О критических скоростях распространения гравитационных волн в однородной и двухслойной жидкостях

Вычислительные технологии

Том 2, № 5, 1997

О КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЯХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

В

ОДНОРОДНОЙ И ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТЯХ*

В. И. Букреев Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

Новосибирск, Россия e-mail: buklabex@hydro.nsc.sux

Some results are discussed of experimental study of gravity waves generated by a translatory movement of the vertical plate in homogeneous and two-layer fluids. Particular emphasis has been placed on the fact that, at the specified propagation speed, the waves lose their stability and break down. The hypothesis is supported by the fact the magnitude of this speed coincides with the limiting propagation speed of the solitary wave for waves of the more general form as well. Quantitative data are given which might be useful for testing the results of numerical computations.

Постановка задачи. Рассмотрим волновой бассейн с плоским горизонтальным дном длиной 7.3 м и шириной 0.2 м, который заполнялся на глубину Н = 1 — 6 см (рис. 1) однородной по плотности или двухслойной жидкостью (водой и керосином). В невозмущенном состоянии жидкость покоилась. Возмущение вносилось вертикальной пластиной 1, полностью перекрывающей поперечное сечение бассейна, не допускающей перелива через себя и движущейся вдоль бассейна по заданному закону:

х*

где г — время, х* — продольная координата произвольной точки пластины, и (скорость), I (длина пути), Т1 (характерное время разгона) и Т2 (время движения) — параметры. Используемая далее неподвижная система координат показана на рис. 1. Вертикальная координата отсчитывается от дна бассейна вверх. При г = 0 х = 0. Вследствие условия

I = иТ1 + иТ2 [ехр(—Т2 /7\) — 1]

из четырех параметров закона движения независимы только три.

С помощью чувствительных волномеров и киносъемки с частотой 32 кадра в секунду регистрировались волны на свободной поверхности, а в двухслойной жидкости и на границе раздела.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №95-01-01164. © В. И. Букреев, 1997.

Рассматриваемая задача представляет интерес по крайней мере в трех аспектах. Во-первых, она имеет определенную аналогию с фундаментальной задачей газовой динамики о движении поршня в трубе. Эта аналогия имеет ограниченную область применимости, но полезна с физической точки зрения, а также при качественном анализе соответствующих математических моделей и апробации численных методов. Во-вторых, полное перекрытие поперечного сечения потока можно трактовать как предельный случай задачи о движении или обтекании препятствия, которой в последние десятилетия уделяется большое внимание [1-3 и др.]. В третьих, указанным возмущением легко реализуется процесс обрушения волн в сравнительно простых условиях. Этот процесс служит не менее удобным объектом для изучения фундаментальной проблемы перехода от порядка к хаосу, чем турбулизация пристенных и струйных течений. Несмотря на большое внимание, уделяемое проблеме турбулентности, количественные исследования процесса обрушения волн только начинаются [4-6].

В однородной жидкости аналогичные по постановке опыты проводились ранее в [7-9]. В работе [7] основное внимание уделялось не волнам, а силовому взаимодействию пластины с жидкостью, в [8] изучались только гладкие волны до стадии обрушения, [9] — прежняя публикация автора. Численных экспериментов выполнено немного больше. В качестве примеров можно отметить работы [10, 11]. Прямые аналоги физических и численных экспериментов для двухслойной жидкости автору не известны. Однако заслуживают внимания многочисленные исследования волн при движении (или обтекании) препятствия, не полностью перекрывающего поперечное сечение бассейна (например, обзоры [12, 13]).

Однородная жидкость. Первая и вторая критические скорости распространения гравитационных волн на мелкой воде. Для кинематических характеристик гравитационных волн наиболее важными параметрами рассматриваемой динамической системы являются глубина Н и ускорение силы тяжести д. Они определяют характерную скорость с* = Ь\[дН, где Ь — безразмерная величина, которая в общем случае сама зависит от всех других параметров системы (в частности, от тех же д и Н, от вязкости жидкости, коэффициента поверхностного натяжения и др.), а на практике может принимать несколько выделенных значений. Значение Ьх = 1 широко известно. Соответствующая скорость сх = л/дН ограничивает сверху область существования линейных гармонических волн и снизу — кноидальных (в частности, уединенных) волн. В гидравлике сх называется критической скоростью. Ее аналогом в газовой динамике является скорость звука. Привлекает внимание еще одно характерное значение Ь2 > Ьх, а именно то, которому соответствует предельная сверху область существования уединенных волн. В зависимости от исходной математической модели в теории получаются разные значения Ь2. На основе второго приближения теории мелкой воды найдено Ь2 = \[2 [14], а расчеты на основе полной модели потенциального движения дали Ь2 = 1.294 [15]. В работе [15] приведен обзор

других исследований этого вопроса.

