М-ациклические и древовидные гиперграфы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. - М.: Наука, 1984. - 264 с.

1. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с.

2. Атаманов Э.Р., Мамаюсупов М.Ш. Неклассические задачи для псевдопараболических уравнений. - Фрунзе: Илим, 1990. -100 с.

3. Пакиров С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 1994. - Вып. 25. - С. 49-53.

4. Аблабеков Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений. - Бишкек: Илим, 2001. - 180 с.

5. Матанова К.Б. Об одной обратной задаче для псевдопараболического уравнения // Научные труды ОшГУ. - Ош: Редакц.-изд. отдел «Билим», 1999. - Вып. 2. - С. 137-145.

6. Матанова К.Б. О существовании и единственности решения одной обратной задачи // Обратные и некорректные задачи математической физики: Докл. Междунар. конф., посвящ. 75-летию акад. М.М. Лаврентьева, 20-25 авг. 2007 г. - Новосибирск, 2007. - С. 137-145.

7. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000. - 144 с.

8. Асылбеков Т.Д. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений четвертого порядка: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. 01.01.02. - Бишкек, 2002. - 121 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 с.

Поступила 10.02.2010 г.

УДК 519.17

М-АЦИКЛИЧЕСКИЕ И ДРЕВОВИДНЫЕ ГИПЕРГРАФЫ

В.В. Быкова

Институт математики Сибирского федерального университета, г. Красноярск E-mail: bykvalen@mail.ru

Приводится характеризация двух классов гиперграфов: М-ациклических и древовидных. Установлена связь между этими классами: гиперграф М-ацикличен тогда и только тогда, когда двойственный к нему гиперграф является древовидным. Эта связь дает возможность объединить арсенал известных полиномиальных алгоритмов, позволяющих распознавать принадлежность гиперграфа к указанным классам и строить деревья соединений, деревья декомпозиций и деревья реализаций гиперграфа.

Ключевые слова:

Реализация гиперграфа деревом, дерево соединений гиперграфа, древовидная декомпозиция задач дискретной оптимизации, полиномиальные вычисления. Key words:

Tree realization hypergraph, tree compounds hypergraph, tree decomposition of problem discrete optimization, polynomial computations.

Введение

Теория гиперграфов - один из разделов современной дискретной математики, имеющий большое прикладное значение. Данная теория располагает группой задач, не имеющих аналогов в теории графов и являющихся в большинстве своем КР-трудными. К этой группе задач, в частности, относятся задачи поиска для гиперграфа декомпозиций и реализаций с заданными свойствами [ 1 -4]. Необходимость практического решения этих задач в условиях, когда размерность задач велика, ставит вопрос о выделении классов гиперграфов, для которых они полиномиально разрешимы. Такие классы, например, образуют М-ациклические и древовидные гиперграфы.

Класс М-ациклических гиперграфов обладает рядом интересных свойств. Основное из них - это существование для связного М-ациклического гиперграфа дерева соединений. Понятие дерева соединений было введено в работе [4] и использовано там для построения монотонных планов соединений и программ полной редукции реляционных баз данных. Между тем, подобные деревья (их на-

зывают деревьями декомпозиции, деревьями клик) широко употребляют при решении задач дискретной оптимизации методами локальной декомпозиции и динамического программирования [2, 3]. Локальная оптимизация, осуществляемая в соответствии с деревом декомпозиции, дает возможность решать многие КР-трудные задачи дискретного программирования с разреженной матрицей ограничений за полиномиальное время [3].

Древовидный гиперграф - гиперграф, для которого существует реализация деревом. Древовидная реализация относится к минимальным (по числу ребер) реализациям гиперграфа. Необходимость построения минимальных реализаций появляется, в частности, при проектировании интегральных и вакуумных схем [1]. Доказано, что в общем случае задача поиска минимальной реализации является КР-трудной [5], но в классе древовидных гиперграфов она может быть решена за полиномиальное время [6-8]. Для древовидных гиперграфов полиномиально разрешимыми являются также задачи распознавания бихроматичности гиперграфа и реализуемости гиперграфа на пло-

скости [9, 10]. Данная работа посвящена установлению связи между классами М-ациклических и древовидных гиперграфов.

