Моделирование затухания ударных волн в нанокристаллических металлах

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253). Физика. Вып. 11. С. 31-40.

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

И. Н. Бородин, А. Е. Майер

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН В НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МЕТАЛЛАХ1 *

Предложена модель динамической деформации поликристалла в широком диапазоне размеров зёрен. Эмпирические параметры модели подбираются сопоставлением с результатами молекулярно-динамического моделирования. Проведено моделирование затухания ударных волн в поликристаллической меди и алюминии. Обнаружена немонотонная зависимость амплитуды отражённой ударной волны от размера зерна, минимум амплитуды наблюдается в области нескольких сотен нанометров.

Ключевые слова: ударные волны, мелкозернистые металлы, пластичность, соотношение Холла-Петча, зернограничное проскальзывание.

Введение. Отклики металла на приложенные внешние напряжения при высоких и низких скоростях пластической деформации существенно отличаются. При повышении скорости деформации до значений, больших 103 с1, заметную роль начинают играть динамические эффекты, которые не проявляются при низких скоростях пластического течения [1-2]. Особую сложность приобретает процесс деформации материала с развитой дефектной подструктурой, когда поведение материала зависит от вклада каждого вида дефектов и взаимодействия между ними.

Для практики существенное значение имеет явление откольного разрушения в металлах, которое наблюдается, если амплитуда отражённой от тыльной поверхности мишени ударной волны превышает некоторое критическое значение [3-4]. Оценка этого критического значения требует моделирования распространения ударных волн в материале и зависит от многих факторов. Экспериментальные исследования высокоскоростной пластической деформации трудоёмки и обычно позволяют отслеживать лишь самые общие макроскопические параметры процессов. С другой стороны, методы молекулярной динамики (МД) позволяют на атомном уровне выявлять особенности структуры, детально исследовать основные механизмы деформации и делать заключения об относительном вкладе каждого из этих механизмов в полную деформацию материала [5-11]. Основное ограничение для исследуемых методами МД-систем — это

1 Работа была поддержана грантом РФФИ № 09-08-

00521-a.

их сравнительно малые размеры и, как следствие, малые времена рассматриваемых процессов. Молекулярная динамика всегда имеет дело с чрезвычайно высокими скоростями деформации (большими 107 с-1), что соответствует 1 % деформации, происходящей за 1 наносекунду — намного порядков большими, чем в большинстве экспериментов.

Структурные модели позволяют использовать многомасштабный подход к описанию пластической деформации [12-13]. Объединение результатов молекулярной динамики с моделированием методами механики сплошной среды при последующей верификации моделей на экспериментальных данных позволяет описывать процессы в широком диапазоне скоростей деформации в макроскопических объёмах вещества [14-15]. Появляются возможности построения более сложных моделей пластической деформации, в явном виде включающих различные механизмы пластичности.

В данной работе на основе модели динамической деформации поликристалла, включающей в себя уравнения для кинетики и динамики дислокаций, а также зернограничное проскальзывание, как основной механизм пластичности нанокристаллических металлов, производится моделирование распространения ударных волн в меди и алюминии. Оценивается амплитуда отражённой волны в зависимости от размеров зерна кристаллитов.

1. Механизмы упрочнения поликристаллов. Для случая дислокационного скольжения, основными механизмами упрочнения, которые нашли своё отражение в известных эмпирических закономерностях Тейлора [16] и Холла-

32

И. Н. Бородин, А. Е. Майер

Петча [17-18], являются соответственно упрочнение посредством развития дислокационной подструктуры и торможение дислокаций границами зёрен в поликристалле. Закон упрочнения Тейлора описывает упрочнение за счёт увеличения числа неподвижных «дислокаций леса» в материале:

Ym = Y0 +aGN/pD.

Здесь Ym — предел текучести монокристалла с дислокациями; Y0 — сопротивление от точечных дефектов и рельефа Пайерлса; G — модуль сдвига материала; b — модуль вектора Бюргерса дислокации. Постоянная а ~0,3-0.5. Эмпирическая зависимость Холла-Петча описывает упрочнение металлов при уменьшении размеров зерна кристаллитов, из которых они состоят. Для предела текучести она имеет вид

Yh = Ym + kd-112,

где Ym — предел текучести монокристалла данного металла; к — постоянная Холла-Петча; d — средний размер зерна. Параметр к, характеризующий «барьерное напряжение», необходимое для преодоления дислокацией границы зерна, зависит от свойств самой границы и является эмпирически определяемым.

