Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями

СТРАТЕГИИ ОПТИМАЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА ОБЛИГАЦИЯМИ

И.Г. НАТАЛУХА, кандидат экономических наук Кисловодский институт экономики и права

Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах [1, 2], однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. За редким исключением [3,4] в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно [5-8], что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение. Точные аналитические решения получены лишь в наиболее простых частных случаях. Так, при простой стохастической динамике цен рисковых активов и в предположении о постоянстве процентных ставок и волатильностей (мгновенных средних квадратических отклонений) цен активов точное решение задачи инвестирования без учета промежуточного потребления найдено в [4]. В [3] в предположении о бесконечном временном горизонте получено приближенное аналитическое решение задачи инвестирования (в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны), однако оно явно не связано с задачей оптимального потребления. Предположение о постоянстве краткосрочных процентных ставок вряд ли можно считать адекватным (особенно в условиях зарождающихся фондовых рынков, к числу которых относится и российский фондовый рынок).

В настоящей работе при достаточно общей стохастической динамике процентных ставок и цен рисковых активов определены оптимальные инвестиционные стратегии в условиях, когда инвестор извлекает полезность как из конечного капитала, так и из промежуточного потребления. Экономический агент имеет возможность инвестировать в банковский счет, облигацию и акцию (которая может представлять индекс акций). Динамику цены

В( произвольной облигации описываем стохастическим дифференциальным уравнением

с1В, = В, [(/; + А,,ств {г, ,0>// + (г, ],

где ^^(ц,— г) /ов —рисковая премия; г,, — стандартное одномерное броуновское движение; г1 — краткосрочная процентная ставка; ц, — ожидаемая норма доходности; ой — волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) цены облигации.

Цена акции с учетом реинвестирования дивидендов эволюционирует согласно стохастическому процессу

¿Я, = [

где параметр р представляет собой корреляцию между доходностями облигации и акции; 1Ь — еще одно броуновское движение; ст5 —волатильность акции; ^ — коэффициент Шарпа для акции, предполагаемый постоянным.

Перепишем динамику цен активов следующим образом

'йв; (В, (Г (

— Г.1 +

0 Я. [

\ ' / V ' V V

X

л

где

ра5 -у/1 -р2а5 1^2,,

1

V у

Капитал инвестора ^эволюционируетследующим образом (штрих означает транспонирование):

где С, — стратегия потребления; П — стратегия инвестирования (вектор П=(ПЙ, Пу)' определяет дол и капитала, размещаемого в облигации и акции), А.=(Х,, )-2У, 1=(хи, 12,)'. Задача инвестора состоит в максимизации ожидаемой полезности конечного капитала и промежуточного потребления

шах

(С,.IV,

х \ а Е, ¡е V) -1

1-у

где Е— оператор математического ожидания; Р — субъективный дисконтный фактор; у — коэффициент относительного неприятия риска Эрроу-Пратта [9], а параметр а определяет относительный вес промежуточного потребления С и конечного капитала в функции полезности инвестора.

Динамику краткосрочной процентной ставки описываем уравнением Орнштейна-Уленбека

где 7 — долгосрочное значение г:\ к — скорость релаксации г{ к долгосрочному значению.

Записывая уравнение Беллмана, соответствующее задаче (5) и максимизируя полученное выражение относительно П (подобно тому, как это сделано в [10,11]), получаем оптимальную инвестиционную стратегию, которая в случае получения инвестором полезности только от конечного капитала (а=0) имеет следующий вид:

= -(а'(О) У

1 — У

Ь

С,О

о л/ь

рч-

л/'-Р^дС.О^

0 ал(/\ О

так что можно записать доли капитала, инвестируемые в акцию и облигацию, в следующем виде:

а.,

П, (IV,г,()--

ус

1

.ул/1 -Р2

Уа в С, О '

У

лД-? агЬ(Т~0

+

где Ь(х)=(1~кг)/к.

Как следует из выражения (6), оптимальная инвестиционная политика может быть представлена в виде двух составляющих, первая из которых представляет собой спекулятивную часть портфеля (соответствующую игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей), а вторая —спрос на хеджирование, который показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать против изменения инвестиционных возможностей. Из (6) следует, что спрос на хеджирование включает только облигацию, так что облигации являются более подходящим инструментом хеджирования процентного риска, чем акции. С увеличением коэффициента относительного неприятия риска у оптимальное инвестирование в спекулятивную часть портфеля снижается, а в хеджирующую облигацию — увеличивается. Матрица, обратная к транспонированной матрице волатильностей, имеет вид:

Если облигация в портфеле представляет собой облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в конце инвестиционного горизонта инвестора, т.е. в момент Г, то <зв(г, 0=агЬ(Т—/), и в этом случае хеджирующая часть портфеля заключается во вложении части капитала 1 — 1/у в облигацию с нулевым купоном. Это естественный выбор инструмента хеджирования, поскольку указанная облигация является действительно безрисковым активом для инвестора, заинтересованного только в капитале в момент Т. Инвестор, характеризующийся логарифмической полезностью при у=1(нейтрально относящийся к риску), не хеджирует против изменения инвестиционных возможностей. Хеджирующая позиция инвестора с меньшим коэффициентом относительного неприятия риска (у<1) отрицательна, вто время как более осторожный инвестор (у>1) занимает «длинную» позицию по облигации для хеджирования процентного риска. Инвестор с бесконечным коэффициентом относительного неприятия риска (у—х») размещает весь свой капитал в облигацию с нулевым купоном со сроком погашения в момент Т. Заметим, что если в качестве облигации используется облигация с нулевым купоном со сроком погашения Т, из (6) следует, что можно представить рисковую часть оптимальной инвестиционной стратегии в виде:

Пй

= -(о'(0) ^ +

У

Следовательно, часть капитала, инвестируемая в банковский счет (локально безрисковый актив), составляет

= -(1-/'(ст'(/))"'А.). 7

Заметим, что выражение в скобках в точности соответствует размещению капитала в банковский счет инвестором с логарифмической полезностью. Полная инвестиционная стратегия может быть представлена в форме

П„ П, п.

+

1-1 Y

(0

0

v /

Согласно (9) инвестиционная стратегия является простой комбинацией портфеля инвестора с логарифмической полезностью и облигации с нулевым купоном со сроком погашения на инвестиционном горизонте. С ростом коэффициента относительного неприятия риска инвестора позиция, занимаемая по акциям, сокращается, в то время как позиция по облигациям растет. Следовательно, отношение долей капитала, вложенного в облигации и акции, растете увеличением относительного неприятия риска инвестора.

Если инвестор извлекает полезность только из промежуточного потребления, хеджирующая часть оптимальной инвестиционной стратегии имеет вид:

1-

у ¡ов о;')

, I Y_Y_J_

fexpj-£(*-/)+/1(5-/)+—-tb(s-t)r life < i Y Y J

где

Y

1-yo _

—--y + r-2y kl

-yarXt

(X-6(T))-

--r-oro (т)н--rrt, + л, yc,

4ky2 r w 2y2

l

J К (s)B'crb(s-tyds

JK (s)B;

ds

где В' =ехр[-о(5-/)-/?(5-/)А;)-цена облигации с нулевым купоном со сроком погашения .у, а функция а(т) имеет вид:

а(ху-

- К,-

2 кг

а /) вновь представляет собой волатильность облигации, выбранной для реализации стратегии хеджирования. Можно показать, что волатильность в момент / купонной облигации, выплачивающей непрерывный купон по детерминированной ставке К(^) вплоть до момента времени Т, определяется выражением

Поэтому можно интерпретировать хеджирование стохастической процентной ставки в момент t как инвестирование доли капитала 1 - 1/у в облигацию с непрерывным купоном

K

у у

Заметим, что для инвестора, извлекающего полезность из промежуточного потребления в течение всего периода [/, 7], облигация с нулевым купоном со сроком погашения не является безрисковым активом (в отличие от рассмотренного ранее случая, когда инвестор извлекает полезность только из конечного капитала). Поскольку инвестор заинтересован в платежах в любые моменты времени из промежутка [/, 7], он хеджирует риск, связанный со стохастическим изменением процентной ставки, путем инвестирования в комбинацию всех облигаций с нулевыми купонами со сроками погашения в промежутке [/, 7], т.е. в облигацию с непрерывным купоном (11).

Литература

1.Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous — time case // Review of Economics and Statistics. 1969. V. 51, №2. P. 247-257.

2. Merton R.C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous — time model // Journal of Economic Theory. 1971. V. 3, №2. P. 373-413.

3. Campbell J. Y., Viceira L.M. Consumption and portfolio decisions when expected returns are time — varying // Quarterly Journal of Economics. 1999. V. 114, № 2. P. 433-495.

4. Kim T.S., OmbergE. Dynamic nonmyopic portfolio behaviour//Review of Financial Studies. 1996. V. 9. № 1. P. 141-161.

5. Balduzzi P., Lynch A. IV. Transaction costs and predictability: some utility cost calculations // Journal of Financial Economics. 1999. V. 52. № 1. P. 47-78.

6. Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable // Journal of Finance. 2000. V. 55. № 1 .P. 225-264.

7. Brandt M.W. Estimating portfolio and consumption choice: a conditional Euler equations approach // Journal of Finance. 1999. V. 54. № 6. P. 1609-1645.

8. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // Journal of Economic Dynamics and Control. 1997. V. 21.№7.P. 1377-1403.

9. КрушвицЛ. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.

10. Наталуха И.Г. Анализ модели полного финансового рынка с непрерывным временем методами стохастического динамического программирования // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Общественные науки (Приложение к журналу). 2002, № 1. С. 71-79.

11. Наталуха И.Г. Оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастических условиях// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. Т. 11, вып. 4. С. 886-887.