Определение упругих свойств и тензора передачи порового давления горных пород методом осреднения

УДК 539.3, 624.131.4

С.В. Шешенин1, Н.Б. Артамонова2, Ю.В. Фролова3, В.М. Ладыгин4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ И ТЕНЗОРА ПЕРЕДАЧИ ПОРОВОГО ДАВЛЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД МЕТОДОМ ОСРЕДНЕНИЯ5

Предложен теоретический способ определения упругих модулей и тензора передачи порового давления на скелет породы с помощью асимптотического метода осреднения. Метод продемонстрирован на модельных и реальных геологических образцах с использованием конечно-элементной реализации. Проанализирована зависимость определяемых свойств пород от структуры порового пространства и упругих характеристик компонентов матрицы.

Ключевые слова: пористая порода, асимптотический метод осреднения, тензор передачи порового давления, эффективные модули упругости.

In this research a theoretical method for determining the elastic properties and the pore pressure transfer tensor on the rock skeleton is developed using the asymptotic averaging method. This technique is demonstrated on model and real geological samples by means of the finite-element implementation. The determined rock properties dependence of rock porosity, pore shape, elastic properties of the rock matrix is analyzed.

Key words: porous rock, asymptotic averaging method, pore pressure transfer tensor, effective elastic moduli.

Введение. Определение деформационных свойств грунтов необходимо при изучении напряженно-деформированного состояния массивов горных пород, поэтому представляет одну из главных задач инженерной геологии. На практике эффективные упругие свойства грунтов определяются экспериментально. Для предварительной оценки этих свойств целесообразно использовать теоретический способ, основанный на методе осреднения [Бахвалов, Панасенко, 1984; Победря, 1984]. Такой способ может успешно применяться, если известны структура порового пространства и упругие свойства компонентов матрицы.

Скалярный коэффициент передачи порового давления на скелет породы введен в работах [Вю^ 1941; Fatt, 1958], авторы которых теоретически обосновали и проверили экспериментально, что только часть порового давления необходимо учитывать в полных напряжениях:

= {оф* + ао1/р)

где (огу ) — осредненные полные напряжения; {о— осредненные эффективные напряжения в твердой фазе грунта, передающиеся по контактам между зернами породы; а — коэффициент передачи порового давления на скелет породы;

8у — символ Кронекера (5^=1, i=j; 5j=0, ij (p) — осредненное поровое давление.

Согласно И. Фетту, скалярный безразмерный коэффициент а принимает значения от 0 до 1 и определяется по формуле

«-1-Ь-

ß<#

где ßÄ — сжимаемость материала скелета грунта, ßeff — эффективная сжимаемость грунта. Например, для песков или слабосцементированных песчаников а«1, для низкопористых сильноуплотненных скальных грунтов а^-0. Для песчаников с открытой пористостью от нескольких процентов до 26% а изменяется от 0,60 до 0,85 [Addis, 1997].

Коэффициент передачи порового давления используется во многих моделях, описывающих процесс деформирования грунтов при изменении порового давления [Biot, 1941; Fatt, 1958]. Однако в большинстве работ принимается, что а = 1, так как а — трудноопределимый параметр, кроме того, связанная система дифференциальных уравнений наиболее просто решается при а = 1 [Киселев, Шешенин, 1996; Шешенин и др., 2011]. Поэтому важно оценить, насколько значения а близки к единице в зависимости от параметров грунта.

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, кафедра механики композитов, профессор, докт. физ.-мат. н.; e-mail: sheshenin@mech.math.msu.su

2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, геологический факультет, кафедра инженерной и экологической геологии, ст. науч. сотр., канд. геол.-минерал. н.; e-mail: artamonovanb@mail.ru

3 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, геологический факультет, кафедра инженерной и экологической геологии, доцент, канд. геол.-минерал. н.; e-mail: ju_frolova@mail.ru

4 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, геологический факультет, кафедра инженерной и экологической геологии, ст. науч. сотр., канд. геол.-минерал. н.; e-mail: skalka_1@mail.ru

5 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 13-05-00530-а, 15-01-05887-a).

В работе ^аИ, 1958] предполагается, что а — скалярный коэффициент. Однако в общем случае анизотропных пород а является тензором передачи порового давления. Разработан теоретический способ вычисления тензора ау на основе асимптотического метода осреднения, аналогичный способу вычисления эффективных упругих свойств.

