Оценка VaR портфеля ценных бумаг с применением ARCH-моделей

16 (304) - 2008

Финансовый менеджмент

оценка портфеля ценных бумаг с применением ARCH-MOДEЛEЙ

А.Ю. СЕРЕДА,

преподаватель

Воронежский государственный университет

В 1952 г. в свет вышла работа Г. Марковица [8], посвященная вопросам формирования портфеля ценных бумаг, которая заложила основы современной портфельной теории. Естественно, что за прошедшие 60 лет было разработано большое количество дополнений к оригинальному подходу, детальному обзору, и критике подверглось чуть ли не каждое понятие и модель, использованные Марковицем, однако центральная идея, предложенная им, используется в портфельном анализе до сих пор. Эта идея заключается в следующем. Выбор конкретного портфеля ценных бумаг зависит, по Марковицу, от трех факторов: ожидаемой доходности каждой бумаги в портфеле, неопределенности получения этого дохода (т. е. риска) и отношения инвестора к риску. Уровень доходности является случайной величиной, которая характеризуется двумя параметрами: средним и дисперсией (стандартным отклонением). Таким образом, лучший с инвестиционной точки зрения портфель можно выбрать путем сравнения всех вариантов портфелей по этим двум показателям. За эти идеи Г. Марковиц был удостоен Нобелевской премии по экономике в 1990 г. Стоит заметить, что индивидуальное отношение инвестора к риску также будет неявно учтено в ситуациях, когда необходимо сравнить два портфеля с одинаковым риском (т. е. дисперсией).

Хотя теория управления капиталом на финансовом рынке в целом подвергалась и подвергается значительной критике со стороны приверженцев гипотезы эффективного рынка, возникшей в 60-х гг. прошлого столетия, потребность в эффективных методах сравнения портфелей постоянно оставалась на высоком уровне, что привело к разработке большого количества концепций такого сравнения.

Одним из показателей, характеризующих портфель ценных бумаг, является показатель Value-at-Risk (VaR), разработка которого тесно связана с методикой RiskMetrics компании J. P. Morgan [5]. Существуют три подхода к расчету VaR портфеля ценных бумаг. Однако большинство институциональных инвесторов пользуется методом «вари-аций-ковариаций» для расчета VaR своих портфелей. В статье дана оценка показателя VaR для портфеля ценных бумаг российского фондового рынка, основанная на концепции, предложенной RiskMetrics и предполагающая использование прогнозных оценок условных характеристик портфеля вместо исторической статической оценки.

ARCH/GARCH-модели. Исходя из того, что в этой статье представлены показатели, характеризующие временные ряды финансовых данных, зададим следующие обозначения. Пусть rt будет зависимой переменной, через которую будет выражаться доход ценной бумаги или портфеля ценных бумаг. Ее среднее ц и дисперсия ст2 будут определяться как условные по предшествующей информации Qt_1. В этот набор данных могут входить, например, прошлые значения ряда до-ходностей, а также информация о внешних рег-рессорах, влияющих на доход по тому или иному активу или портфелю. Тогда, сегодняшний доход по ценной бумаге равен сумме среднего дохода ц и стандартного отклонения (корня из дисперсии), умноженного на случайную ошибку, соответствующую этому периоду:

Г = ц + , у ~ ^(0,1).

Главная задача эконометрики при оценке величины дохода r t состоит в том, чтобы определить спецификацию зависимости переменных правой части уравнения от информационного множества Qt _1.

В то время как для моделирования условного по предыдущей информации среднего было предложено достаточно много подходов, ARCH-модели являются, по сути, первым инструментом, разработанным для моделирования и прогнозирования именно условной по предыстории дисперсии (или среднеквадратического отклонения) временного ряда финансовых (и не только) данных.

Структура финансовых временных рядов характеризуется несколькими отличительными особенностями, которые необходимо учитывать для адекватного выбора спецификации модели, а также для оценки ее параметров и прогнозирования. Ключевым в исследованиях этих особенностей является понятие волатильности, которое применительно к финансовым рынкам обычно трактуется как изменчивость (колеблемость) курса какого-либо финансового инструмента [7]. Естественно, необходимо за оценку волатильности временного ряда принять дисперсию этого ряда. В современной литературе исследователями наиболее часто отмечаются следующие особенности финансовых временных рядов.

