Аттракторы механических систем, взаимодействующих со средой

РАЗДЕЛ III.

УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

АТТРАКТОРЫ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СО СРЕДОЙ

В.Л. Заховоротный Донской государственный технический университет

Практически всякая механическая система, состоящая, например, из подсистем Ея и Бу, выполняя свои функциональные назначения, имеет координаты, взаимодействующие со средой. Среда может быть технологической - процесс обработки резанием, трибологической (формируемой в зоне контактируемых поверхностей при их относительном скольжении), аэродинамической, гидродинамической и пр. Во всех случаях некоторые координаты, для определенности ут, гп, совершают относительные управляемые движения, осуществляемые через среду, которая формирует нелинейную связь Р(у,г). Заметим, что практически всякая машина для выполнения своих функциональных назначений имеет некоторые обобщенные массы с двухсторонними связями, то есть полагается, что точка находится между двумя бесконечно близкими слоями, составляющими поверхность, на которой остается точка при любых активных силах, приложенных к ней. Это направляющие скольжения - в металлорежущих станках, подшипниковые узлы в роторных системах и пр. Согласно принимаемой в настоящей работе парадигме, такая двухсторонняя связь, характерная для классической механики, заменяется на понятие среда, формируемая в зоне сопряжения контактируемых поверхностей, и эта среда создает свою связь, которая обладает своими уникальными свойствами. Таким образом, понятие среда имеет достаточно общее значение и всегда присутствует в машине, координаты состояния которой характеризуют движение, и движение является управляемым.

Эта связь, во-первых, объединяет подсистемы Ну и Ея, во-вторых, является, как правило, нелинейной, в-третьих, характеризуется эволюционными преобразованиями, обусловленными работой сил диссипации в процессе взаимодействия, наконец, она формирует силовые потенциалы по некоторым направлениям движения, ограничивающие возможности движения системы по этим направлениям. Таким образом,

движение обобщенных масс системы в независимой системе отсчета определяется разностью между активными силами управления и силами сопротивления, которые также могут быть управляемыми, так как они формируются в координатах состояния системы.

Будем считать, что такой механической системой является обобщенная машина, объединенная с микроЭВМ, то есть между координатами состояния машины и ЭВМ осуществляется обмен информацией в реальном времени и от ЭВМ могут быть осуществлены силовые воздействия, изменяющие динамические и статические свойства машины, открывая тем самым принципиально новые возможности совершенствования функциональных показателей машины и ее характеристик надежности:

- путем коррекции управления и формирования новых силовых связей в зависимости от быстропротекающих и достаточно медленных эволюционных преобразований, структурной динамической самоорганизации в системе машины;

- путем наблюдения за координатами состояния ответственных узлов и элементов машины как динамической системы, обладающей недоопределенностью координат состояния и описания связей между ними;

- путем прогнозирования эволюционных преобразований и наступления отказов, параметрических и функциональных. Прогнозирование и диагностика эволюционных преобразований, наряду с формированием дополнительных силовых воздействий, закон формирования которых обеспечивается в ЭВМ в реальном времени, позволяют создать адаптивные машины, динамическая структура которых изменяется в зависимости от эволюционных преобразований при взаимодействии машины со средами.

При этом ЭВМ становится частью динамической системы машины, в которой имеется возможность формирования достаточно сложных искусственно созданных и управляемых динамических связей, что не только расширяет возможности и размерность вектора управления, но и позволяет реализовать сложные алгоритмы желаемых взаимодействий между координатами состояния машины. Для описания свойств среды необходимо учитывать, по крайней мере, два обстоятельства.

1. Среда характеризуется преимущественно диссипативными свойствами. Поэтому полное ее описание принципиально невозможно на основе классической механики, так как диссипация связана с преобразованием энергии механической системы (кинетической и потенциальной) в другие виды. Строго говоря, введение диссипативной функции возможно лишь тогда, когда раскрывается работа или мощность диссипативных сил. Имеющаяся в настоящее время традиция введения диссипативных функций, например диссипативной функции Рэлея, не учитывает этих преобразований.

Диссипация изменяет внутреннюю энергию пограничных слоев контактной зоны, то есть определяет производство теплоты, и уже в термодинамической постановке формирует теплообмен в подсистемах как в открытых неравновесных термодинамических системах. Работа сил взаимодействия связана с преодолением сил сопротивления движению, имеющих различную физическую природу, молекулярную и механическую. Поэтому традиционно при рассмотрении в равновесных системах она направлена на уничтожение всякого порядка и в системе должен увеличиваться хаос. Однако в открытых нелинейных, в том числе термодинамических, системах [1,2] она может приводить к появлению некоторых структур, позитивно влияющих на свойства среды, формируемой при взаимодействии двух подсистем.

Например, в трибологической среде работа сил диссипации является конструктором всех позитивных и негативных преобразований в контактной зоне, она определяет этапы преобразования свойств трибосопряжений при эволюционном формировании избирательного переноса [3], приводит к формированию равновесной шероховатости [4] и способствует накоплению дефектов, вызывающих катастрофическое изнашивание и пр.

Таким образом, обнаруживается тесная взаимосвязь между формируемыми диссипативными структурами и преобразованиями энергии в механической системе. По отношению к системе в целом это может быть позитивное преобразование энергии. Подчеркнем, что диссипация, поглощая энергию механической системы, может выступать фактором позитивных ее преобразований, но не источником чистых потерь. Работа сил диссипации активирует многие процессы обмена, изменяет свойства зоны сопряжения система - среда и эти изменения зависят не от координат состояния системы в целом, а от их траекторий от начала функционирования. Принципиально аналогичная картина наблюдается и при взаимодействии механической системы с другими средами - с процессом резания, близким по своей природе к процессу трения по физическим преобразованиям в зоне сопряжения.

2. Среда формирует нелинейную динамическую связь, раскрывающую зависимость сил контактного взаимодействия от координат относительного движения поверхностей, и пространство состояния динамической системы, прежде всего за счет свойств среды, является существенно нелинейным. Поэтому свойства системы зависят от аттракторов движения в пространстве состояния, от свойств возмущенного движения относительно рассматриваемых аттракторов, следовательно, свойства среды не являются инвариантными к параметрам динамических подсистем машины, взаимодействующих через среду, и изменение, например, элементов матрицы жесткости машины не может не влиять на функциональные ее свойства, в том числе на возможности управления движением. Более того, без изучения свойств аттракторов, имеющих ограниченную область притяжения в пространстве состояния, возможен переход через границу областей притяжения различных инвариантных многообразий за счет малых изменений параметров, начальных условий или возмущений, всегда имеющих место в реальной машине. Поэтому можно говорить о свойствах робастости любой машины и о допустимых возмущениях и флуктуациях параметров, при которых обеспечиваются заданные функциональные свойства машины.

