Методы расчета проводимости криволинейных каналов в вязкостном режиме течения газа

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 621.521

А. В. Бурмистров, А. А. Райков, С. И. Саликеев

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРОВОДИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КАНАЛОВ В ВЯЗКОСТНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

Ключевые слова: вакуум, проводимость, криволинейные каналы.

Рассмотрены различные методы расчета проводимости криволинейных каналов в вязкостном режиме течения газа. Проведено сопоставление результатов эксперимента с расчетом по формулам для низкого и произвольного перепадов давлений, а также с результатами решения дифференциального уравнения, полученного на основе формулы для проводимости прямоугольной плоской щели.

Keywords: vacuum, conductance, tubes with curvilinear walls.

Various methods for conductance calculation of tubes with curvilinear walls in viscous gas flow regime were considered. The experimental results were compared with values calculated with the help of formulae for low and arbitrary pressure drops, and the values obtained by solving of the differential equation for the plane slot conductance.

При расчетах различных типов вакуумных насосов и вакуумных систем необходимы данные по проводимости щелевых каналов. В частности, такие данные требуются для расчета откачных характеристик бесконтактных вакуумных насосов [1]. Вместе с тем, в справочной литературе посвященной вакуумной технике, например в [2], для вязкостного режима течения газа приводятся формулы для простейших элементов, типа круглого трубопровода или плоской прямоугольной щели. Безусловно, в связи с бурным развитием численных методов решения задач газовой динамики и появлением таких пакетов, как, например, PHOENICS, FLUENT, FLOW-3D и STAR-CD, можно рассчитать параметры потока газа практически для любого элемента. Однако задача получения простых аналитических выражений, которые позволяли бы оперативно находить проводимость каналов и распределение давления по длине остается очень актуальной. Это в полной мере относится к каналам переменного сечения, образованными цилиндрическими стенками (рис. 1).

Интересный подход для расчета проводимости каналов переменного сечения предложен в работах [3, 4]. Здесь проводимость канала U определяется через массовый расход газа G согласно известному выражению

GRJ

и = -

Р -Р '1 '2

где P1 и P2 - давления на входе и выходе канала, T -температура газа на входе в канал; RГ - газовая постоянная.

В этих работах с использованием широко известной формулы для проводимости плоской прямоугольной щели предлагается следующее дифференциальное уравнение для нахождения массового расхода газа через канал переменного сечения для вязкостного режима

Gb =

LSV) pdP 12 /?г Т r dX

1-

192

8 (X

Pl

L J=o

(

1

-tanh

2 j +1 У L

2/ + 1Г 25^)

где L - глубина канала (перпендикулярно плоскости чертежа), 5(X) - расстояние между стенками канала в конкретной точке X, 7 - коэффициент

динамической вязкости при температуре на входе в канал, 5- минимальное расстояние между стенками канала.

Рис. 1 - Типы рассматриваемых каналов

5

У

Рис. 1 - Распределение давления в канале №1 при ^/=60 мм, Р/=70000 Па, £=130 мм

Уравнение (2) получено путем разбиения канала переменного сечения на множество элементарных последовательно соединенных прямоугольных щелей, в пределах каждой из которых можно считать расстояние между стенками 5(X) постоянной величиной, и использовать формулу для проводимости плоской прямоугольной щели.

С целью проверки работоспособности данного подхода применительно к каналам 1, 2, в настоящей работе дифференциальное уравнение (2) решалось численным методом с использованием подхода Ь80БЛ в пакете МаШешайса. Начальными условиями являлись, заданный массовый расход через канал и давление на входе (P[-l/2]=P1) при изменении X в интервале от - 1/2 до 1/2, где l - эквивалентная длина канала. В результате решения дифференциального уравнения находилось распределение давления в канале P=f1(X), откуда вычислялась величина давления на выходе Р2=Д(1/2). В качестве примера на рис. 2 представлено распределение давления в канале 1.

