Связь множеств единственности для мультипликативных систем функций и множеств единственности для мультипликативных преобразований

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стечкин С.Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах // Успехи матем. наук. 1955. 10, вып. 1. 159-166.

Поступила в редакцию 09.06.2008

УДК 517.518.43

СВЯЗЬ МНОЖЕСТВ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Т. А. Жеребьева1

Рассматривается проблема единственности для рядов по мультипликативным системам функций и для мультипликативных пребразований. Показано, что каждое множество единственности для мультипликативного преобразования задается счетным набором множеств единственности для рядов по соответствующей мультипликативной системе, а каждое множество единственности для ряда по мультипликативной системе является порцией на [0,1) некоторого множества единственности для соответствующего мультипликативного преобразования.

Ключевые слова: множество единственности, мультипликативная система функций, мультипликативное преобразование.

A problem of uniqueness in the theory of series over multiplicative system of functions and in the theory of multiplicative transforms is considered. It is shown that every set of uniqueness for multiplicative transform is specified by a countable collection of sets of uniqueness for series over the corresponding multiplicative system of functions. Whereas every set of uniqueness for series over multiplicative system of functions is a portion on [0,1) of some set of uniqueness for the corresponding multiplicative transform.

Key words: set of uniqueness, multiplicative system of functions, multiplicative transform.

В настоящей работе мы покажем, что теория единственности для мультипликативных преобразований и теория единственности для рядов по мультипликативным системам тесно связаны друг с другом. А именно мы докажем, что каждое множество единственности для мультипликативного преобразования задается счетным набором множеств единственности для рядов по соответствующей мультипликативной системе, а каждое множество единственности для ряда по мультипликативной системе является порцией на [0,1) некоторого множества единственности для соответствующего мультипликативного преобразования.

Отметим, что впервые изучение взаимосвязи между классами множеств единственности для рядов по ортогональным системам и соответствующих им интегралов было проведено А. Зигмундом в классическом тригонометрическом случае (см. [1, с. 443-447; 2]). Им было установлено, что локально соответствующие классы множеств единственности совпадают. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в работе Р. Хенстока (см. [3]). Для рассматриваемого нами класса функций доказательство сходных результатов упрощается за счет связи мультипликативных преобразований и мультипликативных систем функций, выражаемой формулой (1).

Напомним необходимые определения (см. [4, с. 30-34]), при этом для простоты изложения мы не будем использовать терминологию группового введения рассматриваемых нами систем функций.

1 Жеребьева Татьяна Александровна — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tazherebyova@yandex.ru.

Пусть дана последовательность натуральных чисел

р = {Рз }Т=1, Рз > 2, 3 > 1.

з

Положим то = 1, тз = Л р8,] ^ 1. Тогда каждое целое число п ^ 0 представимо в виде

8=1

п = ^ £]тз-1, где 0 ^ ез ^ Рз — 1, ез е Ъ, ] ^ 1.

3 = 1

Каждая точка х из интервала [0,1) представима в виде

те

_^ х

у " —, где 0 ^ X] ^ Р] — 1, X] ] ^ 1.

те

х = 1 тз

3 = 1

Такое представление однозначно для всех точек интервала [0,1), кроме Р-ично-рациональных. Для Р-ично-рациональных точек берется разложение с конечным числом ненулевых Хз. Мультипликативной системой функций на [0,1) называется система функций

те

е3 х3 3=1 Р3

При фиксированном к ^ 0 функции Хп при т^-1 ^ п < тк постоянны на полуоткрытых интервалах

[¡Ь Й?)' 0 < г < тк - Об™им = [£>

Рассмотрим двойную последовательность натуральных чисел

V = {... ,Р-3, . . . ,Р-2,Р-1,Р1,Р2, ...,Рз,.. .},

гдеРз ^ 2,3 е Ъ\{0}, и две подпоследовательности: правую Р = {рз}те=1 и левую Р' = {р-з}те=1. Положим к к

то = 1, тк = П Рв и т-к = П Р-в.

