Математическое определение зон параметрической неустойчивости электрического контура щёточно-контактного аппарата турбогенератора

УДК 51-74; 62-768.3

О. И. Козырева, Ю. Н. Журавлёв, И. В. Плохое, А. В. Ильин, А. В. Андрусич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗОН ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО КОНТУРА ЩЁТОЧНО-КОНТАКТНОГО АППАРАТА ТУРБОГЕНЕРАТОРА

Рассматривается проблема аналитического решения задачи определения зон параметрической неустойчивости электромагнитной колебательной системы узла скользящего токосъёма с использованием уравнения Матье II порядка для дис-сипативной системы с одной степенью свободы. Приводятся результаты вычислительного эксперимента и рекомендации.

Ключевые слова: электрофрикционное взаимодействие, скользящий электрический контакт, имитационное моделирование.

Энергетические турбогенераторы имеют конструктивный узел, носящий название щёточно-контактный аппарат (ЩКА) или узел скользящего токосъёма. Надёжность работы турбогенератора определяется, в том числе, надёжностью функционирования данного узла. На щётки, контактирующие с вращающимся токосъёмником, действуют значительные динамические усилия, которые приводят к механическим нарушениям контакта и процесса токопередачи. Кроме того в электрических цепях (ЩКА) возникают электромагнитные резонансные явления, обусловленные параметрической модуляцией переходного сопротивления и ёмкости в зоне контакта [1-5]. Описанные явления вызывают повышенное искрение и износ контактирующих деталей. Одним из важных способов снижения уровня искрения является устранение параметрических резонансных процессов в электромагнитных контурах ЩКА. Для этого необходимо исследовать области параметрической неустойчивости данной колебательной системы и установить соответствующие ограничения на конструктивные параметры узла, а также определить характеристики внешних демпфирующих устройств, позволяющих избежать указанных параметрических резонансов. Описанные задачи являются актуальными, т. к. их решение позволит повысить надёжность ЩКА и турбогенератора в целом. В данной статье рассматривается первый этап решения описанной задачи, связанный с построением зон параметрической неустойчивости электромагнитной колебательной системы ЩКА турбогенератора.

В рамках работы над созданием обобщённой модели динамического токорас-пределения по параллельным щёткам узла скользящего токосъёма турбогенератора (УСТ ТГ), с целью построения адекватной итоговой модели, разделим расчётную задачу на взаимосвязанные функциональные части.

В данной статье рассмотрим расчёт и построение зон параметрической неустойчивости электрических контуров: высокочастотного, для одиночного скользящего контакта (СК) на одном из токосъёмных колец и низкочастотного, для двух одиночных СК на двух токосъёмных кольцах.

Полная схема замещения УСТ ТГ имеет следующий вид (рис. 1).

Рис. 1. Схема замещения узла токосъёма ТГ На данной схеме:

V, Ьщ2... ЬщП; Rщl, ••• Кщп — индуктивность и электрическое сопротивление отдельного щёточного контакта на первом токосъёмном кольце; ¿щ1' , ¿щг'••• Ьщп'; Кщ1' , Ящ2'... Rщn' — индуктивность и электрическое сопротивление отдельного щёточного контакта на втором токосъёмном кольце;

, ^п2 -Кпп;^п1, Сп2... Спп — электрическое сопротивление и ёмкость переходного слоя отдельного щёточного контакта на первом токосъёмном кольце; Кп1', Яп2'... Япп' ; Сп1', Сп2'... Спп' — электрическое сопротивление и ёмкость переходного слоя отдельного щёточного контакта втором токосъёмном кольце; Ьв, Яв, Ев — индуктивность, электрическое сопротивление и ЭДС возбудителя; Ьр, Яр — индуктивность и электрическое сопротивление ротора; ¿1,2, ¿2,3••• ¿1,1+1; ^1,2, ^2,з••• ^¿,¿+1 — индуктивность и электрическое сопротивление между двумя щёточными контактами на первом токосъёмном кольце; ¿1,2¿2,3— ¿1,1+1; ^1,2, ^2,з— ^г,г+1 — индуктивность и электрическое сопротивление между двумя щёточными контактами на первом токосъёмном кольце.

