Точность расчетов наблюдаемых характеристик деления в многомерных ланжевеновских моделях

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 41-46.

УДК 533

П.Н. Надточий, С.В. Федоров, Г.Д. Адеев

ТОЧНОСТЬ РАСЧЕТОВ НАБЛЮДАЕМЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕЛЕНИЯ

В МНОГОМЕРНЫХ ЛАНЖЕВЕНОВСКИХ МОДЕЛЯХ*

Рассматривается влияние размерности используемой динамической модели на характеристики деления возбужденных компаунд-ядер в рамках многомерного стохастического подхода. Показано, что влияние включения в динамическую модель ориентационной степени свободы оказывается более сильным по сравнению с влиянием, обусловленным вариацией коэффициента редукции вклада от формулы «стены» механизма однотельной диссипации. Из этого следует, что ориентационную степень свободы необходимо включить в динамическую модель деления для более точного определения ядерной вязкости.

Ключевые слова: наблюдаемые характеристики деления, многомерные ланжевенов-ские модели, размерность модели, ориентационная степень свободы, транспортные коэффициенты уравнения Ланжевена, фрикционный тензор, множественности предразрывных легких частиц, дисперсия массового распределения.

Введение

В 2014 г. исполняется 75 лет открытию явления вынужденного и спонтанного деления атомных ядер [1; 2]. Несмотря на столь длительный для научной проблемы срок, физика деления до сих пор остается предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований. Этому способствует как широкое практическое использование деления в ядерной энергетике, так и постоянный неослабевающий интерес к этому уникальному по масштабам процессу перестройки ядра.

Среди ключевых проблем физики деления центральное место занимают проблема динамики процесса и проблема описания формирования экспериментально наблюдаемых распределений осколков. Обе эти проблемы между собой связаны - не зная динамики процесса деления, нельзя решить вопрос о механизме формирования распределений осколков деления и характеристик частиц (нейтронов, гамма-квантов, протонов, и др.), сопровождающих процесс разделения ядра на осколки. Решение этих проблем, особенно в теоретическом плане, сегодня только начинается. Такая ситуация связана прежде всего с серьезными трудностями построения динамической теории такого крайне неравновесного процесса, каким является деление.

Разделение всех степеней свободы ядра на медленные (коллективные) и быстрые (одночастичные) естественно приводит к концепции диссипации и аналогии динамики деления с динамикой броуновской частицы, так как в одном акте взаимодействия с одночастичной подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на относительно малую величину. Адекватным динамическим уравнением в такой физической модели является уравнение Фоккера - Планка (УФП) для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов или физически эквивалентная ему система уравнений Ланжевена. Используя эту аналогию динамики деления ядра с движением броуновских частиц, Крамерс вычислил [3] скорость диффузии броуновских частиц, первоначально находившихся в основном состоянии, через потенциальный барь-

* Работа была частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 1302-00168).

© П.Н. Надточий, С.В. Федоров, Г.Д. Адеев, 2014

42

П.Н. Надточий, С.В. Федоров, Г.Д. Адеев

ер, разделяющий начальные и конечные состояния делящегося ядра. В своем подходе Крамерс уточнил полученную годом раньше формулу Бора - Уиллера [4] для делительной ширины. Уточняющий крамерсовский фактор учитывает влияние ядерной вязкости на скорость деления (делительную ширину).

Подход к динамике деления, основанный на УФП или физически эквивалентной ему системе уравнений Ланжевена, называют стохастическим подходом [5; 6]. В настоящее время он широко применяется для анализа экспериментальных характеристик деления и, как правило, реализуется на основе ланжевеновских моделей большой размерности, трехмерных

[13] и двумерные (2D) [14] расчеты, и лишь начиная с 2000-2001 гг. в литературе стали регулярно появляться публикации результатов многомерных ланжевеновских расчетов [7; 8; 15]. В последние годы стало ясно, что в многомерных ланжевеновских моделях, наряду с рассмотрением динамики параметров формы ядра q., необходимо рассматривать динамику К-координаты (ориентационной степени свободы делящегося ядра). К-координата является проекцией спина на ось симметрии ядра [16; 17].

