Об использовании методов нелинейной динамики для анализа эволюции макроэкономических систем

следования и разработку нанотехнологий осуществляют более 150 научных организаций с численностью около 20 тыс. исследователей. Все эти факторы и являются важнейшими предпосылками становления наноиндустрии, тем самым окошком возможностей инновационного прорыва в новый нарождающийся технологический уклад.

Библиографический список

1. Азоев Г. Л. Маркетинговый анализ рынка нанопродуктов (Результаты аналитического проекта) // Маркетинг. - № 5 (108). - 2009. - Центр маркетинговых исследований и менеджмента. -2009; Балабанов В.И. Нанотехнологии. Наука будущего / В.И. Балабанов. - М.: ЭКСМО, 2009. - 256 с.

2. Ковалев А.И., Кузнецов А.Е. Проблемы и перспективы развития мирового рынка нанотехнологий // Материалы 24-й Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Реформы в России и проблемы управления - 2009». - М.: ГУУ. - 2009.

3. Ковалев А.И. Концептуальные модели прогноза глобального нанорынка и его структура // Маркетинг. - № 3-4. - 2010.

4. Нанотехнологии. Азбука для всех / Под ред. академика РАН Ю.Д. Третьякова. - М.: МГУ, 2010. - 357 с.

5. Рынок нано: от нанотехнологий - к нанопродуктам / Под ред. проф. Г. Л. Азоева. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. - 201. - 349 с.

6. Форстер Л. Нанотехнологии: наука, инновации и возможности / Л. Форстер. - М.: Техносфера, 2008. - 352 с.

7. Хартманн У. Очарование нанотехнологии / У. Хартманн. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 174 с.

8. Официальный сайт английской исследовательской компании ВСС [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http: // www.bccresearch.com (дата обращения: 1 апреля 2013 г.).

9. Официальный сайт европейской исследовательской компании Científica [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// www.cientifica.eu (дата обращения: 15 декабря 2012 г.).

10. Официальный сайт европейской патентной организации (ЕРО) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// www.epo.org (дата обращения: 15 декабря 2012 г.).

11. Официальный сайт американской исследовательской компании Lux Research [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// www.luxresearchinc.com. (дата обращения: 07 сентября 2012).

В.В. Лебедев К.В. Лебедев

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭВОЛЮЦИИ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Ключевые слова: гипотезы, модель, избыточный спрос на товары, избыток денег в обращении, траектория, равновесие, устойчивость.

Введение

В последние годы математические методы нелинейной динамики, активно применяющиеся в естествознании с середины прошлого века, все шире используются для анализа

© Лебедев В.В., Лебедев К.В., 2013 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(грант № 13-06-00389).

социально-экономических процессов. Тем не менее до сих пор основным подходом к анализу последствий тех или иных управленческих решений при осуществлении, в частности денежно-кредитного регулирования, является метод сравнительной статики [1; 11; 12 и др.]. Суть этого метода заключается в исследовании смещения точки равновесия соответствующей статической модели, вызванного изменением тех или иных ее параметров. При таком (квазистатическом) подходе к изучению эволюции макроэкономических процессов предполагается, что в случае нарушения равновесия хотя бы на одном рынке (например, из-за изменения количества денег, находящихся в обращении) в течение некоторого (достаточно короткого) промежутка времени установится новое равновесное состояние.

Критике квазистатического подхода к анализу эволюции экономических систем посвящена обширная литература. В этой связи отметим, что среди причин кризиса экономической теории многие исследователи называют использование в качестве одного из ее основополагающих положений принципа ограничения участия государства в экономике [2; 3; 8; 9]. Этот принцип тесно связан с концепцией А. Смита о невидимой руке, направляющей каждого экономического агента «.. .к цели, которая совсем не входила в его намерения» [10].

