Критерий оптимальности для задачи смешанного управления одной вырожденной системой

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.97

КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ОДНОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ СИСТЕМОЙ А. Ф. Исламова

Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для линеаризованной системы фазового поля, которая относится к системам, не разрешимым относительно производной по времени. Рассматривается задача со смешанным (стартовым и распределенным) управлением и функционалом качества, не учитывающим затраты на управление.

Ключевые слова: оптимальное управление, распределенная система, вырожденные уравнения, критерий оптимальности.

Введение

Необходимые условия оптимальности в теории оптимальных процессов для распределенных систем выводятся с помощью различных вариантов принципа Лагранжа. Однако исследование задач оптимального управления для систем, не разрешимых относительно производной по времени, приводит к значительным трудностям. Особенность линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля [1], рассматриваемой в данной работе, заключается в том, что оператор, стоящий при производной по времени, имеет нетривиальное ядро. Квазистационарная система уравнений фазового поля возникает при моделировании фазовых переходов первого рода в мезоскопической теории и, в частности, описывает взаимодействие твердой и жидкой фаз для расплывчатой, кашеобразной области.

Основные усилия автора направлены на вывод системы оптимальности для задачи минимизации функционала, не учитывающего затраты на управление системой, т. е. вывод набора соотношений, вместе с ограничениями исходной задачи описывающих необходимые условия. На первом шаге доказывается разрешимость задачи управления для системы фазового поля, на втором — с помощью функции Лагранжа получена сопряженная задача и ее разрешимость и, наконец, формулируется критерий оптимальности. Технически исследование опирается на результаты В. Е. Федорова [2] при доказательстве разрешимости начальной задачи и результаты А. В. Фурсикова [3] при выводе системы оптимальности.

Кроме описанных уже особенностей системы, отличие рассматриваемой задачи заключается в использовании комбинированного управления. С практической точки зрения в некоторых ситуациях важно одновременное управление

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 14—01—31125—мол_а).

© 2014 Исламова А. Ф.

системой как посредством выбора начальных данных, так и на протяжении всего времени ее функционирования. Совокупность стартового и распределенного управлений названа в работе смешанным управлением. Ранее в совместных работах автора с М. В. Плехановой уже были рассмотрены вопросы разрешимости задач смешанного управления с различными функционалами качества для вырожденных систем [4-10], здесь же впервые приводятся необходимые и достаточные условия.

§ 1. Задача смешанного управления

В этом параграфе приведем необходимые в дальнейшем результаты. Пусть Ж, — гильбертовы пространства, Ь € ^(Ж';?У) (линейный непрерывный оператор из Ж в 2^), кег Ь = {0}, М € ^ 1(Ж;?¥) (линейный замкнутый плотно определенный в Ж оператор, действующий в пространство <3/). При исследовании будем использовать методы теории вырожденных полугрупп операторов [2,11]. Обозначим

N0 = N и {0}, рь(М) = {м € С :(рЬ - М)-1 #")},

К,р) (М) = П (№Ь - М)-1Ь, Ь^М) = П Ь(МкЬ - М)-1, к=0 к=0

Ж0 = кег Й(;1Р) (М), = кег Ь^) (М),

(черта над множеством означает замыкание в норме пространства или соответственно),

Ьк = Ь\хк, Мк = М|асшМк, аошМк = аошМ ПЖк, к = 0,1.

Пусть р € N0. Оператор М называется сильно (Ь,р)-секториальным, если

^(М) = {м € С : \агя(М - а)\ < 9, м = а} С рь(М);

К

П \мк - а\

к=0

К

\К^р)(М)(ХЬ - М)-^{У;Х) <-—

N

\Л - а\ П \мк - а\

к=0

Теорема 1.1 [2]. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-секториален. Тогда

(I) имеют место равенства & = Ж0 © Ж1,/ = °3/0 ©°3/1;

(II) Ьк €&(Жкк), Мк €сё'1(Жк;&к), к = 0, 1;

(ш) существуют операторы М0-1 € % (У 0;Ж0), Ь-1 € % (У 1;Ж1);

(1у) оператор С = М—1Ь0 € (^Г0) нильпотентен степени не больше р €

0;

(v) существует разрешающая полугруппа {X* G Jz? (^Г) : t > 0} уравнения Lx(t) = Mx(t), аналитическая в секторе Е = {т G C : | argт| < 0 — п/2, т = 0};

(vi) инфинитезимальным генератором аналитической полугруппы {X* G Jz?( J:'1) : t > 0} является оператор S = L-1Mi G J:'1).

