Пластическое течение как процесс формирования пространственно-временных структур. Часть I. Качественные и количественные закономерности

УДК 669.539.381.296

Пластическое течение как процесс формирования

пространственно-временных структур. Часть I. Качественные и количественные закономерности

Л.Б. Зуев, Ю.А. Хон

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

Обосновано и расширено автоволновое описание развития локализованного пластического течения твердых тел и введены основные определения этого подхода. Экспериментально показано, что на макроскопическом масштабном уровне пластическое течение протекает всегда локализовано, и локализация принимает формы различных автоволновых процессов. Обсуждена природа упругопластического инварианта деформации. Получены и проанализированы основные уравнения автоволновой теории пластичности.

Ключевые слова: решетка, упругость, пластичность, разрушение, дислокации, автоволны, самоорганизация

БО! 10.24412/1683-805Х-2021-6-5-14

Plastic flow as a process of the formation of spatio-temporal structures. Part I. Qualitative and quantitative patterns

L.B. Zuev and Yu.A. Khon

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

In this work, the autowave description of localized plastic flow in solids is verified and expanded, and the main definitions of this approach are introduced. It is shown experimentally that the plastic flow at the macroscopic scale is always localized in the form of various autowave processes. The nature of the elastic-plastic strain invariant is discussed. The basic equations of the autowave theory of plasticity are derived and analyzed.

Keywords: lattice, elasticity, plasticity, failure, dislocations, autowaves, self-organization

1. Введение

Начиная с 30-х гг. ХХ века практически все жизнеспособные подходы к описанию пластичности базировались на использовании теории дислокаций [1, 2]. На этой основе были созданы многочисленные частные модели, но построить замкнутую теорию пластичности твердых тел не удалось. Возникшие сомнения в достаточности методической основы дислокационных исследований — электронно-микроскопического анализа тонких фольг — позволили понять, что главная причина неуспеха крылась отнюдь не в методике, а в неадекватности общепринятого принципа, согласно которому все, достойное внимания науки, может быть открыто микроскопическим иссечением объектов [3].

Критикуя этот принцип, Пригожин утверждал [3], что если в физике где-то и существует простота, то заведомо не в микроскопических моделях. Она скорее кроется в идеализированных мак-

роскопических представлениях. На фоне недостаточности простых дислокационных моделей эта идея пробудила интерес к коллективным эффектам деформации. В своей пионерной работе [4] Зегер и Франк предложили рассматривать рост плотности дислокаций при деформации как процесс структурообразования, придав пространственному обособлению пластически деформируемых областей смысл самоорганизации деформируемой среды. В согласии с Хакеном [5], система считается самоорганизующейся, если она без специфического воздействия извне обретает какую-то пространственную, временную или функциональную структуру. Как показал Кадомцев [6], самоорганизация возможна при спонтанном расслоении системы на взаимодействующие информационную и динамическую подсистемы.

Николис и Пригожин, признав невозможность исследовать пластичность на чисто механической основе, предложили рассматривать ее как часть

© Зуев Л.Б., Хон Ю.А., 2021

общей проблематики нелинейных динамических систем, работающих вдали от равновесия [7]. Тем самым они открыли окно возможностей для применения понятийного аппарата теории неравновесных систем (синергетики) [3, 5, 7] в формировании новых взглядов на механику пластичности.

Это особенно важно, поскольку относительный неуспех дислокационных моделей заставил сконцентрировать внимание на тех сторонах явления пластичности, на которые ранее почти не обращалось внимания. Предпринимались, например, попытки учесть, что пластическая деформация протекает в открытой системе [5], т.к. образец при испытании получает энергию от испытательной машины (источника) и возвращает ее часть в сток. Форма зависимости напряжения от деформации о(е) указывала, что деформируемая среда нелинейна, а наличие распределенных в объеме локальных источников потенциальной энергии — упругих полей возникающих и релак-сирующих при деформации концентраторов напряжений делало среду активной и неравновесной [1, 4].

Благодаря этим обстоятельствам, в физике пластичности начала кристаллизоваться тенденция к изучению коллективных эффектов развитого пластического течения, реализующегося в конденсированной среде с дефектами разного типа. Развивая эти идеи, авторы исследований, выполненных в 80-х гг. прошлого века, добились заметного прогресса в понимании перечисленных аспектов развитого пластического течения. В знаковой в этом отношении монографии [8] были представлены наиболее актуальные на тот момент подходы к описанию коллективных явлений пластической деформации. Так, например, плодотворная концепция многомасштабности феномена пластичности (физическая мезомеханика материалов) [8, 9] позволила успешно понять ряд проблем деформируемого твердого тела. Важный вклад в эти проблемы был сделан в работах [1012], в которых детально рассмотрена роль дефектов кристаллического строения в возникновении неустойчивости пластического течения. Этот подход, безусловно, является весьма перспективным для понимания и объяснения сложного феномена многоуровневой пластичности.

