Обобщенно вольтерровые операторы в метрических пространствах

УДК 517.988.6

ОБОБЩЕННО ВОЛЬТЕРРОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

© Е.С. Жуковский

Ключевые слова: вольтерровый оператор; уравнение УоНегта; существование решений; продолжение решений; метрическое фактор-пространство.

Исследуются свойства вольтерровых на системе отношений эквивалентности операторов, действующих в метрических пространствах. Для уравнений с такими операторами получены условия существования решений и их продолжаемости.

ВВЕДЕНИЕ

В работах [1, 2] было предложено понятие вольтер-ровости на системе отношений эквивалентности. При соответствующем выборе системы отношений это понятие равносильно различным известным трактовкам свойства эволюции, причинности операторов, в том числе классическому определению вольтерровости по

А.Н. Тихонову [3]. В цитируемых работах были изучены свойства вольтерровых на системе отношений эквивалентности операторов, действующих в банаховом пространстве, получены утверждения о существовании, единственности, продолжаемости локальных решений нелинейных уравнений с вольтерровыми операторами, даны оценки области определения решений, доказаны теоремы о непрерывной зависимости решений от параметров. Полученные результаты были применены к исследованию корректности и приближенному нахождению решения задачи Коши для функциональнодифференциального уравнения. Однако некоторые классы задач для функционально-дифференциальных уравнений (связанные с импульсными воздействиями, проблемами управления, устойчивостью и т. д.) приводят к операторным уравнениям в метрических, а не нормированных пространствах. Решение этих задач требует изучения вольтерровых на системе отношений эквивалентности операторов в метрических пространствах.

В данной работе исследуются свойства вольтерро-вых на системе отношений эквивалентности операторов, действующих в метрических пространствах. Для уравнений с такими операторами получены условия существования и продолжаемости решений. Во всех сформулированных утверждениях основным требованием является метризуемость соответствующих фактор-пространств метрического пространства. В работе сформулированы условия такой метризуемости, позволяющие определять возможность применения полученных утверждений в конкретных функциональных пространствах.

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Метрическое фактор-пространство

Пусть X - метрическое пространство с метрикой рх . Обозначим Вх (и, г) = {х е X | рх (х, и) < г} -замкнутый шар пространства X с центром в точке и е X радиуса г > 0 . В обозначениях расстояния и шара будем опускать индекс, если из текста ясно, о каком пространстве идет речь. Будем предполагать, что в X определено отношение эквивалентности ~ . Для любых двух классов эквивалентности х, и положим

ё

Если формула (1) задает метрику в фактор-множестве X / ~ , то будем называть (X / ~, ё) метрическим фактор-пространством. Расстояние (1) в метрическом фактор-пространстве обладает следующим важным свойством: если р(х,и) ^ 0, то ё(х,и) ^ 0 ; и обратно, если ё (хі, и ) ^ 0, то существуют такие представители хі є хі, иі є и , что р(хі, иі) ^ 0 .

Утверждение 1. Пусть метрическое пространство X является полным, и пусть для каждого элемента х є X его класс эквивалентности х есть замкнутое множество. Предположим, также, что выполнены условия

СІ2) для произвольного є> 0, для любых трех классов х, и, ^ є X / ~ существуют такие элементы х є х, и є и , є , что имеет место неравенство р(м>,х) + р(х,и) < ё(^,х) + ё(х,и) + є;

СҐ) для любых классов хі,є X/ ~, і = 1,2,к, _ _

ё (хі, хі+!) , то можно так

хєх, иєи

выбрать представителя каждого класса xi е xi, что

^да

^ р(хг, хг+1) также сходится.

Тогда формула (1) определяет метрику в фактормножестве X / ~, причем (X / ~, ё) является полным метрическим пространством.

