Математическая модель системы преобразователь частоты - асинхронный двигатель с использованием переключающих функций

УДК 621.314.5

А. М. Шаряпов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ЧАСТОТЫ -АСИНХРОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕКЛЮЧАЮЩИХ ФУНКЦИЙ

Ключевые слова: электромеханотронная система, преобразователь частоты, переключающие функции, асинхронный двигатель.

Проведен анализ особенностей работы электромеханотронных систем с асинхронными двигателями. Рассмотрена схема замещения силовой части преобразователя частоты и асинхронного двигателя. Проведено теоретическое исследование данной системы с использованием переключающих функций. На примере трехфазного мостового преобразователя со 1800 законом управления силовыми вентилями, получены аналитические уравнения фазных и линейных напряжений. Рассмотрены уравнения движения трехфазного асинхронного двигателя и определены задачи дальнейшего исследования с использованием математического аппарата теории обобщенных функций.

Keywords: electromechanothrone system, frequency converter, switching functions, asynchronous motor.

The analysis of features of operation of electromechanothrone systems with asynchronous engines is carried out. Equivalent circuit of force part of the frequency converter and asynchronous motors are considered. Theoretical research of this system with use of switching functions is conducted. On the example of the three-phase bridge transformer with 1800 law of control of force valves, the analytical equations of phase and linear stresses are received. Motion equations of the three-phase asynchronous motors are considered and tasks of further research with use of mathematical apparatus of the theory of the generalized functions are defined.

Выбор элементов электромеханотронных систем с асинхронными двигателями (ЭМТС с АД) проводится как по действующим, так и по импульсным значениям. Соответственно, при проектировании необходимо определить не только интегральные характеристики, но и мгновенные значения токов и напряжений [1].

Проведенный анализ структурной схемы ЭМТС с АД [2, 3] показал, что данная система является нелинейной, вентильной цепью, работающей в режиме многократных переключений, и её весьма сложно исследовать аналитическими методами. Было предложено упростить данную систему путем замены реальной схемы на идеализированную электрическую цепь.

Установлено, что основным звеном, вносящим сложность в исследование данной системы, является звено преобразователь частоты - асинхронный двигатель (ПЧ-АД), представляющее собой сложную нелинейную цепь, процессы в которой носят импульсный характер. Было предложено провести дальнейшее исследование, выразив состояние ключей силовой части ПЧ-АД (рис. 1) через их переключающие функции (ПФ) И | + И VI.

В общем случае ПФ электрической цепи с периодическим изменением структуры для т -го интервала постоянства структуры (ИПС) схемы каждого периода можно записать при помощи единичных функций Хэвисайда в виде: то

Р{Ц = к ХЕ(пТ)[ - пТ} -10 - (п - 3)Т], (1) п=0

где Р(пТ) - значение непрерывной входной функции в дискретный момент времени, 1{1 - пТ} - единичная функция Хевисайта начала п -го интервала, 1{1 - (п - $)Т - единичная функция Хевисайта конца п -го интервала, 9 - безразмерный коэффициент, характеризующий длительность импульса, к - ко-

эффициент усиления импульса, T - период повторения импульса.

Рис. 1 - Схема замещения силовой части ПЧ-АД: u пит (1) - входное напряжение ПЧ-АД, И I + И VI - коммутаторы трехфазного мостового инвертора; Ро - активное сопротивление, учитывающее потери в силовых ключах преобразователя

На рис. 1 каждое плечо преобразователя, состоящее из параллельно включенных полупроводникового вентиля и обратного диода, заменено идеальным коммутирующим элементом (коммутатором). Коммутатор способен находится в двух устойчивых состояниях - включенном и отключенном, причем переход из одного состояния в другое происходит мгновенно и сопровождается принудительным изменением тока и напряжения его цепи. Основными параметрами коммутирующего элемента является его внутреннее активное сопротивление и переключающая функция. На рис. 1. коммутаторы трехфазного мостового инвертора представлены своими переключающими функциями И| + и величиной активного

внутреннего сопротивления Ро.

Рассмотрим получение ПФ для трехфазного мостового преобразователя, коммутаторы которого

работают при 1800 законе управления, в течение каждого периода имеют шесть ИПС равной дли-

1

тельности, т.е. m =6 и $ = ^ • В этом случае переключающие функции ИПС схемы на рис. 1 при помощи выражения (1) можно записать в виде:

hj{t}= - 1{t хп>),

n=0

где: ton=t-(n + Q(j- 1)T), tTn = t-(n + j£)T, j -номер коммутатора на рис. 1. Графически ПФ ИПС преобразователя h1 + h6 показаны на рис. 2.

Рис. 2 - Переключающие функции ИПС преобразователя частоты

Известно, что в приведенной схеме преобразователя при 1800 законе коммутации ПФ коммутаторов имеют вид:

h|{t} = h4{t} + h5{t} + h6{t} h||{t} = h1{t} + h2{t} + h3{t} h|||{t} = h1{t} + h2{t} + h3{t} h|v{t} = h3{t} + h4{t} + h5{t} , hv{t} = h2{t} + h3{t} + h4{t}

hv| {t} = h1 {t} + h5 {t} + h6 {t}

и графически представлены на рис. 3.

