Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности

УДК 539.3

Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности

П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, А.И. Швейкин

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия

Рассматривается модель упругопластического деформирования монокристаллов, учитывающая анизотропию упругих и пластических свойств, внутризеренное дислокационное скольжение, геометрическую нелинейность и повороты кристаллической решетки. Предлагается вариант решения проблемы неединственности выбора активных систем скольжения. Проанализированы существующие модели поворота кристаллической решетки, в которых поворот решетки связывается с квазитвердым движением. Описан алгоритм реализации модели для одноосного растяжения и сжатия монокристалла, проанализированы соответствующие результаты модельных расчетов.

Ключевые слова: анизотропия свойств, квазитвердое движение, определяющие соотношения, физические теории пластичности

Elastoplastic analysis of deformation of fcc metals

P.V. Trusov, V.N. Ashikhmin and A.I. Shveykin

Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia

The paper considers a model of elastoplastic deformation of single crystals that takes into account elastic and plastic anisotropy, intragranular dislocation glide, geometric nonlinearity and rotation of a crystal lattice. An alternate solution is proposed for the nonuniqueness problem of the choice of active slip systems. Available models in which lattice rotation is associated with quasirigid motion are analyzed. The algorithm of model realization for uniaxial tension and compression of single crystals is described and the results of corresponding model calculations are analyzed.

Keywords: anisotropy of properties, quasirigid motion, constitutive relations, physical theories of plasticity

1. Введение

Свойства поликристаллических материалов существенным образом определяются состоянием внутренней структуры, в частности неравномерная функция распределения ориентаций решеток зерен в представительном объеме (текстура) порождает анизотропию упругих и пластических свойств поликристалла и определяет эксплуатационные свойства изделия. В некоторых процессах обработки материалов, например при равноканальном угловом прессовании, существенную роль играют также процессы дробления и фрагментации зерен, приводящие к образованию субмикрокристаллических материалов, обладающих повышенными прочностными свойствами. Поэтому в настоящее время одной из ак-

туальных проблем механики деформируемого твердого тела является моделирование эволюции структуры поликристаллов при деформировании, в первую очередь, в процессах обработки металлов давлением.

В последние годы при построении моделей деформирования поликристаллов, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры, все большее признание находит подход, основанный на явном введении в структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, и формулировке эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными и являющихся носителями информации об истории воздействий [1-7]. Часть внутренних переменных

© Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И., 2010

непосредственно входит в структуру определяющих соотношений данного масштабного уровня, такие переменные можно назвать явными внутренними переменными; вторая группа внутренних переменных (скрытые (неявные)), в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням, используется для замыкания системы уравнений.

В контексте данного подхода неупругое деформирование представительного объема поликристалла обычно описывают с использованием прямых или статистических моделей, основанных на физических теориях пластичности.

Прямые модели, использующие, как правило, метод конечных элементов [8, 9], позволяют более точно находить распределение напряжений и деформаций в области, учитывать ближнее и дальнее взаимодействия зерен. Однако применение данного подхода в большинстве известных работ ограничено модельным двумерным случаем, так как применение прямых моделей в трехмерной постановке для расчетов краевых задач, соответствующих реальным технологическим процессам обработки металлов, требует существенных временных затрат даже с привлечением высокопроизводительных вычислительных кластеров.

Статистические модели в вычислительном плане более эффективны и активно применяются для моделирования упругопластического деформирования реаль-

ных материалов [10-12]. В этих моделях, как правило, рассматривается один механизм пластического деформирования —внутризеренное скольжение краевых дислокаций, описываемое законом Шмида. Большинство моделей этого класса восходят к пионерской работе Тейлора или к модели Линя [7, 13, 14].

Элементом статистической выборки в таких моделях обычно является зерно. Таким образом, описание поведения кристаллитов-зерен является основополагающим в любой физической теории пластичности. Настоящая статья посвящена детальному рассмотрению деформирования монокристалла (зерна), включая описание поворота решетки.

2. Основные понятия и определения

Основным механизмом пластического деформирования металлов является внутризеренное скольжение краевых дислокаций. При этом плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций, известны, ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления. В ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям

(110). Число таких возможных систем скольжения равно 12 (рис. 1).

