Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 1. С. 23-27.

УДК 372.851 И. К. Берникова

СХЕМЫ КАК СРЕДСТВА ОРГАНИЗАЦИИ МЫШЛЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Рассмотрены возможности формирования мышления в процессе обучения математике. В качестве средств организации мышления используются схемы. Продемонстрированы примеры применения схем для формирования и развития различных видов мышления: наглядно-действенного, наглядно-образного и абстрактнологического. Предложены варианты применения стандартных схем при выработке навыков работы с анализом данных, а также схем творческого характера, позволяющих не только анализировать условия задачи, но и определять способ решения. Разнообразное применение схем проиллюстрировано с помощью примеров из школьной и высшей математики.

Ключевые слова: мышление и его виды, обучение математике в школе и вузе, схемы, процесс решения задач, математические понятия и утверждения.

Одна из главных задач обучения математике в школе - это научить молодежь думать.

Д. Пойа

Современному обществу остро необходимы люди мыслящие, способные к непрерывному образованию и саморазвитию, обладающие критическим мышлением, позволяющим строго оценивать ситуацию, аргументированно отбирать и совершенствовать имеющийся опыт и создавать что-то новое. Задача формирования мышления является одной из важнейших в теории дидактики. Обучение без формирования мышления не может быть эффективным. Статичные знания без возможности их развития, адаптации в новых условиях не могут позволить человеку решать новые задачи и разбираться в возникающих проблемах, а без этого сложно представить развитие современного информационного общества. Таким образом, важной задачей при обучении математике должно быть не столько обучение конкретным алгоритмам и способам решения отдельных задач, сколько формирование навыков и приемов мышления, умений анализировать условия, искать взаимосвязи данных и неизвестных. Преподаватель должен уметь управлять мыслительным процессом учащихся, а также вооружить самих учащихся приемами самостоятельного управления этим процессом. Схема, являясь знаковой формой представления и отображения некоторого содержания мышления, может быть успешно использована при формировании математического мышления в процессе решения задач на разных уровнях обучения.

Задачи, как в школьном курсе математики, так и на этапе профессионального обучения, занимают огромную часть учебного процесса. От педагога требуется много труда, терпения и настойчивости в процессе обучения умению решать задачи школьников, а в дальнейшем и студентов. Как научить анализу и синтезу данных? Как подобрать «ключ» к решению той или иной задачи? Какой подход выбрать к поиску решения? Как оценить эффективность того или иного подхода? Вот те вопросы, которые учитель должен ставить перед собой и учащимися. Решение задач - это во многом искусство, которым должен владеть педагог, также он должен научить этому владению своих учеников. Главным в решении задач,

© И.К. Берникова, 2015

24

И. К. Берникова

конечно же, является не ответ, а осмысление способа решения, понимание взаимодействия данных и неизвестных, умение повторить подобные рассуждения в другой ситуации, которая может иметь иную природу, но аналогичные механизмы решения, опираться в своем решении на тот же математический аппарат. Использование схем позволяет сформировать, увидеть и сохранить соответствующие мыслительные механизмы. Эффективное применение схем в процессе решения математических задач поможет успешно развивать различные виды мышления.

Классифицируя мышление по форме, выделяют следующие его виды: нагляднодейственное, наглядно-образное и абстрактно-логическое. Следует заметить, что применение схем при решении задач (в зависимости от функции схемы в процессе решения) может оказывать эффективное влияние на каждый из указанных видов мышления. Наглядно-действенное мышление предполагает непосредственное восприятие предметов, реальное их преобразование в процессе указанных в условии действий. Именно этот вид мышления начинает формироваться в первую очередь, начиная с дошкольного и младшего школьного возраста. Неслучайно педагоги на этом этапе обучения используют как непосредственно предметы (шарики, карандаши, ручки, книжки, веревки, мячи и т. п.), так и карточки-картинки с изображением конкретных предметов. При таком обучении полезно формировать навыки построения схем; последние обычно представляют из себя рисунки соответствующих предметов. У младших школьников мышление, как правило, опирается на конкретные образы, упоминаемые в фабуле задачи. Дети легко представляют действия и объекты из условия, могут в качестве схемы решения использовать инсценировку.

Задача 1. У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 50 голов и 140 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?

