Вихрь вблизи границы раздела сжимаемых потоков

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 19 93 №3

УДК 533.6.011.34:532.582.2

ВИХРЬ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА СЖИМАЕМЫХ

ПОТОКОВ

В. И. Бабкин, А. А. Ким

Рассматриваются плоские задачи обтекания вихря и пластины неоднородным потоком идеального сжимаемого газа, состоящим из двух областей с различными полными давлениями. Вихрь и пластина расположены в основном дозвуковом потоке, граничащем со струей, течение в которой может быть как дозвуковым, так и сверхзвуковым. Получено аналитическое решение задач о вихре в линейной постановке. Показана возможность использования для решения задач интерференции профиля со струей сжимаемого газа метода отражений. Решение задачи о вихре вблизи границы со сверхзвуковым потоком существенно отличается от подобной задачи о границе раздела дозвуковых потоков. Отмечается неэквивалентность замены границы сверхзвуковой струи твердой стенкой с точки зрения сил, действующих на вихрь (пластину) вблизи такой границы.

Работы по проблеме интеграции двигателя очень большой степени двухконтурности и крыла транспортного самолета вновь сделали актуальной задачу определения влияния границы потоков с различными энергиями на изменение аэродинамических характеристик профиля. Одной из особенностей течения, возникающего на режиме крейсерского полета в области сочленения крыла, короткого пилона и двигателя большого диаметра, является близость к крылу потока, скорость в котором больше скорости полета и может превышать скорость звука.

В данной статье рассматриваются плоские модельные задачи обтекания вихря и пластины вблизи границы, отделяющей основной поток с числом М1оо < 1 от потока с числом М2оо > М1оо; при этом рассматривается и случай «сверхзвуковой» струи, т. е. М2оо > 1. Показано существование и единственность решения таких двумерных задач в линейной постановке и возможность использования для решения подобного рода задач метода отражений, хорошо известного в гидродинамике течений с твердой и свободной границами [1, 2] и применявшегося при решении задач о струйных течениях несжимаемой жидкости [3]. Показана также неэквивалентность замены границы сверхзвуковой струи твердой границей с точки зрения сил, действующих на вихрь (пластину) вблизи такой границы.

1. Рассмотрим плоское установившееся течение двух параллельных потоков, отделенных друг от друга плоскостью Ох и имеющих различные полные давления, при внесении в один из них (для определенности в нижний) вихря с циркуляцией Г (рис. 1, а). Считаем, что расстояние А между вихрем и плоскостью Ох, а также циркуляция Г таковы, что Г/2лк « У1оо. Обозначим через М1оо <! и М1оо < М2<ю < 1 числа Маха этих потоков в отсутствии возмущений. Течения в обоих потоках подчиняются уравнению Прандтля — Глауэрта:

здесь щ — потенциал возмущенного течения.

Граничными условиями в формулируемой краевой задаче являются линеаризованные условия тангенциальности и отсутствия скачка статических давлений на границе раздела:

1 _ 1 д<?2

*1» дУ Г2оо ЯУ

= У*

дх дх

Подчеркнем, что эти условия должны выполняться на невозмущенной границе, а первое приближение для формы возмущенной границы можно получить, проинтегрировав уравнение (1.2). Границу раздела потоков моделируем двойным вихревым слоем, имеющим интенсивность У\(х) СО стороны первого потока и /2(х) со стороны второго

У

<УГ

хг

Хг

ОЭЭЭЗЭРЭуг*

г1

о

Рис. 1. Схема течениия — вихрь вблизи границы двух

потоков

потока, так, что возмущенное поле течения в потоке 1 создается вихрем и слоем у} (х), а возмущенное поле течения в потоке 2 — слоем Уч(х). Тогда составляющие возмущенных скоростей в первом и во втором потоке вблизи границы будут равны:

|(»)^А 2 <1-4>

2* 2

».«ТАТ^ТТТМ2^' <15>

2яг х + Р^п 2яг J х-£

1 —оо

и2

и2

2 к •< х - £

-оо

здесь /?] = д/1 - М1« ’ А = V1 - М2=о •

Построим итерационный процесс для нахождения заранее неизвестных функций у\(х) и у2(х)- Будем считать, что в нулевом приближении

