Энергия Казимира для неидеально проводящей сферы в квантовой электродинамике

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 53:51, 530.145.1, 517.9

В. Н. Марков, Ю. А. Петухин, Ю. М. Письмак

ЭНЕРГИЯ КАЗИМИРА ДЛЯ НЕИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ СФЕРЫ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ*

Введение. В эффекте Казимира (ЭК) проявляется важная особенность флуктуаций квантовополевого вакуума: при определённых условиях они могут существенно изменить классическую картину взаимодействия макрообъектов. Как показали теоретические расчёты [1], идеально проводящие пластины плоского незаряженного конденсатора должны притягиваться. Сила притяжения зависит от расстояния I между пластинами. Она пропорциональна I-4 и на достаточно малых расстояниях (порядка 10-6 + 10-7 см) оказывается доступной измерению. В настоящее время этот теоретический результат получил надёжное экспериментальное подтверждение [2-5].

Причина явлений подобного рода в том, что материальные тела, взаимодействуя с квантовополевым вакуумом, изменяют его энергию. Весьма существенной оказывается при этом форма поверхностей тел. ЭК исследовался, как теоретически так и экспериментально, не только для двух параллельных плоскостей, но и для поверхностей других форм. Хотя нет никаких сомнений в том, что он возникает за счёт электромагнитных взаимодействий, для расчётов, как правило, используются простые модели свободных скалярных полей. В работе [6] предложен подход, в котором построение моделей предполагается в рамках квантовой электродинамики (КЭД) с учётом всех её базисных принципов (локальность, калибровочная инвариантность, переномируемость). В таких моделях можно изучать не только ЭК, но и другие явления физики взаимодействий полей КЭД с материальными макронеоднородностями. Для задачи о силе Казимира между двумя параллельными плоскостями в данном подходе имеются параметры, характеризующие свойства материала, и, как показали расчёты [6, 7], в зависимости от их значения сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей.

Первый расчёт ЭК для сферической поверхности был проведён Бойером [8]. Такой же результат результат был получен иными способами в работах других авторов [9]. Он оказался неожиданным, поскольку предсказывал отталкивающую силу Казимира, увеличивающую поверхность сферы. Это было удивительно ввиду предполагавшейся связи между силой Казимира и силами ван-дер-Ваальса, которые всегда являются притягивающими. К ЭК для сферы за последние несколько лет в своих работах возвращались многие авторы. Имеющиеся в настоящее время теоретические результаты для объектов различной формы представлены в недавних обзорах [10-12]. Принципиальная проблема, которую приходится решать при исследовании ЭК для неплоской поверхности, связана с возникающими при вычислениях ультрафиолетовыми расходимостями. Обычно конечные результаты получаются отбрасыванием расходящихся выражений в рамках какой-либо схемы регуляризации. Такая процедура неоднозначна,

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 07-01-00692а, при поддержке Министерства образования России, грант № РНП2.1.1/1575, а также SORS research, a. s.

© В. Н. Марков, Ю. А. Петухин, Ю. М. Письмак, 2009

и в связи с этим возникает проблема интерпретации теоретических предсказаний и их экспериментальной проверки.

В настоящей работе проводятся расчёты ЭК для сферы в рамках КЭД на основе предложенного в [6] подхода. Проблема ультрафиолетовых расходимостей будет решена с помощью процедуры перенормировок, в которой не возникает неоднозначности результатов. Нас будут интересовать эффекты, проявляющееся на расстояниях, много больших комптоновской длины волны электрона, поэтому вкладами вакуумных флуктуаций электрон-позитронного поля мы пренебрегаем и ограничимся расчётом ЭК для сферы, взаимодействующей с фотонным полем.

Формулировка модели. Следуя принципам моделирования взаимодействия с «дефектом» в виде тонкой материальной поверхности с полями КЭД, предложенным в [6], его нужно представить добавкой к стандартному действию КЭД, сосредоточенной на поверхности дефекта, так, чтобы полное действие удовлетворяло требованиям локальности, калибровочной инвариантности и перенормируемости.

