Многоуровневый панельный метод расчета местных аэродинамических нагрузок на колеблющиеся крылья и другие агрегаты летательных аппаратов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXIV , 1993

№ 2

УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.422 : 629.7.025.1

МНОГОУРОВНЕВЫЙ ПАНЕЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МЕСТНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ КРЫЛЬЯ И ДРУГИЕ АГРЕГАТЫ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

В. Д. Ильичев, В. В. Мозжилкин

Предлагается метод расчета аэродинамических нагрузок с учетом местных особенностей геометрии агрегатов летательных аппаратов (ЛА) при до- и сверхзвуковых скоростях полета. В развитие метода [1] на основе многоуровневого подхода обеспечивается возможность расширения диапазона чисел Струхаля для охвата как общих, так и местных аэродинамических эффектов. Предлагается несколько алгоритмов реализации данной системы. Даны оценки скорости их сходимости. Результаты расчетов подтверждают эффективность многоуровневых и многосеточных панельных методов.

Введение. Расчет на прочность летательного аппарата (ЛА) методом многоуровневой декомпозиции включает в себя как анализ состояния ЛА в целом, так и детальное рассмотрение местных нагрузок на его агрегаты и элементы. Реализация в рамках единой расчетной схемы в настоящее время невозможна. Нужен набор математических моделей, методов, расчетных схем с разной степенью детализации конструкций, ее движения, движения среды и их взаимодействия, объединенных в одну систему. Такая система должна включать в себя средства формального определения уровней моделирования и межуровневых связей и содержать вложенные друг в друга вычислительные модели, связанные по данным, расчетным схемам и сеткам. Она должна содержать специальные интерполяторы, учитывающие характер всех структур и процессов. В статье [1] предлагается построение такой системы многоуровневого аэродинамического расчета на базе метода вложенных сеток Федоренко и панельных методов линейной нестационарной аэродинамики. Эффективность этого подхода проиллюстрирована на задаче обтекания гармонически колеблющихся профилей в дозвуковом потоке. '

В данной статье предложен ряд реализаций метода многоуровневого аэродинамического расчета [1]. обеспечивающих ускорение его сходимости. На их основе создан панельный многоуровневый многосеточный метод решения интегральных уравнений линейной аэродинамики гармонически колеблющихся крыльев в дозвуковом потоке. В рамках

многоуровневой декомпозиции обсуждается вопрос обобщения метода многоуровневого аэродинамического расчета на произвольные числа Струхаля с целью расширерия его применимости по всему спектру частот агрегата и элемента.

1. Варианты многосеточных алгоритмов решения линейных задач. Задачи линейной аэродинамики, теории упругости описываются уравнениями вида

1К — №.

Здесь Ь— линейный оператор, К—искомая функция, — известная функция.

Расчетные схемы решения уравнения (1), такие, как метод конечного элемента (МК.Э), панельные методы, сводятся к матричному урав-

нению

АК=Ш,

где А — матрица, аппроксимирующая оператор Ь в конечно-мерном пространстве сеточных функций.

Проведем построение многосеточных и многоуровневых алгоритмов применительно к уравнению (2). Это позволит создать методы, пригодные для решения широкого класса линейных задач.

В статье [1] рассматривается простейший многосеточный алгоритм

К<"+1) = +)‘\АТХ1\{ — АгКР).

Здесь п — номер итерации; индексы 1 и 2 помечают значения функций на грубой сетке и мелкой шл соответственно; /?, 4 — матрицы коэффициентов интерполяции и -> («я соответственно.

Интерполяторы 1\ используются для функций с особенностями 1Г,

Л .

а /; для функций с особенностями К. За начальное приближенное берегся расчет на сетке шя

К1°> = лг1 ЧУй КР - )\кТ.

Этот метод обладает высокой скоростью сходимости, но погрешность имеет осциллирующий характер, что приводит к необходимости увеличения числа итераций при решении задач пространственным панельным методом по сравнению с двумерным его вариантом. Поэтому

имеет смысл использовать многосеточный алгоритм Федоренко [2, 3], который применительно к матричному уравнению (2) записывается в форме

и[п) = + (Л О-11\ (1Т2 - А 2МП)),

М"+1) = к[п) + )\(и\п) - Ьк^).

Вместо последнего соотношения (5) можно использовать более простое соотношение

КЧп+1)= Ьи\п).

Для метода, описываемого соотношениями (5), оценка скорости сходимости приведена в работе [1].

