Кинематическая модель двухзвенного механизма на основе цифровых дифференциальных анализаторов и планирование траектории в прямоугольной системе координат

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ

УДК 621.01

Кинематическая модель двухзвенного механизма на основе цифровых дифференциальных анализаторов и планирование траектории в прямоугольной системе координат

Юрий Анатольевич Валюкевич, к.т.н., проф., каф. «Радиоэлектронные системы», e-mail: val_ya@bk.ru

Иван Иванович Наумов, аспирант, каф. «Радиоэлектронные системы», e-mail: naumov_ivan85@mail.ru

ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса», г. Шахты

Представлены результаты синтеза модели преобразования угловых координат в линейные для устройства на базе двухзвенного механизма и обосновано его применение; продемонстрированы основные отличия результатов интерполяции в линейных и угловых координатах; приведены основные математические и логические соотношения, описывающие реализацию процесса интерполяции; рассмотрены варианты реализации функциональных узлов устройств, осуществляющих предложенный способ с использованием целочисленной арифметики.

Authors present the results of the synthesis of model for transformation angle coordinates into linear for the device based on two-tier mechanism and justify its use; demonstrate some of the basic differences between the results of interpolation of linear and angular coordinates; show the basic mathematical and logical relations describing the implementation of interpolation; consider options for implementing the functional units of the devices, which implement the proposed method using integer arithmetic.

Ключевые слова: двухзвенный механизм, круговой интерполятор, кинематическая модель.

Keywords: two-tier mechanism, circular interpolation, kinematic model.

В настоящее время для контурной обработки различных материалов используются координатные столы, работающие в линейных координатах. Недостатками таких систем являются массивность, сложность изготовления и высокая стоимость. Для устранения этих недостатков предлагается использовать двухзвенный механизм с точкой приложения вращающего механизма на краю звеньев. Кинематическая схема устройства на базе двухзвенного механизма [1] состоит из круга и сегмента одинакового радиуса, которые являются 1- и 2-м звеньями устройства. Круг вращается относительно вертикальной оси, расположенной в начале основной системы координат (точка О на рис. 1). Сегмент закреплен так, что имеется возможность его вращения вокруг точки крепления О' (начало дополнительной системы координат), расположенной на краю круга. В точке Р(0, расположен-

ной на краю сегмента и проходящей через центр круга, размещен рабочий инструмент.

На рис. 1 приняты следующие обозначения: P(t) - рабочая точка с координатами x(t), y(t) в основной (неподвижной) системе координат xy и x2(t), y2(t) - в дополнительной системе координат x'y'; a(t) - угол поворота круга относительно основной системы координат; f3(t) - угол поворота штанги относительно дополнительной системы координат; a,b - точки концов отрезка ab, который должна проходить точка P(t); 9 - угол наклона отрезка ab; R - радиус звеньев.

При исследовании кинематической модели двухзвенного манипулятора в двумерной системе для определения положения звеньев целесообразно найти аналитические выражения, связывающие декартовы координаты рабочей точки с изменени-

Рис. 1. Кинематическая схема устройства

ем полярных координат каждого звена. За основу взят метод Денавита-Хартенберга с применением дополнительной системы координат x'y'.

Поскольку в кинематической схеме имеется два звена, вместо матриц перехода от одного звена к другому можно воспользоваться тригонометрической записью [2]. Запишем координаты рабочей точки P(t) относительно осей хУ':

x2

У2 (t) = R sin e(t).

Определимся с законами изменения x(t) и y(t). В общем случае их зависимость от времени может носить произвольный характер и не влияет на найденные соотношения. Предположим, что рабочая точка двигается по отрезку прямой ab с постоянной линейной скоростью v. Вектор скорости в таком случае совпадает с направлением движения рабочей точки и пройденное расстояние определяется выражением S(t) = vt.

Уравнения для x(t) и y(t) можно записать в следующем виде:

x(t) = x0 + vt cos0,

0

У (t) = Уо + vt sm0,

где x0 и y0 - координаты точки начала движения.

