Задача управления стоимостью компании: дискретный случай

УДК 517.9

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ СТОИМОСТЬЮ КОМПАНИИ: ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙ

В. С. Романов

Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный

Предложена математическая модель управления стоимостью компании — от оценки до расчета влияния отдельных проектов на стоимость компании — и на ее основе поставлена задача максимизации стоимости, которая исследована в дискретном случае. Показано, что распространенный метод «затраты—эффект» не дает верных решений из-за неделимости проектов и наличия синергетического эффекта между ними. Для решения задачи предложены три эвристики, аналогичные используемым для анализа привлекательности инвестиционных проектов, — индексу прибыльности, чистому приведенному доходу и внутренней норме доходности, возможность их применения проанализирована с помощью численного эксперимента.

ВВЕДЕНИЕ

По мнению многих исследователей, консультантов и инвесторов максимизация стоимости должна быть ключевой задачей менеджеров компаний. Однако модель управления стоимостью в литературе формализуется редко, еще реже делаются попытки предложить способы решения возникающих оптимизационных задач.

Существующие подходы к управлению стоимостью компании предлагают следующую схему [1—3]:

1) построение модели оценки стоимости;

2) определение факторов стоимости;

3) расчет чувствительности стоимости к факторам;

4) определение набора направлений управленческих воздействий, наиболее перспективных для увеличения стоимости компании.

В смысле решения задачи управления компанией в такой схеме отсутствуют следующие завершающие шаги:

5) количественная оценка изменения стоимости (максимизируемой функции) в результате применения каждого из предлагаемых воздействий с учетом затрат на их осуществление;

6) окончательный выбор воздействий, обеспечивающих максимальный рост стоимости с учетом внутренних и внешних ограничений.

Для выполнения шага 5 необходимо иметь модель управления стоимостью компании, которая позволяла бы давать ответ на вопрос: как изменится стоимость при применении тех или иных управленческих воздействий? Шаг 6 может быть выполнен путем решения оптимизационной задачи: максимизации стоимости при заданных ограничениях.

В настоящей работе на основе модели экспресс-оценки стоимости компании [4] предлагается подход, позволяющий последовательно поставить и решить задачу управления стоимостью акционерного капитала компании с учетом шагов 5 и 6. Выбор модели оценки стоимости не является принципиальным, и предлагае-

мая методика управления стоимостью компании может быть реализована и на основе какой-либо другой модели оценки стоимости.

1. МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ СТОИМОСТЬЮ

Общий вид модели оценки стоимости акционерного капитала компании выглядит следующим образом: Е = Е0(Р0) где Е — стоимость акционерного капитала компании, Е0 — функция оценки стоимости, Р0 — вектор факторов стоимости. Задача оценки — определить функцию Е0 и вектор

Модель управления стоимостью предлагается строить в следующем виде: Е = Е0(Р0 + и), где и — вектор управленческих воздействий.

1.1. Модель оценки

В качестве модели оценки стоимости акционерного капитала компании воспользуемся моделью экспресс-оценки стоимости [4, 5]. Модель применима к производственным и коммерческим компаниям и не может использоваться напрямую для оценки финансовых институтов (банков, страховых и инвестиционных компаний). Для указанных типов компаний модель универсальна.

Модель оценки базируется на концепции дисконтированного денежного потока фирмы [6—8]. Приведем ее основные соотношения:

Е = V, + у2 - А

„ = N рсрі = N Я  ЕВІТМі(1 - т) -1,

К1 Ъ

Ъ Ъ

і = 1(1 + Г)1 і = 1

(1 + г)‘

N

+ Ъ і = 1

КІ(ЛРТІ- СЛТІ) /Т,- Я,-!(АРТ-1 - САТ-1 )/ Т,-1 (1 + г)1

„ = NOPLЛTN + !

