О конгруэнц-когерентных алгебрах Риса и алгебрах с оператором

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 2

УДК 512.579 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-2-154-172

О КОНГРУЭНЦ^КОГЕРЕНТНЫХ АЛГЕБРАХ РИСА И АЛГЕБРАХ С ОПЕРАТОРОМ

А. Н. Лата

Аннотация

В работе описываются конгруэнц-когерентные алгебры Риса и алгебры с оператором. Концепция когерентности была предложена Д. Гейгером.

В разделе 3 найдены условия отсутствия свойства конгруэнц-когерентности для алгебр имеющих собственные подалгебры. Для алгебр Риса получено необходимое условие конгруэнц-когерентности. Для произвольной алгебры с оператором найдены достаточные условия конгруэнц-когерентности. Кроме того, полностью описаны конгруэнц-когерентные унары.

В разделе 4 рассматриваются модификации свойства конгруэнц-когерентности. Понятия слабой и локальной когерентности были предложены И. Хайда. Установлены достаточные условия слабой и локальной когерентности алгебр с оператором.

В разделе 5 рассматриваются алгебры {A, d, f), сигнатура которых состоит из тернарной операции d(x, у, z) и унарной операции f, являющейся эндоморфизмом относительно первой операции. Тернарная операция d(x, у, z) определена в соответствии с подходом, предложенным В. К. Карташовым. Для алгебр {A,d,f) получены необходимые и достаточные условия конгруэнц-когерентности. Для алгебр {A, d, f, 0) с нульарной операцией 0 для которой f (0) = 0, найдены необходимые и достаточные условия слабой и локальной когерентности.

Ключевые слова: решетка конгруэнций, конгруэнц-когерентность, слабая когерентность, локальная когерентность, алгебра Риса, конгруэнция Риса, алгебра с операторами, унар с мальцевской операцией, операция почти единогласия, слабая операция почти единогласия.

Библиография: 33 названия.

ON CONGRUENCE-COHERENT REES ALGEBRAS AND ALGEBRAS WITH AN OPERATOR

A. N. Lata (Moscow) Abstract

The paper contains a classification of congruence-coherent Rees algebras and algebras with an operator. The concept of coherence was introduced by D. Geiger. An algebra A is called coherent if each of its subalgebras containing a class of some congruence on A is a union of such classes.

In Section 3 conditions for the absence of congruence-coherence property for algebras having proper subalgebras are found. Necessary condition of congruence-coherence for Rees algebras are obtained. Sufficient condition of congruence-coherence for algebras with an operator are obtained. In this section we give a complete classification of congruence-coherent unars.

In Section 4 some modification of the congruence-coherent is considered. The concept of weak and locally coherence was introduced by I. Chajda. An algebra A with a nullary operation 0

on A is a union of classes of this congruence. An algebra A with a nullary ope ration 0 is called locally coherent if each of its subalgebras including a class of some congruence on A also includes a class the kernel of this congruence. Section 4 is devoted to proving sufficient conditions for algebras with an operator being weakly and locally coherent.

In Section 5 deals with algebras {A, d, f) with one ternary ope ration d(x, y, z) and one unary operation f acting as endomorphism with respect to the operation d(x, y, z). Ternary operation d(x, y, z) was defined according to the approach offered by V. K. Kartashov. Necessary and sufficient conditions of congruence-coherent for algebras {A, d, f) are obtained. Also, necessary and sufficient conditions of weakly and locally coherent for algebras {A, d, f, 0) with nullary operation 0 for which f (0) = 0 are obtained.

Keywords: congruence lattice, coherence, weakly coherence, locally coherence, Rees algebra, Rees congruence, algebra with operators, unar with Mal'tsev operation, near-unanimity operation, weak near-unanimity operation.

Bibliography: 33 titles.

Посвящается 80-летию профессора, Владимира Константиновича Карташова.

1. Введение

Универсальная алгебра А конгруэнц-когерентна, если любая подалгебра в А, содержащая класс произвольной конгруэнции в А, является объединением классов этой конгруэнции. Таковыми являются конгруэнц-простые алгебры и алгебры без собственных подалгебр. Кроме того, свойством конгруэнц-когерентности обладают группы, кольца.

В работе [1] показано, что конгруэнц-когерентное многообразие, задается мальцевскими условиям и является конгруэнц-регулярным. Однако, обратное неверно. В [2] показано, что многообразие, порождаемое квазипримальной алгеброй, является конгруэнц-когерентным. В [3] получено полное описание конгруэнц-когерентных алгебр де Моргана и р-алгебр. В [4] описаны конгруэнц-когерентные дистрибутивные двойные р-алгебры. В работе [5] доказано, что если декартов квадрат алгебры конгруэнц-когерентен, то сама алгебра конгруэнц-регулярна и потому конгруэнц-перестановочна. В [6] описаны конгруэнц-когерентные двойные де Морган-Стоуновы алгебры. В работе [7] получено полное описание конгруэнц-коге-рентных алгебр в классе симметричных расширенных алгебр де Моргана.

Подалгебра В алгебры А называется подалгеброй Риса, если объединение диагонали и квадрата В х В является конгруэнцией в А. Указанная конгруэнция называется конгруэнцией Риса. Алгебра А является алгеброй Риса, если любая ее подалгебра является подалгеброй Риса. Класс Риса состоит из алгебр Риса. Алгебры Риса охарактеризованы в работах [8, 9, 10], см. также [11, 12].

Алгеброй с операторами называется алгебра с выделенной системой унарных операций, действующих как эндоморфизмы для остальных основных операций. Указанные алгебры изучались в работах [13, 14, 15, 16, 17].

2. Необходимые определения

Подалгебра алгебры называется собственной, если она отлична от самой алгебры. Неодноэлементная алгебра называется конгруэнц-простой (простой), если она имеет в точности две конгруэнции (наибольшую V и наименьшую Д). Через ConA обозначается решетка конгруэн-ций алгебры А, через SubA обозначается решетка подалгебр алгебры А Класс конгруэнции в, порожденный элементом ж, будем обозначать через [х\в.

Другие определения и утверждения теории решеток можно найти в [18, 19].

Пусть {А, f) — произвольный унар. Далее для любых целых чисел h > 0 t ^ 0 через ^h = {alff(a) = fh+t(a)) обозначается унар с образующим а и определяющим соотношением {аЦг(а) = fh+t(a)). Унар С называется циклом длины п. Через Fi обозначается свободный однопорожденный унар. Цепью С^ называется унар, изоморфный унару {Z, f), где Z — множество целых чисел и f (п) = п + 1 для любого п Е Z. Элемент а унара называется циклическим, если подунар, порожденный этим элементом, является циклом.

Элемент а унара называется периодическим, если f г(а) = f t+n(a) для некоторых t ^ 0 и п ^ 1. Через Т(Л) обозначается множество периодических элементов унара Л. Если а — периодический элемент, то наименьшее из чисел i, для которых fl(a) = ft+n(a) при некоторых п ^ 1, называется глубиной эл,емента а и обозначается через t(a). Глубиной t(А) унара А называется наибольшая из глубин его периодических элементов, если Т(Л) = 0. Если множество {t(a) I а Е Т(Л)} не ограничено, глубина унара считается бесконечной.

Элемент а унара называется узловым,, если найдутся такие различные элементы b и с, отличные от а, что f (b) = а = f (с).

Объединение двух непересекающихся унаров В и С называется их суммой и обозначается через В + С. Унар {А, f) называется связным, если для любых х,у Е А выполняется условие fn(x) = fm(у) для некоторых n,m ^ 0. Максимальный по включению связный подунар унара А называется компонентой связности унара А.

