Конформное отображение полуплоскости на круговой счетноугольник с двойной симметрией

Проблемы анализа

Том 2(20), №2, 2013

Issues of Analysis

Vol. 2(20), No. 2, 2013

УДК 517.542

И. А. Колесников

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА КРУГОВОЙ СЧЕТНОУГОЛЬНИК С ДВОЙНОЙ

СИММЕТРИЕЙ

Аннотация. В последнее время конформные отображения верхней полуплоскости на односвязные области типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, с границей, состоящей из дуг окружностей, отрезков прямых и лучей, находят применение в задачах математической физики. В работе доказано, что конформные отображения верхней полуплоскости на такие области, обладающие дополнительным свойством симметрии относительно вертикальной прямой w = п + iv, v Е R, являются решением дифференциального уравнения третьего порядка типа уравнения Кри-стоффеля — Шварца для круговых многоугольников. Полученное уравнение зависит от значений углов при конечном количестве вершин, прообразов этих вершин, акцессорных параметров. Доказательство опирается на принцип симметрии Римана — Шварца и формулу Кристоффеля — Шварца для круговых многоугольников. Записана система из двух линейных алгебраических уравнений для акцессорных параметров. Для отображения на конкретный круговой счетноугольник с двойной симметрией записанное дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению класса Фукса с тремя особыми точками, сведено к уравнению Гаусса. Отображение представлено через гипергеометрические интегралы.

Ключевые слова: круговой счетноугольник, конформное отображение, симметрия переноса, производная Шварца, уравнение Гаусса.

2010 Mathematical Subject Classification: 30C20.

© Колесников И. А., 2013

Введение

В конце XIX века Г. Шварцем было получено дифференциальное уравнение для конформного отображения верхней комплексной полуплоскости на односвязную область, ограниченную дугами окружностей [1, с. 412].

Теорема 1. Функция /(г), однолистно и конформно отображающая верхнюю полуплоскость П+ = {г Е С : 1т г > 0} на круговой многоугольник Л, удовлетворяет дифференциальному уравнению

ГМ_3 (Г(г)\2 = п±1( 1 - <А + м\

Г (г) Л / '(г)) 2(г - с, )2 + г - о,)' [>

где — ж < С\ < ... < сп+\ < +ж — прообразы вершин кругового многоугольника Л, ж,..., ^рп+1п — углы при этих вершинах.

Уравнение для отображения верхней полуплоскости на круговой многоугольник в случае, когда один из прообразов вершин находится в бесконечно удаленной точке, получено в [4].

Левая часть уравнения (1) — производная Шварца функции /, будем обозначать ее {/,г}. Значения вещественных постоянных Мк, с,, к = 1, п + 1, называемых акцессорными параметрами, заранее неизвестны. Эти акцессорные параметры связаны условиями:

п+1

^Мк = 0,

к=1

п+1 / 1 2\

^

к=1 ' '

п+1

(^кМк + (1 — )ск^ = 0.

к=1

Для определения акцессорных параметров разработаны различные методы, например, в [2], на основе метода, предложенного П. П. Куфаревым [3], задача определения параметров сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение (1) для отображения верхней полуплоскости на круговой многоугольник с п вершинами можно свести

к дифференциальному уравнению второго порядка класса Фукса с n особыми точками [4].

В прикладных задачах представляют интерес конформные отображения на конкретные многоугольники. Многие задачи математической физики, использующие технику конформных отображений, связаны с нахождением конформных отображений на многоугольники специального вида. В последние десятилетия появился интерес к конформным отображениям верхней полуплоскости на счетноугольники типа полуплоскости с границей, состоящей из дуг окружностей, и обладающих симметрией переноса. J. M. Floryan [5] развивает численные методы, основанные на уравнении Кристоффеля - Шварца, для нахождения конформных отображений полуплоскости на односвязные области типа полуплоскости с симметрией переноса. И. А. Александровым и Л. С. Копаневой [6] получено дифференциальное уравнение типа уравнения Левнера для конформного отображения полуплоскости на односвязные области типа полуплоскости с симметрией переноса. Дифференциальное уравнение Шварца для круговых многоугольников распространено в работе [7] на случай отображения верхней полуплоскости на круговой счетноугольник типа полуплоскости с симметрией переноса.

