О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами

Уфимский математический журнал. Том 1. № 1 (2009). С. 38-68.

УДК 517.956.223

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕКОМПАКТНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Л.М. КОЖЕВНИКОВА

Аннотация. Выделен класс единственности решений задачи Дирихле для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами. Ограничение на рост решения формулируется в терминах геометрической характеристики неограниченной области О, введенной ранее в работах автора для квазиэллиптических уравнений. Доказано существование решения, принадлежащего установленному классу единственности.

Ключевые слова: псевдодифференциальные эллиптические уравнения, задача Дирихле, класс единственности, неограниченная область, область с некомпактной границей, существование решения, геометрическая характеристика.

1. Введение

В настоящей работе исследуются вопросы корректности постановки задачи Дирихле для некоторого класса псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченной области П пространства Rn+1 = {y = (x, y) = (y0, y) | x E R, y = (y1,... ,yn) E Rn}, n > 1.

Доказательству теорем типа Фрагмена-Линделефа, принципа Сен-Венана или выделению классов единственности решений для эллиптических уравнений посвящены работы Е.М. Ландиса [1], О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [2] - [4], А.Ф. Тедеева, А.Е. Шишкова [5] - [8]. Перечисленные утверждения, несмотря на внешние различия, характеризуют близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений. Подробный обзор работ по рассматриваемой тематике приведен в [9]. Здесь процитируем лишь результаты, сравнимые с результатами настоящей работы.

В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [2] - [4] получена априорная оценка обобщенного решения смешанной задачи для линейного эллиптического уравнения второго порядка, аналогичная оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. При этом рассматриваются области с конечным числом ветвей, достаточно произвольным образом уходящими в бесконечность. Граница области поделена на три части, на которых соответственно ставятся краевые условия первого, второго и третьего типа. Приведем характерное следствие из теорем 1, 2 работы [3] для решения задачи Дирихле

n

L2U = - ^

ij=0

Kojeynikoya L.M. On existence and uniqueness of solutions of the Dirichlet's problem for pseudodifferential elliptic equations in domains with non-compact boundaries.

© Кожевникова Л.М. 2009.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).

Поступила 27 февраля 2009 г.

и =0.

да

Для области П, лежащей в полупространстве = {у € Кга+1 | х > 0}, положим

] (у)иу1 иу3 ,

А(и) = ^ ац(у)и№щ., Пг = {у € П | х < г}, 7Г = {у € П | х = г}

г,]=0

0 < V(г) = т£ ^ J Л(д)^у

д

1т

Доказано, что обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) с Ф(у) = 0 в П подчиняется оценке

У Д(и)^у ^ Сехр I — J yV(X)dx \ J Д(и)^у, г < Д.

пт V г / пл

Отсюда вытекает следующая теорема единственности. Пусть и (у) - решение задачи (1.1), (1.2) с нулевой правой частью. Если для некоторой последовательности ЯN ^ то

г (*? \

Д

V1 /

где е(Як) ^ 0 при Як ^ то, то и = 0 в П.

А.Е. Шишковым в работах [5] - [8] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка с нелинейностью порядка р — 1, р > 1 в неограниченных областях с некомпактными границами. На их основе доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена-Линделефа о поведении решений на бесконечности. В качестве геометрической характеристики неограниченной области П С Кга+1 используется функция нелинейной частоты сечений 7(г) = {у € П | |у| = г}:

17

д

т

где У7д — проекция Уд на плоскость, касательную к 7(г). Очевидно, функция Vp(г) при р = 2 является обобщением функции V(г).

Кроме того, в работе [10] А.Е. Шишковым для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка доказано существование решения задачи Дирихле в областях с некомпактными границами, относящимися к классу "узких" в окрестности бесконечности, при экспоненциальном росте правой части.

С нашей точки зрения, геометрические характеристики неограниченной области П, рассматриваемые на сечениях этой области некоторым семейством гиперповерхностей, такие, как V(г), Vp(r), недостаточно эффективны для областей с нерегулярным поведением границы.

Прежде чем перейти к изложению наших результатов, введем некоторые обозначения. Положим: | • ||д — норма в пространстве аргумент Q = П может быть опущен;

= {у € П | г1 < х < г2}, причем значения г1 = — то, г2 = то могут отсутствовать. Определим область вращения

П

с положительной функцией /(х). От функции / будем требовать только то, чтобы множество П(/) было областью.

Пусть, например,

П(/а), /„(x) = max(1, x„); П(Д), £(x) = то, x = i, = Л i G N;

П(/а), /а(х) = /а(х), X = i, /„(i) = ib, i G N, 0 < b < а < 1.

Очевидно, что v(r, П(/а)) = v(r, П(/а)) при всех r > 0, за исключением натуральных точек, поэтому классы единственности (1.4) для областей П(/а) и П(/а) совпадают. Однако, в работе [9] для области П(/а) нами установлен существенно более широкий и точный класс единственности, такой же, как для области П(/ь), /ь(х) = max(1,xb):

lim exp(-Kbr1-b)||u|0r+i(i n = 0.

r—Ю Qr

Далее, поскольку v(r, П(/а)) = 0, r = i, i G N, то класс единственности (1.4) для области П(/а) не пригоден. Для области П(/а) также получен точный класс единственности, такой же, как и для области П(/а):

lim exp( к„г 1—а) ||u|| Qr+i(^^ = 0. Будем предполагать, что неограниченная область П С Rn+1 представлена в виде

оо

объединения П = (J H(N) последовательности вложенных H(N) С H(N+1) ограничен-

N=0

ных областей, удовлетворяющих следующим дополнительным требованиям. Дополнения n(N-1) = n(N) \ n(N-1) распадаются на конечное число подобластей w(N), i = 1,p(N) :

-1)

П^-1) = и ), N = 1, то. Пересечение (дП('^ПП распадается на конечное число

г=1

гиперповерхностей ), г = 1,р('), N = 0, то. Для множества Q С П введем обозначение

p

g

Определим векторы = (¿1'),..., ¿^) и Л(') = (Л^),..., Л^)) формулами

^ = -1)), АГ) = Л (Ч(')) , г = , N = 1ГГО. Р

Будем предполагать, что существует число 9 > 0 такое, что выполняются неравенства:

1 ^ 9А^

оо

Описанное выше представление П = У ) при выполнении неравенств (1.8) назо-

N=0

вем Л-разбиением области П. Понятие Л-разбиения можно считать обобщением понятия А-последовательности, введенного в [11] для области, расположенной вдоль выделенной оси Ох. А именно, предполагается, что неограниченная область П лежит в полупространстве М++1 и сечение не пусто при любом г > 0. Множества = определяются неограниченной возрастающей последовательностью положительных чисел {х'}оО=0. При этом последовательность {х'}ОО=0 называется Л-последовательностью, а условие (1.8) для

оо

разбиения П = У принимает вид

N=0

1 ^ 0A

где A(xn,xn+1 ) = а(пх^+1), An = xn+1 - xn.

Суть оценок сен-венановского типа состоит в отслеживании убывания "энергии среды" при движении вдоль линии, составляющей "ось среды". Нами предложен способ построения точек на этой линии (лямбда-последовательности) таких, что при переходе к следующей точке происходит спад "энергии среды" в фиксированное число раз. Доказательство точных сен-венановских оценок состоит в установлении верхней и нижней границы для этого числа.

Построение лямбда-последовательности основано на оценке первого собственного значения оператора, соответствующего уравнению, в области, заключенной между трансвер-сальными к "оси среды" поверхностями, проходящими через соседние точки последовательности.

До некоторого времени понятие А-последовательности считалось новым изобретением, пока не была обнаружена работа О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [12], в которой по существу использовался прототип этой последовательности для системы уравнений теории упругости. Приведем результаты этой работы для одного уравнения (1.1) с непрерывными в П симметричными коэффициентами, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности.

В работе [12] определяется неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел {Як}~=о такая, что

1 ^ 6(Як+1 — Як)2х(Як,Як+1), N = 0, то,

где

Х(г1,г2) = тг| А^) П(г2) \ П(п) С Q С П(^)| , п < г2,

П(г) = {у € П | |у| < г}, число в зависит лишь от п и констант равномерной эллиптичности.

О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян доказали следующую теорему единственности. Если обобщенное решение и (у) задачи (1.1), (1.2) в П удовлетворяет условиям

где е(Як) ^ 0 при N ^ то, то и = 0 в П.

Отметим, что в работе [12] не выделен класс областей, для которых существует последовательность {Як}к=0 и не установлена точность класса единственности (1.10).

