Расчет оптимального угла разведения обыкновенного и необыкновенного лучей в двулучепреломляющих элементах

РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОГО УГЛА РАЗВЕДЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО И НЕОБЫКНОВЕННОГО ЛУЧЕЙ В ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЯЮЩИХ ЭЛЕМЕНТАХ

А.В. Игнатьев

Научный руководитель - к.ф.-м.н., доцент С.А. Миронов

Представлена методика расчета угла разведения обыкновенного и необыкновенного лучей и величины пространственного разделения поляризационных компонент в зависимости от ориентации оптической оси относительно направления распространения излучения в одноосных кристаллах. Разработанная в среде MathCad программа применена для анализа угла разведения в кристаллах, наиболее часто применяемых для построения невзаимных оптических устройств: СаС03, ТЮ2, Ы№03, УУ04, GdVO4.

Постановка задачи

В современных высокоскоростных волоконно-оптических линиях связи (ВОЛС) и оптических датчиках для обеспечения стабильного режима генерации требуется защитить источник излучения (лазерный диод) от воздействия обратных отражений, которые возникают в тракте передачи. Для этой цели используются невзаимные оптические устройства - оптические изоляторы (ОИ) и оптические циркуляторы (ОЦ), которые позволяют осуществить однонаправленную передачу излучения от источника в волоконный тракт [1, 2].

Первоначально в традиционных ОИ для блокировки обратных отражений использовалась скрещенная система поляризатор-анализатор [1-4]. В таких устройствах величина изоляции, т.е. степень подавления обратных отражений, ограничивалась оптическим качеством поляризационных призм и в первую очередь коэффициентом экстинк-ции. На практике величина изоляции не превышала 30-35 дБ, что для некоторых типов ВОЛС, например, когерентных ВОЛС, ВОЛС с оптическими усилителями, ВОЛС со спектральным уплотнением, оказывается недостаточным. Кроме того, величина прямых потерь в ОИ такого рода зависит от поляризации, что неприемлемо.

В настоящее время в аппаратуре ВОЛС применяются поляризационно-независимые ОИ и ОЦ, в которых необходимая изоляция ~ 60 дБ достигается посредством использования поляризационных элементов со смещением лучей [1, 5, 6]. Такие двулучепреломляющие элементы (ДЛПЭ), изготовленные из оптически анизотропных кристаллов, обеспечивают разделение входного оптического излучения на две ортогональные поляризационные компоненты и последующее их пространственное разведение для достижения требуемой величины изоляции (рис. 1).

При этом величина разведения зависит от двулучепреломляющих свойств и длины ДЛПЭ, а также от направления распространения оптического излучения.

Качественно характер распространения оптического излучения в пластинках из кристалла исландского шпата (СаС03) при различных углах падения относительно его оптической оси рассмотрен в [7]. Однако детального количественного анализа зависимости угла разведения 0 обыкновенного и необыкновенного лучей от угла а между направлением распространения и оптической осью не представлено. Кроме того, не изучены возможности недавно синтезированных оптических кристаллов с большим двулу-чепреломлением для создания ДЛПЭ.

В настоящей работе представлена методика и результаты расчета пространственного разведения обыкновенного и необыкновенного лучей в ДЛПЭ на основе одноосных кристаллов СаС03, ТЮ2, ЫЫЬ03, YV04, GdV04 для рабочих длин волн 1,3 мкм и 1,55 мкм. Основное внимание уделено определению оптимального угла аopt для каждого кристалла, который позволяет получить максимальное разведение лучей в ДЛПЭ, что необходимо для построения ОИ и ОЦ с максимальными значениями изоляции.

Рис. 1 Ход лучей в ДЛПЭ: а) - в прямом направлении; б) - в обратном направлении распространения; а - угол между направлением распространения излучения и оптической осью кристалла; 0 - угол разведения обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лучей; Д - пространственное разведение о- и е-лучей в ДЛПЭ; Т - толщина ДЛПЭ

Методика расчета

Для нахождения угла разведения обыкновенного и необыкновенного лучей будем использовать метод волновых нормалей [8]. Рассмотрим одноосный оптический кристалл и определим показатели преломления обыкновенного (п0) и необыкновенного (пе) лучей для выбранного направления распространения а. Для этого находим эллипс пересечения плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению распространения £, с эллипсоидом нормалей. Осуществив сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через начало координат, мы получим тоже эллипс (за исключением случая, когда направление распространения совпадает с оптической осью) [7]. Большая полуось данного эллипса пересечения даст значение пе, а меньшая полуось - значение п0.

Как известно [7], свет, распространяющийся по направлению £ и нормально падающий на двулучепреломляющий кристалл, вырезанный под углом а к оптической оси, в общем случае распадается в кристалле на два луча - обыкновенный и необыкновенный (рис. 1). Рассмотрим случай одноосного кристалла, например, ТЮ2, когда оптическая ось лежит в плоскости рисунка и составляет угол а с направлением распространения излучения (рис. 2). Такая геометрия широко используется на практике для построения двулучепреломляющих элементов оптических изоляторов и циркуляторов. Обыкновенный луч распространяется по направлению, совпадающему с направлением вектора £0 (£о является продолжением луча £), а необыкновенный луч - по направлению, совпадающему с направлением вектора £е, т.е. преломляется под некоторым углом. Угол между векторами £0 и £е и есть угол разведения лучей 0.

