Развитие функциональной алгебры в Вятском государственном гуманитарном университете

НАУЧНАЯ ЖИЗНЬ

УДК 51, 512.556

Е. М. Вечтомов, В. И. Варанкина

Развитие функциональной алгебры в Вятском государственном гуманитарном университете*

В статье раскрывается понимание функциональной алгебры как самостоятельного раздела современной математики. Рассматриваются тематика и проблематика функциональной алгебры. Выделяются два направления функционально-алгебраических исследований: алгебраические системы непрерывных функций над топологическими пространствами и функциональные представления алгебры. Излагается история развития функциональной алгебры, включая проводимые в ВятГГУ исследования. Особое внимание уделено теории колец и полуколец непрерывных функций и теории пучковых представлений полуколец, развиваемых кировскими математиками. Функциональная алгебра составляет содержательную основу непрерывной подготовки будущих математиков - преподавателей и исследователей. Ее элементы преподаются старшеклассникам на факультативных занятиях и студентам-математикам на научно-исследовательских кружках, читаются в курсах по выбору для магистрантов и аспирантов математических профилей обучения; служат темами дипломных и магистерских работ, кандидатских и докторских диссертаций по математике.

The article reveals the understanding of Functional Algebra as an independent branch of modern mathematics. It deals with topics and issues of Functional Algebra. There are two directions of functional-algebraic research, namely algebraic systems of continuous functions under topological spaces and functional representations of algebras. The authors describe the history of development of functional algebra including the history of mathematical research at Vyatka State University of Humanities. Special attention is paid to Theory of Rings and Semirings that being developed by Kirov mathematicians. Function algebra is a meaningful basis for the continuous training of future mathematicians - professors and researchers. Its elements are being taught by senior pupils in the elective classes and by students at Students' Research circles. This material may be useful also for graduate and postgraduate students of mathematical profiles. Moreover, Functional Algebra is the source for selecting themes of the diplomas, master's works, and doctoral thesis on mathematics.

Ключевые слова: математика, исследование, функциональная алгебра, пучковое представление алгебр, полукольца непрерывных функций.

Keywords: mathematics, research, functional algebra, sheaf representation of algebras, semirings of continuous functions.

1. Что такое функциональная алгебра

Функциональная алгебра - это раздел современной математики, находящийся на стыке абстрактной алгебры, общей топологии, топологической алгебры и функционального анализа. Она имеет два основополагающих направления исследований:

I. Алгебраические системы A(X) непрерывных функций, ассоциированных с топологическими пространствами X.

II. Функциональные представления и характеризации абстрактных алгебраических систем.

В качестве A(X) выступали:

- группа гомеоморфизмов топологического пространства X на себя - с операцией композиции отображений;

- полугруппа непрерывных отображений пространства X в себя;

- кольцо C(X) непрерывных действительнозначных функций на пространстве X - с поточечными операциями сложения и умножения функций;

- другие алгебраические системы функций (кольца операторов топологических векторных пространств с поточечным сложением и с композицией-умножением - изучаются в функцио-

* Работа выполнена в рамках проекта РГНФ «Проблемы и перспективы развития непрерывного математического образования в Кировской области», № 15-16-43005.

© Вечтомов Е. М., Варанкина В. И., 2015 136

нальном анализе, кольца числовых функций с поточечным сложением и со сверточным умножением - изучаются в гармоническом анализе, и т. д.).

Основные общие задачи направления I следующие:

1) описание структурных свойств данного типа алгебраических объектов А(Х), включая их абстрактную характеризацию;

2) определяемость топологических пространств X и их топологических свойств в терминах алгебраических систем А(Х);

3) установление двойственностей между категориями топологических пространств X из естественных классов пространств и соответствующими категориями алгебраических систем А(Х). Пространства X играют роль исходных математических объектов, а системы А(Х) играют роль производных математических структур.

Заметим, что алгебраические системы А(Х) могут рассматриваться с той или иной топологией (поточечной сходимости, компактно-открытой, sup-нормой и другими), превращающей А(Х) в тополого-алгебраический объект.

В направлении II исследуются вопросы представления, реализации абстрактных алгебраических систем (групп, колец, дистрибутивных решеток, полуколец, решеточно упорядоченных колец и т. п.) в виде алгебраических систем непрерывных функций.

Исходными результатами являются: теорема Кэли о представлении конечных групп группами подстановок; обобщенная теорема Кэли о представлении полугрупп полугруппами преобразований (с операцией композиции); модули над кольцом как его представления (поточечное сложение и композиция-умножение); матричные представления групп (мультипликативными группами матриц); представления дистрибутивных решеток и булевых колец алгебрами {0, 1}-значных функций (Биркгоф, Стоун) - с поточечными операциями.

В течение последних 55 лет развивается теория пучковых представлений алгебраических систем (колец, дистрибутивных решеток, универсальных алгебр, полуколец, решеточно упорядоченных колец и полуколец). Здесь алгебраическая система реализуется в виде системы непрерывных сечений различных пучков с соответствующими поточечно определенными операциями и отношениями.

2. История развития функциональной алгебры

Изучение одних математических объектов через другие математические объекты пронизывает всю историю развития математики. Такой переход воплощает фундаментальную идею координатизации, всеобщего измерения, восходящую к Декарту, Галилею, Лейбницу. В основном, объекты геометро-топологической природы исследуются в терминах соответствующих им объектов арифметико-алгебраического характера (известны и обратные связи, например, абстрактные группы изучаются с помощью их графов).

