О колебаниях газового пузырька в электропроводной жидкости, помещеннной в магнитное поле

В.А. Бондаренко, А.П. Васильев

О КОЛЕБАНИЯХ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ, ПОМЕЩЕНННОЙ В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Рассматривается система уравнений гидродинамики и теплообмена для описания колебаний газового пузырька в электропроводной жидкости, помещенной в магнитное поле. Приводятся результаты численного исследования поля скоростей, давлений и температур. Найдены частотные характеристики системы. Показано, что при высоких частотах колебаний газ в пузырьке ведет себя почти как адиабатический.

Закономерности рассеивания энергии колеблющимися пузырьками газа в потоке вязкой жидкости имеют принципиальное значение при расчете гидродинамики и теплообмена в двухфазных пузырьковых потоках [1].

Если к тому же вязкая жидкость будет помещена в магнитное поле и обладать электропроводностью, то к механизму вязкой диссипации энергии добавится дальнодействующий механизм джо-улевой диссипации, что приведет к быстрому затуханию свободных колебаний пузырька. Кроме того, теплообмен между газом в пузырьке и окружающей жидкостью может создать дополнительный механизм рассеивания энергии. Чисто внешне интенсивное рассеивание энергии проявляется в увеличении эффективной вязкости жидкой фазы. Игнорирование этих физических эффектов при расчете МГД-компрессоров [2] может привести к завышению КПД данных устройств.

В центре сферической системы координат г, ф, 0 в вязкой электропроводной жидкости расположен сферический пузырек с идеальным газом. Внешнее устройство создает во всем объёме жидкости однородное магнитное поле. Воздействием импульса давления в жидкости пузырёк выводится из состояния равновесия и начинается релаксация, сопровождающаяся затухающими колебаниями. Рассмотрим основные уравнения, описывающие этот процесс.

Считаем, что вязкая жидкость является несжимаемой и изотермической, т. е. рассеивание энергии в процессе колебаний не приводит к заметному изменению её температуры. Для этой модели уравнения неразрывности, импульсов и законы Ома и Ампера выписываются в виде:

ЛУУ 1 = 0,

р? %+ р?

л

?1 = А XВ , А = ^У 1 хВ

Здесь индекс «1» относится к параметрам жидкой фазы: р10 - плотность, у1 - скорость, р1 -давление, ^ - плотность электромагнитной силы,

т - динамический коэффициент вязкости, а1 - электропроводность, ] 1- плотность электрического тока, В - индукция магнитного поля.

При малых магнитных числах Рейнольдса Яеш<<1 поле скоростей жидкой фазы не будет искажать внешнего магнитного поля, поэтому можно не привлекать для описания процесса систему электродинамических уравнений Максвелла в целом.

Газ в пузырьке считается идеальным и невязким, и для него уравнения неразрывности, Эйлера, энергии и состояния выписываем в виде:

М. + ШУ(р2У 2) = 0,

от

р2

2 л

Эу2

"эГ

+ (У 2^) 2

= -ягаЛр2

2

= -Л1у^2 + ШУ(РП.У2),

Р2 = р2Я тТ2,

где ё2/& - символ субстанциональной производной; плотность теплового потока q2 определяется по закону теплопроводности Фурье:

52 =-12ёгаЛТ2, а для внутренней энергии принимаем калорическое уравнение состояния идеального газа и2=с2уТ2+и20, с2у - удельная массовая изохорная теплоемкость , Т2 - температура газа.

Уравнение закона сохранения энергии в дальнейшем удобно использовать с учетом следующего преобразования.

