Разработка двухуровневого подхода к моделированию механического поведения износостойких покрытий с дендритной структурой

УДК 621.791.72

Разработка двухуровневого подхода к моделированию механического поведения износостойких покрытий с дендритной структурой

Иг.С. Коноваленко1, А.Ю. Смолин12, И.М. Полетика1, С.Г. Псахье1,2,3

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

2 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

3 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

С помощью метода подвижных клеточных автоматов была развита многоуровневая модель структурно-неоднородных покрытий. Она основана на последовательном выполнении следующих этапов: моделирование однородных образцов со свойствами составляющих компонентов покрытия; определение представительного объема неоднородного покрытия с явным заданием его структуры; неявный учет свойств неоднородностей малого масштаба в полномасштабной модели. Развитая модель была применена для изучения разрушения структурированных покрытий, полученных электронно-лучевой наплавкой на стальной подложке, при различных видах механического нагружения.

Ключевые слова: многоуровневый подход, компьютерное моделирование, покрытие, электронно-лучевая наплавка, деформация и разрушение, метод подвижных клеточных автоматов

Development of a two-level approach to simulation of mechanical behavior of wear-resistant coatings with dendrite structure

Ig.S. Konovalenko1, A.Yu. Smolin1,2, I.M. Poletika1 and S.G. Psakhie1,2,3

1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

2 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

3 National Research Tomsk Polytechnical University, Tomsk, 634050, Russia

A multilevel model of heterogeneous coatings was developed on the basis of the movable cellular automata method. The model consists of the following successive stages: (i) simulation of homogeneous specimens with properties of coating components; (ii) determination of the representative volume of a heterogeneous coating with explicitly specified structure; and (iii) implicit account of the properties of small-scale heterogeneities in a full-scale model. The developed model was used to study the fracture of structured coatings obtained by electron beam facing on a steel substrate under mechanical loading of various types.

Keywords: multilevel approach, computer simulation, coating, electron beam facing, deformation and fracture, movable cellular automata method

1. Введение

При различных видах наплавки (электродуговой, электронно-лучевой, лазерной, плазменной и др.) с использованием интенсивного теплового источника образуется типичная структура литого металла, которая существенно неоднородна и характеризуется столбчатодендритным строением. Для нее характерны усадочные раковины, поры, трещины в междуветвиях дендритов, неравномерное распределение примесей (ликвация по удельному весу), дендритная ликвация. Кристаллы, образовавшиеся первыми, имеют более высокую концентрацию тугоплавкого компонента, чем последующие. Междендритные пространства, кристаллизовавшиеся последними, являются самыми легкоплавкими и затвер-

© Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю., Полетика И.М., Псахье С.Г., 2011

девают в форме эвтектик. С разной растворимостью в жидкой и кристаллической фазах связана зональная ликвация. Высокая химическая и структурная неоднородность, готовые микротрещины и микропоры делают наплавленные покрытия хрупкими. Они легко разрушаются при ударном воздействии.

На практике для улучшения качества структуры литой стали используют гомогенизационный (диффузионный) отжиг, заключающийся в нагреве и длительной выдержке при высокой температуре. При этом стимулируются процессы гомогенизации, рекристаллизации, полигонизации, зарастания трещин и пор, устраняется или смягчается дендритная неоднородность. Имеющиеся границы дендритов перемещаются, формируются

новые, структура становится более равноосной. Скорость структурных изменений определяется диффузионной подвижностью атомов и растет с повышением температуры. Но такой вид термической обработки, предназначенный для устранения (или смягчения) дендритной структуры литых металлов и сплавов, неприемлем для модификации покрытий, т.к. одновременно меняется структура металла подложки, в частности наблюдается интенсивный рост зерна, в результате чего материал теряет свои изначальные свойства.