Для решения уравнения (2) координаты стенок (рис. 1) в системе координат ХУ были записаны в виде

К, = 5 + ,2-X2)

П = -| -К--У*22 -*2)

где коэффициент равный +1 (канал 1) или -1 (канал 2), зависящий от положения центра окружности, образующей стенку канала (выпуклый канал или вогнутый канал).

Тогда расстояние между стенками канала в конкретной точке X определяется из выражения

конкретной точке X определяется из выра:

3<^)=У,-К2 = 5 + к, •(/?, -д//?,2 -X2)+

+ *2

В работе [5] доказано, что расширяющиеся периферийные участки каналов типа 1, 2 при

5вх > 55 (где 5вх = 5(- I/2) ) практически не влияют

на общее сопротивление каналов (не более 2%). Результаты решения уравнения (2), представленные на рис. 2, также подтверждают этот вывод.

Варьируя величину массового расхода,

являющуюся составляющей дифференциального уравнения (2), можно рассчитать давления на выходе

из канала. Полученный таким образом массив данных, для удобства сравнения с результатами вычислений по другим методикам, интерполируется и приводится к зависимости U=f2(т). Результаты расчета проводимости по данной методике представлены в табл. 1.

Иной подход к расчету проводимости каналов (рис. 1) предложен в работе [5]. Здесь также используется уравнение для длинной плоской щели. Однако, с использованием допущения о

возможности описания границ каналов участками парабол, здесь получено аналитическое решение для проводимости каналов типа 1, 2 в виде

Т252£

и =

А + А р

я, я, ср

9пц

где Pcp - среднее давление в канале, знак радиуса кривизны выбирается с учетом направления кривизны стенки - «плюс» - для канала 1,

«минус» - для канала 2.

В основе уравнений (2) и (5) лежит выражение для длинной плоской щели, которое предполагает очень малый перепад давлений на концах канала, поэтому и сами эти уравнения можно использовать только при условии P2 /p ^ 1.

Для расчета проводимости при произвольном перепаде давлений в работе [6] путем обработки результатов численного расчета получено следующее выражение проводимости для каналов переменного сечения

^2Яг71<Л + г 5

и =

9ж 1 + дД + а 1 -г2 Iі )

где

а

^ + сх, + C2х, + Cзх, - 0,00129г , 7

1п

1п(г) -1 эффективная 0,0008

7 =

£2 Р

ЗЯЛЯ2

R1 ± R2

с0 =

Вг Т1 1э

длина канала,

775 0,0008873

0 1 + 0,0001373

с1 = - 0,00153 +

106 + 0,20273

106 + 0,36273

2544 +72 + 0,0000275 7

с2 =

284,6 0,01057'

0,01377

2 9086 + 72

58153 + 72 1,11 107 +7'

с = -

0,0080572 39823

1,646 106 +73

+

0,01297

3 Л

6,93 -106 + 73

36345 + 7^

Экспериментальные данные по

проводимости каналов при низких перепадах давлений, полученные в работах [6, 7], и результаты расчетов по представленным выше формулам (2), (5), (6) для этих же каналов приведены в табл. 1. Там же приведены отклонения этих результатов от эксперимента (обозначены Л).

Как видно из полученных данных, наибольшую точность показывает расчет по формуле (6), особенно при увеличении отклонения т от единицы. Значения, полученные по формуле (5) и в результате решения дифференциального

+

уравнениям (2), имеют незначительные отличия друг от друга.

