Теоретические основы расчётов объёмов земляных массивов на основе формул интегрального исчисления

Общетехнические задачи и пути их решения

101

О. И. Бронштейн, М. М. Духовный. - Москва : Наука, 1976. - 220 с.

2. Теория очередей и управление запасами / Ю. И. Рыжиков. - Санкт-Петербург : Питер, 2001. - 384 с.

3. Численные методы анализа систем и сетей массового обслуживания / А. Д. Хомоненко. -Санкт-Петербург : МО СССР, 1991. - 179 с.

4. Распределение числа требований в системе массового обслуживания «с разогревом» / Ю. И. Рыжиков // Проблемы передачи информации. - 1973. - Т. IX. Вып. 1. - С. 88-97.

5. Модель оценки оперативности функционирования распределённых автоматизированных систем при интеграции данных / С. В. Калиниченко, А. Д. Хомоненко // Бюллетень результатов научных исследований : электронный научный журнал. - Санкт-Петербург : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2012. - Вып. 5 (4). - C. 47-57.

6. A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes / D. R. Cox / Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1955. - V. 51, № 2. - Рр. 313-319.

7. Итерационный метод расчёта многоканальных систем с произвольным законом обслуживания / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хомоненко // Проблемы управления и теории информации. -1980. - Т 9, № 3. - С. 32-38.

8. Теория восстановления. Немарковские задачи теории надежности / В. А. Смагин. - Москва : МО СССР, 1982. - 269 с.

9. Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments / Bubnov, V. P., Khomo-nenko, A. D., Tyrva, A. V. // Proceedings of 35th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference. - Munich, 2011. - С. 310-314.

10. Оценка оперативности автоматической рубрикации документов с помощью модели нестационарной системы обслуживания с эрлангов-ским распределением длительности интервалов между запросами / А. Д. Хомоненко, С. А. Краснов, А. С. Еремин // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. - 2012. -№ 3.- С. 14-21.

11. Takanashi, У., Takami, Y. (1976). Journal of the operations research society of Japan, 19 (2), 147-157.

12. Распределение времени ожидания в системах массового обслуживания типа GIq/Hk/n/ R<<x> / А. Д. Хомоненко // А и Т. - 1990. - № 8. -С.91-98.

13. Выходящий поток в системах массового обслуживания типа Hk/Hk/n/R<<x> / А. Д. Хомо -ненко // А и Т. - 1989. - № 11. - С. 109-117.

14. Расчет разомкнутых немарковских цепей с преобразованием потоков / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хомоненко // Автоматика и вычислительная техника. - 1989. - № 3. - С. 15.

УДК 65.01 1.56:625.12

С. А. Дергачев, А. В. Журавлева

Петербургский государственный университет путей сообщения А. К. Черных

Санкт-Петербургский военный институт внутренних войск МВД России

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЁТОВ ОБЪЁМОВ ЗЕМЛЯНЫХ МАССИВОВ НА ОСНОВЕ ФОРМУЛ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Обоснована возможность использования методов интегрального исчисления для расчёта объёмов земляных массивов. Предлагаются математические зависимости для указанных расчётов. Указывается возможность повышения точности расчётов объёмов земляных массивов при использовании предлагаемых формул.

определение объёмов земляных работ, поперечные сечения переменной площади, определенный интеграл, призматоид, погрешности расчётов, повышение точности расчётов.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

102

Общетехнические задачи и пути их решения

Введение

В настоящее время для подсчёта объёмов профильной кубатуры насыпей (полунасыпей), выемок (полувыемок), а также резервов, кавальеров, водоотводных канав и других сооружений используются аналитические зависимости, номограммы, графики, специальные счётные линейки, таблицы и реализованные на их основе компьютерные программы [1-4].

В основе перечисленных способов лежат геометрические зависимости, которые в силу того, что участки земляного полотна представляют собой сложные геометрические фигуры, не позволяют получить точные, с позиции математики, результаты. В практическом аспекте это приводит к возрастанию временных и стоимостных затрат на выполнение земляных работ, включая и выполнение расчётов объёмов этих работ.

Поэтому разработка методов, позволяющих уменьшить указанные затраты за счёт повышения точности расчётов при определении объёмов земляных работ и достаточно просто реализуемых в среде существующих пакетов прикладных программ, является актуальной.

В статье предложены обоснованные аналитические зависимости для расчётов объёмов земляных масс различных видов, ко-

торые могут являться основой для использования упомянутых выше методов. При этом следует подчеркнуть, что полученные на основе нижеприведенных формул результаты являются точными.

В соответствии с [1] наиболее сложными для расчётов являются участки земляного полотна на местности, имеющей продольный уклон основания насыпи, поэтому вычисления будут производиться в рамках этого условия.