Рассмотрим электрические процессы в контуре независимого одиночного СК. Схема замещения представлена на рис. 2.

Рис. 2. Схема замещения одиночного скользящего контакта

Данный контур имеет операторное сопротивление:

Ri

Z1(p) = +

1 + R1C1p и операторное уравнение для тока:

[ЬщЯ1С1р2 + (¿щ + RulR1C1)p + (Ящ + R1)]l1 = (1 + R1C1p) • Ев.

Если принять напряжение обмотки возбуждения постоянным Ев = const, получаем линейное дифференциальное уравнение II порядка:

у, + + —

Дифференциальные уравнения вида A(t)^^ + B(t)^ + C(t)q = 0в общем

случае описывают параметрические колебания линейных систем, таким образом мы можем сделать вывод, что в данной системе наблюдаются колебания, которые можно интерпретировать как параметрические.

Так как коэффициенты в уравнении параметрических колебаний зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия, то при определённых их значениях решение уравнения может оказаться неустойчивым. Множества точек, соответствующих неустойчивости, образуют в пространстве параметров области динамической неустойчивости. В случае если варьируемыми параметрами являются частоты периодического параметрического воздействия, наибольший интерес представляют частотные соотношения, называемые параметрическими резонансами.

Для нахождения параметрических резонансов системы, будем строить границы областей неустойчивости, пользуясь уравнением колебаний Матье II порядка для диссипативной системы с одной степенью свободы.

Приведём уравнение (1) к форме уравнения Матье:

/" + 2е/' + ш02

Для нашего случая примем, что Rщ = const, а сопротивление переходного слоя одного щёточного контакта и его ёмкость С1 изменяются гармонически с частотой ш, с амплитудами aR и ас и с постоянными составляющими R0 и С0:

Rt

где sR = —, ес = — — параметры, характеризующие глубину модуляции, £R,£C « 0.

Определим, с некоторым приближением, коэффициенты для уравнения Матье:

ьщс0 к0

о)0 — собственная частота электромагнитных колебаний в рассматриваемом контуре, ^ — совокупная глубина модуляции параметров колебательного контура (коэффициент возбуждения), = £с + ——;

И 1

£ — параметр затухания электромагнитных колебаний (диссипация), 2е = —+--;

¿щ л0с0

ш — частота модуляции (частота параметрического возбуждения).

Таким образом, мы описали колебательные процессы в электрическом контуре одной щетки уравнением Матье, то есть привели данную систему к колебательной диссипативной системе с одной степенью свободы.

Далее, построим распределение областей неустойчивости Матье (диаграммы Стретта — Айнса) на плоскости ц = [6]. Области неустойчивости примыка-

2ш0

ют к частотным соотношениям: ш = (р = 1, 2, 3 ...). При достаточно малых ^ « 1 границы первой области могут быть рассчитаны по формуле: ш ~ Относительная ширина последующих побочных резонансов имеет степенной порядок.

При задании ^ от 0 до 0,6 с шагом 0,1, получаем следующие графики:

"Л

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

1 обл.неуст.

2 обл.неуст.  3 обл.неуст.  4 обл.неуст.

0,2

0,4

0,6

0,8

0

0

Рис. 3. Диаграммы Стретта — Айнса — области неустойчивости для уравнения Матье

Зоны неустойчивости для высокочастотного контура

По диаграммам Стретта — Айнса (рис. 3), находим области неустойчивости для электрического контура одной изолированной щётки, используя числовые значения полученных коэффициентов уравнения Матье (2).

Приведём числовую оценку входящих в уравнение параметров, для ТГхх:

Параметры модели Расчётные параметры

R0, Ом £r С0, мкФ £с Дщ, Ом Ьщ, мкГн рад/ ^о, /с

0,2 0,5 0,01 0,5 8•10"4 20 0,251 1,584 • 106

EB = const.

В нашем случае диссипация £ = 0.

