О строении колец с планарными графами делителей нуля

УДК 512.552.4

А. С. Кузьмина

О строении колец с планарными графами делителей нуля

В данной работе рассматриваются ассоциативные кольца.

Определение. Графом делителей нуля кольца Е (не обязательно коммутативного и не обязательно имеющего единицу) называется граф, вершинами которого являются все ненулевые делители нуля кольца (односторонние и двусторонние), причем две различные вершины х, у соединяются ребром тогда и только тогда, когда либо ху = 0, либо ух = 0 (см.: [1]).

Е

Е

зовать такое обозначение.

Идея построения графа делителей нуля впервые была использована в работе [2], в которой решались проблемы, связанные с раскраской графов делителей нуля коммутативных колец. Граф делителей нуля И. Бек определил следующим образом: в качестве вершин графа делителей нуля коммутативного кольца он рассматривал все элементы кольца, причем две раз-ху ху

В работе [3] Д. Андерсон и Ф. Ливингстон несколько изменили способ построения графа делителей нуля: вершинами графа делителей нуля коммутативного кольца с единицей считались все ненулевые делители нуля кольца. По мнению авторов, такое определение лучше иллюстрирует структуру множества делителей нуля кольца. Действительно, например, в [3, с. 438] доказано, что граф делителей нуля коммутативного кольца с единицей, вершинами которого являются лишь ненулевые делители нуля кольца, является связным. Если же рассматривать в качестве вершин графа все элементы кольца, то это утверждение становится очевидным, поскольку нуль - вершина, которая является смежной для всех остальных вершин кольца.

Позже в печати появились работы, в которых исследовались графы делителей нуля некоммутативных колец. Для некоммутативного кольца используются два определения графа делителя нуля. Во-первых, введено понятие ориентированного графа делителя нуля: вершина-

ми такого графа считаются все делители нуля (левосторонние и правосторонние), причем две различные вершины соединяются ориентированным ребром x —> у тогда и только тогда, когда ху = 0 (см., в частности, работы: [1, 4]. Во-вторых, используется определение, приведенное нами выше (определенный таким образом граф делителей нуля не ориентирован)1.

В дальнейшем на протяжении всей работы мы, говоря о графе делителей нуля кольца, будем подразумевать определение, приведенное нами в начале статьи (ясно, что в случае коммутативности кольца такое определение графа делителей нуля совпадает с определением Д. Андерсона и Ф. Ливингстона из работы [3]).

Часто в работах, посвященных графам делителей нуля, изучаются кольца, графы делителей нуля которых обладают тем или иным свойством. Так, в работах [5-7] исследуются коммутативные кольца с единицей, графы делителей нуля которых планарны. В частности, в статье [6] описаны все конечные коммутативные кольца с единицей, имеющие планарные графы делителей нуля. Работа [7] посвящена исследованию бесконечных коммутативных колец с единицей, граф делителей нуля которых планарен.

Настоящая работа посвящена исследованию колец (необязательно имеющих единицу и необязательно коммутативных), графы делителей нуля которых планарны [8, 9]. В первом разделе доказаны некоторые свойства графа делителей нуля кольца. Аналоги некоторых из этих свойств (предложения 1.1, 1.2) были доказаны для коммутативного случая в работе [3]. Во втором разделе мы описываем конечные подпря-мо неразложимые кольца, удовлетворяющие тождествам X — x3f(x) = 0,ptx = 0, где f(x) е Z[x] и р > 2 - простое число, и имеющие планарные графы делителей нуля. В третьем разделе изучаются локальные кольца, удовлетворяющие тождеству x — x f(x) = 0, где f(x) е Z[x], графы делителей нуля которых планарны. Четвертый раздел посвящен исследованию конечных нильпотентных колец, имеющих планарные графы делителей нуля.

Введем обозначения и определения, исполь-

1 Как видео из ссылок в работе [1] и неориентированный, и ориентированные графы делителей нуля некоммутативного кольца исследовались также в следующей работе: Redmond S.P. The zero-divisor graph of a noncommutative ring // Int. J. Commut. Rings. 2002. №1(4). P. 203-211.

зуемые в настоящей работе. Пусть для простого р

Np2 =< a; a = pa,pa = 0 >;

GF

;

,o _ ( GF(pn) o;,

APn “ ^ GF(pn) 0 ) ’

GF

0 GF

a b

Av

B„

'2,P

;a,b e GFp };

N

P,P

a

ab

0 0 a | ;a,b е GF

0 0 0

В данной работе радикал Джекобсона кольца R обозначается через J(R). Под термином ’’локальное кольцо” мы понимаем такое конеч-R

кольцо R/J(R) является толем. Через D(R) будем обозначать множество всех (односторон-

R

NR

R

D(R)* = D(R) \ {0}.

