Обтекание кругового цилиндра волнами, распространяющимися на поверхности вязкой жидкости

E. M. Сычева. Обтекание кругового цилиндра волнами, распространяющимися на поверхности вя

can V., Kirsten T., Kiko J. European Network fireballs photographed in 1977. Bull. Astron. Inst. Czechosl., 1983, vol. 34, pp. 195-212.

7. Ceplecha Z., Jezkova M., Bocek J. Photographic data on the Leutkirch Fireball (EN300874) (Aug. 30, 1974). Bull. Astron. Inst Czechosl., 1976, vol. 27, pp. 18-23.

8. Ceplecha Z., Bocek J., Novakova M., Polnitzky G. Photographic data on the Traunstein Fireball (EN290181, Jan. 29, 1981) and suspected mete-orite fall. Bull. Astron. Inst. Czechosl., 1983, vol. 34, pp. 162-167.

9. Lukashenko V. T. Tochnie i approximazionnie metodi nahoshdenia mass meteornih tel [Exact and approximation methods for finding the masses of meteoroids]. Sovremennie problemi teorii funktsiy i ih prilojenya: materialy 17 mezhdunar. Saratov. zimney shkoli [Modern problems of function theory and their applications: Proc. of the Intern. 17-th Saratov Winter School], Saratov, 2014, pp. 162-163.

10. Stulov V. P., Mirsky V. N., Vislii A. I. Aerodinamika bolidov [Aerodynamics of bolides]. Moscow, Nauka, Fizmathlit, 1995, 236 p. (in Russian).

11. Gritsevich M. I., Guslov T. S., Kozhemyakina D. M., Novikov A. D. On change in the mass loss parameter along the trajectory of a meteor body. Solar System Research, 2011, vol. 45, no. 4, pp. 336-341.

12. Ceplecha Z., Borovicka J., Elford W. G., Revelle D. O., Hawkes R. L., Porubcan V., Simek M. Meteor phenomena and bodies. Space Sci. Rev., 1998, vol. 84, pp. 327-471.

13. Gritsevich M. I., Popelenskaya N. V. Meteor and fireball trajectories for high values of the mass loss parameter. Doklady Physics, 2008, vol. 53, no. 2, pp. 8892.

14. Popelenskaya N. V. Dependence of the height of disappearance for small meteoric bodies on their parameters. Moscow Univ. Mech. Bull., 2010, vol. 65, no. 4, pp. 90-93.

УДК 532.591

ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ВОЛНАМИ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИМИСЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Е. М. Сычева

Магистрант кафедры математического моделирования, Тюменский государственный университет, sychovaelena92@gmail.com

Опорными элементами ряда морских гидротехнических сооружений служат сваи в виде вертикальных круговых цилиндров. Вопросы о взаимодействии набегающих волн с такими преградами и определении волнового режима на огражденных акваториях представляют не только теоретический, но и практический интерес.

Рассматривается движение жидкости, вызванное взаимодействием набегающей гравитационной волны, распространяющейся на поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости, с круговым цилиндром бесконечной длины. Получено решение задачи для колебаний малой амплитуды.

Ключевые слова: вязкость, волновые движения жидкости.

В области, занятой жидкостью, выполняются уравнение неразрывности и уравнения движения:

div v = 0,

Р

d v

~dt

+ (vV)v

= ^Av -VP + pg,

где V = (п,у,т) — вектор скорости, р — плотность, д — динамический коэффициент вязкости, Р давление, g — вектор силы тяжести.

При заглублении скорость жидкости должна затухать, т. е. выполнено условие

v ^ 0,

z —> — оо.

На свободной поверхности задаются кинематическое условие [1]

дС + дС + дС

dt dx dy

и динамические условия [2]

eij ti nj — P 2ßeij ninj — Pa

Vi = U, V2 = V, X3 = z,

1 ( dv,- dv i + j

ij 2 \ dxj ' dxi J '

v3 = w,

Xi = X, x2 = y, где Pa — постоянное атмосферное давление.

© Сычева Е. М, 2014

На поверхности цилиндра S в случае вязкой жидкости должно выполняться условие прилипания:

u = 0, v = 0, (x, у, z) <E S.

