УСТАНОВКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРЕТЬЕГО УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
INSTALLATION FOR SOLVING THIRD MAXWELL EQUATION

Изобретение относится к учебным приборам и может быть использовано в лабораторном практикуме в высших и средних специальных учебных заведениях по курсу физики для получения и углубления знаний физических законов и явлений.
Известна установка для исследования стационарного электрического поля (RU патент №2283581. Бюл. №27 от 27.09.2006. Авторы: Белокопытов Р.А., Ковнацкий В.К.). Эта установка позволяет создавать различные плоские электрические поля и исследовать их. На ней можно экспериментально проверить теорему Гаусса, а также теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Однако на этой установке нельзя решить третье уравнение Максвелла.
Известна также установка для исследования стационарного электрического поля (RU патент №2534979. Бюл. №34 от 10.12.2014. Авторы: Алтухов А.И., Ковнацкий В.К., Аниськович М.А.). На ней также можно создать различные плоские поля, строить эквипотенциальные линии. На этой установке можно экспериментально проверить теорему Гаусса, а также теорему о циркуляции вектора напряженности электрического поля. Для автоматизации процесса выполнения лабораторной работы и ускорения исследования она содержит персональный компьютер, сопряженный с установкой с помощью многоканального аналого-цифрового преобразователя. Однако на этой установке также нельзя решить третье уравнение Максвелла.
Наиболее близкой к предлагаемой установке является установка для исследования электростатического поля методом моделирования (RU патент №2507590. Бюл. №5 от 20.02.2014. Авторы: Ковнацкий В.К., Бардина М.В., Меркулова С.П.). Она содержит: первый зонд; потенциометр, соединенный двумя концевыми контактами с источником постоянного тока; прямоугольный планшет; съемный проводник круглого сечения; два прямоугольных электрода; вольтметр с большим входным сопротивлением, первый ввод которого соединен с верхним концом первого зонда; неподвижную линейку, закрепленную на левой стороне прямоугольного планшета и которая выполняет роль оси ординат системы координат прямоугольного планшета; направляющий шток, установленный на правой стороне прямоугольного планшета, параллельно неподвижной линейке; движок, установленный подвижно на направляющем штоке; подвижную линейку, выполняющую роль оси абсцисс системы координат прямоугольного планшета, один конец которой жестко закреплен на движке, а второй конец ее лежит на неподвижной линейке; ползунок, перемещающийся по подвижной линейке, снабженной риской для отсчета положения первого зонда на подвижной линейке и вертикальным отверстием для нижнего конца первого зонда, совпадающим с риской, при этом первый зонд вставлен в вертикальное отверстие ползунка; первое съемное лекало из диэлектрика, насаженное на съемный проводник круглого сечения, на котором изображены внутреннее и наружное кольца с разметкой и отверстиями.
Однако на этой установке нельзя решить третье уравнение Максвелла, в результате решения которого определяется заряд, охватываемый замкнутой поверхностью, объемная плотность заряда и малый объем, охватываемый замкнутой поверхностью.
Целью изобретения является расширение функциональных возможностей этой установки. Эта цель достигается тем, что в нее введены: квадратный лист электропроводящей бумаги (ЭПБ), уложенный на прямоугольном планшете, а на нем установлен съемный проводник круглого сечения; упругая стойка, установленная на прямоугольном планшете; второй зонд, верхний конец которого закреплен на упругой стойке; амперметр, первый ввод которого соединен с движком потенциометра; первый переключатель на два положения, общий контакт которого соединен с минусовой клеммой источника постоянного тока и вторым вводом вольтметра, при этом первый контакт его соединен со съемным проводником круглого сечения, а второй контакт - с первым прямоугольным электродом, установленным на правой стороне квадратного листа ЭПБ; второй переключатель на два положения, общий контакт которого соединен со вторым вводом амперметра, при этом первый контакт его соединен со вторым прямоугольным электродом, установленным на левой стороне квадратного листа ЭПБ, а второй контакт - с верхним концом второго зонда; второе съемное лекало из диэлектрика, установленное на квадратном листе ЭПБ, и на котором изображены внутреннее и наружное кольца с разметкой и отверстиями для касания нижним концом первого зонда квадратного листа ЭПБ; элемент конечно-разностной сетки с нулевым, первым, вторым, третьим и четвертым узлами с отверстиями, расположенный в центре второго съемного лекала из диэлектрика, при этом второй зонд нижним концом через нулевой узел с отверстием постоянно касается квадратного листа ЭПБ; квадратный документальный лист из обычной бумаги и системой координат, аналогичной системе координат прямоугольного планшета.
