Влияние упругого звена на частоты собственных колебаний вертикально расположенного отрезка тяжелой нити

№6

2008

РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН

539.311

ВЛИЯНИЕ УПРУГОГО ЗВЕНА НА ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЕРТИКАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННОГО ОТРЕЗКА ТЯЖЕЛОЙ НИТИ

Канд.техн.наук, доц. ПГ.Русанов

Методом твердых тел численно исследовано влияние ориентации конструкции в поле силы тяжести, силы предварительного натяжения и длины упругого звена на спектр низших собственных частот.

Данное исследование дополняет [1, 2], посвященные анализу собственных колебаний нити с помощью дискретных расчетных моделей сплошной среды, сформированных на основе метода твердых тел (МТТ), с сохранением основных исходных предпосылок и обозначений. В задачах динамики гибких стержней МТТ имеет неоспоримые преимущества перед МКЭ в технологии формирования математической модели и учета физических условий, а также в точности итоговых результатов.

Цель исследования - оценка значений низших частот плоских собственных колебаний однородной, нерастяжимой, гибкой нити с несвободными концами (т. О, т. В) в окрестности вертикального положения равновесия для двух вариантов ее предварительного натяжения посредством безмассовой, линейно-упругой, гибкой пружины АВ (рисЛ,а). Неподвижные опорные точки О, А (ОА = В) расположены на вертикальной оси Оу инерциальной системы координат Охуг. М9I - масса и длина нити; с, X - коэффициент жесткости пружины при растяжении и ее длина в недеформированном состоянии; А^И-Ь- Л> О - статическое удлинение пружины; £ - вектор ускорения однородного поля силы тяжести; £/= - g^

№ 6 2008

От традиционной задачи анализа колебаний струны данную задачу отличает учет влияния однородного поля силы тяжести. Для ее решения воспользуемся плоской дискретной схемой [1], состоящей из п абсолютно твердых, одинаковых элементов (прямолинейных стержней),

. ь м

длиной / = — 5 массой т —- каждый, последовательно соединенных между собой, с опо-

П П

рой и с пружиной идеальными шарнирами с параллельными осями и пронумерованных от 1 до п+1, начиная от т. О (рис, 16).

Рис. 1

Для рассматриваемых вариантов расположения опорных точек О, А отпадает необходимость расчета статического положения дискретной системы тел. Поэтому исследование ее собственных частот колебаний в вертикальной плоскости Оху сводим к формированию А = (atJ), С = (е..) - матриц инерции и жесткости линейной системы ДУ возмущенного движения 1-го приближения

Aq + Cq = 0 , (ц

л - д2Т где q - вектор обобщенных координат q„ DimA=DimC^n х п, Dim q =л, Я» =-,

д2П А • АЛ да ¡да,

ШРЧ] .. АЛ * 1=1 м

1 (q)=[)^ZJL " кинетическая и потенциальная энергии п тел при

&-1 /=1 j-\

№ 6 2008

Положительные корни частотного уравнения ¿1в^—р2 А + С) = 0 доставляют значения первым п собственным, размерным частотам рк.

В качестве обобщенных координат применим Хк - координаты подвижных шарнирных узлов (& = 2, П + \). Элементы матрицы инерции ау формируем на основании явного выражения для квадратичной функции Т в равновесном положении дискретной схемы, когда Хк= О, параллельны скорости = Хк 0 9 0, кинетическая энергия каждого элемента имеет простой вид: Тк_х = х + + ^ \ и матрица А имеет ленточную структуру: ац=2т/.3, а1} =т/6, у=Ш5 %=ау/=0, у>/+1.

Потенциальная энергия Я дискретной системы тел в положении отличном от отвесного положения равновесия обусловлена силами тяжести и упругой силой пружины: Поэтому ее изменение по сравнению с состоянием равновесия равно сумме изменений энергий, вызванных из-

пружины А/ = Л/ ^ + А/ с. А1 § - е (п — I + 0.5)^. ; где е -признак расположения

менением положений центров масс тел в поле силы тяжести и дополнительным удлинением

21 Ъ

пружины: если пружина находится ниже нити, то е=+1, ршаче е = -1. Одновременное изменение потенциальной энергии пружины

А/ с = 0.5с[(А + 5) -А ],

где - дополнительное удлинение пружины, Т] - величина

вертикального смещения точки В из положения равновесия. При малых Хк И —£« 1,

1 п 2

Л ^ "ГтХ (хк~хк-\) • Поэтому с точностью до величин второго порядка малости 0(е2), 11

А1 с = М[т\+0.5хп2 /(Х+Д)] , где №=сА - сила натяжения пружины в состоянии покоя нити. Получив выражение для А/ в виде квадратачной формы АI (х^х1^..1>хп ) = 0.5(3с,Сх), приходим к выводу, что С - матрица жесткости имеет ленточную структуру, аналогичную А, с

_ т£ а г А 1 \ п mg . N

ненулевыми элементами: ст = е —+ТУ(-4---) 5 си = 1е —- {п — 1) + 2—5

те,. . 2/ N 1 1 1

сц = = в — (г + 7 - 2«) ~ у 5 если / < я, ] =/+1. Для устойчивости вертикального положения равновесия дискретной системы тел с верхним расположением пружины (е = -1) ее матрица жесткости должна быть положительно определенной. Для чего, согласно критерию Сильвестра (КС), необходимо, чтобы все ее диагональные элементы были положительны: си >0. Наименьшим значением обладает элемент сц. Откуда получаем требование к величине силы Ы, необходимое для устойчивости: Ы> Mg (1-1/л).

