Об объединении решений систем уравнений в инверсных полугруппах

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 63-66.

УДК 512.53 А.Н. Шевляков

ОБ ОБЪЕДИНЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУППАХ*

Полугруппа 5 называется эквациональной областью, если любое конечное объединение алгебраических множеств над 5 является алгебраическим. Мы доказываем, что в любая инверсная полугруппа 5, которая не является группой, в расширенном константами языке {,-1} и {5 15 е 5}, не является эквациональной областью.

Ключевые слова: уравнение, алгебраическое множество, инверсная полугруппа.

Введение

В категории групп существуют примеры, когда любое конечное объединение алгебраических множеств (т. е. множеств, определяемых системами уравнений) над группой О является алгебраическим множеством. Согласно [1], группы с таким свойством называются эквациональными областями (в указанной работе такие группы были полностью описаны).

После полного описания эквациональных областей в классе групп естественным образом возникает следующая проблема.

Проблема. Существует ли нетривиальная полугруппа 5 такая, что:

1) 5 - эквациональная область;

2) 5 не является группой.

Естественней всего поиск таких полугрупп следует начать с тех классов полугрупп, которые по своим свойствам наиболее близки к группам. Одним из таких классов является многообразие инверсных полугрупп (рассматриваемое в языке с операциями умножения и обращения). Однако, как будет показано в данной работе, среди инверсных полугрупп, не являющихся группами, не существует эквациональных областей (теорема 3).

Заметим, что в работе [3] была решена подобная проблема, а именно: там было доказано, что объединение У решений двух уравнений х1 = х2 и х3 = х4 над инверсной полугруппой, которая не является группой,

не представимо в виде решения одного уравнения. Однако метод доказательства в работе [3] не позволяет доказать, что определенное выше множество У не является алгебраическим, т. е. не представимо в виде решения системы уравнений. Таким образом, наша работа обобщает результаты [3] (более подробно о методе доказательства работы [3] см. в замечании).

Основные определения теории полугрупп

Приведем основные понятия теории инверсных полугрупп, которые будут использоваться нами в статье. Более детальное введение в теорию полугрупп можно найти, например, в книге [2].

Полугруппа 5 называется инверсной, если для любого элемента 5 є 5 существует единственный элемент 5— такой, что 55_15 = 5 , 5-155— = 5- . Все нужные нам свойства инверсных полугрупп приведены в следующей теореме.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 14.В37.21.0859) и гранта РФФИ 12-01-31008 мол_а.

© А.Н. Шевляков, 2013

Теорема 1. Пусть E = (е е 51 ee = e} -

множество идемпотентов инверсной полугруппы 5.

Тогда:

1) все элементы множества Е коммутируют между собой, т. е. идемпотенты инверсной полугруппы образуют полуре-шетку;

2) 55- е Е;

3) для любых е е Е , 5 е 5 выполнено 5е5- е Е;

4) если | Е |= 1, то 5 - группа;

5) (5?)-1 = t-15для всех 5, t е 5 .

Определим на парах идемпотентов

е, / е Е инверсной полугруппы 5 частичный порядок как

е < / « е/ = е.

Пусть М - некоторое множество, Т (М) - семейство всех частичных инъективных отображений /: М ^ М.

Введем обозначения для области определения и образа частичного инъективного отображения:

ёвт(/) = (р е М | / определена в точке р},

т( /) = (ре М | Зп е М | такой, что п/ = р}.

Лемма 1. Частичные инъективные отображения обладают следующими свойствами:

1) если отображение / е Т(М) идемпо-тентно (т. е. // = / ), то ёвт(/) = т(/) и р/ = р для всех р е ёвт(/) ;

2) для любого / е Т(М) отображение

//-1 идемпотентно иёвт(//-1) = ёвт(/);

3) для идемпотентных отображений е,/ е Т(М) верно ёвт(е/) = ёвт(е) п ёвт(/);

4) частичный порядок < на идемпо-тентах инверсной полугруппы Т(М) интерпретируется как

е < / « ёвт(е) с ёвт(/).

