Два подхода к проектированию нестационарных методов измерения теплофизических свойств и теплового потока

УДК 681.2:536.083

ДВА ПОДХОДА К ПРОЕКТИРОВАНИЮ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

И ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

Ю.И. Азима

Рассмотрены два подхода к проектированию методов измерения тепловых величин, основанных на адекватности математических моделей, представленных в виде, соответственно краевой задачи теплопроводности и интегральной формы уравнения теплопроводности. Показаны возможности второго подхода при использовании новой интегральной формы при решении измерительных задач нестационарной теплопроводности.

Ключевые слова: метод измерения, интегральная форма, уравнение теплопроводности, теплофизические свойства, градуировочная характеристика.

Одним из важнейших направлений, определяющих развитие всех отраслей промышленности - это создание новых материалов. Для многих из них в числе основных параметров, обеспечивающих их эффективное применение, являются теплофизические свойства (ТФС), и в первую очередь теплопроводность.

Например, для применения в радиоэлектронной и электротехнической промышленностях, разрабатываются различные виды теплопроводной керамики для производства различных изделий, в том числе: подложек, корпусов, плат, обеспечивающих эффективный отвода тепла от кристалла полупроводниковых приборов, интегральных схем, или других тепловыделяющих элементов.

Кроме того, теплопроводность играет существенную роль для инструментальных композиционных материалов. Их высокая теплопроводность способствует повышению сопротивления термоудару и препятствует образованию «горячих точек» при локальном нагревании. Особенность таких материалов заключается в том, что технология их производства требует, чтобы образцы для контроля данной величины по толщине как минимум соответствовали изделиям из них, которая находится в диапазоне от

0,25 до 2 мм. Теплопроводность таких материалов изменяется от 10 до 600 Вт/(м- К) и более.

Первостепенное значение теплопроводность имеет также для теплоизоляционных материалов, перспективность применения которых определяется задачей энергосбережения.

Очевидно, что разработка и производство данных материалов не возможно без совершенных измерительных приборов, имеющих высокие метрологические и эксплуатационные характеристики, работающие по простым методикам измерения и основанные на простых, с точки зрения теории и технической реализации, методах измерения. При достаточно

большом количестве существующих нестационарных методов измерения теплопроводности и других тепловых величин, количество измерительных приборов весьма ограниченно, что следует из таблицы представленных типов аттестованных приборов для измерения ТФС.

Основные характеристики аттестованных средств измерения ТФС

Тип прибора Изготовитель (разработчик) Диапазон измерений Метод измерения Предел погрешности, %

TCT- 426 NETZSCH- Geratebau GmbH, Г ермания 1=0.03-20 Вт/м- К Г орячей проволоки 8i=±10

HFM-436 1=(0.03-0.5) Вт/м-К Стационарный 8i=±6

1-Meter EP 500 Lambda- Mebtechnik Dresden 1= (0.02-0.5) Вт/м-К Стационарный 5 ± її d=l

МИТ-1 Россия 1=(0,03-2) Вт/м-К Зондовый 7 ± її d=l

ИТП-МГ4 Россия 1=(0,02-1,5) Вт/м-К 1 = (0,03-1) Вт/м- К Стационарный, Зондовый 5i=±5 5i=±7

ИТС-1 Россия 1= (0,02-1,5) Вт/м-К Стационарный 5 ± її d=l

ИТ-2 Россия 1= (0,02-1,5) Вт/м-К Стационарный 8i=±6

ИТЭМ-1М (ЛТИХП, ГСКБ ТФП) 1= (0,2-80) Вт/м- К Стационарный 8i=±10

ИТ-1-400 1=(0,1 -5) Вт/м- К Монотонного режима 8i=±10

LFA- 427, 447, 457 NETZSCH- Geratebau GmbH, Германия а =

Из анализа метода измерения данных приборов можно сделать вывод о том, что большинство из них используют стационарный режим измерения или близкий к нему (ИТ-1-400), причем для измерения ТФС высокотеплопроводных материалов могут быть использованы только приборы серии ЬБЛ, предназначенные для измерения температуропроводности и теплоемкости и косвенного - теплопроводности.