Геометрическим фигурам сопоставляются числа (длина, площадь, объем, величина угла, тригонометрические величины), эти соответствия устанавливают функциональную зависимость, порождают элементарные функции. В аналитической геометрии линиям 2-го порядка сопоставлены их канонические уравнения. Системы алгебраических уравнений задают алгебраические многообразия, и к их изучению привлекается аппарат алгебраической геометрии (различные эквивалентности, двойственности). Каждому математическому объекту М соответствуют: группа его автоморфизмов (изоморфизмов на себя, симметрий), полугруппа его эндоморфизмов (гомоморфизмов в себя), решетка подобъектов в М, решетка конгруэнций (факторобъектов) на М. Напомним, что гомоморфизмом однотипных математических объектов (математических структур) называется отображение одного объекта в другой, сохраняющее его структуру (операции, отношения), а изоморфизм определяется как взаимно однозначный гомоморфизм, обратный к которому также является гомоморфизмом. См. [1].

Работы Софуса Ли, начиная с 1872 г., по группам непрерывных преобразований (автогомеоморфизмов) топологических многообразий можно считать зарождением как топологической алгебры (изучающей тополого-алгебраические объекты), так и функциональной алгебры. Теория групп Ли и алгебр Ли затрагивает оба направления функциональной алгебры. Работы Л. С. Понтрягина 30-х гг. XX в. посвящены топологическим телам и топологическим группам [2]. В 1934 г. он установил двойственность между категорией компактных коммутативных групп и категорией дискретных коммутативных групп, имеющую функциональный характер.

Без абстрактной алгебры невозможно представить успешное развитие современной математики в целом. В своем естественном развитии традиционная алгебра (решение алгебраических уравнений), арифметика (расширение понятия числа) и элементарная теория чисел (Ферма, Эйлер) с необходимостью привели к выявлению имманентно присущей им абстрактно-алгебраической структуры, в первую очередь групповой и кольцевой (Лагранж, Гаусс, Руффи-

ни, Абель, Галуа, Коши). В конце XVIII - первой половине XIX в. возникли понятия группы перестановок корней алгебраических уравнений, кольца классов вычетов целых чисел, конечного поля. Но аксиоматически базовые алгебраические структуры были определены, и соответствующие результаты строго доказаны только в конце XIX в. (теория Галуа, конечномерные действительные алгебры, строение конечных полей). Начало современному этапу генезиса абстрактной алгебры положили работы Гильберта, Артина, Эмми Нётер, Ван дер Вардена и других.

В 30-е гг. прошлого века Стефан Банах и его коллеги заложили основы современного функционального анализа, понимаемого как область математики, математического анализа, в которой изучаются топологические векторные пространства, их линейные операторы и функционалы, различные пространства непрерывных функций. Большой и важный раздел функционального анализа составляет теория банаховых алгебр и других, близких к ним нормированных, псевдонормированных и полинормированных алгебр [3].

Исходными математическими объектами направления I функциональной алгебры являются топологические пространства вместе с их непрерывными отображениями, изучаемые в общей топологии (или теоретико-множественной топологии) (см. [4]). Первой книгой в этом направлении стал труд Феликса Хаусдорфа [5] 1914 г. Само название "general topology" впервые появилось в заголовке большой статьи Маршалла Стоуна [6] 1937 г. В этой статье и работе [7] 1936 г. им была развита теория булевых алгебр и их представлений.

Стоун доказал, что всякое булево кольцо B допускает изоморфное представление как кольцо Coo(X, Z2) всех непрерывных функций с компактными носителями на нульмерном локально компактном пространстве X со значениями в дискретном двухэлементном поле Z2; при этом в качестве X можно взять пространство MaxB максимальных идеалов кольца B с топологией Стоуна - Зариского. В дальнейшем пространство MaxB стали называть максимальным спектром кольца B. Фактически Стоун установил двойственность между категорией нульмерных локально компактных пространств с непрерывными отображениями в качестве морфизмов и категорией булевых колец и их ненулевых гомоморфизмов. Тем самым был сделан первый шаг к теории пучковых представлений алгебр.

В упомянутой работе Стоуна 1937 г. начали изучаться кольца C(X)=C(X, R) непрерывных функций на компактах X со значениями в топологическом поле R действительных чисел. Первой специальной работой по кольцам C(X) над тихоновскими пространствами X можно считать статью И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова [8] 1939 г. Авторы показали, что между максимальными идеалами кольца C(X) и точками стоун-чеховской компактификации PX тихоновского пространства X существует каноническое взаимно однозначное соответствие. Эта классическая теорема Гельфанда - Колмогорова устанавливает определенный дуализм между алгеброй (кольцо C(X)) и топологией (компактификация PX). Подробное доказательство теоремы Гельфанда - Колмогорова дано в [9]. Более того, максимальный спектр кольца C(X) гомеоморфен PX: MaxC(X)«pX. Наиболее общий вариант теоремы Гельфанда - Колмогорова получен в [10].

