О конусе осей равномерных вращений несимметричного твердого тела с полостью, наполненной жидкостью

Вывод. В последние годы наметилась тенденция разработки принципиально новых конструкций подвижного состава (специализированного, для высоких скоростей движения, повышенной комфортности, повышенной грузоподъемности и др.), а также закупки зарубежных моделей подвижного состава. Технология непосредственного контроля букс позволит организовать тепловое диагностирование буксовых узлов по единому алгоритму независимо от типов ходовых частей конструкционных единиц подвижного состава.

Список литературы

1. Информационные характеристики некоторых элементов колесной пары и буксового узла/ Лозинский С.Н.,Самодуров В.И., Трестман Е.Е., Шайдуров П.С., Шалда В.С.// «Автоматизация контроля ходовых частей вагонов при движении поезда». Труды ЦНИИ МПС, вып.494, 1973, С. 10-16.

2. Трестман Е.Е., Лозинский С.Н., Образцов В.Л. Автоматизация контроля буксовых узлов в поездах. - М.: Транспорт, 1983. - 352 с.

3. Тепловой баланс вагонной буксы/ А.И.Поляков.// «Работа вагонных букс с роликовыми подшипниками при высокоскоростном движении». Труды ВНИИЖТ, 1970, вып. 405, С. 80—88.

4. Проблемы теплового контроля кассетных подшипников в высокоскоростных поездах/ Миронов А.А., Образцов В.Л., Павлюков А.Э. // Труды VII Научно-практической конференции «Безопасность движения поездов», Москва, МИИТ, октябрь 2006 г. - С. VI 16-17.

УДК 531.384

Мосияш Т.А., к.ф.-м.н., доцент

О КОНУСЕ ОСЕЙ РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ

НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, НАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Исходные соотношения. Тяжелое твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки О, имеет эллипсоидальную полость, целиком заполненную однородной несжимаемой идеальной жидкостью. Пусть в

системе координат Оху2, образованной главными центральными осями инерции тела, поверхность полости задана уравнением

где а, Ь, с - полуоси эллипсоида,

х2, у2, - координаты его центра.

Обозначим через т = т1 + т2 сумму масс тела и жидкости, а векторами гх = X ур 21}, т2 = У2, и 70 = {х0, у0, указываем положение центров масс соответственно тела, жидкости и системы тело-жидкость. Пусть А = А + А1, В = В + В1, С = С + С1, где А, В, С и А1, В1, С1 - моменты инерции относительно осей координат твердого тела и эквивалентного тела, определяемого жидкостью, а величины А2, В2, С2 задают разность моментов инерции жидкости и эквивалентного тела.

Дифференциальные уравнения движения системы тело-жидкость, отнесенные к системе координат Оху2, имеют вид [1]:

Ь = Ь хю +

Й = 1хЮ+

у = ухю,

где у = {д,ц,£}- неподвижный в пространстве единичный вектор, направленный из точки опоры О вертикально вверх; ю = {юх,юу} -вектор угловой скорости тела;

Ь = {Аа>х + А2П1, Вю + В2П 2, Сю2 + С213}

- вектор мгновенного вращательного импульса;

- 2Q = rotv - вектор вихря;

- G - вес системы и V - оператор Гамильтона.

Уравнения (2) - (4) выражают теорему об изменении кинетического момента, теорему Гельмгольца и условие постоянства вектора у в инерциальной системе координат.

Перманентные вращения. Вращения твердого тела, при которых компоненты векторов D, Q и у во время движения сохраняют

постоянные значения, называют стационарными или перманентными. В этом случае выражения правых частей уравнений (2) - (4) удовлетворяют условиям

Б хс-

Охю +

ухс = 0.

Из равенства (8) получаем, что тело совершает перманентные вращения вокруг вертикали, а координаты параллельных векторов у и со представим соотношениями

сх = сод, соу = соц, с = соЕ,,

где со - модуль угловой скорости тела, при этом компоненты вектора у удовлетворяют геометрическому интегралу

д2 +П -£2 = 1.