Определение необходимых понятий

Используем терминологию и обозначения, принятые в [7—12]. Пусть задан гиперграф H=(X, V) с конечным множеством вершин X и ребер V. В общем случае V - конечное семейство произвольных подмножеств множества X. При Х=0 и Ц=0, гиперграф Н=(0,0) считается пустым. Пусть Щх) -множество ребер, инцидентных в Н=(Х,Ц) вершине хеХ, а Х(и) - множество всех вершин, инцидентных в Н=(Х, V) ребру и е V. Число | V(х)| определяет степень вершины х, а число Х(и)| - степень ребра и. Элемент гиперграфа степени 0 считают голым, степени 1 - висячим. Два ребра и,уе Vкратные в Н=(Х,Ц), если Х(и)=Х(у). Ребро вложено и в ребро V, когда Х(и)сХ(\). Если |Х(и)|=2 для каждого иеП и в V нет кратных ребер, то Н=(Х,Ц) - обыкновенный граф.

Существуют различные способы задания гиперграфа. Так, произвольный гиперграф Н=(Х, V) однозначно определяется семействами множеств {Х(и)/иеЦ}, {Ц(х)/хеХ}. Если Х={х1,х2,...,х„}, и>1 и Ц={и1,и2,...,ии}, т>1, то («,т)-гиперграф Н=(Х,Ц) однозначно описывается матрицей инциденций А(Н)={а6}, где а^=1 при х;бХ(и;) и а=0 при х^Х(и) (/=1,2,...,и; у=1,2,...,т).

Гиперграф Н*=(Х*, V*) с матрицей инциденций А(Н*), полученной транспонированием матрицы инциденций А(Н) гиперграфа Н=(Х,Ц), называется двойственным гиперграфом для Н. Гиперграф Н* полностью сохраняет отношения смежности и инцидентности между элементами гиперграфа Н. Оттого он наследует все его свойства, основанные на этих отношениях, и однозначно определяет Н.

Универсальным способом задания гиперграфа является кенигово представление. Кенигово представление гиперграфа Н=(Х,Ц) - это обыкновенный двудольный граф К(Н), отражающий отношение инцидентности различных элементов гиперграфа, с множеством вершин ХиП и долями Х, V. Очевидно, что К(Н)=К(Н*). Многие структурные свойства гиперграфа определяются через одноименные свойства кенигова представления. Так, гиперграф Н считается связным, если связен граф К(Н).

Частично структурные особенности гиперграфа Н=(Х, V) описывают ассоциирование с ним обыкновенные графы Ц(2)(Н) и Ь(Н). Граф Ц(2)(Н) представляет отношение смежности вершин, а граф Ц(Н) - отношение смежности ребер гиперграфа Н. Граф Ь(Н)=(и,Е) считают помеченным, если всякому его ребру {и;,и;}еЕ поставлена в соответствие метка - множество/=Х(и,)пХ(и)Ф0. Число / рассматривают как вес ребра {и;,и;}. Граф Ь(Н), для каждого ребра {и;,и;} которого указан вес /=Х(и)пХ(и)1 называют взвешенным реберным графом гиперграфа Н.

Среди множества структурных свойств гиперграфов различают симметричные и двойственные

свойства. Свойство а симметричное, когда им обладают (не обладают) гиперграфы Н и Н* одновременно. Свойства а и 3 именуют двойственными, если из того, что Нприсуще свойство а, следует, что Н* удовлетворяет свойству 3, и наоборот, когда Н отвечает свойству 3, то Н* удовлетворяет свойству а.

Обозначим через Н класс всех непустых связных гиперграфов. Далее будем рассматривать гиперграфы только из этого класса. В этих условия: если Н=(Х,Ц)еН, то Н*=(Х*,Ц*)бН; Н=(Х,Ц) и Н*=(Х*,и*) не содержат голых элементов; Ц(2)(Н), ЦН), Ц(2)(Н*), ЦН*) - связные графы.

