Возникновение конвекции в горизонтальном плоском слое пористой среды

МЕХАНИКА

О. Н. ДЕМЕНТЬЕВ, Д. В. ЛЮБИМОВ

ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ПЛОСКОМ СЛОЕ

__ __ К» _ _ -I

ПОРИСТОИ СРЕДЫ1

Аналитически решена задача об устойчивости равновесия подогреваемого снизу плоского горизонтального слоя пористой среды с жидкостью при ограниченной теплопроводности образующих слой жидкости твердых массивов. Показано, что при уменьшении теплопроводностей массивов устойчивость равновесия монотонно понижается, а длина волны бегущих критических возмущений растет.

Ключевые слова: конвективная устойчивость, пористая среда, метод Галеркина.

Если пористая среда насыщена жидкостью или газом, то при наличии разности температур возникает конвективное движение (конвективная фильтрация). Как и в случае обычной конвекции, при подогреве снизу возможно равновесие. Задача исследования устойчивости этого равновесия представляет интерес, например, в связи с выяснением условий возникновения конвекции в пластах пористых пород под действием геотермического градиента.

Изучению конвективной устойчивости жидкости в пористой среде, ограниченной идеально теплоизолированными боковыми границами, посвящено значительное число работ. Като и Мацуока [1] показали, что в большинстве предыдущих работ неверно определялся коэффициент эффективной температуропроводности насыщенной пористой среды; проведенные ими опыты выявили хорошее согласие с исправленной теорией. Для определения значения фильтрационного числа Рэлея, при котором возникает конвекция (подогрев снизу) использовалась линейная теория устойчивости. Для непроницаемых идеально теплопроводных границ получено критическое число Рэлея, равное 4п, соответствующее волновому числу, равному п, что подтверждено экспериментально в [2 — 6]. В работах [7 — 10], посвященных изучению свойств конвективных движений в пористой среде, показано, что при любой форме поперечного сечения подогреваемого снизу горизонтального цилиндра критическая мода двукратно вырождена, причем вырождение не снимается и в случае конечно-амплитудных движений. С использованием метода Ляпунова — Шмидта было показано, что в надкритической области существует бесконечное множество возможных стационарных режимов движения. Это означает, что конвекция в пористой среде обладает качественным своеобразием по сравнению с однородной жидкостью. В работе [11] проведено исследование плоских конвективных движений в пористом слое с теплоизолированными границами, определены границы области устойчивости пространственнопериодических вторичных течений.

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 07-01-96025_р_урал_а).

В настоящей работе ставится задача исследования зависимости критерия возникновения конвекции в горизонтальном плоском слое пористой среды, ограниченном сверху и снизу бесконечными однородными массивами, от теплопроводностей массивов.

Уравнения, описывающие конвективное движение вязкой несжимаемой жидкости в пористой среде, имеют вид [1]

Здесь в качестве характеристик движения приняты: и — макроскопическая скорость фильтрации, определяемая как объемный расход жидкости через единицу площади в пористой среде (скорость фильтрации связана со средней скоростью частиц жидкости в порах V соотношением и = еу, где е — пористость среды, определяемая как отношение объема пор ко всему объему выделенного объема среды); Т — температура, отсчитываемая от условного нуля; р — конвективная добавка к гидростатическому давлению; р — плотность; д — ускорение силы тяжести; 7 — единичный вектор, направленный по вертикали вверх; К — коэффициент проницаемости, определяющий связь между плотностью силы сопротивления и скоростью фильтрации по формуле Дарси

V = ^/р — коэффициент кинематической вязкости жидкости; в — коэффициент теплопроводности; ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Величины, снабженные индексами f и т, относятся соответственно к жидкости и к пористой среде вместе с жидкостью.

Основное отличие от обычных уравнений конвекции состоит в том, что вместо ньютоновской силы вязкого трения теперь в уравнения входит сила сопротивления Дарси, пропорциональная скорости. Замена вязкой силы силой Дарси приводит, в частности, к понижению порядка системы дифференциальных уравнений. По этой причине сокращается число необходимых граничных условий для скорости. Так, на границе раздела пористой среды с твердым непроницаемым массивом должна обращаться в нуль лишь нормальная компонента скорости фильтрации. Касательная же компонента, вообще говоря, отлична от нуля — вдоль границы может происходить фильтрация.

Рассмотрим горизонтальный плоский слой пористой среды, ограниченный сверху и снизу бесконечными однородными массивами. Выберем прямоугольную декартову систему координат с началом на нижней границе слоя, ось Z направим вертикально вверх. В равновесии задан постоянный вертикальный градиент температуры в пористой среде, равный А (УТ0 = — А7).

