Расчет резонанса токов на высших гармониках в системах электроснабжения на основе пакетного вейвлет-преобразования

Освоены основные приемы работы с программой ELCUT и получена модель электродвигателя с постоянными магнитами для беспилотного летательного аппарата.

Представлены результаты моделирования электродвигателя с постоянными магнитами для беспилотного летательного аппарата, указывающие на корректность проведенных расчетов и решения поставленных задач.

Результаты исследования могут применяться при расчетах и моделировании электродвигателей с поверхностным распределением магнитов на роторе и распределенной обмоткой на статоре, а также когда существует равномерное распределение к полюсам разного количества магнитов по отношению к пазам. Учет указанных факторов позволит существенное ускорить этап проектирования электродвигателей подобной конструкции.

Источник финансирования. Благодарности

Данные исследования проведены при финансовой поддержке государства в лице Минобрнауки России (договор № 14.Z56.16.5570-МК).

Список литературы

1. Chen C. Optimization of Magnetic Field Waveform of Line-Start Permanent Magnet Synchronous Motor with No-Uniform AirGap // Electric Machines & Control Application. 2010. Vol. 7. Р. 1-5.

2. Mingji L. Optimization of Permanent Magnet Motor Airgap Flux Density Based on the Non-uniform AirGap // Proceedings 2013 International Conference on Mechatronic Sciences, Electric Engineering and Computer (MEC). Р. 3422-3426.

3. Akinaga T., Pompermaier C., Kalluf F., Da Luz M. Performance Evaluation of Brushless DC Permanent Magnet Motor Using Finite Element Method // 2011 IEEE International Electric Machines & Drives Conference (IEMDC). P. 1165- 170. DOI: 10.1109/IEMDC.2011.5994767.

4. Zhang X., Zhu Ji. Liu Q. Design and optimization of a six-phase fault-tolerant permanent magnet motor // Proceedings of The 7th International Power Electronics and Motion Control Conference. Vol. 2. P. 1314-1318. DOI: 10.1109/IPEMC.2012.6259048.

5. Amin Mahmoudi, Solmaz Kahourzade, Nasrudin Abd Rahim, Wooi Ping Hew. Design, Analysis, and Prototyping of a Novel-Structured Solid-Rotor-Ringed Line-Start Axial-Flux Permanent-Magnet Motor // IEEE Transactions on Industrial Electronics. Vol. 61, no. 4. P. 1722-1734. DOI: 10.1109/TIE.2013.2266082.

6. Lyutarevich A.G., Dolinger S. Y., Plankov A. A. Development of permanent magnet motor calculation technique // Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), International Conference on. 2016. DOI: 10.1109/ICIEAM.2016.7911485.

7. Lyutarevich A.G., Goryunov V.N., Lokhman E.A., Dolinger S.Y., Osipov D.S. Development of torque vector control system of permanent magnet motor // 2016 International Siberian Conference on Control and Communications. 2016. DOI: 10.1109/SIBTON.2016.7491663.

УДК 621.311

расчет резонанса токов на высших гармониках в системах электроснабжения на

основе пакетного вейвлет-преобразования

Д. С. Осипов, Д. В. Коваленко, Н. Н. Долгих

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-3-68- 78

Аннотация - Определение возможности возникновения резонансных режимов в системах электроснабжения (СЭС) является актуальной задачей при выборе и обосновании фильтрокомпенсирующих устройств (ФКУ). При резонансе токов имеют место негативные последствия: дополнительный нагрев токоведущих частей, перегрузка с последующим выходом из строя батарей статических конденсаторов (БСК), чрезмерный нагрев обмоток и сердечника трансформатора. Существующие методики, позволяющие определить границы допустимости несинусоидальных режимов, разработаны для стационарных режимов и используют действующие значения токов и напряжений, определенных с помощью преобразования Фурье (ПФ). Метод математического моделирования позволил произвести частотную декомпозицию сигнала с применением математического аппарата пакетного ВП. Такое разложение на частотные компоненты позволило определить интервалы времени присутствия ВГ в СЭС. В данной статье предла-

гается модернизация существующих алгоритмов и методик на основании применения пакетного вейвлет-преобразования (ВП). Достоверность представленной методики подтверждена численным экспериментом.

