Кинетический подход к расчету несущей способности полимерных многослойных конструкций, находящихся в длительной эксплуатации

О.Г. Осяев, А.В. Остапенко

КИНЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАСЧЕТУ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПОЛИМЕРНЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В ДЛИТЕЛЬНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ

Для практики важным направлением является оценка влияния процесса старения на несущую способность конструкций из полимерных материалов, с дальнейшей возможностью адекватной оценки времени их эксплуатации и условий разрушения. Особенностью полимерных материалов является существенная зависимость прочностных свойств от условий эксплуатации. Поэтому особую важность эта задача имеет для полимерных конструкций, находящихся в эксплуатации длительное время или используемых в экстремальных условиях.

Обобщение данных испытаний и результатов исследований на длительную прочность для металлических и композитных конструкций, имеющих, чаще всего, изотропные и анизотропные свойства, соответственно свидетельствует о наличии признаков ползучести материалов и накоплении повреждений материалов этих конструкций. Поэтому при нормальных условиях температурно-влажностного режима на этапе эксплуа-тации для расчетов на длительную прочность оболочечных конструкций могут быть применены модели упруговязкого тела и вязкого разрушения.

Оценка несущей способности конструкции предполагает решение двух взаимосвязанных задач:

- определение степени старения материала конструкции;

- оценка влияния изменений свойств материала на несущую способность.

Предлагаемая модель позволяет численными методами определять значения параметров трехмерного напряженно-деформированного состояния (НДС) силовых конструкций из неоднородных материалов с переменными физико-механическими свойствами при воздействии факторов внешней среды.

Согласно термофлуктуационной теории разрушения С.Н. Журкова

[1], момент разрушения конструкции под действием механических нагрузок определяется временем жизни до разрыва деформированных межатомных связей.

Исходя из статистического распределения Больцмана, предполагая постоянство нагрузки во времени, можно получить статический

t = t; rc =Ao exp

kl

и динамический

f A P)

C’ ' exp[(^0-vAKf (t)/JlPl)/kT] ~ 2

t

критерии разрушения.

Здесь 7 - время нагружения, гс - долговечность атомарных связей при статическом нагружении интенсивности напряжений, и0 - энергия активации процесса разрушения; Т - абсолютная температура; Ь - коэффициент перенапряжения; уА - флуктуационный объем; а - растягивающее напряжение берегов трещины; А0 - период колебания атомов; К(Г)- динамический коэффициент интенсивности напряжений.

Для определения величины динамического коэффициента интенсивности напряжений К (7) используем соотношение

где а(0 - растягивающая компонента тензора напряжений в импульсе нагрузки; ](^ - коэффициент динамичности нагрузки; 1к - длина участка свободной поверхности трещины, с которого энергия поступает в зону повышенных напряжений к моменту времени - время, по прошествии которого с малого участка поверхности трещины энергия не попадает в область перенапряжений. При изучении процесса разрушения необходимо учитывать возможность протекания релаксационных процессов в области вершины трещины. Вид релаксационного процесса и способ его описания зависят от исследуемого материала.

Релаксационный процесс характеризуется определенной энергией активации и, и характерным временем протекания релаксационного процесса 7Р:

Степень влияния релаксационного процесса на развитие процесса разрушения зависит от соотношения времени релаксации 7р и времени, характеризующего элементарный акт разрушения тс. Если тс < 7Р, что наблюдается при низких температурах, то в вершине трещины вынужденная высокоэластическая деформация не успевает развиться до проявления акта разрушения.

Если же тс > 7Р, то в вершине трещины сначала будут развиваться высокоэластическая деформация, а затем происходить разрыв полимерных цепей. Энергия активации релаксационного процесса ир повышает потенциальный барьер и0 процесса разрушения, величина которого с учетом возможности высокоэластичной деформации будет зависеть от температуры

В уравнении (5) величина и0 представляет собой эффективное значение энергии активации процесса разрушения, зависящее не только от температуры, но и от структуры материала в исходном и предразрывном состоянии.

В качестве исходных уравнений для расчета полей напряжений в многослойной конструкции принимаются трехмерные уравнения движе-

*р = А0 ехр(ир / кТ) .

ио(Т) = и0 + ирН (г- гг (Т)).

