Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении

DOI: 10.15593/2224-9982/2017.50.09 УДК 004.925.82: 514.146

Е.В. Конопацкий

Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, Макеевка, Украина

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КРИВЫХ ОДНОГО ОТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПРОФИЛЯ КРЫЛА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

В БН-ИСЧИСЛЕНИИ

Представлены теоретические основы конструирования замкнутых кривых 3-го порядка как кривых одного отношения, которые предлагается использовать в качестве гипотетического профиля крыла летательного аппарата. Замкнутая дуга кривой 3-го порядка формируется с помощью двух дуг кривых 2-го порядка, вид которых определяется отношением на медиане (инженерный дискриминант), за счет встречного движения текущих точек исходных дуг кривых 2-го порядка. При этом движение текущих точек исходных кривых 2-го порядка и текущей точки переменного отрезка прямой, соединяющего текущие точки исходных кривых 2-го порядка, согласовано с помощью одного и того же параметра, в качестве которого используется преобразованное простое отношение трех точек прямой. В результате получим замкнутое однопараметрическое множество точек кривой 3-го порядка. Особенностью предложенных кривых является то, что благодаря непрерывному геометрическому алгоритму их построения обеспечивается высокий порядок гладкости кривой, поскольку она является непрерывной и дифференцируемой на всем исследуемом интервале, при котором значение параметра изменяется от 0 до 1. Эта особенность может быть эффективно использована для построения различного рода профилей крыльев летательных аппаратов, лопаток турбин, насосов, вентиляторов и других специализированных деталей машин и механизмов. Кроме возможных профилей в качестве примера приводится несколько консольных поверхностей, которые гипотетически можно использовать в качестве крыла летательного аппарата.

Ключевые слова: дуга кривой, кривая 2-го порядка, кривая 3-го порядка, профиль крыла, летательный аппарат, порядок гладкости, БН-исчисление, текущий параметр, точечное уравнение, отношение на медиане, геометрическая схема, конструирование кривой, симплекс пространства, кривые одного отношения.

E.V. Konopatskiy

Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makеyеvka, Ukraine

THE USE OF ONE RELATION CURVES FOR DESIGNING AN AIRCRAFT WING PROFILE IN BN-CALCULATION

The paper presents the theoretical basis for constructing closed curves of the third order as curves of one relation. Curves are proposed to be used as a hypothetical wing profile of an aircraft. A closed arc of a curve of the third order is formed using two arcs of curves of the second order. The form of the curve arcs is determined by the ratio on the median (engineering discriminant), due to the counter motion of the arcs current points of curves of the second order. The motion of the curves current points of the second order and the current point of the variable segment of the straight line connecting the current points of the reference curves of the second order is matched by the same parameter, which uses the transformed simple ratio of the line three points. As a result, we obtain a closed one-parameter set points of the curve the third order. The peculiarity of the proposed curves is that due to the continuous geometric algorithm of their construction, a high order of the curve smoothness is provided, since it is continuous and differentiable on the whole investigated interval, at which the value of the parameter varies from 0 to 1. This feature can be effectively used to construct various types of aircraft wings profiles, turbine blades, pumps, fans and other specialized parts of machines and mechanisms. Also, several console surfaces that can hypothetically be used as the wing of an aircraft are cited as an example.

Keywords: curve arc, 2nd order curve, 3rd order curve, wing profile, aircraft, order of smoothness, BN-calculation, current parameter, point equation, median relation, geometric diagram, curve construction, simplex of space, one relation curves.

Введение

В инженерной практике встречается целый класс задач, связанных построением обводов высших порядков гладкости (два и более). Особенно эти задачи актуальны там, где имеют место высокие скорости движения жидкости и газа. Существует огромное количество работ,

посвященных решению таких задач и опирающихся на достаточно сложные алгоритмы, связанные с определением нужного количества производных в месте стыковки. Например, в работах [1, 2] предложен способ профилирования лопатки газотурбинного двигателя с помощью параболического обвода и кривых Безье 3-го порядка. В работе [3] авторы отстаивают мысль, что профилирование лопаток турбин лучше осуществлять не с помощью кривых Безье, степенных полиномов и NURBS, а с помощью кубических интерполяционных сплайнов, объясняя это более легким управлением формой кривой при варьировании параметров. Также для решения данной задачи применяется метод кругового корреляционного преобразования [4]. В практике проектирования поверхности крыла летательного аппарата чаще всего используется профиль Жуковского [5]. Общим недостатком всех этих методов является то, что кривая профиля представляется в виде кусочно-гладкой функции, состоящей из нескольких дуг, которые еще нужно стыковать друг с другом как минимум по второму порядку гладкости, что требует достаточно больших и громоздких вычислений.