Для любого элемента a е R, где R -произвольное кольцо, будем использовать следующие обозначения: 1(a) = {x е R;xa = 0},

r(a,) = {x е Rax = 0}, ann(a) = 1(a) П r(a).

Приведем некоторые определения из теории графов, используемые в настоящей работе (см.: [10-12]).

G

последовательность ребер E0, Ei,..., En графа

G, что конечная вершина ребра Ei совпадает с начальной вершиной ребра Ei+i для всех

i = 0,1,2,... ,n — 1. Маршрут называется цепью, если каждое его ребро встречается в нем не более одного раза. Маршрут называется простой цепью, если все его вершины различны.

G

его различных вершин соединена простой цепью. Длина маршрута - количество ребер в нем. Расстоянием d(u,v) между двумя различными вершинами u и v графа G называется длина кратчайшей простой цепи, соединяющей их; если u и v не соединены, то полагаем d(u, v) = ж.

G

расстояние между двумя его вершинами. Диаметр графа G обозначается diam(G). Степенью вершины, графа называется число ребер, инцидентных этой вершине.

Граф называется конечным, если множество его вершин и множество его ребер конечно [11].

2 Как видео из ссылок в работе [1], даевое утверждение S.P. The zero-divisor graph of a noncommutative ring // Int.

G

шин V которого можно разбить на два непе-ресекающихся непустых подмножества V и V2

G

единяет вершины из разных подмножеств. Если G

VV

вается полным двудольным. Полные двудольные графы обозначаются Kn,m, где n = \Vi | и m = \V-i \. Полным n-вершинным графом Kn называется граф (без петель и кратных ребер), n

Эйлеровым графом называется граф, имеющий цикл, в котором содержатся все вершины и все ребра графа и в котором каждое ребро встречается один раз. Граф называется планарным, если его можно изобразить на плоскости таким образом, чтобы никакие два его ребра не пересекались.

Напомним также, что граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, K , K

ского [12, с. 133]). На протяжении данной статьи мы неоднократно будем пользоваться этой теоремой.

1. Некоторые свойства графа делителей нуля кольца

R

R

R

D R { }

R

ляется конечным и непустым графом. Тогда найдутся ненулевые x,y е R, такие, что xy = 0. Поскольку С D(R), то ^x) - конечное множество. Кроме того, yr е r(x) дая всех r е R. Если кольцо R бесконечно, то найдется i е ^x) такой, что множество J = {t е R\yt = i} бесконечно. Для всех t, s е J имеем ^t — s) = 0. Таким образом, множество r(y) С D(R) беско-

R

должно быть конечным. Обратное утверждение очевидно. Предложение доказано.

R

R

diam(F(R)) < 3.

R

из одной вершины, то все доказано. Поэтому бу-R

x y xy yx

d x, y xy

yx

независимо было доказано в следующей работе: Redmond J. Commut. Rings. 2002. №1(4). P. 203-211.

x y xy y, x y

xy xy x, xy xy

xy x, xy y

Тогда x — xy — y является простой цепью длины xy xy b е D(R)* \ {x, y}, такой, что yb = 0 либо by = 0. yb bx x y

x — b — y bx

bx x ybx yx

bx y bx yx

bx x bx y x y

x — bx — y

by

xy

простой цепью длины 2.

Аналогично рассматривается случай, когда xy

Далее, пусть x2 ф 0, y2 Ф 0. Тогда найдется b е D(R)* \ {x, y}, такой, что yb = 0 либо by = 0, и найдется a е D(R)* \ {x, y}, такой, что xa = 0 ax a b x y

стой цепью длины 2: x — a — y. Пусть a ф b. Воз-

xa , by

ax , yb ax , by xa , yb .

xa , by . ab x y

x — a — b — y ab ab x xab x

ab y, aby y

ab x, ab y

xy x — ab — y

ax , yb

ax , by ya

x y x— a— y

ya ya x yax x

ya y yax yx

Снова получили противоречие. Таким образом,

ya x, ya y ya b x y

x — ya — y

ya b x y

x — ya — b — y

Аналогично рассматривается случай, когда xa , yb

x y ay

Предложение доказано.