Исходное напряжение питания, приложенное к преобразователю, может быть записано в виде обобщенной функции: u^{t} = 1{t} ипит (t). Область определения функции u^{t} определяет единичная функция Хэвисайда 1{t}, а ее амплитуду и закон изменения в этой области - гладкая функция напряжения питания ипит (t).

Коммутаторы, в соответствии с их ПФ, переключают ток из одной ветви схемы в другую при этом ступенчатая кривая исходных фазных напряжений преобразователя как бы «вырезается» из непрерывной кривой напряжения питания. Переключающие функции линейного и фазного выходных напряжений для трехфазного мостового преобразо-

вателя со 1800 законом коммутации силовых вентилей можно определить аналитически, рассмотрев значение потенциалов точек А, В и С на схеме рис. 1 и использовав выражение (2) для ПФ коммутаторов 1"1| + .

Рис. 3 - Переключающие функции коммутаторов преобразователя частоты

Примем потенциал точки 1 на рис. 1 равным нулю, тогда потенциал точки 2 будет равен величине входного напряжения ипит {1}. Коммутаторы

И| + И VI, подключая точки А, В и С в соответствии с формулой (2) к точкам 1 и 2 на рис. 1 будут изменять их потенциал по следующему закону:

Ф а{1} =

Ф Ь{1} = (И1{1} + И2{1} + Ме{1}) ипит (1) .

Ф с{1} =

Соответственно напряжения для симметричной электрической машины будут иметь вид: линейные:

иаЬ{1}=Ф Ь{1} - Ф аШ=ИаЬШ ипит(1) иЬс{1}=Ф с{1}- Ф Ь{1}=Иьс{1} и пит (1) ; иса{1}=Ф а{1}- Ф сШ=ИсаШ ипит©

фазные:

1 ипит

иа{1} = з(иаЬ{1} - иса{1}) =

1 ипит

иь{1} = 3(иьс{1}-иаЬ{1}) = Иь{1^-п13^ .

1 ипит

ис{1} = з(иса{1} - иьс{1}) = М1}-Ш3и

На рис. 4 графически представлены фазные и линейные напряжения АД, в случае если напряжение питания ПЧ-АД изменяется по закону

ипит(1)=ио(1+0,5Б1п-^), где Ы1 - угловая частота первой гармоники фазного напряжения ПЧ-АД при отсутствии пульсаций на входе.

илинС), О.е.

t

T 2T 3T

-1

ифаз(1),о.е.

f*-1 n

JX -TU J L

-| г T -ur-1 2T \r 3T ir

U

б

Рис. 4 - Напряжение АД при наличии пульсации в напряжении питания: а) линейное, б) фазное

Предложенная методика позволяет представить вентильные цепи эквивалентными электрическими цепями без коммутаторов. Используя ее, можно выразить аналитически закон изменения фазных и линейных напряжений при большинстве известных законов управления силовыми вентилями. Определенную сложность представляет случай с ШИМ, который требует отдельного рассмотрения. Полученные выражения для фазных и линейных напряжений могут быть использованы для нахождения мгновенных значений фазных токов АД и других величин, описывающих процесс электромеханического преобразования энергии в ЭМТС с АД. Для этого необходимо решить уравнения движения трехфазных асинхронных двигателей:

+ Р1 LSbc I

X i.

RIbc +Pll LI

Ibc

Мэм =2

'Ibc

т

'abc

д II Lsbc

~8~

LIbc

д

LISx

—II r II

'Ibc

"Г

'abc

где Мэм - электромагнитный момент АД.

Субматрицы переменных токов и напряжений в данных выражениях имеют вид:

Ibc

'abc

uS

abc

uc

'S

abc

Субматрицы параметров симметричной машины:

Rs 0 0

Rsbc = 0 Rs 0

0 0 Rs

abc

0

Rr 0

0 0

Rr

-abc

= Lt

2л

4л

1 cos— cos—

2л

3

2л

cos— 1 cos——

3

4л

cos

-abc

= L,

cos

cos

2л 3

2n 3

cos

cos

cos

2П

3

4n

1

4n 3

2n

cos

cos

2n

i sr abc

l rs

abc

T

= L

sr

cos^ 2n

cos(^ -—) 4n

cos(^ -—) d

2n 4n

cos

3 3

2n

cosnф 2n

cos

cos

cosnф

где: p = — - дифференциальный оператор;

пф -

электрический угол поворота; _дг - взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора;

Ls = L^ +М и

r

Lr = LCT + М - индуктивность соот-

ветственно обмоток статора и ротора; _ст - индук-

г

тивность рассеяния фазной обмотки статора; _ст -приведенное значение индуктивности рассеяния обмотки ротора; М = 1,5 _дг - взаимная индуктивность обмоток статора и ротора; р - активное сопротивление обмотки ротора; Рд = Гд +Ро - расчетное активное сопротивление статорной обмотки; Гд - активное сопротивление обмотки статора; 1Ро - суммарное сопротивление силовых вентилей, подключенных последовательно с каждой фазной обмоткой статора, определяемое в зависимости от конкретной схемы преобразователя, ПФ его коммутаторов и схемы соединения фазных обмоток электрической машины.

u

u

r

u

u

r

а

r

r

1

3

1

r

3

1

3

3

X

X

u

T

T

X

X

чтобы определить вид обобщенных функций искомых токов асинхронного двигателя необходимо математически обосновать переход от записи уравнений движения АД в фазных координатах и в пространстве непрерывных функций к записи тех же уравнений в пространстве обобщенных функций.