Доказательство. Вначале проверим аксиомы расстояния. Равенство ё (х, и) = ё ( и, х) очевидно

выполняется. Пусть ё (х, и) = 0. Составим ряд ё(х,и) + ё(и,х) + ё(х,и) + ё(и,х) + к = 0 . Тогда согласно условию С1да) можно так выбрать элементы хг е х , иг е и , что ряд р(х1, и1) + р(и1, х2) + +р( х2, и2) + р(и2, х3) + к сходится. Так как остаточный член сходящегося ряда должен быть бесконечно малым, то последовательность х1,и1,х2,и2,х3,и3,... фундаментальная и сходится. Таким образом, существуют Иш хг = Иш иг. Вследствие замкнутости классов

г'^да г'^да

это равенство возможно, лишь если х = и . Наконец, для любых х,и,w е X/ ~ , выбрав произвольно е > 0,

в силу условия С12) найдем такие х е х, и е и , w е w , что имеют место неравенства:

ё(&,и) < р^,и) < р(w,х) + р(х,и) <

< ё^, х) + ё(х, и ) + е

Отсюда, вследствие произвольности е , получаем неравенство треугольника ё(¥,и) < ё(¥,х) + ё(х,и) .

Теперь покажем полноту пространства (X / ~, ё) . Возьмем фундаментальную последовательность {хг} с X / ~ . Разрежая данную последовательность,

^да __ __

ё (хг, хг+1).

Согласно условию да ) существуют такие элементы

г=1Р( xi, xr+l) <”

Следовательно, последовательность {хг} фундаментальная, и поэтому сходится в X к некоторому элементу х е х . Тогда, в силу (1), имеем ё(хг, х) < р(хг, х) ^ 0 .

Утверждение доказано.

Замечание 1. Если для любого положительного е , для любых классов х, и е X / ~ и для всякого

представителя х е х существует такой элемент и е и , что имеет место неравенство ё(х,и) >р(х,и) -е, то

условия С12), Ср) оказываются выполненными.

Рассмотрим некоторые примеры пространств (X, ё, ~) , для которых выполнены условия утверждения 1.

Пример 1. Пусть X является банаховым пространством, и отношение эквивалентности ~ сохраняет операции: для любых элементов x, и, w, у е X и всякого действительного X выполнена импликация

x ~ и , w ~ у ^ x + w ~ и + у , Xx ~ Хи .

Тогда (см. [4, с.128-130]) классы эквивалентности образуют фактор-пространство X / ~ с нормой II x ||X/~= inf || x ||x . Условие замкнутости классов

xex

эквивалентности равносильно замкнутости нулевого класса 0 -подпространства, содержащего ноль. В этом случае фактор-пространство X / и(у) является полным нормированным пространством (см. [4, с. 128130]). Проверим выполнение требований утверждения 1. Для произвольных классов эквивалентности x, и , при

любом е > 0 существуют такие элементы x0 е x , и 0 е и , что ё (x, и) =|| x - и || X/~ > || x0 - и 0 || X -е .

Для

любого

элемента

примем

0 , 0 0 , п — ГГ’ 0 0

и = и + х - х е и + 0 = и . Тогда х - и = х - и , то есть ё(х, м) > || х - и ||х -е = р(х, и) -е . Согласно

замечанию 1 условия С12) , С|да) выполнены.

Пример 2. Пусть дано замкнутое множество М с Кп . В множестве 1_р ([а,Ь],М) измеримых суммируемых в р -ой степени, 1 < р < да , функций х :[а, Ь] ^ М определим расстояние формулами

р. (x, и) = | x(t) - и^)\ dt, если p <да;

р

р^^

ге[а,Ь]

Заметим, что в случае М = Кп рассматриваемое пространство превращается в «классическое» банахово

пространство 1_р ([а, Ь],Р п ). Пусть задано измеримое

множество е с [а, Ь] . Определим отношение эквивалентности, считая х ~ и тогда и только тогда, когда х(/) = и(/) при п.в. t е е . Каждый класс эквивалентности замкнут, его можно отождествить с суммируемой р -ой степени функцией х : е ^ М . Расстояние между классами, согласно (1), определяется формулами:

ё (х, и) =1 | х (t) - и (t) | ёt, если р <да ;

Зе

ё (х, м) = уга18ир | х ^) - и (t )| , если р =да .

tеe

Фактор-пространство Ьр ([а, Ь], М )/~ изометрично пространству р (е, М ) . Все требования утверждения 1

оказываются выполненными, их проверка не вызывает затруднений. Например, для доказательства свойства

x е x

xt е xt, что

С|да) следует для любого г = 1,2, к, при п.в. t е [0,1] \ е положить хг (t) = х^) .