Далее через ап, где п Е N обозначается Kerfn-, при этом полагаем а0 = А. В [21] на произвольном унаре {А, f) определяется бинарное от ношение а\ хау Бп > 0 (fn(x) = fn(y)), и показано, что это отношение является конгруэнцией любой алгебры {А, Q) с оператором f Е П. _ *

Конгруэнция а унар а {А, f) называется расширением кон груэнции а подунара В унара А, если условие хау для х,у Е А выполняется тогда и только тогда, когда хау в В, либо х = у.

Пусть ^ — узловой элемент унара {А, f). Через 6V обозначается бинарное отношение на унаре {А, f), определенное по правилу [20]: x9vу тогда и только тогда, когда х = у, или х,у Е f-1(v).

В [21] на связном унаре, имеющем одноэлементный подунар, определено бинарное отношение ßn по правилу: xßny тогда и только тогда, когда х = у или t(x),t(y) ^ п. По лемме 15 [21], при любом п ^ 0 отношение ßn является конгруэнцией унара с мальцевской операцией p(x,y,z), определенной по правилу (1).

3. Конгруэнц^когерентные алгебры

Пусть В — собственная подалгебра алгебры А. Обозначим через 9а\в конгруэнцию удовлетворяющую условию: существуют x,z Е В и у Е А \ В такие, что (х, у) Е 0д\в и [z\d^\B С В.

Из определения следует, что если алгебра А имеет конгруэнцию 9а\в Для некоторой подалгебры Л, то она не является конгруэнц-когерентной. Кроме того, если алгебра А не имеет конгруэнцию 9а\в Для любой подалгебры В, то она является конгруэнц-когерентной. Таким образом, алгебра А конгруэнц-когерентна тогда и только тогда, когда она не имеет конгруэн-ций дд_\в Для любой подалгебры В.

Необходимо отметить, что конгруэнция вд_\в определена неоднозначно.

Пример 1. Пусть {А, f) — ушр с узловым элементом v. Тогда, существуют различные элементы х,у Е А такие, что f(х) = v = f(у). Рассмотрим {B,f), где В = {z Е Alfk(z) = y,k ^ 0} и конгруэнцию:

1. a1 = Kerf. Имеем x,y Е [x\a1 и [v\a1 С В, где x Е Buy Е А \ В.

2. dv. Имеем х,у Е [x\0v и [v\dv С В, где х Е В и у Е А \ В.

Таким образом, если иодуиар (В, f) унара (А, f) расширяется до подалгебры {В, О) алгебры {А, О) и 0-и £ Соп(А, О), то имеем дополнительные примеры существования конгруэнции @а\В-

Пример 2. Пусть унар (А, f) содержит такой элемент а, что f (х) = а для любого х £ А и | А1 ^ 3. Рассмотрим различные двухэлементные подунары, (В, f) и (С, f), где В П С = {а}. При этом в качестве конгруэнции вд\в может быть конгруэнция Риса, Ос = С2 и △а-

Приведем условия отсутствия свойства конгруэнц-когерентности для алгебр имеющих собственные подалгебры.

Лемма 1. Пусть В\,В2 ^ собственные подалгебры А. При этом В\,В2 пересекаются и не совпадают. Если существует конгруэнция Риса по подалгебре В\ ил,и В2, т,о алгебра, А не является конгруэнц-когерентной.

Доказательство. Пусть существует конгруэнция Риса 0в1 = В\2 и △а- По определению конгруэнции 0в1, иодалгебра В2 содержит хотя бы один одноэлементный класс, но не является объединением классов конгруэнции 0вг- Таким образом, алгебра А не является конгруэнц-когерентной.

Лемма 2. Если алгебра, имеет более двух непересекающихся подалгебр и существует конгруэнция Риса по прямой сумме двух подалгебр отличная от единичной конгруэнции, то она не является конгруэнц-когерентной.

Доказательство. Возможны два случая.

Случай 1: В, С и И попарно непересекающиеся подалгебры алгебры А.

Пусть Ос— конгруэнция Риса алгебры А Прямая сумма В С — подалгебра алгебры А. Подалгебра В  С содержит класс [ЦОсфо = {Ь} для любого Ь £ В, но не содержит класс [с]0с= С  И для любого с £ С. Откуда, подалгебра В  С не является объединением классов конгруэнции Осфо- Таким образом, ал гебра А не является конгруэнц-когерентной.

Случай 2: В и а также С и И непересекающиеся подалгебры алгебры А, причем В с С.

По условию Овфо — конгруэнция Риса алгебры А Подалгебра С содержит класс ЩОс= {Ь} для любого Ь £ С \ но не содержит класс ЩОв^б = В  И для любого й £ И. Откуда, подалгебра С не является объединением классов конгруэнции ОвфИ- Таким образом, алгебра А не является конгруэнц-когерентной.

Из лемм 1 и 2 вытекает

Предложение 1. Если алгебра Риса А является конгруэнц-когерентной, то она удовлетворяет одном,у из условий:

1. Алгебра А не имеет собственных подалгебр;

2. А = В  С, где В и С без собственных подалгебр;

3. (ЯиМ, С) — цепь.

Следующее утверждение дает ответ на вопрос, при каких условиях многообразие является многообразием Риса.

Теорема 1 ([8]). Многообразие V является многообразием Риса тогда и только тогда, когда каждая, фундаментальная операция зависит не более, чем от одной переменной.

Лемма 3. Если унар (А, /) = С0 или (А, /) = + С0, где п,т £ N то (А, /) является конгруэнц-когерентным.

Доказательство. Случай когда (А, /) = С очевиден.

Пусть (А, /) = + С^, где п,т £ N и (В, /) — поунар унара (А, /). Если (В, /) собственный, то очевидно, либо (В, f) = С, либо (В, f) = С^. Пусть в — нетривиальная конгруэнция алгебры (А, /). Тогда возможны два случая:

Случаи 1: в является расширением некоторой конгруэнции подунара (В,/). Тогда утверждение очевидно.

Случаи 2: в не является расширением некоторой конгруэнции подунара (В, /). Тогда (А, /) разбивается на классы, причем, ни один класс полностью не принадлежит (В,/). Таким образом, (А, /) является конгруэнц-когерентным.

В случае если (В, /) несобственный, то утверждение очевидно.

Лемма 4. Если унар (А, f) = Р\ или (А, f) содержит, подунар изоморфный Р\, то (А, f) не является конгруэнц-когерентным,.

Доказательство. Случай 1: (А,/) =

Тогда по предложению 1 [22], любая конгруэнция в £ Соп(А,/) задается парой (/к(а), /где к,д £ Рассмотрим нетривиальную конгруэнцию в\ порожденную парой (а,/3(а)) и подунар В порожденный элементом f(а), Очевидно, подунар В содержит класс [/(а)]$1, но а £ В. Таким образом, подунар В не является объединением классов конгруэнции в\. Следовательно, унар (А,/) не является конгруэнц-когерентным. Случай, 2: (А, f) содержит подунар (В, f) = Р\.

Рассмотрим расширение нетривиальной конгруэнцию 0\ порожденной парой (а,/3(а)) на унаре (В,/). Дальнейшие рассуждения аналогичны случаю 1.

Замечание 1. Пусть (А, f) — неодноэлементный связный унар с одноэлементным по-дунаром, либо не имеющий узловых элементов, либо имеющий единственный узловой элемент, являющийся неподвижным. Пусть также а ^ неподвижный элемент унара, (А, f).

Тогда = ап и [а]ат = [а]ат-1 и и [у]ат-1 , прич,ем 1[у]ат-11 = 1.

\г(у)=т /

Доказательство. Из определения конгруэнций рп,ап, следствия 3 [21] и леммы 12 [21] вытекает [Зп = ап, где п > 0 (По определению Р0 = △ = сто).

