Использование метода линейной регрессии для обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVII ' 1996

№3-4

УДК 533.6.071.082.013.2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ НЕСТАЦИОНАРНОГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В. Н. Беговщиц, К. А. Колинько, О. Л. Миатов, А Н. Храброе

Рассмотрена новая методика обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента на установке вынужденных колебаний с малой амплитудой. Использование методов математической статистики позволяет не только находить производные устойчивости и демпфирования, но и оценивать по одной реализации доверительный интервал полученных производных. Приведен пример обработки результатов испытаний треугольного крыла при колебаниях с различной частотой в трубе малых дозвуковых скоростей.

Аэродинамические производные устойчивости и демпфирования, необходимые для анализа динамики полета самолета и разработки систем управления, в настоящее время находятся в основном экспериментальным путем с использованием различных динамических установок. Наиболее часто на практике используется динамическая установка вынужденных колебаний с малой амплитудой в трубах малых дозвуковых скоростей.

Весьма важным вопросом в методике проведения нестационарного аэродинамического эксперимента является вопрос сбора и обработки данных. Первоначально использовались аналоговые вычислители для выделения составляющей полезного сигнала тензовесов в фазе с сигналом датчика положения модели и составляющей, сдвинутой по фазе на п/2 [1]. При этом первая составляющая пропорциональна соответствующей производной устойчивости, а вторая — демпфированию.

С прогрессом цифровой вычислительной техники методика обработки данных эксперимента изменялась, и для нестационарного аэродинамического эксперимента в начале 80-х годов была разработана цифровая система сбора и обработки данных. В основу метода обработки был положен спектральный анализ с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ). Это позволило существенно повысить информативность эксперимента, его точность и повторяемость результатов. Некоторые результаты исследования нестационарных аэродина-

мических производных для треугольного крыла \ —1,5, включая режимы отрывного обтекания, приведены, например, в работе [2]. Следует отметить, что в США цифровая система обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента при вынужденных колебаниях модели с малой амплитудой разработана недавно [3] и также использует спектральный анализ.

Наряду с очевидными преимуществами использование спектрального анализа и БПФ при нахождении нестационарных производных по данным динамического эксперимента имеет и некоторые недостатки. Закон движения модели должен быть достаточно близок к гармоническому, что иногда бывает трудно обеспечить на практике. Кроме того, по одной реализации, представляющей собой запись нескольких периодов колебаний модели, можно найти только оценки значений производных. Для нахождения ошибок этих оценок необходимо записывать несколько реализаций на каждом угле атаки [4], что удлиняет эксперимент и приводит к его удорожанию. В настоящей работе предлагается новая методика обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента, которая при использовании методов математической статистики [5, 6] позволяет не только оценивать стационарные и нестационарные аэродинамические производные, но и по одной реализации для каждого угла атаки находить стандартные отклонения полученных оценок.

1. Обратимся сначала к анализу сил и моментов, действующих на модель при динамическом эксперименте на установке вынужденных колебаний с малой амплитудой. Для примера ограничимся случаем колебаний модели по тангажу. При колебаниях по крену и рысканию обработка производится совершенно аналогично. Для сокращения выкладок будем рассматривать только сигналы, поступающие с датчика положения модели и одного канала тензовесов, например, момента тангажа Мг.

Малые гармонические колебания модели около некоторого среднего угла атаки а0 могут быть описаны с помощью выражения

где Да — амплитуда и / — частота колебаний модели. При колебаниях модели без потока внутримодельные тензовесы воспринимают только инерционную нагрузку

где /г — момент инерции модели.

При малых колебаниях модели в потоке трубы тензовесы воспринимают и инерционную, и аэродинамическую нагрузку. Их сумму можно представить в линеаризованном виде с помощью аэродинамических производных:

а(/) = а0 + Ааег2пА,

М^) = -/га(/) = 4я2/г/2Дае'2яЛ

Мг

где q и V — скоростной напор и скорость потока аэродинамической трубы, 8 и Ьа — площадь крыла и средняя аэродинамическая хорда модели. В последнем слагаемом выражения (3) присутствует комплекс

вращательных и нестационарных производных + *”“)• Действительно, при колебаниях с неподвижным центром тяжести сог = а, поэтому разделить этот комплекс отдельно на вращательную и нестационарную производную т“ без дополнительных экспериментов с

плоскопараллельными колебаниями не представляется возможным.

