Относительные равновесия в задаче о движении треугольника и точки под действием сил взаимного притяжения

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Физматлит, 1987.

13. Udaykumar H.S., Tran L, Belk D.M., Vanden K.J. An Eulerian method for computation of multimaterial impact with ENO shock-capturing and sharp interfaces //J. Comp. Phys. 2003. 186. 136-177.

Поступила в редакцию 03.09.2012

УДК 531.5

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАВНОВЕСИЯ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ

В. И. Никонов1

Изучается плоская задача о движении треугольника, в вершинах которого сосредоточены массы, и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Находятся стационарные конфигурации и исследуются достаточные условия их устойчивости. Обсуждается вопрос о применимости барицентрических координат при решении такого рода задач.

Ключевые слова: обобщенная задача двух тел, относительные равновесия, устойчивость, бифуркационные диаграммы Пуанкаре, бифуркационные диаграммы Смейла, области возможного движения, барицентрические координаты.

The planar motion of a massive triangle and a point under the action of mutual Newtonian attraction is considered. The steady-state configurations are found and the sufficient conditions of their stability are studied. The applicability of barycentric coordinates are discussed for such problems.

Key words: generalized two-bodies problem, relative equilibria, stability, Poincare's bifurcation diagrams, Smale's bifurcation diagrams, feasible motion regions, barycentric coordinates.

1. Постановка задачи. Неограниченные задачи, когда не делается предположение о приближении потенциала ньютоновских сил, рассматриваются в работах [1-4]. В работе [1] исследована задача о движении двух взаимно гравитирующих симметричных гантелей. В продолжение тематики в работе [2] рассмотрена плоская задача о стационарных движениях двух взаимно гравитирующих несимметричных гантелей, в работе [3] — задача о движении твердого тела крестообразной формы и материальной точки под действием сил взаимного притяжения. Отметим, что крест представлял собой пару невесомых взаимно перпендикулярных стержней, делящихся в точке их пересечения пополам. Кроме того, на каждом из концов стержня сосредоточены одинаковые массы. Близкая задача рассматривалась в работе [4]. Изучалось плоское движение системы двух взаимно гравитирующих тел, одно из которых — материальная точка, а другое — однородный стержень. В работе [5] исследуется вопрос о существовании положений относительного равновесия в случае, когда точка пренебрежимо малой массы движется под действием притяжения трех массивных точек, образующих правильный треугольник и вращающихся вокруг общего центра масс, т.е. образующих лагранжеву стационарную конфигурацию. В отличие от этой работы в предлагаемом исследовании не делается предположений о малости четвертой гравитирующей массивной точки.

Рассматривается задача о движении треугольника Â1Â2A3, в вершинах которого сосредоточены массы Ш\, Ш2, Шз, и точки P массы m под действием сил взаимного ньютоновского притяжения. Предполагается, что AÂ1Â2Â3 и точка P остаются в одной неподвижной плоскости во все время движения. Пусть

M = Ш1 + Ш2 + Шз ; IA1A21 = 13 (1,2,3), где (1,2,3) — циклическая перестановка индексов.

1 Никонов Василий Иванович — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikon v@list.ru.

Центр масс треугольника С и центр масс всей системы 5 определяются соотношениями

Ш1СЛх + Ш2СЛ2 + тз САз = 0, М БС + тБР = 0.

Пусть также — момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через его центр масс — точку С — и перпендикулярной его плоскости.

Без нарушения общности можно считать, что точка 5 — начало абсолютной системы координат 8X1X2X3, оси 5X1 и 5X2 которой располагаются в плоскости движения.

Введем подвижную систему координат. Пусть ее начало находится в точке 5, ось 5ж1 проходит через точку Р, а оставшиеся выбраны так, чтобы репер был правым. Изучать движения системы будем в подвижном репере, тогда в уравнении движения необходимо учитывать силы инерции — переносную и кориолисову. Так как нас будут интересовать только стационарные конфигурации, то сила Кориолиса занулится, а от переносной силы останется лишь центробежная часть.

