Феноменологическая модель суперфункционала энергетических состояний и его приложение в электронике и термодинамике

НАНОЭЛЕКТРОНИКА И КВАНТОВЫЕ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ NANOELECTRONICS AND QUANTUM DATA SYSTEMS

Доломатов М.Ю. Dolomatov М. Уи.

кандидат технических наук, доктор химических наук профессор кафедры «Технологические машины и прикладная физика», заведующий научно-исследовательской лабораторией «Физика электронных процессов и наноматериалов» ФГБОУ ВО «Уфимский государственный университет экономики и сервиса» Россия, г. Уфа

УДК 530.1:536.7:539:3

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СУПЕРФУНКЦИОНАЛА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОНИКЕ

И ТЕРМОДИНАМИКЕ

Предложена феноменологическая модель суперфункционала описывающего энергию квантовой системы физических тел. Этот суперфункционал включает множество энергетических функций, соответствующих минимуму энергии системы и зависящих от дуальных наборов метрических и топологических параметров. Установлено, что такими параметры могут быть простые физические свойства, например, интегральные силы осцилляторов в УФ и видимом диапазонах электромагнитного спектра и заряды атомов. Физический смысл суперфункционала определен энергией совокупности электронных основных и возбужденных состояний частиц близких по типу внешних электронных оболочек. Для первого и второго порядки возмущения суперфункционала энергии квантовой системы предложена двух-параметрическая полуэмпирическая феноменологическая модель.

Модель подтверждается зависимостью первых потенциалов ионизации молекул от интегральной силы осцилляторов и топологических характеристик молекулярного графа, зависимостью потенциалов ионизации атомов металлов от интегрального коэффициента отражения и зарядов атомов. Кроме того, модель подтверждена зависимостью физико-химических свойств углеводородов от энергетических и топологических параметров. Адекватность моделей подтверждаются статистической обработкой экспериментальных данных.

Ключевые слова: полуэмперическая модель, суперфункционал энергии интегральный коэффициент отражения, заряды атомов, оптические спектры, электрон-электронное, электрон-фононное взаимодействия.

PHENOMENOLOGICAL MODEL OF ENERGY STATE SUPERFUNCTIONAL AND ITS APPLICATION FOR ELECTRONICS AND THERMODYNAMICS

The twoparametrical, semiempirical, phenomenological model was proposed for the first and the second orders of the perturbation of the quantum system energy superfunctional, which contain the ensemble of energy

functions corresponding to minimum an energy of system. This functional physical meaning is the set energy of molecules, solids electronic ground and excited states. Moreover functional have depending on similar type of external electron clouds.

The above functional is defined by electrostatic energy interaction between the electrons, exchange energy and all electronics energy and ionic lattice interaction.

The above it dependents from double-natured of sets metric and topological parameters. While doing a research it was supposed, that these parameters can be represent by a simple empirical physical quantity such as integral coefficients of absorption ore reflection electromagnetic spectrum, a charge of atoms, a molecular graph eigenvalue. Furthermore they correspondingly are expressed via the thermodynamics free energy.

The model is confirmed by the dependency of the molecules and solids potentials ionization on the integral reflection coefficient, charges of atoms. Furthermore for physic-chemical properties are existed the correlation with, a molecular graph eigenvalue of hydrocarbons. The multiple regression analysis method is used of the performed calculations of. The obtained results are confirmed by the statistic data processing for varies systems as such hydrocarbons and metales. The determined practical application while estimating energy ionizing and another physic-chemical properties of moleculas.

Key words: perturbation of energy superfunctional of quantum system ionization energy, charge of atoms, physic-chemical properties of moleculas, force of oscillation.