Программное обеспечение, реализующее предложенный алгоритм планирования траектории рабочего инструмента, может быть представлено как узкоспециализированная CAM-система, которая выполняет функции интерпретатора и ин-

терполятора, в большинстве случаев осуществляемые в системе ЧПУ на аппаратном или программно-аппаратном уровне. Для реализации системы управления в трехкоординатном варианте станка целесообразно рассмотреть применение традиционной системы ЧПУ. В этом случае подготовка управляющих программ для станка на базе двухзвенного механизма может быть осуществлена широким набором САМ-систем (Ма81егСаш, 8оШСаш и др.). Формирование управляющей программы в О-кодах применительно к особенностям рассматриваемого типа оборудования может быть осуществлено с помощью одной из известных САМ-систем, основной задачей которой является адаптация О-кода программы обработки к конкретному технологическому оборудованию. Основным препятствием применения известных САБ/САМ-систем является используемая традиционно для описания подобных механизмов угловая система координат. Специализированные САМ-системы для манипуляторов, к классу которых можно отнести представленный механизм, оцениваются суммой более 15 млн рублей.

На рис. 2 приведена геометрическая интерпретация процедуры интерполяции отрезка прямой линии в прямоугольной и угловой системах

координат, где приняты следующие обозначения: R - радиус 1- и 2-го звеньев механизма; X1i,Y1i -координаты текущего положения начальной точки (центра вращения) 2-го звена; X2j,Y2j - координаты текущего положения конечной точки 2-го звена (ось инструмента); a¡, в - текущие угловые координаты 1- и 2-го звеньев; Да, Дв - единичные приращения угловых координат 1- и 2-го звеньев; Д4 - единичное линейное приращение; r - радиус окружности, образованной концом 2-го звена при вращении 1-го звена и в = const; Дх, Ду - единичные приращения в декартовой системе координат; M1, M2 - точки начала и конца интерполируемого отрезка прямой.

Из рис. 2 видно, что узловые точки интерполяционной решетки в прямоугольной системе координат, определяемой как пересечение линий абсцисс и ординат с шагом Дх=Ду, и узловые точки интерполяционной решетки в угловой системе координат, образованные пересечением концентрических окружностей с центрами, совпадающими с осью вращения 1-го звена, и окружностями, образованными вращением 2-го звена вокруг своей оси, при смещении 1-го звена на величину Да, существенно не совпадают.

На рис. 2 также приведены результаты интерполяции отрезка прямой M1 M2 в декартовой и угловой системах координат, представленные в виде полилинии 1 и 2 соответственно. Шаг интерполяции в декартовой системе координат принят исходя из условия

Дх = Ду = Д/e ,

где Д/e - длина хорды дуги угла Да с радиусом окружности R.

Следует отметить, что для всех точек рабочей зоны за исключением отрезков, лежащих на расстоянии R от центра вращения 1-го звена, справедливо соотношение Д/e Ф Д/. Качественная оценка интерполяции отрезка прямой M1 M2 показывает, что для обеих систем координат результаты примерно одинаковы. Погрешность интерполяции в угловых координатах убывает по мере приближения фрагмента траектории к центру круга (1-го звена механизма). Однако с точки зрения технологии обработки детали данный факт не является преимуществом. Общепринято, что погрешность обработки должна быть по всему контуру (контурам) детали одинаковой.

На основе приведенного анализа можно сделать вывод, что при условии Дх = Ду = Д/e замена угловой системы координат на прямоугольную правомерна. Для реализации подобного подхода

необходимо разработать математическую модель преобразователя координат для двухзвенного механизма и провести сопряжение устройства на ее основе с системой ЧПУ.

Задачей построения математической модели является преобразование угловой координаты точки окружности в линейные координаты с использованием целочисленной арифметики.

Решение задачи формирования следа окружности в прямоугольной системе координат широко известно в теории систем ЧПУ и реализовано в виде стандартной функции интерполяции окружности. Интерполяционные уравнения окружности в параметрической форме имеют вид известных уравнений:

X = Я 008 р,

у = Я 8Іпр.

