Компьютерное моделирование деформации и разрушения гетерогенных сред при динамических нагрузках

УДК 539.42

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

© П.А. Радченко, С.П. Батуев, А.В. Радченко

Ключевые слова: деформация; разрушение; прочность; удар.

Описана модель поведения упругохрупких анизотропных материалов при динамических нагрузках. Предложенный подход позволяет учитывать различные пределы прочности материала на растяжение и сжатие.

Создание материалов с заданными свойствами является актуальной задачей, а современные технологии позволяют не только осуществлять это, но и оптимизировать параметры конструкции, например, прочность, для работы при определенных режимах внешних воздействий. Такая оптимизация может быть произведена благодаря либо сообщению его структуре упорядоченности, либо армированию материала упрочняющими элементами. В композиционном материале компоненты образуют макроскопически многофазную среду, обладающую такими физическими свойствами, которые не характерны для каждого из компонентов по отдельности. Материал композиции, как правило, приобретает высокую степень анизотропии. Но, к сожалению, несмотря на существенный прогресс, достигнутый в технологиях получения материалов с заданными свойствами, исследований, посвященных средам с преимущественной ориентацией физико-механических свойств, крайне мало. Особенно это касается данных о поведении композитов при динамических нагрузках. Это относится и к экспериментальным исследованиям, и к математическому и численному моделированию.

Анализ поведения композиционных материалов проводится, как правило, с использованием инженерных методик и позволяет получать приближенные интегральные оценки параметров для условий, допускающих понижение на единицу размерности задачи (поведение анизотропных материалов, как правило, трехмерное). В результате чаще всего рассматриваются осесимметричные воздействия на транстропный материал, а такие ключевые факторы, как динамика разрушения, поведение материалов с различной симметрией свойств, эволюция волновых процессов, влияние ориентации свойств, которые могут стать определяющими при динамических процессах, остаются за рамками подобных методик. Важной особенностью анизотропных материалов является также зависимость их прочности от гидростатического давления, и этот факт должен учитываться при моделировании.

Система уравнений, описывающих нестационарные адиабатные движения сжимаемой среды в декартовой системе координат ХЇ2 , включает уравнения неразрывности, движения и энергии [1]:

p = Gxx,x + Gxy,y + Gz,z і pv = °yx,x + °yy,y +ayz,z і p = &zx,x +&zy,y + &zz,z і

E = °ueu/p.

Здесь p - плотность среды; й - вектор скорости; и , v , w - компоненты вектора скорости по осям x , y , z , соответственно; atj - компоненты симметричного тензора напряжений; E - удельная внутренняя энергия; e - компоненты симметричного тензора скоростей

деформаций. Точка над символом обозначает производную по времени, запятая после символа - производную по соответствующей координате.

Поведение стального изотропного цилиндра, играющего роль ударника при высокоскоростном ударе, задается уравнениями упругопластической среды, в которых связь между компонентами тензора скоростей деформации и компонентами девиатора напряжений определяются соотношениями Прандтля-Рейса [2]:

2G(е. - іе^)= DSL + ^ (Л> 0) і

где =(Уц-Уц.)/2 ; О - модуль сдвига; X-параметр, который определяется с помощью условия Мизеса: = 2ст]/3 , при этом - динамический

предел текучести (при упругой деформации X = 0 , а при пластической X > 0 ). Шаровая часть тензора напряжений (давление) рассчитывается по уравнению Ми-Грюнайзена как функция удельной внутренней энергии Е и плотности р :

3

Р = £К (Уо/V -1)" (1 - Ко (Ко/V -1))/2 + КорЕ ,

"=1

p+divpu = 0 і

1861

где К, К, К, К - константы материала; V и V -начальный и текущий удельные объемы материала соответственно.

Поведение анизотропного материала преград не выходит за рамки упруго-хрупкой модели [3]. Компоненты тензора напряжений в материале преграды до момента разрушения удовлетворяют соотношениям обобщенного закона Гука, записанного в терминах скоростей деформаций:

Т -------- C 7 Є1 : .

ij ijkl kl

где Сим - упругие постоянные. При этом компоненты

тензора упругих постоянных, в силу симметрии тензоров напряжений и деформаций и наличия упругого потенциала, обладают следующими свойствами симметрии: Сци = Сцш = Сцш = Сцш , С уи = Сщ . При переходе к другой, также ортогональной системе координат постоянные преобразуются по формулам:

С'аьы = СумЧаЧрЧк:Чы , где Чу — косинус угла между

соответствующими осями і и ц .

