О решении некоторых задач аэродинамики методом ЭГДА

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т ам IV 1 97 3 № 4

УДК 629.7.015.3:533.6.072

О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ АЭРОДИНАМИКИ

МЕТОДОМ ЭГДА

Б. Л. Меркулов

Рассмотрены задачи аэродинамики, которые могут быть решены методом электрогидродинамической аналогии на электропроводной бумаге. Приведены формулы для определения сил, действующих на произвольное заостренное тело в околозвуковом потоке газа. Аналогичные формулы получены для сил, действующих на носовую часть удлиненного тела в потоке несжимаемой жидкости.

1. Типичной плоской задачей аэродинамики, которую можно» решить с помощью метода электрогидродинамической аналогии (ЭГДА), является задача об обтекании профиля крыла (или системы профилей) потоком жидкости или газа [1], [2]. В общем случае обтекание является циркуляционным, и на электропроводной бумаге приходится создавать циркуляцию либо с помощью дополнительных разрезов, контуры которых неизвестны заранее (аналогия А), либо делая обтекаемые границы проводящими и обеспечивая на них определенные расходы тока (аналогия Б).

Для определения скоростей и давлений в окрестности профиля и на его поверхности необходимо найти производные электрического потенциала. Вследствие электрической неоднородности бумаги дифференцирование потенциала приводит к значительным погрешностям.

2. Метод двумерной ЭГДА, основанный на применении электропроводной бумаги, может быть успешно использован для решения не только плоских, но и некоторых пространственных задач аэродинамики.

В линеаризованной теории течений газа потенциал скорости потока Ф удовлетворяет уравнению

П -М2)^ + —+ —= 0

' дх* ^ ду* ' дг2

Здесь М — число М; х, у, 2 — декартова система координат, причем ось х совпадает по направлению со скоростью невозмущенного потока. При М«1, а также в случае сильно вытянутого по потоку-заостренного тела первый член уравнения пренебрежимо мал по

сравнению со вторым и третьим членами. В результате получаем основное уравнение теории тонкого тела [3]:

+ ^ = 0 П)

дуз т дг* к ’

Это двумерное уравнение Лапласа можно решать независимо в любой плоскости, перпендикулярной скорости невозмущенного потока или оси тела. При решении задачи методом ЭГДА целесообразно использовать систему осей координат xlt ух, zx (ось хх направлена по оси тела), т. е. решать уравнение (1) в плоскостях, перпендикулярных оси тела. При этом граничные условия существенно упрощаются, особенно в случае, когда касательные плоскости для всех точек поверхности тела параллельны его оси (при определении суммарных сил достаточно выполнения указанного условия только в окрестности донного сечения).

В последнем случае нормаль к поверхности тела (в любой его точке) лежит в плоскости ух zx и совпадает с нормалью к контуру поперечного сечения тела, поэтому условие непротекания через поверхность тела сводится к граничному условию в плоскости ух zx

дФ/дп = 0,

где п—нормаль к контуру сечения.

Таким образом, на электропроводной бумаге тело моделируется простым разрезом (по контуру поперечного сечения).

На бесконечности в плоскости у, zx имеем

дФ\дух — va = const; дФ1дгг = — = const,

где v — скорость невозмущенного потока; i и f - углы атаки и скольжения. Эти граничные условия можно выполнить на прямоугольном листе бумаги с помощью прямых шин, присоединенных к противоположным краям листа.

Таким образом, решение задачи сводится к исследованию обтекания поперечного сечения тела потоком несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности, равной va. или —v$. При этом потенциал полной скорости находится с точностью до произвольной функции g(xj) и, следовательно, равен Ф(хи уи 2Х)-f-ёГ(-^i)-Зависимость Ф от хх определяется только граничными условиями.

Суммарные поперечные силы, действующие на тело, определяются через потенциал возмущений <р на контуре донного сечения [4]. Для вертикальной силы У и боковой силы Z имеем

K = pi//

' Z — pvf

Здесь р — плотность воздуха; индексы „в“, „н“, „пр“ и „лев“ соответствуют верхней, нижней, правой и левой поверхностям тела; интегралы берутся по контуру донного сечения.

В системе осей хи уъ zx потенциал невозмущенного потока

Ф0 = vxx + шу j — .