Теоретический анализ. Чтобы получить теоретически соотношения вида (1), можно применить асимптотический метод [Шешенин и др., 2015] для осреднения уравнения равновесия неоднородной упругой пористой среды:

[cikUk,il + X = 0, х е V,

p = p0(x) + epi(x,^) +

Для нахождения первых членов асимптотического решения задачи (2), (3) достаточно учитывать только первый член в (4), который будем обозначать далее как р(х). Решение задачи (2), (3) ищется в виде:

uk(x,%) = vk(x) + ^рд^р^) +

+ М^рЮ + ... ,

гттт функц

быстрых координат. Результатом [Шешенин и др., 2015] служит соотношение

<о"> = <°у) + аур),

причем

<°у) = ФЯ.

Соотношение (6) совпадет с уравнением (1), введенным в работе ^аИ, 1958], если тензор передачи давления — шаровой: ау = абу.

Определение эффективных модулей упругости. Математическое определение средних модулей упругости с$ч для статистически однородной среды было дано Хиллом [Хилл, 1964]. Это опреде-

с граничными условиями на поверхности пор

cijkluk,lnj = -РЩ,

где ик — компоненты вектора перемещений, Xi — вектор внешних сил, p — известное поровое давление.

Введем быстрые координаты ^ стандартным способом:

е L

где xi — медленные координаты, I — характерный размер представительной области (RVE — representative volume element) пористой среды, L — характерный глобальный размер всей пористой среды.

В уравнениях (2), (3) тензор модулей упругости и нормаль n зависят от быстрых координат а давление p — от х. Зависимость p только от медленных координат объясняется тем, что давление жидкости p имеет асимптотическое представление [Mei, 2002]:

ление конструктивно и может служить способом вычисления модулей . Определение состоит в следующем. В RVE формулируется краевая задача

[Су^и^у = 0, x е

со специальным граничным условием на

ик = фу, x е ^

и нулевым давлением на границе пор 21п1

Сук^ик-ту^) = 0, x е 5^.

Тогда, решая задачу (8)—(10) и вычисляя <ау), можно получить сЦ^д из (7), поскольку несложно показать, что <грд) = .

Определение эффективных коэффициентов передачи порового давления. Теперь дадим математическое определение тензору коэффициентов передачи порового давления ау. В RVE нужно решить краевую задачу, состоящую из уравнения (8) с постоянным давлением р на границе пор 21п1

Суk/

и закрепленной внешней границей

uk = 0 x е vrve.

Тогда, решая (8), (11), (12) и вычисляя <ау), получим тензор а из соотношения <ау) = аур.

Применение метода осреднения. Для решения задач (8)—(10) и (8), (11), (12) можно применить описанную выше методику осреднения. Опуская математические выкладки, приведем окончательный результат, состоящий в том, что задачи (8)—(10) и (8), (11), (12) теперь формулируются в виде так называемых локальных задач на RVE относительно локальных функций №кп и Ык, входящих в (5). Заметим, что вполне естественно, что локальные функции зависят уже от быстрых координат %, поскольку представительная область (RVE) мала по сравнению с размерами всей пористой среды и более естественно описывается этими координатами.

Локальная задача в RVE в терминах функций №км (для каждых р, д) имеет вид

[Сук/(%Жкрд,/ + Сурд(%)]у = 0 % е Сук(%>)^крд,1 = —Сгурдиу(%), % е ^крд = 0, % е 5RVE.

Локальные коэффициенты напряжений определяются формулой

а сами напряжения в задаче (8)—(10) равны °у = или , поскольку в этой

задаче оказывается, что . Это означает,

что эффективные модули упругости в терминах локальных задач вычисляются в виде

"УРЧ <Сук1^крд,1 ' ^урд/

+ СИва)-

В случае изотропии осредненного пористого материала по известным формулам теории упругости [Дортман, 1984] могут быть рассчитаны значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона.

Аналогично обстоит дело с локальными задачами для определения эффективных коэффициентов передачи порового давления.

Тензор передачи порового давления вычисляется в ходе решения локальной задачи в RVE относительно перемещения Мк для пористой среды с ненулевым поровым давлением

К

RVE'

Сум = 0, %е

Суы (%%) Мк,1пу = -ni(%), % е ^ Мк = ° % е ^е-

Среднее напряжение, обусловленное действием порового давления, представляется в виде

<°у> = <СуШМк,1)Р-

Следовательно, асимптотический анализ приводит к тензору передачи порового давления

ау = -<сцк1Мк,Ь-

Таким образом, предложенный вычислительный способ нахождения эффективного тензора передачи порового давления ау основан на решении локальных задач в представительной области пористой среды-

Результаты исследований и их обсуждение. Описанная методика с использованием асимптотического метода осреднения была опробована на двухмерных модельных и реальных геологических образцах с использованием конечно-элементной реализации.

