Исследование задачи Тьюринга для отходообразующих производственных систем

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ

2006 р. Вип. №16

ТЕХНОГЕННА БЕЗПЕКА

УДК 658.567.1.001.57

Волошин В.С1, Потемкин В.В.2

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЬЮРИНГА ДЛЯ ОТХОДООБРАЗУЮЩИХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

На основании произведенных исследований задачи Тьюринга для отходообразующей системы, с точки зрения производства готовой продукции и отходов, получены результаты по путям их применимости в различных производственных сферах при решении вопросов оптимизации технологических циклов и минимизации процесса отходообразования.

Особенностью развития современных производственных систем является нарастающее технологическое противоречие между получением качественной продукции (связанным с нецелевым использованием энергоресурсов, приводящее к ее удорожанию), и загрязнением окружающей среды отходами, тепловой энергией. Постоянный мониторинг за состоянием производственной отходообразующей системы, позволяет получать динамическую информацию не только технологического характера, но и фиксировать все техногенные изменения, происходящие под влиянием многофакторных воздействий.

До настоящего времени, влияние многофакторности и ее взаимосвязь с техногенной безопасностью при оптимальной работе производственной системы не рассматривалось, или делалось с многочисленными упрощениями для конкретной модели производства. Проблема ресурсосбережения в предложенной постановке в практическом аспекте до сих пор остается нерешенной.

Перед началом рассмотрения данных особенностей, дадим некоторые пояснения к динамической системе, которая имеет название «брюсселятор» (по названию г. Брюсселя, где учеными известной термодинамической научной школы И. Пригожина [1] была впервые представлена эта модель в связи с исследованиями по открытым неравновесным системам). Схема брюсселятора (рис.1) отражает самую общую структуру производственного процесса, при которой на входе в систему есть некоторая сырьевая база в виде постоянных и переменных по

времени потоков, а на выходе - готовая продукция и база отходов, изменяющихся во времени [2]. При этом сама структура системы может уточняться. Рассмотрим ее подробнее.

Система базируется на двух явлениях -взаимодействии двух веществ и механизме автокатализа, и описывается следующими уравнениями

а—>х

2х + у Зх

х -> я

В данном случае первое и последнее из показанных уравнений очевидны. Это трансформация материальных потоков. Второе уравнение

Р у р

Рис. 1 - Схема брюсселятора для открытой отходообразующей системы: а и /> - постоянные составляющие потоков на входе в систему; р ил: - потоки на выходе из системы

1 ГТГТУ, д-р техн.наук, проф.

2 ГТГТУ, ст. преп.

- суть процесс перехода компонента х (переменная часть входящего материального потока) в свою модификацию - компонент у . Но при этом в брюсселяторе получаем некоторое дополнение в виде «хвоста» р . В схеме стандартного брюсселятора этот компонент вообще не исследуется. Третья формула отражает автокаталитический механизм реакции, когда для синтезирования некоторого вещества оно должно присутствовать изначально в системе. Примем это условие, как обязательное для брюсселятора, но частное для нашей системы.

Считаем, что для некоторой производственной системы в качестве сырьевой базы принята совокупность постоянных и переменных материальных потоков (ос,/3,х,у) в некотором соотношении между собой. Это соотношение определяется условиями технологического процесса и может меняться во времени. Тогда конечным результатом работы системы является необходимая (результирующая) продукция ж и некоторое дополнение р, которое может рассматриваться в виде гипотетического отхода в данной системе.

