Формирование дифракционного поля в ближней зоне над поверхностью фрактального элемента

7

ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И БИОМЕДИЦИНСКАЯ ОПТИКА

ФОРМИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ПОЛЯ В БЛИЖНЕЙ ЗОНЕ НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ФРАКТАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

А.В. Нелепец, В.А. Тарлыков

В работе рассмотрена структура дифракционного поля, формируемого в ближней зоне дифракционным элементом, имеющим фрактальную структуру. Описано формирование наборов плоскостей саморепродукции, соответствующих различным периодическим компонентам структуры дифракционного элемента. Проанализировано качество формирующихся самоотображений.

Введение

Регулярная структура оптического излучения находит широкое применение в различных областях науки и техники. В настоящее время проявляется интерес к использованию регулярной структуры излучения в биологии и медицине, в частности, в вопросах лазерной биостимуляции [1]. Существенным при этом оказывается формирование градиентов интенсивности светового поля [2], а также плоскостей саморепродукции при освещении периодической структуры когерентным излучением [3].

В большинстве случаев в связи с эффектом саморепродукции рассматриваются периодические объекты с постоянным периодом, в функцию пропускания которых входит декартова координата в первой степени. Такие объекты в основном представляют собой совокупности круглых, квадратных, шестигранных экранов или отверстий, одномерные и двумерные линейные дифракционные решетки, а также структуры, элементы которых имеют сложную функцию пропускания, ограниченную многоугольником, являющимся ячейкой сетки.

В этих случаях в ближней зоне дифракции формируется набор плоскостей, распределение интенсивности излучения в которых воспроизводит структуру объекта, на котором происходит дифракция [4]. Плоскости саморепродукции, называемые также плоскостями Тальбота, расположены эквидистантно вдоль направления распространения излучения. Расстояния между плоскостями равно 2Т2

*=-, (О

где Т - период объекта, X - длина волны излучения. Между плоскостями Тальбота существуют плоскости, в которых распределение поля пропорционально функции пропускания транспаранта (периодической структуры), сдвинутой на половину периода.

Помимо указанных типов объектов, для формирования периодической пространственной структуры излучения могут быть использованы многосвязные объекты, составленные, в частности, из узких кольцевых отверстий. В этом случае возможно построение сложных узоров дифракционных элементов. Эти узоры могут обладать фрактальными свойствами и включать в себя несколько наборов периодических структур.

В работе рассмотрено формирование плоскостей саморепродукции при дифракции излучения на системе пересекающихся кольцевых отверстий, образованной путем радиальной трансляции базового элемента. Элемент первого уровня представляет собой симметричный набор из 4, 8 или 16 одинаковых колец, смещенных на половину диаметра относительно центрального кольца [5]. Вокруг элемента первого уровня описывается кольцо, диаметр которого вдвое больше исходного. Элементы второго и третьего уровней строятся по такой же схеме из элементов первого и второго уровней,

соответственно. Узоры, построенные по такой схеме, обладают рядом интересных свойств: самоподобие в различных масштабах, наличие в структуре узора нескольких периодических компонент с разными периодами и размерами элементов, высокая плотность линий, большое число пересечений, за счет которых в узоре возникают и присутствуют в неявном виде различные фигуры (например, чечевидные элементы различных масштабов). В настоящее время проявляется интерес к использованию подобных структур для ослабления вредного воздействия бытовой радиоэлектронной аппаратуры на биологические ткани и живые организмы.

Рис. 1. Первые три поколения узора фрактального дифракционного элемента

Первые три поколения узора, построенного по данной схеме в 4 направлениях, приведены на рис. 1. Аналогичным образом могут быть построены узоры в 8, 16 и т.д. направлениях. При этом плотность линий узора и сложность структуры существенно возрастают. В дальнейшем будут рассмотрены узоры третьего уровня, построенные по описанной схеме в 4 и 8 направлениях.

Периодические структуры в узоре дифракционного элемента

В структуре узоров, построенных по приведенной выше схеме, можно выделить по меньшей мере три периодические структуры различного масштаба. Эти структуры образуют окружности, расположенные в узлах воображаемых решеток.

Рассмотрим узор с 4 направлениями. Полный узор состоит из нескольких (в данном случае - трех) совокупностей колец одинаковых размеров (рис. 2а). В свою очередь, каждая из этих составляющих содержит две компоненты - строго периодическую и вторую, фрактальную (рис. 2б).