Вместе с тем можно эту задачу решить исключительно геометрически. Чтобы избежать необходимости стыковки дуг с каким-либо порядком гладкости, достаточно сконструировать единую кривую, которая будет не только иметь необходимую форму, но и обладать необходимыми аэродинамическими характеристиками, без необходимости проведения громоздких вычислений. Для этого достаточно заложить все необходимые свойства изначально при конструировании такой кривой. Так, для обеспечения порядка гладкости единой кривой достаточно заложить, чтобы на необходимом участке дуга кривой была непрерывной и дифференцируемой, а также имела непрерывные производные.

В диссертационной работе [6] были предложены геометрические алгоритмы конструирования дуг к3п в БН-исчислении (точечное исчисление Балюбы-Найдыша [7-11]) как кривых одного отношения [12], эти алгоритмы исследованы в зависимости от направления движения текущих точек исходных дуг к2п. Некоторые из полученных дуг кривых имеют специфическую форму и гипотетически могут быть эффективно использованы для построения различного рода профилей крыльев летательных аппаратов, лопаток турбин, насосов, вентиляторов и других специализированных деталей машин и механизмов. Полученные в работе [6] замкнутые дуги к3п описываются единым уравнением и являются непрерывными в пределах исследуемых значений параметров, а также имеют непрерывную производную не только первого, но и более высоких порядков.

Конструирование дуги к2п

Из проективной геометрии [13] известно, что кривая 2-го порядка (к2п) однозначно определяется пятью точками, пятью касательными или их комбинациями. Рассмотрим геометрическую схему конструирования дуги к2п (рис. 1), когда она определяется тремя точками (А, K и В) и двумя касательными (АС и ВС). В симплексе ABC построим медиану CT1. Точка K определяется с помощью параметра к, который представляет собой отношение на медиане (в литературе больше известно как инженерный дискриминант [14]), следующим точечным уравнением: K = (T1 — C)к + C. Для определения текущей точки M дуги к2п построим произвольную прямую, выходящую из точки C (в нашем случае - отрезок CT). На пересечении этой прямой с отрезками AK и BK получим промежуточные точки P и Q. Тогда текущую точку M определим пересечением отрезков прямых AQ и BP.

Рассмотрим четырехугольник KPMQ (см. рис. 1). Согласно работе [13] получим гармоническое отношение четырех точек прямой:

ABTN = ABT = —1.

ABN

Рис. 1. Геометрическая схема конструирования к2п, которая определяется отношением на медиане

АТ

Определим текущий параметр и соотношением и =-= -ТВА. Используя правила пре-

АВ

образования простого отношения трех точек прямой [7], получим уравнения точек N, Т и К:

и „и

N = A-

- B-

1 - 2u 1 - 2u T = Au + Bu,

K = Ak + Bk- + Ck, 2 2

где u = 1 - u, k = 1 - k - дополнение соответствующего параметра до единицы.

Определим точку P как пересечение отрезков прямых AK и СТ. Для этого на прямой CT зададим текущую точку в симплексе ABC с помощью параметра t:

P = CT + Tt = Aut + But + Ct.

Далее определим площадь переменного треугольника APK. Получим искомое пересечение отрезков прямых AK и CT при условии, что площадь треугольника APK будет равна нулю (т.е. точка P, двигаясь по прямой CT, достигнет прямой AK). В соответствии с 5-теоремой БН-исчисления [7] составим определитель из параметров точек треугольника APK и приравняем его нулю:

1 0 0

ut ut t

k k -

— — k

2 2

= 0.

Из полученного определителя находим такое значение параметра г, при котором площадь треугольника АРК будет равна нулю, и подставляем его в уравнение точки Р. После некоторых преобразований получим

P = A-

uk

+ B-

uk

-+ C-

2uk

2ик + к 2ик + к 2ик + к Аналогичным образом определим текущую точку дуги к2п М, как пересечение прямых KN и ВР. Для этого на прямой KN определим текущую точку М с помощью параметра г:

,т .кг -2икг + 2иг „кг -2икг -2иг -М = Кг + N = А-+ В-+ Скг.

