Гарантированная оценка параметров и обнаружение момента разладки GARCH(1,1)-процесса

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 3

УДК 519.2

Е.Е. Сергеева, С.Э. Воробейчиков

ГАРАНТИРОВАННАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ

И ОБНАРУЖЕНИЕ МОМЕНТА РАЗЛАДКИ ОАКСИ(1,1)-ПРОЦЕССА

Рассматривается задача обнаружения момента изменения параметров ОЛЯСИ(1,1)-процесса. Параметры процесса предполагаются неизвестными. Предлагается последовательная процедура обнаружения момента разладки, использующая оценки, основанные на модификации метода наименьших квадратов со специальным образом подобранными весами. Получены формулы для расчета вероятностных характеристик процедуры, изучены ее асимптотические свойства. Приведены результаты моделирования.

Ключевые слова: ОЛЯСИ(1,1), момент разладки, модифицированный МНК.

Одной из наиболее часто используемых в настоящее время моделей случайных процессов являются процессы типа вЛЯСИ, введенные Т. Воііегеїеу [1]. Описание процессов такого типа предполагает, что на текущую изменчивость дисперсии влияют как предыдущие изменения показателей, так и предыдущие значения дисперсии. При определенных ограничениях на параметры вЛЯСИ-процесс является стационарным, хотя на отдельных интервалах времени его поведение может сильно отличаться. При исследовании временных рядов с большим числом данных может оказаться, что на разных временных интервалах параметры процесса нельзя считать неизменными. Таким образом, возникает задача обнаружения моментов изменения параметров процесса. Проблема обнаружения момента изменения статистических свойств наблюдаемого процесса является одной из классических задач математической статистики и известна в литературе как задача обнаружения разладки. Такие задачи возникают при обнаружении моментов изменения характеристик динамических систем, описываемых моделями авторегрессионного типа со случайными (дрейфующими) параметрами, а также при анализе эконометрических временных рядов.

Для решения задач обнаружения разладки разработан ряд алгоритмов, при различных предположениях о модели наблюдаемого процесса [2 - 4]. Наибольший практический интерес представляют алгоритмы, использующие последовательный анализ, которые позволяют обнаруживать произошедшие изменения в темпе поступления данных. Основными характеристиками последовательных процедур обнаружения разладки являются среднее время между ложными тревогами и среднее время запаздывания. Теоретическое исследование свойств процедуры обнаружения разладки для выборки фиксированного размера часто является невозможным, поэтому изучаются асимптотические свойства при неограниченном возрастании размера выборки.

Часто рассматривается задача обнаружения разладки в предположении, что известна начальная и конечная модели процесса. Однако большой прикладной интерес представляют такие ситуации, когда распределение процесса до и после момента разладки является неизвестным. Оценка параметров вЛЯСИ-процесса является трудной задачей. Для оценивания параметров таких процессов часто ис-

пользуется метод квазимаксимального правдоподобия. Такие оценки рассматривались, в частности, в [5 - 7]. С другой стороны, Baillie и Chung [8] предложили оценку с минимальным расстоянием для модели GARCH(1,1), которая основывается на автокорреляционной функции квадратов наблюдений.

В данной работе предлагается последовательная процедура обнаружения момента изменения параметров GARCH-процесса с неизвестными значениями параметров до и после момента разладки. Для определения момента разладки процесса используются оценки параметров, построенные с помощью модифицированного взвешенного метода наименьших квадратов, предложенного С. Воробейчи-ковым и Н. Медер в [9]. Исследованы основные характеристики процедуры обнаружения разладки: вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия. Результаты моделирования демонстрируют эффективность предложенной процедуры.

где {£„} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распределением. Условная вариация процесса хи+1 представляет собой случайный процесс вида

Параметры {а, X} предполагаются неизвестными, а параметр д известным, причем параметры процесса удовлетворяют условиям

Тогда процесс с2и+1 является стационарным [1]. Вектор параметров Л=[а, X] меняет свое значение с Л0 на Л1 в случайный момент времени 0. Начальное и конечное значения параметров удовлетворяют условию

где Д является известным значением, определяющим минимальное расстояние между значениями параметров до и после момента разладки. Требуется по наблюдениям за процессом хп определить момент разладки.