Конформные отображения на счетноугольники с симметрией переноса используются в гидродинамике при изучении потока жидкостей, задачах теплопроводности и др. Так, I. L. Verbitskii [8], M. Neviere [9] показывают, что задача дифракции на произвольной периодической металлической границе может быть решена с помощью аппарата конформных отображений. Итальянские инженеры A. Baron, M. Quadrio, L. Vigevano [10] изучают с помощью конформных отображений поток вдоль ребристой поверхности с симметрией переноса.

Уравнение для отображения полуплоскости на круговой счетноугольник с двойной симметрией

Область А называют областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если при линейном преобразовании L(w) = w + 2п область остается неизменной: L(A) = А.

Область А называют областью типа полуплоскости, если при преобразовании L(w) = w + 2п среди всех простых концов [1] границы области А в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец.

Определение 1. Круговым счетноугольником с двойной симметрией будем называть односвязную область А, обладающую следующими свойствами:

• А — область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п;

• А — область типа полуплоскости;

• А — область с симметрией относительно прямой т = п + IV, V Е Е;

• часть границы области А от точки то до точки то + 2п состоит из конечного числа дуг окружностей.

Конечную точку , где Н} = шах{т € С : т = IV, V Е М} Р| дА, будем считать вершиной счетноугольника А, обозначим ее А}. Если бесконечно удаленная точка — единственная вершина счетноугольника А на мнимой оси, обозначим ее А}. Аналогично выберем вершину на прямой {т Е С : т = п + IV, V Е М} и обозначим ее АП. Если вершины А}, АП являются внутренними точками дуг окружностей границы счетноугольника дА, то угол при этих вершинах равен п.

Обозначим через А1, А%,..., А%п_2, А}, А\ = А} + 2п, вершины кругового счетноугольника А, лежащие в полосе = {т Е С : т = = и + IV, и Е [0, 2п], V Е М}, возрастание нижнего индекса соответствует движению вдоль границы кругового счетноугольника А в положительном направлении; пусть углы при этих вершинах равны соответственно а\п,а2п,...,а2п-2п,а±п. Остальные вершины А™ определяются сдвигом вершин А£ вдоль вещественной оси: А™ = А^ + 2пт, т Е Ъ, к = 1, 2п — 2. Ясно, что вершина АП_3 симметрична вершине АП+з,в= 17 п — 2 относительно прямой т = п+^, V Е М, А} + 2п = А}, кроме того, ап-я = ап+3, в = 1,п — 2. Заметим, что некоторые из вершин А™, к = 2, п — 1, т Е 2, могут находиться в бесконечно удаленной точке; некоторые дуги окружностей могут вырождаться в отрезки прямых или лучи.

Согласно теореме Римана [11] , существует однолистное и конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетноугольник с двойной симметрией. Для такого отображения в настоящей работе получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть А — круговой счетноугольник с двойной симметрией. Функция т(£), однолистно и конформно отображающая верх-

нюю полуплоскость П+ на счетноугольник А, удовлетворяет дифференциальному уравнению

2

W

///

w'

w"

w'

sin2 z 2

4 — a2

l

n— 1

+£

k=2

1 - ak

+

+

4(1 — cos z)2 4 — a2

^ 1 n

4(1 + cos z)2 Mk

+

M

1

(ak — cos z)2 ak — cos z

1 — cos z Mn 1 + cos z

3 2

— 1 — - cot2

+

где ak = cos zk, zk — прообразы вершин Ak, k = 1, n, кругового счетно-угольника А, лежащихв полосе Pn = {w G C : w = u+iv, u G [0, п], v G G R}, z0 = 0, zn = п; akп — углы при этих вершинах, ak G [0, 2]; Mk, k = 1, n — некоторые константы.

Замечание 1. Постоянные Mk, ak, k = 1,n, из уравнения (3) связаны условиями:

Mk = 0,

k=1

n1

Mkak — ^

k=1

k=2

4 — al — an

4

= 0.

Доказательство теоремы 2. Построим отображение Z, Z = Z(z) полуполосы п+П Pi, где Pi = {z G C : z = x + iy,x G (0, п), y G R} на полуплоскость П+. Пусть Z(0) = 0, Z(п) = п, и бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную, тогда отображение Z будет иметь вид

Z(z) = п sin2 2.

