CALCULATION OF DYNAMICAL EXPONENT IN MODEL A OF CRITICAL DYNAMICS TO ORDER ε4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2008. Вып. 4

УДК 517.9

Л. Ц. Аджемян, С. В. Новиков, Л. Сладкофф

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКОГО ИНДЕКСА МОДЕЛИ А КРИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В ПОРЯДКЕ е4 *)

Введение. Ренормгрупповой подход (РГ) является в настоящее время основным методом расчета критических индексов в теории критических явлений. Его базой является процедура ультрафиолетовой (УФ) ренормировки теории. По вычисленным константам ренормировки критические индексы находятся затем по стандартным правилам, вытекающим из РГ-подхода. Таким образом, основная техническая нагрузка ложится на вычисление констант ренормировок.

Наиболее логически замкнутая схема использования метода РГ связана с его сочетанием с так называемым е-разложением (где £ = 4 — !, ! - размерность пространства), именно этот вариант РГ мы будем иметь в виду в дальнейшем. Разработанные аналитические методы расчета позволили достигнуть пятипетлевой точности в теории статических критических явлений (пятый порядок е-разложения) [1]. В теории критической динамики максимальная достигнутая точность - трехпетлевая (третий порядок е-разложения) [2]. Эти рекордные результаты держатся уже с 1991 и 1984 гг., соответственно. Попытки аналитических расчетов в более высоких порядках столкнулись со сложностями принципиального характера [3].

Для численного нахождения констант ренормировки необходимо научиться выделять в диаграммах вычеты при полюсах по £. Соответствующую технику мы разработали на основе известной Д'-операции теории ренормировок. Она сводит нахождение констант ренормировок к вычислению многократных УФ-конечных интегралов, которое может быть выполнено с помощью стандартных компьютерных программ. Эту технику мы использовали для вычисления динамического индекса А-модели в четырехпетлевом приближении (четвертый порядок е-разложения). Ниже кратко приводятся формулировка модели и полученные результаты.

Модель. В квантово-полевой формулировке (например [4]) модель А описывается действием

Б

где у(х, £) и у'(х, £) - п-компонентное поле параметра порядка и вспомогательное поле, соответственно. Диаграммы теории возмущений модели (1) имеют при е ^ 0 ультрафиолетовые расходимости, проявляющиеся в форме полюсов по е. Эти расходимости устраняются введением констант ренормировки Z, для которых мы использовали схему минимальных вычитаний (МБ) [4]. Ренормированное действие имеет вид

Бй

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаметальных исследований (грант № 08-02-00125а).

© Л. Ц. Аджемян, С. В. Новиков, Л. Сладкофф, 2008

Оно получается из (1) мультипликативной ренормировкой параметров Хо = ХZx, То = тZТ, д0 = g^£Zg и полей у ^ Zуу, у' ^ Zу'у', если положить Z1 = ZxZУ', Z2 = Zу'Zу, Zз = Zу'ZxZу, Z4 = Zу'ZxZтZу, Z5 = ZуZxZgZу.

Важную дополнительную информацию о константах ренормировки удается получить, рассматривая в теории (1) статические (одновременные) функции Грина. Можно показать, что эти функции совпадают с ренормированными функциями Грина теории ф4 со статическим действием

Б^

причем статические константы ренормировки Zз, Z4 и Z5 совпадают в схеме МБ с соответствующими динамическими в (2), так что константы ренормировки поля у и параметров д и Т совпадают со статическими [4]. Кроме того, требование соответствия со статикой приводит к соотношению

^у'^ = -^у ,

откуда

Z1 = -^2 = Z- 1ZУ , Z3 = ^ , Z4 = ZТZУ2 , Z5 = ZgZУ .

Единственной новой по сравнению со статикой константой ренормировки явля-

ется константа Zx, которую можно определить по 1-неприводимым функциям у'у' или у'д4у. Статические константы ренормировки в настоящее время известны с пятипетлевой точностью (пятый порядок теории возмущений). Таким образом, в схеме МБ можно использовать координату фиксированной точки д* (нуль в-функции в(д*) = 0), вычисленную в статической модели (3). В дальнейшем мы будем для удобства исполь-

& 2п^/2

зовать вместо д заряд и = д, где Б а = ?{<1/2) ~ пл°ЩаДь (^-мерной сферы единичного радиуса. Значение этого заряда в неподвижной точке и* с необходимой для дальнейшего точностью дается [4] выражением

2 34 к0 2 2 ( —33п3 + 110п2 + 1760п+4544

— 4С

3кі 81 к3 27к V 5832

Здесь и далее

к0 =

все кі нормированы так, что кі = 1 при п = 1.

Расчет динамического критического индекса. Динамический критический индекс г выражается соотношением г = 2 + у* — ц через критический индекс Фишера ц и значение у* = у(и*) РГ-функции у(и) = в(п)ди1п^2 в неподвижной точке и* [4]. Принято записывать г в виде г = 2 + Нц, вводя К = у*/ц — 1. Величина К оказывается удобной, поскольку первые два члена ее є-разложения не зависят от п (числа компонент поля). Действительно, начальный отрезок є-разложения индекса Фишера определяется [4] рядом

и*2

24

где

Г) = кз^—- 1 + а\к\и* +

аі = —3/8, о,2 = —15/64, аз = —5/32, а4 = 45/32,

а соответствующий ряд для у* имеет вид п*2

у* = кзН— [1 + с^к^и* +

с некоторыми постоянными к, а^. Вся зависимость от п заключена в (8), (10) в множителях к^. Вычисляя из этих соотношений частное у*/п и используя (6), получаем

у* ( 2

— = к < 1 + — (сі — аі)є +

П I 3

4 / ^ , А( ^ , пЬ1 +Ьо"

-а1(а1-С1) + -(С2-а2) + ^-т^^

д = у*/п - 1,

где

40 20

Ъ\ = 6

176 88

бо = 28(сі —аі)-----— (с2— а2) + 24(сз —аз) + — (04 — 04).