С помощью / |г , где /, g е Т(М) , будем обозначать сужение отображения / на множество ёвт(g).

Следующая теорема решает проблему представления инверсных полугрупп.

Теорема 2 (Вагнер, Престон). Любая инверсная полугруппа 5 вкладывается в Т(М) при подходящем множестве М .

Алгебраическая геометрия над полугруппами

Полугруппы как алгебраические системы чаще всего рассматриваются в языке Ь0 = {•}. Однако для фиксированной полугруппы 5 язык Ь0 можно расширить добавлением констант (5 15 е 5} , соответст-

вующих всем элементам полугруппы 5. Расширенный язык мы будем обозначать через Ь5.

Пусть 5 - инверсная полугруппа. Так как результат операции -1 однозначно определяется для любого элемента 5 е 5, то данная операция является алгебраической и может быть явно добавлена в язык Ь = {•,-1}и (5|5 е 5}.

Далее полугруппу, рассматриваемую в языке Ь , будем называть Ь -полугруппой.

Обозначим через X конечное множество переменныхх1,х2,...,хп . Термом языка Ь

от переменных множества X называется конечное произведение, составленное из переменных множества X в целых степенях и констант языка Ь (мы считаем, что константа в отрицательной степени может быть вычислена и заменена на соответствующий элемент полугруппы).

Уравнением над языком Ь называется равенство двух термов г(Х) = <т(Х) .

Например, следующие выражения являются

Т 2 2 -3

уравнениями над Ь : х1 х2 = х3 5 ,

51 х-151 = х-252. Система уравнений (для

краткости - система) - это произвольное множество уравнений.

Множество решений системы 8 в Ь -полугруппе 5 определяется естественным образом и обозначается через У5 (8) . Множество У с 5п называется алгебраическим над полугруппой 5, если существует система 8 от переменных х1,х2,...,хп с решением У .

Следуя [1], дадим основное определение данной работы. Ь -полугруппа 5 называется эквациональной областью, если для любого конечного набора алгебраических множеств У1,У2,...,Уп множество У = У1 и У2 и... и Уп

является алгебраическим.

Терм ?(х) языка Ь , согласно [3], называется хорошим, если выполнено хотя бы одно из условий:

1) ? (х) = х;

2) существуют константы 51,52,..., 5п е 5 такие, что

?(х) = 51 х51-152х5-1 ...5пх5-1.

Следующая лемма описывает свойства хороших термов.

Лемма 2 [3]. Пусть Е - множество идемпотентов инверсной полугруппы 5 . Тогда

1) если е е Е , то ?(е) е Е для любого хорошего терма ?(х) ;

2) если е, / е Е и терм ?(х) хороший, то ? (е/) = ? (е)? (/);

Об объединении решений систем уравнений в инверсных полугруппах

65

3) если e, f £ E , e < f , тогда для любого хорошего терма t(x) выполнено t(e) < t( f) ;

4) для любого терма t(x) языка L существует хороший терм t (x) такой, что t(e) = t (e) для любого идемпотента e £ E ;

5) для каждого терма t(x, y) языка L существует хорошие термы t (x), r (y) и элемент d £ S такие, что t(e, f) = t (e)r (f)d для всех идемпотентов e, f £ E .

Эквациональные области в инверсных полугруппах

Лемма 3. Пусть полурешетка идемпотентов E инверсной полугруппы S содержит два несравнимых элемента e,f тогда S не является эквациональной областью в языке L .

Доказательство. Предположим, что существует система S( x) с решением

Vs

Мы докажем, что точка ef удовлетворяет системе S и таким образом придем к противоречию.

Пусть w(x) = w (x) - произвольное уравнение системы S. По лемме 2 существуют хорошие термы t(x), t (x) и элементы

d, d £ S такие, что уравнение w(x) = w (x) эквивалентно t(x)d = t (x)d над множеством E.

