Исследование предельного среднеквадратичного отклонения рабочей поверхности зонтичной антенны от параболоида вращения

УДК 539.3

А. В. Лопатин, М. А. Рутковская

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗОНТИЧНОЙ АНТЕННЫ ОТ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрена математическая модель рабочей поверхности антенны зонтичного вида для двух вариантов упругих параметров сетеполотна. В первом варианте сетеполотно имеет нулевую жесткость в направлении меридиана, а во втором - нулевую жесткость в окружном направлении. Получены аналитические зависимости, позволяющие оценить предельные среднеквадратичные отклонения поверхности зонтичной антенны от параболоида.

При проектировании зонтичной антенны значительную роль играет оценка точности рабочей поверхности, которую образует сетеполотно, натянутое на радиальные ребра. Материал сетеполотна гибок, является упругим и после раскрытия и натяжения антенны формирует отражающую поверхность.

Сетеполотно, натянутое на два смежных ребра, образует лепесток антенны. Профиль ребра представляет собой параболу, а поверхность, проходящая через все ребра, является параболоидом вращения. Реальная рабочая поверхность лепестка антенны имеет седлообразную форму, т. е. по меридиану она выпукла, а по окружности - вогнута.

В качестве критерия точности реального профиля антенны рассматривается среднеквадратичное отклонение рабочей поверхности антенны от параболоида вращения, которое является одним из критериев совершенства поверхности антенны, характеризующим ухудшение свойств поверхности сетеполотна при его натяжении. Определение среднеквадратичного отклонения было выполнено в работах [1.. .4], и в качестве модели сетеполотна в этих исследованиях рассматривалась мембрана, деформирование которой описывалось уравнением Лапласа.

В данной статье определение среднеквадратичного отклонения выполняется без анализа напряженно-деформированного состояния сетеполотна. Рассматривается модель отражающей поверхности антенны для двух предельных вариантов упругих параметров сетеполотна. В первом сетеполотно имеет нулевую жесткость в направлении меридиана, а во втором - нулевую жесткость в окружном направлении.

Пусть теоретический профиль антенны (рис. 1) определяется уравнением параболоида

z = ~т(х + y ),

лись под углом ф = 2п / п, где п - количество ребер антенны.

Рис. 2. Лепесток антенны, сетеполотно которого имеет нулевую жесткость в радиальном направлении

Параболоид является двояковыпуклой поверхностью, поэтому наилучшее приближение параболоида достигается в случае, когда кривизна сетеполотна в окружном направлении равна нулю. Иными словами, идеальным является сетеполотно, которое имеет нулевую жесткость вдоль меридиана параболоида. Очевидно, что в этом случае реальная поверхность лепестка антенны будет образована прямыми, параллельными плоскостям xOy и xOz и соединяющими ребра жесткости (см. рис. 2). Поверхность лепестка является параболическим цилиндром. Сечение этого цилиндра плоскостью xOz представляет собой параболу

z = ky2,

где к - неизвестный параметр. При z = с, y = r cos ф / 2. Тогда для параметра к будем иметь

k =^4----------,

r2 cos2 ф/2 ’ Подставляя (3) в (2), получим

- С :У2.

где с - высота параболоида; г - внешний радиус параболоида.

r2 cos2 ф/2

Уравнение (4) определяет поверхность лепестка антенны для случая, когда сетеполотно имеет нулевую жесткость в радиальном направлении (рис. 3).

Определим среднеквадратичное отклонение поверхности лепестка антенны (4) от поверхности параболоида (1) следующим функционалом:

i rs a D

S í í

Рис. 1. Теоретический профиль антенны

Расположим на параболоиде два радиальных ребра жесткости симметрично относительно оси Оу (рис. 2) так, чтобы проекции ребер на плоскость хОу пересека-

СУ

---

dxdy .

r2 cos2 ф/2

Где S = r2 sin ф / 2 cos ф / 2 - площадь проекции поверхности лепестка на плоскость xOy; a = r cos ф / 2, b = y tg ф / 2. Выполняя в (5) интегрирование и необходимые преобразования, получим

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

2л/2

Г c sin

Ф

1 Зл/5 2

Уравнение (6) определяет среднеквадратичное отклонение поверхности антенны от параболоида для случая, когда сетеполотно обладает жесткостью только в кольцевом направлении. Отметим, что полученное значение w1 - это предельное, не улучшаемое среднеквадратичное отклонение для параболической антенны зонтичного типа.

1 +

/ Фч, • Фч

2 • Ф Ф r sin—cos

,

2 2

Уравнение (9) описывает форму поверхности лепестка антенны для случая, когда сетеполотно имеет нулевую жесткость в окружном направлении (рис. 5).

Рис. 3. Антенна, сетеполотно которой имеет нулевую жесткость в радиальном направлении

Рассмотрим второй предельный вариант упругих параметров сетеполотна. Будем полагать, что материал се-теполотна имеет нулевую жесткость в окружном направлении. Соединим внешние концы ребер антенны в раскрытом состоянии хордой (рис. 4). Поверхность лепестка антенны в этом случае будет образована отрезками прямых, соединяющих ребра с хордой и расположенных в плоскостях параллельных плоскости yOz.