Исследование модельных образцов. Исследованы зависимости тензора передачи порового давления (ау) от разных факторов — пористости, формы, ориентировки и расположения пор, упругих свойств материала каркаса. Рассмотрим влияние каждого из перечисленных факторов на тензор ау. Для образцов с центральной симметрией а11=а22=а, поэтому в таком случае можно говорить о коэффициенте передачи порового давления а, во всех других случаях будет рассматриваться тензор ау.

Влияние формы поры. Для всех исследуемых модельных образцов приняты одинаковая величина пористости (п=17%) и одинаковые упругие свойства материала каркаса (Е=20 000 МПа, v=0,3). Как видно на рис. 1, чем ближе форма поры к круглой, тем меньше значение коэффициента а. У образцов с крестообразной порой и с порой в форме звезды значения а в 1,8—2 раза больше, чем у образца с круглой и квадратной порами, что можно объяснить повышенной концентрацией напряжений в углах пор.

Рис. 1. Зависимость коэффициента передачи порового давления от формы поры (а): 1 — 0,42; 2 - 0,46; 3 - 0,83; 4 - 0,87

Влияние пористости. Расчеты проводили для образцов с формами пор, показанными на рис. 1. Для всех образцов коэффициент передачи порово-го давления монотонно возрастает с увеличением пористости (рис. 2, а). Однако величина приращения а при изменении п от 4 до 17% у образцов с круглой и квадратной порами (графики 1 и 2, рис. 2, а) примерно одинаковая, а у образцов с порами в форме креста (график 3) и звезды (график 4) в 1,7 и в 1,4 раза больше соответственно.

Влияние коэффициента Пуассона материала каркаса. Получена зависимость коэффициента передачи порового давления от коэффициента Пуассона (V) для образцов с одной круглой порой, но с разной величиной пористости (рис. 2, б) и для образцов с одинаковой пористостью (п=17%), но с разной формой поры (рис. 2, в). Видно, что во всех случаях зависимость монотонно возрастающая, причем угол наклона графиков зависит как от пористости, так и от формы поры. Для образцов с одной круглой порой (рис. 2, б) наибольшие изменения а при изменении V от 0,1 до 0,4 наблюдаются при пористости от 7 до 38%, т.е. в том диапазоне пористости, в который попадает большинство типов реальных горных пород. Анализ графиков на рис. 2, в показывает, что величина изменения а при изменении V от 0,1 до 0,4 для круглой и квадратной пор примерно одинакова, а для пор в форме креста и звезды в 1,8 и 2,1 раза меньше соответственно.

Следовательно, для угловатых и неизоме-тричных пор влияние пористости на а сильнее, а влияние коэффициента Пуассона слабее, чем для округлых пор. Коэффициент а не зависит от модуля Юнга материала каркаса.

Таблица 1

Тензор передачи порового давления у модельных образцов, изображенных на рис. 3

Значение Номер образца

1 2 3 4 5 6 7

а11 0,40 0,40 0,38 0,67 0,64 0,60 0,48

а22 0,40 0,41 0,49 0,31 0,56 0,60 0,61

Зависимость анизотропии образцов по тензору ау от расположения и ориентировки пор. Исследовали образцы с круглыми порами и образцы с порами в виде вытянутых ромбов (рис. 3). Для всех моделей задавали одинаковые свойства материала каркаса: Е=20 000 МПа, v=0,24. У всех образцов

с круглыми порами одинаковая пористость (п=19%), а у образцов с порами в виде ромбов п=12%. Результаты расчетов представлены в табл. 1, номера образцов на рис. 3 соответствуют номерам образцов в табл. 1.

Из результатов исследования образцов с круглыми порами можно сделать следующие выводы (рис. 3, табл. 1, образцы 1—3). Если круглые поры разного размера распределены равномерно (обр. 2), то образец практически изотропен по тензору ау (ап«а22), а значения компонентов ау близки значениям соответствующих компонентов ау у образца с такой же пористостью с одной круглой порой, расположенной в центре (обр. 1). Неравномерное распределение пор (обр. 3) приводит к анизотропии тензора ау. Направления осей, соответствующих индексам у арр, следующие: р=1 — горизонтальное, р=2 — вертикальное.