Пусть 0 ^ п ^ ^А), 0 ^ т ^ Ь(А) и п < т. Тогда (Гп и ат — несовпадающие конгруэнции унара (А, /). Так как 0 ^ п ^ ^А), 0 ^ т ^ ^А), то найдутся такие элементы Ь,с £ А, для которых ¿(6) = п и ¿(с) = т, причем, Ь = с, поскольку п < т. Предположим, что [а]ап Э [а]ат. Так как ¿(с) = т, то /т(с) = а. Учитывая, что /т(а) = а, имеем /т(с) = /т(а), откуда с £ [а]ат. Тогда с £ [а]Следовательно, /п(с) = а, и значит, ¿(с) ^ п, что противоречит условию п < т. Окончательно, [а]ап = [а]ат (то есть [а]ап с [а]ат) для любых п < т. Так как Рт-1 = ат-1, то для элемента у £ А глубины ¿(у) = т имеем [у]ат-1 = {у}.

Пусть унарная операция / на А неинъективна, (А1, /) подунар унара (А, /) и /(х) = /(у) = = V для некоторых различных элементов х,у £ ^.Обозначим через М = {а £ (а) = V}. Для непустого собственного подмножества С множества М обозначим через

В1 = {Ь £ А1Цк(Ь) = а,к> 0,Уа £ С} и В2 = {Ь £ А1Цк(Ь) = а,к> 0,Уа £ М \ С}.

Обозначим через Б = А1 \ (С и В1 и В3), вде В3 С В2 (возможно В3 = 0). Таким образом, получили подунар ^^ = (И, /) унара (А, /). Причем, если унар (А, /) связен, то 1{х,у,ь}1 = 3 и глубина унара И-у больше 1.

Лемма 5. Пусть (А, О) — алгебра, с опера тором f £ О. Пусть также

1. операция $ на А неинъект,ивна;

2. (Л, /) ¥ С\, I е N и {го};

3. подунар Иу унара (А, f) расширяется до подалгебры алгебры (А, О); Тогда, алгебра, (А, О) не является конгруэнц-когерентной.

Доказательство. Пусть унар (А, /) удовлетворяет условиям леммы. Рассмотрим подунар Иъ и конгруэнцию где ^ и а\ как и выше. Если подунар связен, то существуют различные элементы а,Ь е А отличные от V такие, что f2 (а) = V или (и) /п(у) = Ь, где п > 0. По построению подунар содержит класс [а}<7\ (или/ и класс [Ь]о"1), но не является объединением классов конгруэнции а\. Таким образом, (А, О) не является конгруэнц-когерентной.

Очевидно, что если подунар ^несвязен, то ^ содержит некоторый класс конгруэнции С другой стороны, по построению не является объединением классов конгруэнции а\. Следовательно, (А, О) не является конгруэнц-когерентной.

Следствие 1. Пусть унарная операция на А неинпективна. Если унар (А,/) ¥ £ е N и {го}, т,о (А, f) не является конгруэнц-когерентным.

Предложение 2. Пусть (А, О) — произвольная алгебра с оператором f е О. Если (А,/) = С°п, ил и (А,/) = С°п + С^ ил и (А,/) = С\, где п,т е N и г е N и {го} то алгебра (А, О) является конгруэнц-когерентной

Доказательство. Случай когда (А, /) ¥ Сп очевиден.

Пусть (А, f) ¥ СЦ + С^ и В — подалгебра алгебры (А, О). Так как В замкнута относительно операции /, то (В,/) — подунар унара (А,/). Поскольку f — оператор (эндоморфизм), то Соп(А, О) С Соп(А, /). По лемме 3, подунар (В, /) является объединением классов любой неединичной конгруэнции алгебры (А, О). Таким образом, подалгебра В алгебры (А, О) является объединением классов любой неединичной конгруэнции алгебры (А, О). Следовательно, алгебра (А, О) является конгруэнц-когерентной.

Пусть теперь (А,/) = С\, Ь е N и {го}. Обозначим через а неподвижный элемент унара (А,/). Из предложения 1 [23] вытекает, что люб ая подалгебра В алгебр ы (А, О) является классом [а]а3, в е N и {го} и глубина подунара (В, f) равна з. По замечанию 1, для п < в имеем, В — объединение классов конгруэнции ап. Для и ат, где т > в, утверждение очевидно. Так как в этом случае В не содержит класса рассматриваемых конгруэнций.

Из предложения 2 и предложения 3 [21] вытекает

Следствие 2. Если унар (А,/) = С\, t е N и {го} то когерентным,.

Теорема 2. Унар (А, f) является конгруэнц-когерентным (А, f) — один из унаров следующего вида:

1. С0, п е N

2. Сп + Ст для некоторых п,т е N

3. С\, г е N и {го}.

Доказательство. Необходимость. Если операция / на А неинъективна и унар (А, /) ¥ С £ е N и {го}, то по следствию 1, унар (А,/) не является конгруэнц-когерентным. Откуда, имеем случай 3.

Если операция / на А инъективна, то по предложению 1 и лемме 4 имеем случаи 1 и 2.

Достаточность. Пусть унар (А, /) удовлетворяет условию 1 или условию 2, то по лемме 3 он конгруэнц-когерентен.

Пусть теперь унар (А, /) удовлетворяет условию 3, то по следствию 2, он конгруэнц-

(А, f) является конгруэнц-тогда и только тогда, когда

4. Модификации когруэнц^когерентности

Универсальная алгебра А, имеющая нульарную операцию 0, называется слабо когерентной [24], если для любой подалгебры В алгебры А и любой конгруэнции в алгебры А условие [0]0 С В влечет [х]в С В для любого х £ В.

Универсальная алгебра А, имеющая нульариую операцию 0, называется локально когерентной [25], если для любой подалгебры В алгебры А и любой конгруэнции в алгебры А из того, что [х]в С В для некоторого х £ В следует [0]0 С В.

Как показано в [24] алгебра конгруэнц-когерентна тогда и только тогда, когда она локально и слабо когерентна.

Чтобы алгебра (А, О), с нульарной операцией 0 была алгеброй с оператором f £ О, необходимо и достаточно, чтобы /(0) = 0. Нульарная операция 0 заданная на унаре (А, /) условием f (0) = 0 часто рассматривается в теории унаров. В этом случае алгебру (А, ¡, 0) называют унаром с нулем.

Пусть унарная операция / на А неинъективна, (А1, /) подунар унара (А, /) и /(х) = /(у) = = V для некоторых различных элементов х,у £ ^.Обозначим через М = {а £ А^/(а) = V}. Для непустого собственного подмножества С множества М обозначим через

В1 = {Ь £ А1Цк(Ь) = а,к> 0,Уа £ С} и В2 = {Ь £ А1Цк(Ь) = а,к> 0,Уа £ М \ С}.

Обозначим через Б = А1 \ (С и В1 и В3),где В3 С В2 (возможно В3 = 0). Подалгебру (Б, /, 0) унара с нулем (А, 0) обозначим через Ио, если V = 0 и И в противном случае. Причем, если (А, ¡, 0) связен, то 1{х, у, 0}| = 3 и глубина унара И0 больше 1. Как и лемма 5 доказываются следующие две леммы.

Лемма 6. Пусть (А, О) — алгебра с опера,тором f £ О и нульарной операцией 0 £ О. Пусть также

1. операция $ на А неинъективна;

2. (А,/, 0) = С{, £ £ N иМ;

3. подунар И унара (А, f) расширяется до подалгебры алгебры (А, О);

Тогда, алгебра, (А, О) не является слабо когерентной.

