об измерении амплитуд и периода микрокачаний физического маятника с опорой качения

УДК 621.397

ОБ ИЗМЕРЕНИИ АМПЛИТУД И ПЕРИОДА МИКРОКАЧАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА С ОПОРОЙ КАЧЕНИЯ

Ас п. РИЗНООКАЯН. Н.

Белорусский национальный технический университет

Физический маятник с опорой качения, совершающий свободные затухающие колебания, широко используется при исследованиях трения качения [1, 2]. До настоящего времени маятниковый метод применялся в условиях, когда амплитуда колебаний маятника была не менее 0,02 рад, а коэффициент сопротивления качению - не менее 10~5. Для измерения амплитуд, как правило, использовалась методика, основанная на прерывании светового луча опто-электронных пар этим маятником и измерении времени между двумя последовательными прерываниями. При этом период колебаний считался неизменным и его величина обеспечивалась конструкцией маятника [3].

Однако с развитием микромеханики и микроэлектроники появились новые материалы и приборы, где коэффициент сопротивления качению имеет величину порядка 10~7 и менее [4, 5]. Эти коэффициенты реализуются на гладких твердых поверхностях при амплитудах колебаний маятника порядка несколько угловых секунд. Кроме того, оказалось, что в этих условиях период колебаний существенно зависит от амплитуды, и при ее уменьшении период резко уменьшается [5]. В этих условиях для измерений амплитуд и периодов колебаний физического маятника требуются принципиально новые средства и методы.

Цель данной работы состоит в разработке методики измерений амплитуд и периодов колебаний физического маятника при углах отклонения, составляющих несколько угловых секунд.

Методика измерений амплитуд и периодов колебаний физического маятника. Физический маятник, совершающий свободные колебания, является одним из наиболее чувствительных элементов различных физических приборов. Система измерений амплитуд и периодов колебаний маятника не должна оказы-

вать заметного обратного воздействия на него, поэтому эта система должна быть оптической.

Эскиз установки для исследования трения качения маятниковым методом с оптической системой измерения амплитуд и периодов представлен на рис. 1.

^ у

А' 1

Рис. 1. Эскиз экспериментальной установки: 1 — стержень; 2, 3 - балансировочные грузы; 4 - планка; 5, 6 - сферические опоры, жестко прикрепленные к планке 4; 7 — внешнее основание; 8 - лазер; 9 - зеркало, прикрепленное к планке 4; 10 — фотоприемник; 11 — объект исследования;

00' — мгновенная ось вращения маятника

Данная установка работает следующим образом. Два одинаковых объекта исследования 11 (плоские полированные пластинки) помещают на площадку 7, затем опускают маятник так, что сферические опоры 5 и 6 устанавливаются на исследуемые образцы, луч от лазера 8, отражаясь от зеркала 9, попадает на фотоприемник 10. В начале измерений маятник отклоняют на заданный угол и освобождают, и маятник начинает совершать свободные затухающие колебания. Измерения проводят до полной остановки маятника.

Функциональная схема системы обработки информации, поступающей с фотоприемника, показана на рис. 2.

Рис. 2. Функциональная схема системы обработки информации

На этой схеме оптический сигнал поступает на вход фотоприемника. Функция 1(х, у) описывает распределение интенсивности светового пучка в плоскости, перпендикулярной направлению его распространения в различные моменты времени I.

Для преобразования аналогового сигнала (положение светового пятна на фотоприемнике) в цифровой в качестве фотоприемника используется ПЗС-матрица. В этой матрице формируется электрический сигнал, соответствующий распределению интенсивности светового пятна на ее чувствительном элементе, так что образуется массив данных М[1(хм, ум), /]. Этот массив состоит из двумерного распределения интенсивности светового пятна в координатах хм, уы ПЗС-матрицы в дискретные моменты времени. Количество данных в массиве задается частотой считывания информации с ПЗС-матрицы (количеством кадров в секунду) и общим временем измерения. Современные аппаратные средства позволяют варьировать частоту считывания (шаг дискретизации) в широком диапазоне, и массив данных может быть достаточно велик. Однако чем он больше, тем больше потребуется времени и ресурсов для обработки такого массива. Поэтому выбор шага дискретизации

следует связывать с допускаемой погрешностью измерений.