Ключевые слова: параллельный резонанс, вейвлет-преобразование, несинусоидальный нестационарный режим.

I. Введение

Увеличение доли электрических приёмников, искажающих синусоидальность формы кривой напряжения и тока, влечет за собой целый ряд негативных последствий для систем электроснабжения:

- дополнительные потери мощности и энергии в токоведущих частях;

- ускоренное старение изоляции и преждевременный выход из строя оборудования;

- нарушение работы устройств релейной защиты и автоматики;

- возникновение резонансных режимов.

Задачи расчета режимов СЭС с целью определения возможных резонансных режимов, оптимального размещения батарей конденсаторов вынуждают искать новые пути их решения [1].

Huang et al. [2] предложили практический подход к определению границ допустимости несинусоидальных режимов с точки зрения возможного возникновения резонанса. В основе метода лежит построение семейства кривых для определённых в [3] допустимых значений коэффициентов гармонических составляющих напряжения. В качестве переменной величины при построении диаграмм авторы [2] задают так называемый «резонансный коэффициент», который определяется как отношение полной проводимости контура на высших гармониках (ВГ) к полной проводимости на основной частоте. Для выявления границ, определяющих допустимость режима использования величины предельно допустимых перегрузок шунтирующих конденсаторов, регламентированных в [4].

В дальнейшем этот подход [2] получил свое развитие в [5], где в качестве дополнительных факторов учтены ёмкости кабелей, проложенных в земле. Кроме того, авторы [5] рассматривают возможность возникновения феррорезонанса при малой загрузке трансформатора.

В работе [6] предложен метод модального анализа чувствительности узлов СЭС. Представленный метод позволяет выявлять узлы, требующие особого внимания по условиям возникновения перенапряжений при параллельном резонансе. Для оценки чувствительности узловых напряжений более эффективно использование диагональной матрицы. Для этих целей в [6] применяется сингулярное разложение матрицы проводимостей на левые и правые собственные векторы. Такой подход позволил авторам уменьшить число строк и столбцов матрицы Якоби.

Если действующее значение тока конденсатора с учетом ВГ превышает установленное в [4] значение в 135% от номинального, то необходимо выявить частоты, вносящие наиболее существенный вклад с целью исправления ситуации. После определения наиболее доминирующей частоты в токе конденсатора возможен расчет и установка фильтров. Разработка методов создания и сравнительный анализ фильтров гармоник представлен в [7].

Как правило, при исследовании резонансов вводится допущение о стационарности режима работы систем электроснабжения. Так, авторы [2] разработали алгоритм, в основе которого определение действующих значений токов ВГ. В большинстве случаев параметры режима СЭС подчиняются вероятностным законам, т.е. мощность нагрузки не является постоянной во времени величиной.

Следовательно, возникает задача модернизации алгоритмов анализа нестационарных режимов на предмет поиска резонанса. В данной работе будет решена поставленная задача с применением математического аппарата пакетного ВП.

II. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА РЕЗОНАНСА ТОКОВ

Резонанс токов (параллельный резонанс) - это режим работы цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, соединенные параллельно, при которых суммарная реактивная проводимость разветвленного участка равна нулю. В режиме резонанса токов, напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. ток в цепи будет иметь чисто активный характер и в неразветвленном участке цепи окажется минимальным.

Общеизвестно, что условие возникновения резонанса токов (параллельного резонанса) для схемы (рис. 1) определяется равенством полных проводимостей параллельных ветвей:

оЬ

1/оС

Д2 + со2 Ь

Д22 +

1

со С2

о-*

а

ь

С

ь

Рис. 1. Электрическая цепь, в которой возможен резонанс токов

где L - индуктивность, С - емкость, R1 и R2 - активные сопротивления параллельных ветвей цепи.