[110]/ X (ЇЇ1) ^ / [°111 IV \ ш [Ю1]^г[ТТо] ' (111) X. И L0'11 \_

\ III N. ОЇ1) [110]34 1 х/ 1 / Х2 (111) / г[іої]У[їі о]

ьу/‘'\ /Ч IV \ ш и Л-

111 Xi 1 4 Ь3 Х2

Рис. 1. Расположение систем скольжения относительно кристаллографической системы координат ГЦК-кристалла: а — плоскости скольжения в соседних кубических ячейках; б — индексы Миллера плоскостей и направлений скольжения; в — система координат системы скольжения; г — векторы Бюргерса

Для описания каждой системы скольжения вводится ориентационный тензор

М* = ^

где п*, Ь* — единичные векторы нормали и направления скольжения (вдоль направления вектора Бюргерса) для ,у-й системы скольжения.

Для учета некоторых эффектов (например эффекта Баушингера) проводится «удвоение» числа систем скольжения [7]: разные номера приписываются системам скольжения с одной и той же нормалью, но противоположным направлением векторов Бюргерса. Обозначения первых 12 систем скольжения приведены на рис. 1, возможность движения дислокаций в противоположную сторону учитывается за счет введения дополнительных 12 систем скольжения. Таким образом, в дальнейшем общее число систем скольжения принимается равным 24. Дислокации в кристалле могут быть условно положительными с вектором Бюргерса и нормалью к плоскости скольжения {Ь, п} и условно отрицательными {-Ь, -п}. Для определения скоростей пластических деформаций с использованием физических теорий пластичности достаточно рассмотреть только условно положительные дислокации (24 системы скольжения).

В статистических физических теориях пластичности не рассматривается движение отдельных дислокаций, их распределение полагается однородным по зерну (монокристаллу), что дает возможность рассмотрения неупругой составляющей тензора деформации скорости dр в виде:

ар = £ м

к=1

где у(к) — скорость сдвига по к-й системе скольжения; К — количество активных систем скольжения.

В качестве критерия активности сдвига (скольжения дислокаций) по системе скольжения используется закон Шмида

т* ^ М* : О = т*,

где т* — действующее в системе скольжения 5 касательное напряжение; т* = f (^| | У(к)^) — критическое напряжение сдвига в той же системе скольжения, зависящее от накопленных сдвигов по всем системам скольжения; о — однородный по рассматриваемому зерну тензор напряжений Коши. Можно отметить, что поверхность текучести, определенная (3), представляет собой многогранник.

3. Модель упругопластического деформирования зерна

В настоящей работе в качестве базовой модели зерна (монокристалла) предлагается использовать физическую теорию Линя [7, 13]. В этой модели элементом статистической выборки, как и в наиболее популярных мо-

делях Тейлора-Бишопа-Хилла [14], является зерно, но в отличие от последних учитываются упругие деформации и анизотропия упругих свойств материала зерна (отметим, что первоначально модель была предложена для упругоизотропных зерен). Хотя собственно упругими деформациями можно пренебречь в случае больших пластических деформаций, включение в рассмотрение упругих деформаций представляется необходимым исходя из потребности оценки остаточных напряжений (второго рода), во многом определяющих прочностные характеристики материала, и накапливаемой упругой энергии [7]. Кроме того, модель Линя обладает другими преимуществами по сравнению с моделями типа Тейлора-Бишопа-Хилла:

- однозначное определение тензора напряжений, поскольку в отличие от жесткопластических моделей типа Тейлора-Бишопа-Хилла здесь не наложено условие несжимаемости;

- относительная простота реализации по сравнению с другими физическими моделями (в моделях типа Тей-лора-Бишопа-Хилла требуется решение оптимизационной задачи), что существенно повышает эффективность модели при решении реальных краевых задач;

- возможность определения последовательности вовлечения в пластическое деформирование систем скольжения, что позволяет частично снять проблему неединственности определения набора активных систем скольжения, существующую в других физических теориях пластичности.

