Формирование творческого подхода к математическому материалу у школьников и студентов

педагогические науки

М.Г. Никитина, Е.С. Павлова ФОРМИРОВАНИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОДХОДА К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ...

УДК 37.026.9:51

ФОРМИРОВАНИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОДХОДА К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МАТЕРИАЛУ У ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

© 2015

М.Г. Никитина, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика и математическое моделирование» Е.С. Павлова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика и математическое моделирование» Тольяттинский государственный университет, Тольятти

Аннотация: Состояние знаний учащихся средней школы по математике в настоящее время нельзя считать удовлетворительным. Об этом говорит хотя бы тот факт, что при оценке экзаменационных работ ЕГЭ по математике в 2014 году был снижен нижний порог успешного прохождения экзамена. Несмотря на достаточное время отведенное программой, знания остаются формальными, узкоприменяемыми, направленные только на решение тестов ЕГЭ. Аналогичное положение и в отношении математики высшей школы. Переход на кредитно-модульную систему, отсутствие устных экзаменов по высшей математике, наличие различных электронных ресурсов в помощь студенту, не ведет к формированию устойчивых математических понятий и связям между ними. Творческое мышление есть высшая ступень самостоятельности. Творчество всегда означает созидание, синтез чего-то существенно нового. Использование в работе педагога различных педагогических приемов(«интеллектуальных операций») таких как аналогия, обобщение , обучение навыкам мыслить по аналогии или обобщать различные единицы знаний помогает и школьнику, и студенту активизировать свои усилия и подняться до более высокого уровня усвоения материала. «Обучение лишь тогда хорошо, когда оно идет впереди развития». Одна из главных задач учителя состоит в том, чтобы создать у молодого человека впечатление, что математические задачи связаны одна с другой, математические темы связаны одна с другой и предметы выделены из всеобщего знания условно. Математическое мышление школьника или студента - это познание реального мира, т.е. объективной реальности, происходящее через обобщения посредством математических символов, учитывая математические закономерности и отношения. Надо что бы школьники и студенты понимали, что математика-это виртуальный мир идей.

Ключевые слова: математическое образование, задачи с параметрами, аналогии, обобщение материала, противопоставление, эвристический подход, мотивация.

В последние годы школьное математическое образование подразумевает увеличение исследовательских умений учащихся. Это и умение анализировать математический материал, и возможность его систематизировать, обобщать и разделять, предугадывать пути решения, абстрагироваться от конкретных примеров. Все научные достижения доказываются с помощью математического аппарата, поэтому решать нестандартные, творческие , исследовательские задачи есть первый шаг к эвристическому и творческому поведению школьника и студента «на территории» математики. «Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике» - это слова американского философа Д. Сантаяна.

Речь о формировании творческих способностей нужно начать с педагогической категории «мотивация».

«Мотивация — процесс стимулирования познавательной деятельности ученика или коллектива, направленный на достижение индивидуальных или общих целей группы....Искусство преподавателя особенно наглядно проявляется в умении стимулировать участие всех учащихся к активной познавательной деятельности, что в итоге может повысить их интеллектуальный и личностный потенциал и удовлетворить глубокую потребность личности в самоуважении и признании результатов своего труда.» [1].

Правильный выбор цели на уроке, на лекции, на практическом занятии, на факультативе или математическом кружке обеспечивает стимулирование познавательной деятельности обучаемого. А также важно правильное использование комбинаций интеллектуальных операций и психологических приемов. Воспитание потребности узнавать, размышлять, находиться в состоянии «интеллектуального голода» ведет к управлению мотивационными ориентирами.

Развитие математических способностей обучаемого зависит от того, какими дидактическими приемами пользуется педагог, в каких комбинациях и в каких качествах они ему предлагаются. Среди таких средств выделяют: анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстракция, классификация и т. д.

Речь в этой статье не идет о творческом отношении к математическому материалу, которое может привести к

крупному научному открытию или к решению глобальной проблемы. В каждой задаче, с которой сталкивается ученик или студент есть эвристическая крупица. Если эта задача заставила решаемого быть изобретательным, если победа ему далась посредством напряжения ума и воли, то цель достигнута. «Знания ученика будут прочными, если они приобретены ни одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и проб, и закрепились в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом» [2].