Поскольку газ является идеальным, то для него тензор поверхностных напряжений является шаровым, и для мощности внешних поверхностных сил можно записать:

ЛУ(Рп .У 2) = -Р2&УУ 2 - У 2 £гаЛр2

Уравнение неразрывности (4) можно привести к виду

м

А

откуда находим, что

+ Р2&уу2 = 0,

2

У

2

и2 +

ВА. Бондаренко, А.П. Васильев О колебаниях газового пузырька в электропроводной жидкости...

divV2 =- о

Р 2

1 d2p2

dt

С учетом этого выражения мощность внешних поверхностных сил преобразуется к следующему виду:

div(PnV2) =

P2 d2Р2

dt

p2

- V2.gradp2 =

= -P2p2^(Л) - V2 .gradP2 =

dt Р 2

Р :d

2 (P2 dt r 2

+

d2P2 dt

- V2.gradp2.

В дальнейшем считаем, что вихревой характер электромагнитного поля не искажает радиальное течение жидкости, т. е. пренебрегаем скоростью у:0 по сравнению со скоростью у1г во всей области течения.

При этих условиях уравнение неразрывности (1) принимает простейший вид

7£ К)-О

и легко интегрируется:

vi(r,t) =

via(t)a2

Подставляя это выражение в уравнение закона сохранения энергии, получим:

Р

0 d2U2

dt

+ P2V.

d2v2 dt

= -divq2-Р°2%(% + %-V2 gradp2.

а р2 Л

Вместо внутренней энергии газа и2 удобно вве сти удельную массовую энтальпию газа 12=и2+р2/г, тогда предыдущее уравнение примет вид

о

2'-*2 '

Р

0 d2i2

0r d2v2

= -divq2 + d2P2 - V2 .gradp2.

Р

od2i2 = -divq2 +-

где

dt 2 dt энтальпия определяется

f, 9 =-

2р 2р

— íferde = — o1v1aB2 [sinecos 9d9 = 0.

pa J 2p J

2pa

где а - радиус пузырька, у1а - радиальная компонента скорости жидкости на межфазной границе.

Уравнение движения (2) в проекции на ось г с учетом сферически-симметричного течения принимает вид

9v1 9v1 1 Эр1 _

^Т + V^-^1 =--+ f1r + V1

at

Эг

Р0 Эг

ÑЧ -

л 2 2 а а

Умножив скалярно уравнение Эйлера (5) на у2 и вычитая полученное равенство из этого выражения, получим уравнение притока теплоты для газа

Л2Р2

Задача осложняется тем, что компонента Г1г=-о1у1Б281п20 зависит от угла 0. Оставаясь в рамках одномерного описания течения, заменим эту компоненту её средним значением. Имеем:

= ^0Л0 = -1 ^

0

выражением

г2=Ср2Т2+120"

При радиальном течении жидкости вокруг

пузырька со скоростью v1={v1,0,0} плотность электрического тока в сферической системе координат определяется выражением j1=v1Bsin91j, где i, 1j ,19 - единичные орты сферической системы координат, а индукция магнитного поля - так:

B=Bcos9 i - Bsin91j, тогда для плотности электромагнитной силы следует:

fj = jj хB = -OjVjB2 sin2 9ir -OjVjB2 cos9sin9ie =

= f1r ir + f1 e ie .

Меридиональная компонента электромагнитной силы f19 может привести к образованию меридионального течения жидкости вокруг пузырька со скоростью v9, что исказит чисто радиальное течение. Среднее значение компоненты f19 на поверхности пузырька равно нулю. Действительно,

о Pi 2 Pi

тогда предыдущее уравнение можно переписать так:

av1 av1 =1 Эр1 1 o1v1B2

+V1 "эг=-po ~эг- 2 +V1

a2v + 2 a^ - 2 v

Эг2 г Эг

Интегрирование этого уравнения по радиусу с учетом выражения (10) дает

d2a dt2

+ 2a

2

da dt

11

+

r2

da dt

42 a4

P1

1 sB

2 "

-a2da1+C.

dt r

р1 2 р1

Постоянную интегрирования находим по условиям на бесконечности: г¥ р1=р¥, что дает С= р¥/р10. На поверхности пузырька при г=а р1=р1а, поэтому уравнение динамики пузырька принимает вид:

d2a 3 a+ dt2 2

da dt

2

1 o1B

+--Чт

2 da a

P1a(t) - P ¥

2 Р1 Л Р1

Перейдем в этом уравнении от давления р1а(1) в жидкой фазе к давлению р2а0) в газовой, для чего обратимся к условиям на межфазной границе:

-ГГ _ГГ г, •

2a -Sla =-2"

2

r

2

r

r

2

a

4

r

a

где X - коэффициент поверхностного натяжения, а ска" - нормальные компоненты тензора поверхностных напряжений в фазах на межфазной границе: °2аГГ =-Р2а(^ ^а" ^Р^+^СЭу/Эг^ , что с учетом (10) дает:

, ч , 1 Ла Е Р1а (!) = Р2а(0 - 4^- — - 2- , а Л а

тогда уравнение динамики пузырька принимает вид

qa=12(ЭT2/Эг)I=a (подведенная теплота), окончательно получаем уравнение для давления газа в пузырьке:

ЛР2 = _зу Р^ + з

Лг а а

Теперь преобразуем уравнение неразрывности (12), для чего заменим в нём плотность газа р20 по уравнению состояния, тогда найдем

Л2а 3

а—т + -

Лг2 2

2 Ла

а!

+2

+

1 о1В2

Ла . 1 Ла

а— + 4у,--+

Л 1 а Л

Р2аЮ - Р¥

Эр

Э1

1 Э ( ( г2 Эг

г У

:)= 0,

р2СР2

ЭТ

Эг

- + У,

ЭТ

Эг

12г

ЭТ

22 Эг

ЛР2

+ ^ . (13) Л

ЛР2

Р2 1(Г2у2 )=_

у-Г2 Э^ 2/ Эг

Э (. 2 ЭТ2 4 12г^

у-1 Л

интегрирование которого в пределах от г до а позволяет найти закон распределения скоростей в газовой фазе:

г2у 2 (г, г) = а2У2а(1) + -у 1 1

12г2 % -12а2(ЭТ1)г=

У Р2(г) г3 - а3 Лр2

зуР2 (г) Л

Р:

г2у

2 ЭТ2 = 0

Эг

р,а р,

Уравнение (11) содержит две неизвестные функции: a(t) - радиус пузырька и р2а0) - давление в газовой фазе, в связи с чем обратимся к дополнительным уравнениям газовой фазы (4)-(8).

При сферически-симметричном течении газа уравнение неразрывности (4) имеет вид:

1 Ф2 - Р1.ЭТ. + _Э.((2у )-

Т2 Л Т2 Эг г2 Т2 Эг1 2' г2 Т22

Выразив производную Э/Эг(г2У2) из уравнения (14) и подставив её в это уравнение, приведём его к виду:

ЭТ2 ЭТ2

—2 + У2(г,1)-^ = Эг Эг

у-1 Т2 Э

УР2Ю г2 Эг

12г

2 ЭП

Эг

У- 1 Т2 Ф2 у Р2 Л

где у2 - радиальная компонента скорости газа.

Поскольку плотность газа много меньше плотности жидкости, то можно пренебречь силами инерции газовой фазы, тогда уравнение Эйлера (5) перейдет в условие равновесия Эр2/Эг=0, т. е. давление в газовой фазе не зависит от радиуса - условие гомобаричности: р2а0)=р2(^.

Принимая для плотности теплового потока q2 закон теплопроводности Фурье, уравнение (8) с учетом условия гомобаричности преобразуем к виду:

--( г2 Эг

К сожалению, при численном интегрировании этого уравнения возникает неустойчивость, в особенности в центре пузырька. По этой причине перейдем от температуры газа к новой функции 0(гД)=гТ2(гД). Линеаризуем это уравнение. Во-первых, будем пренебрегать изменением плотности газа вместе с радиусом, тогда закон изменения скорости газового потока будет определяться уравнением:

У2(г,г) =

0

а2а

=

г г г

Здесь учтено, что у1а=у2а=ёа/&. Во-вторых, заменим отношение Т2/р2=Т2(0)/р2(0), тогда уравнение (17) можно привести к виду:

22

Преобразование этого уравнения с учетом уравнения неразрывности, состояния и формулы Майера приводит к следующему выражению

Э© Э

а2а^ а2а Э© ДЭ2©

—+ ——I--А-

Эг

Эг2

Э "2" 4 Э 'г=а — ^ ^ '

\

Полагая здесь г=0 и учитывая, что на поверхности пузырька плотность теплового потока

= з(у-1)© а + 3(у- 1)А(^)г=а -3(у-1)4©(а) ,(19) а а Эг а

где А=12/р20(0)ср2 - коэффициент температуропроводности.

Уравнения (11), (16) и (19) представляют замкнутую систему уравнений, содержащую три неизвестные функции а^), р(^) и 0(гД), которая с соответствующими условиями однозначности допускает численное интегрирование. Приведем эту систему уравнений к безразмерному виду.

Пусть пузырёк выводится из состояния равновесия скачком давления на бесконечности, т. е.

Р¥ (г) = Р0,¥ + §Р¥ (г) , где р0¥ - равновесное давление в жидкости, при котором пузырёк находится в равновесии с радиу-

0

2

р

г

г

2

г

Э©. а. _ „ 1 ч а. 1 Э©.

----(2 - 3у+--)---—

а. (1 - V)3 а. (1 - V)2 Э^

Эг

1 Э2

3

ВА. Бондаренко, А.П. Васильев О колебаниях газового пузырька в электропроводной жидкости...

сом а0, тогда правую часть (11) можно представить так:

Р2

Р? " р0 " р0 '

Будем считать, что скачок давления 5p¥(t) пропорционален начальному давлению газа в пузырьке, т.е. 5р¥(^) =кр2(0), где k=const - параметр возмущения давления, причем р2(0)-р0¥=2Х/а0 , тогда правую часть (11) можно представить в виде:

а. Ре Эv

а.2Ре

Э©. ЭV

+1

Л-?

- Р2(0» [(1) - (к + .)]

+ 2-

Р1 Р1 аоР1

Здесь p1,(t)=p2(t)/p2(0) - приведенное давление. Введем также следующие приведенные функции: а„(^=а^)/а0 , t*=t/t0 - соответственно приведенные радиус пузырька и время. Кроме того, можно ввести характерную скорость и время для задачи в целом:

Р2

р0

1о - ^ - а?/ V?

Р2

р0

Эти масштабы позволяют ввести критерии задачи:

Яе -

а„у„

На - а?В -0-

I р1

We -

0 2 Р1а?^

3 ,

Р* - (к +1)- — (¡1 .)2 -

4 а. Яе а*

2 1 - а. 1 На2

We а. 2 Яе

- а .а.

аР.

--3у

Р.а.

а.

3у 1 Ре а2

/Э0, 4

Эv

+1) ,

Л-?

©.(V, г) -

V-1 -Л,

Сформулируем условия однозначности для уравнения (22). Начальные условия: при г=0 0,(£,0)=1; граничные условия: на поверхности пузырька при £=0 ©*(0, г)=1; в центре пузырька £=1 Э0*/ЭС=0 и ©* (1, г)<¥.

Следует отметить существование одного процесса колебаний пузырька, когда гидродинамическая часть системы уравнений (20), (21) и (22) становится независимой от её теплофизической части, - это политропное сжатие газа в пузырьке. Покажем это.

Перепишем уравнение (16) в виде:

37 7-1

аР2 ---+ 3-qadt .

аа

В этом уравнении У2аЛ=ёа, а qadt=dQ - количеству теплоты, подведенной к пузырьку из окружающей жидкости:

qadt-

4яа2

соответственно числа Рейнольдса, Гартмана и Вебера, с учетом которых уравнение динамики пузырька приводится к виду:

а2а. -

а.

Если процесс политропный, то количество подведенной теплоты можно представить так:

ао - епшат2 - ).

