О структуре резонансного множества вещественного многочлена

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 3.

УДК 512.6+004.421.6

О СТРУКТУРЕ РЕЗОНАНСНОГО МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННОГО МНОГОЧЛЕНА

А. Б. Батхин

Аннотация

Изучается резонансное множество вещественного многочлена, т. е. множество всех значений пространства коэффициентов, при которых вещественный многочлен имеет соизмеримые корни.

Резонансное множество многочлена может рассматриваться как некоторое обобщение дискриминантного множества последнего. Знание его структуры необходимо при исследовании резонансов вблизи положений равновесия динамической системы.

В работе предлагается конструктивный алгоритм построения полиномиальной параметризации резонансного множества в пространстве коэффициентов многочлена. Структура резонансного множества многочлена степени n описывается в терминах разбиения натурального числа n.

Основные алгоритмы, описанные в работе, реализованы в виде библиотеки в системе компьютерной алгебры Maple. Приведено описание резонансного множества кубического многочлена.

Ключевые слова: теория исключения, субрезультант, субдискриминант, резонансное множество, компьютерная алгебра.

Библиография: 12 названий.

ON THE STRUCTURE OF THE RESONANCE SET OF A REAL POLYNOMIAL

A. B. Batkhin (Moscow) Abstract

We consider the resonance set of a real polynomial, i.e. the set of all the points of the coefficient space at which the polynomial has commensurable roots. The resonance set of a polynomial can be considered as a certain generalization of its discriminant set. The structure of the resonance set is useful for investigation of resonances near stationary point of a dynamical system.

The constructive algorithm of computation of polynomial parametrization of the resonance

n

n

The main algorithms, described in the paper, are organized as a library of the computer algebra system Maple. The description of the resonance set of a cubic polynomial is given.

Keywords: elimination theory, subresultant, subdiscriminant, resonance set, computer algebra.

Bibliography: 12 titles.

1. Введение

Во многих прикладных задачах возникает ситуация, когда для некоторого вещественного многочлена f (x) необходимо сформулировать условия на его коэффициенты, при выполнении которых этот многочлен имеет соизмеримые корни. Так, например, условие целочисленной соизмеримости (кратности) корней характеристического многочлена матрицы линейной части уравнений движения вблизи положения равновесия выделяет в пространстве коэффициентов многочлена (или параметров уравнений движения) многообразия, на которых имеется резо-

f

кратности k > 1 является частным случаем описанной выше ситуации.

Эта статья продолжает исследования автора [1-3] по описанию структуры и построению параметрического представления дискриминантного множества D(fn) многочлена

fn

n-й степени с вещественными коэффициентами. Вещественное n-мерное пространство П = Rn

его коэффициентов a1,a2,... an, как и ранее, назовём пространством коэффициентов многочлена (1).

Определение 1. Пару корней ti, tj, i,j = 1,... ,n, i = j, многочлена (1) назовём p : q-соизмеримой, если ti : tj = p : q.

Замечание 1. Здесь и далее предполагаем,, чтор € Z\{0} q € N, т. е. исключаем случай, ti tj

другим, корнем.

p : q

пара q : р-соизмеримых корней. Следовательно, далее предполагаем,, что коэффициент соизмеримости р : q удовлетворяет условию \p/q\ ^ 1.

Определение 2. Резонансным множеством R(fn) многочлена fn(x) назовём множество всех точек пространства коэффициентов П, в которых fn(x) имеет хот,я бы пару p : q

рациональным, числом p/q € Q, соответствующее резонансное множество обозначим через

Rp:q(fn), т. е.

Rp:q(fn) = {P € П : 3i,j = 1,...,n,ti : tj = p : q}.

Цель данной работы — разработать конструктивный алгоритм вычисления параметрического представления всех компонент резонансного множества R(fn) приведённого вещественного многочлена fn(x).

