Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию во вращающемся горизонтальном коаксиальном зазоре

Конвективные течения..., 2013

ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА ОСРЕДНЕННУЮ ТЕПЛОВУЮ КОНВЕКЦИЮ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КОАКСИАЛЬНОМ

ЗАЗОРЕ

А. А. Вяткин

Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется тепловая конвекция вязкой жидкости в коаксиальном горизонтальном зазоре, равномерно вращающемся вокруг собственной оси. Определяется зависимость порога возникновения осредненной конвекции от вязкости жидкости и разности температуры границ слоя (внутренняя граница имеет более высокую температуру). Обнаружено, что в вязких жидкостях кризис теплопереноса связан с появлением в слое вихрей, вытянутых вдоль азимута (трехмерные структуры), на фоне которых развиваются продольные двумерные валы. В случае маловязкой жидкости наблюдается обратная последовательность развития конвективных режимов - сначала возникают двумерные структуры, а с повышением надкритичности - трехмерные. Подробно изучается теплоперенос и структура конвективных течений в надкритической области параметров.

Ключевые слова: коаксиальный зазор, вращение, тепловая конвекция, теплоперенос.

ВВЕДЕНИЕ

Задача свободной конвекции в круговом канале, ограниченном двумя горизонтальными цилиндрами, была предметом интенсивного исследования в середине прошлого столетия, в первую очередь, из-за возможности широкого технологического применения (различные системы охлаждения - от ядерных реакторов и высоко-

© Вяткин А. А., 2013

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

вольтных линий передач до электронных компонентов, тепловой изоляции фюзеляжа самолета и др.). В последнее десятилетие внимание исследователей привлекает свободная конвекция в цилиндрическом слое при действии различных осложняющих факторов. К осложняющим факторам можно отнести наклон цилиндрического слоя относительно горизонтального положения [1], изменение формы поперечного сечения как внутреннего, так и внешнего цилиндров [2-4], вращение.

К настоящему времени хорошо изучено влияние на тепловую конвекцию вращения слоя вокруг вертикальной оси симметрии [5] (случай вращающегося сферического слоя обобщен в [6]). Экспериментально конвекция во вращающемся вертикальном цилиндрическом слое с границами различной температуры исследовалась в [7]. При вращении полости вокруг вертикальной оси поле силы тяжести не оказывает влияния. В этом случае вращение приводит к появлению центробежной силы инерции и развитию соответствующего типа тепловой конвекции; диаметр конвективных валов близок к толщине слоя.

Подробное исследование (в основном теоретическое) центробежной конвекции в коаксиальном зазоре принадлежит Буссе. Укажем лишь несколько работ, в которых приводятся результаты исследования в широком диапазоне изменения числа Прандтля с вариацией геометрических параметров цилиндрического слоя [810]. Показано, что на устойчивость и структуру конвективных потоков влияет конфигурация торцевых границ слоя. Если последние наклонены к боковой стенке, то срыв устойчивости основного течения связан с изменением формы поперечного сечения вала, который трансформируется, превращаясь в овал, и ориентируется в слое определенным образом. Причиной этого является различная скорость жидкости вблизи внешнего и внутреннего цилиндров. Влияние границ усиливается с уменьшением высоты слоя. Данный эффект экспериментально изучался в [8], теоретически - в [10].

Остановимся на конвекции неизотермической жидкости в полости, равномерно вращающейся в статическом (в лабораторной системе отсчета) силовом поле. В системе отсчета полости это поле совершает вращение, вызывая колебания неизотермической жидкости относительно полости и, как следствие, ее осредненное движение. Так, тепловая конвекция в слое, вращающемся вокруг горизонтальной оси, расположенной в плоскости слоя, теоретически изучалась в [11, 12]. В указанных работах определяющими параметрами являются гравитационное число Рэлея и безразмерная час-

6

Конвективные течения..., 2013

тота вращения. Проведенный в [13] анализ показывает, что в области высоких частот порог устойчивости определяется модифицированным вибрационным параметром Rv, и задача [11, 12] сводится к задаче о термовибрационной конвекции во вращающейся полости. В [14] экспериментально исследована осредненная тепловая конвекция в вертикальном плоском слое с цилиндрической боковой границей, равномерно вращающемся вокруг оси симметрии, ориентированной горизонтально. Показано, что с позиции вибрационной механики осредненная тепловая конвекция (при исключении из рассмотрения центробежной силы инерции) определяется двумя параметрами: вибрационным параметром Rv и безразмерной частотой вращения.