Концепция (гипотеза) о невидимой руке рыночной экономики, которая якобы все сама отрегулирует и сама организует экономическое пространство, вследствие чего никаким государственным структурам не стоит вмешиваться в процессы экономического развития, имеет как сторонников, так и противников. Характерные аргументы сторонников гипотезы о невидимой руке приведены в монографии [4], в которой на основе переосмысления традиционного (адекватного слаборазвитому рынку) представления о невидимой руке как тождественной конкурентному механизму, функционирующему на микроуровне рынка, сформулированы ключевые положения гипотезы о невидимой руке как стихийном макрорегуляторе высокоразвитой рыночной системы, относительно независимом от конкуренции. Противники гипотезы о невидимой руке называют ее (гипотезу) мифом, на основе которого вырос рыночный фундаментализм [3; 9].

Альтернативой гипотезе о невидимой руке рыночной экономики служит гипотеза М. Кейнса, выраженная его метафорой «спрос создает предложение». Эта гипотеза предполагает активное влияние государства на экономические процессы через создаваемые институты, призванные обеспечивать эффективное функционирование механизмов государственного регулирования экономики. Сказанное означает, что для формализованного описания эволюции макроэкономической системы необходимо использовать динамические модели, отражающие механизмы управления и государственного регулирования. Эти модели могут быть как непрерывными, так и дискретными, а существенной их особенностью является нелинейность. Однако для анализа на основе кейнсианского подхода последствий причин, которые приводят к нарушению равновесного состояния макроэкономики, и для определения новых равновесных значений ее переменных вместо нелинейных динамических моделей обычно используется статическая макроэкономическая 18 - ЬМ-модель [1; 11; 12], что исключает рассмотрение собственно процесса перехода макроэкономической системы в новое равновесное состояние.

Использование статической 18 - ЬМ-модели для определения нового равновесного состояния динамической макроэкономической системы может оказаться ошибочным, по край-

ней мере, по двум причинам. Во-первых, равновесных решений может быть несколько. Во-вторых, даже в случае одного равновесного решения последнее может быть неустойчивым, и траектория динамической системы может бесконечно долго блуждать вблизи этого решения. Кроме того, к негативным последствиям использования квазистатического подхода к анализу эволюции макроэкономической системы следует отнести и то, что гипотеза (метафора) «спрос создает предложение» М. Кейнса фактически отождествляется с гипотезой о невидимой руке рынка А. Смита. В результате вместо концепции об участии внешних факторов, в том числе о вмешательстве государства и государственном регулировании, вольно или невольно воспитывается либеральная идея о действии механизмов саморегулирования, которые в случае нарушения по какой-либо причине равновесия восстановят его и приведут в конце концов основные параметры рынка в новое равновесное состояние.

Развитие кейнсианского направления в последние годы обусловлено отказом от использования квазистатического подхода и успехами применения методов нелинейной динамики в других науках (биология, социология и др.), что стимулировало развитие эволюционной (си-нергетической) экономики [7; 13; 14]. В связи с этим в настоящее время ощущается настоятельная потребность в обобщении новых подходов, в которых значительно пересматриваются многие основополагающие аксиомы господствующих теоретических экономических моделей и рекомендаций, отвергающих либеральную идеологию минимизации участия государства в экономике [9; 15]. Ниже обсуждаются вопросы адекватного формализованного описания механизмов макроэкономического регулирования на примере построения динамических моделей, в основе которых лежит упрощенная статическая модель Кейнса.

Статическая упрощенная модель Кейнса

Прежде чем приступить к обсуждению динамических моделей кейнсианского типа напомним, что в упрощенной модели Кейнса состояние всей экономики описывается четырьмя агрегированными переменными: У - национальный доход, используемый на потребление и накопление (конечный продукт, произведенные товары и услуги, предложение товаров и услуг); Св (У) - потребительский спрос на товары и услуги; I - спрос на инвестиционные товары и услуги; Ув (г,У) - совокупный спрос на товары и услуги [1; 11]. По предположению спрос населения на текущее потребление является возрастающей функцией национального дохода: Св = С (У), С'(У) > 0.

