О преобразованиях сингулярных триангуляций 3-многообразий

О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СИНГУЛЯРНЫХ ТРИАНГУЛЯЦИЙ З-МНОГООБРАЗИЙ

А.Ю. МАКОВЕЦКИЙ*

Челябинский государственный университет,

Институт математики и механики УрО РАН

Пусть Т\ и Т2 - две сингулярные триангуляции одного 3-многообразия. В данной работе доказывается, что существует сингулярная триангуляция Тз того же 3-многообразия, являющаяся общим подразделением 7\ и Т2  Рассматривается связь этого факта с теоремой Александера для триангуляций.

Ключевые слова: трехмерное многообразие, специальный спайн, сингулярная триангуляция, триангуляция.

1. Введение

Триангуляции, сингулярные триангуляции и специальные спайны являются важными способами задания 3-многообразий. Для триангуляций известна теорема Александера об их преобразованиях [1]. В данной работе описывается связь между преобразованиями сингулярных триангуляций и преобразованиями спайнов и формулируется теорема о преобразованиях сингулярных триангуляций. Эта теорема для сингулярных триангуляций в определенном смысле сильнее, чем теорема Александера для триангуляций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Компактный 2-полиэдр Р называется специальным полиэдром, если выполняются следующие условия:

1) линк каждой его точки гомеоморфен одному из следующих одномерных полиэдров:

окружности с тремя радиусами;

2) в Р есть хотя бы одна точка типа (с);

3) любая 2-компонента (т.е. компонента связности точек полиэдра типа (а)) полиэдра Р гомеоморфна открытой двумерной клетке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Объединение точек типов (Ь) и (с) специального полиэдра Р называется его особым графом и обозначается через БР.

Особый граф специального полиэдра содержит конечное число точек типа (с), называемых его вершинами. Его оставшаяся часть распадается

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 99-01-00813), фонда Университеты России (грант № 992742) и НМТАЭ (грант № 97-808).

в объединение тройных линий, т.е. связных компонент множества точек типа Ь. Тройные линии будем называть ребрами особого графа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пусть — компактное трехмерное многообразие с краем. Специальный полиэдр Р С называется специальным спайном многообразия Ш1, если разность 9Л\Р гомеоморфна dfflt X (0,1].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Специальным спайном замкнутого многообразия Ш называется специальный спайн многообразия \ D3, где D3 — открытый шар в Ш.

Рассмотрим 3-многообразие Ш1. Семейство непрерывных отображений <ра : Tda —т- Ш стандартных симплексов Tda, da G N, в называется сингулярной триангуляцией Ш1, если:

1) ограничение <~ра\штла является вложением;

2) ipa{\ntTda) является открытой клеткой некоторого клеточного разбиения многообразия Ш1;

3) для любой грани F симплекса Tda ограничение (ра\F может быть получено композицией линейного изоморфизма F —т- TdP и отображения <Р/3 : TdP ÜJÎ.

Заменяя в первом условии <~ра\штла на '-Ра и добавляя условие, что два симплекса либо не пересекаются, либо пересекаются по одной общей грани, получаем определение триангуляции 3-многообразия.

Автор благодарен С.В. Матвееву за помощь в работе над статьей.

2. Преобразования спайнов и сингулярных триангуляций

Опишем преобразования специальных спайнов, введенные С.В. Матвеевым [2]. Выберем в специальном спайне Р ребро е, инцидентное ровно двум вершинам спайна. Рассмотрим регулярную окрестность Е\ ребра е в спайне Р. Пересечение окрестности Е\ с остальной частью специального спайна Р гомеоморфно объединению двух окружностей, соединенных тремя дугами. Подполиэдр Е\ изображен на рис. 1.

Рассмотрим подполиэдр Е2, который представляет собой поверхность треугольной призмы вместе со средним треугольником и тремя прямоугольниками, которые присоединены к поверхности призмы вдоль трех ее ребер.

Естественная граница подполиэдра Е2 гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е\. Если заменить подполиэдр Е\ на подполиэдр Е2, то получим новый специальный полиэдр Q.

Е

М

М'

Е.

Рис. 1. Преобразование М

Преобразования М и М 1 изображены на рис. 1. Опишем подполиэдры Ез и Е4 (рис. 2).

Е.

