О непрерывных образах топологических пространств

УДК 515.12

О НЕПРЕРЫВНЫХ ОБРАЗАХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

© И. В. Блудова

Ключевые слова: частично упорядоченная система непрерывных отображений топологического пространства; непрерывный, факторный, совершенный образ топологического пространства.

Частично упорядоченные множества всех непрерывных, всех факторных, всех совершенных отображений топологического пространства используются для описания всех непрерывных, всех факторных, всех совершенных образов этого пространства.

Ниже под пространством понимается топологическое T\ -пространство, под непрерывным отображением - непрерывное отображение пространств. Для отображения множеств f : X ^ Y коограничением этого отображения называется такое отображение (corf) : X ^ fX, что (corf)x = fx , x € X .

Непрерывные отображения "на" Л и ц пространства X будем называть А -эквивалентными, если существует (очевидно, однозначно определенный) гомеоморфизм h : Л^) ^ /i(X) , удовлетворяющий условию Л = h о ц. Легко проверить, что А -эквивалентность является отношением эквивалентности на классе всех непрерывных отображений "на" пространства X . Все классы введенного отношения эквивалентности образуют множество. Обозначим его через C(X) . Как обычно, мы будем забывать о разнице между элементами множества C(X) и их представителями. Для Л € C(X) положим 1т(Л) = Л(X) .

Для Л, ц € C(X) будем считать, что ц следует за Л и писать Л < ц, если существует непрерывное отображение : 1т(ц) ^ 1т(Л) , такое, что Л = о ц. Очевидно, отображение однозначно определено. Легко проверить, что введенное отношение < на C(X) превращает C(X) в частично упорядоченное (ЧУ) множество. В дальнейшем Q(X) , соответственно, P(X) будет обозначать ЧУ подмножество всех факторных, соответственно, всех совершенных отображений множества C(X) .

Замечание 1. 1. Совершенный образ хаусдорфова пространства хаусдорфов (см. [1], теорема 3.7.20).

2. Если пространство X хаусдорфово, ц € P(X), Л € C(X) и Л < ц, то Л € P(X) тогда и только тогда, когда отображение совершенно (т. е. когда € P(1т(ц)) (см. [1], следствие 3.7.3 и предложение 3.7.10).

3. Очевидно, если ц € Q(X), Л € C(X) и Л < ц, то Л € Q(X) тогда и только тогда, когда отображение факторно (т. е. когда € Q(Im(ц)) .

Напомним определение 3 из [2]:

отображение Л € C(X) называется простым, соответственно, конечно простым, если существует такая точка t\ € 1т(Л) , соответственно, существует такое непустое конечное множество TA С 1т(Л) , что |Л 1 tA| > 1 и \Л-1Ц = 1 для всех t € 1т(Л) , отличных от tA , соответственно, | Л 111 > 1 для всех t € T\ и | Л 111 = 1 для всех t € 1т(Л) \ T\ .

Отметим, что любое факторное конечно простое отображение из C(X) замкнуто (см. лемму 2 из [2]).

1763

Множество всех простых, соответственно, конечно простых, отображений из ЯХ) [из Р(X) ] вместе с тождественным отображением пространства X будем обозначать через БЯХ) [через БР(X) ], соответственно, через РЗЯ,(Х) [через ТБР(X) ].

В дальнейшем, если IX) равно Р(X) или ТБР(X) , пространство X будем считать хаусдорфовым (см. в связи с этим замечание 1).

Лемма 1. Пусть / € РБЯХ) (соответственно, / € ТБР(X)), У = 1ш(/), X € ЯХ) и X < /, то X € ^БЯХ) (соответственно, X € ТБР(X)) тогда и только тогда, когда отображение п^х является факторным (соответственно, совершенным) конечно простым или совпадает с гйу (т. е. когда п^х € ) (соответственно, п^х € ТБР(У))).

Доказательство. Пусть Т есть множество всех точек пространства У, прообразы которых при отображении / неодноточечны. По условию это множество конечно.

