Определение реакций взаимодействия деформируемой опоры с криволинейной направляющей при движении в ней упругого тела

УДК 623.412.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ОПОРЫ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ В НЕЙ УПРУГОГО ТЕЛА

А.А. Редькин

Рассматривается математическая модель определения реакций взаимодействия деформируемых опор кольцевого и штифтового типов с криволинейной направляющей при движении в ней упругого тела.

Ключевые слова: математическое моделирование, кольцевая опора, штифтовая опора, контактная деформация, реакции взаимодействия, упругая направляющая.

Решение уравнений колебательного движения упругой направляющей может быть реализовано только при наличии соотношений, устанавливающих связь между деформациями опор тела и приложенной к ним нагрузкой.

В разнообразных конструкциях (например, направляющие скольжения станочного оборудования, ведущие устройства бронебойных подка-либерных снарядов и т.п.) используются такие ведущие элементы, как кольцевая опора с пояском и опоры штифтового типа, расположенные на пилонах упругого тела. Определение реакций взаимодействия ведущих устройств снаряда с каналом ствола представляет собой сложную в теоретическом плане задачу, у которой существуют два варианта решения.

Первый предполагает расчет с использованием так называемой кривой нагружения опорных элементов, которая включает в себя упругий и пластический участки. Параметры кривой определяются на основе предварительных расчетов или экспериментально. Для кольцевой опоры подобный расчет весьма трудоемок и требует привлечения специальных программных продуктов, предназначенных для решения задач механики сплошной среды. Кроме того, как показали предварительные расчеты, подобный подход сложно применять при одновременном расчете упругих изгибных колебаний направляющей, поскольку величины реакций взаимодействия в точках сопряжения дискретных ее элементов получаются неправдоподобно большими и приводят иногда к неустойчивости вычислительной процедуры. Положительным моментом данного подхода является возможность учета несимметричных пластических деформаций деформируемых элементов опор.

Второй вариант предполагает определение реакций взаимодействия опорных элементов с направляющей при расчете перемещения по криволинейной направляющей твердого тела с заданными характеристиками массовой асимметрии. При этом кривизна направляющей определяется его начальной непрямолинейностью и упругими изгибными

колебаниями при движении твердого тела. Данный вариант является наиболее предпочтительным, т.к. не требует применения ресурсоемких конечно-разностных схем (например, метода конечных элементов для объемных тел) и в то же время позволяет с достаточной точностью оценить величину реакций взаимодействия.

С целью упрощения пояснений ограничимся рассмотрением движения в плоскости ХОУ. Расчет реакций для плоскости Х02 будет производиться аналогично.

Для данного поперечного сечения направляющей (рис. 1), в котором располагается плоскость, проходящая через опорный элемент тела, определяем величину зазора

Д = й + А а - В - ИШв - ИШн, где й - диаметр направляющей; Ай - износ направляющей в данном сечении; В - диаметр упругого тела по опорным площадкам пилонов; Ишв -высота штифта в верхней части опоры; Ншн - высота штифта в нижней части опоры.

Рис. 1. Поперечное сечение направляющей: 1 - направляющая; 2 - опорный элемент; 3 - упругое тело

Здесь в начальный момент времени Ишв = Ишн, а различие может возникать в процессе деформирования штифтов при движении по каналу направляющей.

Если А < 0, то зазор отсутствует и происходит симметричное обжатие опорных элементов (штифтов) на величину А /2, их новый диаметр

Ьшн = Ьшн — IД / 2 ; Ьшв = Ьшв — IД / 2 . Если А > 0 , определяются наличие и положение точки контакта. Для этого используются значения смещения центра сечения для направляющей У1 ст и центра сечения опоры тела У1 сп (рис. 2), определенные

при расчете упругих изгибных колебаний направляющей и упругого тела.

99

Если

y¡

cn

y¡

cm

£ D / 2, контактная деформация отсутствует и

усилие взаимодействия N0p = 0.

