О полиномах Магарам

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 4, С. 45-51

УДК 517.98

О ПОЛИНОМАХ МАГАРАМ1

З. А. Кусраева, Б. Б. Тасоев

Установлен вариант теоремы Радона — Никодима и обоснована конструкция магарамова расширения для положительных ортогонально аддитивных полиномов в векторных решетках.

Ключевые слова: степень векторной решетки, ортогонально аддитивный полином, полином Ма-

гарам, магарамово расширение, теорема Радона — Никодима.

1. Введение

В последние годы значительный интерес вызывают порядковые свойства полиномов в векторных решетках, см., например, [3, 7, 5, 11, 14, 15, 20]. Наибольший прогресс достигнут в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов. В частности, в [3] получено представление однородных полиномов в виде композиции положительного оператора и специального однородного полинома степенного вида. Этот же результат переоткрыт в [11]. Представление указанного вида фактически сводит исследование положительных ортогонально аддитивных однородных полиномов к изучению линейных положительных операторов в векторных решетках и степенного отображения в /-алгебрах.

В цикле работ Д. Магарам построена теория положительных операторов, см. обзор [18]. В частности, в [19] введены порядково непрерывные операторы в пространствах измеримых функций, сохраняющие порядковые отрезки, которые ныне принято называть операторами Магарам. В работе [17] часть теории Магарам была распространена на линейные положительные операторы в К-пространствах и, в частности, была установлена теорема типа Радона — Никодима для этого класса операторов. В [1] предложена конструкция магарамова расширения, позволяющая произвольный линейный положительный оператор расширить до оператора Магарам (подробности в [2]; см. также [16]).

Цель настоящей заметки — получить вариант теоремы Радона — Никодима и обосновать конструкцию магарамова расширения для однородных положительных ортогонально аддитивных полиномов. Необходимые сведения о векторных решетках и положительных операторах имеются в книгах [2, 4].

© 2012 Кусраева З. А., Тасоев Б. Б.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 8210, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-00623-а.

2. Степень векторной решетки

Напомним понятие степени векторной решетки, см. [6, 8].

Определение 1. Пусть 2 ^ в £ N и Е — архимедова векторная решетка. Пара (Е50, ©5) называется в-ой степенью Е, если выполнены следующие условия:

1) Е50 — архимедова векторная решетка;

2) ©5 : Е5 ^ Е50 — ортосимметричный решеточный в-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим в-морфизмомом степени в;

3) для любой архимедовой векторной решетки Е и любого ортосимметричного решеточного в-морфизма ^ : Е5 ^ Е существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е50 ^ Е такой, что 5 о ©5 =

Это определение введено в [6]. Там же установлено, что для любой архимедовой векторной решетки Е и любого натурального 2 ^ в £ N существует единственная с точностью до решеточного изомофизма в-ая степень (Е50, ©5). Для удобства полагают также Е10 = Е и ©1 = 1Е. Обозначим символом I := отображение х ^ х © |х| © ... © |х|.

Ниже потребуются следующие полезные свойства степени векторной решетки. Выражения вида (х5 + у5)I и |х5 — у5|I понимаются в смысле однородного функционального исчисления [9, 13], т. е. для элементов х и у равномерно полной векторной решетки полагают

(х5 + у5)1 := ¥>(х,у), |х5 — у511 := ф(х,у), где ф : Ж5 ^ Ж — положительно однородные непрерывные функции, определяемые формулами: ^>(а, в) := (а5 + в5)1/5, ф(а, в) := |а5 — в511/5 и а5 := |а|5 sgn(а).

Лемма 1. Если векторная решетка Е равномерно полна, то I = 15 — нелинейный ортогонально аддитивный порядковый изоморфизм из Е на Е50, сохраняющий модуль (= |б(х)| = 1(|х|)) и умножение на —1 (= 1(—х) = —¿(х)). Более того,

(х5 + у5)I) = 1(х) + 1(у) (х, у £ Е).

< См. [12, теорема 3.1]. >

Лемма 2. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка и 1 ^ в £ N. Для каждого т £ ОгШ^Е) оператор Г := I о т о I-1 является ортоморфизмом из ОгШте(Е50), причем $ (Г) = (т)), где $ (т) С Е — область определения т. Отображение т ^ г является изоморфизмом упорядоченных множеств ОгШте(Е) и ОгШте(Е50).