Лемма 7. Пусть (А, О) — алгебра с опера,тором f £ О и нульарной операцией 0 £ О. Пусть также

1. операция / на А неинъект,ивна;

2. (А,/, 0) = С[, £ £ N иМ;

3. подунар И0 унара, (А,/) расширяется до подалгебры алгебры (А, О);

Тогда, алгебра, (А, О) не является локально когерентной.

Лемма 8. Пусть (А, О) — алгебра с опера,тором f £ О и нульарной операцией 0 £ О. Пусть также

1. (А, ¡, 0) — связный унар с нулем 0;

2. существует узловой элемент V £ А отличный от 0;

3. существует единственный элемент а £ А глубины к > Ь(у) + 1;

4- Если глубина унара t(A) < ж, то t(v) = t(A) — 1;

5. подунар D унара {А, f) расширяется до подалгебры алгебры {А, Q);

Тогда, алгебра, {А, Q) не является локально когерентной.

Доказательство. Пусть унар {А, f) удовлетворяет условиям леммы. По условию существуют различные элементы х,у,а Е А такие, что f (х) = f (у) = v и t(a) ^ t(v) + 2. Рассмотрим подунар D такой, что а Е D, и конгруэнцию &t(x)- Е>ез ограничения общности, пусть f т(а) = х, где т > 0. По построению подунар D те содержит класс ^а^). По определению конгруэнции at(x), подунар D содержит класс [а^^). Таким образом, алгебра {А, Q) не является локально когерентной.

5. У нары с мальцевской операцией и близкие алгебры

Унаром с мальцевской, операцией [26] называется алгебра {А, d, f) с унарной операцией f и тернарной операцией d, на которой истинны тождества Мальцева d(x, у, у) = d(y, у,х) = х и тождество перестановочности f (d(x,y,z)) = d(f (x),f (y),f (z)).

Унары с мальцевской операцией образуют подкласс в классе алгебр с операторами.

В [26] показано, что на любом унаре {А, f) можно задать тернарную операцию р так, что алгебра {A,p,f) становится унаром с мальцевской операцией, а унарная операция — ее эндоморфизмом. Эта алгебра определятся следующим образом.

Пусть {А, f) — произвольный унар и х, у Е А. Для любого элемента х унар а {А, f) через f п(х) обозначается результат n-кратпого применения операции f к элементу х; при этом f 0(х) = ж. Положим Мх,у = {п Е N U {0} | fn(x) = fn(y)}, и k(x, у) = min Мх,у, если Мх,у =0 и к(х, у) = ж, если Мх>у = 0. Положим далее

Многообразие называется арифметическим, если оно конгруэнц-перестановочно и конгру-энц-дистрибутивно. Арифметичность многообразия эквивалентна существованию терма Пикс-ли от основных операций, то есть, тернарного терма d, для которого выполнены тождества Пиксли й(х, х, у) = й(у, х, х) = ^у, х,у) = у [27].

Из (1) следует, что класс К унаров с мальцевской операцией р(х,у,г) содержится в многообразии, заданном тождествами Пиксли. Отсюда, К является конгруэнц-перестановочным и конгруэнц-дистрибутивным.

С помощью конструкции предложенной В. К. Карташовым в [26], В. Л. Усольцевым в [28] на произвольном унаре была определена тернарная операция в(х,у,г), называемая симметрической, удовлетворяющая тождествам ,в(х,у,у) = ,в(у,у,х) = ,в(у,х,у) = х и также перестановочная с унарной.

если к(х, у) >к(у,г).

Алгебры (А, в, f) образуют еще один подкласс класса унаров с мальцевской операцией.

В [29] аналогичным образом на произвольном унаре были определены тернарная операция и>(х, у, г) и операция большинства т(х,у,г) перестановочные с унарной.

z, если к(х, у) <k(y,z); у, если к(х, у) = k(y,z);

z, если к(х, у) >k(y,z); у, если к(х, у) = k(y,z); х, если к(х, у) <k(y,z).

def fz, еслик

I х, если к(х, у) <k(y,z).

Заметим, что w(x,y,z) = s(x, s(x, у, z), z). Следовательно, (A,w,f) = (A,s,f). Отметим, что операция s(x, у, z) является слабой операцией почти единогласия (удовлетворяет тождествам WNU).

Алгебры (A, w, f) и (А, т, f) образуют подклассы в классе алгебр с операторами. fc-арная операция (называется fc-NU-операцией (операцией почти единогласия, near-unanimity operation), если выполнены тождества

(р(х,... ,х,у) = (р(х,... ,х,у,х) =    = ((у, х,... ,х) = х(к > 3).

В тернарном случае ( называют операцией большинства.

fc-арная операция ф называется fc-WNU-операцией (слабой операцией почти единогласия, weak near-unanimity operation), если выполнены тождества

ф(х, ...,х) = х, ф(х,... ,х,у) = ф(х,... ,х,у,х) =    = ф(у, х,...,х).

Теорема 3. Пусть (A,d,f) — алгебра с опера,тором f, где d(x\,x2,x3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4). Алгебра (A,d, f) является конгруэнц-когерентной тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1. операция f на А является инпективной;

2. унар (А, f) содержит такой элемент а, что f (х) = а для любого х £ А, где |А| ^ 3;

3. унар (А, f) изоморфен С\ для, некоторого £ £ N и

Доказательство. Необходимость. Пусть алгебра (А,д,/) не удовлетворяет условиям 1-3. Тогда по лемме 5, алгебра (А, д, /) не является конгруэнц-когерентной.

Достаточность. Пусть алгебра (А,д,/) удовлетворяет условию 1 или условию 2, то по теореме 2 [21], теореме 9 [30] и теореме 2 [29] соответствующие алгебры конгруэнц-просты. Следовательно, алгебра (А, д, /) конгруэнц-когерентна.

Пусть теперь алгебра (А, д, /) удовлетворяет условию 3, то по предложению 2 она

Лемма 9. Пусть (А,д,/) — алгебра, с опера тором $, где д(х\,х2,х3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4). Пусть также (А,/) — неодноэлементный связный унар с одноэлементным подунаром. Отношение /Зп при любом, п > 0 является конгруэнцией алгебры (А, й, f).

Доказательство. Для операции р(х,у,г) утверждение доказано в [21, лемма 15]. Воспользуемся рассуждениями данной работы и докажем утверждение для операций т(х,у,г) и 8(Х,У,Х).

Пусть п > 0. Очевидно, что — эквивалентность. Из того, что на связном унаре с одноэлементным подунаром для любого х £ А, кроме х = а, выполняется (х)) = Ь(х) — 1, получаем, что [Зп £ Соп(Д f).

Пусть Х\,У\,Х2,У2,%3,У3 £ А и Х\РПУ1, Х2^пУ2, %3@пУ3- В случаях, когда Х\ = У\, Х2 = У2, х3 = ^3 или ^ п, ¿(уг) ^ п, г = 1, 2, 3, стабильность [Зп относительно операции й(х,у,г) вытекает из определения отношения

Рассмотрим случай, когда ^ п, ^ п, г = 2, 3 и х\) > п ми Ь(у\) > п. Тогда, из определения отношения следует, что х\ = у\. По лемме 10 [21],

к(х\,х2) = шах{£(ж1 ),1(х2)} = ¿(ж1) > п

и к(х2,Хз) ^ п. Отсюда, учитывая (2) и (4), имеем

. | х\, если й(х,у, г) = з(х,у,г);

(1(Х1,Х2,Х3

\х3, если а(х, у, г) = т(х,у,г).

Аналогично получаем, что

(1(У1,У2,Уз) =

¡Уъ

если й(х, у, х) = з(х, у, г); если й(х, у, х) = т(х, у, г).

