Развитие метода фазовой плоскости для анализа решений краевых задач

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 21. -P. 155-160.

2. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. - 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294-304.

3. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. - 1982. - Т. 18. - № 1. - С. 72-81.

4. Жестков С.В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Украинский математический журнал. - 1990. - Т. 42.

- №1. - С. 132-135.

5. Пулькина Л.С. Смешенная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки.

- 2003. - Т. 74. - Вып. 3. - С. 435-445.

6. Бейлина Н.В. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. - 2008. - № 2 (61). - С. 22-28.

7. Джураев Т.Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференциальные уравнения. - 1991. -Т. 27. - № 10. - С. 1734-1745.

8. Сопуев А., Молдояров У.Д. Нелокальные краевые задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка // Матер. Междунар. юбилейной научной конф., по-свящ. 15-летию образования КРСУ. - Бишкек: КРСУ, 2008. -С. 188-192.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.

Поступила 10.11.2011 г.

УДК 519.63

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

В.П. Зимин

Томский политехнический университет Е-mail: zimin@ido.tpu.ru

Предложено развитие метода фазовой плоскости для анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными. Такой анализ необходим на этапах алгоритмизации нелинейных краевых задач и верификации моделей. Обоснован выбор фазовых плоскостей для анализа решений краевой задачи о распределении параметров низкотемпературной плазмы термоэмиссионного преобразователя.

Ключевые слова:

Краевая задача, метод фазовой плоскости, низкотемпературная плазма, термоэмиссионный преобразователь энергии.

Key words:

Boundary value problem, method of phase plane, low-temperature plasma, thermionic converter.

Введение

Первая фаза вычислительного эксперимента (ВЭ) состоит из нескольких этапов: создание и исследование модели; её алгоритмизация; программирование алгоритма; сравнение модельных и экспериментальных результатов - верификации модели [1]. Эффективность исследования и алгоритмизации модели зависит от выбора адекватных математических методов её анализа. Например, на этапе алгоритмизации традиционно применяют один из математических методов, который позволяет построить алгоритм преобразования непрерывной модели в дискретную, пригодную для анализа на ПЭВМ. Вместе с тем, на первых двух этапах ВЭ важным является определение области допустимых решений модели, выявление и изучение общих характерных свойств этих решений, которые необходимо учитывать при алгоритмизации.

Кроме этого, остается окончательно не решенной проблема выбора критериев сравнения модельных и экспериментальных результатов на этапе верификации модели. Этот этап ВЭ существен-

ным образом влияет как на фазу калибровки модели, так и на фазу прогноза: он должен давать направление модификации модели и определять обоснованность экстраполяции результатов моделирования.

Все это вместе взятое требует поиска новых и развитие имеющихся методов анализа математических моделей. Для анализа решений задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на разных этапах ВЭ широко применяется метод фазовой плоскости [2-7]. Данная статья посвящена развитию метода фазовой плоскости, его применению к анализу решений краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП).

Применение метода фазовой плоскости для краевых задач систем дифференциальных уравнений с частными производными

Понятия фазового пространства, связанных с ним структур, а также метод фазовой плоскости могут быть расширены и применены для краевой

задачи, состоящей из системы ДУЧП и краевых условий. При таком расширении понятий и модификации данного метода появляются особенности в их интерпретации и применении.

Рассмотрим эволюционную задачу, описываемую системой ДУЧП для двух переменных и1, и2, зависящих от одной пространственной переменной х

+ /М, Щ, М)>

Зщ дих

д? дх

ди2 ди2

дх

рения, а второй, пропорциональный V, ограничивает процесс горения. Задача горения среды с учетом эндотермического члена источника для одномерного случая имеет вид [8]

п _ ,дт

0 — о + Я —,

дх

дТ до з

рсР — — - — + аТ-РТ , д? дх

начальное условие Т(/=0,х)=Тй(х), хе[-х0,х0]; граничные условия:

Для корректной постановки краевой эволюционной задачи необходимо задать временные и пространственные краевые условия, например I рода, для неизвестных функций и1, и2:

щ^^щ^х), щ^0,х)=и20(х),

Ul(t,X=Xo) = Uы(t), U2(t,X=Xl)=U2хl(t), хе[х0,Х1].

