Моделирование динамики формы плоского тела из ковкого металла при изотропной бомбардировке частицами песка

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

УДК 539.42+519.688

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФОРМЫ ПЛОСКОГО ТЕЛА ИЗ КОВКОГО МЕТАЛЛА ПРИ ИЗОТРОПНОЙ БОМБАРДИРОВКЕ ЧАСТИЦАМИ ПЕСКА

А. И. Матвеев, Д. А. Осипов, Д. Р. Осипов, Б. В. Яковлев

Аннотация. Первоначальная форма зерен золота, встречающихся в природе, в большинстве случаев имеет форму плоской пластины (чешуйчатую форму). Поэтому при пневмосепарации часто наблюдается торовидная форма кусков золота. При сепарировании форма зерен в виде тора считается наиболее эффективной, тем самым актуальна задача расчета времени образования торовидной формы куска золота. В настоящей работе рассматривается эволюция деформируемой поверхности плоского диска из ковкого металла при изотропной бомбардировке его поверхности мелкими частицами. Разработана математическая модель эволюции поверхности диска. Получено дифференциальное уравнение, описывающее изменение деформируемой поверхности круглого диска, которое решается численным методом Рунге — Кутты. Решение уравнения описывает деформируемую поверхность тела в зависимости от времени. Из результатов исследования следует, что наиболее устойчивой торовидной формы, при которой деформируемая поверхность достигает максимального значения, тело достигает достаточно быстро, затем наступает более медленное изменение поверхности до шаровидной формы. Оценено время образования торовидной формы диска при определенных параметрах исследуемой системы. Результаты могут быть использованы при разработках более точных моделей эволюции плоских тел при бомбардировке их поверхности мелкими частицами. Ключевые слова: математическая модель, дифференциальное уравнение, деформируемая поверхность, тор, обогащение, сепарация, полезные ископаемые, кинетическая энергия частиц, эволюция поверхности.

При пневмосепарации окружающие кусок золота песчинки непрерывно бомбардируют его и изменяют форму. Изменение формы также может быть обусловлено соударением о стенки устройства пневмосепарации. При пневмосепарации песчинки около рассматриваемого куска золота из-за разности скоростей меняют направления движений и происходят многочисленные столкновения между собой, с куском золота и со стенкой устройства. В то же время рассматриваемый кусок также меняет свое направление движения, «кувыркается». Таким образом, происходит хаотическая, случайная бомбардировка поверхности золотого куска. Можно сказать, что происходит однородная изотропная бомбардировка поверхности золотого куска окружающими песчинками. Если кусочек золота имеет неправильную объемную форму, т. е. все три линейные

© 2017 Матвеев А. И., Осипов Д. А., Осипов Д. Р., Яковлев Б. В.

размеры сравнимы, то в результате изотропной бомбардировки форма тела монотонно приближается к форме шара. Задача изменяется, если рассматривается плоская пластина. Первоначальная форма зерен золота, встречающихся в природе, в большинстве случаев имеет форму плоской пластины (чешуйчатую форму). Поэтому при пневмосепарации часто наблюдается торовидная форма кусков золота (рис. 1) [1—3].

Рис. 1. Торовидная форма куска золота после сепарации Рассмотрим достаточно большую плоскую деформируемую пластину, которая подвергается изотропной бомбардировке. При этом толщина намного меньше длины и ширины (рис. 2). Для простоты рассмотрим сначала плоскую задачу [4]. При изотропной бомбардировке вначале деформированию подвергаются лишь те участки поверхности, которые имеют наименьший радиус кривизны. Поэтому деформация начинается с краю. Из-за изотропности пучка песчинок плоские участки пластины, т. е. поверхности с бесконечным радиусом кривизны, остаются недеформированными. При расчетах поток частиц на плоские части не учитывается.

Рис. 2. Плоская задача Через некоторое время край пластины будет иметь некоторую определенную форму (рис. 3). Пластина укорачивается, но на краю образуется утолще-

ние, так как объем сохраняется.

