Влияние скоростных связей на устойчивость равновесия динамической системы резания

УДК 621.95.08:51-74

ВЛИЯНИЕ СКОРОСТНЫХ СВЯЗЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗАНИЯ

В.Л. ЗАКОВОРОТНЫЙ, ФАМ ДИНЬ ТУНГ, НГУЕН СУАН ТЬЕМ

Рассматривается проблема потери устойчивости динамической системы резания. Основное внимание уделяется влиянию запаздывающего аргумента, формируемого в зависимостях сил резания от упругих деформационных смещений инструмента относительно заготовки. Раскрываются механизмы потери устойчивости и анализируются области устойчивости в плоскости варьируемых параметров, характеризующих запаздывающие аргументы.

Ключевые слова: процесс резания, устойчивость, скоростная связь.

Введение. Существует два основных механизма потери устойчивости динамической системы резания. Один связан с непотенциальностью позиционных сил, формируемых процессом резания. В этом случае на устойчивость системы влияют формируемые естественным образом циркуляционные силы, связанные с кососимметричными суммарными матрицами упругости подсистемы инструмента и процесса резания. Второй обусловлен влиянием матрицы скоростных коэффициентов в динамической связи, формируемой процессом резания. Скоростные коэффициенты формируются в результате двух принципиально различных факторов. Во-первых, они зависят от запаздывающих аргументов изменения сил от координат упругих деформационных смещений. Запаздывающие аргументы имеют двоякую природу: запаздывание сил от деформационных смещений, формируемых в области первичной пластической деформации; дисбаланс сил в области первичной пластической деформации и сил, формируемых в области вторичной пластической деформации, что вызывает переходные процессы в области вторичной пластической деформации, направленные на уравновешивание указанных сил. Поэтому запаздывание силы F2 характеризуется меньшим временем запаздывания по отношению к силе F1 [1 - 3]. Запаздывание сил F1 по отношению к силам F2 отмечается во всех известных экспериментальных исследованиях. Во-вторых, они связаны с существованием участков с падающими зависимостями сил от скоростей. Необходимо учитывать, что падающие участки скоростной зависимости сил обусловлены действием так называемого температурно-скоростного фактора, учитывающего, с одной стороны, влияние скорости на производство тепла, с другой - влияние температуры на физико-механические характеристики материала в зоне резания.

Постановка задачи. Если ограничиться формальными представлениями не раскрывая механизмы формирования матриц скоростных коэффициентов, необходимо проанализировать влияние матриц скоростных коэффициентов на устойчивость точки равновесия системы. Для этого обратимся к базовой динамической модели процесса резания, обоснование которой было дано ранее в [1]:

d2X .dX v J „ dX А ...

m—— + h — + cX = FIX,—,a,b I,

dt2 dt { dt ) K }

где X - упругие деформационные смещения вершины инструмента относительно ее координаты без процесса резания, X = {X1,X2}r; F | X,^ ,a,b | - вектор-функции, харак-

теризующие динамическую связь, формируемую процессом резания, F | X, < ,а,ь1 = <^1 | X, < ,а,о\ ,Я, | X, < ,а, Ь 11 ; a, Ь - толщина и ширина срезаемого

слоя, зависящие от величины подачи на оборот и глубины резания при заданных геометрических параметрах инструмента соответственно; т, Ь, с - матрицы инерционных, скоростных и упругих коэффициентов подсистемы инструмента без процесса резания соответствен-

т 0' , Л = \і 1 -сТ Сі,і С2,1

т = _ 0 , С =

т И1,2 И2,2 _ _С1,2 1 и1

Матрицы т, Ь и с симметричные и положительно определенные. Следовательно, при ^ (Х,‘Х,а,^ = 0 система (1) имеет единственную точку равновесия X* = {0,0}г, которая является асимптотически устойчивой. Необходимо выяснить, при каких условиях равновесие системы (1) является асимптотически устойчивым. Для этого необходимо проанализировать уравнение в вариациях относительно точки равновесия X* = {Х{, Х2* }г, определяемой из системы (1) для установившегося состояния

