О многоэтапных моделях оптимизации структуры посевов

УДК 004.94:633/.635 Я. М. ИВАНЬО

доктор технических наук, профессор, Иркутская государственная сельскохозяйственная академия

М. Н. ПОЛКОВСКАЯ

Иркутская государственная сельскохозяйственная академия

О МНОГОЭТАПНЫХ МОДЕЛЯХ ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ ПОСЕВОВ

Большое значение при планировании аграрного производства имеют задачи математического программирования, так как многие предприятия сталкиваются с проблемой выбора оптимальных вариантов использования земли, трудовых и материально-денежных ресурсов, техники, удобрений и т. д. В статье сформулирована многоэтапная задача оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур с детерминированными и неопределенными параметрами, учитывающая влияние предшественников. Предложены различные подходы к ее решению. Многоэтапность задачи позволяет планировать производство продовольственной продукции на многолетний период с минимальным значением 1 год. Модель оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур предлагается в трех вариантах: с детерминированными, интервальными и вероятностными параметрами. Упрощенный вариант модели с ограниченным количеством переменных реализован для оптимизации структуры посевов сельскохозяйственных культур на одном из предприятий Иркутского района. Показано значительное расхождение структуры посевов в зависимости от колебаний параметров модели.

Ключевые слова: многоэтапная модель оптимизации; неопределенные параметры; структура посевов; предшественники; экспертные оценки.

YA. M. IVAN’O

Doctor habil. (Technical Sciences), Professor, Irkutsk State Academy of Agriculture M. N. POLKOVSKAYA

Irkutsk State Academy of Agriculture

ON MULTI-STAGE MODELS OF CROPS STRUCTURE OPTIMIZATION

Since many enterprises face the problem of choosing optimal options for usage of land, labor, material and financial resources, machinery, fertilizers, etc., the tasks of mathematical programming become more and more relevant for planning the agricultural production. In this regard, the article considers the multi-stage task of crops optimization with deterministic and uncertain parameters considering the influence of predecessors. Different approaches to its solution are presented. The solution of the task that implies going through a number of stages enables to plan the production of food products for a long-term perspective with a minimum duration of 1 year. The optimization model devised for allocation of crops is offered in three versions: with deterministic, interval and probabilistic parameters. A simplified version of the model with a limited number of variables was implemented for optimization of the crops structure at one of the enterprises of Irkutsk Oblast. The considerable divergence of the crops structure depending on the fluctuations of the parameters of the model is shown.

Keywords: multi-stage model of optimization; null parameters; crops structure; predecessors; expert assessments.

Для планирования аграрного производства часто используются задачи математического программирования, позволяющие определять оптимальные варианты распределения земельных, трудовых и материально-денежных ресурсов, техники, удобрений и т. д. [1; 5; 7].

© Я. М. Иваньо, М. Н. Полковская, 2014

В реальных условиях параметры моделей оптимизации производства сельскохозяйственной продукции являются неопределенными и могут быть описаны в одних случаях законами распределения вероятностей, в других (при недостаточной информации) — верхними и нижними оценками [2; 3; 6]. При

построении такого рода моделей необходимо учитывать следующие условия:

- требования ведения севооборотов и агротехнической целесообразности возделывания сельскохозяйственных культур при оптимизации структуры площадей;

- схемы чередования сельскохозяйственных культур;

- размещение севооборотов определенных типов и видов культур с учетом качества почв;

- увязку планируемой и рекомендуемой структуры посевных площадей по схемам чередования сельскохозяйственных культур для оптимизации сочетания отраслей сельскохозяйственного предприятия [4].

В работе сформулировано два варианта задачи: с прямым и косвенным учетом мнения эксперта.

