Об определении русел математической модели организации как неравновесной динамической системы в условиях рыночной среды города

УДК 681.3.06

И.Л.Туккель, Н.С.Пряхин, А.С.Пряхина

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РУСЕЛ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ КАК НЕРАВНОВЕСНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ

РЫНОЧНОЙ СРЕДЫ ГОРОДА

Исследуем проблему прогнозирования развития организации в рыночной среде как сложной неравновесной динамической системы, для чего используем не всё пространство состояний системы, а подпространства меньшего числа переменных, отражающих происходящее во всем фазовом пространстве. Эти подпространства были названы руслами [1]. Переменные системы, характеризующие русла, получили название параметров порядка. Характеристика русел дана в работе [2].

Размерность русла невелика, поэтому внутри него может быть получено простое описание динамики сложной системы. Но сам поиск русел и вывод их уравнений динамики являются сложной задачей. В статье вывод уравнений русел связывается с синтезом закона управления организацией, обеспечивающего движение неравновесной динамической системы по руслу, найденному из эволюционного уравнения синергетики [3]. Это обеспечивает прогнозируемую динамику проектируемой системы и соответствующую структуру системы управления организацией, не позволяющую ей «соскользнуть» в рыночный хаос.

Ситуация, когда часть динамической системы (объект управления) задана, а другая часть (субъект управления) может быть сконструирована, возникает каждый раз при проектировании системы управления организации как сложной динамической системы различной природы, в том числе обладающей свойствами самоорганизации. Мы предполагаем, что в условиях городской рыночной среды возможно использование следующей математической модели организации [4]:

Уравнения (1) устанавливают связь объема производимого в городе продукта х, численности населения у и земельной ренты г. Они отражают динамику движения капитала организации с учетом рынка товаров и услуг [5]. При

этом вначале денежный капитал предпринимателей организации затрачивается на покупку средств производства и рабочей силы, далее он меняет денежную форму на товарную и продолжает движение в сфере производства, причем стоимость вновь произведенного товара складывается из стоимости амортизации оборудования и вновь созданной рабочими стоимости. В результате продажи на рынке произведенных товаров капитал меняет товарную форму на денежную.

йх

йг йу йг

йг

йг

= (а 1 у - а2х)+ и, = ((х - с2у)- сзхг, = й 1 ху - й 2 г,

где: х - продукция, производимая городской системой;

у - численность коренного населения; г - земельная рента; и - координата управления; а^, с^, di - положительные коэффициенты.

В модели (1) а1 означает спрос продукта на душу населения, а2 - доля предложения продукта внутри города. Так что (а1 у - а2 х) представляет избыток спроса, который влияет на темп роста производства. Коэффициент с1 дает спрос на рабочую силу для производства единицы продукции, с1 х - общий спрос на городском рынке труда, с2 - доля жителей, работающих в городе, с 2 у - предложение на рынке труда. Член (сх х - с2 у) - избыток спроса на труд в городе, он влияет на направ-

| Научно - технические ведомости. ИННОВАТИКА СПбГПУ 3'2011

ление миграции. На миграцию влияет также величина земельной ренты в произведении с объемом производимого продукта с3 хг. Другой мультипликативный член d 1 ху показывает, что на рост ренты положительно влияют х и у.

Таким образом, уравнения (1) как и модель рыночной развивающейся экономики [5] отражают динамику спроса и предложения на рынке товаров и услуг, что определяется значениями координат х, у,г объекта управления (1). Поэтому инновации [6] как конечный результат инновационной деятельности, воплощенный в виде нового или усовершенствованного продукта, внедренного на рынке; нового или усовершенствованного технологического процесса, первое коммерческое использование новой технологии (продукции, организации производства и т.д.) находят свое отражение в уравнениях (1), (6), описывающих поведение организации как сложной нелинейной неравновесной динамической системы.

Используя теорию системного синтеза, разработанную в [3], введем в первое уравнение системы (1) координату управления и(0 и найдем такой закон управления и(х,у,г), который обеспечивает перевод системы (1) из произвольного состояния х0, у0, г0 (в некоторой

допустимой области) сначала в окрестность инвариантного многообразия

у/

в фазовом пространстве координат математической модели организации (1), а затем её дальнейшее асимптотически устойчивое движение по траектории (2) в желаемое состояние.

