Проблемы рандомизации последовательностей соболя для решения задач исследования и оптимизации динамических систем

Литература

1. Кончаков Р.Б., Сидляр М.Ю. Изучение Google sketchup в курсе «новые информационные технологии» на гуманитарных специальностях // Гаудеамус. Тамбов, 2011. № 2(18). С. 40-42.

2. Жеребятьев Д.И. Междисциплинарное взаимодействие в процессе виртуальной реконструкции объектов историко-культурного наследия // Информационный Бюллетень Ассоциации «История и компьютер». Петрозаводск, 2011. С. 52-56.

3. Жеребятьев Д.И. Трехмерное моделирование как инструмент изучения исторической реальности // Историческое образование в современной России: перспективы развития: мат-лы всерос. науч.-практ. конф. ученых-историков и преподавателей 28-31 октября 2010: Сборник научных трудов Первой Всероссийской научнопрактической конференции ученых-историков и преподавателей: сб. статей. М.: Изд-во РГСУ, 2011.

УДК 519

ПРОБЛЕМЫ РАНДОМИЗАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СОБОЛЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И.Н. Статников, Г.И. Фирсов

Рассматривается применение для решения задач многокритериального синтеза динамических систем метода ПЛП-поиска, который не только позволяет на основе проведения имитационных модельных экспериментов осуществить просмотр пространства параметров в заданных диапазонах их изменения, но и в результате специального рандомизированного характера планирования этих экспериментов применить количественные статистические оценки влияния изменения варьируемых параметров и их парных сочетаний на анализируемые свойства рассматриваемой динамической системы.

Ключевые слова: планирование многоуровневых экспериментов, многокритериальное проектирование, ПЛП-поиск, эвристические методы оптимизации, метод Монте-Карло, планирование имитационных экспериментов.

Разработанные И.М. Соболем ЛПТ - по- мерных интегралов, стали позже применять-

следовательности двоично-рациональных ся и для реализации поисковых процедур.

псевдослучайных чисел д(0<д<1) [1], пред- Однако в этом случае [2] реализовывалась

назначенные изначально для расчета много- идеология «слепого» поиска, как это харак-

4. Развитие математических теорий и методов для компьютерных приложений

терно для методов семейства Монте-Карло. Это приводит к затруднениям при интерпретации многочисленных результатов, достигаемых при проведении вычислительных экспериментов, особенно когда отыскание экстремума не является единственной целью решаемой задачи.

Структура указанных в [1, 2] ЛПт-после-довательностей позволила комбинаторным путем [3] планировать построение в ./-мерном (/<51) пространстве параметров исследуемой (-ых) функции (-й) решетки, с помощью которых можно было получить ответы на такие вопросы [3, 4]:

- какие из варьируемых параметров с заданной (требуемой) вероятностью оказывают существенное влияние на значения функции критерия качества (КК); иначе говоря, статистически оценивать производную КК от каждого варьируемого параметра;

- по заданной метрике между текущим значением КК и его экстремальным значением, известным apriori или определяемым по ходу проводимых расчетов, определить область (-и) концентрации наилучших (достижимых) значений критерия (-ев);

- построить в многомерном пространстве КК множество Парето или, если задана схема компромисса между КК, выделить в /-мерном пространстве параметров подобласть, содержащую наибольшую концентрацию компромиссных решений;

- аппроксимировать выделенные подобласти регрессионными зависимостями с использованием при этом ряда формул для подсчета разных комбинаций варьируемых параметров, приведенных в [3].

На основе описанной выше процедуры построен метод планируемого ЛП-поиска (ПЛП-поиск). Сущность ПЛП-поиска [1] заключается в следующем: ПЛП-поиск - метод планирования ЛПт-последовательностей [2], реализующий синтез идей дискретного обзора /-мерного (/<51) пространства исследуемых (варьируемых) параметров (ВП) с идеями теории планирования математических (вычислительных) экспериментов (ВЭ). Некоторые возможности использования ПЛП-поиска указаны в работах [3, 4].

В данной работе кратко опишем инструментальные возможности метода. Решетки, образуемые в ПЛП-поиске, представляют

собой матрицу планируемых экспериментов (МПЭ) размерности (N0 х /), где: N0 - число строк МПЭ или число ВЭ; / - число ВП а}-(j =1,...,/) или столбцов МПЭ; M - число уровней, на которые разбивается j-й варьируемый параметр (M = const или M j = var). Типы МПЭ, которые могут быть реализованы в ПЛП-поиске:

1) все ВП разбиваются на одинаковое число уровней M; в этом варианте N0 = MH, где H - объем выборки (число значений вычисляемой функции) в i-м сечении j-го параметра;

2) все ВП разбиваются на неодинаковое число уровней M; в этом варианте N0 = Е Hij

(i = 1,...M);

3) п.п. 1 и 2 могут реализовываться при необходимости для разных сочетаний а* а* и Sj, где а,'* и а* - соответственно нижняя и верхняя границы изменения j-го параметра, а 0< е j <<1 (например, (а;* + Sj, a_j« _ sj) и (aj* - Sj, a_j**+ Sj)).