Если интерполяция удовлетворяет условию

то эта оценка совпадает с оценкой скорости сходимости метода работы [1].

Положим соотношения (5), (6) в основу многосеточного многоуровневого алгоритма.

Пусть 5 означает ЛА, 5а — агрегат ЛА, —дополнение агрегата до всего ЛА 5 = 50и5(г. На агрегате 5а используются вложенные сетки «>а/1 с Ыан- На дополнении до ЛА используется сетка первого уровня. Тогда многосеточпый алгоритм (5) применительно к агрегату определяется соотношениями:

Здесь индексом а обозначены величины, отнесенные к агрегату; а — величины, отнесенные к дополнению агрегата до всего ЛА. Матрицы Ааа, .А—Аа~а, А-аа определяют соответственно влияние агрегата на себя, дополнения на агрегат, дополнения на себя, агрегата на дополнение.

Следует отметить, что в формулах (8) и (9) интерполяция производится только по агрегату.

При использовании формул (8) и (9) Л'а2~Н) удовлетворяет соотношению

Из нее следует, что этот процесс сходится, если

Тогда справедлива оценка сходимости ^=||/?||<1,

АааК%+1)'= Ж- -Л-а2К{апГ\

Тогда справедлива оценка сходимости

?-=!!£, + £,|<1.

л л

Если интериоляция такова, что 1\-1\ — Е, то оценки (10) и (12) совпадают с оценками для многоуровневого многосеточного алгоритма из статьи [1].

Алгоритмы (8), (9), (11) согласно терминологии [1] представляют собой варианты многоуровневого односеточного метода. Возможен подход, когда интерференция агрегата и ЛА учитывается на основе упрощенной геометрической схемы ЛА, а детали геометрии появляются на уровне агрегатов. В этом случае матрицы А А- , А-- в фор-

мулах (8), (11) заменяются на соответствующие им операторы в упрощенных методах. Естественно, здесь итерации не нужны. Поэтому в формулах (8), (9), (11) следует положить п= 1, а за начальное приближение взять результат расчета по упрощенной схеме.

Многоуровневый многосеточный алгоритм получится, если на (п + + 1) итерации формулы (8), (9), (11) применяются поагрегатно ко всем агрегатам ЛА.

Рассмотрим вопрос об ускорении сходимости многосеточных многоуровневых алгоритмов.

Видно, что рассматриваемые итерационные процедуры можно представить в виде ряда

/^'1+1)=:Л10)+ 140) + .. . 1- У[п)

УУ = /<2+1> — Аг2/>; 7 = 0, 1, ..., п.1

Согласно оценкам (8), (9), (11) для каждого соответствующего алгоритма этот ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем ц. Тогда для ускорения сходимости в случае больших осцилляций погрешности можно использовать преобразование [4]

еп~леп , — рпгх

4- е"~} — 2еп- ’

/+1  /-1. ^ I

Заметим, что

К{2+1) = /?/Ст"+1); К("+1) = М0) + И0) + ...+ Ия>.

Ряд К{|"+1) также мажорируется геометрической прогрессией. Размерность вектора К\] меньше размерности Кг\ поэтому целесообразно применять 82-преобразование к К'Р, а получить интерполяцией.

2. Многоуровневый многосеточный панельный метод. Построенные в п. 1 варианты многоуровневых многосеточных методов и оценки их сходимости представляют собой теоретическую основу для разработки расчетных схем конкретных линейных задач. Применим эти результаты для построения многоуровневого многосеточного панельного метода расчета аэродинамически* нагрузок на гармонически колеблющиеся

агрегаты ЛА при до- и сверхзвуковых скоростях полёта. В основу его положен следующий односеточный панельный метод [5, 6].

Пусть I — характерный размер агрегата, М — число Маха набегающего потока. Тогда в безразмерных переменных

В (15) — след поверхности 5. Вне крыла и следа К=0; в следе

Рассмотрим приближение для м«1. Тогда

К=Кт + = ИГ<°> + №<4

Разобьем поверхность 5 на панелей Б] трапециевидной формы

с основаниями, параллельными набегающему потоку, Поверхность

следэ разбивается на полосу ЧУэ, (/ = 1, ,.•» А г)- Оокрвые

/

А' = х/7; Г = уЭ//; гр//; р = 1Л|1-М*

скачок потенциала скорости на несущей поверхности 5

<Р (X, у, г) |5+о - ? (X, у, г) |<?-о = ИаЖ(х, г)е>1хе‘Р‘,

м1«> Р1

где X —-------у, «0 = -^-, ^—круговая частота, удовлетворяет ин-

1 ‘^00 00 тегральному уравнению

= а | (* К{х', г') О (х1, г', х, г) йх' йг'

