Открыть архив, удалить файл, закрыть

Кто Вас послал в WinAPI для работы с архивами ZIP/RAR? Либо пошутили, либо не поняли Вашего вопроса.

Сообщение от

Wikipedia

Ничего общего с ZIP/RAR не имеет.

Используя ZIP/RAR, надо либо посмотреть API ZIP/RAR для удаления файла из архива самим архиватором, либо извлечь всё содержимое, найти и удалить файл средствами WinAPI, и заново создать архив архиватором.