Интерполяция функции окружности может быть выполнена на основе цифрового дифференциального анализатора (ЦДА). Цифровая структура типового интерполятора дуги окружности для одного квадранта приведена на рис. 3, где приняты следующие обозначения: РНХ, РНу - регистры-накопители по координатам х и у соответственно; РХ, РУі - регистры текущих значений координат х и у соответственно; ЛЗ1, ЛЗ2 - первая и вторая линии задержки; Тг - ^-триггер; ХначТнач - координаты начального положения точки дуги окружности; Хі, Ті - двоичные коды текущего положения координат в декартовой системе; х, у - унитарные коды управления электроприводами по координатам х и у; / - частота дискретизации.

Рис. 3. Цифровая структура типового интерполятора

Данная структура предполагает, что центр интерполируемой окружности находится в начале

прямоугольной системы координат. Следует отметить, что в большинстве описаний опущена цепочка преобразований от выхода интерполятора до истинного положения следа инструмента в рабочей зоне оборудования. Каждый импульс унитарного кода х и у формирует задание на единичное угловое перемещение валов электроприводов Дфх = Дфу, которые затем посредством механических преобразователей (шариковинтовая пара, тросовая система и т.д.) преобразуются в единичные линейные перемещения Дх и Ду, формируя в координатах станка заданный закон (в данном случае дугу окружности). Обычно величины Дх и Ду, принятые в метрической системе (например 0,01 мм), соответствуют единице в младшем разряде разрядной сетки интерполятора или кратны этому значению.

На основе предложенного способа и устройства, его реализующего, возможно также решение обратной задачи преобразование угла ф (см. (4), (5)) в приращения координат х и у в декартовой системе координат. За основу метода взята идея цифрового транспортира, предложенная В. А. Кошкиным [3]. В этом случае структура, представленная на рис. 3, трансформируется из управляющей в информационную, входным воздействием которой является изменение угла ф на величину Дф, а выходными параметрами - текущие координаты х и у.

Представленный алгоритм работы преобразователя угловой координаты в линейные может быть реализован как программным, так и аппаратным способом. При аппаратной реализации можно использовать известные структуры с учетом следующих обстоятельств:

• отсутствует необходимость блока, формирующего признак конца кадра, т. е. отработки заданной длины дуги окружности (в данном контексте круговой интерполятор выполняет функции слежения и преобразования в отличие от традиционного использования в качестве устройства управления);

• необходимо добавить к функциям регистров-накопителей функции преобразования остатка в дополнительный код при изменении направления интерполяции от внешнего сигнала;

• расширить возможности схемы управления направлением счета регистров РХ, РГг- за счет введения дополнительного внешнего сигнала направления вращения окружности.

Цифровая модель 1-го звена механизма может быть представлена в виде цифрового автомата, входными переменными которого являются

единичное угловое приращение Дф, знак углового перемещения 8І§пД^ и тактовая частота, а выходными переменными - значения координат точки дуги окружности Хі, У, в системе координат, привязанной к центру окружности, и знаки этих значений signXl и 8І§пУі.

Величина единичных приращений в декартовой системе координат может быть определена из соотношения

2пЯ

Me

N

где R - радиус окружности 1-го звена; N - число элементов разбиения окружности, соответствующее заданному Дф; знак приближенного равенства учитывает в общем случае неравенство дуги и стягивающей эту дугу хорды, однако при достаточно большом N ошибкой можно пренебречь.

Другим выходным параметром является время преобразования координаты, которое может быть измерено в периодах входной тактовой частоты Дтч=£/0, где t = 1/ f. В рассматриваемом случае обычные методы ускорения процесса интерполяции неприемлемы и Дтч = 4t0. Математическая модель двухзвенного механизма на основе реверсивного интерполятора (РИ) может быть представлена в независимой системе координат X0O0 Y0 (рис. 4) с помощью системы уравнений

ГX2t = X1t - R cos (a, - (fit + n)),

[Y2, = Y1, - R sin (a, - (fit + n)),

Рис. 4. Описание кинематической схемы устройства с использованием независимой системы координат

где Х\і = Х'і, Л, = У'і - положение центра вращения 2-го звена в независимой системе координат Х0Г; Я - радиус звеньев; аьр, - текущее угловое положение звеньев в системах координат Х101У1 и Х202Г2 соответственно.

Для определения координат XI, Г1 в независимой системе можно воспользоваться переносом начала координат:

Х’= Я + 81ЕП(Х- X у;=я+81вп(г- )г/,

что достаточно просто сделать, добавив на выход реверсивного кругового интерполятора (РКИ) сумматоры/вычислители, реализующие равенства (8).