Известно, что важное для электроники свойство твердых тел и полимеров - энергия ионизации, работа выхода, электрическая проводимость и другие свойства определяются их зонной структурой [1,2]. Известна значительная группа методов [1-5] расчета зонной структуры, металлов и полупроводников, например, метод ортогонали-зованных плоских волн, метод присоединенных плоских волн (ППВ), методы Хартри-Фока, метод ККР, (Корринга, Кона и Рострокера) и др. В настоящее время для расчета электронной структуры молекул и твердых тел широко используются методы теории функционала плотности метод (DFT) Кона-Шема в сочетании с многочастичной теорией возмущения [4,5]. Методы DFT позволяют в расчетах заменить многоэлектронную волновую функцию электронной плотностью. Недостатки методов DFT: недооценка ширины запрещенной зоны в неидеальных решетках кристаллов молекулах и кластерах, ошибки в расчетах энергии ионизации и сродства к электрону и неприменимость к системам с открытыми оболочками, например, к парамагнитным наночастицам. Поэтому наряду с теоретическими необходимо развивать полуэмпирические подходы к оценке электронных состояний реальных твердых тел и молекул, которые опираются на эксперимент и прежде всего на данные спектроскопии. Цель данного исследования- разработка полуэмпирической феноменологической модели суперфункционала электронных состояний, которая позволяет без сложных расчетов получать информацию

о электронной структуре и физико-химических свойств молекул и твердых тел.

Основная идея работы состоит в предположении, что наблюдаемый в эксперименте спектр суммы собственных значений энергий совокупности т неидеальных квантовых систем - энергетическое множество Е описывается определенным суперфункционалом F от энергии всех взаимодействующих основных и возбужденных электронных состояний. Эти энергетические суперфункционалы могут быть построены из квантовых систем с однотипным строением внешних электронной оболочек, например, молекул, твердых тел или атомов элементов определенной группы в системе Д.И. Менделеева.

Математические аспекты суперфункционала энергетических состояний

Определим структуру пространства суперфункционала F, как нелинейное пространство. Пусть это нелинейное пространство состояний Sn является суперпозицией метрического и топологического пространства Ял (Е,р) +G (Е,"У).

В свою очередь N мерное метрическое пространство Яп определяется подмножеством энергетических состояний Е и метриками р(х, -функцией расстояния между точками х и у. Топологическое пространство G определяется подмножеством состояний Е и подмножеством топологий V. Из изложенного следует пересечение пространств Яп (Е,р) ГЮ (Е,"У) по общему подмножеству энергетических состояний Е. Нелинейность функционала означает, что:

р(ах+ру)^ар(х)+рр(у) /? Е 5" }' Е Е

Кроме того, суп ер(!> у н к ц и о на л является положительно однородным, так как

р(ах) =ар(х) Уа>0,УхЕЕ

и однородно выпуклым, так как

F(x+y)<F(x)+F(y) Vxry Е Е

Физические аспекты суперфункционала энер- ются суперпозицией дискретных, спектральных

гетических состояний Блоховских функций и могут быть представлены,

В общем случае функционал F построен на например, функциями ¥ от рядов Фурье для т

классе не сепарабельных, гладких, ограниченных решеток функций. Для твердых тел и полимеров они, явля-

е(еД) = ¥

XZAmn'e

inkt

Л

, 2ж

где Ацщ - константа, t - время, с, п - число членов ряда Фурье, i - комплексная единица.

В общем случае предполагается, что множество состояний Е может быть представлена суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с бесконечно малыми амплитудами и образует множество функций з^5*, -тс < п < ^ в (9) образует бесконечномерный базис линейного пространства Ь2[а;Ь] ортогональных синус-косинусных функций. Выразим суперфункционалы через дуальные наборы различных сохра-

няющихся физических величин, построенных в пространстве Sn, учитывающих энергию обменное взаимодействие электронов 0 и топологию систем I. Учитывая вариационные принципы, т.е. стремление системы к минимуму энергии, разложим функционал в ряд по степеням дуальных энергетических и топологических величин вблизи состояния минимума энергии р(0о,1о). Разложение проведем, считая функционал F непрерывным от двух переменных, (9 - 0О) и (/ -10) и некоторого остаточного члена

Ffa rt-Ffo Т U0"e° 3F(90,I0) (9-е0)2 a2F(90,I0) (9-90)3 ЭМ£,10) Ti---Э9 2!---Эё^-+ —3!---Э03

+

I —In

3F(90,I0) 9-90 Ö2F(90, I0 ) (9 — 90 )2 33Ffe2,I0)"

1!

+

Э1 1! 3

z z

32F(90,I0) 9-90 a3Ffe,I0)"

э

3!