Функцией управления системой

и

мы вправе распоряжаться по своему усмотрению, что делает возможным конструирование множества новых, в том числе синергети-ческих систем, обладающих разными динамическими свойствами.

Приобретение организацией новых динамических свойств влечет за собой её эволюцию, то есть развитие. А развитие любой

сложной системы всегда сопровождается потерей устойчивости одними режимами её функционирования и рождением новых, устойчивых. При этом старые структуры системы разрушаются, образуются новые структуры. Возникают неравновесные состояния динамической системы, которые сопровождаются переходами из одного режима функционирования в другой. Эти переходы могут произойти плавно, мягко, а могут скачкообразно в виде катастрофы. В таких случаях говорят о бифуркациях динамических систем (от слова «раздвоение»).

Благодаря работам французского математика Рене Фредерика Тома по теории катастроф, она в начале 70-х годов ХХ века стала модной и привлекла внимание специалистов к классической теории управления и к теории бифуркаций. Суть дела заключается в том, что в теории катастроф речь идет все о тех же бифуркациях, но при этом выбирается один из типов - так называемые «жесткие» бифуркации

[7].

Бифуркации - это приобретение нового качества движения динамической системы при малом изменении параметров. Зная основные бифуркации, можно предсказать основные параметры возникающих в момент перехода движений, найти в пространстве параметров области их существования и устойчивости [8]. Значение параметра системы, при котором происходит бифуркация, называется точкой бифуркации.

Концепция грубости (структурной устойчивости) динамических систем тесно связана с бифуркациями. Бифуркацию можно представить [7] как переход динамической системы от одного структурно устойчивого состояния к другому через структурно неустойчивое состояние в точке бифуркации. Это позволяет связать поиск аналитических выражений для бифуркаций с нахождением русел [2] и соответствующих законов управления организацией как сложной неравновесной динамической системы.

Обратимся к системе (1), в которой целесообразно представление управления и(1) в виде некоторых внутренних обратных связей (3). Их можно дополнительно ввести с целью формирования желаемого динамического процесса, то есть придания модели (1) организации но-

вых динамических свойств. Например, включение в её динамику новых типов аттракторов - стратегической цели системы (1). Будем искать такое управление (3), чтобы удержать систему в окрестности (2), что сделает это многообразие притягивающим. Это условие будет выполняться, если ш(х, у, г) будет удовлетворять [5] дифференциальному уравнению

т й ш

Т —>— + ш = 0,

йг

где Т > 0 - задаваемый параметр.

Для нахождения закона управления (3) вводится [3] как цель управления некоторая макропеременная

Ш = х + ¡у,

являющаяся фунуцией координат объекта управления (1). Дифференцируя функцию (5) и подставляя производную в уравнение (4), с учетом (1) находим управление

и = -

обеспечивающее перевод системы (1), замкнутой обратной связью (6) на многообразие (2). Движение по этому многообразию описывается уравнениями, которые можно найти, подставив х = -1у во второе и третье уравнения системы (1):

йг

йг

= -с V - сЛу + ¡с? у г

3У ш ш

йг

- = -й2 гш- ¡йу.

7)

Изменим вид уравнений (7), положив

I = - о:

йУш

йг

йг,

= (0 - с2 Ъш- ¡0с3у

йг

- = -й2 гш+ ¡о

^

йг й2

Параметру порядка уш подчинена «быстрая» переменная г ш в виде уравнения кооперативного состояния [2]:

Му2 - й2г ¥ = 0.