2 - 4u

2 - 4u

В соответствии с S-теоремой БН-исчисления [7] составим определитель из параметров точек треугольника BMP и приравняем его нулю:

0

1

kt - 2ukt + 2ut kt - 2ukt - 2ut

2 - 4u

uk 2uk + k

2 - 4u

uk 2uk + k

0

kt 2uk

2uk + k

= 0.

Из этого выражения определяем такое значение параметра t, при котором площадь треугольника BMP будет равна нулю, и подставляем его в уравнение точки M. После некоторых преобразований получим итоговое уравнение дуги к2п, найденное на основе геометрических построений, схема которых представлена на рис. 1:

M = (А - C)-

ku2

; + (B - C)-

ku

- + C.

к (1 - 2 и) + 2 ии к (1 - 2 и) + 2 ии

В соответствии с работой [15] при к = 0,5 получаем дугу параболы, при 0 < к < 0,5 - дугу гиперболы, а при 0,5 < к < 1 - дугу эллипса.

Переходя от точечного уравнения к системе параметрических уравнений для трехмерного пространства, получим

XM =

Ум =

ku2

k (1 - 2 u) + 2 uu ku2

k (1 - 2 u )2 + 2 uu

— + {XB XC}

ku

k (1 - 2 u) + 2 uu

-+ Xr

+

ku

k (1 - 2 u) + 2 uu

+ yC >

ZM =(zA ZC }

ku 2

k (1 - 2 u) + 2 uu

+

ku

k (1 - 2 u) + 2 uu

+ Zc .

Следует отметить, что аналогичным образом все точечные уравнения, которые по своей сути являются символьной записью, можно представить в виде системы однотипных параметрических уравнений. Причем количество параметрических уравнений напрямую зависит от размерности пространства, в котором рассматривается геометрический объект. В данной статье количество параметрических уравнений всегда равно трем.

Конструирование замкнутых дуг к3п

Кривая одного отношения [6] получается при согласовании двух дуг к2п с помощью одного и того же параметра в соответствии с геометрической схемой конструирования дуги кривой. При этом движение текущих точек исходных к2п и текущей точки переменного отрезка прямой, соединяющего текущие точки исходных к2п, согласовано с помощью одного и того же параметра, в качестве которого применяется преобразованное простое отношение трех точек прямой. Используя встречное направление движения текущих точек исходных дуг к2п, получим замкнутую дугу к3п.

Рассмотрим первую из геометрических схем конструирования дуги к3п (рис. 2). Две дуги к2п определяются в одном и том же симплексе АВС и одним и тем же параметром и, но разным отношением на медиане. При этом текущие точки движутся по встречным направлениям: точка Q от точки А к точке В, а точка Р от точки В к точке А. Уравнения исходных дуг к2п имеют следующий вид:

Р =

й =

1срЫ

кР (1 - 2 и) + 2 ии

-+

кои

кй (1 - 2 и) + 2 ии

- +

1срЫ

кР (1 - 2 и)2 + 2 ии

кои

ко (1 - 2 и )2 + 2 ии

:+ С,

- + С.

Дуга к3п образована движением текущей точки М (см. рис. 2) по переменному отрезку Рй:

М = Ри + йи.

Рис. 2. Геометрическая схема № 1 конструирования плоской к3п

После подстановки и преобразований получим точечное уравнение дуги к3п, соответствующее геометрической схеме № 1 конструирования плоской к3п:

М =

+

, 2— кРи и

2

кои и

кР (1 - 2и) + 2ии ко (1 - 2и) + 2ии

!СрЫ

ккЫ

кР (1 - 2и) + 2ии ко (1 - 2и) + 2ии

+ С.

Рассмотрим следующую геометрическую схему конструирования замкнутых дуг к3п (рис. 3). Аналогично геометрической схеме № 1 (см. рис. 2) движение текущих точек исходных к2п осуществляется по встречным направлениям:

Р =

кРи

кР (1 - 2 и) + 2 ии

+

кРи

кР (1 - 2 и) + 2 ии

-+ С,

о = (С - А)-

кои

ко (1 - 2 и) + 2 ии

: + (В - А)-

кои

ко (1 - 2 и) + 2 ии

• + А.

