Формальные языки и автоматы V: пары полукольцо-полумодуль Конвея и конечные автоматы

УДК 681.3.07

С. И. Алешников, Ю. Ф. Болтнев, 3. Език, С. А. Ишанов, В. Куих

ФОРМАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И АВТОМАТЫ V: ПАРЫ ПОЛУКОЛЬЦО-ПОЛУМОДУЛЬ КОНВЕЯ И КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ

Это пятая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов с использованием полуколец, формальных степенных рядов, матриц и теории неподвижных точек.

Рассмотрены основные результаты теории конечны,х автоматов над квемикольцами, обобщающих классические конечные автоматы, принимающие конечные и бесконечные слова, базирующихся на парах полукольцо-полумодуль, в основном на парах полукольцо-полумодуль Конвея — парах, состоящих из полукольца Конвея и полумодуля, удовлетворяющего тождествам «омега-сумма» и «омега-произведение». Они определены и сформулирлваны некоторые их важные свойства. Введены конечные автоматы над квемикольцами и доказана теорема К лини. Введены линейные системы над квемикольцами как обобщение регулярных грамматик с конечными и бесконечными выводами и связаны некоторые решения этих линейных систем с поведением конечных автоматов над квемикольцами.

This is the fifth paper of a series of papers that will give a survey on several topics on formal languages and automata by using semirings, formal power series, matrices and fixed point theory. The fifth paper of this series deals with the basic results in the theory of finite automata over quemirings generalizing the classical finite automata accepting finite and infinite words. The presentation of these results is based on semiring-semimodule pairs, especially on Conway semiring-semimodule pairs.

A Conway semiring-semimodule pair is a pair consisting of a Conway semiring and a semimodule that satisfies the sum-omega equation and the product-omega equation. We define these Conway semiring-semimodule pairs and state some of their important properties. Then we introduce finite automata over quemirings and prove a Kleene Theorem,. Furthermore, we introduce linearsystems over quemirings as a generalization of regular grammars with finite and infinite derivations, and connect certain solutions of these linear systems with the behavior of finite automata over quemirings.

Ключевые слова: формальный язык, автомат, полукольцо, формальный степенной ряд, матрица, неподвижная точка.

Keywords: formal languages, automata, semiring, formal power series, matrix, fixed point.

1. Введение

Это пятая статья в серии, дающей обзор некоторых разделов теории формальных языков и автоматов и излагающих обобщение некоторых классических результатов о формальных языках, формальных языках над деревьями, формальных языках с конечными и бесконечными словами, автоматах, автоматах над деревьями и т. д. Мы предполагаем, что читатель знаком с предыдущими частями [1—4] серии.

В данной статье мы рассматриваем пары полукольцо-полумодуль и конечные автоматы над квемикольцами. Здесь пары полукольцо-полумодуль образуют обобщение формальных языков с конечными и бесконечными словами. Полукольцо является моделью формального языка с конечными словами, тогда как полумодуль — модель формального языка с бесконечными словами. Главный результат этой статьи обобщение теоремы Клини [6] для пар полукольцо-полумодуль.

Настоящая статья состоит из пяти глав. В главе 2 мы введем используемые алгебраические структуры: пары полукольцо-пол у модуль и квемикольца.

В главе 3 мы рассмотрим пары полукольцо-полумодуль Конвея и докажем, что выполняется тождество «омега-матрица». Далее для пары полукольцо-полумодуль Конвея мы рассмотрим n х n-матрицы над полукольцом и n х 1-вектор-столбцы над полумодулем. Затем мы докажем, что пары, состоящие из матриц и вектор-столбцов, опять образуют пару полукольцо-полумодуль Конвея.

В главе 4 мы определим конечные автоматы над квемикольцами. Для пары полукольцо-пол у модуль Конвея мы докажем теорему Клини для A' -конечного автомата, где A — подмножество полукольца Конвея: множество всех поведении A -конечного автомата совпадает с обобщенным квемикольцом со звездой, порожденным A. Частный случай этой теоремы Клини — результат Buechi [6].

В главе 5 мы рассмотрим линейные системы над квемикольцами как обобщение регулярных грамматик с конечными и бесконечными выводами и покажем связь между некоторыми решениями этих линейных систем, весами конечных и бесконечных выводов относительно этой грамматики и поведением конечных автоматов над квемикольцами.

Изложение соответствует работе Esik, Kuich [11].

2. Предварительные сведения

Мы предполагаем, что читатель этой статьи знаком с определениями и результатами части I [1] серии статей, поэтому не будем их здесь повторять. Также далее используются обозначения части I [1].

Предположим, что А — полукольцо и V — коммутативный моноид, записанный аддитивно. Назовем V (левым) А-полумодулем, если V оснащен (левосторонней) операцией

A х V ^ (s,v) ^

V, sv,

удовлетворяющей следующим правилам:

s(s'v) = (ss')v, (s + s' )v = sv + s'v, s(v + v') = sv + sv', 1v = v, 0v = 0, s0 = 0

для всех s,s' E A и v,v' E ^^ли V является A-полумодулем, будем

(A, V) A

кольцо со звездой, а A и V оснащены омега-операцией ш : A ^ V.

Согласно Bloom, Esik [5], будем называть пару полукольцо со звездой-(A, V) A

— полукольцо Конвея и если омега-операция удовлетворяет тождеству «омега-сумма,» и тождеству «омега-произведение»:

(а + Ъ)ш = (а*Ъ)ш + (а*Ъ)*аш, (аЪ)ш = а(Ъа)ш

для всех а,Ъ E A. Далее следует, что выполняется тождество «омега неподвижной тючки», т. е.

для всех а Е А.

Ез1к, КшсЬ [10] определяют полную пару полукольцо-полу модуль как такую пару полукольцо-полумодуль (А, V), что А — полное полукольцо и V — полный моноид такие, что

кЕ vi) = Е

svi

vi

iei iei

si)v = siv iei

iei

для всех в Е А, V Е V и для всех семейств вг, % Е I над А и Уг, % Е I над V. Кроме того, требуется, чтобы операция бесконечного произведения

Си

аа =

'jj

а

(sl,s2,...) ^ П sj

т

являлась отображением бесконечных последовательностей над А в V, удовлетворяющих следующим трем условиям:

П^ = П(в™;-1+1  •••  8т),

«г =

«1 Ц «г+1 = П «г,

ПЕ % = Е П «г,.

г] €1] X ... З^1

где в первом равенстве 0 = по ^ п ^ п ^ • • • и 11,12 , • • • — произвольные множества индексов. Предположим, что пара (А, V) — полная. Тогда определим

,в

г = П«

для всех в € А. Это превращает (А, V) в пару полукольцо со звездой-омега-полумодуль. Согласно Ез1к, КшсЬ [10], каждая пара полукольцо-полумодуль является парой полукольцо-полумодуль Конвея. Заметим, что если (А, V) — полная пара полукольцо-полумодуль, то 0Ш = 0.

Пара полукольцо-полумодуль (А, V) называется непрерывной, если (А, V) — полная пара полукольцо-полумодуль и А — непрерывное полукольцо. Квемикольцо называется непрерывным, если оно определяется непрерывной парой полукольцо-полумодуль.

А

ми операциями * и ш : А ^ А. Звезда-омега-полукольцо А называется

А

рая удовлетворяет трем условиям, приведенным выше. Полное звезда-

А

А коммутативно и для всех биекций п : N ^ N в^ € А, ] ^ 0, = Пз^о Наконец, полное звезда-омега-полукольцо А на-

А

Пример 2.1. Предположим, что £ — алфавит. Пусть £* обозначает множество всех конечных слов над £, включая пустое слово е, и

пусть £ш обозначает множеств о всех ш-слов н ад £. Множество 2я всех

£*

жеств в качестве суммы и конкатенации в качестве произведения является полукольцом, где 0 — пустое множество 0 и 1 — множество {е}. Кроме того, наделенное обычной операцией «звезда» 2я является полукольцом Конвея. К тому же 2я°°, наделенное операцией объединения

0

тативным идемпотентным моноидом. Определим действие 2я на 2я°°

посредством KL = {uv | u E K, v E L} для всех K С £* и L С . Кроме того, для любой последовательности (Ко, K\,...) над 2s пусть j Kj = {u0 u\... E I ui E K i ^ 0}. Тогд а (2s , 2s°°) является полной и непрерывной парой полукольцо-полумодуль с идемпотентным

модулем 2s . Заметим, что в этом примере 1Ш = 0, где 1 = {е} и 0 = 0.

Пример 2.2. Рассмотрим полукольцо N^ = N U {то}, полученное присоединением элемента то к полукольцу натуральных чисел. Заметим, что N^ является полным полукольцом, где бесконечная сумма равна то тогда и только тогда, когда либо слагамое равно то, либо количество ненулевых слагаемых бесконечно. Кроме того, то в произве-

то

бесконечное произведение

(ni,n2,...) ^ П nj j>i

на N^ следующим образом. Если некоторое nj равно 0, то ему равно и произведение. Иначе, если все, кроме лишь конечного числа множи-nj 1

nj, для которых nj > 1. Во всех остальных случаях бесконечное произведение равно то. Тогда N^ есть полное звезда-омега-полукольцо, где * и ш определены, как ранее.