Недостатком большинства работ оставался неучет макромасштабных эффектов пластического течения, определяемых неравновесностью и нелинейностью деформируемой среды. Игнорировалась и роль кристаллической решетки, которая

служила лишь резервуаром решеточных дефектов. В новом подходе, развиваемом в настоящей статье, внимание сосредоточено на роли макроскопических эффектов деформации на разных стадиях процесса пластического течения и их связи с решеточными характеристиками деформируемой среды.

2. Гипотеза о локализации пластического течения. Ее смысл и проверка

Литература по проблемам пластичности переполнена прямыми и косвенными указаниями на макроскопическую пространственно-временную неоднородность (макролокализацию) процесса пластического течения (см. [13-15]). Однако до последнего времени детально изучались лишь наблюдаемые невооруженным глазом эффекты макролокализации. К ним относятся рождение и развитие фронтов Людерса при упругопластическом переходе [13] и образование шейки вязкого разрушения на пределе прочности перед разрушением [15].

2.1. Об универсальности феномена локализации пластического течения

Отсутствие сведений о макроскопической локализации деформации на остальной (большей) части кривой пластического течения кажется странным и явно противоречит данным о микроскопической неоднородности процесса, представленной различными формами дислокационных субструктур [2]. Для преодоления этого противоречия в работе [16] была сформулирована гипотеза о локализации, согласно которой неотъемлемым свойством пластического течения является его макроскопическая локализация, развивающаяся на всем протяжении процесса от упруго-пластического перехода до разрушения и принимающая на этом пути различные формы. Привлекая первоочередное внимание к объемам, где скорость деформации больше, чем в других, гипотеза указывает на важность геометрии зон локализации и вводит идеализацию процесса пластического течения через предположение о том, что вся пластическая деформация сосредоточена в этих зонах [16]. Таким образом, локализация, характеризующая возникновение дефектной макроструктуры и корреляцию развития пластического течения в пространственно разделенных объемах среды, становится главенствующим фактором в создании теории пластичности.

В таком случае проверка справедливости гипотезы о локализации требует надежной методики наблюдения зон локализации, которые схожи с фронтами Людерса [15], но вряд ли полностью сводятся к ним. Для in situ регистрации зон использовался модифицированный для этой цели метод двухэкспозиционной спекл-фотографии [17]. Он визуализирует зоны плоского образца, в которых в промежутке времени между экспозициями локализовалась деформация. Типичный результат такой визуализации представлен на рис. 1, а. Анализ картин локализации по диаграммам «положение зоны локализации Х - время t» (рис. 1, б) выделяет пространственный (А ~ 10-2 м) и временной (102 < 0 < 103 с) периоды деформационного процесса. Этих величин и скорости 10-5 < Vaw= А/0 = ю/k < 10-4 м/с (k=2п/А — волновое число; ю = 2п/0 — частота) достаточно для количественного описания локализованной деформации. Методика позволяет также анализировать эволюцию полей компонент тензора пластической дистор-сии — локальных удлинений exx(x, y, t), сдвигов exy(x, y, t) и поворотов wz(x, y, t).

Систематические исследования макроскопических аспектов локализации пластической деформации с помощью этой методики полностью подтвердили справедливость сформулированной гипотезы. Локализованное пластическое течение наблюдалось в экспериментах по активному на-гружению и ползучести моно- и поликристаллов металлов и сплавов разного состава с ГЦК, ОЦК, ГПУ и тетрагональной кристаллическими решетками. Выяснилось, что локализация присуща материалам, которые деформируются за счет дислокационного скольжения, двойникования и дефор-мационно-индуцированного фазового превращения. При сжатии щелочно-галоидных кристал-

лов, нанокристаллической керамики и горных пород [17-19] также зарегистрирована локализация пластической деформации. Наконец, эффекты локализации отмечены при исследованиях пластического течения при температурах 143-420 К. Иначе говоря, локализация оказалась принципиально неотделимой от процесса пластического формоизменения, т.е. самопроизвольное расслоение деформируемой среды на чередующиеся деформирующиеся и недеформирующиеся в данный момент макроскопические области есть атрибут пластического течения любого материала.