Будем рассматривать колебания с амплитудой весьма малой по сравнению с длиной волны. Тогда система уравнений и граничных условий примет вид

д v 1

div v = 0, — = v Av--Vp,

dt p

д$ p dw du dw dv dw

w , -- gi — 2v— = 0, — + — = 0, —+ —=0, z = 0,

dt p dz dz dx dz dy

u = 0, v = 0,

v ^ 0, z ^ —ro,

где p = P + pgz — Pa — динамическое давление, v = ^/p — кинематический коэффициент вязкости.

Решение задачи необходимо искать в виде суммы потенциальной и вихревой составляющей. Исходя из этого представим скорость в виде [3]

v = vi + vi, vi = Vp, v2 = ro№,

где р — потенциал, Ф — векторная функция тока.

Тогда, применяя к уравнениям (1) операции div и rot, их можно свести к системе уравнений

др д Ф

Ар = 0, p = — ~д£, — v АФ = 0.

Применяя операции дифференцирования к уравнениям для функции р и компонент векторной

функции Ф, получим уравнения для вертикальной составляющей скорости w = w1 + w2 (w1 = ,

\ oz

= дф1 дх ду

0W2

Aw1 = 0, —2 — v Aw2 = 0.

дt

Граничные условия (2) с помощью операций дифференцирования и уравнений (1) преобразуются к виду

03w ( д2 д2 д2 \ д2w (д2w 32w --v я--i- я--1----g--1--

dt2dz \ dx2 +3 dy2 + dz2 J dtdz ^ \3x2 + dy2 J ^ 0,

d 2w d 2w d2 w

d W d W d W = 0, z = 0.

dz2 dx2 dy Из условий (2) и (3) получим:

dw = 0,

а из условия затухания волнового движения при заглублении (4):

w ^ 0, z ^ _ж.

Таким образом, исходная волновая задача сведена к задаче для вертикальной составляющей скорости (5)-(9).

Волновое движение жидкости для свободной волны, не искаженной препятствием, описывается следующими функциями [4]:

u _ cos a(ikAekz _ lCelz )eik(x cos a+y sin a)+^t, v _ sin a(ikAekz _ lCelz )eik(x cos a+y sin a)+ut, w _ (kAekz + ikCelz )eik(x cos a+y sin a)+^t,

ikA lC

p _ _p^Aekze'ík(x cos a+y sin a)+^t ^ __cos a+y sin a)+^t

Е. М. Сычева. Обтекание кругового цилиндра волнами, распространяющимися на поверхности вя

2^к2 А

где к = —- — волновое число, Л — длина волны, I2 = к2 +--, С = --тг, а — направление

Л V ш + 2vk2

распространения волны, отсчитываемое от оси x в горизонтальной плоскости, а ш — комплексная

частота, для которой получено дисперсионное уравнение:

(w + 2vk2)2 + gk = 4v2ky + I'

Далее будем рассматривать дифракцию набегающей волны круговым цилиндром с вертикальными образующими. Функции w\ и w2 будем искать в виде

wi = kAekz+^F(x, y), W2 = ikCelMF(x, y).

Выражения для функций u, v, p и £ через F примут следующий вид:

u = -k C°S2 tt(kAekz + i1Celz) ^ / F^,

v = -k S1„2 a (kAekz + ilCe'z K</F(X,y) dy,

p = -pwAekzeutF(x, y), £ = %kA - lC eutF(x, y).

w

Из уравнений (5) вытекает следующее уравнение Гельмгольца для функции F:

д2 F d2F l2 ~

in + тгт + = о.

dx2 dy2

Условия (6), (7) и (9) при таком представлении для w1 и w2 выполняются, а из условия (8) следует условие для F:

dF , , г

— = 0, (x,y) е L,

где L — контур сечения препятствия горизонтальной плоскостью. Функцию F можно представить в виде

F = F^ + F,

где первое слагаемое F^ = eik(xcosa+ysina) соответствует набегающей волне, а второе характеризует возмущенное движение жидкости.

Уравнение Гельмгольца для определения функции F и условие на контуре L в полярных координатах принимают вид

Э_

dr

1 +L — + k2F -о

r dr \ dr J r2 DO2

где R — радиус цилиндра.

