Трехмерная механическая модель для описания больших упругих деформаций при одноосном растяжении

УДК 539.3

ТРЕХМЕРНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ БОЛЬШИХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

А.Д. АЗАРОВ

(Научно-исследовательский Институт механики и прикладной математики им. И.И. Воровича),

Д.А. АЗАРОВ

Предложена трехмерная механическая модель для описания больших деформаций нелинейно-упругих тел. Модель отражает различные случаи анизотропии: ортотропный, трансверсально-изотропный, а также изотропный материалы. Рассмотрено одноосное растяжение. Изучены две характеристики нелинейного материала: аналоги модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Анализируется влияние внутренних параметров модели на характеристики материала.

Ключевые слова: нелинейная упругость, анизотропия, математическая модель, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, одноосное растяжение.

Введение. В теории упругости предложены многочисленные определяющие соотношения нелинейно-упругих тел для случая больших деформаций. Основные из них (Синьорини, Муни-Ривлина, Мурнагана) подробно разобраны в [1]. В их основе, как правило, лежат представления удельной потенциальной энергии деформации через инварианты тензора деформации. Ниже рассмотрен другой подход: моделирование соотношений связи «напряжение - деформация» с помощью механической конструкции.

В работе [2] была предложена двумерная математическая модель (ММ) для описания механических свойств полимерных материалов. Данная ММ имеет различные естественные возможности для развития. В настоящей статье подробно рассмотрена трехмерная ММ в упругой постановке.

Вывод соотношений новой ММ сделан на примере одноосного растяжения. Модель представлена пространственной механической (стержневой, пружинной) конструкцией с разными геометрическими (длины) и механическими (коэффициенты жесткости-упругости) характеристиками внутренних связей. При этом рассматриваются взаимозависимые свойства продольного и поперечного деформирования.

В литературе обычно большое внимание уделяется модулю упругости Юнга как основной характеристике свойств материалов. Тем не менее, несмотря на малую область изменения, коэффициент Пуассона является одинаково равноправной с модулем Юнга механической характеристикой [3]. Современные исследования [4, 5] выявили его связь с различными важными физикомеханическими свойствами материалов. Определение коэффициента Пуассона напрямую из эксперимента является сложной задачей. Вычисление же его по формулам линейной теории упругости с использованием любой пары из констант материала (Еи К, у и К, Еи у) приводит к большим погрешностям, если не обращать внимание на необходимую большую точность исходных данных. Кроме того, усложняет задачу еще и то, что эксперименты проводятся на разных образцах и при разных условиях, что не может не сказаться на конечном результате [3].

Коэффициент Пуассона до сих пор не объяснен до конца с точки зрения механизма деформирования. В данной работе предложено возможное направление анализа этого механизма.

Прототипом предлагаемой модели можно считать и модель кристалла, описанную Р.Фейнманом [6]. Автор не ставил задачи анализа больших деформаций, а определил упругие постоянные кубических кристаллов через энергии взаимодействия атомов.

Основные положения модели в упругой постановке. Рассмотрим элементарный прямоугольный параллелепипед упругой анизотропной сплошной среды с заключенной в него трехмерной механической конструкцией (рис.1). Ее узлы привязаны к центрам граней параллелепипеда. Конструкция представляет собой систему стержней (пружин), отражающих свойства связей между гранями. «Пружины-связи» данной модели считаются линейно-упругими. При этом модель является трехмерной, и особую роль в этом случае играют диагональные связи.

Рис. 1. Геометрия связей модели

Характеристики жесткости связей рассматриваются как некоторые интегральные оценки силовых взаимодействий общей структуры материала, но не отдельных атомов в отличие от [6]. При этом допускаются и отрицательные значения жесткостей связей, что является отражением реальных сил притяжения в структуре материала.

Если длины связей АА АА А5А6 не равны, то мы получим «геометрически» анизотропную модель. Если не равны коэффициенты упругости разных связей, то такую анизотропию условно назовем «механической».

Выбором различных значений геометрических и физических параметров можно придать модели сложную анизотропию. При этом количество параметров соответствует представлениям теории анизотропных сред. В общем случае анизотропного материала необходимо задать 21 параметр модели: 18 механических параметров - коэффициентов упругостей связей и 3 геометрических параметра - линейные размеры модели. Это согласуется с общими положениями анизотропной теории упругости, где вводится 21 константа упругости материала.