Исследование образцов с порами в виде ромбов (рис. 3, табл. 1, образцы 4—7) показало, что на анизотропию образца по тензору ау влияет как ориентация пор, так и их распределение. Для обр. 4, у которого все поры ориентированы в вертикальном направлении, справедливо соотношение ап/а22=2,16. У обр. 5 большая часть пор (4 к 2) ориентирована вертикально, для него тоже отмечена анизотропия по тензору ау, но различия меньше, чем в первом случае: а11/ а22=1,14. Образец 6 изотропен по тензору ау (ап/а22=1), так как у него равное число вертикально и горизонтально ориентированных пор (3:3) и поры распределены равномерно. У обр. 7 число по-разному ориентированных пор тоже совпадает, но распределены поры неравномерно, что приводит к анизотропии образца:

а22/ац=1,26.

Исследование реальных геологических образцов. Чтобы продемонстрировать возможность использования асимптотического метода осреднения для практических целей, выполнена серия расчетов для реальных образцов горных пород с известными упругими свойствами, определенными лабораторными методами. Для расчетов выбраны вулканогенно-осадочные породы — туфы и гиалокластиты.

В ходе лабораторных экспериментов на образцах горных пород определяли или вычисляли следующие физические и физико-механические свойства: плотность (р), плотность твердых частиц (р5), пористость (п), скорость распространения упругих продольных (¥р) и поперечных (V) волн, модуль упругости (динамический) (Е), коэффи-

Рис. 2. Зависимость коэффициента а от пористости п (%) для пор разной формы (а) и от значений коэффициента Пуассона (у) в случае одной круглой поры (б): 1 — п=0,79; 2 — 3,14; 3 — 7,07; 4 — 12,57; 5 — 19,63; 6 — 28,27; 7 — 38,48; 8 — 50,37; 9 — 63,62, а также в случае пор разной формы (в). На графиках а и в кривые 1—4 соответствуют формам пор 1—4 на рис. 1

И

♦и

Рис. 3. Модельные образцы для определения зависимости тензора передачи порового давления от расположения и ориентации пор

циент Пуассона (v). Все определения выполнены по стандартным методикам [Фролова, 2015]. Параллельно с изучением свойств исследовали минеральный состав, строение и морфологию по-рового пространства пород методом оптической микроскопии (микроскоп «Olympus»).

Модели образцов для расчета в конечно-элементном программном комплексе создавали на основе фотографий прозрачных петрографических шлифов, сделанных с помощью оптического микроскопа «Olympus» со встроенной цифровой фотокамерой «Olympus SP-500UZ». Пористость моделей определяли в программе СТИМАН [Соколов и др., 1998].

При расчетах свойства компонентов, входящих в состав исследуемого образца, задавали по справочным материалам [Дортман, 1984; Кларк, 1969; Мельников и др., 1975].

Изучение образцов вулканических туфов Камчатки. Исследуемый образец представляет собой андезитовый туф, отобранный в Мутновском вулканическом районе Камчатки. Туф псаммито-мелкопсефитовый литокластический. Литокла-сты представлены андезитом с гиалопилитовой структурой основной массы, их размер в среднем колеблется от 0,2 до 1 мм (редко до 3 мм). Встречаются отдельные кристаллокласты плагиоклаза. Цемент в исследуемом туфе порово-пленочного типа, по составу цеолитовый. Цеолитовые пленки толщиной ~30—40 мкм облекают обломки, при

этом межобломочное пространство часто остается пустым. Размер межобломочных пор варьирует в интервале 0,05—0,5 мм. Свойства туфа, полученные при лабораторных испытаниях, представлены в табл. 2 [Фролова, Ладыгин, 2008].