Столь ограниченный выбор средств измерений ТФС, по-видимому, объясняется сложностью технической реализации метода измерения и неудовлетворительными эксплуатационными и метрологическими характеристиками средств измерений, получаемых в результате их проектирования.

Если рассматривать нестационарные методы измерения ТФС и теплового потока, с точки зрения, выбора математического описания модели объекта исследования, то можно выделить два подхода к их проектированию.

Первый - основан на использовании математической модели в виде краевой задачи теплопроводности. Тогда для решения обратной задачи теплопроводности параметры модели подбираются таким образом, чтобы обеспечить идентичность температурного поля объекта и модели, полученного путем решения краевой задачи. В качестве оценки степени близости данных полей используется равенство нулю функции ошибки между температурами в выбранной точке объекта и модели, что позволяет получить более простые расчетные формулы определения искомых величин.

Во втором подходе используется модель в виде уравнения, описывающего интегральный закон сохранения тепла на заданном интервале времени и выбранной координаты. В этом случае, путем подбора его параметров обеспечивается равенство нулю функции ошибки данного уравнения в заданной области.

Принципиальное отличие данных подходов заключается в том, что в первом случае обеспечивается адекватность температурных полей, одно из которых является решением краевой задачи; во втором подходе адекватность достигается для одной из форм представления уравнения теплопроводности.

Первый подход используется при проектировании подавляющего большинства методов измерения ТФС. Поскольку возможны различные виды граничных условий и их комбинации, то существует множество аналитических решений краевых задач, теоретически создающих большой простор для возможности проектировании метода измерения теплофизических величин. Однако, получаемые при этом аналитические выражения для температурного поля в общем виде имеют весьма сложную структуру, поэтому далеко не всегда пригодны для определения через них того или иного теплофизического коэффициента [1]. Кроме того приемлемые решения, как правило, не учитывают влияние среды, окружающей образец. При практической реализации метода требуется обеспечить идентичность условий проведения измерения начальным и граничным условиям, заданным в модели, для которой получено приемлемое решение.

Второй подход в существующих методах используется значительно реже. В нем используется уравнение, которое будем называть интегральной формой уравнения теплопроводности [2] (ИФУТ-1). Для одномерного объекта толщиной Ь она представляет баланс тепла за некоторый интервал времени [ть т2]:

где ^1(т), #2(т)- плотность теплового потока на противоположных гранях образца; С- объемная теплоемкость.

Для достижения его адекватности определяются составляющие данного уравнения по измерительной информации, полученной с объекта

исследования, и подбирается величина коэффициента С. При этом для вычисления интеграла от распределения температуры может быть использована приближенная формула, имеющая следующий общий вид [3]:

L

0 k=0

L L m I m

где pk = | Qm) (х ^х = | ^ (х - Л;)/ ^ (хк - х{ )dx - весовой коэффициент при

0 о г=о / г=0

температуре в точке хк: (к = 0, т), (г Ф к); Q<mk) (х)- многочлены Лагранжа

степени т [3].

Данный подход используется при разработке метода измерения теплоемкости, определяемой по формуле [1]:

с = 2 51 [?1 (т) - д2 (т)^т/т[?1 (ту) + г2 (ту)],

0

где ^(т), ?2(т) - температура на противоположных гранях образца площадью 5; т - масса образца; ту- время, начиная с которого достигается приемлемая точность определения интеграла по приближенной формуле (2) с весовыми коэффициентами p0=p1=0,5L для координат точек измерения температуры х0=0, х1^.

Кроме того, если представить (1) в виде баланса тепловых потоков, то из него можно получить уравнение для определения плотности теплового потока, при условии теплоизоляции противоположной поверхности д2(т)=0, которое применяется при разработке энтальпийного тепломера [1]: ^ (т) = ^!'(т), где ?т'(х) - скорость изменения средней на участке [0, L] температуры.

Положительным моментом применения первого подхода заключается в возможности создания большого количества разнообразных методов, применительно к специфическим условиям, которые могут быть использованы при создании установок для проведения теплофизических исследований. Для приборной реализации, как показывает практика, большинство методов слишком сложны и не обеспечивают необходимого уровня метрологических и эксплуатационных характеристик, присущих приборам для массовых измерений.