Статья состоит из введения, трёх разделов и заключения. В разделе 2 формулируется условие на коэффициенты существования соизмеримых корней многочлена (1) в терминах обобщённых субдискриминантов, которые с точностью до множителя суть субрезультанты пары многочленов fn(px) и fn(qx). В разделе 3 дано описание иерархической структуры резонансного множества Rp:q(fn), указана связь этой структуры с задачей разбиения натурального n

жества и дано описание программной библиотеки для системы компьютерной алгебры Maple. В заключительном разделе 4 приведено описание резонансного множества кубического многочлена. Статья представляет собой сокращённый вариант препринта [4].

2. Условие p : g-соизмеримости корней многочлена fn

Пусть многочлен fn(ж) имеет пару p : q-соизмеримых корней. Это эквивалентно тому, что два многочлена fn(px) и f(qx) имеют общий корень, или, другими словами,

Resx(fn(px), fn(qx)) = 0, где Res x(g, h)—результант многочленов д(ж) и Л,(ж), вычисленный относительно переменной ж.

Определение 3. Пусть д(ж) = Пп=1(ж — ti), h(x) = Пт^ж — Ui) суть два приведённых многочлена степени n um, соответственно. Тогда, их результант относительно переменной ж вычисляется по формуле

n m

Res x(g,h) ^ П ü(ti — Uj). i=lj=i

Поскольку при p = q = 1 многочлены fn(px) и fn(qx) имеют n общих корней, то результант Resx(fn(px), fn(qx)) делится та множитель (p — q)n. В силу замечания 1, результант Resx (fn(px), fn(qx)) делится на свободный член an многочлена (1). Таким образом, указанный выше результант представим в виде

Res x(fn(px), fn(qx)) = an(p — q)n GDp:q(f), где GDp:q(fn) — введённый в [5,6] обобщённый дискриминанm многочлена fn(x).

Замечание 3. Термин обобщённый дискриминант выбран в связи с тем, что при стремлении коэффициента соизмеримости p : q ^ 1, GDp:q(fn) стремится к значению дискриминанта, D(fn) многочлена (1).

p : q

p : q

Определение 4. Цепочкой p : q-сош^ерм^ыж корней длины, к (кратко цепочкой корней) назовём отрезок длины, к геометрической прогрессии с основанием ti и знаменателем p/q, каждый член которой является корнем этого же многочлена. Основание прогрессии ti назовём порождающим, корнем соответствующей цепочки.

Замечание 4. Для того чтобы коэффициенты полиномиальных объектов (многочленов, субрезультантов, параметрических представлений компонентов резонансного множества Rp:q(fn) и др.) были представлены в виде многочленов, а, не рациональных функций от чисел p и q, будем в цепочке корней, длины к в определении 4 использовать величину qk-lti в качестве порождающего корня.

Резонансное множество Rp:q(fn) для каждого фиксированного коэффициента соизмеримости p : q состоит из конечного числа многообразий Vi, на каждом из которых многочлен fn(x) имеет l цепочек корней с различными порождающими корнями. Суммарная длина этих

n

Vi

fp:q

Пусть d = deg fp:q > 0, тогда корни многочлена fp:q(ж) дают информацию о соизмеримых корнях исходного многочлена (1): каждой цепочке корней длины к ^ d многочлена fp:q(ж) соответствует цепочка корней длины к + 1 многочлена ^(ж). Структуру корней многочлена удобно определить с помощью субрезультантов [7,8] пары многочленов ^^ж) и ^^ж).

Известно много методов вычисления результанта пары многочленов. Их обзор дан, например, в [2,7,9]. Здесь ограничимся методом Сильвестра.

Определение 5. Матрицей Сильвестра Бу1 \($,д) двух многочленов f (х) и д{х), для которых п = deg f (х) и т = degд(х), называется квадратная матрица, размера (п + т), строки которой суть векторы, составленные из коэффициентов многочленов

„т— 1

f (х),хт f (x),...,xf (х), f (х), д(х), хд(х),... ,хп д(х),хп д(х) в базисе хп+т—1,... ,х, 1.

Определение субрезультанта дадим с помощью иннора [10] матрицы Бу^(^,д).