Из этих соотношений видно, что первые два слагаемых є-разложения Д действительно не зависят от п.

Мы провели численный расчет константы ренормировки ^2 вплоть до четырехпетлевого приближения и нашли соответствующие значения коэффициентов в (10):

Н = 1,72609, с1 = -0,4939

Величина Н впервые была рассчитана в [5] (одна двухпетлевая диаграмма):

Н =6/п

Расчет константы сі осуществлен в [2] (три трехпетлевые диаграммы; отметим, что приведенное в [6] значение сі является ошибочным):

п2/8 - ^(1/4) 3 13 21

С1 - /п

где

1

^

-сИ г - 1

- дилогарифм (функция Спенса). Полученные нами значения (13) постоянных к и а\ совпадают с их численными значениями из (14) и (15).

Что касается впервые вычисленных нами констант с2,сз,с4 (25 четырехпетлевых диаграмм), то оказывается возможным проверить значение С2, если обратиться к полученному в [5] асимптотическому выражению для константы Д при п ^ж:

(4-5а-Е/2)-----, +0(1/ч «г,

є

1/2

8Г(2 - є) / с!х[х(2 - х)]-є/2 0

Вычисляя первые члены є-разложения правой части (17), находим

R = [6/n

В то же время из (11) получаем

1 + 0(є3), n ^ ж.

Сравнивая е-разложения (18) и (19), убеждаемся в согласованности их коэффициентов, если использовать для входящих в (19) постоянных значения (9) и (13).

Подставляя в (11), (12) найденные значения постоянных (13), получаем окончательное выражение для постоянной Д:

Приведем также следующее из (8), (4) и (20) выражение для динамического критического индекса г = 2 + Дп при п = 1:

Заключение. Использованный нами метод выделения вычетов при полюсах диаграмм и последующего численного нахождения констант ренормировок оказался весьма эффективным для четырехпетлевого РГ-анализа динамической модели А. Корректность полученных результатов нашла подтверждение как в сокращении полюсов по е в РГ функции у(п) = в(п)ди1п^2, так и в сравнении с уже имеющимися двух- и трехпетлевыми результатами, а также с главным порядком 1/п-разложения. Наиболее лимитирующим обстоятельством в использованном подходе являлась необходимость обеспечивать достаточную точность при вычислении многократных интегралов (в нашем случае максимальная их кратность равнялась девяти, а выдерживаемая точность - порядка

0,1 %). Предложенный метод расчета может быть использован для многопетлевых расчетов констант ренормировок как в динамических, так и в статических задачах. Мы планируем, в частности, проведение шестипетлевого расчета в статической модели (3).

Что касается полученной четырехпетлевой поправки для динамического критического индекса г, то, как видно из (21), можно констатировать ее относительную малость, для реального е =1 (й = 3) получаем значение г = 2,0188(9).

Adzhemyan L. Ts., Novikov S. V., Sladkoff L. Calculation of dynamical exponent in model A of critical dynamics to order £4.

On the base of the ^'-operation of the renormalization theory a new numerical method for the calculation of renormalization constants in the theory of critical behaviour is suggested. Determination of the residues in the poles in £ = 4 — d of the Green functions is reduced to the calculation of multiple ultraviolet-finite integrals, which can be performed with the aid of standard computer programs. The method is applied to the calculation of the renormalization-group functions of A model of critical dynamics in the four-loop approximation. The dynamical exponent z is calculated in the fourth order of the £-expansion.

Key words: critical dynamics, renormalization group, epsilon expansion, A-model.

R = [6/n(4/3) — 1Ц 1 — 0,1884(9)є + —0,100(4) +

4,78(6) n+ 21,5(4) (n + 8)2

єЧ + 0

z\n=1 = 2 + 0,0134462 x є2 + 0,011036

Summary

1. Kleinert H., Neu J., Schulte-Frohlinde N., Chetyrkin K. G., Larin S. A. Five-loop renormalization group functions of 0(n)-symmetric 94-theory and e-expansions of critical exponents up to e5 // Phys. Lett. (B). 1991. Vol. 272. P. 39-44.

2. Антонов Н. В., Васильев А. Н. Критическая динамика как теория поля // Теор. мат. физ. 1984. Т. 60. № 1. C. 59-71.

3. Kleinert H., Schulte-Frohlinde N. Critical Properties of ф4-Theories. World Scientific, 2001.

4. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998.

5. Halperin B. I., Hohenberg P. C., Ma S. Calculation of dynamic critical properties using Wilson’s expansion methods // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 29. P. 1548-1551.

6. De Dominicis C., Brezin E., Zinn-Justin J. Field-theoretic techniques and critical dynamics.

I. Ginzburg-Landau stochastic models without energy conservation // Phys. Rev. 1975. Vol. 12. P. 4945-4953.

Принято к публикации 10 июня 2008 г.