Для того чтобы повысить прочностные свойства и уменьшить хрупкость наплавленных покрытий, которые в результате закалки из жидкого состояния имеют дендритную структуру, необходимо исследовать характер и природу разрушения такой структуры при механическом нагружении. Так можно выяснить, какие параметры структуры необходимо изменить, чтобы получить требуемые свойства покрытия. Для решения этой задачи необходимо привлекать методы компьютерного моделирования, в которых явно будут учитываться элементы структуры покрытия. При решении таких задач перспективным является метод подвижных клеточных автоматов, который в силу своей дискретной природы, в отличие от методов механики сплошной среды, эффективен для моделирования гетерогенных сред, в особенности процессов разрушения от момента образования первых повреждений вплоть до фрагментации материала [1]. Поскольку в структуре рассматриваемых покрытий присутствуют элементы существенно различных масштабов, то развиваемая численная модель покрытия должна быть многоуровневой.

В работе на основе метода подвижных клеточных автоматов был развит многоуровневый подход к численному изучению механического поведения и свойств наплавленных покрытий с дендритной структурой и построена иерархическая модель этих покрытий.

В качестве объекта моделирования были выбраны покрытия, полученные в атмосфере с использованием ускорителя электронов ЭЛВ6, созданного в ИЯФ СО РАН им. Г.И. Будкера. Данный ускоритель позволяет выводить концентрированный пучок электронов с энергией 1-1.6 МЭв и мощностью 100 кВт в атмосферу. Эффективная глубина проникновения электронов в металл составляет 0.5-1 мм. Производительность обработки при наплавке достигает 30 см2/с. Отсутствует проблема введения легирующих элементов в наплавленный слой. Метод получения и результаты исследований таких покрытий описаны в работах [2-5].

2. Метод подвижных клеточных автоматов

В методе подвижных клеточных автоматов моделируемая среда представляется в виде ансамбля взаимодействующих частиц (клеточных автоматов), имеющих конечный размер. Метод наследует все преимущества

классического метода клеточных автоматов, при этом добавляется способность автоматов к пространственному движению и вводятся новые параметры состояния, отнесенные к паре автоматов. Таковыми, в частности, являются перекрытие и сила в паре. Для определения критерия переключения состояний пар подвижных автоматов вводится параметр межавтоматного перекрытия Ь1] = г1] - г0, где г1 — расстояние между центрами соседних элементов; г0 = 1/2 ^ + dJ), d] — размер автомата. Существуют два типа состояний (пространственных отношений) пар: связанные, между которыми существует химическая связь (Ь1 < ) и несвязанные,

между которыми такая связь отсутствует (Ь1 > Щ^)-

Изменение отношения пары определяется относительным движением автоматов, и среда, образованная такими парами, может рассматриваться как бистабильная. Следуя модели Винера-Розенблюта, распределенная бистабильная активная среда может быть описана уравнением

АЬ/Д/ = f (Ь) + Е С(11,1к)I(Ь1к) +Е С(1,11) 1(Ь11),

к Ф1 IФ 1

где С(у,1к)(11)) — коэффициенты, связанные с переносом параметра перекрытия h от одной пары автоматов к другой; I(Нк)) — явная функция Ьк(1 \ которая определяет перераспределение Нгк^ между парами у, ik и у1. Функция состояния пары /(к1}) имеет смысл относительной скорости Vn автомата у.

В линейном приближении функция I(Нк(11)) может быть записана как I(Ьк(11)) = ^(0/к/)^п{']1\ где 'у(а.у1к(11)) определяется взаимным расположением (ориентацией) пар автоматов у, ik иу1; Л(ц) — неко-

торый параметр взаимной ориентации.

Эволюция среды подвижных клеточных автоматов будет описываться следующими уравнениями движения для трансляционной составляющей:

d2 Ь1 dt2

1 1

1

= 1 —Г+—ТIр1 + Е С(и,1к)У(а-д)—т р‘

к Ф1

+ Е С ( у, /ТЖа /]/1)— р1,

1Ф1

где р11 — центральная сила парного взаимодействия.