Подчеркнем, что введение понятия среды не только расширяет пространство состояния управляемой системы, но и вводит большое разнообразие в определение инвариантного многообразия как основы синтеза управления, в том числе на основе синергетического принципа [5], использующего прямо противоположную тенденцию сужения пространства состояния, но уже на уровне понимания свойств системы в целом. Заметим, что принцип расширения - сужения пространства состояния есть принцип познания мира вообще.

Для раскрытия особенностей системы в целом и свойств аттракторов движения в пространстве состояния необходимо построить иерархию систем дифференциальных уравнений ее динамики.

1. Иерархия систем дифференциальных уравнений

Будем считать, что нам заданы векторы состояния подсистем машины у и г (рис. 1), движущиеся в независимой системе отсчета. Подсистемы можно представить в виде конечномерных дискретных структур обобщенных масс, объединенных связями достаточно общего вида, и тогда у £ ИЗЛГ, ъ € Язл^, или конечномерных дискретных структур твердых тел, и тогда у 6 г € Я6М. Следуя законам классической механики, а также вводя диссипативную функцию в форме Рэлея для всех подсистем машины, кроме среды, уравнения динамики можно представить в виде двух систем, связь между которыми осуществляется через нелинейные функции

которые можно считать сепарабельными более того, во многих важных приложениях бывает справедливым условие

Рис. 1. Обобщенная динамическая модель управляемой системы

(Іу гп (2%п

(И <И

т

а,-Р

(У т 2п)>

^У т ві <ІІ

Причем ъп = |гп ),212),г13))| , ут = {ут ,ут\ут)} - Таким образом, структуру системы дифференциальных уравнений можно представить как

п 7 (І7

т‘Яр+ь‘а+с-г = и‘(г) “р (*’ ~И'У' л)'

Г***-

+ + Суу = иу(у) - Р ( г, — ,у,

йг с1у

(ИМ)'

где т2, ту Ь2, Ьу,с2, су, - соответственно матрицы инерционных, диссипативных и упругих коэффициентов двух подсистем;

и2(г), иу(у), - вектор, вообще говоря, непотенциальных сил, среди которых имеются и силы управления;

^ <іу\ * ( Ч2'Л’У'ЛІ'ГЧ2’Л'У'ЛІ’

Т

- нелинейные функции трех составляющих сил контактного взаимодействия, зависящие от координат состояния подсистем машины.

Подчеркнем, что все функции, в том числе управление, являются функциями координат состояния системы. В зависимости от введения обобщенных координат

они могут зависеть от всех координат подсистем машины. Например, если по каждому из ортогональных направлений последующая координата отсчитывается от предыдущей, то Г ^§,у, является функцией всех координат состояния двух подсистем машины.

Осуществим ранжирование инерционных коэффициентов по степени их убывания. Обычно по мере приближения к области взаимодействия со средой значения инерционных коэффициентов значительно уменьшается. Например, можно сравнить массу режущего инструмента, обеспечивающего взаимодействие с процессом резания, и суппорта, обеспечивающего его перемещения в пространстве инерциаль-ной системы координат, не связанной с перемещаемыми элементами. Не нарушая общности, разобьем инерционные коэффициенты на две группы: тп^’р, Шу т{;$\ тПу€ 0^, сделаем замену переменных = (у^ — г*), = (у^ — г2),

4Х) — (Ут — выразим координаты у, 2 и их производные через х\х) или хв

зависимости от того, к какому множеству инерционных коэффициентов они относятся. Будем считать, что значения инерционных коэффициентов на порядок и более превышают значения т^'р, ’ГПу'Р'* € П(1 . Выберем наибольший инерционный коэффициент (пусть это Шу*0’*0^) и введем новое «медленное» время по правилу £ = гпу8°’г0\, тогда все инерционные коэффициенты множества в медленном времени становятся малыми параметрами, то есть (2) преобразуется в систему

Г£^=£(х(1);х(2);и(1))и(2)).

13)

где Г, g — новые нелинейные функции, и*1*, Ьт(2) - силовые функции, в том числе управления, действующие соответственно на координаты векторов х1"и х^2К

Наиболее важным свойством [6] систем типа (3) является возможность разделения движений на «быстрые» и «медленные». В объединенной системе «быстрые» движения есть вектор «Х^», «медленные» - «х^2';». Это объясняется тем обстоятельством, что наряду с системой (2) можно рассматривать вырожденную систему при 6 —^ О

0 = { (х(1),х(2\и(1\и(2)) ;

^ = 6(хо>,хга ити»), <4>

в которой можно выделить изолированный корень уравнения

Г (х^^х^, и^, и^2)) = 0, зависящий от «х^», причем «х^» на данном от-

резке можно считать параметром. Пусть для первого уравнения (4) справедливо х^1^ = (р (х12), []1,\ и(2)), тогда изучение медленных движений осуществляется из системы

Таким образом, вначале изучается «присоединенная система» (система быстрых движений) в «медленном» времени т, то есть рассматриваются медленные смещения точки равновесия в пространстве ее состояния. Очевидно, что аттрактору «медленных» движений, формируемому (5), должно соответствовать асимптотически устойчивое уравнение в вариациях относительно этого аттрактора.

Сделаем несколько промежуточных заключений:

- приведенная выше процедура относится к построению двух иерархических уровней управляемых движений, очевидно, что после соответствующего ранжирования и углубления уравнений динамики на все более быстропротекаю-щие процессы можно построить и следующие иерархические уровни описания сложной системы;

- аттракторы движения конструируются силовыми функциями, моделируемыми в координатах состояния динамической системы, и они принципиально зависят от нелинейной динамической связи, формируемой работой диссипативных сил в контакте со средой управляемых подсистем.

При решении сформулированного класса задач необходимо рассматривать несколько случаев. Первый случай, когда (3) имеет асимптотически устойчивое равновесие, то есть уравнения «быстрых» и «медленных» движений в вариациях относительно рассматриваемой траектории являются устойчивыми, и на систему не действует силовой шум, связанный с функционированием системы, а закономерности взаимодействия подсистем машины и среды включают композиционные составляющие сил, объяснимые исключительно в координатах пространства состояния. А.Н. Тихоновым и Л.С Понтрягиным [6,7] на основе исследования асимптотического поведения решений показано, что полученные решения существуют и единственны.