Рис. 3. Геометрическая схема № 2 конструирования плоской к3п

Точечное уравнение дуги к3п, геометрическая схема которой представлена на рис. 3, имеет следующий вид:

M =

u + -

, 2— kpU u

+

kQU

kP (1 - 2u )2 + 2uu kQ (1 - 2u )2 + 2uu

+ C.

ICkP

kQu

kP (1 - 2u) + 2uu kQ (1 - 2u) + 2uu

В обоих точечных уравнениях параметры kP и kQ определяют вид исходных дуг к2п. Изменяя эти параметры в пределах от 0 до 1, получим различные вариации формы гипотетического профиля крыла летательного аппарата. Воспользуемся программным пакетом Maple для визуализации полученных результатов (табл. 1).

Таблица 1

Графическая визуализация замкнутых дуг к3п

В табл. 1 приведены лишь некоторые возможные комбинации исходных дуг к2п, которые определяются параметрами кр и kQ. Как видно из табл. 1, эти параметры обусловливают геометрическую форму профиля поверхности, а следовательно, и ее аэродинамические свойства. Для описания формы профиля крыла летательного аппарата наиболее подходящими являются следующие пределы изменения параметров формы: 0,1 < кр < 0,4 и 0,6 < kQ < 0,9. Следует также

отметить, что при исследовании влияния параметров кр и kQ дуги замкнутой кривой на ее форму были зафиксированы координаты точек симплекса ABC, которые также в БН-исчислении являются не только параметрами положения, но и параметрами формы [16]. Поэтому возможны и другие комбинации параметров формы кр и kQ совместно с другими комбинациями координат точек симплекса.

Конструирование консольной поверхности типа крыла летательного аппарата

Рассмотрим геометрическую схему конструирования консольной поверхности типа крыла летательного аппарата (рис. 4).

Рис. 4. Геометрическая схема консольной поверхности типа крыла

Дополним симплекс АВСВ до призмы АВСВВ'С' (см. рис. 4). Определим точки В' и С' в симплексе АВСО, используя правило параллелограмма БН-исчисления:

В' = В + В - А, С' = С + В - А.

Для удобства моделирования поверхности определим точки Р и Я одним и тем же параметром р на соответствующих прямых:

Р = (В - В')р + В' = Вр + Вр, Я = (В' - С')р + С = Вр + Ср.

Точку Q определим как пересечение прямых РС' и ВЯ в локальном симплексе В'С'В с помощью 5-теоремы БН-исчисления:

Q = В^ + В'^ + С р2

р2 + р р2 + р р2 + р

Далее переходим от локального симплекса В'С'В к глобальному симплексу АВСВ простой заменой точек в соответствующих уравнениях. В итоге получим

Р = -Ар + Вр + В,

Q = -А—^— +В^рр- + С^ + В. р+ р р + р р + р

Для построения консольной поверхности типа крыла летательного аппарата воспользуемся методом подвижного симплекса [17]. С учетом значений точек Р и Q определим перемен-

ный симплекс МаМвМс системой линейных точечных уравнений. Движение точек переменного симплекса по соответствующим прямым (см. рис. 4) согласовано с помощью параметра V:

МА = Av + БУ ,

= -Ару + В (V + ру ) + БУ , рУ

NC =-А_ 2

- + B

PPV + CP „+ PV + Dv.

P + P

P2 + P

P2 + P

Теперь в переменном симплексе задаем профиль поверхности, используя одну из замкнутых дуг к3п, полученных выше. Таким образом, получим отсек поверхности типа крыла летательного аппарата как двухпараметрическое множество точек, которое определяется четырьмя точками симплекса A, B, C, D и тремя параметрами формы. Два из них (kp и kg) определяют геометрическую форму профиля сечения поверхности, а параметр P определяет, насколько уменьшится (или увеличится) размер симплекса B'C'D (см. рис. 4) по сравнению с параллельным ему симплексом ABC и, следовательно, насколько уменьшится (или увеличится) профиль сечения поверхности. В общем случае параметр P изменяется в пределах от нуля до единицы, но для моделирования поверхности крыла летательного аппарата целесообразно принимать его в пределах от 0,3 до 0,7, в зависимости от требуемых аэродинамических характеристик.

