Роль рефлексии в процессе обучения математике в средней школе

УДК 371. 031 - 3 ББК Ч 426. 24/ 29

Г. Д. Тонких

Роль рефлексии в процессе обучения математике в средней школе

В статье рассматривается понятие «рефлексия» с точки зрения педагогики и психологии. Описываются различные методы организации рефлексивной деятельности на уроках математики. Приводятся различные виды рефлексивных задач, используемых в процессе формирования математических понятий.

Ключевые слова: рефлексия, математическое понятие, рефлексивная деятельность, рефлексивные задачи.

G. D. Tonkykh

Role of reflection in the process of mathematics teaching at secondary school

The article explains a notion «reflection» from the viewpoint of pedagogics and psychology. The article describes methods of reflective activity organization at mathematics lessons. Different types of reflective problems used in the process of mathematical notions formation are considered.

Key words: reflection, mathematical notion, reflective activity, reflective problems

Рефлексия - понятие, происходящее от латинского слова reflexio (обращение назад). Данное понятие используется в философии, психологии, педагогике и т. д., поэтому приобретает различное толкование в зависимости от области применения. Впервые термин «рефлексия» ввел в научное понимание Д. Локк, разделивший психологический опыт человека, получаемый от двух различных источников: ощущений и рефлексии. Рефлексия, согласно Д. Локку, это то наблюдение, которому ум подвергает свою деятельность и способы ее проявления [10]. В его работах содержится мысль о том, что рефлексия - это механизм, посредством которого человек исследует свою познавательную деятельность.

Философским проблемам рефлексии посвящены работы отечественных ученых И. С. Ладенко,

A. П. Огурцова и др. А. П. Огурцов [11] понимает рефлексию как «мышление о мышлении», как мышление, сделавшее объектом познания самое себя. И. С. Ладенко определяет рефлексию как «критическое осознание своих собственных возможностей и возможностей других и тех или иных средств интеллектуальных систем» [12, 35]. Таким образом, в контексте философской проблематики рефлексия трактуется как способность разума и мышления обращаться на себя; анализ знания с целью получения нового знания; самонаблюдение за состоянием ума и души.

В отечественной психологии феномен рефлексии понимается многими исследователями как способность человека к самоанализу, самопознанию, осмыслению своих отношений с окружающим миром и представляет собой составную часть развитого интеллекта человека (Л. С. Выготский [3],

B. В. Давыдов [5], С. Л. Рубинштейн [13]).

Новый этап изучения рефлексии в психологии связан с именами В. Г. Богина [2], Г. А. Голицына [4], С. Ю. Степанова [14], И. Н. Семенова [14]. В. Г. Богин под рефлексией понимает «обращение индивида к своему внутреннему миру, к своему опыту мышления, деятельности, переживаний - ко всему тому, что он видел, слышал, читал, думал, чувствовал и к тому, как, почему и зачем он так видит, делает, думает, чувствует» [2, с. 153]. В работах Г. А. Голицына, С. Ю. Степанова, И.Н. Семенова отмечается подход к рефлексии как к психологическому механизму. Авторы считают, что рефлексия выступает одним из важнейших компонентов, обеспечивающих успешное решение творческих задач.

Научные описания и модели рефлексии были разработаны в рамках теории деятельности в исследованиях О. С. Анисимова [1], Г. П. Щедровицкого [15] и других. О. С. Анисимов [1] определяет рефлексию как анализ осуществленной деятельности, направленный на выявление причин затруднений и коррекцию способа деятельности. Г. П. Щедровицкий [15] рассматривает рефлексию, во-первых, как процесс и структуру деятельности и, во-вторых, как механизм естественного развития деятельности. По мнению ученого, чтобы построение различных процессов деятельности вело к нужному, собственно человеческому, развитию способностей, необходимо, чтобы над этими процессами надстраивалась вторичная рефлексивная деятельность.

Исследованию возможностей применения рефлексии в учебной деятельности посвящены работы многих ученых. Согласно В. В. Давыдову, учебная деятельность и отдельные ее компоненты (в частности, контроль и оценка) осуществляются благодаря такому основопополагающему качеству сознания, как рефлексия [5]. В. В. Котенко [8] отмечает, что в процессе обучения необходимо органи-

зовывать рефлексивную деятельность учащихся, определяя ее как «особый вид аналитической деятельности учащихся, которая направлена на осмысление и переосмысление ими тех или иных содержаний своего индивидуального сознания и обеспечивает им успешное осуществление учебной деятельности» [8, ^ 55].

