Модели систем массового обслуживания на основе марковских форм с внешними потоками событий

Физико-математическое моделирование

УДК 519.2

МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ОСНОВЕ МАРКОВСКИХ ФОРМ С ВНЕШНИМИ ПОТОКАМИ СОБЫТИЙ

П.Б. Абрамов

В статье рассматриваются модели систем массового обслуживания, дополненные внешним потоком событий, входящим в модель из внешней среды, а также потоками событий, выходящими вовне модели и снижающими значения вероятностей состояний. Показано, что в модели имеются условия для стационарного режима. Показано, что для любой интенсивности входящего потока и интенсивностей выходящих потоков решение линейных алгебраических уравнений стационарного режима модели приводит к результату, вполне отвечающему аксиомам теории вероятностей. Проведен сравнительный анализ пропускной способности предложенных в данной статье и классических моделей

Ключевые слова: система массового обслуживания, внешние потоки

Моделирование систем массового обслуживания (СМО) в настоящее время приобретает все большую актуальность. Это

обусловлено прежде всего тем фактом, что

современные системы и сети передачи и обработки информации по своей сути являются системами массового обслуживания. Разветвленность

структуры информационных сетей, их достаточно сложная архитектура и значительный объем передаваемого трафика требуют адекватной оценки возможностей подобных систем с целью минимизации риска потери информации.

Исследованию и оптимизации сетей массового обслуживания посвящено большое количество научных трудов. Для этой цели применяются самые различные модели и методики, начиная от алгоритмов решения задач на графах и заканчивая теорией нечетких множеств. Заметную роль среди научных подходов в данной предметной области занимают полумарковские модели и методы, основанные на моментах вероятностных распределений случайных величин. Полученные авторами расчетные соотношения достаточно сложны и позволяют учесть многие существенные для моделирования аспекты реальных процессов.

Вместе с тем, следует отметить, что основная часть результатов основывается на представлении динамики системы в виде совокупности состояний и переходов. Этому, в свою очередь, соответствуют графы, содержащие вершины, моделирующие состояния системы, и дуги, отображающие переходы между ними. Как правило, авторы не применяют дуги, входящие в граф извне, и дуги, исходящие из графа вовне.

Можно предположить, что подобный подход в некоторой мере нарушает принципы системного анализа. Действительно, ведь если граф состояний и переходов замкнут, то он отображает связь

рассматриваемой системы с внешней средой в лучшем случае неявным образом, например, так, как это принято в классической теории систем массового обслуживания. То есть, поток заявок присутствует, он перемещает систему из одного состояния в другое, но неясно, как именно он поступает в систему, а также куда уходят из системы потоки обслуженных заявок и заявок, получивших отказ в обслуживании. Принципы же системного анализа требовали бы учета этих факторов, в соответствии с представлением, приведенным на рис. 1.

Абрамов Петр Борисович - ВАИУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-903-650-16-20

Рис. 1. Взаимосвязь моделируемой системы и внешней среды

Представляется, что учет указанных факторов в моделях динамики систем возможен методом введения в граф состояний и, соответственно, в аналитическое описание модели, дуг незамкнутых переходов, описывающих потоки событий, связывающих моделируемую систему с внешней средой. При этом ведущее место в модели будет отведено именно потокам событий, а вероятности состояний определяют коэффициенты

прореживания стохастических потоков по

вероятности. Известное ограничение о равенстве суммы вероятностей состояний единице в общем случае может не выполняться.

Рассмотрим возможную реализацию данного подхода на примере многоканальной СМО с отказами. Как известно [1], классическая модель СМО с отказами основывается на графе состояний и переходов, приведенном на рис. 2.

Рис. 2. Граф состояний и переходов классической модели СМО

Интенсивность потока заявок равна X, а производительность каждого из каналов - ц. Переходы вправо по графу отвечают увеличению количества занятых каналов, а влево -освобождению каналов при окончании обслуживания очередной заявки.

В качестве аналитического описания динамики системы применяется система дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена, для которой решается задача Коши при начальных условиях: So(0)=l, Si(0)=0. Для стационарного режима динамики системы получены алгебраические формулы расчета вероятности отказа, пропускной способности и других параметров СМО.

Однако, принцип построения графа без незамкнутых потоков событий приводит к некоторому искажению описания системы, в чем легко убедиться. Примем во внимание, что интенсивность потока X обратно пропорциональна среднему интервалу времени между событиями в потоке X = 1 / і . При переходе вправо по графу

ср

логика процессов в модели сохраняется. После очередного скачка процесса, обусловленного приходом некоторой заявки, прихода следующей заявки можно ожидать в среднем через время іср = 1/ X. Но предположим, что истекло

половинное время интервала іср, и система в этот момент перешла по графу состояний влево, то есть, один из каналов закончил обработку заявки. В этом случае в классической модели отсчет интервала іср начнется заново, как будто бы поступила еще одна заявка, а это не так. Фактически, при каждом таком переходе мы получаем увеличение интервала іср, а следовательно, данная модель дает результаты для некоторого реального процесса, интенсивность потока заявок которого меньше, чем интенсивность X. Иллюстрация приведенных рассуждений приведена на рис. 3.