Следовательно, потенциал возмущений

? = ф + g Oi) — ф0 = ф - + /

Здесь Ф — потенциал в пло,скости уи гх, найденный методом ЭГДА;

f(x1) = g(x1)-vxi.-

Подставив (4) в (2) и (3) и обозначив через 5 площадь донного сечения, получим

У — ръ / (Фв — Ф„) — (IV2 а5;

г = ^ / (Фпр — Флев) йух + р2 рз.

На интеграторах ЭГДА потенциал получается в долях напряжения, приложенного к шинам. Соответствующий безразмерный гидродинамический потенциал Ф = Ф!^т.Ь или Ф/—где Ь — расстояние между шинами, приведенное к натурному масштабу обтекаемого тела.

При наличии угла атаки получаем

У == аЬ /

^ г = 2 ?а/. /

Здесь Ф — относительный потенциал, измеренный на интеграторе; ^ = рг;2/2 — скоростной напор. В случае скольжения

Г=-2#£/(Фв —Ф^,;

г = — 2 / (Фпр — флев) Луг + 2

Знаки в полученных формулах соответствуют Ф = 0 на нижней шине в случае а и на левой шине в случае р.

Метод ЭГДА позволяет найти не только суммарные силы, действующие на тонкое тело, но и распределение погонной нагрузки по размаху крыла.

В пределах линейного приближения коэффициент давления

— 2 д<р ^ 2 ду

Р ~ V дх V С>£ ’

где 5 измеряется вдоль контура продольного сечения крыла (крыло может иметь крутку и кривизну).

Коэффициент нормальной силы для сечения крыла

*« = -И - л) ^ ~ ш 5 (ж - таг)й8’

о 0 4

где Ь — хорда крыла. У передней кромки крыла потенциал непрерывен, поэтому сп выражается через разность потенциалов на задней кромке (считаем, что задняя кромка острая):

=-ЙГ (? - ?н) = фн)=пг«(Фв-Фн)-

Для крыла в целом нормальная сила

N = / сп дЬйгх = 2 да Ц (Фв — Фн) йгх.

Таким образом, для определения сил, действующих на трехмерное тонкое тело, достаточно найти потенциал в плоскости донного сечения, дифференцировать потенциал не требуется. Благодаря этому достигается большая точность, чем при решении плоской задачи об обтекании профиля крыла. При исследовании пространственного обтекания тонких тел не нужно моделировать циркуляцию, так как в поперечных плоскостях она равна нулю.

3. У дозвукового летательного аппарата корпус бывает, как правило, тупоносым. При этом основная часть поперечной силы, действующей на корпус, возникает именно на носовой части, где

течение является существенно трехмерным и где, следовательно, потенциал не удовлетворяет уравнению (1). Дополнительные возмущения потока, резко нарушающие его двумерность, возникают в окрестности воздухозаборников.

Найдем поперечные силы, действующие на носовую часть удлиненного тела в потоке несжимаемой жидкости. Пусть носовая часть произвольной формы сопрягается с достаточно длинным

телом, близким к цилиндру с про/б /* извольным контуром поперечного

сечения. Ограничимся случаем, когда тело не имеет острых задних кромок, и, следовательно, во всем поле течения, вплоть до задней контрольной плоскости, нет свободных вихрей.

' Ss Sf Пусть ось х совпадает с осью

цилиндрической части тела; V — Фиг- 1 полная скорость невозмущенно-

го потока; и, v, w — составляющие скорости возмущения (по осям х, у, г); <р — потенциал возмущений. При наличии произвольного угла атаки а обозначим через Иоо И v„ проекции скорости V на оси х и у:

Uco—V cos а; ‘У0о= l/sin а.

Для определения вертикальной силы У рассмотрим объем жидкости, имеющий форму параллелепипеда, все грани которого достаточно удалены от носовой части обтекаемого тела (фиг. 1). Задняя грань параллелепипеда пересекает цилиндрическую часть тела.

Согласно второму закону Ньютона

dkv

~dt

где У о*—сумма сил, действующих на грани параллелепипеда и 54; У — сила, действующая на тело; к.у — составляющая количества движения; Ь — время.

Используя уравнение Бернулли, получим

сИг

У = Уоо----= — / т [(“со + И)2 + (V» + V)2 + но2} dS +

*” / Т ^Исо + н)2 ^ (VoB + v)2 + w*]dS — f Р (и°о + и) ('Уоо + v) dS +

S4 S?