На мезомасштабном уровне, как и на макромасштабном, в дополнение к поступательному движению нужно учитывать вращение элементов. По аналогии с уравнениями для трансляционного движения уравнения для вращательной составляющей движения могут быть записаны в виде:

+ Л ,

+ 1/

£.. + -_

Г Ji

V У

+ Е £(ij, Ш -— Т11

ш J

Т+Е £ (у, 1к)-- Тк +

к Ф1 J

Здесь Э1 — угол относительного разворота (он является параметром переключения, также как и Ь для трансля-

ционной составляющей); 1 — расстояние от центра

автомата ^]) до точки контакта с автоматом_/(') (плечо момента); Т1 — тангенциальная сила парного взаимодействия; S(ij, ik(jl)) — некоторые коэффициенты, связанные с переносом параметра 0 от одной пары к другой (они аналогичны коэффициентам С(у, ik(у1)) в уравнениях для трансляционной составляющей движения). Данные уравнения полностью аналогичны уравнениям движения для многочастичного подхода и в общем случае могут быть записаны как

А2Т1

т =га+Е ^,

я/ у

Я 20 Э

) = Е к1,

Я/ у

где Я1(1 — координаты автоматов; 01 (1 — углы их поворота; — эффективная сила, действующая на авто-

мат i и обусловленная взаимодействием его соседей с другими автоматами; = р1 + Т11; р1 — центральная

составляющая парной силы взаимодействия; Т1 — тангенциальная составляющая этой силы; К1 = д1 (п1 ХТ1); п1 = (Я1 - Т)/(— + д1) — единичный вектор.

В общем случае поведение каждого автомата определяется его взаимодействием с соседними автоматами. В свою очередь, взаимодействие между автоматами находится с помощью функций отклика. Эволюция системы в фазовом пространстве определяется решением уравнений движения.

Парное взаимодействие находится с помощью функций отклика материала, из которого составлен автомат. Можно выделить четыре основных типа функции отклика автоматов. В простейшем случае межавтоматное взаимодействие полагается упругим и линейным. В этом случае функция отклика является линейной функцией параметра перекрытия.

В данной работе на основе метода подвижных клеточных автоматов была развита двухуровневая модель структурно-неоднородных материалов. Она основана на

поэтапном моделировании композита с явным заданием составляющих его компонентов на каждом из масштабных уровней. Перенос информации о структурных неоднородностях и механическом поведении гетерогенного материала с одного масштабного уровня на более высокий осуществлялся посредством их параметрического учета в функциях отклика автоматов на соответствующем масштабе. Предложенная модель является принципиально новой для методов, относящихся к классу дискретных элементов, и не имеет аналогов.

3. Моделирование структуры наплавки

Разработанный подход был применен к численному изучению механического поведения и свойств покрытий на низкоуглеродистой стали Ст3, созданных методом вневакуумной электронно-лучевой наплавки со структурой сплавов доэвтектического типа, состоящих из зерен аустенита и эвтектики на основе карбидов вольфрама ^С) [6]. Характерные участки структуры, полученной наплавкой с использованием карбида вольфрама, приведены на рис. 1. Рассматривается однослойная наплавка, поверхностный слой которой характеризуется литой дендритной структурой, состоящей из зерен твердого раствора и эвтектики. Приняты допущения, что никаких других модификаций железа, а также элементов и карбидов, за исключением перечисленных выше, покрытие не содержит.

В связи с тем, что в наплавке присутствуют структурные элементы нескольких характерных масштабов — выделения карбида вольфрама (10-7 м), зерна аустенита (10-6 м), области эвтектики (10-6-10-5 м) и дендритные структуры (10- 5-10-4 м) — была построена двухуровневая модель рассматриваемого покрытия. В рамках данного подхода условно назовем масштабный уровень 10-7-10- 5 м «микроскопическим», а 10-5-10- 4 — «макроскопическим».

Построение модели осуществлялось в несколько этапов. На первом этапе с целью определения эффек-

Рис. 1. Участки структуры наплавки карбидом вольфрама: верх

тивных функций отклика подвижных автоматов макроскопического структурного уровня, соответствующих областям эвтектики с выделениями карбида вольфрама, проводились расчеты с явным учетом структуры материала (задавались доля, форма, размер и распределение частиц WC) на микроуровне при различных видах механического нагружения. Определялся представительный объем данного структурного уровня.

На втором этапе расчеты проводились на макроуровне для литой дендритной структуры, состоящей из зерен твердого раствора и эвтектики. Данные о структуре эвтектики на предыдущем уровне (наличие в ней выделений карбида вольфрама) учитывались путем использования эффективных функций отклика автоматов с параметрами, найденными на первом этапе моделирования. Характерная дендритная структура наплавки на макроуровне закладывалась в модели явно, с учетом размеров и формы дендритных структур в реальных покрытиях [4, 5].

