Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений

УДК 514

А. И. Долгарев

МЕТОДЫ ОДУЛЯРНОЙ ГАЛИЛЕЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОПИСАНИИ МЕХАНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

Решена задача И. Ньютона о получении уравнений траектории механического движения с двумя степенями свободы по полю ускорений. Использованы методы одулярной галилеевой геометрии, в общем случае нелинейной и некоммутативной.

Согласно И. Ньютону, механическое движение определяется функцией ускорения. Задача получения уравнений траектории движений по заданному ускорению решается с привлечением различных математических методов, физических законов и принципов, но решена еще не полностью. В результате анализа современного положения в этой области получен следующий вывод: «анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки» [1, с. 26]. Движение с двумя степенями свободы есть движение в плоскости.

Задача Ньютона относится к классической механике Галилея-Ньютона. Траекторией движения материальной точки является кривая, теория кривых относится к геометрии. Для решения задачи требуется выбрать соответствующую геометрическую систему. Естественно воспользоваться методами галилеевой геометрии. Кривые 3-мерного галилеева пространства-времени описаны в недавних работах [2, 3]. Пространственные составляющие этих кривых и есть траектории механических движений с двумя степенями свободы.

Механическое движение обусловлено векторным полем. В общем случае свойства поля приводят к некоммутативным алгебраическим структурам -одулям Ли. Получается одуль Ли посредством введения внешней операции умножения элементов группы на скаляры из некоторого поля, например поля действительных чисел. Введя на одуле Ли галилееву норму и заменяя в векторной аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства линейное пространство одулем Ли, получаем одулярное галилеево пространство, геометрия которого нелинейна и некоммутативна. Движение механической системы является событием в одулярном галилеевом пространстве-времени. По функции ускорения механического движения может быть найдена кривизна мировой линии движения и кручение этой линии. Функции кривизны и кручения дают натуральные уравнения кривой и определяют кривую с точностью до положения в пространстве. Проекция мировой линии движения на евклидову плоскость одулярного пространства является траекторией движения механической системы с двумя степенями свободы.

Ниже приведено решение задачи Ньютона в указанной схеме. Кривые 3-мерных одулярных галилеевых пространств изучаются в [3].

1. Разрешимые 3-мерные одули Ли. Галилеевы одулярные пространства

1.1 Одули Ли на тройках чисел

Одулярная галилеева геометрия строится в аксиоматике Г. Вейля, в которой линейное пространство заменено более общей структурой - одулем

Ли. Одули определены в [4]. 3-мерные одули Ли удобно задавать операциями

3 3 4

на действительных многообразиях R . Групповые операции на R и R определены С. П. Гавриловым [5]; для двух групп Ли Sol и Nil они описаны в [6]. Приведем 3-мерные разрешимые одули Ли из [3].

3 12

Тройки из R записываем в виде (х, х , х ). Операция на тройках задает группу Ли [5, 6], операция умножения троек на действительные числа превращает группу Ли в одуль Ли [3]. Элементы одуля называются одулярами. Имеются следующие 3-мерные разрешимые одули Ли.

Линейное пространство L3:

(х, X) + (у, у1) = (х + y, X + yl); t(х, X) =(xt, xlt), t є R, i = 1, 2 .

3

Растран однородный P :

(х,х1) + (у,у1 ) = (х + у, х1еу + у1);

t (х, х ) =

xt, х

е* -1Л

ех -1

, х Ф 0; t(0,х) =(0,Xt), t є R , i = 1,2

Растран общего вида P

(х,х) + (у,у1 ) = (х + у, х:е у + у1,х2еу + у2);

t(х, х ) =

- х^ 1 х 1 ^

і Є — 1 2 Є — 1

xt, х -------------------, х -----------

е_х — 1 ех — 1

, х Ф 0; t (0, х) =(0, Xt), t є R .

(х, х ) + (у, у ) = (х + у, х + у , х + у + х у);

t(х, х ) =

xt, x1t, x2t + ——— хх1 I, t є R.

