ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛОВ И ИХ РОЛЬ В МАТЕМАТИКЕ

УДК 51

Иламанов Б.Б.

преподаватель кафедры «Математический анализ» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

Ореев М.А.

преподаватель кафедры «Математический анализ» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДЕЛОВ И ИХ РОЛЬ В МАТЕМАТИКЕ

Аннотация: в данной статье рассматриваются пределы и непрерывность и его роль в современной науке. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния непрерывностей и пределов в математике.

Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.

Понятия пределов и непрерывности играют фундаментальную роль в математике и находят широкое применение в различных областях науки и инженерии. Они представляют собой ключевые инструменты для анализа и моделирования процессов, которые изменяются со временем или пространством.

Предел - это математическое понятие, которое определяет, как функция ведет себя, когда её аргумент приближается к определенной точке. Непрерывность, в свою очередь, описывает свойство функции сохранять свои значения без скачков и разрывов. Эти концепции тесно взаимосвязаны и являются основополагающими в анализе функций.

В данной статье мы рассмотрим основные аспекты пределов и непрерывности. В первом разделе мы определим пределы и рассмотрим, как они вычисляются для последовательностей и функций. Затем, во втором разделе, мы изучим понятие непрерывности функций, разрывы и способы их классификации. В третьем разделе представлены практические примеры с решениями, демонстрирующие применение этих концепций. В завершении, четвертый раздел покажет, как пределы и непрерывность используются в реальных прикладных областях, таких как физика, экономика, инженерия и компьютерные науки.

Цель этой статьи - предоставить читателям понимание основных понятий пределов и непрерывности, а также их важности в различных контекстах.

Понятие предела последовательности

В математике, последовательность - это упорядоченный набор чисел. Для понимания пределов последовательностей, давайте введем определение предела последовательности.

Последовательность {а_п} имеет предел L, обозначаемый как Нт (п -> да) а_п = L, если для любого положительного числа е (эпсилон) существует такой номер N что для всех п > N выполняется неравенство |а_п - ^ < е. Это означает, что элементы последовательности бесконечно приближаются к числу L при увеличении номеров элементов.

Определение предела функции

Теперь давайте перейдем к пределам функций. Предел функции д(х) при х, стремящемся к а, обозначается как нт (х -> а) д(х). Функция д(х) имеет предел L, если для любого положительного числа е существует положительное число 5, такое что если 0 < |х - а| < 5, то |д(х) - ^ < е. Это определение формализует идею того, что приближение х к а приводит к приближению д(х) к L.

Правила вычисления пределов

Существует несколько правил и свойств, которые облегчают вычисление пределов функций:

- Арифметические свойства пределов: предел суммы, разности, произведения и частного функций можно вычислять на основе пределов исходных функций.

- Предел элементарных функций: пределы элементарных функций, таких как полиномы, экспоненциальные и логарифмические функции, известны и широко используются.

- Пределы тригонометрических функций: существуют стандартные пределы для синуса, косинуса и тангенса.

Свойства пределов

Пределы функций обладают рядом важных свойств, таких как аддитивность, монотонность и теорема о зажиме, которые позволяют упрощать их вычисление и анализ.

Понятие непрерывной функции

Непрерывность функции - это ключевой аспект в математическом анализе. Функция Д(х) считается непрерывной в точке с, если для любого положительного числа е (эпсилон) существует положительное число 5 (дельта) такое, что если |х - с| < 5, то |Д(х) - Д(с)| < е. Это означает, что значение функции непрерывно приближается к Д(с), когда х близко к с.

Разрывы функций и их типы

Функции могут иметь разрывы в различных формах:

- Разрывы первого рода: Функция имеет разрыв первого рода в точке с, если предел функции Д(х) при х, стремящемся к с, существует, но Д(с) либо не существует, либо не равно этому пределу. Такие разрывы могут быть скачками, разрывами углов или точечными разрывами.

- Разрывы второго рода: Функция имеет разрыв второго рода в точке с, если предел Д(х) при х, стремящемся к с, не существует. Это может происходить,

например, когда функция осциллирует вокруг точки c или имеет бесконечное число разрывов первого рода в этой точке.

Теоремы о непрерывности

Существует несколько важных теорем о непрерывности, которые помогают определить, является ли функция непрерывной:

- Теорема о промежуточных значениях: Если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и принимает значения f(a) и f(b), то она принимает все значения между f(a) и f(b) на этом интервале.

- Теорема Больцано-Коши: Если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] и f(a) * f(b) < 0 (то есть функция имеет разные знаки на концах интервала), то существует хотя бы одна точка c внутри интервала, где f(c) = 0.

Подходы к доказательству непрерывности

Доказательство непрерывности функции может варьироваться в зависимости от конкретной функции и точки. В общем виде, для доказательства непрерывности в точке, вы можете использовать следующий алгоритм:

1. Введите формальное определение непрерывности.

2. Выразите неравенство |f(x) - f(c)| < s в терминах 5 и s.

3. Найдите подходящее значение 5 в зависимости от s и точки с, которое обеспечит выполнение неравенства.

4. Дайте заключение о непрерывности функции в точке с.

Это позволяет формально доказать непрерывность функции в заданной

точке.

Пример 1: Вычисление предела последовательности

Пусть у нас есть последовательность a_n = (2n + 1) / (n - 3). Чтобы найти предел этой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, используем правило деления на старший член:

lim (n -> да) a_n = lim (n -> да) (2n + 1) / (n - 3) = lim (n -> да) (2 + 1/n) / (1 -

3/n)

Теперь, когда n стремится к бесконечности, 1/n стремится к 0, и 3/n также стремится к 0. Мы получаем:

lim (n -> да) (2 + 0) / (1 - 0) = 2 / 1 = 2

Таким образом, предел этой последовательности равен 2.

Пример 2: Исследование непрерывности функции

Рассмотрим функцию f(x) = 3xA2 - 2x + 1. Давайте определим, непрерывна ли эта функция на всей числовой прямой.

Для этого нам нужно проверить непрерывность на каждом интервале и в точках разрыва. Эта функция является полиномом, и полиномы непрерывны на всей числовой прямой. Таким образом, f(x) непрерывна во всех точках. Пример 3: Непрерывность функции с разрывом первого рода Рассмотрим функцию g(x) = |x| (модуль x). Эта функция имеет разрыв первого рода в точке x = 0. Давайте докажем это: lim (x -> 0-) g(x) = lim (x -> 0-) (-x) = 0 lim (x -> 0+) g(x) = lim (x -> 0+) (x) = 0

Обратите внимание, что пределы справа и слева от нуля равны 0, но значение g(0) = |0| = 0. Таким образом, g(x) имеет разрыв первого рода в точке x

Заключение

Понятия пределов и непрерывности имеют широкие практические применения в различных областях, от науки и инженерии до экономики и компьютерных наук. Они позволяют анализировать и моделировать разнообразные процессы и являются важным инструментом для понимания окружающего мира и разработки новых технологий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 744c.

2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. — М.: Просвещение, 2014. — 336 c.

3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. — М.: Либроком, 2016. — 216 c.

4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 408 c.

Ilamanov B.B.

Lecturer at the Department of Mathematical Analysis Turkmen State University named after Magtymguly

Oreev М.А.

Lecturer at the Department of Mathematical Analysis Turkmen State University named after Magtymguly

RESEARCH OF LIMITS AND THEIR ROLE IN MATHEMATICS

Abstract: this article examines limits and continuity and its role in modern science. A cross-sectional and comparative analysis of the influence of continuities and limits in mathematics was carried out.

Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.