Таким образом, можно выделить три двумерные периодические структуры. Каждой из этих структур может соответствовать определенный набор плоскостей Тальбота, в которых происходит саморепродукция изображения структуры при освещении ее когерентной плоской волной.

Очевидно, что структуры отличаются периодом, количеством и размером элементов. Рассмотрим каждую из них подробнее и определим, на каких расстояниях от дифракционного элемента должны находиться плоскости Тальбота.

Рис. 2. Периодические структуры в узоре дифракционного элемента

1. Структура первого уровня. Состоит из 64 окружностей, выстроенных в 8 рядов по 8 окружностей. Радиус окружностей - минимальный в данном узоре - равняется а0.

Период струны Г. = , = Г = Расстояние до п плоскости Тальбота (с уче-

том плоскостей, в которых формируется самоизображение структуры со сдвигом на

половину периода)

, г2 <

г =—п = —^п п Я 2Я

Расстояние между плоскостями Тальбота

2.

Аг1 =%-. 2Я

Структура второго уровня. Состоит из 16 окружностей, выстроенных в 4 ряда по 4 окружности. Радиус окружностей равняется 2а0. Период структуры

Г 2 а2

Тх = Ту = Г = а0\р2. Расстояние до п плоскости Тальбота г1^ =— п = 2—п . Рас-

ЯЯ

стояние между плоскостями Тальбота Аг11 = .

Я

3. Структура третьего уровня. Состоит из 4 окружностей, выстроенных в 2 ряда по 2 окружности. Радиус окружностей составляет 4а0. Период структуры

Г2

а

Тх = Ту = Г = а0  2\р2 . Расстояние до п плоскости Тальбота г11 = — п = 8—— п . Рас-

Я

Я

стояние между плоскостями Тальбота Аг111 = .

Я

Первая плоскость Тальбота для структуры второго уровня совпадает с четвертой плоскостью Тальбота для структуры первого уровня, а первая плоскость для структуры третьего уровня - с шестнадцатой плоскостью для первого уровня. Таким образом, в плоскостях Тальбота с номерами 16, 32, 48 и т. д. могут формироваться изображения всех трех периодических структур. При построении узора в 8 направлениях в структуре узора появляется еще один набор решетчатых периодических структур, идентичный тому, что присутствует в узоре с 4 направлениями, но повернутый на 45°. Решетки, входящие в этот набор, имеют те же периоды, поэтому они не вносят ничего нового с точки зрения плоскостей Тальбота. Кроме того, в узоре появляются окружности, не образующие ни периодических, ни фрактальных структур.

Рис. 3. Расположение плоскостей Тальбота Анализ качества самоизображений

Качество самоизображений, возникающих в плоскостях Тальбота, зависит от количества элементов периодической структуры. В [4, 6] приведен анализ снижения качества самоизображений в плоскостях Тальбота, связанного с конечностью размера периодической структуры (или апертуры светового пучка). Качество изображения зависит от количества дифракционных порядков р, участвующих в формировании самоизображения. Для плоскостей Тальбота значение р можно определить из соотношения [6]

р* 2Т  (2>

где 2Б - диаметр рабочей области решетки (диаметр пучка), Т - период решетки. При р~2 распределение интенсивности лишь повторяет период решетки. При р~6 в самоизображении начинают отчетливо проявляться границы элементов периодической структуры. Из этого следует, что наиболее четкие изображения наблюдаются в ближних плоскостях Тальбота.

Далее, заметив, что = ~, где N - число элементов, попадающих в рабочую область, (2) можно переписать следующим образом:

р * 4- (^

4п

Тогда для п=1 и р=6 получаем, что N > 24.

В имеющейся структуре (первого уровня, состоящей из окружностей минимального диаметра) имеется 8 элементов в каждом из направлений. Это соответствует р=2 для первой плоскости Тальбота. Для структуры второго уровня (4 окружности в каждом направлении) в первой плоскости Тальбота р=1. Для структуры третьего уровня (самые крупные окружности, 2 окружности в каждом направлении) в первой плоскости Тальбота р<1. Таким образом, только для структуры первого уровня можно наблюдать распределение интенсивности, повторяющее только конфигурацию структуры, и только в первой плоскости Тальбота. Кроме того, наблюдение самоизображений в плоскостях Тальбота затрудняется наличием других структур в рисунке дифракционного элемента, обладающих другими периодами или непериодических. Для таких структур обозначенные ранее плоскости не будут являться плоскостями самовоспроизведения и распределение интенсивности, обусловленное наличием таких элементов, будет выступать в роли шума.