Так как все рассмотренные кристаллы одноосны, то эллипсоиды инвариантны к вращению вокруг оптической оси [8], а, следовательно, задачу нахождения угла разведения обыкновенного и необыкновенного лучей можно решать на плоскости (рис. 2). Для этого построим касательные к поверхностям волновых нормалей в точках пересечения их с падающим лучом нормали к касательным будут совпадать с направлением распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле.

Рис. 2. Сечение поверхности волновых нормалей в одноосном кристалле. Оптическая ось направлена по оси ОХ

Поверхности волновых нормалей для обыкновенного и необыкновенного лучей описываются следующими уравнениями: для обыкновенного луча

2 2 2 хо + Уо = по ,

для необыкновенного луча

2 2 X У

-е-+— = 1 22 п п

о е

Падающий луч Б можно описать уравнением:

У = кх,

где к = tg(а), а угол а и есть угол между оптической осью и падающим излучением. Для упрощения расчетов будем искать не угол между £0 и а угол между касательными, поскольку равенство этих углов очевидно.

Найдем зависимость угла ао (рис. 3) от ориентации оптической оси следующим образом:

1. зависимость координат пересечения обыкновенного луча с поверхностью волновых

нормалей от ориентации оптической оси:

2,122 2 х + к х = п .

о о о

2

ха(к)=

1 + к2

2. выразим тангенс угла наклона касательной 1§а0 в зависимости от х0:

222 X + У = п ,

о о о

VI 2 по — Хо ,

уо( хо) = -

22 по — хо

3. тангенс угла наклона касательной 1§а0 в зависимости от ориентации оптической оси выражается как

2

х

о

tg (a) = ya(k) =

n]

1 + k2 _ 1

n2--k o 1 , /2

1 + к1

4. следовательно, угол наклона касательной а0 в зависимости от ориентации оптической оси имеет вид:

ао(к) = (- Т).

к

Аналогично для угла ае:

5. зависимость координат пересечения необыкновенного луча с поверхностью волновых нормалей от ориентации оптической оси:

Хе + к Х2 = 1

2 2 ' п п

ое

22

Х;(к ) = "е"о

2,122 n + k n

e o

6. выразим тангенс угла наклона касательной tgae в зависимости от хе:

22 х y

-e- + — = 1

22 no2 ne2

Уе =

2 2 2 2 neno - Xene

no2

Уе( Хе ) =

2 4

х n

е е

2 4 2 2 2 ne n4 - Xeneno

tg(aе ) = ye(k) = -", 2

7. тангенс угла наклона касательной tgao в зависимости от ориентации оптической оси выражается как

1 n

kn20

8. следовательно, угол наклона касательной ae в зависимости от ориентации оптической оси имеет вид:

. .1 n2.

a(k) = arctg (-т ~г).

k no2

Таким образом, найдя зависимости углов наклона касательных от k, можно найти зависимость угла разведения лучей 0 от ориентации оптической оси (от угла а), которая выглядит следующим образом:

1 n2

0(a) = arctg(--) - arctg(--е—-) .

tg(a) tg(a)n0

Продифференцировав и исследовав функцию 0(а) на экстремумы, определим оптимальный угол aopt, при котором разведение лучей максимально: n

. = nrricrt

opt

aopt = arctg

no

Нетрудно показать, что в соответствии с рис. 1 зависимость пространственного смещения лучей друг от друга на выходе кристалла при прямом ходе имеет вид

Д

где t - толщина ДЛПЭ.

В соответствии с указанной методикой в среде MathCad были рассчитаны углы разведения обыкновенного и необыкновенного лучей в зависимости от ориентации оптической оси относительно направления распространения в следующих одноосных кристаллах с большим двулучепрелоемлением, представляющих наибольший практический интерес: CaCO3, TiO2, YVO4, LiNbO3, GdVO4. Были определены оптимальные ориентации для достижения максимального угла разведения лучей, а также найдены величины смещения лучей друг относительно друга.

Результаты

Для кристалла TiO2 на длине волны излучения А=1.3 мкм (п0=2.46, ^=2.73) зависимость угла разведения от ориентационного угла а представлена на рис. 3.

ем

Рис. 3. Зависимость угла разведения обыкновенного и необыкновенного лучей от угла между оптической осью и направлением распространения для кристалла TiO2 на длине

волны излучения Л=1,3 мкм

Определив из рис. 3 (или по формуле (1)) максимальный угол разведения 0max, по формуле (2) можно вычислить линейное смещение лучей А, которое используется для определения величины изоляции. Зависимость нормированного смещения от угла между оптической осью и направлением распространения приведена на рис. 4.