< Здесь можно провести те же соображения, что и в [12, теорема 3.4]. >

Замечание 1. Отображение т ^ Г из леммы 2 осуществляет также изоморфизм

f-алгебры ОгШ~(Е)50 на f-алгебру ОгШ~(Е50).

Лемма 3. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка 1 ^ в £ N. Тогда существует единственная с точность до решеточного изоморфизма равномерно полная векторная решетка Е° такая, что Е есть в-ая степень Е°, т. е. (Е°)5° = Е.

< Доказательство проводится аналогично [12, теорема 3.3]. >

Лемма 4. Пусть Е, Е, Е° и в — те же, что и в леммах 2 и 3. Для любого инъек-тивного решеточного гомоморфизма Н : Е50 ^ Е существует инъективный решеточный гомоморфизм ] : Е ^ Е ° такой, что

Н(х1 © ... © х5) = ^(х1)© ... ©¿(х5) (х1,... ,х5 £ Е),

где © : Е5 ^ Е50 и © : Е° ^ Е = (Е°)50 — канонические в-морфизмы.

< См. [8, предложение 2.4]. >

3. Ортогонально аддитивные полиномы

Введем основной объект данной статьи — однородный полином. Подробно о полиномах см. [10]. Всюду ниже Е и ^ — архимедовы векторные решетки и 1 ^ в £ N.

Определение 2. Отображение Р : Е — ^ называется однородным полиномом степени в (или в-однородным полиномом), если существует в-линейный оператор ^ : Е5 —^, такой что

Р(ж) = ^>(ж,..., ж) (ж £ Е).

Полином Р называют положительным, если ^>(ж1,..., ж5) ^ 0 для всех Ж1,..., ж5 £ Е+, и регулярным, если он представим в виде разности двух положительных полиномов.

Определение 3. Однородный полином Р называют ортогонально аддитивным, если для любых ж, у £ Е выполняется

|ж| Л |у| = 0 Р(ж + у) = Р(ж) + Р(у).

Обозначим символом РО (5 Е, ^) множество всех регулярных ортогонально аддитивных полиномов из Е в ^, упорядоченное конусом всех положительных полиномов. Если векторная решетка ^ порядково полна, то РОГ (5Е, ^) — К-пространство.

Примером в-однородного ортогонально аддитивного положительного полинома служит канонический полином ж — ж50 := ж 0 ... 0 ж (ж £ Е), где 0 — канонический в-морфизм степени Е50. В [3, теорема 3] установлено, что при не очень обременительных условиях любой регулярный в-однородный ортогонально аддитивный полином допускает представление в виде композиции линейного регулярного оператора и канонического полинома.

Теорема 1. Пусть Е и ^ — равномерно полные векторные решетки. Тогда для любого ортогонально аддитивного регулярного в-однородного полинома Р : Е — Р существует единственный линейный регулярный оператор Б := Бр : Е50 — Р такой, что

Р

Более того, отображение Р — Бр есть решеточный изоморфизм РОГ (5 Е, ^) на Ьг (Е50, Р).

Определение 4. Пусть Е и ^ — векторные решетки, а Р : Е — ^ — положительный ортогонально аддитивный полином. Говорят, что Р сохраняет порядковые отрезки или обладает свойством Магарам, если для любых ж £ Е+ и 0 ^ / ^ Р(ж) £ существует 0 ^ е ^ ж такой, что / = Ре или, короче, Р ([0, ж]) = [0, Рж]. Полином Р называют полиномом Магарам, если он порядково непрерывен и обладает свойством Магарам.

4. Теорема Радона — Никодима

В доказательстве теоремы Радона — Никодима для полиномов нам понадобится следующий вспомогательный факт.

Лемма 5. Пусть Е и Р — некоторые К-пространства и Р : Е — Р положительный ортогонально аддитивный полином, причем Р (ж) = Б (ж50) (ж £ Е) для некоторого линейного положительного оператора Б : Е50 — Р. Тогда Р является полиномом Магарам в том и только в том случае, когда Б также является оператором Магарам.

