Математическая модель процесса эрозии горных пород гидроабразивной струей

ГОРНОЕ ДЕЛО

УДК 622.236.732

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЭРОЗИИ ГОРНЫХ ПОРОД ГИДРОАБРАЗИВНОЙ СТРУЕЙ

А.Б. Жабин, И.М. Лавит, Е.А. Аверин

Предложен метод математического описания процесса эрозии горных пород гидроабразивной струей. В основе метода лежит представление о том, что процесс эрозии хрупких материалов обусловлен образованием поперечных трещин при ударе частицы о поверхность. Сформулирована задача об эрозии поверхности горных пород (хрупких материалов) под действием гидроабразивной струи. Необходимые для расчета такой эрозии данные можно получить из решения задачи о разрушении хрупкого массива при ударе о поверхность абсолютно твердой абразивной частицы. Дана постановка задачи о расчете кинетики напряженно-деформированного состояния массива при ударе частицы. Разработан метод решения этой задачи, основанный на методе конечных элементов, а также метод оценки прочности массива, дающий возможность определить объем эродируемого материала.

Ключевые слова: математическая модель, гидроабразив, эрозия, горные породы, хрупкие материалы, абразивная частица, трещина.

Известно, что процесс эрозии хрупких материалов обусловлен, прежде всего, образованием поперечных трещин при ударе частицы о поверхность [11]. Поэтому главная теоретическая задача видится в создании численного метода, позволяющего связать плотность, объем и скорость подлетающей частицы, а также прочностные характеристики материала с возможностью появления и величиной поперечных трещин.

В настоящей статье предполагается построить модель образования трещины при ударе частицы о поверхность.

Идеализированная картина процесса основывается на следующих положениях:

- рассматривается эрозия только такими гидроабразивными струями, для которых можно пренебречь эрозионным действием воды. Тогда, процесс эрозии в данном случае представляет собой эрозию поверхности

под действием ударов твердых частиц;

- поверхность массива представляет собой плоскость;

- частицы абразива представляют собой абсолютно твердые шарики, имеющие одинаковый радиус, массу и скорость;

- в единицу времени на единицу плоскости попадает одинаковое число абразивных частиц, отстоящих от ближайших соседей на одно и то же расстояние.

Дальнейшая идеализация процесса основана на экспериментально установленном факте, что в хрупких материалах взаимодействие между трещинами, возникающими от соседних ударов частиц абразива, мало [11]. При этом скорость эрозии определяется просто с помощью суммирования уноса массы при отдельных ударах. Поэтому основной теоретической задачей при моделировании процесса эрозии горных пород следует считать задачу об определении отколовшейся (унесенной) массы материала при одиночном ударе.

В свою очередь задачу об эрозии поверхности горных пород при одиночном ударе твердой частицы можно разделить на две относительно самостоятельные задачи:

- определение кинетики напряженно-деформированного состояния в процессе удара;

- о выборе и использовании критерия прочности материала.

Самостоятельность этих задач безусловна, только если не используются методы механики разрушения. В противном случае напряженно-деформированное состояние должно рассчитываться с учетом возникновения и распространения (в том числе, слияния) трещин.

Современный уровень развития механики разрушения не позволяет дать математическую постановку упомянутой задачи, поэтому оценка прочности здесь проводится с использованием критериев (теорий) прочности. Это, безусловно, снижает уровень адекватности теории, однако с учетом того, что до настоящего времени никакой сколько-нибудь последовательной теории гидроабразивной эрозии не разработано, можно считать такой подход приемлемым.

Таким образом, ставится задача об ударе жесткой сферической частицы по упругому полупространству - динамическая контактная задача теории упругости [7]. В процессе удара, как это известно из работ [5, 11], возникают различные трещины: в начальный период - конические (окружные), в заключительный период - поперечные. Поставленную динамическую задачу предполагается решать методом элементов, причем, интегрирование по времени также будет осуществляться методом конечных элементов. Такой модифицированный метод конечных элементов, позволяющий решать гиперболические задачи, к настоящему времени разработан и проверен на тестовых задачах. Задача будет рассматриваться как осесим-метричная. В процессе пошагового интегрирования будет проверяться вы-

полнение критерия Морозова-Петрова [2, 8, 9] и определяться момент образования трещины. Дальнейшее решение задачи будет проводиться с учетом образовавшейся трещины.