Ранее А.Тьюринг в 1952 году рассмотрел структуризацию сложных неравновесных систем с позиций механизмов реакций взаимодействия условных веществ с одновременной их диффузией в некоторой технологической области [3]. При этом, как показал И. Пригожин, в качестве диффузии могут рассматриваться и диссипативные процессы. Но Тьюринг удачно объединил эти два механизма и показал, что такие процессы покрывают собой огромный спектр явлений, начиная от превращений неорганических веществ до биологического морфогенеза. Они характерны для большинства современных технологических процессов в химии, металлургии, нефтепереработке, лакокрасочной, пищевой промышленности, и др. Эта модель может описывать широкий круг решаемых задач применительно к прикладным исследованиям в области нелинейных динамических систем. Привлекательным в этой модели для Тьюринга было то, что она сформулирована для незамкнутых систем, в которых существует движение материальных потоков, имеется приход и отток материалов.

Целью данной работы является изучение вопроса производства готовой продукции и отходов в энергоэнтропийном аспекте, путем решения задачи Тьюринга [3] для незамкнутой отходообразующей производственной системы, имеющей внешнее сообщение через потоки проходящих сквозь нее материалов.

Допустим, что производственная система имеет переменный во времени приток некоторого материала (назовем его сырьевой базой), состоящего из двух условных компонентов с содержанием каждого - х(0) и }'(в). Под первым из них будем условно понимать часть сырья, которая идет на получение полезной продукции ж, а под вторым - ту часть, которая в силу известных превращений связана в системе с отходами р . Тогда на выходе получим два модифицированных материальных потока. Для упрощения примем, что технология непрерывна во времени. Математическая модель такого процесса, описывающая изменение во времени содержания основных компонентов, примет вид [3]:

— = ка + к1х2у- к.Вх + йх

дв дг2

^- = кърх-к2х2у + ёу^

дв дг

Ч = -Кху2

дв2 4

с граничными условиями

дх дг

= 0 и — дг

= 0 в области — Ь-т- +Ь

Г=1

г=-Ь

и временной координатой в .

Ё.

дг2

фузные процессы в системе. Здесь сделаем то же допущение, что и И. Пригожин - поставим

Здесь - вторые производные по пространственному параметру г отражают диф-

знак сопоставимости между процессами диффузии и диссипации в рассматриваемой системе. Допустим, что составляющие потоков 0 < ее < 1 и 0 < (3 < \. такие, что всегда выполняется условие ОС + Р = 1. Тогда постоянная часть притока вещества х и у . а переменная часть потока описывается слагаемым (х2у). При этом скорость потока пропорциональна квадрату накопления вещества в системе. Этим Тьюринг вводит в свою модель обязательное условие автокатализа - механизма, отвечающего за получение необходимого полезного вещества только в присутствии в системе этого вещества изначально (3). Выполним данное условие как частное, но обязательное, так как принцип автокатализа позволяет усилить динамичность модели. При этом требуется подобная динамизация и от второй части вещества у , которое связано с получением отхода р . Именно этим определяется появление третьего уравнения в модели Тьюринга. Скорость накопления вещества М = ху, а именно всей переменной части состава сырья, пропорциональна первой степени накопления той его части, которая отвечает за получение полезной продукции и второй степени той части, которая отвечает за образование отхода. На первый взгляд это условие автокатализа по отношению к веществу у . Учитывая, что разбиение притока на х и у носит условный характер и подтверждается только на выходе системы в виде раздельных потоков продукции и отходов, то уравнение (7) может отражать процессы влияния первой части потока х на его равнозначную по технологии вторую часть потока у при получении р . Предложенное допущение носит условный характер, но вместе с тем, оно не искажает общую картину нашей системы.

Слагаемое (—.к3 /Зх) в модели (6) отражает объемный сток первого вещества.

Известно, что классическая термодинамика рассчитана для замкнутых систем, где диссипация ведет к хаосу. Для открытых систем, где имеется приход энергии или вещества извне, могут присутствовать процессы упорядочения, структуризации системы. Рассмотрим открытую систему, где имеют место потоки материалов со своим притоком и оттоком в виде готовой продукции и отходов. Если для такой системы справедливо второе начало термодинамики, то система должна быть направлена к устойчивому стационарному состоянию и тогда параметр времени можно исключить. В результате получим однородную систему, тогда диффузные (дисси-пативные) составляющие нужно убрать и решение примет вид:

X Y

- К х = —а;

- К у =

кхк2

Р, или = =

У Р

Устойчивость системы подтверждается и в том случае, если процесс отходообразования будет носить стационарный характер. При этом ху = const

и уравнение ху2 = О теряет смысл.

