Расчёт Q-H характеристик насосов с использованием аппроксимации методом наименьших квадратов

Таким образом, созданы, отлажены и исследованы экспериментальные образцы астатических наблюдателей состояния и нагрузки электромеханических систем, готовые к применению в реальных системах управления электроприводов.

Список литературы

1. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

2. Лебедев С.К. Алгоритмы синтеза наблюдателей нагрузки электропривода // Вестник ИГЭУ. Иваново, 2009. № 3. С. 5-8.

3. Глазунов В.Ф. Разработка и исследование многодвигательных систем электроприводов переменного тока с нежесткой механикой // Вестник ИГЭУ. Иваново, 2005. № 3. С. 6-11.

4. Лебедев С.К. Выбор параметров стандартных распределений при синтезе электроприводов // Вестник ИГЭУ. Иваново, 2008. №3. С. 14-16.

N. Gnezdov, A. Razzhivin, S. Lebedev, A. Kolganov

Digital realisation of observers of a condition and loadings of electric drives

Calculation method of maximum observer dynamic for microprocessor fixed point control system without arithmetic overflow is offered. Description of state observer operative embodiment is given.

Keywords: methods of numerical integration, microprocessor control system, observer.

Получено 06.07.10

УДК 62-83:004

Д.В. Ишутинов, ст. преподаватель

РАСЧЁТ Q-H ХАРАКТЕРИСТИК НАСОСОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППРОКСИМАЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Показано, что при проектировании систем водоснабжения возникает необходимость расчета параметров и режимов работы насосных агрегатов. Показано преимущество аппроксимации Q(-H)-характеристик насоса полиномом n-го порядка по сравнению с расчетом на основании формул подобия, т. к. каталожная характеристика насоса не имеет аналитического описания.

Ключевые слова: насосный агрегат, Q-H характеристика, формулы подобия.

Введение. Постановка задачи. При проектировании систем водоснабжения должна проводиться предварительная оценка эффективности

применения того или иного метода регулирования производительности насосного агрегата. Мониторинг существующих систем преследует цель определения режимов работы насосов: оценки нагрузки на валу двигателя, количественной оценки и характера потребления мощности. Такие исследования позволяют получить комплексную оценку качества энергопотребления.

При проведении расчетов режимов работы насосных агрегатов часто возникает необходимость проводить пересчет Q-H характеристик насосного агрегата для скорости вращения двигателя отличной от номинальной, приводимой в каталоге.

Известно [1], что расчет рабочей точки на Q-H характеристике насоса при заданной производительности или напоре и частоте вращения вала, отличной от номинальной частоты, ведётся на основании формул подобия:

ни

Н е

' Q ^

и

Ни Не

Г \2

и

Чюе у

QU = и

V Qе У

где Не, Ни - напор на каталожной и искусственной Q-H характеристике насоса; Qе, Qи - расход на каталожной и искусственной Q-H характеристике насоса; а>е, а>и - номинальная и произвольная частота вращения насоса. Здесь и далее за искусственные принимаются Q-H характеристики насоса, соответствующие скорости, отличной от номинальной частоты.

Пересчет Q-H характеристик на основании формул подобия (1) с целью определения режима работы насосного агрегата довольно трудоёмкий и, как правило, связан с многократными приближенными повторными расчетами. Автоматизация таких расчетов затруднительна, т.к. каталожная Q-H характеристика насоса не имеет аналитического описания.

С целью получения аналитических выражений каталожных и искусственных Q-H характеристик насоса и последующего применения средств вычислительной техники для упрощения расчетов предлагается провести их аппроксимацию полиномом п - го порядка.

Аппроксимация Q-H характеристик насосов. Аппроксимация Q-H характеристики насоса может быть выполнена методом канонического полинома, методом полинома Лагранжа или методом наименьших квадратов. Аппроксимирующая (интерполяционная) функция H = должна удовлетворять условиям Лагранжа [2]:

Рп

а при выборе в качестве аппроксимирующей функции полинома степени п в каноническом виде:

Рп

интерполяция проводится методом канонического полинома. При выполнении условий Лагранжа (2) и с учетом выражения (3) получается система уравнений с п+1 неизвестными:

!а> хк = у i = 0,1,—п,

к=0

где х, у - абциссы и ординаты произвольных узловых точек.

