Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли как количественная мера синергетического эффекта объединения булеанов в системном обобщении теории множеств

УДК 510.3

ОБОБЩЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ ХАРТЛИ КАК КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ОБЪЕДИНЕНИЯ БУЛЕАНОВ В СИСТЕМНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Луценко Евгений Вениаминович д.э.н., к.т.н., профессор

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

В статье предлагается общее математическое выражение для количественной оценки системного (синергетического) эффекта, возникающего при объединении булеанов (систем), являющихся обобщением множества в системном обобщении теории множеств и независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Для этой количественной меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности Р.Хартли» из-за сходства его математической формы с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли, отражающим степень отличия системы от множества его базовых элементов. Для локального коэффициента эмерджентности Хартли также предложено обобщение, независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Приводятся численные оценки системного эффекта при объединении двух систем с применением авторской программы, на которую дается ссылка

Ключевые слова: СИСТЕМНЫЙ СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ, ОПЕРАЦИЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ, БУЛЕАН, СИСТЕМА, МНОЖЕСТВО, СИСТЕМНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ОБОБЩЕННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ ХАРТЛИ

UDC 510.3

GENERALIZED COEFFICIENT OF HARTLEY'S EMERGENCE AS THE QUANTITATIVE STANDARD OF SYNERGETIC EFFECT OF INTEGRATING OF BULEANS IN SYSTEM GENERALIZATION OF THE THEORY OF VARIETIES

Lutsenko Evgeny Veniaminovich Dr.Sci.Econ., Cand.Tech.Sci., professor

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

In the article general mathematical expression for a quantitative assessment of system (synergetic) effect, arising when integrating buleans (systems), being a generalization of sets in system generalization of the theory of varieties and independent of an expedient (algorithm) of formation of subsystems in system is offered. For this quantitative standard the name is offered: «Generalized coefficient of emergence by R.Hartli» because of likeness of its mathematical shape to the local coefficient of emergence of Hartli, reflecting a degree of difference of system from the variety of its base devices. For local coefficient of emergence of Hartli, the generalization independent of an expedient (algorithm) of formation of subsystems in system is offered. Numerical estimates of system's effect are given at integrating of two systems with application of the author's program to which the reference is given

Keywords: SYSTEM SYNERGETIC EFFECT, OPERATION OF INTEGRATING, BULEAN, SYSTEM, SET, SYSTEM GENERALIZATION OF THE THEORY OF SETS, NUMERICAL MODELING, GENERALIZED COEFFICIENT OF EMERGE BY HARTLEY

В статье [1] предложено математическое выражение для обобщенного коэффициента эмерджентности Хартли1, количественно отражающего величину системного эффекта, возникающего при объединении систем. Для двух систем, образованных на базовых элементах множеств A и B (1):

1 Назван так автором в статье [1] в честь этого выдающегося ученого в связи со сходством математической формы данного коэффициента с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли [2], отражающим уровень системности локальной системы.

м

2 £^ Аи В

I т=1

ІУ1

ьог 2 £ с;

мм

£ ст и£ ст

у т=1 т=1 у

Для объединения М систем семейства {Ка }аеА (2):

м

^082 £ С* Ка

т _____т=1 аеА

М

1о* 2 * £ С

т

'2 £^ Ка

ае Ат=1

При получении этих выражений в статье [1] в соответствии с системной теорией информации (СТИ) [2] предполагается, что количество подсистем NА в системе, образованной на некотором множестве базовых элементов А, равно сумме числа сочетаний этих элементов от 1 до м:

м

NA=£ ст

т=1

Обобщим выражения (1) и (2) без использования этого предположения. Пусть Р(А) - булеан (система), образованная на множестве базовых элементов А, а Р(В) - система, образованная на множестве базовых элементов В. В объединение этих систем Р(А)и р(в ) входят все подсистемы обоих этих подсистем, тогда как в систему Р(А и В), образованную на

объединении базовых множеств А и В , кроме того, входят подсистемы, включающие базовые элементы как 1-го, так и 2-го базовых множеств одновременно.