< Предположим сначала, что Б[0, и] = [0,Б(и)] для любого 0 ^ и £ Е50. Возьмем такие ж £ Е+ и / £ , что / ^ Р (ж) = Б (ж50). В силу нашего предположения существует V ^ ж5 такой, что Б(^) = /. Если взять у := I-1 (V), то 0 ^ у ^ ж, V = у50 и,

стало быть, / = Б(V) = Б(у50) = Р(у). Наоборот, если Р сохраняет порядковые отрезки и / ^ Б (и) для некоторого и £ Е50, то для ж := 1-1(и) имеем и = ж50, / ^ Б(и) = Р (ж), а значит, существует 0 ^ у ^ х, для которого / = Р(у). Положив V := 1(у), приходим к требуемому: 0 ^ V ^ и и / = Б(V).

Далее заметим, что отображение х ^ ж50 порядково непрерывно (ср. [12, предложение 3.2(3)]), поэтому из порядковой непрерывности Б вытекает порядковая непрерывность Р. В то же время, если Р порядково непрерывен и иа | 0, иа £ Е50, то Ха := 1-1(иа) I 0 и Б(иа) = Р(ха) | 0. >

Теорема 2 (Теорема Радона — Никодима для ортогонально аддитивных полиномов) . Пусть Е и О — некоторые К-пространства, а Р и Q — положительные в-однородные ортогонально аддитивные полиномы из Е в О. Если Q — полином Магарам, то эквивалентны следующие утверждения:

(1) Р £ ВД}^;

(2) Р(ж) £ для всех ж £ Е+;

(3) существует ортоморфизм 0 ^ р £ ОгШ^Е) такой, что

Р(ж)= Q(рx) (ж £ 9(р));

(4) существует возрастающая последовательность положительных ортоморфизмов (рп), рп £ ОгШ(Е)+, такая, что имеет место представление:

Р(ж) = вирQ(рnж) (ж £ Е+).

п

< Нужно лишь показать, что каждое из утверждений (1)—(4) эквивалентно соответствующему утверждению из теоремы Люксембурга — Шэпа, см. [2, теоремы 3.4.9]. В силу теоремы 1 существуют линейные положительные операторы Б, Т : Е50 ^ ^ такие, что Р (ж) = Б (ж50) и Q(ж) = Т (ж50) для всех ж £ X. По лемме 5 Т — оператор Магарам и Б £ {Т. В соответствии с теоремой Люксембурга — Шэпа мы можем подобрать такой ортоморфизм 0 ^ р £ ОгШте(Е50), что Б (ж) = Т (рж) (ж £ 9 (р)). Ввиду леммы 2 найдется 0 ^ р £ ОгШте(Е), для которого р = р. Из всего сказанного видно, что для любого 0 ^ ж £ 9(р) = ¿(9(р)) справедлива цепочка равенств:

Р (ж) = Б (ж50) = Т (рж50) = Т (I о р о I-11(ж)) = Т ((рж)50) = Q(рж).

Для произвольного ж £ 9 (р), учитывая ортогональную аддитивность Q имеем Р (ж) = Р(ж+) + (-1)5Р(ж-) = Q(рж+) + (-1)^(рж-) = Q(рж+ - рж-) = Q(рж). Ясно также, что если Р(р) = Q о р, Р £ ВД}^. Таким образом доказана эквивалентность (1) и (3). Остальные эквивалентности доказываются аналогично с помощью привлечения соответствующих пунктов из теоремы Люксембурга — Шэпа и лемм 2 и 3. >

5. Магарамово расширение положительного полинома

Применим теперь тот же прием, что и в предыдущем параграфе, к конструкции магарамова расширения однородного положительного полинома.

