Статические модели коррупции в системах контроля качества водных ресурсов

УДК 519.83+519.86

СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КОРРУПЦИИ О СИСТЕМАХ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ВОДНЫХ РЕСУРСОВ

Г.А. Угольницкий, А.Б. Усов

Рассмотрены статические модели коррупции в трехуровневых системах контроля качества речных вод. Исследованы различные виды коррупции (вымогательство, попустительство) при разных методах иерархического управления (принуждение, побуждение). Предусмотрена возможность наказания за дачу и получение взятки. На модельных примерах проиллюстрированы методы борьбы с коррупцией.

Ключевые слова: коррупция, попустительство, вымогательство, принуждение, побуждение, иерархическая система.

ВВЕДЕНИЕ

Коррупция — важнейшее социально-экономическое явление, оказывающее в основном негативное влияние на развитие общества. В современной России коррупция представляет угрозу успешным экономическим и социальным преобразованиям. Она возникает в иерархических системах управления различной структуры и природы. Коррупционной называется разновидность оппортунистического поведения, при которой субъект использует ресурсы вышестоящего субъекта не для решения его задач, а для достижения собственных целей. Под государственной коррупцией понимается дача и получение взяток должностными лицами в обмен на предоставление различных привилегий и льгот. Экономические потери от коррупции значительно шире и глубже, чем просто суммарный размер взяток. Главные потери происходят из-за тех решений, которые принимаются агентами, вступающими в коррупционные отношения.

Системное, комплексное модельное исследование коррупции началось в конце прошлого столетия с работы [1], где указаны причины возникновения, существования и развития коррупции, ее характерные черты. Сегодня имеется значительное число работ, посвященных математическому моделированию явления коррупции. В большинстве из них коррупция исследуется в рамках модели «контролирующий орган — взяточник — взяткодатель»

или ее различных вариаций. В работах [1—4] в рамках модели «агент — клиент» рассматривается государственная коррупция (распределение чиновниками государственных ресурсов в своих интересах) и ее различные модификации, например, по отношению к налоговым органам [5, 6]. В работах [7, 8] исследуются модели типа «принципал — агент», анализируются возможные стратегии поведения принципала. Отдельные моменты коррупции как социально-экономического явления, в том числе, ее психологические и политические стороны, изучаются в работах [9, 10]. Обзор литературы, посвященной математическому моделированию коррупции, изучению ее корней, причин возникновения, характерных черт, приведен в работах [11, 12]. Исследование коррупции в теоретико-игровой постановке в иерархических структурах проводится в работах [3, 4, 7, 13, 14]. Несмотря на значительное число работ, посвященных вопросам коррупции, математических моделей коррупции немного, в большинстве своем они ограничены исследованием двухуровневых моделей без учета стратегических целей развития систем, условия их гомеостаза.

В настоящей статье коррупция моделируется на основе теоретико-игрового подхода, концепции иерархического управления развитием эколо-го-экономических систем и поддержания их в го-меостазе [15, 16]. Рассмотрение ведется на примере трехуровневой модели контроля качества водных ресурсов (модель типа «принципал — агент — клиент»).

38

СОЫТВОЬ БС!ЕМСЕ8 № 4 • 2012

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА РЕЧНЫХ ВОД

Построим математическую модель системы контроля качества речных вод без учета возможной коррумпированности системы. Моделирование проведем на примере трехуровневой веерной системы управления [16], включающей в себя источники воздействия верхнего (федеральный центр, ФЦ), среднего (местные органы управления, ОУ), нижнего (промышленные предприятия, ПП) уровней и управляемую систему (УС). Пусть взаимоотношения между элементами исследуемой системы устроены следующим образом: ФЦ воздействует на ОУ и ПП, ОУ на ПП, а ПП на УС.

Предполагается, что принята следующая совокупность правил относительно поведения и информированности различных субъектов управления:

— федеральный центр выбирает свою стратегию поведения первым (делает ход первым) и сообщает ее всем остальным субъектам управления; при этом он максимизирует свою целевую функцию на множестве тех стратегий, которые позволяют поддерживать УС в гомеостазе; предполагается, что ему известны целевые функции всех остальных субъектов управления;

— органы управления выбирают свою стратегию, когда выбор ФЦ уже известен; они стремятся к достижению своих целей, зная целевые функции ПП;

— промышленные предприятия делают ход при известных стратегиях всех остальных субъектов управления и стремятся к максимизации своих целевых функций, не обращая внимания на состояние УС.