Построим теперь отображение w, w = w(Z), верхней полуплоскости П+ на многоугольник А Р| Pi. Он имеет n + 1 вершину A1, A0, ..., An, An+i, An+1 = с, и углы при вершинах соответственно

п,а2п, ..., ап-1 п, Отп,аП+1 п, а*п+1 = 0- При отображении ) вершинам А1, А2,..., А^ ш-плоскости соответствуют некоторые точки

0 = В0, В2 ,...,ВП = п на вещественной оси £-плоскости, и бесконечно удаленной точке А.П+1 соответствует бесконечно удаленная точка

z

В*+1- Согласно теореме 1, отображение ш(£) удовлетворяет дифференциальному уравнению

{w,Z} =

4 — а12

+

M1

+

4 — оЇП

+

Mn

8(Z — b2)2 ' Z — B1 ' 8(Z — BnY Z — Bn

Mk

+

+

n— 1

E

k=2

1 — ak 2(Z — Bk у

+

Z — B

которое получается из уравнения (1) при сп+1 = о, ск = В0, к = 1, п, ^1 = 0-1, рп = ^2^, Рк = «к, к = 2, п - 1.

Заметим, что точкам В0,В0,...,ВП С-плоскости при отображении £(г) соответствуют некоторые точки г0, г0, ...,гП г-плоскости, С{гк) = = Вк, к = 1,п, причем, г0 = 0, гП = п, бесконечно удаленной точке ВП+1 соответствует бесконечно удаленная точка. Композиция ю(С, (г)) отображает область П+ Р| Р^ на область Д Р| Р^. В уравнении (5) выполним замену £ = £ (г), пользуясь соотношением

w

(Z MU}

{w,z} — {Z,z} (Z:(z))2

получим

{w, z} =

sin2 z

4 а2

1

2 4(1 — cos z)2

n1

+

k=2

1 — a2

cos zkk — cos z

nM1

1 cos z

+

+

4а

nMn

4(1 + cos z )2 nMk

cos zk — cos z

1 + cos z

— 1--------cot2

Обозначим nMk = Mk. k = 1, n.

По построению отображений Z(z) и w(Z). отображение w^Z(z)) пе-реоодит точки z0,zk,...,z^n в вершины Ak, a0,...,An многоугольника ап p: и бесконечно уодаленную точку в бесконечно удаленную. Часть границы области П+ P| Р'ж — луч l = {z Є C : z = n + iy,y > О}. отображение w(z) переводит в часть границы области А Р| Р'ж — луч L = {w Є C : w = An + iv,v > О}. Продолжим отображение w(z) через луч l. согласно принципу симметрии Римана - Шварца. Про-долженноео отображение w(z) поереводит конформно и однолистно область П+ П PL на область А Р| Р'2п. Р'2п = {z Є C : z = x + iy,x Є Є (О, 2n),y Є r}.

z

2

Следующим шагом продолжим полученное отображение т(г) через луч 1о = {г Е С : г = гу,у > 0}, согласно принципу симметрии. Получим конформное, однолистное отображение т(г) области П+П {г € С : г = х + гу,х Е (—2п, 2п),у € К} на область АП {г € С : г = х + гу,х Е (—2п, 2п),у Е К}. Продолжая этот процесс неограниченно, получим конформное и однолистное отображение т :

П+

-- А, удовлетворяющее уравнению (3).

С помощью алгебраических преобразований из системы (2) получаем эквивалентную ей систему

п - п - п+1 - 2

Ск М - т+гЕ = 0-

к=1 Сп+1 к=1 Сп+1 к=1

1 п 1 п+1 1 2

-----^ СкМк +------------^ - Мп+1 = 0,

сп+1 к=1 сп+1 к=1 2

п п п+1 2 п+1

ск мк- ^ ск мк- ^ 2"^^ + с X/ ск (-1- ^к) =0

. cfc---^ / ~k-k / 0 «

°n+1 k=1 k=1 k=1 2 Cn+1 k=1

Перейдя к пределу при Cn+1 ^ Ж и выполнив подстановку Ck =

z0 - _______________________

= п sin2 f, nMk = Mk, k = 1,n, ^n+i. =0, (p1 = ^2t , ,

¥к = ак, к = 2, те — 1, получим систему (4), которой удовлетворяют акцессорные параметры Мк, ак, входящие в уравнение (3).

Пример

Для нахождения конкретного отображения используется следующий результат [1, с. 414].

