Модель пороговой конвекции Марангони в горизонтальном канале конечной ширины с продольным градиентом температуры

Конвективные течения..., 2013

МОДЕЛЬ ПОРОГОВОЙ КОНВЕКЦИИ МАРАНГОНИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КАНАЛЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ

Р.В. Бирих1, В.В. Пухначев2

1 Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1

2 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 15; Новосибирский государственный университет, 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2

Рассматривается тепловая конвекция в горизонтальном канале с постоянным продольным градиентом температуры. Сделана попытка описать задержку возникновения движения поверхности жидкости из-за наличия на ней поверхностной пленки. Показано различие в структуре конвективного течения при неподвижной пленке и при ее разрушении. Приведено решение в канале конечной ширины, полученное конечно-разностным методом.

Ключевые слова: термокапиллярная конвекция, горизонтальный слой, конечно-разностный метод.

Эксперименты [1] показали, что в узких каналах конвекция Ма-рангони при локальном выходе ПАВ на поверхность жидкости возникает только при достаточно большом градиенте концентрации ПАВ. Пороговый характер возникновения конвекции авторы связывают с наличием пленки неконтролируемых ПАВ, которая удерживается боковыми стенками канала. В связи с этим кажется полезным эксперимент по возбуждению термокапиллярной конвекции в

© Бирих Р.В., Пухначев В.В., 2013

Бирих Р.В., Пухначев В.В. Модель пороговой конвекции Марангони

узких каналах и построение моделей термокапиллярной конвекции с пороговым возбуждением при наличии градиента температуры вдоль свободной поверхности.

В предлагаемой работе рассматривается тепловая конвекция в горизонтальном канале с постоянным продольным градиентом температуры. Для бесконечно широкого канала задача имеет простое точное решение с беспороговым возникновением конвекции [2]. Его обобщение на случай зависимости продольного градиента температуры от времени получено в [3]. Пороговый характер конвекции навязывается реологическими свойствами поверхности: движение поверхности жидкости начинается, когда касательные напряжения на поверхности превысят некоторый порог. Это свойство поверхности можно описать, вводя касательное сопротивление движению жидкости со ступенчатым законом зависимости сопротивления от напряжений. Таким образом, если не рассматривать связанный с разрушением поверхностной пленки переходный режим, имеются два различающиеся по структуре течения: а) гравитационная конвекция с неподвижной верхней границей и б) смешанная термокапиллярная и гравитационная конвекция.

Течение в канале конечной ширины с твердыми границами и его устойчивость при малых значениях числа Прандтля рассматривалось в [4]. Адвективное течение в цилиндре конечной длины квадратного сечения исследовано в [5] также при малых значениях числа Прандтля.

Для канала конечной ширины из-за торможения потока боковыми стенками при Pr ф 0 формируется проекция градиента температуры от стенок к центру канала и вместе с ним течение в плоскости, перпендикулярной оси канала. В этом случае решение, однородное вдоль оси канала, строилось методом конечных разностей. Исследована структура течения для разной ширины канала и предельных значений величины поверхностного сопротивления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим свободно-конвективное течение вязкой жидкости в горизонтальном канале прямоугольного сечения, вдоль оси которого создан постоянный градиент температуры. Пусть ось x направлена горизонтально вдоль приложенного градиента температуры, горизонтальная ось у перпендикулярна боковым стенкам канала, ось z имеет начало на нижней плоскости и направлена вертикально вверх. Предполагаемая структура течения имеет вид:

247

Конвективные течения..., 2013

v = iu

T = -Ax + Q

Уравнения конвекции с учетом вида течения принимают вид:

ди ди ди 1 dp

-----+ v---+ w— =---------— + vh.1u

dt dy dz p dx

dv dv dv 1 dp

----+ v--+ w— =-------hnAjV

dt dy dz p dy

dw dw dw

----+ v---+ w —

dt dy dz

—— + nAjW + gbT p dz

dv dw

— + — = 0

dy dz

dT dT dT dT

----+ и--+ v-+ w— = cAT

dt dx dy dz

Здесь введен оператор A1 =d2 / dy2 +d2/ dz2; p, /3, v и % -плотность жидкости, коэффициент объемного расширения, кинематическая вязкость и температуропроводность жидкости, g - ускорение свободного падения.