Так как значения параметров до и после момента разладки являются неизвестными, то необходимо получить их оценки. Используя определение ОАЯСН-процесса, можно получить

Чтобы привести авторегрессионный процесс к удобному для исследования виду, используем подход, который был предложен в [13]. Тогда процесс (1) можно записать в виде

1. Постановка задачи Рассматривается устойчивый случайный процесс GARCH

стП+1 = я + Хх2п +цст;;.

a >0, Х> 0, ц > 0,0< Х + ц <1.

|Л0-Л12 >Д >0,

2. Построение оценок параметров

Хп+1 _ Пп+1Єп+1

(a + Хх2 +цстП )є;

п+1

Введем следующие обозначения:

ш„ = тах

Л, п+1 і п \

Ц г-

1 і=0

х2 ип+! — 1

у = п+1 . = Ц 1 ... =

їп+1 =----------, ип =-----------------, Мп =

тп

(Ц —1)тп

і=0________

тп

ц п+1 — 1

Вм --

Ц-

С п+1- е2+1 — 1- ип - (п Мп )Т , Л - (а ^).

Теперь процесс (1) можно записать в векторном виде

^+1 _ Л^„ + ^ ^ п+1. Построим оценку величинв Вк в (2). С одной стороны,

ц п+1 — 1

вы ='

— + Х£х;У

1 і=0

п+1 і п

тах

Ц —1 і=0

< (а + Х).

С другой стороны.

ґ Ц п+' — 1

х2 =

хп+1 _

ц-

— __ ґ Ц п+1 _1

+ Х^х2цп—г С2+1 * (а + Х)тіп -Н—1 1 1

1 і=0 V Ц 1 г=0

с п+.

Тогда

(а + Х) < 1

х2

хп+1—к

I (1п+1—к і п—к

к=0 тіп 1Ц 1 ^„2„п—к—і

Ц-

А г>

N

эи+1—к

к=0

N - натуральное число, такое, что С определена. Это значение зависит от плотности распределения шумов процесса (1). Далее будем использовать оценку ВN, полученную в следующем виде:

N х2

В _ ^________________ п+1-к

(,,п+\-к л п-к к_0 Ц 1 \~'„.2. ,п-к-г

Ш1П

Ц

12цп

А 4—Г>

см.

Для нахождения оценки неизвестного вектора параметров Л используем последовательный метод оценивания, предложенный в [9]. Оценка имеет вид

( N1 \

Л (N0 =

1 ук+^(к, х)ик V к - N+1

А1( N0,

А(Щ) = 1 у(п,х)Ппитп .

Для фиксированного значения Н > 0 определим момент остановки т _ т(Н

Т _ т

где итт(М) - минимальное собственное значение матрицы ^(N1).

т

п

Положительные весовые функции у(п,х) на интервале [N+1, Ж+с-1] задаются следующим образом:

где с - наименьшее значение Ы1, для которого А(М) не вырождена. Веса у(п,х) на интервале [Ж+с, т-1] находятся из условий

Свойства предложенной оценки (3) - (6) задаются в теореме 1.

Теорема 1. Для любого значения параметра процедуры Н>0 момент прекращения наблюдений т(Н) конечен с вероятностью единица и средний квадрат отклонения оценки Л*(Н) от истинного значения вектора параметров Л удовлетворяет неравенству

Доказательство. Момент прекращения наблюдений т(Н) является конечным тогда и только тогда, когда расходится почти наверное ряд

п = N+1

Принимая во внимание условие сходимости временных рядов [10] и определение собственного вектора матрицы А(^) [11], можно показать, что данный ряд является расходящимся при любом значении параметра Н.

Используя неравенство Коши - Буняковского (4), (6), можно получить

Введем усеченный момент остановки т(М)=тт{т, N1}, причем т(М)^т при N1^. Тогда (7) преобразуется к виду, отличающемуся от исходного только пределом суммирования. Обозначим Гп =с(х0, Съ---, Сп) - с-алгебру, порожденную случайными величинами {х0, Съ--, Сп}. Используя свойства условного математического ожидания, получаем

у

1

Последняя весовая функция у(т,х) находится из условия

> X ^2(п,х)ПТпип, итт(т) = Н.

В п= N+ а

в n=N+а

Оценка параметров Л*(Н) в момент времени т имеет следующий вид:

Т

А(т) = X У(^ х)ипиТП .

п=N+1

М {|Л*(Н) -л|} < —

2 Н +1

X v2(n, х)иТпип = » .

-^МГХВ%1У(п,х)П2\ = -^М{ X В2у2(п,х)ипХ2п+1)\ =

Н \п=N+1 \ Н |п=N+1

Н.М{ ^В2V2(пх)^п2М| X В2V2(пх)^п2Ь^Н.