В соответствии с принятыми выше допущениями будем считать частицу абразива абсолютно твердым сферическим телом, а разрушаемый массив - упругим полупространством. Скорость частицы в момент удара направлена перпендикулярно к плоскости, ограничивающей полупространство. Расчетная схема изображена на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема: 1 -упругое полупространство; 2 - твердая частица

Введем в рассмотрение декартову систему координат Охуг. Координаты точек упругого полупространства определяются условием Z > 0. Граничной плоскостью полупространства является координатная плоскость хОу, уравнение которой имеет вид: Z = 0. Будем считать горный массив однородным и изотропным. Предположим, кроме того, что его деформации малы и упруги вплоть до разрушения. Иными словами, будем считать справедливыми для горного массива уравнения линейной теории упругости. Напряженно-деформированное состояние массива осесимметрично, поэтому удобно вести рассмотрение в цилиндрических координатах г, (р, г. При этом х = г-соБ(р, у = г-Б\\\(р. Напряженно-деформированное состояние массива не зависит от угла (р.

Пусть и = и(г,г^) - радиальные перемещения точек массива, VI/ = ц/(г,г, £) - перемещение вдоль оси аппликат. Тогда деформации точек массива записываются в виде [6]

_Э и _ и _ \У

ах г ог; 2удг дху

где 8ГГ - радиальные деформации; е([)([) - окружные деформации; -деформации сдвига; г12- касательные деформации.

Остальные компоненты тензора деформаций равны нулю. Уравнения

движения массива имеют следующий вид [6]:

2

дагг гг ~ °фф ЭаГ2 _ Э и Э г г Эz Э/2

дс^ + С)/^ + ^С)^ _ д^ш дг г Эz Э/2 ' где агг, о([)([), , - радиальные, окружные, сдвиговые и касательные напряжения в точках массива соответственно, р - плотность материала горного массива, время.

Связь между напряжениями и деформациями устанавливается законом Гука [6]

= ут^1 - уУгг + 4фф + еЛ

°ФФ = [(! - ^)еФФ + Кегг +

ФФ_ \-2у фф ' '

2С

<5 =

[(1-1/)е^ +у(е/т + ефф)}

гг~ Л ~ IVх V /т фф

В результате подстановки соотношений (3) в уравнение (2) получим с учетом формул (1) систему двух дифференциальных уравнений в частных производных относительно перемещений и и ж Решение этих уравнений должно быть подчинено начальным и граничным условиям. Формулировка начальных условий очевидна: при 1=0 все перемещения, деформации и напряжения равны нулю. Граничные условия: при г оо или г оо все упомянутые величины стремятся к нулю. На границе пространства (плоскость Z = 0, см. рис. 1) следует отдельно рассматривать два участка: г £ [0; Ь], где Ь- граница зоны контакта и г £ (Ь; оо).

Граничные условия на втором участке имеют вид

°Г2=0-

Для определения граничных условий на первом участке следует рассматривать условия контакта с ударяемой частицей.

Внедрение абсолютно твердой сферической частицы в упругое полупространство показано на рис. 2. Основой этой модели является допущение о том, что соотношение между силой контакта Р и сближением 6 остается при ударе таким же, как и в статике (см. рис. 2).

При контактировании сферы с упругим полупространством образуется контактная площадка радиусом

V АЕ

где Е - модуль упругости; а - радиус частицы.

Рис. 2. Схема внедрения абсолютно твердой сферической частицы

в упругое полупространство

Контактное давление распределено по контактной площадке по за-

кону

ЪР

2кЬ2\

Сближение определяется формулой

5 =

9Р2 1-

16 аЕг

((Ь((а.

Соотношение (7) можно представить в виде

3

Р=кЪ2,

I 4 Г Е где к = —а/а--.

3 1-у2

Максимальное сближение до характеризуется условием — = О (скорость сближения становится равной нулю). Получим

2

50 =

5 яш 4 к

V У

Граничные условия в области контакта г £ [О, Ь] записывается в виде

= <5 21 =-Я-

Таким образом, математическая постановка задачи о кинетике напряженно-деформированного состояния массива завершена. Сформулиро-

306

ваны дифференциальные уравнения движения (2), связь между напряжениями, деформациями и перемещениями (3) и (1), начальные (нулевые) и граничные (4) и (10) соответственно условия задачи. Поставленная задача представляет собой обобщение известной задачи Лэмба о динамическом приложении сосредоточенной силы к упругому полупространству. Точность ее решения напрямую зависит от порядка производных по времени, которые заменяются конечноразностными выражениями. Поэтому целесообразно использовать метод, в котором этот порядок минимален. Такой метод, предполагающий вариационную формулировку задачи не только по пространственным переменным, но и по времени, предложен в работе Бей-ли [12]. Дадим формулировку метода Бейли применительно к рассматриваемой задаче. Исходным соотношением является вариационное уравнение Гамильтона-Пуанкаре [ 1 ].