сХ*= ^

Таким образом, точка равновесия в динамической системе резания при заданной геометрии инструмента и матрице упругости с зависит от технологических режимов, которые определяют параметры а и Ь

Уравнение в вариациях относительно точки равновесия X* = {X,*, Х2* }г для малых отклонений х

d2x , dx п

т —- + И. — + с.х = 0, dt2 Е dt Е

гДе С =

с -5фк с —_дф1_' И — ^ И 1 1

1,1 дХ1 2,1 дХ2 , Л. = 1,1 дХ1 2,1 дХ2

с дф2 с дф2 И дф2 И дф2

1,2 дХ1 2,2 дХ2 1 1,2 дХг1 2,2 дХ2

, ф(х) = F(X,dX / &,а,Ь) -F(X* ,0,а,Ь).

В дальнейшем коэффициенты влияния линеаризованных реакций со стороны процесса резания обозначим с(Р) = [сР] = [дф5 /дхк],э,к = 1,2; Ь(Р) = [Ь(к] = [дф5 /дхк],э,к = 1,2. Это матрицы динамической жесткости и скоростных коэффициентов процесса резания. Влияние на устойчивость матриц с(Р) = [сР] = [дф5 / дхк],Б,к = 1,2 изучено ранее. Изучим влияние на устойчивость матриц Ь(Р) = [ьРк ] = [дф5 / дхк ],э,к = 1,2.

Механизмы потери устойчивости равновесия за счет скоростных коэффициентов. Так

как матрицы ЬЕ и сЕ, учитывающие реакцию со стороны процесса резания, уже не являются симметричными, то их можно представить в виде сумм симметричных и кососимметричных составляющих ЬЕ = ЬЕ^) + ЬЕК и сЕ = сЕС) + сЕК. Для выяснения механизмов потери устойчивости за счет матриц скоростных коэффициентов ЬЕ можно использовать следующий алгоритм анализа:

- вначале проанализируем механизм потери устойчивости рассматриваемой системы в предположении, что матрица сЕ является симметричной и положительно определенной;

- затем выясним влияние на устойчивость несимметричных составляющих матриц ЬЕ и сЕ, которые формируют дополнительные взаимные связи, способные приводить к потере устойчивости равновесия системы.

Изучим условия потери устойчивости за счет вариации параметров ЬЕ(с). Система в вариациях относительно точки равновесия в предположении, что сЕк) = 0, имеет вид

т^-Х + ьЕс) — + сЕс)х + ЬЕк) — = 0.

‘Н Е С 22 сН к ’

Известно, что при условии, когда матрицы сЕс) и т являются симметричными и положительно определенными, система имеет устойчивую, согласно Ляпунову, точку равновесия. Добавление к системе связей, формируемых матрицей ЬЕс), преобразует устойчивую по Ляпунову систему в асимптотически устойчивую при условии, что матрица ЬЕс) является положительно определенной. Известно, что в этом случае система имеет полную диссипацию [4]. Поэтому необходимым условием устойчивости равновесия системы является положительная определенность матрицы ЬЕс). Пусть задана матрица ЬЕ

"Ь + Ь?] Ь +

.Ь + Ь?] Ь,2 + Ь'?]

=

где Ь - матрица демпфирования подсистемы инструмента, Ь =

ростных коэффициентов, формируемая процессом резания, Ь(Р) =

Ьд] Ьд]

[Ьх,2 ] [Ь2Л]

[Ь1(Р)] [Ь'Р)]

[Ь1(Р)] [/$]

; Ь(Р) - матрица ско-

Получаем условие положительной определенности Ь^с)

(Ь,1 + Ь1(,Р))(Ь2,2 + /»$) - [Ь,2 + 0,5(Ь1Р) + Ь'?)]2 > 0 .

0

При этом не принимается во внимание матрица =

0,5

-0,5(Ь2(Р) - Ь1(Р2)) 0

в (5).