Векторное равенство (7) приводится к виду

Пхсс = 0,

где вектор с% = {р, -, г} отражает относительное эллиптическое вращение жидкости вокруг вертикали, осуществляемое с компонентами

р = 2

Р = Ь2 - с2 ' 4 = с2 - а2 ' ' = а2 + Ь2 '

Учитывая (12) и вытекающее из (11) равенство Ц = Асг коллинеарных векторов, где А - некоторая постоянная, находим зависимости между координатами векторов Ц и с:

Ц1 =ТГ-А2—7 °х, Ц2 = ~ А2—А °у, Ц3 = ~~2 Т2—7 с. (13) Ь - с -А с - а -А а - Ь -А

Для значения коэффициента пропорциональности Л из интервала [0; да) координаты вектора О не превышают соответствующих координат вектора угловой скорости тела ю, при этом в случае Л ^ 0 вектор О^ 0 и в предельном случае, когда Л = 0, имеем вращение только твердого тела, а в случае Л^ю имеем О^ ю. При выполнении равенства О = ю система тело-жидкость движется как одно целое. Подобные закономерности отмечены для значений ю и О в работе [2] при рассмотрении частного решения системы

юх = юу = 0, ю=ю, О1 = О2 = 0, О3 =О, д = п = 0, £ = 1

в качестве невозмущенного равномерного вращения системы при исследовании устойчивости движения.

Подставляя значения (13) в (5), получаем вектор вращательного импульса Ь = {Аюх, Вюу, Сю} с изменяющимися моментами инерции

—^—, В = В + В2——-—, С = С + С2——-—

Ь2 + с2 + Л с2 + а2 +Л а2 + Ь2 + Л

и при условиях (13) равенство (6) записываем в виде ух (Т00- Ью) = 0. Отсюда следует, что вектор у, а значит и векторы ю и О, лежат в плоскости векторов Т0 и Ь. Поскольку эта плоскость содержит вектор вертикали у, то векторы Г0 и Ь расположены в вертикальной плоскости. Векторы 70, ю, Ь компланарные и их координаты удовлетворяют уравнению конуса

при этом векторы 70 и ю лежат на его образующих. Уравнение (16) отличается от аналогичного уравнения конуса Штауде [3] тем, что моменты инерции (15) являются функциями параметра Л. Это говорит о том, что известное уже решение фундаментальной задачи о равномерном движении гироскопа можно использовать, но для этого необходимо указать, как определяется значение Л при вычислении моментов инерции (15).

Возможные значения параметра А. Перманентные движения предполагают, что начальные составляющие юх, су, ю2 угловой скорости

системы тело-жидкость остаются постоянными во все время движения и образуют равенство

со2х -с2у -с22 = о2,

где со есть модуль начальной угловой скорости.

Это равенство получается из интеграла (10) умножением последнего на величину со2 и с последующим использованием выражений (9). Не каждое значение со удовлетворяет системе (6) - (8), а то значение угловой скорости, при котором система тело-жидкость совершает перманентное вращение, обозначаем со0. В связи с этим возникает вопрос о

существовании других положений вектора с с модулем Ц = с0, координаты которого удовлетворяли бы уравнению (16).

Необходимо учитывать наличие в полости (1) вектора вихря 2Ц, который от времени не зависит, а координаты вектора Ц удовлетворяют интегралу Гельмгольца сохранения вихря

Ц2а-2 - Ц2Ь"2 - Ц2с"2 = к2,

где величина к2 есть произвольная постоянная. В (18) подставим значения (13) и получим уравнение

со2хщ2 - со2уп2 - с2«"2 = 1.

при этом полуоси эллипсоидальной поверхности (19) имеют вид

о о о о о о

/л Ь - с . .л с - а ,л а - Ь . и1 =

Итак, координаты вектора с удовлетворяют двум соотношениям (17) и (19), при этом первое уравнение описывает сферу, а второе - эллипсоид и существование решения задачи зависит от их взаимного расположения.

Пусть полуоси эллипсоидальной поверхности (1) удовлетворяют условиям

а < Ь < с.

