Составление задач учащимися как средство достижения предметных и метапредметных результатов при обучении геометрии

бы составить аналогичные задачи. Сформулировать эти задачи и решить их.

Ученики в соответствии с этапами решения задачи на построение (анализ, построение, доказательство, исследование) выполняют сначала анализ для поиска решения задачи. В процессе анализа (предполагается, что построение выполнено), ученики вместе с учителем выясняют, что имеются признаки применимости поворота к решению данной задачи. К ним относятся: наличие угла поворота и двух равных отрезков, заключающих этот угол. Далее ученики составляют план, выполняют построение, доказательство и записывают решение:

^60° o '

1) Рассмотреть преобразование Ro6

2) Ro60° (a) = a1,

а) Ro60° (М) = М1, М е а, б) Ro60° (К) = К1, К е а,

в) М1К1 = a1, a1 П в = B,

3) Ro60° (B) = A,

4) A ABC - искомый (рис. 2).

На этапе исследования выясняется, что задача имеет второе решение, если рассматривать поворот вокруг точки С на угол а = -60°. Далее, в соответствии с заданием, учащиеся, используя установленные признаки применимости метода решения задачи, выявляют необходимые фигуры и, составив следующие аналогичные задачи, выясняют вместе с учителем их сложность, решают их с учетом уровневой дифференциации.

Аналогичные задачи

1. Построить квадрат, у которого одна вершина задана, а две другие, соседние с данной вершиной, лежат на двух данных прямых; на данной прямой и окружности.

2. Построить правильный многоугольник, у которого одна вершина задана, а две другие, соседние с данной вершиной, лежат на двух данных прямых; на данной прямой и окружности.

3. Построить равнобедренный треугольник с данным углом при вершине в данной точке, вершины двух других углов которого лежат на двух данных прямых; на данной прямой и окружности.

4. Построить ромб с данным углом при вершине в данной точке, вершины двух других углов которого, соседние с данной вершиной, лежат на двух данных прямых; на данной прямой и окружности.

Итак, составление геометрических задач учениками -творческий процесс, предполагающий понимание структуры задачи, взаимосвязи между ее компонентами, вно-

сящий неоценимый вклад в интеллектуальное развитие учащихся, следовательно, способствует достижению ме-тапредметных результатов. Процесс составления геометрических задач предполагает наличие у учащихся теоретических знаний и системных умений их использовать, следовательно, способствует достижению предметных результатов.

Организация становления этого умственного действия у учащихся предъявляет к учителю высокие профессиональные требования, связанные с реализацией Стандарта.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. M.: Просвещение, 2011. 48 с.

2. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. M.: Просвещение, 1968. 247 с.

3. Алексеева Е. Е. Познавательные универсальные учебные действия и составление учащимися задач при обучении геометрии // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе: материалы всерос. конф. / под ред. В. Л. Mатросова, Л. И. Боженковой. M.: ФГБОУ ВПО MOTy, 2012. С. 45-49.

4. Боженкова Л. И. Обучение учащихся составлению геометрических задач как средство развития их креативных способностей // Actes du Seminare pedagogique: сб. материалов Mеждунар. науч. конф. Paris: BULLETIN d'EUROTALENT-FIDJIP, 2009. С. 15-20.

5. Формирование УУД в основной школе / под ред. А. Г. Асмолова. M.: Просвещение, 2010. 159 с.

6. Боженкова Л. И. Интеллектуальное воспитание учащихся при обучении геометрии: моногр. M.: MH^; Калуга: КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2007. 281 с.

7. Четверухин Н. Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: пособие для учителей и студентов. M.: Учпедгиз, 1958. 216 с.

8. Гальперин П. Я. Организация умственной деятельности и эффективность учения // Возрастная педагогическая психология. Пермь, 1971. С. 2-59.

9. Колягин Ю. К. Задачи в обучении математике. Ч. 1. M.: Просвещение, 1977. 256 с.

