Анализ заряда неоднородной трехслойной изоляции высоковольтных маслонаполненных кабелей

Вестник НГИЭИ. 2018. № 5

05.20.00 ПРОЦЕССЫ И МАШИНЫ АГРОИНЖЕНЕРНЫХ СИСТЕМ

05.20.02 УДК 621. 315

АНАЛИЗ ЗАРЯДА НЕОДНОРОДНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ИЗОЛЯЦИИ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ МАСЛОНАПОЛНЕННЫХ КАБЕЛЕЙ

© 2018

Дмитрий Александрович Семенов, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электрификация и автоматизация»

Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия) Анна Владимировна Сидорова, аспирант кафедры «Электрификация и автоматизация»

Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино

Аннотация

Введение: в условиях эксплуатации происходит старение электрической изоляции кабелей, при этом ухудшаются ее свойства и снижается электрическая прочность. В некоторых случаях этот процесс носит необратимый характер и может привести к пробою. Однако в большинстве случаев последствия старения могут быть устранены путем восстановительного ремонта изоляции.

Статья посвящена анализу переходных процессов в изоляции высоковольтных маслонаполненных кабелей при заряде ее от разнотипных источников напряжения с разными значениями внутреннего сопротивления. Материалы и методы: анализ процесса заряда изоляции проведен по упрощенной схеме замещения, что позволяет существенно снизить погрешность при расчете параметров электрических величин переходного процесса. Использованы законы электротехники, методы математического и компьютерного моделирования. Результаты проанализированы и представлены в виде таблиц и графиков.

Результаты и обсуждение: для расчета постоянных времени и постоянных интегрирования получены аналитические выражения, разработан программный комплекс в интегрированном пакете Mathcad. Построены таблицы зависимости постоянных времени и постоянных интегрирования от процентного соотношения между величиной внутреннего сопротивления источника напряжения и одноминутным значением сопротивления изоляции кабеля. Рассчитана зависимость измеряемого сопротивления трехслойной неоднородной изоляции маслонаполненного кабеля от времени с учетом внутреннего сопротивления источника напряжения и от идеального источника.

Заключение: средствами интегрированного пакета Mathcad рассчитаны постоянные интегрирования для неоднородной трехслойной изоляции, а также построен график зависимости сопротивления неоднородной трехслойной изоляции кабеля при ее заряде от времени без учета внутреннего сопротивления R(t) и с учетом последнего R11(t). Определены оптимальные параметры источника питания неоднородной трехслойной изоляции высоковольтных маслонаполненных кабелей классическим методом, операторным методом, графическим способом. Ключевые слова: внутреннее сопротивление, высоковольтные маслонаполненные кабели, идеальный источник напряжения, интегрированный пакет Mathcad, метод Крамера, переходные процессы, постоянные времени, постоянные интегрирования, процесс заряда изоляции, сопротивление изоляции, ток абсорбции, трехслойная изоляция.

Для цитирования: Семенов Д. А., Сидорова А. В. Анализ заряда неоднородной трехслойной изоляции высоковольтных маслонаполненных кабелей // Вестник НГИЭИ. 2018. № 5 (84). С. 7-20.

ANALYSIS OF THE CHARGE INHOMOGENEOUS THREE-LAYER INSULATION OF HIGH-VOLTAGE OIL-FILLED CABLES

© 2018

Dmitriy Aleksandrovich Semenov, Ph. D. (Engineering), the associate professor of the chair «Electrification and automatization»

Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino, Russia Anna Vladimirovna Sidorova, the post-graduate student of the chair «Electrification and automatization»

Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino, Russia

Abstract

Introduction: under operating conditions, the electric insulation of cables is aging, while its properties deteriorate and the electrical strength decreases. In some cases, this process is irreversible and can lead to a breakdown. In most cases, however, the effects of ageing can be addressed through remediation of isolation.

The article is devoted to the analysis of transients in isolation of high-voltage oil-filled cables when charging it from different voltage sources with different values of internal resistance.

Materials and methods: the analysis of the insulation charge process is carried out according to a simplified substitution scheme, which allows to significantly reducing the error in the calculation of the parameters of the electrical values of the transition process. The laws of electrical engineering, methods of mathematical and computer modeling are used. The results are analyzed and presented in the form of tables and graphs.

Results and discussion: analytical expressions were obtained for calculation of time constants and integration constants; a software package in Mathcad integrated package was developed. Tables of dependence of time constants and integration constants on percentage ratio between value of internal resistance of a voltage source and one-minute value of resistance of isolation of a cable are constructed. The dependence of the measured resistance of the three-layer in-homogeneous insulation oil-filled cable on time, taking into account the internal resistance of the voltage source and the ideal source, is calculated.

Conclusion: the means of the integrated Mathcad package are used to calculate the constant integration for inhomoge-neous three-layer insulation, as well as a graph of the dependence of the resistance of inhomogeneous three-layer insulation of the cable on its charge on time without taking into account the internal resistance R(t) and taking into account the last R11(t). Optimum parameters of a power supply of inhomogeneous three-layer isolation of high-voltage oil-filled cables are defined by a classical method, an operator method, a graphic method.

Keywords: internal resistance, high voltage oil-filled cables, an ideal voltage source, integrated package of Mathcad, the method of Cramer, transients, time constants, constants of integration, the charge process insulation, insulation resistance, shock absorption, three-layer insulation.

For citation: Semenov D. A., Sidorova A. V. Analysis of the charge inhomogeneous three-layer insulation of high-voltage oil-filled cables // Bulletin NGIEI. № 5 (84). P. 7-20.

Введение

Высоковольтные маслонаполненные кабели -один из основных элементов системы электроснабжения городов, промышленных предприятий. Увеличение срока эксплуатации электрооборудования является одной из основных задач оценки его технического состояния. Следовательно, роль методов диагностики электрооборудования (в режиме реального времени) значительно возрастает.