Если поверхность дефекта замкнута и описывается уравнением Ф(ж) = 0, на ней нет токов и зарядов, то фотонная часть действия, удовлетворяющего вышеуказанным требованиям, записывается в виде

5

где 5о(А) - обычное действие электромагнитного поля Ац(ж), а 5^(А) описывает его

взаимодействие с материальной поверхностью (дефектом):

= ~\/

5^ = «У 3А жеуцХкду Ф

Мы использовали стандартное обозначение ^|1У(х) = дцАу(ж) — дуАц(ж). Для случая

стационарного дефекта д0Ф(ж) = 0, который рассматривается в нашей работе, действие 5^(А) можно записать в виде

5^(А) = о J жб^^^^гАо^ЬфА^ж) +<9Ф[^4(ж) х до А (ж)]},

где оператор Ьф = г[дФ х д], а о - безразмерная константа взаимодействия. Действие (2) - это действие Черна-Саймонса [13] для поверхности Ф(ж) = 0. Это единственно возможное выражение для калибровочно-инвариантного функционала поля Ац, сосредоточенного на поверхности дефекта, инвариантного относительно её перепараметри-зации и не содержащего параметров отрицательной размерности.

Для сферы радиуса г0

Ф(ж) = \! х\ + х\ + х\ — Го,

дж 1 1

<9Ф(ж) = — = п(ж), Ьф = — г [ж х 9] = — Ь,

\ж\ \ж\ \ж\

где п(£) - 3-мерный единичный вектор перпендикулярных сфере \ж\ = го в точке ж, и Ьд - оператор углового момента. Действие Черна-Саймонса содержит полностью антисимметричный тензор е^0 Леви-Чивиты. Это означает что оно описывает подобные магнетоэлектрикам материалы, нарушающие пространственную чётность. Только

в двух предельных случаях этого не происходит. При о = 0 поверхностный вклад исчезает, и взаимодействие дефекта с фотонным полем носит объёмный характер. Предел о — то соответствует идеально проводящему материалу. В этом случае действие дефекта Черна-Саймонса эквивалентно наложению на фотонное поле условий проводящей границы ПцЕ= 0. С теоретической точки зрения нет никаких оснований предполагать, что отсутствуют материальные поверхности, которым в рассматриваемой нами модели соответствует действие дефекта с конечной константой взаимодействия о. В расчётах мы считаем её значение заданным произвольно. Как было сказано выше, вакуумные флуктуации фермионных полей в данной работе не учитываются, поэтому рассматриваем (1) в качестве полного действия модели.

Проблема регуляризации. Непосредственные вычисления ЭК для сферы на основе действия (1) дают бессмысленные расходящиеся результаты. Поэтому для проведения расчётов нужно, прежде всего, выбрать какую-либо регуляризацию. Многими авторами используется так называемая регуляризация дзета-функцией, в которой формальное несуществующее выражение для ЭК заменяется на регуляризованное. Хотя этот приём позволяет провести расчёты и получить конечный результат, однако, с точки зрения обычных требований к методам исследования квантовополевых моделей, его нельзя считать полностью удовлетворительным. Во-первых, здесь не выполнено стандартное требование к регуляризации: в регуляризованной теории должны быть конечными результаты любых расчётов, а не только для какой-либо одной величины. Во-вторых, результаты расчётов в квантовой теории поля, которые предполагается сравнивать с экспериментальными данными, не должны зависеть от способа регуляризации. Это обеспечивается последовательной процедурой перенормировки для модели в целом, а не для одной из её количественных характеристик. В предлагаемом подходе, кроме того, естественно требовать сохранения локальности и калибровочной инвариантности в регуляризованной теории.

Для модели с действием (1) всем выше указанным условиям удовлетворяет регуляризация Паули-Вилларса, которая получается заменой

Б0 -+ й'ог = ~\/ <г4х^(х)(1 + М-2^)^у(х);

5(А) — Бг (А) = 5ог + ^.

Здесь М - параметр размерности массы. Снятию регуляризации соответствует предельный переход М — то. Для расчётов более удобной оказывается евклидова версия модели с действием Бе , которая получается в результате замены

жо —— —гжо, до —— гдо, Ао —— гАо, а —— га.

При этом

(ж)^(ж) — ^(ж)^(ж), 3Аж — -гдАж,

2гАо(ж)Ь ф А (ж) + дФ[А (ж) х дод(ж)] — — 2Ао(ж)Ь ф А(ж) + гдФ[А(ж) х до А (ж)].

