БИФУРКАЦИЯ ПОЛИЦИКЛА, ОБРАЗОВАННОГО СЕПАРАТРИСАМИ СЕДЛА С НУЛЕВОЙ СЕДЛОВОЙ ВЕЛИЧИНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3

УДК 517.92

БИФУРКАЦИЯ ПОЛИЦИКЛА, ОБРАЗОВАННОГО СЕПАРАТРИСАМИ СЕДЛА С НУЛЕВОЙ СЕДЛОВОЙ ВЕЛИЧИНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ В. Ш. Ройтенберг

Аннотация. Рассматриваются двупараметрические семейства векторных полей на плоскости с центральной симметрией. Пусть при нулевых значениях параметров векторное поле имеет гиперболическое седло в начале координат О и две симметричные петли сепаратрис этого седла. Седловая величина — след матрицы линейной части векторного поля в точке О — предполагается равной нулю. В работе описана бифуркационная диаграмма типичного семейства — разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по классам топологической эквивалентности динамических систем, задаваемых этими векторными полями в фиксированной окрестности и полицикла, образованного петлями сепаратрис. В частности, для каждого элемента разбиения указаны число и тип предельных циклов, принадлежащих окрестности и.

Б01: 10.25587/8УРи.2023.86.26.007

Ключевые слова: векторное поле на плоскости, центральная симметрия, бифуркация, седло, сепаратриса, предельный цикл.

Введение

Поскольку динамические системы на плоскости, обладающие центральной симметрией, естественным образом появляются при математическом моделировании ряда процессов, представляет интерес изучение бифуркаций в типичных конечно-параметрических семействах таких систем. Описание нелокальных бифуркаций в однопараметрических семействах получается как следствие известного описания бифуркаций в типичных одно- и двупараметрических семействах динамических систем без симметрии [1,2]. В частности, бифуркационную диаграмму для типичного однопараметрического семейства систем с центральной симметрией в окрестности полицикла «гомоклиническая восьмерка», образованного двумя петлями сепаратрис грубого седла с ненулевой седловой величиной, можно получить из бифуркационной диаграммы типичного двупараметриче-ского семейства систем без симметрии [2, гл. 13]. Изучить аналогичным способом типичные двупараметрические бифуркации систем с центральной симметрией в окрестностях полициклов уже нельзя из-за отсутствия полного описания бифуркаций полициклов в к-параметрических семействах систем без симметрии

© 2023 Ройтенберг В. Ш.

при к > 2. Здесь исследованы бифуркации системы с центральной симметрией в окрестности гомоклинической восьмерки седла с нулевой седловой величиной. Первая сепаратрисная величина для петель предполагается отрицательной, вследствие чего полицикл является аттрактором. В пространстве всех систем с центральной симметрией такие системы образуют подмногообразие коразмерности два и потому рассматриваются их типичные двупараметрические деформации.

Отметим, что бифуркации в окрестности петли сепаратрисы седла с нулевой седловой величиной впервые были рассмотрены Е. А. Леонтович [3]. Ее результаты частично повторены Руссари в [4]. В случае петли с нулевой сед-ловой величиной и ненулевой первой сепаратрисной величиной бифуркационная диаграмма для двупараметрического семейства общего положения описана В. П. Ноздрачевой [5].

В работе [6] описаны бифуркации аттрактора из петель сепаратрис простейшего негрубого седла системы с центральной симметрией. При нулевых значениях параметров динамические системы в окрестностях аттракторов, рассматриваемых в настоящей работе ив [6], топологически эквивалентны, но их бифуркации принципиально различны, поскольку в [6] бифурцирует и негрубое седло.

1. Постановка задачи. Формулировка результатов

Рассмотрим семейство векторных полей Хе(г) = Р^г, е^/дг^Р^г, е)д/дг2

на плоскости, зависящее от двумерного параметра е € К2. Будем считать, что

РЬР2 € Сг (г > 3), векторные поля Хе инвариантны относительно преобразо-

вания Б : г ы -г, т. е. Хе(—г) = —Хе(г), и удовлетворяют сформулированным ниже условиям У1—У4.

