О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ФРОНТА волны РАЗМНОЖЕНИЯ ФОНА

номер 12, 2004 г.

Краткие сообщения по физике. ФИ АН

УДК 537.52

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ФРОНТА волны РАЗМНОЖЕНИЯ ФОНА

С. И. Яковленко

Рассмотрена начальная стадия развития неустойчивости фронта ионизационной волны, обусловленной размножением электронов малой фоновой плотности. Найдено выражение для инкремента нарастания малых возмущений. Проведены расчеты инкремента нараст,ания неустойчивости для гелия и ксенона.

В работах [1 - 5] обращено внимание на тот факт, что распространение разряда в плотном газе в ряде случаев определяется не переносом электронов или фотонов, а размножением уже имеющихся электронов малой фоновой плотности. При этом во внешнем электрическом поле, предшествующем пробою, плотность фоновых электронов резко возрастает [2, 4, 5]. Наиболее интенсивное размножение имеет место вблизи проводящей поверхности малого радиуса кривизны, где концентрируется электрическое поле. Поэтому волна размножения часто распространяется в виде сравнительно узких каналов. Такой механизм распространения разряда не зависит от направления электрического поля, что позволяет, в частности, отказаться от известной фотонной гипотезы распространения стримера [6]. Вопрос о распространении волны ионизации в плотном газе важен также для понимания механизма генерации мощных субнаносекундных пучков в газах атмосферного давления [7, 8].

В данной работе рассмотрен вопрос об устойчивости плоского фронта волны размножения.

Скорость волны размножения. В работах [1 - 5] показано, что распространение волны размножения фона можно описать простой моделью. В рамках этой модели зависимость плотности электронов Ne от радиуса-вектора рассматриваемой точки пространства г и времени t дается выражением:

К ПЛГ»"|1И1( Л />Л/\/»11/ЛП|/|/ #Т л-» л /Ая1лл «ллл (ТУ Л /7 и #~1 Д1К'Г| / 7 у/|/г ¿' ^

Гя-рИнычи/к, /«.I/ Ч'/1/111 пимъу 1 ии^ С.

м /г П = ] Лоехр[«/,(Я(г))*], при ЛГоехрМВД)*] < Аст, .

Г \ Л«., при ЛГоехрИад)*]^^.

Здесь Ао - фоновая плотность плазмы; А^. - критическая плотность плазмы, при которой электрическое поле полностью экранируется плазмой; Е - напряженность поля; г/, - частота ионизации.

Скорость фронта волны размножения, полученная на основе (1), имеет вид:

* - «Ш-2 Ьп I ¿мед

Здесь Е0 = Е(г(0)) - напряженность поля на поверхности фронта; г0 - радиус сферической поверхности, аппроксимирующей фронт; р - давление нейтрального газа; Ьп = \n(Ncт/No). Частота ионизации записана как произведение I/, = а, • коэффициента Таунсенда а,(£,р) = р • £(Е/р) (где ((Е/р) - функция, характерная для данного газа) на дрейфовую скорость электронов ил^Е/р).

Как установлено в [9 - 12] (см. также обзоры [7, 8]), зависимость и^Е/р) имеет максимум при некотором значении напряженности поля Е/р = (Е/р)сг. Далее мы будем рассматривать не очень большие поля Е/р < (Е/р

Причины возникновения неустойчивости. Как видно из (2), в плоском случае скорость распространения фронта размножения становится бесконечно большой. Это озна чает, что ионизация должна происходить сразу во всем объеме. На самом деле объемный механизм ионизации неустойчив. Стример и искровой разряд являются следствием этой неустойчивости.

То, что плоский фронт волны размножения должен быть неустойчив, видно из простых соображений. Пусть по каким-то причинам плоский фронт исказился так, что образовались небольшие выпуклости и ямы. Силовые линии электрического поля концентрируются на выпуклостях. Соответственно, вблизи выпуклостей больше скорость размножения и скорость продвижения фронта. Следовательно, выпуклости будут увеличиваться. С ростом выпуклостей поле будет еще больше концентрироваться на них.

Для расчета формы образующегося при этом плазменного сгустка необходимо рассмотрение уравнения (1) совместно с двумерным, или даже трехмерным уравнением Лапласа. Ниже мы ограничимся анализом начальной фазы развития неустойчивости, когда возмущение фронта еще можно считать малым. Использованный способ рассмотрения во многом (особенно - в части получения возмущенного потенциала) аналогичен

подходу, изложенному в книге [6] применительно к другому механизму распространения ионизации.