Однако еще Кельвином и Тетом доказано [4], что гироскопические силы, формируемые матрицей ЬЕк), лишь улучшают асимптотическую устойчивость системы при выполнении условия (6). Ими

же доказано, что если условие (6) не выполняется, то гироскопические силы не могут стабилизировать равновесие системы. Поэтому условие (6) для системы (4) является также достаточным для обеспечения асимптотической устойчивости системы резания.

Например, если рассматривается процесс резания, у которого отношение величины подачи на оборот к глубине резания (отношение толщины срезаемого слоя к его ширине) есть величина малая, то условие (6) определяется выражением

(

дР^( Ьц -Т —1 1,1 1 дХ

V дл 1 У

Ь22- — Л

2,2 дХ

V дЛ 2 У

( дР ^

Ь12 - 0,5Т2 —21,2 2 дХ у

> 0,

где Т1 - запаздывающий аргумент, определяющий запаздывание, формируемое в области первичной пластической деформации; Т2 - запаздывающий аргумент, определяющий запазды-

др

вание вариаций сил в области первичной и вторичной пластической деформаций; —- - ко-

дх2

эффициент, определяющий приращение тангенциальной силы, обусловленное приращением скорости резания при тангенциальных колебаниях инструмента относительно заготовки. Анализ (7) показывает, что за счет матрицы скоростных коэффициентов, формируемой динамической связью, образованной процессом резания, существует множество сценариев, при которых эта система может потерять устойчивость, во-первых, при увеличении коэффициента

2

дР

—-. Этот вопрос проанализирован в работах [5 - 7]. В скалярных моделях этот механизм потери

дх2

устойчивости приводит к анализу уравнений Ван дер Поля или Рэлея, которые использовались для объяснения формирования автоколебаний при резании в работах [5 - 7]. Во-вторых, система

резания может потерять устойчивость при увеличении коэффициента Т др1, зависящего как от

1 дх1

соответствующего коэффициента матрицы жесткости процесса резания, так и от величины запаздывания Т1. Этот механизм согласуется с данными В.А. Кудинова и его учеников [8]. Однако в отличие от этих работ анализ (7) показывает, что увеличение запаздывающего аргумента влияет на устойчивость не столь однозначно, так как при увеличении Т1 возрастает и величина Т2.

При этом необходимо учитывать, что в динамических системах резания обычно выполня-дР2 дР1

ется условие —- » —к. Кроме этого, все модели потери устойчивости, основанные на гистере-

дх2 дх1

зисных свойствах изменения сил при внедрении инструмента в заготовку и при его выходе, фактически рассматривают пространственное запаздывание [9 - 11]. Поэтому при заданной частоте его можно учесть и на основе временного запаздывания. Приведенный анализ показывает, что рассмотрение механизмов потери устойчивости на основе выполненных исследований, опирающихся на фундаментальные представления механики, позволяет не только учесть все известные механизмы потери устойчивости, но и существенно их дополнить.

Проанализируем возможность потери устойчивости процесса резания в результате связи между циркуляционными силами и матрицей скоростных коэффициентов. Выполненные выше рассуждения предполагали, что с(к) = 0 . Теперь учтем, что с(к) ^ 0. Проанализируем систему

тС-ХХ + л

—2 Е — 22 — Е ^

для которой выпишем характеристический полином в виде

А

где Р(р) - характеристический полином системы, т. е. системы без циркуляционных сил,

Р(р) = (тр2 + Л1Д,еР + с1Д,Е)(т,р2 + Ь22еР + с2^)-(^Аы)Р2 -0,5^ + ЛАе)(с2Хе + с^,)р--0,25(с21Е + с12 Е)2; 5 - коэффициент жесткости, характеризующий асимметрию матрицы жесткости системы резания, 5с = с21Е - с12 Е = с2Р) - с1(р2).