Уравнения модели для одноосного растяжения ортотропного тела. Рассмотрим случай растяжения «механически» и «геометрически» ортотропной модели. Обозначим длины граней элементарного прямоугольного параллелепипеда (длины связей) а5 А = 2а0, А1А2 = 2Ь0, А3 А4 = 2со.

Диагональные связи между Ц3 и Ьо обозначим 1о, между Ьо и Со - П, между Ц3 и Со - Ро. Коэффициенты упругости связей обозначим соответственно ka, ^, kc, kl, kn и kp .

Рассмотрим одноосное растяжение модели силой Fa, приложенной в вершинах А5 и А6

вдоль связи Цо. Тогда после деформации длины связей станут соответственно А, В, С, L, N и Р, причем связи А, L и Р растянутся, а В, Си N- сожмутся:

А = Цо + да, в = ьо - дь, С = Со - $с, L = 1о + 81, N = по - 8п, р = ро + 8р,

где 8а , 8Ь , 8С , 8; , 8п , 8р - знакоположительные удлинения соответствующих связей. Выпишем соотношения для длин диагональных связей в отсчетной конфигурации:

2 і т2 і 2 2 - 2 2 ~и 2 , 2 2

а0 + Ь0 - 10 , а0 + С0 - р0 , Ь0 + С0 - П0

и в актуальной конфигурации

+ В2= і} , + С2 = Р2 , В2 + С2= N2.

Учитывая (2) и подставляя (1) в выражение (3), получаем:

~2Ь0дь + 8Ь2 - 2с0^с + 8с2-------2по8„ + 8п2.

Для деформированных углов (рис.2) получаем:

A ao + Sa

cosp = — = —-------------------

L l0 + Sl

B b0 - Sb

sinp= —= ,

L l0 + Sl

с co-Sc

cos W =------= —---------

N no - Sn

B b0 - Sb

sin W =------= —---------

N n0 - Sn

cose = A = Go + S a

Рис. 2. Углы в актуальной конфигурации

P Po + Sp sine = C = -c° -Sc

P Po + Sp

Составим уравнения статики в узлах в проекциях на три ортогональные оси (рис. З):

Fa = Ra + 2Rl cosP + 2Rp cose ,

-2Rp sine + 2Rn cos/ + Rc = 0,

-2R' sin p + 2Rn sin / + Rb = 0, где Ri - реакция соответствующей связи.

Физический закон для каждой связи:

R

kSi

a,b, c, l,n, p.

Rr

Рис. 3. Внешняя сила и реакции связей модели Подставив в (6) выражения (5) и (7), получим нелинейные уравнения:

F = k S + 2k,S.ao + Sa + 2k,Sn ao + Sa ' " P P Po + Sp

l0 + Sl

2kpSp - 2k„S„ - kS = 0

Po + SP

n0 - Sn

2k,S, - 2k„Sn - kbSb = 0 •

l0 + Sl

n0 - Sn

Уравнения (4) и (8) образуют систему для определения неизвестных

Fa , 8а , 8Ъ, 8С, 81, 8п, 8 . Эта система является математической моделью, соответствующей

предложенной трехмерной механической конструкции связей.

Задавая деформацию 8а в качестве исходной величины, из (4) и (8) можно определить функции:

Ра (8а ) > 8Ь (8а X 8с (8а ), 81 (8а X 8п (8а X 8р (8а ) .

Из зависимости Fa (8 ) можно определить нелинейную характеристику, связывающую растягивающее напряжение с продольной деформацией, являющуюся аналогом модуля Юнга линейной теории упругости. Аналогично из зависимости 8Ъ (8а) получаем нелинейную характеристику связи поперечной и продольной деформаций, являющуюся аналогом коэффициента Пуассона линейной теории упругости

Задавая силу Ра в качестве исходной величины, можно определить зависимости

8а (К ) > 8Ь (К X 8с (К X 81(К X 8п (К X 8р (К ) и далее хаPактеPистикУ, аналогичную

податливости.

Таким образом можно рассмотреть одноосное растяжение модели силой ^, приложенной в вершинах А1 и А2 вдоль связей Ь0, и одноосное растяжение модели силой ¥с, приложенной в вершинах А3 и А4 вдоль связей С0. При этом структура уравнений сохраняется, меняются только индексы.

