Модальное управление одной системой нейтрального типа

18

Труды БГТУ, 2016, № 6, с. 18-21

УДК 517.977

А. А. Якименко

Белорусский государственный технологический университет

МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЙ СИСТЕМОЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

В статье рассматривается решение задачи модального управления для двумерной стационарной динамической системы с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним входом и одним запаздыванием по состоянию. Дается определение задачи модального управления для исследуемой системы. При решении задачи модального управления используются линейные регуляторы по типу обратной связи, содержащие как линейную, так и интегральную части. Эти регуляторы используют информацию как о текущем состоянии системы, так и векторы состояний и их производные в предыдущие моменты времени. Регуляторы получены в явной форме как элементарные функции параметров исходной системы и ее вектора состояния. Указан вид характеристического квазиполинома замкнутой этим регулятором исходной системы нейтрального типа.

Ключевые слова: системы нейтрального типа, модальное управление, регуляторы, обратная связь, запаздывание.

А. А. Yakimenka

Belarusian State Technological University

MODAL CONTROL FOR ONE NEUTRAL TYPE SYSTEM

The paper deals with the modal control problems for the stationary two-dimensional dynamical systems with retarded argument of neutral type with one input and one state delay. The definition of a modal control problem for the system is given. For the solution for such a problem we use linear regulators of feedback type, comprising both linear and integral part. These regulators use information on both the current state of the system, and the state vectors and their derivatives in previous times. Regulators are obtained in an explicit form as a basic function of the initial parameters of the system and its state vector. Characteristic quasipolinomial closed by this regulator original system of neutral type is obtained.

Key words: neutral type systems, modal control, regulators, feedback control, lag.

Введение. Задача модального управления является одной из основных задач теории управления. Такая задача хорошо изучена для систем без запаздывания. Для систем с запаздывающим аргументом [1] и систем нейтрального типа решение задачи модального управления значительно сложнее. Это обусловлено тем, что пространство состояний таких систем, как правило, бесконечномерно.

Основная часть. Рассмотрим линейную стационарную систему с запаздывающим аргументом нейтрального типа с одним входом и одним запаздыванием по состоянию:

x (t ) = A0 X (t) + A1x (t - h) + +A2X(t -h) + bu(t), t > 0,

где А, 1 = 0,1,2 - постоянные 2*2-матрицы; к > 0- постоянное запаздывание; Ь - ненулевой 2-вектор. Не ограничивая общности, считаем Ь' = [0,1] («'» означает транспонирование). Присоединим к системе (1) регулятор вида

L M

i(t ) = q0o x (t) + YLfaHt - jh) +

i=0 j=1

J g'(s)x(t + s)ds

где qoo, % - 2-векторы; g(s), s e [-h, 0] прерывная 2-вектор-функция;

Д(

def di

(t )= If' (t),

x (0)(t )- X (t).

- не-

Характеристическое уравнение системы (1) имеет следующий вид:

det [ A0 + A1e-Xh

+ A2Xe'

-Xh

-XI2 ] -

2 2

- ee.j

i=0 j=0

X'e-= 0,

где числа риц A., i

& 20 = 1,

аг;- вычисляются как функции мат-= 0,1,2, в частности a00 = det A0,

a 22 = det A2.

Определение. Система (1) модально управляема регулятором вида (2), если для любых наперед заданных чисел аг;-, 1 = 0,1, 2, / = 0,1, 2, а20 = 1, найдется регулятор (2) такой, что характеристическое уравнение замкнутой системы (1), (2) имеет вид (ср. с (3)):

det [ A0 + Aie~Xh + A2Xe-Xh-XI2 + bU (x)] -

-EE a,j X'e~ JXh = 0, i=0 j=0

где U (X) - регулятор (2) в частотной области.

Введем (2*2)-матрицы:

а (а) = Л0 + Лхе-Ай + Л2ае-ай, Ж(А) = [а (А)Ь, Ь], Ае с. Рассмотрим слабо циклический случай: ёй Ж (а) = с (у0 + е-Ай), (с ф 0).

