РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УСТОЙЧИВЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОЧЕК ДИФФЕОМОРФИЗМА ПЛОСКОСТИ С ГОМОКЛИНИЧЕСКОЙ ОРБИТОЙ

2021 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 8 (66). Вып. 2

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925.53

МБС 37С75, 37С29, 34С37

Различные виды устойчивых периодических точек диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой*

Е. В. Васильева

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Васильева Е. В. Различные виды устойчивых периодических точек диффеоморфизма плоскости с гомоклинической орбитой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 2. С. 295-304. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.209

Рассматривается диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой, предполагается наличие нетрансверсальной гомоклинической точки. Устойчивое и неустойчивое многообразия касаются друг друга в гомоклинической точке, существуют различные способы касания устойчивого и неустойчивого многообразий. В работах Ш. Ньюхауса, Л. П. Шильникова и других авторов изучались диффеоморфизмы плоскости с нетрансверсальной гомоклинической точкой, в предположении, что эта точка является точкой касания конечного порядка. Из работ этих авторов следует, что в окрестности гомоклинической точки может лежать бесконечное множество устойчивых периодических точек, наличие такого множества зависит от свойств гиперболической точки. В данной работе предполагается, что гомоклиническая точка не является точкой, в которой касание устойчивого и неустойчивого многообразия является касанием конечного порядка. Выделяют счетное число видов периодических точек, лежащих в окрестности гомоклинической точки; точки, принадлежащие одному виду, называются п-обходными, где п — натуральное число. В предлагаемой работе показано, что в случае если касание не является касанием конечного порядка, окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки может содержать бесконечное множество устойчивых однобходных, двухобходных или трехобходных периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Ключевые слова: диффеоморфизм, нетрансверсальная гомоклиническая точка, устойчивость, характеристические показатели.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №19-01-00388).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2021

1. Введение. В предлагаемой работе изучается двумерный диффеоморфизм с неподвижной гиперболической точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. В статье показано, что произвольная окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки может содержать бесконечные множества однобходных, двухоб-ходных или трехобходных устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Периодическая точка диффеоморфизма, которая лежит в достаточно малой окрестности траектории гомоклинической точки, является г-обходной, если ее траектория образует г витков (г € N1), находящихся вне достаточно малой фиксированной окрестности гиперболической точки.

Как известно, нетрансверсальной гомоклинической точкой называется точка, которая лежит в пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий гиперболической точки, причем эти многообразия касаются друг друга в гомоклинической точке. Нетрансверсальные гомоклинические точки различаются по способу касания устойчивого и неустойчивого многообразий. Прежде всего, выделяют гомоклиниче-ские точки с конечным порядком касания. Окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки с конечным порядком касания изучалась в работах Ш.Ньюхауса, Л. П. Шильникова, Б. Ф. Иванова и других авторов [1—4].

Пусть / — диффеоморфизм плоскости в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат, предполагается существование нетрансверсальной гомо-клинической к ней точки. Предположим, что

Из работ [1-4] следует, что существует такое неограниченное множество положительных действительных чисел Я, что если в € Я, то в окрестности нетрансвер-сальной гомоклинической точки могут лежать бесконечные множества устойчивых двухобходных или трехобходных периодических точек. Из статьи [2] следует, что хотя бы один из характеристических показателей у двухобходных устойчивых периодических точек стремится к нулю с ростом периода. Также из [1-4] следует, что если в € Я, то окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки не содержит устойчивых двухобходных или трехобходных периодических точек.

В данной работе предполагается, что нетрансверсальная гомоклиническая точка не является точкой с конечным порядком касания. Основная цель работы — показать, что в этом случае в произвольной окрестности нетрансверсальной гомокли-нической точки могут лежать бесконечные множества устойчивых однообходных, двухобходных или трехобходных периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Пример диффеоморфизма плоскости с бесконечным множеством устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями, траектории которых лежат в ограниченной части плоскости, приведен в [5]. Предлагаемая работа является продолжением работ [6, 7]. В этих статьях изучается окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки в предположении, что гомоклиническая точка не является точкой касания конечного порядка.