Многие исследователи занимались вопросами формирования рефлексивных умений у школьников. Под рефлексивными умениями понимается:

1. Умение выходить в рефлексивную позицию в процессе осуществления познавательной деятельности (постоянно отвечать самому себе на вопросы: «Что я делаю? Как я это делаю? Зачем я это делаю?»).

2. Умение фиксации «знания о незнании» (видеть в очевидном - неочевидное, в привычном -непривычное, в известном - неизвестное, в понятном - непонятное).

3. Умение находить причину затруднения, его сущность и становление.

4. Умение обращаться к собственному опыту (а не только внешнему источнику знания), осуществлять поиск и конструирование гипотезы.

5. Умение выявлять основания, мотивы своих действий.

6. Умение обращаться в «культурный слой» при недостаточности категориального обеспечения (освоение максимально широкого категориального аппарата).

7. Умение находить пути выхода из затруднений с коррекцией (проектированием) способа действия по преодолению этого затруднения.

8. Умение осуществлять альтернативный подход, занимать различные рефлексивные позиции.

9. Умение изменять способы и направленность самоорганизации своей деятельности в соответствии с требованиями ситуации [9].

В. В. Котенко рекомендует включать в учебную деятельность специальные рефлексивные задачи. Под рефлексивными задачами автор понимает задачи, «активизирующие процесс отражения школьниками различных компонентов учебной деятельности» [8, с. 15]. Автор указывает, что одна из основных функций рефлексивных задач заключается в том, чтобы обратить внимание школьника на то, как он мыслит, и проверить уровень осмысления материала.

В. А. Далингер [6] предлагает использовать рефлексивные задачи в устной работе школьников при решении текстовых математических задач. Под рефлексивными он понимает такие задачи, которые направлены на формирование у учащихся умения проводить самостоятельный анализ решения задачи, умения рассматривать способы собственных действий (рефлексии).

А. Б. Ильясова [13] выделяет следующие способы развития рефлексии на уроках математики при решении задач:

- установление совместно с учащимися факта: к одному или к разным типам принадлежат задачи;

- определение сходства и различия в способах решения задач;

- анализ особенностей условий задач;

- составление задач, принадлежащих (не принадлежащих) к одному типу;

- изменение условия данной задачи так, чтобы она стала требуемого типа.

Автор рекомендует при формировании математических понятий использовать следующие задания, способствующие развитию рефлексии:

- найти основные существенные признаки понятия;

- сформулировать определение предлагаемого понятия;

- привести примеры, удовлетворяющие предложенному определению, но не относящиеся к данному понятию;

- попытаться доопределить понятие, выделив недостающие существенные признаки;

- доказать неполноту или избыточность собственного придуманного определения;

- доказать корректность или некорректность определения;

- проверить, удовлетворяют или нет построенные объекты объему данного понятия;

- привести контрпримеры к предложенному определению.

Основным приемом организации рефлексивной деятельности является диалог в обучении. Во время урока учителю необходимо задавать учащимся вопросы на осмысление как нового, так и ранее изученного материала. Вопросы должны иметь форму, которая подталкивала бы учащегося к переосмыслению ранее изученного материала, конкретизации или практическому применению теоретических знаний, учила прогнозировать, находить взаимосвязи между изучаемыми понятиями. На уроке необ-

ходимо организовывать диалог как между учителем и учащимся, так и между учащимися. В процессе обучения внешний диалог постепенно должен переходить во внутренний диалог учащегося.

Рефлексивная деятельность может быть организована при введении новых математических понятий. С этой целью мы рекомендуем использовать на уроках математики лабораторные работы, в ходе выполнения которых учащиеся самостоятельно «открывают» новые понятия и устанавливают их свойства. В процессе выполнения лабораторной работы учитель организует взаимоконтроль учащихся, обсуждение результатов выполнения заданий, тем самым вовлекая учащихся в рефлексивную деятельность. В ходе совместного обсуждения уточняются существенные признаки понятия, структура определения и его формулировка, приводятся контрпримеры к ошибочным определениям.

При введении понятия «трапеция» учащимся может быть предложена следующая лабораторная работа.

1. Начертите параллельные прямые I и т.

2. Проведите прямую п так, чтобы она пересекла прямые I и т.

3. Проведите прямую р, пересекающую прямые I и т и не параллельную прямой п.