Определение 6. Пусть Мп — квадратная матрица размера пхп. Тогда, матрица Мп—к, к < [п/2], полученная вычёркиванием, к крайних строк и столбцов с обеих сторон исходной, матрицы Мп, называется ее к-м иннором.

Определение 7. к-м субрезультантом Resik\f, д) многочленов f (х) и д(х) называется определитель к-го иннора матрицы Сильвест,ра, д).

Запишем матрицу Сильвестра Бу^(^(рх), ^(дх)) размера 2п х 2п для многочленов ^(рх) и ^(дх):

Sy1v(fn(px),fn(дx)) =

рп

а1 р

рп

0 0

п1

дп

дп а1 д

п1

ап-2Р ап-зр

а-п-1'р 2

ап-2'Р2

ап 0

ап-1'р ап

а1р а1д

п- 1 п1

а2'Р' а2д

п- 2 п2

азр азд

п—з ,п—3

ап-зд ап-2д

ап-2д ап-1д

2

ап-1д

ап

ап 0

0 0

0 0

а-п—1'р ап ап-1д ап

0 0

0 0

.

Матрица (3) имеет п — 1 нетривиальный субрезультант. Очевидно, что в силу её структуры, каждый из этих субрезультантов раскладывается на три множителя. Можно показать, что для к-го субрезультанта многочленов ^(рх) и ^(дх) имеет место следующее разложение

Ке^п(рх), Шх)) = (р — д)п-к(рд)к(п—к) с№Ш).

Определение 8. Назовём к-м обобщённым субдискрим,инантом 0&рк1(£п) многочлена £п(х) для коэффициента соизмеримости р/д третий нетривиальный, м,нож,ит,ел,ь в формуле (4).

Пусть многочлен ^(х) имеет цеп о чку р : д-соизмеримых корней длины к с порождающим корнем Ь, т. е. в силу замечания 4 он имеет вид

к-1

Мх)= и

г=0

Здесь многочлен и(х) степени п — к не имеет корней р : д-соизмеримых с Ь. Тогда

к-2

^п(рх) = и(рх)(рх — дк-1ь) рк-1 П (х — ргдк-2-г^ ,

г=о к—2

Шх) = и(дх)(дх — рк—1Ь) дк—1 П (х — ргдк—2—ч) .

г=о

0

п

р

п

д

Следовательно, многочлен /р:д из формулы (2) имеет цепочку р : ^-соизмеримых корней длины к — 1 с порождающим корнем ¿/д.

В силу приведённых выше рассуждений, а также теоремы 3.3 из [8], имеет место следующая

Теорема 1. Для того, чтобы deg /р:д(ж) = й, необходимо и достаточно, чтобы в последовательности г-ых обобщённых субдискриминантов СБр^(/п) первым отличным от нуля обобщённым субдискриминантом был субдискриминант СБр^/) с номером й.

Введём полиномиальные идеалы (/п), состоящие из первых I обобщённых субдискриминантов СБр'д (/п):

2р5 (/п) = {сБ« (/га),г = 0,...,1 — 1} .

Тогда согласно теореме 1 нули идеала (/п) образуют множество, на котором многочлен /п(ж) имеет в точн ости к < п различных цепочек р : д-соизмеримых корней.

3. Параметризация резонансного множества Яр:д

Множество (/п) состоит го алгебраических многообразий У размерностей I, 1 ^ I ^ ^ п — 1. Общее число этих многообразий, а также число различпых многообразий У, имеющих фиксированную размерность I, зависит от числа разбиений р(п) степени п многочлена /п(ж).

3.1. Число компонент резонансного множества

Напомним здесь основные определения, связанные с разбиением натуральных чисел; подробнее см. [2,11-13].

Определение 9. Разбиением Л натурального числа, п называется всякая конечная неубывающая последовательность натуральных чисел Л1 ^ Л2 ^    ^ Лк, для которой

к

Лг = п.

г=1

Каждое из разбиений запишем в виде Л = [1п12п2 3пз ... ], где пг — число повторений слагаемого г в разбиении, т. е. ^к=1 гпг = п.

