О линейных операторах, инъективных на произвольных подмножествах

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 3 Физико-математические науки

2014

УДК 519.7

О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ, ИНЪЕКТИВНЫХ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОДМНОЖЕСТВАХ

А.В. Чашкин

Аннотация

Рассмотрены линейные операторы, инъективные на подмножествах линейного пространства над GF(p). Показано, что при любой положительной постоянной е, начиная с некоторого n, для каждой области D из GFn (p) существует инъективный на этой области линейный оператор, ранг которого не превосходит (2 + е) logp |D| и сложность которого есть O(n).

Ключевые слова: совершенное линейное хеширование, схемы из функциональных элементов, сложность схем.

Введение

В работе изучается ранг и сложность линейных операторов, инъективных на подмножествах линейного n-мерного пространства над полем GF (p), где p - фиксированное простое число. Ранее эти и близкие к ним вопросы неоднократно изучались в работах по теории кодирования, теории сложности, в различных разделах информатики [1-9]. В частности, верхние оценки ранга инъективных операторов, аналогичные неравенству теоремы 2, можно встретить в работах по теории кодирования (см., например, [2] и [3]). Приведены примеры областей, для которых верхняя оценка теоремы 2 является точной. Утверждение теоремы 4 о существовании для произвольного подмножества инъективного на этом подмножестве линейного оператора, чья сложность линейна, а ранг асимптотически равен удвоенному логарифму размера подмножества, является обобщением результата, полученного в [9] с использование результатов из [7] и [10] при p = 2 для подмножеств, число элементов в которых равно степени двойки.

1. Оценки ранга

Фундаментальное свойство линейных операторов, инъективных на заданной области линейного пространства, заключается в следующем простом факте: линейный оператор H инъективен на области D тогда и только тогда, когда его ядро не пересекается с множеством попарных разностей элементов области D. Действительно, если линейный оператор H инъективно действует на области D = = {xi}, то есть 'H(xi) = H(xj) для любых Xi и Xj из D, то

H

Следовательно, xi — xj // ker H. Поэтому из (1) следует, что множество попарных разностей и ядро оператора H не пересекаются. Легко видеть, что верно и обратное: если множество попарных разностей и подпространство V не пересекаются, то V является ядром линейного оператора, отображающего несовпадающие

132

О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ...

133

наборы области D в несовпадающие наборы ее образа. Рассмотрим подпространство V, не имеющее общих наборов с множеством попарных разностей элементов области D, и линейный оператор H, ядром которого является V. Пусть xi и Xj -произвольные наборы из D. Так как xi — Xj // V = ker H, то

H(xi) — H(xj) = H(xi — Xj) = 0,

то есть образы наборов xi и xj различны, и, следовательно, оператор H инъек-тивен на D .

Множество R(D) = {xi — xj | xi, xj G D,i < j} назовем множеством попарных упорядоченных разностей элементов из D .

Теорема 1. Пусть для множества R(D) попарных упорядоченных разностей различных элементов области D С GFn(p) справедливо неравенство

„m+l _ i

<------г- •

p — 1

Тогда существует инъективный на области D линейный (n, m) -оператор.

Утверждение теоремы 1 легко следует из ее частного случая - доказываемой ниже леммы.

Лемма 1. Пусть для множества R(D) попарных упорядоченных разностей различных элементов области D С GFn(p) справедливо нера,венство

pn — 1

< —т •

p — 1

Тогда существует инъективный на области D линейный (n,n — 1) -оператор.

Доказательство. Для построения требуемого линейного оператора достаточно найти в GFn(p) одномерное подпространство V, которое не пересекается с множеством R(D). Существование такого пространства легко следует из неравенства леммы, где (pn — 1)/ (p — 1) - число одномерных подпространств в GFn(p). Лемма доказана.

