Шестая и седьмая ляпуновские величины для системы Льенара

Сер. 10. 2010. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.925.51 О. А. Кузнецова

ШЕСТАЯ И СЕДЬМАЯ ЛЯПУНОВСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛЬЕНАРА

В классических работах А. Пуанкаре [1] и А. М. Ляпунова [2] для исследования важного в инженерной механике вопроса о поведении динамической системы при значениях параметров, близких к границе области устойчивости, был развит метод вычисления так называемых ляпуновских величин. Следуя работе Н. Н. Баутина [3], этот метод может быть использован при исследовании задач о предельных циклах, например, известной 16-й проблемы Гильберта [4-6]. Так, малые возмущения системы с несколькими равными нулю ляпуновскими величинами могут приводить к появлению нескольких «малых» предельных циклов.

При вычислении ляпуновских величин обычно рассматривается двумерная достаточно гладкая система с двумя чисто мнимыми собственными числами линейной части. Многие двумерные динамические системы могут быть сведены к системе Льенара [7], т. е. системе вида

Заметим, что для системы (1) с функциями (2) часто возможно проведение более эффективного анализа ляпуновских величин и предельных циклов [8], поэтому исследование системы Льенара является важной задачей.

В настоящее время существует несколько методов нахождения ляпуновских величин и их компьютерных реализаций, которые позволяют определять эти величины в виде символьных выражений, зависящих от коэффициентов разложения правых частей уравнений исследуемой системы. Эти методы различаются по сложности алгоритмов и компактности получаемых символьных выражений.

Первый метод нахождения ляпуновских величин был предложен в работе А. Пуанкаре [1]. Он заключается в последовательном построении независящего от времени голоморфного интеграла для приближений исходной системы. С его помощью в 40-50-е годы ХХ в. были получены выражения первых двух ляпуновских величин в общем виде.

Кузнецова Ольга Александровна — аспирант кафедры прикладной кибернетики математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, проф. Г. А. Леонов. Количество опубликованных работ: 8. Научные направления: динамические системы, символьные вычисления. E-mail: o_a_kuznetsova@mail.ru.

© О. А. Кузнецова, 2010

dx

9xi{x)y + gx0(x), где функции gx i(x) и gx o(x) представимы в виде

9x i(x) = gnx + g2ix2 + ... , gx o(x) = g2ox2 + дзох3 + ... .

Вывод выражения для третьей ляпуновской величины в общем виде стал возможным много позже. Так, в 2008 г. [9], благодаря новому методу вычисления ляпуновских величин, основанному на построении приближений решений (в виде конечной суммы по степеням начальных данных) в исходной евклидовой системе координат и во временной области, были получены выражения первых трех ляпуновских величин в общем виде и первых четырех - для системы Льенара.

В работе [10] с помощью метода вычисления в евклидовой системе координат и во временной области, а также классического метода Пуанкаре-Ляпунова, использованного для проверки результатов, были представлены выражения первых пяти ляпу-новских величин для системы Льенара. Описание классического метода Пуанкаре-Ляпунова и метода вычисления в евклидовой системе координат и во временной области, а также вычислительных алгоритмов, разработанных на их основе, в полном виде содержится в статье [11]. Целью данной работы было продолжение исследования системы Льенара, а именно нахождение для нее шестой и седьмой ляпуновских величин.

Так, если выполнено условие

Li = L2 = L3 = L4 = L5 = 0,

можно получить выражение шестой ляпуновской величины Le в следующем виде:

L& = 230036800 (-*-^43225 д2о gso 99 1 + 6081075 д50 911 #8 0 + 32837805 gl0gA о 9i 1 35 0 -

- 36486450 g-2 0 gso gii g9 0 - 4209975 gi i gi2o - 987566580 g|0g| 0gii g4 0 +

+ 4975425 g3o gii gioo + 313913600 g^gii g3o - 52123500 g2og5o gii geo +

+ 18243225 g2o gi i giio - 4378374gso g3ogi i - 31274100g2o g3 0 g4 0 gi i geo -

- 340540200 g^ogiogii g4 0 + 1230028800 g^giogii + 364864500 gfoglogii -

- 556395840 g^gao gii g4 0 + 18243225 g2o g5ogii + 1245944700 g5ogSogii -

- 10945935 g4o gfo gii + 151351200 gfogfo gii - 43783740 g2o glogii g50 -

- 36486450 g2o gso g50 g5i +418377960 g^ogao g40 gii g50 - 20270250 g^0g30 gii gso -

