О коэрцитивных свойствах и разделимости бигармонического оператора с матричным потенциалом

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 55-62.

УДК 517.948

О КОЭРЦИТИВНЫХ СВОЙСТВАХ И РАЗДЕЛИМОСТИ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С МАТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

О.Х. КАРИМОВ

Аннотация. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного бигармони-ческого оператора с матричным потенциалом в пространстве L2(Rn)1 и доказана его разделимость в этом пространстве. Рассмотренные нелинейные операторы не являются слабым возмущением линейных операторов. Случай линейного бигармонического оператора рассматривается отдельно.

Ключевые слова: бигармонический дифференциальный оператор, матричный потенциал, коэрцитивные неравенства, нелинейность - разделимость.

Mathematics Subject Classification: 35Q40, 35J10

1. Введение

В настоящей работе исследуется разделимость нелинейного бигармонического оператора

L[u] = А2и

с матричным потенциалом, который не является слабым возмущением линейного оператора. Получены достаточные условия разделимости этого оператора в пространстве L2(Rn)1 и установлены соответствующие неравенства коэрцитивности.

Фундаментальные результаты по теории разделимости дифференциальных операторов принадлежат В.Н. Эверитту и М. Гирцу. В работах [1]—[4] они получили ряд важных результатов относительно проблемы разделимости оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Ими был рассмотрен также многомерный случай оператора Шредингера. Существенный вклад в дальнейшее развитие этой теории внесли К.Х. Бойматов, М. Отелбаев и их ученики (см.[5]-[8] и имеющиеся там ссылки). Коэрцитивные свойства нелинейных операторов Шредингера и Дирака рассмотрены в [6]. Разделимость нелинейного оператора Шредингера изучена в работе [8].

Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась в работе К.Х. Бойматова [5]. Разделимость линейного бигармонического оператора L[u] = А2и(х) + V(х)и(х) ранее исследовалась в работах [9], [10]. Разделимость нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с переменными матричными коэффициентами во всем n-мерном евклидовом пространстве ранее изучалась в работе [11]. Данная работа обобщает работу [9] в нелинейном случае.

Следует отметить, что разделимость нелинейных дифференциальных операторов, в основном, исследовалась в случае, когда исследуемый оператор является слабым возмущением линейного оператора. В отличие от этого, рассматриваемые ниже нелинейные дифференциальные операторы могут не являться слабым возмущением линейного оператора.

O.KH. Karimov, On coercive properties and separability of the biharmonic operator with matrix potential.

© Каримов О.Х. 2017.

Поступила 10 февраля 2016 г.

2. Формулировка основного результата

В пространстве L2(Rn)1, где I - натуральное число, рассматривается дифференциальное уравнение

А2и

где значения V(х,ш), х е Rn, ш е С1 являются квадратными положительно определенными эрмитовыми матрицами из End С1 . Здесь и далее через В1, (В - линейное пространство) обозначим пространство элементов (у1, у2,... , у{) с компонентами yj из В.

Определение 2.1. Уравнение (2.1) (и соответствующий ему дифференциальный оператор) называется разделимым в L2(Rn)1, если А2и(х), V(х,и(х))и(х) е L2(Rn)1 для всех

и(х) е L2(Rn)1 П W4loc(Rn) таких, что ¡(х) е L2(Rn)1 Для z(i> = ( z?, •--

, z\ ) (г = 1, 2) положим (z(1), z(2^) = zj zj • Далее обозначим

j=i

(и, v) = f (и(х), ь(х))йх, если интеграл в правой части абсолютно сходится. R"

В дальнейшем предположим, что V(х,ш) е C2(Rn х С1 -End С). Введем новые матрицы-функции

F (х1,х2,..., хп, Ci,&,..., Zi, Vi, V2,..., Vi) = V 1/2(х,ш), (х> е R, Zj, rjj е R),

<^(х1,х2,..., хп, €2,..., Zi, Vi, '42,..., Vi) = F2^,u), (хi е R, Zj, rjj е R),

где ш определяется равенством ш = (^ + iщ, ..., Zi + iщ).

Здесь V1 (х,ш) определяется как квадратный корень от положительно-определенной эрмитовой матрицы.