Если

ция Dy =

y¡

y¡

cn

cn

y¡

y¡

cm

cm

> D / 2 , рассчитывается контактная деформа-

-D/2.

Рис. 2. Элемент направляющей: 1 - направляющая; 2 - опорный элемент; 3 - упругое тело; а - ось ОХ; б - ось симметрии направляющей; в - ось симметрии упругого тела

Определяется усилие взаимодействия Ы0р из решения задачи о движении твердого тела по криволинейной направляющей.

Если

N

op

шв > 0 и уг сп > уг ст, где Nш усилие, соответствующее пластической деформации опорных штифтов, принимается Ыор = с соответствующим знаком и рассчитывается новый размер

штифта ЬЩ+в = hlMв - Dy.

Если

N

op

> N ш , h шв > 0 и y¡

cn < y¡

cm-

принимаем N0p = Nt

'ш

и рассчитывается новый размер штифта Н1шн = И1шн - Ау.

Усилие, соответствующее пластической деформации опорных штифтов, рассчитывается по формуле

N ш =s(e, u, T) F

ш

где o(e, u, T) - сопротивление деформации материала штифта, зависящее от степени деформации e , скорости деформации u и температуры T ; ¥ш - площадь поперечного сечения штифта.

Для учета влияния температуры и скорости деформации на сопротивление деформации материала штифта воспользуемся методом термомеханических коэффициентов, в соответствии с которым расчетное значение сопротивления деформации определится по формуле

° = ° о кТкг ки,

где о о - базисное значение сопротивления деформации; кт = кт (Т) , ке = ке (е), ки = ки (и) - температурный, степенной и скоростной коэффициенты.

Разобьем штифт по длине на дискретные элементы размером Дх и рассмотрим деформирование элемента Дх в процессе нагружения. Примем постоянной температуру по всей длине элемента Дх. При одноосном сжатии напряжение по длине штифта будет постоянным.

Рассмотрим случай, когда зависимость ке = ке (е) достаточно точно можно заменить некоторой функцией. В качестве такой функции можно использовать полином второй степени

2

ке = ае + Ье + с.

Таким образом, можно записать для каждого к-го дискретного элемента зависимость для определения сопротивления деформации при пластическом деформировании:

2

О! =Оокпки

а при упругом деформировании

О! = Ег е!,

где Е = Е (Т) - модуль упругости материала штифта.

Связь между деформациями дискретных элементов е и деформацией штифта е = Дш / ко можно выразить зависимостью

т

пе= Xег,

г=1

где Дш - абсолютная деформация штифта; ко - начальная длина штифта.

Непосредственно решить систему уравнений (1), (2), (3) и определить напряжение е не представляется возможным, т.к. заранее неизвестно, является ли деформация е упругой или пластической. Будем искать решение следующего уравнения на интервале о е [о, о*]:

т

Xег -пе = о, г=1

где деформация ег определяется по зависимости

1о1

а/ Е^ при о<о/у;

при а > О77 // £>7- > 0;

2а7-

1 лри о > а77 г/ > 0;

где 07 = о^ (Г) - предел текучести материала штифта.

Значение правой границы интервала а* определяется зависимостью

о* = а0кикт ПШ1.

Для определения функции о(г,г/,Г) необходимо знать распределение по длине штифта параметров а^Ь^с^Е^о^, которые, в свою очередь, являются функциями температуры. В этой связи необходимым является расчет распределения температуры по длине штифта.

Расчет температуры поверхности трения и температурного поля в штифте проведем с использованием численного решения дифференциального уравнения теплопроводности для одномерного теплового потока [1]. Известно, что температура на опорных поверхностях может достигать температуры плавления материала штифта. По этой причине в расчете необходимо учитывать оплавление штифта. Будем считать, что расплавленная часть материала штифта сразу же после образования переносится на абсолютно жесткое контртело (оплавление с абляцией). Это позволит рассматривать изменение температуры только в твердой фазе, принимая температуру в жидкой фазе равной температуре плавления. Оплавление начинается с момента времени ? = ?ш . Процесс теплопроводности в скользящем элементе описывается следующей системой уравнений:

г)Т г) г)Т с(Т)р(Т)- = -(Х(Т)—); *(/)<*<*;

дТ{и И) = 0, Г

Э*

лЭТ Э5 ох от

где с(Т) - удельная теплоемкость; р(Г) - плотность; X(Г) - коэффициент теплопроводности; 1т - время достижения температуры плавления поверхностью контакта штифта; г - удельная теплота плавления материала штифта; Ь - высота штифта; Тт1 - температура плавления материала штифта; 5 - координата границы раздела твердой и жидкой фаз; д - плотность теплового потока.

Уравнение (4) характеризует условие теплового баланса на границе раздела твердой и жидкой фаз в скользящем элементе. Значения г и р для жидкой фазы в уравнении (4) берутся соответствующими температуре плавления.

Плотность теплового потока в зоне контакта штифта с направляющей определяется зависимостью

тп

где V - скорость тела; ТУ- усилие на штифте в предыдущий момент времени; /(V) - коэффициент трения скольжения; атп - коэффициент распределения тепловых потоков в зоне контакта штифта с направляющей, может быть определен с помощью зависимости

ос/Ш7

где 2->а1 ~ коэффициенты теплопроводности и температуропро-

водности для материала штифта и направляющей соответственно; с1ш -диаметр штифта.

Коэффициент трения скольжения определяется соотношением

где /о - значение коэффициента трения при V = 0; а^р! - эмпирические коэффициенты, полученные с помощью аппроксимации экспериментальных данных [2].

Расчет усилия взаимодействия в горизонтальной плоскости аналогичен приведенному алгоритму.

Для кольцевой опоры расчет будет аналогичен приведенному выше. Необходимо заметить, что несимметричное пластическое деформирование опорных элементов как кольцевой опоры, так и опоры со штифтовыми элементами, требует пересчета положения оси массовой симметрии и определяемых ею параметров за счет коррекции значений смещений центров сечений опорных элементов упругого тела У\,У2-

Пусть пластическое деформирование опоры 1 по оси О 7 на шаге по времени составило 57^. Тогда новые значения координат оси массовой симметрии определятся следующей зависимостью:

„ 57! ,

У} ~ У г +-—(*1-*2)>

х1 -х2

где У1 - положение центра сечения опорного элемента на предыдущем шаге расчета по оси 07 ; х^х2 - положение по оси ОХ опор 1 и 2.

Аналогично производится пересчет для плоскости 0X2 и опоры 2.

103

В качестве примера расчета реакций взаимодействия криволинейной направляющей и деформируемых опор тела можно привести результат моделирования движения бронебойного подкалиберного снаряда в канале ствола (рис. 3).

F1

/ 1 ,1

I r 11

F2 J r

0,0 1,3 2,6 3,9 X, м

Рис. 3. Графики изменения реакций взаимодействия деформируемых опор с упругой направляющей: F, F2 - реакции 1 и 2 опоры соответственно

Таким образом, разработанный алгоритм позволяет производить решение уравнений поперечного колебательного движения упругой направляющей с учетом деформации опор тела.

Список литературы

1. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент: справочник / под общ. ред. А.В. Клименко, В.М. Зорина. М.: Изд-во МЭИ, 2001. 564 с.

2. Балакин В. А. Трение и износ при высоких скоростях скольжения М.: Машиностроение, 1980. 136 с.

Редькин Александр Александрович, асп., alexander9629@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

CALCULA TION THE REACTIONS OF INTERACTION OF DEFORMABLE BODY SUPPORTS WITH A CURVILINEAR GUIDE PATH DURING

ELASTIC BODY MOTION

A.A. Redkin

This article describes the mathematical model for calculating the interaction reactions deformable ring and pin type supports with curvilinear guide path during elastic body motion.

Key words: mathematical modeling, ring support, pin support, contact deformation, reactions of interaction, the elastic guide path.

Redkin Alexandr Alexandrovich, postgraduate, alexander9629@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University