Другой важный и естественный для динамики рассматриваемых систем случай соответствует условию, когда система (3) для уравнений «быстрых» движений в ва-

но этой траектории формируются стационарные устойчивые предельные циклы. Их параметры могут меняться в «медленном» времени. Тогда при исследовании устойчивости предельных циклов необходимо использовать теорию Флоке систем с периодическими коэффициентами и анализировать распределение мультипликаторов системы в вариациях относительно предельных циклов, а при построении приближенного решения системы (1) можно воспользоваться методом усреднения х вдоль периодического решения [7].

Третий случай относится к возмущенному стационарным шумом поведению системы, когда траектории движения являются асимптотически устойчивыми. При изучении траекторий управляемого движения в этом случае стационарный шум, как правило, можно моделировать конечным набором тригонометрических функ-

ствовать частоты, определяемые характеристическим полиномом (3) и вынужденными реакциями на стационарный шум Г* (£), то есть стационарное решение можно рассматривать в виде

а влияние, например, колебаний на силы, определяется на основе усреднения по всем периодам (представления на основе разложения нелинейной функции в ]Ч-кратный ряд Фурье по всем некратным периодическим составляющим), то есть

риациях относительно Х^1) =цр (х(2), и*1-*, и) является неустойчивой и относитель-

ций. Тогда в х(^(£) для стационарного установившегося состояния будут присут-

i=N

—ос ¿2=—оо г^ =—оо

где

+Ті +Т2 +Глг

@Іл Л-

'*1 >*2к--**ЛГ

i=N

хо + '^2хі вт

»=х

'І=ІУ

Х^СОв^^ + <Рі)

„ і—X

Что касается частот П*, то они вычисляются по первому приближению на основе анализа корней характеристического полинома системы (3), в котором дополнительно учитываются линеаризованные в точке равновесия нелинейные функции, стоящие в правой части (3).

Таким образом, «быстрые» движения системы формируются с учетом взаимного влияния всех амплитуд и частот полигармонического сигнала х^11 (£) = хо + »=АГ

^2 Хг8т(С1$ + </?*), Пг = (Т^)-1, а траектории «медленных» движений определи-

г—1

ются не только вектором управления и реакцией со стороны внешнего силового, в том числе управляемого, поля, но и усредненной по промежутку времени (определяется периодом биений смеси периодических составляющих движений) функцией сближения система - среда.

Четвертый случай относится к скрупулезному анализу взаимосвязи возмущений с автоколебаниями для «быстрых» движений, и здесь интерес представляют проблемы синхронизации, асинхронного влияния, возбуждения дробного порядка и другие эффекты. *

2. Пример анализа преобразования аттракторов

Рассмотрим достаточно простую управляемую механическую систему, взаимодействующую с трибосредой (рис.2). При этом будем иметь в виду, что зачастую на простых примерах можно раскрыть все основные особенности сложных систем.

РОТОР

Р1&1Х2)

ВНЕШНЕЕ

УПРАВЛЯЕМОЕ

СИЛОВОЕ

ПОЛЕ

ПОДСИСТЕМА,

т ш- Г4 \ ВЗАИМОДЕЙСТВУЕТ

РОТОР

VI

\

Мс{Х],Х2)-Н0Тг1,Х,.Х2)

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ РОТОРА

Рис. 2. Управляемый ротор, взаимодействующий с механической подсистемой через

трибосреду

Будем считать, что жестко связанный с двигателем ротор с моментом инерции «(?» вращается в абсолютно жестких опорах и он является идеальным (не формирует динамических сил, например связанных с его асимметрией). Управление движением ротора осуществляется от двигателя постоянного тока варьированием напряжения якоря иі. Аттрактор движения системы при постоянном напряжении якоря задается в фазовой плоскости (а, ^ = и) прямой, параллельной оси абсцисс. Пусть ротор взаимодействует с элементом массы "ш", причем Є >> тп. Кроме этого, масса тп через элемент подвески может совершать движения в плоскости, нормальной к контактируемой поверхности и проходящей через направление скорости относительного скольжения ротора с элементом тп. Кроме этого, будем считать подвеску

обладающей ортогональными динамическими свойствами, то есть недиагональные элементы матрицы жесткости и диссипации равны нулю. Координаты положения массы в подвижной системе координат, движущейся со скоростью вращения ротора, отсчитываемые от точки поверхности ротора, определяются X = {Х±, Х2 } г и отсчитываются в направлении, противоположном направлению движения ротора и по нормали к контактируемой поверхности. По этим же направлениям ориентированы силы контактного взаимодействия Рі, Гг, зависящие от координат состояния системы, которые являются сепарабельными. Будем считать, что на элемент т действует управляемое силовое поле 112, имеющее направление, нормальное к контактируемой поверхности и противоположное нормальной силе контактного взаимодействия.

Тогда несложно получить уравнение движения системы

di _ lr

dt - L[

cLú 1

dt _ G

(fXi 1

dt2 m

<fx2 1

dt2 m

-Ui + Fi ( Х\, Х2,

(IXi dX2

-ы

f2 [Хих2,

dX 1 dX2 dt ’ dt

dt ’ dt ) 111 dX2

h22-

dt

dX 1 _ dt

c22X2

cuXi

где L, R, ce, cM - параметры двигателя; Ro - радиус ротора, таким образом, Х2 ~ Roa и угловые координаты задаются в радианах; Fi (Xi,X2, i = 1,2 —

нелинейные функции, характеризующие влияние трибосреды, имеющие принципиальное значение в формировании аттракторов движения системы.

Следуя изложенному выше подходу, введем в рассмотрение малый параметр е и медленное время т. После замены t = дт

<И_

dr

|[C/i - ceu> - Ш);

áj _ Г

dr \ d2Xi

cmI-Ro¥2 [ХиХ^^є^^у,

dt2

SX2

dt2

-U2 + Fi

X X rdXl r dX2

dt dX2

I F2 dt

dt

— £4-

Єз

dXi

dt

dX1 _ dt

C22X2

сцХ i

}

получаем вырожденную систему при

fr->

сеш - Я/];

^ = {cmI-RoF2(XuX2,0,0)};

0 = [-U2 + F1(XuX2,0,0 )-спХ1у, 0 = {F2(XbX2,0,0 )-с22Х2}.

