Анализ тестовых методов повышения точности измерений

УДК 53.088.7

Л. Н. Бондаренко, Д. И. Нефедьев

АНАЛИЗ ТЕСТОВЫХ МЕТОДОВ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

L. N. Bondarenko, D. I. Nefed'ev

ANALYSIS OF TEST METHODS FOR INCREASE

OF ACCURACY OF MEASUREMENTS

Аннотация. Рассмотрены вопросы, связанные с анализом тестовых методов повышения точности результатов измерения электрических величин. Предложен новый подход к формированию тестовых алгоритмов повышения точности измерений на основе метода обратной интерполяции, обосновано утверждение о необходимости минимизации тестовых воздействий.

Abstract. The questions connected with formation of test methods for increase of accuracy of measurement results are considered. The new approach to formation of test algorithms of increase of accuracy of measurements on the basis of a method of return interpolation is offered; the statement about necessity of minimization of test influences is proved.

Ключевые слова: алгоритм, тестовый метод, интерполяционный многочлен, обратная интерполяция.

Key words: algorithm, test method, interpolating polynomial, return interpolation.

Можно выделить два пути повышения точности средств измерений. Первый заключается в повышении теми или иными способами (в основном конструктивными) точности и стабильности средств измерений. Отличительной чертой такого подхода является отсутствие в составе средств измерений структурной избыточности, т.е. средства измерений содержат только те блоки и узлы, которые необходимы для выполнения операций измерений. Однако в настоящее время возможности такого подхода в значительной степени исчерпаны.

Второй путь заключается во введении избыточности измерений, т.е. в результате выполнения дополнительных операций измерений и обработки их результатов по определенным алгоритмам возникает возможность повышения точности средств измерений без улучшения метрологических характеристик отдельных узлов средств измерений [1-5].

Последний подход представляется наиболее перспективным, так как он позволяет, во-первых, отказаться от применения мер электрических величин высокой точности и использовать меры низшего класса точности при построении эталонных средств измерения; во-вторых, в отдельных случаях обеспечивает возможность децентрализованного воспроизведения единицы относительной (безразмерной) величины, благодаря наличию в измерительной системе структурной избыточности [5].

Среди методов повышения точности измерений наиболее эффективными являются следующие:

- итерационные методы;

- методы, основанные на использовании образцовых (эталонных) мер;

- тестовые методы.

Анализируя итерационный метод повышения точности измерений, нужно отметить, что некоррелированные составляющие погрешности при использовании данного метода усиливаются [1]. Действительно, если итерационный процесс состоит из N этапов, а некоррелированная погрешность ИУ носит аддитивный характер, то выражение для среднеквадратического отклонения ус суммарной некоррелированной погрешности измерения будет иметь вид

ус =у° V2Вш + 2 В2

где у Д - среднеквадратическое отклонение аддитивной некоррелированной погрешности исходного ИУ.

Так как число членов в подкоренном выражении (1) ограничивается членом с нулевой степенью В0 = 1, как видно из выражения (1), всегда ус >уД . Причем увеличение числа циклов итераций будет соответственно увеличивать значение ус.

Таким образом, применение итерационного метода дает возможность уменьшить лишь коррелированную составляющую погрешности измерения.

Использование методов образцовых мер дает возможность практически полностью исключить коррелированную составляющую погрешности измерения, однако некоррелированная составляющая погрешности измерения не уменьшается, а в большинстве случаев - увеличивается [1]. Кроме того, недостатком метода образцовых мер является необходимость использования устройства для периодического отключения от входа средства измерения измеряемой величины и подключения образцовых мер, а также большое число образцовых мер при существенно нелинейной функции преобразования средства измерения.

На основе анализа вышеприведенных методов повышения точности результатов измерения можно сделать вывод, что наиболее перспективными для реализации средств измерений электрических величин являются тестовые методы.

В реальных средствах измерения находят применение как мультипликативные, так и аддитивные тесты, которые, в свою очередь, делятся на независимые и функциональные.

Однако следует отметить, что использование однородных тестов любого вида не позволяет повысить точность измерений. Оптимальной комбинацией аддитивных и мультипликативных тестов является следующая: один тест одного рода и п -1 другого рода [1].

Рассмотрим один из вариантов тестового метода. В общем случае при применении тестовых методов для повышения точности результата измерений процесс измерения состоит из (п + 1) тактов. В первом такте, основном, преобразуется измеряемая величина х, а в п других, дополнительных, - тесты {Ак (X)}” , каждый из которых является функцией измеряемой величины х. Результаты основного у 0 и дополнительных преобразований {ук }п могут быть представлены в виде системы уравнений

У о = а о + а 1 х + --- + а п_1 хп-1,

у! = а о + а! А1

Уп = а о + а! Ап (х) + - + ап-1[Ап (х)]п-1.

