Моделирование полоидальной системы электрических контуров для автоматизации эксперимента на токамаке Гутта

УДК 533.9.621.039.6

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3

Е. В. Сухов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТУРОВ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТА НА ТОКАМАКЕ ГУТТА

1. Введение. Токамаки представляют из себя сложные электрофизические устройства, имеющие множественные конструктивные особенности, которые делают каждый экземпляр уникальным. Специфика подобного рода установок заключена в наличии большого количества индуктивно связанных контуров: активных обмоток (под таковыми будем понимать катушки с собственным источником питания), пассивных обмоток (без собственного источника питания, например катушки пассивной стабилизации, диагностические и т. д.), вакуумной камеры и собственно плазменного шнура, который может рассматриваться как виток с током. Токи в таких контурах сильно зависят не только от источников питания (в случае наличия такового), но и от магнитного потока, пронизывающего их, а, как следствие, от токов в других контурах.

Потоки, создаваемые контурами, не только определяют положение плазменного шнура, но и вносят свой вклад в показания электромагнитных диагностик, из чего следует важность умения предсказать их эволюцию для корректировки экспериментальных данных. С этой целью необходимо принимать во внимание не только конструктивные особенности установки, но и сценарий каждого конкретного разряда. Построение модели динамики токов полоидальных контуров токамака является необходимым условием для расчета программного управления разрядом.

Вопрос об изучении данной проблемы зачастую решается на каждой установке по-своему. В частности, в НИИЭФА им. Д. В. Ефремова используется код ТПАКЯМАК [1]. Однако в нем не учитывается такая важная особенность системы питания токамака Гутта как существенный разряд конденсаторных батарей во время импульса установки.

В настоящей работе будет предложено одно из возможных решений, примененное на токамаке Гутта с целью автоматизации экспериментального процесса и дальнейшего использования при анализе и расчете управляющих законов для плазменного шнура.

2. Постановка задачи моделирования. Рассмотрим постановку задачи моделирования динамики токов в полоидальной электромагнитной системе токамака Гутта.

Будем рассматривать полоидальную систему проводящих коаксиальных контуров установки (таких как катушки полоидальной электромагнитной системы и разбиения вакуумной камеры), часть из которых имеет собственные источники питания. Предположим, что такие параметры, как сопротивления контуров и цепей, емкости конденсаторов, геометрические параметры установки, остаются неизменными на временном промежутке моделирования. Выпишем систему дифференциальных уравнений Кирхгофа индуктивно связанных контуров

^ + Щ)Щ = £/

где ?/>(£) - вектор-функция магнитных потоков, сцепленных с контурами; Е(() - диагональная матрица сопротивлений контуров с током; Щ) - вектор-функция токов;

© Е. В. Сухов, 2007

{/(£) - вектор-функция напряжений источников питания. Вектор-функции магнитных потоков и токов связаны между собой следующим соотношением:

гр = ЬЩ,

в котором Ь - матрица индуктивностей (собственных и взаимных) контуров с током. В случае, если Ь не зависит от времени, выражение (1) с учетом (2) приобретает такой вид:

Ь^-+11Щ = и

=

Стоит отметить, что знак 1{{) определяет направление протекания тока в контуре.

Важной особенностью токамака Гутта является применение конденсаторных батарей различных емкостей, полярностей и напряжений для питания активных обмоток. Дополним (3) уравнением, характеризующим изменение напряжения на конденсаторной батарее с течением времени:

<Ш{1) щ

= "с-

В рассматриваемом случае вектор-функция II(<) будет являться кусочно-непрерывной, что обусловлено включением батарей в разное время в различных цепях и возможностью поочередного включения батарей в один и тот же контур. В случае пассивного контура полагаем [¡{ = 0.

Ставится задача: имея уравнения, описывающие поведение токов в контурах установки (4), процесс разряда конденсаторных батарей (5) и сценарий конкретного импульса установки, рассчитать динамику токов в полоидальной системе контуров.

3. Формирование матриц системы модели. Каждое уравнение системы (3) описывает один контур. Обычно на практике одна электромагнитная система состоит из нескольких катушек. Остановимся на вопросе формирования матрицы системы с учетом этого замечания.

Положим, что п контуров из N соединены последовательно. Не умаляя общности, можно считать, что это первые п контуров. Суммируя для них уравнения, получаем

п N п

У^ У^ -^¡А: = Е^* - КккЬ), к=1 ¿=1 к=1 п / N \ п

Е Ц = -

к=1 N¿=1 / к= 1

В силу того, что катушки включены последовательно, можем положить Д. = 1,к = 1..п. Тогда

п / N \ п п N п

Е Е*«Н = Е

А=1 / ¿=1 к=1 г-п+1 к— 1

Исходя из (6), сформируем новые матрицы для уравнения (3). Выражение Ьие будет представлять собой собственную индуктивность для системы контуров, Хд-=1 ^ки г > п, - взаимную индуктивность с г-м контуром системы, Я.кк - сопротивление контура. Положим ^к = и, где С/ - напряжение

источника питания.