Диссон А

3

(х,xl) + (у,у1) = (х + у,xLey + у1 + х2уеу, х2еу + у2); te

t (х, х ) =

А _ í _ w л ext 1 л

2 Є —1

xt, х

+ хх

ех —1

xt ext — 1

ех — 1 (ех — 1)2

, х

ех —1

, х Ф 0

t(0,х) =(0,Xt), tє R .

Осцилляторный одуль П :

(х, х ) + (у, у1) = (х + у, у1 + х1 cos у — х2 sin у, у2 + х1 sin у + х2 cos у),

t (х, X) =

xt, х1 +

. t — 1

sin-----------x f

x

sin—

2

V

1 xt 2 • xt

x cos-------x sin—

2 2

. t — 1 sin--------/

2 2

x2 +-------------2

x

sin—

2

1 . xt 2  xt

x sin----------h x sin---------

2 2

, x Ф 2кк ;

t(2nk,x) = (2nkt,x't), t e R , к = 0, ± 1, ± 2, ...

Одули Ли являются пододулями аффинного одуля [7]. Растран есть одуль Ли на основной аффинной группе гомотетий и параллельных переносов и, вместе с тем, растран - это одуль движений псевдоевклидовой плоскости. Движения галилеевой плоскости составляют сибсон. Сибсон и диссон являются различными расширениями мультипликативного линейного пространства дуальных чисел. Осцилляторный одуль Ли состоит из движений евклидовой плоскости. Элементы одулей называются одулярами.

1 2

Всякий одуляр ю = (x, x , x ) всякого из рассмотренных одулей Ли Q может быть представлен в виде разложения:

ю = xa + x1p + x2 у, (1,0,0) = а, (0,01) = Р, (0,0,1) = у.

Это означает, что множество одуляров Б = (а, Р, у) является базисом

1 2

каждого одуля Ли Q ; числа x, x , x называются координатами одуляра ю в базисе Б. Одуляры совпадают, если равны их соответствующие координаты. Оболочка <а> одуляра а, т.е. пододуль, порожденный одуляром а,

равна

<a> = {ta11e R},

она состоит из одуляров (t,0,0). Это 1-мерное линейное пространство. Оболочка <Р, у> в каждом из рассматриваемых одулей Ли, состоящая из одуляров (0,t, s), т.е.

<Р, Y> = {tP + sy|(t, s) eR 2},

является пододулем в Q, и 2-мерным линейным пространством. Всякий из указанных одулей Ли есть полупрямая сумма

Q = <Р,у>^ <а>

2-мерного и 1-мерного линейных пространств; в случае линейного пространства L3 полупрямая сумма превращается в прямую сумму. Приведенные одули Ли исчерпывают все 3-мерные разрешимые одули Ли. В этом можно убедится, вычисляя коммутаторы одуляров а, Р, у в каждом одуле и сравнив их значния со списком алгебр Ли, например [8, с. 83].

г

1.2 Галилеева норма на одуле Ли

На линейных пространствах <а> и <Р,у> определяем собственно евклидово скалярное произведение векторов (существуют другие евклидовы скалярные произведения векторов: псевдоевклидово, полуевклидово и др.).

12 12 Из векторов (х) и (х , х ) составляем одуляр (х, х , х ). Для одуляров

(х,0,0) определено скалярное произведение (х,0,0) (у,0,0) = ху ; для одуля-

12 12 11 22

ров (0, х , х ) (0, у , у ) = х у + х у . Считаем, что скалярное произведение

12 12 12 12 одуляров (х, х , х ) и (у, у , у ) равно (х, х , х ) (у, у , у ) = ху, если х Ф 0

12 12 11 22

или у Ф 0; (х, х , х )(у, у , у ) = х у + х у , если х = у = 0.

ли х Ф 0 ; ||ю|| =д/(x1)2 + (x2)2 , если x = 0.