На третьем этапе проводилось исследование адекватности и возможностей построенной модели.

Представительный объем микромасштабного уровня определялся на основе анализа сходимости упругих и деформационных характеристик модельных образцов по мере увеличения их размеров. Для решения этой задачи в работе моделировалось механическое поведение шести групп плоских образцов, соответствующих участкам эвтектики с распределенными в ней включениями/выделениями карбида вольфрама в условиях сдвигового нагружения, одноосного сжатия и растяжения. Внутри каждой группы образцы характеризовались одинаковыми размерами, но различным пространственным расположением WC. Каждая группа содержала пять образцов. Рассматривались плоские квадратные образцы, у которых сторона h составляла 1, 2, 4, 6, 10, и 15 мкм соответственно своей группе. Принято допущение, что все выделения карбида вольфрама и, соответственно, модельного материала одинаковы, имеют форму сферы и стохастически распределены по всему объему модельного материала. Их размер, в соответствии с исследованиями методом оптической и электронной микроскопии тонких фольг, составлял 0.3 мкм. Размер клеточного автомата выбран в соответствии со средним размером зерна и составлял 0.1 мкм. Выделения карбида вольфрама в модельном образце учитывались путем задания соответствующих механических свойств стохастически выбранным автоматам, а также шести их ближайшим соседям. Объемная доля выделений WC в модельных образцах составляла 20 %.

Таким образом, в модели на данном масштабном уровне явным образом учитываются объемная доля карбидов вольфрама, содержащихся в эвтектике, форма и размеры данных включений, объемная доля эвтектики в слое наплавки.

В случае сдвигового нагружения механическая нагрузка прикладывалась путем задания скорости в гори-

зонтальном направлении верхнему слою автоматов при жестком закреплении автоматов нижнего слоя образца. На начальном этапе скорость движения автоматов верхнего слоя нарастала по синусоидальному закону (при этом аргумент функции изменялся в диапазоне от -п/ 2 до п/ 2) от 0 до 1 м/с, а затем оставалась постоянной. Такая схема использовалась для устранения динамических эффектов и обеспечения плавного и быстрого выхода процесса деформирования образца на квазистацио-нарный режим. По горизонтальной оси использовались периодические граничные условия.

При одноосном сжатии и растяжении скорость автоматов верхнего слоя в вертикальном направлении нарастала, как и при сдвиге, по синусоидальному закону, а нижнего — была задана равной нулю. Автоматам верхнего и нижнего слоев образца были также разрешены горизонтальные смещения, а боковые поверхности образца были свободны. Задачи решались для случая плоского напряженного состояния. Функция отклика для WC имеет линейный вид, а ее деформационно-прочностные и упругие параметры (модуль Юнга Е = 722 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0.3) взяты из справочных данных. Функция отклика эвтектики, согласно данным [4-6], соответствует диаграмме нагружения нержавеющей стали 12Х18Н10Т с чисто аустенитной структурой, параметры которой: Е= 722 ГПа, V =0.28 (справочные данные). В качестве критерия разрыва межавтоматных связей использовался критерий разрушения по интенсивности касательных напряжений.

Поиск представительного объема для эвтектики с выделением карбидов вольфрама осуществлялся по шести группам описанных ранее модельных образцов. Анализировалась величина отклонения эффективного модуля Юнга модельного образца £1, коэффициента упрочнения Е2 (тангенс угла наклона участка диаграммы, соответствующего необратимой деформации материала) и его относительной деформации ес (соответствует максимальной силе сопротивления нагружению), определяемых по расчетной диаграмме нагружения, от соответствующих средних по группе величин (Е1),

(Е2), (ес). Результатом данного этапа являлся размер образца (представительного объема), начиная с которого отклонение Е1, Е2 и ес от (Е1), (Е2) и (ес) не превосходит приемлемой для решения поставленной задачи величины. В данной работе использовались величины 3 % для Е1 и Е2 и 10 % для ес, что является приемлемым для гетерогенных сред с долей включений более 15 %.