Приведем необходимое и достаточное условие существования А-последовательности:

при любом г1 > 0 найдется г2 > г1 такое, что А

(см. [11], § 3, следствие 1 к утверждению 2). При этом А-последовательность можно построить, начиная с любого х0 > 0. Таким образом, А-последовательность существует для очень широкого класса неограниченных областей.

Ради некоторого упрощения формулировок результатов потребуем выполнение условия

А

Определим невозрастающую последовательность

А

Если выполнено условие (1.12), то А^) > 0, N € N. Тогда, очевидно, справедливо неравенство

Назовем А-последовательность {х^}^=0 с числом в > 0 оптимальной, если существует положительная постоянная С (в) такая, что для любой другой А-последовательности {xJ }^=0

с числом в > 0 справедлива импликация

Установлено, что оптимальной является А-последовательность с минимально возможными, без нарушения условия (1.9), интервалами (ж^,ж^+1) (см. [11], утверждение 3).

Для областей вращения вида (1.6) приведем способ построения А-последовательности. Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {хк}к=0 определим индуктивно

xN+1 = sup < r

inf f

начиная с Xo = 1. Эту последовательность назовем П-последовательностью функции f. Установлено, что П-последовательность является А-последовательностью для области ^(f) (см. [9], следствие 3.1).

Если существует постоянная w > 1 такая, что

sup {f

то П-последовательность {xn)к=0 является оптимальной А-последовательностью для ^(f), и существуют постоянные с, w > 1 такие, что справедливы оценки

X N XN

1 f dx ^ _ f dx ^ _ _.

c J № " N " VTix)' N > 1

11

__1 ^ xN+2 — xN +1 ^ _

_-1 ^ -^ _, N = 0, то,

хк+1 — хк

(см. [9], следствие 3.3). Приведем результаты, установленные для решения задачи Дирихле в случае уравнения

п п

—¿2и = ^

г,]=0 г=0

c граничным условием

u

= Ф

дП

.

дП

Действительные коэффициенты уравнения (1.20) считаем измеримыми в П и ограниченными для п.в. у € П функциями

для любых ъ € Кп+1 и п.в. у € П удовлетворяющими условию

п

^Т ац

г,]=0

Рассмотрим вопросы существования и единственности решения задачи с локально суммируемыми данными Ф(у), Ф(у) = (Ф0(у), Ф1(у),... , Фп(у)), Ф(у). В § 3 выделен класс единственности решений задачи (1.20), (1.21), для областей с нерегулярным поведением границы этот класс может быть шире класса единственности (1.4). В случае уравнения Лапласа установлена точность найденного класса единственности.

Через = {п, в, а, а} обозначим набор постоянных, зависимость других постоянных от этого набора будем указывать в круглых скобках.

Теорема 1. Пусть {eN}00=0 _ произвольная последовательность положительных чи-

оо

сел. Пусть для области П существует \-разбиение П = (J П^\ удовлетворяющее усло-

N=0

вию (1.12). Тогда найдется положительная постоянная ft2(S2) такая, что, если для решения u(y) задачи (1.20), (1.21) с Ф(у) = 0, Ф(у) = Ф(У) = 0 выполнено одно из условий

lim exp

N—ю

lim exp

N—0

то u = 0 в П. Здесь n(N)+"N = {У е П \ ПМ | dist(y, S(N)) < £n}.

Точность установленных классов единственности доказана нами для областей вращения, поэтому приведем следствие теоремы 1 для областей, расположенных вдоль оси Ox.

Теорема 1'. Пусть {eN}00=о _ произвольная последовательность положительных чисел. Пусть для области П существует А-последовательность {xN}00=о, подчиняющаяся требованию (1.12). Тогда найдется положительная постоянная ft2(S2) такая, что, если для решения u(y) задачи (1.20), (1.21) с Ф(у) = 0, Ф(у) = Ф(У) = 0 выполнено одно из условий

lim exp

N—0 0xN

lim exp

N —>0 xN

то u = 0 в П.

Отметим, что класс единственности (1.25') близок к классу (1.10). При £n = xn+1 — xn для достаточно больших N, очевидно, ограничение (1.24') слабее, чем (1.25').

оо

Конечно, классы единственности (1.24), (1.25) зависят от представления П = У П(^.

N=0 _

Поскольку мы не следим за точным значением к2, можно считать, что оптимальная А-последовательность при фиксированном в обеспечивает "наиболее быстро убывающую" с ростом x = xn экспоненту в (1.24'). Отметим, что постоянная к2 определяется параметром в, и согласно (3.4) к2 ^ C/л/в.

Следующая теорема является следствием теоремы 1' для области вращения.

Теорема 2. Существует положительная постоянная ft2(S2) такая, что, если для решения u(y) задачи (1.20), (1.21) в области П(/) с Ф(у) = 0, Ф(у) = Ф(У) = 0 выполнено условие

/ r

dx

/X)

1

то u = 0 в П(/).

Для задачи Дирихле в области вращения П(/) в случае уравнения Лапласа

Au = 0

в [9, теорема 0.3] построен следующий пример неединственности решения.

Теорема 3. Пусть для функции /(x), x > 0 существует положительная функция /(x) ^ /(x), x > 0 такая, что П-последовательность {xN}00=о функции /(x) удовлетворяет условию (1.19). Тогда в области вращения П(/) существует неотрицательное ненулевое решение задачи (1.27), (1.2), подчиняющееся оценке

u

c положительной постоянной к*, зависящей только от п.

lim exp I —к2 / f.

Для областей вращения П(/) в условиях теоремы 3 при дополнительном требовании того, что существует постоянная ^ > 1 такая, что для П-последовательности (ж^}00=О функции /(ж) справедливы неравенства

т£ /

[х« ,Х«+1]

получено

1Ы1пХ«+1

Таким образом, установлена точность класса единственности (1.24') для области П(/). Действительно, применим теорему 3 в ситуации, когда выполнено условие (1.29). Поскольку П-последовательность функции / является А-последовательностью для области П(/) (см. утверждение 3.1 [9]), то сравнивая (1.24') при = А^, N = 0, то, и (1.30), приходим к выводу, что в случае уравнения Лапласа постоянная к2 в классе единственности (1.24') для области П(/) не может быть заменена на неограниченно возрастающую последовательность (к^}00=О. В этом смысле, построенный пример показывает, что найденный класс единственности для области П(/) нельзя существенно расширить.

Понятие А-последовательности, введенное для уравнений второго порядка в случае областей, расположенных вдоль оси Ож, несложным образом обобщается на некоторый класс уравнений, которые являются дифференциальными по выделенной переменной ж и псевдодифференциальными по остальным переменным, в том числе на уравнения высокого порядка.

Через В(ъ), ъ Е будем обозначать непрерывные положительные при п.в. ъ Е функции такие, что

На множестве комплекснозначных функций $(у) = $(ж, у) Е С^(Кга+1) при каждом ж Е К определим функционал

110

где — преобразование Фурье, к — натуральное число, д — целое неотрицательное

число, д ^ к. Здесь и далее используется обозначение Х0 = 0, Хр = 1 при р = 0.

ь

Для д(ж,у) Е С°(П) положим ||д|||й (аЬ) = / П^(ж)П!й ^ж, индекс (-то, то) заменяем на

а

К.

Обозначим

А[Вй,д]

Для неотрицательных р положим

у

^[а,Ь] = / Ра, Р < 1, РЬ, Р > 1,

= ^ ' а,ь > 0.

Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел (ж7}0°=о назовем А[В^,д]-последовательностью области П, если существует число в > 0 такое, что справедливы неравенства

1 ^ вА

где А(жJ^+1) = А[БМ](жJ, жJ+l), AJ = ЖJ+l - ЖJ.

Необходимое и достаточное условие существования А[В^,д]-последовательности формулируется также, как и в случае уравнений второго порядка (см. условие (1.11)). При этом

А-последовательность можно построить начиная с любого ж0 > 0 (при д > 0 доказательство аналогично тому, как это было сделано в [11] (§ 3, следствие 1 к утверждению 2). А при д = 0 неравенство ||#(ж)||Вк0 > ||д||к„, ж € К влечет неравенство

А[ВМ]

Поэтому А[В^;0]-последовательность можно построить всегда начиная с любого ж0 > 0. Действительно, выбирая 9 > 1, можно положить, например, = ^ + 1, 3 = 0, то. Ради некоторого упрощения формулировок результатов потребуем, чтобы

А0 = А[ВМ]

В случае д = 0 требование (1.35) выполняется всегда, поскольку, как уже отмечалось, А0 > 1.

Определим невозрастающую последовательность

А[ВМ]

Если выполнено условие (1.35), то ) > 0, N € N. Тогда, очевидно, справедливо

неравенство

Назовем А[В^]-последовательность {ж^}0=0 с числом 9 > 0 оптимальной, если существует положительная постоянная С(9,к,д) такая, что для любой другой ^последовательности {^}0°=0 с числом 9 > 0 справедлива импликация (1.15).