Предложенная модель может быть реализована программным способом, однако в этом случае требуется применение арифметики с плавающей точкой, что вызывает определенные проблемы при аппаратной реализации. Модель 2-го звена может быть задана на основе метода цифрового интегрирования (алгоритма ЦДА). Однако режим работы этого кругового интерполятора (КИ) и его аппаратная реализация должны отличаться от рассматриваемого выше. Для преобразования угловой координаты в линейные могут быть использованы известные решения, широко применяемые в современных системах ЧПУ для обработки дуги окружности. При использовании подобного интерполятора обычно задаются координаты центра окружности Хц и Уц и координаты конца дуги окружности Хк и Ук, в данном случае являющиеся искомыми. Для их определения можно воспользоваться тем обстоятельством, что всегда известно текущее угловое положение координаты и, соответст-

в

венно, число шагов интерполяции дуги N в =

Процесс преобразования угловой координаты в линейные в этом случае заключается в отработке интерполятором N в шагов дуги окружности,

центр которой задан координатами Хц=Х1г-; Уц=У1ь а начальная точка дуги расположена в центре системы координат Х101У1. Некоторым недостатком подобного подхода к решению задачи преобразования координат 2-го звена является весьма существенное время преобразования. Максимальный угол перемещения 2-го звена при работе не более чем в одном квадранте составляет ж/3, что соответствует N в = 4160 . Используя известную структуру КИ, можно определить время одной итерации: — = 2 (V/о ) .

В целом структуру системы ЧПУ с использованием преобразователя системы координат можно представить в виде функциональной схемы, приведенной на рис. 5, где приняты следующие обозначения: КИ - круговой интерполятор, который выполняет функции преобразования координат 2-го звена; ЛКИ - линейно-круговой интерполятор, предназначенный для преобразования фрагмента траектории в последовательность опорных точек перемещения; ВОЦ - вычислитель оценочной функции, который определяет приращения по угловым координатам а и р на основе анализа текущего и заданного состояния координат рабочего инструмента (Х2, У2); УА - управляющий автомат, осуществляющий синхронизацию и управление блоками системы; пДр - импульсная последовательность, число импульсов которой пропорционально угловому положению 2-го звена р.

Рис. 5. Структура системы ЧПУ

Вычислитель оценочной функции не может быть реализован обычным способом, в связи с наличием дополнительной функции преобразования координат. Основной задачей вычислителя является определение наличия на данном шаге интерполяции, перемещения по данной координате и его знака. В рассматриваемом случае эта задача может быть определена как получение величины и знака рассогласования между истинным и заданным значением координат рабочего инструмента в декартовой системе, с последующим формированием задания на изменение угловых координат. 2-е звено механизма обеспечивает линейную зависимость меж-

ду Дув и Д/е и в связи с этим определено как ведущее. При выборе направления перемещения по координате в целесообразно воспользоваться системой неравенств

если в < гЗ, то signAe = 0 и А = 1,

если в > гЗ, то signAe = 0 и А = 1,

если в = гЗ, то signAe = 0 и А = 1,

где Гр - радиус-вектор текущего положения инструмента; гз - заданное положение радиуса-

2 2

вектора; значения Гр и гз можно определить из

соотношений

„2 tv~, d\2

= (X 2 - R)2 + (Y 2 - R)2

r32 = (Xз - R)2 + (Y3 - R)2.

Рис. 6. Зависимость величины линейного перемещения от положения штанги

R

m = —, r

Соотношения (9) полностью определяют очередной шаг ДД и в связи с этим расчет значения Гр и извлечение корня не обязательно, что сокращает вычислительные затраты на реализацию предложенного способа. После отработки заданного значения Д/3 и расчета нового значения Х2,У2 определяется наличие приращения по координате а, исходя из соотношений

если аЬ8|Хз - X2| > 1, то Да = 1, если аЬ8|Хз - X2| < 1, то Да = 0, если аЬ8|7з - У 2| > 1, то Да = 1, если аЬ8|Уз - У 2| < 1, то Да = 0.

