Метод размерностей как средство совершенствования профессиональной подго- товки обучаемых

6. Рягин, С. Н. Стратегия развития старшей школы на основе интеграции педагогического и экономического знания [Текст] / С. Н. Рягин // Сибирский педагогический журнал (г. Новосибирск). - 2008. - № 12.

7. Рягин, С. Н. Проектирование сетевой модели профильного обучения и предпрофильной подготовки [Текст]: монография / С. Н. Рягин. - Омск: ИРООО, 2007. - 213 с.

8. Рягин, С. Н. Проектирование содержания профильного обучения в современной школе [Текст]: монография. / С. Н. Рягин. - Омск: ООИПКРО, 2003. -155 с.

9. Философский словарь. - М., 1980. - С. 293.

УДК 371.302.3

Глушков Валерий Федорович

Доктор педагогических наук, профессор кафедры физики, Сибирский государственный университет путей сообщения, j_sib@ngs.ru, Новосибирск

Сухарев Евгений Михайлович

Кандидат технических наук, доцент кафедры физики, Сибирский государственный университет путей сообщения, j_sib@ngs.ru, г. Новосибирск

МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ КАК СРЕДСТВО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ ОБУЧАЕМЫХ

Glushkov Valerii Fedorovich

Doctor of pedagogical sciences, professor of physics Siberian Transport University, j_sib@ngs.ru, Novosibirsk

Sukharev Eugene Mikhailovich

Candidate of technical, associate professor of physics, Siberian Transport University, j_sib@ngs.ru, Novosibirsk

METHOD OF DIMENSIONS AS A MEANS OF PERFECTION OF VOCATIONAL TRAINING

Целью изучения физики в техническом вузе является создание основы теоретической подготовки будущего инженера как технически грамотного, творчески активного специалиста, обладающего целостным подходом к решению поставленных задач и современным мировоззрением. Будущий инженер должен уметь рассуждать, находить ответы на проблемные вопросы, глубоко разбираться в сути рассматриваемых явлений. Изучение физики развивает умение анализировать реальную техническую систему,

находить адекватную ей модель для теоретического расчёта и осмысления полученного результата [1]. Одним из действенных критериев истинности являются методы, основанные на анализе размерностей. Однако в вузовских курсах физики этому важнейшему вопросу уделяется мало внимания. Часто методом размерностей решаются сложные задачи, для которых аналитическое решение отсутствует или его получить очень трудно. Основы теории метода могут быть изложены на базе школьной физики, доступно для школьника, обучающегося по стандартной программе.

Если представить себе физику в виде тверди, покоящейся на трёх китах, то анализ размерностей, безусловно, является одним из этих китов. Физика - наука о закономерностях природы, её законы имеют фундаментальный характер. Применяемые в физике методы изучения окружающего мира могут быть перенесены в смежные науки, технические приложения и даже в те науки, которые традиционно относят к далёким от физики.

Специалист, обладающий универсальным подходом, способен к решению задач из различных областей техники, в дальнейшем он без особых проблем сможет сменить направление деятельности, переквалифицироваться, например, из инженера в экономиста.

Современный инженер должен уметь решать не только и не столько стереотипные задачи, в его багаже знаний и умений должен занять прочное место навык решения диагностических и поисковых задач. Любой объект представляет собой единство качества и количества. Если под объектом понимать значение физической величины, понимаемой как характеристики явления, либо результат, то размерность можно рассматривать как проявление качества объекта. Качество отражает устойчивое взаимоотношение составных элементов объекта, которое характеризует его специфику, дающую возможность отличать один объект от других. Численное значение какоё-либо физической величины имеет смысл только с указанием размерности. Поэтому развитие умения анализировать размерности является одним из наиболее важных навыков при изучении курса физики.

