Математика и математическое образование в формате проблемы формирования у субъектов познания процедур критического мышления

педагогические науки

Элипханов Абдул-Вахид Имеляевич МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ...

УДК 372.02

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ФОРМАТЕ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ У СУБЪЕКТОВ ПОЗНАНИЯ ПРОЦЕДУР КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

© 2017

Элипханов Абдул-Вахид Имеляевич, старший преподаватель кафедры математического анализа Чеченский государственный педагогический университет

Аннотация. Значимым содержательным полем формирования критического мышления школьников является широкий междисциплинарный контекст математики, включение которого в методический контент способствует критическому осмыслению учащимися роли математики в различных областях действительности, позиционирует диалектику количественного и качественного описания различных объектов и феноменов. В традиционном математическом образовании заявленный критический формат не реализован, тот потенциально ориентированный на решение этой задачи учебно-методический контент, который раскрыт в данном параграфе, представлен лишь фрагментарно. Поэтому задача поиска методик формирования и развития критического мышления до сих пор актуальна и начальным этапом ее решения может являться вытекающая из предшествующего изложения концептуальная модель формирования и развития критического мышления при обучении математике. В таком ракурсе в статье обсуждаются подходы известных учёных-математиков к определению математического мышления, выявляется и конкретизируется такой конструкт, как критический пласт математического мышления, осуществляется попытка обоснования типологии математических задач критической ориентированности и формулировки концептуальной модели развития критического мышления при обучении математике.

Ключевые слова: критическое мышление, критический пласт математического мышления, критически ориентированные учебные задачи, концептуальная модель формирования критического мышления при обучении математике.

MATHEMATICS AND MATHEMATICAL EDUCATION IN THE FORMATION PROBLEM FORMAT AT SUBJECTS OF KNOWLEDGE OF PROCEDURES OF CRITICAL THINKING

© 2017

Elipkhanov Abdul-Vahid Imelyaevich, senior teacher of department of the mathematical analysis

Chechen State Pedagogical University

Abstract. The significant substantial field of formation of critical thinking of school students is the wide cross-disciplinary context of mathematics which inclusion in methodical content promotes critical judgment by pupils of a role of mathematics in various areas of reality, positions dialectics of the quantitative and qualitative description of various objects and phenomena. In traditional mathematical education the stated critical format isn't realized, that educational and methodical content which is potentially focused on the solution of this task which is opened in this paragraph is presented only fragmentary. Therefore the problem of search of techniques of formation and development of critical thinking is still relevant and the conceptual model of formation and development of critical thinking following from the previous statement when training in mathematics can be the initial stage of her decision. In such foreshortening in article approaches of the famous scientists-mathematicians to determination of mathematical thinking are discussed, such construct as critical layer of mathematical thinking comes to light and concretized, the attempt of justification of typology of mathematical problems of critical orientation and a formulation of conceptual model of development of critical thinking when training in mathematics is made.

Keywords: critical thinking, critical layer of mathematical thinking, critically focused educational tasks, conceptual model of formation of critical thinking when training in mathematics.

Введение. Заявленная в заглавии проблема очевидным способом проецирует начало содержательного раскрытия в плоскость математического мышления. По мнению многих учёных [1-9], данный тип мышления является совокупностью пяти взаимосвязанных элементов (подструктур). Среди них на первом месте типологическая подструктура, обусловливающая замкнутость, связность и компактность осуществляемых трансформаций с исследуемыми объектами. Этот ряд продолжает порядковая подструктура, раскрываемая через способность субъекта познания к сопоставлению реальных и математических объектов и их элементов посредством соотношений «больше - меньше», «ближе - дальше», «часть - целое» и категорий: «изменение положения -изменение характеристик движения», «форма», «конструкция» и т.п.

Следующий тип подструктур математического мышления - метрические, и они позволяют выделить в объектах и их элементах количественные величины и отношения, например, отношения подобия или пропорциональности. Четвёртый тип подструктур математического мышления именуется алгебраическим и с этими подструктурами связываются операции расчленения объектов на части (составляющие), объединение структурных или каких-либо других элементов в целостность, а также выполнение математических операций в той или иной последовательности.

