Компрессия и усиление сверхкоротких импульсов при ВКР в плазме и сжатых газах: особенности и оптимальные условия процесса

КОМПРЕССИЯ И УСИЛЕНИЕ СВЕРХКОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ ПРИ ВКР В ПЛАЗМЕ И СЖАТЫХ ГАЗАХ: ОСОБЕННОСТИ И ОПТИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ПРОЦЕССА Е.В. Ермолаева Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор В.Г. Беспалов

В работе исследованы особенности процесса попутного и обратного ВКР для усиления и компрессии импульсов фемтосекундной длительности. Проанализированы основные закономерности процесса, выявлены негативные факторы, снижающие эффективность взаимодействия волн, определены оптимальные условия для получения наибольшей эффективности преобразования энергии.

Введение

Одной из наиболее актуальных тем исследований в области фемтосекундных импульсов в последние годы является получение сверхкоротких лазерных импульсов высокой мощности. Важность данной проблемы обусловливается возможностями применения таких импульсов в научных и технических приложениях, таких как рентгеновские лазеры, плазменные ускорители и т.д.

Нелинейная компрессия с использованием процессов вынужденного рассеяния (вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна, вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР)) является одним из наиболее популярных методов генерации сверхкоротких импульсов [1, 2].

В работе [3] мы исследовали возможности использования плазмы [4, 5] в качестве среды для генерации импульсов фемтосекундной длительности при обратном ВКР. Нами был проведен анализ влияния неоднородности плазмы на процесс генерации сто-ксового импульса, а также выявлены оптимальные условия процесса для достижения максимальной эффективности преобразования энергии в волну Стокса. В данной работе мы еще раз приведем основные результаты расчетов процесса обратного ВКР в плазме, имеющие непосредственное отношение к нашим текущим исследованиям.

Процесс попутного ВКР в приближении плоских волн в сжатых газах рассматривался нами в работе [6], в которой мы провели исследование влияния параметров среды и взаимодействующих волн на процесс перекачки энергии, а также определили оптимальные условия для достижения наибольшей эффективности преобразования энергии. В данной работе, учитывая результаты [6], мы провели численные расчеты для попутного ВКР с учетом дифракционных эффектов. Нами было исследовано влияние явления дифракции на процесс взаимодействия пучков различной начальной формы: гауссовой, супер-гауссовой и бессель-гауссовой. Результаты численного моделирования показали, что для получения импульсов наибольшей мощности в начальное распределение волны накачки необходимо ввести фазовую расстройку, позволяющую подавить энергообмен между волнами в хвостовой части стоксового пучка и получить на выходе среды одиночный импульс на стоксовой частоте.

Обратное ВКР в плазме

Система уравнений и начальные условия

Процесс обратного вынужденного комбинационного рассеяния для случая плоских волн хорошо описывается системой трехволнового взаимодействия в приближении медленно меняющихся амплитуд и фаз:

д. JL д

dz Vp dt

ep = 2

ig Гю ^

Vs J

-2iksz

esqe s

dz + V, dt

e, = 1-igepq*e 2A,z .

d 1 • ,

+ + Ыz _ z0) dt T2

i * 2ik.,z

q = ^e*epe s T2

Здесь ep = Ip , |es | = Is - плотности интенсивностей волн накачки и Стокса, q -

амплитуда фононной волны, g - коэффициент стационарного ВКР, T2 - время дефази-ровки молекулярных колебаний, Vp,s, ops и kp,s - групповые скорости, центральные частоты и волновые числа волн накачки и Стокса, ф - параметр нелинейности среды, z0 -точка распада.

Исследуя процесс обратного ВКР в плазме, мы рассматривали плоские пучки следующей формы:

ep (z = 0, t) = JipO exp(-2 ln2[(t _ tpo)/ тpo ]2), ep (z = L, t) = 0 ,

es (z = L, t) = ^ exp(-2 ln 2[(t -1,0)/ т, 0 ]2), e, (z = 0, t) = 0.

