Упругопластические колебания стержневой системы с учётом продольной податливости её элементов при запроектном воздействии

Теория расчета строительных конструкций

УДК 624.04:539.3:534

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С УЧЁТОМ ПРОДОЛЬНОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ЗАПРОЕКТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

А.Н. Потапов, Е.М. Уфимцев

Показано приложение метода временного анализа к задачам механики стержневых систем с учётом упругопластической работы материала. Приведён пример динамического расчёта плоской 3-стержневой ферменной конструкции на действие импульсной нагрузки.

Ключевые слова: метод, временной анализ, математическая модель, билинейная диаграмма, колебания, перемещения, восстанавливающая сила, упругопластические деформации, гистерезис.

Введение. Одной из актуальных проблем, связанной с расчётами современных конструкций (особенно при динамических воздействиях), является проблема учёта работы материала за пределом упругости. Экспериментальные исследования в этом направлении показывают, что характер работы различных материалов может быть довольно сложным [1]. Несмотря на это, на сегодняшний день разработаны и внедрены в практику вычислительные методы, позволяющие проводить расчёты в такой постановке [2-4].

Однако большинство используемых методов построено на численных подходах. С одной стороны, это делает возможным решение широкого спектра задач, а с другой - остаётся открытым вопрос адекватности результатов расчётов и оценки действительного состояния конструкций.

В связи с этим по-прежнему актуальной является разработка аналитических подходов для решения подобных задач. Наиболее естественным является метод временного анализа, основанный на исследовании характеристического матричного квадратного уравнения [5].

В данной статье рассматривается проблема расчёта систем указанным методом с учётом упругопластической работы материала при действии динамических нагрузок. Приводится пример расчёта статически нагруженной плоской стальной ферменной конструкции при действии импульсной нагрузки и даётся анализ работы системы.

Математическая модель упругопластического расчёта. Физическая модель материала принята по билинейному закону в координатах ст ~ е (рис. 1). В осях «восстанавливающая сила -относительное перемещение» (R ~ у ), вектор динамических восстанавливающих сил выражается зависимостью (рис. 2):

R

Эта формула представляет собой математическую модель расчёта системы при упругопластическом деформировании её несущих элементов.

Рис. 1. Диаграмма деформирования материала

Представим характеристику векторных величин правой части выражения (1).

Составляющая Rke ^) = K (tj) • Y (^ - вектор

квазиупругих усилий, где K (tj) - матрица жёсткости системы в момент tj (точка A на диаграмме), - время перехода квазиупругой системы из одного промежуточного состояния в другое (начало текучести в некотором несущем элементе). Здесь tga, tgal - жёсткость некоторого несущего элемента, соответственно, на участках OA и AB. Составляющая ^ (tj) = АК (tj) • Y (tj) - есть

вектор предельных значений (на рис. 2 приведена к-я компонента этого вектора), где АК(tj) = К(tj-1) - К(tj) - разность матриц жёсткости, соответствующих предыдущему (участок ОА) и текущему(участок АВ) состояниям системы.

Составляющая Rp (tj) = К(tj) • Yp (tj) - суть

вектор остаточных усилий. При достижении экстремальных деформаций (в момент времени tj) в

несущем элементе начинается разгрузка

и Yp (tj), постоянными на интервале , tj+1 ] , где

Yp (tj) - вектор пластических перемещений.

*p, k

^и, k

Рис. 2. Составляющие вектора динамических восстанавливающих сил Я

Таким образом, описанная математическая модель позволяет разбить процесс временного анализа на ряд квазиупругих интервалов

1л, tj+1 ] (j = 0,1,...) , внутри которых составляющие вектора восстанавливающих сил Яи (tj) и Яр (tj) представляют собой постоянные величины.

В результате такого моделирования уравнение движения дискретной диссипативной системы на отдельном интервале можно реализовать по схеме упругого решения:

MY(t) + CY (t) + К (г] ^ (/) =

= р

представляют собой силовые характеристики, действующие на массы системы, то их внезапное появление или исчезновение, связанное с упругопластическими процессами в материале, будет приводить к изменению ускорений масс, дополнительные значения которых равны

М-1 •[ Яр (tj ) - Яи (¿; ) ] .

