Моделирование термоползучести неоднородного толстостенного цилиндра в осесимметричной постановке

Моделирование термоползучести неоднородного толстостенного цилиндра в осесимметричной постановке

С.В. Литвинов, Л.И. Труш, А.Е. Дудник Ростовский государственный строительный университет

Аннотация: В статье приводится полный цикл решения плоской осесимметричной задачи: от получения основных разрешающих уравнений до решения практической задачи ползучести полимерной трубы. Используется два нелинейных закона связи «напряжения-деформации»: Максвелла-Гуревича и Максвелла-Томпсона. Проводится сопоставление и анализ полученных результатов, так, в некоторых случаях проектировщику вполне оказывается достаточно использования уравнения связи Максвелла-Томпсона, чем более сложного уравнения связи Максвелла-Гуревича. Решение задачи производится с использование численного метода — метода конечных разностей. При этом, в случае наличия температурного поля, все физико-механические параметры материала (упругие и релаксационные) принимаются в виде функции от температуры. Таким образом, учитывается наведенная (косвенная) неоднородность материала. Для определения температурного поля используется уравнение теплопроводности Фурье. Ключевые слова: осесимметричная задача, неоднородность, ползучесть, уравнение связи Максвелла-Гуревича, уравнение связи Максвелла-Томпсона.

Введение

Полимерные материалы пользуются большим спросом на рынке строительных изделий из-за своей легкости, прочности и удобства в эксплуатации. Вторичный поливинилхлорид (далее ПВХ) является одним из таких материалов. Большим его преимуществом является то, что он изготовляется из технических и бытовых отходов, что делает его выгодным как с экономической точки зрения, так и экологической. ПВХ используется для производства изоляции, покрытий, толстостенных труб и многих других строительных элементов. Перед проектировщиками часто стоит задача грамотного, быстрого и нетрудоемкого расчета подобных конструкций.

В статье рассматривается осесимметричное плоское деформированное состояние (далее — ПДС) однослойной трубы из ПВХ с учетом свойств ползучести. Для описания ползучести существует множество выражений, но уравнениями, максимально точно описывающими поведение материала, являются уравнения Максвелла-Гуревича и Максвелла-Томсона.

Конструктору удобнее использовать те уравнения, которые проще, но при этом, они должны быть приближены к реальной работе материала.

Цель статьи — проведение исследования НДС полимерной трубы, на основе разных уравнениях ползучести с последующим сравнением результатов. Данная проблема является актуальной, так как трубы из ПВХ, как правило, подвержены либо нагреву изнутри, либо находятся под внутренним давлением. Исследованием напряженно-деформированного состояния цилиндрических тел занимались авторы академик В. И. Андреев, профессор Р. А. Турусов, профессор Б. М. Языев в работах [1-17], однако такой материал, как ПВХ, ими не рассматривался.

Не смотря на то, что законы ползучести различаются, общее разрешающее уравнение будет одно. Наличие осевой симметрии в плоской задаче значительно упрощает основные уравнения. Для достаточно длинного цилиндра (в случае ПДС) общее разрешающее уравнение можно получить из дифференциального уравнения равновесия (1), условия совместности деформаций (2) и закона Гука (3), учитывая, что полная деформация равна сумме упругой, температурной и высокоэластичной деформаций, и £ = 0.

Проблема и ее актуальность

Вывод основного разрешающего уравнения

г

дг г

д£в_ + £в_££_ = 0-

дг г

с + с )]+£т + £*;

£г= Е [с -у( £в = Е [с-у(с + с )+£т+£*;

^=Е [с-л

С +а0)) + £т + £*;

где £г, £е, £2 — полные деформации вдоль соответствующих осей г, в, г; сг, с в, <с2 — нормальные напряжения вдоль соответствующих осей г, в,

г; £т — температурная деформация; £г, £в, £2 — деформации ползучести вдоль соответствующих осей г, в, г; Е — модуль упругости первого рода; у — коэффициент Пуассона, который равен у = 0,3.

Задача сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно радиальных напряжений:

а 2сг

дг 2

+

3 1 дЕ

г Е дг

дс 1 - 2у 1 1 дЕ

дг 1 -у г Е дг

сг =

Е д£

т

Е

г(1 -у) дг г(1 -у ) с граничными условиями: = -Р1, сы = -РЫ

д£2 д£в £в - £ у-

дг дг

где г1 и гм — внутренний и внешний радиусы цилиндра, Р1 и Рм — внутреннее и внешнее давления.

