Математическое описание процессов в термостате биологическом

УДК 519.8 А. Е. Моисеев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ТЕРМОСТАТЕ БИОЛОГИЧЕСКОМ

В статье отражены основные закономерности тепловых процессов, протекающих в составных частях термостата и его отдельных составляющих, при достижении температуры стабилизации в рабочей области термостата и последующем погружении в него ампул с размораживаемым материалом. Приводится модель термостата.

В последние годы в целях улучшения качества поголовья крупного рогатого скота (КРС) используют искусственное оплодотворение коров биологическим материалом (спермой) элитных быков-производителей. Поскольку биологический материал требует длительного хранения, для этого применяется метод криоконсервирования, т.е. замораживание по определенной технологии в жидком азоте до необходимой температуры. Чтобы сперму можно было использовать для оплодотворения, её следует расконсервировать, т.е. нагреть до определенной температуры. Для этого применяют специально разработанные для этих целей приборы-термостаты, которые обеспечивают процессы оттаивания и нагревания биологического материала, а также поддержание необходимой температуры, иначе, в случае нарушения технологии и отклонения температуры от требуемой величины, в дальнейшем будет невозможно использование биологического материала для оплодотворения КРС.

Математическое описание термостата можно представить в виде, отражающем основные закономерности протекания тепловых процессов в составных частях как самого термостата в целом, так и отдельных составляющих элементов.

Термостат состоит из следующих основных составных частей: корпуса, стакана, крышки и датчика температуры, устанавливаемого с внешней стороны рабочей зоны стакана. Между корпусом и стаканом имеется воздушный промежуток для уменьшения потерь тепловой энергии на излучение в окружающую среду. По своей конструкции стакан представляет собой в нижней части диск толщиной 15 мм, к которому примыкает стенка толщиной 4 мм. На боковой стороне диска расположен плоскостной нагревательный элемент. Для повышения запаса тепловой энергии и стабилизации температуры в рабочей зоне термостата в стакан наливается вода. Между верхней границей воды и крышкой имеется воздушная прослойка.

Рассмотрим тепловые процессы, протекающие в термостате.

Тепловые процессы нагрева стакана можно разделить на две составляющие:

- нагрев диска при подаче тепловой энергии со стороны нагревательного элемента;

- нагрев стенки стакана, примыкающей к диску.

Тепловые процессы нагрева воды в стакане также можно разделить на две части:

- нагрев воды от поверхности диска;

- нагрев воды от внутренней поверхности стенки стакана.

Результирующая температура воды будет представлять суперпозицию от двух процессов.

Тепловой процесс распределения температуры в зоне установки датчика температуры является основным, т. к. обеспечивает поддержание температуры в рабочей зоне термостата с использованием обратной связи по температуре. Важной

задачей является определение времени реакции датчика температуры в процессе подачи тепловой энергии к стакану со стороны нагревательного элемента.

Для определения температурных полей примем следующую расчетную систему: вода - стенка цилиндра - изолятор - датчик температуры - воздух, которую можно представить в виде трехслойной цилиндрической стенки, снаружи охлаждаемой воздухом, а изнутри контактирующей с водой. Тепловое состояние всей схемы будем считать стационарным. Коэффициенты теплопроводности слоев принимаются независящими от температуры, а тепловой контакт между слоями идеальным. Расчетная система приведена на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная система для определения распределения температур в разнородных стенках, соприкасающихся с водой и воздухом

Принимаем, что - температура воды в стакане; То - температура окружающей

среды, К; Т} и Т2 - температура стенок внутренних слоев соответственно; Т3 и Т4 -

температура стенок на границе вода - стакан и датчик - окружающая среда

соответственно; Я1,Л2,Я3 - коэффициенты теплопроводности слоев; d}, d2, d3, d4 -

диаметры первого, второго, третьего и четвертого слоев соответственно; r}, r2, r3, r4 -радиусы первого, второго, третьего и четвертого слоев соответственно; а} и а2 -коэффициенты теплоотдачи воды и окружающей среды соответственно; l - высота рабочей зоны термостата.

Тогда по закону Фурье для кольцевого слоя тепловой поток будет равен:

01=-2\шЩ^,

где Q} - тепловой поток в стенке стакана; - коэффициент теплопроводности

стакана; r - радиус; l - высота рабочей зоны термостата.