Уравнения модели для одноосного растяжения трансверсально-изотропного тела. Рассмотрим трансверсально-изотропный материал. Пусть в отсчетной конфигурации Со = Ь, тогда

Ро = 1о. Найдем две характеристики материала: «коэффициент Пуассона» и «модуль упругости

Юнга» в зависимости от коэффициентов упругости связей геометрической модели.

Общее решение задачи. Рассмотрим одноосное растяжение материала вдоль вертикальной оси силой Fа. В этом случае формулы (1) упрощаются, длины связей в текущей конфигурации:

L = 10 + 81, А = а0 + 8а В = а0 — 8Ь , N = 10 — 8п .

При одноосном растяжении сечение модели в перпендикулярной плоскости не искажает своей формы N = в42. Это дает возможность явно определить 8п:

10 — 8п = (а0 — 8Ь

І0 — аоУІ2

Кроме того, упрощается первая формула (4):

21,5і + 5і2 — 2ап5а + 5а2 - 2ап5, + 5,2.

0 I I ^-40 а а ^«•*0ь

Углы в актуальной конфигурации:

В ап — 8 г

¥ =

L !п + 8, 4

А L

— ао - 5Ь

І0 + 51

1 а о + 5 а

Іо + 5І

_ао - - 5Ъ

А а0 + 5 а

Уравнения статики (6) с учетом трансверсальной изотропии примут вид:

—2klSl + *J2knSn + к,8, = 0,

Ра = 4кі8 і С°^ + ка8а .

Подставляя в выражение (13) формулы (10) и (12) после очевидных преобразований, по-

лучаем:

где комплекс

8, =ОД , 8=л/2 8,,

с, (8 )=-

2к1а0

1о

Подставив соотношение (15) в (11), после преобразования приходим к уравнению относительно $ с учетом зависимости (16):

8)2

Таким образом, при заданном 8а из нелинейных соотношений (16) и (17) определяется

$, а далее по формулам (15) 8ь и 8п. Формулу для усилия (14) можно преобразовать таким образом:

/Т, _1_ Я

Еа = 4к8 а°+8а + к,8

1 0 + 8

Введем безразмерные величины: геометрические параметры приведем к начальной длине связи а0, а механические параметры - к коэффициенту упругости этой же связи ка. Далее под старыми обозначениями будем иметь в виду новые безразмерные величины:

,0 = к. = Л; 8а = 8; $, = $; $ = $ , 8,, = 8; к, = ^; кь = ^; к,, = ^.

а0 а0 а0 а0 а0 ка ка к

В такой постановке уравнения (15) - (18) принимают вид системы:

а

2к

Сі (8 )=-г--------------------------------

у/2(2кп + кь ) + 8 (2кп + кЬ + 2кі) 8 2(1 — Сі2) + 28 Ы2 + Сі ) — 28 а — 8а2 = 0

8Ь =с18 8 = 8Ъ42

ра =

е /I 7 <? 1 + 8 а ^

8а + 4к,8 а

V

каа0

1 г42+$

Система (19) нелинейная, аналитическое решение ее не представляется возможным. Тем

не менее, численное решение системы в зависимости от параметра удлинения 8а производится

без особых затруднений средствами систем компьютерной математики, например, пакета MathCad.

В результате получены нелинейные зависимости: $ь (8а ), $ ($а ), 8п (8а ), Fp (8а ).

Частичная линеаризация задачи по деформациям (приближенное решение). Систему

(19) можно упростить с помощью частичной линеаризации задачи по деформациям. Будем рассматривать малые деформации, когда можно пренебречь квадратами удлинений, но только в выражении (11) с учетом безразмерных соотношений: ,0$ = 8а — $ь .

Так как

0 =4і, то 5, = 5 “ 5

Подставив (20) в (13) и (14), получим:

1 - 5,

2к1

2 + 5а - 5Ъ

(2кп + къ )5Ъ = 0

Г =

2 + 5а - 5Ъ

+ 5а )каа0 .

В отличие от (18) в этом случае продольная деформация 5, (5а) находится из квадратного уравнения, а остальные характеристики удлинений и силы 5{ (5а ), 5п (5а ), Гр (5а ) можно рассчитать аналитически с помощью несложных формул.

На рис.4 графики представлены при ка=1, к=1 , к=2 и к=1 для точного и приближенного решений.