8=1 8=1 Любое неотрицательное число х представимо в виде

к(х) те

х = ^ Х-3ГП-3+1 + ^ —, где 0 ^ Х3 ^ р^ — 1, Х3 е Ъ при ] е Ъ \ {0} и Х-3 = 0 при ] > к(х) ^ 1,

т

з=1 з=1

з

при этом для Р-ично-рациональных точек выбирается разложение с конечным числом ненулевых Хз. Рассмотрим также двойную последовательность натуральных чисел

V' = {... ,р-з,... ,р-2,Р-1,Р/1,Р/2, ...,Р'з,...}, где р'з = р-з,3 е Ъ \ {0}. Тогда каждое неотрицательное число у представимо в виде к(у) те

У = ^ У-зтз-1 + ^ где 0 ^ Уз ^ Р-з - Х> Уз е Z при ; е й \ {0} и у-з = 0 при] > к(у) ^ 1, з=1 з=1

при этом для Р-ично-рациональных точек выбирается разложение с конечным числом ненулевых уз.

Определим функцию двух переменных на [0, то) х [0, со), представляющую собой континуальный аналог мультипликативной системы:

. к

з=1 Рз з=1 Р-з

Отметим, что последовательностям P и P' отвечают системы мультипликативных функций [х^ ^fcLi

и [хХкк )}fc=i соответственно.

Пусть натуральным числам k, l отвечают последовательности [ki, k2 ,•••}, [li ,l2,---} из P-ичного разложения. Введем покоординатное сложение по модулю pj:

k ф l = [kj ф lj }j= 1, kj ф lj = kj + lj (mod pj) •

Обратной операцией к покоординатному сложению по модулю pj является покоординатное вычитание по модулю pj:

{kj — lj, если kj ^ lj; pj + kj — lj, если kj < lj •

В дальнейшем нам понадобятся следующие легко проверяемые свойства введенных функций (см. [4, с. 30, 36]):

--

Xn

Определение 1. Множество E С [0,1) называется множеством единственности

те

для мультипликативной системы функций {xm(x)}m, если каждый ряд ^ amxm(x), сходящийся к

т=0

нулю вне этого множества, может быть только тождественно нулевым.

Определение 2. Скажем, что интегральный процесс I обладает свойством единственности, если из сходимости несобственного интеграла

те n

/ a(x)x(x,y) dx = lim (I) a(x)x(x,y) dx, J J

00

где а(х) локально /-интегрируема, к нулю всюду на [0, то) следует, что а(х) = 0 п.в.

Свойством единственности обладают интеграл Лебега (см. [5, 6]), интеграл Перрона (см. [6]) и Р-ичный интеграл хенстоковского типа (см. [7]).

Пусть / — интегральный процесс, обладающий свойствами аддитивности, линейности и единственности.

Определение 3. Множество Е С К называется множеством единственности для мультипликативного преобразования (и^-множеством), если из сходимости несобственного интеграла

D П

a(x)x(x,y)dx = lim (I) a(x)x(x,y) dx

n—J 0

к нулю вне множества Е следует, что а(х) = 0 п.в.

Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат данной работы. Теорема 1. Множество Е С [0, то) является множеством единственности для мультипликативного преобразования, задаваемого функцией х(х,у), тогда и только тогда, когда множества Е^ = {{у} : У ^ ЕП[к, к+1)} при каждом целом неотрицательном к являются множествами единственности

для мультипликативной системы функций {хП

Доказательство. Достаточность. Пусть Е С [0, то) и множества Е^ при каждом к являются мно-

жествами единственности для мультипликативной системы функций {хП }п. Рассмотрим интеграл

те

/ а(х)х(х,у) бх,

сходящийся к нулю на [0, то) \ Е. Воспользуемся свойством (1) функций мультипликативной системы для получения следующего представления:

J а(х)х(х,у) йх = J а(х)х\у]'({х})х[х] ;({у}) йх = 0 0

п—1 1+,} те

= П^^ / а(х)ху)({х})хр)({у})йх = Еаг([у])х(Р)({y}), П^те 1=0 I 1=0

1+1

а1([у]) = У а(х)х\у] ({х}) йх.