Рис. 3. При изотропной бомбардировке подвергаются деформированию неплоские части поверхности тела

На рис. 3 показан лишь тот поток частиц, который деформирует тело. С течением времени утолщение края пластины увеличивается и оно будет перемещаться на левую сторону, при этом увеличивается поверхность ограничивающая утолщение. Если имеем ограниченное в некоторой области пространства тело произвольной формы, то при изотропной бомбардировке в течение достаточно большого промежутка времени получим шар, т. е. тело, имеющее наименьшую ограничивающую его поверхность при заданных значениях объема. Для полубесконечной пластины конечная форма края пластины при изотропной бомбардировке будет иметь форму цилиндра бесконечной длины (см. рис. 3).

Рис. 4. Диск окруженный тором в поперечном сечении

Если рассматривается пластина конечного размера, например диск, то деформации подвергается сначала край пластины. В результате изотропной бомбардировки за некоторый промежуток времени диск стремится принять форму тора, внутренняя часть которого сохраняет плоскую форму (рис. 4).

Рассмотрим задачу: пластина, первоначальная форма которой имеет вид диска толщиной 2го и радиусом До, подвергается изотропной бомбардировке однородным пучком частиц заданной массы то, средней скоростью Vо и плотностью потока ]о. Вначале деформируется периферийная часть диска, где имеются участки поверхности с наименьшей кривизной, в результате чего происходит утолщение краев диска и соответственно уменьшение его линейного размера.

При деформировании за время над телом совершается работа

¿Л = а ¿Б

где ¿Б — изменение поверхности тела при деформации, а — коэффициент пропорциональности, равный положительной величине, если происходит увеличение площади поверхности, и отрицательной при уменьшении площади. При бомбардировке на краю диска образуется тор, радиус кривизны г которого увеличивается, но в то же время происходит уменьшение размера (радиуса Я) тора, т. е. суммарная площадь деформируемой поверхности сначала увеличивается, потом через какое-то время начинает уменьшаться. Поэтому работу за время ¿Ь при деформировании можно записать в виде

¿А = 4па1 Я ¿г + 4па2г ¿Я,

где Б = 4пЯг — площадь поверхности тора, а1 > 0, а2 < 0. Согласно закону сохранения энергии эта работа (при пренебрежении потерей энергии в виде рассеяния тепла) равна суммарной кинетической энергии частиц, бомбардирующих деформируемую поверхность, т. е.

2

с1А = с1Е = с1К1^,

где ¿Ы — количество частиц, падающих на деформируемую поверхность за время ¿Ь.

Количество частиц, падающих на поверхность за единицу времени, называется потоком Ф, поэтому введем понятие объемной плотности потока ^'о:

Если рассматривается изотропный и однородный поток, то jо — постоянная величина. Из (2)—(4) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

4па1Я^г + 4па2г^Я г,тог"^

-м-= 3о£1—

или

¿г dЯdг ^то«2 ,г-Л

где Б = 4пЯг — площадь тора. Отсюда находим скорость возрастания радиуса кривизны края диска

¿г ^т^г^Яг

Л 2(с*1 Я + а2г^)'

Предположим, что первоначальная форма пластины имеет вид диска с округлым краем (рис. 5), тогда Бо — площадь округлой части первоначальной формы поверхности диска.

Толщина диска равна 2го, край диска в сечении имеет форму полукруга с радиусом го, Яо — расстояние от оси вращения до центра полукруга. Таким образом, радиус диска равен Яо + го.

Рис. 5. Начальная форма диска

Объем диска определяется интегрированием:

»'о

У) = 7Г J [До + ф'о ~ X2]2 вх

При изотропной бомбардировке деформации подвергается только край диска. При этом участок деформируемой поверхности увеличивается. Увеличивается и объем, ограничиваемый этой поверхностью. Таким образом, деформируемая часть диска увеличивается, а плоская часть диска уменьшается. С учетом того, что объем деформируемой части (край диска) принимает наименьшую ограничивающую поверхность при изотропном воздействии, деформируемую область можно аппроксимировать формой динамически изменяющегося тора. В этом процессе поверхность тора вначале увеличивается, а его линейный размер уменьшается. Средняя часть диска сохраняет плоскую форму (см. рис. 4).