Органы управления определяют размеры платы за сброс ПП загрязнений в водоток (метод побуждения) или минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП (метод принуждения). Федеральный центр должен поддерживать УС в гомеостазе, т. е. обеспечить непревышение предельно допустимых концентраций загрязняющих веществ (ЗВ) в речной системе. Он определяет размер средств, полученных от ПП в виде платы за сброс загрязнений в водоток, которые передаются ОУ. В качестве методов управления в системе применяются методы побуждения и принуждения [15].

Исследуется случай одного вида загрязнений, например, азотосодержащих ЗВ и одного ПП. Пусть система находится в гомеостазе, если выполнены стандарты качества речной

0 m B m й

и сточных вод, сбрасываемых в водоток на ПП,

где В — концентрация ЗВ в речной воде; О — расход воды на ПП; W — количество ЗВ, сбрасываемых в реку до очистки сточных вод; Р — доля ЗВ, удаляемых из сточных вод на ПП в процессе их очистки; значения Втах и Отах заданы.

Пусть концентрация ЗВ в речной системе рассчитывается по формуле

B = B0 + kW(1 - P), B0, k = const.

Основная цель ФЦ заключается в поддержании системы в гомеостазе. Помимо этого, он стремится к максимизации целевой функции вида

J =

h

Здесь у = W(1 - P) — общее количество сброшенных в реку загрязнений; F(T) и T — соответственно функция платы и размер платы за единицу сброшенных ЗВ при отсутствии коррупции в системе; H — доля платы за сброс загрязнений, отдаваемая ОУ; Сф(у) — функция, отражающая материальные потери общества из-за загрязненной воды; функции F(T) и Сф(у) являются возрастающими функциями своих аргументов, причем F(0) = Сф(0) = 0.

Органы управления стремятся к максимизации своего дохода. Целевая функция ОУ имеет вид

Jy =

Здесь C0(y) — функция затрат ОУ на улучшение качества речной воды, зависящая от общего количества сброшенных в реку загрязнений у; она возрастает по y, и C0(0) = 0.

Органы управления выбирают размер платы за сброс загрязнений в водоток или минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП. Критерий (5) максимизируется по одной переменной: по q — при принуждении (q — минимально допустимая степень очистки сточных вод на ПП) или по T — при побуждении.

Цель ПП состоит в максимизации своей прибыли, т. е.

/пп = гДФ) - (1 - P)WF(T) - WCnn(P) ^

^ max, p

W(1 - P)/Q0 m Q

max'

где Ф — производственные фонды; Р(Ф) — производственная функция ПП; г — прибыль предприятия от реализации единицы произведенной продукции; СПП(Р) — функции затрат ПП на очистку единицы сбрасываемых загрязнений, причем она возрастает по Р на отрезке [0, 1], кроме того, СПП(0) = 0; 11ш СПП(Р) = ю.

Пусть общее количество сбрасываемых ЗВ (до очистки) зависит от количества произведенной на ПП продукции линейно с постоянным коэффициентом в, т. е.

W = рДФ).

Производственная функция ПП берется в виде

ДФ) = 9ФП; п, 0 = const; 0 < п < 1.

Задачи (1)—(8) решаются при следующих ограничениях на управления

q m P m 1 - в, y m h m 1, 0 m q m 1 - в; 0 m t m Tm

где Ттах, е и у — заданные постоянные; величина е зависит от технологических возможностей очистки сточных вод на ПП; у определяет минимальную долю средств, полученных с ПП и передаваемых ОУ; 0 < е, у < 1.

Из выражений (1)—(3) следует, что для поддержания УС в гомеостазе достаточно выполнения неравенства

m p m 1

где р+ = тах(1 - 0^0°/1 - (В^ - В°)/(кЖ)). Далее считаем, что р+ 1 0.

При отсутствии коррупции в системе решается задача (4)—(12), представляющая собой нелинейную стационарную задачу оптимизации при наличии фазовых ограничений, исследуемую с учетом иерархии в отношениях между субъектами управления.

Для примера приведем алгоритм исследования модели (1)—(12) в случае побуждения, который состоит в следующем.

1. В результате максимизации прибыли (6), (9) с учетом допущений (7) и (8) определяются оптимальные стратегии ПП в зависимости от управлений ОУ — Р*(Т, 4).