Пример 3. Пусть, по-прежнему, М - замкнутое подмножество конечномерного пространства п . В множестве С([а, Ь], М) непрерывных функций

х :[а, Ь] ^ М определим расстояние

pc (x,u) = max \ x(t) -u(t)\ .

ts[a;b]

не удовлетворяет аксиоме треугольника (т. е. является симметрикой). Дело в том, что условие ) не выполнено. Действительно, для достаточно малого е > 0, положим х = {х | х^) = 0, t е е} ,

и = {и | и($) = -е, / е е} , ^ ^ | w(^) = е, / е е} .

Для любых представителей х, и, w этих классов имеем

р(и, х) + р(х, w) >| х(1) - и(1) | + | w(1) - х(1) |>

> w(1) - и(1) > 1.

Отметим, что при М = Кп получаем «обычное» банахово пространство С([а, Ь],Рп). Пусть

е = [а, в] с [а, Ь] . Определим отношение эквивалентности

x - u » x(t) = u(t), Vt є e .

Каждый класс является замкнутым множеством. Фактор-множество C([a,b],M)/~ можно отождествить с множеством непрерывных функций x : e ^ M , а определение (1) равносильно формуле

ё (x, и) = max | x (t) - и (t) | .

tеe

Для проверки условий d2), d”) достаточно выбрать представителями классов такие функции x :[a, b] ^ M , что x(t) = x(a) при t е [a, a), и

x(t) = x(P) при t е (P, b].

Пример 4. Условия утверждения 1 выполнены также для пространства ACp ([a, b] , M, P) таких абсолютно непрерывных функций x :[a, b] ^ M , производная которых x е L p ([0,1], P), с метрикой

Рас (x, У) =| x(a) - y(a) | +pL (x, у) и отношением

эквивалентности (5). Фактор множество ACp ([a,b],M, P)/ ~ изометрично пространству

ACp (e, M, P).

Теперь проиллюстрируем существенность условий сформулированного утверждения.

Пример 5. Определим многозначное отображение M : [-1,1] ^ R равенством

Г (-да, да), если t е [-1,0],

M (t) = i Рассмот-

[ (-да, t] и [0, да), если t е [-1,0].

рим множество С([-1,1],M(•)) определенных и непрерывных на [-1,1] функций x(-) со значениями x(t) е M(t) , в котором метрика задана формулой (4) и введено отношение эквивалентности (5), где e = [-1,0]. Пространство (С([-1,1],M(•)), р) является полным. Каждый класс эквивалентности представляет собой замкнутое множество функций, совпадающих на отрезке e . Определенная равенством (1) функция ё здесь отвечает аксиомам тождества и симметрии, но

В то же время, ё (и, х) = е (это значение «расстояния»

между классами достигается на функциях х0 (^ = 0,

и °^) =-е ) и ё (х, ^ ) = е (эта величина «расстояния» обеспечивается выбором следующих функций:

х1^) = /а при t е [-101-

t, при t є (0,1];

і к при t є [-1, є],ч

w (t) = < ).

I t, при t є (є,1].

Таким образом,

ё(и, х) + ё(х, w ) = 2е , условие d ) нарушено.

1.2. Вольтерровые на системе отношений операторы.

Операторы УоИегга возникают при описании динамики явлений, процессов, поскольку они отражают зависимость настоящего состояния объекта от его развития, его «прошлого» и независимость от «будущего». А.Н. Тихонов в [3] следующим образом определил это свойство «Функциональный оператор V(^ ф) мы будем называть функциональным оператором типа УоИегта, если его величина определена значениями функции ф(т) в промежутке 0 < т < t. Современные абстрактные трактовки свойства вольтерровости операторов предложены в работах М.С. Бродского,

A. Л. Бухгейма, И.Ц. Гохберга, С. А. Гусаренко, Ю.А. Дяд-ченко, П.П. Забрейко, Г.Э. Киселевского, М.С. Крейна,

B.Г. Курбатова, М.С. Лившица, В.И. Сумина,

C. СоМипеапи, А. ЕеШисИ, Я. Баекз.

Здесь используется следующее определение воль-террового оператора [1]. Пусть каждому у е [0,1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности и(у) на множестве X . Назовем элементы х, и е X , удовлетворяющие этому бинарному отношению, и(у) -эквивалентными. Предположим, что совокупность

и = { и(у) | уе [0,1] }

рассматриваемых отношений удовлетворяет условиям: у0 ) значению у = 0 соответствует отношение

и(0) = X2 (т. е. любые два элемента являются и(0) -эквивалентными);

у1 ) значению у = 1 соответствует отношение равенства и(1) = X2 (т. е. никакие два разных элемента не вступают в отношение и(1) );

v ) если Y > п , то и(у) с и(п) (любые два и(у) -эквивалентных элемента будут и(п) -эквивалентными, если у > п ).

