Моделирование деформации и разрушения пористых кальций-фосфатных покрытий с градиентом механических свойств в условиях сдвигового нагружения

Моделирование деформации и разрушения пористых кальций-фосфатных покрытий с градиентом механических свойств в условиях сдвигового нагружения

Иг.С. Коноваленко, А.Г. Князева, А.Ю. Смолин, A.B. Карлов1

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Центр ортопедии и медицинского материаловедения СО РАМН, Томск, 634029, Россия

Методом подвижных клеточных автоматов моделировался отклик пористых кальций-фосфатных покрытий с градиентом механических свойств по глубине в условиях сдвигового нагружения. Показано, что гетерогенное покрытие определенного типа можно корректно моделировать однородным покрытием с соответствующими упругими и прочностными характеристиками. Рассмотрены различные способы неявного учета поровой структуры материала. Показано, что структурно-параметрический способ является достаточно корректным для моделирования деформации и разрушения хрупких пористых покрытий.

Simulation of deformation and fracture of porous calcium-phosphate coatings with a gradient of mechanical properties under shear loading

Ig.S. Konovalenko, A.G. Knyazeva, A.Yu. Smolin, A.V Karlov1

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 1 Center for Orthopedy and Medical Materials Science SB RAMS, Tomsk, 634029, Russia

The cellular movable automaton method is used to simulate the response of porous calcium-phosphate coatings with the depth gradient of mechanical properties under shear loading. It is shown that a certain type of heterogeneous coatings can adequately be simulated with a homogeneous coating with proper elastic and strength characteristics. Various methods of implicit account for the porous structure of the material are considered. It is shown that the structural parametric method is quite adequate for simulating deformation and fracture of brittle porous coatings.

1. Введение

При моделировании поведения гетерогенных материалов при нагружении очень сложно явным образом учесть реальное распределение механических свойств по объему. Поэтому гетерогенный материал представляют однородной средой с аналогичными эффективными характеристиками. Эта задача чрезвычайно усложняется при исследовании процессов разрушения. Ведь при этом важно моделировать не только прочностные параметры, но и характер разрушения. Вообще говоря, последнее обстоятельство не является обязательным и нуждается в дополнительном исследовании. В первой части работы такие исследования были проведены для кальций-фосфатного покрытия с градиентным распределением кальция по глубине [1].

2. Явный способ учета поровой структуры покрытия

Моделирование производилось методом подвижных клеточных автоматов [2] для сплошного и пористого покрытия. Величина пористости покрытий составляла 5,

© Коноваленко Иг.С., КнязеваА.Г., СмолинА.Ю., Карлов А.В.., 2006

10, 15 и 20 %. Геометрические размеры, условия нагружения и предположение о напряженно-деформированном состоянии образцов аналогичны приведенным в [1]. Полагалось, что в покрытии все поры имеют одинаковую форму (сфера) и размер (2.8 мкм), в соответствии с максимумом на гистограмме распределения структурных элементов [3]. Поры моделировались удалением одиночных автоматов из поля автоматов.

Каждому из образцов с гетерогенным покрытием (рис. 1, а-в) ставился в соответствие образец с однородным покрытием (рис. 1, г-е). Эти образцы обладали аналогичными эффективными упругими характеристиками и поровой структурой . Поскольку цель этой части работы состоит в изучении характера разрушения двух указанных групп образцов, то важным является выбор деформационных и прочностных параметров функции отклика автоматов, а также критерия разрыва связи между ними. Функции отклика автоматов имели линейный вид. Модули упругости материалов слоев те же, что и в [1], для линейного распределения кальция по глубине покрытия. Данные о деформационных свойствах кальций-фосфатной керамики в литературе отсут-

ствуют, в связи с чем возможен довольно широкий выбор критерия разрушения. Из всего многообразия функций отклика выберем два «крайних» случая, позволяющих наиболее четко выявить свойства моделируемой системы. В первом все функции отклика ограничены некоторой величиной напряжения (100 МПа), а во втором — некоторой величиной деформации (3.953 • 10-3). Функции отклика автоматов, соответствующих титановому имплантату и кортикальной кости те же, что и в [1]. Для обеих групп модельных образцов использовался критерий разрыва межавтоматных связей по интенсивности напряжений [4].

Сетки межэлементных связей образцов с функциями отклика автоматов покрытия первого типа представлены на рис. 1. Можно видеть, что покрытия с градиентным и однородным распределением кальция характеризуются схожими картинами разрушения. В частности, для пористых покрытий наблюдаются горизонтальные «ломаные» магистральные трещины, отдельные несквозные наклонные трещины, уходящие в глубину покрытия, а также локальные повреждения. Для сплошных покрытий характерно образование прямых горизонтальных магистральных трещин. Различие между ними (рис. 1, а, г), заключающееся в возникновении множественных регулярных повреждений в центральной части однородного покрытия, объясняется стесненными граничными условиями образца, и отсутствием в покрытии концентраторов напряжений (вследствие периодических условий).