3

,3 '

^=9 + ц2

где Л1 =Io+^i(I-Io). 0<H!<1 ^2=9 + Ц3(9-0о), 0<Ц3<1

При n=2 формула (5) примет вид

F(9,I) = A0+A1(9-90) + A2(l-I0) +

+ [A3(0-9o)2+A4(9-0o)(I-Io) + A5(I-Io)2]+R.

где коэффициенты А0_5, не зависят от 0 и I, а Я - Функционал F по определению может быть

остаточный член, структура которого аналогична любой функцией от минимальной энергии системы, в

структуре остаточного члена в формуле Тейлора частности в замкнутой квантовой системе его можно

для сходящегося ряда двух переменных. Полагая выразить набором суммы собственных значений

0О = 0 и 10 = 0, Я. 2 - 0 перепишем формулу (5) гамильтонианов определяющих возможные состо-

для любой энергии системы, как квадратичной яния квантовой системы формы от и I.

Суммирование в (6) проводится по внутренним состояниям j -го элемента системы и по всем т компонентам системы. Из (6) следует, что энергия

Варианты таких зависимостей (7) для потенциалов ионизации могут быть построены как функции от интегральных сил осцилляторов электронных спектров(ИСО) и собственных значений гамильтонианов. Различные варианты (7) проанализированы в работах [6]. Частными случаями, подтверждающие зависимость (7) являются многочисленные зависимости потенциалов ионизации и сродства к электрону атомов и молекул от ИСО [6-8], а также зависимости ПИ от ИСО и топологических индексов молекулярных графов, подробно описанные в [6]. Эти работы свидетельствуют, что при условии близости топологий систем можно ограничиться линей-

Физический смысл коэффициентов (8) заключается в характеристике возмущения суперфункционала энергетического спектра квантовой системы под влиянием структурных, кулоновских и обменных факторов электронного взаимодействия.

Коэффициенты а15 очевидно имеют физический смысл как характеристики возмущения внешней электронной оболочки. Так, а 0 характеризует тип квантовой системы; а 1 а возмущение оболочек под влиянием кулоновских и обменных факторов электронного взаимодействия; а 2 , а 5 -возмущение оболочек под влиянием кулоновских факторов взаимодействия электронов с ионами решетки и распределение ее электростатического потенциала с учетом экранирования, а 4 характеризует возмущения в результате совместного электростатическое и спин-решеточного взаимодействия. Очевидно, что члены пропорциональные Ъ и Ъ2 можно интерпретировать через энергию куло-

каждого квантового состояния может быть представлена, как функция дуальной пары топологических индексов

ными вариантами (7). Дуальные пары топологических индексов определяющие зависимости (7) являются неединственными. В твердых телах в качестве пар могут быть выбраны интегральные коэффициенты отражения (ИКО) электромагнитного излучения и заряды атомов (С). Разложение (7) позволяет искать зависимость функции потенциала ионизации (Р) от дуального набора переменных- интегрального коэффициента отражения ИКО и зарядов атомов кристаллической решетки, Эти дуальные величины отражают законы сохранения числа частиц и сохранения заряда квантовой системы соответственно и имеют вид:

новского взаимодействия точечных зарядов или систем зарядов, но в нашем подходе это не имеет значение, так как функция (8) учитывает скорее топологию, и лишь косвенно геометрию системы

Для экспериментальной проверки (8) нами исследованы электронные спектры отражения металлов 2 группы периодической системы: Ве, Mg, Са, Ъп, Sr, Cd, Ва. Соответствующие спектры выбирались из базы данных [9]. Интегрирование спектров проводили методом трапеции с шагом 5 нм. Потенциалы ионизации атомов металлов выбирались по известным данным атомной эмиссионной спектроскопии. Статистическую обработку спектров отражения проводили методом многофакторного регрессионного анализа по стандартным программам [10, 11] с оценкой множественного коэффициента корреляции Я, коэффициента детерминации Я2 , стандартную ошибку S. соответствующие данные приводятся в таблице.1.

