Оценка числа относительных равновесий гравитирующих точечного плоского твердого тела и материальной точки

УДК 531.5

ОЦЕНКА ЧИСЛА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ РАВНОВЕСИЙ ГРАВИТИРУЮЩИХ ТОЧЕЧНОГО ПЛОСКОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

И МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Е. И. Кугушев1, В. И. Никонов2

Рассматривается плоская задача о движении твердого тела с дискретным распределением масс и материальной точки под действием взаимного притяжения. Изучаются стационарные конфигурации такой системы в случае, когда масса точки пренебрежимо мала и тело вращается вокруг своего центра масс с ненулевой угловой скоростью, а также в общем случае взаимного влияния тела и точки. Показывается, что в такой системе всегда есть не менее двух различных положений относительного равновесия.

Ключевые слова: гравитирующие системы, относительные равновесия.

We study the problem of the planar motion of a rigid body with a discrete mass distribution and a material point under the action of mutual attraction. There are exist stationary configurations of the system when the mass of the point is negligible and the body rotates about its center of gravity with a non-zero angular velocity and when the body and the material point are in interaction. It is shown that in such systems there are always at least two different positions of relative equilibrium.

Key words: gravitating systems, relative equilibria.

В работе fl] рассматривалась плоская задача о движении массивного треугольника и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Показано, что в зависимости от константы интеграла площадей, масс в вершинах треугольника и длин его сторон система обладает от двух до шестнадцати различных относительных равновесий с учетом различных симметрий этой механической системы. В настоящей заметке показывается, что наличие относительных равновесий в таких системах носит общий характер. Рассматриваются относительные равновесия плоского твердого тела общего вида с дискретным распределением п точечных масс и материальной точки под действием взаимного притяжения. Показывается, что в общем случае система допускает от двух до п + 1 положений относительного равновесия.

Рассмотрим сначала случай, когда масса точки пренебрежимо мала и сила гравитационного притяжения к ней не влияет на движение твердого тела. Пусть твердое тело Т состоит из набора материальных точек Ai, г = 1,... ,п, с массами ггц, г = 1,... ,п, соответственно. Расстояние между точками полагается постоянным. Тело вращается в своей плоскости вокруг центра масс О с постоянной угловой скоростью со. В плоскости тела движется материальная точка С массы m под действием гравитационного притяжения к Т.

Введем связанную с телом Т прямоугольную декартову систему координат Оху с началом в центре масс. Будем искать положения относительного равновесия точки С в предположении, что движение точки не влияет на движение тела.

Пусть в системе Оху точки А\,..., Ап имеют постоянные координаты (xi,yi),..., (хп, уп) соответственно, а точка С — координаты (х,у). В положении равновесия на точку действуют сила гравитационного притяжения и центробежная сила. Силовая функция имеет вид

п о

тт, ч 7 mrni mUJ , 2 2ч

U(x,y)=UT + Uc = Y,-r, \2 , , =rf + -5~0s +2/ )>

^ V (X - Xi) +КУ- УгУ 1

где Ut — силовая функция ньютоновского тяготения, Uc — силовая функция переносной силы инерции, 7 — гравитационная постоянная. Положения относительного равновесия — это критические точки силовой функции.

Утверждение 1. При со > 0 и п > 1 существует не менее двух различных положений от-

7Г

носительного равновесия точки. Если поворот, вокруг центра, масс О на угол а = —, где q € N;

1 Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushevQkeldysh.ru.

2 Никонов Василий Иванович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikon vQlist.ru.

является симметрией для тела, Т, то существует, не менее <7 + 1 положений относительного равновесия.

Доказательство. Если критических точек силовой функции бесконечное количество, то утверждение доказано. Пусть их число конечно. Обозначим через к\ максимум силовой функции на этих точках.

При (х, у) —> (хг, уг), г = 1,..., п, имеем

иТ —> +оо,

При х2 + у2 —> +оо имеем

0

ис +оо,

Подберем радиус г > 0 таким малым, чтобы на окружностях Бг : (х — Хг)2 + (у — уг)2 = г2, г = 1,... ,п, градиент силовой функции отличался от нуля и был направлен внутрь кругов В^, ограниченных этими окружностями. А радиус К > 0 подберем таким большим, чтобы на окружности ¿>о : х2 + у2 = В2 градиент силовой функции отличался от нуля и был направлен во внешнюю часть круга Во, ограниченного этой окружностью.