Кластеризация волатильности. Наличие временных интервалов, характеризующихся относительно большими или, наоборот, небольшими изменениями во временных рядах цен, стало одним из первых отличительных особенностей волатильности цен финансовых активов, зафиксированных в научной литературе по этой теме. Ю. Фама в своей работе [4] одним из первых отметил, что большие по абсолютному значению изменения в цене актива имеют тенденцию следовать за большими, а меньшие — за меньшими. Значимость этого факта состоит в том, что сегодняшние возмущения вола-тильности будут влиять на ожидаемую волатиль-ность будущих периодов.

Толстые хвосты. Также общепризнанным является тот факт, что безусловное распределение временных рядов финансовых данных, например доходов по акциям, характеризуется более толстыми хвостами, чем нормальное распределение. То есть кривая функции плотности распределения временных рядов характеризуется большим эксцессом, чем в случае нормального распределения. Стандартизированный четвертый момент для нормального распределения равен 3, тогда как для многих временных рядов финансовых данных он варьируется от 4 до 50 и выше.

Асимметричность влияния инноваций на вола-тильность. Многие модели волатильности неявно предполагают, что на условную дисперсию акти-

ва отрицательные и положительные инновации (или новости) влияют симметрично. Например, спецификация модели GARCH (1,1) такова, что условная по времени дисперсия зависит только от квадратов лаговых значений ошибки (которая и является новостью), без учета знака инновации. Однако для доходности по акциям ситуация, когда отрицательные и положительные новости влияют на волатильность одинаково, на практике реализуется крайне редко.

Такая асимметрия влияния новостей на условную дисперсию обычно объясняется одной из двух теорий: левередж-эффектом и эффектом премии за риск.

До 1982 г., когда Р. Энгл Е^1е) опубликовал свою работу [2], в которой и была предложена ARCH-модель, для оценки дисперсии обычно пользовались показателем скользящего средне-квадратического отклонения, теоретически слабо приспособленного улавливать вышеперечисленные эффекты. Он рассчитывается как среднеквадрати-ческое отклонение за последние п дней. Например, можно установить период п, равный одному месяцу, тогда скользящее среднеквадратическое отклонение за каждый день будет рассчитываться исходя из набора данных по торгам за последний рабочий месяц (при пятидневной торговой неделе это 21 день). Этот показатель можно назвать прообразом первой ARCH-модели, так как здесь дисперсия завтрашнего дохода зависит от квадратов разности дохода за день t - i ( = 1,21) и среднего дохода за тот же день:

1 21

СТ2 = 20-)2.

Однако предположение об одинаковом влиянии всех 21 доходностей, и соответственно, о равных весах для этих доходностей, кажется неоправданным. Действительно, более правдоподобным кажется предположение о том, что последние отклонения от среднего должны больше влиять на прогноз дисперсии, чем более отдаленные во времени. Более того, нулевые веса для всех дней начиная с 22 также могут быть неоправданны, а в общем случае вообще не ясно, какова должна быть длина лага при расчете скользящего среднеквадра-тического отклонения.

В рамках ARCH-модели веса для каждой из разностей являются параметрами модели, которые необходимо оценить в процессе ее построения. Соответственно, при оценке параметров модели будут выбраны лучшие веса в смысле адекватнос-

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

17

ти информационному множеству Q. Простейшая ARCH (1) -модель для дисперсии выглядит следующим образом:

СТ2 =a + p(r_i _i)2 + u , где ut ~ ii'd(0,1), cov(vt,ut) = 0 .

Смысл ARCH-модели в том, что если абсолютная величина отклонения rt_ цоказывается большой, то это приводит к повышению условной дисперсии в последующие периоды. В свою очередь, при высокой условной дисперсии более вероятно появление больших (по абсолютной величине) значений разности rt _1 _ ц,_1. И наоборот. Таким образом, ARCH-модель улавливает феномен кластеризации волатильности временных рядов финансовых данных.

В 1986 г. Т. Боллерслев [1] предложил обобщенную ARCH-модель, в которой дисперсия временного ярда зависела не только от ошибки прогноза среднего (т. е. разности (rt l _ ц_:)2), но и от предыдущих значений самой дисперсии. То есть в этой спецификации все предыдущие значения ошибок прогноза имеют ненулевой вес в уравнении текущего уровня волатильности ряда. GARCH (1,1)-модель выглядит следующим образом:

ст2 = a + р(Г_! _ Ц_!)2 + Уст2_! + U ,

где ut ~ iid(0,1), cov(vt ,ut) = 0 .