Матрица а (А,) в этом случае имеет следующий вид:

во + ве + ^Ае -Ай с

А (А) =

где (г, г = 0,1, 2, у0 - некоторые действитель-

ные числа; а

(А), ] = 1,2 -

квазиполиномы:

„-Ай

ai (а) = ai0 + аг1е + ai2ае

где аг] е М; г = 1, 2,; = 0,1,2.

Регулятор вида (2) в частотной области будем искать в виде

и (А) = ((П1 (А)-а (А), п2 (А)-а2 (А)). Возможны два случая:

I) р2 у0 +1 = 0,

II) р2 у0 +1ф 0.

Теорема 1. В случае 1) система (1) модально управляема регулятором вида (2) тогда и только тогда, когда р0 - рху0 ф 0.

Нетрудно показать, что в этом случае задачу модального управления решает следующий регулятор:

П (А) = Р;

а21Р2 + Р2 + а22 л 3 -Ай . п

-А е + Р2 х

Р0Р2 + Р1

х

Р0Р2+1

цД + 2Р0Р1Р2 + (Р2 + аРвв + 2аюР1Р

+ 2Р1Р2-а22рЬ +012 +а10р2 + а21(в + р0р2 А2 -Ай +

А е +

+ Р -ПН И "10Н0Н2 ^ ^10НР2

+ Р

+

Р0Р2 + Р1

а00р2 + а01 Р2 + а02 - а12Р0 + Р2Р

+

2 Ае-Ай +

Р0Р2 + Р1

+ в (Ш + оЮрШ^ - а02Р0 + №2 + + Р2 РР0Р2 + (Р +

а00р1р2 +а01р1+ а10Р2

Р0Р2 + Р П (А) =

е-Ай +(а00 + р2 + р0с10 )р2,

А2е +

+

а21Р2 + Р2 + а22 А 2 е-Ай

'2 Ае-Ай +

Р0Р2+ Р1 а11Р2+ Р0Р2+ а10Р2 +а12 + Р1Р: Р0Р2+ Р1

+

Р0Р1Р2 + а|пР„Р2 + Р2Р2 + а00Р2 Р0Р2 +Р1

+

+ а10Р2 +а10Р1Р2 +а02 -Ай в

+ (0(27^ е -Р0-а10.

Рассмотрим случай 11). Введем обозначения:

& = р0 - Р1У0 § =ч + е-Чй

& =~1о+Р2y0Г, 21 =У0 +е .

Теорема 2. Для того, чтобы система (1) в случае 11) была модально управляема регулятором вида (2), необходимо и достаточно выполнения условия 8х ф 0.

Можно показать, что задачу модального управления решает регулятор вида

п (а) =

-р2 - а21 + а22У0 1 + Р2 У0

р2 -а

22

а2е-Ай +

+

а

12

1 + Р2 У0

а10р2У0 - а12р2Уо + а22р0р2Уо - а21р0р2У0

(1 + Р2У0 )2

а11р2У0 + Р0р2 + а10р2 + р1 - а12Ур (1 + Р2У0 )2

-а21р1 У0 + ап +а22р1 у°

Р2 -

(1 + Р2 У 0 )2

Р2

Ае-Ай -

Р2 + а21 а22У0 р р -Ай (2 + а21 а22У0 р2

1+Р2 У 0 Р°Р1е 1+Р2у0 Р0"

3а00р2У°+а12р0т0 -а21р2У0 -а„р0У0+а22р0р1 у^е-&й

§1 (1+Р2 У0 )3

- 3а00р2У0 -р0р1 У0 + а22раУа - а21р0р1 У0е-&й _ §1 (1 + Р2 У0 )3 "