Н I п= N+1 I Н I п= N+1 I Н

Теорема доказана.

Теорема 2. Если процесс (1) является устойчивым, М (^ п )4< и выполнено следующее условие:

М-РЩЩ.,

иТ,и„

где у(Н) - функция, такая, что у(Н)Н^- при Н^-, то для достаточно больших Н

Р{| л*(Н)-л |2> х} < 1 -^

где ^(х) является распределением X2 с двумя степенями свободы.

Доказательство. Учитывая (6), аналогично доказательству теоремы 1 можно получить следующее неравенство:

М{|л*(Н)-л}2 ¿-^М{ X Кп+^(п,х)Пп

Н 1п=N+1

Пусть {Гк}к>1 последовательность с-алгебр. Рассмотрим мартингал

В _

1 к = N+1

X =~г^Г X v(k, X)БПкСк+1,

'*Н + 1 к=N+1

где Б = [й?ьйУ - произвольный вектор. Далее найдем предельное распределение Хт аналогично доказательству центральной предельной мартингальной теоремы [10]. Обозначим

Пк = Пк(Н)= Л— v(k,х)БикCk+lX(k<т), Хп = X Пк.

чН +1 к=N+1

Для того чтобы найти характеристическую функцию Хт, нужно найти предел характеристической функции Хп, так как Хп ^Хт при п ^-. Обозначим

(Х)|= \\М{егХЛк|^}.

I Т _ ,

к = N+1

Лемма [10]. Если для заданного X выполняется условие

| Тп (X) |> с(Х)>0, п >1, то сходимости по вероятности

Тп

достаточно для сходимости

М(ешп) ^ М(е1ХХ).

Проверим выполнение условий леммы. Расматривая

|¥n (X)|= П М }|= П 11+M{eMk -1 - Hnk\Fk}\,

k=N+1

приходим к неравенствам

k=N+1

/г 2

Чп)|> I! (1-М{( -1-iXnkUFk})> I! (1-м|^|Fk

k=N+1

П

k=N+1

( (XBv(k,x)P^k)2X(k.x) 2 ^

2( H + 1) Z k+1

' miY,T)

= exp

> exp

V k=N+1 Учитывая (5), получаем

H +1

> exp

k=N+1V ( n i

Y in

k=N+1

f x2B2

V H + 1 k=N+1

1 -

T Л

Y

r X2B2 H +1Л H +1 B 2

= exp(-X ).

Таким образом, условия леммы выполняются. Далее, чтобы найти асимптотическое распределение ¥"(Х), запишем ¥"(Х) в следующем виде:

| ¥n (X) |= exp | Y М { -1 - iXnk | Fk j ] х

V k=N+1 /

хexpi-^M{ -1 -/'Xnk|Fk}]х ¡Л 1+M{ -1 -/Xnk|Fk}.

V k=N+1 / k=N+1

Рассмотрев два последних сомножителя, используя (5), (8), неравенства

iXx I .-Л ,, 1^

и обозначив

получим

Pk = М{eiXnk -1 - iXnk|Fk },

-Pk

-1

k=N+1

< exp

4 D4

expiin П |:+Pk

k=N+1

-1

in П (1+Pk e

k=N+1 |2 t

in П (1 + Pk )e"

k=N+1

Y (v (k, x)DUk )2 <X4B2 |D|2 Y(H) H ^ >0.

k=N+1

Таким образом, произведение двух последних сомножителей в (10) сходится по вероятности к единице при Н——. Используя неравенство

|е“х -1 -(Хх!+ М:<М.,

2 6

первый сомножитель в (10) можно представить в виде

ехр

£ M { -1 - Hnk\Fk P = exp |-2 £ M — ?\Fk}

k=N+1

ехр

V k=N+1

£ м \eMk -1 - iX% +

' k=N+1

(Xn )2

\ Fk

где

£ м

k=N+1 3

,iXnk

-1- iXnk +

\ Fk

B n

—r—3 £ м {\ Xv(k,x)DUkzk+1 \3 X(k*0 \ Fk}

6(V H + 1) k=N+1

B3 \ x \3 м \ zk+1 \3

£ \v(k, x)DUk \3

6(л/ H +1)3 k=N+1

Рассмотрим теперь

exp I-1 Y M {k)2| Fk } =

L 2 k=N+1 J

H

->0.

= ехр

л 2 d2 min(п,т) і I 0,

^ (v(k,x)DUk)2 [ = exp]--<X„>[.

