Алгоритм оптимизации силовых конструкций по условиям прочности с компенсацией нарушенных ограничений

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIX

1988

№ 1

УДК 629.7.015.4.023

АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ силовых конструкций ПО УСЛОВИЯМ ПРОЧНОСТИ С КОМПЕНСАЦИЕЙ НАРУШЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ

Разработан алгоритм минимизации массы материала силовой конструкции с ограничениями на напряжения в ее элементах. Оптимизационный процесс разбит на два взаимосвязанных этапа. На первом этапе определяются элементы конструкции с нарушенными ограничениями по прочности, при изменении всех проектных параметров в соответствии с рекуррентным соотношением алгоритма равнопрочных конструкций. На втором этапе проектные параметры указанных элементов конструкции целенаправленно изменяются для компенсации нарушенных ограничений. При последовательном возобновлении первого и второго этапов определяются допустимые конструкции, среди которых сравнением находится конструкция минимальной массы.

На примерах оптимизации стержневых систем и крыла малого удлинения по данному алгоритму получены конструкции с массой меньшей, чем равнопрочные.

Для стержневых систем с небольшим числом избыточных связей в задаче со многими нагружениями при оптимизации по критерию минимума массы с нелинейными функциями ограничений на напряжения получены системы с массой меньшей, чем равнопрочные [1—4]. Однако необходимость многократного вычисления производных от функций ограничений по проектным параметрам при поиске оптимального решения прямыми или непрямыми методами [2] во многом затрудняет их практическую реализацию для оптимизации сложных упругих систем. Поэтому разработка алгоритма оптимизации на основе критерия равно-прочности для получения конструкций минимальной массы или близких к ней представляет практический интерес.

1. Анализ условий оптимальности. Задача оптимизации тонкостенной конструкции с ограничениями на напряжения при многих нагружениях формулируется следующим образом:

найти значения проектных параметров минимизирующих массу материала конструкции из п элементов,

Е. К Липин, В. М. Фролов, В. В. Чедрик, А. Н. Шаныгин

П

при наличии ограничений на напряжения

<?/ =

М

^<0, I— 1, 2, , п,

где рь Ы, [стг]— соответственно плотность материала, длина или площадь, проектный параметр (толщина или площадь поперечного сечения) элемента, допускаемое по прочности напряжение для 1-го элемента тонкостенной конструкции, (N11 = шах {|Л/;г|, ..., |Мг|, •••, | Мж|} — экстремальное усилие, возникающее в 1-м элементе конструкции при действии на нее нагрузок, соответствующих М расчетным случаям. Усилия Л^г в элементах конструкции определяются либо по результатам решения уравнений равновесия метода перемещений, либо из уравнений совместности деформации метода сил, и они являются нелинейными функциями проектных параметров /г1; /12,...,кп.

Оптимальная точка, в предположении выпуклости функций ограничений фг, будет решением задачи (1, 2), если удовлетворяются необходимые и достаточные условия оптимальности Куна—Таккера [2, 5]

(Р50-Л (

[а<] дк,

г)+£

* ' и-и:

кФ1

1=1,2, ... , га;

7— АЛ = 0, где

>0, если-^!--Аг=0,

Ы

= 0, если

1М1

- Л; < 0 .

Из-за сложной структуры уравнений (3), (4) и сложной зависимости между усилиями Ni и проектными параметрами /г, в элементах конструкции найти решение системы уравнений (3), (4) совместно с уравнениями равновесия (совместности деформации) затруднительно.

Согласно (3), (4) конструкция минимальной массы в отличие от равнопрочной может иметь часть ограничений (2) в форме строгих неравенств (ф<0), а оставшиеся ограничения-равенства (ф = 0) являются активными и образуют границу допустимой области поиска оптимальных параметров конструкции. Признаком активных ограничений является положительность соответствующих множителей Лагранжа в условиях оптимальности (3), (4). Таким образом, для определения оптимальной конструкции необходим оптимизационный процесс, в котором определяются активные ограничения, а изменение проектных параметров в допустимой области приводит к уменьшению массы материала конструкции. В соответствии с этим оптимизационный процесс предлагается разбить на два взаимосвязанных этапа. На первом этапе определяется граница допустимой области, образованная активными ограничениями

\>0, г = 1, 2, ... , п,

где е>0 — заданное отклонение от границы допустимой области. На втором этапе производится компенсация нарушенных ограничений. В ре-

зультате находится допустимая точка, в которой конструкция не имеет нарушенных ограничений по прочности (2). Последовательное определение допустимых точек при движении по границе допустимой области позволяет путем сравнения массы материала получить конструкцию минимальной массы либо близкую к ней.