Таким образом, стационарные конфигурации находятся как критические точки потенциала

и = ис + им,

где потенциал центробежных сил и с и потенциал ньютоновского тяготения им имеют вид

1 Р2 т 1

ис = - —г, им = -тС^2—, Р1 = (РА1,РА1)^ (1,2,3).

2 " рг

г

Здесь и далее Рф — постоянная интеграла площадей; С — константа всемирного тяготения; р — расстояние между точкой Р и точкой С; ] — момент инерции системы в целом относительно оси, проходящей через 5 и перпендикулярной плоскости движения, который определяется как

7 = т(8Р,8Р) + ^тг(8Аь8А;) = /хр2 + ц= Р=( РС,РС)^,

г

причем, согласно формуле Якоби [6, с. 66],

= гп1т2(А1А2, А1А2) = ^ шггпЛ

2. Основные величины в барицентрических координатах. Для описания свойств установившихся движений можно воспользоваться системой барицентрических координат [6], связанной с ДА4А2А3. По определению барицентрические координаты точки Р на плоскости — это тройка чисел (Ж1,Ж2,Ж3), таких, что

Ж1 + Ж2 + Х3 = 1,

задающих "массы" Ж1, Ж2, Ж3, которые следует поместить в точки А1, А2, А3 соответственно, чтобы точка Р была их центром масс. Тогда

ОР = Ж1ОР1 + Ж2ОР2 + Ж3ОР3.

В этой системе координат вершины А1, А2, А3 задаются тройками чисел (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) соответственно, центр масс треугольника С задается тройкой (^1,^2,^3), Цг = тг/М.

Определение барицентрических координат не зависит от выбора точки О. Для удобства в качестве точки О возьмем точку С. Тогда в барицентрических координатах

р= (СР,СР)^ = (Ж1СР1 +ж2СР2 +Ж3СР3,Ж1СР1 +ж2СР2 +ж3СР3)^ = (Лх, х) ^,

где Л = ||Лг^ || — матрица, такая, что Лц = (СР1, СР_^). С учетом разложений

Р1Р = Р1С + СР = Р1С + Ж1СР1 + Ж2СР2 + Ж3СР3 =

аналогично получаем выражения для рг, г = 1, 2, 3:

р1 (у 1) = (Р1Р,Р1Р)^ = (Луьу!)^, у 1 = (-(ж2 +ж3),ж2,ж3)т;

Р2(У2) = (РгР, Р2Р)2 = (Лу2, у2)2, У2 = {хь-{XI + х3),х3)т; Рз(уз) = (Р3Р,Р3Р)^ = (Луз,уз)^, Уз = (х1,Х2,-(х1 + х2))т.

Таким образом, функции р, р1, р2, рз являются однородными функциями первой степени от Х\, Х2, Хз.

Выпишем явный вид элементов матрицы Л. Для этого необходимо определить шесть скалярных произведений вида (СР1, CPj), где г ^ ], г = 1,2,3, ] = 1,2,3. Согласно определению центра масс треугольника, имеем

Ш1СРх + Ш2СР2 + тзСРз = 0.

Домножая это соотношение скалярно последовательно на СРц, СР2, СР3, находим три уравнения

Ш1(СРх, СР1) + Ш2(СР2, СР1) + тз(СРз, СР1) = 0,

Ш1

Ш1(СР1, СРз) + Ш2(СР2, СРз) + тз(СРз, СРз) = 0.

Далее,

Р1Р2 = СР2 - СР1

Возводя в квадрат левую и правую части (4), получаем

(СР2, СР2) - 2(СР2, СР1) + (СР1, СР1) = ¿2,

(СРз, СРз) - 2(СРз, СР2) + (СР2, СР2) = ¿2, (СР1, СР1) - 2(СР1, СРз) + (СРз, СРз) = ¿2.

Тогда

(СР1, СР2) = (СР22 + СР12 - ¿з)/2,

(СРз, СР1) = (СР12 + СРз2 - ¿2)/2.

