Проблема связанных состояний в КЭД и лэмбовский сдвиг в мюонных атомах

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 1

Физико-математические пауки

2009

УДК 539.189.1

ПРОБЛЕМА СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ В КЭД И ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ В МЮОННЫХ АТОМАХ

Р.Х. Гайпутдипов, A.A. Мутыгуллипа, A.A. Васильев

Аннотация

В статье обсуждается проблема связанного состояния в квантовой электродинамике (КЭД). Показывается, что формализм адиабатической S-матрицы, с помощью которого обычно определяются радиационные поправки к энергетическим уровням атомов, представляет только приближённое решение, а также, что имеются существенные поправки к энергетическим уровням мюоппых атомов, которые невозможно получить при использовании формализма адиабатической S-матрицы.

Ключевые слова: связанные состояния, лэмбовский сдвиг, мюоппые атомы.

Введение

Мюонные атомы относят к так называемым экзотическим атомам. От обычных электронных атомов они отличаются тем. что один электрон заменен на мюон. который расположен к ядру гораздо ближе, чем электронные оболочки. Особый интерес для исследования представляет мюонный катализ ядерного синтеза в мюонной молекуле, или просто «холодный синтез». В мюонной молекуле вследствие близкого расположения ядер возможна реакция ядерного синтеза за счёт эффекта туннели-рования ядер через кулоновский барьер. В среднем один и тот же мюон может катализировать около 150 ядерных реакций в молекуле дейтерий-тритий-мюон. К сожалению, этого недостаточно, чтобы получить выигрыш в энергии, так как на производство мюонов и других частиц приходится затрачивать гораздо больше энергии. Чтобы увеличить число ядерных реакций, в последнее время появилось направление, связанное с осуществлением мюонного катализа ядерного синтеза в сверхинтенсивных лазерных полях [1]. Вероятно, в таких полях наиболее важное значение будут играть КЭД-эффекты. Другими практическими приложениями мюоппых атомов является изучение электромагнитной структуры атомных ядер и проверка на точность квантовой электродинамики. Но. с одной стороны, чтобы изучать атомные ядра, нужно быть уверенным в правильности КЭД связанных состояний. С другой стороны, чтобы проверять на точность КЭД. нужно быть уверенным в правильности описания эффектов, связанных со структурой ядра. В настоящее время одним из широко используемых подходов для описания КЭД-эффектов для связанных состояний является метод, основанный на формализме адиабатической Sa -матрицы. Эффективность этого подхода обусловлена тем, что проблема связанных состояний решается в терминах S-матрицы, для вычисления которой можно использовать стандартные методы теории перенормировок в КЭД. Цена, которую необходимо платить за эти удобства, заключается в том. что при этом игнорируются некоторые динамические процессы, поскольку временная

S

Для обычных атомов поправки к „тамбовскому сдвигу, связанные с такими процессами. являются достаточно малыми они не превышают точность, которая

в настоящее время достигается при экспериментальных исследованиях „тамбовского сдвига. Однако в мюонных атомах эти динамические процессы могут проявить себя в силу того, что взаимодействие мюона с вакуумом в поле тяжёлых ядер может быть очень существенным. В данной работе проблема связанных состояний в процессах взаимодействия мюона с ядром исследуется при помощи подхода к теории связанных состояний в КЭД [2]. основанного на формализме обобщённой квантовой динамики (ОКД) [3]. Этот подход является более общим и. что особенно важно, позволяет явно учитывать динамические процессы, которые опускаются при решении проблемы в рамках формализма адиабатической Ба -матрицы. Мы показываем. что соответствующие поправки к „тамбовскому сдвигу мюонных атомов могут по абсолютной величине уступать только поправке Юлинга.

1. Проблема связанных состояний в КЭД

Адиабатический формализм Гелл-Манна Лоу представляет собой некий способ переноса формализма S-матрнцы, развитого в квантовой электродинамике рассеяния свободных частиц, на случай КЭД-связанных состояний. Предполагается. что полный гамильтониан электрона в атоме можно записать в виде (в представлении взаимодействия) [4. с. 320 327: 5. с. 167 178]:

H

где Ho — гамильтониан Дирака, описывающий кулоновское взаимодействие электрона с ядром в атоме и рассматриваемый здесь как «свободный» (то есть невозмущенный) гамильтониан электрона в атоме. Уравнение на собственные состояния и собственные значения «свободного» гамильтониана имеет вид

HoH = ЕП0) Н,

где H и E(0) - собственные состояния и собственные значения гамильтониана Ho

состояний называется картиной Фарри, в которой взаимодействие электрона с ку-лоновским полем ядра уже учтено в нулевом приближении. Величина А играет здесь роль параметра, по которому проводится разложение в ряд теории возмущений; при этом надо помнить, что в действительности А = 1. Для того чтобы обеспечить применимость S-матричного формализма, необходимо, чтобы при временах t = гамильтониан возмущения H/(t) обращался в нуль. С другой стороны, невозможно отключить возмущающее взаимодействие в атоме, так как оно присутствует всегда. Чтобы обойти эту проблему, делается предположение о том,

H/

а

дится переход к пределу а ^ 0, как бы обратно возвращая взаимодействие на все времена. Тогда exp (—а |t |) будет адиабатически включать и выключать возмущающее взаимодействие H/ (t), и взаимодействие будет максимальным в момент t= 0

Ua(t,t0) и адиабатическую Sa-матрицу Sa = Ua(+TO, —то).

В рамках предложенного подхода адиабатической Sa -матрицы можно показать, что лэмбовский сдвиг для невырожденных состояний определяется формулой Гелл-Манна Лоу:

1 д

Еп - ем ее АЕп = lim - ihaX ln^S» =

а—>0 2 дА

lim - iha

a—>0 2

+ A3

3<n|sa3)in> - 3<n|sa2) in><n|sai)in>+Hs^H3

где sak) определяются по аналогии, как и

s«

в S-матричном формализме. Можно A

ми частями в смысле Дайсона, предел a ^ 0 можно взять до начала вычислений и соответствующий сдвиг уровня будет равен

неприв. 9 1 ^ I1)noiipnii.

/ IT/(k)| \ i • iH <n2|S(k)|n1>

n2—m 2n ö

где S(k) = lima—0 S« и Vff) - оператор эффективной потенциальной энергии. Выражение (5) даёт возможность в рамках адиабатического формализма для неприводимых частей использовать эффективные потенциалы, например потенциалы Юлинга (Uelilirig), Челлена Сабри (Ivälleri Sabry) и Уичмэна Кролла (Wichniann Kroll).

Sa

возмущений (то есть Sa1'1 и Sa2)) проведено в [6, с. 70-78]. В первом члене Sai) раз-

Sa

ром члене Sa2) только четыре слагаемых дают вклад в лэмбовский сдвиг в водоро-доподобном (то есть одноэлектронном) атоме: два слагаемых описывают процесс на рис. 1. а и ещё два процесс на рис. 1. б. Первая диаграмма описывает собственную энергию электрона в атоме, вторая поляризацию электрон-позптронного вакуума в атоме. Например, первая диаграмма даёт наибольший вклад в лэмбовский сдвиг в электронных атомах [7]: а вторая наибольший вклад в лэмбовский сдвиг в мю-онных атомах [8]. В общем случае диаграмму на рис. 1. б можно представить в виде разложения пропагатора для электрона во внешнем поле ядра по степеням взаимодействия с ядром (рис. 2) [6. с. 159 179]. Вклад первой диаграммы (рис. 2. б) равен нулю по теореме Фарри. Диаграмма на рис. 2. в даёт наибольший вклад в общую диаграмму (рис. 2. а), называется юлинговской частью и соответствует поправке Юлинга порядка a(Za). Диаграмма на рис. 2, г называется упчмэн-кролловской частью и соответствует поправке Уичмэна - Кролла порядков a(Za)3 и a(Za)5. В третьем члене

Sa3) нет вклада в лэмбовский сдвиг в водородоподобном атоме (<n|Sa3)|n> = 0). В четвёртом порядке теории возмущений (A4) можно выделить части, соответствующие поправке Челлена-Сабри порядка a2(Za). Здесь были указаны наиболее существенные поправки в результате эффектов поляризации вакуума.

Sa

ным при вычислении радиационных поправок к энергетическим уровням обычных атомов, у него имеется ряд недостатков, которые могут ограничить его применимость при вычислении этих поправок в мюонных атомах. Действительно, формула Гелл-Манна Лоу (4) представляет собой обобщение обычной формулы

En-E«»=AEn = ih lim

Здесь |n> - собственное состояние оиератора энергии H0 при отсутствии взаимо-

деиствия, En - энергия этого состояния.

а) б)

Рис. 1. а) Диаграмма Фейнмана, соответствующая собственной энергии электрона в атоме; б) диаграмма Фейнмана, соответствующая поляризации электрон-позитронного вакуума в атоме

Рис. 2. Разложения вакуумной диаграммы второго порядка на рис. 1, б по степеням взаимодействия с ядром: а) поляризация вакуума (то же самое, что и 1, б); б) вклад этой диаграммы равен нулю по теореме Фарри; в) часть Юлинга; г) часть Уичмэна - Кролла

В картине Фарри, которая используется при решении проблемы связанных состояний в КЭД, в качестве «свободных» рассматриваются состояния электронов или мюонов, взаимодействующих с кулоновским полем ядра так, что АЕп представляет собой поправку к энергии еП0) , обусловленную взаимодействием электронов с собственным Еп

чающегося из \п) при включении возмущающего взаимодействия. Вышесказанное означает, что при выводе формулы (6) предполагается, что возмущающее взаимодействие выключается при £ ^ го. Однако, как хорошо известно, в КЭД взаимодействие частиц с вакуумом не «выключается» ни в один момент времени. Для того чтобы обойти (но не решить!) эту проблему, в формализме адиабатической £а-матрицы вводится адиабатическое выключение возмущающего взаимодействия на бесконечных временах. Такое «мягкое» выключение позволяет надеяться, что после проведения вычислений с конечным параметром а, характеризующим скорость выключения возмущающего взаимодействия, можно определить истинную поправку к энергии, переходя к пределу а ^ 0. Однако тот факт, что, как мы видели, конечные формулы для АЕп выражаются через матричные элементы £-матрицы, построенные в базисе «голых» состояний \п), свидетельствует о том, что какая-то часть информации об истинном связанном состоянии при этом всё-таки теряется. Ниже мы продемонстрируем это на примере радиационных поправок в мюонных атомах.

2. Динамические поправки к лэмбовскому сдвигу

В работе [9] были получены оператор Грина и оператор эволюции, описывающие связанный с ядром мюон с учётом рождения и аннигиляции в их поле электрон-

позитронной пары. Оператор Грина построен на базисе собственных векторов |п) гамильтониана Дирака Н0 и имеет вид (дадее везде используется система Н = с =

где функция Сп(г) описывает взаимодействие атома с вакуумом. Энергия уровня определяется из условия полюса в гриновском операторе (7) при решении уравне-

г - ЕП0) - Сп

В работе [9] было получено условие на функцию Сп(г) для точечного ядра, которое можно представить в виде:

й „ . . . ч2 Г ¿3я . . ^а2 г '-л °' огг -х

-Cn(z) = 2(2n)2 J

dz ПУ > У ' J (2п)3 |q|4

Э

d3pi 4

¡,

i (2П)3 2Epi 2EP2 (z - E<0) - Epi - Ep2 - C„(z - Epi - Ep2 ))'

где pi и SP1 = + p2 импульс и энергия электрона: Р2 и ЕР2 = \/т2е + pj

импульс и энергия позитрона; p2 = q - pi и q — импульс, который переносится кулоновским фотоном. В уравнении (9) me есть физическая масса электрона и

Un

— OO

Разложение при малых значениях Cn (

z — Epi — Ep2 ) даёт следующее выражение:

2C

+ ....

1 2Cn(z - Epi - Ep2 ,

(z - E^0) - Epi - Ep^ (z - E^0) - Epi - Ep2) Используя разложение (11), уравнение (9) можно записать в следующем виде:

d3pi 4

(2n)3 2Epi2Ep2 (z - Ei0) - Epi - EP2)2

ЭС

d3q , -Za2 ^j3 n

dV 4

(2n)3 2Epi2Ep2 (z - Ei0) - Epi - EP2)3

x.

с граничными условиями из [9]. Тогда энергия уровня Е„ из уравнения (8) имеет вид

Еп = Е„0) + С„:)

Решение уравнения (12) с учётом граничного условия [9] задается формулой

Сп\=1-0)з 2С/" " £7»°)' 1И)'

где функция |д|) определяется как

сю

3 У ж3/2 - г2 + ^|2 + ¿0)

1

В свою очередь, СП1)(Е„) можно представить в виде разложения

<#>

л/\(\\2 + 4 т2ж 4 т 2 ж ^ ложения

¿=-Е<0)

Величина С„1)(Е„0)) есть в точности поправка Юлипга ДЕиеЬ, полученная в лидирующем порядке с помощью метода адиабатической £а-матрицы (рис. 2, в). Тогда величину

?(0~>

в (17) можно рассматривать как поправку к поправке Юлипга. Эту поправку можно назвать динамической, поскольку она представляет собой разность поправок, полученных в рамках формализма ОКД и формализма КЭД, во многом основанного на адиабатической гипотезе. Важно отметить, что динамические поправки невозможно получить на основе адиабатического формализма, в котором амплитуды рассматриваются только на массовой поверхности при г = Е„0). Использование формализма ОКД приводит к зависимости амплитуд от г и позволяет определить точное значение энергии уровня при г = Е„. В работе [10] динамическая поправка ДЕ„1")уп была рассчитана для тяжёлых мюонных атомов, и для мюонно-го свинца она оказалась сопоставима по величине с поправками Уичмэна Кролла и Челлена Сабри (табл. 1). Для мюонного водорода рассчитанная в работе [11] динамическая поправка ДЕ^ оказалась сопоставима с поправками Уичмэна-Кролла (табл. 1) и с поправками шестого порядка по теории возмущений (А6), вычисленными с помощью метода адиабатической £а-матрицы.

Таким образом, с ростом 2 динамические поправки увеличиваются быстрее, чем поправка Челлена Сабри. Наибольший интерес вызывает динамическая поправка С„2)(Е„), которая лежит в области |ДЕиеь| > |С„2)(Е„)| > |ДЕ„:)уп| и, возможно, уступает по величине только поправке Юлинга и превосходит все

остальные поправки на поляризацию электрон-позитронного вакуума. Решение

уравнения (13) с граничным условием С„ )(-то) = 0 имеет вид:

¿=Е<0)

+ С„2)^«)

х

Табл. 1

Сравнение динамической поправки ДЕ(1) (18) с поправками Юлинга ДЕиеь, Челлен-Сабри ДЕкэ и Уичмэна-Кролла ДЕ\ук для перехода 2pi/2 — 2si/2 в мюоппом водороде и мюоппом свипцо, значения в эВ

Элемент AE Ueh AEKS АЕ\\гк AE{d1] dvn

JH i8Pb -205.0282 • 10~3 13058 -1.5081 • 10~3 102 1.03 • 10~6 -104 3.18- 10-7 -20

где

+ оо

а2 / птт [ d3Pl ЦЕР1ЕР2 +pip2 -т2

t d3q' , ,ч Za2 , 2m? x

X J (2

— CO

x f dx 1/2)V^T ь_ И

' ж3/2 (4m2.x + |q'|2)2 - ^ml-x+lq'!2!'

l

z' — z — En0'1 — Ep — En

JP1 P2

Заключение

В данной работе показано, что из описания мюонных атомов в рамках формализма адиабатической £а-матрицы были упущены поправки к энергетическим уровням, оказавшиеся существенными. Эти дополнительные поправки, полученные в рамках ОКД-подхода, можно рассматривать как динамические поправки. Динамическая поправка ДЕ^,1)уп оказалась сопоставимой для мюонного водорода с поправкой Уичмэна Кролла, для мюонного свинца с поправками Челле-

на Сабри и Уичмэна Кролла. а поправка Сп (Еп) их превосходит и, возможно, уступает по абсолютной величине только поправке Юлинга. Таким образом, показано, что существуют поправки к лэмбовскому сдвигу в мюонных атомах, которые ранее в КЭД не учитывались и которые могут существенно влиять на предсказания теории.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-2965.2008.2.

Summary

R.Kh. Gainuttlinov, A.A. Mutygullina, A.A. Vasil'ev. The Bound States Problem in Quantum Electrodynamics and the Lamb Shift in Muonic Atoms.

The bound state problem in quantum electrodynamics is discussed. Adiabatic S-matrix formalism, with which radiative corrections to energy levels of atoms are usually evaluated, is stated to provide only an approximate solution. It is shown that the radiative corrections are significant to the energy levels of muonic atoms that can not be predicted by the adiabatic S

Key words: bound states. Lamb shift, muonic atoms.

Литература

1. Chelkuwski S., Bantlrauk A.D., Corkum P.B. Muonic molecules in superiut.euse laser fields // Pliys. Rev. Lett. 2004. V. 93, No 8. P. 083602-1 083602-4.

2. Гайиутдииоа P.X. Естественное ушнрепие спектральных лилий мпогозарядпых ионов и проблема поверхностных расходимостей // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. С. 1600 1613.

3. Gainutdinuv R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Pliys. A: Mat.li. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.

4. Шиебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. М.: Изд-во иностр. лит.. 1963. 842 с.

5. Веселое A4.Г., Лабзовский Л.Н. Теория атома. Строение электронных оболочек. М.: Наука, 1986. 327 с.

6. Лабзовский Л.Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессы излучения. М.: Физматлит, 1996. 304 с.

7. Suff.G., BednyakuvI., BeierT., Erler F., Guidenku I.A., Jentschura U.D., Labzuw-sky L.N., Nefiuduv A.V., Plunien G., Schützhuld R., Zschocke S. Effects of QED and beyond from the atomic binding energy // Hyperfine Interact. 2001. V. 132. P. 75 103.

8. Haya A., Horikawa Y., Toki H. Reanalysis of muonic 90Zr and 208Pb atoms // Phys. Rev. C. 2007. V. 75. P. 044315-1 044315-8.

9. Gainutdinuv R.Kh., Iyutlin A.S., Mutygullina A.A. Description of the polarization effects in the muonic atoms within the framework of generalized quantum dynamics // Proc. SPIE. 2006. V. 6181. P. 6181-1 6181-13.

10. Gainutdinuv R.Kh., Mutygullina A.A., Vasil'ev A.A. Effects of nonlocality of the interaction of a muon wit.li a nucleus on the Lamb shift in muonic atoms // Proc. SPIE. 2008. V. 7024. P. 7024-1 7024-11.

11. Васильев A.A., Гайиутдииоа P.X., Мутыгуллхша A.A. Поправки высших порядков к лэмбовскому сдвигу в мюоппом водороде // Учён. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 2. С. 79 85.

Поступила в редакцию 28.01.09

Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор

кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета.

E-mail: Renat.GainutdinuvOksu.ru

Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук,

доцепт кафедры общей физики Казанского государственного университета.

E-mail: Аigul.Mutygullina Qksu.ru

Васильев Александр Александрович аспирант кафедры оптики и папофотопики Казанского государственного университета.