Двухшаговый подход к решению проблемы построения адекватной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка

38 (374) - 2009

Банковский менеджмент

двухшаговый подход к решению проблемы построения адекватной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка

Л.Ю. МОРОЗОВ, аспирант кафедры информационных систем и математических методов в экономике Пермский государственный университет

В статье дан обзор существующих математических моделей оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка. Основной целью работы является построение адекватной модели управления финансовыми ресурсами банка, которая бы позволила получить оптимальное решение вне зависимости от периода моделирования. Другой целью статьи является иллюстрация практической полезности и применимость разрабатываемой модели на практике.

Ключевые слова: двухэтапная модель, математическое программирование, оптимальное управление, финансовый портфель коммерческого банка.

Существующие оптимизационные банковские модели можно классифицировать по следующим признакам [1]:

• степень общности модели;

• состав управляемых переменных;

• наличие случайных характеристик;

• вид целевой функции;

• учет времени (динамичности). Оптимизационные модели по степени общности можно условно разделить на два типа: частные и полные. Полные модели отображают функционирование банка в целом (учитываются оба аспекта деятельности банка: привлечение и размещение), при этом они сильнее обобщены. Частные модели описывают конкретную сферу деятельности банка (либо привлечение, либо размещение средств).

Наиболее известными работами, относящимися к построению и описанию полных моделей, относятся публикации таких авторов, как И. Ф. Цисарь и др. [10], И. Л. Меркурьев и др. [8], M. A. Klein [13], C. W. Sealy [15]. Также следует назвать диссертации Н. Ю. Монаховой [6] и Т. В. Карабановой [5]. Наиболее наглядно полная модель представлена в работе А. С. Козлова [5]:

(A, PA) - (П, Pn) ^ max,

4

9 > Ъ, q = 1,2,..., NH, Mq(A;П) q'* ' ' '

(A, E&m a ) = (П, Edim n), A > 0, П > 0,

где A — переменные, характеризующие остатки активов; П — остатки пассивов; РА и РП — процентные ставки активов и пассивов; Lq и Mq — линейные функции для вычисления q-го норматива (предполагается, что аргументами являются либо активы, либо пассивы, а для некоторых нормативов знаменатель обращается в единицу); bq — значение q-го норматива; NH — число нормативных ограничений; E — единичный вектор; (.,.) — скалярное произведение.

Большинство полных моделей значительно агрегировано и тем или иным образом упрощено. Причиной упрощения является значительное чис-

ло переменных и ограничении в случае реализации полной прикладной задачи. Таким образом, полные модели представляют, скорее, теоретический интерес, а не инструментарий для выработки практических рекомендаций. Например, в указанной модели А. С. Козлова [5] не учитывается динамика.

Частные модели лишены недостатка, заключающегося в упрощении моделей. Рассмотрение какого-то одного аспекта деятельности или одного вида активов и пассивов позволяет создавать высокоточную модель — вплоть до уровня конкретных сделок, однако не позволяет учесть взаимосвязь активов и пассивов друг с другом и некоторые их общие характеристики (прибыль, нормативы деятельности и пр.).

Среди частных моделей можно выделить следующие:

• модель управления кредитным портфелем

[9];

• модель управления портфелем облигаций [5];

• модель управления резервами денежной наличности [1];

• модель управления портфелем активов;

• модель управления пассивами.

Так, например, в работе М. В. Антонова [1] предлагается модель распределения кредитных ресурсов между конкретными проектами следующего вида:

n n

(1 + rxkpkbk ^ max, (1 + r)^ xko2k ^ min,

k=i Xk k=i Xk

pkRk > bk (1 + r), (1 + r)xkpkbk > (1 + i)B,

k=1 i где r — процентная ставка по кредитам; k — номер

кредитуемого проекта; xk — управление, заключающееся в решении о кредитовании проекта (xk=1) или отказе от выдачи кредита (xk =0); pk и <з2к — соответственно вероятность и дисперсия успешной реализации проекта; bk — объем кредита, необходимый для реализации k-го проекта; Rk — величина отдачи от проекта; i — процентная ставка по депозитам; B — совокупный объем депозитов.

Модели управления портфелем активов исходят из предположения о малой управляемости рынка депозитов. В таких моделях (см., например, статью М. В. Антонова и А. Б. Поманского [2]) депозитные составляющие являются экзогенными. Внимание концентрируется на оптимизации структуры активов.

В моделях управления пассивами, наоборот, экзогенными являются величины, характеризующие активную сферу банка. Исследования концентрируются на рынке депозитов. В результате в таких

моделях исследования тяготеют к теории издержек как части наиболее общей теории фирмы.

Ситуация с экзогенными процентными ставками соответствует совершенной конкуренции и является некоторой идеализацией, но в условиях усиливающейся банковской конкуренции все в большей мере соответствует действительности. Данный подход применяется в большинстве моделей, например, в модели И. Ф. Цисаря [10], С. М. Гуриева и И. Г. Поспелова [3], S. P. Bradley и D. B. Crane [11].

В других случаях предполагается, что банк имеет возможность оказывать влияние на ставки привлечения/размещения. Такая ситуация возможна в условиях несовершенной конкуренции, когда банк в той или иной мере обладает монопольным контролем над рынком. В этом случае объемы моделируются как функции спроса и предложения в зависимости от процентных ставок. Данный подход значительно усложняет модель, привносит нелинейность и требует применения более сложных методов, поэтому используется в основном в моделях теоретического характера, позволяющих записать решение в явном виде.