Поставим следующие граничные условия:

z = 0: и = 0, v = 0, w = 0, T = -Ax + Q( y, 0), Q = 0

дu ds

z = h : а,и =-h----1--, v = 0 , w = 0

d dz dx

T = - Ax + Q

dQ

dz

248

Бирих Р.В., Пухначев В.В. Модель пороговой конвекции Марангони

у = ±l: и = 0, v = 0, w = 0, T

-Ax + 0(±l, z), — = 0 ЭУ

В условии при z = h предполагается, что поверхностная пленка ПАВ оказывает сопротивление движению жидкости и компонента скорости и пропорциональна касательному напряжению. Коэффициент сопротивления ad зависит от свойств жидкости, ПАВ и величины касательного напряжения. Для описания порогового изменения сопротивления поверхностной пленки зависимость ad от касательного напряжения можно представить в виде:

Здесь Р0 - критическое значение касательного напряжения Р =| —h Эи/dz + Эs/Эx |, при котором происходит быстрое изменение поверхностного сопротивления, параметр а определяет ширину области перехода от большого сопротивления к малому.

Компонента скорости v на верхней границе предполагается равной нулю. Как показали эксперименты [6], в широких каналах течение вдоль оси x не формирует у -проекции градиента температуры, и не возникает капиллярной силы вдоль y направления, а в узких каналах вдоль оси y жидкость не двигается из-за большого сопротивления поверхностной пленки ПАВ [1].

Для формулировки задачи в безразмерном виде выберем следующие единицы измерения: h - для расстояний вдоль осей x и z , l - для расстояний вдоль оси у , h1 jv - для времени, v/h - для компоненты скорости и, v/1 - для компонент скорости v и w , v2p/ h - для давления, Ah - для температуры. В этих переменных уравнения конвекции (1.1) - (1.5) имеют следующий вид (все безразмерные переменные обозначены теми же буквами, что и размерные):

а¥

{exp[( Р — Р0)/ а] +1}

Э( Эу Эz Эx

249

Конвективные течения..., 2013

Эу о2 Эу 0 Эу dp .

— + 0 у— + ow— = ——+ A1v dt dy dz ду

?dw з dw 2 dw dp c

0— + Ssv — + 0 w— = —— + SA1w + GrT dt dy dz dz

~Эу dw л

0— + — = 0

дУ

Э0 „2 Э0 „ Э0 -1

---+ov--+ow— = Pr A.0 + u

dt dy dz

h

d2 d2

0 = -, T = -x +0(y, z, t), At =0 —y + —у l dy dz

Gr = , Pr = v/c

Из системы уравнений (1.6) - (1.8) можно исключить давление. Дифференцируя (1.8) по x и интегрируя по z , получим

Эр = -Gr  z + c(t) dx

поскольку из (1.6) и (1.7) следует, что dp/Эх не зависит от x и y . Константа c(t) определяет расход жидкости через сечение канала и может быть определена из условия

1 1

-1 0

Граничные условия в безразмерных переменных запишем в виде:

z = 0: и = 0, у = 0, w = 0, T = - x + 0

z = 1:

Эи ,

au =----+ MaPr

dz

, у = 0 , w = 0

250

Бирих Р.В., Пухначев В.В. Модель пороговой конвекции Марангони

T = —х + 0(y, 0) , — = 0 dz

y = ±l: u = 0, v = 0, w = 0, T = — х + 0(±l, z), d0 = 0

dy

, ^ a.Ah2 adh

Ma = —---, a = ^—

h% h

2. КОНВЕКЦИЯ В КАНАЛЕ КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ

Для оценки влияния боковых стенок канала на структуру конвективного течения рассмотрим конвекцию в канале конечной ширины. Для описания движения в плоскости yz введем функцию тока соотношениями:

dy dy

v = —— , w = dz dy

Теперь уравнение непрерывности (1.9) выполняется тождественно, а из (1.7) и (1.8) получаем уравнения для функции тока и вихря j:

ду + у dydy-d d¥dj=Aj + Gr d0 dt dz dy dy dz dy

Ay = —j

Уравнение для продольной компоненты скорости и температуры принимают вид:

du _2 dy du _2 dy du

—+ 8 —----------8 —------= A.u + z — c

dt dz dy dy dz

d0—u + 82 dyd0 — 82 yd0 = Pr-1A10 dt dz dy dy dz

Константа c определяется условием для продольной компоненты градиента давления. Это условие сформулируем в виде требования замкнутости потока (1.12).

251

Конвективные течения..., 2013

Граничные условия в новых переменных имеют вид:

z = 0: и = 0, у = 0, dy = 0, 0 = 0 W dz

z = 1,

du ,

au =----+ MaPr .

dz

у = 0

y =0, d0 =0 dz dz

y = ±1: и = 0, у = 0,

У 0, d0 = 0

dy dy

Сформулированная нестационарная краевая задача обладает симметрией относительно плоскости у = 0 . Это позволяет уменьшить расчетную область в два раза, поставив условия симметрии:

у = 0: — = 0, у = 0, j = 0, — = 0

dy dy

Краевая задача (2.1) - (2.8) решалась методом конечных разностей на квадратных сетках от 50 х 50 по неявной схеме Кранка -Николсона. Решение уравнения Пуассона для функции тока находилось методом последовательной верхней релаксации. Предельное стационарное решение находилось методом установления. В качестве начального состояния выбиралось либо решение для плоского слоя, модулированное, чтобы удовлетворить условиям на боковых границах, либо неподвижная жидкость. Первое условие в (2.6) записывалось в более простом виде для двух предельных случаев: твердой верхней границы и свободной границы с эффектом Маран-гони. Для этих случаев и был проведен численный эксперимент.

