Петр Евгеньевич Товстик к 75-летию со дня рождения

К 75-ЛЕТИЮ ТОВСТИКА ПЕТРА ЕВГЕНЬЕВИЧА

УДК 531

ПЕТР ЕВГЕНЬЕВИЧ ТОВСТИК

К 75-летию со дня рождения

28 декабря 2010 года исполнилось 75 лет со дня рождения одного из ведущих ученых Университета, Заслуженного деятеля науки РФ, лауреата Государственной премии РФ, Почетного профессора СПбГУ, заведующего кафедрой теоретической и прикладной механики математико-механического факультета, доктора физико-математических наук Петра Евгеньевича Товстика.

Вся его жизнь неразрывно связана с математикомеханическим факультетом. В 1958 году Петр Евгеньевич с отличием окончил факультет и был оставлен в аспирантуре. После защиты в 1963 году кандидатской диссертации он работал в лаборатории вибраций НИИММ ЛГУ. Защитив в 1968 году докторскую диссертацию, он стал доцентом, а затем профессором кафедры теоретической и прикладной механики.

С 1978 года он заведует этой кафедрой.

Первые научные исследования, выполненные П. Е. Товстиком в лаборатории вибраций НИИ математики и механики под руководством заведующего лабораторией доцента Г. Н. Бухаринова, были посвящены колебаниям винтовых пружин. Асимптотический анализ уравнений колебаний криволинейного стержня, имеющего форму винтовой линии, позволил обосновать некоторые явления, наблюдаемые в эксперименте.

Научные результаты, полученные Петром Евгеньевичем, принадлежат к различным областям механики. Особенно велик его вклад в теорию колебаний и устойчивости тонких оболочек и пластин. Для научного стиля П. Е. Товстика характерна умелая постановка задач и изящное их решение с использованием современного математического аппарата. Общие теоретические результаты в его работах неизменно сопровождаются решением доведенных до числа конкретных задач. При этом следует отметить, что Петр Евгеньевич хорошо знаком с современными компьютерными технологиями и собственноручно составил и отладил множество программ.

Исследования П. Е. Товстика в области колебаний оболочек вращения внесли существенный вклад не только в теорию оболочек, но и в теорию асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих интересных для

© Г.А.Леонов, Н.Ф.Морозов, С.А.Зегжда, В.С.Сабанеев, С.Б.Филиппов, М.П.Юшков, 2011

практики случаях классическая асимптотика оказывается непригодной из-за наличия на промежутке интегрирования точек поворота, в которых обращается в нуль один из коэффициентов уравнения колебаний. П. Е. Товстиком построены асимптотические разложения интегралов системы уравнений, описывающей осесимметричные колебания оболочек вращения в окрестности точек поворота. На основании полученных результатов разработан общий метод асимптотического интегрирования целого класса дифференциальных уравнений. Для неосесимметричных колебаний исследована зависимость поведения интегралов от числа волн в окружном направлении. Получены приближенные уравнения для определения частот колебаний как при наличии, так и при отсутствии точек поворота.

Перечисленные результаты, а также исследования Петра Евгеньевича по устойчивости оболочек вращения вошли в его докторскую диссертацию «Свободные колебания и устойчивость оболочек вращения». В 1970 году за цикл работ по теории оболочек он был удостоен первой премии Ленинградского университета. В дальнейшем были изучены низкочастотные и высокочастотные колебания оболочек вращения. Результаты исследований П. Е. Товстика по теории колебаний оболочек вращения опубликованы им в 1979 году [1].

Задачи устойчивости, рассматриваемые в линейном приближении, как и задачи о свободных колебаниях сводятся к решению краевых задач на собственные значения. Петр Евгеньевич нашел порядки критических нагрузок при потере устойчивости произвольной гладкой оболочки и выполнил качественный анализ форм потери устойчивости. Эти результаты служат ориентиром при построении асимптотических разложений и оказываются различными для оболочек положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. Проведен также анализ зависимости порядка критической нагрузки от закрепления краев оболочки.

Размеры и расположение вмятин, возникающих на срединной поверхности оболочки при потере устойчивости, зависят от функций, определяющих геометрию оболочки и начальных безмоментных усилий. В классических задачах теории устойчивости оболочек эти функции считаются постоянными, а вмятины покрывают всю срединную поверхность оболочки. Если же определяющие функции меняются при переходе от одной точки срединной поверхности к другой ее точке, то возникает локализация форм потери устойчивости.

