Асимптотические разложения решений для эволюционной модели ВИЧ

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 3

МАТЕМАТИКА

УДК 517.955.8

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОЙ МОДЕЛИ ВИЧ

© 2013 А.А. Арчибасов1

В работе рассматривается математическая модель эволюции ВИЧ, представляющая собой сингулярно возмущенную систему интегро-дифференци-альных уравнений в частных производных. На основе метода пограничных функций Тихонова—Васильевой получено первое приближение решений системы.

Ключевые слова: сингулярные возмущения, асимптотическое разложение, пограничный слой.

1. Математическая модель эволюции ВИЧ

Общепринятый подход к изучению эволюции вирусов состоит в использовании моделей со штаммами.

Определение. Штамм — чистая культура вирусов, бактерий, других микроорганизмов или культура клеток, изолированная в определенное время и в определенном месте.

Эти модели явно предполагают существование дискретного или непрерывного множества вирусных штаммов, которые образуют дискретное или непрерывное пространство штаммов (известное также как пространство фенотипов). Возникновение новых штаммов происходит благодаря случайным мутациям, которые могут быть смоделированы диффузией или ее разностным аналогом, а также стохастическими процессами.

В работе [1] предполагается, что вирусные штаммы образуют непрерывное пространство штаммов, а новые штаммы — это результат случайных мутаций, представленных в непрерывном пространстве штаммов диффузией.

Соответствующая математическая модель имеет вид:

œ

= b — u(t)J в (s) v(t,s) ds — qu(t),

0

d2v

= в

ds

1 Арчибасов Алексей Алексеевич (aarchibasov@gmail.com), кафедра дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

du(t) dt

dv(t, s) dt

где u — концентрация неинфицированных клеток, b — постоянная скорость производства неинфицированных клеток, q — скорость естественной смерти здоровых клеток, v —плотность инфицированных клеток в пространстве штаммов, m — скорость, с которой умирают инфицированные клетки, s — одномерное пространство штаммов, ß(s) = as (где a > 0), ßuv характеризует скорость распространения инфекции. Случайные мутации моделируются диффузией, и ¡л — коэффициент диффузии.

Поскольку v(t, s) представляет собой распределение (плотность) инфицирован-

оо

ной популяции, то концентрация последней есть V(t) = J v(t,s) ds. Естественное

о

граничное условие для v(t,s): lim v(t,s) = 0. Выбор условия в точке s = 0 не

s^o

dv

является очевидным; для удобства используется условие — (t, 0) = 0. Кроме того,

ds

систему (1.1) следует дополнить неотрицательными начальными условиями u(0) = = u0 и v(0,s) = v0(s).

Примем u0 = -, ¡л = е2, q = ke, a = a е, где е > 0 — малый параметр. Введем qb

новую переменную w = keu. Тогда система (1.1) эквивалентна системе:

dw(t) dt

dv(t, s) dt

о

— qw(t) + q — eaw(t) J sv(t,s) ds,

sw(t) v(t, s) — mv(t, s) + e

2 d2v

ds2

с начальными и граничными условиями:

dv

w(0) = 1, v(0, s) = v0(s), — (t, 0)=0.

В [1] предполагается, что начальная вирусная нагрузка низка и состоит из очень узкой полосы штаммов:

8( в - 0, 9975), 0, 9975 < в < 1,

0, 02, 1 < в< 1, 005,

8(1,0075 - в ), 1, 005 < в < 1,0075,

0, иначе.

v0

На рис. 1.1 изображен график функции v0(s).

Рис. 1.1. Начальное распределение v0(s) = v(0,s) инфицированной популяции

2. Асимптотика решения

Следуя подходу, изложенному в [2; 3], рассмотрим порождающую задачу, для чего в системе (1.1) положим е = 0:

¿що

= - дщо(г) + д,

¿г

ду0

=

дг

Система (2.1)—линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Ее решение с учетом начальных условий из (1.3) имеет вид:

т0(г) = 1, у0(г,в)= у°(в)е(а-т)г.

В общем случае функция оо(г, в) не удовлетворяет граничному условию из

до

(1.3), но для функции (1.4) справедливо равенство -д^(г, 0) =0, поэтому пограничного слоя в окрестности в = 0 не будет, т. е. погранслойная часть асимптотики в данном случае отсутствует, следовательно, решение задачи (1.2)—(1.3) будем искать в виде асимптотического ряда, содержащего только регулярную часть:

щ(г, е) = щ0(г) + ещ1(г) + е2щ2(г) + е3 ...,

о(г, в, е) = оо(г, в) + ео1(г, в) + е2о-(г, в) + е3 ...,

где 'шо(г), оо(г, в) —решения порождающей задачи (2.1).

