Каскадный фильтр динамической модели и его экспоненциальное преобразование

УДК 681.5

КАСКАДНЫЙ ФИЛЬТР ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ЕГО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

В.А. Каладзе

Предложена каскадная процедура распараллеливания информации в процессе математического моделирования. Исследованы свойства каскадного фильтра динамической модели и его эффективного экспоненциального преобразования, обладающего возможностями формирующего фильтра. Выявлены особенности случайного процесса, формируемого каскадным экспоненциальным фильтром. Проанализированы результаты вычислительного эксперимента, проведенного в специализированной предметно-ориентированной программной среде.

Ключевые слова: динамическая модель, каскадный фильтр, эффективное преобразование

Традиционные конечные методы статистической идентификации систем (типа метода наименьших квадратов) основываются на методах решения систем алгебраических уравнений, не обладающих регуляризующими свойствами. Для применения конечных методов в решении плохо обусловленных задач моделирования используются специальные приёмы регуляризации, как, например, осредняю-щие процедуры накопления на основе среднего арифметического, эффективные лишь в условиях статистической стационарности наблюдений. В этом случае траектории состояния системы рассматриваются как фиксированные кривые на пройденном интервале наблюдений. Для расширения области статистической идентификации в сторону динамической статистики следует применять итерационные методы, которые имеют ряд существенных преимуществ по сравнению с конечными методами моделирования.

Итерационные методы , в частности, являются математическими моделями динамических систем и обладают важными свойствами сглаживания и са-мокоррекции за счёт информационного обновления в процессе моделирования в режиме реального времени. В связи с этим свойством, итерационные оценки, начиная с некоторого номера шага, не зависят от начальных значений. Скорость V затухания влияния начальных данных в итерационной процедуре определяется через характеристический корень X полинома, находящегося в знаменателе передаточной функции такой системы

V=4т,

где X - наименьший по модулю корень, а т - расстояние по времени до начальных значений.

Математические описания динамических систем используют дифференциальные характеристики ^//й^ различных порядков к = 1, ...,п, а фазовые траектории их состояний описывают эволюционно изменяющиеся состояния системы в режиме нормальной эксплуатации.

Классическим примером теоретически оптимальной динамической модели, основанной на итерационных алгоритмах, служит процедура, разработанная Калманом для оперативной оценки фазовых

Каладзе Владимир Александрович - МИКТ, канд. техн. наук, доцент, ст. науч. сотрудник, е-шаД: wakaladze@yandex.ru

состояний динамических систем при наличии статистической помехи наблюдения. Оптимальность этой модели обеспечивается наличием достоверной априорной информации о вероятностных характеристиках исследуемого гауссовского процесса. При выполнении таких условий оценки фильтра Калмана получаются несмещёнными, эффективными и состоятельными. На практике получать такую достоверную информацию не представляется возможным.

За время, прошедшее с момента публикации фильтра Калмана и по настоящее время, появилось достаточно работ, содержащих различные модификации, направленные на получение субоптимальных оценок. К ним можно отнести модификацию Шмидта, связанную с добавлением «фиктивного» шума, введение процедуры взвешивания, «замораживание» матрицы усиления фильтра и т. п. Однако все они, как и исходная процедура, требуют точного априорного знания вероятностных характеристик исследуемого процесса.

Модель Мехра случайного процесса удовлетворительно работает только со стационарными объектами, а фильтр Язвинского ориентирован лишь на некоррелированный характер шума.

Вместе с тем, в таких работах субоптимальность всего лишь декларируется, но нигде не доказана её эффективность, не показано, в чём эта эффективность выражается и не определены критерии её эффективности.

В операции центрирования, при вычислении ковариаций, математическое ожидание определяется как среднее арифметическое, что недопустимо для нестационарных случайных процессов. Это также приводит к искажениям в рассчитываемых оценках характеристик процесса.

Использование в фильтре Калмана статистически рассчитанных неточных априорных характеристик, как показано в [1], приводит к получению неоптимальных оценок вектора состояния, а, по большей части, и к расходимости самого процесса оценивания. В этой же работе достаточно подробно рассмотрены и системные предпосылки расходимости фильтра Калмана.

Вместе с тем, структуру фильтра Калмана

Х / г = / г-1 + КгУг,

при Ь1 = I - К А, и единичной матрице наблюдений, не нарушая общности условий, можно представить как

X/, = (I - К,)х/,-1 + К,у,.