В (9) учтено, что в подсистеме инструмента матрица т является диагональной, а матрицы Л = [Ьзк ] ,Б,к = 1,2 и с = [с5к ] ,Б,к = 1,2 симметричны. Кроме этого, матрицы

Л(с) =[Ь5(ск Е] ,э,к = 1,2, с(с) =[с^кЕ] ,5,к = 1,2 - положительно определенны. Гироскопические

члены, формируемые кососимметричными составляющими матрицы скоростных коэффициентов, лишь улучшают асимптотическую устойчивость системы, поэтому можно утверждать, что все корни характеристического полинома Р(р) расположены в левой комплексной полуплоскости. Поэтому для определения устойчивости системы (8) необходимо выяснить преобразование корней за счет члена 0,5(Л2(,Р - Ь1(р))(5с)р + 0,25(5с)2. Для этого удобно воспользоваться критерием устойчивости Михайлова [5]

Н(» = Р(» + 0,5(Л2(Р) - Л1(Р))(5с)7'ю + 0,25(5с)2.

Годограф Михайлова системы (8) Р(jю) преобразуется в годограф Н(jю) системы (8) за счет члена 0,5(Л2(Р) - Ь1(р2))(5с)jю + 0,25(5с)2 (рис. 1). На приведенной иллюстрации характер преобразования годографа Михайлова принципиально зависит от знаков и величин параметров Ь2(Р) - Ь1(Р) и 5с . Если гироскопические члены отсутствуют (Ь2(Р) - Ь1(Р) = 0), то исходный годограф

смещается, как показано на рис. 1 пунктиром. Если параметры ЛР - Ь1(Р) и 5с имеют различные знаки, то гироскопические члены совместно с циркуляционными лишь ухудшают устойчивость равновесия. В этом случае годограф Р(jю) преобразуется в годограф Н2(jю). Если параметры

Ь2(1 - Ь1(2) и 5с имеют одинаковые знаки, то гироскопические члены могут стабилизировать равновесия системы, если точка равновесия потеряла устойчивость из-за циркуляционных членов. В этом случае годограф Р(ую) преобразуется в годограф Н1( ]'ю).

Раскроем смысл асимметрии матриц скоростных коэффициентов и матриц упругости со стороны процесса резания. Коэффициент Л1(р2) = -Т2с1(Р2) обычно является отрицательным и значительно превышает Ь2(1. Поэтому для традиционной схемы процесса резания можно принять, что

что с^ определяется отношением приращения тангенциальной силы к смещению инструмента в нормальном направлении. Что касается коэффициента с2Р1), то он характеризует приращение нормальной силы к тангенциальным смещениям. Таким образом, характерный для резания случай соответствует различным знакам при коэффициентах ЛР - Ь1(Р) и 5с . В этом случае формирование гироскопической связи совместно со связью, формирующей циркуляционные силы, лишь ухудшает устойчивость системы.

Важно подчеркнуть, что формирование циркуляционных и гироскопических сил взаимосвязано. Кроме этого, коэффициент с1('1) матрицы жесткости процесса резания влияет на коэффициент Л11Е матрицы скоростных коэффициентов.

Анализ областей устойчивости в плоскости варьируемых параметров динамической характеристики процесса резания. Для оценки влияния матрицы скоростных коэффициентов на устойчивость системы удобно воспользоваться методом D-разбиения. Рассмотрим преобразо-

1т

Рис. 1. Преобразование годографа Михайлова Р

Лд К К1 оГ’-і оГ <Ч V V 1 1 Л2Д с1Д + сР с,

Л? Л2,2 _ С = С1,2 - с\2 1 і ГЧ Л о

вание областей устойчивости динамической системы резания для наиболее важного случая, когда изгибными деформационными смещениями инструмента, а также зависимостью сил от вариаций скорости резания можно пренебречь. Кроме этого, примем во внимание, что запаздывание Т2

изменения сил, действующих в тангенциальном направлении, меньше, чем запаздывание Т1 в нормальном направлении, т. е. Т1 > Т2. В этом случае матрицы жесткости и скоростных коэффициентов в развернутом виде соответственно равны: ^ =

При Т1 = Т2 = 0 области устойчивости проанализированы [1]. Выясним изменения областей за счет параметров Т1 и Т2. Характеристический полином системы в этом случае можно представить в виде

Д(р) = (тр2 + + см + С?) (тр2 + Л2,2Р + С2,2) - (Л^Р + С12 + с?) (Л2ДР + С2,1) -

- [ТО (ЩР2 + ^ + С2,2 ) + Т2С1(,Р)Р (\Р + С2,1 )] .