Определение 1. Оператор F : X ^ X будем называть вольтерровым на системе и отношений эквивалентности (вольтерровым на и), если для каждого уе [0,1] и любых x, и е X из (x,и) е и(у) следует (Fx, Fu) е и(у) . Таким образом, вольтерровый оператор сохраняет отношение эквивалентности и(у) при любом у е [0,1], отображая эквивалентные элементы множества X в эквивалентные.

Обозначим Зёу - класс и(у) -эквивалентности элемента x е X .

Всюду далее предполагается, что (X, рX ) - полное метрическое пространство, в котором задана удовлетворяющая требованиям v0 ), Vj) ,v ) система

и отношений эквивалентности. Кроме того, считаем, что при любом у е (0,1) каждый класс эквивалентности замкнут, а фактор-множество X / и(у) относительно метрики ё(xL, Му) = inf рx (x,и) явля-

xеXу, иейу

ется полным метрическим фактор-пространством.

Рассмотрим некоторые примеры вольтерровых операторов в таких метрических пространствах.

Пример 6. Пусть каждому уе [0,1] поставлено в

соответствие измеримое множество eу таким образом,

что для любых у, п е (0,1) если у < п , то йу с eп ,

e0 = 0 , e1 = [0,1]. В метрическом пространстве

Lp ([a,b],M) (см. пример 2) зададим при каждом

у е [0,1] отношение эквивалентности

Оператор F :Lp ([a,b],M) p ([a,b],M) будет

вольтерровым на этой системе отношений, если для каждого у е [0,1] для произвольных функций

x,u е Lp ([a,b],M) из равенства x(s) = u(s) при п.в.

s е еу следует (Fx)(s) = (Fu)(s) также при п.в.

s е йу . Если здесь

еу = [a, a + у

то получаем классическое определение вольтерровости по А.Н. Тихонову [3]. Если положить еу = [b - у (b - a), b], то получим так называемый «оператор опережающего типа». В исследовании задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения с условием в середине отрезка [a, b] иногда удобно использовать множества еу = [0,5(a + b - у(Ь - a));

0,5(a + b + у(Ь - a))].

Пример 7. Определим многозначное отображение M : [-1,1] ^ R равенством M(t) = [- 111, 111]. Пусть С([-1,1],M(•)) - пространство непрерывных на

[-1,1] функций x(') со значениями x(t) е M(t), в котором метрика задана формулой (4) и введена система отношений эквивалентности (6), где еу = [-у, у]. Это полное метрическое пространство. Фактор-пространство С([-1,1], M (•))/ и(у) изометрично пространству С([-у,у],M(•)) . Рассмотрим оператор, определяемый равенством

x

0

Легко проверяется, что этот оператор действует в С([-1,1], M (•)) и является вольтерровым на заданной системе отношений.

Приведем некоторые свойства вольтерровых операторов, непосредственно вытекающие из определения 1.

1. Выберем любое такое подмножество Г с [0,1],

что {0,1} с Г , и для каждой убывающей последовательности (или для всякой возрастающей последовательности) {у i} е Г выполнено lim уг- е Г . Пусть

i

ю = { и(у) е и | у е Г}. Определим функцию п : [0,1] ^ Г равенством п(у) = inf { § е Г | §>у} (во втором случае, п(у) = inf{§ е Г | § < у}), поставив в соответствие каждому числу у отношение эквивалентности и(п(у)). Если оператор F : X ^ X является вольтерровым на системе и, то он будет вольтерровым и на ее подсистеме ю .

2. Композиция вольтерровых на фиксированной совокупности и операторов также обладает таким свойством.

3. Тождественный оператор вольтерров на любой совокупности отношений эквивалентности.