Внедрение метода размерностей как одной из составляющих курса физики в школах и вузах давно уже обсуждается специалистами, однако на практике наблюдается абсолютно противоположная картина. И пожелание, авторов работы [4] «для школьника метод должен стать следующим шагом после замечательных книг Я. И. Перельмана», высказанное 34 года назад, по-прежнему остаётся пожеланием. С другой стороны, профессионально работающие физики считают метод размерностей своим обычным инструментом, свидетельством чего являются многочисленные монографии и учебники по различным разделам теоретической физики [3; 4; 5].

В школьном курсе физике методом размерностей часто лишь проверяют правильность полученного в задаче ответа. К сожалению, это ограниченное рассмотрение столь мощного, интересного, универсального и красивого метода превалирует и в вузах. Можно только удивляться тому, что рассмотрение анализа размерностей приводится в курсах технических вузов физики

на одном-двух очень простых примерах, и то лишь в некоторых учебниках. Несколько специализированных книг, изданных в последней четверти XX в., вряд ли могут быть рекомендованы для изучения студентами технических специальностей без адаптации.

Метод размерностей входит в качестве составного элемента в курсы различных физико-математических лицеев, классов, летних школ, он регулярно обсуждается на страницах журнала «Квант», который можно считать дополнительным учебным пособием для дистанционного обучения продвинутых школьников.

Однако для основного контингента обучающихся в школах, колледжах и вузах он пока недоступен. Как показывает практика проведения занятия с абитуриентами, практически все школьники обладают базовыми знаниями о единицах измерения и размерностях физических величин и способны, при грамотном руководстве и соответствующем методическом обучении усвоить основные положения метода размерностей.

Возможно, представление об использовании этим методом только высококвалифицированными специалистами затрудняет его повсеместное широкое использование в учебном процессе и последующей практической производственной деятельности инженера. К тому же, метод размерностей в силу своей математической простоты доступен для освоения школьниками.

Представляется более отвечающим требованиям современной подготовки инженерных кадров другой подход, в котором о методе размерностей говорилось бы в каждом разделе общего курса физики, рассмотрение большой части теоретических вопросов начиналось бы с рассмотрения размерностей величин, существенных при изучении различных явлений. Учитывая важность теории размерностей и моделирования для решения задач экспериментального характера [1; 3], такой курс мог бы содержать многочисленные примеры, доступные для понимания любому студенту первого курса. Такой подход ценен ещё и тем, что позволяет проводить анализ задач, пользуясь базовыми школьными знаниями и соображениями здравого смысла, что, безусловно, развивает грамотность и интуицию будущего инженера. Реализация изучения анализа размерностей в курсе общей физики должна быть основана на унифицированной методической базе, подкрепленной методическими пособиями, учебниками, содержащими задачи разной степени сложности.

При рассмотрении метода размерностей следует отметить его ограниченность, так как он позволяет получить качественную зависимость физических величин. Понятно, что это - обратная сторона универсальности и относительной математической простоты метода. Грамотное, умелое использование метода размерностей должно сочетаться с таким же умением анализировать сущность явлений, создавать адекватную их теоретические модели, применять различные математические методы.

В школах и вузах метод размерностей используется обычно только в курсах физики, однако его можно применять практически везде, где есть

закономерности и величины с единицами измерения, например, в курсе геометрии. В последнее время физические методы теоретического анализа активно переносятся в науки, традиционно считающимися далёкими от физики, в том числе в экономику. Это в полной мере относится к методу размерностей. Расширение диапазона применения метода размерностей с использованием примеров из разных наук расширяет кругозор учащихся, показывает им возможность различных подходов к изучению природы. Использование метода размерностей как существенной составляющей курса общей физики может стать одним из путей улучшения и модернизации процесса обучения.

Метод размерностей может изучаться как составляющая общего курса физики, так и в качестве отдельного элективного или специального курса, Оба варианта могут быть применены при разработке технологии поэтапного формирования инженерной и мировоззренческой культуры в техническом вузе. В книге П. Бриджмена [4, с. 7] отмечается: «Очевидно, что пришло время для упорядочения метода, для представления его в такой форме, которая была бы доступна не только искушенному и опытному исследователю, но и начинающему научному работнику». Можно добавить, что уже наступило время, чтобы этот метод был доступно не только начинающему научному работнику, но и будущему инженеру и технику. Представляется, что постепенное формирование у студентов понятия о методе размерностей и приобретение ими навыков его использования может быть осуществлено в течение двух учебных семестров.

