Дифракция волн на полости на границе двух упругих слоев

УДК 539.3: 534.1

ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ПОЛОСТИ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ УПРУГИХ СЛОЕВ

© 2012 г. Х.М. Эль-Мораби, М.А. Сумбатян

Для решения антиплоской задачи о дифракции волны на границе двух слоев строится специальный тензор Грина. Интегральная формула Кирхгофа—Гельмгольца применяется для вывода системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно поля перемещения на границе объекта. Два быстрых интерационных метода представлены для вычисления рассеяния волн на двумерном объекте произвольной формы в двухслойной среде. В частности, приводятся примеры расчета волновой структуры в верхней и нижней средах для объектов эллиптической и круговой форм, расположенных на границе двух слоев. Решается прямая задача дифракции. Для реконструкции формы объекта необходимо далее решать обратную задачу.

Ключевые слова: антиплоская проблема, тензор Грина, волны дифракции, интегральное уравнение, итерационный метод.

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Green's tensor is constructed for describing an anti-plane problem to estimate diffraction waves from an object between two elastic layers. The Kirchhoff—Helmholtz integral formula is utilized to obtain a system of Fredholm integral equations of the second kind regarding the displacement fields on the object boundary. Two fast iterative methods are presented for calculating the scattering waves by 2D buried objects of arbitrary shape between two layers. In particular, we discuss and calculate the displacement fields over the upper and the lower half-boundary for elliptical and circulate the displacement fields over the upper and the lower half-boundary for elliptical and circular shapes between two layers of constant thickness. The present work deals with the direct diffraction problem, in order to solve the inverse problem.

Keywords: anti-plane problem, Green's tensor, diffraction waves, integral equation, iterative method.

в каждом слое: w(y,y2) =

Постановка задачи

Прямые и обратные задачи дифракции в слоистых упругих средах исследовались многими авторами. Отметим, в частности, работы [1-8]. Последние результаты, полученные авторами, отражены в [9-11]. В данной статье в антиплоской постановке рассматривается дифракция на заглубленном объекте на границе раздела 2 упругих слоев постоянной толщины.

Рассмотрим 2 упругих слоя толщиной ^ и h2. На границе между ними имеется объемная полость. Ее верхняя часть попадает в слой (1), нижняя - в слой (2), как показано на рис. 1. В декартовой системе координат (уь у2) горизонтальная ось совпадает с нижней границей у2=0, а верхняя граница - у2= При этом граница между слоями дается уравнением у2=^. В случае антиплоской ^Н) деформации поле перемещений имеет вид и(ух,у2,/) = (0,0, м>(у^,у2,/)); оно различное

[ЧОп У2), у е А

. - , где Д

^2(У1,У2), У е А

и D2 обозначают внешность полости в соответствующем слое, а обозначения А и А относятся к самим полостям. Если колебательный процесс - гармонический во времени, то обе функции удовлетворяют уравнению Гельмгольца: А ^1,2(у1 ,у2) + к22 ^12(у1 ,у2) = 0, где кг =/С2 - волновые числа; С1,2 - скорость звука поперечных волн в соответствующей среде; д2 д2

А = -— + -—; ю - угловая частота коле-

у ду2 ду2

баний; Му1 , у2,1) = ^ , у2)е"1Ш'.

Предположим, что на верхней поверхности имеется гармонический точечный источник колебаний в точке x0, на нижней грани у2=0 - условие защемления, на интерфейсной поверхности у2=^ должны выполняться условия непрерывности по перемещениям и напряжениям. Тогда граничные условия задачи определяются однозначно.

hi

Тензор Грина для двухслойной среды

Построим тензор Грина в рассматриваемой упругой двухслойной среде

(1 (у, X), X Е А , у Е А ^ (12(у,хX хе A, уе А (1 (у, X), х Е А , у Е А '

(22 (у, х), х е А , у е А

G( y, x) =

или G-j =

G11 G12

y2

Предполагаем, что в произвольной точке среды х = (х1, х2) приложена сосредоточенная сила, определяемая функцией Грина:

(, Ь ч . , 2 I (

у I G

\ Gr

А„ I G11 I(У1.У2) + Kll^11 КУ1.У2) =

- 5(У1 - Х1) 5(У2 - Х2), x е А, У е D1

0

, x е D, У е d2

А,

G

y I G

21 1 (У1.У2) + kli

(У1 > У2) =

0

x е D , У е Dj

- 5(у1 - х1) 5(у2 - х2), х е А, у е А '

где все операторы дифференцирования берутся по переменной у = (уь у2), а точка x = x2) зафиксирована где-либо внутри упругой среды.