Направление единичного перемещения по координате а зависит от знака разности Хз - X 2, если истинно первое или третье соотношение системы (12) и квадранта, в котором находятся текущая и заданная точки траектории в системе координат, связанной с центром вращения 1-го звена (ХО1У). В общем случае решение принимается исходя из системы неравенств (12) с учетом первого и второго уравнения. Например, для первого квадранта, если истинно

[X2 > Хз ^§п Да = 0,

[X 2 < Хз ^§п Да = 1,

то число шагов Да для заданного значения перемещения ДХ или ДУ' существенным образом зависит от положения текущего фрагмента относительно центра 1-го звена.

Например, для отработки шага ДХ требуется перемещение 1-го звена на угол тДа. Величина т может быть определена исходя из подобия треугольников О1А1В1 и О\АБ (рис. 6):

где величина т округлена до целого.

Таким образом, для отработки перемещения по угловой координате а на большей части рабочей поверхности требуется выполнение условия т > 1. После выхода механизма по координате а в заданную точку требуется корректировка значений Х2,У2 в связи с изменением координат Х1,У1 в глобальной системе координат Х0О0У0. Коррекция также позволяет учесть ошибку, возникающую по второй координате, перемещение по которой в данном шаге интерполяции принято равным 0.

Полное время одной итерации может быть представлено выражением

ти трД^тр0^тпa^2тпв,

где трД - время расчета текущих приращений в линейной системе координат; тр0 - время расчета угловых приращений; тпа - время преобразования угловой координаты а в линейные Хь^; тпр - время преобразования угловой координаты в в линейные ХьУь

Принятый выше способ преобразования координаты в требует для своей реализации существенно больше время, чем все остальные вычисления:

2тпв»ТрД+Тр0Тпа-

Следовательно, тпр определяет максимальную частоту выдачи приращений (скорость интерполяции) и в связи с этим максимальную скорость обработки детали. Максимальная угловая частота вращения каждого из звеньев может быть определена из соотношения

1

аа,р =

2^

Увеличение угловой скорости достигается за счет применения при аппаратной реализации устройства современной элементной базы (например

ПЛИС) с тактовой частотой порядка 500 МГц (например Spartan II).

Как было показано выше, скорость вычисления текущего приращения зависит от текущего значения угла в и может быть определена из соотношения

пв Np

ыр-

Однако это обстоятельство не решает задачи повышения быстродействия в целом, так как при этом уменьшается г, а следовательно, для поддержания постоянной технологической линейной скорости требуется пропорциональное увеличение угловой скорости по координате а.

Дополнительная погрешность интерполяции траектории, вносимая двукратным преобразованием координат, оценивается теоретической погрешностью метода. Например, погрешность по одной из линейных координат можно оценить из соотношения

-1 < еА < 1.

Причем, при стремлении погрешности по одной из линейных координат к 1, другая стремится к 0 (свойство метода ЛЦДА). Соответственно, для двукратного преобразования в целочисленной арифметике предельное значение ошибки можно представить как

-2 < еА < 2 .

Характер распределения величины ошибки по поверхности рабочей зоны существенного практического значения не имеет.

Таким образом, приведено математическое описание процесса интерполяции двухзвенного механизма, на основании которого авторами на языке программирования С++ была разработана компьютерная модель преобразования системы координат и управляющая программа для систем числового программного управления.

Результаты исследования компьютерной модели и опытного образца устройства на базе двухзвенного механизма представленной конструкции показали полную функциональную работоспособность предложенного метода планирования траектории перемещения рабочего инструмента и хорошую сходимость результатов компьютерного моделирования и практических испытаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Патент №2381891 РФ, МПК В25Л1/00. Манипулятор / Ю. А. Валюкевич, И. И. Наумов, А. А. Зеленский, О. Г. Толстунов. № 2008122861/02, заявл. 06.06.2008; опубл. 20.02.2010. Бюл. № 5. С. 4.

2. Валюкевич Ю. А., Наумов И. И. Устройство для силомо-ментной обработки плоских материалов на базе двухзвенного механизма // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 1 (95). С. 177 - 181.

3. Кошкин В. Л. Аппаратные системы числового программного управления: Практ. пособие. М.: Машиностроение. 1989.

Поступила 24.05.2011 г.