Законы ползучести

Для описаний деформаций ползучести, как было сказано выше, используются два закона: Максвелла-Гуревича и Максвелла-Томпсона.

Уравнения связи напряжений и деформаций по закону Максвелла-Гуревича имеют следующую форму:

_ * * /"* * г*

д£ 1гв д£в8 1вв д£28 3 28

дг

%

дг

%

дг

%

где

/п - 2 Р) ; -в - 3 {<Ув Р) ;

fzs — 2 {сГг — Р) - ;

1 1

1к • тах

•

т

% %%

Р —

аr + ав+аz

д д д

В уравнениях (6) и (7) ——, ——, —— — скорости деформаций

дг дг дг

ползучести вдоль соответствующих осей г, в, z; /г*, , — функции

"Г *

напряжений; — модуль высокоэластичности; % — модуль

релаксационной вязкости; т* — модуль скорости; р — среднее напряжение.

Задача ограничивается малым временем, поэтому рассматривается только первый спектр времен релаксации и е* — е*, е*в5 — е—, е* — е*. Закон Максвелла-Томпсона:

д е

1

дг гБ

г

\\

1 - Н

Б

а-Н  е

где Б и Н — мгновенный и длительный модули упругости соответственно; г — время релаксации напряжений.

Упругие и реологические параметры материала

Все упругие и реологические коэффициенты являются функцией температуры, то есть для вторичного ПВХ они имеют вид: Б {Т) — -0,2393Т2 + 8,3357Т +1402,6, МПа;

Бх1 {Т) — -0,0575Т3 + 11,095Т2 - 732Т +16618,МПа;

% {Т) — 74633,33е , ,МПа;

т* (Т ) = -0,0794Т + 15,134, МПа;

%

т = —г^г,с.

Е

Здесь Т — температура в градусах Цельсия.

Между мгновенным, длительным модулями упругости и модулем высокоэластичности имеется зависимость. Полную деформацию можно представить как сумму упругой и высокоэластической деформаций:

£ = с/Е + с/Ею.

С другой стороны полная деформация есть соотношение нормального напряжения к длительному модулю упругости:

£ = с /Н .

Приравнивая эти выражения, получаем, что длительный модуль упругости является следующей функцией от температуры:

, ч Е

V ' Е

Задача решается несвязно, то есть в несколько этапов. На первом этапе определяется температурное поле, на втором — физико-механические параметры материала, на третьем — НДС, то есть определяются напряжения и деформации в цилиндре.

Для определения температурного поля было использовано уравнение теплопроводности Фурье:

д 2Т 1 дТ 1 дТ

+ -— = ——,

дг2 г дг щ дг

где щ — коэффициент температуропроводности; р — плотность

рс

материала; с — удельная теплоемкость материала.

Так как задача осесимметричная, ее решение довольно удобно получить с использованием МКР. Для этого вводим сетку на интервале [а, Ь] с постоянным шагом по радиусу и времени:

b - a

= { = a + ihr}; hr =~N~; i = O'1'2^ N'

ю = { = (i - i)h}; ht = In- ; i = 0,1,2.•• N.

Аппроксимируя уравнение (4), получаем:

d а

ri

dr2

+

3 -e

v ri Ei dr у

да 1 - 2v 1 1 dEt

ds

Ti

r

dr 1 -v r Ei dr

/ * * * * \ vdszr , dsei , sm-sn

ari =

V

dr dr

/

Полученное разностное уравнение (13) можно представить в виде:

/

1

1 Ei+1 - Ei-1

V h2 2hr 2hrEi 2h

1 3 -+-

r i r

\

а

r

' 2 + 1 - 2v 1 Ei+1 --1Л

у

V h 1 -v rE

2hr

ari +

У

___L_ Ei+1 - Ei-1

^2/2Кп 2hrEi 2hr у

а

r

Ei Ti+1 - Ti-1

—i— a——-—-

E;

r (1 -v) 2hr

* *

v ' z(i+1) üz(i-1) + üg(i+1) fcg(i-1) + s - sri

2h

2h

r

г (1 ).

где I —1,2...N -1.