Здесь У2=(4/3)ла3 - объём пузырька. Учитывая, что 3(da/a)=dV2/V2, приведем уравнение (23) к виду:

(20) аР2 ау

+ п-

начальные условия для которого можно сформулировать так: при 1,=0 p,(0)=1, а*(0)=1, da,/dt,=0.

Уравнение для давления в безразмерном виде записывается так:

Р2

- о

п-

Ср - Сп

а - с„

- показатель по-

где Ре=а0У0/Л - число Пекле, а приведенная температура определена выражением:

- -1 ~ л - г/а(1) -

литропы.

Решением этого уравнения является pVn=const, или, переходя к радиусу пузырька, p2(0)a03n=p(t)a(t)3n, или же в безразмерном виде: p,=1/a,3n. Подставляя это условие в уравнение Рэ-лея (20), получим уравнение динамики политроп-ного пузырька в магнитном поле:

а2а.

ИГ

1 а.

13 - (к +1) — (а.)2

а.

©

В этом выражении 1=1,, а л(г) - подвижная система координат, связанная с межфазной границей.

Переходя в уравнении (19) от температуры 0(г, ^ к приведенной температуре, преобразуем его к безразмерному виду:

2

1 На2

а .а.

4 а. 2 1 - а. Яе а. We а. 2 Яе Это уравнение содержит только одну неизвестную функцию и может интегрироваться независимо от других уравнений системы.

V? -

V

Если частота колебаний пузырька будет большой, то процессы теплообмена не будут успевать произойти, поэтому сжатие (и расширение) газа можно рассматривать как адиабатический процесс. Полагая в (24) п=у, получим уравнение динамики адиабатического пузырька.

Ниже представлены результаты численного интегрирования уравнений (20), (21) и (22). Пусть Т-безразмерный временной интервал, на котором ищется решение упомянутой системы уравнений, а 5х=ТМ и 5£=1/М шаги по временной и пространственной переменным, N и М - размер сетки. Уравнение притока теплоты можно заменить конечными разностями, учитывая, что:

/Э0,Л Эх

© -©

.= т§с

/п+1,т

Э.

^Э2©, 4 Э.2

/Э©, 4 Э.

/п,т

*п,т+1 *п,т-1

25^

п,т+1 2©*п,т + ©*п,т-1

©•п,1 - ©*п,0 ©*пД - 1

5.

5.

/п,0 V V

При п=0 0,0т=1; при т=0 0,п0=1 и при т=М

*п+1,М=*п+1,М-1.

С учетом этого уравнения (21) и (22) можно записать так:

= -3у РА - 3У1

Лг, а, Ре а2

*пД - 1

5.

©*п+1,т = ©*п,т + 5х

- ©,„

а,

а,

а, 1

2 - 3у+

+1)

1

\ Л

(1 - m5v )3

©*п,т+1 ©*п,т-1

а, (1-m5V)2

25.

1 ©«п,т+1 - 2©Чт + ©«п,т-1 2

а,2Ре

3

а,2Ре

5

©,п,1 - ©ЧС

5.

+1

Численные расчеты проводились для газа с у=1,4 в среде жидкого галлия: р10=6093 кг/м3, £=72,9*10"3 Н/м, У1=3,11*10-7 м2/с, а0=10"3 м, р2(0)=105 Па, Т2(0)=293 К, с1=3,86*106 1/(Ом*м), к=0,5.

На рисунке 1 показан график зависимости приведенного радиуса пузырька от приведенного времени в среде жидкого галлия с У1=0 и В=0, т. е. при

0.

2о.8

80 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рисунок 1. График зависимости приведенного радиуса пузырька от приведенного времени: ось абсцисс ось ординат а,.

Рисунок 2. Графики зависимости приведенного радиуса пузырька от приведенного времени для различных значений индукции магнитного поля: а) В=0,5 , б) В=1,0 и в) В=2,0 Т. Ось абсцисс - время; ось ординат - радиус.