Установлено, что оптимальной является ]-последовательность с минимально воз-

можными, без нарушения условия (1.33), интервалами (ж, (при д > 0 доказывается

аналогично тому, как это было сделано в [11] в утверждении 3 , при д = 0 см. [13], утверждение 4 ).

Для областей вращения приведем примеры А[Вк)(?]-последовательностей. С этой целью определим понятие П[к, д, ф]-последовательности. При этом на функцию В(2) накладываются следующие ограничения.

Потребуем, чтобы функции В8(28) = В(0,..., ... , 0), € К, 5 = 1, п были четными возрастающими при > 0 и существовали положительные числа с1, с2 такие, что

Вв

Вв

Будем предполагать также справедливость неравенств

B

Положим

0s

Потребуем, чтобы lim Bs(z) = то, s = 1,n, следствием чего является

lim0s(r) = 0, s = 1,n.

r^Q

Например, для функции В2(2) = ^ {г^™8 + соответствующие функции определя-

8=1

ются равенствами В;2(2) = 22т + , ф2(г) = гг2т8 , г > 0, € N, ^ т8, 5 = 1,п.

При этом выполняются условия (1.38) - (1.40). Нетрудно показать, что

_LrM ^ ф(г) ^ rM, r > 0,

V 2

где m = max ms, l = min ls.

s=1,n s=1,n

При д > 0 неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел ^ определим индуктивно следующим образом:

Ы ф

Х6[Х7 ,г] I

X J +1 = БИр < Г

начиная с ж0 = 1. Эту последовательность назовем П[к, д, ф(г)]-последовательностью функции /. Аналогично, при д = 0 полагаем

X J +1 = вир < Г

Ы ф

хб[х 7 ,г]

начиная с ж0 = 1. Эту последовательность обозначим через П[к, 0, ф(г)]. При этом обозначение П[1,1,г] будем сокращать до П. В [13](следствие 1 к утверждению 5) установлено, что при д > 0 П[к, д, ф(г)]-последовательность является ]-последовательностью для

области П(/).

Пусть существует положительная постоянная с3 такая, что справедливо неравенство:

В

8=1,п

Если при этом найдется постоянная ш > 1 такая, что

8ир{/

то П[к, д, ф(г)]-последовательность {ж^}^=0 является оптимальной ]-последователь-

ностью для П(/) и существует положительная постоянная с такая, что справедливы оценки (см. [13], утверждение 7) (1.19) и

XN ХЯ

с-Ч-^-Г < N < с/-^-Г, N > 1.

1 Ф(/(ж))[ к 1 ф(/(ж))[ к

Здесь а(д) = 0, если д = 0, и а(д) = 1/д в ином случае. В частности, П[к, д, г[т'1]]-последовательность функции / (ж) является оптимальной Л [В^]-последовательностью с

п

В2(ъ) = ^ {¿2™ + г^1'} для П(/) (при д = 0 считаем, что I = = 1). 8=1

Рассмотрим псевдодифференциальное эллиптическое уравнение:

= £

Множество индексов а = (г, а), в = (г, в) е ^ имеет вид:

5 ={а =

Псевдодифференциальные операторы Та с комплексными символами Аа(ж, ъ) определяются равенствами

Т= ^"_1у[Аа(ж, ъ)^2[и]],

а псевдодифференциальные операторы Та имеют комплексносопряженный символ Аа (ж, ъ).

На измеримые комплекснозначные функции Аа(ж, ъ), а = (г, а) е 5 наложим следующие условия. Существуют число А > 0 и функция В(ъ) такие, что для п.в. (ж, ъ) е Кп+1 справедливы неравенства

1 ^ ъ) АВтах

Здесь и ниже при д = 0 считаем, что дробь г/д равна то.

Потребуем эллиптичность оператора С в следующем виде. Пусть существует положительное число а и функция В(2) такие, что в дополнение к (1.48) для формы

0(5) = ^ а«в(У)ТД£д справедливо неравенство

и« / 0ыау > а|ЫИмд, 5

Кп + 1

в котором имеется ввиду естественное вложение С0(П) С С0(Кп+1).

Комплекснозначные функции а?в(У), а, в € 5 будем считать измеримыми в П, продолженными нулем вне П, ограниченными для п.в. у € П

I «ав

о

Для уравнения (1.46) с Ф €О Bfc (П) , Ф(У) € WBfc?,1с(П) рассматривается комплексно-значное решение задачи Дирихле из пространства Wвk ,1С(П) с граничным условием

и

оо

Определения пространств О (П), Wвkд,1с(П), Нвк , ?,1с (П) приведены в § 1. Естественно, что вещественное уравнение

Си = £

является примером псевдодифференциального уравнения (1.46). Здесь а = (г, а) = = (г,а1,... , ап) — мультииндексы с целыми неотрицательными числами г, а8, 5 = 1,п, | а |= г + а1 + а2 + • • • + ап. Множество 5 определяется параметрами д, к, д ^ к, /8, € N ^ т8, 5 = 1, п следующим образом:

5 = < а =

Ма) = " + ^ + ••• + у- > 1,

/_Ч г . а1 . а2 . П . ап . 1 ^ .

V (а) = - I---1---1-----1--^ 1

к т1 т2 тп

При д = 0 будем требовать = 1, 5 = 1, п.

Для уравнения (1.52) ставится задача Дирихле, определяемая следующими граничными условиями:

К и

= Ф

да Х

, г < к; Д?8и

да

= Д?8 Ф

да

, а8 < т8, 5 = 1,п.

да

Потребуем, чтобы для коэффициентов уравнения (1.52) для действительных функций 5(У) € С0(П) выполнялось следующее неравенство:

Установлено, что решение задачи (1.52), (1.54) будет действительным (см. [13], § 1, замечание).

Задача Дирихле (1.20), (1.21) является частным случаем задачи Дирихле (1.46), (1.51). Если выполнено условие (1.23), то справедливо неравенство (1.49) с параметрами

п

к = д =1, В2(2) = £ 2?.

8=1

Далее через 2 = {п, к, д, 9, а, а, А} обозначим набор постоянных. В § 2 выделен класс единственности решений задачи Дирихле (1.46), (1.51) с локально суммируемыми данными.

Теорема 4. Пусть {eN}^=0 _ произвольная последовательность положительных чисел. Пусть для области П существует A[Bk,q]-последовательность, удовлетворяющая условию (1.35), и выполнены требования (1.48) - (1.50). Тогда существует положительная постоянная к(£) такая, что, если для решения u(y) задачи (1.46), (1.51) с Ф = 0, Ф(у) = 0 выполнено условие

lim exp

N 0xN

то u = 0 в П.

Несложным следствием теоремы 4 в случае областей вращения является следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (1.48) - (1.50), (1.38) - (1.40), тогда существует положительная постоянная «(£) такая, что, если решение u(y) задачи (1.46), (1.51) в области П(/) с Ф = 0, Ф(у) = 0 подчиняется требованию

™ \ 1 Ф

то u = 0 в П(/).

Для области П(/а) c функцией /a(x) = max{1,xa}, а > 0, x > 0 класс единственности (1.57) решения задачи (1.52), (1.54) при q > 0 приводится к виду

Hm exp (—каг1-^)) ||u|or+i(/a) = 0,

где при q > 0 предполагается а < q/Z. В области П(/-а) c функцией /-a(x) = min{1,x-a}, а > 0, x > 0 класс единственности (1.57) решения задачи (1.52), (1.54) при q > 0 приводится к виду

Ит exp (—K-„r1+am/fc) Hu^f = 0

Таким образом, для расширяющихся областей младшие, а для сужающихся областей старшие члены уравнения (1.52) играют определяющую роль в формировании предлагаемого здесь класса единственности.

При n =1 для уравнений uxxxx = uyy и uxx = uyyyy в области П(/а) класс единственности (1.57) принимает вид, соответственно,

Ит exp (—K„rl-a/2) ||u|or+1 (fa) = 0, ^m exp (—к„rl-2a) ||u|0r+1(/o) =

Таким образом, классы единственности зависят от направления, в котором расположена область, то есть классы единственности для одного и того же уравнения анизотропны.

В § 4 доказана теорема существования решения задачи (1.46), (1.51) с экспоненциально растущими данными Ф, Ф(у), принадлежащими классу единственности, определяемому условием (1.56).