Тогда для значений Л > 0 неравенства и1 < и2, и1 < и3, и2 < и3 выполнены при соответствующих условиях аЬ - с2 < Л, Ьс - а2 < Л, са - Ь2 < Л. Согласно (21) соотношения аЬ - с2 < 0 и Ьс - а2 > 0 принимают значения определенного знака, а из двух последних неравенств получаем са - Ь2 < Ьс - а2 <Л. При этом условии полуоси (20) поверхности постоянства вихря (19) удовлетворяют неравенствам

и1 < и2 < и3.

Случай равенства Ьс - а2 = Л приводит к эллипсоиду вращения вокруг меньшей его оси. Условия 0 < са - Ь2 <Л< Ьс - а2 соответствуют неравенствам и1 < и3 < и2. Вторая ось эллипсоида (19) будет большей в

случае са - Ь2 < 0 < Л или са - Ь2 < Л, а равенство са - Ь2 = Л соответствует тому, что имеем эллипсоид вращения вокруг этой оси. Третья полуось и3 будет наименьшей в эллипсоиде (19) при выполнении неравенств 0 <Л< са - Ь2 < Ьс - а2. Если в (21) одно строгое неравенство заменить нестрогим, например, а < Ь, то при равенстве полуосей а = Ь имеем и1 = и2 < и3, а величина Л > 0 > а(а - с). Для второго равенства Ь = с получаем и1 < и2 = и3 и Л > 0 > с(а - с). Итак, для полости (1) выделены все

интервалы положительности параметра Л.

О положении оси вращения. Рассмотрим взаимное расположение поверхностей (17), (19) при выполнении неравенств (22). Для произвольной величины Л>Л1 = Ьс - а2 сфера (17) и эллипсоид (19) не имеют общих точек или линий пересечения тогда, когда меньшая или большая полуоси эллипсоида соответственно больше или меньше радиуса ю сферы. Если задать к2 и потребовать выполнения касания эллипсоидом (19) с внутренней стороны сферы (17), то это возможно при равенстве ю = и3. Тогда существует значение

п а2 + Ь2

ю0 =

А

угловой скорости тела в равномерном вращении его вокруг вертикальной оси - третьей главной оси О2. Значению (23) соответствуют координаты

сох =су = 0, со2 = ±су0 вектора с, а, учитывая (13) и (9), имеем координаты

Ц1 = Ц2 = 0, Ц3 = ±ск вектора Ц и д = п = 0, £ = ±1 вектора у, которые аналогичны значениям (14). Заметим, что координата Ц3 выражена через полуось с и постоянную интеграла Гельмгольца к. Координаты центра масс системы определяем из уравнений (6):

х0 = У0 = 0, ¿0 ф 0,

а моменты инерции (15) вычисляем при значении А.

Оставляем неизменной угловую скорость тела сD = о0, а параметр А изменим, придав ему приращение ±АА. Величина большей полуоси эллипсоида (19) удовлетворяет условию «3 <с0 при значении А-АА. Решение задачи в этом случае отсутствует, так как не существует пересечение поверхностей (17), (19). Выбирая значение X = А- АА, длина всех трех полуосей эллипсоида увеличится и, в частности, будем иметь «3 > с0. При этом условии поверхности (17), (18) пересекаются и обладают

общими замкнутыми кривыми Л- и Л-, симметричные между собой и обхватывающие соответственно положительную и отрицательную третью полуось системы координат. Конец вектора с принадлежит одной из этих кривых, а сам вектор указывает положение оси вращения системы. Кривые Л- и Л- сближаются, когда величина X уменьшается, и образуют кривую Л = Л+иЛ", имея на оси Оу две точки соприкосновения. Эта ситуация соответствует условию со0 = «2, из которого находим значение

% =

Для величины X е ( А1; /%1) кривая распадается на кривые Л+ и Л-, которые обхватывают уже полупрямые первой координатной оси. Дальнейшее поведение кривых на сфере (17) зависит от знака выражения ас - Ь2.