Решение уравнения (14) приводится к матрице следующего вида:

1 0 0 0 0 0 - P1

a2 b2 С2 0 0 0 f2

0 a3 b3 C3 0 0 = < f3 >

0 0 0 aN-1 bN-1 CN-1 fN-1

0 0 0 0 0 1 " PN ,

Решение задачи происходит пошагово во времени. Это означает, что реологические параметры на следующем шаге определяются из решения для текущего момента времени:

Была решена задача определения НДС при следующих исходных данных: Я1 = 8 мм, = 28 мм. Внутреннее и внешнее давления:

Р1 = 10 МПа, Ры = 0 МПа. Время, в течение которого происходит расчет,

Матрица системы является трехдиагональной. Решение было выполнено в ПК «МА^АВ». На рис. 1-10 приведены графики изменения напряжений и деформаций ползучести вдоль радиуса с течением времени.

Задача распределения напряжений в однородном цилиндре хорошо известна. Напряжения не зависят от физико-механических параметров материала, соответственно, не зависят от выбранной теории связи «напряжения-деформации». Таким образом, напряжения, при одинаковой температуре на внутреннем и внешнем торцах цилиндра, не изменяются

При этом деформации при расчете с использованием уравнения Максвелла-Гуревича оказываются на порядок больше, чем при расчете с использованием уравнения Максвелла-Томпсона.

При решении задачи под действием температурного поля, картина для деформаций меняется несильно. Однако напряжения при этом отличаются весьма существенно.

равно Ттях = 3,6 ч .

Решения были получены при двух условиях:

(рис. 1).

1К1 Инженерный вестник Дона. №2 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2016/3560

0.01 0.015 0.02

г, м

0.025

0.01 0.015 0.02

г, м

0.025

Рис. 1 — Напряжение сг и свпри постоянной температуре: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

х 10

-2

ъ -4

х 10

-2

0 0

0.02 —" 2 0.02

г, ш и " Ь г, т и ^ ^ Ь

*

Рис. 2 — Деформации £г при постоянной температуре: a — закон Максвелла-

Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

х 10

х 10

2-

0.5

0.02 „ ----- , 0.02 ___

г, т и и Г, И г, т 0 0 [ Ь

*

Рис. 3 — Деформации £е при постоянной температуре: a — закон Максвелла-

Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

1К1 Инженерный вестник Дона. №2 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2016/3560

х 10 0

*ын -0.5

0 0 ЬЪ г,т 0 0 а

Рис. 4 — Деформации е2 при постоянной температуре: a — закон Максвелла-

Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

СС Рн

св рц

Рис. 5 — Напряжение аг: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

Рис. 6 — Напряжение а—: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

Рис. 7 — Напряжение а,: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь — закон Максвелла-Томпсона

-0.01-

-0.02 0.04

-0.005

Рис. 8 — Деформации ег: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь -

Максвелла-Томпсона

ь

0.01

закон

0.01

0.005-

Рис. 9 — Деформации ев: a — закон Максвелла-Гуревича; Ь Максвелла-Томпсона

ь

закон

IH Инженерный вестник Дона. №2 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2016/3560

*

Рис. 10 — Деформации sz: a — закон Максвелла-Гуревича; b — закон

Максвелла-Томпсона (при изменении температуры) Объяснить такую картину можно тем, что уравнение Максвелла-Гуревича учитывает вязкость как функцию от температуры, в то время как в уравнении Максвелла-Томпсона изменение значения релаксационной вязкости не учитывается.

При постоянной температуре решение задачи близко к решению упругой задачи. То есть, если в условии задачи будет дана постоянная температура, можно приять, что E = const, что значительно упрощает прочностной расчет.

Проанализировав полученный результат, можно сделать вывод, что при расчете напряженного состояния конструкции вполне достаточно применения уравнения Максвелла-Томпсона в качестве уравнения связи «напряжения-деформации». Однако если необходимо определять и деформации конструкции, следует использовать уравнение связи Максвелла-Гуревича.

Литература

1. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М.: АСВ, 2002. 288 с.

2. Языев Б.М. Нелинейная ползучесть непрерывно неоднородных цилиндров: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.04. М., 1990. 171 с.

3. Языев Б.М. Особенности релаксационных свойств сетчатых и линейных полимеров и композитов на их основе: дис. ... д-р. техн. наук: 01.00.06. Нальчик, 2009. 352 с.

4. Литвинов С.В., Языев Б.М.., Языева С.Б. Плоская деформация неоднородных многослойных цилиндров с учетом нелинейной ползучести // Вестник МГСУ. 2010. №1. С. 128-132.