В итоге мы имеем: гБг — —Бег, где

$Ег = \1 й4х{М-2^(х)(М2 - 52)^(х) +

+ го5

В модели с действием (3), которое является локальным и калибровочно инвариантным, не возникает расходимостей, поэтому её можно рассматривать как допустимую регуляризованную версию рассматриваемой теории. В качестве следующего шага в проведении расчётов следует выбрать удобную параметризацию, соответствующую симметрии поверхности дефекта.

Переход к сферической системе координат. Исследуемая модель трансляцион-но инвариантна по временной координате хо, поэтому естественно использовать для фотонных полей преобразование Фурье:

СЮ

Ар(х) = -4= I (е^А(р,х) +е-^М*(р,х))ф.

V 2п .]

о

В силу калибровочной инвариантности действия (3), результаты расчёта калибровочно инвариантных величин не зависят от выбора калибровки. Для нас наиболее удобна фейнмановская калибровка, в которой евклидово действие (3) с дефектом с учётом добавки продольной части имеет вид

Set = J dpJdxl^M 2A*l(p,x)(p2 - д2)(p2 + M2 - д2))A^(p,x) +

о

+ —— (рх[А*(р, х) х А(р,х)\ + Al(p, x)LA(p, х) + А0(р, x)LA*(p, х)^ | .

Чтобы записать Set в более удобном для сферического дефекта виде, введём операторы

V

для которых выполняются соотношения

V(i) + V(j) =0, i = j, i,j = 1, 2, 3;

L(1) + = 1, V(2) + д(2) = -r2д2, V(3)+L(3) = -r2д2;

V(1)+[x х V(2)] = —ir0(1 + xd), V(3)+ [X х V(2)] = 0;

V(1)+[x х V(3)] = (L2)1/2.

Для расчётов будем использовать сферические координаты r, в, ф:

x =

и сферические гармоники Yim(e, ф), которые являются собственными функциями оператора

L2 = —дд--------

sin2 в

и образуют полный ортонормированный базис для функций на сфере единичного радиуса:

L2Yim

п 2п

j J Y,*m,

оо

Здесь І, т - целые числа, удовлетворяющие ограничениям 0 ^ І, —І ^ т ^ І. В данном базисе, представим вектор-потенциал в виде

3 + 0 і , ч

ім = ЕЕ Е уи)а]1т{р,г)у1т

3=1 1=0 т= — і + ^ і

л„(Р,г) = £ £ Ї2пйі1>у„,(в,ф).

1=0 т= — і

Используя (4)-(6), соотношение

ё2=дг+-гдг-^Р

и обозначения

<т2 ____________

Д;(р, г ) = р2 — д2 -\----------1-, р = \/р2 + М2,

оо I

запишем действие £ег в виде

со

БЕг(а*,а)= йрйтйт'^^ ^ а*т(р,т)Ь(І,р; т,т')аіт (р,т'),

0 і=0 т=—1

где аіт(р, т) = (аоіт(р,т),ацт(р,т),а2іт(р,т),азіт(р,т)) - 4-компонентный вектор и Ь(І,р; т, т') - матрица 4 х 4:

2іа

Ь(1,р;г,г') = Ь0(1,р,г)Ь(г - г') Н-----П(г)* Ьа(1,р)П(г'),

т0

в которой

( 1 0

Ьо(І,р,т) =

Аі(р,г)Аі(р, г) М2

^а

П

( 0 Зі 0

—Зі 0 — рт0

0 рт0 0

\ 0 рто Зі 0

( 1 0 0 0 \

0 1 0 0

0 0 ітодг 0

\ 0 0 0 1

0 0 \

0 10 0

0 0 т2 Ді(0,т) 0

2Д

0 \

V 0 0 0 т2Ді(0,т) У

0

6(т — то).

Теоретическое описание всех физических явлений в рассматриваемой модели даёт порождающий функционал функций Грина:

С(Л) = ег ! в^г(А)+А/0А, с-1 = ! в^го(А)0А.

Вычислим его евклидову версию:

/

/

e—SE0(a*,a) d a*D a.

Здесь использованы обозначения

Seo = SEr \o=0,

Функции j связаны с источниками J следующими соотношениями:

0

0

П

2n

joim(r,P) = —7=

V2n

r

/

dx0 sin BdB eipx0 J0(x)Yim (В, ф^ф.