2. Определение набора активных ограничений. Границу допустимой области и соответствующие ей активные ограничения (5) определим из условий оптимальности по знакам множителей Лагранжа в окрестности оптимальной точки. Для этого в (3) производные от усилий |Л^|, |Л/й| по проектным параметрам /гг- заменим разностными соотношениями

+[01]> = кф1 ДА; ДА, 1 1 " ’ ДЛг ДА г * ^

и получим приближенную формулу для определения % методом итераций [6]:

Ы ДАг

Х(р+п

I Л( Дог

ки До* М А*!

где за нулевое приближение принято Х° = — (р£)..

Л,- Даг

Если в расчетной схеме конструкции изменение проектного параметра в 1-м элементе приводит к значительному изменению усилия лишь в этом элементе (\ANil > |ДЛ^|, кф1) или приращения усилий ДЛ^, & ф I имеют знак приращения параметра в 1-м элементе, то активные ограничения (5) определяются положительными множителями Лагранжа (6) нулевого приближения. Положительным X, соответствуют «перегруженные» элементы, у которых при Д/1г<0 приращения напряжений ДсТг>0, Дой<0, кФ1, а ограничения по прочности (2) образуют границу допустимой области (5). Если же в границу допустимой области включить ограничения, соответствующие «недогруженным» элементам

— <Ш и при ДА3-<0 имеем До,->0, Аоь>0, к Ф] ^ , как это делается Лг 1

в оптимизационном процессе равнопрочных конструкций, то в выражение (6) для «перегруженных» элементов будут входить слагаемые

<0 и множители Х^) могут принимать отрицательные значения.

В этом случае из границы допустимой области поиска оптимального решения могут быть исключены некоторые активные ограничения (5). Наличие «недогруженных» элементов (в равнопрочной конструкции они исключаются в процессе оптимизации) позволяет уменьшить усилия в «перегруженных» элементах оптимальной конструкции и тем самым уменьшить массу материала для обеспечения требований прочности по сравнению с равнопрочной конструкцией.

3. Оптимизация с компенсацией нарушенных ограничений по прочности. Для определения набора активных ограничений (5) поиск оптимального решения начинается из допустимой области с распределением проектных параметров, удовлетворяющим ограничениям по прочности (2):

V — номер итерации на этапе определения активных ограничений. Допустимым решениям (7) на первом этапе соответствует конструкция с

избытками (запасами) прочности ( ^ ]> 1) . Поэтому для уменьше-

\ \^11 /

ния избытков прочности и целевой функции, а также определения набора активных ограничений (5) на первом этапе может быть использовано рекуррентное соотношение алгоритма равнопрочных конструкций

.И1

тт {[о|]} < [а*] < тах {[а,]

где [а*] — условное значение допускаемого напряжения, в соответствии с которым изменяется напряженное состояние конструкции для определения активных ограничений. Выбор [о*] определяется соотношением между напряжениями в «недогруженных» элементах и средним значением действующих напряжений в конструкции.

В случае, когда проектные параметры Л^+1) меньше заданных конструктивными ограничениями кг о, они принимаются равными /г, о.

Определив активные ограничения (5), можно приступить ко второму этапу поиска, а именно, к компенсации нарушенных ограничений и формированию границы допустимой области с заданным отклонением е. Формулу пересчета проектных параметров на втором этапе оптимизации запишем в виде

Л(г+1) = А(Г) + 8.|М ;=1> 2,...

1, если

иг)1

Мг) м

1>е,

, И,

Здесь г — номер итерации на этапе компенсации нарушенных ограничений, а параметр 6* определяет набор активных ограничений (5), (6). В качестве исходных значений проектных параметров (г = 0) для итерационного процесса (9) на втором этапе принимаются параметры , полученные на первом этапе по формулам (8).