2. Найденные в п. 1 оптимальные стратегии ПП подставляются в целевую функцию (5), проводится ее максимизация по Т при ограничении (11) и фиксированном 4. В результате определяются оптимальные управления ОУ в зависимости от стратегии ФЦ Т *(Н).

3. Максимизируется целевая функция (4) при Р = Р *(Т *(Н), 4), Т = Т*(Н), с учетом ограничения (10) и условия (12). Оптимальным для ФЦ является значение Н*, приносящее ему максимальный доход при выполненном условии (12).

4. Равновесие системы при побуждении определим как набор величин {Н *, Т*, Р*}, где Т* = = Т *(Н *), Р* = Р *(4, Т *).

Равновесие модели (1)—(12) в общем случае достигается путем имитационного моделирования [16].

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОРРУПЦИИ В СИСТЕМАХ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА РЕЧНЫХ ВОД

Интересы ФЦ и ОУ в модели (4)—(12) различны, поэтому ОУ могут быть заинтересованы в получении взяток. Различаются два вида коррупции: административная и экономическая. В случае экономической коррупции ОУ в обмен на взятки занижают размер платы за сброс загрязнений в водоток, при административной — занижают минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП. Для ОУ взятки рассматриваются как один из факторов, наряду с доходами от платы за загрязнение, в общем балансе их интересов. Федеральный центр должен создать условия, при которых поддержание системы в гомеостазе в условиях коррупции будет экономически выгодно для ОУ. Однако добиться этого ФЦ удается не всегда.

Федеральный центр контролирует деятельность ОУ и ПП, наказывая их за взятки штрафами. Размер штрафа зависит от «масштабных» коэффициентов [16], устанавливаемых ФЦ. Если масштабные коэффициенты велики, т. е. велика вероятность обнаружения взятки и степень наказания за нее, то экономический смысл дачи и получения взятки стремится к нулю. Масштабные коэффициенты определяются в ходе проверок, контроля ОУ и ПП. С ростом масштабных коэффициентов увеличиваются затраты со стороны ФЦ на контроль.

2.1. Экономическая коррупция

Экономическая коррупция имеет место в том случае, когда ОУ использует в качестве метода иерархического управления по отношению к ПП метод побуждения.

Целевые функции субъектов управления — ФЦ, ОУ и ПП — в этом случае соответственно примут вид:

/0 = (1 - Р)Ж [ДТ°)(1 - Н) - ¿(X) + Х5(ах(Ь) +

+ a2(b))] - Сф(у) ^ max;

H, L

J = (1 - P) W [F(T0)H - L 5a2(b) + 5b] - C0(y) ^

^ max;

T, 5

/ПП = гЯ

ПП P, b

в

Здесь F(T ) — функция платы за единицу сброшенных ЗВ в условиях коррупции;

T0 = ( T + S- 5a(b), если T + S- 5a(b) > 0,

0, если T + S- 5a(b)< 0,

8 — коэффициент, равный нулю, если взятка не была принята, и единице в противном случае; Ь — размер взятки; а(Ь) — функция «эффективности» взятки, характеризующая, насколько взятка уменьшает размер платы за сброс загрязнений; аДЬ), а2(Ь) — функции штрафа ОУ и ПП за взятку; Ь — «масштабный» коэффициент, который позволяет варьировать размер наказания за взятку; й(Ь) — функции затрат ФЦ на определение «масштабного» коэффициента, отнесенные к единице сброшенных ЗВ; ^ 1 0 — постоянная величина; если ^ = 0, то имеет место попустительство, в противном случае — вымогательство. При попустительстве базовый набор услуг гарантируется, а дополнительные послабления предоставляются в обмен на взятку. При вымогательстве взятка требуется уже для предоставления базового уровня услуг. Функции а(Ь), аДЬ) и а2(Ь), й(Ь) — возрастающие функции своих аргументов, причем а(0) = ах(0) = а2(0) = й(0) = 0.

Максимум целевых функций (13)—(15) ищется сразу по двум переменным: (13) — по Н и Ь; (14) — по Т и 8; (15) — по Р и Ь.

Задачи (13)—(15) решаются при следующих ограничениях на управления

0 m p m i - в, о m b m b,

y m hm l, 0 m l m Lm

max'

5 =

0, i,

0 m T m T

где b„„„ и L„„„ — заданные постоянные величины.

max max

В случае экономической коррупции решается задача (7), (8), (12)—(18).

Алгоритм построения решения состоит в следующем.