ния, соотношения Коши и обобщенный закона Гука для ортотропного материала, полученные из известных нелинейных уравнений [2], при допущении, что деформации е13, е23, £зз являются линейными функциями перемещений.

Уравнения движения:

[<тп(1 + е11) Т2Т3] + °"11 Г — е12 +3н3 +ап{ — е13 +2 Т2 +

сХ*1 V 2 0 0^2 V 2 0 0X3

д

д%2

д х2

°22\ ^ Є12 + 3 | Н1Н3

дН 2 д

-°22(1 + е22)^Г— Н3 +^~ UXl ^Х*1

°121 2 е12 +3 |Н2Н3

+ д~[<т12(1 + е11)Н1Н3] + °’12(1 + е22)-Н2Н3 -012\Те12 + 3Н3 + д^2 —х*1 V 2 0 —^2

Г1 \дН1и д , и гг ч —Ні дН3 „

+ °12I Те23 + 1 К— Н2 + ^“(о13Н1Н2) + 013 7“_Н2 -°33 7“_Н2 +

V 2 0 дх3 дх3 дх3 ^х*1

^1 -р

33 Н1Н 2 Н3 = 0;

д

д

°"11І ^ е13 - 2 |Н2Н3

/ \дН1 д

+ СТц(1 + е11)—1 Н 2 + — д¡3 д^

°221 ^ е23 + 1 |Н1Н3

дН2 д

-°22(1 + е22) -д— Н1 +д~ дх3 д¡1

°121 2 е23 + 1 |Н2Н3

д

дх2

д

°121 2 е13 +2 1Н1Н3

Г1 'І дН, Г1 ^ дН, д

°12I Те12 + 3 |^“_Н2 -012I Те12 + 3 ^— Н1 + Т"Т(о13Н2Н3) V 2 0 д¡3 V 2 0 дх3 д ¡1

дН3 д дН3

+ °13 —— Н2 + (о23Н1Н3) + °23 “Т— Н1 +

—К1 д^2 д^2

Соотношения для деформации:

1 2 Г

— Єц + 11 2 Є11 +1

Г1

+ 3 0 + е22 \ 2

е33 3 3 м

р3 -Р

Н1Н2 Н 3 = 0.

е12 = е12 + е11 \ —е,, + ю, I + е^ \ — е,п + ю, I + \ — Єї + ю, II _ е„ + ю.

где

2 13 1 2 II 2 23 1 |’

1 ди3 1 дН 1 дЯі

Є11 —----------------і-------------------и2 +----------------------и^ .

Я1 д¡1 Я1Я 2 д¡2

1

НН дгэ

21 —

НН 3

д д

— (Ни) - — (Н3и3) д¡2 дГ3

Физические уравнения (слои являются ортотропными):

е11 = а110ц + а12^22 + а13°33 + а1б^12 ;

+

+

+

+

е12 — а1бОП + а26^22 + а3б033 + а66^12 ; е13 — а45023 + а56^13.

Систему уравнений (6)-(9) дополним: - условиями на граничных поверхностях оболочки при ¡1 — ¡1 : 011(1+Є11 )+°12 Г1Є12-<“3 Н1’012 (1+Є22 )+0і{ 1е12-"3 0='°22’

°п

u1 — u1, и2 — u2 , и3 — и3 и при — ¡3і: о13 — ст±3; о23 — о2±3; о33 — 03*3; и1 — и± ; и2 — и±; и3 — и3± ;

- условиями идеального механического контакта слоев при ¡3 — ¡31:

°Щ — °Щ+1 ; °23,1 — °23,г+1 ; °13,г — °33,1+1 ; и\3,1 — и\3,1+1 ; и2,1 — °2,1+1 ;

и3,1 °3,1+1 ,

а также начальными условиями:

ды1 ды1

и.1 =Ы11 дtl дtl |

и=0 ^=0

В формулах (б) - (9):

(о11, •••СТ33 ) , (е11 е33 ) , (ы1, Ы2, ы3 ) , (-^1, -^2, ^3 ) , (а11,---абб ) , Р соответ-

ственно напряжения, деформации, перемещения, объемные нагрузки, коэффициенты податливости, плотность, Н1, Н2, Н3 - коэффициенты Ляме. Полное НДС оболочки представим в виде

XЕ= X0 + X (t),

Х = {

где Х0 - вектор компонент предварительного НДС; X(0 - вектор компонент дополнительного НДС, возникающего при отклонении от предварительного состояния в результате действия импульсных нагрузок и тепловых потоков.