Если при анализе решений ОДУ используется понятие эволюции точки (щи) на фазовой плоскости, то при анализе решений системы ДУЧП существенным становится понятие эволюция фазовой траектории (структуры) (щ=щ(х,^, и2=и2(хД)|, которая определяется свойствами дифференциального оператора и ограничениями, накладываемыми пространственными и временными краевыми условиями.

Как и для системы ОДУ проводится исследование особых точек и фазовых портретов решений системы ДУЧП. При анализе решений краевой задачи можно отдельно рассматривать поведение граничных условий на фазовой плоскости. Такой анализ особенно важен, когда граничные условия и функции/1=/1(и1,и2),/2=/2(и1,и2) нелинейные.

Возможно проведение исследования в фазовом пространстве размерности п для функций, зависящих от трех пространственных переменных: (щ=щ(х,у^),щ=щ(х,у^),...,ип=ип(х,у,1,Щ. В этом случае, как и в п-мерном случае эволюционной задачи Коши для системы ОДУ, важным, но сложным является выбор для исследования фазовых плоскостей, на которых наиболее полно проявляются свойства решений задачи.

Отметим, что некоторые переменные системы (щ=щ(х,у,1,0, и2=и2(х,у,1, t),..., ип=ип(х,у,г, t)} могут быть взяты в квазистационарном приближении. Это означает, что для таких переменных отсутствует явная зависимость от времени, хотя во времени они могут меняться вследствие изменения других нестационарных переменных, с которыми имеется функциональная связь.

Рассмотрим пример анализа с помощью метода фазовой плоскости решений краевой задачи для системы ДУЧП. Среда, в которой происходит процесс горения, может быть описана нестационарным нелинейным уравнением теплопроводности. Источник тепла описывается двумя членами. Первый, пропорциональный температуре Т, нагревает среду и описывает интенсивность процесса её го-

А —

дх

= ЬТ\ , -А —

|х=-х» дх

граничные условия, выраженные через переменные потока тепловой энергии д и Т

- О — ьт\ , о\ — нт\ ,

1Х—-Х0 1х—- Хо 1х— Хо 1х— Хо

где Я, к - коэффициенты теплопроводности и теплообмена; р и сР - плотность и теплоемкость среды горения; а и в - коэффициенты пропорциональности; х0 - величина полуинтервала по пространственной переменной х; t - время.

Для данной краевой задаче могут быть заданы граничные условия разного вида, анализ которых на фазовых плоскостях (Т,дТ/дх) и (Т,д) представлен в [9].

Для исследования особенностей фазового портрета системы ДУЧП рассмотрим стационарную систему уравнений, которая запишется как система ОДУ для пространственной переменной х

ёТ — о йх Я ’

Сх

= аТ -вТ3

Приравнивая к нулю правые части системы ОДУ, получим систему алгебраических уравнений для определения координат особых точек на фазовой плоскости (Т,д). Исследования показали, что имеются три особые точки: одна типа центра с координатами (0,0) и две другие типа седла с координатами (±^а/в,0). Для нашей задачи физически реализуемой является одна точка с координатами (^а/в,0). Разделим первое уравнение системы ОДУ на второе и, интегрируя полученное дифференциальное уравнение первого порядка, получим уравнение, описывающее поведение фазовых траекторий

—?2 + - аТ2 - - вТ4 = С0, 2А4 2 4 0

Со =

-

-

-

2ЯОо0+2< -4вт»’

где Т0, д0 - значения переменных при х=-х0; С0 -постоянная интегрирования.

Для исследования решений задачи горения были взяты параметры конкретной среды - дерева:

Я=0,2 Вт/(м-К), к=5 Вт/(м2-К), р=500 кг/м3, сР=2,39-103 Дж/(кг-К), а=2500 Вт/(м3-К), /=0,005 Вт/(м3-К3), х=0,021 м.

При горении среды возникает тепловая волна [8], амплитуда которой для указанных выше параметров стремится к постоянному значению 0/3=707,1 К.

В зависимости от начального распределения температуры и вида граничных условий будет наблюдаться различная эволюция формы волны температуры.