Пусть D С GFn (p). На области D определим функцию р, равную минимально возможному рангу инъективного на этой области линейного оператора. Положим

p(D) = min rank f,

где минимум берется по всем инъективным на области D линейным операторам f. Теорема 2. Для любой области D С GFn(p) справедливо нера,венство

p(D) < 21ogp IDI +logp •

Теорема 2 является простым следствием теоремы 1. Действительно, если для множества D справедливы неравенства

pm — 1 p — 1

< IR(D)I <

IDKIDI — 1) 2

<

pm+l — 1

p — 1

то найдется такой инъективный на этой области линейный (n, m) -оператор, что

m < logp

\D\2(p — 1) 2

21ogp IDI + 1ogp

134

А.В. ЧАШКИН

Теперь покажем, что для любого целого m, не превосходящего n/2, в GFn(p) найдется область, состоящая из (pm+1 — 1)/(p — 1) наборов и такая, что число компонент любого инъективного на этой области линейного оператора не меньше 2m .

Рассмотрим множество A, состоящее из всех векторов с первой ненулевой компонентой, равной единице, и с последними n — m нулевыми компонентами, и множество B, состоящее из всех векторов с первыми m и последними n—2m нулевыми компонентами. Нетрудно видеть, что A состоит из (pm — 1)/(p — 1) наборов, B -из pm наборов, а R(A U B) содержит все ненулевые наборы с первой ненулевой компонентой, равной единице, и последними n — 2m нулевыми компонентами.

Пусть некоторое подпространство V и множество W всех ненулевых векторов с последними n — 2m нулевыми компонентами имеют общий вектор х. Тогда при некотором Л из GF(p) первая ненулевая компонента вектора Хх будет равна единице, то есть Лх G R(A[JB), и, следовательно, Vf)R(A[jB) = 0. Так как W вместе с нулевым вектором образуют подпространство размерности 2m , то очевидно, что размерность любого подпространства, не пересекающегося с W, не превосходит n — 2m. Следовательно, m(AU B) > 2m. С другой стороны, нетрудно показать, что

2 l°gP \A U B\ + logp P——1

pm+1 - 1 p- 1

2 logp p _ 1 + log^^ < 2m + 1.

Таким образом, в общем случае неравенство теоремы 2 является точным и усилить его нельзя.

2. Нижние оценки ранга для «почти всех» областей

Покажем, что неравенство теоремы 2 является асимптотически точным для «почти всех» достаточно больших областей.

Обозначим через Dm,M множество всех областей m-мерного пространства размера M.

Теорема 3. Найдется такая постоянная N, что для любого n > N доля областей D из Dm,M таких, что M > n2 и

не меньше, чем 1 — M 1

p(D) > 2 logp M — 3 logp n,

Доказательство. Пусть H - произвольный линейный (n, m) -оператор. Через F(H, M) обозначим число областей из Dn,M, на которых оператор H является инъективным. Легко видеть, что для каждой такой области D никаких два различных набора из D не принадлежат одному и тому же смежному классу пространства GFn(p) по ядру оператора H. Поэтому для любого оператора ранга < m

F

Mp(n-k)M < Mp(n-mW

Теперь предположим, что не менее чем для M-1(N) областей из Dn,M среди линейных (n, m) -операторов найдутся инъективные на этих областях операторы. Так как число различных линейных (n, m) -операторов равно pmn, то в среднем каждый линейный (m,n) -оператор является инъективным не менее чем для

M

p-mnM

n

p

1 областей мощности M . Следовательно, найдется оператор, кото-

рый будет инъективным по крайней мере для

S

p

M

p-mnM-1

О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ...

