Теплотехнический расчет конструкций численными методами

УДК 697.1

О.А. Туснина

ФГБОУВПО «МГСУ»

ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Рассмотрены особенности теплотехнического расчета конструкций численными методами. Приведен алгоритм численного решения дифференциального уравнения стационарной трехмерной теплопроводности. Дискретизация дифференциального уравнения проводилась методом контрольных объемов. На основе описанного алгоритма был разработан вычислительный комплекс. Приведены примеры использования вычислительного комплекса для решения практических задач.

Ключевые слова: трехмерная теплопроводность, численные методы, сопротивление теплопередаче, теплотехнический расчет, теплообмен.

При проектировании ограждающих конструкций зданий необходимо корректное решение задач теплообмена. Только на основе точного расчета можно разработать оптимальное и энергоэффективное ограждение.

Многие исследователи занимались изучением вопросов теплотехнического расчета ограждающих конструкций. В [1—3] исследован вопрос определения расчетного сопротивления теплопередаче конструкции. Оценка влияния различных факторов на энергоэффективность зданий изучалась в [4]. Авторы пришли к выводу, что решать проблему уменьшения затрат на отопление зданий нужно комплексным методом, одной из составляющих которого является реальный и достоверный расчет сопротивления теплопередаче конструкции, с учетом имеющихся в ней неоднородностей, воздушных прослоек, особенностей геометрии и т.д. В [5—7] проведена оценка влияния теплопроводных включений в ограждении на общую величину расчетного сопротивления конструкции теплопередаче.

В общем случае процессы теплообмена можно изучать экспериментально и теоретически.

Экспериментальные исследования проводятся с использованием либо полномасштабных, либо маломасштабных моделей. Полномасштабная модель полностью отражает особенности реальной конструкции. Однако создание полномасштабной модели — трудоемкий и дорогостоящий процесс. Использование маломасштабных моделей требует экстраполяции результатов на натурную конструкцию, что не всегда возможно из-за отсутствия точных правил экстраполяции. В процессе экспериментального исследования могут возникать ошибки измерения, измерения могут быть затруднены, поэтому для решения таких задач целесообразно применять численные методы.

Численное моделирование двумерной задачи теплопереноса рассмотрено в [8, 9], в [10] применен метод конечных элементов для решения трехмерных задач теплопроводности, авторами [11] выполнено конечноэлементное моделирование стационарных задач теплопроводности в программном комплексе ANSYS.

ВЕСТНИК

МГГУ 11/2013

При теоретическом исследовании получаются результаты решения созданной математической модели, а не реального физического явления. Правильно созданная математическая модель позволяет успешно выполнять численные исследования теплообмена через ограждающие конструкции.

Для выполнения численного решения задачи законы, управляющие процессом теплообмена, записываются в виде дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности для трехмерной задачи имеет следующий вид:

где X — коэффициент теплопроводности; Т — температура.

Дифференциальное уравнение теплопроводности отражает закон сохранения температуры.

Численное решение данного дифференциального уравнения представляет собой набор чисел, который определяет распределение зависимой переменной Т. Основные неизвестные в этом случае — значения зависимой переменной в заданном числе узловых точек расчетной области. Непрерывная информация, содержащаяся в точном решении дифференциального уравнения, заменяется дискретными значениями в узловых точках. Система алгебраических уравнений (дискретных аналогов), включающих неизвестные значения Т в узловых точках, образуется из дифференциального уравнения (1).

Дискретизация дифференциального уравнения может быть осуществлена множеством способов. В данном случае применялся метод контрольного объема как одна из разновидностей метода взвешенных невязок [12].

Основная идея метода контрольного объема состоит в том, что область разделяется на конечное число контрольных объемов, соприкасающихся по граням. Каждая узловая точка содержится только в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по всем контрольным объемам. Для определения интегралов использованы кусочные профили, описывающие изменение Т между узловыми точками. Результатом этих действий является получение дискретного аналога дифференциального уравнения, в который входят значения Т в узловых точках. Закон сохранения для конечного контрольного объема выражается полученным дискретным аналогом.

Полученный с использованием данного метода дискретный аналог уравнения (1) для каждого контрольного объема (рис. 1) имеет следующий вид:

где ар = аЕ + аш + ам + а8 + аТ + ав;

аЕ = Хе ЛуЛг/(5х)е ; аш = X„ЛуЛг/(5х)^; ам =Хп ЛгЛх/(5у)п ; а8 =Хя ЛгЛх/(Ъу)з; ат = Х{ЛхЛу/(5z)í; ав = ХьЛхЛу/(5г)ь; Ь = БС ЛхЛу Лг,

где Бс — мощность тепловыделений в контрольном объеме; Хе =2Хр Хе I (Хр +Хе ) — значение коэффициента теплопроводности на границе контрольного объема между точками Е и Р, если граница находится посередине между этими точками (что принято в данном исследовании).