И наконец, последний, пятый тип подструктур математического мышления именуется проективным - это

раскрывается как изучение математического объекта с разных ракурсов, с определённых самостоятельно выбранных «положений», а также как возможность проецирования объекта на его изображение.

Постановка проблемы. Анализ данных структур показывает, что в первом приближении критический контекст математического мышления в явном виде не просвечивается, однако, он актуализируется при углублённом рассмотрении, например, четвертой подструктуры: расчленение объекта на элементы и последующее синтезирование элементов в целое предполагают, в частности, выявление того, что конкретно объединяет ряд элементов в упомянутую целостность; какие связи, отсутствующие между этими элементами, взятыми в отдельности, начинают работать в целостном конструкте; является ли произведённое объединение элементов исчерпывающим, нельзя ли добавить (исходя из типов связей) еще один или несколько элементов, что при этом изменится в рассматриваемой целости - всё это так или иначе проявляет критический пласт математического мышления. Как и обращение к пятой подструктуре, предполагающее выяснение того, как соотносятся между собой разноракурсные изображения математического объекта, какие отсутствующие в одноракурсном рассмотрении связи начинают проявляться при рассмотрении объекта в другом ракурсе, как конкретно проявляется при синтезе рассмотрений в нескольких ракурсах в одно, интегра-тивное рассмотрение (общеметодологический принцип дополнительности).

Elipkhanov Abdul-Vahid Imelyaevich pedagogical

MATHEMATICS AND MATHEMATICAL ... sciences

Содержание. Более понятным и простым языком математическое мышление охарактеризовано известным математиком и методистом-математиком ХХ-го столетия А.Я. Хинчиным, указавшим, в частности, что такой тип мышления предполагает доведённое до предела доминирование логической схемы в рассуждении, и эта особенность заставляет субъекта при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность возможностей и обязывает учесть каждую из них. [2]. Последнее (учесть каждую из них) означает скрупулёзный критический анализ всех возможностей, выявление вероятностей их осуществления, а при необходимости и вероятностей одновременного осуществления

Помимо этой особенности математического мышления А. Я. Хинчин выделяет еще лаконизм (выбор самого короткого пути к выбранной цели), точность символики и чёткую расчленённость аргументации. Анализ соблюдения последнего критерия имеет рефлексивную (иногда авторефлексивную) природу, поскольку в качестве основной процедуры предполагает повторное или многократное прохождение той цепочки рассуждений, которая привела к обсуждаемому финальному результату, -- с осознанием оснований перехода от одного логического шага к другому, оснований для предлагаемых автором продукта промежуточными или финальными выводами, умозаключениями, обобщениями и т.п. [2].

И наконец, финальный вывод А.Я. Хинчина, -- о том, что математическое мышление есть предельно абстрактное теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться произвольным образом - лишь бы сохранились связи между ними. Такая произвольность интерпретаций обусловливает актуальность критического мышления во всей совокупности скрепляющих процедур, критического осмысления результатов этих различных интерпретаций, проявления не только их отличительных особенностей, но и той или иной степени внутреннего сходства, массы когнитивных нюансов, интересных сущностных деталей, соотнесения интерпретаций между собой (если такое в принципе возможно).

Анализируя работы А.В. Ястребова [1], мы обратили внимание на такой тезис, как присущий математике-науке личностно-социальный дуализм. По мнению цитированного автора, это означает наличие и справедливость следующих четырех фактов: 1) каждый математический результат изобретается лично тем или иным конкретным математиком или группой математиков; 2) математика может существовать благодаря наличию особого социального института - научного математического сообщества; 3) изобретённый результат становится фактом науки (встраивается в систему научного знания) только после принятия его научным сообществом; 4) процесс принятия этим сообществом нового изобретённого результата включает в себя обмен информацией о содержании этого результата и различные виды экспертных оценок [1, с.131]. Эта цитата, и особенно пункты 3 и 4, делают понятной роль критического мышления в процессе встраивания полученного каким-либо автором результата в систему математических знаний: процессу принятия результата научным математическим сообществом имманентно присущи процедуры критического осмысления, включающие широкий комплекс мыслительных операций: от анализа предельных случаев полученной формулы, закона, теоремы на предмет соответствия чему-либо достоверно известному и принятому в научном сообществе -- до выведения следствий этого результата, в принципе подлежащих такому осмыслению, которое в состоянии ответить на вопрос о содержательной и логической корректности этого результата.

