Особенности оценки запасов и управления запасами в условиях нестохастической неопределенности

УДК 639.2.081

В. Н. Мельников, А. В. Мельников Астраханский государственный технический университет

ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ ЗАПАСОВ И УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ НЕСТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В рыбохозяйственной науке задачи решают в основном на детерминированном уровне (в условиях определенности) и вероятностном уровне (в условиях стохастической неопределенности).

Однако в рыбохозяйственных системах, в частности при управлении запасами промысловых рыб и рыболовством, протекают процессы с очень высокой степенью неопределенности. Их оценка детерминированными и случайными показателями и функциями затруднена или невозможна. Такие процессы в рыбохозяйственной науке практически не рассматривают или сводят их решение, когда возможно, к задачам на детерминированном и вероятностном уровне.

Рассмотрим в самом общем виде особенности решения задач в условиях нестохастической неопределенности на примере процессов управления запасами рыб и управления рыболовством.

Неопределенности нестохастического характера возникают по нескольким причинам.

Природная неопределенность обусловлена недостаточной изученностью процессов в системах управления рыболовством. Наиболее часто такая неопределенность связана со сложностью и трудоемкостью изучения рыбы как элемента системы управления рыболовством. Неопределенность функционирования таких систем зависит также от значительных случайных колебаний условий внешней среды в промысловых водоемах, которые прямо или косвенно влияют на рыбу.

Целевая неопределенность связана с нечетким представлением цели управления. Это приводит к неоднозначной трактовке цели управления и затрудняет оценку соответствия реального результата управления желаемому. Например, при формировании цели управления рыболовством можно в недостаточной степени учесть требования к состоянию запасов или к продолжительности времени, на которое цель управления распространяется.

Поведенческая неопределенность обусловлена конкуренцией (противодействием) внутри системы управления рыболовством (со стороны объекта лова и факторов внешней среды) или чаще - со стороны конкурирующей системы (конкурентов по рыболовству, требований экологии, экономики), способы действий которых не всегда известны.

Исследование систем управления рыболовством с учетом факторов нестохастической природы осложняется отсутствием достаточно общей теории (подобно теории вероятностей для исследования случайных явлений). Тем не менее использование теории нечетких множеств, теории игр и теории выработки и принятия решений позволяет получить некоторые результаты при неопределенностях нестохастического характера.

Часто для описания факторов (показателей) нестохастической природы используют аппарат нечетких множеств.

Нечеткое подмножество А некоторого универсального множества D(A) характеризуется функцией принадлежности х(а), значение которой определяет степень соответствия принадлежности элемента а подмножеству А. При этом функция принадлежности х(а) может быть любым значением в числовом интервале [0;1]. Подмножество в обычном («четком») смысле характеризуется функцией принадлежности, принимающей только два значения - 0 и 1.

Часто функцию принадлежности вводят не в виде числовых значений, а в виде так называемой лингвистической переменной. Например, категория «интенсивность вылова» применительно к системе управления рыболовством может быть лингвистической переменной. Значения переменной выражают словами и словосочетаниями «очень малая»; «малая»; «ниже средней»; «средняя»; «выше средней»; «большая»; «очень большая». Функцию принадлежности х(а) для лингвистической переменной, задающей нечеткое подмножество интенсивности вылова на множестве систем с различным количеством судов N на промысле, можно изобразить в виде графика.

В практике для построения подобной функции принадлежности часто используют экспертный опрос. В процессе опроса выявляют долю экспертов, которые при фиксированном значении N посчитали интенсивность вылова, например, как среднюю. Если 4 из 10 экспертов отнесли к средней интенсивность вылова при работе 20 судов, то функция принадлежности х (20) = 0,4.

Для описания неопределенных факторов и показателей нестохастической природы используют иногда субъективные вероятности, которые обычно также определяют с помощью экспертного опроса. Например, перед экспертами можно поставить задачу оценки вероятности запасов рыб той или иной величины.

Один из способов изучения неопределенности нестохастической природы состоит в переводе таких неопределенностей в разряд случайных факторов или показателей путем рандомизации.

При рандомизации в процесс искусственно вводят случайность, хотя на самом деле она отсутствует или исследователю неизвестна. Например, при работе систем управления рыболовством известен лишь район расположения объекта лова. Расположение объекта лова неслучайно. Однако можно предположить, что объект распределен с некоторой плотностью вероятности. Таким образом, рандомизируют расположение объекта лова, введя искусственно вероятностное распределение. После рандомизации задачу можно решать методами теории вероятностей.