дт,

1, 12 и і 4\ Н и; Ъ " \ |\ і

\ і 1

1, 1г и ь і Момент окончания очередного обслуживания  Б*. <5 «6 Переход влево по графу СОСТОЯНИЙ и переходов

Рис. 3. Прореживание потока в классической модели

Альтернативным подходом к моделированию систем массового обслуживания является применение марковских форм с незамкнутыми (внешними) потоками событий. Основой наглядного представления модели является граф потоков событий и состояний системы. Для п-канальной СМО с отказами граф может имеет вид, приведенный на рис. 4.

Рис. 4. Граф потоков событий и состояний СМО с отказами

Построение расчетных соотношений начнем с модели одноканальной СМО с отказами. Граф потоков событий и состояний системы приведен на

рис. 5.

И \

Рис. 5. Граф потоков событий и состояний системы для одноканальной СМО с отказами

Динамика этой системы может быть описана линейным дифференциальным уравнением, составляемым по правилам составления уравнений Колмогорова-Чепмена:

—1 = —

dі

Свободный член в правой части отражает поступление в систему потока заявок и имеет коэффициент при интенсивности X, равный единице. Это может трактоваться как единичная вероятность такого события, что каждая заявка потока приходит в систему из внешней среды. Далее, в некоторый момент времени с вероятностью Р1 канал может оказаться занятым. С этой же вероятностью вновь поступившая в СМО заявка получает отказ, а также формируется поток обслуженных заявок. Именно таким образом складывается отрицательный член в правой части уравнения (1).

Известно аналитическое решение линейного дифференциального уравнения, к классу которых относится (1), приведенное в литературе, например [2]. В случае постоянных коэффициентов в правой части оно имеет вид:

X

Р1

X + л

где С - произвольная постоянная интегрирования, определяемая из условия Р1(0) = а, для рассматриваемой модели | а|< 1.

Доказано, что для любых начальных условий данное решение асимптотически устойчиво, и все решения (2) стремятся к величине

2

ИтР1

í 2 + ^

что также достаточно просто получить из выражения (1), положив левую часть равной нулю для равновесного состояния. Вполне очевидно, что эта величина ни при каких условиях не превысит единичного значения, то есть, по смыслу вполне отвечает вероятности отказа в обслуживании заявки.

Итак, для одноканальной СМО с отказами мы получили, что в стационарном режиме

Ротк = Р = ^~~ .

2 +

Сравним этот результат с классической моделью, граф которой приведен на рис. 6.

%

$0

8і

Ц

Рис. 6. Граф состояний и переходов классической модели одноканальной СМО с отказами

Для классической модели дифференциальные уравнения динамики системы имеют следующий вид

dР

= ~Х^ Ро + Л Р

аі

ЛР

-± = -Л Р + X- Ро

аі

Решение этой системы в общем виде приводит к следующему результату:

, ч X X Р(і ) =-----------:------е

—(X+ л) •і

X + л X + л а для стационарного режима

р = Р = я

X + л

Сравнение выражений (4) и (7) показывает, что при отсутствии в графе возможных переходов между состояниями, искажающих интенсивность входного потока, результаты классической теории и предложенного в данной статье подхода совпадают.

Перейдем к рассмотрению многоканальной СМО с отказами (рис.3). В стационарном режиме для каждого из состояний может быть записано условие равенства сумм входящих и выходящих потоков событий:

2 • Р_1 =

Это уравнение получается из соответствующего дифференциального уравнения при равенстве производной нулю. Отсюда имеем:

Р =-

X

X + л

• Р—1

Окончательно:

(

Р =

X

V

2 +

Очевидно, что отношение интенсивностей потоков, возводимое в степень, всегда меньше единицы, поскольку величина ц в рассматриваемой модели не равна нулю. Следовательно, справедливо соотношение 1 > Р1 > Р2 > Р3 > > Рп > 0, кроме того

Ііт Р = Ііт Р = 0;

X——0 л—т

Пт Р = 1гтР = 1.

Можно сделать вывод, что все величины Рг в полной мере удовлетворяют требованиям, предъявляемым к вероятности по определению.