Зернограничное упрочнение, в принципе, позволяет получать структуры, в десятки раз более прочные, чем металлы, получаемые методами наклёпа [19] (за счёт увеличения плотности дислокаций). Однако МД-расчёты [5; 20-22] показывают, что прочность материала увеличивается не до бесконечности. Существует критический или оптимальный размер зерна (порядка 5-30 нм), при котором прочность достигает своего максимального значения, и при дальнейшем уменьшении размеров зёрен может происходить даже разупрочнение материала. Естественно предположить, что подобное поведение материала, противоречащее закону дислокационного упрочнения, соответствует иным механизмам пластичности, связанными с границами зёрен. В принципе, это открывает перспективы получения одновременно пластичных и прочных металлов [23-24]. Основными механизмами, обнаруженными методами молекулярной динамики и предложенными для объяснения аномальной пластичности наноматериалов, стали зернограничное проскальзывание [25] и вращение зёрен [6; 26]. Вращение зёрен обеспечивает частичную релаксацию напряжений внутри материа-

ла и не приводит к пластическому течению [6]. Зернограничное проскальзывание, напротив, является эффективным механизмом пластической деформации нанокристаллических металлов.

2. Модель пластичности поликристалла.

Запишем систему уравнений для динамики сплошной среды:

d р do,

- = -р—1; dt dx,

р du=д^А..

dt dxk

dU )--

dt

2 Л

у

P+

4G

do,

dx,

++A

dt dx,

dT

\

KV dxi

.

Здесь P — давление; p — массовая плотность вещества; и — вектор массовой скорости среды; wik — тензор пластической дисторсии; T — температура, к — коэффициент теплопроводности; oik — макроскопические напряжения, усреднённые на масштабах, больших размеров неоднородностей 1/ -JpD и d. В уравнении (5) U — удельная внутренняя энергия вещества при отсутствии девиаторов напряжений Sk = 0; полная удельная внутренняя энергия будет равна U + S2k / (4Gp). Слагаемое S2k / (4G) много меньше давления P, поэтому в дальнейшем им пренебрегаем.

Тензор напряжений представляется в виде суммы шаровой и девиаторной части:

oik =-P

Давление P(p, U) может быть определено при помощи широкодиапазонных уравнений состояния [27]. Для девиаторной части напряжений считаем справедливым закон Гука, вклад дефектной подструктуры может быть описан при помощи тензора пластической дисторсии [28]. Тогда уравнение для изменения девиатора напряжений имеет вид

Ж*

dt

= 2G

do,

ydjck

1 So,

+ wik —§ik

2 dxl

Мы будем полагать, что в пластическую дис-торсию вносят вклад два независимых процесса: скольжение дислокаций и зернограничное проскальзывание. Тогда тензор полной дисторсии может быть представлен в виде

Wk = wfk + W?,

Моделирование затухания ударных волн в нанокристаллических металлах

33

D

где wik — дисторсия, связанная с движением дислокаций; wft — дисторсия, связанная с границами зёрен.

2.1. Дислокационная пластичность. Рассмотрим пластическую дисторсию, связанную с движением дислокаций wDk . Для описания пластической деформации будем использовать модель дислокационной пластичности, предложенную в [14]. В монокристалле дислокации могут скользить по различным кристаллографическим плоскостям, которые будем нумеровать индексом р. Их количество зависит от типа кристаллической решётки, полная пластическая дисторсия равна сумме пластических дисторсий по каждой такой плоскости. Будем описывать данную плоскость соответствующим вектором Бюргерса b и нормалью к плоскости скольжения n . Тогда уравнение для пластической дис-торсии согласно [29] может быть записано в виде

= pD.