Зародившаяся в этих трудах теория колец непрерывных функций стала быстро развиваться. В 1948 г. появилась фундаментальная статья Эдвина Хьюитта [11], в которой был введен класс Q-пространств (хьюиттовских пространств) и доказана двойственность между категориями Q-пространств X и колец C(X). В 1947 г. вышла статья Ирвинга Капланского [12] по общей теории колец непрерывных функций. Базовый этап развития теории колец C(X) подытожила монография Гиллмана и Джерисона [13] 1960 г. (2-е издание вышло в 1976 г.). Дальнейшее развитие теории колец непрерывных функций отражено в обзорах Гиллмана, Хенриксена и Е. М. Вечтомо-ва [14]. В работе [15], основанной на его докторской диссертации 1994 г., Вечтомов продвинул общую теорию колец C(X, F) непрерывных функций со значениями в топологических телах F, исследовав их делимость, максимальный спектр, идеалы, двойственность, пучки ростков. Им были решены известные задачи, поставленные И. Капланским, М. А. Наймарком, М. Хенриксеном, Л. А. Скорняковым, А. А. Туганбаевым.

Началом развития функциональной алгебры на Вятке можно считать сентябрь 1975 г., когда аспирант Вечтомов выбрал одну из двух предложенных научным руководителем, профессором МГУ Л. А. Скорняковым, тем исследований - «Кольца непрерывных функций» (а не «Локально компактные кольца»). Предварительно он решил задачу о плоскостности идеала C00CT кольца C(X), состоящего из функций с компактным носителем, и этот результат был опубликован в 1976 г. в сборнике [16]. В 1979 г. Е. М. Вечтомов защитил кандидатскую диссертацию по указанной теме [17].

В 80-е гг. XX в. Вечтомов преподавал в КГПИ им. В. И. Ленина и продолжал исследования по кольцам непрерывных функций, а также по абстрактным кольцам (евклидовым, булевым, редуцированным), публиковал статьи и выступал с докладами на всесоюзных алгебраических фору-

мах. Его заинтересовали спектры колец и пучки колец над ними, что закономерно привело к изучению пучковых представлений колец. В 1989 г. его ученик В. В. Чермных защитил дипломную работу «Функциональное представление коммутативных в нуле колец». С этого времени тематика функциональных представлений алгебр (колец, дистрибутивных решеток, полуколец, полу-тел) прижилась в нашем вузе [18].

После выступления с докладом [19] на Международной топологической конференции в Баку в октябре 1987 г. Е. М. Вечтомову предложили написать обзорную статью по определяемости топологических пространств различными алгебрами функций. В результате появился обзор [20]. Тема определяемости и двойственности прочно вошла в дальнейшие исследования кировских математиков.

С конца 1970-х по начало 1990-х гг. на математическом факультете КГПИ им. В. И. Ленина работали следующие научно-образовательные кружки для студентов: по теории множеств, решеткам и булевым алгебрам, теории групп, теории колец и модулей, конечным алгебрам, кольцам непрерывных функций (доцент Е. М. Вечтомов); функциональному анализу, нестандартному анализу (доцент И. И. Подгорная); общей топологии (доцент И. С. Рубанов); математическому анализу (доцент С. И. Калинин); математической логике (ст. преподаватель В. П. Матвеев). Несколько лет проводились заседания семинара для преподавателей по функциональному анализу под руководством Е. М. Вечтомова и И. И. Подгорной. В 1986-1990 гг. на матфаке кипела научная студенческая жизнь: студенты активно участвовали в кружках, матбоях и студенческих конференциях, выступали и побеждали на математических олимпиадах в Кирове, Горьком, Перми, Свердловске. В это время появилась общественная должность заместителя декана по НИРС - руководил НИРС на факультете Е. М. Вечтомов. Такая среда воспитала будущих вузовских преподавателей, кандидатов физико-математических наук В. И. Варанкину, В. М. Караулова, Е. М. Ковязи-ну, И. А. Семенову, В. В. Чермных (с 2008 г. доктора наук) и других [21].

В 1994 г. Е. М. Вечтомов защитил в МГУ докторскую диссертацию [22] по общей теории колец непрерывных функций, а В. В. Чермных - в МПГУ кандидатскую диссертацию [23] по пучковым представлениям абстрактных полуколец. Начала свою деятельность научная алгебраическая школа «Функциональная алгебра и теория полуколец» [24]. В этом же году впервые появилось название научного направления «функциональная алгебра».

С сентября 1994 г. на базе КГПИ им. В. И. Ленина (позднее ВятГПУ, ВятГГУ) функционирует региональный научный алгебраический семинар [25]. Он проводится раз в неделю: с сентября по декабрь и с февраля по май. К лету 2015 г. состоялось около 600 заседаний семинара.

3. Пучковые представления полуколец

Об истории развития теории пучков (предпучков, расслоений) и теории пучковых представлений алгебраических систем можно узнать в [26].

Впервые пучковые представления полуколец начал изучать В. В. Чермных в 1990 г., будучи аспирантом кафедры алгебры МПГУ. Полученные им результаты изложены в его уже указанных трудах, а также в следующих работах [27]. В. В. Чермных проанализировал пучки Гротендика, Пирса, Ламбека, Симмонса, Голана и соответствующие пучковые представления колец, и на этой основе построил теорию пучковых представлений полуколец, включающую компактные и чистые представления полуколец. Пучковые представления были применены к получению изоморфных представлений полуколец из следующих классов: симметрические, строго гармонические, гельфандо-вы, риккартовы, бирегулярные, бэровские, абелево регулярные положительные. В терминах пучковых представлений (посредством свойств полуколец-слоев, базисного и накрывающего пространств) получены характеризации некоторых важных свойств полуколец с дополнительными условиями. Изучались также пучковые представления полумодулей над полукольцами.

Пучковым представлениям полутел посвящены работы Е. М. Вечтомова и А. В. Чераневой [28]. Они применили аналоги пучков Пирса и Ламбека к исследованию произвольных, гельфан-довых, бирегулярных и булевых полутел.