Плюсом второго подхода является отсутствие необходимости определения температурного поля модели объекта путем решения краевой задачи, что автоматически снимает все проблемы математического и технического характера, связанные с этим. Вместе с тем, ограниченность интегральной формы (1), связанная с ее структурой и малым числом коэффициентов, определяющих тепловые свойства, ограничивает применимость данной интегральной формы.

Перспективность данного подхода могла быть повышена, если бы

интегральная форма содержала два коэффициента. Такое уравнение можно получить из интегральной формы (1) для интервала с переменной правой границей путем интегрирования ее по данной координате в пределах заданных границ. В результате такого преобразования для одномерного объекта в прямоугольной системе координат получим интегральную форму следующего вида:

Ь х

ЬQ

0 0

Т

где Q(0, Т) 0- количество тепла, поступившего в одномерное тело через

границу с координатой х=0 за интервал времени [0, т]; /(0, т), /(Ь, т) - температура, измеренная в точках х=0 и х=Ь.

Данную модель можно рассматривать как баланс средних на отрезке [0, Ь] количеств тепла: поступившего через границу х=0, прошедшего через данный отрезок вследствие теплопроводности и аккумулированного на нем за счет теплоемкости.

Очевидно, что при разработке методов необходимо учитывать тепловые потери с поверхности образца и неодномерность температурного поля в нем. Поэтому были получены многомерные интегральные формы для объектов, которые могут быть использованы в качеств образцов для измерения ТФС, такие как: параллелепипед, прямой цилиндр, полуограни-ченное тело. В общем виде для многомерного тела ИФУТ с постоянными коэффициентами имеет вид [4]:

Тії) Q(Г| (^ ^ Г = АТж) Я *5 + СУ^ ДО / (1 т )0У,

^ =0 ° \4>и

где Q(Г)(£,т)- количество тепла, проходящего через единицу граничной

поверхности заданного слоя объекта; £ = (^1, £ 2, £ 3) - вектор координат; X - координата, в направление которой рассматривается распространение теплового потока; і, і(ХІ) - соответственно, поверхность слоя и площадь его сечения, перпендикулярного выбранному направлению распространения теплового потока; Г- граничная поверхность слоя; V- объем слоя, ограниченный сечениями і(ХІ=0) и і(ХІ=Ь); 1, С - теплопроводность и объемная теплоемкость материала

Для идентификации параметров данной модели в рамках подхода, основанного на ее адекватности, выполняются следующие операции:

ИФУТ в заданной области выбранной координаты и времени представляется как алгебраическое линейное уравнение относительно теплофизических величин или количества тепла, или теплового потока, проходящего через одну из границ объекта; определяется количество и структура уравнения (уравнений), позволяющая в явном виде выразить искомые величины; определяются и создаются условия проведения измерения, при

которых процесс передачи тепла в объекте исследования будет достаточно точно подчиняться полученным уравнениям; при идентификации коэффициентов ИФУТ- измеряется температура в заданных точках объекта и количество тепла, проходящего через его границы; при идентификации количества тепла или теплового потока на заданной границе - измеряется температура в заданных точках объекта и используется априорная информация о ТФС объекта; по результатам прямых измерений определяются составляющие данного уравнения (или уравнений); вычисляется неизвестная величина (или величины) из решения линейного уравнения (или системы уравнений).

Для определения повторного интеграла в уравнении (3) будем также использовать интерполяционный многочлен Лагранжа, приводящий к приближенной формуле аналогичного с (2) вида:

Ь х

Ь х

''к ;) ) ^ т

0 0 0 0 к = 0

Процесс разработки методов измерения тепловых величин, основанных на ИФУТ-2 показан на рис.1.

3. Методы итерения тепловых величин

Рис.1. Стадии проектирования методов измерения тепловых величин,

основанных на ИФУТ-2

Все методы, показанные в нижней части рис.1, описаны в литературе [4,5,10-13]. В качестве примера покажем процесс проектирования метода измерения теплопроводности для теплопроводных материалов на образцах в виде прямоугольной пластины.