Численная реализация задачи. В качестве примера рассмотрена задача колебаний плоской ферменной конструкции как системы с двумя степенями свободы (п=2), расчётная динамическая модель (РДМ) которой представлена на рис. 3. Элементы системы имеют квадратные поперечные сечения со сторонами: 1 - 2,6 см, 2 - 1,0 см,

3 - 2,5 см и выполнены из стали 09Г2С с начальным модулем упругости Е = 210060 МПа. Точечная масса принята т = 10 т. Векторы перемещений и узловой статической нагрузки, а также матрица масс имеют вид:

Y (t) =

Элементы матрицы жёсткости К(tj) вследствие нелинейности задачи, обусловленной моделью (1), вычисляются в процессе временного анализа с использованием пособия [6]. Матрица демпфирования С строится по модели непропорционального демпфирования [5] и вычисляется в процессе временного анализа совместно с матрицей жёсткости.

yi(t) , Q = " 0 ] , M = m 0

_ У2 (t) _ _ mg _ _ 0 m_

Рис. 3. Расчетная схема конструкции

Внешняя нагрузка представлена в виде синусоидального импульса Р(/) = Р0^т(9/), где Р0 = [0, 425]Т кН - вектор амплитуд, 9 = п / /а;/а = 0,01 с -время действия импульса.

Система разрешающих уравнений динамической задачи (2) на квазиупругом интервале

t є [/у-, tj+1 ] имеет вид:

Y(t) = 2Re {Z(t)}, Y(t) = 2Re {SZ(t)},

где

Z (t) = 0,5 Yt + Z0(t - tj ) + ZQR (t - tj ) + ZP (t - tj ), ZQR (t - tj) = [0(t - tj) - E ](US)- [ Q - +],

Zo

ZP (t - tj) = {S[0(t - tj ) sin(qtj ) - sin (qt)] +

+ [0(t - tj ) cos(qtj ) - cos(qt )]q}[U(S2 + Eq2)]“1 P0.

Здесь Yst = КТ^,Ф^) = eSt, U= MS + STM+ C,S -матрица внутренних характеристик конструкции -решение матричного характеристического уравнения, соответствующего системе однородных диф-

ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (2) [5]; У0, Ю - векторы начальных условий.

Временной анализ реакции проводится на интервале времени t= [0, 5] с при шаге интегрирования А/=0,0001 с. При заданных условиях работы нелинейные колебания происходят в наиболее нагруженном 2-м элементе фермы (рис. 3), в то время как остальные стержни работают упруго. Упругопластические процессы во 2-м стержне протекают в течение первых 0,15 секунд и, главным образом, на этапе свободных колебаний, после чего система переходит в режим упругих колебанийс учётом накопленных пластических деформаций.

Нелинейная стадия работы характеризуется тем, что система находится в состоянии циклического упругопластического деформирования. За наступившими пластическими деформациями следует разгрузка, затем этот процесс неоднократно повторяется, что свидетельствует о гистерезисном поведении зависимости а ~ г . На рис. 4 показана первая петля гистерезиса с характерными точками, отделяющими линейные участки друг от друга. Эти же точки, согласно представленной математической модели расчёта (1), находятся в соответствии с временными точками, расчленяющими процесс упругопластической реакции системы на ква-зиупругие интервалы (см. таблицу).

В упругой стадии (при t > 0,15 с)свободные колебания системы совершаются относительно нового положения равновесия, которое отличается от первоначального положения статического равновесия ^) тем, что к последнему добавляются остаточные перемещения - компоненты вектора Ур ^), накопленные системой в процессе пластического деформирования.