4. Полукольца непрерывных функций

Теория полуколец непрерывных функций - сравнительно новая составная часть функциональной алгебры, растущая из теории колец непрерывных функций и продолжающая ее.

Если S - топологическое полукольцо, то через C(X, S) обозначается полукольцо всех непрерывных S-значных функций на топологическом пространстве X с поточечно заданными операциями сложения и умножения функций.

В кольце C(X) непрерывных действительнозначных функций выделяются две структуры: полукольцо C+(X) непрерывных неотрицательных функций и полуполе U(X) непрерывных положительных функций; для них C(X) служит кольцом разностей. Если в этих полукольцах обычную операцию сложения функций заменить на v (взятие max), то получим аддитивно идемпотентные полукольцо Cv(X) и полуполе Uv(X).

Теория полуколец непрерывных функций получила свое развитие именно в ВятГГУ. До этого были отдельные работы о полукольцах С+(Х) функционально-топологического характера [29]. Первым серьезным исследованием стала статья В. И. Варанкиной 1995 г., развитая в ее кандидатской диссертации [30]. Систематически числовые полукольца С+(Х) и полуполя и(Х) изучаются нами, начиная с работы [31] 1998 г. В этом направлении членами научной школы по функциональной алгебре защищены еще шесть кандидатских диссертаций [32].

Программа исследований по теории полуколец С(Х, 5) непрерывных функций включает в

себя:

- нахождение общих структурных свойств полуколец С(Х, 5);

- изучение идеалов, конгруэнций и подалгебр различного вида (например, главных, максимальных, минимальных);

- выяснение определяемости топологических пространств X и их свойств полукольцами С(Х, 5) и другими ассоциированными с ними алгебраическими системами (решетками идеалов, решетками конгруэнций, решетками подалгебр);

- описание структурных морфизмов и изоморфизмов для С(^ 5);

- установление двойственностей между категориями пространств X и полуколец С(^ 5);

- другие вопросы, связанные со спецификой топологизированных полуколец 5.

В духе сформулированной программы написана монография «Полукольца непрерывных функций» и глава 3 книги «Элементы теории полуколец» [33], подытожившие этап формирования теории полуколец С(^ 5).

Материал обзорного характера по полукольцам непрерывных функций можно найти в работах [34]. Были выполнены два аналитических научных обзора, поддержанные грантами РФФИ [35].

5. Перспективы

1. Получены первые результаты исследования следующих классов полуколец непрерывных функций:

- полукольца и частичные полукольца С(^ 5) со значениями в числовых полукольцах 5 с добавленным поглощающим элементом да;

- полукольца С(^ 5) со значениями в конечных То-полукольцах;

- полукольца непрерывных частичных функций.

Мы собираемся продолжить и углубить исследования этих классов полуколец. Естественно также начать изучение категорий полумодулей над различными полукольцами С(^ 5).

Следует сказать, что указанные виды полуколец функций обладают своими специфическими свойствами, существенно отличающими их друг от друга. Поэтому проблематично создание общей теории полуколец непрерывных функций, включающей все изучаемые классы полуколец С(^ 5). Но для конкретного числового полукольца значений 5 возможно построение обобщающей теории полуколец С(^ Т) для целого класса топологических полуколец Т, близких по своим структурным свойствам к исходному полукольцу 5.

2. Планируется решение некоторых старых и новых проблем, связанных со ставшими уже традиционными объектами: кольцами СЩ, полукольцами С+И, полуполями и^. В частности, предполагается дальнейшее изучение решеток их подалгебр (максимальные подалгебры, структурные изоморфизмы).

3. Нахождение новых классов абстрактных полуколец, допускающих изоморфные (точные, полные) пучковые представления. Получение пучковых характеризаций свойств полуколец из выделенных классов.

4. Разработка теории пучковых представлений полумодулей над полукольцом на основе понятия спектра полумодуля.

5. В ближайшие два года по результатам исследований по функциональной алгебре планируется написание и издание монографии и учебного пособия для магистрантов и аспирантов; публикация серии из 5-7 статей в ведущих российских математических журналах; выступление с 8-10 докладами на международных математических конференциях. Полученные результаты докладываются и обсуждаются на региональном научном алгебраическом семинаре (руководители Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных). Ведется работа над кандидатскими диссертациями (Н. В. Шалагинова, Е. Л. Родыгина, О. В. Чермных, Р. В. Топоров) и докторской диссертацией (В. В. Сидоров).

Исследования проводятся в соответствии с проектной частью государственного задания Минобрнауки РФ «Функциональная алгебра и полукольца», проект № 1.1375.2014/К (руководитель Е. М. Вечтомов).

Примечания

1. Вечтомов Е. М. Философия математики: монография. Киров: ВятГГУ: Изд-во ООО «Радуга-ПРЕСС», 2013; Он же. Основные математические структуры: учеб. пособие. Киров: ВятГГУ: Изд-во ООО «Радуга-ПРЕСС», 2013.

2. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы: монография. 4-е изд. М.: Наука, 1984.

3. Наймарк М. А. Нормированные кольца: монография. 2-е изд. М.: Наука, 1968; Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник для вузов. 6-е изд., испр. М.: Наука, 1989; Рудин У. Функциональный анализ: учебник / пер. с англ. М.: Мир, 1975; Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомология: монография. М.: Наука, 1989.

4. Энгелькинг Р. Общая топология: монография / пер. с англ. М.: Мир, 1986.