2.2. Картины макроскопической локализации пластического течения

Анализ картин локализации пластического течения показал, что в наблюдаемых распределениях зон макролокализованного пластического течения проявляется геометрический пространственно-временной порядок, позволяющий интерпретировать совокупность этих картин как паттерн локализованной пластичности [20], т.е. последовательность явлений во времени или расположение предметов в пространстве, которую можно отличить от другой последовательности или другого расположения, или сравнить с ним.

Самопроизвольно возникающий паттерн локализованной пластичности служит геометрической характеристикой пространственно-временной неоднородности пластического течения. Паттерн изменяется вслед за изменениями коэффициента деформационного упрочнения 0=£-1ёа(в)/д8 (Е — упругий модуль) вдоль кривой пластического течения а(в) и является проекцией деформационных явлений в объеме материала на эту поверхность. Роль таких процессов играют бегущие или

Рис. 1. Паттерн локализованной пластической деформации. Фазовая автоволна на стадии линейного деформационного упрочнения

стационарные фронты, которые трактуются как автоволны локализованной пластичности, т.е. самоподдерживающиеся в активной нелинейной среде волновые процессы, включая стационарные структуры, сохраняющие свои характеристики постоянными за счет распределенного в среде источника энергии [21]. Обсуждая смысл автоволн локализованной пластичности, покажем, что они не сводятся к похожим на них волнам пластичности Кольского, описывающим фронты деформации при импульсном нагружении [22]. Это следует из различия форм зависимостей их скоростей от коэффициента деформационного уп-

рочнения ~ 9 для автоволн и Ур„ ~ 9 для волн Кольского [22]), а также из условия 10-510-4 м/с к Уаш << Урш ~ 102 м/с [18].

Решающим доказательством разной природы этих двух волновых процессов служит различие знаков изменения энтропии при генерации волн Кольского и автоволн. Для оценки примем, что скорость деформации в ~ Vw ~ Р^, причем = Ур„ или = каций [23]

а эффективная скорость дисло-

^disl ~exP

- exp

^AS >

V кв J

exp

AG

квТ

AU -уст квТ

где AG = AU - TAS + AA — термодинамический потенциал Гиббса; AU — высота потенциального барьера; AS — энтропия; AA = -уо — работа напряжения о; у — активационный объем процесса; кв — постоянная Больцмана; Т — температура. Положим, что для волн пластичности и автоволн exp [-(AU - Yo)/kBT] = const > 0 и lnVw~ln e ~ AS. Тогда для волн Кольского рост скорости при росте коэффициента деформационного упрочнения Vpw ~ 91/2 возможен, если в уравнении (1) AS > 0, что обычно для диссипативных процессов [7]. Для автоволн локализованной пластичности зависимость Vaw ~ 9- возможна, если в уравнении (1) AS < 0, что служит признаком процесса самоорганизации [5].

Таким образом, самопроизвольное расслоение деформируемой среды на деформируемые и не-деформируемые макрообъемы допустимо рассматривать как самоорганизацию среды с дефектами кристаллического строения, принимающую форму спонтанной генерации автоволн локализованной пластичности.

3. Главные закономерности локализованной пластичности твердых тел

Основополагающий статус, приданный в рамках развиваемого подхода локализационным (автоволновым) процессам, требует вывода адекватных уравнений пластической деформации и анализа их на соответствие известным закономерностям пластического течения.

3.1. Уравнения автоволновой пластичности

Из детально развитой к настоящему времени теории автоволн [18] известно, что они описываются дифференциальными реакционно-диффузионными уравнениями параболического типа У = ф(у)+ДУ", которые возникают при добавлении нелинейной функции ф(у) к правой части диффузионного уравнения у = Ду". Нетривиальная проблема выбора явного вида функции ф(У) чаще всего сводится к аппроксимации последней полиномом с кубической нелинейностью.

Дополнительно примем во внимание, что в общем случае эволюция автоволновых процессов контролируется конкуренцией активирующего и демпфирующего факторов [21], причем для описания каждого из них требуется собственное кинетическое уравнение. Выбор таких факторов для автоволн пластического течения непрост, но из физических соображений в качестве активатора разумно использовать деформации е, а в качестве демпфера — напряжения о. Такая идея следует из разделения тензоров напряжений и деформаций на девиаторную и шаровую части [13]. Девиа-торы активируют пластические сдвиги, а создаваемые шаровыми тензорами гидростатические напряжения демпфируют пластическое течение вследствие закона упругости объемной деформации [13].