У1. Точка О = (0, 0) является грубым седлом поля Х0 с седловой величиной (Рх)'г1 (0,0) + (Р2)'г2 (0, 0) = 0.

У2. Выходящая сепаратриса Ь+ седла О (пусть она задается уравнением г = ((£), £ € М) совпадает с входящей сепаратрисой Ь—, образуя петлю Г+ := Ь+ и {О} = Ь— и {О}. Соответственно совпадают и сепаратрисы БЬ+ и БЬ—, образуя петлю Г0— = БГ0+.

У3. Первая сепаратрисная величина

= / (№1 (с (£), 0) + (Р2)'г2 т 0)) 0.

При всех е, достаточно близких к нулю, точка О является седлом для поля Хе, а собственные значения матрицы линейной части поля в точке О, А1(е) > 0 и А2(е) < 0 — Сг—1-функции от е. Обозначим через ст(е) := А1(е) + А2(е) седловую величину, А(е) := — А2(е)/А1(е) — седловой индекс. Поскольку ст(0) = 0, то А(0) = 1.

Пусть п : (-1,1) ^ К2 _ такое Сто-отображение, что п(0) = С(0), п'(й) = 0 Ув Е (—1,1), а репер (п'(0),С'(0)) = (п'(0),Хо(£(0))) положительно ориентирован. Так как инвариантные многообразия седла Сг-1-гладко зависят от параметра, то при £, достаточно близких к нулю, седло О имеет выходящую (входящую) сепаратрису (¿-), трансверсально пересекающую дугу п(-1,1) в точке п(и+(е)) (п(и_(е))), где и±(-) Е Сг-1, и±(0) = 0. Положим и(е) := «+(е) — и_ (е).

У4. Производные А'(0) : К2 ^ К и и'(0) : К2 ^ К линейно независимы.

Условие У4 не зависит от выбора параметризации сепаратрисы и отображения п.

При выполнении условий У1—У4 в окрестности нуля на плоскости параметров можно ввести Сг-1 -координаты (£1,62) так, что

А

Далее будем отождествлять параметр £ с его координатной строкой: £ = (е1; е2).

Опишем траектории векторных полей Хе в окрестности полицикла Го := Г+ и Г_, гомеоморфного «восьмерке».

Теорема 1. Пусть векторное поле Хо удовлетворяет условиям У1—У3. Тогда существуют окрестность и полицикла Го с границей ди, состоящей из трех непересекающихся между собой гладких простых замкнутых кривых 7+,

= $7+ и 7еХ = $7ех1, в точках которых поле Хо направлено внутрь и, а все траектории поля Хо, начинающиеся в кольцевой области между 7+ и Г+ 7_. и Г0_, 7ext и Го, ш-предельны соответственно к Г0+, Г0_, Го и выходят из и при убывании времени соответственно в точках 7+и Т-^, Тех1 (рис. 1).

Теорема 2. Пусть семейство векторных полей Хе удовлетворяет условиям У1—У4. Тогда окрестность и полицикла Го, о которой идет речь в теореме 1, и число 6 > 0 можно выбрать так, что имеют место следующие утверждения. В точках ди векторные поля Хе, £ Е

В1 = {£ : £1 = в1(£2)}, 01 : (—6,0) ^ (0,6), 01 Е С1, 01 (—0) = в'(—0) = 0,

4

Ег — связная компонента (-5,5)2\ У Б к, в границу которой входят Бг и

к=0

Бг+1 (здесь Бе = Б1),

со следующими свойствами:

(1) векторные поля Х£ при £ Е Ег (г = 1, 2, 3, 4) грубые в и;

(2) векторные поля Х£ при £ Е Бг (г = 1, 2, 3, 4) первой степени негрубости

в и;

(3) векторные поля Х£\и имеют следующие замкнутые траектории и петли сепаратрис:

при £ Е Б1 — двойной цикл, гомотопный 7ех{;, и по устойчивому циклу, гомотопному соответственно 7+ и 7—;

при £ Е Е1 — два цикла, устойчивый и неустойчивый, гомотопные 7ех^, и по устойчивому циклу, гомотопному соответственно 7+ и 7—;