/

/

0

0

В их правых частях вектор x = (xo, x) подразумевается заданным в сферических координатах: x = (r sin В cos ф, r sin В sin ф, r cos В).

Функционал Ge(j*,j) вычисляется точно

Таким образом, в рассматриваемой модели G( J) выражается в терминах пропагатора De фотонного поля, взаимодействующего с дефектом.

Расчёт пропагатора De . Для того чтобы вычислить De , получим вначале про-пагатор свободного электромагнитного поля Doe в сферической системе координат. Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение

Его общее решение записывается в виде

Fi(p, г) = Cly/rIl+L ipr) + C^Kl+i ipr), Cb C2= const,

где Il+i(x), Kl+ i(x) - модифицированные функции Бесселя ([14, формула 8.494.8]). Учитывая значение определителя Вронского

Pr[Ii+±(pr)K'i+i(pr) — I'i+k{Pr)Ki+i{pr)] = — 1 ([14, формула 8.474]),

l+T

нетрудно проверить, что

Єі

является функцией Грина дифференциального оператора Д; (р, г):

Д;(р, г)О; (р; г,г') = Ь(т - г').

Мы использовали в (10) обозначение 0(ж) для пороговой функции Хевисайда: 0(ж) = = (ж + |ж|)/(2|ж|). Важно, что функция О;(р,г,г') непрерывна в точке г = г':

Gi(p;r,r) = rIl+i_{pr)Kl+i (рг).

Функция Грина Gi (О) имеет простой вид

Gi

2l + 1

0

Г \ г+2

Свободный пропагатор Doe(l,p) = Doe(l,p; r,r') удовлетворяет уравнению

Lo(l,p, r)Do(l,p; r, r') = 5(r - r').

Несложные вычисления дают следующий результат:

Doe(l,p) = M2TiGi(p)Gi(p), Ti =

( 1 О О 1

О О

О О r—2 Gi (О) О

V О О О r—2Gi (О) J

Здесь опущены аргументы r, r' у пропагатора Doe(l,p), и произведение функций Грина G понимаются в смысле произведения интегральных операторов.

Непосредственно из определения De(l,p) = L(l,p) — 1 получаем следующее выражение для полного пропагатора:

De(l,p; r,r') = Do(l,p; r, r') +

+ ^Vl*(p;r)Ld(l,p)(l + —F(l,p)Ld(l,p)) Ц(рУ), (14) ro V ro J

где

V*(p,r) = J D0(l,p; r,r')Q*(r' )dr',

0

ю

V(p,r') = J Q(r)Do (l,p; r,r')dr,

о

F(l,p) = j Q(r)D0(l,p; r,r')Q*(r')drdr'.

Используя полученные результаты (13), (14) для свободного и полного пропагаторов, мы можем перейти к вычислению ЭК.

Энергия Казимира. Из (9) следует, что энергия Казимира ЕСз,б в нашей модели записывается в виде следующего выражения:

ЕСж = “ =

ОО I

i Л

dp ЕЕ lndet Ml(p) = — dp (2l + 1)lndetMi(p),

0 i=0 m=-i 0 i=0

где

мы = + ^-Р

Для того чтобы найти явный вид матриц Г(1,р), М[(р), выведем некоторые вспомогательные соотношения. Умножая

дг(рх) - дг(р2) = р\ -р2 на Сг(р1)Сг(р2) = С1 (р2)0 (рх), получим О р) - Сг(рх) = (р2 - р1)С1 (рх)С1(р2)-

Следовательно,

н[1\р,р) = С,Хр)С1{р) = -^р[01,{р) - С,Хр%

Hj;2\p,p) = Gi(p)Gi(p)Gi( 0) = ^

~^

p2 p2

_ p2Gi(p) - (p2 + M2)Gi(p) + M2Gi{0) M2p2{M2+p2) '

Теперь вычислим

Si(p,r1,r2) = dridr2Gi(p;ri,r2) = ^ ((дГ1 + дГ2)2 - d2ri - d22) Gi(p;r1,r2) =

1 Ля я

,2r2

Мы имеем

5(ri — гг) + - ( (дГ1 + дГ2) — 2р---------------------^------ ) G;(p;ri,r2).