Обязательность двух факторов хорошо согласуется с модельным представлением [6] о расслоении сложных открытых физических систем на информационные и динамические подсистемы как причине самоорганизации. При пластическом течении в качестве динамической подсистемы следует рассматривать элементарные деформационные сдвиги, вызывающие формоизменение, а информационная подсистема создается полем упругих импульсов акустической эмиссии, рождающихся при каждом таком сдвиге.

Что касается функции ф(у), то в уравнения для скоростей в и ст можно из физических сообра-

жений ввести А-образные функции деформаций /(е) и напряжений £(о) (точечные кинетики деформационного процесса). Возникающая система кинетических эволюционных уравнений

в = /

ст = g

определяет развитие потока пластической деформации, включая его дрейфовую (гидродинамическую) и диффузионную (стохастическую) компоненты.

Дрейфовая компонента в уравнениях (2) и (3) представлена функциями /(е) и g(о), которые определяют движение фронта деформации за счет срабатывания источников сдвига на нем. Им отвечает дислокационный масштаб процесса, а движущей силой служат действующие напряжения. Диффузионная компонента, связанная с членами Деее" и Дооо", описывает эволюцию пластического и упругого полей в объеме образца, порождая макроскопический ~ масштаб деформационного процесса. Его динамика определяется случайной силой Ланжевена [24], зависящей от транспортных коэффициентов Дее и Доо.

Автоволновые уравнения (2) и (3) можно получить строгим образом. Так уравнение (2) вытекает из условия неразрывности пластического течения [13]

в = у-щ^в),

где ДввУв — поток деформации в поле градиента деформации. Если Дее(х), то

в =в'Д'вв+Дввв" = /

что, очевидно, эквивалентно уравнению (2), в котором

/

Релаксационное уравнение (3) следует из уравнения Эйлера для потока вязкой жидкости П, записанного в форме [25]

д

¥ =-

дП

ik

dxk

В вязкой среде Щ = рб^+pv{ok - gv1s = oik - pv{ok, где 5ik — единичный тензор; р — давление; vt и vk — пространственные компоненты скорости. Тензор напряжений ovls = -p5ik+ovls есть сумма упругих Gel = -pSik и вязких ovls компонент. При пластической деформации g = Gel + gv1s и ст = (el + стvls. Скорость релаксации упругих напряжений (jei = g(G, е) = -MpmbVdiSi ~ Vdisi, где M — эффективный модуль.

Вязкие напряжения gv1s возникают из-за неоднородности поля напряжений и связаны со скоро-

стью поперечных упругих волн соотношением V = Vo=0 + Povls [17], где Vo=0 — скорость при о = 0, а коэффициент в = const. Так как ст vis = ^VVt, где ц — динамическая вязкость, то СТ vls = Vt V • (^,VVt) = ^VVt"=^pVtCT Vis. Тогда

СТ = g

что совпадает с уравнением (3) при DCTCT =^pVt. Правая часть уравнения (8) есть сумма скоростей релаксации упругих (СТel = g (ст) и вязких (СТvls = Dctctct " напряжений.

Численная оценка транспортных коэффициентов Dee и D00 в уравнениях (2) и (3) возможна с учетом их размерности L2T-1. Используя уравнение дислокационной кинетики Тейлора-Орована в « bpmVdlsl [1], где b — модуль вектора Бюргерса дислокации; pm — плотность подвижных дислокаций, получим Dee ~ bVdlsl. На том же основании можно записать, что D00 ~ (F/p)1/2, где F — сила натяжения образца при испытании. Численные оценки дают 108-10-7 ~ Dee << D00 ~ 1 м2/с.

Автоволновые представления облегчают поиск связей параметров пластичности с другими физическими характеристиками деформируемой среды. Например, установлена пропорциональность автоволновых характеристик локализованной пластичности температуре Дебая 0D в форме AVaw ~ (kB/ Й )x29d, где х — межплоскостное расстояние; Й = И/ 2 %. Доказанное в [26] равенство VawXх pra3 = И, где р — плотность вещества; ra — атомный радиус; Й — постоянная Планка, позволило ввести понятие о квазичастице, соответствующей автоволне локализованной пластичности и названной автолокализоном.

3.2. Физический смысл автоволнового подхода к пластической деформации

Для нового подхода принципиально важна непосредственная связь автоволнового уравнения

(8) с уравнением дислокационной кинетики Тей-лора-Орована [1]. Для ее поиска примем, что подвижные дислокации распределены случайным образом на среднем расстоянии ~d. Тогда 1/d2 ~ pm, b/d — деформация при сдвиге дислокации на d, а в уравнении (6) s' ~ (1/d)(b/d) ~ bpm. Считая, как и раньше, что Dss ~ bVdlsl, приходим к D'ss ~ bVdlsl/d ~ aVdlsl, где a ~ b/d=const, так что

в = «bpmVdlSl +Dssb".

