Представление кусочно-аффинных функций в виде разности полиэдральных

2016 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.6 Т. А. Ангелов

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КУСОЧНО-АФФИННЫХ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ПОЛИЭДРАЛЬНЫХ*

Санкт-Петербургский государственный университет, Россия, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Рассматривается задача представления любой аналитически заданной кусочно-аффинной функции в виде суммы выпуклой и вогнутой полиэдральных функций, или, что эквивалентно, как разность выпуклых (d.c.) полиэдральных функций. Предложены два алгоритма, решающие поставленную задачу. Первый алгоритм однозначно восстанавливает любую кусочно-аффинную функцию из своего кодифференциального отображения и значения функции в точке. Второй алгоритм обеспечивает прямое преобразование кусочно-аффинной функции в сумму выпуклой и вогнутой полиэдральных функций. Биб-лиогр. 39 назв. Ил. 4.

Ключевые слова: кусочно-аффинные функции, представление, d.c. функции, кодиф-ференциал.

T. A. Angelov

REPRESENTATION OF PIECEWISE AFFINE FUNCTIONS AS A DIFFERENCE OF POLYHEDRAL

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russia

The problem of representation of any analytic expression of a piecewise affine function as a sum of a convex and a concave polyhedral function, or an equivalent difference of two convex (d.c.) polyhedral functions, is observed. Two algorithms, solving this problem, are proposed. The first algorithm reconstructs a piecewise affine function using its codifferential mapping and the function's value at a point. The second algorithm provides direct conversion of a piecewise affine function into a sum of a convex and a concave polyhedral functions. Refs 39. Figs 4. Keywords: piecewise affine function, representation, d.c. functions, codifferential.

Введение. С помощью теории негладкого анализа и методов недифференцируе-мой оптимизации удается конструктивно решать многие теоретические и прикладные задачи, в частности задачи интервального анализа [1, 2], решение интегральных уравнений [3, 4] вычислительной геометрии [5], теории управления [6], управления с про-

Ангелов Тодор Ангелов — ассистент; angelov.t@gmail.com Angelov Todor Angelov — assistant lecturer; angelov.t@gmail.com

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 14-01-31521_мол_а) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР, проект № 9.38.205.2014).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

гнозирующими моделями [7, 8], вариационного исчисления [9-12]. На сегодняшний день наиболее широко изученными являются негладкие выпуклые функции [13-16] и их разность [17]. Для класса разности выпуклых полиэдральных функций известны конструктивные необходимые и достаточные условия глобального минимума [18-21]. На базе этих условий могут быть построены численные методы оптимизации.

Настоящая работа посвящена вопросу о представлении кусочно-аффинных функций (КАФ) в виде разности полиэдральных. По данной тематике имеется немного работ. В середине XX в. А. Д. Александровым было доказано, что все непрерывные кусочно-аффинные функции двух переменных принадлежат классу разности выпуклых функций (^е. функции) [22, 23]. Позже В. А. Залгаллером [24] был предложен алгоритм представления некоторого множества функций двух переменных, включающий в себя и класс непрерывных КАФ как ^е. функций. Д. Мелцер [25] разработал алгоритм представления КАФ разностью выпуклых кусочно-аффинных функций. Указанные алгоритмы (Залгаллера и Мелцера) применимы для функций, записанных в виде конечного набора аффинных функций, заданных на конечном семействе выпуклых многогранных множеств.

Далее будем рассматривать непрерывные КАФ, определенные на всем пространстве в форме суперпозиции аффинных функций, взятия дискретных минимума и максимума. Основные свойства КАФ детально проанализированы в работах [25-31].

С помощью набора простых отношений (см. [32]) можно разработать еще один способ получения представления КАФ в виде ^е. функций или минимума выпуклых полиэдральных функций [30, 31]. Заметим, что такой подход может приводить к неконструктивным результатам. Однако эту трудность можно преодолеть, используя кодифференциальное исчисление [33].

Работа имеет следующую структуру. В п. 1 приведено утверждение об уменьшении набора аффинных функций, образующего полиэдральную функцию. В п. 2 при помощи кодифференциала дается новое доказательство представимости КАФ как разности выпуклых полиэдральных функций. Следствием этого предложения является первый алгоритм представления. В п. 3 на базе некоторых свойств КАФ предлагается второй алгоритм. Заметим, что реализация представленного метода не требует специальных знаний негладкого анализа, что детально иллюстрируется на примерах. Предложенные алгоритмы применимы для функций многих переменных.

1. Кусочно-аффинные функции и дискретный максимум. Введем некоторые вспомогательные определения. Под {, ) будем понимать скалярное произведение двух векторов. Пусть I, . — конечные индексные множества.

Определение 1 [13]. Функция

/

гЕ1

называется выпуклой полиэдральной функцией.

Аналогичным образом задается вогнутая полиэдральная функция.

Определение 2. Функция

/ (х) = шт{Ьо + ,х)}, , х € К", € М,

ЗЕЗ

называется вогнутой полиэдральной функцией.