2. Вспомогательные утверждения Для функций v,w Е C^(Rn+1) введем следующие обозначения:

(„, „к, = / в2 (z)F + / + ^} dy,

Rn Rn

b

(w,v)ßfc,q ,(a,b) = / (w(x),„(x))Bfc,q ^

G(w,v)= Е (w,v)g,(a,6) = J J G(w,v)dxdy,

индекс (-то, то) заменяем на R.

о

Гильбертовы пространства Нвк q (Пг), Wßk (Пг), r > 0 определим как пополнения пространств комплекснозначных функций С0(Пг), Cjf(Rra+i) по нормам ||г||вк ,r,

(|M||fc R + ||г|Щг)1/2, соответственно. Отметим, что нормы пространств HBfc 0 (Пг),

о

WBk 0 (Пг) совпадают. Пространства HBk ,ic (П), WBk ,к(П) составим из функций u(y), определенных в П, для которых при любом r > 0 найдется функция из пространства

о

Нвк (П), Wßfc (П), соответственно, совпадающая с функцией u(y) в Пг. Поскольку локальность мы понимаем здесь в необычном смысле, то индекс loc заменен на lc.

о

Через Н Взк Ч(ПГ) обозначим пространство линейных непрерывных функциона-

о о 00 о

лов на Нвк q (Пг), r > 0. Определим пространства G ßfc q (П) = (J Нвк q (nN),

' ' N=0 '

о °° о о о

G В (П) = п Н В (ПN). Очевидно, G В (П) = lim рг Н *в (ПN) и справедливо вло-

k , q N=0 k 'q k ' q N^o k , q

жение , q (П) cG Bfc, q(П) . _

Обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (1.46) назовем функцию u(y) из пространства Wßfc ,1С(П), удовлетворяющую интегральному тождеству

для любой функции г(y) е С0°(П) и условию (1.51). Если ввести обозначение

о

w(y) = u(y) — Ф(у) еНВк q,1c (П), то (2.1) перепишется в эквивалентном виде

о

Пространства Н 2(П), ^^(П) определим как пополнения пространств вещественных функций С0(П), C0°(Rn+1) по нормам ||Vv||, (||Vv||2 + ||г||2)1/2, соответственно. Про-

о

странства H¿2 ic (П), W2 к(П) составим из функций u(y), определенных в П, для которых

о

при любом r > 0 найдется функция из пространства H 1(П), Ж^(П), соответственно, совпадающая с функцией u(y) в Пг.

Для функций е C0°(Rn+1) введем обозначения:

/га

wvdy, (w,v)a = ^(aij ,гл,.). n ij=0

Для уравнения (1.20) с Ф(у) е L2 ,1c(П), Ф(у) е L2, 1c(П), Ф(у) е W^ 1c(П) рассматривается действительное решение задачи (1.20), (1.21). Обобщенным решением задачи (1.20), (1.21) назовем функцию u(y) е ^^(П), удовлетворяющую интегральному тождеству

для любой функции г (у) е С0°(П) и условию

о

u(y) — Ф(у) ен 2,к(П).

о

Если ввести обозначение w(y) = u(y) — Ф(у) еН ^ 1c(П), то (2.3) перепишется в эквивалентном виде

b

Вопросы существования решения краевых задач для псевдодифференциальных эллиптических уравнений рассматривались многими авторами (см. работы [14], [15] и др.). Здесь формулируется теорема существования решения задачи (1.46), (1.51), доказательство которой приведено в работе [13].

Теорема 6. Пусть для области О существует Л[Вк,д]-последовательность (ж^}^=0,

выполнены условия (1.35), (1.48) - (1.50). Тогда существует единственное обобщено

ное решение и(у) задачи (1.46), (1.51) с функционалом Ф ЕЙ (О) и функцией Ф(у) € Wekg(О), удовлетворяющее оценке

Лемма 1. Для любой функции д(ж) € Сте[а,6] и любого £ < (Ь — а)2 справедливы неравенства

ь ь

/

а а

где С > 1 — постоянная, зависящая только от г, причем > С^. Здесь г — произвольное натуральное число.

Доказательство леммы см. в работе [11].

Следствие 1. Пусть А = Ь—а, П =

при любом е € (0,1] для г = д, р = 0, г — 1 справедливы неравенства:

"Р < е Гц 2 + х 1 + ^»Па .

Доказательство. Из (2. 6) при £ = еА2 , е € (0,1] следуют неравенства ь ь ь

" (Р д)2

- ^ Ск-Р ( Т~)к I „2

у А2к—Р¿ж < е ^ д) + ёРА^ У # ¿ж Р = 0^ г = 0,&

а а а

Делая в них замену е = е*-Р, е € (0,1], при А < 1 выводим неравенства ь ь ь

4 „. 0 ¿ж < е I (Рд)2^ж +--т- д2^ж, р = 0, г — 1, г = 1,

А2г-2р У 1 ^ е.-р А2к У

¿ж < е[(рд)2^ж +

7 е А

а

ь ь ь

Г \2/ , [ (глк„\2, , е /"„2

У ет— А2к J

а а а

Проинтегрировав их по у € Кга, устанавливаем неравенства (2.7), (2.7') при А < 1. Пусть теперь А > 1, применяя неравенство (2.6) при £ =1 для РХд, выводим

урХд)2^ {

аа

Проинтегрировав (2.9) по у € Кга, получаем (2.7').

ь

ь

Снова запишем неравенство

Соединив (2.10) с (2.9), при Д > 1, p = 1, i — 1, i = q, k получаем

b b b Д2р-2^

Полагая 6 = 6 p, из (2.11) при p = 1, i — 1, i = q, k выводим неравенства

b

Д2р-2г /(Dg)2dx < 6 í {(DXg)2 + Xk-qGk-q(DXg)2} dx + -6^ í g2dx.

о-Р Д2?

а а а

В итоге, делая замену е = проинтегрировав их по у £ Мп, получаем (2.7).

Лемма 2. Пусть Д = Ь — а, д > 0, а = (г, а) и символ Аа(х, 2) псевдодифференциального оператора Та удовлетворяет условию (1.48). Тогда существует положительная постоянная С (А, к,д) такая, что для любой функции д(х, у) £ С§°(Кга+1) при любом е £ (0,1] справедливы неравенства:

.. ||2 с^НУНПь --, ч

~ 1Ы1 2

irDXgnn& < C í llglHfc , q>

Доказательство. Сначала для n¿, а £ S, p = 0, i — 1, e £ (0,1] установим неравенства

l|TaDgg»na < /|IBF[g]ll2 + гап* + X llDlg"ns + C llgnna

Г^НП „( 2 IlD^gin* НВДП* llglin* \

^ < C Ml^F[g]^ + + Xk-q+ .

Д 2i

Далее, чтобы получить (2.12), (2.12'), достаточно сделать замену переменной x = a + хД в (2.13), (2.13').

На первом шаге будем рассматривать функции g(x, y) £ C0°(n¿). Для них справедливо разложение в ряд Фурье

i

о „

g

j=i o

Продифференцировав (2.14) p раз по x и применив оператор Ta, получаем равенства Пар-севаля

1 о

|TaDXg|2dx = Ep £ j2p|Taaj(y)|2, p = 0,1.

o j=i

b

b

Интегрируя их по у € Кга и пользуясь равенством Планшереля, получаем

те „

^ = 1 Кп

Здесь функции а^-(7) являются преобразованием Фурье функций а^-(у). В частности, справедливо соотношение

оо

^=1 то

Установим для а € £, р = 0, г — 1, 8 € (0,1) неравенства

_ 32р Г / 3 \2« / 3 \2к Л2к/(^-Р) 1

№г)г2<+ Ц) + в2М + г^РАм)•

№ ^ < Л2 {

Рассмотрим сначала случай А < 1, В(7) < 1. Используя условие (1.48) и неравенство Юнга при р = 1, г — 1, для р = 0, г — 1 получаем оценки

- 32Р / 3 \2Р А2 / 3 \2к Л2к/(г-р)-

№ 7)|2< 3 ЖР) < X8 3 + Ск/

А2^ \А) А2(к-Р^ Р \А/ ^к/(^-Р)А2к' В случае р = г также выводим

•2г / • \ 2г / • \ 2к

„М2 3 ^ д^ 3 \ ^ л2 ( 3

Далее рассмотрим случай В^) > 1. Согласно условию (1.48), используя неравенство Юнга для г = 1, к — 1, выводим

_ 3 2р 3 2р Л 2к/« 3 2р&/г _

Применяя еще раз неравенство Юнга при р = 1, г — 1, для 8 € (0,1) устанавливаем неравенства

^ Л2к/(«-Р) _

32рк/«л2к/« < Хр832к + Л-, р = 0, г — 1.