Когда подобную задачу предлагают младшим школьникам, то взрослые (обычно родители) сами решают с помощью системы двух линейных уравнений, обозначая за неизвестные количество кур и кроликов. Но далее они не понимают, как объяснить такое решение ребенку, ведь этот математический аппарат еще ему не известен. Эта задача имеет красивое арифметическое решение на основе схемы-игры. Представим, что кролики ходят на задних лапках, а куры - как обычно. Далее достаточно детям задавать вопросы, на которые те с удовольствием отвечают:

• Сколько ног при таком передвижении находится на земле? В два раза больше, чем голов, т. е. 100.

• Сколько ног находится в воздухе? 140 - 100 = 40.

• Чьи ноги в воздухе? Ноги кроликов.

• Сколько всего кроликов? В два раза меньше, чем ног в воздухе, т. е. 20.

• Сколько у фермера кур? 50 - 20 = 30.

Для упрощения изображения и ускорения этого процесса происходит постепенный переход от конкретных изображений к абстрактным образам: предметы заменяются геометрическими фигурами, счетными палочками, символами и т. п. Таким образом, начинает формироваться нагляднообразное мышление, характеризующееся опорой на представления и образы. На этой стадии схемы используются наиболее активно. С помощью преобразования образов можно проанализировать соотношения между данными задачи, наметить план решения, оценить правильность результата и т. д. Схемы становятся более разнообразными как по форме, так и по способу их использования в процессе решения задач. Формирование и развитие наглядно-образного мышления по существу взаимосвязано с процессом обучения математике - от уровня начального школьного образования до уровня профессионального обучения.

Задача 2. Дыня и арбуз весят столько, сколько 5 яблок. Дыня весит столько, сколько 4 груши. 2 груши и дыня вместе весят столько, сколько 3 яблока. Сколько груш уравновесят один арбуз, если считать, что одинаковые фрукты имеют одинаковый вес?

Схематичные записи предполагают краткость, поэтому идея использования в обозначениях предметов только начальных букв слов весьма логична и легко принимается школьниками. Даже не имея систематизированных знаний о системах уравнений с несколькими неизвестными, школьники без особого труда могут предложить краткую запись условия:

' Д + А = 5 Я

<Д = 4 г . А = ? Г

Д + 2 Г = 3 Я

Такая схема фактически работает на пропедевтику нового для учащихся понятия и алгоритма в математике (системы линейных уравнений с несколькими неизвестными и их решение методом подстановки). При решении задач о взвешивании на чашечных весах можно без особого труда формировать у учащихся различные приемы преобразований уравнений и неравенств, которые не нарушают их равносильности. Таким образом, происходит переход от наглядно-образного к абстрактнологическому мышлению. При решении задачи 2, опираясь на конкретные образы, ученики смогут легко построить логическую

Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике

25

цепочку новых равенств. Заменив в третьем равенстве дыню на 4 груши, легко понять, что 6 груш весят столько же, сколько 3 яблока, т. е. одно яблоко соответствует двум грушам. Тогда первое равенство можно привести к виду: 4Г + А = 10Г , т. е. арбуз будет уравновешен с помощью 6 груш.

При достаточно сформированном наглядно-образном мышлении начинает складываться абстрактно-логическое мышление, предполагающее логические операции с понятиями. Математика и процесс ее изучения тесно взаимосвязаны с такими формами проявления мышления, как понятия, суждения и умозаключения. На школьном этапе обучения именно на уроках математики должны формироваться приемы и навыки работы с понятиями и утверждениями, необходимо организовать процесс освоения и понимания структуры знаний самой различной природы, понимание строгости, последовательности и доказательности рассуждений. В статье [1] предложены различные приемы работы с математическими понятиями, структура формулировки которых в большинстве случаев может опираться на следующую схему:

[Понятие] - это [объект], обладающий следующими свойствами... (перечислить эти свойства).

Такую схему целесообразно использовать как на уровне школьного обучения, так и в процессе изучения математики в системе профессионального образования (среднего и высшего). Структуру математических утверждений также можно схематизировать, что позволит учащимся лучше представлять взаимосвязи различных условий, использовать те или иные утверждения для обоснования рассуждений. Наиболее часто используемые схемы построения математических утверждений можно представить в виде: A ^ B или A О B , где под А и В понимается некоторое условие, система или совокупность нескольких условий. Такие схемы эффективно работают в сочетании с их словесными формулировками. Здесь це-

лесообразно использовать такие языковые конструкции, как «если..., то...», «тогда и только тогда» и др. Схематичный подход к структуре утверждения позволяет лучше понять и научиться различать прямые и обратные утверждения (A ^ B и B ^ A ), необходимые и достаточные условия, отношение эквивалентности и т. п. При работе над математическим утверждением полезно обращать внимание, что все используемые в формулировке условия существенны. При этом сами условия лучше четко выделять в виде списка перечисления (схематизировать). Рассмотрим это на примере теоремы Ролля (раздел «Математический анализ»).

