Моделирование структурных связей между объектами сложных систем с использованием методов аналитической экспертизы

О.Ю. Лавлинская,

кандидат технических наук, Воронежский институт высоких технологий

Т.В. Курченкова,

кандидат технических наук, Воронежский институт высоких технологий

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ОБЪЕКТАМИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКСПЕРТИЗЫ

MODELLING OF STRUCTURAL COMMUNICATIONS BETWEEN OBJECTS OF DIFFICULT SYSTEMS WITH USE OF METHODS OF ANALYTICAL EXAMINATION

Рассматриваются различные подходы к моделированию трудноформализуемых систем. Предложен алгоритм построения иерархии на основе метода аналитической экспертизы, метода Харари, экспертного выбора на базе экстраполяции экспертных оценок.

Various approaches to modelling of difficultly formalizable systems are considered. Algorithm of construction of hierarchy on the basis of a method of analytical examination, a method of Harari, an expert choice on the basis of extrapolation of expert estimations is suggested.

К трудноформализуемым системам относятся искусственные системы, в которых человек выступает в качестве самого элемента системы и звена принятия решения, что вносит серьезную долю субъективизма и неопределенности в процедуру формализации. Избавиться от неопределенности и обеспечить структурно-параметрическое моделирование таких систем позволяет целая группа методов, к которым относятся методы эволюционного моделирования, нечеткие методы и экспертные методы.

Основная цель структурно-параметрического моделирования сводится к построению иерархии системы, выявлению уровней подчиненности и определению количественной меры выявленной иерархической подчиненности.

Такие модели и их исследование актуальны в сложных социально-экономических системах, например моделирование корпоративных организационно-управ-ляющих систем, политических систем, образовательных систем, где важно определение структурной иерархической предпочтительности. Построение структурно-параметрических имитационных моделей позволяет, например, провести анализ структуры на предмет оптимальности связей и оценить степень информационного управляющего воздействия для получения оптимального результата управления.

Рассмотрим использование алгоритма построения иерархии на основе метода аналитической экспертизы, метода Харари и других матричных и графовых методов структурной оценки для выявления иерархической зависимости элементов системы и количественной оценки меры иерархической зависимости.

Аналитическая экспертиза основывается на выявлении математической зависимости между сравниваемыми объектами на основе экспертных оценок предпочтительности в рассматриваемой паре [4].

Сравнивая объекты, эксперт отвечает на один вопрос:

Является ли элемент ё; предпочтительным по отношению к ё].

Для разных систем понятие предпочтительности носит различный субъективный отпечаток. Например, для построения системы учебного плана для образовательного процесса предпочтительной будет дисциплина, которая должна изучаться в начале процесса обучения и быть опорной для другой сравниваемой дисциплины. Для сложной политической системы предпочтение элементов имеет заданную структуру, но сила иерархической зависимости может быть оценена в соответствии с предлагаемым алгоритмом

Результатом ответов на все вопросы для всех возможных комбинаций элементов, которые рассматриваются экспертами, является матрица полного парного сравнения размерностью КХК, где N — количество сравниваемых элементов системы.

Таким образом, имеется множество объектов сравнения — D = {Di,,..., Ип,} и массив Я= (Я1, Я2,..., К") парных сравнений его элементов по предпочтительности, где К (р=1, т) — матрица парных сравнений размерности п*п, элемент которой г] при выражает в некоторой шкале результат сравнения объектов Di и И] — р-м экспертом. Диагональные элементы Гур не соответствуют никаким сравнениям и определяются некоторым соглашением.

В результате проведения экспертизы необходимо получить полную матрицу предпочтений. Массив Я назовем полным, если полны все матрицы Я1,..., К" . Числа п и т называются параметрами массива Я.

Поскольку эксперты осуществляют неколичественные парные сравнения, то элементы матрицы Яр можно определять следующим образом [6].

гР=

Ц

1, если при р-й экспертизе Б 1 считается опорной по отношению к Б],

_ 1 если при р-й экспертизе считается опор ной по отношению к И;,

0, если при р-й экспертизе и И1 являются равноценными.

Получив п олную матрицу, необходимо осуществить ряд математических операций над данным массивом размерностью п*т, которые позволят сделать определенные выводы о характере зависимости между всеми рассматриваемыми объектами.

Предлагается использовать технологическую цепочку математических операций для выявления характера зависимости:

Шаг 1. Свертка массива Я до состояния матрицы размерностью п*п.

Каждому объекту Di ставится в соответствие его «строчная сумма» в массиве Я:

т ____

*г} = X Ги 1, 1 = 1М ,

р=1

где т — количество экспертных оценок; п — количество рассматриваемых объектов.

