Восстановление потенциала в обратной спектральной задаче для оператора Лапласа с кратным спектром

УДК 537.86

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ

Г.А. Закирова

POTENTIAL’S RESTORE IN THE INVERSE SPECTRAL PROBLEM FOR LAPLACE OPERATOR WITH MULTIPLE SPECTRUM

G.A. Zakirova

Исследуются обратные спектральные кратного спектра. Построен алгоритм численного нахождения приближенного решения.

Ключевые слова: оператор Лапласа, обратная спектральная задача, приближенное решение, кратный спектр

Inverse spectral problems with multiple spectrum are investigated. A numerical algorithm of the approximate solution finding is obtained.

Keywords: Laplace operator, an inverse spectral problem, an approximate solution, a multiple spectrum

Введение

Обратные спектральные задачи в различных постановках играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании. Большинство работ в этом направлении связаны с обыкновенными дифференциальными операторами. Что касается операторов в частных производных, то здесь, в основном, рассматривается степень оператора Лапласа с простым спектром.

В настоящей работе исследуется обратная задача для степени оператора Лапласа порожденного краевой задачей Дирихле в случае непростого спектра. Основным методом исследования является так называемый резольвентный метод, теоретически обоснованный в работах [1, 2]. Получены теоремы существования решения поставленной обратной задачи, позволившие разработать вычислительный алгоритм восстановления потенциала по спектру и создать программу, определяющую возмущение по заданной последовательности собственных чисел.

Постановка обратной задачи

Пусть

П = {х = (х\,х2,    ,ждг) : 0 < Xj < aj,j = 1,... ,N}, aj > 0.

В пространстве 1*2(П) рассмотрим дискретный самосопряженный оператор То, определенный краевой задачей Дирихле

-Av = Xv, v\dn - 0,

где А — оператор Лапласа, дП — граница П.

Г ОО

Рассмотрим оператор Т = / Хр

J о

— спектральное разложение единицы оператора То, /3 > 1, Х^ > 0 при А > 0.

Очевидно, спектр <т(Т) оператора Т неоднократный. Иногда, для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа Ато = А(ТО1;Ш2;_;т^) оператора Т и связанные с ними спектральные объекты одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет отвечать за кратность щ собственного числа А*, т.е. А* = А^ = Х{, к = 1,^.

Пусть Р — оператор умножения на вещественную функцию р Є /^(П), называемую потенциалом.

Обозначим через ^ собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через щ — соответствующие им ортонормированные в Тг(П) собственные функции.

Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа.

Пусть дана последовательностью комплексных чисел близкая к спектру опе-

ратора Т. При различных степенях (3 > 1 требуется доказать существование оператора Р, такого что спектр а(Т + Р) совпадает с последовательностью

Степень оператора Лапласа с потенциалом в N-мерном параллелепипеде

Сформулируем вспомогательные утверждения, на которых базируется доказательства основных результатов данной статьи. Доказательства самих вспомогательных утверждений приведены в работе [3].

Обозначим:

R0(X) = (T-XE)-\ R(X) = {Т + Р - ХЕ)-1;

at = {А : Re А = Г* = {А € С : ReA е а*}, ъ = {X Е С : \Xt - Х\ = г0},

rt = \ min{A4+i - At; At - At_i}, r0 = inf n;

™ n

Qt = {X: |At —A| >r0}, n=C\Qt, V = Y[aj.

4=1 3=1

Лемма 1.

Если ||Р|| < г/2, где 0 < г < го, то оператор Т + Р — дискретен, причем

(і) если і?о(А) Є &я, то і?(А) Є &д, 1 < д < оо,

(и) если А* Є С \ ЇЇі, то ц\ Є С \ в = 1, щ, щ— кратность собственного числа А^. Лемма 2.

Если /3 > ——, то ряд г\ тах ||і?о(А)|І2 сходится.

4 ІҐг л^‘

Обозначим сумму ряда через в2.

Теорема 1. Пусть (3 > , г Є (0,тіп{го, —^==}). Если для комплексной последователь-

ности {{Iе} выполняется неравенство:

і 2

/ ОО щ

V2*v ЕЕй-^Г<^( i-«).

\t=і k=

і

2

Г.А. Закирова

где ш = у/2^вг < 1, то существует потенциал р £ Ьг(П) такой, что для любого t € N

V

fc=l k=1

где aiT + Р) = {^t }

Замечание 1. Оператор Т + Р, обладающий свойством (2), неединственен.

Объединим в один класс Р все операторы, спектр которых обладает свойством (2). Если мы не будем различать представителей этого класса, то можем говорить о единственности решения обратной задачи.

Приближенное восстановление потенциала. Численный эксперимент

Введем в рассмотрение следующую систему функций:

где ш = (ті,... ,тдг), mj Є {0} и М, д—число ненулевых индексов в мультииндексе т. При 6 N эту систему будем нумеровать нижним и верхним индексами так же, как и систему

имеет единственное решение р.

Пусть

Ро = о, тогда Pi = а0 - а(р0) = а0,

P2 = a0- ovpi) = а0 - а{а0), р3 = а0 - а(р2),..., Urn pt = p.

4 t—УОО

Методом последовательных приближений найдено решение р уравнения

В пакете Мар1е 6.0 разработана программа, которая по заданной последовательности собственных чисел определяет в явном виде приближенный потенциал, такой, что спектр

{ут}, т.е. в соответствии с нумерацией собственных чисел . Можно показать, что уравнение

р = ао- а(р),

р = а0 — а(ао),

где

возмущенного оператора будет совпадать в заданном смысле с введенной последовательностью.

Далее приведем пример, иллюстрирующий работу программы.

Пусть Т — степень оператора То (Р = 2), определенного краевой задачей Дирихле (1) на прямоугольнике П со сторонами а = 1, 6 = 4. Пусть далее, £тп = Хтп + 0.0001, т,п < 3. По теореме (1) существует потенциал р € ^(П) такой, что для любого £ € N

^гпп} = а

к—1 к=1

Приближенное решение исследуемой обратной спектральной задачи, найденной в предложенной программе по первым трем членам последовательности {£топ}, имеет вид

Ч\' у7

Приближенный потенциал, восстановленный программой

Литература

1. Дубровский, В.В. К обратной задаче для степени оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, А.В. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1990. -Т. 26, № 9. - С. 1563 - 1567.

2. Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из

/ В.В. Дубровский, А.В. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. -С. 1552 - 1561.

3. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / А.И. Седов, Г.А. Закирова // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2008. - № 2(61). - С. 34 - 42.

Закирова Галия Амруловна, кандидат физико-математических наук, кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, zakirova81@mail.ru.

Поступила в редакцию 2 август,а 2010 г.