Результаты различных методов расчета подъемистого гиперболического параболоида

РЕЗУЛЬТАТЫ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПОДЪЕМИСТОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

О.О. АЛЁШИНА, магистр

Российский университет дружбы народов,

117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

В статье рассматриваются два метода расчета подъемистых гиперболических параболоидов: приближенный метод (расчет по приближенным аналитическим формулам) и расчет по теории предельного равновесия (СП 52-117-2008 «Железобетонные пространственные конструкции покрытий и перекрытий. Часть I. Методы расчета и конструирование»), приведены результаты расчетов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: оболочка, однолепестковый гиперболический параболоид.

Тонкостенные оболочки обладают многими преимуществами, в частности в работе участвует весь материал, израсходованный на создание покрытия. В этом заключается основное принципиальное отличие конструкций, решенных в виде тонкостенных оболочек, от тех, у которых ограждающие элементы сооружения воспринимают внешние нагрузки и вместе с собственным весом передают их на несущий каркас.

Покрытия в виде тонкостенных оболочек обладают еще одним ценным преимуществом. Собственный вес таких покрытий незначительно повышается при увеличении свободного пролета сооружения в отличие от других конструкций. Такие свойства позволяют отказаться от обычного использования в строительных конструкциях одних только прямолинейных элементов, и архитектурные объемы могут перекрываться легкими и экономичными тонкостенными, пространственными, криволинейными конструкциями.

Сегодня невозможно представить строительство и архитектуру без разнообразных оболочек и роль этих конструкций возрастает из года в год. Современное состояние строительной отрасли позволяет внедрять пространственные конструкции в практику строительства более широко.

В практике проектирования и строительства пространственных конструкций наряду с оболочками положительной и нулевой гауссовой кривизны применяются тонкостенные оболочки отрицательной гауссовой кривизны. Оболочки отрицательной гауссовой кривизны - наиболее распространенное решение, полученное в 30-х годах ХХ века - комбинации фрагментов поверхностей в виде гиперболического параболоида, которые сокращенно стали называть «гипа-рами».

Важным свойством гиперболического параболоида является линейчатость поверхности, в связи с этим оболочка легко армируется, возможно использование преднапряженной арматуры, оболочка поддается унификации. Гипары имеют повышенную устойчивость, что позволяет применять оболочки малой толщины. Покрытия в форме гипара обладают возможностями для создания условий естественного освещения, а внутреннее пространство характеризуется отличными акустическими свойствами. Легко решаются вопросы водоотвода и свободного сдувания снега, благодаря обтекаемой форме.

Особенностью работы гипаров является их распорность. Распоры появляются в направлении главных положительных кривизн, для их восприятия обычно применяют затяжки. Но есть и другие способы, с помощью которых можно избежать распор или уменьшить его величину. В этом направлении традицион-ны решения в виде сочлененных гипаров, в которых распор частично или полностью погашается. Поэтому в строительстве получили распространение как отдельно стоящие, так и сочлененные.

Оболочки в форме гипара применяют для покрытий, фундаментов, стен в различных сооружениях - общественных (универсальные залы, рынки, вокзалы, трибуны стадионов, рестораны), производственных (заводы, фабрики, гаражи, склады) и в малых архитектурных формах (павильоны, навесы, беседки). Размеры перекрываемого плана находятся в пределах от 10 до 70 м, достигая иногда 100 м.

Уравнение поверхности оболочки в системе координат хоу (линии главных кривизн поверхности направлены вдоль диагоналей основания) (рис.1):

f

г =— ху . аЬ

Коэффициенты форм поверхности:

квадратичных

А2 = Е = 1 + /2

У

2>2 а Ь

В2 = G = 1 + /2

Ь = N = 0, М =

Р = /2

22 а Ь

1

ху

2 т 2

а Ь

/

л/А

2 В2 - Р2

Рис. 1. Гипар на прямоугольном (квадратном) плане 1 - главная вогнутая парабола; 2- главная выпуклая парабола; 3 -прямолинейная образующая; 4 - прямые линии поверхности; 5 - кривые линии поверхности; 6 - единичный элемент оболочки

^ аЬ

Следовательно, криволинейные координаты х, у для гипаров - неортогональны (Р ф 0 ) и несопряжены (М ф 0 ), что вызывает определенные трудности при расчете оболочек на прочность, Ь = N = 0 показывает, что криволинейная система х, у совпадает с прямыми образующими гипара, т.е. сеть задана в ассимптотических линиях.