Рис. 2. Преобразование Ь

Е

Преобразование, состоящее в переходе от специального спайна Р к специальному спайну <3, обозначается через М. Преобразование, состоящее в переходе от специального спайна <3 к специальному спайну Р, обозначается через М~1.

Подполиэдр Ез является окрестностью участков двух ребер, инцидентных одной 2-компоненте спайна. Подполиэдр Е4 является боковой поверхностью цилиндра со средним диском и двумя вертикальными прямоугольниками.

Естественная граница подполиэдра Ез гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е4. Если заменить подполиэдр Ез на подполиэдр Е4, то получим новый специальный полиэдр Б.

Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Р к специальному полиэдру Б, обозначается через Ь. Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Б к специальному полиэдру Р, обозначается через Ь~х.

Подразделение триангуляции называется звездным, если переход от одной триангуляции к другой состоит в следующем. Выберем в многообразии точку Р. Симплексы, не содержащие точку Р, остаются без изменений, а каждый симплекс, содержащий точку Р, разбивается на конусы с вершиной Р над теми гранями рассматриваемого симплекса, которые не содержат точки Р.

Известная теорема Александера о звездных преобразованиях в работе [3] формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Т\ и Т2 — две триангуляции одного и того же 3-многообразия. Тогда от Т\ к Т2 можно перейти с помощью последовательности звездных преобразований и обратных к ним преобразований.

Каждому специальному спайну Р замкнутого 3-многообразия ЭД1 можно сопоставить двойственную сингулярную триангуляцию этого многообразия. Одной вершине спайна соответствует один тетраэдр двойственной триангуляции, шести частям 2-компонент спайна из окрестности вершины в спайне соответствуют шесть ребер тетраэдра, четырем ребрам из окрестности вершины — четыре грани тетраэдра.

Преобразованиям М^1 и Ь^1 спайнов соответствуют преобразования М*±1 и £*±1 [рис. 3, 4]. Преобразование М* состоит в переходе от бипирамиды, разбитой на два тетраэдра, к той же бипирамиде, но разбитой на три тетраэдра. Преобразование Ь* состоит в переходе от двух треугольников с общим ребром к двум тетраэдрам, склеенным по двум граням.

Рис. 3. Двойственное преобразование М*

Рис. 4. Двойственное преобразование Ь*

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть Р и Q — специальные спайны 3-многообразия Ш. Тогда существует такой специальный спайн S многообразия ffît, что от Р к S можно перейти с помощью последовательности преобразований М и L и от Q к S можно перейти с помощью последовательности преобразований М и L.

Доказательство теоремы 2.2 приведено в [4].

Следствием теоремы 2.2 является следущая теорема.

ТЕОРЕМА 2.3. Для любых двух сингулярных триангуляций замкнутого 3-многообразия с одинаковым количеством вершин существует их общее подразделение, к которому от исходных триангуляций можно перейти с помощью преобразований М* и L*.

Таким образом, теорема 2.3 доказывает, что у двух сингулярных триангуляций одного многообразия существует общее подразделение, в отличие от сформулированной выше теоремы Александера, доказывающей существование пути произвольного вида, связывающего две триангуляции одного многообразия.

Список литературы

1. Alexander J.W. The combinatorial theory of complexes // Ann. Math. 1930. Vol. 31. P. 294-322.

2. Матвеев C.B. Универсальные деформации специальных полиэдров // Успехи мат. наук. 1987. Т. 42, вып. 43. С. 193-194.

3. Turaev V.G., Viro О.Y. State sum ivariants of 3-manifolds and quantum 6j-sym-bols 11 Topology. 1992. Vol. 31, № 4. P. 865-902.

4. Маковецкий А.Ю. О преобразованиях специальных спайнов и специальных полиэдров // Мат. заметки. 1999. Т. 65, № 3 (1999). С. 354-361.

5. Pachner U. Konstruktion methoden und das kombinatorishe Homomorphierproblem fur Triangulationen kompakter semilinearean Mannigfaltigkeiten // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1987. Vol. 57. P. 69-86.

SUMMARY

Let T\ and T2 be a singular triangulation of a 3-manifold. In this paper is proved that there is the singular triangulation T3 of the same 3-manifold, which is the common subdivision of T\ and T2. Consider connection beetween this result and Alexander theorem for triangulations.