Методика расчета и результаты

Распределение поля в ближней зоне описывается интегралом Френеля, который можно рассматривать как свертку функций:

г

1Хй

где Ь (х, у)- функция пропускания объекта, к = , ё - расстояние до плоскости на-

Я

блюдения. В области пространственных частот операция свертки функций сводится к перемножению их Фурье-образов.

Подвергая функцию к х, у ) =

ехр (¡кё ) С гк

¡Яё

еХР 1 й

х )2 +(п- у )2

преобразованию Фурье, получаем передаточную функцию Н

прямому

где Л =

Яё

/ =

Яё

I * >, г . « I * *

Рис. 4. Распределения интенсивности в двух первых плоскостях саморепродукции для узора, построенного в четырех (а, б) и в восьми (в, г) направлениях.

Расчет распределения поля в ближней зоне сводится к следующим трем действиям: аналитический расчет Фурье-спектра узора дифракционного элемента [7], умножение

спектра на передаточную функцию Н (/х, /у ), применение обратного преобразования Фурье к полученному произведению. Из-за наличия множителя Н (/х, /у ) под знаком интеграла получить обратное преобразование аналитическими методами не представляется возможным, поэтому обратное преобразование осуществляется с помощью численного алгоритма БПФ, отличающегося высокой скоростью и простотой реализации

Результаты моделирования приведены на рис. 4. Самоизображение возникает только для периодической структуры из окружностей минимального диаметра в узоре, построенном в 4 направлениях, и только в ближайшей плоскости (рис. 4а). Кроме того,

остальные компоненты узора (фрактальные и периодические структуры различных масштабов) снижают качество изображений, выступая в роли шума.

Узор, построенный в 8 направлениях, содержит две периодические структуры, одну фрактальную и большое количество окружностей, не составляющих ни фрактальных, ни периодических структур. В связи с этим даже в первой плоскости саморепродукции получается сложная картина, не повторяющая структуру узора или его компонентов. Тем не менее, в плоскостях саморепродукции возникает сложная структура распределения интенсивности, характеризующаяся высокой степенью симметрии и упорядоченности.

Заключение

В ближней зоне дифракции фрактального дифракционного элемента возникают сложные высококонтрастные картины, характеризующиеся высокой степенью упорядоченности и симметрии.

Формирование плоскостей саморепродукции определяется структурой узора. Благодаря наличию в узоре нескольких периодических составляющих, в пространстве над элементом формируются несколько наборов плоскостей саморепродукции. В некоторых плоскостях самоизображения нескольких периодических структур накладываются друг на друга. В плоскостях, соответствующим компоненте узора с наибольшим периодом, может формироваться полное самоотображение всего узора. Однако полному самоотображению узора препятствует ограниченность количества элементов, составляющих периодические структуры.

Литература

1. Altshuler G., Smirnov M., Yaroslavsky I. Lattice of optical islets: a novel treatment modality in photomedicine // J. Phys. D: Appl. Phys. 38 (2005), p. 2732-2747.

2. Rubinov A.N. Physical grounds for biological effect of laser radiation // J. Phys. D: Appl. Phys. 36(2003), p. 2317-2330.

3. Физика лазерной биостимуляции / Ю.В. Аграфонов [и др.]. - М.: MeDia, 2000.

4. Коряковский А.С., Марченко В.М., Прохоров А.М. Дифракционная теория метода Тальбот-интерферометрии и диагностики широкоапертурных волновых фронтов // Труды ИОФАН. 1987.Т. 7. С. 33-92.

5. Пат. 2200968 РФ. Оптический фрактально-матричный фильтр и применение оптического фрактально-матричного фильтра для защиты глаз / И.Н. Серов; опубл. 2003.03.20.

6. Пальчикова И.Г., Попова С.С., Смирнов С.В. Изучение эффекта Тальбота в световых полях после зонных пластинок // Автометрия. 2001. №1. С. 94-111.

7. Исследование дифракционного поля, формируемого совокупностью идентичных источников тороидальных волн / А.В. Нелепец, А.В. Тарлыков, В. А. Тарлыков // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2006. №31. С. 59-65.