Таблица 2

Свойства туфа, полученные экспериментальным способом

р, г/см3 г/см3 Vp, км/с E, и103 МПа v

1,93 2,39 3,05 16,1 0,20

Расчет пористости, упругих характеристик и коэффициента передачи порового давления выполняли по модельным изображениям, составленным по фотографиям шлифов, сделанных при двух разных увеличениях

Таблица 3

Упругие свойства компонентов туфа, принятые в расчетах

Название образца Цвет в моделях E, и103 МПа v

Лава (андезитовая) темно-серый 22,0 0,20

Цеолиты черный 28,0 0,22

Плагиоклазы светло-серый 80,0 0,28

Рис. 4. Фото шлифов туфа (слева, николи скрещены) и их модельные изображения (справа). Ширина поля зрения, мм: 1 — 0,9; 2 - 2,4

Таблица 4 Свойства туфа, полученные расчетным способом

Номер образца п, % «11 «22 Е, п103 МПа V

1 18 0,43 0,47 14,4 0,16

2 7 0,33 0,35 16,4 0,18

Как видно из данных табл. 4, упругие характеристики (модуль упругости и коэффициент Пуассона), полученные расчетным способом, близки к значениям соответствующих показателей, определенных в экспериментах (табл. 2). Отметим, что расчеты, выполненные по изображению с меньшим увеличением (обр. 2), показали лучшую сходимость результатов с экспериментальными данными, чем расчеты, сделанные по изображению с большим увеличением (обр. 1). Это свидетельствует о том, что мелкомасштабное изображение лучше отражает реальное поровое пространство и структуру породы.

Образец 2 почти изотропен по тензору ау (табл. 4), так как поры и, следовательно, цеолито-вые пленки в нем расположены хаотично. Образец 1 характеризуется небольшой анизотропией по ау, так как в центре у него расположена крупная пора, вытянутая в горизонтальном направлении. По упругим свойствам можно считать изотропным образец 1 с точностью 92%, а образец 2 — с точностью 95%.

Компоненты тензора ау у обр. 2 меньше, чем у обр. 1, так как у обр. 2 меньше пористость. По этой же причине значения модуля упругости обр. 2 больше, чем обр. 1.

Изучение образцов гиалокластитов Исландии. Гиалокластиты — вулканогенно-осадочные породы, образующиеся при подводных или подледных извержениях вулканов. Быстрое охлаждение лавы при контакте с водой приводит к ее превращению в мелкие обломки вулканического стекла, которые впоследствии цементируются под влиянием различных постгенетических процессов [Фролова, 2010]. Как правило, гиалокластиты достаточно однородны по минеральному составу — их главный компонент представлен вулканическим стеклом базальтового (толеитового) состава. В незначительном количестве могут присутствовать кристалло-класты оливина, пироксена и плагиоклаза.

Исследуемый фрагмент гиалокластита состоит из остроугольных обломков базальтового вулканического стекла псаммитовой размерности. Размер обломков в среднем составляет 0,2—0,3 мм, иногда достигает 1 мм. Обломки сцементированы пала-гонитом, который как бы сваривает их в точках соприкосновения, формируя цемент контактового типа. Межобломочные поры имеют неправильную, иногда вытянутую форму, их размер колеблется от 0,1 до 0,5 мм (реже до 1 мм), преобладают поры 0,1—0,2 мм (рис. 5, обр. 1 и 2). В крупных обломках вулканического стекла (0,5—1 мм) на-

блюдаются поры правильной округлой формы (везикулы) с ровными стенками, образованные при дегазации лавы (рис. 5, обр. 3). Размер везикул 0,05-0,2 мм.

Плотностные и упругие свойства образцов гиалокластита, полученные с помощью непосредственных лабораторных измерений, представлены в табл. 5. Расчетные свойства образцов гиалокластитов приведены в табл. 6. Номера образцов в табл. 5 и 6 соответствуют номерам образцов на рис. 5. Свойства вулканического стекла, использованные в расчетах, следующие: для обр. 1 Е=13 400 МПа, у=0,24; для обр. 2 Е=20 000 МПа, у=0,24; для обр. 3 Е=12 300 МПа, у=0,24.

Таблица 5

Свойства образцов гиалокластита, полученные экспериментальным способом

Номер образца р, г/см3 р„ г/см3 V» км/с Е, п103 МПа V

1 2,31 2,74 1,95 6,3 0,20

2 2,34 2,77 2,14 10,0 0,20

3 1,60 2,75 1,85 5,0 0,21

Свойства образцов гиалокластита, полученные расчетным способом

Таблица 6

Номер образца п, % а11 а22 Е, п103 МПа V

1 15 0,59 0,57 6,5 0,19

2 15 0,52 0,58 10,0 0,20

3 33 0,58 0,58 5,3 0,23

Образец 1 почти изотропен по тензору ау (табл. 6), обр. 2 характеризуется слабой анизотропией по ау, потому что (как видно на рис. 5) у него преобладают поры, ориентированные в горизонтальном направлении. Образец 3 изотропен по ау, так как его поры имеют округлую форму и распределены равномерно по площади. Образец 3 характеризуется небольшими значениями компонентов тензора арр (а11=а22=0,58) при достаточно большой пористости (п=33%), что можно объяснить наличием пор округлой формы. В частности, у обр. 1 и 2, имеющих угловатые поры, определены такие же значения а^ при пористости 15%. Этот факт еще раз подтверждает зависимость ау от формы пор, установленную на модельных образцах.

