Деформирование блока пород, ослабленного трещиной

- © В.Е. Мирснков, A.A. Красновский, 2013

УДК 622.831:539.3

В.Е. Миренков, A.A. Красновский

ДЕФОРМИРОВАНИЕ БЛОКА ПОРОД, ОСЛАБЛЕННОГО ТРЕЩИНОЙ*

Рассмотрена задача расклинивания блока пород, ослабленного трещиной, выходящей на границу. Получены>1 сингулярны>1е интегральны>1е уравнения по определению нормальны>1х и касательны>х напряжений на продолжении разреза, моделирующего трещину. Обсуждаются результатыы численного счета.

Ключевые слова: блок пород, трещина, берега, напряжения, смещения, сингулярные уравнения, граница, контакт, расклинивание.

Численный эксперимент при рассмотрении сложных задач приобрел в настоящее время практически равные права с традиционным физическим экспериментом. Среди достаточно общих численных методов нужно отметить такие как: вариационный метод, метод конечного элемента, разностные методы, метод разделения переменных, метод интегральных преобразований. При всей важности и определенной эффективности таких подходов им присущи разного рода недостатки, значительно ограничивающие области их эффективного применения. Значительные успехи, достигнутые в применении численных методов к решению задач для конечных областей, не снимают проблему разработки эффективных методик, сочетающих строгость аналитических методов и мощь современных вычислительны машин. Верно и обратное, эти методики и полученные с их помощью результаты важны для развитии численных методов, так как позволяют создать наборы специальных тестов для отладки и подтверждения достоверности алгоритмов и программ, основанных на численных методах. Свои нюансы, связанные с точностью решения, имеются всегда и при любой численной реализации.

В механике разрушения интересно проследить за процессом деформирования при разделении целого на неравные части. Предлагается рассматривать расклинивание блока пород с трещиной, выходящей на границу, на несимметричные части. Этот случай принципиально отличается от случая разделения тела на равные части, так как необходимо учитывать еще и касательные напряжения, возникающие на продолжении разреза. Известные аналитические подходы при исследовании тел с трещинами [1—4] предполагают простейший вариант поведения напряжений на продолжении разреза — условие равенства нулю касательных напряжений, т.е. т = 0 .

Рассмотрим расчетную схему, приведенную на рис. 1. Составляющие блок пород части О1 и О2 ограничены, соответственно, контурами

г1 = г11 + г12 + г13 + г14и г2 = г21 + г22 + г23 + г24 . ВеЛИЧИHЫ,

имеющие размерность длины, отнесены к характерной длине О1 + О 2 , а раз-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-05-00133).

мерность напряжении к характерной величине расклинивающих напряжении. Возникает проблема связать все четыре компоненты нормальных и касательных напряжении и смещении, отвечающих всем трем основным задачам единоИ системоИ уравнении, которая в общем случае имеет вид [5]

Д/0) + 2М/0) = 1 | /(/),+ 2^(/) еН,

t - ^

е-- \ (/ + 2д %1' t-1

/ - 2цд(^) = - | П1 г

1 г к/) - 2 ц g(t) ^ 1

t-и

где к , / — механические характеристики материала; g = и + 1 и ; и, и — компоненты смещении границы рассматриваемои области в направлении осеи X и у , соответственно;

М = /¡(Хп + ¡Уп) с1з= Яе(/ + Ит(/,

Хп , Уп — усилия на Г = Г1, 1 = 1, 2 в направлении осеи X и у ; te Г = Г1 , 1 = 1, 2 , ^ — аффикс точки границы; черточка над функциеи обозначает комплексно сопряженное значение; 1 — мнимая единица.

Граничные условия задачи сформулируем в виде стх(у) = сто (у) , т = 0 на Г 12 и Г24 для И < у< И;

ст х

ст п = Т п = 0 на г1 - г12 и г2 - Г24

Г,4

-а г 0 Г

1 11 1 21

ь

Рис. 1. Расчетная схема блока пород с трещиной

Здесь ст п , т п — нормальные и касательные напряжения на границе. Решение задачи (1) - (3) однозначно определяет компоненты смещении на границе области II/ = 11/х + //2 , которые вычисляются аналогично тому, как это сделано в [3].

Основнои интерес представляют компоненты смещении и напряжении на продолжении разреза, которые непрерывны при переходе из области в //2 для 0 < у< И . Рассмотрим части и /2 по отдельности и для общеи части контуров Г12 и Г24 выпишем, исходя из (1) — (3) компоненты смещении в виде