п

р(п) п

в ¡13]).

• функция рк (п) задаётся числом всех разбиений п на к слагаемых.

• функция д(п) задаётся числом всех разбиений п на различные слагаемые (последовательность А000009 в [13]).

• Функция дк (п) задаётся числом всех ра збиений п на к различных слагаемых.

п п

Очевидно, р(п) = ^ рк(п) и д(п) = ^ 9к(п)-к=1 к=1

Рассмотрим разбиение Л = [1п12п2 ... гп ... ] натурального числа п. Величина г в разбиении Л задаёт длину цепочки р : д-соизмеримых корней для соответствующего порождающего корня ¿г, а п — число различных порождающих корней, задающих цеп очку корней длины г. Тогда

I = ^г пг есть число различных порождающих корней многочлена ^(х) для коэффициента

соизмеримости р/д и гпг = п. Любое разбиение Л числа п определяет некоторую струк-р : д

коэффициентов П некоторое алгебраическое многообразие V/, г = 1,... ,р1 (п), размерности I по числу различных порождающих корней ¿г. Число таких многообразий размерности I равно р1(п), а общее число многообразий всех возможных раз мерностей равно р(п) — 1, поскольку разбиению [1п] соответствует ситуация, когда все порождающие корни многочлена (1) задают цепочки корней длины 1, т. е. среди всех корней многочлена ^(х) нет ни одной пары р : д-соизмеримых корней.

Замечание 5. В силу того, что исходный многочлен (1) вещественный, комплексные корни его образуют, пары — сам комплексный корень Ьг и ему комплексно сопряжённый й. Если порождающий комплексный корень Ьг задаёт цепочку корней длины, к, то и сопряжённый ему корень Ьг задаёт, цепочку корней такой же длины, в которой каждый, корень является комплексно сопряжённым, соответствующему корню из цепочки корней, задаваемых корнем Ьг. Значит,, в разбиении Л, которое соответствует такой структуре корней, будет два равных слагаемых. Следовательно, на, алгебраическом многообразии У С П размерности I многочлен ^(х) имеет только вещественные корни, если соответствующее ему разбиение числа, п есть разбиение, состоящее из I различных слагаемых. Число т,аких разбиений для фиксированного I есть значение функции д1(п), а общее число компонент резонансного множества на которых все корни вещественны, задаётся функцией д(п).

3.2. Иерархическая структура компонент множества :д

п1

почка корней длины п, задаваемая порождающим (очевидно вещественным) корнем ¿1. Тогда многочлен ^(х) имеет вид

п-1

к

з=о

Здесь запись ^(х; Ь1) означает, что все корни многочлена (1) зависят от параметра Ь1. В

аг

члены [12,14] аг(х1,х2,..., хп), вычисленные на корнях вида (р/д)3¿1, ] = 0,... ,п — 1, соответствующей цепочки корней.

аг =

В силу однородности симметрических многочленов аг, коэффициенты аг являются степенными функциями степени г параметра ¿1.

Согласно теореме 1 в этом случае deg fp: д(х) = п — 1, т. е. в последовательности обобщённых субдискриминантов СБр^(^), г = 0,... ,п — 1, первый отличный от нуля обобщённый субдискриминант есть СВр'д 1) (£п). Следовательно, формулы (6) задают параметрическое представление нулей идеала Т^д 1). Эти нули представляют собой одномерное многообразие (кривую) Ур1' в пространстве коэффициентов П. Эта кривая не имеет особых точек, поскольку в силу её параметрического представления (6) аг ~ и, следовательно, производные (аг/(И1 одновременно в ноль не обращаются.