Согласно (5), Хп> является ограниченным субмартингалом. Поэтому существует предел <Хп> и он ограничен <Х> < |Б|2. С другой стороны, <Хп>—<Хт> при п—. Таким образом, распределение <Хт> является асимптотически гауссовским. Поэтому случайный вектор

В

S = ГГТ^ £ v(k, X)Ukzk+1 VH +1 k=N+1

является асимптотически нормальным с параметрами (0, Е). Покажем, что след ковариационной матрицы М{££г } не превосходит по величине единицы. Имеем

1г(М{Жг}) = М'X V2(к,х)Пткик 1 < 1.

I Н +1 к=N+1 I

Отсюда, при Н—, получаем 1г( Е )=1. Оценим вероятность

P— (H)— Л >х}

р< р{

H + 1 . ^ |2

— | S \2> хр

, 1  f exp—— y{ lyT Py,

J,c » 2 I

где

C H +1 C =------— x.

H2

Так как след матрицы не превосходит единицу, то ковариационная матрица Е

не превосходит единичную матрицу, обозначив t = Е 12у можно записать

P—*(H)-Л| > x|< -р- f exp—2ttT pt < 1

(2П) t'LtT >C 2

< 1 - F

Теорема доказана.

3. Построение процедуры обнаружения разладки

Построим процедуру определения момента разладки. На первом шаге определяются интервалы [х;_1+1, т,], , > 1. На каждом из этих интервалов строится оценка Л,*(Н) (6) процесса (1). Далее сравниваются оценки параметров, полученные на интервалах [т,_т-1 + 1, т,-т] и [т,-1 + 1, т,], отстоящих друг от друга на т шагов. Если интервал [т,-1 + 1, т,] не содержит момент разладки 0, то вектор параметров Л на этом интервале является постоянным и его значение равно или начальному Л0, или конечному Л1 значению. Если для определенного , разница между значениями параметров на интервалах [т,-т-1 + 1, т,-т] и [т,-1 + 1, т,] не меньше, чем заданная величина Д, то т,-т < 0 < т,-1 + 1. Составим статистику •/,-, соответствующую интервалу [т,-1 + 1, т,] для , > т:

Л =

Эта статистика характеризует квадратное отклонение оценок с номерами , и ,-т. Обозначим отклонение оценки Л,* от ее истинного значения через с,. Если выполняется условие 0 > тi , то до момента тi значения параметров остаются неизменными и статистика (11) имеет вид

Л, = 1^, ^,-т I .

Если тт < 0 < т,-1, то есть изменение значений параметров произошло на интервале [тт, т,-1], то статистика Лг примет следующий вид:

Лг =|л1 -л0 + <5 ,-(5 ,-т Р .

Алгоритм определения точки изменения параметров процесса заключается в следующем: значение заданной статистики (11) сравнивается с пороговым значением 5. Решение о наличии разладки принимается при превышении значения статистики Л значения 5. Важными характеристиками любой процедуры обнаружения разладки являются вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия. Благодаря использованию взвешенного метода наименьших квадратов для построения оценок, в каждом цикле наблюдений можно обеспечить заданную вероятность ложной тревоги и ложного спокойствия, выбирая параметр процедуры Н соответствующим образом.

Теорема 3. Пусть 0 < 5 < Д, тогда вероятность ложной тревоги Р0 и вероятность ложного спокойствия Р1 на любом интервале наблюдений [т,-1+1, т,] являются ограниченными:

Р„< Н, 5) < ^ Р< Н, 5) < .

Н 5 Н2

Доказательство. Рассмотрим вероятность ложной тревоги. В этом случае значение статистики Л, превышает порог 5 до момента разладки 0. Используя свойства нормы вектора и неравенство Чебышева, получаем

Р„<Н,5) = Р{Л, > 51Т, <0} = Р-а,-т|’ > 5} < }?^т''} <^

у ’ О Н 5

Для нахождения вероятности ложного спокойствия рассматриваются случаи, когда момент разладки уже наступил, а значение статистики (11) не превысило порогового значения 5. Вероятность Р1 имеет вид

Р (Н, 5) = Р { < 5 | т,._ т < 0 < т,-} = Р { - Л о + аг - а,._и |2 < б) =

=р { -л о+а -ст,.-т <%/5}.

Учитывая Л1 - Ло|2 >Д >0 и используя свойства нормы и неравенство Чебышева, получим

Р (Н, 5) = Р { - Ло + аг - а,.-^ < л/5) < Р { - { - а,^ | < л/5) =

= Р {-а,,| +"+1>.

н 2

Теорема доказана.