Вторые два уравнения в «медленном» времени характеризуют точку равновесия в трибосопряжении. Поэтому уже сейчас можно сделать важное заключение: если удается построить потенциальную функцию взаимодействия подсистем через трибо-сопряжение П(ХьХ2,1/2), то точка равновесия «быстрых» движений в подвижной системе координат определяется из условия - = 0 (в = 1,2). Таким образом, уже на этапе изучения преобразования аттракторов за счет расширения пространства

состояния удается не только выяснить закономерности преобразования аттракторов управляемого двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, но и увеличить размерность вектора управления U = {Ui,U2}T-

Итак, первый механизм преобразования аттракторов обусловлен смещением и управлением внешним силовым полем точки равновесия системы «быстрых» движений. В частности, если U\ = const, U? = const, а также функции Fi (Xi,X2, ^¡t~, * = 1,2 не меняются по периметру вращающегося ротора, то

аттрактор «медленных» движений, получаемый из первых двух уравнений (9), есть прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 3), но ш — |U\ — ^^F2(Xi,X2,U2)>

Рис. 3. Преобразование аттракторов «медленных» движений за счет смещения точки равновесия системы «быстрых» движений

зависит от 112, матрицы упругости подсистем машины и нелинейных функций Рг (Х1, Л'г, ^а), г — 1,2 и аттрактор смещается от прямой (1) к (2). Если при этом принять во внимание существующую (например, в связи с эксцентриситетом при установке ротора) или развивающуюся в ходе эволюционных преобразований анизотропию свойств трибосреды, то аттрактор будет представлять некоторую периодическую функцию (траектория «3» на рис. 3), повторяющуюся с периодом ат.

Подчеркнем, что все указанные преобразования обусловлены единственным фактором: смещением точки равновесия уравнений «быстрых» движений в медленном времени.

При проектировании аттракторов рассматриваемого в качестве примера класса систем необходимо анализировать всю систему в целом и не ограничиваться исключительно процессами в двигателе постоянного тока, так как в любой системе все координаты состояния являются взаимосвязанными. Например, обеспечение минимума энергетических потерь в двигателе без учета механизма формирования сопротивления движению в трибосопряжении никак не может решить эту задачу в целом. Здесь, прежде всего, необходимо учитывать физико-химические особенности преобразований в трибосреде [3, 4]. В частности, в зависимости от точки равновесия, то есть сближения контактируемых поверхностей, за счет структурирования смазки, формирования специфических условий физико-химического обмена имеются такие условия, при которых тангенциальная сила может уменьшаться на несколько порядков, интенсивность изнашивания поверхностей снижается вплоть до формирования эффекта безызносности, имеются условия, при которых силовая эмиссия, возмущающая движение системы, практически отсутствует. В этом случае аттракторы движения не трансформируются и определяются исключительно функциями управления.

Подчеркнем, что имеется ограниченная область допустимых вариаций точки рав новесия, при которых существуют перечисленные эффекты. Ограниченность этой области физически объясняется формированием потенциальных барьеров, которые в функциях Г1 (Х1, Х2,0,0), г = 1,2 приводят к формированию участков многознач-

ности решений, следовательно, в зависимости от l¡2{Xi, Х2) возможны ветвления точек равновесия, то есть возможны бифуркации удвоения асимптотически устойчивых траекторий, разделенных поверхностями сфер их влияния.

Второй механизм связан с особенностями уравнения «быстрых» движений в реальном времени. Вначале будем считать, что равновесие является асимптотически устойчивым. В частности, если свойства трибосреды не меняются по периметру вращения ротора, частота его вращения остается неизменной, внешнее силовое поле U2 — const и не рассматривается эволюция свойств трибосреды в связи с работой диссипативных сил в контакте, то система «быстрых» движений, в зависимости от нелинейных функций Fi(Xi, Х2,0,0), будет иметь одну или несколько точек равновесия. В противном случае - это некоторая траектория в пространстве состояния, как это очевидно, квазистатического в «медленном» времени, которая определяет момент сопротивления системы «медленных» движений, то есть входит в первые два уравнения (9). Поэтому аттрактор «медленных» движений может существенно изменяться, И ОН будет зависеть не ТОЛЬКО ОТ напряжения якоря [/], но и от U2{Xi, Х2), а также эволюционных преобразований свойств трибосопряжения. Поэтому можно ставить вопрос о выборе U2(Xi, Х2), которое корректирует или даже определяет требуемый аттрактор движения при заданном Ui(Xi,X2). Таким образом, изучение свойств равновесия системы «быстрых» движений есть одновременно рассмотрение свойств аттракторов «медленных» движений.

Пусть два последних уравнения в (9) имеют единственное решение X* = const, —¿2- = const, зависящее от Ui, U2, тогда аттрактор «медленных» движений системы в фазовой плоскости (а, ^ = и) есть также прямая, параллельная оси абсцисс, и именно он определяет подвижную систему координат, в которой рассматриваются «быстрые» движения. Напомним, что Х2 — Roa. В этой системе рассмотрим уравнение в вариациях, то есть заменим Xj(í) = X¡(t) + Xi(í), Xi(t) = X%{t) + x2(t), где X\ (t), x2(t) - вариации соответствующих координат относительно аттрактора «медленных» движений. Физически XI (í), x2(í) есть деформации механической подсистемы, взаимодействующей с вращающимся ротором. Вопрос устойчивости системы «быстрых» движений решается на основе исследования системы в вариациях для последних двух уравнений в (8):

Традиционно в системах (10) [т] и [с?;] являются симметрическими. Если при этом предположить, что они являются положительно определенными, то можно получить требования к матрице диссипации [Ье], при удовлетворении которых динамическая система трения является асимптотически устойчивой, а также устойчивой по Ляпунову.

Действительно, если ввести в рассмотрение функцию энергии

то с учетом того обстоятельства, что [т] и [с>;] являются симметрическими и их элементы есть постоянные величины, справедливо

Следовательно, для автономного случая системы (10) справедливо [т ]х + [сЕ]х = — [Ье]х, то есть

есть условие устойчивости системы по Ляпунову И —х[Ье]х < 0 - условие асимптотической устойчивости.