Поскольку каждый эксперт проводит оценку в соответствии с условием выбора (формула 1), то значение Бу будет представлять собой сумму нулей, если эксперт выдвинул заключение о нейтральности объектов; единиц, если эксперт выдвинул заключение о приоритете 1-го объекта по отношению к ]-му объекту; и единиц со знаком минус, если эксперт выдвинул заключение о приоритете ]-го объекта по отношению к 1-му объекту.

Таким образом, бц будет равно какому-либо натуральному числу с положительным или отрицательным знаком, либо 0.

Если большее число экспертов (в соответствии с методом большинства), согласно [6], выбирает единицу, то заменяем положительную сумму единицей, аналогично отрицательную сумму заменяем минус единицей.

Следовательно, после подсчета строчных сумм, согласно формуле (2), получим матрицу И размерностью п*п, где Г; =Бу.

Получается полная кососимметрическая матрица И размерностью п*п.

Шаг 2. Приведение полученной матрицы И к каноническому виду. Канонический вид матрицы соответствует всем ограничениям для матрицы упорядочения [4]:

1) г;]=+1; 0; -1;

2) ГГ - Г];

3) если Гу >0 и г,к >0, то г1к >0, причем г1к =0 только, если Гу = г1к =0.

Данная математическая операция позволяет выявить транзитивное замыкание, которое показывает, что имеется нарушение условия транзитивности, т.е. возникает ситуация, когда Гу >0 и г,к >0, а г;к <0. Такое состояние матрицы соответствует ситуации, когда эксперты, проводя парное сравнение объектов, замыкают логическую взаимосвязь. Например, элемент 1 является опорным для 2, элемент 2 является опорным для 3, но элемент 3 является опорным для 1. Наличие транзитивного замыкания говорит о несогласованности экспертизы. Следовательно, эксперты должны повторно рассмотреть замкнутые транзитивные цепочки и изменить значение логической взаимосвязи.

Матрица в каноническом виде является математической моделью логической взаимосвязи объектов.

Шаг 3. Определение элементов матрицы И, которые не имеют элементов выше их по предпочтению, а также элементов матрицы, которые не являются предпочтительными по отношению к другим элементам. Удобно применить метод графового представления матрицы упорядочений с обозначением связи между элементами. Представив каждый элемент матрицы вершиной графа И;, где 1=1..п, а отношение предпочтения Г; в виде связи определенной направленности для V 1= 1, п и Гу, определим суммы вида:

ро

¿=1 1=1

Эти суммы в теории графов называются полустепенью исхода и полустепенью захода вершины [2]. Величина ро(ё;) определяет число дуг, выходящих из вершины И;, рв(ё;) — число дуг, входящих в вершину И;.

Равенство суммы ро(ё;) нулю (ро(ё;) = 0) служит признаком выделения элементов И; (конечных объектов), действие которых не оказывает дальнейшего влияния на формирование отношения логической связности, а значение ро (ё;) > 0 определяет число объектов на которые И; оказывает влияние при формировании отношения логической связности.

Равенство же суммы рв(ё; ) нулю (рв(ё; )= 0) служит признаком выделения элементов И; (базовых объектов), действие которых оказывает влияние на формирование отношения логической связности, а значение р в(ё;) > 0 определяет число объектов, которые оказывают влияние на И; при формировании отношения логической связности.

Если ро(ё;) = р в(ё; )= 0, то вершина является изолированной. Наличие изолированных вершин свидетельствует о наличии нейтральных объектов.

При таком подходе число характеризует важность объекта Б; в формировании отношений логической связи между элементами множества И. В результате проведенного анализа выявленные базовые, конечные и нейтральные объекты получают соответствующий статус, который необходимо запомнить. Для определения меры статуса воспользуемся методом Харари, который можно применять после формирования логических цепочек и построения иерархии зависимости элементов. Метод подробно описан в [1].

Шаг 4. Выявление логических цепочек объектов по схеме

Базовая ^ промежуточная ^ ^ конечная

Для построения множества логических цепочек необходимо проследить взаимосвязь между элементами на основе формирования и запоминания транзитивной цепочки при анализе матриц И и И^.

Сканируется матрица Б**. Выбирается элемент, соответствующий базовому элементу, и тождественная этому элементу строка матрицы Б. Далее следует поиск Гу=1 и переход по столбцу к элементу главной диагонали, после чего вновь определяется Г{|=1 . Поиск продолжается до нахождения элемента, имеющего статус конечного объекта. Поиск логической цепочки представлен на рис. 1. Из рисунка видно, что для базового элемента ё1 логическая цепочка имеет следующий вид: ^^ё2^ё4^ё5. Для определения максимальной длины определяется ранг последнего объекта в рассматриваемой транзитивной цепочке, и, если этот ранг соответствует конечному объекту, то логическая цепочка максимальна по длине.