где

0 < А < 1 <

Пусть

1п ^

Даны достаточные условия существования в окрестности гомоклинической точки бесконечных множеств однообходных или двуобходных устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. В данной работе показано, что при любых в > r, r G {1, 2, 3}, в окрестности гомоклинической точки может существовать бесконечное множество r-обходных устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями.

2. Основные определения и обозначения. Пусть f — Ci -диффеоморфизм плоскости в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат. Пусть Ws(0), W"(0) — устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической точки диффеоморфизма f, где

[ k^+w

[ k^+w

а fk, f-k — степени диффеоморфизмов f и f-i .

Предполагается наличие нетрансверсальной гомоклинической точки, а именно предполагается, что в пересечении устойчивого и неустойчивого многообразия лежит отличная от нуля точка w, причем эта точка является точкой касания данных многообразий. Ясно, что

k^+w k^+w

Предположим, что f линеен в некоторой ограниченной окрестности Vo начала координат, точнее, если (ж, y) G Vo, то

f

Пусть wi и W2 — две такие точки из орбиты гомоклинической точки w, что wi G Vo, W2 G Vo, и их координаты имеют вид wi = (0, y0), w2 = (ж0, 0).

Предположим, существуют такие действительные числа Л, i, что А < А < 1, 1 < i < i и справедливо включение

Из определения гомоклинической точки следует, что существует натуральное число w > 1 такое, что fW(wi) = w2. Пусть точки wi и w2 и множество V таковы, что f k(wi) G V, k =1, 2, ..., w - 1.

Пусть U — такая окрестность точки wi, что U С V, f"(U) С V, fk(U) p| V = 0, k =1, 2, ..., w — 1, и множества U, f (U), ..., f"(U) попарно не пересекаются. Назовем

Uo = VUf

расширенной окрестностью гомоклинической точки.

Периодическая точка u G U называется r-обходной периодической точкой, если ее траектория лежит в Uo и пересечение ее орбиты с U состоит из r различных точек. Таким образом, в Uo определено счетное число видов периодических точек.

Обозначим через Ь сужение fш | и. Ясно, что Ь — отображение класса С1. Запишем отображение Ь в координатах:

Ь

где (х, у — у0), ^2(х, у — у0) — С 1-функции, определенные в и, такие что (0, 0) = ^2(0, 0) = 0. Матрица ДЬ(0) невырожденная.

Касание устойчивого и неустойчивого многообразия в точке и>2 называется касанием конечного порядка, если существует такая величина 1 > 1, что

^2(0,0) = = Э'-^2(0,0) 0*^(0,0) ш

ду ••• ¿у-1 ' ду1 Г {>

В работах [1-4] исследовалась окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки, предполагалось, что касание устойчивого и неустойчивого многообразия в точке и>2 является касанием конечного порядка. В данной работе исследуется окрестность нетрансверсальной гомоклинической точки, в случае когда и>2 не является точкой касания конечного порядка.

3. Формулировка теорем. Пусть f — С1 -диффеоморфизм плоскости в себя с гиперболической неподвижной точкой в начале координат и нетрансверсальной го-моклинической к ней точкой. Предположим, что в некоторой ограниченной окрестности начала координат выполнены условия (2). Пусть и>1 = (0, у0), и>2 = (х0, 0) — две такие точки из орбиты гомоклинической точки ад, что справедливо включение (3) и определена расширенная окрестность Ц^. В окрестности и точки и>1 определено отображение Ь = /ш |и. Предположим, что

х0 > 0, у0 > 0.

Предположим также, что координатные функции отображения Ь имеют вид

^\(ж,у — у0) = Ь(у — у0) + ж<£ч(ж,у — у0),

^2

где Ь, с — действительные числа такие, что

Ь < 0, с > 0,

а $, у>1, <2 — такие непрерывно дифференцируемые функции одной или двух переменных, что у>1(0,0) = (£2(0,0) = 0, д(0) = 0, ^ ^ = 0. Предположим, что

«у

производные первого порядка функций <£>1, <2 ограничены в окрестности и.