135

различных областей. С другой стороны, необходимо, чтобы величина S не превосходила F(H,M). Поэтому из (2) и (3) следует

M

гЫ-1 <

n

p

p

'Рм)Р(п-т)М,

откуда после несложных преобразований получаем неравенство

p

M

M

< pmnMp(n-m)M,

m

p

для левой части которого, очевидно, справедливо равенство

pn\ / fpm\ pn

M

M

pm(pm - i)... (pm - m + 1)'

Оценим снизу натуральный логарифм от правой части (5). Так как функция

ln --- выпукла вниз при a > b > 0 и x G 10, b), то

b — x

ln

pn (pn pm (pm

i) ••• (Pn

1)... (pm

M +1) pn - (M - 1)/2

---!—> M ln -----^----— >

-M + 1) - pm - (M - 1)/2 -

> M lnpn-m + M ln

1 - (M - 1)/(2pn) 1

1 -

Теперь оценим последнее слагаемое в правой части (6). Для этого используем справедливое при 1 > y — x — 0 неравенство (1 - x)/(1 - у) — 1 - x + у и справедливое при x G [0,1) неравенство ln(1 + x) — x/2. Так как m < n и M < pm, то

1 -

M ln-----1-----') 1 { — M l^1 +------------------— —i

1 - (M - 1)/(2pm^ _ V 2 \pm pn))~ 8 • pm

Из (4) -(7) следует, что

InfpmnMp

8 • p m

или после очевидных преобразований

p^ M (M - 1) > M (M - 1) > M (M - 1) p — 8 ln(pmnM) — 8ln(pmn+2n) — n3

Логарифмируя последнее неравенство по основанию p , видим, что при достаточно больших n имеет место неравенство

m — 2 logp M - 3 logp n.

Теорема доказана.

Сравнивая оценку теоремы 3 с верхней оценкой из теоремы 2 легко видеть, что нижняя оценка леммы 3 асимптотически минимальна для почти всех областей более чем полиномиального размера. Для маленьких областей ситуация иная. Покажем, что конечная доля n-элементных областей n-мерного пространства инъективно вкладывается в пространство размерности |"logp и\ . Нетрудно видеть, что любое n-элементное множество линейно независимых векторов в GFn(p) можно

136

А.В. ЧАШКИН

линейно отобразить в n единичных векторов, которые затем линейным преобразованием с матрицей, в которой i-й столбец является p-м представлением числа i, инъективно вкладываются в пространство размерности |"logpn\ . Теперь заметим, что отношение числа линейно независимых n-элементных подмножеств к числу всех n-элементных подмножеств удовлетворяет неравенству

p _ l)(pn - p) ... (pn - pu-l) ^

(pn - 1)(pu - 2)... (pu - n + l) > (

p-u)(1 - p-n+1) ... (1 - p-1) > e-2.

3. Сложность операторов

Будем рассматривать сложность реализации инъективных линейных операторов схемами из функциональных элементов в базисе из сложения и умножения на константы. Как обычно, под сложностью схемы будем понимать число элементов схемы, а под сложностью линейного оператора - сложность схемы с минимальной сложностью среди схем, реализующих данный оператор.

Теорема 4. Для любой постоянной £ > 0 найдутся такие постоянные N и M, что для любого n > N и любой области D из GFn(p), где \D\ > M, найдется инъективный на этой области линейный (n, m) -оператор H, для числа компонент которого справедливо неравенство

m < (2 + £)logp \D\ и сложность которого есть O(n).

Доказательство теоремы приводится в трех следующих разделах. Как ив [9], линейный оператор из утверждения теоремы является композицией двух операторов. Первый оператор, увеличивая размерность исходного пространства в четыре раза, преобразует любой ненулевой набор в набор, вес которого пропорционален его длине. Существование такого оператора было установлено в [10]. В настоящей работе доказательство этого факта приводится в разд. 4 и в основном следует работе [11]. Затем в разд. 5 показывается, что для любой области, состоящей из наборов большого веса, существует «хороший» сжимающий оператор - инъективный на этой области линейный оператор, вкладывающий область в пространство, размерность которого близка к удвоенному логарифму размера области. Наконец, в разд. 6 показывается, что композиция линейных операторов из разд. 4 и 5 является оператором, удовлетворяющим заключению теоремы.

