НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОГО АДГЕЗИОННОГО СЛОЯ ПРИ ЕГО НОРМАЛЬНОМ РАЗРЫВЕ

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.374 DOI 10.51608/26867818_2021_4_29

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОГО АДГЕЗИОННОГО СЛОЯ ПРИ ЕГО НОРМАЛЬНОМ РАЗРЫВЕ*

© 2021 В.Э. Богачева, В.В. Глаголев, О.В. Инченко**

На основе концепции слоя взаимодействия рассмотрено упругое деформирование композита, состоящего из пластин, связанных адгезионным слоем. Толщина слоя принимается в качестве линейного параметра. При нагружении нормальным отрывом в случае плоской деформации учитывается трехосное напряженное состояние адгезионного слоя. В рамках упрощенной постановки найдено аналитическое решение, для которого имеет место практическое совпадение двух главных напряжений. С целью анализа напряженного состояния адгезионного слоя, сингулярного при предельно малых значениях линейного параметра, предлагается использовать энергетическое произведение (ЭП). Установлено, что величина, к которой сходится ЭП при фиксированной внешней нагрузке и стремлении линейного параметра к нулю, не зависит от механических свойств ад-гезива.

Ключевые слова: энергетическое произведение, слой взаимодействия, линейный параметр.

Введение

Экспериментальные исследования тре-щиностойкости адгезионных слоев используют в качестве образца двухконсольную балку (ДКБ-образец). Трещиноподобный дефект в адгезионном слое моделируется слоем нулевой толщины. В качестве механических характеристик материала в рассмотрение вводятся предельные значения коэффициентов интенсивности напряжений как в классическом их понимании [1-2], так и с учетом выраженных пластических свойств [3-4]. Широкое распространение получили когезионные модели [5-8] для которых используется задание закона распределения сил сцепления априори.

Наряду с классической моделью трещины в виде математического разреза имеют место представления трещинопо-

добного дефекта в виде разреза с характерной толщиной [9-11]. В данном случае в состояние разрушения вовлекается материальный объем слоя взаимодействия [11], лежащего на продолжении физического разреза с линейным параметром б0. Получены характеристики напряженного состояния зоны предразрушения в виде энергетического произведения (ЭП) [11].

Постановка задачи

На рис. 1 показан слоистый композит длиной £ а, состоящий из трех тел. Пластины 1 и 2 с одинаковыми толщинами И по длине I и механическими свойствами связаны слоем взаимодействия 3 толщиной 60. Правый торец образца жестко закреплен от горизонтальных перемещений, на левых торцах консолей действует антисимметрич-

* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и правительства Тульской области в рамках научного проекта № 19-41-710001 р_а.

** Богачева Виктория Эдуардовна (v.boga4eva2014@yandex.ru) - магистрант; Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru) - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики и математики; Инченко Оксана Владимировна (inchenko_ov@mail.ru) - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной механики и математики; все - Тульский государственный университет (Тула, РФ).

Рис. 1. Модель ДКБ-образца

ная нагрузка в виде изгибающего момента М. Вся остальная поверхность образца свободна от внешней нагрузки.

Композит рассматриваем в состоянии плоской деформации.

Для описания взаимодействия слоя 3 с консолями 1 и 2 применим концепцию «слоя взаимодействия». В этом случае равновесие тел 1 и 2 согласно работе [11] запишем в вариационной форме для тела 1:

| о - -бес/Б +1 о226и+Сх2 +1 о125и+Схг +

ций слоя с соответствующими компонентами:

+0.55п

г— d5u1 . г_

J + J a

_ d5u+

-dx,

v*

=

= J P1 • 5ud/

и тела 2:

J a -beds - Ja225u-dx1 - Jä126u-dx1 +

+0.55,

J Оц d5Uldxi +J

_ d5u-

=

1 "

(x! ) = Y J °11 (xi 'x2 ) dx2 '

0.55„

au ( x

-0.550 0.55

a22 ( x!