Процесс критического осмысления субъектом учения полученных результатов и самих методов их получения присущ и математическому образованию различного уровня. Например, в процессе доказательства теорем обучающийся шаг за шагом, привлекая то, что 440

ему к моменту доказательства известно, соединяя посредством логики эти известные элементы в "цепочку", приходит к тому утверждению, которое требуется доказать. При этом вполне естественным могло бы быть требование к ученику пройти всю отмеченную только что цепочку повторно, и выявить: 1) чем обусловлена возможность перехода от какого-либо шага с номером N к следующему за ним шагу с номером N+1; 2) всегда ли возможен такой переход, если нет, то какие ограничения следует принять во внимание, существенны ли они для данной конкретной задачи или могут в рассматриваемой конкретике не приниматься во внимание; 3) является ли обсуждаемый переход единственно возможным, почему проигнорированы другие возможности (если они выявлены), и что в процессе доказательства могло бы измениться, если бы они были приняты во внимание; 4) единственна ли та цепочка шагов, которая только что привела к доказываемому тезису, есть ли какие-либо другие, как конкретно они могли бы быть представлены.

В процессе решения традиционных задач по геометрии на нахождение неизвестных длин отрезков, площадей фигур, сечений, соотношений между параметрами элементов плоских или пространственных конфигураций школьник или студент часто имеют возможность предложить несколько путей, подходов и способов решения, -- критический ракурс при этом предполагает как минимум, сравнение алгебраического и геометрического способов, а также выявление того, какой из способов позволяет прийти к искомому результату быстрее, какой из подходов требует меньшее число необходимых исходных, отправных посылок, в каком из методов решения переходы от одного шага к другому более очевидны и т.п.

Продолжая рассмотрение содержания задач по математике как базы для формирования критического мышления, в качестве цитируемого источника вновь задействуем книгу А.В. Ястребова [1], в которой осуществляется попытка привести классификацию типов задач школьного курса математики по доминирующим в процессе их решения мыслительным процедурам - автор специально выделил задачи на сравнение (1), индукцию и дедукцию (2), анализ и синтез (3), конкретизацию, обобщение и абстрагирование (4), аналогию (5), классификацию (6), выявление необходимых и достаточных условий, а также критериев (7), анализ логических и содержательных оснований теорем (8).

Анализ методических возможностей приведённого в работе массива задач показывает, что он не направлен непосредственно на формирование критического мышления школьников, однако, внимательное рассмотрение со всей очевидностью показывает, что этот массив содержит скрытый потенциал для такого вида деятельности учителя и преподавателя педагогического университета. Во-первых, на основе переформулировки имеющихся в тексте задач и составления по определённому "рецепту" других задач (производных от представленных) вполне возможно конструирование задач-проблем повышенной критической ориентированности. К таковым относятся, прежде всего, задачи, содержательная канва которых может быть тезисно выражена так: подумайте и ответьте, каким способом был получен представленный в условии задачи результат. Пройдите ещё раз шаг за шагом вместе с автором решения весь ведущий к нему "маршрут" и оцените его на предмет логической корректности (или замещающая более простая и понятная школьникам формулировка).

Во-вторых, возможно конструирование задач повышенной критической ориентированности такого типа

педагогические науки

Элипханов Абдул-Вахид Имеляевич МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ...

вие; например, при этом возможны такие вариации: а) обобщение корректно, б) в приведённом в условии задачи обобщении искусственно неправомерно расширена выборка "допустимых объектов" и ученику необходимо грамотно её сузить, в) обобщение осуществлено корректно, но внимательный анализ позволяет его дополнительно расширить и это предлагается сделать ученику.

