Осевое растяжение стержня в рамках моментной теории упругости

Рис. 5

Данные фильмы позволяют преподавателю сократить время изложения данного материала, повысить наглядность, и, в конечном счете, помогает студентам усвоить материал, ведь в нужное время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной картинки на доске.

Полученные таким образом фильмы в формате .SWF могут быть продемонстрированы с помощью ПК, на котором установлен Flash или Flash Player. Если на ПК не установлен ни один из этих пакетов, то при подготовке фильма в среде Flash его можно экспортировать в формате .EXE, что позволит продемонстрировать фильм на любом ПК, работающем на платформе Windows.

Следует отметить, что все материалы, описанные в данной статье, могут быть использованы не только во время аудиторных занятий, но и предлагаться студентам для самостоятельной работы. Студенты могут иметь доступ к этим материалам через интернет или получать материалы на электронных носителях для использования при выполнении домашних заданий и самостоятельного изучения теоретического материала.

В заключение можно сказать, что использование новых информационных технологий на занятиях по математическому анализу способствует улучшению качества преподавания и, как следствие, повышению знаний учащихся и скорости их получения.

А.К. Попов

ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ В РАМКАХ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассмотрим задачу об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий статически эквивалентных силе Р и моментов статически эквивалентных моменту М, параллельных оси стержня, и приложенных в центре тяжести свободного торцевого сечения. Рассматриваемый стержень с прямолинейной осью и перпендикулярными к ней основаниями подвержен осевому растяжению и кручению. Массовыми силами пренебрегаем. Предположим, что выражения для физических компонент тензора напряжений и моментных напряжений имеют вид:

=Р

В выражении (1) и (2):

= m

Г М

Р = - , 1X1 = -

Я 8

где Р - сила, эквивалентная растягивающим усилиям; М - крутящий момент сил распределенных на торце; 8 - площадь поперечного сечения стержня.

Тогда будем считать, что р - плотность распределения сил, т - плотность распределения моментов.

Выбраненные значения компонент тензора напряжений (1) и моментных напряжений (2) удовлетворяют двум группам уравнений равновесия: первая группа уравнений равновесия:

<Эст дет „ Эст„

— = О

да дах -+-+-^ = 0

5xj <5х2 <Эх3 вторая группа уравнений равновесия:

9xj <Эх2 5х3 д<зхх д<зхх дахх

12 _|__2 2 _j__3 2 _ Q (3^

5xj Sx2 5х3

'".LI <>

' -H--—+ ст — er = 0

<5xj 3x2 öx3

Кроме того, если мы рассматриваем задачу в терминах компонент тензора напряжений, то эти компоненты должны удовлетворять двум группам уравнений совместности деформаций в напряжениях.

Первая группа уравнений совместности деформаций, записанная в напряжениях и выраженная через физические компоненты тензора напряжений и тензора моментных напряжений имеет вид:

3 2а 8 _ .

Н-а ^XlX2 И 1 " °х2Х1 + о. ^о.. 2 Х + ^

Sxj XlX2 X2Xl ЗХ + 2ЦЙХ

---^ х =о

ЗХ, + 2[х 0х2 L х=х= J

Э г П 2а ¿5 - U. — а СТХ х — U. + CX СТХ х ч---2 X + IL СТХ х

L Х1Хз ХзХ1 J ЗХ + 2(Х <Эх3 XlXl

2tx 0 -i , r>

X ст_ + ст_ = О

ЗХ + 2ц 3x3 "" X2X2 ХзХз 2а ¿5

И 1 " <^XlX

ЗХ + 2ц Sxj L x=x= x'x' x=x= J gx2

— [ О а ;>Х2Хз - О а ;>ХзХ2 ] + [ О а ^>XiX2 - а ^^ ]

2а[х

¿^[С-а>л - С+ «>А] + а>Л - С-аХх,]-

2а[х

2v ж.-.+^хзхз >2ецХ2Х2 ]=о

+ ^ >2гцХЛ >0 2tX 0 + °х2х2 >2 ц >jXj ] + А а>Л )

ЗХ + 2ц 0x1 L 3 3 -I йх

2-Л1

д

¿Эх,,

[ ц-а аХ1Хз- ц + а аХзХ1] + ^-[ ц + а аХ2Х1 - ц-а аХ1Х2 ] -

2ац

V Зs^-2v

а Г

ц-а а,

а

е + иХ2Х2 + иХз

2Хз - И + « <*ХзХ2 ]

"2вцХ1Х1 =0 2а д

дх2

2а О г

---Л а +

ЗА, + 2ц Эх3 Ь

2а 5 г

-;--— ^ ахх +а

за, + 2ц Эх21-

ЗА + 2ц с5х3

2 Л, + ц

а.