А t

'nu 01

о.ся

0.0«

0.04

0.02

о

0 02 04 о.й 0 В I 11 14 а, [рад]

"Opt

Рис. 4. Зависимость нормированного линейного смещения о- и е-лучей от угла а на выходе ДЛПЭ при заданной толщине для кристалла TiO2 на длине волны излучения Л=1,3 мкм: Д - линейное смещение лучей, t - толщина ДЛПЭ

Значения углов разведения, а также величины смещения лучей в зависимости от ориентационного угла а приведены в табл. 1. (Необходимо уточнить, что значения углов в табл. 1 указаны в градусах).

a° 0(a) ° A(a)/t

0 0 0

30° 4.88° 0.09

45° 5.92° 0.10

60° 5.41° 0.09

90° 0° 0

a opt = 47.98° 0(a)max = 5.96° (A(a)/t)max = 0.10

Таблица 1. Значения угла разведения и пространственного смещения обыкновенного и необыкновенного лучей в зависимости от угла ориентации оптической оси

Аналогичные расчеты были проведены для других упомянутых выше кристаллов. Значения a opt и 0(a)max приведены в табл. 2.

TiO2 YVO4 LiNbO3 GdVO4 CaCO3

X=1.3 мкм X=1.55 мкм X=1.55 мкм X=1.55 мкм X=1.55 мкм X=1.3 мкм X=1.55 мкм

aopt 47.98° 47.85° 47.81° 43.96° 47.94° 42.06° 42.13°

0(a)max 5.96° 5.70° 5.62° 2.08° 5.88° 5.88° 5.75°

(A(a)/t) max 0.1044 0.0998 0.0984 0.0363 0.1030 0.1030 0.1007

Таблица 2. Результаты расчета оптимальных углов ориентации оптической оси и максимальных углов разведения для одноосных кристаллов с большим

двулучеприломлением

Определив величину разведения обыкновенного и необыкновенного лучей, можно оценить достижимую величину изоляции невзаимного оптического устройства (например, ОИ) в приближении смещенных гауссовых пучков [9]:

I = -101§

где Д=^§0 - величина пространственного разведения лучей в ДЛПЭ (2), ю - радиусы гауссовых пучков.

Рассмотрим ДЛПЭ из кристалла ТЮ2 на рабочей длине волны Х=1,55 мкм. Для ОИ микрооптического при работе с одномодовым оптических волокном типичное значение ю =100 мкм. Тогда при толщине кристалла I =3 мм величина изоляции составляет I =42 дБ, а при увеличении толщины до I =4 мм величина изоляции возрастает до

I =75 дБ. Следовательно, выбирая оптимальным образом ориентацию и размеры ДЛПЭ, можно создавать устройства с требуемой величиной изоляции.

Заключение

Представлена методика расчета угла разведения обыкновенного и необыкновенного лучей, а также величины пространственного разделения поляризационных компонент в зависимости от ориентации оптической оси относительно направления распространения излучения для двулучепреломляющих элементов, используемых в невзаимных оптических устройствах - оптических изоляторах и оптических циркуляторах. Разработана программа для решения поставленной задачи в среде MathCad, определен оптимальный угол для одноосных кристаллов с большим двулучепреломлением, которые получили наибольшее распространение на практике: LiNbO3, CaCO3, TiO2, YVO4, GdVÜ4.

Литература

1. Bendelli G., Donati S. Optical Isolators for Telecommunication: Review and Current Trends. // Optical Communications. - 1992. - Vol. 3. - №4. - Р. 373-380.

2. Рудов Ю.К., Зингеренко Ю.А., Оробинский С.П., Миронов С.А. Применение оптических циркуляторов в волоконно-оптических системах передачи // Электросвязь. -1999. - №6. - С. 32-34.

3. Fischer G., The Faraday Optical Isolator // Journal of Optical Communications. - 1987. -Vol. 8. - №1. - О. 18-21.

4. Iwamura H., Hayashi S., Iwasaki H., A Compact Optical Isolator Using a Y3Fe5O12 Crystal for Near Infra-Red Radiation // Optical and Quantum Electronics. - 1978. - Vol. 10. -Р. 393-398.

5. Chang K.W., Sorin W.V., High-Performance Single-Mode Fiber Polarization- Independent Isolators // Optics Letters. - 1990. - Vol. 15. - №8. - Р. 449-451.

6. Chang K.W., Schmidt S., Sorin W.V., Yarnell J.L., Chou H., Newton S.A., High- Performance Optical Isolators for Light-Wave Systems // Hewlett-Packard Journal. - 1991. -№2. - Р. 45-50.

7. Ландсберг Г.С. Оптика / Учеб. пособие - 6-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 848 с.

8. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. -616 ил.

9. Бутусов М.М., Галкин С.Л., Оробинский С.П., Пал Б.П. Волоконная оптика и приборостроение. - Л.: Машиностроение, Ленинград. отд., 1987. - 328 с.