Здесь X * — сужение оператора X* на ¿[Г 1. Проектор вдоль Ж0 на ЗС 1 обозначим через P, а вдоль W0 на W1 — через Q. Кроме того, будем использовать обозначение Hk(0,T; k G N, для пространства Соболева Wlf (0,T; ¿ST) функций u : [0, T] ^ Ж с нормой

( k т

IMIhW;Ж) = ( Е / yu(r)(t)fir dt \r=°0

Через H0(0, T; ¿ST) = L2(0,T; JT) будем обозначать пространство Лебега.

Пусть T > 0. Рассмотрим задачу управления с начальным условием Шо-уолтера

Lx

Px

«/

где непустое выпуклое замкнутое подмножество Ug пространства управлений U представляет собой множество допустимых управлений, пара (u, v) G U задает смешанное управление, x G L2(0, T; — заданная функция. В силу замкнутости оператора S пространство = domS = domM1 гильбертово со скалярным произведением (•, •)^S = (•, •)& + . В качестве пространства управлений

для данной задачи выберем U = Hp+1(0, T; х .

Сильным решением задачи (1.1), (1.2) назовем функцию x G H 1(0,T; удовлетворяющую условию (1.2) и почти всюду на интервале (0, T) — уравнению (1.1).

Специфика рассматриваемого вырожденного уравнения требует повышенной гладкости функции управления u (см. [12]). Чтобы учесть данное условие, решения уравнения (1.1) будем искать в гильбертовом пространстве

2Г = {z G H 1(0, T; JT) : Lz — Mz G Hp+1(0, T; 2Г)}, наделенном нормой

||z|1^ = llzHH1(0,T ;Ж) + ||Lz — MzyHp+i(0,T

Его полнота доказана в [12].

Минимизировать функционал стоимости будем на множестве допустимых троек W, т. е. на наборе функций (x, u, v) G 3f х U, удовлетворяющих условиям (1.1)—(1.3). Решением задачи управления (1.1)—(1.4) назовем тройку (X,u, D) G W, минимизирующую функционал стоимости: J(X) = inf J(x).

Теорема 1.2 [10]. Пусть оператор M сильно (L, р)-секториален, Ug — непустое замкнутое выпуклое множество, ограниченное в пространстве U. Тогда существует решение (x,u, D) G 3f х U задачи (1.1)—(1.4).

На парах u = (u,v) определим оператор л/, действующий по правилу s/u = x — решение задачи (1.1), (1.2). Учитывая вид решения [13,14] в случае

сильной (Ь, р)-секториальности оператора М, заметим, что оператор л/ будет определяться формулой

,#и(£) = +[ Х*-8Ь-1ди(5) -^ СкМ0-1(/-д)и(к)(£), 4 € (0,Т). (1.5) 0 к=0

Лемма 1.1. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-секториален. Тогда з/ € .¿5>(Яр+1(0,Тх ^; Ь2(0,Т; ¿Г)).

Доказательство. Линейность оператора очевидна. Из оценки на решение [15]

следует, что ^ € (Яр+1(0,Т; х ^; Я 1(0,Т; ^Т)), поэтому тем более € .¿5>(Яр+1(0,Тх ^; Ь2(0,Т;ЯГ)).

При X € Ь2(0, Т; ¿5Г) рассмотрим функционал

,/

Лемма 1.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, оператор л/ € (Яр+1(0, Т; х ^; Ь2(0, Т; ¿Г)) определен выражением (1.5) и * - сопряженный к л/ оператор. Тогда производная Фреше функционала (1.6) имеет вид Р'(и) = л/*(^и - X).

Доказательство. Для произвольного Ь € Яр+1(0, Т; х ^ рассмотрим приращение

Р(и + Ь) -Р(и) = {¿/и-х,дП1)ь,0 Т.Х) +

(0,Т;ЙГ) "Г" 2

В силу непрерывности имеем ||^Ь||^2(0 т-X) = 0(1|Ь||яр+1(0,т¡^х^), поэтому /'(и) - X).