е1 = А0+А, • е+4 • I+А3 • е2 + А4© I+А5 • I2

Р = А0 + А! • 0К + 4 • С + А3 • 0К2 + А4©к С + А5 • С2

Таблица 1

Статистические характеристики двупараметрической феноменологической

модели потенциалов ионизации

Металлы и тип внешней оболочки R R2 S e эВ

Металлы второй группы ns2 0,984 0.968 0,020 0,2141

Значения этих коэффициентов модели приведены в таблице 3. Расчеты свидетельствуют о значимости всех коэффициентов в

Таблица 2

Коэффициенты разложения функционала электронных энергий

Коэффициенты a0 эВ a1 эВ a2 эВ a3 эВ a4 эВ a5 эВ

Численные значения 13.3239 -0,0128 -0,2942 0,0002 1,098 10 -5 0,0027

Таким образом, на основе экспериментальных спектроскопических данных установлены корреляционные зависимости первого ПИ от ИКО. Достоверность полученных данных подтверждена оценкой

погрешностей расчетной оценки. В таблицах 4-5 приведены данные о соответствии расчетных и экспериментальных значений ПИ.

Таблица 3

Расчетные и экспериментальные ПИ для металлов второй группы системы Менделеева

Металлы Состояние ИКО отн.ед. Заряд ядра ПИ эВ эксп ПИ эВ расч Разность ПИ эВ

Be напыленное 393,57 4 9,320 9,119 0,201

Mg напыленное 573,37 12 7,650 7,651 -0,001

Ca напыленное 331,72 20 6,110 6,641 -0,531

Zn монокристалл 929,66 30 9,390 9,418 -0,028

Sr напыленное 293,95 38 5,690 5,181 0,509

Cd напыленное 799,35 48 8,990 8,950 0,040

Ba напыленное 304,15 56 5,220 5,409 -0,189

Так, для металлов 2 групп таблицы Менделеева, среднеквадратичная ошибка составляет: 0,2 эВ, а средняя абсолютная 0,20 эВ. Очевидно точность измерений можно повысить, уменьшая ошибку эксперимента определения спектров отражения путем подготовки однородных поверхностей образцов однородных по микроструктуре и степени шероховатости. Двумерную зависимость (6) можно использовать для предсказания ПИ, минуя квантовые расчеты.

Термодинамические аспекты

Очевидно, что в изотермических условиях суперфункционал соотвествует сумме свободных энергий системы и изменение функционала dF =0 в условиях термодинамического равновесия равно нулю. Тогда из первого и второго законов термодинамики [12] следует линейная система уравнений, связывающая работу (А) и энтропию системы

= Наноэлектроника и квантовые информационные системы = ±А — Тс15

Л =

ПёЛ',- - .ЗОобтёННЛЯ Л (!(}; - соот- систем требует затраты энергии. Если Ъ измеря-ветствующая обобщенная координата; Учитывая, ются, путем совершения работы внешних сил над что измерение любого физико-химические свойства системой с, преодолением внутренних сил, имеем:

тогда из (9) - (10) следует, что

При постоянстве всех свойств кроме измеряемых имеем:

+Xidq( iXjdqj +TdS

Aj = ±Xjdqj

Z;

dqj dqi

Уравнение (13) показывает, что каждое свойство системы проявляется через работу внешних или внутренних сил (энергию молекулярных взаимодействий ) и связано с изменением энтропии.

Для системы молекул близких по структуре, представим свойства как суперфункционал от дуальных величин, зависящих от внутренних потенциалов энергии взаимодействия атомов е и структуры молекул I . подобные зависимости известны,

как молекулярные дескрипторы в модели QSPR (Quantitative Structure-Property Relationships), устанавливающие связь физико-химических свойств молекул и топологических индексов.[13,14] Считая Z непрерывной функцией двух переменных, разложим

ее в ряд Тейлора по степеням

и некоторого остаточного члена R

Полагая, что 0О = 0 и 10 = 0, R2 ^ 0 перепишем формулу (14) в виде

Z(jE,f) = aQ + + a2I + + a4sl + a-I2

Физический смысл коэффициентов а1 — а5 в (15) заключается в характеристике возмущения свойств под влиянием структурных топологических факторов и энергии взаимодействия. Известно, что в простых моделях взаимодействия атомов типа Изинга или Хюккеля энергия молекул коррелирует с суммой собственных значений МГ . Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в (13). Получаем линейную двухпараметрическую модель вида:

Z = a0 + a^W + а^Л,

где Z - рассчитываемое физико-химическое свойство углеводорода; a0 a1 a2 - коэффициенты модели; W - индекс Винера; Л - полусумма собственных значений топологической матрицы молекулы.