Характер касания устойчивого многообразия с неустойчивым в точке и>2 определяется свойствами функции $. Опишем свойства этой функции с помощью последовательностей. Пусть <к, е^ — такие положительные, стремящиеся к нулю последовательности, что

<к-1 — ек-1 > <к + ей

для любого к.

Пусть ¿к — такая возрастающая последовательность натуральных чисел, что существуют такие целые неотрицательные величины в, п, где п > 1, что при любом к

«к - > в,

Пусть Дк — стремящаяся к нулю последовательность.

Предположим, что функция д такова, что при любом к

д Ы ) =

и существует такая действительная положительная а > 1, что при любом к

йд

Л

<

при г е (<ть - £к, стк + £к).

Из соотношений (11), (12) следует, что исходный диффеоморфизм не удовлетворяет условиям (4), следовательно, точка и>2 не является точкой с конечным порядком касания.

Теорема 1. Пусть / — диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Пусть в > 1, выполнены условия (2), (3), (5)—(12) при в > 0, п = 1, а > 1. Предположим, что при любом к и при фиксированном положительном значении й < 1

Дк + (АМ)гк с (ж° + -

<

тогда в любой окрестности гомоклинической точки лежит счетное множество однообходных устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Доказательство теоремы приведено в [6].

Предположим, что элементы последовательности Дк при в > 1 удовлетворяют одному из условий

Дк < -с

+ - с

Пусть ^ — такая возрастающая последовательность натуральных чисел, что при любом к выполняется 0 < ¿к - ^ < в.

Определим последовательность ¿к как

¿к = (сх° (А)"^ + Дк) (1 - (А)"^ Ьс)-1.

Теорема 2. Пусть / — диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Пусть в > 2, выполнены условия (2), (3), (5)—(12) при в > 1, п = 2, а > 2. Пусть последовательность Дк удовлетворяет при любом к либо неравенству (13), либо (14). Предположим, что существуют такие последовательности и ¿к, что при любом к

д

< £кМ .

Тогда в любой окрестности гомоклинической точки лежит счетное множество устойчивых двухобходных периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Доказательство теоремы приведено в [7].

Пусть тк и Пк — такие возрастающие последовательности натуральных чисел, что при в > 2 и любом к

0 < ¿к — тк < в, 0 < %к — Пк < в, |Пк — тк1 > 0.

По любым последовательностям тк, пк, удовлетворяющим последним условиям, существует такая последовательность тк € (ак + £к, ак-1 — £к-1), что

д(тк)+ е2Ь2 (А)тк+Пк тк =

=

Пусть

Ск =Дк + е (А)Пк (х0 + Ьт„) .

Теорема 3. Пусть / — диффеоморфизм плоскости в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Пусть в > 3, выполнены условия (2), (3), (5)—(12) при в > 2, п = 3, а > 3. Пусть последовательность Дк удовлетворяет при любом к либо неравенству (13), либо (14). Предположим, что существуют такие последовательности тк, пк, удовлетворяющие неравенствам (15), что при любом к

д

где тк определены условиями (16). Тогда в любой окрестности гомоклинической точки лежит счетное множество устойчивых трехобходных периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

4. Вспомогательная лемма. Пусть хк1 = АПк (ж0 + Ьтк), хк2 = Ак (ж0 + Ьак), хк3 = Атк (х0 + ЬСк).

Определим последовательности множеств

1 1 |у — (у0 + ак)| < £к )'

2 I |у — (у0 +Ск)|< £кМ-2'к /,

3 1 |у — (у0 + тк) | < £кИ-'к ) .

Для достаточно больших к справедливы включения и;к С и при I € {1, 2, 3}. Для доказательства теоремы 3 докажем лемму.

Лемма. Пусть выполнены условия теоремы 3, тогда существует к0 такая, что при к > к0 справедливы включения

/<кЬ

Доказательство леммы. Докажем первое из включений (18). Пусть (ж,у) е и1к. Ясно, что ж = жк 1 + и, у = у° + стк + V, где |и| < АПк, |V| < £к. Пусть

Из условий (2), (6) получим

X = жк2 + Aik [bv + (xk1 + (xk1 + u, ak + v)] ,

y = Mik (c(xk1 + u)+g(ak))+Mik [g(ak + v) -g(^k) + (xk1 + u)^2(xk1 + v)] .