Откуда, й(хх, Х2, хз)РпЛ(у1 ,У2,Уз)-

Случай, когда 1(х1) ^ п, 1(у1) ^ п, г = 1, 2 и Ь(х3) > ми t(y3) > п аналогичен предыдущему.

Рассмотрим случай, когда 1(х1) ^ п, 1(у1) ^ п, г = 1, 3 и Ь(х2) > п ми Ь(у2) > п. Из определения отношения следует, что Х2 = У2- По лемме 10 [21],

к(х\, х2) = шах{£(ж1 ),1(х2)} = 1(х2) = тах{1(х2),1(х3)} = к(х2,х3).

Отсюда,

. | х2, если й(х,у, г) = ,в(х,у,г);

(1(ХЪХ2,Х3

\х3, если а(х, у, г) = т(х,у,г).

Аналогично,

если ¿

^У1,У2,У3)= ,

если а(х, у, г) = т(х, у, г).

Откуда, (1(Х1, Х2, Х3)РПЛ(У! ,У2,У3)-

Пусть теперь Ь(х3) ^ п, Ь(у3) ^ пи х\) > ми Ь(у\) > п, Ь(х2) > ми Ку2) > п. Тогда, по определению отношения имеем Х\ = у\, Х2 = У2- Предположим, что Ь(х\) > 1(х2). По лемме 10 [21], к(х\,х2) = 1(х\) и к(х2,х3) = 1(х2). Тогда

. | х\, если й(х, у, г) = ,в(х,у,г);

(1(Х1,Х2,Х3

\х3, если а(х, у, г) = т(х,у,г).

Аналогично,

<КУ1,У2,У3) =

¡Уъ

если й(х, у, г) = з(х, у, г); если й(х, у, г) = т(х, у, г).

Отсюда, (1(х\,х2,х3)РпЛ(у1,у2,у3)• Если ¿(ж1) < Ь(х2), то рассуждения аналогичны.

Пусть теперь ¿(ж1) = ¿(ж2). По лемме 10 [21], к(х\,х2) ^ 1(х\) = 1(х2) = к(х2,х3). Если к(х\,х2) < к(х2,х3), то

. | х3, если й(х, у, г) = ,в(х,у,г);

(1(Х1,Х2,Х3

\х\, если а(х, у, г) = т(х,у,г).

и, аналогично,

<КУ1,У2,У3) =

ÍУ3,

если й(х, у, г) = з(х, у, г); если й(х, у, г) = т(х, у, г).

Откуда, й(х\, х2, х3) РпЛ(у1,у2,у3) • Если же к(х\,х2) = к(х2,х3), то

ч I х2, если й(х, у, г) = в(х,у,г);

(1(ХЪХ2,Х3

1ж3, если а(х, у, г) = т(х,у,г).

и, аналогично,

<КУ1,У2,У3) =

если д(х, у, г) = з(х, у, г); если д(х, у, г) = т(х, у, г).

что вновь приводит к й(Х1,Х2,Х3)@пй(у\,У2,У3)-

Случай, когда 1(х\) ^ п,Ь(у\) ^ п и Ь(х2) > п ми Ь(у2) > п, Ь(х3) > п ми Ь(у3) > п аналогичен предыдущему.

Рассмотрим последний случай, когда Ь(х2) ^ п,1(у2) ^ п и Х\) > п или Ь(у\) > п, Ь(х3) > ши t(y3) > п. № определения отношения [Зп имеем х\ = у\, х3 = у3. По лемме 10 [21], к(х\, Х2) = ¿(^1) = ) = к(ух,у2)и к(х2,Х3) = г(х3) = г(у3) = к(у2,у3)- Если г(х\) < г(х3), то и ¿(^1) < 1(у3). Тогда

ч I х3, если й(х, у, г) = ,в(х,у,г); а(х\,х2,х3) = <

\х\, если й(х, у, г) = т(х,у,х).

и, аналогично,

<1(у\,У2 ,у3) =

ívз,

если д(х, у, г) = з(х, у, г); если д(х, у, г) = т(х, у, г).

Откуда, й(хх, Х2, Х3)РпЛ(у1 ,У2,У3)-

Если ¿(^1) = 1(х3), то и ¿(^1) = 1(у3). Тогда

ч I х2, если й(х, у, г) = ,в(х,у,г);

(1(ХЪХ2,Х3

\х3, если а(х,у, г) = т(х,у,г).

и, аналогично,

(1(У1,У2 ,у3) =

Отсюда, д(х\, Х2, Х3)^пй(у1 ,У2,У3)-Если ¿(^1) > 1(х3), то

\yз,

если д(х, у, г) = з(х, у, г); если д(х, у, г) = т(х, у, г).

,, ч \ х\, если й(х, у, г) = ,в(х,у,г);

(1(ХЪХ2,Х3

\х3, если а(х,у, г) = т(х,у,г).

и, аналогично,

<1(у\,У2 ,у3) = Откуда, й(Х1,Х2,Х3)Рпй(у1,У2,У3)-

¡Уъ

если д(х, у, г) = з(х, у, г); если д(х, у, г) = т(х, у, г).

Лемма 10. Пусть (А, (I, ¡, 0) ^ алгебр с опера,тором $, где (1(х\,х2,х3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4); и нульарной операцией 0, для которой f (0) = 0. Пусть также (А, f) — связный унар с узловым элементом V £ А, где V = 0. Если глубина унара Ь(А) < ж, то Ь(у) = Ь(А) — 1. Тогда алгебра (А,ё,/, 0) не является локально когерентной.

Доказательство. Пусть унар

Будем называть унаром специального вида неодноэлементный связный унар с одноэлементным подунаром, который либо не имеет узловых элементов, либо имеет единственный узловой элемент, являющийся неподвижным.

Лемма 11. Пусть (А,ё,/) — алгебра с опера,тором $, где й(х\,х2,х3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4). Следующие утверждения верны.

1. Пусть В С А и операция на В инпективна. Тогда к(а, Ь) = го для различных элементов а,Ь е В.

2. Пусть в е Соп(А, ё, /), 9 = у. Тогда, для, любых а,Ь е А, из условия авЪ следует, к(а, Ь) < го.

3. Пусть (А,/) — унар специального вида, в е Соп(А,й,/), (Ь,с) е 9,Ъ = си Ь(Ь) ^ t(c). Тогда для, любых х,у е А из Ь(х) ^ Ь(с) и Ь(у) ^ Ь(с) следует,, ч,то хву.

4- Если (А, f) — унар специального вида, то любая неединичная конгруэнция алгебры (А, (I, f) имеет в ид ап для некоторого п ^ 0.

5. Пусть унарный редукт (А, f) алгебры (А, (I, f) — неодноэлементный связный унар, имеющий одноэлементный подунар. Пусть также в е Соп(А, ё, /), (Ь,с) е 9, Ъ = си Ь(Ь) < Ь(с) для некоторых Ь,с е А. Тогда для любых х,у е А из Ь(х) < Ь(с) и Ь(у) < Ь(с) следует,, что хву и х, у е [с\в.

6. Пусть (А, f) — произвольный неодноэлементный связный унар с одноэлементным подунаром и с е А. Если элемент с и все элементы из А, имеющие глубину, меньшую Ь(с), лежат в некотором классе конгруэнции в е Соп(Л, (I, f), то все элементы глубины Ь(с) лежат в этом классе.

1. Если конгруэнция 9 удовлетворяет предыдущему условию, то в = [3^с).

8. Пусть унар (А, f) представляется в виде суммы подунаров В и С, где В — произвольная, компонент,а, связности, на которой операция $ не инъект,иена, а, С — подунар с инпективной операцией. Тогда, любая нетривиальная конгруэнция 9 алгебры (А, (I, f) является расширением некоторой конгруэнции ее подалгебры (В,ё,/).