Эта модель предполагает, что лучшим прогнозом дисперсии актива на следующий период будет взвешенное среднее средней дисперсии, которая представлена текущим значением дисперсии, и новой информацией о рынке, которая выражена в разности (rt_j _ц^)2, представляющей собой последнюю ошибку прогноза (или последнее отклонение от среднего). Этот механизм очень похож на механизмы адаптации, применяемые в эконометрике (их также называют механизмами обучения).

Еще одним важным для практического применения этапом в разработке ARCH-моделей стало появление в 90-х гг. прошлого столетия моделей ARCH, позволяющих улавливать и адекватно описывать асимметричность влияния новостей (т. е. знака разности rt_ ц) на условную дисперсию, характеризующую волатильность процесса формирования доходности актива. Наиболее часто на практике пользуются двумя асимметричными моделями из класса ARCH: моделью TARCH, предложенной Глосеном, Джаганатом и Рунке в 1993 г. [4], и EGARCH-моделью Нельсона [3].

Одним из серьезных недостатков моделирования волатильности финансового временного ряда с

помощью ARCH -модели является невозможность ее обобщения на производные и связанные с исследуемым ряды. Например, если ряд дневных доходнос-тей хорошо описывается GARH (1,1) -моделью, ряд недельных доходностей по тому же активу не обязательно будет адекватно описан тем же типом модели. Также, если активы следуют ARCH-процессу, это не обязательно означает, что портфель, составленный из них, также будет адекватно описываться ARCH-моделью такой же спецификации.

оценка VaR портфеля ценных бумаг. Наиболее часто ARCH-модели применяются в тех ситуациях, когда центральным объектом анализа выступает не доход сам по себе, а волатильность дохода за какой-либо промежуток времени. Обычно вола-тильность связывают с рискованностью инвестирования в ценные бумаги. Многие банки и другие финансовые институты используют концепцию «Value-at-Risk» (VaR) для определения и измерения рисков, связанных с инвестированием средств в портфели финансовых инструментов. VaR—оценка максимально возможных изменений в стоимости портфеля финансовых инструментов с заданной вероятностью a [7]. Таким образом оценка VaR отвечает на вопрос: сколько может потерять инвестор с вероятностью a % за заданный временной интервал. Специалисты по математической статистике также называют этот показатель a-процентным квантилем, так как a % исходов будет хуже и (1 — a) % — лучше, чем предсказанное значение изменения стоимости портфеля.

Для оценки VaR инвестиционного портфеля финансовых активов, как правило, используется один из трех подходов:

1. Метод «вариаций-ковариаций».

2. Метод, основанный на исторических данных.

3. Метод, использующий имитационное моделирование.

Метод «вариаций-ковариаций» получил широкое распространение после публикации в начале 90-х гг. прошло века статистической методики оценки финансовых рисков RiskMetrics. Простейший вариант VaR основан на следующих предположениях:

• единственный фактор, влияющий на риск портфеля, — стоимость активов, входящих в этот портфель;

• изменение стоимости портфеля линейно зависит от изменений стоимости всех активов, образующих этот портфель;

• доходы активов, включенных в портфель, имеют совместное нормальное распределение.

6 - ГК0-0ФЗ г - портфель

Графики дневных доходностей по финансовым инструментам за период с января 2004 по сентябрь 2007 г.

Два последних предположения неявно подразумевают, что доход портфеля также является случайной нормально распределенной величиной. Хотя предположения довольно строгие и на практике реализуются крайне редко, однако методика RiskMetrics в оценке VaR является наиболее часто используемой в практических расчетах.

Величина VaR для а=5 % в предположении, что случайная величина, которой является доходность портфеля, распределена согласно нормальному закону распределения случайных величин, определяется по следующей формуле:

VaR = -Vport port -1645стport ),

где Vpgrt — стоимость портфеля в момент t.

aport — среднеквадратическое отклонение временного ряда доходностей портфеля [5].

Далее приведен гипотетический пример, основанный, однако, на реальных данных, позволяющий оценить эффективность применения аппарата ARCH-моделирования для оценки величины VaR портфеля ценных бумаг.

Для исследования понадобится сконструировать гипотетический исторический портфель. Для его формирования были выбраны:

• индекс РТС «Нефть и Газ;

• индекс РТС «Металлы и добыча»

• индекс ГКО-ОФЗ.