1. Моделирование структуры посевов с учетом предшественников и экспертных оценок. Сначала в зависимости от сочетания предшественников решается некоторое число задач согласно ограничениям и целевой функции. Затем из множества оптимальных решений выбираются лучшие, худшие и медианные варианты. Полученные решения являются исходными данными для последующего решения задач аналогичным образом (второй год планирования). Предложенный алгоритм можно применять для получения оптимальных планов на третий год и т. д. Отметим, что такой подход позволяет уменьшить антропогенное воздействие на почву и улучшить качество производимой продукции.

Детерминированная задача планирования аграрного производства с учетом изменчивости биопродуктивности от предшественников формулируется

X X - ЕЕ с1*1 ^ тах

I е Ь е5 I е Ь е 5 ' '

при условиях:

ограниченности производственных ресурсов

Е vlxÎ < V (l gL< iG /);

s G S

ограниченности размера растениеводческой отрасли

n <ЕЕ

iGl SGS ' '

производства конечной продукции не менее заданного объема

ЕУК г К (s gS);

i G I

ограниченности вносимых удобрений и средств защиты растений

Е (т е м 1 е1);

5е5

неотрицательности переменных

*£ > 0, (6) где — цена реализации 5-культуры /-поля, р./ц; у* — выход продукции с единицы площади 5-культуры /-поля, ц/га; х£ — площадь возделывания 5-культуры на /-поле, га; с£ — затраты на 1 га /-поля 5-культуры, р./га; V£ — расход /-ресурса на единицу площади 5-культуры /-поля, тыс. чел.-ч/га, тыс. р./га; V/ — наличие ресурса /-вида /-поля; У5 — гарантированный (минимальный) объем производства продукции

5-культуры, ц; п, п — максимально и минимально возможная площадь возделывания культур, га; а5 — коэффициент, учитывающий площадь посевов семян 5-культуры;

— расход удобрения (средства защиты растений) т-вида на единицу площади /-поля 5-культуры, ц/га; \Ут/ — наличие удобрения т-вида /-поля, ц; Л — вариант предшественников.

Приведенная модель (1)-(6) справедлива для ситуации, когда сельскохозяйственные угодья разделены на две части. Одна часть предназначена для производства сельскохозяйственной продукции, а вторая — под пары. Задача усложняется, если учитывать севообороты, в этом случае вводится дополнительное ограничение

** < х'н,

¡Б ¡Б 1

где х£ — площадь освоения и трансформации /-поля 5-культуры, га; х£ — площадь освоения и трансформации /-поля 5-культуры по проекту севооборота, га.

В модели (1)-(6) параметры у/5, у//5 и wтi5 могут быть детерминированными, случайными, интервальными величинами или описываться некоторыми функциями в зависимости от особенностей технологических и климатических параметров. В результате решения задачи получаем значения площадей для тех или иных предшественников, принятых для сельскохозяйственного предприятия. Рассмотрим задачи оптимизации структуры площадей с учетом влияния предшественников для различных величин более подробно.

Сформулированная задача является многоэтапной, поэтому ее можно использовать

для планирования производства продовольственной продукции более, чем на 1 год. На первом этапе рассчитываются значения критерия оптимальности в зависимости от заданных предшественников. На втором этапе из полученных вариантов для каждого предшественника выделяются некоторые группы оптимальных решений, используемые при управлении производственными процессами.

В случае, когда параметры модели детерминированные, решение задачи (1)-(6) сводится к нахождению распределения площадей посевов в зависимости от предшественников. Из множества оптимальных решений /^ах выделяется наилучший (тах и наихудший /^ах варианты, которым соответствует план размещения посевов сельскохозяйственных культур С*х(*,',- , , х',з) и

(тах(ХЦ, Х12' ' Х,, ' Х15V Где ХИ' Х12' "' Хи, ' Х15

оптимальные значения неизвестных.