2. С целью упрощения математической модели ЭМТС целесообразно использовать комплексное вращающееся преобразование уравнений движения АД к осям +, -, 0 статора и !,Ь ротора, что значительно упростит решение уравнений электрического равновесия двигателя.

3. При питании трехфазного мостового инвертора (рис. 1) от источника напряжения произвольной формы, основной особенностью является ступенчатая форма напряжения питания на обмотках двигателя. Поэтому при строгом математическом анализе необходимо сначала перейти в уравнениях движения АД к записи токов и напряжений через обобщенные функции, а затем уже преобразовывать их в уравнения с постоянными коэффициентами.

Субматрицы переменных токов и напряжений и субматрицы параметров машины записаны для симметричной машины, у которой параметры роторной цепи приведены к параметрам статорной цепи. Они являются типовыми для АД [4, 5, 6], отличие имеют только величины активных сопротивлений статора.

Уравнения движения асинхронной машины содержат периодически изменяющиеся коэффициенты, которые обусловлены вращением ротора. Данное уравнение представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами, непосредственный анализ которых представляет собой сложную математическую задачу. При постоянной скорости вращения ротора ф = = const, уравнения движения

можно привести к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эти уравнения могут быть выражены, как во временной области, так и в комплексной форме записи, что значительно облегчает их анализ и решение. Такие преобразования являются математически обоснованными для класса непрерывных функций (токов и напряжений фазных обмоток машины), поэтому сам ход преобразований обычно не рассматривается, а используются лишь исходные уравнения и конечные результаты [4, 5].

Наиболее эффективным линейным преобразованием при исследовании асинхронных машин является комплексное вращающееся преобразование к переменным +, -, 0 статора и f,b ротора [4, 7], которое не только позволяет избавиться от переменных коэффициентов, но и приводит матричное уравнение к трем независимым системам первого порядка с двумя неизвестными каждая. Несмотря на то, что комплексные переменные +, -, 0 статора и f,b ротора, выраженные в форме мгновенных величин, не имеют реального физического смысла, они обладают рядом аналитических достоинств, которые существенно облегчают анализ.

Выводы

1. Полученные выражения фазных и линейных напряжений на выходе преобразователя представляют собой сложные обобщенные функции, которые определены как произведение соответствующей переключающей функции на непрерывную функцию напряжения питания. Уравнения движения трехфазных асинхронных двигателей записаны через обмоточные переменные для мгновенных значений непрерывных функций тока и напряжения. Для того,

© А. М. Шаряпов - канд. техн. наук, доц., доц. кафедры электропривода и электротехники КНИТУ, electroprivod@list.ru.

Литература

1. В. Г. Макаров, Актуальные проблемы асинхронного электропривода и методы их решения, Вестник Казанского технологического университета, 14, 6, 79 - 93 (2011).

2. А. М. Шаряпов, Проблема рационального выбора параметров сглаживающего фильтра звена постоянного тока в системе преобразователь частоты - асинхронный двигатель, Вестник Казанского технологического университета, 16, 21, 269 - 271 (2013).

3. В. Г. Макаров, Анализ электромагнитных процессов в обобщенном статическом преобразователе электрической энергии, Вестник Казанского технологического университета, 14, 20, 160 - 165 (2011).

4. И.П. Копылов, Р.В. Фильц, Я.Я. Яворский Об уравнениях асинхронной машины в различных системах координат, Электромеханика, 3, 22-23, (1986).

5. В.В. Домбровский, В.М. Зайчик, Асинхронные машины: Теория, расчет, элементы проектирования. Энерго-атомиздат, Ленинград, 1990.-368 с.

6. В. Г. Макаров, Анализ современного состояния теории и практики асинхронного электропривода, Вестник Казанского технологического университета, 14, 6, 109 - 120 (2011).

7. Н.Ф. Миляшов, А. М. Шаряпов, И.Г. Цвенгер, В. Г. Макаров, И.Р. Хайруллин, Электромеханотронная система с высокоскоростным асинхронным двигателем, Известия вузов. Проблемы энергетики, 5 - 6, 78 - 87 (2007).

© A. M. Sharjapov - candidate of engineering sciences, docent, associate professor at the department of electric drive and electrotechnics Kazan National Research Technological University, electroprivod@list.ru.