А. М. Кондакова, А. А. Кузнецова. 2-е изд. М.: Просвещение, 2009. 39 с.

2. Раушенбах Б. В. Геометрия картины и зрительное восприятие. СПб.: Азбука-классика, 2001. 320 с.

3. Волошинов А. В. Математика и искусство: Книга для тех, кто не только любит математику или

искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. 2-е изд., дораб. и доп. М.: Просвещение, 2000. 399 с.

4. Старшинова А. В. Изображение геометрических фигур и объектов окружающего мира: в 2 ч. Благовещенск: Изд-во БГПУ, 2007.

СОСТАВЛЕНИЕ ЗАДАЧ УЧАЩИМИСЯ КАК СРЕДСТВО ДОСТИЖЕНИЯ ПРЕДМЕТНЫХ И МЕТАПРЕДМЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

THE DRAFTING OF PROBLEMS BY THE STUDENTS AS A MEANS OF ACHIEVING SUBJECT AND META-SUBJECT RESULTS WHILE TEACHING GEOMETRY

Л. И. Боженкова, Е. Е. Алексеева

В статье рассматриваются проблемы обучения составлению задач, обосновывается необходимость обучения составлению задач, обеспечивающего достижение предметных и метапредметных результатов при обучении геометрии, приведены примеры поэтапного обучения учащихся составлению задач.

Ключевые слова: стандарт, познавательные действия, составление геометрических задач, умственные действия.

L. I. Bozhenkova, E. E. Alekseeva

The article discusses the teaching problems composition to students, the necessity of instruction in drafting the tasks, ensuring the achievement of the subject and meta-subject results while teaching geometry, and gives the examples of gradual teaching composition of the tasks to students.

Keywords: the standard, cognitive actions, composition of geometry problems, mental actions.

Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту основного и среднего (полного) общего образования (далее - Стандарт), внедрение которого стало реальностью, установлены требования к предметным, метапредметным и личностным результатам освоения образовательных программ [1]. Эти результаты должны быть достигнуты при обучении любому предмету с учетом его специфики, в частности, при обучении математике. Важнейшим результатом математического образования является развитие математической интуиции, логического и математического мышления, воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной задачи, формирование умений логично рассуждать при решении математических и учебных задач [1]. По утверждению В. А. Крутецкого - видного психолога, исследователя математических способностей учащихся, составление задач является одним из важнейших средств активизации умственной деятельности учеников, развития у них креативности и интереса к учению [2]. Им разработана типология «неопределенных задач» и обозначен вид умственной деятельности учащихся - составление задач.

Результаты анализа диссертационных исследований, методической литературы, учебников геометрии, практики обучения предмету показывают следующее.

1. Значительная группа исследований посвящена составлению прикладных задач в связи с обучением элементам математического моделирования, где для их составления предлагается использовать определенные действия (Г. А. Балл, Т. В. Малкова, Г. П. Недогарок, А. Ф. Эсаулов и др.).

2. Ряд исследований связан с составлением и решением задач по готовому чертежу с указанным требованием (Е. М. Рабинович, А. В. Шатилова и др.).

3. Большинство исследователей, изучающих проблему обучения составлению задач, рассматривают аналогию в этом процессе и используют структуру аналогичной задачи (С. Ф. Бондарь, А. И. Уемов, П. М. Эрдниев и др.).

4. В рассмотренных исследованиях не затрагивался вопрос об использовании метрической определенности фигур для составления задач, не ставилась задача явного формирования приемов умственных действий.

Несмотря на то, что эти работы были выполнены в последней четверти ХХ в. и, естественно, их содержание не отражает современные реалии, некоторые идеи, представленные в них, остаются актуальными и сегодня. Составлению геометрических задач учащимися уделяется недостаточно внимания, так как процесс обучения геометрии ориентирован в настоящее время, с одной стороны,

на достижение цели - сдача ГИА и ЕГЭ. С другой стороны, именно при составлении задач обучающемуся необходимо мысленно объединить разрозненные элементы в целостную структуру, выполнив при этом ряд важнейших умственных действий, и сформулировать математическую задачу, что способствует развитию их общего умения решения задач, так необходимого при сдаче ГИА и ЕГЭ.