Из анализа таблиц 4 и 5 следует, что точность расчета рассматриваемых физико-химических свойств углеводородов удовлетворительна и погрешность не превышает 1%.

Выводы

Предложен обобщенный суперфункционал описывающий энергию квантовой системы физи-

В качестве функций использовались приведенные или относительные свойства углеводородов изоалканов - температуру кипения Ткип плотность р и моля, рассмотренные в [15]

Таблица 4

Таблица 5

ческих тел. Этот суперфункционал включает множество энергетических функций соответствующих минимуму энергии системы и зависящих от дуальных наборов- метрических и топологических параметров. Установлено, что такими параметры могут быть различные физические свойства, например, топологические индексы, интегральные силы осцилляторов в УФ и видимом диапазонах

У1=Ткип/Ткип(СН4) , У2= Р / Рда У3= М / М(СН4).

Линейной модели вида (16) описаны в [16]. Результаты расчетов приведены в таблице 4.

Параметры модели (16) для расчета свойств изоалканов

Параметры модели (1) М P Ткип, К

a0 16.06 0.4316 154.5

a1 2.69-10-4 -0.0011 -0.3716

a2 7.01 0.0256 18.99

Отклонение 8 0.00025 0.017 0.034

Дисперсия 5 1.596 0.006 0.059

Абсолютные отклонения расчетных и справочных параметров приведены в таблице 5.

Сравнение расчетных и справочных значений парметров

Название углеводорода у1_спр у1_расч А у2_спр у2_ расч А у3_спр у3_ расч А

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2-Метилпропан 1.625 1.689 0.064 1.273 0.990 0,284 3.623 3.624 0.001

2-Метилбутан 1.871 1.869 0.002 1.385 0.988 0.397 4.498 4.498 0.0

2-Метилпентан 2.073 2.046 0.027 1.459 0.986 0.473 5.373 5.372 0.001

2,3-Диметилбутан 2.059 2.048 0.010 1.479 0.986 0.493 5.373 5.372 0.001

2-Метилгексан 2.258 2.219 0.039 1.517 0.984 0.532 6.247 6.247 0.0

2,4-Диметилпентан 2.198 2.222 0.023 1.503 0.984 0.519 6.247 6.247 0.0

4-Метилгептан 2.430 2.389 0.040 1.575 0.986 0.592 7.1209 7.1214 0.0005

3,3-Диметилгексан 2.394 2.395 0.001 1.586 0.982 0.603 7.1209 7.1213 0.0003

2,3,4-Триметилпентан 2.403 2.396 0.007 1.606 0.982 0.624 7.1209 7.1212 0.0003

4-Этилгептан 2.576 2.557 0.019 1.631 0.981 0.650 7.9963 7.9960 0.0002

3,3-Диметилгептан 2.550 2.560 0.010 1.619 0.981 0.639 7.9960 7.9959 0.0003

4-Этилоктан 2.715 2.717 0.002 1.653 0.979 0.674 8.871 8.871 0.0

3,4-Диметилоктан 2.714 2.720 0.006 1.666 0.979 0.687 8.8709 8.8708 0.0001

4-Пропилгептан 2.677 2.719 0.042 1.644 0.979 0.665 8.8709 8.8708 0.0001

электромагнитного спектра, заряды атомов, физико-химические свойства. Физический смысл суперфункционала определен энергией совокупности электронных основных и возбужденных состояний частиц близких по типу внешних электронных оболочек. Для первого и второго порядки возмущения суперфункционала энергии квантовой системы предложена двухпараметрическая полуэмпирическая феноменологическая модель.