Построим на фазовой плоскости структуры, определяющие поведение решения краевой задачи. Задавая Т и решая квадратное уравнение (*) относительно переменной д, получим координаты ветвей сепаратрис. При определении С0 в качестве Т0 и д0 брались координаты особой точки (^а//,0). На рисунке представлена структура фазового портрета нестационарной системы ДУЧП: ветви сепаратрис, граничные условия III рода и начальное условие задачи. Область возможных решений нестационарной задачи ограничена отрезками прямых, начальным распределением переменных, заданных параметрическими, относительно х, выражениями Т ^0,х)=Тй(х), д^=0,х)=-ЯдТо(х)/дх и соответствующими отрезками ветвей сепаратрис.

Решения нестационарной задачи будут эволюционировать от начального распределения, непрерывно заполняя указанную область, пока полностью не совпадут с сепаратрисами. Если параметры а и / не зависят от времени, форма тепловой волны будет асимптотически приближаться к стационарным фазовым кривым - сепаратрисам. Эволюционируя, область волны горения с максимальной амплитудой будет занимать всё большую часть интервала по х.

8

6

4

^ 2 m 0 » -2

-41- -

-6 - -

-8------1----1------1-----1------1-----1-----1-----1-----1-----

250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750

Г, К

Рисунок. Область возможных решений нелинейного нестационарного уравнения теплопроводности на фазовой плоскости (T, q): 1) сепаратрисы; 2и3) граничные и начальное условия

В общем случае при изменении вида правых частей системы ДУЧП будут меняться тип и количе-

ство особых точек. Следовательно, в общем случае, фазовая плоскость может разбиваться на области с различным поведением решений системы ДУЧП. Для рассмотренной выше задачи горения это происходит в том случае, когда правая часть уравнений, описывающая поведение источников и стоков тепла (нелинейная функция от переменных и1, и2), будет менять свою структуру от некоторых параметров среды горения или внешней среды.

Если рассматривается модель, которая порождается системой ДУЧП, в предположении, что искомые функции не зависят от пространственных переменных, то получаем постановку рассмотренной ранее эволюционной задачи для системы ОДУ, в которой неизвестные функции зависят только от времени. При таком преобразовании модели необходимо учитывать два обстоятельства. Во-первых, для искомых функций переход к системе ОДУ происходит через трансформацию системы ДУЧП. Во-вторых, требуется выполнить корректный переход от краевой задачи к задаче Коши: учесть все явления, присутствующие в распределенной постановке задачи, например возможные механизмы самоорганизации, имеющиеся в системе ДУЧП.

Уравнениями, подобным уравнениям задачи горения среды, описываются процессы прохождения импульса по нервному волокну [10], распространения гена по ареалу [11], ионизации-рекомбинации в межэлектродном зазоре термоэмиссионного преобразователя энергии [12].

Визуализацию и методику исследования решений краевых задач с помощью фазовой плоскости можно рассматривать как пример применения когнитивной графики. Д.А. Поспелов сформулировал основные задачи когнитивной графики [13, 14]:

• создание специальных моделей представления знаний, в которых была бы возможность однообразными средствами представлять как объекты, характерные для логического мышления (уравнения и соотношения), так и образы-картины, с которыми оперирует образное мышление, отражающих поведение этих уравнений и соотношений;

• визуализация тех человеческих знаний, для которых пока невозможно подобрать текстовые описания;

• поиск путей перехода от наблюдаемых образов-картин к формулировке некоторой гипотезы о тех механизмах и процессах, которые скрыты за динамикой наблюдаемых картин. Применение метода фазовой плоскости в рамках ВЭ позволяет решать указанные выше первую и третью задачи: совмещать анализ решений дифференциальных уравнений с анализом характерных фазовых портретов динамических систем и на основе этого делать заключение об особенностях функционирования реальных систем. Особенно это важно на этапах построения модели и оценки её адекватности.

Выбор переменных фазовых плоскостей для исследования стационарных процессов в низкотемпературной плазме

Во многих физических задачах интерес представляет исследование стационарных (установившихся) решений. В этом случае система уравнений с частными производными первого порядка с одной пространственной переменной превращается в краевую задачу для системы ОДУ. Так как краевая задача порождается преобразованием системы ДУЧП, то важным аспектом её исследования является анализ поведения решений краевой задачи как некоторых фазовых траекторий (структур), а не фазовый точек, как в эволюционной задаче Коши для системы ОДУ. Рассмотрим пример постановки такой стационарной краевой задачи, связанной с описанием стационарных процессов в низкотемпературной плазме термоэмиссионного преобразователя, для которого задаются внешние параметры: температуры эмиттера и коллектора, давление насыщенных паров цезия в резервуаре, межэлектрод-ный зазор, плотность тока преобразователя.

При моделировании зазор преобразователя разбивается на три области: приэлектродные и плазменный объем [12, 15-18]. В приэлектродных областях для потоков электронов I е и ионов I, кинетической энергии электронов д, ионов и атомов дТ формулируются нелинейных граничные уравнения в виде балансовых соотношений. Состояние компонент слабоионизированной плазмы в объеме описывается уравнениями состояния, переноса и непрерывности. Предполагается малое отличие плотности электронов и ионов плазмы пехп=п. С помощью математических преобразований уравнения переноса и уравнения непрерывности сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных п, I, I, д, дТ, температур электронов Т, ионов (атомов) Т и потенциала пространства V, занятого плазмой.

Следующие причины обуславливают необходимость использования фазовых плоскостей для исследования свойств решений краевой задачи:

1. Сложные нелинейные граничные условия, зависящие от знака потенциальных барьеров у электродов.

2. Наличие особой точки типа седла в нелинейном уравнении диффузии плазмы [19].

3. Необходимость создания численных алгоритмов решения нелинейных краевых задач [20]. Кроме этого, метод фазовой плоскости позволяет ставить и решать задачу сравнения экспериментальных и модельных распределений параметров плазмы и определения из экспериментальных данных параметров модели.

Наиболее часто в качестве переменных фазовой плоскости берутся обобщенные переменные потенциал - поток. Для исследования процессов в плазме термоэмиссионного преобразователя можно использовать довольно много фазовых плоскостей. Выделим несколько групп фазовых плоскостей, которые нужно использовать для исследований в первую очередь.

В первую группу входят фазовые плоскости, переменными которых являются экспериментальные данные. С помощью спектроскопического метода можно измерить распределения п=п(х), Те=Те(х), Т=Т(х); с помощью зондового метода - п=п(х), Те=Те(х), У=¥ (х) [12]. На основе измеренных распределений можно получить их дифференциальные характеристики, а затем построить траектории (структуры) на фазовых плоскостях (n,dn/dх), (Т„йТе/£с), (V,dV/dх). Такой выбор фазовых плоскостей подчеркивает тот факт, что информация о свойствах плазмы содержится не только в профилях измеренных распределений параметров плазмы, но и в их дифференциальных характеристиках. Поэтому закономерности для параметров плазмы должны наиболее полно проявляться на фазовых портретах экспериментальных данных, где одновременно отображаются характеристики как функций, так и их производных.

Ко второй группе относятся фазовые плоскости с модельными переменными, которые являются переменными для специально выбранных уравнений. Прежде всего, это переменные для дифференциальных уравнений первого порядка. После их преобразования получаются дифференциальные уравнения второго порядка и соответствующие фазовые плоскости: уравнение диффузии для плотности плазмы - (n,dn/dх), (п,1); уравнения теплопроводности как для электронов - (Те ,dTe/dх), (Те,д), так и для тяжелой компоненты (атомов и ионов) - (T,dT/dх), (Т,дТ). Некоторые из этих модельных фазовых плоскостей полностью совпадают с фазовыми плоскостями первой группы. Для вычисления величин I, де можно использовать как экспериментальные данные, так и соответствующие модельные соотношения.

К третьей группе можно отнести фазовые плоскости, переменные которых, согласно физическим представлениям, существенно связаны и влияют друг на друга. Например, известно, что при возрастании плотности плазма приближается к состоянию локального термодинамического равновесия и существенно зависит от температуры электронов п=п(Те) [12]. Поэтому для изучения поведение параметров плазмы, которая приближается или находится в состоянии локального термодинамического равновесия, можно проводить исследование на фазовой плоскости (п,Те) [21].