Заметим, что при определении условий устойчивости не было наложено ограничений на элементы матрицы [Ье]. Получаем достаточно простое условие асимптотической устойчивости равновесия динамической системы: если матрицы [т] и [сЕ] являются положительно определенными с постоянными элементами, то динамическая система имеет положение равновесия ассимптотически устойчивым и если матрица [Ье] является положительно определенной на всем наблюдаемом временном отрезке. Условие (11) является интуитивно понятным, так как при —х[Ье]х < 0 во время движения в систему вводится дополнительный источник поглощения энергии. Сами же диссипативные силы не способны «раскачать» динамическую систему даже в том случай, если переменная составляющая их вариаций совпадает с собственной частотой системы. В связи с этим отметим, что при равенстве нулю диссипативных сил динамическая система не может быть асимптотически устойчивой, а лишь устойчивой по Ляпунову. Однако этот случай является скорее исключением для динамической системы трения, поэтому не представляет интереса, за исключением анализа устойчивых предельных циклов, когда можно говорить об орбитальной устойчивости. Если отмеченные свойства симметричности и положительной определенности не справедливы, то проблема анализа устойчивости так же не вызывает Сложности для уравнения в вариациях, если в пространстве состояния являются справедливыми принятые условия для точки равновесия.

Все разнообразие возможных свойств системы, отмеченное в общей постановке, раскрывает различные механизмы влияния «быстрых» движений на свойства аттрактором «медленных» движений. Подробно влияние различных режимов «быстрых» движений, в том числе и хаотических автоколебаний, на аттракторы «медленных» движений изложены в [11]. Здесь же остановимся лишь на двух, наиболее интересных. Первый случай относится к автоколебаниям. Будем считать, что точка равновесия является возмущенной, поэтому в правой части (10) оставим нелинейную функцию, учитывающую нелинейность сил в зависимости от колебательной скорости в тангенциальном направлении, и ограничения, вносимые сближением поверхностей, то есть рассмотрим систему (10), в которой справа введем нелинейную функцию

— = [ш]хх + [се]хх = х{[т]х + [с2]х}.

где Ф = {[01о(1)], \Кфю{х\) - Ф\2 (^й-)] } •

Необходимо отметить, ЧТО СВОЙСТВО нелинейных функций </>10(3:1) и ф\2 (^) та" ково, что при малых значениях амплитуд колебательных смещений и скоростей Ф\о{х\) => 0 и Ф12 {-¡¡*) =4> 0. Кроме этого, на первом этапе будем нелинейные функции ф\о{х\) и ф\2 (“й1) считать обладающими свойством центральной симметрии при вариациях колебаний относительно точки равновесия. Свойства трибосопряже-ний показывают, что тангенциальные силы запаздывают по отношению к нормальным их составляющим и функция запаздывания Т = Т(жх) зависит от амплитуды колебаний в нормальном к контактируемой поверхности направлении. Для определенности в качестве примера будем считать, что

Фю{х1) = а(хг)5; фг2 = ^12

таким образом, функция фю(х 1) = «(х:)5, ограничивающая развитие автоколебаний, по мере увеличения амплитуды растет быстрее, чем функция, способствующая возбуждению системы Ф12 (^) = Т\2  Причем возможности возбуждения

определяются соотношением параметров а и Т2\ и выполняется следующее условие: при х\ => 0 и 0, фю{х1) =>• 0 и ф\2 (^-) => 0. В частности, запаздывающий

аргумент при отсутствии периодических движений равен нулю.

Таким образом, коэффициент диссипации, определяющий диссипативные вихревые силы в тангенциальном направлении, зависит от собственно диссипативного

влияния колебаний в нормальном направлении на тангенциальные силы . и в

д{и?)

правой части уравнения будет иметь знак минус. Периодические решения (13) будем искать в виде

XI (£) = хц втШ;

х2(1) = х2\ ят(Ш + </?), или для колебательных скоростей

^ = *пПсовт;

=ЦУ-=х21Псо8(Ш + ц>).

(И

Прежде всего вычислим гармонически линеаризованные функции влияния нелинейных элементов в (13). Очевидно, что

2тг

1 г 5

Фю{х\) =------ / Фю

хцп ] 8

о

а

2л

Ф21

\/ Хцж у 4

о

Тогда получаем гармонически линеаризованное уравнение (12) для установившихся периодических движений:

ДО’П) = а|(хц)4

с22 - тП2 +1

д¥г д¥1

П22---------ч----------Л

\

(1x1

ей

<1X2

(И } /

п

Г21 (и)2^^4;

= а-(хц)5 \

1 д¥2 К ((1X1

п

д¥,

д

—кт£12 + ¿К + Т21(хц)^0.3 3 \ ' и

к

№>

11

<1X1

(И

5Р1 о2

Си - -75---------------------тПЧ

их 1

йх 1

<й у / .

где Д(А) - характеристический полином, соответствующий (12) без правой части, 721 ~ параметр. Не останавливаясь на особенностях решения (18) и анализе их устойчивости, рассмотрим конкретный пример:

-з кГс2 п

[т] =

4-10

ММ

0 4* 10"

[Ь]

5.0Й 0

. 0 2-0ЖШ

1 к п кГс ^ мм 14 $*£2. имм гдау 500,0^ 0

Ш)\ 14 . ’ ^ мм 10 0^ 1и’и мм. 5 дх8 .50,0^ 0

[с] =

4000,0^

о

а = 0,21; Т21=9,8.

Ь,2х точка «а»

Последний коэффициент является величиной значительной не потому, что существенной является величина запаздывания, а потому, что значительным является градиент функции сближения в точке равновесия системы. Рассчитанная для этого случая диаграмма изменения свойств системы в плоскости «Л21 — ^и» приведена на рис. 4. Очевидно, что одна и та же трибосистема в зависимости от коэффициента /121 может обладать свойствами абсолютной устойчивости при всех допустимых вариациях хц, она может в определенном диапазоне изменения /121 иметь условия жесткого и мягкого самовозбуждения автоколебаний. На рис. 4 при /г21 ~ ,,(1* равновесия системы является неустойчивой, причем неустойчивость является колебательной и вблизи точки «а» в системе развиваются колебания. В точке «Ь» формируется устойчивый предельный цикл с амплитудой, примерно равной 36,0 мкм, и

к нему стягиваются все предельные циклы. При /¡-21 = /г.2/ точка «с» равновесия системы является асимптотически устойчивой, но при превышении амплитуды значения, соответствующего точке «с1», равновесие становится неустойчивым и движение системы стягивается к устойчивому предельному циклу, параметры которого соответствуют точке «е». При Л21 = точка равновесия системы «Ь> является асимптотически устойчивой при всех вариациях амплитуды периодических движений, то есть для диапазона изменения амплитуды она является абсолютно устойчивой.