Положение фотоприемника настраивают таким образом, что световое пятно перемещается только вдоль одной оси, например 07. В этом случае координата хы остается постоянной и ее не учитывают при измерениях. Перемещение пятна описывают, следя за перемещением одной из точек пятна - метки. В качестве метки, которая определяет положение светового пятна на фотоприемнике, используется положение максимума интенсивности этого пятна. Этот максимум находят численно, предполагая, что распределение интенсивности светового пятна на фотоприемнике описывается кривой Гаусса [6]. Информация о перемещении метки записывается в виде массива М[у%, /].

Для дальнейшей обработки информации необходимо описать положение светового пятна на фотоприемнике относительно положения равновесия маятника. Для этого устанавливаем линию нуля (т. е. значение координаты у%, соответствующей положению равновесия маятника) и переопределяем координату у? относительно этой линии, введя координату ус. Линия нуля проводится как среднее значение, взятое по всем координатам у™. Преобразуя координаты у" в координаты ус, получают массив значений М\уе, /]. Пример такого массива представлен в виде графиков на рис. 3.

Из рис. За видно, что колебания маятника затухают не до нуля, а до некоторого минимального значения, определяемого уровнем шумов измерительной цепи. На рис. 36 видно, что этот шум искажает полезный сигнал особенно заметно в области максимального отклонения. Здесь шум затрудняет измерение амплитуд колебаний маятника. При малых амплитудах колебаний этот шум затрудняет также и измерение периодов колебаний.

В &

Я г и Л

8 У

ё э §

£

-10

-0,8

Время Время

Рис. 3. Положение светового луча на фотоприемнике относительно положения равновесия маятника: а — массив, отвечающий полному циклу колебаний; б — выделенная часть массива

Методика определения периода состоит в следующем. Находят точки на кривой движения маятника, максимально близкие к линии нуля и расположенные по разные стороны от этой линии (например, точки 1, 2 на рис. 36, первая - обязательно положительная, вторая -отрицательная). Эти точки аналитически соединяют прямой линией и вычисляют точку пересечения этой линии и линии нуля. Таким образом, получают массив времен соответствующих точкам перехода через нуль при движении луча сверху вниз. Затем вычисляют периоды по формуле

где у - номер точки пересечения траектории движения луча и линии нуля при движении маятника сверху вниз.

Типичная картина зависимости периода от времени, полученная по этой методике, показана на рис. 4, где «х» - значения периодов.

Методика определения амплитуд состоит в следующем. Предполагают, что затухание колебаний маятника в каждом цикле колебаний мало. Поэтому в каждом полупериоде эти колебания можно описать гармонической функцией со своими амплитудой и периодом, так что

У! = ajsш

2п

Т

к1]

-и

где а, - амплитуда в у'-м периоде; 7) - период колебаний маятника в у-м периоде; - изме-

ренные моменты времени, лежащие в интервале от до , причем минимальное количество точек ti в каждом периоде у-м выбирается в соответствии с теоремой Котельникова [7].

ю и И о

И «

§ &

С

2,1

2,0

> и«*»^ " У. !

* ***** «Xх * **** Л".

о

200

400

600 800 Время, с

Рис. 4. Результаты измерений периода в зависимости от

времени х — массив измеренных данных [Г, --массив

данных [Г, полученных в результате сглаживания

На рис. 5 показаны максимальные значения координат ус, полученные в каждом положительном полупериоде, которые в своей совокупности образуют тонкую линию, а также амплитуды колебаний маятника, которые были вычислены с помощью гармонической аппроксимации (2), образующие толстую линию.

На рис. 4 и 5 видно, что результаты, полученные для периода и амплитуды, имеют большой разброс. Это объясняется влиянием шумов измерительной цепи. Поэтому возникает задача статистического сглаживания с целью выделения полезного сигнала.

ю В

U CL § &

и s

Л

з у

ГВ

3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

100 150 200 250 300 Номер амплитуды

Рис. 5. Измеренные амплитуды колебаний

Статистическое сглаживание сигнала, соответствующего измерениям амплитуды, осуществляется на основе использования гауссо-вого ядра, позволяющего вычислить локально взвешенные средние значения исходного одномерного массива данных [а] (рис. 2). Такое сглаживание наиболее эффективно, когда точки на оси абсцисс t расположены на приблизительно одинаковом расстоянии друг от друга. В этом случае каждое значение ав данном массиве преобразуется в новое значение £,-, задаваемое формулой

а.

¿=1

ь

-ti

а,

ij t,

i=i

где функция K(t) =

\¡2kcs

-exp

2(a)2

n -

количество точек в массиве [а]; о - среднее квадратическое отклонение; Ъ — параметр сглаживания.