Тогда в плоскости двух варьируемых параметров Т1 и Т2 уравнение фигуративной линии будет иметь вид

КХ2»2 )Т +(-СГ2)Л2ДЮ2 )Т =

= т2ю4 -[т(с1(,Р) + с1,1 + С2,2) + Л1,1Л2,2 -Л-2,2]ю2 +(с1,1 + с?)с2,2 -(с1,2 + С1(р2))с2,1,

(с1(,Р)с2 2ю - с1(,Р)тсо3)Т1 + (с1(Р)с2,1ю)Г2 =

= ю[Л2,2 (с1,1 + С?) + Л1ДС2,2 - 2Л21С12 - Л2,1С1(,'Р) ]- т(Л1Д + Л2,2 )ю3.

Рассмотрим примеры преобразования областей устойчивости при изменении параметров Т1 и Т2 (рис. 2) для системы, параметры подсистемы инструмента которой приведены в таблице.

Диаграммы соответствуют устойчивой системе при Т1 = Т2 = 0 и с2Р = с2Р = 0. Однако в зависимости от параметров Т1 и Т2 система может потерять устойчивость.

Параметры исходной системы без резания

т,кГ • с2 / мм Л, кГ • с / мм с,кГ / мм

103 0 ' _ 0 103 _ І 1 2 т. 0 ° 1-Н ^ , 1-Н ° о 1 і 1 1 3 ° о о 00 о 1 о о о о 0 00 ™ 1 1 і

Фигуративная линия представляет собой петлеобразную кривую, принципиально разбивающую плоскость Т1 и Т2 на три области. Устойчивая область обозначена на рис. 2. Во всех остальных областях система неустойчива, причем в области петли характеристический полином системы имеет на четыре корня с положительной вещественной частью больше, чем в области устойчивости, в остальной части - на два корня. Таким образом, потеря устойчивости системы имеет колебательный характер.

Когда в подсистеме инструмента деформационным смещениям в направлении Х2 дополнительно соответствуют изгибные деформации инструмента, в матрице динамической жесткости процесса резания значимыми являются коэффициенты второго столбца, т. е. с2Р) и с21, а по мере изменения этих коэффициентов наблюдается сужение области устойчивости (рис. 2). Направление изменения фигуративных линий показано стрелками. В данном случае учитывается, что постоянные времени, определяющие запаздывание сил по отношению к деформационным смеще-

1174

ниям инструмента относительно заготовки, для составляющих сил F1 и F2 различны. Если полагать, как это предложено в работе [8], что Т1 = Т2 = Т, то предельные значения Т определяются по прямой (на рис. 2 пунктирная линия).

Рис. 2. Область устойчивости в плоскости Т, Т при значениях с2р = [0, -100, -200, -300, -400], кг/мм;

С2Р2 =[0, -20, -40, -60, -80], кг/мм; Ср,2 =1000, кг/мм; Ср,2 =500, кг/мм

На области устойчивости в плоскости параметров Т1 и Т2 оказывают влияние и коэффициенты первого столбца матрицы динамической жесткости процесса резания. В связи с этим рассмотрим также преобразование областей устойчивости по мере изменения коэффициентов с1(1) и