Пусть £ — алфавит. Полукольцо A = N^ ((£*)) всех степенных рядов £* с коэффициента ми в N^ есть полное и непрерывное полукольцо. Пусть теперь V = )) — совокупность всех формальных степен-

ных рядов над с коэффициентами в N^. Таким образом, элементы V

s = Е (s,w)w,

wes^

где каждый коэффициент (s, w) принадлежит N^. Теперь V может A

сложения и действия (r, s) ^ rs, определенного посредством (rs,w) = Е (r,u)(s,v),

ues*,ves^, uv=w

где бесконечная сумма в правой части существует, так как N^ полно. Также мы можем определить бесконечное призведение, образуя из последовательностей над A ряды в V. Пусть даны si, s2,... в A, определим IIj>i sj как ряд r в V, причем

(r,w) = Е II(sj ,wj).

w=wiw2...es^ j>i

и, таким образом, пара полукольцо-полумодуль Конвея.

Эта построение допускает широкое обобщение. Пусть А — полное звезда-омега-полукольцо. Если £ — множество, рассмотрим полное полукольцо А ((£*)) и полный моноид А((£ш)) всех рядов над с коэффициентами в А, наделенный операцией поэлементного сложения. Если мы определим действие вт элемента в € А((£*)) на т € А((£ш)) как

(вт,-ш) = (в, п)(т,у),

то (А((£*)), А((£ш))) обращается в пару полукольцо-полумодуль. Теперь А ((£*)) — полукольцо, и если мы определим операцию бесконечного произведения

через

(П sj,w) j>1

Usj G А((Я*)) j>i

H(sj ,wj)'

то (А((£*)), А((£ш))) обращается в полную пару полукольцо-полумодуль, а следовательно, в пару полукольцо-полумодуль Конвея, удовлетворяющую (ае)ш = 0 для всех а G А. Если А — непрерывное полукольцо, то (А((£*)),А(СЕШ))) — непрерывная пара полукольцо-полумодуль (см. теорему 5.5).

Рассмотрим пару полукольцо со звездой-омега-полумодуль (А,У). Согласно Bloom, Esik [5], определим матричную операцию ш : Апхп ^ Упх1 на (А, У) следующим образом. Если n = 0, то Mш — единственный элемент У0, а если n = 1, так что M = (а) для некоторого а G А, то Mш = (аш). Допустим теперь, что n > 1, и запишем M в виде

Тогда

Mш =

M=

(а + bd*c)"

(d + са*Ъ)и

+ (а + bd*c)*bdu + (d + са*ь)*саи

Вслед за Ез1к, КшсЬ [11] определим матричные операции Шк : Ап*п ^ о ^ к ^ п, следующим образом. Допустим, что

М € Апхп разбивается на блоки а, Ь, с, й, как в (1), но здесь а имеет размерность к х к, а й — раз мерность (п — к) х (п — к). Тогда

M^k =

(а + bd*cY (1*с(а + bd*c)u

w=uv

Заметим, что MШ0 = 0 и M= M

Предположим, что (А, V) — пара полукольцо-полумодуль, и рассмотрим Т = А х V. Определим па Т операции

и константы 0 = (0, и 1 = (1, 0). Наделенное этими операциями и

константами, T удовлетворяет тождествам

х + У = У + х,

х + 0 = х,

х  1 = х, 1  х = х,

0  х = 0.

Elgot [8] определял также унарную операцию ^ на Т: (в,и)^ = (в, 0).

Таким образом, ^ выбирает «первую компоненту» пары (в, и), тогда как умножение на 0 справа выбирает «вторую компоненту», так как (в, и)  0 = (0, и) для всех и Е V. Новая операция удовлетворяет следующим свойствам:

хГ

х = х^ +

х^ 0 = 0,

Заметим, что если V — идемпотент, то выполняется также

х  (у + г) = х  у + х  г.

Elgot [8] определил квемикольцо как алгебраическую структуру Т, наделенную указанными выше операциями , +, ^ и константами 0,1, удовлетворяющими тождествам (4)—(11) и (12)—(16). Морфизм квеми-кольца есть функция, сохраняющая операции и константы. Из аксиом следует, что х^ = х^ для всех х в квемикольце Т. Кроме того, х^ = х, если х  0 = 0.

Если Т — квемикольцо, то А = Т^ = {х^ \ х Е Т}, что легко видеть, является полукольцом. Кроме того, V = Т0 = {х  0 \ х Е Т} содержит 0 и замкнуто относительно + и, к тому же, вх Е V для всех в Е А их Е V. Каждый х Е Т может быть единственным способом записан в виде суммы элемента из Т^ и элемента из Т0 как х = х^ + х  0. Иногда мы будем отождествлять А х {0} с А и {0} х V с V. Elgot [8]

показал, что T изоморфно квемикольцу А х У, определенному парой

омега-полумодуль. Определим тогда на T = АхУ операцию обобщенная звезда

ДЛЯ BCG^Sk. (s,v) G T. Заметим, что операции звезда и омега могут быть получены из операции обобщенная звезда, так как s* — первая компонента в (s, 0), а s^ — вторая. Таким образом,

(s*, 0) = (s, 0)K, (0,s") = (s, 0) • 0.

Заметим, что при (s, 0) G А х {0} имеем (s, 0) = (s*, 0) + (0, ).

T

T Ах У

полукольцо-полумодуль (А, У), где А = TK и У = T0, а изоморфизм установлен отображением x ^ (xK,x • 0). Ясно, что операция обобщенная звезда  : T ^ T определена операцией звезда * : А ^ А и операцией омега ш : А ^ У посредством (17) тогда и только тогда, когда выполняются условия

xK =

x • 0 =

Действительно, эти условия, очевидно, являются необходимыми. Обратно, если выполнены (18) и (19), то для любого xK G TK мы можем определить

Отсюда следует, что (17) выполняется. Определение операций звезда и омега было принудительным.

Будем называть квемикольцо, наделенное операцией обобщенная

3. Пары полу кольцо-полу модуль Конвея

Конвея и n ^ 1. Индукцией по n докажем, что (Апхп, Уп) снова является парой полукольцо-полумодуль Конвея. Далее покажем, что тождество «омега-матрицы» выполняется для пар полукольцо-пол у модуль Конвея. Результаты излагаются согласно Bloom, Esik [5]. Докажем наши результаты явно, методом, подобным изложенному в части I [1].

Во-первых, докажем, что выполняются некоторые частные случаи тождества «омега-сумма».

Лемма 3.1. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для а,/ Е А1х\ д Е А1хп, Н Е Апх1, с1,1 Е Апхп выполняется, следующее равенство:

а + ( Н ?)) = ((а (Н д)) +

Доказательство. Левая и правая части равенства равняются

аш + а*д

а'ш + а'*а*д(й*г)ш + а'*аш + Ы*а*д(й* г)*йш 5'ш + 5'*й*Н(а*1 )ш + 5'*й*Н(а*1 )*аш + 5'*йш

соответственно, где

а = а + / + д(й + г)*Н, 5 = d + г + Н(а + / )*д, а' = а*/ + a*g(d*г)*d*Н, 5' = (1*г + d*Н(a*/)*а*д.

Получим теперь

аш = (а*/ + а*д^* г)*d*Н)ш + (а*/ + a*g(d*г)*d*Н)*aш = а'ш + а'*аш

а*д(й + г)ш = (а*/ + а* д (d* г)* d* Н)* а* д ((d* г)ш + (d*г)*dш) = = а'*а*д^*г)ш + а'*a*g(d*г)*dш.

Подстановка d ^ а, г ^ /, Н ^ д показывает симметрию доказательства для вторых компонент векторов. ц

Заметим, что равенства в лемме 3.2 являются частным случаем тож-

( 0 6 \" ( 0 0\ш (0\,

дества «омега-сумма», так как 10 0/ = I с 0 / = \ 0 /

пар полукольцо-полумодуль Конвея, 0Ш = 0).

Лемма 3.2. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для / Е А1х\ Ь,д Е А1хп, с,Н Е Апх1, г Е Апхп выполняются, следующие равенства:

0 6 В + ( / д ВВ^ = (( 0 6 в* ( / д н г )) \ н г

с 0)^Н д л = ((с 0) {Н дд

Доказательство. Левая и правая части 1-го равенства равны

аш + а*(д + Ъ)гш \ ( а'ш + а'*(д + Ъг)гш 5ш + 5*к/ш ) и { 5'ш + 5'*к(/ + Ък)ш

соответственно, где

а = / + (д + Ъ)г*к, 5 = г + к/*(д + Ъ),

а' = / + Ък + (д + Ъг)г*к, 5' = г + к(/ + Ък)*(д + Ъг).

