Экспоненциальная параметризация матрицы смешивания нейтрино как элемент группы SU(3) и учет новых экспериментальных данных

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Экспоненциальная параметризация матрицы смешивания нейтрино как элемент группы SU (3) и учет новых экспериментальных данных

К. В. Жуковский

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru

Статья поступила 22.09.2016, подписана в печать 28.09.2016

Экспоненциальная форма матрицы смешивания Понтекорво-Маки-Накагавы-Сакаты для нейтрино рассматривается в контексте фундаментального представления группы SU(3). Находится логарифм матрицы смешивания. С последними экспериментальными данными о смешивании нейтрино вычисляются точные значения каждого из параметров экспоненциальной матрицы смешивания нейтрино. Установлены значения элементов ее действительной и мнимой частей, отвечающих за смешивания без СР-нарушения и за CP-нарушение соответственно. Подтверждается гипотеза дополнительности смешивания кварков и нейтрино. Показана факторизация экспоненциальной матрицы смешивания, которая позволяет разделить вклады смешивания без СР-нарушения и само CP-нарушение в виде произведения вращений вокруг действительной и мнимой осей.

Ключевые слова: нейтрино, смешивание, PMNS-матрица, CP-нарушение, экспоненциальная параметризация, группа.

УДК: 53.01, 539.123. PACS: 14.60.Pq, 12.15.Ff, 02.20.-a.

Введение

В Стандартной модели электрослабых взаимодействий [1-3] важную роль играют нейтрино. Изначально масса нейтрино в рамках Стандартной модели полагалась равной нулю, но в связи с обнаружением у нейтрино отличной от нуля массы в нее были внесены изменения. Существуют по меньшей мере три массовых состояния нейтрино V, ^2, и3, соответствующие полному ортонорми-рованного базису трех флейворных нейтринных состояний ре, , иТ, которые и взаимодействуют с тремя заряженными лептонами e, т обменом калибровочными бозонами W +, W- и Z. При этом во взаимодействии участвуют смешанные состояния, предсказанные ранее Б. Понтекорво [8, 9]. Физика нейтрино в последние время привлекает значительное внимание ученых. В 2015 г. Нобелевская премия по физике была присуждена за открытие нейтринных осцилляций, подтвердивших явление смешивания нейтрино. В процессе распространения нейтрино происходит изменение их флейвора, установленное в экспериментах и наблюдениях по смешиванию атмосферных [6], солнечных [4, 5] и реакторных нейтрино [7]. Для описания перехода из базиса массовых состояний нейтрино в базис флейворных состояний и обратно используется унитарная матрица смешивания Понтекорво-Маки-Накагавы-Са-каты (РМЫБ) Цвдга [10]

К) = V U

/ у -PMNS ai i=1,2,3

построенная аналогично матрице смешивания Кабиббо-Кобаяси-Маскавы (СКМ) в кварковом секторе. С ее помощью флейворные состояния нейтринно ^, , иТ записываются в виде линейной комбинации массовых состояний нейтрино р1, щ, ъ*3 (1), так что в совместном рождении лептона типа а и соответствующего нейтрино ъ*а заряженным W -бозоном задействованы все массовые состояния нейтрино. Для трех поколений без участия стерильного нейтрино [11-13], которое не взаимодействует с W -и Z-бозонами, унитарная матрица смешивания 3 х 3 имеет следующий вид:

ЦРМ^ = Ц^м^

где стандартный вид матрицы смешивания Ц^ для нейтрино

Vt

V1

С12С13

-S12C23 -

- C12S23S13«' S12S23 -

iScp

V2

S12C13

C12C23 -- S12S23S13e

iScp

-C12S23 -

\ - C12C23S13eiScP - S12C23S13e

iScp

V3

S13e-iScp\ S23C13

C23C13

/

UpMNS ai = {Va\Vi), a = e, t, i = 1,2,3,

определяется четырьмя параметрами: тремя углами смешивания в12, в23, в13 в виде Cij = cos 6ij, Sij = sin 6ij, i,j = 1,2,3, и фазой Scp, описывающей cp-нарушение [14]. Возможную майорановскую природу нейтрино, т. е. когда они совпадают со своими античастицами, описывает диагональная матрица PMjr = diag(eloq/2, ela2/2, 1). Для майорановских частиц фазы a1 и a2 не равны нулю: a12 = 0;