Теорема. Пусть функция y = f(x):

• непрерывна на отрезке [а; Ъ];

• дифференцируема на интервале (а; Ъ);

• на концах отрезка принимает равные значения, т. е. f (а) = f (Ъ) .

Тогда существует по крайней мере одна такая точка с е (а; Ъ), в которой производная функции равна нулю, т. е. f'(c) = 0 .

Формулировка теоремы имеет следующую структуру: A ^ B , причем под А понимается система трех условий (непрерывность на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений функции на концах отрезка); условие В заключается в существовании хотя бы одной точки на интервале, в которой производная равна нулю (геометрическая интерпретация этого условия - возможность построения горизонтальной касательной). Система условий предполагает их одновременное выполнение. Чтобы разобраться с утверждением, целесообразно построить примеры, в которых не будет выполняться только одно из условий А, а два других будут выполняться, и, как следствие, условие В тоже не будет выполнено. Возможные примеры приведены на графиках (рис. 1).

Рис. 1. Примеры графиков функций, в которых нарушены условия теоремы Ролля

26

И. К. Берникова

При классификации видов мышления по степени оригинальности и новизны выделяют репродуктивное (воспроизводящее) и продуктивное (творческое) мышление. Следует отметить, что использование разнообразных схем может иметь разные функции. В одном случае педагог определяет в качестве дидактической задачи применение стандартных схем, которые позволят четко определить соотношения между данными задачи и с помощью схемы выявить порядок действий при поиске результата. Так как зрительная информация, как правило, запоминается без особых усилий и легко вспоминается, то применение стандартных схем позволяет сформировать четкую последовательность мыслительных операций, приводящих к решению задачи. К таким схемам можно отнести схемы, позволяющие сравнивать количества друг с другом на основе соотношений «больше», «меньше» и

«равно», понимания и соотнесения сравнений «больше» или «меньше» на сколько единиц или во сколько раз. Сами количества (независимо от фабулы задачи) можно изображать в виде простейших геометрических фигур (отрезков, прямоугольников, кругов и т. д.). Применять такие схемы целесообразно уже в начальной школе, что позволит школьникам легко определять последовательность арифметических действий при решении задачи. Фактически схема выполняет функцию краткой записи условия, а анализ схемы способствует поиску решения, при этом полученный ответ тоже можно легко проверить с помощью построенной схемы. Следует заметить, что задачи такого рода можно решать алгебраически (с помощью неизвестных и составления уравнения или системы уравнений), но схема позволяет найти красивое арифметическое решение без использования более сложного математического аппарата.

Задача 3. Ручка и футляр вместе стоят 100 рублей. Сколько стоит футляр, если он на 80 рублей дешевле ручки?

Очень часто школьники, решая задачу устно, дают интуитивно неверный ответ (20 рублей). Изобразив цену ручки и футляра в виде отрезков разной длины (рис. 2), при этом отметив разницу в длине как 80 рублей, а общую сумму - 100 рублей, понятны арифметические действия, приводящие к верному ответу: (100 - 80) : 2 = 10. Таким образом, футляр стоит 10 рублей.

Рис. 2. Схема взаимосвязи отношения «больше (меньше) на...»

Схематичное изображение количества в виде геометрических фигур весьма эффективно при изучении дробей и процентов. Понятие обыкновенной дроби является очень естественным понятием, возникшим еще в древности и основанном на делении целого на равные конечные части. Дробь m

вида — несложно интерпретировать как n

отрезок (прямоугольник, круг и т. д.), разрезанный на n равных частей, из которых взяли m таких частей. Тем не менее арифметические задачи на дроби и проценты часто вызывают затруднения не только у старшеклассников, но и у студентов. Это явно свидетельствует о несформированно-сти простейших математических понятий на школьном уровне и умений оперирования с ними. Применение схем в процессе изучения обыкновенных дробей и процентов позволит устранить этот пробел.