На мезоуровне (уровне зерна) в качестве определяющего соотношения выступает закон Гука в скоростной форме, при этом учитывается анизотропия кристаллической решетки:

ог = с: Де = с: (а - ар),

О г = О - О • О + О • О,

где о — тензор напряжений Коши; с — тензор четвертого ранга упругих свойств ГЦК-кристалла, имеющий следующие нетривиальные компоненты в кристаллографической системе координат (кубическая симметрия):

с1111 = с2222 = с3333 = с1> с1122 = с2211 = с2233 = с3322 = = с3311 = с1133 = с2, с1212 = с2112 = с1221 = с2121 = с2323 = = с2332 = с3223 = с3232 = с3131 = с1331 = с3113 = с1313 = с3;

для определения компонент с в других системах координат используются стандартные преобразования; а, ае и ар — тензор деформации скорости, его упругая и пластическая составляющие.

В соотношениях (4) учитывается геометрическая нелинейность: квазитвердое движение [15] связывается с решеткой — в коротационной производной тензора напряжений Коши ог фигурирует тензор спина О, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки (модели поворота решетки рассматриваются ниже). Таким образом, напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением

расстояний между соседними атомами. Отметим, что первоначально модель Линя была сформулирована для случая малых деформаций.

Основная идея модели Линя заключается в точном обеспечении движения изображающей точки в пространстве напряжений внутри или по поверхности многогранника текучести с точным определением активных в текущий момент систем скольжения.

Для известного (определенного алгоритмически) набора активных систем скольжения в текущий момент времени при наличии поворотов система разрешающих уравнений в скоростях имеет вид:

Н ка

-(о : м*) = /'(у£)Хур, * = 1,...,Ка,

Н р=1

О = с :(Д - ар) + О • о - о • О,

ар = Х мр ур,

р=1

а = D,

уравнения для определения спина решетки О,

где у^ — суммарный накопленный сдвиг по всем системам скольжения; / (у2) = тс — изотропная функция упрочнения (критическое напряжение сдвига по системам скольжения), использование неизотропного закона упрочнения не приводит к сколь-нибудь существенным изменениям алгоритма. Уравнения (5)1 — соотношения модели Линя (скорость касательного напряжения в активной системе скольжения должна быть равной скорости критического напряжения для этой системы скольжения); (5)2 — закон Гука в скоростной релаксационной форме с учетом геометрической нелинейности (4); (5)3 — кинематическое соотношение (2); (5)4 — гипотеза Фойгта (в модели Линя используется гипотеза Фойгта, тензор деформации скорости макроуровня D определяется из решения краевой задачи или задается (жесткое нагружение представительного объема макроуровня)); (5)5 — соотношения той или иной модели поворота.

Явными внутренними переменными мезоуровня являются скорости пластических деформаций и спин решетки. Скорости пластических сдвигов и критические напряжения сдвига для систем скольжения можно отнести к неявным внутренним переменным мезоуровня.

4. Одноосное растяжение (сжатие). Система уравнений и схема интегрирования

Для верификации предлагаемой модификации модели деформирования зерна (монокристалла) рассмотрим одноосное растяжение и сжатие монокристалла и воспользуемся известными результатами, приведенными, например, в работах [16, 17].

Для определенности принято, что растяжение происходит вдоль оси ОХ3 фиксированной лабораторной системы координат (ЛСК). Отметим, что в используемой модели Линя, основанной на гипотезе Фойгта, реализуется жесткое нагружение: предписанными являются деформации. Поэтому реализация одноосного растяжения (сжатия) в рамках модели осуществляется следующим образом: предписанной является только одна ком-

лск

понента тензора деформации скорости d33 п ^), а остальные компоненты d определяются исходя из необходимости обеспечения соответствующего одноосного напряженного состояния.

Таким образом, система уравнений для описания одноосного растяжения должна иметь вид:

Н ка

— (о :т*) = /,(Уе)ХтР, * = 1,•••, Ка,

Н р=1

[О]*ск = 0, (у) ф (33),

'»г = с :

р=1

№]з3ск = т33сКп,

уравнения для определения О.