2 \ ТлТп

Ri

1 =r 2=r 0

= r20(Si(p;r1,r2) - 5(n ~ г2))\г1=г2=Го = (lrodr0 ~ roP2 ~ l(l + ^ Gi(p,r0,r0) и, вследствие (11), (12),

Gi(p,r0,r0) = r0Ii+i_{pr0)Ki+i_{pr0),

Ді{р,г0) = г0дГо (^І1+і(рго)) г0дГо ^оК1+і(рг0)) =

= г'о ( 2 Т1+^Рго) +рг01'1+1(рго)) (^2 К1+^(рго) + рг0К'1+±(рг0) Хотя ^(р; г, г') при г = г' не существует, но в выражении

Яі

1 = г2 =г0

все сингулярности сокращаются, и получается следующий результат:

Яі(р) =

Еі

М2р2 М2р2

р2р2

Обозначим

Х((р) = М2И(1)(р;го,го), У(р) = М2г0 2Н(2)(р;г0,г0), Zl(p) = М2г0 2Ql(p).

Тогда можно записать определённые соотношениями (15), (16) матрицы Г((р), М((Х,р), в следующем виде:

Рі

( Хі(р) 0 0 0 \

0 Хі(р) 0 0

0 0 Zl(p) 0

V 0 0 0 Уі

Мі

и вычислить

где

( 1 ^ЗіХі(р) 0 0 \

-\ЗіХі

0 \pгоZl(p) 1 0

у 0 ХргоЗіУі(р) 0 1 У

Мі(\,р) = 1 + \2Хі(р)Уі(р),

Уі

= —І(І + 1) (Оі(р) — Оі(р)) +

р2 [1(1 +1)Оі(р) + Еі(р)]

-Еі

— 1

Таким образом, для ЭК имеем следующий результат:

ОО

(2І + 1)1п(1 + 4а2иі(гор; ц)),

і_п

і=о

2

где ц = Мхо и

и(х; ц) = [£г(х) - £г(Х)]

Я-1 (х) - Кь(Х) +

ц2

Здесь использовали следующие обозначения: х = \/ х2 + [I2,

£г

Нетрудно убедиться, что при конечном М получаем конечное значение для ЭК, которое расходится при снятии регуляризации М — то. Теперь нашей задачей является анализ расходимостей ЭК и построение процедуры перенормировки.

Расходимости и перенормировка. Применяя те же методы, которые использовались в [15] при анализе формулы для энергии Казимира цилиндрической поверхности с черн-саймоновским взаимодействием с фотонным полем, можно найти асимптотику Есаэ при больших М:

Есэ.б — М3г1А(о) + МВ(о) -\--------^ + О (—

го \М

Здесь А(о), В(о), Е(о) - не зависящие от М функции параметра о. Последнее слагаемое в правой части (17) обозначает исчезающий в пределе М — 0 вклад в асимптотику. Как мы увидим, из неё непосредственно в перенормированный результат для энергии Казимира войдёт только функция Е(о). Для неё получается следующее выражение:

Е

3

64 1 + \о2

+

+^»2(+1>Ы,п

1=1 о \

В пределе о Еж = Е

1=1

то получаем 1

1 - о2д1{р)п1{р) 1 + !°2

+

\(21 + \У

1

\о2) (Ар2 + (21 + I)2)3

3 1 Г Г

64 + 2л; + !) ЛР \ Ц-4аг(р)7гг(р)] +

1=1 п ^

(21 +1)4

(4р2 + (21 +1)2)3

Этой величиной определяется энергия Казимира для идеально проводящей сферы ЕСав = Еж/г0, полученная в расчётах Бойера [8].

Анализ действия модели (1) показывает, что невозможно сократить расходимости в регуляризованной энергии Казимира (два первых слагаемых в правой части (17)) с помощью обычной мультипликативной перенормировки фотонного поля и константы взаимодействия о. Минимально отличающееся от (1) действие мультипликативно перенормируемой модели получается добавкой к лагранжиану не зависящей от фотонных полей функции вида

Ъс\(х) = (Аг"2 + В)6(|х| - го),

где А, В - два постоянных параметра. Проводя их перенормировку, можно сократить расходимости в энергии Казимира, возникающие при снятии регуляризации, в результате чего получится конечная ренормированная энергия Казимира вида

Е

Есав = 4пг2а + в +

2

о—ЮО

с конечными параметрами а, в размерности плотности поверхностной энергии и энергии, соответственно. Если а > 0, F(a) > 0 функция Ec&s имеет минимум при го = = y/F(o)/8яа.

