Способы построения математической модели каскада реакторов

УДК 620.19

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КАСКАДА РЕАКТОРОВ

В.М. Володин, Н.В. Мокрова

Кафедра прикладной математики и информатики,

Московский государственный университет инженерной экологии

Представлена членом редколлегии профессором В. И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: аппроксимация характеристик подсистем; блочный принцип; групповой учет аргументов; параметры математической модели; процесс получения кобальта; частные полиномы.

Аннотация: Рассмотрены способы построения математической модели каскада реакторов стадии тонкой очистки кобальтовых растворов от железа и меди.

Решена задача математического моделирования по блочному принципу. Построены модели реакторов, состоящие из блоков химической кинетики, гидродинамики и материальных балансов. Методом последовательных приближений определены концентрации промежуточных неустойчивых соединений и константы скоростей реакций.

Реализован метод группового учета аргументов, согласно которому математическая модель представлена в виде полинома отрезка ряда Тейлора, экспериментальные данные разбиты на подмножества: обучающая, проверочная и контрольная последовательности. Сформированы частные полиномы, определены их коэффициенты по данным обучающей последовательности, процедура решения окончена выбором лучших частных полиномов.

Приведены достоинства и недостатки методов моделирования.

Современная система автоматического управления каскадом реакторов обеспечивает оптимальные режимы параметров процесса лишь при наличии адекватной математической модели, отражающей основные физико-химические закономерности данного процесса.

Стадия тонкой очистки кобальтовых растворов от железа и меди является частью сложного химико-технологического процесса, который протекает в каскаде из трех реакторов непрерывного действия.

На первом этапе использовалась математическая модель, построенная по блочному принципу. В этом случае общая модель каскада состоит из трех моделей реакторов, расположенных последовательно и связанных материальными потоками реагентов. Модель каждого реактора состоит из блоков химической кинетики, гидродинамики и материальных балансов. Уравнения химической кинетики имеют сложный механизм и описывают образование как устойчивых основных веществ, так и высокоактивных промежуточных соединений. Взаимосвязанные блоки уравнений, отражающие элементарные процессы в каждом аппарате, совпадают с точностью до коэффициентов.

Скорость процесса тонкой очистки кобальтовых растворов от железа и меди характеризуется вектором скоростей девятнадцати отдельных реакций. При моделировании возникла задача определения скоростей реакций и измерения концентраций всех веществ, участвующих в химических превращениях. Если это возможно сделать в отношении ионов металлов (при помощи спектрофотометра), -определить кислотность, найти справочные значения констант скоростей реакций, уточнить состав исходного и полученного растворов, то концентрации высокоактивных промежуточных соединений требуется определить расчетным путем или исключить их из уравнений.

Таким образом, параметрами идентификации при решении задачи определения параметров математической модели на основе заданного множества экспериментальных данных являются константы скоростей реакций и концентрации промежуточных соединений.

Эта задача решена в два этапа методом последовательных приближений. На первом этапе определены концентрации промежуточных неустойчивых соединений при известных концентрациях устойчивых и задании начальных приближений для констант скоростей реакций путем решения системы из пятнадцати нелинейных алгебраических уравнений с мультипликативными членами. Следующий этап включает расчет констант скоростей реакций при известных концентрациях неустойчивых соединений при помощи метода наименьших квадратов. Полученные при решении константы скоростей являются начальными условиями для следующего приближения.

где ск - концентрации устойчивых веществ к = 1, 2, ..., 13; с\ - концентрации

промежуточных соединений I = 1, 2, ..., 15; к - константы скоростей прямых и обратных реакций ] = 1, 2, ..., 33; р,- - скорости реакций , = 1, 2, ..., 19.

При решении (1) получены значения скоростей реакций, которые не могут быть определены по справочным данным.

Следующий шаг итерационной процедуры состоит в уточнении концентраций промежуточных неустойчивых соединений с рассчитанными константами скоростей. Процедура заканчивается в случае если на последнем и предыдущем шагах значения параметров идентификации не отличаются более чем на 5 %.

В данной задаче требуется определить условно оптимальные параметры модели для каждого компонента серии опытов и уточнить их для отдельного реактора каскада.

Задача расчета параметров математической модели, таким образом, имеет очень высокую размерность. Причем за основу приняты исходные данные ограниченной размерности. Получение большей выборки экспериментальных данных на объекте затруднительно, а математическая модель не учитывает возможности изменения составов исходных продуктов и изменения условий процесса.

Использование описанного подхода неэффективно при решении практических задач. Математическая модель процесса очистки разработана с применением методов аппроксимации характеристик многомерных объектов управления при малых выборках экспериментальных данных.