Подставляя эти соотношения в (3), находим

1\т\ + 1\т\ + (-12 + £22 + 1\)т2т3

(СРьСРх) = з ^ ~ з ~ (1)2)3)_

Откуда ввиду (5) имеем

3. Критические точки приведенного потенциала. В силу зависимости между собой переменных Х1, Х2, Хз для определения критических точек приведенного потенциала (1) применим функцию

WА = и + А(Х1 + Х2 + Хз - 1). Тогда критические точки будут описываться уравнениями

дША 1 2 дЗ А Шг дрг

Ж = + Х = °

г=1 '

где и = Рф/З. Эти уравнения следует рассматривать вместе с уравнением (2), выражающим зависимость переменных.

Домножение г-го уравнения системы (6) на Хг и суммирование всех уравнений позволяют с помощью (2) и условий однородности рг найти выражение для А:

1 2( дЗ дЗ дЗ\ /ш1 Ш2 ш3\

Х = - со [хг ---Ь х2 ---Ь х3 — ) - От [--1---1--.

2 \ дХ1 дХ2 дХз \р1 р2 рз

Подстановка (7) в (6) дает систему уравнений

и2 ^ ( дЗ дЗ \ ^ ^ тг (дрг \

+

позволяющую найти стационарные конфигурации в зависимости от и2.

Система (8) существенно нелинейна, поиск ее решения в общем случае не представляется возможным. С другой стороны, если выразить из первых двух уравнений (6) величины и2 и Л и подставить найденные выражения в третье уравнение, то получим уравнение f (Ж1,Ж2,Ж3) = 0, где

3

^ dxi ^ р2 \дх2 дх3

f дхг ^

(1,2,3) 1 1=1

задает двумерную поверхность в пространстве R3(xl,x2,xз). Ее пересечение с плоскостью (2) определяет одномерное множество Г возможных стационарных конфигураций.

4. Частное решение I. Хорошо известно, что твердое плоское тело в отсутствие внешних сил может вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной его плоскости, с произвольной постоянной угловой скоростью. Поместим в этот центр масс точку Р. Рассматриваемая система будет находиться в равновесии, если выполняется равенство

(miAiP m2A2P ШЗАЗР\

С другой стороны, из определения центра масс получим

miAxP + Ш2А2Р + тзАзР = 0.

Из (9) и (10) будем иметь соответственно

33

А3Р = -ТЩ AlP - А2Р, А3Р = —— AiP — — А2Р.

тзр1 тзр2 тз тз

Но разложение по базису единственно. Поэтому

з з

rriip'l т i Ш2Р3 тг

m3pf m3' m3pl m3'

откуда pi = p2 = рз, и, значит, центр масс треугольника должен совпадать с центром его описанной окружности.

Утверждение. Если центр масс C треугольника A1A2Аз совпадает с центром O его описанной окружности, то существует стационарное движение, при котором точки C и P совпадают, а сам треугольник вращается вокруг своего центра масс с постоянной угловой скоростью.

Известно [6], что барицентрические координаты имеют прозрачный геометрический смысл: Xi = Si/S (i = 1, 2, 3), где S1 — ориентированная площадь треугольника РА2Аз (1, 2, 3), а S — ориентированная площадь треугольника А^2Аз. Пусть R — радиус окружности, описанной около ДА^2Аз. Тогда

S1 = -R2 sin 2а = R2 sin «eos а = R2 % У^ЩЕК = К =

2 2R 2R 4 V 4S

Площадь ДА1А2Аз, согласно формуле Герона, имеет вид

5 = -^{h +Í2+ 4) Mi +Í2+ £гМ ~ ¿2 + Шл +¿2- 4).

Тогда данное стационарное движение существует, если выполнено условие

Нетрудно видеть, что значения масс оказываются положительными лишь в случае, когда центр описанной окружности находится внутри ДА^2Аз, т.е. этот треугольник остроугольный.