Рассмотрим сначала кратко традиционную методику обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента. При ее использовании в процессе эксперимента записывается п = 2к точек при колебаниях модели для каждого среднего угла атаки. Обычно принимается к = 10 или 11, такой выбор количества точек обусловлен применяемым алгоритмом БПФ [7]. При этом частота выборки связана с частотой колебания модели таким образом, чтобы запись реализации насчитывала 8 или 16 периодов колебаний модели. Применение БПФ к полученным в результате эксперимента реализациям позволяет разложить сигналы датчика положения модели и тензовесов на соответствующие гармоники.

По результатам испытаний модели без потока находится ее момент инерции, который в соответствии с выражением (2) является коэффициентом пропорциональности между основными гармониками сигнала датчика приращений мгновенного утла атаки Да{?) и сигнала

тензовесов М1. В дальнейшем составляющая, пропорциональная инерционной нагрузке, вычитается из сигналов, полученных при проведении эксперимента в потоке, для выделения составляющих, соответствующих аэродинамическим нагрузкам. Из выражения (3) следует, что собственно аэродинамическая часть сигнала состоит из постоянной составляющей (т1()), составляющей, изменяющейся в фазе с мгновенным изменением угла атаки (/«“), и составляющей, изменяющейся в

фазе с мгновенной угловой скоростью Переменная часть

аэродинамического сигнала изменяется с той же частотой, что и сигнал датчика положения модели:

АМг

где А — амплитуда основной гармоники, <р — сдвиг фаз между этой гармоникой и основной гармоникой датчика положения модели. После нахождения с помощью БПФ величин А и ср искомые аэродинамические производные выражаются посредством следующих формул:

а _ у4С08ф

т. =

Отсюда следует, что точность вычисления нестационарных аэродинамических производных определяется точностью нахождения амплитуды основной гармоники аэродинамического сигнала Л и сдвига фаз ф. При этом важно, чтобы угол атаки модели изменялся по закону, близкому к гармоническому, так как иначе основная гармоника в сигнале будет расплываться. К тому же эффекту приводит использование в эксперименте коротких выборок, правда, последний источник ошибок может быть несколько ослаблен использованием при цифровой обработке сигналов «окна Хеннинга» [7].

2. Желание уменьшить ошибки и определять по одной реализации не только оценки нестационарных аэродинамических производных, но и их стандартные отклонения привело к использованию при обработке эксперимента методов математической статистики. Одним из таких методов является метод множественной линейной регрессии [5, 6]. С помощью этого метода решается задача построения математической модели описания изменения одной переменной у, называемой зависимой, с помощью р независимых переменных XI, Х2, ...,хр(р> 1):

У = 00 + 01*1 + 02*2 + ••• + 0р*р + е>

где Р0, 01,..., Рр — неизвестные параметры, а е — ошибка аппроксимации.

В рассмотренном случае обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента зависимой переменной является аэродинамический момент тангажа, а независимыми — мгновенные значения отклонения угла атаки модели и угловой скорости. Модель линеаризованной аэродинамики представляется в обычном виде

т.

:(0 = тщ + т“Д«(0 +(»»“* + тг ^

при этом неизвестными Параметрами регрессии являются тго, /я“ и

Л

тг г' •

Параметры регрессии оцениваются по выборке объема п одновременных экспериментальных измерений всех р +1 переменных у, XI, х2, ..., Хр. При использовании векторных обозначений

Р = (Ро> •••, $р)Т — вектор неизвестных параметров длиной р +1, у - (^1, ..., уп) — вектор из п наблюдений зависимой переменной, ё = (в1, ..., еп)Т — вектор из п ошибок, .

п х (р +1) — мерная матрица плана эксперимента.