Полагая, что перемещения и деформации оболочки в предварительном состоянии равными нулю и разрешив полученную систему уравнений

относительно шести функций о = {о13, сг23, о33, ы1, ы2, ы3} , используя

преобразования, приведенные в работе [3], приходим для каждого слоя оболочки к системе уравнений:

дст-

13

дх3

— и —

1

д

Н1Н2 дхі

Н

°Л,0

1 дН

Н12 Н 2 дх2

1 дН1

Н,2 Н 2 я, дх2

1 д

Н2 Н 2 1 2

1 дН 2

Н2 Н 2 дх,

1 дН1

Н 2 Н дх2

2 дН,

°22,0

Н1

1 дН

дм, 1 дН, дН,

-------+--------------М 2 +---------М3

чдх, Н 2 дх2 дхз

дм-

----------1--------м, + -

Н2 дх2 1 дх1

1 дН, Н2 дх3

ст11,0

дН1 дм3

-------Мі \--------

дх3 дх1 0

°Л,0

( дм2 1 дН 2 дН 2 ^

+ ттг—:— М1 +

дх2 Н1 дх1

дх3

Н1Н2 дх3

ст12,0

ст12,0

ст12,0

ст12,0

дм2 1 дН1 дН1

\---------:----М2 \-----------М3

дх1 Н2 дх2

дх3

1 дН, дМ2

--------1-------М, \---------

Н2 дх2 1 дх1

дМ2 1 дН 2 дН 2

\---------:----М, \-------------М3

дх1 Н1 дх1

- дН2 \ дМ3

---------М3 \---------

дх3 3 дх2

дх3

дст-

33

дх3

—13 —

1 дН, Н2 дх3

°Л,0

дщ 1 дН, дН,

+ —------:---+ -------М3

дх1 Н2 дх2 дх3

1

д

Н1Н2 дх1

Н

Н

'ст11,0

дН,

дх~.

ды

V

- М, +-------------

дх

н 2 дх3 1 дН,

НН2 дх2 1 дН,

Н,Н2 &3 1д

1 дН2 ( дМ2 1 дН2

+ —“ _— ст22,01 "г— + Т,—~— М1 +

1 0

дН

дх2 Н2 дх1

(

дх

М3 3

ст22,0

дН 2 дМ3

-------Мо +---------

дх3 2 дх2

л

дМ, 1 дН 2

ст12,01 т— + 77—~— М2 1 +

дх2 Н1 дх1

Н1Н2 дх

ст12,0

дН 2

дхт

дМ3

"М2 +дГ дх2

1 дН 2

Н,Н2 дх3 1д

ст12,0

1 дН, дМ2

----------1М, +—2

Н2 дх2 1 дх1

Н1Н2 дх1

ст12,0

Н

дН 1 дщ

•---------М3 +-----------

дх 3 дх

ди, . ди2 . дМ3

— и4 ’ "Т — ^5 — ^6 .

дх3 дх3 дх3

Здесь Ъ (¡=1+6) - комплексы, имеющие вид правых частей в системе уравнений (9) [4]; с11>0, 712,0, &22,0 - напряжения в оболочке, вызванные ее предварительным нагружением.

Напряжения ст11, 712, &22 определяются с использованием соотношений Коши и закона Гука:

дМ,

дх,

—. . 2.

17 22 ^1,11 Л +^ 2,11

(

дМ2

дх0

Л

- + Мо

і( а13^1,11 а23^2,11 )+ А2,11Т ’

+

+

+

+

+

+

+

1

22 1,22

ды1

дх

712 _А

1 ды2

х3 удх2

+ 733 ( а13А1,22 а23А2,22 ) + ^2,22Т .

Коэффициенты при производных в уравнениях (15) определяются физико-механическими параметрами слоев:

* _ а22авв . * _ а12авв . * _ а12авв . а _ ^11^66 .