В середине 1980-х годов Петр Евгеньевич разработал новый эффективный метод приближенного определения критических нагрузок и низших частот колебаний оболочек нулевой гауссовой кривизны. С его помощью получены решения задач теории устойчивости и колебаний оболочек, для которых характерна локализация форм колебаний и форм потери устойчивости вблизи так называемых наиболее слабых образующих. В указанных задачах, как правило, невозможно провести разделение переменных и свести решение уравнений в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Петр Евгеньевич построил приближенное асимптотическое решение двумерной краевой задачи путем решения последовательности одномерных краевых задач. Предложенный метод позволил найти простые приближенные решения множества актуальных задач теории оболочек, для которых ранее были известны лишь отдельные численные результаты. Применению и развитию этого метода посвящены докторские диссертации его учеников Г. И. Михасева и С. Б. Филиппова.

В работах Петра Евгеньевича рассмотрены также такие задачи потери устойчивости, при которых вмятины локализуются в окрестности слабо закрепленного края. Впервые эффект снижения критической нагрузки при сжатии пластины в связи с на-

личием свободного края был обнаружен академиком А. Ю. Ишлинским. Для оболочек этот эффект проявляется значительно сильнее, чем для пластин.

Результаты своих исследований по теории устойчивости оболочек Петр Евгеньевич изложил в монографиях [2] и [3]. В 1998 году за труды по теории оболочек ему присуждена Государственная премия РФ.

В нелинейных задачах погрешность теории оболочек возрастает с увеличением деформаций, причем основную неточность вносят соотношения упругости. В работах П. Е. Товстика из трехмерных уравнений теории упругости выведены уточненные соотношения упругости, при использовании которых погрешность нелинейной теории оболочек имеет порядок безразмерной толщины оболочки в достаточно широком диапазоне изменения деформаций. Уточненные соотношения упругости позволили, в частности, исследовать большие осесимметричные деформации оболочки вращения. Уточненные соотношения упругости являются новым фундаментальным результатом нелинейной теории оболочек. Они вошли в монографию [4], за которую ее авторам, в том числе Петру Евгеньевичу, в 2002 году присуждена Университетская премия первой степени.

Научные интересы П. Е. Товстика никогда не ограничивались исследованиями в области теории оболочек. Долгие годы он руководил многочисленными и разнообразными хоздоговорными работами, выполнявшимся и по Постановлениям Правительства СССР. Удивительная интуиция помогала ему сразу же выделять основные черты изучаемых механических систем и создавать для них превосходные математические модели.

В рамках многолетнего сотрудничества с Государственным оптическим институтом имени С. И. Вавилова был выполнен большой цикл работ, связанных с расчетом облегченных металлических зеркал телескопов. Для успешной эксплуатации телескопа должны быть выполнены очень жесткие ограничения на прогиб отражающей поверхности зеркала, который существенно зависит от расположения точек крепления опор зеркала. Для решения этой проблемы разработаны приближенные методы расчета деформации зеркал, а также методы определения оптимального расположения опор [5].

В 1992 году в связи с задачей расчета кварцевых резонаторов Петр Евгеньевич проанализировал сложную проблему определения высокочастотного спектра пластины переменной толщины. Используя асимптотический подход к трехмерным динамическим уравнениям теории упругости, он нашел высокочастотные формы колебаний пластины, локализованные в окрестности максимума ее толщины [6].

С 1994 Петр Евгеньевич принимает активное участие в построении механических моделей глаза. Предложенные им модели используются при разработке методики хирургических глазных операций, для описания процессов развития патологических изменений глаза и различных способов измерения внутриглазного давления. Некоторые результаты, полученные им в этой области, отражены в монографии [7].

В последние годы внимание Петра Евгеньевича привлекают неклассические модели в задачах динамики и устойчивости тонких оболочек. К ним относятся, в частности, модели многослойных оболочек, анизотропных оболочек и оболочек, лежащих на упругом основании. В настоящее время активно развивается теория наноструктур, для определения свойств которых также применяются неклассические модели теории оболочек и пластин. Важные результаты по вычислению характеристик нанообъектов и описанию процессов их изготовления получены П. Е. Товстиком совместно с сотрудниками кафедры теории упругости и Института проблем машиноведения АН РФ.

Локальный подход, при котором переменные коэффициенты уравнений замораживаются, граничные условия игнорируются, а решение ищется в виде двояко-периодической функции, использован П. Е. Товстиком при исследовании устойчивости оболочек

и пластин, лежащих на упругом основании. Для ряда задач получены явные приближенные аналитические решения [8].

Уточненные соотношения упругости, выведенные первоначально для однослойных оболочек [3], получены теперь и для многослойных. Проведено сравнение двухмерной и трехмерной теорий многослойных оболочек, исследована устойчивость многослойной оболочки при осевом сжатии. Разработана двумерная теория анизотропных оболочек вращения, армированных нелинейно упругими нитями, не воспринимающими сжимающих усилий. В качестве примера решена задача о равновесии цилиндрической оболочки под действием равномерного внутреннего давления.