искомые функции равны нулю: /|0)(.с) = (х) = 0- Тогда из (1.4) следует, что горизонтальная составляющая скорости на границе со сторо-

ны первого потока в нулевом приближении:

"Г-¿А ‘

2л х1 + /?^А2

Из граничного условия (1.3) находим первое приближение для горизонтальной составляющей скорости на границе со стороны второго потока:

и(

2* Р2«>у2оо х2 + 0*1г2

Используя уравнение (1.6), определим интенсивность вихревого слоя }'2(х) в первом приближении:

ж

Рг«Уг«> х2+р2и2’

а по найденной функции у^(х) в соответствии с уравнением (1.7) получим вертикальную составляющую скорости на границе со стороны

второго потока в первом приближении:

иір =~Рг РішКііс -

2* Р2ооу2оо х2+Р*/г2

Затем, используя граничное условие (1.2) и уравнение (1.5), получим интенсивность вихревого СЛОЯ /I (х) в первом приближении:

у( 1) - £ 71 -*

~Р\ +Рг~

42;

р\ъ2’

где

Первый шаг итерационного процесса завершен. Повторяя описанную процедуру, во втором приближении получим:

у(2) - £ г' ~,

Я Р\Яг

х2 + Р2Ь2 ’

(2) £_ Р ІОО^ІОО

'2 ~ V

я Р 2сок2»

2А - 4г

. Я

х2 +р2к2 ’

- Чг где Я = —

91

Повторяя процесс последовательных приближений в /-м приближении, будем иметь:

п

(О = £.

1-1+ V 1 +(-і)/-1 -Т

Я я я. 2 я.

і-1

х2 + р}и2 ’

у(І) = Г Р1«У\*

л Р2<*У2*

2Д 1-1 + V 2 + (-1)'-1

Я я. 2 Я;

І-1

/?!2л2 ’

Из этих выражений видно, что коэффициенты при приращениях искомых функций изменяются с изменением номера приближения по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии равен

1 X

В случае т < 1, т. е. о > 1, рассмотренный выше итерационный ч я

процесс является сходящимся и приводит к следующему решению:

, ч Г1-д а h .

п

л 1 + д х2 + fi *h2 ' '

/ ч Г ^2 о h

^--.-c^-O'sTTrp-

1

В случае ~>х, т. е. q <1, сходящийся итерационный процесс строится

в несколько иной последовательности, но дает аналогичные результаты для уА(х) и у2(х).

Покажем, что полученное решение можно интерпретировать с помощью метода отражений. Выпишем, используя (1.4) и (1.5), выражения для составляющих скорости на границе со стороны первого потока, вызванной влиянием границы раздела потоков:

п(х) Г 1 - д h ш

и 1ГР~ ивих — — . А 2 о2и2 ’

2 2л 1 + д х1 + pfh2

1 * Г Г 1-4 „

«>1гр = L>1 - Увих = -—А I ----------— =

2п J х-Е 2п\ + а

х

X - $ 2л1 + д’ * х2 +р2и2

Точно такие же составляющие скорости дает «отраженный» вихрь, т. е. вихрь, расположенный в точке с координатами (О, А), имеющий интенсивность ХГ, где Я = -—-. Возмущения во втором потоке экви-

1 + 7

валентны вихрю интенсивности 8Г, расположенному в точке с координа-

V в

2-3=-^.

тами (0, -кН), ще 5 = ———к = Этот результат соответствует резуль-

1 + 9 Р2

татам, использовавшимся в работах [4, 5, 6] для дозвуковых сжимаемых потоков.

2. Рассмотрим подобную задачу, которая отличается от предыдущей тем, что число М во втором потоке больше единицы. В этом случае течение в сверхзвуковом потоке описывается уравнением гиперболического типа:

2“ ¿X2 V

Граничные условия остаются неизменными. В качестве распределенных особенностей на границе во втором потоке возьмем слой сверхзвуковых вихрей. Особенностью сверхзвукового плоского течения, как известно, является неизменность возмущенной скорости вдоль характеристик.

п(*).