5. Хаусдорф Ф. Теория множеств: монография / пер. с нем. 3-е изд., стереотип. М.: КомКнига, 2006.

6. Stone M. H. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41. № 3. P. 375-481.

7. Stone M. H. The theory of representations for Boolean algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1936. V. 40. № 1. P. 3-111.

8. Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Доклады АН СССР. 1939. Т. 22. № 1. С. 11-15.

9. Gillman L., Henriksen M., Jerison M. On a theorem of Gelfand and Kolmogoroff concerning maximal ideals in rings of continuous functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. V. 5. № 3. P. 447-455.

10. Вечтомов Е. М. К теореме Гельфанда - Колмогорова о максимальных идеалах колец непрерывных функций // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47. Вып. 5. С. 171-172.

11. Hewitt E. Rings of real-valued continuous functions. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. V. 64. № 1. P. 45-99.

12. Kaplansky I. Topological rings // Amer. Math. J. 1947. V. 69. № 2. P. 153-183.

13. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Preston: Van Nostrand, 1960.

14. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология. Т. 28. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1990. С. 3-46; Он же. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Там же. Т. 29. 1991. С. 19-191; Vechtomov E. M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74, № 1. P. 749-798.

15. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in a topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78. № 6. P. 702-753.

16. Вечтомов Е. М. Плоскостность идеала функций с бикомпактными носителями // Тезисы сообщений III Всесоюзного симпозиума по теории колец, алгебр и модулей. Тарту: 1976. С. 22.

17. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Кишинев: ИМ с ВЦ АН Молдавской ССР, 1978.

18. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы: учеб. пособие для спецкурса. М.: МПГУ, 1992; Он же. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология. Т. 29. 1991. С. 119-191; Он же. Функциональные представления колец: монография. М.: МПГУ, 1993; Vechtomov E. M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. № 1. P. 749-798; Вечтомов Е. М. Дистрибутивные решетки, функционально пред-ставимые цепями // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. № 1. С. 93-102; Он же. Функциональная характеризация стоуновых решеток // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. 1999. № 2. С. 9-11.

19. Вечтомов Е. М. Т0-пространства и топологические полугруппы непрерывных характеристических функций // Тезисы докладов Международной топологической конференции. Ч. 2. Баку: Ин-т матем., 1987. С. 71.

20. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология. Т. 28. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1990. С. 3-46.

21. Вечтомов Е. М. О системе работы по математике со способными студентами // Развитие творческой деятельности студентов в процессе обучения: сб. Ч. 1. Киров: ВятГПУ, 1996. С. 13-17.

22. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций со значениями в топологическом теле: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1994.

23. ЧермныхВ. В. Пучковые представления полуколец: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 1993.

24. Вечтомов Е. М. Функциональная алгебра: полукольца непрерывных функций // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: тез. докл. межрегион. науч. конф. Киров: ВятГПУ, 1998. С. 173-175; Он же. Алгебра в Вятском госпедуниверситете // Вятская земля в прошлом и настоящем : материалы V регион. науч.-практ. конф. Киров: ВятГПУ, 2001. С. 91-93; Он же. О научном направлении «Функциональная алгебра и теория полуколец» // Проблемы современного математического образования в вузах и школах России: материалы IV Всерос. науч.-метод. конф. Киров: ВятГГУ, 2009. С. 5659; Варанкина В. И., Вечтомов Е. М. Научная алгебраическая школа // Герценка: Вятские записки. 2009. Вып. 15. С. 199-207.

25. Вечтомов Е. М. Научный алгебраический семинар // Вестник Вятского педагогического университета. Серия естественных наук. Вып. 1. Матем., инф., физ. 1996. С. 27-29.

26. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец: монография. М.: МПГУ, 1993; Vechtomov E. M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. № 1. P. 749-798; Чермных В. В. Функциональные представления полуколец: монография. Киров: ВятГГУ, 2010; Он же. Функциональные представления полуколец // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 3. С. 111-227.

27. Чермных В. В. Полукольца: учеб. пособие. Киров: ВятГПУ, 1997. 132 с.; Он же. Функциональные представления полуколец и полумодулей: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2007; Chermnykh V. V. Functional representations of semirings // J. Math. Sciences (USA). 2012. V. 187. № 2. P. 187-267.

28. Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Полутела и их свойства // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. № 5. С. 3-54; Черанева А. В. Ядра и пучки полутел: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ, 2008; Вечтомов Е. М., Черанева А. В. Функциональные представления полутел // Чермных В. В. Функциональные представления полуколец: монография. Киров: ВятГГУ, 2010. С. 164-219.

29. Slowikowski W., Zawadowsci A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. 1955. V. 42. № 2. P. 215-231; Acharyya S. K., Chattopalhyay K. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Stone - Cech compactification // Simon Stevin. 1993. V. 67. P. 21-35; Они же. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. V. 2. № 1. P. 47-58.

30. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 4. С. 923-937; Она же. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 1996.

31. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С. 493-510.

32. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 1998; Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 1999; Широков Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 2005; Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ, 2010; Сидоров В. В. Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Казань: КФУ, 2011; Лубягина Е. Н. Полукольца непрерывных [0, 1]-значных функций: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2012.

33. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций. Киров: ВятГГУ, 2011; Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Чермных В. В. Элементы теории полуколец. Киров: ВятГГУ: Изд-во ООО «Радуга-ПРЕСС», 2012.