г

Фиксируем к, у € [к, к + 1), тогда щ([у]) = аг(к). Обозначим г = {у}, тогда г € [0,1) и, согласно сделанному

предположению, ряд ¿2 аг(к)х) (г) сходится к нулю на [0,1) вне множества единственности Ек. Значит, 1=0

по определению множеств единственности аг(к) = 0 при I ^ 0.

В силу произвольности к коэффициенты щ([у]) = 0 для всех у € [0, то). Таким образом, интеграл

те

[ а(х)х(х,у) йх сходится к нулю всюду на [0, то). По предположению интеграл обладает свойством един-0

ственности, значит, а(х) = 0 п.в. на [0, +то). Отсюда следует, что множество Е является множеством единственности для мультипликативного преобразования.

Необходимость. Пусть множество Е С [0, то) является множеством единственности для мультипликативного преобразования х(х,у). Фиксируем к. Покажем, что множество Ек является множеством един-

ственности для системы {хт }т. Рассмотрим произвольный ряд ^ атхт (г) на [0,1), сходящийся к

т=0

нулю вне множества Ек. Так как функция {•} устанавливает взаимно однозначное соответствие интервала [к, к + 1) и интервала [0,1), то можно считать, что г = {у},у € [к, к + 1). При этом г € Ек тогда и только

тогда, когда у € Е П [к, к + 1). Заметим, что в силу ортонормированности системы {хП }п

1

ат = J (агпХ^Ч^Х^пЧ^йх. 0

Значит, для у € [к, к + 1)

т+1 те }.

Е ат^')(Ы) = Е I {атх(кР)({х}))х[Р)({х})хР)({у}) йх =

т=0

т+1 те

АР')

т=0 0

а(х,к) = а[х]х(кР )({х}).

те

Мы предположили, что ряд ^ атхт (г) сходится к нулю вне множества Ек на [0,1). Значит, ряд

т=0

те (Р') те

атхт ({у}) сходится к нулю при у € [к, к + 1) \ Е, поэтому интеграл ] а(х,к)х(х,у) йх сходится

т=0

к нулю на [к, к + 1) вне множества Е П [к, к + 1).

п

Рассмотрим поведение этого интеграла при у £ [0, то). При всех у £ [п,п +1), п = к, имеем

оо т+1

а

a(x,k)x(x,y) dx = / (a[x]xi ({x}))Х[у] ({x})x\p] ({У}) dx

о ^ m=0 m

i-1 m+l_

Hm ^ОтхЯ'Чт- / xiP)(W)xiP)(W)^ = 0

-^oo *—' /

™_П

I- __

т=0 т

в силу ортогональности мультипликативной системы функций.

оо

Таким образом, интеграл / а(х, к)х(х, у) бх сходится к нулю всюду на [0, то) вне множества Е П [к,

0

к + 1), являющегося как подмножество Е множеством единственности для рассматриваемого мультипликативного преобразования. Отсюда по определению множества единственности а(х,к) = 0 п.в.:

а(х, к) = а^х^ ({х}) = 0 для п.в. х £ [0, то).

Следовательно, ат = 0, т = 0,1, 2,..., и Е^ является множеством единственности для мультипликативной системы функций, построенной по последовательности Р'.

Замечание 1. Теорема утверждает, что необходимые и достаточные условия принадлежности множества Е классам Ыг(Ь)-, Ыг(Р)-, Мг(Р)-множеств (т.е. классам множеств единственности из определения (3) для интегралов Лебега, Перрона и Р-ичного интеграла соответственно) совпадают, значит,

Ыг(Ь)= ЩР) = Ыг(Р).

