Акустическое поле излучения активных концентраторов на основе пьезопластин в виде поверхностей второго порядка

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 534.86

В. И. Борисов, С. С. Сергеев, В. А. Новиков, Е. Н. Прокопенко

АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ АКТИВНЫХ КОНЦЕНТРАТОРОВ НА ОСНОВЕ ПЬЕЗОПЛАСТИН В ВИДЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

UDC 534.86

V. I. Borisov, S. S. Sergeev, V. A. Novikov, E. N. Prokopenko

ACOUSTIC FIELD OF RADIATION OF ACTIVE CONCENTRATORS BASED ON PIEZOELECTRIC PLATES IN THE FORM OF SURFACES OF SECOND ORDER

Аннотация

Методом численного анализа рассчитано акустическое поле излучения фокусирующих акустических преобразователей на основе круглых пьезопластин в виде сегментов поверхностей сферы, параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения. Показано, что наиболее эффективным концентратором акустической энергии в фокусе является пьезопластина в виде параболоида вращения. Акустические поля пьезопре-образователей на основе параболоидных и сферических пьезопластин имеют схожие закономерности, заметно отличающиеся от закономерностей акустических полей, формируемых пьезопластинами в виде эллипсоида и гиперболоида вращений, которые излучают почти идентичные акустические поля.

Ключевые слова:

акустическое поле, активный концентратор, пьезопластина, сфера, акустическая ось, параболоид вращения, гиперболоид вращения, эллипсоид вращения, ближняя зона, дальняя зона, акустическая волна, акустическое давление, фокальная плоскость, фокус.

Abstract

Numerical analysis was used to calculate the acoustic field of radiation of focusing acoustic transducers based on circular piezoelectric plates in the form of segments of surfaces of a sphere, a paraboloid, a hyperboloid and an ellipsoid of revolution. It is shown that the piezoceramic plate in the form of a paraboloid of revolution is the most efficient concentrator of acoustic energy in the focus. The acoustic field of transducers based on paraboloid and spherical piezoceramic plates have similar structures, which differ markedly from the acoustic fields formed by piezoceramic plates in the form of an ellipsoid and a hyperboloid of rotation, which emit virtually identical acoustic fields.

Key words:

acoustic field, active concentrator, piezoelectric plate, sphere, acoustic axis, paraboloid of revolution, hyperboloid of rotation, ellipsoid of rotation, near zone, far zone, acoustic wave, acoustic pressure focal plane, focus.

Фокусирующие пьезопреобразова-тели (ПЭП) применяются для повышения чувствительности и разрешающей способности неразрушающего акустического контроля. Так как акустическое поле ПЭП формируется в результате

интерференции когерентных акустических волн, то, кроме основных максимумов, оно содержит ряд дополнительных, которые могут влиять на эффективность работы ПЭП.

Аналитическое решение при рас-

© Борисов В. И., Сергеев С. С., Новиков В. А., Прокопенко Е. Н., 2018

чете акустического поля фокусирующих ПЭП удается получить лишь для точек, расположенных на акустической оси пьезопластины в виде участка сферической поверхности (активного концентратора) [1, 2]. В [3, 4] численным методом проведен анализ особенностей акустического поля излучения прямоугольных и круглых плоских пьезопластин.

В предлагаемой работе приведены результаты анализа акустического поля излучения активных концентраторов на основе пьезопластин в виде сферы, параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения для непрерывного режима возбуждения акустических волн. Расчет акустического поля проводился способом, изложенным в [3].

Расчетная схема ПЭП в виде вогнутой пьезопластины круглой формы площадью S приведена на рис. 1.

Результирующая величина давления в точке А с координатами X, Y, z будет пропорциональна следующему интегралу:

P( X, Y, z) = \P cos ф (cos (cot - kR )) dS = s R

p f r

г 0

= J^7cos ф s r

cos

v v

2 n „

ct--R

X

dS,

где Я - расстояние от точечного излучателя площадью расположенного в точке с координатами х, у, го, до точки А; к - модуль волнового вектора (волновое число), к = ; X - длина волны в X

материале среды, где распространяется акустическая волна.

В выражении (1) считаем, что от элементарного излучателя площадью излучается сферическая акустическая волна, что соответствует физической действительности, если размер площадки значительно меньше расстояния от площадки до рассматриваемой точки. Для более реального представления вклада волны, излучаемой элементар-

ным излучателем в рассматриваемой точке пространства А, вводится коэффициент соБф, который учитывает наклон элементарной площадки к направлению на рассматриваемую точку [2]. Этот коэффициент можно рассчитать по формуле для косинуса угла между двумя векторами Я1 и Я [5].