Здесь и далее Ip0, I,0 - начальные пиковые интенсивности взаимодействующих волн, 2xp0, 2ts0 - начальные длительности волн накачки и Стокса по уровню е"1.

Интенсивность фононной волны во всех точках среды в начальный момент времени полагалась равной нулю.

Численное моделирование

Первым шагом в решении системы (1) для случая обратного ВКР в отсутствии дифракционных членов является интегрирование уравнения для фононной волны [7]. Далее полученный интеграл можно подставить в первые два уравнения (1), после чего, проведя ряд математических упрощений, мы получим следующую систему из двух уравнений для дальнейшего решения:

^ + -1 ^ = ig Ю! e  .1 fep (z, х )e*( z, т )e )/T«( z) dx,

& Vp dt 2 ю, s T2J '

, g 1 f

s

^ +1 ^ = g ep • -1 f ep (z, т)es (z, т^)/T2(*)d Ят V Pit JpV /sV''

= — е--е

дz Уз дг 2 р Г20

где —1— = — + /ф (z - z0). Значение интеграла в правых частях уравнений на каждом Т2( z) Т2

шаге расчета по ъ мы рассчитывали по формуле трапеций.

Для получения решения на шаге zn+1 мы использовали итеративный подход. В первом приближении аппроксимация производных функций ер (z, г) и (z, г) проводилась через значения в узлах расчетной сетки, уже известные с предыдущих шагов. Далее мы уточняли решение, используя полученные приближенные значения в качестве начальных условий аппроксимации до тех пор, пока максимальная разность значений функций двух последних приближений не становилась меньше значения выбранной нами погрешности.

Одним из критериев проверки правильности полученных результатов численного моделирования является закон сохранения энергии в системе. В своей численной схеме мы добились погрешности сохранения энергии < 3 %.

Результаты численного моделирования

В качестве начальных условий процесса обратного ВКР мы рассматривали следующие значения параметров волн и среды, полученные в результате аналитических оценок [3]: длина волны лазерного импульса - 0.5 мкм, длительность лазерного импульса тр = 3-10 пс, длительность затравочного импульса на стоксовой частоте тя = 0.1-0.3 пс, длина среды с плазмой Ь = 0.1-0.5 см, частота плазменных колебаний а>рк = 0.10р.

Результаты численных расчетов показали, что неоднородность плотности плазмы снижает количество энергии, приходящееся на долю главного пика в усиленном сто-ксовом сигнале. При этом в данном явлении наблюдается следующая закономерность: до значения ф = 0.002 [см-1 фс-1] зависимость пикового коэффициента усиления

креак =—--100% (Жреак - энергия главного пика в стоксовом импульсе, Жр0 - нар №р0

чальная энергия волны накачки) от этого параметра очень слаба, тогда как с увеличением неоднородности плазмы фазовая расстройка достигает п и начинает играть существенную роль в процессе усиления, приводя к уменьшению значения пикового коэффициента усиления.

Также нами было замечено, что негативное влияние плазменной неоднородности на процесс энергообмена тем сильнее, чем меньше значения начальных интенсивностей взаимодействующих волн (рис. 1). Данное явление обусловлено явлением захвата фаз, возникающим в случае сильной перекачки энергии между волнами при обратном и попутном ВКР.

креак

-1р0= 2 ПВт/см2 ----1р0= 5 ПВт/см2 1р0= 10 ПВт/см2

--1ро= 3 ПВт/см2 -1ро= 7 ПВт/см2

Рис. 1. Зависимость пикового коэффициента усиления

В реальных системах редко удается получить импульсы идеальной формы. В работе [8] было показано, что наличие у волны Стокса предымпульса может существенно повлиять на процесс генерации и компрессии стоксового пучка. Проведенные нами численные расчеты подтвердили данный факт. Нами было замечено, что в случае, когда импульс Стокса сопровождается предымпульсом гауссовой формы, энергия, полученная им в результате взаимодействия с волной накачки, перераспределяется в несколько пичков различной интенсивности, а длительность волны на выходе среды увеличивается в несколько раз.