В этом уравнении pD — скалярная плотность дислокаций в данной системе скольжения, а VD — скорость движения дислокации в кристалле. Таким образом, для полного описания пластической дисторсии, создаваемой движением дислокаций в материале, нам необходимы уравнения для динамики и кинетики дислокаций. Сила со стороны внешних напряжений, действующая на единицу длины дислокации [28], может быть записана как

FD= Sikbink

В уравнении (10) записана только девиаторная часть тензора напряжений, поскольку в силу ортогональности векторов b и П (nkbk = 0) вклад шаровой части -P • 5lk тензора напряжений равен нулю.

Уравнение для скорости дислокаций записывается аналогично [30]:

m0 dVD _

(l -( / с, )2 )3'2 d

где учтены торможение дислокаций рельефом Пайелса и фононная сила трения, пропорциональная скорости дислокации. Здесь т0 — полевая масса покоя дислокации [29]; ct — попе-

речная скорость звука. Коэффициент вязкого трения B зависит от температуры [31-32]. Учёт квазирелятивистских поправок для массы дислокаций и силы трения приводит к ограничению на скорость дислокации VD < ct.

Для описания кинетики дислокаций будем использовать уравнение [14], источник дислокаций в котором записан из энергетических соображений (первое слагаемое в уравнении (12)). При попадании дислокации в разупорядоченную границу зерна её ядро со временем делокализуется [33]. В нанокристаллическом материале «время жизни» дислокации не превышает времени её прохождения через зерно. В крупнозернистом материале появляется дополнительный механизм парной аннигиляции дислокации разных знаков, что согласно [34] можно описать, введением параметра аннигиляции ka, зависящего от температуры. Тогда уравнение для кинетики дислокаций в поликристаллическом материале может быть записано в виде

М B (')' pD _

2 РР \VР|

-МД1

Здесь n = 0,1 — доля энергии пластической деформации, затрачиваемая на генерацию дефектов кристаллической решётки [32]; sL = 8эB/b — энергия образования единицы длины дислокации [32].

Зависимость модуля сдвига от температуры и давления учитывалась в линейном приближении:

G = G0 + GT0

где G0 — величина модуля сдвига при нормальных условиях (при температуре Т0 = 300 К и давлении P0~0), G'T0 и G'P0 — производные модуля сдвига по температуре и давлению, взятые при нормальных условиях. Значения этих констант брались из [35], где они приведены для 65 простых веществ.

В случае крупнозернистых поликристаллов, в которых размер зёрен d велик по сравнению с пробегом дислокаций и со средним расстоянием между ними 1/ , поликристалл мож-

но представить как набор областей материала с различной ориентацией кристаллической решётки относительно лабораторной системы координат. Были проведены численные исследова-

34

И. Н. Бородин, А. Е. Майер

ния для случаев нагружения монокристалла по различным кристаллографическим направлениям и для нагружения крупнозернистого поликристалла [14]. Было показано, что случай поликристалла с хорошей точностью соответствует нагружению монокристалла по оптимальному (в аспекте скорости развития пластической деформации) направлению. В ГЦК-кристаллах это направление [001] (или эквивалентное). Для нанокристаллических материалов задать ориентацию каждого кристаллита в макроскопических объёмах вещества невозможно, поэтому ориентации систем скольжения дислокаций во всём материале соответствует оптимальной ориентации монокристалла.

2.2. Проскальзывание по границам зёрен.

Будем считать, что зернограничное проскальзывание вносит основной вклад в пластическую деформацию нанокристаллических металлов. Для нахождения пластической дисторсии <, связанной с зернограничным проскальзыванием, рассмотрим более подробно процесс перемещения одной плоскости зёрен относительно других под действием сдвиговых напряжений. Смещение, в первую очередь, будет происходить в плоскостях, к которым при данной геометрии нагружения приложены максимальные сдвиговые напряжения. Рассмотрим потенциально возможную плоскость скольжения зёрен. Номер данной плоскости будем задавать индексом а, тогда её вектор нормали запишется как n“. Напряжения, приложенные к данной плоскости, равны <5iknk, компонента напряжений, действующая в направлении касательного к плоскости скольжения вектора т,, равна стйп^. Обозначим х“ направление касательного вектора, соответствующее максимальным касательным напряжениям в данной плоскости. Его можно найти, как

_а __ ^ ik к

Xi _ I а

Сдвиговое напряжение, действующее на данную плоскость зёрен, в процессе деформации материала тогда может быть представлено как