Детальный вывод приведем лишь для первой системы, так как решение 2-й строится аналогично. Применим к (1) преобразование Фурье по горизонтальной переменной у\.

rGn(s,У2)I= Gn(s,У2)I

GU(S, У2) J -Ц G12(S У2) J

4У1 •

Тогда, используя стандартные свойства преобразования Фурье, перепишем (1) в виде системы 2 обыкновенных дифференциальных уравнений для образов Фурье

у2) у2) = - в'*Ч3( у 2 - х2),

(я, у2 ) - С?, у2 ) = 0.

xo

в w1

3 n

S1

s;

.

P1, k1

s;

= 0

H2,P2, k2

//////////////////////////////

Рис. 1. Заглубленный объект на границе двух упругих слоев

Ji

2

22

S

h

2

t

2

o

Решение этой системы имеет вид

Gn(s,y2) = A1(s)e/1y2 + B1(s)e""y2 + Gpart (s,y2),

G12(s, У2) = A(s) e/2 y2 + B2(s) e

/1,2 =n,2(s) = >/S 2 - k1,2 ,

-72 У2

2n

gisxi -71 x2 - У2

2/i

Следовательно, соотношения (2) приобретают вид

„isxi -/l| x2-У2|

G (s, y2) = A (s) e71 y2 + B (s) e71 y2 + :

2/i

Имеем G Л = 0

121У2

Gn| y 2 =h 2 G12\y 2=h 2

dG,

^2 U

= 0, H = h + h2

y2 =H

двц

cy2

dG,,

= U2 —

y2=h2 dy2

y2 =h 2

2/[A(s) e71h2 - B (s) e^71h2] + e^1 e

-/1h2 т 1 aix1 71 (x2 -h2) _

= 2/ e72h2 - B (s) e~72"2 ],

U1

решение которой имеет вид

0/2h2

-72h2 1

A (s) = eisx1 e~71h2 cos h[/ (x2 - H)] x

/2 h(72Ю + /1 sinh(/2M isx1 -r1x2

U e 1 e n 2

где А 2(5) и В 2(5) - 4 неизвестные величины. Для нахождения частного решения С^Дз, у2) можно

применить преобразование Фурье еще раз по вертикальной переменной:

^ /

^о* С^ «:> = —2-^ .

' (« + УО

Звездочка обозначает образ Фурье по переменной >>2. Тогда, обращая (3) по переменной а, получаем

~ е1ях1 ™ е'а(х1~ у2) Ср^З У2) = | -=-— =

2/F 2/1

B1

x-U-,

2/1F

eisx1 cos h[/1(x2 - H)]

A 2 (s) = B2 (s) =

2F

Следовательно,

L„(s, y2 ) = cos h[/1 (x2 - H)] x /2 U^cos h(/2h2)sin h[/1(y 2 - h2)]

U1

/1F

/1 sin h(/2h2)cos h[/1(y2 - h2)]

+

L12 (s, y2 ) =

/1F J

cos h [/

F

U2

С (з, у ) = А (я) еГгУ2 + В (я) е~Г2У2.

Величины А 2 (5) и В 2 (з) должны быть найдены из граничных условий, которые наложим на компоненты тензора Грина, таких же, как и для истинного перемещения (не будем лишь учитывать точечный источник на верхней грани среды). Вспомним, что эти компоненты выражаются в виде обратных преобразований Фурье

1 т

С

где F = y2 — cos h(yih1) cos h(y2 h2) + yi sin h(yihl) sin h(y2h2). Mi

Заметим, что при h ^ 0, если положить hj=h, 71=7, выражение (5) переходит в известную формулу для однослойной среды [10]

т , ч cos h[y

Ln(s, y2) =---- 2 , что является

11 2 y cos h

дополнительной проверкой корректности (5).