V

a

2 ВМУ. Физика. Астрономия. № 5

они играют роль в процессах с нарушением леп-тонного числа. Матрица Ust стандартной параметризации (3) для нейтрино играет ту же роль, что и матрица CKM для кварков [14-18]. В отличие от кваркового сектора, где непосредственно определяются значения элементов матрицы смешивания экспериментальным измерением амплитуд соответствующих процессов, в лептонном секторе определяются углы смешивания на основе прямых или косвенных наблюдений и измерений. Смешивание для нейтрино значительно сильнее, чем для кварков, и соответствующие углы смешивания в12 и в23 велики, так что нельзя провести разложение по малому параметру: А = sin ^Cabibbo ~ 0.22 - синусу угла Кабиббо [19], как в случае кварков. Значения майо-рановских фаз на настоящий момент неизвестны. Их учет с помощью экспоненциальной параметризации был произведен, например, в [20], однако это не внесло ясности в общую картину, которая и без того достаточно сложна ввиду больших значений углов смешивания и особенно из-за сильного СР-на-рушения в лептонном секторе Стандартной модели. В дальнейшем мы будем рассматривать дираковские нейтрино.

1. Экспоненциальная параметризация матрицы

смешивания

Наряду со стандартной параметризацией матрицы смешивания (3), для описания смешивания хорошо подходит матричная экспонента, которая дает по аналогии с матрицей для смешивания кварков [21-23]

Uexp = exp A.

При этом возникает вопрос о соответствии элементов матриц A и Ust. Для перехода от (4) к (3) можно воспользоваться чисто алгебраическим методом, основанном на применении теоремы Кэли-Гамиль-тона [24]. В частности, можно получить точное выражение для элементов матрицы смешивания в виде матричного полинома второго порядка по A :

eA = a0I + a1A + a2A2

где коэффициенты ап определяются довольно громоздкими, но чисто алгебраическими вычислениями

и параметра группы. Опуская детали, используем основной результат [25], а именно то, что для любого элемента группы БЦ (3), сгенерированного эрмитовой матрицей Н размерности 3 х 3, след которой равен нулю, справедливо следующее соотношение [25]:

ехр[1вИ ] =

=

£=0,1,2

И2 + И sin(^ + 2п£/3) -

V3

- 31

1 - 2 + 2п£/3))

с нормировкой

1г [Н2] = 2,

дающей масштаб для в. Таким образом, Н — элемент группы БЦ(3) — записывается как матричный полином второй степени и зависит от угла вращения группы в и единственного инварианта ёеЦН), который можно переобозначить в терминах другого угла (см. [25]):

ф=1 (arccos( 2

V3 det(H)) - j).

Отметим также, что с помощью преобразований Лапласа формула (6) может быть также записана в виде следующего дифференциального уравнения [25]:

exp[i£H] = (И2 - iHd -1 (

' + ^))

ехр

Х ^ 1 - 2 + 2п£/3)) ,

£=0,1,2 4 ^ "

для решения которого можно использовать операторный метод [26-32]. Теперь используем приведенные выше результаты непосредственно для нашей задачи. Выделим в экспоненциальной параметризации матрицы смешивания Цехр = ехр А (4) множитель ¿в так, чтобы привести (4) в соответствие с левой частью уравнения (6). Тогда с учетом обычной нормировки (7) получаем в нашем случае для параметра в следующее простое выражение:

в И -tr

A! 2

1/2

определяющее по существу угол поворота в группе БЦ(3). Теперь для матрицы смешивания как для элемента фундаментального представления группы с помощью формулы (6) получаем матричный полином второго порядка эрмитового генератора Н с коэффициентами (8) из элементарных тригонометрических функций единственного инварианта ёеЦН).