По умолчанию под полиэдральной понимается выпуклая полиэдральная функция (1).

Определение 3. Пространством кусочно-аффинных функций (обозначим его Е) называется линейное пространство, содержащее аффинные функции и замкнутое относительно операции взятия конечного максимума. Таким образом, пространство Е содержит функции вида

/ = V а тах /,

геТ

где аг € М и все / принадлежат Е.

Теорема 1 [29, 31]. Кусочно-аффинная функция допускает представление

/

ге1 jеJ

или, что равносильно,

/(х) = тах{аг + (уг, х)} — max{—Ъj + (—ч., х)}. ге1 jеJ

Напомним определения выпуклой оболочки и крайних точек выпуклого множества (см. [34]).

Определение 4. Выпуклой оболочкой еопу М множества М называется наименьшее выпуклое множество, содержащее М.

Определение 5. Точка р выпуклого множества Б С М" называется крайней, если не существует пары точек а,Ъ € Б таких, что р лежит в интервале (а, Ъ).

Множество Е крайних точек Б представляет собой наименьшее подмножество Б, обладающее тем свойством, что еопу Е = еопу Б. Зададим множество векторов

М=

геТ

где аг € М, уг € М". Пусть Е является множеством крайних точек множества еопу М:

Е = и( у) •

геТо х 7

в котором 10 С I. Справедливо следующее утверждение. Лемма 1 [35]. Для функций

фм (х) = тах {аг + (уг,х)},

ге1

Фе(х) = тах{аг + V, х)} ге1о

справедливо равенство

фм (х) = фе (х).

Доказательство. По теореме Крейна-Мильмана [36, с. 32] любой вектор (а,уТ)т из выпуклого множества еопу М представим в виде следующей выпуклой комбинации крайних точек еопу М:

и) = Е аЛ у0, 12 а = 1, а > и 3 € 1о.

1) = 12 аА а ¡, а = ^ а * u, з € 10.

jеIо 4 . 1 .е1о Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика,. Информатика... 2016. Вып. 1

При i G I \ I0 получаем

ai + (vi,x) = aj(aj + (Vj,x)) ajфe(x) = фe(x),

j£lo j€To

откуда следует неравенство

max {ai +

iei\io ieio

На основании (3) заключаем, что

фМ (x) =max{ max {ai + (vi ,x)}, max{ai + (v.i^x)}} = iei\io i€io

= max {ai + (vi ,x)} = фЕ (x). ieio

Лемма доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

ma4 ai +

iEl (a,vT )T econv M

Аналогичные утверждения справедливы и для дискретного минимума. 2. Первый алгоритм представления. Ниже представлен алгоритм перевода произвольной кусочно-аффинной функции к стандартному виду (2). Для этого сперва напомним определение кодифференциала (см. [33]).

Определение 6. Пусть X С М" — открытое множество и x G X. Будем считать, что функция f, заданная и конечная на X, кодифференцируема в точке х, если существуют такие выпуклые компакты df(x) С Rn+1 и df(x) С Мп+1; что

f

где

Ф*(А) = , та* > + <*>, А>1 + min_ {Ъ + (w, Д»,

Ml—уд g м™.

B (6) a, b G М, v, w G М". Если (2) имеет место равномерно по Д из единичного шара, то будем говорить, что функция f кодифференцируема в точке х равномерно по направлениям. Пара Df(x) = [df(x),df(x)] называется кодифференциалом f в точке x, df(x) — гиподифференциалом, a df(x) — гипердифференциалом.

Покажем, что функция вида (2) кодифференцируема и найдем ее кодифферен-циал.

Теорема 2. Любая кусочно-аффинная функция является кодифференцируемой. При этом разложение функции f (x) имеет вид

f(x + A) = f(x)+ max {а+(г;,Д}}+ min_ {b+{w, Д}}.

Доказательство. Воспользуемся представлением (2) функции f G F:

f (x)= fl(x)+f2(x),

где

fi(x)=max ^ (x), pi(x) = ai + (vi,x),

iei

f2 (x) = min (x), (x) = bj + (wj, x). jeJ

Имеем

f (x + Д) - f (x) = max{^(x + Д) - fi(x)} + min{^(x + Д) - f2(x)} = iei jeJ

= max{^(x) - fi(x) + (v», Д)} + min{^j(x) - f2(x) + (wj, Д)}. iei jeJ

В силу (4) получаем разложение в виде (5):

f(x + A) = f(x)+ тах {а+(г;,Д}}+ min_ {b+{w, Д}}.

Здесь

№)=oonv|u ( )}, d/(x)=oonv|u (

Теорема доказана.

Следствие 2. Любая кусочно-аффинная функция однозначно восстанавливается в виде суммы выпуклой и вогнутой полиэдральных функций, если известны значение функции хотя бы в одной точке x G Rn и соответствующий кодифферен-циал Df (x).