При п -хю оно имеет вид: N > При этом условии также выполняются и остальные независимые требования КС.

Если соотнести силу тУк - силе тяжести нити, а Л+А - длину пружины в статическом состоянии - к длине нити I: И-|uMg=/лnmg) Л+А £п1, то все элементы матриц^ и С будут

содержать общий множитель т. Откуда следует, что при заданных величинах L, g, п, е

значения низших частот собственных колебаний дискретной системы не зависят от M - массы нити. Поэтому далее вместо размерных частот р^ рассчитываем безразмерные sk = рк для фиксированных

Аналитическое формирование матриц А, С и расчеты частот колебаний, согласно выше представленной методике, выполнены с помощью программы Maple. Исследованиями [1, 2] установлено, что уже при п > 5 точность результатов МТТ для нити приемлема для инженерной практики. В связи с этим вопросы анализа влияния числа элементов на сходимость результатов ниже не обсуждаются.

Влияние ¡1, £ на первые три безразмерных собственных частоты Sk (Л=1, 2, 3) дискретной схемы нити с п-20 отражено в таблице. Согласно представленным результатам, увеличение длины пружины в статическом состоянии при фиксированном значении ее силы натяжения N приводит к снижению значений частот. Кроме того частоты собственных колебаний у схемы с нижней «маятниковостью» нити (е =+1, центр масс нити расположен ниже точки О) имеют более высокие значения, чем у схемы с верхней маятниковостью (е =—1), что качественно соответствует законам механики. Причем указанное различие частот снижается с ростом силы статического натяжения пружины N. При ju= 1 (N-Mg) частоты для разных вариантов расположения пружины отличаются более чем в 2 раза.

Таблица

#=0.1 #=0.5 #=1.0

M Пружина расположена снизу, е =+1

1 ¡3.4016, 6.8931, 10.502 2.7212, 6.1270, 9.8202 2.4541, 5.9501, 9.6994

4 6.0408, 12.199, 18.539 4.8263, 10.785, 17.252 4.2994, 10.433, 17.012

10 9.2643, 18.697, 28.401 7.4031, 16.511, 26.398 6.5750, 15.956, 26.018

20 12.960, 26.150, 39.715 10.357, 23.084, 36.899 9.1889, 22.300, 36.362

M Пружина расположена сверху, е =— 1

1 1.5352, 3.2240, 4.9606 1.2678, 2.8262, 4.5309 1.0792, 2.6673, 4.4138

4 5.3729, 10.833, 16.435 4.3003, 9.5403, 15.228 3.7882, 9.1924, 14.989

10 8.8452, 17.840, 27.079 7.0728, 15.729, 25.126 6.2538, 15.177, 24.747

20 12.664, 25.544, 38.781 10.124, 22.532, 36.000 8.9620, 21.749, 35.464

С ростом силы N снижается влияние сил тяжести на элементы матрицы жесткости. Согласно теории колебаний струны, не учитывающей влияния сил тяжести, значения частот натя-

нутой нити должны быть пропорциональны порядковому номеру тона и y[Ñ : рк = tiWTV / ML =nk-yj(ig/Z , то есть безразмерные частоты «s^ = pk^L/g = .

При больших (/7=20, е =+1, /¿=20, £=0.1) схожим свойством обладает список расчетных значений 20-ти низших частот sk рассматриваемой дискретной схемы нити в поле силы тяжести: 12.96, 26.15,39.72, 53.72,68.20, 83.21,98.79, 115.0, 131.9, 149.6, 168.0, 187.1,206.9,226.9, 246.9, 266.2, 283.7, 298.5, 309.4, 314.3.

Выполненное исследование позволяет сделать заключение об эффективности применения дискретных моделей МТТ для численного анализа влияния ориентации конструкции в поле силы тяжести, величины силы предварительного натяжения и длины пружины в статическом состоянии на спектр низших безразмерных частот собственных колебаний вертикально расположенного отрезка нити. Предложенная методика расчета и полученные результаты могут быть применены для оценки погрешности показаний конструкции струнного акселерометра.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Русанов П.Г. Расчет собственных колебаний в вертикальной плоскости отрезка тяжелой нити методом физической дискретизации. //Известия вузов. Машиностроение. -2008. ~М>1. -С. 3 - 9.

2. Русанов П.Г. Расчет собственных колебаний отрезка тяжелой нити с закрепленными концами «из вертикальной плоскости». //Известия вузов. Машиностроение. -2008. -№2. -С. 3 - 9.

539.3

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА БАЛОК ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ

И ТИПА ТИМОШЕНКО

Д-р,технмаук,проф.В.А Крысько,канд.техн.наукдоц. МВ Жигалов, асп. О. А.Салтыкова

Представленная работа посвящена исследованию нелинейных колебания балки Эйлера-Бернулли и балки типа Тимошенко. Исследование проведено посредством двух методов: конечных разностей с аппроксимацией \С / и конечных элементов в форме Бубнова-Галеркина, что обеспечивает достоверность получаемых результатов. Выявлены сценарии перехода системы от гармоническга колебаний к хаотическим.

Анализ литературы по тематике работы показывает, что в настоящее время значительное внимание уделяется относительно новому явлению в нелинейной динамике - хаотическим