Упруго-индуктивные колебания в системах автоматики

Вестник Курганской ГСХА

№ 3, 2013

Инженерно-техническое обеспечение сельского хозяйства

57

УДК 53.091

И. П. Попов, Д. П. Попов, С. Ю. Кубарева

УПРУГО-ИНДУКТИВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ

АВТОМАТИКИ

ФГБОУ ВПО «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т. С. МАЛЬЦЕВА»

I. P. Popov, D. P. Popov, S. Yu. Kubareva SPRINGY AND INDUCTIVE OSCILLATIONSIN AUTOMATIC EQUIPMENT SYSTEMS FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION «KURGAN STATE AGRICULTURAL ACADEMY BY T. S. MALTSEV»

Рассматривается возможность возникновения свободных гармонических колебаний в упруго-индуктивной колебательной системе, в которой происходит взаимное превращение потенциальной энергии пружины в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Показано, что упругая нагрузка пьезоэлектрического преобразователя обусловливает емкостный характер его электрической цепи.

Ключевые слова: упругая емкость, упруго-индуктивная колебательная система.

Possibility of free harmonious oscillations in springy and inductive oscillatory system in which there is a mutual transformation of a spring potential energy into energy of inductance coil magnetic field is considered. It is shown that springy loading of the piezoelectric converter causes capacitor character of its electric chain.

Keywords: springy capacity, springy and inductive oscillatory system.

Игорь Павлович Попов

Igor Pavlovich Popov аспирант

Россия, 641300, Курганская область, Кетовский район, с. Лесниково, КГСХА E-mail: popov_ip@kurganobl.ru

Дмитрий Павлович Попов

Dmitriy Pavlovich Popov директор ГОУ УКК «Курганскагропром» E-mail: rektorat@mail.ksaa.zaural.ru

Светлана Юрьевна Кубарева

SvetlanaYurjevna Kubareva ведущий инженер ОАО «Курганмашзавод» E-mail: rektorat@mail.ksaa.zaural.ru

Введение. В настоящее время на предприятиях сельскохозяйственного машиностроения и сельхоз-переработки широко внедряются системы автоматизации, в том числе, роботизированные комплексы. В составе таких систем в качестве датчиков и высокоточных приводов используются, в частности, пьезо-керамические электромеханические преобразователи [1, 2]. Актуальной задачей является выявление влияния упругой нагрузки преобразователей на реактивное сопротивление их электрических цепей и вытекающей из этого возможности возникновения свободных гармонических колебаний, которые могут иметь как отрицательное, так и положительное воздействие на систему в целом. В литературе нет непосредственного решения этой задачи. Предпосылкой ее решения

является одна из двух систем аналогий между электромагнитными и механическими величинами [3], в соответствии с которыми коэффициент упругости связан дуальным соотношением с емкостью

к^ С.

Однако дуальная связь не является функциональной, поскольку охватываемые ею величины относятся к изолированным друг от друга системам. Поэтому указанное соотношение само по себе не дает оснований рассматривать механическую величину, коэффициент упругости, в качестве параметра электрических цепей.

Целью настоящей работы является представление упругой нагрузки в виде емкостного сопротивления в электрической цепи пьезоэлектрического преобразователя и обоснование возможности возникновения свободных гармонических колебаний при подключении к нему катушки индуктивности.

Методика. Основными методами исследования в рамках настоящей работы являются методы математического моделирования и анализа. При этом исследуется не сам физический объект, а его математическая модель - «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, прису-

Научный журнал

Вестник Курганской ГСХА

щие составляющим его частям, и т. д. Использованные виды моделирования являются детерминированными, динамическими и непрерывными. Основными этапами математического моделирования являются построение модели, решение математической задачи, к которой приводит модель, интерпретация полученных следствий из математической модели, проверка адекватности модели, модификация модели. Использованные методы позволяют получить достоверное описание исследуемых объектов [4].

Результаты. На рисунке изображена упруго-индуктивная (кЬ) колебательная система в составе пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой (коэффициент упругости к) и соленоида с индуктивностью Ь. Работа преобразователя основана на прямом и обратном пьезоэффектах. Прямой пьезоэф-фект проявляется в том, что на обкладках пьезоэле-мента при его деформации х появляется электрический заряд д:

Ч = dlx,

где (1 - пьезомодуль.

При подаче на обкладки напряжения и пье-зоэлемент деформируется и развивает усилие Р. В этом заключается обратный пьезоэффект.

Е=d2u.

X

•+-

т di и = -Ь—. dt

Сила взаимодействия пьезоэлемента и пружины определяется законом Гука. С учетом

Е = кх = d2u.