На рис.1 сплошными линиями показаны распределения продольной скорости на плоскости y = 0 для различных значений аспектного отношения S в случае твердой верхней границы и свободной границы. Штриховые линии показывают изменение температуры вдоль оси z . Поскольку поправка 0 к температуре жидкости определяется с точностью до константы, начало отсчета ее выбрано в точке, где скорость в средней части канала равна 0. Результаты численного эксперимента показывают, что конечность ширины канала уменьшает скорость течения и отклонение температуры на среднем сечении по сравнению с этими характеристиками для плоского слоя, но эти отклонения становятся существенными, когда ши-

252

Бирих Р.В., Пухначев В. В. Модель пороговой конвекции Марангони

рина канала становится сравнимой с его толщиной (8 > 1). Вычисление среднего по верхней границе касательного напряжения показало, что оно уменьшается с ростом 8.

Рис.1. Распределение по высоте продольной скорости

Рис.2. Изолинии продольной скорости, температуры 0 и функции тока в плоскости yz для случая твердой верхней границы (а) и свободной границы (б) и трех значений аспектного отношения 8

253

Конвективные течения..., 2013

Структура конвективного течения в плоскости yz для трех значений S показана на рис.2. Как и ожидалось, торможение потока боковыми стенками приводит к возникновению проекции градиента вдоль оси у и вторичного течения жидкости в плоскости yz . Генерируемый течением горизонтальный градиент температуры оказывается более значительным в случае свободной границы слоя.

В широком канале циркуляционное течение, перпендикулярное оси канала, охватывает по глубине весь канал, а в узком канале по высоте это течение разбивается на два согласованных вихря.

Заключение. Предложена модель системы, которая описывает пороговое возникновение конвекции, вызванной горизонтальным градиентом температуры в горизонтальном прямоугольном канале. Влияние поверхностной пленки ПАВ предлагается описывать зависящим от касательных напряжений поверхностным трением на пленке. При этом в эксперименте, на наш взгляд, с ростом горизонтального градиента температуры должна наблюдаться смена режимов конвекции от течения с твердой верхней границей к течению со свободной границей. Эти предельные режимы исследованы в работе для каналов разной ширины. Показано, что конечность ширины канала проявляется на движении жидкости в средней части канала при аспектном отношении d > 1, а на изменении профиля температуры несколько раньше. Среднее касательное напряжение с ростом S уменьшается.

Работа выполнена при финансовой поддержке проектов РФФИ № 11-01-00656 и № 13-01-00526, а также интеграционного проекта СО, УрО, ДВО РАН № 38/№ 12-С-1-1006.

СПИСОК ССЫЛОК

1. Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением ПАВ // Известия РАН. МЖГ. 2011. № 6. С. 56-68.

2. Бирих Р. В О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1966. № 3. С. 67-72.

3. Пухначев В. В. Нестационарные аналоги решения Бириха // Известия АлтГУ. 2011. № 1/2. C. 62-69.

4. Stability of convection in a horizontal channel subjected to a longitudinal temperature gradient. Part 1. Effect of aspect ratio and

254

Бирих Р.В., Пухначев В.В. Модель пороговой конвекции Марангони

Prandtl number / T.P. Lyubimova, D.V. Lyubimov, V.A. Morozov et al. // J. Fluid Mech. 2009. Vol. 635. P. 275-295.

5. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения с теплопроводными боковыми границами // Вычислительная механика сплошных сред. 2011. Т. 4, № 2. С. 72-81.

6. Kirdyashkin A.G. Thermogravitational and thermocapillary flows in a horizontal liquid layer under the conditions of a horizontal temperature gradient // Int. J. Heat Mass Transfer. 1984. Vol. 27, No 8. P. 1205-1218.

A MODEL OF THE THRESHOLD MARANGONI CONVECTION IN A HORIZONTAL CHANNEL OF FINITE WIDTH UNDER LONGITUDINAL TEMPERATURE GRADIENT

R.V. BIRIKH, V.V. PUKHNACHEV

Abstract. The development of thermal convection in a horizontal channel under constant longitudinal temperature gradient is investigated. An attempt has been made to describe a delay in the appearance of fluid surface motion caused by the formation of the surface film. It has been shown that there is a difference in the structure of convective flows in the case of motionless film and film rupture. A solution for the channel of finite width has been obtained by the finite difference method.

Key words: thermocapillary convection, horizontal layer, finite difference method.

255