В настоящей работе исследуется влияние К-координаты на формируемые в процессе деления массово-энергетические распределения осколков деления и на множественности предразрывных нейтронов. Полученные результаты сравниваются с предсказаниями 3D-моделей, в которых предполагается К = 0. Результаты нашего исследования могут быть полезны для качественной оценки влияния К-координаты в моделях, которые ее не рассматривают.

Модель

При обсуждении результатов сравнения 3D и 4D ланжевеновских моделей необходимо иметь в виду, что любая ланжевенов-ская модель характеризуется своими коллективными координатами, их количеством,

а также транспортными коэффициентами уравнения Ланжевена, которые обусловливают силы, действующие на «броуновскую частицу»: консервативную, инерционную,

диссипативную и флуктуационную, определяемые, соответственно, потенциальной энергией, инерционным, фрикционным и диффузионным тензорами.

Заметим, что обсуждая в данной работе точность расчетов наблюдаемых характеристик деления, мы имеем в виду прежде всего точность, обусловленную полнотой используемой динамической модели в отношении коллективных координат, а также полнотой и достоверностью наших знаний о транспортных коэффициентах уравнения Ланжевена, в первую очередь фрикционного тензора. Статистическая погрешность рассчитанных наблюдаемых величин, обусловленных конечным числом стохастических ланжевеновских траекторий, при мо-

-1/2

делировании деления имеет порядок n , где n - число используемых в ансамбле стохастических ланжевеновских траекторий. В силу того что n обычно равно 104-106, то статистическая погрешность расчета является пренебрежимо малой.

В настоящей работе для изучения процесса деления возбужденных компаунд-ядер применяется стохастический подход. Эволюция коллективных координат делящегося ядра описывается в рамках 4D ланжевенов-ской динамики, подробное описание которой можно найти в работе [10]. Эволюция формы делящегося ядра от основного состояния до конфигурации разделенных осколков описывается с использованием известной в теории деления (c, h, а)-параметриза-ции [18]. При моделировании динамики деления вместо параметров формы (c, h, а) используются коллективные координаты q = (q1, q2, q3) . Связь коллективных координат q = (q1, q2, q3) с параметрами формы (c, h, а) и преимущество использования коллективных координат q вместо параметров формы (c, h, а) подробно обсуждаются в [6;

19]. Подробное описание деталей моделирования деления в 3D и 4D ланжевеновской динамике можно найти в обзоре [6], а также в наших ранее опубликованных работах [6-

10]. Здесь мы остановимся лишь на некоторых моментах, которые, по нашему мнению, должны быть отмечены.

Выбор начальных условий по коллективным координатам и сопряженным им импульсам соответствует компаунд-ядру, находящемуся в основном состоянии, которое определяется минимумом потенциальной энергии для каждой пары I и К. Распределение по импульсам полагается статистически равновесным. Выбор начальных усло-

Точность расчетов наблюдаемых характеристик деления...

43

вий по спину I и его проекции K подробно описан в [6-10]. Завершающие условия эволюции делящегося ядра полагались такими же, как в [6-10], и соответствовали либо событиям деления, либо событиям образования остатка испарения.

Ключевой величиной в ланжевеновских моделях, в существенной степени определяющей результаты моделирования, является фрикционный тензор, который был вычислен в рамках модифицированного варианта однотельного механизма ядерной вязкости [20], использующего коэффициент редукции ks, уменьшающий вклад в диссипацию от формулы «стены» [21-23]. Коэффициент редукции ks = 1.0 соответствует полной одно-тельной вязкости, тогда как широкий набор экспериментальных данных удается описать, используя значения ks в интервале

0.2 < ks < 0.5 [6; 20].

В дополнение к постоянным значениям коэффициента редукции вклада от формулы «стены» в используемой 40-модели был применен коэффициент редукции, зависящий от координаты удлинения ks = ks (q1) =

= ks (c) . Расчет этой зависимости основан на идеях зависимости коэффициента редукции вклада от формулы «стены» от меры хаотичности движения нуклонов внутри ядра при его эволюции от основного состояния до точки разрыва [24-29]. Явный вид зависимости ks (q1) был взят из работы [29].