1 Ç0

( x! ) = — J a22 ( xI,x2 ) dx2 ,

J0 -0.550

0.55n

(xi ) = Q^ (xi ) = — J a2i (xi )x2 ) dx2 .

5, J

a 21 ( ^

0 -0.55n

eii ( xi ) = 0.5

du+

dx.

dx.

( xi ) =

1

\

^21 ( x1 ) = e.2 ( x1 ) =

= 0.5

u+

5.

+0.5

du2+

+

\\

v dx1

dx

= JP2 • 5ud/,

где , Б2 - площади тел 1 и 2; о, е - тензоры напряжений и деформаций; о, е -тензоры средних напряжений и деформа-

ч ))

где и+, и- - соответственно компоненты векторов перемещений верхней и нижней границ слоя; к = 1,2; ^, 12 - граница приложения внешней нагрузки для тела 1 и 2.

Постулируется жесткое сцепление между границами области 3 и областями 1,

5

L

V

5

L

2 наряду с равенством компонент векторов напряжений границ слоя и сопрягаемых им пластин.

В силу симметрии задачи проекции поля перемещений удовлетворяют усло-

виям и.

(x ) = u2 (x ), u2 (x ) = -u2 (x ).

При упругом деформировании слоя связь средних напряжений и деформаций определяется законом Гука:

О =

1 + V

/

0j 1 + V

V

ej + 1 . V 1 - 2V1

еб.

Таким образом, от вариационного уравнения (1) приходим к двум системам дифференциальных уравнений для участка х! е[-о;0) :

dM„

dQ

dQ

-Q12 = 0, = 0, = 0,

dx1 d'x1 dx1

для участка x1 e(0;.£ : dMr dx,

dQ

do,

- Q = 0, —^ + 0.5б0—11 = 0,

. ^ +1-27^ .

'э V з у

Таким образом, достаточно ограничится рассмотрением тела 1. В этом случае из (4) и (5) о12 = 0.

Рассмотрим определяющие соотношения консоли в форме закона Гука:

dx±

dQi2 -

dx1

с условиями сопряжения:

dx,

и А = u J ,

1 Ix, =-0 1 Ix, =+0

ип

= ип

И =-0 = И

х1=+0 '

M11 Ix, =-0 = M11 Ix 1 =+0 , Q12 Ix 1 =-0 = Q12 Ix 1 =+0 ,

011 =-0 =

где E1, v - модуль упругости и коэффициент Пуассона; е = еи + е22 + е33 - объемная деформация; б.. - символ Кронекера; i, j = 1,2,3 .

Для нахождения аналитического решения задачи принимаем, что поле перемещений в теле 1 определено следующим образом:

U1 (Х1 ,Х2 ) = (Х1 ) - ((X1 )(X2 - 50 /2) ,

Ü2

Входящие в представление (7) параметр р имеет геометрический смысл малого угла поворота материальной нормали к плоскости x = 50/2 в теле 1. Согласно распределению (7) деформации, как теория Тимошенко [12] и работы [13-14], учитывают сдвиговые деформации и повороты нормалей в теле.

Введем в рассмотрение обобщенные силы и обобщенный момент:

fh+So/2

Q1k (X ) = J5o/2 G1kdX2 ,

M11

и граничными условиями: ' Qui

Q12 = 0,

12 1x1 =-a

M J

= 0,

= -M,

lx,=<'

= 0 , И x =.= 0 ,

Ix-, =t

-0.

Из (5) и (3) получим связь напряженного состояния в слое взаимодействия и его граничным перемещением на участке

(0Л :

- ~ du+ ^ + _ „ + „ du+ ou = D1 —- + и2и2 , o22 = ци2 + C2 —-dx, dx,

o3

= V3

E,

где D = ^ 3 ч ; D2 =

2E3V3

C =

E3V3

(1 + Уз)(1 -2Уз)б/ "2 (1 + Уз)(1 -2Уз)'

В результате задача (9), (10) с учетом (15) и условий сопряжения (11)-(12) становится замкнутой. Граничные условия (13)-(14) дают решение поставленной задачи.