Теорема 3 (О магарамовом расширении положительного ортогонально аддитивного полинома). Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, ^ — произвольное К -пространство и Р : Е ^ ^ — существенно положительный ортогонально аддитивный в-однородный полином. Тогда существуют единственное с точностью до решеточного

изоморфизма K-пространство E, инъективный решеточный гомоморфизм j из E в E и существенно положительный ортогонально аддитивный s-однородный полином Магарам P : E — F, удовлетворяющие следующим условиям:

(1) порядковый идеал в E, порожденный множеством j (E), совпадает с E;

(2) существует o-непрерывный булев гомоморфизм т : P(F) — P(E) такой, что

nP(x) = P(т(n)jx) (x G E, п G P(F));

(3) j (E) плотна в E в том смысле, что для любых z G E и 0 <е G R существуют z£ G E, разбиение (п^)^6s С P(F) проектора [P(|z|)] G P(F) и семейство (x¿)^6s С E такие, что

Z£ = o^т(п€)j(x€), P(|z5 - z£|1/s) < ep(|z|). íes

< Вновь воспользуемся представлением (1): P(x) = S(x50) (x G E), где S : E50 — F — существенно положительный линейный оператор. Применим процедуру магарамова расширения к оператору S (см. [2, §3.5]): существуют K-пространство E50, инъективный решеточный гомоморфизм h : E50 — E50 и существенно положительный оператор Магарам S : E50 — F, удовлетворяющие равенству

S

Согласно лемме 3, существует единственная с точностью до решеточного изоморфизма векторная решетка E:= (E50)°, s-ая степень которой совпадает с Es0; символически, (E)50 = E50. Поэтому решетки (E)50 и E50 отождествляются и можем считать, что оператор S определен на (E)50 и h действует из E50 в E50. Как уже отмечалось в [12, предложение 3.2(1)] векторная решетка и ее s-ая степень порядково полны или нет одновременно, следовательно, E — K-пространство. Положим по определению

P

Из [12, предложение 4.4(4)] видно, что отображение P : E — F является существенно положительным ортогонально аддитивным s-однородным полиномом Магарам.

В силу леммы 4 существует инъективный решеточный гомоморфизм j : E — E, для которого выполняются соотношения

h о i = i о j, h

Напомним также следующее свойство оператора Магарам: существует o-непрерывный булев гомоморфизм n : P(F) — P(E50), для которого (см. [2, теорема 3.5.2]):

nS

Кроме того, существует изоморфизм v из P((E)50) на P(E) такой, что

п о i = i о v

Очевидно, что т := v о n — o-непрерывный булев гомоморфизм из P(E) в P(E). Следовательно, учитывая формулы (1)—(6), для произвольного п G P(F) выводим:

P

= (п£ о h)(x50) = п^(j(x)50) = ^S^x50) = пP(x).

Утверждение 3 (2) следует из того, что EsQ есть идеал, порожденный множеством h(Es) [2, §3.5]. В самом деле, отображение i : E ^ EsQ устанавливает взаимнооднозначное соответствие между идеалами (полосами) в E и EsQ. Очевидно, что т := v о п — булев изоморфизмом из P(F) в P(E). Следовательно, множества j(E) и j(E)s = h(Es) порождают один и тот же идеал.

Покажем плотность E в указанном смысле. Пусть z £ E и е > 0. Тогда i(z) £ EsQ и в силу [2, §3.5.1], [2, §3.5.2] существуют ue £ Es0, разбиение )í6s С P(F) проектора [P(|z|)] £ P(F) и семейство (ж^)í6S С E такие, что

ue = o-^)), S

íes

Обозначим через ze := i-1 (ue) £ E. Тогда, привлекая (4), (6) и (7), убеждаемся, что

т

для всех £ £ S и, стало быть, ze совпадает с порядковой суммой семейства (т(ní)j(í))íes. Далее, |iz — ize| = |iz + i(-ze)| = i(|zs — z||1/s) в силу леммы 1 и, следовательно, P(|zs — z||1/s) = (S о i)(|zs — z||1/s) = S(|iz — ize|) < eS(|iz|) = eP(|z|). Единственность E следует из утверждения 3(3). [>

Лемма 6. Пусть E, E, F, P, P и j — те же, что и в теореме 1. Для каждого полинома Q £ {Pсуществует единственный полином Q £ {Pтакой, что Q(x) = Q(jx) для всех ж £ E. Соответствие Q ^ Q осуществляет изоморфизм K-пространств {P}^ и

{P

< Пусть P(ж) = S(xsQ) (ж £ E). Полоса {Pв РГ (sE, F) решеточно изоморфна полосе {S}x± в Lr(E,F) по теореме 1. В силу [2, теорема 3.5.4] полоса {S}x± решеточно изоморфна полосе {S} в Lr (E ,F). И вновь по теореме 1 полосы {S} и {Pтакже изоморфны. Композиция трех указанных изоморфизмов и есть искомый изоморфизм полос {Pи {P. [>

Теорема 4. Пусть E, E, F, P, P и j — те же, что и в теореме 1. Для любого полинома Q £ PO (sE, F) равносильны следующие утверждения:

(1) Q £ {P; _ _

(2) существует единственный ортоморфизм р £ Orth^(E) такой, что Q(x) = P(p(jx)) (ж £ j-1 (D(р))); _

(3) существует последовательность ортоморфизмов (рп) в Orth(E) такая, что Q^) = supn P(рпО'ж)) для всех ж £ E+.

<3 Следует из леммы 6 и теорем 2 и 3. [>

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 получены Кусраевой З. А., а теоремы 3 и 4 — Тасое-вым Б. Б.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту за критические замечания, повлекшие за собой значительное улучшение первоначального варианта заметки.

Литература

1. Акилов Г. П., Колесников Е. В., Кусраев А. Г. Порядково непрерывное расширение положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1988.—Т. 29, № 5.—С. 24-55.

2. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

3. Кусраева З. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов//Сиб. мат. журн.—2011.— Т. 52, № 2.—С. 315-325.

4. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—London: Acad. Press Inc., 1985.—xvi+367 p.

5. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.—2006.—Vol. 38, № 3.—P. 459-469.

6. Boulabier K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus // Communication in Algebra.—2006.—Vol. 34.—P. 1435-1442.

7. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products spaces // J. Math. Anal. Appl.—2012.—Vol. 388.—P. 845-862.

8. Buskes G., Kusraev A. G. Representation and extension of orthoregular bilinear operators // Vladikavkaz Math. J.—2007.—Vol. 9, № 1.—P. 16-29.

9. Buskes G., de Pagter B., van Rooij A. Functional calculus in Riesz spaces // Indag. Math. (N.S.).— 1991.—Vol. 4, № 2.—P. 423-436.

10. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.—Berlin: Springer, 1999.—543 p.

11. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. A Representation Theorem for Orthogonally Additive Polynomials on Riesz Spaces.—2012.—arXiv:1203.2379vl.

12. Kusraev A. G. A Radon-Nikodym type theorem for orthosymmetric bilinear operators // Positivity.— 2010.—Vol. 14, № 2.—P. 225-238.

13. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.—Berlin etc.: SpringerVerlag, 1979.—243 p.

14. Linares P. Orthogonal additive polynomials and applications // PhD. Departamento de Analisis Matematico. Universidad Complutense de Madrid.—2009.—105 p.

15. Loan J. Polynomials on Riesz spaces // J. Math. Anal. and Appl.—2010.—Vol. 364.—P. 71-78.

16. Luxemburg W. A. J., de Pagter B. Maharam extension of positive operators and /-algebras // Posi-tivity.—2001.—Vol. 6, № 2.—P. 147-190.

17. Luxemburg W. A. J., Schep A. A Radon-Nikodym type theorem for positive operators and a dual // Indag. Math.—1978.—Vol. 10.—P. 357-375.

18. Maharam D. On positive operators // Contemporary Math.—1984.—Vol. 26.—P. 263-277.

19. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math. Soc.—1953.—Vol. 75, № 1.—P. 154-184.

20. Perez-Garcia D., Villanueva I. Orthogonally additive polynomials on spaces of continuous functions // J. Math. Anal. Appl.—2005.—Vol. 306, № 1.—P. 97-105.

Статья поступила 30 августа 2012 г. кусраева залина анатольевна

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, аспирант отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: zali13@mail.ru

Тасоев Батрадз Ботазович

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, стажер-исследователь отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант математического факультета РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: tasoevbatradz@yandex.ru

ON MAHARAM POLYNOMIALS Kusraeva Z. A., Tasoev B. B.

A Radon-Nikodyym type theorem is proved and the Maharam extension is constructed for positive orthogonally additive polynomials in vector lattices.

Key words: vector lattice power, orthogonally additive polynomial, Maharam polynomial, Maharam

extension, Radon-Nikodym theorem.