В приведенной системе уравнения (6)1 — соотношения модели Линя; (6)2 — требование удовлетворения одноосному напряженному состоянию; уравнения (6)3 — определяющие соотношения (закон Гука); (6)4 — кинематическое соотношение; (6)5 — соотношения той или иной модели поворота. В системе (6) Ка + 5 + 6 + 1 + 3 уравнений для определения неизвестных: Ка скоростей сдвигов, 6 неизвестных компонент тензора напряжений ст, 6 неизвестных компонент тензора деформации скорости D и 3 неизвестных компоненты тензора скорости поворота й.

Как логическое продолжение рассматриваемого случая одноосного растяжения можно предложить модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения. Разрешающая система уравнений для такой модели выглядит следующим образом:

Н ка

— (о : т*) = /'(у£)Хур, * = 1,..., Ка,

Н р=1

[о ]33ск = [£ #сКп,

'»г = с :ф^р) + О • о-о • О,

Ка

Dp = X т р у р,

Р=1

уравнения для определения О .

В предлагаемой модели уравнения (7)2 соответствуют заданию скоростей напряжений в рамках гипотезы

Рейсса (напряжения в элементах-зернах должны быть равными напряжениям, определяемым в макрозадаче для представительного объема поликристалла в целом).

Алгоритм для модели с мягким нагружением аналогичен алгоритму модифицированной модели Линя с той разницей, что контролируемыми параметрами (при нахождении моментов активации и деактивации систем скольжения) являются напряжения.

В данной работе для задания одноосного растяжения монокристалла используется предложенная модификация модели Линя, т.е. система уравнений (6). Интегрирование (6) в лабораторной системе координат сложно, поэтому объединяются (6)2 и (6)3 и предлагается следующая схема интегрирования (с позиции подвижного наблюдателя, связанного с кристаллографической системой координат): для определения неизвестных компонент тензора приращений деформации Ає11, Ає22, Ає33, Ає12, Ає23, Ає13 в кристаллографической системе координат и приращений сдвигов на шаге Ау3, j = 1,..., Ка, по активным системам скольжения решается следующая система уравнений:

ка ка

т с3Ш (Аєік - Е тррАУр) = /,(Уе ) ЕАЇр, р=1 р=1

5 = 1, ..., Ка,

Ка

' Ол [4 + Сум

р=1

(hg) ф (33),

ОізАєітОтз = Ає Г”

где сукі, т5 — известные компоненты в кристаллографической системе координат тензора четвертого ранга упругих характеристик ГЦК-кристалла и ориентационных тензоров систем скольжения; ст1 — компоненты тензора напряжений в кристаллографической системе координат в начале шага; Ой — компоненты тензора поворота, совмещающего кристаллографическую и лабораторную системы координат в конце шага.

К системе (8) необходимо добавить уравнения для определения поворота на шаге (т.е. для определения О^, зависящего от приращений сдвигов по активным системам скольжения), однако интегрирование такой совместной системы для нетривиальной модели поворота представляется затруднительным ввиду сложности уравнений для определения поворота Ой. Поэтому предлагается итерационная процедура, предполагающая последовательно решение (8) и затем нахождение О^ = Ой (Ау3) до достижения сходимости по приращениям сдвигов и напряжениям.

После завершения итерационной процедуры происходит вычисление компонент напряжений в кристаллографической системе координат в конце шага:

ка

4 = 4 + ст

Р=1

При этом используется стандартный алгоритм модели Линя для активации систем скольжения: в случае, если система скольжения потенциально активна (касательное напряжение равно или больше критического при пробном упругом шаге), то находится подшаг а из

условия, что в результате приращения деформации

лек

аАе33 п касательные напряжения на потенциально активной системе скольжения станут равными критическим.

5. Результаты расчетов без учета поворотов решетки

Во всех вычислительных экспериментах в качестве моделируемого материала принималась чистая медь: независимые упругие модули с1 = 168.4 ГПа, с2 = = 121.4ГПа, с3 = 75.4 ГПа [18], начальное критическое напряжение сдвига по системам скольжения т0 = = 15 МПа [11]. Рассмотрим подробно результаты для растяжения монокристалла (вдоль оси ОХ3).

В работе [16] представлены результаты (рис. 2) об ожидаемом числе действующих систем скольжения при соответствующем отображении направления оси растяжения на стандартном стереографическом треугольнике для ГЦК-кристаллов (т.е. при рассмотрении обращенного движения).