Преобразуя выражение (1), получаем формулу для определения резонансной частоты в рассматриваемом контуре:

Ь - СД

о =

Е

сЬ

где - суммарное активное сопротивление цепи.

СЭС городов и промышленных предприятий работают, как правило, в нестационарных режимах. Такие режимы характеризуются случайными изменениями нагрузки, т.е. нагрузка не является постоянной (одинаковой) на всем рассматриваемом интервале времени (рабочая смена, сутки, год).

Для анализа несинусоидальных режимов работы СЭС могут применяться различные методы обработки. Самым простым и распространенным математическим аппаратом для практического применения стало преобразование Фурье. Однако при анализе несинусоидальных нестационарных сигналов с применением этого метода появляется эффект «растекания спектра». Для преодоления этого недостатка можно использовать оконное ПФ, однако исследователю необходимо заранее определять тип и ширину оконной функции, проходящую по исследуемому сигналу. Эти обстоятельства накладывают дополнительные трудности при анализе режимов работы СЭС. Эти недостатки легко преодолимы при использовании ВП.

ВП находит все более широкое применение для анализа несинусоидальных нестационарных режимов СЭС. В настоящее время накоплен опыт применения непрерывного ВП для определения комплексной проводимости электрической цепи на основе энергии спектра вейвлет-коэффициентов [8].

В работе [9] для анализа режима резонанса используется пакетное ВП.

Для учета изменения параметров нагрузки, искажающую синусоидальность кривой напряжения и тока в сети, при оценке допустимости резонансных режимов в настоящей работе предлагается следующий алгоритм, состоящий из четырех этапов:

Этап 1. Выполняется пакетное ВП исходного сигнала и его разложение на частотные составляющие. Для этого производится умножение исследуемого сигнала на коэффициенты частотных фильтров (высоких и низких частот). Таким образом, получаем детализирующие и аппроксимирующие вейвлет-коэффициенты соответственно. Процедуру разложения сигнала математически можно записать следующим образом:

С) = Е -т (Г),

"Г

(0 = Е 8(т)^-т «).

2

т

т

Применяя главное свойство масштабирующей и вейвлет-функций (равенство нулю их скалярного произведения) мы имеем право записать:

I

где ф.к (г) - масштабирующая функция, у к (г) - вейвлет-функция.

После проведения процедуры свертки исходного сигнала получаем коэффициенты пакетного ВП, которые могут быть представлены следующими выражениями:

ё]п

т

а2.п+1

т

Таким образом, ток и напряжение можно представить коэффициентами, полученными в результате пакетного ВП:

2-1п(т+\)-\

К*) = £ 11тт

2 1 пт 2-1 п( т+\)-\

и

2 1 пт

Тогда действующие значения несинусоидального тока и несинусоидального напряжения можно определить через коэффициенты пакетного ВП:

1j,m

UJ.m =

I 2-J n(m+1)-1

- T>2m

П 2-J nm

1 2 J n(m+1)-1

- ZU2.m

П 2-J nm

Если из полученного сигнала требуется определить действующие значения тока и напряжения определенной полосы частот, тогда в формулы (11), (12) нужно подставить вейвлет-коэффициенты уровня разложения j и узла m, описывающие интересующий нас частотный диапазон. Более подробно принципы расчета несинусоидальных нестационарных режимов рассмотрены в [10].

Этап 2. Алгоритм определяет интервалы времени, в которых присутствуют интересующие нас ВГ в сети, их вклад в суммарную энергию сигнала, а также задается пороговое значение энергии. Интервалы времени и вклад ВГ в энергию сигнала определяются на основании энергетического спектра коэффициентов пакетного ВП.

е = E

E(d I

Пороговое значение в 5 % выбирается в соответствии с величиной искажения n-й гармонической составляющей [Table 1, 3]. Если энергия спектра не превышает заданного порогового значения, тогда полученные вейвлет-коэффициенты могут быть отброшены и не учитываться в дальнейших расчетах, в противном случае, необходимо учитывать вклад этого вейвлет-коэффициента в дальнейшем.