Предположим, что для всех х е Rn, ш = (Z1+гщ, ..., Zi+irji), П = (щ1 + гv1, ..., щ + гщ), (0, Vj, Щj, uj е R) и и е W2(Rn) матрица-функция F(х,ш) удовлетворяет условиям

Е

=1

F -1 - § -С1 дх2

< оъ

£

=1

F - 2

F д и дх, дх,

-L2(Rn)1

2

< 02

F §и-^2(КТ)1

V- П 1 d2F 1 d2F .

l^^F 2-——ш + VjF 2-——ш-С

=1

дх1д ^

дхгд rjj

V- г, idF ^ idF ,

|>F -1 + ">F - 2 д*Г-С

Ol

F1П-С

^ 62

F i П-С

Также предполагается, что для всех х € Кп, ш = (£1 + гщ,..., Zl + щ), П = (щ\ + г..., щ + гVI), (^, , ^, Vj € К) и и € Ш2(Кп) выполнены неравенства

п

Е

=1

-1 d2Q^_ 2

дх2

Е

=1

Q

_i dQ ди г

L2

=1

-1 д2 Q -1 д2 Q

1 ш + VjF ^—^—ш-С

дх1д ^

дх1дг!

< Оз,

< 04\\Ущ L2(Rn)1 II2,

^ 63 IIFП-СI

2

2

2

£ ТкГ+^ ч

Сформулируем основной результат работы.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.2)-(2.9) и пусть числа а^, 8^ (] = 1, 4) та-

а + 2а2 < 4, 8г + 282 < 1, а3 + 2а4 < 4, 83 + 2£4 < 1.

Тогда уравнение (2.1) разделяется в Ь2(Кп)1 и для всех вектор-функций и(х) Е Ь2(Кп)1 П №41ОС(Вп)1 таких, что ¡(х) Е Ь2(Вп)1 справедливы включения

1 д 2и

А2и, V(х,и)и, V2 (х,и)^^ Е Ь2(Кп)1, г=1, 2,..., п.

д х2

<

При этом имеет место коэрцитивное неравенство

п

\\А2и(х).Ь2(Кп)11| + (IV (х,и(х))и(х).Ь2(Кп)11| + ^

г=1

^М\\¡(х).Ь2(Кп)1 \\,

где положительное число М не зависит от и(х), ¡(х).

Пример. Условия теоремы выполняются для уравнения (2.1) при V(х, и(х)) = (1 + 1и(х)12)р, п = 1, то есть Q(х, г) = (1 + £2 + г]2)р, когда р ^ тгп{^г- ^}.

3. Вспомогательные леммы

Лемма 3.1. Пусть в уравнении (2.1) вектор-функция ¡(х) принадлежит пространству Ь2(Кп)1, и вектор-функция и(х) принадлежит классу Ь2(Кп)1 П (Вп)1. То-

2 и

гда вектор-функции V 1/2(х,и(х))и(х), (г = 1,2,... , п) принадлежат простран-

ству Ь2(Кп)1.

Доказательство. Пусть р(х) е С^°(Яп) - фиксированная неотрицательная функция, обращающаяся в единицу при |х| < 1. Для любого положительного числа е положим (х) = р(е х).

п д2 и

Используя равенства Аи = ^ —^ и ( $, <р£и) = (А2и, <реи) + (V(х,и)и, реи), имеем

г=1 дхг

п / гл2 п п2

^ I а2и ^ а<^£ ди \ {=1\ах1, 1=1 ах дхЧ

+

I а2и ^а2(р£ \ ,лг .

+ Ц 94 +(]/и,^и),

к=1

г=1

где (,) - скалярное произведение в пространстве Ь2(Кп)1. Так как функция >ре вещественнозначная, и

ахг

< МХ£,

а2 Ре

ахкахг

^ М£2, Ух Е Пп,

где

М1 = вир\4<р£(х)1, М = вир 1Ар£(х)1,

кие, что

то из равенства (3.1) переходя к пределу при е ^ 0, находим

д2и д2и\

+ ( Уи, и),

в* и ,и) >^(дхГдх^

к,г=1 4 2 1

что и доказывает лемму.

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (2.2)-(2.5), и пусть вектор-функция и(х) из класса Ь2(Кп)1 П (Кп)1 является решением уравнения (2.1) с правой частью ¡(х) €

Ь2

д2 и

дх2к

к = 1,...,п, принадле-

жат пространству Ь2(Кп)1.