На фиг. 1 изображена схема, поясняющая принцип работы предлагаемой установки; на фиг. 2 изображен общий вид предлагаемой установки.
Предлагаемая установка (фиг. 2) содержит: 1 - прямоугольный планшет; 2 - съемный проводник круглого сечения; 3 - квадратный лист электропроводящей бумаги (ЭПБ); 4 - прямоугольные электроды; 5 - первый зонд; 6 - вольтметр с большим входным сопротивлением; 7 - источник постоянного тока; 8 - потенциометр; 9 - неподвижная линейка; 10 - направляющий шток; 11 - движок; 12 - подвижная линейка; 13 - ползунок; 14 - первое съемное лекало из диэлектрика; 15 - второе съемное лекало из диэлектрика; 16 - элемент конечно-разностной сетки; 17 - второй зонд; 18 - упругая стойка; 19 - первый переключатель на два положения; 20 - второй переключатель на два положения; 21 - амперметр; 22 - квадратный документальный лист.
Рассмотрим теоретические положения, которые легли в основу предлагаемой установки. Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора электростатического поля  через любую замкнутую поверхность S в среде определяется алгебраической суммой зарядов q, расположенных внутри этой поверхности:
0
n
где ε - диэлектрическая проницаемость среды; ε - электрическая постоянная; E - проекция векторана нормаль к поверхности S.
V
Соотношению (1) можно придать более общий вид, выразив заряды через объемную плотность зарядов ρ:
где интегрирование в правой части проводится по всему объему, ограниченному замкнутой поверхностью S.
В предлагаемой установке моделируется на листе ЭПБ стационарное электрическое поле, поэтому третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме имеет вид: . Так как для плоского полято
Рассмотрим конечно-разностную аппроксимацию уравнения (3) в декартовых координатах для двумерного поля на ЭПБ (фиг. 1), где изображено двумерное поле с элементом конечно-разностной сетки с типичными узлами: 0, 1, 2, 3, 4.
Конечно-разностная сетка накладывается на электрическое поле листа ЭПБ и рассматриваются узловые точки этой сетки. Затем находится аппроксимация для второй производной, выраженная через потенциалы в узлах.
Для двумерного поля (фиг. 1) и полагая, что Δx=Δy, получим
Таким образом, уравнение (3) для двумерного случая имеет вид:
V
0
1
2
3
4
0
Из уравнения (4) видно, что для определения объемной плотности зарядов ρ необходимо измерить потенциалы ϕ, ϕ, ϕ, ϕ и ϕ в элементе конечно-разностной сетки (фиг. 1) с нулевым, первым, вторым, третьим, четвертым узлами. При этом в нулевом узле должен находиться электрод, плотно прижатый к листу ЭПБ и имеющий потенциал ϕ.
Электрическое поле в листе ЭПБ и, соответственно, потенциалы можно создать следующим образом. Если к двум электродам, установленным на листе ЭПБ, подвести напряжение U от источника постоянного тока, то образуется замкнутая цепь, в которой течет ток I. На электродах накапливаются равные заряды +q и -q и в листе ЭПБ создается плоскопараллельное стационарное электрическое поле. Области под металлическими электродами в листе ЭПБ можно при моделировании заменить воображаемыми зарядами +q и -q.
Охватим, например, положительный заряд +q замкнутой поверхностью S, тогда сила тока I через замкнутую поверхность S согласно закону Ома в интегральной форме имеет вид:
где ρ - удельное электрическое сопротивление листа ЭПБ.
Приравнивая соотношения (1) и (5), получим формулу для определения воображаемого заряда q:
где I - ток в листе ЭПБ, измеряемый амперметром.
кв
кв
Для определения воображаемого заряда q в листе ЭПБ необходимо знать удельное электрическое сопротивление ρ листа ЭПБ. Для этого необходимо использовать измеренное напряжение U и ток I на квадратном листе ЭПБ, тогда формула для определения ρ имеет вид:
где h - толщина листа ЭПБ.