Подход основан на построении математической модели каскада реакторов непрерывного действия с использованием метода, описывающего поведение подсистем (в данном случае реакторов) в окрестности заданного состояния. Подобные модели применимы как для решения задач управления, так и для прогнозирования будущих состояний систем.

Как уже отмечалось, каскад реакторов непрерывного действия является частью сложной технологической схемы в процессе производства кобальта. Объект управления характеризуется большой размерностью и иерархической распределенной структурой, что предъявляет ряд требований при выборе метода идентификации характеристик совокупности подсистем. К особенностями подобных системы управления можно отнести: сложный вид зависимостей, описывающих процессы в реакторах, невозможность определения коэффициентов модели из-за сложного химизма реакций, сложность выбора самой структуры уравнений модели; малое число и разнородность экспериментальных данных, что объясняется чрезвычайной сложностью их получения; наличие высокого уровня помех.

Наряду с традиционным методом идентификации наименьших квадратов, который проигрывает в данном случае при большом количестве параметров поиска и невозможности определить структуру модели, реализован метод группового учета аргументов.

Каскад аппаратов последовательного действия можно рассматривать как многомерный объект управления с распределенными параметрами и сложной структурой связей между переменными внутри подсистем и внутренним источником случайных помех.

Для каждого аппарата вектор входных переменных с = {с^с2...ст } и вектор выходных переменных ск = {ск1,ск2...скк}. Математическую модель статики

процесса представим в виде полинома отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция

2

т т Sm

ск = /

у=1 у=1 у;а=1

где smn - число сочетаний из т по п при п = 2, 3, ..., т, а е Е^ - вектор коэффициентов, который необходимо найти в процессе решения задачи.

Требуется определить структуру и коэффициенты выбранного полинома, т.е. число переменных и количество членов в выражении (2). Для решения задачи выбрана мера близости значений ф(а), полученных из аппроксимирующего выражения и реальных экспериментальных данных, по которым оценивается качество экспериментальных данных

К , ,2 Ф

к=1

0 < Ук < 1 - значения весовых коэффициентов.

Структуру метода группового учета аргументов можно представить на рис. 1.

Он заключается в разбиении экспериментальных данных по некоторому правилу на два подмножества: обучающая М0 и проверочная Мп последовательности. На первом этапе работы алгоритма на основе множества экспериментальных данных формируются пары переменных, из которых образуются частные полиномы, как функции двух переменных. Коэффициенты последних определяются с использованием процедуры наименьших квадратов по данным обучающей последовательности. На следующей стадии реализации метода проводится отбор частных полиномов путем вычисления средней квадратичной ошибки. По окончании первого уровня процедуры определяют один наилучший вариант аппроксимации. Проверка условия окончания поиска основана на использовании данных из контрольной последовательности Мк.

Генерирование Определение Отбор лучших

частных полиномов коэффициентов полиномов

Рис. 1 Схема метода группового учета аргументов

Далее отобранные полиномы выступают в качестве аргументов для построения частных полиномов второго уровня.

На основе частного полинома, имеющего наименьшую ошибку на проверочной последовательности, осуществляют процедуру восстановления полного полинома путем последовательной подстановки полиномов низшего уровня в высший уровень.

Использование описанного метода для математического моделирования каскада реакторов дает целый ряд преимуществ. Устранена необходимость вычисления коэффициентов сложных зависимостей химической кинетики, проведения большого количества поэтапных расчетов для определения значений, которые невозможно проверить. Уравнения модели имеют вид всем известных полиномов, причем лучших полиномов со значимыми коэффициентами. Переменные, рассчитанные значения коэффициентов которых не значительны, отбрасываются в процессе построения модели на этапах отбора лучших частных полиномов, в то время как константы скоростей реакций в первом случае имели разный порядок, а исключить их из уравнений было не просто. Практические расчеты показали, что количество стадий аппроксимации в исследуемом примере не велико. Использование контрольной последовательности позволяет устранить явление неустойчивости модели при ее усложнении за счет увеличения числа переменных на каждом этапе работы алгоритма. Характер экспериментальных данных, а именно результаты четырех циклов осаждения при разных условиях проведения процесса, позволяет достаточно легко проводить разбиение исходных данных на подмножества.

Таким образом, использование метода группового учета аргументов дает целый ряд преимуществ при идентификации сложных систем. Применение этого метода общую задачу нахождения вектора коэффициентов аппроксимирующего выражения сводит к решению большего числа сравнительно простых задач опре-

деления коэффициентов частных полиномов, размерность которых значительно меньше размерности исходной задачи. Метод состоит в выборе иерархии частных моделей вместо одной сложной общей модели. Кроме того, в процессе решения осуществляется поиск структуры модели, обеспечивающей минимальную ошибку на проверочной последовательности, которая непосредственно не используется при определении коэффициентов частных полиномов.