Составление задач, как правило, организуется на этапе применения знаний, когда недостающая информация об объектах восстанавливается на основе знаний определений, теорем, правил вывода, доступных учащимся, и познавательных универсальных учебных действий (далее -УУД) [3-4]. В результате анализа работ по проблемам, связанным с составлением задач учениками, нами выделены три группы учебных задач: составить геометрическую задачу, используя указанные данные; составить задачу на основе данной задачи; составить задачу, используя определенный способ аналогии (табл. 1).

Учебные задачи решаются на основе использования соответствующих приемов умственных действий, включающих в различных комбинациях познавательные логические УУД: 1) сравнение; 2) подведение под понятие; 3) анализ и синтез; 4) выведение следствий; 5) установление причинно-следственных связей; 6) построение логической цепи рассуждения, доказательство [5]. Эти приемы сконструированы нами с помощью теоретико-экспериментального метода моделирования для обеспечения умственного действия «составление геометрических задач» [6].

Для составления задачи на вычисление необходимо использовать понятие «метрической определенности» фигур, задействованных в задаче. Под метрической определенностью плоской фигуры понимается минимальное число независимых элементов, необходимых для ее по-

Виды учебных задач для формирования умствен

строения с точностью до положения на плоскости. В классических работах Н. Ф. Четверухина указано, что число элементов, необходимых для метрической определенности произвольного выпуклого многоугольника, определяется по формуле: 2п - 3, где п - число его сторон [7]. Количество элементов для метрической определенности конкретных видов многоугольников связано с числом признаков, входящих в определение понятия соответствующего многоугольника, а именно: при добавлении одного видового отличия число элементов для построения полученной фигуры уменьшается на один (табл. 2) [6]. В реальной практической деятельности имеют дело с множеством данных, которые могут быть различной степени достоверности, поэтому необходимо научить учеников видеть нужную для решения задачи информацию, научить их критически относиться к формулировке задачи. Условия метрической определенности выявляются постепенно: сначала для отрезков, затем - для треугольников, затем - для всех видов четырехугольников и вносятся в таблицу «Условия метрической определенности многоугольников» (табл. 2). Обучение учащихся составлению задач следует осуществлять поэтапно, с первых шагов изучения геометрии, постепенно увеличивая число используемых для этого приемов умственной деятельности.

Процесс формирования умственного действия «составление геометрических задач» осуществляется на этапах: подготовительном, ознакомительном, формирующем, совершенствующем, которые соответствуют содержанию этапов теории П. Я. Гальперина [8].

При обучении теме «Измерение отрезков» (7-й класс) начинается формирование умения составлять задачи на подготовительном этапе. Цель подготовительного этапа -ввести учащихся в деятельность, связанную с составлением задач, обеспечить ее мотивацию. Перед решением за-

Таблица 1

го действия «составление геометрических задач»

Виды учебных задач для обеспечения умственного действия: «составление геометрических задач» Познавательные логические УУД

I. Составить геометрическую задачу, используя следующие компоненты задачи: 1) полный чертеж и требование 2) полное условие (словесное, символьное, чертеж) без требования 3) неполное условие и требование задачи на вычисление (доказательство) 4) требование для задачи на вычисление (а), на построение (б), на доказательство (в) • сравнение; • подведение под понятие; • анализ и синтез; • выведение следствий; • установление причинно-следственных связей; • построение логической цепи рассуждения, доказательство

II. Составить задачу: 5) обратную данной задаче 6) обобщенную, относительно данной задачи 7) как частный случай данной задачи