Доказательство. Пусть задана функция f G F не обязательно представления (2). Не умаляя общности, выберем x = 0n. Для расчета кодифференциа-ла функции в точке можно воспользоваться работами [33, 37, 38]. Вычислим f (0n) и Df (0п) = ¡df(On), df (0п)], где

df

ai, bj G R, Vi, Wj G Rn, i G I, j G J. В силу теоремы 2 справедливо представление

/(Д) = /(0„)+ тах. {а+(«,Д>}+ min_ {b+(w,A)}.

Теперь восстановим конечные наборы аффинных функций под максимумом и минимумом (см. (4)):

f (Д) = f (0n) + max{ai + (v», Д)} + min{bj + (wj, Д)} = iei jeJ

= max{f

ie i je J

Следствие доказано.

Опишем основные шаги алгоритма представления кусочно-аффинной функции (см. (7)).

Алгоритм 1. Пусть задана кусочно-аффинная функция ]. 1. Используя кодифференциальное исчисление (см. [33, 37, 38]), вычислим /(0„) и£>/(0„) = Ш(0п)Ж0п)], где

df(0„) = conv I J

Ue/

df (0„) = conv \ J

jeJ

bj

ai, bj e R, vi, wj e Rn, i e I, j e J. 2. Запишем f

f (x) = max{f (0„) + ai + {vi, x)} + min{bj + {wj,x)}

iei

jeJ

Приведем пример работы алгоритма.

Пример 1. Рассмотрим функцию f : R ^ R

f (x) = max {min{0, —x — 1}, 1 + min{x, -x}, x — 3} .

1 J 1 X

-1 0 1 \ 1 / Ч 2 / X

-1 -

Рис. 1. График функции

Имеем /(0) = 1. Рассчитаем кодифференциал Df(0) = [df(0),df(0)] функции f(x) в точке x = 0. Здесь

d/(0) = convi J

Ue1:8

= conv

-4

•(Г

b

-05 • 1

—1 0

—12 • —;

df <0— |U (j )[ =con^(0) .( -0 .( D •( —1)}

,je1:4

Запишем функцию (9) как (8):

f (x) = max{f (0„) + ai + {vi,x)} + min {bj + {wj ,x)}.

ie1:8

je1:4

w

j

В силу (10)—(12) получим

/(х) = шах{—3 + 3х, —4 + 2х, —3 + х, —4,1 + х, 0, — 1 + х, —1 — х} + + шш{2х, —1+х, 0, —1 — х}.

3. Второй алгоритм представления. Рассмотрим еще один метод представления кусочно-аффинных функций в виде (2), который не использует вычисление кодифференциала.

Сперва рассмотрим схематично разложение функции (9) из примера 1 как дерево (рис. 2). Построить его можно, например, применяя обратную польскую запись [39]. Полученное выражение может представлять собой возможные суперпозиции функций взятия поточечного максимума и минимума, аффинных функций от любого количества переменных, а также арифметических операций сложение, вычитание, умножение. Приведем три очевидных предложения, которые обеспечат исчисление суперпозиций элементов дерева.

тах

Рис. 2. Дерево функции (9) Предложение 1. Пусть

fi(x) = maxjai^ + (vii,x)} + min [bi,j + (wij ,x)},

iE i:r jE 1:s

f2(x) = max[a2,i + (v2a ,x)} + min [b2j + (w2j ,x)}.

iEl:t jE 1:u

Тогда для функции

справедливо представление

f

f(x) = max{oj + (i>i,x)} + min{6j + (wj,x)},

г £ 1: r j G 1: s

где r = rt, s = su,

a(k-i)t+e v(k-i)t+e

ai,k + a2,e vi,k + V2,e

к = 1 : r, £ = 1 : t,

к = 1 : s, £ = 1 : u.

bj j ( b(k-i)u+e j f bi,k + b2,£ Wj ) V W(k-i)u+£ J V Wi,k + w2,.

Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика,. Информатика... 2016. Вып. 1

Предложение 2. Для функции f (x) = Xf1(x), в которой fi(x) имеет вид (13), справедливо представление

f(x) = max{aj + (vi, ж}} + min{bj + (Wj,x}},

iEl:r

jEl:s

где для Л Js 0, г = r, s = s

Xai,i Xvii

а для А ^ 0, г = s, s = г

ХЪц Xwi,

i = 1 : r,

i = 1 : s,

bj

wj Wj,

Предложение 3 [33, с. 116]. Пусть заданы fi(x) = Xi(x) + Фг(x), i G 1 : k. Тогда

\bi}j Xwij

j = 1 : s,

Xvi,j ) ,J = 1 : Г

f1,...,fk : R" ^ R, причем

max fi(x) = max < Xj(x) - V" ф^) > + V" Фi(x),

iG 1: k jG 1:k I ^—' I ^—'

1 ie 1 :k ,i=j I i= 1

min fi(x) = V Xi(x) + min < ф^ (x) - V Xi(x)>.

iGl:k ' je 1: k I ' * I

jei:k

iGl:k , i=j

Доказательство предложения 3 в книге В. Ф. Демьянова и А. М. Рубинова [33] является довольно громоздким. Более изящный вариант приведен в докладе В. Н. Ма-лозёмова [35].