Результаты расчетов показывают, что для эффективных упругих и деформационных свойств образцов (Е1, Е2 и ес) в случае одноосного сжатия характерна нелинейная сходимость с увеличением размеров образцов. Для образцов с h > 2 мкм максимальные относительные отклонения Е1, Е2 и ес от соответствующих средних по группе величин ((Е1), (Е2), (ес)) не превосходят требуемого предела (3 и 10 %) и для h = 2 мкм состав-

Рис. 2. Начальная структура (а) и картины разрушения модельного образца при растяжении (б) и при сжатии (в) для случая, когда основные оси дендритов перпендикулярны направлению приложения нагрузки

ляют 0.38, 1.47 и 3.8 %, что вполне достаточно для решения поставленной задачи.

Таким образом, показано, что образцы со стороной h = 2 мкм и более являются представительными для рассматриваемой модельной среды на микромасштабном уровне. На основе результатов проведенных расчетов стало возможным продолжение исследований на более высоком, макромасштабном уровне, при этом средние по группе значения (Е1), (Е2) и (ес) были приняты в качестве параметров функции отклика автоматов на этом масштабном уровне.

На макроуровне в качестве объекта моделирования использовались плоские прямоугольные образцы 214x264 мкм. Диаметр автомата, в соответствии с размером определенного представительного объема, составлял 2 мкм. Дендритная структура слоя наплавки задавалась явным образом на основе растрового электронно-микроскопического изображения реальной микроструктуры металла наплавки.

Сгенерированная в работе модельная структура наплавленного слоя является древовидной и представляет собой систему дендритных зерен, имеющих длинные оси первого порядка, вытянутые приблизительно в од-

ном направлении (направлении теплоотвода) (рис. 2, а и

3, а). От боковой поверхности главных осей прорастают короткие оси второго порядка дендритов. Пространство между дендритами заполнено эвтектической смесью фаз.

Перенос информации о выделениях карбида вольфрама (их объемной доле, размерах, форме и пространственном распределении) в эвтектике и определяемых ими эффективных прочностных и упругих свойствах материала с микромасштабного на макромасштабный уровень осуществлялся посредством использования для автоматов макроуровня функций отклика, определенных на основе расчетов для представительных объемов материала на микроуровне.

Согласно экспериментальным данным, зерна твердого раствора, составляющие дендриты, представляют собой аустенит. В качестве функции отклика автоматов, соответствующих зернам твердого раствора, принята диаграмма растяжения нержав еющей стали 12Х18Н10Т, параметры которой (Е = 722 ГПа, V = 0.28) взяты из справочной литературы [7]. Схема приложения механической нагрузки и предположение о виде напряженного состояния аналогичны используемым ранее в задаче об

Рис. 3. Начальная структура (а) и картины разрушения модельного образца при растяжении (б) и при сжатии (в) для случая, когда основные оси дендритов параллельны направлению приложения нагрузки

определении представительного объема. Таким образом, на данном этапе построения модели неоднородность прочностных, упругих и деформационных свойств материала наплавки на макроуровне задавалась на основе использования подвижных автоматов с различными функциями отклика.

Адекватность и возможности построенной модели исследовались на основе проведения тестов на сжатие-растяжение построенных образцов. Рассматривались две ориентации образцов по отношению к направлению нагружения: первая — основные оси дендритов параллельны направлению приложения нагрузки и вторая — перпендикулярны ей. Первый случай нагружения соответствовал некоторому локальному воздействию на поверхность наплавки, например вдавливанию штампа или «отдиру» слоя от основы, второй — изгибу основы вместе со слоем наплавки.

Анализ результатов проведенных расчетов показал, что при растяжении моделируемые образцы разрушаются в результате формирования трещин отрыва. При этом явно прослеживается влияние ориентации дендритных структур на характер разрушения образцов. Так, в случае когда основная ось дендритов перпендикулярна направлению приложения нагрузки, путь прохождения трещины в образце близок к прямой и проходит почти параллельно основной оси некоторого дендрита, не пересекая ее (рис. 2, б). В случае когда основная ось дендритов параллельна направлению приложения нагрузки, путь распространения трещины проходит через главные оси всех дендритов и вследствие этого достаточно сложен и разветвлен (рис. 3, б).