4. Обозначьте точки пересечения прямых А, В, С и О. Вы должны получить четырехугольник АВСО.

5. Запишите: четырехугольник АВСО - трапеция.

6. Установите основные существенные признаки понятия «трапеция».

7. Попытайтесь сформулировать определение трапеции.

8. Установите, является ли объект, изображенный в таблице 1, трапецией? Запишите в ячейки таблицы ответы «да» или «нет».

Таблица 1

№ п/п І Іример Объекта Признаки объекта Является ли объект трапецией?

Четырех- угольник Наличие пары параллельных сторон Наличие пары непараллельных сторон

1. V 9 ? 9 ?

7 9 ? 9 9

Л / / 9 9 9 9

4. 9 о 9 1 9

В процессе выполнения задания № 8 лабораторной работы целесообразно стимулировать рефлексивную деятельность учащихся при помощи следующих вопросов и заданий:

1. Является ли объект под № 1 четырехугольником?

2. Какими признаками обладает объект под № 2?

3. Верно ли, что объект под № 3 является трапецией? Обоснуйте ответ.

4. Какой признак трапеции отсутствует у объекта под № 4?

Основным структурным элементом рефлексивной деятельности в процессе формирования математических понятий является рефлексивная задача. Под рефлексивными будем понимать задачи, способствующие формированию у учащихся умений осмысливать и контролировать мыслительную

деятельность, осуществлять поиск оснований собственных действий. При составлении рефлексивных задач к обычным задачам добавляются вопросы рефлексивной направленности, способствующие осознанию процесса ее решения. К рефлексивным мы также относим задачи, в которых выделена некоторая ситуация, требующая рефлексивного отношения.

В ходе педагогического эксперимента были выделены следующие типы рефлексивных задач, способствующие усвоению математических понятий:

1. Назовите существенные признаки понятия. Сформулируйте определение понятия. Проверьте, все ли существенные признаки вы указали в определении. Задача способствует осмыслению учащимися текста определения, усвоению и осознанию существенных признаков понятия, входящих в определение.

Пример. Назовите существенные признаки понятия «вписанный угол». Сформулируйте определение. Проверьте, все ли существенные признаки вы указали в определении.

2. Установите, относится ли предложенный объект к данному понятию. Обоснуйте ответ. Задача способствует проверке усвоения существенных признаков понятия и сформированности умения подводить объект под понятие.

Пример. Установите, является ли объект, изображенный на рис. 1, вписанным углом? Обоснуйте ответ. Укажите признаки, которыми обладает вписанный угол.

Рис. 1.

3. Достройте объект так, чтобы его можно было отнести к данному понятию. Задача способствует осознанию существенных признаков понятия, проверке сформированности наглядных образов, формированию умений применять свойства понятия.

Пример 1. На рис. 2 заданы три точки А, В, С. Укажите местоположение четвертой точки О так, чтобы точки А, В, С и О были вершинами параллелограмма. Сколько решений имеет задача? Какие теоретические сведения вы использовали при ее решении?

С

•А •В

Рис. 2.

При решении данной задачи учащиеся должны получить три возможных случая построения параллелограмма (рис. 3).

о с с с D

а) б) в)

Рис. 3.

4. Приведите комментарии к решению задачи. Предложите другую последовательность действий в решении. Задача способствует осознанию действий, выполняемых в процессе решения, формированию умения осуществлять альтернативный подход.

Пример. На рис. 4 угол АОВ равен 120°.0пределите градусные меры углов АОС, ВОВ и ВОС.

К задаче приведено решение:

1) Z СОВ =Z АОВ = 120°;

2) Z АОС =180°- 120° = 60°;

3) Z ВОй =Z АОС = 60°.

Приведите комментарии к решению. Предложите другую последовательность действий в решении задали.

А

с \ о

----------\----------- в

\ о

Рис. 4.

5. Найдите ошибки в предложенном решении задачи. Задача способствует усвоению и осознанию способа решения, контролю действий в процессе решения задачи.

Пример 1. Луч с делит угол аЬ, равный 150°, на два угла (рис. 5). Найдите углы ас и Ьс, если угол ас на 60° меньше угла Ьс.

К задаче приведено решение:

Примем величину угла Ьс за х, тогда величина угла ас будет равна х + 60. Составим уравнение: х + 60 + х =150. Решая уравнение, получим х = 45. Следовательно, /Ьс = 45°, /ас = 45° + 60° = 105°. Какая ошибка была допущена в решении задачи? Исправьте ее.