Воспользуемся программным пакетом Maple для визуализации полученного отсека поверхности (табл. 2). Для построения модели приняты следующие координаты точек симплекса: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0,5; 0; 1) и D(0; 50; 0). Масштабный параметр P = 0,4.

Таблица 2

Визуализация геометрической модели поверхности типа крыла

№ п/п Вид исходной дуги к2п Значения параметров формы

Эллипс kp = 0,8

1

Парабола kQ = 0,5

Эллипс kp = 0,9

2

Эллипс kQ = 0,6

Визуализация геометрической модели поверхности типа крыла в зависимости от геометрической схемы конструирования профиля

Схема № 1

Схема № 2

Окончание табл. 2

№ п/п

Вид исходной дуги к2п Значения параметров формы

Парабола kP = 0,5

Эллипс kQ = 0,8

Гипербола kP = 0,2

Эллипс kQ = 0,8

Визуализация геометрической модели поверхности типа крыла в зависимости от геометрической схемы конструирования профиля

Схема № 1

Схема № 2

3

4

Заключение

В статье показана гипотетическая возможность использования замкнутых кривых одного отношения 3-го порядка в качестве профиля крыла летательного аппарата. Несомненным преимуществом предложенного подхода является то, что необходимая форма достигается использованием единого уравнения, что обеспечивает нужный порядок гладкости профиля поверхности без использования громоздких вычислений, необходимых при стыковке дуг кусочно-гладкой функции. Полученная модель является теоретической основой для проведения аэродинамических испытаний предложенной конструкции методами компьютерного моделирования. Перспективой исследований являются численные исследования аэродинамических свойств и напряженно-деформированного состояния предложенной конструкции крыла летательного аппарата.

Библиографический список

1. Виноградов Л.В., Костюков А.В. Автоматизированное проектирование лопаток турбин с параболическими обводами // Известия МГТУ. - 2013. - № 1(15). - С. 41-47.

2. Виноградов Л.В., Алексеев А.П., Костюков А.В. Профиль лопатки турбины из кривых Bezier // Вестник РУДН. Сер.: Инженерные исследования. - 2013. - № 3 - С. 10-15.

3. Бойко А.В., Усатый А.П., Баранник В.С. Метод аналитического построения турбинных профилей с помощью кубических интерполяционных сплайнов // Междунар. науч. конф. MicroCAD. Секщя № 5. Моделювання робочих процеав в теплотехнолопчному, енергетичному обладнанш та проблеми енергозбереження. - Харьков, 2016. - С. 246.

4. Карымсаков У.Т., Абилдабекова Д.Д., Иисова А.М. Конструктивно-метрический способ получения профиля лопаток турбин [Электронный ресурс]. - URL: http://www.rusnauka.com/22_PNR_2013/ Tecnic/3_143290.doc.htm (дата обращения: 18.04.2017).

5. Никифоров П.В. Получение кривой теоретического профиля Жуковского для создания 3D-мо-дели поверхности крыла [Электронный ресурс]. - URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/62 (дата обращения: 18.04.2017).

6. Конопацький £.В. Геометричне моделювання алгебрашних кривих та !х використання при конструюванш поверхонь у точковому численш Балюби-Найдиша: дис. ... канд. техн. наук. - Ме-лiтополь, 2012. - 163 с.

7. Балюба И.Г. Конструктивная геометрия многообразий в точечном исчислении: дис. ... д-ра техн. наук. - Макеевка, 1995. - 227 с.

8. Найдыш В.М., Балюба И.Г., Верещага В.М. Алгебра БН-исчисления // Прикладна геометрiя та шженерна графжа: мiжвiдом. наук.-техн. зб. - Кшв: КНУБА, 2012. - Вип. 90. - С. 210-215.

9. Балюба И.Г., Найдыш В.М. Точечное исчисление: учеб. пособие / под ред. В.М. Верещаги. -Мелитополь: Изд-во МГПУ им. Б. Хмельницкого, 2015. - 236 с.

10. Точечное исчисление - математический аппарат параллельных вычислений для решения задач математического и компьютерного моделирования геометрических форм. / И.Г. Балюба, В.И. Полищук, Б.Ф. Горягин [та шшЦ // Моделирование - 2008: материалы Междунар. науч. конф., 14-16 мая 2008 р., г. Киев / Ин-т проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины. - Киев, 2008. - Т. 2. -С. 286-290.