а)

X Y

б)

Рис. 2 - Устойчивость процесса в отходообразующей системе: а) устойчивый процесс; б) неравновесный процесс.

В ограниченной области AL вместо начальных данных подставим полученные равновесные значения х и j из области устойчивого состояния системы (образована некоторая термодинамическая ветвь). Для упрощения решения допустим, что на границах области состояния системы диффузии нет и

слагаемые —г- обращаются в ноль. Аг

Если устойчивость подтверждается (рис. 2,а), то возвращаемся к простому решению (8). При этом

= = const при любых а < 1. А если это не так, на-

У

пример при а/Р» 1, то теряется смысл расчета,

Рис. 3 - Неравновесный процесс в открытой системе

О С1

Рис. 4 - Стационарные состояния системы в зависимости от степени диссипации

процесс не будет стремиться к равновесию и ожидаемого результата (рис.2,б) нет. Но частным решением в этом случае должны считать и ¡3 —> О. Тогда в уравнении (2) будет выполняться условие р —> О .

Иными словами условием минимизации отходообразующей части р в модели брюсселятора является явная неравно-весностъ открытой системы.

В области малых отклонений от этих состояний далеко не при всех значениях ос и ¡3 отклонения в термодинамической ветви с начальными состояниями (8) будут затухать. Например, при условии

а + Р Ф 1, если а2 > 1 - /3 , система получает развитие по положительной обратной связи, что говорит о неустойчивости системы (рис.3).

При таких параметрах а и (3 система явно неустойчива, где колебательный полупериод растет в некоторой зависимости

от функции ^(<Зх,с1у) .

Рассмотрим эту зависимость подробнее.

Попробуем возбудить систему малыми приращениями 8х и 8у и рассчитаем при этом динамику процесса.

Линеаризованные уравнения отно-

сительно такого стационарного состояния записываются в матричном виде следующим образом :

д

дв

д

дв

й.

б/.

д2

дг~г

О

д\у + 5у)

дг2

О

й.

О

д2

дг2

к^ 13 к^ ^ зс

о

й.

д2

дг'

5х

к^ 13 к^ ^ зс къ(3 А^х

8У

1.Если с!х =с1 = б/. то система (9-10) превратится в упрощенное

_д_ дв

х + 8х У + 8у

= й

д2

дг2

х + дх У + 8у

к^ ¡3 к^ к 2 л-къ(3 А^х

дх

Зу

Здесь / - единичная матрица.

Как видим в уравнении присутствует только переменная ¡3 . Таким образом, независимо от значения ос система входит в одно из интересующих нас состояний, при этом соотношение ос/ /3 зависит только от изменения [3 . Для линеаризованной системы решение может иметь вид колебательной функции в виде соотношения (sin Кх) U (flXcosÁJf), где К - волновое число в допущениях AL . Видно (рис.4), что в этом случае соотношение ОС/[3 все равно стремится к стационарному состоянию в зависимость от степени диссипации d, но в отличии от термодинамической ветви - асимптотически затухает.

2. Рассмотрим гипотетическую задачу с условием, когда система не дает отхода. Оно связано с допущением, что dx « dy . Для модели брюсселятора это означает в уравнении

у + р —» у и значит (3 х —^ у Соотношение ос//3 при этом устойчиво больше единицы (см. рис. 4) и далеко от асимптотического затухания. Таким образом, снова получаем подтверждение того, что неравновесность системы брюсселятора является обязательным условием минимизации параметра р .