Рис. 5. Антенна, сетеполотно которой имеет нулевую жесткость в окружном направлении

Определим среднеквадратичное отклонение поверхности лепестка антенны (9) от поверхности параболоида (1) в виде функционала

1 +

/- Ф^  Фч

2  Ф Ф

г 2 sin—cos —

2 2

-^

dxdy .

Здесь по-прежнему S = r2sin ф / 2cos ф /2 - площадь проекции поверхности лепестка на плоскость xOy, a = r cos ф / 2, b = y tg ф / 2. После преобразований будем иметь

22 - 37 cos2 Ф + 16cos4 — .

Ф

2

Рис. 4. Лепесток антенны, сетеполотно которого имеет нулевую жесткость в окружном направлении

Получим уравнение поверхности лепестка. Из-за симметрии поверхности относительно плоскости yOz будем рассматривать только половину лепестка, т. е. область, у которой x > 0. Для вывода уравнения поверхности воспользуемся каноническим уравнением произвольной прямой AB, проходящей через две точки:

У-К. = JZ-Zl,

У2 - У Z2 - Z1

гдеyp zx - координаты точки A, лежащей на стержне, соединяющем концы ребер, y2, z2 - координаты точки B,

лежащей на ребре. В случае, представленном на рис. 4,

2

Ф + Ф Х п * 2 Фч /о\

У1 = x cos , у2 = xctg^, Z1 = С, Z2 = c—(1 + ctg -Ь). (8) 2 2 r 2

Подставляя (8) в (7), найдем

2 3<s/ÍÓ\ 2

Уравнение (11) определяет максимальное (наихудшее) среднеквадратичное отклонение поверхности антенны от параболоида для случая, когда сетеполотно обладает жесткостью только в радиальном направлении.

Проведем анализ формул (6) и (11). Учитывая, что ф / 2 = п / n, где n - число ребер, запишем уравнения (6) и (11) в следующем виде:

2V2 . 2 п

W, =---!= С sin — ,

3V5 n

22 - 37 cos2 П +16 cos4 —.

.

З>Д0 \ п п

По выражению (12) следует, что при п ^ величина w1 ^ 0, а с / (Зл/1о). 3начения относительных отклонений м1 / с и w2 / с для различных п приведены в таблице и на рис. 6, где число ребер п рассматривалось как непрерывная переменная.

Таким образом, в данной статье определены границы среднеквадратичного отклонения отражающей поверхности антенны от параболоида вращения. Очевидно, что отклонение поверхности реальной антенны будет находиться между предельными среднеквадратичными отклонениями. Анализ полученных результатов позволяет так-

же сделать вывод о том, какие упругие параметры должно иметь сетеполотно антенны. Минимальное отклонение может быть получено тогда, когда материал сетепо-лотна обладает ярко выраженной ортотропией упругих характеристик: нити основы тканого сетеполотна долж-

ны располагаться в окружном направлении, а нити утка - в радиальном. Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для анализа отклонений рабочей поверхности сетеполотна на этапе эскизного проектирования зонтичной антенны.

n w1 / с w2 / с n w1 / с w2 / с

6 0,105 409 0,190 029 22 0,008 540 0,110 947

8 0,061 747 0,151 854 24 0,007 183 0,110 042

10 0,040 263 0,134 303 26 0,006 126 0,109 343

12 0,028 244 0,125 021 28 0,005 286 0,108 791

14 0,020 878 0,119 574 30 0,004 607 0,108 348

16 0,016 048 0,116 117 32 0,004 051 0,107 987

18 0,012 714 0,113 789 34 0,003 590 0,107 689

20 0,010 318 0,112 148 36 0,003 203 0,107 440

Библиографический список

1. Бараов, А. X. О предельной точности рабочей поверхности параболической антенны зонтичного типа / А. X. Бараов, Б. Н. Соколов // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 138-142.

2. Механика больших космических конструкций / Н. В. Баничук, И. Н. Карпов, Д. П. Климов и др. М. : Изд-во «Факториал», 1997. 302 с.

Рис. 6. Влияние числа ребер на относительные отклонения

3. Соколов, Б. Н. Оптимизация формы поверхности анизотропной пленки / Б. Н. Соколов // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №» 5. С. 185-186.

4. Гряник, М. В. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа / М. В. Гряник, В. И. Ломан. М. : Радио и связь, 1987. 71 с.

A. V. Lopatin, M. A. Rutkovskaya

THE ANALYSIS OF THE LIMITING STANDARD DEVIATION OF THE WORKING SURFACE OF THE UMBRELLA ANTENNA FROM THE PARABOLOID OF REVOLUTION

Analysis of the limiting standard deviation of the working surface of the umbrella antenna from the paraboloid of revolution is performed in the present paper.