— 2 Л, + ц аХзХз]

5

<Эх,

Вторая группа уравнений совместности деформаций записанная в напряжениях и выражен ная через физические компоненты тензора моментных напряжений имеет вид:

д г п 2(3 д

сЭх,

[ ^-(3 цХХ2 - у + (3 цХгХ1] +

Зе + 2у дк.^

2 6 + V ц,

е Цх

2(3

5

^ |- 13 31-1 Зе + 2у <Эх3

2 В 5 с

[8[цХ1Х1+цХзХз]-2 8 + У цХ2Х2] + -^-[ V + (3 ЦХ[Х2- V —(3 ЦХ2Х1] = 0

д г ^ ^ п 8

2 е + У цхл -8

д_ <Эх0

= О = 0

Зе + 2v дх.1

^ [ с- Р Хх3 - +р Хх2 ]+¿7 [ ^+Р Х2 - С- р X«, ] =0

5 [ с- р Хх2 - ^+р К ] + ['^+1р Х3 - С- р >ХЗХ1 ] = о

<Эх

2(3

5

[е СХ1 + ^х2х2 >2 <+ V >ХзХз ] + —- [ ^ + (3 >Х[Хз - (3 >ХзХ[ ] =

Зе + 2v дх.1

дх.,

= 0

дх.п

[ с- р Хх3 - ^+р хХ1 ] + [ ^+ р >л - с- р хХ2 ] - о

<Эх

-[€-рХх3-^+РХХ2] +

2(3

5

2

2(3

Зе + 2у (Эх,

[2 <+у>Х2Х2 -е <Гхл +цХзХз

д

Зе + 2у йх2 I-8 С* + ^ )2 С+ у X. ] + ^ ['ОIР X. " С" Р X. ] = 0 (6>

Запишем граничные условия на боковой поверхности стержня:

Р1 = ст^г^

т; = ^^

Третьей компонента п3 вектора нормали к боковой поверхности стержня равна нулю.

Считаем, что внешние силы на боковой поверхности отсутствуют.

А внешние силы на основаниях стержня (торцах стержня):

Р1 = Р2 = О; р3 = Р

т = т2 = О; т3 = т

Боковая поверхность стержня свободна от внешних сил, что справедливо, так как на стержень воздействуют только осевые растягивающие силы и моменты сил, приложенные на конце стержня. Равенства (9) и (10) показывают, что на основаниях стержня приложены равномерно распределенные растягивающие усилия интенсивности р и моменты сил интенсивности т. В соответствии с принципом Сен-Венана, при достаточно большой длине призматического тела по сравнению с размерами его оснований, можно смягчить граничные условия на основаниях таким образом, чтобы главный вектор и главный момент сил, приложенных к основаниям, имели заданные значения: при этом действительное распределение сил на основаниях практически не оказывает влияния на части тела, находящиеся вдали от них [4].

ХТХ

2 2

О

Считая закрепленным бесконечно малый элемент на оси Ох3 около начала координат, имеем, равенство нулю компонент вектора перемещений ц2- и3 и компонент вектора собственного

микроповорота , ¿о2 - со3

В выражениях для физических компонент ковариантного тензора напряжений и моментных напряжений, представимых в виде (1) и (2) воспользуемся законом Гука моментной теории упругости [5]:

УХ:Х:

^ + а - Ц-а °х 4ац

v + ß ~ v-ß К

4ßv

А. 8 а

2и(3л I 2u) 1J°XkXk

^iiM-XtXt

2v

Получим из равенств (1)и (11) соответствующие значения физических компонент тензора деформации:

YxlSl YxoXo

Ар

У =1

ХзХз ц

2ц

Ух X = Тх X = Тх X = Ух х = Ух X =Ух X = О

2Х3 < х3х2

А из равенств (2) и (12) - соответствующие значения физических компонент псевдотензора тензора изгиба - кручения:

ет

к = к,. =

2v(3s + 2г>) к,.= к,. = к,.= к,.= к,. = к,.=0

к,.

т

г>

Из геометрических соображений несимметричный тензор деформации YxjXj представим в

виде:

"У Xj Xj

дх.

— fckji

где £к- тензор Леви-Чивита.