Предложение 1.3. Пусть T(R) = Kn,m R

R

либо T(R) = K,т-

Доказательство. Пусть T(R) = Kn,m и D(R)* = V U V2, V П V2 = 0 Если R содержит ненулевой нильпотентный элемент, то найдется

a е R a скольку a2 = 0, то a е D(R)*, т.е. a является

вершиной в Г(Е). Следовательно, а € V или а € У%. Положим, что а € V-

Пусть а ^ — а. Следовательно, —a € У2. Предположим, что V \ {а} ф 0, ш возьмем у € V \ {а}- Тогда — ом = 0 либо м(—а) = 0, т.е. ом = 0 или ма = 0; противоречие. Следовательно, V = {о} и Г(Е)= К,т-

Пусть о = — а. Если V = {о}, то все доказано. Положим, что V \ {о} 7^ 0- Возьмем м € V \ {о} и Ь € У - Тогда или аЬ = 0, или Ьа = 0- Заметим, что ом ф 0 и ма ф 0, причем ма? = 0, = 0, м. ма,ам € У- Однако

либо (ма)Ь = 0, либо Ь(ам) = 0- Следовательно, Ь = ма или Ь = ам- Кроме того, (ма)(ам) = 0, т.е. ма = ам = Ь- силу произвольности выбора элемента Ь имеем V = {Ь} и Г(Е) = К,т-Предложение доказано.

Из теории графов известно, что связный граф является эйлеровым в том и только в том случае, если каждая вершина этого графа имеет четную степень.

Е

Е

Е

ряет одному из следующих условий:

Е

(2) Е = 0к=!СГ(р^), причем рг Ф 2 при г = 1, ---,к и к >2;

(3) Е - такое локальное кольцо, что |Е| = 2", п > 2, и X = 0 для всех х € Ц(Е).

Е

Е

СЯ эйлеровым. Пусть п = 1Е1 = р!- - -р3аз , в >

1. Тогда Е = Е  - - - 0 Е3, где |Ег^ = рга,г =

1, - - -, в.

Случай 1. Пусть в > 2 и ег - единица кольца Ег,г < в.

Рассмотрим элемент а = (0, - - - ,0, ег,0, - - -, 0). Его аннулятор равен

Е 0 --- 0 Е— 0 {0} 0 Ег+1 0 --- 0 Ее,

аЕ

равно

Р а - --р— а— рг+1а^ ---ра — 1Е

но быть четным, т.е. рг ф 2 для всех г < в. п

сти, если 2х = 0 для некоторого х € Е, то х = 0. Пусть найдется такой ненулевой элемент и € Е, что и = 0. Тогда и ф —и и степень элемента иЕ

—и и

бой смежной с и вершины у(у ф —и) вершина

—y u

u

чие. Следовательно, при s > 2 в кольце R нет

R

прямая сумма полей GF(q^, 1 < i < к, где qi -нечетные числа.

\ R\ pn p >

n>

Если J(R) Ф 0, то найдется О Ф a е J(R), такой, что a2 = 0. Тогда a ф —a и степень a не-

—a

ay с вершиной a и не равн ой — a, верши на —y тоже a

aa

JR Rp

\ R\ n n >

R

мент a е D(R)*, что $ ф 0 и ann(a) ф (0). По теореме Лагранжа \l(a)\, \r(a)\, \ann(a)\ - чет-

a

равная

\(l(a) U r(a)) \ {0}\ = \l(a)\ + \r(a)\ — \ann(a)\ — 1,

является нечетным числом. Полученное противоречие показывает, что для каждого a е D(R) a ann a

J R , R ма полных матричных колец над полями характеристики 2. Однако е2! ф 0 и ann(en) ф 0, поскольку е-22 е ann(eii). Значит, в разложе-R

R k=1 GF(2ft). Пусть

к > 2 и ех - единица поля GF(2е). Обозначим a = (ei, 0,0,..., 0) е R. Тогда a2 ф 0 и ann a

к = 1 и R - поле.

JR

R/.J(R) = k=iMni(GF(2ei)) и найдется такое натуральное число N > 1, что J(R)N Ф 0, J(R)N+1 = 0. Для любого ненулевого a е J(R) имеем ann(a) ф (0), поскольку 0 Ф J(R)N Q an^a. Поэтому a2 = 0 для всех a е J(R). Пусть ei, ...,ek - система ортогональных идемпо-

R/J R

ницами в Mni (GF( 2е)),..., Mnk( GF( 2вк)) соответственно. Пусть к > 2. Тогда e2 / 0 и ann(ei) ф (0), поскольку e2 е ann(ei); противоречие. Значит, к = 1 и R/J(R) = Mni (GF(2е)). n>

J R R

с. 84]. Следовательно, согласно [13, с. 86], систему матричных единиц кольца Mni

R

же способом, как это было сделано выше, при-

nR

кальное кольцо.