В результате применения итерационного процесса (9) точка й^=0) = Л(',+1>, 1=1, 2с нарушенными ограничениями (5) воз-

вращается на границу допустимой области, и определяется решение, удовлетворяющее ограничениям по прочности (2). При этом масса материала конструкции возрастает, так как в итерационном процессе (9) производится увеличение значений проектных параметров в элементах с нарушенными ограничениями по прочности (5). Для определения следующего допустимого решения при движении по границе допустимой области необходимо последовательно возобновить этапы формирования набора активных ограничений и компенсаций нарушенных ограничений по формулам (8), (9).

Конструкция минимальной массы определяется сравнением по массе допустимых решений. При оптимизации на этих двух этапах проис-

ходит последовательное уменьшение массы материала «недогруженных» элементов и увеличение массы материала «перегруженных» элементов конструкции. При использовании рассмотренного алгоритма возможен случай, когда масса конструкции будет убывающей функцией при увеличении числа активных ограничений. В этом случае решение будет совпадать с решением, полученным по алгоритму равнопрочных конструкций.

Данный алгоритм апробирован на решениях известных задач и с его помощью получены оптимальные конструкции с массой материала меньшей, чем равнопрочные.

4. Примеры оптимизации конструкции.

Пример 1. Для трехстержневой фермы с параметрами Е= 1, р = 1, Аіо = Л20 = Л30 = 0, 1Х — 13 — , /4 = 1, [<3[] = [о2] = [а3] — 20

задача оптимизации решалась при двух последовательно действующих нагрузках Р{ = 20 и Р2 = 20. На рис. 1 приведена траектория движения к точке минимума по алгоритму оптимизации с компенсацией нарушенных ограничений в плоскости проектных переменных /її (площадь поперечного сечения стержней /, 3) и /г2 (площадь поперечного сечения

центрального стержня). По данному алгоритму за небольшое число итераций (~5) получена ферма минимальной массы, которая отличается от равнопрочной на 7,2% [1]. Причем для получения равнопрочной фермы потребовалось 99 итераций.

Пример 2. Для крыла малого удлинения, моделируемого в расчетной схеме трехслойной пластиной, решалась задача оптимизации для двух случаев нагружения с линейным законом распределения давления

Л

0

_ .* _ алгоритм рабнопрочнои конструкции

----- •> с компенсацией ограничении р .

• и / соат8етст5цют очередной итерации 1

по хорде. В первом случае максимальное давление Ртах = 4 действовало на передней кромке, а во втором случае ртях—2 действовало на задней кромке. Изменение массы материала в процессе оптимизации по разработанному алгоритму и алгоритму равнопрочных конструкций приведено на рис. 2. В данном примере конструкция минимальной массы также не совпадает с равнопрочной, и различие составляет ~7,52%. Конструкция минимальной масса при отклонении от границы допустимой области, равном е„=тах{ 1}<Г0,5% , получена на 34-й ите-

I Л, о; )

рации. По алгоритму равнопрочных конструкций при невязке по массе

( \

на 4-й итерации, равной вт= 1----------------100% =0,5% , имело место

\ от(',+1)у

нарушение ограничений по напряжениям £„ = 5,3%. Для выполнения ограничений по напряжениям с точностью е„ =0,75% по алгоритму равнопрочных конструкций потребовалось сделать около 100 итераций. При этом масса материала в итерационном процессе, начиная с 7-й итерации, монотонно возрастала (см. рис. 2). Кроме того, в отличие от равнопрочной конструкции, оптимальная имеет равномерный характер распределения толщины обшивки по хорде.

Пример 3. Для десятистержневой фермы (рис. 3) с параметрами Е= 107, р = 0,1, [а,] = [а2] = [«,] = [а4] = [а6] = [ав] = [а7] = [с9] = [о10] = = +2,5-104, [а8] = 2,5-104ч-5,0-104, минимальная площадь по-

хо. 360

© / Ъ 2 ©

N. 7 / N. 9 /

XX 5 Б

6/ W / N.

/ Ч- N

© © ,© •*

Рис. 3

перечных сечений всех стержней 0,1 решалась задача оптимизации на один случай нагружения. При этом в узлах 2 и 4 прикладывались нагрузки, равные 105 в направлении, противоположном оси у. Данная ферма исследовалась многими исследователями для оценки эффективности алгоритмов оптимизации [2—4, 7]. Результаты оптимизации по разработанному алгоритму приведены в таблице.