Основная особенность полученных соотношений состоит в том, что события, которым отвечают вероятности Рг, не составляют полную группу, а сумма вероятностей не равна единице, как это имеет место в классической теории. Вместе с тем, рассматриваемые случайные события являются взаимно зависимыми. Каждый г-й канал может оказаться занятым только при условии, что заняты все каналы с меньшими номерами. Вероятность отказа СМО в целом равна вероятности такого события, что занятыми окажутся все каналы:

Р = Р =

отк п

X

Р

2 + у V Р +1 где р = А/ц - нагрузка СМО.

В классической теории СМО выражение (12) трактуется как вероятность отказа п независимых одноканальных СМО. Как показано выше, это неверное утверждение, поскольку вероятности Рг взаимосвязаны. Адекватным представлением п независимых одноканальных СМО на основе рассматриваемого подхода будет граф потоков событий и состояний, приведенный на рис. 7.

Рис. 7. Граф потоков событий и состояний п независимых одноканальных СМО

Как можно видеть, поток входящих заявок сначала равновероятно делится на п потоков, каждый интенсивностью Х/п , а затем каждый из этих новых потоков направляется в отдельную одноканальную СМО. Заявка в ьой СМО может получить отказ даже в том случае, когда все остальные системы свободны. Суммарная интенсивность исходящего потока отказов равна

= у А. р = пР =

/ 1 г г

,=1 п п .

2/п 2

Л

= X--

= X-

Р

X/п + л X + пл Р + п

п

п

Вероятность отказа составит:

р = = 2 = р

отк„ л л ' ^ '

2 2 + пл р + п

С учетом того факта, что относительная пропускная способность СМО определяется как q=1-Pоmк, окончательно имеем следующие оценки относительной пропускной способности п-канальной СМО с отказами:

п 1 Чі = 1 _ Ротк = 1 Г

n!

Р_ i=0 i!

для классической модели;

Ґ v ! Р Л

q2 = 1 _ Ротк = 1 _

Р+ 1

для модели с незамкнутыми потоками; п

Ч3 = 1 _ Ротк =

р + п

для независимых одноканальных СМО. Сравнение полученных результатов для 10канальной СМО приведено на рис. 8.

Рис. 8. Зависимость пропускной способности СМО от нагрузки р

Можно видеть, что асимптотическое поведение моделей одинаково, как в случае снижения, так и в случае увеличения нагрузки системы.

При р——0 количество поступающих в систему заявок в единицу времени снижается, и для любой из моделей относительная пропускная способность стремится к максимальному значению, равному единице. Для классической модели эффект достижения максимальных значений пропускной

способности при снижении нагрузки выражен значительно сильнее, чем для других моделей.

При увеличении нагрузки р^да относительная пропускная способность системы стремится к нулю. При значениях нагрузки, превышающих количество каналов в 10 раз, зависимости становятся практически неразличимыми. Однако, достаточно сложно признать эти области изменения аргумента представляющими какой-либо практический интерес.

На рабочем склоне характеристики значения относительной пропускной способности существенно отличаются. Вероятность

обслуживания потока в п-канальной СМО, согласно предложенным оценкам, может превышать вероятность обслуживания потока в п одноканальных СМО на величину ДР=0,1. В то же время классическая теория повышает эту оценку еще на 0,2 по вероятности. Разности оценок в рабочей области характеристик имеют тенденцию к возрастанию с ростом количества каналов в СМО и напротив, для одноканальной СМО представленные зависимости имеют одинаковый вид.

Таким образом, становится очевидным известное из инженерной практики классическое правило о необходимости предусмотреть 15-20% запас пропускной способности системы массового обслуживания. Применяя предложенный в настоящей статье подход, вполне возможно получение адекватных оценок. Кроме того, модель с незамкнутыми входами и выходами позволяет легко наращивать анализируемую структуру, выстраивая модели многофазных СМО и даже сетей массового обслуживания. Последнее вполне актуально в современных условиях глобального развития инфокоммуникационных технологий.

Литература

1. Абрамов П.Б. Надежность сложных радиоэлектронных систем: моделирование и управление. В ж.: Телекоммуникации, 2004, №6, с.2-6.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000, 383с.

3. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание. Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005, 912 с:

Военный авиационный инженерный университет

MODELS OF MASS SERVICE SYSTEMS BASED ON MARKOVIAN FORMS WITH EXTERNAL STREAMS OF EVENTS P.B. Abramov

Models of mass service systems are discussed, which are complemented by the stream of events, entering the model from outside, and also complemented by streams of events, going out from the model and reducing values of states probabilities. It is shown that there are conditions for the stationary mode in the model. It is shown that for any intensity of the entering stream and intensities of going out streams the decision of linear algebraic equations of the stationary mode of the model leads to the result, which fully corresponds with probability theory axioms. The comparative analysis of carrying capacity is made for discussed and classical models

Key words: mass service system, external streams