^2 ---------------------І----- ,

,

где E (Equity) — оценка текущей рыночной стоимости акционерного капитала компании; D (Debt) — краткосрочный и долгосрочный долг; i — номер года; N — длительность прогнозного периода, лет; FCF (Free Cash Flow) — свободный денежный поток фирмы в i-й год; R (Revenue) — доход; EBITM (EBIT Margin) — операционная рентабельность, %; т — ставка налога на прибыль; I — чистые капитальные затраты; r — ставка дисконтирования; T — длительность i-го года, дни; APT (Accounts Payable Turnover) — оборачиваемость кредиторской задолженности, дни; CAT (Current Assets Turnover) — оборачиваемость оборотных активов, дни; NOPLAT (Net Operating Profit Less Adjusted Taxes) — чистая прибыль от основной деятельности за вычетом скорректированных налогов; g — скорость роста прибыли (NOPLAT) компании в каждый год постпрогнозного периода; ROIC (Return On Invested Capital) — рентабельность инвестированного капитала, которая определяется следующей формулой:

ROIC =

N O P L A T , FA + CA - CC,

где FA (Fixed Assets) — внеоборотные активы, CA (Current Assets) — оборотные активы, AP (Accounts Payable) — кредиторская задолженность и прочие краткосрочные обязательства.

Обозначим вектор (R;, ..., RN) через R, аналогичным

образом введем векторы EBITM, CAT, APT, I. Согласно формулам (2) и (3), вектор факторов стоимости выглядит следующим образом:

F0 = (R, EBITM, CAT, APT, I, NOPLATn + j, r, RPIC, g).

Величины APT0, CAT0, и T - считаются фиксированными и поэтому не входят в число факторов. Функция E0(F0) описывается уравнениями (1)—(3).

1.2. Модель управления

Для удобства будем оперировать не с векторами из 5N + 4 элементов, а матрицами. Введем матрицу X:

R

X =

EBITM

CAT

APT I

Размер данной матрицы — 9 x N. Обозначим пространство матриц X через S, а через Х0 — фиксированную матрицу, определяющую проведенную оценку стоимости компании. Введем матрицу управляющих воздействий U = {и,} е S. Тогда модель управления стоимостью акционерного капитала компании выглядит следующим образом: E = E0(X0 + U) [9].

2. ПРОЕКТЫ УВЕЛИЧЕНИЯ СТОИМОСТИ КОМПАНИИ

Управлять стоимостью — означает изменять денежные потоки компании и оценку рисков, определяемую ставкой дисконтирования r. Такие изменения производятся посредством реализации проектов. Приведем их примеры.

• Уменьшить оборачиваемость дебиторской задолженности (в днях) за счет введения скидок при оплате авансом. В модели это выразится в снижении значений CAT и R.

• Внедрить модуль ERP «планирование производства» и понизить оборачиваемость сырья, материалов, готовой продукции. В модели это выразится в снижении значения CAT, а также повлечет затраты на внедрение и поддержку ERP-системы.

• Снизить ставку дисконтирования r путем увеличения рейтинга корпоративного управления компании в первом году прогнозного периода. Это повлечет затраты в первом и последующих годах на выполнение рекомендаций по корпоративному управлению. Таким образом, каждый проект описывается изменением факторов стоимости компании и дополнительным денежным потоком затрат на осуществление проекта, характеризующим стоимость управления.

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МАКСИМИЗАЦИИ СТОИМОСТИ

Поставим задачу максимизации стоимости как задачу выбора подмножества проектов, дающих наибольшее увеличение стоимости в рамках заданных ограничений. В качестве ограничений могут фигурировать: бюджет, производственные мощности, число свободных сотрудников для осуществления проектов, наличие помещений для ведения проектов и т. д. Учтем только одно ограничение — бюджетное.

Рассмотрим компанию с проведенной оценкой стоимости, определяемой матрицей Х^. Назовем проектом любую матрицу U е S. Сделаем следующие предположения.

Предположение 1. Управления U, независимы, иначе говоря, возможно независимое изменение переменных X.

Предположение 2. Проекты U е S аддитивны, т. е. воз-

1 2

можно выполнение двух проектов U и U одновремен-

1 2

но, и результатом их выполнения будет (U + U ).