Определение 4. Формальным произведением ряда по мультипликативной системе

оо

Y^ amxm

и полинома

называется ряд

m=0

Р

P

n

n=0

J2ci Xl

l=0

где каждый коэффициент с\ — это сумма коэффициентов при всех произведениях хт(х)хп(х), равных хг(х). По свойствам операции сложения хт(х)хп(х) = хтфп(х). Поэтому, обозначая I = т  п, имеем т = I © п. Значит, коэффициенты с\ формального произведения определяются равенством

Р

сА = ^ bnaien.

n=0

Теорема 2. Пусть коэффициенты ряда (3) удовлетворяют условию

lim am = 0,

m

m

а коэффициенты ряда (5) получены из коэффициентов ряда (3) и полинома (4) по формуле (6). Тогда ряды (5) и

оо оо

^

m=0 m=0

являются 'равномерно равносходящимися, т.е. их разность 'равномерно сходится к нулю. Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 3.3.1 [4].

Лемма. Любая функция д(х), постоянная на каждом Р-ичном интервале А(гк), 0 < г ^ тк — 1, представима единственным образом в виде

тк-1

g(x) = anxn(x).

n n=0

Доказательство. Если обозначить через Сп коэффициенты Фурье функции g(x) по системе {xn(x)}n, то нетрудно проверить, что an = Сп, 0 ^ n ^ mk — 1, и cn = 0, n ^ mk.

Определение 5. Нуль-рядом по мультипликативной системе называется ряд по мультипликативной системе, который сходится к нулю почти всюду на [0,1), но не всюду. Множество точек, где нуль-ряд не сходится к нулю, будем называть ядром нуль-ряда.

Из определения следует, что ядро является М^множеством, то есть не является ^-множеством. Теорема 3 (аналог теоремы Бари). Всякая порция ядра нуль-ряда содержит порцию приведенного ядра (точки, в которых lim Sn = +оо) того же ряда.

Доказательство. Доказательство дословно повторяет доказательство для тригонометрического случая (см. [8, с. 794]) и опирается на теорему о формальном произведении полинома и ряда по мультипликативной системе.

Пусть E и N — ядро и приведенное ядро нуль-ряда соответственно. Рассмотрим произвольную порцию EПI = 0. Достаточно доказать теорему для полуинтервала I с P-ичными концами. Согласно лемме, функция xi (x) является полиномом по мультипликативной системе. По доказанной ранее теореме формальное произведение нуль-ряда и этого полинома сходится к нулю вне I, а на I оно сходится к нулю вне множества E. Значит, формальное произведение является нуль-рядом, а его ядро — это в точности E ПI. При этом приведенным ядром будет множество N П I С E П I.

Следствие 1. Всякая порция ядра нуль-ряда является М3-множеством.

Теорема 4 (аналог теоремы Бари). Если множества Ek ,k = 1, 2,..., являются Us -множествами

и лежат в непересекающихся интервалах, то их объединение E = (J Ek есть также U^множество.

k=l

Доказательство. Пусть множества Ek расположены соответственно в непересекающихся интервалах Jk. Предположим, что существует нуль-ряд, сходящийся к нулю вне множества E, но не всюду. Тогда если М — ядро этого ряда, то для некоторого k существует непустое пересечение М П Jk. В силу следствия М П Jk является М^множеством, но при этом оно лежит в ^-множестве Ek. Противоречие. Значит, E является ^-множеством.

Теорема Бари о счетном объединении замкнутых U-множеств для тригонометрической системы имеет следующий аналог для мультипликативной системы функций.

Теорема 5 (теорема Бокаева [9]). Если Ek ,k = 1, 2,... , являются замкнутыми Us-множествами

для мультипликативной системы, то их объединение E = (J Ek есть также US-множество для муль-

k=l

типликативной системы.

Следствие 2 (теоремы 1). Пусть E С [0, то) и существует такое число s, что множества ES = {{у} • У £ E П [s + k,s + k + 1)} при каждом k являются множествами единственности для

мультипликативной системы функций {xn* )}n. Тогда E является множеством единственности для мультипликативного преобразования, задаваемого функцией x(x,y).

Обратно, пусть множество E С [0, то) является множеством единственности для мультипликативного преобразования, задаваемого функцией x(x, y), число s фиксировано. Тогда каждое из множеств ES = {{у} • У £ E П [s + k,s + k + 1)} является множеством единственности для мультипликативной

системы функций {xif )}n.