Заключение. Исследовано взаимодействие материального объекта в форме бесконечно тонкой сферы с квантовыми флуктуациями электромагнитного поля. В нашей модели оно представлено функционалом действия дефекта S'def(^) (2), явный вид которого определяется требованием локальности, калибровочной инвариантности и пе-ренормируемости теории. В регуляризованной по Паули-Вилларсу модели получены аналитические выражения для фотонного пропагатора и энергии Казимира. Для того чтобы мультипликативная перенормировка давала конечную при снятии регуляризации энергию Казимира, необходим дополнительный «классический» вклад в действие дефекта, не содержащий фотонных полей. Соответствующая ему плотность лагранжиана Lci(x) (18) содержит два параметра. Всего в модели необходимо иметь три параметра: безразмерный параметр о, описывающий непосредственное взаимодействие сферы с фотонным полем, и ещё два параметра, характеризующие классические свойства материала дефекта. Пропагатор фотонного поля зависит только от о, а перенормированная энергия Казимира (18) зависит также от плотности энергии поверхности сферы а и общей для сфер любого радиуса энергии в, входящих в классический лагранжиан дефекта. В итоге, для энергии Казимира получается выражение (18), которое, как функция от го, в отличие от энергии foo/Vo, при определённом значении параметров а, а может иметь минимум. Тогда для сферы радиуса го = \Jf (a)/4jta давление сил Казимира равно нулю, и она оказывается стабильной. В этом существенное отличие рассмотренной модели от тех, которые использовались в работах других авторов для расчёта ЭК сферической поверхности. Можно надеяться, что использованный подход окажется полезным при теоретических исследованиях различних явлений в области нанофизики, и, в частности, проблемы необычной устойчивости фулеренов и карбон-ных нанотрубок.

Литература

1. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1948. Vol. 51. P. 793-795.

2. Mohideen U., Roy A. Precision measurement of the Casimir force from 0.1 to 0.9 |im // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. N 21. P. 4549-4552.

3. Roy A., Lin C. Y., Mohideen U. Improved precision measurement of the Casimir force // Phys. Rev. (D). 1999. Vol. 60. P. 111101-(1)-111101-(5).

4. Harris B. W., Chen F., Mohideen U. Precision measurement of the Casimir force using gold surfaces // Phys. Rev. (A). 2000. Vol. 62. P. 052109-(1)-052109-(5).

5. Bressi G., Carugno G., Onofrio R., Ruoso G. Measurement of the Casimir force between parallel metallic surfaces // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 041804-(1)-041804-(4).

6. Markov V. N., Pis’mak Yu. M. Casimir effect for thin films from imperfect materials // arXiv:hep-th/0505218. 4 p.

7. Iidem. Casimir effect for thin films in QED // J. Phys. (A). 2006. Vol. 9. N 21. P. 6525-6532.

8. Boyer T. H. Quantum electromagnetic zero-point energy of a conducting spherical shell and the Casimir model for a charged particle // Phys. Rev. 1968. Vol. 174. N 5. P. 1764-1776.

9. Milton K. A., DeRaad Jr. L. A., Schwinger J. Casimir self-stress on a perfectly conducting spherical shell // Ann. Phys. 1978. Vol. 115. N 2. P. 388-403.

10. Milton K. A. Casimir energies and pressures for S-function potentials // J. Phys. (A). 2004. Vol. 37. N 24. P. 6391-6406.

11. Milton K. A. The Casimir effect: physical manifestations of zero-point energy. Singapore: World Scientific, 2001. 252 p.

12. Bordag M., Mohideen U., Mostepanenko V. M. New developments in the Casimir effect // Phys. Rep. 2001. Vol. 353. N 1. P. 1-205.

13. Chern S. S. Some cohomology classes in principal fiber bundles and their application to Riemannian geometry // Proc. Nath. Acad. Sci. 1971. Vol. 68. P. 791-794.

14. Градшейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1008 с.

15. Fialkovsky I. V., Markov V. N., Pis’mak Yu. M. Parity violating cylindrical shell in the framework of QED // J. Phys. (A). Vol. 41. N 7. P. 075403-(1)-075403-(8).

Принято к публикации 1 июля 2009 г.