Тем не менее, негативное влияние предымпульса на процесс компрессии при обратном ВКР может быть компенсировано неоднородностью плотности плазмы, благодаря которой возможно подавление взаимодействия волн в нежелательных областях среды. Из рис. 2 можно заметить, что при интенсивном энергообмене между волнами (Тр0 > 5 ПВт/см2) наблюдается наличие оптимума по шкале неоднородности, где эффективность преобразования энергии достигает своего пика. Значение данного оптимума зависит от начальной интенсивности волны накачки. С увеличением значения 1р0 точка данного оптимума сдвигается в сторону усиления неоднородности. Таким образом, мы показали, что неоднородность плазмы может иметь как негативные последствия - внесение фазовой расстройки снижает эффективность энергообмена, так и позитивные -подавление субимульсов в импульсе Стокса приводит к выделению одиночного пика малой длительности и большой интенсивности.

П

12,00

10,00

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 — 1ро= 2 ПВт/см2 ----1р0= 5 ПВт/см2 1р0= 10 ПВт/см2

--1ро= 3 ПВт/см2

1ро= 7 ПВт/см2

Рис. 2. Зависимость эффективности преобразования (п) от неоднородности среды (Ф,(смфс)-1) при различных начальных значениях интенсивности волны накачки (Р) в

присутствии предымпульса

Попутное ВКР

Система уравнений и начальные условия

В численных расчетах для случая попутного вынужденного комбинационного рассеяния мы также использовали систему (1), введя в нее дополнительный член л д2 1 д „ ,

Л± = —- +---, учитывающий дифракцию взаимодействующих волн, а также исклю-

дг г дг

чив из уравнения фононной волны плазменную неоднородность:

д 1 д

— +--+-Л,

дг Ур дг 2кр х

"д 1 д г '

— +--+-Л ,

дг Vs дг 2ks х

ер = гЕ

ез = гё-

еРЧ

м 2

д1 — + —

дг Т2

д = г

е е

яр

где кр,ц - волновые числа волн накачки и Стокса.

*

2

Первоначально процесс попутного ВКР исследовался нами для пучков гауссовой и супер-гауссовой формы с осевой симметрией:

ер(г = 0,t,г) = ^^оГ) 'ехр(-[г/и]"),

е(г = 0t,г) = • ехр(-[г/о]) .

Здесь юр0, ю^0 - радиусы перетяжки пучков накачки и Стокса, п - степень, определяющая порядок гауссовой формы: для гауссовых пучков п = 2, для супер-гауссовых п = 4, 6.

В последующих расчетах, желая снизить влияние дифракционных эффектов на компрессию сверхкоротких пучков, мы взяли в качестве начальных условий Бессель-гауссовы пучки:

ер

^

где (вг) - функция Бесселя п-ого порядка, п = 0, 1; в - параметр бесселева пучка.

Численное моделирование

Для решения системы (1) мы осуществили переход в бегущие координаты г' = г - &, 7' = 7, что позволило убрать из левой части уравнений для волн накачки и Стокса производную по времени. Для учета дисперсии групповых скоростей волн накачки и Стокса мы сдвигали волну Стокса во времени на необходимое количество шагов для каждого пройденного сантиметра среды.

Первые два уравнения системы (1) удобно решить путем применения метода расщепления по координатам [9]: каждое уравнение представляется в виде суммы двух д/

операторов — = Ь1 / + Ь2/, где Ь1 - оператор дифракции, а Ь2 - оператор нелинейного

дг

взаимодействия. Общее решение уравнения /+ на шаге п+1 можно найти, выполнив следующую последовательность действий:

1. используя в качестве начальных условий решение / шага п, найти решение / дифракционного уравнения

/ * = АСТ);

2. подставить решение / в уравнение нелинейного взаимодействия и получить решение на шаге п+1:

/п+1 = 4(/').