Пусть п^х € ^БЯ(У) (соответственно, п^х € ТБР(У)). Если п^х = гйу , то X = / € ^БЯХ) (соответственно, X € ТБР(X)). Предположим, что п^х является факторным (соответственно, совершенным) конечно простым. Тогда множество Т' всех точек пространства 2 = 1ш(\) , прообразы которых при отображении п^х неодноточечны, непусто и конечно. Тогда непусто и конечно множество Т" = п^х(Т) иТ'. Очевидно, прообразы при отображении X некоторых точек из Т" неодноточечны. Если £ € 2 \ Т" , то прообраз (п^\)-11 состоит из одной точки. Обозначим ее через в. Так как в € Т, то и прообраз /-1 в состоит из одной точки. Поскольку X = п^х ◦ /, то и прообраз X-1(в) состоит из одной точки. Таким образом, отображение X является конечно простым. Относительно факторности (совершенности) X см. пункт 3 (пункт 2) замечания 1.

Пусть теперь X € РБЯХ) (соответственно, X € ТБР(X)). В случае X = / имеем равенство п^х = гйу . Пусть X = /. Тогда п^х = ъйу , в 2 существует хотя бы одна точка, прообраз которой при отображении п^х неодноточечен, и множество Т' всех точек пространства 2 = 1ш(X) , прообразы которых при отображении X неодноточечны, непусто и конечно. Из пункта 3 (соответственно, 2) замечания 1 вытекает факторность (соответственно, совершенность) отображения п^х . Если £ € 2 \ Т', то прообраз (п^х)-11 одноточечен, так как одноточечен прообраз X-1t = /1-1((п^х)-1^)) . Таким образом, отображение п^х является конечно простым.

Пусть символ I обозначает любой из символов С , Я , Р , ТБЯ , ТБР .

Фиксируем I и возьмем / из I(X) . Положим / = {X € IX) : X < /} и У = 1ш(/) .

Возьмем £ € С (У) . Тогда (X = (к^(£) = £ о /)) € С^) , X < / и £ = п^х .

Если I = Я, Р, ТБЯ, ТБР , то отображение £ € I(У) факторно. Так как отображение / также факторно, то отображение X , как композиция факторных отображений, также факторно. Следовательно, X € Q(X). В случаях I = Р, ^БЯ, ТБР отображения / и £ совершенны. Следовательно, совершенна и их композиция к^(£) = £ о/ . Поэтому X € Р (X) . Если I = ТБЯ или ТБР, то отображение £ конечно простое или равно гйу и, по лемме 1, X € РБЯХ), соответственно, X € ТБР(X).

Таким образом, во всех рассматриваемых случаях к^ есть отображение I(У) в . Так как отображение п^ (X) = п^х , X € является обратным к к^ , то к^ является биекцией I(У) на / . Легко проверить, что если £,п € I(У) , £ < п, то и к^(£) < к^(ц) . Следовательно, получено

Предложение 1. Для любого I = С, Я, Р, ^БЯ, ТБР и любого / из IX) отображение к^ является изоморфизмом ЧУ множества I(Iш(/)) на ЧУ множество / .

Нам понадобится следующее утверждение, доказанное в теореме 13 из [2].

1764

Теорема BNP q . Пусть даны T1 -пространств X и Y .

1) Если FFSQ(X) с I(X) с Q(X), FFSQ(Y) с I(Y) с Q(Y) (в частности, I = Q, FFSQ ) и ЧУ множества I(X), I(Y) изоморфны, то пространства X и Y гомеоморфны.

2) Если пространства X и Y гомеоморфны, то пары ЧУ множеств Q(X) и Q(Y), FSQ(X) и FSQ(Y) изоморфны.

Теорема 1. Пусть даны T1 -пространств X и Y .

1) Пространство X тогда и только тогда обладает факторным отображением на пространство Y, когда существует такое ц € Q(X), что ЧУ множества Q(Y) и ц изоморфны.

2) Пространство X тогда и только тогда обладает замкнутымым конечно простым отображением на пространство Y, когда X и Y не гомеоморфны и существует такое ц € FSQ(X), что ЧУ множества FSQ(Y) и ц (берется в FSQ(X)) изоморфны.