В 2007-2009 гг. одним из авторов проводилась апробация элективного курса «Анализ размерностей в физике и технике» в Сибирском государственном университете путей сообщения при изучении физики студентами специальностей «Строительство железных дорог», «Автомобильные дороги и аэродромы» и при изучении курса «Концепции современно естествознания» студентами специальности «Бизнес-информатика». В начале изучения курса физики, начиная с основ механики, все вновь изучаемые физические явления анализировались с точки зрения измеряемых характеристик и размерностей соответствующих величин. С целью боле глубокого усвоения материала было подготовлено методическое пособие, в котором разобрано около 50 примеров из различных разделов физики. В качестве одного из обязательных экзаменационных требований также было включено умение как минимум проверять размерность полученных ответов. Для наиболее успешных студентов - применять анализ размерностей для получения качественных зависимостей. Изучаемый материал был сгруппирован в соответствии следующими разделами: краткие теоретические сведения по методу размерностей, кинематика, динамике и теории колебаний, молекулярная физика и термодинамика, электричество и магнетизм, квантовая и ядерная физика, гидродинамика и гидротехника, гидродинамика и гидротехника, различные задачи техники и естествознания. Особо отмечались те задачи, которые допускают точное аналитическое решение (в этих случаях предлагалось его

найти) и те, для которых точное решение либо отсутствует, либо оно требует привлечения дополнительных сведений, выходящих за рамки школьной и вузовской программы. Тексты задач составлялись таким образом, чтобы у учащихся была возможность обдумать характер явления, наиболее существенные величины, причины того или иного физического процесса. То же самое касается используемых в задаче терминов: студент, читающий условие задачи должен понимать, что речь идёт о процессах и явлениях, которые можно часто встретить и наблюдать в повседневной жизни.

Например, по кинематике предлагались следующие задачи: автомобиль, затормозив, проехал некоторое расстояние, нужно выяснить влияние скорости движения автомобиля на длину тормозного пути. Существенно здесь упоминание о тормозном пути (а не просто о пройденном пути), это термин, который у всех на слуху, смысл и происхождение его понятны без дополнительных пояснений. С другой стороны, это задача, рассмотренная почти в любом школьном учебнике или задачнике на самом первом этапе обучения физике. Многие школьники помнят формулу связи скорости, ускорения и пройденного пути наизусть. Метод размерностей в данной задаче получается формула, которая отличается от известной из школьного курса кинематики только отсутствием числового множителя. Данный факт, как отмечается в [4] и [6], является проявлением общей закономерности. Уже на этом постом примере школьники и студенты могут увидеть важность, красоту, сильные и слабые стороны метода размерностей.

При рассмотрении решения классической задачи о периоде колебаний математического маятника особый акцент был сделан на подобии колебаний различной природы на этом примере также обсуждалось важное понятии теории подобия и моделирования - критерий физического подобия.

При рассмотрении задачи о движении материальной точки без начальной скорости под действием постоянной силы была получена формула, которую можно представить в виде записи второго закона Ньютона. Это очень важный момент, поскольку учащиеся могут задуматься о том, что методом размерностей можно, оказывается, выводить фундаментальные законы. Таким образом, студенты и школьники подводятся к пониманию , что размерность - это нечто большее, чем просто знание качественной меры величины и анализ размерностей может привести к качественному скачку в понимании какого-либо явления. На языке, приближенном к техническим приложениям, это может означать, в том числе и создание новых технических принципов, механизмов и устройств. Последующий анализ решения этой задачи с преподавателем, позволяет продолжить обсуждение понятия подобия явлений на другтм достаточно простом примере.