А

с \ о

__________А________________ В

\ о

Рис. 5.

6. Подберите условия из списка, достаточные для того, чтобы объект относился к данному понятию. Задача способствует усвоению существенных признаков понятия, проверке сформированности умения подводить объект под понятие.

Пример. Подберите условия из списка, достаточные для того, чтобы объект был биссектрисой треугольника по определению:

а) отрезок биссектрисы угла треугольника; б) луч; в) луч, исходящий из вершины треугольника;

г) прямая, проходящая через вершину треугольника; д) соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны; е) луч, делящий угол треугольника на два равных угла.

7. Выберите из списка теоретические положения, которые следуют из того, что данный объект относится к данному понятию. Задача способствует проверке сформированности умения выводить следствия из факта принадлежности объекта объему данного понятия.

Пример. Выберите из списка теоретические положения, которые следуют из того, что объект является медианой треугольника:

а) отрезок; б) прямая; в) линия; г) соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны; д) соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны; е) делит угол треугольника пополам; ж) делит сторону треугольника пополам; з) является высотой и биссектрисой треугольника.

8. Составьте план решения задачи из набора предложений № 1, затем из набора № 2 выберите те теоретические положения, которые входят в обоснование решения задачи. Данная задача способствует формированию осознанного применения теоретических сведений (определений, теорем, устанавливающих свойства понятий) при решении задач.

Пример. На рис. 6 МЫ | | РQ; луч РЫ - биссектриса угла МРQ; угол NРQ равен 40°. Найдите величину угла РМЫ. Из набора а) - г) составьте план решения:

а) нахождение величины угла МЫР;

б) нахождение величины угла РМЫ;

в) нахождение величины угла МРЫ;

г) нахождение величины угла МР(Э.

Рис. 6.

Из набора а) - ж) выберите те теоретические положения, которые входят в обоснование решения задачи (укажите их по порядку применения при решении задачи):

а) определение параллельных прямых;

б) признак параллельных прямых по накрест лежащим углам;

в) свойство параллельных прямых по накрест лежащим углам;

г) признак параллельных прямых по односторонним углам;

д) свойство параллельных прямых об односторонних углах;

е) свойство величин углов; ж) определение биссектрисы угла.

Приведем запись правильного ответа: план решения - в, г, б; обоснование решения - ж, е, д.

Учащимся при формировании математических понятий целесообразно предлагать задания на исправление ошибок в формулировках определений понятий с использованием контрпримеров. Такие задания способствуют осознанному усвоению определения понятия, его существенных признаков. Приведем пример. Исправьте ошибки в формулировке определения понятия, приведя контрпример: «параллелограмм - это многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны».

К рефлексивным задачам будем относить задачи: на нахождение ошибок в условии предложенной задачи, на дополнение условия, на нахождение лишних данных в условии, на самостоятельное составление задач, на нахождение других способов решения. Приведем примеры.

1. Один из смежных углов больше другого на 60°, или в 2 раза. Найдите эти углы. Нет ли в задаче лишних данных? Составьте задачу без лишних данных (возможны различные варианты). Решите ее.

2. Один из смежных углов больше другого на некоторую величину. Найдите эти углы. Хватает ли данных для решения задачи? Дополните условие задачи какими-либо данными и решите ее.

3. Найдите площадь четырехугольника АВСВ, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см. Указание: рассмотрите данный четырехугольник, состоящий из двух треугольников. Нельзя ли решить эту задачу иначе?

4. Составьте задачу, аналогичную задаче 3, в которой бы длины диагоналей задавались в общем вице. Решите эту задачу. Какие способы решения возможны? Какую геометрическую закономерность вы заметили?

Рефлексивные задачи, предлагаемые учащимся, должны быть диалогичными, и учитель должен содействовать тому, чтобы школьник по-разному мог взглянуть на условие задачи, попытаться решить ее разными способами, оценить задачу и ее решение с разных точек зрения. Рефлексивная деятельность учащихся в процессе формирования математических понятий должна способствовать:

- усвоению существенных признаков изучаемого понятия;

- усвоению терминологии, символики, определения понятия; созданию правильного соотношения между внутренним содержанием понятия в простейших ситуациях и формированию осознанности их применения;

- интегрированию изучаемого понятия в различные связи и логические отношения с другими, уже усвоенными понятиями;

- самоконтролю и корректировке усвоенных знаний;

- осознанию роли и места изученных понятий в полученном способе решения задачи.