1.02

1. 014

1. 0 0 8

1. 002

0. 996

0 . 9

0 /

/

-

9 10

Рисунок 3. Графики зависимости приведенной температуры Q, по радиусу пузырька для различных моментов времени: т=0 - поверхность пузырька, центр пузырька находится в точке т=20. Кривая 1 соответствует 2/100 первой четверти периода первого колебания, 2- 4/100, 3-6/100, 4-8/100, 5- 10/ 100, 6-12/100.

5

X

2

5

V

(

6

+

5

4

3

2

1

ВА. Бондаренко, А.П. Васильев О колебаниях газового пузырька в электропроводной жидкости...

1 . !

1 . (

1 . 4

1.2

р*

1*

0.2

0 . 4

0 . 8

Рисунок 4. Зависимость приведенного давления газа в пузырьке от времени (первая четверть периода первого колебания): ось абсцисс - время, ось ординат - давление.

отсутствии диссипативных эффектов при адиабатическом сжатии. Как видно из графика, свободные колебания пузырька при этих условиях являются незатухающими и близки к гармоническим. Линеаризованное уравнение динамики пузырька приводит к следующей формуле для собственной частоты колебаний [1]

0 = 3У

Р2

через механизм джоулевой диссипации: плотность вихревых электрических токов пропорциональна индукции магнитного поля.

На рисунке 3 показаны результаты расчета температурного поля в газовом пузырьке.

Приведенные зависимости показывают, что на фазе сжатия происходит слабое охлаждение слоев газа вблизи межфазной поверхности. Начиная с четвертой части радиуса пузырька, приведенная температура газа начинает возрастать к центру. Теплообмен пузырька определяется производной температуры на его поверхности, как видим, эта производная очень мала, поэтому тепловые потоки на поверхности пузырька также малы, и газ в пузырьке ведет себя почти как адиабатический.

На рис. 4 представлены результаты расчета давления газа в пузырьке от времени.

Во всех расчетах критерии задачи были: а0=1 мм, у0=4,05 м/с, г0=2,45*10-4 с, Яе=13000, На=68, ^Ъ=1370 и Ре=150.

Линеаризация уравнения динамики пузырька [1] позволяет найти коэффициент затухания:

2п =

Р0ао2 "

Вычисления ю0 по этой формуле при исходных данных, принятых в расчете, дает следующее значение ю0= 4150 1/с. Расчет этого же значения частоты по результатам численного интегрирования уравнения динамики (данные рис. 1) приводит к большему значению собственной частоты колебаний: ю0=28600 1/с. Таким образом, игнорирование сил поверхностного натяжения жидкой пленки при линеаризации уравнения может приводить к значительной погрешности в определении собственной частоты колебаний.

На рис. 2 представлены кривые, отражающие роль магнитного поля в процессе колебаний газового пузырька.

Приведенные зависимости показывают, что чем выше индукция магнитного поля, тем быстрее затухают колебания. Эта зависимость легко объясняется интенсивным рассеиванием энергии

8 + На2 р2

2Яе

'Р0ао2

и частоту затухающих колебаний

4

ю =

,/ю„2 - п2 =

11

Зу-

"8 + На24

2Яе

Р2

Р10а02

Однако эта частота совпадает с результатами численного решения лишь для крупных пузырей и невысоких начальных давлений газа.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что колебания газа в жидкости, помещенной в магнитное поле, носят быстро затухающий характер, причем чем выше индукция магнитного поля, тем выше роль джоулевой диссипации. Из-за высокой частоты колебаний теплообмен между жидкостью и газом в пузырьке не успевает произойти, и газ в пузырьке ведет себя близко к адиабатическому. Показано, что при высоких частотах колебаний газ в пузырьке ведет себя почти как адиабатический.

2

Список использованной литературы:

1. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред / В.Е. Накоряков и др. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 245 с.

2. Жидкометаллический МГД-компрессор / Васильев А.П., Бондаренко В.А., Тараков Д.А. и др. // Холодильная техника, №12, 1992, с. 22-24.