На первой стадии проектирования получаем ИФУТ по координате х для двухмерной (х, 2) модели пластины на исследуемом интервале [0, Ьх]:

1 ^хЛ

Й4} (0, т) + — Е | Лх| Й (Х> 2і , т№ =

^ ^ і А Л

] 0

= — | [і ^)

х 0 х 0 0

где )(0, т)- среднее по толщине Ь2 образца количество тепла, проходящего через торцевую поверхность (х=0); 8хг=ЬххЬг - площадь боковой поверхности пластины на участке измерения теплопроводности [0,£х];

(х, , т) - распределение по координате х количества тепла, проходяще-

го через нижнюю (г = 0) и верхнюю (г = Ь2) поверхности образца на участке измерения теплопроводности [0, Ьх]; і)(х,т)- средняя по толщине образца температура, как функция координаты х.

Для идентификации коэффициента теплопроводности в уравнении (5) будем использовать следующий способ. Будем считать, что обеспечены условия теплофизического эксперимента, когда аккумуляционная составляющая уравнения (5) равна нулю. Для этого необходимо обеспечить нулевое изменение повторного интеграла на определенном интервале време-

Ьх х

ни [ть т2]: |dx|і(Ьг)(х,т)dx = 0. В этом случае из (5) можно получить в

0 0

явном виде уравнение для определения теплопроводности.

Для технической реализации данного способа будем использовать измерительную ячейку (ИЯ), показанную на рис. 2.

Рис.2. Схема конструкции измерительной ячейки:

1- образец,

2- тепломер,

3 - нагреватель,

4 - теплоприемник,

5, 6 - опоры для крепления термопар.

Ее основными элементами являются: 1- образец, 2- тепломер, 3 -нагреватель, 4 - теплоприемник, 5, 6 - опоры, на торцевой поверхности которых закреплены спаи пятачковой термопары. С помощью опор также осуществляется прижатие образца к нагревателю 2 и теплоприемнику 4.

Данная конструкция максимально проста. В ней использована схема расположения термочувствительных элементов по отношению к основному потоку тепла, позволяющая более, чем на порядок уменьшить влияния контактных тепловых сопротивлений при исследовании теплопроводных материалов [5].

Для обеспечения нулевого приращения повторного интеграла используется двукратное тепловое воздействие с последующими остываниями, причем второй импульс тепла действует с момента т1, а измерение заканчивается в момент времени т2.

С учетом данной конструкции, и принимая во внимание малую толщину образца, после замены средних по толщине температур на температуры поверхности образца (г = Ьг) в точках х = 0 и х = Ьх, которые измеряются термопарами, закрепленными на опорах 5 и 6, и преобразования аналитических выражений, определяющих тепловые потоки на указанных в (5) границах, получим градуировочную характеристику ИЯ:

вателя за время [ть т2]; А^(т), Atо (т) -перепад температур на тепломере и образце; Ь2— толщина образца.

Коэффициенты: ц0, Ць Ц2 определяются по следующим аналитическим уравнениям:

где 1н - ширина нагревателя; Ьх- расстояние между серединами опор; хн -расстояние от торца пластины до ближней границы нагревателя; 1т, Нт, -теплопроводность и толщина тепломера; 1оп, /оп. ^оп - теплопроводность. ширина и толщина опоры; Ь2 - толщина образца; а- коэффициент теплообмена поверхности образца.

В реальных условиях разработки измерительного прибора, для повышения точности определения данных коэффициентов, их находят в процессе градуировки по эталонным образцам. Время начала т и окончания т2 интегрирования в уравнении

—перепад температур на образце.

^ = Ц0бн

т2

т1

т2

т1

т2

т1

где бн (т| Т2 - количество тепла, выделившегося на единице площади нагре

Ц0 = І, (і, - Хн - 0>5/» ); Ц = Ч- Хн - 0,51 н ); Ц2 = Іоп (і - 0,5/оп )Х.оп/Аоп + 0,61аі2 [1 + 1,5Ь, / I,],

Рассмотренный метод измерения теплопроводности имеет достаточно простую расчетную формулу и условие достижения ее адекватности, малочувствителен к теплоемкости, позволяет аналитически учесть тепловые потери с поверхности образца, не требует специальных устройств задания граничных и начальных условий, за исключением тех, которые предусмотрены конструкцией ИЯ, и главное его достоинство - допускает использовать подобную схему ИЯ, на измерение в которой не существенно влияют контактные тепловые сопротивления [5].