Список литературы

1. Анисимов О. С. Методологическая культура педагогической деятельности и мышления. М: Экономика, 1991. 416 с.

2. Богин В. Г. Современная дидактика: теория - практике / под ред. И. Я. Лернера, И. К. Журавлева. М., 1994. 288 с.

3. Выготский Л. С. Избранные психологические исследования: Мышление и речь. Проблема психологического развития ребенка. М.: АПН РСФСР, 1956. 519 с.

4. Голицын Г. А. Рефлексия как фактор развития / / Проблемы рефлексии. Современные комплексные исследования. Новосибирск: Наука, 1987. С. 54- 60.

5. Давыдов В. В. Содержание и структура учебной деятельности школьников / / Формирование учебной деятельности школьников / под ред. В. В. Давыдова, И. Ломпшера, А.К. Марковой. М.: Просвещение, 1982. С. 10-21.

6. Далингер В. А. Совершенствование процесса обучения математике на основе реализации внутрипред-метных связей. Омск: ОмИПКРО, 1993. 323 с.

7. Ильясова А. Б. Развитие мыслительных действий учащихся при формировании понятий на уроках математики в младших классах школы: дис. ... канд. пед. наук. М., 1997. 236 с.

8. Котенко В. В. Рефлексивная задача как средство повышения обучаемости школьников в процессе изучения базового курса информатики: дис. .канд. пед. наук. Омск, 2000. 166 с.

9. Лернер И. Я., Журавлев И. К. Прогностическая концепция целей и содержания образования. М.: Изд-во РАО, 1994. 120.

10. Локк Д. Опыт о человеческом разуме // Избранные философские произведения: в 2-х т. М., 1960. Т 1., 532 с.

11. Огурцов А. П. Альтернативные модели анализа сознания: рефлексия и понимание // Проблемы рефлексии. Современные комплексные исследования. Новосибирск: Наука, 1987. С. 13-19.

12. Рефлексия в науке и обучении: сборник научных трудов / под ред. И. С. Ладенко. Новосибирск: ИИФ-ФСО, 1989. 254 с.

13. Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии: в 2 т. М.: Педагогика, Т.1. 1989. 488 с.

14. Семенов И. Н., Степанов С. Ю. Проблема предмета и метода психологического изучения рефлексии / / Исследования проблем психологии творчества. М., 1983. С. 154-181.

15. Щедровицкий Г. П. Система педагогических исследований (методологический анализ) / / Педагогика и логика. М., 1993. С. 16-201.

УДК 517.956 ББК В 161. 6

С. Е. Холодовский, Н. В. Игнатьева

О решении краевых задач на плоскости с прерывным пленочным включением

типа трещины и завесы

Решены краевые задачи для уравнения Лапласа на кусочно-однородной плоскости при наличии трещины и завесы в виде лучей, лежащих на прямой, когда искомые потенциалы имеют заданные особые точки, индуцирующие процесс.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, прерывное пленочное включение, трещина, завеса, кусочно-однородная плоскость.

S. Ye. Kholodovskiy, N. V. Ignatyeva

On the solution of boundary value problems on the flatness with broken film inclusion like a crack and screen

There have been solved boundary value problems for the Laplas equation on the piece-homogeneous flatness if there is a crack and screen looking as rays that lie on the straight line when potentials sought have particular given points inducing the process.

Key words: Laplas equation, broken film inclusion, crack, screen, piece-homogeneous flatness.

Рассмотрим задачу построения потенциалов установившихся динамических процессов на кусочно-однородной плоскости z = X + iy, состоящей из двух полуплоскостей < 0) и D(y > 0) проницаемости kj в Dj, когда луч L(x <—a,y = 0) является слабо проницаемой завесой, луч L2(x > a,у = 0) - сильно проницаемой трещиной, а на отрезке L0(—a < x < a, y = 0) имеет место идеальный контакт зон Dj. Искомые потенциалы имеют заданные особые точки (источники, стоки и

т. д.), индуцирующие процесс.

Перейдем на плоскости Z к эллиптическим координатам ] : X = ach% cos ], y = ash% sin t, 0 < t < ж, при этом полоса D(% е R,0 < t < ж) на плоскости Q = # + it функцией z = acos(iQ) кон-