Психолого-педагогические основы изучения теории меры и интеграла будущими учителями математики

#

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА БУДУЩИМИ УЧИТЕЛЯМИ МАТЕМАТИКИ

PSYCHOLOGICAL AND PEDAGOGICAL BASIS OF STUDYING THE THEORY OF MEASURE AND INTEGRAL BY FUTURE MATHEMATICS TEACHERS

Т. Н. Казарихина

В статье рассмотрены особенности изучения теории меры и интеграла студентами педвузов. В психологии выделяют несколько этапов адаптации в период профессиональной подготовки будущего учителя, один из таких этапов заключается в преодолении противоречий между фундаментализацией педагогического образования и его профессионализацией. В статье проанализирована возможность преодоления такого противоречия при преподавании теории меры и интеграла в педвузе.

T. N. Kazarikhina

The article examines the peculiarities of studying the theory of measure and integral by pedagogical university students. In psychology there are several stages of adaptation during future teachers' professional training, one of which is overcoming the contradictions between fundamentalization and professionalization of teacher training. The article analyzes the possibility of overcoming such contradictions in teaching the theory of measure and integral in pedagogical universities.

Ключевые слова: мера, интеграл, учитель мате- Keywords: measure, integral, Mathematics teacher. матики.

К подготовке будущих учителей общество выдвигает повышенные требования, что нельзя признать необоснованным. На педагогов возлагаются все более трудные проблемы, которые часто приходится решать, используя лишь минимальные средства.

Ректор МГУ академик В. А. Садовничий на совете Союза ректоров России в декабре 2009 г. [1; 2] негативно отозвался о существующих способах решения проблемы профессиональной подготовки школьных преподавателей. Он предложил ввести «заградительные барьеры, ограничивающие право работать в школе», по его мнению, они могут быть как и психологические, так и научные, и обосновал свое резкое высказывание тем, что «замеры и прошлого, и нынешнего года показали, что качество школьного образования падает». По его мнению, впрочем совпадающему с мнением многих, прежде всего надо обратить внимание на учителей. Кто эти учителя, где они сами учились, спрашивал ректор и предложил увеличивать количество выпускников непедагогических вузов, которые должны работать в школе.

Таким образом, в настоящее время педагогические вузы вступают в конкуренцию с ведущими классическими вузами в подготовке педагогических кадров. Педагогическим вузам необходимо быстро и гибко на это реагировать, внося изменения в систему специальной и методической подготовки студентов педвузов.

С другой стороны, как заметил академик В. Л. Матросов [3], первостепенную роль сегодня приобретает опережающая подготовка педагогических кадров к новым видам и направлениям деятельности. Формирование педагогов, по его мнению, должно быть направлено на кадровое обеспечение приоритетов развития образовательной системы, развитие профильного обучения, реализации

инновационных моделей деятельности. В условиях информационного общества актуализируют углубление научно-исследовательских качеств педагогов, навыков у них организации содержательной и процессуальной сторон образования и социокультурной среды. Важнейшая задача в условиях развития экономики, основанной на знаниях, - углубление фундаментальных научных основ подготовки педагогов, отметил ректор МПГУ.

Однако одной из самых существенных внешних проблем подготовки педагогических кадров, на наш взгляд, является наблюдаемая в последнее время тенденция к катастрофическому сокращению аудиторных часов на изучение математических дисциплин в педагогических вузах. В этих условиях педвузам требуется подготовить конкурентоспособных учителей и преподавателей, способных к реализации приоритетных задач образования, что представляется трудноразрешимой проблемой. Дело еще в том, что в современных условиях при подготовке учителя математики необходимо уделять особенное внимание специальным дисциплинам, что зачастую приводит к необходимости пересмотра содержания соответствующих курсов и стиля работы.

С другой стороны, демографические проблемы нашего времени оказывают негативное влияние на подготовку педагогических кадров, в настоящее время отсутствует конкурс на математические факультеты педагогических вузов, и в результате освоение профессии «учитель» происходит не всегда людьми, имеющими своим призванием учить и воспитывать.

Один из самых важных периодов в жизни человека приходится на студенческий возраст (с 17 до 25 лет). По мнению психологов, этот период самый плодотворный в жизни человека для получения профессии. Именно в этом возрасте формируются индивидуальные психологиче-

Ф

ские свойства, а также на основе знаний, собственного опыта, наблюдений у человека формируется его мировоззрение, система ценностей. Однако для этого возраста характерен также юношеский максимализм, спонтанность в поступках, стремление к независимости, отсутствие доверия к чужому мнению и др. Все это, с одной стороны, накладывает большую ответственность при работе со студентами, а с другой - создает благоприятные условия для подготовки учителя, в частности учителя математики.

Заметим также, что студенческий возраст (с 17 до 25 лет) совпадает с периодом адаптации учащихся к новым условиям - обучения в высшем учебном заведении и получения профессии.