В условиях нестохастической неопределенности особое значение имеет выработка и принятие решений. Ниже рассмотрены особенности решения таких задач в условиях «природной» неопределенности; неопределенности стохастического характера и одновременно природной нестохастической неопределенности; поведенческой неопределенности при сознательном противодействии конкурирующей стороны.

При управлении рыболовством в условиях нестохастической неопределенности каждой стратегии из числа возможных стратегий ставят в соответствие множество исходов управления из числа возможных с различными характеристиками принятых показателей.

Таким образом, для установления предпочтений на множестве стратегий модель цели управления (в виде показателя и критерия управления) в качестве объективной информации необходимо учитывать лишь характеристики исходов управления. Тогда в правиле принятия решения функцию эффективности управления выбирают специальным образом с учетом отношения лица, принимающего решение (ЛПР), к риску нестохастической природы. Функцию эффективности управления в условиях нестохастической неопределенности выражают через вектор различных функций соответствия результата управления требуемому результату. Такие функции учитывают различные исходы управления.

Функция соответствия может включать оператор математического ожидания. Это означает, что степень неопределенности во многих случаях может быть измерена с помощью субъективных показателей.

Рассмотрим некоторые особенности принятия решений в условиях «природной» неопределенности.

Для принятия решения этого типа основным является принцип наибольшего гарантированного результата. В зависимости от информации об отношении ЛПР к нестохастическому риску, гарантируемый результат понимают по-разному.

Возможны различные способы формирования гарантированного результата для задач со скалярной характеристикой исхода, когда исход определяется одним фактором.

Если неуспех операции крайне нежелателен, независимо от того, каковы наилучшие исходы, то ЛПР обычно не склонно к нестохастическому риску. В этом случае ориентируются на самые неблагоприятные (наихудшие), но еще допустимые значения фактора, и решение задачи отыскивают по максиминному критерию. Так, обычно при управлении запасами промысловых рыб крайне нежелательно, чтобы в результате управления величина запаса стала меньше некоторой гарантированной величины. При этом неважно, какой может быть наибольшая величина запаса.

Иногда информация об ЛПР указывает, что ему небезразлична величина возможного выигрыша. Тогда в качестве показателя используют функцию, которая задает максимально допустимые потери при конкретно выбранном решении. Соответственно, критерий выбора стратегии основывается на минимизации этих потерь. Это правило носит название минимаксного сожаления (критерий Сэвиджа). Часто критерий Сэвиджа зависит от дополнительных альтернатив. Так, при управлении рыболовством часто стремятся к увеличению интенсивности вылова, что может привести к росту интенсивности лова и увеличению затрат на добычу рыбы.

Максиминный критерий и критерий Сэвиджа слишком категоричны. Один из них ориентируется на наихудший допустимый результат, другой - на максимально допустимые потери. В связи с этим, если ЛПР не расположено

мало выиграть, но и много проиграть, то его отношение к нестохастическому риску можно охарактеризовать как пессимистически-оптимистическое. В этом случае для решения задачи используют одну из функций соответствия, в которую входит коэффициент пессимизма-оптимизма Гурвица. Если этот коэффициент равен 1, то отношение ЛПР к риску характеризуется крайним пессимизмом и критерий Гурвица вырождается в максиминное правило. Когда коэффициент равен 0, ЛПР крайне оптимистично и ориентируется только на наилучшие результаты, что приводит к максимаксному критерию.

При выборе величины коэффициента обычно используют эвристические методы с использованием информации о приемлемости для ЛПР наихудших и наилучших состояний фактора. К сожалению, иногда явно различные стратегии могут иметь одинаковую оценку по критерию Гур-вица. Известны модификации критерия Гурвица, которые устраняют отмеченный недостаток.

Иногда ЛПР считает, что ни одно из значений фактора нельзя рассматривать как более возможное по сравнению с любым другим - эти значения фактора равноценны или равновозможны. В этом случае вводят порядковые коэффициенты важности значений фактора. После этого записывают правило выбора наилучшей стратегии. Правило можно интерпретировать как критерий максимизации функций соответствия при условии задания априорной вероятности значений фактора. Вероятность равна числу, обратному числу возможных значений факторов (состояний). Этот принцип «недостаточного основания» впервые сформулировал Бернулли. Его можно принять, например, считая равновозможными значения промыслового запаса за ряд лет.

Часто в практических задачах встречаются одновременно неопределенности стохастического характера и природной неопределенности. Так, каждая стратегия может порождать вполне определенное распределение вероятностей на множестве характеристик исходов. Результат же управления формируется под действием факторов нестохастической природы.

Если зафиксировать некоторое значение фактора (состояния природы), то задача сводится к задаче принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Принятая таким образом условная система описывается выражениями соответствующих показателей эффективности с учетом стохастической неопределенности. Затем она анализируется с использованием аппарата выработки решений в условиях только природной неопределенности.

