Сравнительный анализ топологических свойств сетей электроснабжения Италии и Восточной Сибири

Оригинальная статья / Original article УДК 351.86

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-11-170-181

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СЕТЕЙ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ИТАЛИИ И ВОСТОЧНОЙ СИБИРИ

А

© Е.В. Носырева1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ: Приводится сравнительный анализ топологий сетей электроснабжения Италии и Восточной Сибири по нескольким параметрам: средняя степень узлов, средняя длина пути, средний коэффициент кластеризации, плотность графа, распределение степени узлов и коэффициенты корреляции мер центральностей. Для анализа сетей используется аппарат теории комплексных сетей. Выявлено, что данные сети имеют схожие характеристики и структуру. Они не описываются моделью классических случайных графов и не являются безмасштабными. Исследована корреляция мер центральностей для данных сетей. Выявлено, что характер корреляции схож для обеих сетей, это свидетельствует о похожести их топологических структур. Кроме того, это означает, что степень согласованности рангов узлов, полученных с помощью различных мер центральности, будет примерно одинакова. Следовательно, для сети Восточной Сибири можно ожидать аналогичной эффективности метода. Так как электросети Италии и Восточной Сибири имеют схожую топологию, метод выявления критически важных объектов будет эффективен для обеих сетей.

Ключевые слова: критические инфраструктуры, критически важные объекты, энергетика, комплексные сети, топология сетей, меры центральности

Благодарность: Результаты, представленные в статье, получены при финансовой поддержке гранта РФФИ № 16-07-00474.

Информация о статье: Дата поступления 02 июля 2018 г.; дата принятия к печати 30 октября 2018 г.; дата онлайн-размещения 30 ноября 2018 г.

Для цитирования: Носырева Е.В. Сравнительный анализ топологических свойств сетей электроснабжения Италии и Восточной Сибири. Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018;22(11):170—181. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-11-170-181.

COMPARATIVE ANALYSIS OF TOPOLOGICAL PROPERTIES OF ELECTRICAL SUPPLY NETWORKS IN ITALY AND EASTERN SIBERIA

Elena V. Nosyreva

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk 664074, Russian Federation

ABSTRACT: The article provides a comparative analysis of the topologies of the power supply networks in Italy and Eastern Siberia: the average degree of nodes, the average path length, the average clustering coefficient, the density of the graph, the distribution of the degree of nodes and the correlation coefficients of the centrality measures. The theory of complex networks is used to analyze the networks. The analysis has revealed the similarity of these networks characteristics and structure. It is shown that the network data are not described by the model of classical random graphs and are not scale-free. The correlation of centrality measures for these networks has been studied as well. It is revealed that the nature of the correlation is similar for both networks, it indicates the similarity of their logical structures. In addition, this means that the degree of consistency of node ranks obtained by different centrality measures will be approximately the same. Therefore, a similar efficiency of the method can be expected for the Eastern Siberia network. Since the electrical power supply networks in Italy and Eastern Siberia have a similar topology, the method of critical object identification will be effective for both networks.

Носырева Елена Владимировна, аспирант кафедры автоматизированных систем, e-mail: nev-7@list.ru Elena V. Nosyreva, Postgraduate student of the Department of Automated Systems, e-mail: nev-7@list.ru

Acknowledgement: The results presented in the article were obtained with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research grant no. 16-07-00474.

Information about the article: Received July 02, 2018; accepted for publication 30 October, 2018; available online 30 November, 2018.

For citation: Nosyreva E.V. Comparative analysis of topological properties of electrical supply networks in Italy and Eastern Siberia. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018;22(11):pp. 170-181. (In Russ.) DOI: 10.21285/1814-3520-2018-11-170-181.