Одна из целей данной работы состояла в экспериментальной проверке гипотезы о том, что предельная скорость распространения уединенных волн критична и для волн более общего вида. Признаком критичности служило то, что в процессе своей эволюции из состояния покоя волны, пересекая границу с = С\ (с — скорость распространения), оставались гладкими, но обрушивались, если пересекали границу с = с2. Указанная гипотеза неизменно подтверждалась во многих десятках опытов, причем обрушение имело место при втором из приведенных теоретических значений Ь2. При обратном переходе из закритической области в докритическую обрушивающиеся волны становились гладкими. Упоминание об обрушении волн при переходе через вторую критическую скорость имеется также в [8].

Рис. 2.

На рис. 2 приведены примеры волн разного вида, сохранявших гладкость при c < c2, но обрушивавшихся при c > c2. Они существенно отличаются от уединенной волны по многим признакам. В частности, они нестационарны. Безразмерная высота их первого гребня в предкритическом состоянии изменяется от 0.40 до 0.71, тогда как по теории [15] безразмерная амплитуда уединенной волны при c = c2 равна 0.79 (следует отметить, что предельная амплитуда теоретической уединенной волны равна 0.827 и достигается при скорости распространения, меньшей c2 [15]).

Экспериментальные волны на рис. 2 зарегистрированы неподвижными волномерами, расположенными при x = Xj. Приняты обозначения: т = t^/g/H, г/ = (y — H)/H (y — ордината свободной поверхности); nm — высота первого гребня. Для нестационарных волн требуется дополнительно определить понятие скорости распространения. Далее фигури-

рует вычисленная по сигналам двух неподвижных волномеров, смещенных на Дх < 10H, скорость продольного перемещения ce той точки переднего фронта волны, для которой П = Пт/2- Для волн а — г на рис. 2 значения величин [H (см), Xj/H, //H, U /\fgH, T\\J g /H, ce/VgH, равны [5.5, 34.5, 5.0, 0.396, 2.74, 1.30, 0.71], [3.2, 18.8, 4.4, 0.356, 2.80, 1.26, 0.45], [1.0, 70, 10, 0.351, 7.46, 1.28, 0.40], [1.0, 170, 10, 0.492, 6.58, 1.25, 0.29] соответственно. Волны а - в близки к критическому состоянию, но еще сохраняют гладкость. Волна г уже побывала в области с > с2, потеряла часть своей энергии при обрушении и снова стала гладкой. Перед обрушением она была похожа по форме на волну в, а после возврата в докритическую область приобрела вид так называемой N-волны.

Разрушительные тенденции при с > с2 так сильны, что им неспособны противостоять ни дисперсия (как это имеет место при ci < с < с2), ни поверхностное натяжение (для большинства встречающихся на практике жидкостей). Только достаточно сильное "благоприятное" ускорение способно на некоторое время затянуть развитие процесса обрушения при переходе через границу с = с2 . Для таких волн наблюдается своеобразный гистерезис по скорости распространения. Сильно ускоренная волна может сохранить гладкость при переходе в закритическую область, но постепенно скорость ее распространения замедляется, достигает с2 сверху, здесь волна обрушивается, после чего ее скорость может снова возрасти. При современном уровне знаний возможность существования стационарных свободных гладких волн с с > с2 проблематична.

Из выполненных опытов следует, что на практике обрушение волн происходит только при с > с2, а разрывные решения первого приближения теории мелкой воды при Ci < с < с2, соответствующие обрушивающимся волнам, являются "дефектом" этой математической модели. На границе с = с1 с разрушительными тенденциями вполне справляются нестационарность и дисперсия, так что неустойчивость приводит здесь только к появлению гладких двумерных ондуляций и трехмерных косых волн.

В табл. 1 приведены выборочные значения Ce2/c2 , где Ce2 — значение Ce в начальный момент процесса обрушения. Экспериментальные данные получены при разных сочетаниях параметров, из которых в таблице указан только H. При вычислении с2 взято b2 = 1.294. Разброс Ce2/c2 относительно 1 лежит в пределах погрешности измерений, коэффициент вариации которой был порядка 2 %. Такая погрешность позволяет уверенно отдать предпочтение значению b2 = 1.294, а не -\/2.