Получим теперь

а' = / + Ък + дг*к + Ъгг*к = / + дг* к + Ъг*к = а, а'* (д + Ъг)гш = а*(дгш + Ъггш) = а*(дгш + Ъгш) = а*(д + Ъ)гш

5'ш + 5'*к(/ + Ък)ш = = (г + к(/*Ък)*/*д + к(/*Ък)*/*Ъг)ш + (г + к(/*Ък)*/*д +

+к(/*Ък)*/*Ъг)*к((/* Ък)ш + (/*Ък)*/ш) = = ((к/*Ъ)*к/*д + (к/*Ъ)*г)ш + ((к/*Ъ)*к/*д + (к/*Ъ)*г)*(к/*Ъ)ш +

+((к/*Ъ)*к/* д + (к/*Ъ)*г)*(к/* Ъ)*к/Ш = = (к/*Ъ + к/* д + г)ш + (к/*Ъ + к/* д + г)* к/ш = 5ш + 5 *к/ш.

Левая и правая части 2-го равенства равны

аш + а * дгш 5ш + 5* (с + к)/ш

а'ш + а' * д(сд + г) 5'ш + 5'* (с/ + к)/'

соответственно, где

а = / + дг * (с + к), 5 = г + (с + к)/* д,

а' = / + д(сд + г)*(с/ + к), 5' = сд + г + (с/ + к)/* д.

Подстановка / ^ г, к ^ д, Ъ ^ с, дающая а ^ 5, а' ^ 5', показывает симметрию первому равенству леммы.

Лемма 3.3. Пуст,ъ (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для Ъ е А1хп, с е Апх1 и М е А(п+1)х(п+1) выполняется следующее равенство:

0 Ъ с 0

+ М =

0Ъ с0

М +

0Ъ с0

* \ * М

0Ъ с0

Доказательство.

0Ъ с0

+ М =

0Ъ 00

00

с0

0Ъ

00

+

+

0Ъ 00

00

с0

+ М =

М=

ш

ш

*

ш

ш

ш

ш

*

+

+

+

с 0 в+(16 =

о0) + {1 ьЕ)«у-

(6с)* 0 В ( 0 0 В + ( (6с)* 0 В ( 1 6 +

0 Е )\с Е )\ 0 Е +

(6с)* 0 В ( 0 0 В + ( (6с)* 0 В ( 1 6 0 Е М с 0 ^ 0 Е \ 0 Е х

6с 0 00

( 0 0

с0

10

сЕ

10

сЕ

00

+

с0 (6с)* (6с)*6

+ I ^ -- " М +

0Е

(6с)* (6с)*6 0Е

(6с)* (6с)*6

(6с)* (6с)*6 0Е

(6с)ш 0

ш

М) +

0

Е

(6с)* (6с)*6 с(6с)* (с6)*

06

с0

М +

М) +

06

с0

М 1с Е0

(6с)* (6с)*6 с(6с)* (с6)*

(6с)ш 0

М

М

06

с0

Теорема 3.4. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда тождество «омега-сумма,» выполняется для, пары, полукольцо со звездой-омега-полумодуль (А(п+1">х(п+1\ Vn+1).

аЕ А1х\ 6 £ А1хп, с € Апх\ ^ £ Апхп М е А(п+1)х(п+1). Получим тогда

а6

с d

+

+ М =

а0 0 d

0 6 + 0 ^ +

+

+

а0 0 d

0 6 \ ( а 0 с 0)^0 d

М

а0 0 d

0 а*6\ / а* 0 +

d*с 0 ) + I 0 d* +

0 а*6 (1*с 0

0 а* 6 (*с 0

0 а* 6

(*с 0

+

а* 0

0 d*

а* 0

М

0 d*

а* 0 0 d*

и>

М) +

а (1ш

0 а*6

(*с 0

+

и;

X

и

и

}

}

и

и

и

+

+

0 а*6 (*с 0

а* 0 0 d*

М

(а*6(*с)*а* a*6(d*сa*6)*d d*с(a*6d*с)*a* ((*са*6)*(*

0 а*6 (*с 0

и>

М) +

аш (1ш

(а* 6(*с)*а* а*6((* са*6)*( (*с(а*6(*с)*а* ((*са*6)*(*

(а* 6(*с)*а* а*6((* са*6)*(* (*с(а*6(*с)*а* ((*са*6)*(*

(а*6(*с)* а*6((*са*6)' (1*с(а*6(1*с)* ((*са*6)*

М

М

а (1Ш

(а + 6(*с)* а*6(( + са*6)* \ М\ш + "с(а + 6(*с)* ((+ са*6)* )М) +

(а + 6(*с)* а*6(( + са*6)* \ М (*с(а + 6(*с)* (( + са*6)* ]М

(а* 6(*с)ш + (а*6(*с)*аш + а*6((*са*6)*( ((1*са*Ъ)ш + (*с(а*6(*с)*аш + ((1*са*Ъ)*(

* \ Ш / / 7 \ * \ *

М) + (( а 6Л М

а6

с (

а6

с (

+

Во-вторых, докажем, что выполняются некоторые частные случаи тождества «омега-произведение».

Лемма 3.5. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для а,/ Е А1х1, 6 Е А1хп, с Е Апх1, ( Е Апхп выполняется следующее равенство:

а6

с (

/0 00

а6

с (

/0 00

а6

с (

}

}

}

*

*

х

X

X

X

и;

и;

и;

Доказательство. Левая и правая части равенства равняются

а/ 0 с/ 0

а6

с (

/а /6 00

а

а6

с (

(а/)ш с(/а)и

(/а)ш 0

соответственно.

и

и

Лемма 3.6. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для а, в е А1х1, Ъ,Ь е А1хп, с, и, к е Апх1, (,у е Апхп выполняется следующее равенство:

((а Ъ\(Ьк 0\ V ( аЬк + Ъук 0\ш = ^ с ( )\ук 0 )) = ^ сЬк + (ук 0 ) =

= ( (аЬк + Ъук)ш \ = ( а Ъ \ ( Ь(каЬ + кЪу)ш \ = ^ (сЬк + (ук)(аЬк + Ъук)ш ) = ^ с ( ) ^ у(каЬ + кЪу)ш ) '

Правая часть равенства без первого сомножителя равняется

( Ька ЬкЪ \ш = I ука укЪ у =

= ( (Ька + ЬкЪ(укЪ)*ука)ш + (Ька + ЬкЪ(укЪ)*ука)*ЬкЪ(укЪ)ш \ = = ( (укЪ + ука(Ька)*ЬкЪ)ш + (укЪ + ука(Ька)*ЬкЪ)*ука(Ька)ш ) = = ( (Ь(кЪу)*ка)ш + (Ь(кЪу)*ка)*ЬкЪ(укЪ)ш \ = = ( (у(каЬ)*кЪ)ш + \у(каЬ)*кЪ)*ука(Ька)ш ) = = ( Ь(кЪу + каЬ)ш \ = ^ у(каЬ + кЪу)ш ) '

Лемма 3.7. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея.

Тогда для а, в е А1х1, Ъ,Ь е А1хп, с, и е Апх1, (,у,г е Апхп выполняется следующее равенство:

((а Ъ\( 0 Ь^ /0 аЬг + Ъуг \ш = ^ с ( )\ 0 уг )) ^ 0 сЬг + (уг ) =

= {

/а Ъ\/ /0 Ьг \ ( а Ъ N у ( а Ъ \ ( Ьгс Ьг( \ш 1с ( ) \ 10 уг ) \ с ( у у = I с угс уг( у

Подстановка г ^ к а ^ с, Ъ ^ ( показывает для второго матричного множителя симметрию с равенством леммы 3.6.

Доказательство. Левая часть равенства равняется

Доказательство. Левая часть равенства равняется

Правая часть равенства равняется

Лемма 3.8. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для а, в Е А1х\ 6,д,Ь Е А1хп, с, и Е Апх1, (,у Е Апхп выполняется следующее равенство:

а 6 \ ( в Ь

с ( ) I и V

а 6 \ (( в Ь

с ( I \\ и V

0д 00

0д 00

а6

с (

Доказательство. Левая и правая части равенства равняются

а6

с (

0 вд 0 ид

а6

с (

0 вд 0 ид

а6

с (

соответственно. Подстановка в ^ Ь, д ^ г, и ^ V показывает симметрию равнству леммы 3.7.

Лемма 3.9. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда для М, М' Е А(п+1)х(п+1), ид Е А1хп, Н Е Апх1 выполняется следующее равенство:

ММ Н0 д0

= М М' ( " * ) М

0д Н0

Доказательство.

{ММ'{Н 0))" = {ММ'{0 0)+ММ'

ММ 00 д0

ММ'

00

00 Н0

+

+ ((им'[ 0 0 ))* ММ'

00 Н0

= IМIМ>\ 01)М)'М>(н 0

00 Н0

ММ'

0д 00

+

+ (м(Ы'( 0 0 ) М^*М'

00 0д

00 Н0

М М 00 д0

= мЦМ'1 0 0 )М)*М'( Н 0^1 МУ +

+М М' 00 д0 М М'

0 0 В м+м' (

00 Н0

М

М' 0 д М 1 0 0

ш

М=

и>

М=

= М М'

00 Н0

М = М М' ( " * ) М

0д Н0

и

СО

си

и

*

*

и

*

си

си

п

Лемма 3.10. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея Тогда для М, М' е А(п+1)х(п+1\ и / е А1х1, г е Апх следующее равенство:

- 00 ааш=м ((

Доказательство.