4. Расширяющие операторы

Будем говорить, что i-я строка двоичной матрицы M покрывает ее j-й столбец, если в M на пересечении i -й строки и j -го столбца стоит единица.

Лемма 2. Найдется такая постоянна^я S > 0, что для любого достаточно большого n существует двоичная матрица M2nu из 2n строк и n столбцов, в каждой строке которой находится ровно 7 единиц и которая удовлетворяет следующему условию:

при любом к, не превосходящем 2nS, любые к строк матрицы покрывают более чем 4к столбцов (*).

Доказательство. Пусть R - множество всех матриц, состоящих из 2n строк и n столбцов, во всех строках которых находится ровно 7 единиц. Оценим величину N, равную отношению числа тех матриц из R, которые не обладают свойством (*), к числу всех матриц из R. Нетрудно видеть, что к строк, в которых

О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ...

137

единицы сосредоточены на пересечении не более чем с 4к столбцами, можно выбрать ( ) способами, а соответствующие им столбцы - ( , ) способами, еди-

U/ \4к/

ницы в выбранных строках можно расставить не более чем

4к

способами, в

оставшихся строках это можно сделать

2п — к

способами. Поэтому

к

7

n

7

2пё

N <£

2n

к = 1

к 4к 7

2пё

. 7 \ к / \ 2п — к/ \ —2п 2п6 /г. -

4к\ /п\ ( П\ I 2П \ ( П

к=1

к 4к 7

4к\ к (П -к

<

< ^ 3 • 2n^к ^3 • n^4к ^4к(4к — 1)... (4к — 6) ^к <

к=1

2пё

к

4к

<

к=1

3 • 2n\к ( 3п\4к /4к \7к

к

n

2пё

к=1

к \2к

2пё

3(“) = !>“Дny<^^к.

к=1

Легко проверить, что при при выполнении неравенства 3529S2 < 2-1 (которое, очевидно, справедливо при S < 2-9 ) отношение N будет меньше единицы, и, следовательно, найдется матрица, удовлетворяющая условиям леммы. Лемма доказана.

n

7

Лемма 3. Найдется такая постоянная S > 0, что для любого достаточно большого n существует двоичная матрица М2п,п из 2п строк и n столбцов, в каждой строке которой находится ровно 7 единиц и в которой при любом к, не превосходящем 2nS, в каждой подматрице, образованной к строками, найдется, более к столбцов, содержащих ровно один единичный элемент.

Доказательство. Пусть матрица М удовлетворяет условию (*) из леммы 2. В этой матрице произвольным образом выберем к строк и составим из них подматрицу М' матрицы М. Пусть R1 - число столбцов, покрываемых ровно одной из выбранных строк, а R>2 - число столбцов, покрываемых более чем одной такой строкой. Другими словами, R1 равно числу столбцов подматрицы М', содержащих ровно по одному единичному элементу, а R>2 - числу столбцов с более чем одним единичным элементом. В силу леммы 2 величины R1 и R>2 удовлетворяют следующим неравенствам:

R1 + R>2 > 4к,

R1 + 2R>2 < 7к.

Исключая из этих неравенств R>2, имеем

R1 > 4к — R>2 > 4к — ^ (7к — R1) = ^ к + ^ R1,

то есть R1 > к. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть М2п,п - матрица из леммы 3. Тогда для любого набора v веса к из GF2п(р), где к < 2nS, произведение v • М2п,п содержит более к ненулевых элементов.

Доказательство. Пусть в наборе v компоненты vil,... ,vik - ненулевые. В матрице М2п,п рассмотрим подматрицу М, образованную строками с номерами

138

А.В. ЧАШКИН

ii . В силу леммы 3 в этой подматрице найдутся столбцы с номерами

где s > k, каждый из которых содержит ровно один единичный элемент. Легко видеть, что для любого ji из {ji,... ,js} скалярное произведение v и ji -го столба из матрицы M2n,n отлично от нуля. Следовательно, произведение v • M2n,n содержит s > k ненулевых элементов. Лемма доказана.