Доказательство. Пусть функция р£(х) такая же, как в доказательстве леммы 3.1. Очевидно, что

(р£Ри) = (А2и, р£Ри) + (V(х, и)и, р£Ри). Отсюда, учитывая равенство

д ((р£Ри) др£

Р

хг

д хг

Ри + р£—и + Ве

3 = 1

ди3- дР

д хг д 3

и

3 = 1

и3 д Р хг д

д и

и + "£РШ' (3Л

после несложных преобразований получим:

(¡, <реРи) = А\(и) + 2А2(и) + 2Ае3(и) + А\(и) + 2Ае5(и)+

+ А6

где

аы = е (Й  £ ^

2=1 \дх2' г=1 дх'

п 2 п

'Г'Адхк^дхг дхг

2=1 \ 2 г=1

д2 и

2=1

2 =1

Р д и

д хг д хг

АЧ д2и ^д^£дР

А2(и) = 2к{дх1, и дхгдх:1 п д2 и п д2 Р

А1(и) = £ ~дщи

д2 и

2=1 д х2 =1

п д2 и п

д х

2=1 д х2 =1

д х

л^^ I д2и ^ д^£ диздР Т диз дР .

А7

2=1

=1

=1

д хг д 3

д2 и

2=1

2 =1 =1

А£10(и) =У Л

п д2 и п

2=1 2 =1 =1

п 2 п 2 и

2=1 д х2 =1 =1

хг д 3

диз д2Р

д хг хг д 3 д2 и3 д Р д2 и3 д Р

ди3 д2Р

д хг д х 3

+ 1т

)

) и

дх2 дСз

Ве диз- дР + 1тди

дх2 дг/з д из д Р д и

)

; дхг)

д хг д з д хг

взяты в точке (х1, ... ,хп, Яеи1 (х),

д хг д з

д Р д Р д Р д2 Р д2 Р Здесь и далее значения Р, —, —, —, -——, -——

дхг д^ дт]з дхгд^ дхгдг]з

Вещ(х), 1ти1(х), ..., !тщ(х)).

Поочередно оценивая функционалы, находим, что в силу леммы 3.1 функционалы А\(и), А2(и), А3(и), А7(и) стремятся к нулю при е ^ 0.

Относительно функционалов А£т(и), т = 4, 5, 6, 8, 9,10, получаем следующие оценки:

!)

, ^/ ч, /1 ^^ (^ 1 а2и ^ 1 а2и\ а1 ^ .

1А4(и)1 ^ 2 СТ ,{Р*Р 1 СТ ) + ^ (VU,РsFи),

к=1 ^

ах2

ах2; 2$1

I А5(и)1 ^ § ±( к=1 ^

а2 и а2 и а2 ах2 + -

2/32

1А6(и)1 ^ £

к=1

2 Щ -12 (Пп У

, 1А8(и)1 ^ 51 £

к=1

^ 2 ^ -Ь2(Кп)1

1А9(и)1 О

к=1

2 § -Ь2(Кп)1

а2 и

I А£ю(и)1 ^ 62^2 1 ;Ь2(ПпУ\\2

к=1

Ох2'

Здесь /, /2 - произвольные положительные числа, а а1,а2, 81 и 82 - константы из условий (2.2)-(2.5). При оценке функционалов А£9(и) и А\0(и) неравенство (2.5) используется дважды: в случаях, когда

Ш = (Ш1,Ш2, ... ,Ш[) = и(х) = (и1(х) ,и2(х),..., щ(х)),

и

аи (аи1 аи2 аи

Ш = (Ш1,Ш2, . . . ,Ш1) = — = —,—, ... ,—

ахг \ ахг ахг ахг

На основе полученных оценок из равенства (3.2) имеем

)

|(> (1 - Ц- -  (>/и,<р^и) - |А1(и)| - |А|(и)| - |А3(и)| - ти)1 +

+ И - ^ - * 1 - М 2 - И,)  ±

2

Далее применяем неравенство Коши-Буняковского и затем, переходя к пределу при е ^ 0, получим неравенство

\\ 1-Ь2(Кп)1 \\WFU-L2(КпУ\\ > |(/^и)| > (1 - Ц- - ^  ^и^и) +

+О - 2-32 -«. - - .)' ± ( ох|-а) •

Теперь подбираем положительные числа / 1 , / 2 так, чтобы выполнялись условия

Ж + < ^ Т + 32 + 21 + «2 < 1.