М

/0 0 г

М

=М

/ М( 0 0

00

0 г

/0 00

М

00 0 г

+

+ I I М

М + ( М М +М М

/0 00

М

00 0 г

М

/0 00

( / 0 00

/ 0 00

( / 0 00

М

М М М

00 0 г

+

00

0 г

00 0 г

М

ш

м) +

00 0 г

М

0 0 М +00Ш.=М

/0 00

/0 00

/0 00

( / 0

0 г

ш

М=

ш

М=

М

Теорема 3.11. Пусть (А, V) - пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда тождество «омега-произведение» выполняется для пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль (А(а+1">х(п+1^^п+1).

Доказательство. Пусть М е А(п+Г)х(п+1 и / е А1х1, д е А1хп, к е Апх\ г е Апхп. Тогда докажем, что выполняется равенство

М

/д к г

=М

/д к г

М

Получим: М

/д к г

М

=М

/ м+М 0д

0 г + М \ к 0

/0

М

0д к0

+

ш

ш

ш

*

*

*

ш

*

*

*

ш

ш

ш

ш

ш

ш

*

+ I IM

M + ( M M +M M

f 0 0 i

M

0 g h 0

M

f0 0i

f 0 0i

f 0 0i

f 0 0i

M

M

M

M

0g h0

0g h0

0g h0

0g h0

+

M

Ш

m) +

M

f Mm+( 0 g 0 i M + l h 0

M = M

f0 0i

f0 0i

f0 0i

f g hi

Ш

m\ =

Ш

M ) =

M

Следствие 3.12 (Bloom, Esik [5]). Если (A,V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея, то для n ^ 0 пара (A(n+l">x(:n+l\V'n+l) снова является парой полукольцо-полумодуль Конвея.

Докажем теперь тождество «омега-матрица».

Теорема 3.13 (Bloom, Esik [5]). Пусть (A,V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда тождество «омега-матрица» выполняется для пары полукольцо со звездой-омега-полумодуль (A(n+l">x(n+l\ Vn+l).

*

*

и

*

*

г

г

и

ш

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству тождества для звезды матрицы в части I [1], теорема 2.18, и проводится индукцией по размерности матрицы. Для 2 х 2-матриц проблем не возникает. Пусть М е Апхп, п ^ 3, задаем разбиение М на девять блоков размерностями / е Ап1хп\ д е Ап1хп\ к е Ап1хп3, г е Ап хп\ а е Ап^хт ъ е АП2хпз $ е Апзхп1 с е Апзхт ( е Апзхпз.

( / д к \

М = г а Ъ \ $ с

Теперь доказательство сводится к демонстрации того, что если мы ш

f g h f g h

i a b и M' = i a b

j c d ) К j c d

описанным способом, то получим одинаковый результат. Следовательно, нам нужно проверить три равенства от девяти переменных.

(1) Вычислим сначала М". Обозначим блоки матрицы М" через (М"1 ^ г ^ 3. Получим

(Мш)1 = {( + (дн)(а В) (()) +

+{в+(д((а В) *(;))*(дн){а В("=

= В +

+ (. + ( Н) ( (а + 6В*с)* а*6(В + са*6)* В( г ВВ* + ^В + (дН)у в*с(а + 6В*с)* (В + са*6)* ) \з)) *

( Н)1 (а + 6В*с)" + (а + 6В*с)*6В х(дН)\ (В + са*6)" + (В + са*6)*са'

= а" + а*(д(а + 6В*с)" + д(а + 6В*с)*6В" + +Н(В + са*6)" + Н(В + са*6)*са"),

где а = I + д(а + 6В*с)*г + да*6(В + са*6)*з + НВ*с(а + 6В*с)*г + +Н(В + са*6)*э,

(М" Ъ\ = (( а 6\ ( г

+ : В*(дН) +

+((а 6)+(])въ^{з г=

а + гВ*д 6+гВ*Н

и>

+

с + зВ *д в + зВ *н

а + гВ*д 6 + гВ*Н у ( гВш

и>

с + зВ*д В + зВ*Н ) \ зВ1

р + в* (6 + гВ *Н)(В + зВ *Н) + 1" + 7 *(с + зВ *д)(а + гВ *д)" ' +

/з*гв" + в *(6 + гв *Н)(В + зВ *н)*зВ' + 1 7 *(с + зВ * д)(а + гВ *д)*гВ" + 7 *зВ'

в = а + гВ *д + (6 + гВ *Н)(В + зВ *Н)*(с + зВ *д), 7 = В + зВ *Н + (с + зВ * д)(а + гВ * д)*(6 + гв *Н).

М' М' (М'"1 < г < 3. Получим

(М'")1 В = (( В д В + ( н В,*

(М"ъ) = ^ I) + {Ч)ВВ(зс)) +

+((В а В+(Н Вв*(зс)В*к ^=

си

+

+

кйш Ъйш

+

/ + кй * $ д + кй с г + Ъй $ а + Ъй *с

/ + кй* $ д + кй с г + Ъй $ а + Ъй *с

5ш + 5 *

5 *кйш + 5 * (д + кй *с)(а + Ъй*с)* Ъ( П * (г + Ъй * $)(/ + кй $) *кйш + п *Ъй

ш ш

+

5 = / + кй * $ + (д + кй  с)(а + Ъй с)(г + Ъй  $), П = а + Ъй *с + (г + Ъй *$)(/ + кй  $ )*(д + кй *с).

м )8 =

+

/д га

= й +

(/ + да *г)* / * д(а + г/* д)* а *г(/ + да *г)* (а + г/* д)*

+ (й +($с) ( (/ + да*г)* /*д(а + г/*д)*

+ I й с) I а*г(/ + да*г)* (а + г/*д)*

+

х

(/ + да*г)ш + (/ + да*г)*даш \ =

(а + г/* д)ш + (а + г/* д)* г/ш

= X" + X* ($ (/ + да г)ш + $(/ + да *г)* даш + +с(а + г/*д)ш + с(а + г/*д)*г/ш),

где х = й + $(/ + даг)к + $/*д(а + г/*д)*Ъ + са*г(/ + да* г)*к + +с(а + г/* д) *Ъ.

Ш) Покажем теперь справедливость равенств (Мш= (М'ш)г,

(ш )г = (М'ш

1 ^ г ^ 3. Получим а = 5 по лемме 2.16 части I [1]. Следовательно для доказательства равенства (Мш)1 = (М)1 нам нужно показать что следующие два выражения равны:

1* лш | ~ I 1л л* * 1л лш | и (л I | I

д(а + Ъй * с)ш + д(а + Ъй *с)* Ъйш + к(й + са *Ъ)ш + к(й + са *Ъ) *саш, (д + кй * с)(а + Ъй*с)ш + кйш + (д + кй *с)(а + Ъй *с) *Ъйш .

В обоих выражениях встречаются члены д(а + Ъй*с)ш д(а + Ъй*с)*Ъйш. Первое выражение без этих членов дает

к(й*са*Ъ)ш + к(й* са*Ъ)*йш + к(й*са*Ъ)*й*саш ,

тогда как второе, без этих членов, дает

кй*с(а* Ъй*с)ш + кй*с(а*Ъй*с)*аш + кй*с(а*Ъй*с)*а*Ъйш + кйш .

ш

ш

ш

*

х

Легко проверить, что первые члены обоих выражений совпадают, третий член в первом и второй член во втором выражении равны, второй член в первом и сумма третьего и четвертого членов во втором выражении совпадают. Следовательно, (М")1 = (М'"

Имеем в = п по лемме 2.17 части I [1]. Следовательно, для доказательства того, что (М")2 = (М;")2, нам нужно показать равенство

(6 + гв *Н)(В + зв *Н)" + гв" + (6 + гв *Н)(В + зВ *Н)* зВ" = = (г + 6В*з)(В + НВ*з)" + (г + 6В*з)(В + НВ*з)*НВ" + 6В" .

Левая часть дает 6(В*зВ*Н)" + гВ*Н(В*зВ*Н)" + 6(В*зВ*Н)*В" + +гВ *Н(В* зВ *Н)* В" + гВ" + 6(В* зВ *Н)* В* зВ" + гВ *Н(В * зВ *Н)* В *зВ", тогда как правая часть дает г(В*НВ*з)" + 6В*з(В*НВ*з)" + г(В*НВ*з)*В" + +6В*з(В*НВ*з)*В" + г(В*НВ*з)*В*НВ" + 6В*з(В*НВ*з)*В*НВ" + 6В". Обозначим семь членов левой (соответственно правой) части слева направо как Ь1, Ь2, Ьз, Ь4, Ьб, Ь-[ (соответственно Я1, Я2, Яз, Я4, Яб, Я7). Легко проверяются следующие равенства: Ь1 = Я2, Ь2 = Я1, Ьз = Я§ + Я7, Ь4 = Ьъ + Ьт = Яз, Ь6 = Я4. Если мы выполним подстановку В ^ В, Н ^ з д ^ с, г ^ 6 в равенство (М"^ = (М'")1; то получим равенство (М'")з = (М")з. Следовательно, наша теорема доказана.

Исправление

В части I [1] теорему 2.13 сформулируем в более общем виде. Это закроет пробел в доказательстве следствия 2.15 в части I [1]. Новая теорема 2.13 и ее доказательство имеют теперь следующий вид.

