Аналитическое моделирование решения некоторого класса краевых задач

мозаики гарантирует, что в создаваемой мозаике будут присутствовать все возможные смальты, которые могут существовать для мозаики размера q + 1 , но частоты смальт в ней будут отличаться от мозаики размера q + 1 ,. вырезанной из ЦИ

Задача локального восстановления Задача локального восстановления - это восстановление исходного ЦИ по конечной мозаике. При таком восстановлении эта процедура имеет комбинаторный характер - перебор всех вариантов расположения смальт мозаики с целью получения исходного ЦИ, причем о правильности "сборки" постоянно сигнализируют известные величины границ ЦИ (размер) и количество смальт после каждого шага восстановления. Под шагом восстановления будем понимать "встраивание" еще одной смальты в уже собранную часть ЦИ. Таким образом, при неправильном восстановлении нам будет либо не хватать смальт определенного вида, либо будут нарушаться заданные границы изображения. Пример задачи этого типа - детская мозаика.

Задача глобального восстановления Восстановление изображения по частотной мозаике будем называть задачей глобального восстановления. Основное отличие этой задачи от предыдущей состоит в том, что частоты смальт уже не меняются в ходе сборки. Поскольку с частотной мозаикой, мы теряем информацию о размере ЦИ, меняется контекст задачи восстановления: вместо одного ЦИ теперь восстанавливается ансамбль изображений. Под ансамблем ЦИ будем понимать совокупность различных ЦИ, для которых

одинаков исходный частотный словарь.

Решением задачи глобального восстановления будет последовательное восстановление мозаик одна за одной до размера исходного изображения. Это значит, что в восстановленной мозаике размера NX N одна из смальт является нашим исходным изображением (т.е. в данном случае исходное изображение было квадратным). Это значит, что только одна смальта является необходимой,

а остальные И2 - 1 смальт являются лишними!

Главная проблема при разработке метода решения задачи глобального восстановления - создание подхода, позволяющего отбрасывать "лишние" смальты без потери качества восстановления последующих мозаик, а также нарушения условия нормировки. Один из подходов к решению этой задачи был предложен в [12].

В связи с тем, что задача восстановления в общем случае имеет только вероятностное решение, важен вопрос о том, когда она допускает однозначное решение. Необходимо создать критерий, определяющий существование критического размера мозаик - й* , при котором процесс восстановления ЦИ однозначен, т. е. начиная с этой длины, по любой мозаике восстанавливается все

ЦИ. Мозаика размера й* - такая, для которой частоты всех смальт равны единице, причем для мозаики размера й* - 1 хотя бы одна смальта встречается не менее двух раз. Для символьных последовательностей ее существование доказано [3-5].

УДК 681.3.06+519.683

АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

В. П. Клименко, А. Л. Ляхов, Т. Н. Швалюк

Символьные преобразования громоздких формульных выражений являются одним из наиболее сложных аспектов аналитического моделирования инженерных задач. Предложен компьютерный метод решения одного класса систем дифференциальных уравнений. Приведены результаты решения задач.

The symbolical transformations of bulky formula expressions are one of the most complex aspects of analytical modeling of engineering problems. Computer method of the decision of some class of systems of differential equations is offered. Results of the decision of problems are shown.

1. ВВЕДЕНИЕ

Усложнение математических моделей является одной из тенденций развития науки. Диалоговое, и тем более

ручное, манипулирования с формульными выражениями становится все менее эффективным и уже сейчас часто требует большим временных и интеллектуальных затрат от авторов задач, что на практике ограничивает сложность применяемых аналитических моделей и методов. В связи с этим, особую важность и актуальность представляет разработка средств автоматического решения задач методами компьютерной алгебры и технологии их применения.

Современные системы КА обладают возможностями описания весьма сложных аналитических моделей, однако, как правило, средства анализа, которые необходимы для построения автоматических программ, у них

недостаточно развиты. Наиболее конструктивные возможности имеет, по-видимому, СКА АНАЛИТИК-2000, обладающая базисным набором автоматических распознавателей. На их основе пользователь может сам конструировать распознающие средства, сложность которых определяется лишь семантической необходимостью.