Портфель сформирован со следующими весами: 40 % — индекс РТС «Нефть и Газ», 30 % — индекс РТС «Металлы и добыча» и 30 % — индекс государственных облигаций ММВБ. Исторические дневные доходности индексов и портфеля показаны на рисунке. Каждый из временных рядов характеризуется ARCH-эффектами, так как ампли -туда изменения дневных доходностей по каждому инструменту меняется во времени.

Из рисунка видно, что в случае индекса РТС «Металлы и добыча» в периоды с начала 2004 до середины 2005 г. и с первой трети 2006 по сентябрь 2007 г. волатильность была выше, чем в остальные периоды.

В табл. 1 представлены некоторые показатели описательной статистики временных рядов по индексам и портфелю.

Таблица 1

описательная статистика временных рядов

показатель RTSmm RTSog гко-офз портфель

Среднее, % 0,198 0,104 0,013 0,104

Среднеквад- 0,024 0,036 0,000 0,008

ратическое

отклонение, %

Асимметрия -0,478 -0,372 -0,635 -0,626

Эксцесс 4,053 3,608 0,796 2,858

Актив с самой большой волатильностью в портфеле — индекс акций нефте- и газодобывающих компаний. Самая маленькая дисперсия (практически равная нулю за исследуемый интервал) у индекса ГКО-ОФЗ. Дисперсия портфеля значительно ниже, чем рискованных инструментов, включенных в него, хотя их доля составляет 70 % от общей стоимости портфеля. Это тот положительный эффект диверсификации, ради которого инвесторы и используют концепцию портфельного инвестирования. Графики функций плотности распределения всех рассматриваемых активов имеют скос влево, на что указывает отрицательное значение коэффициента асимметрии. Эксцесс для каждого ряда посчитан по формуле:

K =

(

n

I

V

ст

3(n -1)2 (n - 2)(n - 3)'

Положительный эксцесс во всех случаях обозначает относительно остроконечное распределение каждой из исследуемых случайных величин, что позволяет сделать вывод об относительно толстых хвостах графика функции плотности.

Анализ автокорреляционной функции квадратов доходностей исследуемого гипотетического портфеля позволяет сделать вывод о присутствии ARCH-эффекта. Значения автокорреляционной функции для лагов 2 и 4 близки к 0,2; наличие автокорреляции в ряде подтверждается Q-статистикой для всех лаговых значений вплоть до порядка 8. Значения Р, все равные нулю, позволяют отвергнуть гипотезу об отсутствии ARCH-эффекта во временном ряду доходностей сформированного гипотетического портфеля.

Таблица 2

Значения автокорреляционной функции

ряда квадратов доходов с( юрмированного портфеля

Лаг AC Q-Stat Prob

1 0,158 23,375 0

2 0,185 55,423 0

3 0,085 62,104 0

4 0,189 95,661 0

5 0,092 103,67 0

6 0,029 104,47 0

7 0,029 105,24 0

8 0,034 106,33 0

Далее рассчитаем 5 % -ный квантиль и значения VaR для доходности портфеля, предположив, что его стоимость равна $1 000 000. Для вычислений предлагается взять три временных горизонта: весь ряд данных с января 2004 г.; значения доходности

портфеля за последние 2 года; и значения доходности за последний год. Для расчетов применим формулу:

VaR = -Vport pot -1645стport ),

За весь исследуемый период значение VaR сформированного портфеля составило $14 039. Если рассчитывать VaR исходя из данных последних двух лет, то получим значение $14 613, что незначительно больше, чем предыдущее. Это связано с тем, что на 2006 г. приходится период с большей волатильностью в доходностях активов, формирующих портфель. Расчеты с использованием данных только 2007 г. дают значение VaR, равное $12 197. Можно сделать вывод, что риск инвестиций в российские финансовые инструменты существенно снизился за исследуемый период. Все вычисления неявно предполагают, что лучшей прогнозной оценкой дисперсии временного ряда доходности будет историческая дисперсия. Вообще говоря, это предположение довольно спорное само по себе и более вероятно при исследовании малых временных интервалов, чем относительно длинных.

Таблица 3

Оценки параметров GARCH (1,1) модели

Коэффициент Оценка Стандартная ошибка Z-статистика Prob.

C 1,17E-05 2,11E-06 5,5748 0

ARCH (1) 0,2331 0,0336 6,9331 0

GARCH (1) 0,6331 0,0485 13,041 0

Далее для ряда доходности гипотетического портфеля была построена модель GARCH (1,1). Результаты моделирования представлены в табл. 3.