Введение

Энергетика

ТШЯ Power Engineering

Keywords: critical infrastructures, critical objects, energy sector, measures

complex networks, network topology, centrality

Одним из главных аспектов национальной безопасности является обеспечение безопасности критических инфраструктур. Под критической инфраструктурой понимается часть гражданской инфраструктуры, представляющая собой совокупность физических или виртуальных систем и средств, важных для государства в такой мере, что их выход из строя либо уничтожение может привести к губительным последствиям в области обороны, экономики, здравоохранения и безопасности нации. Основной целью исследования критических инфраструктур является их защита. При этом главная задача состоит в выявлении ключевых объектов (или их совокупности), воздействие на которые может оказать наиболее негативный эффект на отрасль экономики, ключевой ресурс или всю инфраструктуру, а также в оценке последствий подобного воздействия и разработке механизмов снижения таких рисков [1, 2]. Эти ключевые объекты называются критически важными объектами. В [3] под критически важным объектом понимается объект, нарушение или прекращение функционирования которого приводит к потере управления экономикой Российской Федерации, субъекта Российской Федерации или муниципального образования, необратимому негативному изменению или разрушению экономики Российской Федерации, субъекта Российской Федерации или муниципального образования, либо существенному снижению безопасности жизнедеятельности населения, проживающего на этих территориях, на длительный период.

Анализ взаимосвязи секторов крити-

ческой инфраструктуры выявил, что из всех секторов наиболее важным является энергетический сектор [4]. Это не удивительно, так как энергетический сектор играет важную роль в социальной и экономической жизни страны, от него зависят все остальные сектора критической инфраструктуры.

Энергетический сектор представляет собой сложную взаимозависимую систему. Подобные системы удобно представлять в виде сложных (комплексных) сетей. Под сложными (комплексными) сетями понимаются сети с большим числом элементов, обладающие нетривиальными топологическими свойствами. Теория, занимающаяся изучением таких сетей, называется теорией сложных (комплексных) сетей. Подход к анализу сложных систем на основе теории комплексных сетей весьма эффективен во многих научных областях, например, в социологии, биологии, технике и т.д [5-7]. Не является исключением и энергетика. Например, можно рассмотреть систему электроснабжения как комплексную сеть и проанализировать её методами теории сложных сетей с целью выявления критически важных объектов [4]. Эффективность данного подхода обусловлена, прежде всего, тем, что он позволяет абстрагироваться от лишних деталей, упрощая рассмотрение элементов и взаимодействий и сосредотачиваясь на поведении системы в целом. При этом свойства системы зависят от топологии сети, которая моделирует связи между элементами системы, поэтому особое внимание уделяется анализу топологических свойств этой сети.

Для определения важности или влияния узлов в теории сложных сетей вводится характеристика, называемая «центральность». В работе [4] на примере сети электроснабжения Италии было показано, что меры центральности можно эффективно применять для выявления критически важных объектов в энергетике. Однако значения мер центральности узлов зависят от топологии сети. В данном контексте нельзя гарантировать, что для сетей с разными топологическими свойствами подобный подход будет одинаково эффективен. В

связи с этим было решено сравнить магистральные сети электроснабжения Италии и России по нескольким параметрам: средняя степень узлов, средняя длина пути, средний коэффициент кластеризации, плотность графа, распределение степени узлов и коэффициенты корреляции мер центральностей. Так как сеть электроснабжения России намного больше, чем сеть Италии, было решено использовать для сравнения сеть Восточной Сибири, сопоставимую по размерам с сетью Италии.

Сравнение сетей электроснабжения Италии и Восточной Сибири

Для сравнения использовались сети электроснабжения Италии и Восточной Сибири. Данные по сети электроснабжения Италии были взяты из статьи [7], по сети электроснабжения Восточной Сибири из приказа «Об утверждении схемы и программы развития Единой энергетической системы России на 2016 - 2022 годы» [8]. Сеть электроснабжения Восточной Сибири включает линии электропередачи и подстанции напряжением 220кВ и выше, а также электростанции. Информация по уровням напряжений, используемым в сети электроснабжения Италии, отсутствует. Для данных сетей были построены неориентированные невзвешенные графы. Выбор такого вида графов обусловлен недостатком информации по сети электроснабжения Италии. Таким образом, вес каждого ребра в построенных сетях одинаков и равен 1. Однако такое упрощение не мешает сделать выводы об основных топологических свойствах данных сетей. Так как сеть Италии включает всего 67 узлов, а сеть Восточной Сибири 140, для получения более объективной картины случайным образом был выбран фрагмент сети Восточной Сибири, состоящий также из 67 узлов. Процедура выбора фрагмента сети состояла в следующем. За основу была выбрана подсеть, включающая линии электропередач и подстанции с уровнем напряжения 500кВ. Далее к ней добавлялись смежные узлы с более низким уровнем напряжения до тех

пор, пока общее число узлов не достигло 67. Также для сравнения с сетями энергоснабжения был смоделирован классический случайный граф. Цель такого сравнения - определить, возможно ли для моделирования сетей электроснабжения использовать случайные графы. Для генерации случайного графа использовалась модель Эрдёша-Реньи с параметрами

п = 67 и р = 0,04,

где п - число узлов; р - вероятность соединения двух произвольных узлов ребром [9].