Поскольку некоторые параметры задачи (1)-(6) представляются неопределенными, во второй ситуации производственные ресурсы, урожайность, удобрения и средства защиты растений могут оцениваться в виде верхних и нижних значений. Целевая функция и ограничения (2), (4) и (5) в этом случае примут вид:

ЕЕ С И,У V-ЕЕ № ^ тах,

(' е / Б е 5

—и

—И

с < с < с ;

— IБ ¡Б /Б 1

Е ^ < Ч (| е ^ 1 е /),

Бе5

-И ~И

—И

* ,, < V ,, <у «;

ЕуХ > У, (, е 5),

/е/

Е &(т е м 1е /),

Бе5

— И ~ И ~^И

УУ < УУ < УУ т,

—т/б т /б т 1Б

На первом этапе для каждого варианта сочетания предшественников предлагаются возможные варианты размещения посевов с учетом интервальных значений, которые могут быть определены как верхние и ниж-

ние оценки экспертным путем или на основе пространственно-временного анализа данных

об урожайности сельскохозяйственных культур. Подобную задачу можно решить двумя способами. В первом случае решениями такой задачи являются наилучший МАХ |/тИах у| (где уе^ — число смоделированных значений интервальных параметров), наихудший

М/Н {Саху} варианты и медиана Ме{/тИа*4 из

всех полученных значений критерия оптимальности.

При другом подходе вначале определяются наилучшие, наихудшие варианты и медиана для каждого сочетания предшественников Л. Затем из полученного множества максимальных значений целевой функции выбирается медианное значение Ме{тГххИ}. Аналогичным образом осуществляется выбор медианы

минимальных значений МеСт|хИ и медианы

!. ^ тах ^

(-И |. Число смоделированных значений у задается пользователем и связано с генерированием интервальных оценок параметров модели методом Монте-Карло.

Эту же задачу можно сформулировать, если урожайность и производственные параметры являются случайными, тогда ограничения (2), (4) примут следующий вид:

Е < V, (I е I, I е /, И е Н);

Бе5

Еу(Р)Их, > у, (, е5),

где р — вероятность некоторого исхода.

Сложность оценки полученных решений такой задачи заключается в том, что каждое значение критерия оптимальности соответствует некоторой вероятности, представляющей собой сумму вероятностей случайных величин параметров £,, использованных в ограничениях (7)-(8). Кроме того, решением каждого варианта задачи математического программирования с заданными предшественниками является некоторая функция распределения вероятностей, полученных для этого варианта значений критерия оптимальности. Таким образом, при реализации модели с вероятностными параметрами получаем множество функций распределения вероятностей Н. Другими словами, модель (1)-(6) с учетом ограничений (7)-(8) может быть разделена на Н задач. Для каждой задачи определяется распределение значений целевой функции е.

Известия ИГЭА. 2014. № 1

Второй этап решения задачи связан с выделением необходимых для управления вариантов решений. В качестве таковых можно использовать минимальное, максимальное и медианное распределения вероятностей: МАХ, MIN{С}, Me(Л}.Для численного решения задачи можно применить метод Монте-Карло. Суть данного подхода заключается в следующем:

- методом статистических испытаний моделируются значения вероятностных параметров для каждого сочетания предшественников h;

- многократно решается задача математического программирования, в результате которой определяется распределение вероятностей целевой функции с учетом суммы частных вероятностей.

Аналогичным образом определяется распределение вероятностей для других вариантов сочетаний предшественников. Таким образом, из множества полученных функций распределения выбираются минимальные и максимальные функции и медиана. При этом решения могут быть определены как оценки квантилей функции распределения с применением метода Монте-Карло.

2. Моделирование структуры посевов без учета экспертных оценок. Каждое поле представляет собой элементарную единицу, для которой решается задача математического программирования. Затем результаты обобщаются для всех площадей и представляют собой новую структуру. Понятно, что такая задача имеет множество оптимальных решений в зависимости от предшественников и соответствует некоторым вероятностям.

На первом этапе получим следующее решение:

f(I к = f( к + f(I к +... + S

где

f ^ ^ (х^ 1 + Х^2 + ... + X^s, Х21 + Х22 + ... +

+ X2S , ..., X* + х*2 + ... + x',s ).