АМПЛИТУДА. *11. МКМ

Рис. 4. Изменение свойств динамической системы трения в зависимости от параметра /121. Область «А» мягкого самовозбуждения автоколебаний, «В» - жесткого самовозбуждения, «С» - абсолютной устойчивости динамической системы трения

0.2

0.15

0.1

0.05

0 10 20 30 40 XI, мкм

а б

Рис. 5. Функции сближения трибосистемы сталь - смазка Брках 80 - бронза. Бронза (средняя скорость относительного скольжения 1,0 м/с, температура масляной ванны -20, 0°С, диапазон варьирования нормального давления - 0,0 - 5,0 мПа; а - нормальные,

б - тангенциальные силы)

Очевидно, что аналогичные диаграммы можно построить и при изменениях других параметров системы. При определенном сочетании параметров малым их вариациям могут отвечать существенные изменения динамических свойств системы трения и, следовательно, кардинально влиять на свойства трибосопряжений, определяющие сопротивление движению ротора.

Второй случай относится к возмущенному поведению системы в окрестности равновесия. Обычно возмущения (силовая эмиссия) моделируются в виде случайной силовой импульсной последовательности, имеющей некоторые распределения во времени и пространстве контакта [11]. Здесь же ограничимся гармонической внешней силовой функцией с изменяющейся амплитудой U = Uo sin fit. В качестве функций сближения будем рассматривать изложенные в [11] функции (рис. 5), минимум в которых объясняется структурированием легированной смазки в зависимости от эквивалентного зазора между поверхностями.

На рис. 6 приведена диаграмма смещения точки равновесия системы по мере увеличения амплитуды переменной составляющей силы нормального давления. Причем увеличение амплитуды происходит настолько медленно, что система рассматрива-

Х*Ц,МКМ

Рис. 6. Диаграмма смещения точки равновесия динамической системы трения при варьировании амплитуды внешних силовых воздействий в направлении, нормальном к

контактируемой поверхности

ется в условиях стационарных установившихся колебаний. Направление изменения амплитуды на рис. 6 указано стрелками.

Анализ смещения точки равновесия системы в зависимости от амплитуды внешних силовых воздействий позволяет отметить три важных свойства смещения точки равновесия.

1. Имеются участки монотонного смещения точки равновесия системы трения в зависимости от амплитуды внешних силовых воздействий. Это участок «ССх» при увеличении амплитуды и участок «ВВ2», если координаты движения системы находятся в пределах области притяжения точки равновесия «В».

2. В противном случае, происходит перескок точки равновесия по направлению «Сь В]> в область притяжения точки В, и в дальнейшем при варьировании амплитуды силовых воздействий смещение точки равновесия наблюдается в окрестности этой точки, то есть по линии «В, В2». При дальнейшем увеличении амплитуды силового возбуждения вновь возможен перескок точки равновесия системы.

3. В связи с тем, что силовая эмиссия, сопровождающая процесс трения, может быть представлена в виде случайной импульсной последовательности с заданными законами распределения амплитуды и скважности, то в колебательных реакциях системы должны проявляться не только монотонные колебательные реакции системы и смещения точек равновесия, но и эффекты перескока, которые приводят к колебаниям, обусловленным случайными переходами от одной области притяжения к другой. Внешним проявлением таких колебаний являются хаотические колебания, в том числе хаотические изменения момента сопротивления движению, так как момент зависит от текущего значения точки равновесия системы. Заметим, что аналогичные эффекты будут и в тех случаях, когда в системе трения формируются потенциальные барьеры не на всей поверхности контактируемых тел. Именно такие эффекты имеют место в трибосистеме перед выходом ее на режим избирательного переноса.

Таким образом, главная особенность управляемой механической системы, взаимодействующей со средой, связана с преобразованием аттракторов «медленных» движений в зависимости от «быстрых». Медленные движения изменяются не только в результате управлений, но и изменения вибрационной составляющей движений, находящейся далеко за пределами полосы пропускания системы формирования управления. В системе устанавливается сложное медленно меняющееся динамическое состояние взаимного влияния отдельных частотных составляющих, которое можно назвать процессом динамической самоорганизации, учитывающее взаимосвязь между отдельными иерархическими уровнями динамического описания подсистем. В такой системе некоторые локальные и быстропротекающие процессы

в контакте система - среда могут вызывать принципиальные изменения свойств системы, особенно в тех случаях, когда параметры системы находятся вблизи от точек бифуркаций.

Это обстоятельство, а также эволюционные преобразования свойств среды приводят к необходимости коррекции управлений в зависимости от этапов динамической самоорганизации и эволюционных преобразований в системе. Поэтому возникает проблема оценивания всех процессов в ходе управления.

Имеется динамическая система 5 (без среды), которая состоит из двух подсистем (в нашем случае из 5 у и Бя ). 5 взаимодействует со средой Е через уравнения связи (1), образуя новую систему 5 и £, описываемую, например, системой (2), в которой введена общая координата х состояния

где (19) записана в вариациях относительно аттрактора медленных движений. Поэтому есть некоторая силовая функция, формируемая в координатах состояния «быстрых» движений, которая задает равновесие системы «быстрых» движений в подвижной системе координат и тем самым влияет на аттрактор «медленных» движений. Закономерности их формирования в (19) не включены, и они определяются правилами, изложенными в предыдущем параграфе. Обычно при построении систем управления структура (19) не раскрывается. Однако именно (19) позволяет в расширенном пространстве состояния определить инвариантные многообразия, движения по которым будет оптимальным в смысле физического взаимодействия подсистем со средой. Нелинейная функция F (х, ^г,р) зависит от вектора параметров среды р. В (19) введена также силовая функция Ф(£), не объясняемая в координатах состояния системы. Ставится задача найти отображения р в наблюдаемых х. Заметим, что равновесие системы (19) в подвижной системе координат определяется формируемой силовой функцией U(x) и свойствами взаимодействия F(x,0, р), то есть сх* = U(x’) — F(x*, 0, р). Таким образом, х* - равновесие системы, которое для данной системы задается формируемой силовой функцией U(x). В данном фрагменте будем считать ее независимой от времени (квазипостоянной в «быстром» времени) и производных. Очевидно, что для малых вариаций координат состояния относительно х*, характеризующих малые колебания координат состояния управляемой системы, обусловленные Ф(t), уравнение (19) преобразуется:

Таким образом, параметры среды, эволюционные преобразования ее свойств приводят к изменениям параметров линеаризованного уравнения (20), к перестройке характеристического уравнения, соответствующего (20). Поэтому одним из способов (не единственным) оценивания эволюционных преобразований (20), то есть оценивания изменения градиентов (х, ^г,р) для заданного аттрактора движения, есть идентификация характеристического полинома (20), в том числе рассмотрение эволюционных преобразований корней характеристического полинома.