Во вращающихся системах термовибрационная конвекция приобретает ряд специфических черт, связанных с силой Кориолиса. Помимо действия на осредненные конвективные потоки сила Кориолиса влияет на осциллирующее движение жидкости, являющееся генератором осредненных массовых сил [13].

В данной работе, являющейся продолжением экспериментов во вращающемся горизонтальном цилиндрическом слое с водой [15], приводятся результаты исследования тепловой конвекции вязкой жидкости.

1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Цилиндрический слой образован двумя коаксиальными цилиндрами. Внутреннюю границу образует алюминиевый цилиндр 1 (рис.1), играющий роль теплообменника: в его полости прокачивается вода от термостата, что задает и поддерживает температуру границы слоя. Внешняя граница слоя образована плексигласовой трубой 2. Полость (рубашка) между цилиндрами 2 и 3 служит для охлаждения внешней границы слоя за счет циркуляции в ней холодной термостатированной воды.

Средний радиус рабочего слоя составляет R = 33.5 мм, его толщина h = 7.0 мм. Подробное описание экспериментальной установки можно найти в работе [15].

Температура внутренней границы слоя Т и температура жидкости в рубашке Т3 измеряются датчиками, изготовленными из медной проволоки диаметром 0.05 мм. Температура внешней границы слоя жидкости T2 измеряется при помощи интегрального датчика, состоящего из нескольких петель медной проволоки диаметром

7

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

0.02 мм, вытянутых по всей длине слоя и приклеенных к границе полоской прозрачной самоклеящейся пленки толщиной 0.1 мм (рис.1). Петли располагаются строго параллельно друг другу и так, чтобы ширина чувствительной части датчика не превышала 2 мм. Для изучения характеристик дрейфа системы структур относительно полости используются два интегральных датчика, размещенных параллельно на расстоянии 5 мм друг от друга.

Рис. 1. Схема кюветы

Рабочей жидкостью служат водные растворы глицерина с концентрацией C = 25 и 50%. Методика экспериментов следующая. При помощи термостатов устанавливаются температуры границ слоя, кювета приводится во вращение с заданной сравнительно высокой скоростью. В ходе опыта скорость вращения пошагово понижается. Температурные измерения проводятся после установления режима конвекции на каждом шаге. Рассчитываются разность температур границ слоя 0 = Т2 - Т1 и тепловой поток через слой АТ = Т - Т2. При этом значения Т1 и Т3 остаются постоянными во всем диапазоне изменения скорости вращения (в отдельной серии экспериментов).

Теплофизические свойства жидкости определяются по среднему значению температуры в слое. Для визуализации конвективных структур в рабочую жидкость добавляется алюминиевая пудра с небольшим количеством ПАВ (соответственно 0.03 и 0.2 % от массы жидкости).

2. ПОРОГ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

При более нагретой внутренней границе слоя и быстром вращении центробежная сила инерции играет стабилизирующую роль.

8

Конвективные течения..., 2013

Температура внешней границы слоя практически не зависит от скорости вращения n (рис.2, область I). Это состояние соответствует механическому равновесию слоя. Тепловой поток при этом близок к молекулярному.

Рис.2. Зависимость температуры Т2 внешней границы слоя от скорости вращения п; а - С = 25%, Т3 - Т1 = 23.4

При понижении скорости вращения в слое вязкой жидкости возникают слабые течения в виде азимутально-вытянутых валов, расположенных преимущественно вблизи торцов (рис.3 а). Датчик на внешней границе слоя указывает на незначительное уменьшение

9

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

температуры (рис.2, область I). В экспериментах с водой [15] подобные структуры не наблюдались. При дальнейшем понижении n в слое пороговым образом появляются крупномасштабные конвективные течения. Порог возникновения конвекции определяется по критическому возрастанию теплопереноса (рис.2, граница между областями I и II).

а: n = 0.9

б: n = 0.8

в: n = 0.7

Рис.3. Вид конвективных структур; С = 25 %, T3 - T1 = 25.5°C

Кризис теплопереноса связан с появлением во всем объеме коаксиального зазора конвективных валов, вытянутых вдоль азимута слоя (рис.Зб). Поперечный размер структур сравним с толщиной слоя. Одновременно на фоне трехмерных течений регистрируются двумерные структуры - валы, вытянутые вдоль оси вращения. В пороге длина волны продольных валов составляет порядка 10^ , и с ростом интенсивности конвекции (с уменьшением скорости вращения) значительно уменьшается (рис.Зв).

При увеличении вязкости жидкости в пороге наблюдаются те же течения. Отличие составляет только меньшая длина волны двумер-

10

Конвективные течения..., 2013

ных валов. При рассмотрении структуры конвекции вязкой жидкости в пороге ограничимся случаем относительно большой разности температур T3 - T1, превышающей 15 и 20°C для водных растворов глицерина с концентрацией C = 50 и 25% соответственно.