Рассмотрим следующую конструкцию. Выберем на кривой Ур1' пару точек, соответствующих значениям параметра ¿1 = 0 и (р/д) — 111, и проведём через них прямую. Покажем, что на этой прямой многочлен ^(х) имеет одну цеп очку р : д-соизмеримых корней длины п — 1 и одну

цепочку корней длины 1, т.е. простой корень. Действительно, рассмотрим вспомогательный многочлен

„

¿1

Тогда с учётом формулы (5) получим, что д(ж; «1, V) =

Выбирая

. n-ь . pn - gnS п n 2 ж — p' 1tl + v

p

п [ж — pqn-1-jti] j=0

p

V = -

pn — qn

n-2

получим, что ti, ¿2) = (ж — ¿2) П [ж — Pjqn-1-jti]. Очевидно, что структура корней в этом

j=0

случае соответствует разбиению [11(n — 1)1].

Таким образом, коэффициенты вспомогательного многочлена (7) задают в пространстве П многообразие V2, представляющую собой линейчатую поверхность. Он образована секущими, которые пересекают кривую V1 в точках, соответствующих таким значениям ¿1 и ¿1 параметра ¿1, что t2/t1 = p/q. При p/q ^ 1 эта линейчатая поверхность превращается в касательную развёртывающую поверхность, параметризация которой задаётся формулой (3.6) из [2].

Описанную выше процедуру теперь можно повторить для многообразия V2 и получить параметрическое представление части многообразия V3, на котором имеется цепочка корней длины n — 2 и пара простых корней, т. е. ему соответствует разбиению [12(n — 2)1]. Продолжая последовательно эту процедуру в итоге придём к параметрическому представлению многообразия Vn-1 наибольшей размерности. На нём имеется одна цепочка p : q-сиизмеримых корней длины 2, а остальные корни простые, т.е. ему соответствует разбиение [1„-221]. Очевидно, что в силу замечания 5, полученная параметризация описывает только ту часть многообразия Vi, 3 ^ l < n, на котором все корни многочлена (1) вещественные.

3.3. Алгоритм построения параметризации многообразий Vi

Рассмотрим конструктивную процедуру вычисления параметрического представления многообразий Vi для всех знач ений l = 1,..., n — 1 и i = 1,... ,pi(n).

Теорема 2. Пусть в пространстве П имеется многообразие Vi, dim Vi = l, на котором многочлен (1) имеет l различных цепочек p : q-соизмеримых корней, причём цепочка, корней с порождающим, корнем ¿1 имеет дл,ину m > 1. Другие l — 1 корней не являются p : q-соиз-меримыми с корням,и первой цепочки. Пусть ri (¿1,..., ¿i) — параметризация многообразия Vi, тогда

ri

задаёт, параметризацию части многообразия Vi+1; на котором имеется цепочка, корней длины m — 1 с порождающим ¿1, простой корень ¿i+ь а остальные цепочки корней т,акие же, как на исходном, многообразии Vi.

Доказательство. В силу условия теоремы многочлен /„(ж) на многообразии Vi фактори-зуется следующим образом:

" -1

/„

j=0

где многочлен и(х) не имеет корней р : д-соизмеримых с корнями цепочки, порождённой Рассмотрим вспомогательный многочлен д(х;... ,ь), коэффициенты которого непрерывно зависят от параметров ,... ,у следующим образом

Подставляя выражение для /п

рт—1 _ ,.т-1

I т— 1л. I р д

х — р Ч1 + V—

р

т-2

X П (х — Рдт1-24дЬ).

3=0

Полагая теперь

р

V =

получаем

рт — дт

т- 2 ( ) д(х; Ь,..., и+1) = и(х; 12,..., к )(х — ^+1) ^ (1 — Р дт-2-3 д^) .

3=0

Таким образом, многочлен д(х; Ь1,..., и+1) имеет цепочку корней длины т — 1 с порождающим к 1, один простой корень Ь[+1 и остальные п — т корней такие же, как у многочлена /п(х). Следовательно, формула (8) параметризует ту часть многообразия Уг+1, на которой многочлен /п(х) имеет описанную выше структур у корней.

Замечание 6. Пусть один из корней, например и1; многочлена, и(х) в условии теоремы 2 простой, т.е. и(х) = (х — и^и^х). Тогда, на, части многообразия исходный, многочлен имеет пару комплексно сопряжённых корней. Чтобы получить параметрическое представление этой части многообразия, \>г+1, следует, сделать следующую зам,ему параметров:

Ъ+1 ^ VI + т2, и1 ^ VI — т2.