1* х2 +/>2*2 2 ’

00

Ц1<*) = ~7~А- 2 %2-Т-^ 1

2* х + />?й 2* •>

П(№(.

х-4 ’

«2(х) = ^;

и2

_ 02Г2

где /?2 = -^М2со ~ 1 • Построим итерационный процесс ДЛЯ нахождения 71

и гг(л;)- В нулевом приближении у|0)(л:) = у^0> (х) = 0- Из уравнения (2.2), граничного условия (1.3) и уравнения (2.4) находим у2(х) в первом

приближении:

*Р2«У2«> Х2+02к2

Из уравнения (2.5), граничного условия (1.2) и уравнения (2.3) определяем ул(х) в первом приближении:

П

(1) = _£1

л д х +

- -А где $ =$

^2

Во втором приближении получим:

у(2) = £ *

-1 +

42

А

Г 2

х2+02Н2 *Ях2+/32к2>

„(2) _ Р 1ю^1со

^ Р 2 »о ^2 «о

2Д

1

+—

х2 + 0 2к2 д х2 + 02И2

в третьем приближении:

(3) _ г /?1«,К1оо 2 *Р2«У2'о

92 х2+/?2й2 д х2 + Р2И2

в приближении с четным номером 2/:

і2') _ II

-1 + -

?2

1-тГ + я1

Кя2)

Я2 )

Р\

х2 + Л2й2

Г2 я- д

1"ІГ +

+...+

-1У-1

п2

X2 + р2Н2’

¿21) = Рі«Уі» 2 Р2оаУ2«>

' ( \ 2 / \ 1-І

2 Г , 1 і 1

1_тг + -2 -2

К я \я и

Р\

*2 +

+ -

£1

яг?

1_?+

и

і +...+-п2 I 2

<Я2 )

/-1

х2 + ^2Й2 у

в приближении с нечетным номером 2/ + 1:

/ , V-1

гр+1> =£<!-1 + А

і 1 (142 ?2 + 1?2;

и2;

А

р 2^2

+

г

+—

я

2 1 ( \ 1 2 і . (-1) ґі] і'

Я 1 і1 ‘ И 2 І#2 і *2+/^2

(2/+1) _ Ъ«Уы 12Г 2 Р2«^2» 1 *

Я2 \я2)

-... + -

(-1)'

Ір I VI /

/?г

/г2*2

і--------+

я2

\я2)

/ Л/ - 1

і - 1

\я2)

х +

№

Как видно из (2.6) — (2.9), имеем геометрические прогрессии со

1 I

знаменателем В случае - < 1, т. е. д>1, четный и нечетный

процессы сходятся к одному результату и дают такое решение:

Г 1 - д2 Л Г 2} х

^ ^ я 1 + ?2 ^ х2 + 02И2 я! + ? х2 + ^А2 ’

Г2(х)=Р,ооУь

/

Р2=о^

2

-Г 2?2 а -Г 2д х

л1 + д2 1 х2 + /^й2 1 + д2 х2 + у^й2

В случае ^ < 1 итерационный процесс строится в иной последовательности, но приводит к тем же выражениям (2.8) — (2.9).

Составляющие скорости на границе в первом потоке, обусловленные ее влиянием, будут:

П(х) г 1-д2 „ А

Щгр ^вих - _ , -2 Р\ 2 О 2ь2

2 2я-1 + д1 х2 + р^Ъ1

Г 2д х

х

2я1 + д2 х2 + 02И2 >

1 „ ? , Г 1 - 92

У1гр _ иВНХ ” £ Т 1 ~2 ^ 1 л2ь?

2я 1 X-4 2я1 + д1 X2 + 0{И2

— 00 1

Г 02 Н .

2п\ + д2 1 х2 + р 2Л2

Такую же скорость на границе дают «отраженные* вихрь и источник, расположенные в точке (О, А). Интенсивность вихря

а-т2#;

1 + £2

интенсивность источника

л-

1 + ?2-

Таким образом, и для задачи о вихре в дозвуковом потоке, граничащем со сверхзвуковым потоком, возможно использование метода отражений для определения возмущенного поля течения в области вокруг вихря. В отличие от случая двух дозвуковых потоков отраженный сигнал создается двумя особенностями (типа вихря и типа источника),

интенсивности которых связаны с интенсивностью возмущающего вихря другими коэффициентами пропорциональности, зависящими от соотношения параметров невозмущенных потоков (2.12)— (2.13).