Следующая теорема задает асимптотическую границу для вероятностей ложной тревоги и ложного спокойствия.

Теорема 4. Пусть 0 < 5 < Д и выполнены условия теоремы 2. Для достаточно больших Н вероятность ложной тревоги Р0 и вероятность ложного спокойствия Р1 удовлетворяют неравенствам

' Н2(^-^)2 2

Ро(Н, 5) < 2

1 - Р

Р1(Н, 5) < 2

4

где Р (х) - ^2-распределение с двумя степенями свободы.

Доказательство. Рассматривая вероятность ложной тревоги и используя для ее оценки неравенство Минковского и свойство асимптотической нормальности, доказанное в теореме 2

Ро

¡ = Р{1~а,-тГ >5Р

Н<Л

< р{ -Л ^ > 4++рТ -Л,-т |2 >4) 2

к Лк) + (Лк-т Лк-т

1 - Р

)|2 >8+

4

Используя неравенство Минковского и асимптотические свойства построенной оценки, вероятность запаздывания в обнаружении определяется следующим образом:

Р (Н ,5) = Р {13 (Н) |2 <5} = Р{ -Л(

-Ло +а,-а,-т1 <5РР!|а-а-т

)< р-а-т ИЛ1 -Ло|2-5}<

Л ,2 (д-75) •+Р- . * .2 (Тд-л/5)2 Ло -Ло >^ >< 2 1-Р Г н 2(л/д-л/5)2 У

1 4 1 о о1 4 - 1 4 +1) )

Теорема доказана.

4. Результаты численного моделирования

Для проверки работоспособности процедуры обнаружения разладки были проведены компьютерные эксперименты. Моделировался процесс ОАЯСН(1,1) со стандартными гауссовскими шумами

Хп+1 = П = 0,1,...,

где

аП+1 = а + ’кхПа +^а2.

Параметр д полагался равным д = 0,3. Рассматривалась реализация процесса длиной 15 000 значений, которая содержала два момента разладки. Вектор параметров {а, X} в момент 0 = 5 000 изменялся с {0,3; 0,6} на {0,5; 0,1}, в момент 0 = 10 000 на {0,1; 0,5}. Исследовалась процедура определения момента разладки для различных значений Н и 5, а также результаты оценивания неизвестных параметров процесса. Для каждого набора параметров проводилось 100 экспериментов. Результаты моделирования приведены в табл. 1 и 2.

Т аблица 1

Оценки параметров процесса

Н Лі* Л2* Л3* МБЕ4 МБЕр

Я=350 ( 0,318 10,546) (0,474' 10,121) ( 0,105 ' [0,483) 0,0029 0,0015

Я=400 (0,307'і 10,577) (0,488' 10,122 ) ( 0,106' 10,475) 0,0025 0,0005

Я=450 (0,303' 1 0,59 ) (0,468' 10,167 ) ( 0,127' 10,502) 0,0022 0,0021

В табл. 1 приведены результаты численного моделирования предложенного метода оценки неизвестных параметров процесса ОАЯСН(1,1) и процедуры обнаружения разладки. Здесь А,-*(Н), / = 1,2,3, - оценки неизвестных параметров процесса (12) параметров процесса, М8Б и М8БР - значения среднеквадратического отклонения оценок от их истинных значений, полученные с помощью соотношений, доказанных в теореме 1 и в результате моделирования соответственно.

Для исследования вероятности ложной тревоги и среднего времени между ложными тревогами рассматривалась реализация процесса длиной 400 000 значений, не содержащая момента разладки. Фиксировались те моменты времени, когда процедура обнаруживает разладку. Для нахождения вероятности запаздывания в обнаружении и среднего времени запаздывания рассматривалось 100 реализаций процесса (12) длиной 10 000 значений каждая, для которых момент разладки параметров процесса моделировался как равномерно распределенная случайная величина на интервале [5 000, 5 500]. Учитывались только те реализации процесса, для которых существовала задержка в обнаружении момента разладки. Результаты моделирования приведены в следующей таблице.