Поэтому система, образованная на объединении базовых множеств, имеет большую мощность, чем мощность объединения систем, образованных на исходных базовых множествах:

Р

Вышесказанное практически полностью совпадает с классическим определением системного (синергетического, эмерджентного) эффекта: «Свойства системы превосходят сумму свойств ее частей и не сводятся к ним». При этом степень отличия свойств системы от свойств составляющих ее элементов (базового множества) обоснованно считать ее уровнем системности [1-9].

Поэтому предлагается считать, что разность в мощности этих систем (системы, образованной на объединении базовых множеств, и системы, являющейся объединением систем, образованных на исходных базовых множествах) представляет собой системный эффект, возникший за счет их объединения:

Используем классическую формулу Р.Хартли для количества информации, получаемого при идентификации элемента множества, состоящего из N элементов:

для расчета количества информации, получаемого при идентификации одной из подсистем системы, образованной на объединении базовых множеств, и системы, являющейся объединением систем, образованных на исходных базовых множествах:

эффициента эмерджентности Хартли, независящее от предположения о способе образования подсистем на основе элементов базовых множеств:

5 = Р

= Ьо%[Р

2

Откуда непосредственно получаем выражение для обобщенного ко-

15 1а% [р(А )иР(В)]

Ьо& [Р(А и В)]

Заметим, что основание логарифма в выражении (7) не является существенным, т.к. берется их отношение.

Обобщим выражение (7) на произвольное количество систем. Пусть дано не 2 системы, а семейство систем: {Ка}аєА . Тогда для случая многих систем выражения (5) и (8) обобщаются следующим образом:

/ \

р = Со • Ка - • Р

^ ає А 0 а є А

Кроме того, в каждой из систем могут возникать составные элементы из ее собственных базовых элементов. Это приводит к системному эффекту, в результате которого система отличается от множества, т.е. содержит больше элементов, чем в порождающем множестве. Этот вид системного эффекта аналитически выражается локальным коэффициентом эмерджент-ности Хартли (11), который был получен автором в 2001 году [9] и назван так в честь этого ученого, внесшего большой вклад с разработку научной

теории информации :

м

о 2 £ ст

_____т=1______

^ 2^

где:

Ж - количество базовых элементов в системе;

т - сложность составного элемента системы, т.е. подсистемы (количество базовых элементов в составном элементе);

3 Приходится об этом напоминать, т.к. в ряде материалов, широко распространившихся в научной печати и в Шете! их авторы без ссылки на первичный источник информации о коэффициентах эмерджентно-сти Хартли и Харкевича, т.е. работы автора, используют большие фрагменты из этих работ. Чтобы убедится в этом достаточно сделать запрос: «коэффициенты эмерджентности Хартли и Харкевича»

M - максимальная сложность подсистем (максимальное количество базовых элементов в составном элементе).

Обобщение локального коэффициента эмерджентности Хартли (11), независящее от способа образования подсистем, имеет вид (12):

Log P

j =

Например, при объединении 2-х систем, содержащих на 1-м уровне иерархии простые числа, а на 2-м уровне составные числа, являющиеся произведениями различных пар простых сомножителей, образуется объединенная система, 1-й уровень которой является объединением 1-х уровней исходных систем, а 2-й образуется по тому же алгоритму, что и в них (рисунок 1):

Объединенная система

1-я система 2-я система 2-й уровень: 14 15 21 22 26 33 34 35 38 51 55 57 65 77 85 91 95 133 143 187 209 221 247 323 1-й уровень: 2 3 5 7 11 13 17 19

2-й уровень: 6 10 14 15 21 35 1-й уровень: 2 3 5 7 и 2-й уровень: 143 187 209 221 247 323 1-й уровень: 11 13 17 19 6 10 39 119

Рисунок 1. Объединение 2-х систем из простых чисел на базовом уровне и сложных чисел, образованных из пар простых, на 2-м уровне4

В таблицах 1-4 приведены данные о том, какие составные числа произведениями каких простых являются в рассматриваемом примере:

Таблица 1 - СОСТАВ ЭЛЕМЕНТОВ 1-Й СИСТЕМЫ

Элемент Уровень иерархии Простые сомножители

1-й 2-й

2 1 2

З 1 З

5 1 5

7 1 7

б 2 2 З

10 2 2 5

14 2 2 7

15 2 З 5

21 2 З 7

З5 2 5 7

Пример взят и работы (1) и разработан с помощью авторской программы, размещенной по адресу: http://www.twirpx. com/file/370725/ при параметрах «по умолчанию» и максимальным уровнем сложности

