Численный анализ ползучести конструкций при сложном нагружении

1. Колмогоров В.Л. Метод расчета НДС в общей краевой задаче развитого течения // Вестник ПГТУ. Механика. 1995. № 2. С. 87-98.

2. V.L.Kolmogorov, V.P.Fedotov, L.F.Spevak. A mathematical model for the formation and development of defects in metals // Studies in Applied Mechanics. №45. Advanced Methods in Materials Processing Defects. Elsevier, 1997. Pp. 51-60.

3. V.L.Kolmogorov, L.F.Spevak, A.V.Gorshkov. A method for calculating the stress-strain state in the general boundary value problem of metal forming - part 2 // Int. J. of Solids and Structures. 1999. №36. Pp. 1263-1275.

4. Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Решение динамических задач пластичности основанным на вариационной постановке методом разделения переменных // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, №7. С. 36-40.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 04-01-00274.

Поступила 26.12.2005 г.

УДК 539.376

Я. М. Клебанов, И. Е. Адеянов, Е. И. Ладягина

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОЛЗУЧЕСТИ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

Рассматривается процедура численного решения задач ползучести конструкций при сложном нагружении. Определяющие уравнения принимаются в виде, учитывающем начальную анизотропию реологических свойств и комбинированное деформационное упрочнение материала. Пошаговая процедура интегрирования уравнений краевой задачи опирается на модифицированный метод Эйлера. Она встраивается как пользовательская в CAE ANSYS. Приводятся примеры расчётов двух конструктивных элементов. Анализируются закономерности ползучести конструкций при сложном нагружении.

Введение. В последние пятнадцать лет происходит интенсивное развитие численных методов анализа напряжённо-деформированного состояния твёрдых тел в условиях ползучести. Накопленный в этой области опыт свидетельствует о том, что решение задач ползучести связано с большими трудностями, чем анализ упругопластического поведения, поскольку определяющие уравнения ползучести являются обычно более сложными. В особенности это относится к условиям непропорционального изменения внешних нагрузок, когда процесс деформирования существенно зависит от истории нагружения. Последнее значительно усложняет вид определяющих уравнений, применяемых для описания возникающих здесь эффектов. За последнее десятилетие такие зависимости рассматривались в работах [1-7].

Большинство существующих профессиональных коммерческих программных пакетов анализа напряжённо-деформированного состояния твёрдых тел позволяет пользователю встраивать в них новые определяющие уравнения. Поэтому весьма важной представляется возможность эффективной реализации разрабатываемой модели материала в составе таких пакетов -альтернативой является создание новой программы, что связано с большими финансовыми и временными затратами.

Единственным широко используемым методом решения краевых задач деформирования является метод конечного элемента (МКЭ) - он применяется в большинстве профессиональных программных средств. Приложение МКЭ к задачам ползучести осуществляется путём пошагового интегрирования уравнений краевой задачи. Оно затруднено высокой нелинейностью и “жёсткостью” получаемых зависимостей [8]. Стабильность и точность МКЭ в этом случае существенно зависит от выбора временного шага и метода интегрирования.

Метод, альтернативный шаговым процедурам, был предложен в работах [9-11]. Решение ищется путём построения итераций сразу на всём заданном временном интервале. Приращение искомых величин: напряжений, деформаций и др. представляется в виде сумм произведений функций времени и координат, последовательно уточняемых на каждой из итераций в процессе решения линеаризированных краевых задач. Полученные оценки показывают, что в случае ползучести при сложном нагружении этот подход уступает по эффективности существующим шаговым процедурам.

В данной работе рассматривается один из подходов к построению пошаговой численной процедуры решения задач ползучести с использованием определяющих зависимостей, предложенных в работе [5].

Определяющие уравнения. Принимается, что упрочнение материала при ползучести носит комбинированный характер. Определяющие зависимости записываются в виде

£И = + ptJ; ptJ = X Р(m; Yt= g (eq{}= dp

pj =am YK)ф Uk, skI - 1m [w pm + g +

4 ' d s s d s

ч eq 4

s = Л/Фs s,,, i, j,k,l = 1,2,3,

eq \ ijkl ij kl > > ???