5. Достаточные условия устойчивости частного решения I. Согласно [7], условия знакоопределенности ограничения второй вариации 52 ша функции ша на линейном многообразии 5х1 + 5х2 + 5хз = 0 можно найти, исследуя матрицу

0

X =

1

1

д2\УА дх\ д2\УА дх2дх1 02ша

1

д2ША

1

д2ША

дх1дх2 дх1дхз д2ША д2ША дх\ дх2дх3 )2ша )2шА

Хз Х1 Хз Х2

дхз

1

0 1

д2ША

т

дх2

/

где 1 — вектор-строка (1,1,1). Если Е — единичная матрица размером 3 х 3, то уравнение на собственные значения этого ограничения имеет вид

Р2

0

1

Р2(а) =

1

т

)2ша

- аЕ

с = £

д2\Ух дх1дх2

2

дх2

))2ша )2шА

дх1дх2 дх1дхз дх12 дх2

= -3а2 + 2Ва + С,

д2Шх д2Шх д2Шх д2Шх

2

дх1дхз дх22

„ д2ША д2ША д2ША В = -тг—^ + —+

д2ША

д2ША д2ША

х12 х22

хз2

1 Рф д23 Р2Ф

2 З2 дхг2 З3

дЗ_

х1

д2\УА

х12

д2\УА _

х1 х2 2 З2 х1 х2 Зз х1 х2

+

х1 х2 х1 хз

Шг д2 рг

р2 дх12

2

Шг

рз

х2 хз

Эрг дх1_

(1,2, 3),

1 Р2 д2З

Рф дЗ дЗ

__ и ° | У ии | Ста V 2 З2 х х Зз х х р2

д2 рг

рг2 х1 х2

_2т. др%_ дрЛ

р\ дх\ дх2 )

(1,2,3).

Оба корня уравнения (11) вещественны. По теореме Виета если В > 0 и С < 0, то степень неустойчивости % = 0 и движение устойчиво по Ляпунову. Если С > 0, то степень неустойчивости % =1 и движение неустойчиво. Если В < 0 и С < 0, то степень неустойчивости % = 2 и имеется возможность гироскопической стабилизации.

Рассмотрим случай равностороннего треугольника со стороной ¿. Массы, лежащие в вершинах, будут равны Шз. Тогда на найденном стационарном движении

_с„9Уз ( л/3 | 9тС

2£2 т3(Зт3 + т) ^ 4£ ~ Г + 2 ) 21 < и'

С=

27ш2

Р 4

Р -

27 лДС

Ш

4¿4ш2

У =

Р2 Р -

Р2 Р

81С2

Ш

Ш2

/2 г- 3\ 27т2С2

> 0.

С£шз

Таким образом, в случае равностороннего треугольника имеется возможность гироскопической стабилизации.

6. Частное решение II. Рассмотрим частный случай, когда задача обладает симметрией. Задачам такого рода посвящены работы [8-10]. Пусть Ш1 = Ш2, ¿1 = ¿2. В этом случае ДА^А^Аз равнобедренный и его распределение масс симметрично относительно оси геометрической симметрии. Тогда существует семейство частных решений, на которых Х1 = Х2 = х, Хз = 1 - 2х, и система уравнений (8) сведется к двум уравнениям

1

1

2

х2 Хп

// 1= 1

х= 1 Х = 2

А- 1

___*

-----X = 1

х и

т + М

2 X —

т + М

№

№ з' ч

Рз Р1

- С Ч + 2Ц- \х - Ц = 0.

Р3

Р1

х —

И1

р\

0,

Р1

Нетрудно проверить, что решение х = 0 не удовлетворяет первому уравнению, в то время как значение х = 1/2 существу' р2 _ С{{М2 - IЬ,,п,пл + 2{£2{т + 2щ2) + Цт^т,)2 ет при Рф - 2

В силу неравенства треугольника выражение 4^2 — ¿3 в нуль не обращается.

Если массы в вершинах правильного треугольника равны, то при х*=1/3 оба уравнения системы (14) удовлетворяются при любом значении параметра и, а следовательно, и Р2.

Полагая равными единице размерно-независимые величины С, т, р/3, где р = ¿1 +¿2 +¿3, представим условие равенства нулю общего сомножителя уравнений (14) в виде

Рис. 1. Диаграмма Пуанкаре: т = 1,

т-1 = т-2 = тз = 1, ¿1 = ¿2 = ¿3 = 1

Р2

,Г2{1 +М)

'Мч

р\

№ ' 3 Р33

х

рЬ

График найденной зависимости представлен на рис. 1. В случае правильного треугольника, в вершинах которого лежат массы, равные массе точки Р, функция (15) обращается в нуль в точке хо ^ 0,428 239, она также достигает своих локальных минимумов в точке х1 ~ —1,012 376: Р2(х1) ~ 8,860181 и в точке

Хз ~ 0,428 239: Р'ф(хз) & 8,042 873 и своего локального максимума в точке х2 = 2/3: Р'ф(х2) = 125 \/3/16.