Ниже приведены некоторые из примеров использования ПЛП-поиска при решении задач проектирования различных динамических систем. Здесь ММ - математическая модель, НДУ - нелинейное дифференциальное уравнение, ЛДФ - линейное дифференциальное уравнение, УРЧП - дифференциальное уравнение в частных производных; К - число критериев качества.

1. Поворотный делительный стол с гидромеханическим приводом. ММ: 3 НДУ второго порядка. /=9. K=3. Результат: найдена область компромиссных решений, объем которой составил ~0,2 % от исходно заданной.

2. Пневморегулятор давления повышенной точности. ММ: 4 НДУ второго порядка. /=4. К= 1. Результат: найдена область лучших решений с объемом в 0,5 % от исходно заданной.

3. Пневмовстряхивающая машина. ММ: 4 НДУ второго порядка. /=8. К=1. Результат: определены 4 влиятельных параметра; выделенная область составила 5 % от исходно заданной.

4. Многоконтурная планетарная зубчатая передача. ММ: 23 ЛДУ неоднородных второго порядка /=25. К=6. Результат: определены 8 параметров, одновременно влиявших на все критерии; в области компромисса найден 29 ММ, у которых все Я^>0.12. одно-

временно (в исходной области с такими значениями Хк - 0).

5. Швейная машина. ММ: 5 ЛДУ неоднородных второго порядка. /=6. К=5. Результат: в выделенных областях построены регрессионные зависимости собственных частот от параметров ММ.

6. Резонансный преобразователь для судовых валопроводов. ММ: 2 НДУ второго порядка. /=6. К= 1. Результат: определены два влиятельных параметра; значение критерия улучшилось в 5,2 раза по сравнению с аналогичным в исходной области.

7. Трансмиссия главного привода рабочей клети прокатного стана. ММ: 5 НДУ второго порядка. /=5. К=5. Результат: найдена область компромисса, составляющая ~3,5 % от исходно заданной.

8. Теплообменный аппарат. ММ: 1 УРЧП. / от 8 до 18. К=4. Результат: определены для каждого J существенные параметры и построены области компромисса.

Мы видим, что в каждом из приведенных примеров реализуются один или одновременно несколько пунктов из формализованной постановки. Более того, полученные результаты носили практический характер и могли быть основанием для завершения расчетов. Еще более важно то, что при решении каждой из указанных задач возникали вопросы у авторов задач к результатам их решения, которые нельзя было предвидеть заранее, даже при аналитической проработке.

Последнее, во-первых, естественно при использовании дискретных методов, а, во-вторых, имелись явные вероятностные оценки. Таким образом, метод ПЛП-поиска не только позволяет на основе проведения имитационных модельных экспериментов осуществить квазиравномерный просмотр пространства параметров в заданных диапазонах их изменения, но и в результате специального рандомизированного характера планирования этих экспериментов применить количественные статистические оценки влияния изменения варьируемых параметров и их парных сочетаний на анализируемые свойства рассматриваемой динамической системы. При этом путем построения аппроксима-

ционных моделей критериев в зависимости от варьируемых параметров оказывается возможным провести оценку чувствительности критериев в среднем по этим параметрам.

Эффективность планов экспериментов в ПЛП-поиске обусловлена не только возможностью их использования в дисперсионном анализе. Эти планы оказываются эффективными и при построении регрессионных зависимостей, и вообще в регрессионном анализе, как в вычислительном аспекте, так и с позиции ряда критериев оптимальности этих планов. В частности, для случая линейной, квадратичной и кубической регрессии получены значения определителя информационной матрицы Фишера и пределы изменения дисперсии предсказанных значений. Анализ полученных формул показал, что с ростом числа экспериментов в серии, числа серий экспериментов и числа варьируемых параметров значения определителя информационной матрицы Фишера растут, тем самым делая указанные планы близкими по свойствам к ортогональным; все корреляционные оценки коэффициентов регрессионных моделей для каждой из рассматриваемых регрессий обладают хорошей сходимостью к нулю. Например, для случая десяти серий экспериментов, восьми экспериментов в серии и трех варьируемых параметров соответствующие линейной, квадратичной и кубической регрессии составляют 22500, 27000 и 18750. При этом любая из серий построенного плана экспериментов будет D-оптимальна.

Литература

1. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, Физ-матлит, 1969.

2. Соболь И.М., Статников Р.Б.. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006.

3. Статников И.Н., Андреенков Е.В. ПЛП-

поиск - эвристический метод решения задач математического программирования. М.: ИИЦ

МГУДТ, 2006.

4. Статников И.Н., Фирсов Г.И. ПЛП-поиск и его реализация в среде МЛТЬЛВ // Проектирование инженерных и научных приложений в среде МЛТЬЛВ. М.: ИПУ РАН, 2004. С. 398-411.