В статическом варианте упрощенной модели Кейнса предполагается, что рынок товаров и услуг находится в равновесии. Формально равновесное состояние определяется из условия равенства произведенного национального дохода У (предложения товаров и услуг) совокупному спросу на товары и услуги Ув :

У = Ув

где

Ув

В уравнении (2) потребительский спрос Св (У) является функцией одной переменной -произведенного национального дохода У . При этом предполагается, что предельная склонность к потреблению Св (У) удовлетворяет следующему условию:

0 < Св'

Из уравнений (1)-(3) следует, что функция избыточного спроса на товары и услуги:

У

является монотонно убывающей, так как ее производная отрицательна: У '(У)=Ув (У) -1 < 0.

Поэтому уравнение (1) имеет единственное решение. В дальнейшем все изложения для простоты выкладок будет проведено в предположении линейности функции потребительского спроса:

Св

Здесь а - автономное потребление, с - предельная склонность к потреблению, с е (0,1). В этом случае для точки равновесия из уравнений (1), (2) и (3) получаем

У, = ^.

1 - с

Если макроэкономическая система находится в равновесии, то соответствующее значение национального дохода определяется уравнением (6).

Динамические непрерывные варианты упрощенной модели Кейнса

Модель мультипликатора Филлипса

Что произойдет, если по какой-либо причине состояние равновесия макроэкономической системы будет нарушено? Пусть, например, спрос на инвестиции увеличился на величину А/. На основании гипотезы «спрос создает предложение» М. Кейнса макроэкономическая система должна перейти в новое равновесное состояние, в результате чего значение национального дохода У, увеличится в силу уравнения (6) на величину

АУ, = .

1 - с

Для адекватного описания процесса восстановления нарушенного равновесия макроэкономической системы следует использовать методы нелинейной динамики. Отказ от метода сравнительной статики - несовременное нововведение. В учебнике по моделированию [1], опубликованном в России в 1963 г. (50 лет назад!), приведен непрерывный динамический вариант упрощенной модели Кейнса, которой называется там моделью мультипликатора Филлипса:

(1У

^ = аУ

йг

Здесь а - положительный параметр (коэффициент реакции; а = 1/ Т , где Т - постоянная запаздывания, характерное время процесса), а функция избыточного спроса на товары и услуги У (У) определяется уравнением:

У

откуда в силу (5) получаем У (У) = (1 - с)(У, - У). Решение дифференциального уравнения йУ

— = а(1 - с)(У, - У) при заданном начальном условии У(0) = У0 имеет следующий вид: йг

У

Из формулы (10) следует, что У (г) ^ У, при г ^ независимо от начального условия и независимо от значения положительного параметра реакции а .

Уравнение Ферхюльста В настоящее время для исследования различных социально-экономических процессов достаточно широко применяется дифференциальное уравнение логистического роста:

— = а

йг

которое впервые использовалось для описания динамики населения Ферхюльстом [16; 19].

Для получения уравнения вида (11) откажемся от уравнения (8) и формализуем гипотезу Кейнса «спрос создает предложение» следующим образом. Предположим, что не производная, а мгновенный темп прироста национального дохода пропорционален избыточному спросу на товары и услуги:

1 йУ

1 = аУ

У йг

где а - положительный параметр. В отличие от уравнения (8), при линейной функции избыточного спроса (9) уравнение (12) является нелинейным:

^ = а

йг

Оно по форме совпадает с уравнением (11) логистического роста Ферхюльста. Выпишем решение уравнения (13) при заданном начальном условии У (0) = У0:

У У

У

Поэтому У (г) ^ У, при г ^ независимо от начального условия.

Отметим, что оба полученные решения (10) и (14) двух моделей (8) и (12) при линейной функции совокупного спроса на товары и услуги монотонны: национальный доход либо возрастает, либо уменьшается в зависимости от начального условия.