Вместе с этим, полнота такого базиса недостаточно исследована, и настоящая статья может рассматриваться как шаг в этом направлении. Описанная ниже задача является в этом смысле типичной, так как при решении приходится манипулировать с аналитическими выражениями, длина которых достигает сотен строк и, таким образом, требует разработки автоматически работающих программ.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе рассматривается краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида:

DjX(S)(x) = qXx), 0 < x < L ;

V J i

X(n)(0) = COJ , X(t)(L) = C0J ,

Предложенный подход к решению краевых задач вида (1) - (2) методами компьютерной алгебры и другие вопросы организации таких вычислений в данной работе обсуждаются на примере задачи об изгибе элементов конструкций в виде бруса композитной структуры. При моделировании используются итерационные алгоритмы, что позволяет учитывать и исследовать различную степень влияния на состояние бруса сдвиговых деформаций [1]. Такой подход конструктивен [2], однако его реализация связана с серьезными математическими трудностями.

На каждом шаге т итерационного процесса приходится решать краевую задачу вида (1) - (2) с ^ = (2,4) . При этом сложность формируемых выражений растет катастрофически от шага к шагу. Рис. 1 демонстрирует увеличение размеров формульных выражений, описывающих уравнение упругой линии бруса на каждом шаге итерации (в строках, каждая из которых содержит до восьмидесяти символов): кривая 1 - в задаче на рис. 2; кривая 2 - в задаче на рис. 3.

Такие уравнения широко применяются при математическом моделировании объектов самой разной природы, обладающих линейными свойствами. В выражениях (1) и (2) обозначено: m = 0, 1, 2, ...<^ ; i, J = 0, 1, ..., m ;

последовательность S с(0, 1_____ S0) ; S0 - const; Dfj -

матрицы постоянных коэффициентов; Xj - вектор искомых функции; qt(x) - заданные функции; COj и COj -краевые значения для искомых функций и их производных; n, t = 0, 1, _, S0 - 1 . При записи выражений используется известное соглашение: по одинаковым индексам, повторяющимся в произведении, производится суммирование. Краевые условия представляют собой все допустимые в моделируемой прикладной задаче сочетания выражений в (2).

Считается, что рассматриваемая задача является частью некоторой более общей задачи, решение которой осуществляется автоматически. При этом естественно полагать, что начальными данными для программ являются не явный вид дифференциальных уравнений (1), а некоторая достаточно полная информация, на основании которой эти уравнения могут быть сформированы. Известными считаются матрицы коэффициентов

DiSJ , значения которых вычисляются на предыдущих iJ

этапах моделирования, и последовательность S. Набор выражений в (2) определяется типом решаемой краевой задачи и вводится поручителем непосредственно в ходе решения.

Рисунок 1 - Длина формульного выражения уравнения упругой линии бруса в зависимости от номера шага итерационного процесса

Инструментарий современных универсальных СКА [3-6] позволяет в принципе решать такие краевые задачи. Однако форматы соответствующих функций требуют явного описания выражений (1) - (2). Эти системы обладают средствами для автоматического формирования начальных аналитических выражений и, следовательно, выражения (1) - (2) должны быть начальными данными, подготовленными другой СКА, обладающей большей общностью входного языка, или вводится интерактивно человеком. В этом случае эффективность работы тем ниже, чем сложнее задача.

Для эффективности математического моделирования существенной является и возможность представления решения в виде, традиционном для данной предметной области. Функции для решения дифференциальных уравнений пакетов [3 - 6] определены на множестве

самых разнообразных уравнений (линейные, нелинейные, достаточно общий вид коэффициентов и др.). Такая декларируемая универсальность, как ни странно, на практике нередко оборачивается жестким прессингом пользователя. В пакетах MAPLE V R4\5 и MATHE-MATICA 2-3, [3-4], имеющих наиболее мощные функции для формирования результата в квадратурах, методы решения линейных систем представлены методом разложения по базису, составленному из независимых частных решений, и методом интегрального преобразования Лапласа. В первом случае координатами результата в пространстве решений являются величины, которые далеко не всегда имеют прикладной смысл и, поэтому, громоздко выражаются через краевые условия. Область применимости метода Лапласа при решении краевых задач общеизвестна. Реально существуют и значительные ограничения на порядок решаемых систем и уравнений, а также на класс функций q(x) .

Универсальность алгоритмического языка СКА АНАЛИТИК понимается в несколько ином смысле [7], как семантическая общность объектов и функций языка и, как следствие, способность к проблемной ориентации за счет введения новых объектов и средств преобразований. Такая универсальность позволяет разрабатывать программы с учетом особенностей решаемых задач. Это представляется более естественным, чем "подгонка" математической модели под возможности используемого программного обеспечения.

3. ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ

Для решения краевой задачи (1) - (2) применен одномерный вариант метода граничных элементов [8]. Тензор фундаментальных решений, позволяющий исследовать значительную часть краевых задач (1) - (2), находим как решение системы вида:

Dip Gj)(x, y) + 5(x - y)bkl = 0

Jl k

с однородными краевыми условиями

GkS}(0, У) = 0, Vy e R ,

pSD(?> Gkj(y) + e-py5ki = 0.

обратным преобразованием Лапласа.

Свертка тензора фундаментальных решений О^ с локальным элементом системы (1), соответствующим интервалу (0,Ь), преобразования с учетом (4) приводят к представлению решения краевой задачи (1) - (2) в виде:

Xk (x) =

= (-1)\ь, х)Б(рх(8- п - 1 >(Ь) + |ql(у)Ок1(у, х)йу.

о

В (6) нБ = 0, 1,..., £ - 1 .

Можно показать [9], что равенство (6) при х ^Ь выполняется тождественно. Дифференцируя выражение (6) Бо - 1 раз х и переходя к пределу при х ^ 0, получаем систему вида:

(-1)nGkn + i}(L, 0)DjpXjS- n - 1)(L) -Xkt)(0) +

Jq(У)G$(y, 0)dy = 0,

где 5(х - у) - обобщенная функция Дирака; ^ - символ

Кронекера; к = 0, 1, 2, ..., т .

Применяя к (1) преобразование Лапласа, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений тензора О^ :

Тензор фундаментальных решений находится решением системы линейных алгебраических уравнений (5) и

содержащую т + 1) линейных алгебраических уравнений относительно 2т + 1) краевых значений искомых функций. При решении конкретной краевой задачи ^0 (т + 1) значение задаются выражениями вида

(2). Выбирая из (7) соответствующее количество уравнений, формируем разрешающую систему линейных уравнений относительно остальных, оставшихся неизвестными, величин. Решая систему и подставляя найденные значения в (6), получаем решение краевой задачи (1) - (2), соответствующее заданным краевым условиям.

Представление решения в виде (6) очень удобно для моделирования прикладных задач. Форма выражения едина для любого набора краевых условий (2). Результат (6) линейно выражается через заданные краевые условия вида (2), имеющие непосредственный прикладной смысл. Класс решения ограничен лишь условиями существования свертки в правой части выражения (6). Это позволяет, в частности, исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции под действием нагрузки q¿(х) , которая моделируется непрерывными, кусочно-непрерывными и сингулярными функциями. Выражение (6) легко адаптируется к задачам с усложненными свойствами прикладных моделей (продольная неоднородность свойств, дополнительные связи и др.). Это свойство демонстрируется ниже результатами решения задач для элементов конструкций, обладающих различными геометрическими и механиче-

L

L

А

скими характеристиками (рис. 2) и (рис.3). Существенно и то, что такое представление решения вполне может восприниматься инженерами как некоторое обобщение классического метода начальных параметров [10].

4. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Метод реализован в виде АНАЛИТИК-программ. Все необходимые символьные и числовые преобразования выполняются автоматически.

Работу АНАЛИТИК-программ продемонстрируем задачей, которая возникает при моделировании изгиба сосредоточенной силой трансверсально изотропного бруса, жестко зажатого и свободно опертого на концах (рис.2). Результаты приведены для таких значений параметров модели: длина бруса Ь=5; квадратное сечение 1 х 1 ; упругие характеристики Е: О = 50:1; qi = 5,15(х - Ь/2) . Все значения даны в условных безразмерных единицах. Формульные выражения соответствуют т = 2 , поскольку на этом шаге итерационного процесса еще есть возможность с иллюстративными намерения использовать такую форму изображения результата.

Поскольку программы моделируют естественную для человека последовательность действий, ограничимся комментариями только специфических для АНАЛИ-ТИКа-2000 аспектов решения.

Начальными данными для программ является список:

т = 2, Ь = 5, к = 1, Е = 100, О = 2, # = (I = 1 )*тгао{х - Ь/2),

Х0 (0) = 0, Х1 (0) = 0, X2 (0) = 0, Х0 (Ь) = 0, Х1 (Ь) = 0 , Х2 (Ь) = 0 ,

с1Х0

Выражения (8) имеют естественный вид для пользователя. Система АНАЛ1ТИК-2000 содержит хорошо развитые средства распознавания структуры объектов, благодаря которым получает всю необходимую информацию из списка (8). В частности, анализируя структуру выражений списка, система распознает левые и правые части равенств, как независимые выражения и использует их как имя переменной и ее значение соответственно.