Под действием внешних напряжений в материале возникают также силы, препятствующие деформации материала. Для смещения на один диаметр каждому зерну в скользящей плоскости

необходимо деформировать два зерна соседней плоскости, что приводит к появлению барьерного напряжения yb, зависящего от размера зерна, которое необходимо преодолеть для реализации механизма зернограничного проскальзывания. Кроме того, на скользящее зерно будет действовать дополнительная сила вязкого трения -ци“ . Уравнение движения для плоскости зёрен с учётом обоих сил может быть записано в виде:

dua а а

=°т-ци - у»

Здесь иа — скорость зёрен в проскальзывающей плоскости относительно зёрен, располагающихся в соседних плоскостях; mg — масса зёрен, приходящихся на единицу площади проскальзывающей плоскости; ц — коэффициент вязкости материала границы зерна.

Оценки показывают, что инерционным слагаемым в (16) можно пренебречь. Найдём скорость деформации материала. Из (16) относительная скорость зёрен данной скользящей плоскости относительно соседней плоскости

и

а

а

eff

а

?

где введено aeff = ст“ - yb — эффективное напряжение течения в материале.

Пусть система координат (х', z'), связанная со скользящей плоскостью такая, что ось х' направлена вдоль вектора х“, а ось z' по вектору нормали к данной плоскости n“ . Тогда скорость изменения тензора пластической дисторсии, связанного с границами зёрен, в этих координатах составит

2d

а

U

w , , =

В произвольной системе отсчёта мы можем выразить тензор пластической дисторсии как

»g

2d

— Ут?

2d „ '

a na eff nh

а

Для описания пластической деформации в этом случае, согласно (19), оказывается необходимым определить параметры вязкого трения и барьерного напряжения при проскальзывании плоскостей зёрен. В данной работе эти параметры являются эмпирически определяемыми.

3. Сравнение с результатами молекулярно-динамического моделирования. Будем

Моделирование затухания ударных волн в нанокристаллических металлах

35

рассматривать одномерную упруго-пластическую деформацию сплошной среды вдоль оси z. Тогда уравнения (3)-(7) перепишутся в виде

1 d р 5м

р dt dz’

dU >--

dt

du dazz

^ dt dz ’

Pdp 3 dwzz d ( dT \ ^

p dt 2 dt dz \ dz)

azz =-p

dwzz

dt

= -ZbZ n VD

Pd

Для изменения девиатора напряжения справедливо

dSzz 4G du dwzz

dt 3 dz dt

В поликристалле, вследствие произвольности разориентировок зёрен кристаллографические плоскости распределены в среднем равномерно по направлениям. Численные исследования процессов динамики дислокаций говорят о том, что при динамических нагрузках существенный вклад в деформацию вносят только некоторые наилучшим образом ориентированные плоскости. Лучшая ориентированность в данном случае означает большие скорости скольжения дислокаций по данным плоскостям. И в дальнейшем мы будем рассматривать дислокации, движущиеся только в этих плоскостях. Тогда выражение для силы (10), действующей на сегмент дислокации

Fd = 3 Szzb.

Предел текучести будем пересчитывать в соответствии с (1)-(2).

Основной вклад в пластическую деформацию сдвига внесут плоскости, в направлении которых будут достигаться максимальные сдвиговые напряжения. Вследствие крайне большого числа различно ориентированных зёрен в мелкозернистом поликристалле распределение плоскостей скольжения по направлениям можно считать однородным. Тогда наилучшим образом ориентированными оказываются плоскости, находящиеся под углом 45° к оси Oz:

1

ггgb =

4щ7

Г 3 5,

14 "

-Уь

Для определения величины давления будем использовать широкодиапазонные уравнения состояния [27] и уравнения Ми-Грюнайзена [36].