- 15637050 gso g50 gii geo - 264864600 g^gri + 54729675 g2o gso glogii -

- 245675430 g^gso g4 0 g5i - 194594400 g3og3 0 gri + 10945935 gso g4 0 gri +

+ 109459350 g2og4 0 gri + 18243225 g2o g5 0 gri + 100772100 g^ ogi i geo +

+ 178378200 gfogs 0 g2 0 gi i + 4378374 g^gs i - 21891870 gso g4 0 gii gro -

- 743242500 g^g^gii g5 0 + 4209975 gm + 84648564 g2o g|0g40 gii +

+ 81081000gfog9 i - 72972900g20 g§ 0gi i g5 0 - 100772100g^gs0 geo gsi -

- 18243225 g2o glogri - 10945935 g4o g9i - 1239638400 g5ogso gii g50 +

+ 7818525gtogi i geo + 556395840g^0gsi - 1230028800g2rogs0gsi +

+ 18243225g2o g9 0 gsi + 10945935g^0 gsi - 178378200g^0gsi -

- 364864500g^ogs! - 18243225g2og4ogsi - 1245944700g5og|ogsi +

+ 454053600 g^0g5 0 gsi - 470870400 g^gii g5o - 10945935 g|ogii g4o -

- 313913600 g^gn + 7818525 geo gii gro + 264864600 g^gii gro +

+ 43783740 g2o g42og5 i + 52123500 g^geo g5 i + 7818525gso geo g5 i +

+ 299999700gfog^i + 18243225g2o gro g5i + 18243225g2o gjW +

+ 785584800 g5ogso g5i - 4975425 gioo gsi - 18243225 g2o giii -

- 111969000g4ogeogn - 113513400gfogrogn - 7818525g!ogeogsi +

+ 7818525 g5o geo gsi + 20270250 g^gs 0 gsi + 6081075 gso gso gsi -

- 18243225 g2o glogsi + 111969000 g^gso gii geo - 6081075 gso g5i +

+ 470870400g2og5i + 54729675g2o gsogii gro - 84648564g2o gso glogsi -

- 7818525 geo gri + 308107800 gfogso gii gro - 109459350 g2og4 0 gii gro -

- 36486450 g2o g5 0 gii gro + 410810400 g4og4o gii g5 0 - 172702530 g\0g40 g5 0 gsi +

+ 987566580 g‘2ogso g40 gsi + 340540200 g^gf^o g3i - 21891870 gM g4o g50 g3i +

+ 54729675g2o g3og5 0g3i +443242800g3og3 0 g5 0 gsi - 410810400g:fog4 0g5i -

- 151351200 gsog5 0 g5i - 10945935 g|og4 0 g5i + 10945935g4o g5 0 g5i +

+ 31274100 g2o g40 geo gsi + 10945935 g4o gro gsi - 36486450 g2o gso gro gsi +

+ 10945935g4ogii g9o - 81081000g^gii g9o - 6081075g|ogii gso).

Если коэффициенты подобраны так, что Le = 0, можно вычислить седьмую ляпу-новскую величину Lr:

П О >7

7 = 131681894400(~70338578310g20^ogllg7° + 182037655800°5203Г1 +

+ 10343908575gsog4og9 i + 84283699500g22og2ogi igso - 793945152000g2eog3ogi igeo +

+ 17239847625g2ogsogiii + 1800776577600g4og4og50gsi - 132993110250g2og5ogeogsi +

+ 1024685461800g4og4ogiigro - 4326563241000g5og3og5og3i + 17239847625g2og5 og9 i -

- 34479695250g2 og3 og9 og3 i + 31031725725g2og4ogiigro + 10913935032000grog5ogзl -

- 980390911500g4og2ogi igeo + 143803315656g2ogsog4ogi i - 103439085750g2ogiogfogi i + + 125432307000g4og3ogiigso - 4701776625gioog5i + 710026317000g3og3og5og5i +

+ 10343908575g5ogl lg40 - 2157483328000g21o1gl lg30 + 3447969525gl4l -

- 555761606400g5og9i - 294226732800g2og4 0g5og5i + 1585759495320g3ogsog2ogsi -

- 7388506125g2ogeog5i - 376978001400g5ogзog4ogrl - 396972576000g4ogeog5i +

+ 3097553659200g4ogs og4 og5 l - 9070477416000g9og2ogii - 43418875500g2og5ogiigso -

