Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена закрученных течений в пружинно-витых каналах

УДК 532.5:621.694

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА ЗАКРУЧЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ В ПРУЖИННО-

А.Г. БАГОУТДИНОВА, С.А. МУСТАКИМОВА, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Работа посвящена математическому моделированию турбулентного течения ньютоновской жидкости в пружинно-витых каналах. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнольдсу, энергии и уравнения теплопроводности стенок канала. Для замыкания системы уравнений выбрана двухпараметрическая к — ю модель. Система уравнений, путем ряда подстановок, преобразована в безразмерный вид, что облегчает процесс численной реализации.

Ключевые слова: моделирование, турбулентное движение, пружинно-витой канал.

Темпы развития современной промышленности диктуют необходимость дальнейшего совершенствования теплообменного оборудования, создания принципиально новых теплообменных аппаратов, сочетающих в себе высокие единичные мощности при малых габаритах. В связи с этим, одним из перспективных направлений исследований является разработка теплообменного оборудования с теплообменными элементами в виде пружинно-витых каналов.

Пружинно-витые каналы представляют собой тугую пружину, витки которой жестко скреплены [1-3].

Данная статья посвящена математическому моделированию гидродинамических и тепловых процессов в пружинно-витых каналах.

Для описания турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в пружинно-витом канале вводится система координат х^ Х2 Х3, начало которой находится на входе в канал, ось Х3 направляется вдоль оси канала.

Запишем уравнения движения, неразрывности и энергии для описания процессов гидродинамики и теплообмена в рассматриваемом канале [7]:

ВИТЫХ КАНАЛАХ

ду др д^у^

д? д2?

V V — \л .

дх - дх - дх -

Применяя осреднение по Рейнольдсу, запишем уравнения (1)-(3) в виде:

дх,-

© А.Г. Багоутдинова, С.А. Мустакимова, Я.Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2012, № 9-10

_ дг д

V;-= а-

у дх, дх-

( ът Л дг -г-,

--V

дх,- '

\ } у

я . /я •

]

Здесь V- - компоненты осредненного вектора скорости V; х,, х- - координаты (- = 1,2,3) ; р - плотность, р - давление, а - коэффициент температуропроводности.

Для замыкания системы уравнений (4)-(6) применим двухпараметрическую к — а модель турбулентности.

В этом случае уравнения переноса турбулентной кинетической энергии к и удельной скорости диссипации а [8] запишутся в виде:

_ дк ду, * д

ру--= т----рр ка +--

дх- дх- дх-

дк дх-

дк_ х-

ру--= а—т--

дх , к ' дх

о 2 д

— Рва + —

- дх-

да дх;

Ц = Р-

к

( ду,

т- = —РУу - = рЦг

дУ; дх- дх,

а Л

У ^

где модельные константы имеют значения [9]:

9 „ 3 5

— — рк 8 3 '

Р' = ——; в ^ —; а = -; в* = ; ст =1. 100 40 9 100 2

В целях уменьшения числа неизвестных функций, преобразуем уравнения:

ду,

дх-

_ дк_ 3 дх-

, =—±др_ + ц д2_ +

д

р дх{ р дх- дх- дх

-

( д_, ду -^

дх-\ }

+ -

дх:

— - к8ц

3 -

ду;

дх,-

= 0;

V

ду,- ду-—- +—-

дх- дх-

——к 8ц 3 -

_ да а у--= а —

7 дх- к

/

( ду, ду- ^ —- +—-

дх- дх,

у

—- — Р к а +-

дх- дх-

ц ст к

— +-

р а

дк

ду- о 2 д

—-—ра+—

дх- дх-

( *, Л

ц ст к

— +-

р а

дх;

да дх

Произведем суммирование уравнений по трем координатам, тогда уравнения движения запишутся в виде:

_ д\л _ д\л _ д\л 1 др ц

VI —- + \2 — + у3 — =---+

дх1 дх2 дх3 р дх1 р

( ^

д2 Vl + + д2Vl

,2^ Л

( д2—

2 д—_L +д—vL + а2у2 + д\ + д2у3

^2—

^2—

дх12

Л

дх2

дх2

дх1

(

Л

дхл дх-

1ух2

дх2

дх дх-

.1<ух3

ду1 +д_2_ дх2 дх1

2 дк + ' 3 дх1

д (к

дх2 ^а

ду1 + ду3 1 д (к дх3 дх1 у дх3 ^а

а

+

_ дV9 _ дV9 _ дV9 VI —— + V2 —— + vз -

дхл

дхо

2 д2 у2 + д2 У2 + д2 у + д 2У2 + д2уз

дх->

д2—

з2—

1 _ср + £

Р дх2 Р

з2—

Г ^

д2V2 + д2 V2 + д2V2

2^ ^

дх2

дх2

дх2

2 +

3 дх

2-

дх,2 дх1дх2

дх2

дх2дх3

+[**1АГ к+

V дх, дх2 ) дх, V ю )

Чдх3

177. Л

ду,

дх2

д Г1

дх3 ^ю

_ дvз _ дУ3 _ дvз V, -- + V9-— + VI! ——

дх, дх2 дхз

1 +£

р дх2 р

Г ^

д2Vз + д2 Vз + д2 Vз

2^ ^

дх1

^ д2Уз + д2Уз + д2у, + д2Уз + д2У2

^2—

д2—

з2—

^ \ (

дх2

дх2

дх,дхз

дг2дхз

дх2

ду3 ду1

дх2

2 + " 3 дхз

чдх1

дх3

—Гк

дх, ^ю^

(

¡77 А

дУз + ду2 дх2 дхз

Г к

дх2 Vю

Уравнение неразрывности:

д V,

дУ2 дУ3

+ + — = 0.

дх, дх2 дхз

Уравнение переноса для турбулентной кинетической энергии:

_ дк _ дк _ дк 2,

у,--+ У2--+ Уз-= — к

дх, дх2 дхз 3

^ дVl дУ2 дУ3 —, + —2 + —-

дх, дх2 дхз

к

ю

ду сУ2 + 2 ду сУ"з + ду дУ2 + дУ2 дУз + сУ^ дуз дхз дх, дх2 дх, дхз д^2 дхз д^2

дк д Г к \+дк д Г к дк д

дх, дх, ^ю) дх2 йх2 Vю) дхз дхз Vю/ Уравнение переноса для удельной скорости диссипации энергии ю :

_ дю _ дю _ дю „ 2 2,

у,--+ у2--+ уз-= -рю--к

дх, дх2 дхз 3

( ЯГ7

дVl 5у2

дуз ^

дх, дх2 дхз)

+

+

+а

+ ^ ду + Су- 0у2 + СуЗ + д- СуЗ + йг2 ох- 6X3 дх- дх2 дх- с%2 0X3 0X3 дх-

+2а

(Су- V V дх1 У

(^ V

V дх2 У

^ V

дх3

+а

'

Vдx3 У

ду2

Vдx3 У

( ду3 V

VCx1 У

( ду3 V

V дх2 У

, \( я2 я2 я2 | ц к | д ю д ю д ю

+ | - + — р ю

дх-2 дх22 дхз2

дюд( к |+дю д (к |+дю д (к дх- дх- VюУ 0x2 0x2 VюУ дхз дхз Vю, Для однозначной разрешимости системы уравнений (10)-(15) запишем граничные условия: во входном сечении канала:

для давления: р = р0 ; для скорости: у- = 0, у? = 0 , уЗ = м0; для температуры жидкости ^ = ¿0; для температуры стенки 1С = ¿0 ;

для кинетической энергии турбулентности и ее удельной скорости диссипации энергии: к = к$, ю=ю0 ; в выходном сечении канала:

ду

ду-

ду-

ду п су^ дуз д( др дк «мягкие» граничные условия —- = 0 , —— = 0, -= 0 , -= 0 , -= 0 ,-= 0

др

дк

дх

дх

дх

3

дх3

дх3

дх3

дю п

-= 0, что означает выравнивание гидродинамических характеристик потока на

дх3

выходе;

на границе жидкости и твердой стенки:

для скорости - условия прилипания: у = 0, у^ = 0 , уЗ = 0 ;

для температуры: ^ = 1С, X

а = Х с

— , где П

дП дП

где п - вектор нормали; 1С - температура

стенки канала; X, Хс - соответственно теплопроводность жидкости и стенки; для кинетической энергии турбулентности: к = 0, ю = 0;

на границе внешней стенки и теплоносителя: Х^

дЬ

дП

Хр (*р - *с), где 1р -

температура теплоносителя; X р - коэффициент теплоотдачи теплоносителя.