Доказательство. 1) Следует из определения к(х,у).

2) Для операций р(х,у,г) и т(х,у,£) утверждение доказано в [31, лемма 2] и [32, лемма 5] соответственно. Воспользуемся рассуждениями этих работ и докажем утверждение для операции в(х,у,г).

Пусть к(а, Ь) = го. Предположим, что аОЬ. Так как д = у> т0 (Ь, с) / @ Для некоторого с е Л. Поскольку к(а, Ь) = го ^ к(Ъ, с), то из (2) имеем в(а, Ь,с) = а или в(а, Ь, с) = Ъ. С другой стороны, ,в(Ь, Ь, с) = с, что противоречит выбору пары (Ь, с).

3) Для операций р(х,у, г) и т(х,у,£) утверждение доказано в [21, лемма 11] и [32, лемма 4] соответственно. Воспользуемся рассуждениями этих работ и докажем утверждение для операции в(х,у,г).

Из условия Ь(Ь) ^ Ь(с), то следствию 2 [21], вытекает к(Ь,с) = Ь(с). Пусть х,у £ А, х = у и 1(х),1(у) ^ 1(с). По следствию 2 [21], к(х,Ь) = тах{1(Ь),1(х)}. Отсюда, по условию,

к(х,Ъ) < г(с) = к(Ъ,с).

Тогда, из (2) получаем, что в(х, Ь,с) = 6 или в(х, Ь, с) = с. В то же время, в(х, с, с) = х, откуда хвЬ. Аналогично, увЬ и, окончательно, хву.

4) Для операций р(х,у,г) и т(х,у,£) утверждение доказано в [21, лемма 12] и [32, следствие 1] соответственно. Воспользуемся рассуждениями этих работ и докажем утверждение для операции в(х,у,х).

Пусть в — неединичная конгруэнция алгебры (А,,в,/). Поскольку, Д = сто, то рассмотрим в = Д. Допустим, что глубины всех элементов унара, входящих в нетривиальные пары конгруэнции в, ограничены глубиной некоторого элемента с. Тогда (Ь, с) £ в для некоторого Ь £ А, где Ь(Ь) ^ Ь(с) и Ь = с. Поскольку для любых различных х,у £ А, таких, что (х, у) £ в, выполняются условия Ь(х) ^ Ь(с) и Ь(у) ^ ^с), то по следствию 3 [21] имеем, что (х,у) £ а^с)-Отсюда, в ^ &1(с)-

Допустим, что х = у и (х,у) £ ст^с)- Тогда, по следствию 3 [21 ], имеем Ь(х) ^ Ь(с) и Ку) ^ ¿(с). Отсюда, по утверждению пункта 3, имеем (х,у) £ в. Таким образом, &1(с) ^ 9 и

О =

Предположим теперь, что глубины элементов, принадлежащих нетривиальным парам конгруэнции в не ограничены в совокупности. Так как в = V; то (х, У) £ @ Для некоторых х,у £ А. По предположению, найдется такой элемент с, входящий в некоторую пару (Ь, с) £ в, что Ь(х) < Ь(с) и Ь(у) < ¿(с). В силу симметрииности в, можно считать, что Ь(Ь) ^ t(c). Тогда, по утверждению пункта 3 имеем хву, что противоречит выбору х,у.

5) Для операции р(х,у,г) утверждение доказано в [33, лемма 4]. Докажем утверждение для операций т(х,у, г) и в(х,у,г).

Пусть в £ Соп(А, /), (Ь,с) £ в, Ь = си 1(Ь) < £ (с) для некоторых Ь,с £ А. Из последнего, в силу леммы 10 [21], вытекает к(Ь,с) = Ь(с).

Пусть х,у £ А, х = у и 1(х) < 1(с), и 1(у) < ¿(с). По лемме 10 [21], к(х,с) = 1(с). Тогда, из (2) получаем, что в(х, с, Ь) = с. В то же время, в(х, с, с) = ж, откуда получаем хвс. Из (4) получаем, что т(Ь,с,х) = ж. В то же время, т(с,с,х) = с, откуда получаем хвс. Аналогично, увс и, окончательно, хву.

6) Для операции р(х, у, г) утверждение доказано в [33, следствие 1]. Докажем утверждение для операций т(х,у, г) и в(х,у,г).

Пусть а — неподвижный элемент унара (А,/). По условию, авс. Предположим, что для некоторого элемента ж £ А, где Ь(х)=Ь(с), утверждение леммы не выполнявтся, то есть ж £ [с\в. Поскольку 1(х)=t(c), то к(х,а) = к(а, с). Тогда го (2) получаем, что з(х,с,а) = с. В то же время, в(х, а, а) = х, откуда хвс, что противоречит предположению.

Аналогично из (4) получаем, что т(с, а, х) = ж. В то же время, т(с, с, х) = с, откуда хвс, что противоречит предположению.

7) Утверждение следует из утверждения пункта 6) и определения отношения

8) Для операций р(х,у, г) и т(х,у,£) утверждение доказано в [20, лемма 15] и [32, лемма 6] соответственно. Воспользуемся рассуждениями этих работ и докажем утверждение для операции в(х,у,г).

Достаточно показать, что любой элемент из С порождает одноэлементный класс конгруэнции в. Из утверждений пунктов 1 и 2 следует, что (х, у) £ в для любых несовпадающих х,у £ С. Пусть Ь £ В, с £ С. Так как элементы Ьш с лежат в разных компонентах связности, то к(а, Ь) = ж. Тогда, из утверждения пункта 2 имеем, (Ь, с) £ в.

Лемма 12. Пусть (А,ё,/, 0) ^ алгебр с опера тором где й(х\,х2 ,х3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4); и нульарной операцией 0, для которой f (0) = 0. Пусть также связный унар (А, f) содержит единственный узловой элемент, 0. Тогда, алгебра, (А, (I, ¡, 0) является слабо когерентной.

Доказательство. Возможны два случая. Случай, 1: Ь(А) = 1.

Алгебра (А,й,$, 0) является конгруэнц-простой, поскольку по теореме 2 [21], теореме 9 [30] и теореме 2 [29] соответствующие алгебры конгруэнц-просты. Следовательно, алгебра (А,р, /, 0) является слабо когерентной. Случай, 2: Ь(А) > 1.

По утверждению 4 леммы 11 имеем, что любая неединичная конгруэнция алгебры (А, й, /) имеет вид для некоторого п ^ 0. При этом любая подалгебра (В, й, /, 0) алгебры (А, й, /, 0) либо не содержит класс [0]ап, либо содержит класс [0]ап для некоторого п > 0.

Случаи когда подалгебра (В, й, ¡, 0) те содержит класс [0]ап, либо является классом [0]ап для некоторого п > 0, очевидны.

Рассмотрим случай когда подалгебра (В, (I, ¡, 0) строго содержит класс [0]ап. Тогда существует элемент Ь е В такой, что Ь е [0]ап. Следовательно, Ь(Ь) > п. Тогда по определению

конгруэнции ап имеем, что [Ь]ап = {Ь}. Откуда, В = [0]ап и У [Ь]ап .

\ьев,щ>п у

Для любого т < п подалгебра (В,ё,/, 0) содержит класс [0]ат. По замечанию 1 и рассмотренному выше имеем, что подалгебра (В, й, /, 0) содержит кл асс [0]ат и есть объединение классов конгруэнции ат. Таким образом, алгебра (А,й, /, 0) является слабо когерентной.

