Стабилизация линейных стационарных систем по состоянию

СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕИНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

ПО СОСТОЯНИЮ

А.А. Бобцов, М.Б. Гурбашков 1. Введение

Задача стабилизации линейных стационарных систем по состоянию является хорошо изученной. Однако проблема управления в условиях неопределенности параметров продолжает волновать умы специалистов по теории автоматического регулирования и по сей день. В настоящее время получено множество решений, как в классе задач адаптивного [1-4], так и в классе задач робастного управления [4]. Как правило, полученные алгоритмы либо достаточно сложны в реализации [4-5], либо преследуют решение локальной задачи, например, регулирование выхода [4-6], либо математические модели объектов имеют некоторую фиксированную структуру относительно входящих в нее неопределенностей [7].

Результаты предлагаемой статьи не претендуют на универсальность и общность, а лишь расширяют класс подходов управления линейной системой в условиях неопределенности ее параметров. В работе рассматривается линейный стационарный объект, переменные состояния которого подлежат измерению. Предполагая, что ряд несложных предположений выполнен, выбирается закон управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость по всем переменным объекта, но не по переменным его регулятора.

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейный стационарный объект управления вида:

х = Ах +

г=1

где х е Я" - вектор переменных состояния доступный измерениям, 0г. - неизвестный постоянный параметр, А , Д и В - известные числовые матрицы, и - управление.

Предполагая, что система (1) полностью управляема, требуется выбором управления и обеспечить асимптотическую устойчивость положения равновесия х = 0.

3. Синтез алгоритма управления

Для повышения уровня читабельности предлагаемого ниже материала, рассмотрим модель системы (1) для случая I = 1. Тогда уравнение (1) примет вид:

х = Ах + е Дх + Ви ,

где пара (( + в Д, В) - полностью управляема для любых значений в .

Выберем управление и в следующем виде:

и = - ВВтРх,

где матрица Р = Рт > 0 является решением матричного уравнения Риккати вида:

АтР + РА + 0

где 0 - настраиваемый параметр, функция а > 0 выбирается из следующего условия:

Яе X , {аI + А + 0 Д} > 0.

Именно условие (5) обеспечивает наряду с полной управляемостью пары (( + вД,В) существование положительно определенного решения уравнения (4) [8].

Для настройки параметра 0, воспользуемся следующей вычислительной процедурой:

0 = 2 xT

где коэффициент у > 0 влияет на скорость изменения параметра 0 .

Допущение. Предположим, что существует малый коэффициент у > 0, такой

что величина 0 незначительна и для производной по матрице P выполнено условие:

pP -P > 0,

где число p > 0 .

Основной результат предлагаемой работы сформулирован в следующей теореме. Теорема. Пусть пара (D + ß D, B) - полностью управляема для любых значений ß . Пусть допущение выполнено, тогда существует малое положительное число у такое, что закон управления (3) при выполнении условия (5), обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия x = 0.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова вида:

V = xTPx + 02/ у,

где 0=0 — ee - параметрическая невязка.

Дифференцируя уравнение (7), получаем:

V = xTPx + 20 0 / у + xT (ATP + PA + 0(DTP + PD) — 2PBBP)x. (8) Из уравнения (4) находим:

ATP + PA — PBBP = —2a P — 0

и, подставляя в (8), имеем следующее неравенство:

V < xTPx + 20 0 / у + xT

Учитывая, что 0 = 0 — 0 и 0 = 0 — 0 = —0 для выражения (10), получаем:

V < xTPx — 0 xT (dtP + PD)x + xT (—2aP + 0(DTP + PD))x =

= xTPx — 2a xTPx .

Предположим, что коэффициент у выбран таким, что скорость изменения

- • dP & дР .

параметра 0 незначительна и матрица Р = -г-0 +--a мала (см. допущение). Тогда,

д0 da

найдется такое a, что для неравенства (11) будет выполнено:

V& <—5 xTPx < 0,

где число 5 > 0.

Из неравенства (12) следует, что положение равновесия x = 0 устойчиво по

Ляпунову, вектор x - ограниченный и квадратично интегрируемый, а сигнал 0 -

ограничен. Ограниченность x и 0 обеспечивает ограниченность правой части дифференциального уравнения (2) с законом управления (3). Последнее, гарантирует выполнение следующего условия: lim x(t) = 0,

что наряду с устойчивостью по Ляпунову положения равновесия x = 0, обеспечивает также и его асимптотическую устойчивость.

Замечание 1. Следует отметить, что выбор параметра у представляет собой отдельную задачу, решение которой не имеет места в рамках предлагаемой работы.

Замечание 2. Выбор параметра a, удовлетворяющего условию (5), может производиться из следующих соображений:

a = a0 +

где число а0 выбирается из условия:

Яе X г {а01 + А + 00 Д} > 0.

Заключение

Результаты предлагаемой статьи не претендуют на универсальность и общность, а лишь расширяют класс подходов управления линейной системой в условиях неопределенности ее параметров. В работе рассматривается линейный стационарный объект, переменные состояния которого подлежат измерению. Предполагая, что ряд несложных условий выполнен, выбирается закон управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость по части переменных состояния системы, а именно по всем переменным объекта, но не его регулятора.

Литература

1. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М. Наука, 1981.

2. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л., Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МАТЬАБ. СПб.: Наука, 1999.

4. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными механическими системами. СПб.: Наука, 2000.

5. Никифоров В.О. Робастное управление линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9.

6. Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой. Обзор // Автоматика и телемеханика. 1994. №9.

7. Бобцов А.А., Лямин А.В., Сергеев К.А. Синтез закона адаптивного управления для стабилизации не точно заданных нестационарных объектов // Изв. Вузов Приборостроение. - 2001. - №3.

8. Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ие, 1989.