1. В результате максимизации целевой функции (15) при ограничениях (16) по переменным P и b определяются оптимальные стратегии ПП в зависимости от управлений ОУ: P*(q, T, 5), b*(q, T, 5).

2. Найденные в п. 1 оптимальные стратегии ПП подставляются в целевую функцию (14), после максимизации которой по {T, 5} при ограничениях (18) и фиксированном значении q. В результате определяются оптимальные управления ОУ в зависимости от стратегии ФЦ T*(H, L), 5*(H, L).

3. Максимизируется целевая функция (13) при P = P*(q, T*, 5*), b = b*(q, T*, 5*), T = T*(H, L), 5 = 5*(H, L) и ограничениях (17) с учетом гомеос-

таза (12). Оптимальными для ФЦ являются значения Н* и Ь*, приносящие ему максимальный доход при выполненных условиях (12).

4. Равновесие системы при экономической коррупции определим как набор величин {Н*, Ь*, Т*, 8*, Р*, Ь*}, где Т* = Т*(Н*, Ь*), 8* = 8*(Н*, Ь*), Р* = Р*(.?, Т*, 8*), Ь* = Ь*^, Т*, 8*).

Равновесие в общем случае строится путем имитационного моделирования [16].

2.2. Административная коррупция

Административная коррупция возникает, когда ОУ применяют в качестве метода иерархического управления по отношению к ПП метод принуждения.

Целевые функции субъектов управления — ФЦ, ОУ и ПП — примут соответственно вид:

/0 = (1 - Р)Ж [ДТ)(1 - Н) - Л(Ь) + Ь8(аДЬ) +

+ a2(b))] - Сф(у) ^ max;

H, L

J = (1 - P) W [F(T )H - L5a2(b) + 5b] - C0(y) ^

^ max;

q, 8

/ПП = ¿Я(ф) - (1 - P) W[F(T) + L5ax(b) + 5b]

WCnn(P) ^ max.

P, b

В этом случае целевая функция ОУ оптимизируется по переменным q и 8.

Ограничения на управления (16), (18) принимают вид

q0(q, b) m P m 1 - в; 0 m b m bm

5 =

0, 1,

0 m q m 1 - в.

Ограничение (17) останется без изменений.

Функция q0(q, Ь) описывает взяточничество. Она характеризует, насколько взятка снижает минимально допустимые степени очистки сточных вод на ПП. Эта функция обладает следующими свойствами: не убывает на отрезке [0, 1 — е] по q и не возрастает на отрезке [0, Ьтах] по Ь. В случае принуждения ОУ за взятку занижают минимально допустимую степень q очистки сточных вод на ПП. Такой вид коррупции может нанести ущерб окружающей среде, если ОУ за взятки готовы нарушить гомеостаз системы.

Будем говорить, что имеет место попустительство, если q0(q, Ь) = q, и вымогательство, если q Ь) > q. Случай q0(q, Ь) < q (фактическое отсутствие законодательного регулирования) не рассматривается.

В случае попустительства функция q° при невозможности нарушения гомеостаза может быть взята в виде

q°

где величина p+ гарантирует поддержание системы в гомеостазе. В этом случае q°(q, b) = q;

q0(q, bmax) = P+.

Если за взятки ОУ готовы нарушить гомеостаз системы, то

q°(q, b) = q(1 - b/bmax), q°(q, 0) = q;

q0

При вымогательстве

q0(q, b) = qb/bmax + (bmax - b)(1 - s)/^

q°

и коррупция не мешает поддержанию системы в гомеостазе.

В случае административной коррупции система описывается системой соотношений (7), (8), (12), (17), (19)—(26). Далее исследуется случай (24). Выбор этой функции взятки означает: ОУ уверены, что при нарушении состояния гомеостаза ФЦ ужесточит контроль над ним и велика вероятность значительного наказания за принятую взятку. Поэтому ОУ при принятии взятки стремится поддерживать систему в гомеостазе.

Алгоритм построения равновесия при административной коррупции аналогичен алгоритму при экономической коррупции, описанному в п. 2.1.

3. ПРИМЕРЫ

Исследование модели, после перехода в оптимизационных задачах от ограничений типа неравенств к ограничениям типа равенств, проводится методом множителей Лагранжа.

Пример 1. Пусть при экономической коррупции в модели (7), (8), (12)—(18) входные функции имеют вид

a(b) = Ajb, aj(x) = -9jX, a2(x) = O2x, h(L) = kL,

Co

СПП(Р) = DP/(1 - P), C0, Сф, Aj, Oj, O2, k, D = const, кроме того, F( T) = T.