U2— = k-Tf2.(y)+k+l В'—¡j——ÎT+LSSfS

0 s2+(h- —)2 a —+—2 J 2

h - (s- —)2 J U4¿ - 2¿s- —U1A(S -f[1 - (h- —)2 J Ll3(s) + 2¿h- —)U!3(sS

-2a¡----5-ds-h- — ¡ ----5-ds

0 [a2 + (s- —)2 ] 2 0 [S2 + (h- —)2 ] 2

k-1 k+1 hff2l(sS j , 1 f 0 ull(s , h u14(s) »

u:2 — ^ f22— ^¡—т— ^MlT— dS- fâT—— dS-

-a

tu > г Цз(5 0 2—UiS + (S2 - y2 Щ -(h-— | lU—f'- У¡a-———-dS+

h 2is- —U4— + [a2 - (s-—]„(— 7 2—h- —)^з(—1 - [S2 - (h- —2 Ju (1

+2a¡---5-—— ds-ih- — ¡---5-—— ds

0 [a2 + (s- —2 ] 2 0 [S2 + (h- —2 J 2

где 0 < y < h ;

u —=h-Hf —+h+l ri—s+l{-u^— b U22(l ds-

u24(—) 4ц /24l(y) + 4ц \s- - n — + y2d+ [0 [2 + (s- у2'

- (h- —i* U3(l 2ds —- —^Ui1¡(1 —

b12 +(h- —)2 0 [s2 + y2 J 2

[r - (s- y)2 J U2S + 21s-—u22(1 0 [1 - (h- —)2 ] U23S + 21\-—l(1

-2[----5-ds-h- — ¡ ----5-1

J [r + (s- —)2 J 2 [ [S2 + (h- —)2 J 2

h

+

0

k-1 k+1 0j ¡I [ UiS , ^ U22(l) ,

u24(— = kimff2(^ - ki^i ^dl+ dS+ —F dS-

h

0

-(h-—r 2 u1 2dS- —[2—^ +(—2-—)U21(^ ds+ b12 +(h- —)2 0 [s2 + y2 J 2

2[\2[s- —L21 -[* - (S- — Ju22(^ 1s-(\ ^^ ds

J [[ + (s- y)2 J 2 [ [S2 + (h- —)2 J 2 _

где 0 < y < h.

+

0

В силу непрерывности компонент смещении при переходе из 1 в 2 через отрезок X = 0, 0 < у < Ь2, т.е.

и12(у) = и24(у), и12(у) = и24(у), 0 < у< Ь , из (4) и (5) получим

к+ 1ЬШ

2ц 0 5- у

1 /Кс*= у/а $

5 + у2 +у

44

и2(1

ск+

+Ь-у)

/ и35 1+ /

1 5 + (Ь- у2 у + (Ь-у

-с

+у

5 + у2 0 в + (1- у 1 [5+у2 ] 2

* [1+у ] 2 5

0 -

- 2а\----2-с5+

Ь + (5- у2 ] 2

пЬЬ - (5- у ] и2(5 + 25(5- уи22(5

+2Щ----2-с5+ (Ь- у

0 [в + (5- ] 2

||[52 - (Ь- у2 ] и13(55+25(Ь-уив(5 *

/ [5 - (Ь-у2 ] ¿у! + 25(Ь-у ^3(5 с5+

[5 + (Ь-у2 ] '

[5 + (Ь- у2 ] '

к+1,4(5

2ц 0 5- у

, 0 ^,(5 , и22(5 Ь и2(5

в + (5- у)2 {а + (5- у;

•с5+

+

0 и23(5 С- ~Г и23(5

+ (Ь-у2 /52 + (Ь-у2

с

+ у

в2уяи1(5+(55 -у2)и21(55 * \0 [52 + у2 ] 2 "

02у541(5)+(5 - уХ(5 *

-' [5 + у2 ] 2 _

»2Ц5--[в -(5-у2]и22(5 *+

\0 [в + (5- ] 2 5+

02(5- +[\ -(5- у2]и12(5 ^ ^

+2\----2-— с5+ (Ь- у

Ь [а2 + (5- у2 ] 2

о25Ь--[5! -(Ь-у2] (5

\---2-—-*5-

в [5 + (Ь-у2 ] 2

-\25(Ь-уч3(5-[5 -(Ь-у2]и (5 -\---2—^— *5

0 [5 + (Ь-у2 ] 2

20 40 60 30 100 120 N

Рис. 2. Деформирование части блока пород с трещиной

2000

1000

2 ¡лги

-1000

/

f

200

100

2p2v

-100

20 ¿10 60 SO 100 120

[ \

ß { Г

Г

20 40 60 SO 100 120

Reif 2)

к

\

г?

Im

-5

20 40 60 SO 100 120

20 40 60 SO 100 120

Рис. 3. Деформирование части /, 2 блока пород с трещиной

/

W

N

Система (6) связывает искомые действительные (ЯвГ ) и мнимые () значения /(у) на продолжении разреза (0 < у< Ь2) через компоненты смещений на Г1 - Г12 , Г2 - Г24 , т.е. на части периметра // вне разреза. Не будем дифференцировать полученные из (6) значения

так как теряется точность вычисления Хп = ст х (у) и Уп = т (у) при численном дифференцировании (2).

Продифференцировав уравнения (6) по у, получим

где Е[(у) , Е1(у) — соответственно, правые части уравнений (6).

Таким образом, исходная задача о деформировании блока пород с трещиной (рис. 1) сводится к решению системы (1), (3) для всего блока пород, т.е. определяются компоненты смещений контура в целом. Для вычисления функций / и /2 используется система (6), а для нахождения нормальных и касательных напряжений на участке х = 0, 0 < у < Л2 необходимо воспользоваться системой (7).