Одуль Ли с галилеевым скалярным произведением одуляров называется галилеевым. Галилеев одуль не содержит изотропных одуляров. Всегда ||ю|| >0 и ||ю|| = 0, если и только если ю = # нулевой. Если <а> и <ß,y> поэлементно перестановочны, то одуль Ли является галилеевым векторным пространством Уг. Одуляр (х,0,0) есть времениподобная составляющая

12 12 одуляра ю = (х, х , х ), одуляр (0, х , х ) - пространственноподобная составляющая одуляра ю. Из одуляров (х,0,0) состоит 1-мерное евклидово про-

1 12 странство V , из одуляров (0, х , х ) - 2-мерное евклидово пространство

2 2 I 1 12

V . Имеем полупрямую сумму Q = V ] V . Одуляры (0, х , х ) называ-

1 2

ются евклидовыми или векторами, одуляры (х, х , х ), х Ф 0 , называются галилеевыми. Всякий евклидов одуляр перпендикулярен галилееву одуляру.

1.3 Дифференцирование одулярных функций

Отображение R ^ Q называется одулярной функцией одного параметра t е I с R , записывается одулярная функция в виде

ю(г) = (х(г), х1^), х2(t)).

Ввиду наличия нормы на одуле, можно на одуле Ли определить производную одулярной функции

o/(t) = lim -^Ю = lim — Дю.

At^0 Дt Д^0 Дt

Согласно [3], имеем следующие формулы для дифференцирования:

y'(t) = (х (t), хп (t)) - для векторных функций Y(t) ;

р (t) =

х'

i w

x

x

для растранных функций;

сонных функций.

Функции со значениями в осцилляторном одуле Ли недифференцируемы [9].

1.4 Одулярные галилеевы пространства

Пусть W = {А, В, ..., М, ...} - непустое множество, элементы которого называются точками, и пусть О - 3-мерный разрешимый одуль Ли, обозначение одуляров: а, Р, ..., ю, ... Задано отображение

W х W ^ О

пар точек в одуль Ли, т.е. каждой паре точек (А, В) соответствует единственный одуляр ю из О , используется обозначение

ю = АВ.

Выполняются аксиомы Г. Вейля:

(В. 1) для любых А е W и юеО существует единственная точка В, что АВ = ю;

(В. 2) для любых А, В, С е W , если АВ = р , ВС = а, то АС = р + а. Множество W называется ВО-пространством с одулем О (вейлевским одулярным пространством).

При О = Ь ВО-пространство W есть аффинное пространство. Если на одуле Ли О задана галилеева норма, то W называется одулярным гали-

3

леевым пространством. Если О = УГ, то W - галилеево (точечное) пространство, называем его пространством Галилея, обозначение Г3. Оно выделяется коммутативностью одуля Ли из всех ВО-пространств.

ВО-пространство с нормированным растраном называется ЕМ-пространст-вом; с нормированным сибсоном - ЕС-пространством; ЕД-пространство имеет своим одулем нормированный диссон; ЕО-пространство - нормированный ос-цилляторный одуль.

Точка О ВО-пространства W и базис Б = (а, Р,у) одуля Ли О составляют репер

В =

ВО-пространства W. Для любой точки М из W имеем одуляр ОМ = ц. Координаты одуляра ц в базисе Б называются координатами точки М в репере

В. Если ц = (х,х1,х2), то

М = (х,х1,х2).

12 12 Пусть А = (а, a , a ), В = (Ь,Ь ,Ь ) две точки из W . Во всех галилеевых одулярных пространствах расстояние |АВ| между точками А и В равно

| АВ| = |Ь - а| , если Ь Ф a ; | АВ| = д/(Ь1 - a1)2 + (Ь2 - a2)2 , если Ь = a .