Из равенства (1) получаем

t

t

По теореме 2 S является подполугруппой в T(M), поэтому все элементы полугруппы можно рассматривать как частичные инъективные отображения множества M . Покажем, что w(ef) = w (ef) , то есть

t

Равенство (4) может быть нарушено в двух случаях.

Во-первых, если множество

dom(t(e)t(f)d) пусто, то элемент t(e)t(f)d

является нулем полугруппы S. Однако в работе [4] было доказано, что любая нетривиальная полугруппа с нулем не является эквациональной областью.

Во-вторых, может существовать элемент р£ dom(t(e)t(f )d) (и поэтому р£ dom(t(e)d), p £ dom(t( f)d)).

Из равенств (2), (3) получаем

л t(e) = Л \; (e), л I,(f) = Л \; (f). Следова-

тельно, р |?(еж /) = р |, , Откуда следует

У > ^ > ?

равенство (4).

Таким образом, е/ е¥3 (8) , что противоречит выбору системы 8 .

Лемма 4. Пусть множество идемпо-тентов Е инверсной полугруппы 5 линейно упорядочено и | Е |> 1. Тогда 5 не является эквациональной областью в языке Ь .

Доказательство. Предположим, что существует система 8( х, у) с решением

где е - произвольный не минимальный идемпотент.

Ниже мы докажем, что система 8 удовлетворяет точке (/, /) , где / - произвольный идемпотент, меньший чем е .

Пусть w(х, у) = (х, у) - произвольное

уравнение системы 8 . По лемме 2 существуют хорошие термы ?(х), ? (х), г(у), г (у) и элементы ё, ё е 5 такие, что уравнение w(х, у) = w (х, у) эквивалентно

?(х)г(у)ё = ? (х)г (у)ё над полурешеткой Е .

По (5) мы имеем равенства

t(e)r(e)d = t (e)r (e)d , t (e)r (f )d = t( e)r (f )d, t( f )r(e)d = t (f )r (e)d.

Предположим

t (f) r( f )d * t (f) r (f )d.

Поскольку все идемпотенты линейно упорядочены, то можно считать, что

?

По теореме 2 5 является подполугруппой в Т(М), поэтому все элементы полугруппы можно рассматривать как частичные инъективные отображения множества М .

Имеем ровно два случая:

1. Существует элемент ре М такой, что

р е ёвт(?(/)г(/)), но рё Ф рё .

2. Существует элемент ре М со свойст-

вом d^ dom(d \t(,)r(,)), dє dom(d

)

?(/)г(/у  ' - •?'(/)г (/у

Рассмотрим первый случай. По лемме 2 мы имеем неравенства

?(/ )г( /) < ?(е)г(е),

?'(/ )г( /) < ?'(е)г (е), которые влекут включения

ёвт(?( / )г( /)) с ёвт(?(е)г(е)),

ёвт(? (/)г (/)) с ёвт(? (е)г (е)). Следовательно,

р е ёвт(?(е)г(е)) п ёвт(? (е)г (е)).

Так как рё Ф рё , мы получаем ё |?(е)г(е) Ф ё |/( г(е), что противоречит условию (6).

Рассмотрим второй случай. Поскольку все идемпотенты линейно упорядочены, имеем ровно четыре возможности:

1. ?(/) < г(/) , ?'(/) < г (/) . Следовательно, ?(/)г(е) = ?(/) , ?'(/)г(е) = ?'(/) (здесь мы

используем г(/) < г(е) , г (/) < г (е) ). Поэтому равенство (8) превращается в ?(/)ё = ? (/)ё . С другой стороны, неравенство (9) принимает вид ?(/)ё Ф ? (/)ё , и мы приходим к противоречию.