+ f Р («00 + и) '{Voo -\-v)dS — j" р {Voo + vf dS + j* P {vx 4- vf dS —

Si st s3

— J pw

Используем еще уравнение неразрывности:

J («со + u)dS — j* («о, + u)dS-\- j* (Uco + v) dS —

S$ Si

— J

• , Sq S5

Здесь <3 — суммарный объемный расход жидкости, втекающей в воздухозаборники (расположенные на носовой части тела). При интегрировании по поверхности 52 площадь донного сечения тела 5 исключается.

Вычитая (8), умноженное на , из (7) и исключив одинаковые величины на противоположных гранях, получим

' Г (и и .4_ “2 + v? + w2\ jo /* / I и2 + и2 + Vtft\ J о = р J |Иоо И 4- ——| dS — Р | Им И н-----------------------------------------------------------------------^ I rfS —

' s, '

- Р J («оо 4- и) + р |* («оо 4- и) z/rfS — р J v2 dS 4- р J v2 dS —

$2 St ^>3

— Р j* wvdS + P J wvdS -f- р'Усо Q.

ss

Скорости и, г»,и» на гранях параллелепипеда малы по сравнению с «оо (за исключением v и w вблизи донного сечения тела). Пренебрегая малыми величинами второго порядка, получаем:

У = р«оо (J urfS — J udS — J vdS + j vdS^j -f- p'tfoo Q =

's. S3 5, 5,

= (Я -й - Я %dxdz - Я ^ +я ^ d-vdz) +

5, 53 5, Si

-Г P^oo Q = рМоэ // J dscfz 4- Q.

Пусть Zj и z2— граничные точки контура донного сечения, причем z2>z1. При z<z, и z>z2 контур интегрирования по s замкнутый и

так как течение безвихревое. При z,<z<z2 имеем

где <рв и =рн определяются на контуре донного сечения.

В результате получим

^ = Р«оо/(?в — tPH)^4-p1'ooQ.

Для боковой силы аналогично получим

Z, — рИоо I (фпр Тлев) dy.

Потенциал невозмущенного потока

0 = «оо X 4- VaaУ-Следовательно, потенциал возмущений <Р = Ф — UooX — Voo у,

где Ф — потенциал полной скорости. Переходя к потенциалу пол-ной_скорости (в плоскости S2) и затем к безразмерному потенциалу Ф = Ф/Voo L, получаем

У = р«оо / (Фв Фн) dz — р«оо foo 5 4~ р^оо Q ==

= 2 q sin a cos а [L /

Z = рита / (Фпр — Флев) dy = 2 q sin а cos аL f (Фпр — Флев) dy. (10) Здесь Ф определяется на интеграторе ЭГДА.

На фиг. 2 приведены результаты расчета распределения давления по методу [5] для удлиненных тел вращения. Носовая часть каждого тела — полуэллипсоид, сопряженный с цилиндром. На фиг. 2 н оказано распределение безразмерной нагрузки на поперечное сечение по длине тела (d — диаметр сечения, D — диаметр цилиндра,

W — удлинение носовой части). Эти результаты подтверждают принятое нами допущение о том, что основная часть поперечной силы действует на носовую часть удлиненного тела.

На фиг. 2 приведены также коэффициенты суммарной силы cy—Y/(qS) для передней половины тела. Формула (9) для таких тел дает

су = 2 sin a cos а,

что совпадает с приведенным на фиг. 2 выражением су для Хнос = 0,5.

Практический интерес пр-едставляют малые углы атаки, так как при больших а влияние вязкости существенно искажает теоретическую картину течения. При малых а и Q = 0 формулы (9) и (10) совпадают с формулами (5) и (6), полученными для тонкого тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фильчаков П. Ф., Панчишин В. И. Интеграторы ЭГДА. Моделиоование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Киев, Изд. АН УССР, 1961.

2. С у н ц о в Н. Н. Методы аналогий в аэрогидродинамике. М., Физматгиз, 1958.

3. Общая теория аэродинамики больших скоростей. Под ред. У. Р. Сирса. М., Воениздат, 1962.

4. Э ш л и X., Л эн дал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М., „Машиностроение”, 1969.

5. М а с л о в Л. А. Метод расчета обтекания тела вращения любой формы при произвольном движении в идеальной жидкости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2, 1970.

Су сеч d/\ Si/70LCffSXH

zH

*0,5;

Су = 2sinu. cescc

c= 1J9 sin о.-cosol

Рукопись поступила 10JX 1972 г.