Введем понятие стоимости управления. Стоимостью управления U будем называть последовательность CU = (CUj, CU2, ...), описывающую денежный поток затрат на управление, в общем случае бесконечную. Также данная последовательность должна зависеть от точки Х0, характеризующей предположения о будущем развитии компании. Иначе говоря, имеется отображение CU = CU(X0, U).

Текущая стоимость (Present Value) денежного потока затрат на управление описывается формулой PVCU =

CUj

Е k і

i = 1

.. Обозначим множество возможных

проектов через Р, множество проектов, составляющих решение — через Р *. Тогда задача записывается в виде:

ад + ъ и1 - ъ ъ

си

к

и є и0, V* є Р,

Ъ Сик < Бр j = 1, ..., J,

к є Р

где ио — множество допустимых управлений, Ву. — бюджетное ограничение, J — число лет, в течение которых бюджетные ограничения существенны. Множество ио должно содержать следующие содержательные ограничения: 1 0, EBITMІ < 0, СЛТ1 1 0, АРТ 1 0, г > гу —

безрисковая ставка. При постановке задачи для конкретной компании новые ограничения будут наложены как самой компанией, так и отраслью, в которой она работает.

Принципиальная особенность данной задачи состоит в нелинейности функции Е0(Х) по X. Смысл этой нелинейности заключается в том, что при применении нескольких проектов может появиться синергетический эффект — прирост стоимости будет больше, чем сумма приростов стоимости при применении каждого из этих проектов отдельно.

4. ЗАДАЧА МАКСИМИЗАЦИИ В ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЕ

4.1. Исследование задачи

Задача (4) может рассматриваться в двух случаях.

• Число проектов конечно — задача дискретной оптимизации. Пример: 10 проектов, 2 варианта каждого: более и менее затратный; общее число вариантов: 310 = 59 049.

• Число проектов бесконечно — задача математического программирования. Пример: К проектов, результат ик каждого проекта зависит от вложений в

него в первом периоде (СЬ^). Функция, описывающая подобную зависимость, называется функцией отдачи от проекта. Пример решения непрерывной задачи для частного случая рассмотрен в работе [10]. В данной статье рассматривается дискретная задача. В дискретном случае задача (4) — это нелинейная разновидность задачи о ранце. Как известно, в общем случае для таких задач не существует точных решений, отличных от полного перебора.

Можно попытаться предложить метод, который бы позволил, используя особенности данной конкретной задачи, приходить к приближенному решению.

Проанализируем возможность применения известного метода «затраты—эффект» [11] для решения данной задачи. Условия его применения следующие:

1) все проекты имеют одинаковую продолжительность;

2) все проекты начинаются в одно время;

3) все проекты независимы, исключение любой части проекта не влияет на реализуемость других;

4) возможна частичная реализация проекта; требуются частичные ресурсы, и достигается пропорциональный эффект;

5) есть один количественный показатель, который определяет эффект проекта (он обладает свойством аддитивности);

6) есть один количественный показатель, который является лимитирующим фактором для выполнения проекта.

Условия 1 и 2 выполнимы для рассматриваемой модели — все проекты можно рассматривать как начинающиеся в периоде 1 и заканчивающиеся в периоде N + 1, условие 3 выполнимо по Предположению 2, бюджетное ограничение удовлетворяет условию 6. Условия, которые не выполняются, — 4 и 5. Проекты неделимы — нельзя внедрить половину ERP системы или выполнять четверть рекламной компании. Аддитивного показателя найти не удается, так как функция Е0(Х) нелинейна по X. Кандидатами на него являются показатели, аналогичные используемым при оценке эффективности инвестиционных проектов [12]:

от Сик

м:к = Ео(Хо + ик) - 2-----------1— —

] = 1

аналог чистого приведенного дохода NPV;

рік =

АЕ *

си

индекс прибыльности;

Ъ к і

}= 1

Аг — аналог внутренней норме доходности 1ЯЯ, который определяется как наименьший неотрицательный действительный корень уравнения: Е0(Х0 + ик + [ Аг]) —

Ъ

си

. = 0, где через [Аг ] условно обоз-

к 1 1 = 1

начена матрица из пространства £ с одним ненулевым элементом и71 = Аг.