Если проекция направления растяжения будет находиться внутри стереографического треугольника (рис. 2), то активируется только одна система скольжения. При случайном выборе ориентации зерна ситуация «попадания» проекции оси растяжения на сторону или в вершину стереографического треугольника маловероятна, чаще она будет находиться внутри стереографического треугольника (рис. 2).

Результаты расчетов без учета поворотов подтверждают, что при случайной ориентации монокристалла, когда точное попадание проекции направления растяжения на сторону или в вершину стереографического треугольника маловероятно, в каждом зерне активной

2

Рис. 2. Действующие системы скольжения при особых ориентировках [16]: 1 — 4 плоскости, 2 направления в каждой; 2 — 3 плоскости, 2 направления в каждой; 3 — 2 плоскости, 2 направления в каждой; 4, 5 — 2 плоскости, 1 направление в каждой; 6 — 2 направления в одной плоскости

Рис. 3. Диаграмма ст-е для различно ориентированных зерен

становится только одна система скольжения, что согласуется с результатами, приведенными в работе [16], и с механическими соображениями.

Для каждого случайно ориентированного зерна изображающая точка в пространстве напряжений достигает грани поверхности текучести (многогранника) и постоянно находится в этой точке (на рис. 3 приводится случай без упрочнения для 125 случайно ориентированных (по равномерному закону) зерен).

Для каждого отдельного зерна действительно реализуется одноосное растяжение (на рис. 4 приведены компоненты напряжений на начальном этапе, при дальнейшем деформировании до єи = 0.7 они неизменны): в лабораторной системе координат нетривиальна только компонента ст33, при этом в кристаллографической системе координат (КСК) могут быть нетривиальными все компоненты тензора напряжений.

При рассмотрении расположения проекции направления растяжения на стороне или в вершине стереографического треугольника критерий текучести выполняется одновременно на таком же числе систем скольжения, как указано на рис. 2 [16], при этом распределение активных систем скольжения по числу кристаллографических плоскостей и направлений также совпадает с приведенным на рис. 2.

Необходимо отметить, что в этих случаях специальных ориентировок монокристалла проявляется проблема неединственности выбора активных систем сколь-

жения. В случае нахождения проекции направления растяжения в вершине [001] и [111] необходимо выбрать 5 активных систем скольжения. Однако ни в моделях типа Тейлора-Бишопа-Хилла, использующих принцип минимума сдвига или принцип максимума мощности, ни в модели Линя (в силу одновременного выполнения критерия на 6 или 8 системах скольжения сразу, так как изображающая точка в пространстве напряжений выходит на многогранник текучести именно в вершине) единственный набор активных систем скольжения для рассматриваемого случая не определяется. Это порождает неоднозначное описание поворотов решетки (явно зависящих от сдвигов) и, как следствие, неоднозначное описание напряженно-деформированного состояния зерна.

Если принимать за исходное положение теории критерий Шмида как физический критерий движения дислокаций по системам скольжения, то все системы скольжения, для которых он выполнен, равноправны, и, по существу, искусственное ограничение движения дислокаций по некоторым системам скольжения противоречит принятой физике процесса пластического деформирования. Отметим, что и в случае нахождения проекции направления растяжения на стороне треугольника системы скольжения равноправны (из симметрии касательные напряжения и скорости касательных напряжений при упругом шаге равны) и, с физической точки зрения, сдвиги по ним должны быть равными, чего нет в исходной модели Линя. Между тем, при попытке определения согласно исходной модели Линя различных приращений сдвигов по двум системам скольжения при нахождении проекции направления растяжения на стороне треугольника или различных приращений сдвигов по четырем системам скольжения (проекция направления растяжения в вершине треугольника [101]), или различных приращений сдвигов по пяти системам скольжения (проекция направления растяжения в вершине [001] или [111]) оказалось, что в случае изотропного упрочнения система (8) становится вырожденной (число обусловленности порядка 1020). Таким образом, исходная модель Линя, равно как и модель Тейлора-Бишопа-Хилла, не может применяться для моделирования одноосного растяжения при специальной ориентировке зер-

о.ооо

—і----1------1-----1----1------1—

0.004 0.008

, МПа

20

10

0 -

-10

1----1-----1-----1----1-----1—

0.000 0.004

022

^23

<?33

Сц

а13

0-12

0.008

Рис. 4. Компоненты тензора напряжений для случайно ориентированного зерна в лабораторной (а) и кристаллографической (6) системах координат

на вследствие как математических проблем, так и противоречия физической симметрии.