Практическая реализация данного метода была осуществлена в различных моделях измерителя теплопроводности, разработанных в Новомосковском институте РХТУ им. Д.И Менделеева на кафедре «Автоматизация производственных процессов» по заказам предприятий, изготовителей изделий электро- и радиотехнического назначения из высокотеплопроводной керамики. Аналоговые приборы градуировались по образцам со справочными значениями теплопроводности, а измеритель теплопроводности ИТ-02Ц [6] был аттестован с погрешностью 7 %, определяемой по четырем образцовым мерам теплопроводности: из стали 12Х18Н10Т, низкоуглеродистой стали, молибдена МЧВП и меди М1, изготовленным и аттестованным на НПО «Дальстандарт».

При разработке метода измерения теплового потока используется также ИФУТ-2 для соответствующей модели объекта. При этом, если возникает необходимость, можно использовать многомерные интегральные формы или учитывающие температурную зависимость теплопроводности и теплоемкости. Возможны варианты получения расчетной формулы для теплового потока, входящего в тепломер или выходящего из него [7]. В отличии от уравнения, используемого в энтальпийном тепломере, данные выражения справедливы без каких- либо условий.

Подобным образом проектируются и другие методы, представленные на рис.1.

Таким образом, применение ИФУТ-2 при проектировании методов измерения тепловых величин значительно расширило возможности второго подхода, основанного на обеспечении адекватности интегральной формы уравнения теплопроводности, и можно предположить, что это позволит эффективно решать и другие измерительные задачи теплопроводности.

Список литературы

1. Теплофизические измерения и приборы / под ред. Е.С. Платуно-ва. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука; Изд-во МГУ, 1977. 799 с.

3. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. 256 с.

4. Азима Ю.И. Применение явного метода идентификации объектов к решению задач нестационарной теплопроводности // Измерительная техника. 2008. № 6. С. 32-38.

5. Азима Ю.И. Влияние тепловых сопротивлений при измерении теплопроводности в диапазоне 1=(10^400) Вт/(м-К) методом квазистацио-нарной точки // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во Тул.ГУ. 2013. Вып. 5. С.108-117.

6. Измерители теплопроводности металлов, сплавов, керамики. Коммерческая реклама // Приборы и техника эксперимента. 1990. №6. С.6.

7. Азима Ю.И. Исследование балансного метода измерения нестационарного теплового потока // Измерительная техника. 2006. № 12. С.37

8. Азима Ю.И., Бобкова О. А. Измерение теплопроводности низкотеплопроводных материалов методом квазистационарной точки для полу-ограниченных тел // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Тула: Изд-во Тул.ГУ. 2013. Вып. 5. С.92-102.

9. Азима Ю.И. Метод комплексного измерения теплопроводности и теплоемкости на базе интегральной формы уравнения Фурье // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. Вып. 10. С.261-271.

10. Азима Ю.И. Измерение теплопроводности двухслойных образцов малой толщины методом квазистационарной точки // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. Вып. 10. С.244-254.

11. Азима Ю.И. Методы определения температурной зависимости теплопроводности на основе интегральной формы уравнения Фурье // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. Т.68. №5. С.25-30.

Азима Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц, iuia@bmail.ru. Россия, Новомосковск, НИ (ф) РХТУ им. Д.И. Менделеева,

TWO APPROACHES TO THE DESIGN OFNON-STATIONARYMETHODS OF MEASUREMENT OF THERMOPHYSICAL PROPERTIES AND THE HEAT FLOW

Yu.I. Azima

Considered two approaches to the design of methods, measuring thermal units, based on the adequacy of the mathematical model presented in the form of, respectively boundary value problem of heat conduction and integral form of the heat equation. Shows the possibility of the second approach when using the new integral of the form when solving measurement problems of unsteady heat conduction.

Keywords: measurement method, integral form, the equation of heat conductivity, thermal properties, calibration characterization.

Azima Yuriy Ivanovich, candidate of technical sciences, Associate Professor, iuia@bmail.ru, Russia, Novomoskovsk, The Novomoskovsk’s Institute (subdivision) of the Mendeleyev Russian Chemical-Technological University