Редуцированный коэффициент трения определяется следующим выражением:

в q 2q 2

Y q2q 2

/m

q2q2

На рис. 1 представлена зависимость редуцированного коэффициента трения от параметра удлинения ядра q1 = С для различных значений коэффициента редукции вклада от формулы стены. Из рисунка видно, что в среднем координатно-зависимый коэффициент редукции соответствует условию 0.25 < ks (q1) < 0.5 .

Описание эволюции ориентационной степени свободы (K-координаты) дается уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания, предложенном в [16; 17]:

8K = -|К Ы + YкЯуГЪ ,

где 9 - нормально распределенное случайное число с единичной дисперсией; уK -фрикционный параметр, определяющий

связь между ориентационной степенью свободы K и термостатом.

В работах [17; 30] показано, что фрикционный параметр уK может быть выра-

жен как

Y к =

RN Rcm V2п 3 n0 ^

J\| \Jeff [JR

J!

i

где RN - радиус шейки; Rcm - расстояние между центрами масс будущих осколков; n0 - величина потока ядерной материи

(0,0263 МэВ-зс-фм-4) [30]; Jeff - эффективный момент инерции, J f = J-1 - J j-1;

Jr = M Rim /4 для зеркально-симметричной формы, где M0 - масса компаунд-ядра. В предельном случае уK ^ 0 и с начальным

значением K , равным нулю, используемая 40-модель становится трехмерной [6-8]. В настоящей работе, согласно [9], использовалось постоянное значение у K ~ 0,077(МэВ^зс)-1/2, не зависящее от коллективных координат.

как функция от коллективной координаты удлинения

для однотельного механизма ядерной вязкости с различными значениями коэффициента редукции вклада формулы «стены»

Результаты расчетов

В настоящей работе в рамках 40 ланже-веновской динамики были проведены расчеты различных делительных характеристик большой совокупности возбужденных компаунд-ядер, полученных в следующих реакциях слияния-деления [31-33]. Реакции, использованные в настоящей работе для анализа, перечислены в наших работах [9; 10].

На рис. 2 представлены результаты 30 [7; 8] и 40 [9; 10] расчетов дисперсий массового распределения осколков деления для различных ks в сравнении с экспериментальными значениями для тяжелых компаунд-ядер с параметром Z2 / A > 36 .

Как видно из рис. 2, 30-модель в общем хорошо описывает дисперсии массовых распределений осколков деления при ks = 0,25 для ядер в диапазоне

36 < Z2/ A < 38 , но для более тяжелых ядер

2

значения Ом, рассчитанные в 30-модели, заметно занижены. Как следует из наших

44

П.Н. Надточий, С.В. Федоров, Г.Д. Адеев

расчетов, учет ориентационной степени свободы улучшает согласие с экспериментом, увеличивая значения дисперсий массовых распределений для тяжелых ядер с

Z2 / A > 38 . Увеличение значений дисперсий связано с уменьшением жесткости делящегося ядра по отношению к масс-асимметричной деформации на участке спуска от седла к разрыву [9; 10].

Рис. 2. Сравнение зависимостей дисперсии массового распределения как функции параметра Z2 / A для различных ks, рассчитанных в рамках 3D (а) и 4D (б) моделей, с экспериментальными значениями. Квадраты соответствуют ks = 0.1, кружки - ks = 0.25 , треугольники - ks = 0.5 , перевернутые треугольники -ks = 1, звездочки - координатно-зависимому ks (q1), пустые квадраты - экспериментальные данные [31-33]

На рис. 3 представлены результаты 3D [7; 8] и 4D [9; 10] расчетов средней множественности предразрывных нейтронов для

различных ks в сравнении с экспериментальными значения для ядер с параметром Z2 / A > 36 . Из графиков видно, что в случае 3D-расчетов хорошее согласие с экспериментом достигается при использовании ks = 1. При включении в модель ориентационной степени свободы (К-координаты) достигается более точное количественное согласие с экспериментом.

Рис. 3. Сравнение зависимости средней множественности предразрывных нейтронов как функции параметра

Z2 / A для различных ks, рассчитанных в рамках 3D (а) и 4D (б) моделей, с экспериментальными значениями.