34. Artamonova I.I., Chermnykh V. V., Mikhalev A. V., Varankina V. I., Vechtomov E. M. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including simigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. P. 23-58; Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: ВятГПУ, 2000; Он же. Полукольца непрерывных отображений // Вестник ВятГГУ. 2004. № 10. С. 56-63; Он же. К теории полуколец непрерывных функций // Математика. Образование: материалы XXI Междунар. конф. Чебоксары: ЧГУ, 2013. С. 19-34; Он же. Полукольца и пучки. Обзор результатов исследований за 2008-2012 годы // Вестник ВятГГУ. 2013. № 1(1). С. 185-193.

35. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Полукольца отображений: аналит. науч. обзор. М.: РФФИ, 2003. 2 п. л. [Грант 03-01-07005-ано]; Вечтомов Е. М. Строение полутел: аналит. науч. обзор. М.: РФФИ, 2008. 2 п. л. [Грант 08-01-11000-ано].

Notes

1. Vechtomov E. M. Filosofiya matematiki: monografiya [Philosophy of mathematics: a monograph]. Kirov. VyatSHU: Publishing house LTD Raduga-PRESS. 2013. Also him. Basic mathematical structures: tutorial. Kirov. VyatSHU: Publishing house LTD Raduga-PRESS. 2013.

2. Pontryagin H.P. Nepreryvnye gruppy: monografiya [Continuous group: monograph]. 4nd is. M. Nauka. 1984.

3. Naimark M. A. Normirovannye kol'ca: monografiya [Normed rings: monograph]. 2nd issue. M. Nauka. 1968; Kolmogorov A. N., Fomin S. V. EHlementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza: uchebnik dlya vuzov [Elements of the theory of functions and functional analysis: a textbook for high schools]. 6 ed., rev. M. Nauka. 1989; Rudin U. Funkcional'nyj analiz: uchebnik [Functional analysis: a textbook] / transl. from Eng. M. Mir. 1975; A. Y. Helemskii Banahovy i polinormirovannye algebry: obshchaya teoriya, predstavleniya, gomologiya: monografiya [Banach and polynorbornene algebras: General theory, representations, homology: a monograph]. M. Nauka. 1989.

4. Engelking R. Obshchaya topologiya: monografiya [General topology: monograph] / transl. from Eng. M. Mir.

1986.

5. Hausdorf F. Teoriya mnozhestv: monografiya [Set theory: a monograph]. 3nd issue, stereotype. M. Kom-Kniga. 2006.

6. Stone M. H. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41. No. 3. Pp. 375-481.

7. Stone M. H. The theory of representations for Boolean algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1936. V. 40. No. 1. Pp. 3-111.

8. Gelfand I. M., Kolmogorov A. N. O kol'cah nepreryvnyh funkcij na topologicheskih prostranstvah [About rings of continuous functions on topological spaces] // Doklady AN SSSR - Reports of AS USSR. 1939. Vol. 22. No. 1, pp. 11-15.

9. Gillman L., Henriksen M., Jerison M. On a theorem of Gelfand and Kolmogoroff concerning maximal ideals in rings of continuous functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. V. 5. No. 3. Pp. 447-455.

10. Vechtomov E. M. K teoreme Gel'fanda - Kolmogorova o maksimal'nyh idealah kolec nepreryvnyh funkcij [To the theorem of Gelfand - Kolmogorov maximal ideals of rings of continuous functions] // Uspekhi mat. nauk -Success of Mat. Sciences. 1992. Vol. 47. Issue 5. Pp. 171-172.

11. Hewitt E. Rings of real-valued continuous functions. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. V. 64. No. 1. Pp. 45-99.

12. Kaplansky I. Topological rings // Amer. Math. J. 1947. V. 69. No. 2. Pp. 153-183.

13. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Preston: Van Nostrand, 1960.

14. Vechtomov E. M. Voprosy opredelyaemosti topologicheskih prostranstv algebraicheskimi sistemami ne-preryvnyh funkcij [Issues of definitivity of topological spaces by algebraic systems of continuous functions] // Itogi nauki i tekhniki. Algebra. Geometriya. Topologiya - Results of science and technology. Algebra. Geometry. Topology. Vol. 28. M. VINITI AS USSR. 1990. Pp. 3-46. Also him. Kol'ca nepreryvnyh funkcij. Algebraicheskie aspekty [Rings of continuous functions. Algebraic approach] // Ibid. Vol. 29. 1991. Pp. 19-191; E. M. Vechtomov Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74, No. 1. Pp. 749-798.

15. E. M. Vechtomov Rings of continuous functions with values in a topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78. No. 6. Pp. 702-753.

16. Vechtomov E. M. Ploskostnost' ideala funkcij s bikompaktnymi nositelyami [Flatness of the ideal of functions with bicompact carriers] // Tezisy soobshchenij III Vsesoyuznogo simpoziuma po teorii kolec, algebr i modulej - Abstracts of reports of the III all-Union Symposium on the theory of rings, algebras and modules. Tartu. 1976. P. 22.

17. Vechtomov E. M. Kol'ca nepreryvnyh funkcij: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Rings of continuous functions: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. Chisinau. Computing centre of the Academy of Sciences of the Moldavian SSR. 1978.