Обратно, пусть R = f=1 GF(p^), pi ф 2 при i = 1,..., s. Элемент a = a,..., as) является де-

ai

i

литель нуля a = (щ, a2,..., as). Пусть I - мно-

i ai .

a

совпадает со множеством (A Ф ... Ф А^ \ {0}, где Ак = GF(pak) при к е I и Ак = (0) при к е I- Поэтому степень элемента a равна nke/pkak — 1- Это четное число. Следователь-R

R \ R\

2n,n > 2, ш. x = 0 для всех x е J(R). Заметим,

D R J R [14, с. 74]). Далее, для любых x,y е D(R) имеем 0 = (x + y)2 = x + xy + yx + y2 = xy + yx, xy —yx. ann x l x r x

любого элемента x е D(R). Возьмем произвольный элемент a е D(R)*. Поскольку a2 = 0, то ann a ann a

a

ная \ann(a)\ — \{0, a}\, является четным числом

a

R

a

леров). Таким образом, мы показали, что граф R

2. Подпрямо неразложимые конечные кольца, удовлетворяющие тождеству вида x = x3f(x), где f(x) е Z[x] и имеющие планарные графы делителей нуля

R

ряющее некоторому тождеству вида

x = x3f

где f(x) е Z[x], и K - ниль-идеал кольца R. Тогда xy + yx = 0, x = 0 и 2xyz = 0 - тождества в K. В частности, если pfR = Q,t >1 и p ф 2, K

Доказательство. Пусть a е K - произ-

aN

N>

зуя тождество (1), получим, что a2 = a3f(a) = a4 (f(a))2 = ... = aN (f(a))N _2 = 0. Таким образом, a = 0 для всех a е K. Пусть a,b е K. To-a b , a ab ba b ab ba.

Таким образом, ab+ba, = 0 дая всех a,b е K. Далее, возьмем произвольные элементы a,b,c е K.

ab ba

a bc — bc a — b ca ca b

с(аЪ) = -аЪс,т.е. 2аЪс = 0. Если же р/Е = 0,і > 1 и р ф 2, то аЪс = 0. Лемма доказана.

Лемма 2.2. Графы Г(Аръ),Т(А%п) при рп >

3 не планарны. Графы Г(Аз),Г(Аз) планарны. Граф Г (Б Р) не планарен при р > 2.

Доказательство. Граф Г(Арп) при рп > 3 не планарен, поскольку граф делителей нуля множества {вц,ави, ввц}и{в12, ав12, вв12}, где

а, в Є ОГ(рп) \ {0,1} и а ф в, содержит в качестве подграфа К3 ,з- Аналогично граф Г(Ар„) при рп > 3 не планарен, поскольку граф делителей нуля множества {вц, авц, ввц} и {е2і, а^ьв^і}, где а, в Є ОГ(рп) \ {0, 1 } и а ф

в, также содержит в качестве подграфа К,з-Граф Г(БР) не планарен при р > 2, поскольку граф множества {%Д^Ь вГ2} и {в22, 2в22,2вГ2} содержит в качестве подграфа К,з- Поскольку все вершины графа Г(Аз), кроме Є12 и 2ві2, име-

А

подграфа, гомеоморфного К или К ,з- Поэто-А

шины графа Г(А|), кроме в2і и 2в-ц, имеют сте-А

доказана.

Предложение 2.1. Пусть Е - подпря-мо неразложимое конечное кольцо, удовлетворяющее некоторому тождеству вида (1), причем граф Г(Е) планарен. Пусть р/Е = 0, где р > 2 - простое число. Тогда для кольца Е выполняется одно из следующих условий:

(1) Е = ОГ(рп);

Е

Е

НЕ)3 = (0);

(4) Е = А (АI).

Доказательство. Обозначим ЦЕ) * =

ЦЕ) \ {0}. Если -НЕ) = 0, то по теореме Веддерберна-Артина Е = Мк(ОГ(рп)). Если к > 2, то, по лемме 2.2 Г(Е), не планарен; противоречие. Значит, Е = С¥(рп). Если Е = ЦЕ), Е

Пусть Ц{Е) ф (0),Е ф .ЦЕ) и ргЕ = 0, где р > 2 - простое число. Тогда Е/ЦЕ) = і=іМпЛС¥((іі)). По лемме 2.1 ху + ух = 0,х2 = 0, хуг = 0 - тождества в ЦЕ). Покажем, ЧТО Щ = . . . = Пк = 1. Пусть вг, ..., вк -система ортогональных идемпотентов, образы которых в Е/ЦЕ) являются единицами в Мпі (ОГ(ді)), ...,Мпк(С¥(цк)) соответственно. Предположим, например, что щ > 1. В силу нильпотентности ЦЕ) кольцо Е является БВІ-кольцом [13, с. 84]. Следовательно, согласно [13, с. 86], найдутся такие элементы х, у, г, і Є віЕві, что X = х, у2 = у, гі = х, іг = у, г2 = і2 =

0,ху = ух = 0,уг = гх = 0,хг = гу = г-Тогда граф множества {х,2х, г} и {у,2у,2г} содержит в качестве подграфа К ,з! противоречие. Следовательно, щ = - - - = пк = 1 и Е/ЦЕ =0^=1 ОПсл) -

Заметим, что при к > 3 граф множества {е , е , е } и {е , е , е } подграфа граф К,з- Следовательно, к <3.

