Целочисленные решетки переменных действие для обобщенного случая Лагранжа

Краткие сообщения

УДК 514.8

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕТКИ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО СЛУЧАЯ ЛАГРАНЖА

Е. О. Кантонистова1

В работе построены решетки, образованные целочисленными линиями уровня переменных действие некоторых интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (обобщенный случай Лагранжа). Вычислены матрицы монодромии особых точек указанной системы.

Ключевые слова: гамильтонова монодромия, переменные действие, интегрируемые га-мильтоновы системы, твердое тело.

In this paper we construct lattices generated by integer-valued isolines of action variables of some integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom (generalized Lagrange case). The monodromy matrices for critical points of this system are calculated.

Key words: Hamiltonian monodromy, action variables, integrable Hamiltonian systems, rigid body.

1. Введение. Один из подходов к исследованию интегрируемых гамильтоновых систем заключается в построении и изучении инвариантов, описывающих различные свойства этих систем (топологические, алгебраические, симплектические). Теория топологических инвариантов подробно описана в книге [1] (см. также, например, [2-4]).

В данной работе рассматриваются решетки переменных действие (см. определение 1). Этот инвариант отражает как топологические, так и симплектические свойства системы. В частности, такие решетки построены для случая Лагранжа в задаче о движении твердого тела и для обобщенного случая Лагранжа, также вычислены матрицы монодромии особых точек указанных систем.

Напомним необходимые определения.

Пусть (M2n,u,H) — интегрируемая гамильтонова система с n степенями свободы, а F\,...,Fn — ее первые интегралы, где Fi = H. Пусть Ф = (Fi ,...,Fn) : M2n ^ Rn — отображение .момента. Согласно известной теореме Лиувилля (см., например, [1, § 1.5]), в окрестности компактного связного регулярного множества уровня T,С = Ф_1(С), С G Rn, существуют канонические переменные действие-угол (Ii,..., In, pi mod 2п,... ,pn mod 2п), причем переменные действие Ii,...,In являются функциями от первых интегралов.

Если rk ^Ф(ж) < n, то точка x называется особой точкой отображения момента, а точка С = Ф(х) — особым значением. Множество £ С Rn особых значений называется бифуркационной диаграммой.

Замечание. Вообще говоря, переменные действие определены неоднозначно. Поэтому выберем способ их задания, наложив следующие условия на класс рассматриваемых систем:

1) на M2n^-i (£) существует (и фиксирована) 1-форма а, такая, что и = da (например, это условие заведомо выполнено, если и является точной на всем M2n);

2) для любого С G Rn множество Ф_:1(С) компактно и связно (а значит, по теореме Лиувилля оно диффеоморфно тору Tn при любом С G Ф(M2n)\£).

При выполнении этих условий в малой окрестности Ф-^^^) переменные действие можно определить формулами

4 = 4

Yk

где Щ0 С Rn — малая окрестность точки Со, Y к (С) С Ф-^) — ориентированные циклы на торе Ф-^), образующие базис группы гомологий Hl(Ф-1(С); Z) и непрерывно зависящие от С.

Таким образом, при выполнении условий 1, 2 переменные действие (определенные формулой (1)), являются многозначными функциями в Ф(M2n)\£, зависящими от выбора базисных циклов Yk(С) на торах Лиувилля Ф-^).

1 Кантонистова Елена Олеговна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.мат. ф-та МГУ, e-mail: kysin@rambler.ru.

2. Целочисленные решетки. Теперь необходимо ввести определение решеток, свойства которых будут изучаться в данной работе.

Определение 1. Пусть выполнены условия 1, 2. Множество точек в Ф(М2п)\Х С Кп, образованное пересечением п поверхностей уровня функций 7(£) = С\,..., 1п(£) = сп, £ € Ф(М2п)\Х, где о\,...,сп € Ъ, назовем целочисленной решеткой К переменных действие (далее просто решеткой).

Теорема. Пусть (М2п,ш,И) — интегрируемая гамильтонова система с первыми интегралами ¥1,... ,¥п. Предположим, что выполнены условия 1, 2. Тогда решетка К С Кп не зависит от выбора базисных циклов 71 (£),... , 7п(£) на торах Лиувилля Ф_1(£).

Доказательство. Во-первых, из формулы Стокса следует, что при гомотопии циклов интегрирования 71(£),... ,7п(С) переменные II,... ,1п, вычисленные по формуле (1), не меняются. Во-вторых, при выборе другого базиса в группе гомологий тора (и соответствующих ему циклов 71 (£),...,фп(£)) переменные 11 ,...,1п заменяются на 7 ,...,1п, получающиеся из исходных применением преобразования из БЬ(п, Ъ). Поэтому решетка К для новых переменных 7,..., 1п будет той же самой. Теорема доказана.