аРТР = аЕТЕ + ашТш + амТм + а8Т8 + атТт + авТв + Ь,

(Sx),, (Sx^

Рис. 1. Схема расположения точек. Контрольный объем заштрихован

Уравнение (5) составляется для каждого контрольного объема, и получается система линейных алгебраических уравнений. Решение данной системы можно осуществить с помощью обычного метода исключения Гаусса. Для уравнений одномерной стационарной теплопроводности процесс исключения превращается в удобный алгоритм TDMA (Tri-diagonal-Matrix-Algorithm). Все ненулевые члены матрицы коэффициентов системы уравнений для этого случая группируются вдоль трех диагоналей матрицы.

Однако алгоритм TDMA не может быть непосредственно применен для решения многомерной задачи. Решение задачи трехмерной теплопроводности выполнено с помощью метода переменных направлений (полинейного метода) [12]. Создается комбинация прямого метода TDMA для одномерной задачи и метода Гаусса — Зейделя. Первоначально методом TDMA для каждого ряда узлов в одном направлении задача решается как одномерная, затем на основании полученного начального поля распределения температур проводится расчет методом Гаусса — Зейделя. Далее аналогично в двух других направлениях. Сходимость такого процесса намного быстрее, чем прямое применение метода Гаусса — Зейделя.

Описанный выше алгоритм решения дифференциального уравнения стационарной трехмерной теплопроводности был реализован в вычислительном комплексе TEPL.

Далее рассмотрим пример применения вычислительного комплекса для решения задач, представляющих практический интерес.

Рассмотрим конструкцию покрытия, состоящую из сэндвич-панелей SPC 120/80 PU (X = 0,05 Вт/(м2°С)), прикрепленных к прогонам Z200*2. В первом случае крепление осуществляется самонарезающими болтами GT6 175-5.5/6.3 (^ = 58 Вт/(м2°С)) диаметром 6,3 мм в каждой волне сэндвич-панели через всю толщину панели (рис. 2), во втором — вытяжными заклепками, которые крепят к прогону только внутреннюю обшивку (рис. 3).

ВЕСТНИК

МГСУ-

11/2013

Сэндвич-панель БРС120/80Р11 \

Прогон 2200x2

Болт_

GT6 175-5,5/6.3

Сэндвич-панель /вРС 120/80Ри

Т—1

1 M

/

Болт /' GT6 175-5,5/6.3 1 M Прогон Lj Z200x2

Рис. 2. Схема крепления панели к прогону самонарезающими болтами

Прогон 2200x2

ГЛ Сэндвич-панель /SPC 120/80PU AI

-т- -т-1--г- Заклепка -т-

1 M

Сэндвич-панель /SPC 120/80PU

/

Заклепка

Прогон

Lj Z200x2

1 м

Рис. 3. Схема крепления панели к прогону вытяжными заклепками

Болты моделировались теплопроводными стержнями на всю толщину панели. Заклепки в расчете не учитывались, так как не вносят никаких изменений в структуру теплоизоляционного слоя панели.

Температура наружного воздуха -30 °С, внутреннего — +18 °С.

В результате расчета в программном комплексе получаем трехмерное поле температур, на основе которого средствами комплекса рассчитывается приведенное сопротивление теплопередаче конструкции. Получили распределение температур по секущим плоскостям для болтов (рис. 4) и для заклепок (рис. 5).

№iaS= ttc»« 15 ян:

15 U№ 15 »»

' »52770: 151*11« TSWKI urttîs USBÎ

U5iS»ï U МНЯ

«3PI6Î U1W UMW1

I1ÎÏM isEJts: 1Э500И

Рис. 4. Распределение температур для соединения на самонарезающих болтах (начало): а — по нижней обшивке панели

VESTNIK

JVIGSU

Рис. 4. Распределение температур для соединения на самонарезающих болтах (окончание): б — по плоскости перпендикулярной прогону через болты; в — по плоскости параллельной прогону

Рис. 5. Распределение температур для соединения на вытяжных заклепках (начало): а — по нижней обшивке панели

б

а

ВЕСТНИК

МГСУ-

11/2013

Рис. 5. Распределение температур для соединения на вытяжных заклепках (окончание): б — по плоскости перпендикулярной прогону; в — по плоскости параллельной прогону

В таблице представлено сравнение приведенных сопротивлений, полученных по результатам расчета в вычислительном комплексе для соединения на самонарезающих болтах и на вытяжных заклепках.