г, < г < к, вый идеал егЦБ) является двусторонним идеалом кольца 5- Поскольку ху = —ух - тождество в ЦЕ), то ЦЕ)(еЦ(Е)) С еЦ(Е)2 С еЦ(Е)-Пусть, далее, в € ЦЕ)- Тогда в = ^^=1 а^е^ Ч, где ч€ЦЕ), а^ € ЦЕ)*,^ = 1,---,к- Значит, вегЦЕ) = агегЦЕ) + цегЦЕ)- Обозначим Чг = агег — егаг € ЦЕ),г = 1, к- Тогда агегЦЕ) =

(агег) егЦ(Е) (Чг ег а^ егЦ(Е) С Ц( Е) егЦ( Е) ~\~

егЦЕ) С егЦЕ)- Следовательно, аегЦЕ) = агегЦ(^^ дегЦ(Е) С егЦ(Е)- Тем самым доказано, что егЦ(Е) < Е, г = 1, к- Аналогично доказывается, что односторонние идеалы ЦЕ)ег, (1 — ен),7(Е) = {Ь — егЦЪеАЕ)}, ЦЕ)(1 — ен) = {Ь — Ьег\Ь € ЦЕ)},г = 1,к являются двусторон-Е-

Поскольку Е ф Ц(Е), то, по крайней мере, один из идемпотентов ег, г = 1, к, не равен нулю. Не нарушая общности, мы можем положить, что е

жения рассмотрим следующие случаи.

Случай 1. (0)-

ЦЕ е -

ЦЕ е -I = ЕегЕ- Поскольку ех ^ 0, то I ф (0). Покажем, ЧТО I П Ц(Е) = (0)- ^^ТЬ Ч = '^Н=1 хге\Уг €

I П Ц(Е), где хг, уг € Е,г < т- Мы можем записать хг = J2j=l ацеэ + Чг, уг = ^,1=1 виеь + , где

Яг,Чг € Ц [Е), в%1е1 е1в%1 — Яц € Ц [Е), агз , в%\ €

ЦЕ *-

Ч =

Ет^(Ек=1 аИез+ яде1(£к1=г рие1 + Я')) =

агЗ е3 е1рг1 е1

аИ е1вИ -

Далее,

Ч — аа е1е1ри =

(аи^(рае1 + Ча)) =

= (Егк=1 аае1рг1^ е1 = Че1= 0-

Следовательно, I П Ц{Е) = (0), причем Ц(Е) ф

(0) и I ф (0). Получили противоречие с тем, Е

ЦЕ е - ЦЕ — е

ца Ей ЦЕ)ег П ЦЕ)(1 — ег) = (0), то ЦЕ)(1 — ех) = 0- Отсюда следует, что ЦЕ = ЦЕ&1-ЦЕ ЦЕ е ЦЕ -

рЦЕ рЦЕ е ЦЕ ре С Ц Е ре ре е ре е ЦЕ , рЦ Е

ре -

Если к = 1, то рЕ = 0 и Е - О^{р)-алгебра. По теореме Веддерберна-Мальцева, Е = ОЕЫ^ + ЦЕ, где еЦ(Е) = (0), ЦЕ) = ЦЕ е - и ЦЕ -

Тогда иЕ = иОЕ(ях)ех < Е- Если существует ненулевой элемент у € ЦЕ), не содержащийся в иЕ, то иЕ П мЕ = (0)- Противоречие. Следовательно, ЦЕ = иЕ и Е = А° - По лемме 2.1 Е - А°-

Если к > 2, то (0) = ЦЕ)ех П ЦЕ)е^ = ЦЕ П ЦЕ)е^ = ЦЕ)е^ щи з > 2- Рассуждая так же, как это было сделано выше, получим, что ЦЕ) = е2ЦЕ, з > 2- Если к = 3, то ЦЕ) =

е2ЦЕ) = е3ЦЕ и Ц(Е) = е2е3ЦЕ) = (0)-к , ЦЕ

е ЦЕ е , ре , ре ре е ЦЕ е и Е - ОЕ(р)-адгебра. По теореме Веддерберна-Мальцева, Е = О¥((1х)ех + ОР(я2)е2 + ЦЕ)-и ЦЕ -

ие е и и

тами {^, ^, и}, изоморфно кольцу Бр- Однако по лемме 2.1 при р > 2 граф Г(БР) не планарен, к