1 Расчёт объёма прямолинейного

участка насыпи

Выполним расчёт объёма участка земляного полотна (насыпи), представляющего собой сложную геометрическую фигуру -призматоид с поперечным сечением переменной площади (рис. 1).

Призматоид делим на две части:

1) призматоид с поперечным сечением постоянной площади - V2;

2) трапецеидальный клин - V.

Для подсчёта объёма V2 необходимо вычислить величину m2, которая, согласно определению tga, рассчитывается по формуле

m2 = H)tga,

где tga = 1/m.

Рис. 1. Основные показатели участка насыпи

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

103

Далее определяются значения величин Ъ1

и V:

bl = b + 2 • m2 ; V2 = • H, • L.

Для подсчёта объёма V необходимо вычислить определенный интеграл вида [5]:

L

0

где S (х) - переменная площадь ортогонального сечения трапецеидального клина, которую необходимо определить; для данной площади, переменной является высота, которая находится из подобия треугольников, представленных на рис. 2:

h(x) = (H2 -Н,)-* .

Рис. 2. Продольное сечение участка насыпи

Далее с использованием очевидных зависимостей определяются значения величин m1, Ъ2, S(х) и V1 (см. рис. 1):

m, = (Н2 - H,)/tga;

b2 = b + 2 • (m, + m2);

S (x) = ^ - h( x);

L

V, = J S (x)dx.

0

Таким образом, объём участка насыпи определяется по формуле

V» = V + V2.

В случае необходимости сооружения сливной призмы формула (1) корректируется на величину объёма сливной призмы, определяемого по формуле

V

b + b3 2

Л-L,

где Ъ, Ъ3 и h3 соответственно ширина основной площадки, ширина основания и высота сливной призмы (в метрах);

V» = V, + V + Vcn.

2 Доказательство справедливости предложенной формулы

Доказательство справедливости предло-

L

женной формулы V = J S(x)dx, по которой

0

выполняется расчёт объёма земляного массива, проведём для случая призматоида (см. рис. 1).

Рассмотрим часть призматоида (V) содержащуюся между плоскостями х = а и х = Ъ (рис. 3), и станем рассекать её плоскостями, перпендикулярными оси х. Площадь сечения, отвечающего абсциссе х (обозначим её S (х)), будет непрерывной функцией от х (для a < x < b).

Если спроектировать (без искажения) два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную оси х, то они содержатся одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело (V) имеет объём, который выражается формулой

b

V = J S

a

Для доказательства разобьем отрезок [а, Ъ] на оси х точками

a = x0 < x, <... < xt < xi+, <... < xn = b

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

104

Общетехнические задачи и пути их решения

Рис. 3. Доказательство справедливости формулы расчёта объёма прямолинейного участка насыпи

на части и рассечём плоскостями х = х проведенными через точки деления, все тело на слои. Рассмотрим i-й слой, содержащийся между плоскостями

х = х . и х = х.+1 (i = 0, 1, ..., n - 1).

В промежутке [х х+1] функция S (х) имеет наибольшее значение M и наименьшее значе-

г

ние m Если сечения, отвечающие различным значениям х в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, х = х то все они, согласно сделанному предположению о проектировании двух подобных сечений на какую-либо плоскость, перпендикулярную оси х, будут содержаться в наибольшем сечении, имеющем площадь M и содержать в себе наименьшее, с площадью т . Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты Дх. = = х.+1 - х то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. Объёмы этих цилиндров будут соответственно MДх и т Д.

г г г

Из входящих цилиндров составится тело (Т), а из выходящих - тело (U), их объёмы

равны соответственно ^ M. Ax. и ^ m . Ax.,

i i

и, когда стремится к нулю, X = тахДх, имеют общий предел, определяемый формулой (3). В [5] доказано: «Если для тела (V) можно построить такие две последовательности

соответственно входящих и выходящих тел {(Г)} и {(Un)}, которые имеют объемы, причем эти объемы стремятся к общему пределу limT = limU = V, то и тело (V) имеет объем, равный упомянутому пределу». В силу сказанного и будет справедлива формула

L b

V =J S (x)dx = J S (x)dx.

0 a

3 Расчёт объёма криволинейного участка насыпи

Приведём расчёт объёма участка насыпи с учетом его уширения в кривой (рис. 4).

В данном случае проще вычислить объём участка насыпи в полярной системе координат с использованием соответствующего определенного интеграла [6-8]. Здесь, используя метод дифференциалов [6], можно записать, используя обозначения рис. 5,

Рис. 4. Основные показатели участка насыпи

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

105

Рис. 5. Основание призматоида в полярной системе координат

dV = S (ф) dl, где S (ф) - переменная площадь радиального сечения призматоида, которую необходимо определить, а dl = Rdф - дифференциал дуги оси участка насыпи. Таким образом, окончательно имеем dV = S (ф) Rdф и, интегрируя последнее выражение, получим формулу для вычисления объёма участка насыпи в полярной системе координат - V:

p

V = R j S

а

где а и в - начальный и конечный углы, задающие координаты начала и конца участка насыпи.

