Роль математики в эффективном изучении информатики

Дубогрей Т.Ф.,

преподаватель математики Селюта С.С.,

преподаватель информатики и спец. дисциплин

ГБПОУ КК КПТ, г. Кореновск, Россия

РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ЭФФЕКТИВНОМ ИЗУЧЕНИИ ИНФОРМАТИКИ

Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления.

А.Н. Колмогоров

Как показывает практика, межпредметные связи в обучении являются конкретным выражением интеграционных процессов, происходящих сегодня в науке и жизни общества. На наш взгляд, эти связи играют важную роль в повышении практической и научно-теоретической подготовки студентов, существенной особенностью которой является овладение ими обобщенным характером познавательной деятельности и формирование общих и профессиональных компетенций. Обобщенность же дает возможность применять знания и умения в конкретных ситуациях, при рассмотрении частных вопросов, как в учебной, так и в производственной деятельности. С помощью межпредметных связей не только на качественно новом уровне решаются задачи обучения, развития и воспитания обучающихся, но также закладывается фундамент для комплексного видения, подхода и решения сложных проблем реальной действительности.

Несмотря на то, что математика и информатика - совершенно разные дисциплины, они неразрывно связаны между собой. Математика является самостоятельной, сложившейся столетиями наукой, тогда как информатика не несет в себе качественно новой дисциплины, она лишь обобщает в себе элементы других наук.

Любую программу можно назвать алгоритмом, с четким выполнением заданной последовательности действий. Однако программа начинает свой жизненный цикл после запуска и может мо-

дифицироваться, меняться, исправлять ошибки или, наоборот, избавляться от них, тогда как алгоритм себе этого позволить не может.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика все больше и больше начинает присутствовать в различных областях других наук, играя ведущую роль в современном образовании. С развитием математики появляются различные направления изучения, которые становятся основой для других научных дисциплин, в то числе учебных, таких как информатика и другие спец. дисциплины.

Информатика получила от математики ряд результатов и теорий, нашедших широкое применение, в особенности в теории языков и трансляции, а также по верификации программ.

Информатика в теоретической ее части «выросла» из математики, использует активно математический аппарат. Многие темы курса информатики можно назвать математическими:

- элементы математической логики;

- системы счисления;

- элементы теории вероятностей и математическая статистика;

- теория графов;

- теория алгоритмов и некоторые другие.

Опыт показывает, что изучение этих тем в информатике, в математических дисциплинах позволяет студентам легче усваивать новые понятия, доказательства тех или иных утверждений, теорем.

Изучение студентами информатики дало возможность снять многие возникающие в процессе обучения математике познавательные трудности, вызвать интерес у обучающихся к математическим проблемам, показать возможность их решения новыми, нестандартными методами: алгоритмизацией решения сложных задач на компьютере, возможностью смоделировать и наглядно увидеть на экране дисплея математические процессы и управлять этими процессами и т.д.

Большой интерес у обучающихся вызывают обобщающие занятия математика-информатика по темам «Графический способ решения систем уравнений в среде Microsoft Excel», «Решение неравенств с одной переменной», «Решение уравнений», «Реше-

ние квадратных уравнений», «Графики функций и их свойства», «Циклические алгоритмы. Построение графиков тригонометрических функций». Такие интегрированные занятия используются в тех случаях, когда знание материала одних предметов необходимо для понимания сущности процесса, явления при изучении другого предмета. Интеграция в обучении позволяет выполнить и развивающую функцию, необходимую для всестороннего и целостного развития личности обучающегося, развития интересов, мотивов, потребностей к познанию.

Компьютерные платы представляют из себя электрическую цепь. Наличие в цепи тока означает 1, отсутствие - 0. Система счисления двоичная. Система счисления - это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. В компьютере используют двоичную систему счисления для представления информации, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами счисления:

- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями;

- широко используется в оперативной памяти компьютера;

- возможно применение аппарата булевой алгебры;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- двоичная арифметика намного надежней десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Человеку трудно воспринимать многоразрядные числа, а для компьютера разрядность числа не имеет большого значения.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот выполняет машина, однако программисты часто используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления на этапах отладки программ и просмотра содержимого файлов в режиме машинных кодов. Числа в этих системах счисления считаются почти также легко, как десятичные, требуют соответственно в три и в четыре раза меньше разрядов, чем в двоичной системе счисления.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления очень прост; достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой для восьмеричной

системы счисления или тетрадой для шестнадцатеричнои системы счисления.