Для поверхности вращения (19) в случае «1 = «2 кривые Л- и Л-являются окружностями и лежат в параллельных плоскостях перпендикулярных оси симметрии поверхности, а случае «2 = «3 кривые Л- и Л- принадлежат плоскостям, которые перпендикулярные меньшей оси поверхности вращения (19).

Решение прямой задачи. Определение координат д, п, £ вектора у, указывающего в теле вертикальную ось равномерного вращения, и

величины угловой скорости ю0 его вращения, используя известное распределение масс в системе, а именно: моменты инерции А, В, С и А2, В2, С2; положение центра масс х0, у0, 20 и общий вес системы G, считается прямой задачей [3]. Поставленную задачу можно изменить и вместо координат д, п, %, учитывая соотношения (9), определять координаты юх, юу, ю2 не только из уравнений (6), (16), но и привлекая

равенства (17), (19), и учитывая еще то, что моменты инерции системы определяются формулами (15).

Общность решаемой задачи не уменьшиться при выборе кривой Л+ в дальнейшем исследовании. Непрерывное изменение величины X приводит к необходимости рассмотрения трех вариантов решения задачи: центр масс остается на третьей оси; центр масс перемещается в одну из двух координатных плоскостей и все три координаты центра масс отличны от нуля.

Вариант первый. При условиях (24) уравнение (6) в проекциях на оси координат представляется равенствами

[

[

Эти уравнения линейно зависимые. Из выражений (26), (27) следует равенство (28), а при умножении последнего на значение ф 0, найдем вид уравнения конуса (16) в рассматриваемом случае. Выполним анализ совместности каждой пары уравнений системы (26) - (28). При распадении конуса (16) на две плоскости, выделяемые условиями юх = 0 и юу = 0,

имеем равенство ю2 = ю0. Из уравнений (26), (28) и (27), (28) находим соответствующие значения угловой скорости

ю2 = Ж, ю2 ,

2 V С - В \С - А

которые разные между собой, а системе (26), (27) удовлетворяют не только значения (29), но и любое произвольное значение ю0. Аналогичные рассуждения можно провести и в случаях, когда вектор угловой скорости

с совпадает еще с двумя главными осями системы координат Оу или Ох, что происходит соответственно при условии с0 = «2 или с0 = «1.

Величина угловой скорости сог зависит не только от положения

центра масс, но и от разностей С - В, С - А, В - А, которые связаны с моментами инерций системы, а также от выбора параметра А. Угловая скорость си(стемы тело-жидкость неограничен(но ( возрастает при стремлении С - В ^ 0 или С - А ^ 0. Равенство В - А = 0 получаем из (28) и, учитывая выражения (15), представляем в виде

В - В2 - А - А2 -1 (Ь2 - а2)(с2 - а2 - А)-1(Ь2 - с2 - А)_1 = 0 .

Это квадратное уравнение относительно переменной А не имеет корней при условии В - В2 - А - А2 > 0 и обладает действительными корнями, когда В - В2 - А - А2 < 0.

Вариант второй. Пусть координата центра масс системы х0 = 0, а другие две у0 ф 0, ф 0. В этом случае уравнение (16) принимает вид

[(С - Асу - (А - В)OyZo]Ox = 0. Это означает, что конус распадается на две плоскости сх = 0 и

(С - Ас - (А - В с = 0.

Последнее уравнение можно получить из двух проекций

[

на оси Оу, Oz векторного равенства (6) с последующим исключением модуля угловой скорости со0, которую необходимо найти.

Выбираем произвольное значение А > А2 = Ьс - а2 и уже при известных моментах инерции и координатах центра масс определяем из (30) компоненты угловой скорости

у0с с = Ф (В - А)0' z (С - А)0

су = 0" , Oz = ^ 0" .