Диаграммы нагружения образцов с функциями отклика первого типа представлены на рис. 2. На них можно выделить несколько характерных участков. Линейный участок соответствует упругому деформированию образца. Единичные скачки напряжения на этом участке диаграммы обусловлены генерацией локальных повреждений. Первый ниспадающий участок диаграммы соответствует росту в образце «ломаных» горизонтальных магистральных трещин и наклонных трещин, уходящих в глубь покрытия. Второй ниспадающий участок диаграммы соответствует развитию в образце пре-

имущественно только «ломаной» горизонтальной макротрещины. Диаграммы нагружения соответствующих друг другу образцов совпадают на первых двух участках диаграммы и различны на третьем. Данное обстоятельство говорит о подобном разрушении образцов.

Рассмотрим поведение образцов (рис. 3) в случае функций отклика второго типа. Гетерогенное покрытие (рис. 3, а-в) разрушается в результате развития в нем горизонтальной, практически прямой, магистральной трещины, проходящей в наименее прочном слое покрытия, находящемся непосредственно у кортикальной кости. В остальном объеме покрытия повреждения не образуются. У образцов с однородными механическими свойствами покрытия наблюдается иной характер разрушения (рис. 3, г-е). В частности, для них свойственно значительно более равномерное распределение повреждений по покрытию. В образцах с малой величиной пористости наблюдаются горизонтальная магистральная трещина, наклонные трещины, уходящие в глубь покрытия, а также локальные повреждения (рис. 3, д, е). Покрытия с более высокими значениями пористости (15 и 20 %) разрушаются из-за образования в них множественных наклонных трещин и локальных повреждений. В процессе разрушения эти покрытия значительно фрагментируются. Разрушение сплошного покрытия (рис. 3, г) характеризуется образованием в нем зон частично или полностью разрушенного материала. Подобный характер разрушения объясняется стесненными граничными условиями нагружения образца. Диаграммы нагружения образцов представлены на рис. 2, б. Им свойственна такая же стадийность, что и диаграммам на рис. 2, а. Разница между кривыми состоит в том, что все образцы с гетерогенным покрытием характеризуются более низкой максимальной силой сопротивления сдвигу и соответствующей ей деформацией. Кроме того, ниспадающие участки диаграмм образцов (рис. 3, б, в) значительно короче, чем у образцов (рис. 3, д, е). Им соответствует быстрое развитие горизонтальной магистральной трещины в градиентном покрытии и отсутствие в нем других повреждений (рис. 3, б, в).

Рис. 1. Сетки межэлементных связей образцов с градиентным

Рис. 2. Диаграммы нагружения образцов: а — на рис. 1; б — на рис. 3. Пористость покрытия: 0 (1); 5 (2); 10 (3); 15 (4); 20 % (5). Сплошные кривые соответствуют образцам с однородными свойствами материала покрытия, прерывистые — с градиентными свойствами

3. Неявный способ учета поровой структуры покрытия в модели

В методе подвижных клеточных автоматов возможны различные способы неявного учета поровой структуры материала: параметрический и структурно-параметрический.

Параметрический способ учета поровой структуры среды заключается в замене реального пористого материала модельной средой с аналогичными макроскопическими свойствами. Функции отклика автоматов при этом характеризуются более низкими механическими параметрами. Такая модельная среда характеризуется однородным распределением механических свойств по объему и не содержит в себе концентраторов напряжений, свойственных пористым материалам. Следовательно, ее разрушение подобно разрушению сплошного материала, а не пористого.

При структурно-параметрическом способе учета по-ровой структуры среды механические свойства модельного материала определяются как параметрически, так и структурно — изменением величины критерия разрыва отдельных межэлементных связей. Это изменение учитывает наличие в твердом теле разного рода дефектов, размер которых меньше размера автоматов. При данном способе учета поровой структуры возможно реализовать достаточно неоднородное распределение прочностных и деформационных свойств по объему. В

связи с этим разрушение модельного материала в какой-то мере может соответствовать разрушению реальных пористых сред. Мера этого соответствия и представляет собой предмет исследований в настоящей части работы.

Образцы с явным учетом пористой структуры покрытия и величинами пористости 5 и 10 % представлены на рис. 3, Э, е. Соответствующие им образцы со сплошным покрытием и различным количеством измененных межавтоматных связей представлены на рис. 4. Форма пор, их размер и способ заданиятакие же, как и в первой части статьи. Функции отклика автоматов, соответствующих покрытию являлись функциями отклика второго типа. Модуль упругости при выборе функции отклика для явного способа учета пористости составлял 10.5 ГПа. Критерий разрыва межэлементных связей подвижных клеточных автоматов характеризует прочность материала. Изменение критерия составляло от - 80 до 50 % его величины и выполнялось для одного, двух и трех соседей клеточного автомата на различные величины для каждого соседа. Доля автоматов покрытия, для которых изменялась их сила связи с соседями, равнялась пористости покрытия. Выбор в покрытии указанных автоматов носил стохастический характер.