§ 2. Разрешимость задачи управления для системы уравнений фазового поля

Пусть О С Мв — ограниченная область с границей дО класса Са € М. Искомыми функциями являются ^(ж,£), ((ж, 4):

г

д д

—г(ж, = — 0(ж, = 0, (ж, £) € дП х (0, Т), (2.2) дп дп

^

Д0

€ ,

= - г\\12{0,т.ып)) +\\\6 - в\\1^т.мт - К

где 5, 9 € Я 1(0,Т; Ь2(О)) заданы, непустое выпуклое замкнутое подмножество Ид пространства И = Я 1(0, Т; (Ь2(О))2) х Я|(О) — множество допустимых

управлений, тройка (и,ад,г>) € И задает управление, Н|(0) = {ад € Н2(0) : дад(х) = 0, х € дО}.

Решение задачи управления принадлежит пространству

& = {(;,() € НХ(0,Т;(^2(0))2) :

г, - А; € НХ(0,Т; ¿2(0)), А0 € НХ(0,Т; ¿2(0))}.

Обозначим Аад = Аад, domA = Н|(0) С Ь2(0).

Теорема 2.1. Пусть 1 — а € Тогда существует единственное решение

(г, (9, и,ад,«) € ^ х И задачи (2.1)-(2.6).

Доказательство. Проведем редукцию задачи (2.1)-(2.6) к абстрактной задаче управления с обобщенным условием Шоуолтера (1.1)—(1.4). Выберем пространства ЗС = = (Ь2(0))2 и операторы

Ь = (о о) ' М = ( А (а — 1)А + а).

Тем самым определены операторы Ь € (¿5Г), М € ^¿(^Г), причем, кегЬ = {0} х Ь2(0) и domM = (Н|(0))2.

Поскольку в [16] показано, что при условии 1 — а € оператор М сильно (Ь, 0)-секториален, ссылка на теорему 1.2 завершает доказательство.

§ 3. Критерий оптимальности для системы уравнений фазового поля

Для составления сопряженной задачи рассмотрим функцию Лагранжа для задачи

£(г, (9, и, ад, г>) = — \\г(х, £) — г(х

~ г

1 ~ 2 Г

+ ^\\в(х,г)-в(х,ЩЬ2[0<т.Ь2т+ ] ф3(х)(г(х,0) -у(х))(Ь

п

т

+ // ^(мх* М — Аг (х,Ч + «М — и(х,ВД ДО

0 п

т

^2(х, £)(А0(х, ¿) + (1 — а)0(х, £) + г(х, £) + ад(х, £)) ¿х^ о п

,3/

+/ ^3(х)(г(х'0)—«(х)) 'х

где (х, (х) — множители Лагранжа, ограничения на которые

опишем ниже.

Возьмем вариации по переменным г, 0, и, ад и «, т. е. рассмотрим функции г(х, £) + ¿;(х, £), 0(х, £) + ¿0(х, £), и(х, £) + ¿и(х, £), ад(х, £) + ¿ад(х, £) при (х, £) € О х (0,Т), «(х) + ¿«(х) при х € О, причем , ¿0, ¿и, ¿ад € НХ(0,Т; Ь2(0)), € Н2(0), и потребуем выполнения граничных условий для функций ¿2, ¿0.

Тогда линейная часть приращения функции Лагранжа выглядит следующим образом:

т т

,£ = //«х,«) - ^«Шх,«) ДО + / ¡<.т«) - *х. «»«Кх,«) до

0 О 0 о

т

1,1

+ //№,(х,«) - (х,о + Д(м> - ММ)»1 (х,«) до

0 о

т

- / /< Д.0(х,«Ж! - ^(х,«) + «) + Мх, «))ф2(х.«)ДО

0 о

+ /0Мх, 0) - Мх))ф3

о

Применяя интегрирование по частям, получим сопряженную краевую задачу из условия стационарности 6£ = 0 в оптимальной точке, приравнивая к нулю коэффициенты при вариациях:

ф^х,т) = 0, х е о,

д д

—ф1

дп дп

ф1

Дф^х,«) - Дф2(х,«) - (1 - а)ф2(х,«) + 0(х,«) - 0(х,«) = 0,

ф1

Искомыми здесь являются функции ф1, ф2, ф3.

Теорема 3.1. Пусть 1 - а е ^(А), г - в, 0 - 0 е Я 1(0,Т; Ь2(О)). Тогда задача (3.1)—(3.5) имеет единственное решение.