В данной модели фиксируется вероятность р, с которой любые две вершины соединяются ребром независимо от всех остальных пар вершин. Значение вероятности р было выбрано таким образом, чтобы число ребер случайного графа было сопоставимо с числом ребер сетей электроснабжения. Для расчета вероятности использовалась формула

р=2т/п(п-1),

где т - число ребер; п - число узлов случайного графа.

Таким образом, проводилось сравнение четырех сетей: сети электроснабжения Италии, фрагмента сети Восточной Сибири (67 узлов), сети Восточной Сибири в целом и случайного графа. В табл. 1 приведены следующие параметры сетей: чис-

ло узлов, число ребер, средняя степень узла, средняя длина пути, средний коэффициент кластеризации и плотность графа.

Степень узла сети - это число связей данного узла, т.е. количество ребер, инцидентных вершине графа, соответствующей узлу сети. Средняя степень - это среднее значение степени по всем узлам сети. Длина пути - это длина кратчайшего маршрута между узлами сети. Средняя длина пути рассматривается как среднее значение длины пути по всем узлам. Коэффициент кластеризации узла - вероятность того, что два ближайших соседа узла сами являются соседями, вычисляется по формуле

2*t с = 21 , г < (1 -1)'

где q - число ближайших соседей узла; t - число связей между ними.

Плотность графа показывает, насколько он близок к полному графу. Для полных графов плотность равна 1. По данным характеристикам можно сделать неко-

торые выводы о типе и свойствах сетей. Например, известно, что классические случайные сети или сети Эрдёша-Реньи имеют низкое значение коэффициента кластеризации и небольшую среднюю длину пути. Сети тесного мира обладают высокой кластеризацией и небольшой средней длиной пути. Сети тесного мира или сети Воттса-Строгатца (WS networks) можно рассматривать как суперпозицию регулярных решеток и классических случайных сетей Эрдеша -Реньи [5].

Анализируя табл. 1, можно сделать вывод, что рассматриваемые сети электроснабжения имеют схожие характеристики. Сети имеют невысокую среднюю длину пути и невысокий средний коэффициент кластеризации, однако эти характеристики выше, чем у случайного графа. Также можно заметить, что для сети Восточной Сибири с ростом числа узлов возрастает средняя длина пути и уменьшается коэффициент кластеризации, а также уменьшается плотность графа.

Таблица 1

Характеристики сетей электроснабжения Италии и Восточной Сибири

Table 1

Characteristics of electrical power supply networks _in Italy and Eastern Siberia_

Характеристика Сеть

Италия Восточная Сибирь

Количество узлов 67 67 140 67

Количество ребер 90 94 197 89

Средняя степень 2,687 2,8 2,814 2,657

Средняя длина пути 6,799 5,3 8,905 4,407

Средний коэффициент кластеризации 0,146 0,223 0,192 0,022

Плотность графа 0,041 0,043 0,02 0,04

Одной из наиболее важных характеристик сети является распределение узлов по числу связей. Поскольку рассматриваемые графы не случайны, под распределением узлов по числу связей понимается частота появления узлов степени q в графе. Во многих случаях знания этой характеристики достаточно для понимания свойств этой сети и процессов, которые в ней происходят [5]. Для анализируемых сетей были построены гистограммы распределения узлов по числу связей (рис. 1). Из рис.1 видно, что внешний вид гистограмм схож для всех сетей, кроме случайного графа. Известно, что распределение степеней случайного графа является Пуассо-новским. Для большей уверенности для сетей электроснабжения была выдвинута гипотеза о том, что распределение степени узлов также имеет распределение Пуассона.

Проверка с помощью критерия хи-квадрат при уровне значимости 0,05 не подтверждает данную гипотезу. Не является распределение узлов по числу связей и степенным. Как известно, степенным законом распределения описываются безмасштабные сети [5, 6]. Таким образом, можно сделать вывод, что исследуемые сети не описываются моделью классического случайного графа и не являются безмасштабными.