а22р0р1р2У4 +а21р12Уре-&й -§1 (1 + Р2 У0 )3

а00 - Р0Р1Р2У0 + а01е-&й + 2аюр0ррУ0 -

§1 (1 + Р2 У0 )3

- 2а11р0р2У° + 2а12р0р2Уо +а21р0р1 У2 -

§1 (1 + Р2 У0 )3 а22р0р1У0 + а10р0 + р0 + р0р2У0 -§1 (1 + Р2 У 0 )3

- °а02р2У°е-&й + а12р0р2т0 + а02р°у0е-&й __ §1 (1 + Р2 У 0 )3

20

Модальное управление одной системой нейтрального типа

а02У0^к + а12р0в2Т0е-^к + а 2р0р272е--/' -5, (1 + Р2У0 )3

5: (1+Р2У0 )3 _ 2а01р2У0е--к - апввзУе--" - апр0р2У§е--к _ 5! (1 + в2У0 )3 «00^2У2е_-" +«01^2У2е_-" _ 51 (1 + в2 У0 )3 а00в|у0 + 2а00р2У0е--" + а10р1р2У0е--" _

51 (1 + Р2 У 0 )3 ацр0Р2У3 +а22Р2Р2У3 -а21р2р2у2 -

51 (1 + Р2 У 0 )3 Оцр1 У0^--" - а22р!2Уое--" + Ц0Р0Р2Уо -51 (1 + Р2 У 0 )3 аюр0р2е--" +аюр1 У°У-" -51 (1 + Р2 У 0 )3 Р2Р2е--" -Р?У0е--" +Р0Р1 е--"-а22вДР2уре--" 51 (1 + Р2 у 0 )3 а21Р0Р1 р2У3 +а12р1 р2У^--" -

51 (1 + Р2 У 0 )3 а22Р0Р2У0е--" - а21Р0Р2У0е--" - ОцР^е--" -51 (1 + Р2У0 )3 Р0Р1Р2У0 + а10р0р2У0е--"- «юР^ -51 (1+Р2У0 )3 - Ц2Р2У2 + «22Р0Р2У^ - а21р0р2У0 + Ц1Р2У0 +Р0Р2

+

IV

, (1+Р2У0)2

«юр2 + Р1 - а12У0- а21р1 У0 + а11 + а22р1 Ус

(1 + Р2У0 )2

«Юр2у0 - а12р2Ус + а22р0р2Ус - а21р0р2У0 (1 + Р2У0 )2 анР2 У0 +в0 в2 +а10 в2 +в1 + (1 + Р2У0 )2 + -а12У0 - а21р1 У0 + а11 + а22р1 Уа

+

-X"

+

(1 + Р2У0 )2

Р0 -

а02У0+ °Р0Р1Р2У0 + а02е--" - РСР2 + °«02р2уС 51 (1 + Р2 У 0 )3

+

+

а02р2у00 -р°р2У0 -а12р0р2У° 51 (1 + Р2 У0 )3

+

+

аюрхр^уо + а10р1р2ус

+

+-

51

вцРМ - а12Р0Р2Уре--" + а21р0р2У0 51 (1 + Р2 У 0 )3 а22р°р2у0 - а22р2р2У2 + а21р°р2У0е--"

+

+

+

+

51

3а02р2У0е--" + 3а02р2У00е--" + аo2p3Уge--"

+

+

51

3а3lp0p1p2У3 + 3аз2poP1p2У0 -а11в1в^У;0 +Ц1р0р2У0

51 (1+Р2У0 )3 а10р1р2У0 - «пр^^о - а01р2Т0 - аooP3У2

+

+-

+-

51 (1 + Р2 У0 )3 -а10р0р2У0 -а11р1р2У2 -а10р0р: 51 (1 + Р2 У0 )3

+

+

+

а01р2 У0 + °а01р2 у2 - 3аooP2 У0- а00р2

2 -X"