Линеаризованные уравнения для малых возмущений равновесия имеют вид

Ур

Р/

+ 9РТ^- ^и,

(рСр)т кт/\Т (рср)/и • V?1,

= 0.

дт

(рср)т— = ктАт + (рср){А(й • 7),

дт„

дЬ

div'u = 0, хЛтт (г = 1, 2).

Здесь т — возмущение температуры внутри слоя; выписаны также уравнения для возмущений темперпературы тт, в массивах; х, — коэффициент температуропроводности массивов ^ = 1,2 для нижнего и верхнего массивов соответственно).

На границах слоя ставятся условия исчезновения нормальной компоненты скорости фильтрации, возмущений температуры в слое и массиве и непрерывности теплового потока. На большом расстоянии от слоя возмущения температуры в массивах должны исчезать. Таким образом, имеем граничные условия

дт

0 : иг = 0; т = тткт—

дг

дт

дт

т1

к : иг = 0; т

тт2; Кт

дг

1^т2

дг ’ дтт2

дг

где к — толщина слоя.

Для перехода к безразмерным переменным выберем следующие единицы измерения: расстояния — /г,, времени — , скорости — температуры — А1г,

давления — рх™1' (здесь \т = )• Тогда система (2) примет вид

а ди

р^Ж + м+ р_7 рТ

дт

о—------Дг — 7М = 0,

дЬ

- дт„„ = о.

0,

дЬ

div'u = 0

с граничными условиями:

, дт дтт,

0, 1 : и2 = 0; г = ттг; А»— = ;

дг дг

г —^ гЪ сю : тт, —* 0.

Здесь = 913ЛН К — аналог числа Рэлея (новый безразмерный параметр, опре-

у ^Хор

деляюгций кризис равновесия в пористой среде); Рг = —--------число Прандтля;

К к а=-2, ь

р )Ш

Хт

Кт

ктА,

(рср) f Х,

Рассмотрим нормальные возмущения, периодические в плоскости слоя и экспоненциально зависящие от времени:

иг

и(г)е

г

г

г

т = 0(г)е"(к1 ж+к2у)-Л*, ттг = 0,(г)е"(к1 х+к2у)-л*.

Как и в случае конвективной неустойчивости однородной жидкости, несложно показать, что при подогреве снизу возмущения меняются со временем монотонно, т. е. декремент Л — вещественная величина. Граница устойчивости тогда должна быть определена из условия Л = 0. Система амплитудных уравнений для нейтральных возмущений имеет вид

и" — к2и = — Ер к20,

0" — к20 = —и,

0" — к20, = 0, где к2 = к2 + к2, с граничными условиями

м

Л10,(0) = 0,1 (0); Л20'(1) = 02(1);

0, ^ 0; г ^ ±ж.

Условие существования нетривиального решения краевой задачи (6), (7) определит критический градиент температуры для данного возмущения и фиксированных параметров среды и массивов.

Как показано в [2; 3], для случая Л1 = Л2 = 0 (бесконечно теплопроводные массивы) задача имеет точное решение

1 х

0 = а = (кЩ — к2) 2.

Критическое число Рэлея для основного уровня неустойчивости есть Ер = ~^2 ^  Минимальное число Рэлея Крт = 4тг2] минимум достигается при кт = тг. В противоположном предельном случае Л, ^ ж (теплоизолированные границы слоя) по аналогии с однородной жидкостью [4] можно ожидать, что наиболее опасными будут длинноволновые возмущения. Учитывая это, воспользуемся методом малого параметра. Запишем и, 0, Кр в виде разложений по степеням волнового числа:

и = Мо + ЦЩ + ц щ +

0 = 0о + Ц01 + д202 + •••,

Др = До + яД-1 + Ц2^2 +

где ц = к2. Подставляя эти разложения в (6) с граничными условиями

при г = 0, 1 и = 0 = 0,

получим в нулевом порядке и0 = 0, 0о = С =сопэ1; в первом порядке и1 =

— г2), 0'1 = Сг-^-(Зг2 — 2г3), С = откуда К0 = 12. Второй порядок

дает Таким образом, Кр = 12 + |к2 + о(к4), откуда Ярт = 12 при кт = 0.

Тот же самый результат можно получить, действуя согласно методике, описанной в работе [4].