Рассмотрим теперь обратную задачу, а именно найдем матрицу А показателя экспоненты (4) по имеющейся матрице смешивания Ц. По существу, нам нужно найти логарифм матрицы смешивания Ц. Можно вычислить интегральное представление логарифма матрицы по схеме, разработанной в [33].

х

х

Опуская детали теорем и доказательств, касающихся существования матричного логарифма, приведем результат для матрицы А (см. [33]):

A = lnU =

e U -1

(1 - t)I + tewU

-1

dt-WI,

и

которая есть логарифм квадратной матрицы и, т.е., естественно, и = ехр А. Угол в произволен, но таков, что в1ви не имеет сингулярностей на (-го,0]. Решение (11) уравнения и = ехр А есть аналитическая матричная функция, и оно коммутирует с любой матрицей, которая коммутирует с А. Более того, любое решение, которое коммутирует с А, отличается от (11) на логарифм единичной матрицы I = ехр А. Применим развитый в [33] формализм к нашему случаю и положим для простоты в = 0, что дает следующее выражение для показателя экспоненциальной матрицы смешивания:

A = ln U =

U I

't (U -1) +1

1

dt.

Формула (12) применима к описанию любого смешивания с произвольным нарушением СР, что мы и используем в следующих разделах.

2. Смешивание без учета СР-нарушения

В случае смешивания без нарушения СР в экспоненциальном представлении получаем чистое вращение в трехмерном пространстве; для элемента 5U(3) имеем det И = ф = 0 и общая формула (6) сводится к известному случаю Родригеса для вращений SO(3) с SU(3) вокруг действительной оси n:

exp[iвИ] ф=0 = I + iH sin в + И2

Экспоненциальная матрица смешивания A в этом случае представляет генератор вращения вокруг фиксированной оси n группы SO(3) [22], которая совпадает с вектором n = (nx, ny, nz):

R = eArot = exp

/

0

Л

№

-Л 0

—V 0J

exp

Ф

0 -nz

y

\

Пу

0 —nx nx 0 J

Rx

Rxx Rxy

Ryx Ryy R¡

\

yy

\Rzx R

zy

Rzz /

Элементы Rij матрицы вращения (14) могут быть определены из следующего тензорного выражения (см. [41]):

Rij = (1 — cos Ф)п/п, + 5tj cos Ф — eijknk sin Ф,

i, j, k = x, y, z,

где $¿1 — символ Кронекера, £¿1^ виты. Координаты вектора п

V а А

= ф, пУ = ф, п* = -ф и угол поворота в пространстве

ф = ±у/ а2 + а2 + v2

символ Леви-Чи-

1 + ^

представлены в терминах параметров v, А матрицы вращения Arot (14).

Экспериментально определенные значения углов смешивания для нейтрино в стандартной параметризации (3) на настоящий момент (май 2016 г.) [34, 35] составляют (best fit):

012 = 33.72°, 023 = 49.3°, 013 ^ 8.47°.

Отметим, что в трибимаксимальной параметризации, которая до недавнего времени хорошо описывала экспериментальные данные, 013 = 0, 5CP = 0

и 012 = arctg (1/л/2) = 35.25°, 023 = п/4 = 45°.

Однако последние данные (18) показывают, что 013 = 0 (см. [35]). С помощью представления (14) вращения вокруг выделенной оси (16) в трехмерном пространстве на угол (17) координаты вектора и угол поворота для трибимаксимальной параметризации (ТВМ) таковы:

пТВМ = (0.7858,0.2235,0.5777), Фтвм = 56.6°,

на основании данных PDG 2014 имеем

nv2014 = (0.7021,0.3936,0.5934), Фv2014 = 49.8°

и по последним имеющимся данным [35] на май 2016 г.:

nv 2016 = (0.8142,0.1100,0.5701), Фv 2016 = 61.7°.