При идентификации моделей методами математической статистики целесообразно от традиционной формы дифференциальных уравнений непрерывного времени

3. Оценивание эволюционных преобразований

ГП—тг

d2x dt2

+ h^T +сх = U(x) ~F (*> ^Г’р) +

перейти к ее разностному аналогу, то есть в (20) оператор дифференцирования заменить оператором сдвига (Юх(£) = х(£ - 1)).Тогда в терминах разностного оператора вместо (20) имеем

Р

Px(D)*i(í) = gill(D)¿(t).

s=1 J

s-3 2

â" II м Bo

a=l

Тогда (21) - уравнение с учетом взаимодействия со средой, а (22) - без среды.

Наряду с известными подходами к идентификации стохастических процессов приходится прибегать и к специальным процедурам, связанным с определением реакций S, SUE на u(t), - возмущения стохастического процесса, для данной системы задаваемого Ф(£). Эффективность этой процедуры обусловлена тем, что возмущения u(t) = S(t) в ходе активных экспериментов являются измеримыми и могут иметь форму измеримых <5(£)-образных силовых импульсов. Поэтому можно сформировать функционалы

г «=з

J = £ B

зависящие от неизвестных параметров, и определить их путем минимизации Jo, J. Последующее вычисление невязок в (23), (24) (эти невязки указаны в квадратных скобках) позволяет получить представление о законе распределения Ф (í).

Очевидно, что если ограничиться изучением характеристического полинома Р(А), то задача сводится к построению авторегрессионных уравнений по методу наименьших квадратов (МНК). Функции B(t) и Bo(í) в данном исследовании являются булевыми (равны +1 или 0), то есть позволяют выбрать из наблюдаемых временных последовательностей наиболее значимые по некоторому критерию. Заметим, что указанные процедуры выполняются на стадии идентификации параметров динамической системы и необходимы для выяснения структур динамических систем

S, 5иЕ. В дальнейшем проблемы исследования отображений эволюции параметров пограничных зон в корнях характеристического полинома решаются на основе исследования временных рядов, составленных из наблюдаемых вибрационных последовательностей, то есть «быстрых» движений в вариациях относительно «медленных».

Наблюдая в ходе эволюции системы достаточно представительный набор р, с одной стороны, и ставя им в соответствие несколько вариантов спецификаций моделей, характеризуемых q, мы можем для каждой серии экспериментов, отвечающих одному из рассматриваемых р, получить несколько вариантов оценки q. Из полученных вариантов выбираем такие, которые дают по возможности более логически обоснованную, внутренне непротиворечивую и устойчивую дискретную аппроксимацию отображения р —> q. Получаемые модели обрабатываются методами математической статистики и теории вероятности. При этом для каждого отображения р —» q получаем некоторое множество параметров и соответствующих им корней характеристического полинома.

Основой поставленной задачи является отображение q —> р, «обратное» полученному р —> q. При его применении необходимо использовать методы математической статистики (в частности, распознавания образов, кластерного анализа) в сочетании с другими методами формального и неформального характера.

Строго говоря, приведенный формализм, дополненный экспериментальными исследованиями, позволяет не только получить новые знания о параметрах динамических характеристик среды в ходе их эволюции, но и создать новое направление

Рис. 7. Фрагмент эволюции первого корня характеристического полинома АР-модели механической системы, взаимодействующей с трибосредой: латунь - глицерин - сталь

построения систем динамического мониторинга большого класса систем. Применение указанной процедуры для достаточно большого класса технологических и трибологических сред опубликовано [4, 8, 9].

Остановимся на одном показательном примере (рис. 7) эволюции корней характеристического полинома авторегрессионной (АР) модели (на иллюстрации приведен лишь пример эволюции одного корня). В рассматриваемой системе в результате работы диссипативных сил в контактной зоне формируется процесс избирательного переноса, который сопровождается образованием в зоне сопряжения двух подсистем такой среды, которая характеризуется уменьшением коэффициента трения на несколько порядков и установлением эффекта безызносного трения. Неопределенность, вносимая сопротивлением трения на управляемые движения, также уменьшается на несколько порядков. Существо этих эффектов можно выяснить, например, в работах [3, 4]. Для нас же важно отметить, что они являются результатом многих эволюционных преобразований в системе, которые сопровождаются, по крайней мере, двумя процессами детерминации динамических характеристик среды. На рис. 7 - это смещение корней по направлению «о,а» и «Ь,с». На этой же иллюстрации условно показаны ограничения эллипсов распределения корней с 95%-ной вероятностью. При этом корни характеристического полинома АР-моделей смещаются к единичной окружности, а затем наблюдается перескок к корням системы без трибосреды (точка «¿1» на рис. 7).

Существование эффекта избирательного переноса принципиально зависит от эквивалентного зазора между контактируемыми поверхностями, то есть от точки равновесия системы «быстрых» движений, задаваемой и(х). Важно отметить, что область притяжения рассматриваемого равновесия ограничена, так как в процессе движения в окрестности траектории формируются потенциальные барьеры, способствующие стабилизации сформировавшейся траектории. Заметим, что эффект формирования потенциальных барьеров является общим для систем, взаимодействующих со средой. Выход же за пределы области притяжения рассматриваемого равновесия, как правило, приводит к разрушению уникальной диссипативной среды, формирование которой связано с длительными эволюционными стадиями. Таким образом, в пространстве состояния управляемой системы, взаимодействующей со средой, и(х) необходимо выбирать таким образом, чтобы движение системы осуществлялось по инвариантному многообразию, определяемому свойствами взаимодействия системы со средой. Можно утверждать, что одной из важнейших проблем машиностроения является проектирование в пространстве состояния машины притягивающих инвариантных многообразий и обеспечение движения координат состояния по этим многообразиям.

В связи с тем, что эти многообразия окружены потенциальными барьерами, то их определение может опираться на требование

то есть должно наблюдаться динамическое развязывание подсистем для уравнений «быстрых» движений, что, кстати, и наблюдается в примере рис. 7.