Оптимальные стратегии различных субъектов управления обозначим 8*, T *, b*, P *, L* и H *.

Если Aj — 1 — OJL* > 0, то взятка, с точки зрения ПП, является «эффективной», ее размер максимален: b* = bmax. В противном случае взятка не предлагается: b* = 0.

Для ОУ при любых входных данных T * = T .

Обозначим p (b, L) = 1 —

D

Тогда P *(b, L) =

0, если p (b, L) < 0,

p0(b, L), если 0 <p0(b, L) < 1 - s,

4 - е, если р (Ь, Ь) > 1 - е.

Из последней формулы видно, что экономическая коррупция уменьшает оптимальную для ПП степень очистки сточных вод.

Дальнейшее рассмотрение для простоты проведем в случае, когда

s2(Tr

+ S — b

max max

< 1;

Первое из неравенств (28) делает для ОУ выгодным принятие взятки при отсутствии контроля (Ь = 0), из второго следует, что Р * = р°(Ь, Ь).

Тогда, если р°(0, 0) < р+, то поддерживать систему в гомеостазе не удается даже при отсутствии коррупции. У ФЦ недостаточно для этого экономических возможностей воздействия на ОУ, у ОУ — на ПП. Метод побуждения не работает.

В случае, когда не предусмотрено наказание за взятку, т. е. к = = -Э2 = 0, получим, что при Н * < 1/А1 ОУ взятку берут (8* = 1). В противном случае взятка отклоняется (8* = 0).

Таким образом, даже без административного контроля ОУ и ПП, федеральный центр может экономическими методами искоренить коррупцию в системе, а именно, создать условия, при которых ОУ будет невыгодно брать предлагаемые ему взятки. Коррупция не является характерной чертой иерархических систем управления.

Если р°(Ьтах, 0) > р+, А > 1 и

((1 - У)(Ттах + Л - А,А ) - Сф) X

D

Tmax + S A1bmax + bmax

D

max

x (1 — 1/Aj) — Сф),

+ S

((T + S) X

max

то для ФЦ экономически выгодна коррупция и

H * = ^ T * = Tra^ 8* = 1 b* = bmax,

P * = p0(bmax, 0).

Если р (Ьтах, 0) > р+, А1 > 1, но условие (29) не выполнено, то ФЦ экономически не заинтересован в наличии коррупции в системе управления. Поэтому часть средств, получаемых от ПП, он отдает ОУ, которому становится невыгодным брать предлагаемые взятки. Тогда

H * = 1 — 1/AJ, T * = Tm

P* = p0(0, 0).

8* = 0, b* = 0,

Tmax + S- b

В случае, когда А1 > 1 и р°(Ьтах, 0) < р+ < р°(0, 0), система будет в гомеостазе только при отсутствии коррупции, так как при коррупции уменьшается оптимальная для ПП степень очистки сточных вод. Федеральный центр не допускает коррупции в системе, и решение задается формулами (31).

х

Если А1 < 1 и р+ < р (0, 0), то коррупции в системе нет, она поддерживается в гомеостазе, и

Н* = у, Т* = Ттах, 8* = 0, Ь* = 0, Р* = р0

Метод побуждения в случае (30)—(32) в условиях коррупции реализуется, система поддерживается в го-меостазе.

Случай наказания за взятку (к > 0, > 0, З2 > 0) рассмотрим при А1 > 1, иначе решение задается формулами (32).

Если (01 + -Э2)Ьтах < к, то V* = 0. Для ФЦ невыгоден контроль ОУ и ПП, и рассмотрение сводится к случаю отсутствия наказания за взятку. В противном случае коррупция экономически выгодна для ФЦ в рамках предложенной модели. Федеральный центр тратит собственные средства на контроль ОУ и ПП и может их вернуть только при наличии коррупции путем штрафа ОУ и ПП. Поэтому, если коррупция не мешает поддержанию системы в гомеостазе, то ФЦ стремится к ее наличию в системе.

Если р0(Ьтах, Хтах) < р+ < р0(0, 0), то система будет в гомеостазе только при отсутствии коррупции. Тогда, если 1 — А1 — З2Хтах > 0, то коррупцию исключить не удается, метод побуждения в условиях коррупции не работает, условия гомеостаза нарушаются. В противном случае при р0(Ьтах, Хтах) < р+ < р0(0, 0) коррупция в системе отсутствует, и

¿* = ¿та^ Н* = тах^ 1 - 92)WAl), Т* = Тт^ 8* = 0, Ь* = 0, Р * = р0(0, 0).