Если пренебречь членом Dsss", то уравнение

(9) становится эквивалентным уравнению Тейлора-Орована, которое, очевидно, описывает то-

Таблица 1. К правилу соответствия стадий деформационного упрочнения и автоволновых мод локализованного пластического течения

Стадия деформационного упрочнения Обозначение на рис. 2 Параметры уравнения Людвика Автоволновая мода

Площадка текучести 1 a = a0, n ~ 0 Автоволна переключения

Линейное деформационное упрочнение 2 a ~ s, n ~ 1 Фазовая автоволна

Параболическое деформационное упрочнение 3 a ~ sn, n ~ 1/2 Стационарная диссипативная структура

Предразрушение 4 a ~ sn, n < 1/2 Коллапс автоволны

чечную кинетику, т.е. локальный релаксационный акт нелинейного скачкообразного спада деформирующего напряжения [27]. При малых плотностях дислокаций можно довольствоваться уравнением Тейлора-Орована, однако при высоких плотностях взаимодействующих дефектов необходимо обращаться к более общему автоволновому уравнению (9). Отсюда следует вывод, что автоволновое и дислокационное описания пластического течения не противоречат друг другу.

Уравнение (9) объясняет причину возникновения автоволн локализованной пластичности. Действительно, в соответствии с уравнением Тейло-ра-Орована, пластическая деформация со скоростью в = const возможна, если pmVdlsl >в/b. При уменьшении плотности подвижных дислокаций с ростом деформации среда для устойчивости процесса порождает активные зоны на макроскопическом расстоянии X ~ Dss/Vaw ~ 10-2 м от исходной, поддерживая условие в = const за счет появления членов Dsss" и Daaa" в уравнениях (2) и (3) или (6) и (8).

Эти соображения согласуются с общей моделью процесса самоорганизации [6]. Действительно, при пластической деформации каждый сдвиг (динамическая подсистема) инициирует аккомодационный сдвиг в соседнем объеме. Эффективный радиус корреляции в этом случае имеет порядок размера зоны сдвига l, а скорость распространения взаимодействия ~Vdlsl. В то же время сдвиг имитирует упругий импульс (информационная подсистема), энергия которого повышает концентрацию напряжений, демпфируя пластическую деформацию. Радиус корреляции этого фактора порядка размера образца L >> l, а скорость Vt >> Vdisi. При условиях Dco >>Ds, L >> l и V »Vm возможна генерация автоволны локализованной пластичности, т.е. рождение крупномасштабного деформационного уровня. Рождение новых зон деформации отвечает режиму с обострением [28],

который служит причиной возникновения локализации пластического течения и подтверждает локализационную гипотезу.

Анализ уравнений (2) и (3) [18, 19] показал, что они допускают существование разных автоволновых режимов деформации, которые естественно сопоставить со стадийностью пластического течения, т.е. с разделением кривой a(s) на стадии с разными законами деформационного упрочнения 0(s), определяемыми разными дислокационными механизмами [1, 2, 15]. Чтобы выделить эти стадии, кривая a(s) аппроксимируется уравнением Людвика a(s) = о0+Ksn [13], где о0 — предел текучести; K — модуль упрочнения; n — показатель упрочнения. Находя участки кривой, для которых n = const, удается идентифицировать площадку текучести (n = 0), стадии линейного (n = 1) и параболического (n = 1/2) упрочнения, а также стадию предразрушения (n < 1/2) (см. табл. 1).

Как следует из рис. 2, каждой стадии пластического течения отвечает паттерн, независящий от конкретного материала. На площадке текучести паттерн содержит движущийся уединенный фронт локализованной деформации, на стадии линейного деформационного упрочнения паттерн соответствует движению группы эквидистантных фронтов локализации, на параболической стадии такие фронты образуют стационарную систему и, наконец, на стадии предразрушения совокупность фронтов коллапсирует, формируя макроскопическую шейку и приводя в конце концов к вязкому разрушению материала.

3.3. Правило соответствия и упругопластический инвариант деформации

Сопоставление наблюдаемых паттернов с описаниями типичных автоволн [21] приводит к правилу соответствия, согласно которому каждой стадии деформационного упрочнения отвечает

а, МПа 400-

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 в, %

Рис. 2. Правило соответствия стадий деформационного упрочнения и паттерна локализованной пластичности: площадка текучести (7), стадия линейного деформационного упрочнения (2), стадия параболического деформационного упрочнения (3), стадия предразрушения (4). Пояснения в табл. 1

строго определенная автоволновая мода (см. табл. 1). Правило универсально, но возможна элиминация некоторых стадий упрочнения и соответствующих автоволновых мод. Число наблюдаемых мод равно числу стадий деформационного упрочнения, т.е. можно считать процесс пластического течения эволюцией автоволновых мод.