При реализации разрешающих уравнений (3), (4) положения характерных точек диаграммы (рис. 4) (с учётом одинаковой работы материала на растяжение-сжатие) находятся следующим образом. Точка А определяется из условия достижения нормальными напряжениями в среднем стержне предела текучести о0, а положение точки В - из условия достижения в нем экстремальных деформаций. Нахождение точки D связано с использованием принципа Мазинга [1], согласно которому переход к неупругому деформированию во втором полу-цикле происходит после упругого деформирования на величину, равную двум пределам текучести. То есть суммарное напряжение (расстояние между точками В и D) не должно превышать 2а0. Положение точки Е, как и точки В, определяется из условия достижения экстремума деформаций.

Анализ результатов. На рис. 5 показаны осциллограммы перемещений (а), ускорений (б) и восстанавливающих сил (в). Цифры обозначают направление колебаний: 1 - по горизонтали; 2 - по вертикали.

и СУ м

2£о

Рис. 4. Диаграмма деформирования 2-го стержня фермы за один полный цикл на интервале времени г = [0; 0,0874]

Временные точки переходов системы в новые состояния

Точки диаграммы (рис. 4) Время t, с

0 0

А 0,0098

В 0,0265

С 0.0455

D 0,0584

Е 0,0680

F 0,0874

Осциллограмма вертикальных перемещений массы т (рис. 5, а) представляет собой график без переломов и разрывов. При этом колебания совершаются относительно ненулевой асимптоты, высота которой меняется при переходе от одного квазиупругого интервала к другому. После t = 0,15 с высота асимптоты остаётся постоянной и равна у^,2 + ур,2 =-0,2038 см, где

Х#2 =-0,167 см - статический прогиб в начальный момент времени, ур2 =-0,0368 см - вертикальная компонента вектора остаточных перемещений. Для колебаний массы в горизонтальном направлении характерны те же эффекты, что и для вертикальных колебаний, но они выражены значительно слабее.

В отличие от графиков перемещений осциллограммы ускорений (рис. 5, б) не имеют смещения относительно положения статического равновесия системы. На фрагментах графика ускорений масс в

Рис. 5. Параметры реакции системы (1 - по горизонтали, 2 - по вертикали): а - перемещения; б - ускорения; в - восстанавливающие силы

вертикальном направлении можно видеть перелом, связанный с окончанием действия импульсной нагрузки при ^ 0,01 с (фрагм. 1), и один из скачков (фрагм. 2). Скачки образуются в результате внезапного изменения жёсткости системы.

Осциллограммы восстанавливающих сил ^) (рис. 5, в), как и осциллограммы перемещений, являются непрерывными. Компоненты восстанавливающих сил в горизонтальном направлении имеют нулевую асимптоту, в вертикальном направлении - асимптоту, соответствующую значению статического усилия от собственного веса конструкции^.

Характер свободных колебаний всех параметров реакции - затухающий. При этом осциллограммы, соответствующие горизонтальным параметрам, имеют форму «биения», период которого составляет:

2п 2п

T =--------=-------------= 0,82 с,

ю2 -ю1 76,69 - 69,3

где ю1, ю2 - частоты собственных колебаний конструкции.

На рис. 6 показан график действующих вертикальных сил правой части уравнения (2). Пунк-

тирной линией (а) изображена составляющая нагрузки правой части, включающая внешнюю нагрузку: импульсную Р(^) и статическую (собственный вес Q). Сплошной линией (б) изображена полная нагрузка, включающая, помимо внешней, добавки к восстанавливающим силам Rll(tj) и ^(^):

Ер ^) = Р^) + £ - Ru (tj) + Rp (^).

Данная нагрузка имеет ступенчатый характер, который связан с внезапным появлением или исчезновением составляющих Яи (tj) и Яр (tj), что

обусловлено принятой математической моделью упругопластического расчёта (1).

Выводы

1. Временной анализ позволяет получить точное решение задачи в аналитическом виде.

2. В замкнутой форме построены кинематические и силовые параметры реакции системы для динамической задачи с билинейной диаграммой деформирования гистерезисного типа.

3. Определены и изучены особенности поведения параметров реакции динамической системы: асимптоты, переломы, скачки и т. д.

