Закономерности каскадов бифуркаций сингулярных аттракторов в некоторых системах скрытой передачи информации

ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 621.391, 681.3, 519.86

ЗАКОНОМЕРНОСТИ КАСКАДОВ БИФУРКАЦИЙ СИНГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ В НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ СКРЫТОЙ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

И.Е. Агуреев, К.И. Агуреев, Н.С. Пастухова

Рассмотрены закономерности каскадов бифуркаций в некоторых автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, используемых для формирования на их основе систем скрытой передачи информации. Эти закономерности заключаются в проявлении свойств мультиаттракторности и наличия контрастных структур за пределами положений теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

Ключевые слова: нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор, хаотическая синхронизация, система скрытой передачи информации.

В работах [1-2] развиты основы нового подхода к теории динамического хаоса, который вкратце заключается в единственности и универсальности сценария перехода к хаосу через каскады бифуркаций Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ). При этом наличие динамического хаоса в системах обусловлено исключительно присутствием в системах так называемых сингулярных аттракторов. В работах [3-9] построены и исследованы некоторые диссипативные системы, демонстрирующие сложное динамическое поведение. Были обнаружены целые семейства топологически разных простых сингулярных предельных циклов, являющихся началом каскадов бифуркаций ФШМ, приводящих к появлению более сложных сингулярных циклов, содержащих траектории, стремящиеся к гетерокли-ническим и гомоклиническим контурам. Эти сложные сингулярные циклы демонстрируют переходы к хаосу и некоторые типы поведения, имеющие скачки, всплески, которые названы контрастными структурами [10]. В результате, за пределами каскадов ФШМ, в некоторых диссипативных системах эволюция аттракторов может приводить к возникновению контрастных аттракторов, то есть таких, которые содержат соответствующие структуры в поведении. Кроме того, найдено, что в параметрических пространствах, судя по всему, могут существовать бесконечные множества тополо-

гически эквивалентных простых сингулярных предельных циклов, демонстрирующих сложную эволюцию через каскады ФШМ к контрастным аттракторам. Если же в системе имеются преобразования симметрии, то типы динамического поведения соответственно умножаются.

В публикациях [11-23] рассмотрены различные современные аспекты, касающиеся топологий, эволюции и классификации хаотических траекторий. В работах Спротта, Лю, Чена и др. [18-23] обсуждаются вопросы существования хаотических режимов в наиболее простых по виду системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Устанавливаются связи между известными системами Лоренца и Чена, исследуется вопрос существования различных по топологии нерегулярных аттракторов в одной и той же системе.

Установлено, что многие из систем могут являться предметом исследований с точки зрения поиска условий хаотической синхронизации. Предлагаются различные схемы генераторов, соответствующих тем или иным динамическим моделям. Подобные исследования могут иметь приложения в технологиях скрытой передачи информации (стенографии) [24, 25].

Анализ некоторых автономных диссипативных систем. В настоящей работе рассматриваются закономерности каскадов бифуркаций, которые могут происходить в трехмерных гладких автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с нелинейностями правых частей порядка не выше 2:

х = — ^2 у - ^3,

у = к4 х — к5 г,

22 г = кб х — к7 у + к8 у + к9 ху + кю г — к ^,

х

к1г

к 2 уг;

у = кз х - к4 у - к5 ху; г = -к6 х - к7 г + к8 ху + к9

2

х = к1 х + к2 у + к3 г + к4 хг + к5 уг + к6 г + к7;

2

у = к8 хг + к9 уг + к10 г + к11 г; г — кі2х + кіз у + кі4.

.2.

х = к1 у + к2 г — к3 хг + к4 уг — к5 г ;

у = —кб у — к7 хг + к8;

г = —к9 х — к10 г + кпху + к12 хг — к13 уг + к14.

Перечисленные системы были разработаны автором публикаций [3, 4] в качестве моделей для описания различных транспортных процессов и

систем. При их численном исследовании [5-8] обнаружилось сложное поведение, которое представляет самостоятельный интерес с точки зрения классификации нелинейного поведения в подобных системах. Было замечено, что системы (1)-(4) пригодны для изучения явления хаотической синхронизации, что делает возможной постановку задачи математического моделирования различных схем скрытой передачи информации (СПИ) [9].

Особенностями систем ОДУ (1)-(4) является высокая размерность параметрических пространств, что обусловливает с одной стороны сложность исследования закономерностей каскадов бифуркаций и представления полученных в них результатов, а с другой стороны дает значительное количество новой информации о поведении систем такого класса.

В основе подхода при исследовании систем лежат результаты, полученные Н. А. Магницким и С. В. Сидоровым [1, 2]. Исследование выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка с постоянным шагом с точностью 1 10—6. Рассмотрим в качестве характерного примера вариант системы (3), приняв параметры в соответствии с ниже приведенной таблицей. В ней обозначения коэффициентов приведены, как это сделано в работах [3, 4].

