О новых решениях уравнения кручения стержня в компонентах вектора скоростей

Решетневскце чтения

Постановка исходной задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки задачи. Рассмотрены примеры численного решения задачи для одного, двух и трех семейств армирующих волокон, представляющих собой семейства алгебраических спиралей и их изогональных траекторий для различных материалов с разными типами нагружения. В рамках данного подхода, не решая задачи оптимизации, оценивалась предельная амплитуда внешней нагрузки.

За счет управления геометрическими параметрами пластины и криволинейной укладкой семейств волокон, без использования часто дорогостоящих армирующих волокон можно получить армированную конструкцию с заранее заданными свойствами.

Библиографический список

1 Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск : Изд-во СФУ, 2010.

2. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Математика и физика : журн. Сиб. фед. ун-та. 2011 № 4(3). С. 400-405.

3. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Математическая физика и ее приложения : материалы III между-нар. конф. (27 авг. - 1 сент. 2012, г. Самара). 2012. С. 211-213.

N. A. Feodorova, S. O. Vozhov Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

CONTROL FOR CURVILINER REINFORCEMENT RATIONAL STRUCTURES IN POLAR COORDINATE SYSTEM

The problem of curvilinear fibers rational reinforcement for axially symmetric ring-shaped lamel in polar coordinate system is solved by reference to the structural model. The effect of structural parameters for a construction limit stressing is studied.

© Федорова Н. А., Вожов С. О., 2012

УДК 539.374

О. Н. Черепанова Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

С. И. Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О НОВЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЯ КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ В КОМПОНЕНТАХ ВЕКТОРА СКОРОСТЕЙ

Изучены групповые свойства уравнения, описывающего кручение стержня в компонентах скорости. Построены новые решения.

Рассмотрим цилиндрический или призматический стержень в прямоугольной декартовой системе координат. Ось ог направим вдоль оси стержня. Пусть стержень закручивается вокруг оси г с равными и противоположными парами сил с моментом М. Предполагаем боковую поверхность свободной от нагрузок, массовыми силами пренебрегаем.

Предполагаем, что напряженное состояние, возникающее в стержне, характеризуется следующими значениями компонент тензора напряжений:

^ (X У\ Т уг =Т уг ( X У X

х =СТ у =СТ г =Т ху = 0.

В результате система уравнений равновесия и условие пластичности сводится к уравнениям [1]:

дх„ dt

yz

= 0,

х2 +_2 = k 2

xz yz ~К

дх ду

В силу ассоциированного закона пластического течения связь между компонентами тензора напряжений и компонентами вектора скорости и, V, V определяется зависимостями

,дV дм дvч

хyz (— + — ) = (— + — )хxz ,

yzv -л ^ ' -Л' xz '

дх dz ду dz du dv dw о du +^dv о dx dy dz dy dx

Последним уравнением (2) удовлетворим, полагая, что компоненты вектора скоростей удовлетворяют соотношениям

и =По гу, V = -ц0 гх, V = м>(х, у), (3) где "л0 - постоянная, называемая круткой.

Прикладная математика

дой симметрии X1, X2, X3 можно построить закон сохранения для этого уравнения.

На подалгебрах aX1 + X2, aX2 + X3, в силу критерия инвариантности, можно построить инвариантные решения. Эти решения имеют следующий вид:

1. Решение на подалгебре aX1 + X2 найдено в виде: w = alnх + f(X), X = xy .

2. Решение на подалгебре aX2 + X3, найдено в виде

wa+1 = х2 f (y1+a /x1-a) .

Библиографические ссылки

1. Предельное состояние деформированных тел и конструкций / Д. Д. Ивлев [и др.]. М. : Физматлит, 2008.

O. N. Cherepanova Sibirean Feoeral Univercity, Krasnoyarsk, Russia

S. I. Senashov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Krasnoyarsk, Russia

ON NEW SOLUTIONS OF EQUATION OF TORSION ROD IN THE COMPONENTS

OF VELOCITY VECTORS

The group properties of the equation of torsion rod are studied. Some new solutions for this equation are build.

© Черепанова О. Н., Сенатов С. И., 2012

Подставляя уравнение (3) в (1) и (2), получим уравнение кручения

(wy - По я )2 ^ + (^ + По у )2 ^ -

- 2(^ -Пох)(^ +ПоУ)^ = °.

Рассмотрим некоторые свойства уравнения (4):

1. Уравнение (4) выводится из вариационного принципа.

2. Уравнение допускает алгебру Ли точечных симметрий:

д д д д д

л, = —, X2 = хдх - у—, X3 = 2w--+ х--+ у— .

дw ду дw дх ду

3. Поскольку уравнение (4) выводится из вариационного принципа, то в силу теоремы Нетер для каж-

УДК 519.6

В. В. Шайдуров, Г. И. Щепановская, М. В. Якубович

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ОБ УСЛОВИЯХ НА ГРАНИЦЕ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Предлагается алгоритм численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса для вязкого теплопроводного газа. Дискретизация уравнений по пространству реализуется методом конечных элементов. Особое внимание уделяется численному моделированию условий на границе расчетной области. Проводятся тестовые расчеты.

Дискретизация уравнений осуществляется методом конечных элементов с кусочно-билинейными базисными функциями и применением простых квадратурных формул [1; 2]. Для этого в качестве области определения берется единичный квадрат О с границей Г , состоящей из четырех сегментов:

Г = {

х = 1.0, у е(0.0, 1.0)}; хе(0.0,1.0], у = 0.0}; х = 0.0, у е [0.0,1.0]}; х е(0.0, 1.0], у = 1.0}.

В целях упрощения изложения берется равномерная квадратная сетка по пространству с координатами

х^ = ¡И, уу = ]И, I = 0,1,...,п +1, у = -1,0,1,...,п +1, с

шагом И = 1 / п, целиком укладывающимся по горизонтали и вертикали квадрата О .

Множество узлов этой сетки обозначается через Яи = И; = (X,Уу): = °,1,...,п, у = 0,1,...,п}, и вводится сеточная область ПИ = БИ пП. После стандартного применения метода конечных элементов (Бубно-ва-Галеркина) и интегрирования некоторых слагаемых по частям, получаются системы интегральных уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00224).