¿А111 , 2,11 » ’ ^1,22 . ’ 2,22 _ "

*

А _ а11а22 — а12

¿_Ло 1

А

А

; А (а11а22 а12 )аб6;

где

^2,11 а11А1,11 а22А2,11; А2,22 а11 А1,22 а22А2,22,

1 .

а _-----------; — ; а13 — ; а^з — ; а„ — ; а.. _-; ССгг — —

«11 Е 12 Е 13 Е 23 Е 33 Е “44 с 55 п

Е11 22 -^ЗЗ -^ЗЗ -^33 23 ^13

V-

V,,

1 .

1 .

а66 _ —.

66 ^

^12

Полное напряженно-деформированное состояние многослойной оболочки является суммой предварительного и дополнительного, определяемого из решения систем уравнений (14) и (15).

В уравнениях (15) - (16) (Е11, Е22, Е33), (а11, а22, а33) соответственно модули упругости, коэффициенты линейного температурного расширения для направлений х1, х2, х3; (012, 013, 023), (у12, у13, у23) - модули сдвига и коэффициенты Пуассона.

Для распространенных в практике цилиндрических оболочек силовых конструкций компоненты действующих на оболочку нагрузок, полей температур и функции параметров НДС раскладываются в двойные тригонометрические ряды по продольной и окружной координатам:

¥ ¥ тр

{ы1, 71±3 } _ ЕЕ {Ы1,тп , 713,тп , 7Г3,тп } СОЭ — х1 СОЭ пх2 ;

т_1 п_0 ^

¥ ¥

{Ы2 , 723 , 73 } _ ЕЕ {Ы2,тп , 723,тп , 7^3,тп } Э1П — ДС^т пх2 ;

-_1 п_0 ^

¥ ¥ —р

{Ы3 , 733 , 73±3 } _ ЕЕ {Ы3,тп , 7 33,тп , 73ъ,тп } вШ — х1 СОЭ пх2 ,

- _1 п_0 I

а производные по времени - в конечные разности

д27 _ 27 (^ ) - 57 (ts-l) + 47 (1-2) -7 (^;

дг2 _ _т2 _ ;

д7_ )- 47

дг 2т

После подстановки результатов разложения в исходную систему уравнений для расчета полного НДС многослойных оболочек, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для пары волновых чисел т и п для каждого шага по времени. Осуществляя интегрирование полученной системы уравнений с использованием метода дискретной ор-тогонализации [6], позволяющего автоматически удовлетворять условиям идеального механического контакта слоев, а также суммируя тригонометрические ряды разложения напряжений 711, а12, а22, 723, 733, получаем решение задачи о трехмерном НДС многослойной оболочки.

Прогнозирование состояния конструкции осуществляется на основании критериев (1), (2) для полученных значений растягивающих напряжений в зонах концентрации напряжений и областях возможного образования трещин.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бартенев Г.М. Прочность и механизм разрушения полимеров. - М.: Химия, 1984. - 280 с.

2. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -М.: -Л.: Гостехиз-дат, 1984. - 212 с.

3. Григоренко Я.М., Василенко А. Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. - Киев.: Вища школа, 1985. - 190 с.

4. Бакулин В.Н. Использование уравнений трехмерной теории упругости для решения задач динамики многослойных оболочек /Известия вузов. Авиационная техника, 1985. № 3. - С. 7-12.

5. Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла. -М.: Стройиздат, 1974. - 240 с.

6. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -232 с.

В.В. Владимиров, Н. С. Звягинцев, Д.В. Граждан

РАЗВИТИЕ АЛГОРИТМА ДИСКРЕТНОГО КВАТЕРНИОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Рост объема вычислений, свойственный современному уровню развития информационных технологий, неразрывно связан с разработкой новых методов и алгоритмов вычислений. В частности, это актуально для решения задач многомерных преобразований. Одним из перспективных путей решения данного класса задач являются итерационные алгоритмы дискретного вращения вектора [1]. Однако эти алгоритмы, как правило, строятся на основе плоского базового оператора. В работах [2-4] предложен итерационный алгоритм дискретного кватернионного преобразования, выгодно реализующий вращение вектора в трехмерном пространстве. Логика построения этого алгоритма дает возможность его развития для многомерных пространств.