Показано, что использование стандартных гипотез Кирхгофа—Лява или Тимошенко—Рейсснера для пластин и оболочек, изготовленных из материала с косой анизотропией, не приводит к корректным двухмерным уравнениям. В статье [9] впервые получены асимптотически корректные двухмерные уравнения изгиба и малых поперечных колебаний пластины из анизотропного материала общего вида. Эти уравнения являются одним из фундаментальных результатов общей теории оболочек и пластин.

Исследования П. Е. Товстика и его ученика Г. И. Михасева, посвященные локализации колебаний и волн в тонких оболочках, отражены в монографии [10], которая содержит много новых интересных результатов. П. Е. Товстику принадлежит более 200 научных публикаций, в том числе 8 монографий. Им создана научная школа по применению асимптотических методов для изучения колебаний и устойчивости тонких оболочек. Среди его учеников 5 докторов наук и более 30 кандидатов наук. Совместно со своими ученикам он написал несколько отличных учебников по применению асимптотических методов в механике твердых тел.

Петр Евгеньевич заботливо относится к научному росту сотрудников кафедры, которую он возглавляет уже 33 года. При вступлении в должность заведующего кафедрой он был единственным профессором на ней. В настоящее время на кафедре работают еще шесть профессоров. Все они являются ее выпускниками. Широта интересов П. Е. Товстика позволяет ему развивать научные направления, которые были на кафедре при его предшественнике Н. Н. Поляхове. Продолжает успешно работать школа по аналитической механике. В 2000 году издательством «Высшая школа» опубликовано второе издание учебника по теоретической механике для университетов, а в 2009 году издательство «Шпрингер» выпустило на английском языке монографию С. А. Зегжды, Ш. Х. Солтаханова, М. П. Юшкова «Неголономная механика. Теория и приложения». Редактором этих изданий был Петр Евгеньевич.

П. Е. Товстик обладает энциклопедическими знаниями почти во всех разделах современной механики. Он занимался задачами о движении тел в жидкости, системами со случайными силами, странными аттракторами. К нему обращаются за консультациями не только аспиранты, сотрудники кафедры и факультета, но даже совершенно посторонние люди. И все они получают четкие и ясные ответы на свои вопросы. Не удивительно, что Петр Евгеньевич пользуется большим авторитетом у всех, кто его знает.

Петр Евгеньевич всегда вел большую научно-общественную работу. В настоящее время он является членом Национального комитета России по теоретической и прикладной механике, председателем секции теоретической механики имени Н. Н. Поля-хова Санкт-Петербургского Дома ученых РАН, членом Ученого Совета Санкт-Петербургского университета.

Петр Евгеньевич награжден орденом Почета, Почетным знаком «За отличные успехи в работе в области высшего образования СССР» и Почетной грамотой университета

«За педагогическое мастерство и подготовку научных кадров». Следует отметить, что полученные им награды и премии Петр Евгеньевич не считает личной заслугой, а воспринимает их как положительную оценку деятельности всей кафедры.

Руководя ученым советом, принимающим к защите докторские и кандидатские диссертаций по трем основным направлениям механики, Петр Евгеньевич тщательно изучает все подаваемые в совет диссертации и дает им точную и объективную оценку. При обнаружении в работе недостатков он объясняет соискателю, как их следует устранить. Это относится не только к диссертациям, но и к статьям для журнала «Вестник СПбГУ». Так исключительно ответственно и всегда доброжелательно по отношению к авторам Петр Евгеньевич выполняет свои обязанности ответственного редактора серии «Математика. Механика. Астрономия».

Петр Евгеньевич встретил свой юбилей в расцвете творческих сил. Желаем дорогому Петру Евгеньевичу счастья в личной жизни, дальнейших научных успехов и здоровья.

Г. А. Леонов, Н. Ф. Морозов, С'. А. Зегжда, В. С'. Сабанеев, С'. Б. Филиппов, М. П. Юшков

Литература

1. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

3. Tovstik P.E., Smirnov A. L. Asymptotic methods in the buckling theory of elastic Shells. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific Publishing Co Ltd., 2001. 347 p.

4. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 388 с.

5. Бауэр С. М., Ковалев А. М., Петров М. Б., Тихомиров В. В., Товстик П. Е., Ули-тин М. И., Филиппов С. Б. Расчет и оптимизация металлических зеркал телескопов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 228 с.

6. Товстик П. Е. Свободные высокочастотные колебания пластин переменной толщины // Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 1994. №4. С. 162-170.

7. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 92 с.

8. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 2005, №1. С. 147-160.

9. Товстик П. Е. Двухмерные модели пластин из анизотропного материала // ДАН РФ. Т. 425, 2009. №4. С.487-491.

10. Михасев Г. И., Товстик П. Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптотические методы. Наука. Физматлит, 2009. 352 с.

Статья поступила в редакцию 24 сентября 2010 г.