Сравнение координат вектора и угла вращения в (19), (20), (21) друг с другом показывает, что они довольно сильно отличаются от года в год, особенно компонента вектора ny; угол поворота также меняется на « 20%. Однако сравнение направления

Оси вращения в пространстве для смешивания кварков

V

n

z

вектора вращения для нейтрино (при отсутствии СР-нарушения) с направлением аналогичного вектора вращения для кварков в рамках той же экспоненциальной параметризации [21, 22] показывает, что угол между вектором для кварков nq и вектором для нейтрино n^ составляет 43.6° для ТВМ, 44.5° для PDG 2014 и 45.8° для данных на май 2016 г. (рисунок).

Таким образом, наблюдается поразительная стабильность величины угла между nq и n^ с высокой точностью равного « 45° при сильном разбросе данных по нейтрино.

3. Учет СР-нарушения в экспоненциальной параметризации

В качестве матрицы A в (4) обычно выбиралась следующая матрица A = A0 [20]:

/

A> =

о

-Ai

\-A3e-

Ai 0

— A2

Азе

A2

is\

0

где фаза 6, вообще говоря, не совпадает с 6ср. Такая экспоненциальная матрица смешивания для нейтрино была предложена в [36], и она хорошо описывает смешивание при слабом СР-наруше-нии. Использование экспоненциальной параметризации позволяет выделить вращение, ср-нарушение и майорановскую часть отдельными множителями в новой унитарной параметризации [20]:

V = Р^РсрРм],

где Рт{ = Я задано в (14), а СР-нарушение описано матрицей

Рср = ехр

Тогда для матрицы А0 (22) имеем СР-нарушающую часть Рср = Рсро:

лАсро

Pcpo = eA

f 0 0 fi(-1 +

A ер о —

1 - e-iS) 0

0

7

а маиорановская часть зависит от соответствующих фаз:

PMjr — е

'Mjr

AMjr — i

ai/2 0 0

0

a2/2 00

0 0

Экспоненциальная параметризация (4) матрицы смешивания нейтрино с учетом СР-нарушения посредством минимального комплексного расширения (22) и ее факторизация (23) в виде произведения матрицы вращения (14) и АСР0 описывают экспериментальные данные только при малых углах СР-на-рушения. Для больших значений фазы 6 ее учет с помощью (22), проведенный, например, в [39] для

6 = —60°, дает лишь удовлетворительные результаты для абсолютных величин элементов РМЫБ матрицы; комплексная составляющая появляется у других, по сравнению со стандартной параметризацией (3), элементов. Более того, не очевидно, какие значения нужно выбирать для СР-нарушающей фазы 6 в экспоненциальной параметризации, так как экспериментальные оценки СР-нарушения проведены для фазы 6ср в другой параметризации. Качественное соответствие фаз 6 и 6ср, установленное в [39] на основании того, что вклад комплексной составляющей максимален при 6ср = 6 = п/2 ± пп, а при 6ср = 6 = ± 2пп СР-нарушающая матрица становится единичной и СР-нарушение исчезает, логично, но не есть доказательство того, что эти фазы равны: 6 =6ср. Для точного описания экспериментальных данных в качестве матрицы А лучше использовать следующую более общую матрицу А1:

/

Ai —

0

-AîOfo)

ai

0

A2^cp)

v-a3 (¿cp) -a^ (¿cp) 0 /

где все матричные элементы X, комплексны. Унитарность матрицы смешивания Uexp = expA\ обеспечивается антиэрмитовой формой матрицы Ai (28).