Теорема 2.13. Пусть А - полукольцо Конвея, М е А(к+1">х(т+1 и М' е А(т+1)х(к+1\ к, т ^ О. Тогда (ММ')*М = М(М'М)*.

Доказательство. Рассмотрим три случая: (1) к = т = п, (и) к = п > т, (Ш) т = п > к. Во всех трех случаях доказательство проведем п

(I) Возьмем доказательство теоремы 2.13 части I [1].

(II) После разбиения М и М' на блоки

м=(а оВ - м'=(О дВ-

где а, В е А(т+1)х(т+1\ 6 е А(п-т)х(т+1) и д е А(т+1)х(п-т), имеем

(ммгм=(ав адВ*(а ов =

= ( (аВ + ад(6д)*6В)*(а + ад(6д)*6) О N =

= ( (6д + 6В(аВ)*ад)* (6ЦаВ)*а + 6) О ) =

= ( (а(д6)*В)*а(д6)* О \ = ( а(д6 + Ва)* О \

V (6(Ва)*д)*6(Ва)* О ) = { 6(Ва + д6)* О ) '

М

(Ш) После разбиения М и М' на блоки

м - (а о ) - - (Н о

где а,/ е Л(к+1)х(к+1), с е Л(к+1)х(п-к) и Н е л(п-к)х(к+1),

*

получим

(ММ')*М - ^ а/ +сН 0) \

аС

0 0 ) \ 0 0

(а/ + сН)* а (а/ + сН) *с 00

м(М'М)*-(а0 с)(

а с \ ( /а /с На Нс

(а + с(Нс) * На)(/а + /с(Нс)* На)* (а(/а)*/с + с)(Нс + На(/а)*/с)* 0 0 (сН)*а(/(сН)*а)* (а/)*с(Н(а/)*с)* \ -0 \0 -(сН + а/)* а (а/ + сН)* с

00

4. Конечные автоматы над квемикольцами и теорема Клини

Рассмотрим конечные автоматы над квемикольцами и докажем теорему Клини. (Л, V) обозначает пару полукольцо-полумодуль Конвея, а Т — обобщенное квемикольцо со звездой Л х V. Кроме того, Л — это Л

Л' Т

А -

задается следующими компонентами:

(1 (Ш

(IV

(V

конечное множество состояний {1,... ,п}, п ^ 1; матрица переходов М е (Л и {0,1})пхп-1 вектор начальных состояний I е (Л и {0,1})1хп; вектор конечных состояний Р е (Л и {0,1})пх1; множество повторяющихся состояний {1,..., к}, к ^ 0.

Поведение автомата А является элементом в Т и определяется как

Если А = (п, ^ г2), ( а В ) ' (Ц) >к),где г1 е (А и {0,1})1хк, г2 е

(А' и {0,1})1х(п-к\ а е (А' и {0,1})кхк, 6 е (А' и {0,1})кх(п-к\ с е (А' и {0,1})(п-к)х\ в е (А' и {0,1})(п-к)х(п-к\ р1 е (А' и {0,1})кх1, Р2 е (А' и {0,1})(п-к)х1; то мы будем записывать также

А = (п; г1,г2; а, 6, с, В; Р1/Р2; к).

Пусть теперь (А, V) — полная пара полукольцо-полумодуль. Рас-смотр(м конечный А'-автомат А = (п; г1,г2; а,6,с,В;Р1,Р2; к), матрицу

М = ас В6

"к = ( (а *6В *с)" + (а * 66 * с) * а" М = ^ сВ* (а*6В*с)" + сВ* (а*6В*с)*а"

А

слагаемом элементов матрицы М "к блок и 6 ж с встречаются бесконечно г

г

{1, . . . , к}

{ к + 1 , . . . , п} М к

блок а встречается бесконечно часто, а блоки 6 и с — лишь конечное г

г

{1, . . . , к}

{ к + 1 , . . . , п}

г

рицы М"к состоит из сумм весов непересекающихся множеств бесконечных путей. Кроме того, каждый вес бесконечного пути подсчитан не менее одного раза. Следовательно, имеем следующий результат.

Теорема 4.1. Если (А, V) — полная пара полукольцо-полу модуль и А — конечный А'-автомат, то ||А|| = Е + I, где Е — сумма, весов всех конечных пут,ей из начального состояния в конечное состояние, умноженная на, начальный и конечный веса этих состояний, I — сумма весов всех бесконечных путей, начинающихся в начальном состоянии, проходящих бесконечно часто через повторяющиеся состояния, и умноженная на, начальный вес этого начального состояния.

По определению и-'¿Ка^А') — обобщенное квемикольцо со звездой,

А'

Докажем теорему Клини. Пусть а е А х V. Тогда а е и-Ка^А) то-

а А'

стижения этого результата потребуется несколько теорем и следствий.

Пусть А = (п, I, М, Р, к) — конечный А'-автомат. Он называется нормированным, если:

0) п ^ 2 и к < п — 2;

(И) In_1 = 1 и / = 0 для ,] = п — 1; (ш) Рп = 1 и Р/ = 0 для ] = п; (Нг) Мгп_1 = 0 и Мп,г = 0 для всех 1 ^ г ^ п.

Теорема 4.2. Любой конечный А'-автомат А = (п, I, М, Р, к) эквивалентен нормированному конечному А'-автомату А' = = (п + 2,1',М', Р', к).

/ М 0 Р \

Доказательство. Определим I' = (0 10) М' = I 0 0 и

V о оо/

P'

Пусть теперь А = (п; г1,г2; а, Ь, с, (; р1,р2; к). Тогда (а Ь 0 р1 \

M' =

с d 0 p2 il i2 0 0 V 0 0 0 0 J

и первые к элементов матрицы М'Шк равняются

/ ( 0 Р2 \ * [С а + (Ь 0 р1) ¿2 0 0 ¿1

V 0 0 0 ) V 0

/ / (* 0 (*Р2 \ / с

= а + (Ь 0 Р1Н ¿2(* 1 ¿2(*Р2 ) \ г1

0 0 1 0

= (a + bd*с)ш .

Следовательно, последние n — к + 2 элементов матрицы M'Шк ршзны

/ d 0 Р2 \*f с \ f d*с \

i2 0 0 [ ii (a + bd*с)ш = i2d* с + ii (a + Ьд*с)ш, 0 0 0 0 0

получим ||A'|| = I'M'*P' + I'M'Шк = (M'*)n+l,n+2 + (M'Шк)n+i = = IM *P + ^*с + ii)(a + bd *с)ш = IM *P + IMWk = ||A||. a

Лемма 4.3. Если А =

А'

конечный

||A|| = il(a + bd * с)* (pl + bd*p2)+ i2d*^a + bd* с)* (pl + bd* p2) + +i2d *p2 + ii(a + bd * с)ш + i2 б*с(й + bd *с)ш .

Доказательство. Имеем ( а 6 В (

Р1 Р2

(а + 6В *с)* В *с(а + 6В *с)*

+(г1 г2У (а + 66 *с*"

+

к

=

(а + 6В * с) *6В* В *с(а + 6В* с) *6В * + В*

Р1 Р2

+

В*с(а + 6В *с)"

= г1(а + 6В * с) * р1 + г1(а + 6В *с) *6В *р2 + г2В *с(а + 6В* с) *р1 + +г2В *с(а + 6В *с) *6В* р2 + г2В* р2 + г1(а + 6В * с)" + +г2В* с(а + 6В* с)"

Предположим что А = (п; г1 ,г2; а,6,с,В; В,д; т) и А' = = (п'; Н,г; а', 6', с', В'; р1,р2; к) — конечные А'-автоматы. Определим тогда конечные А'-автоматы А + А' и А • А' как

А + А' = (п + п';(г1 Н), (г2 г);

а О О а'

В р1

6 О О 6'

О

д р2

,т + к)

ВО

О В'

А • А' = (п + п';(г10), (г2 0);

а ВН В ( 6 О а' , О

Вг 6'

с дН

О

р1

О

р2

,т + к).

В дг О В'

А • А'

(Н г) е

е (А' и {0,1})пхп , либо А' нормирован. Заметим, что определения автоматов А + А' и А • А' (и автомата А, который определен ниже) обычные, за исключением того что некоторые строки и столбцы переставлены. Эти перестановки необходимы, так как множеством повторяющихся

состояний конечного А'-автомата всегда является {1,... ,к}.

А А' А'

А А'

М=

а 0

с

V 0

а 0

6

0 В

0

0 \ 6'

0 В'

с

0

с

0

с

Вычислим теперь первые т + к элементов матрицы МШт+к. Этот вектор-столбец размерности т + к задается как

a0 0 a'

+

b0 0 b'

d0 0 d'

a + bd*с 0 0 a' + b'd' * с'

с0 0 с'

(a + bd *с)ш (a' + b'd' * с')ш

Последние n + n' — (m + к) элементов матрицы MШт+к задаются произведением матрицы

d0 0 d'

с0 0 с'

d с 0 0 d' * с!

с вектор-столбцом, вычисленным выше. Следовательно, получаем по лемме 4.3

||A + A'|| • 0 = (ii hi2 i)MWm+k = ii(a + bd*^W + h(a' + b'd'*+ i2 d*^a + bd *с)ш + id' * с' * (a' + b'd' * с')ш = (||A|| + ||A'||) • 0.