Динамические дискретные варианты упрощенной модели Кейнса В непрерывных моделях экономики предполагается, что изменения исследуемого процесса происходят в каждый момент времени, вследствие чего для описания его динамики ис-

пользуются непрерывные функции. Однако такое модельное представление не всегда является адекватным реальным процессам: особенности многих процессов экономики более точно отражаются в дискретных моделях, которые оперируют с конечно-постоянными функциями.

Дискретный вариант модели мультипликатора Филлипса

При построении дискретных динамических моделей экономики обычно используют два подхода, которые мы разберем на примере построения дискретного варианта модели мультипликатора Филлипса. Суть первого подхода заключается в следующем [1; 18]. Предполагается, что потребление в (t + 1)-ом периоде зависит от национального дохода с запаздыванием:

Ct+1 = a + cYt.

Поэтому из условия равенства совокупного спроса YDt+1 = Ct+1 +I и предложения Yt+1 получаем уравнение динамики национального дохода:

Yt+1 = a + cYt +1.

Такой подход к построению динамической модели является формальным, не отражающим механизма развития рынка товаров и услуг.

Второй подход к построению динамической модели опирается на предположении о лаге (запаздывании) между национальным доходом и совокупным спросом (a lag between production and expenditure). В этом случае совокупный спрос задается уравнением:

Ym = a + cYt +1,

а условие запаздывания Yt+1 = YDt снова приводит к уравнению (15).

Отметим, что второй подход менее формален, он отражает гипотезу Кейнса «спрос создает предложение»: национальный доход в момент времени t +1 равен совокупному спросу в предыдущий период t, т.е.

Yt+1 =Yd

где Yd (Yt ) = a + cYt +1. Из уравнения (16) следует

Уг+1 = СУг >

где переменная yt = Yt - Ye определяет отклонение текущего значения национального дохода от его равновесного значения, вычисляемого по формуле (6). В силу условия c е (0,1) последовательность (17) представляет собой знакопостоянную геометрическую прогрессию, стремящуюся к нулю. Поэтому значения национального дохода монотонно стремятся к равновесному значению.

Итак, действие гипотезы Кейнса спрос создает предложение, которая формализуется уравнением (16), в случае нарушения равновесия макроэкономической системы возвращает ее в новое равновесное состояние. Поэтому в методологическом плане дискретный вариант динамической модели мультипликатора Филлипса, наряду с непрерывной моделью Филлип-са, используется в экономической теории для демонстрации тезиса о действии рыночных механизмов, приводящих систему в состояние равновесия.

Приведенные выше модели не исчерпывают все возможные варианты формализации гипотезы Кейнса. Поэтому варианты динамических моделей мультипликатора, которые

имеют только равновесные решения, формируют у читателей (студентов) ошибочное убеждение в том, что макроэкономическая система всегда устойчива: любое изменение, нарушающее равновесие системы, в конечном итоге приводит к тому, что она со временем приходит в новое состояние равновесия. Оказывается, однако, что одного действия механизма «спрос создает предложение» недостаточно: новое состояние равновесия, как мы увидим ниже, может и не наступить.

Общий случай дискретного варианта модели мультипликатора Филлипса Перепишем уравнение (16), используя введенное выше понятие избыточного спроса на товары и услуги (9). Имеем У1+1 - У1 = Ув (У,) - У1, или У1+1 - Уг=У (Уг). Последнее уравнение является частным случаем уравнения:

Уг+1 - Уг= аУ

где а - параметр реакции экономики на дисбаланс спроса и предложения, при а = 1.

Существенно, что уравнение (18) в такой же мере выражает гипотезу Кейнса «спрос создает предложение», как и уравнение (16). При этом в случае линейной функции спроса из уравнения (18) следует, что отклонение текущего значения национального дохода от его равновесного значения уг = У- У, изменятся по закону геометрической прогрессии:

Уг+1 = ЧУг, где ч = 1 -а(1 - с).