Модель подтверждается зависимостью первых потенциалов ионизации молекул от интегральной силы осцилляторов и топологических характеристик молекулярного графа, зависимостью потенциалов ионизации атомов металлов от интегрального коэффициента отражения и зарядов атомов. Кроме того модель подтверждена зависимостью физико-химических свойств углеводородов от энергетических и топологических параметров. Адекватность моделей подтверждаются статистической обработкой экспериментальных данных.

Список литературы

1. Ашкрофт Н. Физика твердого тела [Текст] / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. - М.: Мир, 1979. - 399 с.

2. Зиненко В.И. Основы физики твердого тела [Текст] / В.И. Зиненко, Б.П. Сорокин, П.П. Турчин. -М.: Изд. Физ.-мат. лит., 2001. - 336 с.

3. Kresse G. The guide ofVASP [Text] / G. Kresse, D. Joubert // Phys. Rev. - 59. - 1758 (1999). - URL: https : // cms.mpi.univie.ac.at / marsweb/index.php.

4. Кон В. Электронное строение вещества

- волновые функции и функционалы плотности [Текст] / В. Кон // УФН. - 2002. - т.172. - № 3. - с. 336-338.

5. Андриевский Б.В. Расчет зонной структуры и оптических свойств кристаллов ГАСГ [Текст] / Б.В. Андриевский, Н.Н. Романюк, О.Я. Мищишин и др.// Физика твердого тела. - 2012. - том 54. - № 10. -с.1940-1945.

6. Доломатов М.Ю. Способ определения потенциалов ионизации и сродства к электрону атомов и молекул методом электронной спектроскопии [Текст] / М.Ю. Доломатов, Г.Р. Мукаева // Журнал прикладной спектроскопии. - 1992. - Т. 56.

- № 4. - С. 570.

7. Dolomatov M.Yu. Simple characteristics estimation methods of material and molecule electronic structure [Text] / M.Yu. Dolomatov, D.O. Shulyakovskaya, G.R. Mukaeva, G.U. Jarmuhametova, K.F. Latypov // Journal of Materials Science and Engineering. - 2012. - B 2(4). - pp. 261-268.

8. Ковалева Э.А. Взаимосвязь интегральных характеристик электронных спектров поглощения с потенциалами ионизации в ряду производных 1,4-нафтохинона [Текст] / Э.А. Ковалева, М.Ю. Доломатов // Башкирский химический журнал. -2014. - Т. 21. - № 2. - С. 44-50

9. Золотарев В.М. Оптические постоянные природных и технических сред. Справочник [Текст] / В.М. Золотарев, В.Н. Морозов, Е.В. Смирнова. - Л., Химия, 1984. - с.69-98.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы [Текст] / Н С. Бахвалов. - М.:Наука, 2000. - 630 с

11. Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. - М.: Изд. Физ.-мат. лит., 1998. - 528 с

12. Базаров И.П. Термодинамика. Учебник для вузов [Текст] / И.П. Базаров - М.: Высш. шк., 1991. -376 с.

13. Урядов В.Г. Взаимосвязь чисел термодинамического подобия и топологических характеристик структуры органических молекул [Текст] / В.Г. Урядов, Н.В. Аристова, Е.Н. Офицеров // Журн. физ. химии. - 2007. - Т. 81. № 5. - С. 801-805.

14. Станкевич М.И. Топологические индексы в органической химии [Текст] / М.И. Станкевич, И.В.Станкевич, Н.С. Зефиров // Успехи химии. -1988. - Т. 57. - № 3. - С. 337-366

15. Ахметов С.А. Моделирование и инженерные расчеты физико-химических свойств углеводородных систем: Учебное пособие [Текст] / С.А. Ахметов, А.Р. Гайсина. - СПб.: Недра, 2010. - 128 с.

16. Доломатов М.Ю. О связи топологических характеристик молекул и свойств алканов [Текст] / М.Ю. Доломатов, Н.А. Шамова, Е.Ф.Трапезникова. Т.М. Аубекеров, А.В. Стенькин // Башкирский химический журнал. - 2014. - Т.21. - № 3. - С. 50-53.