4. Если для некоторых у 0 е (0,1) , и е X окажется выполненным включение Fu е Му , то множество

у 0 ’

Му0 будет инвариантным для вольтеррового оператора F : X ^ X . Отношение и(у) можно рассматривать не на всех элементах X , а лишь на элементах подмножества Му0 . Это множество является полным метрическим пространством, относительно метрики, действовавшей в исходном пространстве X . Таким образом, на Му оказывается заданной система отношений эквивалентности, удовлетворяющая требованиям v0 ) , Vj) , v ) . Фактор-множество Му / и(у) при

у < у0 состоит лишь из одного элемента. Покажем, что в случае у > у0 метрическое пространство Му^ / и(у) будет полным. В противном случае, для некоторой последовательности Муi е Му / и(у) будет

выполнено ёX/и(у)(муі, Му ) ^ 0, причем

Му £ и / и(у). Тогда найдется такой класс є X / и(у0), Жуо Ф йу , что йу с Жуо. На основании следующей оценки расстояния

ё(Ж , й, ) =

У У 0 У 0 '

= _іиґ _ рX(ю,и) < _іпГ _ р^^(ю,и) ^ 0

єЮу0 , иєиу0 юєУиуі, иєиу

получаем противоречие: . Итак, пространст-

во иу0 / и(у) полное, и система отношений эквивалентности на иу0 удовлетворяет всем перечисленным

выше условиям. Из вольтерровости оператора Е : X ^ X на совокупности и следует вольтерро-

вость его сужения Е10 : Йу ^ иу0 на (сужении) и.

5. Определим при любом у є (0,1) каноническую проекцию - отображение Пу : X ^ X / и(у), Пу х = ху . Для вольтеррового на системе и оператора Е : X ^ X обозначим Еу : X / и(у) ^ X / и(у) оператор, определяемый равенством Еуху ^ ПуЕх, где х - любой элемент класса ху. Зафиксируем у0 є (0,1) . Система отношений и порождает отношения эквивалентности в фактор-множестве X / и(у0 ) . Пусть ^ є (0, у 0 ) , и пусть элементы х, у є X и(^) -эквивалентны. Тогда любые элементы х' є ху , у' є Уу будут также и(^) -эквивалентными. Это позволяет говорить об эквивалентности классов ху ,

Уу0 . Итак, ху0, Уу0 є X / и(у 0) назовем и 70 (ст) -эквивалентными, ст є (0,1) , если существуют (а значит и все) элементы х є х^0 , У є у^ , удовлетворяющие отношению и(^) , ^ = у 0 ст . Таким образом,

на X / и(у0) задана система ит0 = {ит0(ст)} отношений эквивалентности. Фактор-пространство

(X / и(у0 ))/ ит° (ст) с метрикой

d(Xа0,Xа0) = _ Ч rT0 dxIu(Yo)(xYo,uY0) =

xT0єXа0, “T0^а0 = _ inf _ px

^уоа, “є“у0а

изометрично пространству XI u(y 0а) и, следовательно, является полным. Если оператор F : X ^ X воль-терров на системе U , то оператор F/о : XI и(yq ) ^ XI u(yq ) будет вольтерровым на

6. Если последовательность вольтеровых на системе и операторов Е : X ^ X сильно сходится к оператору Е : X ^ X , то есть при всех х є X выполнено р(Еіх,Ех) ^ 0 , то и предельный оператор Е также вольтерров на системе и .

II. РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ УОЬТЕЖА

II. 1. Понятия локального, глобального, предельно продолженного решений.

Пусть операторы Ф, Е : X ^ X являются воль-терровыми на системе V отношений эквивалентности. Рассмотрим уравнение

Фx = Fx

относительно неизвестного х е X .

Определение 2. Если для некоторого уе (0,1) существует класс эквивалентности 2у е X / и(у) , удовлетворяющий равенству

то уравнение (9) будем называть локально разрешимым, а класс 2у е X / и(у) - его и(у) -локальным

решением. Элемент г е X , удовлетворяющий уравнению (9), назовем глобальным решением. Отождествляя элемент 2 с классом и(1) -эквивалентности 21 = {2} , содержащим лишь один этот элемент, будем глобальным решением считать также класс 21 . Если

0 <^<у< 1 и если 2^ , 2у - соответственно и(^) -локальное и и(у)-локальное (или глобальное при у = 1) решения, удовлетворяющие включению

Z

Zi то будем называть решение Z^ продолжени-

решения Z|, решение Z| - частью решения

Z Y .