Так как по лемме 3.1 Fи Е Ь2(Яп)1, то из неравенства (3.3) следует, что вектор-функции

F1 ати, = 1, 2,..., п), F2и принадлежат пространству Ь2(Кп)1. ахк

Лемма доказана.

2

2

2

4. Доказательство теоремы 2.1 Переходим к непосредственному доказательству теоремы 2.1. Поступая так же, как и

выше из равенства

после несложных преобразований получим:

(¡, рУи) = В£(и) + 2В£(и) + 2В£(и) + В£(и) + 2В£(и) +

+ В£

где

В'1{и)=§ (5, § §4 в'2щ=§ (5, ± £4

А/д2и аи\ А/д2и ^А -2( \

Мщ^£ -Л] ^ В'М = Щ-¿>М")

Ё

' \ дхк ^ дхг дхг ^^ \ дхк ^ дх.2 /

2=1 \ 2 г=1 г г} 2=1 \ 2 г=1 г/

В1(и) = > , ( _

д хг д хг п

= (Б ^ (в*

д2и дщ д( т дщ д((

2=1

2 г=1 3=1

д хг з

+ 1т

, ±*. £ (В* ^^ + 'тди3

дхг дт]з д из 2 (

) и

2=1

2 г=1 з=1

д хг д хг д з

д хг д хг

п (д 2и п 1

В£(и) = Е [д^ ,!>£ (Кедх2дс 2=1 \ 2 г=1 з=1 г 4

п / д2 п I

Е ,

2=1 \их2 г=1 з=1

д2 из д ( д2 из д (

+ ————)и

д хг2 д з

В'£0(и) = V I ^, > > > '(Не ди-К + 1т ^)-Щ

2 = = дхгд0

д ( д ( д ( д2 ( д2 ( Здесь и далее значения (, —, —, —, -——, -——

дхг дс^з дг]з дхгд{;з дхгдг]з

Вещ(х), 1ти1(х), ... , 1тщ(х)).

) и , ),

д хг д з д хг

взяты в точке (х1, ... , хп, Яеи1(х),

Поочередно оценивая функционалы В£(и), ] = 1, 10, находим, что функционалы В£(и), В£(и), В£(и), В£(и) стремятся к нулю при е ^ 0.

Относительно функционалов В^(и) т = 4, 5, 6, 8, 9,10 получаем следующие оценки:

2 2=л~ дх22 дх2

\В'£(и)\ < £ ±(Рщ+ £(У^Уи),

\в'(и)\ ^ 2 ¿( 2 2=1

д2и ^ д2и \ . а4

дх22'

Р'Я-

дх2; 2^4

+ -4- (Уи,Р'Уи),

\В£(и)\ ^ £

2=1

2 2 д2" , 2 д4 ]12

\В£(и)\ ^ 6з £

п 2 д2" , 2

2=1

х22

\В£(и)\ ^ 64 £

2=1

2 д2" , Ъ2рд4 ]12

1 -2"

\в'£о(и)\ ^ ¿4^2 -,Ыкп)1\\2.

2=1 2

2

2

Здесь /з, /4 - произвольные положительные числа, а а3, а4, 63 и 64 - константы из условий (2.6)-(2.10). При оценке функционалов Вд(и) и В{0(и) неравенство (2.9) используется дважды: в случаях, когда

Ш = (Ш\,Ш2, . . . ,Ш[) = и(х) = (щ (х),и2(х),..., щ(х)),

и

а и

Ш = (Ш1,Ш2, ... ,Ш1) = —

и а и2

—хх 1 ^О1 хх 1

ощ Охл

На основе полученных оценок из равенства (4.1) имеем

|(¡,^и)1 > (1 - - )  ^и^еУи) - \В?(и)! - №(и)\ - №(и)1 - №(и)1 +

+ ( 1 - 33 -34 - 263 - 264 - 264

Применяя неравенство Коши-Буняковского и затем перехода к пределу при е ^ 0, получим неравенство

\\¡.Ь2(Пп)1ти.Ь2(Пп)1\\ > \(и)\ > (1 - ^ - От)  ^и^и) +

3з

+ [1 - у -34 - 263 - 464

) {—х* ,Удхи) .