«'+

0(х', г', х, г) = [\тОуу{х', г', х, г, К),

Я — }^(х' — л;)2 + 8^п (1 — М2Ю) [{г’ — г)2 + У2\,

К(х, г) = КТ(г)ехр[—Ь(х — хг(г))\, ^ —

х = хт(г) —уравнение задней кромки ЛА,

Кт (?) = К(хт(г), г). Пусть поверхность 5 деформируется по закону

ср = \ (х, г) е1р*.

Тогда скос потока выражается формулой

стороны которых являются продолжениями линий оснований панелей. На панели Sy. /<(0) — Kf1 = const; К(,) = — const.

В полосе следа Ws '

Тогда интегральное уравнение (15) преобразуется к системам линейных уравнений

Интегралы Аг„р Вті, С,„і вычисляются аналитически (см. [6, 7]).

Система (18) замыкается, если к ней добавить интерполяционное соотношение для К т. • Здесь и далее в случае дозвуковой задней кромки используется замыкающее соотношение из [51:

й1 — хТ-х]-1, г= 1, 2,

где Х/-\, 2/_1 — точка коллокации в панели, граничащей с задней кромкой.

Значение Кт. для сверхзвуковой задней кромки определяется квадратичной интерполяцией. В случае сверхзвуковой передней кромки панели матрица системы линейных алгебраических уравнений панельного метода становится вырожденной из-за отсутствия влияния панели на себя. В связи с этим применяется коррекция ее диагональных элементов по локальному коническому течению [7].

Многоуровневый многосеточный метод построен по алгоритмам п. 1 на основе односеточной реализации данного панельного метода [6]. Блоки матрицы, вычисленные на сетках панелей сон и шн, используются для определения матриц Аи А2, А1аа, А1а~, А.-а (г—1, 2) в методах и. 1.

Интерполяторы для потенциала скорости /- и /’ основаны на интерполяционных формулах, учитывающих особенности на передних, боковых и задних кромках, а также удовлетворяющих условиям симметрии [5]. На равномерных сетка* панелей ОНИ имеют следующий вид;

j

Rm = 1 (л-' - хт)2 -f- sign (1 — W)(z' - zmf.

- - _ __

(! • d, I'’ •

а) интерполяция по х в окрестности дозвуковой передней кромки:

К

Здесь | — расстояние до передней кромки, Ии Лг— расстояния по хорде между точками коллокации для сеток сон и со/,. Эта формула учитывает особенность К.— о(]/3) в окрестности передней кромки (см. [8]);

б) интерполяция по х в окрестности дозвуковой задней кромки: /Г$ =- (|^-)3'2 0,2383136 (К$ -

к% = /С1;1 + ^-(| Г 0,2383136(7^ —/лг.-і),

00

- і .гзвзнк^ - о,238313бк$_ь = 1,238314/.у —0,2383136/*.-!,

/ /^О) ь^

/л/, = Д/у, Лг —--------------, /лг,-! = Лл/,-1 — Л т

2

Здесь іМи N.. номера панелей, примыкающих к задней кромке для сеток о)я и шд. Эта формула учитывает особенность дК/дх ^о(УХг — х) в окрестности дозвуковой задней кромки (см. [8], сравн. (19));

в) интерполяция по г в окрестности оси симметрии:

К = [АТ,

Здесь индексы 1 и 2 относятся к сетке сон, причем 22>2і. Она учитывает особенность

дК

дг

= 0;

г = 0

г) интерполяция по 2 в окрестности боковой кромки:

К = УТ=~г

\у э — гм_г (гм_! —гт) — гт(гм ~ гм-Л ]

Здесь я—полуразмах, М — индекс панели сетки сон, примыкающей к боковой кромке. Она учитывает особенность дГ = о (1/5-—"5") в окрестности боковой кромки [9].

Во внутренних точках используется квадратичная интерполяция. В окрестности сверхзвуковой передней кромки ЛА используется параболическая интерполяция, учитывающая значение К = 0 на ней. Интерполятор /’ основан на квадратичной интерполяции, но в окрестности оси симметрии используется формула (22).

Отметим, что расчеты показали высокую чувствительность метода к виду интерполяционных матриц. Наилучшие результаты получены при использовании вышеуказанных формул.