4. Особенности вектор-функции £/(£). Как уже отмечалось ранее, поведение функции [/(£) зависит от моментов включения и напряжений батарей в каждой из цепей. В рамках рассматриваемой модели выделим некоторые важные моменты:

1. Ни одна из батарей не включена в г-й активный контур. Тогда в случае присутствия клямпинга в контуре полагаем = 0, в противном случае [/(¿¿) = 0 и

т = о.

2. В момент времени ¿1 в г-й контур, с подключенной батареей с остаточным напряжением {/(£ 1) = иI подключается батарея с напряжением £/?. Стоит отметить, что напряжение на имеющейся и подключаемой батареях должно иметь одинаковый знак во избежание нештатной ситуации. Тогда, если \Щ\ > \и}\, полагаем и^х) = Щ, /(¿1) = — (5), 6 —> 0, если же \Ц'?\ ^ \Щ\, то включения новой батареи не происходит.

3. При апериодическом режиме разряда батарея отключается от цепи по достижению нулевого напряжения. Пусть tl - момент отключения. Тогда при наличии клямпинга в контуре считаем, что 1) = 0, в противном случае {/¿(£ 1) = 0, /¿(¿х) = 0.

4. Если в контуре установлен клямпинг, батарея отключается по достижению нулевого напряжения. Положим, что £1 - момент отключения. При этом полагаем

ЩЬ) = 0.

5. Если в цепи батареи тиристор шунтирован диодами, то батарея в случае периодического режима разряда отключится по прохождению полного периода колебания. Пусть ¿1 - момент отключения. Тогда примем, что ¿/¿(¿1) = 0, /,(¿1) = 0.

Стоит отметить, что Ь\ и являются управляющими воздействиями для формирования управления разрядом.

5. Параметры модели. Предположим, что в момент времени £ = = 0 в контурах системы отсутствуют токи и магнитный поток через каждый из них равен 0, если не оговорено противное. В случае включения в момент ^ батареи с напряжением {/* и емкостью С* в цепь г-го активного контура полагаем иг(^) = . С,- = С*. В случае наличия в цепи батареи добавочной катушки с индуктивностью Ъ\ следует положить Ьц равным Ьц + Ь*- , а после отключения батареи снова Ь,л, при наличии дополнительного сопротивления Щ в цепи на время работы батареи считаем Я,, = Яц 4- Щ.

Для моделирования конкретного режима работь! установки необходимо задать следующие параметры:

• для активных контуров - моменты переключения Ь[ емкости С* и начальные напряжения конденсаторных батарей Г/*, наличие клямпинга, шунтирующих диодов,

индуктивности Ь* добавочных катушек и сопротивления Щ резисторов;

• для всех контуров - индуктивности Ьц и сопротивления Яц.

6. Процесс моделирования. Введем понятие точек переключения, под которыми будем подразумевать моменты времени, в которые произошло отключение батареи от активной цепи или ее подключение.

Как было отмечено ранее, коэффициенты системы (4), (5) в общем случае не являются постоянными на всем промежутке моделирования. Они остаются неизменными лишь на промежутке где и - точки переключения.

На рис. 1 представлен вид алгоритма моделирования.

Рис. 1. Алгоритм моделирования динамики токов.

7. Реализация и тестирование модели. Описанная выше модель была реализована в виде программы на языке С++. Напряжение на батареях и моменты их запуска программа получает непосредственно из данных контрольно-диагностического комплекса. Основной ее чертой является возможность моделирования реального режима работы установки: расчет токов во всех пассивных и активных контурах, распределения тока по камере установки, расчет напряжений на обходе по различным контурам. Подобная информация необходима для анализа экспериментальных данных установки. Опишем некоторые комплексные тесты, примененные при проверке работы программы.

Было рассмотрено расчетное распределение тока вдоль длины вакуумной камеры

-2. -4. -6. -8. -10. -12--14 -16--18-

Рис. 2. Пример распределения тока по камере вдоль ее длины.

Горизонтальная ось - длина вакуумной камеры, вертикальная - сила тока.

Рис. 3. Сечение вакуумной камеры и системы катушек поперечного поля, построенная программой на основе входных данных.

установки при наличии вихревого электрического поля. Полученный график распределения тока по камере (рис. 2) показал хорошее соответствие с представленными в [2-4].

Для проверки модели на реальной установке в числе прочих применялся следующий подход. Системой поперечного поля (рис. 3) установки создавалось переменное электромагнитное ,поле и фиксировалось напряжение на наружном обходе вакуумной камеры (рис. 4, б) в экваториальной плоскости, которое сравнивалось с расчетным (рис. 4, а). Результаты показали хорошее совпадение модельных данных с измеренными при разбиении вакуумной камеры на 50 контуров и более.

Все это позволяет сделать вывод об адекватности описания динамики тока поло-идальной системе контуров токамака и возможности ее применения для расчета программных управлений.