11. Точечное исчисление геометрических форм и его место в ряду других существующих исчислений / И.Г. Балюба, Б.Ф. Горягин, Т.П. Малютина [и др.] // Комп'ютерно-штегроваш технологи: освгга, наука, виробництво. - Луцьк, 2011. - № 6. - С. 24-29.

12. Конопацький £.В., Старченко Ж.В. Крии третього порядку, як крит одного вщношення // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. - Мелгтополь, 2011. - Вип. 4, т. 51. - С.111-115.

13. Кованцов М.1. Проективна геометрiя. - Кшв: Вища шк., 1969. - 410 с.

14. Попова Л.С., Синицына О.В. Построение плоского обвода второго порядка с помощью инженерного дискриминанта // Наука - производство - технологии - экология: сб. материалов всерос. ежегод. науч.-техн. конф.: в 7 т. Т. 4. ФАМ, ФСА / ВятГУ. - Киров, 2008. - С. 321-323.

15. Конопацький £.В., Полщук В.1. Побудова просторово! дуги криво! третього порядку // Вюник ДонНАБА. Матерiали VIII Мiжнар. наук. конф. молодих вчених, асшранлв i студенлв. - Макивка, 2009. - Вип. 2009-5(79), т. 2. - С. 169-172.

16. Конопацкий Е.В. Особенности параметризации геометрических объектов в БН-исчислении // Научная дискуссия: вопросы технических наук. № 8-9(11): сб. ст. по материалам XIII-XIV Междунар. заоч. науч.-практ. конф. - М.: Изд-во Междунар. центра образования и науки, 2013. - С. 12-16.

17. Давыденко И.П. Конструирование поверхностей пространственных форм методом подвижного симплекса: дис. . канд. техн. наук. - Макеевка, 2012. - 186 с.

References

1. Vinogradov, L.V. Avtomatizirovannoe proektirovanie lopatok turbin s parabolicheskimi obvodami [Automated design of turbine blades with parabolic contourst]. Izvestiya MGTU, 2013, no. 1 (15), pp. 41-47.

2. Vinogradov L.V., Alekseev A.P., Kostyukov A.V. Profil lopatki turbinyi iz krivyih Bezier [Profile of turbine blade from Bezier curves]. Vestnik RUDN. Seriya: Inzhenernyie issledovaniya, 2013, no. 3, pp. 10-15.

3. Boyko A.V., Usatyiy A.P., Barannik V.S. Metod analiticheskogo postroeniya turbinnyih profiley s pomoschyu kubicheskih interpolyatsionnyih splaynov [The method of analytical construction of turbine profiles using cubic interpolation splines]. Mezhdunarodnaya nauchnaya konferentsiya MicroCAD: Sektsiya №5 -Modelyuvannya robochih protseslv v teplotehnologlchnomu, energetichnomu obladnannI ta problemi energozberezhennya - Harkov: NTU «HPI», 2016, 246 p.

4. Karyimsakov U.T., Abildabekova D.D., Iisova A.M. Konstruktivno-metricheskiy sposob polucheniya profilya lopatok turbin [Structurally-metric method for producing a profile of turbine blades]. URL: http://www.rusnauka.com/22_PNR_2013/Tecnic/3_143290.doc.htm

5. Nikiforov P.V. Poluchenie krivoy teoreticheskogo profilya Zhukovskogo dlya sozdaniya 3D-modeli poverhnosti kryila [Obtaining the curve of the theoretical profile of Zhukovsky for creating a 3D model of the wing surface. URL: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/62/

6. Konopatskiy E.V. Geometrichne modelyuvannya algebraYichnih krivih ta Yih vikoristannya pri konst-ruyuvannI poverhon u tochkovomu chislennI Balyubi-Naydisha [Geometric modeling of algebraic curves and their application in the construction of surfaces in the point number of Balyubi-Naidish]. MelItopol, 2012, 163 p.

7. Balyuba I.G. Konstruktivnaya geometriya mnogoobraziy v tochechnom ischislenii [Constructive geometry of manifolds in pointwise calculus]. Makeevka: MISI, 1995, 227 p.