Каноническое уравнение окружности радиусом Яо, образующей рассматриваемую сферическую поверхность путем ее вращения вокруг оси г, в приведенной на рис. 1 системе координат имеет вид:

,2 + X2 = R 2 0 / ivo

Считаем, что параболоид, определяющий форму параболоидного пьезо-преобразователя, образован вращением параболы вокруг оси г, уравнение которой можно записать в виде

2 pz = X2,

где р - параметр параболы, определяющий ее кривизну.

Пьезопластина в виде участка гиперболоида вращения образуется вращением вокруг оси г гиперболы, каноническое уравнение которой в приведенной на рис. 1 системе координат имеет вид:

(z + a )2 x 2

= b2

+1.

a

где а, Ь - параметры гиперболы, определяющие его кривизну.

Пьезопластина в виде участка эл-лисоида вращения образуется вращением эллипса вокруг оси г, каноническое уравнение которого в приведенной на рис. 1 системе координат записывается как

(z - a)2 x 2

--— =---ъ 1

22 a b

где а, b - параметры эллипса, опреде-

ляющие ее кривизну. излучения для всех видов рассматрива-

Схема расчета акустического поля емых пьезопластин одинакова.

Рис. 1. Схема для расчета акустического поля активного концентратора

В соответствии с рис. 1 для пьезопластин рассматриваемых форм векторы, которые описывают параметры рас-

четной схемы акустического поля в декартовой системе координат, выражаются следующим образом:

К1 = -xi - у7 + (ОВ - СО^ ; ? = (Х - х ) + (7 - у)7 + (г - СО )£

Тогда

соб ф =

-

Расчет интеграла (1) осуществим путем численного интегрирования, про-

водя замену интеграла суммой.

Р (X, 7,2 ) = | ^соб ф

г

/

соб

V V

2%

ш--?

X

с18 =

V Ро

= Е^тСоб ф

С

С

соб

V V

2% ^ ш--?

Л

А5.

Для вычисления этой суммы удобно применять сферическую систему координат, в которой площадь элементарной площадки на поверхности излучателя равна А£ = ОБ2б1п вёвёа , где 0 - полярный угол, отсчитываемый от оси Ог до направления на рассматриваемую точку, а - азимутальный угол, отсчитываемый от оси Ох до проекции отрезка СБ на плоскость хоу. Вычисление этой суммы проводится следующим образом. Вся поверхность пьезопласти-ны разбивается на N элементарных пло-

щадок площадью AS = OD2 sin 9Л9Ла .

Число элементарных площадок выбирается таким образом, чтобы расстояние от соседних площадок до рассматриваемой точки А было значительно меньше длины акустической волны в материале среды, в которой она распространяется.

После разделения временных и пространственных координат в соответствии с [3] для искомой суммы получим выражение

P( X, Y, z) = Р0Л0Ла

NOD2 sin 0

X

о

R

2%

cos ф c°s~ R

+

NOD2 sin 0

X

о

R

• 2% D cos ф sin—R

которое пропорционально величине акустического давления в точке А.

CD

sin 0 = — .

OD

Выражение (10) позволяет определить амплитуду давления Р (в относительных единицах) акустической волны, генерируемой пьезопластиной в виде поверхности вращения второго порядка в любой точке полупространства, если для каждой формы пьезопластины на основании канонических уравнений (2)-(5) записать выражения для отрезков R1, CO, OD, CD, OB.

Например, на рис. 2 приведено распределение давления Р на разном расстоянии z на оси круглых пьезоплас-тин диаметром 10 мм в виде участка сферы радиусом кривизны 20 мм, участка параболоида вращения с p = 12,5 мм, участка гиперболоида вращения с параметрами a = 32,5 мм и b = 20 мм, эллипсоида вращения с полуосями a = 31,5 мм и b = 20 мм. Все пьезопластины имеют стрелку прогиба h = 1 мм. Расчеты проведены для непрерывного режима работы пьзопластин на резонансной частоте 5 МГц. Длина акустической волны считалась равной 0,3 мм, что соответствует нагружению

пьезопластин на воду.