Лемма 5. Существует такая постоянная 0 < 7 < 1, что для любого достаточно большого n найдется такое линейное отображение G41 из GFn (p) в GF4n(p), что ||£nn(v)|| > 4ny для любого ненулевого вектора v и L(g4) = O(n).

Доказательство. Лемму докажем индукцией по двоичному логарифму n. В основание индукции положим отображение Q^^l(v) = (v, v, v, v), где m - минимально возможное число, при котором существует матрица M4m,2m. Очевидно, что в этом случае 7 = 1/m и L(Q^m) = 0.

Теперь допустим, что удовлетворяющее условиям леммы линейное отображение G41 * с матрицей Gn,4n существует при некотором n > m. Используя это отображение, построим отображение . Пусть v - вектор длины 2n, v' = v • M2n,n -вектор длины n, w = v' • Gn,4n - вектор длины 4n, u = w • M4n,2n - вектор длины 2n. Тогда G8n(v) = (v, w, u). Покажем, что неравенство

iig8:

справедливо для любого ненулевого вектора v длины 2n и 7 = min(1/m, S), где S - постоянная из леммы 4.

Если ||v|| > 8n7, то, очевидно, имеет место и неравенство (8). Если вес ненулевого вектора v меньше, чем 8n7, то в силу леммы 4 вес вектора v' больше нуля, и в силу предположения индукции ||w|| > 4n7. Если при этом справедливо более сильное неравенство ||w|| > 8n7, то (8) также справедливо. Если же 4n7 < < ||w | < 8n7, то в силу леммы 4 вес вектора и больше веса вектора w и поэтому

> IHI + IMI > 8n7.

Покажем, что L(g4) = O(n). Допустим, что L(g4) < 36n при n > m. Так как сложность умножения матрицы из нулей и единиц на вектор не превосходит разности числа единичных элементов матрицы и числа ее ненулевых строк, то

L(g%n) < L(Mnn) + L(Gnn) + L(M4n) < 12n + 36n + 24n = 36 • 2n.

Лемма доказана.

5. Сжимающие операторы

Лемма 6. Пусть vd - фиксированный вектор из {1, 2,. .. ,p — 1}d , ud - случайный вектор из GFd(p), в котором компоненты порождаются независимо друг от друга с вероятностями

P(ud = 1) = • • • = P(ud = p — 1) = a, P(ud = 0) = 1 — (p — 1)a,

(ud, vd) - скалярное произведение векторов. Тогда

P((ud, vd) = 0) < p (l + (1 — pa)d) .

Доказательство. Лемму докажем индукцией по длине наборов. Положим pd,o = P((vd, ud) =0) и pd,i = P((vd, ud) = 0). Очевидно, что pi,o = 1 — (p — 1)a и pi i = (p — 1)a. Нетрудно также видеть, что

pd,o = pd-i,o(1 — (p — 1)a) + pd-i,ia, pd,i = pd-i,o(p — 1)a + pd-i, i(1 — a),

О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ...

139

то есть вероятности pd,o и pd,i описываются марковской цепью с двумя состояниями и матрицей переходных вероятностей

P = f1 - (Р - 1)а (Р - 1)а\

P у а 1 - a J ,

и, следовательно, эти вероятности определяются следующим матричным равенством:

Известно (см., например, [12]), что

/1 - b b \n 1 fa b\ (1 - a - b)n f a -a\

\ a 1 - aj a + b \a bj a + b \-b b J

для любых 0 < a < 1 и 0 < b < 1. Поэтому в рассматриваемом случае

pd-i = 1 fa (p - 1)а\ + (1 -pa)d-1 f а -а \ =

pa \а (p - 1)ау pa \-(p - 1)а (p - 1 )аJ

= 1 f1 (p - 1)\ + (1 - pa)d-1 f 1 -1 \

p V1 (p - 1)J p \-(p -1) (p - 1)J'