С использованием формулы (6) можно сравнить матричные элементы стандартной параметризации (3) и результат разложения (5) экспоненциальной параметризации (4) в полином второй степени A. Решение составленной в результате системы уравнений дает точные аналитические выражения для Aij как функций в12, в23, в13 и ¿CP, но они чрезвычайно громоздки и не проясняют суть дела. Произведем численный расчет с имеющимися данными по смешиванию нейтрино и СР-нарушению [34, 35] (best fit, май 2016 г.). Исходя из данных (18) на май 2016 г. и ¿cp = 272° [34, 35, 38], получаем следующие численные значения матричных элементов для смешивания нейтрино (3):

/

Ubest fit —

0.823

-0.365 + + 0.093i

0.549

0.540 + + 0.062i

0.418 + -0.632 + V + 0.080i + 0.053i

и их абсолютные величины

lUbestfitl —

0.823 0.374 0.428

0.549 0.546 0.633

0.005 + N + 0.147i

0.750 0.645

0.147^

0.750

0.645

Используя то, что матрица смешивания принадлежит фундаментальному представлению группы Би

0

0

0

и получим следующее значение матричных элементов экспоненциальной матрицы:

A=

(

-0.0253632,

-0.551703 + + 0.0557619,

0.249131+ V + 0.136429,

0.551703+ + 0.0557619,

0.0502214,

-0.834211 + + 0.0319945,'

-0.249131 + ^ + 0.136429,

0.834211+ + 0.0319945,

0.0248583,

/

Тогда экспоненциальная параметризация (4) с (31) точно воспроизводит экспериментально обоснованные данные (best fit 2016) (29): Ubestfit = eA.

Несмотря на наличие малых по величине диагональных элементов в матрице

Adiagim = , diag {а1, а2, аэ}

внешне напоминает вклад для майорановских частиц, но он происходит от СР-нарушения. Соответствующие фазы очень малы \а,\ « 10~2. Отметим, что все элементы матрицы А (31), точно воспроизводящей экспериментальные данные, комплексны и точный учет СР-нарушения невозможно произвести простейшей матрицей (26), как предлагалось ранее в [20, 39]. Полученные в [20, 39] результаты с комплексным расширением только в двух угловых элементах (1, 3) и (3, 1 ) могут рассматриваться только как первое приближение. Экспоненциальная матрица смешивания с анзацем АСР0 (26) годится для описания небольшого СР-нарушения и неудовлетворительно описывает данные по смешиванию на май 2016 г. (29); этот результат мы даже не приводим.

Факторизация (23) экспоненциальной матрицы смешивания (4) может быть осуществлена путем разделения действительной и мнимой частей А :

Arot = Re[A] и ACP = , Im[A].

Точно описывающая смешивание при любом СР-на-рушении матрица А (31) представима в виде суммы действительной и мнимой частей (33):

А = Аго1 + АСР = Аго1 + АСР 1 + 1т,

где за смешивание без СР-нарушения и за трехмерное вращение отвечает действительная матрица

Arot = Re[A] =

0 0.551703 -0.249131 -0.551703 0 0.834211 , 0.249131 -0.834211 0

7

а за основной вклад от СР-нарушения и за вращение вокруг чисто мнимой оси отвечает мнимая матрица

Аср 1 =1 Im[A — А^1т] =

( 0 0.0557619, 0.136429, \

0.0557619, 0 0-0319945,' -

Их сумма дает предложенный нами анзац А1 (28) с комплексными параметрами Л,. Для 6СР = 272°:

/

A1 =

0.554514 х

7°

х el5J

0

-0.554514 х

х e_,5-7°

0.284041 0.834825

0.284041 х

х e,151.3°

0.834825 х

х e^2

\

e

-,151.3°

e

-,2.2°

/

Очевидно, что основное СР-нарушение содержится в матричных элементах (1,3) и (3, 1). Малая диагональная поправка А^^ задана формулой (32). Естественно, экспоненциальная параметризация (4) с учетом (31) дает в точности результат (29): exp[Arot + Аср 1 + А(11а§1т] = Ц^Ш- Пренебрегая малым вкладом А^^ с анзацем (28) А1 = Аг^ + АСР1 в экспоненциальной параметризации (4), получаем следующие величины элементов матрицы смешивания:

0.823 0.550 0.141 0.378 0.542 0.751

\0-424 0.635 0.646/

которые хорошо согласуются с экспериментально обоснованными значениями (30).