Угол между криволинейными координатными линиями поверхности:

Р /2ху

^ х =

АВ

а 2Ь2.1(1 + /2

а 2Ь2

)(1 + /

2у

а2Ь2

)

Площадь поверхности:

ст = Цл/А2В2 - Р2 dxdy = 1^ 1 + (х2 + у2 )dxdy.

Направление главных кривизн поверхности и осей координат не совпадают, т.е. кх ф кг и ку ф к2. Кривизны поверхности вдоль осей ох и оу :

К =

д2 /

—-(— ху) = 0 (прямая линия); ку =

2

д2 /

—- (— ху) = 0 (прямая линия).

ду аЬ

дх2 аЬ

Следовательно, поверхность ограничена прямыми.

При расчете подъемистых гипаров с отношением / / а > 1/5 можно воспользоваться приближенным методом, так как для этого вида гипаров не применимы основные положения теории расчета пологих оболочек.

Гипары характеризуются усилиями постоянной величины N1 = N2,, поэтому их можно рассматривать в двух направлениях как систему диагональных полос в виде арок шириной 1м, для которых известны значения пролета и стрелы подъема (провисания). Каждая полоса шарнирно опирается на бортовые элементы покрытия и равномерная нагрузка q распределяется поровну между направлениями кривизны (рис. 2).

2

х

2

х

Рис. 2. Подъемистый гипар с прямолинейными краями а - общий вид и схема усилий; б - план; в, г - расчетные схемы; 1 - оболочка; 2 - бортовая балка; 3 - опора; 4 - расчетная растянутая полоса; 5 - расчетная сжатая полоса; 6- эпюра сжимающих усилий в бортовом элементе

Для квадратной в плане оболочки растягивающие усилия , сжимающие усилия N2 и сдвигающие усилия £ на контуре оболочки равны:

да2

S = Ni = - N 2 = ±

8f

В контурных элементах однолепестковых гипаров под действием сдвигающих усилий возникает сжатие, максимальное сжимающее усилие с учетом угла наклона к горизонтали определяется как сумма сдвигающих усилий по длине элемента:

Nb =-.

cosa

Вертикальная опорная реакция при опирании одинолепесткового гипара на две опоры составляет:

F =

qa'

Распор, направленный по опорной диагонали однолепесткового гипара, равен Fh = 28а cos 45° .

Выполнен расчет покрытия административного здания в виде однолепесткового гипара на квадратном плане, опертого по двум углам на фундаменты, соединенные подпольной затяжкой, (рис. 3, 4) по приближенным аналитическим формулам [1] и СП 52-117-2008 [3] с учетом действующих нормативных документов [4, 5].

Рис. 3. Административное здание. Рис. 4. Административное здание.

Вид А. Вид Б.

Геометрические параметры гипара: размер стороны основания в плане a = 20 м, стрела подъема центра оболочки f = 5 м, высота подъема углов 2f = 10 м,

толщина оболочки S = 6см . Длина диагонали плана оболочки l = aV2 = 28,28м,

угол наклона контурного ребра к горизонту а = 26°34'

2 f a

(tga = 0,5; cos а = 0,894), длина контурного ребра lr =-= 22,37м.

a cos а

Оболочка выполняется из монолитного железобетона класса В30. Гипар армируется сеткой из арматуры класса В500, арматура контурных ребер и затяжки класса А500.

Место строительства - II район снеговой нагрузки. В качестве покрытия оболочки используется седумный ковер. Нагрузка на оболочку приведена в табл. 1.

Таблица 1

Наименование и подсчет нагрузок

Нормативная нагрузка, кН/м2

Коэффициент надежности по

нагрузке, Yf

Расчетная нагрузка,

кН/м2

Постоянная нагрузка

- Система озеленения «Скатная крыша» с дренажной решеткой Георастр для кровли с углом уклона до 35 градусов

- Гидроизоляция

- Утеплитель (экструдированный пено-полистирол) : 5 =0,1 м и у =0,35 кН/м3

- Цементно-песчаная затирка с внутренней стороны

5 =0,01 м и у =18 кН/м3

1,550

0,020 0,035

0,180

1,3

1,3 1,2

1,3

2,015

0,026 0,042

0,234

Итого: постоянная

1,785

2,317

Временная нагрузка - Снеговая*

0,840

1,200

Итого:

2,625

3,517

* - коэффициент се, учитывающий снос снега с покрытия под действием ветра, принят равным се = 1; термический коэффициент ct = 1.