при £ Е Б2 — устойчивый цикл, гомотопный 7еХ, полицикл из двух петель сепаратрис и по устойчивому циклу, гомотопному соответственно 7+ и 7—;

при £ Е Е2 — устойчивый цикл, гомотопный 7ех1;, и по два цикла, устойчивому и неустойчивому, гомотопных соответственно 7+ и 7—;

при £ Е Б3 — устойчивый цикл, гомотопный 7ех^ и по двойному циклу, гомотопному соответственно 7+ и 7—;

при £ Е Е3 — единственный цикл, он устойчив и гомотопен 7еХ;

при £ Е Б4 — устойчивый полицикл из двух петель сепаратрис;

при £ Е Е4 — по устойчивому циклу, гомотопному соответственно 7+ и 7—.

Траектории векторных полей Х£ |и для £ Е Ег и £ Е Бг (г = 1, 2, 3, 4) схематически изображены на рис. 2.

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма.

Доказательства теорем 1 и 2 приведены в разд. 2, 3.

2. Функции соответствия, функции последования и функции расхождения

Согласно теореме 2.17 из [7] в некоторой окрестности V(О) точки О при достаточно малых £ существует замена координат

х = £1(2:1, ¿2, £), У = £2(21, ¿2, £),

где функции gi принадлежат классу Сг-1 по переменным 21,22, а gi и (д^з- — классу Сг_2 по переменным 21, 22, £, такая, что в координатах х, у поле Хе имеет вид

Хе = х

где функции р и д являются Сг-1-гладкими относительно х, у и Сг_2-гладкими относительно х, у, £,

р

Из доказательства указанной теоремы видно, что при условии Хе(—2) = —Хе(г) имеем д1(—2,£) = —д1(г,£), д2(—2,£) = —д2(г,£), т. е. симметричные точки 2 и —2 имеют противоположные координаты (х, у) и (—х, —у). Поэтому

р(—х, —у, £) = р(х, у, £), д(—х, —у, £) = д(х, у, £).

При фиксированном £ будем отождествлять точку 2 Е V(О) с ее координатной строкой (х, у). Без ограничения общности можно считать, что при £ = 0 дуги у = 0, х> 0 и х = 0, у> 0 принадлежат соответственно сепаратрисам и <5Х_. При достаточно малых й > 0 и 61 > 0 определены отображения (х,й) ы (й, ^+(х,£)) и (х, —й) ы (х, £)), х Е (0,й), £ Е (—61,61)2, по траекториям

поля Хе 1у(о), где ^±(х,£) и )Х(х, £) — Сг_2-функции (рис. 3). Из (1)-(3), лемм 13.1, 13.5 и замечаний к ним в [2] следует, что существуют такие числа х Е (0, в), 82 Е (0, ¿1], что при всех х Е (0, ж], е Е (—¿2, ¿2)2

<^±

где

При достаточно малых й > 0, у > 0 и ¿3 Е (0, ¿1) определены отображение по траекториям поля Хе, £ Е [—63, 63]2, переводящее точку п(и_(£) + и) с и Е [—й,и\ в точку (яр(и, е), — (Г), где ф(и,е) Е (—ж, ж), ф(0,е) = 0, ф Е Сг~2 и ф'и(и, £) < 0, и отображение по траекториям поля Хе, £ Е [—63, 63]2, переводящее точку (й,у) с у Е {-у,у) в точку т](и_(е) +х(у,е)), где х € Сг~2, х'у{у^) > 0> х(0,£) = и+(£) — и_(£) = £2 (см. рис. 3). Траекторию поля Хе, проходящую через точку г/(и_(е) + и), и Е [—гТ,гТ], будем обозначать через Ье(и).

Рис. 3. Отображения соответствия по траекториям.

Пусть далее числа х и у фиксированы. При достаточно малых й и 83 для любого £ Е

/е~М := е),е),е), и Е [-й,0),

/+(и) := и Е (0,й].

Введем также функции расхождения А± (м,£) := /±(и) — и и функции /£ (и) :=

/+(/+ (и)).