3. Рассмотрим задачу о вихре, помещенном в дозвуковой поток вблизи 1раницы с «двумерной» струей. Число М в основном потоке М1ю <1, а в струе М1оо <М2оо <1 (рис. 2, а). Вихрь размещен в точке

У «ч ю 1 Мг^1 11 !)52XJ Г 052ХГ < та—1—  -—г

в —• - кг- ' *>1

с *4 ю рч Л ¡)62\2 Г ¡><У2Х*Г

й)

Рис. 2. Схема течения — вихрь вблизи границы со струей

(О, К) на расстоянии А от нижней границы струи, толщина которой равна /. Построим систему отображенных особенностей для удовлетворения линеаризованных 1раничных условий на границах потоков, слабо возмущаемых вихревой особенностью, вносимой в первый поток. Будем рассматривать только те отображенные особенности, которые описывают поле течения в потоке, где находится вызывающая их особенность, т. е. в основком потоке. Отображенные особенности, которые отвечают за поле течения под струей, расположены выше нижней поверхности струи, а отображенные особенности, отвечающие за поле течения над струей, находятся ниже этой границы струи. Выполняя последовательно отображения относительно обеих границ в соответствии с методом отражений, будем иметь для возмущенного потенциала в основном потоке:

2jeяct%

j=1

4; +1 Д у +---------------1 + к

I 2

дс

здесь Л = -—<? = Уух ^ ;

Х+д 1+9

А = - М

2 1» '

Теперь обратимся к задаче о вихре вблизи границы с «плоской» сверхзвуковой струей. Система отображенных особенностей здесь строится следующим образом. Введя отображенные особенности, вихрь и источник (см. п. 2), описывающие возмущенное поле течения под струей, и удовлетворяющие вместе со слоем сверхзвуковых вихрей линеаризованным граничным условиям для нижней границы струи, имеем внутри струи возмущения, которые распространяются вдоль характеристик 1-го семейства вплоть до верхней границы струи. Для того чтобы удовлетворить линеаризованным граничным условиям (1.2) — (1.3) на этой границе, необходимо ввести слой сверхзвуковых вихрей для описания поля скоростей в струе и слой вихрей на внешней границе струи для описания возмущений в потоке над струей. По аналогии с п. 2 можно показать, что возмущенное поле скоростей в верхнем потоке эквивалентно полю от вихря и источника, которые расположены вне этого потока и «сдвинуты» вдоль вектора скорости в точку с координатами

(р21,— - к) (рис. 2, б). Слой сверхзвуков^* вихрей на верхней границе

струи, описывающий поле течения в струе, дает возмущения, которые распространяются вдоль характеристик 2-го семейства вплоть до нижней границы струи. Здесь снова требуется ввести дополнительные слои особенностей, удовлетворяющие условиям (1.2) — (1.3). При этом возмущения, передаваемые в нижний поток, вновь эквивалентны возмущениям от вихря и источника, интенсивности которых пропорциональны интенсивности возмущающей особенности Г. И так далее. Таким образом, получаем систему особенностей, описывающую поле течения в основном потоке. Особенности, влияющие на нижнюю часть потока,

расположены в точках с ординатой А - ^ и абсциссами с шагом 2/^,

а особенности, влияющие на верхнюю часть, расположены в точках с

ординатой —Лис шагом по оси Ох 2% (рис. 2, б). Поле течения в первом потоке описывается таким возмущенным потенциалом:

р=-

2 я

ДО- + - + Л) агйв-------------------1-

£(2,7+1) ^(х — 2у/^2 )2 + 1 (У + ~ — - Я(^ +^)агс1в

ДО- + - - А) ____ 2

/1

£ ^(2У) 1п^(х - (2у - 1))//%)2 + /?2(>, - 1 + Л)2

Д(У-- + Л) —А(2У)агс1в----------------

В отличие от задачи о вихре под дозвуковой «плоской* струей цепочка особенностей, описывающих вместе с оригиналом поле скоростей под струей, располагается горизонтально (рис. 2, б). Кроме того, для определения интенсивностей этих особенностей в этом случае необходимо пользоваться рекуррентными соотношениями:

*20 =_1_4$(£(1) -^(2) +*(3)_...+*(2#-1)) + 1 + д2 1

+1 - Л<1> - Л

¿(2/) = -Л—Ы!) _ 3(2) + 5(3)-...+5(2/ - 1) _

1 + д2 1-

-д(1 - ЯШ - *2) _ ЖЗ)_...Я(2/-1))],

Л(2/+1) = _1_Г^(^(1) - ¿(2) + +

1 + д2 1

+1_Я(1) -Я(2) -Я(3)-...Я(20],

£(2/+!) а _2_Г_£(1) + £(2) _ £(3)+...+^(20 + 1 + «21

+?(1 - Ж1) - Ж2) - АО) .. -я(20 )],

где ли) =

I-?2

1 + д1

5(1) =

2д 1 + дг '

зз

Рис. 3. Форма границы струи

4. Рассмотрим некоторые результаты решения задачи о вихре, расположенном вблизи границы раздела двух сжимаемых потоков с различными полными давлениями. На рис. 3, а представлены форма границы и распределение давления вдоль нее (3, б) как для случая дозвукового, так и для сверхзвукового второго потока при фиксированном отношении скоростных напоров. Форма границы, как уже отмечалось,

определяется интегрированием уравнения у = • При фиксирован-

х V

К1оО

ном расстоянии Л между вихрем интенсивности Г= 2яУ1ооаЛ, где а — малый параметр, и возмущенной границей малое возмущение границы существенно отличается для случаев, когда соседний поток дозвуковой и сверхзвуковой. Для сверхзвукового верхнего потока исчезает симметрия (рис. 3, а, кривая 3). Как следует из (2.10) — (2.11), в случае сверхзвукового второго потока минимум статического давления на границе будет достигаться не непосредственно над вихрем, а несколько дальше вниз по потоку. Легко показать, что

- -тттНа« - *‘»+ **>*».];

Ч«о Р\+Хтт

= Х0

т

где х0 = ~Р]Ц — координата точки, в которой коэффициент давления достигает нулевого значения. Отметим, что с ростом отношения скоростных напоров д смещение хт1п вначале увеличивается, а затем стремится к нулю.

Зависимость коэффициента давления в точке х = 0 и в точке минимума давления от числа М в первом потоке при фиксированном отношении скоростных напоров показана на рис. 4, а, а на рис. 4, б дана зависимость коэффициента давления от отношения скоростных напоров при фиксированном числе М в первом потоке. Видно, что при переходе числа М во втором потоке через единицу происходит «перестройка» решения. Минимум смещается в точку хтш (рис. За, б), а дальнейшее поведение коэффициента давления существенно отличается от его поведения в случае замены второго потока твердой стенкой.

,,, 1,,,,,,

-2

-в

В

мгт-м,„

о

0,8 Му.

М^-0,7 Г-2ъЦ„а.Н ,а.<1

-6 ь

Ср П1П

Тйепдая стенка

^"1 С-р\х-0

Однородный поток.

8

12

‘ ‘  *  Тб 20 _ р1тту£.

4я - 1 гг

Рис. 4.Зависимости с/)

На рис. 5, а представлены форма двух границ струи и распределение давления вдоль этих границ струи (5, б) как в случае дозвукового, так и сверхзвукового потока в струе. Наличие двух горизонтальных цепочек отраженных особенностей (вихрей и источников), отвечающих за поле течения вне струи (см. п. 3), приводит к волнообразному характеру данных зависимостей. Расчеты свидетельствуют о том, что с удалением от исходного вихря эта «волна» не затухает^ а период ее равен 2^. При увеличении толщины струи * -> °о приходим к решению задачи о вихре вблизи единственной границы. Напротив, при уменьшении толщины струи (->0 и фиксированном отношении скоростных напоров границы струи совпадают с линией тока в безграничном однородном дозвуковом потоке, проходящей на расстоянии к над возмущающей вихревой особенностью Г (рис. 5, а).