Далее подбираем положительные числа /33, /4 так, чтобы выполнялись условия

21+г < 1 I+/'+«- < 1.

Теперь из полученного неравенства после несложных преобразований получим коэрцитивное неравенство (2.11).

Разделимость нелинейного оператора (2.1) в пространстве Ь2(Кп)1 следует из коэрцитивного неравенства (2.11). Теорема 2.1 доказана.

5. Линейный случай

Далее для наглядности сформулируем утверждения теоремы 2.1 в случае линейного бигармонического оператора. Предположим, что V(х,ш) не зависит от ш и имеет вид V(х,ш) = V(х), где V(х) = V*(х) Е С2(Кп, Еп(1С1). Также предположим, что для всех х Е Кп, и и Е выполнены условия

£

г=1

F -1 ^ - 3 -С1

О 2 >

а х

< О1,

е

г=1

laF ди г

F — \Ь2 (Нпу

дхг дх

п £

< а

F3и- - и(Кп)1

г=1

V -1 ^-1.С •

а х

^ Оз,

£

г=1

лr_lav —и т ,Г>п.1

V ^ТТ-^

ахгдхг

^ 04^*] - Ь(Кп)1 \\2

где аз, ] = 1, 4, - некоторые положительные числа.

2

2

2

2

Теорема 5.1. Пусть выполнены сформулированные выше в этом разделе условия и пусть числа а^, ] = 1, 4, такие, что 0 < а1 + 2а2 < 4, 0 < а3 + 2а4 < 4. Тогда уравнение (2.1) разделяется в Ь2(Кп)1 и для всех вектор-функций и(х) Е Ь2(Кп)1 ПШ41ос(Кп)1 таких,

1 а2 и

что ¡(х) Е Ь (Кп)1 справедливы включения А2и, Vи, V 2 —^ Е Ь2 (Кп)1, г = 1, 2,...,п. При этом имеет место коэрцитивное неравенство

п

ЦА2и(х)-Ь2(Кп)11| + IV (х)и(х)-и2(Кп)Ч + ^

г=1

^М ||¡(х)-Ь2(Кп)11| , где положительное число М не зависит от и( х), ( х).

V-

<

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. W.N. Everitt, M. Gierz Some properties of the domains of certain differential operators // Proc.London Math.Soc. 1971. V. 23. P. 301-324.

2. W.N. Everitt, M. Gierz On some properties of the powers of a family self-adjoint differential expressions// Proc.London Math.Soc. 1972. V. 24, P. 149-170.

3. W.N. Everitt, M. Gierz Some inequalities associated with certain differential operarors // Math.Z., 1972. V. 126. P. 308-326.

4. W.N. Everitt, M. Gierz Inequalities and separation for Schrodinger -tupe operators in L2(Rn)// Proc.Roy.Soc.Edinburg Sect A. 1977. V. 79. P. 149-170.

5. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения// Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР. 1984. T. 170. C. 37-76.

6. Бойматов К.Х., Шарипов А. Коэрцитивные свойства нелинейных операторов Шредингера и Дирака // Доклады Академии наук России, 1992. T. 326, № 3. C. 393-398.

7. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. 1983. T. 161. C. 195217.

8. Муратбеков М.Б., Отелбаев М. Гладкость и аппроксимативные свойства решений одного класса нелинейных уравнений типа Шредингера // Изв.вузов. Матем. 1989. № 3. C. 44-48.

9. E.M.E. Zayed Separation for the biharmonic differential operator in the Hilbert space associated with existence and uniqueness theorem //J. Math.Anal.Appl. 337(2008). P.659-666.

10. Каримов О.Х. Коэрцитивные свойства и разделимость бигармонического оператора с матричным потенциалом // Материалы Международной конференции по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С.М. Никольского 25-29 мая 2015 г., МИАН, г. Москва. C. 153-154.

11. Каримов О.Х. О разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами // Известия АН РТ. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2014. № 3(157). С. 42-50.

Олимжон Худойбердиевич Каримов, Институт математики АН РТ, ул. Айни, 299/4,

734063, г. Душанбе, Республика Таджикистан E-mail: karimov_olim@mail.ru