Об одном методе подавления термомеханических повреждений при лазерной обработке элементов конструкций

5. Leslie F.M. Magnetohydrodynamic instabilities in nematic liquid crystals // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1976. 37. 335-352.

6. Pikin S.A., Chigrinov V.G., Indenbom V.L. New types of instabilities in liquid crystals with tilted orientation // Mol. Cryst. and Liquid Cryst. 1976. 37. 313-320.

7. Pikin S., Ryschenkow G., Urbach W. On new type of electrohydrodynamics instability in tilted nematic layers // J. Phys. France. 1976. 37, N 3. 241-244.

8. Голубятников А.Н. Калугин А.Г. Об устойчивости стекания пленки нематического жидкого кристалла // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 4. 68-69.

9. Голубятников А.Н., Калугин А.Г. О коротких поверхностных волнах в анизотропных жидкостях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 42-43.

10. Калугин А.Г. О роли дивергентных членов в энергии Франка нематических жидких кристаллов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 1. 69-71.

11. Калугин А.Г. Об ориентационной неустойчивости слоя нематического жидкого кристалла // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2016. № 1. 67-70.

12. Капустин А.П., Капустина О.А. Акустика жидких кристаллов. М.: Наука, 1986.

13. Пасечник С.В., Крехов А.П., Шмелева Д.В., Насибуллаев И.Ш., Цветков В.А. Ориентационная неустойчивость в нематическом жидком кристалле в затухающем пуазейлевском потоке // Журн. эксперим. и теор. физ. 2005. 127, № 4. 907-914.

14. Дровников Е.М., Шмелева Д.В. Вторичная цилиндрическая неустойчивость, индуцированная осциллирующим потоком Пуазейля // Вестн. МГУПИ. Сер. приборостр. и информ. технол. 2013. 47. 9-14.

15. Сонин А.С. Введение в физику жидких кристаллов. М.: Наука, 1983.

16. Калугин А.Г., Голубятников А.Н. О равновесной форме капли нематического жидкого кристалла // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 171-177.

17. Калугин А.Г. О равновесии слоя нематического жидкого кристалла с неоднородной границей // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. № 2. 3-7.

Поступила в редакцию 21.12.2015

УДК 539.3

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОДАВЛЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

В. Б. Беднова1

Рассматривается один из способов уменьшения термомеханических напряжений при обработке образца балочного типа по боковой поверхности и тонкого диска по центральному круговому отверстию лазерным лучом. Получены аналитические выражения температуры в обоих случаях. Решены задачи по определению температурных напряжений при нагреве образцов с учетом теплообмена на их поверхностях. Проведено сравнение решений при наличии теплообмена и в его отсутствие. Показано, что для подавления разрушения нагреваемых образцов можно использовать обдув боковой поверхности.

Ключевые слова: температурные напряжения, подавление разрушения, теплообмен.

One way to reduce thermomechanical stresses in the processing of a beam-type sample on its side surface and a thin disk on its central circular hole by a laser beam is considered. The analytical expressions of temperature in both these cases are obtained. The problems of determining thermal stresses during the heating of samples with consideration of the heat transfer on their surfaces are solved. The solutions obtained when the heat transfer is present or absent are compared. It is shown that the blowing of the side surface can be used to suppress the destruction of heated samples.

Key words: thermal stresses, suppression of destruction, heat transfer.

Во многих технологических процессах, связанных с лазерной обработкой материалов, возникает проблема контроля термомеханических напряжений. Настоящая работа посвящена вопросам

подавления термомеханических напряжений при импульсном нагреве элементов конструкций.

1 Беднова Вероника Борисовна — методист первой категории мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: msu.mmf.vb@gmail.com.