Эта замена параметров приведёт, к тому, что многочлен ¡п(х) на, части многообразия \>г+1, где есть пара комплексно-сопряженных корней, можно представить в виде

т-2

¡п

3=0

Если поменять знак перед слагаемым V| в правой части формулы (10), то получим факторизацию многочлена ¡п (х) на, той части м,н,огообра,зия \>г+1, где имеется пара прост,ых вещественных корней v1 ± v2. Таким, образом,, для получения параметризации всего многообразия \>г+1 следует, использова,т,ь подстановку

к+1 ^ VI + и1 ^ VI —

которая, в итоге, позволит, записать многочлен ¡п(х) на, всем, многообразии \>г+1 в виде

( ) т- 2 [ ]

1п(х) = ((х — VI)2 + V2) и(х) П [1 — Рдт-2-3и] .

3=0

Также, как это было сделано в [2,3], введём три основные операции, которые позволят последовательно перейти от параметрического представления одномерного многообразия VI к параметризации всех других компонентов резонансного множества ~Я.р:д(/п).

1. Назовём операцию перехода от многообразия Vi к многообразию Vi+1 в теореме 2 «ПОДЪЕМ». Эта операция позволяет перейти к многообразию, размерность которого на единицу больше размерности исходного. Если на нём многочлен (1) имеет только вещественные корни, то получим полную параметризацию этого многообразия, если имеются комплексные корни, то применим следующую операцию.

2. Операцию, основанную на замене (11) в замечании 6, назовём «ПРОДОЛЖЕНИЕ». Эта операция позволяет получить параметризацию всего многообразия Vi+1, полученного в результате операции «ПОДЪЕМ» в случае, когда на последнем имеются комплексные корни.

3. Если на многообразии Vi+1 многочлен /„(ж) имеет пару различных цепочек корней одинаковой длины fc, то можно перейти к многообразию Vi, на котором имеется цепочка корней удвоенной длины 2k. Такую операцию назовём «СПУСК». Если после этого перехода на многообразии Vi имеется пара корней одинаковой кратности, то для них следует выполнить процедуру «ПРОДОЛЖЕНИЕ».

Опишем алгоритм получения параметрического представления алгебраических многообразий V/, l = 1,..., n — 1, i = 1,... ,pi (n), составляющих резонансное м ножество Rp:q (/„).

V1

мулам (6).

и п V21

ветствующего разбиению [11(n — 1)1].

и п V31

которое соответствует разбиению [12(n — 2)1]. Поскольку на этом многообразии имеется пара простых корней, то следует применить операцию «ПРОДОЛЖЕНИЕ». В итоге

V31

4. Применяя к последней параметризации операцию «СПУСК», получаем параметрическое представление многообразия V|, на котором корни многочлена /„(ж) соответствуют разбиению [21(n — 2)1].

5. Последовательно комбинируя операции «ПОДЪЁМ», «ПРОДОЛЖЕНИЕ» и «СПУСК», получим параметрическое представление всех компонент резонансного множества

Rp:q (/„ )•

Утверждение 1. Резонансное множество Rp:q(/„) вещественного многочлена /„(ж) для

p : q

зацию.

3.4. Программная реализация

Для организации вычисления резонансного множества Rp:q(/„) в системе компьютерной алгебры Maple был реализован набор процедур, из которых скомпонована программная библиотека ResonanceSet. Библиотека расширяет возможности другой библиотеки SubDiscrim, ориентированной на работу с дискриминантным множеством многочлена D(/„) и описанной в [2,3].

В состав библиотеки вошли следующие процедуры:

• GDiscrim — для вычисления k-го обобщённого субдискриминанта GBp^/^) многочлена /„(ж) для фиксированного коэффициента со измеримости p : q.

• МкРат! — для вычисления параметрического представления многообразия V.

• РгосИр — для реализации процедуры «ПОДЪЕМ» (см. п. 1 на стр. 13).

