Применение вариационного принципа в многомодовом приближении к задаче расчета характеристик согласования прямоугольного волновода с импедансным фланцем

УДК 621.372.82

И.А. Лойко, В.В. Щербинин Применение вариационного принципа в многомодовом приближении к задаче расчета характеристик согласования прямоугольного волновода с импедансным фланцем

Введение. Невыступающие волноводные излучатели получили широкое применение в радиотехнике СВЧ-диапазона [1]. Они применяются в системах передачи информации, медицине, радиолокации и устройствах волновой диагностики различных материальных сред. Волноводные излучатели могут использоваться как непосредственно, так и в составе многоэлементных антенных решеток. Основными достоинствами этого класса антенн являются простота изготовления и высокая механическая прочность, которая является следствием отсутствия хрупких элементов и выступающих частей.

Наиболее важные параметры любой антенны - это характеристики согласования (коэффициент отражения и входной адмитанс) [2]. При использовании антенны в качестве передающей нужно добиться максимальной излучаемой мощности, а для этого требуется минимизация коэффициента отражения от раскрыва волновода. Следовательно, нужно улучшать согласование невыступающего волноводного излучателя с источником СВЧ-сигнала.

Характеристики согласования зависят от геометрии волновода, свойств среды, заполнения волновода, характеристик фланца и спектра возбуждающего сигнала. Представляет интерес теоретическое рассмотрение электромагнитных процессов в волноводной системе и среде.

Для решения подобных задач используется метод интегральных уравнений. Интегральные уравнения в задачах дифракции данной задачи имеют сложный вид, и построить аналитическое решение в замкнутой форме не удается. Поэтому для их решения можно использовать различные приближенные методы, в частности метод моментов (Галеркина) [3] и вариационный подход [4].

В методе моментов искомое поле на раскрыве волновода раскладывается по полной системе базисных ортогональных функций с последующим сведением задачи к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Достоинством метода является возможность получения численных результатов для любых физических характеристик антенной системы с заданной точностью. Недостатками метода являются неоднозначность выбора базисных функций, громоздкость выкладок,

сложность компьютерных программ и большой объем вычислений.

Вариационный подход подразумевает построение заведомо приближенного решения задачи, причем его существование основывается на том, что искомая физическая характеристика системы является функционалом, стационарным в сравнении с первой вариацией функции, относительно которой построено решение интегрального уравнения [4]. Достоинством метода является его сравнительная простота, возможность получения общего решения задачи для волноводов различного поперечного сечения (если известны собственные волновые функции). Недостатком является невозможность оценки и контроля ошибки внутри данного метода. Оценка точности решения требует сравнения полученных численных результатов с экспериментальными данными или с результатами расчетов, полученных строгим методом.

В одномодовом приближении поставленная задача решена в работах [5, 6]. В данной статье к решению задачи применен вариационный подход в многомодовом приближении.

1. Постановка задачи. Геометрия задачи изображена на рисунке 1. В координатной области г < О находится полубесконечный волновод произвольного поперечного сечения, с параллельными стенками, заполненный однородным магнитодиэлектриком с диэлектрической проницаемостью £ и магнитной проницаемостьюВолновод возбуждается электромагнитной волной, набегающей на раскрыв вдоль оси Диссипативные потери энергии в волноводе отсутствуют. Волновой процесс является стационарным и гармоническим во времени с круговой частотой со. Зависимость от времени определяется как

Апертура волновода расположена на бесконечном импедансном фланце, совпадающем с координатной плоскостью г = 0. Фланец характеризуется постоянным сторонним импедансом г, нормированным на

импеданс свободного пространства / єа ,

где €и и рі() - диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства. В области г > 0 находится среда, которая характеризуется диэлектрической проницаемостью є и магнитной проницаемостью р. Решение задачи проводится в системе единиц СИ.

Є../Л

Фланец с импедансом 22.

\

Г" \

Волновод

Рис. 1. Геометрия задачи при излучении из волновода

Требуется найти характеристики согласования волноводной антенны.

2. Представление поля на раскрыве. Поле в волноводе (в области г < 0) является суперпозицией собственных типов волн [7, 8]. Касательные составляющие электрического и магнитного поля на раскрыве волновода могут быть представлены в виде суммы колебаний собственных типов волн:

Ет{р-0)=ЕЕ„Ф„(Р\

0

Нт(р,-0)=±Няихфй(р),

л=О

у =

н„

где ап - амплитуда падающей волны; /?л - амплитуда отраженной волны; У’ - характеристический адмитанс для п-ой моды волновода.

Тогда входной адмитанс соответствующей моды будет равен:

-А,

Г =г

-Д.