Таким образом, предложенный нами анзац (28), в отличие от ранее использовавшейся в [20, 39] матрицы (26) для экспоненциальной параметризации (4), хорошо описывает смешивание даже с 6СР = 270°, при котором СР-нарушение максимально, а вклад мнимой диагонали (32) А^^ дает малую поправку.

Получим теперь результат для экспоненциальной параметризации матрицы смешивания нейтрино с учетом СР-нарушения простейшим комплексным расширением (22) только двух матричных элементов (1,3) и (3,1). Тогда из (37) получаем численные значения для (22) в виде

/

A0 =

0

0.552

0.552 0

0.284e 0.834

,150°\

\-0.284e-,150° -0.834 0 /

Значение СР-нарушающей фазы в экспоненциальной параметризации составляет 6 = 150°, что соответствует 6СР = 270° в стандартной параметризации. В результате получаем для значения величин элементов матрицы смешивания

/г

0.824 0.366 0.431

0.555 0.543 0.630

0.112

0.755 0.646

0

0

которые хорошо согласуются с экспериментальными данными best fit 2016 (30), кроме матричного элемента (1,3), который несколько меньше, чем в |Ubestfit| (ср. (30)). Факторизация (33) с разделением действительной и мнимой частей в A0 и в A1 дает абсолютные значения элементов матрицы смешивания, которые очень близки к значениям в (40) и в (37) соответственно. Для краткости мы не повторяем эти формулы, отличающиеся в третьем порядке.

Таким образом, мы продемонстрировали несколько экспоненциальных параметризаций матрицы смешивания нейтрино с учетом сколь угодно большого СР-нарушения, которые обеспечивают хорошее и даже полное согласие с экспериментом.

Выводы

Экспоненциальная параметризация матрицы смешивания используется для анализа последних данных по смешиванию нейтрино (май 2016 г.) с учетом СР-нарушения. С помощью теоремы Кэли-Гамиль-тона экспоненциальная матрица U = ехр(Л) смешивания записывается как матричный полином A второй степени. Рассматривая матрицу смешивания как элемент группы SU(3), мы решили обратную задачу, что позволило получить выражение для логарифма матрицы смешивания U. Это дает точные значения показателя A матричной экспоненты для данной унитарной PMNS-матрицы c СР-нарушением и решает задачу о нахождении экспоненциальной матрицы смешивания, точно воспроизводящей смешивание нейтрино с произвольным СР-нарушением.

С помощью экспоненциальной параметризации проанализированы данные о смешивании нейтрино из Particle Data Group 2014 и последние данные на май 2016 г. Без учета СР-нарушения смешивание представляет собой поворот в действительном трехмерном пространстве вокруг фиксированной оси. Элементы экспоненциальной матрицы являются координатами вектора n этого вращения, факторизованные углом поворота Ф. Получены соответствующие векторы и углы поворота для трибимаксимальной параметризации и для данных PDG 2014, май 2016 г.: nTBM = = (0.7858,0.2235,0.5777), Фтвм = 56.6°, n^ 2014 = = (0.7021,0.3936,0.5934), Ф^2014 = 49.8°, n^2016 = = (0.8142,0.110,0.5701), Ф^ 2016 = 61.7°. Несмотря на значительный разброс величин углов поворота: от 50 до 62° и координат (например, ny G [0.11,0.39] ), направления векторов вращения n^ для нейтрино и nq для кварков во всех случаях составляют угол, очень близкий к 45°, и это подтверждает гипотезу дополнительности кварков и нейтрино [42, 43].

Получены значения элементов экспоненциальной матрицы смешивания для нейтрино, точно описывающие экспериментальные данные с учетом СР-нару-шения. Эта экспоненциальная матрица смешивания

eArot +Acp1+Aiiagim обобщает ранее использовашуюся (см. [20, 39]) матрицу eArot+Acp0 на случай произвольного СР-нарушения. Проведено разделение действительной и мнимой компонент матрицы, которые в матричной экспоненте представляют вращение в действительном и мнимом пространстве, и выделен малый вклад мнимой диагонали Aiiag im матрицы A. Таким образом, экспоненциальная параметризация позволила выделить вклад смешивания без СР-нару-шения в виде действительного вращения и основной вклад СР-нарушения в виде чисто мнимого вращения, а также диагональные мнимые составляющие как малые поправки за счет СР-нарушения.