Определенные выше решетки переменных действие имеют фундаментальный смысл. Они приблизительно совпадают с точками совместного спектра соответствующих квантовых операторов и, кроме того, дают сведения о топологии интегрируемых гамильтоновых систем (см. [5]).

Отметим также, что вид решетки переменных действие в Мп зависит от выбора интегралов 11,..., 1п, а именно если ф = Н ◦ Ф, где Н — диффеоморфизм Мп ^ Мп, то И = Н(К).

3. Обобщенный случай Лагранжа. Будем изучать свойства решеток на конкретном примере — обобщенном случае Лагранжа.

Симметричным волчком (волчком Лагранжа) называют закрепленное в неподвижной точке О, находящееся в однородном гравитационном поле твердое тело, у которого эллипсоид инерции в О есть эллипсоид вращения (т.е. два момента инерции равны) и центр тяжести лежит на оси вращения.

Аналогично определяется волчок в обобщенной задаче Лагранжа (обобщенный волчок Лагранжа), где потенциальное поле имеет ось симметрии и задается гладкой функцией V (х) на отрезке [—1; 1]. При этом классическому случаю Лагранжа соответствует V(х) = фх, где ф — ускорение свободного падения.

Систему, описывающую обобщенный волчок Лагранжа, можно рассматривать как гамильтонову систему на орбитах коприсоединенного представления алгебры Ли е(3). Рассмотрим на е(3)* координаты (гь Г2, Гз, в1, $2, 8з), в которых скобка Пуассона имеет вид

{si, } — вк, {si, Г] } — Гк, {гi, Г] } — 0. Тогда фазовым пространством системы является многообразие

м!,д = {(Г1 ,Г2, Гз, 81,82, вз) | г2 + г2 + г2 = 1, Т1в1 + Г2$2 + Гзвз = д},

а симплектическая структура получается ограничением на него этой скобки Пуассона. Здесь в = («1, в2, Sз) есть кинетический момент тела; г = (г\,г2,гз) — единичный вектор, направленный по оси симметрии. Заметим, что многообразие М1 диффеоморфно Т*Б2 (и даже симплектоморфно при д = 0).

Функция Гамильтона И и дополнительный интеграл ¥ на М± для обобщенного случая Лагранжа имеют вид

Н = \{8\ + 82 + ^)+У{гз), ¥ = 83,

где в — параметр системы, а V(х) — гладкая функция на отрезке [—1; 1] (потенциал), характеризующая силовое поле, в котором находится тело (подробнее см. в [6, §2]). Отметим, что слоение Лиувилля и качественный вид решетки не зависят от (3, поскольку Ир = Н\ + ¥2.

Таким образом, гамильтонова система, соответствующая волчку Лагранжа (обобщенному волчку Лагранжа), имеет два параметра д > 0 и в > 0 и интегрируема при любых значениях д, в.

Определим 2-параметрическое семейство функций на отрезке [—1; 1]

¥2 1 УГн,Р(х) = (Н - 20 - ^Х1 - ж2) - 2{9 ~ Рх)2-

Следующие две леммы проверяются непосредственным вычислением.

Лемма 1. Для обобщенного случая Лагранжа (2) совместная поверхность уровня гамильтониана и интеграла {И = Н, ¥ = f} связна тогда и только тогда, когда функция Шн,^ (х) имеет ровно два нуля на отрезке [—1; 1] и положительна в точности между ними.

Лемма 2. Пусть для обобщенного случая Лагранжа (2) все совместные поверхности уровня гамильтониана и интеграла связны, т.е. функция Шн,р(х) имеет ровно два нуля а(И,Р), Ь(И,Р) на отрезке [—1; 1], причем Шн,р(х) > 0 внутри отрезка [а(И,Р),Ь(И,Р)]. Тогда переменные действие 1\, /2, определенные формулами (1), имеют вид

/1 (И,Р ) =

Р — д, Р ^ 0; Р + д, Р< 0,

Ь

/2 (И,Р ) =

^2\УНАх)

1 х2

йх.

а

Функция Д(И, Р) соответствует интегралу по циклу 71 = {гз = с}, где С — констанста, а /2(И,Р) —

интегралу по циклу 72 = {г2 =0, Г1 > 0}.

В данной работе мы исследуем вид решетки переменных действие в окрестности особых точек ранга

нуль. Тип особых точек ранга нуль описан в следующем утверждении.