На втором этапе по полученным схемам размещения для заданных вероятностей вновь решается задача математического программирования. В этом случае для каждой структуры посевов, связанной с £,, определяются оптимальные планы f(. При этом значению критерия оптимальности соответствуют некоторые значения неизвестных XI*s*.

Следует отметить, что таких этапов может быть несколько в зависимости от по-

ставленной цели. Подобная задача позволяет оптимизировать структуру посевов и определять планы на многолетнюю перспективу. При этом лицу, принимающему решение, предлагаются различные оптимальные схемы размещения посевов.

Задача размещения посевов сельскохозяйственных культур без непосредственного учета мнения экспертов решена для ООО «Академия». При реализации модели рассматривалась урожайность зерновых, картофеля, овощей и кормовых культур. При этом структура посевов определялась для площади каждой культуры (зерновые — 3 150 га, картофель — 560 га, овощи — 140 га, кормовые — 1 750 га). Урожайность в данном случае выступала как случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, и моделировалась с помощью метода статистических испытаний, остальные параметры приняты детерминированными.

После расчета множества вариантов задач для каждого поля i определены распределения значений критериев оптимальности f(,)5 = (f^, ..., fs(i)ii), из которых путем

сложения найдены наиболее значимые для управления минимальные (£, = 0,1), максимальные (£, = 0,9) и усредненные (£, = 0,5) значения и площади предшественников и посевов (табл.).

Результаты решения задачи оптимизации структуры посевов с учетом влияния предшественников для вероятности превышения \ = 0,1, \ = 0,5 и \ = 0,9

Целевая функция, тыс. р. Предше- ственник Значения площадей посевов х, га

зер- новые карто- фель ово- щи кормо- вые

59 170 (4 = 0,9) Зерновые 849 304 509 1 489

Картофель 151 43 105 261

Овощи 38 11 26 65

Кормовые 472 168 277 833

Всего 1 510 526 917 2 648

58 682 (4 = 0,5) Зерновые 915 289 514 1 433

Картофель 163 41 106 251

Овощи 41 11 26 62

Кормовые 508 160 280 802

Всего 1 627 501 926 2 548

57 499 (4 = 0,1) Зерновые 1 074 252 527 1 297

Картофель 191 34 109 227

Овощи 48 9 27 56

Кормовые 597 140 287 727

Всего 1 910 435 950 2 307

При оптимальном размещении культур с вероятностью непревышения 0,9 целевая функция равна 59 170 тыс. р., что на 3 % больше наихудшего значения целевой функции (£ = 0,1). В свою очередь, отклонения площадей посевов культур при высоком и низком значениях критерия оптимальности составили для зерновых культур — 27 %, картофеля — 21 %, овощей — 4 %, кормовых — 15 %. В результате нахождения оптимальных планов площадь зерновых по сравнению с исходными данными уменьшилась почти в 2 раза, площадь кормовых культур в зависимости от вероятности £ увеличилась на 24-34 %, а площадь овощей — почти

в 7 раз, при этом площадь посевов картофеля изменилась незначительно. Следует отметить, что при увеличении количества сельскохозяйственных культур и площадей их размещения, расхождение между минимальными и максимальными значениями целевой функции могут увеличиться.

Предложенная модель может использоваться как элемент системы автоматизированного сбора и обработки информации для планирования производственных процессов в последующие годы. Подобного рода задачи применимы в виде модуля автоматизированной системы управления производством сельскохозяйственной продукции.

Список использованной литературы

1. Аоки М. Оптимизация стохастических систем / М. Аоки. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 1971. — 424 с.

2. Барсукова М. Н. Оптимизационные модели планирования производства стабильных сельскохозяйственных предприятий / М. Н. Барсукова, Я. М. Иваньо. — Иркутск : Изд-во ИрГСХА, 2011. — 159 с.