с'2 для случая, когда изгибные деформационные смещения инструмента отсутствуют (рис. 3). Точечными прямыми показаны направления изменения параметров Т1 и Т2, имеющие постоянное соотношение между собой, Т = кТ2, к = 1,2,3 (рис. 3). В динамических системах резания всегда выполняется условие к > 1. Очевидно, что при неизменных значениях Т2 по мере увеличения Т1 тенденция системы к потере устойчивости возрастает. Так как по мере увеличения Т2 возрастает асимметрия матриц скоростных коэффициентов, следовательно возрастают и кососимметричные составляющие этой матрицы, формирующие, как известно, гироскопические силы. Увеличение гироскопических сил не должно вызывать потерю устойчивости системы. Однако в динамических системах резания увеличение Т2 происходит при одновременном возрастании Т1, но Т1 увеличивается быстрее. Возрастание Т1 приводит к тому, что после критического значения этого параметра симметричная часть матрицы скоростных коэффициентов может стать отрицательно определенной, что вызывает потерю устойчивости равновесия системы. К этому же эффекту приводит и увеличение так называемого отрицательного коэффициента трения при рассмотрении кинетической характеристики процесса. Кроме этого, вариации матриц скоростных коэффициентов связаны с вариациями матриц динамической жесткости процесса резания. Известно, что кососимметричные составляющие матриц динамической жесткости процесса резания также влияют на устойчивость системы.

Анализ показывает, что матрицы скоростных коэффициентов, формируемые линеаризованной динамической характеристикой процесса резания, оказывают сложное влияние на устой-

чивость равновесия системы. Однако общая тенденция такова: по мере увеличения запаздывающих аргументов в динамической системе резания возрастает склонность к потере устойчивости равновесия. Подчеркнем, что падающая характеристика зависимости сил резания по мере увеличения скорости принципиально вызывает эффекты, аналогичные уже рассмотренным.

Рис. 3. Области устойчивости в плоскости 7, 7 при значениях С2д = 0 кг/мм,

С2,2 = 0 кг/мм, С\2 = 1000 кг/мм, С1Д = [500, 400, 300, 200, 100] кг/мм. Уменьшению Сд соответствует преобразование областей по направлению стрелки

Анализ областей устойчивости в плоскости варьируемых параметров технологических режимов обработки. Для практических приложений важно определить области устойчивости не в параметрическом пространстве линеаризованной динамической характеристики процесса резания, а в пространстве технологических режимов. В данном случае имеют значение два параметра: глубина резания tP и скорость V. В традиционной схеме отработки принято, что величина подачи на порядок меньше, чем глубина, а варьирование подачи практически не влияет на устойчивость процесса. Можно представить параметры матриц скоростных коэффициентов и динамической жесткости процесса резания в технологических режимах [1 - 3]

ср = рЬ = р1 ; СР = Р2^ = Р2 —

ЗІП

=- — Р1_^ ' VP sin

sin(ф)'

; ^

где р1, р2 - коэффициенты, характеризующие давление стружки на переднюю поверхность, спроектированное на направления Х1 и Х2, кг/мм2; /1 и 12 - путь резания, необходимый для установления нового стационарного состояния системы резания при изменении деформационного смещения Х1; ф - главный угол режущего инструмента в плане.

Определим характеристический полином системы

Д(р) =

+

и - 1

1,1 V РіБІПф

Р + с1'1 + р1 тг

БІП ф

и1'2 ,, Р2

V БІП ф

Р + С1'2 + Р2

БІП ф

и2'1Р + С21

т2 2р2 + Ь22р + с2

Перейдя в частотную область после замены p — j (13), получим систему для вычисления фигуративной линии в плоскости tP - VP

A() + V a() + tp а2(ю) — O,

fp

B() + V bl(ra) + tpbj(ffl) — O,

p

где A () — ml m2 24 - (Cl lm2 2 + h lh2 2 + ml C2 2 - h 2h21 )2 + Cl 1C2 2 - Cl c-i 1;

al(ro) — (/1P1h2 2 - /2P2h2 1) ~ 7; a2() — (p1C2 2 - P2C2 1 - Plm2 2 )~ 7;

' sin ф sin ф

B () — -(hl lm2 2 + ml h 2) + (Cl lh2 2 + hl C2 2 - Cl 2h21 - h 2C21);

b1() — (/lplm2 2 - /lplC2 2 + /2p2C2 1) _ Г ; b2() — (plh2 2 - p2h2 1) _ 7 .