Поскольку величина данной площади изменяется по линейному закону, она определяется по следующей зависимости:

S (ф) = Sa+~^-----(ф-а),

p-а

где Sa (Sp) - площадь радиального сечения в начале (конце) участка насыпи.

Таким образом, объём участка насыпи определяется по формуле

Rj

в S (q)d ф

при отсутствии сливной призмы;

V Ч

p

R jS (ф)d ф+Vcп

а

при наличии сливной призмы.

4 Доказательство справедливости предложенной формулы

Проведём доказательство справедливости формулы (4).

Согласно [9], объём тела в цилиндрических координатах определяется тройным интегралом вида V = jjj RdRd фdz, где z - верти-

кальная ось декартовой системы координат.

Рассмотрим криволинейный призматоид (V, см. рис. 4), и положим, что исходящая из оси z полуплоскость, отвечающая условию ф = const, пересекает его по некоторой плоской фигуре S (ф) при изменении ф от а до Р (рис. 6). Тогда

p

V = jjj RdRd фdz = j d ф jj RdRdz,

(V) a S9

причем фигуру S(p следует отнести к прямоугольной системе координат Rz, вращающейся вместе с указанной полуплоскостью вокруг оси z.

Как известно (см. [9]), двойной интеграл jj RdRdz представляет статический момент

S<p

фигуры S(p относительно оси z, который равен произведению площади S (ф) этой фигуры на расстояние Rc (ф) от оси z до её центра тяжести С: jj RdRdz = S(ф) • Rc(ф). Подставляя

s

Рис. 6. Доказательство справедливости формулы расчёта объёма криволинейного участка насыпи

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2013/4

106

Общетехнические задачи и пути их решения

это выражение в формулу для вычисления объёма и учитывая, что для рис. 5 Rc (ф) = = R, получим:

в в

V = J S (<$)Rd ф = R J S (ty)d ф.

а а

Разработанные на основе предложенных формул в среде пакета прикладных программ Mathcad программные средства, наряду с расчётами соответствующих объёмов, дают также возможность оценить точность приближенных методов расчётов этих объёмов традиционными способами (см. табл.) [10].

ТАБЛИЦА. Относительные погрешности приближенных методов расчётов объёмов земляных масс

Вид расчёта Величина погрешности, %

Расчёт объёма участка насыпи 1-3

Расчёт объёма участка насыпи с уположением нижней части откоса 4-7

Расчёт объёма выемки 6-10

Расчёт объёма участка насыпи с учетом его уширения в кривой 1-4

Необходимо отметить, что расчёты, проведенные для одного из объектов, показали возрастание объёма земляных работ примерно на 12 тыс. м3, что соответствует относительной погрешности в размере 7 %.

Заключение

Таким образом, повышение точности расчётов объёмов работ на основе предлагаемых

формул будет способствовать корректному проведению тендера на выполнение локализованных земляных работ за счёт более точного описания объектов, структуры и видов работ в конкурсной документации. В результате расходование бюджетных средств может быть более рациональным.

Библиографический список

1. Организация, планирование и управление железнодорожным строительством : учебник / Под общ. ред. В. П. Химченко ; Военно-транспортный университет железнодорожных войск Российской Федерации. - Санкт-Петербург : ООО «Вит-принт», 2004. - 480 с.

2. Железнодорожное строительство. Технология и механизация / Под ред. С. П. Першина. - Москва : Транспорт, 1991. - 399 с.

3. Строительство железных работ дорог. Ч. 2. Технология земляных и путевых работ / Под общ. ред. Г. И. Когатько. - Москва : Военное издательство, 1994. - 447 с.

4. Подсчет объемов земляных работ : учеб. пособие / Ю. Ф. Вейков, В. И. Напалков. - Санкт-Петербург : ВТИ ЖДВ, 1995. - 20 с.

5. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. - Москва : Наука, 1966. - 800 с.

6. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. - Москва : Наука, 1989. - 656 с.

7. Краткий курс математического анализа. Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев. - Висагинас : Alfa, 1998. - 400 с.

8. Краткий курс высшей математики: учебник для вузов / И. П. Натансон. - Санкт-Петербург : Лань, 1999. -736 с.

9. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3 / Г. М. Фихтенгольц. - Москва : Физматгиз, 1963. - 656 с.

10. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. - Москва : Наука, 1970. - 664 с.

2013/4

Proceedings of Petersburg Transport University