В экспериментах с водой порядок появления мод неустойчивости другой [15]: с понижением скорости вращения n сначала возникают двумерные валы, на фоне которых при меньших значениях n развиваются трехмерные течения.

Рис.4. Границы смены режимов конвекции; С = 0

С появлением конвективных течений в слое датчиками регистрируются регулярные низкочастотные колебания температуры Т2

(рис.2, заштрихованные области). Наблюдения показывают, что колебания температуры вызваны медленным дрейфом системы структур относительно полости (валы перемешаются в направлении, противоположном вращению кюветы).

На рис.4 область неустойчивости изображена штриховкой. При увеличении |0| наблюдается монотонное повышение критического

значения n ’. В экспериментах с водой светлые точки 7 отмечают порог возбуждения двумерных конвективных течений, темные точки - появление трехмерных структур на фоне продольных валов. Пороговые кривые, полученные в экспериментах с вязкими жидкостями (точки 2 и 3), отмечают одновременное появление в слое как двумерных, так и трехмерных течений.

11

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

2. ТЕПЛОПЕРЕНОС И СТРУКТУРА ОСРЕДНЕННОЙ КОНВЕКЦИИ

При понижении скорости n вращения полости разность температуры 0 границ слоя уменьшается (рис.5, область II), что свидетельствует об увеличении интенсивности осредненной конвекции. Дальнейшее снижение n приводит к появлению квазистационарной гравитационной конвекции, которая является основной в области

III. Система конвективных течений, медленно дрейфующих относительно полости, сменяется структурами квазистационарными в лабораторной системе отчета. Переход к данному режиму сопровождается снижением интенсивности осредненной конвекции (граница областей II и III ).

Дрейфующая относительно полости система конвективных структур вызывает колебания температуры, регистрируемые датчиками. Для изучения динамики длины волны продольных двумерных течений и скорости дрейфа системы структур используется пара интегральных датчиков, установленных на внешней границе рабочего слоя на точно заданном расстоянии друг от друга. Таким образом, регистрируются колебания температуры, сдвинутые во времени и практически совпадающие по форме (рис.6а). Выполнение последнего условия указывает на тот факт, что структуры при своем азимутальном движении от одного сенсора ко второму не испытывают серьезных искажений. Определение временного сдвига и расстояния между центрами датчиков позволяет рассчитать скорость дрейфа всей системы конвективных структур. Для приведенных на рис.б результатов эксперимента сдвиг во времени составляет Dt = 58.6 (1), 72.1 (2), 49.6 (3) и 45.1 с (4). Скорости дрейфа равны U = 0.12,0.1, 0.14, 0.16 мм/с соответственно.

С понижением скорости вращения кюветы скорость дрейфа системы структур монотонно возрастает (рис.7а) - период колебаний температуры, регистрируемых интегральными датчиками на внешней стенке слоя, уменьшается (рис.ба). Регистрируемое датчиком повышение температуры происходит (например, рис.ба, момент времени i на диаграмме 1) тогда, когда в окрестности сенсора пара валов выносит к внешней холодной границе тепло от более нагретой внутренней границы (рис.66, момент времени i). Через некоторый интервал времени Dt соседний датчик регистрирует этот же участок системы структур (рис.6, момент времени ii). Таким образом, одно полное колебание температуры интерпретируется как прохождение мимо датчика пары продольных валов.

12

Конвективные течения..., 2013

Рис.5. Зависимость разности температуры 0 границ слоя от скорости вращения п; а - С = 25%, T3 - Т1 = 13.8

Амплитуда колебаний температуры в пороге возрастает и практически не меняется в некотором диапазоне значений п (рис.ба). Максимальный размах растет с увеличением разности температур границ слоя в серии экспериментов с одной рабочей жидкостью. С повышением вязкости максимальная амплитуда уменьшается (рис.2), и одновременно становятся частыми нарушения правиль-

13

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

ной формы колебаний, связанные с нерегулярными структурными перестройками. Последнее происходит с появлением и исчезновением пар валов. Увеличение вязкости жидкости приводит к уменьшению скорости дрейфа системы структур.