Другим важным достоинством рассматриваемого метода является существенное снижение, по сравнению с другими методами числа необходимых для построения модели экспериментальных данных за счет многократного использования информации при различных комбинациях входных переменных задачи.

В заключении отметим, что идентификация математической модели каскада реакторов с использованием метода группового учета аргументов позволяет решить ряд важных задач:

- устранение необходимости вычисления большого количества величин, описывающих кинетику химических превращений;

- получение возможности учитывать результаты опытов, проведенных в разное время и с разными начальными условиями;

- исключение влияния случайной помехи на результаты моделирования.

Список литературы

1 Ахназарова, С.Л. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: учеб. пособие для хим.-технол. спец. вузов / С.Л. Ахназарова, В.В. Ка-фаров // 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1985. - 327 с.

2 Шварцер, М.Л. Идентификация математической модели процесса осаждения товарного гидроксида кобальта / М.Л. Шварцер, М.Р. Шапировский, Ю.М. Дубинский // Цветные металлы. - 1991. - № 10. - С. 74-76.

3 Мокрова, Н.В. Моделирование и оптимальное управление многостадийными процессами: автореф. дис. ... канд. тех. наук / Н.В. Мокрова. - 1995. - 16 с.

Ways of Constructing Mathematical Model of Reactors Cascade V.M. Volodin, N.V. Mokrova

Department of Applied Mathematics and Computing Moscow Sate University of Engineering Ecology

Key words and phrases: approximation of subsystems characteristics; block principle; group calculation of arguments; individual polynomials; parameters of mathematical model; process of cobalt production.

Abstract: Ways of constructing mathematical model of reactors cascade at the stage of fine cleaning of cobalt solutions from iron and copper are considered.

The task of mathematical modeling by block principle is solved. Reactors models consisting of blocks of chemical kinetics, hydrodynamics and material balances are constructed. Concentration of intermediate unstable compounds and constants of reactions velocity are determined by method of sequential approximation.

Method of group calculation of arguments according to which mathematical model is presented in the form of polynomial of segment of Taylor’s row is realized; experimental data are divided into subsets: training, testing and controlling sequences. Individual polynomials are formed; their coefficients are determined according to data

of training sequence; solution procedure is finished by the choice of the best individual polynomials.

The advantages and disadvantages of modeling methods are given.

Konstruktionsweisen des matematischen Modells der Kaskade der Reaktoren

Zusammenfassung: Es sind die Konstruktionsweisen des matematischen Modells der Kaskade der Reaktoren des Stadiums der feinen Reinigung der Kobaltlosungen vom Eisen und Kupfer untersucht.

Es ist die Aufgabe der matematischen Modellierung nach dem Blockprinzip entschieden. Es sind die Modelle der Reaktoren, die aus den Blocken der chemischen Kinetik bestehen, der Hydrodynamik und der materiellen Bilanzen gebaut. Durch die Methode der aufeinanderfolgenden Approximationen sind die Konzentrationen der zwischenlabilen Vereinigungen und die Konstanten der Reaktiongeschwindigkeiten bestimmt.

Es ist die Methode der Gruppeninventur der Argumente verwirklicht, laut der das matematische Modell als das Polynom des Abschnittes der Taylor-Reihe vorgestellt ist, die experimentalen Daten sind auf die Teilmengen gebrochen: Ausbild-, Pruf- und Kontrollreihenfolge. Es sind die einzelnen Polynome formiert, es sind ihre Koeffizienten nach den Daten der ausbildenden Reihenfolge bestimmt, die Prozedur des Beschlusses ist von der Auswahl der besten einzelnen Polynome beendet.

Es sind die Wurden und die Mangel der Methoden der Modellierung angefuhrt.

Moyens de la construction du modele mathematique de la cascade des reacteurs

Resume: Sont etudies les moyens de la construction du modele mathematique de la cascade des reacteurs du stade de l’epuration fine des solutions cobaltiques du fer et du cuivre.

Est resolu le probleme du modelage mathematique d’apres le principe de bloc. Sont construits les modeles des reacteurs qui se composent des blocs de la cinetique chimique, de l’hydrodynamique et des balances materielles. A l’aide de la methode des approximations successives sont definies les concentrations des composes intermediates instables et les constantes des vitesses des reactions.

Est realisee la methode du calcul des arguments selon laquelle le modele mathematique est presente en forme du polynome du trongon du rang de Taylor, les donnees experimentales sont divisees en sous-ensembles: approximations

d’apprentissage, de verification et de successivite. Sont formules les polynomes particuliers, sont definis leurs coefficients d’apres les donnees de l’approximation d’apprentissage, la procedure de la solution se termine par le choix des meilleurs polynomes particuliers.

Sont cites les avantages et les inconvenients du modelage.