8р/

Положим 8 = е*^, тогда 8(к-«)/«8р/(«-р) = е-1^-^. Соединяя (2.18) и (2.19), получаем

_ 32р / / 3 \2к Л2к/(«-р) \ _

Для р = г, применяя неравенство Юнга при г = 1, к — 1, для г = 0, к выводим

Пусть А > 1, В (7) < 1, тогда, ввиду (1.48), справедливы неравенства

_ 32р 32р

Пусть г > д > 0, тогда из (2.21), воспользовавшись неравенством Юнга при р = 1, г — 1, выводим неравенства

а- 2 42р /А2р А2 /¿\

2)|2Дй ^ ^ ^Д) + —¡/(г-Р)Д2г ^

4 \ 2« / 4 \ 2к А2к/

^ — д) + (Д) + е*/«-^), р = 0,г — 1.

Для р = г из (2.21) получаем неравенства

№ 2)|2 ^ Д) 21 ^

При г < д, д > 0, применяя неравенство Юнга для г = 1,д — 1, из (2.21) выводим

_ 4 2р _-2р А2д/г„- 2рд/г

2)|2^ А2В^ 2

Используя неравенство Юнга для р = 1, г — 1, устанавливаем

^ А2«/(^-Р) _

4^А^Л ^ х»-'2« + ^-, р = 0, г — 1.

Положим 5 = е^, тогда -МА^рЛ^ = г-1-?/(*-р). Соединяя (2.23), (2.24) устанавливаем неравенства

, ^ — Б2

Д2я у ^ ' \Д) —/(¿-Р)Д2?

При р = г из (2.21), применяя неравенство Юнга для г = 1, д — 1, для г = 0, д — 1 выводим неравенства

Установленные неравенства (2.17), (2.20), (2.22), (2.25), (2.17'), (2.20'), (2.22'), (2.25') обеспечивают, соответственно, неравенства (2.16), (2.16').

Подставляя (2.16) в (2.15), для — £ (0,1) при а £ £, р = 0, г — 1 получим

— Д^ ^

Пользуясь (2.15), (2.15'), из последнего выводим (2.13) с С = (А2Ер)й/(г-р), е = —Ер.

Докажем теперь неравенства (2.13) для функции д(—, у) £ С^(Мп+1). Известно (см. [16], гл. III, § 4, п. 2), что для любого к £ N существует оператор продолжения

= д. При этом справед-

0

Ег : С~(Щ) ^ С~(П2_1) такой, что ,у) = Ег(д(—,у)), д ливы неравенства

^ С.РкНПй. (2.27;

Поскольку оператор Е^ коммутирует с преобразованием Фурье по у, то справедливо неравенство

Пусть ^(8) € С0°(—1, 2) - срезающая функция, не превосходящая единицы, равная единице на [0,1]. Тогда для функции v = д^, принадлежащей С0ю(П;1), при помощи (2.13) для е € (0,1], р = 0, г — 1, а € 5 можно установить, что

А2« <е ек/(«-р)А2[к,9] + оп,

32к -^П1 + 32* ^^ + ||В(^ [V] ||П—1

Поскольку срезающая функция ^(8) зависит только от 8, то следствием неравенства (2.28) является оценка

Кроме того, пользуясь (2.27), для г = 0, к выводим соотношения

/ г \ 2 г г

ИРН|П—1 < Е СГ ИР-^Ип—1 < Е1(г) £ ИРЗ^дИП^ 1 < Е (г) £ С||^д||П0.

\г=0 ) г=0 г=0

Далее применим неравенства (2.6) с £ =1, имеющие в данном случае следующий вид:

№НП1 < ИРзвдНПа + СИдМП0, г = 0,1.

В результате получаем

Подставляя (2.31), (2.30) в (2.29) для д € С0°(Кга+1), для р — 0, г — 1 выводим неравенства

||та^ < еС /,ВР,,„2 + + Х ВДПа + МgМПi \

-^- < еС I [¡^„о + А2к + Ак-« Д2» + ек/«-р)А2М  32)

Делая замену е = еС, выводим (2.13) для д € С0ю(Кга+1). Сложив неравенства (2.13), записанные для действительной и мнимой частей, устанавливаем (2.13) для д € С^0(Кп+1). Итак, (2.13) доказано в общей ситуации.

Неравенства (2.13') выводятся из (2.16') аналогичным образом. Лемма доказана. Определим невозрастающую функцию п(ж) € Сте(—то, 1), равную 1 и 0 при ж < 0 и ж > 1, соответственно, и на интервале (1, 1) равную 1 — ж. Для ж € (0,1) справедливы неравенства

|Р8п| < 8, 5 = 0, то. Рассмотрим функцию па,ь(ж) = П (Х-^) , А = Ь — а, для нее справедливы неравенства

|Dsna,b| ^ , s = 0, то.

Нетрудно показать, что

Dp<b = £ В™*"*' П na0b(Dna,b)P1    (D W , Р = Ü,

8=1 Р1 + ...+вРя=Р

Р0+Р1...+Рв=т

где Вррр1-р* - целые неотрицательные числа. Очевидно, р0 > к — р. Ввиду (2.33) при ж € (а, Ь), р = 1, к справедливы неравенства

| ВЧь|< ЕВр0р1-р- П ПрОь

8=1 Р1 + ... + вр3 =р V / V /

Р0+Р1+...+Рв=Т

Для функции р[а,ь] приведем некоторые неравенства, которые будут использованы в дальнейшем:

если р < 6, то р[а,ь] < £[а,ь];

если с > 1, то

Лемма 3. Пусть А = Ь — а, д > 0, а = (г, а) и символ Ла(ж, 7) псевдодифференциального оператора Та удовлетворяет условию (1.48), тогда существует положительная постоянная С (Л, к,д) такая, что для любой функции д(ж, у) € С^°(Кп+1) при любом 5 € (0,1] для р = 0, г — 1 справедливы неравенства:

, А2

ь 1Ы1 2

д2^—- < 5у « (Н^ННКп + ||рХд(ж)|и ¿ж + др--, (2.38

ь

II оИ2

Доказательство. Положим Ьг = Ь — ^, Аг = , г = 0, то. Для функции па,ь(ж) справедливы равенства

тах Па,ь

[ьг ,ьг+1] 2' [ьг ,ьг+1] 2'+1

Сначала выведем неравенства (2.37). Применяя (2.39), (2.12), (2.35), (2.36), для р = 0, г — 1, г = 0, то оценим интегралы

[ Па(ь-г+р)|ТаРХд|2 ^у < 2-2(гк+г-р) (е /||д||2 ¿ж + е^^^ 11д12Ьг+1 ) <

П°г + 1 ог

Ог+1

е С22

< е22(к-г+рМ п2ь||д(ж)|Ик,¿ж + 11д|

} , 4 еР Д2[М Пьг

Положим е = 52-2(к-г+р), 5 € (0,1]. Для р = 0, г — 1

р = 0, г — 1 имеем

к —г+Р

е22(к-г+р) = (2?*\ ^ < 22к(к-1).

к \ с I ^ к

е г —Р \ 5 / 5 г —Р

Таким образом, для р = 0, г — 1, г = 0, то установлены неравенства п2;ь-г+р)|ТаРХд|2 ^ Д+1 2^ ч,,2 , , С5

пЬГ+1

О:

Суммируя их по г = 0, то, выводим (2.37).

Применяя (2.39), (2.12'), (2.35), (2.36) выводим неравенства

/ Ьг+1

г + 1 г

Ьг+1

£ П^ЫИ^х + ССД2М НдН^, г = 0, то.

Суммируя их по г = 0, то, выводим (2.37'). Неравенства (2.38), (2.38') выводятся аналогичным образом с применением неравенств (2.7), (2.7').

3. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ

Установим оценку Сен-Венановского типа для эллиптического уравнения второго порядка (1.20).

оо

Предложение 1. Пусть для области П существует Х-разбиение П = и П^), под-

N=0

чиняющееся требованию (1.12) и }00=о _ произвольная последовательность положительных чисел. Тогда найдутся положительные постоянные к2(^2) и М1, М2(^2) такие, что если Ф(у) = Ф(у) = 0, Ф(у) = 0 в при некотором N £ N то для 'решения

и (у) задачи (1.20), (1.21) при всех V = 0, N — 1 справедливы оценки

11Т7 II ^ М еХР { —— V)} и и П

если Ф(у) = 0, Ф(у) = 0 в

П^+1) при некотором N £ N то для решения и(у) задачи (1.20), (1.21) при всех V = 0, N — 1 имеют место неравенства

0

Доказательство. Пусть £2(у) липшицева неотрицательная срезающая функция такая,

о

что Ф£2 = 0, Ф£2 = Ф£2 = 0. Положим в (2.3) V = (и — Ф)£| £Н2(П), установим тождество

(«ХгЬ = 0.