Но, к сожалению, эти показатели зависят от ик нелинейно. Таким образом, метод «затраты—эффект» напрямую не применим для решения задачи (4) в дискретном случае.

Тем не менее, показатели (5), (6) и Аг можно использовать как эвристики — во многих случаях их применение приводит к правильному решению. Проанализируем результаты их работы с помощью численного эксперимента.

4.2. Анализ эвристик

Можно предложить следующий эвристический алгоритм решения задачи (4):

1) для каждого проекта рассчитать значение эвристических критериев (5), (6) или Аг;

2) проекты упорядочить по убыванию эвристики;

3) из упорядоченного списка выбрать следующий проект;

4) добавить его во множество Р * (множество решений), если после добавления множество проектов Р * все еще удовлетворяет бюджетному ограничению;

X;

5) пропустить проект, добавление которого нарушит бюджетное ограничение;

6) вернуться на шаг 3.

Для выполнения статистического эксперимента была разработана программа в Microsoft Excel, которая для конкретной компании:

1) создает случайным образом множество проектов {CUk, U\ = j, ..., 8;

2) решает задачу максимизации точно, с помощью полного перебора;

3) решает задачу максимизации с использованием двух эвристик;

4) сравнивает полученные решения;

5) повторяет шаги 1—4.

Эксперимент выполнялся для восьми проектов и ста попыток. Было использовано два «крайних» типа проектов: A и Z Проект типа A изменяет только один показатель, а проект типа Z — изменяет все показатели. Одновременно в эксперименте создавались проекты только одного типа. Эксперимент выполнялся при нескольких разных максимальных значениях величин CUk. В процессе исследования вычислялась нереализованная стоимость, определяемая как разница стоимостей E при точном решении и при приближенном, полученном с помощью эвристического алгоритма.

Неправильные решения подсчитывались двумя способами:

1) процент ошибочных решений = число ошибочных решений/число попыток;

2) процент ошибочно не включенных проектов =

100 NSt

= X "dF , где PSt — число проектов, входящих в точное t = 1PSt

решение t; NSt — число проектов, ошибочно не включенных в решение на основе эвристики.

Второй способ подсчета ошибок представляется более объективным. Поэтому выводы будут сделаны на основе его значений. Далее в таблице и на рис. 1—4 представлены полные результаты эксперимента. На каждом

Рис. 1. Процент ошибочно не включенных проектов типа A

40

35

30

25

20

15

10

5

♦ PI

АЕ

А А Г

А ♦

X ♦ я t ж

♦

^ 1 1 1 1 1 1

100 200 300 400 max(CU,k)/Bi, %

Рис. 2. Процент ошибочно не включенных проектов типа 2

графике есть три ряда данных, обозначенных как Р1, АЕ и Аг. Эти ряды соответствуют применению эвристических критериев, соответственно, (5), (6) и Аг. По оси абсцисс отложены максимальные значения для величин

Си]к в каждом эксперименте.

На основе анализа результатов численного эксперимента можно сделать следующие выводы:

• все три эвристики делают ошибки одинаково часто;

Результаты статистического эксперимента

Тип проекта max (CUk)/Bi, % Ошибочные решения, % Ошибочно не включенные проекты, % Нереализованная стоимость, %

PI AE Ar PI AE Ar PI AE Ar

A 20 34 10 0,5

50 50 22 2,5

100 22 13 0,8

200 56 54 0,8

300 68 66 0,6

500 69 68 0,1

Z 20 7 8 1 0,1 0,2

50 37 39 37 9 14 13 2,0 3,4 3,0

100 27 32 31 11 22 20 2,5 5,6 4,0

200 14 15 9 11 1,2 3,3 2,5

300 18 14 16 14 12 13 1,4 1,2 1,8

500 21 14 21 14 0,8 0,5

Среднее 35 25 26 25 1,1 1,7 1,4

Рис. 3. Нереализованная стоимость, %; проекты типа A

Рис. 4. Нереализованная стоимость, %; проекты типа 2

• в случае проектов, изменяющих только одни показатель (тип А):

— нереализованная стоимость одинакова для всех эвристик;