2. Кривые одулярных пространств

2.1 Регулярные кривые

Рассматривается регулярная кривая ю^) на интервале 11; считаем, что одулярная функция ю^) дифференцируема не менее трех раз, одуляры ю'^) Ф# и ю'^), ю"^) независимы, т.е. ю',^<ю/>. Рассматриваем регулярные кривые ю^) =

монотонно возрастает. Существует обратная функция t = х_1(5). Заменим параметр t параметром 5 , имеем кривую

ю

12

где х(5) = х ^(5)) , у(5) = х ^(5)) . Так как для 5о и 51, 5о < 51,

||ю(51) -ю(5о)| = 5! - 5о,

то параметр 5 есть длина дуги рассматриваемой кривой. Параметризация (1) является естественной.

Кривая (1) может быть записана в виде двух составляющих:

ю

где составляющая 5а времениподобна, вторая составляющая г (5) пространственноподобна. Значит, смысл параметра 5 есть время. г (5) есть векторная функция евклидовой плоскости, проходящей через начало репера О и имеющей своим векторным пространством пространство У = <Р,у>. Считаем векторы Р, у единичными и взаимно перпендикулярными, имеем, что вектор а единичный, т.е. репер В является ортонормированным. Кривая евклидовой плоскости Г (5) в (2) является проекцией одулярной кривой ю(5) на евклидову плоскость одулярного галилеева пространства. Заметим, что через всякую точку ВО-пространства проходит единственная евклидова плоскость.

Галилеева геометрия изучает кривые (1), кривые ю(5) = (0,х(5), у(5)) изучает евклидова геометрия.

Вдоль регулярной кривой (1) определено касательное отображение в одуль своего пространства.

2.2 Кривизна и кручение кривой галилеева пространства

Рассматриваем кривую (1) в естественной параметризации в разложении (2). Формулы дифференцирования одулярных функций п. 1.2 перепишем для функций в естественной параметризации. Используем символы ю, ю,ю:

1) у = (1,х(5),У(^))= а+?(я) - для кривых пространства Галилея;

2) р = (1, (е -1)(х - х), (е - 1)(у - у)) - для кривых ЕМ-пространства;

3) 7 =

4) 8 =

А 1 ^

1, х, у + — х - х1 - для кривых ЕС-пространства;

( г 1 л Л

1, (е - 1) 1

V V е -1 У У

х - х + -^—(у - еу) I ,(е -1)(у - у) - для кривых ЕД

пространства.

Но для векторных функций г (5) параметр 5 не является естественным.

В каждом из ВО-пространств одуляр касательной ю(/) имеет постоянный единичный модуль: ||ю (5)||=1. Функции ю (5) во всех одулях Ли дифференцируются как векторные. Производные ю во всех одулях Ли являются векторными функциями:

у = (0, х(5), у (5)) = Г (5);

р = (0,(е - 1)(х - х),(е - 1)(у - у)) = (е -1) (г - г);

1

0, х, у + — х - х I;

2 1

А А 1 л Л

V

8 = 0,

I ^ е -1 у у

Обозначим во всех одулярных пространствах

со = (1, р(5), &(5)), или, соответственно, (О = (1, (е -1)р(1), (е - Щ(г)) .

В пространстве Галилея: р(5) = х, &(5) = у ;

В ЕМ-пространстве: р(5) = х - х, &(5) = у - у .

В ЕС-простра„стве: *« = х, = у-х +1 х.

В ЕД-пространстве: р(5) = х - х + (у - еу), &(5) = у - у .

е -1

Кривая

С

евклидовой плоскости называется векторной функцией скорости для оду-лярной функции (1). В [10] по векторной функции скорости найдены оду-лярные кривые всех ВО-пространств. Одуляры второй производной кривых всех ВО-пространств имеют вид

ю = (0, р, &), или ю = (0, (е -1) р, (е -1)#), где р = х, & = у - в пространстве Галилея; р = х - х, # = у - у - в ЕМ-

пространстве; р = х, & = у - х +1 х - в ЕС-пространстве;

р = х - х Н—1—(у - еу), & = у - у - в ЕД-пространстве.