Из отношения координат

ю = А С - А

ю2 20 В - А

следует, что прямые главной плоскости Оу2, проходящие через начало О системы координат и содержащие векторы ю и Т0, имеют разные угловые коэффициенты. Выражениями (31) представлена линейная зависимость между координатами этих векторов. При стремлении координаты у0 к нулю ось вращения сближается с осью О2 и совпадает с ней только при условии юу = 0, что приводит к равномерному вращению

вокруг главной оси О2 с угловой скоростью, определяемой второй формулой в (29). Подобное происходит между осью вращения и второй координатной осью, когда 20 ^ 0. Совмещение осей предопределено равенством ю0 = и2, а соответствующее ему значение (25) удовлетворяет условиям Л2 < % < Л.

Вносим координаты

у0 +

(В - А)2 (С - А)2 а и находим величину угловой скорости вращения системы

ю0 = . 4 ^

0 4,(В - А)2 (С - А)2 v У

Для заданного значения Л зависимость (32) описывает эллипс как множество положений центров масс системы тело-жидкость, совершающей равномерное вращение вокруг каждой вертикали, с теми же моментами инерции, весом и угловой скоростью.

При значениях (31), учитывая соотношения (13), вычисляем постоянную величину интеграла Гельмгольца

С + а ч _2 , _2 2/^ С1 + Ь ч _2 _2 2

юу2(1 +-г-) 2 ь 2 + ю22(1 +-г~) 2 с 2 = к2

А А

Это позволяет из равенства (23) определить параметр

(а2 + Ь 2)ск

А --

ю0 - ск

и тем самым выявить интервал ( А^ А), которому принадлежит значение А. Используя выражения (31), (33) и (9) находим координаты вектора вертикали у:

П- У

2 2 Уо +

-1/2 /- 2 2 V112

, е- 2о

У о . + . ^0

2) ' (С - А) [ (В - А)2 (С - А)2,

Если центр масс принадлежит координатной плоскости Охх или Оху, когда у0 - 0 и х0 ф 0, 20 ф 0 или 20 - 0 и х0 ф 0, у0 ф 0, то нетрудно показать, что и в этих случаях прямая задача имеет решение и вектор угловой скорости равномерного вращения системы расположен в той же главной плоскости, что и ее центр масс.

Вариант третий. Пусть центр масс системы тело-жидкость представлен тремя отличными от нуля координатами: х0 ф 0, у0 ф 0, 20 ф 0. Из трех зависимых уравнений, соответствующих векторному равенству (6), используем только независимые два

( ( С ( ( С

[(С - А)а2ах +(х0&2 - )]— = 0, [(А - В)ху +(У0Ю - х0су)]— = 0

с с

и находим координаты

ю -——-, ю —

у (В - С)ю • юх + х0С (С - А)ю • юх + х0С

как функции третей координаты сх. Последняя может быть определена

только при внесении в систему уравнений (6) дополнительной информации в виде равенства (17) и предположении о том, что задана величина модуля угловой скорости с-с0. Внося значения (34) в (17) относительно

неизвестной юх получаем уравнение шестой степени

^6°х6 - ^5°° - - Я3°1 - ^2°х2 - ^1°х - ¿0 = ^

с коэффициентами

¿6 = (С - А(2(В - А)204, ¿5 = 2х^в(С - А((В - А)(С - В - 2А), ¿4 = о(2G2 (х02[(С - А(2 - (В - А)2 - 4(С - А)(В - А)] -

-у02(С - А)2 - ¿¡(В - А)2 - (С - А(2(В - А^ /с2}, ¿3 = 2 хс^^^ - В- 2 А) - у2(С - А) - В - А) -

-(С - А((В - А)(С - В - 2А)04 (в2}, ¿2 = х2в 4{х2 - у2 - ¿02 - [(С - А)2 - (В- А )2 - 4(С - А)( В - А)!/ в2}, ^ = -2 хЦв2 (С -В - 2 А), ¿0 = -x04о02в4.

При выбранном значении X > А1 = Ьс - а2 для моментов инерций С ф А, В ф А коэффициенты ¿6 > 0, ¿0 < 0 всегда имеют противоположные знаки. Поскольку старшая степень многочлена в левой части уравнения

изменения параметр а А .