Момент инерции изучается обычно в высшем учебном заведении, иногда в курсах физики специализированных классов и школ. При этом вычисление момента инерции даже в простейших случаях для тел симметричной формы проводится с применением интегрирования. Однако при всей методической важности и устоявшихся традициях такого подхода, альтернатива также

имеет право на существование. В данном случае, конечно, речь идёт о методе размерностей. Изложение здесь может вестись в таком порядке. Сначала поясняется, что момент инерции можно оценить, зная массу и характерный размер. Тогда соображения размерности дают формулу для связи момента инерции, массы и характерного размера: I ~ шЯ2 (т - масса, Я - характерный размер), знак «~» означает равенство с точностью до постоянного безразмерного коэффициента. Для тел симметричной формы (окружность, круг, сфера, равносторонний и равнобедренный треугольник, квадрат, куб) характерный размер определяется очевидным образом. При обсуждении задачи на этом этапе важно подчёркнуть, что выведенная формула имеет универсальный характер. Иными словами, применения сложных математических методов выведена достаточно общая закономерность, при этом важно также довести до понимания обучающихся, что безразмерный коэффициент, оставшийся за рамками решения близок к единице и подтвердить это сравнением в конкретных случаях с известными точными формулами. В этой задаче можно использовать свойство симметрии и подобия для нахождения точной формулы. То есть в данном случае метод размерностей позволяет в сочетании с дополнительными соображениями получить точную формулу.

Получаемые методом размерностей соотношения верны только в качественном смысле. Однако путём введения дополнительных размерностей можно получать точные количественные соотношения. Это можно показать примере задачи о движение тела, брошенного горизонтально, в поле тяжести.

При изучении темы «Молекулярная физика и термодинамика» одна их основополагающих формул, связывающая давления идеального газа со скоростью его молекул может быть выведена методом размерностей. Конечно, нужно обращать внимание на то, что присутствующая в выведенной формуле скорость - это некоторая характерная скорость. В данном случае точный вывод формул связан с достаточно длительными математическими рассуждениями, которые могут затенить физический смысл рассматриваемого явления. Предварительный анализ методом размерностей здесь можно рекомендовать как иллюстрацию быстрой оценки связи существенных для данного процесса величин между собой. Учащийся также может понять на этом примере, что точную формулу он всегда сможет восстановить, если воспользуется методом размерностей и будет помнить численный коэффициент.

При выводе формула, связывающей длину свободного пробега молекул и их характерный размер можно обратить внимание учащихся на то, что осуществляется попытка связать величины одинаковой размерности, которая при стандартном подходе обречена на провал. Следовательно, нужно сделать так, чтобы эти величины стали бы разнородными, обладающими разными размерностями. Это достигается введением дополнительных размерностей для продольных и поперечных длин - приёмом, который отсутствует в школьном курсе физики, но весьма прост, поучителен и универсален. Как

показала практика обучения, при некотором навыке учащийся способен его увидеть в задачах различной тематики.

Анализ технической проблемы можно рассмотреть на таком примере: «Найти максимальное значение напряжённости и индукции магнитного поля, достижимые в лабораторных условиях, исходя из того, что материал установки может нагреться и расплавится». Ясно, что в данной формулировке точное решение отсутствует в принципе. Однако метод размерностей делает задачу вполне решаемой даже для школьника. Важность такого типа задач усиливается их технологической составляющей и возможностью апеллировать к здравому смыслу, а также сравнивать численные оценки со справочными данными.

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля традиционно рассматривается в высшей школе. Применение метода размерностей в данном случае, то есть получение формулы, связывающей напряжённость поля с зарядовыми характеристиками тела, позволяет обойтись без теоремы Гаусса. С другой стороны, получив формулы для напряжённостей, можно вывести формулы для потока вектора напряжённости в каждом конкретном случае проиллюстрировать теорему Гаусса.