Доказательство. Пусть в пункте 1) пространство X обладает факторным отображением ц на пространство Y. Тогда можно считать, что ц € Q(X) и Y = 1т(ц) . По предложению 1, ЧУ множества ц^ и Q(Im(p) = Y) изоморфны. Пусть теперь в пункте 1) существует такое ц € Q(X) , что ЧУ множества Q(Y) и ц изоморфны. Тогда по предложению 1 изоморфны ЧУ множества Q(Y) и Q(Im(ц)) , а по пункту 1) теоремы BNP q , пространства Y и 1т(ц) гомеоморфны. Следовательно, X обладает факторным отображением на Y.

Доказательство пункта 2) теоремы аналогично доказательству пункта 1) (надо только вспомнить, что факторное конечно простое отображение замкнуто).

Перейдем к рассмотрению случая ЧУ множеств C(X) .

Лемма 2. Для любого X € C(X) существует единственное факторное отображение ц € Q(X), такое, что X < ц и отображение взаимно однозначно.

Доказательство. Через ц обозначим такое отображение пространства X на множество Im(X) , что ц(х) = X(x) для любого х € X. Снабдим множество Im(X) факторной отоносительно ц топологией т и обозначим пространство (Im(X),T) через Y. Тогда отображение id(y=jm(x)) : Y ^ Im(X) непрерывно, отображение ц становится факторным и X = id(y=im(\)) ◦ ц (т. е. id(y=im(\)) = ). Если существует такое отображение ц' € Q(X), что X < ц' и отображение взаимно однозначно, то отображение (п^\)-1 ◦ является гомеоморфизмом и есть п^' .

Из леммы 2 вытекает.

Следствие 1. Для X € Q(X) следующие условия эквивалентны:

1) X € Q(X) ;

2) для любого ц € C(X), такого, что X < ц, существует хотя бы одна точка t € Im(X), для которой |(пмл)-11\ > 1 .

Простое отображение X € C(X) называется дуальной точкой, если | X 1 tA | = 2) . Дуальную точку будем называть факторной, если она является факторным отображением.

Лемма 3. Для X € C(X) следующие условия эквивалентны:

1) X является факторной дуальной точкой;

2) если ц € C(X) и X < ц, то ц = idx .

Доказательство. Следование 1) ^ 2) вытекает из следствия 1. Из 2) следует, что отображение X факторно. То, что X - дуальная точка, доказывается так же, как в доказательстве предложения 5 из [2].

Лемма 4. Для X, ц € C(X), X < ц, следующие условия эквивалентны:

1) не является взаимно однозначным отображением;

2) существует такая факторная дуальная точка v, что X < v и ц ^ v .

1765

Доказательство. Из 1) вытекает существование такой точки t € (Z = Im(A)) , что \F = n-lt\ > 1. Возьмем пару разных точек y,y' € F и точки х,х' € X так, что ¡(х) = y и ¡л(х') = y'. Возьмем такую факторную дуальную точку v, что v~ltv состоит из точек х и X . Очевидно, неравенства условия 2) выполнены.

Пусть теперь выполнено условие 2) и пусть v~ltv состоит из точек х и X . Тогда (z = А(х)) = nv\(v(х)) = nv\(v(X)) = А(х'). Так как / ^ v, то ¡(х) = л(х'), но п^\(/(х)) = А(х) = z = А(х') = п^\(ц,(х')). Следовательно, \(n^\)~lz\ > 1.

Из следствия 1 и лемм 3-4 вытекает

Следствие 2. Для любых пространств X, Y и любого изоморфизма i ЧУ множества C(X) на ЧУ множество C(Y), во-первых, i(Q(X)) = Q(Y) и, во-вторых, коограничение на Q(Y) ограничения i на Q(X) есть изоморфизм ЧУ множеств Q(X) и Q(Y) .

Следующее утверждение дополняет теорему BNP q .

Теорема 2. Для T\ -пространств X и Y следующие утверждения равносильны:

1) пространства X и Y гомеоморфны;

2) ЧУ множества C(X) и C(Y) изоморфны.

Доказательство. Следование 1) ^ 2) очевидно. Пусть мы имеем 2). По следствию 2, изоморфны ЧУ множества Q(X) и Q(Y) . По пункту 1) теоремы BNP q , пространства X и Y гомеоморфны.