V35

/

//

/

1 —ж- нелинейный полулинейный

1 1 1

0.5

0.429

0.357

0.286

0.214

0.143

0.071

0

6і и

2 3 4 5 6 7

У

у

—к- нелинейный —•— полулинейный

6„

/

// *

}

/

- -

/ —полулинейный

Рп

1 2 3 4 5

7 8 9 10

у

’У

нели нейнь й

—*— полулинейный

Рис. 4. Сравнение деформационных и силовых характеристик модели для точного и приближенного решений

На рисунке видно, что наибольшая погрешность между точным (нелинейным) решением и приближенным («полулинейным») наблюдается для величины 81, и достигает 30 % при деформации порядка 1000 %, т.е. при десятикратном увеличении длины. При меньших деформациях порядка 10 % расхождение между нелинейным и линейным решением 81 значительно меньше -около 3 %. Для других величин 8Ь (8а), 8П (8а), Fа (8а) расхождение даже при десятикратном удлинении не превышает 8 %.

Отметим, что параметр ^ определяет характер влияния продольной деформации на поперечные, то есть является параметром, отвечающим за «коэффициент Пуассона» модели.

После определения зависимости силы от удлинения, поделив силу Fp на площадь поперечного сечения до деформации £ = 4а02, получаем напряжение 7, а безразмерная 8а уже является относительной деформацией е. Далее можно вычислить нелинейную характеристику,

7

аналогичную линейному модулю Юнга Е = —. Кроме того, из первого уравнения системы

е

можно найти нелинейную характеристику, аналогичную коэффициенту Пуассона у = —^.

Полная линеаризация задачи (линейная задача). Получим коэффициент Пуассона и модуль Юнга в рамках линейной теории упругости при малых деформациях. Тогда 8а ^ 0, 8Ъ ^ 0, и система (21) принимает вид:

\к1 (ва - въ ) - (2кп + К )въ = 0

1 К =( 2к, (ва - въ ) + в а ) к

Далее приходим к соотношениям:

аы 0

въ =

К =

к,

кі + 2кп + къ

1 +

2кі

к1 + 2кп + къ ]

вакаа0

Таким образом, коэффициент Пуассона трансверсально-изотропной модели в линейном

случае: у =__________

У лин 1 , 0 7 ,7

к1 + 2кп + къ

, а модуль Юнга в продольном направлении:

Е =

1 +

2к1 (2кп +1) к1 + 2кп + къ J

каа0 / 5 = (1 + 2улин (2кп + 1)) • каа0 15

Выбирая различные параметры модели кь, к/ и кп при нормировании ка=1, можно добиться различных значений коэффициента Пуассона и модуля Юнга. В табл.1 приведены значения коэффициента Пуассона и модуля Юнга, полученные при вариации значений параметров модели.

Таблица 1

Влияние параметров модели на коэффициент Пуассона и модуль Юнга

кь к/ кп Улин Елин

0 0 0 0 1

Варианты кь 1 1 1 0,250 0,625

2 1 1 0,200 0,650

3 1 1 0,167 0,667

5 1 1 0,125 0,688

10 1 1 0,077 0,712

20 1 1 0,043 0,728

.0 1- I § ГО со 1 1,5 1 0,333 0,750

1 2 1 0,400 0,850

1 2,5 1 0,455 0,932

1 3 1 0,500 1,000

1 5 1 0,625 1,188

1- го со 1 1 2 0,167 0,667

1 1 3 0,125 0,688

1 1 5 0,083 0,708

1 1 10 0,045 0,727

1 1 20 0,024 0,738

Данные значения позволяют понять роль каждого параметра модели. Как видно, коэффициент Пуассона зависит только от коэффициентов к1, кп и къ. Увеличение упругости связи ^ влечет за собой увеличение коэффициента Пуассона. Увеличение же упругости связей кп и къ

влечет за собой уменьшение коэффициента Пуассона в обратно пропорциональной зависимости. И это понятно, ведь связи п и Ь препятствуют развитию деформации в перпендикулярной к направлению растяжения плоскости, уменьшая таким образом коэффициент Пуассона.

При некоторых отношениях параметров модели можно получить значения коэффициента

Пуассона, большие 0,5. Это возможно для анизотропного материала, когда к1 велико по сравнению с остальными параметрами кп и къ .