Таблица 2 - СОСТАВ ЭЛЕМЕНТОВ 2-Й СИСТЕМЫ

Таблица 3 -

Элемент Уровень иерархии Простые сомножители

1-й 2-й

11 1 11

13 1 13

17 1 17

19 1 19

143 2 11 13

187 2 11 17

209 2 11 19

221 2 13 17

247 2 13 19

323 2 17 19

СОСТАВ ЭЛЕМЕНТОВ ОБЪЕДИНЕННОИ

Элемент Уровень Простые сомножители

иерархии 1-й 2-й

2 1 2

3 1 3

5 1 5

7 1 7

11 1 11

13 1 13

17 1 17

19 1 19

6 2 2 3

10 2 2 5

14 2 2 7

22 2 2 11

26 2 2 13

34 2 2 17

38 2 2 19

15 2 3 5

21 2 3 7

33 2 3 11

39 2 3 13

51 2 3 17

57 2 3 19

35 2 5 7

55 2 5 11

65 2 5 13

85 2 5 17

95 2 5 19

77 2 7 11

91 2 7 13

119 2 7 17

133 2 7 19

143 2 11 13

187 2 11 17

209 2 11 19

221 2 13 17

247 2 13 19

323 2 17 19

Таблица 4 - СОСТАВ ЭЛЕМЕНТОВ ПОДСИСТЕМЫ ОБЪЕДИНЕННОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЭЛЕМЕНТЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ЗА СЧЕТ

СИСТЕМНО »ГО ЭФФЕКТА

Элемент Уровень Простые сомножители

иерархии 1-й 2-й

22 2 2 11

26 2 2 13

34 2 2 17

38 2 2 19

33 2 3 11

39 2 3 13

51 2 3 17

57 2 3 19

55 2 5 11

65 2 5 13

85 2 5 17

95 2 5 19

77 2 7 11

91 2 7 13

119 2 7 17

133 2 7 19

Числа, показанные на рисунке 3 черным цветом на 2-м уровне объединенной системы, есть на 2-м уровне либо 1-й системы, либо 2-й. Если бы системы объединялись как множества, то никаких других элементов на 2-м уровне объединенной системы и не было бы. Но при объединении систем в объединенной системе могут возникать элементы, образованные из сочетаний базовых элементов нескольких исходных систем одновременно, которых не было в исходных системах и которые могли образоваться только в объединенной системе. В нашем примере на рисунке 3 это числа, показанные более крупным шрифтом и красным цветом на 2-м уровне объединенной системы, образованные из различных пар простых чисел, одно из которых принадлежит 1-й системе, а 2-е - второй (см. таблицы 1-4).

Все полученные выражения стандартно обобщаются также на непрерывный случай путем замены факториалов при расчете числа сочетаний на гамма-функции [9].

В результате запуска этой программы с последовательно увеличивающимся параметром «уровень сложности» при одних и тех же диапазонах базовых элементов, указанных выше, получим результаты, сведенные в таблице 5 и на рисунке 2:

Таблица 5 - ЗАВИСИМОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ И ОБОБЩЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТОВ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ ХАРТЛИ ______ОТ СЛОЖНОСТИ ОБЪЕДИНЯЕМЫХ СИСТЕМ______

Уровень сложности Локальный коэффициент эмерджентности Хартли Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли

1-й системы 2-й системы Объединенной системы

1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000

2 1,6609640 1,6609640 1,7233083 1,1962080

3 1,9036775 1,9036775 2,1745207 1,3569961

4 1,9534453 1,9534453 2,4466167 1,4958251

5 1,9534453 1,9534453 2,5893948 1,5831175

6 1,9534453 1,9534453 2,6475048 1,6186451

7 1,9534453 1,9534453 2,6628949 1,6280544

8 1,9534453 1,9534453 2,6647845 1,6292096

9 1,9534453 1,9534453 2,6647845 1,6292096

-•-LKEH_SYS1 --LKEH_SYS2 LKEH_SYSU -* OKEH ----Полиномиальный

Рисунок 2. Зависимость локальных и обобщенного коэффициентов эмерджентности Хартли от сложности объединяемых систем