Используя (5) и (2), выражение (4) можно записать в виде:

к т di _

—х + Ь— = 0, d2 dt

к т di Л а + Ь— = 0. dt

dld2

Пусть для компактности d1d2 = 2. 2

к dq т d i

--- + Ь — = 0,

г dt dt

d 2i к

+— i = 0.

dt¿ гЬ

Последнее выражение представляет собой классическое уравнение свободных гармонических колебаний. Его решение:

i = С1 cos(ю0t) + С2 зт(Ю(/),

Рисунок - Упруго-индуктивная колебательная система

Для выявления характера реактивного сопротивления преобразователя и установления возможности возникновения свободных гармонических колебаний целесообразно абстрагироваться от собственных емкости, индуктивности, массы и упругости пьезоэле-мента, потерь на трение и активного сопротивления. Пусть начальные условия: х(0) = х i(0) = 0, и(0) = и Здесь i - ток, и - напряжение. Для представленной на рисунке электрической схемы уравнение, составленное в соответствии со вторым законом Кирхгофа, имеет вид:

«0 =

/(0) = С1 0) + С2 sin(ю0 0), С1 = 0,

= С2Ы0^(Щ).

Ш

В соответствии с

к т di „ —х0 + Ь—(0) = 0,

d.

к

dt

—х0 + ЬС2ю0 cos(ю00) = 0,

do

С = . кх0 = и0

d2ю0Ь ю0Ь

i = I sin(ю0t),

ХкТ = А I- •

„ т-.у-с.л ж ас -5 л л Инженерно-техническое обеспечение

Вестник КургансКОИ ГСХА № 3, 2U13 сельского хозяйства

Последнее выражение представляет собой волновое сопротивление упруго-индуктивной (кЬ) коле -бательной системы.

Сравнение выражения (11) с формулой для частоты «обычного» электрического колебательного контура

Ю =

1

4CL

позволяет определить «упругую емкость» и электрическое реактивное «упругое сопротивление» С -1

Ск-

хк =

к

юСк

_к_

Выводы. Упругая нагрузка пьезоэлектрического преобразователя обусловливает емкостный характер его электрической цепи.

Пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой запасает потенциальную энергию пружины, чем отличается от конденсатора, который запасает энергию электрического поля. Вместе с тем, он воспринимается цепью как емкостное устройство, поэтому может рассматриваться как объект с искусственной (упругой) емкостью.

При соединении преобразователя, обладающего искусственной емкостью, с катушкой индуктивности образуется колебательная система, в которой могут возникать свободные гармонические колебания. При этом происходит взаимное превращение энергии магнитного поля соленоида в потенциальную энергию пружины, т. е. взаимодействие величин различной физической природы, что принципиально отличает их от колебательных систем с однородными элементами [5-10].

Образование подобных колебательных систем в устройствах автоматики может приводить к резонансным явлениям и иметь негативные последствия.

Перспективными для робототехники являются индуктивно-емкостные электромеханические преобразователи, использующие магнитострикцион-ный и пьезоэлектрический эффекты. Такие преобразователи способны обеспечивать высокоточные трехмерные перемещения. Их наивысшие энергетические показатели обеспечиваются в режиме электромеханического резонанса, в частности, при реализации упруго-индуктивной (кЬ) колебательной системы, что представляет пример ее положительного воздействия.

Список литературы

1 Попов И. П. Об одном свойстве пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой // Высокие технологии в машиностроении: материалы междунар. научно-технич. конф. - Курган: Изд-во КГУ, 2012. - С. 206-208.

2 Попов И. П. Реализация частной функциональной зависимости между индуктивностью и массой // Российский научный журнал. - 2012. - № 6 (31). - С. 300, 301.

3 Попов И. Связь между электрическими и «неэлектрическими» величинами. Saarbrucken, Deutschland. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. - 80 с.

4 Попов И. П., Попов Д. П., Кубарева С. Ю. Об одном способе нейтрализации реакции массивных деталей и узлов на внешние периодические воздействия // Вестник Курганской ГСХА. - 2012. - № 2 (2). - С. 60-62.

5 Попов И. П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. - Том 76. - Вып. 4, 2012. - С. 546-549.

6 Попов И. П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами // Электричество. - 2013. -№ 1. - С. 57-59.

7 Попов И. П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013.

- № 1 (21). - С. 95-103.

8 Попов И. П., Шамарин Е. О. Свободные механические гармонические колебания со смещенными фазами // Вестник Тихоокеанского государственного университета. - 2013. - № 2 (29). - С. 39-48.

9 Попов И. П. Механические колебательные системы, состоящие только из однородных элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». - 2012. - № 3 (113).

- С.177-179.

10 Попов И. П. Свободные механические гармонические колебания в системах с кривошипно-кулисными механизмами // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Технические науки». - 2012. - Вып. 7. - №2 (24). - С. 15, 16.