Коэффициент Пуассона не зависит от величины коэффициентов ki модели, а только от их отношения. Модуль Юнга, наоборот, зависит как от отношения коэффициентов, так и от величины этих коэффициентов. За размерность силы «отвечает» коэффициент ка. Таким образом, подбирая параметры модели, можно получать разнообразные модули упругости и коэффициенты Пуассона практически существующих материалов.

Отметим, что при значениях всех жесткостей пружин равных 1 коэффициент Пуассона равен 0,25, что соответствует значению этого коэффициента, наиболее часто принимаемому в одноконстантной теории упругости.

Уравнения модели для изотропного материала. В полностью изотропном материале ао = Ъо = Со и /о = По = Ро. «Механическая» изотропия выражается в том, что ка = къ = кС и кг = кп = кр. Тогда нетрудно показать, что система уравнений (19), описывающая одноосное растяжение вдоль связей ао, примет вид:

2к,

л/2

812(1 - Сі2) + 28 і(72 + Сі) - 25а - 5/ = 0 8Ь =С 18і 8п = 8ь42 ( 1 + 8 '

К =

а

8 а + 4кД

V

' а 42+81

каа0.

В линеаризованной форме при бесконечно малых деформациях получаем явное решение:

к.

3к1 +1

К =

1+

2к1 (2к 1 +1) 3кі +1 у

8акаа0 = (1 + М2к/ + 1)) • 8акаа0 .

Здесь V

к,

3к1 +1

является коэффициентом Пуассона. Модуль упругости Юнга

Е =

\ + 2к , (2к, +1) ^

3кі +1 у

каао/ S = (1 + 2v(2k/ +1)) • каао /S. Два размерных параметра ка и ао

определяют размерность модуля упругости [ ка ]=Н/м, [ ао ]=м, [Е]=Па. В изотропном случае

ао =1.

Рассматриваемая модель представляет свойства известных линейно-упругих материалов. В табл.2 приведены значения параметров модели, соответствующие некоторым материалам. При этом выделяются две группы материалов: с коэффициентом Пуассона 0<у < 1/3 и у > 1/3. Интересно, что группа материалов с коэффициентами Пуассона у > 1/3 (сюда попадают, например, медь, серебро, свинец, золото) имеет повышенную пластичность, но небольшие модули Юнга [4].

Таблица 2

Значения параметров модели для разных материалов

Материал к1 ка, ГН/м у Е, ГПа

Сталь 1,75 234 0,28 206

Стекло кварцевое 0,347 19,0 0,17 7,5

Стекло простое 1,00 112 0,25 70

Кальций 4,43 1,46 0,31 2,6

Цинк 1,42 130 0,27 1 О о

Железо 2,23 197 0,29 205

Никель 8,00 70,7 0,32 0 2

Хром 4,43 7 1 0,31 297

Олово 33,0 3,98 0,33 45

Вольфрам 3,00 269 0,30 350

Бериллий 0,105 1005 0,08 300

Серебро -7,00 -35,6 0,35 72

Медь -3,36 -136 0,37 0 1

Золото -1,62 -371 0,42 81

Свинец -1,38 9 - 0,44 16

При рассмотренном выше выборе значений жесткостей связей коэффициент Пуассона находится в пределах 0 <у < 1/3 (первая группа материалов). Для описания свойств материалов второй группы (у > 1/3) имеются две возможности: задать отрицательное значение жесткости к (безразмерное значение к/ >-1 обеспечивает условие 0 <у < 1/2) или выбрать различные жесткости пружин связей при растяжении и сжатии. Во втором случае у =_________________к______, и

к1 + 2кп + кь

модель будет иметь больше свободных параметров. При условии у <1

2

2к/ < к1 + 2кп + кЬ ^ к1 < 2кп + кь .

Для материалов с у > 1/3 (табл.2) связи модели предварительно деформированные: в размерном виде ка < 0, кь < 0, к > 0, а в безразмерном кь > 0, к < 0.