Рис. 6. Вертикальные силы правой части уравнения (2): а - составляющая импульсной и статической нагрузок; б - полная нагрузка

Литература

1. Москвитин, В.В. Пластичность при переменных нагружениях / В.В. Москвитин. - М.: Изд-во МГУ, 1965 - 264 с.

2. Трушин, С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи: учеб. пособие / С.И. Трушин. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2008. - 256 с.

3. Расчёты зданий на устойчивость против прогрессирующего обрушения с учётом физической и геометрической нелинейностей / А.М. Бело-стоцкий, А.А. Аул, О.А. Козырев, А.С. Павлов // Междунар. науч.-практ. конф. «Теория и практика расчёта зданий, конструкций и элементов кон-

струкций. Аналитические и численные методы»: сб. тр. - М.: Изд-во МГСУ, 2008. - С. 183-193.

4. Агапов, В.М. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости конструкций / В.М. Агапов. - М. : АСВ, 2004. - 248 с.

5. Потапов, А.Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем при нестационарных воздействиях: моногр. / А.Н. Потапов. -Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - 167 с.

6. Синицын, С.Б. Строительная механика в методе конечных элементов стержневых систем: учеб. пособие / С.Б. Синицын. - М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2002. - 320 с.

Потапов Александр Николаевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительная механика», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск), potapov.alni@ gmail.com.

Уфимцев Евгений Михайлович, ассистент кафедры «Строительная механика», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск), comtech606@yandex.ru.

Поступила в редакцию 6 февраля 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series “Construction Engineering and Architecture" _________________________2014, vol. 14, no. 2, pp. 5-10

ELASTOPLASTIC OSCILLATIONS OF BAR SYSTEM TAKING INTO ACCOUNT LONGITUDINAL MALLEABILITY OF ITS ELEMENTS UNDER THE INFLUENCE BEYOND DESIGN

A.N. Potapov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, potapov.alni@ gmail.com,

E.M. Ufimtsev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, comtech606@yandex.ru

The application of time analysis to the problems of bar systems mechanics in the context of elastoplastic behavior of the material was shown. An example of dynamic design of a plane three-core truss structure by impulse load was given.

Keywords: method, time analysis, mathematical model, bilinear.

References

1. Moskvitin V.V. Plastichnost pri peremennyh nagrujeniyah [Plasticity by Alternating Loading]. Moscow, MSU Publ., 1965. 264 p.

2. Trushin S.I. Metod konechnyh elementov [Finite Element Method. Theory and Problems]. Moscow, BIA Publ., 2008. 256 p.

3. Belostotsky A.M., Aul A.A., Kozyrev O.A., Pavlov O.A. Raschety zdaniy na ustoichvostprotiv progressi-ruyuschego obrusheniya s uchetom fizicheskoy I geometricheskoy nelineynostey: Mejdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferenciya “Teoriya I praktika rascheta zdaniy, konstrukciy I elementov konstrukciy. Analiti-cheskie I chislennye metody” [Calculations of Buildings for Buckling Resistance Against the Progressive Damage with a Glance of Physical and Geometric Nonlinearity: International Theoretical and Practical Conference “Theory and Practice of Buildings and Constructions Calculations. Analythical and Numerical Methods”]. Moscow, MSBU Publ., 2008, p. 183-193.

4. Agapov V.M. Metod konechnyh elementov v statike, dinamike I ustiychivosti konstrukciy [Finite Element Method in Static, Dynamic and Stability of Constructions]. Moscow, BIA Publ., 2004. 248 p.

5. Potapov A.N. Dinamicheskiy analiz diskreetnyh dissipativnyh system pri nestacionarnyh vozdeistviyah [Dynamical Analysis of Discreet Dissipative Systems by Nonstationary Loadings]. Chelyabinsk, SUSU Publ., 2003. 167 p.

6. Sinicyn S.B. Stroitelnaya mechanika v metode konechnyh elementov [Building Mechanics in Finite Elements Method of Bar Systems]. Moscow, BIA Publ., 2002. 320 p.

Received 6 February 2014