В этом случае возможен следующий порядок принятия решения. На множестве различных результатов рассматривается нечеткое событие. Его задают с помощью некоторого нечеткого отношения принадлежности данного исхода к интересующему ЛПР результату управления. Характеристики исхода операции в этом случае являются реализацией случайной величины, распределение которой зависит от выбранной стратегии. Следовательно, множество состояний природы заменяется нечетким множеством. В этом случае результат управления является нечетким случайным событием, а каждая стратегия - распределением вероятностей нечеткого

случайного результата управления. Следовательно, основными характеристиками нечеткого случайного результата управления служит функция вероятности нечеткого случайного события, математическое ожидание нечеткого результата и дисперсия результата.

Наилучшую стратегию отыскивают путем решения задачи, аналогичной решению задачи с использованием критерия наибольшего среднего результата.

В некоторых задачах управления рыболовством результат операции определяется не только действием ЛПР в процессе управления, но и действием других субъектов. Однако, в общем, другие субъекты (лица других государств, предприятий, браконьеры) преследуют собственные цели, не совпадающие с целями ЛПР. Неопределенности такого рода относятся классу поведенческих неопределенностей.

Принятие решений в условиях поведенческой неопределенности при сознательном противодействии конкурирующей стороны, в дополнение к традиционным критериям эффективности управления (критериям пригодности и оптимизации), требует использования критерия адаптивности. Этот критерий предполагает формирование функции эффективности в зависимости от ситуации в процессе управления. Он способствует отысканию стратегии, которая обеспечивает достижение верхней границы, например, гарантированного результата, с учетом текущей и прогнозной информации об изменении условий рыболовства.

Известно также большое число других правил и принципов принятия решений в условиях поведенческой нестохастической неопределенности, которые рассмотрены в литературе.

В общем же принятием решений в таких конфликтных ситуациях занимается теория игр.

В теории игр принимают, что любой субъект, влияющий на результат управления, разумен и предпринимает все возможное для достижения своих целей.

От реального конфликта игра в виде математической модели конфликта отличается ведением игры по определенным правилам. Такие правила определяют порядок и очередность действий субъектов, их информированность, порядок получения информации, формирование результата игр.

При формализации реального конфликта в рыболовстве возможны следующие виды игр.

1. Нестратегические и стратегические игры. Первые из них характеризуются выбором всеми субъектами, участвующими в игре, единой для всех стратегии. Вторые отличаются тем, что каждый субъект, участвующий в игре, действует независимо от остальных, имея свои цели.

2. Парные игры и игры большего числа лиц.

3. Коалиционные и бескоалиционные игры.

4. Кооперативные игры с разрешенным обменом информацией о возможных стратегиях субъектов (игроков) и некооперативные игры.

5. Игры со строгим и нестрогим соперничеством.

6. Конечные игры с конечным числом стратегий и игроков и бесконечные игры и т. д.

Наибольшее значение при управлении рыболовством, по-видимому, имеют парные стратегические бескоалиционные конечные некооперативные игры.

Модель проблемной ситуации в этом случае включает в себя множество стратегий каждого из игроков, показатели эффективности каждого из них (функции выигрыша), которые могут быть получены с учетом действия различных факторов, системы предпочтений игроков. Пары стратегий первого и второго игрока называют ситуацией игры.

Формальное выражение предпочтений игроков обычно основано на двух ведущих принципах рационального поведения - принципе наибольшего гарантированного результата и принципе равновесия.

В соответствии с первым принципом рациональный выбор одного из субъектов рассчитан на самую неблагоприятную реакцию другого субъекта.

Принцип равновесия основан на выборе каждым субъектом стратегии, для которой ситуация является обоюдно выгодной (любое отклонение от ситуации невыгодно для обоих игроков).

После выявления структуры предпочтений игрока на множестве ситуаций игры для применения того или иного принципа рационального поведения необходимо прежде всего установить, различаются ли интересы игроков на множестве ситуаций. Если интересы игроков строго противоположны на всех парах ситуаций, то игра называется игрой со строгим соперничеством (с противоположными интересами). Если к тому же показатели эффективности обоих игроков однородны, то игра называется антагонистической (игрой с нулевой суммой). Таким образом, для задания антагонистической игры достаточно знать, что один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой.

В антагонистической игре каждый игрок следует принципу наибольшего гарантированного результата. Стратегии по этому принципу в частном случае удовлетворяют принципу равновесия, если нижняя цена игры совпадает с верхней ценой. В реальных условиях равенство верхней и нижней цены, как правило, не выполняется. Это объясняется возможной адаптацией к поведению противника. Чтобы использовать критерий адаптивности, игроки должны получать текущую информацию, следовательно, игра должна повторяться многократно.