При решении задач по электричеству и магнетизму методом размерностей часто переходят от размерностей к единицам измерения, что имеет, конечно, имеет тот же физический смысл. При этом иногда удобно пользоваться системами СГС или МКСА, применение которых в научной и инженерной практике применение обычно. В школе и вузах обычно ограничиваются употреблением СИ, однако это ограничение лишено физического смысла и сужает кругозор учащихся. Специалисты различных областей привыкли иметь дело с единицами измерения и системами, которые удобны, исторически закрепились в какой-то стране. Поэтому важно хотя бы давать понятие о других системах единиц, отличных от СИ. К тому же, физиками всего мира система СГС признаётся более удобной для теоретических исследований из-за отсутствия нефизических коэффициентов. После изучения электромагнетизма можно разбирать задачи, в которых анализируются более сложные явления, например, связанные с нагревом электрическим полем или механическая деформация вследствие действия магнитных сил. Само собой, традиционно решаемые в школе задачи, такие как движение заряженной частицы в магнитном поле по круговой траектории также можно решить, анализируя размерности, что только увеличивает методическую ценность метода.

Основы физики атомов и квантовой механики - очень благодатная почва для применения метода размерностей. Математический аппарат квантовой механики включён в курсы общей физики, однако его объём варьируется в разных учебных заведениях, а для строительных и управленческих, например, о его существовании упоминается в нескольких строках. Студенты младших курсов (и школьники) владеют методами решения дифференциальных уравнений в очень ограниченном объёме. Метод размер-

ностей устраняет в проблемы сложного вывода формул. Так с помощью анализа размерностей можно выводить формулы радиус вращения электрона в атоме и другие характерные размеры. При решении некоторых задач такого в качестве промежуточного результата появляется безразмерная константа, пропорциональная постоянной тонкой структуры. Одна из современных интерпретаций постоянной тонкой структуры: это отношение энергии, необходимой, чтобы сблизить два электрона с бесконечности до некоторого расстояния L к энергии фотона с длиной волны 2лЕ. Численное значение трактуется так: именно такое значение постоянной тонкой структуры позволяет материи быть стабильной. В данном случае метод размерностей демонстрирует свою мировоззренческую и даже философскую сторону, что также ценно для учебного процесса.

В задаче о нахождении энергии частицы в потенциальной яме метод размерностей также даёт ответ, близкий к точному. На этом примере можно проиллюстрировать такое популярное у физиков «обезразмеривание» дифференциальных уравнений. Для скорости электронов, находящих на разных орбитах, можно методом размерностей получить формулу, которая является частным случаем постулата Бора о квантовании момента импульса, частоты колебаний ядер атомов также могут быть оценены методом размерностей. Точное аналитическое решение данной задачи пока существует только для ряда моделей. В данном случае можно акцентировать внимание студентов на принципиальной невозможности получения точного решения.

В разделе «Гидродинамика» метод размерностей традиционно применяется давно и получил широчайшее применение. Ценность метода определяется тем, что многие положения гидродинамики составляют основу гидротехники и теории движения тел в газах и жидкостях, то есть могут быть изучены в вузах строительной и транспортной направленности. В литературе накоплено огромное количество задач, в исследовательской и инженерной практике методом размерностей решаются различные задачи, связанные с прохождением различных сред в трубах, изнашиванием, расчётом теплотехнических характеристик. Общей чертой является то, что многие задачи приводят к появлению характеристических чисел, критериев подобия (числа Рейнольдса, Фруда). Это является следствием универсальности метода размерностей и закономерностей течения различных потоков и облегчает понимание сложных вопросов гидродинамики, весьма важного раздела физики, в том числе для будущих транспортников и строителей.

Заключительный этап предлагаемого курса состоит из рассмотрения примеры из различных областей техники и естествознания. Это задачи типа: оценка максимальной высоты гор, волны в проводящей намагниченной жидкости, зависимость скорости бега лошади от её размера. Основная цель рассмотрения таких задач - показать, что метод размерностей можно использовать везде, где есть величины, которые связаны количественными отношениями и поддаются точному определению.