Таблица 1

H, см 1.0 1.6 2.4 3.2 4.8 5.5 6.8

CE2/C2 0.993 0.971 0.972 1.001 1.005 0.992 0.980

В табл. 2 приведены данные об эволюции одной и той же волны при Н = 3 см, //Н = 30, и/\/дН = 0.448, Тх у/д/Н = 7.78. Она зарегистрирована неподвижными волномерами, расположенными в трех точках по оси х (соответствующие конкретные значения £ приведены в таблице), в виде функции у(£). Принято обозначение Дт = т — то, где то — указанное в таблице условное начало отсчета времени, до которого волна еще не достигла рассматриваемой точки. Обрушение волны произошло в окрестности £ = 55 ± 5, так что при £ = 18.3 она еще далека от критического состояния, при £ = 51.6 близка к обрушению, а при £ = 85 (см. табл. 2) обрушение полностью развито. Обрушение продолжалось вплоть

Таблица 2

£ = 18.3, то = 13.9, £ = 51.7, то = 41.1, £ = 85.0, то = 68.4,

се= 1.165 СЕ= 1.300 се= 1.280

Дт П Дт П Дт П

0.00 0.0000 0.00 0.0000 0.00 0.0000

1.81 0.0063 1.81 0.0036 1.81 0.0159

2.89 0.0267 2.53 0.0109 2.53 0.0658

3.62 0.0723 3.26 0.0364 3.26 0.2540

4.34 0.1666 3.99 0.1641 3.99 0.5240

5.06 0.1918 4.70 0.5471 4.16 0.7195

5.79 0.3710 5.43 0.6109 4.70 0.4920

6.51 0.3961 6.15 0.4377 5.43 0.3837

7.78 0.3773 6.87 0.3373 6.15 0.3410

9.04 0.3930 7.41 0.2991 7.23 0.4476

10.13 0.3961 8.32 0.4084 7.96 0.5062

11.57 0.4323 9.40 0.5926 8.68 0.4441

12.65 0.4276 10.49 0.4011 9.77 0.3091

13.74 0.4433 11.03 0.3756 10.49 0.2789

16.28 0.4433 11.94 0.4195 11.94 0.4015

18.81 0.4433 13.20 0.4778 12.66 0.4618

19.89 0.3931 14.47 0.3866 14.11 0.3056

20.98 0.2924 15.19 0.3629 15.37 0.2220

22.79 0.1336 15.99 0.3683 16.46 0.2007

24.23 0.0031 17.36 0.3319 17.36 0.2505

25.68 -0.0496 18.81 0.2662 18.45 0.3091

26.77 -0.0585 20.26 0.2407 19.53 0.2646

28.21 -0.0035 21.34 0.2097 20.26 0.2202

29.48 0.0299 22.79 0.1568 21.52 0.1758

30.56 -0.0035 24.05 0.1368 22.79 0.1492

32.01 -0.0461 24.78 0.1349 24.96 0.1510

33.82 0.0144 26.40 0.0820 25.86 0.1581

35.63 -0.0532 28.21 0.0548 27.49 0.1155

37.26 0.0314 30.38 0.0146 29.66 0.1012

38.70 -0.0372 32.19 0.0000 31.11 0.0658

40.15 0.0063 34.36 -0.0246 33.28 0.0657

41.60 -0.0301 36.17 -0.0288 35.08 0.0355

43.58 0.0094 37.98 0.0000 36.53 0.0426

45.57 -0.0160 40.51 0.0182 38.34 0.0089

47.38 0.0000 42.32 0.0000 40.51 0.0000

до £ порядка 130, и все это время скорость распространения была в окрестности с2 (в пределах погрешности измерений).

Следует отметить, что картина обрушения не всегда бывает такой, как привычно видеть при выходе крупной волны на мелководье, т. е. с предварительным образованием четко выраженного остроконечного завитка, направленного вперед. Обрушение может начинаться со сползания некоторой массы жидкости с гребня по переднему склону волны подобно лавине, причем еще до сползания на переднем склоне появляется характерная рябь.

Именно такой сюжет наблюдался для волны, приведенной в табл. 2. В сдвиговом потоке двухслойной жидкости возможно опрокидывание гребня назад по ходу распространения волны. Наконец, возможно образование вертикального или почти вертикального султана на гребне неустойчивой волны, например, предельной волны Стокса.