Преподаватель математики должен творчески относиться к преподаванию, аналогия, анализ, синтез, обоб-щение-это дидактические приемы, способствующие развитию эвристического мышления обучаемого.

Аналогия. Это есть сходство с чем-то. «Сходные предметы согласуются друг с другом в некотором отношении, аналогичные предметы согласуются в определенных отношениях между их сооветствующими частями. Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. Аналогией проникнуто все наше мышление, наша повседневная речь и тривиальные умозаключения, язык художественных произведений и высшие научные достижения. Нам не следует пренебрегать никаким видом аналогий, каждый из них может сыграть определенную роль в поисках решения»[3].

Различные мыслительные заключения по аналогии являются неотъемлемой частью здравомыслящего человека, и, конечно, часто приходят на помощь при решении математических задач и в школе и в ВУЗе. Степень аналогии может быть различной. Люди часто применяют в быту разные аналогии. Но аналогия может возвыситься до точности математики. Причем аналогия отличается от обобщения тем, что в результате решения по аналогии получается решение таково же уровня, порядка, как и у исходного. Например, составление задачи. По аналогии получится задача такого же порядка сложности, что и исходная. А при обобщении, обучаемый покажет более высокий уровень мыслительной деятельности, умственного экспериментирования.

Среди приемов обобщения знаний на школьном этапе математики наиболее важными являются уплотнение знаний и систематизация знаний, т.е. установление раз-

М.Г. Никитина, Е.С. Павлова педагогические

ФОРМИРОВАНИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОДХОДА К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ... науки

личного рода связей:

- иерархических,

- причинно-следственных,

- структурно- логических,

- классификации [4].

Подразумевать возможность обобщения знаний не значит получить эффект. Математика высшей школы должна опираться на умение студентов устанавливать содержательно-смысловые связи между компонентами систем знаний из разных областей. Складывается впечатление, что студенты последнего десятилетия не обладают представлением о том, что деление на предметы или на дисциплины всех научных знаний является условным. Это заслуга единого государственного экзамена. В последние десятилетия самые главные фундаментальные открытия делаются на стыке наук. «Это человек для удобства создал разные науки, а природа не знает деления на науки» [5].

В умах молодых людей должна сформироваться Единая картина мира.

Обобщение знаний возможно на протяжении всего курса изучения математики. Логическим операциям обобщению и аналогии , их применению нужно учить на специально разработанных упражнениях. Если же слишком долго ученик повторяет одно и то же по шаблону, то он находится в фазе, сдерживающий развитие мышления.

Понимание связей между разделами, явлениями это есть главное условие развития логики, диалектического оформления знаний.

По мнению Эрдниева творческое обучение математике возможно только при укрупнении дидактических единиц;

а) сравнивать противоположные понятия

б) сопоставлять родственные и аналогичные понятия. Уравнения и неравенства; одновременное изучение, одновременное изучение свойств объединения и пересечения; и так далее.

в) сопоставлять способы решения, например, графический и аналитический [2].

Укрупнение дидактических единиц внутри одной дисциплины конечно приведет к изменению логики, выявит основное в структурной единице знаний и собственно ее структуры, а также будет являться опережающей генерализацией, сформирует у учащихся первичные представления об объеме и характере изучаемого материала, о наиболее общих взаимосвязях между его структурными единицами. Но можно пойти еще дальше. Можно смоделировать какую-то единицу знаний в соответствии с имеющейся схемой описания. Это, конечно, касается учащихся и студентов, демонстрирующих наивысший уровень усвоения, способных воспринимать и «соединять» материал, непривычный даже для педагога. Поэтому вывести на творческий уровень школьника или студента может только тот преподаватель, который сам обладает необходимыми умениями. Пример. Решение школьных задач повышенной вычислительной трудности с использованием частных производных [6]. Это вариант для школьников. Использование рядов Маклорена и дифференциальных уравнений в изложении метода аналогий в колебательных и волновых явлениях -как вариант для студентов технических факультетов [7].