По упругим свойствам можно считать, что образцы изотропны: обр. 1 с точностью 96%, обр. 2 с точностью 85%, обр. 3 с точностью 99%. Расчетные показатели модуля упругости и коэффициента Пуассона (табл. 6) для всех трех образцов практически совпадают с экспериментальными результатами (табл. 5).

Выводы. 1. Результаты расчетов упругих свойств, выполненные асимптотическим методом осреднения, для образцов вулканогенных пород Камчатки и Исландии показали хорошее

л,

I

4

' ЧУ

Рис. 5. Фото шлифов гиалокластитов (слева, николи параллельны) и их модельные изображения (справа). Ширина поля зрения,

мм: 1, 2 - 1,2; 3 - 0,7

совпадение с экспериментальными данными, что подтверждает возможность использовать эту методику при исследовании реальных геологических структур, в частности для предварительной оценки свойств горных пород.

2. Для определения тензора передачи порового давления использована разработанная авторами методика [Шешенин и др., 2015] на основе асимптотического метода осреднения. Изученные на примерах модельных образцов зависимости тен-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бахвалов Н.С., Панасенко Т.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

Дортман Н.Б. Физические свойства горных пород и полезных ископаемых (петрофизика). М.: Недра, 1984.

Киселев Ф.Б., Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. № 3. С. 129-135.

Кларк С. Справочник физических констант горных пород. М.: Мир, 1969.

Мельников Н.В., Ржевский В.В., Протодьяконов М.М. Справочник (кадастр) физических свойств горных пород. М.: Недра, 1975.

Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

Соколов В.Н., Юрковец Д.И., Разгулина О.В., Мельник

B.Н. Программно-аппаратный комплекс для исследования микроморфологии поверхности твердых тел по РЭМ-изображениям // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1998. № 1.

C. 33-41.

Фролова Ю.В. Закономерности изменения состава и свойств гиалокластитов Исландии в процессе литогенеза // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 4. Геология. 2010. № 2. С. 45-55.

Фролова Ю.В. Скальные грунты и методы их лабораторного изучения. М.: КДУ, 2015. 222 с.

Фролова Ю.В, Ладыгин В.М. Петрофизические преобразования пород Мутновского вулканического района

зора передачи порового давления от пористости, формы и ориентации пор, значения коэффициента Пуассона материала скелета породы позволили интерпретировать результаты, полученные для вулканических туфов и гиалокластитов. Исследования подтверждают необходимость учитывать истинное значение тензора передачи порового давления при изучении напряженно-деформированного состояния массивов грунтов.

(Южная Камчатка) под воздействием гидротермальных процессов // Вестн. КРАУНЦ. Сер. Науки о Земле. 2008. № 1 (вып. 11). С. 158-170.

Хилл Р. Упругие свойства составных сред: некоторые теоретические принципы // Механика. 1964. № 5. С. 127-143.

Шешенин С.В., Артамонова Н.Б., Мукатова А.Ж. Применение метода осреднения для определения коэффициента передачи порового давления // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2015. № 2. С.42-45.

Шешенин С.В., Какушев Э.Р., Артамонова Н.Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 5. С. 66-68.

Addis M.A. The stress-depletion response of reservoirs // Proceed. of 1997 SPE Ann. Technical Conference and Exhibition. P. 1. Formation evalution and reservoir geology. San Antonio, 1997. P. 55-65.

Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 1941. Vol. 12. P. 155-164.

Fatt I. Compressibility of sandstones at low to moderate pressures // Bull. Amer. Assoc. Petrol. Geol. 1958. Vol. 42, N 8. P. 1924-1957.

Mei C.C. Micro-scale basis of seepage flow. Theory of homogenization // Lectures Notes on Fluid Dynamics. 2002. Ch. 6.2.

Поступила в редакцию 30.03.2015