Сравнение приведенных сопротивлений теплопередаче Rп, м 2 °С/ Вт, для соединений на болтах и на заклепках

б

в

Болтовое соединение Заклепочное соединение Относительная разница А, %

1,673 1,819 8,7

Как видно из таблицы, наличие болтов снижает практически на 9 % величину приведенного сопротивления теплопередаче конструкции, что наглядно демонстрирует энергоэффективность соединения на заклепках в сравнении с соединением на болтах. Нельзя пренебрегать в таких расчетах наличием болтов, так как это значительно влияет на общую величину сопротивления теплопередаче.

Таким образом, численные методы теплотехнического расчета конструкций позволяют при расчете учитывать теплотехнические неоднородности, особенности геометрии конструкции, что невозможно выполнить с такой же степенью точности аналитическим расчетом или при экспериментальном исследовании. Описанный алгоритм решения трехмерной стационарной задачи теплопроводности был успешно реализован на практике в вычислительном комплексе TEPL, который может применяться для теплотехнического расчета и определения величины приведенного сопротивления теплопередаче конструкций.

Библиографический список

1. Кривошеин А.Д., Федоров С.В. К вопросу о расчете приведенного сопротивления теплопередаче ограждающих конструкций // Инженерно-строительный журнал. 2010. № 8. С. 21—27.

2. Туснин А.Р. Проектирование стен с оконными проемами // Строительство и недвижимость. 1997. № 12. С. 7.

3. Туснин А.Р., Туснина В.М. Сопротивление теплопередаче стен с оконными проемами // Вестник МГСУ 2011. Т. 2. С. 123—129.

4. Горшков А.С. Энергоэффективность в строительстве: вопросы нормирования и меры по снижению энергопотребления зданий // Инженерно-строительный журнал. 2010. № 1. С. 9—13.

5. Крайнов Д.В., Сафин И.Ш., Любимцев А.С. Расчет дополнительных теплопо-терь через теплопроводные включения ограждающих конструкций (на примере узла оконного откоса) // Инженерно-строительный журнал. 2010. № 6. С. 17—22.

6. Ben Larbi A. Statistical Modelling of Heat Transfer for Thermal Bridges of Buildings, Energy and Buildings. 2005, vol. 37, no. 9, pp. 945—951.

7. Karabulut K., Buyruk E., Fertelli A. Numerical Investigation of Heat Transfer for Thermal Bridges Taking into Consideration Location of Thermal Insulation with Different Geometries. Strojarstvo. 2009, vol. 51, no. 5, pp. 431—439.

8. Svoboda Z. The Analysis of the Convective-Conductive Heat Transfer in the Building Constructions, Proceedings of the 6th Int. IBPSA Conference Building Simulation, Kyoto. 1999, vol. 1, pp. 329—335.

9. Ait-Taleb T., Abdelbaki A., Zrikem Z. Coupled heat transfers through buildings roofs formed by hollow concrete blocks. International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology. 2008, no. 6(62), pp. 30—34.

10. Гладкий С.Л., Ясницкий Л.Н. Решение трехмерных задач теплопроводности методом фиктивных канонических областей // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 1(5), С. 41—45.

11. Белостоцкий А.М., Щербина С.В. Сравнительные расчетные исследования энергоэффективности существующих и вновь разработанных материалов и конструкций на основе конечноэлементного моделирования двумерного и трехмерных задач теплопроводности // Вестник МГСУ 2013. № 3. С. 212—219.

12. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. : Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

Поступила в редакцию в сентябре 2013 г.

Об авторе: Туснина Ольга Александровна — аспирант кафедры металлических конструкций, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, lazoltus@mail.ru.

ВЕСТНИК 11/2013

МГСУ_11/2013

Для цитирования: Туснина О.А. Теплотехнический расчет конструкций численными методами // Вестник МГСУ 2013. № 11. С. 91—99.

O.A. Tusnina

THERMOTECHNICAL ANALYSIS OF THE STRUCTURES BY USING NUMERICAL

METHODS

In the paper the features of a structural thermotechnical analysis with the use of numerical methods are considered. Characteristics of heat transfer processes can be obtained using experimental or theoretical analysis. A theoretical investigation works with mathematical model, not with real physical phenomenon. The mathematical model for heat transfer processes consists of a set of differential equations. If the methods of classical mathematics are used for solving these equations, many phenomena of practical interest will be predicted. That's why in order to solve these problems it is advisable to apply numerical methods. In this paper an algorithm of numerical calculation of three-dimensional temperature fields is considered.

The numerical algorithm for solving the differential equation of steady three-dimensional thermal conductivity is represented. Discretization of this equation was performed by control-volume method. A solution of a set of discretized equations can be obtained by using a convenient combination of the direct method TDMA (Tri-diagonal matrix algorithm) for one-dimensional situation and the Gauss-Seidel method. The described approach allows us taking into consideration thermal inhomogeneity, such as thermal bridges, and the features of the geometry of the structure. The computing program TEPL was developed on the basis of the described algorithms. As a result of the calculation made by TEPL three-dimensional temperature field was obtained. On the basis of this field thermal resistance and temperature distribution in the structure were calculated.