Из приведенного (см. рис. 2) видно, что для всех типов пьезопластин наблюдается характерное деление акустического поля излучения на ближнюю зону, где наблюдается немонотонный характер давления акустических волн вдоль оси пьезопластины, и дальнюю зону с монотонным уменьшением давления при удалении от пьезопластины. Фокусное расстояние для пьезопласти-ны в виде параболоида составляет 12,9 мм, в виде сферы - 18,6 мм; для ги-перболоидной и эллипсоидной пластин фокусные расстояния почти одинаковы и примерно равны 47,6 мм. Видно, что наиболее резкая фокусировка наблюдается для пьезопластин в виде параболоида вращения и сферы. Так как в расчетах все пьезопластины разбиваются на одинаковое число элементарных площадок, то интенсивность акустической волны в фокальной точке для па-раболоидной пьзопластины больше по сравнению со сферической (см. рис. 2). Анализ распределения акустического давления в фокальных плоскостях для рассмотренных пьезопластин показал, что диаметр акустического пучка по уровню половинной амплитуды акустического давления в фокусе параболоид-ной пластины равен о,5 мм, сфериче-

ской - 0,7 мм, гиперболоидной и эллипсоидной - 2 мм.

На рис. 3, где приведено распределение давления Р на разном расстоянии г на оси круглых пьезопластин диамет-

ром 20 мм с вышеописанными параметрами, прослеживается характер изменения акустического поля излучения при изменении диаметра пьезопластины.

4.5 о. е. 3.5 3 2.5 2 1.5 1

0.5 0

.х 104

г

41 ---

\ 2

1 \ \ \ V

Л у гч л

4

Р

20

40

60

80 100

г —

120

140

160

мм

200

Рис. 2. Зависимость акустического давления вдоль оси круглых активных концентраторов с пьезопластинами диаметром 10 мм: 1 - пьезопластина в виде параболоида вращения; 2 - сферическая пьезопластина; 3 - пьезопластина в виде гиперболоида вращения; 4 - пластина в виде эллипсоида вращения

2.5 г

x 10

1.5

Р

0.5

2

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 3 ^

к.

20

40

60

80

100

120

140

160

200

Рис. 3. Зависимость акустического давления вдоль оси круглых активных концентраторов с пьезопластинами диаметром 20 мм: 1 - пьезопластина в виде параболоида вращения; 2 - сферическая пьезопластина; 3 - пьезопластина в виде гиперболоида вращения; 4 - пластина в виде эллипсоида вращения

о. е.

2

1

0

г

На рис. 3 видно изменение фокусного расстояния для разных пьезопла-стин. При этом для параболоидной и сферической пьезопластин оно увеличилось незначительно, а для гиперболо-идной и эллипсоидной значительно. Так, для пьезопластины в виде параболоида оно составляет 15 мм, в виде сферы - 2о мм; для гиперболоидной и эллипсоидной пластин фокусные расстояния почти одинаковы и примерно равны 130 мм. Увеличение диаметра пьезо-пластин приводит к изменению диаметра акустического пучка в фокальных плоскостях пьезопластин. Так, по уровню половинной амплитуды акустического давления в фокусе параболоидной пластины диаметр акустического пучка равен о,26 мм, сферической - о,37 мм,

гиперболоидной и эллипсоидной -2,6 мм, т. е. для параболоидной и сферической пьезопластин фокусировка увеличилась, а для гиперболоидной и эллипсоидной - уменьшилась. Это связано с тем, что при увеличении диаметра пьезопластин до 2о мм стрелки прогиба для каждой пьезопластины уже имеют разное значение.

Характер изменения акустического поля излучения вдоль диаметра кругового сечения акустических пучков в плоскостях, перпендикулярных оси пье-зопластин прослеживается на рис. 4 и 5. Нулевое значение горизонтальной координаты г (расстояние от оси пьезо-пластины) на этих рисунках соответствует центру акустического пучка, располагаемому на оси пьезопластины.