III. Составить задачу, используя аналогию: 8) замена (подбор) конфигурации, данной в условии задачи, такой, чтобы сохранялась формула, в соответствии с требованием задачи (структурно-функциональная аналогия); 9) замена элементов одной системы, данных в условии задачи, на «соответствующие» элементы другой системы с переносом отношений, данных в задаче (аналогия соответствия); 10) перенос (продолжение) условия и требования данной задачи на одноименные аналогичные элементы основной фигуры (разъясняющая аналогия) — перенос способа решения задачи. 11) перенос общего принципа, используемого в данной задаче (систематизирующая аналогия) — перенос метода решения

Таблица 2

Условия метрической определенности многоугольников

Вид многоугольника Ближайшее родовое понятие Число видовых отличий Число элементов для построения Некоторые варианты наборов элементов для построения многоугольника

Выпуклый четырехугольник 2п - 3, п = 4 5 Любые пять элементов, из которых хотя бы один - линейный

Трапеция четырехугольник 1 4 Любые четыре элемента, из которых хотя бы один - линейный

Равнобедренная трапеция трапеция 1 3 Любые три элемента, из которых хотя бы один - линейный

Параллелограмм (а, Ь — стороны, d — диагональ, а — угол, в — угол между диагоналями, у — угол между диагональю и стороной) четырехугольник 2 3 1) а, Ь, а; 2) d1, d2, В; 3) а, 4 угол; 4) d1, d2, а; 5) высота, d, угол; 6) а, d, угол; и т. д. любые три элемента, из которых хотя бы один - линейный

Ромб параллелограмм 1 2 Любые два элемента, из которых хотя бы один - не величина угла

Прямоугольник параллелограмм 1 2 Любые два элемента, из которых хотя бы один - линейный

Квадрат прямоугольник или ромб 1 1 Один элемент: сторона, периметр, диагональ, сумма стороны и диагонали, И, г, др.

Произвольный треугольник АВС многоугольник 1 3 2п - 3, п = 3 Любые три элемента, из которых хотя бы один — линейный

Равнобедренный треугольник треугольник 1 2 1) Ь, ЬЬ; 2) а, Ь; 3) А, Ь; 4) Ьа, ЬЬ; 5) та, тЬ; 6) Р, а; и т.д. — любые два элемента, из которых хотя бы один - линейный

Равносторонний треугольник равнобедренный треугольник 1 1 Один элемент: сторона, медиана (др.), периметр, радиус вписанной или описанной окружности

Прямоугольный треугольник (с — гипотенуза, а, Ь — катеты) треугольник 1 2 1) а, Ь; 2) а, В; 3) Ь, А; 4) тс, а; 5) Ьс, а и т.д.; два элемента, из которых хотя бы один — линейный;

Равнобедренный прямоугольный треугольник прямоугольный треугольник 1 1 Один линейный элемент: гипотенуза, катет, любая медиана, биссектриса, периметр

дач по этой теме организуется исследовательская деятельность, в процессе которой ученики вместе с учителем:

1) устанавливают, что в теме «Измерение отрезков» предлагается решить задачи, которые относятся к одному типу: «Дано несколько точек, принадлежащих одной прямой. Найти длины всех полученных при этом отрезков»;

2) формулируют проблему (учебную задачу): «Выяснить, сколько длин отрезков должно быть дано в задачах этого типа, чтобы найти длины всех остальных отрезков. Как зависит это число от дополнительных условий, которые могут быть даны в задаче?»; 3) решают задачи учебника, ответив на предыдущие вопросы; 4) приводят примеры своих аналогичных задач [4].