Если (01 + -Э2)Ьтах > к (контроль выгоден ФЦ) и р0(Ьтах, А) > р+, где 0 < Х1 < Хтах (поддержание системы в гомеостазе возможно при коррупции), то

.Г А - 1, 1 -

V* = тах| (0, тт

(А 1 - 1 ) — тах + Р/ (1 - р+)2--тах--91Ьтах

Н* = ^ Т* = Tmax, 8* = 1 ¿* = bmax, Р * = /(¿та* ¿*).

В этом случае ФЦ выгодна максимальная степень контроля ОУ и ПП, при которой система находится в состоянии гомеостаза, а ОУ и ПП, несмотря на контроль со стороны ФЦ, остается выгодным предлагать и брать взятки.

Условие V* < (А1 — 1)/91 делает выгодным для ПП дачу взятки, условие V* < (1 — уА1)/92 — принятие взятки

ОУ, а условие V* <

(А - 1 )Ьтах + Р/(1 -р+ )2 - Ттах - ^

91Ьтах

позволяет поддерживать систему в гомеостазе.

Таким, образом, если ФЦ контролирует ОУ и ПП, то для него выгодна контролируемая коррупция в системе, если она не мешает поддержанию системы в гомеостазе.

Пример 2. Исследуем административную коррупцию (модель (7), (8), (12), (17), (19)—(23)) в случае (24) или (26) и входных функций (27).

Пусть е П 1 и, как следствие, выполнены два неравенства

е2(Т + ¿тах) < Р < Т + ¿та*;

—8ДТ) — Р/(1 — 8) + 2,УВ/УД Т) + ¿тах + (33) +

Р

Т) + Ь 91-^тахЬтах < 0. тах

Условия (33) делают для ПП невыгодной стратегию

(Ь* = 0, р* = 1 — е) по сравнению со стратегией I ¿* = А

р* = 1 —

Р

, если обе принадле-

/Д Т) + ¿тах + ¿тахЬтах ,

жат множеству допустимых управлений.

Пусть, кроме того,

Д7> — С0 > 0, ДГ)

Неравенства (34) показывают, что ФЦ и ОУ на проведение очистных мероприятий выделяют средства, полученные от ПП в виде платы за сброс загрязнений.

Если к > (91 + 92)Ь, то контроль за ОУ и ПП для ФЦ экономически невыгоден, поэтому V* = 0. В противном случае ФЦ нужна контролируемая коррупция в системе, и V* = 1/92. Тогда для ОУ становится выгодным брать предлагаемые ПП взятки, система будет в гомеос-тазе в силу выбора функции (24). При V* = 1/92 ОУ заставляет (!) ПП давать ему взятку, выбирая #* = 1 — 8. Для ОУ в большинстве случаев выгодна минимально возможная степень очистки сточных вод на ПП, обеспечивающая поддержание системы в гомеостазе, т. е. выгодна стратегия ПП р = р+. Но ОУ в полной мере использует свое положение в иерархии субъектов управления. Зная целевую функцию ПП и неравенство (33), они видят, что ПП будет выгодно дать ему взятку. Вопрос только в ее размере. Поэтому #* = 1 — 8. Данное значение # для ОУ может не быть оптимальным при отсутствии взятки, но они выбирают это значение #, будучи уверенным в получении взятки. В результате, если к < (91 + З2)й, то Н* = у, V* = 1/З2, 4* = 1 — 8, 8* = 1.

Если к > (91 + 92)Ь, то получим похожие стратегии Н* = у, V* = 0, 4* = 1 — 8, 8* = 1.

Для ПП и при попустительстве, и при вымогательстве оптимальной будет одна из следующих двух стратегий:

р1

р+, если 1 -

Р

Д Т) + ¿тах + Йп

< р+,

1

Р

Д Т) + ¿тах + аЛ если 1

Р

Д Т) + ¿тах + ЗЛ

> р+,

и p = p+Vbmax + (bmax - b2)(l - s)/bmax, если 0 < b2 < где b2 есть корни уравнения

-(1 - (p+b2/bmax + (bmax - M1 - s)/bmJ) + + (ДГ) + b2)(p+/bmax - (1 - e)/bmax) -- D(p+/bmax - (1 - e)/bmax) S 1

= 0.