Объем полученной фигуры равен сумме объемов тора У и плоской части в середине Ур:

V. = У + Ур.

Этот объем равен первоначальному объему диска (8). Объем тора равен

У = 2п2ДГ2,

где г — радиус кривизны края тора, К — расстояние от центра тора до центра кривизны края.

Объем средней плоской части вычисляется интегрированием:

Го

Ур = 7Г ! У/г2 - х2}2 Ах

Го Го Го Го

/д2 -2Й/+/г2 -/ж2

2п

£>2 и 2  [Г0\ г0 , , , 2

К г0 — Кг I агсэш ^—у Н--V V—/ ) Г Г° ~~ 3Г°

.

Приравнивая полученный объем фигуры (9)—(11) первоначальному объему диска (8), получаем квадратное уравнение относительно К(г):

К2го + К

2 2 г0 г0 г0 ттг — г \ агсэш ( — ] Н--\/1 — ( —

г

= го

„2 п „ 2 2

До + 2 Дог° + зго

Решением этого квадратного уравнения является

К(г) =

-Ъ+у/

2а

-г2го + -г1

где а = г0 ,

2 2 г0 г0 г0 о = ттг —г агсэш — Н--л /1 — —

2 1 3

с = г г0 - -г0 - г0

Щ + 2 + з гг0

Формула (13) позволяет найти производную ^ в зависимости от г. Подставляя ее в формулу (7), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно г(£), которое решается методом Рунге — Кутты. Таким образом, получаем эволюцию поверхности диска при изотропной бомбардировке:

5

Расчеты показывают, что при первоначальной толщине диска 1 мм и радиусе 10,5 мм максимальная деформируемая площадь достигается при толщине тора 2,82 мм и радиусе диска 7,937 мм. На рис. 6 показана форма диска при этих параметрах

На рис. 7 представлен график зависимости $(£) согласно (14) при го = 10-4 м, К0 = 10-2 м, з0 = 107 1/м2, т = 10-4 кг, у0 = 3 м/с, а = -8 • 105 Дж/м2,

2

2

г

г

г

Рис. 6. Форма диска с максимальной поверхностью окружающего его тора

а1 = 2 • 105 Дж/м2. Как видно из графика, тело достигает максимальной деформируемой поверхности достаточно быстро, далее следует медленное уменьшение площади этой поверхности, которая монотонно должна стремиться к форме шара.

0 10« ДМ 30» 4КМ 5Ю0

Рис. 7. График зависимости площади деформируемой поверхности от времени при изотропной бомбардировке

Объем тора, или область, ограниченная деформируемой поверхностью монотонно увеличивается (рис. 8). Из рис. 8 видно, что объем стремится к перво-

начальному объему диска.

и

Рис. 8. Эволюция объема деформируемой части тела

В заключение отметим, что разработанная математическая модель может быть использована для расчета оптимального времени образования торовидной формы плоского куска золота при обогащении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Осипов Д. А., Филиппов В. Е., Матвеев А. И. Экспериментальное изучение деформации ковких частиц в центробежной мельнице ЦМВУ-800 // Горный информационно-аналитический бюллетень. М: МГГУ, 2012. № 10. С. 233-237.

2. Осипов Д. А., Филиппов В. Е. Экспериментальное изучение характера деформации частиц в дробильной установке Комаровского (УКОРП) // Горный информационно-аналитический бюллетень. М: МГГУ, 2008. № 12. С. 296-300.

3. Филиппов В. Е., Львов Е. С., Винокуров В. Р. Характер деформации частиц золота в дробильно-измельчительных агрегатах различных систем // ЧитГТУ. Плаксинские чтения «Экологические проблемы и новые технологи комплексной переработки минерального сырья»: Тр. междунар. совещания. 2002 г. Ч. 4.

