ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

МАТЕМАТИКА

УДК 517

Агаев Э.Ч.

преподаватель кафедры «Информационные системы и технологии» Туркменский государственный университет имени Махтумкули

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Аннотация: в данной статье рассматриваются современные взгляды дифференциальных исчисление функций одной переменной. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния методик и различных факторов на развитие математики.

Ключевые слова: анализ, метод, образование, математика, наука.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной - это раздел математического анализа, который изучает производные и дифференциалы функций одной переменной. Этот раздел математики имеет множество приложений в физике, экономике, инженерии и других областях.

Производная функции - это скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Производная функции может быть найдена с помощью формулы или правил дифференцирования.

Дифференциал функции - это приращение функции, которое может быть представлено в виде суммы произведений производной функции и приращения аргумента. Дифференциалы используются для нахождения приближенных значений функций и для решения задач оптимизации.

Основные понятия дифференциального исчисления включают производную функции, правила дифференцирования, производную обратной функции, производную функции, заданной параметрически, производную функции, заданной в неявном виде, дифференциал функции и приложения дифференциального исчисления.

1. Производная явной функции.

Производная явной функции - это скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Она определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Формально, если у=Д(х) является функцией, то ее производная Д*(х) определяется следующим образом:

Д\х)=\Нш_{Шо 0}\Дгае{Д(х+Ь)-Д(х)}{Ь}.

Если этот предел существует, то функция Д(х) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела Д(х) называется производной функции Д(х) в точке х.

Геометрически производная явной функции в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, то график функции возрастает в этой точке, если отрицательна -убывает, а если равна нулю - то функция имеет экстремум (минимум или максимум) в этой точке.

Производная явной функции играет важную роль в математическом анализе и находит применение в различных областях науки и техники, например, при решении задач оптимизации или при анализе движения тел.

Пример: Найти производную функции Д(х) = хА2 + 3х - 2.

Решение: Используя определение производной, получим:

Д(х) = Нш(Ь->0) (Д(х+Ь) - Д(х))/Ь= Нш(Ь->0) ((х+Ь)Л2 + 3(х+Ь) - 2 - (хл2 + 3х - 2))/Ь= Нш(Ь->0) (2хЬ + ЬЛ2 + 3Ь)/Ь= Нш(Ь->0) (2х + Ь + 3)= 2х + 3

Таким образом, производная функции Д(х) равна Д(х) = 2х + 3.

2. Производная обратной функции.

Производная обратной функции может быть найдена с помощью формулы:

^-1)'(у) = Щх), где х = :Г-1(у).

Пример: Найти производную обратной функции для функции ^х) = 3хА2

- 2.

Решение: Сначала найдем производную функции ^х):

ВД = 6х

Затем найдем обратную функцию для ^х): у = 3хА2 - 2 х = 8дй

Теперь найдем производную обратной функции: ^А-1)'(у) = Щх), где х = ^-1(у)= 1/6х= 1/6вдП((у+2)/3) Таким образом, производная обратной функции для ^х) равна ^-Щу) = 1/б8дй((у+2)/3).

3. Производная функции, заданной параметрически.

Для нахождения производной функции, заданной параметрически, необходимо применить правило дифференцирования сложной функции.

Пусть функция задана параметрически как х=х^), у=уО). Тогда производная функции по t определяется следующим образом: \&ас{ёу}{ёх}=\й-ас{ёу/т}{ёх/^}.

Это соотношение вытекает из правила дифференцирования сложной функции для функции у=:

\fгac{dy}{dt}=\fгac{dy}{dx}\cdot\fгac{dx}{dt}.

Таким образом, если мы знаем функции x=x(t) и у=уОО, то можем вычислить производную функции по t и затем подставить значения производных в формулу выше.

Геометрически производная функции, заданной параметрически, определяет угловой коэффициент касательной к кривой, заданной

параметрически, в точке (х^_0),у^_0)). Если производная положительна, то кривая движется в направлении возрастания у при увеличении х, если отрицательна - в направлении убывания, а если равна нулю - то кривая имеет экстремум в этой точке.

Производная функции, заданной параметрически, также находит применение в различных областях науки и техники, например, при описании движения объектов в физике или при анализе динамики процессов в экономике.

Пример: Найти производную для функции, заданной параметрически х = Г2 + 1, у = ^3 - X

Решение: Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

ёу/ёх = ёу/ё / ёх/Л=

Таким образом, производная функции, заданной параметрически равна ёу/ёх = (3Г2 - 1) / (21:).

4. Производная функции, заданной в неявном виде.

Производная функции, заданной в неявном виде, может быть найдена с помощью правила дифференцирования неявной функции.

Пример: Найти производную для функции, заданной в неявном виде хА2 + уЛ2 = 25.

Решение: Используя правило дифференцирования неявной функции, получим:

2х + 2у(ёу/ёх) = 0

ёу/ёх = -х/у

Таким образом, производная функции, заданной в неявном виде равна ёу/ёх = -х/у.

Производные и дифференциалы функций одной переменной имеют широкое применение в решении задач оптимизации, моделировании физических процессов, анализе экономических данных и других областях. Они также

являются важным инструментом для изучения свойств функций и их поведения в различных точках и интервалах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 744c.

2. Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. — М.: Просвещение, 2014. — 336 с.

3. Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. — М.: Либроком, 2016. — 216 с.

4. Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 408 с.

Agaev E.Ch.

Lecturer of the Department of Information systems of technologies Turkmen State University named after Magtymguly

DIFFERENTIAL CALCULUS OF FUNCTIONS OF ONE VARIABLE

Abstract: this article discusses modern views of the differential calculus of functions of one variable. A cross and comparative analysis of the influence of methods and various factors on the development of mathematics was carried out.

Keywords: analysis, method, education, mathematics, science.