Поскольку основной целью исследования является анализ возможности использования мер центральности для выявления критически важных узлов сетей электроснабжения, для анализируемых сетей были рассчитаны следующие меры центральности: степень узла, эксцентриситет, центральность по близости, гармоническая центральность, нагрузка узла, HITS, PageRank и центральность собственного вектора.

Эксцентриситет вершины - это наибольший из кратчайших путей между данной вершиной и любой другой вершиной графа.

Центральность по близости (closeness centrality) показывает, насколько близко узел располагается относительно

других узлов. Чем больше центральность узла, тем ниже его общее расстояние от всех других узлов:

Cclos ( X )=

1

S yr ( x y У

где г(х,у)- расстояние от узла х до узла у [10, 11].

Гармоническая центральность определяется следующим образом:

Cgarm ( X ) S / V

g

Нагрузка узла х, или центральность по посредничеству (betweenness сеп^аШу), определяется как доля кратчайших путей между всеми остальными узлами, которые проходят через узел х:

Cbetw

где ast( .X) - число кратчайших путей из узла s в узел t через узел x; ost - общее число кратчайших путей между всеми парами s и t [10, 11].

В алгоритме HITS рассчитываются две оценки: оценка авторитетности и посредническая оценка:

CHauth ( X ) S CHhub ( У ),

yeMi

CHhub ( X) S CHauth (У ),

y&M2

где Ых (х) - множество узлов, связанных с х; М2 (х) - множество узлов, на которые указывает х. В общем случае СНаиЛ определяет важность узла как источника, а

C

Hhub

- важность узла как посредника в по-

токе сети [10, 11].

st

40

re 30 т

о

т

о

а

т

20 10

80 60 40 20 0

1

3 4 5 Степень узла

-

1 2 3 4 5 6 Степень узла

30

20

10

I  - -

123456

Степень узла

0

1

2

6

a

7

8

b

0

7

8

d

Рис.1. Распределение узлов по числу связей: а - сеть электроснабжения Италии; b - сеть электроснабжения Восточной Сибири; с - фрагмент сети Восточной Сибири (67 узлов); d - случайный граф Fig.1. Degree distribution: а - power supply network in Italy; b - power supply network in Eastern Siberia; с - subnetwork of Eastern Siberia (67 nodes); d - random graph

PageRank - это метод вычисления веса узла сети путем подсчета важности входящих в него дуг, т.е. узел, источники входящих связей которого имеют больший вес, сам получает больший вес. PageRank удовлетворяет следующему уравнению:

cpr ( x )=aZa

+ 1

d +

-a

n

где й +(х) - количество исходящих связей узла х., а^ - элемент матрицы смежности А (а .г. = 1 если вершина } связана с вершиной /, в противном случае а .г. = 0), а - константа, п - число узлов сети. Если у узла х. нет исходящих связей, то й +(х) приравнивают к нулю, чтобы избежать деления на ноль. Для неориентированных графов й+( х ) = й (х) [10, 11].

Пусть А - матрица смежности графа 0(У,Б), т.е. а = 1 если вершина / связана с

вершиной } и а = 0 в противном случае.

Центральность вершины может быть определена следующим образом:

xi = — Taiixi,

i л ¿—i У j '

Ä jeG

где А - константа. Это уравнение можно переписать в матричном виде:

Ax = Äx.

Решение этого уравнения является собственным вектором матрицы А. Главный собственный вектор матрицы А называется центральностью по собственному вектору [10, 11].

Следует заметить, что меры цен-тральностей используются для выявления относительной важности узлов внутри сети и, как правило, не сравниваются по абсолютным показателям. Узлы сети ранжируются в зависимости от значения меры, и сравнению подлежат ранги полученных

узлов.

Для проверки согласованности рангов узлов, полученных с помощью разных мер центральности может быть использован коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла применяется для выявления взаимосвязи между показателями, если их можно ранжировать и рассчитывается по формуле:

т =

ncorc Пdiscor

0,5n (n -1) '

- число конкордантных пар,

discor - число дисконкордантных пар,

где n,

п,

n - общее число пар. Две пары наблюдений (хг,y) и (Xj,yj) являются конкор-

дантными, если имеется согласие между рангами соответствующих элементов этих пар, т.е. x > х^ и y > y ., или x < Xj и y < y . Коэффициент корреляции Кендалла можно трактовать как разность вероятностей совпадения и не совпадения рангов по обоим показателям для наугад выбранной пары объектов. Если для разных сетей уровень согласованности рангов узлов примерно одинаков, то можно считать, что метод ранжирования узлов с помощью мер центральностей одинаково эффективен для каждой из этих сетей. Кроме того, это также может указывать на близость топологических свойств данных сетей.