Значения £,- образуют массив данных [£] (рис. 2). Величина параметра Ъ обычно выбирается в несколько раз большей величины интервала между соседними точками и /¿+1 на оси I, и она определяет ширину окна, которое используют при сглаживании. Обычно о = 0,37 [8].

В данной методике сглаживание по (3) дополняет аппроксимацию экспериментальных данных по (2). Результат, полученный после выполнения последовательно этих двух операций, показан на рис. 6 в виде жирной линии. Здесь же в виде тонкой линии изображена часть

данных, полученных как результат аппроксимации по формуле (2) и показанных на рис. 5 в виде жирной линии.

100 150 200

Номер периода

Рис. 6. Зависимости амплитуды колебаний маятника от времени, полученные после: аппроксимации

Статистическое сглаживание сигнала, соответствующего измерениям периода (рис. 4), осуществляется на основе процедуры симметричного линейного сглаживания методом наименьших квадратов по правилу ^-ближайших соседей [8]. Результат сглаживания, который образует массив данных [7] (рис. 2), показан на рис. 4 в виде линии.

Дальнейший анализ результатов измерений проводится с массивами данных [£], [7] и [/'] (рис. 2). При этом, исходя из физических предположений о закономерностях затухания амплитуды колебаний маятника и изменения его периода, строят феноменологическую теорию взаимодействия шариков и исследуемых поверхностей, и проводят нелинейную аппроксимацию этих данных теоретическими зависимостями, полученными в этой теории. Результаты подобного анализа представлены в [5, 9].

Оценка погрешности измерения амплитуды, обусловленной влиянием шумов измерительной цепи. Для того чтобы оценить уровень шума измерительной цепи, достаточно рассмотреть результаты измерений амплитуды в условиях, когда маятник находится в положении равновесия.

Результат такого измерения представлен на рис. 7, из которого видно, что шумовой сигнал находится в интервале ±0,04 единицы, отсчитываемых на шкале ПЗС-матрицы. Экспериментально было установлено, что одна единица на этой шкале соответствует углу отклонения

маятника: 4,8 • 10" рад. Следовательно, на эксперименте максимальный уровень шумового сигнала составил ±Лаш = 0,1 • 10~5 рад или ±Лаш = = 0,2 угл. с.

и

В

8 и

I

Рис.

1470 1490 1510 Номер измерения

7. Сигнал, полученный для покоящегося маятника

Расчет погрешностей измерения амплитуды, обусловленных дискретностью преобразования аналогового сигнала в цифровой.

Ввиду того что затухание колебаний маятника мало и процесс его колебаний в каждом периоде близок к гармоническому, вблизи максимума отклонения этот процесс можно описать формулой

(p = acos(Qi),

где Qt = 2 nt/T.

Тогда мгновенная угловая скорость маятника

ö) = f^ = -aQsin

dt

Вблизи максимума отклонения скорость маятника стремится к нулю. Поэтому здесь sin(Qi) ~ fit, и модуль угловой скорости можно записать как

ш  aQ Ч.

Если А/ - шаг дискретизации времени (величина, обратная частоте / считывания информации с ПЗС-матрицы), то погрешность определения амплитуды, связанная с этой дискретностью:

Аа = —со А/. 2

Подставляя (6) в (7), получаем

Aa = -aQ2Ai2. 2

Можно показать, что изменение периода в процессе колебаний мало влияет на оценку рассматриваемой погрешности. Поэтому в качестве значения Т можно взять его среднее значение. Отсюда следует, что относительная погрешность измерения амплитуды

- = -(QAi)2=-a 2 2

4л2 ^ 2 л2 — At2 =-Т2 )

№

При Т= 2 с,/= 30 Гц и атах = 100 угл. с максимальная погрешность Аа ~ 0,55 угл. с.

Влияние шума измерительной цепи и дискретности преобразования аналогового сигнала в цифровой на измерение периода. При наличии аддитивного шума измерительной цепи, показанного на рис. 7, точки 1 и 2 на рис. 36, ближайшие к линии нуля, могут совершать прыжки, оказываясь по другую сторону линии нуля. В этом случае минимальная погрешность измерения периода, обусловленная этим шумом, А/1П = 1// Найдем условие, при котором эта погрешность будет отсутствовать.