36

32

36.5

32.5

100 500 t, c 900

а

б

Рис.6. Зависимость температуры внешней границы слоя от времени

По значениям скорости дрейфа, представленным на рис.7а, с учетом того, что полный период колебаний соответствует времени прохождения через датчик пары продольных валов, определяется длина волны двумерной структуры на каждом шаге эксперимента. На рис.7б штриховыми линиями 1-6 указаны значения длин волн, когда на периметр слоя укладывается 6, 8, 10, 12, 14 и 16 пар продольных валов. Возможны и нечетные значения числа пар вихрей. Подобное «квантование» (с учетом всех значений длин волн) в эксперименте возможно в случае возникновения строго двумерной регулярной системы вытянутых вдоль оси вращения валов.

14

Конвективные течения..., 2013

Рис.7. Зависимость скорости дрейфа системы структур (а) и длины волны двумерных образований (б) от скорости вращения п; 1 -С = 25%, T3 - Т1 = 28.9; 2 - С = 50%, T3 - Т1 = 28.0

Экспериментальные значения длины волны только приблизительно соответствуют этим возможным уровням. Основной причиной этого расхождения является нерегулярная структурная перестройка. Появление новой пары валов в слое и исчезновение пары в другой части слоя приводит к изгибу продольных валов. Таким образом, время полного колебания температуры, которое регистрирует интегральной датчик, расположенный строго вдоль полости,

15

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

не будет точно отражать время прохождения пары валов. Записи температуры в течение большого промежутка времени позволяют повысить точность измерения. К примеру, на рис.ба (диаграмма 3) показано появление не характерного для данной скорости вращения периода, но длительная запись регистрирует типичное время полного колебания. Большие доверительные интервалы на рис.7б указывают на нарушения формы структур.

Общей закономерностью в динамике длины волны двумерной структуры является уменьшение последней с увеличением вязкости жидкости (рис.7б). В приведенных на рис.7 результатах средние значения вязкости жидкости отличаются в два раза. Примерно во столько же раз отличаются и длины волн продольных валов. Другая закономерность заключается в изменении длины волны с повышением надкритичности. Вблизи порога и при развитой конвекции значение длины волны отличается в несколько раз. Значения скорости дрейфа при больших n (слабая надкритичность) заметно расходятся с общей закономерностью (рис.7а).

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Тепловая конвекция жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндрическом слое определяется центробежным числом Рэлея Ra = W2RfiQh3/с, модифицированным вибрационным параметром Rv = (gPhf Ilv%Wi2 и безразмерной скоростью вращения 0) = Wh2П, где b, n и с - коэффициенты объемного расширения, кинематической вязкости и температуропроводности жидкости, 0 - разность температур границ слоя, W ° 2pn - угловая скорость вращения.

С повышением вязкости жидкости можно отметить немонотонное изменение порога возникновения осредненной конвекции на плоскости управляющих параметров Ra,Rv (рис.8). Значения безразмерной скорости вращения, соответствующие пороговым кривым, показаны на рис.8б. Напомним, что о характеризует действие силы Кориолиса. Известно, что термовибрационный механизм конвекции работает при о> 50 [13, 14]. Указанное условие соответствует результатам экспериментов с маловязкими жидкостями -вода (рис.8, точки 1) и водоглицериновая смесь с массовой долей глицерина C = 25 % (точки 2) в диапазоне большой разности температур границ слоя. Вид пороговой кривой (рис.8, точки 3), полученной в экспериментах с вязким раствором, качественно отлича-

1б

Конвективные течения..., 2013

ется от кривых, полученных с жидкостями меньшей вязкости, -кривая имеет минимум. В этом случае повышение порогового значения Rv при уменьшении \Ra\ объясняется понижением w

(рис.8б). Как отмечалось выше, в пределе низких безразмерных частот термовибрационный механизм перестает работать.

Рис.8. Границы смены режимов конвекции на плоскости Ra,w;

С = 0

На рис.9 показана зависимость порогового значения вибрационного параметра Rv от безразмерной скорости вращения при фиксированном значении центробежного числа Рэлея. Зависимость имеет

17

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

^-образную форму. Правая ветвь (высокочастотная область) характеризуется расслоением пороговых кривых возникновения двумерных и трехмерных структур, левая (низкочастотная область) - одновременным появлением обеих мод неустойчивости, тороидальных вихрей и продольных валов.

Рис.9. Зависимость вибрационного параметра Rv от w при Ra = -8000

Расслоение пороговых кривых продольных и поперечных структур в высокочастотной области является результатом усиливающегося действия силы Кориолиса, которая оказывает стабилизирующее действие на трехмерные конвективные структуры и не действует на двумерные течения. Повышение порога устойчивости с понижением w в области низких частот хорошо известно в вибрационной конвекции [14]. Оно объясняется усилением демпфирующего влияния вязкости на колебания жидкости по мере увеличения относительной толщины слоев Стокса.