Используя (1.23), (1.22), получаем

00 Зафиксируем натуральное число N и целое неотрицательное число V ^ N — 1. Выберем к2 так, чтобы

2^К2в2кз а

Построим определенную в П липшицеву функцию £2(у), удовлетворяющую условиям

1, у £ ПН;

/ /• чч I . I, dist(S7j),у) ехр (—к2(4 — V)) ехр к2 тт 1, -

ехр(—— V)) тт ( 1,-—- I, у £ П(^ ;

£2(у) = ^ у £ Ч(Л, г = 1,р(Л, 4 = V + 1, N; ехр (—— V)) тп 0, у £ П \ П(N.

Здесь S(N)+£N = {y £ П \ H(N) | dist(y,S(N= £N}. Нетрудно установить следующие соотношения

exp

V2I ^ j, У £ i j = V +1,N;

ti

maxi2

г г

В неравенстве (3.3) положим £2 = £2, пользуясь тем, что V£2 = 0 вне , применяя

(3. 5), (3. 6), выводим:

- Г - - Г - -

j=V 0(j+1) n<N )+£N

0

^ 2a(n +1) £ £ / |u||Vu|^fSdy + 2a(n + 1) / ?2|u||Vu|eXp(-K2{N - V})dy. ,=7+11=1^ tj J £n

j=v+1 г=1 ,.) г 0(N)+^N

шг 0

Для j = 1, то установим соотношения

1 U jU 1 dy ^ Vö / |Vu|2dy, i = 1,,

, ^ J I v7u|2dy, i = 1,p

Для этого достаточно воспользоваться определением (1.7) и условием (1.8):

2

(,) dy ^ |Vu|2^ + yJ jdy ^

•У tt ~ ^ J (t('

г г г

£ f __ I о т_ 0Aj) f О 1

^ 2J |Vu|2dy + u2dy ^ 2 + £J J |Vu|2dy.

-j -j

Выбрав £ = выводим (3. 9). Ввиду (3. 7) из (3. 9) получаем неравенства

-2

J tt

Далее оценим интеграл

f tl II V7 | exP ( K2{N - V £ f £2. 2 exp (-2k2{N - V}) f 2 j— I e2|u||Vu|-dy / e2|Vu| dy+-—2- / u dy.

J £N 2 J 2£n £

0(N)+£N 0(N)+£N 0(N)+£N

0

Выбрав £ = установим неравенство

f 7 I IIV7 I eXP ( K2{N - V / е2|u||Vu|-dy ^

J £N

0

< e2K2 ^ / S|Vu|Vy +eXP4-^N2£NV}) / u2dy.

0(n)+^N N 0(n)+^N

0

Пользуясь (3. 10) и последним неравенством, из (3. 8) получим оценку

12 < 2а(п + 1)к2^е2кз / c2|Vu|2dy+

м

а(п + 1)ехр(—— V + 1}) Г

ь17+7-4- 1

)

Соединяя (3.3) при |2 = |2 и (3.11), пользуясь (3.4), выводим соотношение

,,2 ^ а(п + 1) ехр ( —2к2(^ — V + 1}) и ц2

Неравенство (3.1) доказано.

Теперь докажем неравенство (3.2). Построим определенную в О липшицеву функцию <2 (у) такую, что

8;(у) =

Г ^2(у), у € О(м);

, чч

ехр (—к2(^ — V)) шт 1,

^+1)

у € +1), г = 1,р(м+1); 10, у € О \ О(м+1).

Очевидно, справедливы неравенства

В неравенстве (3.3) положим |2 = 82, пользуясь тем, что V<82 = 0 вне О(^)+1), применяя (3. 12), (3. 6), выводим:

м-1

/2 = 2а(п + 1)£ 82|и|^и|^82^+

П(

, N р« „ <2

р

ехр

г____п

+2а(п +1)£ у |/21 и ^ ^^ ^^ 4 '(2+1) ^ '¿у.

г=1 Ш(^+1) г

Оценим интегралы

[ 8 1 ИУ7 |ехр

(N+1) г

£ [ ехр (—2к2(Ж — V}) Г и

2

< 2 I й^2^ + -^ I ¿у- г = 1.р(М+').

+1) +1)

выбрав е = воспользовавшись (1.7), (1.8), установим неравенства

/ 6Ы|Уи|еХР(-^{Л - '})^У ^ е2к2I §|^|2^у+

, +1) г „

+^ехр(-2У -"}) / ^ г.

Пользуясь (3. 10) и последним неравенством, из (3. 13) получим оценку

?2 ^ 2а(п + 1)к2^0е2к2 I + а(п + ^ ехр(-2к2{^ - V + 1}) ! |Ум|2^у.

У 2К2 ]

0

"

Соединяя (3.3) при £2 = £2 и последнюю оценку, пользуясь (3.4), выводим соотношение

И^ИОм ^ ехр(-2к2{Ж - V + 1})|У«!0(м+1).

2ак2 0

Неравенство (3.2) доказано.

Доказательство теоремы 1. При V = 0, N — 1, N > 1 из предложения 1 вытекает справедливость неравенств

ем 0

И^Ц0(*) ^ М2ехр(—К2^ — V}) Ц^Ы+ч.

Переходя в правой части к пределу при N ^ то либо на основе (1.24), либо (1.25), выводим равенства

ехр(—к^) = 0, V = 0, то,

из которых следует утверждение теоремы.

Далее установим оценку Сен-Венановского типа для псевдодифференциального эллиптического уравнения (1.46).

Предложение 2. Пусть для области О существует Л[Вк,д]-последовательность }лт=о, подчиняющаяся требованию (1.35), выполнены условия (1.48) - (1.50) и {ем}^=0 - произвольная последовательность положительных чисел. Тогда найдутся положительные постоянные к(2) и М(2) такие, что если вирр Ф С , Ф(у) = 0 в при некотором N € N то для решения и(у) задачи (1.46), (1.51) при всех V = 0^ — 1 справедливы оценки

и

ехр (—к{N — V}) го л л ) ^ М-^-ИиИ0^+^ . (3. 14

ем

Доказательство. Пусть € - неубывающая функция, равная 0 и 1 при £ ^ 0

и £ > 1, соответственно. Пусть

а^ = тах | |, а = 3га^, г = 0, то.

ге[о,1]

Из теоремы Лагранжа следует, что > а^, тем более > а Выберем число в* > 1 так, чтобы выполнялось неравенство

Сз

в

где С3 - постоянная, определяемая ниже и зависящая только от

Зафиксируем натуральное число N и целое неотрицательное число V ^ N — 1. Рассмотрим кусочно-постоянную функцию в(х), х £ К такую, что в(х) = $7, х £ [х7, х7+1), причем $- = е *Д7, 7 = V, N — 1 и в(х) = 0 при х £ [х^, xN).

Построим функцию а(х) ^ в(х), сглаживая функцию в(х) по следующему правилу. Если < , то на отрезке [х7, х7 + Д7/3] функция а(х) определяется так:

а

Если же $7 > $7+1, то на отрезке [х7+1 — Д7/3,х7+1] полагаем

(х

а(х) = $7 — ($7 — $7+1)^ 1 + 3(х Дх"+1^ . В оставшихся точках считаем а(х) = в(х).

+ 1 _

Установим оценки интеграла / 7 = V, N — 1:

, 2ДJ

Л—з 2^+1 2^+1

= = I $7^ ^ ^ $7^ = $7Д7 = е1-.

^ + ^ ^ ^

Очевидно, что во всех случаях производные функции а(х) подчиняются оценкам

| в,»<х> к

при х £ [х7, х7+1], 7 = V, N — 1, г £ N.

Определим дифференциальные полиномы Рр(а) от гладкой функции а(х) условиями

Р0(а) = 1, Рр(а) = (Д + а)Рр-1. Тогда для р =1, то имеем

р

Рр

8=1 Р1+2Р2 +...+8рв =р

где Аррр2...рз — целые неотрицательные числа. Положим

Ьр = £ Аррр-р* Д ар1 а?2 ... ар-1;

8=1 р1+2р2+...+«р3=р

очевидно Ьр+1 > Ьр.

Следовательно, полиномы Рр(а) удовлетворяют неравенствам

«=1 р1+2р2+...+«р3=р 4 7 4 7

х £ [х7 ,х7+1], 7 = V, N — 1, р £ N. Определим невозрастающую гладкую функцию £(х) на К условиями

1, х ^ х V1

£

ехр I — I , xV ^ х ^ xN;

£(xN(x), XN ^ х ^ xN + ^;

0, х > xN + ^.