Характеризация М-ациклических гиперграфов

Определение М-ациклического гиперграфа основано на понятии бесхордового цикла. Традиционно цикл гиперграфа Я определяют через простой цикл кенигова представления К(Н) [7, 11]. Здесь употребляется иная трактовка данного понятия [4, 12]. Пусть задан (и,т)-гиперграф Н=(Х,Ц) и некоторая последовательность его ребер Р=(иъи2,...,иьит), 3<к<т. Используя обозначение /=Х(и;)пХ(ит), /=1,2,...,к, эту последовательность можно представить как Р=(и1/1,и2/ь...,ик/к,ик+1). Последовательность Р задает в гиперграфе Н М-цикл (цикл по Д. Мейеру [4]) длины к, если:

• и1,и2,...,ик+1 - различные ребра гиперграфа Н (различные как элементы семейства V, при этом не исключено наличие среди них кратных и вложенных ребер);

• каждые два соседних ребра в Р смежные, т. е. /Ф0 для любого /=1,2,...,к;

• /Ф/+ для всякого /=1,2,...,к;

• и=ши //

Если все множества /х/2,.../к попарно различные, то Р - простой М-цикл гиперграфа Н. М-цикл Р=(и1,/1,и2,/2,...,ик,/к,ик+1) считается бесхордовым, если для любой тройки множеств //>/. (1<а<Ь<с<к) из Р в гиперграфе Я нет ребра и такого, что /аи/Ьч/ссХ(и). Когда хотя бы для одной тройки/// (1<а<Ь<с<к) такое ребро и существует в Н (и играет роль «хорды» и не обязательно принадлежит Р), то Р - хордовый М-цикл гиперграфа Н. Любопытно, что бесхордовый М-цикл всегда простой. Гиперграф Н, не содержащий бесхордовых М-циклов, называется М-ациклическим [4, 12]. Понятно, что если гиперграф М-ацикли-чен, то он либо вообще не содержит М-циклов, либо все его М-циклы хордовые. Наличие бесхордового цикла приводит к М-цикличности гиперграфа.

Всякий обыкновенный граф без циклов М-аци-кличен, а с циклами - М-цикличен. Действительно, в каждом простом цикле графа для произвольной тройки множеств/а/ь/ (1<а<Ь<с<к) обязательно | /аи/ьи/1=3. Между тем, всякое ребро графа содержит только две вершины. Таким образом, М-ацикличность не является прямым обобщением теоретико-графового понятия «хордальность», хотя имеется некоторая аналогия. Напомним, что

обыкновенный граф называется хордальным, если всякий его цикл длиной к>4 обладает «хордой» -ребром, соединяющим две несмежные вершины этого цикла [7].

Заметим, что свойство М-ацикличности несимметрично: двойственный гиперграф Н*=(Х,и) обладает или не обладает свойством М-ациклично-сти независимо от того, является ли М-ацикличе-ским соответствующий ему гиперграф Н=(Х,и). Это легко устанавливается с помощью специально подобранных примеров.

М-ацикличность гарантирует для гиперграфа многие желательные структурные свойства. Наиболее важные из них - это успешное завершение алгоритма Грэхема и существование дерева соединений. Этот факт констатирует теорема 1.

Теорема 1 [4]. Для произвольного (п,т)-гипер-графа Н=(Х, и) еН следующие высказывания эквивалентны:

1) Нявляется М-ациклическим гиперграфом;

2) алгоритм Грэхема завершается успешно;

3) для Нсуществует дерево соединений;

4) дерево соединений гиперграфа Н - остовное

дерево наибольшего веса взвешенного реберного графа Ь(Н).

Алгоритм Грэхема [4] - элиминационная схема последовательного применения к гиперграфу операций: СУВ - слабое удаление голых и висячих вершин (без удаления ребер, которые им инцидентны); СУР - слабое удаление кратных, вложенных ребер (без удаления вершин, которые им инцидентны). Обозначим через гвё(Н) гиперграф, полученный в результате применения алгоритма Грэхема к гиперграфу Н. Говорят, что алгоритм Грэхема для Н завершается успешно, если гвё(Н)=(0,0). Предположим, что шаг алгоритма сводится к выполнению одной операции СУВ или СУР. Поскольку на каждом шаге исходный гиперграф Н теряет часть своих элементов, поэтому число шагов алгоритма конечно. Показано [4], что алгоритм Грэхема всегда приводит к одному и тому же гиперграфу гвё(Н) вне зависимости от порядка и числа удаляемых элементов на каждом шаге. Кроме того, операции СУВ и СУР сохраняют связность гиперграфа. Все это свидетельствует о рекурсивном характере алгоритма Грэхема и наследственности свойства М-ацикличности относительно операций СУВ и СУР (все гиперграфы, полученные из М-ациклического гиперграфа путем применения к нему этих операций также М-ацикличны).