Таблица 1 - Сопоставление результатов расчета проводимости по различным методикам

, а P1 П т иэксп, л/с и (6), л/с А (6), % и (б), л/с А (б), % и (2), л/с А (2), %

Канал 1 R1=60мм; R2=22,5мм; £=0,5мм

1929 0,923 30,3 27,8 -8,30 28,5 -5,99 28,7 -5,41

6823 0,980 95,6 94,0 -1,64 103,9 8,75 104,6 9,43

7980 0,987 121,0 111,3 -8,02 122,0 0,80 122,8 1,42

10042 0,989 138,5 133,2 -3,84 153,7 10,94 154,6 11,63

12888 0,994 176,7 171,7 -2,82 197,7 11,89 198,9 12,58

14497 0,996 211,7 196,5 -7,19 222,6 5,14 224,0 5,79

24339 0,999 364,8 331,8 -9,05 374,3 2,61 376,6 3,24

25137 0,999 377,5 341,4 -9,57 386,6 2,40 389,0 3,03

53589 1,000 741,9 728,1 -1,87 824,6 11,14 829,6 11,81

Канал 1 R1=60мм; R2=30мм; £=0,3мм

3791 0,814 12,7 12,2 -3,98 13,3 4,47 13,4 5,07

6584 0,909 22,2 22,4 0,72 24,4 9,52 24,5 10,16

8166 0,941 27,7 28,7 3,68 30,7 11,11 30,9 11,75

12888 0,981 50,4 47,5 -5,79 49,5 -1,82 49,8 -1,25

14963 0,985 56,3 54,7 -2,79 57,6 2,30 57,9 2,89

32253 0,997 118,3 114,9 -2,92 125,0 5,59 125,7 6,20

48523 0,999 191,7 172,8 -9,84 188,2 -1,83 189,3 -1,26

62670 0,999 231,5 223,9 -3,27 243,2 5,02 244,6 5,63

87978 1,000 330,0 313,6 -4,98 341,4 3,47 343,4 4,07

75932 0,999 270,0 269,2 -0,30 294,7 9,14 296,3 9,76

Канал 2 R1=60мм; R2=5мм; £=0,2мм

5865 0,830 12,2 12,0 -1,62 14,4 18,31 14,7 20,19

7435 0,902 16,7 16,6 -0,88 19,0 13,63 19,3 15,43

10175 0,951 23,9 24,0 0,55 26,7 11,74 27,2 13,51

14231 0,973 33,6 33,7 0,30 37,8 12,50 38,4 14,28

19152 0,984 46,2 44,5 -3,80 51,2 10,79 52,0 12,55

21546 0,987 50,5 49,5 -2,04 57,7 14,23 58,6 16,04

48646 0,997 115,9 110,1 -4,99 131,0 13,03 133,1 14,82

66932 0,999 161,0 152,1 -5,49 180,4 12,06 183,2 13,83

72860 0,999 171,4 166,9 -2,58 196,4 14,60 199,5 16,42

78342 0,999 184,3 178,3 -3,27 211,2 14,57 214,5 16,38

92973 0,999 207,8 195,6 -5,84 250,6 20,62 254,6 22,53

Канал 2 R1=60мм; R2=30мм; £=0,2мм

6105 0,624 3,8 3,7 -3,06 4,0 4,76 4,0 5,85

8153 0,664 5,0 4,9 -1,53 5,5 9,73 5,5 10,87

12874 0,891 10,1 9,5 -5,62 9,9 -2,04 10,0 -1,02

16093 0,933 13,1 12,3 -5,80 12,6 -3,52 12,7 -2,52

20881 0,961 17,0 16,3 -3,72 16,6 -2,21 16,8 -1,20

36908 0,988 31,2 29,5 -5,28 29,8 -4,38 30,1 -3,39

42329 0,991 35,4 33,9 -4,43 34,2 -3,36 34,6 -2,35

48840 0,993 41,9 39,0 -6,91 39,5 -5,61 40,0 -4,63

59403 0,995 50,2 47,2 -5,97 48,2 -4,01 48,7 -3,02

67700 0,997 57,5 53,6 -6,72 54,9 -4,46 55,5 -3,47

1, а P1 П т иэксп, л/с и (6), л/с А (6), % и (б), л/с А (б), % и (2), л/с А (2), %