Если проанализировать задания представленные на итоговой аттестации по математике, то самыми креативным являются задания С-5 и С-6. Задания типа С-5 содержат параметр, и не имея опыта творческого отношения к материалу нельзя найти решение. Что бы получить результат нужно уметь и анализировать условие, и синтезировать знания из разных разделов математики, и проводить аналогии, и обобщать, и разделять ответы, и разводить понятия, и правильно выбрать ход решения: аналитический или графический, правильно все обосновать. 134

Почему задачи с параметрами представляют для школьников такую непреодолимую задачу? Раньше, во времена СССР, задачи с параметрами предлагались на вступительных экзаменах только в нескольких ведущих вузах страны. Сегодня, когда общий уровень математического образования снизился до критических значений, задания с параметрами, представленные на итоговой аттестации, год от года труднее.

Слово параметр имеет греческое происхождение, дословно-отмеривающий. Это некоторая величина, значение которой призвано различить элементы некоторого множества между собой. В школьной математике параметры используются для идентификации некоторого класса объектов, которые имеют одни и те же свойства. Школьная математика предлагает задачи с допустимыми и недопустимыми параметрами. Если алгебраическое выражение при таком параметре теряет смысл, то речь идет о недопустимом параметре, и, наоборот, о допустимых.

Использовать разные ходы и формы преподавания для конструирования творческого отношения к предмету возможно не только в формате урока, но и во внеурочной работе.

Творческое отношение к математическому материалу зачастую появляется у молодых людей во внеурочной работе. Это могут быть кружки, факультативы или математические курсы. Здесь объединяются единомышленники. « ....Когда частота педагогических «внешних» воздействий совпадет с частотой «внутренних психических» отражений обучаемых, будет наблюдаться резкое увеличение познавательной активности»[1].

Здесь нет разделения ни по возрасту, ни по статусу. Здесь все люди, увлеченные математикой. А венец такой деятельности-участие в олимпиаде по математике. Любой участник олимпиады желает добиться лучших результатов. Для этого он решает задачи, читает рекомендованную литературу, более подробно изучает отдельные вопросы математики, активнее участвует в работе математического кружка. Он понимает, что для успеха на олимпиаде необходимо уметь по-разному решать задачи, развивать в себе способности анализировать решения задач и искать нешаблонные подходы к их решению, видеть неожиданные зависимости. Победа учащегося на каждом этапе приводит к повышению результативности его занятий математикой [8].

Олимпиада любого уровня ставит участника в положение исследователя. Участие в олимпиаде повышает чувство собственной значимости, стимулирует его познавательные интересы. Сначала амбиции приводят в движение познавательную деятельность. А потом интерес к математике полностью управляет жизнью ученика или студента.

В последние годы итоговая аттестация по математике несколько изменила линейку заданий. Появились прикладные задания, показывающие, что математика существует не ради математики, а как инструмент для определения количественных характеристик в разных сферах человеческой деятельности. Это задачи типа №15 единого государственного экзамена по математике. Здесь расчетные варианты из астрономии, физики, механики, социологии и многих других отраслей знаний. При подготовке к ЕГЭ у ученика начнет формироваться понятие о том , что изучение математики ему нужно прежде всего для того, что бы с помощью математического аппарата постичь истины других наук. С 2015 года в демонстрационных материалах для ЕГЭ по математике появились новые прикладные задачи по тематике связанные с банковским делом. Вся математика — это есть моделирование каких -то процессов. Для школьников наиболее привычны процессы, связанные с движением или работой. Это текстовые задачи на составление уравнения или системы уравнений. Задачи на банковские проценты- это математическое моделирование экономических процессов. Именно при решении та-Балтийский гуманитарный журнал. 2015. № 1

педагогические науки

М.Г. Никитина, Е.С. Павлова ФОРМИРОВАНИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОДХОДА К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ...

ких задач устанавливаются содержательно - смысловые связи между компонентами систем знаний из разных областей. На экономических специальностях студентам приходится иметь дело с множеством параметров при формировании математической модели какого-то экономического процесса [9], студенты электротехнического профиля применяют знания и умения решать выражения с параметрами на лабораторных работах. Там параметром может быть любая величина : напряжение, сила тока, сопротивление, а может быть, и время. [10]. На биологических и медицинских специальностях необходимо трансформировать математические знания и умения в составление системы приемов, обеспечивающей достижение оперативной цели, например, касается ли это подбора кормов для животных или, с помощью вероятностных законов, называемых биометрией, определять изменение состава крови в зависимости от изменения кормовой базы [11]. И только при творческом отношении к математическим знаниям, при перспективном планировании деятельности обобщения, при выборе приемов обобщения знаний адекватных ей, возможен квалитативный эффект. Всякая технология обучения достигнет поставленной цели.

