Об эквивалентности стационарных и конечно-нестационарных недетерминированных автоматов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4

Ж-Б. Мбайтар

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ И КОНЕЧНО-НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ 1

Введение. К настоящему времени общая математическая теория стационарных конечных автоматов различного типа в целом, за исключением некоторых специфических проблем (в частности, в теории обобщенных недетерминированных автоматов), фактически построена (см., например, [1—3]). Однако сфера применения стационарных автоматов для математического моделирования более сложных множеств нестационарных, одновременно действующих, взаимосвязанных дискретных систем и протекающих в них процессов весьма ограничена. В этих обстоятельствах требуется модификация и существенное усложнение самого понятия конечного автомата прежде всего за счет введения нестационарности и неоднозначности его абстрактной структуры при сохранении конечности задания ее параметров.

Одной из таких принципиально новых нестационарных моделей является понятие обобщенных конечно-нестационарных автоматах [4], построение общей математической теории которых требует, в частности, разработки специальных проблем их анализа, синтеза и оптимизации. Данное исследование как раз и посвящено теоретическому обоснованию и разработке методики синтеза для любого заданного обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата эквивалентного ему обобщенного стационарного недетерминированного автомата [5, 6]. Решение данной задачи позволит в дальнейшем использовать отдельные идеи и методы теории стационарных автоматов для обоснования и разработки специальных методов решения специфических проблем теории конечно-нестационарных автоматов.

1. Исследуемая автоматная модель. Будем рассматривать алгебраическую систему (булеву решетку) Ж = ({0,1}, V, &, <), т. е. множество {0,1} с логическими операциями дизъюнкции V (в дальнейшем, условно, сложение), конъюнкции & (в дальнейшем, условно, умножение) и обычным упорядочением. Условимся применять обозначения R1m, Rm'1 и Rmn для множеств всех т-мерных векторов-строк, векторов- столбцов и всех (т X А-матриц с элементами из {0,1} соответственно.

Пусть X, В, У суть алфавиты входных символов, состояний и выходных символов, \В\ = т, и X* есть множество всех слов в алфавите X. Обобщенным стационарным недетерминированным автоматом, заданным над Ж, называют систему

ВЗШі = {Х,В, У, гв, {Бб

где гВ О R1'm — вектор-строка начальных состояний (начальный вектор), дБ О Rm'1 — вектор-столбец конечных состояний (финальный вектор) и {Бв(х,у)} — совокупность матриц переходов и выходов, Бб (х,у) в Rm'm, х в Х,у в У.

Элементарной автоматной структурой, заданной над Ж, условимся называть систему = {X

ІРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00355-а).

© Ж-Б. Мбайтар, 2007

где X^'n C X; Ai,Aj C A; IAil = mi, XAj \ = mj; Yj C Y, и {DA'j) (x,y)} —совокупность матриц D(Aj (x, y) G Rml'mj весов переходов из состояний алфавита Ai в состояния

алфавита Aj, соответствующих парам (x,y),x G Xu'a, y G Yu'a.

Пусть задано конечное множество элементарных автоматных структур A = {A(x'j)} вида (2), входной алфавит X = U(ij)X^'ii, выходной алфавит Y = U(ij) У''и и конечное

упорядоченное множество финальных векторов Qa = {qA, qAA,..., qAi)}. Обобщенным конечно-нестационарным недетерминированным автоматом, заданным над Ж, назовем

систему

Alnd = {X, A,Y,rA, Ga

где GA есть структурный граф автомата (конечный, ориентированный, нагруженный граф), имеющий:

— конечное множество вершин C = {co, ci,..., (%}, каждой из которых Ci G C, i = 0, к, приписан соответствующий алфавит состояний Ai и вектор-столбец конечных состояний (возможно нулевой) qA G QA, i = 0, k, а также для выделенной начальной вершины CQ с алфавитом состояний Ao задан вектор-строка начальных состояний rA G R1m0;

— конечное множество G направленных ребер gj, соединяющих некоторые вершины графа Ci, Cj G C;

— однозначную функцию fA : G л A, приписывающую каждому ребру gj G G заданную элементарную автоматную структуру A(l'j) G A.