тт х1 х2 х3

Далее произведем замену переменных, где х = —, у = , г = —, кроме того,

а а а

введем безразмерные функции вида:

х,у,z), F2(х,у,z), Fз(х,у,z), K(х,у,z), О(х,у,z), T(х,у,z), ^(х,у,z) и

критерии подобия: Яе =

u0dэ

- число Рейнольдса, Бг = —--число Фруда, где d -

gd

параметр винтовой линии.

Решение системы уравнений (11)-(16) будем искать в виде:

\ = и0 Е1( х y, z), V2 = и0 Е2( x, y, z),

Vз = и0 Е3( x, y, z), Р — Р0 = иорр( x, ^ z),

2 g к = щ К (х, у, z), а = — О( х, у, z),

и0

7 = ио т (х y, z), 7С = ио Тс (x, y, z). Используя подстановки (17) в уравнениях (11 )-(16), получим: уравнения движения:

( Д2 17 Д2

щ + F2 щ+F3 дFL=— I ЭР+Ёш.

дх ду дz р дх а Яе

Э2 FL д2 Е Э2 Е Л

-;т- +-;т" +-;т-

дх

ду 2

дz2

—2 дК+

3 дх

+Бг

„ Э2 Е д2 FL д2 F- д2 FL д2 F3

2-Т1 + -Т1 + -2 + -т1 + 3

дх2 Эу2 дхдУ Эх2

дxдz

+ 1 К,+

ду дх у ду [О

+1 ЭЕх+ЭF3 ¡_д.( К

дz дх ¡дх I О

F1 Е + F2 Е+Е3 Е =—1 ЭР+^кв

,

дх

ду

дz

р ду а Яе

(Э2F— , э2Е2 + Э2Е2 Л

дх

ду2

дz2

+Бг

( д1 Е2 д2 Е2 д2 Е д2 Е2 Э2 Е3Л 2-А +-А +-1 +-А +-3

Эу2 дх Эхду дх Эудх

+(дЪ2 ЛА( К| +

[ дх ду у дх[О

(эе2 ЭF3Л_д(к

[ дz ду ¡¡дх [о

тг ^3 г, ЭЪ3 дЪ3 1 ЭР dжв

/1 —- + —- + /3 —- =---+ ——

дх ду дz р дх а Яе

(д2 Е3 Э2 Е3 Э2 Е3

+Бг

Г д2 Е3 Э2 Е3 Э2 Е Э2 Е3 Э2 Е 2—^ + —^ +-1 + —-3 + 2

дх 2

ду 2

дz 2

—22 — 3 эУ+

—1ЭКК

— 3 ~дХ +

дх

дх2

дxдz

ду2 Эудх

( ЭЕ3 Л_д( кК

Г дх дz ¡дх[ Оу

( ЭЕ3 ЭЕ2 Л д (К

Г ду дz ) ду ГО

неразрывности:

энергии:

дК ЭЕ дЕ + ^ + ^ = 0; дх ду дх

V

„ дт дт дт 1

Г--+ г 2--+ Г3-—-

дх ду дх БРе,

Г ^2

2 ^ Л

д2 Т д2Т д2 Т + —г + — дх 2

дх2 ду2

где Ре, — и0

число Пекле; Б —

dэ

теплопроводности для стенок канала:

д2Тс д2Тс д2Тс

дх 2

ду2

дх 2

— 0;

турбулентной кинетической энергии:

Г - + Г2 ^ + Гз * — - 2 * дх ду дх 3

д^1 + дУ2 + дуз дх1 дх2 дхз

_Рг-

— О

дГ1 дГ2 + 2 дГ1 дГ3 + дГ1 дГ2 + дГ2 дГ3 + дГ2 дГ3

ду дх

+2Бг -О

дх дх ду дх дх ду дх ду

2 \2 ч2"

дГ1 дх

^ К +Бг— О

)2 + Гдг2 Л2 + ГдГ2

+ V дх ) V дх

* 1 | dэкв +-![

Бг V а Яе О ) ' V

йГ2

ду 2

йГ3

дх

дГ1

"дх"

йГ3

дх

йГ3

ду

^д2 К д2 К д2 К Л —^ +—^ +—^

дх2

ду2

дх2

+Бг

д- —л+д— АГ—Л+дК—(—

дх дх V О ) ду ду V О ) дх дх V О

удельной скорости диссипации турбулентной энергии:

Г

+аБг

дО

дх

+ Г2

дО

ду

+ Г3

дО

дх

— _ в к Бг 3

(

\

дГ1 дГ2 + 2 дГ1 дГ3 + дГ1 дГ2 + 2 дГ3 дГ2 + дГ1 дГ3 +

ду дх дх дх ду дх +2аБг

ду дх

2 / \2 / ч 2

дГ1 Л ( дГ2 | ( дГ3

дГ1 дГ2 дГ3 —1 + —2 + —3

дх^ дх2 дх3

дГ1 дг

дх дх

дх

+ 1ду

дх

+аБг

дГ1 ~дх

+ [ дх

дГ3

дх

дГ3 ду

^>кв + рг—

а Яе

О

Г д 2О д 2О д 2ОЛ

дх2 ду

дх2

дОАГ—Л+дОАГ—Л+дОАГ—

дх дхVО) ду ду VО) дх дхV О

Граничные условия

на входе: Г1 — 0, Г2 — 0, Г3 — 1, Т — 1, Тс — 1, К — К0, О — О0 ;

d

dFl n dF2 n aF3 n dT (dK n 5Q n на выходе: —1 = 0 , —2 = 0, —- = 0 , — = 0, — = 0, — = 0;

dz dz dz dz dz dz

на границе жидкости и твердой стенки: F[ = 0, F2 = 0, F3 = 0, T = Tc ,K = 0

dn dn

на границе внешней стенки и теплоносителя:

зтс

= Bi

(TP - Tc )•

dn

Разработана математическая модель гидродинамических и теплообменных процессов закрученных турбулентных течений несжимаемой жидкости в пружинно-витых каналах. Численная реализация предложенной модели позволит определить поле скоростей, давления и температур в проточной части пружинно-витых каналов и уточнить методику инженерных расчетов теплообменных аппаратов.

Summary

The work is devoted to the mathematical simulation of a turbulent flow of a Newtonian fluid in the spring-twisted channels. In the model is based on Navier-Stokes equations, averaged over Reynolds, energy and thermal conductivity equation of the walls of the channel. For the circuit of the system of equations is selected two-parametrical model. The system of equations, through a number of permutations, was transformed into a dimensionless form, which facilitates the process of numerical implementation.

Keywords: mathematical modeling, turbulent movement, spring-twisted-channel.

Литература

1. Патент РФ №62694 на полезную модель.Теплообменный элемент/ Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д., Конахина И.А. №2006143517/23, заявл. 07.19.06; Бюл. 12. - 7с.

2. Патент РФ №64750 на полезную модель.Теплообменный элемент/Золотоносов Я.Д, Осыка И.Н., Никулин В.А., Фомин Н.А. №2011112666/06, заявл. 01.04.11; Бюл. 28. - 11с.

3. Патент РФ №11382 на полезную модель.Теплообменный элемент/ Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А., Осыка И.Н., Никулин В.А. №2011127714/06, заявл. 06.07.11; Бюл. 6. - 5с.

4. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Геометрическое моделирование сложных поверхностей пружинно-витых каналов теплообменных устройств//Известия КазГАСУ.

2011. №4 (18). С. 185-193.

5. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Моделирование турбулентных течений в прямых пружинно-витых каналах//Известия КазГАСУ. 2011, №1 (19).

6. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена при турбулентном течении в пружинно-витых каналах // Проблемы энергосбережения и экологии в промышленном и жилищно-коммунальном комплексах. Сб.тр., Пенза.

2012. С. 21-25.

7. Лойцянский Л.И. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е.- М., «Наука», 1987.

8. Q.Xiao, M.Tsai, F.Liu. Computation of transonic diffuser flows by a lagged к-ю turbulence model/Journal of propulsion and power, vol.19, №3, may-june 2003, pp.473-483.

Поступила в редакцию 10 июля 2012 г.

Багоутдинова Альфия Гиззетдиновна - канд. техн. наук, доцент Нижнекамского химико-технологического института. E-mail: bagoutdinova@rambler.ru.

Мустакимова Светлана Акимовна - ведущий программист Казанского государственного архитектурно-строительного университета. E-mail: mustakim@kgasu.ru.

Золотоносов Яков Давидович - д-р техн. наук, профессор Казанского государственного архитектурно-строительного университета (КГАСУ). E-mail: zolotonosov@mail.ru.