где ei j, ei j, pi j - тензоры полной деформации, упругой деформации и деформации ползучести соответственно; si j - тензор напряжений; seq - эквивалентное напряжение; Y - неотрицатель-ная монотонно возрастающая функция от seq; Fijkl - тензор четвёртого ранга модулей начальной анизотропии свойств ползучести, отвечающий условиям симметрии Фijkl = Фklij = Фjikl ; у, т, am, 1m - константы материала; m = 1,...,N; t, t — физическое и приведённое время соответственно.

Эквивалентная деформация pI” вводится как строго выпуклая функция первого порядка

от компонент тензора p’”, такая, что при sij = const выполняется равенство

p{em} seq = p(m] stj , m = 1,2,

В [5] показано, что если с использованием уравнений (1) записать потенциал скоростей ползучести, то становится очевидным, что слагаемые в квадратных скобках представляют кинематическое, специальное анизотропное и изотропное упрочнения материала. Второе слагаемое связано с изменением формы потенциальной поверхности. Отношение смешанного инварианта sij p(m^ к seq является мерой специального анизотропного упрочнения. Эквивалентная

деформация является мерой изотропного упрочнения. Постоянные множители w gи (1-g—w) -весовые коэффициенты каждого из трёх видов упрочнения. Предполагается, что 0 £ w, g £ 1. При пропорциональном изменении компонент тензора напряжений введённые уравнения сводятся к нелинейным уравнениям вязкоупругости.

Для большинства металлических материалов экспериментально наблюдается независимость неупругих деформаций от гидростатического давления. Для неупруго несжимаемых и начально изотропных материалов вместо (1) получаем

N ' ' dt = g (s ). Л= d{} •

=1 pj; £ = j ); {}=

m = 1

pj = 3 «m Y

p'," 2 pj ' '; s, =j2 s’,'sj ; ~s<> ,,-3« ,jOk„.

Наряду с величинами p^ÿ ^ в качестве меры изотропного упрочнения используется неубывающий параметр pm , эволюция которого описывается зависимостью

= <4WWp ,m)p k") , если lm = 0 или lm * 0 и Pm < Р^

m I

0, если lm * 0 и pm > pim) ;

p I = 0, m = 1,2,..., N ;

где pim} = ^ eq ) s

lm

q / eq •

Введение модели ползучести при сложном нагружении в программный комплекс А^УБ. Один из способов введения модели ползучести в АЫ8У8 заключается в модификации

модулей иБЕЯСЯ.Р или шегсгеер^ , которые поставляются как часть программного комплекса. Первый из них используется в явной схеме интегрирования дифференциального уравнения ползучести, а второй - в неявной. Разработчики комплекса АК8У8 рекомендуют придерживаться неявной схемы, т.е. использовать процедуру шегсгеер^ , которая при прочих равных условиях дает более точный результат. Однако она не предусматривает решение по скоростям компонент деформаций в том виде, в каком это требуется в данной модели ползучести. Вследствие этого применение неявного метода не представляется возможным. Для введения предложенного закона ползучести был задействован модуль ЦБЕКСЯ.Р . В стандартном модуле пакета АК8У8 используется явный метод решения дифференциального уравнения методом Эйлера. Для снижения погрешности и увеличения шага интегрирования в качестве решения дифференциальных уравнений был использован модифицированный метод Эйлера. Для простоты изложения запишем зависимость для скорости компонент деформаций ползучести в (1) в сокращённом виде

В соответствии с принятым методом компоненты деформаций ползучести в момент времени 4+1 = 4 + А ґ рассчитываются по следующему алгоритму:

Использовался массив собственных (определяемых пользователем) констант ргорґЬ(1) — ргорґЬ(8), характеризующих механические свойства материала. Данный массив вводится в А^^У8 через команду ґЬдоіа,1. Такое описание свойств материала соответствует подключению модуля ^ЕЯСЯ.Р. Новый исполняемый файл ANSYS.EXE собирался посредством ANSCUST.BAT.

С целью проверки созданного модуля были сначала выполнены расчёты на ползучесть при сложном нагружении для конечно-элементных моделей пластины при плоском напряжённом состоянии и бруса при объёмном напряжённом состоянии. Граничные условия и нагрузки задавались таким образом, чтобы обеспечить однородное напряжённое состояние моделей. Данные расчётов для четырёх разных материалов сопоставлялись с результатами непосредственных расчётов по определяющим уравнениям, которые приводятся в публикациях [5, 12, 13].

Ползучесть конструкций при сложном нагружении. После тестирования были проведены расчёты на ползучесть для ряда конструктивных элементов при сложном нагружении.