- 272006484750g2ogsog9 i + 51719542875g2og2og5og5 i + 156307951800g2og4og9 l +

+ 7833275950500g5og2ogiig5 0 - 17239847625g2og2og9i - 7388506125geog9i +

+ 294226732800g2og4 0g52ogii - 10048368330gзog4ogllgeo - 17239847625g2ogisi +

+ 5746615875g!0gl lgso + 108547188750g20g111 +

+ 31031725725g|og4og5ogsl + 270320810760g2ogзoglogiig50 -

- 130037707800g2ogзog4ogeogзl + 17239847625g2ogiio gsi +

+ 321810489000g2ogзo g5 0 gii geo - 83736402750g2ogeo gii gro -

- 223479506250g2og5ogri + 10343908575g4og5 0gri - 10343908575g|og4 0gri -

- 3506712709500g5og2og5i + 220670049600g2ogsog2ogsi - 357275318400gsog4ogeogsi +

+ 31031725725gsog4og52ogii - 34479695250g2ogsog5ogri - 4997257164900g4og|og4ogsi -

- 7388506125g50gl ige o + 413756343000g20gз ogi ig9 0 - 41375634300gfog4 ogi ig5 o +

+ 646072867440g2og5ogl ig5 0 + 4144197657600gsogsogi ig4 0 + 5746615875gsogsog5 l -

- 180060630750g2ogr o g5i + 10343908575g4ogro g5i + 597648051000g5ogзog4 0 gii gro -

- 10343908575g4ogiii + 9001158566400gfogзogiig40 - 26051325300g2ogзog4ogiigso +

+ 4701776625gзogloogзl + 17239847625g2ogtogii - 4723292574000g5og4ogii -

- 17239847625g20g|0gll - 670438518750gsog5ogll - 1820376558000g20g11gro +

+ 130037707800g2og5og4ogllgeo + 1941079140000g2og!ogi ig5 o +

+ 86199238125g2og4ogi lg5 0 + 43418875500g2ogsog5 i + 7388506125g5ogeog5 i +

+ 17239847625g2ogiigiso + 555761606400g5ogiig9 0 + 3978426375gзogllgl2 0 -

- 108547188750g3ogllgiio + 10343908575g4ogiigiio - 141749858250g2og9ogsi +

+ 17762267250g2ogioogsi - 3447969525giigi4o + 66989122200g2og4ogeog5i +

+ 5746615875g5ogsogsi + 10343908575g4og9ogзl - 17762267250g5ogзogllgl0o -

- 34479695250g2ogso gii giio + 11962343250g2og5ogзl - 18205279092gзog3ogзl -

- 1746017713440g5ogsog5ogll + 4701776625g5ogiigioo - 1585759495320g3og3og5ogll +

+ 10343908575g3og4 0g5i - 5746615875g5ogsogзl + 814742428500g5ogrogsi -

-996080085000g30g50gi igro -68959390500g2og2l0gi igro -66989122200g2og4og5ogi igeo -

- 11493231750g3og5ogllg80 - 125432307000g4og8og3l + 7388506125g6ogrog3l +

+ 7388506125gfog6og3l - 220670049600g2ogfog2oЯ11 - 1227079854000g5og52ogll +

+ 10048368330g|0g6og3l - 143803315656g20g40g3l + 9070477416000g20g3og3l +

+ 793945152000g26og6 0Я3 1 + 403540137000g2og5ogl lgro - 712580368500g22ogf 0Я4 0Я31 -

- 3236224992000g9og5 1 - 111714212610g2og4oЯ50Я31 - 156307951800g2og4 0gllЯ20 -

- 34479695250g2og5ogng2 0 + 51719542875g20g20gng2 0 - 11962343250g2og3og20gll -

- 646072867440g|og2oЯ5 1 - 17239847625g2og52oЯ5 1 - 983309827500g3og3og52oЯ11 -

- 68959390500g20g30g50g31 - 1353647295000g3og2og50g3l - 262702440000g6og3og11g60 -

- 14777012250g3og5og6og3l + 396972576000g4og5ogl 1Я6 0 + 22165518375g32og5ogl 1Я6 0 +

+ 4723292574000gfoflf 0Я3 1 + 17239847625g2og5og3 1 + 670438518750g3og|og31 +

+ 551675124000g23og3 0groЯ31 + 980390911500g4og3og6 0Я31 - 5746615875g8ogr 1 -

- 4144197657600gfog4og3l - 10343908575g|og4og3l + 26051325300g2og4og8og3l -

- 1024685461800g20g40gr l + 444404961000g30g30grl + 17239847625g20gf0grl +

+ 103439085750g2og3 0 Я5 ogl 1 gr 0 + 83736402750g2og6 0 gr 1 + 4997257164900g24ogf ogl 1Я4 0 + + 712580368500g20g|0gl lg40 - 6324209892000g|0g30g5 l + 3303693993600gf0g40g5 l +

