Точные методы расчета напорных трубопроводов со стабилизаторами давления

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ СО СТАБИЛИЗАТОРАМИ ДАВЛЕНИЯ

Ф.В. Рекач1, Е.К. Синиченко2, А.М. Попов1

кафедра высшей математики Факультет физико-математических и естественных наук

2Кафедра гидравлики и гидротехнических сооружений Инженерный факультет Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В статье описаны основные точные и численные методы расчета напорных трубопроводов со средствами защиты при неустановившемся движении.

Ключевые слова: стабилизатор давления, гидроудар.

Одним из эффективных средств гашения волновых процессов в трубопроводных системах являются стабилизаторы давления (СД). Принцип их работы основан на распределенном по длине трубопровода диссипативном и упругодемпфиру-ющем воздействии на пульсирующий поток перекачиваемой среды. Наибольший эффект гашения достигается при диссипации энергии пульсаций на перфорационных отверстиях, равномерно распределенных по длине стабилизатора, а также вследствие демпфирования, обусловленного податливостью упругих элементов стабилизатора. Отличительная особенность стабилизаторов давления заключается в том, что они не нарушают форму трубопровода и имеют минимальные гидравлические сопротивления.

Стабилизатор работает следующим образом. При распространении волны повышенного давления (рис. 1а) происходит перетекание транспортируемой среды через отверстия 2 из трубопровода 1 в демпфирующую камеру 3, упругий элемент при этом сжимается. При понижении давления (рис. 1б) упругий элемент увеличивается в объеме, заполняя свободное пространство демпфирующей камеры, часть заполняющей ее среды вновь перетекает в трубопровод 1, обеспечивая сглаживание провала давления. Гашение пульсаций осуществляется также за счет дросселирования среды через перфорационные отверстия 2. При большой суммарной податливости упругих камер и оптимальном варианте суммарной площади перфорации можно добиться максимального уменьшения амплитуд гидроудара и вынужденных колебаний. Дополнительный эффект гашения обеспечивается при расширении потока в коллекторах стабилизатора.

Среди точных методов наиболее рациональными с точки зрения простоты, точности и легкости задания исходных данных являются методы Д'Аламбера и Лапласа.

а) б)

Рис.1. Распространение волны повышенного (а) и пониженного(б)давления

Метод Д'Аламбера. Неустановившееся движение несжимаемой жидкости в трубопроводе без учета трения (после преобразований) описывается уравнениями движения и неразрывности следующего вида [4]:

Э2 р

Эх2 с2 dt2 ' Э2Q

Эх2 с2 ' dt2

где р( х, г) — давление в трубопроводе, н/м2; Q — расход жидкости в магистрали, м3/с;

с 2

Ь — площадь поперечного сечения магистрали, м ; с — скорость распространения волн давления, м/с.

Идея метода Д'Аламбера состоит в представлении неустановившегося движения жидкости на г-м участке в виде прямой и обратной волн, при этом общее решение системы (1) для участка хг = ^ записывается в виде

Qt (х, t ) = -

F

Pi (xt, t) = -с

где p — плотность жидкости, кг/м .

f х > t —1

V с У

+gi

t —'- -gi

V с У

f х > t+-

V с- у

t+-L

V с У

Затем учитываются граничные условия и производится «сшивка» участков. Этим методом решались задачи на вынужденные колебания со стабилизатором давления [3].

Метод Лапласа. Система уравнений, описывающая движение жидкости в трубопроводе со стабилизатором, считая жидкость несжимаемой средой p = = const, имеет вид [2]

dPI

Эх

-p-

dvI (х, t) dt

+ 2avI

Рекач Ф.В., Синиченко Е.К., Попов А.М. Точные методы! расчета напорных трубопроводов..

эА

dt dx

dpn (x, t) =

dx

dvii

dPii

dt " Рг dx '

dpUL = _pdviIL (7) dx dt

f ^ + =

«Ш ox

дРпк = pdvnK (9) dx dt

^Vпeр = 0,

Лж dx

^=_P-^,

ox dt

pcK

дрк =_pc2 dvK dt К dx

Рш - РпК = A Vпер + 5Упер " |Упер |,

где р1, уг, рп, уп, рш, у111 — давление и скорость на участках магистрали 1,11,111; a — коэффициент трения в магистрали трубопровода; ст, ск — скорость звука в трубе, камере с жидкостью; упер — скорость перетекания потока из трубопровода в предкамеру; РПК, уПК , Рк, уК — давление и скорость в предкамере и камере стабилизатора;

/пк =П((ж - ) — площадь поперечного сечения предкамеры кольцевой формы;

, йпк — средний диаметр трубы магистрали и внешний диаметр кольца предкамеры; А и В — постоянные коэффициенты, получаемые экспериментально.