Как известно, экспериментальное изучение различных автоволновых мод в химических и биологических системах требует создания генераторов (ячеек), индивидуальных для каждого варианта процесса. Такие генераторы отличаются друг от друга химическим составом, температурным режимом, кинетикой химических реакций, размерами и конструкцией. В случае деформации материалов автоволновые моды локализованной пластичности генерируются при растяжении с постоянной скоростью, а деформируемое твердое тело служит удобным для анализа универсальным генератором автоволновых процессов [29].

Особенно интересная ситуация возникает на стадии линейного деформационного упрочнения, где образуется фазовая автоволна локализованной пластичности, для которой Ш - kx = const. Скорость ее распространения Vaw ~ 0"1, а закон дисперсии ш = ш0 + Zk2 типичен для ряда нелинейных процессов [7].

Автоволновой характер пластического течения твердых тел ведет к аналогии с упругой деформацией, в основе которой лежат процессы распространения упругих волн. Для анализа этой аналогии введем отношение произведений для фазовых автоволн локализованной пластичности и XV для упругих волн

Z,

где (...) означает усреднение. Величина Z = const = 0.49 ± 0.04 ~ 1/2 получена по данным ~50 измерений, распределенных по нормальному закону. Соотношение (10) названо упругопластиче-ским инвариантом деформации.

Рассмотрим некоторые соображения о смысле инварианта. Из уравнения (10) следует, что при пластическом течении, т.е. при рождении и уничтожении (релаксации) концентраторов поля упругих напряжений и пластических деформаций [1] в деформируемой среде трансформируются согласованно, причем скорости Vt и Vaw << Vt контролируют кинетику перестройки соответствующих полей, а длины х и X задают пространственные масштабы процессов. Заметим также, что уравнение (10) связывает количественно процессы в динамической подсистеме с процессами в информационной подсистеме [6] при самоорганизации

деформируемой среды. Наконец, особенно важно, что инвариант (10) связывает характеристики процессов пластической деформации ХУащ с характеристиками кристаллической решетки XV.

Инвариант (10) можно рассматривать как проявление синергетического принципа подчинения [5]. Если записать уравнение (10) как Уащ = (х/ХЖ, то скорость медленных процессов Уа„ в динамической подсистеме окажется выраженной через скорость быстрых процессов V в информационной подсистеме. Важность инварианта (10) подчеркивается тем, что многочисленные следствия из него [15] объясняют главные закономерности развития локализованного пластического течения. Можно сказать, что упругопластический инвариант деформации играет роль основного уравнения автоволновой теории пластичности.

Чтобы понять природу упругопластического инварианта деформации, разделим в уравнении (10) пространственные и временные масштабы

Г к V1 Л

= г.

XV,

xV

v„

Отношения Х/х=Рса1е >>1 и = ркт >>1 в

уравнении (11) теперь можно рассматривать как масштабную и кинетическую термодинамические вероятности [24]. Первая из них ркса1е задает число возможных мест зарождения автоволны локализованной пластической деформации в образце и связана с различием пространственных масштабов упругого и пластического деформационных процессов. В свою очередь, кинетическая вероятность ркт определяет выбор деформируемой системой наблюдаемой скорости распространения автоволны из интервала ее физически возможных значений 0 < Уаш < V.

Пространственная Х/х = ряса1е и кинетическая V /Уаш = ркт разномасштабности играют разные роли в процессе пластического течения. Действительно, из уравнения (11) следует соотношение

1п ^ = 1п Рса1е - 1п

которое с помощью формулы Больцмана определяет изменение энтропии за счет масштабного и кинетического факторов

X X

V

AS

scale

= kB in — = kBln ^scale,

ASkin = kBln = kBln Р

kin

соответственно. Окончательно из уравнений (12)-(14) вытекает

AS = "kBln Pkin + kBln Pscale

= "ASkin +Sscale =^BlnV2 < 0,

kin scale

откуда следует эквивалентность инварианта утверждению о том, что при генерации фазовой автоволны энтропия деформируемой системы уменьшается на -AS=-ASskale - ASkm. Вклад масштабного фактора в общее изменение энтропии ASskale > 0, а вклад кинетического фактора ASskale < 0. Первый из них ответственен за диссипативные процессы, сопровождающие деформацию [7], а второй ведет к самоорганизации деформируемой среды [5, 7]. Так как

Z = exp

то AS=ln (1/2)kB ~ -0.7kB. Можно считать, что смысл упругопластического инварианта определяется энтропийным фактором в уравнении (15).