Особенностью АНАЛИТИКа есть возможность не только преобразовывать аналитические выражения, а и формировать новые выражения на основе начальной информации, которая не имеет структуры аналитических выражений. С помощью такой технологии программа моделирует во внутреннем представлении объект, который соответствует явному виду системы дифференциальных уравнений (1).

а)

б)

в)

брус с защемленным и свободно опертым концами,

схема нагружения; б - упругая линия бруса, расчет по классической (т = 0 ) и итерационной моделям; сходимость решений последовательности краевых задач в итерационном процессе

Рисунок 2 Изгиб трансверсально-изотопного бруса сосредоточенной силой

Отметим, что в нашем случае трансверсально изотропного бруса матрицы коэффициентов жесткости Б,, рассчитываются по готовым формулам. В общем

V

случае они есть результат расчетов по достаточно сложной методике, могут вводится автоматически из дискового файла и замещать соответственно сформированные идентификаторы.

Прямое и обратное интегральное преобразование Лапласа описаны в программе с помощью аппарата формульных преобразований [7]. Система (5) решена

относительно изображений фундаментального решения специально написанной процедурой, которая реализует метод Крамера. Определители при этом вычисляются непосредственно согласно определению. Для этой цели использован алгоритм [11]. Доказано, что этот алгоритм линейный, благодаря чему этот метод оказался при символьных преобразованиях значительно эффективнее, чем метод Гаусса. Подробности этого вопроса выходят за рамки данной статьи.

Дальнейшая работа программ состоит из таких преобразований. С помощью функции конкатенации формируются идентификаторы всех краевых условий, их множеству придается структура вектора. При этом те переменные, которые именуют начальные данные из списка (8), автоматически приобретают эти значения, остальные именуют сами себя. Объект (6) формируется с помощью операций произведения матриц и символьного интегрирования. С помощью символьного дифференцирования формируется объект (7). Анализируя этот объект, система распознает его структуру как систему линейных алгебраических уравнений, формирует вектор неизвестных и решает ее методом, алгоритм которого описан в [12].

Подстановка значений, найденных переменных в (6), завершает формирование объекта, который, возможно, есть решение задачи (1) - (2). Для задачи на рис. 2 объект, сформированный программой и моделирующий уравнение упругой линии бруса Х0^) , во внешнем изображении имеет вид формулы

Х0 = .212741E-1*Heavisiйe(5/2 -x)*

ехр(3.22464 - 1.28985*x) - .624999E-2*(5 -x)**3+

- .87457*x + . 19275E-1*Heavisiйe(5/2 -x)*

ехр(35.34970 - 14.13988*x)+ 1.92601 +

.85670E-17*exp(- 70.69941 + 14.13988*x) +

.80810E-3*exp(- 6.44928 + 1.28985*x) -

.85670E-17*exp (70.69941 + 14.13988*x) -

.80810E-3*exp (6.44928- 1.28985*x) -

.19275E-1*Heavisiйe(5/2 -x)*

exp(-35.349705+14.13988*x)-

.20000E-1*Heavisiйe(5/2 -x)*x**3 -

1.18750*Heavisiйe(5/2 -x) -

.21274E-1*Heavisiйe(5/2 -x)*

exp(-3.22464 + 1.28985*x) +

.22500*Heavisiйe(5/2 -x)*x +

.15000*Heavisiйe

Специфической для машинных преобразований есть следующая проблема. Выражение (9) является результатом безошибочной работы программ, однако не является решением задачи, поскольку не удовлетворяет краевым условиям.

Спектральные свойства линейного оператора (1) в

задачах моделирования НДС композитных брусьев такие, что базис пространства решений образуют экспоненты, действительные показатели которых принимают большие значения. Это не позволяет проводить вычисления со стандартной длиной мантиссы. Больше того, значения этого параметра зависят от многих факторов, прежде всего от т, и могут быть определены только численным экспериментом. Решение задачи (1) - (2) начинается с эмпирически установленным значением системной переменной РАЗР, которая отвечает за длину мантиссы при операциях с действительными числами. После формирования объекта-результата программа проверяет выполнение краевых условий с заданной точностью. Если нет, значение переменной РАЗР автоматически увеличивается и процесс решения повторяется. В иллюстративном примере объект Х0 , который

является, то есть удовлетворяет краевым условиям (2), получен при РАЗР=100, его формульное изображение содержит числа с соответствующей длиной мантиссы, а общая длина достигает сорока шести строк (до восьмидесяти знаков каждая).