Расчеты по аналитическим приближенным формулам представлены в табл. 2, по СП 52-117-2008 - в табл. 3 (проверка несущей способности плиты оболочки), в табл. 4 (подбор сечения арматуры затяжки).

Таблица 2

Сеч. контурных балок Параметры Ьк = 0,2м  0,4м Ьк = 0,2м  0,5м Ьк = 0,25м  0,5 м

- собственный вес оболочки * = 1,780 К-Н м * = 1,780 КН м * = 1,780 к-Н м

- равномерно распред. нагрузка от веса контурных балок *е = 0,660 ^ м * = 0,825 Щг м = 1,031 ккН м

- полная нагрузка на оболочку . кН q = 5,957—— м q = 6,122 КН м q = 6,329 кН- м

- усилия N = - N 2 = 5 = 59,574кН N1 =- N 2 = 5 = = 61,224кН N=-N2=5= = 63,287кН

- сжимающее усилие в контурной балке Яь = 1332,12кН Nb = 1369,01кН Nb = 1415,13кН

- армирование оболочки вдоль диагоналей 506 В500 Л!1 = 1,410см2 706 В500 Л!1 = 1,980см2 706 В500 Л!1 = 1,980см2

- армирование вдоль образующих (в каждом направлении) 505 В500 Лs = 0,982см2 506 В500 Л!1 = 1,410см2 506 В500 Л!1 = 1,410см2

- критическая сила в контурном элементе Ясг = 596,55кН Лг = 8,04см2 4016 А500 Ncr = 1445,29кН Лг = 19,63см2 4025 А500 Ncr = 1479,33кН Лг = 19,63см2 4025 А500

- выполнение условия: Я* < нет да да

- выполнение условия прочности X Ньв < Rbbx(ho - -) + - нет да

+-а )

В результате расчета по приближенным аналитическим формулам получаем следующее армирование однолепесткового гипара:

- армирование плиты оболочки стержнями, ориентированными вдоль образующих поверхности, площадь сечения арматуры в каждом направлении 506 В500 (Лц = 1,410 см2) на один погонный метр длины оболочки;

- сечение контурных балок Ль = bh = 0,25 м х 0,5 м = 0,125 м2, армирование

Л!1 = Л1 = 9,82см2 (2025 + 2025);

- площадь сечения арматуры затяжки 4040 А500 (Л!, = 50,27см2). Несущая способность гладких гипаров на квадратном плане при действии

равномерно распределенной нагрузки определяется по теории предельного равновесия (п. 12.8 [3]). Размеры сечений и армирование принимаются по результатам расчета по приближенным аналитическим формулам.

По результатам расчета при шаге стержней арматуры класса В500 06 200x200 мм, 150x150 мм, 100x100 мм несущая способность оболочки обеспечена только при шаге стержней 100x100 мм.

Таблица 3

Параметры Шаг 200x200 мм Шаг 150x150 мм Шаг 100x100 мм

5uRb s =-— Л,А,г 16,571 12,428 8,286

2ЬА 1 =— 18 0,208 0,208 0,208

X = 2НГ /f 0,200 0,200 0,200

т = 2и /1 0,020 0,015 0,01

Лs,tRs,t V =- Л,А,г 177,633 177,633 177,633

Л я 5, Г 5,Г п =- Л,А,г 69,364 69,364 69,364

к, 2,513 2,484 2,426

- внешняя нагрузка на оболочку по СП 52117-2008 Р = 1,056 м р = 2,286 КН м кН р = 4,656—— м

- внешняя нагрузка на оболочку по табл. 1 р = 3,517—— м кН р = 3,517—— м кН р = 3,517—— м

Таблица 4

Параметры Л^ = 5,027 • 10 ~3 м2

V 177,633 143,887

¥2 -0,011 -0,024

¥3 0,137 0,123

1,235 1,169

V 127,578 132,787

Проверка условия Л5Х >V ЛА Л5,х = 5,027 • 10~3 м2 > 3,611 • 10 ~3 м2 Л5,х = 4,072-10 ~3 м2 > 3,758-10 ~3 м2

Сравнительный расчет показывает, что условие несмещаемости нижних углов при опирании на фундамент также выполняется при площади сечения арматуры затяжки равной Л5,х = 4,072-10-3 м2 (4036 А500).