Наиболее естественный вариант обхода указанного противоречия заключается в том, что по всем одновременно активируемым системам скольжения должны проходить одинаковые сдвиги (до выхода той или иной системы скольжения из числа активных). В результате система уравнений (8) принимает вид:

Ка

тс3ік1 (АєІк - АїЕ трр ) = /'(У^ )Ка ^

р=1

5 = 1, ..., Ка,

Ка

' Ош[ст3 + 3

р=1

(hg) Ф (33),

ОізАЄітОтЗ = АЄ^зСКп.

Система (10) в общем случае переопределена, однако для рассматриваемых специальных ориентировок уравнения (10)1 для различных систем скольжения совпадают. Следовательно, из Ка уравнений (10)1 достаточно оставить одно и система принимает вид:

Ка

трсуш(Аєік - ауЕтр) = /,(У£)КаАЪ

р=1

Ка

• Oih[ст3 + 3

р=1

(hg) Ф (33),

О Ар О = АєЛСК”

Оі3АЄітОт3 =Аєзз .

Ниже приведены результаты для случая без упрочнения при направлении оси растяжения вдоль кристаллографического направления [001] (случай совпадения кристаллографической и лабораторной систем координат) с использованием (11) (рис. 5).

Нетривиальна только компонента ст33, что соответствует одноосному растяжению.

6. Модели поворота решетки

Большая часть исследователей, следуя пионерской работе Тейлора [14], определяет тензор спина решетки зерна как несимметричную часть тензора скоростей пластических сдвигов:

" = Е1

'=1 2

где у' — скорости сдвигов. Согласно модели (12) зерно представляется заключенным в жесткую оболочку, поворот решетки осуществляется за счет «стесненности» зерна в поликристалле.

В ряде работ находит применение другой подход [19]: для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента деформации, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тензором Re, сопровождающим упругую деформацию:

р =

ре = Re • = ye • Re,

где Р, Fe и Fp — полнь1 й, упругий и пластический градиенты деформации; V — оператор Гамильтона в от-счетной конфигурации; г — радиус-вектор частицы в текущей конфигурации; и и Ve — симметричные правый и левый тензоры искажения.

Таким образом, в результате воздействия (деформирования) произвольное зерно с некоторой ориентацией испытывает пластические сдвиги (без изменения ориентации решетки), упругие искажения и повороты. С последними связывается квазитвердое движение (конечные повороты как жесткого целого) [15], которое, в свою очередь, в рамках рассматриваемой модели и описывает поворот решетки.

7. Результаты расчетов с учетом поворотов решетки

При рассмотрении одноосного растяжения с учетом поворотов согласно модели Тейлора и модели мате-

Рис. 5. Компоненты тензора напряжений при направлении оси растяжения вдоль кристаллографического направления [001] в лабораторной (а) и кристаллографической (6) системах координат

Рис. 6. Эволюция проекции направления растяжения для зерна при растяжении

риального поворота происходит поворот кристалла, приводящий к выходу проекции направления растяжения на границу соседних стереографических треугольников. Затем проекция направления растяжения в случае изотропного упрочнения начинает двигаться по стороне стереографического треугольника до попадания в вершину (рис. 6). Отметим, что конкретный вид закона упрочнения при этом роли не играет, важно лишь, чтобы оно было изотропным — одинаковым для всех систем скольжения кристалла.

Первой активируется система скольжения № 4 (рис. 1), при выходе проекции направления растяжения на границу активируется система скольжения № 20 (система N° 8 с противоположным направлением вектора Бюргерса). Так как из вышеприведенных физических соображений скорости сдвигов по этим системам скольжения будут совпадать, тензор скорости поворота равен К 1

w = X—У1 (Ьп1 - ПЬ1) =

1=1 2

= 1 у1 (Ь4п4 - п4Ь4 + Ь20п20 - п20Ь20),

в компонентах кристаллографической системы координат

Вектор угловой скорости ю, ассоциированный w, в базисе кристаллографической системы координат имеет вид:

ю = ^

С другой стороны, чтобы проекция направления растяжения двигалась по стороне треугольника

Таким образом, соотношения (14) и (15) согласуются и согласно модели поворота Тейлора должно происходить движение по стороне до достижения вершины [111], которая является аттрактором.