The examples of using the program for solving real practical problems are shown in the paper. Roofing consisted of sandwich panels supported by purlins with the use of screws in one case and rivets as fasteners in the other. The main difference between these two structures is that screws are installed through the insulation layer of a panel and violate its integrity, while rivets are connected to the lowest sheet of a panel and purlin flange and do not make any changes in insulation. The results of the numerical analysis in TEPL show that screws are thermal bridges and must be taken into account in the process of calculating thermal resistance of roofs.

Key words: three-dimensional thermal conductivity, numerical methods, thermal resistance, thermal analysis, heat transfer.

References

1. Krivoshein A.D., Fedorov S.V. K voprosu o raschete privedennogo soprotivleniya teploperedache ograzhdayushchikh konstruktsiy [On the Question of Calculating Reduced Thermal Resistance of Building Envelopes]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2010, no. 8, pp. 21—27.

2. Tusnin A.R. Proektirovanie sten s okonnymiproemami [A Design of Walls with Window Openings]. Stroitel'stvo i nedvizhimost' [Construction and Real Estate]. 1997, no. 12, p. 7.

3. Tusnin A.R., Tusnina V.M. Soprotivlenie teploperedache sten s okonnymi proemami [Thermal Resistance of Walls with Window Openings]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no.1, vol. 2, pp. 123—129.

4. Gorshkov A.S. Energoeffektivnost' v stroitel'stve: voprosy normirovaniya i mery po snizheniyu energopotrebleniya zdaniy [Energy Efficiency in Construction: Issues of Regulation and Measures to Reduce the Energy Consumption of Buildings]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2010, no. 1, pp. 9—13.

5. Kraynov D.V., Safin I.Sh., Lyubimtsev A.S. Raschet dopolnitel'nykh teplopoter' cherez teploprovodnye vklyucheniya ograzhdayushchikh konstruktsiy (na primere uzla okonnogo ot-kosa) [Calculation of Additional Conductive Heat Loss through the Building Envelope Inclusions (on the Example of a Window Unit Slope)]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2010, no. 6, pp. 17—22.

6. Ben Larbi A. Statistical Modelling of Heat Transfer for Thermal Bridges of Buildings. Energy and Buildings. 2005, vol. 37, no. 9, pp. 945—951.

7. Karabulut K., Buyruk E., Fertelli A. Numerical Investigation of Heat Transfer for Thermal Bridges Taking into Consideration Location of Thermal Insulation with Different Geometries. Strojarstvo. 2009, vol. 51, no. 5, pp. 431—439.

8. Svoboda Z. The Analysis of the Convective-Conductive Heat Transfer in the Building Constructions. Proceedings of the 6th Int. IBPSA Conference Building Simulation, Kyoto. 1999, vol. 1, pp. 329—335.

9. Ait-Taleb T., Abdelbaki A., Zrikem Z. Coupled Heat Transfers through Buildings Roofs Formed by Hollow Concrete Blocks. International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology. 2008, no. 6 (62), pp. 30—34.

10. Gladkiy S.L., Yasnitskiy L.N. Reshenie trekhmernykh zadach teploprovodnosti meto-dom fiktivnykh kanonicheskikh oblastey [The Solution of Three-dimensional Heat Conduction Problems Using Fictitious Canonical Regions Method]. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika [Proceedings of Perm Univercity. Mathematics. Mechanics. Computer Sciences]. 2011, vol. 1(5), pp. 41—45.

11. Belostotskiy A.M., Shcherbina S.V. Sravnitel'nye raschetnye issledovaniya energoef-fektivnosti sushchestvuyushchikh i vnov' razrabotannykh materialov i konstruktsiy na osnove konechnoelementnogo modelirovaniya dvumernogo i trekhmernykh zadach teploprovodnosti [Comparative Study of the Energy Efficiency of Available and Newly Developed Materials and Structures Based on the Finite-element Resolution of 2d and 3d Problems of Heat Conductivity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 3, pp. 212—219.

12. Patankar S. Chislennye metody resheniya zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti [Numerical Methods of Solving the Problems of Heat Transfer and Fluid Flow]. Moscow, En-ergoatomizdat Publ., 1984, 150 p.

About the author: Tusnina Olga Alexandrovna — postgraduate student, Department of Metal and Timber Structures, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26

Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; lazoltus@mail.ru.

For citation: Tusnina O.A. Teplotekhnicheskiy raschet konstruktsiy chislennymi metoda-mi [Thermotechnical Analysis of the Structures by Using Numerical Methods]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 11, pp. 91—99.