Заметим, что для произвольного локального или глобального решения 2у при любом £, е (0, у] существует

единственный класс 2^ , для которого имеет место 2у с 2^ . Этот факт позволяет отождествить локальное или глобальное решение 2у с отображением, ставящим в соответствие каждому числу £, е (0, у] такой класс 2^ , что 2у с 2^ . Имея в виду это отображение,

можем говорить, что решение 2у определено на (0, у]. Предельно продолженным решением, определенным на (0, у) , будем называть отображение, сопоставляющее каждому £, е (0, у) локальное решение 2^е X / и(^) , и удовлетворяющее следующим усло-

системе U

Y о

Уг|, | 0 < п < С < У ^ ^ с , ііш ё(5С, уР) = да.

Сау-0 ^ ^

Здесь у є X - некоторый фиксированный элемент. Отметим, что если Ііш ё(, ус_ ) = да , то для про-

Сау-0 ^ ^

извольного и є X выполнено аналогичное равенство Ііш ё (5е , и с) = да , то есть приведенное определе-

Сау-0 ^ ^

ние корректностно. Любое сужение на (0, п] с (0, у) предельно продолженного решения (отображения С є (0, у) а 5^ є X / и(С) ) является, очевидно, локальным решением. Будем называть это сужение частью предельно продолженного решения.

Определенные здесь понятия локального, глобального, предельно продолженного решений являются естественным обобщением понятий решений дифференциальных уравнений, интегральных уравнений УоІ-Іегга, функционально-дифференциальных уравнений эволюционного типа, других уравнений с вольтерро-выми по А. Н. Тихонову операторами. Для перечисленных уравнений решение ищется в каком-либо множестве функций, определенных на [а, Ь]. Под локальным

решением понимают функцию гс, определенную на [а, с], с < Ь и удовлетворяющую на этом отрезке заданному уравнению. Функция гс может считаться классом функций, являющихся всевозможными ее продолжениями на весь [а, Ь]. Таким образом, «классические» определения решений эволюционных уравнений равносильны приведенным выше, если на соответствующем множестве функций определить систему отношений (6), (7).

П.2. Условия локальной разрешимости.

Здесь рассматривается частный случай уравнения

х = Ех,

когда оператор Ф : X а X - тождественный.

Определение 3. Вольтерровый на системе и оператор Е : X а X назовем локально сжимающим в

0 на системе и, если существуют: элемент и0 є X и число q < 1 , такие что для любого г > 0 найдется т = т(г) > 0 , при котором для произвольных хт, ут є BX і и(т)(и Т, г), где й° =Пти0, выполнено неравенство

ё

Приведем пример оператора, обладающего таким свойством.

Пример 8. Рассмотрим определенный в примере 7 равенством (8) оператор Е :С([-1,1],М(•)) а

а С([-1,1],М(•)) , где М(Ґ) = [- | Ґ |, | Ґ |]. Как и в примере 7, считаем, что в пространстве С([-1,1],М(•)) определена система отношений (6),

«порожденная» цепочкой вложенных отрезков

Є/ = [-Y, Y]. Для произвольных xx, Ут є

є С([-т, т],M(•)) имеем

1т

d (Fт xx, Fx у ) = max \ I xx (s) ds - I yx (s) ds\ =

tє[-т; т] J J

0 0

*т (t) Ут (t) т

= maxт]\ |X (s) - Ут (s)dd - I Ут (s) ds \< | |x- (s) - yt (s)|ds +

о ”т (t) о

Ут»

+ max \ Iyx (s) <*\<Т> d( xx, yx ) + max \yx (s)\d( xx, yx ) < te[-x; x] J se[-x; x]

xjj )

< 2I- d

Приняв, например, q = 0,8 , т = 0,4 , убедимся в выполнении неравенства (11). Таким образом, оператор F :С([-1,1],M(•)) а С([-1,1],M(•)) является локально сжимающим в 0 на системе отношений (б).

Теорема 1. Пусть оператор F : X а X является вольтерровым на системе U и локально сжимающим в 0 на этой системе. Тогда уравнение (10) локально разрешимо, и для любых двух локальных решений Zy є XI u(y) , є XI u(n), существует такое положительное число I , что произвольные элементы Z є Z/ , йєп являются и(|) -эквивалентными.