Для / из C (X ) положим = {А € C (X ) : А < /} и Y = Im(/) . Для £ € C (Y ) положим

= £ ° л.

Теорема 3. Для T\ -пространств X и Y следующие утверждения эквивалентны:

1) X обладает непрерывным отображением на Y ;

2) существует такое / €C (X), что ЧУ множества C (Y) и изоморфны.

Доказательство. Теорема доказывается так же, как пункт 1) теоремы 1 (но вместо теоремы BNP q используется теорема 2).

Напомним, что (возможно, не непрерывное) отображение пространств f : X ^ Y называется к -непрерывным [3], если его ограничение на любое компактное подпространство пространства X непрерывно. Взаимно однозначное отображение f между пространствами называется к -гомеоморфизмом [3], если f и обратное к нему отображение к -непрерывны. Напомним, что к -непрерывное отображение к -пространства непрерывно и к -гомеоморфизм к -пространств является гомеоморфизмом.

Нам понадобится следующее утверждение, доказанное в теореме 13 из [2] (см. также замечание 5 в [2]).

Теорема BNP р . Пусть даны T2 -пространства X и Y .

1) Если FFSP(X) С I(X) С P(X), FSP(Y) С I(Y) С P(Y) (в частности, I = P, FSP ) и ЧУ множества I(X), I(Y) изоморфны, то пространства X и Y к -гомеоморфны. Если, дополнительно, X и Y - к -пространства, то X и Y гомеоморфны.

2) Если пространства X и Y гомеоморфны, то пары ЧУ множеств P (X) и P (Y), FSP(X) и FSP(Y) изоморфны.

Теорема 4. Пусть даны T2 -пространств X и Y .

1) Если существует такое / € P (X), что ЧУ множества P (Y) и изоморфны, то X обладает к -непрерывным отображением на Y, являющимся композицией совершенного отображения / : X ^ Im(/) и к -гомеоморфизма h : Im(/) ^ Y на Y. Если, дополнительно, X и Y - к пространства, то h - гомеоморфизм и X обладает совершенным отображением на Y . Если X обладает совершенным отображением на Y , то существует такое / € P (X ), что ЧУ множества P (Y ) и / изоморфны.

1766

Если X и Y - k -пространства, то пространство X тогда и только тогда обладает совершенным отображением на пространство Y, когда существует такое ц € P(X), что ЧУ множества P(Y) и изоморфны.

2) Если существует такое ц € FSP(X), что ЧУ множества FSP(Y) и изоморфны, то X обладает k -непрерывным отображением на Y , являющимся композицией конечно простого совершенного отображения ц : X ^ 1т(ц) и k -гомеоморфизма h : 1т(ц) ^ Y на Y . Если, дополнительно, X и Y - k -пространства, то h - гомеоморфизм и X обладает конечно простым совершенным отображением на Y . Если X обладает конечно простым совершенным отображением на Y , то существует такое ц € FSP (X), что ЧУ множества FSP(Y) и ц| изоморфны.

Если X и Y - k -пространства, то пространство X тогда и только тогда обладает конечно простым совершенным отображением на пространство Y , когда существует такое ц € FSP (X), что ЧУ множества FSP (Y) и изоморфны.

Доказательство. Рассмотрим утверждения первых двух предложений пункта 1). Из предложения 1 следует изоморфизм ЧУ множеств P(Y) и P(1т(ц)) . Из теоремы BNP р следует существование искомого k -гомеоморфизма h : 1т(ц) ^ Y. Если X и Y - k -пространства, то, в силу совершенности ц, 1т(ц) - k -пространство тоже. Следовательно, h - гомеоморфизм и отображение h о ц совершенно.

Перейдем к утверждению третьего предложения пункта 1). Пусть ц есть совершенное отображение X на Y . Тогда ц € P(X) и Y = 1т(ц). Остальное вытекает из предложения 1.

Последнее утверждение пункта 1) вытекает из предшествующих.

Пункт 2) теоремы доказывается так же, как пункт 1).