Утверждение 1 [6, гл. 4]. Для обобщенного случая Лагранжа (2) отображение момента Фд /з имеет

ровно две особые точки ранга нуль Р± = (0, 0, ±1, 0, 0, ±д) € М4 д. Их образы при отображении моментах —- 2 имеют вид Р± = Фд4з{Р±) = + ^(±1), ±д).

Если V(х) = хп, п € М, то обе точки Р± невырождены, точка Р+ имеет тип фокус-фокус, а Р-имеет тип фокус-фокус при четном п и центр-центр при нечетном п.

Вид решетки для обобщенного случая Лагранжа определяется потенциалом V(х). Системе Лагранжа как физической системе отвечает линейный потенциал V(х) = рх (он задается гравитационным полем). Построим решетки для степенного потенциала V(х) = хп.

Следующее утверждение было получено на компьютере с использованием языка программирования Си++ и пакета МаЛешаМса 7.0.

Утверждение 2. 1) При У(х) = х2п, п € N. и для любых в > 0, д > 0 целочисленная решетка ПсШ2 (И, Р) и бифуркационная диаграмма симметричны относительно оси И и имеют вид, показанный на рис. 1 (особые значения отображения момента Р± симметричны относительно оси И).

2) При V(х) = х2п+1, п € N и{0}, решетка К и бифуркационная диаграмма имеют вид, показанный на рис. 2 (особое значение Р- лежит на границе образа отображения момента, а точка р+ — внутри него).

Примеры решеток, соответствующих степенному потенциалу V(х) = хп, п € N и {0}, приведены на рис. 1, 2. Они построены с использованием формул из леммы 2. На рисунках изображены два семейства линий уровня функций /1 ,/2: первое состоит из кривых {/2 = С2, С2 — константа}, похожих на параболы, а второе — из линий {/1 = С1,С1 — константа}, параллельных оси И. Объединение всех целочисленных линий уровня функций /1, /2 будем называть решеткой и.

Случай потенциала нечетной степени: V(х) = х. На рис. 2 кривые второго семейства являются слоями глобального (в Фд д\£д ,р)) слоения со слоями {/1 = С1,С1 — константа}, а кривые первого семейства — слоями неглобального слоения со слоями {/2 = С2,С2 — константа}, регулярность которых нарушается на линиях {И = 22 + У(1), Р ^ д} и {Н ^ + У(1), Р = д}. Значит, на указанных линиях нарушается регулярность

решетки и. Таким образом, из-за наличия особых точек в бифуркационной диаграмме не существует глобальных переменных действие.

Рис. 1

Рис. 2

Случай потенциала четной степени: V(х) = х2. На рис. 1 регулярность кривых первого семейства

2 2 2

нарушается на линиях {Я = ^ + У{ 1), ^ ^ д}, {Я = + У{-1), ^ ^ -д} и {Я ^ ^ + ^ =

2

Теперь исследуем решетку К в окрестности особой точки Р+. Выберем произвольную ячейку решетки и, не содержащую особой точки и не лежащую на линиях, на которых нарушается регулярность кривых из первого семейства переменных действие (на них нарушается регулярность решетки и). Будем двигать ее вокруг особенности по замкнутому контуру против часовой стрелки.

4. Алгоритм обхода особой точки по замкнутому контуру. Далее приведем последовательность действий, совершаемых при обходе вокруг изолированной особенности по замкнутому контуру:

1) пронумеруем линии уровня I по возрастанию значений I, г = 1, 2. Ориентируем каждую линию уровня I по возрастанию значения 1з_^ г = 1, 2. Пусть линии уровня первого семейства — это К^ = I-1(^), а линии уровня второго семейства — это Ь^ = 1-1(]), ] € Ъ;

2) выберем стартовую ячейку решетки и, т.е. зафиксируем четыре ее стороны: Ki,Ki+l,Ь^,Ь^+1. Обозначим через в1,в2 те стороны, которые лежат на линиях Ki,Lj соответственно, с индуцированной ориентацией. Тем самым мы выбрали базис. Будем говорить, что этот базис соответствует переменным действие 11,12;

3) двигаем выбранную ячейку по замкнутому пути вокруг особой точки по правилам:

a) путь не должен проходить через ячейку, содержащую особую точку;

b) каждая следующая ячейка на пути должна оставаться между теми же самыми линиями уровня одного семейства, что и предыдущая, и сдвигаться относительно второго семейства линий уровня на единицу;

4) следим за эволюцией базиса, а именно при движении базиса подсчитываем число узлов, на которые мы смещаемся, и требуем, чтобы начало и конец вектора прошли одинаковое число узлов (т.е. одинаковое число линий уровня). Пусть у ячейки, полученной в результате однократного обхода вдоль замкнутого пути, базис в1 ,в2 перешел в пару "векторов" е\,в2'. Выражаем эти векторы через в!, в2.