Для задачи излучения электромагнитного поля из волновода амплитуды падающей волны ап можно считать определенными и заданными изначально (например, генератором). Неизвестными величинами в задаче являются амплитуды волн, отраженных от раскрыва волновода. Поскольку задача является линейной, можно представить амплитуду отраженной волны в виде:

А, = г„-а„ + Е г„,

к = 0, к * п

где Г - собственный коэффициент отражения п-ой моды; Г|4 - коэффициент возбуждения л-ой моды к-ой. Он равен отношению изменения амплитуды электрического поля возбуждаемой в отраженной волне и-ой моды к изменению амплитуды падающей волны к-ой моды. Амплитуды поля отраженной волны связаны с амплитудами падающей волны линейно, поэтому эквивалентной формой записи предыдущего уравнения является:

Й = Го,

где р = {х,у} -радиус-вектор на плоскости г = со«5/;

у - единичный вектор оси г; ф (р) - нормированные поперечные волновые функции; Еп, Н - комплексные амплитуды для собственных типов волн.

Функции ф (р) ортогональны, причем условие ортогональности имеет вид:

IФЛйМЛрУр = ^ .

V

здесь 5 - поперечное сечение раскрыва волновода; <5Ь - символ Кронекера.

Комплексные амплитуды электрического Еп и магнитного Н_ поля связаны соотношениями:

где 5, а - вектора,равные {Р„,Р,,...} и {а,,,»,,...} соответственно; Г - матрица отражения:

(г 1 о гш го: ..Л

г,о Г, Г,2

Г20 Г,

V • ' )

Матрица отражения содержит бесконечное число элементов. Входной адмитанс п-ой моды выражается через амплитуды падающей волны и элементы матрицы отражения:

ОС- О-,

1-Г,

- Е г

к—0,к^п

пк а

1+Гя +

ОС

Е

ос,

а.

где п = 0,1,...оо - номер моды; )'п - входной адмитанс для и-ой моды волновода.

Каждая из амплитуд электрического и магнитного поля есть сумма падающей и отраженной волны:

я„ = г>„-0п\

где —- относительное распределение амплитуд

в падающей волне по модам.

Матрица Г полностью описывает характеристики согласования волновода с фланцем.

3. Интегральное уравнение и формулы для расчетов. При использовании вариационного метода нужно найти такой функционал, вариация которого

равна нулю при произвольных вариациях неизвестной функции [4]. Интегральное уравнение задачи может быть записано в следующем виде [5]:

ОО - _ _

Е нпфп

п—0 5

где Е(р) - вспомогательная функция, которая имеет следующий вид:

F

_\ET(P)-ZZ(juxHr(pl peS

1°.

ptS

Тензор СЦр,р') представляет собой функцию Грина [6] данной задачи:

л(0

I

С(р,р') = —г- I

(2п) Zq -ъ

Zw + ZyJ£)

Жр-р')

-d(

Н----- (hx|)°(h*0

Zw -t-Z>j^(0

Здесь (£) - нормированный адмитанс парциальной плоской волны горизонтальной поляризации; Д'цСО - нормированный адмитанс парциальной

плоской волны вертикальной поляризации; о - операция тензорного умножения векторов. Результатом

перемножения двух векторов а и Ь является тензор

Т, элементы которого вычисляются по формуле Т =аЬ.

II I 1

После разложения неизвестной функции в ряд по собственным типам волн из интегрального уравнения (10) можно получить систему алгебраических уравнений для комплексных амплитуд А:

п

Ё А-

;=0 J

8 У + ‘‘V

Г:

2"Л

(l-ZZtf )j где i = O.n

Коэффициенты g для произвольного волновода

рассчитываются как:

8,

+ -

" (2тг fZ0 W.

Z.k.+ZW.

rff

0 0

ф:,ф

\2,W, +Zk, £d£di),

ф* ф j-

/II +

где ks = ^js0£p0IJ, -волновое число в полупростран-

лупространства г > 0; ф -составляющая Фурье-обра-за собственной функции волновода, перпендикулярная

поперечному волновому числу £ ; Ф,л - составляющая,

параллельная волновому числу £ .

4. Численные результаты и обсуждение. В качестве примера может быть рассмотрено возбуждение волновода волной основного типа. Для прямоугольного волновода волной основного типа является волна Яш.

Распространяющиеся моды, которые могут существовать в прямоугольном волноводе, могут содержать четное или нечетное целое число полуволн, укладывающихся вдоль стенок волновода. Симметрия задачи приводит к тому, что все моды распадаются на четыре группы, не взаимодействующие между собой. Волна основного типа может возбуждать высшие типы волн (как Е, так и Н), первый индекс которых представляет собой нечетное число, а второй - четное. Это утверждение справедливо как для случая идеально проводящего, так и для случая импедансного фланца.