Двухслойная жидкость. В этом случае дополнительно имеются два параметра: Л = р2/р1 и т = Л-г/Л-ь Кроме того, для устойчивости течения важно наличие межфазного натяжения на свободных границах. В частности, без учета межфазного натяжения сдвиговое течение двухслойной жидкости абсолютно неустойчиво по механизму Кельвина — Гельмгольца. В данных опытах коэффициент межфазного натяжения между водой и керосином был порядка 40 дин/см, и указанная неустойчивость не проявлялась до разности скоростей между слоями около 20 см/с.

Характер движения двухслойной жидкости зависит от того, является ли верхняя граница твердой крышкой или свободной поверхностью. В первом случае имеется только одна свободная граница, и рассматриваемые здесь критические скорости определяются теоретическими формулами [14]:

C1 hi +

c2 = ^ (3) 1 + А

Формула (3) получена во втором приближении теории мелкой воды и, возможно, допускает уточнение. Для предельной амплитуды уединенной волны в этом приближении получено [14]:

= H/

В данных опытах использовалась двухслойная жидкость вода — керосин со свободной поверхностью и А = 0.8. В этом случае имеются две свободные границы, две моды собственных колебаний и по крайней мере четыре критические скорости. Пара скоростей, аналогичных по смыслу c1, определяется дисперсионным соотношением линейной теории c(k) при k ^ 0 (k — волновое число малых гармонических возмущений). Соответствующий анализ дает формулу [14]

(cii,C2i) = v/gH

\

11

4(1 - A)hih2 H 2

где первый индекс указывает на номер свободной границы (нумерация снизу вверх), а второй — на номер критической скорости; индекс 2 и знак + соответствуют поверхностной волне. Строгих формул для второй пары критических скоростей автору найти в литературе не удалось.

В данных опытах изучалось поведение волн в окрестности наибольшей из критических скоростей с22, и ее априорная оценка осуществлялась на основе следующих соображений. В реальных условиях, когда Л мало отличается от 1, влияние разности плотностей на первую критическую скорость для поверхностной моды невелико. Это следует из (5). Даже при Л = 0.8 скорость с21 уменьшается по сравнению с с2 для однородной жидкости (при той же общей глубине) не более, чем на 2.5 % (максимально — при т =1). Следует ожидать, что

это справедливо и для с22, так что для ее априорной оценки можно использовать формулу (5) со знаком + и дополнительным множителем Ь2 = 1.294. Именно такое значение с22 использовалось для нормировки экспериментальных данных и подтвердилось в пределах точности измерений.

В методическом отношении опыты с двухслойной жидкостью существенно сложнее, чем с однородной, и пока получена ограниченная экспериментальная информация. С уверенностью можно сделать лишь следующие выводы. По крайней мере при 0.8 < Л < 1 и т > 1 поведение поверхностных волн мало отличается от случая однородной жидкости. В частности, они также гладким образом проходят из состояния покоя через с21 и обрушиваются в окрестности с22. Это иллюстрируется табл. 3, полученной при Н = 4.8 см и Л = 0.8, (се2 — экспериментальное значение с22). Для всех указанных в таблице значений т кроме т = 0.1 се2 совпадает с с22 в пределах точности измерений. При т = 0.1, возможно, усилилось совместное стабилизирующее влияние поверхностного натяжения на двух близко расположенных свободных границах, и се2 заметно превысило с22. Это напоминает эффект гашения ветровых волн при разливе масла на водную поверхность.

Т а б л и ц а 3

т 0 0.1 0.2 0.5 1 2 5 11

СЕ2/С22 1.00 1.10 0.99 0.97 0.99 0.97 1.01 1.02

При прочих равных условиях обрушение поверхностной волны начиналось при промежуточных значениях х по сравнению с одной водой или одним керосином. Вариация критических х была в пределах 10 % при наименьшем значении для одной воды. При т > 1 головная часть внутренней волны оставалась гладкой даже тогда, когда скорость ее распространения превышала с22 и поверхностная волна обрушивалась. Но при рассматриваемом способе возмущения внутренняя волна порождается поверхностной волной и в определенном смысле является вынужденной. Поэтому вопрос о существовании гладких стационарных свободных внутренних волн с с > с22 также остается открытым.