Вычислим теперь ||A + A'||^. Если в матрице пер входов M автомата A+A' переставить m + 1,..., m+к строки и столбцы с m+к + 1,... ,n+к строками и столбцами и то же самое сделать с начальным и конечным векторами, то по тождеству «звезда перестановки» получим

a b 0 0

+

0 * f

0 g

b' pi

d' V Р-2 )

a' b' ]*( Pi

с' d' p2

M=

/ a fh b fi\

0 a' 0 b'

с gh d gi

0 с' 0 d'

Вычислим теперь первые m + к элементов матрицы MШт+к. Этот

*

*

с

*

g

вектор-столбец размерности m + к задается как +

a fh 0 a'

b fi 0 b'

d* d* gid'* 0 d'*

c gh 0 c'

a + bd *c (f + bd* g)(h + id'* c') 0 a' + b'd' * c'

(a' + b'd' * c'y

Последние n + n' — (m + к) элементов матрицы Mзадаются как произведение матрицы

d gi 0 d'

c gh 0 c'

d *c d * g(h + id' * c') 0 d' c'

с вектор-столбцом, вычисленным выше. Поэтому получим

||А • А'|| • 0 = (г1 0 г2 0)М"™+к = г1 (а + 6В*с)"+

+г1(а + 6В *с)*(В + 6В* д)(Н + гВ'* с)(а' + 6'В' * с')" + г2В *с(а + 6В *с)"+

+г2В *с(а + 6В *с)*(В + 6В* д)(Н + гВ'* с')(а' + 6'В'* с')"+

+г2В*д(Н + гВ'*с') (а' + 6'В'*с')" .

С другой стороны, по лемме 4.3 получим

||А|| • ||А'|Ь 0 = ||А|| • 0 + ||А|Ц-||А'||- 0 = = г1(а + 6В * с)" + г2В *с(а + 6В *с)" + (г1(а + 6В *с)*(В + 6В * д) + +г2В*с(а + 6В* с)* (В + 6В * д) + г2В * д)(Н + гВ' * с')(а' + 6'В' * с')" .

Вычислим теперь ||A  A'||^. Если в матрице пер входов M автомата A  A' перестави ть m + 1,... ,m + к строки и столбцы cm + к + 1,... ,n + к строками и столбцами и то же самое произвести с начальным и конечным векторами, то по тождеству «звезда перестановки» получим

=(iii2)(a d) (g

a b fh fi

c d gh gi

0 0 a' b'

0 0 c' d'

a' b' c' d'

0

0

pi

\P2 J

Pi P2

'jJ

'jJ

Пусть А = (п; Н, ц а, Ь, с, 0; д; к") — конечный А'-автомат, и запишем I = (Н г), М = ^ а й ^ и Р = ^ дО. Определим теперь конечный А' -автомат А как

А = (1 + п + п;(10), (00);(0 0) .

Р о М)';(о) > ( о) ;1 + к

А

М' =

/ 0 Н г I \

0 а Ь 0

0 с й 0

V Р 0 0 М }

Вычислим СНс1ЧсЩс1 ||АЦ. Заметим, что М' можно записать как

( 0 II \

М' = 0 М 0 Р0М

М >" = {(Ц){ М £)'( Р

Вычислим теперь первые 1 + к элементов матрицы М'Ш1+к. Этот вектор-столбец размерности 1 + к задается как

0 Н \ + ( г I \ ( 0 0 \* ( 0 с ' 0 а + Ь 0 0 М Р 0

т *р н + го * с

0 а + Ьй с

Теорема 4.6. Пусть А = (п, I, М, Р,к) — конечн ый А!-автомат. Тогда, существует конечный А'-автомат А\ ||А1|| = ||АЦ.

Доказательство. ||А||1 = (пД, М, Р, 0).

*

а е А' и { 0, 1 } А'-автомат Аа такой, что ||Аа|| = а.

А'

А'

Теорема 4.9 (Теорема Клини). Пусть (АV) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. Тогда следующие утверждения эквивалентны для (в, у) е А х V:

(г) (в,у) = ||А||, где А — конечный А'-автомат, (И) (в, у) е и-Ша^А!),

(Ш) в е Ш1(А!) и у е £Кк<т вкС где вк^ е ШХ(А!).

Доказательство. (11) ^ (ш). Каждый элемент матрицы М"к имеет вид (в, £ 1<к<т в к е в,вк,Ьк е Ша^А1).

(Ш) ^ (и). (в, у) = (в, 0) + (0, у). Поскольку (в, 0) лежит в Ша1(А') С и-Ша1(А') и (0, у) = (0,£ 1<к<т вклежмт в и-Ша1(А'), то (в, у) лежит в и-Ш^А'').

(И) ^ (1). По следствию 4.8.

Рассмотрим линейные системы над квемикольцами как обобщение регулярных грамматик с конечными и бесконечными выводами. Перед тем как перейти к этим системам, докажем две теоремы о матрицах (теоремы 5.1 и 5.4 для пар полукольцо-полумодуль Конвея) и две теоремы о полных парах полукольцо-полумодуль (теоремы 5.5 и 5.6).

Теорема 5.1. Пуст ь (А, V) - пара полукольцо-полу модуль Конвея. Тогда для 0 ^ к ^ п

Ма имеет размерность к х к, а В — (п — к) х (п — к). Тогда по теореме 3.13

5. Линейные системы над квемикольцами

ММ"к = М"к .

Две леммы необходимы для доказательства теоремы 5.4.

Лемма 5.2. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея и 0 < к < п. Пусть а е Акхк, Ьо,Ьг е Акх(п~к\ с е А(п~к)хк,

Оо,Ог е А(п к)х(п к). Кроме того, пустъ Мо =

ас О] У Тогда (Мо + Мг)Шк = (М*Мг)Шк . Доказательство.

Ьо Оо

и Мг =

(М* Мг)Шк =

Е Ьо0*о

0 0*0

а Ьг с Ог

= ( а + Ьой*с Ьг + Ьо0*00\

0*0с

(а + Ь*0 0 с + (Ьг + Ьо О*Ог)(О*Ог)* 0*0с)ш (йОйг)* с(а + ЬоО*ос + (Ьг + ЬоОоОг)(ОоОг) *й*с)и

Верхний блок равен (а + Ь00*с + Ьг(Оо + Ог)*с + Ьо(ОоОг)(ОоОг)*0*с)ш = = (а + (Ьо + Ьг)(Оо + Ог) * с)ш. Нижний блок р авен (Оо + Ог) *с(а + (Ь0 + +Ьг)(0о + Ог)*с)ш. Следовательно, наша лемма доказана. ц

Лемма 5.3. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея и0 < к < п. Пусть а*,аг е Акхк, Ь е Акх(п~к\ со,сг е А(п~к)хк,

( е А(п~\х(п~к\ а% = 0. Кроме того, пустъ М* = ^ ^ 0 ) и Мг =

а] 0^-Тогда (Мо + Мг)Шк = М* (МгМ* )Шк . Доказательство.

(Мг М* )Шк =

аг Ь сг О

а

0

с0а 0 Е

о

= аг а 0 + Ьс0а Ь сгао + Осоа** О

((аг + ЬО* (со + сг))а* )ш (О *сг + О *Осо)(а*0 (аг + ЬО * (со + сг)))"

Отсюда

М*(М М*)Шк = ( (ао(аг + ЬО*(со + сг)))ш Мо (МгМо) = ^ о * (со + сг)(а*0 (аг + ЬО * (со + сг)))"

На последнем шаге использовано тождество «омега-сумма» и использовано допущение = 0. Следовательно, лемма доказана. ц

Теорема 5.4. Пусть (A, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея, 0 < k < п. Пусть ao,ai G Akxk, bo,bi G Akx(n-k\ co,ci G A(n-k)xk, do,di G A(n-k)x(n-k), и (a0 + bod0co)'JJ = 0. Кроме того, пусть

Moi=( о do )  Mo2=( % о ) » m=( ai >n

Тогда,

(Mo*iMo2)*(Mo*iMi(Mo*iMo2)*)* M^i = (Moi + M02 + Mi)*, (M* 1M02)*(M*iMi(M*iMo2)*)'k = (Moi + Mo2 + Mi)'k .

Доказательство. Левая часть первого равенства равна (M*i(Mo2 + M\))*M*i = (Moi + Mo2 + Mi)*. Левый верхний блок матрицы M*iMo2 равен ao + bod*co. Следовательно, по лемме 5.3 левая часть второго равенства равна (M*i(Mo2 + Mi))'k, что по лемме 5.2 равняется (Mo i + Mo 2 + Mi) 'k.

A

двух теоремах — конечный или бесконечный алфавит.

A

(A((£j^)), A((£^))) — полная пара полукольцо-полу моду ль.

Доказательство. Очевидно, что A((£')) —левый A((£*c))-полумодуль, и, кроме того, действие распределяется над всеми суммами по обоим аргументам. Пусть дана последовательность si,s2,... в A((£^)), определим s = siS2 ... как

(s,w) = Е (Sl,Wl)(S2,W2) ...