В 1968 г. К.Д. Магилл [4], доказывая свою известную теорему (ТМ) о гомеоморфизме стоун-чеховских наростов в X \ X и в Y \ Y локально бикомпактных пространств X и Y, неявно доказал теорему (далее она будет называться теоремой Магилла о гомеоморфизме бикомпактов) о том, что два бикомпакта X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ЧУ множества C(X) и C(Y) . В статье [2] получено обобщение теоремы Магилла о гомеоморфизме бикомпактов на случай k -пространств для распространения ТМ и ее частичного обобщения в [3] на наросты не только стоун-чеховских бикомпактификаций не только локально бикомпактных пространств.

Далее под пространством понимается тихоновское пространство. Под компактификацией тихоновского пространства понимается хаусдорфова компактификация.

ЧУ множество всех хаусдорфовых компактификаций пространства X будет обозначаться символом K(X) . Для компактификации dX пространства X через K(dX) обозначим множество {cX € K(X) : cX < dX} . Нарост cX \ X компактификации cX будет обозначаться через rcX .

Напомним (см. [3]), что пространство X называется k -абсолютным, если существует ком-пактификация (= для любой компактификации) cX € K(X) нарост cX \ X является k -пространством.

Теорема 5. Если для компакти,фи,каци,й dX и cY тихоновских пространств X и Y существует такая компактификация cX пространства X, что cX < dX и ЧУ множества K(cX) и K(cY) изоморфны, то нарост rcY является образом нароста rdX при отображении,, являющемся композицией совершенного отображения и k -гомеоморфизма. Если еще X и Y являются k -абсолютными пространствами, то нарост rcY является совершенным образом нароста rdX .

1767

Доказательство. Из теоремы 17 статьи [2] и изоморфности К(cX) и К(сУ) сразу же вытекает существование к -гомеоморфизма Н : rcX ^ гсУ, являющегося гомеоморфизмом, если пространства X и У являются к -абсолютными. Остальное следует из существования совершенного отображения dX \ X на cX \ X .

Теорема 6. Для компактификаций dX и сУ локально компактных тихоновских пространств X и У следующие утверждения эквивалентны:

1) нарост rdX обладает совершенным отображением на нарост гсУ;

2) существует такая компактификация сЖ пространства X, что сЖ < (IX и ЧУ множества К (cX) и К (сУ) изоморфны.

Доказательство. Следование 2) ^ 1) вытекает из предыдущей теоремы.

Пусть теперь выполнено условие 1). Из локальной компактности пространства X следует (см. доказательство леммы 16 из [2]), что компакт гсУ является наростом некоторой ком-пактификации cX пространства X, такой, что cX < (X . По теореме 20 из [4] локальная компактность X и У и гомеоморфность наростов rcX и гсУ влечет изоморфизм ЧУ множеств К (X) и К (сУ) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

2. Bludova I.V., Nordo G, Pasynkov B.A. On the homeomorphism of spaces and Magill-type theorems // Q&A in General Topology. 2001. V. 19. № l. Р. 95-105.

3. Rayburn M.C. On Hausdorff compactifications // Pacif. J. Math. 1973. V. 44. № 2. Р. 707-714.

4. Magill K.D. The lattice of compactifications of a locally compact space // Proc. London Math Soc. 1968. V. 18. Р. 231-244.

Поступила в редакцию 30 сентября 2014 г.

I.V. Bludova

ON CONTINUOUS IMAGES OF TOPOLOGICAL SPACES

The partially ordered sets of all continuous, all quotient, all perfect mappings of a topological space are used for a description of all continuous, all quotient, all perfect images of this space.

Key words: partially ordered system of continuous mappings of topological space; continuous, quotient, perfect image of topological space.

Блудова Ирина Валентиновна, Специализированный учебно-научный центр СУНЦ-1 Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры "Основы математики и информатики", е-mail: irina-bludova@yandex.ru

Bludova Irina Valentinovna, Specialized educational scientific center SESC-1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation, candidate of physico-mathematical Sciences, Associate Professor of the Department "Fundamentals of mathematics and Informatics", е-mail: irina-bludova@yandex.ru

1768