Конец алгоритма.

5. Примеры использования алгоритма. Описанный выше алгоритм обхода можно применять для доказательства утверждений о свойствах изучаемых в работе решеток.

Лемма 3. Результат однократного обхода по замкнутому контуру вокруг особой точки не зависит от выбора контура, содержащего внутри только эту особенность.

Доказательство. Все замкнутые пути в окрестности особой точки, обходящие ее, гомотопны между собой, так как в окрестности особой точки нет других особенностей. Получаем утверждение леммы.

Определение 2. Рассмотрим изолированное особое значение Р в образе отображения момента и обойдем вокруг него, следуя алгоритму. Начальный базис решетки в1,в2 и конечный базис в1,в2 связаны невырожденным линейным преобразованием

в'Л = /а Ъ\ (в1 в'2) V с й) Vв2

Матрица М этого преобразования называется матрицей монодромии, соответствующей особой точке Р.

Найдем матрицу монодромии для внутренней особой точки в случае Лагранжа.

Утверждение 3. Для любого потенциала вида V(х) = хп, п € М, матрица .монодромии решетки К в базисе, соответствующем переменным действие 11,12, имеет вид М = 1 1 1

,0 1,

Доказательство. По указанному алгоритму осуществляем обход вокруг особой точки (это можно сделать, пользуясь рис. 1, 2). Обход совершаем в положительном направлении, т.е. против часовой стрел-

\д(1г, 12) | ки, так как ¡-¡щщ\ =

матрицу монодромии М

1 0

* +

> 0. Вычисляя координаты вершин стартовой и конечной ячеек, получаем

1 1 0 1

Автор выражает особую благодарность научному руководителю А. Т. Фоменко, а также Е. А. Кудрявцевой и А. А. Ошемкову за помощь в подготовке данной работы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00748), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3224.2010.1), АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект

РНП-2.1.1.3704), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (контракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.

3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. анализ и его прил. 1978. 12.

4. Болсинов А.В., Матвеев В.С., Фоменко А.Т. Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальная геометрия // Матем. сб. 1998. 189, № 10. 5-32.

5. Zhüinskii B. Interpretation of quantum Hamiltonian monodromy in terms of lattice defects // Acta Appl. Math. 2005. 87. 281-307.

6. Орел О.Е., Такахаши Ш. Траекторная классификация интегрируемых задач Лагранжа и Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа // Матем. сб. 1996. 187, № 1. 95-112.

Поступила в редакцию 27.04.2011

УДК 519.716

О ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ПОРОЖДЕННЫХ СИСТЕМАМИ, СОДЕРЖАЩИМИ СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

А. В. Михайлович1

Изучаются замкнутые классы функций трехзначной логики, порождающие системы которых содержат немонотонные симметрические функции, принимающие значения из множества {0,1}. Показано, что в некоторых случаях задачи о базируемости и о конечной порожденности для таких классов сводятся к аналогичным задачам для классов, порождающие системы которых являются подмножествами порождающих систем исходных множеств.

Ключевые слова: функции многозначной логики, замкнутые классы, порождающие системы, базис.

Closed classes of three-valued logic functions whose generating systems include nonmonotone symmetric functions taking values in the set {0,1} are studied. It is shown that in some cases the problems of existence of a basis and of existence of a finite basis can be reduced to similar problem for reduced generating systems.

Key words: multi-valued logic functions, closed classes, generating systems, basis.

В работе рассматривается задача о существовании базисов для некоторых семейств замкнутых классов функций трехзначной логики. Э. Л. Пост [1, 2] описал все замкнутые классы булевых функций и показал, что каждый такой класс имеет конечный базис. На случай k-значных логик при k ^ 3 этот результат не распространяется. В [3] показано, что при всех k ^ 3 в Pk (где Pk — множество всех функций k-значной логики) существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и не имеющие базиса. Следует отметить, что порождающие системы классов из этих примеров состоят из симметрических функций, принимающих значения только из множества {0,1} и равных нулю на единичном наборе и наборах, содержащих хотя бы одну нулевую компоненту. В [4, 5] рассматривались некоторые семейства классов, порожденных симметрическими функциями такого вида. В данной работе рассматривается вопрос о сведении задачи

1 Михайлович Анна Витальевна, — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики ф-та ЭСТ Московского государственного университета леса, e-mail: avmikhailovich@gmail.com.