Получено соответствие между экспериментально определенной СР-нарушающей фазой 5CP = 272° в стандартной параметризации и СР-нарушающей фазой в A0 в экспоненциальной параметризации матрицы смешивания: 5 = 151°; A0 является основным вкладом СР-нарушения. Учет СР-наруше-ния посредством A0 дает матрицу UPMNS, хорошо соответствующую экспериментальным данным, кроме элемента (1, 3), который оказывается несколько занижен. Учет СР-нарушения матрицей ACPi очень хорошо описывает СР-нарушение и представляет вращение в чисто мнимом пространстве. Мнимые диагональные элементы матрицы A: AdiagIm = i diag{«i, а2, а3}, а\ = - 0.0253632, а2 = 0.0502214, а3 = - 0.0248583, напоминают вклад от майорановских частиц, но происходят из-за СР-нарушения. Интересно, что а1 = а3 = — а2/2. Учет всех слагаемых в экспоненте: Arot + ACP1 + AdiagIm дает полное согласие с экспериментальными данными. Ранее использованный анзац ACP0 является лишь первым приближением и не годится при сильном СР-нарушении. Новый анзац ACP1 и соответствующая экспоненциальная матрица U = exp(A1) пригодны для любого значения СР-нарушающей фазы.

Анализ экспериментальных данных с помощью экспоненциальной матрицы смешивания, его результаты и интерпретации могут быть полезны при обработке экспериментальных данных по осцилля-циям нейтрино, а также при планировании новых экспериментов в будущем.

Автор благодарит профессора А. В. Борисова за полезное обсуждение полученных результатов и за предложенный способ вычисления логарифма матрицы.

Список литературы

1. Weinberg S. // Phys. Rev. Lett, 1967. 19. P. 1264.

2. Salam A. Elementary Particle Theory / Ed. by N. Svartholm. Almquist Forlag AB, 1968.

3. Glashow S.L. // Nucl. Phys. 1961. 22. P. 579.

4. Smy M.B. et al. (Super-Kamiokande Collaboration) // Phys. Rev. D. 2004. 69. P. 011104.

5. Ataki T. et al. (KamLAND Collaboration) // Phys. Rev. Lett. 2005. 94. P. 081801.

6. Ashie Y. et al. (Super-Kamiokande Collaboration) // Phys. Rev. D. 2005. 71. P. 112005.

7. Apollonio M. et al. (CHOOZ Collaboration) // Eur. Phys. J. C. 2003. 27. P. 331.

8. Понтекорво Б. // ЖЭТФ. 1957. 33. С. 549.

9. Понтекорво Б. // УФН. 1968. 95, № 7. С. 517.

10. Maki Z., Nakagawa M., Sakata S. // Prog. Teor. Phys. 1962. 28. P. 870.

11. Murayama H, Yanagida T. // Phys. Lett. B. 2001. 520. P. 263.

12. Barenboim G, Lykken J. // Phys. Lett. B. 2003. 554, N 1. P. 73.

13. Gonzalez-Garcia M.C., Maltoni M., Schwetz T. // Phys. Rev. D. 2003. 68. P. 053007.

14. Olive K.A. et al. (Particle Data Group) // Chin. Phys. C. 2014. 38. P. 090001.

15. Chau L.-L., Keung W.-Y. // Phys. Rev. Lett. 1984. 53. P. 1802.

16. Harari H., Leurer M. // Phys. Lett. B. 1986. 181. P. 123.

17. Fritzsch H, Plankl J. // Phys. Rev. D. 1987. 35. P. 1732.

18. Botella F.J., Chao L.-L. // Phys. Lett. B. 1986. 168. P. 97.

19. Wolfenstein L. // Phys.Rev.Lett. 1983. 51. P. 1945.

20. Datolli G., Zhukovsky K.V. // Eur. Phys. J. C. 2008. 55. P. 547.

21. Datolli G, Zhukovsky K.V. // Eur. Phys. J. 2007. 50. P. 817.

22. Datolli G, Zhukovsky K.V. // Eur. Phys. J. 2007. 52, N 3. P. 591.

23. Жуковский К.В., Даттоли Д. // ЯФ. 2008. 71, № 10. C. 1838.