Контроль за техническим состоянием высоковольтных маслонаполненных кабелей производится в основном по состоянию изоляции.

Электрическая изоляция, являясь одним из основных конструкционных материалов, обеспечивает надежность и долговечность электрооборудования, а также обеспечивает безопасное потребление электроэнергии. Однако статистические исследования ее надежности показывают, что, как часть изделия, она имеет низкую надежность [1; 2].

Исследования по вопросам выработки ресурса изоляции, отказов кабельных линий, разработки и внедрения методов диагностики своим развитием обязаны таким ученым, как М. А. Боев, А. П. Долин, С. В. Серебрянников, С. Д. Холодный, А. И. Коно-ненко, E. Gulski, J. J. Smit, P. P. Seitz, С Weindl и многим другим [3; 4; 5; 6; 7; 8].

Материалы и методы

Такие явления как электропроводность, электрическая поляризация, возникающие под действием тока в диэлектриках, легли в основу многих методов диагностики изоляции высоковольтных кабелей.

Когда диэлектрики подключают к постоянному напряжению, то за счет замедленных поляризаций возникает ток абсорбции, значение которого со временем уменьшается от максимального до нуля по экспоненциальному закону. Экспериментально установлено, что в процессе старения диэлектриков ток абсорбции уменьшается, а значит, по его значению и другим параметрам, связанным с ним, можно провести диагностику состояния изоляции и определить степень ее старения.

Так как ток абсорбции значительно влияет на измеряемые абсорбционные параметры изоляции маслонаполненного кабеля, поэтому необходимо подробно провести анализ процессов при подаче на изоляцию постоянного напряжения от разнотипных источников напряжения с разными значениями внутреннего сопротивления.

Согласно схеме замещения (рисунок 1) проанализируем процесс заряда неоднородной трехслойной изоляции при разных значениях внутреннего сопротивления источника питания. Если внут-

реннее сопротивление источника питания Rв не равно нулю, то по второму закону коммутации конденсаторы С1, С2, С3 в начальный момент времени при t = 0, uc1 = 0, uc2 = 0, uc3 = 0 зарядиться не могут. Приведенные значения будут являться начальными условиями для возникающего переходного процесса.

Рис. 1. Схема замещения трехслойной изоляции при заряде ее от источника напряжения с учетом внутреннего сопротивления Fig. 1. The Scheme of substitution of three-layer isolation at its charge from a voltage source taking into account internal resistance

Вид переходного процесса можно определить с помощью корней характеристического уравнения. Чтобы найти корни уравнения, нужно операторное сопротивление схемы замещения (рисунок 1) приравнять к нулю:

1 1 1

R - Ro - R-з -

1 pC1 2 pC2 3 pC3

Z f p N = Rn +-1 +-2 +-3 =

(p > В 1 _ 1 _ 1

R +

R

В

1 pC1

\ r

R2 +

R +-

1 pCx

r +-L

2 pC,

pC2

Л

R3+

2у

R3 + ^

3 pC

V_3У

pC3

11

Л

R +-

1 pC1

1

Л

R +

У V 2 pC2у

R+

1

Л

3 pC

3 У

R

pC

R + ^ 2 pC,

\

2 У

1

Л

V R3 + pC3 У

V 3 У

R +-

1 pC1

R +-

2 pC

2У

R

2 pC2

Л

R1 + pC.

R1 +

pC

R +

1

Л f

R„

R +

2 pC 1

2

Л (

1

2 pC,

2

R3 + pC

R +-L-* 1 pC

1 У

R +-

1 pCx

R +-L 2 pC,

Л (

= 0.

R3 + pC

Так как знаменатель выражения (1) не равен нулю, то приравняем числитель к нулю, домножив

3

его на

R1 R2 • R3

, получим

Re• p3 + p:

R„

R„

R„

1 1 1

- + — + — + -

+ p

R„

R •C R C R C C C C

VR3 C3 r2 c2 r1 c2 c3 у

R

R

R1 -R3 ^C1 C R1 • R2 C1 • C2 R2 -R3 • C2 C 1 1 1

+

C3 C3 R3 C3

+

+

+

+

R C •C R •C •C R •C •C

R1 C1 C2 r2 c2 c3 r1 c1 c3 У

+

+

r + R1 + R2 + R3 R • R • R •C •C •C

R1 r2 r3 c1 c2 c3

= 0.

В результате чего выражение (2) может быть записано в виде полинома

ap3 + bp2 + cp + d = 0,

где a = R,, b =

R R, R, 111 - +--— +-— + — + — + -

R • C^ R2 • R * Cj Cj C2 C3

c =

R.

R.

R.

R R •C •C R R •C •C R •R •C •C

V R1 R3 C1 C3 R1 r2 c1 c2 r2 r3 c2 c3

+ -

1

+

1

+

1

R • • ^^ • • • CC2 •

+

+-

1

1

1

R •C •C R •C C R C C

R1 C1 C2 r2 c2 c3 r1 c1 c3

R + R + R + R4

d =-5-1-2-3—

R R R •C •C •C

R1 r2 r3 c1 c2 c3

Уравнение (2) имеет три корня, которые могут быть получены аналитическим способом с помощью программного пакета Maple, но ввиду громоздкости записи найденных корней мы их приводить не будем. Анализ выражения (2) показал, что переходный процесс будет носить апериодический характер.

Если предположить, что источник питания идеален, то есть RB = 0, то уравнение (2) примет вид

(

\

1 1 1

— + — + —

C C C

V C1 C2 C3 у

+ p

+

1

- + -

R -C -C R •C •C R •C •C

VR3 C1 ^3 r2 c1 c 2 R3 C2 C3

+

1

1

1

R •C •C R •C •C R •C •C

R1 ^2 r2 2 ^3 R1 ^3 У

R + ^^ + R3

+ -

R1 • R2 • R3 • C1 • C2 • C3

= 0.

