Петли спайнов замкнутых ориентируемых многообразий и перестройки Дена

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

ПЕТЛИ СПАЙНОВ ЗАМКНУТЫХ ОРИЕНТИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ И ПЕРЕСТРОЙКИ ДЕНА

М. А. Овчинников

Статья непосредственно примыкает к работам [1, 2, 3], посвященным исследованиям ориентируемых 3-многообразий, заданных спайнами, и разработке теории сложности 3-многообразий. В статье доказывается, что если спайны многообразий отличаются только фрагментом особого вида, то многообразия связаны перестройкой Дена.

1. Общие сведения

Говорят, что клеточный комплекс К коллапсируется на свой подкомплекс Ь (обозначается К если от К к Ь можно перейти с помощью последовательности отбрасываний открытых главных клеток вместе с их открытыми свободными гранями. Спай-

ном компактного 3-многообразия М называется полиэдр Р, если М (М\1пШ в случае дМ = ф) коллапсируется на Р. Спайн называется почти специальным, если каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную конусу над некоторым подполиэдром полиэдра V, где V —окружность с тремя радиусами. Точки, линки которых гомеоморфны У, называются вершинами почти специального спайна. Сложность ё(М) компактного 3-многообразия определяется как число вершин его минимального (в смысле числа вершин) почти специального спайна. Свойство конечности: для любого целого к ^ 0 число различных замкнутых неприводимых 3-многообразий сложности к конечно. Свойство аддитивности : <1(1^ ^М2) = с1(М1) + с1(М2), где М,^ и М2 —компактные 3-многообразия. Почти специальньщ спайн специален, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с 2 или 3 радиусами, каждая 2-компонента является диском, и есть хотя бы одна вершина. Специальные спайны замечательны тем, что по своему специальному спайну 3-многообразие восстанавливается однозначно, а также тем, что минимальные почти специальные спайны всех неприводимых замкнутых ориентируемых 3-многообразий, кроме ЯР3 и Ь3д специальны.

Особым графом БР специального спайна Р называется множество особых точек спайна Р (т. е. типов 2 и 3), которое является регулярным графом степени 4. Граничная кривая (в статье просто кривая) — приклеивающее отображение края 2-компоненты специального спайна в особый граф. Длина кривой — число ребер особого графа, входящих в кривую с учетом кратностей их вхождений. Говорим, что кривая имеет противоход, если по некоторому ребру особого графа кривая проходит в противоположных направлениях.

Нам понадобятся следующие признаки минимальности специальных спайнов ([1]). Запрет коротких кривых: кривые имеют длины не меньше 3. Запрети противоходов: кривые не имеют противоходов.

2. Основной результат

Условимся, что под петлей мы понимаем ребро особого графа, инцидентное одной вершине. Двойным ребром называем объединение двух ребер, инцидентных одной паре вершин.

Определение. Назовем м-петлей (сокращение от «многократная петля», <<мультипетля») связный подграф особого графа, включающий петлю и, может быть, двойные ребра.

Определение. Пусть в особом графе 8Р петля О0 и двойные ребра О^...^,,, п ^ 0, последовательно инцидентны и образуют м-петлю О. Объединение ребер инцидентных О и не входящих в О обозначим Ои+1. Пусть с: Б1 БР — граничная

кривая. Будем говорить, что кривая с кончается на двойном ребре (петле) 0 < к ^ п, если с проходит по ребрам из Ок и не проходит по ребру из Аналогично, кривая с начинается на двойном ребре (петле) 0 ^ к ^ п, если с проходит по ребрам из Т>к и не проходит по ребру из ^ _ 1.

Теорема. Пусть особый граф БР минимального специального спайна Р замкнутого ориентируемого 3-многообразия М содержит м-петлю Ссп^ 0 двойными ребрами. Обозначим <2 подполиэдр спайна Р состоящий из С и тех 2-компонент, края которых лежат в б.

Тогда () имеет окрестность О (()) в М, гомеоморфную полноторию.

Доказательство. Из запрета противохода следует, что по ребрам в, входящим в двойные ребра, кривые проходят не более одного раза, и ровно две кривые содержат ребра м-петли и сами в м-петле не лежат. Отсюда выводится, что на каждом двойном ребре одна кривая начинается и одна кривая кончается. Из запрета короткой кривой следует, что кривая не может кончаться на том же Т)к, 0 к п, на котором она начинается. Число кривых, содержащихся в О, получается равным числу п двойных ребер.

Представим О (<3) как полноторие О (О0), к которому последовательно приклеены п ручек индекса 1, дающие соответственно О (0;), 1 ^ 1 ^ п, а вместе — полный крендель О (О) рода п+1, и п ручек индекса 2 вдоль граничных кривых, содержащихся в О. Ручки разбиваются на п последовательно устранимых пар ручек по правилу: соответствующая кривая кончается на соответствующем двойном ребре. Доказательство окончено.

Следствие 1. Пусть и М2 — замкнутые ориентируемые 3-многообразия, Р! и Р2 —их минимальные специальные спайны. Пусть, далее, их особые графы 8РХ и 8Р2 содержат связные фрагменты и С2, состоящие из пг ^ 0, ¡ = 1, 2 двойных ребер. Подполиэдры С^ и С?2 состоят, соответственно, из и и тех 2-компонент, края которых лежат в С;, 1 = 1, 2, и, кроме того, РДС?! и Р2\02 гомеоморфны.

Тогда и М2 связаны перестройкой Дена.

Следствие 2. Пусть сложность замкнутого ориентируемого 3-многообразия М равна к, и особый граф некоторого минимального специального спайна многообразия М содержит м-петлю с п двойными ребрами.

Тогда существует перестройка Дена приводящая к многообразию сложности не более к —п.

Примечание. Полиэдры типа <3 имеют эффективное описание, позволяющее связывать перестройками Дена многообразия, заданные не обязательно

минимальными спайнами, и вычислять параметры перестроек. Эти результаты автор намерен изложить в своих ближайших работах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Матвеев С. В., Савватеев В. В. Трехмерные многообразия, имеющие простые специальные остовы.//Со11ос1ишт МаШетаикит —1974 —V 32 Р. 1.-Р. 83-97. ' «>

2. Матвеев С. В. Один способ задания 3-многообразий.//Вестник МГУ.-1975.-Т..30, № З.-с. 11-20.

3. Матвеев С. В. Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных многообразий.//Украинский матем. журнал.—1989.—Т. 41, № 9. —С.