Из условий (12) следует, что

|g(o-k + v) - g(ak)| < £kM-aifc, откуда с учетом условий (10) получим

\х-хк2\ < Aifc(|6| + l)ek,

Последние неравенства доказывают первое из включений (18). Докажем второе включение из (18). Пусть (ж,

y) G U2k. Ясно, что X = Xk2 + u,

У = У0 + 6k + v, где |u| < Aik (|b| + 1) £k, |v| < £kM-2ifc. Пусть

( x ] _ ( Ж ]

yy

тогда

X = Xk3 + Amk [bv + (xk2 + u)^1(xk2 + u, 6k + v)] ,

y = Mmk (c(xk2 + u)+g(£k)) + Mmfc [g(6k + v) -g(6k) + (xk2 +u)^2(xk2 + u,6k+v)] .

Из свойств функции g следует, что для достаточно больших номеров k справедливы неравенства

|g(6k + v) - g(6k)| < (m - 1)(2M)-1£kM-2ifc. Отсюда и из условий (17) получим

\х-хк3\ < Аткц-Пк,

| У- (У° + Тк) | <£k^ik-

Последние неравенства доказывают второе из включений (18).

Доказательство третьего включения из (18) проводится аналогично с применением условий (16).

Лемма доказана.

5. Доказательство теоремы 3. Из включений (18) следует, что при достаточно больших номерах к множество lJ\k содержит неподвижную точку z^ = (xj.,yj.) отображения fnk LfmkLf%k L, которая является трехобходной периодической точкой диффеоморфизма f.

Пусть = (х1,у1) = /'"Цг1к),4 = (х3,у3) = /т"Ь(г2к), тогда = /п"Ь(4), где г'к € и,к, I = 1, 2, 3. Обозначим

Фк = В (ГкЬ/™кЬ(4)) = ДТкЬ(г3)В/ткЦ^)/Ь(^).

В дальнейшем Бе^к — определитель матрицы Фк, а ТгФк — ее след. Ясно,что

Dfik L

Dfmk L

Dfnk L(z3) =

Лгk

— у )

ЛгМ Ь+

— у )

ду

дх1р2

гк f d9

dy

хгггк дх<Р1(х,у-у°) Amfc /ь

dx V 1

ду

dxifi(x,y — y ) ду

х~хк У=~к

_ dxtp2(x,y — y ) дх

dg

dy

ду

dxifi (х,у — у° ) ч ( и i dxtpi (х,у — у°

дх I ду

' -+-Э5-

» = »fc

Из последних равенств следует, что существует такая последовательность фк,

что lim фк =0 и

к —^о

Det^fc = -

(bc)3 (1 + фк).

Непосредственными вычислениями легко проверяется следующее утверждение. Пусть ß = min {0 — 3, а — 3}, тогда существует такая независящая от k постоянная P > 0, что при любом k

Пусть pq(k), q =1, 2, — собственные числа матрицы Фк, тогда существуют T > 0 и ко такие, что при любом k>ko и q =1, 2 справедливы неравенства

"ßik

Докажем последние неравенства. Предположим, что неравенства (20) неверны. Пусть последовательность TV такова, что lim TV = Тогда существуют такие

V—+ W

последовательности номеров k(v) и q(v), что lim k(v) = q(v) G {1, 2} при

V—+w

любом v, и

|Pq(v) (k(v))| > TvM-eik(v) .

Пусть q(v) = 1 при любом v, тогда

откуда

P2 (k(v)) = Tr^k(v) — Pi (k(v)), |P2 (k(v))| > |pi (k(v))| — |Tr^k(v)| > (Tv — P) M-eik(v).

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 2

дх

дх

k

ß

y — y

Известно, что

откуда

|Ве^м | > Т, (Т„ - Р) м-2^'.

Величина в определена в (1), поэтому в силу условий теоремы имеем (3(в - 1) - 2в) > 0. Следовательно, получено противоречие с условиями (19). Это противоречие доказывает неравенства (20).