Для получения оценок Ь неизвестных параметров р по методу наименьших квадратов (МНК-оценок) необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений:

5 =

Тогда вектор МНК-оценок Ь = (бо, Ь±, Ьр)Т получается из решения системы нормальных уравнений

йУ п • П 1

ар,-

приводящей к соотношению

[ххт)1 = Ху.

Решение последней системы уравнений имеет вид

ь = (ххтУ\ху).

Ковариационная матрица оценок

Соу(*) = ;^7П (^Г1- <9>

Диагональными членами этой матрицы являются оценки дисперсии оценок компонентов вектора Ь.

Свойства полученных МНК-оценок зависят от постулируемых предположений, касающихся зависимой переменной и свойств вектора ошибок. Например, при условии, что ё — стационарный случайный

вектор с нулевым средним значением, не коррелированный с незави-

симыми переменными регрессии, в теории доказывается, что полученные МНК-оценки Ь являются несмещенными.

Таким образом, использование метода линейной регрессии для обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента при вынужденных колебаниях модели с малой амплитудой позволяет не только получить оценки необходимых производных устойчивости и демпфирования, но и оценки дисперсии этих производных.

Из формулы (9) следует, что оценки дисперсии производных стремятся к нулю при увеличении числа измерений. На практике дело

обстоит несколько сложнее. Невозможно свести к нулю ошибку эксперимента простым увеличением его длительности. Это связано с тем, что в эксперименте наряду со случайными ошибками, которые могут иметь достаточно сложную функцию распределения, всегда присутствуют систематические ошибки (точность установки угла атаки модели, тарировки тензовесов и т. д.), которые не могут быть устранены увеличением числа отсчетов. Однако полученные оценки дисперсии увеличивают информативность аэродинамического эксперимента и позволяют судить, например, об уровне стационарности процесса.

3. Продемонстрируем применение этого метода на примере обработки данных динамического эксперимента при колебаниях по тангажу треугольного крыла удлинением с А, = 1,5. Подробно экспериментальная модель описана в работе [2]. Тестовый эксперимент проводился на той же экспериментальной установке при V = 25 м/с с несколько более подробным шагом по углу атаки по сравнению с работой [2].

При применении данной методики, кроме сигнала изменения мгновенного угла атаки, необходим сигнал мгновенного значения угловой скорости а(/) модели. Его можно измерять экспериментально с помощью специальных датчиков, но можно получить и в процессе обработки сигнала датчика угла атаки с помощью численного дифференцирования. Вообще говоря, задача дифференцирования экспериментально измеренного сигнала является математически некорректной из-за наличия экспериментального шума. Однако использование различных приемов сглаживания, цифровой фильтрации или сплайн-аппроксимации позволяет надежно вычислять производные сигналов известной динамической природы. В данном случае частоты вынужденных колебаний модели крыла составляли / = 0,5; 1,0; 1,4 Гц, а измеренная нижняя частота собственных упругих колебаний крыла на державке составляла более 7 Гц. Поэтому сигналы датчиков угла атаки и тензовесов фильтровались с помощью цифрового фильтра низких частот Батгерфорда: [7] 6-ш порядка с частотой среза /0 = 3 Гц, что позволило удалить шумы, связанные с влиянием упругости, а также Электрические помехи.

На рис. 1, а в качестве примера приведен график зависимости от времени показаний датчика мгновенного угла атаки для двух периодов колебаний. Сплошной линией показан нефильтрованный сигнал, штриховой — результат фильтрации. Следует отметить, что фильтрация может вносить в получаемый сигнал некоторый сдвиг фаз. В данной методике обработки проводится двойная фильтрация в прямом и обратном времени, что позволяет исключить внесение сдвига фаз. Из графика видно, что сигнал датчика угла атаки достаточно хороший, несмотря на присутствие малых электрических помех. Фильтрация позволяет получить сглаженный сигнал, который можно численно дифференцировать. На рис. 1, б представлены результаты Фурье-анализа записанных 8 периодов нефильтрованного и фильтрованного сигналов. Видно, что для датчика угла атаки различий практически нет.