Доказательство. Положим r = (1 -q)- p(u0,Fu0) . Выберем значение т = т(г) , при котором выполняется неравенство (11). Шар BX/U^x)(u°x, r), где

^0 тг 0

u т = U^u , является инвариантным для оператора Fx : XI и(т) а XI u(x), так как для любого xx є BxI^^(u0,r) в силу неравенства (11) имеем

d(u°, Fxxx ) < d(u°, Fxй0т ) + d (Fxй0т, FxХт ) <

< p(u Q, Fu 0 ) + qd(u Qx, xx ) < (1 - q)r + qr = r.

Кроме того, согласно неравенству (11), сужение оператора Fx на шар BxiU(x)(u Q, r) является сжатием.

Следовательно, уравнение (10) локально разрешимо. Пусть даны два локальных решения Z,t є XI u(y) ,

є XI u(n) . Выберем некоторые элементы

о - о —

Z є Z/ , Ю єп и положим

r = max| (1 -q)_1p(uQ,FuQ), p(uQ,zq), p(uQ,ю0) }.

Найдем значение (r) = I , при котором выполнено неравенство (11). Тогда шар Bx/0(|)(u Q, r) будет

инвариантным для оператора

F| : XI u(|) а XI u(|) , причем на этом шаре оператор F| - сжатие. Далее, радиус r выбран нами так,

что для классов и(Е) -эквивалентности

2р, Ж е X / и(Е) , элементов 20, ю0 выполнено

включение 2р , ю е Bх / и(^)(и 0, г). В силу единственности в этом шаре неподвижной точки оператора имеем 2р = ю .

Теорема доказана.

Отметим, что в условиях теоремы имеет место очень слабый аналог единственности локального решения: любые два решения и(Е) -эквивалентна:, где Е > 0 зависит от этих решений. Приведем пример, подтверждающий, что для всех локальных решений может не существовать общее значение Е > 0 .

Пример 9. В банаховом пространстве 1-да ([0,1]Д п ) рассмотрим функциональное уравнение

х^) = 1х2

Зададим в 1_да ([0,1],Кп) систему отношений (6),(7). Определим оператор

Е : 1_да ([0,1], Кп ) а 1_да ([0,1], Кп ) равенством

На заданной системе отношений этот оператор является вольтерровым (то есть вольтерровым по А.Н. Тихонову) и локально сжимающим в 0. Решением (12) будет

[0, если t еО,

всякая функция 2 и) = < , где

[ t_1, если t е [0,1] \ О,

О - произвольное измеримое множество, причем существует такое Е > 0 , что [0, Е] с О . Поскольку число Е может быть любым, то не существует отрезка, на котором бы совпадали все локальные решения.

11.3. Условия продолжения решений.

Определение 4. Вольтерровый на системе и оператор Е : X а X назовем локально сжимающим в точке у е (0,1) на системе и, если для любого

йу е X / и(у) существуют: элемент и0 е иу и число q < 1 , такие что для любого г > 0 найдется т = т(г) > 0 , при котором для произвольных

ху+т, Уу+те BX/и(у+т)(«пт, г^ где и у°+т=Пу+ти<\ удовлетворяющих при любом ; е (0, у) включению ху+т, Уу+т с и- , где Й- = П^0 , выполнено неравенство

ё (Еу+т х

у+т, Еу+т Уу+т

) < q •ё

Замечание 2. В обозначении класса и- = П-и0 при ; е (0, у) отсутствует верхний индекс 0, поскольку это множество однозначно определяется, как класс

и(с) -эквивалентности, содержащий в себе класс Му

(множество П<-М0 остается неизменным при выборе

любого представителя и0 класса Му).

Замечание 3. Если вольтерровый на и оператор F : X а X является локально сжимающим в точке у е (0,1) , то для любых r > 0 , Му е X / и(у) , можно принять т = 0 . Следовательно, для произвольных Xу, Уу е X / и(у) , удовлетворяющих при любом

с е (0, у) включению Xу, Уу с , имеет место неравенство

ёFx1, FуУу) < q • ё

Определение 5. Вольтерровый оператор F : X а X назовем локально сжимающим на системе и, если он является локально сжимающим в любой точке у е [0,1).

Отметим, что определенный равенством (8) оператор является локально сжимающим на системе отношений (6) (см. примеры 7, 8). Вольтерровый по А. Н. Тихонову оператор (13) является локально сжимающим только в точке 0 и не обладает этим свойством ни в одной точке у е (0,1) .