Это указывает на идентичность закономерности получения оценки Калмана с процедурой оценивания в экспоненциальном фильтре, которая позволяет описывать поведение линейной динамической системы не выше первого порядка [2].

Коэффициент усиления Кг рассчитывается с использованием априорно известных ковариационных матриц исследуемого случайного процесса.

Конечность времени наблюдения (соответственно и конечность промежутка интегрирования) значительно снижает точность ковариационных оценок. Но ковариационные матрицы плохо обусловлены даже при наличии точных значений ковариационных функций. Если же эти функции определяются с ошибкой, то результат настолько сильно искажается, что не имеет ничего общего с точным решением даже при малых ошибках в исходных данных и при малой интенсивности шума [3].

Поскольку ковариационные показатели являются лишь численными оценками статистической взаимосвязи между сечениями случайного процесса, то они не содержат информации о динамических характеристиках процессов, и непосредственно использовать ковариации для оценки поведения фазовых состояний систем невозможно. Альтернативой ковариационным показателям являются предложенные А. Н. Колмогоровым структурные функции нестационарных случайных процессов.

В динамических моделях для обработки неоднородной статистической информации используется процедура последовательной иерархической фильтрации в форме каскадного фильтра [4]. Интерес к такой информации связан с тем, что в случайной временной последовательности (СВП), являющейся наблюдаемой реализацией нестационарного случайного процесса, содержатся сведения о вариациях состояний динамических систем.

Уь1

Я (У) ------

1 Б Г -1 \^У/ 1 Б

г Я-і( у) і

Б Б

і 1 1 £,( У) 1 1

Я2( У) -------

Я (у) ------

Рис. 1. Структурная схема каскадного фильтра

Каскадный фильтр представляет собой многократное последовательное преобразование метрического пространства У на себя

^;-1

где у, БкЕ У при к = 1,

В теории динамических систем каскад определяется как простейшая динамическая система с дискретным временем, определяемая действием итеративного правила (1) с некоторым исходным эффективным преобразованием (оператором) Б = Б1. Исследование свойств каскада и его уровней сводится к изучению особенностей его эффективного преобразования Б. Аналогом каскада является поток, как динамическая система с непрерывным временем, причём результаты, полученные для одного, могут формально переносятся на другой.

Эффективное преобразование Б каскада, которое по определению является линейным апериодическим звеном, в течение всего времени переходного процесса обладает свойством осреднения.

Поскольку линейное эффективное преобразование Б не изменяет структуры и сигнатур преобразуемого пространства, то этой особенностью и свойством линейности обладает и каскадный фильтр.

Структура каскадного фильтра сформирована на последовательной иерархии, в которой все уровни фильтра функционируют в один и тот же текущий момент времени (рис. 1).

Каскадный фильтр, как составная часть динамической модели (ДИМ) [5] случайных процессов со стационарными приращениями [6, 7], решает две предварительные задачи этого сложного направления математического моделирования: фильтрацию помехи наблюдения и выявление содержащейся в наблюдениях информации о динамических характеристиках исследуемого случайного процесса. Решение второй задачи связано с преобразованием наблюдаемой скалярной последовательности у, в компоненты вектора структурных параметров

Б =(Б',...,Б:+1). Последующие процедуры ДПМ,

объединённые в блок параметровариатора, на основе этого вектора формализуют текущее значение вектора / = ( /0, /1;..., /п) фазового пространства

Ж"+1 динамической системы. Порядок каскадного фильтра на единицу больше порядка соответствующей динамической модели.

Таким образом, проводится операция распараллеливания информации. Суть операции заключается в том, что из скалярной СВП выявляется многомерная информация в виде вектора дифференциальных характеристик полезного сигнала.

В конкретной реализации ДПМ для каскадного фильтра выбрано эффективное осредняющее преобразование экспоненциального среднего в итеративной форме [2]

Б,-

Применение (2) в качестве осредняющего оператора при построении алгоритмической модели ДПМ, как показано в [5], приводит на стадии формирования структурных параметров модели к поэтапной процедуре формализации каскадного фильтра. Так к-й уровень этого фильтра имеет вид,

Б

устанавливающий его связь с предыдущими уровнями по иерархии и по времени

Бк (у, Б*„ Б,*-1) =

= (1 - а)Б*, (у, Бк_2, Бк-) + аБк-1 (у, Бк-, Бк-2) при к = 0, 1, ., :, Б,0 = у, а е (0,1).