V
V
V
Таким образом, в результате решения численным методом третьего уравнения Максвелла (4) сначала находим объемную плотность заряда ρ. Затем по формуле (7) определяем удельное электрическое сопротивление ρ листа ЭПБ и по формуле (6) определяем воображаемый заряд q и, наконец, по формуле ΔV=q/ρ находим малый объем ΔV, охватываемый замкнутой поверхностью S и в которой расположен заряд q с объемной плотностью ρ.
На предлагаемой установке с помощью зонда и вольтметра с большим входным сопротивлением можно найти линии равного потенциала (эквипотенциальные линии) и определить их координаты. Далее перенести эти координаты на документальный лист из обычной бумаги.
n
Установка позволяет также определить поверхностную плотность электрического заряда σ на границе проводник-диэлектрик. Она связана с напряженностью поля E у поверхности проводника соотношением:
n
0
где E - проекция вектора  на направление внешней нормали , проведенной к поверхности проводника; ε - диэлектрическая проницаемость листа ЭПБ; ε - электрическая постоянная.
0
n
0
n
Если силовые линии поля входят в проводник, то σ=-εεE. Если силовые линии поля выходят из проводника, то σ=εεE.Следовательно, на противоположных концах проводника скапливаются разноименные заряды.
n
Величину Е находим численным методом по измеренным потенциалам на листе ЭПБ. Для этого применяем съемное лекало из диэлектрика с отверстиями для зонда, которое охватывает проводник, уложенный на листе ЭПБ. Проекция вектора  в произвольной i-й точке определяется численным методом по формуле:
вi
нi
где i=1, 2, 3, …, N; ϕ, ϕ - потенциалы, измеряемые в i-x точках соответственно внутреннего и наружного колец съемного лекала; N - число точек на кольце; Δn - расстояние между кольцами.
На предлагаемой установке можно также определить поток вектора  через замкнутую поверхность S, если поверхность S охватывает заряд q и не охватывает его по формуле (1).
Для определения интеграла в формуле (1) численным методом необходимо использовать лекало из диэлектрика с внутренним и наружным кольцами с отверстиями для касания зондом листа ЭПБ. Интеграл (1) численным методом определяется по следующей формуле:
вi
нi
где N - число точек на кольце; h - толщина листа ЭПБ; ϕ, ϕ - потенциалы, измеряемые в i-x точках соответственно внутреннего и наружного колец.
0
Таким образом, для определения численным методом потока вектора Е через замкнутую поверхность S сначала необходимо определить в i-x точках колец разности потенциалов внутреннего и наружного колец, затем их просуммировать, умножить на толщину листа ЭПБ h и, наконец, разделить на диэлектрическую проницаемость листа ЭПБ ε и электрическую постоянную ε.
На предлагаемой установке можно также определить циркуляцию вектора  электрического поля численным методом по формуле:
i
i+1
i
N
1
N
где Δϕ=ϕ-ϕ, при i=1, 2, 3, …, N-1; Δϕ=ϕ-ϕ.
Из формулы (11) видно, что для определения циркуляции вектора  численным методом сначала необходимо в i-x точках внутреннего или наружного кольца лекала из диэлектрика измерить потенциалы на листе ЭПБ, затем определить их разности и, наконец, просуммировать все разности потенциалов.
Рассмотрим взаимодействие элементов в предлагаемой установке (фиг. 2). Она включает в себя прямоугольный планшет 1, на котором располагаются все входящие в установку элементы. Установка содержит съемный проводник 2 круглого сечения. На прямоугольном планшете 1 уложен квадратный лист ЭПБ 3 с установленным на нем съемным проводником 2 круглого сечения. На противоположных сторонах квадратного листа ЭПБ 3 установлены электроды прямоугольного сечения 4, плотно прижатые винтами к прямоугольному планшету 1.
Измерение потенциалов на листе ЭПБ 3 осуществляется с помощью первого зонда 5 и вольтметра 6 с большим входным сопротивлением, первый ввод которого соединен с верхним концом первого зонда 5.