Задача 4. Трем братьям вместе 58 лет.

Известно, что лет младшего брата равны

2

— лет среднего и равны половине лет старшего. Сколько лет каждому брату?

Алгебраический способ решения этой задачи приводит к решению системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, т. е. по силам школьникам 7-8 классов. Применение схемы (рис. 3) позволяет решать эту задачу даже учащимся начальной школы.

младший ill]----------------------------1

I

I

I

средний 1 ♦ |---------1

I

I

старший | I------------------1

56

Рис. 3. Схема, использующая инвариант и понятие обыкновенной дроби

На схеме равные части возрастов (инвариант) изображаются в виде равных отрезков, таки образом, для младшего брата его инвариантная часть возраста должна быть разделена на 3 равные части и еще добавлена одна такая часть. Для среднего брата инвариант делится на 2 равные части и до полного возраста добавляется еще одна такая же часть. Аналогично для возраста старшего брата достаточно достроить инвариантную часть. Для удобства деления на части инвариант можно изобразить отрезком длиной 6 клеток. Тогда возраст младшего брата - это 8 клеток, среднего - 9 клеток и старшего - 12 клеток. Всего получается 29 клеток, что соответствует 58 годам. Значит, 1 клетка символизирует 2 года, что позволя-

Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике

27

ет определить возраст каждого из братьев: младшему - 16 лет, среднему - 18 лет и старшему - 24 года.

Схемы могут иметь творческий характер. Для более четкого представления условия и соотнесения данных можно предложить решающим схематично нарисовать условие задачи. Такая схематизация позволяет абстрагироваться от фабулы и вычленить наиболее существенные соотношения между данными. Известно, что Л.Н. Толстой очень ценил задачи, которые имеют красивое решение с использованием схем (их он решал с крестьянскими детьми в Ясной Поляне). Одна из таких задач (о косцах) [2, с. 39-42] демонстрирует оригинальность мышления через геометрический способ. Понимание взаимосвязей данных и неизвестных может позволить определить способ решения.

Задача 5. Однажды Черт предложил Бездельнику заработать.

- Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это по 24 копейки.

Бездельник согласился и... после третьего перехода остался без гроша. Сколько было у него денег сначала?

Двигаясь по схеме в обратном направлении (рис. 4), легко заполнить пустые круги, т. е. понять, сколько денег было у Бездельника в каждом конкретном случае. Применение такой схемы позволяет не только на основе простейших арифметических действий получить ответ (21 копейка), но и усвоить понятие обратного действия, а также познакомиться со способом решения задач «рассуждение с конца».

х 2

х 2

-24 коп.

-24 коп. |

х 2

| -24 коп.

Рис. 4. Схема условия с поэтапной фиксацией производимых действий

Задача 6. Два парома отчаливают одновременно и встречаются на расстоянии 720 м от берега. Прибыв к месту назначения, каждый паром стоит 10 мин. и отправляется обратно. Паромы вновь встречаются в 400 м от другого берега. Чему равна ширина реки?

Алгебраический способ решения «тупиковый», но грамотный анализ схемы (рис. 5) позволяет решить задачу с помощью двух (!) арифметических действий.

Рис. 5. Схемы как фрагменты отдельных этапов движения

Целесообразно построить две схемы: первая иллюстрирует движение паромов от начала движения до первой встречи; вторая - от первой до второй встречи. Так как паромы стоят на противоположных берегах одно и то же время, то этим временем можно пренебречь. Из сравнения схем ясно, что на втором этапе паромы проходят суммарное расстояние в два раза большее, чем на первом этапе. Так как каждый из паромов не меняет своей скорости, то первый паром, прошедший на первом этапе 720 м, на втором пройдет в 2 раза больше, а всего от начала движения до второй встречи он пройдет расстояние, на 400 м большее, чем ширина реки. Значит, ширину реки можно вычислить с помощью таких действий: 720 • 3 - 400 = 1760 (м).

Таким образом, схема, сама обладая структурой, позволяет структурировать

мышление. Разнообразное применение схем в процессе решения математических задач при работе с понятиями и утверждениями является удобным средством развития различных видов мышления учащихся, а значит, способствует эффективности процесса обучения в целом.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Берникова И. К. Словесные формулировки при обучении математике в вузе как возможность формирования общекультурных компетенций // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 265-270.

[2] Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М. : Наука, 1975.