Разделяя переменные, получаем:

dt = -

Интегрируя уравнение (2) в пределах от ТВ до Т} и от r} до r2 при \ = const:

тв - Т = (0/2жу)1п

Г1

откуда

0. =

а1

Из (3) видно, что распределение температур в слое представляет собой логарифмическую кривую. Общая температурная кривая представляет собой множество логарифмических кривых. При стационарном режиме через все слои проходит один и тот же тепловой поток, который для каждого слоя равен соответственно:

е,= (2пУ • (Тв - 7, ))/(1п(-Ч);

а,

0, = (2л>У • (7,- 72))/(1п( ^));

а 2

03 = (2*у• (72 -Т0))/(1п(^)),

а 3

где 01, 02, 0з - тепловые потоки в стакане, изоляторе и датчике температуры соответственно; Л1,Л2,Л3 - коэффициенты теплопроводности в стакане, изоляторе и датчике температуры соответственно.

Решая полученные уравнения относительно разности температур, получаем:

Тв - Т0 =0 • (—1п ^ +—1п ^ +—1п ^),

2П л1 а, Л2 а2 Л3 а3

откуда

0 =__2П

1, а2 1, а3 1, а.'

—1п — +—1п— +—1п—

^^1 1 ^2 2 ^^3 3

Необходимо также учесть передачу тепла от греющейся воды внутри рабочей зоны стакана термостата в окружающую среду через слои. Тогда тепловой поток можно представить следующим образом:

-----------------------------^---------------------------------------.

1

После того, как температура воды в стакане достигнет установившегося значения, что приблизительно соответствует 38,5-39,5 оС, в него помещают бутылочку либо ампулу с физиологическим раствором (Цитрат натрия), в который помещен шарик с биологическим материалом, замороженным в жидком азоте. Физиологический раствор должен быть подогрет до температуры стабилизации Тв2 (38,5-39,5 оС) за некоторое время Ї. В термостате будут происходить следующие процессы:

- физиологический раствор с помещенным в него биологическим материалом должен быть подогрет от температуры заморозки ТЗ1 до температуры оттаивания,

что соответствует 0 оС и далее до температуры стабилизации Тв за время і;

- температура воды в стакане охлаждается от температуры Тв до температуры Тві;

- конечная температура воды в стакане в периодическом процессе будет все время увеличиваться по мере повышения температуры физиологического раствора внутри бутылочки и в конце процесса, через время і, температура Тві станет равной Тв.

Тогда уравнение теплопередачи примет вид:

где К - коэффициент теплопередачи; Г - поверхность теплопередачи; &СРН -средняя разность температур при периодическом нагревании.

Средняя разность температур для процесса нагревания физиологического раствора в бутылочке определяется по формуле

Описывая математическую модель термостата, используем приведенные выше требования и выражения.

Для того, чтобы математическое описание модели было приближено с достаточной точностью к процессам, протекающим в исследуемом объекте, оговорим условия и сделаем необходимые допущения.

Примем во внимание, что тепловое распределение полей изменить невозможно, поскольку конструкция основных элементов не подлежит изменению.

Модель должна учитывать процессы, протекающие в различных частях термостата, а также возможные изменения условий эксплуатации и влияние окружающей его среды:

- исследования проводятся как при изменении температуры технологического раствора (воды) внутри стакана термостата до необходимой температуры, так и в установившемся тепловом режиме системы;

- описание процессов в блоке управления с учетом изменения питающего напряжения;

- процессы, протекающие при нагреве диска стакана термостата;

- процессы нагрева воды в рабочей зоне термостата, при передаче тепловой энергии от стакана термостата;

- процесс распределения температуры по высоте столба воды рабочей зоны термостата;

- процесс нагрева стенок термостата для снятия сигнала обратной связи по температуре с датчика температуры;

- процесс рассеивания некоторого количества тепла в окружающую среду с поверхности верхнего слоя технологического раствора, налитого в стакан термостата;

- процесс изменения температуры стакана вдоль его длины, по существующим продольным потокам тепла, направленным от нагретого конца стакана к концу, имеющему более низкую температуру;

- принимаем, что сечение стакана, по которому циркулирует технологический раствор, сохраняет постоянную величину и представляет собой окружность диаметром а;

0 = К  р Аіср.н  і,

где А =---------; ±з — температура физиологического раствора в любой момент.