е -1

Кривизна одулярной кривой ю(5), заданной в естественной параметризации (1), по определению равна либо норме одуляра второй производной к^ =

= 1 |ю||, если ю = (0,р,&), либо к± = —— ||ю||, если ю = (0, (е -1)р, (е-1)&). Тае -1

ким образом, во всяком ВО-пространстве кривизна кривой ю( 5) вычисляется по формуле

к1=>/ р2+&2,

см. [10], кручение к2 кривой ю(5) в естественной параметризации равно

к2 = ^.

к12

3. Задача Ньютона

3.1 Постановка задачи Ньютона

Рассматриваем механические движения с двумя степенями свободы, т.е. движения в евклидовой плоскости. Согласно И. Ньютону, траектория механического движения определяется векторной функцией ускорения движения, и уравнения траектории движения могут быть получены как решение уравнения Ньютона:

г (г) = I (г),

где I - векторное поле, в котором происходит движение; г = (х, у) - точка поля; г (г)= (х(г), у (г)) - уравнение траектории движения во времени; г (г) -ускорение движения во времени г. Масса механической системы считается равной 1. Функция ускорения задается в виде

I(Г)= I(х, у) = (11(х, у), 12 (х, у)) = (I\ 12),

1 2

здесь I (х, у) и I (х, у) - компоненты векторной функции ускорения; ускорение движения задается как функция времени (движение происходит во

11 2 2

времени), поэтому I = I (г) и I = I (г). Таким образом, уравнения траектории движения г (г) = (х(г), у (г)) механической системы нужно найти по за-

г 12

данной функции ускорения движения г (г) = (I (г), I (г)), решая уравнение Ньютона.

3.2 Решение задачи Ньютона

Движение происходит под действием силового поля. Векторные поля по своим свойствам могут быть и одулярными, если взаимодействие сил поля некоммутативно. Механические движения изучаются механикой Галилея-Ньютона. Естественно для описания движений использовать методы галилеевой геометрии и, в общем случае, одулярной галилеевой геометрии.

Движение механической системы есть событие галилеева пространства событий. Мировая линия механического движения есть кривая одулярного галилеева пространства. Считаем эту кривую регулярной. Ее можно задать в естественной параметризации, естественным параметром является время. За-

пишем мировую линию движения в виде (1), обозначив естественный параметр так, как принято обозначать время:

ю(г) = (г, х(г), у(г)), г е I.

Механическое движение происходит во времени, поэтому касательными к мировой линии ю(г) являются галилеевы одуляры, в частности галилеевы векторы; т.е. рассматриваемая параметризация мировой линии механического движения вполне оправдана. Время г в задании (1) есть времениподоб-ная составляющая движения, векторная функция г (г) = (х(г), у(г)) - это пространственноподобная составляю щая мировой линии движения и траектория движения. Векторная функция г (г) является проекцией мировой линии движения в евклидову плоскость одулярного галилеева пространства, эта функция описывает траекторию движения в евклидовой плоскости, мировая линия которого есть ю(г). По заданной функции ускорения движения г (г) нужно найти уравнения траектории движения г (г).

1. Теорема. Функция ускорения механического движения г (г) = г 12

= I(х, у) = (I (г), I (г)) определяет кривизну и кручение мировой линии движения ю(г).

# Пусть ю(г) = (г,х(г),у(г)) - мировая линия движения, одулярная кри-

3 г

вая класса С . Векторная линия скорости есть с (г) = (р(г),&(г)), см. п. 2.2. Там же, в п. 2.2, выписаны выражения функций р(г) и &(г) через функции х(г), у (г). Производная второго порядка ю (г) мировой линии движения ю(г) является вектором кривизны этой линии, который совпадает с производной функции скорости с (г) = (р (г), & (г)):

ю = Не , где Н = 1 или Н = е -1.