Решение задачи. Рассмотрим участок [-а;0). Из системы (9), граничных условий (13) и условий сопряжения (11)-(12) прихо-

+

+

и

и

2

1

дим к следующим условиям на левой границе участка (0;£]:

мп\Х1,+0=-м, а12\Х1-_+0=о,

Из системы (10) для участка (0;^] полу-

чим:

/

ul = —

1 Ri

Lh

R

—R¡ -

C2 l C2

Lh iА2 - m2 ) C,

m

C

V

-R,x.

C2eRl"l

——С3е~"Л f R1 R2

C5e'R2xl

i-

Lh 2 R2Lh

-R¡ -

C2 2 C2

i

C C1x1 C2 C¡S2 -0.550D2

m

Q;

C,

Г pR2Xl 4

u+2 = C2e Л С3е'КЛ С4еКЛ С5е'КЛ С,

C3S2-0.5Ô0D2 <p = C2\¡ т2)е*Л/

+C3\l m2)e"^/(m3A2) + +C4 X23 т2)е"Л/(тАз) +C5 \24 m2)eR^/(m^),

i

i

где

LhR2+.RiLh(А2 -m) C,

C2 1 C

t =

LhD2 R2Lh (А2 - m2 ) C

—R21 C 2 C

C2 C2

2 ml

\

1

C

m

C

а = o.5(m i mm i m i d);

а = 0.5(m i mm i m - d) ; а2 =r ; А 2=- = -R ;

d2 = (m i mm i m )2 - 4m

2m4 ;

D(h2u+" /2 - h3//3) - Lh(u+ - /) = 0;

D(hu+" - h2//2) + 0.550 (Du+" + Du+" ) = 0;

Lh (uf - ) = Cu+ + C2u+',

где D=f (1 - V! )/(l+V! V(1 - 2Vj ) ; L=0.5f/(1+v/.

Запишем общее решение (18) на участке :

m =(LS iÜ.SDh)/LS2 ; А3 = = R ;

m =(CS - Ü.S6D2 )/LhS2 ;

S2 = (Dh iü.S6üDi VC2 ; А4 = = -R2 ;

m3 = -

m 4 =

-'ü^lj/ 2

36D2Dh 112LC2S2 _ Dh(4hC2S2 - 3Dh2 ); 12LC2S2

ОЬ(4ЬС2Б2 - ЗОЬ2) '

В решении (19) имеем 6 постоянных интегрирования. Условия (14), (16)-(17) определяют систему линейных уравнений для их нахождения.

На рис. 2 показано распределение напряжений в слое для 60=Ю~5 м, /7 = 0.05

м, £ 0.05 м, £ 0.3 м при следующих механических характеристик композита

E = 1.8S • 109 Па, E = 2 • 10

11

Па,

V = V = о.з.

Напряжения о.. = оИ/о22 (0), / = 1,2 отнесены к напряжению отрыва в вершине слоя, получаемом для длины консоли £ 0.05 м, х1=х1/б0. Кривые 1 и 3 соответствуют напряжениям а22, кривые 2 и 4 - аи . Кривые 1 и 2 построены для £ 0.05 м, а 3 и 4 - £ 0.3 м. Из рис. 2 видно, что увеличение длины консоли слабо влияет на распределение напряжений в слое.

Однако, для достаточно больших длин слоя система становится жесткой, ее определитель стремится к нулю.

Рассмотрим случай £ . В решении (19) получим:

С1=С2 = С4=С6 0.

Из (16) приходим к двум линейным уравнениям.

J

1

R

2

сг„

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

1

\\

л 2 "У J

4

О 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Х1 Рис. 2. Распределение напряжений в слое в зависимости от относительной длины консоли

- 1

2 3

ст..