Если ^ г [0, Атах), то оптимальна стратегия (35). Уравнение (36) решается, например, методом Ньютона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ приведенных моделей экономической и административной коррупции позволил сделать следующие выводы.

• Во всех рассмотренных случаях в рамках предложенной модели федеральному центру безразлично, имеется ли коррупция в системе, если она не затрагивает его экономических интересов и не мешает поддержанию системы в гомеостазе.

• Влияние коррупции на управляемую систему неоднозначно. Экономическая коррупция может препятствовать поддержанию системы в гомеоста-зе, так как уменьшает оптимальную для промышленных предприятий степень очистки сточных вод. Если коррупция выводит систему из гомеос-таза, то федеральный центр борется с коррупцией, независимо от своих экономических интересов. Административная коррупция, наоборот, способствует гомеостазу, если органы управления, принимая взятку, стремятся избежать наказания за нее и поддерживают систему в гомеостазе.

• При контроле органов управления и предприятий для федерального центра всегда экономически выгодна контролируемая коррупция в системе, если она не мешает состоянию гомеостаза. Оптимальной для федерального центра является максимальная степень контроля, при которой для предприятий и органов управления выгодна коррупция.

• При административной коррупции промышленные предприятия в силу своего положения в иерархии, вынуждены всегда давать взятки органам управления, если они их берут.

• При достаточных возможностях федерального центра борьба с коррупцией возможна как административными (контроль), так и экономическими (увеличением доли средств предприятий, поступающей к органам управления, степени контроля предприятий и органов управления) методами.

• При административной коррупции нет принципиальной разницы между вымогательством и попустительством.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rose-Ackerman S. The Economics of Corruption // Journal of Political Economy. - 1975. - N 4. - Р. 187-203.

2. Shleifer A., Vishny R. W. Corruption // The Quarterly Journal of Economics. - 1993. - Vol. 107, N 33. - P. 599-617.

3. Mookherjee D., Png I.P. Corruptible Law Enforcers; How Should They Be Compensated // Economic journal. - 1995. -N 105. - Р. 112-121.

4. Lambert-Mogiliansky A., Majumdar M., Radner R. Petty corruption: A game theoretical approach // Journal of Economic Theory. - 2008. - Vol. 4. - P. 273-297.

5. Chander P., Wilde L. Corruption in Tax Administration // Journal of Political Economy. - 1992. - Vol. 49. - N 2. -P. 333-349.

6. Beenstock M. Corruption and Development // World Development. - 1979. - Vol. 7. - Р. 82-91.

7. Bac M. Corruption and supervision costs in hierarchies // Journal of Comparative Economics. - 1996. - N 2. - P. 99-118.

8. Hindriks J., Keen M., Muthoo A. Corruption, Extortion and Evasion // Journal of Public Economics. - 1999. - Vol. 74, N 3. -P. 395-430.

9. Bardhan P. Corruption and development: a review of issues // Journal of Economic Literature. - 1997. - Vol. 35, N 3. -P.1320-1346.

10. Левин М.И., Цирик М.Л. Коррупция как объект математического моделирования // Экономика и математические методы. - 1998. - Т. 34, № 3. - C. 40-62.

11. Полтерович В.М. Факторы коррупции // Экономика и математические методы. - 1998. - Т. 34, вып. 3. - С. 30-39.

12. Выборнов Р.А. Модели и методы управления организационными системами с коррупционным поведением участников. - М.: ИПУ РАН, 2006. - 110 с.

13. Marjit S., Shi H. On controlling crime with corrupt officials // Journal of Economic Behavior and Organization. - 1996. -Vol. 34. - P. 163-172.

14. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Управление устойчивым развитием иерархических систем в условиях коррупции // Проблемы управления. - 2010. - № 6. - С. 19-26.

15. Угольницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2010. - 336 с.

16. Угольницкий Г.А., Усов А.Б. Трехуровневые системы управления эколого-экономическими объектами веерной структуры // Проблемы управления. - 2010. - № 1. -С. 26-32.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Н. Бурковым.

Угольницкий Геннадий Анатольевич - д-р физ.-мат. наук,

зав. кафедрой, Я (863) 297-51-14, И ougoln@mail.ru,

Усов Анатолий Борисович - д-р техн. наук, профессор,

И usov@math.rsu.ru,

Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону.