НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПО МОДЕЛИ МАРКОВИЦА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ДОЛИ ИНСТРУМЕНТОВ ИДЕКСНОГО ФОНДА

Куимов П.А. студент магистратуры 1 курса факультет «Прикладной математики и механики» ФГБОУВПО «Пермский национальный исследовательский

политехнический университет» Россия, г. Пермь

НАХОЖДЕНИЕ оптимального портфеля по модели

МАРКОВИЦА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ДОЛИ ИНСТРУМЕНТОВ

ИДЕКСНОГО ФОНДА

Ключевые слова и фразы: портфель ценных бумаг, доходность, риск, модель Марковица, структура индекса.

Аннотация. В статье исследована возможность введения дополнительных параметров в один из способов оптимизации структуры портфеля ценных бумаг-в модель Марковица. Эти параметры рассмотрены в виде ограничений на доли инструментов. Ограничения берутся в таком виде, что полученная структура портфеля максимально приближена к настоящему положению на фондовом рынке. По сути, в работе предложено одновременно использовать как активный способ управления долями инвестиций в портфеле, так и пассивный. Введена дополнительная целевая функция, которая описывает степень совпадения распределения долей ценных бумаг, формирующих оптимальный портфель, с распределением, построенным по методу индексного фонда. Итогом данного подхода является двухкритериальная задача с ограничениями. В конце статьи приведена практическая иллюстрация предложенной модели, результаты которой показывают возможность использования данной методики.

1.Введение. На данный момент существует множество подходов для нахождения и составления структуры портфеля ценных бумаг (ПЦБ), в основу большинства которых положена модель Марковица. Тем не менее в следствии нынешних неустойчивых и неоднородных процессов, протекающих на фондовом рынке, результат нахождения оптимального портфеля по модели Марковица может не соответствовать реальной действительности. Цель, которую, как правило, преследует инвестор, заключается в получении максимального дохода по данному сконструированному портфелю. Если инвестор захочет перераспределить свои инвестиции согласно текущему положению рынка ценных бумаг (ЦБ), то задача становится неопределенной. В этом случае выправить данное положение дел помогают введенные новые, определенно заданные, ограничения на доли инструментов. Для того чтобы добиться высокого дохода по сконструированному портфелю, инвесторы зачастую ищут возможности управления структурой портфеля ценных бумаг. Особенно здесь ценится способность формировать оптимальный портфель с близким к заранее заданному набору ЦБ.

В статье предложено совместно рассмотреть активную и пассивную

портфельную стратегию. Активная модель управления предлагает варьировать состав финансовых инструментов в портфеле. Особенностью данной модели является привлечение в ПЦБ наиболее эффективных рыночных инструментов, в то же время неэффективные активы необходимо исключить. Пассивное же управление опирается на предположение об информационной достаточности рынка ценных бумаг, а именно представления о невозможности устойчивого отклонения от среднерыночных уровней доходности финансовых инструментов. Поэтому наибольший интерес вызывает совместное использование данных методов управления ПЦБ.

В данной работе в качестве представителя активного управления берется модель Марковица с определенно заданными ограничениями на доли инструментов, а в качестве пассивного - метод индексного фонда. Также после теоретической части рассматривается конкретный пример с актуальными котировками инвестиций.

2. Модель Марковица. В модели Марковица 20 ПЦБ называется эффективным (оптимальным), если в совокупности он имеет минимальный риск при определенном уровне доходности или имеет максимальную доходность при заданном уровне риска. Поиск решения по модели Марковица заключается в построении эффективного фронта 21, а именно к построению

кривой в плоскости, точками которой являются V ' р' (объяснение данных переменных и построение кривой будет рассмотрено позднее). Приведем основные формулы 22, которые необходимы для нахождения оптимального ПЦБ.

Для начала приведем формулу доходности, она выглядит следующим образом:

P

S,

о о

где стоимость некоторой акции в момент времени

(¿+0 г>

стоимость той же акции в момент времени 4 7; и - доход, вырученный от владения имуществом некоторой акции в данный период времени. Отметим, что не обязательно, чтобы Б - доход был равен положительному числу, он может принимать как нулевое так и отрицательное значение. В последнем случае под этим коэффициентом понимаем некоторые дивиденды, которые выплачиваются за данный период времени.

Риск, из определения Марковица, расценивается как "возможная опасность" и оценивается стандартным отклонением, вычисляемым на основе дисперсии его доходности:

20 Markowitz H.M. Portfolio SelectionJournal of Finance, 1952.V.7. № 1. - 15c.

21 Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг №1-3. - 144с.

22 Статья Лукашина Ю.П.: "Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг". - 22с.

__N N N

Up2 = E(Pt - P)2 = £k2Ut2 + £ I j,

i=\ i=\ j=\,1Фj

где

U2= 1 I

T t=\

- является дисперсией доходности i-ой, а i т ___

Uj = -1

t t=\

- ковариацией между доходностями i-ой и у'-ой ценной бумаги. Доходность рассматривается как математическое ожидание и является

взвешенной средней ожидаемых доходов от отдельных ценных бумаг:

N N

Р = Е (р ) = Е (X кк) =Хкл,

¿=1 ¿=1

где

_ 1 т

^ =— X ^,

т ¿=1

- среднее значение доходности.

При построении эффективного фронта [2], для каждого минимизируется следующая функция:

N _ N N

¥ = -ХХ кл + 1 X ккР,.

¿=1 ¿=1 ]=и^ ]

Я, Я> 0,

Для решения задачи (3) используется метод квадратичного программирования. Далее по определенным для каждого ^ долям ПЦБ определяются доходность и риск, которым соответствует точка на эффективном фронте.

Однако, как было замечено ранее, нахождение оптимального портфеля ЦБ по модели Марковица в следствии нынешних неоднородных и неустойчивых процессов, протекающих на фондовом рынке, может не соответствовать реальной действительности. Для того, чтобы структура портфеля была максимально приближена к настоящему положению на фондовом рынке, необходимо ввести дополнительный параметр, который в дальнейшем будет наименован как ограничения на доли инструмента:

к ^ ^, г = 1,...,9,

ъ е[0^]

где N - фиксированные числа.

3. Учет индексного фонда. Учет данного критерия проведем с

помощью аналогов кривой Лоренса 23 и коэффициента Джинни 24.

Для начала построим кривую Лоренса [4] - кривую распределения

к -(км) долей ПЦБ. При построении индексов применяется система условного взвешивания, а именно доля определенной ЦБ в основном берется за вес в общем объеме продаж на рынке ЦБ, который ставится в соответствии каждой ЦБ при использовании индексного фонда. Таким образом, имеются

значения долей г-1''"'Далее упорядочив полученные доли по не убыванию вложенных в них средств, получим новую последовательность к, г -1,...,N. тг

г' ' ' После чего на координатной плоскости отмечаются точки

(ух, ), к -1,'.', N, 50- 0,Б- к+ ••• + кк'_

е

Отметим, что к равно общему объему вклада в к первых долей. Если соединить соседние точки отрезками прямых, получаем ломаную линию, концами которой являются начало координат и точка (1,1), которую назовем

Г г

кривой к распределения к'. Как было замечено ранее, при построении индексного фонда, применяется система условного взвешивания (доля ЦБ в общем объеме продаж на рыке ЦБ берется за вес). Таким образом, индексному

фонду соответствует некоторое распределение к , а значит и кривая Гк Г. Аналогично коэффициенту Джинни [5] для данного распределения

к -(К-,----,кх) введем коэффициент близости к распределению индексного фонда:

I = 2

где Гк -площадь фигуры, ограниченной отрезком биссектрисы первого координатного угла и кривой к. Очевидно, что

I е[0,1]

и чем меньше будет

значение этого коэффициента, тем ближе кривая Гк к кривой Г. Таким образом, можно говорить о следующей задаче:

Задача (оптимизация по модели Марковица с заданными

ограничениями индексного фонда):

4. Практика. Переходим к практической части статьи, в качестве инструментов, входящих в портфель, будут взяты акции 25 таких предприятий как Сбербанк России, Татнефть, Северсталь, Лукойл, Роснефть, мобильные ТелеСистемы, Сургутнефтегаз, Уралкалий и Норильский никель. В качестве данных будут взяты стоимости ранее обозначенных предприятий за период от

23 Экономика: Учебник.З-е изд., перераб. и доп. / Под ред. д-ра экон. наук проф.А.С. Булатова. - М.: Экономистъ, 2003. -635а

24 Экономическая теория: учеб. / В.И. Антипина, И.Э. Белоусова, Р.В. Бубликова [и др.] ; под ред. И.П. Николаевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. -576с.

25 Экономическая теория: учеб. / В.И. Антипина, И.Э. Белоусова, Р.В. Бубликова [и др.] ; под ред. И.П. Николаевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. -576с.

04.01.16 по 26.04.16 г.

26

Задача, которую нам необходимо решить, выглядит следующим образом:

-Л^к, *R + Х X кг *kj *Uj ^min

г=1 i=1 j=1,i*j

Для простоты данного примера возьмем значение Zi i _1v"'N, поэтому ограничения будут выглядеть следующим образом:

N

X к = 1; i=1

/ = 2|^ - 5

и k * 0 i = 1,...,9.

min

Для начала найдем доли инструментов для каждого фиксированного значения &. В качестве & возьмем значения из промежутка: & е [О; 0.0008] с шагом 0.0001.

Далее для каждого портфеля, который формируется своим набором долей, при каждом фиксированном &, найдем значение доходности и риска по формулам (1) и (2).

Для наглядности будем считать, что Г лежит на биссектрисе первого координатного угла. Задачу будем решать методом уступок

27

№ ПЦБ Р и2 Up Доли ki

1 0,81215 3,262489 0,209 0 0,24527 0 0 0,322034 0 0 0,223695

2 0,81219 3,262552 0,209 0 0,245269 0 0 0,322037 0 0 0,223693

3 0,81223 3,262608 0,209 0 0,245268 0 0 0,32204 0 0 0,223691

4 0,81227 3,262658 0,209 0 0,245267 0 0 0,322043 0 0 0,22369

5 0,81231 3,262703 0,209 0 0,245266 0 0 0,322046 0 0 0,223688

6 0,81235 3,262744 0,209 0 0,245265 0 0 0,322049 0 0 0,223686

7 0,81239 3,262782 0,209 0 0,245264 0 0 0,322052 0 0 0,223684

8 0,81243 3,262818 0,209 0 0,245262 0 0 0,322055 0 0 0,223682

9 0,81247 3,262853 0,209 0 0,245261 0 0 0,322058 0 0 0,22368

По вычисленным значениям р и ир, построим график, который и будет называться фронтом эффективных портфелей.

26 Актуальные данные котировок акций: http://ru.investing.com

27

Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; Под ред. А.В. Кузнецова. -2-е изд. - Мн.: БГЭУ, 2000. -412с.

3 -2625-

3 .2623-

3 .2627-

3 .2626-

О.Я 12.15 0.51220 0.31225 0.31230 0.31235 О.Э1240

Наши оптимальные ПЦБ будут располагаться на данной кривой. Можно взять любую точку под прямой, но по определению эффективного фронта данный портфель не будет являться оптимальным. Выше кривой мы точки не рассматриваем, также по определению эффективного фронта.

Таким образом, инвестору, для того чтобы сформировать оптимальный портфель, по акциям данных предприятий, и получить по нему максимальный доход при минимальном риске, необходимо вложить свой капитал в любой из портфелей, которая нам предлагает таблица (1). Любой портфель, который будет выбран в качестве решения, по определению Марковица, будет являться оптимальным.

В качестве примера возьмем из таблицы (1) третий портфель, тогда результат выглядит следующим образом:

Портфель

Сбербанк России ОАО  ОАО Татнефть

ОАО Северсталь  ЛУКОЙЛ ОАО

Роснефть ОАО  Мобильные ТелеСистемы ОАО

ОАО Сургутнефтегаз  ОАО Уралкалий

ОАО ГМК Норильский никель

22% 21%

12% 0%

Диаграмма 1 - Значение долей, формирующий оптимальный портфель.

Вывод. В акции предприятий ОАО Татнефть, ОАО Лукойл, ОАО Роснефть, ОАО Сургутнефтегаз и ОАО Уралкалий вкладываться по условию задачи нельзя. В ОАО Сбербанка России необходимо вложить 21% средств от всего капитала, в ОАО Северсталь 25%, в ОАО ГМК Норильский Никель 22% и в ОАО мобильные ТелеСистемы 32%, данная сумма является наибольшей. Значение доходности данного портфеля составляет: 0.81223 Значение рискованности данного портфеля составляет: 3,26261

Использованные источники:

1. Markowitz H.M. Portfolio SelectionJournal of Finance, 1952.V.7. № 1. - 15c.

2. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг №1-3. - 144с.

3. Статья Лукашина Ю.П.: "Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг". - 22с.

4. Экономика: Учебник.З-е изд., перераб. и доп. / Под ред. д-ра экон. наук проф.А.С. Булатова. - М.: Экономистъ, 2003. -635c.

5. Экономическая теория: учеб. / В.И. Антипина, И.Э. Белоусова, Р.В. Бубликова [и др.] ; под ред. И.П. Николаевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. -576с.

6. Актуальные данные котировок акций: http://ru.investing.com

7. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; Под ред. А.В. Кузнецова. -2-е изд. - Мн.: БГЭУ, 2000. -412с.

References

1. Markowitz H.M. Portfolio Selection Journal of Finance, 1952.V.7. № 1. - 15s.

2. Shvedov A.S. Teoriya ehffektivnyh portfelej cennyh bumag №1-3. - 144s.

3. Stat'ya Lukashina YU.P.: "Optimizaciya struktury portfelya cennyh bumag". -22s.

4. Jekonomica: Uchebnik.3-e izd., pererab. i dop. / Pod red. d-ra jekon. nauk prof.A.S.Bulatova. - M.: Jeconomists, 2003. -635s.

5. Jekonomicheskaja teorija: ucheb. / V.I.Antipina, I.E. Belousova, R.V. Bublikova [I dr.] ; pod red. I.P. Nikolaevoy. - 2-e izd., pererab. I dop. - M.: TK Velbi, Izd-vo Prospekt, 2006. -576s.

6. Actual quotations of shares http://ru.investing.com

7. Jekonomiko-matematicheskie metody i modeli: Ucheb. posobie/N.I. Holod, A.B. Kuznetsov, Ya.N. Zhihar i dr.; Pod red. A.B. Kuznetsova. -2-e izd. - Mn.: BGEU, 2000.-41

Лекасова А.С. студент Институт права Калашникова Е.Б., к. и.н.

доцент

кафедра теории и философии права

СГЭУ

ВКЛАД РИМСКИХ ИСТОРИКОВ В РАЗВИТИЕ ЮРИСПРУДЕНЦИИ

Аннотация: в данной статье рассматриваются сочинения римских историков как один из источников римского права. Так же в статье анализируются взгляды римских историков на право и закон.

Ключевые слова: источник права, справедливость и ответственность, равенство перед законом, равные права и возможности, римские историки.

Развитие римской юриспруденции опиралось на широкий круг источников, в числе которых были и сочинения римских историков. Римские историки отразили на страницах своих произведений зарождение и становление римского права, дали описательные характеристики, описывающие различные законы, порядок их применения.

Одним из таких историков был Тит Ливий (59 г. до н. э. — 17 г. н. э.). Вклад Тита Ливия в развитие римской юриспруденции состоит в том, что он дал определение термину «источник права». Данный термин был использован применительно к Законам XII таблиц.

Тит Ливий употребил для обозначения публичного и частного права фразу «fons omnis publici privatique juris» [1,c.37] , в переводе «источник всего публичного и частного права». Тит Ливий вводя в оборот термин «источник» рассматривал его в качестве корня (начала, первоосновы древа права) от которого идут основы римской юриспруденции. Тем самым историк положил начало дискуссии о понимании данного термина.

Значителен вклад и римского историка Полибия (ок. 200 до н. э. - ок. 120 до н. э.) в развитие основ римского права. В центре правовых взглядов Полибия были идеи о беззаконии, праве и справедливости, соотношении закона и беззакония. Полибий выдвинул идею о том, что необходимо различать естественное право и позитивный полисный закон.