+

+

+

+

+

+

1

1

1

+

+

1

+

+

2

+

1

1

1

+

+

1

+

+

+

+

1

+

В результате решения уравнения (4) получаем два корня: 1 1

Pi =-

2 R1R2 R3 (C1C2

+ С1С3 + С2С3 )

(R1R2C1 + R1R3C1 + R2C2 R + R3R2C2 + R3C3 R1 +

+ R3C3R2 — (C1 R1 R2 + 2C1 R1 R2R3 + C12 R12 R32 + 2C1C2 R1 R2 — 2C1C2 R1 R2 R3 —

— 2 C1C2 R1R2 R3 — 2 C1C2 R1R2 R3 — 2 C1C3 R1 R2 R3 + 2 C1C3R1 R3 — 2 C1C3 R1R2 R3 —

— 2C C R R R 2 + C 2 R 2 R 2 + 2C 2 R R 2 R + C 2 R 2 R 2 — 2C C R 2 R R — 2C C R R 2 R —

— 2C C R R R 2 + 2C C R 2 R 2 + C 2 R 2 R 2 + 2C 2 R R R 2 - + C3 2 R2 2 R3 2)2) = ——

J_

P2 =

-(R1R2C1 + RRC 1 + R2C2 R1 + R3 R2C2 + R3C3R1 +

2 R1R2R3

+RC2R2 + (C R R + 2 C R RR + Cf R f R3 + 2 cc2Ri R — 2 CC2RI RR —

— 2C1C2R1R2 R3 — 2CC2R1R2R3 — 2C1C3 R1 R2 R3 + 2C1C3R1 R3 — 2C1C3 R1R2 R3 —

— 2CC3R1R2R3 + C2 R R2 + 2C2 RR R3 + C2 R2 R3 — 2CCR R2R3 — 2CCRR2 R3 —

1

3 1 2 3 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3

2 -.^-i л n - n - 2 ,, 2 ,, 2 2 n n n 2 ^ 2п 2 п 2

— 2C2C3R1R2 R3 + 2C2C3R2 R32 + C32R 12 R32 + 2C32 R1 R2 R32 + C32r2 R32)2) = ——.

Таким образом, при заряде трехслойной изоляции характеристическое уравнение (2) имеет два корня, если RB = 0, а когда внутреннее сопротивле-

ние не равно нулю, получается уравнение имеет три корня. Это говорит о том, что изменятся корни, полученные при RB = 0, и появится третий корень.

Рис. 2. Определение постоянных времени для трехслойной изоляции

с учетом внутреннего сопротивления источника напряжения Fig. 2. Determination of time constants for three-layer insulation taking into account the internal resistance of the voltage source

1

1

2

Проанализировав результаты решения, пришли к выводу, что, так как аналитический метод решения уравнения (2) затруднителен, то проще представить его решение с помощью интегрированного пакета Mathcad.

На рисунке 2 приведено решение уравнения (3) в системе Mathcad, где для нахождения постоянных времени была использована функция polyroots (V(k)) (функция поиска корней многочлена) и внутреннее сопротивление источника напряжения RB обозначено как Rv. Параметры схемы замещения трехслойной изоляции высоковольтного маслона-полненного кабеля ААШВ-3*95 получены из опыта и имеют следующие значения: R1 = 724,2 106 Ом, R2 = 453,7-106 Ом, R3 = 141106 Ом, С = 0,139-10-6 Ф, Ci = 0,064-10-6 Ф, Сз=5,77110-6 Ф.

На рисунке 2 по уравнению (3) для разных значений внутреннего сопротивления построены кривые. В качестве аргумента кривых взята посто-Т 1

янная времени T = —, при трех значениях которой Р

каждая кривая обращается в ноль. Точки, в которых кривые пересекаются с осью абсцисс, являются графическим решением системы.

Результаты и обсуждение На графике (рисунок 2) видны три точки, в которых значение функции не зависит от величины k (k - величина внутреннего сопротивления источника, взятая как процент от одноминутного значения сопротивления изоляции кабеля). Найдем эти значения математически, записав коэффициенты кубического уравнения в виде линейных функций параметра k:

(Ak + o)x3 + (Ж + b)x2 + (Ck + c)x + (Dk + d) = 0 . (5) Левую часть уравнения запишем в виде полинома третьей степени:

F (x, k) = (Ak + о)х3 + (Bk + b)x2 + ^ + (Ck + c )x + (Dk + d ) = 0. Пусть при некоторых значениях x1, x2, x3 значения полинома не зависят от k (F(x, k) = const, F(x, k) = const, F(x3, k) = const) и, так как их значение будет постоянной величиной, не зависящей от k, то и производная их по k будет равна нулю:

dF

dk

Решим уравнение и определим значения x1, x2, x3, при которых значение функции не зависят от k. Для рассматриваемого случая коэффициенты уравнения примут следующие значения:

A = Кб0 '100 = 1318,9 -106;

100

B = R

Г 1 1 О

— + — + —

T T T

V T1 T 2 T3

= 1318,9-106

1

- + -

1

- + -

1

100,664 29,037 813,711

= 6,014-107

(

C = R

1 1 1

+-+

Л

= 1318,9-106 1

+ -

V TT TT T2T3 ,

1

1

29,037 • 813,711

--1--

100,664 • 813,711 100,664 • 29,7037

= 5,231 -105;

+

D =

^60

1318,9 •Ю6

= 554,523.

100,664 • 29,037 • 813,711

С учетом этого уравнение (7) примет вид:

1318,9-106 х3 + 6,014 •Ю7 х2 +

, 5 , . (8) = 5,231 -105 х + 554,523 = 0.