Выражение для возмущенного потенциала. В отсутствие возмущения будем считать поверхность фронта волны размножения плоским проводником, распространяющимся вдоль оси 2 со скоростью V. Потенциал на фронте положим равным нулю. В этом случае зависимость невозмущенного потенциала от координаты и времени определяется выражением: <£>0 = — Ео • (г — г>2), где Е0 - напряженность поля на поверхности фронта.

Рассмотрим малое возмущение поверхности в виде плоской волны с частотой ш и волновым числом кх. Смещение, перпендикулярное поверхности, при этом имеет вид:

= £0 • ехр[{(кхх - ш*)],

где ¿о ~ амплитуда смещения.

За счет возмущения возникает добавка к потенциалу (р\, которая должна удовлетворять уравнению Лапласа Д^ = 0, а также обращаться в нуль при г — оо. Этим условиям удовлетворяет функция <¿>1 = ую-ехр\ъ(кхх — ш^) — кгх\. Здесь <рю - амплитуда возмущения потенциала. При этом должно также иметь место равенство кх = кг = к:

Таким образом, для потенциала у? = у>о + <¿>1, учитывающего возмущение, имеем:

<р = —Е0  (г — ь) + ¥?ю • ехр[г(&л; — ьЛ) — кг].

Явный вид (^ю определим из условия равенства нулю потенциала ц>(г) = 0 на фронте волны размножения, т.е. при г — г>£ + £ = + £о  ехр[г(&х —

<р№ + £о • ехр[г(&х — =

= — Е0   ехр[г(А;х — ш!)] + <р10 • ехр[г(&ж — иЬ) — к  (и* + £о • ехр[г(£:г — и;*)])] = 0. Отсюда

¥>ю = Е0  £0 • ехр[& • + £0 • ехр[г(&х - и><)])] « Е0  £о  ехр(Ш).

Здесь положено к(0 << 1 и пренебрегается членами порядка малости выше линейного по

Таким образом, окончательное выражение для потенциала имеет вид [6]:

tp = —Е0  {(z — vt) — £о • ехр[г(&х — u>t) — k(z — vi)]}.

Инкремент нарастания возмущения. Условие неизменности потенциала на фронте можно записать в виде:

Если пренебречь зависимостью скорости распространения волны ионизации v от напряженности поля Е, подставляя в (4) выражение для потенциала (3), имеем гш = 0. Иначе говоря, в этом случае малое возмущение £ не изменяется со временем. Имеет место безразличное равновесие.

Однако на самом деле скорость волны размножения при не очень сильных полях Е/р < (Е/р)сг растет с ростом поля. При малом изменении напряженности поля |A<^j| имеем:

Подставляя это выражение в условие неизменности потенциала на границе (4) и пренебрегая членами порядка малости выше линейного по получаем:

Величина 7 - есть инкремент нарастания амплитуды малого возмущения. Тот факт, что он положителен (поскольку положительна производная (¿у/с1Е)\е0), говорит о том, что малое начальное возмущение экспоненциально нарастает, т.е. имеет место устойчивость фронта волны размножения.

Зависимость инкремента от напряженности поля. С учетом (2) выражение для инкремента нарастания неустойчивости (5) имеет вид:

dtp/dt = dip/dt + vVip = dtp/dt + vd<p/dz = 0.

v{E) = v(Eo) + (dv/dE)\Eo  \dtpi/dz\.

ш = ¿7, 7 = k(dv/dE)\EoE0.

ипиел 19 9ПП/. р

--------г -----т

1^.р(17Т1'ХУ,€ СОО^ЩСНИЯ 710 физике ФИ А Н

В случае, когда возмущение определяет радиус кривизны развивающейся неоднородности, величина кг0 порядка единицы.

Используя данные работ [7 - 12], можно вычислить универсальные зависимости инкремента при кг0 — 1 от приведенной напряженности поля на фронте:

7о

<1 I/,

АШТ.

(Ео/р).