Параметры в системе

а Ь с й е к 1 т п К X У 2

1,2 5 2 1 0,3 5 2 6 0,4 1 4 5 7

В качестве бифуркационного выберем параметр f. Проследим эволюцию фазового портрета системы при изменении параметра f от 0,4 до 0,059. Сначала наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода. При f = 0,4 в системе можно обнаружить устойчивое стационарное состояние. При f = 0,19 существует цикл периода 1, при f = 0,14 цикл периода 2, а при f = 0,124 - цикл периода 4. При f = 0,11 наблюдается аттрактор Фей-генбаума - простейший хаотический аттрактор. Последующий субгармонический каскад бифуркаций аттрактора Фейгенбаума приводит в соответствии с порядком Шарковского к циклу периода 3 при f = 0,095.

Дальнейшее уменьшение параметра f ведет к гомоклиническому каскаду (по терминологии Н. А. Магницкого гомоклиническим называется каскад бифуркаций, являющийся продолжением порядка Шарковского и заключающийся в многостадийном появлении устойчивых циклов типа Cn, где п - номер стадии, приближающихся к гомоклиническому контуру и претерпевающих собственные субгармонические каскады бифуркаций) [1]. Были обнаружены циклы С8 при / = 0,0703, С7 при / = 0,08, С5 при/=

0,0867, С4 при / = 0,0765. При / = 0,059 «глаз» аттрактора закрывается

155

полностью (рис. 1), что свидетельствует о полноте гомоклинического каскада.

Заметим, что фазопараметрическая диаграмма не меняется при увеличении значения шага интегрирования даже в 20 раз. Это позволяет сделать вывод о независимости решения от шага интегрирования. Таким образом, наблюдаемые решения реально существуют в фазовом пространстве.

0.4

0.2

0

-0.2-

0.059 0.073 0.087 0.101 0.115 0.13 0.144 0.153 0.172 0.186 0.2

Рис. 1. Фазопараметрическая диаграмма модели

Эволюция аттракторов в рассматриваемой системе при уменьшении параметра f приводит к решениям, которые подходят согласно [10] под понятие «контрастных структур». Контрастными структурами называются такие режимы скачков медленных переменных х в сингулярно возмущенной задаче Коши вида X = А(х,у),тУ = В(х,у),х(0) = х0,у(0) = у0, когда выполняются следующие условия:

существует по крайней мере два многообразия медленных движений, из которых только одно устойчиво;

существует область начальных значений, при которых возможен уход фазовой траектории в бесконечность при т  0;

существует особенность структуры, которая обеспечивает возврат фазовых траекторий из бесконечности;

в фазовом пространстве существует механизм срыва фазовой точки с устойчивого многообразия.

Продолжим бифуркационную диаграмму системы (3), приближая параметр / к 0. Обнаруженные результаты изображены на рис. 2.

Таким образом, бифуркации проходят последовательность, начиная

с удвоения периода предельного цикла, затем наблюдается субгармонический и гомоклинический каскады, а далее более сложный каскад, приводящий к контрастным структурам. Исследуемый пример представляет собой гладкую диссипативную систему, в которой наблюдаются скачки и всплески.

200

100

0,01 0,03 0,05 0,07 0,09

Рис. 2. Закономерность поведения системы (3) за пределами

каскадов ФШМ

Для построенных систем модельных уравнений (1)-(4), содержащих обширные семейства топологически отличных регулярных циклов и соответствующих им сингулярных аттракторов, в настоящей работе получены результаты, которые свидетельствуют, что за пределами каскадов бифуркаций ФШМ эволюция аттракторов может приводить к возникновению контрастных аттракторов, то есть таких, которые содержат соответствующие структуры в поведении. Найдено, что в параметрических пространствах могут существовать бесконечные множества топологически эквивалентных простых сингулярных предельных циклов,

демонстрирующих сложную эволюцию через каскады ФШМ к контрастным аттракторам. Рассмотренные модели могут быть использованы в качестве базовых для теоретического исследования работы систем скрытой передачи информации.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-08-01359).

Список литературы

1. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.

2. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: Изд-во иЯББ

(ЛЕНАНД), 2011. 320 с.

3. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-13.

4. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-11.

5. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С. В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008. С. 159-175.

6. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.4, 2011. С.158-167.

7. Агуреев И. Е., Богма А. Е., Пышный В. А. Динамическая модель транспортной макросистемы // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.6 (Ч.2), 2013. С.139-145.

8. Агуреев И. Е., Атлас Е. Е. Хаотическая динамика в системах транспорта // Сложность. Разум. Постнеклассика. Сургут-Тула-Ханновер-Вашингтон. 2012. №1. С.95-107.