Алгоритм Грэхема прост в реализации и имеет полиномиальную временную сложность. В самом деле, наибольшее число шагов алгоритма возникает в случае, когда операции СУВ и СУР устраняют только один элемент гиперграфа. Учитывая, что трудоемкость одного шага составляет 0(пт2), то для выполнения алгоритма Грэхема в худшем случае достаточно 0[пт2(т+п)] условных единиц времени. Таким образом, эквивалентность высказываний 1) и 2) теоремы 1 дает полиномиальный способ проверки М-ацикличности гиперграфа.

Эквивалентность высказываний 1) и 3) теоремы 1 устанавливает полиномиально проверяемое необходимое и достаточное условие существования дерева соединений: для гиперграфа Н=(Х, и) е Н дерево соединений существует тогда и только тогда, когда гиперграф Н является М-ациклическим. Приведем определение дерева соединений [4]. Пусть Ь(Н)=(и,Е) - реберный граф гиперграфа Н=(Х,и)еНи хеХ. Цепь Р=(и„и++1,...,и) графа ЦН), следующая из вершины и в вершину и, называется х-цепью, если хеХ(и,),хеХ(ит),...,хеХ(и). Пусть Т]оЫ(Н) - остовное дерево графа Ц(Н)=(и,Е). Дерево Т]оЫ(Н) называется деревом соединений гиперграфа Н, если для всякой пары и„щеи и любого хеХ(и)гХ(и)ф0 в Т]оЫ(Н) существует х-цепь, ведущая из и1 в и. Эквивалентность высказываний 1) и 4) теоремы 1 указывает полиномиальный способ нахождения дерева соединений с помощью известных теоретико-графовых алгоритмов построения максимального (минимального) остова графа [7].

В качестве примера рассмотрим гиперграф Низ работы [7. С. 310]. Процесс применения к нему алгоритма Грэхема приведен на рис. 1. Алгоритм завершается успешно, поскольку кё(Н)=(0,0). Значит, данный гиперграф М-ацикличен.

Единственный М-цикл Р=(и3/35,и5/54,и4/43,и3) гиперграфа Н является хордовым, т. к. /з5Ч/54Ч/4з={х4}^{х4,х5}и{х4,х8}={х4,х5,х8}=Х(и4). Этот цикл легко обнаруживается в реберном графе Ц(Н), изображенном на рис. 2. Остов наибольшего веса графа Ц(Н) определяет дерево соединений Т^Н), ребра которого на рис. 2 отмечены пунктиром. Это одно из трех возможных деревьев соединений.

Теорема 2 [9]. Гиперграф Н=(Х,и)еН М-аци-кличен тогда и только тогда, когда он комплектный, а граф Ц(2)(Н) хордальный.

Данная теорема характеризует М-ацикличе-ский гиперграф Н через структурные особенности ассоциированных с ним графов Ц(2)(Н) и Ь(Н). Проанализируем вначале свойство комплектности. Гиперграф Н=(Х, и) называют комплектным, если для любого УеХ, порождающего в Ц(2)(Н) полный подграф, в Н существует ребро иси такое, что УсХ(и) [11]. Очевидно, что всякий комплектный гиперграф не содержит голых вершин. Свойство комплектности двойственно по отношению к свойству условию Хелли. Этот факт доказан в работе [11]. Говорят, что гиперграф Н=(Х,и) обладает свойством Хелли, если для любого подсемейства его попарно смежных ребер иси существует по крайне мере одна общая вершина, инцидентная каждому ребру из и'. Так, гиперграф Н, рис. 1, комплектный и отвечает условию Хелли (следовательно, Н* также комплектный).