Для моделирования ситуации, аналогичной молекулярно-динамическим расчётам [22; 37], рассмотрим упруго-пластическую деформацию материала с заданной скоростью деформации. На рис. 1 и 2 представлены результаты молекулярно-динамического моделирования высокоскоростной деформации меди и алюминия. Точки на графиках соответствуют молекулярно-динамическим расчётам [22; 37-40] со скоростями деформации 108-109 с-1, а также экспериментальным данным [39]. Сплошная линия соответствует расчётам по нашей модели. Параметры модели представлены в таблице. В области больших размеров зёрен данные эксперимента и молекулярно-динамических расчётов демонстрируют увеличение предела текучести в соответствии с законом Холла-Петча (2) с коэффициентом k = 0,51 Па • м1/2 для меди и алюминия.

Рис. 1. Зависимость предела текучести от размера зерна в поликристаллической меди.

Точки: 1 — [40], 2 — [41], 3 — [22].

Сплошная линия — наши расчёты

Для меди, при уменьшении размеров зёрен до размеров порядка 15 нм, данные молекулярнодинамических расчётов [22] говорят о разупрочнении материала. Критический размер зерна, при котором происходит переход от упрочнения к разупрочнению материала для меди, составляет порядка 12-15 нм. Похожая ситуация наблюдается в результатах молекулярно-динамического моделирования для высокоскоростной деформации алюминия [37-38]. Критический

36

И. Н. Бородин, А. Е. Майер

Расчётные параметры модели

Металл ё, c-1 P d ,м-2 д/d, ГПа Yb, ГПа

Cu 5108 61015 0,2 0,7

Al 8108 61016 0,01 1,2

Рис. 2. Зависимость предела текучести от размера зерна в поликристаллическом алюминии. Точки: 1 — [38], 2 — [39].

Сплошная линия — наши расчёты

размер зерна, при котором упрочнение в соответствии с законом Холла—Петча сменяется разупрочнением материала при последующем уменьшении размеров зерна, здесь составляет [37] около 25 нм.

Таким образом, критический размер зерна соответствует области, в которой механизм внутризёренной дислокационной пластичности кристалла сменяется на скольжение плоскостей по границам зёрен. Результаты расчётов говорят том, что критический размер зависит как от структуры и свойств самого материала, так и (при больших скоростях деформации) от температуры, при которой она происходит.

Обращают на себя внимание очень высокие плотности дислокаций в материале. Подобные плотности характерны для соответствующих скоростей деформации и действительно наблюдались в экспериментах по высокоскоростной деформации металлов [41].

4. Исследование затухания ударных волн. Рассмотрим процессы, происходящие в материале при ударе тонких медных и алюминиевых пластинок толщиной порядка 0,1 мм, налетающих со скоростью 500 м/c на подложку из того же материала различной толщины от

2 до 4 мм. Постановка задачи соответствует типичной ситуации для экспериментов по соударению пластин [2-4]. По материалу начинает распространяться ударная волна, которая имеет сложную структуру и состоит из упругого предвестника, двигающегося с продольной скоростью звука, волны сжатия, отделённой от упругого предвестника площадкой текучести и распространяющейся по материалу с объёмной скоростью звука. Далее следует упругая, а за ней пластическая часть волны разгрузки.

Результаты моделирования представлены на рис. 3 и 4. Величина упругого предвестника на фронте ударной волны соответствует напряжениям, при которых происходит переход от упругого к пластическому деформированию:

ст^ = Y / /2G + 2/3),

где В — модуль всестороннего сжатия; Y — предел текучести материала.

На рис. 3-4 видно, как упругая волна разгрузки догоняет пластическую волну сжатия и результирующая амплитуда волны со временем резко уменьшается. В крупнозернистом поликристалле после этого зарождается новая упругая волна и процесс повторяется вновь. Это приводит к волнообразному виду амплитудной кривой (рис. 3-4). При уменьшении размеров зерна до десятков нанометров предел текучести повышается и профиль амплитудной кривой качественно изменяется. Волна начинает распространяться в чисто упругом режиме, и вместо волнообразного затухания наблюдается плавный переход от резкого затухания в приповерхностном слое к постоянной амплитуде ударной волны (рис. 4).

На рис. 5 представлены профили ударных волн в момент времени 350 нс при различном размере зерна. Видно, как волна из упруго-пластической при больших размерах зёрен становится чисто упругой в наноматериале. Площадь под профилями волн связана с их энергией и остаётся постоянной, амплитуда волны при уменьшении размеров зерна от 100 до 10 нм увеличивается в 1,9 раза.