Учитывая, что колебания маятника в каждом периоде близки к гармоническим, найдем максимальное значение угла отклонения маятника фо, соответствующего точке а на рис. 36, по формуле

2 я

фа =а8т

Указанная погрешность А/1П измерения периода будет отсутствовать, если выполняется условие фо > Ааш. Отсюда следует, что минимальная амплитуда, при которой возможно измерение периода, должна удовлетворять условию

ту_

2тг

Пусть Ааш = 0,2 угл. с; Т = 2 с; /= 30 Гц. Тогда получим, что ат„ > 2 угл. с.

При выполнении условия (11) погрешность измерения периода будет определяться в основном нестабильностью А/ частоты / Эта нестабильность обусловлена главным образом нестабильностью кварцевого тактового генера-

тора устройства, считывающего информацию с фотоприемника. Погрешность Дсра в определении угла фа, связанную с нестабильностью А/, получим из (10) простым дифференцированием

2п

Л<ра=-а—А/.

Из той же формулы (10) следует, что аналогичная погрешность Дфа, связанная с погрешностью АТ периода Т:

Аф0

2п

-а——АТ. Т2 f

Считая, что погрешность АТ обусловлена погрешностью А/, приравнивая друг другу последние две формулы, найдем связь погрешностей АТ с погрешностью А/

АТ=^ Т /'

Как правило, относительная нестабильность частоты А/7/ ~ 10~Л Следовательно, при Т = 2 с имеем АТ~ 2 • 10^ с.

выводы

Устранение влияния шумов измерительной цепи потребовало разработки оригинальных алгоритмов обработки измерительных сигналов и применения известных методов статистической обработки этих сигналов.

Погрешности измерения амплитуды колебаний, обусловленные дискретностью преобразования сигнала в фотоприемнике и влиянием шумов измерительной цепи, оказались примерно одинаковыми. Следовательно, при периоде колебаний маятника, равном 2 с, считывание информации с фотоприемника с частотой, равной 30 Гц, вполне достаточно для измерений амплитуд колебаний вплоть до нескольких угловых секунд.

Измерение периода колебаний в режиме влияния шумов измерительной цепи возможно лишь до контретного минимального значе-

ния амплитуды колебаний, которое в условиях опыта составило 2 угл. с. При этом погрешность измерения периода, обусловленная нестабильностью дискретизации сигнала, оказалась равной 2  Ю-4 с.

Предложенные средства и методы измерения амплитуд и периодов колебаний физического маятника в режиме микрокачаний позволяют проводить исследование контактного взаимодействия твердых тел в области перемещений его опоры, где само перемещение можно рассматривать как предварительное качение [10], а трение качения можно трактовать как трение покоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пинегин, С. В. Трение качения в машинах и приборах/ С. В. Пинегин. -М.: Машиностроение, 1976.-312 с.

2. Карасик, И. И. Методы трибологических испытаний в национальных стандартах стран мира / И. И. Карасик. - М.: Наука и техника, 1993. - 373 с.

3. Материалы конструкционные и смазочные. Методы экспериментальной оценки коэффициента трения: ГОСТ 27640-88. - М.: Госкомитет по стандартам; введен 01.06.1988.-20 с.

4. Bhushan, В. Modem tribology handbook / В. Bhushan. -Bora Ratón: CRC Press, 2000. - 1760 p.

5. Джилавдари, И. 3. Феноменологическая теория микрокачаний шарика на пятне контакта / И. 3. Джилавдари, Н. Н. Ризноокая // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2010. - Т. 5, № 1. - С. 3-12.

6. Александров, А. А. Исследование датчика углового положения на базе квадрантного фотоприемника / А. А. Александров, С. А. Новоселов, М. В. Шахматов // Известия вузов. Приборостроение. - 1987. - № 4. -С. 68-71.

7. Сергеев, А. Г. Метрология: учеб. пособие для вузов / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин. -М.: Логос, 2001. -408 с.

8. MathCad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95: пер. с англ. -М.: Информационно-издательский дом «Филинь», 1996. — 712 с.

9. Джилавдари, И. 3. О влиянии адгезии на период свободных микрокачаний маятника / И. 3. Джилавдари, А. В. Пилипенко, Н. Н. Ризноокая // Доклады Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники. - 2008. - № 4. - С. 77-83.

10. Mekid, S. A non-linear model for pre-rolling friction forcé in precisión positioning / S. Mekid // Proc. Insta Mech. Engrs Part J: J. Engineering Tribology. - 2004. - Vol. 218, № 4. - P. 305-312.

Поступила 17.12.2010