Напомним некоторые теоретико-графовые понятия, которые употребляются далее. Пусть задан обыкновенный граф О=(У,Е). Кликой графа О называют подмножество СсУ, в котором любые две вершины смежные, т. е. порожденный подграф О(С) полный. Клика максимальная, если она не содержится ни в какой другой клике. Граф клик -

Рис. 1. a) Исходный гиперграф H. Процесс применения к H алгоритма Грэхема: Ь) результат СУВ х, х2, xз, х6, x9; с) результат СУР и, ц, и5; d) результат СУВ x5, х7; е) результат СУР и3; д) результат СУВ х4, х8

>..........Л

Рис. 2. Взвешенный реберный граф 1(Н) гиперграфа Н с рис. 1

граф пересечений всех максимальных клик графа О (две вершины смежны в графе клик тогда и только тогда, когда соответствующие им максимальные клики имеют непустое пересечение). Дерево клик - остовной подграф графа клик, являющийся деревом и удовлетворяющий надлежащему условию: для любых его двух клик С;,С и всякой клики Ск, лежащей на пути из С1 в С выполняется включение СпС/оСк [7].

На рис. 3 изображен граф Ь{2](И) смежности вершин гиперграфа Н с рис. 1. Граф клик для Ь{1)(И) представлен на рис. 4. Этот граф с точностью до нумерации совпадает с реберным графом Ь(Н) (рис. 2). Заметим, сам гиперграф Нпри этом не содержит кратных и вложенных ребер.

Л^б Ху

Рис. 3. Граф 1а)(Н) смежности вершин гиперграфа Н с рис. 1

Рис. 4. Граф клик для 1а

Утверждение 1. Если (и,т)-гиперграф Н=(Х, Ц)1Н комплектен и в нем нет кратных и вложенных ребер, то граф клик для Ь{1)(Н) изоморфен реберному графу Ь(Н). В общем случае (при наличии кратных и вложенных ребер) имеет место изоморфное вложение графа клик в Ь(Н).

Доказательство. Справедливость первой части утверждения вытекает непосредственно из определения комплектности гиперграфа: когда Нкомплек-тен и в нем нет кратных и вложенных ребер, то каждой максимальной клике С1 графа Ь{2](Н) соответствует точно одна вершина ц реберного графа Ь(Н) и С=Х(и), 1</<т. Если теперь в гиперграф Н=(Х,и) вставить дополнительное ребро ц такое, что Х(ы])оХ(и)) и ц е и, то это не приведет к изменению

графа клик для Ь(2)(Н), а только добавит в Ь(Н) дополнительную вершину, соответствующую ребру и.

Рассмотрим гиперграф Н*, двойственный к гиперграфу Н с рис. 1 Данный гиперграф комплектный (рис. 5). В нем имеются кратные и вложенные ребра: и(х3)си(х7), и(х1)=и(х2)=и(х6)си(х7), и(х,)сР(х4), Ц(х5)сР(х4), и(х,)сР(х4), и(х9)си(х5). Реберный граф Ь(Н*) гиперграфа Н* изображен на рис. 6. Остовное дерево наибольшего веса графа Ь(Н*) задает дерево соединений гиперграфа Н*. Ребра одного из них на рис. 6 выделены пунктиром.

Рис. 5. Гиперграф двойственный к гиперграфу H с рис. 1

миально проверяемое свойство гиперграфа;

• граф клик для Ь(2)(Н) содержит дерево клик, которое строится как остовное дерево наибольшего веса графа клик [14];

• задача распознавания хордальности любого графа полиномиально разрешима [14]. Это верно, в частности, и для Ь(2)(Н). Утверждение 2. Если в М-ациклическом гиперграфе Н=(Х, Ц)Ш нет кратных и вложенных ребер, то его дерево соединений изоморфно некоторому дереву клик для Ь(2)(Н). В общем случае (при наличии кратных и вложенных ребер) имеет место изоморфное вложение, т. е. для любого дерева клик графа Ь(2)(Н) всегда найдется дерево соединений, в которое оно изоморфно вложено.

Справедливость данного утверждения следует из хордальности Ь(2)(Н) и эквивалентности определений дерева соединений гиперграфа Н и дерева клик для Ь(2)(Н). Утверждение 2 учитывает, что для гиперграфа может существовать несколько различных деревьев соединений, точно также как и для графа клик - несколько различных деревьев клик.

Характеризация древовидных гиперграфов

Пусть задан гиперграф Н=(Х,и)Ш.. Древовидной реализацией (реализацией деревом) гипергра-

Рис.