В этом случае матрица второго слагаемого в уравнении (11) изменится и будет иметь

вид:

^ к2 dх к^ х

к-^ к2 х к-^ с

При условии наличия хотя бы одного действительного положительного значения матрицы (12) (что легко обеспечивается регулированием соотношения ос/Р) решение примет следующий вид:

е'~ " sin(Á>) или

ея+е cos

Здесь Л+ и Л - собственные значения оператора (12). В работе [1] показано, что эти значения меняются на величину ( — dK2) в результате добавления механизма диссипации в системе. Еще раз подчеркнем, что процесс диссипации здесь сопоставим с процессом диффузии. При этом если условие б/,. = б/,, не влияет на положитель-

f окресность

= const

const

ное решение и диссипация не вносит дополнительной неустойчивости в систему, то при dx « с! у

система проявляет себя как неравновесная в первую очередь, именно за счет процессов диссипации. Иными словами если вещество, из которого получают полезную продукцию, диссипирует в системе значительно медленнее, чем та его часть, из которой получается отход, то содержание второго из них в ограниченном пространстве АЬ существенно сокращается. Но при этом система переходит в явно неравновесное состояние.

В этом случае для устойчивости состояния достаточно, например, гипотетического условия ¡3 = 1, ос — 0 (при этом собственные значения оператора А < 0). Расчет на малых приращениях в системе (5 - 7) дает нам однозначный результат авто-

yr у" V'" У" Y" Y' V

-41 -41 И 21 i 21 * 21 1

Рис. 5 - Схема состояний и процессов в отходо-образующей системе

колебательного состояния системы в окрестности точки (х0,_у0) (рис.5). Как только в системе изменяется начальное условие, при котором (3 — А/3 < 1, а а + А а > О , она переходит в неравновесное состояние колебательного процесса. Причем цикл колебаний состоит из расчетных областей, описываемых линейными зависимостями х = К{/(у) и х = К{ср(—у), в том числе

автокаталитических областей, описываемых уравнениями типа ху2 = С , а также непросчиты-

ваемых нелинейных областей между ними.

Это означает, что, изменяя на малых приращениях начальные возмущения по х, получаем решение поочередно «сваливающееся» то в одну, то в другую сторону от устойчивого состояния. Однозначно сказать нельзя, что такое состояние является реально достижимым. В подобном случае Тьюринг показал, что решение может получиться стационарным, но в отличие от устойчивой термодинамической ветви состоит из бесконечного числа максимумов и минимумов и является также неустойчивым.

Полученные результаты исследований расширяют возможности по дальнейшей работе приложения многофакторности воздействий на производственную систему, разнородных классов и назначений, при различных ее состояниях.

Выводы

1. Расчетным путем получен однозначный результат: с точки зрения устойчивости открытой термодинамической системы, в понимании второго начала, нулевого потока по отходам в системе может не быть.

2. В общем приходе вещества в виде (а,(3,х,у) всегда присутствует обособленная часть, в конечном итоге дающая выход по у + р . Чем больше у и меньше р , тем более неравновесной должна быть открытая система.

3. Дальнейшее изучение взаимосвязи задачи ресурсопотребления и многофакторности воздействий на состояния производственных систем, позволяет перейти к практическим аспектам создания теории оптимальных технологических циклов с реальной минимизацией процесса отходообразования и нормализацией техногенной обстановки.

Перечень ссылок

1. Николис .Г. Самоорганизация в неравновесных системах//". Николис, И.Пригожий . - М.: Мир, 1979.-285 с.

2. Управление промышленными отходами: Уч. пособие.- В 2-х кн.- Кн.1/А. Гриценко ,Е. Ма-каровски., И. Черванев ,И. Ширенко // Промышленные отходы и окружающая среда в современном мире. - Харьков: РИП «Оригинал», 2000. - С. 80 - 87.

3. Успенский В. А. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения / В.А. Успенский, АЛ. Семенов. - М.: Мир, 1987. - 198 с.

Статья поступила 28.04.2006