5. Рассмотрим влияние близости границы со сверхзвуковым потоком на коэффициент подъемной силы пластины, установленной под малым углом атаки а в потоке с числом М1оо < 1. Если пластина расположена достаточно далеко от границы раздела потоков, то ее можно

а)

$

Рис. 5. Форма границ струи

моделировать одним вихрем, расположенным на - хорды от носка

4

пластины, выполняя условие непротекания в точке, находящейся на рас-

3

стоянии - от носка. Тогда, учитывая отраженные особенности, имеем уравнение для циркуляции:

Ъ/2

1 +

ЦЬ / 2)

„ о 2й

Ь*ъ!г

<i/2)2+/if(2A)2 (й / 2)2 + (2Л)2/^

= 2лУ1ща

fix

где Ь — длина пластины.

Более точный результат, справедливый для сколь угодно малых расстояний до границы раздела, можно получить, заменив пластину вихревым слоем:

1

J

1 +

Х(х - 0і

filS-

2 h

(х-£2+/?2(2A)2 (x - 4)2 +/?2(2A)2

d^~ 2лУ1ха

A

В уравнениях (5.1) и (5.2) коэффициенты А и 8 определяются соответственно по формулам (2.12) и (2.13).

Зависимости коэффициента подъемной силы пластины от расстояния до границы раздела потоков h = h/b, где b — длина пластины, в случае сверхзвукового второго потока, а также в случае замены второго потока твердой стенкой представлены на рис. 6, а. Видно, что влияние границы дозвукового потока со сверхзвуковым не эквивалентно влиянию твердой стенки. При фиксированном расстоянии до поверхности раздела

А = const. Увеличение скоростного напора во внешнем потоке ведет вначале (когда M2e0 < 1) к увеличению подъемной силы, которая достигает максимума в случае М2оо -> 1. Затем влияние границы с сжимаемым сверхзвуковым потоком приводит к уменьшению подъемной силы (рис. 6, б). При выбранном числе М1оо =0,7 существует расстояние до границы, когда подъемная сила может стать даже меньше подъемной силы пластины в однородном потоке. Это соответствует <7 я 4(М2 и 1,4) и согласуется с рис. 4, б, из которого явствует, что влияние границы со сверхзвуковым потоком в наибольшей степени отличается от влияния границы с жестким экраном именно при этом отношении скоростных напоров. При дальнейшем увеличении q влияние границы вновь приближается к тому, которое оказывает жесткий экран.

Аналогичным образом можно получить зависимости изменения подъемной силы пластины от расстояния до двумерной струи конечной толщины. .

Рис. 6. Зависимости су

Подводя итог, можно сделать заключение о том, что жидкая граница раздела оказывает существенное влияние на изменение аэродинамических характеристик профиля не только для случая двух дозвуковых потоков с различными энергиями, но и для случая, когда несущая поверхность находится в дозвуковом потоке, который граничит со сверхзвуковым потоком. В последнем случае, так же как и в первом, для двумерной плоской задачи в линейной постановке оказывается возможным применить модифицированный метод отражений газодинамических особенностей для иллюстрации изменения картины течения. Результаты данной работы в дальнейшем могут использоваться для тестирования более сложных методов решения задач аэродинамической интерференции элементов планера со струями двигателей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Седов JI. И. Плоские задачи гидромеханики и аэродинамики//

М. — Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы. — 1950.

2. Гуревич М. И. Теория струи идеальной жидкости//М.: Наука. — 1979.

3. Бабкин В. И. Расчет взаимодействия профиля со струей методом отражений/Друды ЦАГИ. — 1982. Вып. 2124.

4.Lan С. Е. An analytical investigation of wing-jet interaction//NASA — CR/

38141. — 1974.

5.Павловец Г. А. Линейная теория профиля в сжимаемом газе при дополнительном обдуве струей//Ученые записки ЦАГИ. — 1984. Т. 15, № 1.

6.Бабкин В. И., Теперина Л. Н. Оценка влияния обдува крыла винтами ТВДЦ на волновое сопротизление//Труды ЦАГИ. — 1989. Вып. 2450.

Рукопись поступила 14/VIII 1991г.