Рассмотрим далее эволюцию полей упругих напряжений и пластических деформаций при деформации. Примем, что скорости смещений и при малых отклонениях системы от равновесия линейны по градиентам пластических и упругих

•

V

- DssVs

pl

и и

деформаций [30], т.е. ДааУве1 соответственно. Для упрощения записи с учетом соотношения о=Еее1 ~ ее1 вместо упругих напряжений использованы упругие деформации. Из-за нелинейности зависимости о(е) возникают

дополнительные потоки

pl

• (ad) ^Pl

ДаЕУве1. Тогда для пластической и упругой компонент смещений справедлива система уравнений

upl = DssVs + DsoVseb «•el = DosVsel + DooVs.

Ее коэффициенты образуют матрицу

(Dss (bVd^ XV,

Dos D.

oo J

disl

xV

(Flp)^2

с элементами размерности Ь2Т-1. Диагональные элементы Дее и 0оо >> Дее, входящие также в уравнения (2) и (3) для автоволн, описывают перестройку пластического и упругого полей, а недиагональные Део = Х Уа„ и Дое = XV отвечают за их взаимосвязь. По принципу симметрии кинетических коэффициентов Онсагера [25, 30] недиагональные элементы равны, т.е. Део = Дое, откуда следует справедливость упругопластического инварианта деформации (10). Эти рассуждения позволяют понять смысл величины Z « 1/2 в инварианте (10). Используя диффузионное приближение, запишем для среднего квадрата макроскопического смещения (квадрата длины автоволны) соотношение [23]

Рис. 3. Сопоставление графиков зависимостей ^Vaw

{l)2 «X2 « 2Dga«"1,

из которого следует, что X2ш/Бае = Бш/= 2 = 1/2.

Наконец, очевидно сходство между инвариантом (10) и числом Рейнольдса

Re =SL = £iV,

v ц

характеризующим ламинарный и турбулентный режимы течения [22]. Здесь q — характерный пространственный масштаб потока; V — его скорость; р — плотность, а v — кинематическая вязкость среды. В случае пластического течения примем, что q = X, V = Vaw и v = хVt. Тогда уравнение (20) совпадет с упругопластическим инвариантом (10). Это позволяет дополнительно пояснить смысл инварианта (10). В основе пластического течения лежит движение дислокаций, скорость которого Vdisi = B-1bo контролируется вязкостью фононного и электронного газов [28], где B — коэффициент торможения, зависящий от температуры. Произведение хУ\ в уравнении (10) и коэффициент B имеют размерность кинематической вязкости. Положив хУ\ ~ B, можно проанализировать температурный ход инварианта (10). Сопоставим показанные на рис. 3 экспериментально полученную для сплава Fe-Ni-Cr температурную зависимость XVaw (график 1) и тоже для взятого из [31] отношения BT/B0D. Здесь BT, B0D — коэффициенты торможения при температуре T и при температуре Дебая (график 2). В интервале 0.3 < T/0D < 1 спады величин XVaw и BT/B0D пропорциональны друг другу, так что XVaw/xVt - const, т.е. инвариант (10) не зависит от температуры.

4. Выводы

Пластическое течение материалов реализуется локализованным образом через формирование и развитие автоволн локализованной пластичности. Деформируемый образец служит универсальным генератором автоволновых процессов, последовательно порождая автоволны переключения, фазовые автоволны, стационарные диссипативные структуры и коллапс автоволны.

Каждой стадии деформационного упрочнения материала соответствует определенная автоволновая мода пластического течения, так что процесс пластической деформации следует рассматривать как закономерную эволюцию автоволновых мод в объеме деформируемой среды.

Наблюдаемый при пластическом течении твердых тел паттерн макроскопически локализованной пластичности является важным источником дополнительной информации о кинетике процесса формоизменения, необходимой для построения адекватной физической модели пластической деформации.

Макрохарактеристики автоволн локализованной пластичности и решеточные параметры среды связаны упругопластическим инвариантом деформации, не зависящим от температуры, условий нагружения и структуры. Его природа определяется пространственными и скоростными масштабами деформации.

Работа выполнена в рамках государственного задания ИФПМ СО РАН, тема номер FWRW-2021-0011.