стве->0; Zs — - нормированное импеданс по-

Рис. 2. Зависимость модуля коэффициента отражения от ка, при alb = 2.25

На рисунке 2 представлены результаты расчета модуля коэффициента отражения с помощью вариационного метода в одномодовом и многомодовом приближении для соотношения сторон alb = 2.25 в сравнении с теоретическими результатами, опубликованными в литературе [9-12]. Обнаруживается соответствие между численными результатами, полученными вариационным методом и методом моментов, а также расчетами вариационным методом у других авторов. Результаты вариационного метода лежат выше, чем результаты, полученные в работе [9] методом моментов. При увеличении числа мод, учтенных для расчета, улучшается сходимость результатов. Для расчета в одномодовом приближении не учитывается взаимодействие с другими модами,

-зо

Serizawa & Hongo [9]

Yohitoml&Sharoblm[10] • MacPhie & Zaghloul [11 ]

A Monglardo & Rozzy [12]

1 mode variational method —- 4 mode variational method

ka

Рис. 3. Зависимость фазы коэффициента отражения от ка, при а/Ь = 2.25

а для расчета в 4-модовом приближении учитывалось взаимодействие с модами #,(|, Нп, Еп.

На рисунке 3 изображены результаты расчета фазы коэффициента отражения с помощью вариационного метода в одномодовом и многомодовом приближении для соотношения сторон а/Ь = 2.25 в сравнении с теоретическими результатами, опубликованными в литературе [9-12]. Также увеличение числа мод, учтенных для расчетов, улучшает соответствие с расчетом методом моментов [9].

На рисунке 4 представлены результаты расчета модуля коэффициента отражения с помощью вариационного метода в одномодовом и многомодовом приближении для соотношения сторон а/Ь = 1.0, а также результаты, полученные методом моментов из работы [9]. Расчет в одномодовом приближении дает результаты, которые плохо согласуются с методом моментов, а увеличение числа используемых мод до четырех значительно улучшает соответствие.

Выводы. В результате выполненной работы задача излучения из прямоугольного волновода с импеданс-ным фланцем решена с использованием вариационного принципа в многомодовом приближении. Получены

ка

Рис. 4. Зависимость модуля коэффициента отражения от ка, при а/Ь = 1.0

расчетные формулы для характеристик согласования невыступающего волноводного излучателя с помощью вариационного принципа в многомодовом приближении. В предельном случае (импеданс равен нулю) они непрерывно сходятся к формулам для идеального проводящего фланца.

Составлена расчетная программа и получены численные результаты для характеристик согласования прямоугольного волновода при различных значениях частоты, импеданса фланца и размеров волновода.

Рассмотрено влияние высших мод на характеристики согласования волны основного типа в прямоугольном волноводе. Установлено, что моды Е-типа сильнее влияют на характеристики согласования волны основного типа в прямоугольном волноводе, чем моды Н-типа. Высшие моды влияют на характеристики согласования невыступающего излучателя даже при условии их отсутствия в возбуждающей волне. Моды образуют группы, не влияющие друг на друга. Для прямоугольного волновода это четыре группы с индексами (2л,2/и), (2л,2/и + 1), (2п + 1,2т), (2/7 + 1,2/7/ +1).

Библиографический список

1. Сазонов, Д.М. Антенны и устройства СВЧ : учебник для радиотехн. спец. вузов / Д.М. Сазонов. - М., 1988.

2. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решеток : учеб. пособие для вузов /

. B.C. Филиппов, Л.И. Пономарев. А.Ю. Гринев и др.; Под ред. Д.И. Воскресенского. - 2-е изд., доп. и перераб. - М., 1994.

3. Комаров, С.А. Излучение из полубесконечного волновода с импедансным фланцем / С.А. Комаров // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1976. - Т. 19,№2.

4. Ваганов, Р.Б. Основы теории дифракции/Р.Б. Ваганов, Б.З. Канцеленбаум. - М., 1982.

5. Комаров. С.А. Вариационный принцип в задачах излучения из полубесконечного волновода с импедансным фланцем / С.А. Комаров // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1985.-Т. 28. №3.

6. Комаров, С.А. Входной адмитанс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду / С.А. Комаров, В.В. Щербинин // Известия АлтГУ. - 1997. -№1.

7. Левин, Л. Современная теория волноводов / Л. Левин. - М., 1954.

8. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. - М.; Л., 1967.

9. Serizawa, Н. Radiation from a flanged rectangular waveguide/Н. Serizawa, К. Hongo//IEEE Transaction on Antennas and Propagation. - 2005. - Vol. 53, №12.

10. Yoshitomi, K. Radiation from a rectangular waveguide with a lossy flange / K. Yoshitomi, H.R. Sharobim // IEEE Trans-

action on Antennas and Propagation. - 1994. - Vol. 42, №10.

11. MacPhie, R.H. Radiation from a rectangular waveguide with infinite flange: Exact solution by correlation matrix method / R.H. MacPhie, A.I. Zaghloul // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. - 1980. - Vol. 28, №4.

12. Mongiardo, M. Singular integral equation analysis of flange-mounted rectangular waveguide radiators / M. Mongiardo, T. Rozzi // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1993. - Vol. 41, №5.