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 X,

Рис. 3. Трехосное напряженное состояние в слое

На рис. 3 показано распределение напряжению отрыва в вершине слоя. Кри-

напряжений в слое для 60=1СГ5 м, /7 = 0.05 вая 1 соответствует напряжению о22, кри-

м, С при рассматриваемых механиче- вая 2 - оп, а кривая 3 - о33. ских характеристиках композита. Напряже- в этом случае в слое реализуется равен-

ния о.. = а../а22 (0), / = 1,2,3 отнесены к ство двух главных напряжений ои = о33.

Определение энергетического произведения и его свойства

При дальнейшем изложении для анализа критических состояний в вершине тонких адгезионных слоев будем использовать аналитическое решение (19)-(20).

Рассмотрим механические и прочностные характеристики ряда адгезионных слоев, приведенные в работе [15]. Дга!С^е ДУ138: Е3 = 4.9 • 109 Па, V = °.35, Н/м; Дга!с^е 2015:

G,c = 0.2 • 10

E = 1.85 • 109 Па, V = 0.33, G(r = 0.43 • 103

-з

Н/м;

Sikaforce 7752: E = 0.49 • 109 Па,

рактеристиках консоли:

E =2•101

Па,

V = °.3, Ь = 0.05 м. Толщина слоя варьировалась от б0 = 1°-4 м до б0 = 1°-9 м. График 1 построен для адгезива Дга!С^е ДУ138, график 2 - для Дга!С^е 2015, график 3 - для Б1-kaforce 7752. Безразмерное ЭП 2у на рис. 4 определено в виде отношения ЭП адгезива к ЭП адгезива Дга!С^е ДУ138 при б0 = 1°-9 м.

Из рис. 4 видно, что при уменьшении относительной толщины адгезионного слоя значение ЭП не зависит от упругих механических свойств материала слоя. Приведен-

2у

0.999995

0.99999

0.999985

0.99998

0-999975

0,99997

0.999965

3 ^

2

1___-—-

-6

-5

lg 0%/ft)

Рис. 4. Зависимость ЭП от толщины слоя

V = 0.3, б(С = 2.36 • 103 Н/м, где б/с - критический поток энергии.

В работе [11] в качестве характеристики напряженно-деформированного состояния регулярной относительно изменения толщины слоя взаимодействия используется энергетическое произведение (ЭП) 2у = 0.5(+ о22^2)б в вершине адгезионного слоя. На рис. 4 показана зависимость ЭП в адгезионном слое от десятичного логарифма отношения толщины слоя к высоте консоли Ь при рассматриваемых ха-

ные на рис. 4 зависимости получены при постоянном единичном значении внешнего момента.

Заключение

Напряженно-деформированное состояние в слое взаимодействия адгезива описывается энергетическим произведением, которое не является сингулярным и зависимым от толщины слоя взаимодействия.

Для фиксированной внешней нагрузки при уменьшении относительной толщины слоя взаимодействия ЭП сходится к вели-

чине, которая не зависит от свойств адгезива.

Библиографический список

1. Barker D.B., Sanford R.J., Chona R. Determining K and related stress-field parameters from displacement fields // Experimental Mechanics. 1985. vol. 25, no 4, P. 399-407. doi: 10.1007/BF02321339

2. Zanganeh М., Lopez-Crespo P., Tai Y.H., Yates J.R. Locating the crack tip using displacement field data: a comparative study // Strain. 2013. V. 49, no. 2. P. 102-115. doi: 10.1111/str.12017

3. Hutchinson J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // Journ. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16. P. 337-347. doi: 10.1016/0022-5096(68)90021-5

4. Shlyannikov V.N., Tumanov A.V. Characterization of crack tip stress fields in test specimens using mode mixity parameters // International Journal of Fracture. 2014. V. 185. P. 49-76. doi: 10.1007/s10704-013-9898-0