Рассмотрено поведение стандартных образцов в виде балки и тонкого диска. При этом оценка температурных полей проводится приближенным методом, развитым в работах [1-4] и основанным на идее температурного фронта [5]. Физически температурный фронт можно интерпретировать как линию уровня температуры, значение которой в условиях данного эксперимента практически неотличимо от начальной температуры. В [1] проведено сравнение приближенного решения уравнения теплопроводности с точным решением и показана приемлемость приближенного метода расчета для дальнейшего использования.

В настоящей работе анализируется возможность и эффективность подавления термонапряжений с помощью заданных условий обдува поверхности обрабатываемых образцов и дается оценка его эффективности.

1. Рассмотрим прямоугольную балку толщиной 2h = 1, такую, что ее толщина и ширина малы по сравнению с ее длиной. Пусть температура меняется только по толщине, т.е. T = T(z). Нагрев происходит по боковой поверхности z = т;, на которой с момента времени t = 0 задается перпендикулярный поверхности и направленный в глубь образца тепловой поток qoo = const. На границе теплового фронта z = l(t) температура и тепловой поток равны нулю. Функция границы теплового фронта l(t) в начальный момент времени принимает значение | и монотонно уменьшается до значения — В этом случае задача теплопроводности в безразмерных переменных имеет вид

'Tt = Tzz - nT, -Tz |z=1/2 = q00,

T lz=1(t) =0, , Tz \z=l(t) = 0,

где n = const — коэффициент, отвечающий за обдув боковой поверхности.

С помощью метода приближенного вычисления температурных полей получаем выражение для температуры:

, ^ i 9П /9 °° lit)) т ~ z)2 > если Z(t) < г < 1/2;

T

[ 0, если z < l(t),

и дифференциальное уравнение относительно функции движения теплового фронта l(t):

"б=о-

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид

!П = 0;

l(t) = ^ — л/бt, если г/ = 0;

1 6

1№ = о~\ - — ' если 71 = COnst ^

2n

Выражения (2) и (4) полностью определяют температурное поле задачи (1) нагрева балки. Их анализ показывает, что при отсутствии теплообмена образец прогревается быстрее.

Предположим, что имеет место плоское напряженное состояние (так как балка тонкая). Тогда используем полученную в работе [6] размерную зависимость напряжений <rgg от температуры в и координаты по оси абсцисс £: о^ = -аЕв+C1+C2{, где а — коэффициент теплового расширения; E — модуль упругости; Ci, C2 — константы, определяемые из условий равенства нулю соответственно результирующей силы и результирующего момента на торцах. Введем безразмерные переменные

ахх-Еа

где вт, в0 — температура плавления материала и температура среды соответственно.

Из условий на торцах аххйг = гаххйг = 0 находим константы С\, С2 и с учетом

— 2 — 2 получаем выражения для безразмерных напряжений

Ox

— -T + Tdz + 3z / Tzdz.

Для рассматриваемой термоупругой задачи, учитывая, что Т = 0 при г < ¡(Ь), имеем

1 1

2 2

-Т ^у Тйг + 3гJтгdг, если ¡(Ь) < г < 1/2;

_1 _ 1

2 2

1 1 / Tdг + 3г / Tгdг,

OXX - <

если z < l(t).

Подставив (2) и (4) в (6), получим искомые выражения для напряжений, анализ которых показывает, что в зависимости от момента времени максимальные растягивающие напряжения при П = 0 больше на 15-30%, чем при п = 50. Более того, при увеличении константы п (например, в два раза) максимальные напряжения уменьшаются на 10-25%. На рис. 1 показано различие максимальных напряжений в холодной зоне материала в характерный момент времени Ь = 0,002 при разных значениях константы п, отвечающей за обдув.