Т аблица 2

Оценки моментов изменения параметров и характеристики процедуры обнаружения

Я, 5 01* 02* т0 Т1 Р<Р РА Р0С Р1Р РА РС

Я = 350 5 = 0,1 6215 10988 398341 1196 0.013 0,025 0,115 0,181 0,193 0,214

Н = 400 5 = 0,075 6027 10726 33196 900 0.027 0,048 0,134 0 0,048 0,134

Я = 450 5 = 0,05 6112 10509 26529 780 0.038 0,121 0,178 0 0,006 0,085

01* и 02* - средние значения оценок моментов изменения параметров, вычисленные по 100 реализациям процесса; Т0 - среднее время между ложными тревогами; Т1 - среднее время запаздывания в обнаружении; Р0Л, Р0С и Р0р обозначают вероятности ложной тревоги, полученные с использованием свойства асимптотической нормальности оценки, неравенства Чебышева и в результате моделирования соответственно. Соответствующие вероятности ложного спокойствия обозначены Р1А, Р1С и Р1р.

Результаты исследований демонстрируют эффективность предложенного метода оценки параметров процесса ОЛЯСИ(1,1) и предложенной процедуры определения момента разладки. Точность оценки неизвестных параметров процесса зависит от выбора значения параметра Н. При возрастании параметра Н увеличивается точность оценивания, однако при этом увеличивается время запаздывания в обнаружении. С другой стороны, при уменьшении ухудшается точность оценки, что показано на рис. 1 и 2. Выбор величины 5 влияет на скорость определения момента разладки. При увеличении значения 5 увеличивается время запаздывания в обнаружении, при уменьшении значения параметра повышается вероятность ложной тревоги. Во всех случаях вероятностные характеристики процедуры обнаружения не превышают теоретических, что позволяет сделать вывод о возможности их применения.

Рис. 1. Оценки неизвестных параметров процесса (пунктирная линия - оценка параметра по взвешенному методу наименьших квадратов, сплошная - истинное значение параметра). Параметры процедуры Н = 250, 5 = 0,1

0,5

0-

0

5000

10000

Рис. 2. Оценки неизвестных параметров процесса (пунктирная линия - оценка параметра по взвешенному методу наименьших квадратов, сплошная - истинное значение параметра) Параметры процедуры Н = 400, 5 = 0,05

Заключение

В работе построена и исследована последовательная процедура обнаружения момента изменения значений параметров процесса GARCH(1,1), параметры которого предполагаются неизвестными до и после момента разладки. Алгоритм определения точки изменения параметров процесса заключается в сравнении оценок неизвестных параметров процесса на различных интервалах наблюдений. Используются оценки, построенные с помощью модифицированного взвешанного метода наименьших квадратов с гарантированным среднеквадратическим отклонением, точность которых зависит от заданного параметра процедуры. Найдены характеристики процедуры обнаружения разладки, исследованы асимптотические свойства. Численное моделирование показало работоспособность предложенной процедуры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // J. Econometrics. 1986. V. 86. P. 307-327.

2. Бассвиль М., Вилске А., Банвенист А. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем. М.: Мир, 1989.

3. Kokoszka P., Leipus R. Change-point detection in the mean of dependent observations // Statistics & Probability Letters. 1998. V. 40. No. 4. P. 385-393.

4. Lai T.Z. Sequential change-point detection in quality control and dynamical systems // J. Res. Statist. Soc. B. 1995. V. 57. No. 4. P. 613-658.

5. Berkes I., Horvath L. The efficiency of the estimators of the parameters in GARCH processes // Annals of Statistics. 2004. V. 32. P. 633-655.

6. Francq C., Zacoian J.M. Maximum likelihood estimation of pure GARCH and ARMA -GARCH processes // Bernoulli. 2004. V. 10. P. 605-637.

7. Francq C., Zacoian J.M. Quasi - Maximum likelihood estimation in GARCH processes when some coefficients are equal to zero // Stochastic Processes and their Application. 2007. V. 117. P. 1265-1285.

8. Baillie R.T., ChungH. Estimation of GARCH models from the autocorrelation of the squares of a process // J. Time Ser. Anal. 2001. V. 22. No. 6. P. 631-650.

9. Meder N., Vorobejchikov S. On guaranteed estimation of parameters of random processes by the weighted least square method // Proc. 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona, 2002. Р. 1200.

10. ШиряевА.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

12. Буркатовская Ю.Б., Воробейников С.Э. Гарантированное обнаружение момента разладки GARCH-процесса // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. С. 56-70.

13. Дмитренко А.А., Конев В.В. О последовательной классификации процессов авторегрессии с неизвестной дисперсией помех// Проблемы передачи информации. 1995. Т. 31. Вып. 4. С. 51-62.

Сергеева Екатерина Евгеньевна Воробейников Сергей Эрикович Томский государственный университет,

E-mail: sergeeva_e_e@mail.ru; sev@mail.tsu.ru Поступила в редакцию 30 марта 2011 г.