Опишем основные шаги второго алгоритма представления кусочно-аффинной функции (2).

Алгоритм 2. Пусть заданы функция f G F и вектор x = (xi, Х2,, xn)T.

В рамках алгоритма используется следующая запись элементов вектора x G К" в виде (2):

xi = max{0 + {ei, x)} + min{0 + {0",x)},

где ei = (0,0,..., 0 ,1, 0 ,, 0)T, i = 1 : n. Аналогичным образом для скаляра

1 2 i— 1 i i+1 n

c G К+ имеем

c = max{c + {0n, x)} + min{0 + {0n, x)}.

1. Разложим функцию f (x) как дерево так, чтобы на вершинах дерева находились только переменные x:i, i G 1 : n, и положительные скаляры.

2. Произведем движение по дереву снизу вверх до достижения его вершины. Используя предложения 1-3, запишем каждую суперпозицию элементов дерева суммой минимума и максимума от аффинных функций, т. е.

max{a.j + {vi,x)} + min {bj + {wj ,x)}.

iG 1:r j^1:s

Приведем два примера, иллюстрирующих работу алгоритма 2. Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика,. Информатика... 2016. Вып. 1 11

W

j

Пример 2. Воспользуемся функцией f : R ^ R из примера 1:

f

Представим разложение функции (22) как дерево (рис. 2). Рассмотрим элементы дерева снизу вверх. Каждую функцию, представляющую суперпозицию элементов, запишем в форме (21). Подробно распишем алгоритм для левой ветви дерева

y>

Обратная польская запись для функции (22) выглядит так:

0, x, — , 1, —, +, min, 1, x, x, —, min, +, x, 3, —, +, max.

Движение по дереву (рис. 2) снизу вверх эквивалентно рассмотрению (24) слева направо. Тогда для (23) имеем

0, x, —, 1, — , +, min . Для функции ^i(x) := 0 положим

у>1 (x) = max{0 + 0 • x} + min{0 + 0 • x}. Используя (19), функцию ^2(x) := x представим следующим образом (см. (21)): ^>2 (x) = max{0 +1 • x} + min{0 + 0 • x}.

Для функции ^3(x) := —x воспользуемся предложением 2, где Л = —1 и fi(x) = tp2(x). Получим

^>3(x) = max{0 + 0 • x} + min{0 +( —1) • x}. Используя (20), функцию ^(x) := 1 представим как (21):

^>4 (x) = max{1 + 0 • x} + min{0 + 0 • x}.

Для функции (x) := —1 воспользуемся предложением 2, где Л = —1 и fi(x) = ^4(x). Находим

^5(x) = max{0 + 0 • x} + min{ —1 + 0 • x}. Далее для суммы (x) := ^3(x) + y>5(x) на основании предложения 1 имеем ^e(x) = max{0 + 0 • x} + min{ —1 + (—1) • x}.

Чтобы закончить преобразование функции y>(x) = min{^i(x),^6(x)}, обратимся к формуле (18) предложения 3. Положим f1(x) := ^i(x), f2(x) := ^6(x), где

^i(x) = Xi(x)+^i(x), ^6(x) = X2(x)+^2(x),

Xi(x) = max{0 + 0 • x}, X2(x) = min{0 + 0 • x},

Ф1^) = max{0 + 0 • x}, ^2(x) = min{ —1 + ( —1) • x}.

Тогда

min{0, —x — 1}= max{0 + 0 • x} + max{0 + 0 • x} + + min {min{0 + 0 • x} — max{0 + 0 • x}, min{ —1 + ( — 1) • x} — max{0 + 0 • x}} = = max{0 + 0 • x} + min {min{0 + 0 • x}, min{ —1 + ( — 1) • x}} = = max{0 + 0 • x} + min{0 + 0 • x, — 1 + ( — 1) • x}.

Подобным образом продолжим движение вверх по дереву до получения конечного результата:

f (x) = max {min{0, —x — 1}, 1 + min{x, —x}, x — 3} = = max{2 — 2x, 2, 3 — x, 4, —1 — x, — 1+ x, 0, 2x} + + min{—2 + 2x, —2, —3 + x, —3 — x}.

Замечание 1. В предложении 1 векторы

формируются, используя сумму по Минковскому, т. е. каждый элемент одного множества складывается со всеми элементами другого множества. Получаются множества точек, которые являются избыточными для представления функции в виде (21), что отрицательно будет сказываться при дальнейших численных манипуляциях с преобразованной функцией (14).

Опишем метод удаления избыточных точек на примере дискретного максимума в функции (14). Пусть

и= у

гЕЪг 4 7

Не умаляя общности, предположим, что крайние точки выпуклой оболочки conv M имеют индексы г = 1 : г, г ^ г. Тогда из леммы 1 следует равенство

max{aj + (Vi,x}} = max{aj + (vi,x)}.

iEl:r iEl:f

Таким образом, векторы (ai,vf)T, i = f + 1 :r, являются избыточными.