В работах [16, 20] говорится о том, что при растяжении аттрактором является направление [112]. Стоит рассмотреть данный вопрос подробно. В работе [20]

Y wjj = — 1 О О w

0 0 w

j 2 0

- w - w

говорится: «как только она (ориентировка [112]) будет достигнута, дальнейшая деформация кристалла осуществляется путем двойного скольжения по системам

(111)[011] и (1П)[101]». В работе [16] приводятся более развернутые пояснения и иллюстрация (рис. 7). Заметим, что автором рассматривается эквивалентный (приводимому для результатов) стереографический треугольник.

Говорится о том, что в результате поворота проекция направления растяжения приходит на границу стереографического треугольника и начинается двойное скольжение. Затем «двойное скольжение служит причиной дальнейшего движения оси образца вдоль границы [001]- [1 11] треугольника по направлению к полюсу

[112], который находится на середине расстояния между двумя действующими направлениями скольжения [101] и [011] и лежит на большом круге, соединяющем эти полюса. Когда ось растяжения достигает этой ориентировки, она сохраняется в таком состоянии до образования в образце локализованной шейки и происходящего затем разрушения».

Таким образом, авторами цитируемых работ предполагается, что на границе действуют две системы скольжения из одной плоскости. Однако это противоречит данным той же работы [16], приведенным на рис. 2: на указанной на рис. 7 границе согласно рис. 2 должны действовать две системы из разных плоскостей.

В работе [20] приводится другая модель поворота решетки: «считается, что в условиях одноосного нагружения вдоль оси e пластически деформируемый по системе скольжения (n, b) монокристалл поворачивается как целое вокруг оси

При растяжении поворот происходит в сторону уменьшения угла между e и b, а при сжатии — в сторону увеличения его».

Рис. 7. Схема движения проекции направления растяжения согласно [16]

Рис. 8. Эволюция проекции направления растяжения для различных начальных ориентаций зерна

Рис. 10. Эволюция проекции оси сжатия для различных начальных ориентаций зерна (модель поворота Тейлора) при сжатии

При реализации описанной модели (16) при растяжении монокристалла аттрактором действительно является ориентировка [112] (рис. 8).

В [20] отмечается, что модель (16) — одна из «в значительной степени формальных идей» теории текстуро-образования и что «такие повороты действительно наблюдаются в опытах, но их механизм не детализирован». Вероятно, проводимые на монокристаллах эксперименты не вполне обеспечивали одноосное напряженное состояние (за счет зажатия в механизмах разрывной машины), либо деформирование было недостаточно продолжительным.

Анализируя модель (16), можно отметить, что в ней присутствует направление растяжения (характеристика напряжений), при использовании же физических теорий (моделей восходящих к Тейлору-Бишопу-Хиллу, Линю) напряжения являются откликом, т.е. в рамках этих моделей для поликристалла применение (16) невозможно.

При использовании моделей поворота Тейлора и материального поворота при растяжении получаются результаты, согласующиеся с опытными данными: при растяжении (вдоль направления [001]) ось растяжения, изначально близкая к [001], стремится к направлению [001], в остальных начальных ориентировках — стремится к [111], в которой активными могут быть 6 систем скольжения. На рис. 9 представлены результаты для модели поворота Тейлора.

При сжатии получается конечная ориентировка [101], при которой скольжение осуществляется по четырем системам скольжения [20]. На рис. 10 представлены результаты для модели поворота Тейлора.

Рис. 9. Эволюция проекции направления растяжения для различных начальных ориентаций зерна

Стоит отметить, что при рассмотрении и растяжения, и сжатия использование модели материального поворота приводит к практически таким же результатам, что и модель Тейлора: для одних и тех же начальных ориентировок зерен эволюции оси растяжения и оси сжатия с использованием модели «материального» поворота практически неразличимы с приведенными на рис. 9, 10.