Аналогично при ЦЕ)ег = (0) получаем Е =

А-

е ЦЕ ЦЕ е -

е ЦЕ П е ЦЕ ЦЕ е П ЦЕ е ,

Е

е ЦЕ ЦЕ е -

— е ЦЕ П е ЦЕ ЦЕ)(1 — ех) П ЦЕе1 = (0), то (1 — ех)ЦЕ) = (0) ЦЕ — е е ЦЕ ЦЕ

ЦЕ е

Рассмотрим идеал I = Ее2Е- Возьмем

Ч € Ее2Е П ЦЕ- Проведя те же рассуждения, что и при рассмотрении случая 1, можно показать, что я = яе-2 = 0- Следовательно, Ее Е П ЦЕ - Е

ЦЕ , Ее Е ,

т.е. е2 = 0- Значит, к = 1-

еЕ аЕ сан следующим образом: а = ^а + ч = в^1 + Ч, где я, я' € ЦЕ,а,в € ЦЕ*- Значит,

е1а = е1а + ч = аи аех = + я' = а- Итак,

- единица кольца Е и Е - локальное кольцо. Предложение доказано.

Как видно из предложения 2.1, задача полного описания конечных подпрямо неразложимых колец, удовлетворяющих тождеству вида (1) и имеющих планарный граф делителей нуля, разбивается на два случая: описание нильпо-тентных колец и описание локальных колец, имеющих планарные графы делителей нуля. Оказывается, справедлива следующая теорема.

Е

жимое конечное кольцо, удовлетворяющее некоторому тождеству вида х2 = х3/(х),/(х) € Z[х], причем р/Е = 0, где р > 2 - простое чи-Е

Е

(1) Е - ОЩр"),р >2,п > 1;

(2) Е - А3(А°);

(3) Е = (а : а2 = 0,ра = 0) ,р = 3, 5;

(4) Е — Zp2,р = 3,5;

(5) Е = Т2,р,р = 3,5.

Мы сначала докажем ряд вспомогательных утверждений и в конце раздела 4 вернемся к доказательству теоремы 2.1.

3. Локальные кольца, удовлетворяющие тождеству вида х2 = х3/(х), где /(х) € Z[х], и имеющие планарные графы делителей нуля

На протяжении всего этого раздела мы буЕ

дующее обозначение: М = ЦЕ). Напомним, что В(Е) = М для локального кольца Е [14, х , ху ух , хуг х, у, г М

раздела доказываются для локального кольца с М,

телей нуля пуст, следовательно, планарен.

Е

мое кольцо. Тогда |Е| = рг, М| = рг, где pJ -некоторое простое число и 1 < г <1.

Е

М

вида (1) и имеющее планарный граф делителей Е

дующих условий:

(1) М2=0, М| < 5, Е <25;

(2) М3=0,\М2 \ =2;

(3) ^0,^0, Е = 2г,Ь > 4-

М

|М| > 6, то К С Г(Е); противоречие. Сле-| М| < М

вое векторное пространство над полем Е/М, то |Е/М| <М| < 5 и Е <25-

\ \ М ,

М3 = (0). Еели \М'2 \ > 4, то М | > 8- Поэтому мы можем взять попарно различные ненулевые элементы а,Ь,с € М и попарно различные ненулевые элементы х,у,г € М \ {а,Ь,с}- Граф {а, Ь, с} и {х, у, г} \ \

К,з; противоречие. Следовательно, \Ы2\ < 3. Покажш, что случай \Ы'2 \ = 3 невозможен. Пусть \Ы'2\ = 3 и М2 = {0,х,2х},х2 = 0. Возьмем произвольный элемент у € М \ М2. По-у,

ства {х,2х, у,2у, х + у} образует К5; противоре-\М \

М

лемме 2.1 |Е| = 2Ь,Ь > 4. Покажем, что ин-М

Предположим противное, а именно: Мф 0, Мк = 0, к > 5. Тогда \И'2 \ >8 и \М— \ > 4-Кроме того, М2Мк~2 = 0 и к — 2 >2. Поэтому, взяв попарно различные ненулевые элементы а,Ь,с € Мк~2 и х,у,г € М2 \ {а, Ь, с}, мы получим, что граф К,з является подгра-Е

М

Е

М

да (1) и имеющее планарный граф делителей Е

дующих условий:

(1) М2=0, М| < 5, Е <25;

(2) М3 = 0, \ М2\ = 2, М| < 8, Е < 16, Е / М = ^2;

М , \\ М \\ , \\ М \\ , | М| < ,

Е <32, Е/М = %2 -

Доказательство. Для доказательства тео-

Е

\\

пусть М3 = 0, \Ы2 \ = 2- Поскольку М2 - пра-\ \ Е/М

\М2\ > Е/М| и Е/М = Х2.Есл.и М| = 4, то все \ \ | М| >

\ М/М \ > - М { , х}

мем т,т € М \ М2 такие, что т Ф т2 и т — т х, т — т / М т т ,

{х, т , т , т х, т х} зует К5; противоречие. Значит, тт2 Ф 0.