Согласно упруго-хрупкой модели [3], критерием разрушения анизотропного материала служит критерий Ву, имеющий различные пределы прочности на сжатие и растяжение. Этот критерий, выраженный через скалярные функции компонент тензора напряжений, имеет вид:

) = Рц°ц + Рцы°ц°ы +  ^ 1, і,і,к 1 2, 3 .

Здесь ^ и являются компонентами тензоров 2-го и 4-го рангов соответственно и подчиняются законам пре°браз°вания: Рл = Р^аЧр,Р'аъы = РщЧаЧцьЧксЧи  Компоненты тензоров прочности для критерия определяются из соотношений:

l l l

Fa =------------------г; Fiiii =-------------г;

Хгг Хгг ХггХ гг

l

Fj = 2

(

J______l

Хгг X.

\

; Fiji, =

j У

при г Ф у, где Хй , X. - пределы прочности на растяжение и сжатие в направлении г; Хи , X- пределы прочности на сдвиг в двух противоположных направлениях при г Ф у . Коэффициенты Р1П2, ^33, Рт1 определяются при проведении экспериментов на двухосное растяжение в плоскостях 1-2, 2-3, 1-3, соответственно. Оставшиеся коэффициенты определяются аналогично при комбинированном нагружении в соответствующих плоскостях.

Предполагается, что разрушение анизотропных материалов в условиях интенсивных динамических нагрузок происходит следующим образом [3]:

- если критерий прочности нарушается в условиях сжатия (еи < 0 ), то материал теряет анизотропные свойства, а его поведение описывается гидродинамической моделью, при этом материал сохраняет прочность

только на сжатие, а тензор напряжении становится в этом случае шаровым ( a.. =-P );

- если критерии прочности нарушается в условиях растяжения (еи > 0 ), то материал считается полностью разрушенным, и компоненты тензора напряжении полагаются равными нулю (аи = 0).

Сформулированная модель поведения анизотропного материала учитывает влияние всестороннего сжатия на прочность анизотропного материала. Известно [3], что всестороннее сжатие (гидростатическое давление) не оказывает существенного влияния на разрушение изотропных материалов при статических нагрузках, поэтому в классических теориях прочности постулируется отсутствие влияния шарового тензора напряжений на прочность изотропных материалов. Для анизотропных материалов этот постулат не выполняется -форма анизотропных тел в зависимости от степени анизотропии может претерпевать значительные изменения, которые могут привести к разрушению. Например, сферическое ортотропное тело под деиствием всестороннего статического сжатия трансформируется в трехосный эллипсоид, а изотропное остается сферическим. Решение задачи для анизотропного материала проводится в полных напряжениях - тензор напряжений не разделяется на девиатор и шаровой тензор, что позволяет учесть влияние всестороннего сжатия.

Следует также отметить, что предложенная модель описывает поведение хрупко разрушающегося орто-тропного материала, но при равенстве свойств в направлениях х и у или во всех направлениях она переходит в модель хрупко разрушающегося транстропного или изотропного материала. Это позволяет с единых модельных представлений исследовать поведение широкого класса материалов с различной симметрией свойств. Сравнение результатов расчетов разрушения сферических тел из изотропного и анизотропного материалов при импульсном нагружении с использованием предложенной модели с имеющимися экспериментальными и расчетными данными по импульсному обжатию изотропных шаров [3] свидетельствует об адекватности модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Радченко А.В. Модель поведения хрупких анизотропных материалов при динамических нагрузках и ее приложения // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2003. № 2. С. 179-193.

2. Радченко А.В., Кривошеина М.Н., Радченко П.А., Кобенко С.В., Афтаева Е.Н. Оценка демпфирующих свойств гетерогенной анизотропной оболочки при ударе // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2003. № 2. С. 194204.

3. Radchenko A. V., Radchenko P.A. Modelling of fracture of anisotropic composite materials under dynamic loads // Composites and their properties. ISBN 978-953-51-0711-8. Р. 107-131.

Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.

Radchenko P.A., Batuyev S.P., Radchenko A.V. COMPUTER MODELING OF DEFORMATION AND FRACTURE OF HETEROGENEOUS MEDIA AT DYNAMIC LOADINGS

In work the model of behavior of elastic-brittle anisotropic materials at dynamic loadings is described. The offered approach allows to consider various ultimate strength of a material on tension and compression.

Key words: deformation; strength; fracture; impact.

1

4 XjXj

1862