Таким образом, характер динамики переменных в общем случае дискретной модели мультипликатора Филлипса (18) определяется в конечном итоге геометрической прогрессией, знаменатель которой зависит от параметра реакции а . При относительно малых значениях этого параметра решение дискретной модели качественно не отличается от решения непрерывной модели: оба решения изменяются монотонно, и со временем наступает равновесие. Однако при значениях параметра, превышающих некоторое критическое значение, свойства непрерывной и дискретной моделей качественно различаются: возникают колебания, амплитуда которых может не только уменьшаться, но и возрастать.

Логистическое отображение Откажемся от уравнения (18) и формализуем гипотезу Кейнса «спрос создает предложение» следующим образом. Предположим, что не приращение, а относительное приращение национального дохода пропорционально избыточному спросу на товары и услуги:

У - У

—*- = аУ

Уг

где а- положительный параметр. Из уравнения (19) следует

Уг+1 = Уг

откуда получаем

Уг+1 = Уг

Это уравнение называют логистическим отображением, а также квадратичным отображением или отображением Фейгенбаума [16]. Оно имеет два равновесных решения: У,1 = 0 и

У,2 = У, = а +1. Особенностью отображения (21) является то, что оно обладает свойством 1 - с

бифуркации удвоения периода, которое заключается в следующем. Оказывается, что существуют такие числа ар а2, а3..., что при достаточно малых положительных значениях параметра а<а1 и любом начальном положительном значении У0 <-1--+ У 2 итерационный

а

процесс (21) приводит к устойчивому равновесному решению: у ^ Уе2 при ? ^ ^ ; при значениях параметра а в диапазоне ае (а1, а2) итерационный процесс (21) приводит к циклическим колебаниям национального дохода с периодом 2; при значениях параметра а в диапазоне ае (а2, а3) итерационный процесс (21) приводит к циклическим колебаниям национального дохода с периодом 4 и т.д. Значения а1, а2, а3... параметра а, при переходе через которые происходит удвоение периода установившихся колебаний, являются точками бифуркации. Напомним еще одну особенность логистического отображения (21): начиная с некоторого значения бифуркационного параметра а, итерационный процесс (21) уже не приводит к периодическим последовательностям: у меняется без кажущейся закономерности,

наступает детерминированный хаос [5; 6].

Отображение Рикера В середине XX в. для анализа популяционной динамики было построено уравнение (отображение) Рикера:

V! = Ах^ ,

которое, как и логистическое отображение (21), обладает свойством бифуркации удвоения периода [13; 16; 17].

Для получения уравнения вида (22) напомним, что согласно формулам линеаризации при малых значениях х с большой степенью точности выполняется равенство ех1 + х. Поэтому модель (20) может быть модифицирована следующим образом:

Ум = Уеа

При линейной функции избыточного спроса (9) уравнение (23) принимает следующий

вид:

у+х = у?еа

После использования замены х( = а(1 - с)у, А = еа(1-с)Уе из уравнения (23) получаем

отображение Рикера (22). Поэтому здесь могут возникать циклы периода 2, 4 и т.д., а также детерминированный хаос [5; 6; 13; 16; 18].

Выводы

Использование дискретных и непрерывных моделей в естествознании и социально-экономических науках имеет свои особенности. Например, в физике дискретные модели применяются для численного анализа непрерывных моделей, дифференциальные уравнения которых выражают законы движения Ньютона, течения вязкой жидкости Навье-Стокса и др. То, что законы природы описываются, как правило, дифференциальными уравнениями, связано с тем, что эти законы действуют непрерывно. Поэтому о многих дискретных моделях естествознания можно сказать, что они являются аппроксимацией соответствующих непрерывных моделей. В экономике же, как и во многих других общественных науках, ситуация