В некоторых моделях присутствует комбинированное управление: ставки — по одним видам финансовых инструментов, объемы — по другим. Так, например, в модели C. Sealy [15] управляемыми величинами являются ставка по депозитам и объем кредитов, при этом ставка по кредитам считается заданной, а объем депозитов рассматривается как функция ставки.

Важным классифицирующим признаком моделей является наличие или отсутствие в них случайных характеристик. Стохастичность является одной из тех характеристик, которые затрудняют управление финансовыми ресурсами банка, однако для решения данной проблемы выработаны определенные подходы. В частности, возможно построение стохастической оптимизационной модели, в которой учитываются вероятностные характеристики ситуации риска, либо построение оптимизационной модели с детерминированными аналогами вероятностных характеристик, образованными на основе моментов.

Большинство известных моделей относится ко второму случаю, так как детерминированные аналоги позволяют избежать усложнения математического аппарата. В качестве детерминированных аналогов используются математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение.

В ряде исследований рассматриваются стохастические модели. Как правило, это частные модели,

описывающие отдельные аспекты деятельности, например кредитование [4], управление резервами наличности, портфелем ценных бумаг и др., но существуют и отдельные разработки в области полных моделей. Например, в работе С. М. Гуриева, И. Г. Поспелова [3] рассматривается полная модель банка, где случайной величиной считается чистый приход средств по выдаче и возврату кредитов с процентами. В силу сложности математического аппарата данная модель и другие подобные модели используются в основном для описания общих закономерностей управления финансовыми ресурсами банка.

Среди стохастических оптимизационных моделей следует также выделить класс моделей стохастического программирования, описанных в иностранной литературе [14]. В указанном подходе предлагается проблему неопределенности параметров модели решать посредством построения дерева решений или разбиения последовательности принятия решения на отдельные шаги (создания рекурсивных конструкций).

Если говорить о многокритериальности, то несколько целевых функций учитываются, как правило, путем их свертки в общую скалярную функцию. Например, в указанной модели И. Л. Меркурьева и др. [8] данная функция записывается в следующем виде:

Ф(x) = (x) + А2ф2 (x) + А3ф3 (x) ^ max,

xeX

где Ар Aj, A3 — весовые коэффициенты, задаваемые экспертно (А123 > 0);

ф1(х), ф2(х), ф3(х) — частные целевые функции многокритериальной модели (в качестве частных критериев этих функций могут выступать, например, максимизация прибыли за определенный промежуток времени, величина собственного капитала и пр.).

По учету времени банковские модели делятся на статические и динамические. Динамичность является одной из наиболее существенных системных характеристик управления финансовыми ресурсами банка. В силу сложности динамических моделей и методов их исследования в некоторых случаях используются статические модели.

Статические модели описывают состояние банка в фиксированный момент времени. Эти модели нередко используются для микроэкономического моделирования — определения условий равновесия в банковском секторе, анализа воздействия инструментов денежно-кредитной политики на структуру активов и обязательств и т. д. Примеры таких моделей представлены в работе П. В. Конюховского [7].

Динамические модели описывают состояния банка в разные моменты времени. Динамические оптимизационные банковские модели можно дополнительно классифицировать по следующим признакам:

• по способу исчисления времени;

• по моделированию сроков операций.

По способу исчисления времени динамические модели делятся на модели с дискретным временем и модели с непрерывным временем.

Модели с дискретным временем (см., например, модели С. М. Гуриева и И. Г. Поспелова [3], И. Л. Меркурьева и др. [8], А. П. Колчанова [7]) имеют более широкое распространение, что обусловлено наличием естественных с точки зрения постановки дискретных интервалов (шагов) моделирования и более простым и доступным для реализации математическим аппаратом, чем для моделей с непрерывным временем.

Одной из наиболее полных и подробных динамических оптимизационных моделей является упомянутая ранее модель И. Л. Меркурьева и др. [8]. Данная модель достаточно подробно и адекватно описывает предметную область, однако обладает одним существенным недостатком — значительной размерностью. В моделях с дискретным временем величина каждого ресурса в отдельный момент времени описывается отдельной переменной, а каждое поточечное ограничение — отдельным ограничением. Учитывая, что количество ограничений находится примерно в линейной зависимости от числа переменных, размерность таких моделей увеличивается пропорционально квадрату числа дискретных шагов.

Для моделей с непрерывным временем ограничены возможности математического аппарата: стандартные методы применимы, как правило, к моделям со скалярными величинами и возможностью записи решения в явном виде. В связи с этим известные модели используются в основном для описания общих закономерностей поведения банка.

Важной характеристикой динамических банковских моделей является моделирование сроков привлечения и размещения средств. Их моделирование в значительной мере определяет адекватность модели, но усложняет модель и затрудняет ее исследование. В связи с этим в некоторых моделях сроки операций не учитываются. Игнорирование сроков активов и пассивов упрощает модель, но снижает ее адекватность, из-за чего возможно получение неоптимального решения. В частности, если сроки не моделируются, то не учитывается разница в процентных ставках ресурсов на разные сроки,

которая может быть весьма ощутимой. Кроме того, указанный подход не учитывает возможные ограничения спроса и предложения ресурсов с разными сроками, и при его реализации необходимый объем ресурсов может оказаться недоступным.