В табл. 2-5 показаны результаты расчета матрицы корреляций Кендалла для анализируемых сетей. В таблицах приняты следующие обозначения: d - степень вершины, e - эксцентриситет, Cclos - центральность по близости, Charm - гармоническая центральность, C - нагрузка узла, Ся/ге - HITS, - PageRank, Cev - центральность собственного вектора. Для HITS указан один коэффициент, так как значения коэффициентов для CHauth

совпадают. Жирным шрифтом в таблице выделены коэффициенты, большие 0,45,

курсивом - коэффициенты, большие 0,7. Отметим, что априори ожидается высокий уровень корреляции между центральностью по близости и гармонической цен-

тральностью, так как обе эти меры зависят от значения г (х, у).

Таблица 2

Матрица корреляций Кендалла мер центральности для сети электроснабжения Италии

Table 2

Kendall correlation matrix for centrality measures for the electrical supply network of Italy

d e Cclos Charm Cbetw C CHITS C CPR Cev

d 1,000 -0,245 0,379 0,534 0,513 0,329 0,817 0,586

e -0,245 1,000 -0,589 -0,385 -0,397 -0,060 -0,126 -0,213

Cclos 0,379 -0,589 1,000 0,754 0,414 0,477 0,141 0,527

Charm 0,534 -0,385 0,754 1,000 0,444 0,630 0,218 0,725

Cbetw 0,513 -0,397 0,414 0,444 1,000 0,131 0,455 0,265

C CHITS 0,329 -0,060 0,477 0,630 0,131 1,000 0,088 0,650

C CPR 0,817 -0,126 0,141 0,218 0,455 0,088 1,000 0,206

Cev 0,586 -0,213 0,527 0,725 0,265 0,650 0,206 1,000

Таблица 3

Матрица корреляций Кендалла мер центральности для фрагмента сети электроснабжения Восточной Сибири

Table 3

Kendall correlation matrix for centrality measures for the electrical supply subnetwork

of Eastern Siberia

d e Cclos Charm Cbetw C HITS C CPR Cev

d 1,000 -0,305 0,372 0,499 0,560 0,315 0,825 0,498

e -0,305 1,000 -0,657 -0,504 -0,383 -0,290 -0,195 -0,269

Cclos 0,372 -0,657 1,000 0,822 0,365 0,629 0,160 0,597

Charm 0,499 -0,504 0,822 1,000 0,414 0,649 0,242 0,735

Cbetw 0,560 -0,383 0,365 0,414 1,000 0,087 0,535 0,217

C HITS 0,315 -0,290 0,629 0,649 0,087 1,000 0,027 0,785

C CPR 0,825 -0,195 0,160 0,242 0,535 0,027 1,000 0,195

Cev 0,498 -0,269 0,597 0,735 0,217 0,785 0,195 1,000

Таблица 4

Матрица корреляций Кендалла мер центральности для сети электроснабжения

Восточной Сибири

Table 4

Kendall correlation matrix for centrality measures for the electrical supply network _of Eastern Siberia (140 nodes)_