+ 9378477108gfog5 1 + 357275318400g3og3 0Я4 0gllЯ6 0 - 20687817150g3og4 0Я5 0Я5 1 +

+ 273283510500g|og|0Я3 1 - 10343908575g4og52oЯ3 1 - 587431845000g3ogfog5l -

- 17239847625g2og|oЯ5 1 - 84283699500g22og3og8og3l + 1746017713440g5og42oЯ3 1 -

- 3978426375gl20g3l + 2157483328000gl0g3l - 3245221980000g^0g50g3l -

- 14777012250g3og6 0 gll gro - 2671537869000g5og3 ogl 1 gro + 17239847625g2ogro grl +

+ 1856795440500gfog3 0 grl + 7388506125g3og6 0 grl + 70338578310g2og4o grl +

+ 262702440000g20g|0Я6 0Я3 1 - 9001158566400gf0g3og4og3l + 7388506125g6ogng2 0 -

- 10913935032000grogfogll + 5746615875grogngso - 4701776625g3ogngloo +

+ 864291027600g2og3og4og5 0Яз l + 17239847625g2og2og5l + 1227079854000g5og5og5l +

+ 9569431872000g2rog3ogllg5 0 - 3303693993600gfog4ogl 1Я5 0 - 7388506125g|ogl 1Я6 0 -

- 34479695250g2og3 0groЯ5 1 - 9378477108gfogl 1Я5 0 + 3236224992000g|ogl 1Я5 0 -

- 20687817150g4og5 0 gll gro - 20687817150g3og4 0 gllg2 0 - 20687817150g3og4ogro Я3 1 +

+ 18205279092g|og4ogll - 220670049600g22og4ogrog3l - 34479695250g2og5ogrog3l -

- 1448147200500g6og6og4ogllg5 0 - 4898330236800g4og3og4ogllg5 0 -

- 188817378750g2og3 0 Я60Я5 1 - 158606598150g2og3 0 g4og5l + 583856172900g2og3og4og5 1 -

- 17239847625^2 0Я11 + 51719542875g2og3 0 g2og3l + 51719542875g2og2ogrog31).

Получение этих выражений стало возможным благодаря использованию двух описанных выше методов вычисления с привлечением современных программных средств символьных вычислений (таких как Matlab и Maple). В ходе работы пришлось решать проблемы, связанные с внутренними ограничениями памяти вычислительных пакетов, так как нахождение ляпуновских величин требует обработки громоздких символьных выражений. Заметим, что получение этих величин стало возможным после оптимизации вычислительного кода, использованного в работе [10].

В заключение отметим, что найденные выражения позволяют выделить класс систем Льенара, для которых можно построить б и 7 предельных циклов вокруг одной точки. Так, следуя работе [3], если возмутить систему Льенара, коэффициенты которой подобраны таким образом, что выполнено (3) и L6 = 0, для этой системы можно построить б, а если выполнено (3), L6 = 0 и Lr = 0, то 7 малых предельных циклов вокруг начала координат.

Работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

1. Poincare H. Memoire sur les courbes definies par lesequations diffeentielles // J. de Mathematiques Pures et Appliquees. 1885. N 4. Vol. 1. P. 167-244.

2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1950. 472 с.

3. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: ОГИЗ ГИТТИ, 1949. 164 с.

4. Li J. Hilbert’s 16-th problem and bifurcation of planar polynomial vector fields // Intern. J. Bifurcation Chaos. 2003. Vol. 13. P. 47-106.

5. Lynch S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert’s sixteenth problem // Differential Equations with Symbolic Computations. 2005. P. 1-26.

6. Yu P., Chen G. Computation of focus values with applications // Nonlinear Dynamics. 2008. Vol. 51, N 3. P. 409-427.

7. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 388 с.

8. Леонов Г. А., Кузнецов Н. В., Кудряшова Е. В. Циклы двумерных систем. Компьютерные вычисления, доказательства, эксперименты // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 3. С. 25-62.

9. Kuznetsov N. V., Leonov G. A. Lyapunov quantities, limit cycles and strange behavior of trajectories in two-dimensional quadratic systems // J. of Vibroengineering. 2008. Vol. 10. Iss. 4. P. 460-467.

10. Леонов Г. А., Кузнецова О. А. Вычисление первых пяти ляпуновских величин для системы Льенара // Докл. РАН. 2009. Т. 425, № 1. C. 45-47.

11. Leonov G. A., Kuznetsova O. A. Lyapunov Quantities and Limit Cycles of Two-dimensional Dynamical Systems. Analytical Methods and Symbolic Computation // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. Vol. 15, N 2-3. P. 354-377.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 10 июня 2010 г.