В результате решения уравнения (8) получим х1 = -0,00122893, х2 = -0,009934 е х3 = -0,034439 . Соответственно, постоянные времени примут значения

T = Л =

1

T2 I I

T = Л =

0,00122893 1

= 813,711 с,

0,009934 1

= 100,664 c ,

= 29,037 c

Сравнивая получившиеся значения со значениями постоянных времени на графике (рисунок 2) видно, что они совпадают. Также, если мы найдем корни уравнения (5) при к, стремящемся к бесконечности, то полученные значения постоянных времени также совпадут. Подтвердим это высказывание рисунком 3.

Подведя итоги проведенных исследований, анализируя результаты измерений маслонаполнен-ного высоковольтного кабеля с трехслойной изоляцией, подтверждается теорема, ранее полученная А. С. Серебряковым и Д. А. Семеновым, а также М. А. Автаевым, выведенная для изоляции тягового двигателя: «Коэффициенты полинома п-й степени для корней характеристического уравнения, составленного для системы «источник питания - неоднородная изоляция» являются линейными функциями внутреннего сопротивления источника питания. При этом существует п значений постоянных времени Т, при которых численные значения полинома не зависят от сопротивления источника питания и равны постоянным времени при значении внутреннего сопротивления, стремящемся к бесконечности»

[9; 10; 11].

x

2

2 015x10 1 613x10 1 15x10

6.815x10' 2.25x10" 2.375x10" - 7x10"

/

ж Щ

ж т \

У/

11 ......

1

а) б)

Рис. 3. Значения постоянных времени T (а), T2 И Т3(б) в процессе заряда трехслойной изоляции при внутреннем сопротивлении, стремящемся к бесконечности Fig. 3. Values of time constants T1(a), T2 and T3 (b) in the process of charge of three-layer isolation at the value of internal resistance, which tends to infinity

Мы вычисляем постоянные времени Т1, Т2 и Т3 в зависимости от процентного соотношения между величиной внутреннего сопротивления источника RV и одноминутным значением сопротивления изоляции R60, результаты приведены в таблице. Таблица 1 показывает, что значения постоянных времени Т1, Т2 и Т3, найденные графически (рис. 3), являются предельными значениями и независимо от того, насколько значение внутреннего сопротивления источника RV больше этих значений Т1, Т2 и Т3 не может быть.

Проведем расчет постоянных времени Ть Т2 и Т3 в зависимости от процентного соотношения между величиной внутреннего сопротивления Яв источника и одноминутного значения сопротивления изоляции Ибо, результаты занесем в таблицу. Таблица 1 показывает, что значения постоянных времени Ть Т2 и Т3, найденные графически (рисунок 3), являются предельными значениями и независимо от того, насколько увеличивать значение внутреннего сопротивления источника Яв больше этих значений величины Ть Т2 и Т3 быть не могут.

Таблица 1. Зависимость постоянных времени Т1? Т2 и Т3 от процентного соотношения между величиной внутреннего сопротивления Rв и одноминутного значения сопротивления изоляции кабеля R60 Table 1. Dependence of time constants Ть Т2 and Т3 on the percentage ratio between the internal resistance Rв and the one-minute cable insulation resistance R60

JRL R60 Ti Т2 Т3 R60 T1 Т2 Т3

% с с с % с с с

0 734,723 56,434 0 1000 805,868 95,652 28,051

1 735,426 56,674 0,565 2000 809,586 98,035 28,540

2 736,117 56,913 1,113 5000 812,008 99,580 28,838

3 736,796 57,151 1,645 10000 812,850 100,117 28,937

4 737,463 57,389 2,161 50000 813,537 100,553 29,017

5 738,118 57,626 2,663 105 813,624 100,609 29,027

10 741,237 58,801 4,961 106 813,702 100,658 29,036

20 746,767 61,075 8,691 107 813,710 100,663 29,037

50 759,260 67,084 15,566 108 813,711 100,664 29,037

100 772,202 74,376 20,706 109 813,711 100,664 29,037

200 785,594 82,644 24,423 1012 813,711 100,664 29,037

500 799,432 91,512 27,093 1015 813,711 100,664 29,037

Обобщив все результаты проведенного исследования, можно сделать вывод, что при изменении величины внутреннего сопротивления от нуля до

бесконечности происходит переход от заряда изоляции к саморазряду и все значения постоянных времени укладываются в промежуток 0 <Яа< да .

При наличии трех корней Ть Т2, Т3 уравнение тока заряда имеет вид:

г г

I = ¡д + А1е 11 + А2е 7 + А3е 7

где

и = -

и

С + ^2 + я3 + я/ А1, А2, А3 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Определим постоянные интегрирования А1, А2, А3, учитывая, что при данном режиме начальные условия следующие:

г = ° МС1 = 0, мс 2 = 0, МС3 = ° /(0) = ^.

Са

Для момента времени t = 0 уравнение (9) примет вид:

ип

г(0) = ТТ = + А1 + А2 + А3 = Св

и

--+ А + А + А..

я + я2 + Я3 + яв 1 2 3

Продифференцируем уравнение (9), получим

Ж А 7 А9

— =--1 е 71--2

г г

е 7--3 е

7 7

73 .

Ж 7 Т2 Т3

Для начального момента времени = 0) уравнение (12) примет вид

А1 А2 Т1 Т2

7

Запишем уравнение емкостных напряжений согласно схеме замещения (рис. 1), продифференцируем его, получим

Л + «С1 + «С 2 + «С3 = и 0

Лг а Л Л Л Выражаем отсюда ^, учитывая, что

'С1 = С1 т-, 'с2 = С2 Т , гС3 = С3 ~С~ ;

Ж Ж Ж

Ж Ж

С1яа

С2 Са

С3Са

Так как для схемы замещения (рис.1) справедливы соотношения:

г(0) = "

и

л

0 .

