию треугольной области пластически деформированного материала, которая распространяется вглубь основного материала, рис. 4 (^-4). Качественно такой характер развития пластической деформации согласуется с результатами экспериментальных исследований [6-8], рис. 5.

Постепенное распространение пластической деформации вызывает ряд интересных эффектов, которые хорошо прослеживаются в динамике полей скоростей. В упругодеформированном материале наблюдается ярко выраженное вихревое движение. Деформация в пластически деформированной треугольной области локализуется, образуя систему сопряженных полос более мелкого масштаба. Интересно отметить, что в вихревое движение вовлекаются не отдельные фрагменты, ограниченные полосами локализации более мелкого масштаба, а их конгломераты, что хорошо видно на полях скоростей. Несовместная пластическая деформация в областях сопряжения упруго и пластически деформиро-

учета зарождения дефектов на границах раздела

Рис. 8. Распределение пластических деформаций и поля скоростей в образце с покрытием при скорости растяжения 100 с-1

ванного материала приводит к искривлению оси образца. Этот результат также согласуется с выводами, сделанными в работах [6-8], — несовместная пластическая деформация в области контакта “материал - покрытие” (покрытие деформируется упруго) приводит к локальному росту напряжений, под действием которых происходит искривление поверхности.

Быстрое продвижение фронта полосы локализованной деформации вглубь материала приводит к интенсивной релаксации средних по объему напряжений, кривая 1 на рис. 6. По мере расширения области пластически деформированного материала процесс распространения пластической деформации замедляется, что соответствует росту средних напряжений. На диаграмме нагружения прослеживается упругая стадия, стадия

интенсивной релаксации напряжений и стадия упрочнения. Заметим, что использование традиционного критерия пластического течения без учета влияния границ раздела не дает описания стадии релаксации (кривая 2 на рис. 6). Пластическая деформация зарождается сразу во всем объеме материала и при дальнейшем нагружении продолжает развиваться в уже сформировавшихся на начальной стадии полосах локализации. Картины распределения пластических деформаций на стадии упрочнения, полученные с учетом и без учета зарождения сдвигов на внутренних границах (рис. 4 и 7 соответственно), для одной и той же степени удлинения различны, хотя кривые нагружения практически совпадают. Показательно, что специально в модель деформационное упрочнение не вводилось. В представленном варианте оно обусловлено соотношением механических характеристик материала и покрытия, а также взаимодействием сопряженных упруго и пластически деформированных зон.

Для иллюстрации скоростной чувствительности предложенной модели было проведено сравнение результатов расчетов растяжения со скоростями, отличающимися на порядок. Как показали расчеты, скорость нагружения оказывает влияние как на картину развития пластической деформации на мезоуровне (рис. 4 и 8), так и на макроскопический отклик образца (кривые 1 е 3 на рис. 6). При более высокой скорости растяжения (рис. 8) пластическая деформация начинает распространяться одновременно от нескольких источников, хотя треугольная форма пластических фронтов сохраняется. Отметим, что увеличение скорости растяжения на порядок не повлекло за собой пропорционального увеличения скорости распространения пластических фронтов. Это объясняется тем, что в приведенных примерах скорость развития пластической деформации является конечной, обусловленной, с одной стороны, релаксационными свойствами среды (см. соотношения (4)) и, с другой стороны, величиной критических параметров (см. алгоритм, рис. 2, а). Скорость приложения нагрузки (в данном случае растяжения) и скорость отклика материала связаны нелинейно — скорость развития мезоскопической пластической деформации изменяется более медленно по сравнению со скоростью растяжения. Это приводит к тому, что динамическая кривая нагружения (кривая 3 на рис. 6) на участке релаксации средних напряжений идет несколько выше кривой, полученной при более низкой скорости нагружения (кривая 1 на рис. 6).

4. Заключение

Подход, изложенный в работе, объединяет методы математического и имитационного моделирования. Система дифференциальных уравнений, выражающих

законы сохранения, решается численно, конечно-разностным методом. Каждая расчетная ячейка выступает как клеточный автомат, который может находиться в одном из двух состояний — упругом или пластическом. Переход из одного состояния в другое зависит как от напряженно-деформированного состояния в данной ячейке, так и от состояния ближайших соседних ячеек, а также от местоположения ячейки в расчетной области (принадлежность поверхности образца, внутренней границе раздела и т.д.). Это позволяет реализовать имитацию распространения пластичности.

Алгоритм упругопластического поведения каждой расчетной ячейки был построен на основе анализа реальных физических механизмов пластической деформации, а именно: определяющей роли внутренних границ и поверхностей в процессах зарождения деформационных дефектов, распространения пластических сдвигов от границ вглубь кристалла, релаксации упругих напряжений в локальных областях по мере вовлечения их в пластическое течение.

Автор выражает глубокую признательность профессору П.В. Макарову за полезные дискуссии и ценные замечания в процессе работы.

Литература

1. Орлов Л.Г. О зарождении дислокаций на внешних и внутренних поверхностях кристаллов // ФТТ. - 1967. - Т. 9. - № 8. - С. 23452349.

2. Malis T., LloydD.J., Tangri K. Dislocation generation from grain boun-

daries in nickel // Physica Status Solidi (a). - 1972. - V. 11. - No. 1.-P. 275-286.

3. MurrL.E. Some observations of grain boundary leades and leadges as dislocation sources in metals and alloys // Met. Trans., Ser. A. - 1975. -V. 6. - No. 3. - P. 505-513.

4. Кайбышев О.А., ВалиевР.З. Границы зерен и свойства металлов. -

М.: Металлургия, 1987. - 214 с.

5. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести

поликристаллов. - Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 1988. - 256 с.

6. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -

1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.

7. Панин В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1998. - Т. 41. - № 1. - С. 734.

8. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.

9. Панин С.В., Смолин И.Ю., Балохонов Р.Р. и др. Мезомеханика границы раздела в материалах с поверхностным упрочнением и покрытиями // Изв. вузов. Физика. - 1999. - № 3. - С. 6-26.

10. Седов ЛИ. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1983. - Т. 1. -536 с., Т. 2. - 528 п.

11. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера, С. Фернба-ха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.

12. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. -М.: Мир, 1971.

13. Wallace D. C. Equation of state from weak shocks in solids // Physical review B. - 1980. - V. 22. - No. 4. - P. 1495-1502.

14. Balokhonov R.R., Makarov P.V., Romanova V.A., Smolin I.Yu. Simulation of crystal plasticity under dynamic loading // Computational Materials Science. - 1999. - V. 16. - P. 355-361.

15. Makarov P. V, Romanova VA. Mesoscale plastic flow generation and development for polycrystals // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2000. - V. 33. - P. 1-7.