В психологии выделяют несколько этапов адаптации в период профессиональной подготовки будущего учителя, один из таких этапов заключается в преодолении противоречий между фундаментализацией педагогического образования и его профессионализацией. Наша задача заключается в разрешении этого противоречия. Дальнейшее наше изложение будем строить, исходя из изложенных обстоятельств.

Одной из самых важных математических дисциплин, преподаваемых студентам математических факультетов педагогических вузов, является курс математического анализа. Дело не только в том, что математический анализ лежит в основе дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, подводит фундамент в изучение и преподавание многих школьных дисциплин и необходим школьному учителю (причем не только учителю математики; так, например, биологам и лингвистам необходимы основы математической статистики).

Не менее важно, что в курсе математического анализа нетривиально сочетаются формальные и наглядные соображения, проводится четкая грань между строгими и приблизительными рассуждениями (без которых, конечно, тоже обойтись нельзя). В конечном счете это развивает не только математическое мышление. Но также хорошо известно, что такое сочетание приводит к непростому усвоению основных понятий анализа даже на математических факультетах лучших университетов.

Вместе с тем, не считая дифференциального исчисления, фундаментом самого математического анализа без особого преувеличения можно считать понятия меры и интеграла. Эти понятия начинают формироваться еще в школьном курсе математики (исторически они возникли на заре современной математики), поэтому при подготовке студентов математических факультетов педагогических вузов необходимо уделять особое внимание разделам анализа и смежных дисциплин, связанных с теорией меры и интеграла.

Заметим, что при существующем подходе к обучению понятию площади в школе у учащихся складывается впечатление об отсутствии связей между фундаментальными фактами, о которых речь идет на различных уроках математики, не говоря даже о межпредметных связях. Это хорошо подтверждается результатами проведенного нами опроса в 2010 г. абитуриентов, поступающих на математический факультет Московского педагогического государственного университета. К примеру, на вопрос о связи по-

нятия «площадь» в курсе алгебры и началах анализа и понятия «площадь» в курсе геометрии верно ответили лишь 7,7% опрошенных, и эта ситуация, по нашему мнению, провоцируется определенным пробелом в программах и практике педагогических вузов. Ни один из опрошенных не дал точного определения площади круга.

Понятия интеграла и меры, которые формируются обычно в курсе математического анализа, затем широко используются в различных математических дисциплинах - теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории чисел, а также в физике и т. д.

Обычно при обучении теории меры в педагогическом вузе используется принцип историзма: сначала изучается мера Жордана и ее свойства, затем - в курсе вещественного анализа - изучается мера Лебега как продолжение меры Жордана и ее свойства, и потом - в курсе теории вероятностей - отдельно изучается вероятностная мера. Порядок изучения теории интеграла аналогичен: сначала вводится понятие определенного интеграла Римана, потом - в курсе действительного анализа - интеграл Лебега. Обратим внимание, что для бакалавров математики предусмотрена дисциплина «Функциональный анализ», в которой центральное место занимает понятие линейного функционала, который в пространстве непрерывных функций реализуется интегралом Стилтьеса.

Рассмотрим подробнее этот подход ниже.

Проследим за хронологическим порядком изучения этих разделов будущими учителями математики.

Сначала определим, какой «багаж» имеют выпускники школ к моменту обучения на первом курсе математического факультета педагогического вуза. Впервые учащиеся знакомятся с понятием площади в школе в курсе геометрии. В этом курсе сначала изучаются площади прямоугольников, треугольников, потом различных многоугольников, круга, частей круга. Затем школьники встречаются с понятием «площадь» в курсе алгебры и начал анализа. В этом курсе учатся находить площадь подграфи-ка функции, используя интеграл Римана. Заметим, что, к сожалению, в школе само понятие «площадь подграфика функции», как правило, не определяется, и учащиеся часто не осознают, каким образом площадь, которую вычисляют в алгебре и началах анализа, связана с площадью, введенной в геометрии, а многие даже не подозревают о наличии такой связи. Причем, как мы смогли заметить, даже некоторые учителя не задумываются о наличии проблемы корректности определения площади фигуры.

На первом курсе математического факультета в курсе математического анализа вводится понятие интеграла Римана обычно как «предел» интегральных сумм Римана, изучаются его свойства (аддитивность по области интегрирования, монотонность, линейность), рассматривается его геометрический и физический смысл. Заметим, что при изучении геометрического смысла вводится понятие «площадь подграфика функции» или «площадь криволинейной трапеции». Далее определяется понятие квадри-руемой фигуры (измеримой по Жордану) и ее площади, изучаются ее свойства, причем здесь, на наш взгляд, нуж-

#

но дополнительно обосновать корректность уже введенного определения «площади подграфика функции» («площади криволинейной трапеции»), и только в этом случае будущий учитель математики будет частично подготовлен к преподаванию соответствующей темы в школьном курсе математики. Затем в курсе теории функций действительного переменного вводится понятие меры Лебега, изучаются ее свойства, потом - интеграл Лебега.