Следующей целью этого этапа является осознание структуры математической задачи, ее компонентов, которые выделены Ю. М. Колягиным: а) начальное состояние, б) конечное состояние, в) решение, г) базис решения [9]. Для учащихся это, соответственно, - условие, требование, решение, обоснование. Ю. М. Колягин считает математическими (геометрическими) задачами те, в которых все

четыре компонента являются математическими (геометрическими) объектами. На этом этапе до понимания учащихся доводится тот факт, что отдельные компоненты задачи могут быть неизвестны. В зависимости от того, какие компоненты неизвестны, рассматриваются, например, задачи, чаще всего представленные в учебнике, когда даны условие и требование, а остальные компоненты следует установить в процессе решения. Более интересны такие ситуации, когда кроме этого неизвестно или условие, или требование, тогда возникает проблема грамотного самостоятельного составления задачи.

Целью ознакомительного этапа является иллюстрация использования приема в развернутом виде, осознание учениками его состава (например, прием составления задачи по готовому чертежу без требования). Ученики вместе с учителем, используя познавательные логические универсальные учебные действия, формулируют и решают составленные геометрические задачи. Решение составленных задач не вызывает затруднений у составившего ее ученика, так как процесс составления включает анализ данных,

Таблица 3

Фрагмент решения учебной задачи «Составить задачу по готовому чертежу»

Деятельность учителя Деятельность учащихся Обоснования Логические познавательные УУД

1. Назвать основные геометрические фигуры на рисунке (рис. 1) Два пересекающихся отрезка, два вертикальных угла, два треугольника Определение вертикальных углов Анализ, обобщение, установление причинно-следственных связей, построение речевых высказываний

2. Выявить и назвать свойства этих фигур; 1) Отрезки ОК и ОТ равны. 2) Отрезки ОР и 08 равны. 3) Два угла равны Свойство вертикальных углов Построение речевых высказываний; раскрытие термина понятия; выведение следствий

3. Вывести следствия 4) Из 1—3 следует, что два треугольника равны. Из (4) следует, что К8 = ТР; ¿_ Р = А. 8; Т = ¿_ К Первый признак равенства треугольников. Определение равных треугольников Выведение следствий; построение логической цепи рассуждения; построение речевых высказываний

4. Сформулировать условие Два отрезка точкой пересечения делятся пополам и их концы соединены Обобщение, построение речевых высказываний

5. Сформулировать требование Доказать, что К8 = ТР Построение речевых высказываний

6. Сформулировать геометрическую задачу (задачи) I. Два отрезка в точке пересечения делятся пополам, концы отрезков соединены. Доказать, что полученные треугольники равны. II. Два отрезка в точке пересечения делятся пополам. Доказать, что отрезки, соединяющие их концы, равны Построение логической цепи рассуждения, построение речевых высказываний

Обобщение деятельности для осознания учениками: 1) последовательности процесса рассуждений

соотнесение отдельных частей условия и требования, предварительной прикидки способа решения и т. п.

В таблице 3 приведен фрагмент решения учебной задачи «Составить задачу по готовому чертежу», на ознакомительном этапе - введение соответствующего приема, состав которого учителю известен (первая колонка табл. 3).

Формирующий умение этап - достаточно длительный и соответствует процессу освоения учениками геометрии в 7-м, 8-м и частично в 9-м классах. Его цель - формирование умений использовать соответствующий прием при составлении задач.

Цель этапа, совершенствующего умение составлять геометрические задачи, - применение учениками приемов составления задач в измененных условиях. Этого этапа достигают только ученики с высоким уровнем обучен-ности. Приведем пример составления учениками геометрической задачи с использованием систематизирующей аналогии на совершенствующем этапе. При системати-

Рис. 1. Рисунок к задаче в табл. 3

зирующей аналогии сходство конфигураций, которые сравниваются, следует из общего принципа, и обусловлено общностью их родовой природы так, что аналог и объект изучения входят в одну систему (табл. 1, п. 11).

Ученики решают и составляют задачи при освоении темы «Поворот». К моменту изучения этой темы у учеников сформировано большинство познавательных логических УУД.

Учебная задача (9-й класс). Построить правильный треугольник, у которого одна вершина задана (С), а две других лежат на данных прямых (а, в). Выяснить, какими фигурами можно заменить правильный треугольник, что-