• РгосСоггЬ — для реализации процедуры «ПРОДОЛЖЕНИЕ» (см. п. 2 на стр. 13).

• РгосОоип — для реализации процедуры «СПУСК» (см. п. 3 на стр. 13).

Каждая из процедур реализована в двух вариантах. Первый вариант предназначен для вычислений при целом коэффициенте соизмеримости, второй — при рациональном. Библиотека 11езопапсеЗе1 будет доступна по адресу http://keldvsh.ru/batkhin/ResonanceSet.zip после завершения тестирования. Все вычисления в разделе 4 проводились с использованием библиотеки НеБопапсеЗе-Ь.

4. Резонансное множество кубики

В качестве примера рассмотрим структуру резонансного множества кубического многочлена

/з = х3 + а'Ж2 + а2х + аз.

Он имеет два обобщённых субдискриминанта

ссР'](/з) = «2 + (р2 + рд + <?2)а1аз - (р + д)2а2, СВ(°)(/з) = р2д2 (р + д)2 а?аз - дзрза2а2-

- рд (р2 + рд + д2) (р2 + 4рд + д2) а1а2аз+ + р2д2 (р + д)2 а3 + (р2 + рд + д2)3 а2.

Резонансное можгао (/з) состоит из двух компонент У1 и соответствующих разбиениям [31] и [1121]. Их параметризации суть

У1 : {«1 = -

У2 : {а1 = -

Поскольку на многообразии У1 нет комплексных корней, то У1 С У2-

Геометрически множество (/з) представляет собой линейчатую развёртывающую поверхность (14) со скрученной кубикой (13) в качестве направляющей. Эта поверхность самопересекается по своей направляющей, которая является множеством особых точек поверхности и показана на рис. 1 для значения коэффициента соизмеримости р : д = 7.

Поскольку на многообразии У2 кубика (12) имеет только вещественные корни, то поверхность (14) не пересекается с дискриминантной поверхностью Р(/з), которая делит пространство коэффициентов кубики на две области с разным числом вещественных корней. Поверхности (/з) и £>(/з) касаются друг друга вдоль пары кривых, на которых третий корень совпадает с одним из пары соизмеримых корней. Наконец, отметим, что поверхность (14) делит пространство коэффициентов П на области, в каждой из которых попарное отношение всех корней имеет свою структуру.

5. Заключение

Резонансное множество ^(/га) многочлена /п(х) может рассматриваться как некоторое обобщение дискриминантного множества ^(/га) для случая, когда отношение пары корней

Рис. 1: Резонансное множество Rp:q(/3) для p : q = 7:1.

равно некоторому числу. Резонансное множество состоит из конечного набора алгебраических многообразий размерностей от 1 до n — 1, число которых определяется числом p(n) разбиений степени n многочлена /п(ж). Каждое из этих многообразий выделяется соответствующим идеалом, состоящим из обобщенных субдискриминантов, и допускает полиномиальную параметризацию.

Результаты работы могут быть применены к решению проблемы формальной устойчивости [15] положения равновесия системы Гамильтона с числом степеней свободы больше двух.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Батхин А. Б. Структура дискриминантного множества вещественного многочлена /7 Че-бышевский сборник (Тула). 2015. Т. 16, №2. С. 23 34.

2. Батхин А. Б. Параметризация дискриминантного множества вещественного многочлена /7 Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2015. №76. 36 с. URL: http://www.keldysh.ru/papers/ 2015/prep2ül5_76.pdf.

3. Батхин А. Б. Параметризация дискриминантного множества вещественного многочлена /7 Программирование. 2016. Т. 42, №2. С. 14 27.

4. Батхин А. Б. Структура резонансного множества вещественного многочлена /7 Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016.№ 29. 23 с. DOI: http://dx.doi.org/10.20948/prcpr-2016-29 URL: http://www.kcldysh.ru/papcrs/2012/prcp2016_29.pdf.