Две другие компоненты тензора Грина строятся аналогично:

M2

cos h[/x

L21 (s, y2) =

L22(s, y2 ) = sin h(/2 y 2 )'

F

/2—cosh(ylh)cos(x2 -h)]

U1

/2 F

Данные соотношения приводят к алгебраической системе 4x4:

A2(s) + В(s) = 0 ,

2/ [A (s) e/1(h1+h2) - В (s) e-/1(h1+h2)] -

- е^1е/1( x2 -h1-h2) = 0

2/[A(s) e/1h2 + В(s) e-/1h2] + eisx1 e/1(x2-h2) = = 2/ [A2(s) e/2h2 + В (s) e~/2Ä2] ,

yx sinh(jxhj)sinh[y2 (x2 — h2)] I

V2F i)'

В^гчисление обращения Фурье вида (4) должно производиться численно по той или иной квадратурной формуле.

Основная система граничных интегральных уравнений

Применение известных соотношений Кирхгофа-Гельмгольца [3] приводит к следующим представлениям:

Wl(x) = í [Gn(x, у) ^^^ — Wl(y) Mf^W y , x e D,

8D\ ОПу ОПу

0 = J [G12(x, y)-

d^

dD2

dn„

- W2(y)-

dG12

12

"¿2ñy J -y

] d y .

s:>

+

Разобьем контур дА 2 на верхнюю и нижнюю части: дА1 = {у2 = А1 + А2 = Н} и ^ и ^^ и £ и дА2 = {у2 = 0} и В2 и 8'2 и £2. После некоторых преобразований получим

3GU

dn„

dt y -

MW1 (x) = /1 (x) + M2 J W2 (y) t2

-M W1

t1 3ny

/1(x) = Gn( xo, H, x1, x2) •

Аналогично получается выражение во 2-м слое:

M W2

+ M2 J W2

3G22

dn„

dty-M J w1(y) t1

3Gn

3n„

dt.

£ 2 д..у

/2(х) = ^21( х0, Н , х1, х2).

Устремим точку x на границу: х ^ £ е £, г = 1,2 извне. Тогда, согласно свойствам потенциала простого и двойного слоя [3], получим основную систему ГИУ:

1 Mw,(#)-м2 J w2(y) У) dty +

2 12 3n, У

+

M J w,(У) dt y = /1(Д, t,

t1 3ny У

1 Mw2(#)-Ml J w2(y)dty +

2 t2 Bny y

+ M J w,

t 3n„

dt y = /2(#), 12.

j=1

M1 j=1

=—/1(4,), , = 1,2,...N, M

H-2 N т^*

2 K*1(4 , yj ) W1( yj ) +

M j=1

1

K2*2(4, yj) =1 Sjj - к22(4, yj),

3G

dn„

= n

3G

_pq

3У1

+ n

3Gp

3У2

Kpq(4 , У,- ) =

3Gpq , у- )_m

3n„

p, q = 1,2,

n = (n , n2) = (

(У2+1 - У22-1) (yj-1 - У/+1) d,. d,

dJ =л/(у/-1 -у/+)2 + (уГ1 -у2-1)2.

При вычислении обратных преобразований Фурье использовался метод Симпсона, при этом на оси интегрирования нет особенностей подынтегральной функции, если частота колебаний меньше 1 -й модо-вой частоты. Кроме того, система при этом может быть записана в вещественном виде:

( -M2 v \

к,, -к,,

11 M1 12

M1 ^

-Кт,

M 2 21

^ f Л

M 1 —/

Bw = / .

Эта система решалась 2 методами: исключения Гаусса и методом наискорейшего спуска (МНС) [12]. Умножением на сопряженный оператор оператор В может быть легко сделан самосопряженным, и тогда МНС сводится к следующему итерационному процес-

су: Wn+1 = wn

LWn , Lwn = Bwn - f ,

Решение основной системы ГИУ

Для численного решения полученной системы ГИУ используем метод коллокации [3]. Для этого разобьем граничный контур £ на N малых подин-тервалов £ . , j =1,2,____, N . Применяя простейшую квадратурную формулу, приходим к линейной алгебраической системе размером NxN в дискретном виде:

N п N

I К'и (£, , Уj ) ^ (Уj ) - п I К12 (£ , Уj ) ^ (у.) =

где эффективен метод ускорения сходимости в духе [13, 14].