Уравнение дифракции решалось нами с использованием метода конечных элементов, описанного в работе [9]. В нашем случае применение данного метода сводится к решению трехдиагональной системы уравнений, которая может быть решена методом прогонки:

А?п+1 = Б?п,

Дг Дг 1

где А' = А - /а~2~Б , Б' = А - ,а—Б, а(г) = —, к - волновой вектор соответствующей

волны.

Элементы матриц А и В для цилиндрической системы координат с центром пучка г0 = 0 могут быть записаны следующим образом:

= (Дг)2 А = Дг • г1 11 12 12

1 2

А,-ц = 4-1 = — Дг(гг-1 + г,^ А„ = з Дг • г,,

А - .1Л ( ) А --(Аг )2

ANN-1 - 12 АГ -1 + ^ ) , ANN - 12

+ — Лг • rL

Л - Г1 Р _ Г1

л,, --, B12 ---

11 2Аг 2Аг

Вг-1 - Вн-1 - -

Г-1 + Г

2Лг

В„ -

2^ Лг

В

NN-1

-1 + rN

2Лг

В - ^-1 + ^

2Аг

где N - количество шагов по координате г.

Для нахождения решения уравнения нелинейного взаимодействия, как и для решения уравнения фононной волны, мы использовали метод Рунге-Кутты второго порядка точности.

Проверка правильности численных расчетов Сравнение результатов с аналитическим решением. Для проверки правильности решения дифракционного уравнения мы провели сравнение полученных результатов с аналитическим решением [10]:

(л Л"

/ ч 0

е(г, г) - е0 ——ехр

ш

¡П(г) - г'

1

¡к

V

ш2

2 г \ 2

где ш (г) - ш0

.2 Л

1 +

, в(г) - г

0 у

2

(1+^.

П( г) - аг^

( г Л

пш0

V г0 У

г0

X

Анализ пока-

зал, что численная схема, используемая нами для решения уравнения дифракции, обладает хорошей точностью и малой погрешностью на рассматриваемой нами длине среды (Ь = 1 м).

Проверка выполнения закона сохранения энергии. Для расчета плотности энергии пучка нам необходимо вычислить следующий интеграл:

Ж(г0 ) - 11(х, у, г, г - г0 }дхдудХ - | [[ I(х, У, г, г - г0 ,

который может быть представлен в виде суммы Ж(г0) -2 А,

п

где Аг - шаг по времени, а Оп - объем фигуры, изображенной на рис. 3, вычислить который можно по формуле:

Оп - 3 пЛг[/('0, гп)(2'0 + Г1) +1('1, гп )('0 + 2'1)].

Здесь Аг - шаг по координате г; г0, г1 = г0 + Аг - координаты начала и конца текущего шага расчета.

1+

.....от::::-"*-

+

1

Щ)

Рис. 3. Расчет плотности энергии пучка

3

2

Общая плотность энергии системы может быть рассчитана как сумма плотностей энергий взаимодействующих пучков. В своих расчетах, варьируя значения шагов по различным координатам, мы добились сохранения энергии с погрешностью <3 %

Результаты численного моделирования

В работе [6] мы исследовали процесс компрессии при попутном ВКР для пучков

гауссовой формы без учета дифракционных эффектов, т.е. полагали exp(-г2 /ю2) = 0 в

(2а, 2б). Анализ результатов численного моделирования показал, что наибольшая эффективность преобразования энергии достигается в случае использования для попутного ВКР среды с нормальной дисперсией при сверхрегенеративном режиме усиления. Также нами были определены оптимальные значения коэффициента стационарного ВКР и дисперсии групповых скоростей волн, при которых энергообмен между волнами максимален. Используя эти результаты, мы провели исследование влияния дифракции взаимодействующих пучков на процесс формирования выходного стоксового импульса.

По результатам численного моделирования нами были построены снимки взаимодействующих волн в среде в различные моменты времени. На рис. 4-8 верхний ряд слайдов соответствует распространению волны накачки в среде, нижний - распространению волны Стокса.