ТВ1 - ТЗ

- течение технологического раствора по стакану термостата при тепловой конвекции не терпит разрывов и подчиняется закону сохранения массы. Плотность воды в холодных и нагретых слоях стакана термостата неодинакова, поэтому и скорости циркуляции жидкости в различных слоях должны отличаться друг от друга. Но учитывая, что в исследуемом диапазоне практически имеющихся температур от 10 до 40 оС удельный вес воды изменяется незначительно, то принимаем, что скорости циркуляции жидкости в различных слоях приблизительно равны;

- в рассматриваемой системе происходит процесс конвекции технологического раствора внутри стакана термостата в поле гравитационных сил. Существенное значение имеет расположение участков контура циркуляции по отношению направления сил тяготения. Принимаем, что канал нагрева технологического раствора в цилиндре термостата расположен вертикально, а диска стакана термостата -горизонтально.

Также необходимо учесть, что температура в слое, соприкасающемся с воздухом, не является постоянной величиной, а зависит от соотношения толщин слоев стенки, условий теплообмена и температуры охлаждающего воздуха.

Упрощенная модель термостата разработана в системе инженерных и научных расчетов МаІІаЬ 6.5 с использованием стандартных блоков пакета визуального моделирования БГМиЬШК.

Модель термостата приведена на рис. 2.

Рис. 2. Модель термостата в МаНаЪ

Модель термостата исследуется при следующих воздействиях:

- при температуре окружающей среды 8 оС при изменении питающего напряжения в диапазоне 220 В ± 10 % (198 В, 220 В, 242 В);

- при температуре окружающей среды 16 оС при изменении питающего напряжения в диапазоне 220 В ± 10 %;

- при температуре окружающей среды 24 оС при изменении питающего напряжения в диапазоне 220 В ± 10 %.

Изменения температуры в трубке и рабочей зоне при различных температурах и при различных напряжениях, а также время достижения температуры рабочего режима в трубке и рабочей зоне термостата приведены на рис. 3 и в табл. 1.

Т

і

х 10

Рис. 3. Графики изменения температуры в трубке и в рабочей зоне при и = 220 В, ТО = 8 оС Табл. 1. Результаты исследований модели термостата

Параметр То = 8 оС То = 16 оС То = 24 оС

И = 198, В И = 220, В И = 242, В И = 198, В И = 220, В И = 242, В И = 198, В И = 220, В И = 242, В

Температура в трубке Ттр, оС 40 38,7 37,5 39,5 38,2 36,9 39 37,7 36,5

Температура в рабочей зоне Т оС Араб? 39,4 38,2 37 38,9 37,7 36,5 38,5 37,2 36

Время достижения температуры рабочего режима 1реж (тр/раб), мин 19/20 17/18 16/17 18/19 17/18 15/17 18/19 16/17 14/15

Анализ полученных выражений показывает, что температура в слое, соприкасающемся с воздухом, не является постоянной величиной, а зависит от соотношения толщин слоев стенки, условий теплообмена и температуры охлаждающего воздуха.

Охлаждающий воздух представляет собой воздушную прослойку между стаканом и корпусом, и его температура зависит от температуры окружающей среды (за пределами корпуса), температуры стакана и количества тепла, выделяемого системой управления, которая подключается к источнику напряжения, среднее значение которого изменяется в пределах ± 10 % от номинального значения.

Учитывая, что первый слой (стакан термостата) контактирует в верхней зоне непосредственно с окружающей средой, а расстояние от датчика до верхней границы незначительно, изменение температуры окружающей среды оказывает существенное влияние на температуру в зоне установки датчика. Для поддержания стабильной температуры стабилизации процесс настройки термостата выполняется при напряжении и = 220 В ± 2 %. Но температура окружающей среды может изменяться в пределах от 10 до 30 оС. Поэтому необходимо выполнить моделирование

термостата при фиксированном напряжении и = 220 В ± 2 % и различных значениях температуры внешней среды.

Результаты моделирования приведены на рис 4.

Т„

Т

раб,

Рис. 4. Зависимость температуры в трубке Ттр и рабочей зоне Траб при различных значениях температуры внешней среды Тср

Сравнительный анализ данных, полученных в ходе экспериментальных исследований термостата на разработанном для этих целей лабораторном стенде, и результатов исследования модели термостата доказывает адекватность математического описания объекта и разработанной на основании этого описания модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нащокин, В. В. Техническая термодинамика и термопередача : учеб. пособие для неэнергетических специальностей вузов / В. В. Нащокин. - М. : Высш. шк., 1975. - 496 с. : ил.

2. Справочник химика. - Л. : Химия, 1968. - Т. V. - 976 с.

Белорусско-Российский университет Материал поступил 16.02.2006

A. E. Moiseev

The mathematical description of the thermostat biological Belarusian-Russian University

The main regularities of thermal processes passing in constituent parts of a thermostat, as well as in separate components of whole elements are reflected in the article. The mathematical model of a thermostat is given.