Моделирование затухания ударных волн в нанокристаллических металлах

37

Рис. 3. Затухание ударных волн в меди

На рис. 6 показана зависимость максимальной амплитуды отражённой волны от размера зерна кристаллитов при различной начальной толщине мишени. Наблюдается нелинейная зависимость амплитуды отражённой волны от размеров зерна (рис. 6).

Наличие пластической диссипации учитывается в уравнении для внутренней энергией (22) слагаемым (3 / 2}Szz (dwzz / dt). Как видно, интенсивность пластической диссипации определяется величиной касательных напряжений (де-

виаторов), поэтому с уменьшением размера зерна и соответственно с ростом предела текучести интенсивность пластической диссипации и затухания волны увеличивается. Амплитуда волны, таким образом, в области достаточно крупных зёрен уменьшается с уменьшением среднего размера зерна в материале.

При достижении пределом текучести величины, при которой og (см. (28)) превышает амплитуду волны, волна начинает распространяться в чисто упругом режиме без пластиче-

38

И. Н. Бородин, А. Е. Майер

Рис. 5. Профили ударных волн в алюминии в момент времени 350 нс для различных размеров зёрен

Рис. 6. Зависимость амплитуды отражённой волны от размера зерна в алюминии

ской диссипации (dwzz / dt = 0). Амплитуда отражённой волны определяется значением о зависящим от предела текучести материала. Так происходит в области размеров зёрен порядка сотни нанометров. Минимум амплитуды отражённой волны в алюминии соответствует 200 нм.

При размере зерна около 6 нм и данных скоростях деформации (порядка 105 с-1) предел текучести и амплитуда отражённой ударной волны достигают своего максимального значения и начинают уменьшаться вследствие релаксации напряжений за счёт механизма зернограничного проскальзывания.

В аспекте предотвращения разрушения материалов оптимальными являются ультрамелкозернистые материалы с размером зерна в сотни нанометров.

Выводы. Сформулирована модель пластической деформации поликристаллических металлов, учитывающая дислокационную пластичность в зёрнах и зернограничное проскальзывание, имеющая значение в области нанометровых размеров зёрен. Параметры модели выбирались из сравнения с данными молекулярно-динамических расчётов. Исследовано распространение ударных волн в меди и алю-

Моделирование затухания ударных волн в нанокристаллических металлах

39

минии, вызываемых соударением ударника с мишенью.

В зависимости амплитуды отражённой ударной волны от размера зерна обнаружен минимум в области размеров зёрен порядка сотни нанометров. Подобные результаты были получены при моделировании облучения медной мишени пучками электронов в работе [15], где для описания пластичности, связанной с границами, использовалась модель Максвелла для очень вязкой жидкости. Наличие этого максимума объясняется зависимостью предела текучести для дислокации в зёрнах от размера зерна. При размерах зёрен 5-10 нм наблюдается максимум амплитуды отражённой волны, что связано с механизмом зернограничного проскальзывания.

Список литературы

1 . Иванов, A. Г. Исследование упруго-пластических волн в железе и стали при ударных нагрузках / A. Г. Иванов, С. А. Новиков, В. А. Си-ницин // Физика твёрдого тела. 1963. Т. 5. С. 196.

2 . Канель, Г. И. Ударные волны в физике конденсированного состояния / Г. И. Канель, В. Е. Фортов, С. В. Разоренов // Успехи физ. наук. 2007. Т. 177, № 8. С. 809-830.

3 . Markov, A. B. Dynamic fracture of copper under the action of a relativistic high-current electron beam / A. B. Markov, S. A. Kitsanov, V. P. Rotshtein,

S. D. Polenin, D. I. Proskurovskii, E. F. Dudarev // Russian Physics J. 2006. Т. 49, вып. 7. С. 758-765.

4 . Dudarev, E. F. Spall fracture of coarse- and ultrafine-grained FCC metals under nanosecond high-current relativistic beam irradiation / E. F. Dudarev, A. B. Markov, G. P. Bakach, A. N. Tabachen-ko, S. D. Polevin, N. V. Girsova, O. A. Kashin, M. F. Zhorovkov, V. P. Rotshtein // Russian Physics J. 2009. Т. 52, вып. 3. С. 239-244.