Теперь из последнего равенства и равенства (9) легко следует, что pm,o = -(1 - (p - 1)а +(p - 1)а+

p

+ (1 - pa)d-1(1 - (p - 1)а) - (1 - pa)d-1(p - 1)2aj =

= 11 (1 + (1 - pa)d-1(1 - (p - 1)а) - (p - 1)2а)) =

= p (l + (1 - pa)d-1(1 - p(p - 1)a)j < 1 ^1 + (1 - pa)d^j .

Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть постоянная 7 G (0,1); n,R, t, d и m - такие целые, что 0 < R < pn, d > ^п и m = [(1 + 2-t) logp 2R] . Тогда для любых наборов a1,..., aR из GFn(p), вес каждого из которых не меньше d, найдется такой линейный оператор Hm из GFn(p) в GFm(p), что L(Hm) = O(mt) и ни один из наборов 0,1, ... ,o,r не отображается этим оператором в нулевой набор.

Доказательство. Пусть Mp(m,n) - множество матриц с m строками и п столбцами с элементами из GF(p). В Mp(n, m) случайным образом выберем матрицу H, полагая, что элементы hij этой матрицы выбираются независимо с вероятностями

P(hij = 1) = • • • = (hij = p - 1) = a, P(hij = 0) = 1 - (p - 1)a.

Пусть a - набор длины n и веса w > d. Найдем вероятность того, что линейный оператор H с выбранной матрицей H отображает набор a в нулевой набор. Нетрудно видеть, что в силу леммы 6 для i-й компоненты Hi оператора H справедливо неравенство

P(Hi(a) = 0) < p (l + (1 - pa)w) < p (l + (1 - pa)d),

140

А.В. ЧАШКИН

из которого для искомой вероятности легко следует

P

0) < p-m{ 1 + (1

\ m / \ m

ap)d ) < p-m[ 1 + 2-apd\ < p-m4m2

Положим a = (t + 2) /pd. Тогда

P(H(a) = 0) < p-m(i-2-t-2 i°sP< p-m(i-2-t-1).

Подставляя в последнее неравенство m = [(1 + 2-t) logp 2R\, видим, что P(H(a) = = 0) < (2R)-1, и, следовательно,

P(H(ai) = 0 H(aR) = 0) <R • (2R)-1 = 1/2.

Теперь оценим ||HУ - число ненулевых элементов в матрице H. Это число является случайной величиной £, для математического ожидания и дисперсии которой справедливы следующие соотношения:

М£ = nma(p — 1) < (t + 1)Ym,

D£ = nma(p — 1)(1 — a(p — 1)) < (t + 1)ym.

Положим s = a/2D£ . В этом случае из неравенства Чебышева следует, что

D£ 1

P

Подставляя неравенства (11) в (12), видим, что число ненулевых элементов матрицы H больше чем (t + 1)Ym + y^2(t + 1)Ym < 2(t + 1)Ym с вероятностью, не превосходящей 1/2. Таким образом, из (10) и (12) имеем

P(H(ai) = 0& ... &H(an) = 0& \\H|| < 2(t + 1)Ym) =

= 1 — P(^(a1) = 0 V • • • V H(aR) = 0 V \\H\| > 2(t + 1)Ym) >

> 1 — P(H(ai) = 0 V • • •V H(aR) = 0) — P(||H \| > 2(t + 1)Ym) > 0,

то есть найдется отображающий GFn(p) в GFm(p) линейный оператор H, который не отображает ни один из наборов ai,..., aR в нулевой набор и в матрице которого находится не более 2(t + 1) Ym ненулевых компонент. Так как Y - константа, то очевидно, что сложность оператора H есть O(mt). Лемма доказана.