апп т { , х, т, т х} любого элемента т € М \ М2. Рассмотрим множество представителей ненулевых классов {т,т, - - - ,тк} в М/М2. Согласно только что доказанному, тгт^ ф 0 при г ф ]. Значит, тгт^ = х щи г ф з Если к > 4, то имеем т т т т т т х-т(т — тз) = т(т — тз) = 0- Значит, т —

т , т — т апп т { , х, т , т х} лу выбора т2, т3, 'т элементы т2 — т3, т — т3

х

т2 — т3 Ф т — т- Тогда возможны два случая: 1) т — т = т — т = т + х; 2)т2 — т3 = тх + х, т — т3 = тг. Нетрудно видеть, что в обоих случаях т — т2 € М2; противоречие. Значит, т2 — т3 = т4 — т3, т.е. тт

довательно, к < 3. Поэтому М| = 2^+2 <8и |Е| <

\ \ М , М4 = 0, |Е| = 24, Ь > 4- Если \М2 \ > 6, то граф Г(Е) содержит граф К5. Следовательно, \М2\ < 4. Поскольку М3 ф 0, то \М\ = 2, \М2\ = 4,Е/М = Ъ2. Граф Г(Е) связен и планарен, Е

х € М, степень которой не превосходит 5 [12, с. 129]. Таким образом, ^(х)| < 7 (поскольку \,х € 1(х)). Следовательно, М| = |Мх| • \1(х)| < \М \ • Щх)| < 4^ 7 = 28, т.е. М| <16 и |Е| < 32. Теорема доказана.

4. Конечные нильпотентые кольца, имеющие планарные графы делителей нуля

Е

мое нильпотентное кольцо, имеющее планар-

Е

ряет одному из следующих условий:

(1) Е = 0, \Е| <5;

Е , \\ Е \\ <

Е , \\ Е \\ , \\ Е \\ -Доказательство. Пусть Ек = 0, Ек-1 ф 0-Покажем, что к < 4. ^^^^^им, что к > \. Обозначим Ь = [|]. Тогда Е1Е1+1 = 0 и \Е*+1 \ > 4, |Е*| > 8. Взяв три ненулевых элемента из Е4+1 и три ненулевых элемента из Ег\Е*+1, получим, что в Г(Е) содержится граф К3,3; про-

ЕЕ

,Е К5, получаем |Е| < 5.

Пусть Е3 = 0,Е2ф 0- Если \Е \ > 4, то |Е| > 8, поэтому К,з еодерж\тся в Г(Е); проти-

\Е \ <

Осталось рассмотреть случай, кода Е3 ф 0. \Е \ < \Е \ > ,

|Е| > 16- Значит, К,з содержится в Г(Е); проти-\ \ \ \

\Е \ , \Е \ -

Е

потентное кольцо, имеющее планарный граф

Е

му из следующих условий:

(!) Е2 =0, Е < 5;

Е , \\ Е \\ , | Е| <

Е , \\ Е \\ , | Е| <

Е , \\ Е \\ , \\ Е \\ , | Е| <

Доказательство. Согласно предложе-

Е-рассмотрим следующие случаи.

\ Е\ \ , Е\

ложению 4.1 имеем \Е \ , \Е \ -

1.1. Пусть у2 = 0 для всех у € Е. Тогда по

ху ух х, у Е

Е,

а, Ь, с Е \ { }, аЬс

Ь, аЬ, Ьс, аЬс

аЬ Ьс, аЬс Ьс аЬс аЬ аЬс

аЬс

аЬс Ьс, а Ьа аЬс

Таким же образом доказывается, что элемент Ь аЬ, Ьс, аЬс

Предположим, что ЩЬ) \ {0, Ь, аЬ, Ьс, aЬc}| >2 и ЬгЬ € 1(Ь) \ {0,Ь,аЬ,Ьс,аЬс}- Тогда множество {Ь,Ьх,Ь2} и {аЬ,Ьс,аЬс} образует К,з! противоречие. Следовательно, ^(Ь) | < 6. Поэтому Е = ЩЬ)| • ЕЦ < ЩЬ)| • \Е\ <6^4 = 24-

аа \Е \ Е { , х}

\1(а) \ Е \ > 3. Тогда найдутся попарно различные 01,02,03 € /(а) \ Е3. Заметим, что

а,х + а € На), поскольку а2 ф 0. Следователь-{х, а, х а} и {а , а , а }

К,3; противоречие. Следовательно, Ща) | < 4 и

Случай 2. Пусть Е3 = 0, \Е \ = 3. Пусть Е { , х, у}

2.1. Пусть г2 = 0 для всех г € Е. Возьмем произвольный элемент Ь € Е \ Е2. Если ^(Ь) \ {0,x,y,Ь}| > 3, то существуют попарно различные Ь1,Ь-2,Ьз € 1(Ь)\{0, х, у, Ь}- Видим, что

{х, у, Ь} и {Ь , Ь , Ь } К,

противоречие. Значит, Ц(Ь)| < 6 и |Е| < 18.