Таким образом, ю(г)= с (г) =г (г), кривизна мировой линии движения

I 2 2 г 12

равна к1 = \] р + & ,(3), с учетом соотношения г (г) = (I (г), I (г)), п. 3.1,

имеем

р

следовательно, кривизна мировой линии движения определяется функцией ускорения движения:

кх = >/(11(г))2 + (12(г))2 .

Имея формулу для вычисления кручения одулярной регулярной кривой по векторной функции скорости этой кривой (4), на основании (5) получаем выражение кручения мировой линии движения через компоненты функции ускорения движения:

к = I:(г)12(г)-:(г)12(г) #

к2 = I . #

>/( 11(г ))2 + (12(г ))2

Известно, что функции кривизны ^ = к^(г) и кручения к2 = к2(г) регулярной кривой определяют кривую с точностью до положения в пространстве; это натуральные уравнения кривой. Доказанная теорема означает

2. Теорема. Функция ускорения механического движения определяет мировую линию движения в одулярном галилеевом пространстве с точностью до положения в этом пространстве. #

г 12

То есть векторная функция ускорения движения г (г) = (Г (г), Г (г)) определяет мировую линию движения ю(г) =(г, х(г), у (г)): заданная функция

12 г

(I (г), I (г)) определяет функцию г (г) =( х(г), у (г)), которая является проекцией на евклидову плоскость одулярного галилеева пространства; функция г (г) - уравнение траектории движения.

12

3. Теорема. Функции I (г), I (г) - компоненты ускорения движения — определяют функции р(г) и &(г) - компоненты функции скорости движения — как решение системы дифференциальных уравнений

# Функции к1 (г) и к2 (г), содержащиеся в правых частях выписанной системы дифференциальных уравнений, являются функциями кривизны и кручения мировой линии движения. Их выражения через компоненты ускорения движения получены выше. Это заданные функции. Функции р(г) и &(г) - это компоненты функции скорости механического движения по траектории, их предстоит отыскать, как решение указанной системы дифференциальных уравнений. Левые части системы дифференциальных уравнений выражают кривизну и кручение мировой линии движения через компоненты функции скорости движения.

Введем обозначения

Первому уравнению системы удовлетворяют функции

и = к1 С08(ц>(г) + ео ) , V = к1 8Ш(н<г) + ео ),

где w = ^(г) - функция, которую предстоит найти. Это функция угловой скорости движения. Находим производные:

и = р , V = & ,

рассматриваемая система уравнений приобретает вид

и = &1С08(^ + с0 ) - кіУ&8Іи(^ + с0 ) , V = &і8Іп(^ + С0 ) - ^1>ТС08(^ + С0 ) .

Подставляя функции u, v, U, v во второе уравнение, имеем

2 2 2 2 2 uv - Uv = k\ w(cos (w + co) + sin (w + co)) = k\ w = k\ k2 .

Отсюда получаем дифференциальное уравнение системы для функции w:

k2 = w.

Функция w находится в результате квадратуры:

w(t )= Jk2(t )dt = J-

f1 f 2 - J&1 f 2

(f1)2 + (f 2)2

dt

Во введенных обозначениях

р = к1 cos(^ + ео), & = к1 sin(w + ео).

Функции р(г) и &(г) определяются одной квадратурой:

р(г) = |%(г )cos(w(г) + ео )^г, &(г) = | к1 (г ^ш( w(г) + ео )ёг

по уже найденной функции w(г).

Таким образом, составляющие р(г) и &(г) векторной функции скорости механического движения найдены по функциям кривизны к1 (г) и кручения к2(г) мировой линии движения. Величина ео является произвольной постоянной. Функции w(г), р(г), &(г) записаны в виде неопределенных интегралов, которые содержат произвольные постоянные. Функции х(г), у(г), как решения систем дифференциальных уравнений, также содержат произвольные постоянные. Значения постоянных находятся по начальным условиям, определяющим траекторию, т.е. по точке, через которую траектория проходит. #

4. Теорема. Уравнения траектории механического движения являются решениями систем дифференциальных уравнений в каждом из одулярных галилеевых пространств, связывающих функции х(г), у(г) с составляющими векторной функции скорости движения [10]:

х(г) = р(г), у (г) = &(г) - в пространстве Галилея; х - х = р(г), у - у = &(г) - в ЕМ-пространстве;

х = р(г), у = &(г) -1 р(г) + х - в ЕС-пространстве;

у - у = &(г), х - х = р(г)-— (у - еу) - в ЕД-пространстве.