Которое для данной задачи будет иметь вид

а А

I

иЪРи + шЪРш -РиЪи- РшЪш- <5ггЬггг - офф5£фф

(1У+\фуу(15 5

¿# = 0.

Я-а22Ъ£22-2аГ2Ъ£Г2--{РиЪРи + Рц$Р№)

Р

Это уравнение является основным для дальнейшего анализа.

Приближенное решение уравнения (11) строится методом конечных элементов [4]. Используются простейшие элементы, имеющие форму круговых цилиндров (рис. За).

Чтобы правильно выбрать размеры сетки, необходимо ввести безразмерные пространственные и безразмерную временную координаты. В качестве характерного линейного размера выберем максимальное значение радиуса Ь.

а0=4Щ,

а в качестве характерного времени - величину

Размеры области, разбиваемой на конечные элементы, выбираются из условия, что за время удара волна не успевает отразиться от границы сетки.

Таким образом, решение задачи получается на сетке, изображенной на рис. 3 (а, б). На границе сетки, очевидно, и = 0и ш = 0.

На рис. 36 представлен конечный элемент в локальных координатах.

В результате получим: } Лх2 —— М + + ¿2

где т 1 = — - безразмерное время для значения х{; - значение х в момент времени г = т¡; (0 и Ь2 (0 - полиномы Лагранжа; А - квадратная матри-

ца коэффициентов; С - матрица-столбец свободных членов.

а б

Рис. 3. а- сетка конечных элементов; б - конечный элемент

в локальных координатах

Выполнив интегрирование и далее, в силу произвольности дх2, приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно х2, а именно А*х2 = С*, где Л* - квадратная матрица, С* - матрица-столбец.

Для следующего шага интегрирования полученные значения х2 будут ЯВЛЯТЬСЯ XI и т.д.

Метод расчета с использованием конечных элементов позволяет определить зависимости cгrr(t), огг(€) и аГ2(£) в любой точке мас-

сива.

Введем, согласно работам [2, 8, 9], некоторый параметр, характеризующий ударное разрушение материала, - инкубационное время т*. Вместо напряжений аг, о(р и а2 будем далее использовать их усредненные по интервалу т* величины

1 м-т*

(°г)= КЙК;

X*

1 м-т*

£

1 м-т*

(oz)= КЙК

X*

Усредненные напряжения (сгг), (сг^) и (<г2) так же, как и о,, о([) и ^являются функциями времени. Ниже, чтобы не загромождать обозначения,

= 0.

под ог, а(р и а2 будем подразумевать усредненные величины (сгг), (сг^) и

Ы-

Для оценки прочности горного массива необходимо найти инвариантные характеристики напряженно-деформированного состояния - главные напряжения. Они находятся в результате решения задачи о собственных значениях тензора напряжений

0 ^ о <т„-Л 0

^ 0 а.„ - Я

Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение относительно к

{о„-Х%ап-Х\аш-Х)-а^.

Его корни (они всегда действительны [6]) определяются формулами

Л

Л- = ^ [°гг + + ^

Л = \{°гг + - л/Кг-<02

Обозначим наибольшее из чисел Л2и к3 через аь наименьшее - через а3, а промежуточное - через а2 (о-! > <т2 > сг3). Величины аь а2и ^являются главными напряжениями.

' ё е,

* т? 5 V.

0

Рис. 4. Поворот координатной системы

Найдем положение главных осей. Исходный базис - базис цилиндрической системы координат - ортонормированный. Базис из собственных векторов в данном случае также ортонормированный, причем один из собственных векторов совпадает с вектором ё^.

Из рис. 4 следует

= С08бег + 8т6ег;

/г = -8т6ег + С08бег Таким образом, получим собственные векторы в виде

309

fr = {cos 0; 0; - sin 0 j

^ф = {О;1;О}

fz = {sin 0; 0; cos 0}

После определения главных напряжений устанавливаются соответствующие им главные направления (базис из собственных векторов соответствующим образом перенумеруется).

Далее следует дать оценку возможности образования трещины в данной точке. Введем в рассмотрение пределы прочности на растяжение ор и сжатие асж. Если выполняется условие

<51>ср,

то на площадке с нормалью ft образуется трещина нормального отрыва. В противном случае при выполнении условия Кулона - Мора [10]

°3

Gp сж

>1

на площадке с нормалью п образуется трещина сдвига. Если же не выполняется ни (20), ни (21), то трещина не образуется. Определим нормаль п.

На площадке с нормалью п нормальная нагрузка равна а, а касательная - г. Запишем

-> -> -> -> п = cosa¡ /[+COSOC2 /2+COSOC3 /3;

222

COS Oq+COS OC2+COS ОСз=1,

где a j, и аз - углы, которые нормаль п образует с осями координат.