18. Vechtomov E. M. Kol'ca nepreryvnyh funkcij na topologicheskih prostranstvah. Izbrannye temy: ucheb. posobie dlya speckursa [Rings of continuous functions on topological spaces. Selected topics: studies. tutorial for the special course]. M. Moscow State Pedagogical University. 1992. Also him. Kol'ca nepreryvnyh funkcij. Algebraicheskie aspekty [Rings of continuous functions. Algebraic aspects of the // Itogi nauki i tekhniki. Algebra. Geometriya. Topologiya - Results of science and technology. Algebra. Geometry. Topology]. Vol. 29. 1991. Pp. 119-191. Also him. Funkcional'nye predstavleniya kolec: monografiya [Functional view of the rings: the monograph]. M. Moscow State Pedagogical University. 1993; E. M. Vechtomov Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. No. 1. P. 749-798; Vechtomov E. M. Distributivnye reshetki, funkcional'no predstavimye cepyami [Distributive lattice, functionally representable chains] // Fundamental'naya i prikladnaya matematika - Fundamental and applied mathematics. 1996. Vol. 2. No. 1. Pp. 93-102. Also him. Funkcional'naya harakterizaciya stounovyh reshetok [Functional characterization of Stone's lattices] // Vestnik Vyatskogo gos. ped. un-ta - Herald of Vyatka State Pedagogical University. 1999, No. 2, pp. 9-11.

19. E. M. Vechtomov T0-prostranstva i topologicheskie polugruppy nepreryvnyh harakteristicheskih funkcij [T0-spaces and topological semigroups of continuous characteristic functions] // Itogi nauki i tekhniki. Algebra. Geometriya. Topologiya - Abstracts of the International topological conference. Part 2. Baku: Institute of mathematics. 1987. P. 71.

20. Vechtomov E. M. O sisteme raboty po matematike so sposobnymi studentami [Issues of definitivity of topological spaces by algebraic systems of continuous functions] // Itogi nauki i tekhniki. Algebra. Geometriya. Topologiya -Results of science and technology. Algebra. Geometry. Topology. Vol. 28. M. VINITI AS USSR. 1990. Pp. 3-46.

21. Vechtomov E. M. O sisteme raboty po matematike so sposobnymi studentami [On the system of work with a capable mathematics students of the development of creative activity of students in the learning process]: collection part 1. Kirov. VyatSPU. 1996. Pp. 13-17.

22. Vechtomov E. M.. Kol'ca nepreryvnyh funkcij so znacheniyami v topologicheskom tele: avtoref. dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [Rings of continuous functions with values in topological body: autoref. dis. ... Dr. Phys.-math. Sciences]. M. Moscow State University. 1994.

23. Chermnykh V. V. Puchkovye predstavleniya polukolec: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Beam representation of semirings: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. M. Moscow State Pedagogical University. 1993.

24. Vechtomov E. M. Funkcional'naya algebra: polukol'ca nepreryvnyh funkcij [Functional algebra: rings of continuous functions] // Problemy sovremennogo matematicheskogo obrazovaniya v pedvuzah i shkolah Rossii: tez. dokl. mezhregion. nauch. konf.- Problems of modern mathematics education in the teacher training institutions and schools of Russia: report of Interregional scientific. conf. Kirov. VyatSPU. 1998. Pp. 173-175. Also him. Algebra v Vyatskom gospeduniversitete [Algebra in Vyatka State Ped. University] // Vyatskaya zemlya v proshlom i nastoya-shchem: materialy V region. nauch.-prakt. konf. - Vyatka land in the past and present: proceedings of the V region. scient.-practical conf. Kirov. VyatSPU. 2001. Pp. 91-93. Also him. O nauchnom napravlenii «Funkcional'naya algebra i teoriya polukolec» [On the scientific direction of "Functional algebra and the theory of semirings"] // Problemy sovremennogo matematicheskogo obrazovaniya v vuzah i shkolah Rossii: materialy IV Vseros. nauch.-metod. konf. -Problems of modern mathematical education in universities and higher schools of Russia: materials of the IV all-Russian. scient.-method. conf. Kirov. VyatSHU. 2009. Pp. 56-59; Varankina V. I., E. M. Vechtomov Nauchnaya alge-braicheskaya shkola [Algebraic scientific school] // Gercenka: Vyatskie zapiski - Gertsenka: Vyatka note. 2009. Vol. 15. Pp. 199-207.

25. Vechtomov E. M. Nauchnyj algebraicheskij seminar [Algebraic scientific seminar] // Vestnik Vyatskogo pedagogicheskogo universiteta. Seriya estestvennyh nauk - Herald of Vyatka State Pedagogical University. Series of natural Sciences. Issue 1. Mat., Inf., Phys. 1996. Pp. 27-29.

26. Vechtomov E. M. Funkcional'nye predstavleniya kolec: monografiya [Functional representation of the rings: the monograph]. M. Moscow State Pedagogical University. 1993; E. M. Vechtomov Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. No. 1. Pp. 749-798; Chermnykh V. V. Funkcional'nye predstavleniya polukolec: monografiya [Functional representation of semirings: monograph]. Kirov. VyatSHU. 2010. Also him. Funkcional'nye predstavleniya polukolec [Functional representations of semirings] // Fundamental'naya i prikladnaya matematika Fundamental and applied mathematics. 2012. Vol. 17, No. 3, pp. 111-227.

27. Chermnykh V. V. Polukol'ca: ucheb. posobie [Halfrings: tutorial]. Kirov. VyatSPU. 1997; Also him. Funkcion-al'nye predstavleniya polukolec i polumodulej: avtoref. dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [Functional representations of semirings and half-modules: autoref. dis. ... Dr. Phys.-math. Sciences]. Ekaterinburg. IMM UrS RAS. 2007; Chermnykh V. V. Functional representations of semirings // J. Math. Sciences (USA). 2012. V. 187. No. 2. Pp. 187-267.