Для получения тестового алгоритма повышения точности измерения в [1] предлагается сначала из системы п последних уравнений в (2) найти параметры {ак }п-1, а затем получить

значения измеряемой величины х из первого уравнения системы (2), подставляя в него параметры {а к }п0 -1 .

Окончательное соотношение, показывающее связь измеряемой величины х с результатами преобразований {ук }0 и тестами {Ак (х)}” , будет представлять собой алгоритм повышения точности измерений.

Рассмотрим ограничения на число используемых тестов п. Для этого, следуя [6], исключим параметры {а к }0-1 из системы (2) и представим результат в виде детерминантного тождества

V о 1 х

VI 1 АДх)

У 2 1 А2

,П—1

X

[ АД х)]п—1 [ А 2 (х)]п—1 = °.

у„ 1 Ап (х) ... [ Ап (х)]п—1

Замена системы (2) детерминантным тождеством (3) позволяет провести анализ различных алгоритмов повышения точности измерений.

Наиболее «прямолинейный» вариант разложения определителя в (3) по элементам первой строки, соответствующий нахождению параметров {а к —1 из п последних уравнений системы (2), дает ак = Жк / Ж, т.е.

а определитель Жк получается из определителя Вандермонда Ж заменой к-го столбца вектором-столбцом (у 1,..., уп)т , где Тозначает транспонирование.

В этом случае параметры {ак }П—1, являющиеся множителями соответствующих степеней измеряемой величины х, могут сильно различаться по порядку величины даже при небольших значениях п. Поэтому их необходимо вычислять с различным количеством значащих цифр для определения измеряемой величины х с заданной абсолютной погрешностью, что ограничивается возможностями средств измерений при получении значений {у к }п .

Второй вариант разложения определителя в уравнении (3) по элементам первого столбца соответствует записи интерполяционного многочлена

в форме Лагранжа [6, 7], причем при значении измеряемой величины х в выражении (6) имеем У 0 = Рп—1 (х). В рассматриваемом варианте находим

где 1пк (х) - фундаментальные интерполяционные многочлены, определяемые соотношением

п—1

к=0

где Ж = Ж (АДх),..., Ап (х)) - определитель Вандермонда, равный

Ж =

1 АДх) - [ АД х)]п—1

1 А2(х) - [ А 2( х)]п—1

П [ А, (х) — AJ (х)],

1 Ап (х) - Ап (х)]п—1

п—1

к=0

п

к=1

К

где для краткости обозначено хк = Ак(х), 1п(х) = Пп=1(х — хк), а I'п (хк) - производная функции 1п (х) при значении х = хк .

Для фундаментальных интерполяционных многочленов (8) выполнены характеристические соотношения: 1пк(х-) = 8к-, где 8к- - символ Кронекера, что позволяет легко доказать

соотношение (8).

Кроме форм (6) и (7) записи интерполяционного многочлена Рп-1( х) из уравнения (3), легко получается еще одно представление

п

Рп-\

к =1

называемое формой Ньютона интерполяционного многочлена Рп-1 (х) . В формуле (9) выражение [х1, х 2,..., хк ] обозначает разделенную разность, вычисляемую рекуррентно по известным значениям {(х к, у к )}1п [6, 7].

Несмотря на существенные вычислительные удобства формы (9), ее применение из-за накопления погрешности при вычислении разделенных разностей может привести к значительной погрешности результата.

Если значение интерполяционного многочлена у 0 = Рп-1(х) принимается в качестве

приближенного значения некоторой функции от измеряемой величины х, то, помимо погрешности, возникающей от замены функции интерполяционным многочленом, следует также учитывать погрешность величин {ук }” . Если эти погрешности равны {Д к }”, то суммарная

дополнительная погрешность составит

є = max

xE[a, b ]

Ё Дklnk

k=1

Предполагая в (10) пропорциональность всех j Д k Д, что соответствует практике измерений, получим при неблагоприятном сочетании знаков величин {Д k }п следующее соотношение:

8-ДЛ„,

где Л n - константа Лебега:

n

Л n = max Ё j lnk

xE[a,b]k=1

Константа Лебега не зависит от длины отрезка интерполирования, и через нее оценивается норма уклонения функции измеряемой величины от интерполяционного многочлена. Таким образом, в соответствии с выражением (12) естественно возникает задача о выборе оптимальных тестов {Ak (x)}jn , которые минимизируют величину константы Лебега Л n .

Известно следующее утверждение [Т]: константа Лебега интерполяционного многочлена (Т) с узлами {xk }n в нулях многочлена Чебышева Тn(x) = cosnarccos x, xE [-1,1], определяется равенством

Лn = -lnn +1 -^n, 0 <^n <7,

л 4

причем узлы в нулях многочлена Чебышева оптимальны, а выигрыш в константе Лебега для оптимальных узлов по сравнению с узлами в нулях многочлена Чебышева не превосходит 0,201.