7. Достаточные условия устойчивости частного решения II. Условия знакоопределенности ограничения второй вариации 52Ш\ функции на линейном многообразии 5х1 + 5х2 + 5хз = 0 будем искать, как в п. 5. Таким образом, нам необходимо выяснить знаки выражений (12) и (13). Для определенности рассмотрим частный случай изучаемой системы — равносторонний треугольник. Массы т1, т2, тз равны массе т.

Рис. 2. Диаграмма Смейла: т = 1, т1 = т2 = тз = 1, ¿1 = ¿2 = ¿з = 1

Отметим, что решению х* = 1/3 соответствует % = 2. Этот случай подробно рассмотрен в п. 4. В точках х1, х2, хз происходит смена степени неустойчивости. Так, % = 0 и имеет место вековая устойчи-

Y О

• •

в

вость при ж € (—го,Ж1); X = 1 и решение неустойчиво при ж € [ж1, 0) и [жо,ж2] и (ж3, то); х = 2 и возможна гироскопическая стабилизация при ж € (ж2, Ж3] и {1/3}.

Заметим, что значению Жо отвечает положение равновесия точки Р под действием притяжения со стороны правильного треугольника с равными массами в вершинах, причем соответствующее положение равновесия не совпадает с точкой пересечения осей симметрии треугольника. Для данной задачи таких положений равновесия три, и они, вообще говоря, не исчезают в случае, когда равны лишь две массы в вершинах треугольника. Таким образом, когда притягивающая точка находится внутри покоящегося треугольника, имеются как минимум четыре равновесия: три седла и максимум с координатами соответственно

На рис. 2 представлена диаграмма Смейла, на которой изображена кривая, разбивающая пространство координат (Рф,К), где К — константа интеграла энергии, на двенадцать областей (А, В, С, П, Е, Р, С, Н, I, З, К, Ь). Каждой из этих областей соответствуют области возможных движений с отличительными топологиями, выделенные на рис. 3 темным цветом.

А О

А

Рис. 3. Области возможных движений (темный цвет) (1/3; 1/3; 1/3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карапетян А.В., Шаракин С.А. О стационарных движениях двух взаимно гравитирующих тел и их устойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 3. 42-48.

2. Муницына М.А. О стационарных движениях двух взаимно гравитирующих тел и их устойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 6. 38-42.

3. Буров А.А., Карапетян А.В. О движении крестообразных тел // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1995. № 6. 14-18.

4. Карапетян А.В., Сахокиа И.Д. О бифуркации и устойчивости стационарных движений двух гравитирующих тел // Прикл. матем. и механ. 1992. 56, вып. 6. 935-938.

5. Budzko D.A., Prokopenya A.N. Stability of equilibrium positions in the spatial circular restricted four-body problem // Computer Algebra in Scientific Computing. Lect. Notes Comput. Sci. Vol. 7442. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. 72-83.

6. Балк Ы.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

7. Степанов С.Я. Симметризация критериев знакоопределенности симметричных квадратичных форм // Прикл. матем. и механ. 2002. 66, вып. 6. 979-987.

8. Буров А.А. О динамике тел, допускающих симметрии // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: Вычислительный центр РАН, 1993. 3-12.

9. Buchin V., Burov A., Troger H. A dumb-bell satellite with a cabin. Existence and stability of relative equilibria // Electronic Proc. 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conf. (ENOC 2008). St. Petersburg: Inst. for Problems of Mechanical Engineering, 2008. Paper N 246.

10. Суликашвили Р.С. Об устойчивости стационарных движений тел с шаровым тензором инерции в ньютоновском поле сил // Прикл. матем. и механ. 1987. 51, вып. 5. 758-762.

Поступила в редакцию 20.02.2013