References

1. Ashkroft N. Fizika tverdogo tela [Tekst] / N. Ashkroft, N. Mermin. - M.: Mir, 1979. - 399 s.

2. Zinenko V.I. Osnovy fiziki tverdogo tela [Tekst]/ V.I. Zinenko, B.P. Sorokin, P.P. Turchin. - M.: Izd. Fiz.-mat. lit., 2001. - 336 s.

3. Kresse G. The guide of VASP [Text] / G. Kresse, D. Joubert // Phys. Rev. - 59. - 1758 (1999). -URL: https : // cms.mpi.univie.ac.at / marsweb/index. PhP.

4. Kon V. Jelektronnoe stroenie veshhestva -volnovye funkcii i funkcionaly plotnosti [Tekst]/ V. Kon // UFN. - 2002. - t.172. - № 3. - s. 336-338.

5. Andrievskij B.V. Raschet zonnoj struktury i opticheskih svojstv kristallov GASG [Tekst]/ B.V. Andrievskij, N.N. Romanjuk, O.Ja. Mishhishin i dr.

// Fizika tverdogo tela. - 2012. - tom 54. - № 10. -s. 1940-1945.

6. Dolomatov M.J. Sposob opredelenija poten-cialov ionizacii i srodstva k jelektronu atomov i molekul metodom jelektronnoj spektroskopii [Tekst] / M. Ju. Dolomatov, G.R. Mukaeva // Zhurnal prikladnoj spektroskopii. - 1992. - T. 56. - № 4. - S. 570.

7. DolomatovM.Yu. Simple characteristics estimation methods of material and molecule electronic structure [Text] / M.Yu. Dolomatov, D.O. Shulyakovskaya, G.R. Mukaeva, G.U. Jarmuhametova, K.F. Latypov // Journal of Materials Science and Engineering. - 2012. -B 2(4). - pp. 261-268.

8. Kovaleva Je.A. Vzaimosvjaz' integral'nyh harakteristik jelektronnyh spektrov pogloshhenija s potencialami ionizacii v rjadu proizvodnyh 1,4-naftohi-nona [Tekst] / Je.A. Kovaleva, M.Ju. Dolomatov // Bash-kirskij himicheskij zhurnal. - 2014. - T. 21. - № 2. - S. 44-50

9. Zolotarev V.M. Opticheskie postojannye prirodnyh i tehnicheskih sred. Spravochnik [Tekst] / V.M. Zolotarev, V.N. Morozov, E.V. Smirnova. - L., Himija, 1984. - s.69-98.

10. Bahvalov N.S. Chislennye metody [Tekst] / N.S. Bahvalov. - M.:Nauka, 2000. - 630 s

11. Tjurin Ju.N. Statisticheskij analiz dannyh na komp'jutere [Tekst] / Ju.N. Tjurin, A.A. Makarov. - M.: Izd. Fiz.-mat. lit., 1998. - 528 s

12. Bazarov I.P. Termodinamika. Uchebnik dlja vuzov [Tekst] / I.P. Bazarov - M.: Vyssh. shk., 1991. -376 s.

13. Urjadov V.G. Vzaimosvjaz' chisel termodi-namicheskogo podobija i topologicheskih harakteristik struktury organicheskih molekul [Tekst] / V.G. Urjadov, N.V. Aristova, E.N. Oficerov // Zhurn. fiz. himii. - 2007. - T. 81. № 5. - S. 801-805.

14. Stankevich M.I. Topologicheskie indeksy v organicheskoj himii [Tekst] / M.I. Stankevich, I.V.Stankevich, N.S. Zefirov // Uspehi himii. - 1988. -T. 57. - № 3. - S. 337-366

15. Ahmetov S.A. Modelirovanie i inzhenernye raschety fiziko-himicheskih svojstv uglevodorodnyh sistem: Uchebnoe posobie [Tekst] / S.A. Ahmetov, A.R. Gajsina. - SPb.: Nedra, 2010. - 128 s.

16. Dolomatov M.J. O svjazi topologicheskih harakteristik molekul i svojstv alkanov [Tekst] / M.Ju. Dolomatov, N.A. Shamova, E.F.Trapeznikova, T.M. Aubekerov, A.V. Sten'kin // Bashkirskij himicheskij zhurnal. - 2014. - T.21. - № 3. - S. 50-53.