Для питания установки применяется источник постоянного тока 7 и потенциометр 8, соединенный двумя концевыми контактами с источником постоянного тока 7.
Определение координат на квадратном листе ЭПБ 3 проводится с помощью системы координат прямоугольного планшета, в которую входит неподвижная линейка 9, закрепленная на левой стороне прямоугольного планшета 1 и которая выполняет роль оси ординат.
На правой стороне прямоугольного планшета 1 параллельно неподвижной линейке 9 установлен направляющий шток 10, на котором установлен движок 11.
Роль оси абсцисс системы координат прямоугольного планшета 1 выполняет подвижная линейка 12, один конец которой жестко закреплен на движке 11, а второй конец ее лежит на неподвижной линейке 9.
По подвижной линейке перемещается ползунок 13. Он снабжен вертикальным отверстием для нижнего конца первого зонда 5 и риской для отсчета положения первого зонда 5 на подвижной линейке 12, при этом первый зонд 5 должен быть вставлен в вертикальное отверстие ползунка 13.
Для измерения потенциалов в нужных точках квадратного листа ЭПБ 3 служит первое съемное лекало 14 из диэлектрика и второе съемное лекало 15 из диэлектрика. Первое съемное лекало 14 насажено на съемный проводник 2 и содержит внутреннее и наружное кольца с отверстиями для касания нижним концом первого зонда 5 к квадратному листу ЭПБ 3. Второе съемное лекало 15 из диэлектрика устанавливается в произвольной точке квадратного листа ЭПБ 3. На втором съемном лекале 15 изображены внутреннее и наружное кольца с отверстиями для касания нижним концом первого зонда 5 к квадратному листу ЭПБ 3. Кроме этого, на втором съемном лекале 15 в центре колец с отверстиями изображен элемент конечно-разностной сетки 16 с нулевым, первым, вторым, третьим и четвертым узлами с отверстиями для касания нижним концом первого зонда 5 к квадратному листу ЭПБ 3.
Создание замкнутой цепи тока через квадратный лист ЭПБ 3 осуществляется через второй зонд 17, который нижним концом через отверстие нулевого узла элемента конечно-разностной сетки 16 постоянно прижат упругой стойкой 18 и касается квадратного листа ЭПБ 3.
Для подключения к источнику постоянного тока 7 с потенциометром 8 нужных электродов, установленных на листе ЭПБ 3, служат первый 19 и второй 20 переключатели на два положения: «Круглый электрод» (КЭ) и «Прямоугольный электрод» (ПЭ).
Измерения токов, протекающих по квадратному листу ЭПБ в произвольных положениях первого 19 и второго 20 переключателей на два положения, проводятся с помощью амперметра 21, первый ввод которого соединен с движком потенциометра 8.
Общий контакт первого переключателя на два положения 19 соединен с минусовой клеммой источника постоянного тока 7 и вторым вводом вольтметра 6, при этом первый контакт его соединен со съемным проводником круглого сечения 2, а второй контакт его соединен с первым прямоугольным электродом 4, установленным на правой стороне квадратного листа ЭПБ 3.
Общий контакт второго переключателя на два положения 20 соединен со вторым вводом амперметра 21, при этом первый контакт его соединен со вторым прямоугольным электродом 4, установленным на левой стороне квадратного листа ЭПБ 3, а второй контакт его соединен с верхним концом второго зонда 17.
В состав установки входит квадратный документальный лист 22 из обычной бумаги с системой координат, аналогичной системе координат прямоугольного планшета 1. Координаты потенциалов, снимаемых с квадратного листа ЭПБ 3, переносятся на квадратный документальный лист 22.