Сложность происходящих в банке процессов требует для адекватного их описания использования разнородных математических конструкций, моделирующих взаимосвязь активных и пассивных операций, статистических методов для прогноза стохастических величин. Таким образом, решение данной проблемы может состоять в двухэтапном подходе к построению оптимизационной банковской модели. Такой подход должен позволить в рамках каждого этапа моделирования использовать лишь однородные математические конструкции, что позволит облегчить исследования указанных моделей. Кроме того, наличие первого этапа моделирования позволит, во-первых, сформулировать полную оптимизационную модель банка, в качестве критерия оптимальности которой будет выступать стратегия банка. Второй этап моделирования позволит создать частные динамические оптимизационные модели отдельных аспектов деятельности банка, критериями оптимальности которых будут выступать частные краткосрочные цели банка, согласующиеся со стратегией развития финансового учреждения, выработанной моделью, полученной в ходе реализации первого этапа.

Таким образом, известные решения задачи оптимального управления банковским портфелем сопряжены с определенными недостатками. Условия справедливости многих существующих моделей слишком узки, и, как следствие, модели находят ограниченное применение на практике. Указанная ограниченность или узость связана с тем, что трудно построить качественную оптимизационную модель, позволяющую одновременно учитывать как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка. В существующих моделях достижение оптимального состояния обеспечивается, как правило, на некотором ограниченном и изначально определенном временном отрезке.

В связи с этим необходимо разработать подходы, позволяющие учитывать цели банка, относящиеся к разным моментам времени в будущем, потому что модель может быть полноценно применена на практике управления только при условии соблюдения и достижения организацией стратегических планов и ориентиров. С другой стороны, чисто «стратегические» модели оптимального управления, дающие рекомендации по

структуре банковского портфеля в долгосрочной перспективе, не позволяют ее пользователям получить ответы на вопросы текущего, тактического оптимального управления.

Для решения поставленной проблемы предлагается двухшаговый подход к моделированию процесса управления банковским портфелем. Такой подход позволяет в рамках каждого шага или этапа моделирования использовать лишь однородные математические конструкции. На первом шаге (этапе) строится полная оптимизационная модель банка, в качестве критерия оптимальности которой выступает стратегия банка. На втором шаге (этапе) моделирования создаются частные динамические оптимизационные модели отдельных аспектов деятельности банка, критериями оптимальности которых выступают частные краткосрочные цели банка, согласующиеся со стратегией развития банка, выработанной на первом этапе.

Пусть поставлена задача оптимального управления банковским портфелем.

Если для решения поставленной задачи воспользоваться моделью следующего вида:

T

£ X(t)T • U (t) ^ max,

" t=0

X (t) e ^(t), t = 0,1,..., T,

где X (t) — вектор-столбец управляемых переменных, но управление задается в модели в каждый момент времени t; U(t) — вектор-столбец параметров в каждый момент времени t; А (t) — множество допустимых значений X(t). При данной модели возникают проблемы, связанные с тем, что все без исключения пассивы являются условно управляемыми величинами (повлиять на которые банк может только косвенно, через тарифы и процентные ставки, окончательное же решение о размещении средств в банке принимают предприятия или физические лица), а портфель активов, в свою очередь, состоит как из управляемых, так и из условно управляемых активов (к условно управляемой части активов относятся кредиты и прочие кредитные продукты, к управляемой части относятся, например, ликвидные ценные бумаги, деньги на кор. счетах других банков (величины управляемых активов банк меняет самостоятельно, по своему волевому решению). Таким образом, решив задачу математического программирования указанного типа, руководство банка не сможет действовать в соответствии с полученным решением, поскольку не сможет полноправно управлять условно управляемыми величинами. Ведь строгое управление

банком пассивами невозможно (оно зависит от желаний контрагентов банка), возможно лишь задание общей структуры и определенных ориентиров привлечения средств (посредством лимитов, тарифов и процентных ставок). То же самое можно сказать и про условно управляемые активы — на практике неизменно возникнут отклонения от директив, выработанных моделью второго уровня.

Если воспользоваться моделью представленного далее вида, то руководство банка не получит рекомендаций относительно конкретных управленческих воздействий.

YT • U ^ max Y е A,

где Y — вектор-столбец неизвестных управляемых переменных; U — вектор-столбец параметров; А — множество допустимых значений Y(существенной чертой моделей указанного вида является отсутствие в них в явном виде временного параметра).

Предлагается следующее:

1) разбить портфель активов на две части: условно управляемую и управляемую;

2) на основе укрупненных группировок активов и пассивов построить модель первого типа (стратегическую);

2) построить модель второго типа (тактическую) , где в качестве управляемых переменных будут выступать только управляемые активы. Величины условно управляемых активов и пассивов войдут в модель второго уровня в виде экзогенных данных и будут получены на основе решения стратегической модели.

В результате построения указанной двухуровневой модели множество допустимых значений задачи математического программирования, к которой сводится модель второго уровня, будет ограничено оптимальным распределением портфеля активов, полученным в результате решения модели первого уровня, т. е. совокупные величины управляемых активов будут равны тем значениям, которые будут получены в результате решения первой задачи. Это достигается посредством использования в балансовых ограничениях (ограничениях, обеспечивающих равенство банковских активов и пассивов) обеих задач одних и тех же величин. Для связи моделей разных уровней используются величины оптимального объема кредитов и депозитов, полученные после решения задачи линейного программирования первого этапа принятия решений. Модель первого уровня соответствует долгосрочной цели банка, выражает его общую линию поведения, стратегию.