— эвристики целесообразно применять, когда в реше-

к

ние по бюджету проходят 1—3 проекта (тах( СЬ1 )/В1, %, где В1 < 100 %); в таком случае число ошибочно не включенных проектов не превышает 25 %, нереализованная стоимость — 2,5 %;

• в случае проектов, изменяющих все показатели («сложные» проекты, тип Z):

— нереализованная стоимость принимает наибольшие значения для эвристики АЕ ^Р^, наименьшие — для Р1 (индекс прибыльности);

— эвристики целесообразно применять в случаях, когда по бюджету проходят минимум 7—9 проектов

(тах( Сик)/В1, %, где В1 1 300 %); в данном случае число ошибочно не включенных проектов не превышает 25 %, а нереализованная стоимость — двух процентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе предложена математическая модель управления стоимостью компании — от модели оценки до расчета влияния отдельных проектов на стоимость компании — и на ее основе поставлена задача максимизации стоимости, которая исследована в дискретном случае. Было показано, что распространенный метод ре-

шения «затраты—эффект» не дает верных решений из-за неделимости проектов и наличия синергетических эффектов на стоимость компании при реализации нескольких проектов.

Для решения задачи предложены три эвристики, аналогичные используемым для анализа привлекательности инвестиционных проектов — индексу прибыльности, чистому приведенному доходу и внутренней норме доходности, целесообразность их применения была проанализирована с помощью статистического эксперимента.

Дальнейшая работа возможна в следующих направлениях.

• Исследование непрерывной задачи максимизации стоимости. Анализ решений в частных случаях.

• Разработка методики выявления проектов повышения стоимости для выбранного предприятия/компании. Решение задачи максимизации стоимости для конкретных компаний требует наличия в качестве исходных данных множества проектов P, поэтому подобная методика позволит эффективно применять полученные результаты на практике.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самохвалов В. Как определить ключевые финансовые факторы стоимости? // Управление компанией. — 2004. — № 5. <www.zhuk.net/archive/articlesyk.asp?aid=4090>.

2. Егерев И. А. Стоимость бизнеса: Искусство управления. — М.: Дело, 2003.

3. Мордашев С. Рычаги управления стоимостью компании // Рынок ценных бумаг. —2001. — № 15. <http://www.rcb.ru/ archive/articlesrcb.asp?aid=2028>.

4. Романов В. С. Модель экспресс-оценки стоимости компании. — 2005. <http://www.cfin.ru/finanalysis/value/value_ company.shtml>.

5. Дранко О. И., Кислицына Ю. Ю. Многоуровневая модель финансового прогнозирования деятельности предприятия // Управление социально-экономическими системами: Сб. тр. молодых ученых ИПУ РАН. — М.: Фонд «Проблемы управления», 2000. — С. 209—221.

6. Коупленд Т., Колер Т., Мурин Д. Стоимость компаний: оценка и управление. — М.: Олимп-Бизнес, 2000.

7. Jennergren L., Peter A. Tutorial on the McKinsey Model for Valuation of Companies // Fourth revision, August 26, 2002. — Stockholm School of Economics, 2002.

8. Fernandez P. Company valuation methods. The most common errors in valuations // Research Paper of University of Navarra. — 2002. — N 449.

9. Романов В. С. Оценка и управление стоимостью компании в рамках доходного подхода: Магистерская диссертация. — М.: МФТИ, 2003.

10. Романов В. С. Выбор стратегии роста компании на основании критерия максимизации ее стоимости // Системы управления и информационные технологии. — 2006. — № 2.1 (24). — С. 184—187.

11. Балашов В. Г., Ириков В. А. Технологии повышения финансового результата предприятий и корпораций — М.: ПРИОР, 2002.

12. Карибский А. В., Шишорин Ю. Р., Юрченко С. С. Финансово-экономический анализ и оценка эффективности инвестиционных проектов и программ (обзор). Часть I // Автоматика и телемеханика — 2003. — № 6.

Ш (495) 775-88-00, доб. 57-71; e-mail: v_romanov@list.ru

Статья представлена к публикации членом редколлегии В. Н. Бурковым.