2. Отображения, индуцируемые автоматами. Обозначим через (w, v) пару слов в алфавитах X, Y, w = xsi xs2 . .. xst, v = yii yi2 . .. yit. Обобщенным недетерминированным отображением, индуцируемым автоматом Bsnd при заданном rB G R1'm, называют отображение фA : X* X Y* —> {0,1}, определяемое выражением

Ф (wv)= J 'Bn DB (xs^yi^ Чв при \ w \ = \ v \= t,

Asndl4w, v) — \ т — 1

О при \ w \ =\ v \ ,

где под сложением и умножением элементов матриц и векторов понимаются операции V и &, t = 0, 1, 2, . ..

Пусть задан конечно-нестационарный обобщенный автомат (3). Выделим в структурном графе Ga какую-либо вершину Ci, и пусть этой вершине приписан вектор qA) G G Qa . Рассмотрим один из путей Qq,, ведущий из начальной вершины CQ в вершину Ci графа и проходящий через вершины CQ = Cio,Cii ,...,Cit-i ,Cit = Ci. Выпишем последовательность элементарных автоматных структур, отмечающих ребра, образующие этот путь. Пусть это будут A(i0'il), A(i1'i2),. .., A(xt 1'lt), то есть путь проходит через t отмеченных ребер графа. Рассмотрим любую пару слов (w,v),w = xsi xs2 .. .xst, xsт G X’liт.l'iт>, v = yii yi2 .. .yit, Уіт G У'т-^'т) одной длины t в алфавитах Xliт.l'iт> и y(v-ii*r)A т = i f Множество всех пар таких слов назовем множеством допустимых пар слов для пути Qq, и обозначим Aцрп (при этом считается что «пустые» слова e,

не содержащие ни одной буквы, всегда допустимы, то есть (e, e) G Ацоп). Весом отображения слова w в слово v, порождаемого путем Qq, структурного графа Ga автомата And при заданном rA G R1m0, назовем величину

ф ( ) f rA п D(AT-1 ''т )(xsт y )qA0 при (w,v) G Z%n, ФДго, г>)=< T=i [ 0 при (w,v) G Адоп-

Рассмотрим теперь всевозможные вершины структурного графа. Пусть Q(w, v) есть множество всех путей Qoi в структурном графе из начальной вершины co в какие-либо вершины Ci G C, для которых пара слов (w, v) является допустимой. Множество всех таких пар слов (w, v) G X* X Y*, для которых Q(w, v) не пусто, условимся называть множеством допустимых для автомата And пар слов и обозначать его Адоп.

Обобщенным отображением, индуцируемым автоматом And при заданном r A, назовем отображение ФА : X* X Y* л {0,1}, определяемое выражением

где логическое суммирование берется по всем путям (последовательностям вершин co = = C І0 ,C І1 ,...,C і t) Qoit GQ(w,v).

3. Постановка задачи. Пусть над Ж заданы обобщенный конечно-нестационарный недетерминированный автомат And и обобщенный стационарный недетерминированный автомат Bsnd, имеющие одинаковые входной X и выходной Y алфавиты. Такие автоматы And и Bsnd будем называть эквивалентными, если они индуцируют одно и то же обобщенное отображение, то есть если ФнА = ФА. Таким образом, исследуемая задача об эквивалентности обобщенных стационарных и конечно-нестационарных недетерминированных автоматов заключается в обосновании и разработке методов преобразования автомата (3) к эквивалентному ему автомату (1).

4. Теорема об эквивалентности автоматов. Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Для любого обобщенного конечно-нестационарного недетерминированного автомата And вида (3) может быть построен эквивалентный ему обобщенный стацио-

k

нарный недетерминированный автомат Bsnd вида (1), имеющий m =JA XA^X состояний.

i=0

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть задан автомат And вида (3). Сделаем следующие преобразования. Определим новый алфавит состояний B = {bo, bi,..., bm} = {Bo, Bi,..., B k}, где i Bi i = | Ai i = 77ij, i = 0, к, и построим автомат (1) таким образом, что его начальный и финальный векторы имеют вид

m-mo

rB =

Определим пустой элемент e и функцию fA такую, что

fA : C X C AAu{e}.

При этом f'A(ci ,cj) = £, если в структурном графе QA отсутствует ребро gj, и fA(ci ,cj) = fA (ci ,cj) = A(x'j), если ребро gj присутствует. Структурному графу автомата And с учетом (5) соответствует матрица графа (см. табл. 1), где все A(x'j) G Au{e}.