Численные результаты для эллиптической полости

Рассмотренные примеры описывают дифракцию на круглом и эллиптическом объектах. Мы брали в безразмерном виде одинаковую толщину слоев h = h = h = 0,5 и положение сосредоточенной возбуждающей силы х0 = 0,5.

Пример. Граничный контур является эллипсом:

) У = хс + а cos tj,

(t 1) j 1У2 = Ус + b sin tj tj = (ж/n)(j + 0,5) , j = 0,1,...,n-1,

) = Гух = xc + a cos9j,

(t 2)j 1У2 = Ус + b sin0j в = (ж/nXj + 0,5) , j = n, n + 1,..., N, n = N/2;

+ I К2(£ ,у..) w2(у.) — /2 (£).

.=1 П2

При этом неизвестными являются величины (^Д = ^(уг), г = 1,2,...,N, . = 1,2 . Правые

части сразу получаются из (6), (7), а элементы матрицы в (8) имеют вид

к;^,., у.)=1. кп(#,., у..),

А£. = А^(у!)2 + (у2)2 , 2я/N .

Волновые числа к = 4,84 , к = 2,48. Центр полости расположен в точке (х, у) = (к Параметр a = 0,05, при этом Ь может меняться. Деформация границы полости возрастает с ее размером, что имеет место как для верхней части граничного контура, так и для нижней (рис. 2). Заметим, что решения по методу Гаусса и по МНС совпадают (5 значащих цифр), если число итераций равно 100.

)

2

2

n

Верхняя часть граничного контура Рис. 2. Изменение деформации граничного конт Выводы

В работе представлены 2 быстрых итерационных метода для вычисления рассеяния волн на 2-мерном объекте произвольной формы в двухслойной среде. В частности, приводятся примеры расчета волновой структуры в верхней и нижней средах для объектов эллиптической и круговой форм, расположенных на границе двух слоев. В данной работе решается прямая задача дифракции. Для реконструкции формы объекта необходимо далее решать обратную задачу. Предложенный метод позволяет идентифицировать объект на низких частотах в многослойной среде.

Литература

1. Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении // Изв. РАН. МТТ. 1990. № 6. С. 79 - 84.

2. Pompei A., Rigano A., Sumbatyan M.A. Reconstruction of elliptic voids in the elastic half-space: anti-plane problem // Far East J. Appl. Math. 2006. Vol. 25, № 2. P. 137 - 158.

3. Sumbatyan M.A., Scalia A. Equations of Mathematical Diffraction Theory. Boca Raton (Florida), 2005. P. 291.

4. Боев Н.В., Ватульян А.О., Сумбатян М.А. Восстановление контура препятствия по характеристикам рассеянного поля в коротковолновой области // Акуст. журн. 1997. Т. 43, № 4. С. 458- 462.

Поступила в редакцию_

1 W г(£) в зависимости от изменения параметра b

5. Ватульян А.О., Беляк О.А. К реконструкции малых полостей в упругом слое // Дефектоскопия. 2006. № 10. С. 33 - 39.

6. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987. 311 с.

7. Boundary integral modelling of elastic wave propagation in multi-layered 2D media with irregular interfaces / E. Liu [et al.] // Comm. Comp. Phys. 2008. Vol. 3, № 1. P. 52 - 62.

8. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975. 871 с.

9. Abo-Seida O.M., Bishay S.T., El-Morabie K.M. Analysis of scattering from buried object by using the geometrical optics // Int. J. Appl. Electromagnet. Mech. 2009. Vol. 30, № 1-2. P. 39 - 49.

10. Sumbatyan M.A., El-Morabie K.M. Theoretical analysis of scattering by buried objects in the elastic and acoustic layer // 17th Int. Congress Sound Vibr. (ICSV17). Cairo, Egypt, 2010. P. 169 - 177.

11. Сумбатян М.А., Эль-Мораби Х.М. Дифракция ультразвуковых волн на дефектах сложной формы в упругом слое постоянной толщины // Сб. тр. в XXII сессии Рос. акустического общества. Т. 1. М., 2010. С. 249 - 252.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977. 744 с.

13. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., 1978. 631 с.

14. Дружинина И.Д., Сумбатян М.А. Численно-аналитический метод в задачах коротковолновой дифракции // Акуст. журн. 1990. Т. 36, № 2. С. 269 - 274.

6 сентября 2011 г.