Функция F как решение уравнения Гельмгольца должна также удовлетворять условию излучения в форме [5]

lim Vr(Fr - ikF) = 0, lim F = 0.

r —r —

Решение уравнения (10) будем искать с помощью метода разделения переменных, представив неизвестную функцию в виде

F (г,в) = X (r)Y (в).

Подставив последнее выражение в уравнение и проведя разделение переменных, получим уравнения

r2Xrr + rXr + (k2r2 - m)X = 0, Yee + XY = 0, где m — константа разделения.

Механика

471

Решение второго уравнения, удовлетворяющее условию периодичности по 9 и условию симметрии относительно а имеет вид Y = cosn(9 — а), где n = \/m — целое число.

Условию излучения удовлетворяет функция Ханкеля первого рода X = И(П) (kr), n = 0, 1, 2,.... Тогда функция F примет вид

F = CnнП1) (kr) cos n(9 — а).

n=0

Коэффициенты Cn определим из условия (11). Для этого используем разложение [6]

eikRco<e-a) = у £ninJn(kR) cos n(9 — а),

n=0

11, п = 0,

где Jn(kr) — функция Бесселя первого рода, еп = <

12, п ^ 0.

Тогда получим:

Зп-Х

C = - F i'

nn

Hn-^kR) — HnZ

В случае малого значения числа кЯ (длина волны много больше радиуса цилиндра) условие на контуре Ь можно записать в виде Рг = —%ксо$,(9 — а), г = Я. Тогда функция Р, определяющая

%кЯ2

суммарное волновое поле, равна Р = егкгСОБ(в-а) +--со$,(9 — а).

г

Библиографический список

1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретиче- 4. ЛевичВ. Г. Физико-химическая гидродинамика. М. : ская гидромеханика : в 2 ч. Ч. 2. М. : Физматгиз, 1963. Физматгиз, 1959. 700 с.

728 с. 5. Кочин Н. Е. Собрание сочинений : в 2 т. М. ; Л. :

2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М. : ^ в дн СССР 1949 Т 2 305 Мир, 1973. 792 с. ЗД-в° ' ... с

3. Баринов В. А., Басинский К. Ю. Моделирование 6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегра-волновых движений вязкой жидкости // Вестн. Тюмен. лов, сумм, рядов и произведений. М. : Физматгиз, 1963. ун-та. 2009. № 6. С. 144-151. 1100 с.

зс

Flow a Round Cylinder by Waves Extending on the Viscous Liquid Surface

E. M. Sycheva

Tyumen State University, 10, Semakova str., 625003, Tyumen, Russia, sychovaelena92@gmail.com

Some marine hydro technical constructions have such support elements as piles in the form of vertical round cylinders. Questions about the incident wave's interaction with such barriers and identification of wave regime on the fenced water areas has as the theoretical as the practical concern.We shall consider the motion of liquid, caused by the interaction of incoming gravitational wave, spreading on the surface of the viscous incompressible liquid coat with an infinitely long round cylinder. The problem was solved for the case of small oscillations.

Keywords: viscosity, wave motion of liquid.

References

1. Kochin N. E., Kibel I. A., Roze N. V. Teoreticheskaia gidromekhanika [Theorethical hydromechanics]. Pt. 2, Moscow, Fizmatgiz, 1963, 728 p.

2. Betchelor J. K. Vvedenie v dinamiku zhidkosti [Introduction to the fluid dynamics]. Moscow, Mir, 1973, 792 p.

3. Barinov V. A., Basinsky K. Yu. Modelling of the wave motions of the viscous liquids. Vestnik Tyumen State Univ., 2009, iss. 6, pp. 144-151.

4. Levich V. G. Fiziko-khimicheskaia gidrodinamika

[Physicochemical hydrodynamics]. Moscow, Fizmatgiz, 1959, 700 p.

5. Kochin N. E. Sobranie sochinenii [Collected works]. Vol. 2. Moscow, Publ. Academy of Sciences USSR, 1949, 305 p. (in Russian).

6. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, riadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products], Moscow, Fizmatgiz, 1963, 1100 p. (in Russian).