5. РЕЗУЛЬТАТЫ

Ниже приведены результаты решения задач об аналитическом моделировании уравнения упругой линии изгибаемых брусьев с помощью описанного метода и программного обеспечения.

На рис. 2 показан трансверсально изотропный брус, защемленный и свободно опертый на концах и изгибаемый сосредоточенной силой (рис. 2а). Рис. 2б демонстрирует различие результатов моделирования упругой линии на основе классических представлений, лежащих в основе практических инженерных методов расчета, и итерационной модели, учитывающей влияние на прогиб сдвиговых деформаций. На рис. 2в показана сходимость решений в итерационном процессе. Согласно общепринятым в технической литературе обозначениям, прогиб бруса обозначен w^) , что соответствует функции Х0 (x) в выведенных выше соотношениях.

На рис. 3 приведены результаты решение задачи, моделирующей, усиление конструктивных элементов. Определялись упругие линии составного бруса с двумя поперечными связями, которые не ограничивают горизонтальных перемещений. Все величины даны в относительных безразмерных единицах. Физико-механические свойства характеризуются отношением упругих постоянных Е:0=20:1. Брусья имеют прямоугольное сечение 0, 15 х 0, 4 и длину Ь = 5. Внешняя изгибающая нагрузка равномерно распределена по верхней поверхности усиленного бруса. Поперечные связи моделируются двумя сосредоточенными силами, приложенными в точках с абсциссами Xl = Ь/3 и X2 = 2Ь/3 .

а)

б)

в)

а - составной брус с защемленными концами, схема нагружения;

б - упругая линия бруса, расчет по классической (т = 0 ) и итерационной моделям; в - сходимость решений последовательности краевых задач в итерационном процессе

Рисунок 3 - Изгиб составного бруса равномерно распределенной нагрузкой

На рис.36 показано соответствие результатов, полученных на основе классических представлений и итерационной модели, учитывающей взаимное влияние деформаций изгиба и сдвига. Сплошной линией и символом

" " изображены прогибы верхнего и нижнего брусьев. Рис. 3в демонстрирует сходимость решения в итерационном процессе.

6. ВЫВОДЫ

Разработан метод практического решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Общность языка системы АНАЛИТИК-2000, наличие хорошо развитых базовых средств распознавания свойств объектов и их преобразования позволили автоматически работающие программы, реализующие метод.

Начальными данными для программ могут быть как явный вид уравнений, так и некоторая достаточно полная информация для их формирования.

Разработанные средства апробированы на задачах, важных своими приложениями.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Горик О.В. Некласична ¡терацшна модель напружено-деформованого стану композитних 6pyciB// Доп. НАН Украши. - 1999. - №10. - С. 45-53.

2. Piskunov V.G., Goryk A.V., Lyakhov A.L., Cherednikov V.N. High order model of the stress-strain state of composite bars and its implementation by computer algebra// Composite Structure.- 48(2000).P. 169-176.

3. Аьяконов В.П. Системы символьной математики Mathemat-ica 2 и Mathematica 3. - M.: СК ПРЕСС, 1998. - 320 с.

4. Monagan B., Geddes K.O., Heal K.M., Labahn G., Vorkoetter S.M. Maple V Realise 5. Programming Guide. Springer. -1998. - 380 p.

5. Jenks R.D., Sutor R.S. AXIOM. The Scientific Computation System. NAG. - Springer-Verlag, 1992. - 480 p.

6. Hearn A.C. REDUCE. User's Manual. Version 3.4. The RAND Corparation, Santa Monica, 1991. - 200 p.

7. АНАЛИТИК-93/ A.A. Морозов, В.П. Клименко, Ю.С. Фишман, Б.А.Бублик, В.Д. Горовой, Е.М. Калина // Кибернетика и системный анализ.- 1995. - №5. - С.127-157.

8. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524с.

9. Ляхов А.Л. Синтез уравнения упругой линии прогиба бруса методами компьютерной алгебры// Управляющие системы и машины. - 1999. - №4. - С. 18-23.

10. Филоненко-Бородич М.М., Изюмов С.М. и др. Курс сопротивления материалов. - М.: Гос. изд. техн.-теоретич. литературы. - 1955. - 644 с.

11. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. - М.: Мир, 1980. - 478 с.

12. Ляхов А.Л. Синтез уравнения кусочно-гладкой плоской линии методами компьютерной алгебры//Математические машины и системы. - 1998. - № 1. - С.32-37.