Рис. 8. Определение оптимального инвариантного многообразия

Применительно к рассмотренным выше АР-моделям приведенное выше утверждение эквивалентно требованию соответствия корней характеристического полинома системы Я и <т системе 5. Заметим, что инвариантные многообразия можно строить и по другим принципам, в том числе учитывающим эволюционные преобразования взаимодействия система - среда. Формирование же потенциальных барьеров, связанное с работой диссипативных сил, структурирует пространство состояния, особенно для «быстрых» движений. Оно приводит к формированию множества притягивающих интегральных многообразий, области притяжения которых ограничены, и этот процесс, являющийся структурной самоорганизацией пространства состояний, необходимо учитывать при синтезе управлений [5].

4. Прогнозирование эволюционных преобразований

Прогнозирование эволюционных преобразований в технических системах характеризует важную предметную область, рассматриваемую при решении проблем надежности и функциональной пригодности. Это прогнозирование износа, накопление микродефектов, приводящих к усталостным разрушениям, отклонения размеров и микрорельефа в системах обработки резанием и др. Всегда эти свойства моделируются в функции времени, но не в пространстве состояния. В лучшем случае, при решении проблем диагностирования, например износа, рассматриваются некоторые координаты состояния, связанные с изменяющимся параметром, как это сделано и в предыдущем параграфе.

Вместе с тем необходимо учитывать, что все эволюционные преобразования в системах связаны с работой сил диссипации и в рассматриваемый момент одному значению параметра (параметров р) может соответствовать множество предысторий изменения функций работы сил диссипации. Можно вводить в рассмотрение и другие агрегированные координаты зависящие от координат пространства состояния. Поэтому при прогнозировании эволюционных преобразований, например параметра Pi, необходимо рассматривать всю агрегированную траекторию за время функционирования системы, то есть эволюционные преобразования параметров рассматривать в виде функциональных операторов типа

где а3 - весовые коэффициенты, подлежащие идентификации; шя - идентифициру-

и тогда в дискретной области для заданного класса систем операторы и;в идентифицируемы методами МНК, если наблюдаемы р{ и Естественно, что ядра операторов (27) при сдвиге по пути должны асимптотически стремиться к нулю, в противном случае, интегралы (26), (27) не существуют. Подчеркнем, что введение интегральных операторов типа (26), (27) не только расширяет пространство состояния системы, но и преобразует Евклидово пространство, в котором существует классическая механика, в функциональное пространство. Что касается агрегированных координат в (26), (27), то они должны иметь смысл сил диссипации, которые с помощью интегральных операторов (26), (27) преобразуются в работу сил диссипации с соответствующими функциями веса в зависимости от сдвига по пути относительного перемещения обобщенных масс, взаимодействующих со средой. В частности, если одна из подсистем является недеформируемой и жестко закрепленной в независимой системе координат, а координата обобщенной

Г (1) (2) (3)1

массы, взаимодействующая со средой, есть хо = <\Хй . х^ , х0 К то агрегированные координаты в системе (9) вводятся по правилу

Естественно, что идентификация ядер операторов (27) возможна лишь на основе натурных исследований. После идентификации возможно использование полученных интегральных операторов при моделировании преобразования инвариантных многообразий в пространстве состояния с учетом возмущенных движений координат состояния системы. Для этого возмущения удобнее всего моделировать в виде случайных импульсных последовательностей с заданными статистиками [10].

Таким образом, при построении законов управления движением механических систем, взаимодействующих со средами, необходимо учитывать следующие важные особенности:

- формирование функций управления движением системы необходимо осуществлять на базе расширения пространства состояния не только на основе раскрытия динамической структуры машины, но и условий взаимодействия ее координат состояния со средой. При этом на основе введения малого параметра при старшей производной строится иерархия систем дифференциальных уравнений, которые являются связанными через нелинейные преобразования. Это пространство является нелинейным, и в нем можно определить инвариантные многообразия, формируемые физическими особенностями взаимодействия система - среда. Именно движение по этим многообразиям, прежде всего, определяют требования к формированию законов управления, синтез которых осуществляется на основе сформулированного в [5] синергетического принципа;

емые ядра интегральных операторов; х\ - координаты, характеризующие перемещение обобщенных масс, вступающих во взаимодействие через среду.

Во многих случаях операторы (26) можно считать стационарными:

- размерность вектора управления в этом случае существенно возрастает на основе смещения точки равновесия динамической подсистемы «быстрых» движений внешним силовым управляемым полем, а также путем введения управляемых «быстрых» движений (вибрационное управление), также смещающих точку равновесия, и через ее смещение путем изменения момента сопротивления «медленных» движений;

- имеют место эволюционные преобразования инвариантных многообразий за счет работы диссипативных сил на траекториях движения, и преобразование траекторий или параметров связаны со всей траекторией движения некоторыми интегральными операторами, преобразующими уравнения движений в эволюционные интегродифференциальные уравнения.

Литература

1. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

2. Пригожин И., Стренгерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.

3. Кужаров А.С.,Марчак Р. и др. Исследование трибологических проявлений самоорганизации в системе латунь - глицерин - сталь. Трение и износ. 1996. Т.17, №1.

4. Заковоротный В.Л., Марчак М. и др. Взаимосвязь эволюции трибосопряжений с параметрами динамической системы трения. Трение и износ. Т. 19. 1998. №6.

5. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

6. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. М.: Наука, 1988. Т.2. С.95-154.

7. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. Математический сборник, 1952. Т.31. Ка3.

8. Заковоротный В.Л., Ладник И.В. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего станка для диагностики процесса обработки // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. №4. С. 49-53.

9. Заковолротный В.Л., Бордачев Е.В. Информационное обеспечение системы динамической диагностики износа режущего инструмента на примере токарной обработки // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1995. №3. С. 118“ 133.

10. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В. Прогнозирование и диагностика качества обрабатываемой детали на токарных станках с ЧПУ // Изв. вузов. Машиностроение. 1996. №1. С. 95-104.

11. Заковоротный В.Л. Нелинейная трибомеханика. Ростов-на-Дону: Издательский центр ДГТУ, 2000. 293 с.

ТРИБОФАТИКА И НАУКА О САМООРГАНИЗАЦИИ И УПРАВЛЕНИИ

О. Т. Вавилов НПО «Трибофатика», г. Гомель

В настоящее время идеи и методы гприбофатпики [1-3], определяемой как наука об износоусталостных повреждениях и разрушениях силовых систем машин и оборудования, начинают играть важную роль при изучении процессов, протекающих в объектах сложной природы, таких, как биологические, химические, социальные,