3. Вашукевич Е. В. Математические модели аграрного производства с вероятностными характеристиками засух и гидрологических событий / Е. В. Вашукевич, Я. М. Иваньо. — Иркутск : Изд-во ИрГСХА, 2012. — 150 с.

4. Волков С. Н. Землеустройство : в 9 т. / С. Н. Волков. — М. : Колос, 2001. — Т. 4 : Экономико-математические методы и модели. — 696 с.

5. Решение задач управления аграрным производством в условиях неполной информации / П. Г. Асалханов, М. Н. Астафьева, М. Н. Барсукова [и др.] ; под ред. Я. М. Иваньо. — Иркутск : Изд-во ИрГСХА, 2012. — 199 с.

6. Труфанова Е. С. Оптимизации использования земельных ресурсов регионов в условиях неполной информации / Е. С. Труфанова, Я. М. Иваньо. — Иркутск : Изд-во ИрГСХА, 2011. — 160 с.

7. Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования / Д. Б. Юдин. — М. : Советское радио, 1979. — 392 с.

References

1. Aoki M. Opfimizafsiya stokhasticheskikh sistem [Optimization of stochastic systems]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 1971. 424 p.

2. Barsukova M. N., Ivan'o Ya. M. Optimizatsionnye modeli planirovaniya proizvodstva stabilnykh selskok-hozyaistvennykh predpriyatii [Optimization models for planning the production on stable agricultural enterprises]. Irkutsk State Academy of Agriculture Publ., 2011. 159 p.

3. Vashukevich E. V., Ivan'o Ya. M. Matematicheskie modeli agrarnogo proizvodstva s veroyatnostnymi kharakteristikami zasukh i gidrologicheskikh sobytii [Mathematical models of agricultural production with probabilistic characteristics of droughts and hydrologic events]. Irkutsk State Academy of Agriculture Publ., 2012. 150 p.

4. Volkov S. N. Zemleustroistvo [Land development]. Moscow, Kolos Publ., 2001. Vol. 4. 696 p.

5. Asalkhanov P. G., Astafieva M. N., Barsukova M. N., Ivan'o Ya. M. Reshenie zadach upravleniya agrarnym proizvodstvom v usloviyakh nepolnoi informatsii [Solution of tasks of agricultural production management under incomplete information]. Irkutsk State Academy of Agriculture Publ., 2012. 199 p.

6. Trufanova E. S., Ivan'o Ya. M. Optimizatsii ispolzovaniya zemelnykh resursov regionov v usloviyakh nepolnoi informatsii [Optimization of land resources usage in the regions under incomplete information]. Irkutsk State Academy of Agriculture Publ., 2011. 160 p.

7. Yudin D. B. Zadachi i metody stokhasticheskogo programmirovaniya [Objectives and methods of stochastic programming]. Moscow, Soviet radio Publ., 1979. 392 p.

Информация об авторах

Иваньо Ярослав Михайлович — доктор технических наук, профессор, проректор по учебной работе, Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, 664038, г. Иркутск, пос. Молодежный, 1/1, e-mail: iymex@rambler.ru.

Полковская Марина Николаевна — старший преподаватель, кафедра информатики и математического моделирования, Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, 664038, г. Иркутск, пос. Молодежный, 1/1, e-mail: astafeva_mn@mail.ru.

Authors

Ivan'o Yaroslav Mihailovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Pro-Rector for Academic Affairs, Irkutsk State Academy of Agriculture, 1/1 Molodejniy settlement, 664038, Irkutsk, Russia, e-mail: iymex@rambler.ru.

Polkovskaya Marina Nikolaevna — Senior Lecturer, Department of Informatics and Mathematical Modeling, Irkutsk State Academy of Agriculture, 1/1 Molodejniy settlement, 664038, Irkutsk, Russia, e-mail: astafeva_mn@mail.ru.