Теперь если заменить в таблице 1 все Ci на Bi, XB^X = XA^X и, соответственно, каждое A(i'j) на матрицу переходов DAj (x,y), где

Ба

или у

- Г '".

(х, у), соли ~ Л^\х € Х^’М.у е у^\

О. если /ГА(С}.С}) — но х 6 Х^':^

О, сели (е./.Су) — е,

Таблица 1. Матрица графа С?_4

т

1'а г Г.1 Ч-

'-’г> ^(0:0) .4 ' 1  _д(0.Ю

Л(1’0) Дп.п

<-'к Д№,П1 ДЧМ) .Л"'

то в результате получим следующее представление матриц Ов(х, у) (см. табл. 2).

Таблица Э. Клеточное представление матриц Ювйь.у)

Ов(^9) Во В1 вк

Р>Ц П("'п)(х,у) п;

В1 тЧ(1.0Ь N 1->д у:1\у! ( 1 . А- 'У / \ о У ',.Г, у,

пк &4 [Т., у) &Ц'к\*,у)

Таким образом, клеточные (гп х тЬыатрнцы переходов стационарного недеч'ермм-нированного автомата Бвш1 имеют вид

(

Оц (х,у) =

1^1 '{х,у)

' '

\

В'./о у

ДМ)

-

(к,к),

, а- е А", у € У,

\ /•' С .

где О ц,,7; (ж, у) определяются выражением (6).

Докажем теперь эквивалентность автоматов Дпс1 и Б6П,1. При I — 0 из (4) следует, что Ф«тк1(е, <0 - гвqв - - ФП(1(е, е). Коли * > 0 и и< ~ х,Ч1х,Ч2 .. .хХ1,-г> ~ уну^ ...у1„

то из (4), (6), (7) следует, что

г (

Ф61К-1 (га, V) - г в , У1т)чв - (г а- 0..... 0) Ц Бв (#,,, у;т) (Яд' <1а ;)Т -

V ГЛ п Е>л 1',~)(Х1^У1Г)Ц(^> при (ги, -и) € Zдon,

0 при (го, и) € £доп.

т. е. получили ФКП[| — Фш). Теорема доказана.

5. Алгоритм синтеза. Пусть задан обобщенный конечно-нестационарный недетерминированный автомат And (3) (в оптимальной форме [4]). На основе доказанной теоремы алгоритм синтеза эквивалентного ему обобщенного стационарного недетерминированного автомата Bsnd (1) включает следующие шаги:

1) найти начальный вектор rB и финальный вектор qB с помощью формул (4);

2) построить матрицу графа автомата And согласно таблице 1;

3) для найденной матрицы графа построить клеточное представление матриц DB (x,y) согласно таблице 2;

4) найти матрицы переходов DB(x,y) с помощью выражений (6), (7);

5) произвести минимизацию построенного обобщенного стационарного недетерминированного автомата с помощью алгоритма, предложенного в работе [5].

Конкретные примеры практического применения данного алгоритма показали его эффективность.

Summary

J-B. Mbaitar On equivalence of stationary and finite-nonstationary nondeterministic automata.

The problem of synthesis for a generalized stationary nondeterministic automaton equivalent to any specified generalized finite-nonstationary nondeterministic automaton is solved. The algorithm of such synthesis is presented.

Литература

1. Starke P. H. Abstrakte Automaten. Berlin, VEB DVW, 1969. 392 p.

2. Чирков М. К. Основы общей теории конечных автоматов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 280 с.

3. Хопкрофт Дж, Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. М.; СПб.; Киев: Изд. «Вильямс», 2002. 528 с.

4. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Оптимальные формы задания конечно-нестационарных автоматных моделей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1 (№1). С. 33-42.

5. Пономарева А. Ю., Сандрыкина H. В., Чирков М. К. Оптимизация абстрактной структуры недетерминированных автоматов //

Математические модели. Теория и приложения. Вып. 3. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2003. С. 94-102.

6. Мбайтар Ж-Б., Чирков М. К. Абстрактный анализ недетерминированных автоматов и эквивалентных сетей Петри //

Математические модели. Теория и приложения. Вып.7. СПб.: ВВМ, 2006. С. 94-109.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.