Модель второго уровня будет являться моделью оптимального распределения управляемых активов коммерческого банка. Как уже отмечалось, только на одном временном промежутке (заранее определенном руководством банка) прибыль, полученная от управляемых активов, будет максимальной. Вместе с тем любое решение модели второго уровня будет соответствовать тому оптимальному распределению совокупных банковских активов и пассивов, которые получены в результате реализации модели первого уровня.

Модель первого уровня

Задача заключается в следующем: определить при заданных показателях стоимостей активов и пассивов, известных обменных курсах иностранных валют и заданной динамике изменения этих курсов такую структуру баланса коммерческого банка, которая позволит приносить максимум процентной прибыли.

Целевая функция имеет вид:

11X j • V j • d -Ц Y,k • U,,k • dt ^ max,

iel jeJ iel keK

где Xj и Yk — искомые величины, соответственно, активов и пассивов; индекс i характеризует валюту и принадлежит множеству I; индексы j и k отражают, соответственно, определенный вид актива или обязательства (области значений индексов: j е J, k е K); Vti — значения стоимости активов; UiJ — показатели стоимости пассивов; d — динамика изменения курсов иностранных валют по отношению к рублю и представляет собой темп годового прироста курса валюты (выражается в тех же единицах, что и V s, Ut j).

Можно выделить четыре основных типа ограничений указанной модели:

• ограничения на рыночный и кредитный риск;

• ограничения объемного характера (связаны с ограниченностью отдельных управляемых величин в силу ограниченности спроса и предложения);

• балансовое ограничение (специфическое ограничение моделей оптимального управления банковским портфелем, выражающееся в требовании равенства актива пассиву);

• ограничения ликвидности (связаны с соблюдением банком определенной ликвидности своих активов);

• ограничения по соотношению активов и пассивов в разных валютах (обусловлены ограничением валютного риска).

Рассмотрим подробнее типы ограничений.

Ограничения на рыночный и кредитный риск. Для включения в модель учета рыночного и кредитного риска предлагается предварительно рассчитать соответствующие уровни риска. Уровень кредитного и рыночного риска может быть получен на основе исторических данных по величине резервов и VAR-оценок соответствующих групп активов. Действительно, если банк регулярно производит расчет VAR по своему портфелю активов, то для каждого момента времени в прошлом могут быть определены доли указанных VAR в соответствующих активах. Аналогичным образом могут быть рассчитаны доли созданных резервов по активам к величинам этих активов. Для включения полученных величин в модель предлагается либо их усреднять, либо вычислять иным способом, например, методом скользящей средней или же вычислением уровня, соответствующего заданной квантили. Поскольку методология VAR предполагает нормальный закон распределения потерь, то распределение VAR также будет иметь нормальный закон распределения в силу закона больших чисел.

Таким образом, ограничение на кредитный и рыночный риск будет выглядеть следующим образом:

IIXy • (risku + varu) <RISK, i e I, j e J,

iel jeJ

где riski j — ожидаемые потери по соответствующему виду актива; vartj — VAR-оценки активов; RISK — приемлемый уровень риска, вычисляемый в процентах от портфеля активов.

Ограничения объемного характера. Ограничения на емкость рынка заемных средств имеют вид:

X. j < SPROSX , i e I,j e J,;

l J l, j 7 ^ 1 7

Y.k < SPROSY,, i e I, k e K,,

i,k i,k' ' 1'

где SPROSXj — предельно возможные величины отдельных групп активов или пассивов в силу ограниченности спроса на соответствующие активы или пассивы либо в силу ограниченности емкости соответствующих рынков. Указанные ограничения могут возникнуть также по причине технологической невозможности банка «обслужить» большее значение активов или пассивов. Следует заметить также, что выше для искомых величин записаны лишь ограничения сверху. Однако, очевидно, что в силу выполняемых коммерческими банками функций полностью прекратить отдельные операции невозможно. Таким образом, будут иметь место и следующие ограничения:

X,> % i e I, j e J 2; Yti> F^i e1 j k e K2.

Балансовое ограничение имеет вид:

IIX,-к-IIУ1Х • к, = 0,

/е/ jеJ /е/ кеК

где к1 — курс г'-й валюты по отношению к рублю; \ — разность между неработающими активами и неоплачиваемыми пассивами.

Ограничения ликвидности. Данный блок ограничений является самым обширным. В настоящее время в литературе существует большое разнообразие подобных ограничений, наиболее часто используемыми при этом являются ограничения, отражающие требование соблюдения обязательных нормативов банка. Следует заметить, что модель первого уровня носит обобщенный характер, в связи с чем полностью отразить в ней требования Инструкции №110-И Банка России невозможно. Поэтому приходится ограничиваться некоторыми вариациями указанных нормативов.

Норматив мгновенной ликвидности имеет

вид:

ЦЦ^ к <1 ,

/е/ кеК /еI

где X, ^ — обозначает неизвестное значение высоколиквидных активов; а/к — обозначает долю пассива к, являющуюся пассивом до востребования; ц — минимальное отношение суммы высоколиквидных активов банка к сумме пассивов банка по счетам до востребования.

Поскольку искомые величины в модели носят обобщенный характер, приходится пассивы до востребования определять с помощью величин а/к, которые в свою очередь могут определяться как экспертно, так и на основе анализа статистических данных.