W=WlW2.

для всех ш € £ Проверим, что бесконечное произведение удовлетворяет всем трем условиям для операции бесконечного произведения в определении полной пары полукольцо-полумодуль главы 2.

Если «о, «1,.. .в А((£ ^)) и 1 ^ к\ ^ к2 ..то для всех ш € ££

Joo

((Si . . . skl )(skl+í . . . Sk2 ) ...,w) =

= E w=w'1w'2 ...(S1 . . . Skl ,w1 )(ski+1 ...sk2 ,w2) ... = = EW=w1w<2... Ew'=wi...wkl (s1 ,w1) . . . (ski ,wki

* E W'2=wkl+1...wk2 (ski+1,wki + 1) ... (sk2 ,wk2 ) ... =

= J2w=w[w'2 ... Ew'=wi...wkl ,w'2=wkl+l...wk2 ,...(si,wi) . . . (skl ,wkl )X

*(ski+1,wki + 1) ... = Ew=wlw2...(s1,w1)(s2,w2) ... = (s1s2 ...,w),

что доказывает первое условие. Аналогично

(so • (S1S2 ...),w) = E w=w0w' (so,wo )(SiS2 ...,w') =

= E w=wow' (s0,w0) E w'=WlW2...(s1,W1)(s2, w2) ... = = E w=wow'J2 w'=wiw2 ...(s0,w0 )(s1,w1)(s2, w2) ... =

= E w=w0wlw2...(s0,w0 )(s1,w1)(s2 ,w2) ... = (s0 S1S2 ...,w),

что доказывает второе условие. Наконец, пусть в€ А((£^)) для всех ij € I'}, ] ^ 1, где каждое ^ — произвольное множество индексов. Тогда для каждого ш € £ ^

г-1^1-1 52г2^12 в2 •••,ш) = 2

= 52т=т1 т2...(52г1£11 вп ,Ш1 )(52г2£12 в'2 • • • =

^52т=т1т2...52(г1,г2,...)£11х12х...(вч ,Ш1)(в'2 • • • =

= 52 (и .12,... )е Их 12 х ...52т=т1т2...(в1 , Ш1)(в'2. =

(г1,г2,...)е11х12х... \вП ,

(в1 в2

(11,12,...)€Ьх 12 Х^А^п"%2

что доказывав третье условие.

Теорема 5.6. Пусть А — полное звезда-омега-полукольцо. Для

М(Л € (А((£*^)))пхп, з ^ 1 определим П7>1 М(^ как

^ М(^)г = £ М^М^М^ •••, 1 < i < „•

j>1 1^Ъ1,г2,...^п

((А((£^))))пХп, (А((£^0)))п) — полная пара полукольцо-полу моду ль.

Доказательство. Мы проверим только третье условие для операции бесконечного произведения в определении полной пары полукольцо-полумодуль главы 2.

Пусть М(гз) € (А((£^)))пхп для з ^ 1 Тогда для 1 ^ к ^ „

(Пj>l(EгJе1> М(г>у))к =

= £ 1^1М....<п(£че11 М(г1))кк1 (£%2£12 М(г2))к1к2 ••• = -V V М (г1) М (г2 ) =

^ (Ъ1,г2,...)е11х12х... ,к2,...4п Мкк1 Мк1к2 ••• ~

= 52(г1,г2....)е11х12х...(Пj>l М))к ,

завершая проверку третьего условия.

А'-линейной системой (относительно переменых г1, • • •, хп над кве-микольцом А х V) является система уравнений

Му + Р = у,

/ \

где М € (А' и {0,1})пхп, Р € (А' и {0,1})пх1, у = I : I . Вектор-

столбец а € (А х V)пх1 называется решением системы (22), если

Ма + Р = а •

Теорема 5.7. Пусть (А, V) — пара полукольцо-полумодуль Конвея. А'

Му + Р = у,

где M е (A' U {0,1})nxn; P e (A' U {0,1})nxi; y = I : I вектор-

V 2^/

столбец переменных. Тогда, для любого 0 ^ k ^ n сумма, MШк + M* P является решением системы My + P = y.

Доказательство. По теореме 5.1 для любого 0 ^ k ^ n

m (мШк + m *p ) + p = мШк + m *p .

Пусть Ai = (n, ei, M, P, k), 1 ^ i ^ n,— конечный A'-автомат, где ei — i-й единичный вектор. Тогда ||Ai|| является i-м компонентом решения данного в теореме 5.1 для A'-линейной системы My + P = y.

Тогда назовем решение I : I = MШк + M*P системы My + P =

= y k-м теоретико-автоматным решением системы My + P = y.

Теорема 5.8. Пусть (A, V) — пара, полукольцо-полумодуль Кон-вея и A' С A. Пусть A = (n, I, M, P, k) — конечныи A'-автомат. Тогда, ||A|| = Io, где а есть k-e теоретико-автоматное решение A' -линейной сист емы My + P = y.

A

A'-линейную систему My + P = y над квемикольцом A((£*)) х A((£w)), определенным перед теоремой 5.7 для A = A(£ U е). Запишем эту систему в виде

zi = Е Е (Mij ,x)xzj + Е (Pi,x)x, 1 ^ i ^ n.

i^j^nxeSUs xeSU{s}

Ассоциируем с ней праволпнейную грамматику Gi = ({zi,..., zn}, £, R,zi),1 ^ i ^ n, с весами в полукольце A, где R = {zi — (Mij,x)xzj | 1 ^ j ^ n, x e £ U {е}} U {zi — (Pi,x)x | x e £ U {е}}. Здесь (Mij,x) и (Pi,x) — веса продукций zi — xzj и zi — x соответственно. (См. часть II [2] перед теоремой 3.8.) Кроме того, пусть Ak = (n,ei,M,P,k) есть конечный A'-автомат, 1 ^ i ^ n, для некоторого фиксированного k е {0,..., и}, вде ei есть i-й единичный вектор-строка.

Gi

zi ^ (Mi,i1 ,xi)xizi1 ^ ... ^ (Mi,i1 , xi) ... (Mim_1 ,im , xm)xi . . . xmzim ^

^ (Mi,i1, xi)... (Mim-1

,im , xm)(Pim , xm+i)xi . . . xmxm+i,

который порождает слово xi... xmxm+i с весо м (Mi,i1 ,xi)...

. . . (Mim-1,im , xm)(Pim , xm+i) .

Этот конечный вывод соответствует конечному пути в направленном графе автомата Ak (zi,xi,zi1),..., (zim-1 ,xm,zim) с весом (Mi i1 ,xi)... (Mim-1 im,xm), начальным весом 1 и конечным весом

(Pi m, xm+i)xm+i

Рассмотрим теперь бесконечный вывод относительно Сг

гг ^ (Мг,г1, х{)х1гг1 ^ ••• ^ ^ (Мг,г1 ,Х1) • • • (Мгт_1,гт ,Хт)Х1 • ••ХтХгт ^ •••,

который порождает бесконечное слово Х1 х2 • • • хт • • • с весом (Мг, ,%1 ,Х1) ••• (Мгт_1,гт,Хт) ••• Этот бесконечный вывод соответствует бесконечному пути в направленном графе автомата Ак

(гг, Х1, гг1), • • •, (ггт_1, Хт, ггт) • • •

с весом (Мг,г1 ,Х1) • • • (Мгт_1,гт ,Хт) • • • и начальным весом 1.

Следовательно, согласно теоремам 4.1 и 5.5 получим следующий результат для Сг и Ак, определенных выше.

А

1 ^ i < „, 0 < к < „, то для ш € £*, (\\Ак\\,ш) = ((М*Р)г,ш) яв-лятся суммой весов всех конечных выводов слова ш относительно Сг, а для ш € £ш, (\\Ак\\,ш) = ((МШк)г,ш) являтся суммой весов всех конечных выводов слова ш относительно Сг, таких, что не менее одной из переменных {.-¡^^••^к} встречается, в этих бесконечных выводах бесконечное число раз.

В частности, если А = и (М^,х), (Рг,х) € {0,1} Х € £ и {е}, 1 ^ i,j ^ „1 то мы получим следующий результат.

Теорема 5.10. Для, ш € £*, (\\Щ\\,ш) = ((М*Р)г,ш) есть число конечных; выводов слова, ш относительно Сг, а для ш € £ш, (\\Ак\\,ш) = = ((МШк)г,ш) есть число бесконечных выводов слова ш относительно С г таких, что не менее одной из п еременных {г1, • • •, гк} встречается, в этих бесконечных выводах бесконечное число раз.

Удалим е-иереходы в конечном А(£ и е)-автомате без изменения его поведения.

Теорема 5.11. Пусть (А((£*)),А((£Ш))) — пара полукольцо-полумодуль Конвея, (ае)ш = 0 для всех а € А, и рассмотрим конечный А(£ и е)-автомат А = („,1,М,Р,к). Тогда, существует конечный А(£ и е)-автомат А' = („, I', М', Р', к), \\А'\\ = ЦАЦ, с условиями:

М' € (А(£))пхп

(и) I' € (А(е))1хп;

(иг) Р' € (А(е))пх1.