75626 0,997 63,0 59,8 -5,10 61,4 -2,61 62,0 -1,60

Канал 2 R1=60мм; R2=22,5мм; £=0,2мм

2860 0,849 2,9 2,7 -5,69 2,7 -5,24 2,8 -4,29

5387 0,882 5,3 5,2 -2,07 5,3 -0,90 5,3 0,10

8911 0,855 8,4 8,2 -1,84 8,6 3,18 8,7 4,21

10520 0,870 9,6 9,7 1,16 10,3 7,21 10,4 8,29

14497 0,898 13,4 13,3 -0,63 14,4 7,46 14,5 8,53

21812 0,968 21,4 21,9 2,35 22,5 5,27 22,7 6,32

26600 0,973 25,8 26,4 2,21 27,5 6,52 27,8 7,58

32984 0,986 32,4 33,4 2,92 34,3 5,84 34,7 6,90

38570 0,988 38,6 38,7 0,15 40,2 4,17 40,6 5,21

48294 0,989 46,3 46,3 0,12 50,4 8,91 50,9 10,00

59649 0,991 56,2 55,4 -1,40 62,3 10,96 62,9 12,07

81187 0,994 74,9 72,8 -2,79 85,0 13,45 85,8 14,59

С учетом того, что в реальных вакуумных системах и насосах отношение давлений на выходе и входе никогда не бывает равным единице, а чаще всего, значительно меньше (вплоть до

критического), выражение (6) наиболее универсально. При P2/ P ^ 1, с учетом

затруднений, возникающих при численном решении дифференциального уравнения (2), расчет проводимости можно вести по формуле (5).

Литература

1. Райков, А.А. Экспериментально-теоретическое исследование индикаторных диаграмм кулачковозубчатого вакуумного насоса / А.А. Райков, С.И. Саликеев, А.В. Бурмистров // Вестник Казан. технол. унта - 2011. - Т. 14, № 15. - C. 210-214.

2. Демихов, К. Е. Вакуумная техника: справочник/ К. Е. Демихов, Ю. В. Панфилов, Н. К. Никулина; под ред. К. Е. Демихова, Ю. В. Панфилова, 3-е изд. - М.: Машиностроение, 2009. 590 с.

3. Valdes, L-C. Calculating transient flows through ducts of non-constant rectangular shape / L-C. Valdes, R. Theis, B. Barthod, B. Desmet // Vacuum. - 1997. - V. 48. - Р. 839843.

4. Valdes, L-C. Accurate prediction of internal leaks in stationary dry Roots vacuum pumps / L-C Valdes, B. Barthod, Y. Perron // Vacuum. - 1999. -V. 52. - Р. 451-459.

5. Саликеев, С.И. Уравнения для расчета проводимости щелевых каналов с малыми перепадами давлений при ламинарном режиме течения газа / С. И. Саликеев, А. В. Бурмистров, М. Д. Бронштейн // Материалы XII научнотехнической конференции «Вакуумная наука и техника». М.: МИЭМ, 2005. - С.16-19.

6. Саликеев, С. И. Исследование протечек газа через щелевые каналы в вязкостном режиме / С. И. Саликеев, А. В. Бурмистров, М. Д. Бронштейн // Компрессорная техника и пневматика. - 2005. - № 7. - С. 19-23.

7. Бурмистров, А.В. Исследование течения газа в каналах вакуумных насосов и систем / А.В. Бурмистров, С. И. Саликеев, К.Б. Панфилович // Известия Вузов. Машиностроение. - 2003. - №8. - С. 19-25.

© А. В. Бурмистров - д-р техн. наук, проф. каф. вакуумной техники электрофизических установок КНИТУ; А. А. Райков -асп. той же кафедры, ors@hitv.ru; С. И. Саликеев - канд. техн. наук, доц. той же кафедры, salikeev_s@mail.ru.