Норматив текущей ликвидности имеет вид:

фЦ -Р,к <1X+1 х^ +1 хи ,

/е/ кеК /е/ /е/ /е/

где р, к — отражает долю пассивов типа к со сроком погашения в ближайшие 30 дней; у, j — обозначает долю кредитов типау со сроком погашения в ближайшие 30 дней; ф — минимальное отношение суммы ликвидных активов банка к сумме пассивов банка по счетам до востребования и на срок до 30 календарных дней. Индексы УЬ и Ь означают, что активы относятся, соответственно, к очень ликвидным активам (активы «до востребования») и к ликвидным активам (с погашением в ближайшие 30 дней).

Ограничения на валютную позицию. Указанные далее ограничения отражают требования Центрального банка по соблюдению лимитов открытых валютных позиций банка. Ограничения по каждой иностранной валюте, отличной от рубля, имеют вид:

-Рог <1 Х„-1< Рог,/е /.

jеJ кеК

Ограничения на балансирующую позицию (в рублях) имеют вид:

-Poz < S S Xj К - X Z Yk • К < Poz,

iel.i*Ip ieJ ieI,i^Ip keK

' p j ' p

где Poz — лимит открытых валютных позиций; I — означает рубли во множестве всех валют I.

Как уже отмечалось, модель первого уровня решает проблему определения оптимальной структуры банковского портфеля при создании определенного «сценария». Под сценарием понимается прежде всего стоимостные характеристики активов и пассивов, а также прочие величины, являющиеся экзогенными в модели первого уровня.

Решив описанную задачу для каждого сценария, мы получим следующие показатели, необходимые для дальнейшего моделирования:

— оптимальные величины укрупненных групп активов, сформированных по признаку ликвидности и управляемости;

— оптимальные величины укрупненных групп пассивов.

Можно сказать, что с помощью модели первого уровня вырабатывается общая линия поведения — стратегия развития банка. Модель первого уровня служит инструментом для отыскания оптимальной структуры в определенных экономических условиях (при задании конкретного сценария) на промежутке достаточно большой длины. Вторым применением модели является выполнение ею роли некоего промежуточного этапа в более детальном и конкретном моделировании финансовой деятельности банка. Речь идет о получении такой оптимальной структуры активов и пассивов банка, при наличии которой можно будет непосредственно предпринимать конкретные действия. В этом случае данный этап позволит разграничить сопоставимые величины на два отдельных блока. Второй этап моделирования заключается в определении конкретных сроков вложений в активы и в определении срочности и типа ликвидного актива. На первом этапе задаются границы и пределы, на базе которых на втором этапе определяется более точное распределение управляемых активов банка, а также находим управления. Полученные на первом этапе моделирования величины будут являться экзогенными для определения конкретных параметров «управляемых активов» в модели следующего уровня.

На втором этапе руководство банка может в отношении отдельных видов активов как руководствоваться частными динамическими оптимизационными моделями, так и экспертными под-

ходами. Другими словами, если известны целевые ориентиры по портфелю кредитов и ценных бумаг, возникает проблема выбора конкретных проектов или ценных бумаг в рамках заданных ориентиров. Решать указанную проблему можно как с привлечением частных моделей, так и без них.

Модель второго уровня

Рассмотрим модель оптимального управления межбанковскими кредитами и ценными бумагами. При этом заметим, что неизвестные величины, характеризующие портфель ценных бумаг, будут представлены лишь совокупным объемом субпортфелей (частей общего портфеля) ценных бумаг в разных валютах. Решение модели первого уровня дало возможность рассчитать оптимальный объем ценных бумаг в долгосрочной перспективе. Однако для принятия управленческих решений необходимо определить указанный оптимальный объем также и для каждого промежутка времени. Это и позволит определить модель второго уровня.

Важно подчеркнуть, что границы модели второго уровня должны задаваться с помощью величин, полученных в результате решения задачи первого уровня по определению оптимальной структуры активов и пассивов банка. Лишь в этом случае, достигая краткосрочных целей, решения модели второго уровня не будут противоречить решению стратегической модели, а будут его учитывать.

Пусть Т — длина интервала моделирования. Для определенности примем, что «шаг» модели второго уровня (длина интервала [^ — 1,1]) равняется одному месяцу. Обозначим через ХБ1 j к неизвестные величины размещения на межбанковский депозит в валюте i, в период моделирования (шаг) / изменяется от 1 до Т на срок к. ХСБОГ^/ к — величина бумаг ОФЗ, купленных в периоде / и проданных через к периодов (/ изменяется от 0 до Т, к изменяется от 1 до К , при этом К — максимально возможный срок нахождения бумаг в портфеле и изменяется от 1 до Т—/+1), при этом если /=0, то бумаги уже были в портфеле в начальный момент времени, если j + к > Т +1, то бумаги в портфеле остались по истечении промежутка моделирования; ХСБОК^ к — совокупная величина бумаг ГКО, купленных в периоде/ и проданных через к периодов (/ изменяется от 0 до Т, к изменяется от 1 до К); ХСБЕБ , — совокупная величина еврооб-

j 5к

лигаций, купленных в периоде / и проданных через к периодов (/ изменяется от 0 до Т, к изменяется от 1 до К).

Поскольку модель второго уровня является более конкретной, на основе решения которой вырабатываются конкретные управленческие воздействия, постольку указанная модель включает в себя особенности портфеля активов отдельного коммерческого банка. Отметим, что виды активов, представленные в модели, могут быть заменены другими видами активов с несколько измененными характеристиками, более того, в модели второго уровня может быть и иное количество видов управляемых активов. Однако указанные обстоятельства нисколько не уменьшают общность представленных подходов и сделанных выводов.