24. Ayres F., Jr. Theory and Problems of Matrices. — Shaum's Outline Series. N.Y.: Schaum Publishing Co., 1962.

25. Curtr,ght T.L., Zachos C.K. // Rep. Math. Anal. Appl.

2015. 76, N 3. P. 401.

26. Zhukovsky K. // J. Math. Anal. Appl. 2017. 446, N 1. P. 628.

27. Жуковский К.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.

2016. № 3. P. 18.

28. Zhukovsky K.V. // Springer Plus. 2016. 5. P. 119.

29. Zhukovsky K.V. // Int. J. Heat Mass Transfer. 2016. 96. P. 132.

30. Zhukovsky K.V., Sr,vastava H.M. // Appl. Math. Comp. 2017. 293. P. 423.

31. Жуковский К.В. // Теор. мат. физ. 2017. 190, № 1. C. 58.

32. Zhukovsky K., Sr,vastava H/ // Axioms. 2016. 5, N 4. P. 29.

33. Wouk A. // J. Math. Anal. Appl. 1965. 11. P. 131.

34. Gonzalez-Garc,a M., Malton, M., Schwetz T. Updated fit to three neutrino mixing: status of leptonic CP violation. arXiv: 1409.5439.

35. Gonzalez-Garc,a M., Malton, M., Schwetz T. NuFIT 2.1 (2016). 2016.

36. Strum,a A., V,ssan, F. Neutrino masses and mixings and... 2006. arXiv: hep-ph/0606054.

37. K,ng S.F. // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2015. 42. P. 123001.

38. Ma E. // Phys. Lett. B. 2016. 752. P. 198.

39. Zhukovsky K., Melazz,n, F. // Eur. Phys. J. C. 2016. 76. P. 462.

40. Dattol, G., Sab,a E., Torre A. // Nuovo Cimento A. 1996. 109, N10. P. 1425.

41. Goldste,n H. Classical Mechanics. Cambridge, MA: Addison-Wesley, 1950.

42. M,nakata H, Sm,rnov A.Yu. // Phys. Rev. D. 2004. 70. P. 073009.

43. Ra,dal M. // Phys. Rev. Lett. 2004. 93. P. 161801.

The exponential parameterization of the neutrino mixing matrix as an SU (3) group element and an account for new experimental data

K. V. Zhukovsky

Department of Theoretical Phys,cs, Faculty of Phys,cs, Lomonosov Moscow State Un,vers,ty.

Moscow 119991, Russ,a.

E-ma,l: zhukovsk@phys,cs.msu.ru.

The exponential form of the Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata mixing matrix for neutrinos is considered in the context of the fundamental representation of the SU(3) group. The logarithm of the mixing matrix is obtained. Based on the most recent experimental data on neutrino mixing, the exact values of the entries of the exponential matrix are calculated. The exact values for its real and imaginary parts are determined, respectively, in charge of the mixing without CP violation and of the pure CP violation effect. The hypothesis of complementarity for quarks and neutrinos is confirmed. The factorization of the exponential mixing matrix, which allows the separation of the mixing and of the CP violation itself in the form of the product of rotations around the real and imaginary axes, is demonstrated.

Keywords: neutrino, mixing, PMNS matrix, CP violation, exponential parameterization, group. PACS: 14.60.Pq, 12.15.Ff, 02.20.-a.

Rece,ved 22 September 2016.

English version: Moscow Untverstty Phystcs Bulletin. 2017. 72, No. 5. Pp. 433-440.

Сведения об авторe

Жуковский Константин Владимирович — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр.; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@physics.msu.ru.