Функция /_ является функцией последования по траекториям поля Х£ на дуге т]{и-{е) — й,и-(е)). Поэтому Ь£(и*),и* Е [—гГ, 0), — замкнутая траектория поля тогда и только тогда, когда м* — неподвижная точка /_ (нуль функции А_(•,£)). Эта траектория — устойчивый (неустойчивый) грубый предельный цикл, если (А_)'и(м*, £) < 0 ((А_)'и(м*,£) > 0), и двойной цикл, если

(А_)и(м*,£)=0, (А_)ии(м*,£)=0.

Учитывая симметрию поля Х£, получаем, что положительная полутраектория поля, начинающаяся в точке п(м_ (£) + м) ($п(м_ (£) + м)) при м Е (0,й], пересекает дугу ¿>77 (— 1,1) (77(—1,1)) в точке Зг)(и-(е) + /+(,и)) ( г)(и-(е) + /+(м))). Поэтому /£ — функция последования по траекториям поля. Траектория Ь£(и),и Е (0,й], замкнута тогда и только тогда, когда она проходит и через точку $п(м_(£) + м*), при этом м* — неподвижная точка как для /£, так и для /+, и нуль для А+ (•,£). Так как (/)'(м*) = [(/+)'(м*)]2, то ^(м*) — устойчивый (неустойчивый) грубый предельный цикл, если (/+)' (м*) < 1 (> 1), т. е. (А+ )и(м*,£) < 0 (> 0). Если Ь£(м*) — негрубая замкнутая траектория, то (/+)'(м*) = 1, (/£)''(м*) = 2(/+)//(м*). Поэтому Ь£(м*) — двойной цикл, если

(А+ )и(м*,£)=0, (А+)ии(м*,£) = 0.

Из (4), (5) и свойств функций ф и х получаем, что существует такое число Б > 0, что для любого £ Е [—53,53]2

/+

/~

где с(£) > 0, €(•) Е С1,

^Я±

При £ = 0 из (7), (8) находим с(0) = (/_)'(—0). Как известно [2, п. 13.1; 5], для петли с нулевой седловой величиной производная функции последования (/о_)'(+0) = ев1. Из условия У3 и (6) получаем

(/+)'(+0) = с(0) = (/_)'(—0) < 1- (9) Поэтому можно считать и столь малым, что

А+

А-(и, 0) > 0 при всех и € [-й, 0). (11) Из (6), (8)—(10) следует, что и0 £ (0,й) и^е (0, 5з) можно выбрать так, что

А+

sgn А+(+0,£) = sgn £2 привсех £ Е [—64,64]2. (16) Пусть £ Е (0,64] х [—64,64]. Из (6) и (8) получаем (А+ )'и(+0,£) = Отсюда, из (12) и (14) следует, что существует такая Сг_2-функция т : (0, 64] х [—64, 64] ы (0, ио), что

sgn

Выберем число д, с(0) < д < 1. Из (8) следует, что ио и 64 можно считать столь малыми, что при рассматриваемых £ справедливы неравенства

С(£) < д, 0 < С(£)(1 — £1)/(1 — (Я+ )и(т(£),£)) < д.

Из (6) и (17) получаем т(£) = (с(£)(1 — £1)/(1 — (Д+)и(т(£), £))1/е1 и потому

т

Обозначим М

М(£1, —£1) < —£1 + д1/е1 + Дд(1'5_Е1)/е1.

Поэтому найдется такое 6 Е (0,64), что М(£1, —£1) < 0 при всех £1 Е (0,6). Поскольку А+(+0, £)|е2=о = 0, из (17) получаем М(£1, 0) > 0. Из этих двух неравенств и (15) следует, что для любого £1 Е (0, 6) существует такое число 01 (£1) Е (—£1, 0), что

У£ Е

Из (15) и (19) по теореме о неявной функции получаем 01(-) Е С1. Ясно, что 01(+0) = 0. Учитывая (17), имеем

01 (£1) = —

М'

М^

.

£2=^1

£2=в1

Из (6) и (8) получаем, что существует такое число К > 0, что |(А+)£ (и, £)| < Ки1-£11 1пи| при и Е (0, ио), £ Е (0,6) х (—6, 0). Из этой оценки, из (15), (18) и (20) следует, что 01 (+0) = 0.