С целью внести возмущение, которое порождало бы главным образом свободную внутреннюю волну, были выполнены опыты с движением препятствия, перемещаемого по дну бассейна и не полностью перекрывающего поперечное сечение, т.е. допускающего переток жидкости через себя. Если при этом т >> 1, то поверхностная мода возбуждается слабее внутренней. Однако в этой серии опытов возникли неприятности из-за неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, которая неизменно развивалась раньше, чем достигалась скорость с12 и даже с11. В результате было трудно однозначно судить о том, происходило ли обрушение в окрестности с12 или нет. Вместе с тем замечены три эффекта.

Во-первых, при неполном перекрытии сечения никак не удается разогнать внутреннюю волну до скорости, превышающей с12. Система "предпочитает" затратить избыточную энергию возмущения на перемешивание жидкости между слоями за счет неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, а не "пропустить" возмущение впереди препятствия в закритическую область по отношению к с12. Этот эффект нашел отражение в математической модели [16], учитывающей перемешивание жидкости между слоями. Во-вторых, при достижении значения с12 в поведении внутренней волны наблюдалась особенность, заключающаяся в том, что при меньшей скорости распространения неустойчивость Кельвина — Гельмгольца не развивалась на переднем склоне волны. Он оставался гладким, и чем меньше была скорость распространения, тем больший участок головной части волны сохранял гладкость. При с = с12 указанная неустойчивость охватывала и передний

склон. В-третьих, создается впечатление, что при с = с12 все-таки происходило обрушение переднего фронта, но не вперед, а назад по ходу движения волны.

Было бы интересно изучить поведение внутренней волны при неполном перекрытии поперечного сечения препятствием и столь большом межфазном натяжении, что оно позволило бы пересечь границу с = с12 без перемешивания из-за неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. Но это проще сделать в численном эксперименте, где варьировать межфазное натяжение легче, чем в опытах с реальными жидкостями. Упрощающим обстоятельством служит то, что в расчетах можно использовать схему движения под крышкой.

Автор благодарит А. В. Гусева, который провел основную часть непосредственных измерений.

Список литературы

[1] THEWS J. F., Landweber L. The influence of shallow water on the resistance of a cruiser model. US Experimental Model Basin. Reports, No. 414, Washington, 1935.

[2] БУКРЕЕВ В. И., ГАВРИЛОВ Н. В. Экспериментальное изучение возмущений впереди крыла, движущегося в стратифицированной жидкости. ПМТФ, №2, 1990, 102-105.

[3] PEDERSEN G. Three-dimensional wave patterns generated by moving disturbances at transcritical speeds. J. Fluid Mech., 196, 1988, 39-63.

[4] Nadaoka K., HlNO M., KOYANO Y. Structure of turbulent flow field under breaking waves in the surf zone. Ibid., 204, 1989, 359-387.

[5] BONMARIN P. Geometrical properties of deep-water breaking waves. Ibid., 209, 1989, 405-433.

[6] PERLIN M., He J., Bernal L. P. An experimental study of deep water plunging breakers. Phys. Fluids, 8, No. 9, 1996, 2365-2374.

[7] CHAN E. S., Melville W. K. Deep-water plunging wave pressure on a vertical plane wall. Proc. Roy. Soc. London, A417, 1988, 95-131.

[8] SANDER J., Hutter K. Evolution of weakly non-linear shallow water waves generated by a moving boundary. ACTA Mechanica, 91, 1992, 119-155.

[9] БУКРЕЕВ В. И., ТУРАНОВ Н. П. Эксперименты с волнами на мелкой воде, генерируемыми движением торцевой стенки бассейна. ПМТФ, 37, №6, 1996, 44-50.

[10] MIYATA M., MATUSUKAWA C., KajitANI H. Shallow water flow with separation and breaking wave. J. Soc. Naval Architects Japan, 158, 1985.

[11] Schultz W. W., Ramberg S. E., Griffin O. M. Steep and breaking deep-water waves. In "Proc. of 16th Symp. on Naval Hydrodynamics", Berkeley, 1986.

[12] Long R. R. Finite amplitude disturbances in the flow of inviscid rotating and stratified fluids over obstacles. Ann. Rev. Fluid Mech., 4, 1972, 69-72.

[13] BAINES P. G. Upstream blocking and airflow over mountains. Ibid., 19, 1987, 75-97.

[14] Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Наука, Новосибирск, 1985.

[15] Longuet-Higgins M.S., Fenton J.D. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave. II. Proc. Roy. Soc. London, A340, 1974, 471-493.

[16] ЛяпидЕвский В. Ю. Блокировка потока при обтекании препятствия двухслойной смешивающейся жидкостью. ПММ, №4, 1994, 108-112.

Поступила в редакцию 21 февраля 1997 г.