Модель течения около комбинации пластины с интерцептором на основе концепции стационарности вихря

УДК 533.694.27

МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО КОМБИНАЦИИ ПЛАСТИНЫ С ИНТЕРЦЕПТОРОМ НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ СТАЦИОНАРНОСТИ ВИХРЯ

К.В. РЕДЬКИНА, В.А. ФРОЛОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

Предложена математическая модель течения, опирающаяся на потенциальное течение с циркуляцией около комбинации пластины с интерцептором и гипотезу о стационарности вихря. Решение получено для потока несжимаемой идеальной жидкости. Применяется теория функций комплексного переменного, в рамках которой запись комплексного потенциала с использованием преобразования Н.Е. Жуковского определяет решение задачи. В рамках численно-аналитического метода моделирование интерцептора выполнено с помощью набора точечных вихрей, равномерно распределенных по его поверхности, а для моделирования рециркуляционной зоны используется стационарный вихрь, расположение которого ищется методом минимизации функции скорости. В работе определены области кинематических и геометрических характеристик комбинации пластины с интерцептором, для которых существует стационарный вихрь. Для найденных режимов получены зависимости подъемной силы от угла атаки, относительной длины интерцептора и его угла отклонения. Расчеты указывают на снижение подъемной силы пластины при отклонении интерцептора. Результаты исследования могут быть полезны для предельных оценок снижения подъемной силы тонких аэродинамических профилей с интерцептором.

Ключевые слова: интерцептор, пластина, потенциальное течение, стационарный вихрь.

Введение

Аэродинамика плоской пластины со щитком исследовалась в работе [1]. Для тонкого профиля с интерцептором решение задачи обтекания и получение аэродинамических характеристик представлены в работах [2; 3]. Методы, разработанные в [1 - 3], основаны на применении теории функций комплексного переменного (ТФКП) [4; 5], в которой широко используется конформное отображение физической области течения на вспомогательную плоскость комплексного переменного. В работе [6] задача обтекания профиля с интерцептором решена в нестационарной постановке с использованием метода дискретных вихрей.

В настоящей работе основное внимание уделяется поиску решения задачи течения около пластины с интерцептором, когда за интерцептором располагается стационарная отрывная зона. Идея о стационарной отрывной зоне ранее использовалась В.В. Голубевым для исследования обтекания плоской пластины со щитком [1]. В отличие от работы [1] в данной работе применяется численно-аналитический метод [7 - 9].

Постановка задачи

Рассматривается задача течения с циркуляцией около пластины с интерцептором. Геометрическая схема задачи показана на рис. 1.

В рамках численно-аналитического метода [6-8] моделирование интерцептора выполняется с помощью набора точечных вихрей, равномерно распределенных по его длине. Интерцептор разбивается на граничные элементы, в пределах которых помещаются точечные вихри и контрольные точки. Используется численная схема метода дискретных вихрей "У - %". На У длины граничного элемента располагается контрольная точка, а на % - точечный вихрь. Особенностью геометрической схемы является корректность расположения контрольной точки на интерцепторе

вблизи пластины. Это обеспечивает согласованность граничных условий и хорошую обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для обеспечения циркуляционного обтекания пластины в центре окружности во вспомогательной плоскости располагается вихрь.

Рис. 1. Геометрическая схема задачи

Решение задачи обтекания пластины при наличии интерцептора получено для потока несжимаемой идеальной жидкости. Используется ТФКП, в рамках которой запись комплексного потенциала W определяет решение задачи

№(?) = 2

(

- V а V С +

оо ~

2 Л

1 N+2 (С-С )С 2р. . а2

. с-—

где £ = X + 1Л - комплексная переменная во вспомогательной плоскости; X, Л - координаты во вспомогательной плоскости; 1 = V-! - мнимая единица; V, V - комплексная и сопряженная скорость набегающего потока соответственно; а - радиус окружности во вспомогательной плоскости; Г., , С^ - величина циркуляции скорости, комплексная и сопряженная координаты

.-го вихря соответственно; N - общее количество дискретных вихрей, расположенных на ин-терцепторе; N+1 - номер вихря, обеспечивающего выполнение условия Жуковского-Чаплыгина на задней кромке пластины; N+2 - номер вихря, отвечающего за образование стационарной отрывной зоны.