9. Агуреев И. Е., Агуреев К. И. Численный анализ процессов скрытой передачи информации на основе мультиаттракторной системы // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. № 10. С. 169-177.

10. Неймарк Ю. И., Смирнова В. Н. Контрастные структуры, предельная динамика и парадокс Пэнлеве // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. № 11. С. 1507-1515.

11. Wang Z., Sun Y., Cang S. A 3-D spherical chaotic attractor // Acta Physica Polonica B. Vol. 42. No.2. 2011. P.235-247.

12. Anastassiou S., Bountis T., Petalas Y. G. On topology of the Lu attractor and related systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 41. 2008. 485101. 13 p.

13. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т.8. № 1. С.3-28.

14. Треблер А. А. О классификации аттракторов нелинейных диссипативных систем ОДУ // Труды ИСА. 2009. № 44. С.126-146.

15. Letellier Ch., Amaral G. F. V., Aguirre L. A. Insights into the algebraic structure of Lorenz-like systems using feedback circuit analysis and piecewise affine models // Chaos 17, 023104. 2007. 11 p.

16. Yang X.-S. On observability of 3D continuous-time autonomous chaotic systems based on scalar output measurement // Int. J. of Bifurcation and Chaos, Vol. 12. No. 5 (2002). P.1159-1162.

17. Luo X., Danca M.-F., Chen G. On a dynamical system with multiple chaotic attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos, Vol. 17. No. 9 (2007). P.3235-3251.

18. Lu J., Chen G. A new chaotic attractor coined // Int. J. of Bifurcation and Chaos, Vol. 12. No. 3 (2002). P.659-661.

19. Lu J., Chen G., Cheng D., Celikovsky S. Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system // Int. J. of Bifurcation and Chaos, Vol. 12. No. 12 (2002). P.2917-2926.

20. Elhadj Z., Sprott J. C. Some Open Problems in Chaos Theory and Dynamics // Int. J. Open Problems Comp. Math., Vol. 4, No. 2. 2011. 10 p.

21. Sprott J. C. A new class of chaotic circuit // Physics Letters A 266 (2000). P.19-23.

22. Sprott J. C. Simple chaotic systems and circuits // Am. J. Phys. Vol. 68 No.8. 2000. P.758-763.

23. 21. Sprott J. C. Simplest dissipative chaotic flow // Physics Letters A 228 (1997). P.271-274.

24. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос: Новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит. 2002. 252 с.

25. Короновский А. А., Москаленко О. И., Храмов А. Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // Успехи физических наук. 2009. Т. 179. № 12. С.1281 -1310.

Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, декан факультета транспортных и технологических систем, agureev-igor@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Агуреев Константин Игоревич, аспирант, clickhere@,bk.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пастухова Наталья Сергеевна, аспирант, natusya-e aramhler.ru, Тула, Тульский государственный университет

THE REGULARITIES OF BIFURCATION CASCADES OF SINGULAR A TTRACTORS IN SOME SECURE COMMUNICA TION SYSTEMS

I.E. Agureev, K.I. Agureev, N.S. Pastukhova

The regularities of bifurcation cascades in some autonomous dissipative systems of ordinary differential equations used for the forming secure communication systems on their basis are considered. These regularities are in the properties of the obtaining of the lot attractors (multiattractor systems) and contrasty structures out of the basis of Feigenbaum-Sharkovskii-Magnitskii ’s theory.

Key words: nonlinear dissipative system, non-regular attractor, chaotic synchronization, secure communications.

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Agureev Konstantin Igorevich, postgraduate, clickhere@,bk. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pastukhova Nataliya Sergeevna, postgraduate, natusya-e@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.391, 681.3

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СИНГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ В НЕКОТОРЫХ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ МУЛЬТИАТТРАКТОРНЫХ СИСТЕМАХ

И.Е. Агуреев, К.И. Агуреев, А.В. Гладышев

Рассмотрены некоторые автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, используемые для формирования на их основе систем скрытой передачи информации. Построены и приведены последовательности существующих в них сингулярных аттракторов, обосновывающие мультиаттракторную природу моделей. Выполнен предварительный анализ их бифуркационного поведения, соответствующего современным представлениям теории динамического хаоса (теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого).

Ключевые слова: нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор, хаотическая синхронизация, система скрытой передачи информации.

В монографиях [1, 2] показано, что в автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) единственным универсальным сценарием перехода к хаосу является последовательность каскадов бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода исходного устойчивого сингулярного цикла, субгармонического каскада бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов любого периода вплоть до цикла периода три и, при наличии в системе петли сепаратрисы седло-фокуса или гетероклинического контура, - гомоклинического или гетерок-линического каскада бифуркаций Магницкого устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому или гетероклиническому контуру. Данное утверждение составляет основу теории ФШМ, используемой в настоящей работе для анализа систем [3-8], которые применяются для исследования