Подставляя ряды формально в систему (1.2) и начальные условия из (1.3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, для нахождения к-х

членов асимптотического разложения получаем уравнения:

00

= - дщк - а^^Щ- вук-!-1 ¿в, Щк (0) = 0, к > 1,

1=0 {

= ( в - т )ук + в ^ щ ук-[ + д VI-2 , (0,в)=0, к > 2. ¡=1

Для первых членов разложения получаем

т1(г) = -а е-4*' I(д - т,г),

у1(г,в) = а во0(в) е(8-т)г [е-* 1(д - т,г) - 1(-т,г)] , д

0

У1(г) = ! 01(г,в) ¿в = -е-т* Нх(г) [еI (д - т,г) - I (-т,г)] ,

0

где

г

I(а, г) = ! еат Н1(т) ¿т,

0

0

0

Н1(т)= во0(в) ет8 ¿в.

0

Таким образом, первое приближение решения системы (1.2) имеет вид щ(г, е) = щ0(г) + ещ1 (г) + 0(е2),

у(Ь, в, е) = vo(t, в) + еvl(t, в) + 0(е2), V (М) = Vo(t) + е^) + 0(е2),

где

СЮ СЮ

V0(t) = J v0(t, в) 3в = е_тг Н0(г), h0(t) = J V0(в) егя ¿в. о 0

Вычисляя все необходимые функции, встречающиеся в предшествующих формулах, и возвращаясь к функции п(Ь), получим:

1 { 1 , е ([А2 + (2А1 + А2П1 )ф'1г + [В2 + (2В1 + В2П2)ф'2г е | к

1 { 1+ ( Л + (2А1 + А2П1 )^е'1г + [В2 + (2В1 + В2^)ф+ ЧМ) = е\к + Ч 2t2 +

, [С2 + (2С + С2Н3Ще13* + [Б2 + (2^1 + ^4)^ , + -2±2- + "0е 9

- е_а1 / Лзе"1Т + ^ + Се"3Т + Дзе"4Т зт | + ^)

v(t,в,е) = v0(в) е(—)г +

х

Ч

^ (Л2е11 + В2е'2 + С2е'зг + Д^) - "0(1 - е_аг ) +

г

+ , ,'Л4е'1г + В4еы + С4е'зг + Б4е'4г

е

0

_аг Л3еП1г + В3еП2г + С3еПзг + В3еП4г\

---- 3т

+ 0(е2),

8(е11' - е'2 - е'зг + е'4г) V ^,е) = ^--2-¿ +

+ е (Лlt + Л2)е'1г + (Blt + В2)е'2г + (С^ + С2)е'зг + (Р^ + Р)е'4г + д ^

х (Л2е'1г + В2е'2г + С2е'зг + Д^) - «0(1 - е_аг) +

г

+

Л4е'1Т + В4 е'2Т + С4е'зТ + Д4е'4Т

0

Л3е"1Т + В3еП2Т + С3еПзТ + £3е"4Т N

е

а —-'-3-'—3-'-3- 3т

+ 0(е2),

где

в1 = 0, 9975, в2 = 1, 0, в3 = 1,005, в4 = 1, 0075, ик = ч - т + ви, ¡к = -т + ви, к = 1, 4,

Л2п2 , , Л2Й

Л1 = 8в1, Л2 = -16, Лз = Л1П1 + -2--1, Л4 = Л1/1 + ,

В1 = 8в1 - 16в2 +0,02, В2 = 16, Вз = В1П2 + В2П2, В4 = В1/2 + В212,

С1 = -16вз + 8в4 - 0, 02, С2 = 16, Сз = С1П3 + С^3, С4 = С1/4 + Ср",

X

X

В п- В }-

В1 = 8в4, В2 = -16, Во = В1П4 + , = °114 + ,

0

ао = J о0(в) ¿в.

На рис. 2.1, 2.2 приведены графики первого приближения концентрации инфицированной и(г,е) и неинфицированной V(г,е) популяций при е = 10-3, д = 0,02, т = 0, 8, Ь = 20, а = 10-3.