Уравнение (9) имеет бифуркацию «вилка» [9], которая происходит в точке бифуркации Л = с^0 - с2 = 0. После прохождения точки

бифуркации (Л = 0) система (9) может равновероятно устремиться к одному из двух устойчивых стационарных состояний, которые определяются корнями характеристического уравнения, найденного из (9):

1

у, = ±-

и

(^Л с3 )2

и, следовательно,

х, = ¡0 у, = ±

(сl¡0 с3 )2

V

с^0 - с

й1й3

0 2 ¡ с

10-3

Уравнения, по структуре совпадающие с системой (8), использовались Германом Хаке-ном для выявления смысла основных понятий синергетики. Как показано в [9], при с1¡0 > с2

в системе (8) могут возникнуть кооперативные процессы, определяемые известным в синергетике эволюционным уравнением для параметра порядка у :

Выражения (11), (12) позволяют установить зависимость стационарных состояний исследуемой системы (1), (6) от её параметров. Обратим внимание, что в эти выражения входит параметр управления ¡0, изменением которого можно влиять на положение особых точек х,, у,, г,, а значит, менять траекторию русел

(7) проектируемой системы. С этим можно связать неравновесное развитие исследуемых динамических процессов организации в предпочтительном направлении. Так, учитывая, что слагаемое системы (1) (а1 у - а2 х) определяет темп роста производства организации, а на притягивающем многообразии (2) равенство х = -¡у связывает спрос и предложение на рынке товаров и услуг, можно заключить, что параметр управления ¡ задает величину предложения, то есть объем производства организации, и это является её стратегической целью. Поэтому параметр ¡ закона управления (6) следует определять, исходя из потребностей рынка с учетом объема производимого органи-

,

Научно - технические ведомости. ИННОВАТИКА СПбГПУ 3'2011

зацией продукта, что рекомендуется использо- производства организации. вать при стратегическом планировании объема

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и системный синтез. Статья в кн. Синергетика: исследования и технологии / под редакцией Г.Г. Малинецкого. - М.: ЛКИ, 2006. - с.7-34.

2. Пряхин Н.С., Пряхина А.С. Об одном методе определния русел математической модели организации // Научно - технические ведомости СПбГПУ: Инноватика, №5(87) 2009. - с.147-152.

3. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами. Теория симтем-ного синтеза. - М.: КонКнига, 2006. - 240с

4. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Пер.с англ. - М: Мир, 1991.-335с.

5. Пряхин Н.С., Пряхин О.Н., Пряхина А.С. Некоторые вопросы синтеза закона управления

сложными нелинейными динамическими системами в условиях саморазвивающейся рыночной экономики // Научно - технические ведомости СПбГПУ: Инноватика, №3(56), 2008. - с.33-36.

6. Бляхман Л. С. Основы функционального и антикризисного менеджмента. Учебное пособие. -Спб: Изд - во Михайлова В.А., 1999. - 380с.

7. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. Изд. 3, перераб. и доп. - М.: ЛКИ, 2008-224с.

8. Арнольд В.И. Теория катастроф. Изд.4, стереотип. - М.: УРСС, 2004.

9. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. Изд.2. - М.: КомКнига, 2005.

УДК 336.714

Е.А. Соловьева

ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССНОЙ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ С УЧЕТОМ ЕГО ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА

В настоящее время в России значительное число предприятий находится на стадиях роста [1]. Кроме того, при поддержке правительства в последнее время созданы многочисленные бизнес-инкубаторы и технопарки, что позволяет судить о том, что их число будет расти.

В современных условиях, для поддержания конкурентоспособности этим предприятиям необходимо развиваться ускоренными темпами. Но быстрый рост организации, связанный с увеличением сложности системы, порождает также явные и скрытые внутренние проблемы, вызванные дезинтеграцией её отдельных частей.

Для объяснения изменений вызванных развитием организации и получения возможности управления ими в 60х годах прошлого века была предложена концепция жизненного цик-

ла организации (ЖЦО). На сегодняшний день, одной из наиболее интересных для изучения и применения на российских предприятиях является модель [2], предложенная признанном во всём мире «гуру» экономической теории доктором И.К. Адизесом9. Она обладает рядом несомненных достоинств: универсальна для любых организаций; содержит подробное описание каждой стадии и характерных для неё признаков, что позволяет точно идентифицировать стадию ЖЦО; описывает динамику изменений в организации и раскрывает причины появления внутренних конфликтов; имеет предложенную автором методологию устранения внутренних проблем, эффективность кото-

Доктор И.К. Адизес с 01.01.2006г является научным консультантом программ Института бизнеса и делового администрирования АНХ при Правительстве РФ.