Нестационарные аэроупругие процессы характеризуются тем, что диапазоны частот колебаний ЛА, агрегата и элемента разные. Эго обстоятельство видоизменяет процедуру построения в частотной области многоуровневой схемы расчета, Поэтому его рассмотрение выделено в специальный пункт,

9—«Ученые записки» № 2 129

3. Примеры расчетов по многоуровневому многосеточному панельному низкочастотному методу. Рассмотрим эффективность многосеточного панельного метода на примере расчета коэффициентов аэродинамических производных стреловидного крыла Я = 5, т| = 1, AЛgx = 4 при Моо = 0. Ось вращения помещается в носике САХ. Используется равномерная сетка с числом панелей по х — Л^х = 5, по г — Л/* = 3 на первом уровне. На втором уровне Л^х=15, Л^ —9. Сетки обладают очевидным недостатком: они плохо учитывают характер распределения К в окрестности боковой кромки крыла.

Результаты расчетов по односеточному алгоритму на данных сетках, по двухсеточному алгоритму (5) без ^-преобразования и с 62-преобразованием приведены в табл. 1. Здесь же показаны данные из работы [8].

Таблица 1

Коэффи- циенты Метод Односеточный метод Двухсеточный метод

0 [8] 5X3 15X9 (2,5) (2,5) + 82

3,50 3,89 3,58 3,51 3,12

к -0,669 —0,758 —0,651 -0,569 —0,568

2,13 2,50 2,18 2,12 2,13

0) т/ — 1,38 — 1,56 --1,42 -1.17 — 1,17

а Су -0,829 - 0,376 -0,504 — 1,07 -1,07

< -0,0186 -0,306 -0,213 -0,0504 —0,0525

С 2 ? — 0, 29 -0,177 —0,205 —0,495 —0,495

10 9 т г -0,33 -0,612 -0,513 -0,301 -0,309

Как и следовало ожидать, результаты односеточного расчета плохо согласуются с данными работы [8]. Двухсеточный расчет лучше стыкуется с данными работы [8]. Это объясняется наличием в нем интерполятора, учитывающего особенность в окрестности боковой кромки.

Двухсеточный расчет потребовал семи итераций для достижения уровня погрешности 10-5. Время счета в 1,5 раза меньше, чем при односеточном расчете на той же сетке. Применение 62-преобразования дало незначительный эффект. Это подчеркивает высокую скорость сходимости многосеточного панельного метода.

Следует отметить, что эти и указанные ниже результаты получены по модифицированной программе [6]. Создание специальной многоуровневой и многосеточной программы обеспечит еще большую эффективность.

Второй пример иллюстрирует эффективность многоуровневого многосеточного алгоритма. Рассмотрим систему из двух тандемно расположенных прямоугольных крыльев одинакового удлинения К = 2. Крылья отстоят друг от друга на расстоянии, равном хорде; ось вращения идет по передней кромке первого крыла, Моо = 0. На первом крыле ы/1 = о>я = 30 панелям, а на втором шн имеет 12 панелей, а т—108. Результаты расчетов для 17-й итерации приведены в табл. 2. При этом достигнута точность 10~5. Эти данные соответствуют строке, помеченной номером расчетных формул (8).

Коэффи- циенты Сетка > а . а Д Д “г

30+ 12 1,75 2,87 1,75 — 1 ,39 4,25 2,94

с* 30+180 1,69 2,55 1,69 -1,28 3,84 2,38

[8] 1,69 2,56 1 ,69 -1,28 3,84 2,41

30+12 -1,07 -5,59 — 1,07 1,7 -7,28 -6,97

тг 30+108 -0,959 -4,97 -0,959 1,53 -6,50 —5,66

(8) —0,962 -4,99 -0,962 1,52 -6,51 —5,74

В табл. 2 приведены результаты расчетов по одноуровневому односеточному методу на двух сетках год = 30+12 панелей и =30+108 панелей. Они помечены в таблице этими размерностями. Результаты расчетов хорошо согласуются друг с другом. Это свидетельствует о высокой эффективности метода при детальном исследовании нагрузки на отдельном агрегате.

Рассмотрим вопрос об учете новых геометрических деталей при переходе с уровня на уровень.

Добавление новых геометрических деталей, например, нового агрегата может быть выполнено следующим образом. Вначале решается задача без агрегата 5а и определяется начальное приближение для дополнения К Затем рассчитывается начальное приближение для агрегата учитывающее влияние его на себя и воздействие 5-

иа Ба по формуле

ЛааК? + Аа-К^ = И?в.