' sin ф ' sin ф

Приведем пример (рис. 4) границы областей устойчивости для системы, параметры которой приведены в таблице, а параметры, связывающие технологические режимы с динамическими параметрами связи, формируемой процессом резания, соответствуют р1 — 1OO кг/мм2;

P2 — 2OO кг/мм2; /1 — O,9 • 1O3 мм; /2 — 2 • 1O 3 мм.

Рис. 4. Изменение области устойчивости в плоскости технологических параметров при изменении угла ф = {30°, 45°, 60°, 90°}.

Увеличению угла ф соответствует преобразование фигуративных линий по стрелке

Получена достаточно простая зависимость, соответствующая практическому опыту экспериментального анализа устойчивости процесса резания. Во-первых, для каждой скорости резания и геометрии инструмента существует предельное значение припуска, при котором система устойчива. Во-вторых, по мере увеличения скорости резания возрастает предельное значение величины припуска. В-третьих, с уменьшением угла ф, влияющего на ширину срезаемого слоя, предельное значение глубины резания уменьшается. Кроме этого, на границы области устойчивости оказывают влияние все геометрические параметры инструмента, от которых зависит ориентация сил резания в пространстве.

Заключение. Матрицы скоростных коэффициентов динамической связи, формируемой процессом резания, имеют элементы, которые, с одной стороны, обусловливаются запаздывающими аргументами, моделирующими запаздывание сил резания при изменении упругих деформационных смещений инструмента относительно заготовки, с другой - падающей характеристикой зависимости сил от скорости резания. Эти два фактора определяют матрицы скоростных коэффициентов динамической связи, формируемой процессом резания, для малых вариаций упругих деформационных смещений относительно точки равновесия. Эти матрицы не являются симметричными. Поэтому в вариациях относительно точки равновесия суммарная матрица скоростных коэффициентов представляется в виде симметричной и кососимметричной составляющих. Последние определяют формируемые естественным образом гироскопические силы. Однако на потерю устойчивости главное влияние оказывает вид симметричной составляющей матрицы скоростных коэффициентов, которая должна быть положительно определенной. Это необходимое условие устойчивости, которое является достаточным, если матрица упругости является симметричной и положительно определенной.

Выполненные исследования позволили в параметрическом пространстве системы резания определить области устойчивости. Эти области рассмотрены и в пространстве технологических режимов, что имеет большое значение для проектирования технологических процессов обработки материалов резанием.

Библиографический список

1. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей / В.Л. Заковоротный [и др.]. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2008. - 324 с.

2. Заковоротный В.Л. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении / В.Л. Заковоротный, Д.Т. Фам, С.Т. Нгуен // Вестн. Донск. гос. техн. ун-та. - 2010. - Т. 10. - № 7. - С. 1005-1015.

3. Заковоротный В.Л. Моделирование и идентификация инерционных и диссипативных свойств подсистем режущего инструмента и заготовки при точении / В.Л. Заковоротный, Д.Т. Фам, С.Т. Нгуен // Вестн. Донск. гос. техн. ун-та. - 2010. - Т. 10. - № 8. - С. 1165-1178.

4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики / Н.Н. Бухгольц. - М.: Наука, 1972. - Ч. II. - 386 с.

5. Мурашкин Л.С. Прикладная нелинейная механика станков / Л.С. Мурашкин, С.Л. Му-рашкин. - Л.: Машиностроение, 1971. - 192 с.

6. Васильков Д.В. Динамика технологической системы механической обработки / Д.В. Васильков, В.Л. Вейц, В.С. Шевченко. - СПб.: ТОО «Инвентекс», 1997. - 230 с.

7. Вейц В.Л. Динамика технологических систем / В.Л. Вейц, Д.В. Васильков, Ю.М. Зубарев.

- СПб.: Изд-во С.-Петерб. ин-та машиностроения, 2002. - 256 с.