Радиус г уменьшим, а радиус К увеличим так, чтобы диски В^ : (х — Хг)2 + (у — уг)2 ^ г2, г = 1,...,п, не пересекались и лежали внутри диска Во : х2 + у2 ^ В2. Тогда множество Ш =

Во \ (В 1 и 1?2 и ... и Вп) — непустое компактное множество. Пусть Л-2 — максимум силовой функции на этом множестве. Уменьшая г и увеличивая К, добьемся выполнимости неравенства Л-2 > Л-1 и положим ко = тах{Л,1, /¿2} + 1-

Для любого к* ^ Л-о неравенство II(х, у) ^ к* определяет некоторую замкнутую область -О^*. Рассмотрим границу области Б^*: Г(_0/1») = {(х,у) : и(х,у) = к*}. На ней и(х,у) > Л-2- Следовательно, граница не содержит критических точек силовой функции и представляет собой гладкую кривую.

Рассмотрим множество И^* \ \¥. По построению в этой области и на ее границе градиент силовой функции не обращается в нуль. Граница этого множества несвязна и состоит из двух непересекающихся замкнутых кривых Г(_0/1») и Тцг, причем на Г^ градиент силовой функции направлен внутрь области И^* а на Г(_0/1») — во внешнюю часть. Следовательно, кривые Г^ и Г(_0/1») диф-феоморфны. Диффеоморфизм устанавливается сдвигом вдоль градиентного потока силовой функции [2].

Граница Тцг множества \¥ представляет собой п + 1 окружность. Следовательно, при к* ^ ко кривая Г(-0^*) также представляет собой семейство из п + 1 гладких кривых, диффеоморфных окружности.

Введем ось О г так, чтобы система координат Охуг была правой тройкой. Пусть Е(х,у,г) = г — и(х,у), тогда gradi? = (—[1х,—иу,1) ф 0. Возьмем произвольное число к > ко и зададим поверхность

^ = {(х,у,г) : Р = г - 11(х,у) = 0,11(х,у) ^ к}.

По построению граница Г(_0/1) не содержит критических точек силовой функции. Поэтому — гладкое многообразие с краем.

Поверхность \г\ = к — II(х,у) кусочно-гладкая. Нарушение гладкости происходит в точках, у которых г = 0. Сгладим эту поверхность в поясе Г2е = {(х, у, г) € Е^, \г\ < е}. Подберем е > 0 так, чтобы любая Г^/, где к € [к — е; к + е], не содержала критических точек. Для € К зададим такую выпуклую неотрицательную гладкую функцию которая при ^ е совпадает с функцией

Подчеркнем, что в поясе Г2е нет критических точек силовой функции.

Двумерное многообразие М2, задаваемое уравнением ь'е(г) = к — 1/(х,у), является гладким компактным связным, но неодносвязным многообразием. Категория Люстерника-Шнирельмана такого многообразия равна трем. Следовательно, произвольная гладкая функция /(ж, у, г) = г, заданная на таком многообразии М2, имеет не менее трех различных критических точек [2]. Ввиду симметричности многообразия М2 относительно плоскости г = 0 число критических точек должно быть четным. Значит, функция / на М2 имеет не менее четырех различных критических точек. Следовательно, в области функция II(х, у) имеет не менее двух различных критических точек. Доказательство первой части утверждения завершено.

дУт

дх

—оо,

дУт

ду

—оо.

дУт

дх

дУс _

дх

0,

+оо,

дУт

ду дУс ду

0,

+оо.

Пусть теперь тело Т допускает симметричный поворот вокруг центра масс на угол a = ir/q, q € N. Поскольку две найденные выше критические точки различны, то при повороте как минимум одна точка также повернется и перейдет в новое положение относительного равновесия. Поэтому положений относительного равновесия будет не менее q + 1.