d e Cclos Charm Cbetw C CHITS C CPR Cev

d 1,000 -0,244 0,294 0,457 0,594 0,267 0,845 0,581

e -0,244 1,000 -0,638 -0,575 -0,053 -0,384 -0,029 -0,563

Cclos 0,294 -0,638 1,000 0,813 0,140 0,703 0,107 0,621

Charm 0,457 -0,575 0,813 1,000 0,270 0,657 0,234 0,756

Cbetw 0,594 -0,053 0,140 0,270 1,000 0,115 0,598 0,259

C CHITS 0,267 -0,384 0,703 0,657 0,115 1,000 0,101 0,538

C CPR 0,845 -0,029 0,107 0,234 0,598 0,101 1,000 0,301

Cev 0,581 -0,563 0,621 0,756 0,259 0,538 0,301 1,000

Таблица 5

Матрица корреляций Кендалла мер центральности для случайного графа

Table 5

Kendall correlation matrix for random graph centrality measures

d e Cclos Charm Cbetw C HITS C CPR Cev

d 1,000 -0,336 0,616 0,727 0,857 0,588 0,891 0,664

e -0,336 1,000 -0,588 -0,510 -0,375 -0,533 -0,196 -0,462

Cclos 0,616 -0,588 1,000 0,883 0,603 0,829 0,408 0,832

Charm 0,727 -0,510 0,883 1,000 0,677 0,792 0,506 0,861

Cbetw 0,857 -0,375 0,603 0,677 1,000 0,542 0,753 0,597

C CHITS 0,588 -0,533 0,829 0,792 0,542 1,000 0,383 0,865

C CPR 0,891 -0,196 0,408 0,506 0,753 0,383 1,000 0,453

Cev 0,664 -0,462 0,832 0,861 0,597 0,865 0,453 1,000

Анализ таблиц 2-5 показывает, что характер корреляции мер центральностей схож для всех графов, кроме случайного, и, следовательно, соотношение рангов узлов по данным мерам будет примерно одинаковым для исследуемых сетей электроснабжения. Видно, что для случайного графа коэффициенты корреляции в целом выше, т.е. ранги по разным мерам лучше согласуются между собой. Лучше всего коррелируют между собой следующие меры: степень и РадеРапк, центральность по близости и гармоническая центральность, гармоническая центральность и центральность собственного вектора. Как и ожидалось, коэффициент

корреляции между центральностью по близости и гармонической центральностью высокий, что связано с тем, что обе величины зависят от одного и того же значения г (х, у). Можно предположить, что высокие

значения коэффициента корреляции по другим мерам также связаны с подобной зависимостью и будут проявляться для любых видов графов. В таком случае возможно сокращение числа анализируемы мер путем исключения одной из двух мер, между которыми существует высоких уровень корреляции. Однако это предположение требует дальнейшей проверки.

Заключение

Одним из главных аспектов национальной безопасности является обеспечение безопасности критических инфраструктур. Основной целью исследования критических инфраструктур является их защита. При этом главная задача состоит в выявлении критически важных объектов, воздействие на которые может оказать наиболее негативный эффект на отрасль экономики, ключевой ресурс или всю инфраструктуру, а также в оценке последствий подобного воздействия и разработке механизмов снижения таких рисков [1, 2]. Среди всех секторов критической инфраструктуры наиболее важным является энергетический сектор [4]. Так как энергетический сектор представляет собой сложную взаимозависимую сеть, удобно представлять его в виде комплексной сети.

Для определения важности или влияния узлов в теории сложных сетей используется характеристика, называемая «центральность». Меры центральности можно эффективно применять для выявления наиболее важных объектов критических инфраструктур, в том числе и в энергетике. Однако значения мер центрально-

сти узлов зависят от топологии сети. Поэтому для сетей со схожими топологическими свойствами данный подход будет одинаково эффективен.

В исследовании приведен сравнительный анализ топологических свойств сетей электроснабжения Италии и Восточной Сибири. В результате анализа выявлено, что данные сети имеют схожие характеристики и структуру. Показано, что данные сети не описываются моделью классических случайных графов и не являются безмасштабными. Также исследована корреляция мер центральностей для данных сетей. Выявлено, что характер корреляции схож для обеих сетей, что еще раз свидетельствует о похожести их топологических структур. Кроме того, это означает, что степень согласованности рангов узлов, полученных с помощью различных мер центральности, будет примерно одинакова. Эффективность данного метода для сети электроснабжения Италии была показана в работе [4]. Следовательно, для сети Восточной Сибири можно ожидать аналогичной эффективности метода.

Библиографический список

1. Кондратьев А. Современные тенденции в исследовании критической инфраструктуры в зарубежных странах // Зарубежное военное обозрение. 2012. № 1. С. 19-30

2. Массель Л.В. Конвергенция исследований критических инфраструктур, качества жизни и безопасности [Электронный ресурс] // Информационные технологии и системы тр. VI междунар. науч. конф.

3. Методика отнесения объектов государственной и негосударственной собственности к критически важным объектам для национальной безопасности Российской Федерации. утв. МЧС 17.10.2012 №2-4-87-23-14. М., 2012 г.