На рис.1 показана четверть кольца с отверстиями. Процесс ползучести рассматривался при ступенчатом изменении внешних сил. Материал этого элемента обладает следующими свойствами: модуль упругости 1,2 • 105 МПа; коэффициент Пуассона 0,3; параметры уравнения (2): N = 3; аі = 5,2 10-3 ч-1; «2= 5,2 10-4ч-1; аз = 1,6510-5 ч-1; а4 = 8,5 10-7 ч-1; Аі = 20 ч-1; Я2 = 2 ч-1; Аз = 0,05 ч-1; А4 = 0; ю = 0,003; у = 0,46; ¥(ае )=ае /6772 МПа-1; g = (ае /677)2. На поверхностях уг и Х7 принимались условия симметрии. Нагрузки задавались вдоль верхнего ребра, как это пока зано на рис. 1. На этапе I от 0 до 0,5 часа усилия в сумме составляли 4,5 кН и были направлены вдоль оси у; на этапе II от 0,5 до 1 часа - 0,6 кН вдоль оси 7; на этапе III от 1 до 1,5 часов - 4,5 кН вдоль оси у; на этапе IV от 1,5 до 2 часов - 4,5 кН вдоль оси у и - 0,6 кН вдоль оси 7. Наиболее нагруженная зона конструкции отмечена буквой А, наибольшие перемещения имеют место в точке В. На рис. 2 показано изменение вертикального перемещения в этой точке при ступенчатом нагружении. Для сравнения графики вертикального перемещения в этой точке при стационарном нагружении показаны на рис. 3 при действии силы величиной 4,5 кН вдоль оси у, а на рис. 4 - под действием силы 4,5 кН вдоль оси у и силы - 0,6 кН вдоль оси 7.

Второй рассмотренный конструктивный элемент - полоса с выточками - показан на рис. 5. Свойства материала такие же, как и у предыдущего элемента, за исключением функции масштаба времени - здесь она принималась в виде g = (ае / 677)3.

Полоса находится в условиях плоского напряжённого состояния. Нагружение осуществлялось заданием комбинаций перемещений I, II, III или IV (рис.5). Результаты расчётов для сил реакций в узлах 1 и 36 при ступенчатом изменении нагрузки по программе !-Ш показаны на

р(т) (ґп +0,5Дґ )=р(т \іп )+0,5Дґ р М,

рис. 6 а и на рис. 6 б, по программе 1-11-Ш-1У - на рис. 6 в и рис. 6 д, по программе 1-1У-Ш-11 -на рис. 6 г и на рис. 6 е.

Р и с. 1. Четверть кольца с отверстиями

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Р и с. 2. Диаграмма вертикального перемещения в точке В

Р и с. 3. Диаграмма вертикального перемещения в точке В

1,4

Р и с. 4. Диаграмма вертикального перемещения в точке В

Р и с. 5. Конечно-элементная модель и граничные условия для полосы с выточками

1, ч

б

а

Р и с. 6. Зависимости реакций в узлах 1 и 36 от времени при различных видах нагружения

Стационарные кривые релаксации для комбинации III представлены на рис. 7 б и рис. 7 в, комбинации IV - на рис. 7 а и рис. 7 г.

в

г

д

е

а б

в г

Р и с. 7. Зависимости реакций в узлах 1 и 36 от времени при различных видах нагружения

Из рисунков видно, что процесс деформирования на предшествующих этапах существенно влияет на поведение конструкции после поворота вектора внешних нагрузок. На некоторых этапах нестационарного нагружения только асимптотические значения отдельных перемещений или сил реакций близки к соответствующим значениям при стационарном нагружении: этап 4, рис. 2 и рис. 6 г; этапы 2-4, рис. 6 в; этап 2, рис 6 д. В остальных случаях нет и такого соответствия. Особенно существенно влияние предварительного упрочнения в случаях, когда уровень нагрузок и, соответственно, напряжений в конструкции после изменения нагрузок остаётся примерно таким же или становится меньше. Только при существенном возрастании нагрузок - см., например, этапы 4, рис. 2 и рис. 6 г - влияние предшествующего упрочнения снимается. Такой эффект соответствует, в частности, экспериментально наблюдаемому поведению металлических материалов и конструкций из них [14]. Отметим также, что и при стационарных внешних воздействиях в процессе ползучести рассмотренных конструктивных элементов и, особенно, на его начальной стадии происходит заметный взаимный поворот векторов внешних сил и перемещений, как это можно видеть на рис. 7 а - рис. 7 г.