Доказательство. Без потери общности предположим по теореме 4.2,

что I € (А(е))1хп и Р € (А(е))пх1. Пусть М = ^ а Ь),гдеа-

размерности к х к и й — размерности („ — к) х („ — к). Пусть а = ао + а1, Ь = Ьо + &ь с = со + СЬ й = йо + й.1, так что носители элементов матриц ао, Ьо, со, йо (соответственно а1,Ь1,01,й{) являются подмножествами в {е} (соответственно £). Поскольку еш = 0, получим (ао + Ьойо^)ш = 0.

Определим матрицы Mqi,Mq2 и M\ как Moi = ^ 0 do^7

M02 = 0 ^ и Mi = (^a1 Опишем теперь конечный

A(£ U е^^^тамат A': I' = I(M*1MO2)*, M1 = M*1MI(M*1MO2)* и P ' = MqiP. Поведение авто мата A' задается как

||A'|| = I'M ' * P ' + I'M 'Шк = = I(M*iM02)* (M *iMi (M* 1M02)*)*M* 1P+ +I (M* 1 Mo 2)* (m* 1 Mi (M*iMo 2)*)Шк = = I (Moi + M02 + Mi )* P + I (Moi + M02 + MiYk = = IM*P + IMШк = ||A|| .

Мы применили здесь теорему 5.4 в третьем равенстве.

Теорема 5.12. Пусть (Л((Т,*)),Л((Т,Ш))) — пара полукольцо-полумодуль Конвея, где (ае)ш = 0 для всex a G Л, и рассмотрим конечный Л(£ U е)-автомаm A = (n, I, M, P, h). Тогда, существует конечный A(£ U е)-автомаm A' = (n + 1,I',M',P', h) такой, ч,то ||A'|| = ||A||, удовлетворяющий следующим условиям:

(г) M' g (л(Щ(п+1)*(п+1);

(ii) Ij = 0 1 ^ j ^ n, and I'n+i = е;

(ni) P' G (A(e))(n+i)xi.

A

теоремы 5.11. Тогда определим автомат A' через I' = (0 е),

,w f m 0 \ / P \ „ (m* 0

M = ( im 0 I и P =1 ip I. Вычислим M = I imM* 1

a b

и, для M = ^ a I = (ii Ï2),

fa b 0 \Шк

IM 'шк = c d 0

V iia + i2c iib + i2d 0 /

(a + bd*с)ш \ ы МШк а

d * c(a + bd * c) = MM Шк

d*c) + i2d*c)(a + bd*c)ш \ J

V (к(а + Ьй*с) + i2d*с)(а + Ьй*с)и

В булевом полукольце конечные Б(£ и е)-автоматы в теореме 5.12 есть не что иное, как конечные автоматы, введенные ВиесЫ [6]. В случае полукольца получим следующий результат.

Теорема 5.13. Построения теорем 5.11 и 5.12 для, w € X* (соответственно для, w € не изменяют число конечных путей в диграфах конечных автоматов с мет,кой ад из начального в конечное состояние (соответственно число бесконечных путей с меткой w, начинающихся в начальном состоянии и проходящих бесконечное число раз через повторяющиеся состояния).

Пусть дана праволинейная грамматика С г = ({г1,... ,гп}, X, Я, гг), 1 ^ г ^ щ определенная как и ранее, и к € {0,..., и}, Ь(Сг)к по определению есть взвешенный язык

Ь(Сг)к = {((М*Р)г^ | w € X*} и {((МШк)г^ | w € Хш} .

Следующая теорема 5.14 показывает, что такие взвешенные языки могут порождаться праволинейными грамматиками с весами в полукольце А, которые имеют только два типа продукций гг ^ ахг^ и гг ^ ае, где а € А и х € X. Следовательно, в таких праволинейных грамматиках не содержатся продукции гг ^ аг^. Следствие 5.15 показывает тогда, что два типа продукций могут быть выбраны как гг ^ ахг^ и гг ^ ах, где а € А и х € X.

Теорема 5.14. Пусть (А^*)), А^Г,1^))) — пара полукольцо-полумодуль Конвея, где (ае)ш = 0 для всех а € А. Рассмотрим А(X и е)-линейную систему ММ у + Р = у, где М € (А(X и е))пхп;

I г1 I

Р € (А(X и е))пх1; у = I : I ; и пусть г € {1,...,и}. Тогда существует А^ и е)-линейная система, М'у' + Р' = у', где

)х1. „/ = ( у

такая, что

М' € (А^^*^1; Р' € (А(е))(п+1)х1; у' = ( У V

у гп+1 у

(М'Шк + М'*Р')п+1 = (МШк + М*Р)г.

Доказательство. Рассмотрим конечный А^ и е)-автомат Ак = (и, ег,М,Р, к) с поведением ЦЩ|| = (М*Р)г + (МШк)¿. Начиная с Ак выполним построения теорем 5.11 и 5.12. Это дает конечный А^ и е)-автомат А' = (и + 1, еп+1, М', Р', к) с поведени ем ||А'|| = = (М'*Р')п+1 + (М,Шк )п+1 = ЦАк ||.

Следствие 5.15. Пусть (А^*)), А^1^))) — пара полукольцо-полумодуль Конвея, где (ае)ш = 0 для всех а € А, рассмотрим А(X и е)-линейную систему Му + Р = у, где М € (А(X и е))пхп;

Р € (А(X и е))пх1; у = | : | , и пусть г € {1,...,и}. То-

\ гп /

гда существует A(X и е)-линейная система, М'у' + Р' = у', где М' € (А^^*^1; Р' € (А^))^1^1; у' =( У ) такая, что

у гп+1 у

(М'Шк + М'*Р')п+1 = (МШк + ММ*Р)г.

Доказательство. Пусть M'y' + P '' = y' теть A(£ U е)-линейная система, построенная согласно теореме 5.14 из My + P = y. Рассмотрим A(£ U е)-линейную систему M'y' + P' = y', где P' = M'P''. Тогда (М'шк + M' * P')n+i = (М'шк + M' * M'P'')n+i = (Мшк + MM *P)i. n

Если мы рассмотрим Nœ(X U е)-линейную систему, то получим следующий результат о выводах относительно праволинейной грамматики Gi, определенной выше.

Теорема 5.16. Построения теоремы 5.Ц и следствия 5.15 для w G (соответственно для w G не изменяют число конечных выводов слова w относительно Gi (соответственно число бесконеч-

w Gi

переменных {zi,..., zn} встречается, в этих бесконечных выводах бесконечное число раз).

Следовательно, построения переводят однозначную грамматику в однозначную грамматику.

Исследование частично поддержано акцией Австро-Венгерского научно-педагогического сотрудничества, проект 680 U2.

Supported by Aktion Österreich-Ungarn, Wissenschafts- und Erziehungskooperation, Projekt 68ÖU2.

Список литературы

1. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы I: полукольца Конвея и конечные автоматы // Вестник Калининградского государственного университета. Вып. 3. Сер. Информатика и телекоммуникации. 2003. С. 7—38.

2. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы II: непрерывные полукольца и алгебраические системы // Вестник Калининградского государственного университета. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. 2005. С. 19—45.

3. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы III: магазинные автоматы и формальные степенные ряды // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 10. Сер. Физико-математические науки. 2006. С. 8—27.

4. Алешников С. И., Болтнев Ю. Ф., Език 3. и др. Формальные языки и автоматы IV: трансдукторы и абстрактные семейства // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 10. Сер. Физико-математические науки. 2008. С. 6—23.

5. Bloom St. L., Esik Z. Iteration theories. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. Springer, 1993.

6. Buechi J. R. On a decision method in restricted second order arithmetic // Proc. Int. Congr. Logic, Methodology and Philosophy of Science. 1962. P. 1-11.

7. Conway J. H. Regular algebra and finite machines. Chapman & Hall, 1971.

8. Elgot C. Matricial theories // J. Algebra. 1976. N 42. P. 391-422.

9. Esik Z., Kuich W. Inductive *-semirings // Theoretical Computer Science. 2004. N 324. P. 3-33.

10. Esik Z., Kuich W. On iteration semiring-semimodule pairs // Semigroup Forum. 2007. N 75. P. 129-159.

11. Esik Z., Kuich W. A semiring-semimodule generalization of w-regular languages II // Journal of Automata, Languages and Combinatorics. 2005. N 10. P. 243-264.

Об авторах

С. И. Алешников — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, cyber@mathd.albertina.ru

Ю. Ф. Болтнев — ст. преп., РГУ им. И. Канта, cyber@mathd. albertina.ru

3. Език — д-р, Сегедский ун-т, Венгрия.

С. А. Ишанов — канд. физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта, math@dekan.albertina.ru

В. Куих — д-р, Венский техн. ун-т, Австрия.

Autors

Dr. S. I. Aleshnikov - assistant professor, IKSUR, e-mail: cyber@mathd. albertina.ru

Yu. F. Boltnev - high instructor, IKSUR, e-mail: cyber@mathd.albertina.ru

Dr. Z. Esik - University of Szeged, Hungary.

Dr. S. A. Ishanov - professor, IKSUR, e-mail: math@dekan.albertina.ru

Dr. B. Kuich - Technische Universitflt Wien, Austria.