Взвешенный реберный граф L(H*) гиперграфа H*

Граф Ь(2)(Н*) смежности вершин гиперграфа Н* (рис. 7) содержит только две максимальные клики С1={и1,и2,и3|, С2={и3,и4,и5}, которые отвечают в Ь(Н*) вершинам х7,х4 соответственно. Таким образом, здесь наблюдается изоморфное вложение графа клик в реберный граф гиперграфа.

Щ и2 Щ

Рис. 7. Граф L2)(H*) смежности вершин гиперграфа H*

Второе требование теоремы 2 - хордальность графа Ь(2)(Н) - определяет еще ряд важных характеристик:

• Ь(2)(Н)=(Х,Е) имеет самое большое |Х|=и максимальных клик, и все они могут быть найдены за полиномиальное время [13]. Значит, когда граф Ь(2)(Н) хордальный, комплектность - полино-

фа Н считают любой ациклический связный граф Гга,;(Н)=(Х,Е) с множеством вершин X и с множеством ребер Е, удовлетворяющим условиям [6, 7]:

• всякое ребро е={х1,х2} еЕ содержится в некотором ребре иеи гиперграфа Н;

• для любого ребра иеПподграф Тш(и), порожденный множеством Х(и), является связным. Гиперграф, для которого существует реализация

деревом, называют древовидным. Необходимые и достаточные условия существования древовидно-сти устанавливает следующая теорема.

Теорема 3 [6,7]. Для гиперграфа Н=(Х, и) еH существует древовидная реализация тогда и только тогда, когда Н=(Х, и) удовлетворяет свойству Хел-ли, а реберный граф Ь(Н) хордальный.

Выясним связь между М-ацикличностью и дре-вовидностью гиперграфа.

Утверждение 3. Для произвольного гиперграфа Н=(Х, и) и двойственного к нему гиперграфа Н* =(Х, и*) справедливы равенства: Ь(2)(Н)=Ь(Н*), Ь(Н)=Ь(2)(Н*).

Доказательство. Множества вершин в графах Ь(2)(Н)=(Х,Е) и Ь(Н*)=(Х,Е*) совпадают. Таким об-

разом, доказательство соотношения L(2)(H)=L(H*) сводится к установлению равенства множеств E=E*. В самом деле, пусть {x,y}eE. По определению вершины x,y eX смежные в L(2)(H), если H имеет ребро ие Uтакое, что x,yeX(u). Это означает, что ребро u инцидентно в H вершинам x,y, т. е. ие U(x) и ueU(y). Отсюда ueU(x)nU(y)^0. Значит, L(H*) содержит ребро {x,y}eE* и EcE*. Докажем теперь обратное включение. По определению графа L(H*) для произвольного ребра {x,y}cE* верно U(x)nU(y)^0. Тогда для любого ие U(x)nU(y)^0 выполняются отношения принадлежности: xeX(u), yeX(u). Итак, {x,y}eE и E*cE. Следовательно, E=E*. Равенство L(H)=L(2)(H*) двойственно равенству L(2)(H)=L(H*). Таким образом, утверждение 3 доказано.

Справедливость утверждения 3 иллюстрируют рис. 2, 3, 6, 7.

Поскольку комплектность и свойство Хелли -двойственные свойства гиперграфов, то с учетом утверждения 3 верна следующая формулировка теоремы 3.

Теорема 4. Гиперграф H=(X,U)eH допускает древовидную реализацию тогда и только тогда, когда двойственный к нему гиперграф H*=(X*,U*) комплектный, а граф L(2)(H*) хордальный.

В такой формулировке критерий существования древовидной реализации (п,т)-гиперграфа легко проверяется с помощью алгоритма Грэхема с временной сложностью O[nm2(m+n)]. Из теорем 2-4 вытекает двойственность свойств М-ациклич-ности и древовидности.

Теорема 5. Гиперграф H=(X, U) eH M-ацикличен тогда и только тогда, когда двойственный к нему гиперграф H*=(X*,U*) является древовидным.

Утверждение 4. Пусть гиперграф H=(X,U)eH и двойственный к нему гиперграф H*=(X*,U*) древовидный. Тогда всякое дерево соединений Tph(H) гиперграфа H является древовидной реализацией гиперграфа H*, и наоборот, любая древовидная реализация TJH*) гиперграфа H* - дерево соединений для H.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Батищев Д.И., Старостин Н.В., Филимонов А.В. Многоуровневая декомпозиция гиперграфовых структур // Информационные технологии. Приложение. - 2008. - № 5. - С. 1-31.