5 . Wolf, D. Deformation of nanocrystalline materials by molecular-dynamics simulation: relationship to experiments? / D. Wolf, V. Yamakov, S. R. Phill-pot, A. Mukherjee, H. Gleiter // Acta Materialia. 2005. Vol. 53. Р.1-40

6. Schiotz, J. Atomic scale simulations of the mechanical deformation of nanocrystalline metals / J. Schiotz, T. Vegge, F. Di Tolla, K. W. Jacobsen // Phys. Rev. B. 1999. Vol. 60, is. 17. P. 11971-11983.

7. Froseth, A. G. The influence of twins on the mechanical properties of nc-Al / A. G. Froseth, P. M. Derlet, H. V. Swygenhoven // Acta Materialia. 2004. Vol. 52, is. 8. P. 2259-2268.

8 . Swygenhoven, H. V. Plastic behavior of nanophase metals studied by molecular dynamic / H. V. Swygenhoven, A. Caro // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 58, is. 17. P. 11246-11251.

9. Meyers, M. A. Mechanical properties of nanocrystalline materials / M. A. Meyers, A. Mishra, D. J. Benson // Progress in Materials Science. 2006. Vol. 51, is. 4. P. 427-556.

10 . Dao, M. Toward a quantitative understanding of mechanical behavior of nanocrystalline metals / M. Dao, L. Lu, R. J. Asaro, J. T. M. De Hosson, E. Ma // Acta Materialia. 2007. Vol. 55, is. 12. P. 4041-4065.

11 Conrad, H. On the grain size softening in nanocrystalline materials / H. Conrad, J. Narayan // Scripta Materialia. 2000. Vol. 42, is. 11. P. 1025-1030.

12 . Красников, В. С. Пластическая деформация при высокоскоростном нагружении алюминия: многомасштабный подход / В. С. Красников, А. Ю. Куксин, А. Е. Майер, А. В. Янилкин // Физика твердого тела. 2010. Т. 52, вып. 7. С. 1295-1304.

13 . Красников, В. С. Упругопластические течения в мишени при облучении интенсивными потоками заряженных частиц : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2011.

14 . Krasnikov, V. S. Dislocation based high-rate plasticity model and its application to plate-impact and ultra short electron irradiation simulations / V. S. Krasnikov, A. E. Mayer, A. P. Yalovets // International J. of Plasticity. 2011. Vol. 27, is. 8. P. 12941308

15 Borodin, E. N. Wave attenuation in microcrystal copper at irradiation by a powerful electron beam / E. N. Borodin, V. S. Krasnikov, A. E. Mayer // Current Applied Physics. 2011. doi: 10.1016/j.cap. 2011. 03.062

16. Meyers, M. A. Mechanical Behavior of Materials / M. A. Meyers, K. K. Chawla. N. Y. : Cambridge University Press, 2009. 856 p.

17. Hall, E. O. // Proc. Roy. Soc. (London) 1951. B. Vol. 64. P. 474.

18 . Petch, N. J. The cleavage strength of polycrystals // J. Iron Steel Inst. 1953. Vol. 174. P. 25-28.

19. Андриевский, Р. А. Наноструктурные материалы : учеб. пособие / Р. А. Андриевский, А. В. Рагуля. М. : Академия, 2005. 192 с.

20 Kumar, K. S. Mechanical behavior of nanocrystalline metals and alloys / K. S. Kumar, H. van Swygenhoven, S. Suresh // Acta Materialia. 2003. Vol. 51, is. 19. P. 5743-5774.

21 Андриевский, Р. А. Прочность наноструктур / Р. А. Андриевский, А. М. Глезер // Успехи физ. наук. 2009. Т. 179, № 4. C. 337-358.

40

И. Н. Бородин, А. Е. Майер

22 . Куксин, А. Ю. Атомистическое моделирование пластичности и разрушения нанокристаллической меди при высокоскоростном растяжении / А. Ю. Куксин, В. В. Стегайлов, А. В. Янилкин // Физика твёрдого тела. 2008. Т. 50, вып. 11. С. 1984-1990.