е=е0

у0, Б"1; V, сш/б; ийе, сш/б; у^"1

МО12 МО" 1-Ю10 МО9 МО» МО7 1106

1 10 100 МО3

Е/р, У/

у0, Б"1; V, сш/б; ийе, оп/б; у,^"1

МО13

11012 110» мою

1109

1-ю8

1-Ю7 МО6

Уо

V

ис1е Хе

10 100 МО3 МО4

Е/р, У/

Рис. 1. Зависимость инкремента нарастания -у0) скорости фронта ионизации V, дрейфовой скорости электронов и^е и частоты ионизации ^ от приведенной напряженности электрического поля Е/р, для гелия (а) и ксенона (б), р = 1 атм, N0 = Ю6 см~3, Л"сг = 1014с.и 3, Ьп - 18.4, г0 = 0.1 см.

Результаты расчетов для гелия и ксенона представлены на рис. 1. Отметим, что в рассмотренной области параметров частота ионизации существенно превосходит инкремент нарастания: 1^/70 ~ 2Ьп >>1.

Расчеты показывают, что характерное расстояние, на которое уйдет фронт за время развития неустойчивости 1/70, составляет и/70 ~ (0.3 — 0.8)го как для гелия, так и для ксенона. Это означает, что головка стримера должна распадаться на отдельные от ростки с характерным поперечным размером, много меньшим г0. Причины, по которым это обычно не происходит, обсуждаются в [6]. В случае волны размножения поперечные размеры неустойчивости, кроме того, ограничены расстояние?»! между частицами фона ~ Л^1^3 = Ю-2 см. Отметим также, что в принципе возможно формирование искрового канала в виде жгута из нескольких тонких нитей.

Краткие сообщения по физике. ФИАН номер 12, 2004

О критерии возникновения стримера. Обычно в качестве критерия перехода лавины в стример используют условие а, • <1 > 20, где с? - расстояние между плоскими электродами. При выполнении этого условия в лавине рождается достаточно большое количество зарядов, чтобы обеспечить высокую концентрацию электрического- поля на ее головке.

По-видимому, это условие при наличии фоновой ионизации, является недостаточным. На самом деле объемное размножение электронов может произойти быстрее, чем искровой канал замкнет электроды. Критерий, определяющий переход от объемного разряда к искровому пробою, можно записать в виде:

у(Е0) ч(Е0)г0

~Г > {Е)' ИЛ" к(Е)((Е0у > Ь

Здесь Е - напряженность поля между электродами. Она существенно меньше напряженности поля на головке стримера Е0.

Итак, если напряженность поля в объеме достаточно высока, чтобы обеспечить быстрое объемное размножение электронов, искровой канал может не успеть возникнуть. Разумеется, для этого поле в объеме должно быть сформировано достаточно быстро, чтобы искровой пробой не произошел на стадии роста напряженности поля. Иначе говоря, фронт подаваемого на электроды напряжения должен быть достаточно крутым.

Таким образом, фронт волны размножения неустойчив относительно малых возмущений, образующих выступы или провалы. Эта неустойчивость приводит, в частности, к образованию стримера.

Работа поддержана МНТЦ, проект N 2706.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Я к о в л е н к о С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 27 (2003).

[2] Я к о в л е н к о С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 2, 22 (2004).

[3] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 30, вып. 9, 12 (2004).

[4] Я к о в л е н к о С. И. Электронный журнал "Исследовано в России", 9, 86 (2004), ИМ,о: / /7,1и1гпа1 апр.гяЬтп гп /ятННев /2004Z009.pdf

х II I - / / / Г

[5] Я к о в л е н к о С. И. ЖТФ, 34, вып. 9, 47 (2004).

[6] Л о з а н с к и й Э. Д., Ф и р с о в О. Б. Теория искры. М., Атомиздат, 1975.

номер 12, 2004 г.

Краткие сообщения по физике ФИАЬ

[7] Т а р а с е н к о В. Ф., Яковленко С. И. УФН, 2004 (в печати).

[8] Т к а с h е v A. N., Yakovlenko S. I. Central European Journal of Physics (CEJP), 2(4), 579 (2004) (www.cesj.com/physics.html).

[9] T к а ч e в A. H., Яковленко С. И. Письма в ЖЭТФ, 77, вып. 5, 264 (2003).

[10] Ткачев А. Н., Яковленко С. И. Письма в ЖТФ, 29, вып. 16, 54 (2003).

[11] Бойченко А. М., Ткачев А. Н., Яковленко С. И. Письма в ЖЭТФ, 78 (11), 1223 (2003).

[12] Ткачев А. Н., Яковленко С. И. Письма в ЖТФ, 30, вып. 7, 14 (2004).

Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 12 августа 2004 г.