2. Журавлев Ю.А., Лосев Г.Ф. Окрестности в задачах дискретной математики // Кибернетика и системный анализ. - 1995. -№2. - С. 32-41.

3. Щербина О.А. Древовидная декомпозиция и задачи дискретной оптимизации (обзор) // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 4. - С. 102-118.

4. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. - М.: Мир, 1987. - 608 с.

5. Азаренок А.С., Сарванов В.И. Экстремальные реализации гиперграфов // Доклады АН БССР. - 1986. - Т. 30. - № 10. -С. 887-889.

6. Левин А.Г. О построении минимальных реализаций гиперграфов // Дискретная математика. - 1990. - Т. 2. - Вып. 3. - С. 102-114.

7. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 384 с.

8. Мельников О.И. Реализации гиперграфа деревьями минимального диаметра // Дискретная математика. - 1997. - Т. 9. -Вып. 4. - С. 91-97.

Доказательство. По теоремам 1, 5 гиперграф H является М-ациклическим и для него существует дерево соединений Tjo!n(H). Покажем, что Tjok(H) - древовидная реализация для H*. Граф Tjoh(H) - остовное дерево графа L(H). По утверждению 3 L(H)=L(2)(H*), поэтому Tjoh(H) - остовное дерево графа L(2)(H*). Рассмотрим произвольное ребро {u,v} дерева Tjoh(H). Для него, как ребра графа L(H), X(u)nX(v)^0. Тогда в гиперграфе H* существует ребро xeX(u)rX(v) такое, что ue U(x) и ve U(x). Следовательно, ребро {u,v} дерева Tjoh(H) содержится в ребре x гиперграфа H*. Теперь выберем в H* произвольное ребро x. Пусть Tjon(x) - подграф дерева соединений Tjoh(H), порожденный множеством U(x). Этот граф всегда связен, т. е. любые две его вершины u,ve U(x) соединены цепью. Действительно, по определению дерева соединений в Tjoin(H) существует x-цепь P, ведущая из u в v. Поскольку P является x-цепью, то P полностью лежит в TjcJx). Все требования, заданные в определении древовидной реализации, выполнены. Значит, Tjoh(H)=Trai(H*). Аналогичным образом доказывается и обратное высказывание утверждения 4.

Данное утверждение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством различных деревьев соединений гиперграфа H и множеством различных древовидных реализаций двойственного гиперграфа H*.

Заключение

На основании доказанных выше теоремы 5 и утверждений 1-4 можно сформулировать основной результат настоящей работы: М-ацикличность и древовидность - двойственные свойства гиперграфа, при этом всякое дерево соединений гиперграфа служит древовидной реализацией для двойственного гиперграфа и наоборот. Это результат позволяет применять полиномиальный алгоритм Грэхема для поиска древовидных реализаций гиперграфа, точно также использовать для нахождения деревьев соединений все известные эффективные алгоритмы построения древовидных реализаций [5-8].

9. Быкова В.В. Полиномиальные достаточные условия бихрома-тичности гиперграфа // Вестник КрасГУ. Серия физ.-мат. науки. - 2006. - № 7. - С. 98-106.

10. Быкова В.В. Полиномиальные достаточные условия реализуемости гиперграфа на плоскости // Известия Томского политехнического университета. - 2009. - Т. 314. - № 2. - С. 15-20.

11. Зыков А. А. Гиперграфы // Успехи математических наук. -1974.- Т. 29. - Вып. 6. - С. 89-154.

12. Быкова В.В., Куприянова Т.В. Сравнительный анализ M-аци-клических и комплектных гиперграфов // Проблемы оптимизации и экономические приложения: Тезисы докл. Междунар. конф. - Омск: Омск. гос. ун-т, 1997. - С. 31.

13. Dirac G.A. On rigid circuit graphs // Anh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1961. - № 25. - P. 71-76.

14. Shibata Y. On the tree representation chordal graphs // J. Graph Theory. - 1988. - № 12. - P. 421-428.

Поступила 01.02.2010г.