ПРИМЕР:

537,18 = 1 01 01 1 1 1 1,0012; 1А3,F16 = 1 1 0 1 О О О 1 11 1 1 1 2

5 3 7 1 1 А 3 F—

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады или тетрады и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

ПРИМЕР:

10101001,101112 = 1 01 01 001,1011 1 12 = 251,568; 2 5 1 5 6

10101001,101112 = 1010100110111 0002 = А9,В816 А 9 В 8

Описание процессов, происходящих в электрических цепях, делается на основе математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления). Основными методами математических исследований являются математические доказательства -строгие логические рассуждения. Для математики, как и для информатики, при работе с некими моделями не важен жизненный аспект, а принципиальна некая закономерность. Так одно и то же дифференциальное уравнение может описывать и прирост населения, и радиоактивный распад.

Mathcad имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При решении ОДУ искомой величиной является функция. При использовании любых методов численного интегрирования необходимо, чтобы были заданы по крайней мере следующие величины:

- начальные условия;

- набор точек в которых нужно найти решение;

- само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде.

Пример

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от

неизвестной функции. На рисунке 1 показан пример того, как решить относительно простое дифференциальное уравнение:

с начальными условиями: у(0) = 4

Функция rkfixed на рисунке 1 использует для поиска решения метод Рунге-Кутты четвертого порядка. В результате решения получается матрица, имеющая два следующих столбца:

первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения;

второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

[авто | Стр 1 Г

Рис. 1. Решение дифференциального уравнения первого по

рядка.

Функция rkfixed имеет следующие аргументы: гкТ1хеЬ ( у, х1, х2, проШв, й) у = Вектор начальных условий размерности п, где п - поря

док дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений). Для дифференциального уравнения первого порядка, как, например, для уравнения, приведенного на рисунке 1, вектор начальных значений вырождается в одну точку у0 = у(х1).

х1, х2 = Граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, заданные в векторе у, - это значение решения в точке х1.

проШэ= Число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1 + проШэ) в матрице, возвращаемой функцией гкйхвд.

й (х, у) = Функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Логический блок процессора функционирует по правилам булевой алгебры. Булева алгебра, или алгебра высказываний, была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному - значение 0. В алгебре высказываний, как и в математике, над высказываниями можно производить определенные операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Различные жизненные ситуации можно описать с помощью теории игр, которая хорошо реализуется в компьютере. Теория игр - раздел прикладной математики, ставший неотъемлемой частью экономической теории. Всюду, где только имеет место взаимодействие самостоятельных рациональных (или частично рациональных) субъектов, возникает игра. Главный вопрос теории игр заключается в предсказании поведения участников игры. Джон фон Нейман представил математическое обоснование общей стратегии для игры двух участников в терминах минимизации и максимизации. Одним из родоначальников теории игр был французский математик Э. Борель. Но первым систематизированным изложением идей и методов в этой области была вышедшая в1944 г. работа фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», которая распространила теорию игр на произвольное число участников и применила эту теорию к экономическому поведению.

Пример

Матричная игра задана следующей платежной матрицей:

Стратегии "В"

Стратегии "А" B1 B2 Bз B4

1.45 2.12 0.75 4.01

A2 3.52 1.87 0.18 12.7

Aз 6.08 4.43 11.0 6.01

Найти решение матричной игры, а именно:

- верхнюю цену игры;

- нижнюю цену игры;

- чистую цену игры;

- указать оптимальные стратегии игроков;

- привести графическое решение (геометрическую интерпретацию), при необходимости.

Шаг 1:

Определим нижнюю цену игры - а

Нижняя цена игры а - это максимальный выигрыш, который мы можем гарантировать себе в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры будем использовать одну и только одну стратегию (такая стратегия называется «чистой»).

Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент и запишем его в дополнительный столбец (выделен цветом - см. Табл.1).

Затем найдем максимальный элемент дополнительного столбца (отмечен звездочкой), это и будет нижняя цена игры.

Таблица 1 - Платежная матрица

Стратегии "А" B1 B2 Bз B4 Минимумы строк

1.45 2.12 0.75 4.01 0.75

A2 3.52 1.87 0.18 12.7 0.18

Aз 6.08 4.43 11.0 6.01 4.43*

В нашем случае нижняя цена игры равна: а = 4.43, и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 4.43, мы должны придерживаться стратегии А3.

Шаг 2:

Определим верхнюю цену игры - р.

Верхняя цена игры р - это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок "В", в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.

Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент и запишем его в дополнительную строку снизу (выделена цветом - см. Табл. 2).

Затем найдем минимальный элемент дополнительной строки (отмечен плюсом), это и будет верхняя цена игры.