На рис. 2 представлены значения компонент смещений, а также действительных и мнимых частей функции /у) для части блока пород один (рис. 1). Смещения для части два иллюстрирует рис. 3. В расчетах принималось к = 2.077, ц = 1.923 • 105, И= 6, Д = 5, И2 = 2, а = 1, ст0 = 1. Кривые на рис. 2-3 отвечают случаям: 0 - Ь = а; 1 - Ь = 0.6а; 2 - Ь = 0.25а; 3 - Ь = 0.125. Границы Г1 и Г2 развернуты в прямую линию так, чтоГ11(Г21) отвечают точки от 1 до 11, Г12 (Г22) — от 11 до 41, Г13 (Г23) — от 41 до 51, Г14 (Г24) — от 51 до 130. Уменьшение величины " Ь " приводит к росту компонент смещений.

Как следует из рис. 2, нормальные и касательные напряжения стх(у) , т(у) на продолжении разреза имеют перемену знака. Существенно, что координата обращения напряжений ст х(у) , т(у) в ноль, с уменьшением величины " Ь " растет, приближаясь к вершине трещины. При этом наблюдается высокая концентрация растягивающих напряжений в окрестности вершины, приближаясь к критической, после чего, для данной геометрии образца и граничных условий, происходит рост трещины.

/21 (у) = Ке /, /22(у =1т /, 0 < у < Д

Используя результаты, представленные на рис. 2—3, и граничные условия (3) можно полностью определить правые части уравнений (7). Обратить уравнения (7), относительно стх(у) , т(у) , согласно [6] невозможно. Учитывая, что наибольший интерес представляет аналитическое нахождение напряжений в окрестности вершины, то метод определения их сводится к следующему. Разбиваем интегралы в левых частях (6) на два — от нуля до значений у и у2 (координаты обращения в ноль ст х и т) и от у и у2 до

Ь2. Оставляя эти последние интегралы слева, перенесем первые в левые части так, что к /¡"(у) и /(у) добавятся, соответственно, известные величины А1(у) и Л2(у) .

Окончательно получим

к+11 б

2ц у 5- у бу

к+1) т(5 , б

/у + - к

2ц / 5-у

_ N

1 б5=-бу[(у + А2(у] = Л2.

2ц ¿5- у бу Вот теперь, следуя [6], обратим уравнение (8), получим

к+1 ст

к+1 т(у) _ У/ - у(у-у1) ) N(5 б5

2ц п ч/(//-55(5-у:) 5-у'

при выполнении условий

_бу_о, / , л2

у >/

Если условия (10) не выполняются, то решение для стх и т имеет корневую особенность при у _ // .

Таким образом, получены уравнения, допускающие численную реализацию по определению компонент напряжений и смещений всюду на границе блока пород и внутри на продолжении трещины. Это позволяет использовать как силовой так и деформационный критерии для определения момента страгивания трещины. Условность всех таких критериев очевидна, если посмотреть на кривую 3 (рис. 2, 3). Действительно, смещения достигают больших величин в окрестности приложения внешней нагрузки и очень неустойчивы к любому возмущению в перпендикулярном плоскости ху направлении. Это приводит к периодическому процессу перекачки энергии, подводимой к участку // < у < /, и колебанию образца в целом или более неустойчивой его части (рис. 1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баренблатт Г.И., Христианович С. А. Об обрушении кровли при горнык выработках // Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 11. — с. 73—86.

2. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом // Изв. АН СССР, ОТН. — 1942 — № 7—8. с. 13—28.

3. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В, Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения // М.: Изд-во Московского университета. — 1989. — 140 с.

4. НотДж. Ф. Основы механики разрушения // М.: Металлургия. — 1978. — 250 с.

5. Красновский А.А., Миренков В.Е., Шутов В.А. К вопросу о разрушении блоков пород // ФТПРПИ. — Новосибирск: Наука — 2006. — № 2. — с. 10—17.

6. МусхелишвилиН.И. Сингулярные интегральные уравнения // М.: Наука. — 1967. — 607 с. ГТТГТ^

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Миренков В.Е. — доктор технических наук, главный научный сотрудник, mirenkov@misd.nsc.ru,

Красновский А.А. — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт горного дела СО РАН.

А

ГОРНАЯ КНИГА

Уголь мира. Том II. Уголь Америки

Б.М. Воробьев 2012 г. 486 с.

ISBN: 978-5-98672-171-2 UDK: 622.33

Настоящее издание — том II монографического сериала «Уголь Мира», в котором рассмотрены вопросы, связанные с добычей, переработкой и использованием угля в странах Западного полушария. Описаны состояние и перспективы развития угольной промышленности стран Северной и Южной Америки. Освещены технические, экономические, экологические и социальные проблемы угледобычи и углепользования. Уделено внимание ресурсной базе угольной промышленности, охране окружающей среды в связи с добыней и использованием угля, а также международной торговле углем. Представлены новые концепции углеэнергетических предприятий будущего на базе чистых угольных технологий.

Для широкого круга научных и практических работников, студентов, слушателей и аспирантов, интересующихся проблемами угольной промышленности и углеэнергетики.