Рис. 1. Показания датчика угла атаки

. На рис. 2 показаны аналогичные зависимости для сигнала канала тензовесов, измеряющего момент тангажа, действующий на крыло, для тех же двух периодов колебаний. Видно, что сигнал тензовесов зашумлен значительно сильнее. По результатам Фурье-анализа можно усмотреть наличие в сигнале упругих частот 8—9 Гц, которые соответствуют нижней частоте упругих колебаний модели на державке. Следующие упругие частоты колебаний соответствуют уже частотам 18—19 Гц. Цифровая фильтрация позволяет надежно отсеять все частоты выше заданной частоты среза фильтра, практически не меняя спектральный состав сигнала для частот, меньших частоты среза.

Дальнейшее численное дифференцирование сглаженного сигнала датчика угла атаки проводилось с помощью пятиточечной разностной формулы, полученной дифференцированием многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Тестовые примеры по определению производной от искусственно зашумленной известной функции показали, что предлагаемая методика позволяет надежно получать не только первую, но и вторую производную экспериментально измеренной функции, если частоты помех и полезного сигнала разнесены.

Таким образом, для уравнения (7) можно полу-

чить сглаженные реализации т^+т*

тг{{), Да(/) и а, следовательно, для получения оценок неизвестных величин тго, ш“,

/п“* +т“, а также их дисперсий можно воспользоваться описанным выше методом линейной регрессии. Следует отметить, что предлагаемая методика обработки результатов эксперимента остается справедливой при достаточно произвольной зависимости угла атаки модели ОТ времени, а не Рис. 3. Производная аэродинамического

ТОЛЬКО при гармонических КО- демпфирования крыла при различных часто-

лебаниях, ЧТО обязательно ДЛЯ тах колебаний

обработки с помощью БПФ.

4. По описанной выше методике были обработаны результаты вынужденных колебаний треугольного крыла с различными частотами в диапазоне углов атаки а = 0 + 60°. Безразмерные частоты колебаний

О л

принимали при этом следующие значения: <в = —= 0,09; 0,18; 0,26. Результаты обработки эксперимента по определению характеристики /и“г + /я“ крыла показаны на рис. 3. Эти данные полностью совпадают

с результатами обработки данного эксперимента по методике БПФ. Там же показаны оценки дисперсий полученных значений производных. Для получения оценок ошибок производных по методу гармонического анализа потребовалось бы проводить эксперимент несколько раз.

Полученные результаты свидетельствуют, что до углов атаки а * 30° нестационарные производные практически не зависят от частоты колебаний. Дисперсии полученных оценок здесь достаточно малы. При больших углах атаки, при которых вихревая система крыла начинает разрушаться над его верхней поверхностью, полученные производные начинают зависеть от частоты колебаний модели. Дисперсии производных также существенно увеличиваются, но расслоение производных по частотам несомненно.

Такая зависимость производной демпфирования от частоты колебаний является отражением существенно возросшего запаздывания перестроения структуры обтекания крыла при наличии разрушения вихрей [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. К у з м а к Г. Е., Дубов Б. С., П р о в о р о в В. А. Экспериментальное определение продольного демпфирования на околозвуковых и сверхзвуковых скоростях методом вынужденных колебаний // Труды ЦАГИ. —

1958.

2. Ж у к А. Н., И о с е л е в и ч А. С., Столяров Г. И., Табачников В. Г. Экспериментальное исследование демпфирования крена и тангажа треугольного крыла X = 1,5 на больших ушах атаки // Труды ЦАГИ. - 1985. Вып. 2290.

3. Tripp J., Т с h е n g P. Aerodynamic stability test instrumentation using digital signal processing techniques // AIAA Paper 94-2583. — 1994.

4. Бобдов В. А., Виноградов Ю. А., Колин И. В., Щербаков Н. В. Автоматизированная система сбора и обработки информации испытаний моделей самолетов на динамических установках в аэродинамических трубах // Труды ЦАГИ. — 1993. Вып. 2422.

5. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. — М.: Мир. — 1982.

6. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Статистика. — 1973.

7. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. — М.: Мир. — 1982.

Рукопись поступила 3/V1995