Анализ приведённого массива задач [1] приводит ещё к одному выводу: к обсуждаемому типу относятся и задачи межпредметного содержания, например, содержащие несколько сюжетов из физики и предлагающие школьнику абстрагироваться от конкретной природы описанных процессов и определить, каким математическим понятием можно объединить эти процессы.

В-третьих, обсуждаемый массив задач позволяет для формирования у решающих их школьников критического мышления составить новые задачи такого типа: ... в условии приводится некоторое утверждение, осуществлённое автором по аналогии и ученику необходимо установить, насколько правомерна приведённая аналогия и в случае выявления некорректности представить собственный корректный вариант. При этом, как и в предыдущем случае, учитель-разработчик намеренно делает ошибку, например, искусственно расширяя сферу действия аналогии, и предлагая учащемуся корректно её сузить (усечение) или представляя аналогию, которая может быть дополнительно расширена.

В-четвёртых, анализ массива задач из работы [1] позволяет критически ориентировать задачи на нахождение необходимых и достаточных условий правомерности того или иного математического факта или заключения; при этом повышение критической насыщенности задач предполагает работу учащихся с заранее заготовленным учителем перечнем условий (необходимых и достаточных), которые решающему их школьнику предлагается: а) дополнить или опровергнуть; б) перераспределить на необходимые и достаточные - по сравнению с тем, как это задано в условии; в) в ряде случаев обоснованно подтвердить то, что дано в условии.

В-пятых, для критической переориентации из того, что приведено в обсуждаемом перечне задач различных типов, вполне пригодны задачи на классификации. Критический потенциал таких задач эффективно реализуется в случае если учитель (разработчик) в условии, то или иной задачи предлагает школьнику выявить, корректна ли приведённая автором задачи классификация, в чём заключаются конкретные нарушения и как они могут быть ликвидированы. При этом в плане составления этих задач актуален учёт таких случаев, когда в помещаемой в условие ситуации нарушен критерий полноты классификации (классифицируемая совокупность больше по объёму суммы объёмов выявленных подразделений), когда в условии преднамеренно нарушен критерий непересекаемости выделенных классификационных элементов (некоторые из этих элементов охватывают объекты, относящиеся и к другим элементам, например, одновременно к двум) и наконец, когда в предлагаемой в условии классификации преднамеренно перепутаны основания классификации, например, когда в одном классификационном ряду помещены элементы, выделенные по разным основаниям. Иногда (хотя и нечасто) имеется возможность в условии задачи преднамеренно перепутать классификационные этажи: учитель-разработчик использует конкретную ранговую классификацию, например, трёхуровневую, и для задачи, предлагаемой школьнику, намеренно перепутывает элементы, относящиеся ко второму и третьему классификационным этажам (понятно, что выявить это должен сам школьник).

В-шестых, анализ представленных в многочисленных учебниках, пособиях, задачниках и руководствах текстов задач позволяет выделить ещё одно направление повышения их критической насыщенности: это составление задач, в которых в развёрнутом виде приводятся, например, два способа решения: 1) с различным резуль-

татом и причины этих различий необходимо выявить школьнику; 2) с одинаковым результатом и законность каждого из способов необходимо осознать ученику.

И наконец, в-седьмых, для формирования критического мышления школьников важны задачи на логический анализ теорем. Содержательный эскиз при этом выглядит таким образом: для предлагаемой теоремы (изученной ранее) необходимо сформулировать её в условной форме (1), описать класс объектов, к которому применима теорема (2), выделить условную часть и указать количество условий (3), выделить заключительную часть и указать количество заключений (4).

Компетентностный формат в обучении. На уровне обозначенных в ФГОС предметных результатов освоения основной образовательной программы критическое мышление проявляется как часть целого, как одно из направлений полноценной реализации этого целого, что подтверждается такими формулировками (п. 9.3 математика и информатика): " ... сформированность представлений о социальных, культурных, исторических факторах становления математики", "сформированность основ логического мышления", "сформированность представлений о математике как о части мировой культуры и о месте её в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира", "владения методами доказательств.умениями их применять, производить доказательные рассуждения в процессе решения задач", "сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат" [цит. по 3].