5. Батхин А. Б. Нелинейная устойчивость системы Гамильтона по линейному приближению /7 Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2012. №33. 24 с. URL: http://www.kcldysh.ru/ papcrs/2012/prep2ül2_33.pdf.

6. Батхин А. Б. Выделение областей устойчивости нелинейной системы Гамильтона /7 Автоматика и телемеханика. 2013. Т. 8. С. 47 64.

7. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. 72 с.

8. Basu S., Pollack R., Roy M.-F. Algorithms in Real Algebraic Geometry. Algorithms and Computations in Mathematics 10. Berlin Heidelberg New York : Springer-Verlag, 2006. ix+662 p.

9. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. \!.. 1979. 304 с.

10. Gathen, J. von zur, Luiicking Т. Subresultants revisited // Theoretical Computer Science. — 2003. - Vol. 297, 1-3. - Pp. 199-239. - DOI: 10.1016/S0304- 3975(02)00639-4.

11. Эндрюс Г. Теория разбиений. М. : Наука, 1982. 256 с.

12. Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. М. : Мир, 1985. 222 с.

13. Sloane N. The on-line encyclopedia of integer sequences. 2015. URL: http://oeis.org.

14. Прасолов В. В. Многочлены. М. : МЦНМО, 2014. 336 с.

15. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian Systems // Comm. Pure Appl. Math. 1958. Vol. 11, No 1. P. 81-114.

REFERENCES

1. Batkhin, A. B. 2015, "Structure of discriminant set of real polynomial" // Chebvshevskii Sb. (Tula). Vol. 16, no. 2. P. 23-34. (in Russian). URL:http://mi.mathnet.ru/eng/cheb/vl6/i2/p23

2. Batkhin, A. B. 2015, "Parametrization of the discriminant set of a real polynomial" // No. 76. Moscow : Keldvsh Institute preprints, (in Russian). URL: http://www.keldvsh.ru/papers/ 2015/prep2015_76.pdf.

3. Batkhin, A. B. 2016, "Parameterization of the Discriminant Set of a Polynomial" // Programming and Computer Software. Vol. 42, no. 2. Pp. 65- 76.

4. Batkhin, A. B. 2016, Structure of the resonance set of a real polynomial. No. 29. Moscow: Keldvsh Institute preprints, (in Russian). URL: http://www.keldvsh.ru/papers/2012/ prep2016_29.pdf

5. Batkhin, A. B. 2012, Non-linear stability of the Hamiltonian system, on linear approximation. No. 33. Moscow : Keldvsh Institute preprints, (in Russian). URL: http://www.keldvsh.ru/ papers/2012/prep2012_33.pdf

6. Batkhin, A. B. 2013, "Segregation of stability domains of the Hamilton nonlinear system" // Automation and Remote Control. Vol. 74, no. 8. Pp. 1269-1283.

7. Kalinina, E. A. k, Uteshev, A. Yu. 2002, Elimination theory, Izd-vo N11 Khimii SPbGU, Saint-Petersburg.

8. Basu, S. k, Pollack, R. k, Roy, M-F. 2006, Algorithms in Real Algebraic Geometry, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York.

9. Jury, E. 1974, Inners and stability of dynamic system,s. John Wiley and Sons.

10. Gathen, J. von zur, Luiicking T 2003, Subresultants revisited // Theoretical Computer Science. Vol. 297, 1-3. Pp. 199-239. DOI: 10.1016/S0304-3975(02)00639-4.

11. Andrews, G. 1998, The Theory of Partitions. Cambridge University Press, 1998.

12. Macdonald, I. A. 1998, Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford University Press.

13. Sloane N, 2015, The on-line encyclopedia of integer sequences. URL: http://oeis.org.

14. Prasolov, V. V., 2004, Polynomials. Berlin Heidelberg : Springer. Vol. 11 of Algorithms and Computation in Mathematics.

15. Moser, J. 1958, "New aspects in the theory of stability of Hamiltonian Systems" // Comm. Pure Appl. Math. Vol. 11, No 1. P. 81-114.

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. Получено 4.06.2016 г. Принято в печать 13.09.2016 г.