При одноосном сжатии образцы разрушаются в результате образования в них трещин, ориентированных по направлению максимальных касательных напряжений, пересекающих главные оси дендритов. Влияние ориентации дендритных структур на характер разрушения образцов прослеживается и в этом случае. В частности, когда главная ось дендритов перпендикулярна направлению приложения нагрузки, магистральная трещина содержит множество параллельных друг другу ответвлений, которые возникли преимущественно в областях образца, где и основные, и вторичные оси ден-дритов не развиты (рис. 2, в). В образце, для которого главные оси дендритов параллельны направлению приложения нагрузки, макротрещины не содержат таких ответвлений (рис. 3, в).

4. Заключение

В данной работе на основе многоуровневого подхода к моделированию построена двухуровневая модель ге-

терогенных покрытий, полученных электронно-лучевой наплавкой на стальной подложке, позволяющая явным образом учитывать неоднородность их структуры: включения карбидов вольфрама в эвтектике, а также дендритную структуру наплавленного слоя. Проведенные расчеты показали пригодность построенной модели для описания структуры наплавленного слоя, а также разрушения подобных систем при механическом нагружении, соответствующем вдавливанию штампа или «от-диру» покрытия от основы или их изгибу. Результаты численного эксперимента выявили влияние ориентации главных осей дендритов относительно направления приложения нагрузки на характер разрушения покрытий.

Предложенный в работе подход является достаточно общим, и при необходимости на его основе можно моделировать неоднородные среды, содержащие произвольное количество масштабных структурных уровней, в том числе слой вторичной импульсной обработки низкоэнергетическими электронами, характеризующийся на-норазмерной дендритной структурой и наличием в меж-дендритных промежутках пор.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-03-12039 офи-м).

Литература

1. Псахье С.Г, Остермайер Г.П., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физ. мезомех. - 2000. -Т. 3. - № 2. - С. 5-13.

2. Полетика И.М., Голковский М.Г., Борисов М.Д., Салимов Р.А., Перовская М.В. Формирование упрочняющих покрытий методом наплавки в пучке релятивистских электронов // ФизХОМ. - 2005. - № 5. - С. 29-41.

3. Полетика И.М., Голковский М.Г., Перовская М.В., Крылова Т.А., Салимов Р.А., Гнюсов С.Ф., Гальченко Н.К. Создание бифункциональных покрытий методом электронно-лучевой наплавки // Перспективные материалы. - 2007. - № 1. - С. 78-85.

4. Полетика И.М., Крылова Т.А., Перовская М.В., Иванов В.Ф., Гнюсов С.Ф., Голковский М.Г. Структура и механические свойства металлов вневакуумной электронно-лучевой наплавки до и после термической обработки // Упрочняющие технологии и покрытия. -2008. - № 4. - С. 44-53.

5. Полетика И.М., Иванов Ю.Ф., Голковский М.Г., Крылова Т.А., Перовская М.В. Структура и свойства коррозионно-стойких покрытий, полученных методом электронно-лучевой наплавки в атмосфере воздуха // МиТОМ. - 2009. - № 12. - С. 33-39.

6. Полетика И.М., Голковский М.Г, Крылова Т.А., Иванов Ю.Ф., Перовская М.В. Формирование структуры металла электроннолучевой наплавки карбидом вольфрама // Перспективные материалы. - 2009. - № 4. - С. 65-70.

7. Физические величины. Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

Поступила в редакцию 21.03.2011 г.

Сведения об авторах

Коноваленко Игорь Сергеевич, к.ф.-м.н., мнс ИФПМ СО РАН, igkon@ispms.tsc.ru

Смолин Алексей Юрьевич, к.ф.-м.н., доц., снс ИФПМ СО РАН, доц. НИ ТГУ, asmolin@ispms.tsc.ru

Полетика Ирина Михайловна, д.т.н., внс ИФПМ СО РАН, poletika@list.ru

Псахье Сергей Григорьевич, д.ф.-м.н., проф., дир. ИФПМ СО РАН, проф. НИ ТГУ, зав. каф. НИ ТПУ, sp@ispms.tsc.ru