Принадлежность отмеченных позиций содержательному полю критического мышления очевидна, сфокусированность их на исследуемую проблему также достаточно явно видна. С другой стороны, ясно проявляется и то, что в традиционном математическом образовании заявленный критический формат не реализован, тот потенциально ориентированный на решение этой задачи учебно-методический контент, который раскрыт в данном параграфе, представлен лишь фрагментарно. Поэтому задача поиска методик формирования и развития критического мышления до сих пор актуальна и начальным этапом ее решения может являться вытекающая из предшествующего изложения концептуальная модель формирования и развития критического мышления при обучении математике. Представим тезисно её содержание.

Выводы.

1. Формирование критического мышления при обучении математике логически и содержательно вписывается в структуру целей школьного математического образования, с одной стороны, а с другой, обусловливает возможность поиска дополнительного ресурса для реализации этих целей. Включаемый в проблему личностный ресурс включает "усиление" по части формирования у школьников на материале математики умений рефлексии содержания внешней информации и логики её предъявления, авторефлексии результата познавательной деятельности и способа его получения, по части рефлексивного самопредъявления школьника в образовательной и социальной среде.

2. Формирование критического мышления при обучении математике в средней школе предполагает: а) встраивание критически ориентированных фрагментов в учебную информацию, в решаемые школьниками традиционные задачи и выполняемые задания; б) насыщение школьного математического образования критически ориентированным задачным контентом, ориентированным на оценочную деятельность школьников, включающую: выявление учеником корректности представленных в готовых формах условий учебных задач обобщений, аналогий, сравнений, классификаций, выводов и умозаключений, а также корректности самих условий.

3. Значимым содержательным полем формирования

Elipkhanov Abdul-Vahid Imelyaevich MATHEMATICS AND MATHEMATICAL .

pedagogical sciences

критического мышления школьников является широкий междисциплинарный контекст математики, включение которого в методический контент способствует критическому осмыслению учащимися роли математики в различных областях действительности, позиционирует диалектику количественного и качественного описания различных объектов и феноменов.

4. Разрабатываемая для широкого практического внедрения методика должна предполагать в качестве безусловно необходимого возможность для школьников переносить сформированные на базе математики умения критического осмысления на широкий спектр нематематических объектов и явлений социальной действительности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Ястребов, А.В. Методика преподавания математики: задачи. - М.: Юрайт. 2017. - 150 с.

2. Хинчин, А.Я. Педагогические статьи / Сборник: А.Я. Хинчин. Под редакцией А.В. Гнеденко. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. - 135 с.

3. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике. Саранск: Изд-во Красный октябрь, 2001. -123 с.

4. Федосеев В.М. Проблемы культуры мышления в математическом образовании // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2012. № 4 (08). С. 171-176.

5. Балабаева Н.П. Контрпримеры в курсе высшей математики как средство развития критического мышления студентов 1Т-направлений // Самарский научный вестник. 2014. № 4 (9). С. 30-33.

6. Снегирева Л.В. Развитие абстрактного мышления студентов-медиков в процессе электронного обучения математике // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2016. Т. 5. № 2 (15). С. 143-146.

7. Семенова О.М. Личностно ориентированный и проблемно-диалогический подходы к формированию критического мышления будущего учителя // Поволжский педагогический вестник. 2013. № 1. С. 125129.

8. Гузева М.В. К обоснованию проблемы развития критического мышления студентов педагогических вузов в условиях медиаобразования // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2016. Т. 5. № 1 (14). С. 41-44.

9. Пономарёва Н.В., Новичкова Т.Ю., Видманова Т.П. Использование тестирующих программ в процессе обучения высшей математике // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2014. № 4. С. 245-249.

Работа выполнена при финансовой поддержке внутривузовского гранта Чеченского государственного педагогического университета на инициативное научное исследование.

Статья поступила в редакцию 23.10.2017

Статья принята к публикации 26.12.2017

442

Baltic Humanitarian Journal. 2017. Т. 6. № 4