В случае В = А и В ф А коэффициенты упрощаются s6 = ¿5 = 0 и

¿4 = оУв2(х2 -у02)(С - А)\ ¿3 = 2Xo°oв3(х0 - у^)(С - А), ¿2 = х2в 4{х2 - у2 - - (С - А)2},

-Л -Л Г\ 4 Г\ 4

¿1 = -2х0ю0в (С - А), ¿0 = -х0в ,

а соответствующее уравнение четвертой степени по-прежнему имеет два действительных корня.

Рассмотрим некоторые специальные случаи распределения масс системы тело-жидкость. Для эллипсоида инерции близкого к шаровому, когда можно пренебречь разностями квадратов моментов инерций и

произведениями их разностей, то получаем такие коэффициенты

¿6 - ¿5 - ¿4 - 0 и

¿3 - 2ю0С[х02(С + В - 2А) + у02(С - А) + ¿02(В - А)],

¿2 - х0С2 (х02 + У02 + ^

¿1 - -2х02с03(С + В - 2А), ¿0 - -х03ю202.

Они определяют многочлен третей степени, который имеет хотя один действительный корень.

Пусть центр масс системы находится возле точки опоры О в такой близости, что произведениями координат центра масс можно пренебречь не ниже второй степени. Тогда следующие коэффициенты

¿6 - (С - А(2 (В - А)2ю2, ¿5 - 2 х2 с0С (С - А 2( В - А)(С + В - 2 А), ¿4 - С2{х02[(С - А22 + (В - А)2 + 4(С - А)(В - А)] +

+У02(С - А)2 + ¿02(В - А)2 - (С - А(2 (В - А)2ю4/о2}, ¿3 - -2 х0с03С (С - А 2( В - А)(С + В - 2 А),

при условиях С > А, В > А и х0 > 0 представляют многочлен четвертой степени с двумя действительными корнями.

Таким образом, результаты исследований показали, во-первых, что множество осей перманентного вращения тела с жидкостью в эллипсоидальной полости образуют в системе координат, связанной с телом, конус (16), а входящие в уравнение моменты инерции системы являются функциями произвольного параметра X; во-вторых, определены интервалы положительности этого параметра; в-третьих, для распределения массы системы тело-жидкость в особых случаях, в общем случае и специальных указаны решения прямой задачи. Полученные новые результаты о движении тела с жидкостью дополняют ранее известные [1,2] и могут быть использованы в тех в областях, в частности, на железной дороге, где учитывается влияние жидкого наполнения на емкости, в которых оно содержится.

Список литературы

1. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. - 1965. - 439 С.

2. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела// Прикл. математика и механика. - 1956. - 20, вып.1. - С.50-66.

3. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. В 2-х т. Т.1. М. - Л.: Изд-во ин. литер. - 1952. - 347 С.

УДК 621. 436

Черняк Ю.В., к.т.н., доцент

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКИ ДЛЯ КОНТРОЛЯ СОДЕРЖАНИЯ НЕСГОРЕВШЕГО КИСЛОРОДА

В ВЫХЛОПНЫХ ГАЗАХ ТЕПЛОВОЗНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

При регулировке дизельного двигателя (ДД) необходимо обеспечить полное сгорание топлива. Для того, чтобы топливо в ДД сгорало наверняка полностью, необходим контроль остаточного кислорода в выхлопных газах. Остаточный кислород необходим, по нашому мнению, и для того, чтобы уменшить коррозионные процессы в камере сгорания, клапанах, выхлопной трубе. Во всех видах топлива присутствует небольшое количество серы, которая образует при сгорании сернистый газ. Чем меньше в газовой смеси остаточного кислорода, тем больше влияние сернистого газа на мехашзм коррозии металлов . Сернистая коррозия металлов в сотни раз более разрушительна, чем коррозия от остаточного кислорода.

Для контроля содержания кислорода в газових смесях возможно использование твердых электролитов. Например, твердый электролит 7г02 <СаО> обладает значительной ионной проводимостью. Отрицательные ионы кислорода, перемещаясь по анионным вакансиям в кристаллической