транзитивности элементов матрицы

В результате перебора всех возможных случаев транзитивности формируется множество логических цепочек, которые имеют началом базовый элемент и длина их различается, а максимальная длина возможна тогда, когда окончанием логической цепочки является конечный элемент.

Для множества получившихся логических цепочек, имеющих одинаковый исход и одно и то же окончание, выбирается логическая цепочка, имеющая наибольшее количество элементов, участвующих во взаимосвязи. Пояснить данное утверждение можно с помощью рис. 2.

В результате проведенного расчета получаем иерархию логической зависимости, количество вершин, которые не имеют входа, равную числу базовых элементов. В иерархии рассчитаем уровень расположения элемента, как наиболее близкий к вершине во всех возможных логических цепочках.

Возможен случай, когда мы имеем одну вершину иерархии и сложное ветвление иерархической зависимости.

Задача оптимального управления такими системами, как правило, сводится к определению меры оптимального воздействия в однокритериальных задачах оптимизации.

В численных схемах многокритериальной оптимизации большинство моделей работают с множеством данных большой размерности, причем его мощность существенно возрастает на итерациях поиска. Обычно применяются различные модели, позволяющие отбрасывать части решений и контролировать размерность этого множества. Алгоритмы, реализующие выбор лучших на множестве предложенных решений рассмот-

рены в [3]. Там же рассмотрена их эффективность и применимость для различных областей решений. Рассмотрим алгоритм экспертного выбора на базе экстраполяции экспертных оценок, состоящий из следующих шагов: 1 — генерирование выборки У с X решений; 2 — опрос лица, принимающего решение, с целью получения информации о его предпочтениях; 3 — синтез механизма выбора М3° на основе полученной информации; 4 — построение структуры на X решений и получение выбора

Х*(1) с Хед. Здесь X — множество недоминируемых решений, х*(1) — множество решений после процедуры отсева на 1- й итерации.

Таким образом на каждой 1-й итерации поиска решения происходит последовательное преобразование

Х Нед Х .

Синтез М31) на каждой итерации включает шаги 1,2,3 обозначенного выше алгоритма. Применение — шаг 4.

В [3] предлагается использовать алгоритм экспертного выбора на базе экстраполяции экспертных оценок на всех итерациях поиска. Привлечение экспертов обеспечивает принятие адекватных решений по получению выбора на множестве недоминируемых решений, однако число итераций поиска обычно велико, поэтому целесообразно сократить количество шагов алгоритма с привлечением экспертов, которое должно происходить по мере возникновения такой необходимости [5]. На итерациях, где необходи -мости привлечения экспертов не возникнет, будет выполнен только последний шаг алгоритма экспертного выбора на базе экстраполяции экспертных оценок: построение структуры на множестве X решений и получение выбора при помощи уже синтези-рованного на предыдущих итерациях М.

Данный подход позволяет существенно сократить время поиска решения, поскольку позволяет на итерациях поиска исключить шаги 1,2,3 алгоритма. Последовательное преобразование множества Xд предложенных вариантов решений выглядит

Г х

следующим образом: XН),д---- ---------3—X (1).

Возникает проблема определения необходимости привлечения экспертов. Для ее решения необходимо оценивать верхнюю и нижнюю границы значений функции выбора на каждом 1- м и

жение XНед, и, исходя из этих данных, принимать решение о привлечении экспертов на итерациях поиска [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения. — М.: Советское радио, 1972. — 191 с.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.— М.: Мир, 1978.— 432 с.

3. Курченкова Т. В., Курченков О .А. К вопросу выбора ресурсов в задачах кален -дарного планирования // Материалы отчетной научной конференции профессорско-преподавательского состава ВИВТ за 2005/2006 учебный год. — Воронеж: Воронежский институт высоких технологий, 2006. — С. 14—15.

4. Литвак Б. Г. Экспертная информация. Методы получения и анализа. — М.: Радио и связь, 1982. — 184 с.

5. Модели выбора недоминируемых вариантов в численных схемах многокритериальной оптимизации / С .В. Белокуров, Ю.В. Бугаев, С. А. Максина, Ю.С. Сербулов, С.В. Чикунов. — Воронеж: Научная книга, 2005. — 199 с.

6. Чеботарев П. Агрегирование неполных предпочтений // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №8. — С. 125—137.