Результаты ARCH-LM-теста позволяют сделать вывод о том, что в стандартизированных остатках построенной модели автокорреляция квадратов остатков отсутствует (результаты теста представлены в табл. 4). Следовательно, построенная модель адекватно описывает условную по предыстории дисперсию временного ряда доходностей сформированного портфеля.

Прогнозная оценка условного среднеквадрати-ческого отклонения на один шаг вперед составляет 0,00457, что в два раза меньше, чем историческая оценка среднеквадратического отклонения доходности портфеля за весь период, приведенная в табл. 1. Соответствующая ей оценка VaR для вероятности потерь 5 % составляет $5 643.

Таким образом, например, на 1 октября 2007 г. стоимость портфеля изменилась на $3 244. Эта величина лишь незначительно отличается от оценки

X - x

20

ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

Таблица 4

ARCH-LM тест

Оценка Стандартная ошибка T-статистика Prob.

C 1,088069 0,108703 10,00960 0

RESIDA2(-1) 0,016205 0,033057 0,490208 0,6241

RESIDA2(-2) -0,025088 0,033037 -0,759389 0,4478

RESIDA2(-3) -0,020332 0,033044 -0,615300 0,5385

RESIDA2(-4) 0,007106 0,033051 0,214994 0,8298

RESIDA2(-5) -0,014425 0,033040 -0,436606 0,6625

RESIDA2(-6) -0,030665 0,033037 -0,928188 0,3536

RESIDA2(-7) -0,018581 0,033049 -0,562232 0,5741

VaR, сделанной на основе прогнозного значения среднеквадратического отклонения при помощи GARCH (1,1) -модели. Результат, на первый взгляд, впечатляющий. Однако на практике подобные случаи единичны.

Кроме того, у предложенного подхода имеется достаточно недостатков. Самыми важными из них, вероятно, являются связанные с этапом прогнозирования волатильности ряда доходности по финансовому инструменту при помощи модели. Дело в том, что, во-первых, прогнозная оценка, использованная в данном примере, сделана на один шаг (т. е. на один день) вперед. Понятно, что на практике требуются прогнозы с куда большим горизонтом, однако их построение вызывает дополнительные сложности. Еще одним существенным недостатком использования методики VaR является невозможность учитывать знак изменения, о чем уже упоминалось вскользь. На самом деле величина VaR показывает, на сколько значение будущей доходности может отклониться от (условного) среднего по ряду. При этом знак такого изменения полагается отрицательным, что, вообще говоря, не совсем верно. Поскольку методов моделирования, позволяющих оценить этот знак в явном виде, пока не разработано, для более адекватного прогноза именно потерь инвестора представляется возможным использование свойств распределения ряда доходностей (конкретно, скоса влево или вправо).

Несмотря на наличие этих и некоторых других недостатков предложенного подхода, сама схема применения прогнозных значений при оценке показателя VaR себя, безусловно, оправдывает. Это наталкивает на мысль о дальнейших направлениях

исследования в области моделирования и прогнозирования основных параметров временных рядов финансовых данных. Аппарат моделирования условной дисперсии, истоки которого были заложены Р. Энглом, оправдывает свое применение. В то же время, в области прогнозирования убытков от инвестирования в финансовые инструменты финансовая эконометрика продвинулась незначительно.

Литература

1. Bollerslev Tim. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity / Tim Bollerslev // Journal of Econometrics — № 31, p. 307 — 327.

2. Engle Robert F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with the Estimates of the Variance of U. K. Inflation / R. F. Engle // Econometrica - № 50, p. 987 - 1008.

3. Nelson Daniel B. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach / D. B. Nelson // Econometrica - № 59, p. 347 - 370.

4. Poon S. H. Forecasting Financial Market Volatility: a Review / S. H. Poon, C. Granger // Journal of Economic literature № 41, p. 478 - 539.

5. RiskMetrics - Technical Documentation -http://www. jpmorgan. com/RiskManagement/ RiskMetrics/RiskMetrics. html.

6. http://export. rbc. ru/ - РосБизнесКонсалтинг, архив данных о торгах на РТС.

7. Толковый экономический и финансовый словарь: Фр., рус., англ., нем., исп. терминология: В 2 т. / Под общ. ред. Л. В. Степанова. - 1997.

8. Шарп У. Инвестиции: пер. с англ. / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бэйли - М.: ИНФРА-М, 2004.