2. ?(/) < г(/) , г(/) < ?'(/) . Неравенство

(10) и равенство (8) преобразуются в

?(/) < г (/),

?(/ )ё = ?'(/ )г (е)ё.

Следовательно,

р е ёвт(г (/)) \ ёвт(?(/)) .

Поскольку г(/) < ?'(/), г(/) < г(е), то ре ёвт(?(/)г (е)). Так как ре ёвт(ё ), то р е ёвт(? (/)г (е)ё ) . Следовательно, по равенству ?(/ )ё = ? (/ )г (е)ё получаем, что р е ёвт(?(/)ё) , но это противоречит условию р £ ёвт(?(/)).

3. г(/) < ?(/) , ?'(/) < г(/) . В этом случае выражения (7), (10) принимают вид

г(/) < ?'(/), г( / )ё = ?'(е)г'( / )ё',

и по условию существует элемент ре ёвт(? (/))\ёвт(г(/)), ре ёвт(ё ).

Так как ?'(/) < ?'(е) и ?'(/) < г(/) , то р е ёвт(? (е)г (/)) . Следовательно, по равенству г(/)ё = ? (е)г (/)ё получаем

р е ёвт(г(/)ё) , но это противоречит условию р £ ёвт(г(/)).

4. г(/) < ?(/) , г(/) < ?'(/) . В этом случае выражения (7), (10) принимают вид

г(/) < г (/),

г( / )ё = г (/ )ё',

и существует элемент

ре ёвт(г (/)) \ёвт(г(/)), ре ёвт(ё ). Тогда из неравенства (10) получаем

р е ёвт(г(/)ё), что противоречит

р £ ёвт(г(/)).

Теорема 3. Любая инверсная полугруппа S , которая не является группой, не будет эквациональной областью в языке L .

Доказательство. По теореме І полугруппа S содержит по крайней мере два идемпотента є,/. Если e и f несравнимы, то

по лемме З полугруппа S не является эквациональной областью. Если же все идемпо-тенты полугруппы S линейно упорядочены, то по лемме 4 полугруппа S также не может быть эквациональной областью.

Замечание. В [З] было доказано, что множество M = ((x1; x2, x3, x4) j x1 = x2 еёе x3 = x4} не представимо в виде решения одного уравнения над инверсной полугруппой S (S не является группой). При доказательстве данного утверждения предполагалось, что множество M совпадает с решением некоторого уравнения

t(x1;x2,x3,x4) = s(x1;x2,x3,x4) языка L , и по характеристикам уравнения

t( x1; x2, x3, x4) = s( x1; x2, x3, x4) строилась точка P , для которой было выполнено

P є V (t(X1, x2, X3, X4) = s(X1, x2, X3, X4)) \ M

и, следовательно,

Vs (t (X1, X2, X3, X4) = s( X1, X2, X3, X4)) * M. Однако в своей работе мы доказываем, что множество M не совпадает с решением ни одной системы уравнений. Это более общее утверждение, и метод, предложенный в работе [З], не может быть тут применен.

Действительно, предположим, что множество M совпадает с решением системы уравнений S . Однако существование точки P , построенной по характеристикам некоторого уравнения t( x1; x2, x3, x4) =

= s(x1;x2,x3,x4) є S уже не приводит нас к противоречию, поскольку данная точка строится по одному уравнению системы S , и P может не удовлетворять другим уравнениям системы S .

ЛИТЕРАТУРА

[1] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами IV: эквациональные области и ко-области // Алгебра и Логика. 2011. Т. A9. № 6. С. 715-756.

[2] Howie J. M. Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Clarendon Press, 1995. 351p.

[3] Rosenblatt B. On equations in inverse se-mogroups // Algebra Universalis. 2002. Т. A7. № 2. С. 153-156.

[A] Shevlyakov A.N. On disjunctions of equations over semigroups I. URL: http://arxiv.org/pdf/

1305.6843v1.pdf.

Из доказанных выше лемм следует основной результат работы.