Исследование степени соответствия откликов модельных образцов с явным и структурно-параметрическим способами учета пористой структуры при сдвиговом нагружении проходило в несколько стадий.

1. Подбирался модуль упругости автоматов покрытия со структурно-параметрическим способом учета пористой структуры, соответствующего покрытию с явно заданными порами.

2. Генерировалась серия образцов с различным количеством измененных межэлементных связей и различными степенями их изменения для каждого из стохастически выбранных автоматов, количество которых определялось величиной пористости покрытия.

3. Проводились расчеты для образцов данной серии. Выбирались те из них, для которых вид диаграммы нагружения и характер разрушения наиболее близок к образцам с явным учетом пористости.

h

Рис. 3. Сетки межэлементных связей образцов с градиентным

Рис. 4. Сетки межэлементных связей образцов со структурно-параметрическим способом учета поровой структуры материала в момент образования в покрытии разрушающей трещины. Пористость покрытия 5

4. Для выбранных образцов производилась корректировка значений прочностных параметров функции отклика автоматов покрытия. Результатом корректировки являлось совпадение максимальных сил сопротивления нагружению у образцов с явным и структурнопараметрическим способами учета пористости.

Характер разрушения покрытия при изменении прочностных параметров функции отклика его автоматов почти не изменялся, поскольку внутренняя структура покрытий оставалась идентичной. Указанная процедура проводились отдельно для каждого значения пористости. Модуль упругости автоматов покрытия при структурно-параметрическом способе учета пористости и ее величинах 5 и 10 % составлял 8.85 и 7.5 ГПа соответственно (стадия 1). Образцы с явным и структурнопараметрическим способом учета поровой структуры, для которых наблюдалось наибольшее соответствие в характерах разрушения (стадия 3), представлены на рис. 4. Во всех образцах имеет место образование горизонтальной магистральной трещины, а также системы наклонных и горизонтальных трещин уходящих в глубь покрытия. Рост трещин, как правило, начинается у концентраторов напряжений пор. Различие в характерах разрушения образцов состоит в более ранней (по деформациям) генерации первых повреждений в образцах на рис. 4 по отношению к соответствующим образцам на рис. 3, д, е.

Диаграммы нагружения модельных образцов имеют тот же вид, что и на рис. 2. После корректировки значений прочностных параметров функции отклика автоматов покрытия максимальные значения силы сопротивления сдвигу образцов с явным и неявным учетом пористости совпадали. Различие в диаграммах заключается в том, что для образцов со структурно-параметрическим способом учета поровой структуры на их линейном восходящем участке присутствует срыв напряжения. Этому срыву соответствует единовременная ге-

нерация повреждений по всему объему покрытия и кратковременное снижение его эффективных упругих характеристик. На стадии 4 разница в деформациях, соответствующих максимуму на диаграммах нагружения для рассматриваемых образцов, не превышала 5 %.

4. Выводы

Таким образом, показано, что гетерогенное покрытие при сдвиговом нагружении можно вполне корректно моделировать однородным покрытием с эффективными упругими характеристиками, и критерием разрыва межэлементных связей по интенсивности напряжений. Моделирование хрупких пористых покрытий в условиях сдвига при неявном структурно-параметрическом способе учета поровой структуры является также достаточно корректным.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки РФ и CRDF в рамках программы BRHE (проект № 016-02) и гранта РФФИ № 05-03-32617.

Литература

1. Коноваленко Иг.С., Князева А.Г., Смолин А.Ю. и др. Моделирование механического поведения кальций-фосфатных покрытий с различным содержанием кальция в условиях сдвигового нагружения на основе метода подвижных клеточных автоматов // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 4. - С. 55-62.

2. Psakhie S.G., Horie Y., Ostermeyer G.P. et.al. Movable cellular autómata method for simulating materials with mesostructure // Theor. and Appl. Fract. Mech. - 2001. - Nos. 1-3. - P. 311-333.

3. Легостаева E.B., Хлусов И.А., Шаркеев Ю.П. и др. Морфология и физико-химические параметры микродуговых кальций-фосфат-ных покрытий при растворении в биологической жидкости // Сборник научных трудов Российской школы-конференции молодых ученых и преподавателей «Биосовместимые наноструктурные материалы и покрытия медицинского назначения». - Белгород: Изд-во БелГУ, 2006. - С. 195-200.

4. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974. -312 c.