Итак, по диаграммам на рис. 3, при ^ = 0,251, учитывая, что ij = полу-

2ш0

чаем следующие данные:

Таблица 1

Границы неустойчивости по уравнению Матье для контура одиночного

скользящего контакта

Первая область неустойчив ости Вторая область неустойчив ости Третья область неустойчив ости Четвёртая область неустойчив ости

Л 1,12 0,51 0,33 0,25

0,87 0,47 0,32 0,25

f, кГц 390 Af= 86 177 Af= 11 116 Af= 3 86,3 Af= 0,4

304 166 113 85,9

Таким образом, мы нашли возможные зоны параметрической неустойчивости по частоте модуляции ш для высокочастотного электрического контура одной изолированной щётки, при заданных значениях совокупной глубины модуляции ^ и собственной частоте электромагнитных колебаний о)0, при отсутствии диссипации £.

Зоны неустойчивости для низкочастотного контура

Низкочастотный контур содержит две щётки — по одной щётке на каждом из двух токосъёмных колец. Электрическая схема замещения представлена на рис.4.

При переходе к операторным сопротивлениям схема будет иметь вид:

Рис. 5. Операторная схема замещения

ft

где Z'n = Zn =--—; Z„ = pL„ + Rp; ZB = RB + pLB. Тогда полное операторное

ft

сопротивление цепи: Z = 2 Zn + ZB + Z„ =----+ pL + R,

^ pC^Ri + 1

где R = Rb + Rp; L = Lp + Lb .

Составим уравнение для электрической цепи (рис. 5).

Z

При подстановке в уравнение (4) операторных сопротивлений, получаем операторное уравнение для тока:

[(LR1C1)p2 + (L + RR1C1)p + (2 Rt +R)]4 = ( 1 + R1C1p) • Ев.

При Ев = const, имеем дифференциальное уравнение II порядка:

VL R^Cj LCiK RJ LR1C1 в

Теперь, приведём это уравнение к форме уравнения Матье (2). Для этого введём допущения, что R = RB + Rp = const; L = Lp + LB = const, а сопротивления переходного слоя первого и второго щёточных контактов, при Rt = Rt' и их ёмкости, при С1 = Сг' изменяются гармонически с частотой ш, с амплитудами aR и аси с постоянными составляющими R0 и С0:

Rt(t) = Rt'(t) = R0(1 ± sRcosMt); C1(t) = Ct'(t) = C0(1 ± £ccosut).

Тогда, коэффициенты в уравнении Матье II порядка для низкочастотного контура двух щ'ток будут иметь вид:

2^ = £С + £К

1+2R0/R'

т К . 1 2£ = -+--

L RiC

Приведём числовую оценку входящих в уравнение параметров, для ТГхх:

Параметры модели Расчётные параметры

й0, Ом С0, мкФ йщ.Ом ¿щ, мкГн йр, Ом Кв, Ом V Гн LB, мГн -о,РаД/е

0,2 0,5 0,01 0,5 8 • 10~4 20 0,02 0,1 0,95 1 0,308 1,653 • 106

EB = const.

В нашем случае диссипация £ = 0.

Итак, по диаграммам на рис. 3, при ^ = 0,308, учитывая, что ij = полу-

2ш0

чаем следующие данные:

Таблица 2

Границы неустойчивости по уравнению Матье для контура двух щток

Первая область Вторая область Третья область Четвёртая область

неустойчив ости неустойчив ости неустойчив ости неустойчив ости

Л 1,15 0,51 0,33 0,25

0,84 0,46 0,32 0,24

/, кГц 6,05 Af= 2,67 Af= 1,74 Af= 1,29 Af=

1,23 4,8 2,42 0,26 1,67 0,07 1,28 0,01

Выводы:

Таким образом, мы нашли возможные зоны параметрической неустойчивости по частоте модуляции ш для низкочастотного электрического контура двух изолированных щёток, при заданных значениях совокупной глубины модуляции ^ и собственной частоте электромагнитных колебаний о)0, при отсутствии диссипации £.