Анализ полученных результатов показал, что гауссовы пучки с Я < 0.05 см-1 сильно дифрагируют в среде, что приводит к расплыванию пучка в пространстве по координате г, поэтому достичь эффективной перекачки энергии практически невозможно. С ростом значения радиуса перетяжки Я конечная форма стоксового импульса для различных начальных значений Я схожа, а в процессе генерации наблюдаются одинаковые закономерности: при малых g (~ 0.5 см/ГВт) основное усиление приходится на передний фронт импульса Стокса, а процесс обратной перекачки энергии приводит к появлению вторичного пика в хвостовой части пучка, интенсивность которого значительно уступает первому пику импульса. С ростом значения коэффициента стационарного ВКР влияние обратной перекачки энергии из волны Стокса в волну накачки возрастает, что приводит к выделению в стоксовом импульсе нескольких суб-импульсов высокой интенсивности. Кроме того, для больших g наблюдается отставание энергообмена на краях импульса по оси г, приводящее к сферическому искажению волнового фронта. Оптимальные условия для получения наилучшей эффективности преобразования достигаются для Я = 0.05 см-1, g = 0.5 см/ГВт (рис. 4). В данном случае вторичный пик сто-ксового импульса несет в себе лишь малую часть энергии волны, а влияние дифракционных эффектов не настолько велико, чтобы привести к расплыванию пучка.

о-- Ш » *»

о--

Рис. 4. Распространение волн накачки и Стокса гауссовой формы в среде. !ро = 250 ГВт/см2, ио = 50 ГВт/см2, т^ = 1000 фс, т^ = 100 фс, g = 0.5 см/ГВт, Яр = = 0.05 см

Сравнение результатов моделирования для пучков гауссовой (рис. 5) и супергауссовой (рис. 6) формы привело к следующим выводам: сферическое искривление переднего фронта импульса Стокса в случае супер-гауссовых пучков снижается благодаря более сжатой начальной форме волны накачки. В остальном формирование волны Стокса остается прежним: на центральной оси импульса также возникают вторичные пички, которые, тем не менее, в случае сильного взаимодействия обладают большими радиусами, чем в случае пучков с начальной гауссовой формой.

О-

О-

3

о

Рис. 5. Распространение волн накачки и Стокса гауссовой формы в среде. Ipo = 250 ГВт/см2, Is0 = 50 ГВт/см2, тр0 = 1000 фс, ts0 = 100 фс, g = 0.5 см/ГВт, Rp = Rs = 1 см

Рис. 6. Распространение волн накачки и Стокса супер-гауссовой формы в среде, п = 4.

/ро = 250 ГВт/см2, 4о = 50 ГВт/см2, т(Я = 1000 фс, тЛ„ = 100 фс, g = 0.5 см/ГВт, Пп = 11, = 1 см

0- •

-> -

0--

»

Рис. 7. Распространение волн накачки и Стокса Бессель-гауссовой формы в среде. Ip0 = 250 ГВт/см2, Is0 = 50 ГВт/см2, тр0 = 1000 фс, ts0 = 100 фс, g = 2 см/ГВт, Rp = Rs = 0.1 см,

ß = 10 см-1

Также нами были проведены расчеты для пучков Бессель-гауссовой формы. В данном случае форма конечного стоксового импульса при сильном энергообмене (§ = 2 см/ГВт) обладает более сложной структурой: в импульсе можно выделить не только вторичные пики на центральной оси, но также некоторые области высокой интенсивности на краях импульса, обусловленные дифракционными эффектами (рис. 7).

Основываясь на вышеприведенном анализе, мы сделали вывод, что для получения сверхкороткого импульса высокой мощности при попутном ВКР в начальное распределение волны накачки необходимо ввести фазовую нелинейность, которая, аналогично неоднородности плотности плазмы, будет препятствовать нежелательному взаимодействию волн, снижая интенсивность вторичных пиков, образующихся в стоксовом импульсе. Так, на рис. 8 отображен случай, когда в исходную волну накачки добавлена

квадратичная фаза ¥ (г) = -Ш .