3. Окрестность и. Перестройки фазовых портретов в и

Из (10) и (11) согласно [8, п. 3.14] следует, что через точку п(/+(«о)) (соответственно п(/_(—м-о))) можно провести гладкую замкнутую трансверсаль

= ¿7^ (соответственно 7+.) к полю Х0, в точках г которой вектор Х0(г) направлен внутрь ее отрицательной (положительной) полуокрестности. Обозначим через и окрестность полицикла Г0, граница которой состоит из кривых 7ех-ъ, 7+ и 7;^ = Вследствие (10), (11) любая траектория поля Х0, начи-

нающаяся в и и не принадлежащая Г0, ш-предельна к Г0 и выходит из и при убывании времени. Отсюда следуют утверждения теоремы 1.

Считая 5 выбранным достаточно малым, для любого £ Е (—5, 5)2 будем иметь поле Х£ направленным внутрь и в точках ди и не имеющим в и особых точек, кроме О. Тогда любая траектория в и, отличная от седла О, пересекает одну из дуг п(м_(£) — м0, м_(£) + м0) или ¿п(м_ (£) — м0, м_(£) + м0). Обозначим Т+ := п(м_(£),м_(£) + И0), Т£т := п(м_(£) — И0,м_(£)).

Ясно, что при £ Е (—5, 5)2 входящие и выходящие сепаратрисы седла О совпадают тогда и только тогда, когда £2 = 0.

Из (12), (13), (16), (17) и (19) получаем следующие утверждения.

При £2 = (£1) А+(-,£) имеет единственный (двукратный) нуль то(£), а двойной цикл Ь£(то(£)) — единственная замкнутая траектория, пересекающая дугу Т£+. При £ Е (0,5) х (—5,0),£2 > в1 (£1) А+(-,£) имеет ровно два простых нуля 0 < м2(£) < м1(£) < м0, а поле Х£ имеет грубые замкнутые траектории, пересекающие Т£+, устойчивую Ь£ (м1(£)) и неустойчивую Ь£ (м2(£)). При £ Е (0,5) х [0, 5) и £ Е (—5,0] х (0,5) А+ (•, £) имеет на (0, м0] единственный нуль м1(£) < м0, причем (А+ )и(м1 (£),£) < 0, а поле Х£ имеет единственную замкнутую траекторию, пересекающую дугу Т+, — устойчивый грубый предельный цикл Ь£(м1(£)). При £ Е (—5, 0] х (—5,0] и £ Е (0,5) х (—5, 0),£2 < в1(£1) имеем А+(м, £) < 0 Ум Е (0,м0] и потому все траектории, пересекающие дугу Т+, незамкнутые.

Из (7), (8) следует, что если на дуге п(—1,1) параметр и заменить на —м, а £2 заменить на —£2, то отображение по траекториям, задаваемое функцией /_, будет иметь вид (6) с той же оценкой добавочного члена, что ив (8). Поэтому, как и выше, получаем следующие утверждения.

При £ Е (0,5) х (0,5), £2 = 02(£1), где ^2 : (0,5) ^ (0,5), ^2 Е С1, в2(+0) = в2 (+0) = 0, поле Х£ имеет единственную замкнутую траекторию, пересекающую дугу Т_ (5Те_), — двойной цикл. При £ Е (0, 5) х (0, 5), £2 < в2(£1) поле Х£ имеет две грубые замкнутые траектории, пересекающие Т_ (£Те_), устойчивую и неустойчивую. При £ Е (0, 5) х (—5, 0] и £ Е (—5, 0] х (—5, 0) поле Х£ имеет единственную замкнутую траекторию, пересекающую дугу Т£_ (£Те_), — устойчивый грубый предельный цикл. При £ Е (—5, 0] х [0, 5) и £ Е (0, 5) х (0, 5), £2 > в2(£1) все траектории, пересекающие дугу Т_ (£Те_), незамкнутые.