4. Осипов Д. А., Яковлев Б. В., Филиппов В. Е. Моделирование деформации частиц золота в центробежной мельнице ЦМВУ-800 // Сб. материалов Конгресса обогатителей стран СНГ. 2015. Т. 1.

Статья поступила 21 ноября 2016 г.

Матвеев Андрей Иннокентьевич, Осипов Дьулустан Акимович Институт горного дела Севера им. Н. В. Черского СО РАН, пр. Ленина 43, Якутск 678980 andrei.mati@yandex.ru, bre1ick@1ist.ги

Осипов Дьулустан Русланович, Яковлев Борис Васильевич Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Физико-технический институт, ул.Кулаковского 48, Якутск 677891 juiz-osipov@mail.ги, Ь-уако¥1е¥@та^.ги

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2017. Том 24, № 1

UDC 539.42+519.688

MODELING OF DYNAMICS OF THE SHAPE

OF A FLAT BODY OF MALLEABLE METAL IN CASE

OF ISOTROPIC BOMBING BY SAND PARTICLES

A. I. Matveev, D. A. Osipov, D. R. Osipov, and B. V. Yakovlev

Abstract. The initial form of the grains of gold found in the nature in most cases is a flat plate (a scaly form). However, during pneumoseparation, the toroidal shape of pieces of gold is often found and considered to be the most effective. Thus the task of estimating time of formation of a toroidal piece of gold is important. In the paper, we consider the evolution of the surface of a flat disk of malleable metal deformed by isotropic bombing with fine particles and develop a mathematical model of this evolution. We obtain a differential equation describing the change of the deformed surface of a round disk which is solved then by a Runge—Kutta method. Studying the solution of the equation, we found that the body rather quickly reaches the most stable toroidal form when the deformed surface gets its maximal value and then a slower transformation of the surface into the sphere follows. We estimate the time of formation of a toroid from a disk with certain parameters of the considered system. The received results could be used for developing more exact models of evolution of flat bodies bombed with fine particles.

Keywords: mathematical model, differential equation, deformed surface, toroid, enrichment, separation, minerals, kinetic energy of particles, evolution of a surface.

REFERENCES

1. Osipov D. A., Filippov V. E., and Matveev A. I. "Experimental study of deformation of the particles in the malleable centrifugal mill TSMVU-800 [in Russian]," in: Mining Informational and Analytical Bulletin, MGGU, Moscow, 2012, No. 10, pp. 233-237.

2. Osipov D. A. and Filippov V. E. "Experimental studying of nature of deformation of particles in the crusher of Komarovsky (UKORP) [in Russian]," in: Mining Informational and Analytical Bulletin, MGGU, Moscow, 2008, No. 12, pp. 296-300.

3. Filippov V. E., Lvov E. S., and Vinokurov V. R. "Character of deformation of particles of gold in a crushing units of various systems [in Russian]," in: Environmental Problems and New Technologies of Complex Processing of Mineral Raw Materials. Proc. Int. Meeting 'Plaksin Readings', ChitGTU, 2002, Part 4

4. Osipov D. A., Yakovlev B. V., and Filippov V. E. "Modeling of deformation of particles of gold in a centrifugal mill TSMVU-800 [in Russian]," in: Proc. 10th CIS Congress of Mineral

© 2017 A. I. Matveev, D. A. Osipov, D. R. Osipov, and B. V. Yakovlev

Processing Engineers, Moscow, 2015, V. 1,

Submitted November 21, 2016

Andrey I. Matveev, Dulustan A. Osipov Mining Institute of the North, SB RAS, St., 677980, Yakutsk, Russia andrei.mati@yandex.ru, brelick@list.ru

Dulustan R. Osipov, Boris V. Yakovlev North-Eastern Federal University, Physical and technical institute, St., 677891, Yakutsk, Russia juiz-osipov@mail.ru, b-yakovlev@mail.ru