Для иллюстрации описанного в замечании 1 эффекта рассмотрим выпуклую полиэдральную функцию

X{x) = max{2 - 2x, 2, 3 - ж, 4, -1 - ж, -1 + ж, 0, 2x}.

Функция (25) эквивалентна функции взятия поточечного максимума от меньшего количества элементов

x(x) = max{2 — 2x, 4, —1 — x, — 1+ x, 2x}.

Заметим, что векторы коэффициентов подчеркнутых функций из (25), которые на рис. 3 обведены кружками, являются неинформативными при построении выпуклой оболочки.

Замечание 2. Для оптимизации вычислений в ходе работы алгоритма 2 целесообразно при возможности второе слагаемое в (21) приводить к нулю.

Чтобы осуществить оптимизацию записи (21), воспользуемся следующим предложением.

Предложение 4. Если в выражении (21) s равно 1, то max{a.j + {vi ,x)} + min {bj + {wj ,x)} =

iEi:r jEi: 1

= max{ai + bi + {vi + wi,x)} + min{0 + {0n, x)}.

iE 1:r

Рис. 3. Выпуклая оболочка коэффициентов

Пример 3. Рассмотрим функцию / : М2 ^ М:

](х) = шах | шах{х1 — Х2, —х\ + Х2},

шт { шах{—Х1 — Х2 +3, Х1 + Х2 — 3}, шах{— Х1 — Х2 +7, Х1 + Х2 — 6}}

Подробно распишем шаги алгоритма 2 для функции

у>(х) := шах{Х1 — Х2, —Х1 + Х2}.

тах

х2

Рис. 4. Дерево функции (27) Используя (19), функции ^ч(х) := Х1 и ^2(х) := Х2 представим как (21): ^(х) = шах{0+ ((1,0)т ,х)} + шт{0 + ((0,0)Т ,х)},

у>2(х) = шах{0+ ((0,1)Т ,х)} + шт{0+ ((0,0)Т ,х)}.

Для функции у>з(х) := —Х2 воспользуемся предложением 2, где Л = —1 и Д(х) = ^2 (х). Получим

у>3(х) = шах{0 + ((0, 0)Т, х)} + шт{0 + ((0, —1)Т, х)}. 14 Вестник СПбГУ. Сер. 10. Прикладная математика,. Информатика... 2016. Вып. 1

Далее для суммы ^(х) := у>з(х) + ^ч(х) воспользуемся предложением 1. Имеем

у>4(х) = шах{0 + ((1 , 0)т , х)} + шт{0 + ((0 , — 1)т , х)}.

Запишем функцию ^ч(х) таким образом, чтобы под функцией взятия минимума остался тождественный нуль (см. (26)), т. е.

у>4(х) = шах{0 + ((1, — 1)т, х)} + шт{0 + ((0,0)Т, х)}.

Аналогичным образом записываем функцию ^б(х) := Х2 — Х1 в виде

¥>5(х) =шах{0+ (( —1,1)Т ,х)} + шт{0 + ((0,0)Т ,х)}.

Чтобы закончить преобразование функции у>(х) = шах{^4(х),^б(х)}, обратимся к формуле (17) предложения 3. Положим /1(х) = ^4(х) и /2(х) = (х), здесь

<^4

Xi

= X2(x)+^2(x), = max{0 + ((-1,1)T ,x)}, = min{0+((0, 0)T,x)}.

Тогда

max{xi — x2, —xi + x2 } = = max { max{0+ ((1, — 1)T ,x)} — min{0+ ((0,0)T ,x)}, max{0 + (( — 1,1)T, x)}— min{0 + ((0,0)T, x)}} + + min{0 + ((0,0)T, x)} + min{0 + ((0, 0)T, x)} = = max{0 + ((1, —1)T, x), 0+ ((—1,1)T, x)} + min{0 + ((0,0)T, x)}.

Аналогично поступая для остальных частей функции f, получаем нужное нам представление

f (x) = max {ai + (vi,x)} + min {bj + (wj ,x)},

(ai,vj )T eMi

(bj ,wT )T eM2

где

Mi

0

Ж: 1 • i) ! —?) • —

M2

-10\ f-5\ /-13\ / 0

0

13 \ /0>

Отметим, что все точки из М1 и М2 являются крайними для своих выпуклых оболочек.

0

Литература

1. Shary S. P. Solvability of Interval Linear Equations and Data Analysis under Uncertainty // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73, N 2. P. 310-322.

2. Shary S. P. New characterizations for the solution set to interval linear systems of equations // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 265. P. 570-573.

3. Vasin V. V., Korotkii M. A. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functional // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2007. Vol. 15, N 8. P. 853-865.

4. Величко А. С. Двойственный алгоритм для задач регуляризации с недифференцируемыми стабилизаторами // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, № 2. С. 14-19.