Введем обозначения для показателей доходности активных инструментов. Для межбанковских депозитов величины БоЪБ1 к — значения в долях доходностей вложений на межбанковский депозит в валюте г в момент у на срок к (соответствующие доходности ХК к). Положим, что у изменяется от 1 до Т, к изменяется от 1 до К , г изменяется от 1 до 3, при этом г=1 соответствует доллару США, г=2 соответствует евро, г=3 соответствует рублю.

Для государственных ценных бумаг величины РЯСБОЕ;, РЯСБОК,, РЯСВЕВ, — значения усредненных цен соответствующих групп этих бумаг, выраженные в долях единицы относительно уровня цен в начальный период времени. Величины ООИСВОЕ,, БОНСБОК,, БОНСБЕВ, — прогнозные величины доходностей к погашению соответствующих субпортфелей ценных бумаг в моменты времени I (выраженных в долях единицы). БоИБ ,, к рассчитывается следующим образом:

БоЪБ^ = ^ • j /(12 -100), где БТик — номинальная ставка в процентах годовых по соответствующему инструменту. При этом, если на срок к ресурсы разместить невозможно, то БоЪБ^ = 0.

Для достижения большей общности модели второго уровня запишем два варианта возможной целевой функции: на максимизацию процентной прибыли за определенный период в будущем и на максимизацию доходности портфеля активов в конце периода оптимизации.

Целевая функция на максимизацию процентной прибыли за определенный период в будущем имеет вид:

111 ((1 + БоИБ ) - du+k - ^) - ХБ^к +

/=1 j=1 к=1

Т-1 Т - ^

+11 ХСВОГк - (PRCБOFj+к - PRCБOFj) +

j=0 к=1

I ХСБОК,к - (РЯСБОК+ к - РЯСБОК]) +

j=0 к=1 Т-1 Т-j

+Ц ХСБЕБ^ - (РЯСБЕБ]+к - й1j+к - j - РЯСБЕБ]).

j=0 к=1

Целевая функция на максимизацию доходности в конце периода имеет вид:

Т К

I I (XCБOFjk - DOHCБOFT+1 - 0,01 +

^=1 к=Т+1-j

ХСБОК^ - БОНСБОКТ+1 - 0,01) +

I I ХД,лк -(БоИЦ^к-12/к + йй,)-4,Т+1 +

/=1 ^^=1 к=Т+1-^^ ТК

+I I ХСБЕБ, к - (БОНСБЕБ++1 - 0,01 + ) - й1Т+1,

j=1 к=Т+1-1

где dd¡ — доходности вложения в соответствующие валюты г, которые введены для сопоставления до-ходностей вложений в разные валюты (при этом соответствует доходности доллара). При построении целевой функции все доходы переводятся в рубли, поэтому необходимо учесть и динамику изменения валютных курсов в будущем. Величины й, 1 аналогичны принятым обозначениям в модели первого уровня и обозначают значение курсов иностранной валюты г к рублю в периоде I (при этом d1t соответствует значениям курса доллара).

Первый тип ограничений касается стыковки по времени или непротиворечивости. Другими словами, нельзя разместить в активы больше средств, чем это позволят сделать ресурсы банка. Запишем сначала соотношения, задающие начальное состояние портфелей ценных бумаг:

К

I XCБOFok = OFZ.

к=1

В указанном выражении OFZ — величина портфеля ОФЗ в начальный момент времени. По ГКО и еврооблигациям ограничения выглядят аналогично.

Далее запишем балансовое ограничение в первом промежутке времени:

IIХБцк -<1 + !ХСБО^

+

к=1

=1 к=1 Т+О

+! ХСБОК1к + I ХСБЕБ1к - =

Т+О

к=1

к=1

= IУНБ,Х - + XCБOF0Л + ХСБОК01

=1

/

+ХСБЕБ0 , - й,, +У ШБТ., - й.,. 0 1 1 1 1 1

к

+

=1

Здесь и далее величины УИВ1, — гашение в момент I размещенных до периода моделирования межбанковских депозитов в валюте i. Для определенности примем, что I при этом изменяется от 1 до T+G. Запишем ограничения на соответствие размещаемых средств располагаемым ресурсам для периодов со 2-го по T+G-ый:

I тт( К, г-1) г

I I ХЦ>(_к,к • +Х ХСБО^-Ьк +

1=1 к=1 к=1

+^ХСБОК,-кк +1ХСБЕБ,-^ • +

k=1

k=1

+ZVHDi,t • +Z NEST. • = i =1 i =1

I K T+G+1-t

= ZZXDit,k • di,( + Z xcbo^,k +

=1 k=1 k =1

T+G+1-t T+G+1-t

+ Z XCBGKtk + Z XCBEBtk • , ; = 2,...,T.

k=1 k =1

Необходимо сразу отметить, что ограничения задаются не только на периоде до T-го интервала, но и за горизонтом расчетов (до T+G). Это необходимо, чтобы не произошло так называемого «обвала» решения за моментом T, когда в соответствии с целевой функцией станет невыгодным вкладывать в ликвидные активы. Как видно из представленного выражения, величина NESTt — та величина, на которую можно нарастить портфель ценных бумаг и депозитов на рынке МБК в период t (на промежутке [t-1,t]). Данная величина вычисляется на основе решения модели первого уровня следующим образом:

NEST; = Z Ж* Со) ±AY,k (; - to),Y*k, SPROSYj ) -

keK

-Z fy(Y,k (to) ±AY,k (; -1 - to), Kk, SPROSYj ) -

ke K

-Z MX, j (to ) ±AX, j (t - to ), X* j, SPROSXi, j ) +

jeJ

+Z MXi,j(to) ±AX,j (t -1 - to),X*j,SPROSXi,j).

je J

В приведенном выражении Xij(to) , Yk(to) имеют аналогичный смысл с величинами, используемыми при записи модели первого уровня, при этом X*j и У*к — обозначают решение модели первого уровня. Множество I — множество используемых при моделировании иностранных валют (в приведенных постановках моделей i принимает следующие значения: «рубль», «доллар», «евро»). Множество J — множество видов актива, оптимизация которых в модели второго уровня не проводится (для представленной задачи

второго уровня / принимает следующие значения: «кредиты», «средства на корреспондентских счетах»). Множество К — множество всех видов пассива, используемых в модели первого уровня (для представленной задачи первого уровня к принимает следующие значения: «депозиты юридических лиц», «вклады физических лиц»). Выражения £х(Х,j(,0) ± АХ.^^(г -г0),Х*;.,8РЯО8Уи) и /у(Т1Л(,о)±АУа(,-,о)Хк, ^РЯОБТ.j) позволя ют задать состояния совокупных величин отдельных активов или пассивов в разбивке по временным интервалам. При этом функции £х и £у являются функциями выбора минимального значения из списка аргументов, в случае если Хи(,0) < Х* j, У к (г0) < У*к, и функциями выбора максимального

значения, если Хи (,0) > Х*j, У,к (,0) > у*к.

Важно отметить, что весь описанный ранее подход для определения кредитного портфеля в каждый момент времени базируется на решении задачи первого этапа. Этот факт, например, не требует наложения дополнительных ограничений на кредитный и рыночный риск. Действительно, любое решение модели второго уровня ограничено той величиной рисков, которая использована при решении модели первого уровня. Наложение же ограничений на рыночный риск для каждого промежутка времени нецелесообразно, поскольку оценки уровня потерь производятся по ретроспективным данным и будут для одинаковых инструментов, относящихся к разным периодам времени в будущем, одинаковы. Оценки же уровня потерь от срочности МБК не зависят.

Ограничения по ликвидности. Очевидно, что ограничения, накладываемые соображениями соблюдения определенной ликвидности активов банка, по своей сути будут идентичны тем, что имели место при записи задачи первого уровня. Однако в силу включения в модель второго уровня параметра времени вид ограничений несколько изменится.

Для упрощения записи введем следующие обозначения: Хи (,) = ХХ и (,0) ± АХ,;. (, - ,0) , Х*., БРКОБУ , j) ,

У, к (,) = ЖУ,к (,0) ± Ау,к (, - ,0) , У *к, ЬРЯОЬУ j).

Поскольку искомые величины в модели носят обобщенный характер, приходится пассивы до востребования определять с помощью величин а.,к, которые в свою очередь могут определяться как экспертно, так и на основе анализа статистических данных.

Норматив текущей ликвидности:

I min

ф-ЕЕYk(t)-ра• du<Е( Е xDu-u +VHD„)• d,t +

ieI keK i=1 j=1

t T+G-j+1 t T+G-j+1

+Е Е XCBOFj,k • DOFj +Е Е XCBGKj k • DGKj + j=0 k=t-j+1 j=0 k=t-j+1 t T+G-j+1

+(Е Е XCBEBjkk • DEBj ) • d,t +

j=0 k=t- j+1

+ЕЕ(t) • Y,-,j • d, t, t = 2 ,...,T + L.

ieI jeJ

Указаноое выражение является адаптацией к модели второго уровня аналогичного выражения, приведенного в модели первого уровня. Таким образом, вышепредставленное неравенство представляет собой требование выполнения норматива Н3 Центрального банка РФ. Величины p.k, y, j и ф определены выше, во второй главе (при этом для j, принимающего значение «средства на корреспондентских счетах» y, j = 1 ). Множество J включает в себя те виды активов, которые в модели 2-го уровня являются экзогенными (средства на корреспондентских счетах, кредиты).

Величины DOFt, DGKt, DEBt — доли торговых субпортфелей ценных бумаг в общих объемах субпортфелей. В модели первого уровня указанные величины имели значение 1/2. Заметим, что ограничения по соблюдению норматива Н3 целесообразно накладывать для периодов времени, начиная со второго. Отметим, что здесь также ограничения задаются не только на периоде до T-го интервала, но и за горизонтом расчетов.

Ограничения на валютную позицию. Выражения, задающие ограничения на валютные вложения (на любом интервале t) выглядят следующим образом. Ограничения на валютную позицию в долларах США:

min(K-1, t-1) K

-Poz < ( Е Xg(t) + Е Е +

jeJj * j\ j * j00 n=0 h=n+1

T+G t T+G+1-n

+ Е VHDu g +Е Е XCBEBn h -

g=t+1 n=0 h=t+1-n

-Е Ylk(t)) • dx t < Poz,t = 2 ,...,T + L.

keK

Индекс j0 означает, что активы относятся к типу «межбанковские депозиты». Индекс j00 означает, что активы относятся к типу «ценные бумаги». Ограничения на валютную позицию в евро записываются аналогично.