Характеристические показатели 7д(к), д = 1, 2, точек г^ задаются формулами

7д(к) = (тк + Пк + ¿к + 3^)-11п |рд(к)| . Из неравенств (20) следует

/?1п/х

ъ(к) < ——,

где д =1, 2.

Последние неравенства доказывают теорему.

Литература

1. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9—18 (1973).

2. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой. Дифференц. уравнения 15 (8), 1411—1419 (1979).

3. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми. Доклады АН СССР 286 (5), 1049-1053 (1986).

4. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре. Доклады Академии наук 330 (2), 144-147 (1993).

5. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва, Наука (1977).

6. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками. Дифференц. уравнения 48 (3), 307-315 (2012).

7. Васильева Е. В. Устойчивость периодических точек диффеоморфизма плоскости в случае наличия гомоклинической орбиты. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 1, 44-52 (2019). https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2019.103

Статья поступила в редакцию 26 октября 2020 г.;

после доработки 13 ноября 2020 г.; рекомендована в печать 17 декабря 2020 г.

Контактная информация:

Васильева Екатерина Викторовна — д-р физ.-мат. наук; еkvas1962@mail.ru

Different types of stable periodic points of diffeomorphism of a plane with a homoclinic orbit*

E. V. Vasil'eva

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Vasil'eva E. V. Different types of stable periodic points of diffeomorphism of a plane with a homoclinic orbit. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8

A diffeomorphism of the plane into itself with a fixed hyperbolic point is considered; the presence of a nontransverse homoclinic point is assumed. Stable and unstable manifolds touch each other at a homoclinic point; there are various ways of touching a stable and unstable manifold. In the works of Sh. Newhouse, L. P. Shilnikov and other authors, studied diffeomorphisms of the plane with a nontranverse homoclinic point, under the assumption that this point is a tangency point of finite order. It follows from the works of these authors that an infinite set of stable periodic points can lie in a neighborhood of a homoclinic point; the presence of such a set depends on the properties of the hyperbolic point. In this paper, it is assumed that a homoclinic point is not a point at which the tangency of a stable and unstable manifold is a tangency of finite order. Allocate a countable number of types of periodic points lying in the vicinity of a homoclinic point; points belonging to the same type are called n-pass (multi-pass), where n is a natural number. In the present paper, it is shown that if the tangency is not a tangency of finite order, the neighborhood of a nontransverse homolinic point can contain an infinite set of stable single-pass, double-pass, or three-pass periodic points with characteristic exponents separated from zero. Keywords: diffeomorphism, nontransverse homoclinic point, stability, characteristic exponents.

References

1. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks. Topology 12, 9—18 (1973).

2. Ivanov B. F. Stability of the trajectories that do not leave the neighborhood of a homoclinic curve. Differentsial'nye Uravneniya 15

3. Gonchenko S. V., Shil'nikov L. P. Dynamical systems with structurally unstable homoclinic curves. Doklady Akademii nauk SSSR 286

4. Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shil'nikov L. P. Dynamical Phenomena in Mutidimensional Systems with a Structurally Unstable Homoclinic Poincare Curve. Doklady Akademii nauk 330 (2), 144-147 (1993). (In Russian) [Engl. transl.: Doklady Mathematics 47 (3), 410-415 (1993)].

5. Pliss V.A. Integral Sets of Periodic Systems of Differential Equations. Moscow, Nauka Publ.

6. Vasil'eva E. V. Diffeomorphisms of the Plane with Stable Periodic Points. Differentsial'nye Uravneniya 48 (3), 307-315 (2012). (In Russian) [Engl. transl.: Differential Equations 48 (3), 309-317 (2012). https://doi.org/10.1134/S0012266112030019].

7. Vasileva E. V. Stability of periodic points of diffeomorphism of a plane in the case of a homoclinic orbit. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), iss. 1, 44-52 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.103 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersb. Univ., Math. 52, iss. 1, 30-35 (2019). https://doi.org/10.3103/S1063454119010138].

Received: October 26, 2020 Revised: November 13, 2020 Accepted: December 17, 2020

A u t h o r's i n f o r m a t i o n: Ekaterina V. Vasil'eva — ekvas1962@mail.ru

*The work is supported by Russian Foundation for Basic Research (grant no. 19-01-00388).