5. Tamasyan G. Sh., Chumakov A. A. Finding the distance between the ellipsoids //J. Appl. Ind. Math. 2014. Vol. 8, N 3. P. 400-410.

6. Demyanov V. F., Giannessi F., Karelin V. V. Optimal Control Problems via Exact Penalty Functions //J. Global Optim. 1998. Vol. 12, N 3. P. 215-223.

7. Филимонов Н. Б. Методы полиэдрального программирования в дискретных задачах управления и наблюдения // Методы классической и современной теории автоматического управления: в 5 т. / под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: Изд-во Моск. гос. техн. ун-та им. Н. Э. Баумана. 2004. Т. 5, гл. 7. C. 647-720.

8. Demenkov M. N., Filimonov N. B. Variable Horizon Robust Predictive Control via Adjustable Controllability Sets // European J. Control. 2001. Vol. 7, issue 6. P. 596-604.

9. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 c.

10. Демьянов В. Ф., Тамасян Г. Ш. О прямых методах решения вариационных задач // Труды Ин-та математики и механики Урал. отд. РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 36-47.

11. Тамасян Г. Ш. О методах наискорейшего и гиподифференциального спуска в одной задаче вариационного исчисления // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2012. Т. 13. C. 197-217.

12. Долгополик М. В., Тамасян Г. Ш. Об эквивалентности методов наискорейшего и гиподиф-ференциального спусков в некоторых задачах условной оптимизации // Изв. Саратовск. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4. С. 532-542.

13. Rockafellar R. Convex analysis. Prinston: Prinston University Press, 1970. 472 p.

14. Clarke F. H. Generalized gradients and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 205. P. 247-262.

15. Clarke F. H. Optimization and nonsmooth analysis. New York: Wiley, 1983. 308 p.

16. Shor N. Z. Minimization Methods for Non-differentiable Functions. Berlin: Springer, 1985. 162 p.

17. Tuy H. D.c. optimization: theory, methods and algorithms // Handbook of Global Optimization / eds R. Horst, P. M. Pardalos. Dordrecht: Kluwer, 1995. P. 149-216.

18. Hiriart-Urruty J. B. From convex minimization to nonconvex minimization: necessary and sufficient conditions for global optimality // Nonsmooth optimization and related topics / eds F. N. Clarke, V. F. Demyanov, F. Gianessi. New York: Plenum, 1989. P. 219-240.

19. Стрекаловский А. С. Элементы невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003. 356 с.

20. Strekalovsky A. S. Global optimality conditions for nonconvex optimization // J. Global Optim. 1998. Vol. 12, issue 4. P. 415-434.

21. Polyakova L. N. On global unconstrained minimization of the difference of polyhedral functions // J. Global Optim. 2011. Vol. 50. P. 179-195.

22. Александров А. Д. О поверхностях, представимых в виде разности выпуклых функций // Изв. АН Каз. ССР. Сер. Физика и математика. 1949. № 3. С. 3-20.

23. Александров А. Д. Поверхности, представимые в виде разности выпуклых функций // Докл. АН СССР. 1950. Т. 72, № 4. С. 513-616.

24. Залгаллер В. А. О представимости функций двух переменных в виде разности выпуклых функций // Вестн. Ленингр. ун-та. 1963. № 1. С. 44-45.

25. Melzer D. On the Expressibility of Piecewise-Linear Continuous Functions as the Difference of two Piecewise-Linear Convex Functions // Math. Programming Study. 1986. Vol. 29. P. 118-134.

26. Плотников С. В. Методы проектирования в задачах нелинейного программирования: дис. на соискание учен. степени канд. физ.-мат. наук. Свердловск: Урал. гос. ун-т, 1983. 126 с.

27. Волокитин Е. П. О представлении непрерывных кусочно-линейных функций // Управляемые системы. Новосибирск: Наука, 1979. № 19. С. 14-21.

28. Kripfganz A., Schulze R. Piecewise affine functions as a difference of two convex functions // Optimization. 1987. Vol. 18. P. 23-29.

29. Gorokhovik V. V., Zorko I. O. Piecewise affine functions and polyhedral sets // Optimization. 1994. Vol. 31. P. 209-221.

30. Bartels S., Knutz L., Scholtes S. Continous Selection of Linear Functions and Nonsmooth Critical Point Theory // Nonlinear Analysis, Theory, Meth. Appl. 1995. Vol. 24. P. 385-407.

31. Epe-мин И. И. Некоторые вопросы кусочно-линейного программирования // Изв. вузов. Математика. 1997. № 12. С. 49-61.

32. Gratzer G. Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices. San Francisco: Freeman, 1971. 212 p.

33. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциального исчисления. М.: Наука, 1990. 432 с.

34. Preparata F. P., Shamos M. I. Computational Geometry: An Introduction. New York: Springer, 1985. 398 p.

35. Малозёмов В. Н. Некоторые свойства дискретного максимума // Семинар «CNSA&NDO»: избр. докл. 14 мая 2015 г. [Электрон. ресурс]. URL: http://www.apmath.spbu.ru/cnsa/reps15.shtml# 0514a (дата обращения: 23.06.2015).