Ограничения на балансирующую позицию (в рублях):

- Рог <! I Х„(,) - й,, +

jеJ,^/, ^/» 2 тт( К-1, ;-1) К 2 Т+О

III ХЦ,;-Я,И - + I I УНЦ, ^ - +

/=1 п=0 И=п+1 /=1 g=;+1

; Т+О+1-п

+1 I ХСБЕБ . - й; -

/ 1 / 1 п,и I,;

п=0 И=;+1-п

-II^(0 - й.; < Рог, ; = 2,...,Т +I.

/Ф3 кеК

Следующим этапом в построении модели второго уровня является формирование ограничений, обеспечивающих соответствие модели второго уровня решению модели первого уровня. Для этого необходимо ограничить совокупную величину различных типов активов величинами, полученными в результате решения задачи первого уровня.

Запишем ограничение на совокупную величину межбанковских депозитов:

тп( К-1, ;-1) К Т+О

I I ХБИ + I УНБ, =

/ / !,;-п,н / I,g

п=0 И=п+1 g=;+1

= X* 0,; = Т,...,Т + О, / = 1,2,3.

Ограничения на объем портфеля ценных бумаг в рублях:

; Т+О+1-п ; Т+О+1-п

I I XCБOFnЛ +! I ХСБОКпМ =

п=0 И=;+1-п п=0 И=;+1-п

= хз*,/0, ; = Т,...,Т + О.

Ограничения на объем портфеля ценных бумаг в долларах США:

; Т+О+1-п

I I ХСБЕБпи = Х*/0, ; = Т,...,Т + О.

п=0 И=;+1-п

Кроме того, в модели возможно наложение дополнительных ограничений, задающих конкретные стремления руководства по формированию портфеля активов.

Получив решение модели второго уровня, получим конкретное руководство к действию. Сможем ответить на вопрос: какие ценные бумаги следует покупать, например, через два месяца и в каком объеме? Фактически, на основе полученного решения можно непосредственно формировать задания для соответствующих управлений и отделов банка.

Таким образом, предложенная двухэтапная модель позволяет, с одной стороны, получить оптимальное распределение банковских активов, соответствующее стратегии банка, с другой — получить конкретные управленческие воздействия для достижения какой-то конкретной краткосрочной

цели (получения максимума прибыли на некотором определенном отрезке времени). Таким образом, предложенный подход имеет преимущества и по сравнению с моделями первого уровня (полученное оптимальное решение дополняется управляющими воздействиями), и по сравнению с моделями второго уровня (в предложенной модели вторая модель существует не самостоятельно, а соответствует стратегии банка).

список литературы

1. АнтоновМ. В. Банковские риски и распределение кредитного ресурса: дис. на... канд. экон. наук: 08.00.13. М.: Наука, 1991.

2. Антонов М. В., Поманский А. Б. Рационирование кредитов и алгоритм эффективности распределения заемных средств // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30. Вып. 1. С. 48 - 62.

3. Гуриев С. М, Поспелов И. Г. Модель деятельности банка при отсутствии инфляции и экономического роста // Экономика и математические методы. 1997. Т. 33. Вып. 3. С. 141 - 153.

4. Карабанова Т. В. Построение двухступенчатой оптимизационной модели управления ресурсами банка:. дис. на. канд. экон. наук: 08.00.13. М., 1999.

5. Козлов А. С. Модель нормативного регулирования банковской деятельности // Банковские технологии, 2000. №1. С. 48-51.

6. Конюховский П. В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. СПб.: Питер, 2001.

7. Колчанов А. П. Модель оптимального управления банковским портфелем // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь, ПГТУ. 1999. С. 52 - 56.

8. Меркурьев И. Л., Виноградов Г. В., Алешина И. Ф., Сидоров М. А. Моделирование финансово-экономической деятельности коммерческого банка. М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2000.

9. Монахова Н. Ю. Разработка системы управления ресурсами и структурой баланса коммерческого банка: дис. на. канд. экон. наук: 08.00.13. М., 1998.

10. Цисарь И. Ф, Чистов В. П., Лукьянов А. И. Оптимизация финансовых портфелей банков, страховых компаний, пенсионных фондов. М.: Изд-во «Дело», 1998.

11. Bradley S. P., Crane D. B. Management of commercial bank government security portfolios: An optimization approach under uncertainty // J. of bank research. 1973. V. 4, № 1. P. 18 - 30.

12. Clouse J, Dow J. A computational model of banks' optimal reserve management policy // J. of economic dynamics and control. 2002. V. 26, Is. 11. P. 1787-1814.

13. Klein M. A. Theory of the banking firm // The j. of money, credit and banking. 1971. V. 3, № 2. P. 205 — 218.

14. Li-YongYU,Xiao-DongJI, Shou-Yang W. Stochastic programming models in financial optimization: a survey // AMO — Advanced modeling and optimization. 2003. V. 5. № 1. P. 1 - 26.

15. Sealey C. W. Depozit rate-setting, risk aversion, and the theory of depository financial intermediates // J. of finance. 1980. V. 35, №5. P. 1139 - 1154.

РЕКЛАМНЫЙ БЛОК ТАКОГО РАЗМЕРА ОБОЙДЕТСЯ ВАМ ВСЕГО В 2 950 РУБЛЕЙ!

При неоднократном размещении (или сразу в нескольких журналах Издательства) предусмотрены скидки

(495) 721-85-75, 8-926-523-79-52 popova@fin-izdat.ru