Следствие. Если точки твердого тела имеют одинаковые массы и расположены в вершинах равностороннего п-уголъника, то точка С имеет как минимум п + 1 положений отмосителъного равновесия.

Утверждение 2. При со = 0 и п > 1 существует, по крайней мере, одно положение равновесия.

Доказательство. Пусть ГГ(Р) = {(х,у) : (хр — х)2 + (ур — у)2 = г2} — окружность с центром в точке Р = (Хр,ур) и радиусом г.

Подберем г = г i так, чтобы вектор gradf/|w=o в каждой точке окружности r¿ = Tri(Ai) был направлен внутрь замкнутого круга ограниченного окружностью r¿, i = 1 ,...,п. Для центра масс О тела подберем радиус г = го настолько большим, чтобы вектор gradf/|w=o в каждой точке окружности Го = Гго(0) был направлен внутрь области, ограниченной Го, и все круги Di, г = 1,... ,п, лежали внутри замкнутого круга Do, ограниченного окружностью Го- Поскольку функция и\ш=о непрерывна во всех точках, за исключением притягивающих центров, то числа го, Т\,..., гп существуют.

Рассмотрим область D = Do \ (D\ U ... U Dn) с границей Го, Ti,   , Гга. Положительным будем считать обход границы, при котором область D остается слева. Число вращений вектора grad U|ш=о при обходе окружности Го равно +1, а при обходе окружностей r¿ равно —1, г = 1,... ,п. Суммарное число вращений вектора grad U|ш=о при обходе границы области D равно 1 — п. При п > 1 получаем, что число вращений отлично от нуля. Следовательно, внутри области D есть одна или несколько особых точек векторного поля grad U |ш=о, причем суммарный индекс этих особых точек равен п — 1 (см. [3]). Доказательство завершено.

Рассмотрим общий случай движения плоского твердого тела и материальной точки под действием их взаимного гравитационного притяжения. Точка и тело движутся в неподвижной плоскости. Если система находится в относительном равновесии, то система вращается как единое твердое тело с некоторой угловой скоростью со вокруг общего центра масс О.

Утверждение 3. При п > 1 для любого значения со > 0 существует не менее двух различных положений отмосителъного равновесия системы тело-точка. Если поворот вокруг центра, масс

7Г

тела, на, угол, а = —, где q € N; является, симметрией для, тела,, то существует не менее q + 1 положений относительного равновесия системы.

Доказательство. Пусть О — центр масс системы и Оху — система координат с началом в точке О, вращающаяся с угловой скоростью со. Относительные равновесия системы тело-точка — это равновесия в системе Оху. Если система тело-точка находится в положении равновесия, то все положения, получающиеся из данного поворотом системы тело-точка как твердого тела вокруг точки О на любой угол, также являются положениями равновесия. Такие положения равновесия мы не будем различать.

Добавим к активным силам, действующим на точки механической системы, кориолисову и переносную силы инерции. Тогда можно считать, что система Оху инерциальна. Положение системы тело-точка в этой системе координат будем задавать тремя обобщенными координатами г], ip, которые вводятся следующим образом. Свяжем с телом систему координат Suv, начало которой находится в центре масс S тела. Пусть в системе Оху точка имеет координаты (х, у) и угол между осью Ох и осью Su равен íp (при повороте на угол <р> против часовой стрелки ось Ох будет сона-правлена оси Su). Обозначим через P¡p такое положение системы тело-точка. Тогда (£,??) — точка, в которую перейдет точка (х, у) при повороте на угол —íp вокруг точки О:

( = xcosíp — у s'm(p, r] = xs'm(p + ycos(p.

Поясним геометрический смысл обобщенных координат г], íp. Рассмотрим положение Ро системы тело-точка, в котором ось Ои сонаправлена с осью Ох и материальная точка имеет координаты (£, г]). Тогда при повороте системы тело-точка как единого твердого тела вокруг точки О на угол íp система из положения Ро перейдет в положение Р^. Требуется показать, что при íp = 0 система тело-точка имеет не менее двух различных положений равновесия. Пусть, как и раньше, U = Up + Uc — силовая функция системы, Up — силовая функция ньютоновского тяготения, Uc — силовая функция переносных сил инерции. При повороте системы тело-точка как единого твердого тела вокруг точки О работа сил ньютоновского тяготения будет равна нулю, поскольку они являются внутренними силами системы. Работа переносных сил инерции также равна нулю, поскольку эти

силы являются центральными с центром в точке О. Значит, 11т и 11с не меняются при изменении обобщенной координаты <р>. Следовательно, силовая функция системы не зависит от (р, т.е. и = и(£,г)). Определим эту функцию, считая, что <р> = 0.