Безусловно, в корректной форме запись к-й компоненты вектора структурных параметров имеет вид Б? (у1, Б?-1, Б?-1), но, учитывая, что оператор эффективного преобразования Б действует У^-У, уровень каскадного фильтра можно записать как Б? (у), что делает аналитическое выражение (3) зна-

чительно нагляднее:

я; (У) = (1 -а) Б^( У) + аБк-1( у).

Тогда для каждого к можно расписать процедуру (4) в виде последовательности операций

Б, (У) = (1 - а)Бм (у) + а у{,

БП (у) = (1 - а)Б"-1 (у) + а БП-1(у).

Адаптивный параметр фильтрации в динамической модели и каскадном фильтре в процессе моделирования настраивается с помощью многошаговой процедуры случайного поиска [8].

Зачастую, в инженерных приложениях, при определении устойчивости и точности получаемых оценок удобно использовать конечные выражения итерационных процедур. Конечная форма уровней каскадного фильтра (5) имеет вид

Б, (У) = (1 - а)Б,-1 (у) + ауі,

Бк (у) = (1 - а )Бі-1 (у) + аБк-1( у),

Б2 = (1 - а)Бі-1 +аБі = (1 - а)Бі-1 + а [(1 - а)Бі-1 + ауі ], Б2 = (1 - а)Бі-1 + а(1 - а)Б(-1 + а2у,,

Б/ = (1 -а) Бі3-1 +а(1 -а) Бі-1 +а2(1 -а) Б(-1 +а3 уі =

= (1 - а) [Бі3-1 + аБ,21 + а2Б(-1 ] + а3уі,

Бк = (1 -а)XарБк--1р +аку1.. р=0

В отдельных выкладках, где требуется только указание на зависимость от времени, оператор экспоненциального преобразования можно компактно обозначать как

Б = Б, (у) = Б (у,).

Таким образом, применение каскадного

фильтра к наблюдаемой реализации нестационарного случайного процесса приводит к появлению

структурного вектора Б = (Б',...,Би+1) динамической системы, компоненты которого рассчитываются на соответствующих уровнях каскада. Эта промежуточная, по отношению к вектору / , информация описывает частотный диапазон полезного сигнала в процессе У(,).

Для того чтобы исследовать это свойство результирующего вектора Б каскадной фильтрации, рассмотрим особенности экспоненциального фильтра (2) как эффективного преобразования каскада на основе свойств формирующего фильтра.

При моделировании случайных процессов формирующий фильтр играет особую роль, преобразуя высокочастотные случайные процессы в случайные процессы с требуемыми статистическими характеристиками. В основном он обеспечивает получение, в виде реакции на возмущение белым шумом, случайного процесса с плотностью вероятности, принадлежащей классу зависимостей, описываемых уравнением Пирсона, в том числе нормального, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера и др. [9].

Общий вид формирующего фильтра представляется линейным дифференциальным уравнением первого порядка

г +( а + М (,)) г = к Щґ):

где М(г, тм, Бм) и Е (,, т^, Б) - нормальные белые шумы. Ковариационные функции таких случайных процессов записываются через нормированную импульсную функцию

соу

где Б=о2 - дисперсия соответствующего случайного процесса, д(т) - функция Дирака.

Особенностью применения формирующего фильтра (6) является установление сбалансированного соотношения между аддитивными и мультипликативными возмущающими сигналами и ожидаемыми статистическими характеристиками отклика формирующего фильтра. Поскольку при соуДг)^0 уменьшается величина первой моментной функции (математического ожидания) отклика системы (6), это позволяет говорить об отсутствии систематического отклонения в получаемой, как результат, модели помехи наблюдения. В самом деле, величина смещения, обусловленная взаимной корреляцией возмущений, имеет вид

Ат =- кЯ^/

^ /2(а + тм)-Ям(

Отсутствие мультипликативного возмущения позволяет построить фильтр с более устойчивыми характеристиками и, что самое главное, функция плотности вероятности формируемого сигнала будет симметричной, а установившееся значение (по окончании переходного процесса) будет пропорционально математическому ожиданию аддитивного возмущения

’ '

' т..

. а %

В этом случае при Б = 0 непараметрическая модель системы (6), как апериодического звена, может быть представлена передаточной функцией

к а само уравнение формирующего фильтра

Тр +1

запишется как

Z = -T (Z - k E(t)),

где Т - постоянная времени системы.