часто бывает противоположной: здесь непрерывные модели служат аппроксимацией соответствующих дискретных моделей. Это связано с тем, что в непрерывных моделях экономики предполагается, что изменения исследуемого процесса происходят в каждый момент времени, вследствие чего для описания его динамики используются непрерывные функции. Однако такой подход не всегда является адекватным реальным процессам: особенности многих процессов экономики более точно отражаются в дискретных моделях, которые оперируют с конечно-постоянными функциями. Например, при изучении многих процессов следует учитывать, что значения некоторых переменных не изменяются в течение некоторого промежутка времени (месяца, квартала, года). Таким образом, при анализе социально-экономических процессов результаты исследования непрерывной модели зачастую следует рассматривать как некоторую приближенную оценку свойств соответствующей дискретной модели. Сказанное означает, что первичными моделями в естествознании являются, как правило, непрерывные модели, а в социально-экономических науках - дискретные модели.

Библиографический список

1. Аллен Р. Математическая экономия / Р. Аллен. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. -668 с.

2. Балацкий Е.В. Мировая экономическая наука на современном этапе: кризис или прорыв? // Науковедение. - 2001. - № 2. - С. 25-45.

3. Ильинский И.М. XX век: кризис понимания. Доклад на Международной научной конференции «Итоги XX века», посвященной 80-летию А.А. Зиновьева. Москва, МГСА, 15 ноября 2002 г. - М.: Издательство Московского гуманитарного университета, 2002. - 32 с.

4. Коган А.М. Макрорегулирование высокоразвитого рынка: «невидимая рука», конкуренция, потребности системы / А.М. Коган. - М.: Маркет-ДС, 2006. - С. 144.

5. Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое моделирование нестационарных экономических процессов / В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. - М.: еТест, 2011. - 336 с.

6. Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики / В.В. Лебедев, К.В. Лебедев. - М.: НВТ-ДИЗАЙН, 2002. - 256 с.

7. Макаров В.Л. О применении метода эволюционной экономики // Вопросы экономики. - № 3. -

1997. - С. 18-26.

8. Полтерович В.М. Кризис экономической теории // Экономическая наука современной России. -

1998. - № 1. - С. 46-66.

9. Полтерович В.М. Становление общего социального анализа (еще раз о кризисе экономической теории, или наш ответ английской королеве) // Научная конференция памяти академика Д.С.Львова // Материалы научной конференции. Москва, 11 марта 2010 / Под ред. чл.-корр. РАН Г.Б. Клейнера. - М.: ЦЭМИ РАН, 2011. - С. 23-33.

10. Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов / А. Смит. - М., 1962. - 332 с.

11. Тарасевич Л.С. Макроэкономика: учеб. / Л.С. Тарасевич, П.И. Гребенников, А.И. Леусский. -6-е изд., испр. и доп. - М.: Высшее образование, 2006. - 654 с.

12. Харрис Л. Денежная теория / Л. Харрис. - М.: Прогресс, 1990. - 728 с.

13. Занг В.-Б. Синергетическая экономика / В.-Б. Занг, Л. Харрис. - М.: Мир, 2000.

14. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // Успехи физических наук. - 2002. - № 9. - С. 1045-1066.

15. Волконский В. А. Предисловие к книге Хайдар Баша «Модель Национальной Экономики -новая экономическая система». - Казань: Идел-пресс, 2011. - 160 с.

16. Ризниченко Г.Ю. Математические модели биологических продукционных процессов / Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубин. - М.: МГУ, 1993.

17. Рикер У.Е. Методы оценки и интерпретация биологических показателей популяций рыб / У.Е. Рикер. - М.: Пищевая промышленность, 1979. - 408 с.

18. Shone R. Economic Dynamics. Phase Diagrams and Their Economic Application. Second Edition. -Cambridge University Press, New York, 2002. - 708 p.

19. Verhulst, P.-F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissemen // Correspondance Mathématique et Physique (Bruxelles). - Vol. 10, 1838. - Р. 113-121.