23 . Valiev, R. Z. Paradox of strength and ductility in metals processed by severe plastic deformation / R. Z. Valiev, I. V. Alexandrov, Y. T. Zhu, T. C. Lowe // J. Mater. Res. 2002. Vol. 17, № 1. P. 5-8.

24 . Lu, L. Ultrahigh Strength and High Electrical Conductivity in Copper / L. Lu, Y. Shen, X. Chen,

L. Qian, K. Lu // Science. 2004. Vol. 304, is. 5669. P. 422-426.

25 . Hahn, H. Plastic deformation of nanocrystalline materials / H. Hahn, P. Mondal, K. A. Padma-nabhan // Nanostruct. Mater. 1997. Vol. 9, is. 1-8. P. 603-606.

26. Zheng, Y. G. Roles of grain boundary and dislocations at different deformation stages of nanocrystalline copper under tension / Y. G. Zheng, H. W. Zhang, Z. Chen, C. Lu, Y.-W. Mai // Physics Letters A. 2009. Vol. 373, is. 5. P. 570-574.

27. Колгатин, С. Н. Интерполяционные уравнения состояния металлов / С. Н. Колгатин, А. В. Хачатурьянец // Изв. АН СССР. Теплофизика высоких температур. 1982. Т. 20, № 3. С. 90-94.

28 . Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VII : Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц.

M. : Наука, 2003. 264 с.

29. Косевич, А. М. Динамическая теория дислокаций // Успехи физ. наук. 1964. Т. LXXXIV, вып. 4. С. 579-590.

30 . Horstemeyer, M. F. Length scale and time scale effects on the plastic flow of fcc metals / M. F. Horstemeyer, M. I. Baskes, S. J. Plimpton // Acta Materia-lia. 2001. Vol. 49, is. 20. P. 4363-4374.

31 . Судзуки, Т. Динамика дислокаций и пластичность / Т. Судзуки, Х. Ёсинага, С. Такеути. М. : Мир, 1989. 296 c.

32 . Киттель, Ч. Введение в физику твёрдого тела : монография. М. : Наука, 1978. 792 c.

33 . Чувильдеев, В. Н. Неравновесные границы зёрен в металлах. Теория и приложения : монография. М. : Физматлит, 2004. 304 c.

34 . Малыгин, Г А. Пластичность и прочность микро- и нанокристаллических материалов // Физика твёрдого тела. 2007. Т. 49, вып. 6. С. 961-982.

35 . Guinan, M. W. Pressure and temperature derivatives of the isotropic polycrystalline shear modulus for 65 elements / M. W. Guinan, D. J. Steinberg // J. Phys. Chem. Solids. 1974. Vol. 35. P. 1501-1512.

36. Физические величины : справочник / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. М. : Энер-гоатомиздат, 1991. 1232 с.

37. Shimokawa, T. Grain-size dependence of the relationship between intergranular and intragranular deformation of nanocrystalline Al by molecular dynamics simulations / T. Shimokawa, A. Nakatani, H. Kitagawa // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 71, is. 22. P. 224110-224118.

38 . Kadau, K. Molecular-dynamics study of mechanical deformation in nano-crystalline aluminum / K. Kadau, P. S. Lomdahl, B. L. Holian, T. C. Ger-mann, D. Kadau, P. Entel, D. E. Wolf, M. Kreth, F. Westerhoff // Metall. Trans. A. 2004. Vol. 35, is. 9. P. 2719-2723.

39. Siegel, R. W. Mechanical properties of nanophase metals / R. W. Siegel, G. E. Fougere // Nano-struct. Mater. 1995. Vol. 6, is. 1-4. P. 205-216.

40 . Schi0tz, J. A Maximum in the strength of nanocrystalline copper / J. Schi0tz, K. W. Jakobsen // Science. 2003. Vol. 301, is. 5638. P. 1357-1359.

41 Wang, Y. M. Deforming nanocrystalline nickel at ultrahigh strain rates / Y. M. Wang, E. M. Bringa, J. M. McNaney, M. Victoria, A. Caro, A. M. Hodge, R. Smith, B. Torralva, B. A. Remington, C. A. Schuh, H. Jamarkani, M. A. Meyers // Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 88, is. 6. Р 061917.