Замечание 2. Пусть f1 (г), /2 (г) —два линейно-независимых решения уравнения

/ "(г) + Я(г)/(г) = 0

Положим т

{т, г} = 2Я(г).

Пусть функция т(г) отображает верхнюю полуплоскость П+ на круговой счетноугольник А с двойной симметрией. Вершины счетно-

угольника А находятся в точках 2пт, п(2т + 1) + in tan п(ф———, т Е Z, с углами при них фп, фп, соответственно, ф Е [0, 2], ф Е (0, 2]. Уравнение теоремы 2 для данного случая примет вид

, sin2 z ( 4 — ф2 M1

{W’ Z} = \4(1 — cosz)2 + 1 — cosz +

4 — ф2 M2 \ 3 2

+ ^^ ) — 1 — 77 cot Z.

4(1 + cos z)2 1 + cos z) 2

Найдем константы M1, M2, используя систему (4):

4 — ф2 — ф2

M1 = —M2 =----------------—.

8

Уравнение для функции w(z) перепишется в виде

W

f — ф2) cos z + 2 — ф2 — ф2 (

iw,z} = ---------- .  2--------------.

4 sin z

Так как

«-•ж} = м—И.

то после замены cos 2 + 1 = Z (z) уравнение (6) примет вид

4Z2 +

{w,z} =-----------8Z2

Согласно замечанию 2, решение уравнения

w(Z) = / (Z), где f\(Z), /2(Z) — два линейно-независимых решения уравнения

4Z2 +

Выполнив в уравнении (8) замену /(Z) = Z1 _^ (Z — 1)2_^ g(Z), по-

лучим уравнение Гаусса [4]

Z

2 — ф — ф ф где a = в = 24-----Г , Y = 1 — 2.

Если ф = 0, то двумя линейно-независимыми интегралами уравнения (9) будут гипергеометрические ряды [4]

Г(ав;7;С) = Г (;1 - 2;С),

С1-7 р

которые сходятся при |С | < 1.

Выражая гипергеометрические функции через определенные интегралы, получим

ОО

/ t-1-v(t — 1)v(t — Z^dt

Wi(Z ) = Z * -

l

f1v (t — 1^(t — Z )v dt

0

где Z(z) = cosz +1 .. = fi + Ф — 2 л = fi — Ф — 2 .. = Ф — fi — 2

где Z (z) = —2— ’ v =-------4----’ л =-----4----’ ^ =----4----•

Заметим, что в силу инвариантности производной Шварца относительно дробно-линейного преобразования, искомая функция w(z) имеет вид

w(z) = ^n + in tan (Ф4 fi)^ (вгw1(Z(z)) + 1) . Библиографический список

[1] Александров И. А. Теория функций комплексного переменного. Томск: Томск. гос. ун-т, 2002. Б10 с.

[2] Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, Физматлит, 1976. 344 с.

[3] Куфарев П. П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца // ДАН СССР Т. Б7, №6. 1947. С. 535-537.

[4] Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. 2-е изд. М.-Л.: ГТТИ, 1950. 436 с.

[Б] Floryan J. M. Schwarz-Christoffel methods for conformal mapping of regions with a periodic boundary // J. comput. and applied math. №46. 1993. P. 77-102.

[6] Александров И. А., Копанева Л. С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестн. Томск. ун-та. №284. 2004. С. 5-7.

[7] Колесников И. А. Отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса // Вестн. Томск. ун-та. №2(22). 2013. С. 33-44.

[8] Verbitskii I. L. Quasistatic green function method as a powerful tool of diffraction problems solving // Mathiarials of the VI international conference «Mathematical methods in electromagnetic theory» on 10-13 Sep. Lviv, Ukraine. 1996. P. 358-361.

[9] Neviere M., Cadilhac M., Petit R. Application of conformal mapping to the diffraction of electromagnetic waves by a grating // Antennas propagation V. 21, №1. 1973. P. 37-46.

[10] Baron A, Quadrio M., Vigevano L. On the boundary layer/riblets interaction mecha,nisms and the prediction of turbulent drag reduction // Int L. J. heat and fluid flow V. 14, №4. 1993. P. 324-332.

[11] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: в 2 т. Т. 1. 4-е изд. СПб: Лань, 2004. 336 с.

Работа поступила 5 июля 2013 г.

Томский государственный университет,

г. Томск, пр. Ленина, 36.

E-mail: ia.kolesnikov@mail.ru