36. Лейхтвейс К. Выпуклые множества / пер. с нем. В. А. Залгаллера, Т. В. Хачатуровой; под ред. В. А. Залгаллера. М.: Наука, 1985. 336 с.

37. Андрамонов М. Ю., Тамасян Г. Ш. Реализация аналитического кодифференцирования в пакете MATLAB // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8, вып. 1. C. 1—5.

38. Ангелов Т. А. О вычислении кодифференциалов // Вычислительные методы и программирование. 2013. Т. 14, вып. 1. C. 113-122.

39. Pogorzelski H. A. Reviewed work(s): Remarks on Nicod's Axiom and on "Generalizing Deduction" by Jan Lukasiewicz; Jerzy Slupecki; Panstwowe Wydawnictwo Naukowe // The Journal of Symbolic Logic. 1965. Vol. 30, N 3. P. 376-377.

References

1. Shary S. P. Solvability of Interval Linear Equations and Data Analysis under Uncertainty. Automation and Remote Control, 2012, vol. 73, no. 2, pp. 310-322.

2. Shary S. P. New characterizations for the solution set to interval linear systems of equations. Applied Mathematics and Computation, 2015, vol. 265, pp. 570-573.

3. Vasin V. V., Korotkii M. A. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functionals. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2007, vol. 15, no. 8, pp. 853-865.

4. Velichko A. S. Dvojstvennyj algoritm dlja zadach reguljarizascii s nedifferensciruemymi stabilizatorami [Dual algorithm for regularization problems with nondifferentiable stabilizing functionals]. Vychislitel'nye tekhnologii [Computational Technologies], 2014, vol. 19, no. 2, pp. 14-19.

5. Tamasyan G. Sh., Chumakov A. A. Finding the distance between the ellipsoids. J. Appl. Ind. Math., 2014, vol. 8, no. 3, pp. 400-410.

6. Demyanov V. F., Giannessi F., Karelin V. V. Optimal Control Problems via Exact Penalty Functions. J. Global Optim., 1998, vol. 12, no. 3, pp. 215-223.

7. Filimonov N. B. Metody poliedral'nogo programmirovanija v diskretnyh zadachah upravlenija i nabljudenija [Polyhedral programming methods in discrete problems of control and observation]. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtornaMcheskogo upravlenija: v 5 t. [Methods of classical and modern theory of automatic control. In 5 vol.]. Moscow, Bauman Moscow State Technical University Press, 2004, vol. 5, ch. 7, pp. 647-720.

8. Demenkov M. N., Filimonov N. B. Variable Horizon Robust Predictive Control via Adjustable Controllability Sets. European J. Control, 2001, vol. 7, issue 6, pp. 596-604.

9. Demyanov V. F. Uslovija ekstremuma i variascionnoe ischislenie [Conditions of Extremum and Calculus of Variations]. Moscow, Vysshaja shkola Publ., 2005, 335 p.

10. Demyanov V. F., Tamasyan G. Sh. O prjamyh metodah reshenija variascionnyh zadach [On direct methods for solving variational problems]. Trudy In-ta matematiki i mekhaniki Ural. otd. RAN [Works of Institute of mathematics and mechanics UrB RAS], 2010, vol. 16, no. 5, pp. 36-47.

11. Tamasyan G. Sh. O metodah naiskorejshego i gipodifferenscial'nogo spuska v odnoj zadache variascionnogo ischislenija [On Methods of Steepest and Hypodiffernetial Descent in one Problem of Calculus of Variations]. Vychislitel'nye metody i programmirovanie: novye vychislitel'nye tekhnologii [Comp. Methods and Comp. Sci.], 2012, vol. 13, pp. 197-217.

12. Dolgopolik M. V., Tamasyan G. Sh. Ob ekvivalentnosti metodov naiskorejshego i gipodifferenscial'nogo spuskov v nekotoryh zadachah uslovnoj optimizascii [On Equivalence of the Method of Steepest Descent and the Method of Hypodifferential Descent in Some Constrained Optimization Problems]. Izv. Saratovsk. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika [Izv. of Saratovsk. State University. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Computer science], 2014, vol. 14, issue 4, pp. 532-542.

14. Clarke F. H. Generalized gradients and applications. Trans. Amer. Math. Soc., 1975, vol. 205, pp. 247-262.

15. Clarke F. H. Optimization and nonsmooth analysis. New York, Wiley, 1983, 308 p.

16. Shor N. Z. Minimization Methods for Non-d,ifferentia,ble Functions. Berlin, Springer, 1985, 162 p.

17. Tuy H. D.c. optimization: theory, methods and algorithms. Handbook of Global Optimization. Eds R. Horst, P. M. Pardalos. Dordrecht, Kluwer, 1995, pp. 149-216.