Система линейных алгебраических уравнений (4) относительно неизвестных коэффициентов полинома а^ будет иметь решение, если главный определитель системы отличен от нуля.

По Лагранжу интерполяционный полином может быть записан в

виде

, ч п п х - х 1

Цп

i=0 ]=0 xi х]

Рассмотренные способы аппроксимации предполагают точное совпадение значений аппроксимирующей и исходной функций в определенных точках - узлах интерполяции. При аппроксимации Q-H характеристик насоса, которые задаются графически, реже таблично по 10 - 15 точкам, такой способ построения аппроксимирующей функции оказывается нецелесообразным по известным причинам [2].

Как правило, при составлении таблицы данных на основании графической зависимости, приведённой в каталоге, проявляются ошибки случайного характера. Они не могут быть устранены или в полной мере учтены при обработке результатов, потому что имеют несистематический характер и дают отклонения от графически заданной функции в ту или другую сторону. Статистическая обработка данных позволяет уменьшить величину случайной ошибки. Одним из методов позволяющим достаточно просто осуществить математическую обработку является метод наименьших квадратов.

Задача нахождения наилучших значений параметров аппроксимирующей функции сводится к минимизации среднеквадратического отклонения при приближении эмпирической кривой к заданной графически или таблично характеристике.

Известны [2] различные эмпирические формулы, применяемые при использовании метода наименьших квадратов. При выборе в качестве эмпирической - степенной функции в виде линейно-независимой последовательности степеней аргумента х - исходная функция будет аппроксимирована полиномом п-го порядка. Для аппроксимирующего полинома степени п нормальная система метода наименьших квадратов запишется в виде

/ ™ л

т

п

i

у=0 V i=0

i х

7+к

т

а1 = 1 Уi х ,

V

i=0

где п - степень полинома; т - количество узловых точек; ц - коэффициенты полинома; хг, уг - абсциссы и ординаты исходной таблично или графически заданной функции; к - коэффициент, принимающий значения к = 0,1... п.

Оптимальная степень аппроксимирующего полинома может быть определена следующим образом. Для каждого п вычисляется величина сп по формуле:

о

n

Л

1 т о

— z(( (x)-у )2.

т-ni=0

За оптимальное значение степени полинома следует принять то значение n, начиная с которого величина <jn стабилизируется или начинает возрастать [2].

Проведённый анализ показывает, что применение полиномов второго или третьего порядка, в зависимости от формы Q-H характеристики насоса, позволяет провести аппроксимацию с достаточной степенью точности.

При использовании полинома второго порядка 2

H(Q) = Ü2 • Q + a • Q + ao для аппроксимации Q-H характеристики насоса нормальная система уравнений примет вид

n

a2 = z Hei i=0

Г n ^ Г n 2 ^

a0 + z Qei • a1 + z Qe2-

V i=0 ) V i=0 )

Г n л Г n 2 л Г n 3 л

z Qei • a0 + z Qer • a1 + z Qei

V i=0 ) V i=0 ) V i=0 )

Г n 2 л Г n 3 л Г n 4 л

z qe2 • a0 + z Qei • a1 + z qei

V i=0 ) V i=0 ) V i=0 )

n

a2 = z Hei • Qei i=0

n

a2 = z Hei Qei i=0

3 2

Для полинома третьей степени - H(Q) = аз • Q + a2 • Q + a^ • Q + ao - нормальная система уравнений будет следующей:

(n +1) • ao

Г n л Г n 2 л Г n 3 л

a0 + z Qei • a1 + z Qer • a2 + z Qei

V i=0 ) V i=0 ) Vi=0 )

n

z Qei

v i=o )

r n

z Qe2

v i=0 )

'n ^

z qei

V i=o

• ao +

• ao +

• ao +

r n

z oä

v i=o )

' n ^

z Qe3

V i=o )

n

z Qei

vi=o )

• ai +

• ai +

• ai +

' n ^

z Qei

vi=o ) Г n 4 л

z ßä

vi=o )

' n ^

z Qe5i vi=o )

• a2 +

• a2 +

• a2 +

n4

z Qei

vi=o )

n

z Qlr

vi=o )

n

z Qei vi=o )

n

a3 = z Hei i=o

^ n

• a3 = z Hei Qei i=o

n

a3 = z Hei Qei i=o

n

a3 = z Hei • Qei i=o

В системах (8), (9) Hei, Qei - значения напора и расхода для каталожной Q-H характеристики. Системы уравнений являются системами алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов полинома üj, а их решение может быть найдено любым известным методом, например, методом Гаусса.