4. Носырева Е.В. Применение теории комплексных сетей для выявления критически важных объектов энергетики // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 7.

С. 51-66. doi: https: //doi.org/10.21285/1814-3520-2017-7-51-66

5. Евин И.А. Введение в теорию сложных сетей // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2. № 2. С. 121-141

6. Albert R., Barabasi A.-L. Statistical mechanics of complex networks // Rev. Mod. Phys. 2002, V. 74, № 47,; DOI: arXiv:cond-mat/0106096.

7. Buldyrev, S. Parshani R., Paul G., Stanley H., Havlin Sh. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks. // Nature, Vol. 464|15 April 2010, pp. 1025-1028 D0I:10.1038/nature08932

8. Об утверждении схемы и программы развития Единой энергетической системы России на 20162022 годы: приказ Министерства энергетики Российской Федерации от 1 марта 2016 г. №147. URL: https://minenergo.gov.ru/node/8170 (16.07.2018).

9. Райгородский А.М. Модели случайных графов и их применения. // Труды МФТИ. 2010. Т. 2. № 4. С. 130-140.

10. Щербакова Н.Г. Меры центральности в сетях //

Проблемы информатики. 2015. № 2. С. 18-30.

11. Boldi P., Vigna S. Axioms for Centrality // Internet Mathematics. 2014. V. 10. № 3-4. P. 222-262. DOI: arXiv: 1308.2140v2 [cs.SI].

12. Boccaletti S., Bianconi G., Criado R., C.I. del Genio, Gomez-Gardenes J., Romance M., Sendina-Nadal I., Wang Z., Zanin M. The structure and dynamics of multilayer networks // Phys. Reps. 2014. V. 544. № 1. P. 1-122.

13. De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S., and Arenas A. Centrality in interconnected multilayer networks. arXiv:1306.0519 (2013).

14. De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S. and Arenas A. Navigability of interconnected networks under random failures, PNAS 111 (2014) no. 23, 8351-8356.

15. De Domenico M., Sole-Ribalta A., Cozzo E., Kivela M., Moreno Y., Porter M. A., Gomez S. and Arenas A. Mathematical formulation of multilayer networks, Phys. Rev. X 3 (2013) 041022.

16. Estrada E. and Gomez-Gardenes J. Communicabil-ity reveals a transition to coordinated behavior in multiplex networks, Phys. Rev. E, 89 (2014) 042819.

17. Gomez S., Daz-Guilera A., Gomez-Gardenes J., Perez-Vicente C., Moreno Y., and Arenas A. Diffusion dynamics on multiplex networks. Physical Review Letters 110, 028701 (2013).

18. Halu A., Mondrag_on R. J., Panzarasa P. and Bianconi G. Multiplex PageRank, PLOS ONE, 8 (2013) e78293.

19. Kivela M., Arenas A., Barthelemy M., Gleeson J. P., Moreno Y., Porter M. A. Multilayer Networks. // J. Complex Netw. 2014 2(3): 203-271. DOI: arXiv:1309.7233v4 [physics.soc-ph].

20. Sola L., Romance M., Criado R., Flores J., del Amo A. G., and Boccaletti S. Centrality of nodes in multiplex networks (2013), arXiv:1305.7445.

21. Sola L., Romance M., Criado R., Flores J., Garcia del Amo A. and Boccaletti S. Eigenvector centrality of nodes in multiplex networks. Chaos. 2013 23 033131.

References

1. Kondrat'ev A. Sovremennye tendencii v issledovanii kriticheskoj infrastruktury v zarubezhnyh stranah [Modern trends in studying critical infrastructure in foreign countries]. Zarubezhnoe voennoe obozrenie [Foreign Military Review]. 2012, no. 1. pp. 19-30

2. Massel' L.V. Konvergenciya issledovanij kriticheskih infrastruktur, kachestva zhizni i bezopasnosti [Convergence of critical infrastructure, life quality and safety researches]. Informacionnye tekhnologii i sistemy: tr. Shestoj Mezhdunar. nauch. konf. [Information technologies and systems: Proceedings of the Sixth International Scientific Conference]: Chelyabinsk: Chelyabinsk State University Publ., 2017, pp. 170-175. Available at: http://iit.csu.ru/content/docs/science/ itis2017/itis2017.pdf