Кинематическое возмущающее воздействие на щётку носит полигармонический характер и в нём присутствуют гармоники от 50 Гц до сотен тысяч. При этом резонансные частоты механической колебательной системы «щётка — контактная поверхность» с учётом контактной жесткости (С = 15-40 МН/м) и массы щётки (т = 0,01-0,15 кг) будут, ориентировочно, находится в интервале от 1,5 кГц до 10 кГц. Следовательно, можно констатировать, что частоты параметрического возбуждения могут совпадать с зонами неустойчивости по уравнению Матье как для высокочастотного, так и для низкочастотного контуров, но наибольшая вероятность развития параметрического резонанса имеется у низкочастотного контура. Возможность данного совпадения необходимо учитывать при конструировании УСТ ТГ.

Литература

1. Плохов И. В. Комплексная диагностика и прогнозирование технического состояния узлов скользящего токосъёма турбогенераторов. Диссертация доктора технических наук. СПб.: СПбГПУ, 2001.

2. Плохов И. В. Модель динамики токопередачи через скользящий контакт // Электротехника. М., 2005. № 2. С. 28-33.

3. Ильин А. В., Плохов И. В., Козырева О. И. Моделирование процессов электрофрикционного взаимодействия в узлах скользящего токосъёма // Научно-технический вестник Поволжья. Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2013. № 4. С. 166-173.

4. Ильин А. В., Плохов И. В., Козырева О. И. Моделирование микрорельефа поверхностей контактирующих деталей // Научно-технический вестник Поволжья. Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2013. № 5. С. 180-183.

5. Хольм Р. Электрические контакты. М.: Иностранная литература, 1961.

6. Вибрации в технике, Т. 1, М.: «Машиностроение», 1978. С. 121.

Об авторе

Козырева Оксана Игоревна — старший лаборант кафедры «Электропривод и системы автоматизации», электромеханический факультет, Псковский государственный университет, Россия.

Журавлёв Юрий Николаевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры строительной механики, инженерно-строительный факультет, Псковский государственный университет, Россия.

Плохов Игорь Владимирович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электропривод и системы автоматизации», электромеханический факультет, Псковский государственный университет, Россия. E-mail: igor_plohov@list.ru

Ильин Александр Викторович — старший преподаватель кафедры «Электропривод и системы автоматизации», электромеханический факультет, Псковский государственный университет, Россия. E-mail: al.ilyin@yandex.ru

Андрусич Андрей Владимирович — учебный мастер кафедры «Электропривод и системы автоматизации», электромеханический факультет, Псковский государственный университет, Россия.

O. I. Kozyreva, Yu. N. Zhuravlyov, I. V. Plohov, A. V. Iliin, A. V. Andrusich

THE MATHEMATICAL DEFINITION OF REGIONS OF PARAMETRIC INSTABILITY OF ELECTRIC CIRCUITS OF THE BRUSH-CONTACT DEVICES TURBOGENERATOR

The problem of determination of the analytical solution of the problem ofparametric instabilities of electromagnetic vibratory system node sliding contact with the Mathieu equation II order for a dissipative system with one degree of freedom are seen. The results of computational experiments and recommendations are considered.

Key words: elektrofriktsionnoe interaction, sliding electrical contact simulation.

About the author

Kozyreva Oksana Igorevna, Assistant of the Department of Electric Drive and Systems of Automation, Faculty of Electromecanics, Pskov State University, Russia.

Zhuravlyov Yury Nikolaevich, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Professorof the Department of Construction Mechanics, Faculty of Construction Engineering, Pskov State University, Russia.

Plohov Igor Vladimirovich, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Head of the Department of Electric Drive and Systems of Automation, Faculty of Electromecanics, Pskov State University, Russia.

E-mail: igor_plohov@list.ru

Ilyin Alexander Viktorovich, Senior Lecturer of the Department of Electric Drive and Systems of Automation, Faculty of Electromecanics, Pskov State University, Russia.

E-mail: al.ilyin@yandex.ru

Andrusich Andrey Vladimirovich, Assistant of the Department of Electric Drive and Systems of Automation, Faculty of Electromecanics, Pskov State University, Russia.