(0) = '1(0) + 'С1(0);

то

'(0) = '2(0) + 'С 2(0); '(0) = '3(0) + 'С3(0);

МС1(0) „ . «С 2(0) „ . МС3(0) „

= 0; '2(0) = Ся^ = 0; '3(0) = "СГ = 0

'с 1(0) = гС2(0) = гС3(0) = '(0). СлеДовательно,

,

' а/ ]

V аг у

''(0) Г1 1 + — С2

Св V С1

_ 'с1(0) 'С 2(0) 'С 3(0) _

СЛ

о

С2 Св

С

3 у

и

С

С3 Св

1 1 1

— + — + —

С1 С2 С3

.

3 у

Подставив уравнение (17) в (13), получим:

1 1 1

- + — + -

V N

N2 N

3 у

_ А _ А _ и0 71 72 73 = С2 Для определения постоянных интегрирования нужно составить третье уравнение, для этого возьмем вторую производную тока, продифференцировав уравнение (12):

а 21 ж2

^ е 7 .2 е

г г

1 А

+ 722 е

7 + А3 е

В момент времени t = 0 уравнение (19) примет

вид:

(

а 1

ж2

А2 А?

72 Ц

72

чим:

Продифференцировав уравнение (15), полу-

С 21

Ж2

С,

1 а,

С1

1 ж,

С 2

1 а,

С3

N1 сг N сг N3 сг

Учитывая, что 'С1 = /' —— , после дифферен-

С

цирования получим

ж,

С1

ж 1 Си,

С1

ж Ж С Ж

ж ж

'С1

Аналогично запишем выражения для токов

и ^3:

а,

С 2

а ж

'С2 . а'с3

Л

а ж

'С3

В формулу (21) подставим выражения (22) и (23), получим:

С 21 Лг2

1

"с.

~Са /

а

1 ( а 1г

7

N1 [ Ж

1 ( а 1г

+ N21 аг

7

1 ( а 1г

111

+---+

'С1

'С 2

+N31 аг

'С3

7

ЛI С1 С2 С3 ) С{71 С272 С373

При нулевых начальных условиях уравнение (24) примет вид

и ^

V ^ 2 у 0

1 С„

1 1 1

— + — + —

С1 С2 С3

и„

1

Св V С171

С 7

С27 2

С 7

С37 3 ,

.и

С

С

1 1 1

+—+-

в ^ 1

Л2 ( +

3 У

С7

V С171

С 7

С 7

С373 У

3

0

3

0

2

3

2

1

1

+

+

1

1

1

1

+

Приравнивая правые части уравнений (20) и (25), получим еще одно уравнение для определения постоянных интегрирования:

А А,

Т2 +

А + A + A „2 Т2 Т2

1 1 1 -+-+-

Ci C2 С3

2 / лЛ

2 1 1 1

+ | -+- +

CT1 -

C Т C2T2

C Т

C3T3

Для определения постоянных интегрирования А^ А2, А3, запишем систему уравнений (11), (18), (26) в матричной форме

"1 1

ТТ

1213

ТТ

2 2 2 2 Т2 Т3 Т1 Т3

U ol —

1

ТТ

Т1 Т2

Т 2Т22

A A

R R + R + R2 + R3

U

1 1

^ Т1Т2Тз |- + —+ —

C1 C2 C3

U0 rp2j*2j*2 Т1 7 2 T3

111

-+-+-

C1 C2 C3

1 1 1

-+-+-

C Т C Т C Т

C1T1 C2T2 c3t3

Решаем систему уравнений методом Крамера [12; 13; 14] и ищем А^ А2, А3 через выражения:

А - А ' А2 - А ' Аз - А ' где А - главный определитель системы. В результате получаем:

A =-

1

V R

1

Re + R1 + R2 + R3 ,

Т12

Т12 - Т1Т3 - 77 + ТТ

U

1 1 1

- + — + -

Т12 (73 + Т2) R' 7;2 -ТТ3 -ТТ2 + 7273) +

U

Г1 1 i^2

—l —+—+— Rb V C1 C2 C3

,1 1 1

+| —+-+—

CT C T C T

C1T1 C2T2 c 373

T^TT

R2

U

A2 =-

0 Ч R„ + R; + R2 + R3 ' 2

- T22 - T1T3 + T1T2 + T2T3

U0+ ^ + 7

C

'2 C3

R2

U

Г i i Г2

—l —+—+— V RB V C1 C2 C3 .

1 1 1

- +-+-

CT C T C T

C1T1 C2T2 c 373

TXT3

R2

A3 =

1

U0 1 Ле Re + R; + R2 + R3 73

T32 - T1T3 + T1T2 - T2T3

U 0 Г C + ^ + ^ >2

Re2

U

2

1 Г i i i

—l —+—+— Rb IC; C

C

2 C3

1 1 1

- +-+-

T32T;T2

С Т С Т С Т

С1Т1 С2Т2 С 3Т3

+ 4 у

К2

В таблице 2 приведены значения А1} А2, А3 в зависимости от процентного соотношения между величиной внутреннего сопротивления Яв и одноминутного значения сопротивления изоляции И^.

Таблица 2. Зависимость значений А1; А2, А3 от процентного соотношения между величиной внутреннего

сопротивления Rв и одноминутного значения сопротивления изоляции кабеля R60

Table 2. Dependence of the values А1; А2, А3 on the percentage ratio between the internal resistance Rв and the

one-minute resistance of the cable insulation R60

R. R60 А1 А2 A3 R. R60 Ai A2 A3

% А А A % A A A

0 - - - 20 7,08110-6 6,874 10-7 1,297-10-7

1 1,867 10-4 8,003 10-7 1,796-10-7 30 4,12610-6 6,229 10-7 1,114-10-7

2 9,195 10-5 7,952^ 10-7 1,763-10-7 40 2,727^ 10-6 5,6110-7 9,667 10-8

3 6,038 10-5 7,910-7 1,73110-7 50 1,939 10-6 5,039 10-7 8,467 10-8

4 4,46110-5 7,847 10-7 1,710-7 100 5,995 10-7 2,998 10-7 4,848 10-8

5 3,51610-5 7,792 10-7 1,67 10-7 200 1,62110-7 1,31910-7 2,1910-8

10 1,633 10-5 7,502^ 10-7 1,5310-7 500 2,637^ 10-8 3,12610-8 5,556 10-9

На рисунке 4 представлена программа нахождения постоянных интегрирования средствами Mathcad для неоднородной трехслойной изоляции и построен график зависимости сопротивления Яц

от времени при питании от неидеального источника напряжения, которое изменяется по закону

R;i(' ) = -

Un

Id + A;e T; + A2e 72 + A;e 73

+

1

1

2

3

1

+

2

+

Рис. 4. Нахождение постоянных интегрирования для трехслойной изоляции с учетом внутреннего сопротивления источника напряжения Fig. 4. Finding the constant of integration for three-layer insulation based on the internal

the resistance of the voltage source

Для определения измеряемого сопротивления при Rв = 0 составим систему дифференциальных уравнений:

ducl C3 V R2 R1 J + C2 ^ UC 3 V R3 -

dt C2C3 + C1C3 + C2C1

duQ2 C1 f -N UC3 UC2 V R3 R2 j - C3 UC 2 V R2 -

dt C2C3 + C1C3 + C2C1

du^^ C1 ( ^ UC2 UC3 V R2 R3 J - C2 UC 3 V R3

Л

dt

"C1

R

i J

C1

R

i J

C1

R

1J

C2C3 + CiC + CC

.

Решим полученную систему при начальных условиях:

MCl(o) : UC 2(0) UC3(o) :

uC2C3

C2C3 + C1 C3 + C2 C1

uC1C3

C2C3 + C1C3 + C2 C1

uC2C1

C2C3 + C1C3 + C2C1

методом Рунге-Кутта [15; 16; 17; 18; 19; 20; 21] с помощью интегрированного пакета Mathcad, использовав стандартную функцию Odesolve. Зависимость измеряемого сопротивления от времени при питании от идеального источника напряжения, полученная в результате решения системы (27), приведена на рисунке 5.

Рис. 5. Программа расчета зависимости измеряемого сопротивления от времени без учета внутреннего сопротивления источника напряжения Fig. 5. The program for calculating the dependence of the measured resistance on time without taking into account the internal resistance of the voltage source

Сравнивая данные зависимостей от времени сопротивления неоднородной трехслойной изоляции при ее заряде от идеального источника питания R(t) и с учетом его внутреннего сопротивления

R11(t), получили результаты, показанные на рисунке 6. Для наглядности приняли внутреннее сопротивление, равное 10 % от одноминутного значения сопротивления изоляции.

Рис. 6. Зависимость сопротивления неоднородной трехслойной изоляции кабеля при ее заряде от времени без учета внутреннего сопротивления R

Заключение

Анализ и расчеты показали, что при питании трех слоев изоляции от идеального источника напряжения характеристическое уравнение имеет два корня. Эти корни совпадают с двумя постоянными времени, и кривая изменения сопротивления изоляции во времени может иметь две точки перегиба. В результате этого значение сопротивления в этой точке перегиба не равно половине установившегося значения сопротивления изоляции, как имело место быть в двухслойной изоляции, где характеристическое уравнение имело один корень, и можно было вести процесс измерения до точки перегиба для сокращения времени измерения.

А в том случае, когда внутреннее сопротивление источника питания не равно нулю, отмечаем,

что характеристическое уравнение имеет три корня, которым соответствуют три постоянных времени. Кривая, отражающая изменения сопротивления изоляции во времени, может иметь три точки перегиба. Для того чтобы воспользоваться измерением сопротивления изоляции в этих точках, величина внутреннего сопротивления должна составлять не более 1 % от одноминутного значения сопротивления изоляции.

С целью проверки правильности полученных значений корней характеристического уравнения построены графики, из которых видно, что кривые пересекают ось абсцисс в точках, значения которых равны постоянным времени. Найденные величины постоянных времени графическим методом подтверждены аналитическими расчетами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белоруссов Н. И., Саакян А. Е., Яковлева А. И. Электрические кабели и провода и шнуры. Справочник. М. : Энергоатомиздат, 1987. 536 с.

2. Серебряков А. С., Семенов Д. А. Анализ процессов при заряде неоднородной изоляции от источника постоянного напряжения // Актуальные проблемы электроэнергетики: материалы научно-технической конференции, НГТУ, Нижний Новгород, 2011. С. 120-130.

3. Холодный С. Д., Серебрянников С. В., Боев М. А. Методы испытаний и диагностики в электроизоляционной и кабельной технике : учебное пособие. М. : Издательский дом МЭИ, 2009. 232 с.

4. Васин В. П., Долин А. П. Ресурс изоляции силовых маслонаполненных трансформаторов // ЭЛЕКТРО. Электротехника, электроэнергетика, электротехническая промышленность. 2008. № 3. С. 12-17.

5. Gulski E., Smit J. J., Cichecki P., Seitz P. P., QuakB., Vries F., PetzoldF. Insulation Diagnosis of HV Power Cables // Proceedings Jicable '07. 7th International Conference on Insulated Power Cables, France, Versailles, June 2007, P. 51.

6. Seitz P. P., Quak B., Gulski E., Smit J. J., Cichecki P., Vries F., PetzoldF. Novel Method for On-site Testing and Diagnosis of Transmission Cables up to 250 kV // Proceedings Jicable '07. 7th International Conference on Insulated Power Cables, France, Versailles, June 2007, P. 16.

7. Weindl C. et al. Development of the p-factor in an accelerated ageing experiment of the MV PILC cables // Solid Dielectrics (ICSD), 2010 10th IEEE International Conference on. IEEE, 2010. P. 1-4.

8. Кононенко А. И., Хохряков А. В. Оценка состояния бумажной электрической изоляции по результатам измерений восстановленного напряжения научное издание // Электротехника. 2010. № 5. С. 47-55.

9. Серебряков А. С. Диагностика главной изоляции электродвигателей тягового подвижного состава российских железных дорог : монография. Москва : Московский государственный университет путей сообщения, 2014.276 с.

10. Автаев М. А. Устройство для измерения параметров корпусной изоляции тяговых электродвигателей: дис. канд. тех. наук: 05.22.07. Москва, 2007. 236 с.

11. Семенов Д. А., Сидорова А. В., Козяков Д. В. Анализ заряда трехслойной изоляции высоковольтных маслонаполненных кабелей с учетом внутреннего сопротивления источника напряжения // ЭЛЕКТРО. Электротехника, электроэнергетика, электротехническая промышленность. 2017. № 3. С. 21-25.

12. Апатенок Р. Ф. Элементы линейной алгебры / Под общей редакцией Р. Ф. Апатенок. Мн. : «Высшая школа», 1977. 256 с.

13. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : Учеб. для вузов. 12-е изд., испр. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. 312 с.

14. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1980. 176 с.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: справочник. Пер. с нем. 4-е изд., испр. М. : Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. 576 с.

16. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. M. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1969. 424 с.

17. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М. : Наука. 1987. 630 с.

18. Калиткин Н. Н. Численные методы. M. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1978. 512 с.

19. Самарский А. А. Введение в численные методы : Учеб. пособие для вузов.3-е изд., стер. СПб. : Издательство «Лань», 2005. 288с.

20. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы : Учеб. пособие для вузов. М. : Наука. Гл. ред. Физмат. лит. 1989. 432 с.

21. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров : Учеб. пособие. М. : Высш.шк., 1994. 544 с.

Дата поступления статьи в редакцию 15.03.2018, принята к публикации 24.04.2018.

Информация об авторах: Семенов Дмитрий Александрович, к.т.н., доцент кафедры «Электрификация и автоматизация» Адрес: Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, 606340, Россия, Княгинино, ул. Октябрьская, 22а E-mail: xxxmy@mail.ru Spin-код: 2154-8646

Сидорова Анна Владимировна, аспирант кафедры «Электрификация и автоматизация»

Адрес: Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, 606340, Россия, Княгинино, ул. Октябрьская, 22а E-mail: smanya11.05@mail.ru Spin-код: 1378-7994

Заявленный вклад авторов:

Семенов Дмитрий Александрович: научное руководство, формулирование основной концепции исследования, анализ и дополнение текста статьи.

Сидорова Анна Владимировна: сбор и обработка материалов, анализ полученных результатов, написание окончательного варианта текста.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

18

REFERENCES

1. Belorussov N. I., Saakyan A. E., Yakovleva A. I. Elektricheskie kabeli i provoda i shnury [Electrical cables and wires and cords], Spravochnik, Moscow: Publ. Ehnergoatomizdat, 1987. 536 p.

2. Serebryakov A. S., Semenov D. A. Analiz processov pri zaryade neodnorodnoj izolyacii ot istochnika po-stoyannogo napryazheniya [Analysis of processes at charge of inhomogeneous isolation from a constant voltage source], Aktual'nye problemy elektroehnergetiki: materialy nauchno-tekhnicheskoj konferencii [Actual problems of power industry: materials of scientific and technical conference], NGTU, Nizhnij Novgorod, 2011. pp. 120-130.

3. Holodnyj S. D., Serebryannikov S. V., Boev M. A. Metody ispytanij i diagnostiki v ehlektroizolyacionnoj i kabel'noj tekhnike [Methods of testing and diagnostics in electrical insulating and cable engineering], uchebnoe poso-bie. Moscow: Publ. MEHI, 2009. 232 p.

4. Vasin V. P., Dolin A. P. Resurs izolyacii silovyh maslonapolnennyh transformatorov [The online insulation oil-immersed power transformers], ELEKTRO. Elektrotekhnika, elektroehnergetika, elektrotekhnicheskaya promysh-lennost' [ELECTRO. Electrical engineering, power engineering, electrical industry], 2008. No. 3. pp. 12-17.

5. Gulski E., Smit J. J., Cichecki P., Seitz P. P., Quak B., Vries F., Petzold F. Insulation Diagnosis of HV Power Cables, Proceedings Jicable '07. 7th International Conference on Insulated Power Cables, France, Versailles, June 2007, pp. 51.

6. Seitz P. P., Quak B., Gulski E., Smit J. J., Cichecki P., Vries F., Petzold F. Novel Method for On-site Testing and Diagnosis of Transmission Cables up to 250 kV, Proceedings Jicable '07. 7th International Conference on Insulated Power Cables, France, Versailles, June 2007, pp. 16.

7. Weindl C. et al. Development of the p-factor in an accelerated ageing experiment of the MV PILC cables, Solid Dielectrics (ICSD), 2010 10th IEEE International Conference on. IEEE, 2010. pp. 1-4.

8. Kononenko A. I., Hohryakov A. V. Ocenka sostoyaniya bumazhnoj elektricheskoj izolyacii po rezul'tatam izmerenij vossta-novlennogo napryazheniya nauchnoe izdanie [Assessment of the state of paper electrical insulation by the results of measurements of the restored voltage scientific publication], Elektrotekhnika [Electrical engineering], 2010. No. 5. pp. 47-55.

9. Serebryakov A. S. Diagnostika glavnoj izolyacii elektrodvigatelej tyagovogo podvizhnogo sostava rossijskih zheleznyh dorog [Diagnostics of the main isolation of electric motors of the traction rolling stock of the Russian Railways], monografiya. Moscow: Moskovskij gosudarstvennyj universitet putej soobshcheniya, 2014. 276 p.

10. Avtaev M. A. Ustrojstvo dlya izmereniya parametrov korpusnoj izolyacii tyagovyh elektrodvigatelej [The device for measurement of parameters of case isolation of traction electric motors. Ph. D. (Engineering) diss.], Moscow, 2007. 236 p.

11. Semenov D. A., Sidorova A. V., Kozyakov D. V. Analiz zaryada trekhslojnoj izolyacii vysokovol'tnyh maslonapolnennyh kabelej s uchetom vnutrennego soprotivleniya istochnika napryazheniya [Charge analysis of three-layer insulation of high-voltage oil-filled cables taking into account the internal resistance of the voltage source], ELEKTRO. Elektrotekhnika, elektroehnergetika, elektrotekhnicheskaya promyshlennost [ELECTRO. Electrical engineering, power engineering, electrical industry], 2017. No. 3. pp. 21-25.

12. Apatenok R. F. Elementy linejnoj algebry [Elements of linear algebra], In R. F. Apatenok (ed.). Minsk: Publ. «Vysshaya shkola», 1977, 256 p.

13. Beklemishev D. V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry [Course of analytic geometry and linear algebra], Ucheb. dlya vuzov. 12-e izd., ispr. Moscow: Publ. FIZMATLIT, 2009. 312 p.

14. Bugrov YA. S., Nikol'skij S. M. Vysshaya matematika. Elementy linejnoj algebry i analiticheskoj geometrii [Higher mathematics. Elements of linear algebra and analytic geometry], Moscow: Nauka. Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury. 1980. 176 p.

15. Kamke Eh. Spravochnik po obyknovennym differencial'nym uravneniyam: spravochnik [Handbook of ordinary differential equations], Per. s nem. 4-e izd., ispr. Moscow: Nauka: Gl. red. fiz-mat. lit., 1971. 576 p.

16. Ehl'sgol'c L. Eh. Differencial'nye uravneniya i variacionnoe ischislenie [Differential equations and calculus of variations], Moscow: Nauka. Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury. 1969. 424 p.

17. Bahvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel'kov G. M. Chislennye metody [Numerical method], Moscow: Nauka. 1987. 630 p.

18. Kalitkin N. N. Chislennye metody [Numerical method], Moscow: Nauka. Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury. 1978. 512 p.

19. Samarskij A. A. Vvedenie v chislennye metody [Introduction to numerical methods], Ucheb. posobie dlya vuzov, 3-e izd., ster. Saint-Petersburg: Publ. «Lan'», 2005. 288 p.

Вестник НГИЭИ. 2018. № 5

20. Samarskij A. A., Gulin A. V. Chislennye metody [Numerical method], Ucheb. posobie dlya vuzov. Moscow : Nauka. Gl. red. Fiz-mat. lit. 1989. 432 p.

21. Amosov A. A., Dubinskij Yu. A., Kopchenova N. V. Vychislitel'nye metody dlya inzhenerov [Computational methods for engineers], Ucheb. posobie. Moscow: Vyssh. shk., 1994. 544 p.

Submitted 15.03.2018; revised 24.04.2018.

About the authors:

Dmitriy A. Semenov, Ph. D. (engineering), the associate professor of the chair «Electrification and automatization»

Address: Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, 606340, Russia, Knyaginino,

Oktyabrskaya Str., 22a

E-mail: xxxmy@mail.ru

Spin-код: 2154-8646

Anna V. Sidorova, the post-graduate student of the chair «Electrification and automatization» Address: Nizhniy Novgorod state engineering-economic university, 606340, Russia, Knyaginino, Oktyabrskaya Str., 22a E-mail: smanya11.05@mail.ru Spin-код: 1378-7994

Contribution of the authors:

Dmitriy A. Semenov: research supervision, developed the theoretical framework, analysing and supplementing the text. Anna V. Sidorova: collection and processing of materials, analysed data, writing the final text.

All authors have read and approved the final manuscript.

05.20.02 УДК 628.9

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНОСТИ НАПРЯЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ОСВЕЩЕНИЯ ПРИ ЕЕ РЕКОНСТРУКЦИИ В СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ

© 2018

Сергей Александрович Бугров, кандидат технических наук, директор ФГБУ Российское энергетическое агентство - Нижегородский ЦНТИ, Нижний Новгород

Павел Валерьевич Терентьев, кандидат технических наук, доцент кафедры «Механизация животноводства и электрификация сельского хозяйства» ФГБОУ ВО Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия, Нижний Новгород

Аннотация

Введение: вопросы электромагнитной совместимости играют важную роль при проектировании и эксплуатации систем электроснабжения. Статья посвящена изучению влияния светодиодных светильников на несинусоидальность напряжения на примере сельской школы.

Материалы и методы: объектом исследования является система освещения муниципального бюджетного образовательного учреждения «Средняя общеобразовательная сельская школа» (с. Серебрянка Кулебакского района, Нижегородской области).Практически все современные источники света (светодиодные, газоразрядные, индукционные лампы) имеют в своем составе специальные вспомогательные приспособления, необходимые для работы лампы. Например, люминесцентные лампы не могут работать напрямую подключенными к сети. Для работы им требуется пускорегулирующая аппаратура (nPA). Компактные люминесцентные лампы чаще всего для своей работы используют современную электронную пуско-регулирующую аппаратуру (ЭП-PA). С газоразрядными лампами высокого давления ситуация аналогичная, для корректной работы лампы (или для ее зажигания) требуется наличие nPA или ЭПРA. Для работы светодиодных ламп используются полупроводниковые преобразователи. Поэтому система освещения (как действующая, так и предлагаемая) рассматриваемой сельской школы является нелинейной нагрузкой. Исследования проведены при помощи моделирования системы электроснабжения сельской школы в программном продукте MATLAB Simulinkro элементов библиотек Simulink и SimpowerSystems.