Доказательство. Пусть E С [0, то) и множества ES при каждом k являются множествами единственности для мультипликативной системы функций {x^ ^}n. Рассмотрим интеграл J a(x)x(x,y) dx,

0

сходящийся к нулю на [0, то) \ E. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 1, имеем

^ n

~ ~ оо

/ a(x)x(x,y) dx = lim / a(x)x(x,y) dx = V ai([y])x(P )({y}), ni

0

i=0

i+i

al([y]) = f a(x)x(p)({x}) dx. Фиксируем k, при y £ [[s]+k, [s]+k + 1 имеем al([y]) = al([s]+k). Обозначим

°

z = {y}. Тогда, согласно сделанному предположению, ряд 52 al([s]+k)xl (z) сходится к нулю на [0,1) вне

1=0

множества {{y} : y G E П [[s]+k, [s]+k+ 1)} = {{y} : y G E П [[s]+k,s+k) }u{{y} : y G E П [s+k, [s]+k+1}, которое по теореме 4 является множеством единственности. По определению множеств единственности ai([s] + k) = 0 при l ^ 0. В силу произвольности k коэффициенты ai ([y]) = 0 для всех y G [0, то). Таким

оо

образом, интеграл J a(x)x(x, y) dx сходится к нулю всюду на [0, то). По предположению интеграл обладает 0

свойством единственности, значит, a(x) = 0 почти всюду на [0, +то). Отсюда следует, что множество E является множеством единственности для мультипликативного преобразования.

Обратно. Пусть множество E С [0, то) является множеством единственности для мультипликативного преобразования x(x, y). По теореме 1 множества Ei = {{y} : y G EП[1, l + 1)}, l G Z, являются множествами

единственности для {xHf )}га, поэтому и множества {{y}: y G E П [s + k, [s] + k + 1)}, {{y}: y G E П [[s] + k + 1,s + k + l)} являются ^¡-множествами. Значит, согласно теореме 4, множество{ {y} : y G E П [s + k,s + k + 1)} = {{y} : y G E П [s + k, [s]+ k + 1)} U {{y} : y G E П [[s] + k + 1,s + k + 1Ц является множеством единственности для той же системы функций.

Из теоремы 1, теоремы 4, следствия 1 непосредственно получаются следущие два утверждения. Следствие 3 (аналог теоремы Бари). Если E\, E2,... являются Ui-множествами и каждое En со-

оо

средоточено в некотором интервале In, причем InПIm = 0, то (J En вновь является Ui-множеством.

п=1

Следствие 4. Если множество E является Mi-множеством,, т.е. не является Ui-множеством, то существет отрезок I сколь угодно малой длины, такой, что EПI тоже является Mi-множеством. Следствие 5 (аналог теоремы Бари). Если Ei,E2,... являются замкнутыми Ui-множествами,

оо

то U En вновь является Ui-множеством.

п=1

Доказательство. Фиксируем произвольное k и рассмотрим множества EП = {{y} : y G EnП^, k+1)}. Каждое непустое из этих множеств либо замкнуто, либо не замкнуто и точка 1 является его предельной точкой. По теореме 1 каждое из этих множеств является U^-множеством для соответствующей системы функций.

Если множество En замкнуто, то оно замкнуто и относительно [0,1]. Если множество En не замкнуто, то множество EП U {1} уже замкнуто. Множество En U {1} является U^-множеством, так как иначе существовал бы нуль-ряд с ядром M, сходящийся к нулю вне множества M, но не всюду. Тогда множество M П [0,1) являлось бы М^-множеством, но оно содержится в En, что невозможно. По теореме 5 о счетном

оо _

объединении замнутых U^-множеств множество U En является U^-множеством на [0,1] для соответству-

n=l оо

ющей мультипликативной системы. А значит, и U En является U^-множеством на [0,1) для каждого k.

n=1

оо

Следовательно, по теореме 1 множество U En является Ui-множеством.

n=1

Автор приносит благодарность научному руководителю В. А. Скворцову за постоянное внимание к работе и обсуждение результатов работы.