В дальнейшем можно использовать односеточный двухуровневый алгоритм

лаХГ]) + Аа-а^=^а, )

АааК-а^ + ^ I

Оценка его сходимости дана в [1].

Можно использовать соотношение (24) для определения начального приближения на сетке &ан в алгоритме [2, 8]. Возможности подхода (24), (25) можно проиллюстрировать на примере тандемно расположенных прямоугольных А,1 = 2, Яг = 4, 1 = 2, &1=1, Ь2 = 0,5, причем крыло с большей хордой расположено выше по потоку. Крылья совершают гармонические колебания с осью вращения, совпадающей с

Таблица 3

Коэффи- циенты Сетка а а Д Д шг “г

Су 68+48 (25) 2,0 1,98 2.44 2.44 2,0 1,98 1,22 1,22 3,67 3,65 1,66 1,66

тг 68+48 (2§) —0,829 -0,831 -4.2 -4,2 -0,829 -0,831 -0,963 -0,963 -5,16 -5,17 —3,50 -3,50

передней кромкой первого крыла при Моо = 0. На первом крыле размещено 64 панели, на втором для первого уровня используется 6 панелей. Результаты расчетов по многоуровневому и одноуровневому алгоритмам приведены в табл. 3. Число итераций в многоуровневом методе равно 7. Эти данные соответствуют строкам таблицы, помеченным номером расчетной формулы (25). Строки, помеченные размерностью сетки панелей 68 + 48, содержат результаты односеточного расчета. Видно, что эти результаты практически совпадают.

4. Случай больших чисел Струхаля. Согласно диаграмме декомпозиции [1] переход на новый уровень детализации сопровождается увеличением характерных чисел Струхаля. Поэтому многоуровневый аэродинамический расчет должен быть не только формальным обобщением метода п. 2 на случай со = 0(1), но и допускать расширение диапазона чисел Струхаля при переходе с уровня на уровень. В основу этого метода положим одноуровневый панельный метод решения интегрального уравнения (15). Аналогично (18) можно построить систему уравнении панельного метода

Методика вычисления интегралов описана в [7]. Замыкающее соотношение для К’п в случае дозвуковой задней кромки совпадает с первой формулой (19). Значение Кп для сверхзвуковой задней кромки вычисляется квадратичной экстраполяцией. В случае Моо>1 производится коррекция матрицы системы (26) аналогично варианту ю<1.

Построение многоуровневого многосеточного метода без учета изменения спектра частот практически не отличается от алгоритма, описанного в п. 2, за исключением дозвуковой задней кромки, где используется только первая формула (21).

Если происходит изменение диапазона допустимых частот при переходе с уровня на уровень, то эффективность метода, универсального по числу Струхаля, весьма проблематична. Это объясняется громоздкостью квадратур для быстроосциллирующих подынтегральных функций в интегралах Вт^ и Л„,, в (26). Применение подхода, связанного с использованием интеграла Дюамеля [8], может оказаться достаточно сложным, если количество агрегатов и элементов велико вследствие значительного числа базовых задач. Остановимся поэтому на многоуровневом многосеточном панельном методе для решения задач в частотной области.

Пусть частоты колебаний агрегата Ба намного больше частот колебаний дополнения 5-. Тогда следует рассмотреть две независимые задачи: колебания ЛА с умеренной частотой и колебания агрегата при неподвижном дополнении 5-. Первая задача без труда рассчитывается по многоуровневому многосеточному методу, не учитывающему изменения частот при переходе с уровня на уровень.

Рассмотрим задачу высокочастотных колебаний 5а при неподвижном дополнении 5-. Выделим промежуточную область 5^ так, чтобы с; Обозначим через область дополнения,

охватывающую агрегат 5Й = 5^ — £а, а 5С = 5 —5^. Тогда систему уравнений панельного метода можно представить в виде:

Интегралы, входящие в диагональные клетки Ааа, Аьь, Асс, характеризуются быстроосциллирующими подынтегральными функциями с особенностями в точках коллокации. Для их вычисления следует применять многоуровневый многосеточный алгоритм. Если за характерный размер выбрать масштаб агрегата, то число Струхаля в этих интегралах уменьшится так, что можно для их вычисления использовать квадратурные формулы из работы [7].