28. Vechtomov E. M., Cheraneva A. V. Polutela i ih svojstva [Half-bodies and their properties] // Fundamen-tal'naya i prikladnaya matematika - Fundamental and applied mathematics. 2008. Vol. 14, No. 5, pp. 3-54; Cheraneva V. A. YAdra i puchki polutel: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Cores and beams of half0bodies: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. Kazan. KSU. 2008; Vechtomov E. M., Cheraneva A.V. Funkcional'nye predstavleniya po-lutel [Functional representation of half-bodies] // Chermnykh V. V. Funkcional'nye predstavleniya polukolec: monografiya - Functional representation of semirings: monograph. Kirov. VyatSHU. 2010. Pp. 164-219.

29. Slowikowski W., Zawadowsci A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. 1955. V. 42. No. 2. P. 215-231; Acharyya S. K., Chattopalhyay K. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Stone - Cech compactification // Simon Stevin. 1993. V. 67. P. 21-35; They are the same. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. V. 2. No. 1. P. 47-58.

30. Varankina V. I. Maksimal'nye idealy v polukol'cah nepreryvnyh funkcij [Maximal ideals in semirings of continuous functions] // Fundamental'naya i prikladnaya matematika - Fundamental and applied mathematics. 1995. Vol. 1. No. 4. Pp. 923-937; Also her. Maksimal'nye idealy i delimost' v polukol'cah nepreryvnyh funkcij: av-toref. dis. . kand. fiz.-mat. nauk [Maximal ideals and divisibility in semirings of continuous functions: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. M. Moscow State Pedagogical University. 1996.

31. Varankina V. I., Vechtomov E. M., Semenova I. A. Polukol'ca nepreryvnyh neotricatel'nyh funkcij: delimost', idealy, kongruehncii [Ccontinuous semiring of nonnegative functions: divisibility, ideals, congruence] // Fundamen-tal'naya i prikladnaya matematika - Fundamental and applied mathematics. 1998. Vol. 4, No. 2, pp. 493-510.

32. Semenova I. A. Kongruehncii na polukol'cah nepreryvnyh funkcij: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Congruences on semirings of continuous functions: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. M. Moscow State Pedagogical University. 1998; Podlewskih M. N. Polukol'ca nepreryvnyh funkcij s topologiej potochechnoj skhodi-mosti: avtoref. dis. . kand. fiz.-mat. nauk [Semi-rings of continuous functions with the topology of pointwise convergence: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. M. Moscow State Pedagogical University. 1999; D. V. Shirokov Idealy v polukol'cah nepreryvnyh funkcij: avtoref. dis. . kand. fiz.-mat. nau [Ideals in semirings of continuous functions: autor. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. M. Moscow State Pedagogical University, 2005; D. V. Chuprakov Kongruehncii na polukol'cah i polupolyah nepreryvnyh chislovyh funkcij: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk. [Congruences on semirings and semidields of continuous numeric functions: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. Kazan. KSU. 2010; Sidorov V. V. Izomorfizmy reshetok podalgebr polukolec nepreryvnyh neotricatel'nyh funkcij: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Isomorphisms of lattices of subalgebras of semirings of continuous nonnegative functions: autoref. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. Kazan. Kazan Federal University. 2011; Lubyagina E. N. Polukol'ca nepreryvnyh [0, 1]-znachnyh funkcij: avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Semi-rings of continuous [0, 1]-valued functions: autor. dis. ... Cand. Phys.-Mat. Sciences]. Ekaterinburg. IMM UrO RAS. 2012.

33. Vechtomov E. M., Sidorov V. V., D. V. Chuprakov Polukol'ca nepreryvnyh funkcij [Semi-Rings of continuous functions]. Kirov. VyatSHU. 2011; Vechtomov E. M., Lubyagina E. N., Chermnykh V. EHlementy teorii polukolec [Elements of the theory of semirings]. Kirov. VyatSHU: Publishing house LLC "Raduga-PRESS". 2012.

34. I. I. Artamonova, Chermnykh V. V., Mikhalev A. V., Varankina V. I., E. M. Vechtomov Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including simigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. P. 23-58; Vechtomov E. M. Vvedenie v polukol'ca [Introduction to semi-ring]. Kirov. VyatSPU. 2000. Also him. Polukol'ca nepreryvnyh otobrazhenij [Semi-rings of continuous mappings] // Vestnik VyatGGU - Herald of VyatSHU. 2004, No. 10, pp. 56-63. Also him. K teorii polukolec nepreryvnyh funkcij [To the theory of semirings of continuous functions] // Matematika. Obrazovanie: materialy XXI Mezhdunar. konf.- Math. Education: proceedings of the XXI Intern. Conf. Cheboksary. Chuvash State University. 2013. Pp. 19-34. Also him. Polukol'ca i puchki. Obzor rezul'tatov issle-dovanij za 2008-2012 gody [The ring and wisps. A review of research in 2008-2012] // Vestnik VyatGGU - Herald of VyatSHU. 2013, No. 1(1), pp. 185-193.

35. Vechtomov E. M., Chermnykh V. V. Polukol'ca otobrazhenij: analit. nauch. obzor [Semi-rings of mappings: analyt. scientific. Review]. M. Russian Foundation for Basic Research. 2003. 2 p. l. [Grant 03-01-07005-AN0]; Vechtomov E. M. Stroenie polutel: analit. nauch. obzor [Structure of semibodies: analyt. scientific. Review]. M. RFBR. 2008. 2 p. l. [Grant 08-01-11000-AN0].