Неизвестные интенсивности вихрей Г. вычисляются выполнением условий непротекания в контрольных точках. В модели используется гипотеза стационарности внешнего вихря, расположенного за интерцептором, интенсивность которого находится из условия конечности скорости на задней кромке интерцептора, а координаты рассчитываются методом оптимизации - минимизации целевой функции скорости по двум проектным параметрам, в качестве которых принимаются координаты стационарного вихря.

Задача сводится к решению СЛАУ, физический смысл которой состоит в удовлетворении условий непротекания в контрольных точках, выполнении условия плавности схода линии тока на конце интерцептора и условия Жуковского-Чаплыгина на задней кромке пластины. На основании комплексного потенциала (1) составляется СЛАУ вида

АГ = Я,

в которой матрица аэродинамического влияния А заполняется на основании коэффициентов при Г. комплексного потенциала (1); Г - вектор-столбец неизвестных интенсивностей; Я - вектор-столбец правых частей, образованный коэффициентами, полученными из первых двух слагаемых комплексного потенциала (1), стоящих в круглых скобках.

В работе использован итерационный метод решения СЛАУ, в основе которого лежит метод триангуляризации, который реализован в стандартной процедуре языка Фортран. После нахождения неизвестных интенсивностей Г. поле скоростей определяется через производную от комплексного потенциала (1).

Для построения линий тока проводится численное интегрирование дифференциального уравнения линий тока методом Эйлера первого порядка. В программе реализовано построение нулевых линий тока, которые проходят через точки торможения, для нахождения которых применен метод Мюллера [10].

В качестве целевой функции в методе оптимизации используется модуль полной скорости течения в действительной плоскости за исключением компонент скорости, индуцируемых самим стационарным вихрем, т.е. исключена самоиндукция. Решается задача минимизации целевой функции с ограничениями [10], в качестве которых используются границы области течения за интерцептором. Вихрь принимается стационарным, если модуль полной скорости течения в действительной плоскости за исключением компонент скорости индуцируемой самим вихрем не превышает 1 % от скорости набегающего внешнего потока.

На рис. 2, 3 представлены линии тока течения при обтекании пластины с интерцептором при наличии стационарной отрывной зоны.

Рис. 2. Линии тока вблизи пластины с интерцептором а = 10°; хи = 0,7; Ьи = 0,1; 8и = 90

Рис. 3. Линии тока вблизи пластины с интерцептором а = 10°; хи = 0,5; Ьи = 0,1; 8и = 45°

На рис. 2 и рис. 3 введены обозначения а - угол атаки; хи = х и /Ь - относительная координата расположения интерцептора вдоль пластины; Ьи = Ь и /Ь - относительная хорда интерцептора.

Подъемная сила пластины с интерцептором

В рамках данной работы было исследовано изменения коэффициента подъемной силы пластины с интерцептором в зависимости от различных геометрических параметров конфигурации. Как известно [1], коэффициент подъемной силы можно вычислить по следующей формуле

2У -

СУа ^ .

Р VI Ь

о

В формуле (3) безразмерная циркуляция определяется формулой

Г г

V¥ b

где величина циркуляции рассчитывается прямым интегрированием по замкнутому контуру вокруг конфигурации

Г = Re[f VdzJ- ГN+2 = f (udx + vdy) - ГN+2,

где V - сопряженная комплексная скорость [1]; z = x + iy - комплексная переменная в физической плоскости; x, y - координаты в физической плоскости; u, v - скорости вдоль осей OX и OY соответственно.