Теорема 2. Пусть оператор F : X а X является вольтерровым на системе и и локально сжимающим на этой системе. Тогда уравнение (10) локально разрешимо. Для любых двух локальных решений М§ е X / и(§) , е X / и(п), если § < п , то

С м§ . Любое локальное решение продолжаемо до

единственного глобального или предельно продолженного решения.

Доказательство. Существование локального решения следует из теоремы 1. Выберем произвольные локальные решения М§ е X / и(§) , е X / и(п) .

Пусть § < п . Для любого се [0, §) существует единственный класс МС е X / и(с) , для которого имеет место М§ с МС (если с > 0 , то этот класс является частью решения М§). Аналогично, обозначим Юс е X / и(с) - часть решения . Положим

у = sup { се [0, §) | юл с МС }.

Пусть у < § . Выберем удовлетворяющие определению локального сжатия в этой точке у элемент

и0 е Му и число q < 1 , а также произвольный элемент

юеюл . Примем

r = max{(1 -q)-1 p(u0,Fu0),р(и0,ю)} .

Выберем значение т = т(г) е (0, § - у] , при котором выполняется неравенство (14). Определим множество

В = { У у + т е BX / о (у + т)(и 0+т , г) I У у + т с и ; , V- е (0, У)} =

= I и. /и(у + т).

¥;е

Это множество замкнуто (см. п. 12, свойство 4) и является инвариантным для оператора

Еу+т : X / и(у + т) а X / и(у + т) . Вследствие условия

(14) сужение оператора Еу+т на множество В является сжатием. Далее, радиус г выбран нами так, что для класса и(у + т) -эквивалентности Жу+т е X / и(у + т) ,

Жу+т = Пу+тю выполнено включение Юу+т е В . В силу единственности в этом шаре неподвижной точки оператора Еу+т имеем иу+т = Жу+т , с Жу+т. Таким образом, предположение у<Е неверно.

Остается ситуация у = Е . В этом случае можем положить т = 0 (см. замечание 3) и воспользоваться неравенством (15). Рассуждая аналогично, получим м”е = ю, иП с ю . Единственность локального решения установлена.

Рассмотрим множество всех локальных решений. Оно состоит из некоторых классов и(Е) -

эквивалентности, где значения Е заполняют некоторое подмножество Г с (0,1] . Пусть у - точная верхняя граница множества Г , и пусть у < 1. Согласно доказанному выше, для любого Е < У уравнение (10) имеет единственное решение Ще , определенное на [0, Е] . Покажем, что решение Е е (0, у) а иЕ является предельно продолженным. Возьмем произвольный элемент у е X . Если предположить, что решение не является предельно продолженным, то Иш ё(иЕ,УЕ) < да, где уЕ = ПЕу . Но в этом слу-

Еау-0 ^ ^ ^ ^

чае можем показать, что существуют число т > 0 и решение, определенное на [0, у + т]. Действительно,

сужение оператора Еу+т : X / и

на множество В = I и. / и(у + т) является сжати-

У;е

ем. Неподвижная точка оператора Еу+т и будет тре-

буемым решением. Получено противоречие с определением числа у = sup Г .

Пусть теперь у = 1. Если снова lim ё (М§, У§) <да, то решение §е (0,1) а М§

§ау-0

можно аналогично продолжить до решения, определенного на всем отрезке [0,1] . В этом случае надо положить т = 0 (см. замечание 3) и воспользоваться неравенством (15). Сужение оператора F : X а X на множество B = { у е X | у с и., Уде (0,1)} = I Мс

Усе

будет сжатием. Таким образом, доказано существование глобального решения уравнения (10).

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 33-56.

2. Жуковский Е.С., АлвешМ.Ж. Абстрактные вольтерровы операторы // Изв. вузов. Математика. 2008. № 3 (550). С. 3-17.

3. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Вып. 8. Т. 1. С. 1-25.

4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 09-01-97503, 07-01-00305), Министерства образования и науки РФ (программа РНП № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU).

Поступила в редакцию 10 июня 2009 г.

Zhukovskiy E.S. Generalised Volterra operators in metric spaces. Properties of the Volterra operators on a system of equivalence relations with values in metric spaces are investigated. For the equations with operators of such a type the solution existence and extensibility conditions are obtained.

Key words: Volterra operator; Volterra equation; solutions existence; solutions extensibility; metric factor space.