Этап 3. На третьем этапе производится построение зависимостей суммарной реактивной проводимости контура от частоты, а также зависимость сопротивления контура от частоты системы. Кроме того, на этом этапе производится расчет резонансной частоты системы, которая зависит от режимных параметров (включение, отключение нагрузки и изменения степени компенсации реактивной мощности в зависимости от выбранной ступени БСК) и определения токов, протекающих в элементах системы в режиме резонанса токов.

Этап 4. На основании токов резонансного режима производится расчет параметров секций фильтра высших гармоник и принимается решение о необходимости установки таких секций фильтра в рассматриваемую СЭС.

III. Результаты экспериментов

Авторами статьи была произведена частотная декомпозиция сигнала с применением математического аппарата пакетного ВП. Такое разложение на частотные компоненты позволило определить интервалы времени присутствия ВГ в СЭС.

Определены доминирующие гармоники исходного сигнала через произведение вейвлет-коэффициентов.

Определена частота резонанса токов, на которой способен возникнуть режим резонанс токов при изменении режима работы СЭС посредством изменения степени компенсации реактивной мощности. Вычислены действующие значения токов ВГ с помощью применения математического аппарата пакетного ВП.

IV. обсуждение результатов

Поясним полученные результаты на следующем примере.

Рассмотрим СЭС, в которой возможен резонанс токов на ВГ. Схема СЭС (рис. 2) состоит из двухтрансфор-маторной подстанции, к секциям шин которой подключается спокойная нагрузка (представлена силовыми пунктами СП2 и СП3). Через кабельные линии электропередачи (W1, W2) питается нелинейная нагрузка, являющаяся источником ВГ. Она представлена вентильными преобразователями, от которых питается частотно -регулируемый электропривод двигателей через силовые пункты СП1 и СП4.

Вентильные преобразователи представлены 6-пульсными выпрямителями, генерирующие 11 и 13 гармоники в сеть. Кроме этого, преобразователи работают с низким коэффициентом мощности (соБф). Для повышения соБф в сети к секциям шин СШ1 и СШ2 подключены регулируемые БСК, являющиеся источником реактивной мощности в сети. Для изменения степени компенсации, при постоянно изменяющемся режиме работы СЭС, выбраны регулируемые батареи.

В упрощенном виде частотно-регулируемый электропривод может быть представлен нагрузкой, имеющей активно-индуктивный характер, источником тока (генератор ВГ) с внутренним сопротивлением. БСК представляет собой нагрузку емкостного характера, схема замещения трансформатора - RL-цепочка. Схема замещения СЭС на ВГ представлена на рис. 3.

С С

Рис. 2. Исследуемая СЭС

Рис. 3. Схема замещения СЭС на ВГ

На рис. 4 изображен график электрических нагрузок. На этом графике мы видим 3 характерных изменения режима. Проведя анализ данных табл. 1 и рис. 4 видно, что в первом интервале времени (0-7 мин) СЭС работала со значительной долей потребления реактивной мощности сети. На втором интервале степень компенсации увеличилась, а на третьем отрезке доля потребления нагрузкой Q увеличилась, а степень компенсации уменьшилась (компенсация составила 50 квар).

450

400

350

л н о о

В 300

я

о

250

200

150

_ куаг —Р, кШ — 8, кУЛ -

1 1 г--

10

15

Время,мин

20

25

30

Рис. 4. График электрических нагрузок

На рис. 5 (а, б, в) показана осциллограмма тока на шинах БСК для характерных режимов работы СЭС. Характеристика режимов:

- рис. 5 а - при компенсации 12,5 квар реактивной мощности и наличии 11, 13 гармоник в сети,

- рис. 5 б - при компенсации 75 квар реактивной мощности, наличии 11, 13 гармоник в сети и режиме резонанса на частоте, близкой к частоте 11 гармоники,

- рис. 5 в - при компенсации 50 квар реактивной мощности, наличии 11, 13 гармоник в сети и режиме резонанса на частоте, близкой к частоте 13 гармоники.