Обучение математике - это не просто совокупность усилий педагога и обучаемого, будь это ученик или студент, это набор способов воздействия на мыслительную деятельность обучаемого. Умелое изменение набора таких способов в нужное время и в нужном месте покажет высокий профессионализм педагога, а для школьника или студента обучение превратится в «серию маленьких открытий, по ступенькам которых ум ученика может подняться к высшим обобщениям»[2]. По любому разделу математики можно создавать упражнения, выполнение которых требовало бы творческого подхода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Чернова Ю.К. Квалитативные технологии обучения: Монография.-Тольятти: Изд-во фонда «Развитие через образование», 1998.стр96, стр42.

2. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе/Укрупнение дидактических единиц. Книга для учителя.-2изд. исп. и доп.-М.:АО « Столетие», 1996.

3. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдукова Ю.М.- М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959.

4. Никитина М.Г. Теория и методика обобщений в профильном обучении физике учащихся средней школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Тольятти 2003.

5. Семенов Н.Н. Где истина. - Неделя.1974.№19.

6. Кошелева Н.Н., Никитина М.Г. Решение школьных задач повышенной вычислительной трудности с использованием частных производных // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2013. №7. С. 19-23.

7. Павлова Е.С., Никитина М.Г. Использование рядов Маклорена и дифференциальных уравнений в изложении метода аналогий в колебательных и волновых явлениях // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2009. №6. с17-21.

8. Никитина М.Г. Олимпиады по математике: от школьных к вузовским// Ученые записки Санкт-Петербургского имени В.Б. Бобкова филиала Российской таможенной академии.2008.№3(32).С.374-378.

9. Кошелева Н.Н. Применение математического аппарата к исследованию системы оплаты труда на предприятии. // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2011 .№11. С. 20-24.

10. Потемкина С.Н. Системно-деятельностный подход к организации учебной деятельности студента при изучении курса физики на инженерных специальностях вуза // Известия Самарского научного центра Российской академии наук.2008. №57. С.208-215.

11. Никитин Г.С. Сравнительная характеристика влияния некоторых сорбентов на организм цыплят бройлеров // Актуальные проблемы ветеринарной медицины: СПб.: 2013. - С. 34- 38.

FORMATION OF CREATIVE MATHEMATICAL MATERIAL IN SCHOOL

CHILDREN AND STUDENTS

© 2015

E.S. Pavlova, candidate of pedagogical sciences associate pfofessor of the chair

"Higher mathematics and mathematical modelling" M.G. Nikitina, candidate of pedagogical sciences associate pfofessor of the chair "Higher mathematics and mathematical modelling"

Togliatti State University, Togliatti

Abstract. The Condition of the knowledges secondary school on mathematician at present it is impossible consider satisfactory. About this speaks at least that fact that at estimation of the examination work EGE on mathematician in 2014 was reduced lower threshold of the successful passing of the exam. In spite of sufficient time conducted by program, knowledges remain formal, directed only on decision test EGE. The Similar position and in respect of mathematicians of the high school. Transition on credit-module system, absence spoken exam on high mathematician, presence different electronic resource in help student, does not lead to shaping firm mathematical notion and relationship between them. The Creative thinking there is high step to independance. The Creative activity always means the creation, syntheses what-that greatly new. Use in functioning(working) the teacher different pedagogical acceptance("operation") such as analogy, generalization , education skill to think in analogy or generalise the different units of the knowledges helps and schoolboy, and student to actuate their own efforts and rise before higher-level assimilations of the material. "Education only then well, when it goes ahead of development". One of the main of the tasks of the teacher consists in that to create beside young person impression that mathematical tasks are bound one with another, mathematical subjects are bound one with another and subjects are chosen from the general knowledge conditionally. The Mathematical thinking of the schoolboy or student - a cognition of the real world i.e. objective reality, occurring through generalizations by means of mathematical symbol, considering mathematical regularities and relations. It is Necessary that schoolchildren and students understood that mathematics-virtual world.

Keywords: mathematical formation, problems with parameter, analogies, generalization of the material, contraposition, heuristic approach, motivation.