На рис. 4 - 6 представлены зависимости коэффициента подъемной силы от угла атаки для различных углов отклонения интерцептора, относительных хорд интерцептора и координат расположения интерцептора. Расчеты показали: 1) увеличение угла отклонения интерцептора существенно снижает подъемную силу конфигурации особенно на интервале от 0° до 15°;

2) увеличение относительной хорды интерцептора приводит к уменьшению подъемной силы;

3) относительная координата расположения интерцептора не влияет на величину коэффициента подъемной силы.

Рис. 4. Зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки для различных углов отклонения интерцептора

Рис. 5. Зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки для различных относительных хорд интерцептора

—г уа

0 > > 2 Ii а. rj

. 1

-- - V „ 1.0

-=+5- —-а-  х„=0,6 i х„=0,7 1

Рис. 6. Зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки для различных относительных координат установки интерцептора

Оценка точности расчета подъемной силы пластины с интерцептором

Оценка точности расчета подъемной силы пластины с интерцептором выполнена с помощью экстраполяции по Ричардсону и методу наименьших квадратов (МНК) (рис. 7). Формулу экстраполяции по Ричардсону для значений коэффициентов подъемной силы, рассчитанных при использовании N и 2К граничных элементов, можно записать в виде

Суа

где суа(К),суа(2^,суа^) - значения коэффициентов подъемной силы, рассчитанные по формуле

(3), для 2N и N граничных элементов соответственно. В табл. 1 приведены значения коэффициента подъемной силы, рассчитанные для N = 400, и экстраполяционные значения, полученные по методу Ричардсона и МНК, а также значения среднего квадратического отклонения Бх и относительных погрешностей 8я, 8^=400, которые рассчитывались по формулам

=

" с

I

]=1

уа] ~Суа(МНК)] П-1

5,

уа(Я) Сya(МНК)N=

уа(МНК)М=»

100%, 5

уа^=400) Суа(МНК)№

N=400

уа(МНК)М=»

•100%,

где использованы обозначения: Сугу - расчетное значение коэффициента подъемной силы для N граничных элементов; Суа(МНК)], Суа(МНК^=¥ - интерполяционное и аппроксимационное значение коэффициента подъемной силы по МНК для N и N = ¥ соответственно; п - общее количество расчетов для различных значений N.

0,2246

0,2244

0,2242

0,224

0,2238

0,2232

0,223

«=5° Л 0°

и/^г С 1,0

—«—чАУ ----МНК А Ричардсон

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,00 3 0,009 $И

Рис. 7. Зависимость коэффициента подъемной силы пластины с интерцептором от величины, обратной количеству дискретных вихрей

Таблица 1

Точность расчета подъемной силы пластины с интерцептором

2

ОО

ОО

а, град Суа(Ы=400) Суа(Я) Суа(МНКда=~ Вх 5|м=400, % 5к, %

-5 -0,83297 -0,83262 -0,83263 0,0010 0,041 0,001

0 -0,30547 -0,30510 -0,30512 0,0011 0,115 0,007

5 0,22435 0,22473 0,22472 0,0012 0,165 0,004

Из табл. 1 следует: во-первых, что линейная интерполяция расчетных значений по МНК имеет очень высокую точность; во-вторых, что аппроксимация по Ричардсону значительно (на порядки) увеличивает точность расчета; в-третьих, что при выборе количества дискретных вихрей N = 400 относительная погрешность не превышает 0,2 %.

На рис. 8 показаны предельные углы отклонения интерцептора для выполнения условия стационарности вихря. Зона, расположенная ниже кривых, соответствует случаю существования стационарного вихря за интерцептором, когда модуль скорости в центре вихря < 0,1 % от скорости набегающего потока.