Если интенсивность возмущающего белого шума положить а = 1, а параметры системы (9) принять как Т = 1/а, к= (2а/а), то ковариационная функция формируемого процесса примет вид хорошо известной на практике зависимости

Rz (т) = a2 exp {-а|г|}.

Спектральная плотность в этом случае запишется как

а а

sz (а) =

п

Уравнение системы (9) с такими статистическими характеристиками для дискретного времени при /=/ можно формализовать [2] в виде

Si (у) = (1 -а) Si-i( у) + а Уі

полагая а=1/Т, и что на вход системы подаётся последовательность у, а отклик системы в момент / обозначен как £(у).

В этом случае на выходе экспоненциального преобразования формируется статистически связный центрированный стационарный процесс. При этом, поскольку экспоненциальный оператор является оператором сжатия [2], то процесс, получаемый на его выходе, обладает меньшей интенсивностью, чем исходный.

Заметим, что свойства центрированности и стационарности формируемого процесса сохранятся и в случае, если на вход экспоненциального оператора поступает центрированный стационарный процесс с ковариационной функцией типа (10), что соответствует процедуре каскадной фильтрации.

При этом максимальное значение промежутка корреляции т формируемого сигнала является монотонно возрастающей функцией параметра к фильтра (5), что позволяет утверждать об увеличении связности результирующего процесса с повышением уровня каскадного фильтра. В этом случае график спектральной плотности (11) вытягивается вверх, сжимаясь с боков, что указывает на повышение веса низкочастотной составляющей случайного процесса. Отсюда следует тот факт, что, подавляя высокочастотную составляющую фильтруемого статистического сигнала, каскадный фильтр вместе со своим экспоненциальным преобразованием выделяет более низкочастотный сигнал (рис. 2).

Все эти свойства указывают, что на каждом уровне каскадный фильтр формирует более низкочастотный сигнал, чем на предыдущем уровне. Поскольку порядок ДПМ определяется в соответствии со сложностью исследуемого процесса, что выражается числом членов в разложении Тейлора основной тенденции процесса, то это означает, что при адекватно подобранном порядке ДПМ (и каскадного фильтра), моделью описывается низкочастотный диапазон случайного процесса, определяющий полезный сигнал. Выделению полезного частотного

диапазона способствует также компромиссный выбор параметра фильтра а, который позволяет не только эффективно подавлять помеху. Подтверждением этих положений являются и результаты вычислительного эксперимента, проведенного на модели третьего порядка (рис. 2).

Вычислительный эксперимент проводился на основе специальной программной среды [10], разработанной в Visual Studio .NET, а не с использованием одного из известных пакетов компьютерной математики по той причине, что непосредственная программная разработка создаст более дружественную и комфортную обстановку с эксклюзивным сервисом и позволит лучше понять принципы и специфику исследуемых алгоритмических моделей и методов идентификации и прогнозирования.

; ; Yn і і і і і  д

х S[2] \ і \ S[3] Нщ ^,  У>ч!ч

S[4] "'т s[i]V-,j \\ і \

; ; »  ' /

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Рис. 2. Наблюдаемая СВП

По видеограммме, помещённой на рис. 2, видно, что с повышением уровня дисперсия его отклика уменьшается, а сам отклик становится более низкочастотным, чем отклики предыдущих уровней. Аналогичные результаты получены и в прикладных исследованиях [11].

С целью определения величины статистической ошибки экспоненциального преобразования проведём анализ его статистической эффективности. Для этого воспользуемся непрерывной формой.

Исследование оператора экспоненциальной фильтрации £ в интегральной форме, наряду с итеративным представлением, позволяет судить о его способности подавлять статистическую составляющую ) [12] наблюдаемого случайного процесса. Однако непрерывная форма удобнее в теоретических исследованиях, а дискретная - в вычислительном эксперименте. Рассмотрим остаточную ошибку подавления шума

Z(t) = £_ (t) + S[E(t)],

которая включена в общую погрешность преобразования1.

1 Суммарная величина отклонения результата преобразования от эталонного значения включает остаточную неопределенность отфильтрованной помехи как, собственную

статистическую погрешность и величину €откл систематического отклонения результатов преобразования.

Для выявления статистических свойств оператора £ будем использовать представление случайного процесса У(() в форме

У

где Х(/) - выделяемый полезный сигнал, Е(/) - центрированный случайный процесс, характеризующий, в общем случае, «цветную» помеху наблюдения с ковариационной функцией /2).