Для случая произвольного Л, интересующую нас зависимость Кр = Кр(к, Л,) можно найти приближенно по методу Галеркина. Примем для функции и(г) аппроксимацию, соответствующую граничным условиям:

и = аг

Подставляя (8) во второе уравнение системы (6) и решая это уравнение совместно с уравнениями в массивах при соответствующих граничных условиях (7), получим в простейшем случае (Ь = 0) амплитуду возмущения температуры в слое

0 = -^-а{А$\1к + ВсЪк — к2 г2 + к2 г — 2),

к4

где

2 + кЛ2 —

А

В

(1 + Л1Л2 )йЬк + (Л1 + Л2)сЬк

Отметим, что в пределе Л, ^ ж выбранная аппроксимация совпадает с точным решением для малых волновых чисел. Подставляя аппроксимации амплитуд скорости (8) и температуры (9) в первое уравнение системы (6), умножая на базисную функцию и интегрируя, получим

к2

30к(АзЦ + ВсЦ)(ксЦ - 2зЬ|) + к2 - 10'

Для каждой пары фиксированных Л1 и Л2 по формуле (10) можно определить минимальное значение Крт и соответствующее волновое число кт, дающее нижнюю границу устойчивости и длину волны критических возмущений.

Функции Кр(к, Л) при Л1 = Л2 = Л и Крт(Л1, Л2), кт(Л1, Л2) были табулированы численно. Для случая Л1, Л2 ^ ж приближенное решение, как указывалось, совпадает с точным: Крт = 12, кт = 0. Для другого предельного случая Л1 = Л2 = 0 приближенное решение дает Крт = 39, 8; кт = 3,15, что отличается от точных значений на 0,7 и 0,2 % соответственно. Это дает основание полагать, что и в промежуточных случаях ошибка определения Крт и кт невелика, несмотря на простую аппроксимацию. Тем более, что аппросимация и с помощью двух базисных функций (10) дает соответственно отличие от точных результатов на

0,4 и 0,1 %.

Из расчетов по формуле (10) видно, что при уменьшении теплопроводностей граничных массивов устойчивость равновесия монотонно понижается, а длина волны критических возмущений растет. Сравнение полученных карт устойчивости с результатами работы [6] о конвекции в однородной среде показывает, что зависимость устойчивости от теплопроводностей ограничивающих массивов при конвекции в горизонтальном плоском слое пористой среды и однородной жидкости качественно одинакова.

Список литературы

1. Katto, Y. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous media / Y. Katto, T. Masuoka // Intern. J. Heat Mass Transfer.— 1967.— Vol. 10, No. 3.— P. 297—309.

2. Lapwood, E. R. Convection of a fluid in a porous medium / E. R. Lapwood // Proc. Camb. Phil. Soc.— 1948.— Vol. 44, No. 4.— P. 502—521.

3. Золотарев, П. П. Условия возникновения тепловой конвекции в пористом пласте / П. П. Золотарев // Инженер. журн.— 1965.— Т. 5, No. 2.— C. 236.

4. Hurle, D. T. J. Significance of the Soret effect in the Rayleigh-Jeffrey’s problem / D. T. J. Hurle, E. Jakeman, E. R. Pike // Proc. Roy. Soc.— 1967.— A296, N1447.

5. Beck, J. L. Convection in a box of porous material saturated with fluid / J. L. Beck // Phys. Fluids.— 1972.— Vol. 15.— P. 1377—1383.

6. Гершуни, Г. З. О конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, разделяющем массивы разной теплопроводности / Г. З. Гершуни, Е. М. Жу-ховицкий, М. Г. Семакин // Учен. зап. Перм. ун-та. Гидродинамика.— 1971.— Вып. 3 (248).— C. 18—28.

7. Любимов, Д. В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу / Д. В. Любимов // ПМТФ.— 1975.— № 2.— C. 131—137.

8. Глухов, А. Ф. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости / А. Ф. Глухов, Д. В. Любимов, Г. Ф. Путин // Докл. АН СССР.— 1978.— T. 236, № 3.— C. 549—551.

9. Lyubimov, D. V. Dynamical properties of thermal convection in porous medium. Instabilities in Multyphase Flows / D. V. Lyubimov.— Plenum Publishing Company, 1993.

10. Bratsun, D. A. Cosymmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium / D. A. Bratsun, D. V. Lyubimov, B. Roux // Physica D.— 1995.— Vol. 82.— P. 398—417.

11. De la Torre Juarez, M. Stability of two—dimensional convection in a fluid-saturated porous medium / M. de la Torre Juarez, F. H. Busse // J. Fluid Mech.— 1995.— Vol. 292.— P. 305—323.