Номер стержня Ы = 25 000 ы = 50 000

площадь поперечного сечения напряже- ние площадь поперечного сечения напряже- ние

1 2 % 4 5

1 7,9379 25000 7,8856 24 736

2 0,1 15 533 0,1 24 910

3 8,0622 —25000 8,1991 —25 000

4 3,9379 -25 000 3,9031 -24 980

5 0,1 0 0,1 —24 907

6, 0,1 15 533 0.1 24910

7 5,7448 25 000 5,9385 25 000

8 5,5690 —25 000 3,5754 —37 586

9 5,5690 25 000 5,5198 24 983

10 0,1 —21 967 0,1408 —25018

Масса 1593,2 — 1502.3 —

В случае равных допускаемых напряжений для всех элементов в оптимальной ферме активны ограничения по напряжениям в стержнях 1, 3, 4, 7, 8, 9 и на минимальную площадь поперечного сечения в стержнях 2, 5, 6, 10. Эти результаты совпадают с результатами работы [2].

Особый интерес в данном примере представляет решение оптимизационной задачи при повышении в два раза допускаемого напряжения в стержне 8. Естественно ожидать, что масса оптимальной фермы по сравнению с вариантом одинаковых допускаемых напряжений должна уменьшиться. Однако алгоритм равнопрочных конструкций приводит к равнопрочной конструкции с массой 1722, которая тяжелее оптималь-

ной конструкции в 1,148 раза. На данном примере исследовалось влияние условного значения допускаемого напряжения [а*] на получаемый при оптимизации проект фермы.

На рис. 4 представлена зависимость массы материала допустимых проектов фермы от задаваемого значения [а*] на первом этапе алгоритма оптимизации с компенсацией нарушенных ограничений. Отсюда следует, что минимальная масса фермы реализуется при [сг*]=

= -~-(ш1п {[«*]} + тах {[<з*]})- Для других значений [ст*], расположенных

в промежутке ш1п Цз;]} [о*]-< шах {[ог]}, получены допустимые проек-

ты фермы с массой большей, чем оптимальная ферма,' но значительно меньшей, чем у равнопрочной фермы. При [ст*]=37 500 и £„<0,1% наблюдается медленная сходимость оптимизационного процесса, но при этом существенное замедление происходит тогда, когда масса фермы мало отличается от оптимального проекта. В оптимальном проекте фермы активны ограничения на напряжения в стержнях 1, 7, 9, 10 и ограничения на минимальную площадь поперечного сечения в стержнях 2, '5, 6, а стержень 8 имеет запас по прочности. Аналогичные результаты с помощью методов математического программирования ранее были получены в работах [3, 4], где допускаемое напряжение увеличивалось в элементах 7 и 9 соответственно.

Таким образом, приведенные примеры свидетельствуют о том, что алгоритм равнопрочных конструкций может давать допустимые решения с массой, превышающей массу оптимальной конструкции. Разработанный алгоритм оптимизации с компенсацией нарушенных ограничений позволяет в этих случаях улучшить равнопрочный проект, получить допустимое решение, близкое к оптимальному, и имеет простые формулы пересчета проектных параметров. Кроме того, на этапе компенсации нарушенных ограничений для расчета конструкций методом конечных элементов может быть использована процедура обращения только элементов матрицы жесткости конструкции, которым соответ-

5 «Ученые записки» № 1

65

ствуют проектные параметры силовых элементов с активными ограниче ниями по прочности. Это существенно уменьшает время решения зада чи оптимизации сложных силовых конструкций на ЭВМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Разани Р. Поведение равнонапряженной конструкции и ее отношение к конструкции минимального веса. — РТК, 1965, т. 3, № 12.

2. X о г Э., А р о р а Я. Прикладное оптимальное проектирование. — М.: Мир, 1983.

3. Fleur у С. A unified approach to structural weight minimization.— Computer Methods in Appl. Mech. and Engineering, 1979, X, vol. 20, N 1.

4. S с h m i t L. A., M i u r a H. Approximation concepts for efficient structural synthesis. — NASA-CR-2552, 1976.

5. Моисеев H. H., Иванилов Ю. П., Столярова E. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.

6. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1966.

7. В е г k е L., К h о t N. S. Use of optimality criteria methods for large scale system. — AGARD-LS-70, 1974.

Рукопись поступила 8/VIll 1986 г.