В последнее десятилетие усилился интерес к работам выдающегося советского конструктора и учёного Роберта Ороса ди Бартини (Р. Л. Бартини). Одно из направлений его обширной деятельности - создание уникальной таблицы размерностей. Как известно, выбор исходных единиц измерения для основных величин во всех системах может быть произвольным, например в теоретической физике часто пользуются системой, в которой скорость света принимается за единицу. Другой пример - кинематические системы размерностей и физических величин. В этих системах отсутствует базовая размерность для массы. Наиболее известна система, которую предложил Бартини. В ней все размерности выражены через размерности длины и времени. Р. Л. Бартини предложил таблицу размерностей, так называемую Ш-таблицу, одно из важных свойств которой заключается в том, что она выражает физические законы сохранения. Каждая клетка таблицы соответствует какому-законы природы, в том числе такому, которое ещё ждёт своего первооткрывателя. Таблицу Бартини используют также как простой метод поиска принципов измерения любой известной величины. Например, легко показать, как одной из ячеек соответствует зависимость деформации от напряжения, то есть пьезоэффект. На основе Ш-таблицы предлагаются новые законы сохранения, в том числе для таких специфических величин как мобильность.

Метод размерностей, охватывая фундаментальные свойства размерностей физических величин, а также из общих физических соображений, даёт универсальный метод сильного упрощения решения различных механических и физических задач, а иногда даже позволяет их решить. Кроме того, он даёт верные критерии моделирования различных явлений. Внедрение в курс общей физики изучения метода размерностей с подробным решением задач, группированным по разделам, позволяет реализовать целостность физического образования, делать обучаемым свои собственные маленькие открытия. При этом важно соблюдать принцип единства фундаментальности и профессиональной направленности.

Для проверки работоспособности предложенного курса и методики нами были разработаны контрольные материалы, содержащие различные. Уровень задач соответствовал рассмотренным в течение изучения курса физики. Предварительный эксперимент показал, что методом размерностей овладели те студенты, у которых была хотя бы минимальная базовая подготовка по физике и математике. Проведенное анкетирование показало, что студенты оценивали важность и интересность метода размерностей, большинство анкетируемых отметило интерес, важность для освоения других дисциплин (теоретической механики, метрологии, электротехники, гидравлики). Результаты ответов на экзамене и анкетирования показывают осознанное стремление овладеть изучаемым материалом и важность выделения времени на изучения метода размерностей.

Исследование показало эффективность предлагаемой методики изучения метода размерностей в процессе профессионально направленного обуче-

ния физике студентов технических специальностей вузов. Более глубокое и целенаправленное изучение метода размерностей должно способствовать совершенствованию профессиональной подготовки студентов и формирования творческой активности будущих инженеров.

Библиографический список

1. Шенк, X. Н. Теория инженерного эксперимента [Текст] / X. Н. Шенк. - М.: Мир, 1972. - 384 с.

2. Энгельс, Ф. Диалектика природы [Текст] / Ф. Энгельс. - М.: Политиздат. -1982. - 359 с.

3. Седов, Л. И. Методы подобия и размерности в механике [Текст] / Л. И. Седов. - М.: Наука. - 1977. - 147 с.

4. Бриджмен, П. Анализ размерностей [Текст] / П. Бриджмен. - Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2001. - 148 с.

5. Кутателадзе, С. С. Анализ подобия и физические модели [Текст] / С. С. Кутателадзе. - Новосибирск: Наука. - 1986. - 295 с.

6. Брук, Ю. М. Как физики делают оценки - метод размерностей и порядки физических величин [Текст] / Ю. М. Брук, А. Л. Стасенко // о современной физике - учителю. М.: Знание. - 1975. - С. 54-131.

7. Ди Бартини, Р. О. Некоторые соотношения между физическими константами [Текст] / Р. О. ди Бартини // Доклады Академии наук СССР. - 1965. -Том 163. - № 4. - С. 861-864.