Определив теперь множества Ег, Бг, г = 1, 2, 3, 4, так, как это сделано в

формулировке теоремы 2, получим все утверждения теоремы о существовании петель сепаратрис и замкнутых траекторий. Отсюда и из выбора окрестности U следует, что поведение траекторий, отличных от замкнутых, такое, как указано на рис. 2.

Грубость векторных полей Xe при е G Ej и первая степень негрубости при е G Bi (i =1, 2, 3, 4) следует из достаточных условий грубости и первой степени негрубости [9].

Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы. T. 5. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

2. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2009.

3. Леонтович Е. А. О рождении предельных циклов от сепаратрис // Докл. АН СССР. 1951. Т. 28, № 4. С. 641-642.

4. Roussarie R. On the number of limit cycles which appear by perturbation of separatrix loop of planar vector fields // Bull. Brazil. Math. Soc. 1986. V. 17, N 2. P. 67-101.

5. Ноздрачева В. П. Бифуркации негрубой петли сепаратрисы // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 9. С. 1551-1558.

6. Ройтенберг В. Ш. Бифуркации полицикла, образованного двумя петлями сепаратрис негрубого седла динамической системы с центральной симметрией // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. 2021. Т. 13, № 3. С. 39-46.

7. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004.

8. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

9. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 13 июня 2023 г. После доработки 26 августа 2023 г. Принята к публикации 4 сентября 2023 г.

Ройтенберг Владимир Шлеймович

Ярославский государственный технический университет, Московский пр., 88, Ярославль 150023 vroitenberg@mail.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3

UDC 517.92

BIFURCATIONS OF A POLYCYCLE FORMED BY SEPARATRICES OF A SADDLE WITH ZERO SADDLE VALUE OF A DYNAMICAL SYSTEM WITH CENTRAL SYMMETRY V. Sh. Roitenberg

Abstract: We consider two-parameter families of planar vector fields with central symmetry. Assume that for zero values of the parameters, the field has a hyperbolic saddle at the origin O and two symmetric loops of the separatrices of this saddle. The saddle value — the trace of the matrix of the linear part of the field at the point O — is assumed to be zero. We describe the bifurcation diagram of a generic family — a partition of a neighborhood of the origin on the parameter plane into topological equivalence classes of dynamical systems defined by these vector fields in a fixed neighborhood U of the poly-cycle formed by loops of separatrices. In particular, for each element of the partition, the number and type of the field belonging to U are indicated.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.86.26.007

Keywords: planar vector field, central symmetry, bifurcation, saddle, separatrix, limit cycle.

REFERENCES

1. Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Y. S., and Shilnikov L. P., Bifurcation Theory, Dynamical Systems, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 5, Springer, Berlin (1994).

2. Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Turaev D. V., and Chua L., Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics, II, World Sci. Publ., River Edge, NJ (2001).

3. Leontovich E. A., "On birth of limit cycles from separatrices [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 28, No. 4, 641-644 (1951).

4. Roussarie R., "On the number of limit cycles which appear by perturbation of separatrix loop of planar vector fields," Bull. Brazil. Math. Soc., 17, No. 2. 67-101 (1986).

5. Nozdracheva V. P., "Bifurcations of non-rough separatrix loop [in Russian]," Differ. Uravn., 18, No. 9, 1551-1558 (1982).

6. Roitenberg V. Sh., "Bifurcations of polycycle formed by two separatrix loops of a non-rough saddle of a dynamical system with central symmetry [in Russian]," Vestn. Yuzh.-Ural. Gos. Univ., Ser. Mat., Mekh., Fiz., 13, No. 3, 39-46 (2021).

7. Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Turaev D. V., Chua L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part I, World Scientific Publishing, River Edge, New Jersey (1998).

8. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. I., and Maier A. G., The Theory of Bifurcations of Dynamical Systems on a Plane [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

© 2023 V. Sh. Roitenberg

9. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. I., and Maier A. G., Qualitative Theory of Second-Order Dynamical Systems [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

Submitted June 13, 2023 Revised August 28, 2023 Accepted September 4, 2023

Vladimir Sh. Roitenberg Yaroslavl State Technical University, 88 Moscow Avenue, Yaroslavl 150023, Russia vroitenberg@mail.ru