Вместе с тем, сравнивая результаты расчётов элементов конструкций и данные испытаний соответствующих материалов при сложном нагружении [5,12,13], можно отметить, что влияние предшествующих этапов ползучести в конструкциях на их поведение после резкого поворота внешних нагрузок оказывается меньшим, чем в материалах. Это связано с неоднородностью напряжённо-деформированного состояния в конструкции и тем, что при повороте вектора внешних нагрузок может происходить изменение расположения зон концентрации напряжений, оказывающих наибольшее влияние на поведение всей конструкции.

Отметим также, что при сложном нагружении зависимости, связывающие обобщённые силы и обобщённые перемещения в конструкции, или обобщённые модели, должны, в общем случае, отражать деформационное упрочнение, отличающееся по характеру от того, который заложен в определяющее уравнение для материала. В этом состоит отличие сложных нагружений от нагружений, близких к пропорциональным. В последнем случае построенные обобщённые модели конструкций в значительной степени аналогичны определяющим уравнениям для материала [15-18].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. KawaiM. A comparative study of anisotropic creep theories // Nuclear Engineering and Design, 1994. Vol. 152, No.1-3. P. 121-133

2. KawaiM. Creep hardening rule under multiaxial repeated stress changes // JSME International Journal. Series A, 1995. Vol. 38, No. 2. P 201-212.

3. Rubin M.B, Bodner S.R. An incremental elastic viscoplastic theory indicating a reduced modulus for nonproportional buckling // Int. J. Solids and Struct., 1995. Vol. 32, No. 20. P 2967-2987.

4. Yang X. J. Constitutive description of temperature-dependent non-proportional cyclic viscoelasticity // Trans. ASME, Ser.H, J. Eng. Mater. and Technol., 1997. Vol. 119, No. 1. P. 12-19.

5. Klebanov J.M. Constitutive equations of creep under changing multiaxial stresses // European Journal of Mechanics -A/Solids, 1999. Vol. 18, No 3. P. 433-442

6. Basuroychowdhury I.N.; Voyiadjis G.Z. A multiaxial cyclic plasticity model for non-proportional loading cases // International Journal of Plasticity, 1998. Vol. 14, No. 9. P. 855-870

7. Saleeb A.F.; Arnold S.M.; Castelli M.G.; Wilt T.E.; Graf W. A general hereditary multimechanism-based deformation model with application to the viscoelastoplastic response of titanium alloys // International Journal of Plasticity, 2001. Vol. 17, No. 10. P 1305-1350

8. Chen G.G., Hsu T.R. A mixed explicit-implicit (EI) algorithm for creep stress analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1988. Vol. 26. P. 511-524.

9. Ladeverze P. Nonlinear computational structural mechanics : new approaches and non-incremental methods of calculation. New York: Springer, 1999. 220 p.

10. Belleneger E., Bussy P. Phenomenological modeling and numerical simulation of different modes of creep damage evolution // International Journal of Solids and Structures, 2001. Vol. 38, No. 4, P. 577-604.

11. Allix O., Vidal P. A new multi-solution approach suitable for structural identification problems // Computer Methods in Applied. Mechanics and Engineering, 2002. Vol. 191, No. 25. P. 2727-2758.

12. Клебанов Я.М. Определяющие уравнения ползучести при сложном нагружении // Известия вузов. Машиностроение, 1987. № 3. С. 7-11.

13. Клебанов Я.М. Модель ползучести среды при сложном нагружении, учитывающем начальную анизотропию и вид напряженного состояния // Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1990. Вып. 46. С. 102-108.

14. Trampczynski W., Mroz Z. Anisotropic hardening model and its application to cyclic loading // International Journal of Plasticity, 1992. Vol. 8, P. 925-949.

15. Качанов Л.М. Некоторые вопросы ползучести. Москва: Физматгиз, 1960. 455 с.

16. Boyle J.T., Spence J. Stress analysis for creep. London: Butterworths, 1983. 283 p.

17. Самарин Ю.П., Клебанов Я.М. Обобщённые модели в теории ползучести конструкций Самара: СамГТУ, 1994. 196 с.

18. Samarin Yu.P. System analysis for creep in materials and structures. Atlanta: World Federation Publishers, 1996 .295 p.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 04-01-96506).

Поступила 19.12.2005 г.