8. Naydyish V.M., Balyuba I.G., Vereschaga V.M. Algebra BN-ischisleniya [Algebra of BN-calculus]. Prikladna geometrlya ta Inzhenerna graflka: MIzhvIdomchiy naukovo-tehnlchniy zblrnik. K.: KNUBA, 2012, no. 90, pp. 210-215.

9. Balyuba I.G., Naydyish V.M. Tochechnoe ischislenie. Uchebnoe posobie [Point Calculus. Tutorial]. Melitopol: MGPU im. B. Hmelnitskogo, 2015, 236 p.

10. Balyuba I.G., Polischuk V.I., Goryagin B.F. Tochechnoe ischislenie - matematicheskiy apparat paral-lelnyih vyichisleniy dlya resheniya zadach matematicheskogo i kompyuternogo modelirovaniya geometricheskih form [Point calculation. Mathematical apparatus of parallel computations for solving problems of mathematical and computer modeling of geometric forms]. Modelirovanie - 2008. Materialyi Mezhdunarodnoy nauchnoy kon-ferentsii. Kiev, Institut problem modelirovaniya v energetike im. G.E. Puhova NAN Ukrainyi, 2008, vol. 2, pp. 286-290.

11. Balyuba I.G., Goryagin B.F., Malyutina T.P. Tochechnoe ischislenie geometricheskih form i ego mesto v ryadu drugih suschestvuyuschih ischisleniy [Spot calculus of geometric shapes and its place among the other existing estimates]. Kompyuterno-IntegrovanI tehnologIYi: osvIta, nauka, virobnitstvo. Lutsk: LNTU, 2011, no. 6, pp. 24-29.

12. Konopatskiy E.V., Starchenko Zh.V. KrivI tretogo poryadku, yak krivI odnogo vIdnoshennya [Curves of the third order, as curves of one relation]. Prikladna geometrIya ta Inzhenerna grafIka. Melitopol: TDATU, 2011, no. 4, vol. 51, pp. 111-115.

13. Kovantsov M.I. Proektivna geometrIya [Projective geometry]. KiYiv: Vischa shkola, 1969, 410 p.

14. Popova L.S., Sinitsyina O.V. Postroenie ploskogo obvoda vtorogo poryadka s pomoschyu inzhener-nogo diskriminanta [The construction of a plane contour of the second order with the help of an engineering discriminant]. Nauka - proizvodstvo - tehnologii - ekologiya: vseross. ezhegod. nauch.-tehn. konf. Sb. materialov v 7 t. FAM, FSA / VyatGU. Kirov, 2008, vol. 4, pp. 321-323.

15. Konopatskiy E.V., PolIschuk V.I. Pobudova prostorovoYi dugi krivoYi tretogo poryadku [Construction of the spatial arc of the third order curve]. VIsnik DonNABA. MaterIali VIII MIzhnarodnoYi naukovoYi kon-ferentsIYi molodih vchenih, aspIrantIv I studentIv. Makiyivka: DonNABA, 2009, no. 2009-5(79), vol. 2, pp.169-172.

16. Konopatskiy, E.V. Osobennosti parametrizatsii geometricheskih obektov v BN-ischislenii [Features of parametrization of geometric objects in BN-calculus]. Nauchnaya diskussiya: voprosyi tehnicheskih nauk: sbornik statey po materialam XIII-XIV mezhdunarodnoy zaochnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Moscow: Izd. «Mezhdunarodnyiy tsentr obrazovaniya i nauki», 2013, no. 8-9(11), pp. 12-16.

17. Davyidenko I.P. Konstruirovanie poverhnostey prostranstvennyih form metodom podvizhnogo sim-pleksa [The construction of surfaces of spatial forms by the method of a moving simplex]. Abstract of Ph. D. thesis. Makeevka, 2012, 186 p.

Об авторе

Конопацкий Евгений Викторович (Макеевка, Украина) - кандидат технических наук, доцент кафедры «Специализированные информационные технологии и системы» Донбасской национальной академии строительства и архитектуры (286123, Макеевка, ул. Державина, д. 2, e-mail: e.v.konopatskiy@ mail.ru).

About the author

Evgeniy V. Konopatskiy (Makеyеvka, Ukraine) - Ph. D. in Technical Sciences, Associate Professor, Specialized Information Technologies and Systems Department, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture (2, Derzhavin st., Makеyеvka, 286123, e-mail: e.v.konopatskiy@mail.ru).

Получено 16.05.2017