Заключение. Экспериментально исследована тепловая конвекция вязкой жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндрическом слое (внутренняя граница имеет более высокую температуру). Обнаружено, что в вязких жидкостях кризис теплопереноса связан с появлением в слое трехмерных вихрей, вытянутых вдоль азимута, на фоне которых развиваются продольные двумерные валы. В случае маловязких жидкости наблюдается обратная последовательность развития конвективных режимов. Определена зависимость порога возникновения осредненной конвекции от вязкости

18

Конвективные течения..., 2013

жидкости и разности температуры границ слоя. Подробно изучены теплоперенос и структура осредненной конвекции в надкритической области параметров. Обнаружено, что с увеличением вязкости жидкости скорость азимутального дрейфа системы конвективных структур и длина волны продольных валов существенно снижается.

Работа выполнена в рамках Программы стратегического развития ПГГПУ (проект 029-Ф) и задания Минобрнауки № 1.2783.2011, при поддержке РФФИ (грант 13-01-00675а).

СПИСОК ССЫЛОК

1. Nada S.A. Experimental investigation of natural convection heat transfer in horizontal and inclined annular fluid layers // J. Heat Mass Transfer. 2008. Vol. 44. P. 929-936.

2. Murthy Laminar conjugate natural convection in horizontal annuli /

N.B. Sambamurthy, A. Shaija, G.S. V.L. Narasimham, M. V. Krishna // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2008. Vol. 29. P. 1347-1359.

3. Prandtl number dependence of laminar natural convection heat transfer in a horizontal cylindrical enclosure with an inner coaxial triangular cylinder / Z. Yu, L. Fan, Y. Hu, K. Cen // Int. J. Heat Mass Transfer. 2010. Vol. 53, No 9. P. 1333-1340.

4. Teamah M.A. Numerical simulation of double diffusive laminar mixed convection in a horizontal annulus with hot, solutal and rotating inner cylinder // Int. J. Thermal Sciences. 2007. Vol. 46. P. 637-648.

5. Яворская И.М., Беляев Ю.М. Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость // Итоги науки и техники. Серия МЖГ. М.: ВИНИТИ, 1980. Т. 15. С. 3-80.

6. Яворская И.М., Беляев Ю.М. Конвективные течения во вращающихся полостях // Итоги науки и техники. Серия МЖГ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 17. С. 3-85.

7. Шайдуров Г.Ф., Шлиомис М.И., Ястребов Г.В. Конвективная неустойчивость вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 6. C. 88-93.

8. Busse F.H., Carrigan C.R. Convection induced by centrifugal buoyancy // J. Fluid. Mech. 1974. Vol. 62. P. 579-592.

9. Busse F.H. Asymptotic theory of convection in a rotating, cylindrical annulus // J. Fluid. Mech. 1986. Vol. 173. P. 545-556.

19

Вяткин А.А. Влияние вязкости на осредненную тепловую конвекцию

10. Busse F.H. Convective flows in rapidly rotating spheres and their dynamo action // J. Physics of Fluids. 2002. Vol. 14, No 4. P. 1301-1314.

11. Герценштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в плоском слое жидкости, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, № 3. С. 561-564.

12. Герценштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в осциллирующем поле сил и микрогравитация // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. № 5. C. 99-106.

13. Козлов В.Г. Вибрационная конвекция во вращающихся полостях // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1. С. 5-14.

14. Иванова А.А., Козлов В.Г., Рылова В.В. Тепловая конвекция в плоском слое, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 12-21.

15. Вяткин АА, Иванова АА, Козлов В.Г. Конвективная устойчивость неизотермической жидкости во вращающемся горизонтальном коаксиальном зазоре // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 1. С. 12-21.

THE EFFECT OF VISCOSITY ON THE AVERAGED THERMAL CONVECTION IN A ROTATING HORIZONTAL COAXIAL GAP

А.А. Vyatkin

Abstract. The thermal convection of a viscous fluid in a coaxial horizontal gap rotating around its own axis is investigated experimentally. The dependence of the averaged convection excitation threshold on the fluid viscosity and the temperature difference between the boundaries of the layer (the inner boundary has a higher temperature) is studied. It was found that in viscous liquids crisis of heat transfer is associated with the appearance of vortices in the layer extending along the azimuth (threedimensional structure), against which the longitudinal twodimensional rolls appear. In the case of fluid of low viscosity the sequence of the development of convective processes is opposite - two-dimensional structures appears initially and threedimensional - with an increase above the critical level. Heat transfer and the structure of convective flows in supercritical area is studied in details.

Key words: coaxial gap, rotation, thermal convection, heat transfer.

20