Работа поддержана РФФИ (грант № 08-01-00669) и программой "Ведущие научные школы" (грант НШ-2787.2008.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 1965.

2. Zygmund A. On trigonometric integrals // Ann. Math. 1947. N 48. 393-440.

3. Henstock R. Sets of uniqueness for trigonometric series and integrals // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1950. 46. 538-548.

4. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. 2-е изд. М.: ЛКИ, 2008.

5. Виленкин Н.Я. К теории интегралов Фурье на топологических группах // Матем. сб. 1952. 30, № 2. 233-244.

6. Скворцов В.А. Теорема единственности представления функций мультипликативными преобразованиями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 6. 14-18.

7. Skvortsov V.A. P-adic Henstock integral in inversion formula for multiplicative transform // Real Analysis Exchange. 27th Summer Symposium Conference Reports, June 2003. 93-98.

8. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961.

9. Бокаев Н.А. О сумме замкнутых и -множеств для мультипликативных ортонормированных систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1985. № 6. 93-96.

Поступила в редакцию 16.06.2008

УДК 512.572

МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР КОДЛИНЫ ОДИН

С. П. Мищенко1

В случае нулевой характеристики основного поля доказано, что существуют ровно три многообразия линейных алгебр с кодлиной, для всех степеней равной единице, а именно многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр, многообразие всех метабелевых алгебр Ли и многообразие разрешимых индекса два йордановых алгебр с тождеством x2 x = 0^

Ключевые слова: тождества, неассоциативные алгебры, кодлина.

In the case of characteristic zero it is proved that there exist exactly three varieties of linear algebras with the colength equal to one for all degrees. Those are the the variety of all associative-commutative algebras, the variety of all metabelian Lie algebras, and the variety of solube Jordan algebras of the step 2 with the identity x2x = 0^

Key words: identities, nonassociative algebras, colength.

Работа связана с исследованием кодлины — одной из числовых характеристик многообразия линейных алгебр. В случае нулевой характеристики основного поля вся информация о рассматриваемом многообразии содержится в полилинейных компонентах этого многообразия. Поэтому поведение числовых характеристик, связанных с этими компонентами, таких, как коразмерность, кратность, кодлина, существенно влияет на свойства многообразия.

Пусть Ф — основное поле нулевой характеристики. Напомним некоторые сведения из теории представлений симметрической группы, которые используются нами при исследовании тождеств линейных алгебр (см., например, [1]).

Пусть А = (А1,..., Хк) — разбиение числа п, т.е. п = ^(=1 Аг, А1 ^ ••• ^ Хк > 0. Если соответствующую диаграмму Юнга, в которой 1-я строка состоит из Аг клеток, заполнить числами от 1 до п, то получится таблица Юнга. Таблица называется стандартной, если числа возрастают по строкам и столбцам. Как обычно, каждой таблице Юнга Тл (необязательно стандартной) поставим в соответствие максимальную подгруппу Ктх группы Бп, которая оставляет инвариантными множества чисел каждой строки таблицы Юнга (строчный стабилизатор). Аналогично определяется группа Стх, которая оставляет инвариантными множества чисел столбцов таблицы (столбцовый стабилизатор).

Хорошо известно, что элемент

етх = ^ (—1)Т ат

группового кольца Ф£п порождает минимальный левый идеал ФБпетх. Соответствующий неприводимый характер обозначим хл. Кроме того, для любого Ф£п-модуля М с характером хл можно найти элемент д = етх • }' £ М, который порождает модуль М. Заметим, что в этом случае а • д = д для любого а £ Ктх.

Пусть теперь V — многообразие линейных алгебр. Обозначим через Е = Е(X, V) относительно свободную алгебру многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {х1, х2,... }. Обозначим через Рп^) совокупность всех полилинейных элементов от х1,...,хп в алгебре Е. Действие

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульянов. гос.

ун-та, e-mail: mishchenkosp@mail.ru.