О град-

<1% <0,1%

-•—

-ге-

-10-0-8 -4 -2 0 2 4 6 3 О,- ГрЭД

Рис. 8. Предельные углы отклонения интерцептора для выполнения условия стационарности вихря

Заключение

В работе на основе численно-аналитического метода разработана математическая модель циркуляционного течения вокруг пластины с интерцептором при наличии стационарного вихря в рециркуляционной зоне.

Показано, что подъемная сила комбинации пластины с интерцептором уменьшается при увеличении угла отклонения интерцептора и его относительного размера. Относительная координата установки интерцептора, лежащая в диапазоне [0,5; 0,7], не влияет на подъемную силу комбинации.

Определены предельные углы отклонения интерцептора, для которых существует стационарный вихрь за интерцептором.

Результаты исследования могут быть использованы для предельных оценок снижения подъемной силы тонких аэродинамических профилей с интерцептором.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубев В.В. Труды по аэродинамике - М.-Л.: ГИТТЛ, 1957.

2. Woods L.C. Theory of Aerofoil Spoilers // ARC RM, No. 2969, 1956. - P.21.

3. Barnes C.S. A Developed Theory of Spoilers on Aerofoils // ARC CP, No. 887, 1966. - P.78.

4. Лойцянский Л. Механика жидкости и газа: учебник для вузов. - 7-е изд. испр. - М.: Дрофа, 2003.

5. Милн-Томсон Л. Теоретическая гидродинамика / пер. с англ. - М.: Мир, 1964.

6. Богатырев В.В. Метод расчета нестационарного обтекания профиля с интерцептором и его аэродинамические характеристики // Ученые записки ЦАГИ. - 1998. - Т. 29. - № 3 - 4.

7. Фролов В.А. Численно-аналитический метод решения задач потенциального течения около группы двумерных // Вестник Самарского государственного аэрокосмического ун-та. - 2004. - № 1(5). - С. 52 - 60.

8. Фролов В.А. Новый метод построения решения задачи о потенциальном течении около двумерных тел // Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование: материалы III междунар. летн. науч. школы. -Кемерово: ИНТ, 2006. - С. 459 - 467.

9. Редькина К.В. Математическая модель течения около цилиндра с плоскими пластинами при наличии стационарных отрывных зон // Электронный журнал "Труды МАИ". - 2011. - Вып. 45.

10. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека 1МБЬ. - Ч. 2. - М.: Диалог-МИФИ, 2001.

MODEL OF POTENTIONAL FLOW BASED ON THE CONCEPT OF STATIONARY VORTEX AROUND PLATE-SPOILER COMBINATION

Redkina K.V., Frolov V.A.

Mathematical model of the potential circulation flow based on concept of stationary vortex around plate-spoiler are represented. Solution is obtained for the flow of an incompressible ideal fluid. Apply the theory of complex variable, in which entry of the complex potential and Zhukovsky conversion determines the solution of the problem. Within the numerical-analytic method interceptor simulation is performed using a set of point vortices are uniformly distributed over its surface. For the recirculation zone modeling using the stationary vortex, the location of which is sought by minimizing a function of speed. In this paper we define the field of kinematic and geometric characteristics of the plate-spoiler combination, for which there exists the stationary vortex. For the detected modes are obtained depending on the lift angle of attack, relative length of spoiler and its angle of deflection. The results show reduction of lift plate rejecting spoiler. The study may be useful to limit assessments to reduce the lift of thin airfoils with spoilers.

Key words: spoiler, plate, potentional flow, stationary vortex.

Сведения об авторах

Редькина Ксения Владимировна, окончила СГАУ (2010), магистрант кафедры аэрогидродинамики СГАУ, автор 19 научных работ, область научных интересов - аэрогидродинамика и потенциальные течения.

Фролов Владимир Алексеевич, 1951 г.р., окончил КуАИ (СГАУ) (1974), кандидат технических наук, доцент кафедры аэрогидродинамики СГАУ, автор более 80 научных работ, область научных интересов - аэрогидродинамика, аэродинамика летательных аппаратов.