Результаты эволюции направления нагружения при одноосном растяжении и сжатии согласуются с опытными данными, приводимыми в работах [17, 21]. Необходимо отметить, что в опытах измеряют эффективные напряжения и деформации, действующие на монокристалл в целом, при этом в реальных опытах на монокристаллах однородность напряжений и деформаций не наблюдается, имеют место процессы фрагментации. Однако при моделировании сложных процессов тексту-рообразования в поликристаллах описание внутризе-ренных неоднородностей напряжений и деформаций существенно увеличивает ресурсоемкость вычислений.

Также стоит отметить, что используемые модели поворотов решетки предполагают изолированность зерен. При рассмотрении же поликристаллов модель поворота решеток зерен (модель описания текстурообразования) должна существенно усложниться за счет необходимости учета взаимодействия соседних зерен из-за несовместности скольжения дислокаций в них [6].

8. Заключение

В физических теориях пластичности, основанных на явном рассмотрении физических механизмов деформирования, основополагающим является описание поведения кристаллитов-зерен, в первую очередь, за счет сдвигов по системам скольжения краевых дислокаций.

В настоящей работе в качестве базовой модели зерна (монокристалла) предлагается использовать физическую теорию Линя, в которой учитываются упругие деформации и анизотропия упругих свойств материала зерна. Предлагается обобщение модели на случай геометрической нелинейности, при этом квазитвердое движение связывается с решеткой.

Рассматривается алгоритм применения модифицированной модели Линя для одноосного растяжения

(сжатия) монокристалла, попутно предлагается модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения. Предложен вариант решения проблемы неединственности выбора активных систем скольжения для специальных случаев ориентировки монокристалла.

Результаты моделирования при использовании известных моделей поворота кристаллической решетки показывают хорошее соответствие с опытными данными.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ №№ 10-08-96010-р_урал_а и 10-08-00156-а.

Литература

1. Макаров П.В., Черепанов О.И., Демидов В.Н Математическая модель упругопластического деформирования мезообъема материала с ограниченным числом систем скольжения // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 11. - С. 26-57.

2. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-130.

3. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. -2003. - Т. 6. - № 4. - С. 111-124.

4. Смолин И.Ю. Моделирование деформации и разрушения материалов с явным и неявным учетом их структуры / Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2008. - 235 с.

5. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 6171.

6. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

7. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. Ч. II. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. - 243 с.

8. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопласти-

ческого поведения поликристаллов на мезоуровне // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 37-51.

9. Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite

element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity: Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries // Int. J. Plasticity. -2005. - V. 21. - No. 4. - P. 691-722.

10. AnandL., Kothari M. A computational procedure for rate-independent crystal plasticity // J. Mech. Phys. Sol. - 1996. - V. 44. - No. 4. -P. 525-558.

11. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng. - 2004. - V. 193. - No. 48-51. - P. 5359-5383.

12. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: From the Taylor model to the advanced Lamel model // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - No. 3. - P. 589-624.

13. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Новое в зарубежной механике. Вып. 7. - М.: Мир, 1976. - С. 7-68.

14. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 62. -P. 307-324.

15. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

16. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. - М.: Мир, 1972. - 408 с.

17. Kuhlmann-Wilsdorf D., Moore J.T., Starke E.A., Jr., Kulkarni S.S. Deformation bands, the LEDS theory, and their importance in texture development: Part I. Previous evidence and new observations // Metall. Mater. Trans. A. - 1999. - V. 30. - No. 9. - P. 2491-2501.

18. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

19. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. Crystal Plasicity // Handbook of Materials Modeling. - Netherlands: Springer, 2005. -P. 1133-1149.

20. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

21. ВишняковЯ.Д., Бабарэко А.А., Владимиров С.А., Эгиз И.В. Теория образования текстур в металлах и сплавах. - М.: Наука, 1979. -344 с.

Поступила в редакцию 12.03.2010 г., после переработки 30.04.2010 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПГТУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Ашихмин Валерий Николаевич, к.т.н., доц., доц. ПГТУ, avn@matmod.pstu.ac.ru Швейкин Алексей Игоревич, ст. преп. ПГТУ, sai@matmod.pstu.ac.ru