6. Доказательство теоремы 4

Для данной постоянной е > 0 положим t = [— log2 е + 2\ . Пусть n - такое, что для него справедливы лемма 5, неравенство p(t+2)/d < 2-t-2 из условия леммы 7 и неравенство е log2 IDI > 2. Пусть D С GFn(p). Рассмотрим множество R = {aij = = di — dj, где di, dj G D, i < j} попарных разностей элементов из D и линейный оператор из леммы 5 такой, что Ь(дПГ) = O(n) и ||Gnn(a)|| > 4Yn для каждого a G R .В силу леммы 7 для m = [(1 + 2-t)logp 2|0nn(R)|) и элементов множества 0nn(R) существует линейный оператор Hmn, не отображающий ни один из этих наборов в нулевой набор и имеющий сложность O(mt). Так как 2|0nn(R)| < D^2, то для m справедливы неравенства

[(1 + 2-t) logp 2|Gnn(R)H < 2(1 + е/4) logp D + 1 < (2 + e) logp D

Таким образом, линейный оператор GПп oH'mn, действующий из GFn(p) в GFm(p), инъективен на D, а его сложность есть O(n). Теорема 4 доказана.

О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ...

141

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № № 14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).

Summary

A.V. Chashkin. On Linear Operators Injective on Arbitrary Subsets.

Linear operators that are injective on subsets of a linear space over GF(p) are considered.

Given any positive constant e and sufficiently large n, for any domain D from GFn (p), there

exists a linear operator injective on this domain whose rank is at most (2 + e) logp \ D\ and

whose complexity is O(n).

Keywords: perfect linear hashing, circuits of functional elements, circuit complexity.

Литература

1. Андреев А.Е., Болотов А.А. О линейном хешировании двоичных множеств // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механика. - 1997. - Вып. 2. - С. 22-25.

2. Гоппа В.Д. Коды и информация // Усп. матем. наук. - 1984. - Вып. 1. - С. 77-120.

3. Кричевский Р.Е. Сжатие и поиск информации. - М.: Радио и связь, 1989. - 168 c.

4. Ложкин С.А., Семенов А.А. Об одном методе сжатия информации и о сложности реализации монотонных симметрических функций // Изв. вузов. Матем. - 1988. -№ 7. - С. 11-19.

5. Чашкин А.В. Локальная сложность булевых функций // Дискретный анализ и ис-след. опер. Сер. 1. - 1997. - Вып. 3. - С. 69-80.

6. Чашкин А.В. Совершенное линейное хеширование в булевом кубе //Дискретная математика и ее приложения: Сб. лекций. - М.: ИПМ РАН. 2009. - Вып. 5. - С. 56-67.

7. Andersson A., Miltersen P.B., Riis S., Thorup M. Static dictionaries on AC0 RAMs: Query time 0(^p log n/ log log n) is necessary and sufficient // FOCS: 36th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). - 1996. - P. 538-546.

8. Goldreich O., Wigderson A. On the Circuit Complexity of Perfect Hashing // ECCC TR96-041. - 1996. - http://eccc.hpi-web.de/report/1996/041/download, свободный.

9. Miltersen P.B. Error Correcting Codes, Perfect Hashing Circuits, and Deterministic Dynamic Dictionaries // Proc. 9th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA’98). - 1998. - P. 556-563.

10. Gelfand S.I., Dobrushin R.L., Pinsker M.S. On the complexity of coding // Second Int. Symposium on Information Theory. - Budapest: Akademiai Kiado, 1973. - P. 177-184.

11. Sudan M. Essential Coding Theory. - URL: http://people.csail.mit.edu/ ~madhu/FT02/, свободный.

12. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. - М.: Мир, 1984. -Т. 1. - 528 с.

Поступила в редакцию

14.08.14

Чашкин Александр Викторович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры дискретной математики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия.

E-mail: chashkin@inbox.ru