Литература

1. Hull D., Bacon D.J. Introduction in Dislocations. -Oxford: Elsevier, 2011.

2. Messerschmidt U. Dislocation Dynamics during Plastic Deformation. - Berlin: Springer, 2010.

3. Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985.

4. Seeger A., Frank W. Structure Formation by Dissipa-tive Processes in Crystals with High Defect Densities II Non-Linear Phenomena in Materials Science. - New York: Trans. Tech. Pub., 1987. - P. 125-138.

5. Haken H. Information and Self-Organization. - Berlin: Springer, 2006.

6. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. - М.: Редакция УФН, 1997.

7. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. -М.: Мир, 1990.

8. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации / Под ред. В.В. Немошка-ленко. - Киев: Наукова думка, 1989.

9. Egorushkin V.E., Panin V.E. Scale invariance of plastic deformation of the planar and crystal subsystems of solids under superplastic conditions // Phys. Me-somech. - 2017. - V. 20. - No. 1. - P. 1-9. https://doi.org/10.1134/S1029959917010015

10. Belyaev V.V., Naimark O.B. Localized blow-up structures in failure of solid under intensive loading // Sov. Phys. Dokl. - 1990. - V. 312. - No. 2. - P. 298-293.

11. Naimark O.B. Defect Induced Transition as Mechanism of Plasticity and Failure in Multifield Continua // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructures. - Boston: Birkhauser, 2004. - P. 75114.

12. Naimark O.B., Bayandin Yu.V., Zocher M.A. Collective properties of defects, multiscale plasticity, and shock induced phenomena in solids // Phys. Me-somach. - 2017. - V. 20. - No. 1. - P. 10-30. https://doi.org/10.1134/S1029959917010027

13. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. - Oxford: University Press, 1998.

14. Одинг И.А., Иванова В.С., Бурдукский В.В., Геми-нов В.Н. Теории ползучести и длительной прочности металлов. - М.: Металлургиздат, 1959.

15. Pelleg J. Mechanical Properties of Materials. -Dordrecht: Springer, 2013.

16. Зуев Л.Б., Данилов В.И., Горбатенко В.В. Автоволны локализованной пластической деформации // ЖТФ. - 1995. - Т. 65. - № 5. - С. 91-103.

17. Zuev L.B. Auto wave Mechanics of Plastic Flow // Multiscale Biomechanics and Tribology of Inorganic and Organic Systems. - Berlin: Springer, 2021. -P. 245-274.

18. Зуев Л.Б., Баранникова С.А., Лунев А.Г. Упруго-пластический инвариант деформации металлов // Усп. физ. мет. - 2018. - Т. 19. - № 4.- С. 379417.

19. Zuev L.B., Barannikova S.A. Autowave physics of material plasticity // Crystals. - 2019. - V. 9. -No. 458. - P. 1-30.

20. Cross M.C, Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. - 1993. -V. 65. - No. 3. - P. 851-1112.

21. Мищенко Е.Ф. Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: Физматлит, 2010.

22. Kolsky H. Stress Waves in Solids. - New York: Dover, 1963.

23. Caillard D., Martin J.L. Thermally Activated Mechanisms in Crystal Plasticity. - Oxford: Elsevier, 2003.

24. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т. III. - М.: Янус, 2001.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Физматлит, 2001.

26. Zuev L.B., Barannikova S.A. Quasi-particle approach to the autowave physics of metal plasticity // Metals. -2020. - V. 10. - P. 1-15.

27. Lebyodkin M.A., Zhemchuzhnikova D.A., Lebedki-naN.F., Aifantis E.C. Kinematics of formation and cessation of type B deformation bands during the Portevin-Le Chatelier effect in an AlMg alloy // Res. Phys. - 2019. - V. 12. - No. 5. - P. 867-869.

28. Kurdyumov S.P. Evolution and self-organization laws in complex systems // Int. J. Mod. Phys. - 1990. -V. 1. - No. 4. - P. 299-327.

29. Зуев Л.Б. Кристаллическое тело как универсальный генератор автоволн локализованной пластичности // Изв. РАН. Сер. физ. - 2014. - Т. 78. -№ 10. - С. 1206-1213.

30. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000.

31. Blaschke D.N., Motolla E., Preston D.L. Dislocation drag from phonon wind in an isotropic crystal at large velocity // Phil. Mag. - 2020. - V. 100. - No. 5. -P. 571-600.

Поступила в редакцию 21.05.2021 г., после доработки 26.08.2021 г., принята к публикации 26.08.2021 г.

Сведения об авторах

Зуев Лев Борисович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, 1bz@ispms.ru Хон Юрий Андреевич, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, khon@ispms.ru