Интегралы, входящие в клетки Aba, Aab, Abe, Ась, имеют быстроос-циллирующие подынтегральные функции без особенностей. Для их вычисления можно использовать стандартные методы типа формул Филона [10] в сочетании с многоуровневым и многосеточным подходами. В случае больших частот колебаний элемента здесь возможны дальнейшие уточнения посредством использования асимптотических формул при (o-v + oo.

Интегралы, входящие в клетки Аас и Аса, имеют быстроосцилли-рующие подынтегральные функции. Но так как расстояния от элемента Sa до точек на Sb велико, то для их вычисления можно взять квадратурные формулы, применяемые для расчета следа в [5].

В качестве примера, иллюстрирующего возможность данного метода расчета, рассмотрим задачу колебания элерона, расположенного около законцовки прямоугольного крыла Х = 2, М(Х,= j/2 (см. рисунок). Хорда и размах элерона в десять раз меньше хорды крыла. Элемент Sa соответствует элерону ABCD. В качестве области Sb выбран прямоугольник EFBA (ЕА = Ь). Область Sc состоит из трех прямоугольников GHIE, FIK.B, BKLC. Характер построения областей определяется областью влияния элерона. Используется сетка панелей Sa — 36 панелей; Sb—18 панелей; в прямоугольниках FIKB и BKLC размещено по 9 панелей; в области GHIE — 3. Пусть элерон совершает колебания с умеренной частотой со = О(1). Если выбрать за характерный размер длину хорды элерона, то число Струхаля становится малым и при решении задачи в области Sa U Sb можно использовать много-

уровневый низкочастотный метод. Для сравнения можно использовать результаты расчетов по одноуровневому высокочастотному методу [7] при различных числах Струхаля, отнесенному к хорде крыла. Полученные данные приведены в табл. 4. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются друг с другом.

Таблица 4

0 Многоуровневый метод Одноуровневый метод, =0,5 Одноуровневый метод, <о = 1

4 -0,247 -0,233 -0,219

m'z — 1,07 -1,03 -0,963

4 —0,0784 -0,0833 -0,104

m‘z -0,384 —0,395 —0,420

Возможен метод, основанный па упрощенном учете интерференции элемента и ЛА. На первом уровне элемент представляется либо точечной особенностью, либо панелью. На втором уровне осуществляется детальный расчет местной нагрузки на ЛА.

В заключение отметим, что в работе показана принципиальная возможность построения высокоэффективных панельных многосеточных и многоуровневых методов решения трехмерных задач нестационарной аэродинамики и создание на их основе системы многоуровневого аэродинамического расчета местных нагрузок, включающей возможность охвата диапазона Струхаля, характерных для всего ЛА и его агрегатов и элементов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильичев В. Д., Мозжи л кин В. В. Многоуровневый метод расчета аэродинамических нагрузок на летательном аппарате//Ученые записки ЦАГИ. — 1988. Т. 19, № 4.

2. Ф е д о р е н к о И. П. О скорости сходимости одного итерационного нроцесса//Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 1963. Т. 4, № 3.

3. Brandt A. Mulilevel adaptive computations in fluid dynamics//

AIAA Comp. Fluid Dyn. Conf. — 1979.

4. Shanks D. Nonlinear transformation of divergent and slowelv convergent sequences//J. Math, and Phys. — 1955, N 34.

5. Г о с т e в П. М., Кутин А. С., Мозжил кин В. В. Панельный метод расчета нагрузок, действующих на крыло, совершающее гармонические колебания в дозвуковом потоке//Ученые записки ЦАГИ.—

1978. Т. 9, № 2. '

6. Гостев П. М., Моз жилкин В. В., Сапун ков Я. Г., Сухарев В. М. Комплекс программ расчета аэродинамических величин в задачах аэроупругости летательных аппаратов для малых чисел Струхаля в до- и сверхзвуковом диапазоне скоростей//ОФАП, № 0155.

7. Гостев П. М., М о з ж и л к и н В. В., С а п у н к о в Я. Г., Сухарев В. М., Шевырев С. Г1. Метод и алгоритм расчета нестационарных аэродинамических характеристик ЛА на дозвуковых и сверхзвуковых скоростях полета//Труды ЦАГИ. — 1986. Вып. 2305.

8. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях.— М.: Наука, 1975.

9. Л а н д а л М. Функции распределения давления на колеблющихся крыльях с элеронами//РТК. — 1968, № 2.

10. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973.

Рукопись поступила 12/V1 1990 г.