0
1
2
3
4
V
Рассмотрим, каким образом на предлагаемой установке численным методом решается третье уравнение Максвелла (4). Для этого первый переключатель 19 ставим в первое положение КЭ, второй переключатель 20 ставим во второе положение КЭ. На квадратном листе ЭПБ 3 укладываем второе съемное лекало 15 так, чтобы нижний конец второго зонда 17 через отверстие нулевого узла (центральное отверстие) элемента конечно-разностной сетки 16 касался квадратного листа ЭПБ 3. Нижний конец первого зонда 5 извлекаем из вертикального отверстия ползунка 13 и прикасаемся ко второму зонду 17. В это время с помощью потенциометра 8 устанавливаем по вольтметру 6 требуемый потенциал ϕ. Амперметр 21 покажет величину тока в цепи квадратного листа ЭПБ 3. Затем с помощью первого зонда 5 измеряем соответственно потенциалы ϕ, ϕ, ϕ и ϕ в первом, втором, третьем и четвертом узлах элемента конечно-разностной сетки 16. По формуле (4) рассчитываем объемную плотность заряда, содержащегося в малом объеме ΔV, охватываемого поверхностью S. По теоретической формуле (6) рассчитываем воображаемый заряд, содержащийся в малом объеме ΔV, а затем по формуле ΔV=q/ρ определяем величину самого объема ΔV.
Рассмотрим, каким образом на данной установке осуществляется построение эквипотенциальных линий электрического поля. Для этого следует установить на квадратный лист ЭПБ 3 съемный проводник 2, а на него - первое съемное лекало из диэлектрика 14. Вставить первый зонд 5 в вертикальное отверстие ползунка 13 так, чтобы он касался нижним концом квадратного листа ЭПБ 3. Передвигая подвижную линейку 12 и ползунок 13, построить первую эквипотенциальную линию, соответствующую потенциалу съемного проводника 2. Далее аналогичным способом строим несколько эквипотенциальных линий с одинаковым шагом справа и слева от первой эквипотенциальной линии. Данные координат эквипотенциальных линий с системы координат, связанной с прямоугольным листом 1, переносим на аналогичную систему координат, связанную с квадратным документальным листом 22. Все точки на квадратном документальном листе 22 обводим сплошной линией.
вi
нi
i
Рассмотрим, каким образом на предлагаемой установке определяется поверхностная плотность зарядов на съемном проводнике круглого сечения 2, помещенном в электрическое поле. Для этого необходимо установить на квадратный лист ЭПБ 3 съемный проводник круглого сечения 2, а на него - первое съемное лекало 14. Прикасаясь первым зондом 5 через отверстия первого съемного лекала 14 к квадратному листу ЭПБ 3, измеряем потенциалы вольтметром 6 внутреннего кольца ϕ и наружного кольца ϕ. По формула (8) и (9) рассчитываем в i-x точках поверхностную плотность заряда σ.
вi
нi
Рассмотрим, каким образом на предлагаемой установке определяется поток вектора  электрического поля через замкнутую поверхность S, охватывающую заряд q. Для этого устанавливаем съемный проводник круглого сечения 2 и первое съемное лекало 14 на квадратный лист ЭПБ 3. Первый переключатель 19 необходимо поставить в первое положение КЭ, а второй переключатель 20 ставим в первое положение ПЭ. С помощью первого зонда 5 и вольтметра 6 измеряем потенциалы в i-x точках внутреннего ϕ и наружного ϕ колец. Затем по формуле (10) рассчитываем поток вектора  через замкнутую поверхность S, охватывающую заряд q. Результат с высокой точностью должен совпадать с теоретической формулой (6), по которой определяется заряд q по току I, протекающему в цепи квадратного листа ЭПБ 3.
Поток вектора  через замкнутую поверхность 5, не охватывающую заряд q, определяем аналогичным образом. Для этого первый переключатель 19 необходимо поставить во второе положение ПЭ. В этом случае съемный проводник круглого сечения 2 не подключен к источнику постоянного тока 8 и поток вектора  равен нулю.
i
Установка позволяет также определить численным методом циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Для этого необходимо поставить первый переключатель 19 во второе положение ПЭ. Второй переключатель 20 необходимо поставить в первое положение ПЭ. Прикасаясь первым зондом 5 второго (левого) прямоугольного электрода 4, установить с помощью потенциометра 8 требуемое напряжение. По квадратному листу ЭПБ 3 будет протекать ток, и на нем будет моделироваться стационарное электрическое поле. Установить на квадратном листе 3 съемный проводник круглого сечения 2, а на нем первое съемное лекало 14. Затем, устанавливая первый зонд 5 в отверстия внутреннего кольца, измерять вольтметром 6 потенциалы ϕ. И, наконец, по формуле (11) рассчитать циркуляцию вектора . Для потенциального поля она должна быть равна нулю.