Надо заметить, что отрицательное значение жесткости пружин ка и кь не является физически невозможным. Отрицательные значения ка и кь можно получить, например, следующим

способом: к предварительно сжатым диагональным связям крепятся ненапряженные вертикальные и горизонтальные связи. После освобождения всей конструкции от удерживающих сил диагональные связи, стремясь вернуться в недеформированное состояние, разожмутся и растянут вертикальные и горизонтальные. В такой пространственной конструкции часть связей (диагональные) будут находиться в сжатом состоянии, а оставшиеся связи (вертикальные и горизонтальные) будут растянуты. Таким образом, в полученной модели до определенного момента (до возврата в недеформированное состояние) горизонтальные связи не будут оказывать сопротивления поперечному сжатию, а, наоборот, способствовать ему, что и будет соответствовать отрицательному коэффициенту жесткости пружин а0 и Ь0.

Заключение. В работе получены представления о свойствах математической модели нелинейноупругих тел и о влиянии на них геометрических и механических параметров модели. Предложенные в статье определяющие соотношения, возможно, и сложные по виду формулы, достаточно естественны по смыслу параметров. Для разных частных задач путем последующих аппроксимаций можно получить простые аналитические зависимости.

При анализе свойств развиваемой математической модели основное внимание уделено двум нелинейным характеристикам, которым в линейной теории упругости соответствуют модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона.

Библиографический список

1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

2. Азаров А.Д. Моделирование больших деформаций полимеров / А.Д. Азаров // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. IX междунар. конф. - Ростов н/Д: ООО «ЦВВР», 2005. - Т.1. - С. 13-16.

3. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч.1. Малые деформации / Дж. Ф. Белл. - М.: Наука, 1984. - 600 с.

4. Сандитов Д.С. Коэффициент Пуассона и пластичность стекол / Д.С. Сандитов, В.В. Мантатов, Б.Д. Сандитов // Журнал технической физики. - 2009. - Т. 79, вып. 4. - С. 150-152.

5. Сандитов Д.С. Ангармонизм колебаний решетки и поперечная деформация кристаллических и стеклообразных твердых тел / Д.С. Сандитов, В.В. Мантатов, Б.Д. Сандитов // Физика

твердого тела. - 2009. - Т. 51, вып. 5. - С. 947-951.

6. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. - Вып. 7. Физика сплошных сред / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. - М.: Мир, 1966. - 290 с.

Материал поступил в редакцию 21.21.10.

References

1. Lur'e A.I. Nelineinaya teoriya uprugosti / A.I. Lur'e. - M.: Nauka, 1970. - 940 s.

- In Russian.

2. Azarov A.D. Modelirovanie bol'shih deformacii polimerov / A.D. Azarov // Sovremennye problemy mehaniki sploshnoi sredy: tr. IX mejdunar. konf. - Rostov n/D: OOO «CVVR», 2005. - T.1.

- S. 13-16. - In Russian.

3. Bell D. F. Eksperimental'nye osnovy mehaniki deformiruemyh tverdyh tel. Ch.1. Malye

deformacii / D. F. Bell. - M.: Nauka, 1984. - 600 s. - In Russian.

4. Sanditov D.S. Koefficient Puassona i plastichnost' stekol / D.S. Sanditov, V.V. Mantatov,

B.D. Sanditov // Jurnal tehnicheskoi fiziki. - 2009. - T. 79, vyp. 4. - S. 150-152. - In Russian.

5. Sanditov D.S. Angarmonizm kolebanii reshetki i poperechnaya deformaciya kristallicheskih i stekloobraznyh tverdyh tel / D.S. Sanditov, V.V. Mantatov, B.D. Sanditov // Fizika tverdogo tela. - 2009.

- T. 51, vyp. 5. - S. 947-951. - In Russian.

6. Feinman R. Feinmanovskie lekcii po fizike. - Vyp. 7. Fizika sploshnyh sred / R. Feinman,

R. Leiton, M. Sends. - M.: Mir, 1966. - 290 s. - In Russian.

3D MECHANICAL MODEL FOR DESCRIPTION

OF LARGE ELASTIC DEFORMATIONS UNDER UNIAXIAL TENSION

A.D. AZAROV

(Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics after I.I. Vorovich),

D.A. AZAROV

A 3D mechanical model for description of large deformations of non-linear elastic bodies is offered. The model describes various types of anisotropy, such as orthotropic, transversely isotropic, as well as isotropic bodies. The case of uniaxial tension is considered. Two characteristics of the nonlinear material similar to the linear Young's modulus and Poisson's ratio are investigated. The inner-model parameters effecting material specifications are analyzed.

Keywords: nonlinear elasticity, anisotropy, mathematical model, Young's modulus, Poisson's ratio, uniaxial tension.