Квадраты соответствуют ks = 0.1, кружки - ks = 0.25 , треугольники ks = 0.5 , перевернутые треугольники - ks = 1, звездочки - координатно-зависимому ks (g1), пустые квадраты - экспериментальные данные [31-33]

Для количественной оценки степени согласия результатов расчетов с экспериментом использовалось среднеквадратичное отклонение (СКО) рассчитанных значений сравниваемых величин от соответствующих экспериментальных данных [31-33]. На рис. 4 представлены зависимости СКО дисперсии массового распределения и множественности

предразрывных нейтронов от ks, рассчитанных в рамках 3D и 4D ланжевеновских динамических моделей. Из графиков видно, что в 3D-модели СКО возрастает с увеличением ks для дисперсий массовых распределений осколков деления и уменьшается для средней множественности предразрывных нейтронов. Такое поведение СКО не позволяет описывать две эти величины с одним и

тем же значениями ks . При включении ориентационной степени свободы (4D ланжеве-новская динамическая модель) СКО для дисперсий массовых распределений и сред-

Точность расчетов наблюдаемых характеристик деления...

45

ней множественности предразрывных нейтронов уменьшаются с увеличением ks. Минимальные значения СКО для этих величин достигаются в области ks = 0,5 —1. Таким образом, включение ориентационной степени свободы в динамическую модель позволяет описывать дисперсию массовых распределений осколков деления и средние множественности предразрывных нейтронов с близкими значениями ks в области

тяжелых компаунд-ядер с Z2 / A > 38 .

Рис. 4. Зависимости среднеквадратичного отклонения дисперсии массового распределения (а) и средней множественности предразрывных нейтронов (б) как функции коэффициента редукции вклада формулы «стены» ks.

Кружки - результаты расчетов в рамках 4й-модели, квадраты - результаты расчетов в рамках Эй-модели, треугольники сооветствуют результатам, полученным в расчетах с координатно-зависимым ks

Заключение

Проведены расчеты дисперсии массового распределения осколков деления и средней множественности предразрывных нейтронов в рамках 4D ланжевеновской модели, учитывающей ориентационную степень свободы. Включение ориентационной степени свободы в динамическую лан-жевеновскую модель приводит к лучшему согласию с экспериментом, а также позволяет описывать дисперсию массовых распределений осколков деления и средние

множественности предразрывных нейтронов с одинаковыми значениями ks ~ 0,5 в области тяжелых делящихся ядер с Z2 / A > 38 , что невозможно в SD-модели [7;

8]. Разработанная 4D ланжевеновская модель [9; 10] позволяет естественно получить одновременное динамическое описание формирования массово-энергетического и углового распределения осколков деления.

Полученные в работе результаты свидетельствуют, что расширение ланжевенов-ской динамической модели включением ориентационной степени свободы делящегося ядра, которая оказывается одной из главных в динамике деления, индуцированного тяжелыми ионами, оказывает значительно более сильное влияние на рассчитываемые в модели наблюдаемые, чем вариация такой ключевой характеристики, как величина ядерной диссипации.

Авторы благодарят доктора К. Шмидт за интерес к работе и стимулирующие обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Krappe H. J., Pomorski K. Theory of Nuclear Fission // ATextbook-Springer. 2012. 320 p.

[2] Флеров Г. Н., Петржак К. А. Спонтанное деление урана // ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 1013-1017.

[3] Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. Vol. 7. P. 284-304.

[4] Bohr N., Wheeler J. A. The mechanism of nuclear fission // Phys. Rev. 1939. Vol. 56. P. 426-450.

[5] Abe Y. et. al. On stochastic approaches of nuclear dynamics // Phys. Rep.1996. Vol. 275. P. 49-196.

[6] Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732-820.

[7] Karpov A. V., Nadtochy P. N., Vanin D. V., Adeev G. D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 63. P. 054610.

[8] Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65. P. 064615.

[9] Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Gegechkori A. E., Anischenko Yu. A., Adeev G. D. Four-dimensional Langevin dynamics of heavy-ion-induced fission // Phys. Rev. 2012. Vol. 85. P. 064619.

[10] Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Gegechkori A. E., Anischenko Yu. A., Adeev G. D. Incorporation of tilting coordinate into multi-dimensional Langevin dynamics of heavy-ion induced fission: аnalysis of experimental data from fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2014. V. 89. P. 064616.