Тензор напряжений в главных осях имеет вид

-> -> -> -> -> ->

е = <51 fi /i + o2 /2 /2 + о3 /3 /3.

Найдем вектор распределенной нагрузки на площадке с нормалью п по формуле

-> -> -> -> ->

Р = ё п = G\ cosoq f\+ о2 cosa2 /2+ °з COSOC3 /3.

Нормальная составляющая определяется из выражения

^ ^ 2 2 о 1 / \

Рп = р П=

Квадрат касательной составляющей рассчитывается по зависимости Р2 =\Ц2 - pi =<t12cos 2 ах +<t22cos 2 а2 +<т2 cos2 а3 ~~

Уравнения (25) и (26) вместе со вторым уравнением (22) представляют собой систему трех уравнений относительно трех неизвестных cos2a±, cos2a2 и cos2a3.

Итак, использование критериев прочности (20) и (21) позволяет по-

310

строить поверхности трещин, образующихся при ударе. Слияние этих поверхностей приводит к образованию замкнутой поверхности, ограничивающей часть массива, откалывающуюся при ударе одиночной частицей.

Список литературы

1. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 198З. 448 с.

2. Груздков А.А., Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Инкубационное время в задачах динамической прочности // Вестник ТГУ, 2010. Т.15, Вып.З. С. 792-79З.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1969. 228 с.

4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

5. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 224 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

7. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 9З9 с.

8. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. О пороговых скоростях эрозионного разрушения поверхностей твердых тел // Гув. РАН. Механика твердого тела. 1996. № З. С. 72-75.

9. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблема динамики разрушения твердых тел. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 129 с.

10. Проблемы применения гидроструйных технологий в промышленности / А.Е. Пушкарев, А.Б. Жабин, К.А. Головин, В.В. Белкова / Депонировано ВИНИТИ, М., 1999. Спр. № 1598-В99.

11. Эрозия / Под ред. К. Прис. М.: Мир, 1982. 464 с.

12. Characterization of material removal in the course of abrasive waterjet machining / F. Hu, Y. Yang, E.S. Geskin, Y. Chang // 6th American Water Jet Conference, Houston, Texas, August, 1991. P. 17-29.

Жабин Александр Борисович, д-р техн. наук, проф., zhabin..tula@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лавит Игорь Михайлович, д-р техн. наук, проф., igorlavit@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Аверин Евгений Анатольевич, асп., evgeniy.averin.90@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODEL OF ROCKS EROSION BY HYDROABRASIVE JET

A.B. Zhabin, I.M. Lavit, A.E. Averin

The method for mathematical description of erosion by hydroabrasive jet is proposed. It is based on design diagram of the erosion process of fragile materials is conditioned by transverse joint's germing under a particle stroke to the surface. The task of rock (fragile materials) surface's erosion by hydroabrasive jet is formulated. A data needed to calculate the erosion like this might be got from the solving of the task about fragile massif surface's destruction by the stroke of a perfectly rigid abrasive particle. Allocation of task for the calculation of kinetics of massif's stressedly-deformed state under particle's stroke is given. The method based on the finite element method for solving this task is elaborated. The method for the definition of massif's strength that lets to determine the eroded material's volume is elaborated as well.

Key words: mathematical model, hydroabrasive, erosion, rocks, fragile materials, abrasive particle, joint

Zhabin Aleksandr Borisovich, doctor of technical sciences, professor, zha-bin. tula@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Lavit Igor Michailovich, doctor of technical sciences, professor, igorla-vit@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Averin Eugene Anatolievich, postgraduate, evgeniy.averin.90@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 622.271.64

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ВЛИЯНИЯ ДИАМЕТРА НАСАДКИ НА РАСХОД РАБОЧЕЙ ЖИДКОСТИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ОРГАНА ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОГО СТРУГА.

В.Г. Хачатурян

Произведен анализ серии экспериментов. Получена зависимость расхода рабочей жидкости на гидромеханическом резце от диаметра насадки.

Ключевые слова: струг, гидромеханическое разрушение угля.

За последние 10-15 лет применение струговых установок стало одним из наиболее привлекательных способов по добыче угля, так как выемка тонких и средней мощности пластов шнековыми комбайнами выявила ряд недостатков, снижающие экономический показатель горных работ и ухудшающие условия труда в очистных забоях [1,2].

Отметим, что струговая технология является перспективной.

Современный механический инструмент стругов обеспечивает эффективное применение струговых установок на слабых породах. Однако, расширение области применения стругов сдерживается ограниченными

312