Рис. 4. Распределение акустического давления в поперечном сечении акустических пучков для круглых пьезопластин диаметром 10 мм в фокальной плоскости параболоидной пьезопластины:

1 - пьезопластина в виде параболоида вращения; 2 - сферическая пьезопластина; 3 - пьезопластина в виде гиперболоида вращения; 4 - пластина в виде эллипсоида вращения

Рис. 5. Распределение акустического давления в поперечном сечении акустических пучков для круглых пьезопластин диаметром 10 мм в дальней зоне на расстоянии 200 мм от пьезопластин:

1 - пьезопластина в виде параболоида вращения; 2 - сферическая пьезопластина; 3 - пьезопластина в виде гиперболоида вращения; 4 - пластина в виде эллипсоида вращения

На рис. 4 приведено диаметральное распределение акустического давления круглых пьезопластин диаметром 10 мм в фокальной плоскости параболоидной пьезопластины. Как видно из рис. 4, акустическое поле для всех пьезопластин носит неоднородый осциллирующий характер в виде колец. При этом для па-раболоидной пьезопластины максимальное значение акустического давления реализуется на оси пьезопластины, для сферической - на расстоянии 0,9 мм от оси пьезопластины, для гипербо-лоидной и эллипсоидной - на расстоянии 3 мм от оси пьезопластины.

Проведенный анализ показал, что аналогичный характер носит акустическое поле излучения в фокальной плоскости других пьезопластин.

Характер акустического поля излучения фокусирующих пьезопреобра-зователей в дальней зоне можно оценить, рассмотрев рис. 5, на котором приведено диаметральное распределение акустического давления круглых пьезопластин диаметром 10 мм в плоскости, перпендикулярной оси пьезо-

пластин, на расстоянии г = 200 мм от пьезопластин.

Из рис. 5 видно, что в дальней зоне энергия акустической волны рассеивается по широкой области вокруг оси пьезопластин в виде неоднородного акустического пучка с примерно равными максимумами. Для гиперболоид-ной и эллипсоидной пьезопластин на оси наблюдаются максимумы, величина которых превышает максимальные значения для параболоидной и сферической пластин, что обусловлено для этих пьезопластин близким расположением фокальных плоскостей.

Таким образом, проведенные исследования активных концентраторов в виде участков сферы, параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения показали, что наиболее эффективным концентратором акустической энергии в фокусе является пьезопластина в виде параболоида вращения. Проведенный сравнительный анализ позволил установить, что акустические поля излучения фокусирующих пьезопреобразователей на основе параболоидных и сфериче-

ских пьезопластин имеют схожие структуры, заметно отличающиеся от структур акустических полей, формируемых пьезопластинами в виде эллип-

соида и гиперболоида вращений, которые излучают почти идентичные акустические поля.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ермолов, И. Н. Неразрушающий контроль : в 5 кн. Кн. 2. Акустические методы контроля : практическое пособие / И. Н. Ермолов, Н. П. Алешин, А. И. Потапов ; под ред. В. В. Сухорукова. -Москва : Высшая школа, 1991. - 283 с.

2. Ультразвуковые пьезопреобразователи для неразрушающего контроля / Под ред. И. Н. Ермолова. - Москва : Машиностроение, 1986. - 280 с.

3. Борисов, В. И. Тонкая структура акустического поля излучения прямоугольных пьезопластин / В. И. Борисов, С. С. Сергеев, А. С. Никитин // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2014. - № 2. - С. 105-113.

4. Борисов, В. И. Тонкая структура акустического поля излучения пьезопреобразователей на основе круглых пьезопластин / В. И. Борисов, С. С. Сергеев, А. С. Никитин // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. -2015. - № 4. - С. 102-108.

5. Воднев, В. Т. Основные математические формулы : справочник / В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович. - Минск : Вышэйшая школа, 1988. - 69 с.

Василий Иванович Борисов, д-р физ.-мат. наук, проф., Белорусско-Российский университет. Тел.: +375-299-73-56-21.

Сергей Сергеевич Сергеев, канд. техн. наук, доц., Белорусско-Российский университет. Тел.: +375-222-22-52-12.

Владислав Анатольевич Новиков, студент, Белорусско-Российский университет. Тел.: +375-222-52-12 Елена Николаевна Прокопенко, ст. преподаватель, Белорусско-Российский университет.

Vasily Ivanovich Borisov, DSc (Physics and Mathematics), Prof., Belarusian-Russian University. Phone: +375-222-52-12.

Sergey Sergeyevich Sergeev, PhD (Engineering), Associate Prof., Belarusian-Russian University. Phone: +375-222-22-52-12.

Vladislav Anatolyevich Novikov, student, Belarusian-Russian University. Phone: +375-222-52-12. Elena Nikolayevna Prokopenko, senior lecturer, Belarusian-Russian University. Phone: +375-222-52-12.

Статья сдана в редакцию 3 января 2018 года