Связь коэффициентов полиномов, аппроксимирующих Q-H характеристики, для разных скоростей вращения насоса. Имея аналитическое описание Q-H характеристики насоса, можно достаточно просто выполнить её пересчёт для скорости насоса, отличной от указанной в каталоге, а также рассчитать любые другие режимы работы насосного агрегата. Зависимость между коэффициентами полиномов аппроксимированной каталожной Q-H характеристика насоса и искусственной характеристики предлагается получить следующим образом.

Составляется уравнение для точек каталожной характеристики насоса, аппроксимированной полиномом n-го порядка в следующем виде:

ün  QÜ + ün-1  Qr1 + • • • + Ü1  Qe + ü0 = He,

где üj - коэффициенты полинома для каталожной характеристики насоса.

При изменении частоты вращения насоса уравнение искусственной характеристики примет вид

' n ' ün  QM + ün-1  Qi

n-1

и

+ ••• + ü1  Q + ü0 = H

и

где а}- - коэффициенты полинома для искусственной характеристики насоса.

Преобразуя (12) при помощи формул подобия (1) и подставляя в него (13), получается уравнение, связывающее коэффициенты полиномов а]- и а]-, для каталожной и искусственной характеристик насоса:

а

n

Q,

Г \n а

V ае J

+ an-1 Qn 1

Г \n-1 а

V ае J

+ .

+ a1 Q \2

С \ аи

V ае J

+ a0

а

и

V ае J

Анализ (14) показывает, что правая и левая части содержат полиномы степени п относительно расхода Qеi для естественной характеристики насоса. Очевидно, что полиномы равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Таким образом, получаются следующие зависимости для коэффициентов полиномов а]- и а]-:

an an

ю,

\ 2-n

V* J

an-1 = a

n-1

ю

\3-n

и

V юе J

, a0 = üo

ю,

2

Vюе J

При аппроксимации Р-Н характеристики насоса полиномом 2-го порядка получаются следующие выражения:

и

Q2 — a 2, a — q-[ •-, qq — qQ •

/ \2 u

е

Чюе у

В случае аппроксимации Р-Н характеристики насоса полиномом 3-го порядка связь между коэффициентами о/, а/ и скоростью вращения насоса представлена выражениями:

Q3 — Q3--, Q2 — Q2, Ql — Ql--, Q0 — Qq •

u е

2

u

Чюе у

В качестве примера для оценки точности аппроксимации были рассмотрены Q-H характеристики насосов серии К и Д. Анализ каталожной Q-H характеристики насоса К30-20 аппроксимированной полиномом 2-го и 3-го порядка показывает, что погрешность аппроксимации не превышает 3 % при использовании полинома 2-го порядка и 0,77 % при использовании полинома 3-го порядка.

Опираясь на предложенный метод, можно провести аппроксимацию кривой n(Q) насосных агрегатов, что в дальнейшем позволит полностью автоматизировать расчет.

Предложенный метод пересчета характеристик насоса к скорости вращения, отличной от номинальной, достаточно прост и удобен при выполнении расчетов с использованием средств вычислительной техники. Метод эффективен при проведении различных расчетов режимов работы насосных агрегатов предприятий водоснабжения коммунального хозяйства. Точность предложенного метода достаточна при проведении инженерных расчетов.

Список литературы

1. Ключев В.И., Терехов В.М. Электропривод и автоматизация промышленных механизмов. М.: Энергия, 1980. 360 с.

2. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране М.: Мир, 1977. 584 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

D. Ishutinov, S. Oxapkin

Calculation of QH pump characteristic using approximation method of least squares

It shows that at designing of systems of water supply there is a necessity of account of parametres and modes of operation of pump units. Advantage of approximation Q-H-characteristics of the pump by a polynom of n th order in comparison with account on the basis of similarity formulas, since is shown. The catalogue characteristic of the pump has no analytical description.

Keywords: pumping unit, QH characteristic, formulas of similarity.

Получено 06.07.10