5

I

1001-1-

в

Рис. 5. Осциллограммы сигнала тока на шинах БСК

Источником ВГ в рассматриваемом численном эксперименте является 6-пульсный преобразователь. Известно, что при подключении БСК и нелинейной нагрузки к одной и той же секции шин может возникнуть резонанс токов на частотах, близких к частотам ВГ сети (рис. 3). Причем главное условие резонанса токов (равенство комплексных проводимостей) в таких режимах работы может легко выполниться.

ТАБЛИЦА 1 РЕЖИМЫ РАБОТЫ СЭС

Время, мин Рн, кВт Он, квар Обск, квар Бн, кВА cosф ^рез, Гц

0-7 300 260 12,5 397 0,87 1310

7-18 300 200 75 360 0,828 537

18-30 300 220 50 372 0,841 658

0-7 300 260 12,5 397 0,87 1310

7-18 300 200 75 360 0,828 537

18-30 300 220 50 372 0,841 658

0-7 300 260 12,5 397 0,87 1310

7-18 300 200 75 360 0,828 537

18-30 300 220 50 372 0,841 658

Степень компенсации реактивной мощности отражает график, представленный на рис. 6, на котором представлена зависимость переключения ступеней БСК за получасовой интервал времени.

80 70 60 50

га

& 40

сТ

30

20

10

Qбск

10

15

1,т1п

20

25

30

Рис. 6. График переключения ступеней БСК

На рис. 7 показаны графики зависимости реактивных проводимостей (нагрузки, БСК и суммарной) от циклической частоты. В точке пересечения горизонтальной оси координат и графика суммарной реактивной проводимости будет наступать резонанс токов (реактивная проводимость в режиме резонанса равна нулю) в СЭС при данном режиме работы. Для изображенного на рис. 7 режима работы СЭС (рис. 2), резонансная частота составила примерно 3374 рад (что соответствует резонансной частоте в 537 Гц). Т. е. резонансная частота системы находится в окрестности частоты 11 гармоники (550 Гц), которая присутствует в гармоническом спектре преобразователя.

Таким образом, на частоте 11 гармоники мы имеем режим, близкий к режиму резонанса.

На рис. 8 представлена зависимость сопротивления системы от частоты. На частоте резонанса (3374 рад) сопротивление системы стремится к бесконечности (график имеет ярко выраженный пик).

Рис. 7. Зависимости Ьн=Дю), ЬБСК=Дю), Ь^=Дю)

Рис. 8. Зависимость 2у=Дю)

0

0

5

На рис. 9 показано разложение сигнала тока, протекающего по шинам БСК. Разложение сигнала было выполнено с помощью пакетного ВП, с использованием вейвлета Добеши 24 порядка фЬ24). В результате ВП мы получаем матрицу вейвлет-коэффициентов энергетического спектра сигнала. Если энергия сигнала не превышает установленный нами порог, тогда мы вправе отбросить эти коэффициенты и не учитывать их. Таким образом, после проведения операции сравнения энергии вейвлет-коэффициентов с пороговым значением, у нас остаются только 3 вейвлет-коэффициента: (3,0), описывающий основную частоту системы (50 Гц) (рис. 10 а), (3,5) - описывающий 13 гармонику (650 Гц) и (3,7) - описывающий 11 гармонику (550 Гц).