Взаимосвязь компонент тензора изгиба - кручения и псевдовектора собственного микроповорота [3] имеет вид:

ЭШХ:

Кх. к" Эхi

Подставляя в геометрические соотношения для несимметричного тензора деформаций (15), значения физических компонент тензора деформации (13) получим:

Т Dtj Dtj-

Формулы физических компонент псевдотензора изгиба - кручения (14) будем рассматривать в виде системы дифференциальных уравнений для определения компонент псевдовектора собственного микроповорота:

1 2

2 1

2 3

3 2

Решая систему дифференциальных уравнений (18), получим значения компонент псевдовектора собственного микроповорота:

где с1, с2, с3 - произвольные постоянные требующие определения.

Учитывая равенство нулю компонент псевдовектора собственного микроповорота , С&2, 7 в начале координат, соответствующие произвольные постоянные сь с2, с3 равны:

^^ с 0

Подставляя значения произвольных постоянных в (19), получаем результирующие выражения для компонент псевдовектора собственного микроповорота СО ^, ¿¿Ь. ¿¿Ь :

ыу =

йК =

2У

впъ 2 Лг(Зс+21>}

= —-——х3

х-,

Система дифференциальных уравнений (17), с учетом формул для компонент псевдовектора собственного микроповорота (20) преобразуется к виду:

Для нахождения компонент вектора перемещений, найдем решения трех систем дифференциальных уравнений вида:

Из первой системы дифференциальных уравнений

* / Л

их, = а12Х2Х3 + МХ1,Хз)

* . .

их = а13Х2Х3 + ™ДХ1,Х2)

Приравнивая первое и второе равенства (23) получим:

а11Х1 + и*(Х2,Хз) = а12Х2Х3 +

Следовательно,

и*

у!

Приравнивая первое и третье равенства (23) получим:

апХ1 + и*

Следовательно,

и*

Ч

Из равенств (24) и (26), получаем:

а12 = а13

Приравнивая второе и третье равенства (23), и учитывая равенства (25),(27),(28) получим:

1 (Х3 )= ё(Х2 )= С4 Следовательно, первая компонента вектора перемещений имеет вид:

иХ1 = а11Х1 + а12Х2Х3 + С4

Из второй системы дифференциальных уравнений (22), получим:

иХ2 = а21Х1Х3 + и2(Х2'Х3) 1 Г ч

= а22Х2 + У2

1 , .

= а23Х1Х3 + ^^2

Приравнивая первое и второе равенства (30) получим:

а21Х1Х3 + и2

Следовательно,

и2

у2

Приравнивая второе и третье равенства (30) получим:

а22Х2 + У*

Следовательно,

у2

w1

Из равенств (32) и (33), получаем:

^21 = ^23

Приравнивая первое и третье равенства (62) и учитывая равенства (31), (34), (35), получим:

Я(Х3) = к(Х1) = е5

Следовательно, вторая компонента вектора перемещений имеет вид:

иХ2 = а22Х2 + а21Х1Х3 + С5

Из третьей системы дифференциальных уравнений (22), получим:

их3 = а31Х1Х2 + из

их3 = а32Х1Х2 + ^3

их3 =аззхз + ^(Х1,Х2) Приравнивая первое и третье равенства (37) получим:

Следовательно,

u*

w^

Приравнивая второе и третье равенства (37) получим:

Следовательно,

а32Х1Х2 + v^

v^

3У Ч.33Л3

w^

Из равенств (39) и (41), получаем:

«31 = «зг <42)

Приравнивая первое и второе равенства (37) и учитывая равенства (38), (40), (42), получим:

ё(х2) = е(х1) = сб

Следовательно, третья компонента вектора перемещений имеет вид:

их3 = а33х3 + а^х^ + сб

В формулах (21) и (22) соответствующие постоянные равны:

Ар (е + х>)т &т

2ix

(s + \)}т _ Ар _ s т

v

s т s т р

"" 2v

Из равенства (22), учитывая значения постоянных (28), получаем:

(е + \))т sm tittti , 0 „

—i-1-=- или s + 2г> m — O

v

Аналогично из равенств (35) и (42) получим: s + г. m s m

v 3s + 2г. 2v

s m s m

или 3e + 2x> m = О

или 2sm = О

2v 3s + 2г> 2v

Значит в каждом из полученных равенств плотность распределения моментов m равна нулю. Следовательно, компоненты тензора моментных напряжений (28) равны нулю.

Вывод. В рамках задачи об упругом равновесии стержня под действием растягивающих усилий статически эквивалентных силе Р, возникают только силовые напряжения, а соответствующих моментных напряжений при растяжении не возникает.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2.

2. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

3. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. № 3.

4. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О принципе Сен-Венана и Фрагмена-Линделефе для решений и субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа в неограниченных областях // Математическая физика и нелинейная механика. 1984. Т. 2 (36). С. 91-98.

5. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, N.Y., Toronto et al: Pergamon-Press, 1986.

«12 =