Таблица 2 - Платежная матрица

- -

Стратегии "А" В1 В2 Вэ В4 Минимумы строк

А1 1.45 2.12 0.75 4.01 0.75

А2 3.52 1.87 0.18 12.7 0.18

А3 6.08 4.43 11.0 6.01 4.43*

Максимумы столбцов 6.08 4.43+ 11.0 12.7

В нашем случае верхняя цена игры равна: р = 4.43, и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 4.43, противник (игрок "В") должен придерживаться стратегии В2.

Шаг 3:

Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они совпадают, т.е. а = р = 4.43. Это значит, что игра имеет решение в так называемых «чистых», минимаксных стратегиях. Это как раз те стратегии для игроков "А" и "В", которые были найдены выше, при поиске нижней и верхней цен игры. То есть в нашем случае для игрока "А" оптимальной будет стратегия А3, а для игрока "В" - В2. Нетрудно заметить, что элемент платежной матрицы, расположенный на пересечении чистых оптимальных стратегий (строка 3, столбец 2), является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце (отмечен знаками *+ см. Табл.

3). Такие элементы называются седловыми точками, именно их наличие и определяет существование решения игры в чистых стратегиях, а его значение (в нашем случае 4.43) совпадает с чистой ценой игры или просто ценой игры - V. Пара оптимальных стратегий в играх, имеющих седловую точку, всегда проходит через последнюю.

Таблица 3 - Платежная матрица

- Стратегии "В" -

Стратегии "А" B1 B2 Bз B4 Минимумы строк

^ 1.45 2.12 0.75 4.01 0.75

A2 3.52 1.87 0.18 12.7 0.18

Aз 6.08 4.43*+ 11.0 6.01 4.43*

Максимумы столбцов 6.08 4.43+ 11.0 12.7

Ответ:

Нижняя цена игры, верхняя цена игры и чистая цена игры: а = р = V = 4.43;

Пара оптимальных стратегий: А3В2.

Моделирование пространства в компьютерных играх осуществляется с использованием векторной алгебры и аналитической геометрии. Векторная графика - способ представления объектов и изображений в компьютерной графике, основанный на математическом описании элементарных геометрических объектов, обычно называемых примитивами, таких как: точки, линии, сплайны, кривые Безье, круги и окружности, многоугольники. Объекты векторной графики являются графическими изображениями математических объектов.

Термин «векторная графика» используется для различения от растровой графики, в которой изображение представлено в виде графической матрицы, состоящей из пикселей, фиксированного размера. Каждому пикселю графической матрицы в растровом изображении приписан атрибут цвета. Совокупность разноцветных пикселей растровой матрицы формирует изображение.

При выводе на матричные устройства отображения (мониторы) векторная графика предварительно преобразуется в растровую графику, преобразование производится программно или аппа-ратно средствами современных видеокарт.

Пример

Рис. 1. Растровая графика

Таким образом, хочется подчеркнуть, что, несмотря на отсутствие четких взаимосвязей в программах и учебниках, каждый из нас имеет широкие возможности для реализации связей между математикой и информатикой в процессе обучения. И это должно диктоваться прежде всего заботой о формировании диалектического мировоззрения обучающихся. Для этого нужно, чтобы содержание образования и методы обучения были органически взаимосвязаны и взаимозависимы.

Осуществление межпредметных связей математики и информатики для эффективного обучения студентов нам видится через интегрированные занятия; изучение смежных с математикой тем, наполнение занятий информатики математическими задачами. Например, решение задач с помощью табличного процессора МоЕхое!, таких как построение графиков функций и диаграмм; расчет геометрических параметров объектов; определение минимальной, максимальной площади фигур; решение задач на проценты; использование МоЕхое! для вычислений и др.

Подготовка рефератов, разработка и внедрение проектов, научно-исследовательских работ по смежным разделам и темам этих учебных дисциплин. В этом находит свое выражение главная задача межпредметных связей. При этом повышается эффективность обучения и воспитания, обеспечивается возможность сквозного применения знаний, умений, навыков, полученных на занятиях по этим предметам.

Список использованной литературы

1. Колмыкова Е.А., Кумскова И.А. Информатика. - М.: Академия, 2011.

2. Кульневич Т.П., Лакоценина С.В. Современный урок. Часть 1. - М., 2001.

3. Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 6. Интегрированные уроки. - М.: Учитель, 2008.

4. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. - М.: БИНОМ, 2006.

Электронные ресурсы

1. http://www.math-pr.com

2. http://profbeckman.narod.ru

3. http://www.kazedu.kz

4. http://www.fb.ru

© Дубогрей Т.Ф., 2016 © Селюта С. С., 2016