3. Metodika otneseniya ob"ektov gosudarstvennoj i ne-gosudarstvennoj sobstvennosti k kriticheski vazhnym ob"ektam dlya nacional'noj bezopasnosti Rossijskoj Federacii [The method of classifying objects of state and non-state property to critical objects for the national security of the Russian Federation]. Moscow, 2012, approved by the Ministry of Emergency Situations 17 October 2012 no. 2-4-87-23-14

4. Evin I.A. Vvedenie v teoriyu slozhnyh setej [Introduction to the theory of complex networks]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovanie [Computer Research and Modeling]. 2010, vol. 2, no.2, pp. 121-141

5. Albert R., Barabasi A.-L. Statistical mechanics of

complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47, 2002; arXiv:cond-mat/0106096.

6. Buldyrev, S. Parshani R., Paul G., Stanley H., Havlin Sh. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks. Nature, Vol. 464|15 April 2010, pp. 1025-1028 DOI:10.1038/nature08932

7. Ob utverzhdenii skhemy i programmy razvitiya Edinoj ehnergeticheskoj sistemy Rossii na 2016 - 2022 gody: prikaz Ministerstva ehnergetiki Rossijskoj Federacii ot 1 marta 2016 g. [On the approval of the scheme and development program for the Unified Energy System of Russia for 2016-2022: the order of the Ministry of Energy of the Russian Federation of March 1, 2016] no.147. Available at: https://minenergo.gov.ru/node/8170.

8. Rajgorodskij A.M. Modeli sluchajnyh grafov i ih primeneniya. [Models of random graphs and their applications]. Trudy MFTI [Proceedings of MIPT]. 2010, vol. 2, no. 4, pp. 130-140.

9. Shcherbakova N.G. Mery central'nosti v setyah [Centrality measures in networks]. Problemy informatiki [Problems of Informatics]. 2015, no. 2, pp. 18-30.

10. Paolo Boldi, Sebastiano Vigna. Axioms for Centrality. Internet Mathematics 10 (3-4), 222-262. arXiv:1308.2140v2 [cs.SI].

11. Boccaletti S., Bianconi G., Criado R., C. I. del Genio, Gomez-Gardenes J., Romance M., Sendina-Nadal I., Wang Z. and Zanin M. The structure and dynamics of multilayer networks, Phys. Reps. 544 (2014) no. 1, 1-122.

12. De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S., and Arenas A. Centrality in interconnected multilayer networks. arXiv:1306.0519 (2013).

13. De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S. and Arenas A. Navigability of interconnected networks un-

der random failures, PNAS 111 (2014) no. 23, 8351-8356.

14. De Domenico M., Sole-Ribalta A., Cozzo E., Kivela M., Moreno Y., Porter M. A., Gomez S. and Arenas A. Mathematical formulation of multilayer networks, Phys. Rev. X 3 (2013) 041022.

15. Estrada E. and Gomez-Gardenes J. Communicabil-ity reveals a transition to coordinated behavior in multiplex networks, Phys. Rev. E, 89 (2014) 042819.

16. Gomez S., Daz-Guilera A., Gomez-Gardenes J., Perez-Vicente C., Moreno Y., and Arenas A. Diffusion dynamics on multiplex networks. Physical Review Letters 110, 028701 (2013).

Критерии авторства

Носырева Е.В. подготовила статью и несет ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

17. Halu A., Mondrag_on R. J., Panzarasa P. and Bian-coni G. Multiplex PageRank, PLOS ONE, 8 (2013) e78293.

18. Kivela M., Arenas A., Barthelemy M., Gleeson J. P., Moreno Y., Porter M. A. Multilayer Networks. // J. Complex Netw. 2(3): 203-271 (2014). arXiv:1309.7233v4 [physics.soc-ph].

19. Sola L., Romance M., Criado R., Flores J., del Amo A. G., and Boccaletti S. Centrality of nodes in multiplex networks (2013), arXiv:1305.7445.

20. Sola L., Romance M., Criado R., Flores J., Garcia del Amo A. and Boccaletti S., Eigenvector centrality of nodes in multiplex networks, Chaos 23 (2013) 033131.

Authorship criteria

Nosyreva E.V. has prepared an article and is responsible for plagiarism.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.