8. Кудинов В.А. Динамика станков / В.А. Кудинов. - М.: Машиностроение, 1967. - 360 с.

9. Соколовский А.П. Научные основы технологии машиностроения / А.П. Соколовский.

- М.: Машгиз, 1955. - 514 с.

10. Физические основы процесса резания металлов / под ред. В.А. Остафьева. - Киев: Вища школа, 1976. - 136 с.

11. Расчет пространственных автоколебаний при резании металлов / Т.В. Путята [и др.] // Вестн. машиностроения. - 1975. - Вып. 12.

Материал поступил в редакцию 24.06.11.

References

1. Sinergeticheskij sistemny'j sintez upravlyaemoj dinamiki metallorezhushhix stankov s uchyotom e'volyucii svyazej / V.L. Zakovorotny'j [i dr.]. - Rostov n/D: Izdatel'skij centr DGTU, 2008. - 324 s.

- In Russian.

2. Zakovorotny'j V.L. Modelirovanie deformacionny'x smeshhenij instrumenta otnositel'no zagotovki pri tochenii / V.L. Zakovorotny'j, D.T. Fam, S.T. Nguen // Vestn. Donsk. gos. texn. un-ta. - 2010.

- T. 10. - # 7. - S. 1005-1015. - In Russian.

3. Zakovorotny'j V.L. Modelirovanie i identifikaciya inercionny'x i dissipativny'x svojstv podsistem rezhushhego instrumenta i zagotovki pri tochenii / V.L. Zakovorotny'j, D.T. Fam, S.T. Nguen // Vestn. Donsk. gos. texn. un-ta. - 2010. - T. 10. - # 8. - S. 1165-1178. - In Russian.

4. Buxgol'cz N.N. Osnovnoj kurs teoreticheskoj mexaniki / N.N. Buxgol'cz. - M.: Nauka, 1972. - Ch. II.

- 386 s. - In Russian.

5. Murashkin L.S. Prikladnaya nelinejnaya mexanika stankov / L.S. Murashkin, S.L. Murashkin. - L.: Mashinostroenie, 1971. - 192 s. - In Russian.

6. Vasil'kov D.V. Dinamika texnologicheskoj sistemy' mexanicheskoj obrabotki / D.V. Vasil'kov, V.L. Vejcz, V.S. Shevchenko. - SPb.: TOO «Inventeks», 1997. - 230 s. - In Russian.

7. Vejcz V.L. Dinamika texnologicheskix sistem / V.L. Vejcz, D.V. Vasil'kov, Yu.M. Zubarev. - SPb.: Izd-vo S.-Peterb. in-ta mashinostroeniya, 2002. - 256 s. - In Russian.

8. Kudinov V.A. Dinamika stankov / V.A. Kudinov. - M.: Mashinostroenie, 1967. - 360 s. - In Russian.

9. Sokolovskij A.P. Nauchny'e osnovy' texnologii mashinostroeniya / A.P. Sokolovskij. - M.: Mashgiz, 1955. - 514 s. - In Russian.

10. Fizicheskie osnovy' processa rezaniya metallov / pod red. V.A. Ostaf'eva. - Kiev: Vy'shha shkola, 1976. - 136 s. - In Russian.

11. Raschyot prostranstvenny'x avtokolebanij pri rezanii metallov / T.V. Putyata [i dr.] // Vestn. mashinostroeniya. - 1975. - Vy' p. 12. - In Russian.

HIGH-SPEED COUPLING EFFECT ON STATIC STABILITY OF DYNAMIC CUTTING SYSTEM

V.L. ZAKOVOROTNIY, PHAM DINH TUNG, NGUYEN XUAN CHIEM

The problem of buckling failure of the dynamic cutting system is considered. The retarded argument effect formed in the tool-to-workpiece cutting force dependencies on the elastic deformational displacement is mainly focused. Some buckling mechanisms are revealed. The stability zones within the variable parameters that characterize the retarded arguments are analyzed.

Keywords: cutting operation, stability, high-speed coupling.