В измерительной практике часто из соображений удобства используются равноотстоящие узлы {xk }f . Для таких узлов в [Т] приводится оценка:

2n-3 (n -1)-1/2 (n - 3 / 2)-1 < Л n < 2n-1, n > 4

Несмотря на грубость оценки (14), ее сравнение с выражением (13) показывает, что на практике не следует использовать интерполяционные многочлены с равноотстоящими узлами при значительном числе узлов. Поэтому обычно в реальных измерительных задачах ограничиваются многочленами сравнительно невысокой степени (обычно меньше четырех).

Отметим также дополнительные соображения, ограничивающие число используемых для повышения точности измерений тестов {Ак (х)}п .

Тестовый алгоритм повышения точности измерения величины х с использованием системы (3) на заключительном этапе сводится к решению алгебраического уравнения степени п -1, описываемого выражением (4). Такое решение довольно чувствительно к изменению коэффициентов интерполяционного многочлена, что приводит к значительным ошибкам даже при довольно невысокой степени многочлена.

Таким образом, в тестовом алгоритме повышения точности измерения [1] используется декомпозиция, заключающаяся в разделении исходной задачи на две: интерполяцию и решение алгебраического уравнения степени п -1, причем каждая из рассматриваемых задач является плохо обусловленной, что сказывается на погрешности результата уже при довольно невысоких значениях п.

Более рациональным подходом для получения тестового алгоритма может служить метод обратной интерполяции [8]. В этом случае система (3) переписывается в виде

дающий при у = у0 искомый результат х = 0п-1(у0).

Многочлен (16) интерполирует функцию, обратную к функции, интерполируемой многочленом (4). В этом случае для нахождения результата х не требуется решения алгебраического уравнения (4), но задача интерполяции решается описанным выше способом. Такой подход показывает практическую невозможность выбора оптимальных узлов для построения интерполяционного многочлена (16), а рассмотренный вывод об ограничении степени интерполяционного многочлена остается в силе.

Таким образом, использование метода обратной интерполяции при получении тестового алгоритма наиболее рационально, при этом степень интерполяционного многочлена (16) не должна быть высокой (п < 4).

Исходя из анализа тестовых методов повышения точности результатов измерений, следует отметить преимущество использования тестовых алгоритмов по сравнению с итерационными методами и методами образцовых мер, которое заключается, в первую очередь, в существенном уменьшении числа дополнительных преобразований, необходимых для реализации алгоритма повышения точности. Кроме того, применение тестовых алгоритмов повышения точности измерений дает возможность одновременно с уменьшением аддитивных и мультипликативных погрешностей измерения снизить погрешность от нелинейности градуировочной характеристики средства измерений.

Использование тестовых алгоритмов повышения точности результатов измерений позволяет практически полностью исключить коррелированную составляющую погрешности измерения, а при использовании тестово-статистических алгоритмов - уменьшить некоррелированную составляющую погрешности измерения до уровня коррелированной составляющей погрешности и ниже.

х = Ъ0 + Ъ1 у0 + --- + Ьп-1 у"о ^

А1( х) = Ъ 0 + ъх у 1 +... + Ъп-Х у\~\

Ап (х) = Ъ0 + Ъ1 уп + . + Ъп-1 уГ1.

Из системы (15) находится интерполяционный многочлен

п -1

к=0

Список литературы

1. Бромберг, Э. М. Тестовые методы повышения точности измерений / Э. М. Бромберг, К. Л. Куликовский. - М. : Энергия, 1978. - 176 с.

2. Гельман, М. М. Автоматическая коррекция систематических погрешностей в преобразователях напряжение - код / М. М. Гельман, Г. Г. Шаповал. - М. : Энергия, 1974. - 88 с.

3. Земельман, М. А. Автоматическая коррекция погрешностей измерительных устройств / М. А. Земельман. - М. : Изд-во стандартов, 1972. - 199 с.

4. Новицкий, В. П. Основы информационной теории измерительных устройств / В. П. Новицкий. - Л. : Энергия, 1968. - 248 с.

5. Шаблицкий, А. Ю. Метрологический самоконтроль в интеллектуальном акустическом пьезоэлектрическом датчике / А. Ю. Шаблицкий, В. К. Доля // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 3. - С. 36-45.

6. Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. -М. ; Л. : ГТТИ, 1934. - 600 с.

7. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1986. - 744 с.

8. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. - М. : Наука, 1975. - 584 с.

Бондаренко Леонид Николаевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет E-mail: leobond5@mail.ru, dm@pnzgu.ru

Нефедьев Дмитрий Иванович

доктор технических наук, заведующий кафедрой информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail:iit@pnzgu.ru

Bondarenko Leonid Nikolaevich

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of diskrete mathematics,

Penza State University

Nefed'ev Dmitriy Ivanovich

doctor of technical sciences,

head of sub-department

of information and measuring equipment,

Penza State University

УДК 53.088.7 Бондаренко, Л. Н.

Анализ тестовых методов повышения точности измерений / Л. Н. Бондаренко, Д. И. Нефедьев // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 1 (7). - С. 15-20.