е -1

# Укажем приемы решения систем дифференциальных уравнений отыскания уравнений траекторий движений.

В пространстве Галилея уравнения траектории получаются одной квадратурой

x(t) = Jp(t)dt, y(t) = Jq(t)dt.

Уравнения траекторий движений в ЕМ-пространстве получаются как решения линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициен-

тами. Для ЕС-пространства сначала решаем первое уравнение, как в пространстве Галилея, находим функцию х(г), а затем одной квадратурой по второму уравнению находим у(г). Для ЕД-пространства решая первое уравнение, находим функцию у(г), как в ЕМ-пространстве; и по функции у(г) также находим функцию х(г).

Таким образом, уравнения траекторий движения в одулярных галилеевых пространствах получены на основании функции скорости движения, а функция скорости движения получена по функции ускорения. #

Рассмотренная выше механическая задача Ньютона решена вместе с геометрической задачей определяемости кривой ВО-пространства скалярными функциями кривизны и кручения этой кривой, т.е. задачей о натуральных уравнениях кривой. Справедлива следующая теорема.

5. Теорема. Кривая всякого дифференцируемого 3-мерного разрешимого ВО-пространства определяется однозначно с точностью до положения в пространстве заданием двух скалярных функций к^г) > 0 и к2(г), первая из которых является функцией кривизны кривой, а вторая — функцией кручения кривой. #

Заключение

Выше в общем случае решено уравнение Ньютона, позволяющее получить уравнение траектории механического движения с двумя степенями свободы по ускорению этого движения. Решено уравнение в 3-мерном галилеевом пространстве методами одулярной галилеевой геометрии. Траектория движения лежит в евклидовой плоскости. Поле, обуславливающее движение, может быть одулярным - более общим, чем векторное. Кстати, поля скоростей движений в общем случае одулярны.

Решено уравнение Ньютона общим методом для всех одулярных галилеевых пространств, что не мешает нахождению решения уравнения своеобразными методами в каждом из одулярных галилеевых пространств.

Каждое одулярное галилеево пространство есть пространство-время.

Успех в решении задачи обеспечивает естественная параметризация одулярных кривых, естественным параметром которых является время. Вектор ускорения движения при этом совпадает с вектором кривизны мировой линии движения. До сих пор решения уравнения Ньютона отыскивалось в евклидовом пространстве, где указанные векторы различны.

Список литературы

1. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1989. - 472 с.

2. Долгарев, А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований / А. И. Долгарев. - Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. - 116 с.

3. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.

4. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - С. 800-803.

5. Левичев, А. В. Некоторые методы исследования причинной структуры однородных лоренцевых многообразий / А. В. Левичев. - Новосибирск : Изд-во института математики СО АН СССР, 1986. - 40 с.

6. Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт. - М. : Мир, 1986. - 168 с.

7. Долгарев, А. И. Одулярное описание аффинных преобразований плоскости / А. И. Долгарев. - М., 1997. - 59 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.07.97, № 369-В97.

8. Петров, А. З. Пространства Эйнштейна / А. З. Петров. - М. : Наука, 1961. - 464 с.

9. Долгарев, А. И. Недифференцируемый одуль / А. И. Долгарев // Дифференциальная геометрия много образий фигур : межвузовский тематический сборник научных трудов. - Вып. 32. - Калиниград : Изд-во КГУ, 2001. - С. 34-37.

10. Долгарев, А. И. Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : межвузовский тематический сборник научных трудов. -Вып. 33. - Калиниград : Изд-во КГУ, 2002. - С. 25-28.