Уравнения (3)—(13) представляют собой систему относительно одиннадцати неизвестных функций р1, у15 рп, уп, рш, уш,рПк, Упк, Рк, Ук, Упер, в которой

(3), (5), (7), (9), (11) являются уравнениями равновесия элемента потока; (4), (6), (8), (10), (12) — уравнениями неразрывности и уравнение (13) выражает условие перетекания жидкости через перфорацию.

Длина волны, которую гасит стабилизатор, как правило, значительно превышает его длину 1СТ. Поэтому принимается гипотеза о том, что давление в различных элементах стабилизатора не меняется по координате х.

Система (3)—(13) сводится к четырем уравнениям, к которым вместе с граничными условиями (в граничных сечениях задается известная величина давления

или расхода) применяется преобразование Лапласа по времени. Преобразованная система дифференциальных уравнений уже не является системой в частных производных и имеет точное решение. Переходя обратно во временную область с помощью формулы обращения Меллина, методом Д'Аламбера находятся оригиналы функций pj( 5, X ), Vj( 5, х), pn( 5, х), vn( 5, x).

Сравнение методов. Методом Д'Аламбера были решены задачи на вынужденные колебания, в которых в одном из граничных сечений задавалось давление равное нулю (выброс жидкости в атмосферу), во втором задавались известные пульсации давления или расхода. Аналогичные задачи решались и методом Лапласа, однако ввиду громоздкости вычислений (которые не всегда можно было поручить компьютеру) число рассматриваемых участков сокращалось до минимума.

Методом Лапласа легче решаются задачи на гидроудар (в граничном сечении с постоянным расходом мгновенно закрывается задвижка) [1]. Также исследовались задачи с нелинейным законом перетекания жидкости через перфорацию, что в методе Д'Аламбера сделать трудно (если вообще возможно). Задачи с наличием трения в магистральном трубопроводе можно решать обоими методами.

При решении задач на вынужденные колебания метод Д'Аламбера более удобен, так как легче задавать гармоники вынужденных колебаний.

Часть результатов решения по рассматриваемым методам сравнивались и разница амплитуд давления не превосходила 10%.

Выводы. При решении методом Д'Аламбера значительно легче рассчитывать гидравлические системы, включающие несколько разных конструктивных участков, однако труднее учитывать нелинейности задач.

Оба метода имеют определенные ограничения их использования, связанные с невозможностью (или большой технической трудностью) учета изменений в системе, происходящих в заданные моменты времени.

Решение задач точными методами дает правдоподобную физическую интерпретацию, что может быть использовано при поверке решений численными методами.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ганиев Р.Ф., Низамов Х.Н., Дербуков Е.И. Волновая стабилизация и предупреждение аварий в трубопроводах. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

[2] Низамов Х.Н., Рекач Ф.В., Синиченко Е.К. Расчет вынужденных колебаний трубопровода со стабилизатором давления диссипативного принципа действия методом Лапласа с учетом трения в магистральном трубопроводе и нелинейной зависимости скорости перетекания жидкости через перфорацию // Двойные технологии. — 2005. — № 2. — С. 20—25.

[3] Рекач Ф.В. Исследование вынужденных колебаний в круговых цилиндрических оболочках методом Д'Аламбера со стабилизатором давления диссиптивного типа // Строительная механика конструкций и сооружений. — 2007. — № 2. — С. 47—52.

[4] Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. 2-е изд. — М.: Недра, 1975.

Рекач Ф.В., Синиченко Е.К., Попов А.М. Точные методы расчета напорных трубопроводов...

EXACT METHODS IN ANALYSIS

OF PRESSURE PIPELINES WITH PRESSURE STABILIZERS

F.V. Rekach1, E.K. Sinichenko2, А.М. Popov1

department of Mathematics Faculty of science

2

Department of Hydraulics and Hydraulic Structures Engineering faculty Peoples' Friendship University of Russia Ordzhonikidze str., 3, Moscow, Russia, 115419

A short essay of pressure pipelines analysis on water hammer and pressure oscillations by exact methods is described in an article.

Key words: pressure stabilizer, water hammer.