X

На промежутке [ж^, жм], очевидно, £ = — а£, и ввиду (3.17) справедливы неравенства

1 \ / ) ^ (1

ехрЫ ^ ^ ^ ехЧт.), 7=^—1.

П

Перемножая эти неравенства, находим, что ехр - ^ =- и

V 3в* / £

Нетрудно доказать, что на промежутке X , жм] справедливы соотношения

р

^р£ = £Рр(—а), £р£2 = £2 £ СРР(—а)Рр-,(—а), р € N.

Далее, пользуясь (3.21), выводим

_ _ ь -2 -2 2РЬ2 _

| ^р£ | £р£ £ -Р-, ж € [ж^ж^], 7 = V, N — 1, р € N.

Оценим производные Др£, Др£ , р = 1, к, на отрезке [жм, жм + ем]. Ввиду (2.34) имеем

_ _ с пк-р 2Рс2П2к-Р | ^р£

—2 ° — — Положим в (2.1) V = (и — Ф)£ (ж) вк ?(О), учитывая то, что Ф(£) = 0, Ф£ = 0,

получим равенство

—2

(и,и£ )дд = 0. Применяя (1.49), выводим неравенство

-2

а / £ Ии(ж)Ивк, ,^

те

^ а (£2Ии(ж)И1, , , — И£и(ж)И!к, ,) + Ке{(и£,и£кк — (и,и£2)д,^ = 1

,-¿2..

Оценим интегралы в I с учетом того, что Др£ = 0, Др(£ ) = 0, р € N вне промежутка I Жv, ж м + ем]. Пользуясь (1.50), выводим неравенство

Г / ¿-1 / ¿-1 ч 2\

г=д,& \ р=0 \р=0 / }

XV Ли

/г-1 ¿-1 _

\р=0 р=0

р=0

Для случая д = 0 считаем, что сумма ^ содержит лишь одно слагаемое при г = к.

Используя на промежутках [х7, х7+1], 7 = V, N — 1, (3.24), а на промежутке [xN, XN] применяя (3.25), устанавливаем, что

^+1 Г / \

+

1 / _ ^ I Пр., |2

а 2(г-р) +

яе2 . ^—/ ^—/ А 2(г-р) ^—/ ^—/ А Р * \г=д,& р=0 Д 7 «65 р=0 Д 7

2

хдг+е«

—2

+¿2 £ ^)

. \г=д,А: аб5 /

1 / ^ I и 12 п2

-1- I X ^ X ^ | ^ X | IX « ,2« +£«

г- 1

+т;1£Е

чг=д,& р=0

_2

+ ££

«65 р=0

Г>рл, 12 „2

И« ,Х« +£«

е

2(г-р) N

^х^у = / / + / ц,

где // содержит интегралы по (х^,,XN), а /ц по (xN,XN + ), ^ £ (0,1] — произвольное число.

Пользуясь неравенствами (2.7), (2.7'), (2.12), (2.12') с Д = Д7, е =1, применив определение Х[В,д]-последовательности (1.33), (1.32), находим для 7 = 0, то, р = 0, г, что

^+1.. ..„ / Ил, II2

4

ох

^^^х С ¿7 I ||и||£м,(XJ^+1) + —Иг I ^ ¿^ЦиЦ^^+1), г = д

XJ

к,

3. 29)

XJ+l __^ / ||и 12

= / ^ ^ ¿7[|и||кл^^+1) + -^оЙТ I С С(1+б)|и|Вкл^^+1), а £ ^.

XJ

д2

Д2

Отсюда, ввиду (3.22) для 7 = V, N — 1, р = 0, г, сразу следует, что

XJ+1 XJ+1

/ £2^ри-рт^ с ¿С(1 + 1) у £2||и(х)|Цмах, г = дт*,

X J 7 X J

XJ+1 _ 2J + 1

[ £2, ¿С(1+ Д) /2\ Г -2,, ( 2 , _ .

У £ Д2(г-р) ах С <С(1 + 0)ех^~ ) ] £ ||и(х)||вм^ а .

XJ 7 XJ

Теперь, выбрав ^ = 1/е *, применив (3.30), оценим интеграл //

¿3 (1 + /2

11 С 3Ч~ ' "У ехр ( — ) / £1и(х)|||мах.

X«

—2 ,

Далее, используя (2.38), (2.38'), (2.37), (2.37') при Д = , полагая $ = 1/е2, оценим интеграл /ц

__¿3_2 I _2 11 110~«

/// С —£ ) / С^е« ||и(х)||!мах + ¿4(е*)£ (xN)--. (3. 32

X^V+£N

и

2

Соединив оценки (3.31) - (3.32), установим неравенство

Vе* / J '

I С

e * \ e I I 3114 ' "Bfc,q 4

e* \e*/ J

Комбинируя последнюю оценку с (3.26) и выбирая в* согласно (3.16), заключаем, что

iNI

2 ^ Г< "t2/™ \ 0xN

a|Mk,q) С C4£

ем

Таким образом, согласно (3.23), установлено неравенство (3.14) с к = -— < ^.

Доказательство теоремы 4. При V = 0, N — 1, N > 1 из предложения 2 вытекает справедливость неравенств

. ,, exp (—k{N — v}) Nk,q ) С M-^- ||M||nXN +

N :

из которых, согласно (1.37), заключаем

exp

^ М [м ИиИ0ХМ.

ем

Переходя в последних неравенствах к пределу при N ^ то и применяя (1.56), выводим равенства

ехр(—^)Л1/2^) ИиЦ0^ =0, V = 0, то,

из которых следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 5. Для П[к, д, ф(г)]-последовательности, ввиду (1.42), (1.42'), справедливы неравенства

Г ^ж А

, Г1 -^-л-т ^ 1, 7 = 0, то,

/ ф(/(ж))[ * Ы ф(/(ж))[ *

[27,27+1)

суммируя которые выводим

ХМ

/-^ ^ N.

1 Ф(/(ж))[ *,ст(9)]

В условии (1.57) положим г = жм, где {жм}те=0 — П[к, д, ф(г)]-последовательность функции /(ж). Получим

—к -п-7 I ЦиИо^+1 = 0.

{ ф(/(ж))[*,ст(9)П

Соединяя (3.36) и (3.35), несложно установить соотношение

Поскольку n[k, q, ф(г)]

-последовательность {xn}jv=ü является ]-последовательностью

области П(/), то, согласно теореме 4 с £n = 1, N = 0, то, получаем u(y) = 0 для п.в.

У е П(/).

Доказательство теоремы 2 проводится аналогичным образом.

4. Теорема существования

Пусть {жм}те=0 - Л-последовательность области О. Покажем ограниченность ве-

°°

личины (ад^)дд в пространстве Н^ (О). Для этого сначала для а € 5, V €Нв (О) установим оценку

I = И™2vИЛn+l ^ С^МЦ*,,«, д > 0.

Для д > 0, применяя неравенства (2.12') при А = 1 для первых сумм и А = АJ для вторых сумм, устанавливаем соотношения

—1 те

I = £ vИПxo+N+l + £ vИПxN+l ^

м=-те 0+ м=0

2

те 1 И^оХ«+1

^ С ^Мк,,(—те,Х0) + ^^ ) + С £ < ,(х«,2«+1) + 2 [А«

м=0 Ам

Используя условие (1.35) и определение (1.32), (1.33) Л[В^]-последовательности, выводим неравенство

I ^ С?(1 + Л—1)ИvИBkl.,(—те,Х0) + С?(1 + ^МЦ*,,(20,те),

из которого следует (4.1). Пользуясь неравенством (2.12') при А = 1, для v €Нв*0 (О) устанавливаем соотношение

те

I = £ vИПN+1 ^ С

м=—те

из которого следует (4.1).

°

Теперь оценим (ад, v)g,R, ад, v €Нв*;, (О). Для д > 0, пользуясь условием (1.50), применяя (4.1), выводим соотношения

Обозначим через ж—1 = —то. Определим гладкие функции (ж) € С?0(К), N > 0 с носителем на [жм—1,жм+1]. Положим

/ж — жм—Л /ж — ж^^ /ж — ж0

шм(ж) = Ч^—Гу) — , ш0(ж) — Ч^Г

Здесь € Сте(К) - функция из предложения 2. Очевидно, справедливы равенства

шм(ж) + шм+1(ж) = 1, ж € [жм,жм+1], N > 0.

Ввиду (3.16) при г = 0, то имеют место неравенства

| ^ А * , ж €

Ам—1 Ам

° .

Обозначим через ЦФЦкь) норму сужения функционала Ф на Нв*,(О„).