5. Barenblatt G.I. The formation of equilibrium cracks during brittle fracture General ideas and hypotheses. Axially-symmetric cracks // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1959. V. 23, no. 3. P. 622-636. doi: 10.1016/0021-8928(59)90157-1

6. Lelias G. Paroissien E., Lachaud F., Morlier J. Experimental characterization of cohesive zone models for thin adhesive layers loaded in mode I mode II, and mixed-mode I/II by the use of a direct method // International Journal of Solids and Structures. 2019. V. 158. P. 90-115. doi: 10.1016/j.ijsol-str.2018.09.005

7. Lavit I.M. Stable crack growth in an elasto-plastic material // Strength of Materials. 1988. V. 20, No. 7. P. 854-860. doi: 10.1007/BF01528695

8. Petrossian Z., Wisnom M.R. Prediction of delamination initiation and growth from discontin-

uous plies using interface elements // Composites: Part A: Applied Science and Manufacturing. 1998. V. 29, no. 5-6. P. 503-515. doi: 10.1016/S1359-835X(97)00134-6

9. Ентов В.М., Салганик Р.Л. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. - № 6. - С. 87-99.

10. Салганик Р.Л., Мищенко А.А., Федотов А.А. Напряженное состояние в окрестности выработки, пройденной в глубокозалегающем горизонтальном пласте // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2015. - № 2. - С. 24-33.

11. Glagolev V.V., Markin A.A. Fracture models for solid bodies, based on a linear scale parameter // International Journal of Solids and Structures. 2019. V. 158. P. 141-149. doi: 10.1016/j.ijsol-str.2018.09.002

12. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. - М.: Физматгиз, 1963. -636 с.

13. Panteghini A., Bardella L. Structural theory and finite element modelling of linear elastic sandwich beams subject to severe boundary conditions // Eur. J. Mech. A-Solid. 2017. V. 61. P. 393-407. doi: 10.1016/j.euromechsol.2016.10.012

14. Panettieri E., Fanteria D., Danzi F. Delami-nations growth in compression after impact test simulations: Influence of cohesive elements parameters on numerical results // Composite Structures. 2016. V. 137. P. 140-147. doi: 10.1016/J.C0MPSTRUCT.2015.11.018

15. Lopes R.M., Campilho R.D.S.G., da Silva F.J.G., Faneco T.M.S. Comparative evaluation of the Double-Cantilever Beam and Tapered Double-Cantilever Beam tests for estimation of the tensile fracture toughness of adhesive joints // Journal of Adhesion and Adhesives. 2016. V. 67. P. 103-111. doi: 10.1016/j.ijadhadh.2015.12.032

Поступила в редакцию 27.04.2021 г.

© 2021 V.E. Bogacheva, V.V. Glagolev, O.V. Inchenko*

On the basis of the concept of an interaction layer, the work considers the elastic deformation of a composite consisting of plates connected by an adhesive layer. The layer thickness is taken as a linear parameter. Under loading by normal separation in the case of plane deformation, the triaxial stress state of the adhesive layer is taken into account. Within the framework of a simplified formulation, an analytical solution is found for which there is a practical coincidence of the two principal stresses. In order to analyze the stress state of the adhesive layer, which is singular at extremely small values of the linear parameter, it is proposed to use the energy product (EP). It has been established that the value to which the EP converges at a fixed external load and a linear parameter tending to zero does not depend on the mechanical properties of the adhesive.

Keywords: energy product, interaction layer, linear parameter.

Received for publication on April 27, 2021

* Viktoriya E. Bogacheva (v.boga4eva2014@yandex.ru) - Master's student, Vadim V. Glagolev (va-dim@tsu.tula.ru) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Computational Mechanics and Mathematics, Oksana V. Inchenko (inchenko_ov@mail.ru) - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assoc. Professor; all - Tula State University (Tula, Russian Federation).