2.2. Пусть о2 ф 0 для некоторого а € Е. Тогда а,х + а, у + а € /(а). Предположим, что \1(а) \ Е \ > 1- Для любого 01 € /(а) \ Е2 множество {х, у, ах}и{а, х+а, у+а} образует К3,з! противоречие. Значит, Ща) | = \Е \ = 3 и Е < 9.

Случай 3. Пусть Е3 = 0, \Е \ = 2. Пусть Е { , х}

3.1. Пусть у2 = 0 для всех у € Е. Возьмем произвольный элемент Ь € Е \ Е. Если ЩЬ \ {0, х,Ь, х + Ь}| > 3, то для любых трех различных элементов Ь1, Ь2, Ь3 € 1(Ь) \ {0, х,Ь,х + Ь} множество {х, Ь, х + Ь}и{Ьх,Ь2, Ь3} образует К3,з! противоречие. Поэтому ^(Ь) | <6 и |Е| < 12.

3.2. Пусть О ф 0 для некоторого а € Е. То-

гда х + а € /(о)- Если \1(а) \ Е \ > 3, то для любых трех различных элементов 01,02,03 € / а \ Е {х, а, х а} и {а , а , а }

К,

Теперь, когда доказаны все необходимые результаты, мы можем приступить к доказательству теоремы 2.1.

Доказательство теоремы 2.1. Пусть

Е

удовлетворяющее некоторому тождеству вида х2 = х3/(х),/(х) € Z[х], причем р/Е = 0, где р>

Е

кольцам А, А, т0 оно либо нильпотентно, либо локально. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Е

ме 2.1 у2 = 0 для всех у € Е. Из теоремы 4.1 Е

же\ием на абелевой группе (Хр,Л-),р = 3,5, ли-\о \Е\ = 3, |Е| < 18. Рассмотрим случай, когда \Е \ = 3, |Е| < 18. Поскольку Е подпрямо не-| Е|

Е ИЗОМОрфнО либо N,3, либо кольцу Мд. Однако оба эти кольца не удовлетворяют никакому тождеству вида х2 = х3 /(х).

Е

морфно либо Zp2, либо Т,Р, г,де р = 3,5. Поскольку ЦZp2)2 = 0 и Ц(Т2,р)2 = 0, то оба кольца удовлетворяют некоторым тождествам вида х2 = х3/(х). Далее, графы Г(Т2,р) и Г^рг) планарны, поскольку \Ц(Zp2)\ = ЩТ2,р)| = р < 5-Нетрудно проверить, что все кольца из условия теоремы подпрямо неразложимы. Теорема доказана.

Литература

1. Akbari, S. On zero-divisor graphs of finite rings / S. Akbari, A. Mohammadian // Journal of Algebra. - 2007. - Vol. 314.

2. Beck, I. Coloring of Commutative Rings / I.

Beck // Journal of Algebra. - 1988. - Vol. 116.

3. Anderson, D.F. The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring / D.F. Anderson, P.S. Livingston // Journal of Algebra. - 1999. - Vol. 217(2).

4. Wu T. On directed zero-divisor graphs of

finite rings / Т. Wu // Discrete Mathematics. -2005. - № 296.

5. Akbari, S. When zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph / S. Akbari,

H.R. Maimani, S. Yassemi // Journal of Algebra.

- 2003. - Vol. 270.

6. Belshoff, R. Planar zero-divisor graphs / R. Belshoff, J. Chapman // Journal of Algebra.

- 2007. - Vol. 316.

7. Smith, N. Infinite planar zero-divisor graphs / N. Smith // Communications in Algebra. - 2007.

- Vol. 35.

8. Кузьмина, А.С. О строении конечных колец , имеющих планарные графы делителей нуля / А.С. Кузьмина // МАК-2007 : материалы 10-й регион, конф. по математике. - Барнаул, 2008.

9. Кузьмина, А.С. О строении колец с планарными графами делителей нуля / А.С. Кузьмина // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. - М., 2008.

10. Оре, О. Теория графов : пер. с англ. / О. Оре; под ред. Н.Н. Воробьева. - 2-е изд., стереотип. - М., 1980.

11. Татт, У. Теория графов : пер. с англ. / У. Татт. - М., 1988.

12. Харари, Ф. Теория графов : пер. с англ. / Ф. Харари; под ред. Г.П. Гаврилова. - М., 1973.

13. Джекобсон, Н. Строение колец / Н. Дже-кобсон. - М., 1961.

14. Елизаров, В.П. Конечные кольца / В.П. Елизаров. - М., 2006.