Теорема 4. Пусть (А,ё,/, 0) ^ алгебр с опера тором где й(х\,х2,х3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4); и нульарной операцией 0, для которой f (0) = 0. Алгебра (А, (I, ¡, 0) являет,ся слабо когерентной, т,огда, и только тогда, когда унар (А, f) является одним, из следующих:

1. произвольный унар с инъект,иеной операцией;

2. связный унар, который не содержит узловых элементов, за, исключением, может

0

3. сумма, унара из пункта 2 и произвольного унара, с инъект,иеной операцией.

Доказательство. Необходимость. Пусть алгебра (А, (I, ¡, 0) не удовлетворяет условиям 1-3. Тогда по лемме 6, алгебра (А, й, /, 0) не является слабо когерентной.

Достаточность. Пусть алгебра (А,ё,/, 0) удовлетворяет условию 1, то по теореме 2 [21], теореме 9 [30] и теореме 2 [29] соответствующие алгебры конгруэнц-просты. Следовательно, алгебра (А, /, 0) слабо когерентна.

Пусть теперь алгебра (А, (I, ¡, 0) удовлетворяет условию 2, тогда по лемме 12 алгебра слабо

когерентна. Пусть алгебра (А, й, /, 0) удовлетворяет условию 3, то по лемме 12 и утвержде-

Теорема 5. Пусть (А,ё,/, 0) ^ алгебр с опера тором где й(х\,х2,х3) — операция, определенная по одном,у из правил (1)-(4); и нульарной операцией 0, для которой f (0) = 0. Алгебра (А, (I, ¡, 0) является локально когерентной тогда и только тогда, когда унар (А, f) является одним, из следующих:

поэлементный унар;

2. унар, в котором для всех х G А выполняется f (х) = 0, где ^ ^ 3;

3. унар С\ ,t G N U {œ};

4- связный унар конечной глубины t(A), в котором существует единственный узловой элемент, а = 0, глубина которого равна t(A) — i, и других узловых элементов нет,.

Доказательство. Необходимость. Пусть алгебра {A, d, f, 0) не удовлетворяет условиям 1-4. Тогда по леммам 7 и 10, алгебра {A, d, f, 0) не является локально когерентной.

Достаточность. Пусть алгебра {A,d, f, 0) удовлетворяет условию 1. Пусть в — нетривиальная конгруэнция алгебры {A, d, f, 0) и a G А \ {0}. Так как элем енты а и 0 лежат в разных компонентах связности, то k(a,b) = <х. Тогда, по утверждению 2 леммы 11, (b,c) G Таким образом, [О\0 — одноэлементный класс конгруэнции в. Поскольку, любая подалгебра алгебры {A, d, f, 0) содержит элемент О то алгебра {A, d, f, 0) локально когерентна.

Пусть теперь алгебра {A,d,f, 0) удовлетворяет условию 2 или условию 3, то по теореме 2 [21], теореме 9 [30] и теореме 2 [29] соответствующие алгебры конгруэнц-просты. Следовательно, алгебра {A, d, f, 0) локально когерентна.

Пусть алгебра {A, d, f, 0) удовлетворяет условию 4. Пусть в — нетривиальная конгруэнция алгебры {A, d, f, 0) и {В, d, f, 0) — собственная подалгебра алгебры {A, d, f, 0). Предположим, что алгебра {A, d, f, 0) не локально когерентна. Тогда существует элемент х G А такой, что [х\в С В, но [О\0 С В. Значит существуют элементы a G А \ В m b G В такие, что a,b G [0\0. Без ограничения общности, пусть t

П

6. Заключение

Хочется выразить сердечную благодарность заведующему кафедрой алгебры, геометрии и математического анализа ФГБОУ ВО «ВГСПУ», талантливому педагогу и удивительному человеку В. К. Карташову за внимание, заботу, за мудрые советы и поддержку.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Geiger D. Coherent algebras // Notices Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 21. Л-136.

2. Taylor W. Uniformity of congruences // Algebra Universalis. 1974. Vol. 4. Pp. 342-360. doi:10.1007/BF02485747

3. Beazer R. Coherent De Morgan algebras // Algebra Universalis. 1987. Vol. 24, Issue 1. Pp. 128136. doi:10.1007/BF01188390

4. Adams M.E., Atallah M., and Beazer R. Congruence distributive double p-algebras // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1996. Vol. 39. issue 2. Pp. 71-80. doi: 10.1017/S0013091500022793

5. Duda J. А х A congruence coherent implies A congruence regular // Algebra Universalis. 1991. Vol. 28. Pp. 301-302 doi: 10.1007/BF01190858

6. Blvth T. S., Fang J. Congruence coherent double MS-algebras// Glasgow Math. J. 1999. Vol. 41. Issue 2. Pp. 289-295.

7. Blvth T. S., Fang J. Congruence Coherent Symmetric Extended de Morgan Algebras // Studia Lógica. 2007. Vol. 87. Pp. 51-63. doi:10.1007/sll225-007-9076-3

8. Chajda I., Duda J. Rees algebras and their varieties // Publ. Math. (Debrecen). 1985. Vol. 32. Pp. 17-22.

9. Chajda I. Rees ideal algebras // Math. Bohem. 1997. Vol. 122. No. 2. Pp. 125-130.

10. Seselja В., Tepavcevic A. On a characterization of Rees varieties // Tatra Mountains Math. Publ. 1995. Vol. 5. Pp. 61-69.

11. Duda J. Rees sublattices of a lattice // Publ. Math. 1988. Vol. 35. Pp. 77-82.

12. Varlet J.C. Nodal filters in semilattices // Comm. Math. Univ. Carolinae. 1973. Vol. 14. Pp. 263-277.

13. Johnsson B. A survey of Boolean algebras with operators // Algebras and Orders, NATO ASI Series. 1993. Vol. 389. Pp. 239-286.

14. Hvndman J., Nation J. В., Nishida J. Congruence Lattices of Semilattices with Operators // Studia Logica. 2016. Vol. 104. issue 2. Pp. 305-316. doi:10.1007/sll225-015-9641-0

15. Bonsangue M.M., Kurz A., Rewitzkv I. M. Coalgebraic representations of distributive lattices with operators //Topology and its Applications. 2007. Vol. 154. No. 4. Pp. 778-791.

16. Adaricheva K.V., Nation J.B. Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators: part I, part II // International Journal of Algebra and Computation. 2012. Vol. 22. Issue 07, part I: 27 p., part II: 16 p.

17. Nurakunov A.M. Equational theories as congruences of enriched monoids // Algebra Universalis. 2008. Vol. 58. No. 3. Pp. 357-372.

18. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.

19. Артамонов В. А. [и др.] Общая алгебра. Т.2. / под общей ред. Л.А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. 480 с.

20. Усольцев В. Л. О подпрямо неразложимых унарах с мальцевской операцией // Известия Волг. гос. пед. ун-та, сер. "Естественные и физико-математические науки". 2005. N 4(13). С. 17-24.

21. Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фунд. и прикл. ма-тем. 2008. Т. 14. Вып. 7. С. 189-207.

22. Егорова Д.П. Структура конгруэнций унарной алгебры // Упорядоченные множества и решетки: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1978. Вып. 5. С. 11-44.

23. Усольцев В. Л. О гамильтоновых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2014. Т. 15. Вып. 3. С. 100-113.

24. Chajda I. Weak coherence of congruences // Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41. no. 1. Pp. 149154.

25. Chajda I. Locally coherent algebras // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Math. 1999. Vol. 38. no. 1. Pp. 43-48.

26. Карташов В.К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения: Тез. сообщ. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Моск. гос. ун-та Л.А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. С. 31-32.

27. Pixlev A.F. Distributivitv and permutabilitv of congruence relations in equational classes of algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 14. No. 1. Pp. 105-109.