Доказательство. Редукцию задачи (3.1)-(3.4) проведем к задаче Шоуол-тера (1.1), (1.2). Выберем пространства Ж = & = (Ь2(О))2 и операторы

Ь = (1 0 ^ м = (-Д -1 ^ ь V о о у ' м V Д (а -1)1 - Д) .

Сильная (Ь, 0)-секториальность при замене переменных в = Т - « доказывается так же, как и для задачи (2.1)-(2.6). В силу результатов из [14] разрешимость задачи (3.1)-(3.4) относительно функций ф1, ф2 следует из условий г - в, 0 - в е Я 1(0,Т; Ь2(О)). Функция ф3 определяется из равенства (3.5).

Теорема 3.2. Пусть 1 - а е Ид — непустое выпуклое замкнутое

ограниченное множество пространства Я 1(0, Т; (Ь2(О))2) х Яд(О), (ф1, ф2, ф3) е Я 1(0,Т;(Ь2(О))2) х Ь2(О) — решение задачи (3.1)-(3.5). Набор (г, 0, г, й, «) е

х Н 1(0,Т; (Ь2(0))2) х Н|(0) является решением задачи (2.1)-(2.6) в том и только том случае, когда выполнено неравенство

т

«"(х, ¿)(и(х, ¿) — й(х,£)) + J ! ,2(х, £)(г(х, £) — ги(х, £)) о о о о

/,3/

+ |— г)(ж)) dx > 0, (u,w,v) G Ug,

которое в случае (u, w, )) G int Ug превращается в равенство.

Доказательство. Достаточно найти действие оператора *, сопряженного к оператору . Учитывая, что — решение задачи (3.1)-(3.5), при c = (z — z, в — 0) имеем

и, с}Ь2(0,т;Ь2(о)) =у J ^ (х,г)( — ^Ом) — А,1 (х,£) + ,2(х,4)) ¿х^ о о

т

+ // «(м,^1 (.,<)— А^2(х,о— а— о,,2 „о,

оо

т

= / /(—ад' (х. о — «,2 (х. о + «(х. «),1(х.«»до + /

о о о

т

+ / /<ад1 <*«) + .(х, «,2 <*«) + »<х. ад2 (х.»)) **

оо

т

=/ /

о о о

Таким образом, с = (,1(х, £), ,2(х, £), ,3(х)), и утверждение теоремы теперь следует из теоремы 1.4 [3, гл. 2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 3. С. 461—471.

2. Федоров В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 1646-1649.

3. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Науч. книга, 1999.

4. Исламова А. Ф., Плеханова М. В. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа // Тр. междунар. науч. конф. Дифференц. уравнения и смежные проблемы. Стерлитамак: СГПА, 2008. С. 111-115.

5. Плеханова М. В., Исламова А. Ф. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 11, № 20. С. 62-70.

6. Плеханова М. В., Исламова А. Ф. Задача со смешанным управлением для одного класса линейных уравнений соболевского типа // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 12, № 23. С. 49-58.

7. Исламова А. Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линейных уравнений соболевского типа // Тр. Воронеж. зимней мат. школы С. Г. Крейна. Воронеж: ВГУ, 2010. С. 69-74.

8. Плеханова М. В., Исламова А. Ф. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2011. № 7. С. 37-47.

9. Исламова А. Ф. Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Мат. моделирование и программирование. 2011. Т. 8, № 17. С. 37-46.

10. Плеханова М. В., Исламова А. Ф. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска // Дифференц. уравнения. 2012. T. 48, №4. C. 565576.

11. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht: VSP, 2003.

12. Плеханова М. В., Федоров В. Е. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 2. С. 87-93.

13. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 604-616.

14. Федоров В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 8. С. 131-160.

15. Плеханова М. В., Федоров В. Е. О существовании и единственности решений задач оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени // Изв. РАН. Сер. мат. 2011. Т. 75, № 2. С. 177-194.

16. Федоров В. Е., Уразаева А. В. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений // Тр. Воронеж. зимней мат. школы С. Г. Крейна. Воронеж: ВГУ, 2004. С. 161-172.

Статья поступила 29 апреля 2014 г.

Исламова Анна Фаридовна

Челябинский гос. университет,

ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001

isaf@csu.ru