0,08 ___ 1 1 1 1 1 1 1 l\ 41

-0,16 -0,08 0 0,08 0,16 0,24 0,32\ '\Чч^,4 Z

\ ^ 4 - \ \ \ \ \

-0,08 \ \

Рис. 1. Безразмерные напряжения при лазерной обработке балки в момент безразмерного времени t — 0,02 для следующих значений п п — 0 — кривая 1, п — 50 — 2, п — 100 — 3; q00 — 2

2. Рассмотрим теперь процесс нагрева тонкого бесконечного диска по центральному круговому отверстию радиуса r — 1. На внутренней границе задается тепловой поток q00 — const, на границе теплового фронта r — l(t) температура и тепловой поток считаются равными нулю. В этом случае одномерная задача теплопроводности в безразмерных переменных имеет вид

Tt = Trr + -Tr- rjT,

-Tr\r= 1 — qoo,

r=l

Tr \r=l(t) — 0

Температурная задача при п = 0 решена в работе [2], где получены выражения, определяющие температурное поле в тонком бесконечном диске с центральным круговым отверстием:

qoo

T(r, t) — { W) -1) 0,

(r - l(t))2 , если 1 < r < l(t);

если r > l(t),

13

В случае учета обдува боковой поверхности при помощи метода приближенного определения температурных полей получаем зависимость 1(Ь) от времени Ь и коэффициента п (при этом зависимость (8) останется неизменной):

24

24

r(t) + I (t) - 5l(t) + 3 =--exp(-rft) —.

П

П

Выражения (8)—(10) определяют температурное поле для задачи (7). Анализ этих выражений показывает (как в температурной задаче для балки), что при отсутствии теплообмена (п = 0) градиент температуры между поверхностными и внутренними областями больше, чем при п = 0.

Аналитические выражения напряжений а = а (г, Ь) для термоупругой задачи в безразмерных переменных выводятся в работе [2]:

( r

1

Ur = <

У Trdr, если 1 ^ r ^ l(t); 1

i

—^ J Trdr, если г > l(t),

иv = <

~Т + ~2 / Тг г1г> если 1 ^ г ^ ^ если г > 1(Ь).

т

—г / Tr dr. r2 .

Подставляя (8)—(10) в (11)—(12), получаем напряжения, учитывающие обдув боковой поверхности. Как и в задаче по обработке балки, можно сделать вывод, что в различные моменты времени максимальные растягивающие напряжения при п = 0 больше на 30-70%, чем при учете обдува поверхности (п = 0). Также происходит уменьшение максимальных напряжений с увеличением коэффициента, отвечающего за обдув. На рис. 2 показано различие максимальных растягивающих напряжений в области хрупкого разрушения в характерный момент времени Ь = 0,029 при разных значениях п.

Рис. 2. Безразмерные напряжения а^(г,Ь) при лазерной обработке диска в момент безразмерного времени Ь = 0,029 для следующих значений п: п = 0 — кривая 1, п = 50 — 2, п = 100 — 3; доо = 2

Из анализа напряженного состояния следует, что в обоих случаях обдув образцов, подвергающихся лазерному воздействию, позволяет уменьшить термомеханические напряжения и тем самым предотвратить возможное внутреннее растрескивание.

Автор приносит благодарность М.В. Юмашеву за постановку задачи и ценные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Юмашев М.В., Юмашева М.А., Краснова П.А. Моделирование процесса нагрева тела при интенсивном тепловом воздействии на поверхность // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 44-54.

2. Юмашев М.В., Беднова В.Б., Вергазов М.М., Юмашева М.А. Разрушение хрупких материалов в условиях локального воздействия на поверхность энергетическим потоком // Машиностроение и инженерное образование. 2014. № 4. 52-58.

3. Бахарев М.С., Миркин Л.И., Шестериков С.А., Юмашева М.А. Структура и прочность материалов при лазерных воздействиях. М.: Изд-во МГУ, 1988.

4. Шестериков С.А., Юмашева М.А. Приближенный метод оценки нестационарных температурных полей // Институт механики. Научные труды. № 23. Деформирование и разрушение твердых тел. М.: Изд-во МГУ, 1973. 15-20.

5. Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит, 2003.

6. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964.

Поступила в редакцию 18.04.2016