Обычно в школе изучаются конечно-аддитивные меры, хотя фактически школьная математика имеет дело со счетно-аддитивной мерой Лебега, о которой даже не упоминает. Являясь сужением лебеговой, классическая жорданова мера счетно-аддитивна на квадрируемых множествах. Этим, в частности, оправдывается рассмотрение (до определенного момента) в школе конечных процедур, однако школьный учитель должен понимать, что счетные расширения безобидны, и, кроме того, быть готовым ответить на вопрос любознательного школьника по этому поводу. Такой школьник интуитивно понимает, что счетная аддитивность имеет место и облегчает решение многих, даже элементарных задач.

Заметим, что понятие множества нулевой меры Лебега заметно проще общего понятия меры Лебега, и его хватает для того, чтобы дать критерий квадрируемости, и в определенных условиях об этом можно говорить даже в школе, если уже имеется представление о сходящихся последовательностях и рядах.

С другой стороны, в школе начали изучать основы теории вероятностей и математической статистики, от школьника требуют умения находить вероятности событий, дисперсию и математическое ожидание. Однако учащиеся, как правило, не осознают, что такое по своей сути вероятность. На наш взгляд, эта проблема провоцируется весьма скромным местоположением вероятностной меры в программе педагогических вузов.

Заметим, что широко понимаемый интеграл Стилтье-са, не рассматриваемый в обязательных курсах математического анализа и теории функций действительного переменного, включается в общие схемы и представляет интерес не только с точки зрения приложений, но и как инструмент преподавания. Например, в теории чисел с помощью интеграла Стилтьеса легко доказывается следующее утверждение: Пусть Р — множество простых чисел, функция ф положительна и неограниченно возрастает на множестве натуральных чисел. Для того чтобы сходился 1

j ряд X n

1

ряд Xp„p ^(p) , необходимо и достаточно, чтобы сходился рни ^м ф (n)log n

Для доказательства этого факта полезно прежде все-

Z1 г+» dn (x)  p£Pф(р) = J ф(x) , где в правой части

стоит интеграл Стилтьеса по функции п(х) (числу простых чисел, не превосходящих х). Далее потребуется проинтегрировать по частям этот интеграл (интегрирование по частям требует пояснения) и воспользоваться асимптотическим законом распределения простых чи-

сел п(х) ~ х / log х или эквивалентной асимптотикой Гаусса, п(х) ~ JJ1/ log t dt.

В таких рассуждениях четко прослеживается ответ на вопрос, зачем специалисту в области теории чисел знать, к примеру, теорию интеграла Стилтьеса, а специалисту в области математического анализа - асимптотический закон распределения простых чисел.

Очень важно сформировать у будущих учителей математики целостный взгляд на математику, понимание связей внутри математики, а такой подход позволяет решить проблему с осознанием и выявлением не только внутрипредметных, но и межпредметных связей.

При обучении студентов педагогических вузов теории интеграла Стилтьеса надо быть очень внимательным, так как во многих работах, посвященных ему, рассмотрены критерии существования интеграла Стилтьеса, в формулировках которых допущены неточности [6; 7].

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Садовничий В. А. Выступление на Российском Союзе Ректоров 8 декабря 2009 года [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.rsr-online.ru/video.php?date=2009120801&part=1 (дата обращения 08.12.2009).

2. В проблемах вузов обвинили школы [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.gzt. ru/Gazeta/first-page/276250.html (дата обращения 09.12.2009).

3. В. Матросов: «Главное - усиливать фундаментальную научную составляющую подготовки студентов» [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mpgu.edu/pressa/038.htm (дата обращения 03.08.2011).

4. Андриенко Е. В. Профессиональное развитие эффективного учителя в условиях современной образовательной системы // Педагогика высшей школы: ценностные ориентиры обновления содержания образования: Труды Всерос. науч.-практ. конф., 29-30 марта 2001 г. - М., 2001. -С. 87-95.

5. Горин Е. А. Введение в теорию множеств и теорию меры. - М.: Изд-во МПГУ, 2005.

6. Горин Е. А., Казарихина Т. Н. Проблема существования интеграла Римана-Стилтьеса // Материалы междунар. конф., посвящ. 105-летию С. М. Никольского. - М.: Изд-во МГУ, 2010. - С. 103.

7. Горин Е. А., Казарихина Т. Н. Об интеграле Стил-тьеса // Математика, информатика физика и их преподавание. - М.: Изд-во МПГУ, 2009. - С. 69-79.

8. Казарихина Т. Н. Об интеграле и мере // Наука в вузах: Математика, информатика, физика, образование. - М.: Изд-во МПГУ, 2010. - С. 285-287.

9. Столяренко Л. Д. Педагогическая психология. - М.: Феникс, 2008. - 544 с.

Ф