18. Hiriart-Urruty J. B. From convex minimization to nonconvex minimization: necessary and

sufficient conditions for global optimality. Nonsmooth optimization and related topics. Eds F. N. Clarke, V. F. Demyanov, F. Gianessi. New York, Plenum, 1989, pp. 219-240.

19. Strekalovsky A. S. Elementy nevypukloj optimizascii [Elements of nonconvex optimization]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2003, 356 p.

20. Strekalovsky A. S. Global optimality conditions for nonconvex optimization. J. Global Optim., 1998, vol. 12, issue 4, pp. 415-434.

21. Polyakova L. N. On global unconstrained minimization of the difference of polyhedral functions. J. Global Optim., 2011, vol. 50, pp. 179-195.

22. Alexandrov A. D. O poverhnostjah, predstavimyh v vide raznosti vypuklyh funkscij [On surfaces which may be represented by a difference of convex functions]. Izv. Akad. Nauk Kazakh. SSR. Ser. Fizika i matematika [Izv. of Acad. of Sciences of Kazakh. SSR. Series Physics and mathematics], 1949, vol. 3, pp. 3-20.

23. Alexandrov A. D. Poverhnosti, predstavimye v vide raznosti vypuklyh funscij [On surfaces which may be represented by difference of convex functions]. Dokl. Akad. Nauk SSSR [Proc. of Acad. of Sciences of USSR], 1950, vol. 72, no. 4, pp. 613-616.

24. Zalgaller V. A. O predstavimosti funkscij dvuh peremennyh v vide raznosti vypuklyh funkscij [On the representation of functions of two variables as a difference of convex functions]. Vestn. Leningr. un-ta [Vestnik of Leningrad University], 1963, no. 1, pp. 44-45.

25. Melzer D. On the Expressibility of Piecewise-Linear Continuous Functions as the Difference of two Piecewise-Linear Convex Functions. Math. Programming Study, 1986, vol. 29, pp. 118-134.

26. Plotnikov S. V. Metody proektirovaniia v zadachakh nelineinogo programmirovaniia. Dis. na soiskanie uchen. stepeni kand. fiz.-mat. nauk [Projection methods in nonlinear programming problems. Unpublished doctoral thesis]. Sverdlovsk, Ural State University, 1983, 126 p.

27. Volokitin E. P. O predstavlenii nepreryvnyh kusochno-linejnyh funkscij [On the representation of continuous piecewise affine functions]. Upravljaemye sistemy [Management systems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1979, no. 19, pp. 14-21.

28. Kripfganz A., Schulze R. Piecewise affine functions as a difference of two convex functions. Optimization, 1987, vol. 18, pp. 23-29.

29. Gorokhovik V. V., Zorko I. O. Piecewise affine functions and polyhedral sets. Optimization, 1994, vol. 31, pp. 209-221.

30. Bartels S., Knutz L., Scholtes S. Continous Selection of Linear Functions and Nonsmooth Critical Point Theory. Nonlinear Analysis, Theory, Meth. and Appl., 1995, vol. 24, pp. 385-407.

31. Eremin I. I. Nekotorye voprosy kusochno-linejnogo programmirovanija [Some questions of piecewise linear programming]. Izv. vuzov. Matematika [Izv. Higher educational institutuions. Mathematics], 1997, no. 12, pp. 49-61.

32. Gratzer G. Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices. San Francisco, Freeman, 1971, 212 p.

33. Demyanov V. F., Rubinov A. M. Osnovy negladkogo analiza i kvazidifferenscial'nogo ischislenija [Foundations of Nonsmooth Analysis and Quasidifferential Calculus]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 432 p.

34. Preparata F. P., Shamos M. I. Computational Geometry: An Introduction. New York, Springer, 1985, 398 p.

35. Malozemov V. N. Nekotorye svojstva diskretnogo maksimuma [Some properties of the discrete maximum]. Seminar "CNSA & NDO". Izbr. dokl. [Seminar "CNSA & NDO". Selected reports]. 14th May 2015. Available at: http://www.apmath.spbu.ru/cnsa/reps15.shtml#0514a

36. Leichtveiss K. Convex Mengen. Berlin, Springer, 1980, 330 P.

37. Andramonov M. Ju., Tamasyan G. Sh. Realizascija analiticheskogo kodifferenscirovanija v pakete MATLAB [Implementation of analytical codifferentiation in MATLAB]. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Calculation Methods and Programming], 2007, vol. 8, issue 1, pp. 1-5.

38. Angelov T. A. O vychislenii kodifferenscialov [On evaluation of codifferentials]. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Calculation Methods and Programming], 2013, vol. 14, issue 1, pp. 113-122.

39. Pogorzelski H. A. Reviewed work(s): Remarks on Nicod's Axiom and on "Generalizing Deduction" by Jan Lukasiewicz; Jerzy Slupecki; Panstwowe Wydawnictwo Naukowe. The Journal of Symbolic Logic, 1965, vol. 30, no. 3, pp. 376-377.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 26 ноября 2015 г.