0-100 Гц 100-200 Гц 300-400 Гц 200-300 Гц 700-800 Гц 600-700 Гц 400-500 Гц 500-600 Гц

Рис. 9. Дерево разложения сигнала при применении пакетного ВП

Таким образом, можно отметить три режима работы БСК (рис. 10):

- малая степень компенсации реактивной мощности (12,5 квар), при наличии 11 и 13 гармоник в сигнале, о чем свидетельствует энергетический спектр вейвлет-коэффициентов 5 и 7 узла третьего уровня разложения (рис. 10 в, г), отвечающих за соответствующие частотные полосы;

- компенсация 75 квар реактивной мощности - в этом случае у нас наблюдается резонанс токов на частоте, близкой к частоте 11 гармоники, о чем свидетельствует большое значение энергии сигнала тока 11 гармоники, описываемой вейвлет-коэффициентами 7 узла третьего уровня разложения (рис. 10 в);

- компенсация 50 квар реактивной мощности - режим резонанса токов на частоте, близкой к частоте 13 гармоники, характеризуемой вейвлет-коэффициентами пятого узла третьего уровня разложения (рис. 10 б).

V. Выводы и заключение

Идея, предложенная авторами, базируется на основании обобщения различных существующих работ, посвященных анализу и идентификации резонанса токов в СЭС. В представленной работе были решены следующие задачи:

1. Показана возможность частотной декомпозиции несинусоидальных сигналов и определения действующих величин параметров режима через отдельные вейвлет-коэффициенты. Это позволит в соответствии с [4] более точно определять доминирующие гармоники с целью внедрения ФКУ.

2. Был предложен модифицированный алгоритм, позволяющий определять временные интервалы существования ВГ и частоты возникновения резонанса токов в СЭС, с помощью математического аппарата пакетного ВП, при заданной степени компенсации реактивной мощности.

3. Доказана возможность применения предлагаемого алгоритма для расчета параметров при нестационарных несинусоидальных режимах работы СЭС.

Список литературы

1. Atkinson-Hope G., Folly K.A. Decision theory process for making a mitigation decision on harmonic resonance // IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 19, Is. 3. P. 1393-1399. DOI: 10.1109/TPWRD.2004.829142.

2. Huang Z., Xu W., Dinavahi V.R. A practical harmonic resonance guideline for shunt capacitor applications // IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 18, Is. 4. P. 1382-1387. DOI: 10.1109/TPWRD.2003.817726.

3. IEEE Recommended Practice and Requirements for Harmonic Control in Electric Power Systems, IEEE Std. 5192014, 2014.

4. IEEE Standard for Shunt Power Capacitors, IEEE Std. 18-2012, 2012.

5. Rahimi S., Wiechowski W., Rundrup M., Ostergaard J., Nielsen A. H. Identification of problems when using long high voltage AC cable in transmission system II: Resonance & Harmonic resonance // Transmission and Distribution Conference and Exposition, 2008. T&D. IEEE/PES, 2008. P. 1-8. DOI: 10.1109/TDC.2008.4517187.

6. Cui Y., Wang X. Modal Frequency Sensivity for Power Syatem Harmonic Resonance Analysis // IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 27, Is. 2. P. 1010-1017, Apr. 2012. DOI: 10.1109/TPWRD.2012.2185520.

7. Xu W., Ding T., Li X., Liang H. Resonance-Free Shunt Capacitors Configurations, Design Methods and Comparative Analysis // 2016 IEEE Transactions on Power Delivery. Vol. 31, Is. 5. P. 2287-2259. DOI: 10.1109/TPWRD.2015.2507440.

8. Gomez-Luna E., Silva D., Aponte G., Pleite J.G., Hinestroza D. Obtaining the Electrical Impedance Using Wavelet Transform From the Time Response // IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 28, Is. 2. Р. 1242-1244. Apr 2013. DOI: 110.1109/TPWRD.2012.2234942.

9. Li P., Gao J., Sun J. Resonance analysis using wavelet packet transform in clustered grid-connected PV sysem // IEEE Power and Energy Society General Meeting (PESGM), 2016. P. 1-5. DOI: 10.1109/PESGM.2016.7741665.

10. Osipov D. S., Dolgikh N. N., Goryunov V. N., Kovalenko D. V. Algorithms of packet wavelet transform for power determination under nonsinusoidal modes // 2016 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines, Dynamics (Omsk Russian Federation; 15 November 2016 through 17 November 2016). DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819059.