Применение критерия адаптации увеличивает стратегические возможности игроков, позволяем им легче находить рациональное сочетание чистых стратегий. Использование таких стратегий в определенной пропорции дает в среднем дополнительный выигрыш.

При использовании стратегий с использованием критерия адаптивности приходят к понятию смешанных стратегий как вероятностного распределения на множестве чистых стратегий.

Парную антагонистическую игру с конечным множеством стратегий игроков часто называют матричной. В этом случае все ситуации игры в виде совокупности показателей эффективности представляют в виде

матрицы. Обычно представление реального игрового конфликта в виде матричной игры производится на ранних стадиях исследования задач управления рыболовством. В это время еще не ищут наилучшие стратегии. Достаточно определить лишь область возможных решений для проведения дальнейших исследований.

Представление реального конфликта матричной игрой - лишь начальный этап исследования. Адекватность такого представления определяется степенью антагонизма реального конфликта, т. к. часто интересы субъектов не являются строго противоположными. Такие конфликты могут быть неантагонистическими играми.

Как и ранее, основным принципом выбора игроками своих стратегий в этом случае является принцип наибольшего гарантированного результата. Однако он не исчерпывает всех стратегических возможностей игроков. В отличие от антагонистических игр, в которых равновесная ситуация (в чистых или смешанных стратегиях) решается с учетом наибольшего гарантированного результата, в неантагонистических играх равновесная ситуация может определяться другой (иногда даже неравновесной) ситуацией.

Любая конечная антагонистическая игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию. Кроме того, максимальные выигрыши игроков не превосходят их равновесных выигрышей. Именно поэтому в неантагонистической игре использование игроками максиминных стратегий считается рациональным, когда максиминный выигрыш совпадает по величине с равновесным выигрышем. Следовательно, неантагонистические игры сопряжены с дополнительными трудностями - необходимо отыскивать не только равновесные, но и максиминные точки. Общим правилом рационального поведения в неантагонистической некооперативной игре является следование следующим стратегиям:

- максиминной стратегии, если ее выигрыш совпадает с равновесным;

- стратегии, приводящей к равновесному выигрышу, если его величина превышает максиминный и если известно, что противник также будет придерживаться равновесной стратегии;

- максиминной стратегии, если величины выигрышей противника известны лишь приблизительно или вообще неизвестны.

Общие методы решения конечной антагонистической игры многих лиц в равновесных стратегиях неизвестны. Однако для конечных игр двух лиц решение может быть найдено просто.

Конечная бескоалиционная игра двух лиц называется биматричной. Модель такой игры описывается проблемной ситуацией в предположении, что наиболее предпочтительными стратегиями игроков могут быть как максиминные, так и равновесные стратегии.

Возможны и другие виды стратегии, которые рассмотрены в литературе по теории игр и теории операций. Однако в задачах управления рыболовством они встречаются значительно реже.

На первый взгляд решение задач оценки запасов и управления запасами, других задач рыбного хозяйства в условиях нестохастической неопределенности не имеет особых перспектив. Однако высокая степень неопределенности в таких задачах и низкая точность решения задач с детерминированными и случайными показателями позволяют надеяться на значительное расширение круга подобных задач, в том числе задач, которые в настоящее время считают нерешаемыми.

Статья поступила в редакцию 24.03.06, в окончательном варианте - 14.04.06

PECULIARITIES OF STOCK ASSESSMENT AND MANAGEMENT IN CONDITIONS OF NON-STOCHASTIC UNCERTAINTY

V. N. Melnikov, A. V. Melnikov

Within the systems of fishery stock and fishery management, the processes of high uncertainty degree (non-stochastic uncertainty) often take place, they cannot be described with determined and casual figures and functions. There is considered an uncertainty conditioned with complex research of numbers, state, behavior and distribution of fish (nature uncertainty); with imprecise presentation of the aim of management (aim uncertainty); with competition (opposition) inside and outside the system of management (behavior uncertainty). The work shows how, in order to solve the tasks in conditions of nonstochastic uncertainty, to use illegible multitude apparatus, linguistic (verbal) descriptions, transmission of non-stochastic uncertainty into the range of casual factors, methods of decision-making in conditions of nature uncertainty, methods of the game theory for decision-making in conditions of behavior uncertainty. High degree of uncertainty in tasks of stock assessment and stock management, very low accuracy of solving tasks with determined and casual descriptions allow hoping for wide spreading of solving tasks by methods of non-stochastic uncertainty, including those considered non-decidable nowadays.