В результате расчета по СП 52-117-2008 [3] получаем следующее армирование однолепесткового гипара:

- армирование плиты оболочки стержнями, ориентированными вдоль образующих поверхности, площадь сечения арматуры в каждом направлении 1006 В500 (Л5 = 2,830 см2) на один погонный метр длины оболочки;

- сечение контурных балок Ль = bh = 0,25 м х 0,5 м = 0,125 м2, армирование

Л5 = Л5 = 9,82см2 (2025 + 2025), защитный слой бетона а = а = 3,0см .

- площадь сечения арматуры затяжки Л5,х = 4,072-10"3 м2 (4036 А500).

Л и т е р а т у р а

1. Лебедева Н.В. Железобетонные оболочки отрицательной кривизны. Расчет и конструирование. Учебное пособие. - М.: МАрхИ, 1986. - 119 с.

2. Милейковский И.Е., Купар А.К. Гипары. Расчет и проектирование пологих оболочек покрытий в форме гиперболических параболоидов.- М.: Стройиздат, 1978. -224 с.

3. СП 52-117-2008 Железобетонные пространственные конструкции покрытий и перекрытий. Часть I. Методы расчета и конструирования. - М.: Госстрой России. - М.: ГУП ЦПП, 2008. -150 с.

4. СП 20.13330.2011 Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.0785*. Госстрой России. - М.: ГУП ЦПП, 2011. - 96 с.

5. СП 63.13330.2012 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003. - М.: 2012. - 147 с.

References

1. Lebedeva, N.V. (1986). Zhelezobetonnie Obolochki Otrizatel'noy Krivizny. Raschet i Konstruirovanie: Uchebnoe Posobie, Moscow: MARHI, 119 p.

2. Mileykovskiy, I.E., Kupar, A.K. (1978). Gipary. Raschet i Proektirovanie Pologih Obolochek Pokrytiy v Forme Giperbolicheskih Paraboloidov, Moscow: Stroyizdat, 224 p.

3. SP 52-117-2008. Zhelezobetonnie Prostranstvennie Konstrukzii Pokrytiy i Perekrytiy. Chast I. Metody Rascheta i Konstruirovaniya, Moscow: Gosstroy Rossii, GUP TzPP, 2008, 150 p.

4. SP 20.13330.2011. Nagruzki i Vozdeystviya, Aktualizirovannaya Redakziya SNiP 2.01.07-85*, : Gosstroy Rossii, Moscow: GUP TzPP, 2011, 96 p.

5. SP 63.13330.2012. Betonnie i Zhelezobetonnie Konstrukzii. Osnovnie Polozheniya, Aktualizirovannaya Redakziya SNiP 52-01-2003., Moscow, 2012, 147 p.

THE RESULTS OF DIFFERENT METHODS OF CALCULATION OF A NON-SHALLOW HYPERBOLIC PARABOLOID

O.O. Aleshina

Peoples' Friendship University of Russia, Moscow

Two methods of analysis of a non-shallow hyperbolic paraboloid are presented in the paper. The first approximate method was fulfilled with the help of the analytical formulas but the second one was made due to SP 52-117-2008 "Reinforced Concrete Spatial Structures of Covers and Floors. Part 1. The Methods of Analysis and Design". Numerical results are given.

Keywords: reinforced concrete shell, hyperbolic paraboloid.

Геометрия срединных поверхностей оболочек

ФОРМИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА

В АВТОКАДЕ

В.А. РОМАНОВА, доцент

Российский университет дружбы народов

117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

В статье рассматриваются вопросы формирования в Автокаде нормальных циклических поверхностей и в плоскостях пучка. Показано, что образование поверхностей целесообразно выполнять на основе их отсеков. Разработан алгоритм образования циклических поверхностей, приведены фрагменты программ по реализации предложенного алгоритма.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: алгоритм, нормальная циклическая поверхность, пучок плоскостей, отсек поверхности.

Для формирования поверхностей часто используется кинематический способ [1],[2]. Циклические поверхности образуются кинематическим способом при движении окружности переменного радиуса по направляющей кривой [3]. Для образования поверхностей в Автокаде имеется ряд команд, однако формирование циклических поверхностей возможно только, при использовании команды Loft и её опции «по сечениям». В качестве сечений могут использоваться