28. Усольцев В. Л. Свободные алгебры многообразия унаров с мальцевской операцией р, заданного тождеством р(х,у,х) = у // Чебышевский сб. 2011. Т. 12. Вып. 2. С. 127-134.

29. Усольцев В. Л. О строго простых тернарных алгебрах с операторами // Чебышевский сб. 2013. Т. 14. Вып. 4. С. 196-204.

30. Усольцев В. Л. О полиномиально полных и абелевых унарах с мальцевской операцией // Уч. зап. Орловского гос. ун-та. 2012. Т. 6(50). Ч. 2. С. 229-236.

31. Усольцев В. Л. О гамильтоновом замыкании на классе алгебр с одним оператором // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 4. С. 284-302.

32. Усольцев В. Л. Алгебры Риса и конгруэнц-алгебры Риса в одном классе алгебр с оператором и основной операцией почти единогласия // Чебышевский сб. 2016. Т. 17. Вып. 4. С. 157-166.

33. Лата А. Н. О коатомах и дополнениях в решетках конгруэнций унаров с мальцевской операцией // Чебышевский сб. 2015. Т. 16. Вып. 4. С. 212-226.

REFERENCES

1. Geiger, D. 1974, "Coherent algebras", Notices Amer. Math. Soc., vol. 21, A-136.

2. Taylor, W. 1974, "Uniformity of congruences", Algebra Universalis, vol. 4, no. 1, pp. 342-360. doi:10.1007/BF02485747

3. Beazer, R. 1987, "Coherent De Morgan algebras", Algebra Universalis, vol. 24, no. 1, pp. 128-136. doi:10.1007/BF01188390

4. Adams, M.E., Atallah, M. k, Beazer, R. 1996, "Congruence distributive double p-algebras", Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 39, no. 2, pp. 71-80. doi: 10.1017/S0013091500022793

5. Duda, J. 1991, "A x A congruence coherent implies A congruence regular", Algebra Universalis, vol. 28, no. 2, pp. 301-302. doi: 10.1007/BF01190858

6. Blvth, T.S., Fang, J. 1999, "Congruence coherent double MS-algebras", Glasgow Math. ,J., vol. 41, no. 2, pp. 289-295.

7. Blvth, T.S., Fang, J. 2007, "Congruence Coherent Symmetric Extended de Morgan Algebras", Studia Logica, vol. 87, no. 1, pp. 51-63. doi:10.1007/sll225-007-9076-3

8. Chajda, I., Duda, J. 1985, "Rees algebras and their varieties", Publ. Math. (Debrecen), vol. 32, pp. 17-22.

9. Chajda, I. 1997, "Rees ideal algebras", Math. Bohem., vol. 122, no. 2, pp. 125-130.

10. Seselja, В., Tepavcevic, A. 1995,"On a characterization of Rees varieties", Tatra Mountains Math. Publ, vol. 5, pp. 61-69.

11. Duda, J. 1988, "Rees sublattices of a lattice", Publ. Math. (Debrecen), vol. 35, pp. 77-82.

12. Varlet, J.C. 1973, "Nodal filters in semilattices", Comm. Math. Univ. Carolinae, vol. 14, no. 2, pp. 263-277.

13. Johnsson, B. 1993, "A survey of Boolean algebras with operators", Algebras and Orders, NATO ASI Series, vol. 389, pp. 239-286. doi: 10.1007/978-94-017-0697-1^6

14. Hvndman, J., Nation, J.B. k, Nishida, J. 2016,"Congruence Lattices of Semilattices with Operators", Stadia Logica, vol. 104, no. 2, pp. 305-316. doi:10.1007/sll225-015-9641-0

15. Bonsangue, M. M., Kurz, A. k, Rewitzkv, I. M. 2007, "Coalgebraic representations of distributive lattices with operators", Topology and its Applications, vol. 154, no. 4, pp. 778-791. doi: 10.1016/j.topol.2005.10.010

16. Adaricheva, K.V., Nation, J.B. 2012, "Lattices of quasi-equational theories as congruence lattices of semilattices with operators: part I, part II", International Journal of Algebra and Computation, vol. 22, issue 07, part I: 27 pp. doi: 10.1142/S0218196712500658; part II: 16 pp. doi: 10.1142/S021819671250066X

17. Nurakunov, A. M. 2008, "Equational theories as congruences of enriched monoids", Algebra Universalis, vol. 58, no. 3, pp. 357-372. doi: 10.1007/s00012-008-2080-2

18. Gratzer, G. 1978, "General Lattice Theory Akademie- Verlag, Berlin.

19. Artamonov, V. A., Salii, V. N., Skornvakov, L.A., Shevrin, L.N. k, Shul'geifer, E.G. 1991, "Obshchava algebra. Tom 2"[General algebra. Vol. 2], in Skornvakov, L.A.

20. Usol'tsev, V.L. 2005, "On subdirect irreducible unars with Mal'tsev operation", Izvestiya VGPU. Seriya estestvennye i fi,ziko-m,at,em,aticheskie nauki, Volgograd, no. 4

21. Usol'tsev, V.L. 2008, "Simple and pseudosimple algebras with operators", Fundamental'naya i prikladnaya matematika, vol. 14, no. 7, pp. 189-207 (Russian); translation in Journal of Mathematical Sciences, 2010, vol. 164, no. 2, pp. 281-293. doi: 10.1007/S1095800997306

22. Egorova, D.P. 1978, "The congruence lattice of unary algebra", Uporyadochennye Mnozhestva i Reshetki: Mezhvuzovskiy Nauchnyy Sbornik, Izdatel'stvo Saratovskogo universiteta, Saratov, issue 5, pp. 11-44.

23. Chajda, I. 1991, "Weak coherence of congruences", Czechoslovak Math. J., vol. 41, no. 1, pp. 149-154.

24. Chajda, I. 1999, "Locally coherent algebras", Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Math., vol. 38, no. 1, pp. 43-48.

25. Kartashov, V. K. 1999, "On unars with Mal'tsev operation", Universal'naya algebra i ee prilozheniya: Tezisy soobshcheniy uchastnikov mezhdunarodnogo seminara, posvyashchennogo pamyati prof. Mosk. gos. un-ta L.A. Skornyakova

26. Pixlev, A.F. 1963, "Distributivitv and permutabilitv of congruence relations in equational classes of algebras", Proc. Amer. Math. Soc., vol. 14, no. 1, pp. 105-109. doi: 10.1090/S0002-9939-1963-0146104-X

27. Usol'tsev, V.L. 2011, "Free algebras of variety of unars with Mal'tsev operation p, define by identity p

28. Usol'tsev, V. L. 2013, "On strictly simple ternary algebras with operators", Chebyshevskiy sbornik, vol. 14, issue 4, pp. 196-204.

29. Usol'tsev, V. L. 2012, "On polvnomiallv complete and abelian unars with Mal'tsev operation", Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta, Izdatel'stvo Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta, Orel, vol. 6

30. Usol'tsev, V. L. 2014, "On Hamiltonian ternary algebras with operators", Chebyshevskiy sbornik, vol. 15, issue 3, pp. 100-113.

31. Usol'tsev, V. L. 2015, "On hamiltonian closure on class of algebras with one operator", Chebyshevskiy sbornik, vol. 16, issue 4, pp. 284-302.

32. Usol'tsev, V. L. 2016, "Rees algebras and rees congruence algebras of one class of algebras with operator and basic near-unanimity operation", Chebyshevskiy sbornik, vol. 17, issue 4, pp. 157166.

33. Lata, A.N. 2015, "On coatoms and complements in congruence lattices of unars with Mal'tsev operation", Chebyshevskiy sbornik, vol. 16, issue 4, pp. 212-226.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Получено 26.05.2017

Получено 11.03.2017 г.

Принято в печать 14.06.2017 г.