Материальная точка имеет координаты (£, г?) в системе Оху. Поскольку центр масс системы тело-точка располагается в точке О, то координаты (8х,,вх) центра масс Б тела в системе Оху

тг]

~\7' - тг

координат {хг,уг) точек тела в системе Оху имеем

равны вх =--, 8У =--, где т, М — масса точки и тела соответственно. 1ак как <р> = 0, то для

Хг = sx + Ui = Ui - А£, Уг = Sy + Vi = Vi- \Г], i = 1,2 ,...,П,

171

где А = —, а постоянные (щ,Уг) — это координаты точек тела в системе Suv. Силовая функция ньютоновского тяготения равна

га га ~

7mrrii \ - 7mrrii

= .Г,. ..,„ = £

tí \/(«-*02 + (ч-»)2 tí VK-»i)2 + (4-fc)2'

где

Ui Vi m

di = _ bi= . m =

1 + А' г 1 + А' 1 + А'

Поскольку центр масс тела расположен в начале системы координат Бии, то

га га

У] ГГЦЩ = тг^г = 0.

г=1 г=1

Поэтому

гага га

^ тг(ж2 + у2) = М(4 + 4) + I] + и2) = МА2(£2 + г?2) + ^ тг(и2 +

г=1 г=1 г=1

Силовая функция переносной силы инерции равна

2 п 2 л"? 2

»7) = ^-(С2 + + ^ + У2) = — (£ + ^ ) + С>

г=1

и2)

где

М = т + МА2, C = +

га о

rriiLü

2

г=1

Отбросив постоянную с, получаем, что силовая функция системы имеет вид

,)=с*+ис=е ... тг; м»++л

V (С - аг) + (»7 - Ь? 2

Положения относительного равновесия — это критические точки силовой функции. Эта функция по форме совпадает с силовой функцией из утверждения 1. Следовательно, верны все утверждения относительно ее критических точек.

Завершая доказательство, отметим, что при £ = 0, г? = 0 обобщенные координаты вырождаются. Требуется рассмотреть этот случай особо. Пусть (0,0) — критическая точка функции [/(£,??). В качестве обобщенных координат возьмем х, у, (р, где (х, у) — координаты материальной точки в системе координат Оху, <р> — угол между осью Ох и осью Би. Эти координаты не вырождаются при х = 0, у = 0. Обозначим через и(х,у,<р>) силовую функцию в этих обобщенных координатах. Положения относительного равновесия — это критические точки силовой функции. Покажем, что точка (х = 0, у = 0, <р> = 0) является критической точкой силовой функции II. При <р> = 0 имеем £ = х, г] = у, поэтому II(х, у, 0) = II(х, у). Значит,

При изменении угла <р твердое тело поворачивается вокруг своего центра масс. Значит, —

д(р

это суммарный момент гравитационных сил и переносных сил инерции, действующих на точки тела, относительно его центра масс. Если х = 0, у = 0, то материальная точка совпадает с центром масс тела и обе эти точки совпадают с центром масс О системы. В этом случае гравитационные силы и переносные силы инерции, действующие на точки тела, являются центральными с центром в точке О и их момент относительно этой точки равен нулю. Следовательно,

дЦ_ д(р

Таким образом, точка (х = 0, у = 0, <р = 0) является критической точкой силовой функции и(х, у, (р) и, следовательно, это — положение относительного равновесия систем. Доказательство завершено. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 12-08-00591, 12-01-00441.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никонов В.И. Относительные равновесия в задаче о движении треугольника и точки под действием сил взаимного притяжения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 45-51.

2. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1983.

3. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

Поступила в редакцию 27.10.2014