5. Литвинов С.В., Языев Б.М., Бескопыльный А.Н. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки при равномерном внешнем давлении // Инженерный вестник Дона, 2011, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/704.

6. Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф., Языев Б.М. Расчет цилиндрических тел при воздействии теплового и радиационного нагружений // Инженерный вестник Дона, 2012, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/954.

7. Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф., Языев Б.М. Осесимметричная термоупругая деформация цилиндра с учетом двухмерной неоднородности материала при воздействии теплового и радиационного нагружений // Вестник МГСУ. 2012. №11. С. 82-87.

8. Языев Б.М., Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф. Плоская деформация элементов цилиндрических конструкций под действием физических полей // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1616.

9. Языев Б.М., Чепурненко А.С., Литвинов С.В., Аваков А.А. Построение модели равнопрочного толстостенного цилиндра при силовых и температурных воздействиях // Научное обозрение. 2014. №9. С. 863-866.

10. А. Е. Дудник, А. С. Чепурненко, С. В. Литвинов и д.р. Плоское деформированное состояние полимерного цилиндра в условиях термовязкоупругости // Инженерный вестник Дона, 2015, №2, Ч.2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.

11. Языев Б.М., Литвинов С.В. Плоскодеформированное и плосконапряженное состояние непрерывно неоднородного цилиндра под воздействием температурного поля // Сборник трудов. Ростов-н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2006. С. 25-27.

12. Дудник А.Е., Никора Н.И., Чепурненко А.С. Обратная зада для осесимметричного нагруженного толстостенного цилиндра // Научное обозрение. 2015. №11. С. 74-78.

13. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. и др. Модель равнонапряженного цилиндра на основе теории прочности Мора при силовых и температурных воздействиях // Инженерный вестник Дона, 2015, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3064.

14. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра // Инженерный вестник Дона, 2015, №1-2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816.

15. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Нестационарная задача теплопроводности для электрического кабеля с ПВХ изоляцией // Научно-технический вестник Поволжья. 2015. №6. С.49-51.

16. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Model of equal-stressed cylinder based on the Mohr failure criterion // Advanced Materials Research. 2014. Т.887-888. Pp.869-872.

17. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep//Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.

References

1. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some problems and methods of mechanics of heterogeneous solids]. M.: ASV, 2002. 288 p.

2. Yazyev B.M. Nelineynaya polzuchest' nepreryvno neodnorodnykh tsilindrov [Nonlinear creep continuously inhomogeneous cylinders]. M.: 1990. 171 p.

3. Yazyev B.M. Osobennosti relaksatsionnykh svoystv setchatykh i lineynykh polimerov i kompozitov na ikh osnove [Features of relaxation properties of linear and cross-linked polymers and composites based on them] Nal'chik: 2009. 352 p.

4. Litvinov S.V., Yazyev B.M.., Yazyeva S.B. MGSU. 2010. №1. pp. 128132.

5. Litvinov S.V., Yazyev B.M., Beskopyl'nyy A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/704.

6. Litvinov S.V., Kozel'skiy Yu.F., Yazyev B.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/954.

7. Litvinov S.V., Kozel'skiy Yu.F., Yazyev B.M. Vestnik MGSU. 2012. №11. pp. 82-87.

8. Yazyev B.M., Litvinov S.V., Kozel'skiy Yu.F Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1616.

9. Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V., Avakov A.A. Nauchnoe obozrenie. 2014. №9. Pp. 863-866.

10. A. E. Dudnik, A. S. Chepurnenko, S. V. Litvinov i d.r. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2, P.2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063.

11. Yazyev B.M., Litvinov S.V. Ploskodeformirovannoe i ploskonapryazhennoe sostoyanie nepreryvno neodnorodnogo tsilindra pod vozdeystviem temperaturnogo polya. Sbornik trudov. [Plane strain and plane

stress continuous homogeneous cylinder under the influence of temperature field // Proceedings]. Rostov-n/D: Rost. gos. stroit. un-t, 2006. — pp. 25-27.

12. Dudnik A.E., Nikora N.I., Chepurnenko A.S. Nauchnoe obozrenie. 2015. №11. pp. 74-78.

13. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I. i dr. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3064.

14. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №1-2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1p2y2015/2816.

15. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya. 2015. №6. pp.49-51.

16. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Model of equal-stressed cylinder based on the Mohr failure criterion. Advanced Materials Research. 2014. T.887-888. pp.869-872.

17. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep.Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257260. Trans Tech Publications, Switzerland.