Систематическое отклонение оператора £

^

в исследованиях такого направления полагается равным нулю или компенсированным.

Полагая пространство У евклидовым, через квадрат нормы оператора £ определим выражение для дисперсии ошибки фильтрации

trn =

= СТ = 1

Я^/ г1+гг/

e /Te 'TR(z1,T2)dT1dz2

.

В процессах со стационарными приращениями дисперсия случайной составляющей процесса У(/) постоянна или равномерно ограничена некоторой постоянной мажорантой, в связи с чем, можно счи-

2

тать сг5[£] не зависимой от времени.

Для стационарного случайного процесса ошибка фильтрации преобразуется к виду

V г У e /Tdr1 j e/TR

где 5 = /2 - ^ ,

разделением двойного интеграла на два определённых, связанных величиной промежутка ковариации.

Если у случайной составляющей процесса ковариационная функция равна нулю для любой пары сечений, то

-Vt /T

2V

ст

e /T drx = ^Ä^(1 - e

2tT ),

где = Щ(0).

У экспоненциального преобразования отклик, как у любой динамической системы, содержит переходной процесс, длящийся от 0 до Т, т.е. в течение Т единиц времени. При ^ > Т отклик переходит в установившийся режим, в котором

и2 =СТ(

2Т '

Отсюда видно, что параметр фильтрации а из условия подавления несвязной помехи определяется соотношением

= 1

ст.

Литература

1. Jazwinski A.H. Stochastik Processes and Filtering Theory-N.Y., 1970.

2. Каладзе В.А. Множественность форм экспоненциального фильтра/ Вестник ВГУ, № 2. - Воронеж: ВГТУ, 2009. - С. 24-28.

3. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1979. - 240 с.

4. Ганцева Е.А. Предикторные алгоритмические модели нестационарных случайных процессов/ Е. А. Ган-цева, В.А. Каладзе, Г.В. Каладзе// Вестник ВГТУ, вып. 8.4.

- Воронеж: ВГТУ, 2005. - С. 25-28.

5. Каладзе В.А. Стохастические структуры динамических моделей: формализация динамического ядра. Системы управления и информационные технологии, -Москва-Воронеж: № 4, 2009. - С. 12-15.

6. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве. ДАН СССР, 1940, т. 26, № 1. - С. 115-118.

7. Каладзе В. А. Алгоритмические модели и структурные функции динамических случайных процессов. Системы управления и информационные технологии, -Москва-Воронеж: № 3 (41), 2010. - С. 4-7.

8. Ганцева Е.А. Формирование каскадного фильтра и настройка его параметров/ Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе// Междунар. научн. конф. «Информационные технологии в связи выч. технике и энергетике» - Воронеж: МИКТ, 2010.

- С. 25-30.

9. Пугачёв В. С. Основы статистической теории автоматических систем / В.С. Пугачёв, И.Е. Козаков, Л.Г. Евланов. - М.: Машиностроение, 1974. - 412 с.

10. Ганцева Е.А. Программный комплекс «Скользящие предикторы в поддержке принятия решений» / Е.А. Ганцева, В.А. Каладзе, А.В. Ерофеев, Г.В. Каладзе. ФАП ВНТИЦ, рег. № 50200401035 от 20.08.2004. - М.: ВНТИЦ, 2004.

11. Исайкин С.Ю.Программный комплекс «Выделение отражённого полезного сигнала на фоне статистического шума» / Исайкин С.Ю., В.А. Каладзе. ФАП ВНТИЦ, рег. № 50201000934 от 06.09.2010. - М.: ВНТИЦ, 2010.

12. Ганцева Е.А. Сравнительный анализ операторов статистического оценивания/ Е. А. Ганцева, В. А. Каладзе, Г.В. Каладзе// Вестник ВГТУ. Вып. 8.4. - Воронеж: ВГТУ, 2004. - С. 13-17.

2

а =

2

Международный институт компьютерных технологий, г. Воронеж

THE CASCADE FILTER OF DYNAMIC MODEL AND IT EXPONENTIAL TRANSFORMATION V.A. Kaladze

Cascade procedure parallelization the information is offered in the course of mathematical modelling. Properties of the cascade filter of dynamic model and its effective exponential the transformation possessing possibilities of the forming filter are investigated. Features of casual process identify, which cascade exponential filter are formed. Results of the computing experiment realize in the specialised subject-oriented environment are analysed

Key words: dynamic model, the cascade filter, effective transformation