51 (1 + Р2 У 0 )3

+

+

+

+ +

а11р0р1 Уд - «юР^ - а02р1 У° - а12Р0Р1 У2 51 (1 + Р2 У 0 )4

|-а00в1Р2у2-а„Р12Р2У0 Р0Р2 +

+ 51 (1 + Р2 у 0 )4 +

а01р1 У0 - а22р13У4 + а21р13У0 - а00р0р2

§1 (1 + Р2У0 )4

а 22р0р12в2У 0 + «ПР22Р2У22

+ 51 (1 + Р2 у 0 )4 +

+ —аllв3 У2 + Р2 У0 + а10 Р12 У0 + + 51 (1 + Р2 у 0 )4 +

-а10р0р1 + «ПРГ У0 - а00р1- Р3У2 + а 0'в 2 в 2 у|2

51 (1 + Р2У0 )4

а21р22р1 У0 + а01р1р2У0 - а22р22р1 У0

+

+

+

81 (1 + Р2У0 )4

«ЮР^У4 + 2а01Р1Р2У2 - 3«00PlP2У0

+ 51 (1 + Р2 у 0 )4 +

- а02р0р2У22 - 3а02p0p2У0 - 3а2lPoP3У3 + 51 (1 + Р2 У 0 )4

2а22в0в12Y0 - ^02^2 Y^ -aQ2Pl + S (1 + Р2 Yo )4 +

+ «01^0^270 + 2«01Р0Р2У0 + TOkYo +

Si (1 + Р2 Y 0 )4 + -Pi:)PQP272-a,)2P„PQY4 -«11Р0Р1Р2Y0 + Si (1 + Р2 Y 0 )4 + -2a2lp2PiP2YQ + 2a22pQplp2Y3 + д0р0р1р2722 + S1 (1 + P2 Y 0 )4

+ ^12^0^1 в2 Y4 +«21[т2в2 Y3 +

+ -а10р2^э - №7 - 2P0P2Y0 -a10 - °a10p2Y0 - P0 + (1 + P2 Y0 )2

-a00p2YG - a12p0YG + a01p2Y0 + a21paY0

+

+

S1 (1 + P2 Y 0 )4

+ -«12p2p2y0- a2p2p2 y0 + «21p0p2y00 +

S1 (1 + P2 Y 0 )4

+ -«22P0P2Y0 + anP0p2Y0 - «10P0P2Y0 +

+

S1

а00Р0Р27с + a01pQp2Y0 - 2a00p0p2Y0

+

S1 (1 + P2 Y 0 )3

+ a11pQY0 - 2«02p2Y0 +«12p1 Y0 + S1 (1 + P2 Y 0 )3 + °а01р27а - a02p2Y4 - °a00p2Y0 + 2P0P1Y0 +

S1 (1 + P2 Y 0 )3

+ a10p1 Y0 -a22P12Y4 -a22P0Y0 +

S1 (1 + P2 Y 0 )3

+ a21pi2Y3 - «00 + «01'Y0 - «027а + «10р1р272 +

S1 (1 + P2 Y0 )3 -а11р1р2'0 +a12p1p2Y0 -a10p0p2Y0 + Ц1Р0Р27°

g-^ft - g-Ah

Ah

+

x

S1

П2 (A) =

= P2 + a22Y0 - «21- P2Y0- «21^7,0 + «22p2Yo (1 + P2 Y 0 )2

- 2P0P2-р0р2'0-р1+021р170 +«12p2Yo +a22p0Y0 -Ah +--2-e +

(1 + P2Y0 )2

-e + регуляторы решают задачу модального управ-

S (1 + Р2 Y 0 )3 + «12Р0Р2 Y0 - 2^21^0^170 + S1 (1 + Р2 Y 0 )3

2a22p0p1Y0 - «10р0 - Р0 - Pi2Ya S1 (1+Р2 Y0 )3 ,

g-^h - g-Ah

x-

+

(1+P2Y0 )2

А-& •

Заключение. Таким образом, полученные уляторы решают задачу модаль ления в слабо циклическом случае.

Литература

1. Якименко А. А. Модальное управление одной запаздывающей системой // Труды БГТУ. 2013. № 6: Физ.-мат. науки и информатика. С. 3-7.

References

1. Yakimenka A. A. Modal control for one delayed system. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2013, no. 6: Physical-mathematical sciences and informatics, pp. 3-7 (In Russian).

Информация об авторе

Якименко Андрей Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: yakimenko@belstu.by

Information about the author

Yakimenka Andrei Aliaksandravich - PhD (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professor, the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: yakimenko@belstu.by

Поступила 14.03.2016