и(0 500

10 20 30 40 50

Рис. 2.1. График первого приближения Рис. 2.2. График первого приближения для и(Ь,е) при е = 0, 001 для V(Ь,е) при е = 0, 001

В результате получены формулы, описывающие в первом приближении поведение решения сингулярно возмущенной системы интегродифференциальных уравнений в частных производных.

3. Оценка остаточных членов

Обозначим через Ф(г,е), Ф(г,в,е) остаточные члены асимптотики:

п

Ф(г,е) = т(г,е) - Щ(г,е) = т(г,е) - (г) ек,

к=0

Ф(г, в, е) = о(г, в, е) - о(г, в,е) = о(г, в,е) - ^^ ок (в, г) ек.

к=0

Рассмотрим ограниченную область И = {(г, в) : 0 ^ г ^ Т, 0 ^ в ^ 5}. Для остаточных членов получаем задачу:

¿Ф

— = -д Ф + ЬЛ(Ф, Ф,е),

дФ т д2Ф 1 /л, т

— = -т Ф + дв- + (Ф, Ф, в,е),

дФ

Ф(0,е) = 0, Ф(0,в,е) = 0, — (г, 0,е) = 0.

S

d^v С

к1(Ф, Ф, е) = -qw + q---е a (w + $W s ( v + Ф) ds,

dt J

dv

d2 V

Л.2(Ф, Ф, в,е) = в (V + Ф )( V + Ф) - ту - — - е2 д~2

Функции ^2 обладают следующими двумя свойствами:

I. ^(0,0, е) = 0(е"+1), й2(0,0, в, е) = 0(е"+1).

II. Если ||Ф(£, е)|| ^ с1 е, ||Ф(£, в, е)|| ^ с1 е, г = 1, 2, то найдутся числа с2 > 0, ео > 0 такие, что при 0 < е ^ ео справедливы неравенства

sup |^1(Ф2, Ф2,е) - h1 (Ф1, Ф1,е)| < с2 е sup |Ф2 - Ф1 \ + sup |Ф2 - Ф1|

o<t<T \o<t<T (t,s)en

,

sup |h2(Ф2, Ф2, s, е) - h2^1, Ф1, s, е)| < C2 е sup |Ф2 - Ф11 + sup |Ф2 - Ф1| (t,s)en \^><t<T (t,s)en

Первое свойство показывает, что h-1, h-2 являются величинами порядка O(en+1) при Ф = 0, Ф = 0, а значит, и при Ф = O(en+1), Ф = O(en+1).

От задачи (3.1)—(3.2) перейдем к эквивалентной системе интегральных уравнений

t

Ф(г,е) = J e-q(T-t) ЬЛ(Ф, Ф, е) dr,

Ф(М,е) =

e-m

2evW \ft-T J

oo

(s - e)2

(s + e)2

4e2

h2(Ф, Ф,е,е) dedT.

Интегральные операторы, стоящие в правых частях последней системы, обладают теми же двумя свойствами, что и функции h-1, h^. Из свойства II следует, что при достаточно малых || Ф|| , || Ф|| и е операторы являются сжимающими. Применяя теперь к интегральным уравнениям метод последовательных приближений и используя свойства I—II, получаем, что при достаточно малых е решение задачи (3.1)—(3.2) существует, единственно и имеет оценку sup |Ф(^е)| = O(en+1),

0<t<T

sup |Ф(М,е)| = O(en+1).

(t,s)en

Литература

[1] Korobeinikov A., Dempsey C. A continuos strain-space model of viral evolution within a host. CRM Preprint, 2012. 13 p.

[2] Vasilieva A.B., Butuzov V.F., Kalachev L.V. The boundary function method for singular perturbation problems // Ser. in Applied Mathematics. Philadelphia: SIAM, 1995. V. 14.

[3] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

S

e

Поступила в редакцию 18/I/2013; в окончательном варианте — 18/1/2013.

ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF SOLUTIONS FOR HIV EVOLUTION MODEL

© 2013 A.A. Archibasov2

In the paper the mathematical model of HIV evolution is considered. This model is a singularly perturbed partial integro-differential equations system. Based on the Tikhonov—Vasilieva method of boundary function the first approximation of the system solutions is realized.

Key words: singular perturbations, asymptotic expansion, boundary layer.

Paper received 18/7/2013. Paper accepted 18/7/2013.

2Archibasov Alexey Alexeevich (aarchibasov@gmail.com), the Dept. of Differential Equations and Control Theory, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.