О-

О"

ъ

Рис. 8. Распространение волн накачки и Стокса гауссовой формы в среде, волна накачки обладает фазовой нелинейностью. !р0 = 250 ГВт/см2, !з0 = 50 ГВт/см2, тр0 = 1000 фс, хао = 100 фс, g = 0.5 см/ГВт, Яр = Я = 1 см, а = 0.00001 фс-2

Из сравнения рис. 5 и рис. 8 можно заметить, что в последнем случае основная доля энергии волны Стокса сосредоточена в первом пичке, обладающем малыми длительностью и радиусом перетяжки. Кроме того, здесь не наблюдается дифракционных эффектов по краям пучка, которые присутствуют на рис. 5. Таким образом, введение фазовой нелинейности в начальное распределение волны накачки позволило сконцентрировать энергообмен на центральной оси взаимодействующих пучков, подавив влияние дифракции. Тем не менее, импульс в данном случае также обладает хвостовой частью, несущей в себе часть полученной от волны накачки энергии. Для погашения вторичных пичков в хвосте импульса необходимо более подробное исследование введения фазовой нелинейности в волну накачки.

Заключение

В данной работе проведено исследование основных закономерностей компрессии фемтосекундных импульсов при попутном и обратном ВКР.

Показано, что использование неоднородной плазмы при обратном ВКР позволяет скомпенсировать негативное влияние предымпульса на процесс формирования конечного стоксового сигнала и в оптимальных условиях получить эффективность преобразования энергии в волну Стокса до 12 раз.

Для случая попутного ВКР в оптимальных условиях энергообмена исследовано влияние дифракционных эффектов на взаимодействие волн. Рассмотрены случаи волн различной начальной формы. Показано, что для подавления явления дифракции необходимо использовать в качестве начального импульса волну накачки с фазовой нели-

нейностью, поскольку в данном случае фазовая расстройка между взаимодействующими волнами снижает интенсивность перекачки энергии на краях импульса Стокса.

Работа была частично поддержана грантами РФФИ №06-02-08317-офи, №06-02-

17303-а, №06-02-01824-э_б, №06-02-03035-6.

Литература

1. Murray J.R., Goldhar J., Eimerl D., Szoke A. Raman Pulse Compression of Excimer Lasers for Application to Laser Fusion // IEEE J. of Quant. Electron. 1979. V. 15. Р. 342368.

2. Bespalov V.G., Staselko D.I. Spatial-temporal coherence of Stokes radiation under conditions of stimulated Brillouin scattering compression in liquids // Soviet Journal of Quantum Electronics. 1985. V. 15(12), Р. 1649-1651.

3. Андреев А.А., Беспалов В.Г., Ермолаева Е.В., Salomaa R.R.E. Компрессия сверхмощных лазерных импульсов в неоднородной плазме при обратном вынужденном комбинационном рассеянии // Оптика и спектроскопия. 2007. Т. 102. № 1. С. 113120.

4. Kapjak C.E., James C.R. and McMullin J.N. // J. Appl. Phys. 53. 4046 (1982).

5. Андреев А.А., Сутягин А.Н. // Квантовая электроника. 1989. Т. 16. № 12. С. 2457.

6. Yermolayeva E.V., Bespalov V.G. Forward SRS compression-amplification of femtosecond pulses. // Proc. SPIE. USA. V. 4268. 2001. Р. 117-122.

7. R. Chu, M. Kanefsky, J. Falk. Numercal study of transient stimulated Brillouin scattering. // J. Appl. Phys. 1992. V. 71. № 10. Р. 4653-4658.

8. Tsidilko Yu.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. Р. 235004.

9. Schoulepnikoff L., Mitev V. Numerical method for the modeling of high-gain single-pass cascade stimulated Raman scattering in gases // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. № 1.

10. Ярив А. Квантовая электроника и нелинейная оптика: Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1973.