8. Постановка задачи программного управления. Для нормального функционирования современному токамаку необходима система управления параметрами плазменного шнура, а соответственно и токами в катушках. В частности, программное управление должно решать задачу создания в активных контурах токов по заданным законам и обеспечения установленных технологических ограничений, ограничений на наведенные токи в конструкциях установки, на магнитные поля в определенной области вакуумной камеры. В качестве управляющих воздействий выступают напряжения заряда батарей энергетической системы установки и моменты их включения в процессе разряда, т. е., с точки зрения представленной модели, параметрами управления являются С/* и , а если никакой закон управления не способен удовлетворить поставленным требованиям, то возможно варьирование дополнительного сопротивления в цепи батареи Щ, что влечет необходимость перестройки имеющейся энергетической системы токамака.

Рис. 4- Осциллограмма напряжения на наружном обходе, полученная с датчиков установки.

а- в одной клетке по горизонтали - 200 мкс, по вертикали - 50 мВ; б-осциллограмма напряжения на наружном обходе, рассчитанная с помощью модели: горизонтальная ось - время, вертикальная -амплитуда сигнала.

Используя описанную выше модель, формализуем постановку задачи оптимального программного управления. Имеется электротехническая модель полоидальной системы токамака

=L-lU{t)-L-"RI{t).

at

Требуется построить вектор-функцию вида

Un

Umit)cosikm(t)t+u>mit)) + UftoWe"»*1'^*»™

U it) =

где и^({), со^Ц) - кусочно-постоянные вектор-функции, N - количество актив-

ных контуров полоидальной системы, доставляющую минимум функционалу

т

РЦ,1Ц,иШиа)) =д(Т,1(Т,и(Т)),ЩТ)) + / 17(4)), £/(«))Л.

о

Подобный вид {/(4) обусловлен системой питания токамака Гутта, базирующейся на конденсаторных батареях, существенно разряжающихся в процессе импульса установки.

Остановимся подробнее на выборе функционала качества для оптимизации условий токового пробоя.

Пусть Tst - момент времени, в который должен произойти пробой. Введем проводящий контур С, лежащий в экваториальной плоскости вакуумной камеры токамака и проходящий через точку <"(/?<>, Ео), которая является центром токового пробоя.

Тогда функционал, описывающий качество управления, будет иметь вид

д{Т,и1{Тн,ЩТл)),и{Тл)) =

= К^ВР{Т81) - В°р) + К-2(Щгп(Тн) - и?гп) + К3(фш(Тн) -

в котором Вр^) - величина полоидального магнитного поля в зоне пробоя с центром в точке с, Вр - требуемая величина (которая может быть отличной от 0 в зависимости от режима СВЧ предыонизации [5]) полоидального поля в зоне пробоя, ГЛГ„(<) - напряжение на обходе контура С, Г/(°гп - требуемое для токового пробоя напряжение, ^тЛ^) -запас потока в индукторе перед началом разряда, - требуемый запас потока. Таким образом, терминальный член описывает необходимые условия для осуществления пробоя

ш пт) _ г.- Д \Hnit) Ш > /Гх(0 ,

п-1

N

г=1

0, Unit) ^ urxit)

- ограничение на максимальные рабочие токи в катушках и напряжения источников питания.

Представленный функционал позволит построить управление для получения условий, требуемые для пробоя, без перегрузки систем установки с учетом реальных возможностей системы питания.

9. Заключение. Рассмотренная модель предназначена для описания динамики токов в системе полоидальных контуров токамака в случае построения энергетической системы на базе конденсаторных батарей. Она позволяет анализировать реальные режимы работы токамака Гутта, для чего имеется возможность получения всей не-обходимой информации от контрольно-диагностического комплекса установки. Представленные наработки будут использованы при анализе экспериментальных данных и построении программного управления разрядом.

Summary

Suhov Е. V. Poloidal electric circuit modeling for experimental process automation on Gutta tokainak.

Gutta tokainak characteristic property is capacitor based energetic system. Poloidal electromagnetic system modeling for this device is examined. Definition of program discharge control problem for Gutta tokamak is formalized.

Литература

1. Belyakov V.A., Rumyantsev E.N. et al. ITER Final Report of RF Home Team on Design Task D424-3: Plasma current, position and shape control. St.Petersburg, 2001. 90 p.

2. Аристов Ю. А., Воробьев Г. M., Кузнецов А. В. Оптимизация положения витков индуктора токамака. М.: ЦНИИ Атоминформ, 1992. 50 с.

3. Воробьев Г. М., Кузнецов А. В. Оптимизация положения витков системы равновесия токамака: Препринт НИИЭФА. М., 1992. 40 с.

4. Кузнецов А. В., Овсянников Д. А. Оптимизация программного управления условиями старта разряда и его развитием по заданному сценарию в токамаке с железным сердечником: Препринт НИИЭФА. М., 1990. 30 с.

5. Vorobyov G. М., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D. et al. The experiments of the small spherical tokamak Gutta // Proc. of the 16th IAEA Technical Meeting on Research using Small Fusion Devices. New York, 2006. P. 53-56.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Д. А. Овсянниковым. Статья принята к печати 22 февраля 2007 г.