Теорема 7. Пусть для области О существует Л[Вк,д]-последовательность, подчиняющаяся условию (1.35), и выполнены требования (1.48) - (1.50). Если существуют число

к £ (0, к) и положительная постоянная С такие, что при каждом целом N > 0 функция

о

Ф(у) £ ,,1с(П) и функционал Ф £0Вк (П) удовлетворяют неравенствам:

то существует решение задачи Дирихле (1.46), (1.51), подчиняющееся требованию (1.56) с ^ = ДN, N = 0, то.

Доказательство. Согласно теореме 6 при каждом N = 0, то существует единственное решение мN(у) £ WBfc (Пх«+-) задачи Дирихле (1.46), (1.51) с функционалом

ФN(V) = Ф(^м^), V £Н(П) и функцией ФN(у) = Ф(у)^(х), N = 0, то. Положим

о _

^ = uN — ФN £Н(Пх«+1), N = 0, то. Рассмотрим функциональный ряд

о

£ ^

N=0

о

Покажем, что он сходится по норме пространства Н , (Пг) для любого г > 0. Согласно (3.14) при = ДN, применяя (1.32), (1.33), для V = —1, N — 4, N > 3 имеем неравенства

2 / лж2 ехр( —2к(N — V — 3))н . „2

Вк , ,,(-о,х„+1) С М --И |0х«-2 С

ДN

С 2 ехр(—2к^ — V — 3)) |ЦМ.(X«-2,х«-1), из которых, применяя (2.5), получим

Оценим нормы ||Ф^||, ||ФN(0), N = 0, то. Для N > 1, v(y) £Н,(П) имеем:

^

Далее оценим норму

^В* 1 , ,(х«-1,2« + 1) = ^Вк 1 , ,(х«-1,2« ) + ^^Вк 1, ,(х« ,2« + 1) =

2« + 1

^-1^+1 «п Х«_1

Применяя (4.4), выводим неравенства

,(2«-1,х«+1) С £ [ £ ЕЕср|ОД|ях-р^)| ауах+

Т_ ЛГ 1 ЛГ V _~ ^ \ ^_п /

J=N-1,N г=д,& \р=0

0Х ^^

2« + 1

+ У У Б2 (2) | Еу^ [V] 1С

Кп Х«-1

Х« + 1

2

С ¿1 £ / £ £ ^¡-р)ауах +/ / в2(^у_М|2^х.

J=N-1,N 4+-, г=д,йр=0 Д7 «

0 ^ + 1 «п х«-1

0Х т

Пользуясь неравенствами (2.7), (2.7') с А = АJ, е = 1, определением Л-последовательности (1.32), (1.33), устанавливаем соотношения

К VИlkl, ,

+ ИВ^У^МИПх«+1 ^ Сз2ИvИBfcl,,(Х«-1,2«+1). — 1

Соединяя (4.8), (4.9), для N > 1 выводим

ИФмИ ^ СзИФИ

°

Для N > 1, v(y) €Нв*,(О) имеем:

ИФм(0) = ИФшм(0) = ИФшм(0Х«—1) + ИФшм(0Х«+1). Используя (4.4), устанавливаем оценку

ж«+1

ИФм ^ ?(0) |Ф|2^У^ж + 1 I В2(2)|^у^г[Ф]|2^2^ж+

0х«+1 Кп ж«—1

0х«—1

+С1 £ / ££

7_ лг 1 ЛГ V X_~ ^_п

д2

J =м — 1,м х7+1 г=д,к р=0 АJ

0х т

^у^ж.

Применяя неравенства (2.7), (2.7') с Д = ДJ, е =1, определением Л-последовательности (1.33) устанавливаем соотношения

И Ф И 2 х7+1

I т и 2 гч I и т и 2 ^^ ^ 0^7

1Фм (0) ^ С ИФИлув, (0Х«—1) + Ъ А2[к,,] 1 ^

х J=N- 1,м АJ

^ СЛ ИФИ2 + о Е Л^^оцФИи

2

Wвfclq (0х«+1 ) J=N —1,м 0x1

В результате, при всех N > 1 получим оценки

ИФм ^^

Отметим, что для N = 0 неравенства (4.10), (4.11) также остаются верными. При помощи (4.5), из (4.10), (4.11) заключаем справедливость оценок

ИФмИ ^ Сб ехр(^), ИФм(0) ^ Сб ехр(/^) , N = 0, то. (4.12) Далее, воспользовавшись (4.12), из (4.7) выводим

Икм Ив*,,(—те,^+1) ^ С7 ехр(—к^ — V)) ехр ("Х),

для V = — 1, N — 4, N > 3. Таким образом, ряд (4.6) мажорируется сходящимся числовым рядом

тете £ ^^(—те,^) ^ С7 ехр("^ £ ехр(—(к — — =

м=.+4 те м=.+4

= С7 ехр ("V) ^^ ехр (—(к — ")г) ^ С8 ехр ("V).

Следовательно при любом целом V > 0 ряд (4.6) сходится по норме пространства

оо

Н (Пх") к функции ш £Н вм,1с (П).

Покажем, что и(у) = •(у) + Ф(у) является обобщенным решением задачи (1.46), (1.51). Для этого запишем интегральные тождества (2.2) для функций , N = 0,Ь и сложим их, тогда для любого целого Ь > 0 получим равенство

ь ь ь

= £ ФN(V) — £^

N=0 N=0 N=0

справедливое для любой функции v(y) £ С0°(П). Для достаточно большого Ь такого, что эирр V С Пх*, V С Ь, его можно переписать в виде

, V I = Ф^) — (Ф, v)g,R.

VN=0 / дд

Применяя (4.3), выводим неравенства

ь ь

N=0 N=0

ь

из которых следует, что Ит ( ^ , v)g,к = (ш^)дд. Выполнив в последнем тождестве

N=0

о

предельный переход при Ь ^ то, установим тождество (2.2) для суммы ряда У] .

N=0

Значит, функция и = Ф + • £ Wвfc,,1С(П) является обобщенным решением уравнения (1.46) с граничным условием (1.51).

Для построенного решения и(у) установим соотношение (1.56). Применяя (2.5), (4.12), выводим неравенства

V+3 v+3 v+3

N=0 N=0 ' N=0

Соединяя (4.13), (4.14), получаем

!v+3 о ^

N=0 N^+4 )

( V+3

С ехр

I N=0 )

Г v+3

С ехр (—(к — — ^) < С10 ^^ ехр (——г) + Св > С С11 ехр (—(к — — ^).

I ¿=0 )

Применяя определение Х[В^,д]-последовательности (1.32), (1.33), устанавливаем ИиИ0Х^+1 ехр(—кv(ИН^ + ИФИ0Х^+0 ехр(—кvС

С 01/2 (|И|в*1,.(XV,х„+1) + ||ФИ0Х^+1 Х1/2(XV^+1)) ехр(—кv).

Воспользовавшись (4.5), (4.15), в итоге выводим

||и||0^+1 ехр (—кv) Д-^1 С С12 ехр (—(к — — ^), V = 0, то.

Ввиду того, что правая часть последнего неравенства при V ^ то стремится к нулю, равенство (1.56) при ^ = ДN, N = 0, то установлено. Теорема 7 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // ДАН СССР. Т. 31. 1974. C. 35-58.

2. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана для эллиптического уравнения второго порядка и единственность решений краевых .задач в неограниченных областях // УМН. Т. 31, № 4. 1976. С. 261-262.

3. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения // ДАН СССР. Т. 232, № 6. 1977. C. 1257-1260.

4. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Об устранимых особенностях на границе и единственности решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка // Функциональный анализ и его приложения. Т. 11, вып. 3. 1977. С. 54-67.

5. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е., О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. Т. 260, № 1. 1984. С. 62-68.

6. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сибирский матем. ж-л. Т. 28, № 6. 1987. С. 134-146.

7. Шишков А.Е. Квазилинейные дивергентные эллиптические уравнения в неограниченных областях // Диффер. уравнения. Т. 24, № 8. 1988. С. 1410-1423.

8. Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделера для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка // Успехи мат. наук. Т. 43, вып. 4. 1988. С. 231-232.

9. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для квазиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Т. 70, № 6. 2006. C. 93-128.

10. Шишков А.Е. Разрешимость граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в классах функций, растущих на бесконечности // Укр. матем. журнал. Т. 47, № 2. 1995. C. 277-289.

11. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, № 7. 2005. C. 67-100.

12. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. Т. 31, № 5. 1976. С. 247-248.

13. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. Т. 199, № 8. 2008. C. 61-94.

14. Агранович М.С., Вишик М.И. Псевдодифференциальные операторы. М.: Наука, 1968.

15. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

17. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

Лариса Михайловна Кожевникова, Стерлитамакская госпедакадемия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: kosul@mail.ru