[11] Randrup J., Moller P., Sierk A. J. Fission-fragment mass distributions from stronly damped shape evolution // Phys. Rev. C. 2011 Vol. 84. P. 034613.

[12] Moller P., Randrup J., Sierk A. J. Calculated fission yields of neutron deficient mercury isotopes // Phys. Rev. C. 2012. Vol. 85. P. 024306.

46

П.Н. Надточий, С.В. Федоров, Г.Д. Адеев

[13] Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavyion induced fission // Phys. Rep. 1998. Vol. 292. P. 131-237 ; Гончар И. И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер // ЭЧАЯ. 1995. Т. 26. С. 932-1000.

[14] Tillack G.-R. Two-dimensional Langevin approach to nuclear fission dynamics // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 278. P. 403-406 ; Tillack G.-R., Reif R., Schulke A. et al. Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 296. P. 296-301.

[15] Aritomo Y. J. Fusion mechanism in Superheavy Mass Region // Nucl. Radiochem. Sci. 2002. Vol. 3. P. 17-18 ; Kosenko G. I., Ivanuk F. A., Pashkevich V. V. The Multi-dimensional Langevin Approach to the Description of Fusion-Fission Reactions // Nucl. Radiochem. Sci. 2002. Vol. 3. P. 71-76.

[16] Lestone J. P. Calculating fission rates at high spin: Incorporation of rotational degrees of freedom in thermodynamically fluctuating axially symmetric systems // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. P. 1540-1544.

[17] Lestone J. P., McCalla S. G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044611.

[18] Brack M., Damgaard J., Jensen A. S. et al. Funny hills: the shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. P. 320-405.

[19] Nadtochy P. N., Adeev G. D. Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy systematics and nuclear scission // Phys. Rev. C. 2005. Vol. 72. P. 054608.

[20] Blocki J., Boneh Y., Nix J. R. et al. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei // Ann. Phys. 1978. Vol. 113. P. 330-386.

[21] Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of nuclear dissipation in fission and heavy-ion reactions // Proceedings of the International School-Seminar on Heavy Ion Physics. Dubna, 1986. P. 453-464.

[22] Nix J. R., Sierk A. J. Mechanism of nuclear dissipation in fission and heavy-ion reactions // Pro-

ceedings of the 6th Adriatic Conference on Nuclear Physics: Frontiers of Heavy Ion Physics. Dubrovnik, 1987. P. 333-340.

[23] Pal S., Mukhopadhyay T. Shape dependence of single particle response and the one body limit of damping of multipole vibrations of a cavity // Phys. Rev. C. 1996. Vol. 54. P. 1333-1340.

[24] Mukhopadhyay T., Pal T. S. Chaos in single particle motion and one body dissipation // Phys. Rev. C. 1997. Vol. 56. P. 296-301.

[25] Pal S., Mukhopadhyay T. Chaos modified wall formula damping of the surface motion of a cavity undergoing fission like sharp evolutions // Phys. Rev. C. 1998. Vol. 57. P. 210-216.

[26] Blocki J., Brut F., Srokowski T., Swiatecki W. J. The order, to chaos transition in axially symmetric nuclear shapes // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 545. P. 511-522.

[27] Blocki J., Shi J.-J., Swiatecki W. Order, chaos and nuclear dynamics // Nucl. Phys. A. 1993. Vol. 554. P. 387-412.

[28] Swiatecki W. J. Nuclear dissipation and order to chaos transition // Nucl. Phys. A. 1988. Vol. 488. P. 357-394.

[29] Chaudhuri G., Pal S. Fission width of hot nuclei from Langevin dynamics // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 63. P. 064603.

[30] Dossing T., Randrup J. Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions:

I. Accumulation of angular momentum by nucleon transfer // Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 433. P. 215279.

[31] Hinde D. J., Hilscher D., Rossner H., Gebauer B., Lehmann M., Wilpert M. Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics // Phys. Rev. C. 1992. Vol. 45. P. 1229-1259.

[32] Русанов А. Я., Иткис М. Г., Околович В. Н. Свойства массовых распределений осколков деления нагретых вращающихся ядер // Ядерная физика. 1997. Т. 60. С. 773-803.

[33] Иткис М. Г., Русанов А. Я. Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статистические и динамические аспекты // ЭЧАЯ. 1998. Т. 29. С. 389-488.