На рисунке 2 использованы обозначения:

- ЬКЕН_8У81 - локальный коэффициент эмерджентности Хартли для систем ЗуБ_1 и ЗуБ_2;

- ЬКЕН_БУ8и - локальный коэффициент эмерджентности Хартли для объединенной системы (объединения систем ЗуБ_1 и 8уБ_2), хорошо аппроксимируется кубическим степенным полиномом:

у = -2Е-05х6 + 0,0006х5 - 0,0078х4 + 0,0603х3 - 0,3513х2 + 1,4537х - 0,1555

Я2 = 1

- ОКЕН - обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли.

Из таблицы 5 и рисунка 2 видно, что при повышении уровня сложности от 4 до 9 уровень системности 1-й и 2-й подсистем не увеличивается. Это связано с тем, что из-за небольшого количества базовых элементов этих системах отсутствуют иерархические уровни с 5-го по 9-й, т.е. на них нет ни одного элемента. На других зависимостях также виден «эффект насыщения», проявляющийся в том, что с увеличением уровня сложности системный эффект увеличивается все медленнее и медленнее и выходит на некоторую асимптоту, определяемую количеством базовых элементов в исходных подсистемах.

Выводы.

В статье предлагается общее математическое выражение для количественной оценки системного (синергетического) эффекта, возникающего при объединении булеанов (систем), являющихся обобщением множества в системном обобщении теории множеств и независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Для этой количественной меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности

Р.Хартли» из-за сходства его математической формы с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли, отражающим степень отличия систе-

мы от множества его базовых элементов. Для локального коэффициента эмерджентности Хартли также предложено обобщение, независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Приводятся численные оценки системного эффекта при объединении двух систем с применением авторской программы, на которую дается ссылка.

Перспективы.

В перспективе планируется более тщательно исследовать свойства объединения систем, конкретизировать полученные математические выражения для различных способов образования подсистем на основе элементов базовых множеств, разработать системные обобщения других операций над множествами5.

Библиографический список

1. Луценко Е.В. Реализация операции объединения систем в системном обобщении теории множеств (объединение булеанов) / Е.В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2011. - №01(65). - Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/2011/01/pdf/29.pdf

2. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем): Монография (научное издание). - Краснодар: КубГАУ. 2002. - 605с6.

3. Луценко Е.В. Программная идея системного обобщения математики и ее примене-

ние для создания системной теории информации / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - №02(36). - Шифр Информрегистра: 0420800012\0016. - Режим доступа:

http://ei.kubagro.ru/2008/02/pdf/11.pdf

4. Луценко Е.В. Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации (Часть 1-я: задачи 1-3) / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2008. - №03(37). - Шифр Информрегистра: 0420800012\0031. - Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf

5. Луценко Е.В. Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации (Часть 2-я: задачи 4-9) / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный

6 Для удобства читателей некоторые из этих работ приведены на сайте автора: http://lc.kubagro.ru

ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 200S. - №04(3S). - Шифр Информрегистра: 0420S00012\0049. - Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/200S/04/pdf/03.pdf

6. Луценко Е.В. Количественные меры возрастания эмерджентности в процессе эво-

люции систем (в рамках системной теории информации) / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2006. - №05(21). -Шифр Информрегистра: 0420600012\00S9. - Режим доступа:

http://ei.kubagro.ru/2006/05/pdf/31.pdf

7. Луценко Е.В. Универсальный информационный вариационный принцип развития систем / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 200S. - №07(41). - Шифр Информрегистра: 0420S00012\0091. - Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/200S/07/pdf/10.pdf

S. Луценко Е.В. 30 лет системе «Эйдос» - одной из старейших отечественных универсальных систем искусственного интеллекта, широко применяемых и развивающихся и в настоящее время / Е.В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2009. - №10(54). - Шифр Информрегистра: 0420900012\0110. - Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/2009/10/pdf/04.pdf

9. Луценко Е.В. Существование, несуществование и изменение как эмерджентные свойства систем // Квантовая Магия. - 200S. - Т. 5. - Вып. 1. - С. 1215-1239 [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://quantmagic.narod.ru/volumes/V0L51200S/p1215.html.