Выводы

1. Развитие метода фазовой плоскости заключается в представлении решений нелинейной краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными на специально выбранных плоскостях с фазовыми переменными. Анализируется структура фазового портрета системы и эволюция её решений (фазовых траекторий, структур) с учетом ограничений, накладываемых нелинейным дифференциальным оператором, начальными и краевыми условиями.

2. Метод фазовой плоскости для анализа решений краевой задачи можно рассматривать как разновидность когнитивной графики, которая применяется на таких этапах технологии вычислительного эксперимента как построение модели и её верификация.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования / авт. пред. А.А. Самарский. - М.: Наука, 1988. - 176 с.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981. - 568 с.

3. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. - М.: Наука, 1972. - 470 с.

4. Неймарк Ю.И., Котельников И.В., Теклина Л.Г Новый подход к численному исследованию конкретных динамических систем методами распознавания образов и статистического моделирования // Проблемы нелинейной динамики. - 2010. -Т. 18. - № 2. - С. 3-14.

5. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Пон-трягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, У.Ф. Мищенко. -4-е изд., стер. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

6. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления: пер. с англ. - М.: Наука, 1969. -118 с.

7. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных: пер. с англ. / под ред. А.М. Летова. - М.: Мир, 1974. - 207 с.

8. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание / авт. пред. А.А. Самарский. - М.: Наука, 1988. - 176 с.

9. Зимин В.П. Изображение и анализ граничных условий для уравнения теплопроводности на фазовых плоскостях // Известия Томского политехнического университета. - 2011. -Т. 318. - № 4. - С. 29-33.

10. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. (London). - 1952. - V. 117. - P. 500-544,

11. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. А. - 1937. - № 6. - С. 1-26.

3. На основе анализа стационарной краевой задачи моделирования процессов в низкотемпературной плазме термоэмиссионного преобразователя выделено три группы фазовых плоскостей, с помощью которых необходимо в первую очередь проводить исследования экспериментальных и модельных зависимостей.

12. Бакшт Ф.Г, Дюжев ГА., Марцинковский А.М. и др. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плазма / под ред. Б.Я. Мойжеса и ГЕ. Пикуса. - М.: Наука, 1973. -480 с.

13. Поспелов Д.А. Десять «горячих точек» в исследованиях по искусственному интеллекту// Интеллектуальные системы (МГУ). - 1996. - Т. 1. - Вып. 1-4. - C. 47-56.

14. Зенкин А.А. Когнитивная компьютерная графика / под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1991. - 192 с.

15. Стаханов И.П., Пащенко В.П., Степанов А.С., Гуськов Ю.К. Физические основы термоэмиссионного преобразования энергии / под ред. И.П. Стаханова. - М.: Атомиздат, 1973. - 374 с.

16. McCandless R.J., Wilkins D.R., Derby S.L. Theory of thermionic converter volume phenomena // IEEE Conf. Record of 1969 Thermion. Convers. Spes. Conf., Oct., 1969. - Carmel, California (USA), 1969. - P 163-169.

17. Бакшт Ф.Г, Юрьев В.Г. Низковольтная дуга с накаленным катодом в парах цезия // Журнал технической физики. - 1976. -Т. 46. - Вып. 5. - С. 905-936.

18. Бакшт Ф.Г, Юрьев В.Г. Приэлектродные явления в низкотемпературной плазме (Обзор) // Журнал технической физики. -1979. - Т 49. - Вып. 5. - С. 905-944.

19. Зимин В.П. Алгоритм расчета вольт-амперных характеристик термоэмиссионного преобразователя с постоянной температурой электронов / Ред. журн. «Известия вузов. Физика». -Томск, 1984. - №7. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.1984, № 1571-84.

20. Зимин В.П. Исследование функций для управляющего параметра краевой задачи диффузии плотности плазмы // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 313. -№ 4. - С. 86-92.

21. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Якубов И.Т Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. - М.: Наука, 1982. -375 с.

Поступила 18.01.2012 г.